	미적분 1회차 문제지	1
홀수형	수학 영역

[eqn: sqrt {3} of {5} times 25^{{1} over {3}}`]의 값은?

홀수형	수학 영역1

	수학 영역1	홀수형

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f left(x right)=x^{3}-8 x+7`]에 대하여 [eqn: lim _{h ``rarrow`` 0} {f left(2+h right)-f left(2 right)} over {h}`]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

첫째항과 공비가 모두 양수 [eqn: k`]인 등비수열 [eqn: left {a_{n} right }`]이

[eqn: {a_{4}} over {a_{2}}+{a_{2}} over {a_{1}}=30]

을 만족시킬 때, [eqn: k`]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``5x+a&&LEFT ( x<`-2 RIGHT )#``x ^{2} -a&&LEFT ( x GEQ `-2 RIGHT )}}]

가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: f left(x right)= left(x^{2}+1 right) left(3 x^{2}-x right)`]에 대하여 [eqn: f`prime left(1 right)`]의 값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

[eqn: cos ` left({ pi} over {2}+ theta right)=`-{1} over {5}`]일 때, [eqn: { sin ` theta} over {1- cos ^{2} ` theta}`]의 값은?

① [eqn: rm -5]	② [eqn: - sqrt{5}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: sqrt{5}]	⑤ [eqn: 5]

다항함수 [eqn: f left(x right)`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: int _{0} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) ``dt=3x ^{3} +2x]

를 만족시킬 때, [eqn: f left(1 right)`]의 값은?

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

두 실수 [eqn: a=2 log `{1} over { sqrt{10}}+ log`_{2} `20], [eqn: b= log `2`]에 대하여 [eqn: a times b`]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f left(x right)=3 x^{2}-16 x-20`]에 대하여

[eqn: int _{-2} ^{a} {} f LEFT ( x RIGHT ) ``dx= int _{-2} ^{0} {} f LEFT ( x RIGHT ) ``dx]

일 때, 양수 [eqn: a`]의 값은?

① [eqn: 16]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 8]

닫힌구간 [eqn: left[0,``2 pi right]`]에서 정의된 함수 [eqn: f left(x right)=a cos `b x+3`]이 [eqn: x={ pi} over {3}`]에서 최댓값 [eqn: 13`]을 갖도록 하는 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]의 순서쌍 [eqn: left(a,`` b right)`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 최솟값은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

시각 [eqn: t=0`]일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]의 시각 [eqn: t ~ LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )`]에서의 위치 [eqn: x`]가

[eqn: x=t^{3}-{3} over {2} t^{2}-6 t]

이다. 출발한 후 점 [eqn: rm P`]의 운동 방향이 바뀌는 시각에서의 점 [eqn: rm P`]의 가속도는?

① [eqn: 6]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

[eqn: a_{1}=2`]인 수열 [eqn: left {a_{n} right }`]과 [eqn: b_{1}=2`]인 등차수열 [eqn: left {b_{n} right }`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: sum_{k=1}^{n} {a_{k}} over {b_{k+1}}={1} over {2} n^{2}]

을 만족시킬 때, [eqn: sum_{k=1}^{5} a_{k}`]의 값은?

① [eqn: 120]	② [eqn: 125]	③ [eqn: 130]

④ [eqn: 135]	⑤ [eqn: 140]

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f left(x right)`]가

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =0], [eqn: f `prime LEFT ( 0 RIGHT ) =`-7]

을 만족시킨다. 원점 [eqn: rm O`]와 점 [eqn: {rm{P}} it left(3,`` f left(3 right) right)`]에 대하여 선분 [eqn: rm OP`]가 곡선 [eqn: y=f left(x right)`]와 만나는 점 중 [eqn: rm P`]가 아닌 점을 [eqn: rm Q`]라 하자.

곡선 [eqn: y=f left(x right)`]와 [eqn: y`]축 및 선분 [eqn: rm OQ`]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: A`], 곡선 [eqn: y=f left(x right)`]와 선분 [eqn: rm PQ`]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: B``]라 할 때, [eqn: B`-A``]의 값은?

