2026학년도 6월 모의고사 대비 METIS 모의고사

주요 문항 정답 및 해설

※ 전체 문항이 아닌, 해설이 필요할 것으로 여겨지는 일부 문항에 대한 해설만 수록되어 있습니다.

10.③

(가)에서 [eqn: S _{5} = {5(a _{1} +a _{5} )} over {2} =5a _{3} =10]이므로 [eqn: a _{3} =2], 같은 방법으로 [eqn: b _{3} =2]임을 알 수 있다.

[eqn: a _{3} =2,```a _{7} =14]이므로 [eqn: a _{n} =3n-7]이다.

(나)에서 [eqn: a_3 =b_3]이므로 [eqn: (3,3)]은 조건을 만족하는 순서쌍이다. 이때, [eqn: 3]이 아닌 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a _{k} =b _{k}]일 경우, 모든 자연수 [eqn: n]에 대해 [eqn: a _{n} =b _{n}]이므로 순서쌍이 [eqn: 5]개로 모순이다. 또한, [eqn: a _{1} =b _{5}] 또는 [eqn: a _{2} =b _{4}]라 가정하면, 두 등차수열의 공차가 부호만 다르고 절댓값이 같기 때문에, [eqn: (m,p)] 순서쌍이 [eqn: (1,5),`(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)] [eqn: 5]개로 모순이다.

[eqn: 3]보다 작은 자연수 [eqn: m]과, [eqn: 3]보다 큰 자연수 [eqn: p]에 대하여 [eqn: a_m =b_p]이면, [eqn: a_6-m =b_6-p](∵등차중항의 성질)이므로, 구하는 케이스는 [eqn: a _{1} =b _{2} ,`a _{1} =b _{4} ,```a _{2} =b _{1},a_2 =b_5]의 4가지 케이스이다.

	1	2	3	4	5
[eqn: a _{n}]	-4	-1	2	5	8
[eqn: b _{n}]	-10	-4	2	8	14
	14	8	2	-4	-10
	-1	[eqn: 1over2]	2	[eqn: 7over2]	5
	5	[eqn: {7} over {2}]	2	[eqn: {1} over {2}]	-1

따라서 모든 [eqn: b _{6}]의 값의 합[eqn: =(-16)+(- {5} over {2} )+20+ {13} over {2} =8]이다.

11.③

위 식의 양변에 [eqn: x=2]대입 시 [eqn: a= 9over2]이다.

연속함수 f(x)에 대해 정적분으로 정의된 함수 [eqn: int _{1} ^{x-1} {f(t)dt}] 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

따라서 주어진 식의 양변을 미분하면 [eqn: f(x-1)=3x ^{2} +9x+6=3(x+1)(x+2)]를 얻는다.

[eqn: x] 자리에 [eqn: x+1]을 대입하면 [eqn: f(x)=3(x+2)(x+3)] 이므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역의 넓이는 [eqn: LEFT | int _{-2} ^{-3} {f(x)dx} RIGHT | = 1over2]이다.

12. ①

점 [eqn: A]의 좌표를 [eqn: ( alpha ,`4 alpha +1)], 점 [eqn: B]의 좌표를 [eqn: ( beta ,`4 beta +1)]라고 하면(단, [eqn: beta>alpha])

[eqn: {bar{AB}}][eqn: =][eqn: sqrt {( beta - alpha ) ^{2} +(4 beta -4 alpha )} ^{2}]

[eqn: =][eqn: sqrt {( beta - alpha ) ^{2} +16( beta - alpha )} ^{2}]

[eqn: =( beta - alpha ) sqrt {17}]

삼각형 [eqn: OAB]의 높이를 구하기 위해서 [eqn: y=4x+1]과 [eqn: (0,`0)] 사이의 거리를 구하면,

(높이)[eqn: = {vert4 TIMES 0+(-1) TIMES 0+1vert} over {sqrt {4 ^{2} +1 ^{2}}}][eqn: = {1} over {sqrt17}]

[eqn: TRIANGLE OAB= {1} over {2} TIMES {1} over {sqrt17}TIMES(beta-alpha)sqrt17]

[eqn: = {1} over {2} ( beta - alpha )= {1} over {2}]   [eqn: RARROW `` THEREFOREbeta - alpha =1]

기울기가 4인 직선에서 [eqn: x]좌표가 1 차이인 두 점의 [eqn: y]좌표 차이는 4가 된다.

