수학적 귀납법에서 질문요.

Question

(i) n=1일때 명제 P(n)이 성립한다.  (참)
(ii) n=k일때 명제 P(n)이 성립하면(가정했을때) n=k+1일때도 명제 P(n)이 성립한다.  (참)

(i),(ii)에 의해서 모든 자연수 n에 대해서 명제 P(n)은 성립한다.


수학적 귀납법의 의미는 알겠는데 이것과 깊은 관련은 없지만

한가지 궁금한게 있습니다.

지식in을 돌아다니면서 질문하고 답변받다가

'n=k일때 명제 P(n)이 성립한다.' 와 '모든 자연수 n에 대해서 명제 P(n)은 성립한다.' 가 같다는 말을 몇번 들었는데 이 둘이 서로 같은가요?

('n=k일때 명제 P(n)이 성립한다.' 를 증명할 수 있다면 수학적 귀납법을 사용할 필요가 없다고 하더군요. 이게 불가능하기 때문에 귀납법을 사용한다고

하네요.) 


전 'n=k일때 명제 P(n)이 성립한다.'  라는 문장이 참/거짓을 판단할 수 없는 조건인줄 알았는데 명제인가봐요?

Yoonaul · Accepted Answer

n=k 일때, P(n) 이 성립한다고 가정하고, n=k+1 일때에도 P(n)이 성립한다면, 그 명제를 참이라고 하지 않나요?

카롤링거 · Answer

네 그건 알고있어요. 그런데 제가 처음에 그것을 몰랐을때
가정한다는 의미를 모르고
'n=k 일때, P(n) 이 성립한다.' 를 증명하지 않고 어떻게 가정하냐고 했거든요.
그 과정에서 
('n=k일때 명제 P(n)이 성립한다.' 를 증명할 수 있다면 수학적 귀납법을 사용할 필요가 없습니다.. 이게 불가능하기 때문에 귀납법을 사용합니다.)
라고 답변이 왔어요.
n=k 일때, P(n) 이 성립한다고 가정하고, n=k+1 일때에도 P(n)이 성립한다면,  <---- 이게 명제인건 알고있음.
그런데 'n=k 일때, P(n) 이 성립한다.'  도 명제인지와 그게 '모든 자연수 n에 대해서 명제 P(n)은 성립한다.' 와 서로 정말로 같은지 궁금해서요.

카롤링거 · Answer

뭐...수학적 귀납법과는 별 상관없는 쓸데없는 질문이었지만 답변해주셔서 고맙습니다.

inthecastle · Answer

K가 임의의 자연수를 뜻하므로 

참거짓을 분별할수있는 명제라고 봐야죠 .  

x= k 일때  x^2 - x -2 = 0 이 성립한다.  (k는 임의의실수)

틀린명제죠.  

x는 4의 약수이다 .  이거는 조건이지만

x가 임의의 자연수일때  x는 4의 약수이다 . 이건 조건으로 이루어진 명제죠.  


가정과 결론으로 나눌수있네요 .  

n이 임의의 자연수 일때  P(n)이 성립한다. 


저도 의문이 생기네요 .  가정도 가정결론으로 나눌수있다라

수학적 귀납법에서 질문요.

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