	준킬러확통	[준킬러][확통] 2확률
	02
		준킬러확통	2023.01.07

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
02 수학적 확률
01 수학적 확률1 (경우의 수 - 단순확률, 케이스 분류 포함)

준킬러확통		준킬러확통
		[준킬러][확통] 2확률
02

	준킬러확통		준킬러확통
	[준킬러][확통] 2확률		02

[출처]	2007 모의_공공 사관학교 고3 07월 22
[출처]	2007 모의_공공 사관학교 고3 07월 22

좌표평면 위의 원점에 놓인 점 [eqn: \P `]가 [eqn: 1 `]개의 동전을 던질 때마다 다음과 같이 움직인다고 한다.

[정답] ③

[해설]

전체 경우의 수는 [eqn: 2^5 = 32]가지

앞면을 [eqn: rmH], 뒷면을 [eqn: RMT]라 하면 주어진 직선과 오직 한번만 만나는 경우는

[eqn: (rmH,H,H,H,H)], [eqn: (rmH,H,H,H,T)], [eqn: (rmH,H,H,T,H)],

[eqn: (rmT,H,H,H,H)], [eqn: (rmH,T,H,H,H)]의 5가지이다.

[eqn: THEREFORE p= 5over32]

[다음]

앞면이 나오면 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 평행이동하고, 뒷면이 나오면 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동 한다.

예를 들어, 동전을 [eqn: 3 `]. 던져서 차례로 앞면, 앞면, 뒷면이 나왔을 때 점 [eqn: \P`]가 지나간 자취는 그림과 같고, 이 자취는 직선 [eqn: y= 3over 2 `]과 두 점에서 만난다. 동전을 [eqn: 5 `]. 던질 때, 점 [eqn: \P `]가 지나간 자취와 직선 [eqn: y= 3over 2 `]이 오직 한 점에서 만날 확률은?

① [eqn: 3over 32]	② [eqn: 1over8]	③ [eqn: 5over 32]

④ [eqn: 7 over 32]	⑤ [eqn: 1 over4]

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 11월 22

주사위를 두 번 던질 때, 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: m], [eqn: n `]이라 하자. [eqn: i^{m} · LEFT (- i RIGHT ) ^n`]의 값이 [eqn: 1`]이 될 확률이 [eqn: {q } over {p}`]일 때, [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: i= sqrt { -1 } `]이고 [eqn: p], [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 23]

[해설]

[eqn: i^m cdot (-i)^n = (-1)^n cdot i^m+n`]이므로

[eqn: i^m cdot (-1)^n`]의 값이 1이 되는 경우는

[eqn: n`]이 짝수이고 [eqn: m+n = 4,``8,``12`]

또는 [eqn: n`]이 홀수이고 [eqn: m+n = 2 ,``6,``10`]이다.

(1) [eqn: n`]이 짝수이고 [eqn: m+n = 4,``8,``12`]인 경우는

[eqn: (2,2),(2,6),(4,4),(6,2),(6,6)`]의 5가지

(2) [eqn: n`]이 홀수이고 [eqn: m+n = 2 ,``6,``10`]인 경우는

[eqn: (1,1),(1,5),(3,3),(5,1),(5,5)`]의 5가지 따라서, 구하는 확률은 [eqn: 5+5 over 36 = 5over18`]이므로 [eqn: p+q = 18+5 = 23`]

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 07월 30

집합 [eqn: LEFT { 1 ,`` 2 ,`` 3 ,` CDOTS` ,`` 16 RIGHT }`]에서 선택한 임의의 두 수 [eqn: m], [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 3 ^{m} +8 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자가 [eqn: 3`]일 확률이 [eqn: {b} over {a} `]일 때, [eqn: a+b `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 서로소인 자연수)

[정답] [eqn: 19]

[해설]

[eqn: 3 ^{m}]의 일의 자리 숫자는 [eqn: 3,``9,``7,``1]이 반복되고, [eqn: 8 ^{n}]의 일의 자리 숫자는 [eqn: 8,``4,``2,``6]이 반복된다.

[eqn: 3 ^{m} +8 ^{n}]의 일의 자리의 수가 [eqn: 3]인 경우는 [eqn: 3]가지

ⅰ)[eqn: 3 ^{m}]의 일의 자리수: [eqn: 9] , [eqn: 8 ^{n}]의 일의 자리수: [eqn: 4]

ⅱ)[eqn: 3 ^{m}]의 일의 자리수: [eqn: 7] , [eqn: 8 ^{n}]의 일의 자리수: [eqn: 6]

ⅲ)[eqn: 3 ^{m}]의 일의 자리수: [eqn: 1] , [eqn: 8 ^{n}]의 일의 자리수: [eqn: 2]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {3} over {16}]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 19

한 개의 주사위를 세 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]라 하자. 세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]가 [eqn: a<b-2 LEQ c `]를 만족시킬 확률은?

[정답] ④

[해설]

주사위를 세 번 던져서 나오는 모든 경우의 수는 [eqn: 216]가지이다.

[eqn: a<b-2 LEQ c]를 만족시키는 경우이므로 [eqn: a]를 기준으로 [eqn: b,`c]가 될 수 있는 경우의 수를 구해보면

[eqn: a=1]일 때, [eqn: b=4]이면 [eqn: c]는 [eqn: 2,`3,`4,`5,`6]으로 [eqn: 5]가지

[eqn: a=1]일 때, [eqn: b=5]이면 [eqn: c]는 [eqn: 3,`4,`5,`6]으로 [eqn: 4]가지

[eqn: a=1]일 때, [eqn: b=6]이면 [eqn: c]는 [eqn: 4,`5,`6]으로 [eqn: 3]가지

[eqn: a=2]일 때, [eqn: b=5]이면 [eqn: c]는 [eqn: 3,`4,`5,`6]으로 [eqn: 4]가지

[eqn: a=2]일 때, [eqn: b=6]이면 [eqn: c]는 [eqn: `4,`5,`6]으로 [eqn: 3]가지

[eqn: a=3]일 때, [eqn: b=6]이면 [eqn: c]는 [eqn: 4,`5,`6]으로 [eqn: 3]가지

따라서 [eqn: a<b-2 LEQ c]를 만족시키는 경우의 수는 [eqn: 22]가지이다.

따라서 구하려는 확률은 [eqn: {22} over {216} = {11} over {108}]이다.

① [eqn: {2} over {27} `]	② [eqn: {1} over {12} `]	③ [eqn: {5} over {54} `]

④ [eqn: {11} over {108} `]	⑤ [eqn: {1} over {9} `]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 18

좌표평면 위에 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 0,`` 4 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 0 ,`` -4 RIGHT ) `]가 있다. 한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: m], [eqn: n`]이라 하자. 점 [eqn: rm C LEFT ( it m cos` {n pi} over 3} ,`` m sin` { n pi} over 3 RIGHT ) `]에 대하여 삼각형 [eqn: rm ABC `]의 넓이가 [eqn: 12 `]보다 작을 확률은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: bar\AB `= 8]에서 삼각형[eqn: \ ABC]의 높이를 [eqn: h]라고 하면,

삼각형[eqn: \ ABC]의 넓이 [eqn: \S]는 [eqn: \S = it 8 cdoth cdot 1over2 <12]에서 [eqn: h <3]이고,

[eqn: bar\AB `]가 [eqn: y]축 위에 있으므로 [eqn: h= m`cos {n pi} over3] 이므로

[eqn: LEFT | {m`cos {n pi } over3 RIGHT | <3]을 만족하는 [eqn: m,n]의 순서쌍 [eqn: (m`,~n)]은

[eqn: m=1] , [eqn: n = 1, ~2,~ cdots, 6]

[eqn: m=2] , [eqn: n = 1, ~2,~ cdots, 6]

[eqn: m=3] , [eqn: n = 1`,~2`,~4`,~5]

[eqn: m=4] , [eqn: n = 1`,~2`,~4`,~5]

[eqn: m=5] , [eqn: n = 1`,~2`,~4`,~5]

에서 구하는 확률은 [eqn: {6`+`6`+`4`+`4`+`4}over36 = 24over36 = 2over3]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 5 over 9]	③ [eqn: 11 over 18]

④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 13 over 18]

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

[eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 11]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: rm 11]장의 카드 중에서 임의로 두 장의 카드를 동시에 택할 때, 택한 카드에 적혀 있는 숫자를 각각 [eqn: m], [eqn: n(m<n)]이라 하자. 좌표평면 위의 세 점

[정답] [eqn: 68]

[해설]

[eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]는 그림과 같이 단위원을 [eqn: rm 12]등분하는 점이다.

이등변삼각형인 경우는

(ⅰ) [eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{AC}} it }]인 경우 [eqn: rm 5]가지

(ⅱ) [eqn: {rm{A}} it]가 이등변삼각형의 밑변의 꼭짓점인 경우 [eqn: rm 10]가지

(ⅲ) 정삼각형은 [eqn: rm 1]가지인데 (ⅰ), (ⅱ) 에서 [eqn: rm 3]번 중복

따라서 이등변삼각형은 [eqn: 5+10-2=13]이고,

모든 경우의 수는 [eqn: it _{11} {rm{C}} it _{2}=55]이다.

[eqn: therefore~ ~ {q} over {p}={13} over {55}], [eqn: p+q=13+55=68]

[eqn: {rm{A}} it (1,``0)], [eqn: {rm{B}} it left( cos {m pi} over {6},`` sin {m pi} over {6} right)], [eqn: {rm{C}} it left( cos {n pi} over {6},`` sin {n pi} over {6} right)]

에 대하여 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 이등변삼각형일 확률이 [eqn: {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
02 수학적 확률
03 수학적 확률3 (조합 이용)

[출처]	2004 모의_공공 평가원 고3 09월 27

집합 [eqn: X`= LEFT { 1,`` 2,`` 3,`` 4,`` 5,`` 6,`` 7,`` 8,`` 9,`` 10,`` 11 RIGHT }`]에서 임의로 [eqn: k~LEFT ( 2 LEQ k LEQ 10 RIGHT ) `]개의 원소를 선택할 때, 이 원소가 연속하는 자연수일 확률을 [eqn: P` _k`]라 한다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면?

[정답] ③

[해설]

주어진 조건에 따라 확률을 구해 보면

[eqn: rm P_2 = 10 over {`_11 C _2} = 2 over 11], [eqn: rm P_3 = 9 over {`_11 C _3} = 3 over 55]

[eqn: rm P_4 = 8 over {`_11 C _4} = 4 over 165], [eqn: rm P_5 = 7 over {`_11 C _5} = 1 over 66]

[eqn: rm P_6 = 6 over {`_11 C _6} = 1 over 77], [eqn: rm P_7 = 5 over {`_11 C _7} = 5 over {`_11 C _4}= 1 over 66 = P_5]

[eqn: rm P_8 = 4 over {`_11 C _8} = 4 over {`_11 C _3}= P_4], [eqn: rm P_9 = 3 over {`_11 C _9} = 3 over {`_11 C _2}= P_3]

[eqn: rm P_10 = 2 over {`_11 C _10} = 2 over {`_11 C _1}= P_2]  ∴ [eqn: rmP _{k} =P _{12-k}]

따라서, ㄱ, ㄴ은 참이지만 최소값은 [eqn: rm P_6]이므로 ㄷ은 옳지 않다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: P` _{2} = {2} over {11}] ㄴ. [eqn: P` _{k} =P` _{12-k}`] ㄷ. [eqn: P` _{k}] 중에서 최솟값은 [eqn: P` _{10}`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2007 모의_공공 경찰대 고3 07월 18

police academy에는 [eqn: rm 2]개의 [eqn: {rm{a}} it], [eqn: {rm{c}} it], [eqn: {rm{e}} it]를 포함하여 [eqn: rm 13]개의 문자가 있다. 이 중에서 [eqn: rm 6]개를 뽑을 때, 뽑힌 문자가 모두 다를 확률은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: a], [eqn: c], [eqn: e]는 두 개가 있으므로 뽑은 [eqn: rm 6]개의 문자 중에 이들 세 문자가 몇 개가 들어있는가에 따라 나누어 고려하자.

전체 가능한 경우의 수는 [eqn: it _{13} {rm{C}} it _{6}=1716](가지)

이다.

(ⅰ) 서로 다른 [eqn: rm 7]개의 문자에서 [eqn: rm 6]개를 선택하는 경우 :  [eqn: it _{7} {rm{C}} it _{6}=7](가지)

(ⅱ) 서로 다른 [eqn: rm 7]개의 문자에서 [eqn: rm 5]개를 선택하고 [eqn: a], [eqn: c], [eqn: e]문자 중에 하나를 선택하는 경우 : [eqn: it _{7} {rm{C}} it _{5} times 6](가지)
여기서 [eqn: a], [eqn: c], [eqn: e]문자 [eqn: rm 6]개 중에서 하나를 선택하는 방법은 모두 [eqn: rm 6]가지임을 의미한다.

(ⅲ) 서로 다른 [eqn: rm 7]개의 문자에서 [eqn: rm 4]개를 선택하고 [eqn: a], [eqn: c], [eqn: e] 중에서 [eqn: rm 2]개를 선택하는 경우 : [eqn: it _{7} {rm{C}} it _{4} times 3 times 4](가지)
여기서 뒤에 있는 [eqn: rm 3]은 [eqn: a], [eqn: c], [eqn: e] 중에서 [eqn: rm 2]개의 문자를 선택하는 방법의 수를 의미하며, [eqn: rm 4]는 선택된 두 문자에서 선택할 수 있는 방법의 수를 의미한다. 예를 들면, [eqn: a], [eqn: b]가 선택된 경우에 문자 [eqn: a]와 [eqn: b]는 각각 [eqn: rm 2]개씩 있으므로 선택할 수 있는 방법은 [eqn: rm 4]가지이다.

(ⅳ) 서로 다른 [eqn: rm 7]개의 문자에서 [eqn: rm 3]개를 선택하고 [eqn: a], [eqn: c], [eqn: e] 중에서 [eqn: rm 3]개를 선택하는 경우 : [eqn: it _{7} {rm{C}} it _{3} times 8](가지)
[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 모두 한 번씩 선택되는 경우이고 [eqn: a]를 선택하는 방법이 [eqn: rm 2]가지, [eqn: b]와 [eqn: c]를 선택하는 방법 또한 [eqn: rm 2]가지이므로 선택하는 방법의 수는 [eqn: rm 8]가지이다.

따라서 구하는 확률은 [eqn: {7+(21 times 6)+(35 times 3 times 4)+(35 times 8)} over {1716}={883} over {1716}]

① [eqn: {827} over {1716}]	② [eqn: {833} over {1716}]	③ [eqn: {839} over {1716}]

④ [eqn: {845} over {1716}]	⑤ [eqn: {851} over {1716}]

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 11월 확률과 통계 28

[eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 9]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: rm 9]개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: rm 4]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수 중에서 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합이 [eqn: rm 7] 이상이고 [eqn: rm 9] 이하일 확률은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: 9`]개의 공 중에서 [eqn: 4`]개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는

[eqn: \ _9 C_4 = {9times 8 times 7 times 6 } over { 4times 3times 2times1} \ =126]

꺼낸 공에 적혀 있는 수 중 가장 큰 수를 [eqn: M`], 가장 작은 수를 [eqn: m`]이라 하면 [eqn: 7 LEQ M+m LEQ 9`]를 만족하는 경우의 수는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: m=1,~M=6`]일 때
[eqn: 2,````3,````4,````5] 중에서 두 개를 택해야 하므로
[eqn: \ _ 4 C_2 = 6] (가지)

(ⅱ) [eqn: m=1,~M=7`]일 때
[eqn: 2,````3,````4,````5,````6] 중에서 두 개를 택해야 하므로
[eqn: \ _ 5 C_2 =10] (가지)

(ⅲ) [eqn: m=1,~M=8`]일 때
[eqn: 2,````3,````4,````5,````6,````7] 중에서 두 개를 택해야 하므로
[eqn: \ _ 6 C_2 = 15] (가지)

(ⅳ) [eqn: m=2,~M=5]일 때
[eqn: 3,````4] 중에서 두 개를 택해야 하므로
[eqn: \ _2 C_2 = 1] (가지)

(Ⅴ) [eqn: m=2,~M=6`]일 때
[eqn: 3,````4,````5] 중에서 두 개를 택해야 하므로
[eqn: \ _ 3 C_2 = 3] (가지)

(ⅵ) [eqn: m=2,~M=7`]일 때
[eqn: 3,````4,````5,````6] 중에서 두 개를 택해야 하므로
[eqn: \ _ 4 C_2 = 6] (가지)

(ⅶ) [eqn: m=3,~M=6`]일 때
[eqn: 4,````5] 중에서 두 개를 택해야 하므로
[eqn: \ _ 2 C_2 = 1] (가지)

이상에서 주어진 조건을 만족하는 경우의 수는

[eqn: 6+10+15+1+3+6+1=42] (가지)

따라서 구하는 확률은

[eqn: 42 over 126 = 1over 3]

① [eqn: {5} over {9}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {4} over {9}]

④ [eqn: {7} over {18}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 04월 20

주머니에 [eqn: 1`]부터 [eqn: 10`]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 10`]개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 5`]개의 공을 동시에 꺼낼 때 꺼낸 공에 적혀 있는 자연수 중 연속된 자연수의 최대 개수가 [eqn: 3`]인 사건을 [eqn: A``]라 하자.
예를 들어  은 연속된 자연수의 최대 개수가 [eqn: 3`]이므로 사건 [eqn: A``]에 속하고,  은 연속된 자연수의 최대 개수가 [eqn: 2`]이므로 사건 [eqn: A``]에 속하지 않는다. 사건 [eqn: A``]가 일어날 확률은?

[정답] ⑤

[해설]

주머니에서 임의로 [eqn: 5]개의 공을 동시에 꺼내는
방법의 수는 [eqn: {} _{10} rmC _{5} =252]

ⅰ) 연속된 세 수가 [eqn: LEFT { `1,``2,``3 RIGHT }]인 경우

[eqn: 4]를 제외한 [eqn: 6]개 중 [eqn: 2]개를 선택하므로 [eqn: {} _{6} rm C _{2} =15]
ⅱ) 연속된 세 수가 [eqn: LEFT { `8,``9,``10 RIGHT }]인 경우

[eqn: 7]을 제외한 [eqn: 6]개 중 [eqn: 2]개를 선택하므로 [eqn: {} _{6} rm C _{2} =15]
ⅲ) 연속된 세 수가 [eqn: LEFT { `n+1,``n+2,``n+3 RIGHT }]

([eqn: n =1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6])인 경우

[eqn: n]과 [eqn: n+4]를 제외한 [eqn: 5]개 중 [eqn: 2]개를 선택하므로

[eqn: 6times _{5} rmC _{2} =60]
ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) = 90]

따라서 [eqn: rmP LEFT ( itA RIGHT ) = {90} over {252} = {5} over {14}]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {3} over {14}]	③ [eqn: 11 over 42]

④ [eqn: 13 over 42]	⑤ [eqn: { 5} over { 14}]

[출처]	2018 모의_공공 경찰대 고3 07월 15

[eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 9]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: rm 9]개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: rm 4]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]가 다음 조건을 만족시킬 확률은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: 15=5 times 3]이므로

[eqn: rm 5]와 [eqn: rm 3]의 배수 [eqn: 3], [eqn: 6], [eqn: 9] 중 적어도 한 개가 뽑혀야 한다.

그리고 합이 홀수이므로 [eqn: rm 5] 이외의 [eqn: rm 3]개의 합은 짝수이다.

이제 [eqn: rm 5]와 다른 합이 짝수인 경우의 수를 구하고 이 중에서 [eqn: rm 3]의 배수가 뽑히지 않은 경우를 제거하여 원하는 경우의 수를 구하자.

ㄱ. [eqn: rm 5]을 제외한 홀수 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 7], [eqn: 9]/ 짝수 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8]에서
각각 [eqn: rm 2]개, [eqn: rm 1]개인 경우 [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{2} times it _{4} {rm{C}} it _{1}=24]
각각 [eqn: rm 0]개, [eqn: rm 3]개인 경우 [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{3}=4]

ㄴ. [eqn: rm 3]의 배수가 뽑히지 않은 경우는
홀수 [eqn: rm 1], [eqn: rm 7] / 짝수 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8]에서
각각 [eqn: rm 2]개, [eqn: rm 1]개인 경우 [eqn: it _{2} {rm{C}} it _{2} times it _{3} {rm{C}} it _{1}=3]
각각 [eqn: rm 0]개, [eqn: rm 3]개인 경우 [eqn: 1]

따라서 조건을 만족하는 경우의 수는 [eqn: (24+4)-(3+1)=24]

구하려는 확률은 [eqn: {24} over { it _{9} {rm{C}} it _{4}}={24} over {126}={4} over {21}]

(가) [eqn: a+b+c+d]는 홀수이다.

(나) [eqn: a times b times c times d]는 [eqn: rm 15]의 배수이다.

① [eqn: {4} over {21}]	② [eqn: {3} over {14}]	③ [eqn: {5} over {21}]

④ [eqn: {11} over {42}]	⑤ [eqn: {2} over {7}]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 18
[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 20

빨간색 공 [eqn: 6]개, 파란색 공 [eqn: 3]개, 노란색 공 [eqn: 3]개가 들어있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내는 시행을 하여,  다음 규칙에 따라 세 사람 [eqn: rm{A}], [eqn: rm{B}], [eqn: rm{C }]가 점수를 얻는다.
(단, 한 번 꺼낸 공은 다시 주머니에 넣지 않는다.)

[정답] ②

[해설]

(ⅰ) [eqn: (x `,``y`,``z ) = (6 `,``1 `,``2 )]인 경우 총 [eqn: 9]개의 공을 꺼내므로 전체 경우는 [eqn: rm{}_12 P_9]이고,
(1) 빨간공을 [eqn: 6]개 뽑으므로 [eqn: rm {}_{6} P _{6}]
(2) 파란공을 [eqn: 1]개 뽑으므로 [eqn: {}_3 rmP_1]
(3) 노란공을 [eqn: 2]개 뽑으므로 [eqn: {}_3 rmP _2]
(4) 뽑은 [eqn: 9]개의 공을 나열하는 가짓수 [eqn: 9! over{6! 2!}]
(1)~(4)에서 경우의 수는 [eqn: 9 times 9!]
이때 [eqn: {}_{12} rm P _{9} = _{12} rm C _{9} TIMES 9! = _{12} C _{3} TIMES 9!]이므로 확률은 [eqn: 9 over220]이다,

(ⅱ) 같은 방법으로
[eqn: (x `,``y`,``z ) = ( 6 `,``2 `,``1 )]일 확률은 [eqn: 9 over220]

(ⅲ) [eqn: (x `,``y`,``z) = (6`,``2`,``2 )]인 경우
[eqn: 10]번째 시행은 반드시 빨간공이 나오므로 [eqn: 9]번째 시행까지 [eqn: (x `,``y`,``z ) = ( 5 `,``2 `,``2 )]이다.
[eqn: (x `,``y`,``z) = ( 5 `,``2`,``2)]일 확률은 [eqn: 27 over110]이고, [eqn: 10]번째 시행에서 빨간공이 나올 확률은 [eqn: 1 over3]이므로 [eqn: (x `,``y`,``z) = (6`,``2`,``2 )]일 확률은 [eqn: 9 over110]이다.

위의 과정에서 [eqn: p= {9} over {220}], [eqn: q = {9} over {110}]

[eqn: p+q= 27 over220]

∙ 빨간색 공이 나오면 [eqn: rm{A}]는 [eqn: 3]점, [eqn: rm{B}]는 [eqn: 1]점, [eqn: rm{C }]는 [eqn: 1]점을 얻는다.

∙ 파란색 공이 나오면 [eqn: rm{A}]는 [eqn: 2]점, [eqn: rm{B}]는 [eqn: 6]점, [eqn: rm{C }]는 [eqn: 2]점을 얻는다.

∙ 노란색 공이 나오면 [eqn: rm{A}]는 [eqn: 2]점, [eqn: rm{B}]는 [eqn: 2]점, [eqn: rm{C }]는 [eqn: 6]점을 얻는다.

이 시행을 계속하여 얻은 점수의 합이 처음으로 [eqn: 24]점 이상인 사람이 나오면 시행을 멈춘다. 다음은 얻은 점수의 합이 [eqn: 24]점 이상인 사람이 [eqn: rm{A}] 뿐일 확률을 구하는 과정이다.

