	준킬러확통	[준킬러][확통] 3통계
	03
		준킬러확통	2023.01.07

05 확통	07 이산확률분포
01 이산확률변수
02 이산확률분포의 성질2 (확률 구하기)

준킬러확통		준킬러확통
		[준킬러][확통] 3통계
03

	준킬러확통		준킬러확통
	[준킬러][확통] 3통계		03

[출처]	2004 모의_공공 평가원 고3 11월 확률과 통계 27

이산확률변수 [eqn: X]가 취할 수 있는 값이 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]이고 [eqn: X]의 확률질량함수가

[정답] ③

[해설]

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	합계
[eqn: {rm P it }(X`=x)]	[eqn: c]	[eqn: c]	[eqn: c]	[eqn: 2c]	[eqn: 2c]	[eqn: 2c]	[eqn: 5c^2]	[eqn: 5c^2]	[eqn: 1]

위의 표에서 [eqn: 3c+3cdot(2c)+2 cdot(5c^2 )=1]

[eqn: 10c^2 +9c-1=0]

[eqn: therefore```` c= 1 over 10 ``(because```` c＞0)]

[eqn: rm P it LEFT (A` `LEFT | it RIGHT .` B` rm RIGHT )= {rmP it LEFT ( it A` SMALLINTER B` rm RIGHT )} over {rmP it LEFT ( it B` RIGHT )}][eqn: = rm {rmP it ( itA` rm)} over {rmP it ( it B`)}]

[eqn: \P it(A)= 5c^2 +5c^2 =10c^2 =10 cdot 1 over 100 = 1 over 10]	[eqn: cdotscdots`]㉠

[eqn: \P it `(B)][eqn: =3 cdot(2c)+2 cdot(5c^2 )]
[eqn: =6c+10c^2 = 7 over 10]	[eqn: cdotscdots`]㉡

㉠, ㉡에 의해

[eqn: rm P it LEFT (A` `LEFT | it RIGHT .` B` rm RIGHT )][eqn: = rm {rmP it LEFT ( it A` rm RIGHT )} over {rmP it LEFT ( it B` RIGHT )}][eqn: = {1} over {7}]

[eqn: {rm{P}} it (X=x)=cases{c,`` && x=0,``1,``2 #2 c,`` && x=3,``4,``5 #5 c^{2},`` && x=6,``7} ~](단, [eqn: c right.]는 양수)

이다. 확률변수 [eqn: X]가 [eqn: rm 6] 이상일 사건을 [eqn: A], 확률변수 [eqn: X]가 [eqn: rm 3] 이상일 사건을 [eqn: B]라 할 때, [eqn: {rm{P}} it (A `|` B)]의 값은?

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {7}]

④ [eqn: {1} over {8}]	⑤ [eqn: {1} over {9}]

[출처]	2011 모의_공공 경찰대 고3 07월 12

이산확률변수 [eqn: {rm{X}} it]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: 90]의 값을 가질 때, 확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수는

[정답] ②

[해설]

[eqn: cos ^{2} left(x DEG right)+ cos ^{2} left(90 DEG -x DEG right)= cos ^{2} left(x DEG right)+ sin ^{2} left(x DEG right)=1]

이고 [eqn: cos ^{2} 45={1} over {2}], [eqn: cos ^{2} 90 DEG =0]이므로

[eqn: sum _{x=1} ^{90} cos ^{2} LEFT ( x DEG RIGHT )][eqn: = sum _{x=1} ^{44} LEFT { cos ^{2} LEFT ( x DEG RIGHT ) +cos ^{2} LEFT ( 90 DEG -x DEG RIGHT ) it RIGHT }]
[eqn: + cos ^{2} 45 DEG + cos 90 DEG]
[eqn: =44 times 1+{1} over {2}={89} over {2}]

[eqn: sum_{x=1}^{90} {rm{P}} it (X=x)=1] 이므로

[eqn: sum_{x=1}^{90} a cos ^{2} left(x DEG right)={89} over {2} a=1]

[eqn: therefore~a={2} over {89}]

[eqn: THEREFORE ~ rm P it (30 LEQ X LEQ 60)]

[eqn: = {2} over {89} TIMES sum _{x=30} ^{60} cos LEFT ( x DEG RIGHT )]

[eqn: ={2} over {89} times left[ sum_{x=30}^{44} left{ cos ^{2} left(x DEG right)+ cos ^{2} left(90 DEG -x DEG right) it right} + cos ^{2} 45 DEG right]]

[eqn: ={2} over {89} left[15+{1} over {2} right]]

[eqn: ={2} over {89} times {31} over {2}={31} over {89}]

[eqn: {rm{P}} it ({{rmX}} it =x)=a cos ^{2} left(x DEG right) ~ (]단, [eqn: a]는 상수 [eqn: )]

이다. 이때, 확률 [eqn: rm P it (30 LEQ it X it LEQ 60)]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {31} over {89}]	③ [eqn: {31} over {90}]

④ [eqn: {62} over {89}]	⑤ [eqn: {31} over {45}]

05 확통	07 이산확률분포
01 이산확률변수
03 확률분포 구하기

[출처]	2008 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

[eqn: 10`]개의 구슬이 들어있는 주머니가 있다. [eqn: 10`]개의 구슬 각각에는 [eqn: 1`]부터 [eqn: 10`]까지 서로 다른 자연수가 하나씩 적혀있다. 이 주머니에서 한 개의 구슬을 꺼내어 숫자를 확인한 후 다시 집어넣는 시행을 세 번 반복하여 첫 번째 나온 수를 [eqn: a], 두 번째 나온 수를 [eqn: b], 세 번째 나온 수를 [eqn: c`]라 하자. 다음과 같은 규칙으로 [eqn: X``]를 정할 때, [eqn: X`=5`]일 확률은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: a,```b,```c``]가 [eqn: 1``]부터 [eqn: 10``]까지의 자연수를 가질 수 있으므로 전체 경우의 수는 [eqn: 10^3 =1000``]가지이다. 세 수 [eqn: a,```b,```c``]가 모두 다르고, 중간 크기의 수가 [eqn: 5``]가 되기 위해서 [eqn: 5``]와 더불어 [eqn: 5``]보다 작은 수와 [eqn: 5``]보다 큰 수가 나와야 한다. [eqn: 5``]보다 작은 수를 택하는 방법이 [eqn: 4``]가지, [eqn: 5``]보다 큰 수를 택하는 방법이 [eqn: 5``]가지이므로 조건을 만족하는 수의 조합은 모두 [eqn: 20``]가지이다. 또한, 세 수를 [eqn: a,```b,```c``]에 나열하는 방법은 항상 [eqn: 3``! = 6``]가지이므로 규칙 [eqn: 1``]을 만족하는 경우는

[eqn: 6 times 20 =120``] (가지)

한편, 세 수 [eqn: a,```b,```c``]중 두 개 이상이 같을 때 같은 수가 [eqn: 5``]가 되기 위해서는 모두 [eqn: 5``]인 경우와 두 수가 [eqn: 5``]이고 나머지 한 수가 [eqn: 5``]가 아닌 경우이다. [eqn: a,```b,```c``]에 배열하는 방법은 세 수가 모두 [eqn: 5``]인 경우에 한 가지이고, 두 수가 [eqn: 5``]인 경우에 [eqn: 3``]가지이므로 규칙 [eqn: 2``]를 만족하는 경우의 수는

[eqn: (1 times 1)+(3 times 9)=28``]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 148 over 1000 = 37 over 250``]

[규칙 1] [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]가 모두 다르면 중간 크기의 수를 [eqn: X``]라 한다.

[규칙 2] [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]중에서 두 개 이상이 같으면 같은 수를 [eqn: X``]라 한다.

① [eqn: 18 over 125`]	② [eqn: 37 over 250`]	③ [eqn: 19 over 125`]

④ [eqn: 39 over 250`]	⑤ [eqn: 4 over 25`]

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 16
[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 09월 16

한 개의 동전을 한 번 던지는 시행을 [eqn: 5`]번 반복한다.
각 시행에서 나온 결과에 대하여 다음 규칙에 따라 표를 작성한다.

[정답] ②

[해설]

동전의 앞면이 나오는 사건을 [eqn: H], 뒷면이 나오는 사건을

[eqn: T]라고 하자.

이 때, [eqn: H]가 올 수 있는 자리를 ●라고 하자.

㈀. [eqn: H]가 [eqn: 2]번, [eqn: T]가 [eqn: 3]번인 경우

[eqn: H][eqn: 2]개가 이웃하지 않으므로

●T●T●T●가 되어 [eqn: {} _{4} C _{2}=6]가지이다.

㈁. [eqn: H]가 [eqn: 3]번, [eqn: T]가 [eqn: 2]번인 경우

[eqn: H][eqn: 2]개는 이웃하고 나머지 [eqn: H][eqn: 1]개는 이웃하지 않으므로 ●T●T●이므로 [eqn: {} _{3} P _{2}=6]가지이다.

㈂. [eqn: H]가 [eqn: 4]번, [eqn: T]가 [eqn: 1]번 인 경우

[eqn: H]가 [eqn: 2]개씩 이웃할 때 : ●T●에서 [eqn: {} _{2} C _{2}=1]

[eqn: H]가 [eqn: 3]개씩 이웃하고 나머지 하나는 이웃하지 않을 때 ●T●에서 [eqn: {} _{2} P _{2}=2]

[eqn: therefore P(X=2)= {6+6+1+2}over2^5 = 15 over32]

(가) 첫 번째 시행에서 앞면이 나오면 △, 뒷면이
나오면 ○를 표시한다.

(나) 두 번째 시행부터
(1) 뒷면이 나오면 ○를 표시한다.
(2) 앞면이 나왔을 때, 바로 이전 시행의 결과가 앞면이면 ○, 뒷면이면 △를 표시한다.

예를 들어 동전을 [eqn: 5`]번 던져 ‘앞면, 뒷면, 앞면, 앞면, 뒷면’
이 나오면 다음과 같은 표가 작성된다.

시행	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]
표시	△	○	△	○	○

한 개의 동전을 [eqn: 5`]번 던질 때 작성되는 표에 표시된 △의
개수를 확률변수 [eqn: X``]라 하자. [eqn: {rmP} LEFT ( X``=2 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: {13} over {32}]	② [eqn: {15} over {32}]	③ [eqn: {17} over {32}]

④ [eqn: {19} over {32}]	⑤ [eqn: {21} over {32}]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 19

무게가 [eqn: 1]인 추 [eqn: 6]개, 무게가 [eqn: 2]인 추 [eqn: 3]개와 비어 있는 주머니 [eqn: 1]개가 있다. 주사위 한 개를 사용하여 다음의 시행을 한다. (단, 무게의 단위는 [eqn: rm g`]이다.)

[정답] ①

[해설]

(ⅰ) [eqn: X=3]인 사건은 주머니에 무게가 [eqn: 2]인 추 [eqn: 3]개가 들어 있는 경우이므로
[eqn: rmP` LEFT ( itX=3 RIGHT ) = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} =` {BOX{~ {8} over {27} ~}}]

(ⅱ) [eqn: X=4]인 사건은
세 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 [eqn: 4]이고 네 번째 시행에서 무게가 [eqn: 2]인 추를 넣는 경우와 세 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 [eqn: 5]인 추를 넣는 경우로 나눌 수 있다. 그러므로
[eqn: rmP` LEFT ( itX=4 RIGHT )][eqn: = _{3} rmC _{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) times {2} over {3} + _{3} C _{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: rmP` LEFT ( itX=4 RIGHT ) =` {BOX{~ {4} over {27} ~}} `+ _{3} rmC _{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2}]

(ⅲ) [eqn: X=5]인 사건은
네 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 [eqn: 4]이고 다섯 번째 시행에서 무게가 [eqn: 2]인 추를 넣는 경우와 네 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 [eqn: 5]인 경우로 나눌 수 있다. 그러므로
[eqn: rmP` LEFT ( itX=5 RIGHT ) = _{4} rmC _{4} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{0} times {2} over {3} + _{4} C _{3} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{1}]
[eqn: rmP` LEFT ( itX=5 RIGHT ) = _{4} rmC _{4} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{0} times {2} over {3} +` {BOX{~ {8} over {81} ~}}]

(ⅳ) [eqn: X=6]인 사건은
다섯 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 [eqn: 5]인 경우이므로
[eqn: rmP` LEFT ( itX=6 RIGHT ) = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{5}]

이상에서

[eqn: a= {8} over {27}], [eqn: b= {4} over {27}], [eqn: c= {8} over {81}]

이다. 따라서

[eqn: {ab} over {c} = {{8} over {27} times {4} over {27}} over {{8} over {81}} = {4} over {9}]

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 [eqn: 2] 이하이면 무게가 [eqn: 1]인 추 [eqn: 1]개를 주머니에 넣고, 눈의 수가 [eqn: 3] 이상이면 무게가 [eqn: 2]인 추 [eqn: 1]개를 주머니에 넣는다.

위의 시행을 반복하여 주머니에 들어 있는 추의 총무게가 처음으로 [eqn: 6]보다 크거나 같을 때, 주머니에 들어 있는 추의 개수를 확률변수 [eqn: X`]라 하자. 다음은 [eqn: X`]의 확률질량함수 [eqn: rmP` LEFT ( itX=x RIGHT )] ([eqn: x=3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6])을 구하는 과정이다.

(ⅰ) [eqn: X=3]인 사건은 주머니에 무게가 [eqn: 2]인 추 [eqn: 3]개가 들어 있는 경우이므로
[eqn: rm P` LEFT ( it X=3 RIGHT ) =`box{````````(가)````````]

(ⅱ) [eqn: X=4]인 사건은
세 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 [eqn: 4]이고 네 번째 시행에서 무게가 [eqn: 2]인 추를 넣는 경우와
세 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 [eqn: 5]인 경우로 나눌 수 있다. 그러므로
[eqn: rmP left(itX=4right)=`box{````````(나)````````}`+ _{3} rmC _{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2}]

(ⅲ) [eqn: X=5]인 사건은
네 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 [eqn: 4]이고 다섯 번째 시행에서 무게가 [eqn: 2]인 추를 넣는 경우와
네 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 [eqn: 5]인 경우로 나눌 수 있다. 그러므로
[eqn: rmP` LEFT ( itX=5 RIGHT ) = _{4} rmC _{4} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{0} times {2} over {3} +`box{````````(다)````````]

(ⅳ) [eqn: X=6]인 사건은 다섯 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 [eqn: 5]인 경우이므로
[eqn: rmP` LEFT ( itX=6 RIGHT ) = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{5}]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]라 할 때, [eqn: {ab} over {c}]의 값은?

① [eqn: {4} over {9}]	② [eqn: {7} over {9}]	③ [eqn: {10} over {9}]

④ [eqn: {13} over {9}]	⑤ [eqn: {16} over {9}]

05 확통	07 이산확률분포
02 이산확률변수의 평균과 표준편차
01 도수분포에서 평균과 표준편차

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 11월 확률과 통계 29

두 자료 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 있다. 서로 다른 [eqn: 5]개의 수로 이루어진 [eqn: rmA]의 평균과 중앙값은 모두 [eqn: 25]이다. [eqn: 7]개의 수로 이루어진 [eqn: rmB]에서 [eqn: 5]개는 [eqn: rmA]의 자료와 일치하고, 나머지 [eqn: 2]개는 [eqn: x], [eqn: y]이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고르시오. (중앙값이란 작은 수부터 나열할 때 가운데 위치한 수를 의미한다.)

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. 서로 다른 [eqn: 5]개의 수로 이루어진 [eqn: rmA]의 평균과 중앙값은 모두 [eqn: 25]이고, [eqn: 7]개의 수로 이루어진 [eqn: rmB]에서 [eqn: 5]개는 [eqn: rmA]의 자료와 일치하고 나머지 [eqn: 2]개는 [eqn: x], [eqn: y]이므로 [eqn: rmB]의 평균이 [eqn: 25]이면 [eqn: x], [eqn: y]의 평균도 [eqn: 25]이다. 따라서 [eqn: rmB]의 중앙값도 [eqn: 25]이다.	(참)

ㄴ. [eqn: rmB]의 평균이 [eqn: 27]이상이면 다음의 식이 성립한다.

[eqn: 125+x+y ge 189]

[eqn: x+y ge64]

따라서 [eqn: x], [eqn: y]중 적어도 하나는 [eqn: 32]이상이다.	(참)

ㄷ. [eqn: x]와 [eqn: y]가 모두 [eqn: 25]이면 [eqn: rmB]의 표준편차가 [eqn: rmA]의 표준편차보다 작다.	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: rmB]의 평균이 [eqn: 25]이면 [eqn: rmB]의 중앙값도 [eqn: 25]이다. ㄴ. [eqn: rmB]의 평균이 [eqn: 27]이상이면 [eqn: x]와 [eqn: y]중에서 적어도 하나는 [eqn: 32]이상이다. ㄷ. [eqn: x]와 [eqn: y]가 모두 [eqn: 25]이면 [eqn: rmB]의 표준편차가 [eqn: rmA]의 표준편차보다 작다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

05 확통	07 이산확률분포
02 이산확률변수의 평균과 표준편차
02 평균1 (표)

[출처]	2006 모의_공공 교육청 고3 10월 22
[출처]	2006 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 22

다음은 확률변수 [eqn: X``]의 확률분포가

[정답] [eqn: 20]

[해설]

[eqn: LEFT( 1over 10 -p RIGHT) +LEFT( 1over 10 +p RIGHT) +LEFT( 1over 10 -p RIGHT)+…+LEFT( 1over 10 +p RIGHT) =1]이므로

[eqn: 2n over10 =1] 따라서 [eqn: n=5]

확률변수 [eqn: X]의 기대값이 [eqn: 23over4]이므로

[eqn: rm E( it X)][eqn: = 1`` LEFT( 1over 10 -p right)` +`2`` LEFT( 1over 10 +p right) `+`…`+`10 ` LEFT( 1over 10 +p right)`]

[eqn: = 1 over10 `(1`+`2`+`…`+`10) `+`( -p`+`2p-`…`+`10p)`]

[eqn: = 55 over10` +`5p `= 23 over4]

따라서 [eqn: p= 1 over20]이므로 [eqn: { 1} over {p } = 20`]

[eqn: rm P it LEFT ( X`=k RIGHT ) = {1} over {10} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k} p][eqn: LEFT ( k=1,``2,``3,` CDOTS`,``2n RIGHT ) `]

인 확률변수 [eqn: X``]의 확률분포표이다.

[eqn: X`]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2n]	계
[eqn: {rmP} LEFT ( X=k RIGHT )]	[eqn: 1 over 10 `-` p]	[eqn: 1 over 10 `+` p]	[eqn: 1 over 10 `-` p]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1 over 10 `+` p]	[eqn: 1]

확률변수 [eqn: X``]의 기댓값이 [eqn: rm E it LEFT ( X` RIGHT ) = {23} over {4} `]일 때, [eqn: {1} over {p}`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<p< {1} over {10}`]이고, [eqn: n`]은 자연수이다.)

05 확통	07 이산확률분포
02 이산확률변수의 평균과 표준편차
03 평균2 (확률질량함수)

[출처]	2011 모의_공공 사관학교 고3 07월 6

이산확률변수 [eqn: X``]가 값 [eqn: x`]를 가질 확률이

[정답] ③

[해설]

[eqn: sum_x=1^6 {rmP}(X=x)][eqn: = 1 over k sum_x=1^6 `_6 {rmC}_x][eqn: = 1 over k (2^6 -1)][eqn: =1]이므로

[eqn: k = 2^6 -1][eqn: = 63][eqn: = 3^2 times7]

[eqn: {rmE}(X)][eqn: =sum_x=1^6 x cdot {rmP}(X=x)][eqn: = 1 over k sum_x=1^6 x cdot`_6 {rmC}_x]

[eqn: = 2^6 over k sum_x=1^6 x cdot`_6 {rmC}_x LEFT ( 1 over2 RIGHT ) ^6][eqn: = 2^6 over k sum_x=0^6 x cdot`_6 {rmC}_x LEFT ( 1 over2 RIGHT ) ^6][eqn: = 2^6 overk cdot 3]

[eqn: left(matrix{it#it}]∵ 이항분포 [eqn: {rm B} LEFT ( 6, `` 1 over2 RIGHT )]를 따르는 확률변수의 확률질량함수는 [eqn: `_6 {rmC}_x LEFT ( 1 over2 RIGHT )^6]이고 평균은 [eqn: sum_x=0^6 x cdot`_6 {rmC}_x LEFT ( 1 over2 RIGHT ) ^6][eqn: = 6 times 1 over2 =3][eqn: matrix{it#it}right)]

따라서 [eqn: m = 2^6 overk cdot3]에서 [eqn: k^2 m = 2^6 cdot3 k = 2^6 cdot 3^3 cdot 7]

∴ [eqn: a=6], [eqn: b=3], [eqn: c=1]   ∴ [eqn: a+b+c=10]

[다른 풀이]

항등식 [eqn: (x+1)^n = sum_i=0^n ``_n {rmC}_i x^i]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: n (x+1)^n-1 = sum_i=1^n i times `_n {rmC}_i x^i-1]

위 식의 양변에 [eqn: x][eqn: =1]을 대입하면

[eqn: n cdot2^n-1][eqn: = sum_i=1^n i times `_n {rmC}_i]

∴ [eqn: sum_i=1^6 x times `_6 {rmC}_x][eqn: = 6 cdot2^5 = 3 cdot 2^6]

[eqn: rm P it LEFT ( X`=x RIGHT ) = {{}_{6} {rmC} _{x}} over {k} `]
(단, [eqn: x=1], [eqn: 2], [eqn: cdots] , [eqn: 6`]이고, [eqn: k`]는 상수이다.)

