1번. 20번에 4점으로 출제하시길 추천.

1번. 자연수 [eqn: q]에 대해, 주어지지 않은 모든 범위에서 정의되지 않은 [eqn: f(x)]가 다음과 같다.

[eqn: f(x)= {cases{pi `sin(qx)&(0<x<2 pi 일`때)#{pi ^{2}} over {3}&(x=2 pi 일`때)#f(x+2 pi )=f(x)+ pi &( vert x vert LEQ {32} over {q} 일`때)}}]

A={[eqn: x][eqn: vert][eqn: f(x)]=k}에서 n(A)=5이고 B={k[eqn: vert]n(A)=5}에서 n(B)=t이다.

이 때 모든([eqn: q]+n(A)-t)의 총합은?

2번. 20번에 4점으로 출제하시길 추천.

2번. 자연수 [eqn: n]<1502, 수열 {[eqn: a_{n}]}, {[eqn: b _{n}]}, {[eqn: c _{n}]}에 대해 [eqn: a_{n}], [eqn: b _{n}], [eqn: c _{n}]은 오직 0 또는 1의 값만을 가지며 아래의 벤다이어그램을 만족한다.

[eqn: a_{n}]=0

[eqn: b_{n}]=1

[eqn: c_{n}]=0

[eqn: c_{n}]=0

[eqn: c_{n}]=1

[eqn: c_{n}]=1

[eqn: a_{n}]=-[eqn: c_{n}]인 [eqn: n]은 600개이고 [eqn: sum _{k=0} ^{1500} a _{k+1}]=550, [eqn: sum _{k=0} ^{1500} c _{k+1}]=450이다. [eqn: sum _{k=0} ^{1500} b _{k+1}]의 값은?

3번. 12번에 4점으로 출제하시길 추천.

3번. 실수[eqn: k], [eqn: f(x)g(x)=(x-1)^2}], A={[eqn: (x,y)][eqn: vert][eqn: f(x)]=[eqn: k]}, B={[eqn: (x,y)][eqn: vert][eqn: g(x)]=[eqn: k]}, 다항함수 f(x)가 다음 [조건]을 만족한다.

[조건] [eqn: n(A CUP B)가k에대해불연속할때의(A CUP B)의`원소의`x좌표에-1이포함되어있고이때의 vert k vert =2이다.]

C={[eqn: k][eqn: vert][eqn: n(A CUP B)]가 불연속이다}, D={[eqn: n(A CUP B)][eqn: vert][eqn: n(A CUP B)]는 실수이다}에서 “서로 다른 모든 [eqn: n](C)의 합”, “서로 다른 [eqn: n](D)의 갯수”,

“서로 다른 집합 C의 모든 원소의 합”, “서로 다른 집합 D의 모든 원소의 합”의 네 가지를 모두 더한 것은?

① 5	② 7	③ 10	④ 11	⑤ 13

4번. 12번에 4점으로 출제하시길 추천.

4번. 실수[eqn: k], [eqn: f(x)g(x)=(x-1)^2}], A={[eqn: x][eqn: vert][eqn: f(x)]=[eqn: k]}, B={[eqn: x][eqn: vert][eqn: g(x)]=[eqn: k]}, 다항함수 f(x)가 다음 [조건]을 만족한다.

[조건] [eqn: n(A CUP B)가k에대해불연속하고 vert k vert =2이며 vert (A CUP B)의`원소의`x좌표vert =1인경우가있다.]

C={[eqn: k][eqn: vert][eqn: n(A CUP B)]가 불연속이다}, D={[eqn: n(A CUP B)][eqn: vert][eqn: n(A CUP B)]는 실수이다}에서 “서로 다른 [eqn: n](C)”, “서로 다른 [eqn: n](D)”,

“서로 다른 집합 C의 모든 원소의 합”, “서로 다른 집합 D의 모든 원소의 합”의 네 가지를 모두 더한 것은?

① 5	② 7	③ 10	④ 11	⑤ 13

5번. 18번에 3점으로 출제하시길 추천.

5번. 수열 {[eqn: 1_{n}]}, {[eqn: 2 _{n}]}, {[eqn: 3 _{n}]}, ..., {[eqn: 999 _{n}]}, {[eqn: 1000 _{n}]}은 오직 1의 값만을 가진다.

[eqn: sum _{i=-656} ^{342} sum _{j=-472} ^{528} (i+657)_{(j+473)}]을 백만에서 뺀 후 백을 더한 수는?

6번. 20번에 4점으로 출제하시길 추천.

