2027학년도 수능특강 선별 문항 (수1, 수2)

수학 영역

수학 1

홀수형

홀수형

20

[지수와 로그]

<Lv.3 1번>

1. 다음 조건을 만족시키는 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 3 ^{`a} ` TIMES `3 ^{`b}]의 최댓값을 [eqn: p], 최솟값을 [eqn: q]라 할 때, [eqn: p`-`q]의 값은?

(가) [eqn: 3 ^{`a} `=`27 ^{`b}]이고 그 값은 자연수이다.

(나) [eqn: {1} over {a} `+` {1} over {b}]은 자연수이다.

① [eqn: 220` root {3} of {3}]	② [eqn: 225` root {3} of {3}]	③ [eqn: 230` root {3} of {3}]

④ [eqn: 235` root {3} of {3}]	⑤ [eqn: 240` root {3} of {3}]

<Lv.3 3번>

2. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: m]에 대하여 집합 [eqn: A _{`m}]을

[eqn: A _{`m} `=` LEFT { x`|`0`<`x` LEQ `100이고`log _{`m} `x는`자연수 RIGHT }]

라고 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. [eqn: n(A _{`2} )`=`6]

ㄴ, [eqn: 2] 이상 [eqn: 100] 이하의 두 자연수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: {p} over {q}]가 자연수이면 [eqn: {n(A _{`q} )} over {n(A _{`p} )}]도 자연수이다.

ㄷ. [eqn: n(A _{`m} )`=`2]를 만족시키는 모든 자연수 [eqn: m]의 값의 합은 [eqn: 45]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[지수함수와 로그함수]

<Lv.2 4번>

3. 두 상수 [eqn: a` LEFT ( a`>`0,`a != `1 RIGHT )], [eqn: b]에 대하여 곡선 [eqn: y`=`log _{`a} ` LEFT ( x`+`b RIGHT )]와 직선 [eqn: y`=`2x]가 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만나고, [eqn: {bar{rm OA` it}} =` {bar{rm OB it}} `=` sqrt {5}]일 때, [eqn: a ^{`2} b`=`p`+`q sqrt {2}]이다. [eqn: p`+`q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O]는 원점이고 [eqn: p], [eqn: q]는 유리수이다.)

<Lv.2 6번>

4. 그림과 같이 직선 [eqn: y`=` {1} over {2} x]가 두 곡선 [eqn: y`=`log _{`p} `x], [eqn: y`=`-`log _{`p} ` LEFT ( -`x RIGHT )]와 만나는 네 점 중 원점과 가ᄁᆞ운 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmC]라 하고, 직선 [eqn: y`=`-`2x]가 두 곡선 [eqn: y`=`log _{`p} `x], [eqn: y`=`-`log _{`p} ` LEFT ( -`x RIGHT )]와 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmB], [eqn: rmD]라 하자. 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]가 반지름의 길이가 [eqn: r]인 한 원 위의 점일 때, [eqn: r ^{`6}]의 값은? (단, [eqn: p`>`1])

① [eqn: {105} over {16}]	② [eqn: {55} over {8}]	③ [eqn: {115} over {16}]

④ [eqn: {15} over {2}]	⑤ [eqn: {126} over {16}]

<LV.3 1번>

5. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y`=` LEFT | 2 ^{`-`x} `-`2 RIGHT |], [eqn: y`=`-`3 ^{`x} `+` {3} over {2}]이 만나는 두 점을 [eqn: rm P it `(x _{`1} `,`y _{`1} )], [eqn: rm Q it `(x _{`2} ,`y _{`2} )] [eqn: (x _{`1} `<`x _{`2} `<`0)]이라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. [eqn: x _{`1} `>`-`2]

ㄴ. [eqn: y _{`2} `<`1]

ㄷ. [eqn: 7 LEFT ( x _{`1} `-`x _{`2} RIGHT ) `<`6 LEFT ( y _{`2} `-`y _{`1`} RIGHT )]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

