제 2 교시

2024학년도 2학년 2학기 기말고사 문제지

수학 영역

홀수형

성명

수험 번호

○ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

○ 답안지의 필적 확인란에 다음의 문구를 정자로 기재하시오.

떨려오는 별빛 반짝이는데

○ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호,                    문형(홀수/짝수), 답을 정확히 표시하시오.

○ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

○ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

○ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

※ 공통과목 및 자신이 선택한 과목의 문제지를 확인하고, 답을 정확히 표시하시오.

○ 공통과목 ······································································· 1~8쪽

○ 선택과목

확률과 통계 ····························································· 9~12쪽

미적분 ···································································· 13~16쪽

기하 ······································································· 17~20쪽

※ 시험이 시작되기 전까지 표지를 넘기지 마시오.

한국교육과정평가원

2024학년도 2학년 2학기 기말고사 문제지

수학 영역

5지선다형

홀수형

홀수형

제 2 교시

[eqn: f(x)= {42} over {x-1}]일 때, [eqn: LEFT ( f ^{-1} CIRC f CIRC f ^{-1} RIGHT ) ` LEFT ( 7 RIGHT )]의 값은? [2.7점]

① [eqn: 6]        ② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]       ④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

6

2019학년도 수능에 응시한 수험생은 국어, 영어 영역은 공통 과목이고, 수학 영역은 가형, 나형 중 하나를 선택한다. 탐구 영역에서는 사회탐구 영역에서 [eqn: 9]과목 중 [eqn: 2]과목을 선택하거나 과학탐구 영역에서 [eqn: 8]과목 중 [eqn: 2]과목을 선택한다. 수험생이 선택할 수 있는 과목의 조합의 수는? [3.3점]

① [eqn: 112]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 128]	④ [eqn: 136]	⑤ [eqn: 144]

곡선 [eqn: y= sqrt {x}]와 직선 [eqn: y= {1} over {2} x+n-1]의 교점 중 [eqn: y]좌표가 정수인 점이 존재하도록 하는 자연수 [eqn: n]의 개수는? [3.6점]

홀수형

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: 6]개의 공에 각각 [eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수가 각각 적혀 있다. 이 [eqn: 6]개의 공을 구분이 되지 않는 [eqn: 3]개의 상자에 넣는 경우의 수는? (단, 빈 상자가 있을 수 있다.)  [3.7점]

① [eqn: 118]	② [eqn: 119]	③ [eqn: 120]	④ [eqn: 121]	⑤ [eqn: 122]

자연수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: sqrt {2x} + {75} over {2x-1}]가 정수가 되도록 하는 모든 [eqn: x]의 값의 합은? [3.9점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 28]

[eqn: sqrt {a} sqrt {b} sqrt {c} =- sqrt {abc}]이고 절댓값이 [eqn: 10] 이하인 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,``b,``c RIGHT )]의 개수는?  [4.2점]

① [eqn: 4961]	② [eqn: 5061]	③ [eqn: 5161]	④ [eqn: 5261]	⑤ [eqn: 5361]

곡선 [eqn: y= sqrt {x}]에 접하는 직선 위의 점들의 집합을 [eqn: S]라 하자. [eqn: S]의 한 원소 [eqn: r]에 대하여 [eqn: r]과 점 [eqn: LEFT ( 4,``0 RIGHT )] 사이의 거리의 최솟값은? [4.4점]

① [eqn: {sqrt {11}} over {2}]	② [eqn: {sqrt {13}} over {2}]	③ [eqn: {sqrt {15}} over {2}]	④ [eqn: {sqrt {17}} over {2}]	⑤ [eqn: {sqrt {19}} over {2}]

세 그래프 [eqn: y= sqrt {x}], [eqn: y= {1} over {2024}], [eqn: y= {1} over {x-n}][eqn: LEFT ( x>n RIGHT )]으로 둘러싸인 영역의 내부 및 둘레에 있는 점 중에서 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: f(n)]이라 하자. [eqn: f(n) LEQ 72]을 만족하는 자연수 [eqn: n]의 최댓값을 [eqn: k]라 할 때, [eqn: k+f(k)]의 값은? [4.6점]