꺼낸 빨간색 공의 개수를 [eqn: x], 파란색 공의 개수를 [eqn: y,```]노란색 공의 개수를 [eqn: z]라 할 때, 얻은 점수의 합이 [eqn: 24]점 이상인 사람이 [eqn: rm{A}] 뿐이기 위해서는 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 다음 조건을 만족시켜야한다.

[eqn: x= 6], [eqn: 0 < y < 3] , [eqn: 0 < z < 3] , [eqn: y+z≥ 3]

이 조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (x,``` y,``` z)] 는

[eqn: (6,``` 1,``` 2)] , [eqn: (6,``` 2,``` 1)] , [eqn: (6,``` 2,``` 2)]

이다.

(ⅰ) [eqn: (x,``` y,``` z) = (6,``` 1,``` 2)]인 경우의 확률은 [eqn: box{````{}^{it}^{it}(가){}_{it}````}]이다.

(ⅱ) [eqn: (x,``` y,``` z) = (6,``` 2,``` 1)]인 경우의 확률은 [eqn: box{````{}^{it}^{it}(가){}_{it}````}]이다.

(ⅲ) [eqn: (x,``` y,``` z) = (6,``` 2,``` 2)]인 경우는 [eqn: 10]번째 시행에서 빨간색 공이 나와야 하므로 그 확률은 [eqn: box{````{}^{it}^{it}(나){}_{it}````}]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 확률은 [eqn: 2 times box{````{}^{it}^{it}(가){}_{it}````}`+`box{````{}^{it}^{it}(나){}_{it}````} ``]이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q]라 할 때, [eqn: p+ q의] 값은?

① [eqn: {13}over{110}]	② [eqn: {27}over{220}]	③ [eqn: {7}over{55}]

④ [eqn: {29}over{220}]	⑤ [eqn: {3}over{22}]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

그림은 여섯 개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 하나씩 적혀 있는 여섯 장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 이웃한 두 장의 카드 중 왼쪽 카드에 적힌 수가 오른쪽 카드에 적힌 수보다 큰 경우가 한 번만 나타난 예이다.

[정답] [eqn: 259]

[해설]

① [eqn: a_{1}>a_{2}], [eqn: a_{2}<a_{3}<a_{4}<a_{5}<a_{6}]
[eqn: a_{1}]을 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6] 중에서 하나 정하면 된다.
따라서 [eqn: rm 5]가지

② [eqn: a_{1}<a_{2}], [eqn: a_{2}>a_{3}], [eqn: a_{3}<a_{4}<a_{5}<a_{6}]
[eqn: a_{1}]와 [eqn: a_{3}]는 [eqn: a_{2}]보다 작으므로 가능한 [eqn: a_{2}]는 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이고 그 각각에 대하여 [eqn: a_{2}]보다 작은 [eqn: a_{1}]을 정하기만 하면 되는데, 각각 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]가지이므로 모두 [eqn: rm 14]가지

③ [eqn: a_{1}<a_{2}<a_{3}], [eqn: a_{3}>a_{4}], [eqn: a_{4}<a_{5}<a_{6}]
[eqn: a_{3}]보다 작은 것이 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{4}]이므로 가능한 [eqn: a_{3}]는 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이고 그 각각에 대하여 [eqn: a_{1}<a_{2}]를 정하기만 하면된다. 따라서 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2}+ it _{4} {rm{C}} it _{2}+ it _{5} {rm{C}} it _{2}=19]가지

④ [eqn: a_{4}>a_{5}]인 경우는 ②를 반대로 대칭배열한다.
따라서 [eqn: rm 14]가지

⑤ [eqn: a_{5}>a_{6}]인 경우도 ①을 반대로 대칭배열한다. 따라서 [eqn: rm 5]가지 모든 경우의 수는 [eqn: rm 6]!이므로 구하는 확률은 [eqn: {5+14+19+14+5} over {6 !}={19} over {240}]

[eqn: therefore~19+240=259]

[eqn: {BOX{pile{#} 1 pile{#}}}]	[eqn: {BOX{pile{#} 2 pile{#}}}]	[eqn: {BOX{pile{#} 4 pile{#}}}]	[eqn: {BOX{pile{#} 3 pile{#}}}]	[eqn: {BOX{pile{#} 5 pile{#}}}]	[eqn: {BOX{pile{#} 6 pile{#}}}]

이 여섯 장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 임의로 일렬로 나열할 때, 이웃한 두 장의 카드 중 왼쪽 카드에 적힌 수가 오른쪽 카드에 적힌 수보다 큰 경우가 한 번만 나타날 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
02 수학적 확률
09 수학적 확률9 (분할)

[출처]	2010 모의_공공 사관학교 고3 07월 18

사과 [eqn: 3`]개와 복숭아 [eqn: 2`]개가 있다. 이 [eqn: 5`]개의 과일 중에서 임의로 [eqn: 4`]개의 과일을 택하여 네 명의 학생에게 각각 하나씩 나누어 주었다. 남아있는 [eqn: 1`]개의 과일을 네 명의 학생 중 임의의 한 명에게 주었을 때, 이 학생이 가진 [eqn: 2`]개의 과일이 같은 종류일 확률은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: 5``]개의 과일을 [eqn: 4``]사람에게 나누어 주려면 먼저 [eqn: 4``]개의 과일 꾸러미로 분할을 한다.

[eqn: 2개,`1개,`1개,`1개] 로 먼저 분할하는 방법은

[eqn: {} _{5} C _{2} TIMES _{3} C _{1} TIMES _{2} C _{1} TIMES _{1} C _{1} TIMES {1} over {3!}]

다시 [eqn: 4``]사람에게 분배하는 방법은

[eqn: {} _{5} C _{2} TIMES _{3} C _{1} TIMES _{2} C _{1} TIMES _{1} C _{1} TIMES {1} over {3!} TIMES 4!]

[eqn: 2``]개를 받은 학생이 같은 종류의 과일을 받을 수 있는 경우의 수는

[eqn: ㉠] 과일 [eqn: 2]개를 받은 학생의 경우 수: [eqn: 4]가지(학생 [eqn: 4]명)

[eqn: ㉡] 과일의 종류: 사과로써 같을 때, 복숭아로써 같을 때

[eqn: ㉢``][eqn: ㉠,`㉡``]이 결정될 때 나머지 3개의 과일이 나머지 [eqn: 3``]학생

에게 나누어 줄 수 있는 경우 수:[eqn: 3!``]

에서 [eqn: 2``]개를 받은 학생이 같은 종류의 과일을 받을 수 있는

경우의 수 : [eqn: 4 TIMES _{3} C _{2} TIMES 3!][eqn: +][eqn: 4 TIMES _{2} C _{2} TIMES 3!]

([eqn: because]사과 [eqn: 2``]개가 한 학생에게 분배되는 모든 경우:[eqn: 4 TIMES _{3} C _{2} TIMES 3!]복숭아 [eqn: 2``]개가 한 학생에게 분배되는 모든 경우:[eqn: 4 TIMES _{2} C _{2} TIMES 3!])

따라서 확률은 [eqn: {4 TIMES _{3} C _{2} TIMES 3!+4 TIMES _{2} C _{2} TIMES 3!} over {{} _{5} C _{2} TIMES _{3} C _{1} TIMES _{2} C _{1} TIMES _{1} C _{1} TIMES {1} over {3!} TIMES 4!}][eqn: =][eqn: {2} over {5} ``]

① [eqn: 1over 10]	② [eqn: 1over 5]	③ [eqn: 3over 10]

④ [eqn: 2over 5]	⑤ [eqn: 1over 2]

[출처]	2016 모의_공공 경찰대 고3 07월 13

서로 다른 [eqn: 6 `]개의 물건을 남김없이 서로 다른 [eqn: 3 `]개의 상자에 임의로 분배할 때, 빈 상자가 없도록 분배할 확률은?

[정답] ③

[해설]

정의역 [eqn: X`,`]공역 [eqn: Y`], [eqn: n(X)=6`,```n(Y)=3]에 대하여 전사함수가 될 확률을 구하는 문제이다.

따라서 [eqn: {3 ^{6} - _{3} C _{2} ·2 ^{6} + _{3} C _{1} ·1 ^{6}} over {3 ^{6}} = {20} over {27}]이다.

① [eqn: 2 over 3]	② [eqn: 19 over 27]	③ [eqn: 20 over 27]

④ [eqn: 7 over 9]	⑤ [eqn: 22 over 27]

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
02 수학적 확률
10 수학적 확률10 (함수)

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 24

집합 [eqn: X`= LEFT { 1,`` 2,`` 3 RIGHT } ,`` Y`= LEFT { 1,`` 2,`` 3,`` 4 RIGHT } ,`` Z`= LEFT { 0,`` 1 RIGHT }`]에 대하여 조건 (가)를 만족시키는 모든 함수 [eqn: f `:` X` `->` Y`] 중에서 임의로 하나를 선택하고, 조건 (나)를 만족시키는 모든 함수 [eqn: g `:`Y` `->` Z`] 중에서 임의로 하나를 선택하여 합성함수 [eqn: g CIRC f `:` X` `->` Z` `]를 만들 때, 이 합성함수의 치역이 [eqn: Z``]일 확률은 [eqn: {p} over {q}`]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 13]

[해설]

(가)를 만족하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: `_4 P_3 = 4 TIMES 3 TIMES 2 = 24]…㉠

(나)를 만족하는 함수 [eqn: g]의 개수는 [eqn: 2^4 - 2 = 14]

또한, 합성함수 [eqn: g circ f]의 개수는 [eqn: 24 times 14 = 336]

이 때, 합성함수 중에서 치역이 [eqn: Z] 가 아닌 경우는

㉠중의 하나를 선택할 때 다음과 같이 두 가지 경우가 있다.

[eqn: THEREFORE][eqn: 24 TIMES 2 = 48]

따라서, 구하고자 하는 확률은

[eqn: 1 - 48 OVER 336 = 288 OVER 336 = 6 OVER 7][eqn: THEREFORE][eqn: p+q = 13]

(가) [eqn: X``]의 임의의 두 원소 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}`]에 대하여 [eqn: x _{1} != x _{2}`]이면 [eqn: f LEFT (x _{1} RIGHT ) != f LEFT (x _{2} RIGHT )`]이다.

(나) [eqn: g`]의 치역은 [eqn: Z``]이다.

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
04 확률의 덧셈정리
02 덧셈정리2 (배반사건이 아닌 경우)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 17

어느 고등학교에는 [eqn: rm 5]개의 과학 동아리와 [eqn: rm 2]개의 수학 동아리 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]가 있다. 동아리 학술 발표회에서 이 [eqn: rm 7]개 동아리가 모두 발표하도록 발표 순서를 임의로 정할 때, 수학 동아리 [eqn: {rm{A}} it]가 수학 동아리 [eqn: {rm{B}} it]보다 먼저 발표하는 순서로 정해지거나 두 수학 동아리의 발표 사이에는 [eqn: rm 2]개의 과학 동아리만이 발표하는 순서로 정해질 확률은? (단, 발표는 한 동아리씩 하고, 각 동아리는 [eqn: rm 1]회만 발표한다.)

[정답] ③

[해설]

[eqn: rm 7]개 동아리의 발표하는 순서를 정하는 경우의 수는 [eqn: rm 7]!

(ⅰ) 수학 동아리 [eqn: rm A]가 수학 동아리 [eqn: rm B]보다 먼저 발표하는 경우
두 동아리 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]를 같은 것으로 보고 순서를 정하는 경우의 수는 [eqn: {7 !} over {2 !}]
이 경우의 확률은 [eqn: {7 !} over {2 !}={1} over {2}]

(ⅱ) 두 수학 동아리 사이에 과학 동아리 [eqn: rm 2]개가 발표하는 경우
두 수학 동아리 사이에 발표할 과학 동아리 [eqn: rm 2]개를 택하고 순서를 정하는 경우의 수는 [eqn: 2 times it _{5} {rm{P}} it _{2}=40]
네 동아리를 하나로 묶어 전체 순서를 정하는 경우의 수는 [eqn: 4 !]
이 경우의 확률은 [eqn: {40 times 4 !} over {7 !}={4} over {21}]

(ⅲ) 수학 동아리 [eqn: {rm{A}} it]가 수학 동아리 [eqn: {rm{B}} it]보다 먼저 발표하고, 두 수학 동아리 사이에 과학 동아리 [eqn: rm 2]개가 발표하는 경우
두 수학 동아리 사이에 발표할 과학 동아리 [eqn: rm 2]개를 택하고 순서를 정하는 경우의 수는 [eqn: it _{5} {rm{P}} it _{2}=20]
네 동아리를 하나로 묶어 전체 순서를 정하는 경우의 수는 [eqn: rm 4]!
이 경우의 확률은 [eqn: {20 times 4 !} over {7 !}={2} over {21}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 확률의 덧셈정리에 의하여 구하는 확률은

[eqn: {1} over {2}+{4} over {21}-{2} over {21}={25} over {42}]

① [eqn: {4} over {7}]	② [eqn: {7} over {12}]	③ [eqn: {25} over {42}]

④ [eqn: {17} over {28}]	⑤ [eqn: {13} over {21}]

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
04 확률의 덧셈정리
04 여사건의 확률1 (기본. 적어도)

[출처]	2013 모의_공공 경찰대 고3 07월 6

[eqn: rm 7]개의 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e], [eqn: f], [eqn: g] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 3]개를 선택하여 문자열을 만들 때, 문자열이 [eqn: e]를 반드시 포함할 확률은?

[정답] ④

[해설]

전체 문자열의 개수는 [eqn: 7 times 7 times 7=343]

[eqn: e]가 포함되지 않은 문자열의 개수는 [eqn: 6 times 6 times 6=216]

문자열이 [eqn: e]를 반드시 포함하는 사건은 문자열이 [eqn: e]를 포함하는 사건의 여사건이므로

여사건의 확률에 의하여 구하는 확률은

[eqn: 1-{216} over {343}={127} over {343}]

① [eqn: {121} over {343}]	② [eqn: {123} over {343}]	③ [eqn: {125} over {343}]

④ [eqn: {127} over {343}]	⑤ [eqn: {129} over {343}]

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
04 확률의 덧셈정리
05 여사건의 확률2 (이상 또는 이하)

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 07월 14

주머니 [eqn: A ``]와 [eqn: B ``]에는 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5 `]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 5 `]개의 공이 각각 들어 있다. 주머니 [eqn: A ``]와 [eqn: B ``]에서 각각 공을 임의로 한 개씩 꺼내어 주머니 [eqn: A` `]에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 [eqn: a], 주머니 [eqn: B` `]에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 [eqn: b `]라 할 때, 직선 [eqn: y=ax+b `]가 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]와 만나지 않을 확률은?

[정답] ⑤

[해설]

모든 순서쌍 [eqn: LEFT (` a,~b `RIGHT )]의 개수는 [eqn: 5×5=25`]이다.

직선 [eqn: y=ax+b`]가 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 만나지 않는 사건을 [eqn: E`]라 하면 사건 [eqn: E`]의 여사건 [eqn: E ^{C}]는 직선 [eqn: y=ax+b`]가 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 만나는 사건이다.

직선 [eqn: y=ax+b`]와 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 만나기 위해서는 방정식 [eqn: - {1} over {2} x ^{2} +3x=ax+b]가 실근을 가져야 한다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} +2(a-3)x+2b=0`]에서

[eqn: {D} over {4} =(a-3) ^{2} -2b GEQ 0]

위 부등식을 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT (` a,~b `RIGHT )]는

[eqn: LEFT ( `1,~1` RIGHT )], [eqn: LEFT ( `1,~2` RIGHT )], [eqn: LEFT ( `5,~1` RIGHT )], [eqn: LEFT ( `5,~2` RIGHT )]

이므로 직선 [eqn: y=ax+b`]와 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가

서로 만날 확률은 [eqn: {4} over {25}]이므로 [eqn: rmP LEFT ( itE ^{C} ` RIGHT ) = {4} over {25} `]

[eqn: rm P LEFT ( it E` RIGHT ) =1- rm P LEFT ( it E ^{C} ` RIGHT ) =1- {4} over {25} = {21} over {25}]

따라서 구하는 확률은 [eqn: rm P LEFT ( it E` RIGHT ) = {21} over {25}]

주머니 [eqn: A ``]	주머니 [eqn: B`]

① [eqn: 17 over 25]	② [eqn: {18} over {25}]	③ [eqn: {19} over {25}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: {21} over {25}]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 28

방정식 [eqn: a+b + c = 9 `]를 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c `]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,`` b ,`` c RIGHT ) `]중에서 임의로 한 개를 선택할 때, 선택한 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,`` b ,`` c RIGHT ) `]가

[정답] [eqn: 89]

[해설]

방정식 [eqn: a+b+c=9]를 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,`` b,`` c)]의 개수는

[eqn: it _{3} {rm{H}} it _{9}= it _{3+9-1} {rm{C}} it _{9}= it _{11} {rm{C}} it _{2}={11 times 10} over {2 times 1}=55]

순서쌍 [eqn: (a,`` b,`` c)] 중에서 임의로 한 개를 선택할 때, 선택한 순서쌍이 [eqn: a<2] 또는 [eqn: b<2]인 사건을 [eqn: A]라 하면 사건 [eqn: A]의 여사건 [eqn: A^{C}]은 [eqn: a geq 2]이고 [eqn: b geq 2]인 사건이다.

[eqn: a=a `prime +2], [eqn: b=b `prime +2]로 놓으면

[eqn: left(a `prime +2 right)+ left(b `prime +2 right)+c=9]

[eqn: a `prime +b `prime +c=5]

이므로 방정식 [eqn: a `prime +b `prime +c=5]를 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a `prime], [eqn: b `prime], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: left(a `prime ,`` b `prime ,`` c right)]의 개수는

[eqn: it _{3} {rm{H}} it _{5}= it _{3+5-1} {rm{C}} it _{5}= it _{7} {rm{C}} it _{5}= it _{7} {rm{C}} it _{2}={7 times 6} over {2 times 1}=21]

이때 [eqn: {rm{P}} it left(A^{C} right)={21} over {55}]이다.

그러므로 구하는 확률은

[eqn: {rm{P}} it (A)=1-{rm{P}} it left(A^{C} right)=1-{21} over {55}={34} over {55}]

따라서 [eqn: p=55], [eqn: q=34]이므로

[eqn: p+q=55+34=89]

[eqn: a< 2] 또는 [eqn: b<2`]

를 만족시킬 확률은 [eqn: q over p `]이다. [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
04 확률의 덧셈정리
06 여사건의 확률3 (기타)

[출처]	2009 모의_공공 경찰대 고3 07월 18

[eqn: rm 3]의 배수인 세 자리의 자연수 중에서 하나를 뽑을 때, 일의 자리의 수 또는 십의 자리의 수 또는 백의 자리의 수가 [eqn: rm 9]인 자연수를 뽑을 확률은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: rm 3]의 배수인 세 자리 자연수를 작은 수부터 차례로 나열하면 첫째항은 [eqn: rm 102], 끝항은 [eqn: rm 999]이고, 공차가 [eqn: rm 3]인 등차수열을 이룬다.

[eqn: 999=102+(n-1) cdot 3]에서 [eqn: n=300]이므로 [eqn: rm 3]의 배수인 세 자리 자연수는 총 [eqn: rm 300]개이다.

또한 [eqn: rm 3]의 배수는 각 자리의 숫자의 합이 [eqn: rm 3]의 배수이므로 어느 한 자리에 [eqn: rm 9]가 포함된 [eqn: rm 3]의 배수는 나머지 두 자리 수의 합이 [eqn: rm 3]의 배수이다. 이때, [eqn: rm 9]를 제외한 두 자리 수를 순서쌍으로 나타내면

합이 [eqn: rm 0]인 경우 [eqn: (0,``0)]

합이 [eqn: rm 3]인 경우 [eqn: (0,``3)], [eqn: (1,``2)]

합이 [eqn: rm 6]인 경우 [eqn: (0,``6)], [eqn: (1,``5)], [eqn: (2,``4)], [eqn: (3,``3)]

합이 [eqn: rm 9]인 경우 [eqn: (0,``9)], [eqn: (1,``8)], [eqn: (2,``7)], [eqn: (3,``6)], [eqn: (4,``5)]

합이 [eqn: rm 12]인 경우 [eqn: (3,``9)], [eqn: (4,``8)], [eqn: (5,``7)], [eqn: (6,``6)]

합이 [eqn: rm 15]인 경우 [eqn: (6,``9)], [eqn: (7,``8)]

합이 [eqn: rm 18]인 경우 [eqn: (9,``9)]

위의 각 경우에 [eqn: rm 9]를 포함시켜 [eqn: rm 3]의 배수인 세 자리의 자연수를 구하면

(ⅰ) [eqn: (0,``0,``9)], [eqn: (9,``9,``9)]인 경우: [eqn: rm 900],[eqn: rm 999]의 [eqn: rm 2]개

(ⅱ) [eqn: (0,``9,``9)]인 경우: [eqn: rm 990],[eqn: rm 909]의 [eqn: rm 2]개

(ⅲ) [eqn: (0,``3,``9)], [eqn: (0,``6,``9)]와 같이 [eqn: rm 0]이 포함되고 각 자리 수가 다른 경우: [eqn: (2 times 2 times 1) times 2=8](개)

(ⅳ) [eqn: (1,``2,``9)]와 같이 [eqn: rm 0]이 포함되지 않고 각 자리 수가 다른 경우: [eqn: rm 0]이 포함되지 않고 각 자리 수가 다른 경우가 총 [eqn: rm 10]가지이므로 [eqn: (3 times 2 times 1) times 10=60(]개[eqn: )]

(ⅴ) [eqn: (3,``3,``9)]와 같이 같은 수가 [eqn: rm 2]개 포함된 경우: 같은 수가 [eqn: rm 2]개 포함된 경우가 총 [eqn: rm 4]개이므로 [eqn: {3 !} over {2 !} times 4=12](개)

따라서 일의 자리의 수 또는 십의 자리의 수 또는 백의 자리의 수가 [eqn: rm 9]인 자연수의 개수가 [eqn: 2+2+8+60+12=84]

이므로 구하는 확률은 [eqn: {84} over {300}={7} over {25}]

① [eqn: {13} over {50}]	② [eqn: {7} over {25}]	③ [eqn: {3} over {10}]

④ [eqn: {8} over {25}]	⑤ [eqn: {17} over {50}]

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 25
[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 07월 25

그림과 같이 [eqn: 12 `]개의 전구와 전광판으로 이루어진 신호기가 있다. [eqn: m`]열의 전구가 [eqn: n`]개 켜져 있는 경우 [eqn: n · 4 ^{m-1}`]으로 계산되고, 네 개의 열이 계산된 수의 합이 전광판에 나타난다. 예를 들어 [eqn: 1`]열에서 [eqn: 1`]개, [eqn: 3`]열에서 [eqn: 2`]개의 전구가 켜진 경우, 전광판에 [eqn: 33`]이 나타난다. [eqn: 12`]개의 전구 중 임의로 [eqn: 2`]개를 켤 때, 전광판에 짝수가 나타날 확률을 [eqn: {q} over {p}] ([eqn: p], [eqn: q`]는 서로소)라 하자. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 35]

[해설]

전구가 [eqn: n]개 켜져 있을 경우 [eqn: 1]열, [eqn: 2]열, [eqn: 3]열, [eqn: 4]열은 각각 [eqn: n,~4n,~16n,~64n]의 수를 나타내고, 전광판이 나타내는 수가 짝수일 사건은 홀수인 사건의 여사건이다.

홀수일 확률은 [eqn: 1]열에서 [eqn: 1]개,

나머지 열 중에서 [eqn: 1]개 켜질 때이므로 [eqn: rm THEREFORE ` {{} _{3} C _{1} `․ _{``9} C _{1}} over {{} _{12} C _{2}} = {9} over {22}]

따라서, 구하는 확률은 [eqn: ~ 1- { 9} over { 22}= { 13} over {22 }][eqn: THEREFORE][eqn: p+q=35]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 28

방정식 [eqn: x+y+z=10`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z`]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,`` y,`` z RIGHT )`] 중에서 임의로 한 개를 선택한다. 선택한 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,`` y,`` z RIGHT )`]가 [eqn: LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( z-x RIGHT ) !=0`]을 만족시킬 확률은 [eqn: {q} over {p}`]이다. [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 19]

[해설]

방정식 [eqn: x+y+z=10]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,~y,~z RIGHT )]의 개수는

[eqn: {} _{3} rmH _{10} = _{3+10-1} C _{10} = _{12} C _{2} = {12times11} over {2times1} =66]

이 중에서 [eqn: LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( z-x RIGHT ) =0]이 성립하려면 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 중에서 오직 두 개만 서로 같아야 한다.

