30. 평면 위에 다음 조건을 만족하는 점 [eqn: A _{1}], [eqn: A _{2}], ···을 잡는다.

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대해서 육각형 [eqn: A _{6n-5} A _{6n-4} A _{6n-3} A _{6n-2} A _{6n-1} A _{6n}]은 정육각형이다.

(나) 모든 자연수 [eqn: n]과 [eqn: k]에 대해서

[eqn: 6k-5 LEQ n LEQ 6k-1]이면 점 [eqn: A _{n+6}]은 선분 [eqn: A _{n} A _{n+1}]을 [eqn: k]:1로 내분한다.

[eqn: LEFT | sum _{n=1} ^{15} {vec{A _{n} A _{31-n}}} RIGHT | ^{2} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: {vec{A _{1} A _{2}}}]는 단위벡터이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인    자연수이다.) [4점]

[해설] 답: 31

정[eqn: n]각형의 각 변을 동일한 비율로 내분하는 점들의 집합을 [eqn: S _{1}], 정[eqn: n]각형의 꼭짓점들의 집합을 [eqn: S _{2}]라 하자. (집합 [eqn: S _{1}]의 원소들을 꼭짓점으로 하는 다각형은 다시 정[eqn: n]각형을 이룬다.) 평면상의 임의의 점을 시점으로 잡을 때, 집합 [eqn: S _{1}]의 원소들을 종점으로 하는 [eqn: n]개의 벡터의 합성벡터는 집합 [eqn: S _{2}]의 원소들을 종점으로 하는 [eqn: n]개의 벡터의 합성벡터와 동일하다. ··· (ㄱ)

절댓값 내의 시그마의 합으로 표현된 합성벡터를 분해해서 나타내면

[eqn: LEFT | sum _{n=1} ^{15} {vec{A _{n} A _{31-n}}} RIGHT |]=[eqn: LEFT | {vec{A _{1} A _{30}}} + {vec{A _{2} A _{29}}} `···+ {vec{A _{15} A _{16}}} ` RIGHT |]=

[eqn: LEFT | ( {vec{A _{1} A _{2}}} + {vec{A _{1} A _{3}}} `···`+ {vec{A _{1} A _{6}}} )+( {vec{A _{1} A _{7}}} `···+ {vec{A _{1} A _{12}}} )+( {vec{A _{1} A _{13}}} `···+ {vec{A _{1} A _{15}}} )-( {vec{A _{1} A _{16}}} `···+ {vec{A _{1} A _{18}}} )-( {vec{A _{1} A _{19}}} `···+ {vec{A _{1} A _{24}}} )-( {vec{A _{1} A _{25}}} `···+ {vec{A _{1} A _{30}}} ) RIGHT |]

이고, (ㄱ)에 따라 첫 번째와 두 번째, 다섯 번째, 여섯 번째 괄호가 소거되어

[eqn: LEFT | {vec{(A _{1} A _{13}}} `···`+ {vec{A _{1} A _{15}}} )-( {vec{A _{1} A _{16}}} `···`+ {vec{A _{1} A _{18}}} ) RIGHT |]가 남게 된다.

이때, 사교좌표계를 활용하여 ‘[eqn: {vec{A _{1} A _{k}}} =n {vec{A _{1} A _{2}}} +m {vec{A _{1} A _{6}}}]이면 [eqn: A _{k} (n,m)]’이라 약속하자.

[eqn: A _{1} LEFT ( 0,0 RIGHT ) ,`A _{2} LEFT ( 1,0 RIGHT ) ,`A _{3} LEFT ( 2,1 RIGHT ) ,`A _{4} LEFT ( 2,2 RIGHT ) ,`A _{5} (1,2),`A _{6} LEFT ( 0,1 RIGHT )# A _{7} LEFT ( {1} over {2} ,0 RIGHT ) ,`A _{8} LEFT ( {3} over {2} , {1} over {2} RIGHT ) ,`A _{9} LEFT ( 2, {3} over {2} RIGHT ) ,`A _{10} LEFT ( {3} over {2} ,2 RIGHT ) ,`A _{11} LEFT ( {1} over {2} , {3} over {2} RIGHT ) ,`A _{12} LEFT ( 0, {1} over {2} RIGHT )# A _{13} LEFT ( {7} over {6} , {1} over {3} RIGHT ) ,`A _{14} LEFT ( {11} over {6} , {7} over {6} RIGHT ) ,`A _{15} LEFT ( {5} over {3} , {11} over {6} RIGHT ) ,`A _{16} LEFT ( {5} over {6} , {5} over {3} RIGHT ) ,`A _{17} LEFT ( {1} over {6} , {5} over {6} RIGHT ) ,`A _{18} LEFT ( {1} over {3} , {1} over {6} RIGHT ) `···]

[eqn: LEFT | {vec{(A _{1} A _{13}}} `···`+ {vec{A _{1} A _{15}}} )-( {vec{A _{1} A _{16}}} `···`+ {vec{A _{1} A _{18}}} ) RIGHT |]=[eqn: LEFT | ( {7} over {6} + {11} over {6} + {5} over {3} - {5} over {6} - {1} over {6} - {1} over {3} ) {vec{A _{1} A _{2}}} +( {1} over {3} + {7} over {6} + {11} over {6} - {5} over {3} - {5} over {6} - {1} over {6} ) {vec{A _{1} A _{6}}} RIGHT |]

=[eqn: LEFT | {10} over {3} {vec{A _{1} A _{2}}} + {2} over {3} {vec{A _{1} A _{6}}} RIGHT |]

[eqn: {vec{A _{1} A _{2}}}]는 단위벡터이므로 크기가 1이고, 정육각형 하에서 [eqn: {vec{A _{1} A _{6}}}] 또한 크기가 1이 된다.

따라서 [eqn: LEFT | sum _{n=1} ^{15} {vec{A _{n} A _{31-n}}} RIGHT | ^{2}]=[eqn: LEFT | {10} over {3} {vec{A _{1} A _{2}}} + {2} over {3} {vec{A _{1} A _{6}}} RIGHT | ^{2}]=[eqn: {100} over {9} + {4} over {9} +2 TIMES (- {1} over {2} ) TIMES {10} over {3} TIMES {2} over {3}]=[eqn: {28} over {3}]=[eqn: {q} over {p}]이므로 답은 31이다.

[참고]

문제 상황을 그림으로 나타내면 다음과 같다.