2025학년도 대학수학능력시험 대비 METIS 모의고사 2회

주요 문항 정답 및 해설

※ 전체 문항이 아닌, 해설이 필요할 것으로 여겨지는 일부 문항에 대한 해설만 수록되어 있습니다.

5. ⓵

[eqn: f(x)=5(x-1)(x-3)]이므로 그래프는 아래와 같다.

이 때, 이차함수는 항상 [eqn: A=B] 이다.

＃이차함수와 축이 이루는 넓이는, 두 근 각각의 [eqn: 3:1] 외분점에서부터 한 근과 이루는 넓이와 같다.(직접 증명해볼 것)

위 사실은 삼차함수의 2:1 비율관계를 증명할 수 있다.

따라서 [eqn: f(3)-f(0)=` int _{0} ^{3} {f`'(x)dx}]이므로,

[eqn: f(3)-f(0)=0]

8. ⓶

[eqn: sum _{n=1} ^{10} S _{n} - sum _{n=1} ^{9} S _{n} =S _{10} =50]이므로,

[eqn: S_10 = {10(2a_1 +9d) }over2 = 5(2a_1 +18)=50]

∴[eqn: a_1 =-4] [eqn: a_10 =-4+9 times2=14]이다.

#[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k}]와 [eqn: sum _{k=1} ^{n} S _{k}]를 잘 구별해야 한다.

실제로 이 둘을 혼동할 시 틀릴 수 있는 문제가 240921 평가원 모의평가에 출제된 사례가 있다.

9.⓶

[eqn: f(x)g(x)=(x-1)(x-2)]이므로

함수 [eqn: g(x)= {(x-1)(x-2)} over {f(x)} (f(x) != 0)]이다.

∴[eqn: g(x)={(x-1)(x-2)} over {x(x-a)(x-2)}]이다.

[eqn: g(x)]의 분자와 분모가 모두 연속함수 이므로, 함수 [eqn: g(x)]의 연속성은 (분모)=0이 되는 부분에서만 살펴보면 된다.

이때, [eqn: g(2)]의 값을 알 수 없으므로, [eqn: g(x)]가 [eqn: x=2]에서 [eqn: lim _{x`rarrow`2} {g(x)=g(2)}]가 성립하는지, 즉 [eqn: x=2]에서 연속인지 아닌지 케이스를 분류해야 한다.

㉠[eqn: x=2]에서 함수 [eqn: g(x)]가 연속일 때,

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0,`a]에서만 연속이므로, [eqn: a=5]이다. 따라서 [eqn: g(6)=`5over18]

㉡[eqn: x=2]에서 함수 [eqn: g(x)]가 불연속일 때,

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0,2,a]에서 불연속이므로, [eqn: a=3]이다. 따라서 [eqn: g(6)=`5over6]

∴ 가능한 모든 [eqn: g(6)]값의 합은 [eqn: 5over18`+`5over6`=`10over9]이다.

# 연속함수의 성질

두 함수 [eqn: f(x),`g(x)]가 연속이면, 두 함수를 사칙연산으로 연결한 함수도 항상 연속이다. (단, [eqn: g(x)overf(x)]의 경우 [eqn: f(x)=0]일 때 정의되지 않으므로 연속성을 살펴보아야 한다.)

10.⓷

원에 내접하는 사각형 [eqn: ABCD]를 그려보자.

삼각형 [eqn: ABC]의 두 변과 끼인 각의 [eqn: cos]값을 알고 있으므로, 코사인 법칙을 사용하면,

[eqn: {bar{AC}} ^{``2} = {83} over {3}]임을 알 수 있다.

이 때, 원에 내접하는 사각형의 성질에 따라 [eqn: ANGLE ABC`+` ANGLE ADC= pi] 임을 알 수 있고, 삼각형 [eqn: ACD]의 넓이가 [eqn: 4 sqrt {2}} over {3}]이므로, [eqn: 1 over2 timesbarAD `times bar CD` times sin( ANGLEADC)={4root2 }over3]

[eqn: sin( ANGLE ADC)=sin( pi - ANGLE ABC)=sin( ANGLE ABC)]이므로, [eqn: barAD `times bar CD`=4]임을 알 수 있다.삼각형 [eqn: ACD]에 코사인법칙을 사용하면,

[eqn: {bar{AD}} ^{`2} + {bar{CD}} ^{`2} -2 {bar{AD}} ` {bar{CD}} `cos( ANGLE ADC)= {bar{AC}} ^{`2}]

[eqn: cos( ANGLE ADC)=`-cos( ANGLE ABC)]이므로, [eqn: {bar{AD}} ^{`2`} + {bar{CD}} ^{`2}=25]

# 그림 없이 발문으로만 구성된 문제가 출제될 수 있다. (기출 250910) 이런 경우에는 직접 그림을 작도해서 문제를 풀어야 하므로 평소에 그림을 똑바로 작도하는 연습을 꾸준히 하자.

11.⓸

(가) 조건을 만족하는 함수 [eqn: F(x)]를 도함수인 [eqn: f(x)]를 기준으로 여러 케이스로 분류해보자.

[eqn: f(x)]가 서로 다른 세 실근을 가질 때

위와 같이 [eqn: g(t)]가 불연속인 실수 [eqn: t]가 3개이므로 성립하지 않는다.

[eqn: f(x)]가 중근과 다른 한 근을 가질 때

[eqn: g(t)]가 불연속이도록 하는 실수 [eqn: t]가 1개이므로 성립한다.