그런데 [eqn: x=y]를 만족시키는 순서쌍은

[eqn: LEFT ( 0,~0,~10 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,~1,~8 RIGHT )], [eqn: cdots], [eqn: LEFT ( 5,~5,~0 RIGHT )]

의 [eqn: 6]개이므로 [eqn: LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( z-x RIGHT ) =0]을 만족시키는 순서쌍의 개수는

[eqn: {} _{3} rmC _{2} times6=3times6=18]

이다.

따라서 [eqn: LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( z-x RIGHT ) =0]이 성립할 확률은

[eqn: {18} over {66} = {3} over {11}]

이므로 [eqn: LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( z-x RIGHT ) !=0]이 성립할 확률은

[eqn: 1- {3} over {11} = {8} over {11}]

이다.

따라서 [eqn: p+q=11+8=19]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 06월 27

숫자 [eqn: {1 ,```` 1 ,```` 2 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 3}{{from^2019^06^평가원고3가^중}}]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼내어 공에 적힌 수를 확인한 후 다시 넣지 않는다. 이와 같은 시행을 [eqn: 6]번 반복할 때, [eqn: k][eqn: LEFT ( 1 LEQ k LEQ 6 RIGHT )]번째 꺼낸 공에 적힌 수를 [eqn: a _{k}]라 하자. 두 자연수를 [eqn: m ,```` n]을

[정답] [eqn: 22]

[해설]

[eqn: rm 6]개의 공을 꺼내어 일렬로 나열하는 경우의 수는

[eqn: {6 !} over {2 ! 2 ! 2 !}=90]

[eqn: m>n]이려면 [eqn: a_{1}>a_{4}]또는 [eqn: a_{1}=a_{4}], [eqn: a_{2}>a_{5}]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: a_{1}>a_{4}]인 경우
[eqn: rm 3]개의 수 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]중 서로 다른 [eqn: rm 2]개를 택하여 크기가 큰 수를 [eqn: a_{1}]로 놓으면 되므로 경우의 수는 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2}=3]
위의 각각의 경우에 대하여 나머지 [eqn: rm 4]개의 수는 위에서 택한 [eqn: rm 2]개의 수가 각각 하나씩, 위에서 택하지 않은 수가 [eqn: rm 2]개 있으므로 이것을 [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: a_{5}], [eqn: a_{6}]으로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4 !} over {2 !}=12]
따라서 구하는 확률은 [eqn: {3 times 12} over {90}={2} over {5}]

(ⅱ) [eqn: a_{1}=a_{4}], [eqn: a_{2}>a_{5}]인 경우
[eqn: a_{1}=a_{4}]인 수를 택하는 경우의 수는 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{1}=3]
위의 각각의 경우에 대하여 남은 두 수 중 큰 수를 [eqn: a_{2}]로 놓으면 되므로 [eqn: a_2 > a_5]인 경우의 수는 [eqn: 1]
위의 각각의 경우에 대하여 남은 서로 다른 [eqn: 2]개의 수를 [eqn: a_3], [eqn: a_6]에 나열하는 경우의 수는 [eqn: 2! = 2]
따라서 구하는 확률은 [eqn: {3 times 1 times 2} over {90} = {1} over {15}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 두 사건은 서로 배반이므로 구하는 확률은 확률의 덧셈정리에 의하여 [eqn: {2} over {5} + {1} over {15} = {7} over {15}]

따라서 [eqn: p=15], [eqn: q=7]이므로 [eqn: p+q= 15+7=22]

[eqn: m=a _{1} TIMES 100+a _{2} TIMES 10+a _{3} ,````]
[eqn: n=a _{4} TIMES 100+a _{5} TIMES 10+a _{6}]

이라 할 때, [eqn: m>n]일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 19
[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 18

다음은 자연수 [eqn: n]에 대하여 방정식 [eqn: a+ b + c = 3n]을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]중에서 임의로 한 개를 선택할 때, 선택한 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]가

[정답] ③

[해설]

[eqn: a+b+c = 3n]을 만족시키는 자연수의 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]의 개수는

[eqn: `_3 rmH_{it3n-3}=_{it3n-1}C_{it3n-3}=_{it3n-1}C_2 =it{(3n-1)(3n-2)}over2]

[eqn: a > b] 또는 [eqn: a >c]의 여사건은 [eqn: a le b]이고 [eqn: a le c]이다.

[eqn: a = k]일 때 [eqn: k le b], [eqn: k le c]은 [eqn: b+c = 3n -k]에서

[eqn: (b,``` c) =][eqn: (k,``` 3n - 2k)], [eqn: (k+1,``` 3n - 2k -1 )], [eqn: cdots], [eqn: ( 3n-2k,``` k )]

즉 [eqn: 3n - 3k +1]개 이다. 따라서 여사건의 개수는

[eqn: sum_k=1^n (3n - 3k +1)][eqn: = 3n^2 - 3 over2 n(n+1) +n][eqn: = 1 over2 n ( 3n-1)]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 1 - { 1 over2 n (3n-1)} over{ 1 over2 (3n-1) (3n-2)][eqn: = 1 - n over3n-2][eqn: = 2n-2 over3n-2]

[eqn: n = 2]일 때 [eqn: p = { 5 Times 4} over2 = 10],

[eqn: n = 7], [eqn: k = 2]일 때 [eqn: q = 21 - 6 +1 = 16]

[eqn: n = 4]일 때 [eqn: r = 6 over10 = 3 over5],   [eqn: THEREFORE][eqn: pqr = 10 Times 16 Times 3 over5 = 96]

[eqn: a > b] 또는 [eqn: a > c]

를 만족시킬 확률을 구하는 과정이다.

방정식

[eqn: a+ b + c = 3n][eqn: CDOTSCDOTS](＊)

을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]의 개수는 [eqn: box{ {}^{it}^{it}(가){}_{it} }]이다.

방정식 (＊)을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]가 [eqn: a > b] 또는 [eqn: a > c]를 만족시키는 사건을 [eqn: A]라 하면 사건 [eqn: A]의 여사건 [eqn: A^C]은 방정식 (＊)을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]가 [eqn: a ≤ b]와 [eqn: a ≤ c]를 만족시키는 사건이다.

이제 [eqn: n(A^C )]의 값을 구하자.

자연수 [eqn: k (1 ≤ k ≤ n)]에 대하여 [eqn: a = k]인 경우,

[eqn: b ≥ k], [eqn: c ≥ k]이고 방정식 (＊)을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]의 개수는 [eqn: box{ {}^{it}^{it}(나){}_{it} }]이므로

[eqn: n(A^C )][eqn: = sum _{k = 1}^{n}][eqn: box{ {}^{it}^{it}(나){}_{it} }]

이다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(A)}=][eqn: box{ {}^{it}^{it}(다){}_{it} }]

이다.

위의 (가)에 알맞은 식에 [eqn: n = 2]를 대입한 값을 [eqn: p], (나)에 알맞은 식에 [eqn: n = 7], [eqn: k = 2]를 대입한 값을 [eqn: q], (다)에 알맞은 식에 [eqn: n = 4]를 대입한 값을 [eqn: r]라 할 때, [eqn: p times q times r]의 값은?

① [eqn: 88]	② [eqn: 92]	③ [eqn: 96]

④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 104]

05 확통	05 조건부 확률
01 조건부 확률의 뜻
01 조건부 확률의 계산

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 10월 9

어떤 시행에서 나올 수 있는 모든 결과의 집합을 [eqn: S` `]라 하자. [eqn: S` `]의 부분집합인 세 사건 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C``]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: rm P it `(A`)`=` {4} over {7} ``], [eqn: rm P it `(B``)`=` {2} over {7} ``], [eqn: rm P it `(C``)`=` {1} over {7} ``]

[eqn: rm P it `(D`)`=` rm P it `(D` SMALLINTER `A)`+` rm P it `(D` SMALLINTER `B`)`+` rm P it `(D` SMALLINTER `C``)``]

[eqn: = rm P it `(D``|``A`)` rm P it `(A`)+ rm P it `(D``|``B`)` rm P it `(B`) rm +P it `(D``|``C``)` rm P it `(C``)= {11} over {70}]

(가) [eqn: A` CUP B` CUP C` = S`]

(나) [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C`] 중 어느 두 사건도 동시에 일어나지 않는다.

(다) [eqn: rm {rmP} it LEFT ( A` RIGHT ) = 2 rm {rmP} it LEFT ( B` RIGHT ) = 4 rm {rmP} it LEFT ( C` RIGHT )]

[eqn: S` `]의 부분집합인 사건 [eqn: D` `]에 대하여

[eqn: rm {rm{rmP} } it LEFT ( D` | A` RIGHT ) = {1} over {10}], [eqn: rm {rmP} it LEFT ( D` | B` RIGHT ) = 1 over5], [eqn: rm {rmP} it LEFT ( D` | C` RIGHT ) = 3 over10]

일 때, [eqn: rm {rmP} it LEFT ( D` RIGHT )`]의 값은?

① [eqn: 9 over70]	② [eqn: 11 over70]	③ [eqn: 13 over70]

④ [eqn: {3} over {14}]	⑤ [eqn: 17 over70]

05 확통	05 조건부 확률
01 조건부 확률의 뜻
03 조건부 확률의 뜻2 (문장 조건)

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 11
[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 09월 11

어느 공항에는 [eqn: rmA`], [eqn: rmB] 두 대의 검색대만 있으며, 비행기 탑승 전에는 반드시 공항 검색대를 통과하여야 한다. 남학생 [eqn: 7`]명, 여학생 [eqn: 7`]명이 모두 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 검색대를 통과하였는데, [eqn: rmA]검색대를 통과한 남학생은 [eqn: 4`]명, [eqn: rmB]검색대를 통과한 남학생은 [eqn: 3`]명이다. 여학생 중에서 한 학생을 임의로 선택할 때, 이 학생이 [eqn: rmA `]검색대를 통과한 여학생일 확률을 [eqn: p`]라 하자. [eqn: rmB`]검색대를 통과한 학생 중에서 한 학생을 임의로 선택할 때, 이 학생이 남학생일 확률을 [eqn: q`]라 하자. [eqn: p=q`]일 때, [eqn: rmA`]검색대를 통과한 여학생은 모두 몇 명인가? (단, 두 검색대를 모두 통과한 학생은 없으며, 각 검색대로 적어도 [eqn: 1`]명의 여학생이 통과하였다.)

[정답] ③

[해설]

[eqn: A]검색대를 통과한 여학생수를 [eqn: a]라 하면, [eqn: B]검색대를 통과한 여학생수는 [eqn: 7-a]이다. [eqn: p=P(A vert 여) = a over 7]

[eqn: B]검색대를 통과한 전체 학생수는 [eqn: 3+(7-a)]

그 중 남학생수는 3이므로 [eqn: q=P(남 vert B) = 3 over (10-a)]

[eqn: p=q]이므로 [eqn: a over 7 = 3 over 10-a][eqn: ∴~a=7~또는~ 3]

적어도 한 명의 여학생은 통과하였으므로 [eqn: a=3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

05 확통	05 조건부 확률
01 조건부 확률의 뜻
04 조건부 확률의 뜻3 (경우의 수)

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 10월 20

[eqn: 5 `]명의 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rm E `]가 같은 영화를 보기 위해 함께 상영관에 갔다. 상영관에는 그림과 같이 총 [eqn: 5 `]개의 좌석만 남아 있었다. (가) 구역에는 [eqn: 1 `]열에 [eqn: 2 `]개의 좌석이 남아 있었고, (나) 구역에는 [eqn: 1 `]열에 [eqn: 1`]개와 [eqn: 2`]열에 [eqn: 2 `]개의 좌석이 남아 있었다. [eqn: 5 `]명의 학생 모두가 남아 있는 [eqn: 5 `]개의 좌석을 임의로 배정받기로 하였다. 학생 [eqn: rm A `]와 [eqn: rm B `]가 서로 다른 구역의 좌석을 배정받았을 때, 학생 [eqn: rmC `]와 [eqn: rmD `]가 같은 구역에 있는 같은 열의 좌석을 배정받을 확률은?

[정답] ③

[해설]

학생 [eqn: rmA`]와 [eqn: rmB`]가 서로 다른 구역의 좌석을 배정받는 사건을 [eqn: T`], 학생 [eqn: rmC`]와 [eqn: rmD`]가 같은 구역에 같은 열의 좌석을 배정받는 사건을 [eqn: U`]라 하자.

[eqn: rm P( it T`)][eqn: = {2` TIMES (2 TIMES 3 TIMES 3!)} over {5!}][eqn: = {3} over {5}]

두 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 서로 다른 구역에 배정받을 때, 두 학생 [eqn: rmC], [eqn: rmD]가 (나) 구역의 [eqn: 2`]열에 배정받아야 하므로

[eqn: rm P( it U` SMALLINTER it T`)][eqn: = LEFT . {2 TIMES (2 TIMES 1 TIMES 2!)} over {5!} RIGHT .][eqn: = {1} over {15}]

따라서 [eqn: rm P( it U``|T`)][eqn: = {rm P( it `U` SMALLINTER T`)} over {rm P( it `T`)}][eqn: = {1} over {9}]

① [eqn: {1} over {18}]	② [eqn: {1} over {12}]	③ [eqn: {1} over {9}]

④ [eqn: {5} over {36}]	⑤ [eqn: {1} over {6}]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 28

그림과 같이 주머니 [eqn: rm A]에는 [eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수가 하니씩 적힌 [eqn: 6]장의 카드가 들어 있고 주머니 [eqn: rm B]와 [eqn: rm C]에는 [eqn: 1]부터 [eqn: 3]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: 3]장의 카드가 각각 들어 있다. 갑은 주머니 [eqn: rm A]에서, 을은 주머니 [eqn: rm B]에서, 병은 주머니 [eqn: rm C]에서 각자 임의로 [eqn: 1]장의 카드를 꺼낸다. 이 시행에서 갑이 꺼낸 카드에 적힌 수가 을이 꺼낸 카드에 적힌 수보다 클 때, 갑이 꺼낸 카드에 적힌 수가 을과 병이 꺼낸 카드에 적힌 수의 합보다 클 확률이 [eqn: k`]이다. [eqn: 100k`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold{50]

[해설]

갑이 꺼낸 카드에 적힌 수가 을이 꺼낸 카드에 적힌 수보다 큰 사건을 [eqn: E``], 값이 꺼낸 카드에 적힌 수가 을과 병이 꺼낸 카드에 적힌 수의 합보다 큰 사건을 [eqn: F``]라 하면 구하는 확률은

[eqn: rmP(it F`` {|} ``E``)`=`{rmP(it E`cap F`)} over {rmP(itE`)}]이다.

갑, 을, 병이 한 장씩 카드를 꺼내는 경우의 수는 [eqn: 6times3times3=54]

갑, 을, 병이 꺼낸 카드에 적힌 수를 각각 [eqn: a`,~b`,~c`]라 하면

[eqn: a le b`]인 경우를 순서쌍 [eqn: (a`,~b)]로 나타내면

[eqn: (1,~1)`,~(1,~2)`,~(1,~3)`,~(2,~2)`,~(2,~3)`,~(3,~3)]

의 [eqn: 6]가지이므로

[eqn: rmP(itE`)`=`1 - 6times3 over54`=`1- 1over3 = 2over3]

한편, [eqn: a>b+c`]인 경우는

[eqn: a=3`,~b=1`]일 때 [eqn: c=1]

[eqn: a=4`,~b=1`]일 때 [eqn: c=1`,~2]

[eqn: a=4`,~b=2`]일 때 [eqn: c=1]

[eqn: a=5`,~b=1`]일 때 [eqn: c=1,~2,~3]

[eqn: a=5`,~b=2`]일 때 [eqn: c=1,~2]

[eqn: a=5`,~b=3`]일 때 [eqn: c=1]

[eqn: a=6`,~b=1`]일 때 [eqn: c=1,~2,~3]

[eqn: a=6`,~b=2`]일 때 [eqn: c=1,~2,~3]

[eqn: a=6`,~b=3`]일 때 [eqn: c=1,~2]

의 [eqn: 18]가지 이므로

[eqn: rmP(it F`capE`)`=`18 over54`=`1over3]

따라서

[eqn: k`=`rmP(it F`` {|} ``E``)`=`{rmP(it E`cap F`)} over {rmP(itE`)}`=` {1over3}over{2over3}`=`1over2] 이므로

[eqn: 100k`=`100 times 1over2 = 50]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 06월 28

흰 공 [eqn: 3`]개, 검은 공 [eqn: 4`]개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 3`]개의 공을 동시에 꺼내어, 꺼낸 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 [eqn: m], [eqn: n `]이라 하자. 이 시행에서 [eqn: 2m GEQ n `]일 때, 꺼낸 흰 공의 개수가 [eqn: 2`]일 확률은 [eqn: {q} over {p}`]이다. [eqn: p+q `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 43]

[해설]

이 시행에서 [eqn: 2 m geq n]인 사건을 [eqn: A], 꺼낸 흰 공의 개수가 [eqn: rm 2]인 사건을 [eqn: B]라 하면 구하는 확률은 [eqn: {rm{P}} it (B `|` A)]이다.

이때 [eqn: m+n=3]이므로 [eqn: 2 m geq n], 즉 [eqn: 2 m geq 3-m]에서 [eqn: m geq 1]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: m=1], [eqn: n=2]일 확률은
[eqn: { it _{3} {rm{C}} it _{1} times it _{4} {rm{C}} it _{2}} over { it _{7} {rm{C}} it _{3}}={18} over {35}]

(ⅱ) [eqn: m=2], [eqn: n=1]일 확률은
[eqn: { it _{3} {rm{C}} it _{2} times it _{4} {rm{C}} it _{1}} over { it _{7} {rm{C}} it _{3}}={12} over {35}]

(ⅲ) [eqn: m=3], [eqn: n=0]일 확률은
[eqn: { it _{3} {rm{C}} it _{3}} over { it _{7} {rm{C}} it _{3}}={1} over {35}]

(ⅰ), (ⅱ) (ⅲ)에서

[eqn: {rm{P}} it (A)={18} over {35}+{12} over {35}+{1} over {35}={31} over {35}]

(ⅱ)에서 [eqn: {rm{P}} it (A cap B)={12} over {35}]이므로 구하는 확률은

[eqn: {rm{P}} it (B `|` A)={{rm{P}} it (A cap B)} over {{rm{P}} it (A)}={{12} over {35}} over {{31} over {35}}={12} over {31}]

따라서 [eqn: p+q=31+12=43]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 27

주머니에 숫자 [eqn: {1}{{from^2020^06^평가원고3가^}}], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]가 하나씩 적혀 있는 횐 공 [eqn: 4]개와 숫자 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 하나씩 적혀 있는 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼내는 시행을 한다. 이 시행에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 같은 것이 있을 때, 꺼낸 공 중 검은 공이 [eqn: 2]개일 확률은 [eqn: q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 46 }]

[해설]

꺼낸 공에 적힌 수가 같은 것이 있는 사건을 [eqn: A]라 하고, 검은 공이 [eqn: 2]개인 사건을 [eqn: B]라 하자.

(ⅰ) [eqn: {rmP } (A cap B)]인 경우
즉, 꺼낸 공에 같은 수가 적힌 공이 있으면서 검은 색 공에 [eqn: 2]개 있는 경우의 확률이므로
[eqn: 8]개의 공 중에서 [eqn: 4]개를 꺼내는 경우의 수는
[eqn: {}_{8} rmC _{4} = 8! over{ 4! 4!}=70]
① [eqn: (3,````3)]이 나오는 경우 [eqn: rm ` _3 C _1 times _3 C _1 =9](가지)
② [eqn: (4,````4)]가 나오는 경우 [eqn: rm ` _3 C _1 times _3 C _1 =9](가지)
③ [eqn: (3,````3)], [eqn: (4,````4)]가 나오는 경우 [eqn: 1]가지
[eqn: therefore][eqn: {rmP } (A cap B)][eqn: = {9+9-1} over 70 = 17 over 70]	[eqn: cdots cdots] ㉠

(ⅱ) [eqn: {rmP } (A cap B^c )]인 경우
즉, 꺼낸 공에 같은 수가 적힌 공이 있으면서 검은 색 공에 [eqn: 2]개 있지 않는 경우의 확률이므로
[eqn: 8]개의 공 중에서 [eqn: 4]개를 꺼내는 경우의 수는
[eqn: {}_{8} rmC _{4} = 8! over{ 4! 4!}=70]

① [eqn: (3,````3)]이 나오는 경우
검은색이 [eqn: 3]개인 경우 [eqn: rm ` _3 C _2 =3](가지)
흰색이 [eqn: 3]개인 경우 [eqn: rm ` _3 C _2 =3](가지)

② [eqn: (4,````4)]가 나오는 경우
검은색이 [eqn: 3]개인 경우 [eqn: rm ` _3 C _2 =3](가지)
흰색이 [eqn: 3]개인 경우 [eqn: rm ` _3 C _2 =3](가지)

[eqn: therefore][eqn: {rmP } (A cap B^c )][eqn: = {6+6} over 70 = 12 over 70]	[eqn: cdots cdots] ㉡

[eqn: {rmP } (A )][eqn: = {rmP } (A cap B )][eqn: +][eqn: {rmP } (A cap B^c )]
[eqn: = 17 over 70 + 12 over 70] ([eqn: because] ㉠, ㉡)
[eqn: = 29 over 70]

[eqn: therefore][eqn: {rmP} LEFT ( B ``|`` A RIGHT ) = {{rmP} LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )} over {{rmP} LEFT ( A RIGHT )} = {{17} over {70}} over {{29} over {70}} = {17} over {29}]

따라서 [eqn: p=29,````q=17]이므로 [eqn: p+q=46]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 20

주머니에 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]가 하나씩 적혀 있는 흰 공 [eqn: rm 4]개와 숫자 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 하나씩 적혀 있는 검은 공 [eqn: rm 4]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: rm 4]개의 공을 동시에 꺼내는 시행을 한다. 이 시행에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 같은 것이 있을 때, 꺼낸 공 중 검은 공이 [eqn: rm 2]개일 확률은?

[정답] ③

[해설]

이 시행에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수가

같은 것이 있는 사건을 [eqn: A],

꺼낸 공 중 검은 공이 [eqn: rm 2]개인 사건을 [eqn: B]라 하면

구하는 확률은 [eqn: {rm{P}} it (B `|` A)]이고,

이 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수는

[eqn: it _{8} {rm{C}} it _{4}]이다.

이때 사건 [eqn: A]가 일어나는 경우는 수가 같은 것이

[eqn: rm 3]만 있는 경우, 수가 같은 것이 [eqn: rm 4]만 있는 경우,

[eqn: rm 3], [eqn: rm 4]가 적힌 흰 공과 [eqn: rm 3], [eqn: rm 4]가 적힌 검은 공을

동시에 꺼내는 경우로 나누어 생각할 수 있으므로

[eqn: {rm{P}} it (A)][eqn: ={ it _{6} {rm{C}} it _{2}-1} over { it _{8} {rm{C}} it _{4}}+{ it _{6} {rm{C}} it _{2}-1} over { it _{8} {rm{C}} it _{4}}+{1} over { it _{8} {rm{C}} it _{4}}]
[eqn: ={14} over {70}+{14} over {70}+{1} over {70}={29} over {70}]

한편, 사건 [eqn: A]와 사건 [eqn: B]가 동시에 일어나는 경우는

수가 같은 것이 [eqn: rm 3]만 있고 검은 공이 [eqn: rm 2]개인 경우,

수가 같은 것이 [eqn: rm 4]만 있고 검은 공이 [eqn: rm 2]개인 경우,

[eqn: rm 3], [eqn: rm 4]가 적힌 흰 공과 [eqn: rm 3], [eqn: rm 4]가 적힌 검은 공을 동시에

꺼내는 경우로 나누어 생각할 수 있으므로

[eqn: {rm{P}} it (A cap B)]

[eqn: ={ it _{3} {rm{C}} it _{1} times it _{3} {rm{C}} it _{1}-1} over { it _{8} {rm{C}} it _{4}}+{ it _{3} {rm{C}} it _{1} times it _{3} {rm{C}} it _{1}-1} over { it _{8} {rm{C}} it _{4}}+{1} over { it _{8} {rm{C}} it _{4}}]

[eqn: ={8} over {70}+{8} over {70}+{1} over {70}={17} over {70}]

따라서

[eqn: {rm{P}} it (B `|` A)][eqn: ={{rm{P}} it (A cap B)} over {{rm{P}} it (A)}]
[eqn: ={{17} over {70}} over {{29}over {70}}={17} over {29}]

① [eqn: {13} over {29}]	② [eqn: {15} over {29}]	③ [eqn: {17} over {29}]

④ [eqn: {19} over {29}]	⑤ [eqn: {21} over {29}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 29

[eqn: {1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]의 숫자가 하나씩 적힌 카드가 각각 [eqn: 1]장, [eqn: 2]장, [eqn: 3]장, [eqn: 4]장, [eqn: 5]장이 있다. 이 [eqn: 15]장의 카드 중에서 임의로 [eqn: 2]장의 카드를 동시에 선택하는 시행을 한다. 이 시행에서 선택한 [eqn: 2]장의 카드에 적힌 두 수의 곱의 모든 양의 약수의 개수가 [eqn: 3] 이하일 때, 그 두 수의 합이 짝수일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 25 }]

[해설]

두 수의 곱이 모든 양의 약수의 개수가 [eqn: 3] 이하인 사건을 [eqn: X],

두 수의 합이 짝수인 사건을 [eqn: Y]라 하자.

