수학고수님들 질문 좀! 미분~~
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f(x)의 x=t 에서의 좌미분계수와
y=f'(x)의 x->t-0 의 극한값은 같은건가요?
---------------------------------------------
질문 하나 더 추가합니다.
f(x)가 x<t 일 때, g(x)이고, x≥t 일 때, h(x) 라고 정의 될 때, 미분가능성을 조사하는 문제에서,
보통 '미분가능'의 정의에 따라 f(x)의 좌미분계수와 우미분계수를 비교하잖아요.
과정을 좀 적어보자면
lim_{x→-0} [{ f(t+h) - f(t) } / h ] = lim_{x→+0} [{ f(t+h) - f(t) } / h ]
lim_{x→-0} [{ g(t+h) - g(t) } / h ] = lim_{x→+0} [{ h(t+h) - h(t) } / h ]
( f(x)가 x=t 에서 연속이라고 전제되어있고, y=g(x)가 x=t 에서 연속이라고 가정하여, f(t) = h(t) = lim_{x→t-0} (g(x)) = g(t) 를 이용 )
따라서, g(x)의 좌미분계수와 h(x)의 우미분계수를 비교해서 미분가능성을 조사하는데,
만약 y=g(x)가 x=t 에서 연속하지 않다면 어떻게 조사해야하나요?
f(x)가 x=t에서 연속하더라도 위의 식에서 f(t) = g(t) 라고 단정지을 수 없으니까 lim_{x→-0} [{ f(t+h) - f(t) } / h ] = lim_{x→-0} [{ g(t+h) - g(t) } / h ] 라고 할 수 없고,
만약 f(t) ≠ g(t) 인 경우, lim_{x→-0} [{ f(t+h) - f(t) } / h ] = lim_{x→-0} [{ g(t+h) - f(t) } / h ] 가 되어 분모는 0으로 수렴하지만 분자는 그렇지 않아 극한값이 존재하지 않을 수 있는데..
그렇다고해서 h(x)의 우미분계수만을 가지고 미분가능성을 따지는건 터무니없구요
이럴땐 그냥 f(t) = g(t) 를 전제하고 푸는 건가요? 어떻게 가능한건지, 제가 뭘 잘 못 알고 있는지 답변 부탁드려요ㅠㅠ
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후후
f(x)가 미분가능함수라면 같을거에요.
아닌가요?..
아 죄송해요 질문해놓고 보니까 다르네요...
너무 헷갈리는 개념이라 잠깐 헷갈린거였어요;ㅈㅅ
달라영
어떻게다른건가요??
미분가능한 함수라면 님말대로 같아요 ㅋㅋ
근데 두개는 명백히 구분해야되는 개념이죠..
어떻게 다른지 자세히좀 설명해주시겠어요?저도 궁금해서
해원님 x=t에서 미분가능한데, 그 함수의 도함수가 x=t에서 불연속인 함수가
수능에 나올 수도 있나요?
그게 아니라면 그냥 편의상 도함수의 극한값을 그 함수의 미분계수로 보고 풀어도 되는지?
그런 함수를 구별(?)하는 법이라도 있나요 f(x) = x^2sin(1/x) (x≠0), 0(x=0) 밖에 몰라서..
x = a 에서의 좌미분계수와 도함수의 좌극한은 분명 다르죠.
좌미분계수는 그 정의로부터 점 (a, f(a)) 를 수반합니다. 좌미분계수의 식에서 f(a) 가 나타나니까요.
만약 그래프에서 점 (a, f(a)) 가 존재하지 않는다면 (x = a 에서의 함수값이 존재하지 않는다면)
좌미분계수가 존재할 수 없습니다.
하지만 도함수의 좌극한은 점 (a, f(a)) 를 수반하지 않습니다.
예를 들어 x < 0 에서 f(x) = x^2 + 1 로 정의된 함수 f(x) 에 대해 도함수 f'(x) 의 x = 0 에서의 좌극한은 존재합니다.
굳이 점 (0, 1) 이 포함될 필요가 없습니다.
보통 좌미분계수와 도함수의 좌극한이 같다는 착각을 매끈한 그래프상에서 기하학적으로 생각하여 하게 되는데
좌미분계수와 도함수의 좌극한은 기하학적으로도 다릅니다.
x = a 에서의 좌미분계수는 점 (a, f(a)) 와 점 (a+ h, f(a+h)) (h<0) 을 이은 직선의 기울기가 h 가 0 으로
다가감에 따라 수렴하는 값입니다.
정점 (a, f(a)) 에 동점 (a+h, f(a+h)) 가 다가갈 때 '정점과 동점을 이은 직선' 을 생각하시면 됩니다.
x = a 에서 도함수의 좌극한은 동점 (a+h, f(a+h)) (h<0) 에서 그은 접선의 기울기가 h 가 0 으로
다가감에 따라 수렴하는 값입니다.
정점 (a, f(a)) (이 때 이 점은 굳이 존재할 필요는 없음) 에 동점 (a+h, f(a+h)) 가 다가갈 때
'동점에서 그은 접선' 을 생각하시면 됩니다.
동점이 정점으로 다가감에 따라 '정점과 동점을 이은 직선' 과 '동점에서 그은 접선' 이 변화하는 모양을 그려보면
이 둘은 약간 다른데, x ≠ 0 일 때 x^2sin(1/x), x = 0 일 때 0 으로 정의된 함수의 그래프에서 그 차이가 분명히 드러납니다.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2+sin%281%2Fx%29
감사합니다
동점에서 그은 접선이란 표현이 아주 좋네요ㅋㅋ
학생에게 이해시킬때 도움이 될거같아요
추가적으로 아래 질문도 답변해주시면 감사ㅠ