2024 5월 모의고사 수학 영역 리뷰

이번 수학시험은 근 몇 년의 모의고사 및 수능을 통틀었을 때에도 최상위권의 난이도를 자랑한다고 생각합니다. 미적분 과목의 1등급 구분점수가 최하 71점까지 잡히며, 만점의 경우 표준점수 167점에 해당합니다. 그래서 조금 늦은 감이 있지만 이번 시험 중 다시 살펴보면 의미 있을 것 같은 문제들을 리뷰해보고자 합니다. 우선 미적분 과목을 위주로 리뷰하게 된 점 양해 부탁드립니다. 4점 문항은 전 문항 리뷰하려 하며, 3점 문항은 유의미한 문제를 추려 리뷰하려 합니다. 이 리뷰가 많은 도움이 되면 좋을 것 같습니다. 재미 반, 진지하게 반 봐주시면 됩니다. 감사합니다.

1. 9번(4점)

9번 문항은 4점 첫 문항입니다. ebs 기준 오답률 15위로. 오답률은 51.1%입니다.

다시 보기: 시험장에서 보았을 때 4점의 스타트를 끊는 문제로서 적당한 편이라고 생각했습니다. 처음에는 어떻게 풀지 잠시 고민했는데, n 자리에 n-1을 대입해 정리하면 적절한 형태가 나올 것 같아 바로 시도해보았고 예상대로 나왔습니다. 답을 구하는 과정에서 [eqn: a _{1}]의 값을 별 생각 없이 구했다가 답이 선지에 없다는 것을 깨닫고 [eqn: a _{1}]의 값은 정리한 식에 넣는 것이 아니라 문제에서 준 식에 n 자리에 1을 대입해 구해야 한다는 것을 깨닫고 답을 도출할 수 있었습니다.

내 풀이:

상세: [eqn: a _{n}]과 [eqn: S _{n}]의 꼴로 식이 주어져 있으므로 주어진 시의 n 자리에 n-1을 대입합니다. 그렇다면 [eqn: a _{n}]과 관련한 식이 도출될 것이고 [eqn: a _{4}]=4임을 활용해 [eqn: a _{n}]들의 값을 찾을 수 있습니다. 이때 주의해야할 점은 [eqn: a _{1}]은 도출한 식으로 구하면 안 되고 문제에서 처음 준 식에 n 자리에 1을 대입해 구해야 한다는 것입니다.

답안지 해설:

분석: 답안지 역시 먼저 주어진 식의 n 자리에 1을 대입해 [eqn: a _{1}]과 [eqn: a _{2}]에 관한 식을 구하고, 주어진 식의 n 자리에 n-1을 대입한 후 두 식을 정리해 [eqn: a _{n+1}]과 [eqn: {} _{}][eqn: a _{n}]에 관한 식을 도출했고 [eqn: a _{4}]=4 임을 통해 [eqn: a _{1}]과 [eqn: a _{6}]의 값을 구한 것을 확인할 수 있습니다.

총평: 4점 치고는 쉬운 편이었으나 생각해야 할 부분이 있었습니다.

[eqn: a _{n}]과 [eqn: S _{n}]에 대한 식이 주어지면 주어진 식의 n 자리 대신 n-1을 대입해본다.

도출한 식에서 [eqn: a _{n}]을 어디까지 구할 수 있을지 생각해보아야 한다. (n의 범위 고려, [eqn: a _{1}]의 값에 특히 주의!)

2. 10번(4점)

10번 문항은 ebs 기준 오답률 12위로, 오답률은 60.4%입니다.

다시 보기: 이 문제를 시험장에서 접했을 때 약간 당황했던 기억이 납니다. 10번에 배치된 것 치고는 고려해야 할 부분이 좀 있었습니다. 우선 ‘움직인 거리’가 같아야 하는데 m의 값에 따라 경우를 분류해야 한다는 것을 깨달았습니다. 여담으로, 그럴 확률은 낮겠지만 m값이 양수라고 생각해버리면 곤란해집니다. m의 값에 특별한 조건이 문제에 주어져 있지 않으므로, m의 경우를 나눌 때 모든 실수를 대상으로 나눠야 한다는 점을 기억해야 합니다.

내 풀이:

상세: 우선 Q의 이동방향이 변하느냐, 변하지 않느냐로 m 값의 범위를 나누었습니다. m이 2보다 클 때는 방향이 변하므로 속도가 0이 되는 점을 기점으로 적분을 따로 해주었고, m이 2보다 작거나 같을 때는 Q의 이동방향이 변하지 않으므로 0에서 2까지 적분해주어 m값을 구했습니다. m값을 구할 때 처음 전제로 한 m값의 범위를 고려해 구해야 합니다!

답안지 해설:

분석: 답안지 역시 m의 범위를 나누어 m 값을 구해준 것을 확인할 수 있습니다. 속도의 절댓값인 속력을 적분하면 움직인 거리가 된다는 점을 활용해 거리를 구했습니다.

총평: 10번 문제 치고 생각해야 할 부분이 있었던 문제인 것 같습니다. 문제의 난이도 자체는 그리 높지는 않습니다.

속도의 절댓값을 적분한 것이 이동한 거리임을 기억하자!

2. 구간을 나누어 값을 구할 때 처음 전제로 둔 구간도 함께 고려해 값을 구해야 한다.

3. 11번(4점)

11번 문항은 ebs 기준 오답률 10위로, 오답률은 64%입니다.

다시 보기: 이 문제는 11번 치고는 방법을 알면 쉽게 풀 수 있는 문제였던 것 같습니다. 시험장에서 이 문제를 접했을 때도 비교적 수월하게 풀고 넘어갔던 기억이 납니다. [eqn: a _{n}]과 [eqn: b _{n}]을 따로 구하려면 어려울 수 있지만, 묶어서 생각하면 간단하게 풀 수 있는 문제인 것 같습니다.