사건 [eqn: X]를 만족시키는 경우는 두 수 중 하나가 [eqn: 1]이거나 두 수가 같은 소수일 때이다.

(ⅰ) 두 수 중 하나가 [eqn: 1]일 때
[eqn: {{}_{1} rmC _{1} TIMES _{14} rmC _{1}} over {{}_{15} rmC _{2}}][eqn: = {2} over {15}]

(ⅱ) 두 수가 같은 소수일 때

(1) 두 수가 [eqn: 2]일 때
[eqn: {{}_{2} rmC _{2}} over {{}_{15} rmC _{2}}][eqn: = {1} over {105}]

(2) 두 수가 [eqn: 3]일 때
[eqn: {{}_{3} rm C _{2} it} over {{}_{15} rm C _{2} it}][eqn: = {1} over {35}]

(3) 두 수가 [eqn: 5]일 때
[eqn: {{}_{5} rm C _{2} it} over {{}_{15} rm C _{2} it}][eqn: = {2} over {21}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: rm P it LEFT ( X RIGHT )][eqn: = {4} over {15}]

두 사건 [eqn: X]와 [eqn: Y]를 동시에 만족시키는 경우는

(ⅰ)에서 두 수가 [eqn: 1 ,```` 3]이거나 두 수가 [eqn: 1 ,```` 5]인 경우 또는 (ⅱ)인 경우이므로

[eqn: rm P it LEFT ( X SMALLINTER Y RIGHT )][eqn: = {{}_{1} rm C _{1} TIMES _{3} C _{1} + _{1} C _{1} TIMES _{5} C _{1} + _{2} C _{2} + _{3} C _{2} + _{5} C _{2} it} over {{}_{15} rmC _{2}}]
[eqn: = {22} over {105}]

[eqn: rm P it LEFT ( Y ``|`` X RIGHT )][eqn: = {rm P it LEFT ( X SMALLINTER Y RIGHT )} over {rm P it LEFT ( X RIGHT )}][eqn: = {11} over {14}]

따라서 [eqn: p+q][eqn: =25]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 확률과 통계 30

주머니에 [eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 12]까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 [eqn: rm 12]개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: rm 3]개의 공을 동시에 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 작은 수부터 크기 순서대로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 하자. [eqn: b-a geq 5]일 때, [eqn: c-a geq 10]일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 9]

[해설]

[eqn: b-a geq 5]인 사건을 [eqn: E], [eqn: c-a geq 10]인 사건을 [eqn: F]라 하면 구하는 확률은

[eqn: {rm{P}} it (F `|` E)={{rm{P}} it (E cap F)} over {{rm{P}} it (E)}]이다.

모든 순서쌍 [eqn: (a,`` b,`` c)]의 개수는

[eqn: it _{12} {rm{C}} it _{3}=220]

이때 [eqn: b-a geq 5]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a,``b)]는

[eqn: (1,``6)], [eqn: (1,``7)], [eqn: (1,``8)], [eqn: cdots], [eqn: (1,``11)]

[eqn: (2,``7)], [eqn: (2,``8)], [eqn: cdots], [eqn: (2,``11)]

[eqn: VDOTS]

[eqn: (6,``11)]

[eqn: a=1]일 때 [eqn: c]의 개수는 [eqn: 6+5+4+3+2+1=21]

[eqn: a=2]일 때 [eqn: c]의 개수는 [eqn: 5+4+3+2+1=15]

[eqn: a=3]일 때 [eqn: c]의 개수는 [eqn: 4+3+2+1=10]

[eqn: a=4]일 때 [eqn: c]의 개수는 [eqn: 3+2+1=6]

[eqn: a=5]일 때 [eqn: c]의 개수는 [eqn: 2+1=3]

[eqn: a=6]일 때 [eqn: c]의 개수는 [eqn: rm 1]

이므로 [eqn: b-a geq 5]를 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (a,`` b,`` c)]의 개수는

[eqn: 21+15+10+6+3+1][eqn: =56]

즉, [eqn: {rm{P}} it (E)={56} over {220}={14} over {55}]

한편, [eqn: b-a geq 5]이고 [eqn: c-a geq 10]인 경우는

[eqn: a=1], [eqn: c=11]일 때

[eqn: b=6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10]

[eqn: a=1], [eqn: c=12]일 때

[eqn: b=6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10], [eqn: 11]

[eqn: a=2], [eqn: c=12]일 때

[eqn: b=7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10], [eqn: 11]

이므로 [eqn: b-a geq 5]이고 [eqn: c-a geq 10]인 모든 순서쌍 [eqn: (a,`` b,`` c)]의 개수는 [eqn: 5+6+5=16]

즉, [eqn: {rm{P}} it (E cap F)={16} over {220}={4} over {55}]

따라서

[eqn: {rm{P}} it (F `|` E)={{rm{P}} it (E cap F)} over {{rm{P}} it (E)}]

[eqn: = {{4} over {55}} over { { 14} over {55 }}]

[eqn: ={2} over {7}]

즉, [eqn: p=7], [eqn: q=20]이므로 [eqn: p+q=7+2=9]

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

05 확통	05 조건부 확률
01 조건부 확률의 뜻
05 조건부 확률의 뜻4 (활용)

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 28

자연수 [eqn: n~ LEFT (n ge3 RIGHT ) `]에 대하여 집합 [eqn: A ``]를

[정답] [eqn: 48]

[해설]

[eqn: n=3k]([eqn: k]는 자연수)로 놓고 [eqn: k=1,~2,~3 ,~ cdots] 를 차례대로 대입하여 판단하면

[eqn: n=3k] 일 때 [eqn: b]가 [eqn: 3]의 배수인 경우의 수는 [eqn: 3+6+9 CDOTS +3k]

이 때 [eqn: a=b]인 경우의 수는 [eqn: k]개이므로 [eqn: b]가 3의 배수일 때

[eqn: a=b]인 확률은

[eqn: {k} over {3+6+9+ CDOTS +3k} = {1} over {9}]이므로

[eqn: {k} over {3+6+9+ CDOTS +3k} = {k} over {3 left( {k(k+1)} over {2} right)} = {2} over {3(k+1)} = {1} over {9}]

∴[eqn: k=5]

그러므로 [eqn: 3]의 배수 중 [eqn: b]가 [eqn: 3]의 배수일 때 [eqn: a=b]인 확률이 [eqn: {1} over {9}]인 경우는 [eqn: n=15]일 때이다. 따라서 [eqn: n=15,16,17]일 때 확률이 [eqn: {1} over {9}]이다.

[eqn: A = \{ it (x,~ y) `| ` 1 le x le y le n ,~ x `]와 [eqn: y`]는 자연수[eqn: \}]

라 하자. 집합 [eqn: A ``]에서 임의로 선택된 한 개의 원소 [eqn: LEFT (a,`` b RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: b `]가 [eqn: 3 `]의 배수일 때, [eqn: a = b `]일 확률이 [eqn: 1 over 9 `]이 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: n `]의 값의 합을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 28

집합 [eqn: X][eqn: = LEFT { x`` LEFT | it ``x]는 [eqn: 8] 이하의 자연수[eqn: LEFT. it RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 [eqn: f] 중에서 임의로 하나를 선택한다. 선택한 함수 [eqn: f]가 [eqn: 4] 이하의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 2n-1 RIGHT ) <f LEFT ( 2n RIGHT )]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 5 RIGHT )]일 확률은?

[정답] ②

[해설]

선택한 함수 [eqn: f]가 [eqn: 4] 이하의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: f LEFT ( 2n-1 RIGHT ) <f LEFT ( 2n RIGHT )]인 사건을 [eqn: A], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 5 RIGHT )]인 사건을 [eqn: B]라 하면

구하는 확률은 [eqn: rm P it LEFT ( B``|``A RIGHT )]이다.

[eqn: X]에서 [eqn: X]로의 모든 함수의 개수는 [eqn: 8 ^{8}]이다.

[eqn: 4] 이하의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 2n-1 RIGHT ) <f LEFT ( 2n RIGHT )]인

[eqn: f LEFT ( 2n-1 RIGHT )]과 [eqn: f LEFT ( 2n RIGHT )]을 정하는 경우의 수는

[eqn: {}_{8} rmC _{2}][eqn: = {8 TIMES 7} over {2 TIMES 1}][eqn: =28]

[eqn: 4] 이하의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: f LEFT ( 2n-1 RIGHT ) <f LEFT ( 2n RIGHT )]인 경우의 수는 [eqn: 28 ^{4}]이므로

[eqn: rm P it LEFT ( A RIGHT )][eqn: = {28 ^{4}} over {8 ^{8}}]

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 5 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 6 RIGHT )]인 경우
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 5 RIGHT )][eqn: <f LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 6 RIGHT )]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) ,~f LEFT ( 2 RIGHT ) ,~f LEFT ( 5 RIGHT ) ,~f LEFT ( 6 RIGHT )]을 정하는 경우의 수는 [eqn: {}_{8} rmC _{2}]이고, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]과 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 7 RIGHT )]과 [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT )]을 정하는 경우의 수는 각각 [eqn: {}_{8} rmC _{2}]이므로
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 6 RIGHT )]인 경우의 수는 [eqn: LEFT ( {}_{8} rmC _{2} RIGHT ) ^{3}][eqn: =28 ^{3}]이다.

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 5 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: != f LEFT ( 6 RIGHT )]인 경우
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 5 RIGHT )][eqn: <f LEFT ( 2 RIGHT ) <f LEFT ( 6 RIGHT )] 또는 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 5 RIGHT )][eqn: <f LEFT ( 6 RIGHT ) <f LEFT ( 2 RIGHT )]이므로
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) ,~f LEFT ( 2 RIGHT ) ,~f LEFT ( 5 RIGHT ) ,~f LEFT ( 6 RIGHT )]을 정하는 경우의 수는
[eqn: 2 TIMES _{8} rmC _{3}][eqn: =2 TIMES {8 TIMES 7 TIMES 6} over {3 TIMES 2 TIMES 1}][eqn: =112]이고,
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]과 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 7 RIGHT )]과 [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT )]을 정하는 경우의 수는
각각 [eqn: {}_{8} rmC _{2}][eqn: =28]이므로
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: != f LEFT ( 6 RIGHT )]인 경우의 수는 [eqn: 112 TIMES 28 ^{2}]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해

[eqn: rm P it LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )][eqn: = {28 ^{3} +112 TIMES 28 ^{2}} over {8 ^{8}}][eqn: = {140 TIMES 28 ^{2}} over {8 ^{8}}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P it LEFT ( B``|``A RIGHT )][eqn: = {rm P it LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )} over {rm P it LEFT ( A RIGHT )}][eqn: = {{140 TIMES 28 ^{2}} over {8 ^{8}}} over {{28 ^{4}} over {8 ^{8}}}][eqn: = {140} over {28 ^{2}}][eqn: = {5} over {28}]

① [eqn: {1} over {7}]	② [eqn: {5} over {28}]	③ [eqn: {3} over {14}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {2} over {7}]

05 확통	05 조건부 확률
02 조건부확률과 곱셈정리
01 종속인 사건의 곱셈정리1 (비복원추출)

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 16
[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 07월 16

[eqn: A ``]학생의 주머니에는 빨간 구슬 [eqn: 2 `]개와 노란 구슬 [eqn: 3 `]개, [eqn: B ``]학생의 주머니에는 노란 구슬 [eqn: 1 `]개와 파란 구슬 [eqn: 4 `]개가 들어 있다. 두 명의 학생이 각자의 주머니에서 한 개의 구슬을 꺼내어 색깔에 따라 승부를 가리는데, 빨간 구슬이 노란 구슬에 이기고, 노란 구슬은 파란 구슬에 이기고, 파란 구슬은 빨간 구슬에 이긴다고 한다. 이 때, [eqn: A ``]학생이 이길 확률은? (단, 같은 색의 구슬이 나왔을 때는 구슬을 한 개씩 더 꺼내어 승부를 가리고, 꺼낸 구슬은 다시 넣지 않는다.)

[정답] ②

[해설]

[eqn: A]학생이 이기는 경우는 세 가지

ⅰ) [eqn: A]:빨강-[eqn: B]:노랑 [eqn: {2} over {5} TIMES {1} over {5} = {2} over {25}]

ⅱ) [eqn: A]:노랑-[eqn: B]:파랑 [eqn: {3} over {5} TIMES {4} over {5} = {12} over {25}]

ⅲ) [eqn: A]:노랑-[eqn: B]:노랑 [eqn: ->][eqn: A]:노랑-[eqn: B]:파랑

[eqn: {3} over {5} TIMES {1} over {5} TIMES {2} over {4} TIMES 1= {3} over {50}]

합의 법칙에 의하여 [eqn: {4 + 24 + 3} over 50 = 31 over 50]

① [eqn: {29} over {50}]	② [eqn: {31} over {50}]	③ [eqn: {33} over {50}]

④ [eqn: {7} over {10}]	⑤ [eqn: {37} over {50}]

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 27

학생 [eqn: A]의 주머니에는 횐 구슬 [eqn: rm 2]개와 빨간 구슬 [eqn: rm 3]개가 들어 있고, 학생 [eqn: B]의 주머니에는 횐 구슬 [eqn: rm 3]개와 빨간 구슬 [eqn: rm 2]개가 들어 있다. 학생 [eqn: A]부터 시작하여 [eqn: A]와 [eqn: B]가 교대로 자신의 주머니에서 구슬 [eqn: rm 1]개씩 꺼내어 먼저 흰 구슬을 꺼내는 사람이 이기는 것으로 한다. 학생 [eqn: A]가 이길 확률은? (단, 모든 구슬의 크기와 모양은 같고, 한 번 꺼낸 구슬은 다시 주머니에 넣지 않는다.)

[정답] ③

[해설]

[eqn: {2} over {5}+{3} over {5} times {2} over {5} times {1} over {2}+{3} over {5} times {2} over {5} times {1} over {2} times {1} over {4} times {2} over {3}]

[eqn: ={2} over {5}+{3} over {25}+{1} over {50}={27} over {50}]

① [eqn: {21} over {50}]	② [eqn: {12} over {25}]	③ [eqn: {27} over {50}]

④ [eqn: {3} over {5}]	⑤ [eqn: {33} over {50}]

05 확통	05 조건부 확률
02 조건부확률과 곱셈정리
02 종속인 사건의 곱셈정리2 (상황별 확률의 변화)

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 12
[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 07월 12

다음 조건을 만족하는 상자가 [eqn: n] ([eqn: n GEQ 2`])개 있다.

[정답] ④

[해설]

임의로 한 상자를 택하는 확률 : [eqn: {1} over {n}]

상자에서 구슬 2개 꺼낼 때, 흰 구슬이 나올 확률

[상자1] 확률 : [eqn: 0]

[상자2] 확률 : [eqn: {` _{2} rm C it _{2}} over {` _{n} rm C it _{2}}]

[상자3] 확률 : [eqn: {`_3 {rmC}_2 } over {` _{n} rm C it _{2} }]

[eqn: VDOTS]

[상자[eqn: n]] 확률 : [eqn: {`_n {rmC}_2 } over {` _{n} rm C it _{2} }]

[eqn: rm P it rm _{itn} `=` {1} over {n} TIMES {` _{2} rm C it rm _{2} +` _{3} rm C it rm _{2} +` CDOTS `+` _{n} rm C it rm _{2}} over {` _{n} rm C it rm _{2}} `=` {` _{n+1} rm C it rm _{3} `} over {n`․` _{n} rm C it rm _{2}}][eqn: = {n+1} over {3n}]

[eqn: {rmP_ {10 }`=` { 11} over {30 }]

[상자[eqn: 1]] 흰 구슬 [eqn: 1]개, 검은 구슬 [eqn: n-1]개

[상자[eqn: 2]] 흰 구슬 [eqn: 2]개, 검은 구슬 [eqn: n-2]개

[상자[eqn: 3]] 흰 구슬 [eqn: 3]개, 검은 구슬 [eqn: n-3]개

⋮

[상자[eqn: n]] 흰 구슬 [eqn: n]개, 검은 구슬 [eqn: 0]개

[eqn: n]개의 상자에서 임의로 한 상자를 택하여 [eqn: 2`]개의 구슬을 동시에 꺼낼 때, 모두 흰 구슬이 나올 확률을 [eqn: {rmP}_n`]이라 하자. [eqn: {rmP} _{10}`]의 값은?

① [eqn: {19} over {60}]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 7 over 20]

④ [eqn: 11 over 30]	⑤ [eqn: 23over 60]

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 09월 24
[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 24

주머니 안에 스티커가 [eqn: 1`]개, [eqn: 2`]개, [eqn: 3`]개 붙어 있는 카드가 각각 [eqn: 1 `]장씩 들어 있다. 주머니에서 임의로 카드 [eqn: 1`]장을 꺼내어 스티커 [eqn: 1`]개를 더 붙인 후 다시 주머니에 넣는 시행을 반복한다. 주머니안의 각 카드에 붙어 있는 스티커의 개수를 [eqn: 3 `]으로 나눈 나머지가 모두 같아지는 사건을 [eqn: A ``]라 하자. 시행을 [eqn: 6`]번 하였을 때, [eqn: 1 `]회부터 [eqn: 5 `]회까지는 사건 [eqn: A``]가 일어나지 않고, [eqn: 6`]회에서 사건 [eqn: A``]가 일어날 확률을 [eqn: {q} over {p} `]라 하자. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] 11

[해설]

카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지를 [eqn: (a, b, c)]로 나타내기로 하자.

카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지가 각각 (0, 1, 2) 이면 두 번의 시행으로는 (0, 0, 0) 또는 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2)를 만들 수가 없다.

또한, 세 번의 시행으로 나올 수 있는 모든 경우의 수는 [eqn: 3 times 3 times 3 = 27]

이고 세 번의 시행에서 (0, 0, 0)이 되는 경우는

(0,1,2)→(0,2,2)→(0,2,3)→(0,3,3)

(0,1,2)→(0,2,2)→(0,3,2)→(0,3,3)

(0,1,2)→(0,1,3)→(0,2,3)→(0,3,3)

의 3가지이고 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2)가 될 수 있는 경우도 각각 3가지씩이다.

따라서 3번째 시행에서 사건 A가 일어나지 않을 확률은

[eqn: P(A^C ) =1- 3+3+3 OVER 27 = 2 OVER 3]

또한, 3번의 시행 후에는 모든 카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지가 (0, 1, 2) 또는 (0, 0, 0) 또는 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2) 이므로 4번째, 5번째 시행에서는 사건 A가 일어나지 않고 6번째 시행에서 사건 A가 일어날 확률은 같은 방법으로 생각하면 [eqn: 1 OVER 3]이다. 따라서 구하고자 하는 확률은 [eqn: 1 TIMES 1 TIMES 2 OVER 3 TIMES 1 TIMES 1 TIMES 1 OVER 3 = 2 OVER 9]

[eqn: THEREFORE][eqn: p+q = 11]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 07월 28

상자 [eqn: RMA`]에는 흰 공 [eqn: 10`]개, 상자 [eqn: rm B`]에는 검은 공 [eqn: 10`]개가 들어 있다. 다음과 같이 [실행 [eqn: 1 `]]부터 [실행 [eqn: 3 `]]까지 할 때, 상자 [eqn: rm B`]의 흰 공의 개수가 홀수일 확률이 [eqn: {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`], [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 49]

[해설]

[실행 [eqn: 3]]까지 할 때, 상자 [eqn: rm B`]의 흰 공의 개수가 홀수가 되려면

(ⅰ) [실행 [eqn: 2]]에서 상자 [eqn: rm B`]에서 검은 공 [eqn: 2]개를 상자 [eqn: rmA`]로 넣고 [실행 [eqn: 3]]에서는 상자 [eqn: rmA`]에서 검은 공 [eqn: 1]개, 흰 공 [eqn: 1]개를 상자 [eqn: rm B`]로 넣는 경우 [eqn: rm {{} _{10} C _{2}} over {{} _{12} C _{2}} TIMES {{} _{8} C _{1} TIMES _{2} C _{1}} over {{} _{10} C _{2}} = {8} over {33} `]

(ⅱ) [실행 [eqn: 2]]에서 상자 [eqn: rm B`]에서 검은 공 [eqn: 1]개, 흰 공 [eqn: 1]개를 상자 [eqn: rmA`]로 넣고 [실행 [eqn: 3]]에서는 상자 [eqn: rmA`]에서 흰 공 [eqn: 2]개를 상자 [eqn: rm B`]로 넣는 경우 [eqn: rm {{} _{10} C _{1} TIMES _{2} C _{1}} over {{} _{12} C _{2}} TIMES {{} _{9} C _{2}} over {{} _{10} C _{2}} = {8} over {33} `]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: {8} over {33} + {8} over {33}][eqn: =][eqn: {16} over {33} `] 따라서 [eqn: p+q=49]

[실행 [eqn: 1`]] 상자 [eqn: RMA]에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼내어 상자 [eqn: rm B]에 넣는다.

[실행 [eqn: 2`]] 상자 [eqn: rm B]에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼내어 상자 [eqn: RMA]에 넣는다.

[실행 [eqn: 3`]] 상자 [eqn: RMA]에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼내어 상자 [eqn: rm B]에 넣는다.

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 07월 18

그림과 같이 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5], [eqn: 6]의 숫자가 한 면에만 각각 적혀 있는 [eqn: 6`]장의 카드가 일렬로 놓여 있다. 주사위 한 개를 던져서 나온 눈의 수가 [eqn: 2] 이하이면 가장 작은 숫자가 적혀 있는 카드 [eqn: 1`]장을 뒤집고, [eqn: 3] 이상이면 가장 작은 숫자가 적혀 있는 카드부터 차례로 [eqn: 2`]장의 카드를 뒤집는 시행을 한다. [eqn: 3]번째 시행에서 [eqn: 4 `]가 적혀 있는 카드가 뒤집어질 확률은? (단, 모든 카드는 한 번만 뒤집는다.)