일 때, 확률변수 [eqn: X]의 기댓값을 [eqn: m`]이라 하면 [eqn: mk ^{2} =2 ^{a} TIMES3 ^{b} TIMES7 ^{c} `]이다. 세 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c `]의 합 [eqn: a+b+c `]의 값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[출처]	2011 모의_공공 사관학교 고3 07월 6

이산확률변수 [eqn: X]가 값 [eqn: x]를 가질 확률이

[정답] ③

[해설]

[eqn: sum_{x=1}^{6} {rm{P}} it (X=x)={1} over {k} sum_{x=1}^{6} it _{6} {rm{C}} it _{x}={1} over {k} left(2^{6}-1 right)=1]이므로

[eqn: k=2^{6}-1=63=3^{2} times 7]

[eqn: rm E it (X)][eqn: = sum _{x=1} ^{6} x CDOT rm P it (X=x)]
[eqn: = {1} over {k} sum _{x=1} ^{6} x CDOT it _{6} rm C_{itx}]
[eqn: = {2 ^{6}} over {k} sum _{x=1} ^{6} x CDOT it _{6} rm C it rm _{itx} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6}]
[eqn: = {2 ^{6}} over {k} sum _{x=0} ^{6} x CDOT it _{6} rm C it rm _{itx} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6}]
[eqn: ={2^{6}} over {k} cdot 3]

[eqn: left( because right.]이항분포 [eqn: {rm{B}} it left(6,`` {1} over {2} right)]를 따르는 확률변수의 확률질량함수는 [eqn: it _{6} {rm{C}} it _{x} left({1} over {2} right)^{6}]이고 평균은 [eqn: left. sum_{x=0}^{6} x cdot it _{6} {rm{C}} it _{x} left({1} over {2} right)^{6}=6 times {1} over {2}=3 right)]

따라서 [eqn: m={2^{6}} over {k} cdot 3]에서 [eqn: k^{2} m=2^{6} cdot 3 k=2^{6} cdot 3^{3} cdot 7]

[eqn: therefore~a=6], [eqn: b=3], [eqn: c=1]

[eqn: therefore~a+b+c=10]

[다른 풀이]

항등식 [eqn: (x+1)^{n}= sum_{i=0}^{n} it _{n} {rm{C}} it _{i} x^{i}]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: n(x+1)^{n-1}= sum_{i=1}^{n} i times it _{n} {rm{C}} it _{i} x^{i-1}]

위 식의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: n cdot 2^{n-1}= sum_{i=1}^{n} i times it _{n} {rm{C}} it _{i}]

[eqn: therefore~ sum_{i=1}^{6} x times it _{6} {rm{C}} it _{x}=6 cdot 2^{5}=3 cdot 2^{6}]

[eqn: rm P it (X=x)= {it _{6} rm C _{itx} it} over {k}]

(단, [eqn: x=1,``2,``3,``4,``5,``6]이고, [eqn: k]는 상수이다.)

일 때, 확률변수 [eqn: X]의 기댓값을 [eqn: m]이라 하면 [eqn: m k^{2}=2^{a} times 3^{b} times 7^{c}]이다. 세 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 합 [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: rm 8]	② [eqn: rm 9]	③ [eqn: rm 10]

④ [eqn: rm 11]	⑤ [eqn: rm 12]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 28

두 이산확률변수 [eqn: X``]와 [eqn: Y``]가 가지는 값이 각각 [eqn: 1``]부터 [eqn: 5``]까지의 자연수이고

[정답] [eqn: 28`]

[해설]

두 이산확률변수 [eqn: X``], [eqn: Y``]가 가지는 값이 각각 [eqn: 1``]부터 [eqn: 5``]까지의 자연수이므로

[eqn: rm E it (X`)= sum _{ k=1} ^{ 5} ` LEFT { k×{rm P} LEFT ( X=k RIGHT ) RIGHT } =4``]

[eqn: rm E (it Y`)= sum _{k=1} ^{5} ` LEFT { k TIMES rm P it LEFT ( Y=k RIGHT ) RIGHT } ``]
[eqn: =sum _{k=1} ^{5} ` LEFT [ k TIMES LEFT { {1} over {2} rm P it LEFT ( X=k RIGHT ) + {1} over {10} RIGHT } RIGHT ] ``]
[eqn: = 1 over 2 sum _{k=1} ^{5} ` LEFT { k TIMES rm P it LEFT ( X=k RIGHT ) RIGHT } ` + 1 over 10 sum _{ k=1} ^{5 }`k``]
[eqn: = {1} over {2} × 4+ 1 over 10 × {5×6} over 2``]
[eqn: = 2+ {3} over {2}`]
[eqn: ={7}over{2}`]

따라서 [eqn: a= rm {7} over {2}`]이므로

[eqn: 8a = 8× 7 over 2 =28``]이다.

[eqn: {rm {rmP}} LEFT (Y`=k RIGHT )= {1} over {2} {rm {rmP}} LEFT (X`=k RIGHT )+ {1} over {10}][eqn: LEFT ( k=1,`` 2,`` 3,`` 4,`` 5 RIGHT )`]

이다. [eqn: {rm E}(X)=4``]일 때, [eqn: {rm E}(Y)=a``]이다. [eqn: 8a``]의 값을 구하시오.

05 확통	07 이산확률분포
02 이산확률변수의 평균과 표준편차
04 평균3 (확률분포 구하기)

[출처]	2002 모의_공공 교육청 고3 10월 17

정답이 하나인 오지선다형의 문항에서 맞으면 [eqn: 5]점을 주고 적은 답이 틀리면 적당히 감점을 하며 답을 적지 않으면 [eqn: 0]점을 준다. 이 문항의 답을 임의로 적을 때 기대되는 점수가 [eqn: rm 0]이 되도록 하려면, 적은 답이 틀리면 몇 점을 감점해야 하는가?

[정답] ⑤

[해설]

임의로 적은 답이 맞을 확률은 [eqn: {1} over {5}]이고 틀릴 확률은 [eqn: {4} over {5}]이다. 따라서 틀린 문항의 감점 점수를 [eqn: x]라 하면 임의로 답을 적었을 때 기대되는 점수는 [eqn: {1} over {5} cdot 5-{4} over {5} x=0]

[eqn: therefore~x={5} over {4}=1.25]

① [eqn: 0.75]점	② [eqn: 0.8]점	③ [eqn: 1]점

④ [eqn: 1.2]점	⑤ [eqn: 1.25]점

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 28

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원의 둘레를 [eqn: rm 6]등분한 점에 [eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 6]까지의 번호를 하나씩 부여하였다. 한 개의 주사위를 두 번 던져 나온 눈의 수에 해당하는 점을 각각 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]라 하자. 두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it] 사이의 거리를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: X]의 평균 [eqn: {rm{E}} it (X)]는?

[정답] ④

[해설]

[eqn: X]에 대한 확률분포표를 만들면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: rm 0]	[eqn: rm 1]	[eqn: sqrt{3}]	[eqn: rm 2]
[eqn: {rm{P}} it (X)]	[eqn: {1} over {6}]	[eqn: {2} over {6}]	[eqn: {2} over {6}]	[eqn: {1} over {6}]

[eqn: {rm{E}} it (X)][eqn: =0 cdot {1} over {6}+1 cdot {2} over {6}+ sqrt{3} cdot {2} over {6}+2 cdot {1} over {6}]
[eqn: ={1} over {3}(2+ sqrt{3})]

① [eqn: {1+ sqrt{2}} over {3}]	② [eqn: {1+ sqrt{3}} over {3}]	③ [eqn: {2+ sqrt{2}} over {3}]

④ [eqn: {2+ sqrt{3}} over {3}]	⑤ [eqn: {1+2 sqrt{3}} over {3}]

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 09월

그림과 같이 중심이 [eqn: rm O], 반지름의 길이가 [eqn: 1`]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2} `]인 부채꼴 [eqn: rm OAB`]가 있다. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 호 [eqn: rmAB``]를 [eqn: 2n`]등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로 [eqn: rm P _{0} LEFT ( =A RIGHT )], [eqn: rmP_1], [eqn: rm P_2], [eqn: cdots] , [eqn: rm P_{it2n-1}], [eqn: rm P _{it 2n rm} LEFT ( =B RIGHT ) `]라 하자.

[정답] ②

[해설]

부채꼴 [eqn: rmOPA`]의 넓이와 부채꼴 [eqn: rmOPB`]의 넓이의 차가 확률변수 [eqn: X``]이므로 [eqn: rmP_3]를 선택할 때 넓이의 차는 [eqn: 0]

[eqn: rmP_1]또는 [eqn: P_5]를 선택할 때 넓이의 차는 [eqn: pi over12]

[eqn: rmP_2`]또는 [eqn: rmP_4]를 선택할 때 넓이의 차는 [eqn: pi over 6]

확률분포표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: piover12]	[eqn: piover6]	합계
[eqn: P(X)]	[eqn: 1over5]	[eqn: 2over5]	[eqn: 2over5]	[eqn: 1]

따라서 [eqn: E(X)`=`0 times 1over5 + pi over12 times 2over5 + pi over6 times 2over5 `=` piover10]이다.

[eqn: n=3`]일 때, 점 [eqn: rmP _{1}], [eqn: rmP _{2}], [eqn: rmP _{3}], [eqn: rmP _{4}], [eqn: rmP _{5} `]중에서 임의로 선택한 한 개의 점을 [eqn: rmP`]라 하자. 부채꼴 [eqn: rmOPA`]의 넓이와 부채꼴 [eqn: rmOPB`]의 넓이의 차를 확률변수 [eqn: X``]라 할 때, [eqn: rm E it LEFT ( X` RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: piover11``]	② [eqn: piover10``]	③ [eqn: piover9``]

④ [eqn: piover8``]	⑤ [eqn: piover7``]

05 확통	07 이산확률분포
02 이산확률변수의 평균과 표준편차
05 표준편차1 (표)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 29

두 이산확률변수 [eqn: {X}{{from^2021^09^평가원^중}}], [eqn: Y]의 확률분포를 표로 나타내면 각각 다음과 같다.

[정답] [eqn: bold { 78 }]

[해설]

확률변수 [eqn: X]가 갖는 값이 [eqn: X=5]에 대하여 확률분포가 대칭이므로

[eqn: {rmE LEFT ( itX RIGHT )=5]

또 [eqn: {rmV} LEFT ( itX RIGHT )= { 31} over { 5}]이므로 [eqn: {rmE} LEFT ( itX^2 RIGHT )- LEFT { {rmE} LEFT ( itX RIGHT ) RIGHT }^2 = { 31} over { 5}]에서

[eqn: {rmE} LEFT ( itX^2 RIGHT )=25+ { 31} over { 5}]

이때,

[eqn: {rmE} LEFT ( itX^2 RIGHT )][eqn: =1^2 TIMESa +3^2 TIMESb +5^2 TIMESc + 7^2 TIMESb + 9^2 TIMESa]
[eqn: =82a + 58b+25c]

이므로 [eqn: 82a+58b+25c=25+ { 31} over { 5}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

한편, 확률변수 [eqn: Y]가 갖는 값이 [eqn: Y=5]에 대하여 확률분포가 대칭이므로 [eqn: {rmE} LEFT ( itY RIGHT )=5]이고,

[eqn: {rmE} LEFT ( itY^2 RIGHT )][eqn: =1^2 TIMES LEFT ( a+ { 1} over {20 } RIGHT )+3^2 TIMESb +5^2 TIMES LEFT ( c- { 1} over {10 } RIGHT )]
[eqn: +7^2 TIMESb + 9^2 TIMES LEFT ( a+ { 1} over {20 } RIGHT )]
[eqn: =82a+58b+25c+ { 1} over { 20}- { 5} over { 2}+ { 81} over { 20}]
[eqn: =82a+58b+25c+ { 8} over { 5}]

㉠에서 [eqn: {rmE} LEFT ( itY^2 RIGHT )][eqn: =25+ { 31} over { 5}+ { 8} over { 5}][eqn: =25+ { 39} over { 5}]

따라서 [eqn: {rmV} LEFT ( itY RIGHT )][eqn: ={rmE} LEFT ( itY^2 RIGHT )- LEFT { {rmE} LEFT ( itY RIGHT ) RIGHT }^2][eqn: =25+ { 39} over { 5}-5^2][eqn: ={ 39} over { 5}]이므로

[eqn: 10 TIMES {rmV} LEFT ( itY RIGHT )=10 TIMES { 39} over { 5}=78]

[eqn: X``]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 5]	[eqn: 7]	[eqn: 9]	합계
[eqn: rm P it (X=x)``]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c]	[eqn: b]	[eqn: a]	[eqn: 1]

[eqn: Y]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 5]	[eqn: 7]	[eqn: 9]	계
[eqn: rm P( it Y=y)]	[eqn: a+{1}over{20}]	[eqn: b]	[eqn: c-{1}over{10}]	[eqn: b]	[eqn: a+{1}over{20}]	[eqn: 1]

[eqn: rmV(itX)= {31} over {5}]일 때, [eqn: 10 TIMES rmV(itY)]의 값을 구하시오.

05 확통	07 이산확률분포
02 이산확률변수의 평균과 표준편차
06 표준편차2 (확률질량함수)

[출처]	2006 모의_공공 교육청 고3 03월 30

확률변수 [eqn: X``]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots] , [eqn: n`]의 값을 취하고, [eqn: X`=k`][eqn: LEFT ( 1 LEQk LEQn RIGHT ) `]일 확률이 [eqn: {rmP} LEFT ( X`=k RIGHT ) =ck`]라 한다. 확률변수 [eqn: X``]의 표준편차가 [eqn: sqrt {6} `]이 되도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: c`]는 상수이다.)

[정답] [eqn: 10]

[해설]

[eqn: c` sum _{k=1} ^{n} k=1`]에서 [eqn: c= {2} over {n(n+1)}]

[eqn: X`]의 표준편차가 [eqn: sqrt {6} `]이므로 [eqn: X``]의 분산 [eqn: V(X)`]는

[eqn: V(X)= sum _{k=1} ^{n} k ^{2} CDOT (c``k)- LEFT ( sum _{k=1} ^{n} k CDOT c``k RIGHT ) ^{2} =6]에서

[eqn: c sum _{k=1} ^{n} k ^{3} - LEFT ( sum _{k=1} ^{n} c``k ^{2} RIGHT ) ^{2} =6]

위 식에 [eqn: c= {2} over {n(n+1)}]를 대입하여 정리하면

[eqn: {2} over {n(n+1)} TIMES LEFT { {n(n+1)} over {2} RIGHT } ^{2} - LEFT { {2} over {n(n+1)} TIMES {n(n+1)(2n+1)} over {6} RIGHT } ^{2} =6]

[eqn: {n(n+1)} over {2} - {(2n+1) ^{2}} over {9} =6`], [eqn: n ^{2} +n-110=0`]

[eqn: (n+11)(n-10)=0``][eqn: THEREFORE ```n=10``]

05 확통	07 이산확률분포
02 이산확률변수의 평균과 표준편차
08 평균과 표준편차 (빈 칸 넣기)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 09월 17
[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 09월 18

[eqn: 1``]부터 [eqn: n``]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: n``]장의 카드가 있다. 이 카드 중에서 임의로 서로 다른 [eqn: 4``]장의 카드를 선택할 때, 선택한 카드 [eqn: 4``]장에 적힌 수 중 가장 큰 수를 확률변수 [eqn: X```]라 하자. 다음은 [eqn: rm E(itX)`]를 구하는 과정이다.
(단, [eqn: n geq4`])

[정답] ①

[해설]

자연수 [eqn: k LEFT ( 4 LEQ k LEQ n RIGHT ) `]에 대하여 확률변수 [eqn: X`]□ 의 값이 [eqn: k`]일

확률은 [eqn: 1`]부터 [eqn: k-1`]가지의 자연수가 적혀 있는 카드 중에서

서로 다른 [eqn: 3`]장의 카드와 [eqn: k`]가 적혀 있는 카드를 선택하는

경우의 수를 전체 경우의 수로 나누는 것이므로

[eqn: rm P it LEFT ( x=k RIGHT ) = {{BOX{{} _{``k-1} {rmC} _{3``}}}} over {{} _{n} {rmC} _{4}}]

이때, 자연수 [eqn: r` LEFT ( 1 LEQ r LEQ k RIGHT ) `]에 대하여

[eqn: {} _{k} {rmC} _{r} = {k} over {r} TIMES _{k-1} {rmC} _{r-1}]

이 성립하므로 [eqn: r=4`]를 대입하면

[eqn: {} _{k} {rmC} _{4} = {k} over {4} TIMES _{k-1} {rmC} _{3}]

[eqn: k it TIMES rm {BOX{it `` _{k-1} {rmC} _{3``} rm}} =4 TIMES {BOX{`` _{k} C _{4``}}}]

이다. 그러므로

[eqn: {rmE} LEFT ( X RIGHT )][eqn: = sum _{k=4} ^{n} LEFT { k times{rmP} LEFT ( X=k RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {1} over {{} _{n} {rmC} _{4}} sum _{k=4} ^{n} LEFT ( k` TIMES ` {BOX{{} _{```k-1} {rmC} _{4} ```}} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {{} _{n} rm C it _{4}} sum _{k=4} ^{n} {BOX{`` _{k} rm C it _{4} ``}}]

이다.

[eqn: sum _{k=4} ^{n} {BOX{`` _{k} rm C it rm _{4} `` it}} `= _{n+1} rm C it _{5} `]

이므로

[eqn: {rmE} LEFT ( X RIGHT )][eqn: rm= {4} over {{} _{n} C _{4}} TIMES _{n+1} C _{5}]
[eqn: rm=4 TIMES {{} _{n+1} C _{5}} over {{} _{n} C _{4}}]
[eqn: =4 TIMES {{LEFT ( n+1 RIGHT ) n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT ) LEFT ( n-3 RIGHT )} over {5`!}} over {{n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT ) LEFT ( n-3 RIGHT )} over {4`!}}]
[eqn: = LEFT ( n+1 RIGHT ) TIMES {BOX{{4} over {5}}}]

따라서 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) = _{n-1} rm C it rm _{3} ,~g LEFT ( k RIGHT ) = _{k} rm C _{4} ,~a= {4} over {5} `]이므로

[eqn: a timesf LEFT ( 6 RIGHT )timesg LEFT ( 5 RIGHT )][eqn: rm = {4} over {5} TIMES _{5} C _{3} times _5 C_4]

[eqn: rm = {4} over {5} TIMES _{5} C _{3} TIMES _{5} C _{1}]

[eqn: rm = {4} over {5} TIMES 10 TIMES 5]

[eqn: =40]

자연수 [eqn: k`(`4 leq k leq n)`]에 대하여 확률변수 [eqn: X`]의 값이 [eqn: k`]일 확률은 [eqn: 1`]부터 [eqn: k-1`]까지의 자연수가 적혀 있는 카드 중에서 서로 다른 [eqn: 3`]장의 카드와 [eqn: k`]가 적혀 있는 카드를 선택하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누는 것이므로 [eqn: rmP{(itX=k)={box{~ ㈎~}over {`_n`rmC_4}`]이다.

자연수 [eqn: r`(`1 leq r leq k)`]에 대하여

[eqn: {`_k`rmC_r} = {k} over {r} times {`_k-1`rmC_r-1}`]이므로 [eqn: k times {box{~㈎~} `= 4 times {box{~㈏~}}`]이다.

그러므로

[eqn: {rm E(itX)}=`sum_{k=4}^n left{k times rmP{(itX=k) right}`]

[eqn: = {1} over {` _{n} ` rm C _{4} it} ` sum _{k=4} ^{n} LEFT ( k TIMES BOX{~㈎~} RIGHT )`][eqn: ={4} over {{`_n`rmC_4}}`sum_{k=4}^n {box{~㈏~}} `]

이다.
[eqn: sum_{k=4}^n {box{~㈏~} ={`_n+1`rmC_5}}``]이므로 [eqn: {rm E(itX)}=`left( n+1 right) times {box{~㈐~ }``]이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)`], [eqn: g(k)`]라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: a`]라 할 때, [eqn: a timesf(6) times g(5)`]의 값은?

① [eqn: 40`]	② [eqn: 45`]	③ [eqn: 50`]

④ [eqn: 55`]	⑤ [eqn: 60`]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 07월 18

[eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 6]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: rm 6]개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: rm 1]개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 [eqn: rm 3]번 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 차례로 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}], [eqn: x_{3}]이라 하고, 이 세 수 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}], [eqn: x_{3}] 중에서 최댓값과 최솟값의 차를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 예를 들어 [eqn: {rm{P}} it (X=1)={5} over {36}]이다. 다음은 확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: {rm{E}} it (X)]를 구하는 과정의 일부이다.

[정답] ②

[해설]

세 수 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}], [eqn: x_{3}]을 순서쌍 [eqn: left(x_{1},`` x_{2},`` x_{3} right)]과 같이 나타내자.

[eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}], [eqn: x_{3}] 중에서 최댓값을 [eqn: p], 최솟값을 [eqn: q], 나머지 수를 [eqn: r], [eqn: p-q=k ~ (k=0,``1,`` cdots,`` 5)]라 하면 순서쌍 [eqn: left(x_{1},`` x_{2},`` x_{3} right)]의 개수는 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같다.