[eqn: f(x)]가 삼중근 또는 한 실근과 두 허근을 가질 때

위 경우도 성립함을 알 수 있다.

따라서 2번, 3번 경우가 성립하는데, 최솟값이 [eqn: F(0)]이므로, 위 두 그래프에서 모두 [eqn: f(0)=0]임을 알 수 있다. 이때, [eqn: f(0)=f(3)=0]이므로, 3번 케이스는 불가능하다.

따라서 [eqn: F(x)]의 개형은 다음과 같다.

사차함수의 비율관계를 이용하면,

[eqn: F(x)=(x+1)(x-3) ^{3} +F(3)]

[eqn: F(3)= int _{0} ^{3} {f(x)dx}]이고,

삼차함수의 넓이공식에 따라

[eqn: F(3)={LEFT |4 RIGHT |}over12 (3-0)^4 =27]

[eqn: F(0)=0]이므로, [eqn: alpha`=F(0)`=0]이다.

∴[eqn: F(alpha+6)=F(6)=216]

#사차함수의 비율관계

이 두가지 비율관계를 알아두면 좋다.

(증명은 생략한다.)

도함수가 한 중근과 다른 한 근을 갖는 경우

도함수인 삼차함수의 대칭점이 [eqn: x]축 위에 놓여진 경우

# 삼차함수와 직선이 이루는 넓이공식

삼차함수 [eqn: f(x)]가 어떤 직선과 점 [eqn: ( alpha ,f( alpha ))]에서 접하고, 다른 점 [eqn: (beta ,f(beta))]에서 만날 때, 최고차항 계수가 [eqn: a]인 삼차함수와 그 직선으로 둘러싸인 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S= {left|a right|}over{12} (beta-alpha)^4]와 같다.

(증명은 생략한다.)

12.⓵

공차를 [eqn: d]라 하자.

[eqn: i)`d>0]

[eqn: a _{2} >0]이므로 [eqn: a _{3} >0]이다.

만약 [eqn: a _{1} GEQ 0]이라면 [eqn: 2a _{1} =a _{2} +a _{3}]이므로 모순이다.

만약 [eqn: a _{1} <0]이라면 [eqn: -2a _{1} =a _{2} +a _{3}]이므로 [eqn: a _{1} =- {3d} over {4} ,`a _{n} =d(n- {7} over {4} )]이다.

따라서 [eqn: Sn= {d} over {2} n(n- {5} over {2} )]이므로, [eqn: sum _{n=1} ^{5} Sn= {7 TIMES 15 TIMES d} over {12} = {35d} over {4} =35]이다.

따라서 [eqn: d=4]이다.

[eqn: a _{5} = {13d} over {4} =13]이다.

[eqn: ii)`d<0]

[eqn: a _{2} >0]이므로, [eqn: a _{1} >0]이다.

만약 [eqn: a _{3} GEQ 0]이라면 [eqn: 2a _{1} =a _{2} +a _{3}]이므로 모순이다.

만약 [eqn: a _{3} <0]이라면,

[eqn: 2a _{1} =a _{2} -a _{3} =-d]이므로 [eqn: a _{1} =- {d} over {2}]

[eqn: a _{2} = {d} over {2} <0]이 되어 모순이다.

# 절댓값이 있는 등차수열

절댓값이 있는 등차수열은 대부분 그 항을 양수/음수로 케이스를 나누어 생각하거나, 공차를 양수/음수로 나누어 생각하는 것이 좋다. (기출 171115-나형)

13.⓶

방정식 [eqn: f(x)=g(x)`` LRARROW ``f(x)-g(x)=0]을 만족시키는 실근이 존재해야 하고, 함수 [eqn: left|f(x)-g(x)right|]가 미분 가능하려면, [eqn: h(x)=f(x)-g(x)]라 할 때, [eqn: h(x)]가 [eqn: x]축과 만나면서, 만나는 모든 점에서 축에 접해야 한다.

[eqn: h(x)=x ^{4} -4x ^{3} +4x ^{2}+3-k]이므로,

[eqn: h(x)=x^2 (x-2)^2 +3-k]이다.

따라서 함수의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: 3-k>0]이면, [eqn: h(x)]는 [eqn: x]축과 만나지 않고,

[eqn: 3-k<0]이면, [eqn: h(x)]는 [eqn: x]축과 만나긴 하지만, 모든 점에서 접할 수 없으므로,

[eqn: 3-k=0,``k=3]이다.

이때 [eqn: S= int _{0} ^{2} {h(x)dx}]이므로, [eqn: S={16} over {15}]

∴[eqn: S timesK= 16over5]

# 그래프를 직접 그리기

이번 9월 모의평가에서 13번 문제는 넓이 문제임에도 불구하고 그래프를 그려주지 않았다. 그렇기 때문에 그릴 수 있는 (도함수를 구할 수 있는) 함수라면 직접 그려보고 문제를 푸는 것이 도움이 된다.

또한, 넓이 문제에서는 그저 계산으로만 푸는게 아니라 그래프를 이용해서 푸는 것이 일반적인 기출문제에서의 특징이다.

#사차함수의 넓이공식

사차함수가 두 점에서 직선과 접할 때([eqn: h(x)]의 경우)

두 접점을 [eqn: alpha, beta]라 하면, 최고차항의 계수가 [eqn: a]인 사차함수와 직선이 이루는 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S= {LEFT | a RIGHT |} over {30} TIMES ( beta - alpha ) ^{5} ``(단,``` beta > alpha )]

로 구할 수 있다.