[정답] ③

[해설]

주사위 한 개를 던져서 나오는 눈의 수가

[eqn: 2] 이하일 사건을 [eqn: A]라 하면 [eqn: rm P LEFT ( it A RIGHT ) = {1} over {3}]

[eqn: 3] 이상일 사건을 [eqn: B]라 하면 [eqn: rm P LEFT ( it B RIGHT ) = {2} over {3}]

[eqn: 3]번째 시행에서 [eqn: 4]가 적혀 있는 카드가 뒤집어질 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: ABA] 또는 [eqn: ABB]인 경우의 확률 :

[eqn: {1} over {3} TIMES {2} over {3} TIMES LEFT ( {1} over {3} + {2} over {3} RIGHT ) = {2} over {9}]

(ⅱ) [eqn: AAB]인 경우의 확률 :

[eqn: {1} over {3} TIMES {1} over {3} TIMES {2} over {3} = {2} over {27}]

(ⅲ) [eqn: BAA] 또는 [eqn: BAB`]인 경우의 확률 :

[eqn: {2} over {3} TIMES {1} over {3} TIMES LEFT ( {1} over {3} + {2} over {3} RIGHT ) = {2} over {9}]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 확률은

[eqn: {2} over {9} + {2} over {27} + {2} over {9} = {14} over {27} `]

① [eqn: { 4} over { 9}]	② [eqn: {13} over { 27}]	③ [eqn: {14} over {27}]

④ [eqn: { 5} over { 9}]	⑤ [eqn: {16} over {27}]

[출처]	2015 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

바닥에 놓여 있는 [eqn: 5`]개의 동전 중 임의로 [eqn: 2`]개의 동전을 선택하여 뒤집는 시행을 하기로 한다. [eqn: 2`]개의 동전은 앞면이, [eqn: 3`]개의 동전은 뒷면이 보이도록 바닥에 놓여있는 상태에서 이 시행을 [eqn: 3`]번 반복한 결과 [eqn: 2`]개의 동전은 앞면이, [eqn: 3`]개의 동전은 뒷면이 보이도록 바닥에 놓여 있을 확률을 [eqn: p`]라 할 때, [eqn: 125p`]의 값을 구하시오.
(단, 동전의 크기와 모양은 모두 같다.)

[정답] [eqn: 78]

[해설]

앞면이 보이도록 바닥에 놓여 있는 동전의 개수가 [eqn: a],

뒷면이 보이도록 바닥에 놓여 있는 동전의 개수가 [eqn: b]일 때, [eqn: (a, ``b)]로 나타내기로 하면

최초의 상태는 [eqn: (3, ``2)]이고 [eqn: 3]번의 시행의 결과도 [eqn: (3, ``2)]이다.

가능한 경우를 표를 이용하여 나타내면 다음과 같다.

	시행		시행		시행
[eqn: (3, ``2)]	⇨	[eqn: (3, ``2)]	⇨	[eqn: (3, ``2)]	⇨	[eqn: (3, ``2)]	(ⅰ)
				[eqn: (5, ``0)]			(ⅱ)
				[eqn: (1, ``4)]			(ⅲ)
	⇨	[eqn: (5, ``0)]	⇨	[eqn: (3, ``2)]	⇨		(ⅳ)
	⇨	[eqn: (1, ``4)]	⇨	[eqn: (3, ``2)]	⇨		(ⅴ)
				[eqn: (1, ``4)]			(ⅵ)

(ⅰ)의 확률은

[eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: = 27 over125]

(ⅱ)의 확률은

[eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: 1][eqn: = 3 over50]

(ⅲ)의 확률은

[eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_3 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_4 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: = 27 over250]

(ⅳ)의 확률은

[eqn: { `_2 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: 1][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: = 3 over50]

(ⅴ)의 확률은

[eqn: { `_3 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_4 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: = 27 over250]

(ⅵ)의 확률은

[eqn: { `_3 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_1 rmC_1 times `_4 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_4 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: = 18 over250]

(ⅰ)~(ⅵ)에서

[eqn: p][eqn: =][eqn: 27 over125 + 3 over50 + 27 over250 + 3 over50 + 27 over250 + 18over250][eqn: = 78 over125]

∴ [eqn: 125p][eqn: =78]

[출처]	2015 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

바닥에 놓여 있는 [eqn: 5`]개의 동전 중 임의로 [eqn: 2`]개의 동전을 선택하여 뒤집는 시행을 하기로 한다. [eqn: 2`]개의 동전은 앞면이, [eqn: 3`]개의 동전은 뒷면이 보이도록 바닥에 놓여있는 상태에서 이 시행을 [eqn: 3]번 반복한 결과 [eqn: 2`]개의 동전은 앞면이, [eqn: 3`]개의 동전은 뒷면이 보이도록 바닥에 놓여 있을 확률은?
(단, 동전의 크기와 모양은 모두 같다.)

[정답] ③

[해설]

앞면이 보이도록 바닥에 놓여 있는 동전의 개수가 [eqn: a],

뒷면이 보이도록 바닥에 놓여 있는 동전의 개수가 [eqn: b]일 때, [eqn: (a, ``b)]로 나타내기로 하면

최초의 상태는 [eqn: (3, ``2)]이고 [eqn: 3]번의 시행의 결과도 [eqn: (3, ``2)]이다.

가능한 경우를 표를 이용하여 나타내면 다음과 같다.

	시행		시행		시행
[eqn: (3, ``2)]	⇨	[eqn: (3, ``2)]	⇨	[eqn: (3, ``2)]	⇨	[eqn: (3, ``2)]	(ⅰ)
				[eqn: (5, ``0)]			(ⅱ)
				[eqn: (1, ``4)]			(ⅲ)
	⇨	[eqn: (5, ``0)]	⇨	[eqn: (3, ``2)]	⇨		(ⅳ)
	⇨	[eqn: (1, ``4)]	⇨	[eqn: (3, ``2)]	⇨		(ⅴ)
				[eqn: (1, ``4)]			(ⅵ)

(ⅰ)의 확률은

[eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: = 27 over125]

(ⅱ)의 확률은

[eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: 1][eqn: = 3 over50]

(ⅲ)의 확률은

[eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_3 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_4 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: = 27 over250]

(ⅳ)의 확률은

[eqn: { `_2 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: 1][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: = 3 over50]

(ⅴ)의 확률은

[eqn: { `_3 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_4 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: = 27 over250]

(ⅵ)의 확률은

[eqn: { `_3 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_1 rmC_1 times `_4 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_4 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: = 18 over250]

(ⅰ)~(ⅵ)에서 구하는 확률은

[eqn: 27 over125 + 3 over50 + 27 over250 + 3 over50 + 27 over250 + 18over250][eqn: = 78 over125]

① [eqn: 77 over125]	② [eqn: 31 over50]	③ [eqn: 78 over125]

④ [eqn: 157 over250]	⑤ [eqn: 79 over125]

05 확통	05 조건부 확률
02 조건부확률과 곱셈정리
03 종속인 사건의 곱셈정리2 (확률조건)

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

자연수 [eqn: n]에 대하여 한 개의 주사위를 반복하여 던져서 나오는 눈의 수에 따라 다음과 같은 규칙으로 [eqn: a_{n}]을 정한다.

[정답] ③

[해설]

그림과 같이 줄을 따라 갈 때 마다 확률이 [eqn: {1} over {2}]이다.

ㄱ. [eqn: a_{2}=1]인 경우는 [eqn: 0 ``rarrow`` 1] 한가지 이므로 그 확률은 [eqn: {1} over {2}]이다.

ㄴ. [eqn: a_{3}=1]인 경우는 [eqn: 0 ``rarrow``-1 ``rarrow`` 1]이므로 확률은 [eqn: {1} over {4}]이다.
[eqn: a _{3} =`-1]인 경우도 마찬가지로 확률은 [eqn: {1} over {4}]이다.
[eqn: a_{4}=0]인 경우는 [eqn: a _{3} =`-1] 또는 [eqn: a_{3}=1]에서 온 것이므로
그 확률은 [eqn: {1} over {4} TIMES {1} over {2} + {1} over {4} TIMES {1} over {2} = {1} over {4}]이다.

ㄷ. [eqn: a_{9}=0]일 확률이 [eqn: p]이면
[eqn: a _{9} =1], [eqn: a _{9} =`-1]일 확률은 각각 [eqn: {1-p} over {2}]이다.
[eqn: a _{11} =0]인 경우는 [eqn: a _{9} `->` a _{10} `->` a _{11}]에서
[eqn: 0 `->` LEFT (-1 RIGHT ) `->` 0], [eqn: 0 `->` LEFT (1 RIGHT ) `->` 0], [eqn: 1 `->` LEFT (-1 RIGHT ) `->` 0], [eqn: LEFT (-1 RIGHT ) `->` 1 `->` 0]이므로
확률은 [eqn: {1} over {4} p+ {1} over {4} p+ {1} over {4} TIMES {1-p} over {2} + {1} over {4} TIMES {1-p} over {2} = {1+p} over {4}]이다.

(가) [eqn: a_{1}=0]이고, [eqn: a_{n}(n geq 2)]는 세 수 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1] 중 하나이다.

(나) 주사위를 [eqn: n]번째 던져서 나온 눈의 수가
짝수이면 [eqn: a_{n+1}]은 [eqn: a_{n}]이 아닌 두 수 중에서 작은 수이고,
홀수이면 [eqn: a_{n+1}]은 [eqn: a_{n}]이 아닌 두 수 중에서 큰 수이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a_{2}=1]일 확률은 [eqn: {1} over {2}]이다. ㄴ. [eqn: a_{3}=1]일 확률과 [eqn: a_{4}=0]일 확률은 서로 같다. ㄷ. [eqn: a_{9}=0]일 확률이 [eqn: p]이면 [eqn: a_{11}=0]일 확률은 [eqn: {1-p} over {4}]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

05 확통	05 조건부 확률
02 조건부확률과 곱셈정리
04 곱셈정리와 조건부확률1 (종속적 선후시행)

[출처]	2005 모의_공공 사관학교 고3 07월 9
[출처]	2005 모의_공공 사관학교 고3 07월 13

빨간 공 [eqn: 4 `]개와 파란 공 [eqn: 2 `]개가 들어 있는 상자 [eqn: \A``]가 있다. 상자 [eqn: \A `]에서 동시에 공 [eqn: 3 `]개를 꺼내어 비어 있는 상자 [eqn: \B``]에 넣은 다음 다시 상자 [eqn: \B `]에서 공 [eqn: 1 `]개를 꺼냈다. 상자 [eqn: \B``]에서 꺼낸 공이 파란 공이었을 때 상자 [eqn: \A``]에서 상자 [eqn: \B``]로 옮겨진 공 [eqn: 3``]개가 빨간 공 [eqn: 2``]개와 파란 공 [eqn: 1``]개일 확률은?

[정답] ⑤

[해설]

상자 [eqn: A] 에서 꺼낸 공이 적어도 파란 공을 한 개이상 포함하는 경우는 다음과 같이 [eqn: 2``]가지이다.

ⅰ) 빨간 공 [eqn: 1]개와 파란 공 [eqn: 2]개를 꺼내는 경우에 상자 [eqn: B``]에서

한 개의 공을 꺼낼 때 파란 공이 나올 확률은

[eqn: { `_4 C_1 ``_2 C_2 }over {`_6 C_3} times {`_2 C_1} over {`_3 C_1}``]

ⅱ) 빨간 공 [eqn: 2]개와 파란 공 [eqn: 1]개를 꺼내는 경우에 상자 [eqn: B``]에서

한 개의 공을 꺼낼 때 파란 공이 나올 확률은

[eqn: { `_4 C_2 ``_2 C_1} over {`_6 C_3} times {{`_1 C_1} over {`_3 C_1}``]

따라서 꺼낸 공이 파란 공일 때 상자 [eqn: \A``]에서 상자 [eqn: \B``]로 옮겨진 공 [eqn: 3``]개가 빨간 공 [eqn: 2``]개와 파란 공 [eqn: 1``]개일 확률은

[eqn: {left({ `_4 C_2 ``_2 C_1} over {`_6 C_3} times {{`_1 C_1} over {`_3 C_1}right)}}over {left({ `_4 C_1 ``_2 C_2 }over {`_6 C_3} times {`_2 C_1} over {`_3 C_1}right)+left({ `_4 C_2 ``_2 C_1} over {`_6 C_3} times {{`_1 C_1} over {`_3 C_1}}right)} = 3 over 5]

① [eqn: {1}over{6}`]	② [eqn: {1}over{5}`]	③ [eqn: {1}over{2}`]

④ [eqn: {2}over{3}`]	⑤ [eqn: {3}over{5}``]

[출처]	2005 모의_공공 경찰대 고3 07월 24

어떤 범죄 사건에서 [eqn: rm 3]명의 용의자가 포착되었다. 이들이 각각 진범일 확률은 [eqn: {1} over {3}]로 모두 같고, 이들 중에 진범이 있는 것은 의심의 여지가 없다고 가정하자.

[정답] ①

[해설]

세 명의 용의자 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C] 중에서 진범이 [eqn: A]라고 가정하면 아래 표와 같이 [eqn: rm 3]가지 경우가 가능하다.

경우	[eqn: rm 1]	[eqn: rm 2]	[eqn: rm 3]
집중수사	[eqn: A]	[eqn: C]	[eqn: B]
과학수사팀	[eqn: B]	[eqn: B]	[eqn: C]
	[eqn: C]	[eqn: A]	[eqn: A]

1) 수사초점을 바꾸지 않는 경우에 진범일 확률 :
경우 [eqn: rm 1]인 경우에 진범이 된다. 집중수사 대상은 임의로 선정한 것이므로 [eqn: A]가 선정될 확률은 [eqn: {1} over {3}], 과학수사팀에서 한 명이 무혐의 결정을 받게 되는 경우가 [eqn: rm 2]가지, 수사초점을 바꾸지 않을 확률은 [eqn: {1} over {2}]이므로
[eqn: {1} over {3} times {1} over {2} times 2={1} over {3}]

2) 수사초점을 바꾸는 경우에 진범일 확률 :
경우 [eqn: rm 2], [eqn: rm 3]에 진범이 된다. 각 경우의 확률은 [eqn: {2} over {3} times {1} over {2}={1} over {3}]
이므로 수사초점을 바꾸는 경우의 확률은 [eqn: {2} over {3}]이다.

따라서, 수사초점을 바꾸는 것이 유리하다.

수사반장은 다음과 같은 수사 계획을 세웠다. "우선 [eqn: rm 3]명 중에 한 명을 임의로 뽑아 집중 수사를 한다. 다른 두 명은 과학 수사 팀에 의뢰하여 결백한지, 즉 용의선 상에서 제외 할 수 있는지를 조사한다." 그런데 수사반장은 다음과 같은 고민이 생겼다. “계획대로 수사가 시작된 지 얼마 지나지 않았을 때 만약 과학 수사 팀에 의뢰한 두 명 중에 한 명이 결백함이 밝혀진다면 처음 집중 수사 대상이었던 사람을 계속 수사할 것인지 아니면 과학 수사 팀에서 결백함이 밝혀지지 않은 다른 한 사람으로 수사 초점을 바꿀 것인지”가 문제가 된 것이다. 지금까지의 경험으로 볼 때, 과학 수사 결과 결백함이 밝혀진 자가 후일 범인임이 밝혀진 예는 전혀 없었으므로 과학 수사 결과 결백함이 밝혀지면 전혀 의심의 여지가 없는 것으로 가정하고, 또 처음 수사 대상자에 대한 수사 비용과 시간을 무시하기로 할 때, 즉 확률적으로만 판단할 때, 이 경우 수사반장의 합리적인 판단은 어느 것인가?

① 바꾸는 것이 확률적으로 유리하다.

② 바꾸지 않는 것이 확률적으로 유리하다.

③ 바꾸거나 바꾸지 않거나 진범을 알아낼 확률은 같다.

④ 주어진 정보와 가정만으로는 아무것도 알 수 없다.

⑤ 과학 수사 결과 결백함이 밝혀지지 않은 남은 한 사람이 진범이다.

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 예비 29

한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다.

[정답] [eqn: 34]

[해설]

주사위를 한 번 던져서 [eqn: 5]점 이상을 얻을 확률은

[eqn: 2 over 6 = 1 over 3]

주사위를 두 번 던져서 [eqn: 5]점 이상을 얻을 확률은

[eqn: {4} over {6} TIMES {2} over {6} = {2} over {9}]

따라서, 얻은 점수가 [eqn: 5]점 이상일 때, 주사위를 한 번만 던졌을 확률은

[eqn: {1 over 3 } over {1 over 3 + 2 over 9} = 3 over 5]

[eqn: THEREFORE][eqn: p^2 +q^2 =25 +9=34]

(가) 한 번 던져 나온 눈의 수가 [eqn: rm 5] 이상이면 나온 눈의 수를 점수로 한다.

(나) 한 번 던져 나온 눈의 수가 [eqn: rm 5]보다 작으면 한 번 더 던져 나온 눈의 수를 점수로 한다.

시행의 결과로 얻은 점수가 [eqn: rm 5]점 이상일 때, 주사위를 한 번만 던졌을 확률을 [eqn: {q} over {p}]라 하자. [eqn: p^{2}+q^{2}]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 11

주머니 [eqn: rm A`]에는 흰 공 [eqn: 2`]개, 검은 공 [eqn: 4`]개가 들어 있고, 주머니 [eqn: rm B`]에는 흰 공 [eqn: 4`]개, 검은 공 [eqn: 2`]개가 들어 있다. 주머니 [eqn: rm A`]에서 임의로 [eqn: 2`]개의 공을 꺼내어 주머니 [eqn: rm B`]에 넣고 섞은 다음 주머니 [eqn: rm B`]에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 꺼내어 주머니 [eqn: rm A`]에 넣었더니 두 주머니에 있는 검은 공의 개수가 서로 같아졌다. 이때 주머니 [eqn: rm A]에서 꺼낸 공이 모두 검은 공이었을 확률은?

[정답] ①

[해설]

주머니 [eqn: rm A]에 있는 검은 공의 개수가 주머니 [eqn: rm B]에 있는 검은
공의 개수보다 크므로 시행을 마친 후 두 주머니 안에 있는
검은 공의 수가 같으려면 주머니 [eqn: rm A]에서 적어도 하나의 검은
공을 꺼내어 주머니 [eqn: rm B]에 넣어야 한다.

(ⅰ) 주머니 [eqn: rm A]에서 검은 공 [eqn: 2]개를 꺼내어 주머니 [eqn: rm B]에 넣는 경우
주머니 [eqn: rm B]에서 검은 공 [eqn: 1]개, 흰 공 [eqn: 1]개를 꺼내어 주머니 [eqn: rm A]에 넣어야 두 주머니에 있는 검은 공의 개수가 서로 같아진다. 이때의 확률은
[eqn: rm {`_4 C_2 } over { `_6 C_2} times { `_4 C_1 times`_4 C_1} over { `_8 C_2}][eqn: = 8 over35]

(ⅱ) 주머니 [eqn: rm A]에서 흰 공 [eqn: 1]개, 검은 공 [eqn: 1]개를 꺼내어 주머니 [eqn: rm B]에 넣는 경우
주머니 [eqn: rm B]에서 흰 공 [eqn: 2]개를 꺼내어 주머니 [eqn: rm A]에 넣어야 두 주머니에 있는 검은 공의 개수가 서로 같아진다.
이때의 확률은
[eqn: rm { `_2 C_1 times `_4 C_1} over { `_6 C_2} times { `_5 C_2} over { `_8 C_2}][eqn: = 4 over21]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은 [eqn: { 8 over35} over { 8 over35 + 4 over21}][eqn: = 6 over11]

① [eqn: 6 over11]	② [eqn: 13 over22]	③ [eqn: 7 over11]

④ [eqn: 15 over22]	⑤ [eqn: 8 over11]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 30

검은 공 [eqn: {4}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]개, 흰 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 주머니에 대하여 다음 시행을 [eqn: 2]회 반복한다.

[정답] [eqn: bold { 41 }]

[해설]

두 번 시행 후 주머니에 흰 공만 [eqn: 2]개가 들어 있는 확률은 다음과 같이 분류할 수 있다.

(ⅰ) 첫 번째 시행에 검은 공 [eqn: 3]개, 두 번째 시행에 검은 공 [eqn: 1]개, 흰색 공 [eqn: 2]개를 뽑는 경우
첫 번째 시행 후 남아 있는 공은 검은 공 [eqn: 1]개, 흰색 공 [eqn: 2]개다.
[eqn: {{} _{4} rm C it rm _{3} it} over {{} _{6} rm C it rm _{3} it} `` CDOT {{} _{1} rm C it _{1} ` CDOT _{2} rm C it _{2}} over {{} _{3} rm C _{3} it}][eqn: = {1} over {5}]

(ⅱ) 첫 번째 시행에 검은 공 [eqn: 2]개, 흰색 공 [eqn: 1]개를 뽑고 두 번째 시행에 검은 공 [eqn: 2]개, 흰색 공 [eqn: 1]개를 뽑는 경우
첫 번째 시행 후 남아 있는 공은 검은 공 [eqn: 2]개, 흰색 공 [eqn: 2]개다.
[eqn: {{} _{4} {rmC} _{2} `cdot _{2} {rmC} _{1}} over {{} _{6} {rmC} _{3}} `cdot` {{} _{2} {rmC} _{2} `cdot _{2} {rmC} _{1}} over {{} _{4} {rmC} _{3}}][eqn: = {3} over {10}]

(ⅲ) 첫 번째 시행에 검은 공 [eqn: 1]개, 흰색 공 [eqn: 2]개를 뽑고, 두 번째 시행에 검은 공 [eqn: 3]개를 뽑는 경우
첫 번째 시행 후 남아 있는 공은 검은 공 [eqn: 3]개, 흰색 공 [eqn: 2]개다.
[eqn: {{} _{4} rm C it rm _{1} ` CDOT _{2} rm C it rm _{2} it} over {{} _{6} rm C it rm _{3} it} ` CDOT ` {{} _{3} rm C it rm _{3} it} over {{} _{5} rm C it rm _{3} it}][eqn: = {1} over {50}]

따라서 구하고자 하는 확률은

[eqn: {{3} over {10}} over {{1} over {5} + {3} over {10} + {1} over {50}}][eqn: = {30} over {20+30+2}][eqn: = {15} over {26}]

따라서 [eqn: p=26,````q=15]이므로 [eqn: p+q=41]

주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼낸 후, 꺼낸 공 중에서 흰 공은 다시 주머니에 넣고 검은 공은 다시 넣지 않는다.

두 번째 시행의 결과 주머니에 흰 공만 [eqn: 2]개 들어 있을 때, 첫 번째 시행의 결과 주머니에 들어 있는 검은 공의 개수가 [eqn: 2]일 확률은 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 30

주머니 [eqn: {rm{A}} it]에 흰 공 [eqn: rm 3]개, 검은 공 [eqn: rm 1]개가 들어 있고, 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에도 흰 공 [eqn: rm 3]개, 검은 공 [eqn: rm 1]개가 들어 있다. 한 개의 동전을 사용하여 [실행 1]과 [실행 2]를 순서대로 하려고 한다.

[정답] [eqn: 17]

[해설]

[실행 [eqn: rm 2]]가 끝난 후 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에 흰 공이 남아 있지 않은 사건을 [eqn: X], [실행 [eqn: rm 1]]에서 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에 넣은 공 중 흰 공이 [eqn: rm 2]개인 사건을 [eqn: Y]라 하자.

(ⅰ) [실행 1]에서 동전의 앞면이 나오고, [실행 2] 가 끝난 후 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에 흰 공이 남아 있지 않은 경우
[실행 [eqn: rm 1]]에서 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에 넣은 공이 흰 공 [eqn: rm 2]개이고, [실행 [eqn: rm 2]]에서 주머니 [eqn: {rm{A}} it]에 넣은 공이 흰 공 [eqn: rm 5]개이거나
[실행 [eqn: rm 1]]에서 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에 넣은 공이 흰 공 [eqn: rm 1]개와 검은 공 [eqn: rm 1]개이고, [실행 [eqn: rm 2]]에서 주머니 [eqn: {rm{A}} it]에 넣은 공이 흰 공 [eqn: rm 4]개와 검은 공 [eqn: rm 1]개일 확률은
[eqn: {1} over {2} times { it _{3} {rm{C}} it _{2}} over { it _{4} {rm{C}} it _{2}} times { it _{5} {rm{C}} it _{5}} over { it _{6} {rm{C}} it _{5}}+{1} over {2} times { it _{3} {rm{C}} it _{1} times it _{1} {rm{C}} it _{1}} over { it _{4} {rm{C}} it _{2}} times { it _{4} {rm{C}} it _{4} times it _{2} {rm{C}} it _{1}} over { it _{6} {rm{C}} it _{5}}]
[eqn: ={1} over {2} times {3} over {6} times {1} over {6}+{1} over {2} times {3} over {6} times {2} over {6}={1} over {24}+{1} over {12}={1} over {8}]

(ⅱ) [실행 1]에서 동전의 뒷면이 나오고, [실행 2]가 끝난 후 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에 흰 공이 남아 있지 않은 경우
[실행 1]에서 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에 넣은 공이 흰 공 [eqn: rm 2]개와 검은 공 [eqn: rm 1]개이고, [실행 [eqn: rm 2]]에서 주머니 [eqn: {rm{A}} it]에 넣은 공이 흰 공 [eqn: rm 5]개일 확률은
[eqn: {1} over {2} times { it _{3} {rm{C}} it _{2} times it _{1} {rm{C}} it _{1}} over { it _{4} {rm{C}} it _{3}} times { it _{5} {rm{C}} it _{5}} over { it _{7} {rm{C}} it _{5}}={1} over {2} times {3} over {4} times {1} over {21}={1} over {56}]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: {rm{P}} it (X)={1} over {8}+{1} over {56}={8} over {56}={1} over {7}]

[eqn: {rm{P}} it (X cap Y)={1} over {24}+{1} over {56}={10} over {168}={5} over {84}]

그러므로 구하는 확률은

[eqn: {rm{P}} it (Y `|` X)={{rm{P}} it (X cap Y)} over {{rm{P}} it (X)}={{5} over {84}} over {{1} over {7}}={5} over {12}]

따라서 [eqn: p=12], [eqn: q=5]이므로

[eqn: p+q=17]

[실행 1] 한 개의 동전을 던져
앞면이 나오면 주머니 [eqn: rm A]에서 임의로 [eqn: rm 2]개의 공을 꺼내어 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에 넣고,
뒷면이 나오면 주머니 [eqn: {rm{A}} it]에서 임의로 [eqn: rm 3]개의 공을 꺼내어 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에 넣는다.