(1) [eqn: k=0]일 때
세 수가 모두 같으므로
순서쌍 [eqn: left(x_{1},`` x_{2},`` x_{3} right)]의 개수는 [eqn: {BOX{`6`}}]이고,
[eqn: rm P it (X=0)= {1} over {6 ^{3}} TIMES ` {BOX{`6```}}`]

(2) [eqn: k neq 0]일 때 [eqn: (1 leq k leq 5)]1719
순서쌍 [eqn: (p,`` q)]의 개수는 각각의 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 6-k]이고
i) [eqn: k=1]일 때
순서쌍 [eqn: left(x_{1},`` x_{2},`` x_{3} right)]의 개수는
[eqn: 5 times left({3 !} over {2 !}+{3 !} over {2 !} right)]
ii) [eqn: 2 leq k leq 5]일 때
① [eqn: r=p] 또는 [eqn: r=q]인 경우
[eqn: p], [eqn: p], [eqn: q]와 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: q]를 일렬로 나열하는 방법의 수는 [eqn: {3 !} over {2 !}+{3 !} over {2 !}]
② [eqn: r neq p]이고 [eqn: r neq q]인 경우
[eqn: r]의 개수는 각각의 [eqn: k]에 대하여 [eqn: k-1]이고 [eqn: p], [eqn: r], [eqn: q]를 일렬로 나열하는 방법의 수는 [eqn: it _{3} {rm{P}} it _{3}=3]!이므로 [eqn: (k-1) times 3]!
①, ②에 의하여
순서쌍 [eqn: left(x_{1},`` x_{2},`` x_{3} right)]의 개수는
[eqn: (6-k) times left{ {3 !} over {2 !}+{3 !} over {2 !}+(k-1) times 3 ! it right}]
그러므로 [eqn: 1 leq k leq 5]일 때,
순서쌍 [eqn: left(x_{1},`` x_{2},`` x_{3} right)]의 개수는
[eqn: (6-k) TIMES LEFT { {3!} over {2!} + {3!} over {2!} +(` {BOX{`k-1``}} ) TIMES 3! it RIGHT }]

[eqn: (]예를 들어[eqn: )]

[eqn: k=3]인 경우

[eqn: (p,`` r,`` q)]는 [eqn: (4,`` r,`` 1)], [eqn: (5,`` r,`` 2)], [eqn: (6,`` r,`` 3)]

이므로 개수는 [eqn: rm 3]

[eqn: (p,`` r,`` q)]가 [eqn: (4,`` r,`` 1)]일 때

① [eqn: r=4] 또는 [eqn: r=1]인 경우
[eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 1]과 [eqn: 4], [eqn: 1], [eqn: 1]을 일렬로 나열하는
방법의 수는 [eqn: {3 !} over {2 !}+{3 !} over {2 !}]

② [eqn: r neq 4]이고 [eqn: r neq 1]인 경우
[eqn: r]는 [eqn: rm 3] 또는 [eqn: rm 2]이므로 [eqn: r]의 개수는 [eqn: rm 2]
[eqn: p], [eqn: r], [eqn: q]를 일렬로 나열하는 방법의 수는
[eqn: { }_{3} {rm{P}} it =3]!이므로 [eqn: 2 times 3 !]

①, ②에 의하여

[eqn: 4], [eqn: r], [eqn: 1]을 일렬로 나열하는 방법의 수는 [eqn: {3 !} over {2 !}+{3 !} over {2 !}+2 times 3 !]

[eqn: (5,`` r,`` 2)], [eqn: (6,`` r,`` 3)]일 때에도 같은 방법으로 구하면 각각 [eqn: {3 !} over {2 !}+{3 !} over {2 !}+2 times 3 !]

그러므로 [eqn: k=3]인 경우

순서쌍 [eqn: left(x_{1},`` x_{2},`` x_{3} right)]의 개수는

[eqn: 3 times left({3 !} over {2 !}+{3 !} over {2 !}+2 times 3 ! right)]

그러므로
[eqn: {rm{P}} it (X=k)]

[eqn: = {1} over {6 ^{3}} TIMES (6-k) TIMES LEFT { {3!} over {2!} + {3!} over {2!} +(boxk-1) TIMES 3! it RIGHT }]

(1), (2)에 의하여 확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: {rm{E}} it (X)]는

다음과 같다.

[eqn: {rm{E}} it (X)= sum_{k=0}^{5} left{ k times {rm{P}} it (X=k) it right}]
[eqn: = {1} over {6 ^{2}} sum _{k=1} ^{5} LEFT ( box { 6k ^{2} -k ^{3}} RIGHT ) = {35} over {12}]

[eqn: a=6], [eqn: f(k)=k-1], [eqn: g(k)=6 k^{2}-k^{3}]

따라서 [eqn: {f(5) times g(3)} over {a}={4 times 27} over {6}=18]

세 수 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}], [eqn: x_{3}]을 순서쌍 [eqn: left(x_{1},`` x_{2},`` x_{3} right)]과 같이 나타내자.

세 수 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}], [eqn: x_{3}] 중에서 최댓값을 [eqn: p], 최솟값을 [eqn: q]라 하고 [eqn: p-q=k]라 하자.

(1) [eqn: k=0]일 때
순서쌍 [eqn: left(x_{1},`` x_{2},`` x_{3} right)]의 개수는 [eqn: {BOX{~(가)~}}]이고,
[eqn: {rm{P}} it (X=0)={1} over {6^{3}} times][eqn: {BOX{~(가)~}}]

(2) [eqn: k neq 0]일 때
i) [eqn: k=1]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: left(x_{1},`` x_{2},`` x_{3} right)]의 개수는
[eqn: 5 times left({3 !} over {2 !}+{3 !} over {2 !} right)]
이다.
ii) [eqn: k=2]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: left(x_{1},`` x_{2},`` x_{3} right)]의 개수는
[eqn: 4 times left({3 !} over {2 !}+{3 !} over {2 !}+3 ! right)]
이다.
[eqn: VDOTS]
그러므로 [eqn: 1 leq k leq 5]일 때, 순서쌍 [eqn: left(x_{1},`` x_{2},`` x_{3} right)]의 개수는 [eqn: (6-k) TIMES LEFT { {3!} over {2!} + {3!} over {2!} +( {BOX{`````(나)`````}} ) TIMES 3! RIGHT }] 이고
[eqn: {rm{P}} it (X=k)={1} over {6^{3}} times(6-k) times][eqn: LEFT { {3!} over {2!} + {3!} over {2!} +( {BOX{`````(나)`````}} ) TIMES 3! RIGHT }]

(1),(2)에 의하여 확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: {rm{E}} it (X)]는 다음과 같다.

[eqn: {rm{E}} it (X)= sum_{k=0}^{5} left{ k times {rm{P}} it (X=k) it right} ={1} over {6^{2}} sum_{k=1}^{5} left][eqn: ( {BOX{~(다)~}}][eqn: )={35} over {12} right.]

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: a]라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]라 할 때, [eqn: {f(5) times g(3)} over {a}]의 값은?

① [eqn: rm 15]	② [eqn: rm 18]	③ [eqn: rm 21]

④ [eqn: rm 24]	⑤ [eqn: rm 27]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 10월 19

점 [eqn: {rm{P}} it]가 수직선 위의 원점에 놓여 있다. 한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수가 [eqn: rm 6]의 약수이면 점 [eqn: {rm{P}} it]를 양의 방향으로 [eqn: rm 2]만큼, [eqn: rm 6]의 약수가 아니면 음의 방향으로 [eqn: rm 1]만큼 움직이는 시행을 반복한다. 점 [eqn: {rm{P}} it]의 좌표가 [eqn: rm 9] 이상 또는 [eqn: -4] 이하가 되거나 시행 횟수가 [eqn: rm 6]회가 되면 위 시행을 멈춘다고 할 때, 점 [eqn: {rm{P}} it]의 최종 위치의 좌표를 확률변수 [eqn: X]라 하자.

[정답] ③

[해설]

주사위의 눈이 처음부터 [eqn: 6`]의 약수가 연속으로 [eqn: 5`]회 나오는 경우 확률변수 [eqn: X`]는 최댓값을 갖고 그 값은 [eqn: 10`]이므로 [eqn: a=`10]

[eqn: 6`]의 약수인 눈이 나오는 경우를 ○,

[eqn: 6`]의 약수가 아닌 눈이 나오는 경우를 ×라 하자.

[eqn: X= it -3`]인 경우는

[eqn: 6`]의 약수인 눈이 [eqn: 1`]회, [eqn: 6`]의 약수가 아닌 눈이 [eqn: 5`]회 나오는 경우의 [eqn: {}_{6`} rm C _{`1} `]가지 중 ×××××○, ××××○× 인 경우를 제외한 [eqn: {}_{6`} rm C _{`1} -2`]가지이므로 [eqn: b=4]

[eqn: X=9`]인 경우는

[eqn: 6`]의 약수인 눈이 [eqn: 5`]회, [eqn: 6`]의 약수가 아닌 눈이 [eqn: 1`]회 나오는 경우의 [eqn: {}_{6`} rm C _{`1} `]가지 중 ○○○○○×인 경우를 제외한 [eqn: {}_{6`} rm C _{`1} -1`]가지이므로 [eqn: c=5]

따라서 [eqn: a+b+c=10+4+5=19]

다음은 확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: {rm{E}} it (X)]를 구하는 과정이다.

위의 시행을 [eqn: 5`]회 이하로 하게 되는 경우는 [eqn: 6`]의 약수인 눈이 처음부터 연속으로 [eqn: 5`]회 나오거나 [eqn: 6`]의 약수가 아닌 눈이 처음부터 연속으로 [eqn: 4`]회 나오는 경우뿐이다.
확률변수 [eqn: X`]가 가질 수 있는 값의 최솟값은 [eqn: -4`]이고 최댓값은 [eqn: {BOX{``(`가) _{}^{} ``}}]이다.

[eqn: rm P( it X=it-4)=][eqn: LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4}]

[eqn: rm P( it X=it-3)=][eqn: {BOX{``(`나)``}}][eqn: TIMES LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{`1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{5}]

[eqn: rm P( it X=0)=][eqn: LEFT ( {} _{6} rm C _{2} -1 RIGHT ) LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4}]

[eqn: rm P( it X=3)=][eqn: {}_{6`} rm C _{`3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: rm P( it X=6)=][eqn: {}_{6`} rm C _{`4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: rm P( it X=9)=][eqn: {BOX{``(`다)``}}][eqn: TIMES LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{5} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{1}]

[eqn: rm P( it X=][eqn: {BOX{`(`가)``}}][eqn: rm )=][eqn: LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{5}]

따라서 [eqn: rm E( it X`)= {1420} over {243}]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 할 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: rm 17]	② [eqn: rm 18]	③ [eqn: rm 19]

④ [eqn: rm 20]	⑤ [eqn: rm 21]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 07월 19

[eqn: 1`]부터 [eqn: 6`]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6`]개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 1`]개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 [eqn: 3`]번 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 차례로 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}], [eqn: x _{3}]이라 하고, 이 세 수 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}], [eqn: x _{3}] 중에서 최댓값과 최솟값의 차를 확률변수 [eqn: X``]라 하자. 예를 들어 [eqn: rm P LEFT ( it X=1 RIGHT ) = {5} over {36}]이다. 다음은 확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: rm E LEFT ( it X RIGHT )]를 구하는 과정의 일부이다.

[정답] ②

[해설]

세 수 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}], [eqn: x _{3}]을 순서쌍 [eqn: LEFT ( x _{1} ,`` x _{2} ,`` x _{3} RIGHT )]과 같이 나타내자.

[eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}], [eqn: x _{3}] 중에서 최댓값을 [eqn: p`], 최솟값을 [eqn: q], 나머지 수를 [eqn: r`], [eqn: p-q =k][eqn: LEFT (k = 0,`` 1,` CDOTS` ,`` 5 RIGHT )]라 하면 순서쌍 [eqn: LEFT ( x _{1} ,`` x _{2} ,`` x _{3} RIGHT )]의 개수는 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r`]를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같다.

(1) [eqn: k=0`]일 때
세 수가 모두 같으므로
순서쌍 [eqn: LEFT ( x _{1} ,`` x _{2} ,`` x _{3} RIGHT )]의 개수는 [eqn: {BOX{``6``}}]이고, [eqn: rm P it ( it X=0)= {1} over {6 ^{3}} TIMES {BOX{``6``}}]

(2) [eqn: k ne 0`]일 때 [eqn: (`1 LEQ k` LEQ `5`)]
순서쌍 [eqn: (`p,``q`)`]의 개수는 각각의 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: 6-k`]이고

(ⅰ) [eqn: k=1`]일 때
순서쌍 [eqn: LEFT ( x _{1} ,`` x _{2} ,`` x _{3} RIGHT )]의 개수는 [eqn: 5` TIMES ` LEFT ( {3!} over {2!} + {3!} over {2!} RIGHT ) `]

(ⅱ) [eqn: 2 LEQ k` LEQ 5]일 때
① [eqn: r=p`] 또는 [eqn: r=q`]인 경우
[eqn: p`], [eqn: p`], [eqn: q`]와 [eqn: p`], [eqn: q`], [eqn: q`]를 일렬로 나열하는 방법의 수는 [eqn: 3! over 2! + 3!over2!]
② [eqn: r!= p`]이고 [eqn: r!=q`]인 경우
[eqn: r`]의 개수는 각각의 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: k-1 `]이고 [eqn: p`], [eqn: r`], [eqn: q`]를 일렬로 나열하는 방법의 수는 [eqn: {}_3 rm P_3 = 3!]이므로 [eqn: (k-1)`times`3!]
①, ②에 의하여
순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` )`]의 개수는 [eqn: (6-k)` TIMES ` LEFT { {3!} over {2!} `+` {3!} over {2!} + LEFT ( `k-1` RIGHT ) ` TIMES `3! RIGHT }]

그러므로 [eqn: 1 LEQ k LEQ 5`]일 때,
순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` )`]의 개수는 [eqn: (6-k)` TIMES ` LEFT { {3!} over {2!} `+` {3!} over {2!} + LEFT ( ` {BOX{``k-1``}} ` RIGHT ) ` TIMES `3! RIGHT }]

(예를 들어)

[eqn: k=3 `]인 경우
[eqn: LEFT ( p,`` r,`` q RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( 4,`` r,`` 1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,`` r,`` 2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 6,`` r,`` 3 RIGHT )]이므로 개수는 [eqn: 3`]

[eqn: LEFT ( p,`` r,`` q RIGHT )]가 [eqn: LEFT ( 4 ,`` r,`` 1 RIGHT )]일 때

① [eqn: r=4] 또는 [eqn: r=1`]인 경우
[eqn: 4`], [eqn: 4`], [eqn: 1`]과 [eqn: 4`], [eqn: 1`], [eqn: 1`]을 일렬로 나열하는 방법의 수는 [eqn: {3!} over {2!} + 3! over2!]

② [eqn: r!=4]이고 [eqn: r!=1`]인 경우
[eqn: r]는 [eqn: 3] 또는 [eqn: 2`]이므로 [eqn: r]의 개수는 [eqn: 2`]
[eqn: p`], [eqn: r`], [eqn: q`]를 일렬로 나열하는 방법의 수는 [eqn: {}_3 rm P_3 = 3!]이므로 [eqn: 2`times`3!]

①, ②에 의하여

[eqn: 4], [eqn: r], [eqn: 1]을 일렬로 나열하는 방법의 수는 [eqn: {3!} over {2!} + {3!} over {2!} +2 TIMES 3!]

[eqn: LEFT ( 5,`` r,`` 2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 6,`` r,`` 3 RIGHT )]일 때에도 같은 방법으로 구하면 각각 [eqn: {3!} over {2!} + {3!} over {2!} +2 TIMES 3!]
그러므로 [eqn: k=3`]인 경우
순서쌍 [eqn: LEFT (x _{1} ,`` x _{2} ,`` x _{3} RIGHT )]의 개수는 [eqn: 3 TIMES LEFT ( {3!} over {2!} + {3!} over {2!} +2 TIMES 3! RIGHT )]

그러므로

[eqn: rm P( it X=k)][eqn: = {1} over {6 ^{3}} TIMES (6-k) TIMES LEFT { {3!} over {2!} + {3!} over {2!} + left(`{BOX{``k-1``}`right)} TIMES 3! RIGHT }]

(1), (2)에 의하여 확률변수 [eqn: X`]의 평균 [eqn: rm E (it X`)`]는 다음과 같다.

[eqn: rm E( it X`)`=` sum _{k=0} ^{5} LEFT { k` TIMES ` rm P it (X=k) RIGHT }][eqn: =` {1} over {6 ^{2}} sum _{k=1} ^{5} LEFT ( ` BOX{``6k^2 - k^3``} ` RIGHT ) `][eqn: =` 35 over 12]

[eqn: a = 6`], [eqn: f(k) = k-1`], [eqn: g(k) = 6k^2 - k^3]

따라서 [eqn: {f(5) timesg(3)} overa = {4 times 27} over6 =18]

세 수 [eqn: x_1`], [eqn: x_2`], [eqn: x_3`]을 순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` )`]과 같이 나타내자.

세 수 [eqn: x_1`], [eqn: x_2`], [eqn: x_3 `] 중에서 최댓값을 [eqn: p`], 최솟값을 [eqn: q`]라 하고

[eqn: p-q =k`]라 하자.

(1) [eqn: k=0`]일 때
순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` )`]의 개수는 [eqn: box{~(가)~}]이고,
[eqn: rmP it (itX=0)`=` {1} over {6 ^{3}} TIMES {BOX{~(가)~}}]

(2) [eqn: k ne 0`]일 때

(ⅰ) [eqn: k=1]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( x _{1} ,`` x _{2} ,`` x _{3} RIGHT )]의 개수는
[eqn: 5 TIMES LEFT ( {3!} over {2!} + {3!} over {2!} RIGHT )]
이다.

(ⅱ) [eqn: k=2]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( x _{1} ,`` x _{2} ,`` x _{3} RIGHT )]의 개수는
[eqn: 4 TIMES LEFT ( {3!} over {2!} + {3!} over {2!} +3! RIGHT )]
이다.

[eqn: VDOTS]

그러므로 [eqn: 1 LEQ k LEQ 5]일 때, 순서쌍 [eqn: LEFT ( x _{1} ,`` x _{2} ,`` x _{3} RIGHT )]의 개수는
[eqn: (6-k)` TIMES ` LEFT { {3!} over {2!} + {3!} over {2!} + LEFT ( ` BOX{~(나)~} ` RIGHT ) ` TIMES `3! RIGHT }]
이고
[eqn: rm P( it X=k`)`=` {1} over {6 ^{3}} TIMES (6-k) TIMES LEFT { {3!} over {2!} + {3!} over {2!} + LEFT ( ` BOX{~(나)~} ` RIGHT ) TIMES 3! RIGHT }]

(1), (2)에 의하여 확률변수 [eqn: X`]의 평균 [eqn: rm E LEFT ( it X RIGHT )]는 다음과 같다.

[eqn: rm E( it X`)`=` sum _{k=0} ^{5} LEFT { k` TIMES ` rm P it (X=k) RIGHT }][eqn: `=` {1} over {6 ^{2}} sum _{k=1} ^{5} LEFT ( ` BOX{~(다)~} ` RIGHT )][eqn: `=` 35 over 12]

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: a]라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]라 할 때, [eqn: {f(5) times g(3)} over {a}]의 값은?

① [eqn: rm 15]	② [eqn: rm 18]	③ [eqn: rm 21]

④ [eqn: rm 24]	⑤ [eqn: rm 27]

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 19
[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 17

[eqn: rm 1]부터 [eqn: (2 n-1)]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: (2 n-1)]장의 카드가 있다. 이 카드 중에서 임의로 서로 다른 [eqn: rm 3]장의 카드를 택할 때, 택한 [eqn: rm 3]장의 카드 중 짝수가 적힌 카드의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음은 [eqn: {rm{E}} it (X)]를 구하는 과정이다. (단, [eqn: n]은 [eqn: rm 4] 이상의 자연수이다.)

[정답] ②

[해설]

정수 [eqn: k(0 leq k leq 3)]에 대하여 확률변수 [eqn: X]의 값이 [eqn: k]일 확률은 짝수 [eqn: n-1]개 중에서 [eqn: k]장의 카드를 택하고,

홀수 [eqn: n]개 중에서 [eqn: (3-k)]장의 카드를 택하는

경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 값이므로

[eqn: rm P it LEFT (X=0 RIGHT )= {it _{n} rm C it _{3}} over {it _{2n-1} rm C it _{3}} = {n LEFT (n-2 RIGHT )} over {2 LEFT (2n-1 RIGHT ) LEFT (2n-3 RIGHT )}]

[eqn: rm P it LEFT (X=1 RIGHT )= {it _{n} rm C it _{2} TIMES it _{n-1} rm C it _{1}} over {it _{2n-1} rm C it _{3}} = {3n LEFT (n-1 RIGHT )} over {2 LEFT (2n-1 RIGHT ) LEFT (2n-3 RIGHT )}]

[eqn: rm P it LEFT (X=2 RIGHT )= {it _{n} rm C it _{1} TIMES it _{n-1} rm C it _{2}} over {it _{2n-1} rm C it _{3}} = {3n LEFT (n-2 RIGHT )} over {2 LEFT (2n-1 RIGHT ) LEFT (2n-3 RIGHT )}]

[eqn: rm P it LEFT (X=3 RIGHT )= {it _{n-1} rm C it _{3}} over {it _{2n-1} rm C it _{3}} = { LEFT (n-2 RIGHT ) LEFT (n-3 RIGHT )} over {2 LEFT (2n-1 RIGHT ) LEFT (2n-3 RIGHT )}]

이다. 그러므로

[eqn: rm E it LEFT (X RIGHT )][eqn: = sum _{k=0} ^{3} LEFT { k TIMES rm P it LEFT (X=k RIGHT ) it RIGHT }]
[eqn: = {3n LEFT (n-1 RIGHT )+6n LEFT (n-2 RIGHT )+3 LEFT (n-2 RIGHT ) LEFT (n-3 RIGHT )} over {2 LEFT (2n-1 RIGHT ) LEFT (2n-3 RIGHT )}]
[eqn: = {3 LEFT (n-1 RIGHT )} over {2n-1}]

따라서 [eqn: a=3], [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = {3n LEFT (n-2 RIGHT )} over {2 LEFT (2n-1 RIGHT ) LEFT (2n-3 RIGHT )}], [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) = 3 LEFT ( n-1 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE~ af LEFT (5 RIGHT )g LEFT (8 RIGHT )=3 TIMES {5} over {14} TIMES 21= {45} over {2}]

정수 [eqn: k(0 leq k leq 3)]에 대하여 확률변수 [eqn: X]의 값이 [eqn: k]일 확률은 짝수가 적혀 있는 카드 중에서 [eqn: k]장의 카드를 택하고, 홀수가 적혀 있는 카드 중에서 [eqn: LEFT ( {BOX{ ~LEFT (가 RIGHT ) ~}} -k RIGHT )]장의 카드를 택하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 값이므로

[eqn: rm P it LEFT (X=0 RIGHT )= {n LEFT (n-2 RIGHT )} over {2 LEFT (2n-1 RIGHT ) LEFT (2n-3 RIGHT )}]

[eqn: rm P it LEFT (X=1 RIGHT )= {3n LEFT (n-1 RIGHT )} over {2 LEFT (2n-1 RIGHT ) LEFT (2n-3 RIGHT )}]

[eqn: rm P it LEFT (X=2 RIGHT )=][eqn: `BOX{~ (나) ~}`]

[eqn: rm P it LEFT (X=3 RIGHT )= { LEFT (n-2 RIGHT ) LEFT (n-3 RIGHT )} over {2 LEFT (2n-1 RIGHT ) LEFT (2n-3 RIGHT )}]

이다. 그러므로

[eqn: rm E it LEFT (X RIGHT )][eqn: = sum _{k=0} ^{3} LEFT { k TIMES rm P it LEFT (X=k RIGHT ) it RIGHT }]
[eqn: = { `BOX{~LEFT (다 RIGHT )~}`} over {2n-1}]

이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: a]라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: a times f(5) times g(8)]의 값은?