내 해설:

상세: 문제 조건을 유심히 살펴보면 [eqn: a _{n-} b _{n}]에 대한 꼴이 자주 등장한다는 것을 확인할 수 있습니다. 이때, [eqn: a _{m} -b _{m}]은 0인데 [eqn: a _{m+1} -b _{m+1}]은 0보다 작으므로, [eqn: a _{n-} b _{n}]의 값은 n의 값이 커질수록 작아진다는 것을 알 수 있습니다. 또한, 두 수열 모두 공차가 정수인 등차수열이므로 수열 {[eqn: a _{n-} b _{n}]}은 공차가 음의 정수인 등차수열임을 알 수 있습니다. 이를 통해 [eqn: a _{1} -b _{1}]의 값이 0보다 크다는 것을 알 수 있으므로 [eqn: a _{1} -b _{1}]=5임을 알 수 있습니다. m이 3보다 크고 [eqn: a _{n-} b _{n}]의 공차가 정수임을 조합하면 m이 6임을 알 수 있으므로 문제에서 요구하는 값을 구할 수 있습니다.

답안지 풀이:

분석: 답안지도 마찬가지로 [eqn: a _{n}]과 [eqn: b _{n}]을 묶어 함께 생각한 것을 확인할 수 있습니다. 그렇게 되면 문제에서 주어진 조건을 토대로 답을 구할 수 있게 됩니다.

총평: 약간의 기발한 아이디어를 생각해 냈다면 타 4점에 비해 비교적 수월하게 접근할 수 있었던 것 같습니다. 등차수열의 성질을 잘 활용해 풀 수 있는 문제인 것 같습니다.

문제에서 자주 등장하는 형태에 집중하자!

크게 묶어서 생각하는 것이 답을 구하는 데에 더 용이할 수 있다!

4. 12번(4점)

12번 문항은 ebs 기준 오답률 7위로, 오답률은 71.7%입니다. 이 문제가 객관식 문제임을 감안할 때, 문제의 난이도 자체는 이보다 더 높았던 것으로 예상됩니다.

다시 보기: 그렇게 새로운 유형은 아니지만 이러한 문제들과 비슷한 문제를 풀 때에 필요한 접근법을 잘 이해하고 있어야 풀어낼 수 있었던 것 같습니다. 두 부분의 넓이가 같음을 활용해 적분한 값이 0임을 활용하겠다고 생각했습니다. 시험장에서 보았을 때는 풀어나가는 데 막힘은 없었으나 다소 까다로운 계산에 살짝 애를 먹었습니다.

내 해설:

상세: A점과 B점의 좌표를 잡은 후 선분 AB의 길이가 [eqn: sqrt {5}]임을 활용해 A점의 x좌표와 B점의 x좌표 간의 관계를 찾습니다. 이때 A의 x좌표를 [eqn: alpha], B의 x좌표를 [eqn: beta]라 하면 [eqn: S _{1}]=[eqn: S _{2}]이므로 [eqn: int _{0} ^{beta } {(f(x)- {1} over {2} x)dx`=`0}]이 됩니다. 또 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: y= {1} over {2} x]의 그래프가 x=0에서 접하고 x= [eqn: alpha], x= [eqn: beta]에서 만나므로 [eqn: f(x)`-` {1} over {2} x] = [eqn: x ^{2} (x- alpha )(x- beta )]라고 둘 수 있습니다.

식을 계산하게 되면 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]값을 구할 수 있으므로 [eqn: f(1)]의 값을 구할 수 있습니다.

답안지 해설:

분석: 답안지에서도 거의 동일한 접근법을 활용해 문제를 풀어나가고 있음을 확인할 수 있습니다.

총평: 이러한 문제와 비슷한 유형의 문제들에 대처하는 방법을 파악하고 있으면 답을 구하는 데에 있어서 큰 어려움을 없었을 것 같습니다. 12번에 있기에 적당하다고 생각하나, 접근법을 찾지 못한다면 상당히 어렵게 느껴졌을 것으로 예상됩니다.

그래프가 이루는 영역의 넓이가 나오면 적분을 떠올리자

주어진 문제의 조건을 식으로 어떻게 변환할 수 있을지 고민하자

5. 13번(4점)

13번 문항은 ebs 기준 오답률 9위로, 오답률은 70.3%입니다.

다시보기: 이 문제를 보았을 때 ‘그래프의 개형을 추론해야 하는 문제겠구나!’라는 생각이 들었습니다. a값과 b값에 따라 그래프의 개형이 달라질 것이고 이때 조건을 만족시키는 개형을 찾아야겠다는 생각이 들었습니다. 이러한 종류의 문제를 풀 때는 내가 확실히 알고 있는 정보를 최대한 활용하고, 이후 시행착오를 거쳐보며 문제에서 요구하는 개형을 찾아내는 것이 좋을 것 같습니다. 특히 특수한 경우를 우선적으로 해보면 좋습니다.

내 해설:

상세: [eqn: 2 ^{x+3} +b]는 b부터 시작해 특정 값까지 증가하는 형태이고, [eqn: 2 ^{-x+5} +3b]는 특정 값에서부터 시작해 3b까지 줄어드는 형태입니다. 이때 교점의 개수가 b에서 4b+8까지 단 한 개 존재하려면 두 그래프가 겹치는 부분도, 모두 비는 부분(y좌표 값)이 존재하면 안 됩니다. 따라서 f(a) = 3b, [eqn: lim _{x-> a+} {f(x)=`4b+8}]임을 알 수 있고 이를 연립하면 답을 구할 수 있습니다.

답안지 해설:

분석: 답안지의 경우 그래프의 개형을 추론하는 과정을 풀어서 설명하고 있음을 볼 수 있습니다. 실수 없이 그래프 개형을 찾을 수 있다는 장점이 있지만 시간이 다소 소요될 수 있으니 논리적 추론으로 개형을 찾아낼 수 있다면 그렇게 하는 편도 좋습니다.

