2025학년도 3월 학력평가 대비 METIS 모의고사

주요 문항 정답 및 해설

※ 전체 문항이 아닌, 해설이 필요할 것으로 여겨지는 일부 문항에 대한 해설만 수록되어 있습니다.

9.⓶

[eqn: g(x)= {8x ^{2} (x-1) ^{2} (x+1) ^{2}} over {LEFT | f(x) RIGHT | -4}]

(단 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT | != 4])로 표현할 수 있다. 이때 [eqn: lim _{x -> 0} {`g(x)`=} `g(0) != 0]이고, [eqn: f(0)=-4]이므로 [eqn: f(x)=8x ^{2} -4]이다.

따라서,

[eqn: g(x)= {cases{x ^{2} (x+1`)(x-1)&(x LEQ - {1} over {sqrt {2}} ,`x GEQ {1} over {sqrt {2}} )#-(x+1) ^{2} (x-1) ^{2}&(- {1} over {sqrt {2}} <x< {1} over {sqrt {2}} )}}]이므로, 최솟값은 [eqn: -1]이다.

10.②

공차가 3이면서 (가) 조건을 만족시키려면 [eqn: a _{2} <0,`a _{5} >0]이어야 한다.

[eqn: sum _{k=1} ^{3} LEFT | a _{k} TIMES a _{3k-2} RIGHT | = LEFT | a _{1} RIGHT | ^{2} + LEFT | a _{2} TIMES a _{4} RIGHT | + LEFT | a _{3} TIMES a _{7} RIGHT |]이므로,[eqn: a _{3} ,``a _{4}]의 부호에 따라 값이 결정된다. [eqn: a _{1} =a]로 두고, 케이스 분류를 하면

[eqn: i)] [eqn: a _{2} <0,``a _{3} >0]일 때

[eqn: sum _{k=1} ^{3} LEFT | a _{k} TIMES a _{3k-2} RIGHT | = LEFT | a _{1} RIGHT | ^{2} + LEFT | a _{2} TIMES a _{4} RIGHT | + LEFT | a _{3} TIMES a _{7} RIGHT |# =(a _{1} ) ^{2} -a _{2} TIMES a _{4} +a _{3} TIMES a _{7}# =a ^{2} +12a+81=68][eqn: THEREFORE `a ^{2} +12a+13=0]이고,

판별식 [eqn: D=36-13=23>0]이므로, 이를 만족하는 실수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

[eqn: ii)] [eqn: a _{3`} <0,``a _{4} `>0]일 때

[eqn: sum _{k=1} ^{3} LEFT | a _{k} TIMES a _{3k-2} RIGHT | = LEFT | a _{1} RIGHT | ^{2} + LEFT | a _{2} TIMES a _{4} RIGHT | + LEFT | a _{3} TIMES a _{7} RIGHT |# =(a _{1} ) ^{2} -a _{2} TIMES a _{4} -a _{3} TIMES a _{7}# =-a ^{2} -36a-135=68][eqn: THEREFORE `a ^{2} +36a+203=(a+7)(a+29)=0]

이고, [eqn: a _{4} >0]이므로 [eqn: a _{1} =-7]이다.

[eqn: iii)] [eqn: a _{4} `<0,`a _{5} >0]일 때

[eqn: sum _{k=1} ^{3} LEFT | a _{k} TIMES a _{3k-2} RIGHT | = LEFT | a _{1} RIGHT | ^{2} + LEFT | a _{2} TIMES a _{4} RIGHT | + LEFT | a _{3} TIMES a _{7} RIGHT |# =(a _{1} ) ^{2} +a _{2} TIMES a _{4} -a _{3} TIMES a _{7}# =a ^{2} -12a-81=68][eqn: THEREFORE `a ^{2} -12a-149=0]이므로, 이를 만족하는 정수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

[eqn: THEREFORE `a _{1} =-7,`a _{6} =-7+15=8]이다.