① [eqn: rm 22]	② [eqn: {45} over {2}]	③ [eqn: rm 23]

④ [eqn: {47} over {2}]	⑤ [eqn: rm 24]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 10월 18

주머니에 [eqn: 1`]이 적힌 공이 [eqn: n`]개, [eqn: 2`]가 적힌 공이 [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT )]개, [eqn: 3`]이 적힌 공이 [eqn: LEFT ( n-2 RIGHT ) `]개, [eqn: cdots], [eqn: n`]이 적힌 공이 [eqn: 1`]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 꺼낸 한 개의 공에 적힌 수를 확률변수 [eqn: X``]라 하자. 다음은 [eqn: rm E LEFT ( it X` RIGHT ) GEQ 5`]가 되도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값을 구하는 과정이다.

[정답] ①

[해설]

전체 공의 개수는 [eqn: n+ LEFT ( n-1 RIGHT ) +`cdots`+1= {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} `]이므로

[eqn: rmP LEFT ( itX=k` RIGHT )][eqn: = {n-k+1} over {{n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2}} = {2 LEFT ( n-k+1 RIGHT )} over {{BOX{~n LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{`} ~}} ^{`}}]

확률변수 [eqn: X`]의 평균은

[eqn: rmE LEFT ( itX` RIGHT )][eqn: = sum _{k=1} ^{n} k`rmP LEFT ( itX=k RIGHT )]
[eqn: = {2} over {{BOX{~n LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{`} ~}} ^{`}} TIMES ` sum _{k=1} ^{n} k LEFT ( n-k+1 RIGHT )]
[eqn: = {2} over {n LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{`}} `` TIMES sum _{k=1} ^{n} LEFT { LEFT ( n+1 RIGHT ) k-k ^{2} RIGHT }]
[eqn: = {2} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )} LEFT { LEFT ( n+1 RIGHT ) {times} {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} - {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {6} RIGHT }]
[eqn: = LEFT ( n+1 RIGHT ) - {2n+1} over {3}][eqn: = {BOX{~ {1} over {3} LEFT ( n+2 RIGHT ) ~}}]

[eqn: rm E LEFT ( it X` RIGHT ) = {1} over {3} LEFT ( n+2 RIGHT ) GEQ 5`]에서 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: {BOX{~13~ ^{`}}} `]이다.

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =n LEFT ( n+1 RIGHT )], [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) = {1} over {3} LEFT ( n+2 RIGHT )], [eqn: a=13`]이므로

[eqn: f LEFT ( 7 RIGHT ) +g LEFT ( 7 RIGHT ) +a`][eqn: =56+3+13=72]

[eqn: n] 이하의 자연수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: k`]가 적힌 공의 개수는

[eqn: LEFT ( n-k+1 RIGHT ) `]이므로

[eqn: rmP LEFT ( itX=k` RIGHT )][eqn: = {2 LEFT ( n-k+1 RIGHT )} over {{BOX{~~(가) ^{`} ~~}} ^{`}}][eqn: LEFT ( k=1,`` 2,`` 3,` CDOTS` ,`` n RIGHT )]

확률변수 [eqn: X`]의 평균은

[eqn: rmE LEFT ( itX` RIGHT )][eqn: = sum _{k=1} ^{n} k`rmP LEFT ( itX=k RIGHT )]
[eqn: = {2} over {{BOX{~~(가) ^{`} ~~}} _{` _{`}}^{`}} TIMES ` sum _{k=1} ^{n} k LEFT ( n-k+1 RIGHT )]
[eqn: =`` {BOX{~~(나)~ ^{`} ~}} ^{` ^{`}}]

[eqn: rmE LEFT ( itX` RIGHT ) {ge}5`]에서 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: box{~~(다)~~ ^{`} }`]이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )], [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) `]이라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: a`]라 할 때, [eqn: f LEFT ( 7 RIGHT ) +g LEFT ( 7 RIGHT ) +a`]의 값은?

① [eqn: 72]	② [eqn: 74]	③ [eqn: 76]

④ [eqn: 78]	⑤ [eqn: 80]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 07월 18
[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 07월 18

앞면에 숫자 [eqn: {1}{{from^2019^07^인천교육청고3가나^중복}}], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 5]장의 카드가 상자에 들어 있다. 이 상자에서 임의로 [eqn: 3]장의 카드를 한 장씩 꺼내고, 꺼낸 순서대로 카드의 뒷면에 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]을 차례로 적는다. 이 [eqn: 3]장의 카드 중 앞뒤 양쪽 면에 서로 다른 숫자가 적혀 있는 카드의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하자.

[정답] ①

[해설]

꺼낸 [eqn: 3]장의 카드의 앞면에 적혀 있는 수를 차례로 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]라 할 때, 이를 순서쌍 [eqn: LEFT ( alpha ,```` beta ,```` gamma RIGHT )]와 같이 나타내자.

[eqn: X = 0]인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 모두 같은 경우이므로 [eqn: LEFT ( 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT )]의 [eqn: 1]가지

[eqn: rm P( it X = 0) = {1} over {60}]

[eqn: X = 1]인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 카드의 개수가 [eqn: 2]인 경우이다.

앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 [eqn: 1]과 [eqn: 2]로 같은 경우는 [eqn: LEFT ( 1 ,```` 2 ,```` 4 RIGHT ) ,```` LEFT ( 1 ,```` 2 ,```` 5 RIGHT )]의 [eqn: 2]가지,
앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 [eqn: 1]과 [eqn: 3] 또는 [eqn: 2]와 [eqn: 3]으로 같은 경우도 각각 [eqn: 2]가지이므로

[eqn: rm P( it X = 1) = {2 TIMES 3} over {60} =][eqn: box{````1over 10 ````}]

[eqn: X = 2]인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 카드의 개수가 [eqn: 1]인 경우이다.

앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 [eqn: 1]로 같은 경우는
[eqn: LEFT ( 1 ,```` 3 ,```` 2 RIGHT ) ,```` LEFT ( 1 ,```` 3 ,```` 4 RIGHT ) ,```` LEFT ( 1 ,```` 3 ,```` 5 RIGHT ) ,```` LEFT ( 1 ,```` 4 ,```` 2 RIGHT ) ,````]
[eqn: LEFT ( 1 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT ) ,```` LEFT ( 1 ,```` 5 ,```` 2 RIGHT ) ,```` LEFT ( 1 ,```` 5 ,```` 4 RIGHT )]

의 [eqn: 7]가지, 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 [eqn: 2] 또는 [eqn: 3]으로 같은 경우도 각각 [eqn: 7]가지이므로

[eqn: rm P( it X = 2) = {7 TIMES 3} over {60} =][eqn: box{````7over 20 ````}]

[eqn: X = 3]인 사건의 경우에는

[eqn: rm P LEFT ( it X=3 RIGHT ) =1- LEFT ( {1} over {60} + {1} over {10} + {7} over {20} RIGHT ) = {8 } over {15}]

[eqn: rm E LEFT ( it X RIGHT )][eqn: =0 TIMES {1} over {60} +1 TIMES {1} over {10} +2 TIMES {7} over {20} +3 TIMES {8} over {15}]
[eqn: =][eqn: box{````12over 5 ````}]

[eqn: a= {1} over {10}], [eqn: b= {7} over {20}], [eqn: c= {12} over {5}]

따라서 [eqn: 10a+20b+5c][eqn: =20]

예를 들어, 꺼낸 카드의 앞면에 적혀 있는 숫자가 차례로 [eqn: 4], [eqn: 1], [eqn: 3]인 경우는 [eqn: X=2]이다. 다음은 확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: rm E(it X )]를 구하는 과정이다. (단, 상자에서 꺼내기 전 카드의 뒷면에는 숫자가 적혀 있지 않고, 꺼낸 카드는 상자에 다시 넣지 않는다.)

상자에 들어 있는 [eqn: 5]장의 카드 중에서 임의로 [eqn: 3]장의 카드를 한 장씩 꺼내고, 꺼낸 순서대로 카드의 뒷면에 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]을 차례로 적는 경우의 수는 [eqn: {}_{5 } rm P _{3} =60]이다.

확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이므로

(ⅰ) [eqn: X= 0]인 사건은 [eqn: 3]장의 카드 모두 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로
[eqn: rm P LEFT ( it X=0 RIGHT ) = {1} over {60}]

(ⅱ) [eqn: X= 1]인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 다른 카드가 [eqn: 1]장이고, 나머지 [eqn: 2]장의 카드는 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로
[eqn: rm P LEFT ( it X=1 RIGHT ) =][eqn: box{````(가)````}]

(ⅲ) [eqn: X= 2]인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 다른 카드가 [eqn: 2]장이고, 나머지 [eqn: 1]장의 카드는 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로
[eqn: rm P LEFT ( it X=2 RIGHT ) =][eqn: box{````(나)````}]

(ⅳ) [eqn: X= 3]인 사건의 경우에는 확률질량함수의 성질에 의하여
[eqn: rm P LEFT ( it X=3 RIGHT ) =1- LEFT ( {1} over {60} + RIGHT .] [eqn: box{````(가)````}] [eqn: +] [eqn: box{````(나)````}][eqn: pile{ ` # ` } right)]
이다.

따라서 [eqn: rm E LEFT ( it X RIGHT )][eqn: = sum _{k=0} ^{3} LEFT { k TIMES rm P LEFT ( it X=k RIGHT ) RIGHT }][eqn: =][eqn: box{````(다)````}]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 할 때, [eqn: 10a+20b+5c]의 값은?

① [eqn: 20]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 36]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 10월 18

[eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 9]개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 1]개의 공을 꺼내어 적힌 수를 더하는 시행을 반복한다. 꺼낸 공은 다시 넣지 않으며, 첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 짝수이거나 꺼낸 공에 적힌 수를 차례로 더하다가 그 합이 짝수가 되면 이 시행을 멈추기로 한다. 시행을 멈출 때까지 꺼낸 공의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음은 [eqn: rm E LEFT ( it X RIGHT)]를 구하는 과정이다.
(단, 모든 공의 크기와 재질은 서로 같다.)

[정답] ①

[해설]

확률변수 [eqn: X]가 가장 큰 값을 갖는 경우는 첫 번째와 [eqn: 6]번째 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수이고, 두 번째부터 [eqn: 5]번째까지 꺼낸 공이 모두 짝수일 때이므로 [eqn: m= BOX{ ```` 6 ```` }]

(ⅲ) [eqn: X=k] ([eqn: 3 le k le m])인 경우
[eqn: 9]개의 공에서 [eqn: k]개의 공을 차례대로 꺼내는 경우의 수는
[eqn: ` _{9} rm P _{itk}]
첫 번째와 마지막으로 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수인 경우의 수는 [eqn: `_{5} rm P _{2}]
두 번째부터 ([eqn: k-1])번째까지 꺼낸 공에 적힌 수가 짝수인 경우의 수는 [eqn: `_{4} rm P _{it k-2}]

그러므로 [eqn: rm P LEFT ( it X=k RIGHT) = { BOX{ ```` _{5} rm P _{2} TIMES _{4} P _{it k-2 rm} ```` }} over {{} _{9} rm P _{it k rm} }]에서

[eqn: f left( k right) =][eqn: ` _{5} rm P _{2} TIMES _{4} P _{it k-2 rm}]

따라서 [eqn: a=6], [eqn: f LEFT (4 RIGHT )][eqn: = _{5} rm P _{2} TIMES _{4} P _{it 2 }][eqn: =240]이므로

[eqn: a+f LEFT (4 RIGHT )=246]

첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수일 때, 꺼낸 공에 적힌 모든 수의 합이 짝수가 되려면 그 이후 시행에서 홀수가 적힌 공이 한 번 더 나와야 한다. 이때 짝수가 적힌 공은 [eqn: 4]개이므로 확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값 중 가장 큰 값을 [eqn: m]이라 하면 [eqn: m=][eqn: {BOX{ ```` (가) ```` }}]이다.

(ⅰ) [eqn: X=1]인 경우
첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 짝수이므로
[eqn: rm P LEFT( it X=1 RIGHT)][eqn: = {4} over {9}]

(ⅱ) [eqn: X=2]인 경우
첫 번째와 두 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 모두 홀수이므로

[eqn: rm P LEFT( it X=2 RIGHT)][eqn: = {{} _{5} rmP _{2}} over {{} _{9} rmP _{2}}][eqn: = {5} over {18}]

(ⅲ) [eqn: X=k] ([eqn: 3 le k le m])인 경우
첫 번째와 [eqn: k]번째 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수이고, 두 번째부터 ([eqn: k-1])번째까지 꺼낸 공에 적힌 수가 모두 짝수이므로 [eqn: rm P left( it X=k right)][eqn: = { BOX{ ```` left(나 right)```` }} over {{} _{9} rm P _{it k rm} it}]

따라서 [eqn: rm E left( it X right)][eqn: = sum _{i=1} ^{m} LEFT { i TIMES rm P LEFT ( it X=i RIGHT ) RIGHT } rm][eqn: =2]

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: a]라 하고, (나)에 알맞은 식을 [eqn: f left(k right)]라 할 때, [eqn: a+f left(4 right)]의 값은?

① [eqn: 246]	② [eqn: 248]	③ [eqn: 250]

④ [eqn: 252]	⑤ [eqn: 254]

05 확통	07 이산확률분포
03 aX+b의 평균과 표준편차
02 aX+b의 평균2 (표)

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 23
[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 10월 23

확률변수 [eqn: X``]의 확률분포 표는 다음과 같다.

[정답] [eqn: 380]

[해설]

수열 [eqn: LEFT { `p _{n} `RIGHT } `]은 등차수열이므로

[eqn: p _{`1} `+`p _{`2} `+`p _{`3} `+`p _{`4} `+`p _{`5} ``=`1`]에서 [eqn: p _{`1} `+`p _{`5} ``=` {2} over {5} ``]

[eqn: p _{`5} `-`p _{`1} ``=` {8} over {25} `]에서 [eqn: p _{`1} `=` {1} over {25} `,``p _{`5} ``=` {9} over {25} ``]

[eqn: rm E it `(`100X``)`][eqn: =100` LEFT ( {1} over {25} + {6} over {25} + {15} over {25} + {28} over {25} + {45} over {25} RIGHT ) `=380]

[eqn: X``]	[eqn: 1``]	[eqn: 2``]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	계
[eqn: {rmP} LEFT ( X`=x RIGHT )]	[eqn: p_{1}]	[eqn: p_{2}]	[eqn: p_{3}]	[eqn: p_{4}]	[eqn: p_{5}]	[eqn: 1]

[eqn: p _{5} -p _{1} = {8} over {25}], [eqn: p _{n+2} -2p _{n+1} +p _{n} =0`][eqn: LEFT ( n=1,``2,``3 RIGHT ) `]일 때, 확률변수 [eqn: 100X``]의 기댓값 [eqn: rm E it LEFT ( 100X` RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

05 확통	07 이산확률분포
03 aX+b의 평균과 표준편차
04 aX+b의 평균4 (확률분포 구하기)

[출처]	2004 모의_공공 교육청 고3 10월 30

그림과 같이 어느 지역의 [eqn: 5`]개의 관광지 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE`]를 연결하는 도로망이 있다.

[정답] [eqn: 60]

[해설]

모든 관광코스와 그 요금은 다음과 같다.

[eqn: rm A→B→C→D→E ~: ~70,000]원

[eqn: rm A→B→D→E ~: ~56,000]

[eqn: rm A→B→E ~: ~42,000]

[eqn: rm A→C→B→E ~: ~56,000]

[eqn: rm A→C→B→D→E ~: ~70,000]

[eqn: rm A→C→D→B→E ~: ~70,000]

[eqn: rm A→C→D→E ~: ~56,000]

[eqn: rm E(it X)=][eqn: 70000ㆍ 3OVER 7`+`56000ㆍ 3 OVER 7`+`42000ㆍ 1 OVER 7][eqn: =`60000]이므로 [eqn: rm E left(it X over 1000 right)=`][eqn: 60000 over 1000 = 60`]

어느 여행사에서는 [eqn: rmP`]지점을 출발하여 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE`][eqn: 5`]개 지역을 모두 방문하거나 일부 지역만을 방문하면서, 한 번 방문한 관광지는 다시 지나지 않고 [eqn: rmQ`]지점에 도착하는 [eqn: 7`]가지 경우의 관광코스를 만들었다. 그리고, 한 관광지를 방문할 때마다 [eqn: 14000`]원씩 요금을 부가하여 각 관광코스별 관광요금을 결정하였다.
예를 들면 [eqn: rm P` rarrow`A` rarrow`B` rarrow`E` rarrow`Q`]관광코스의 요금은 [eqn: 3 TIMES14000`]원이다. 한 관광객이 임의로 [eqn: 7`]개의 관광코스 중 어느 하나를 선택하였을 때, 그 관광코스의 요금을 확률변수 [eqn: X``]라고 하자. 이때, 확률변수 [eqn: {X`} over {1000} `]의 평균을 구하시오.

[출처]	2006 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 20

아래 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3`]인 정사각형을 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: 9`]개로 나누고, 이 중에서 [eqn: 3`]개를 색칠할 때 나타나는 모양은 다음과 같이 세 가지 유형으로 분류할 수 있다.

[정답] [eqn: rm 112]

[해설]

[eqn: X]	[eqn: rm 1]	[eqn: rm 2]	[eqn: rm 3]
[eqn: {rm{P}} it (X)]	[eqn: {6} over { it _{9} {rm{C}} it _{3}}]	[eqn: {16} over { it _{9} {rm{C}} it _{3}}]	[eqn: {62} over { it _{9} {rm{C}} it _{3}}]

[eqn: therefore~{rm{E}} it (X)={1} over { it _{9} {rm{C}} it _{3}}(6+2 times 16+3 times 62)]

[eqn: ~ ={1} over {84}(224)={56} over {21}]

[eqn: therefore~{rm{E}} it (42 X)=42 {rm{E}} it (X)]

[eqn: =42 times {56} over {21}=112]

(가) 유형 [eqn: 1] :  ,  와 같은 모양

(나) 유형 [eqn: 2] :  , ,  ,  와 같은 모양

(다) 유형 [eqn: 3] : 유형 [eqn: 1] 도 아니고 유형 [eqn: 2] 도 아닌 모양

한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 위의 정사각형 [eqn: 9`]개 중에서 임의로 [eqn: 3`]개를 색칠하여 얻은 모양의 유형에 따라 확률변수 [eqn: X``]는 다음과 같다고 하자.

[eqn: X`=` {cases{~1&LEFT ( 유형`````1인````경우 RIGHT )#~2&LEFT ( 유형`````2인````경우 RIGHT )#~3~~&LEFT ( 유형`````3인````경우 RIGHT )}}]

[eqn: {rmE} LEFT ( 42X` RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[출처]	2012 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

프로야구 한국시리즈는 두 팀이 출전하여 [eqn: 7`]번의 경기 중 [eqn: 4`]번을 먼저 이기는 팀이 우승팀이 된다. [eqn: rmA], [eqn: rmB`]두 팀이 한국시리즈에 출전하여 우승팀이 정해지기까지 치른 경기의 수를 확률변수 [eqn: X``]라 하자. 매 경기마다 각 팀이 이길 확률은 모두 [eqn: 1over2`]로 같다고 할 때, [eqn: rm E it LEFT ( 16X` RIGHT ) `]의 값을 구하시오.
(단, 두 팀이 경기를 할 때 무승부는 없다고 가정한다.)

[정답] [eqn: 93``]

[해설]

이산확률분포표를 작성하면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: {rmP}(X=x)]
[eqn: 4]	[eqn: `_4 {rmC}_4 left( 1 over 2 right)^4 times 2] [eqn: = 2 over 16]
[eqn: 5]	[eqn: left{`_4 {rmC}_3 left( 1 over 2 right)^3 left( 1 over 2 right) times 1 over 2 right} times 2] [eqn: = 4 over 16]
[eqn: 6]	[eqn: left{`_5 {rmC}_3 left( 1 over 2 right)^3 left( 1 over 2 right)^2 times 1 over 2 right} times 2] [eqn: = 5 over 16]
[eqn: 7]	[eqn: left{`_6 {rmC}_3 left( 1 over 2 right)^3 left( 1 over 2 right)^3 times 1 over 2 right} times 2] [eqn: = 5 over 16]
계	[eqn: 1]

∴ [eqn: {rmE}(16X)=16{rmE}(X)]

[eqn: = 16 cdot left( 2 over 16 times 4 + 4 over 16 times 5 + 5 over 16 times 6 + 5 over 16 times 7 right)]

[eqn: =93``]

[별해]

최소 [eqn: 4]경이 이상 치러야 우승팀이 결정된다.