14.②

문제에서 제시하는 상황을 그림으로 그려보면 아래와 같다.

점 [eqn: A]의 좌표를 [eqn: (a,k)]로 두면, [eqn: y=({1} over {9}) ^{x}]는 [eqn: y=3^x]를 [eqn: 2]배 축소하고 [eqn: y]축 대칭이동한 그래프이므로, 점 [eqn: B]의 좌표는[eqn: (- {a} over {2} ,k)]이다. 이때, 삼각형 [eqn: ACD]의 넓이는 밑변을 선분 [eqn: AC], 실수 [eqn: d]의 값과 관계없이 높이를 [eqn: k]로 하므로 [eqn: {1} over {2} ak]이고, 삼각형 [eqn: BCE]의 넓이는 밑변을 [eqn: BC], 높이를 (점 [eqn: E]의 [eqn: y]좌표와 [eqn: k]의 차이)로 하므로, 점 [eqn: E]의 좌표를 [eqn: (t,3^t )]로 두면 [eqn: {1} over {2} TIMES {a} over {2} ` TIMES LEFT | 3 ^{t} -k RIGHT |]이다. 넓이비가 1:13이므로 대입하면,

[eqn: 1:13= {1}over{2}ak:{a}over{4} left|3^t -k right |]

∴[eqn: LEFT | 3^t -k RIGHT|=26k]

이때, [eqn: 3^t <k]라면, [eqn: 3^t =-25k] 이므로, 좌변은 양수, 우변은 음수이므로 모순이다.

∴[eqn: 3 ^{t} -k=26k`,```3 ^{t} =27k]

이때, [eqn: 3 ^{a} =k,``3 ^{t} =27k=3 ^{3}times k] 이기 때문에, [eqn: t=a+3],

∴ 점 [eqn: A]와 점 [eqn: E]의 [eqn: x]좌표 차이는 3이다.

# 지수함수와 로그함수의 확대/축소이동

확대/축소이동은 고교 과정에서 배우지 않지만, 알아두면 함수에 대해 이해할 때 도움이 되므로 간략하게만 알아보자.(이해가 안된다면 그냥 넘어가도 된다.)

[eqn: a>1]일 때

어떤 함수 [eqn: f(x)]에 대해, 함수 [eqn: f(ax)]는 [eqn: f(x)]를 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: a]만큼 축소시킨 그래프이고, [eqn: f( {1} over {a} x)]는 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: a]만큼 확대시킨 그래프이다. 아래 그림을 참고해 이해해보자.

15.⓹

함수 [eqn: F(x)]와 함수 [eqn: f`'(x)]의 그래프의 두 교점을 각각 [eqn: A,B] 라 하고, 직선 [eqn: y=6x+7] 위의 한 점을 라고 했을 때 삼각형 [eqn: ABC]의 넓이가 [eqn: 93over2]로 일정하므로

[eqn: f`'(x)=6x+` CDOTS]

[eqn: F(x)=x ^{3} +` CDOTS] 꼴임을 알 수 있다.

이때 (가)에서 방정식 [eqn: F(x)-f` prime (x)=0]은 서로 다른 두 개의 근을 가지고 (나)에서 [eqn: f(3)=6]이므로

[eqn: x=3]이 방정식 [eqn: f(x)-f`'(x)=0]의 실근 중 하나일 때

[eqn: F(x)-f`'(x)=][eqn: (x-3) ^{2} (x-alpha)]()이므로, [eqn: f` prime (x)=6x-2alpha-12]임을 알 수 있다.

함수 [eqn: F(x)]와 함수 [eqn: f`'(x)]의 그래프의 두 교점은 [eqn: f`'(x)]의 그래프 위에 존재하므로, 선분 [eqn: AB]와 직선 [eqn: y=6x+7] 위의 한 점 [eqn: C] 사이의 거리는 일정하다.

[eqn: A(3,-2alpha+6)], [eqn: B( alpha ,`4 alpha -12)]라고 하면 선분 [eqn: AB]의 길이는 [eqn: LEFT | alpha -3` RIGHT | TIMES sqrt {37}]이며, 선분 [eqn: AB]와 직선 [eqn: y=6x+7] 위의 한 점  사이의 거리는 [eqn: {LEFT | 2 alpha +19` RIGHT |} over {root37}]이므로, 삼각형 [eqn: ABC]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} LEFT | ( alpha -3)(2 alpha -19) RIGHT |]이다.

방정식 [eqn: {1} over {2} LEFT | ( alpha -3)(2 alpha -19) RIGHT |= 93 over2]을 풀면, [eqn: alpha=6]또는 [eqn: alpha=-{25}over2]인데, [eqn: alpha=6]일 때 함수 [eqn: f(x)=3x^2 -24x +51] 이므로, [eqn: f(1)=30>7]이고, [eqn: alpha=-{25}over2]일 때 [eqn: f(x)=3x^3 +13x-58]로 [eqn: f(1)>7]을 만족시키지 못한다. 따라서 [eqn: alpha=6]이며, [eqn: F(x)=x^3 -12x^2 +51x-78]이고,

[eqn: F(7)=34]이다.

[eqn: x=3]이 방정식 [eqn: F(x)-f` prime (x)=0]의 실근이 아닐 경우

3차함수의 비율관계에 따라

두 근을 [eqn: 3+k]와 [eqn: 3-2k]로 놓는 경우()

[eqn: F(x)-f`'(x)=(x-k-3)(x+2k-3) ^{2}]이며, [eqn: f'(x)=6x+6k-18]임을 알 수 있다.