<Lv.3 2번>

6. [eqn: a`>`1]일 때, 함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x)`=` LEFT | a ^{`2x} `-`8a ^{`x} `+`7 RIGHT |]이라 하자. [eqn: 1` LEQ `x` LEQ `2]일 때 [eqn: f(x)` GEQ `5]가 성립하도록 [eqn: a]의 값 중 자연수를 작은 수부터 크기순으로 모두 나열하면 [eqn: a _{`1}], [eqn: a _{`2}], [eqn: a _{`3}], [eqn: CDOTS]이다. [eqn: a _{`1} `+`a _{`3} `+`a _{`5}]의 값은?

① [eqn: 22]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 30]

[삼각함수]

<Lv.2 4번>

7. 두 실수 [eqn: a], [eqn: b] [eqn: LEFT ( a`>`0 RIGHT )]에 대하여 [eqn: 0` LEQ `x` LEQ `4 pi]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)`=` {cases{`sin`x&` LEFT ( 0` LEQ `x` LEQ `2 pi RIGHT )#`a`cos`x`+`b&` LEFT ( 2 pi `<`x` LEQ `4 pi RIGHT )}}]가 있다. 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: y`=`f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y`=`t]가 만나는 점의 개수가 [eqn: 3]이 되지 않도록 하는 [eqn: a], [eqn: b]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b RIGHT )]의 개수는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

<Lv.3 1번>

8. [eqn: 4] 이하의 자연수 [eqn: k]와 [eqn: a`>`3], [eqn: b`>`0]인 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: -` {2 pi } over {b} ` LEQ `x` LEQ ` {2 pi } over {b}]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)`=`a`sin` LEFT ( bx`+` {k} over {2} pi RIGHT )]가 있다. [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x)`=`3]은 서로 다른 네 실근 [eqn: x _{`1}], [eqn: x _{`2}], [eqn: x _{`3}], [eqn: x _{`4}] [eqn: LEFT ( x _{`1} `<`x _{`2} `<`x _{`3} `<`x _{`4} RIGHT )]를 갖고, [eqn: x _{`4} `-`x _{`1} `=`5 LEFT ( x _{`3} `-`x _{`2} RIGHT ) `=`5 pi]이다. [eqn: a` TIMES `b]의 값은?

① [eqn: {8} over {3}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {10} over {3}]

④ [eqn: {11} over {3}]	⑤ [eqn: 4]

<Lv.3 2번>

9. 두 상수 [eqn: a] [eqn: LEFT ( 0`<`a`<`2 pi RIGHT )], [eqn: b] [eqn: LEFT ( b`>`0 RIGHT )]에 대하여 [eqn: 0` LEQ `x` LEQ `2 pi]에서 정의된 함수

[eqn: f(x)`=` {cases{`cos`x&` LEFT ( 0` LEQ `x` LEQ a RIGHT )#`b`sin`x`-`b`sin`a`+`cos`a&` LEFT ( a`<`x` LEQ `2 pi RIGHT )}}]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x)`=`k]가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 값은 [eqn: k _{`1}], [eqn: k _{`2}] [eqn: LEFT ( k _{`1} `<`k _{`2} RIGHT )]뿐이다.

(나) [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x)`=`l]이 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: l]의 값은 [eqn: -`2]뿐이다.

방정식 [eqn: f(x)`=`k _{`2}]의 세 실근의 합을 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: b`cos` theta]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: {11} over {5}]	③ [eqn: {12} over {5}]

④ [eqn: {13} over {5}]	⑤ [eqn: {14} over {5}]

<Lv.3 3번>

10. [eqn: a`>` {1} over {2}]인 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: 0` LEQ `x` LEQ `2 pi]에서 정의된 함수

[eqn: f(x)`=`a`sin ^{`2} x`+` LEFT | cos`x`-` {1} over {2a} RIGHT |]

이 있다. [eqn: 0` LEQ `x` LEQ ` {pi } over {2}]에서 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: cos`x=` {1} over {2a}]의 실근을 [eqn: alpha]라 할 때, 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시키도록 하는 [eqn: a]의 최솟값은?