점 [eqn: A]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 2 ^{alpha-k}+k], 점 [eqn: B]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 2 ^{alpha+1 -k} +k]이므로

[eqn: rarrow] [eqn: 2 ^{alpha +1-k} -2 ^{alpha-k}][eqn: =4]

[eqn: 2 ^{alpha-k}=4] [eqn: RARROW` THEREFORE alpha -k=2 CDOTS㉠]

이때, 점 [eqn: A]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: k+4=4alpha+1][eqn: RARROW `` THEREFOREk=4 alpha -3 CDOTS㉡]

㉠식과 ㉡식을 연립하면, [eqn: alpha = {1} over {3}], [eqn: therefore`k=- {5} over {3}]

13. ④

(가) 조건을 이용하면

[eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)- LEFT □ f(x) RIGHT □} dx= int _{1} ^{3} {f(x)+ LEFT □ f(x) RIGHT □} dx]

이때, [eqn: f(x)- LEFT □ f(x) RIGHT|LEQ 0]이므로, [eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)- LEFT □ f(x) RIGHT □} dx>=0]이고,

[eqn: f(x)+ left|f(x) right|>=0]이므로, [eqn: int _{1} ^{3} {f(x)+ LEFT □ f(x) RIGHT □} dx>=0]을 만족한다.

따라서, (가) 등식을 만족하려면, [eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)- LEFT □ f(x) RIGHT □} dx=int _{1} ^{3} {f(x)+ LEFT □ f(x) RIGHT □} dx=0]이다.

위 등식을 만족하기 위해서는, 열린구간 [eqn: (-1,1)]에서 [eqn: f(x)>=0]이고, 열린구간 [eqn: (1,3)]에서 [eqn: f(x)<= 0]이어야 하므로, [eqn: f(1)=0]이고, (다) 조건에 따라 [eqn: f(1)=f'`(1)=0]이므로, [eqn: f(x)=a(x-1)^3][eqn: (a<0)]이다.

(나)조건에 따라 [eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)dx=8=-4a}]이므로, [eqn: a=-2]이다.

따라서, [eqn: f(-2)=-2 TIMES (-3)^3 =54]이다.

14. ②

[eqn: angleCDB=alpha]라 하면, [eqn: cos(angleFDB)=cos(pi-alpha)=-cosalpha=- {2root7}over7]이므로, [eqn: cosalpha={2root7 }over7], [eqn: sinalpha=root21 over7]임을 알 수 있다.

원주각과 중심각의 관계에 따라, [eqn: angleCOB=2alpha]이고, [eqn: TRIANGLE COB]는 이등변 삼각형이므로,[eqn: angleOCB= piover2 -alpha]이다. 이때, [eqn: angle][eqn: CBE=beta]로 두면, [eqn: TRIANGLE CBE]에서 사인법칙에 의해 [eqn: barCE oversinB = barBE over{sin( piover2 -alpha)], [eqn: {barCE} over{barBE} = root3 over4 = sinbeta overcosalpha]이므로, [eqn: sinbeta= root3over4 times cosalpha=root3over4 times {2root7}over7 =root21 over14]

[eqn: triangleCDB]에서 사인법칙으로 [eqn: 2oversinbeta = barBC oversinalpha =barAB],[eqn: therefore barBC =4], [eqn: barAB = {4root21 }over3]

[eqn: barBD =x]라 하면, 코사인법칙으로 [eqn: 4+x^2 -2times 2 timesx timescosalpha=16]

[eqn: root7 x^2 -8x-12root7 = 0]이므로, [eqn: x=2 sqrt {7} ( BECAUSE x>4)]

[eqn: triangle ADB]에서 [eqn: angleADB]는 직각이므로, 피타고라스 정리에 의해

[eqn: {bar{AD}} ^{2} +(2 sqrt {7})^2 = ({4root21}over3 )^2], [eqn: {barAD}^2 = 28over3],

[eqn: therefore barAD = {2root21} over3]

15. ②

주어진 두 방정식 모두 [eqn: left|t right|]를 가지고 있기 때문에, [eqn: t]의 값의 범위를 나누어 관찰한다.