에서와 같은 방법으로 선분 [eqn: AB]의 길이가 [eqn: 3 sqrt {37}k]이며, 선분 [eqn: AB]와 직선 [eqn: y=6x+7] 위의 한 점 [eqn: C] 사이의 거리는 [eqn: {left|6k-25 right|} over root37]이므로 삼각형 의 넓이는 [eqn: {3k} over {2} LEFT | 6k-25 RIGHT |]이다.

방정식 [eqn: {3k} over {2} LEFT | 6k-25 RIGHT |= 93 over2]를 풀면

[eqn: k= 31 over6]이다.

[eqn: f(x)=3x^2 +(6k-18)x-18k +33]이므로 [eqn: f(1)=`-12k+18=`-42`<7]이므로 조건을 만족하지 않는다.

두 근을 [eqn: 3+2k]와 [eqn: 3-k]로 놓는 경우()

[eqn: F(x)-f`'(x)=(x-k+3)(x-2k-3) ^{2}]이며, [eqn: f`'(x)=6x-6k-18]임을 알 수 있다.

에서와 같은 방법으로 선분 [eqn: AB]의 길이가 [eqn: 3root37`k]이며, 선분 [eqn: AB]와 직선 [eqn: y=6x+7] 위의 한 점 [eqn: C] 사이의 거리는 [eqn: {LEFT | 6k+25` RIGHT |}overroot37]이므로 삼각형 [eqn: ABC]의 넓이는 [eqn: 3k over2 LEFT | 6k+25 RIGHT |]이다.

방정식 [eqn: 3k over2 left|6k+25 right|= 93over2]를 풀면, [eqn: k=1]이다.

[eqn: f(x)=3x^2 -(6k+18)x+18k+33]이고,

[eqn: f(1)=12k+18=30>7]이므로

조건을 만족시킨다.

따라서 [eqn: F(x)= x^3 -12x^2 +51x-74]이고, [eqn: F(7)=38]이다.

에서 가능한 모든 의 합은 [eqn: 72]이다.

#삼각형의 넓이가 일정하다는 정보를 통해 직선 [eqn: y=f `'(x)]의 기울기가 6임을 추측해내는게 중요했다.

#[eqn: f(3)=6]일 때, (i) 케이스만 고려햐기 십상이나, 삼차함수는 미분계수를 도함수의 선대칭선을 기준으로 대칭적으로 가진다는 사실을 잊으면 안된다. 이는 이미 기출 231122에 출제된 바가 있다.

20. [eqn: 8]

집합 [eqn: A= LEFT { x`vert `log _{2} x는~자연수 RIGHT }]에서,

[eqn: A= LEFT { 2,2 ^{2} ,2 ^{3} ,... RIGHT }]이고,

집합 [eqn: B=left{x|log_p x는~자연수right}]에서

[eqn: B= LEFT { p,p ^{2} ,p ^{3} ,`... RIGHT }]이다.

(가)에서 [eqn: A SMALLINTER B=B]이므로 [eqn: B SUBSET A]이고, 어떤 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: p=2 ^{k}]라고 할 수 있으므로 [eqn: B= LEFT { 2 ^{k} ,` LEFT ( 2 ^{k} RIGHT ) ^{2} ,` LEFT ( 2 ^{k} RIGHT ) ^{3} ,`... RIGHT }]

(나)에서 [eqn: 2 LEQ a LEQ 10]인 수는 [eqn: 2,`2 ^{2} ,`2 ^{3}]이다. 이때 [eqn: k]의 값에 따라 경우를 나누면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: k]=1일 때

[eqn: b IN B,1 LEQ b LEQ 1000]인 수는

[eqn: 2,`2 ^{2} ,`2 ^{3} ,`2 ^{4} ,`2 ^{5} ,`2 ^{6} ,`2 ^{7} ,`2 ^{8} ,`2 ^{9}]

이때

[eqn: log _{a} b= {log _{2} 2 ^{r}} over {log _{2} 2 ^{s}} = {r} over {s}](r은 9이하의 자연수, s는 3 이하의 자연수)에서 [eqn: {r} over {s}]가 자연수가 되는 순서쌍 [eqn: left(r, s right)]의 개수, 즉 순서쌍 ([eqn: a,b])의 개수는 7보다 크다. 따라서 (ⅰ)은 조건을 만족시키지 못한다.

(ⅱ) [eqn: k]=2일 때

[eqn: b IN B,1 LEQ b LEQ 1000]인 수는 [eqn: 2 ^{2} ,`2 ^{4} ,`2 ^{6} ,`2 ^{8}]

이때

[eqn: log _{a} b= {log _{2} 2 ^{2r}} over {log _{2} 2 ^{s}} = {r} over {s}] (r은 4 이하의 자연수, s는 3 이하의 자연수)에서 [eqn: {2r} over {s}]가 자연수가 되는 순서쌍 [eqn: (2r,`s)는`# (2,1),`(2,2)# (4,1),`(4,2)# (6,1),`(6,2),`(6,3)# (8,1),`(8,2)]

총 9개이므로, 순서쌍 ([eqn: a,b])의 개수도 9개이다. 따라서 (ⅱ)은 조건을 만족시키지 못한다.