[eqn: 0` LEQ `x` LEQ ` alpha]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M _{`1}], [eqn: m _{`1}]이라 하고, [eqn: alpha ` LEQ `x` LEQ `2 pi `-` alpha]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓갑과 최솟값을 각각 [eqn: M _{`2}], [eqn: m _{`2}]라 할 때, [eqn: M _{`1} `-`m _{`1} `=`M _{`2} `-`m _{`2}]이다.

① [eqn: {3} over {4}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {5} over {4}]

④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: {7} over {4}]

[사인법칙과 코사인법칙]

<Lv.2 8번>

11. 그림과 같이 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 예각삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: ANGLErm ABC]의 이등분선이 이 외접원과 만나는 점 중 [eqn: rm B]가 아닌 점을 [eqn: rm D]라 하자. [eqn: rm bar { BD} = 4 sqrt { 2}], [eqn: bar { rm CD} = 3]일 때, [eqn: bar { rm AB} + bar { rm BC}]의 값은? (단, [eqn: bar { rm AB} < bar { rm BC}])

① [eqn: 3 sqrt {10}]	② [eqn: 2 sqrt {23}]	③ [eqn: sqrt {94}]

④ [eqn: 4 sqrt {6`}]	⑤ [eqn: 7 sqrt {2}]

<Lv.2 10번>

12. 그림과 같이 [eqn: rm {bar{BC}} = 12]인 예각삼각형 [eqn: rm ABC]에서 선분 [eqn: rm BC]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rm D]라 하자. 선분 [eqn: rm AC] 위의 점 [eqn: rm E]가 [eqn: ANGLE rm BAE = ANGLE BED], [eqn: rm bar { AB} : bar { AC} = bar { ED} : bar { EB}]를 만족시키고 삼각형 [eqn: rm ABE]의 넓이가 [eqn: 9sqrt { 5}]일 때, 선분 [eqn: rmAD]의 길이는?

① [eqn: {sqrt {485}} over {2}]	② [eqn: {7 sqrt {10}} over {2}]	③ [eqn: {3 sqrt {55}} over {2}]

④ [eqn: 5 sqrt {5}]	⑤ [eqn: {sqrt {505}} over {2}]

<Lv.3 1번>

13. 그림과 같이 원 [eqn: O] 위으 서로 다른 세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C]에 대하여 선분 [eqn: rm AC]를 [eqn: 2 : 1]로 내분하는 점을 [eqn: rm P], 점 [eqn: rm A]를 지나고 직선 [eqn: rm BC]와 평행한 직선이 직선 [eqn: rm BP]와 만나는 점을 [eqn: rm Q]라 하자. 선분 [eqn: rm PQ]의 중점 [eqn: rm D]가 원 [eqn: O] 위에 있고 [eqn: rm bar { AP} = sqrt { 10}], [eqn: cos LEFT ( ANGLErm ACB RIGHT ) = { 2 sqrt { 5} } over { 5}]일 때, 원 [eqn: O]의 반지름의 길이는?

① [eqn: 2]	② [eqn: {9} over {4}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {11} over {4}]	⑤ [eqn: 3]

[등차수열과 등비수열]

<Lv.2 7번>

14. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{`n}]이라 하자. [eqn: S _{`n}]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: S _{`33}]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S _{`n} ` GEQ `S _{`13}]이다.

(나) [eqn: LEFT | S _{`6} `-`S _{`3} RIGHT | `=`36]

<Lv.2 8번>

15. 등비수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{`1} a _{`2} `<`0]이고, 세 수 [eqn: a _{`2}], [eqn: a _{`1}], [eqn: a _{`3}]이 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{`n}]이라 하자. 수열 [eqn: LEFT { S _{`n} `-`1 RIGHT }]이 등비수열을 이룰 때, [eqn: S _{`7}]의 값을 구하시오.