[실행 2] 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에서 임의로 [eqn: rm 5]개의 공을 꺼내어 주머니 [eqn: rm A]에 넣는다.

[실행 2]가 끝난 후 주머니 [eqn: rm B]에 흰 공이 남아 있지 않을 때, [실행 1]에서 주머니 [eqn: rm B]에 넣은 공 중 흰 공이 [eqn: rm 2]개이었을 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

05 확통	05 조건부 확률
02 조건부확률과 곱셈정리
06 곱셈정리와 조건부확률3 (확률조건)

[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 03월 21

어느 도시에서 야간에 뺑소니 사건이 일어났다. 이 도시 전체 차량의 [eqn: 80%`]는 자가용이고, [eqn: 20%`]는 영업용이다. 그런데 한 목격자가 뺑소니 차량을 자가용이라고 증언하였다. 이 증언의 타당성을 알아보기 위해 사고와 동일한 상황에서 그 목격자가 자가용 차량과 영업용 차량을 구별할 수 있는 능력을 측정해본 결과 바르게 구별할 확률이 [eqn: 90%`]이었다. 그렇다면 목격자가 본 뺑소니 차량이 실제로 자가용일 확률은 [eqn: {q} over {p} `]이다. 이 때 [eqn: p + q `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q `]는 서로소인 자연수이고, 모든 차량이 뺑소니 사건을 일으킬 가능성은 같다고 가정한다.)

[정답] [eqn: 73]

[해설]

차량이 자가용일 사건을 [eqn: A``], 목격자가 자가용이라 증언할 사건을 [eqn: B```]라 하면 구하는 확률은 [eqn: rm P `it (A vert B``)``]이다. 이 때, [eqn: rm P it (A vert B``)`=` {rm P it (A SMALLINTER B``)} over {rm P it (B``)} ``] 이고

[eqn: rm P it (B``)`=`0.8 TIMES `0.9```+``0.2 TIMES 0.1``=``0.74``]

[eqn: rm P it (A SMALLINTER B``)`=`0.8 TIMES 0.9`=`0.72``]

이므로 구하는 확률은 [eqn: {72} over {74} = {36} over {37} ``]

[eqn: p=37], [eqn: q=36``]이므로 [eqn: p+q=73``]

[출처]	2006 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

어느 MIL에서는 매년 휴가기간에 [eqn: 4 `]학년 생도 전부를 대상으로 해외 배낭여행을 실시하고 있다. 여행 [eqn: 6 `]개월 전에 희망지역을 조사한 결과, 유럽, 미국, 아시아 지역을 희망한 생도의 비율이 각각 [eqn: 30 `%], [eqn: 50 `%], [eqn: 20 `%`]이었다. 비자발급을 위해 여행 [eqn: 3 `]개월 전에 희망지역을 최종적으로 조사한 결과 유럽 지역을 희망했던 생도의 [eqn: 15``%], 미국 지역을 희망했던 생도의 [eqn: 5 `%], 아시아 지역을 희망했던 생도의 [eqn: 35`%`]가 여행지를 변경하였다. 여행지역을 변경한 생도 [eqn: 1 `]명을 임의로 택할 때, 그 생도가 최초에 미국 지역을 희망했을 확률은 [eqn: q over p `]이다. [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 33``]

[해설]

[eqn: 4``]학년 생도 수를 [eqn: a``]라 하면 여행 [eqn: 3``]개월 전에 희망지역을 변경한 생도 수는 표와 같다.

희망지역	유럽	미국	아시아
최초 희망자 수	[eqn: 3 over 10 a]	[eqn: 1 over 2 a]	[eqn: 1 over 5 a]
변경한 희망자 수	[eqn: 0.15 times 3 over 10 a]	[eqn: 0.05 times 1 over 2 a]	[eqn: 0.35 times 1 over 5 a]

따라서, 여행지역을 변경한 생도 [eqn: 1``]명을 임의로 택할 때, 그 생도가 최초에 미국 지역을 택했을 확률은

[eqn: q over p = { 5 over 100 times 1 over 2 a} over {left( 15 over 100 times 3 over 10 a right)+left( 5 over 100 times 1 over 2 a right)+left( 35 over 100 times 1 over 5 a right)}``]

[eqn: = 25 over {45+25+70}``]

[eqn: = 5 over 28``]

따라서,

[eqn: p+q=5+28=33``]

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 10월 8

승용차를 타던 사람 중에서 [eqn: 2007`]년에 새 승용차로 바꾸어 구입한 사람을 대상으로 승용차를 소형차와 중대형차로 나누어 구매실태를 조사하였다. 조사 결과에 따르면 대상자의 [eqn: 60%`]가 소형차를 타던 사람이었다. 그리고 소형차를 타던 사람의 [eqn: 60%`]는 [eqn: 2007`]년에도 소형차를 구입하였고, 중대형차를 타던 사람의 [eqn: 80%`]는 [eqn: 2007`]년에도 중대형차를 구입하였다. 대상자 중에서 임의로 한 사람을 택하였더니 [eqn: 2007`]년에 중대형차를 구입한 사람이었다. 이 사람이 소형차를 타던 사람이었을 확률은?

[정답] ①

[해설]

구입후 구입전	소형차	중대형차	계
소형차	[eqn: x]	[eqn: z]	[eqn: 60]%
중대형차	[eqn: y]	[eqn: w]	[eqn: 40]%

[eqn: x:z=60:40] 이므로

[eqn: x+z=60](%)[eqn: x=36](%), [eqn: y:w=20:80] 이므로 ,[eqn: z=24](%)

[eqn: y+w=40](%)[eqn: y=8](%),[eqn: w=32](%)

중대형차를 구입한 사건을 [eqn: A], 소형차를 타던 사건을 [eqn: B``]라 하면 [eqn: {\P}(B``|A)= {{\P}(A cap B )} over {{\P}(A)}= {24over100} over {56 over 100} = 3 over 7]

① [eqn: {3} over {7}]	② [eqn: {5} over {14}]	③ [eqn: {2} over {7}]

④ [eqn: {3} over {14}]	⑤ [eqn: {1} over {7}]

[출처]	2008 모의_공공 사관학교 고3 07월 19
[출처]	2008 모의_공공 사관학교 고3 07월 19

사관학교 생도의 [eqn: 60 %]는 입교 전에 확률과 통계 과목을 배웠고, [eqn: 40 %]는 배우지 않았다고 한다. 확률과 통계 과목을 배운 생도들의 [eqn: 20 %], 배우지 않은 생도들의 [eqn: 10 %]는 통계학 성적이 [eqn: {rm{A}} it]학점이었다. 임의로 한 명의 생도를 뽑았더니 그 생도의 통계학 성적이 [eqn: rm A]학점이었을 때, 그 생도가 입교 전에 확률과 통계 과목을 배웠을 확률은?

[정답] ③

[해설]

	확률과 통계 배움	확률과 통계 배우지 않음	계
통계학성적이 [eqn: rm A]학점	[eqn: 6 a]	[eqn: 2 a]	[eqn: 8 a]
통계학성적이 [eqn: {rm{A}} it]학점이아님	[eqn: 24 a]	[eqn: 18 a]	[eqn: 42 a]
계	[eqn: 30 a]	[eqn: 20 a]	[eqn: 50 a]

[eqn: therefore~{6 a} over {8 a}={3} over {4}]

[다른 풀이]

입교전 확률과 통계를 배우는 사건을 [eqn: {rm{A}} it], 확률과통계 과목에서 [eqn: {rm{A}} it]학점을 받을 사건을 [eqn: {rm{B}} it], 사관학교 생도생 수를 [eqn: a]라 두면

[eqn: rm P it ( B it `vert ` A it )= {rm P it (A it SMALLINTER B it )} over {rm P it (A it )} = {rm P it ( A it SMALLINTER B it )} over {rm P it (A it SMALLINTER B it )+ rm P it LEFT ( A it SMALLINTER B it ^{c it} RIGHT )}]

[eqn: ={{3} over {5} a cdot {2} over {10} a} over {{3} over {5} a cdot {2} over {10} a+{2} over {5} a cdot {1} over {10} a}={3} over {4}]

① [eqn: {5} over {8}]	② [eqn: {11} over {16}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: {13} over {16}]	⑤ [eqn: {7} over {8}]

[출처]	2009 모의_공공 사관학교 고3 07월 8
[출처]	2009 모의_공공 사관학교 고3 07월 8

어느 보안 전문회사에서 바이러스 감염 여부를 진단하는 프로그램을 개발하였다. 그 진단 프로그램은 바이러스에 감염된 컴퓨터를 감염되었다고 진단할 확률이 [eqn: 94`%`]이고, 바이러스에 감염되지 않은 컴퓨터를 감염되지 않았다고 진단할 확률이 [eqn: 98``%`]이다. 실제로 바이러스에 감염된 컴퓨터 [eqn: 200`]대와 바이러스에 감염되지 않은 컴퓨터 [eqn: 300`]대에 대해 이 진단 프로그램으로 바이러스 감염 여부를 검사하려고 한다. 이 [eqn: 500`]대의 컴퓨터 중 임의로 한 대를 택하여 이 진단 프로그램으로 감염 여부를 검사하였더니 바이러스에 감염되었다고 진단하였을 때, 이 컴퓨터가 실제로 감염된 컴퓨터일 확률은?

[정답] ①

[해설]

우선 감염되었다고 진단되는 컴퓨터의 대수를 구하면, 바이러스에 감염된 컴퓨터를 감염되었다고 진단한 경우가 [eqn: 200 times 0.94=188``](대)이고, 감염되지 않은 컴퓨터를 감염된 것으로 진단한 경우가 [eqn: 300times 0.02=6``](대)이므로 총 [eqn: 194``](대)이다. 따라서 감염되었다고 진단한 컴퓨터에서 임의로 한 개를 택하였을 때, 그 컴퓨터가 감염된 컴퓨터일 확률은

[eqn: 188 over {188+6}= 188 over 194 = 94 over 97``]

① [eqn: {94 over 97}`]	② [eqn: {92 over 97}`]	③ [eqn: {90 over 97}`]

④ [eqn: {47 over 49}`]	⑤ [eqn: {47 over 50}`]

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 07월 10

어떤 고등학교 학생회장 선거에 갑과 을, 두 명의 후보가 출마했다. 갑과 을의 선거운동 시작 전 지지율은 각각 [eqn: 70%`], [eqn: 30%`]이었으나 선거 운동 후 갑을 지지하던 학생 중 [eqn: 60%`]가 을에게 투표하여 을이 [eqn: 57%`]의 득표율로 당선되었다. 투표 후 을에게 투표한 학생 중 한 명을 선택했을 때 이 학생이 선거운동 시작 전에도 을 후보를 지지하던 학생일 확률은?
(단, 기권과 무효표는 없다.)

[정답] ③

[해설]

투표 결과 투표 전	갑에게 투표	을에게 투표
갑 지지	[eqn: 0.28]	[eqn: 0.42]
을 지지	[eqn: 0.15]	[eqn: 0.15]
계	[eqn: 0.43]	[eqn: 0.57]

을에게 투표한 학생이 선택된 사건을 [eqn: C``], 투표 전과 후에 지지했던 후보를 바꾸지 않은 학생이 선택된 사건을 [eqn: D``]라 하면, 구하고자 하는 확률은

[eqn: rm P it (D``□C``)= {rm P it (C` SMALLINTER D`)} over {rm P it `(C`)} = {0.15} over {0.42+0.15} = {5} over {19}]

① [eqn: 3 over {19}]	② [eqn: 4 over {19}]	③ [eqn: 5 over {19}]

④ [eqn: 6over {19}]	⑤ [eqn: 7 over {19}]

[출처]	2012 모의_공공 사관학교 고3 07월 21
[출처]	2012 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

그림은 어떤 정보 [eqn: x`]를 [eqn: 0`]과 [eqn: 1`]의 두 가지 중 한 가지의 송신 신호로 바꾼 다음 이를 전송하여 수신 신호를 얻는 경로를 나타낸 것이다.

[정답] ④

[해설]

정보 [eqn: x]가 [eqn: 1]의 송신신호로 바뀌는 사건을 [eqn: A]라 하고 송신신호가 수신신호 [eqn: 1]로 전송되는 사건을 [eqn: B]라 할 때, 구하는 확률은 [eqn: {rm P}(A`|`B)]이다. 주어진 조건에 의해서

[eqn: {rm P}(A^C ``)=0.4][eqn: = 2 over5], [eqn: {rm P}(A)= 0.6][eqn: = 3 over5]

[eqn: {rm P}(B `|`A^C ``) =0.05][eqn: = 1 over20], [eqn: {rm P}(B `|`A) =0.95][eqn: = 19 over20]이므로

[eqn: {rm P}(A`|`B)][eqn: = { {rm P}(A cap B)} over{ {rm P}(B) }][eqn: = { {rm P}(A cap B) } over{ {rm P}(A cap B)+ {rm P}(A^C cap B) }]

[eqn: = { {rm P}(A) {rm P}(B`|`A) } over{ {rm P}(A) {rm P}(B`|`A) + {rm P}(A^C``) {rm P}(B`|`A^C``) }]

[eqn: = { 3 over5 times 19 over20 } over {3 over5 times 19 over20 + 2 over5 times 1 over20 }][eqn: = 57 over59]

송신 신호

수신 신호

정보

[eqn: x]

[eqn: 0]

[eqn: 1]

[eqn: 0]

[eqn: 1]

이때 송신 신호가 전송되는 과정에서 수신 신호가 바뀌는 경우가 생기는데, 각각의 경우에 따른 확률은 다음과 같다.

(가) 정보 [eqn: x`]가 [eqn: 0], [eqn: 1`]의 송신 신호로 바뀔 확률은 각각 [eqn: 0.4], [eqn: 0.6`]이다.

(나) 송신 신호 [eqn: 0`]이 수신 신호 [eqn: 0], [eqn: 1`]로 전송될 확률은 각각 [eqn: 0.95], [eqn: 0.05`]이다.

(다) 송신 신호 [eqn: 1`]이 수신 신호 [eqn: 0,`` 1`]로 전송될 확률은 각각 [eqn: 0.05], [eqn: 0.95`]이다.

정보 [eqn: x`]를 전송한 결과 수신 신호가 [eqn: 1`]이었을 때, 송신 신호가 [eqn: 1`]이었을 확률은?

① [eqn: 54over59]	② [eqn: 55over59]	③ [eqn: 56over59]

④ [eqn: 57over59]	⑤ [eqn: 58over59]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 10월 11

그림의 네 지점 [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \C], [eqn: \D `]에서 산책로 ㉠, ㉡, ㉢, ㉣, ㉤ 중 한 산책로를 지나갈 확률을 표로 나타내면 다음과 같다.

[정답] ②

[해설]

사건 [eqn: X`]가 일어날 확률 [eqn: rm P it (X`)`]는

(ⅰ) ㉡을 지나는 경우
표에 의하여 확률은 [eqn: 1 over 3`]

(ⅱ) ㉣을 지나는 경우
㉣을 지나기 위해서는 ㉠을 지나야 하므로
표에 의하여 확률은 [eqn: {1} over {3} TIMES {1} over {2} = {1} over {6}]

(ⅲ) ㉤을 지나는 경우
(ⅱ)와 같은 방법으로 [eqn: 1 over 6`]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해서

[eqn: {\P} (X`)][eqn: = 1 over 3 + 1 over 6 + 1 over 6][eqn: = 2 over 3]

두 사건 [eqn: X], [eqn: Y`]가 동시에 일어날 확률 [eqn: {\P} (X cap Y`)]는

[eqn: {\P} (X cap Y`)][eqn: = 1 over 6 + 1 over 6][eqn: = 1 over 3]

따라서

[eqn: {\P}(Y```|`X`)][eqn: ={{\P}(X cap Y`)}over {{\P}(X`)}][eqn: = {1} over {2}]

[eqn: \A] 지점을 출발하여 [eqn: \D] 지점으로 이동할 때, 한 번 지난 산책로를 다시 지나지 않는 사건을 [eqn: X `], 산책로 ㉣ 또는 ㉤을 지나는 사건을 [eqn: Y ``]라 하자. [eqn: {rm {rmP} } LEFT (Y` | X` RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 7 over 16]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 9 over 16]

④ [eqn: 5 over 8]	⑤ [eqn: 11 over 16]

05 확통	05 조건부 확률
02 조건부확률과 곱셈정리
07 곱셈정리와 조건부확률4 (경기)

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 23
[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 10월 23

[eqn: 4 `]개의 야구팀 [eqn: rm A``], [eqn: rm B``], [eqn: rm C``], [eqn: rm D``]가 다음과 같은 방법으로 우승팀을 결정하기로 하였다.

[정답] [eqn: 7]

[해설]

[eqn: \A``]팀이 우승하였을 때 (가)에서 이겼을 확률은

[eqn: {{3} over {16}} over {1over 8 + 1over 16 + {1} over {16}} `=` {3} over {4} ``] ∴ [eqn: p`+`q`=`4`+`3`=`7``]

(가) [eqn: rm A``]팀과 [eqn: rm B``]팀이 경기를 하고, [eqn: rm C``]팀과 [eqn: rm D``]팀이 경기를 한다.

(나) (가)에서 이긴 팀끼리 경기를 한다.

(다) (가)에서 진 팀끼리 경기를 한다.

(라) (나)에서 진 팀과 (다)에서 이긴 팀이 경기를 한다.

(마) (나)에서 이긴 팀과 (라)에서 이긴 팀이 경기를 한다.

(바) (마)에서 이긴 팀이 우승팀이 된다.

매 경기에서 각 팀이 이길 확률은 모두 [eqn: 1over2 ``]로 같다고 하자. [eqn: rm A``]팀이 우승했을 때, [eqn: rm A``]팀이 (가)에서 이겼을 확률은 [eqn: q over p``]이다. 이 때, [eqn: p`+`q``]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p``]와 [eqn: q``]는 서로소인 두 자연수이다.)

05 확통	06 사건의 독립과 종속
01 독립과 종속
01 확률의 계산 (독립일 때)

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 4

두 사건 [eqn: A`], [eqn: B``]가 서로 독립이고 [eqn: {rmP} it LEFT ( A` SMALLINTER B` RIGHT ) = {1} over {4}`]일 때, [eqn: {rmP} it LEFT ( A` CUP B` RIGHT ) =k- {1} over {4}`]이 되도록 하는 실수 [eqn: k`]의 최솟값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: P LEFT ( A RIGHT ) =a], [eqn: P LEFT ( B RIGHT ) =b]라 하면 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이므로 [eqn: P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) =P LEFT ( A RIGHT ) TIMES P LEFT ( B RIGHT ) =ab]이다.

따라서, [eqn: ab= {1} over {4}][eqn: LEFT ( 0 PREC a LEQ 1,``0 PREC b LEQ 1 RIGHT )]이다.

또한, [eqn: P LEFT ( A CUP B RIGHT ) =P LEFT ( A RIGHT ) +P LEFT ( B RIGHT ) -P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )]이므로 [eqn: a+b=k]이다.

[eqn: THEREFORE `1 LEQ k LEQ {5} over {4}]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {5} over {8}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: {7} over {8}]	⑤ [eqn: 1]

[출처]	2011 모의_공공 사관학교 고3 07월 8
[출처]	2011 모의_공공 사관학교 고3 07월 8

어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합을 [eqn: S``]라 하자. [eqn: S``]의 부분집합인 세 사건 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C``]는 다음 조건을 만족한다.

[정답] ④

[해설]

조건 (다)에 의해서

[eqn: {rm P}(A cap B) = {rm P}(A) cdot {rm P}(B) = 1 over2 cdot 1 over3 = 1 over6]이므로

[eqn: {rm P} (A cup B) = {rm P}(A)+{rm P}(B) -{rm P}(A cap B) = 1 over2 + 1 over3 - 1 over6 = 2 over3]

조건 (가), (나)에 맞게 벤다이어그램을 그리면 다음과 같다.

[eqn: A cup B = { 2} over { 3}], [eqn: C = { 2} over { 3}]    [eqn: therefore] [eqn: a+b = { 1} over { 3}]

조건 (가)에 의해서

[eqn: (A cup B)^C][eqn: = C - ( A cup B)][eqn: = 1 - 2 over3 = 1 over3]이고

조건 (나)에 의해서

[eqn: {rm P}(A cap C) + {rm P}(B cap C ) = 2 over3 - 1 over3 = 1 over3]이므로

[eqn: {rm P}( A `|`C)+ {rm P}( B `|`C)][eqn: = {{rm P}(A cap C) + {rm P}(B cap C ) } over {{rmP}(C) }][eqn: = {1 over3} over { 2 over3} = 1 over2]

(가) [eqn: A` CUP B` CUP C` = S`]

(나) 사건 [eqn: A cap B``]와 사건 [eqn: C``]는 서로 배반이다.

(다) 사건 [eqn: A``]와 사건 [eqn: B``]는 서로 독립이다.

[eqn: {rm{rmP} } LEFT (A` RIGHT )= {1} over {2}], [eqn: {rm{rmP} } LEFT (B` RIGHT )= {1} over {3}], [eqn: {rm{rmP} } LEFT (C` RIGHT )= {2} over {3}`]일 때, [eqn: {rm{rm{rmP} } } LEFT (A` | C` RIGHT )+{rm{rm{rmP} } } LEFT (B` | C` RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

05 확통	06 사건의 독립과 종속
01 독립과 종속
02 독립과 종속1 (독립 또는 종속조건)

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 03월 30

주머니 속에 [eqn: 8`]개의 공이 들어 있다. 이 중 [eqn: k `]개는 흰 공이고, 나머지는 검은 공이다. 흰 공에는 [eqn: 1`]부터 [eqn: k `]까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있고, 검은 공에는 [eqn: k+1 `]부터 [eqn: 8 `]까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있다. 이 주머니에서 임의로 하나의 공을 꺼낼 때, 흰 공이 나오는 사건을 [eqn: A ``]라 하고, 홀수가 적힌 공이 나오는 사건을 [eqn: B ``]라 하자. 두 사건 [eqn: A `], [eqn: B ``]가 서로 독립이 되도록 자연수 [eqn: k `]의 값을 정할 때, 모든 [eqn: k `]의 값의 합을 구하시오. (단, [eqn: 1 LEQ k LEQ 7`]이다.)

[정답] [eqn: 12]

[해설]

[eqn: k]의 값에 따른 확률을 구하여 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: k]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]
[eqn: {\P}(A)]	[eqn: {1} over {8}]	[eqn: {2} over {8}]	[eqn: {3} over {8}]	[eqn: {4} over {8}]	[eqn: {5} over {8}]	[eqn: {6} over {8}]	[eqn: {7} over {8}]
[eqn: {\P}(B)]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {2}]
[eqn: {\P}(A SMALLINTER B)]	[eqn: {1} over {8}]	[eqn: {1} over {8}]	[eqn: {2} over {8}]	[eqn: {2} over {8}]	[eqn: {3} over {8}]	[eqn: {3} over {8}]	[eqn: {4} over {8}]

[eqn: rmP(itA SMALLINTERB)=rmP(itA)rmP(itB)]를 만족할 때, 두 사건 [eqn: A,````B`]가 서로 독립이므로 이를 만족하는 상수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 2,````4,````6]이다. 따라서 모든 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 12]이다.

