210930(가)를 풀어보자
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이 문제는 솔직히 말해서... 쉽습니다.
일단 두 곡선을 그려 봅시다.
주어진 부등식이 성립하려면, 그림과 같이 직선 y=ax+b가 두 곡선 사이에 있어야 합니다.
늘 그랬듯이, 접하는 경우를 생각해 봅시다.
일단 아래에 있는 곡선에 접하는 경우를 봅시다.
접점의 x좌표를 t라고 하면, 접선의 방정식은...
여기서 a, b의 값은 각각
ab의 값을 t에 대하여 미분하면
여기서 ab의 값은 t=-1/2까지는 감소하다가 그 이후로는 증가한다고 추론할 수 있습니다.
그렇다면, t=-1/2인 경우 접선이 어떻게 나올까요? 이때 접선을 구하면...
여기에다가 x=2를 대입하고, y=e^(x-2)에도 x=2를 대입해 봅시다. 그러면 주어진 부등식을 만족하지 못한다는 걸 알 수 있습니다.
그래서, ab가 최소인 경우는 주어진 곡선이 두 직선에 동시에 접하는 경우입니다.
위에 있는 곡선에 접하는 직선의 방정식을 구하면...(여기서는 t가 아닌 다른 문자를 사용합니다.)
두 접선이 서로 일치해야 하므로 s-2=-t+1, -s+1=-t-1이 성립해야 합니다. 연립하여 구하면 s=5/2, t=1/2이고, 이때 주어진 접선의 방정식과 ab의 값은...
여기서 ab의 최솟값이 나왔으니, 이제 최댓값을 구할 차례입니다.
이번에는 위에 있는 곡선과 접하는 경우를 봅시다. 접선의 방정식을 위에서 구했죠? a, b의 값은...
ab의 값을 s에 대하여 미분하면
이고, s=1/2일 때 ab의 값이 최대입니다.
이때 ab의 값을 구하면...
이제 답을 도출할 수 있습니다.
따라서 p+q=43입니다.
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