1-2. 공부를 하지 않던 학생이 문제집을 한두 권 푸는 것은 도움이 될 수도 있습니다. 하지만 내신/수능에서 안정적인 1등급 또는 만점을 목표로 공부하는 상위권 학생이 '무엇을', '어떻게', '왜' 하는지도 모른 채로 단지 많이 푸는 것(양치기!)은 그다지 도움이 되지 않을 것입니다.

그럼에도 불구하고 대부분의 학생들이 양치기를 하는 이유는 무엇일까요? 이것을 이해하려면 양치기의 기본 전제가 무엇인지 알아야 합니다.

1-3. 양치기는

한 번도 풀어보지 않은 문제는 시험에서 풀 수 없다.

는 불안함에서 시작됩니다.

'무엇을', '어떻게', '왜' 하는지 모른 채로 문제만 푼다면, 풀어보지 않은 문제는 풀지 못할 가능성이 높습니다. 그런데 내신/수능에서 1등급 혹은 만점이 목표인 학생이 풀어보지 않은 문제를 풀 수 없다면 어떨까요? 아마도 불안할 것입니다.

이 불안함을 해소하기 위해 시험에 나올 가능성이 있는 문제를 가능한 많이 푸는 것입니다. 유한한 시간 내에 가능한 많은 문제를 풀어야 하는데, 한 문제 한 문제 깊이 있게 고민해 보는 것이 가능할까요? 아마 어려울 것입니다. 때문에 '무엇을', '어떻게', '왜' 하는지 모른 채로 문제만 많이 풀게 되는 것입니다.

요약하면 다음과 같습니다.

(1) '무엇을', '어떻게', '왜' 하는지 모른 채로 문제만 푼다.

(2) 안 풀어본 문제는 풀 수 없기 때문에 불안하다.

(3) 유한한 시간 내에 가능한 많은 문제를 풀어야 하기 '무엇을', '어떻게', '왜' 하는지 신경 쓰지 못한 채로 문제만 푼다.

[양치기의 역설 1] '무엇을', '어떻게', '왜' 하는지 모른 채로 문제만 푼 것이 불안함의 원인임에도 불구하고 '무엇을', '어떻게', '왜' 하는지 모른 채로 계속해서 문제만 푼다.

2-1. 세상에 존재하는 모든 문제를 다 풀면 내신/수능에서 안정적인 1등급 또는 만점이 가능할까요?

: 풀어보지 않은 문제를 풀 수 없는 것이 문제라면, 세상에 존재하는 모든 문제를 풀면 되지 않을까요? 이 질문에 대한 답이 'Yes'가 되려면 다음의 두 가지 전제를 필요로 합니다.

[전제 1] 더 이상 새로운 문제는 없다.

[전제 2] 풀어본 문제는 모두 풀 수 있다.

하루가 멀다 하고 신유형, 사설 모의고사 및 새로운 문제집이 쏟아지는 세상에서 [전제 1]은 참이라 보기 어려울 것이고, [전제 2]는 학습 능력이 탁월한 극소수의 학생들만 가능할 것 같습니다. 대부분의 학생들은 2개월 전에 풀어본 문제도 "배운지 오래돼서 까먹었다!"라고 말하는 것이 현실입니다. 때문에 거의 대부분의 학생들의 경우, 양치기로 내신/수능에서 안정적인 1등급 또는 만점은 어려울 것입니다.

양치기를 하는 입장에서는 새로운 문제가 출제되지 않길 바랄 것입니다. 그런데 왜 자꾸 새로운 문제가 시험에 출제되는 걸까요? 이를 이해하려면 입시의 본질을 알아야 합니다.

2-2. 그렇다면 입시의 본질은 무엇일까요?

: 대학 입학을 목표로 공부하는 것이라면 대학 입장에서의 입시의 본질은

 우수한 학생 선발하는 것

입니다. 전형을 다양화하는 것도, 전형을 해마다 수정&보완하는 것도 조금이라도 더 우수한 학생을 선발하기 위함일 것입니다. 평가원 입장에서도 수능 출제할 때, 이를 통해 우수한 학생과 아닌 학생이 변별되도록 하는 것이 유일한 목표일 것입니다.

