2026학년도 9모 대비 글경붕이 카피 모의고사

수학 영역

제 1.5교시

	수학영역	고3

5지선다형

[eqn: LEFT ( - sqrt {2} RIGHT ) ^{4} TIMES 8 ^{- {2} over {3}}]의 값은? [2점]

①

[출제의도] 지수법칙을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가?

[eqn: (- sqrt {2} ) ^{4} ` TIMES `8 ^{- {2} over {3}} `][eqn: = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{4} TIMES LEFT ( 2 ^{{1} over {2}} RIGHT ) ^{4} TIMES LEFT ( 2 ^{3} RIGHT ) ^{- {2} over {3}}]
[eqn: =1 TIMES 2 ^{{1} over {2} TIMES 4} TIMES 2 ^{3 TIMES LEFT ( - {2} over {3} RIGHT )}]
[eqn: =2 ^{2} TIMES 2 ^{-2}]
[eqn: =2 ^{2+ LEFT ( -2 RIGHT )}]
[eqn: =`2 ^{0} `]
[eqn: =1]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +9]에 대하여 [eqn: lim _{h -> 0} {} {f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {h}]의 값은? [2점]

②

[출제의도] 미분계수를 구할 수 있는가?

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +9]에서

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x ^{2}]

이므로

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f(2+h)-f(2)} over {h}}][eqn: =f`' LEFT ( 2 RIGHT )]
[eqn: =3 TIMES 2 ^{2}][eqn: =12]

① [eqn: 11`]	② [eqn: 12`]	③ [eqn: 13`]	④ [eqn: 14`]	⑤ [eqn: 15`]

[eqn: {pi } over {2} < theta `<pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: cos ^{2} ` theta][eqn: = {4} over {9}]일 때, [eqn: sin ^{2} ` theta +cos` theta]의 값은? [3점]

④

[출제의도] 삼각함수의 정의를 이해하고, 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가?

[eqn: cos ^{2} `theta= {4} over {9}]이고

[eqn: {pi } over {2} < theta < pi]일 때 [eqn: cos` theta <0]이므로

[eqn: cos`theta=it- {2} over {3}]

한편, [eqn: sin ^{2} `theta+cos ^{2} `theta=1]이므로

[eqn: sin ^{2} `theta][eqn: =1-cos ^{2} ` theta]
[eqn: =1- {4} over {9}]
[eqn: = {5} over {9}]

따라서

[eqn: sin ^{2} ` theta +cos` theta][eqn: = {5} over {9} + LEFT ( - {2} over {3} RIGHT )]
[eqn: = it - {1} over {9}]

① [eqn: - {4} over {9}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: - {2} over {9}]	④ [eqn: - {1} over {9}]	⑤ [eqn: 0]

함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

②

[출제의도] 함수의 좌극한과 우극한을 구할 수 있는가?

[eqn: x`` -> ``0-]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `` -> ``-2]이고

[eqn: x`` -> ``1+]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `` -> ``1]이므로

[eqn: lim _{x`->`0-} {f LEFT ( x RIGHT )} + lim _{x`->`1+} {f LEFT ( x RIGHT )}]

[eqn: =][eqn: -2+1][eqn: =it-1]

[eqn: lim _{x -> 0-} {} f LEFT ( x RIGHT ) + lim _{x -> 1+} {} f LEFT ( x RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

③

[출제의도] 등비수열의 항의 값을 구할 수 있는가?

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 모든 항이 양수이므로

공비를 [eqn: r]([eqn: r>0])라 하면

[eqn: a_2 +a_3][eqn: =a _{1} `r+a _{1} `r ^{2}]
[eqn: = 1 over4 r + 1 over4 r^2 = 3 over2]

[eqn: r^2 +r-6=0], [eqn: (r+3)(r-2)=0]

[eqn: r>0]이므로 [eqn: r=2]

따라서

[eqn: a_6 + a_7][eqn: =a _{1} `r ^{5} +a _{1} `r ^{6}]
[eqn: = 1 over4 times2^5 + 1 over4 times2^6]
[eqn: =24]

[eqn: a _{1}][eqn: = {1} over {4}], [eqn: a _{2} +a _{3}][eqn: = {3} over {2}]

일 때, [eqn: a _{6} +a _{7}]의 값은? [3점]

① [eqn: 16`]	② [eqn: 20`]	③ [eqn: 24`]	④ [eqn: 28`]	⑤ [eqn: 32`]

두 양수 [eqn: a,~b]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

⑤

[출제의도] 함수의 연속의 정의를 이해하고 이를 이용하여 미정계수의 값을 구할 수 있는가?