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 27

한 개의 주사위를 한 번 던진다. 홀수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: A`], [eqn: 6] 이하의 자연수 [eqn: m `]에 대하여 [eqn: m `]의 약수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: B ``]라 하자. 두 사건 [eqn: A ``]와 [eqn: B ``]가 서로 독립이 되도록 하는 모든 [eqn: m `]의 값의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: 8]

[해설]

[eqn: A = left{ 1, `3, 5 right}]이므로 [eqn: rmP(itA)= {1} over {2}]

(ⅰ) [eqn: m=1]일 때, [eqn: B= LEFT { 1 RIGHT }]이므로
[eqn: A SMALLINTER B= LEFT { 1 RIGHT } ,``` rm P( it B)= {1} over {6} ,``` rm P( it A SMALLINTER B)= {1} over {6}]
따라서 [eqn: rm P( it A SMALLINTER B)ne rm P( it A) rm P( it B)]이므로 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 독립이 아니다.

(ⅱ) [eqn: m=2]일 때 [eqn: B= LEFT { 1,`2 RIGHT }]이므로
[eqn: A SMALLINTER B= LEFT { 1 RIGHT } ,``` rm P( it B)= {1} over {3}]
따라서 [eqn: rm P( it A SMALLINTER B)= {1} over {6}]이므로
[eqn: rm P(it A cap B) = rm P(itA) rm P(it B)]
즉, 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 독립이다.

(ⅲ) [eqn: m=3]일 때, [eqn: B= LEFT { 1,`3 RIGHT }]이므로
[eqn: A SMALLINTER B= LEFT { 1,`3 RIGHT } ,``` rm P( it B)= {1} over {3} ,``` rm P( it A SMALLINTER B)= {1} over {3}]
따라서 [eqn: rm P( it A SMALLINTER B)ne rm P( it A) rm P( it B)]이므로 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 독립이 아니다.

(ⅳ) [eqn: m=4]일 때, [eqn: B= LEFT { 1,`2, `4 RIGHT }]이므로
[eqn: A SMALLINTER B= LEFT { 1 RIGHT } ,``` rm P( it B)= {1} over {2} ,``` rm P( it A SMALLINTER B)= {1} over {6}]
따라서 [eqn: rm P( it A SMALLINTER B)ne rm P( it A) rm P( it B)]이므로 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 독립이 아니다.

(ⅴ) [eqn: m = 5]일 때, [eqn: B = left{ 1, `5right}]이므로
[eqn: A cap B = left{1,` 5 right} , ```rm P(it B) = 1 over 3 , ```rmP(it A cap B) = 1 over 3]
따라서 [eqn: rm P( it A SMALLINTER B)ne rm P( it A) rm P( it B)]이므로 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 독립이 아니다.

(ⅵ) [eqn: m= 6]일 때 [eqn: B = left{ 1, ` 2, `3, `6 right}]이므로
[eqn: A cap B = left{ 1 ,`3 right} , ```rmP(itB) = 2 over 3]
따라서 [eqn: rm P(it A cap B) = 1 over 3]이므로 [eqn: rm P(it A cap B) = rm P(itA) rm P(it B)]
즉, 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 독립이다.

(ⅰ)~(ⅵ)에 의하여 모든 [eqn: m]의 값의 합은 [eqn: 2+6 = 8]

05 확통	06 사건의 독립과 종속
01 독립과 종속
04 독립과 종속3 (성질, 참거짓)

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 17
[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 11월 17

정보이론에서는 사건 [eqn: E` `]가 발생했을 때, 사건 [eqn: E` `]의 정보량 [eqn: I` LEFT (E` RIGHT ) `]가 다음과 같이 정의된다고 한다.

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: {rmP}(E) = 1over2`]이므로

[eqn: I(E) = - log_2`{rmP}(E)`][eqn: = - log_2 ``1over2`][eqn: = 1`] (참)

ㄴ. 두 사건[eqn: A,B`]가 서로 독립이므로

[eqn: rmP(A∩B) = P(A) `P(B)`]

∴ [eqn: I(A∩B) = - log_2``{rmP}(A∩ B)`][eqn: = - log_2``{rmP}(A) {rmP}(B)`]

[eqn: = - left{ log_2 {rmP}(A) + log_2 {rmP}(B) right}`]

[eqn: = - log_2`{rmP}(A) - log_2 {rmP}(B)`][eqn: = I(A) + I(B)`] (참)

ㄷ. [eqn: 2 I(A∪B) = -2log_2`{rmP}(A∪B)`][eqn: = - log_2 `left{ {rmP}(A∪B) right}^2`]

[eqn: I(A) + I(B) = - log_2`{rmP}(A) - log_2`{rmP}(B)`][eqn: = - log_2``{rmP}(A) {rmP}(B)`]

[eqn: {rmP}(A∪B) >= {rmP}(A)`>0`], [eqn: {rmP}(A∪B) >= {rmP}(B)`>0`]

이므로 [eqn: left{ {rmP}(A∪B) right}^2 >= {rmP}(A) {rmP}(B)`]

∴ [eqn: log_2 left{ {rmP}(A∪B) right}^2 >= log_2 {rmP}(A) {rmP}(B)`]

[eqn: - log_2 left{ {rmP}(A∪B) right}^2 <= - log_2 {rmP}(A) {rmP}(B)`]

∴ [eqn: 2I(A∪B) <= I(A)+I(B)`] (참)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: I` LEFT (E` RIGHT )=`-log`_2 rm {rmP} LEFT (E` RIGHT ) `]

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 사 건 [eqn: E` `]가 일어날 확률 [eqn: rm {rmP} LEFT (E` RIGHT ) `]는 양수이고, 정보량의 단위는 비트이다.)

	<보 기>
ㄱ. 한 개의 주사위를 던져 홀수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: E` `]라 하면 [eqn: I` LEFT (E` RIGHT )=1 `]이다. ㄴ. 두 사건 [eqn: A`], [eqn: B ``]가 서로 독립이고 [eqn: {rmP} LEFT (A` SMALLINTER B` RIGHT )＞0`]이면 [eqn: I` LEFT (A` SMALLINTER B` RIGHT )=I` LEFT (A` RIGHT )+I` LEFT (B` RIGHT ) `]이다. ㄷ. [eqn: {rmP} LEFT (A` RIGHT )＞0], [eqn: {rmP} LEFT ( B` RIGHT )＞0`]인 두 사건 [eqn: A`], [eqn: B ``]에 대하여 [eqn: 2 I` LEFT (A` ∪ B` RIGHT ) LEQ I` LEFT (A` RIGHT )+ I` LEFT (B` RIGHT ) `] 이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

05 확통	06 사건의 독립과 종속
02 독립인 사건의 곱셈정리
01 독립인 사건의 곱셈정리1 (확률조건)

[출처]	2004 모의_공공 사관학교 고3 07월 9
[출처]	2004 모의_공공 사관학교 고3 07월 9

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1 `]인 정삼각형 [eqn: 6 `]개로 이루어진 정육각형 모양의 도형이 있다. 동전을 던져 앞면이 나오면 정삼각형의 변을 따라 [eqn: 1 `]만큼씩 움직이고, 뒷면이 나오면 움직이지 않는다. 갑과 을이 각각 동전을 한 번씩 던지고 난 후에 갑은 점 [eqn: rm A `]에서, 을은 점 [eqn: rm F `]에서 출발하여 움직였을 때, 두 사람 사이의 거리가 [eqn: 1 `]이 될 확률은? (단, 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm F `]에서 각 변을 따라 움직일 확률은 모두 [eqn: {1} over {3} `]이다.)

[정답] ④

[해설]

갑과 을이 각각 동전을 던지면 경우의 수는

[eqn: LEFT { LEFT ( \T , \T RIGHT ) ,``` LEFT ( \H , \T RIGHT ) ,``` LEFT ( \T , \H RIGHT ) ,``` LEFT ( \H , \H RIGHT ) ``RIGHT }]

ⅰ) [eqn: LEFT ( \T , \T RIGHT ) ``]일 때,
갑과 을의 위치가 [eqn: \A ,~ \F`]이고 거리가 [eqn: 1``]이므로
[eqn: THEREFORE ~p_1 = { 1} over { 2} TIMES { 1} over {2 } = { 1} over { 4} ``]

ⅱ) [eqn: LEFT ( \H , \T RIGHT ) ``]일 때,
을의 위치는 [eqn: \F`]이고 을의 위치는 [eqn: \G`]가 되어야 거리가 [eqn: 1``]이므로
[eqn: THEREFORE ~p_2 = { 1} over { 4} TIMES { 1} over { 3} = { 1} over { 12} ``]

ⅲ) [eqn: LEFT ( \T , \H RIGHT ) ``]일 때,
갑의 위치는 [eqn: \A`]이고 을의 위치는 [eqn: \G`]가 되어야 거리가 [eqn: 1``]이므로
[eqn: THEREFORE ~p_3 = { 1} over { 4} TIMES { 1} over { 3} = { 1} over { 12} ``]

ⅳ) [eqn: LEFT ( \H , \H RIGHT ) ``]일 때,
① 갑의 위치가 [eqn: \B`]이면 을의 위치는 [eqn: \A ~또는~ \G`]가 되어야 거리가 [eqn: 1``]이고
② 갑의 위치가 [eqn: \G`]이면 을의 위치는 [eqn: \A ~또는~ \E`]가 되어야 거리가 [eqn: 1``]이고
③ 갑의 위치가 [eqn: \F`]이면 을의 위치는
[eqn: \A ~또는~ \G~또는~ \E``]가 되어야 거리가 [eqn: 1``]이고
[eqn: THEREFORE ~p_4 = { 1} over { 4} TIMES { 1} over { 3} TIMES { 1} over {3 } TIMES 7 = { 7} over { 36} ``]

그러므로 구하고자하는 확률 [eqn: p``]는

[eqn: p&=p_1 +p_2 +p_3 +p_4 #&= { 1} over {4 } + { 1} over {12 } + { 1} over {12 } + { 7} over { 36} #&= { 22} over {36 } #&= { 11} over {18 } ``]

① [eqn: {7} over {18}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {5} over {9}]

④ [eqn: {11} over {18}]	⑤ [eqn: {13} over {18}]

[출처]	2006 모의_공공 교육청 고3 03월 20

[eqn: rm A], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD][eqn: 4`]개의 축구팀이 있다. 이들은 각각 다른 모든 팀과 [eqn: 1`]경기씩을 치르게 되고, 각각의 팀이 경기에서 이길 확률은 [eqn: {1} over { 2 } `]이다. 경기에서 모두 이기거나, 경기에서 모두 진 팀이 생길 확률을 [eqn: {n} over { m }] ([eqn: m], [eqn: n`]은 서로소인 자연수)이라 할 때, [eqn: m + n `]의 값을 구하시오. (단, 비기는 경기는 없다.)

[정답] [eqn: 13]

[해설]

네 팀이 짝지어서 경기를 치르게 되는 경우는

[eqn: rm (A,B)``,``(A,C)``,``(A,D)``,``(B,C)``,``(B,D)``,``(C,D)``]의 [eqn: 6](가지)

(ⅰ) 전승팀이 존재할 확률 :

[eqn: rm A]가 전승팀이 될 확률은

[eqn: {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES 1 TIMES 1 TIMES 1= {1} over {8} ``]이고, 네 팀이므로 전승팀이 존재할 확률은 [eqn: {1} over {8} ` TIMES `4= {1} over {2} ``]

(ⅱ) 전패팀이 존재할 확률 : [eqn: {1} over {2} `]

(ⅲ) (전승,전패)가 동시에 존재할 확률 :

[eqn: rm `(A,B )]가 (전승,전패)일 확률은

[eqn: {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES 1 over2 TIMES 1 over 2 TIMES 1= {1} over {32} ``]이므로 (전승,전패)가 동시에 존재할 확률은 [eqn: {1} over {32} TIMES _{4}rm C _{2} TIMES 2= {12} over {32} = {3} over {8} ``]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {1} over {2} + 1 over2 - 3 over 8 = 5 over 8]

[eqn: THEREFORE `m+n=8+5=13`]

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 16
[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 10월 16

그림은 왼쪽의 입력 신호 [eqn: a], [eqn: b`]를 오른쪽으로 전달하여 신호를 출력하는 장치를 나타낸 것이다. 이 장치가 [그림[eqn: 1]]과 같이 출력할 확률은 [eqn: {1} over {3} `]이고, [그림[eqn: 2]]와 같이 출력할 확률은 [eqn: {2} over {3} `]이다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: y=3``]인 사건을 [eqn: A], [eqn: z=1``]인 사건을 [eqn: B``]라고 하면

[eqn: {rmP}(A)= 1over3 TIMES 1over3 = 1over9], [eqn: rm P it (B)= {2} over {3} TIMES {1} over {3} = {2} over {9}``]이고

[eqn: rm P it (A SMALLINTER B)= {rmP}(A){rmP}(B) = {2} over {81}``]이므로

∴ [eqn: `{rm P}(A SMALLUNIONB )= {rmP}(A)+{RMP}(B)-{rmP}(A cap B )} = 25 over81]

[그림[eqn: 1]]

[그림[eqn: 2]]

이 장치 [eqn: 4`]개를 아래 그림과 같이 연결하고, 입력신호를 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4`]로 하였을 때의 출력신호를 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: w`]라 하자. 이때, [eqn: y=3] 또는 [eqn: z=1 `]일 확률은?
(단, 각 장치들은 독립적으로 작동한다.)

① [eqn: {22} over {81}]	② [eqn: {23} over {81}]	③ [eqn: {25} over {81}]

④ [eqn: {26} over {81}]	⑤ [eqn: {29} over {81}]

05 확통	06 사건의 독립과 종속
02 독립인 사건의 곱셈정리
02 독립인 사건의 곱셈정리2 (확률 구하기)

[출처]	2006 모의_공공 교육청 고3 10월 25
[출처]	2006 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 25

아래 그림은 어떤 오락기를 단순화하여 그린 것이다. 이 오락기는 입구에 공을 넣으면 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C`], [eqn: D`] 중 어느 한 곳을 지나면서 그 위치의 꺼져 있는 전등은 켜지고, 켜져 있는 전등은 꺼지도록 되어 있다. 예를 들어 전구가 모두 꺼진 상태에서 공을 두 번 넣어 두 번 모두 [eqn: A``]를 지나면 [eqn: A]위치의 전등은 켜졌다 꺼지고, 각각 [eqn: A`], [eqn: B``]를 지나면 [eqn: A`], [eqn: B `] 두 위치에 있는 전등은 모두 켜지게 된다. 이와 같이 공이 지날 때마다 전등이 켜지거나 꺼지기를 반복하다가 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C`], [eqn: D`] 네 곳 모두 전등이 켜지면 게임은 끝난다.

[정답] [eqn: 35]

[해설]

투입된 공이 [eqn: rm A,~B,~C,~D]에 도달할 확률은 각각 [eqn: {1} over {2 ^{2}}]이다.

네 곳 모두 켜지려면 한 곳은 세 번, 세 곳은 각각 한 번씩 공이 도달해야 한다. 여섯 개의 공이 [eqn: rm A`]에 세 개 [eqn: rm B,~C,~D`]에 각각 한 개씩 도달하는 경우의 수는 [eqn: rm A,~A,~A,~B,~C,~D]를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: {6!} over {3!} `]이고 이 중 네 개의 공이 [eqn: rm A,~B,~C,~D]에 각각 한 개씩 도달하여 네 번째 공 만에 게임이 끝나는 경우인 [eqn: 4!`]가지가 제외되어야 한다.

[eqn: rm B,~C,~D]에 세 개의 공이 도달하는 경우도 마찬가지이므로 구하는 확률은 [eqn: 4 LEFT ( {6!} over {3!} - 4! RIGHT ) TIMES LEFT ( {1} over {2 ^{2}} RIGHT ) ^{6} = {3} over {32}]

여섯 번째 공을 넣었을 때 이 게임이 끝나게 될 확률을 [eqn: {a} over {b}] ([eqn: a], [eqn: b `]는 서로소인 자연수)라고 하자. 이 때, [eqn: a+b `]의 값을 구하시오. (단, 처음 상태는 전등이 모두 꺼져 있으며, 갈림길에서 양쪽 방향으로 공이 지나갈 확률은 서로 같다.)

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 20

상자 [eqn: rm A]와 상자 [eqn: rm B]에 각각 [eqn: 6]개의 공이 들어 있다. 동전 [eqn: 1]개를 사용하여 다음 시행을 한다.

[정답] ③

[해설]

상자 [eqn: rmB]에 들어 있는 공의 개수가 [eqn: 6]번째 시행 후 처음으로 [eqn: 8]이 되는 경우를 직접 세어보면

의 [eqn: 5]가지이다.

전체 경우의 수는 [eqn: 2^{6}=64]이므로 구하는 확률은 [eqn: {5}over{64}]

[다른 풀이]

동전을 던져서 앞면과 뒷면이 나오는 확률은 [eqn: {1}over{2}]

상자 [eqn: rmB]에 들어 있는 공의 개수가 [eqn: 6]번째 시행 후 처음으로 [eqn: 8]이 되어야 하므로 반드시 [eqn: 5]번째 시행 후에는 [eqn: 7], [eqn: 4]번째 시행 후에는 [eqn: 6]이어야 한다.

[eqn: 4]번째 시행 후에 [eqn: 6]이 되기 위해서는 앞면과 뒷면이 각각 [eqn: 2]번씩 나와야 하고, 첫 번째와 두 번째 모두 앞면이 나오는 경우를 제외해야 하므로 구하는 확률은

[eqn: left{( _{4}{rmC}_{2}-1)timesleft({1}over{2}right)^{4}right}times{1}over{2}times{1}over{2}]

[eqn: ={5}over{64}]

동전을 한 번 던져 앞면이 나오면 상자 [eqn: \A `]에서 공 [eqn: 1`]개를 꺼내어 상자 [eqn: \B]에 넣고, 뒷면이 나오면 상자 [eqn: \B`]에서 공 [eqn: 1`]개를 꺼내어 상자 [eqn: \A `]에 넣는다.

위의 시행을 [eqn: 6`]번 반복할 때, 상자 [eqn: rm B`]에 들어 있는 공의 개수가 [eqn: 6`]번째 시행 후 처음으로 [eqn: 8`]이 될 확률은?

① [eqn: 1 over 64]	② [eqn: 3 over 64]	③ [eqn: 5 over 64]

④ [eqn: 7 over 64]	⑤ [eqn: 9 over 64]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 29

[eqn: {rm A}{{from^2020^10^서울고3나^5}}], [eqn: rm B]두 사람이 각각 [eqn: 4]개씩 공을 가지고 다음 시행을 한다.

[정답] [eqn: bold { 135 }]

[해설]

한 번의 시행 결과로 나타나는 경우의 확률은 다음과 같다.

① [eqn: rmA]가 가진 공의 개수가 [eqn: 1]개 늘어가는 경우 :
[eqn: rmA]가 던진 주사위의 눈의 수가 짝수이고 [eqn: rmB]가 던진 주사위의 눈의 수가 홀수이므로 확률은 [eqn: {1} over {4}]

② [eqn: rmA]가 가진 공의 개수의 변화가 없는 경우 :
[eqn: rmA], [eqn: rmB]가 던진 주사위의 눈의 수가 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로 확률은 [eqn: {1} over {2}]

③ [eqn: rmA]가 가진 공의 개수가 [eqn: 1]개 줄어드는 경우 :
[eqn: rmA]가 던진 주사위의 눈의 수가 홀수이고 [eqn: rmB]가 던진 주사위의 눈의 수가 짝수이므로 확률은 [eqn: {1} over {4}]

한편, [eqn: 4]번째 시행 후 센 공의 개수가 처음으로 [eqn: 6]이 되는 경우는 [eqn: 4]번째 시행에서 ①이 일어나고 [eqn: 3]번째 시행에서는 ① 또는 ②가 일어나야 한다.

(ⅰ) [eqn: 3]번째 시행에서 ①이 일어나는 경우
첫 번째, 두 번째 시행에서 ①, ③이 일어나거나 두 시행 모두 ②가 일어나야 하므로
[eqn: LEFT { 2! TIMES LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT } TIMES {1} over {4}][eqn: = {3} over {32}]

(ⅱ) [eqn: 3]번째 시행에서 ②가 일어나는 경우
첫 번째, 두 번째 시행에서 ①, ②가 일어나야 하므로
[eqn: LEFT ( {}_{2} rmC _{1} TIMES {1} over {4} TIMES {1} over {2} RIGHT ) TIMES {1} over {2}][eqn: = {1} over {8}]

그러므로 구하는 확률은 [eqn: LEFT ( {3} over {32} + {1} over {8} RIGHT ) TIMES {1} over {4}][eqn: = {7} over {128}]

따라서 [eqn: p][eqn: =128], [eqn: q][eqn: =7]이므로 [eqn: p+q][eqn: =135]

[eqn: rm A], [eqn: rm B]두 사람이 주사위를 한 번씩 던져 나온 눈의 수가 짝수인 사람은 상대방으로부터 공을 한 개 받는다.

각 시행 후 [eqn: rm A]가 가진 공의 개수를 세었을 때, [eqn: 4]번째 시행 후 센 공의 개수가 처음으로 [eqn: 6]이 될 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 확률과 통계 30

숫자 [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: 3]개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 [eqn: 5]번 반복하여 확인한 [eqn: 5]개의 수의 곱이 [eqn: 6]의 배수일 확률이 [eqn: q over p]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 47 }]

[해설]

[eqn: 5]개의 수의 곱이 [eqn: 6]의 배수가 되기 위해서 [eqn: 2]와 [eqn: 3]은 [eqn: 1]번 이상은 나와야 한다.

따라서 [eqn: 1]이 나오는 경우가 최대 [eqn: 3]번이다.

전체 경우의 수는 [eqn: 3^5 = 243](가지)

(ⅰ) [eqn: 1]이 [eqn: 0]번 나오는 경우
[eqn: 2]와 [eqn: 3]이 나올 수 있는 경우의 수는 [eqn: 2^5]
[eqn: 2]나 [eqn: 3]만 나오는 [eqn: 2]가지 경우를 제외해야 하므로

[eqn: therefore][eqn: 2^5 -2 =30](가지)

(ⅱ) [eqn: 1]이 [eqn: 1]번 나오는 경우
[eqn: 1]이 나오는 경우의 수 [eqn: {} _5{rmC}_1]
[eqn: 2]와 [eqn: 3]이 나올 수 있는 경우의 수는 [eqn: 2^4]
[eqn: 2]나 [eqn: 3]만 나오는 [eqn: 2]가지 경우를 제외해야 하므로
[eqn: 2^4 -2 =14](가지)
[eqn: THEREFORE ```` 14 times 5=70](가지)

(ⅲ) [eqn: 1]이 [eqn: 2]번 나오는 경우
[eqn: 1]이 나오는 경우의 수 [eqn: {} _5{rmC}_2 = 10]
[eqn: 2]와 [eqn: 3]이 나올 수 있는 경우의 수는 [eqn: 2^3]
[eqn: 2]나 [eqn: 3]만 나오는 [eqn: 2]가지 경우를 제외해야 하므로
[eqn: 2^3 -2 =6](가지)
[eqn: THEREFORE ```` 6 times 10 =60](가지)

(ⅳ) [eqn: 1]이 [eqn: 3]번 나오는 경우
[eqn: 1]이 나오는 경우의 수 [eqn: {} _5{rmC}_3 = 10]
[eqn: 2]와 [eqn: 3]이 나올 수 있는 경우의 수는 [eqn: 2^2]
[eqn: 2]나 [eqn: 3]만 나오는 [eqn: 2]가지 경우를 제외해야 하므로
[eqn: 2^2 -2 =2](가지)
[eqn: THEREFORE ```` 2times 10=20](가지)

(ⅰ)∼(ⅳ)에서  이 시행을 [eqn: 5]번 반복하여 확인한 [eqn: 5]개의 수의 곱이 [eqn: 6]의 배수가 되는 경우의 수는 [eqn: 30+70+60+20][eqn: =180](가지)

따라서 구하고자 하는 확률은 [eqn: { 180} over { 243} = 20 over 27]

따라서 [eqn: p=27], [eqn: q=20]이므로 [eqn: p+q =47]

05 확통	06 사건의 독립과 종속
03 독립시행의 확률
01 독립시행의 확률1 (기본)

[출처]	2007 모의_공공 사관학교 고3 07월 13

한 개의 주사위를 [eqn: 4 `]번 던질 때, [eqn: 1 `]의 눈이 나오는 횟수를 [eqn: a], [eqn: 2 `]의 눈이 나오는 횟수를 [eqn: b `]라 하자. [eqn: a-b=1 `]일 확률은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: a=1``b=0]인 경우: [eqn: `_4 C_1 left(1 over 6 right)^1 left(4over6 right)^3][eqn: = 16 over 81]

[eqn: a=2 ``b=1]인 경우: [eqn: 4! over2! left(1 over 6 right)^3 left(4 over 6 right)^1] = [eqn: 1 over 27]

위의 두가지 이외에는 나타나지 않으므로 구하는 모든 확률의 합은 [eqn: 16 over 81 + 1 over 27 = 19 over 81]

① [eqn: 4 over 27]	② [eqn: 5 over 27]	③ [eqn: 2 over 9]

④ [eqn: 19 over 81]	⑤ [eqn: 7 over 27]

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 03월 29

[eqn: rmA`]대학교에서는 수시모집과 정시모집으로 입학생을 선발한다. 수시모집은 정시모집보다 먼저 실시하고, 수시 모집에 지원하여 합격한 학생은 정시모집에 지원할 수 없다고 한다. 어떤 고등학생 [eqn: 3`]명이 [eqn: rmA`]대학교의 수시모집에 지원하였을 때 합격할 확률은 각각 [eqn: 1 over 2 `]이고, 정시 모집에 지원하였을 때 합격할 확률은 각각 [eqn: {1} over {3}`]이라고 하자. 이 학생 [eqn: 3`]명이 [eqn: rmA`]대학교의 수시모집에 모두 지원하고, 이 중 불합격한 학생은 다시 [eqn: rmA`]대학교의 정시모집에 지원한다고 할 때, [eqn: 3`]명 중 [eqn: 2`]명이 합격할 확률은?
(단, 각 학생이 [eqn: rmA`]대학교에 합격하는 사건은 서로 독립이다.)