모든 경우를 하나하나 살펴보며 제가 생각한 과정을 따라가고 있음을 확인할 수 있습니다.

옳은 개형을 찾아 답을 구해내고 있음을 확인할 수 있습니다.

총평: 전형적인 그래프 추론 문제로, 주어진 조건을 따라가면 그래프의 개형을 구해낼 수 있는 문제였습니다. 다만, 그래프 추론 자체의 난이도가 굉장히 높은 편이므로 비슷한 종류의 문제를 풀어보며 해결 과정을 자신만의 방식으로 정립하는 것이 중요합니다. 문제에서 제공하고 있는 “확실한 정보”는 무엇이며, 이를 바탕으로 어떤 “경우의 수”가 존재할 수 있고, “주어진 조건”에 들어맞는 경우를 어떻게 찾아 낼 것인가를 떠올리는 것이 중요합니다. “확실한 정보”는 다른 조건이 변한다 해도 결코 변하지 않는 정보임을 인지해 찾아내야 합니다. 그리고 빠짐 없이, 분석하기 쉽도록 “경우의 수”를 찾아내고, “주어진 조건”을 만족하려면 어떤 특징을 그래프가 지녀야 할지 파악하는 것이 중요합니다.

문제에서 제공하는 “확실한 정보”를 찾아내자

이를 바탕으로 가능한 “경우의 수”를 빠짐없이, 분석하기 쉽도록 찾아내자

“주어진 조건”을 만족시키기 위한 그래프의 특징을 찾아내자

6. 14번(4점)

14번 문항은 ebs 기준 오답률 8위로, 오답률은 71.5%입니다.

다시보기: 이 문제를 볼 때 박스 안에 있는 조건이 가장 먼저 눈에 들어왔습니다. 두 절댓값을 더한 것이 0이라는 것은 절댓값 안에 있는 값이 동시에 0이 된다는 뜻이기 때문입니다. 이후 f(x), g(x)가 무엇을 의미하는 지 찾아낸 후 조건을 활용해 답을 구할 수 있었습니다. 절댓값과 관련된 조건만 잘 해석하면 나머지는 제시하는 방향대로 쭉 나아가면 되어서 그렇게 어렵진 않았던 것 같습니다. 다만 절댓값 조건을 해석하지 못하면 꽤 어려운 문제였을 것 같습니다.

내 풀이:

상세: g(t)가 접선의 y절편임을 이용해 구해주었습니다. 박스 내 식을 만족한다는 것은 f(k)와 g(k)가 모두 0이라는 것을 의미하므로 f(k)와 kf’(k)가 0이여야 합니다. 이를 만족하는 k 값이 2개여야 합니다.

f(k)=0일 때 k=0또는 f’(k)=0이여야 합니다. 경우를 구할 시 k=0이 1번, f’(k)=0이 1번이여야 합니다. 이를 바탕으로 f(x) = [eqn: x(x-a) ^{2}]꼴로 둘 수 있고 4f(1) + 2g(1) = -1을 활용해 f(x)의 식을 찾아 값을 구해줄 수 있습니다.

답안지 해설

분석: 답안지도 같은 방식으로 그래프를 찾아 구하고자 하는 값을 찾은 것을 알 수 있습니다.

총평: 문제에서 제공한 조건을 활용해 약간의 추론을 거치면 풀 수 있는 전형적인 문제인 것 같습니다. 고난도 4점 문제에서는 조건을 바탕으로 경우를 추론하는 문제가 상당히 자주 나오므로 이와 관련된 능력을 기르는 것이 중요합니다. 절댓값의 성질을 정확히 파악해 문제에 절댓값이 등장할 시 이를 잘 활용할 수 있는 능력도 필요합니다.

절댓값과 관련된 성질을 잘 파악하자(절댓값의 합들이 0일 경우 내부가 모두 0, 절댓값 꼴로 표현해 놓았으면 무조건 0보다 크거나 같다, 추가로 제곱도 마찬가지)

2. 확실한 정보를 바탕으로, 경우의 수를 나누어, 주어진 조건을 만족시키는 경우를 추론하는 능력을 기르자.

7. 15번(4점)

15번 문항은 ebs 기준으로 오답률 14위로, 오답률은 54.1%입니다. 문제의 위치에 비해 비교적 쉬운 문제였던 것으로 추정되나, 그래도 만만치 않은 문제였음은 확실합니다.

다시 보기: 이 문제를 보았을 때 [eqn: a _{4}] 값을 먼저 결정해야겠다고 생각했습니다. [eqn: a _{4}], [eqn: a _{5}]의 합이 5이기 때문에 비교적 쉽게 결정할 수 있으리라 생각했습니다. [eqn: a _{4}] 값을 결정하고 거꾸로 [eqn: a _{1}] 값을 찾아나가자 비교적 수월하게 답을 찾을 수 있었습니다.

내 풀이:

상세: 3의 배수가 아닌 수의 제곱은 3으로 나눈 나머지가 항상 1입니다. 이를 통해 수열 {[eqn: a _{n}]}은 모든 항이 자연수임을 알 수 있습니다. 조건을 만족하려면 [eqn: a _{4}]의 값이 2임을 찾아낼 수 있습니다.

그 다음 [eqn: a _{n`} =3a _{n+1}]([eqn: a _{n}]은 3의 배수) 또는 [eqn: a _{n} = sqrt {3a _{n+1} -5}]([eqn: a _{n}]은 3의 배수가 아닌 수)임을 활용해 [eqn: a _{1}]의 값을 구해줄 수 있습니다. 여담으로 괄호 안의 조건은 자동 만족됩니다.