11.⓸

[eqn: LEFT { int _{0} ^{2} {f(t)+ LEFT | f(t) RIGHT | dt} RIGHT } ^{2}+][eqn: LEFT { int _{-3} ^{0} {f(t)- LEFT | f(t) RIGHT | dt} RIGHT } ^{2}=0]이므로

[eqn: LEFT { int _{0} ^{2} {f(t)+ LEFT | f(t) RIGHT | dt} RIGHT } ^{2}=][eqn: LEFT { int _{-3} ^{0} {f(t)- LEFT | f(t) RIGHT | dt} RIGHT } ^{2}=0]이다.

[eqn: f(x)+ LEFT | f(x) RIGHT | = {cases{2f(x)&(`f(x)>0`)#0&(`f(x) LEQ 0`)}}]

이므로,

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,2 RIGHT ]]에서 [eqn: f(x) LEQ 0]이다.[eqn: CDOTS] ㉠또한,

[eqn: f(x)- LEFT | f(x) RIGHT | = {cases{0&(`f(x) GEQ 0`)#2f(x)&(`f(x)<0`)}}]

이므로, 닫힌구간 [eqn: LEFT [ -3,0 RIGHT ]]에서 [eqn: f(x) GEQ 0]이다. [eqn: CDOTS] ㉡

㉠,㉡을 동시에 만족시키려면 [eqn: f(0)=0]이고, [eqn: x LEQ -3,`x GEQ 2]에서 실근을 각각 1개씩 가져야 한다. 이를 종합하면

[eqn: f(x)=x(x-a)(x-b)`(a LEQ -3,`b GEQ 2)]이다. [eqn: f'(0)=ab]이고, [eqn: a,b]의 범위를 고려할 때 [eqn: ab LEQ -6]이므로, 최댓값은 [eqn: -6]이다.

12. ⑤

[eqn: g(t)=2]를 만족하는 [eqn: t]의 개수가 4개이려면 위 그래프처럼 되어야 한다.

따라서 [eqn: x>0]일 때의 점근선의 [eqn: y]좌표와 [eqn: f(0)]의 값이 같으므로,

[eqn: 2 ^{0} +a=-a,`a=- {1} over {2}]이다.

또한, [eqn: g(t)=2] 일 때

[eqn: t _{1,} t _{4}]는 [eqn: f(t _{1} )=f(t _{4} )=0]일 때이다.

이 때, [eqn: t _{1} =-1]이므로, [eqn: t _{4} =2]이고, [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{b+2} - {1} over {2} =0,`b=-1]이다.

[eqn: f(t _{2} )=f(t _{3} )= {1} over {2}]이므로, [eqn: t _{3} =1]이다.

13. ③

만약 [eqn: f(x)]가 실수 전체 집합에서 증가하면, [eqn: g(x)]는 극솟값이 2개 이상 존재하지 않으므로, [eqn: f(x)]는 극대, 극소를 모두 가진다.

[eqn: g(x)]의 개형을 고려하면, 극대를 가질 때는 [eqn: g(x)=f(x)]일 때임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: x= beta]에서 극대이다.또한, [eqn: g(x)]가 [eqn: x=a]에서 극소를 가질 때는

1.[eqn: f(a)=f'(a)]

2.[eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 극소이고, [eqn: x=a] 근처에서 [eqn: g(x)=f(x)]

3.[eqn: f'(x)]가 [eqn: x=a]에서 극소이고, [eqn: x=a] 근처에서 [eqn: g(x)=f'(x)]

이다.

3번째 경우를 시도하면 1,3의 경우에서 극솟값을 얻음을 확인 할 수 있는데,

이때 이차함수의 특성상 같은 극솟값을 가질 수 없음을 알 수 있다.

따라서 1,2의 경우에서 극솟값을 얻고, 개형은 다음과 같이 그려진다.

삼차함수 비율관계에 따라 [eqn: alpha=3beta`]이다.

따라서, 식을 작성하면,

[eqn: f(x)=kx(x-3beta) ^{2} +3], [eqn: f'(x)=3k(x-beta)(x-3beta)] (단,[eqn: k]는 양수)

[eqn: g(x)= {cases{3k(x-beta)(x-3beta)&(x<0)#kx(x-3beta) ^{2} +3&(x GEQ 0)}}]

이고, [eqn: f(0)=f'(0)]이므로, [eqn: k(beta) ^{2} = {1} over {3}]이다.

