제 2 교시

2025학년도 사관학교 문제지

수학 영역

홀수형

성명

수험 번호

○ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

○ 답안지의 필적 확인란에 다음의 문구를 정자로 기재하시오.

너만 보인단 말이야

○ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호,                    문형(홀수/짝수), 답을 정확히 표시하시오.

○ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

○ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

○ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

※ 공통과목 및 자신이 선택한 과목의 문제지를 확인하고, 답을 정확히 표시하시오.

○ 공통과목 ······································································· 1~8쪽

○ 선택과목

확률과 통계 ····························································· 9~12쪽

미적분 ···································································· 13~16쪽

기하 ······································································· 17~20쪽

※ 시험이 시작되기 전까지 표지를 넘기지 마시오.

한국교육과정평가원

2025학년도 사관학교 문제지

수학 영역

5지선다형

홀수형

홀수형

제 2 교시

[eqn: LEFT ( 3 ^{-1} +3 ^{-2} RIGHT ) ^{{1} over {2}}]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {3}]      ② [eqn: {sqrt {2}} over {3}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]    ④ [eqn: {2} over {3}]     ⑤ [eqn: {sqrt {5}} over {3}]

20

함수 [eqn: f(x)=3x ^{2} -x+1]에 대하여 [eqn: lim _{h` rarrow `0} {{f(1+h)-f(1)} over {h}}]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

공비가 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: {S _{7} -S _{4}} over {S _{3}} = {1} over {9}]일 때, [eqn: {a _{5}} over {a _{7}}]의 값은? [3점]

1

홀수형

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: 3]     ④ [eqn: 3 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 9]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x)=(x ^{3} +2x+2)f(x)]라 하자. [eqn: g'(1)=10]일 때, [eqn: f(1)+f`'(1)]의 값은?  [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 상수 [eqn: a]([eqn: a>0]), [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: y=a`sin`ax+b]의 주기가 [eqn: pi]이고 최솟값이 [eqn: 5]일 때, [eqn: a+b]의 값은? [3점]

수학 영역

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x` rarrow ` INF } {{x ^{2}} over {f(x)}} =2], [eqn: lim _{x` rarrow `3} {{f(x-1)} over {x-3}} =4]를 만족시킬 때, [eqn: f(4)]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

2

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2a _{k} +b _{k} +k RIGHT ) =60], [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} -2b _{k} +1 RIGHT ) =10]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

최고차항의 계수가 [eqn: 3]인 이차함수 [eqn: f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F`(x)]라 하자. [eqn: f(1)=0], [eqn: F`(1)=0], [eqn: F`(2)=4]일 때, [eqn: F`(3)]의 값은? [3점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 24]	④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 32]

수학 영역

두 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmQ]는 시각 [eqn: t=0]일 때 각각 점 [eqn: rmA][eqn: LEFT ( 9 RIGHT )]와 점 [eqn: rmB][eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]에서 출발하여 수직선 위를 움직인다. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t][eqn: LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]에서의 속도는 각각 [eqn: v _{1} (t)=6t ^{2} -18t+7], [eqn: v _{2} (t)=2t+1]이다. 시각 [eqn: t]에서의 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리를 [eqn: f(t)]라 할 때, 닫힌구간 [eqn: LEFT [ 1,``3 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f(t)]의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

[eqn: - {1} over {2} <t<0]인 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: x=t]가 두 곡선 [eqn: y=log _{2} (x+1)], [eqn: y=log _{{1} over {2}} LEFT ( -x RIGHT ) `+1]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 점 [eqn: rmB]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=log _{2} (x+1)]과 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. [eqn: {bar{rmAB}} =log _{2} 9]일 때, 선분 [eqn: rmBC]의 길이는? [4점]

① [eqn: 4]       ② [eqn: {13} over {3}]     ③ [eqn: {14} over {3}]      ④ [eqn: 5]      ⑤ [eqn: {16} over {3}]

3

최고차항의 계수가 [eqn: -1]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(3-x)=f(3+x)]이다.

