[문제]

주머니 [eqn: rmA]에는 [eqn: 1]부터 [eqn: 3]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 3]장의 카드가 들어 있고, 주머니 [eqn: rmB]에는 [eqn: 2]부터 [eqn: 8]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 7]장의 카드가 들어 있다. 이때 다음과 같은 시행을 한다,

∙ 한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수이면 주머니 [eqn: rmA]를 선택하고, 아니면 주머니 [eqn: rmB]를 선택한다.

∙ 선택한 주머니에서 두 장의 카드를 동시에 꺼낸다.

∙ 두 장의 카드에 적힌 수 중 작은 수를 [eqn: a], 큰 수를 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: a]와 [eqn: b]가 [eqn: b ^{3} -6ab ^{2} +11a ^{2} b-6a ^{3} =0]을 만족하면 [eqn: {b} over {a}]점의 점수를 획득하고, 그렇지 않으면 [eqn: b-a]점의 점수를 획득한다.

위의 시행을 한 번 할 때, 획득하는 점수의 기댓값을 구하시오. [[eqn: 20]점]

[문제]

다음을 읽고 문제에 답하시오.

∙ 수열을 처음 몇 개의 항과 이웃하는 여러 항 사이의 관계식으로 정의하는 것을 수열의 귀납적 정의라고 한다.

∙ 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능할 때, 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (a,~f(a))]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y-f(a)=f`'(a)(x-a)]이다.

∙ 탄젠트함수의 덧셈정리는 다음과 같다.

[eqn: tan( alpha + beta )= {tan` alpha +tan` beta } over {1-tan` alpha `tan` beta }], [eqn: tan( alpha - beta )= {tan` alpha -tan` beta } over {1+tan` alpha `tan` beta }]

(1) 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =2]이고 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = {cases{a _{n} -4~&(a _{n} >0)#a _{n}&(a _{n} =0)#a _{n} +d&(a _{n} <0)}}]  (단, [eqn: d]는 자연수)
이다. 다음 성질을 만족하는 자연수 [eqn: d]를 모두 구하시오. [[eqn: 10]점]

[eqn: a _{m} =0]을 만족하는 [eqn: m]의 최솟값은 [eqn: 7]이다.

(2) [eqn: n]이 자연수일 때, [eqn: y]축 위의 점 [eqn: (0,~n)]에서 곡선 [eqn: y=ln`x]에 그은 접선을 [eqn: l _{n}]이라 하고, [eqn: l _{n}]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각도를 [eqn: theta _{n}]이라 하자. [eqn: x]축과 [eqn: l _{n} ,~l _{n+1}]로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n rarrow INF } {{S _{n} `tan LEFT ( theta _{n} - theta _{n+1} RIGHT )} over {n ^{2}}}]을 구하시오. [[eqn: 15]점]

[문제]

다음을 읽고 문제에 답하시오.

∙ 미분가능한 함수 [eqn: g(x)]의 도함수 [eqn: g`'(x)]가 닫힌구간 [eqn: [a,~b]]를 포함하는 열린구간에서 연속이고, [eqn: g(a)= alpha ,~g(b)= beta]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때, 다음 식이 성립한다.

[eqn: int _{a} ^{b} {f(g(x))g`'(x)dx} = int _{alpha } ^{beta } {f(t)dt}]

∙ 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(itx _{1} ,~y _{1} )], [eqn: rm B( it x _{2} ,~y _{2} )] 사이의 거리는 다음과 같다.

[eqn: {bar{rm AB}} = sqrt {it (x _{1} -x _{2} ) ^{2} +(y _{1} -y _{2} ) ^{2}}]

∙ 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하고 [eqn: x=a]에서 극값을 가지면 [eqn: f`'(a)=0]이다.

(1) 일반항이 [eqn: a _{n} = int _{1} ^{e} {(x`ln`x-x) ^{n} ln`x`dx}]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{2024} a _{k} a _{k+1}]을 구하시오. [[eqn: 10]점]

(2) 좌표평면 위의 점 [eqn: rmP(itx,~y)]가 [eqn: y ^{2} - LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) y+x ^{3} +x ^{2} =0]을 만족한다. 두 점 [eqn: rmA(1,~0),~B(5,~0)]에 대하여 [eqn: {bar{rmPA}} ^{2} + {bar{PB}} ^{2}]의 최솟값을 구하시오. [[eqn: 15]점]

[문제]

다음을 읽고 문제에 답하시오.

∙ 중심이 [eqn: (a,~b,~c)]이고 반지름의 길이가 [eqn: r]인 구의 방정식은 [eqn: (x-a) ^{2} +(y-b) ^{2} +(z-c) ^{2} =r ^{2}]이다.

∙ 두 초점 [eqn: rmF(itc,~0),~rmF`'(it-c,~0)]으로부터의 거리의 합이 [eqn: 2a]인 타원의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]이다. (단, [eqn: a>c>0,~b ^{2} =a ^{2} -c ^{2}])

∙ 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]에 접하고 기울기가 [eqn: m]인 직선의 방정식은 [eqn: y=mx +- sqrt {a ^{2} m ^{2} +b ^{2}}]이다.

(1) 구 [eqn: (x-3) ^{2} +(y-4) ^{2} +(z-5) ^{2} =1]을 [eqn: S]라 하자. 중심이 구 [eqn: S] 위에 놓여있고 반지름의 길이가 [eqn: 7]인 구가 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면, [eqn: zx]평면과 만나서 이루는 세 원을 각각 [eqn: C _{1} ,~C _{2} ,~C _{3}]라 하자. [eqn: C _{1} ,~C _{2} ,~C _{3}]의 넓이의 합을 [eqn: A]라 할 때, [eqn: {A} over {pi }]의 최솟값과 최댓값의 합을 구하시오. [[eqn: 15]점]

(2) 두 초점이 [eqn: rmF(itc,~0),~rmF`'(it-c,~0)]인 타원 [eqn: E]가 다음의 두 조건을 만족한다.

(가) 타원 [eqn: E] 위의 두 점과 점 [eqn: rmF]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 둘레의 최댓값이 [eqn: 4 sqrt {10}]이다.

(나) 기울기가 [eqn: sqrt {3}]이고 타원 [eqn: E]에 접하는 두 직선 사이의 거리가 [eqn: 6]이다.

직선 [eqn: y=x+c]가 타원 [eqn: E]와 점 [eqn: rmP,~Q]에서 만날 때, 삼각형 [eqn: rmPQF]의 넓이를 구하시오.
(단, [eqn: c>0]) [[eqn: 15]점]