2-3. 그렇다면 어떤 학생이 우수한 학생일까요?

대학 또는 평가원에서 '무엇을', '어떻게', '왜' 하는지도 모른 채로 문제만 많이 푼 학생을 우수하다고 생각할까요? 아마 아닐 것입니다. 풀어보지 않은 문제는 풀 수 없다고 하는 학생을 우수한 학생이라고 할 리가 없습니다.

배운 것에 근거해서 논리적, 체계적, 분석적 사고를 할 수 있는 학생, 이를 통해 합리적인 의사결정을 할 수 있는 학생들을 우수하다고 생각할 것입니다. 때문에 '무엇을', '어떻게', '왜' 하는지도 모른 채로 문제만 많이 푼 학생은 컨디션이 좋아도 풀기 어렵지만, 배운 것에 근거해서 논리적, 체계적, 분석적 사고를 할 수 있는 학생, 이를 통해 합리적인 의사결정을 할 수 있는 학생이라면 컨디션이 나쁜 날에도 풀 수 있을만한 문제를 출제할 것입니다.

이미 존재하고 있는 문제를 그대로 출제한다면 "무엇을", "어떻게", "왜" 하는지도 모른 채로 문제만 많이 푼 학생들이 합격할 가능성이 높아질 것입니다. 때문에 대학이나 평가원에서는

중요한 것을 생소한 형태로 출제!

하려고 할 것입니다. 이것이 (양치기로 아무리 많은 문제를 풀었다 하더라도) 시험에서 생소한 형태의 고난도 문제를 맞닥뜨릴 수밖에 없는 이유입니다.

[양치기의 역설 2] 아무리 많은 문제를 풀었다고 하더라도 시험에서는 생소한 형태의 고난도 문제를 맞닥뜨릴 수밖에 없기 때문에, 양치기를 통해 안정적인 1등급 혹은 만점을 받는 것은 불가능에 가깝다.

3-1. 그렇다면 어떻게 공부해야 할까요?

하나를 배우면 열을 안다.

내신/수능에서 안정적인 1등급 또는 만점이 목표라면, 하나를 배우면 열을 알도록 공부해야 합니다. 이를 위해선 쉬운 문제에서부터 '무엇을', '어떻게', '왜' 하는지 이해하기 위해 노력해야 합니다. 이러한 노력이 쌓이면 고등수학 전체를 관통하는 핵심 개념과 핵심 아이디어가 무엇인지 알 수 있게 됩니다.

고등수학 전체를 관통하는 핵심적인 개념 및 아이디어

에 초점을 맞추고 공부해야 합니다. 구체적인 예를 들어볼까요?

3-2. 공통수학(고1)에서 다루는 대상은 다항식뿐이라 해도 과언이 아닙니다. 다항식이란 무엇인가요?

다항식은 문자와 숫자의 유한 번의 합과 곱으로만 나타낼 수 있는 식이다.

이때, 문자가 1개인 1차식에 대한 문제가 고난도 문제일 수 있을까요? 당연히 아닐 것입니다.

그렇다면 공통수학에서 고난도 문제란 어떤 문제일까요? 문자 수가 많거나 차수고 높은 식을 포함한 문제일 것입니다. 따라서 공통수학에서 고난도 문제를 만나면

1. 문자 수가 많아서 어려운가?

2. 차수가 높아서 어려운가?

와 같이 질문하고, 배운 것 중에 문자 수를 줄이는 도구 또는 차수를 낮추는 도구에 초점을 맞추고 생각하면 됩니다. 이것이 공통수학 전체를 관통하는 핵심 개념이자 아이디어 중 하나입니다.

ex) 이차방정식은 차수를 낮추어 일차방정식으로 만든다. 삼사차방정식은 차수를 낮추어 일이차 방정식으로 만든다.

ex) 일차연립방정식은 문자 수를 줄여서 문자가 1개인 방정식으로 만든다. 이차연립방정식은 차수를 낮추어 일차연립방정식으로 만들거나, 문자 수를 줄여서 문자가 1개인 방정식으로 만든다.