(나) 실수 [eqn: t]에 대하여 닫힌구간 [eqn: LEFT [ t-1,``t+1 RIGHT ]]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값을 [eqn: g(t)]라 할 때, [eqn: -1 LEQ t LEQ 1]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g(t)=g(1)]이다.

[eqn: f(2)=0]일 때, [eqn: f(5)]의 값은? [4점]

① [eqn: 36]      ② [eqn: 37]      ③ [eqn: 38]	④ [eqn: 39]      ⑤ [eqn: 40]

4

수학 영역

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: -(n-k) ^{2} +8]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: f(n)]이라 하자. [eqn: f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=7]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: 14]      ② [eqn: 15]      ③ [eqn: 16]      ④ [eqn: 17]      ⑤ [eqn: 18]

[eqn: -6 LEQ t LEQ 2]인 실수 [eqn: t]와 함수 [eqn: f(x)=2x(2-x)]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: LEFT { f(x)-t RIGHT } LEFT { f(x-1)-t RIGHT } =0]의 실근 중에서 집합 [eqn: LEFT { x`vert `0 LEQ x LEQ 3 RIGHT }]에 속하는 가장 큰 값과 가장 작은 값의 차를 [eqn: g(t)]라 할 때, 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=a]에서 불연속이다. [eqn: lim _{t` rarrow `a-} {g(t)} `+ lim _{t` rarrow `a+} {g(t)}]의 값은? (단, [eqn: a]는 [eqn: -6<a<2]인 상수이다.) [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: 5]

수학 영역

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: LEFT | a _{5} RIGHT |]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은? [4점]

(가) [eqn: a _{2} =27], [eqn: a _{3} a _{4} >0]

(나) [eqn: 2] 이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =2 LEFT | a _{n} RIGHT |]이다.

① [eqn: 224]	② [eqn: 232]	③ [eqn: 240]	④ [eqn: 248]	⑤ [eqn: 256]

5

단 답 형

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f`'(0)=f`'(2)=0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 있다. 양수 [eqn: p]와 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)= {cases{f(x)&``````(f(x) GEQ x)#f(x-p)+3p&`````` LEFT ( f(x)<x RIGHT )}}]가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: f(0)]의 값은? [4점]

① [eqn: 4-3 sqrt {6}]	② [eqn: 2-2 sqrt {6}]	③ [eqn: 3-2 sqrt {6}]          ④ [eqn: 3- sqrt {6}]	⑤ [eqn: 4- sqrt {6}]

6

수학 영역

부등식 [eqn: 4 ^{x} -9 TIMES 2 ^{x+1} +32 LEQ 0]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합을 구하시오. [3점]

공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{12} =5], [eqn: LEFT | a _{5} RIGHT | = LEFT | a _{13} RIGHT |]을 만족시킬 때, [eqn: a _{24}]의 값을 구하시오. [3점]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(3)]의 값을 구하시오. [3점]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]이다.

(나) [eqn: int _{-2} ^{2} {xf(x)`dx= {144} over {5}}]

수학 영역

그림과 같이 [eqn: {bar{rmAB}} =7], [eqn: {bar{rmBC}} =13], [eqn: {bar{rmCA}} =10]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]와 선분 [eqn: rmAC] 위의 점 [eqn: rmQ]를 [eqn: {bar{rmAP}} = {bar{rmCQ}}]이고 사각형 [eqn: rmPBCQ]의 넓이가 [eqn: 14 sqrt {3}]이 되도록 잡을 때, [eqn: {bar{rmPQ}} ^{2}]의 값을 구하시오. [3점]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 함수 [eqn: g(x)= LEFT | f(x) RIGHT |]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: g(8)]의 값을 구하시오. [4점]

(가) 함수 [eqn: f`'(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=5]에서 미분가능하고, 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( 5,``g(5) RIGHT )]에서의 접선은 곡선 [eqn: y=g(x)]와 점 [eqn: LEFT ( 0,``g(0) RIGHT )]에서 접한다.