함수 [eqn: LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x][eqn: = it -1], [eqn: x=3]에서 연속이어야 한다.

(ⅰ) 함수 [eqn: LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |]가 [eqn: x][eqn: = it -1]에서 연속이므로
[eqn: lim _{x -> -1-} {} LEFT | f(x) RIGHT |][eqn: =][eqn: lim _{x -> -1+} {} LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |][eqn: = LEFT | `f LEFT ( -1 RIGHT ) ` RIGHT |]
이어야 한다. 이때
[eqn: lim _{x -> -1-} {} LEFT | f(x) RIGHT |][eqn: = lim _{x -> -1-} {} LEFT | `x+a` RIGHT |][eqn: = LEFT | `-1+a` RIGHT |],
[eqn: lim _{x -> -1+} {} LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |][eqn: = lim _{x -> -1+} {} LEFT | `x` RIGHT |][eqn: =1],
[eqn: LEFT | `f LEFT ( -1 RIGHT ) ` RIGHT |][eqn: = LEFT | `-1` RIGHT |][eqn: =1]
이므로
[eqn: LEFT | -1+a RIGHT |=1]
[eqn: a>0]이므로 [eqn: a][eqn: =2]

(ⅱ) 함수 [eqn: LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |]가 [eqn: x][eqn: =3]에서 연속이므로
[eqn: lim _{x -> 3-} {} LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |][eqn: = lim _{x -> 3+} {} LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |][eqn: = LEFT | `f LEFT ( 3 RIGHT ) ` RIGHT |]
[eqn: lim_x->3-{ LEFT | f(x) RIGHT |][eqn: = lim _{x -> 3-} {} LEFT | `x` RIGHT |][eqn: =3],
[eqn: lim _{x -> 3+} {LEFT | f(x) RIGHT |}][eqn: = lim _{x -> 3+} {} LEFT | `bx-2` RIGHT |][eqn: = LEFT | 3b-2RIGHT |],
[eqn: LEFT | `f LEFT ( 3 RIGHT ) ` RIGHT |][eqn: = LEFT | `3b-2` RIGHT |]
이므로
[eqn: LEFT | 3b-2RIGHT | =3]
[eqn: b>0]이므로 [eqn: b= {5} over {3}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: a+b][eqn: =2+ {5} over {3}][eqn: = 11 over3]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{eqalign{~x+a# }&eqalign{~~~ LEFT ( x< it -1 RIGHT )# }#pile{eqalign{~x# }#~bx-2}&pile{eqalign{~~~ LEFT ( -1<x<3 RIGHT )# }#LEFT ( x GEQ 3 RIGHT )}}}]

이다. 함수 [eqn: LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: a+b]의 값은? [3점]

① [eqn: {7} over {3}]	② [eqn: {8} over {3}]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {10} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {3}]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ `0,~pi` RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it -sin`2x]가 [eqn: x][eqn: =a]에서 최댓값을 갖고 [eqn: x][eqn: =b]에서 최솟값을 갖는다. 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )] 위의 두 점 [eqn: LEFT ( a,~f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT )], [eqn: LEFT ( b,~f LEFT ( b RIGHT ) RIGHT )]를 지나는 직선의 기울기는? [3점]

④

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이해하여 곡선 위의 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구할 수 있는가?

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-sin2x]의 주기는 [eqn: {2pi} over {2}][eqn: =][eqn: pi]이므로

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x= {pi} over {4}]일 때 최솟값

[eqn: f LEFT ( {pi} over {4} RIGHT )][eqn: = it -sin` {pi} over {2}][eqn: = it -1]

을 갖고, [eqn: x= {3} over {4} pi]일 때 최댓값

[eqn: f LEFT ( {3} over {4} pi RIGHT )][eqn: = it -sin` {3} over {2} pi][eqn: =1]

따라서 [eqn: a][eqn: = {3} over {4} pi], [eqn: b][eqn: = {pi} over {4}]이므로 두 점 [eqn: LEFT ( {3} over {4} pi,~1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( {pi} over {4} ,~-1 RIGHT )]을 지나는 직선의 기울기는

[eqn: {-1-1} over {{pi} over {4} - {3} over {4} pi}][eqn: = {2} over {{pi} over {2}}][eqn: = {4} over {pi}]

① [eqn: {1} over {pi}]	② [eqn: {2} over {pi}]	③ [eqn: {3} over {pi}]	④ [eqn: {4} over {pi}]	⑤ [eqn: {5} over {pi}]

실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]의 최솟값은? [3점]
① [eqn: 21`]	② [eqn: 22`]	③ [eqn: 23`]	④ [eqn: 24`]	⑤ [eqn: 25`]

③

[출제의도] 평균값의 정리를 이용하여 함수의 최솟값을 구할 수 있는가?