답안지 해설

분석: 답안지에서도 수열 {[eqn: a _{n}]}의 모든 항이 자연수임을 찾고, [eqn: a _{4}]의 경우를 가정해보며 그 값을 구하고 있음을 확인할 수 있습니다.

[eqn: a _{4}] 값을 찾고 나머지 값들을 구해내고 있습니다. 답안에서는 경우를 나누었지만, 값을 거꾸로 구할 때는 조건이 자동 만족된다는 것을 찾아내면 더욱 수월하게 값을 구할 수 있습니다.

이렇게 모든 [eqn: a _{1}] 값을 구해 더해 답을 도출했음을 확인할 수 있습니다.

총평: 수열의 값을 추론하는 문제치고는 비교적 할 만한 편이었습니다. 그래서 15번의 위치에 비해서는 조금 쉬운 문제가 아니었나 싶습니다. 문제에서 준 조건을 바탕으로 값을 쭉 찾아내는 문제였습니다. 3의 배수가 아닌 수의 제곱은 3으로 나눈 나머지가 1이라는 사실을 알고 있었으면 조금 더 쉽게 풀 수 있었을 것 같습니다. 수열 문제는 다양한 수를 넣어보며 규칙성을 찾는 것이 중요합니다.

조건에 맞추어 다양한 수를 넣어보자.

수들, 조건에 숨어 있는 규칙성을 찾아내자.

8. 18번(3점)

18번 문항은 ebs 기준으로 오답률 13위로, 오답률은 60.3%입니다. 다만, 이 문제가 서답형 문제임을 감안하면, 실제 난이도는 이보다는 낮을 것으로 추정됩니다.

다시 보기: 이 문제를 보고 우함수와 기함수의 성질을 활용해야할 것 같다는 생각이 들었습니다. 식을 정리하면 [eqn: int _{-x} ^{x} {f(x)}] = [eqn: 2x ^{3}]가 되고 기함수의 경우는 이 때 적분할 시 0이 되는 것을 활용하고 f(1) = 5임을 활용하면 f(x)를 구해 f(2)를 구할 수 있을거라 생각했습니다. 우함수/기함수의 성질을 활용해야하는, 유의미한 3점 문제라 생각합니다.

내 풀이:

상세: 식을 정리해 [eqn: int _{-x} ^{x} {f(x)}] = [eqn: 2x ^{3}]를 만들어 낸 후 f(x) 식을 구합니다. 우함수와 기함수의 성질을 알면 더 쉽게 풀 수 있지만 그걸 사용하지 않아도 f(x) 식을 임의로 잡고 구해내면 f(x) 식을 구할 수 있습니다.

답안지 해설:

분석: 답안지도 마찬가지로 f(x) 식을 잡아 조건에 맞추어 f(2) 값을 구해낸 것을 확인할 수 있습니다.

총평: 3점 문제에 걸맞은 문제라고 생각합니다. 그렇게 어려운 문제는 아니었지만 이번처럼 어려운 시험에서 3점 문제의 중요성은 굉장히 큽니다. 실수 없이, 빠르게 비슷한 유형을 해결할 수 있는 능력을 길러야 합니다.

기본 개념을 바탕으로 실수 없이 빠르게 문제를 풀어내는 능력이 중요하다.

9. 19번(3점)

19번 문항은 ebs 기준으로 오답률 6위로, 오답률은 76.1%입니다. 이 문제는 비록 서답형 문제였으므로 실제 난이도는 이보다 낮을 것으로 추정되나, 그럼에도 결코 쉽지 않은 3점 문제였으리라 생각합니다.

다시 보기: 처음 이 문제를 봤을 때 꽤 당황했던 기억이 납니다. 3점 문제임에도 불구하고 처음 문제가 잘 이해되지 않아 굉장히 당혹스러웠습니다. 문제를 이해하고 나니 그렇게 어렵지 않게 풀 순 있었으나 4점에 준하는 튼튼한 개념, 적용 능력 등을 요구하는 문제라 생각합니다.

내 풀이

상세: 우선 x값이 다르면 a, b 값도 다르므로 겹치는 원소에 대해서는 고려하지 않아도 됩니다. 네제곱근의 경우 x가 양수면 서로 다른 2개, 음수면 없고 0이면 1개임을 활용합니다. n(A)=9이므로 집합 X가 0을 포함하고, 양수 원소 4개를 포함함을 알 수 있습니다. 세제곱근의 경우 x가 실수라면 1개 존재하므로, n(B)=7에서 음수 원소 2개를 집합 X가 포함함을 알 수 있습니다. 합이 최대가 되려면 양수 원소는 절댓값이 큰 것을, 음수 원소는 절댓값이 작은 것을 X가 가져야 함을 이용해 답을 구할 수 있습니다.

답안지 해설:

답안지 또한 집합 X속 양수 원소의 개수, 음수 원소의 개수를 찾아낸 후 답을 구한 모습을 확인할 수 있습니다.

총평: 3점 문제였지만 4점 문제에 준하는 문제 해결력을 요구하는, 이번 3점 문제의 대장 격이라 볼 수 있을 것 같습니다. 하지만 하나하나 쪼개 생각해보면 제곱근의 성질을 토대로 주어진 조건을 분석할 수 있다면 어렵지 않게 풀 수 있는 문제라고 생각하고 그래서 3점에 책정되지 않았나 싶습니다. 일부 사람들이 자주 간과하는 사실이나 수학도 개념이 가장 중요하다는 것을 명심해야 합니다. 개념을 바탕으로 퍼즐 요소, 추리, 사고력을 요하는 문제들이 대다수이므로 개념이 가장 중요한 요소라는 것을 잊어서는 안 됩니다.

학습한 개념을 문제에 적용하는 능력을 길러야 한다.

조건이 어떤 의미를 가지는지 개념에 근거해 파악해 내야 한다.