7

다음 조건을 만족시키는 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: {12} over {pi } TIMES LEFT ( beta - alpha RIGHT )]의 최댓값을 구하시오. [4점]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 2 pi]에서 함수

[eqn: f(x)=cos ^{2} ` LEFT ( {13} over {12} pi -2x RIGHT ) `+ sqrt {3} cos LEFT ( 2x- {7} over {12} pi RIGHT ) -1]은 [eqn: x= alpha]일 때 최댓값을 갖고, [eqn: x= beta]일 때 최솟값을 갖는다.

8

수학 영역

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -2x]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: g(x)]에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: h(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT { h(x)-f(x) RIGHT } LEFT { h(x)-g(x) RIGHT } =0]이다.

(나) [eqn: h(k)h(k+2) LEQ 0]을 만족시키는 서로 다른 실수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 3]이다.

[eqn: int _{-3} ^{2} {h(x)`dx=26}]이고 [eqn: h(10)>80]일 때, [eqn: h(1)+h(6)+h(9)]의 값을 구하시오. [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

◦ 이어서,「선택과목(확률과 통계)」문제가 제시되오니, 자신이    선택한 과목인지 확인하시오.

2025학년도 사관학교 문제지

수학 영역(확률과 통계)

5지선다형

제 2 교시

1

홀수형

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: rmB LEFT ( 49,`` {3} over {7} RIGHT )]을 따를 때, [eqn: rmV LEFT ( 2itX RIGHT )]의 값은? [2점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 32]	④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 48]

20

두 사건 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]는 서로 독립이고 [eqn: rm P LEFT ( A`vert `B RIGHT ) = {1} over {2}], [eqn: rmP(A CUP B)= {7} over {10}]일 때, [eqn: rmP(B)]의 값은? [3점]

① [eqn: {3} over {10}]     ② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {3} over {5}]	⑤ [eqn: {7} over {10}]

[eqn: LEFT ( x ^{2} +y RIGHT ) ^{4} LEFT ( {2} over {x} + {1} over {y ^{2}} RIGHT ) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: {x ^{4}} over {y ^{5}}]의 계수는? [3점]

① [eqn: 80]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 160]      ④ [eqn: 200]	⑤ [eqn: 240]

2

수학 영역(확률과 통계)

어느 사관학교 생도의 일주일 수면 시간은 평균이 [eqn: 45]시간, 표준편차가 [eqn: 1]시간인 정규분포를 따른다고 한다. 이 사관학교 생도 중 임의추출한 [eqn: 36]명의 일주일 수면 시간의 표본평균이 [eqn: 44]시간 [eqn: 45]분 이상이고 [eqn: 45]시간 [eqn: 20]분 이하일 확률을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]
① [eqn: 0.6915]  ② [eqn: 0.8185]  ③ [eqn: 0.8413]  ④ [eqn: 0.9104]  ⑤ [eqn: 0.9772]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f:X` rarrow `X]의 개수는? [3점]

(가) [eqn: x=1], [eqn: 2], [eqn: 3]일 때 [eqn: f(x) LEQ f(x+1)]이다.

(나) 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 2]이다.

① [eqn: 50]      ② [eqn: 60]	③ [eqn: 70]      ④ [eqn: 80]	⑤ [eqn: 90]

수학 영역(확률과 통계)

숫자 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 4]가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 7]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 7]장의 카드를 모두 한번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 서로 이웃한 [eqn: 2]장의 카드에 적혀 있는 두 수의 차를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e], [eqn: f]라 하자. 예를 들어 그림과 같이 나열한 경우 [eqn: a=3], [eqn: b=1], [eqn: c=1], [eqn: d=3], [eqn: e=0], [eqn: f=2]이다.

3

[eqn: a+b+c+d+e+f]의 값이 짝수가 되도록 카드를 나열하는 경우의 수는? (단, 같은 숫자가 적혀 있는 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.)