예제를 살펴볼까요?

위 문제의 경우, 중상위권 이상이라면 곱셈공식의 변형을 이용해서 무난하게 해결합니다. 하지만 이와 같은 문제를

곱셈공식의 변형을 이용해서 푼다.

와 같이 유형화해서 암기하듯 공부해서 푼다면 아래의 예제(신성고 기출)는 시험이라는 긴장된 상황 속에서 제대로 풀지 못할 가능성이 높습니다.

그럼 어떻게 공부해야 할까요?

: 3차 이상은 고차이므로 차수를 낮추는 도구에 초점을 맞추고 생각해야 합니다. 구체적인 풀이는 다음과 같습니다.

이와 같이 쉬운 문제에서부터 핵심 개념 및 아이디어(문자 수를 줄이거나 차수를 낮추는 것 포함!)에 초점을 맞추고, 배운 것에 근거해서 여러 가지 방법으로 풀어본 학생이라면 다음 예제(신성고 기출) 또한 쉽게 해결할 가능성이 높습니다. 정말 그런지, 다음 예제를 함께 살펴볼까요?

3-3. 문자 수를 줄이거나 차수를 낮추는 것은 공통수학에 국한된 아이디어일까요?

: 대수(수학I)와 미적(수학II) 뿐 아니라 확통에도 문자를 포함한 식이 거의 대부분일 뿐 아니라, 문자가 여러 개인 식보다는 문자가 1개인 식이 쉬울 가능성이 매우 높습니다. 차수가 높은 식보다 차수가 낮은 식이 쉬울 가능성이 높은 것도 당연하겠죠?

뿐만 아니라, 이 아이디어를 조금 일반화하면 면 다음과 같습니다.

1. 밑이 서로 다른 지수(또는 로그)가 여러 개 있으면? 밑을 서로 같게 한다!

2. 지수와 로그가 섞여 있다면? 지수 또는 로그 중 하나로 통일한다!

3. sinx, sin(2x)와 같이 각의 크기가 서로 다른 삼각함수가 섞여 있다면? 각을 같게 한다!

4. sinx, cosx, tanx와 같이 서로 다른 종류의 삼각함수가 섞여 있다면? 하나로 통일한다!

따라서 밑을 같게 하는 도구, 지수를 로그로 바꾸는 도구, 로그를 지수로 바꾸는 도구, 삼각함수의 각을 같게 하는 도구, 삼각함수의 종류를 같게 하는 도구 등에 초점을 맞추고 공부해야 합니다.

쉬운 문제에서부터 '무엇을', '어떻게', '왜' 하는지 신경 써서 공부하면, 고등수학 전체를 관통하는 핵심 개념과 핵심 아이디어가 무엇인지 알 수 있게 됩니다. 여기에 초점을 맞추고 공부한다면, 하나를 배우면 열을 알게 될 것입니다. 그러면 풀어보지 않은 문제도 쉽게 풀 수 있겠죠?

대학이나 평가원의 목표는 우수한 학생을 선별, 선발하는 것입니다. 따라서 핵심적인 개념이나 아이디어를 생소한 형태로 출제할 가능성이 높습니다. 이때, 양치기로 공부한 학생들, 풀어보지 않은 문제는 풀 수 없는 학생들이라면 치열하게 공부했음에도 시험에서 점수가 들쭉날쭉하거나, 노력 대비 나쁜 결과를 얻게 될 가능성이 높습니다. 반면, 핵심 개념과 아이디어에 초점을 맞추고, 하나를 배우면 열을 알도록 공부한 학생들, 풀어보지 않은 문제도 차근차근 분석해서 늘 풀던 문제처럼 풀어낼 수 있는 학생들은 안정적인 1등급 또는 만점도 어렵지 않을 것입니다.

어떻게 공부하시겠습니까? 이것은 여러분의 선택 문제입니다.

다음은 효과적인 공부 방법(고등수학 전체를 관통하는 핵심 개념과 아이디어)에 대한 포스팅 링크입니다.