문제에서 주어진 넓이는, 삼차함수의 점대칭성을 이용하면

[eqn: {f( beta )+f(3 beta )} over {2} TIMES 2 beta = {4} over {3} beta ^{2} +6 beta =12]

이므로,

[eqn: beta= {3} over {2}] ([eqn: beta>0]), [eqn: alpha= {9} over {2}], [eqn: k= {4} over {27}]이다.

따라서 [eqn: f(x)= {4} over {27} x(x- {9} over {2} ) ^{2} +3],

[eqn: f(9)=27+3=30]이다.

14. ②

삼각형 [eqn: AR _{1} R _{2}]에 대해 코사인법칙을 적용해주면,

[eqn: cos( ANGLE AR _{1} R _{2} )= {2} over {7}], [eqn: cos( ANGLE BR _{1} R _{2} )=-cos( ANGLE AR _{1} R _{2} )=- {2} over {7}]이다.

이제 삼각형 [eqn: BR _{1} R _{2}]에 대해 코사인법칙을 적용하면,

[eqn: LEFT ( {bar{BR _{2} `}} RIGHT ) ^{2} =`4 ^{2} +7 ^{2} -2 TIMES 4 TIMES 7 TIMES LEFT ( - {2} over {7} RIGHT ) =81][eqn: THEREFORE {bar{BR _{2}}} `=`9]이고, [eqn: {bar{BC}} `=`2]이다.

사인법칙에 의해

[eqn: {7} over {sin( ANGLE R _{1} BC)} = {9} over {sin( ANGLE BR _{1} R _{2} )}]이고,

[eqn: sin( ANGLE `BR _{1} R _{2} )= sqrt {1-cos ^{2} ( ANGLE `BR _{1} R _{2} )} = {3 sqrt {5}} over {7}]이므로, [eqn: sin(ANGLE`R _{1} BC)= {sqrt {5}} over {3}]이다.

따라서 삼각형 [eqn: R _{1} BC]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 4 TIMES 2 TIMES {sqrt {5}} over {3} = {4 sqrt {5}} over {3}]이다.

# 원 [eqn: C_2]에 대해 할선정리를 이용하면 더 쉽게 문제를 해결할 수 있다.

15. ①

함수 [eqn: h(x)=x ^{4} + CDOTS] 이고, 미분하면 [eqn: h'(x)=4x ^{3} + CDOTS]이 된다. 따라서 [eqn: g(x)]는 최고차항의 계수가 1인 이차함수가 된다. [eqn: g'(x)]는 일차함수이므로, 실근을 1개 무조건 가질 수밖에 없고, 집합 B의 원소가 4로 유일하기에 [eqn: g'(4)=0]임을 알 수 있다.

[eqn: THEREFORE `g(x)=(x-4) ^{2} -k]

또한, 집합 B의 원소가 4로 유일하기에 [eqn: f(x)]의 경우 실근을 가지지 않거나, [eqn: x=4]에서 중근을 가져야만 한다.

따라서

[eqn: f(x)= {1} over {2} (x-a) ^{2} +C _{1}] [eqn: (a != 4,`C _{1} >0)] or [eqn: f(x)= {1} over {2} (x-4) ^{2}] 이다.

[eqn: i)]

[eqn: f(x)= {1} over {2} (x-a) ^{2} +C _{1}] [eqn: (a != 4,`C _{1} >0)]

[eqn: f'(x)g(x)=(x-a) LEFT { (x-4) ^{2} -k RIGHT }]이고,

집합 A는 4를 원소로 가지므로, [eqn: k=0]이다.

[eqn: THEREFORE `g(x)=(x-4) ^{2}]

[eqn: A= LEFT { a,4 RIGHT } ,`B= LEFT { 4 RIGHT }]

[eqn: h'(x)=0]의 최대 실근 개수는 3개이고, [eqn: h'(4)=0]이므로 집합 C의 원소의 개수는 4를 포함해 3개가 되어

[eqn: n(A CUP B CUP C) LEQ 4]이다.