① [eqn: 92]	② [eqn: 93]	③ [eqn: 94]	④ [eqn: 95]	⑤ [eqn: 96]

수학 영역

상수함수가 아닌 함수 [eqn: f(x)= {bx+c} over {x-a}]와 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f _{1} (x)=f(x)], [eqn: f _{n+1} (x)= LEFT ( f CIRC f _{n} RIGHT ) (x)]이다. [eqn: f _{n} (x)]가 정의되는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f _{k} (x)]인 [eqn: 2] 이상 [eqn: 3] 이하의 자연수 [eqn: k]가 존재하도록 하는 [eqn: -5] 이상 [eqn: 5] 이하인 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,``b,``c RIGHT )]의 개수는? [4.7점]

① [eqn: 94]	② [eqn: 99]	③ [eqn: 104]	④ [eqn: 109]	⑤ [eqn: 114]

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: x<5]에서 정의된 함수 [eqn: g(x)=1- {2} over {x-5}]가 있다. [eqn: 3]보다 작은 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: t LEQ x LEQ t+2]에서 함수 [eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) (x)]의 최솟값을 [eqn: h(t)]라 할 때, [eqn: h(t)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: h(t)= {cases{f LEFT ( g LEFT ( t+2 RIGHT ) RIGHT )&`` LEFT ( t<1 RIGHT )#6&`` LEFT ( 1 LEQ t<3 RIGHT )}}]

(나) [eqn: h(-1)=7]

[eqn: f(5)]의 값은? [4.9점]

① [eqn: 24]      ② [eqn: 30]       ③ [eqn: 36]      ④ [eqn: 42]     ⑤ [eqn: 48]

단 답 형

[eqn: {}_{7} rmP _{2}]의 값을 구하시오. [2.0점]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n)= {1} over {n(n+1)(n+2)}]일 때, [eqn: f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]의 값을 구하시오. [3.0점]

수학 영역

원 위에 간격이 일정한 [eqn: 26]개의 점이 있다. 이 점들 중 [eqn: 3]개의 점을 골라 직각삼각형 또는 이등변삼각형을 만드는 경우의 수를 구하시오. [3.0점]

수학 영역

순열과 조합에 대한 다음 두 물음에 답하시오. [각 4.0점]

1) [eqn: {}_{x} rm P _{ity} =24]를 만족하는 [eqn: x], [eqn: y]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,``y RIGHT )]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: x]와 [eqn: y]는 [eqn: 0] 이상의 정수)

2) [eqn: {}_{a} rmC _{2} =2 BULLET _{it b} rm C _{2}]를 만족하는 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,``b RIGHT )]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 [eqn: 0] 이상의 정수)

[eqn: f(x)= {cases{{LEFT ( a+1 RIGHT ) x+1} over {x-a}&LEFT ( x != a RIGHT )#a+1&LEFT ( x=a RIGHT )}}]에 대하여 두 그래프 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=f ^{-1} (x)]의 교점의 개수를 [eqn: g(a)]라 하자. 그래프 [eqn: y=g(x)]를 그리시오. [5.0점]

수학 영역

(가) 각 꼭짓점의 [eqn: x]좌표, [eqn: y]좌표가 모두 정수이다.

(나) 한 변의 길이가 [eqn: sqrt {5}] 이하이다.

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 영역 [eqn: LEFT { LEFT ( x,``y RIGHT ) `vert `0 LEQ x LEQ n,``0 LEQ y LEQ {sqrt {x+3}} over {2} RIGHT }]에 포함되는 정사각형 중에서 다음 조건을 만족시키는 모든 정사각형의 개수를 [eqn: f(n)]라 하자.