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 닫힌구간 [eqn: LEFT [ `1,~5` RIGHT ]]에서 연속이고 열린구간 [eqn: LEFT ( 1,~5 RIGHT )]에서 미분가능하므로 평균값의 정리에 의하여

[eqn: {f LEFT ( 5 RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {5-1}][eqn: =f`' LEFT ( c RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

를 만족하는 상수 [eqn: c]가 열린구간 [eqn: LEFT ( 1,~5 RIGHT )]에 적어도 하나 존재한다.

이때, 조건 (나)에 의하여

[eqn: f`' LEFT ( c RIGHT ) GEQ 5]

이므로 ㉠에서

[eqn: {f LEFT ( 5 RIGHT ) -3} over {4} GEQ 5]

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) GEQ 23]

따라서 [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: 23]이다.

(가) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =3]

(나) [eqn: 1<x<5]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: GEQ 5]이다.

두 함수

⑤

[출제의도] 도함수를 활용하여 함수의 최솟값을 구하고 이를 부등식에 활용할 수 있는가?

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -x ^{2} -x+6-a]

이때 [eqn: x GEQ 0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]이 성립하려면 [eqn: x GEQ 0]에서 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값이 [eqn: 0] 이상이어야 한다.

[eqn: h`prime(x)][eqn: =3x^2 -2x-1]
[eqn: =(3x+1)(x-1)]

이므로

[eqn: h' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]

에서

[eqn: x][eqn: = it - {1} over {3}] 또는 [eqn: x][eqn: =1]

[eqn: x GEQ 0]에서 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: 0]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 1]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: h' LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: 6-a]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 5-a]	[eqn: NEARROW]

즉, [eqn: x ge 0]에서 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값이 [eqn: 5-a]이므로 주어진 조건을 만족시키려면 [eqn: 5-a GEQ 0]이어야 한다.

따라서 [eqn: a LEQ 5]이므로 구하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 5]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -x+6], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} +a]

가 있다. [eqn: x GEQ 0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ g LEFT ( x RIGHT )]

가 성립할 때, 실수 [eqn: a]의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

그림과 같이 [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =3], [eqn: {bar{rm BC}}][eqn: = it 2], [eqn: {bar{rm AC}}][eqn: >3]이고 [eqn: cos` LEFT ( ANGLE rm BAC RIGHT )][eqn: = {7} over {8}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmAC]의 중점을 [eqn: rmM], 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원이 직선 [eqn: rmBM]과 만나는 점 중 [eqn: rmB]가 아닌 점을 [eqn: rmD]라 할 때, 선분 [eqn: rmMD]의 길이는? [4점]

③

[출제의도] 코사인법칙을 이용하여 변의 길이를 구할 수 있는가?

[eqn: ANGLE rm BAC][eqn: = theta], [eqn: {bar{rm AC}}][eqn: =a]라 하면 삼각형 [eqn: rm triangleABC]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm BC}} ^{2}][eqn: = {bar{rm AB}} ^{2} + {bar{rm AC}} ^{2} -2 TIMES {bar{rm AB}} TIMES {bar{rm AC}} TIMES cos` theta]

즉,

[eqn: 2 ^{2} =3 ^{2} +a ^{2} -2 TIMES 3 TIMES a TIMES {7} over {8}]

[eqn: a ^{2} - {21} over {4} a+5][eqn: =0]

[eqn: 4a ^{2} -21a+20][eqn: =0]

[eqn: LEFT ( 4a-5 RIGHT ) LEFT ( a-4 RIGHT )][eqn: =0]

따라서 조건에서 [eqn: a>3]이므로 [eqn: a][eqn: =4]

같은 방법으로 삼각형 [eqn: rmABM]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm MB}} ^{2}][eqn: = {bar{rm AB}} ^{2} + {bar{rm AM}} ^{2} -2 TIMES {bar{rm AB}} TIMES {bar{rm AM}} TIMES cos` theta]

[eqn: =3 ^{2} +2 ^{2} -2 TIMES 3 TIMES 2 TIMES {7} over {8}]

[eqn: = {5} over {2}]

이므로

[eqn: {bar{rm MB}}][eqn: = sqrt {{5} over {2}}][eqn: = {sqrt {10}} over {2}]

이때 두 삼각형 [eqn: rmABM], [eqn: rmDCM]은 서로 닮은 도형이므로

[eqn: {bar{rm MA}} TIMES {bar{rm MC}}][eqn: = {bar{rm MB}} TIMES {bar{rm MD}}]