10. 20번(4점)

20번 문항은 ebs 기준으로 오답률 5위로, 오답률은 85.3%입니다. 서답형 문제임을 감안하더라도 상당히 만만치 않은 문제라 예상할 수 있습니다.

다시 보기: 처음 이 문제를 보고 f(x)와 g(x)의 최고차항의 차수 및 계수부터 구해야겠다는 생각이 들었습니다. g(x)에 이것저것 차수, 계수를 생각해보며 두 다항식의 최고차항 계수와 차수를 추측해보고 항등식을 활용해 식을 찾아낸 후 주어진 조건에 맞는 k 값을 구해냈습니다.

내 풀이:

상세: 주어진 식에 x=2를 대입해 f(2) = g(2)임을 찾아내고 이를 통해 g(1) = 0임을 알 수 있습니다. 또한 [eqn: lim _{x-> INF } {{{f(x)} ^{2}} over {g(x)}}]가 실수여야 하므로 위 식과 조합했을 때 f(x)는 일차식, g(x)는 이차식임을 알 수 있습니다.

그 다음 f(x), g(x)를 일반식으로 나타내 대입하고, g(0) = 0임을 활용해 f(x), g(x) 식을 구합니다. 그리고 이를 활용해 k값을 찾으면 됩니다. 아까 위에서 차수 찾는 방법은 f(x)가 이차 이상이면 우변의 차수가 무조건 더 커지게 되고, f(x)가 상수꼴이면 우변이 무조건 3차식이 되어 성립하지 않게 되므로 찾을 수 있습니다.

답안지 해설

분석: 답안지에서도 주어진 식에 먼저 x=0, x=2를 대입해 정보를 얻었습니다. 그리고 g(x)가 상수함수인지, 이차함수인지, 4차 이상인지 나누었습니다. 그 다음 얻은 정보, 계수 비교법, 항등식을 활용해 f(x), g(x)의 식을 구해 값을 구해 가는 것을 확인할 수 있습니다.

g(x)가 4차 이상일시 좌변의 차수와 우변의 차수가 일치하지 않음을 보이고 있습니다.

총평: 20번다운 문제라고 생각합니다. 다만 계산이 다소 까다로울 수 있을 것 같습니다. 조건 속 숨어있는 정보를 활용해 다항식들의 최고차항의 차수를 찾아냈다면 답을 도출해낼 수 있었을 것 같습니다. 함수들이 어떤 식을 만족시킨다고 할 때는 특정 값을 대입해보거나, 다항함수인 경우 최고차항의 차수, 계수를 추측해 함수식을 구해야 합니다.

조건 속 숨겨져 있는 정보를 찾아내자(이번의 경우 lim 로 나온 값이 실수라는 것을 정보로 사용했어야 함.)

함수가 식을 만족시킨다고 하면 다양한 값, 문자를 대입해본다. 특히, 다항함수일 경우 최고차항의 차수, 계수를 구하거나 함수식을 구하려 해보자.

11, 21번(4점)

21번 문항은 ebs 기준으로 오답률 4위로, 오답률은 무려 95.4%입니다. 이번 시험의 킬러 문제 중 하나라고 보아도 될 것 같습니다.

다시 보기: 이 문제를 보았을 때 머리가 멈춘 것 같았습니다. 뭔가 말린 듯한 기분에 잘 보이지 않고 결국 이 문제를 스킵하고 다른 문제부터 푼 후 다시 돌아와 이 문제를 풀었던 기억이 납니다. 저한테만 어려운 줄 알았는데 끝나고 보니 킬러 문제 중 한 문제였다는 것을 깨달았습니다. 굉장히 난이도 높은, 도형 문제라 생각합니다. 사인 법칙, 코사인 법칙, 원의 성질을 모두 사용해보아야겠다는 생각이 들었습니다.

내 풀이:

상세: 직선 CE를 연장하고 사분원을 완성해 반원을 만들게 되면 각 ACE가 90도이므로 반원과 직선의 교점은 직선 AO위에 있음을 알 수 있습니다. 각 CED를 θ라 하게 되면 sinθ = [eqn: {sqrt {2}} over {3}]이므로 사인법칙에 의해 선분 CD의 길이가 4임을 알 수 있습니다. 각 CAD를 α라 하면 그림에서 볼 수 있듯 sinα가 [eqn: {1} over {3}]임을 알 수 있고 따라서 cosα가 [eqn: {2 sqrt {2}} over {3}]임을 알 수 있습니다.

그렇게 되면 삼각형 CAD에서 코사인 법칙을 활용해 선분 AD의 길이를 찾을 수 있게 됩니다. AD는 당연히 [eqn: 4 sqrt {2}]보다 작아야 함도 활용하면 답을 구할 수 있습니다. 이외에도 다양한 방법으로 sin값, cos값을 구할 수 있고, 선분 AD 길이도 제가 제시한 방법 말고도 다양한 방법으로 구해갈 수 있다는 점을 꼭 기억해주셨으면 좋겠습니다.

답안지 해설:

분석: 답안지의 경우 마찬가지로 사분원, 직선을 연장해 선분 CD의 값을 찾아냈습니다. 이후에는 원에 내접하는 사각형의 성질을 활용해 cos(각 CDA)의 값을 구해 코사인법칙으로 선분 AD의 길이를 구한 것을 확인할 수 있습니다.

총평: 도형 문제의 경우에는 수1의 삼각함수 부분의 개념을 토대로 출제됩니다. 따라서 사인법칙, 코사인법칙의 사용이 거의 필수입니다. 주어진 도형이 어떻게 얽혀 있는지를 확인한 후 이러한 법칙을 어떻게 적용할지 고민하는 것이 중요합니다. 외접원의 반지름 길이를 주었다면 각 하나, 변 하나를 찾아 사인법칙을 적용하고, 두 변의 길이와 그 사이 끼인 각에 대한 것은 코사인 법칙을 적용합니다. 또한, 원이 나올 경우 원과 관련된 도형의 성질들도 활용해야 한다는 점도 꼭 기억해야 합니다.

