-수II, [미소변화율을 논함 2]
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*좋아요와 팔로우는 필자에게 큰 동기부여가 됩니다 :D
바로 문제부터 보시겠습니다, 다음 문항을 보고 떠오르는 풀이의 방향성을 정해봅시다!
*다 해결하셔도 좋고, 풀이 방향성만 마음속으로 정하셔도 충분합니다!
아래 문항은 23.06 20번입니다
다 정하셨나요?
제가 문제를 처음에 보고 든 생각을 그대로 적자면
"문제가 짧네요? 절댓값이 껴 있는데 설마 붕 떠 있겠어요..? ->(중간/마지막에 검토할 때만 체크) 피적분함수는 그릴 수 있다면 그려보는게 좋으니 그려봅니다 -> 이건 구간 움직여 미소변화율 관찰하는게 가장 좋겠군요."
23.06.20에서 그냥 g(x)를 미분하고 "뭐야 허접 허접이네?" 하고 곧바로 아래 dA=dB인 상황을 찾을 수 있었지만, 직접 구간을 움직이며 관찰한다면 극대/극소가 햇갈리지 않을 뿐더러 g(x)전체의 개형을 대강 추론할 수 있는 등 장점이 많기에 저는 "피적분함수는 그릴 수 있다면 그려본다"라는 자세를 중요시하는 편 입니다.
첫번째 접근법이 아마 출제자가 의도한 풀이가 아닐까 추측됩니다 EBS의 본 문제의 공식 해설은 다음과 같습니다.
역시 계산은 좀 많지만, 흠잡을 곳 없는 자명한 풀이입니다.
그치만 저희에게는 이전에 학습한 미소변화율 개념이 있고, 이를 이용한다면 단축할 수 있겠다는 생각이 드네요.
*못 보신 분들을 위한 1편 링크입니다
-수II, [미소변화율을 논함] : https://orbi.kr/00066494675
|f(x)|를 구간 [x,x+1]에서 적분한 함수가 g(x)이니
다시 20번 문제에서 x값을 조금씩 키워가며 관찰하겠습니다.
이 행동의 핵심은 다음과 같습니다.
넓이의 왼쪽 부분을 A 오른쪽 부분을 B라 하겠습니다.
적분구간 [x,x+1]을 진짜 엄청 미세하게 오른쪽으로 움직임에 따라 A부분의 넓이는 파란 형광펜만큼 줄고, B부분의 넓이는 빨간 형광펜만큼 늘어납니다. *파란 형광펜 부분을 dA, 빨간 형광펜 부분을 dB라 하겠습니다.
구간이 오른쪽으로 이동한다고 할 때, 사진에서 더 움직여도 여전히 감소하는 넓이 dA가 증가하는 넓이 dB보다 크기에 총 넓이함수는 감소할 것 입니다.
언제가 넓이함수의 증감이 바뀌는 지점일까요?
dA>dB일땐 쭉 감소하다가 dA=dB를 거쳐 dA<dB면 증가하겠군요.
즉 넓이함수의 첫번째 극소는 dA=dB일 때겠군요.
같은 논리로 두 번째 극소가 dA=dB일 때 생기며
두 극소 사이 접혀 올려진 부분을 관찰하면, dA=dB일때 극대가 나옴을 같은 논리로 추론할 수 있습니다. + (사족) 이로 대강의 g(x)의 개형도 그려낼 수 있습니다
(TMI) 실제로 그린 g(x)의 개형(A의 자취)
dA와 dB는 세로가 함숫값인 미세한 직사각형인데 가로는 함께 같은 속도로 움직이니 같다고 하면 세로 함숫값이 같은 부분이겠군요.
f(x)=2(x-3)^2+h로 식을 세팅하고, f(1)= - f(2)를 이용하면 함수를 쉽게 구할 수 있습니다.
Solution)
(저는 진짜 23 수능에 나올 줄 알았는데 말이죠..)
이전 글에 언급한 것 처럼 문항에 따라 미소변화량의 생김새가 다름을 알 수 있고, 일괄적으로 직선이다! 직사각형이다! 이러면 안되고 직접 움직이며 상황에 맞게 관찰하는게 좋습니다.
긴 글 읽어주셔서 정말 감사합니다! :D
반응이 좋으면 공간 버젼의 미소변화율+ 수I 테마 칼럼 등으로 다시 찾아뵙겠습니다!
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Desmos에서는 인테그랄 x x+1 g(t) dt하면 되던데 아마 지오지브라에서도 될거같아요 g(t)해서 안되면 식 그대로 넣으면 돼요
어디가 잘못된거죠..? ㅠㅠ
저는 보통 이렇게 그려요
f(1) = -f(2), f(4) = -f(5)까지 해놓고 x=3에서 대칭이라는건 생각못한 나란 바보...
누추한 곳에 귀하신 분이 1
누추한 곳에 귀하신 분이 2
오 한반 그 논리를 떠올리니까 바로 적용되네요캬..!! 배우신 걸 바로 적용하셨다니 멋있어요 선생님! 제가 도움이 되었으면 좋겠군요
처음에는 잘 이해가 가지 않았지만, 다시 보니 이해된 것 같아요 다시 읽어보면서 활용하겠습니다 감사합니다 수1 칼럼도 기대하고 있을게요!