(ⅲ) [eqn: k]=3일 때

[eqn: b IN B,1 LEQ b LEQ 1000]인 수는 [eqn: 2 ^{3} ,`2 ^{6} ,`2 ^{9}]

이때

[eqn: log _{a} b= {log _{2} 2 ^{3r}} over {log _{2} 2 ^{s}} = {r} over {s}] (r은 3 이하의 자연수, s는 3 이하의 자연수)에서 [eqn: {3r} over {s}]가 자연수가 되는 순서쌍 [eqn: (3r,`s)는# (3,1),`(3,3)# (6,1),`(6,2),`(6,3)# (9,1),`(9,3)]

총 7개이므로, 순서쌍 ([eqn: a,b])의 개수도 7개이다. 따라서 (ⅲ)은 조건을 만족시킨다.

(ⅳ) [eqn: k]=4일 때

[eqn: b IN B,1 LEQ b LEQ 1000]인 수는 [eqn: 2 ^{4} ,`2 ^{8}]

이때 [eqn: log _{a} b= {log _{2} 2 ^{4r}} over {log _{2} 2 ^{s}} = {4r} over {s}](r은 2 이하의 자연수, s는 3 이하의 자연수)에서

[eqn: {4r} over {s}]가 자연수가 되도록 하는 순서쌍

[eqn: (4r,s)는`# (4,1),`(8,1)# (4,2),`(8,`2)]

총 4개이므로, 순서쌍 ([eqn: a,b])의 개수도 4개이다. 따라서 (ⅳ)은 조건을 만족시키지 못한다.

(ⅴ) [eqn: k]=5일 때

[eqn: b IN B,1 LEQ b LEQ 1000]인 수는 1개 이하이다. 따라서 문제의 조건에서처럼 순서쌍 ([eqn: a,b])의 개수가 7개가 될 수 없다.

(ⅰ)~(ⅴ)에서 [eqn: p=2 ^{3} =8]

#지수와 로그의 성질 파트에서도 자연수 조건을 이용한 준킬러~킬러 문제가 출제될 수 있음을 기억하자.

21.보류

22. [eqn: 81]

우선, [eqn: a _{n}]의 특징을 살펴보자. 수열 [eqn: a_n]은 [eqn: a_1]이 정수이므로, 그 후에 정수만 곱하거나 빼므로, [eqn: a _{n}]의 값은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 정수이다.

[eqn: a_n+1]은 [eqn: a_n >0]일 때, [eqn: 2a _{n}-(2n+1)]이므로, (짝수)-(홀수)=홀수 이다.

[eqn: a_n <0]일 때, [eqn: 2a_n]이므로 짝수이다.

(편의상 [eqn: a_n]이 음의 정수이더라도 절댓값을 기준으로 홀수, 짝수로 나타내겠다.)

이때, [eqn: a_1 +a_4 =25]이고, [eqn: a_1]이 짝수이므로, [eqn: a_4][eqn: =25-a_1]가 홀수임을 알 수 있다.이제 [eqn: k]가 양의 정수(자연수)일 때와 음의 정수일때로 나누어 상황을 파악해보자. ([eqn: k=0]일 경우, [eqn: a _{n}]이 항상 [eqn: 0]이 나올것이라는 걸 쉽게 알 수 있다.)

(i) [eqn: k]가 자연수일 때,

[eqn: a _{1} =2k>0],

[eqn: a _{2} =4k-3>0]

[eqn: a _{3}=8k-11]

이때, [eqn: a_4]는 홀수이기 때문에, [eqn: a_3 >0]인 케이스만 고려하면 된다.

∴[eqn: a_4 =16k-29], [eqn: 16k-29=25-2k]이므로, [eqn: k=3]

(ii)[eqn: k]가 음의 정수일 때,

[eqn: a_1 =2k<0]

[eqn: a_2 = `-4k<0]

[eqn: a_3 =-8k-5>0] ([eqn: k]는 -1보다 작은 정수이므로)

∴[eqn: a_4 =-16k-17=25-2k]

[eqn: k=-3]

따라서 [eqn: alpha=3 TIMES (-3)][eqn: =-9]

[eqn: alpha ^{2} =81]이다.

#수열을 관찰할 때, 그 수열이 만일 항상 홀수/짝수가 나오거나, 또는 항상 양수/음수가 나온다는 것을 먼저 파악한다면, 수열 파악에 큰 도움이 된다.

#22번이 항상 어려울 거라는 편견에 이 문제를 넘긴다면 아쉬울 것이다. 2025학년도 6평, 9평 모두 22번에 평이한 난이도의 수열문제가 출제됐으므로, 무작정 어려운 번호에 배치되어 있다고 넘기지 말자.

[확률과 통계]

28.⓶

A와 C가 받는 꽃의 수가 서로 같으므로 꽃을 기준으로 경우의 수를 나누어보자.

	A	C	B	D	받는 공의 수
받는 꽃의 수	0	0	0	5	[eqn: {} _{4}rmH_{3}}] = 20
	0	0	1	4	[eqn: {} _{4}rmH_{4}}] = 35
	0	0	2	3	[eqn: {} _{4}rmH_{4}}] = 35
	0	0	3	2	[eqn: {} _{4}rmH_{4}}] = 35
	0	0	4	1	[eqn: {} _{4}rmH_{4}}] = 35
	0	0	5	0	[eqn: {} _{4}rmH_{3}}] = 20
	1	1	0	3	[eqn: {} _{4}rmH_{5}}] = 56
	1	1	1	2	[eqn: {} _{4}rmH_{6}}] = 84
	1	1	2	1	[eqn: {} _{4}rmH_{6}}] = 84
	1	1	3	0	[eqn: {} _{4}rmH_{5}}] = 56
	2	2	0	1	[eqn: {} _{4}rmH_{5}}] = 56
	2	2	1	0	[eqn: {} _{4}rmH_{5}}] = 56
	가능한 모든 경우의 수				572가지

따라서 답은 [eqn: 572]가지이다.