∴ [eqn: {rm P}(X le 3)=0]

(ⅰ) [eqn: X=4]인 경우는 어느 한 팀이 [eqn: 4]경기를 연달아

이기는 경우이다.

∴ [eqn: {rm P}(X=4) = 2 times left( 1 over2 right)^4 = 1 over 8]

(ⅱ) [eqn: X=5]인 경우는 어느 한 팀이 [eqn: 4]경기를 치루는 동안

[eqn: 3]승 [eqn: 1]패를 하고 [eqn: 5]번째 경기에서 이기는 경우이다.

∴ [eqn: {rm P}(X=5) = 2 times left{ `_4 rmC_3 left( 1 over2 right)^4 times 1 over2 right}][eqn: = 1 over4]

(ⅲ) [eqn: X=6]인 경우는 어느 한 팀이 [eqn: 5]경기를 치루는 동안

[eqn: 3]승 [eqn: 2]패를 하고 [eqn: 6]번째 경기에서 이기는 경우이다.

∴ [eqn: {rm P}(X=6) = 2 times left{ `_5 rmC_3 left( 1 over2 right)^5 times 1 over2 right}][eqn: = 5 over16]

(ⅳ) [eqn: X=7]인 경우는 두 팀이 [eqn: 6]경기를 치루면서 [eqn: 3]승 [eqn: 3]패를

하는 경우이다.

∴ [eqn: {rm P}(X=6) = `_6 rmC_3 LEFT ( 1 over2 RIGHT )^6][eqn: = 5 over16]

(ⅰ)~(ⅳ)에서

[eqn: {rmE}(16X)][eqn: =16 times {rmE}(X)][eqn: =16 LEFT ( 4 over8 + 5 over4 + 6cdot5 over 16 + 7cdot5 over 16 RIGHT )][eqn: =93]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 29

그림과 같이 [eqn: {8}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]개의 칸에 숫자 [eqn: 0 ,```` 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5 ,```` 6 ,```` 7]이 하나씩 적혀 있는 말판이 있고, 숫자 [eqn: 0]이 적혀 있는 칸에 말이 놓여 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

[정답] [eqn: bold80]

[해설]

[eqn: 3]이상의 눈이 나오는 횟수를 [eqn: x]라 하면 [eqn: 3]보다 작은 경우는 [eqn: 4-x]번이다.

[eqn: x]에 따른 확률변수 [eqn: X]값은 다음 표와 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
[eqn: X]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 4]

이때 [eqn: x=k]일 때의 확률은 [eqn: {} _{4} rm C it rm _{itk} ` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{k} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4-k}][eqn: = _{4} rm C it rm _{itk} ` CDOT ` {2 ^{k}} over {3 ^{4}}]이므로

확률변수 [eqn: X]에 대한 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	계
[eqn: rm P it (X=x)]	[eqn: {24} over {81}]	[eqn: {32} over {81}]	[eqn: {17} over {81}]	[eqn: {8} over {81}]	[eqn: 1]

[eqn: THEREFORE][eqn: rm E it LEFT ( 36X RIGHT )][eqn: = {36} over {81} LEFT ( 64+68+48 RIGHT )][eqn: = {4} over {9} `times180][eqn: =80]

주사위를 한 번 던져 나오는 눈의 수가 [eqn: 3] 이상이면 말을 화살표 방향으로 한 칸 이동시키고, 나오는 눈의 수가 [eqn: 3]보다 작으면 말을 화살표 반대 방향으로 한 칸 이동시킨다.

위의 시행을 [eqn: 4]회 반복한 후 말이 도착한 칸에 적혀 있는 수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: rmE(36itX)]의 값을 구하시오.

05 확통	07 이산확률분포
04 이항분포
01 이항분포1 (확률)

[출처]	2005 모의_공공 경찰대 고3 07월 21

윶놀이는 네 개의 윶짝으로, 뒤집어지는 윶짝의 개수가 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 0]일 때, 각각 순서대로 도, 개, 걸, 윶, 모라고 부르며 하는 놀이이다.

[정답] ②

[해설]

뒤집어질 확률을 [eqn: p]라 하면 도, 개, 걸, 욪, 모가 나올 확률은 이항분포 [eqn: rm B it(4,``p)]로부터 구할 수 있으며 다음과 같다.

	도	개	걸	윷	모
뒤집어진 개수	[eqn: rm 1]	[eqn: rm 2]	[eqn: rm 3]	[eqn: rm 4]	[eqn: rm 0]
확률	[eqn: it _{4} {rm{C}} it _{1} p(1-p)]	[eqn: it _{4} {rm{C}} it _{2} p^{2}(1-p)]	[eqn: it _{4} {rm{C}} it _{3} p^{3}(1-p)]	[eqn: it _{4} {rm{C}} it _{4} p^{4}]	[eqn: it _{4} {rm{C}} it _{0}(1-p)^{4}]

철수의 주장이 참이 되기 위해서

[eqn: it _{4} {rm{C}} it _{2} p^{2}(1-p)^{2}> it _{4} {rm{C}} it _{3} p^{3}(1-p)> it _{4} {rm{C}} it _{1} p(1-p)^{3}> it _{4} {rm{C}} it _{4} p^{4}> it _{4} {rm{C}} it _{0}(1-p)^{4}]

을 만족해야 한다. 각각의 대소를 만족하는 [eqn: p]값의 범위를 구하면

1) [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{2} p^{2}(1-p)^{2}> it _{4} {rm{C}} it _{3} p^{3}(1-p)] :
[eqn: 6(1-p)>4 p ~~~ therefore~p<{3} over {5}]

2) [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{3} p^{3}(1-p)> it _{4} {rm{C}} it _{1} p(1-p)^{3}] :
[eqn: (1-p)^{2}>p^{2} ~~ ~ therefore~p>{1} over {2}]

3) [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{1} p(1-p)^{3}> it _{4} {rm{C}} it _{4} p^{4}] :
[eqn: 4(1-p)^{3}>p^{3}]
[eqn: 4(1-p)^{3}-p^{3}>0]
[eqn: left{ 4^{{1} over {3}}(1-p) it right} ^{3}-p^{3}>0]
[eqn: left{ 4^{{1} over {3}}(1-p)-p it right} left{ 4^{{2} over {3}}(1-p)^{2}+4^{{1} over {3}}(1-p) p+p^{2} it right} >0]
[eqn: therefore~p<{1} over {1+4^{-{1} over {3}}}=0.61]

4) [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{4} p^{4}> it _{4} {rm{C}} it _{0}(1-p)^{4}] :
[eqn: p>(1-p) ~~~ therefore~p>{1} over {2}]

따라서, 공통해는

[eqn: {1} over {2}<p<{3} over {5}]

그런데 철수는 윶놀이에서 가장 나오기 어려운 것부터 적으면 모, 윶, 도, 걸, 개의 순서라고 주장한다. 각 짝이 뒤집어질 확률 [eqn: p]의 값은 네 짝 모두 같다고 가정하고 또 각 짝의 결과는 서로 독립적이라고 할 때, 철수의 주장이 참이 되는 [eqn: p]값의 범위는?

(단, 가능한 한 좁은 범위로 답하되 철수가 주장하는 순서에 맞는 [eqn: p]값은 모두 범위에 포함되어야 하며, [eqn: 4^{{1} over {3}}=1.58], [eqn: 4^{-{1} over {3}}=0.63], [eqn: left(1+4^{-{1} over {3}} right)^{-1}=0.61]로 계산한다.)

① [eqn: p<0.5]	② [eqn: 0.5<p<0.6]

③ [eqn: 0.5<p<0.61]	④ [eqn: 0.5<p<0.63]

⑤ [eqn: p>0.63]

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 06월 13

어느 창고에 부품 [eqn: S``]가 [eqn: 3`]개, 부품 [eqn: T``]가 [eqn: 2`]개 있는 상태에서 부품 [eqn: 2`]개를 추가로 들여왔다. 추가된 부품은 [eqn: S`] 또는 [eqn: T``]이고, 추가된 부품 중 [eqn: S``]의 개수는 이항분포 [eqn: {rmB} LEFT ( 2,`` {1} over {2} RIGHT ) `]을 따른다. 이 [eqn: 7`]개의 부품 중 임의로 [eqn: 1`]개를 선택한 것이 [eqn: T``]일 때, 추가된 부품이 모두 [eqn: S`] 이였을 확률은?

[정답] ①

[해설]

추가되는 부품 중 [eqn: S]의 개수는 이항분포

[eqn: B` LEFT ( 2,` {1} over {2} RIGHT )]을 따르므로 [eqn: S]의 개수가 0개, 1개, 2개일 사건을 각각 [eqn: E _{0} `,`E _{1} ,`E _{2}]라 하면

[eqn: P(E _{0} )=` _{2} C _{0``} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {1} over {4}]

[eqn: P(E _{1} )=` _{2} C _{1``} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {1} over {2}]

[eqn: P(E _{2} )=` _{2} C _{2``} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {1} over {4}]

이고 7개의 부품 중 임의로 1개를 선택한 것이 [eqn: T]일 사건을 [eqn: A]라 하면 추가된 부품이 모두 [eqn: S]일 사건은 [eqn: E _{2}]이므로 구하는 확률은

[eqn: P(E _{2} `□A)=` {P(E _{2} SMALLINTER A)} over {P(A)}][eqn: =` {P(E _{2} SMALLINTER A)} over {P(E _{0} ` SMALLINTER A)+P(E _{1} SMALLINTER A)+P(E _{2} SMALLINTER A)}][eqn: =` {{1} over {4} TIMES {2} over {7}} over {{1} over {4} TIMES {4} over {7} + {1} over {2} TIMES {3} over {7} + {1} over {4} TIMES {2} over {7}}][eqn: =` {{2} over {28}} over {{12} over {28}} = {1} over {6}]

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 1over3]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 3over4]

05 확통	07 이산확률분포
04 이항분포
05 이항분포5 (aX+b의 평균과 분산의 활용)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 17
[출처]	2022 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능특강 대표 기출 문제

좌표평면의 원점에 점 [eqn: {rmP}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}]가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

[정답] ③

[해설]

주사위를 [eqn: rm 15]번 던져서 [eqn: rm 2] 이하의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: Y]라 하면 확률변수 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: {rm{B}} it left(15,`` {1} over {3} right)]을 따르므로

[eqn: {rm{E}} it (Y)=15 times {1} over {3}=5]

이때 원점에 있던 점 [eqn: {rm{P}} it]가 이동된 점의 좌표는

[eqn: (3 Y,`` 15-Y)]

이고, 이 점과 직선 [eqn: 3 x+4 y=0]사이의 거리 [eqn: X]는

[eqn: X={|3 times 3 Y+4 times(15-Y)|} over { sqrt{3^{2}+4^{2}}}={|5 Y+60|} over {5}=Y+12]

따라서

[eqn: {rm{E}} it (X)][eqn: ={rm{E}} it (Y+12)]

[eqn: ={rm{E}} it (Y)+12]

[eqn: =5+12=17]

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 [eqn: 2]이하이면 점 [eqn: rmP]를 [eqn: x]축의 양의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: 3]이상이면 점 [eqn: rmP]를 [eqn: y]축의 양의 방향으로 [eqn: 1]만큼 이동시킨다.

이 시행을 [eqn: 15]번 반복하여 이동된 점 [eqn: rmP]와 직선 [eqn: 3x+4y][eqn: =0]사이의 거리를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

05 확통	07 이산확률분포
04 이항분포
07 이항분포7 (시그마 표현의 해석)

[출처]	2004 모의_공공 사관학교 고3 07월 29
[출처]	2004 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

이산확률변수 [eqn: X``]는 이항분포 [eqn: {rmB} LEFT ( 120,`` {1} over {121} RIGHT ) `]을 따른다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = sum _{k=0} ^{120} LEFT ( x-ak RIGHT ) ^{2} rm P it (X`=k)`]의 최솟값이 [eqn: 1`]이 되도록 하는 양수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: 120a`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold{121]

[해설]

[eqn: \X ``]가 이항분포 [eqn: \B LEFT ( 120, { 1} over {121 } RIGHT ) ``]을 따르므로

[eqn: m= \E ( \X)= SUM from { { k}=0} to 120 k CDOT \P( \X =k) =120 TIMES { 1} over {121 } = { 120} over {121 } ``]

[eqn: \V ( \X)= SUM from { { k}=0} to 120 k^2`\P( \X =k) -m^2 =120 TIMES { 1} over {121 } TIMES { 120} over {121 } = { 120^2} over {121^2 } ``]

[eqn: f`(x)= SUM from { { k}=0} to 120 (x^2 -2ax`k +a^2 k^2 ) \P( \X=k)]

[eqn: =x^2 -2ax SUM from { { k}=0} to 120 k CDOT \P( \X=k) +a^2 SUM from { { k}=0} to 120 k^2 CDOT \P( \X=k)]

[eqn: =x^2 -2am `x+ a^2 SUM from { { k}=0} to 120 k^2 CDOT \P( \X=k)]

[eqn: = (x-am)^2 +a^2 LEFT ( SUM from { { k}=0} to 120 k^2 CDOT \P( \X=k) -m^2 RIGHT )]

[eqn: =(x-am )^2 + { 120^2} over {121^2 } a^2``]

함수 [eqn: f`(x)`]는 [eqn: x=am``]일 때, 최소값 [eqn: { 120^2} over {121^2 } a^2] 이다.

따라서 [eqn: { 120^2} over {121^2 } a^2 =1``]에서 [eqn: a= { 121} over {120 } ~(a>0)``]

[eqn: THEREFORE `````120a =121``]

05 확통	07 이산확률분포
04 이항분포
08 이항분포8 (지수꼴 확률변수의 평균)

[출처]	2005 모의_공공 사관학교 고3 07월 15

사건 [eqn: A``]가 [eqn: 1`]회의 시행에서 일어날 확률이 [eqn: p``]일 때, [eqn: n``]회의 독립시행에서 사건 [eqn: A``]가 일어나는 횟수를 확률변수 [eqn: X``]라 하자. 확률변수 [eqn: X```]의 평균이 [eqn: 80``]이고 분산이 [eqn: 64``]라 할 때, [eqn: sum _{r=0} ^{n} 5 ^{r} rm P LEFT ( itX`=r RIGHT ) `]의 값은?
(단, [eqn: rm P it LEFT ( X`=r RIGHT ) `]은 [eqn: X`=r`]일 때의 확률이다.)

[정답] ①

[해설]

[eqn: E(X)= n p =80]이고 [eqn: V(X) = np(1-p)=64]로부터 [eqn: p= 1 over 5], [eqn: n = 400``]이다. 따라서 [eqn: P(X=r)= `_400 C_r ``left(`` 1 over 5 ``right)``^r ``left(`` 1 over 5 ``right)``^400-r] 이 된다. 그러므로

[eqn: sum from r=0 to 400 {}5^r ․`_400 C_r ․``left(`` 1 over 5 ``right)``^r ․``left(`` 4 over 5 ``right)``^400-r]

[eqn: ={} sum from r=0 to 400 `_400 C_r ․``left(`` 4 over 5 ``right)``^400-r ․1^r]

[eqn: ={} ``left(`` 1 + 4 over 5 ``right)``^400]

[eqn: = {} ``left(`` 9 over 5 ``right)``^400]

① [eqn: LEFT ( {9}over{5} RIGHT )^400``]	② [eqn: LEFT ( {7}over{5} RIGHT )^450``]	③ [eqn: LEFT ( {9}over{5} RIGHT )^399``]

④ [eqn: 2^399`]	⑤ [eqn: 2^400``]

05 확통	07 이산확률분포
05 기타
01 교과외1 (급수)

[출처]	2015 모의_공공 경찰대 고3 07월 17

눈의 수가 [eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지인 주사위를 던져서 눈의 수가 [eqn: 1] 또는 [eqn: 6]이 나올 때까지 반복한다. 한 번 던지고 중지하면 [eqn: 1000]원을 받고, 두 번 던지고 중지하면 [eqn: 2000]원을 받는다. 이와 같이 계속하여 [eqn: n]번 던지고 중지하면 [eqn: n times1000]원을 받을 때, 받는 돈의 기댓값은?

[정답] ⑤

[해설]

중지할 때 까지 던진 주사위 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하면,

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: CDOTS]
[eqn: p(X)]	[eqn: {1} over {3}]	[eqn: {2} over {3} CDOT {1} over {3}]	[eqn: {1} over {3} CDOT ( {2} over {3} ) ^{2}]	[eqn: CDOTS]

즉 확률질량함수 [eqn: p(x)= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n-1}]이며,

[eqn: E(1000X)= {1000} over {3} sum _{n=1} ^{INF } n LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n-1}]이고 멱급수 계산을 이용하여 값을 구하면, [eqn: E(1000X)= {1000} over {3} sum _{n=1} ^{INF } n LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n-1} =3000]이다.

① [eqn: 1000]원	② [eqn: 1500]원	③ [eqn: 2000]원

④ [eqn: 2500]원	⑤ [eqn: 3000]원

05 확통	08 정규분포
01 확률밀도함수
04 확률밀도함수4 (활용)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 29

두 연속확률변수 [eqn: X``]와 [eqn: Y``]가 갖는 값의 범위는 [eqn: 0 LEQ X LEQ 6], [eqn: 0 LEQ Y LEQ 6]이고, [eqn: X``]와 [eqn: Y``]의 확률밀도함수는 각각 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ,~g LEFT ( x RIGHT )]이다. 확률변수 [eqn: X``]의 확률밀도함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

[정답] [eqn: 31]

[해설]

[eqn: 0 le x le 6]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )+g LEFT ( x RIGHT )=k] ([eqn: k]는 상수)

이므로

[eqn: g(x)=k-f(x)]

이때, [eqn: 0 le Y le 6]이고 확률밀도함수의 정의에 의하여 [eqn: g (x)=k-f(x)ge 0] 즉, [eqn: k ge f(x)]이므로 그림과 같이 세 직선 [eqn: x=0], [eqn: x=6], [eqn: y=k] 및 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프로 둘러싸인 색칠된 부분의 넓이는 [eqn: 1]이다.

또한, [eqn: 0 le x le 6]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이도 [eqn: 1]이므로

[eqn: k TIMES6=2]

따라서, [eqn: k= { 1} over { 3}]

이때,

[eqn: {rmP}it LEFT ( 6k le Y le 15k RIGHT )={rmP}it LEFT ( 2 le Y le 5 RIGHT )]

이고 이 값은 세 직선 [eqn: x=2], [eqn: x=5], [eqn: y= { 1} over { 3}] 및 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이와 같고, [eqn: 0 le x le 3]에서 [eqn: f(x)= { 1} over { 12}x]이므로

[eqn: {rmP}it LEFT ( 6k le Y le 15k RIGHT )]

[eqn: ={rmP}it LEFT ( 2 le Y le 5 RIGHT )]

[eqn: = LEFT [ { 1} over {3 }- { 1} over { 2} TIMES LEFT { f(2)+f(3) RIGHT } TIMES1 RIGHT ]][eqn: +LEFT ( { 1} over { 3} TIMES2- { 1} over {4 } TIMES2 RIGHT )]

[eqn: = LEFT { { 1} over {3 }- { 1} over {2 } TIMES LEFT ( { 1} over {6 }+ { 1} over { 4} RIGHT ) RIGHT }+ LEFT ( { 2} over {3 }- { 1} over { 2} RIGHT )]

[eqn: ={ 3} over { 24}+ { 1} over { 6}]

[eqn: ={ 7} over { 24}]

따라서, [eqn: p=24], [eqn: q=7]이므로

[eqn: p+q=31]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 6]인 모든 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) =k] ([eqn: k]는 상수)

를 만족시킬 때, [eqn: {rmP} LEFT ( 6k LEQ Y LEQ 15k RIGHT ) = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

05 확통	08 정규분포
03 정규분포의 표준화
01 확률 구하기1 (기본)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 09월 20

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: G` LEFT (t RIGHT ) `]는 평균이 [eqn: t], 표준편차가 [eqn: 1 over t^2 ``]인 정규분포를 따르는 확률변수 [eqn: X` `]에 대하여 [eqn: G` LEFT (t RIGHT )={rm{rm P} } LEFT ( X` LEQ {3} over {2} RIGHT ) `]이다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: Z= {X-t} over {{1} over {t ^{2}}} LEQ {{3} over {2} -t} over {{1} over {t ^{2}}} =t ^{2} ( {3} over {2} -t)]

[eqn: f(t)= {3} over {2} t ^{2} -t ^{3}]이라 하면 [eqn: f prime (t)=3t-3t ^{2}]이므로 [eqn: t=1]일 때 [eqn: f(t)]가 최대이다.