[eqn: f(n) LEQ 400]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최댓값을 구하시오. [5.0점]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5,``6 RIGHT }]와 함수 [eqn: f:X` rarrow `X]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [각 6.0점]

1) [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a LEQ b]일 때 [eqn: f(a) LEQ f(b)]이고, [eqn: X]의 어떤 두 원소 [eqn: c], [eqn: d]에 대하여 [eqn: c<d], [eqn: f(c)=f(d)]인 순서쌍 [eqn: LEFT ( c,``d RIGHT )]의 개수가 [eqn: 3]개인 함수의 개수

2) [eqn: f]의 역함수가 존재하고, 정의역의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) != x]인 함수의 개수

함수 [eqn: f(x)= {k} over {x-11} +6] [eqn: LEFT ( k GEQ 36 RIGHT )]에 대하여 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT | LEQ y LEQ -x+5]인 두 자연수 [eqn: x], [eqn: y]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,``y RIGHT )]의 개수가 [eqn: 2] 이상 [eqn: 4] 이하가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: k]의 개수를 구하시오. [7.0점]

수학 영역

서 술 형

[eqn: f(x)= {cx+d} over {ax+b}]의 역함수가 존재할 조건을 구하시오. [7.0점]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 1]에서 정의되는 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족할 때, [eqn: f LEFT ( {1} over {13} RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {11} RIGHT )]의 값을 구하시오. [8.0점]

(가) [eqn: f LEFT ( {x} over {3} RIGHT ) = {1} over {2} f(x)]

(나) [eqn: f LEFT ( 1-x RIGHT ) =1-f(x)]

(다) [eqn: 0 LEQ x LEQ y LEQ 1]인 상수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: f(x) LEQ f(y)]

수학 영역

※시험이 시작되기 전까지 표지를 넘기지 마시오.

1. ②

2. ③

3. ②

4. ⑤

5. ②

6. ④

7. ③

8. ①

9. ①

10. ④

11. [eqn: 42]

12. [eqn: {5} over {21}]

13. [eqn: 598]

14. 1) [eqn: 3]   2) [eqn: 2]

15. [eqn: y=2] 그리면 됨.

16. [eqn: 65]

17. 1) [eqn: 80]   2) [eqn: 485]

18. [eqn: 18]

19. [eqn: f(x)]는 분모가 일차식인 유리함수 또는 일차 다항식이다.

[eqn: f(x)]가 일차 다항식일 때 [eqn: a=0]이고, [eqn: b != 0], [eqn: c != 0]이다.

[eqn: f(x)]가 분모가 일차식인 유리함수일 때 [eqn: a != 0]이고, [eqn: f(x)]는

상수함수가 아니므로 [eqn: ad != bc]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=0], [eqn: b != 0], [eqn: c != 0] 또는 [eqn: a != 0], [eqn: ad != bc]

20. (나)에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: f(0)=0], [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f(1)=1].

(가)에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) = {1} over {2}]이고, (나)에 [eqn: x= {1} over {3}]을

대입하면 [eqn: f LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) = {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE] (다)에 의하여 [eqn: {1} over {3} LEQ x LEQ {2} over {3}]일 때 [eqn: f(x)= {1} over {2}]

[eqn: {1} over {9} LEQ x LEQ {2} over {9}]일 때 [eqn: f(x)= {1} over {4}]

[eqn: {7} over {9} LEQ x LEQ {8} over {9}]일 때 [eqn: f(x)= {3} over {4}]

[eqn: {7} over {27} LEQ x LEQ {8} over {27}]일 때 [eqn: f(x)= {3} over {8}]

[eqn: {7} over {81} LEQ x LEQ {8} over {81}]일 때 [eqn: f(x)= {3} over {16}]

[eqn: {7} over {81} LEQ {1} over {11} LEQ {8} over {81}]이므로 [eqn: f LEFT ( {1} over {11} RIGHT ) = {3} over {16}]

[eqn: f LEFT ( {1} over {13} RIGHT ) =t]라 하면 [eqn: f LEFT ( {12} over {13} RIGHT ) =1-t]이고, [eqn: f LEFT ( {4} over {13} RIGHT ) = {1-t} over {2}]이다.

[eqn: f LEFT ( {9} over {13} RIGHT ) = {1+t} over {2}]이고, [eqn: f LEFT ( {3} over {13} RIGHT ) = {1+t} over {4}], [eqn: f LEFT ( {1} over {13} RIGHT ) = {1+t} over {8}]이다.

[eqn: t= {1+t} over {8}]이므로 [eqn: t= {1} over {7}]이고, [eqn: f LEFT ( {1} over {11} RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {13} RIGHT ) = {37} over {112}]이다.