29. [eqn: 516]

모형균 m에 대한 신뢰구간의 성질에 의해

2[eqn: barx]=[eqn: 5over2 a] , [eqn: 1over2 a]=2*2.58*[eqn: 2over5] 이므로,

[eqn: a=][eqn: 2064} over {500}] 이다.

따라서 [eqn: barx]=[eqn: 2064 over 500]*[eqn: 5 over 4]=[eqn: 516} over {100}] = [eqn: k]

[eqn: 100k=516]

30. 주머니에 들어있는 공에 적힌 수의 합이 10이 되는 경우는 주머니에 (3,3,4) (2,4,4) (2,2,3,3) 이 적힌 공이 들어있는 3가지 경우이다.

	첫 번 째 주사위 경우 / 확률	첫 번째 주머니에서 가능한 경우 / 확률	두 번째 주사위 경우 / 확률	두 번째 주머니에서 가능한 경우 / 확률	시행의 전체 확률
	5 이상의 수 / [eqn: 1over3]	(2,4) / [eqn: {} _{2}rmC_{1}*{} _{2}rmC_{1}} over {{} _{6}rmC_{2}}]=[eqn: 4 over15]	5 미만의 수 / [eqn: 2over3]	(4) / [eqn: {} _{1}rmC_{1}} over {{} _{4}rmC_{1}}]	[eqn: 2over135]
		(4,4) / [eqn: {} _{2}rmC_{2}} over {{} _{6}rmC_{2}}]=[eqn: 1over15]		(2) / [eqn: {} _{2}rmC_{1}} over {{} _{4}rmC_{1}}]=[eqn: 1over2]	[eqn: 1over135]
		(3,4) / [eqn: {} _{2}rmC_{1}*{} _{2}rmC_{1}} over {{} _{6}rmC_{2}}]=[eqn: 4 over15]		(4) / [eqn: {} _{1}rmC_{1}} over {{} _{4}rmC_{1}}]	[eqn: 2over135]
		(3,3) / [eqn: {} _{2}rmC_{2}} over {{} _{6}rmC_{2}}]=[eqn: 1over15]		(4) / [eqn: {} _{2}rmC_{1}} over {{} _{4}rmC_{1}}]=[eqn: 1over2]	[eqn: 1over135]
		(2,2) / [eqn: {} _{2}rmC_{2}} over {{} _{6}rmC_{2}}]=[eqn: 1over15]	5 이상의 수 / [eqn: 1over3]	(3,3) / [eqn: {} _{2}rmC_{2}} over {{} _{4}rmC_{2}}]=[eqn: 1over6]	[eqn: 1over810]
		(3,3) / [eqn: {} _{2}rmC_{2}} over {{} _{6}rmC_{2}}]=[eqn: 1over15]		(2,2) / [eqn: {} _{2}rmC_{2}} over {{} _{4}rmC_{2}}]=[eqn: 1over6]	[eqn: 1over810]
		(2,3) / [eqn: {} _{2}rmC_{1}*{} _{2}rmC_{1}} over {{} _{6}rmC_{2}}]=[eqn: 4over15]		(2,3) / [eqn: {} _{1}rmC_{1}*{} _{1}rmC_{1}} over {{} _{4}rmC_{2}}]=[eqn: 1over6]	[eqn: 2over405]
	5 미만의 수 / [eqn: 2over3]	(4) / [eqn: {} _{2}rmC_{1}} over {{} _{6}rmC_{1}}]=[eqn: 1over3]	5 이상의 수 / [eqn: 1over3]	(2,4) / [eqn: {} _{2}rmC_{1}*{} _{1}rmC_{1}} over {{} _{5}rmC_{2}}]=[eqn: 1over5]	[eqn: 2over135]
		(2) / [eqn: {} _{2}rmC_{1}} over {{} _{6}rmC_{1}}]=[eqn: 1over3]		(4,4) / [eqn: {} _{2}rmC_{2}} over {{} _{5}rmC_{2}}]=[eqn: 1over10]	[eqn: 1over135]
		(3) / [eqn: {} _{2}rmC_{1}} over {{} _{6}rmC_{1}}]=[eqn: 1over3]		(3,4) / [eqn: {} _{2}rmC_{1}*{} _{1}rmC_{1}} over {{} _{5}rmC_{2}}]=[eqn: 1over5]	[eqn: 2over135]
		(3) / [eqn: {} _{2}rmC_{1}} over {{} _{6}rmC_{1}}]=[eqn: 1over3]		(3,4) / [eqn: {} _{2}rmC_{2}} over {{} _{5}rmC_{2}}]=[eqn: 1over10]	[eqn: 1over135]
전체 확률					[eqn: 13over135]

[미적분]

27.⓸

모든 실수 [eqn: x]에 대해 [eqn: G(x)=f(x)+g(x)]이므로, [eqn: G(x)-g(x)=3e ^{x`} (x ^{2} +x-1)]

[eqn: e ^{-x`} left{G(x)-g(x)right }=3(x^2 +x-1)]

[eqn: e ^{-x} G(x)+(-e ^{-x} )g(x)=3(x ^{2} +x-1)]이므로, 곱의 미분법을 이용하면,[eqn: left{e^-x (-G(x))right}`'=3(x^2 +x-1)]임을 알 수 있다. 따라서 양변을 적분하면,

[eqn: -{G(x)}over{e^x}=x^3 +{3}over{2}x^2 -3x+C]

따라서

[eqn: G(x)=-e ^{x} (x ^{3} + {3} over {2} x ^{2} -3x+C)]이고,

[eqn: g(x)=-e ^{x} (x ^{3} + {9} over {2} x ^{2} +C-3)]이다.

