비슷한 질문을 다시 올립니다. 133g님과 응용통계13님 봐주세요
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이 두 명제는 거짓입니다.
사실 아까 그 명제는 참이라고 생각하는데, 제 풀이가 맞는 건지 궁금해서 올려본건데 풀이 써서 명쾌하게 풀어주실 분 없으신가요
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그리고 댓글에서 f(x)가 연속이든 불연속이든 상관 없다고 하셨는데, 만약 불연속인 경우 문제에서의 극한값은 정의될 수 있지만, f'(a)를 정의할 수 없게되므로 거짓입니다...
윗,밑명제둘다 참인거같은데 어째서 거짓이 되는것이죠?
증명해주실분 안계시나요?
아래 명제는 거짓이에요 f(x)가 a에서 미분불가능하더라도 주어진 극한식의 값 알파는 좌미분계수와 우미분계수의 중간값을 갖습니다 한마디로 첨점인 경우에도 (미분계수가 존재 하지 않더라도) 저 극한값이 존재할 수 있다는 말이죠
위 명제는 h가 제곱꼴이니까 우미분계수만을 고려했다는 점에서 미분계수가 될 수 없는거구요
두 경우 모두 반례로서 f(x)=|x|, a=0인 경우를 들 수 있습니다.
반례가 쉽게 나오네요..
그냥 평균변화율 극한이 항상 미분계수는 아니다라고 보면안되나요?
유사평균변화율의 극한이 미분계수가 되는 경우도 올려드릴까요?
항상 옳지 않으니깐 명제가 거짓이라는 뜻인데요..
평균변화율의 극한이라고 뭉뚱그려 나오는게 아니라 여러가지 형태로 나오니까 구분해서 알아두어야 해요
여러번 기출 됐으므로 소홀히 할 수 없는 부분이구요
a에서 미분가능할때만 참인걸로 알고있어요
a에서 미분가능한지 미분불가능인지가 논점입니다만 ..-.-;
그리고 연속 조건만 가지고도 유사평균변화율 형태의 극한값을 미분계수값과 연결시킬 수 있을때가 있습니다.
아래 문제에서 {f(a+h) - f(a-h)} / 2h 를 {f(a+2h) - f(a-h)} / 3h 로 바꿀 경우 그 극한값은 미분가능 조건이 없더라도 연속 조건 만으로 f'(a) 임을 이끌어 낼 수 있습니다..
{f(a+2h) - f(a-h)} / 3h 인 경우 증명은 입실론 델타로 하나요?
양쪽이 비대칭적인 경우 그냥 귀류법만으로도 증명할 수 있긴해요
미분불가능한 첨점임을 가정하면 좌극한값과 우극한값이 같지 않는 모순이 발생해서 극한값이 존재하지 않는다는 모순이 생겨요
밑 댓글들 보고 놀랐네요,. 기출만 봐도 저게 틀린 건 자명하게 알고 계셔야 하는데, 문과라고 꼭 가형 기출 보지 않으시지 마세요. 충분히 좋은 내용을 얻을 수 있어요....... 가형에도 저런 거 한번 나왔다가 다들 3점짜리에 로피탈 쓰고
맞ㅋ네ㅋ 하다가 피눈물 흘렸죠
밑의 문제는 저는 참이라고 생각하는데 어떻게 거짓으로 판단하셨는지 가르쳐주시면 감사하겠습니다..ㅠㅠ
명확하게 증명하기가 어렵네요
밑 문제는 y축 대칭함수 떠올려 보잖아요? 그럼 lxl만 생각해봐도 미분가능하다고 할 수 없지요 .
아 물론 y축 대칭함수 떠올리기 전에 a=0 이라고 가정해도 좋구요. 그냥 a에서 대칭이라고 하고 보여도 상관은없겠네요
lxl 의 경우 반례로 적절하지 않은데요..
문제의 조건에서는 lim {h->0} {f(a+2h)-f(a+h)} / h 의 극한값이 알파로서 존재한다는 걸 전제로 풀어나가는 거고 lxl는 해당 x=0 에서 해당 극한값이 존재하지가 않으니 논의의 대상이 아니죠...
a에서 대칭이라는 말은 x=a 에서 좌미분계수와 우미분계수가 다른 경우를 말하시는 거 같은데, 그 조건에서 해당 극한식의 값이 존재하는 경우를 반례로 들어주시면....
전 아직도 참이라고 생각하고 있지만 마땅한 증명법을 못찾고있어서..
x=0에서 lxl가 왜 해당 극한값이 없나요....... 명백히 있잖아요 . 우극한 +0, 좌극한 -0 . -> 극한값은 0으로 수렴하는데요.
일일히 풀어드려야하나요
lim {h->0} {f(a+2h)-f(a+h)} / h = lim {h->0} { l2hl -lhl } / h
(i) 우극한 lim {h->+0} {2h-h} / h = lim {h->+0} h / h = 1
(ii) 좌극한 lim {h->-0} {-2h+h} / h = lim {h->-0} -h / h = -1
따라서 극한값이 존재 하지 않아요
서정원 샘 강의 뒤져본 결과 연속이라는 조건하에서 미분계수로 연결 시킬 수 없는 평균변화율은
위의 "좌미분계수나 우미분계수만을 의미하는 경우"와 "대칭적인 평균변화율" 밖에 없다고 하시네요.
이것으로 미루어 보아 밑의 명제는 참으로 보이는데,
지금 질문 올려놨으니 답변 달리는 대로 댓글로 옮겨볼게요ㅠㅠ
아 그러네요... 내일 학원 선생님께 여쭤보고 답변 올려드릴께요..
모바일이라 길게 댓글을 달 상황은 아닌데 밑에 제가 생각한 사고방식이 틀렸다는 건가요?? ㅠㅠㅠ
에이고...죄송합니다...ㅠㅠㅠㅠ
네 님 댓글대로 주어진 식을 '정리' 할 수가 없습니다. 그런식으로 극한의 기본정리를 사용하려면 각각이 수렴한다는 조건이 있어야 하는데 그것자체가 미분가능성을 전제로 하는거기 때문에 사용할 수 없습니다. 미분가능인지 미분불가능인지가 논점인데, 미분가능으로 전제하고 풀어버리면 당연히 풀리죠ㅋㅋ
지금 주목해야할 것은 미분불가능한 점에서 알파가 존재하는게 가능한 것인가 입니다.
그렇군요....내일 다시한번 봐야겠네요....좋은 지식 얻어가네요 ㅋㅋ ㅠㅠ