6번. 집합 A={(1,3), x=2, (3,1)}과 집합 B={b∣f(x)가 b에 대칭이다}에서 B≠∅이고 B⊂A이며, 정수 [eqn: m]≥1이다.

n(B)=([eqn: m])을 만족하는 집합 B들의 집합은 p, n(B)=([eqn: m-1])을 만족하는 집합 B들의 집합은 q이다.

n(p)=n(q)이고 [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx}=int _{2} ^{3} {f(x)dx}=m]일 때, 정의되는[eqn: int _{-2} ^{7} {} f(x)dx]의 -(최솟값-최댓값)을 구하시오.

7번. 27번에 4점으로 출제하시길 추천, 선택과목 : 확률과 통계.

7번. 자연수 [eqn: n]<1000, 실수 [eqn: p]≥0과 자연수 [eqn: q], 정수 [eqn: {n} over {(10) ^{p}} `]에 대해 [eqn: {(10) ^{0}} `]<[eqn: {n} over {(10) ^{p}} `]<[eqn: (10) ^{1} `]이다. 서로 다른 모든 [eqn: p]의 합이 [eqn: log(q!)]일 때, [eqn: q]의 값은?

문제들의 정답은 인쇄면의 하단부에 이 색깔, 즉 빨간색으로 표시되어 있습니다. 어떤 인쇄면에는 하단부에도 문제의 정답이 표시되어있지 않습니다.

1번해설해보겠습니다. (문단바꿈)“주기”리는 표현은 적절하지 않으니 편의상 “마디”라 하자. 세 줄로 제시된 f(x)의 첫째줄과 둘째줄을 보면 π를 나누고 싶어지는데, 물론 그렇게 하지 않고 π²을 신나게 계산하는 방법도 있지만 필자는 전자의 방법으로 진행하겠다. 이 때 셋째줄의 π는 나머지 두 줄과는 달리 주기에 관한 내용이기에 “기존의 함수에 π라는 값을 나누는 작업”을 위해선 세 번째 줄의 첫 번째 π는 냅두고 두 번째 π만 나누는 것이 맞음에 유의하자. (문단바꿈)π/3의 어림값은 1.04임으로 (0, 2π]에서의 f(x)의 그림은 다음과 같다. (그림 생략할게요 판매버전에는 잊지 말고 넣어주세요) (문단바꿈)실수 k에 대해 f(x)=k의 서로 다른 교점의 개수를 5로 넣은 후에 관해서만 물어봤음으로 이에 관해서만 조사할 예정이고, [eqn: ( vert x vert LEQ {32} over {q} 일`때)]의 추가로 걸린 조건 역시 무시하며, …을 넣어가며 그린 f(x)의 개형은 다음과 같다. (그림 생략할게요 판매버전에는 잊지 말고 넣어주세요) 그리고 아직 q에 따라 f(x)의 범위를 구한 후 그 밖의 f(x)는 죽이는 과정이 남아있다. (문단바꿈)q를 1부터 6까지 키워가며 n(A)=5일때의 상황을 조사해보자.

답 : 8

I) q=1일 때 10π<32/1=32<11π이고 n(A)=5인 상황은 없음.

II) q=2일 때 5π<32/2=16<6π이고 n(A)=5인 상황은 있으며 π로 나누지 않은 f(x)의 개형은 정확히 이와 같음.	(그림생략)	II_[eqn: q]) 2이다.	II_n(A)) 5이다.	II_t) 3이다.

III) q=3일 때 3π<32/3=10+2/3<4π이고 n(A)=5인 상황은 있으며 π로 나누지 않은 f(x)의 개형은 정확히 이와 같음. (그림생략)	III_[eqn: q]) 3이다.	III_n(A)) 5이다.	III_t) 4이다.

IV) q=4일 때 2π<32/4=8<3π이고 n(A)=5인 상황은 없음.

V) q=5일 때 2π<32/5=6.4<2π이고 n(A)=5인 상황은 없음.

VI) q=6일 때 10π<32/6=5+1/3<2π이고 n(A)=5인 상황은 없음.

(문단바꿈)따라서 모든([eqn: q]+n(A)-t)의 총합은 8이다.