[eqn: ii)] [eqn: f(x)= {1} over {2} (x-4) ^{2}]

[eqn: f'(x)g(x)=(x-4) LEFT { (x-4) ^{2} -k RIGHT }], [eqn: f(x)g'(x)=(x-4) ^{3}]이므로

[eqn: h prime (x)=(x-4) LEFT { (x-4) ^{2} -k RIGHT } +3(x-4) ^{3}][eqn: =(x-4) LEFT { 4(x-4) ^{2} -k RIGHT }]이다.

① [eqn: k>0]

[eqn: A= LEFT { 4- sqrt {k} ,4,4+ sqrt {k} RIGHT } ,`B= LEFT { 4 RIGHT }]

[eqn: C= LEFT { 4- {sqrt {k}} over {2} ,4,4+ {sqrt {k}} over {2} RIGHT }]이므로,

[eqn: A CUP B CUP C]

[eqn: = LEFT { 4- sqrt {k} ,4- {sqrt {k}} over {2} ,4,4+ {sqrt {k}} over {2} ,4+ sqrt {k} RIGHT }]

이고, [eqn: k=4]이다.

② [eqn: k LEQ 0]

[eqn: A=B=C= LEFT { 4 RIGHT }]이므로

[eqn: A CUP B CUP C= LEFT { 4 RIGHT }]이다.

①,②를 정리하면 [eqn: k=4]이고,

[eqn: h prime (x)=4(x-4) ^{3} -4(x-4)]이다.

[eqn: h(3)=0]인 것을 이용하면,

[eqn: h(x)=(x-4) ^{4} -2(x-4) ^{2} +1]이다.

[eqn: THEREFORE `h(4+ sqrt {2} )=1]이다.

20. [eqn: 9]

함수 [eqn: y=g(x)]가 삼각형 [eqn: PQR]과 무수히 많은 점에서 만나기 위해서는, 일정 구간에서 [eqn: g(x)]가 상수함수[eqn: (y=f(1))]와 일치해야한다.

따라서, [eqn: f(x)=px(x-a)(x-b)`]이고,

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x!=`0,a,b]일 때, [eqn: -2p]이다.

[eqn: THEREFORE f(1)=-2p` CDOTS] ㉠

이다.

또한, 삼각형 [eqn: PQR]이 곡선 [eqn: y=f(x)]와 세 점에서 만나므로, 아래와 같이 선분 [eqn: QR]에 접하는 개형을 가진다.

[eqn: THEREFORE f` prime (1)=0][eqn: CDOTS]㉡

㉠과 ㉡을 [eqn: f(x)]식에 대입하면, [eqn: a= - root3 , b= root3]이다.

이때, [eqn: y=g(x)]가 [eqn: y=3]과 만나는 교점의 개수는 3이기 때문에 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: y=3]과 두 점에서 만난다. 따라서 [eqn: y=f(x)]의 극댓값이 3임을 알 수 있다. 이 삼차함수는 원점대칭 함수이므로, [eqn: x=-1]에서 극댓값 [eqn: 3]을 가진다. [eqn: f(-1)=2p=3]이므로, [eqn: p= 3over2]이다.

∴[eqn: 2p times left|a right|times left|b right|=9]

21. 229

(가) 조건에 따라 접선의 방정식을 구하면, [eqn: y= LEFT | f(k) RIGHT | (x-k)+ int _{-1} ^{k} {LEFT □ f(t) RIGHT | dt}]이고, [eqn: x=0]을 대입하면,

[eqn: h(k)=` int _{-1} ^{k} {LEFT | f(t) RIGHT | dt} -k LEFT | f(k) RIGHT |]이다.

이때, [eqn: int _{-1} ^{k} {LEFT | f(t) RIGHT | dt}]는 미분 가능하므로, [eqn: k left|f(k) right|]가 미분 가능해야 한다.

[eqn: y= LEFT □ f(x) RIGHT|]는 접하지 않으면서 [eqn: x]축과 만나는 점이 미분 불가능한 점이 되고, [eqn: f`'(a)<0]을 만족하는 실수 [eqn: a]가 존재해야하기 때문에, 미분 불가능한 점은 반드시 하나 이상 존재한다.