I) [eqn: t=0]일 때,

[eqn: left|f(x) right|=0]의 실근 개수[eqn: =p=2]

[eqn: left|f(x)right|=f(0)=0]의 실근 개수[eqn: =q=2]이다.

II) [eqn: t>0]일 때,

[eqn: f(3)= LEFT □ t right|=t]이므로, [eqn: p]의 값은 항상 [eqn: 3]이고, [eqn: q]의 값을 구하기 위해 [eqn: t]의 범위를 나누면,

[eqn: ㉠]) [eqn: 0<t<4(t!=1,3)]일 때,

[eqn: f(left|t right|)]의 값이 극댓값과 극솟값 사이에 위치하기 때문에, [eqn: q=4]이다.

㉡)[eqn: t=1,3,4]일 때,

[eqn: f(left|t right|)]의 값이 극댓값 또는 극솟값이 되기 때문에, [eqn: q=3]이다.

[eqn: ㉢])[eqn: t>4]일 때,

[eqn: f( LEFT □ t RIGHT □)]의 값이 극댓값보다 크므로, [eqn: q=2]이다.

[eqn: thereforep+q]의 값이 짝수가 되도록 하는 실수 [eqn: t]의 최댓값은 [eqn: t=4]이다.

III)[eqn: -2<t<0]일 때,

[eqn: -t<t+4]이고, [eqn: left vert f(3)right vert][eqn: =-t]이므로, [eqn: p]의 값은 항상 [eqn: 5]이고, [eqn: t]의 범위를 나누면,

㉣) [eqn: -1<t<0]일 때,

[eqn: f(0)<f( left|t right|)<f(1)]이므로, [eqn: q=][eqn: 0,3,4,5,6]이 가능하다.

㉤) [eqn: t=-1]일 때,

[eqn: f(left|t right|)][eqn: =f(1)]이므로, [eqn: q=3]이다.

[eqn: ㉥])[eqn: -2<t< -1]일 때,

[eqn: f(1)<f( LEFT | t RIGHT | )<f(2)]이고, [eqn: f(2)<(-f(3))]이므로, [eqn: q=4,5,6]이 가능하다.

[eqn: therefore][eqn: p+q]의 값이 짝수가 되도록 하는 실수 [eqn: t]의 최솟값은 [eqn: q=5]일 때 [eqn: t]의 값이다.

[eqn: q=5]가 되도록 하는 [eqn: t]를 [eqn: alpha]라 하면, [eqn: left|f(x) right|=f( left|alpha right|)]의 실근의 개수가 [eqn: 5]이므로, 아래 그림과 같이 그려져야 한다.

[eqn: f(-alpha)=-f(3)], [eqn: therefore][eqn: f(-alpha)=-alpha]이다.

[eqn: t=alpha]일 때, [eqn: f(x)=x^3 -6x^2 +9x+alpha]이므로,

[eqn: f(-alpha)=-alpha^3 -6alpha^2 -9alpha+alpha =-alpha], [eqn: alpha^3 +6alpha^2 + 7alpha=0],

[eqn: alpha^2 +6alpha+7][eqn: =0(because alpha!=0)]

[eqn: thereforealpha=-3+- root2], [eqn: alpha=-3+root2 (-2<alpha< -1)]이다.

따라서, [eqn: p+q]의 값이 짝수가 되도록 하는 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 4+(-3+root2 )=1+root2]이다.