(단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: g(0)=15]를 항등식에 대입하면,

[eqn: 3-C=15], [eqn: C=-12]이다.

∴[eqn: G(-2)={8}overe^2]

#적분의 기본은 미분의 역연산이다.

미적분에서는 치환적분과 부분적분을 배우기 때문에, 웬만한 적분문제는 다 치환적분과 부분적분으로 풀리지만, 가끔 이렇게 그저 미분의 역연산이라는 적분의 정의로 푸는 문제가 나올 수 있다. 또한, 곱의 미분법 꼴을 이용해 적분하는 문제는 기출240922에 출제된 사례가 있으므로, 문제를 풀 때 잘 살펴보자.

#어떤 미분가능한 함수 [eqn: h(x)]에 대해, [eqn: y=e ^{-x} (h(x))]를 미분하면

[eqn: y` prime =e ^{-x}(h`'(x)-h(x))]임을 외우고 있는 학생은 좀 더 유리했을 것이다.

28. ⓹

(가)조건을 해석해보자.

[eqn: t=0]일 때, [eqn: 1overf(x)][eqn: !=0]이므로, [eqn: s(t)=0]이다. ([eqn: t=0+, `0-]일 때 [eqn: f(x)=` INF `,`- INF]여야 하므로, [eqn: s(t)=1])

따라서 항상 불연속이다.

[eqn: s(t)]는 [eqn: 1overf(x) =t]의 실근의 개수이므로, 방정식 [eqn: f(x)= 1overt][eqn: (t!=0)]의 실근의 개수와 같다.

따라서 삼차함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y= 1overt]의 실근의 개수가 불연속적으로 나타나는 상황을 관찰하면 된다. [eqn: f(x)]의 개형을 추론해보자.

(1) 모든 실수 [eqn: x]에 대해 [eqn: f`'(x) GEQ0]일 때

[eqn: s(t)]는 [eqn: t=0]에서만 불연속이다.

(2)[eqn: f`'(x)]가 서로 다른 두 실근을 가질 때

[eqn: s(t)]는 [eqn: 1overt =][eqn: A, B]일 때 불연속이다.

그러나, [eqn: t=0]일 때는 이미 불연속이므로, [eqn: A, B]중 하나는 0 이어야 한다.

[eqn: s(t)]는 [eqn: t= 1over8]에서도 불연속이므로,

[eqn: A=8,B=0]

[eqn: f(x)]의 극댓값과 극솟값의 차이가 [eqn: 8]이므로, [eqn: f`'(x)=0]이 되는 두 근의 차가 [eqn: 2]이고, [eqn: f(x)=2(x-a)(x-a-3)^2]으로 둘 수 있다.

[eqn: h(x)]의 최고차항의 계수를 [eqn: m]라 하면

(나)조건 ([eqn: lim _{x rarrow c} {`g(x)h(x)}]의 값이 존재)

에 의해,

[eqn: h(x)=m(x-a)(x-a-3) ^{2} (x-b)]이며,

[eqn: lim _{x-> 0} {{h(6cosx)} over {x ^{6}}} =k`(k != 0)]이므로

[eqn: a=3,`b=6]이어야 한다.

따라서 [eqn: h(x)=m(x-3)(x-6) ^{3}]이다.

(다)조건에서 [eqn: LEFT | h(-e ^{-x+2} (x-1)+4) RIGHT |]는

[eqn: x= alpha ,2]에서만 극값을 가지며

(단, [eqn: -e ^{- alpha +2} ( alpha -1)+4= {15} over {4}])

극값은 각각 [eqn: 0, {9 ^{3} TIMES 3} over {4 ^{4}} m]이다.

따라서 서로 다른 모든 극값의 합은 [eqn: {9 ^{3} TIMES 3} over {4 ^{4}} m]이므로 [eqn: m= {4} over {9}]이다.

∴[eqn: h(9)=72]

29. [eqn: 67]

[eqn: a_n]의 공비를 [eqn: r_a], [eqn: b_n]의 공비를 [eqn: r_b]라 할 때,

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} `,` sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]이 전부 수렴하므로,

[eqn: -1<r _{a} <1,`-1<r _{b} <1]이다.

주어진 식을 전부 등비급수의 식으로 나타내면,

1.

[eqn: LEFT . sum _{n=1} ^{INF } LEFT | a _{2n} RIGHT | + LEFT | b _{n} RIGHT | = {LEFT | a _{2} RIGHT |} over {1-r _{a}^{````2}} + {3} over {1- LEFT | r _{b} RIGHT |} = {17} over {2} RIGHT .]

2.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n-1} = {a _{1}} over {1-r _{a}^{````2}} =8]

3.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT | b _{3n-2} RIGHT | = {3} over {1- LEFT | r _{b} RIGHT | ^{3}} ={81} over {26}]

이다.

3번식에 따라 [eqn: left|r_b right|= 1over3]임을 알 수 있고, 이를 1번식에 대입하면, [eqn: {LEFT | a _{2} RIGHT |} over {1-r _{a}^{`````2}} =4]임을 알 수 있다. 이때, 2번식을 이용하면, 공비가 1보다 작으므로 분모가 항상 0보다 커서 [eqn: a_1 >0]임을 알 수 있고,

[eqn: {LEFT | a _{2} RIGHT |} over {1-r _{a}^{`````2}} = {LEFT | a _{1} RIGHT | LEFT | r _{a} RIGHT |} over {1-r _{a}^{```2}} =8 LEFT | r _{a} RIGHT | =4]

∴[eqn: LEFT | r _{a} RIGHT | ={1} over {2}]이다.