1번문제관련출제자멘트입니다. ●k의 값을 직접 일일이 구하여 더하는 등의 문제로 더 어렵게 변형할 수 있습니다. 다만 이 부분을 추가하는 것에 대한 변별력은 크게 없어보이며, 겉보기에 무시무시해보이는 효과는 상당히 클 것으로 보입니다. ●“서로 다른 모든 x의 합”을 “서로 다른 모든 x의 개수”로 나눈 “서로 다른 모든 교점의 x좌표값의 평균”같은 것들을 구하라고 시키는 과정에서 삼각함수의 대칭성을 이용해 모든 근의 합을 구하는 부분을 시켜 체감난이도를 올릴 수 있습니다. 몇 자 안적고도 난이도를 끌어올린다는 점에서 탈평가원을 지향하며 “여러가지 경우의 수들을 모두 찾는”것을 시키는 최근 평가원의 트렌드와 잘 맞습니다. ●다만 위 과정 중에서 “f(x) 정의의 πsin(qx) 부분을 πsin(qπx)로 변경하고 서로 다른 (자연수 p,자연수 q)의 순서쌍의 개수를 구하라는 등의 문제로 질문을 변형시키는” 과정에서 난이도가 오히려 내려갈 수 있습니다.

2번해설해보겠습니다. 1501개의 수열의 각 항의 합을 구하는 것이 질문이며, 문제 상황을 표로 나타내는 것이 적합하다. 왜냐하면 벤다이어그램을 지키기 위해선 하나의 n에 대해 서로 다른([eqn: a_{n}], [eqn: b _{n}], [eqn: c _{n}])의 개수는 2의 세제곱인 여덟 개가 아니라 오직 최대 네 개 밖에 허용하지 않기 때문이다.

답 : 802

		경우 I)	경우 II)	경우 III)	경우 IV)
	[eqn: a_{n}]	0	0	1	1	550
	[eqn: b _{n}]	0	1	0	1
	[eqn: c _{n}]	0	1	1	0	450
1501		600
		[eqn: a_{n}]+[eqn: c _{n}]=0	[eqn: a_{n}]+[eqn: c _{n}]=1	[eqn: a_{n}]+[eqn: c _{n}]=2	[eqn: a_{n}]+[eqn: c _{n}]=1

1501-(550+450)=501은 꽤나 매력적인 오답이다. 특히 수능 기출 중에서도 필요 없는 잉여조건을 추가로 제시한 적이 있다는 점에서 더욱 그렇다. 하지만 세 수열의 모든 원소의 합을 1501이라고 준 적은 없다. 오히려 I)~IV)의 모든 경우의 합이 1501이라고 한 것이다. 그렇다. II)~IV)의 모든 경우의 합은 1501-600=901이다.(문단바꿈)이제 각각의 경우의 수를 미지수로 치환하여 행렬로 풀 수도 있다. 그 방법이 숙달되었다면 교육과정 안에서 푸는 것보다 더 빠르고 정확할 수도 있다. 하지만 과탐에서도 이정도 연립방정식은 나오니, 실제로 수학 과목에서 이러한 연립방정식을 출제하는 것이 사회 분위기상 어렵다고 하더라도 우리 수학강사들이 이정도의 연립방정식은 준비시켜야 한다고 생각한다.

	1III)	1IV)	550
1II)	1III)		450
1II)		1IV)	?
1II)	1III)	1IV)	901
?=802

따라서 정답은 802이다.

2번다른풀이입니다. n의 개수 1501개, 이 중 a,b,c 모두에게 안 주는 것 600개를 뺀 901개에 대해 a,b,c 중 둘에게 각각 1을 하나씩 줌으로 모든 a,b,c가 가진 1은 총 1802개. 1802-(550+450)=802. 기존 2번 풀이의 첫 번째 표를 변형시켜 이러한 다른풀이로 풀을 수도 있다.

3번해설해보겠습니다.(문단바꿈)f(x)와 g(x) 모두 다항함수이고, x와 실수의 곱과 합으로 이루어졌다. 집합 A와 B는 모두 원소가 점의 좌표 전체를 순서쌍 형태로 가져가며, 각각 y=f(x), y=g(x)와 y=k의 교점이다. 우선 [조건]을 통해 f(x)와 g(x)의 개형을 추론한 후 집합 C와 D에 관해 조사하고 문제의 질문에 답해보자. (문단바꿈) f(x)=m(x-1), g(x)=(x-1)/m으로 두면 f(x)g(x)=(x-1)²에서 m은 0이 아님으로 m의 범위에 관한 문제가 없다. 다만 [eqn: n(A CUP B)]가 불연속한 경우는 오직 k=0이고 x=1인 경우뿐이며, x=-1이면서 [eqn: n(A CUP B)]가 불연속한 경우는 없다. (문단바꿈) f(x)=m(x-1)², g(x)=1/m이면 마찬가지로 m의 범위에 문제가 없으나 다만 이후 g(x)=m(x-1)², f(x)=1/m의 경우도 고려해야 함을 기억해두자. [eqn: vert k vert =2]임으로 문제 조건을 만족하는 경우는 1/m=±2이고, 이 부분에 의해 문제조건을 만족하는 개형의 경우는 총 네가지이다. I) g(x)=2인 경우 (그림) II) g(x)=-2인 경우 (그림) III) f(x)=2인 경우 (그림) IV) f(x)=2인 경우 (그림) (네 가지 모두 그림 생략합니다 판매버전에는 꼭 넣어주세요) (문단바꿈) 또한 이 경우들에 대한 집힙 C와 D의 모든 원소들은 다음 표와 같다.