도움이 되었다니 저야말로 감사드려요!센세 질문있습니다 미소변화율 1 편 2 편 다봤는데요, 둘다 da=db 인 지점이지만 2편의 경우에는 길이가 같을때였고, 1편일때는 1:루트2 지점이었잖아요, 어떨때 루트로보고 어떨때 그대로 가는지 구분은 어떻게하나용
그게 문제마다 상황마다 다르기에, 직접 조금씩 움직이면서 넓이가 변하는 양상을 추론해야합니다!
그렇게 추상적이거나 어렵지 않으므로 관련 문제를 풀다 보면 느낌이 오실거에요!
팁이라면, 움직일때 고정점/특이점이 있나, 변화 기준축을 동일하게 고정할 수 있나? 등이 있어요
미소변화율 1편은 극좌표 적분, 2편은 직교좌표계 적분이기 때문에 그렇습니다.
즉 1편에서는 dS=1/2 r^2 dθ 인 것이고, 2편에서는 dS=|f(x)|dx 이기 때문입니다.
1편에서는 부채꼴의 넓이를 구하듯이 적분해야 하고, 2편에서는 우리가 아는 직교좌표계 적분으로 하시면 됩니다.
진한 검은줄까진 알겠는데 이후 f의식은 어떻게 세운건가요?
최고차항이 2차함수이고, Solution에서 처럼 이차함수의 대칭성을 이용해 x=3에서 꼭짓점을 가짐을 이용했어요! (제가 이미지를 너무 뒤에 넣었군요 ㅠ) 죄송합니다
이차함수의 대칭성이라면 최소 높이 같은점 2개를 알아야하지 않나요?
조건에 x, x+1로 크기가 1인 적분구간이 있어요!
그러니까 dA=dB인곳의 x좌표를 각각 알면 될것같은데 그걸 어떻게 한건지 궁금히ㅢ싀
문제에 극소 조건이 있어요 :)
X=1,4 에서 극소이며 ~ 로요
여기에 구간 크기 1을 이용하면 선생님이 말씀하신 동일 높이 점 2개를 구할 수 있어요!
아 인테그랄 의 x에 1,4를 각각 넣어서 0이 되면 되는건가요?
왜 0이 나오는 지 설명해주실 수 있으실까요..?g'(x) 말씀하시는건가요?
아 네 근데 잘못 생각한듯요
이것으로 동일 높이인 x좌표를 어떻게 구하죠?
댓글이 더 안달려서 쪽지로 부탁드릴게요 :D
그리고 이 절댓값f는 무조건 양수니 더해지는 값이 양수인데 극소가 어케 나올지 상상이 안가긴하네요
절댓값이 무조건 양수이니 더해지는 값이 양수라는 말은 극소와 전혀 관계가 없습니다.
절댓값이 무조건 양수라는 말의 결론은 |f(x)|를 적분한 g(x)가 양수라는 것만 알려줄 뿐,
극대와 극소와는 전혀 무관합니다.
반에서 음함수 미분법 문제 비표준 해석학 이용해서 푸는 애도 있던데...저는 이 글 내용 정도밖에 못 하겠더라고요
확실히 아는 만큼 보이나 봐요
수학 초고수시군요..!전 아직 배울 점이 많은 허접이라 비표준?해석학은 이름도 처음듣네요
초실수체를 쓰는 미적분이라고 들었던 것 같아요! 군환체나 초실수체 기초 개념만 알아서 저도 정확한 건 그냥 공부해 보고 싶다고 미뤄 놨었는데...
그냥 저렇게 미소변화량으로 dx dy 이렇게 두고 풀긴 하던데 저도 잘 몰라요 ㅠㅠ
쪽지로 했어요
해결했습니다 :)
머싯어용
저야말로 도움이 되었다면 기뻐요 :)
이거 미적분에서 쓰는 거였나
미적에서도 쓸 수 있어요!
이런거 머릿속에서 대충 이게 넓어지는 속도보다 저쪽이~하면서 풀던건데 식으로 정리하시다니 ㄷㄷ대단하십니다
아직 많이 부족한 반실수입니다항상 잘 보고있어용
응원 감사드려요 선생님!미적분 뉴런하는중에 발견했는데, 2019학년도 사관학교 기출문제에 이 주제가 그대로 쓰였더군요 이 칼럼 인상깊게 봐서 보자마자 쓱쓱 풀었네요
저야말로 도움이 되었다면 기뻐요나름 가형 30번 문제인데 글을 너무 잘쓰셔서 순식간에 풀어버렸네요
에이 선생님이 잘하시는거에요 :)글 칭찬 받아서 기분이 좋네요 감사드려요!!
약쌤 이거 제대로 보고 싶어서 강의까지 찾아들었는데 델타h(높이변화율)가 삼각비나 수직일땐 찾기 쉬운데 무슨 저기출에선 도함수가 델타h고 t축을 지나가는 x길이가 밑변이라 그냥 너무 어지러운데 3편 써주시면안되나요 진짜 너무어려워요 하아이
작성 후 빠른 시일 내 업로드 해보겠습니다 :)도쿄공대 본고사 문제와 상당히 유사하군요!
대대대
요거180330이에요
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