20. [eqn: 9]

문제의 상황을 그림으로 나타내면 다음과 같다. 이때, [eqn: barAB]의 길이는 함수의 주기[eqn: times2]와 같으므로, [eqn: barAB -8]이다. 이때, 점 [eqn: A]와 [eqn: B]는 선분 [eqn: CD]를 지름으로 하는 원 위의 점이고, 반지름은 [eqn: 5]이므로, 이 원의 중심 [eqn: H][eqn: (5,0)]에 대해서 [eqn: barAH =barBH =5]이다. 이때, [eqn: triangle ABH]는 이등변 삼각형이므로, 점 [eqn: H]에서 선분 [eqn: AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: E]라 할 때, [eqn: barAE = barBE =4]이다. 피타고라스의 정리에 따라 [eqn: TRIANGLEAEH]에서 [eqn: barEH =3]이다. [eqn: therefore k=3]

점 [eqn: A]는 [eqn: y=a tan{pi}over4 x] 위의 점이고, [eqn: barAE =4]이기 때문에, 점 [eqn: A]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1]이다.

[eqn: therefore k= a tan piover4], [eqn: k=a][eqn: =3]

[eqn: therefore a timesk=3times3=9]

21. 32

[eqn: f(x)]가 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이므로 도함수 [eqn: f`'(x)`]는 최고차항의 계수가 3인

이차함수이다. 범위 [eqn: 0 LEQ t LEQ 1]에서 [eqn: alpha (1-t)`+` beta t]는 [eqn: alpha ,` beta]를 내분하는 점이며 일반성을

잃지 않고 [eqn: alpha `<` beta] 라고 하면 문제는 구간 [eqn: [ alpha `,`` beta ]]에서 [eqn: f`'(x)`]의 함숫값이 구간  [eqn: [-12`,``0]]

가짐을 의미한다.

[eqn: f( beta )`-`f( alpha )`=` int _{alpha } ^{beta } {f`'`(t)dt}] 이므로 [eqn: ` vert f( beta )`-`f( alpha )` vert `=` vert ` int _{alpha } ^{beta } {f` prime `(t)dt`` vert }] 이다.

만약 [eqn: f`'(x)`]의 최솟값이 [eqn: -12]라면

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )=3(x-k)(x-beta)]라 두면, [eqn: f LEFT ( k+beta over2 RIGHT )=-12]이므로, [eqn: k=beta-4]이다.

위와 같은 [eqn: f`'(x)`] 개형이 가능하며 [eqn: alpha]의 범위는 [eqn: beta `-`4 LEQ alpha LEQ beta -2] 이다. 따라서 [eqn: alpha `=` beta `-`4`]

인 경우에 [eqn: ` vert ` int _{alpha } ^{beta } {f` prime `(t)dt`` vert }] 가 최대이다.

이 경우 [eqn: ` vert ` int _{alpha } ^{beta } {f` prime `(t)dt`` vert }] 의 최댓값은 32이다.

만약 [eqn: f`'(x)`]의 최솟값이 –12가 아니라면

[eqn: f`'`(x)`=`3(x-k)(x- beta )]이고, [eqn: f(alpha)=-12]이다.

이 경우에는 [eqn: beta `-`k`>4`]이고 [eqn: ` vert ` int _{alpha } ^{beta } {f` prime `(t)dt`` vert }]의 값은 직선 [eqn: x=alpha]와 [eqn: x=beta]과 곡선 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]가 이루는 넓이이고, 이 값은 위의 넓이보다 항상 작다.

따라서, [eqn: ` vert ` int _{alpha } ^{beta } {f` prime `(t)dt`` vert }]의 최댓값은 [eqn: 32]이다.

22.37

[eqn: a _{n+1} `-`a _{n`} GEQ m] 이므로 [eqn: sum _{k`=`1} ^{2m`-`1} a _{k}]의 값은 [eqn: left{a_n right]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대해 공차가 [eqn: m]인 등차수열일 때 최소이다. 따라서, [eqn: sum _{k`=`1} ^{2m-1} `mk` LEQ sum _{k`=`1} ^{2m`-`1} a _{k} `=`114] 이고

[eqn: sum _{k`=`1} ^{2m-1} `mk`=`m ^{2} (2m-1)] 이므로 [eqn: `m ^{2} (2m-1)` LEQ `114]를 만족하는 자연수는 [eqn: m`=`1,`2,`3,`4]이다.