에서

[eqn: 2 times 2][eqn: = {sqrt {10}} over {2} TIMES {bar{rm MD}}]

따라서

[eqn: {bar{rm MD}}][eqn: = {8} over {sqrt {10}}][eqn: = {4sqrt10} over {5}]

① [eqn: {3 sqrt {10}} over {5}]	② [eqn: {7 sqrt {10}} over {10}]	③ [eqn: {4 sqrt {10}} over {5}]	④ [eqn: {9 sqrt {10}} over {10}]	⑤ [eqn: r10]

단답형

방정식 [eqn: log` _{2} ` LEFT ( x+2 RIGHT ) +log` _{2} ` LEFT ( x-2 RIGHT )][eqn: =5]를 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 6]

[출제의도] 로그방정식의 해를 구할 수 있는가?

진수 조건에서

[eqn: x+2 >0]이고 [eqn: x-2>0]

이어야 하므로

[eqn: x>2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: log` _{2} ` LEFT ( x+2 RIGHT ) +log` _{2} ` LEFT ( x-2 RIGHT )][eqn: =log` _{2} ` LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]
[eqn: =log _{2} (x ^{2} -4)]
[eqn: = 5]

에서

[eqn: x^2 - 4][eqn: =2 ^{5}]

[eqn: x^2 = 36]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: x][eqn: =6]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =8x ^{3} +6x ^{2}]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = it -1]일 때, [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 15]

[출제의도] 부정적분을 이용하여 함숫값을 구할 수 있는가?

[eqn: f(x)][eqn: = int _{} ^{} {} LEFT ( 8x ^{3} +6x ^{2} RIGHT ) `dx]
[eqn: = 2x^4 +2 x^3 + C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

이므로

[eqn: f(0)][eqn: = C][eqn: = -1]

따라서

[eqn: f(x)][eqn: = 2x^4 + 2x^3 - 1]

그러므로

[eqn: f(-2)][eqn: = 32-16-1][eqn: =15]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 4k+a RIGHT )][eqn: =250]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 3]

[출제의도] 수열의 합의 기호의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 상수의 값을 구할 수 있는가?

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 4k+a RIGHT )][eqn: =4 sum _{k=1} ^{10} k+10a]
[eqn: =4 TIMES {10 TIMES 11} over {2} +10a]
[eqn: =220+10a]

즉, [eqn: 220+10a=250]이므로

[eqn: 10a=30]

따라서

[eqn: a][eqn: =3]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{4} +ax ^{2} +b]는 [eqn: x][eqn: =1]에서 극소이다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값이 [eqn: 4]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

[eqn: 2]

[출제의도] 사차함수의 극대, 극소를 구할 수 있는가?

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{4} +ax ^{2} +b]에서

[eqn: f prime (x)=4x ^{3} +2ax]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x][eqn: =1]에서 극소이므로

[eqn: f prime (1)=4+2a=0]

에서

[eqn: a=-2]

그러므로

[eqn: f prime (x)][eqn: =4x ^{3} -4x][eqn: =4x LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )]

이므로 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]에서

[eqn: x][eqn: = it -1] 또는 [eqn: x][eqn: =0] 또는 [eqn: x][eqn: =1]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 극댓값 [eqn: 4]를 가지므로

[eqn: f(0)][eqn: =b][eqn: =4]

따라서 [eqn: a+b][eqn: = LEFT ( -2 RIGHT ) +4][eqn: =2]

최고차항의 계수가 [eqn: 2]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{x} ^{x+1} {} LEFT | `f LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT | `dt]는 [eqn: x][eqn: =1]과 [eqn: x][eqn: =4]에서 극소이다. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 13]

[출제의도] 정적분으로 나타낸 함수를 이해하고 극솟값을 가질 조건을 구할 수 있는가?

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]이면

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{x} ^{x+1} {LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} dt]
[eqn: = int _{x} ^{x+1} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt]

이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 이차함수이고 이때 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 극소인 [eqn: x]의 값은 [eqn: 1]개뿐이다.

따라서 조건을 만족시키지 못한다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x- beta RIGHT )]([eqn: alpha < beta])라 하면

함수 [eqn: y][eqn: = LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |]의 그래프는 그림과 같고

[eqn: x][eqn: =1], [eqn: x][eqn: =4]에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 극소이므로

[eqn: g' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0], [eqn: g' LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =0]이다.