① [eqn: 100]      ② [eqn: 110]	③ [eqn: 120]     ④ [eqn: 130]	⑤ [eqn: 140]

단답형

흰 공 [eqn: 1]개, 검은 공 [eqn: 1]개, 파란 공 [eqn: 1]개, 빨간 공 [eqn: 1]개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 하나의 공을 꺼내어 색을 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을□[eqn: 4]번 반복하여 확인한 색의 종류의 수를 확률변수 [eqn: X]□라 할 때, [eqn: rmE(64itX-10)]의 값을 구하시오. [4점]

4

수학 영역(확률과 통계)

흰 공 [eqn: 1]개, 검은 공 [eqn: 6]개, 노란 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내는 시행을 한다. 이 시행을 반복하여 주머니에 남아 있는 공의 색의 종류의 수가 처음으로 [eqn: 2]가 되면 시행을 멈춘다. 시행을 멈출 때까지 꺼낸 공의 개수가 [eqn: 4]일 때, 꺼낸 공 중에 흰 공이 있을 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

◦ 이어서,「선택과목(미적분)」문제가 제시되오니, 자신이    선택한 과목인지 확인하시오.

2025학년도 사관학교 문제지

수학 영역(미적분)

5지선다형

제 2 교시

[eqn: lim _{n` rarrow ` INF } {n LEFT ( sqrt {4+ {1} over {n}} -2 RIGHT )}]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]      ③ [eqn: {3} over {4}]      ④ [eqn: 1]      ⑤ [eqn: {5} over {4}]

20

1

홀수형

함수 [eqn: f(x)=e ^{x ^{2}}]에 대하여 [eqn: lim _{n` rarrow ` INF } {sum _{k=1} ^{n} {k} over {n ^{2}} f LEFT ( {k} over {n} RIGHT )}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {4} e- {1} over {2}]       ② [eqn: {1} over {4} e- {1} over {4}]       ③ [eqn: {1} over {2} e- {1} over {2}]               ④ [eqn: {1} over {2} e- {1} over {4}]       ⑤ [eqn: {3} over {4} e- {1} over {4}]

함수 [eqn: f(x)=ln` LEFT ( e ^{x} +2 RIGHT )]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하자. 함수         [eqn: h(x)= LEFT { g(x) RIGHT } ^{2}]에 대하여 [eqn: h`'(ln4)]의 값은? [3점]

① [eqn: 2`ln2]    ② [eqn: 3`ln2]    ③ [eqn: 4`ln2]    ④ [eqn: 5`ln2]    ⑤ [eqn: 6`ln2]

수학 영역(미적분)

2

[eqn: 0<t< pi]인 실수 [eqn: t]에 대하여 점 [eqn: rmA(it t,``0)]을 지나고 [eqn: y]축에      평행한 직선이 두 곡선 [eqn: y=sin` {x} over {2}], [eqn: y=tan` {x} over {2}]와 만나는 점을     각각 [eqn: rmB], [eqn: rmC]라 하고, 점 [eqn: rmB]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 선분     [eqn: rmOC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이를 [eqn: f(t)],       삼각형 [eqn: rmACD]의 넓이를 [eqn: g(t)]라 할 때, [eqn: lim _{t` rarrow `0+} {{g(t)} over {LEFT { f(t) RIGHT } ^{2}}}]의 값은?      (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [3점]
① [eqn: {1} over {8}]      ② [eqn: {1} over {4}]      ③ [eqn: {3} over {8}]      ④ [eqn: {1} over {2}]      ⑤ [eqn: {5} over {8}]

그림과 같이 곡선 [eqn: y= {sqrt {ln(x+1)}} over {x}][eqn: LEFT ( x>0 RIGHT )]과 [eqn: x]축 및 두      직선 [eqn: x=1], [eqn: x=3]으로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는           입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른      단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]
① [eqn: {1} over {3} ln {9} over {8}]       ② [eqn: {1} over {3} ln {3} over {2}]       ③ [eqn: {1} over {3} ln {9} over {2}]	④ [eqn: {1} over {3} ln {27} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {3} ln {27} over {2}]

3

수학 영역(미적분)

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에      대하여□[eqn: int _{0} ^{x} {(x-t)f(t)dt=e ^{2x} -2x+a}]를 만족시킨다. 곡선      [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( a,``f(a) RIGHT )]에서의 접선을 [eqn: l]이라 할 때, 곡선      [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: l] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? (단,     [eqn: a]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 2- {6} over {e ^{2}}]	② [eqn: 2- {7} over {e ^{2}}]       ③ [eqn: 2- {8} over {e ^{2}}]	④ [eqn: 2- {9} over {e ^{2}}]	⑤ [eqn: 2- {10} over {e ^{2}}]