[eqn: m`=`1]인 경우 [eqn: sum _{k=1} ^{2m-1} a _{k} `= sum _{k=1} ^{1} a _{k} =1]이므로, 모순이다.

[eqn: m`=`2]인 경우 가능한 [eqn: a _{4}]중 최대인 [eqn: a _{4} =46]의 경우를 계산하면, [eqn: a _{3} `<=44`],[eqn: a _{2} =4], [eqn: a _{1} =2]이므로, [eqn: sum _{k`=`1} ^{3} a _{k} `<`114]이다.

[eqn: m`=`4]인 경우 [eqn: sum _{k`=`1} ^{7} a _{k} `=`114] 를 만족해야 한다. 그러나 [eqn: a_4]가 최소인 [eqn: a _{4} `=`44]의 경우를 계산하면, [eqn: a _{5} >=48], [eqn: a _{6} >=52] [eqn: Cdots] 이므로, [eqn: sum _{k`=`1} ^{7} a _{k} >114]이다.

따라서 가능한 경우는 [eqn: m`=`3]이다.

[eqn: a_1 =3, a_2 =6]이고, [eqn: sum _{k=3} ^{5} a _{k} =105]이므로, [eqn: a _{3}]과 [eqn: a _{4}]와 [eqn: a _{5}]중 홀수가 1개 또는 3개 있어야한다.

I) [eqn: a_3 ,a_4 , a_5]가 모두 홀수일 경우

[eqn: a_4 =45]이고, [eqn: a_3 >=9, a_5 >=48]이다. [eqn: therefore]모든 가능한 [eqn: (a_3 , a_5 )]의 순서쌍[eqn: =(11,49),(9,51)]이다.

II) [eqn: a_3 ,a_4 ,a_5]중 한 개만 홀수일 경우

[eqn: a_3] 또는 [eqn: a_4]가 홀수일 경우, (나)조건이 성립하지 않는다.

따라서, [eqn: a_5]가 홀수이다.

㉠) [eqn: a_4 =44]일 때, [eqn: a _{3} GEQ 9,a _{5} GEQ 47]이다.

[eqn: therefore] 모든 가능한 [eqn: (a _{3} ,a _{5}][eqn: )]의 순서쌍[eqn: =(10,51),(12,49),(14,47)]이다.

㉡) [eqn: a _{4} =46]일 때, [eqn: a _{3} GEQ 9,a _{5} GEQ 49]이다.

[eqn: therefore] 모든 가능한 [eqn: (a _{3} ,a _{5}][eqn: )]의 순서쌍[eqn: =(10,49)]이다.

이때, (나)조건을 만족시키려면 [eqn: a_6]는 반드시 홀수이므로, ([eqn: a _{6}]의 최솟값)[eqn: =a _{5} +4]가 성립한다.

[eqn: therefore] [eqn: a _{6} -a_3]의 최솟값은 [eqn: (a_3 ,a_5 )=(14,47)]일 때, [eqn: 51-14=37]이다.

[확률과 통계]

28.④

[eqn: 2<=x<=y<=z<=10] 을 만족시키는 정수 x,y,z 순서쌍의 개수는 [eqn: H LSUB9 _3] = [eqn: C lsub11 _3] = 165 가지인데

[eqn: x,z]에 절댓값이 들어있으므로 각각 부호가 반대이고 절댓값이 같은 두 값이 들어갈 수 있다. 따라서 순서쌍의 개수는 [eqn: 165 times4=660]가지이다.

29.42

(가)조건에 의해 n의 값이 커질수록 f(n)의 값은 작아지는 형태라는 걸 알 수 있다.