<Lv.3 2번>

16. 모든 항이 [eqn: 0]이 아닌 정수인 두 등비수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{`n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: {a _{`2}} over {a _{`1}} `=` {b _{`2}} over {b _{`1}}], [eqn: {a _{`4}} over {a _{`2}} `-` {b _{`6}} over {b _{`5}} `<`6]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{`n} `<`b _{`n} `<`a _{`n`+`1}]이 성립한다.

[eqn: a _{`1} b _{`1} `=`96]일 때, [eqn: a _{`3} `+`b _{`3}]의 값을 구하시오.

<Lv.3 3번>

17. 등비수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{`n}]이라 하자. 집합

[eqn: A`=` LEFT { a _{`1} `,`a _{`2} `,`a _{`3} `,`a _{`4} `,`a _{`5} `,`a _{`6} `,`a _{`7} RIGHT }]

에 대하여 세 수 [eqn: -` {8} over {3}], [eqn: 9], [eqn: {81} over {4}]이 모두 집합 [eqn: A]의 원소일 때, [eqn: S _{`5}]의 최댓값은?

① [eqn: {11} over {2}]	② [eqn: {55} over {8}]	③ [eqn: {55} over {66}]

④ [eqn: {55} over {4}]	⑤ [eqn: {55} over {2}]

[수열의 합과 수학적 귀납법]

<Lv.3 2번>

18. 첫째항이 [eqn: 1]인 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{`n}]이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: S _{`n} ` TIMES ` sum _{k`=`1} ^{n} ` {a _{`k`+`1}} over {S _{`k} `S _{`k`+`1}} `=`S _{`n} `+`2]

가 성립할 때, [eqn: sum _{k`=`1} ^{5} `a _{`2k`-`1}]의 값은?

① [eqn: {507} over {256}]	② [eqn: {127} over {64}]	③ [eqn: {509} over {256}]

④ [eqn: {255} over {128}]	⑤ [eqn: {511} over {256}]

수학 2

[함수의 극한]

<Lv.2 4번>

19. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)`=` {cases{`f(x)&` LEFT ( f(x)`<`4x RIGHT )#`4x&` LEFT ( f(x)` GEQ `4x RIGHT )}}]

라 하자. 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y`=`t]가 함수 [eqn: y`=`g(x)]의 그래프와 만나는 점의 개수를 [eqn: h(t)]라 하자. 함수 [eqn: h(t)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(7)]의 값을 구하시오.

(가) [eqn: lim _{t` rarrow `0`+} {`h(t)} `>` lim _{t` rarrow `0`-} {`h(t)}]

(나) [eqn: h(-`2)`+`h(1)`+`h(4)`=`6]

<Lv.2 5번>

20. 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {` {f(x)`+`3} over {LEFT ( x`-`1 RIGHT ) (f(x)`+`f(k))}}]

의 값이 존재하지 않도록 하는 실수 [eqn: k]의 값이 [eqn: 0]과 [eqn: 2]뿐일 때, [eqn: f(4)]의 값을 구하시오.

<Lv.2 6번>

21. 다음 조건을 만족시키는 모든 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(-`1)]의 값은?

어떤 자연수 [eqn: n]과 어떤 실수 [eqn: p] [eqn: LEFT ( p` != `0 RIGHT )]에 대하여

[eqn: lim _{x` rarrow ` INF } {`x ^{`n} f LEFT ( {1} over {x} RIGHT )} `=`4p]이고 [eqn: lim _{x` rarrow ` INF } {` {f(x)`+`2x ^{`2} `-`x} over {x ^{`n} `+`x}} `=`p]이다.

① [eqn: -`8]	② [eqn: -` {20} over {3}]	③ [eqn: -` {16} over {3}]

④ [eqn: -`4]	⑤ [eqn: -` {8} over {3}]

<Lv.3 2번>

22. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: LEFT { a`|` lim _{x` rarrow `a} {` {f(x)`+`2x`+`1} over {f(x)`+`x} `=` {3} over {2} `,`a는`실수} RIGHT } `=` LEFT { -`1,`0 RIGHT }]

일 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하시오.