이를 2번식에 대입하면, [eqn: a_1 =6]이다.

[eqn: a _{4} =6 TIMES ( +- {1} over {2} ) ^{3} `,`b _{4} =3` TIMES ( +- 1over3 )^3]이므로. [eqn: a_4 -b_4]의 최댓값은, [eqn: a_n]의 공비가 [eqn: 1over2], [eqn: b_n]의 공비가 [eqn: - 1over3]일 때 [eqn: 31over36]이다.

∴[eqn: p+q=67]

#절댓값이 들어간 등비수열에 대한 등비급수는 241129(미적)에서도 기출된 바가 있으므로, 잘 이해하는 것이 필요하겠다.

30. 84

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=t]의 두 교점 [eqn: A, B]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha(t), beta(t)] ([eqn: alpha(t)<beta(t)])라 두면, [eqn: 0<alpha(t)< piover2], [eqn: piover2 <beta(t)<pi]이고, [eqn: f(alpha(t))=t], [eqn: f(beta(t))=t]이다. 또한, 곡선 [eqn: y=f(x)]가 직선 [eqn: x= piover2]에 대하여 선대칭함수이므로, [eqn: beta(t)=pi-alpha(t)]이다.

[eqn: f(alpha(t))=t]의 양변을 변수 [eqn: t]에 대하여 미분하면,

[eqn: f`'(alpha(t))alpha`'(t)=1], [eqn: alpha`'(t)= 1over{f`'(alpha(t))} = 1over{2cosalpha(t)]이다.

같은 방법으로 [eqn: f(beta(t))=t]의 양변을 변수 [eqn: t]에 대하여 미분하면,

[eqn: beta ` prime (t)= {1} over {f` prime ( beta (t))} = {1} over {2cos( pi - alpha (t))} =- {1} over {2cos alpha (t)}]

[eqn: g`'(t)=beta`'(t)-alpha`'(t)]이므로,

[eqn: g`'(t)=- 1overcosalpha(t)]이다.

[eqn: g`'(k)= -2]에서 [eqn: cosalpha(k)={1}over2]이므로, [eqn: alpha (k)= {pi } over {3}]이다.

그러므로[eqn: {k=f( {pi } over {3})=2sin{pi}over{3}=root3]이다.따라서 [eqn: A( {pi } over {3} , sqrt {3} ),`B( {2 pi } over {3} , sqrt {3})])

먼저, [eqn: f` prime ( {pi } over {3} )=2cos {pi } over {3}=1}]이므로, 곡선 [eqn: y=f(x)]위의 점 [eqn: A({pi}over{3}, root3 )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=x- piover3 +root3]이다. [eqn: y=2sinx]의 그래프가 직선 [eqn: x= piover3]에 대해 선대칭이므로, 선대칭 위치에 있는 두 점에서 그은 접선도 서로 [eqn: x= piover3]에서 선대칭이다. 따라서 [eqn: B( 2piover3 ,root3 )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=-x- 2piover3 +root3]이다.

두 접선과 [eqn: x= {pi } over {3} ,`x= {2 pi } over {3} ``], 곡선 [eqn: y=cos ^{3} x+3cosx-7+ sqrt {3}]으로 둘러싸인 넓이를 구하면, 점 [eqn: A,B]와 두 접선의 교점으로 이루어진 삼각형과 나머지 부분으로 나누어 구할 수 있다. 이때 [eqn: y=cos ^{3} x+3cosx-7+ sqrt {3}]의 그래프는 점 [eqn: ( {pi } over {2} ,`-7+ sqrt {3} )]에 대해 점대칭이므로

(점 [eqn: A,B]와 두 접선의 교점으로 이루어진 삼각형의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} TIMES {pi } over {3} TIMES ( sqrt {3} + {pi } over {6} - sqrt {3} )# = {pi ^{2}} over {36}]

(나머지 부분의 넓이)

[eqn: int _{{pi } over {3}} ^{{2 pi } over {3}} {sqrt {3} -(cos ^{3} x+3cosx-7+ sqrt {3} )dx}# = {7} over {3} pi]

따라서 구하는 넓이 [eqn: p pi ^{2} +q pi]에서 [eqn: p= {1} over {36} ,`q= {7} over {eqalign{3 }}], ∴[eqn: q overp =84]이다.

#점대칭 함수의 정적분

마지막 나머지 부분의 넓이를 구할 때, 복잡한 함수를 직접 정적분해서 구하기보다, [eqn: (0,0)]에서 점대칭인 삼차함수 [eqn: y=x ^{3} +3x]에 [eqn: cosx]를 합성한 함수 [eqn: y=cos ^{3} x+3cosx]의 [eqn: ({ pi } over {2},0)]에서의 점대칭 성질을 이용해 적분값을 [eqn: 0]으로 만드는 것이 현명하다.

#참고로 나머지 부분의 넓이는 치환적분으로도 풀 수 있다.

[eqn: cosx(cos^2 x+3)=cosx(4-sin^2 x)]를 통해 [eqn: sinx=t]로 치환하여 직접 풀어보면 어렵지 않게 적분값이 [eqn: 0]임을 구할 수 있다.