(ⅰ) [eqn: x< alpha `<x+1]일 때

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{x} ^{x+1} {} LEFT | `f LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT | `dt]
[eqn: = int _{x} ^{alpha } {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt+ int _{alpha } ^{x+1} {} LEFT { -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } `dt]
[eqn: = it - int _{alpha } ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt- int _{alpha } ^{x+1} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt]
[eqn: = it - int _{alpha } ^{x} {} 2 LEFT ( t- alpha RIGHT ) LEFT ( t- beta RIGHT ) `dt- int _{alpha } ^{x+1} {} 2 LEFT ( t- alpha RIGHT ) LEFT ( t- beta RIGHT ) `dt]
[eqn: = it - int _{alpha } ^{x} {} 2 LEFT ( t- alpha RIGHT ) LEFT ( t- beta RIGHT ) `dt- int _{alpha -1} ^{x} {} 2 LEFT ( t+1- alpha RIGHT ) LEFT ( t+1- beta RIGHT ) `dt]

이므로

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it -2 LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x- beta RIGHT ) -2 LEFT ( x+1- alpha RIGHT ) LEFT ( x+1- beta RIGHT )]

[eqn: g' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = it -2 LEFT ( 1- alpha RIGHT ) LEFT ( 1- beta RIGHT ) -2 LEFT ( 2- alpha RIGHT ) LEFT ( 2- beta RIGHT )]
[eqn: =6 alpha +6 beta -4 alpha beta -10][eqn: =0]

[eqn: 3 alpha +3 beta -2 alpha beta -5][eqn: =0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

(ⅱ) [eqn: x< beta `<x+1]일 때

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{x} ^{x+1} {} LEFT | `f LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT | `dt]
[eqn: = int _{x} ^{beta } {} LEFT { -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } `dt+ int _{beta } ^{x+1} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt]
[eqn: = int _{beta } ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt- int _{beta } ^{x+1} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt]
[eqn: = int _{beta } ^{x} {} 2 LEFT ( t- alpha RIGHT ) LEFT ( t- beta RIGHT ) `dt+ int _{beta } ^{x+1} {} 2 LEFT ( t- alpha RIGHT ) LEFT ( t- beta RIGHT ) `dt]
[eqn: = int _{beta } ^{x} {} 2 LEFT ( t- alpha RIGHT ) LEFT ( t- beta RIGHT ) `dt- int _{beta -1} ^{x} {} 2 LEFT ( t+1- alpha RIGHT ) LEFT ( t+1- beta RIGHT ) `dt]

이므로

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x- beta RIGHT ) +2 LEFT ( x+1- alpha RIGHT ) LEFT ( x+1- beta RIGHT )]

[eqn: g' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = it 2 LEFT ( 4- alpha RIGHT ) LEFT ( 4- beta RIGHT ) -2 LEFT ( 5- alpha RIGHT ) LEFT ( 5- beta RIGHT )]
[eqn: =82-18 alpha -18 beta +4 alpha beta][eqn: =0]

[eqn: 9 alpha +9 beta -2 alpha beta -41][eqn: =0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: alpha beta][eqn: = {13} over {2}]

이므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =2 alpha beta][eqn: =2 TIMES {13} over {2}][eqn: =13]

2026학년도 9모 대비 글경붕이 카피 모의고사

수학 영역(확률과 통계)

5지선다형

[eqn: 5]개의 문자 [eqn: a,~a,~a,~b,~c]를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는? [2점]

②

[출제의도] 같은 것이 있는 순열의 수를 구할 수 있는가?

[eqn: 5]개의 문자 중 [eqn: a]의 개수가 [eqn: 3]이므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 5! over 3!][eqn: =20]

① [eqn: 16`]	② [eqn: 20`]	③ [eqn: 24`]	④ [eqn: 28`]	⑤ [eqn: 52`]

주머니 [eqn: rmA]에는 [eqn: 1]부터 [eqn: 3]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 3]장의 카드가 들어 있고, 주머니 [eqn: rmB]에는 [eqn: 1]부터 [eqn: 5]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 5]장의 카드가 들어 있다.

①

[출제의도] 조건을 만족시키는 확률을 구할 수 있는가?

