30. 한 모서리의 길이가 12인 정육면체 [eqn: ABCD-EFGH]가 있다. 모서리 [eqn: BF]를 2:1로           내분하는 점 [eqn: I]와 모서리 [eqn: DH] 위의 점 [eqn: J]에 대하여 평면 [eqn: ACI]와 평면 [eqn: ACJ]가 수직한다.        사면체 [eqn: ACIJ]에 외접하는 구의 지름은? [4점]

[해설] 답: 19

[eqn: {bar{AI``}} = {bar{CI``}} =4 sqrt {13}], [eqn: {bar{AJ``}} = {bar{CJ``}}]이므로 [eqn: {bar{AC``}}]의 중점을 [eqn: M]이라 하면 [eqn: {dyad{AC``}} BOT {dyad{IM``}}], [eqn: {dyad{AC``}} BOT {dyad{JM``}}]이다. 따라서 평면 [eqn: ACI]와 평면 [eqn: ACJ] 간 이면각은 [eqn: ANGLE IMJ=90 DEG]이다.

[eqn: {bar{JH``}} =l]이라 하면 [eqn: {bar{IJ``}} ^{2} = LEFT ( {bar{IF``}} - {bar{JH``}} RIGHT ) ^{2} + {bar{FH``}} ^{2} = LEFT ( 4-l RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 12 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} =l ^{2} -8l+304], [eqn: {bar{JM``}} ^{2} = {bar{DM``}} ^{2} + {bar{DJ``}} ^{2} = LEFT ( 6 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 12-l RIGHT ) ^{2} =l ^{2} -24l+216], [eqn: {bar{IM``}} ^{2} = {bar{BM``}} ^{2} + {bar{BI``}} ^{2} = LEFT ( 6 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} +8 ^{2} =136], [eqn: {bar{IJ``}} ^{2} =l ^{2} -8l+304= {bar{JM``}} ^{2} + {bar{IM``}} ^{2} =l ^{2} -24l+352], [eqn: 16l=48], [eqn: l=3]이다.

평면 상에서 세 점과의 거리가 모두 같은 점의 자취는 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 외심으로 오직 하나이며, 공간 상에서 세 점과의 거리가 모두 같은 점의 자취는 외심을 지나고 삼각형을 포함하는 평면에 수직인 직선이다. 이에 착안하여 삼각형 [eqn: ACJ]의 외심을 [eqn: O']이라 하자. [eqn: {bar{AJ``}} = sqrt {{bar{AD``}} ^{2} + {bar{DJ``}} ^{2}} = sqrt {12 ^{2} +9 ^{2}} =15= {bar{CJ``}}], [eqn: {bar{AC``}} =12 sqrt {2}]이므로 [eqn: sin ANGLE CAJ= {{bar{JM``}}} over {{bar{AJ``}}} = {3 sqrt {17}} over {15} = {sqrt {17}} over {5}]이다. 사인법칙에 따라 삼각형 [eqn: ACJ]의 외접원의 반지름을 [eqn: r]이라 하면 [eqn: 2r= {{bar{CJ``}}} over {{sqrt {17}} over {5}} = {75} over {sqrt {17}}], [eqn: r= {75} over {2 sqrt {17}}]이다. 직선 [eqn: MJ]는 선분 [eqn: AC]의 수직이등분선이고 두 점 [eqn: A,C]와의 거리가 동일한 점들의 자취이므로,

점 [eqn: O']은 직선 [eqn: MJ]위에 있다. 따라서 [eqn: {bar{MJ``}} - {bar{O prime J``}} = {bar{MJ``}} -r= {bar{O prime M``}} =3 sqrt {17} - {75} over {2 sqrt {17}} = {27} over {2 sqrt {17}}]이다.

사면체 [eqn: ACIJ]에 외접하는 구의 중심을 [eqn: O]라 하면 [eqn: {bar{OA``}} = {bar{OC``}} = {bar{OI``}} = {bar{OJ``}}]이다. 점 [eqn: O']을 지나고

평면 [eqn: ACJ]에 수직한 직선을 [eqn: m]이라 하면 [eqn: {dyad{MI``}} ⫽m]이고, 점 [eqn: O]는 직선 [eqn: m]위에 있다. 점 [eqn: O]에서

평면 [eqn: ACI]에 내린 수선의 발을 [eqn: K]라 하면 사각형 [eqn: OO'MK]는 직사각형이다. 따라서 [eqn: {bar{OO'``}} =h]라 하면 [eqn: {bar{OI``}} ^{2} = {bar{OK``}} ^{2} + {bar{IK``}} ^{2} = {bar{O prime M``}} ^{2} + {bar{IK``}} ^{2} = LEFT ( {27} over {2 sqrt {17}} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {bar{IM``}} ^{2} -h RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 2 sqrt {34} -h RIGHT ) ^{2} + {729} over {68}][eqn: =h ^{2} -4 sqrt {34} h+136+ {729} over {68} =r ^{2} +h ^{2}][eqn: = {5625} over {68} +h ^{2}], [eqn: 4 sqrt {34} h=64], [eqn: h= {16} over {sqrt {34}}]이다. 구의 반지름을 [eqn: R]이라 하면 [eqn: R ^{2} =r ^{2} +h ^{2} = {361} over {4}], [eqn: R= {19} over {2}]이다. 구의 지름은 [eqn: 2R=19]이다.

[참고]

문제상황을 그림으로 나타내면 다음과 같다.