수학 질문좀요

Question

X>0, Y>0이고 X+Y=2일 때, 1/X+4/Y의 최소값을 구하는 문제인데요.

저는 저 식에서 바로 산술평균≥기하평균을 썼어요. 그럼 1/X=4/Y일 때, 즉 Y=4X일 때 최소값을 갖게 되는 거잖아요. 근데 답이 틀렸어요.

답지를 보니 X+Y=2이므로 1/X+4/Y=2/2(1/X+4/Y)=(X+Y)/2(1/X+4/Y)=(1/2)(5+4X/Y+Y/X)이 되고, 여기서 산술평균≥기하평균을 썼더라구요.

1/X+4/Y을 X에 대한 식으로 바꾸고 미분을 이용해 최소값을 구했을 때도 답지와 같은 답이 나왔습니다. 제 풀이(산술평균≥기하평균 사용)에 어떤 점이 잘못된 거죠?

kevin38 · Accepted Answer

X Y 둘다 변수인데 1/X랑 4/Y가 꼭 같아야 되지는 않는듯

r.e.m · Answer

산술기하식에서는 최솟값일지는몰라도
진짜 최솟값은 아닌듯..
전 두식 곱해서 산술기하 쓰라고 배웠네요..

∬이중적분 · Answer

바로 산술기하평균부등식을 쓰게 되면, 1/X+4/Y≥4sqrt(1/XY)가 되겠죠? X+Y=2를 이용해 식을 고치면 1/X+4/(2-X)≥4sqrt(1/X(2-X))가 되고요. 하지만 Y=4X일 때 본 식이 최솟값을 갖는 것이 아니라 "등호"가 성립하는 것입니다. (작성자님은 미분을 알지만) 미분을 모른다고 가정해봅시다. 그러면 부등식에 있는 두 식이 같이 증가할지 감소할지 어떻게 알겠습니까?

∬이중적분 · Answer

예시를 들면, 다음과 같습니다.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2B1%2Fx%5E2%3E2sqrt%281%2Fx%29

x>0일 때 x+1/x^2의 최솟값을 구해봅시다. 이때 산술기하평균부등식을 쓰면 x+1/x^2>=2sqrt(1/x)가 나오고, 등호는 x=1일 때 성립하는 것을 알 수 있습니다. 하지만 실제로 x+1/x^2의 최솟값은 x=(2의 세제곱근 중 양수)일 때 나옵니다.

∬이중적분 · Answer

다른 예를 들어 x>0일 때 x+1/x의 최솟값을 구하라고 할 때, 산술기하 평균 부등식을 이용하여 x=1일 때 최솟값이 2가 됨을 알 수 있습니다. 산술기하 평균 부등식에서 x+1/x>=2가 되는데, 등호는 x=1일 때 성립합니다. 즉, x>0이고 x가 1이 아닐 때, x+1/x>2입니다. 따라서 x=1일 때  x+1/x의 최솟값이 2라고 할 수 있는 것입니다.

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