주머니 [eqn: rmA]에서 꺼낸 카드에 적혀있는 수를 [eqn: a], 주머니 [eqn: rmB]에서 꺼낸 카드에 적혀있는 수를 [eqn: b]라 하면

모든 순서쌍 [eqn: (a,~b)]의 개수는

[eqn: 3 times 5][eqn: =15]

이때 [eqn: LEFT | a-b RIGHT |][eqn: =1]인 순서쌍 [eqn: (a,~b)]는

[eqn: (1,~2)], [eqn: (2,~1)], [eqn: (2,~3)], [eqn: (3,~2)], [eqn: (3,~4)]이고

그 개수는 [eqn: 5]이다

따라서 구하는 확률은

[eqn: 5 OVER15][eqn: = 1 over3]

두 주머니 [eqn: rmA,~B]에서 각각 카드를 임의로 한 장씩 꺼낼 때, 꺼낸 두 장의 카드에 적힌 수의 차가 [eqn: 1]일 확률은? [3점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {7} over {15}]	④ [eqn: {8} over {15}]	⑤ [eqn: {3} over {5}]

수직선의 원점에 점 [eqn: rmP]가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
이 시행을 [eqn: 4]번 반복할 때, [eqn: 4]번째 시행 후 점 [eqn: rmP]의 좌표가 [eqn: 2] 이상일 확률은? [3점]

[출제의도] 독립사건의 확률과 여사건의 확률을 이용하여 조건을 만족시키는 확률을 구할 수 있는가?

주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수가 [eqn: 6]의 약수일 확률은

[eqn: 4 over 6][eqn: = 2 over3]

[eqn: 6]의 약수가 아닐 확률은

[eqn: 1- 2 over3][eqn: = 1 over3]

[eqn: 4]번째 시행 후 점 [eqn: rmP]의 좌표가 [eqn: 2] 이상이려면 [eqn: 4]번의 시행 중 주사위의 눈의 수가 [eqn: 6]의 약수인 경우가 [eqn: 2]번 이상이면 된다.

주사위의 눈의 수가 [eqn: 6]의 약수인 경우가 [eqn: 0]번일 확률은

[eqn: {}_4 rm C_0 LEFT ( 2 over3 RIGHT )^0 LEFT ( 1 over3 RIGHT )^4][eqn: = 1 over 81]

주사위의 눈의 수가 [eqn: 6]의 약수인 경우가 [eqn: 1]번일 확률은

[eqn: {}_{4} rm C _{1} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3}][eqn: = {8} over {81}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 1- LEFT ( {1} over {81} + {8} over {81} RIGHT )][eqn: =1- {1} over {9}][eqn: = {8} over {9}]

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가

[eqn: 6]의 약수이면 점 [eqn: rmP]를 양의 방향으로 [eqn: 1]만큼 이동시키고,

[eqn: 6]의 약수가 아니면 점 [eqn: rmP]를 이동시키지 않는다.

① [eqn: {13} over {18}]	② [eqn: {7} over {9}]	③ [eqn: {5} over {6}]	④ [eqn: {8} over {9}]	⑤ [eqn: {17} over {18}]

다항식 [eqn: LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) ^{4} LEFT ( x ^{3} +1 RIGHT ) ^{n}]의 전개식에서 [eqn: x ^{5}]의 계수가 [eqn: 12]일 때, [eqn: x ^{6}]의 계수는? (단, [eqn: n]은 자연수이다.) [3점]

②

[출제의도] 이항정리를 이용하여 다항식의 계수를 구할 수 있는가?

[eqn: (x^2 +4 )^4][eqn: =(x^4 +2x^2 +1 ) ^2]
[eqn: =x^8 +4x^6 +6x^4 +4x^2 +1]

또 [eqn: (x^3 +1)^n]의 일반항은

[eqn: {}_n rm C_{it r} it( x^3 ) ^r][eqn: = _{n} rm C _{it r} it x ^{3r] (단, [eqn: r][eqn: =0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: cdots], [eqn: n])

이때 [eqn: x^5]의 계수는

[eqn: r][eqn: =1]일 때

[eqn: 4x^2 times _n rm C_1 it x^3][eqn: =4n x^5]에서

[eqn: 4n]이므로

[eqn: 4n][eqn: =12]에서

[eqn: n=3]

따라서 [eqn: x^6]의 계수는

[eqn: r][eqn: =0]일 때

[eqn: 4x ^{6} TIMES _{3} rm C _{0} it][eqn: =4x ^{6}]에서 [eqn: 4]

[eqn: r][eqn: =2]일 때

[eqn: 1 TIMES _{3} rm C _{2} it x^6][eqn: =3x ^{6}]에서 [eqn: 3]

즉, [eqn: x ^{6}]의 계수는

[eqn: 4+3][eqn: =7]

① [eqn: 6`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 8`]	④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

네 문자 [eqn: a,~b,~X,~Y] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 6]개를 택해 일렬로 나열하려고 한다. 다음 조건이 성립하도록 나열하는 경우의 수는? [3점]

③

[출제의도] 중복순열의 수를 이용하여 조건을 만족시키는 경우의 수를 구할 수 있는가?