단 답 형

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의     두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하자. [eqn: LEFT ( alpha - beta RIGHT ) ^{2} = {34} over {3} pi]일 때, 함수               [eqn: f(x)=sin` LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT )]가 [eqn: x=c]에서 극값을 갖도록 하는 [eqn: c]의    값  중에서 열린구간 [eqn: LEFT ( alpha ,`` beta RIGHT )]에 속하는 모든 값을 작은 수부터      크기순으로 나열한 것을 [eqn: c _{1}], [eqn: c _{2}], [eqn: CDOTS], [eqn: c _{n}][eqn: (n]은 자연수[eqn: )]라 하자.      [eqn: LEFT ( 1-n RIGHT ) TIMES sum _{k=1} ^{n} f(c _{k} )]의 값을 구하시오. [eqn: (]단, [eqn: alpha < beta )] [4점]

4

양수 [eqn: k]와 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수                       [eqn: g(x)= {cases{lim _{n` rarrow ` INF } {{LEFT | x-2 RIGHT | ^{2n+1} +f(x)} over {LEFT | x-2 RIGHT | ^{2n} +k}}&`````` LEFT ( LEFT | x-2 RIGHT | != 1 RIGHT )#{LEFT | f(x+1) RIGHT |} over {k+1}&`````` LEFT ( LEFT | x-2 RIGHT | =1 RIGHT )}}]이 실수        전체의 집합에서 연속이다. 닫힌구간 [eqn: LEFT [ 1,``3 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]의   최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 할 때, [eqn: 10 LEFT ( M+m RIGHT )]의 값을    구하시오. [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

◦ 이어서,「선택과목(기하)」문제가 제시되오니, 자신이 선택한 과목인지 확인하시오.

2025학년도 사관학교 문제지

수학 영역(기하)

5지선다형

좌표공간의 점 [eqn: rmA` LEFT ( 1,`-2,``3 RIGHT )]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 점을    [eqn: rmP]라 하고, 점 [eqn: rmA]를 [eqn: zx]평면에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmQ]라 할     때, 선분 [eqn: rmPQ]의 길이는? [2점]

① [eqn: 4 sqrt {3}]    ② [eqn: 5 sqrt {2}]    ③ [eqn: 2 sqrt {13}]    ④ [eqn: 3 sqrt {6}]   ⑤ [eqn: 2 sqrt {14}]

제 2 교시

1

홀수형

좌표평면에서 방향벡터가 [eqn: {vec{u}} `= LEFT ( 3,``1 RIGHT )]인 직선 [eqn: l]과 법선벡터가    [eqn: {vec{n}} `= LEFT ( 1,`-2 RIGHT )]인 직선 [eqn: m]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때,      [eqn: cos` theta]의 값은? [3점]

① [eqn: {3 sqrt {2}} over {10}]   ② [eqn: {2 sqrt {2}} over {5}]   ③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]   ④ [eqn: {3 sqrt {2}} over {5}]   ⑤ [eqn: {7 sqrt {2}} over {10}]

그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 3]인 정육면체                 [eqn: rmABCD-EFGH]에서 선분 [eqn: rmEH]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmP],       선분 [eqn: rmEF]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, 점 [eqn: rmA]와 직선 [eqn: rmPQ]    사이의 거리는? [3점]

① [eqn: {7 sqrt {5}} over {5}]  ② [eqn: {3 sqrt {5}} over {2}]  ③ [eqn: {8 sqrt {5}} over {5}]  ④ [eqn: {17 sqrt {5}} over {10}]  ⑤ [eqn: {9 sqrt {5}} over {5}]

수학 영역(기하)