(나)조건을 만족시키는 경우의 수를 찾아보자. (수형도)

수형도를 그려보면 총 42가지 이다.

f(-2)	f(-1)	f(0)	f(1)	f(2)	경우의 수
2	2	2	2	2	14가지
				1
				0
				-1
			1	1
				0
				-1
			0	0
				-1
		1	1	1
				0
				-1
			0	0
				-1
1	1	1	1	1	14가지
				0
				-1
			0	0
				-1
	0	0	0	0
				-1
		-1	-1	-1
			-2	-2
		-2	-2	-2
	-1	-1	-1	-1
		-2	-2	-2
	-2	-2	-2	-2
0	0	0	0	0	9가지
				-1
		-1	-1	-1
			-2	-2
		-2	-2	-2
	-1	-1	-1	-1
			-2	-2
		-2	-2	-2
	-2	-2	-2	-2
-1	-1	-1	-1	-1	4가지
			-2	-2
		-2	-2	-2
	-2	-2	-2	-2
-2	-2	-2	-2	-2	1가지

30.[eqn: 261]

규칙을 적용시키다 보면 홀수번 뒤집혀야 함을 알 수 있고, 약수의 개수가 홀수개가 되므로 (자연수의 제곱)의 번호를 갖는 카드가 뒷면인 카드가 된다.

따라서 확률을 구해보면

[eqn: P_n] [eqn: =]

[eqn: 1overn] ([eqn: 1<=n <4])

[eqn: 2overn] ([eqn: 4<=n <9])
[eqn: 3overn] ([eqn: 9<=n <16])

[eqn: 5overn] ([eqn: 16<=n <25])

[eqn: 5overn] ([eqn: 25<=n <36])

[eqn: :]

따라서 [eqn: P_n][eqn: =][eqn: 1over4]를 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값은 8이므로 [eqn: k=8]

[eqn: P_4k = P_32] 이므로 [eqn: P_32]=[eqn: 5over32] 이다.

[eqn: therefore][eqn: 32(k+P_4k )][eqn: =32(8+ 5over32 )][eqn: =261] 이다.

[미적분]

28.③

[eqn: g(t)]를 구하기 위해 [eqn: y=k`lnx over x]를 미분하면,

[eqn: y prime =k times {1-lnx}overx^2], [eqn: y''=-k times {3-2lnx}overx^3]이므로, [eqn: x=e]에서 극댓값 [eqn: k overe]을 갖고, 변곡점은 [eqn: (e^{3over2} , 2k overe^{3over2} )]이다. 따라서, [eqn: t]의 범위에 따라 접선의 개수를 구하면,

I)[eqn: t<=0]일 때, 기울기가 양수인 접선이 하나 존재한다. [eqn: therefore g(t)>0]

II)[eqn: 0<t< k overe]일 때, 기울기가 양수인 접선과 음수인 접선이 각각 하나씩 존재한다. [eqn: thereforeg(t)<0]

III)[eqn: t= k overe]일 때, 기울기가 음수인 접선과 [eqn: x]축과 평행한 접선이 각각 하나씩 존재한다.

[eqn: thereforeg(t)=0]

IV)[eqn: k overe <t< 2k overe^{3 over2}]일 때, 기울기가 음수인 접선 두 개가 존재한다. [eqn: thereforeg(t)>0]

V)[eqn: t=][eqn: 2k overe^{3 over2}]일 때, 기울기가 음수인 접선(변곡점을 지나는 접선)이 한 개 존재한다. [eqn: thereforeg(t)=k times{ 1-ln(e^{3over2})}overe^3 = - {k}over2e^3 <0]이다.

VI) [eqn: t> 2k overe^{3 over2}]일 때, 접선을 그릴 수 없으므로, [eqn: g(t)=0]이다.