∴[eqn: G(t) _{max} =P(Z LEQ {1} over {2} )=0.5+P(0 LEQ Z LEQ {1} over {2} )=0.6915]

[eqn: z]	[eqn: rm P it LEFT ( 0 LEQZ`` LEQz RIGHT )]
[eqn: 0.4]	[eqn: 0.1554]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 0.6]	[eqn: 0.2257]
[eqn: 0.7]	[eqn: 0.2580]

함수 [eqn: G`(t)``]의 최댓값을 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

① [eqn: 0.3085]	② [eqn: 0.3446]	③ [eqn: 0.6915]

④ [eqn: 0.7257]	⑤ [eqn: 0.7580]

05 확통	08 정규분포
03 정규분포의 표준화
03 확률 구하기3 (실생활. 곱셈정리)

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 11월 13
[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 13

어느 재래시장을 이용하는 고객의 집에서 시장까지의 거리는 평균이 [eqn: rm 1740``m], 표준편차가 [eqn: rm 500``m]인 정규분포를 따른다고 한다. 집에서 시장까지의 거리가 [eqn: rm 2000``m] 이상인 고객 중에서 [eqn: 15``%], [eqn: rm 2000``m] 미만인 고객 중에서 [eqn: 5``%]는 자가용을 이용하여 시장에 온다고 한다. 자가용을 이용하여 시장에 온 고객 중에서 임의로 [eqn: 1`]명을 선택할 때, 이 고객의 집에서 시장까지의 거리가 [eqn: rm 2000``m] 미만일 확률은?
(단, [eqn: Z``]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rm P it LEFT ( 0 LEQZ` LEQ0.52 RIGHT ) =0.2`]로 계산한다.)

[정답] ②

[해설]

집에서 시장까지의 거리를 확률변수 [eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: \N(1740,~500^2 )]을 따른다.

이때, [eqn: Z = { X - 1740} over { 500}]이라 하면

[eqn: { \P} (X>=2000)][eqn: = { \P} left( Z >= { 260} over { 500} right) = { \P} (Z >= 0.52 )]
[eqn: = 0.5 - { \P} (0<= Z <= 0.52) =0.3]

이고, [eqn: { \P} (X <2000 ) = 1- { \P} (X>=2000 ) =0.7]이다.

집에서 시장까지의 거리가 [eqn: 2000 rmm] 이상일 사건을 [eqn: A], 자가용을 이용하여 시장에 오는 사건을 [eqn: E`]라 하면

[eqn: { \P} (E`)][eqn: ={ \P} (A cap E` ) + { \P} (A^C cap E `)]
[eqn: = 0.3 times 0.15 + 0.7 times 0.05 = 0.08]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {\P}(A ``|` E ``)][eqn: = { {\P} ( A^C cap E `)} over { {\P} (E`)}][eqn: ={ 0.7 times 0.05} over { 0.08}][eqn: = { 0.035} over { 0.08} = { 7} over { 16}]

① [eqn: {3} over {8}]	② [eqn: {7} over {16}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {9} over {16}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 15

어느 회사 직원들의 어느 날의 출근 시간은 평균이 [eqn: 66.4`]분, 표준편차가 [eqn: 15`]분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 날 출근 시간이 [eqn: 73`]분 이상인 직원들 중에서 [eqn: 40%`], [eqn: 73`]분 미만인 직원들 중에서 [eqn: 20%`]가 지하철을 이용하였고, 나머지 직원들은 다른 교통수단을 이용하였다. 이 날 출근한 이 회사 직원들 중 임의로 선택한 [eqn: 1`]명이 지하철을 이용하였을 확률은? (단, [eqn: Z```]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rmP(it0{le}Z{le}0.44)=0.17`]로 계산한다.)

[정답] ⑤

[해설]

이 회사 직원들의 이 날의 출근 시간을 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rm{N}} it left(66.4,``15^{2} right)]을 따르고, [eqn: Z={X-66.4} over {15}]라 하면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 [eqn: {rm{N}} it (0,``1)]을 따른다.

[eqn: {rm{P}} it (X geq 73)][eqn: ={rm{P}} it left({X-66.4} over {15} geq {73-66.4} over {15} right)]
[eqn: ={rm{P}} it left(Z geq {73-66.4} over {15} right)]
[eqn: ={rm{P}} it (Z geq 0.44)]
[eqn: =0.5-{rm{P}} it (0 leq Z leq 0.44)]
[eqn: =0.5-0.17=0.33]

이므로

[eqn: {rm{P}} it (X<73)][eqn: =1-{rm{P}} it (X geq 73)]
[eqn: =1-0.33=0.67]

이때 출근 시간이 [eqn: 73]분 이상인 직원들 중 [eqn: 40 %], [eqn: 73]분 미만인 직원들 중 [eqn: 20 %]가 지하철을 이용하였으므로 구하는 확률은

[eqn: 0.33 times 0.4+0.67 times 0.2=0.266]

① [eqn: 0.306`]	② [eqn: 0.296`]	③ [eqn: 0.286`]

④ [eqn: 0.276`]	⑤ [eqn: 0.266`]

05 확통	08 정규분포
03 정규분포의 표준화
06 확률관계식2 (변수2개)

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 11월 확률과 통계 29

확률변수 [eqn: X``]와 [eqn: Y``]는 평균이 모두 [eqn: 0`]이고 분산이 각각 [eqn: sigma ^{2}`]과 [eqn: {sigma ^{2}} over {4}`]인 정규분포를 따르고, 확률변수 [eqn: Z``]는 표준정규분포를 따른다. 두 양수 [eqn: a]와 [eqn: b`]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: X` SIM N` LEFT ( 0,~ sigma ^{2} RIGHT ) ,~Y` SIM N` LEFT ( 0,~ {sigma ^{2}} over {4} RIGHT )]

[eqn: P` LEFT ( LEFT | X RIGHT | LEQ `a RIGHT ) =P` LEFT ( LEFT | {X-0} over {sigma } RIGHT | LEQ {a-0} over {sigma } RIGHT ) =P` LEFT ( LEFT | Z` RIGHT | LEQ {a} over {sigma} RIGHT )]

[eqn: P` LEFT ( LEFT | Y` RIGHT | LEQ `b RIGHT ) =P` LEFT ( LEFT | {Y-0} over {{sigma } over {2}} RIGHT | LEQ {b-0} over {{sigma } over {2}} RIGHT ) =P` LEFT ( LEFT | Z` RIGHT | LEQ {2b} over {sigma } RIGHT )]

[eqn: P LEFT ( LEFT | X RIGHT | ` LEQ a RIGHT ) =P LEFT ( LEFT | Y RIGHT | ` LEQ b RIGHT )]에서 [eqn: a=2b]

ㄱ. [eqn: a=2b]이고, [eqn: a>0,~b>0]이므로 [eqn: a>b]	(참)

ㄴ. [eqn: P` LEFT ( Y`> {a} over {2} RIGHT ) =P` LEFT ( {Y-0} over {{sigma} over {2}} > {{a} over {2} -0} over {{sigma} over {2}} RIGHT ) =P` LEFT ( Z`> {2b} over {sigma} RIGHT )] (참)

ㄷ. [eqn: P` LEFT ( Y>b RIGHT ) =1-P` LEFT ( Y` LEQ `b RIGHT ) =0.3]이므로

[eqn: P` LEFT ( LEFT | Y` RIGHT | le`b RIGHT )][eqn: =1-P` LEFT ( LEFT | Y` RIGHT | >b RIGHT )]
[eqn: =1-2P` LEFT ( Y`>b RIGHT )]
[eqn: =1-2times0.3=0.4]

[eqn: THEREFORE ~P` LEFT ( LEFT | X` RIGHT | LEQ `a RIGHT ) =P` LEFT ( LEFT | Y` RIGHT | LEQ `b RIGHT ) =0.4]	(거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: {rmP} LEFT (it LEFT | X RIGHT | ` LEQ a RIGHT ) ={rmP} LEFT (it LEFT | Y RIGHT | ` LEQ b RIGHT )]

일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a>b] ㄴ. [eqn: {rmP} LEFT (it Z`> {2b} over {sigma } RIGHT ) ={rmP} LEFT ( itY`> {a} over {2} RIGHT )] ㄷ. [eqn: {rmP} LEFT (it Y` LEQ b RIGHT ) =0.7`]일 때, [eqn: {rmP} LEFT ( itLEFT | X RIGHT | ` LEQ a RIGHT ) =0.3]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 28

확률변수 [eqn: {X`}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}`]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( m ,`` 2 ^{2} RIGHT )`], 확률변수 [eqn: Y``]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( m ,`` sigma ^{2} RIGHT )`]을 따른다. 상수 [eqn: a`]에 대하여 두 확률변수 [eqn: X`], [eqn: Y``]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: Y][eqn: =3X-a]이므로

[eqn: rm E it LEFT ( Y RIGHT )][eqn: = rm E it LEFT ( 3X-a RIGHT )][eqn: =3 rm E it LEFT ( X RIGHT ) -a][eqn: =3m-a]

[eqn: m][eqn: =3m-a]에서 [eqn: a][eqn: =2m]

[eqn: sigma rm LEFT ( itY RIGHT )][eqn: = sigma rm LEFT ( it3X- it a RIGHT )][eqn: =3 sigma rm LEFT ( itX RIGHT )][eqn: =6]

[eqn: rm P it LEFT ( X LEQ 4 RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( Z LEQ {4-m} over {2} RIGHT )]

[eqn: rm P it LEFT ( Y GEQ a RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( Y GEQ 2m RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( Z GEQ {m} over {6} RIGHT )]

조건 (나)에 의하여 [eqn: {4-m} over {2}][eqn: = it - {m} over {6}]에서 [eqn: m][eqn: =6]

그러므로 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 6 ,```` 6 ^{2} RIGHT )]을 따른다.

따라서

[eqn: rm P it LEFT ( Y GEQ 9 RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( Z GEQ {9-6} over {6} RIGHT )]
[eqn: = rm P it LEFT ( Z GEQ 0.5 RIGHT )]
[eqn: = rm P it LEFT ( Z GEQ 0 RIGHT ) - rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 0.5 RIGHT )]
[eqn: =0.5 - 0.1915]
[eqn: = it 0.3085]

(가) [eqn: Y`=3X`-a]

(나) [eqn: {rmP it }it LEFT ( X` LEQ 4 RIGHT )={rmP it }it LEFT ( Y` GEQ a RIGHT )]

[eqn: {rmP it }it LEFT ( X` GEQ 9 RIGHT )`]의

[eqn: z]	[eqn: {rmP it } LEFT (0 LEQ Z` LEQ z RIGHT )]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

① [eqn: 0.0228]	② [eqn: 0.0668]

③ [eqn: 0.1587]	④ [eqn: 0.2417]

⑤ [eqn: 0.3085]

05 확통	08 정규분포
03 정규분포의 표준화
07 확률관계식3 (실생활)

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 11월 확률과 통계 28

[eqn: z]	[eqn: {rm{P}} it (0 leq Z leq z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

어느 회사 직원의 하루 생산량은 근무 기간에 따라 달라진다고 한다. 근무 기간이 [eqn: n]개월 [eqn: (1 leq n leq 100)]인 직원의 하루 생산량은 평균이 [eqn: a n+100]([eqn: a]는 상수), 표준편차가 [eqn: rm 12]인 정규분포를 따른다고 한다. 근무 기간이 [eqn: rm 16]개월인 직원의 하루 생산량이 [eqn: rm 84] 이하일 확률이 [eqn: 0.0228]일 때, 근무 기간이 [eqn: rm 36]개월인 직원의 하루 생산량이 [eqn: rm 100] 이상이고 [eqn: rm 142] 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답] ③

[해설]

근무 기간이 [eqn: rm 16]개월인 직원의 하루 생산량을 [eqn: X]라 하면

[eqn: X sim {rmN} left(16 a+100,``12^{2} right)]

[eqn: {rmP}(X leq 84)={rmP} left(Z leq {-16 a-16} over {12} right)=0.0228]이고

[eqn: {rmP}(0 leq Z leq 2)=0.4772]이므로

[eqn: {-16 a-16} over {12}=-2]	[eqn: therefore ~ a={1} over {2}]

근무 기간이 [eqn: rm 36]개월인 직원의 하루 생산량을 [eqn: Y]라 하면

[eqn: Y sim {rmN} left(118,``12^{2} right)]

[eqn: {rmP}(100 leq Y leq 142)={rmP}(-1.5 leq Z leq 2)=0.9104]

① [eqn: 0.7745]	② [eqn: 0.8185]	③ [eqn: 0.9104]

④ [eqn: 0.9270]	⑤ [eqn: 0.9710]

05 확통	08 정규분포
03 정규분포의 표준화
08 확률관계식4 (실생활. 커트라인문제)

[출처]	2004 모의_공공 사관학교 고3 07월 24

지난달에 시행된 [eqn: 2005```]학년도 모의대학 수학능력시험에서는 수험생의 상위 [eqn: 15.9``%```]가 도심근교의 대학에 합격할 것으로 나타났다. 이 시험에 응시한 전체 수험생의 점수는 평균이 [eqn: 520```]점이고 표준 편차가 [eqn: 90``]점인 정규분포를 이루었고, 수험생이 [eqn: 3000```]명 거주하고 있는 [eqn: rm `K``]지역 수험생들의 점수는 평균이 [eqn: 580 `]점이고 표준편차가 [eqn: 20 `]점인 정규분포를 이루었다. [eqn: rm `K]지역의 수험생 중 도심 근교의 대학에 합격할 것으로 나타난 인원수는 ?
(단, 대학이나 학과는 고려하지 않는다.)

[정답] ①

[해설]

ⅰ) 전체 수험생의 점수 [eqn: \X`]는 정규분포 [eqn: \N left(520,```90^2 right)`]을 따르고 수험생의 상위 [eqn: 15.9%`]가 도심근교의 대학에 합격할 것으로 나타났으므로 상위 [eqn: 15.9%`]에 들기 위한 최저점수를 [eqn: k``]라 하면
[eqn: {rm P} LEFT ( {rm X`} GEQ k RIGHT )=0.159 `]

[eqn: {rm Z}= {{rm X}-520} over 90``]라 하면 점수 [eqn: rm X``]는 표준정규분포 [eqn: {rm N}(0,``1)``]을
따르므로
[eqn: 0.5- rm {rm P} LEFT (it 0 LEQ rm Z` LEQ {itk-520} over {90} RIGHT )=0.159]
[eqn: {rm P}(0≦ {rm Z} ≦ { k-520} over {90 } )=0.341``]
주어진 표준정규 분포표에서 [eqn: {rm P}(0<={rm Z}<=1)=0.341``]이므로
[eqn: { k-520} over {90 } =1``]이고 [eqn: k=610``](점)이다.

ⅱ) [eqn: \K`]지역 수험생 [eqn: 3000`]명의 점수 [eqn: \Y`]는 정규분포 [eqn: \N left(580,```20^2 right)`]을 따르므로
[eqn: \P ( \Y ≧610 )= \P ( \Z ≧ {610-580 } over {20 } ) ``][eqn: = \P ( \Z ≧1.5 )``]
[eqn: =0.5 - \P (0 ≦ \Z ≦1.5 )``][eqn: =0.147``]
[eqn: THEREFORE````3000 TIMES 0.147 =441``](명)

[eqn: z]	[eqn: rm P`` it (`0` LEQ`Z` LEQ`z`)`]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.192]
[eqn: 1]	[eqn: 0.341]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.353]
[eqn: 2]	[eqn: 0.477]

① [eqn: 441``]명	② [eqn: 430``]명	③ [eqn: 419``]명

④ [eqn: 408``]명	⑤ [eqn: 392``]명

05 확통	08 정규분포
03 정규분포의 표준화
10 확률밀도함수의 해석

[출처]	2004 모의_공공 평가원 고3 예비 8

어느 고등학교 [eqn: rm 3]학년 학생의 키는 평균이 [eqn: 170 {rm{cm}} it]이고 표준편차가 [eqn: 5 {rm{cm}} it]인 정규분포를 따른다고 한다. 길이가 모두 [eqn: 10 {rm{cm}} it]인 다음의 세 구간 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]에 속하는 학생 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라고 할 때, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]사이의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은?

[정답] ①

[해설]

세 구간 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rmC]를 곡선 위에 나타내면 각각 [그림 [eqn: 1]], [그림 [eqn: 2]], [그림 [eqn: 3]]에서 어두운 부분은 학생수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 나타낸다.

이때, [그림 [eqn: 2]]의 어두운 부분의 넓이는 빗금 친 부분의 넓이보다 작다.

[eqn: THEREFORE][eqn: a GEQ b CDOTS CDOTS] ㉠

또, [그림 [eqn: 3]]의 빗금 친 부분의 넓이는 어두운 부분의 넓이보다 크다.

[eqn: THEREFORE][eqn: b GEQ c CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: a GEQ b GEQ c]

[eqn: {rm{A}} it =[165,``175]]

[eqn: {rm{B}} it =[163,``173]]

[eqn: {rm{C}} it =[169,``179]]

① [eqn: a geq b geq c]	② [eqn: a geq c geq b]	③ [eqn: b geq c geq a]

④ [eqn: c geq a geq b]	⑤ [eqn: c geq b geq a]

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 09월 18

확률변수 [eqn: X ``]는 정규분포 [eqn: \N( 10 ,~ 4^2 )`], 확률변수 [eqn: Y`]는 정규분포 [eqn: RM N IT (m, ~ 4^2 )`]을 따르고, 확률변수 [eqn: X`]와 [eqn: Y`]의 확률밀도함수는 각각 [eqn: f(x),~ g(x)`]이다. [eqn: f(12) = g(26),~~rm P it ( Y ge 26 ) ` ge 0.5]일 때, [eqn: rm P it ( Y le 20 ) `]의 값을 아래의 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답] ②

[해설]

표준정규분포곡선을 [eqn: h(x)]라고 하자.

[eqn: f(12)=g(26)], [eqn: P(Y][eqn: GEQ]26)[eqn: GEQ][eqn: 0.5]

[eqn: X]의 정규분포에서 변수를 [eqn: Z]로 표준화하면 [eqn: f(12)=h left( {12-10} over {4} right)]

마찬가지로 [eqn: Y]의 정규분포에서 변수를 [eqn: Z]로 표준화하면

[eqn: g(26)=h( {26-m} over {4} )]

[eqn: P(Y][eqn: ge]26)[eqn: ge][eqn: 0.5]이므로 [eqn: {26-m} over {4}] < 0

[eqn: THEREFORE {12-10} over {4} =- {26-m} over {4}][eqn: THEREFORE m=28]

[eqn: P(Y LEQ 20)]

[eqn: =P left(Z LEQ {20-28} over {4} right)]

[eqn: =P(Z LEQ -2)]

[eqn: =0.5-P(0 LEQ Z LEQ 2)]

[eqn: =0.0228]

[eqn: z]	[eqn: rm {rm P} it LEFT ( 0 LEQ Z` LEQ z RIGHT )`]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

① [eqn: 0.0062]	② [eqn: 0.0228]	③ [eqn: 0.0896]

④ [eqn: 0.1587]	⑤ [eqn: 0.2255]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 18

확률변수 [eqn: X``]는 평균이 [eqn: m`], 표준편차가 [eqn: 5``]인 정규분포를  따르고, 확률변수 [eqn: X```]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)``]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: f(10) > f(20)]이므로 [eqn: m <15]이어야 한다.

조건 (나)에서

[eqn: f(4) <f(22)]이므로 [eqn: m > 13]이어야 한다.

즉, [eqn: 13 <m<15]

이때, [eqn: m]이 자연수 이므로

[eqn: m = 14]

따라서

[eqn: {rmP } ( 17 le Z le 18 )][eqn: ={rmP} left ( {17-14 over5 le Z le {18-14} over 5 right)]
[eqn: ={rmP} (0.6 le Z le 0.8 )]
[eqn: = {rmP} ( 0le Z le 0.9 ) - {rmP} ( 0 le Z le 0.6 )]
[eqn: = 0.288 -0.226]
[eqn: =0.062]

(가) [eqn: f(10 ) > f (20)]

(나) [eqn: f(4) < f(22)]

[eqn: m`]이 자연수일 때 [eqn: rm {P ( 17 le it X le 18 ) ``]의 값을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[eqn: z]	[eqn: rmP`(0 LEQ itZ```` LEQ z)]
[eqn: 0.6]	[eqn: 0.226]
[eqn: 0.8]	[eqn: 0.288]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.341]
[eqn: 1.2]	[eqn: 0.385]
[eqn: 1.4]	[eqn: 0.419]

① [eqn: 0.044]	② [eqn: 0.053]	③ [eqn: 0.062]

④ [eqn: 0.078]	⑤ [eqn: 0.097]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 29

확률변수 [eqn: X]는 평균이 [eqn: m], 표준편차가 [eqn: rm 5]인 정규분포를 따르고, 확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: rm 62]

[해설]

확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rm{N}} it left(m,`` 5^{2} right)]을 따르므로 곡선 [eqn: y=f(x)]는 직선 [eqn: x=m]에 대하여 대칭이다.

조건 (가)에서 [eqn: f(10)>f(20)]이므로

[eqn: m<{10+20} over {2}]

즉, [eqn: m<15]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

조건 [eqn: (]나)에서 [eqn: f(4)<f(22)]이므로

[eqn: m>{4+22} over {2}]

즉, [eqn: m>13]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 13<m<15]이고 [eqn: m]은 자연수이므로 [eqn: m=14]

이때 [eqn: Z={X-14} over {5}]로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 [eqn: {rm{N}} it (0,``1)]을 따르므로

[eqn: {rm{P}} it (17 leq X leq 18)][eqn: ={rm{P}} it left({17-14} over {5} leq Z leq {18-14} over {5} right)]
[eqn: ={rm{P}} it (0.6 leq Z leq 0.8)][eqn: ={rm{P}} it (0 leq Z leq 0.8)-{rm{P}} it (0 leq Z leq 0.6)][eqn: =0.288-0.226]
[eqn: =0.062]

따라서 [eqn: a=0.062]이므로

[eqn: 1000 a=62]

(가) [eqn: f(10)>f(20)]

(나) [eqn: f(4)<f(22)]

[eqn: z]	[eqn: {rm{P}} it (0 leq Z leq z)]
[eqn: 0.6]	[eqn: 0.226]
[eqn: 0.8]	[eqn: 0.288]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.341]
[eqn: 1.2]	[eqn: 0.385]
[eqn: 1.4]	[eqn: 0.419]

[eqn: m]이 자연수일 때 [eqn: {rm{P}} it (17 leq X leq 18)=a]이다.