답 : ① 5

	I)	II)	III)	IV)
C	2	-2	2	-2
D	2,1,0	0,1,2	2,1,0	0,1,2

(문단바꿈) 따라서 서로 다른 n(C)는 1의 한 가지이고, n(D)의 경우는 3의 한 가지이며, 서로 다른 집합 C의 모든 원소의 합은 2+(-2)=0이며, D의 경우에는 2+1+0=3이고, 질문의 네 가지를 순서에 맞게 더하면 1+1+0+3=5임으로 답은 ① 5이다.

3번문제관련출제자멘트입니다.

●문제상황은 단순히 사관학교 기출변형이지만, 질문을 많이 꼬아낸 문제입니다. 질문의 표현을 문법적으로 분석하고 출제오류가 없다는 가정도 사용한다면 많은 힌트를 얻을 수 있으나, 이렇게 정보를 친절하게 제시하는 것 만으로도 정보가 너무 많다면서 문제의 변별력이 올라가는 효과가 생깁니다. 다만 이러한 수법으로 변별력을 키우는 것은 겉보기에 어려워보인다는 점에서 조금이라도 어려워보이는 수학 및 과학 식에 [이 부분은 공개하지 않겠습니다] 의 먹잇감이 되기 아주 좋습니다. 특히나 수학 및 과학 과목의 시험범위를 줄여 청소년들의 [이 부분은 공개하지 않겠습니다] 유도하는 그 단체에서 이러한 부분들을 집중적으로 물어뜯고 있으니 판매를 포함한 문제의 취급과 관리에 특히 주의하시길 바랍니다. ●A={[eqn: (x,y)][eqn: vert][eqn: f(x)]=[eqn: k]}, B={[eqn: (y,x)][eqn: vert][eqn: g(x)]=[eqn: k]}같이 조건제시법의 조건에 맞는 그래프 개형이 나온 이후에도 해당 원소들을 집합 안으로 넣는 과정에서 집합의 정의에 따라 변형한 후 [eqn: n(A CUP B)]의 값을 추적하는 등의 출제기법을 통해 오래된 기출에서 발전한 모습의 문제들을 출제할 수 있을 것으로 보입니다.

4번해설해보겠습니다.

답 : ① 5

5) 답 : 101

대체로 3번과 동일하나 f(x)와 g(x)가 모두 일차식일 경우에는 k=0임으로 문제조건을 만족하지 않으며, 이외의 풀이는 위의 3번해설해보겠습니다.를 참고하세요.

5번해설해보겠습니다. 시그마의 정의에 의해 풀이과정은 1000000-(1001[eqn: TIMES]999)+100=101이며 답은 101이다.

6번해설해보겠습니다. m, m-1, n(p), n(q)는 같이 움직이며 그 값은 아래의 표와 같다.

답 : 8

m	1	2	3	4
m-1	0	1	2	3
n(p)	3	3	1	-
n(q)	1	3	3	1

n(p)=n(q)에서 m=2임으로 경우의 수는 총 I), II), III)의 세 가지이다.

I) (1,3)과 (3,1)에 대칭이며 x=2에 대칭이지 않은 경우 : +26

II) (1,3)과 x=2에 대칭이며 (3,1)에 대칭이지 않은 경우 : 모순. 함수가 존재하지 않음.

III) x=2과 (3,1)에 대칭이며 (1,3)에 대칭이지 않은 경우 : +18

따라서 최댓값-최솟값=8이다.

7번해설해보겠습니다.

답: 500

I)n=1일 때. [eqn: 10 ^{ p}]≥1에서 불능.

II)2≤n≤9일 때. [eqn: 10 ^{ p}]는 n에 따라 1,2,3,4의 값을 가질 수 있음.

III)n=10일 때. [eqn: 10 ^{ p}]는 2,5의 값을 가질 수 있음.

IV)11≤n≤19일 때. [eqn: 10 ^{ p}]는 n에 따라 6,7,8,9의 새로운 값을 가질 수 있음.

V)20≤n≤1000일 때. [eqn: 10 ^{ p}]는 n에 따라 10, 11, …, 499, 500의 새로운 값을 가질 수 있음.

따라서 답은 500이다.