도형 문제는 사인법칙/코사인 법칙의 적용을 요구하므로 주어진 도형의 상황에 맞추어 이를 어떻게 적용할지 떠올리자

원이 함께 나온다면 원과 도형의 성질을 사용해보자(접선, 내접하는 삼각형, 내접하는 사각형, 원주각, 중심각 등)

12. 22번(4점)

22번 문항은 ebs 기준으로 오답률 1위를 차지한 문제입니다. 무려 오답률이 98.2%입니다. 이번 시험에서 가장 어려운 문제라 할 수 있을 것 같습니다.

다시보기: 정말 충격적인 문제로, 이번 시험에서 가장 어려웠던 문제라 생각하는 문제입니다. 처음 이 문제를 보았을 때 제 본능은 당연히 이 문제를 스킵해야 한다고 알려줬습니다. 이후 거의 마지막에 이 문제를 풀었던 기억이 나는데, 그마저도 꽤 헤매고 고민해서 상당히 오랜 시간이 걸렸던 기억이 납니다.

내 풀이

상세: 우선 g(x)에 절댓값을 쓴 값이 f(x)이므로 f(x)는 실수 전체 집합에서 0보다 크거나 같아야 합니다. 또한 주어진 식을 통해 g(x)의 우미분계수가 f’(x)에 절댓값을 쓴 값임을 파악할 수 있습니다. f(x)는 서로 다른 세 극값을 가지는 사차함수이므로 g(x)가 불연속인 점이 생긴다는 것을 알 수 있고, g(x)h(x)가 모든 실수에서 연속이므로 h(x)가 그것을 커버(?)쳐주는 방향이 되어야 한다고 생각할 수 있습니다.

만약 f(x) = 0의 근이 존재하지 않는다면 g(x)의 우미분계수가 0보다 크거나 같다는 조건으로 인해 g(x)가 불연속인 부분이 3번 생겨서 h(x)가 커버칠 수 없게 됩니다. 따라서 f(x)=0은 근을 가져야 합니다. f(x)의 그래프 개형은 두 극솟값 중 어느 쪽이 더 작은가에 따라서 두 형태가 나오게 됩니다. g(x)h(x)가 연속이려면 g(x)가 불연속일 때 h(x)=0이거나 h(x)의 부호도 그 점을 기점으로 바뀌어야 커버칠 수 있습니다.

h(x)=0인 점은 최대 한 개밖에 나올 수 없으므로 반드시 h(x)가 절댓값은 같으나 좌우에서 부호가 바뀌는 점을 가져야 합니다. 따라서 a값이 [eqn: {1} over {2}]이 됩니다. 한편, g(x)가 -[eqn: {1} over {2}], [eqn: {1} over {2}]에서 불연속임을 알 수 있고 g(0)이 양수이므로 위 그림에서 ①경우가 맞음을 알 수 있습니다. 참고로 g(x)가 a에서 불연속일 때 g(a) = [eqn: lim _{x-> a+} {g(x)}]여야 합니다.

그렇게 되면 f(x)의 두 극값의 x좌표가 -[eqn: {1} over {2}], [eqn: {1} over {2}]임을 알 수 있고 f(0) = g(0) = [eqn: {40} over {3}]을 활용해 f(x)의 식을 찾아낼 수 있습니다. g(1) = -f(1)이고 h(3)의 값도 구할 수 있으므로 답을 도출할 수 있습니다.

답안지 해설

분석: 답안지도 모든 실수에 대해 f(x)가 0보다 크거나 같음을 찾아냈음을 확인할 수 있습니다.

g(x)의 우미분계수가 0보다 크거나 같아야 하는 점을 활용해 f(x)와 g(x)의 관계식을 x의 범위에 따라 구하고 있음을 알 수 있습니다.

그 다음 두 극솟값이 0이 있냐, 없냐에 따라 경우를 나누고 있습니다.

그리고 h(x)가 최대 2번까지밖에 커버 쳐줄 수 없다는 것을 찾아낸 후 a의 값을 구하고 g(x)가 불연속인 x좌표를 찾아감을 확인할 수 있습니다.

또 g(0) = [eqn: {40} over {3}]임을 활용해 두 극솟값 중 어느 것이 0인지 파악하는 모습을 확인할 수 있습니다.

그 후 f(0) = [eqn: {40} over {3}]이고 극솟값 중 하나가 0임을 활용해 f(x) 식을 완성해 답을 구하는 것을 확인할 수 있습니다.

총평: 이번 시험 속 많고 많은 어려운 문제들이 있었지만 이 문제는 그것들보다 한 차원 높은 어려움을 지닌 문제라 할 수 있을 것 같습니다. 함수의 그래프를 추론하는 능력, 연속성에 대한 이해 등을 극도로 활용했고 계산또한 만만치 않은, 이번 시험 최흉최악의 문제라 할 수 있습니다. 저도 풀이를 하면서 꽤 압축한 부분이 있지만 실제로 저 아이디어를 생각해내려면 정말로 많은 경우를 고려해야 하고 굉장히 오래 고민해야합니다. 풀이를 하며 가장 애먹은 문제가 아닌가 싶습니다. 이런 킬러 문제를 비교적 쉽게 접근하기 위해서는 우선 문제에서 제시하는 조건이 과연 무엇을 의미하는지 곰곰이 떠올려야 합니다. 바로 체감이 오지 않는다면 직접 그래프들을 그려보며, 몸으로 부딪치며 이해해야 합니다. 문제의 조건 속에서 숨겨진 정보를 극도로 찾아내 활용해야 합니다. 절댓값으로 식이 표현되어있으면 그렇지 않은 쪽은 항상 0보다 크거나 같다는 정보를 활용해야 하는 등으로요. 비슷한 문제를 접하며 이러한 문제들이 가지고 있는 공통의 요소를 자신만의 방식으로 정리해 시도해야 합니다. 연속성을 물어보는 문제의 경우 대다수가 불연속인 함수가 하나 이상 끼여 있으므로 이를 커버칠 수 있도록 식을 짜는 것이 좋습니다.