따라서 [eqn: g(t)] 개형을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

이때, [eqn: lim _{t rarrow 0-} {{h(a+t)-h(a)} over {t}}]는 존재하고, [eqn: lim _{t rarrow 0+} {{h(a+t)-h(a)} over {t}}]는 존재하지 않도록 하려면, [eqn: lim _{t rarrow 0-} {LEFT { `h(a+t)-h(a)right} =0]이고, [eqn: lim _{t rarrow 0+} {left{{h(a+t)-h(a)}right}][eqn: !=0]이어야 한다. 즉, [eqn: h(t)]의 [eqn: x=a]에서 우극한이 함숫값과 다르고, 좌극한이 함숫값과 같아야 한다.

[eqn: a=0, {2k} over {e ^{{3} over {2}}}]일 때, 우극한과 함숫값이 다르므로, 위 조건을 만족하는 실수 [eqn: a=0, 2k overe^{3over2}]이다.

[eqn: a= 2k over e^{3over2}]일 때, 좌극한과 함숫값이 같아야하므로, [eqn: (- k over2e^3 )^2 = left|- k over2e^3 right|], [eqn: therefore k=2e^3]이다.

[eqn: therefore p=2, q=3]이므로, [eqn: p+q=5]

29.[eqn: 25]

[eqn: a_n]의 공비가 [eqn: -1]보다 작을 경우, [eqn: b_2n-1]은 [eqn: n]이 커질수록 [eqn: -1], 또는 값이 계속 증가하는 수열이 되므로, [eqn: sum _{k=1} ^{INF }b_2k-1]이 수렴하지 않는다. [eqn: a _{n}]의 공비가 [eqn: -1]인 경우, [eqn: -1<a _{7} <0]이므로, [eqn: b _{2n-1}]은 항의 값이 [eqn: a _{7}]로 일정한 수열이 되므로, [eqn: sum _{k=1} ^{INF }b_2k-1]이 수렴하지 않는다. 따라서, [eqn: a_n]의 공비 [eqn: r]은 [eqn: -1<r<0]이다.

이때, [eqn: sum _{k=1} ^{INF }b_2k-1]값이 일정하기 때문에, (가) 조건의 등식을 만족하는 [eqn: left|b_m right|]의 값도 일정하고, 그 값을 [eqn: k][eqn: (k>0)]라고 두면, [eqn: b_m =+-k]이다.

[eqn: b _{m} =+-k]를 만족하는 자연수 [eqn: m]이 [eqn: 4]개이므로, [eqn: b_n]에 같은 값을 가지는 항이 [eqn: 4]개 존재하려면, [eqn: a_n]은 서로 다른 값을 가지므로[eqn: (becauser!=-1)] [eqn: k=1]이어야한다.

이때, [eqn: b_m =1]인 [eqn: m]이 두 개 이상 생길 수 없으므로, [eqn: b _{m} =-1]인 [eqn: m]이 세 개 이상 존재해야 한다.

공비가 음수이기 때문에, [eqn: a _{2n} >0][eqn: (n]은 자연수[eqn: )]이다.

또한, [eqn: -1<a_7 <0]이고, [eqn: -1<r<0]이므로, [eqn: b _{p} != -1][eqn: (p][eqn: >=7]인 자연수)이다.

따라서, [eqn: b _{1} =b _{3} =b _{5}=-1]이다.

이때, [eqn: b_m =1]인 항이 존재해야 하고, [eqn: -1<a_7 <0]이므로, [eqn: m=2,4,6]중 하나에서 [eqn: b_m =1]이다.

[eqn: m=2] 또는 [eqn: m=4]에서 [eqn: b_m =a_m =1]이라면, [eqn: -1<r<0]이기 때문에, [eqn: b_5 !=-1]이다.

[eqn: thereforea_6 =-1]이다.

[eqn: k=1]이므로, [eqn: LEFT. LEFT | sum _{n=1} ^{INF } b _{2n-1} RIGHT □ = 11over3]에서, [eqn: b_2n-1]의 모든 항은 음수이므로, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{2n-1}][eqn: = - 11over3]

[eqn: a_6 =1]이므로, [eqn: b_7 =r]이고, [eqn: b _{1} =b _{3} =b _{5} =-1]이므로,

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{2n-1}=3times(-1)+ r over1-r^2 = - 11over3] [eqn: therefore r over1-r^2 =- 2over3],

[eqn: 2r^2 -3r-2=0], [eqn: r=- 1over2 (because-1<r<0)]

[eqn: a_1 timesr^5 =1]이므로, [eqn: a_1 =-32]이다.