[eqn: 1000 a]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 11월 18

확률변수 [eqn: X```]는 정규분포 [eqn: rmN LEFT (10,`` 2 ^{2} RIGHT )],

[eqn: z``]	[eqn: rmP LEFT ( it 0 le Z le z RIGHT )``]
[eqn: 0.5`]	[eqn: 0.1915`]
[eqn: 1.0`]	[eqn: 0.3413`]
[eqn: 1.5`]	[eqn: 0.4332`]
[eqn: 2.0`]	[eqn: 0.4772`]

확률변수 [eqn: Y ``]는 정규분포 [eqn: rmN LEFT (itm,`` 2 ^{2} RIGHT ) `]을 따르고, 확률변수 [eqn: X` `]와 [eqn: Y` `]의 확률밀도함수는 각각 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]와 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]이다.

[정답] ①

[해설]

두 확률변수 [eqn: X```]와 [eqn: Y```]는 모두 정규분포를 따르고, [eqn: sigma (X)= sigma (Y)=2`]이므로

두 확률밀도함수 [eqn: y=f(x)`], [eqn: y=g(x)`]의 그래프는 평행이동에 의하여 겹쳐질 수 있다.

[eqn: y=f(x)`]의 그래프는 직선 [eqn: x=10`]에 대하여 대칭이고,

[eqn: y=g(x)`]의 그래프는 직선 [eqn: x=m``]에 대하여 대칭이므로

오른쪽 그림과 같이

[eqn: f(8)=f(12)=g(m-2)=g(m+2)`]이다.

이때 [eqn: f(12){le}g(20)`]에서

[eqn: m-2{le}20{le}m+2`]

즉, [eqn: 18{le}m{le}22`]에서 [eqn: rmP(it21{le}Y{le}24)`]의 값은

오른쪽 그림과 같이 [eqn: m=22`]일 때 최대이다.

확률변수 [eqn: Y```]가 정규분포 [eqn: rmN(22,~2 ^{2} )`]을 따를 때,

확률변수 [eqn: Z= {Y-22} over {2}`]는 표준정규분포 [eqn: rmN(0,~1)`]을 따르므로

[eqn: rmP(it21{le}Y{le}24)`][eqn: =rmP LEFT ( it {21-22} over {2} {le}Z{le} {24-22} over {2} RIGHT )`]
[eqn: =rmP(it-0.5{le}Z{le}1)`]
[eqn: =rmP LEFT ( it0{le}Z{le}0.5 RIGHT ) +rmP(it0{le}Z{le}1)`]
[eqn: =0.1915+0.3413`]
[eqn: =0.5328`]

[eqn: f LEFT (12 RIGHT ){le}g LEFT (20 RIGHT ) `]

을 만족시키는 [eqn: m``]에 대하여 [eqn: rm{rmP} LEFT (it21{le}Y`{le}24 RIGHT ) `]의 최댓값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

① [eqn: 0.5328`]	② [eqn: 0.6247`]	③ [eqn: 0.7745`]

④ [eqn: 0.8185`]	⑤ [eqn: 0.9104`]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 18

확률변수 [eqn: X` `]는 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( it m _{1 } ,`` sigma _{1}`^{ 2} RIGHT ) `], 확률변수 [eqn: Y` `]는 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( it m _{2} ,`` sigma _{2}`^{ 2} RIGHT ) `]을 따르고, 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]의 확률밀도함수는 각각 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]이다. [eqn: sigma _{1} = sigma _{2} `]이고 [eqn: f LEFT ( 24 RIGHT ) =g LEFT ( 28 RIGHT )`]일 때, 확률변수 [eqn: X `], [eqn: Y` `]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

표준편차가 같은 정규분포곡선의 모양은 항상 일정하다. 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]는 표준편차가 같은 정규분포를 따르고,

조건 (가)에 의하여 [eqn: m _{1} <24<28<m _{2}], [eqn: f LEFT ( 24 RIGHT ) =g LEFT ( 28 RIGHT )]인 확률밀도함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: sigma _{1} =sigma _{2} =sigma]라 하자.

[eqn: {rmP} LEFT ( m _{1} le X le24 RIGHT ) ={rmP} LEFT ( 28le Y le m _{2} RIGHT ) =0.4772]

[eqn: {rmP} LEFT ( 0le Z le {24-m _{1}} over {sigma} RIGHT ) &={rmP} LEFT ( {28-m _{2}} over {sigma} le Z le0 RIGHT )# &=0.4772]

[eqn: {rmP} LEFT ( 0le Z le2 RIGHT ) ={rmP} LEFT ( it -2le Z le0 RIGHT ) =0.4772]

이므로 [eqn: {24-m _{1}} over {sigam} =2], [eqn: {28-m _{2}} over {sigma} = it -2]

[eqn: 24-m _{1} =2sigma], [eqn: m _{2} -28=2 sigma]	[eqn: cdotscdots] ㉠

조건 (나)에 의하여

[eqn: {rmP} LEFT ( Y ge36 RIGHT )][eqn: =1-{rmP} LEFT ( X le24 RIGHT )]
[eqn: =1-{rmP} LEFT ( Z le2 RIGHT )]
[eqn: ={rmP} LEFT ( Z ge2 RIGHT )]

[eqn: {36-m _{2}} over {sigma} =2], [eqn: 36-m _{2} =2sigma]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: m _{2} -28=36-m _{2}]

[eqn: m _{2} =32]이므로 [eqn: sigma=2], [eqn: m _{1} =20]

[eqn: therefore][eqn: {rmP} LEFT ( 18le X le21 RIGHT )][eqn: ={rmP} LEFT ( it -1le Z le0.5 RIGHT )]
[eqn: =0.3413+0.1915]
[eqn: =0.5328]

(가) [eqn: {rmP it } LEFT ( it m _{1} LEQ X` LEQ 24 RIGHT ) +{rmP it } LEFT ( it 28 LEQ Y` LEQ m _{2} RIGHT )=0.9544]

(나) [eqn: {rmP it } LEFT ( it Y` GEQ 36 RIGHT )=1-{rmP it } LEFT ( it X` LEQ 24 RIGHT )]

[eqn: {rmP it } LEFT ( it 18 LEQ X` LEQ 21 RIGHT ) `]의 값을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[eqn: {z}{{from^2020^인천교육청고3나^중}}]	[eqn: {rmP it } LEFT (0 LEQ Z` LEQ z RIGHT ) `]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

① [eqn: 0.3830]	② [eqn: 0.5328]	③ [eqn: 0.6247]

④ [eqn: 0.6826]	⑤ [eqn: 0.7745]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 29

서로 다른 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]가 각각 정규분포 [eqn: rmN ( it a,````sigma^2 )], [eqn: rmN ( it 2b-a ,````sigma^2 )]을 따른다. 확률변수 [eqn: X`]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)`]와 확률변수 [eqn: Y`]의 확률밀도함수 [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a+ b `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 25]

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: rmP left(itX le11right)=rmP left(itZ ge{11-a}oversigma right)]

[eqn: rmP left(itY ge11right)=rmP left(itZ ge{11-2b+a}oversigma right)]

[eqn: rm P( it X le 11 ) = rmP (it Y ge 11) `]이므로

[eqn: {11-a}oversigma +{11-2b+a}oversigma =0]	[eqn: therefore][eqn: b=11]

확률변수 [eqn: X]의 평균이 [eqn: a], 확률변수 [eqn: Y]의 평균이 [eqn: 22-a]이고, 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]의 표준편차가 같으므로 두 확률밀도함수 [eqn: f left(x right)], [eqn: g left(x right)]는 [eqn: x=11]에 대하여 대칭인 함수이다.

[eqn: g left(10right)=f left(12right)]이므로 조건 (나)에서

[eqn: f left(17right)<g left(10right)=f left(12right)<f left(15 right)]

[eqn: left|`15-a`right|<a-12<17-a]

[eqn: 27over2 <a< 29over2]	[eqn: therefore][eqn: a=14]

[eqn: therefore][eqn: a+b=14+11=25]

(가) [eqn: rm P( it X le 11 ) = rmP (it Y ge 11) `]

(나) [eqn: f(17) < g(10)< f(15) `]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 28

정규분포를 따르는 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]의 확률밀도함수를 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]라 할 때, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ④

[해설]

곡선 [eqn: y=g(x)]는 곡선 [eqn: y=f(x)]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -6]만큼 평행이동한 것이므로 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]의 표준편차는 같다.

확률변수 [eqn: X]의 평균을 [eqn: m], 표준편차를 [eqn: sigma]라 하면

확률변수 [eqn: Y]의 평균은 [eqn: m-6], 표준편차는 [eqn: sigma]이다.

표준정규분포를 따르는 확률변수 [eqn: Z]에 대하여

조건 (가)에서

[eqn: {rm{P}} it (X leq 11)={rm{P}} it (Y geq 23)]

[eqn: {rm{P}} it left(Z leq {11-m} over { sigma} right)={rm{P}} it left(Z geq {29-m} over { sigma} right)]

[eqn: {11-m} over { sigma}=-{29-m} over { sigma}]에서 [eqn: m=20]

조건 (나)에서

[eqn: {rm{P}} it (X leq k)+{rm{P}} it (Y leq k)=1]

[eqn: {rm{P}} it left(Z leq {k-20} over { sigma} right)+{rm{P}} it left(Z leq {k-14} over { sigma} right)=1]

[eqn: {k-20} over { sigma}=-{k-14} over { sigma}]에서 [eqn: k=17]

[eqn: {rm{P}} it (X leq 17)+{rm{P}} it (Y geq 17)]

[eqn: ={rm{P}} it left(Z leq-{3} over { sigma} right)+{rm{P}} it left(Z geq {3} over { sigma} right)]

[eqn: =2 times {rm{P}} it left(Z geq {3} over { sigma} right)]

[eqn: {rm{P}} it (X leq 17)+{rm{P}} it (Y geq 17)=0.1336]에서

[eqn: {rm{P}} it left(Z geq {3} over { sigma} right)=0.0668]

표준정규분포표에서

[eqn: {rm{P}} it (0 leq Z leq 1.5)=0.4332], 즉 [eqn: {rm{P}} it (Z geq 1.5)=0.0668]

[eqn: {3} over { sigma}=1.5]에서 [eqn: sigma=2]

따라서 [eqn: {rm{E}} it (X)+ sigma(Y)=m+ sigma=20+2=22]

[eqn: g(x)=f(x+6)]

이다. 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]와 상수 [eqn: k]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: {rm{P}} it (X leq 11)={rm{P}} it (Y geq 23)]

(나) [eqn: {rm{P}} it (X leq k)+{rm{P}} it (Y leq k)=1]

다음

[eqn: z]	[eqn: {rm{P}} it (0 leq Z leq z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

표준정규분포표를 이용하여 구한 [eqn: {rm{P}} it (X leq k)+{rm{P}} it (Y geq k)]의 값이 [eqn: 0.1336]일 때, [eqn: {rm{E}} it (X)+ sigma(Y)]의 값은?

① [eqn: {41} over {2}]	② [eqn: rm 21]

③ [eqn: {43} over {2}]	④ [eqn: rm 22]	⑤ [eqn: {45} over {2}]

05 확통	08 정규분포
04 이항분포와 정규분포의 관계
05 이항분포의 확률관계식1 (정규분포화)

[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 09월 16
[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 16

세 확률변수 [eqn: X,````Y,````W`]는 각각 다음과 같다.

[정답] ③

[해설]

세 확률변수 [eqn: X`], [eqn: Y`], [eqn: W`] 를

[eqn: X ~:`][eqn: rm N(20` ,`` 4^2 `)] , [eqn: Y ~:][eqn: rm N(45`,``6^2 `)],

[eqn: W ~:`][eqn: rm N( 80`,``8^2` )]

라 하고 표준정규분포를 [eqn: Z ~:`][eqn: rm N(0`,``1^2` )]이라 두면

[eqn: left vert X over 100 - 1 over 5 right vert ＜ 1 over 10 `]에서 [eqn: vert X-20 vert ＜10`]

[eqn: therefore`][eqn: left vert X-20 over 4 right vert ＜ 10 over 4 = 2.5`]

[eqn: therefore][eqn: {rm P} left( left vert X over 100 - 1 over 5 right vert ＜ 1 over 10 right) ={rm P} left( vert z vert ＜ 2.5 right)`]

같은 방법으로

[eqn: therefore`][eqn: {rm P} left( left vert Y over 225 - 1 over 5 right vert ＜ 1 over 25 right) = {rm P} left( vert z vert ＜ 1.5 right)]

[eqn: therefore`][eqn: {rm P} left( left vert W over 400 - 1 over 5 right vert ＜ 1 over 10 right) = {rm P} left( vert z vert ＜ 5 right)]

[eqn: therefore`][eqn: {rm P} left( left vert W over 400 - 1 over 5 right vert ＜ 1 over 25 right) = {rm P} left( vert z vert ＜ 2 right)`]

따라서, 옳은 것은 ㄱ. ㄷ

(가) [eqn: X``]는 이항분포 [eqn: rmB` LEFT ( `100,`` {1} over {5} RIGHT )]을 따른다.

(나) [eqn: Y```]는 이항분포 [eqn: rmB` LEFT ( `225,`` {1} over {5} RIGHT )]을 따른다.

(다) [eqn: W```]는 이항분포 [eqn: rmB` LEFT ( `400,`` {1} over {5} RIGHT )]을 따른다.

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: {rm P} LEFT ( LEFT | {X`} over {100} - {1} over {5} RIGHT | < {1} over {10} RIGHT ) < {rm P} LEFT ( LEFT | {W`} over {400} - {1} over {5} RIGHT | ＜ {1} over {10} RIGHT )] ㄴ. [eqn: {rm P} LEFT ( LEFT | {X`} over {100} - {1} over {5} RIGHT | < {1} over {10} RIGHT ) < {rm P} LEFT ( LEFT | {Y`} over {225} - {1} over {5} RIGHT | ＜ {1} over {25} RIGHT )] ㄷ. [eqn: {rm P} LEFT ( LEFT | {Y`} over {225} - {1} over {5} RIGHT | < {1} over {25} RIGHT ) < {rm P} LEFT ( LEFT | {W`} over {400} - {1} over {5} RIGHT | ＜ {1} over {25} RIGHT )]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

05 확통	08 정규분포
04 이항분포와 정규분포의 관계
07 정규분포를 이용한 이항분포의 확률 구하기

[출처]	2007 모의_공공 사관학교 고3 07월 18
[출처]	2007 모의_공공 사관학교 고3 07월 18

어느 농장에서 생산된 포도송이의 무게는 평균 [eqn: 600`` rm g], 표준편차 [eqn: 100` rm `g`]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 농장에서 생산된 포도송이 중 임의로 [eqn: 100`]송이를 추출할 때, 포도송이의 무게가 [eqn: 636`` rm g] 이상인 것이 [eqn: 42 `]송이 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[eqn: z`]	[eqn: {rm P}(0le Z le z )]
[eqn: 0.36]	[eqn: 0.14]
[eqn: 1.00]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.25]	[eqn: 0.39]
[eqn: 2.00]	[eqn: 0.48]

[정답] ②

[해설]

포도송이 한 송이의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 두면 [eqn: X]~[eqn: N(600, 100^2 )]이므로 한 송이의 무게가 636g 이상일 확률은 [eqn: P(X>=636) = P(Z>=0.36)=0.36]포도송이를 100송이 뽑았을 때 636g 이상인 포도송이의 개수를 확률변수 [eqn: Y]라 두면  [eqn: Y]~[eqn: B(100`,`` 0.36)]가 되고 이 이항분포는 정규분포 [eqn: N(36`,`(4.8)^2 )]에 근사해 간다.

[eqn: THEREFORE P(Y>=42) = P(Z>=1.25)=0.11]

① [eqn: 0.02]	② [eqn: 0.11]	③ [eqn: 0.14]

④ [eqn: 0.16]	⑤ [eqn: 0.36]

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 30

어느

[eqn: z]	[eqn: {rm{P}} it (0 leq Z leq z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48]

도시의 학생 [eqn: 2500`]명을 대상으로 조사한 통학 시간은 정규분포를 따르고 평균이 [eqn: 25`]분, 표준편차가 [eqn: 5`]분이라고 한다. 이 [eqn: 2500 `]명의 학생 중 임의로 택한 한 학생의 통학 시간이 [eqn: 35`]분 이상일 확률은 [eqn: p_1]이다. 또, 이 [eqn: 2500`]명의 학생 중에서 통학 시간이 [eqn: 35`]분 이상인 학생이 [eqn: n`]명 이상일 확률은 [eqn: p_2`]이다. [eqn: p_1 =p_2 `]일 때, 자연수 [eqn: n`]의 값을 구하시오. (단, 아래 표준정규분포표를 이용한다.)

[정답] [eqn: 64]

[해설]

한 학생의 통학 시간을 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: p _{1} =][eqn: rm P it (X >= 35)= rm P it LEFT ( Z >= {35-25} over {5} RIGHT )][eqn: =0.02]

따라서 [eqn: rm 2500]명 중 통학 시간이 [eqn: rm 35]분 이상인 학생의 수를 확률변수 [eqn: Y]라 하면 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: {rm{B}} it (2500,``0.02)]를 따르므로 근사적으로 정규분포 [eqn: LEFT . rm N( it 50,``7 ^{2} RIGHT )]을 따른다. 이때, [eqn: p _{2} = rm P it (Y GEQ n)= rm P it LEFT ( Z GEQ {n-50} over {5} RIGHT ) = rm P it (Z GEQ 2)]이어야 하므로 [eqn: {n-50} over {7}=2]이다.

[eqn: therefore~n=64]

[출처]	2009 모의_공공 사관학교 고3 07월 21
[출처]	2009 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

어느 자영업자의 하루 매출액은 평균이 [eqn: 30`]만원이고 표준편차가 [eqn: 4`]만원인 정규분포를 따른다고 한다.
이 자영업자는 하루 매출액이 [eqn: 31`]만 원 이상일 때마다 [eqn: 1000`]원씩을 자선단체에 기부하고 [eqn: 31``]만원 미만일 때는 기부를 하지 않는다고 한다. 이와 같은 추세가 계속된다고 할 때, [eqn: 600`]일 동안 영업하여 기부할 총 금액이 [eqn: 222000`]원 이상이 될 확률을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답] ④

[해설]

자영업자의 하루 매출액을 확률분포 [eqn: X``]라 하고 확률변수 [eqn: Z``]를 [eqn: Z= {X-30} over 4``]라 하면, 어느 날 자영업자가 기부할 확률은 [eqn: {rmP}(Z>=0.25)=0.4``]이다. [eqn: 600``]일 동안의 자선단체 기부가능성 확률분포 [eqn: rmY``]라 하면 이항분포 [eqn: {rmB}(600,```0.4)``]로 나타낼 수 있고, 이를 정규분포로 근사하면 [eqn: {rmN}(240,```12^2 )``]이다. 따라서 [eqn: 600``]일 중에서 [eqn: 222``]일 이상 자선단체에 기부할 확률은

[eqn: {rmP}left(m- 3 over 2 sigma <=rmY right)={rmP}(-1.5<=rmZ)=0.93``] (단, [eqn: rmZ={Y-240} over 12``])

[eqn: z`]	[eqn: rm P it ` LEFT ( 0{leq}Z`{leq}z RIGHT ) `]
[eqn: 0.25]	[eqn: 0.10]
[eqn: 0.50]	[eqn: 0.19]
[eqn: 1.00]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.50]	[eqn: 0.43]

① [eqn: 0.69``]	② [eqn: 0.84`]	③ [eqn: 0.90`]

④ [eqn: 0.93``]	⑤ [eqn: 0.98``]

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 10월 11

어느 과수원에서 수확한 사과의 무게는 평균 [eqn: 400`g], 표준편차 [eqn: 50`g`]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 사과 중 무게가 [eqn: 442`g] 이상인 것을 [eqn: 1`]등급 상품으로 정한다. 이 과수원에서 수확한 사과 중 [eqn: 100`]개를 임의로 선택할 때, [eqn: 1`]등급 상품이 [eqn: 24`]개 이상일 확률을 다음 표준정규분포 표를 이용하여 구한 것은?

[정답] ②

[해설]

사과의 무게 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: N(400,`50 ^{2} )]을 따른다.

1등급 상품이 될 확률은

[eqn: rmP(it X GEQ 442)=rm P left(it Z ``GEQ {442-400} over {50} right)][eqn: rm=P(it Z GEQ 0.84)][eqn: =0.2]

사과 [eqn: 100]개 중 [eqn: 1]등급 상품의 개수 [eqn: Y`]는 이항분포 [eqn: B(100,`0.2)]를 따르고 근사적으로 [eqn: N(20,`4 ^{2} )]을 따른다.

[eqn: rmP it(Y GEQ 24)=rm P itleft(Z GEQ {24-20} over {4} right)][eqn: rm=P(it Z GEQ 1)][eqn: =0.16]

[eqn: z`]	[eqn: rm P it LEFT ( 0 LEQZ`` LEQz RIGHT )]
[eqn: 0.64]	[eqn: 0.24]
[eqn: 0.84]	[eqn: 0.30]
[eqn: 1.00]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.28]	[eqn: 0.40]

① [eqn: 0.10]	② [eqn: 0.16]	③ [eqn: 0.20]

④ [eqn: 0.26]	⑤ [eqn: 0.34]

05 확통	09 통계적 추정
01 모평균과 표본평균
01 모평균과 표본평균1 (표본평균의 확률)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 확률과 통계 30

주머니 [eqn: rm A `]에는 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2 `]가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 2 `]개의 공이 들어 있고, 주머니 [eqn: rm B `]에는 숫자 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5 `]가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 3 `]개의 공이 들어 있다. 다음의 시행을 [eqn: 3 `]번 반복하여 확인한 세 개의 수의 평균을 [eqn: bar {X` } `]라 하자.

