함수의 연속 질문드립니다!!

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열린구간에서 함수의 연속일 경우 그 끝점(경계점이라고 하기에도 모호한)

에서의 연속성을 어떻게 확인해주어야하나요??

(그냥 구간내에서 이어져있으면 연속입니다 라는답변을 바라고

질문드리는것이아니고 왜 연속인가에대해 질문드립니다ㅠ)

닫힌구간에서는 경계점에서의 연속성을 특별하게 약속하여 연속성확인을 하는데

열린구간에서는 그냥 아무런 확인방법이 없는것같습니다

+
수능을 치루게 될 수험생으로써

오직 고등학교 교과과정 교과서를 바탕으로 사고하는학생은

어떻게 이러한내용을 받아들여야하는지에대해도 설명해주시면

정말 감사하겠습니다^^

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jr.iverson [350522]

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언어가배신 · 352064 · 12/08/22 10:55 · MS 2010

일반적으로 구간연속이라는것은 폐구간ab에서 그래프가 연속이면 그래프 f는 구간 ab에서 연속이다라고 말하는거고 개구간에서 양끝점은 연속성을논의 할수 없습시다 만약 그 주변값에서의 연속이라고 물어보신다면 전제에서 개구간 ab에서 연속인 함수라고 그랬으므로 연속임은 자명하고요
만약 교과과정을 이용해서 증명한다면 limf(a+h)h는 +○ 의 값은 fa로존재하지만 fa는 정의되지않는값이므로 정의 할수없습니다

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jr.iverson · 350522 · 12/08/22 12:22 · MS 2010

답변해주셔서 정말감사합니다^^

'전제가 연속이기때문에 연속이다'라는 말이신가요??(음,,,제가 뭔가 질문을 잘못한것같네요ㅠ)

제가 말하고자 했던바는

전제가 주어져있지않을경우 우리가 알고있는 개구간에서 연속인 그래프가 왜 연속인가에대해

물어본것이었습니다(당연히 이렇게 받아들이시줄알았는데 ㅠㅠ

이말도 오해의 소지가 있을것같아서 첨언하자면

왜 우리가 그러한 개구간의 그래프를 연속이라고 생각해주느냐에 대한 물음이었던것이죠)

만약 이러하다면 어떠한지 다시 묻고싶습니다

그리고 죄송하지만 교과과정을 이용해서 증명하신부분을 좀더 명확하게 설명해주실수있으신가요??

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sos440 · 104180 · 12/08/22 12:54 · MS 2005

아니요, 열린구간에서의 연속성을 체크할 경우 끝 점은 전혀 고려대상이 아닙니다. 예를 들어 함수

f(x) = 1/x(1-x)

는 열린구간 (0, 1)에서 연속입니다. 아, 참고로 함수 f(x)가 구간 I 위에서 연속이라는 것은, I 위의 임의의 점에서 f(x)가 연속인 것으로 정의됩니다.

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jr.iverson · 350522 · 12/08/22 13:07 · MS 2010

sos440님 정말 감사드립니다^^(저번에도 친절히 답변해주시고ㅠ)

'함수 f(x)가 구간 I 위에서 연속이라는 것은, I 위의 임의의 점에서 f(x)가 연속인 것으로 정의됩니다'

라고하셨는데

임의의점에 끝점이 포함되지는 않나요?

끝점은 왜 전혀 고려대상이 아닌걸까요??ㅠㅠ

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sos440 · 104180 · 12/08/22 13:21 · MS 2005

함수 f를 어떤 구간 위에서 살펴보겠다는 이야기는, 사실 함수 f의 정의역을 그 구간으로 제한한 다음 그렇게 얻어진 새로운 함수를 살펴보겠다는 것과 같은 의미입니다.

그러므로 이번 경우에도 함수 f를 처음부터 열린구간 (a, b) 위에서 정의되었다고 생각합시다.

그러면 함수 f가 노는 세상은 오직 (a, b) 위이며, 그 바깥은 전혀 관심사가 아닙니다. 심지어 함수 f는 그 바깥이 있는지도 모르는 상태이지요.

그러면 오히려 (a, b)의 끝점에서 연속성을 체크한다는 아이디어 자체가 굉장히 낮설어집니다. f가 값을 가지지도 않는 미지의 영역에서 함수의 연속성을 논하는 게 의미가 있을까요?

구간 위에서 살펴보겠다는 의미는 이러한 뜻을 담고 있습니다.

그리고 사실 극단적인 예로, 실수 전체도 사실은 (-∞, ∞)인 열린구간입니다. (고등학교에서 이러한 관점을 직접 소개하는지는 기억이 잘 나진 않습니다만…)

따라서 만약 열린구간에서 정의된 함수의 연속성을 따지기 위해 그 열린구간을 벗어나야만 한다면, 우리는 실수 전체에서 정의된 연속함수의 연속성을 따지기 위해 lim_{x→∞} f(x) 와 lim_{x→-∞} f(x) 의 존재성도 체크해야만 하는 사태가 벌어집니다.

그리고 그렇게 되면 우리가 알던 수많은 연속함수들 - 일차 이상의 다항함수, 지수로그함수 등등 - 이 모두 연속이 아니게 되어버립니다!

이로부터 끝점을 고려하는 것이 얼마나 어색한 일인지 알 수 있지요.

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jr.iverson · 350522 · 12/08/22 13:29 · MS 2010

아... 정말 죄송합니다

뭔가 오해가 있었던것 같네요

제가말한 끝점이라하믄 예를들어(a,b)에서

(a,b)구간내에서 a+0,b-0(이렇게 표현하기 이상하네요;;)
과 같은 점입니다.

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sos440 · 104180 · 12/08/22 14:09 · MS 2005

어떤 개념을 이야기하시는지 잘은 모르겠네요.

lim_{x→a+0} f(x) 나 lim_{x→b-0} f(x) 이라는 극한이 수렴하는가도 체크해야 하는가 하는 질문인가요? 그렇다면 이 질문에 대한 대답은 제 첫번째 답변의 예제에서 찾으실 수 있을 것 같네요.

그리고, 일단 실수 속에는 0 자신을 제외한 어떠한 무한소도 존재하지 않기 때문에, a+0 = a 이고 b-0 = b 입니다.

우리가 편의상 a+0 같은 표현을 쓰긴 하지만, 이는 어디까지나 극한 내에서 극한의 행동 자체를 나타내는 형식적인 표현일 뿐, 수 자신이 아닙니다.

(무한소를 수로써 다루려면 실수를 벗어나 훨씬 더 거대한 수 체계인 hyperreal number나 surreal number로 넘어가야 합니다. 그리고 이는 명백히 고등학교 과정은 아니지요.)

따라서 (a, b)에 속한 임의의 점들은 항상 a, b와 양수 거리만큼 떨어져 있습니다. 아마 0을 무한소로 생각하신 것이라면, 제 대답은 '그런 점은 (a, b) 내에 존재하지 않는다' 라고 말씀드리는 게 옳겠네요.

만약 위에서 언급한 게 아니라 또 다른 의미시라면, 좀 더 자세하게 알려주시면 좋겠습니다. 'ㅁ'

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