[eqn: THEREFORE sum _{n=1} ^{INF } LEFT □ b _{n} RIGHT □][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } b _{2n} - sum _{n=1} ^{INF } b _{2n-1}= a_2 over{1- 1over4} + 11over3][eqn: = 64over3 + 11over3 =25]

30.[eqn: 2]

[eqn: f(1)=f(-1)]이고, (가) 조건의 식에 [eqn: x=-1]을 대입하면, [eqn: -kf(1)=f(-1)][eqn: ( BECAUSE k != -1)]이므로, [eqn: f(1)=f(-1)=0]이다.

주어진 [eqn: f(x)=(x ^{3} -2x ^{2} +3x)e ^{-x+1} +C]에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: 2+C=0]이므로, [eqn: C=-2]이다. [eqn: therefore f(x)=(x ^{3} -2x ^{2} +3x)e ^{-x+1} -2(x>=1)]

또한, [eqn: f(1)=f(-1)=0], [eqn: f`'(1)=f'(-1)=0]을 만족하는 가장 낮은 차수의 다항함수는 [eqn: f(x)=-(x+1)^2 (x-1)^2 (-1<x<1)]이다.

이때, (가) 조건에 [eqn: x] 대신 [eqn: -x-2] 대입 시

[eqn: -kf(-x)=f(x)][eqn: (x<=-1)]이므로,

[eqn: x<=-1]에서 [eqn: f(x)]는 [eqn: x>=1]일 때 [eqn: f(x)]를 [eqn: y]축 대칭 후 음의 방향으로 [eqn: k]배만큼 늘린 그래프이다.

그러므로, [eqn: f(x)]의 그래프를 그리면 아래와 같다.

이때, [eqn: f(-3)]의 범위에 따라 (다) 조건을 만족하는 [eqn: alpha]의 값을 구해보자.

[eqn: f(-3)]의 값에 관계없이, [eqn: alpha>=0]일 때, [eqn: lim _{t rarrow alpha +} {h(t)} - lim _{t rarrow alpha -} {h(t)<0]이다. 따라서 [eqn: alpha<0]이다.

I) [eqn: -1<f(-3)<0]일 때,

가능한 [eqn: lim _{t rarrow alpha +} {h(t)} - lim _{t rarrow alpha -} {h(t)]의 값은 [eqn: 0,1,2]

II) [eqn: f(-3)=-1]일 때,

가능한 [eqn: lim _{t rarrow alpha +} {h(t)} - lim _{t rarrow alpha -} {h(t)]의 값은 [eqn: 0,1,4(alpha=-1]일 때[eqn: )]

III)[eqn: -2<f(-3)< -1]

가능한 [eqn: lim _{t rarrow alpha +} {h(t)} - lim _{t rarrow alpha -} {h(t)]의 값은 [eqn: 0,1,2]

IV) [eqn: f(-3)=-2]일 때,

가능한 [eqn: lim _{t rarrow alpha +} {h(t)} - lim _{t rarrow alpha -} {h(t)]의 값은 [eqn: 0,2,3]

V) [eqn: f(-3)>-2]일 때,

가능한 [eqn: lim _{t rarrow alpha +} {h(t)} - lim _{t rarrow alpha -} {h(t)]의 값은 [eqn: 0,1,2]

[eqn: therefore][eqn: lim _{t rarrow alpha +} {h(t)} - lim _{t rarrow alpha -} {h(t)]의 값이 [eqn: 4]가 되도록 하는 [eqn: f(-3)=-1]이다.

[eqn: f(-3)=-kf(3)=-1]이므로, [eqn: kf(3)-f(0)=1+1=2]이다.