조건 (가)에서 양 끝에 나열되는 문자 [eqn: X], [eqn: Y] 중에서 중복을 허락하여 정하면 되므로

양 끝에 나열되는 문자를 정하는 경우의 수는

[eqn: {} _{2} SMALLPROD _{2}][eqn: =2^2][eqn: =4]

조건 (나)에서 문자 [eqn: a]의 위치를 정하는 경우의 수는

[eqn: 4]

나머지 [eqn: 3]곳에 나열한 문자는 [eqn: b], [eqn: X], [eqn: Y] 중에서 중복을 허락하여 정하면 되므로

나머지 [eqn: 3]곳에서 나열되는 문자를 정하는 경우의 수는

[eqn: {}_{3} SMALLPROD _{3}][eqn: =3 ^{3}][eqn: =27]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 4 times 4 times 27][eqn: =432]

(가) 양 끝 모두에 대문자가 나온다.

(나) [eqn: a]는 한 번만 나온다.

① [eqn: 384`]	② [eqn: 408`]	③ [eqn: 432`]	④ [eqn: 456`]	⑤ [eqn: 480`]

숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5] 중에서 서로 다른 [eqn: 4]개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 네 자리의 자연수 중에서 임의로 하나의 수를 택할 때, 택한 수가 [eqn: 5]의 배수 또는 [eqn: 3500] 이상일 확률은? [4점]

④

[출제의도] 확률의 덧셈정리를 이용하여 조건을 만족시키는 확률을 구할 수 있는가?

만들 수 있는 모든 네 자리 자연수의 개수는

[eqn: {}_5 rm P _4][eqn: =5 times 4 times 3 times 2]
[eqn: =120]

[eqn: 5]의 배수인 네 자리 자연수는

일의 자릿수가 [eqn: 5]이어야 하므로

[eqn: 5]의 배수는 네 자리 자연수의 개수는

[eqn: {}_4 rm P _3][eqn: =4 times 3 times 2]
[eqn: =24]

즉, 택한 수가 [eqn: 5]의 배수일 확률은

[eqn: 24 over 120][eqn: = 1 over 5]

또 천의 자릿수가 [eqn: 3]이고 [eqn: 3500] 이상인 네 자리 자연수의 개수는

[eqn: {}_3 rm P _2][eqn: = 3 times 2]
[eqn: =6]

천의 자릿수가 [eqn: 4]인 네 자리 자연수의 개수는

[eqn: {}_4 rm P _3][eqn: =4 times 3 times 2]
[eqn: =24]

천의 자리수가 [eqn: 5]인 네 자리 자연수의 개수는

[eqn: {}_4 rm P _3][eqn: =4 times 3 times 2]
[eqn: =24]

이므로 [eqn: 3500] 이상인 네 자리 자연수의 개수는

[eqn: 6+24+24][eqn: =54]

즉, 택한 수가 [eqn: 3500] 이상힐 확률은

[eqn: 54 over 120][eqn: = 9 over 20]

이때 [eqn: 5]의 배수이고 [eqn: 3500] 이상인 네 자리 자연수는 천의 자릿수가 [eqn: 4]이고 일의 자릿수가 [eqn: 5]인 경우이므로 그 개수는

[eqn: {}_3 rm P _2][eqn: = 3 times 2]
[eqn: =6]

즉, 택한 수가 [eqn: 5]의 배수이고 [eqn: 3500] 이상일 확률은

[eqn: 6 over 120][eqn: = 1 over 20]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 1 over 5 + 9 over 20 - 1 over 20][eqn: = 3 over5]

① [eqn: {9} over {20}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {11} over {20}]	④ [eqn: {3} over {5}]	⑤ [eqn: {13} over {20}]

단답형

집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f``:``X``` -> ``X]의 개수를 구하시오. [4점]

[eqn: 115]

[출제의도] 중복조합의 수를 이용하여 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구할 수 있는가?

[eqn: f(1)][eqn: =1]이면 조건 (가)에서 [eqn: f(1)][eqn: =4]이므로 모순이다.