① [eqn: {37} over {4}]	② [eqn: {39} over {4}]	③ [eqn: {41} over {4}]

④ [eqn: {43} over {4}]	⑤ [eqn: {45} over {4}]

그림과 같이 삼각형 [eqn: rm ABC`]에서 선분 [eqn: rm AB`] 위에 [eqn: {bar{rm AD it}} `:` {bar{rm DB it}} =3 `:` 2`]인 점 [eqn: rm D`]를 잡고, 점 [eqn: rm A`]를 중심으로 하고 점 [eqn: rm D`]를 지나는 원을 [eqn: O`], 원 [eqn: O``]와 선분 [eqn: rm AC`]가 만나는 점을 [eqn: rm E`]라 하자. [eqn: sin `A``:` sin `C`=8`:` 5`]이고, 삼각형 [eqn: rm ADE`]와 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이의 비가 [eqn: 9`:` 35`]이다. 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 7`]일 때, 원 [eqn: O`] 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 삼각형 [eqn: rm PBC`]의 넓이의 최댓값은? (단, [eqn: bar {{rm{AB}} it }< bar {{rm{AC}} it }])

① [eqn: 18+15 sqrt{3}]	② [eqn: 24+20 sqrt{3}]	③ [eqn: 30+25 sqrt{3}]

④ [eqn: 36+30 sqrt{3}]	⑤ [eqn: 42+35 sqrt{3}]

상수 [eqn: a ~ LEFT ( a != 3 sqrt {5} RIGHT )`]와 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 [eqn: f left(x right)`]에 대하여 함수

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``x ^{3} +ax ^{2} +15x+7&&LEFT ( x LEQ 0 RIGHT )#``f LEFT ( x RIGHT )&&LEFT ( x>0 RIGHT )}}]

이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g left(x right)`]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(나) [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: g `prime LEFT ( x RIGHT ) TIMES g `prime LEFT ( x-4 RIGHT ) =0`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4`]이다.

[eqn: g left(-2 right)+g left(2 right)`]의 값은?

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

방정식

[eqn: log` _{2} LEFT ( x-3 RIGHT ) = log` _{4} LEFT ( 3x-5 RIGHT )]

를 만족시키는 실수 [eqn: x`]의 값을 구하시오.

다항함수 [eqn: f left(x right)`]에 대하여 [eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) =9x ^{2} +4x`]이고 [eqn: f left(1 right)=6`]일 때, [eqn: f left(2 right)`]의 값을 구하시오.

수열 [eqn: left {a_{n} right }`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a_{n}+a_{n+4}=12`]

를 만족시킬 때, [eqn: sum_{n=1}^{16} a_{n}`]의 값을 구하시오.

양수 [eqn: a`]에 대하여 함수 [eqn: f left(x right)`]를

[eqn: f left(x right)=2 x^{3}-3 a x^{2}-12 a^{2} x]

라 하자. 함수 [eqn: f left(x right)`]의 극댓값이 [eqn: {7} over {27}`]일 때, [eqn: f left(3 right)`]의 값을 구하시오.

곡선 [eqn: y= left({1} over {5} right)^{x-3}`]과 직선 [eqn: y=x`]가 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: k`]라 하자. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f left(x right)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: x>k`]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f left(x right)= left({1} over {5} right)^{x-3}`]이고 [eqn: f left(f left(x right) right)=3 x`]이다.

[eqn: f left({1} over {k^{3} times 5^{3 k}} right)`]의 값을 구하시오.

함수 [eqn: f left(x right)=x^{3}+a x^{2}+b x+4`]가 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 정수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: f left(1 right)`]의 최댓값을 구하시오.

모든 실수 [eqn: alpha`]에 대하여 [eqn: lim _{x ``rarrow`` alpha} {f left(2 x+1 right)} over {f left(x right)}`]의 값이 존재한다.

모든 항이 정수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: left {a_{n} right }`]에 대하여 [eqn: LEFT |` a _{1} `RIGHT |`]의 값의 합을 구하시오.

(가) 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = {cases{``a _{n} -3&&LEFT ( LEFT |` a _{n} `RIGHT | 이~홀수인~경우 RIGHT )#``{1} over {2} a _{n}&&LEFT ( a _{n} =0~또는~ LEFT |` a _{n} `RIGHT | 이~짝수인~경우 RIGHT )}}]이다.

(나) [eqn: LEFT |` a _{m} `RIGHT | = LEFT |` a _{m+2} `RIGHT |`]인 자연수 [eqn: m`]의 최솟값은 [eqn: 3`]이다.