[정답] [eqn: 71`]

[해설]

모집단의 분포는

[eqn: X]	1	2	3	4	5	합계
P[eqn: (X= x)]	[eqn: 1 over4]	[eqn: 1 over4]	[eqn: 1 over6]	[eqn: 1 over6]	[eqn: 1 over6]	1

[eqn: barX = 1 over3 ( X_1 + X_2 + X_3 )][eqn: =2]인 경우는

[eqn: (x_1 , ``x_2 ,``x_3 ) =][eqn: (1,1,4)], [eqn: (1,4,1)], [eqn: (4,1,1)]

[eqn: (1,2,3)], [eqn: (1,3,2)], [eqn: cdots], [eqn: (3, 2,1)]

[eqn: (2,2,2)]

이므로 구하는 확률은

[eqn: 3 Times left( 1 over4 right)^2 left( 1 over6 right) + 6 Times left( 1 over4 right)^2 left( 1 over6 right) + left( 1 over4 right)^3][eqn: = 7 over64]

[eqn: THEREFORE][eqn: p+q = 64 + 7 = 71]

두 주머니 [eqn: rm A], [eqn: rmB] 중 임의로 선택한 하나의 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 꺼낸 주머니에 다시 넣는다.

[eqn: rm P` it LEFT ( bar {X` } = 2 RIGHT ) = q over p `]일 때, [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 29

[eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 6]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: rm 6]장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 [eqn: rm 4]번 반복하여 확인한 네 개의 수의 평균을 [eqn: bar{X}]라 할 때, [eqn: {rm{P}} it left( bar{X}={11} over {4} right)={q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: rm 175]

[해설]

각 시행에서 뽑힌 숫자를 [eqn: x_{i}(1 leq i leq 4)]라 하면

[eqn: bar{X}={x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}} over {4}={11} over {4}]이므로 [eqn: x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=11]이다.

[eqn: 1 leq x_{i} leq 6(1 leq i leq 4)]이므로

[eqn: x_{i} `prime =x_{i}-1(1 leq i leq 4)]이라 두면 [eqn: 0 leq x_{i} `prime leq 5]이고,

[eqn: x_{1} it ^ { prime}+x_{2} it ^ { prime}+x_{3} it ^ { prime}+x_{4} it ^ { prime}=7]이다.

이 꼴을 만족하는 순서쌍 [eqn: left(x_{1} it ^ { prime},`` x_{2} it ^ { prime},`` x_{3} it ^ { prime},`` x_{4} it ^ { prime} right)]의 경우의 수는 [eqn: it _{4} {rm{H}} it _{7}]이다.

[eqn: 0 leq x_{i} `prime leq 5]이어야 하므로 [eqn: x_{i} `prime geq 6]인 경우의 수는 [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{1} times it _{4} {rm{H}} it _{1}]이다.

따라서 [eqn: x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=11], [eqn: 1 leq x_{i} leq 6(1 leq i leq 4)]을

만족하는 경우의 수는

[eqn: it _{4} {rm{H}} it _{7}- it _{4} {rm{C}} it _{1} times it _{4} {rm{H}} it _{1}=120-16=104]

이므로 구하는 확률은 [eqn: 104 times {1} over {6^{4}}={13} over {162}]

따라서 [eqn: p+q=162+13=175]

[다른 풀이]

[eqn: bar{X}={x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}} over {4}={11} over {4}]이므로 [eqn: x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=11]이다.

총 네 수의 합이 [eqn: rm 11]이 되는 경우의 수는 다음과 같다.

[eqn: (6,``3,``1,``1)], [eqn: (6,``2,``2,``1)]

[eqn: (5,``4,``1,``1)], [eqn: (5,``3,``2,``1)], [eqn: (5,``2,``2,``2)]

[eqn: (4,``4,``2,``1)], [eqn: (4,``3,``3,``1)], [eqn: (4,``3,``2,``2)]

[eqn: (3,``3,``3,``2)]

위 숫자들의 조합은

[eqn: (a,`` a,`` a,`` b) 2]가지, [eqn: (a,`` a,`` b,`` c) 6]가지, [eqn: (a,`` b,`` c,`` d)][eqn: rm 1]가지이다.

(i) [eqn: (a,`` a,`` a,`` b)]를 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4 !} over {3 !}=4]가지
따라서 [eqn: (3,``3,``3,``2)], [eqn: (5,``2,``2,``2)]의 확률은 [eqn: 2 times {4} over {6^{4}}]

(ii) [eqn: (a,`` a,`` b,`` c)]를 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4 !} over {2 !}=12]가지
따라서 [eqn: (6,``3,``1,``1)], [eqn: (6,``2,``2,``1)], [eqn: (5,``4,``1,``1)], [eqn: (4,``4,``2,``1)], [eqn: (4,``3,``3,``1)], [eqn: (4,``3,``2,``2)]의 확률은 [eqn: 6 times {12} over {6^{4}}]

(iii) [eqn: (a,`` b,`` c,`` d)]를 나열하는 경우의 수는 [eqn: 4 ! it =24]가지
따라서 [eqn: (5,``3,``2,``1)]의 확률은 [eqn: {24} over {6^{4}}]

[eqn: therefore~{rm{P}} it left( bar{X}={11} over {4} right)={8+72+24} over {6^{4}}={13} over {162}]

[eqn: therefore~p+q=175]

[다른 풀이]

각 시행에서 뽑은 수를 [eqn: X_{1}], [eqn: X_{2}], [eqn: X_{3}], [eqn: X_{4}]라 하면,

[eqn: bar{X}={X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}} over {4}={11} over {4}]이므로

[eqn: X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}=11]

가능한 경우는

[eqn: 6+3+1+1=6+2+2+1]

[eqn: =5+4+1+1+=5+3+2+1=5+2+2+2]

[eqn: =4+4+2+1=4+3+3+1=4+3+2+2=3+3+3+2]

가 존재하고,

[eqn: bigcirc bigcirc bigcirc]◆꼴의 경우 뽑는 순서 정하는 경우 [eqn: rm 4]가지이므로

[eqn: 4 times 2]

[eqn: bigcirc bigcirc triangle]꼴의 경우 뽑는 순서 정하는 경우는 [eqn: {4 !} over {2 !}]이므로

[eqn: {4 !} over {2 !} times 6=72]

[eqn: 5+3+2+1]의 경우 모두 다르므로, 뽑는 순서 정하는 경우는 [eqn: 4 !]이므로

[eqn: 4 ! times 1=24]

따라서 [eqn: 8+72+24=104]

구하는 확률은 [eqn: {104} over {6^{4}}={13} over {162}={q} over {p}]

따라서 [eqn: p+q=162+13=175]

05 확통	09 통계적 추정
01 모평균과 표본평균
05 모평균과 표본평균5 (실생활에서 표본평균의 분포)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 30

주머니에 [eqn: 12]개의 공이 들어 있다. 이 공들 각각에는 숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4] 중 하나씩이 적혀 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 [eqn: 4]번 반복하여 확인한 [eqn: 4]개의 수의 합을 확률변수 [eqn: X]라 할 때, 확률변수 [eqn: X]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 23]

[해설]

주머니에서 임의로 꺼낸 한 개의 공에 적혀 있는 수를 확률변수 [eqn: Y]라 할 때, 확률변수 [eqn: Y]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: Y]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: rm P it LEFT ( Y=y RIGHT )]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c]	[eqn: d]	[eqn: 1]

[eqn: X][eqn: =4]인 경우는 [eqn: 4]개의 수가 모두 [eqn: 1]이어야 하므로

[eqn: rm P it LEFT ( X=4 RIGHT )][eqn: =a ^{4}]

[eqn: a ^{4}][eqn: = {1} over {81}]에서 [eqn: 0 LEQ a LEQ 1]이므로 [eqn: a][eqn: = {1} over {3}]

[eqn: X][eqn: =16]인 경우는 [eqn: 4]개의 수가 모두 [eqn: 4]이어야 하므로

[eqn: rm P it LEFT ( X=16 RIGHT )][eqn: =d ^{4}]

[eqn: 16d ^{4}][eqn: = {1} over {81}]에서 [eqn: 0 LEQ d LEQ 1]이므로 [eqn: d][eqn: = {1} over {6}]

[eqn: a+b+c+d][eqn: =1]이므로

[eqn: b+c][eqn: = {1} over {2}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

확인한 [eqn: 4]개의 수의 표본평균을 [eqn: {bar{Y}}]라 하면

[eqn: X][eqn: =4 {bar{Y}}]이다.

[eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT )][eqn: = rm E it LEFT ( 4 {bar{Y}} RIGHT )][eqn: =4` rm E it LEFT ( {bar{Y}} RIGHT )][eqn: =4 rm `E it LEFT ( Y RIGHT )]
[eqn: =4 LEFT ( {1} over {3} +2b+3c+ {4} over {6} RIGHT )][eqn: =4 LEFT ( 1+2b+3c RIGHT )]

[eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT )][eqn: =9]에서 [eqn: 4 LEFT ( 1+2b+3c RIGHT )][eqn: =9]이므로

[eqn: 2b+3c][eqn: = {5} over {4}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: b][eqn: = {1} over {4}], [eqn: c][eqn: = {1} over {4}]

[eqn: rm V it LEFT ( X RIGHT )][eqn: = rm V it LEFT ( 4 {bar{Y}} RIGHT )][eqn: =16 rm `V it LEFT ( {bar{Y}} RIGHT )][eqn: =4` rm V it LEFT ( Y RIGHT )]
[eqn: =4 LEFT [ rm E it LEFT ( Y ^{2} RIGHT ) - LEFT { rm E it LEFT ( Y RIGHT ) RIGHT } ^{2} RIGHT ]]
[eqn: =4 LEFT { LEFT ( {1} over {3} + {4} over {4} + {9} over {4} + {16} over {9} RIGHT ) - LEFT ( {9} over {4} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]
[eqn: =4 LEFT ( {25} over {4} - {81} over {16} RIGHT )][eqn: = {19} over {4}]

따라서 [eqn: p][eqn: =4], [eqn: q][eqn: =19]이므로 [eqn: p+q][eqn: =23]

(가) [eqn: rm P it LEFT ( X=4 RIGHT )][eqn: =16 TIMES rm P it LEFT ( X=16 RIGHT )][eqn: = {1} over {81}]

(나) [eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT )][eqn: =9]

[eqn: rm V it LEFT ( X RIGHT )][eqn: = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

05 확통	09 통계적 추정
02 표본평균의 확률분포
03 표본평균의 정규분포3 (실생활. 확률 구하기)

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 11

어느 공장에서 생산되는 제품의 무게 [eqn: X``]는 평균이 [eqn: rm 60``g], 표준편차가 [eqn: rm 5``g]인 정규분포를 따른다고 한다. 제품의 무게가 [eqn: rm 50``g] 이하인 제품은 불량품으로 판정한다. 이 공장에서 생산된 제품 중에서 [eqn: 2500`]개를 임의로 추출할 때, [eqn: 2500`]개 무게의 평균을 [eqn: bar{X``}], 불량품의 개수를 [eqn: Y``]라고 하자. 다음 표준정규분포 표를 이용하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ③

[해설]

확률변수 [eqn: X``]가 정규분포 [eqn: rm ```N(60,```5 ^{2} )``]을 따르므로 표본평균 [eqn: bar{X``} `]는 정규분포 [eqn: LEFT . rm ```N` LEFT ( 60,``0.1 ^{2} RIGHT ) RIGHT .]을 따른다. 또한, 불량품으로 판정될 확률은

[eqn: rm P it (X <= 50)= rm P it (Z <= -2)][eqn: =0.02``]

이므로 확률변수 [eqn: Y``]는 이항분포 [eqn: rm B it (2500,```0.02)]를 따르고, 근사적으로 정규분포 [eqn: rm N it (50,``7 ^{2} )]을 따른다.

ㄱ. [eqn: rm P it ( bar{X``} ` >= 60)= {1} over {2}][eqn: THEREFORE `````]참

ㄴ. [eqn: rm P it (Y` >= 57)= rm P it (Z >= 1)=0.16]

[eqn: rm P it ( bar{X``} ` <= 59.9)= rm P it (Z <= -1)=0.16][eqn: THEREFORE `````]참

ㄷ.

[eqn: rm P( it 60-k <= X <= 60+k)= rm P it (- {k} over {5} <= Z <= {k} over {5} )]

[eqn: rm P( it 60-k <= bar{X``} <= 60+k)= rm P it (- {k} over {0.1} <= Z <= {k} over {0.1} )]

[eqn: rm P( it 60-k <= X <= 60+k)＜ {rm P}(60-k <= it bar{X``} <= 60+k)]

[eqn: THEREFORE `````]거짓

<표준정규분포 표>
[eqn: z]	[eqn: rm P it LEFT ( 0 LEQZ`` LEQz RIGHT )]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.19]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.49]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: rm {rm P} LEFT ( it {bar{X` }} {geq}60 RIGHT )= {1} over {2}] ㄴ. [eqn: rm {rm P} LEFT ( it Y`{geq}57 RIGHT )= rm {rm P} LEFT ( it {bar{X` }} {leq}59.9 RIGHT )] ㄷ. 임의의 양수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: rm {rm P} LEFT ( it 60-k LEQ X` LEQ 60+k RIGHT )> rm {rm P} LEFT ( it 60-k LEQ {bar{X` }} LEQ 60+k RIGHT )]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

05 확통	09 통계적 추정
02 표본평균의 확률분포
05 표본평균의 정규분포5 (실생활. 확률변수의 부분합, 부분합의 확률변수)

[출처]	2015 모의_공공 사관학교 고3 07월 7

어느 과수원에서 생산되는 사과의 무게는 평균이 [eqn: 350 rm ``g`]이고 표준편차가 [eqn: 30 rm ``g`]인 정규분포를 따르고, 배의 무게는 평균이 [eqn: 490 rm ``g`]이고 표준편차가 [eqn: 40 rm ``g`]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 과수원에서 생산된 사과 중에서 임의로 선택한 [eqn: 9]개의 무게의 총합을 [eqn: X(rmg)]이라 하고, 이 과수원에서 생산된 배 중에서 임의로 선택한 [eqn: 4]개의 무게의 총합을 [eqn: Y(rmg)]이라 하자. [eqn: X ge3240`]이고 [eqn: Y ge2008`]일 확률을 아래의 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답] ①

[해설]

과수원에서 생산된 사과 중에서 임의로 선택한 [eqn: 9]개의 무게의 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라 하면 확률변수 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: {rm N}left(350 , left(30 over 3 right)^2 right)], 즉 [eqn: {rm N}(350, ``10^2 )]을 따른다.

또한, 과수원에서 생산된 배 중에서 임의로 선택한 [eqn: 4]개의 무게의 표본평균을 [eqn: bar{Y``}]라 하면 확률변수 [eqn: bar{Y``}]는 정규분포 [eqn: {rm N}left(490 , left(40 over 2 right)^2 right)], 즉 [eqn: {rm N}(490, ``20^2 )]을 따른다.

[eqn: X =9bar{X``}], [eqn: Y= 4 bar{Y``}]이고 확률변수 [eqn: X]와 [eqn: Y]는 독립이다.

∴ [eqn: {rm P}(X ge 3240, ``Y ge2008)]

[eqn: ={rm P}(X ge 3240) times {rm P}(Y ge2008)]

[eqn: = {rm P}( bar{X``}ge360) times {rm P}(bar{Y``}ge 502)]

[eqn: = {rm P}(Z ge1 ) times {rm P}(Z ge0.6)]

[eqn: = left(0.5-{rm P}(0 le Z le1) right) times left(0.5 - {rm P}(0 le Z le 0.6)]

[eqn: = (0.5-0.34)times (0.5-0.23)]

[eqn: =0.0432]

[eqn: z]	[eqn: rmP LEFT ( 0`le`itZ`le`z RIGHT )]
[eqn: 0.4]	[eqn: 0.16]
[eqn: 0.6]	[eqn: 0.23]
[eqn: 0.8]	[eqn: 0.29]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34]

(단, 사과의 무게와 배의 무게는 서로 독립이다.)

① [eqn: □□□□□□]	② [eqn: □□□□□□]	③ [eqn: □□□□□□]

④ [eqn: □□□□□□]	⑤ [eqn: □□□□□□]

05 확통	09 통계적 추정
03 모평균의 추정
03 신뢰구간3 (관계식 해석)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 09월

어느 나라에서 작년에 운행된 택시의 연간 주행거리는 모평균이 [eqn: m]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 나라에서 작년에 운행된 택시 중에서 [eqn: 16]대를 임의추출하여 구한 연간 주행거리의 표본평균이 [eqn: bar{x`}]이고, 이 결과를 이용하여 신뢰도 [eqn: 95``%]로 추정한 [eqn: m]에 대한 신뢰구간이 [eqn: LEFT [ bar{x} -c,```` bar{x} +c RIGHT ]]이었다. 이 나라에서 작년에 운행된 택시 중에서 임의로 [eqn: 1]대를 선택할 때, 이 택시의 연간 주행거리가 [eqn: m+c] 이하일 확률을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?
(단, 주행거리의 단위는 [eqn: rmkm]이다.)

[정답] ③

[해설]

이 나라에서 작년에 운행된 택시의 연간 주행거리를 확률변수 [eqn: X], [eqn: X]의 표준편차를 [eqn: sigma]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rmN LEFT ( itm,```` sigma ^{2} RIGHT )]을 따른다.

표본의 크기가 [eqn: n=16], 표본평균이 [eqn: bar{x`}]일 때, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95``%]의 신뢰구간이

[eqn: bar{x`} -1.96 TIMES {sigma } over {4} LEQ m LEQ bar{x} +1.96 TIMES {sigma } over {4}]

이므로 [eqn: c=1.96 TIMES {sigma } over {4}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: rmP LEFT ( itX LEQ m+c RIGHT )][eqn: =rmP LEFT ( itZ LEQ {1.96} over {4} RIGHT )]
[eqn: =rmP LEFT ( itZ LEQ 0.49 RIGHT )]
[eqn: =0.5+rmP LEFT ( 0 LEQ itZ LEQ 0.49 RIGHT )]
[eqn: =0.5+0.1879]
[eqn: =0.6879]

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.49]	[eqn: 0.1879]
[eqn: 0.98]	[eqn: 0.3365]
[eqn: 1.47]	[eqn: 0.4292]
[eqn: 1.96]	[eqn: 0.4750]

① [eqn: 0.6242]	② [eqn: 0.6635]	③ [eqn: 0.6879]

④ [eqn: 0.8365]	⑤ [eqn: 0.9292]

05 확통	09 통계적 추정
03 모평균의 추정
05 신뢰구간5 (표본의 크기)

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 29

[eqn: n]	[eqn: { sqrt{n}} over {1+ log n}]
[eqn: rm 1600]	[eqn: 9.51]
[eqn: rm 1700]	[eqn: 9.75]
[eqn: rm 1800]	[eqn: 9.97]
[eqn: rm 1900]	[eqn: 10.19]
[eqn: rm 2000]	[eqn: 10.40]

평균이 [eqn: m]이고 표준편차가 [eqn: rm 5]인 정규분포를 따르는 모집단이 있다. 어느 조사에서 크기 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 얻은 모평균에 대한 신뢰도 [eqn: 95 %]의 신뢰구간이 [eqn: [a,`` b]]일 때, 조사비용과 추정의 정확도에 따른 수익이 다음과 같다고 한다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: b-a=2 times 1.96 times {5} over { sqrt{n}}]이므로

[eqn: 10 n<10^{{2} over {b-a}}]에서 [eqn: 10 n<10^{{ sqrt{n}} over {9.8}}]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: log 10 n< log 10^{{ sqrt{n}} over {9.8}}]

[eqn: 1+ log n<{ sqrt{n}} over {9.8}], [eqn: ~ 9.8<{ sqrt{n}} over {1+ log n}]

따라서 [eqn: n=1700]일 때 [eqn: { sqrt{n}} over {1+ log n}=9.75]

[eqn: n=1800]일 때 [eqn: { sqrt{n}} over {1+ log n}=9.97]

이므로 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: rm 1800]이다.

[eqn: n]	[eqn: {sqrt {n}} over {1+log`n}]
[eqn: 1600]	[eqn: 9.51]
[eqn: 1700]	[eqn: 9.75]
[eqn: 1800]	[eqn: 9.97]
[eqn: 1900]	[eqn: 10.19]
[eqn: 2000]	[eqn: 10.40]

비용: [eqn: 10 n], 수익: [eqn: 10^{{2} over {b-a}}]

[eqn: n]이 [eqn: rm 100]의 배수일 때, 수익이

비용보다 크게 되는 [eqn: n]의 최솟값을

오른쪽 표를 이용하여 구한 것은?

(단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는

확률변수일 때, [eqn: {rm{P}} it (0 leq Z leq 1.96)=0.4750]이다.)

① [eqn: rm 1600]	② [eqn: rm 1700]	③ [eqn: rm 1800]

④ [eqn: rm 1900]	⑤ [eqn: rm 2000]

[준킬러][확통] 3통계(빠른 정답)
준킬러확통	2023.01.07

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 20]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: 28`]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 78 }]

[정답] [eqn: 10]

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ①

[정답] [eqn: 380]

[정답] [eqn: 60]

[정답] [eqn: rm 112]

[정답] [eqn: 93``]

[정답] [eqn: bold80]

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ③

[정답] [eqn: bold{121]

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 31]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: rm 62]

[정답] ①

[정답] ②

[정답] [eqn: 25]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ②

[정답] [eqn: 64]

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: 71`]

[정답] [eqn: rm 175]

[정답] [eqn: 23]

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ③

[준킬러][확통] 3통계(해설)
준킬러확통	2023.01.07