문제의 조건을 내 것으로 만들자(바로 이해가 되지 않는다면 직접 부딪치며 습득하자)

문제에서 조건 속 숨겨진 정보를 극도로 활용해야 한다.

연속성 문제에서는 불연속인 부분을 커버치는 방안으로 식을 짜본다.

13. 28번(4점)

28번 문항은 ebs 기준으로 오답률 11위로, 오답률은 62.6%입니다. 다만, 객관식임을 감안해야 하고, 28번까지 모두 옳게 풀었다면 객관식 20문제 중 2번 선지, 3번 선지가 모두 3개씩 나와 2번, 3번 중 하나로 찍은 학생들이 꽤 있는 점으로 미루어 보아, 본 문제는 이번 시험 객관식 문제 중 상당히 어려운 축에 속하는 것으로 추측됩니다.

다시 보기: 이 문제를 보았을 때도 상당히 당황했습니다. 굉장히 신박한 접근을 해야 풀 수 있었고 식이 매우 복잡하게 나와 굉장히 당혹스러웠습니다. 근의 합을 삼각함수의 덧셈정리를 통해 구해야 하는 부분이 특히 인상적이었던, 초고난도의 문제였습니다.

내 풀이:

상세: (가) 조건으로 a, b, k값을 바로 구해낼 순 없어서 우선 (가) 조건을 통해 몇 개의 관계식을 세워두었습니다. 그리고 (나) 조건을 풀어서 어떤 값이 근으로 나올 수 있는지 살펴보았습니다.

식을 정리해 (나)에서의 근을 관계식을 활용해 찾아냈습니다. 그 다음 그 근의 합이 [eqn: {pi } over {4}]이고 근 들이 tan의 관계식으로 나오므로 삼각함수의 덧셈정리를 활용했습니다. 참고로 (나) 조건에서 도출되는 두 근은 항상 서로 다릅니다.

그렇게 삼각함수의 덧셈정리를 활용해 a값에 대한 식을 구했고, tanb의 값을 구할 때도 삼각함수의 덧셈정리(배각공식)을 활용해 a에 대한 식으로 표현한 후 식들을 대입하고 정리해 tanb의 값을 구했습니다.

답안지 해설

분석: 답안지도 제 풀이와 같은 방식으로 답을 구해내고 있음을 확인할 수 있습니다. a, b에 대한 식을 세우고, (나)조건에서 삼각함수의 덧셈정리를 사용합니다.

그리고 a의 값을 구할 수 있는, a에 대한 식을 만든 후 tanb의 값을 다시 삼각함수의 덧셈정리로 a에 대하여 표현해 구했음을 확인할 수 있습니다.

총평: 근의 합을 삼각함수의 덧셈정리를 활용해 구해야 하는 점이 특히 인상적인 문제였습니다. 또, 문제의 형태와 식의 복잡도도 너무 높아 “내가 바르게 구하고 있는 건가?”라는 의문이 끝없이 들게 만드는 문제였습니다. 이 문제 역시 문제에서 제공하는 조건에 의존해 그를 토대로 답을 도출해야 하는 문제였습니다. 주어진 문자를 바로 구할 수 없을 때는 문자들 간에 관계식을 세워 놓아야 함도 알려주는 문제였습니다.

조건에서 문자의 값이 바로 나오지 않아도 관계식을 세워 두고 문제를 풀어야 한다.

문제의 조건을 최우선으로 생각해 이에 끼워 맞추며 문제를 풀어나가야 한다.

14. 29번(4점)

29번 문항은 ebs 기준으로 오답률 3위로, 오답률은 무려 95.9%입니다. 이번 시험의 킬러 문제 중 하나라고 보아도 될 것 같습니다.

다시 보기: 이 문제에서 개인적으로 저는 가장 애먹었습니다. 시험장에서 접근을 할 때 조금 계산이 복잡한 접근법을 택해 시험종이 치기 직전까지도 계산 실수와 관련된 트러블을 겪은 문제입니다. 문자를 하나 더 둔 후 그 문자를 θ에 대해 미분하는, 매개변수 미분, 음함수 미분을 사용하는 도형 문제였습니다.

내 풀이:

상세: 이 풀이는 우선 정석에 가까운 풀이입니다. 각 APD를 α로 잡게 되면 코사인법칙을 활용해 [eqn: {f( theta )} ^{2} =`5-4cos( theta + alpha )]임을 구할 수 있습니다. 또 삼각형 APD에서 사인법칙을 활용하면 α와 θ간의 관계식을 구할 수 있게 되고 이를 바탕으로 미분, 매개변수 미분으로 f’([eqn: theta _{0}])의 값을 찾을 수 있습니다.

이 풀이는 조금 색다른 풀이로 각으로 θ만을 활용해 구하는 방법입니다. 선분 AP의 길이를 x, 선분 AQ의 길이를 y로 두고 코사인법칙을 활용해 x와 θ, x와 y간의 관계식을 구해 문제를 해결해나가는 방법입니다. 이렇게 이 문제는 각을 어떻게 잡느냐, 변으로 잡느냐 등으로 다양한 풀이법이 존재하는 문제입니다.

답안지 해설:

분석: 답안지에서는 제 처음 풀이와 같은 방식으로 문제를 해결한 것을 확인할 수 있습니다.(사실 제가 답안지의 풀이와 같은 방식으로 해결했다고 보는 것이 더 맞는 것 같습니다.)