[함수의 연속]

<Lv.2 7번>

23. 자연수 [eqn: k], 실수 [eqn: a]와 함수 [eqn: f(x)`=` {k} over {60} LEFT ( x ^{`2} `-`4x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)`=` {cases{`-`x&` LEFT ( x` LEQ `1 RIGHT )#`f(ax)&` LEFT ( x`>`1 RIGHT )}}]

이라 하자. 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 [eqn: k]의 값의 합은?

함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 [eqn: 1]보다 큰 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 2]이다.

① [eqn: 62]	② [eqn: 66]	③ [eqn: 70]

④ [eqn: 74]	⑤ [eqn: 78]

<Lv.3 2번>

24. 실수 [eqn: t]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: x` LEQ `t]에서 [eqn: f(x)` LEQ `f(1)]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: g(f(-`1))]의 값은?

(가) [eqn: lim _{x` rarrow `1`-} {`g(x)} `=`3]

(나) [eqn: 0]이 아닌 두 실수 [eqn: alpha _{`1} ,` alpha _{`2} ` LEFT ( alpha _{`1} ` != ` alpha _{`2} RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x`=` alpha _{`1}], [eqn: x`=` alpha _{`2}]에서만 불연속이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

<Lv.3 3번>

25. 상수 [eqn: a` LEFT ( a` != `0 RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를

[eqn: f(x)`=` {cases{`x ^{`2} `+`2x`+`1&` LEFT ( x` LEQ `0 RIGHT )#`ax ^{`2} `-` {8} over {3} ax`+`1&` LEFT ( x`>`0 RIGHT )}}]

이라 하고, 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x)`=`f(t)]를 만족시키는 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: 12` TIMES ` LEFT | a`+`b RIGHT |]의 값을 구하시오.

(가) 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t`=`0]에서 연속이다.

(나) [eqn: lim _{t` rarrow `k`-} {`g(t)} ` != ` lim _{t` rarrow `k`+} {`g(t)}]를 만족시키는 실수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 3]과 상수 [eqn: b]뿐이다.

[미분계수와 도함수]

<Lv.2 5번>

26. 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y`=`f(x)]가 점 [eqn: LEFT ( 2,`0 RIGHT )]을 지나고, 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 곡선 [eqn: y`=`f(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( a,`f(a) RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: a ^{`3} `-`2a`+`1]이다. 함수 [eqn: g(x)`=` LEFT ( x ^{`2} `-`2x RIGHT ) f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x` rarrow `2} {` {g`'(x)} over {LEFT ( x`-`1 RIGHT ) LEFT ( x`-`2 RIGHT )}}]의 값을 구하시오.

<Lv.2 6번>

27. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여 두 곡선 [eqn: y`=`f(x)], [eqn: y`=`g(x)]가 점 [eqn: LEFT ( 1,`5 RIGHT )]에서 만난다. [eqn: f`'(1)g`'(1)`=`-`10]이고, 함수 [eqn: f(x)g(x)]의 [eqn: x`=`1]에서의 미분계수가 [eqn: 15]일 때, [eqn: f`'(1)`-`g`'(1)]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: f`'(1)`>`g`'(1)])

<Lv.3 1번>

28. 다음 조건을 만족시키는 모든 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`(-`3)]의 최댓값은?

(가) [eqn: lim _{x` rarrow ` INF `} {` {f(x)} over {x ^{`2}}}]의 값이 존재하고, [eqn: lim _{x` rarrow `1} {` {x ^{`2} `-`3x`+`2} over {f(x)`-`2}} `=` {1} over {3}]이다.

(나) 부등식 [eqn: f(x)`>`5]를 만족시키는 실수 [eqn: x]는 존재하지 않는다.

