28. 양수 [eqn: p]와 음수 [eqn: q]에 대해 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{2 sqrt {px}&(x GEQ 0)#2 sqrt {qx}&(x<0)}}] 가 있다. [eqn: y]축 위 점 [eqn: A]에서 함수

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프에 그은 접선 중 제 1사분면 위의 점 [eqn: B]에서 접하는 직선을 [eqn: l]이라 하고     제 2사분면 위의 점 [eqn: C]에서 접하는 직선을 [eqn: m]이라 하면 직선 [eqn: l]과 [eqn: m]은 수직한다. 직선 [eqn: l,`m]    이 [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: D,`E]라 하면 [eqn: COS ANGLE BCD= {3} over {5}]이고, 사각형 [eqn: BCDE]의 넓이는     [eqn: S]이다. [eqn: LEFT | {S} over {pq} RIGHT |]의 값은? [4점]

□ 4                □ 5                □ 6                □ 7                □ 8

[해설] 답: □

곡선 [eqn: y=2 sqrt {px}], [eqn: y=2 sqrt {qx}]의 그래프는 각각 포물선 [eqn: y ^{2} =4px], [eqn: y ^{2} =4qx]의 그래프 중 [eqn: y]값이 양수인 부분이다. 따라서 직선 [eqn: l,m]은 각각 포물선 [eqn: y ^{2} =4px], [eqn: y ^{2} =4qx]의 접선이다.

이때 [eqn: LEFT | p RIGHT | < LEFT | q RIGHT |]인 경우와 [eqn: LEFT | p RIGHT | GEQ LEFT | q RIGHT |]인 경우를 나누면 다음과 같다.

[eqn: i)` LEFT | p RIGHT | < LEFT | q RIGHT |]

[eqn: ANGLE BCD> {pi } over {2}]이므로, [eqn: COS ANGLE BCD<0]이다. 따라서 조건을 만족하지 않는다.

[eqn: ii)` LEFT | p RIGHT | GEQ LEFT | q RIGHT |]

점 [eqn: B]의 좌표를 [eqn: b]라 하면, [eqn: B(b,2 sqrt {bp} )]이다. 포물선의 접선 공식에 따라 [eqn: l:y= {sqrt {p}} over {sqrt {b}} x+ sqrt {bp}]이고 [eqn: A LEFT ( 0, sqrt {bp} RIGHT )], [eqn: D(-b,0)]이다. 직선 [eqn: l]과 수직인 직선 [eqn: m]의 기울기는 [eqn: - {sqrt {b}} over {sqrt {p}}]이고 직선 [eqn: m]은 점 [eqn: A]를 지나므로 [eqn: m:y=- {sqrt {b}} over {sqrt {p}} x+ sqrt {bp}]이며, 포물선의 접선 공식에 따라 [eqn: m:y=- {sqrt {b}} over {sqrt {p}} x- {q sqrt {p}} over {sqrt {b}}]이기도 하다. 따라서 [eqn: sqrt {bp} =- {q sqrt {p}} over {sqrt {b}}], [eqn: b=-q]이다.

직선 [eqn: m]의 방정식과 포물선 [eqn: y ^{2} =4qx]의 방정식을 연립하여 중근인 점 [eqn: C]의 [eqn: x]좌표를 구하면,

[eqn: 4qx= LEFT ( - {sqrt {b}} over {sqrt {p}} x+ sqrt {bp} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( - {sqrt {-q}} over {sqrt {p}} x+ sqrt {-pq} RIGHT ) ^{2} =- {q} over {p} x ^{2} +2qx-pq], [eqn: LEFT ( {sqrt {-q}} over {sqrt {p}} x+ sqrt {-pq} RIGHT ) ^{2} =0], [eqn: x=-p]이다. 따라서 [eqn: A(0, sqrt {-pq} )], [eqn: B(-q,2 sqrt {-pq} )], [eqn: C(-p,2 sqrt {-pq} )], [eqn: D(q,0)], [eqn: E(p,0)]이고, 사각형 [eqn: BCDE]는 한 변의 길이가 [eqn: p-q]인 마름모이다.

점 [eqn: C]에서 [eqn: x]축으로 내린 수선의 발을 [eqn: C']이라 하면, [eqn: COS ANGLE BCD=COS ANGLE CDC'= {3} over {5}]이므로

[eqn: -2q= {bar{BC``}} - {bar{DC prime ``}} = {bar{BC``}} - {bar{CD``}} COS ANGLE CDC prime = {2} over {5} {bar{BC``}} = {2} over {5} (p-q)], [eqn: -10q=2p-2q], [eqn: p=-4q]이다. 그러므로 [eqn: S=2 TIMES TRIANGLE BCD=2 TIMES {1} over {2} TIMES LEFT ( p-q RIGHT ) ^{2} TIMES SIN ANGLE BCD= {4} over {5} TIMES 25q ^{2} =20q ^{2}], [eqn: LEFT | {S} over {pq} RIGHT | = LEFT | {20q ^{2}} over {-4q ^{2}} RIGHT | =5]이다.

[참고]

문제상황을 그림으로 나타내면 다음과 같다.