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {3 x^{2}} over { sin ^{2} `x}`]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: int _{0} ^{10} {} {x+2} over {x+1} ``dx`]의 값은?

① [eqn: 10+ ln `5]	② [eqn: 10+ ln `7]	③ [eqn: 10+2 ln `3]

④ [eqn: 10+ ln `11]	⑤ [eqn: 10+ ln `13]

수열 [eqn: left {a_{n} right }`]에 대하여 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {n a_{n}} over {n^{2}+3}=1`]일 때, [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } left( sqrt{a_{n} it ^ {2}+n}-a_{n} right)`]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

그림과 같이 곡선 [eqn: y= sqrt{{x+1} over {x left(x+ ln `x right)}}`]과 [eqn: x`]축 및 두 직선 [eqn: x=1], [eqn: x=e`]로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x`]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는?

① [eqn: ln ` left(e+1 right)]	② [eqn: ln ` left(e+2 right)]	③ [eqn: ln ` left(e+3 right)]

④ [eqn: ln ` left(2 e+1 right)]	⑤ [eqn: ln ` left(2 e+2 right)]

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f left(x right)`]에 대하여 함수 [eqn: g left(x right)`]를

[eqn: g left(x right)=f left(e^{x} right)+e^{x}]

이라 하자. 곡선 [eqn: y=g left(x right)`] 위의 점 [eqn: left(0,`` g left(0 right) right)`]에서의 접선이 [eqn: x`]축이고 함수 [eqn: g left(x right)`]가 역함수 [eqn: h left(x right)`]를 가질 때, [eqn: h`prime left(8 right)`]의 값은?

① [eqn: {1} over {36}]	② [eqn: {1} over {18}]	③ [eqn: {1} over {12}]

④ [eqn: {1} over {9}]	⑤ [eqn: {5} over {36}]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f left(x right)`]의 도함수 [eqn: f`prime left(x right)`]가

[eqn: f`prime left(x right)=`-x+e^{1-x^{2}}]

이다. 양수 [eqn: t`]에 대하여 곡선 [eqn: y=f left(x right)`] 위의 점 [eqn: left(t,`` f left(t right) right)`]에서의 접선과 곡선 [eqn: y=f left(x right)`] 및 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: g left(t right)`]라 하자. [eqn: g left(1 right)+g`prime left(1 right)`]의 값은?

① [eqn: {1} over {2} e+{1} over {2}]	② [eqn: {1} over {2} e+{2} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2} e+{5} over {6}]

④ [eqn: {2} over {3} e+{1} over {2}]	⑤ [eqn: {2} over {3} e+{2} over {3}]

등비수열 [eqn: left {a_{n} right }`]이

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( LEFT |` a _{n} `RIGHT | +a _{n} RIGHT ) = {40} over {3}], [eqn: ~ sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( LEFT |` a _{n} `RIGHT | -a _{n} RIGHT ) = {20} over {3}]

을 만족시킨다. 부등식

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } sum_{k=1}^{2 n} left( left(-1 right)^{{k left(k+1 right)} over {2}} times a_{m+k} right)>{1} over {700}]

을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: m`]의 값의 합을 구하시오.

두 상수 [eqn: a ~ LEFT ( 1 LEQ a LEQ 2 RIGHT )], [eqn: b`]에 대하여 함수 [eqn: f left(x right)= sin ` left(a x+b+ sin `x right)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f left(0 right)=0], [eqn: f left(2 pi right)=2 pi a+b]

(나) [eqn: f`prime left(0 right)=f`prime left(t right)`]인 양수 [eqn: t`]의 최솟값은 [eqn: 4 pi`]이다.

함수 [eqn: f left(x right)`]가 [eqn: x= alpha`]에서 극대인 [eqn: alpha`]의 값 중 열린구간 [eqn: left(0,``4 pi right)`]에 속하는 모든 값의 집합을 [eqn: A``]라 하자. 집합 [eqn: A``]의 원소의 개수를 [eqn: n], 집합 [eqn: A``]의 원소 중 가장 작은 값을 [eqn: alpha_{1}`]이라 하면, [eqn: n alpha_{1}-a b={q} over {p} pi`]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 이다.)