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

[도함수의 활용(1)]

<Lv.2 4번>

29. 함수 [eqn: f(x)`=``2x ^{`3} `+`ax]와 [eqn: -`1` LEQ `x _{`1} ` LEQ `x _{`2} ` LEQ `2]인 모든 두 실수 [eqn: x _{`1}], [eqn: x _{`2}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 실수 [eqn: p]의 집합을 [eqn: A]라 하자.

[eqn: x _{`1} `<`x _{`2}]일 때 [eqn: p`=` {f(x _{`2} )`-`f(x _{`1} )} over {2 LEFT ( x _{`2} `-`x _{`1} RIGHT )}]이고, [eqn: x _{`1} `=`x _{`2}]일 때 [eqn: p`=`3x _{`1} ` ^{2} `+` {a} over {2}]이다.

집합 [eqn: A]의 원소 중 자연수의 개수가 [eqn: 10]이 되도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은?

① [eqn: -`7]	② [eqn: -`5]	③ [eqn: -`3]

④ [eqn: -`1]	⑤ [eqn: 1]

<Lv.2 6번>

30. 최고차항의 계수가 모두 [eqn: 2]인 이차함수 [eqn: f(x)]와 삼차함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 극솟값 [eqn: -`8]을 갖는다.

(나) [eqn: lim _{x` rarrow `-`1} {` {f(x)g(x)} over {LEFT | x`+`1 RIGHT | ^{`3}}}]의 값이 존재한다.

함수 [eqn: f(x)`+`g(x)]가 극댓값을 가질 때, [eqn: f(2)`+`g(2)]의 값을 구하시오.

<Lv.3 1번>

31. 그림과 같이 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(0)`=`1]이고 곡선 [eqn: y`=`f(x)]가 직선 [eqn: y`=`-`x`+` {3} over {2}]에 접한다. 실수 [eqn: t]에 대하여 좌표평면 위의 세 점

[eqn: rm A LEFT ( -1, 0)], [eqn: rmB(0,-1)], [eqn: {rmP}(t, f(t))]

가 있다. 세 선분 [eqn: rm AB], [eqn: rmAP], [eqn: rm BP]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: g(t)]라 할 때, 함수 [eqn: g(t)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 곡선 [eqn: y`=`g(x)]가 [eqn: x]축과 만나는 점의 개수는 [eqn: 1]이다.

(나) 양수 [eqn: p]에 대하여 곡선 [eqn: y`=`g(x)]는 직선 [eqn: y`=`1]과 점 [eqn: LEFT ( p,`g(p) RIGHT )]에서 접한다.

이떄 [eqn: g LEFT ( {3} over {2} RIGHT )]의 값은? (단, 점 [eqn: rm P]가 선분 [eqn: rm AB] 위의 점일 때 [eqn: g(t)`=`0]이다.)

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

<Lv.3 2번>

32. 삼차함수 [eqn: f(x)`=`x ^{`3} `+`2x ^{`2} `+`6x]와 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 등식

[eqn: f(t)`-`f(0)`=`tf`'(c)]

를 만족시키는 실수 [eqn: c]의 값 중 [eqn: 0`<`c`<`t]인 것을 [eqn: h(t)]라 하자. [eqn: lim _{t` rarrow `0`+} {` {h(t)} over {t}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

[도함수의 활용(2)]

<Lv.2 3번>

33. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]와 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x` LEQ `t]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값을 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고

[eqn: LEFT { t`|`g` prime (t)`=`0,`t는`실수 RIGHT } `=` LEFT { 0 RIGHT } ` CUP ` LEFT { t`|`t` GEQ `1 RIGHT }]

일 때, [eqn: f(2)`-`f(0)]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: {14} over {3}]	③ [eqn: {16} over {3}]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: {20} over {3}]

<Lv.2 5번>

34. 상수 [eqn: a]와 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[eqn: g(x)`=` {cases{`-`x ^{`3} `+`ax ^{`2} `-`6x&` LEFT ( x` LEQ `0 RIGHT )#`f(x)&`(x`>`0)}}]

은 실수 전체의 집합에서 연속이다. 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: g(-`3)` TIMES `g(3)]의 값은?

