수학문제 풀어주세요

Question

x⁴-2x²y+2y²-10=0  이라는 식이 있을때1. x의 최댓값과 최솟값을 각각 구하기.2. y의 최댓값과 최솟값을 각각 구하기.---------------------------------------------삼각형ABC가 있는데 ∠A=30 ∠B=125 ∠C=25   AB=2√2 (2루트2)∠A의 이등분선과 변BC가 만나는 점을 MB에서 직선AM에 내린 수선의 발을 HBH를 연장했을때 변AC와 만나는점을 DD에서 변BC에 내린 수선의 발을 E라 할때선분ME의 길이는?

sos440 · Accepted Answer

2번은 풀고싶지 않으므로 1번만 풀어보겠습니다. 주어진 식을 x² 에 대한 이차방정식으로 생각하면, 주어진 식의 두 근은

x²  =  y ± √(10 - y²)

이 됩니다. 여기까지는 단순히 방정식을 조작한 것에 불과하므로, x와 y에 대한 어떠한 조건도 변하지 않았습니다.

이제 위 식을 만족하는 경우를 나누어봅시다. 편의를 위하여, z = x² (≥ 0) 으로 치환한 후, 기하학적은 고찰을 통하여 주어진 식을 만족시키는 x와 y의 범위를 찾아봅시다.



1. 우선 z = y + √(10 - y²) 의 그래프를 생각합시다. 이 함수의 그래프는 z = √(10 - y²) 의 그래프를 z = y 라는 기울어진 직선 위에 비틀어 올린 그래프가 됩니다. 그런데 z = x² ≥ 0 이므로, 특히 그 중에서도 z ≥ 0 인 부분만을 취하여야 합니다. 그러면

(1) y에 대한 함수 y + √(10 - y²) 가 정의되는 영역은 -√10 ≤ y √10 입니다.
(2) z ≥ 0 이라는 조건으로부터, y + √(10 - y²) ≥ 0 이어야 합니다. 이때 준식이 0이 되는 지점을 구해보면 y = -√5 가 됩니다. 따라서 그래프로부터, z ≥ 0 이려면 -√5 ≤ y ≤ √10 이어야 함을 알 수 있습니다.

이제 z의 최대값을 찾기 위해 식을 조작해봅시다. 그냥 풀면 쉽지 않으므로, z를 제곱해봅시다. 그러면 z² = 10 + 2y√(10 - y²) 이 됩니다.

이때 y < 0 이면 z² < 10 이며, y ≥ 0 이면 z² ≥ 10 입니다. 그러므로 z² 의 최대값은 y ≥ 0 인 범위에서 이루어집니다. 따라서 0 ≤ y ≤ √10 일 때, 산술기하 부등식으로부터

z² = 10 + 2y√(10 - y²) ≤ 10 + y² + (10 - y²) = 20

이고, 등호가 성립할 필요충분조건은 y² = 10 - y², 즉 y = √5 인 것입니다. 이 y의 값은 앞에서 이야기한 범위에 포함되므로, z² 의 최대값은 20이 됩니다. 그런데 z² = x^4 이므로, 이는 x의 범위가 정확하게 -(20)^(1/4) ≤ x ≤ (20)^(1/4) 임을 뜻합니다.



2. 다음으로 z = y - √(10 - y²) 에 대해서도 비슷한 논리를 전개해보면, 이 조건 하에서 x와 y의 범위를 구할 수 있으며, 특히 이 범위는 1번에서 구한 범위에 포함됨을 알 수 있습니다.




따라서 정답은

x의 최대값 : (20)^(1/4)
x의 최소값 : -(20)^(1/4)
y의 최대값 : 10^(1/2)
y의 최소값 : -5^(1/2)

입니다.

p.s. 주어진 방정식의 자취는

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4+-+2+x%5E2+y+%2B+2+y%5E2+-+10+%3D+0

에서 확인하실 수 있습니다.

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