수리고수님들 함수의극한 질문좀요

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제가 문제를 푸는 이해가 안되는게 있어서요

lim    f(x) = ∞
x->a

lim   3f(x) - 2g(x) = 3
x->a

일때

lim         f(x) - 2g(x)
x->a      ----------- 를 구하는건데
             3f(x) + 4g(x)

문제를 보면 그냥 평범한건데 제가 함수의극한 개념이해가 혼동되는건지..

lim       f(x) - 2g(x)
x->a    -----------   의 극한을 구할때 이식의 분모와 분자에 f(x)를 나누잖아요?
           3f(x) + 4g(x)

그러면 1 - 2 g(x)/f(x)
         --------------- 가 될텐데? 그러면 원래식에서 정의역이 바뀌지않을까요??
          3 + 4 g(x)/f(x)

f(x)로 나누면 f(x)=0인 x가 정의역에서 빠지잖아요 f(x)가 0이면 안되니까요

그러면 원래식의 그래프랑 바뀐식의 그래프랑 달라지는데 바뀐식에서 함수의 극한을 원래식의 함수의 극한이라고해도 되나요???

그렇게 치면 극한을구할때 함수의 식의 변형을 하면 안되지 않을까요??? 죄송합니다 수학 허접이라 이해가 안됩니다 도와주세요!!

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나카렌 · 278738 · 12/01/06 23:55 · MS 2018

[ x가 a에 한없이 가까이 가면, f(x)는 양의 무한대로 발산한다 ] 라는 말을 철저하게 이해하면, 아마 답을 얻을 수 있을 겁니다.

x=a 주위에서, f(x)=0이 되는 경우를 생각해 볼까요? 일단 x=a 근처의 x = r_1에서 f(x)=0을 만족한다고 해 보죠. 그러면 r_1과 a 사이의 x 중에서 f(x)=0을 만족하는 다른 x가 있을까요? 뭐, 있을 수도 있겠네요. 그러면 그걸 r_2라고 해 보죠. 그러면 다시, r_2와 a 사이의 x 중에서 f(x)=0을 만족하는 다른 x가 있을까요? 왠만한 경우면 이쯤이면 그런 x는 없겠지만, 혹시 모르니까 그런 x가 있는 경우를 생각해 봅시다. 그러면 그런 x를 r_3이라고 하면 되겠네요. 그러면 또 다시, r_3과 a 사이의 x 중에서 f(x)=0을 만족하는 x가 있을까요?

아예, 이렇게 말해 보죠. 이런 식으로 계속 r_1, r_2, r_3을 찾아 가면서 a에 가까워지고 있는데, 이렇게 찾는 과정이 끝이 날까요, 안 날까요? 그런데, x가 a에 한없이 가까워지면 f(x)는 양의 무한대로 발산한다고 주어져 있지요. 그렇다면, "극한에 대한 느낌, 이미지, 직관"에 의하면 아무래도 이렇게 r_1, r_2, ...을 찾는 과정은 언젠가 끝날 거라는 "심증"을 얻습니다. 즉, 마지막으로 찾은 r_k를 R이라고 하면, R과 x 사이에서는 항상 f(x)가 0이 아니겠고, 아마 양수겠지요.

따라서, x=a를 포함하는 개구간을 "적절하게" 골라서 그 개구간에서는 f(x)가 항상 양수가 되도록 할 수 있습니다. 이제, 그 개구간을 f(x)의 새로운 정의역으로 "선언"해 버리고 다시 문제를 바라보면, 이제는 문제가 없음을 알 수 있습니다.

조금 더 덧붙이자면, 아무래도 위에서 얻은 "느낌, 이미지, 직관"이나 "심증"은 극한이라는 개념의 핵심적인 부분을 건드린다는 느낌을 얻을 수 있을 겁니다. 이제 이 "심증"을 수학적인 언어로 적어 보도록 하죠. 대괄호에 유의하면서, 읽어 보세요.

[ [ x-a가 어떤 양수 R보다 작으면 f(x)는 항상 양수가 된다 ] 라는 명제가 성립하는 R이 존재한다. ]

그런데 위에서 x-a로 해 버리면, 조금 문제가 생긴다는 것을 알 수 있습니다. x가 a보다 작은 경우가 문제가 되지요. 그러면 절댓값 기호를 추가해서,

[ [ | x - a |가 어떤 양수 R보다 작으면 항상 f(x)는 0보다 크다 ] 라는 명제가 성립하는 R이 존재한다. ]

라고 할 수 있습니다. 그런데, 위에서 x가 a에 한없이 가까워질때 f(x)가 양의 무한대로 발산하니까, 위의 문장에서 0 대신 아무 양수로 바꾸어도 성립할 것 같습니다. 그러면 위의 문장을 일반화해서

[ 임의의 음이 아닌 실수 M에 대하여 [ [ | x - a | < R 이면 f(x) > M 이다 ] 라는 명제가 성립하는 R이 존재한다. ] 가 성립한다 ]

라고 쓸 수 있습니다. 대괄호가 조금 많아졌지만, 차근차근 살펴보고 해석해 보세요. 정리하면, x가 a에 한없이 가까워질때 f(x)가 양의 무한대로 발산한다는 말이 가지고 있는 핵심적인 부분은 바로 위의 문장(대괄호 있는)에 있는 것 같다는 "느낌, 이미지, 직관"이나 "심증"이 있습니다. 그리고, 이 "느낌, 이미지, 직관"이나 "심증"은 아주 강력한 "심증"이고요. 그렇기 때문에, 대학교 이후의 수학에서는 x가 a에 한없이 가까워질때 f(x)가 양의 무한대로 발산한다는 말을 바로 위의 문장(대괄호 있는)과 같은 방법으로 정의합니다.

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나카렌 · 278738 · 12/01/06 23:57 · MS 2018

위의 댓글에서 말하고자 하는 바는, "극한이란 무엇인가"에 대한 세밀하면서도 날카로운 개념이라고도 할 수 있습니다. 그렇기에 보통은 고등학교에서는 잘 다루지 않아요. 하지만, 이런 수준의 개념까지 가지고 있다면, 극한을 보다 잘 이해할 수 있을 것이며, 혹시 대학교 이후에도 수학을 공부하게 된다면 그 때 분명 도움이 될 것입니다.

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-오아시스- · 407016 · 16/05/31 20:41 · MS 2012

글쓴이입니다 오랜만에 들어왔는데 제가 감사 댓글을 안달았었네요 이렇게 길게 설명해주셔서 극한의 개념을 이해하는데 큰 도움이 됐었습니다 읽으실진 모르겟지만 감사합니다

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