(가) 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x`=` alpha]에서 극값을 갖는 모든 실수 [eqn: alpha]의 값은 [eqn: alpha _{`1} `,` alpha _{`2} `,` alpha _{`3} `,` alpha _{`4}] [eqn: LEFT ( alpha _{`1} `<` alpha _{`2} `<` alpha _{`3} `<` alpha _{`4} RIGHT )]이고, 이 네 수는 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

(나) 닫힌구간 [eqn: LEFT [ alpha _{`1} `,` alpha _{`4} RIGHT ]]에서 함수 [eqn: g(x)]의 최댓값은 [eqn: 3]이다.

① [eqn: -` {81} over {2}]	② [eqn: -`39]	③ [eqn: -` {75} over {2}]

④ [eqn: -`36]	⑤ [eqn: -` {69} over {2}]

<Lv.2 7번>

35. 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rm Q]의 시각

[eqn: t] [eqn: LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]에서의 위치가 각각

[eqn: x _{`1} `=`t ^{`3} `-`t ^{`2} `+`at], [eqn: x _{`2} `=`t ^{`2} `-`t`+` {27} over {4}]

일 때, 시각 [eqn: t]에서의 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q] 사이의 거리를 [eqn: f(t)]라 하자. [eqn: t GEQ 0]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: f(t) GEQf(3)]을 만족시킬 때, 시각 [eqn: t = k `(k >0)]에서의 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 속도가 서로 같다. 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: { 3} over { 2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

<Lv.3 3번>

36. 함수 [eqn: f(x)`=` LEFT ( x`-`2 RIGHT ) ^{`2} `+`a]와 함수 [eqn: g(x)`=`-`x ^{`3} `+`bx ^{`2} `+`cx]가 다음 조건을 만족시키도록 하는 세 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b,`c RIGHT )]에 대하여 [eqn: g(2)`-` LEFT | f(2) RIGHT |]의 최솟값은?

(가) [eqn: f(0)f(2)`<`0]이고, 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x`=`2]에서 극대이다.

(나) 모든 양수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT | ` GEQ `g(x)]가 성립한다.

① [eqn: -`11]	② [eqn: -`10]	③ [eqn: -`9]

④ [eqn: -`8]	⑤ [eqn: -`7]

[부정적분과 정적분]

<Lv.2 4번>

37. 함수 [eqn: f(x)`=`x ^{`3} `-`6x ^{`2} `+`9x`+`2]에 대하여 함수

[eqn: g(x)`=` int _{1} ^{x} {` LEFT ( f(x)`-`f(t) RIGHT ) LEFT ( f(t) RIGHT ) ^{`2} `dt}]

가 [eqn: x`=`a]에서 극값을 갖는다. [eqn: f(a)]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

<Lv.3 2번>

38. 최고차항의 꼐수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 [eqn: int _{3} ^{x} {`f`'(t)`dt} `=`0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 1]이다.

(나) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x`=`0], [eqn: x`=`m], [eqn: x`=`n] ([eqn: m], [eqn: n]은 [eqn: 0]이 아닌 서로 다른 정수)에서 극값을 갖고, 극댓값은 [eqn: 0]이다.

(다) 곡선 [eqn: y`=`f(x)]는 원점을 지나지 않는다.

[eqn: f(-`1)]의 값은?

① [eqn: {29} over {3}]	② [eqn: 10]	③ [eqn: {31} over {3}]

④ [eqn: {32} over {3}]	⑤ [eqn: 11]

<Lv.3 3번>

39. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: g(x)`=` {cases{-`f(x)&` LEFT ( f(x)`<`0 RIGHT )#`0&` LEFT ( f(x)` GEQ `0 RIGHT )}}]이라 하자. 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(8)]의 값을 구하시오.

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x`=`1]에서 극대이다.