(빨간 선은 [eqn: x]축, 빨간 점은 그때의 미분 불가능한 점을 가리킨다.)

따라서 [eqn: k left|f(k) right|]가 실수 전체 집합에서 미분가능하려면, 함수 [eqn: y= left|f(k) right|]가 오직 [eqn: x=0]에서만 미분 불가능해야한다.

[eqn: THEREFORE f(x)=x(x^2 +ax+b)]이고, [eqn: x^2 + ax+b]가 서로 다른 두 실근을 갖지 않아야 하므로, [eqn: D= a^2 -4b <=0]이다.

또한, [eqn: h(1)=0]이므로,

[eqn: int _{-1} ^{1} {left|f(t) right| dt - left|f(1) right| }=0],

[eqn: int _{-1} ^{0} {-f(t)dt}][eqn: + int _{0} ^{1} {f(t)dt}]=[eqn: left|f(1) right|],

[eqn: f(1)>0]이므로,

[eqn: LEFT . LEFT [ {x ^{4}} over {4} + {4} over {3} x ^{3} + {b} over {2} x ^{2} RIGHT . RIGHT ] _{-1}^{0} + LEFT . LEFT [ {x ^{4}} over {4} + {4} over {3} x ^{3} + {b} over {2} x ^{2} RIGHT . RIGHT ] _{0}^{1}]

[eqn: =1+a+b]

[eqn: THEREFORE a= - 1 over {2}], [eqn: a^2 -4b<=0]이므로, [eqn: b >= 1 over16]이다. [eqn: f(4)= 56+4b]이므로, [eqn: f(4)]의 최솟값은 [eqn: 225 over4]이다. [eqn: THEREFOREp+q =229]

# 곱한 함수의 미분가능성

[eqn: x=a]에서 연속인 두 함수

[eqn: y=f(x), `y=g(x)]에 대해서, [eqn: y=f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분 불가능하고, [eqn: y=g(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분 가능하면서 [eqn: g(a)=0]일 때, [eqn: y=f(x)g(x)]는 [eqn: x=a]에서 미분가능하다.

22. [eqn: 97]

(나) 조건에 따라 수열 [eqn: left{a_n right]은 [eqn: a_p-1]항까지 절댓값이 2배씩 늘어나다가, [eqn: a_p]항 이후부터 값이 0으로 일정해지는 수열이다.

따라서, [eqn: left|a_n right|=3 times2^n-1 (n<=p-1)] 로 나타낼 수 있다.

I) [eqn: p=2,` 3] 일 때,

모든 항이 음수여도 (가)조건을 만족시키지 못한다.

ii) [eqn: p>=4]일 때,

[eqn: a_p-1]은 음수이고, 그 항을 제외한 나머지 항들이 모두 양수일 때, 모든 항의 합은

[eqn: sum _{k=1} ^{p-2} 3 TIMES 2 ^{k-1} -3 TIMES 2 ^{p-2}=-3]이다.

이때, 둘째항의 절댓값이 6이므로, 둘째항을 음수로 바꿔주면, 모든 항의 합은[eqn: -15]가 된다. 따라서, 수열 [eqn: a_n]은 둘째항, [eqn: (p-1)]째 항만 음수이고, 나머지는 양수이다.

이때, (가) 조건은 [eqn: n>=6]일 때부터 성립해야 하므로, [eqn: p=4, 5 , 6,7]일 때만 성립한다. [eqn: (p>=8]일 경우, [eqn: n=6]일 때,

[eqn: sum _{k=1} ^{6} a _{n`}=3+(-6)+12+...+96]

이므로, (가) 조건을 만족하지 않는다.[eqn: )]

[eqn: THEREFORE left|p+a_p-1 right|]의 값은, [eqn: p=4]일 때 최솟값 [eqn: 8], [eqn: p=7]일 때 최댓값 [eqn: 89]이다.

#2022학년도 수능 수학 21번 문제를 변형한 문제이므로, 이 문제를 풀어본 후 기출문제도 함께 공부해보면 큰 도움이 될 것이다.