(ⅰ) [eqn: f(1)][eqn: =2]
조건 (가)에서 [eqn: f(2)][eqn: =4]
[eqn: f(3)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: {}_4 rm H_2][eqn: =_5 rm C_2][eqn: =10]
[eqn: f(4)]의 값을 정하는 경우의 수는
[eqn: 5]
이 경우 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 10 times 5][eqn: =50]

(ⅱ) [eqn: f(1)][eqn: =3]
조건 (가)에서 [eqn: f(3)][eqn: =4]
[eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수는
[eqn: 2]
[eqn: f(2)], [eqn: f(4)]의 값을 정하는 경우의 수는
[eqn: 5times 5][eqn: =25]
이 경우 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 2 times 25][eqn: =50]

(ⅲ) [eqn: f(1)][eqn: =4]
조건 (가)에서 [eqn: f(4)][eqn: =4]
[eqn: f(3)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 4], [eqn: 5] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: {}_{2} rm H _{2}][eqn: = _{3} rm C _{2}][eqn: =3]
[eqn: f(2)]의 값을 정하는 경우의 수는
[eqn: 5]
이 경우 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 3 TIMES 5][eqn: =15]

(ⅳ) [eqn: f(1)][eqn: =5]인 경우
조건 (가)에서 [eqn: f(5)][eqn: =4]
이 경우 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ⅰ) ∼ (ⅳ)에서 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 50+50+15][eqn: =115]

(가) [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =4]

(나) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 3 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 5 RIGHT )]

주머니에 [eqn: 1]부터 [eqn: 12]까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 [eqn: 12]개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 작은 수부터 크기 순서대로 [eqn: a,~b,~c]라 하자. [eqn: b-a GEQ 5]일 때, [eqn: c-a GEQ 10]일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: 9]

[출제의도] 조건부확률을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 확률을 구할 수 있는가?

[eqn: b-a ge 5]인 사건을 [eqn: E], [eqn: c-a ge 10]인 사건을 [eqn: F]라 하면 구하는 확률은

[eqn: rmP( it F``|E)][eqn: ={rm P (it E cap F)} over {rmP (it E)}]이다.

모든 순서쌍 [eqn: (a,~b,~c)]의 개수는

[eqn: {}_12 rm C_3][eqn: =220]

이때 [eqn: b-a ge 5]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a,~b)]는

[eqn: (1,~6)], [eqn: (1,~7)], [eqn: (1,~8)], [eqn: cdots], [eqn: (1,~11)]

[eqn: (2,~7)], [eqn: (2,~8)], [eqn: cdots], [eqn: (2,~11)]

[eqn: VDOTS]

[eqn: (6,~11)]

[eqn: a][eqn: =1]일 때 [eqn: c]의 개수는

[eqn: 6+5+4+3+2+1][eqn: =21]

[eqn: a][eqn: =2]일 때 [eqn: c]의 개수는

[eqn: 5+4+3+2+1][eqn: =15]

[eqn: a][eqn: =3]일 때 [eqn: c]의 개수는

[eqn: 4+3+2+1][eqn: =10]

[eqn: a][eqn: =4]일 때 [eqn: c]의 개수는

[eqn: 3+2+1][eqn: =6]

[eqn: a][eqn: =5]일 때 [eqn: c]의 개수는

[eqn: 2+1][eqn: =3]

[eqn: a][eqn: =6]일 때 [eqn: c]의 개수는

[eqn: 1]

이므로 [eqn: b-a ge 5]를 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (a,~b,~c)]의 개수는

[eqn: 21+15+10+6+3+1][eqn: =56]

즉, [eqn: rmP ( it E)][eqn: = 56 over 220][eqn: = 14 over 55]

한편, [eqn: b-a ge 5]이고 [eqn: c-a ge 10]인 경우는

[eqn: a][eqn: =1], [eqn: c][eqn: =11]일 때

[eqn: b][eqn: =6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10]

[eqn: a][eqn: =1], [eqn: c][eqn: =12]일 때

[eqn: b][eqn: =6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10], [eqn: 11]

[eqn: a][eqn: =2], [eqn: c][eqn: =12]일 때

[eqn: b][eqn: =][eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10], [eqn: 11]

이므로 [eqn: b-a ge 5]이고 [eqn: c-a ge 10]인 모든 순서쌍 [eqn: (a,~b,~c)]의 개수는

[eqn: 5+6+5][eqn: =16]

즉, [eqn: rmP( itE cap F)][eqn: = 16 over 220][eqn: = 4 over 55]

따라서

[eqn: rmP( it F``|E)][eqn: ={rm P (it E cap F)} over {rmP (it E)}]
[eqn: = {{4} over {55}} over {{14} over {55}}]
[eqn: = {2} over {7}]

즉, [eqn: p][eqn: =7], [eqn: q][eqn: =2]이므로

[eqn: p+q][eqn: =7+2][eqn: =9]

①	②	④	②	③	⑤	④

③	⑤	③

[eqn: 6]	[eqn: 15]	[eqn: 3]	[eqn: 2]	[eqn: 13]

②	①	②	③	④

[eqn: 115]	[eqn: 9]