2

포물선 [eqn: LEFT ( y+2 RIGHT ) ^{2} =16 LEFT ( x-8 RIGHT )]의 초점에서 포물선 [eqn: y ^{2} =-16x]에    그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 포물선 [eqn: y ^{2} =-16x]의    초점을 [eqn: rmF]라 할 때, [eqn: {bar{rm PF it}} `+ {bar{rm QF it}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 33]      ② [eqn: 34]      ③ [eqn: 35]      ④ [eqn: 36]      ⑤ [eqn: 37#]

그림과 같이 [eqn: {bar{rmAB}} =9], [eqn: {bar{rmBC}} =8], [eqn: bar { rmCA}=7]인 삼각형 [eqn: rmABC]가       있다. 점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP], 점 [eqn: rmB]에서       선분 [eqn: rmAC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 하자. 두 선분 [eqn: rmCP], [eqn: rmBQ]의      교점을 [eqn: rmR]이라 할 때, [eqn: {vec{rmAR}} BULLET LEFT ( {vec{rmAB}} `+ {vec{rmAC}} RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: 62]      ② [eqn: 64]      ③ [eqn: 66]      ④ [eqn: 68]      ⑤ [eqn: 70]

3

수학 영역(기하)

그림과 같이 두 점 [eqn: rmF LEFT ( itc,``0 RIGHT )], [eqn: rmF'(-itc,``0)][eqn: LEFT ( c>0 RIGHT )]을 초점으로     하는 타원 [eqn: {x ^{2}} over {81} + {y ^{2}} over {75} =1]과 두 점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']을 초점으로 하는 쌍곡선   [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]이 있다. 타원과 쌍곡선이 만나는 점 중 제[eqn: 1]사분면    위의 점을 [eqn: rmP]라 하고, 선분 [eqn: rmF prime P]가 쌍곡선과 만나는 점 중 [eqn: rmP]가     아닌 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 다음 조건을 만족시킬 때, 점   [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는? (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 양수이다.) [4점]

(가) [eqn: {bar{rm PQ it}} `= {bar{rm PF it}}]

(나) 삼각형 [eqn: rmPQF]의 둘레의 길이는 [eqn: 20]이다.

① [eqn: sqrt {13}]    ② [eqn: {3 sqrt {6}} over {2}]   ③ [eqn: sqrt {14}]    ④ [eqn: {sqrt {58}} over {2}]   ⑤ [eqn: sqrt {15}]

단 답 형

[eqn: {bar{rmAB}} =2], [eqn: {bar{rmBC}} = sqrt {5}]인 직사각형 [eqn: rmABCD]를 밑면으로 하고       [eqn: {bar{rm OA it}} `= {bar{rm OB it}} `= {bar{rm OC it}} `= {bar{rm OD it}} `=2]인 사각뿔 [eqn: rmO-ABCD]가 있다.       선분 [eqn: rmOA]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하고, 점 [eqn: rmM]에서 평면 [eqn: rmOBD]에 내린    수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자. 선분 [eqn: rm BH]의 길이를 [eqn: k]라 할 때, [eqn: 90k ^{2}]의    값을 구하시오. [4점]

4

수학 영역(기하)

좌표평면에 한 변의 길이가 [eqn: 4 sqrt {2}]인 정삼각형 [eqn: rmOAB]와 다음     조건을 만족시키는 점 [eqn: rm C]가 있다. [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

(가) [eqn: LEFT | {vec{rmAC}} RIGHT | =4]

(나) [eqn: {vec{rmOA}} BULLET {vec{rmAC}} =0], [eqn: {vec{rm AB it}} BULLET {vec{rm AC it}} `>0]

[eqn: LEFT ( {vec{rm OP}} `- {vec{rm OC it}} RIGHT ) ` BULLET LEFT ( {vec{rm OP it}} `- {vec{rm OA it}} RIGHT ) `=0]을 만족시키는 점 [eqn: rmP]와 정삼각형    [eqn: rmOAB]의 변 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: LEFT | {vec{rmOP}} `+ {vec{rmOQ}} RIGHT |]의         최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: p+q sqrt {33}]일 때, [eqn: p ^{2} +q ^{2}]의 값을          구하시오. (단, □와 □는 유리수이다.)

※시험이 시작되기 전까지 표지를 넘기지 마시오.