총평: 매개변수 미분과 음함수 미분을 잘 활용해야 하는 미적분의 도형 문제였습니다. 이들은 개념 자체가 굉장히 헷갈리고 어렵기 때문에 문제 자체가 단순해도 그 문제의 난도가 상당히 높습니다. 그러므로 매개변수 미분, 음함수 미분에 대한 개념을 확실히 다져야 합니다. 또한 미적분의 도형 문제도 사인법칙, 코사인법칙의 사용을 요구하므로 이를 활용할 방안도 떠올려야 합니다. 도형 문제를 푸는 방법은 많지만 이 중 가장 쉽고, 짧고, 실수가 적은 방식으로 문제를 풀어나가는 것이 중요합니다.

매개변수, 음함수 미분 등 미적분 기초 개념을 확실히 다지자.

사인법칙, 코사인법칙은 모든 도형 문제에서 거의 필수로 사용됨을 기억하자.

가장 쉽고, 짧고, 실수가 적은 방식을 떠올리려 고민하자.

15. 30번(4점)

30번 문항은 ebs 기준으로 오답률 2위로, 오답률은 무려 96.7%입니다. 이번 시험의 킬러 문제 중 하나라고 보아도 될 것 같습니다.

다시보기: 이 문제는 킬러 문제였지만, 수열, 급수와 관련된 문제여서 접근하기에 비교적 수월했습니다. 하지만, 킬러문제 답게 고도의 추론, 식 정리 능력을 활용해야 하는 문제였습니다.시험장에서 우선 “저 p가 의미하는 것이 과연 무엇일까?”를 고민한 후 문제를 해결해나간 기억이 납니다.

내 풀이:

상세: 우선 [eqn: sum _{n=1} ^{m} {a _{n}} over {b _{n}}]의 값이 최소가 되려면 [eqn: a _{p}]의 절댓값이 마지막으로 α보다 크거나 같아야 함을 알 수 있습니다. 그렇게 되면 (가) 조건에서 찾을 수 있는 식과 (나) 조건에서 p에 대한 정보를 바탕으로 도출한 식을 합쳐 r과 p에 관한 식을 얻어낼 수 있습니다.

그 후 (나)의 또 다른 식을 활용하게 되면 p가 사라지면서 a와 r에 관한 식이 도출되고 이를 토대로 a, r, p의 값을 모두 찾아 답을 구할 수 있게 됩니다. 참고로 (가) 조건에서 공비가   –1과 1사이여야 함을 알 수 있고 이를 통해 수열 {[eqn: {a _{n} }]}의 절댓값은 계속 감소함을 알 수 있습니다.

답안지 해설:

분석: 답안지에서도 우선 (가) 조건으로 식을 하나 도출한 후 [eqn: sum _{n=1} ^{m} {a _{n}} over {b _{n}}]가 최소가 되기 위한 경우를 나누고, 그 때의 m값을 통해 식을 도출했습니다.

그리고 p(답안지에서는 k)에 대한 조건으로 (나) 식들을 변형했고 이들을 연립해 마찬가지로 a, r, p의 값을 구해냈음을 확인할 수 있습니다.

총평: 수열 문제였고 경우의 수가 많이 나오지 않아 식 연립으로 비교적 수월하게 풀어낼 수 있었던 30번이었던 것 같습니다. 하지만 [eqn: sum _{n=1} ^{m} {a _{n}} over {b _{n}}]이 최소가 되기 위한 조건을 떠올리지 못했다면 상당히 고전했을 것입니다. 수열 문제에서 가장 중요한 것은 규칙성이라고 생각합니다. 이 문제또한 직접 부딪치면서, 규칙성을 몸과 머리로 느끼고 이를 수식화, 문자화해 전개해나가야 한다고 생각합니다.

주어진 조건을 만족시키기 위한 경우의 수를 분석해보고 그 조건이 가리키는 정보를 파악해 내자.

수열 문제의 경우 때론 직접 부딪치며 조건이 제공하는 정보, 규칙성을 찾는 것이 중요하다.

번외) 이번 수학 문제에 대한 주관적인 난이도 서열표

(본 서열표는 재미용이며 주관적이고 개인차가 존재함을 고려해주시기 바랍니다)

7층: 22번

6층: 21번, 28번, 29번, 30번

5층: 12번, 13번, 14번, 20번

4층: 9번, 10번, 11번, 15번

3층: 7번, 8번, 18번, 19번, 25번, 26번, 27번

2층: 5번, 6번, 16번, 17번, 24번

1층: 1번, 2번, 3번, 4번, 23번

총평: 이번 시험에 대한 제 주관적인 의견은 “그냥 어렵다”입니다. 킬러 하나가 유독 어려웠다고 보기도 힘들고, 그렇다고 킬러 문제가 없었다고 보기도 힘든 시험이지 않나 싶습니다. 까다로운 3점 문항, 어려운 4점 문항, 다수의 준킬러 및 킬러 문항이 이번 시험의 등급컷을 낮추는데 일조했다고 생각합니다. 그렇기 때문에 하위권, 중위권, 상위권, 최상위권 전 수험생이 어렵다 느꼈을 시험이고, 시간 부족/문제의 절대적 난이도 모두 이번 수학 시험의 난이도 및 등급컷에 영향을 주었으리라 생각합니다. 그러므로 이번 시험을 못 쳤다고 해서 자책할 필요는 없을 것 같습니다. 다만, 본 수능 시험 때에도 이번 시험과 같이 매우 어렵게 출제될 수 있음을 고려할 때, 이번 시험에 대한 철저한 분석 및 리뷰가 여러분의 수학 실력 성장에 큰 보탬이 되리라 여겨집니다. 이번 시험을 통해 시간 관리 능력 및 수학적 사고력을 증가해 본 수능 때 좋은 결과 얻을 수 있기를 기원합니다. 감사합니다.