(나) [eqn: int _{1} ^{x} {`g(t)`dt} ` LEQ `0]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 최댓값은 [eqn: 3]이다.

(다) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int _{1} ^{x} {`g(t)`dt} ` LEQ ` int _{1} ^{a} {`g(t)`dt}]를 만족시키는 실수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 4]이다.

[정적분의 활용]

<Lv.2 2번>

40. 함수 [eqn: f(x)`=` {1} over {9} x ^{`3} `-` {5} over {3} x ^{`2} `+`6x]와 상수 [eqn: a` LEFT ( 0`<`a`<`6 RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]는

[eqn: g(x)`=` {cases{`f(x)&` LEFT ( x`<`a RIGHT )#`-`x`+`a`+`f(a)&` LEFT ( x` GEQ `a RIGHT )}}]

이다. 함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 함수 [eqn: y`=`g(x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: {121} over {4}]	② [eqn: {123} over {4}]	③ [eqn: {125} over {4}]

④ [eqn: {127} over {4}]	⑤ [eqn: {129} over {4}]

<Lv.3 1번>

41. 실수 [eqn: t]와 함수 [eqn: f(x)`=` LEFT | x RIGHT | ^{`3} `-`6x ^{`2} `+`9 LEFT | x RIGHT |]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x)`=`f(t)]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. [eqn: lim _{t` rarrow `a`+} {`g(t)} `>`g(a)]인 실수 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: p], [eqn: lim _{t` rarrow `a`-} {`g(t)} `>`g(a)]인 실수 [eqn: a]의 최댓값을 [eqn: q]라 할 때, 곡선 [eqn: y`=`f(x)]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x`=`p], [eqn: x`=`q]로 둘러ᄊᆞ인 부분의 넓이는?

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

<Lv.3 2번>

42. 양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)`=` {cases{`x`+`3&` LEFT ( x`<`0 RIGHT )#`x ^{`2} `-`ax`+`3&` LEFT ( x` GEQ `0 RIGHT )}}]

이다. 실수 [eqn: t]에 대하여 닫힌구간 [eqn: LEFT [ t,`t`+`2 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값을 [eqn: g(t)]라 하자. [eqn: t` GEQ `0]에서 함수 [eqn: g(t)]의 최솟값이 [eqn: 0]일 때, 함수 [eqn: y`=`g(t)]의 그래프와 [eqn: t]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: {71} over {6}]	② [eqn: 12]	③ [eqn: {73} over {6}]

④ [eqn: {37} over {3}]	⑤ [eqn: {25} over {2}]

<Lv.3 3번>

43. 함수 [eqn: f(x)`=`x ^{`3} `-`6x ^{`2} `+`8x]에 대하여 곡선 [eqn: y`=`f(x)] 위의 점 [eqn: rm P it `(t,`f(t))] [eqn: (0`<`t`<`1)]에서의 접선이 곡선 [eqn: y`=`f(x)]와 만나는 점 중에서 [eqn: rm P]가 아닌 점을 [eqn: rm Q]라 하고, 점 [eqn: rm Q]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자. [eqn: 0 LEQ x` LEQ `2]에서 곡선 [eqn: y`=`f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{`1}], [eqn: x` GEQ `4]에서 곡선 [eqn: y`=`f(x)]와 [eqn: x]축 및 선분 [eqn: rm QH]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{`2}]라 할 때, [eqn: S _{`1} `=`S _{`2}]이다. 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 [eqn: y]좌표의 곱은?

① [eqn: 24]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 40]

빠른 정답
1	⑤	2	③	3	3	4	⑤	5	⑤
6	①	7	③	8	⑤	9	③	10	④
11	④	12	⑤	13	③	14	330	15	129
16	80	17	④	18	⑤	19	16	20	51
21	②	22	7	23	③	24	③	25	44
26	20	27	7	28	②	29	①	30	48
31	②	32	③	33	③	34	①	35	②
36	⑤	37	②	38	④	39	164	40	⑤
41	③	42	①	43	③