[정답] ①

[해설]

[eqn: rmA`]대학교에 합격하려면 수시모집에서 합격하거나, 수시모집에서 불합격하고 정시모집에서 합격해야 하므로 한 학생이 [eqn: rmA`]대학교에 합격할 확률은 [eqn: {1} over {2} + {1} over {2} ` TIMES {1} over {3} `=` {2} over {3}]이다.

따라서 [eqn: 3`]명 중 [eqn: 2`]명이 합격할 확률은

[eqn: ` _{3} rm C _{2}` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT )` = {4} over {9}]이다.

① [eqn: {4} over {9}]	② [eqn: {14} over {27}]	③ [eqn: {5} over {9}]

④ [eqn: {16} over {27}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

[출처]	2013 모의_공공 사관학교 고3 07월 26

지호와 영수는 가위바위보를 한 번 할 때마다 다음과 같은 규칙으로 사탕을 받는 게임을 한다.

[정답] [eqn: 182]

[해설]

가위바위보를 한 번 할 때,

지호가 사탕을 [eqn: rm 2]개 받는 경우는 가위바위보에서 이긴 경우이므로 확률은 [eqn: {1} over {3}]이고

사탕을 [eqn: rm 1]개 받는 경우는 가위바위보에서 비기거나 지는 경우이므로 확률은 [eqn: {2} over {3}]이다.

게임에서 사탕을 [eqn: rm 2]번 받는 횟수를 [eqn: a], [eqn: 1]번 받는 횟수를 [eqn: b]라 할 때, [eqn: 2 a+b=5]에서 [eqn: (a,`` b)=(2,``1)], [eqn: (1,``3)], [eqn: (0,``5)]이다.

(ⅰ) [eqn: (a,`` b)=(2,``1)]인 경우 확률은

[eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2} left({1} over {3} right)^{2} left({2} over {3} right)={2} over {9}]

(ⅱ) [eqn: (a,`` b)=(1,``3)]인 경우 확률은

[eqn: it _{4} {rm{C}} it _{1} left({1} over {3} right) left({2} over {3} right)^{3}={32} over {81}]

(ⅲ) [eqn: (a,`` b)=(0,``5)]인 경우 확률은

[eqn: it _{5} {rm{C}} it _{0} left({2} over {3} right)^{5}={32} over {243}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 확률은

[eqn: {2} over {9}+{32} over {81}+{32} over {243}={182} over {243}]

[다른 풀이]

가위바위보를 한 번 할 때,

지호가 사탕을 [eqn: rm 2]개 받는 경우는 가위바위보에서 이긴 경우이므로 확률은 [eqn: {1} over {3}]이고

사탕을 [eqn: rm 1]개 받는 경우는 가위바위보에서 비기거나 지는 경우이므로 확률은 [eqn: {2} over {3}]이다.

지호가 받은 사탕의 총 개수가 [eqn: n]개인 경우가 생길 확률을 [eqn: a_{n}]이라 할 때, 지호가 받은 사탕의 총 개수가 [eqn: n+2]개인 경우는 사탕을 [eqn: n+1]개 가지고 있는 상태에서 가위바위보에서 비기거나 질 때, 또는 사탕을 [eqn: n]개 가지고 있는 상태에서 가위바위보에서 이기는 경우이므로 다음 점화식이 성립한다.

[eqn: a_{n+2}={1} over {3} a_{n}+{2} over {3} a_{n+1}]

[eqn: a_{n+2}-a_{n+1}=IT-{1} over {3} left(a_{n+1}-a_{n} right)]이므로

[eqn: left{ a_{n+1}-a_{n} it right}]은 공비가 [eqn: -{1} over {3}]인 등비수열을 이룬다.

[eqn: a_{1}={2} over {3}], [eqn: a_{2}={1} over {3}+ left({2} over {3} right)^{2}={7} over {9}]이므로

[eqn: a_{5}=a_{1}+ sum_{k=1}^{4} left{ a_{k+1}-a_{k} it right} ={2} over {3}+{{1} over {9} left{ 1- left(-{1} over {3} right)^{4} it right} } over {1- left(-{1} over {3} right)}={182} over {243}]

[eqn: therefore~k=182]

(가) 이긴 사람은 [eqn: rm 2]개의 사탕을 받고, 진 사람은 [eqn: rm 1]개의 사탕을 받는다.

(나) 비긴 경우에는 두 사람 모두 [eqn: rm 1]개의 사탕을 받는다.

게임을 시작하고 나서 지호가 받은 사탕의 총 개수가 [eqn: rm 5]인 경우가 생길 확률은 [eqn: {k} over {243}]이다. 자연수 [eqn: k]의 값을 구하시오. (단, 두 사람이 각각 가위, 바위, 보를 낼 확률은 같다.)

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 11월 20

한 개의 동전을 [eqn: 7`]번 던질 때, 다음 조건을 만족시킬 확률은?

[정답] ①

[해설]

앞면은 [eqn: rmH`], 뒷면을 [eqn: rmT`]로 나타내기로 하자.

(i) 앞면이 [eqn: 3`]번 나오는 경우
[eqn: rmH`][eqn: 3`]개와 [eqn: rmT`][eqn: 4`]개를 일렬로 나열하는 경우의 수는	[eqn: rm `_{7}rmC_{3} =35`]
[eqn: rmH`]가 이웃하지 않는 경우의 수는
[eqn: rm ` _{5}C _{3} =10`]
즉 조건 (나)를 만족시킬 확률은
[eqn: (35-10)times LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{7} `]

(ii) 앞면이 [eqn: 4`]번 나오는 경우
[eqn: rmH`][eqn: 4`]개와 [eqn: rmT`][eqn: 3`]개를 일렬로 나열하는 경우의 수는
[eqn: `_{7}rmC _{4} =35`]
[eqn: rmH`]가 이웃하지 않는 경우의 수는
[eqn: 1`]
즉 조건 (나)를 만족시킬 확률은
[eqn: (35-1)times LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{7} `]

(iii) 앞면이 [eqn: 5`]번 이상 나오는 경우
조건 (나)를 항상 만족시키므로
이 경우의 확률은
[eqn: ( rm `_ {7} rm C _{5} + _7 C _{6} + `_7 C _{7} ) TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{7} `]

(i), (ii), (iii)에서 구하는 확률은
[eqn: (25+34+29)times LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{7} `][eqn: = {88} over {128} = {11} over {16} `]

(가) 앞면이 [eqn: 3`]번 이상 나온다.

(나) 앞면이 연속해서 나오는 경우가 있다.

① [eqn: {11}over{16}]	② [eqn: {23}over{32}]	③ [eqn: {3}over{4}]

④ [eqn: {25}over{32}]	⑤ [eqn: {13}over{16}]

05 확통	06 사건의 독립과 종속
03 독립시행의 확률
02 독립시행의 확률2 (독립시행을 여러 번 - 곱셈정리)

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 27

주머니 [eqn: rmA`]에는 흰 구슬 [eqn: 2`]개, 검은 구슬 [eqn: 1`]개가 들어 있고, 주머니 [eqn: rm B`]에는 흰 구슬 [eqn: 1`]개, 검은 구슬 [eqn: 2`]개가 들어 있다. 한 개의 주사위를 던져서 [eqn: 3`]의 배수의 눈이 나오면 주머니 [eqn: rm A`]에서 임의로 한 개의 구슬을 꺼내고, [eqn: 3`]의 배수가 아닌 눈이 나오면 주머니 [eqn: rm B`]에서 임의로 한 개의 구슬을 꺼낸다. 주사위를 [eqn: 4`]번 던지고 난 후에 주머니 [eqn: rm A`]에는 검은 구슬이, 주머니 [eqn: rm B`]에는 흰 구슬이 각각 한 개씩 남아 있을 확률은 [eqn: q overp`]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이고, 꺼낸 구슬은 다시 넣지 않는다.)

[정답] [eqn: bold{ 251]

[해설]

주사위를 한 번 던질 때, [eqn: 3]의 배수의 눈의 나올 확률은
[eqn: 2 over6 = 1 over3]이고 [eqn: 3]의 배수가 아닌 눈이 나올 확률은 [eqn: 1- 1 over3 = 2 over3]
이다.
따라서 주사위를 한 번 던질 때,
주머니 [eqn: rm A]에서 공을 꺼낼 확률은 [eqn: 1 over3]이고
주머니 [eqn: rm B]에서 공을 꺼낼 확률은 [eqn: 2 over3]이다.
주어진 조건을 만족시키는 경우는
주머니 [eqn: rm A]에서 흰 구슬을 [eqn: 1]개씩 [eqn: 2]번 꺼내고,
주머니 [eqn: rm B]에서 검은 구슬을 [eqn: 1]개씩 [eqn: 2]번 꺼내는 경우이다.
주사위 [eqn: 4]번을 던지는 시행 중 주머니 [eqn: rm A]와 [eqn: rm B]에서 각각 [eqn: 2]개
씩의 구슬을 꺼낼 확률은
[eqn: `_4 {rmC}_2 LEFT ( 1 over3 RIGHT )^2 LEFT ( 2 over3 RIGHT )^2 = 8 over27]
주머니 [eqn: rm A]에서 공을 꺼내는 두 번의 시행에서 모두 흰 구슬
을 꺼낼 확률은
[eqn: 2 over3 times 1 over2 = 1 over3]
주머니 [eqn: rm B]에서 공을 꺼내는 두 번의 시행에서 모두 검은
구슬을 꺼낼 확률은
[eqn: 2 over3 times 1 over2 = 1 over3]
따라서 구하는 확률은
[eqn: 8 over27 times 1 over3 times 1 over3][eqn: = 8 over243]
∴ [eqn: p = 243], [eqn: q =8]  ∴ [eqn: p+q =251]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 15

동전 [eqn: rm A]의 앞면과 뒷면에는 각각 [eqn: 1`]과 [eqn: 2`]가 적혀 있고, 동전 [eqn: rm B`]의 앞면과 뒷면에는 각각 [eqn: 3`]과 [eqn: 4`]가 적혀 있다. 동전 [eqn: rm A`]를 세 번, 동전 [eqn: rm B`]를 네 번 던져 나온 [eqn: 7`]개의 수의 합이 [eqn: 19] 또는 [eqn: 20`]일 확률은?

[정답] ①

[해설]

동전 [eqn: {rm{A}} it]를 세 번 던져 나온 [eqn: rm 3]개의 수의 합은 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6] 중 하나이고, 동전 [eqn: {rm{B}} it]를 네 번 던져 나온 [eqn: rm 4]개의 수의 합은 [eqn: 12], [eqn: 13], [eqn: 14], [eqn: 15], [eqn: 16] 중 하나이다.

(ⅰ) [eqn: rm 7]개의 수의 합이 [eqn: rm 19]인 경우
두 동전 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]를 각각 던졌을 때 나온 수의 합을 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 하면 [eqn: rm 7]개의 수의 합이 [eqn: rm 19]인 경우를 순서쌍 [eqn: (a,`` b)]로 나타내면 다음과 같다.
[eqn: (3,``16)], [eqn: (4,``15)], [eqn: (5,``14)], [eqn: (6,``13)]
이때의 확률은
[eqn: it _{3} {rm{C}} it _{3} left({1} over {2} right)^{3} times it _{4} {rm{C}} it _{0} left({1} over {2} right)^{4}+ it _{3} {rm{C}} it _{2} left({1} over {2} right)^{3} times it _{4} {rm{C}} it _{1} left({1} over {2} right)^{4}]

[eqn: ~ + it _{3} {rm{C}} it _{1} left({1} over {2} right)^{3} times it _{4} {rm{C}} it _{2} left({1} over {2} right)^{4}+ it _{3} {rm{C}} it _{0} left({1} over {2} right)^{3} times it _{4} {rm{C}} it _{3} left({1} over {2} right)^{4}]
[eqn: = left({1} over {2} right)^{7}+12 times left({1} over {2} right)^{7}+18 times left({1} over {2} right)^{7}+4 times left({1} over {2} right)^{7}]
[eqn: ={35} over {128}]

(ⅱ) [eqn: rm 7]개의 수의 합이 [eqn: rm 20]인 경우
두 동전 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]를 각각 던졌을 때 나온 수의 합을 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 하면 [eqn: rm 7]개의 수의 합이 [eqn: rm 20]인 경우를 순서쌍 [eqn: (a,`` b)]로 나타내면 다음과 같다.
[eqn: (4,``16)], [eqn: (5,``15)], [eqn: (6,``14)]
이때의 확률은
[eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2} left({1} over {2} right)^{3} times it _{4} {rm{C}} it _{0} left({1} over {2} right)^{4}+ it _{3} {rm{C}} it _{1} left({1} over {2} right)^{3} times it _{4} {rm{C}} it _{1} left({1} over {2} right)^{4}]

[eqn: + it _{3} {rm{C}} it _{0} left({1} over {2} right)^{3} times it _{4} {rm{C}} it _{2} left({1} over {2} right)^{4}]
[eqn: =3 times left({1} over {2} right)^{7}+12 times left({1} over {2} right)^{7}+6 times left({1} over {2} right)^{7}]
[eqn: ={21} over {128}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은

[eqn: {35} over {128}+{21} over {128}={7} over {16}]

① [eqn: 7 over 16]	② [eqn: 15 over 32]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 17 over 32]	⑤ [eqn: 9 over 16]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 19

숫자 [eqn: {3}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 4]가 하나씩 적힌 [eqn: 5]개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다.

[정답] ⑤

[해설]

(ⅰ) 주머니에서 [eqn: 3]이 나오는 경우
주머니에서 [eqn: 3]이 나올 확률은 [eqn: {2} over {5}],
[eqn: 3]이 나오면 주사위를 [eqn: 3]번 던지므로 처음 나온 주사위 눈을 [eqn: a], 두 번째 나온 주사위 눈을 [eqn: b], 세 번째 나온 주사위 눈을 [eqn: c]라 두면

[eqn: a+b+c=10]

㉠ [eqn: (a,````b,````c)=(6,````3,````1)], [eqn: (5,````4,````1)], [eqn: (5,````3,````2)]일 때,
[eqn: 3!][eqn: =6](가지) 즉, 총 경우의 수는 [eqn: 6 times 3 =18](가지)

㉡ [eqn: (a,````b,````c)=(6,````2,````2)], [eqn: (4,````4,````2)], [eqn: (4,````3,````3)]일 때,

[eqn: {3!} over {2!}][eqn: =3](가지) 즉, 총 경우의 수는 [eqn: 3 times 3 =9](가지)

㉠, ㉡에서 총 경우의 수는 [eqn: 27]가지이므로 구하는 확률은
[eqn: {2} over {5} TIMES 27 over 6^3]

(ⅱ) 주머니에서 [eqn: 4]가 나오는 경우
주머니에서 [eqn: 4]가 나올 확률은 [eqn: {3} over {5}],
[eqn: 4]가 나오면 주사위를 [eqn: 4]번 던지므로 처음 나온 주사위 눈을 [eqn: a], 두 번째 나온 주사위 눈을 [eqn: b], 세 번째 나온 주사위 눈을 [eqn: c], 네 번째 나온 주사위 눈을 [eqn: d]라 두면

[eqn: a+b+c+d=10]

㉠ [eqn: (a,````b,````c,````d)=(6,````2,````1,````1)], [eqn: (5,````3,````1,````1)], [eqn: (5,````2,````2,````1)]일 때,
[eqn: {4!} over {2!}][eqn: =12](가지) 즉, 총 경우의 수는 [eqn: 12 times 3 =36](가지)

㉡ [eqn: (a,````b,````c,````d)=(4,````4,````1,````1)], [eqn: (3,````3,````2,````2)]일 때,
[eqn: {4!} over {2! TIMES 2!}][eqn: =6](가지) 즉, 총 경우의 수는 [eqn: 6 times 2 =12](가지)

㉢ [eqn: (a,````b,````c,````d)=(4,````2,````2,````2)]，[eqn: (3,````3,````3,````1)]일 때,
[eqn: {4!} over {3!}][eqn: =4](가지) 즉, 총 경우의 수는 [eqn: 4 times 2 =8](가지)

㉣ [eqn: (a,````b,````c,````d)=(4,````3,````2,````1)]일 때 [eqn: 4!][eqn: =24](가지)

㉠∼㉣에서 총 경우의 수는 [eqn: 80]가지이므로 구하는 확률은
[eqn: {3} over {5} TIMES 80 over 6^4]

(ⅰ), (ⅱ)에서 이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 [eqn: 10]점일 확률은

[eqn: {2} over {5} TIMES 27 over 6^3]	[eqn: +{3} over {5} TIMES 80 over 6^4][eqn: = {47} over {540}]

주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: 3]이면 주사위를 [eqn: 3]번 던져서 나오는 세 눈의 수의 합을 점수로 하고, 꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: 4]이면 주사위를 [eqn: 4]번 던져서 나오는 네 눈의 수의 합을 점수로 한다.

이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 [eqn: 10]점일 확률은?

① [eqn: {13} over {180}]	② [eqn: {41} over {540}]	③ [eqn: {43} over {540}]

④ [eqn: {1} over {12}]	⑤ [eqn: {47} over {540}]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 29

숫자 [eqn: {3}{{from^2020^11^대수능고3나^5}}], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 4]가 하나씩 적힌 [eqn: 5]개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다.

[정답] [eqn: rm 587]

[해설]

다음과 같이 꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: rm 3]인 경우와 [eqn: rm 4]인 경우로 나누어 생각해 보자.

(i) 꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: rm 3]인 경우 : 주머니에서 꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: rm 3]일 확률은 [eqn: {2} over {5}]

이때 주사위를 세 번 던져서 나오는 세 눈의 수의 합이 [eqn: rm 10]인 경우는 순서를 생각하지 않으면 [eqn: 6], [eqn: 3], [eqn: 1] 또는 [eqn: rm 6], [eqn: rm 2] ,[eqn: rm 2] 또는 [eqn: 5], [eqn: 4], [eqn: 1] 또는 [eqn: 5], [eqn: 3], [eqn: 2] 또는 [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 2] 또는 [eqn: 4], [eqn: 3], [eqn: 3]이고, 각 경우의 수를 고려하면 이때의 확률은

[eqn: left(3 !+{3 !} over {2 !}+3 !+3 !+{3 !} over {2 !}+{3 !} over {2 !} right) times left({1} over {6} right)^{3}=27 times left({1} over {6} right)^{3}={1} over {8}]

그러므로 이 경우의 확률은 [eqn: {2} over {5} times {1} over {8}={1} over {20}]

(ii) 꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: rm 4]인 경우 : 주머니에서 꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: rm 4]일 확률은 [eqn: {3} over {5}]

이때 주사위를 네 번 던져서 나오는 네 눈의 수의 합이 [eqn: rm 10]인 경우는 순서를 생각하지 않으면 [eqn: 6], [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 1] 또는 [eqn: 5], [eqn: 3], [eqn: 1], [eqn: 1] 또는 [eqn: 5], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 1] 또는 [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 1], [eqn: 1] 또는 [eqn: 4], [eqn: 3], [eqn: 2], [eqn: 1] 또는 [eqn: 4], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 2] 또는 [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 1] 또는 [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 2], [eqn: 2]이고, 각 경우의 수를 고려하면 이때의 확률은

[eqn: LEFT ( {4!} over {2!} + {4!} over {2!} + {4!} over {2!} + {4!} over {2!2!} +4!+ {4!} over {3!} + {4!} over {3!} + {4!} over {2!2!} RIGHT ) TIMES LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{4}]

[eqn: 80TIMES LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{4} = {5} over {81}]

그러므로 이 경우의 확률은 [eqn: {3} over {5} times {5} over {81}={1} over {27}]

(i), (ii)에 의하여 구하는 확률은 [eqn: {1} over {20}+{1} over {27}={47} over {540}]이고, [eqn: p=540], [eqn: q=47]이므로 [eqn: p+q=587]

주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: 3]이면 주사위를 [eqn: 3]번 던져서 나오는 세 눈의 수의 합을 점수로 하고, 꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: 4]이면 주사위를 [eqn: 4]번 던져서 나오는 네 눈의 수의 합을 점수로 한다.

이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 [eqn: 10]점일 확률을 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

05 확통	06 사건의 독립과 종속
03 독립시행의 확률
05 독립시행의 확률5 (경로문제)

[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 24

그림과 같은 도로망에서 동점 [eqn: rmP `]는 주사위를 한 번 던질 때마다 다음 규칙에 따라 움직인다.

[정답] [eqn: 41]

[해설]

오른쪽으로 이동(→)할 확률은 [eqn: {1} over {2}], 왼쪽으로 이동(←)할 확률은 [eqn: {1} over {3}], 위로 이동(↑)할 확률은 [eqn: {1} over {6}]이고, →3번, ←1번, ↑1번 이동해야 하므로

[eqn: {5!} over {3!} TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {6} `= {5} over {36}] ∴ [eqn: p+q=41`]

◦ [eqn: 3] 이하의 눈이 나오면 오른쪽으로 [eqn: 1`]칸 이동한다.

◦ [eqn: 4] 또는 [eqn: 5`]의 눈이 나오면 왼쪽으로 [eqn: 1`]칸 이동한다.

◦ [eqn: 6`]의 눈이 나오면 위쪽으로 [eqn: 1`]칸 이동한다.

한 개의 주사위를 [eqn: 5`]번 던질 때, [eqn: rmA`]지점에 있는 동점 [eqn: rmP `]가 [eqn: rmB `]지점에 있게 될 확률은 [eqn: {q} over {p}`]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 07월 28

꼭짓점이 [eqn: A` _{1}], [eqn: A` _{2}], [eqn: A` _{3}],[eqn: `CDOTS`], [eqn: A` _{6}`]인 정육각형 모양의 게임 판에서 다음 규칙에 따라 게임이 진행된다.

[정답] ②

[해설]

가능한 경우의 수는 6가지

첫 번째 경우 : [eqn: A_1 →A_2 →A_1 →A_2 →A_3 →A_4]

두 번째 경우 : [eqn: A_1 →A_2 →A_3 →A_2 →A_3 →A_4]

세 번째 경우 : [eqn: A_1 →A_6 →A_1 →A_2 →A_3 →A_4]

네 번째 경우 : [eqn: A_1 →A_6 →A_1 →A_6 →A_5 →A_4]

다섯 번째 경우: [eqn: A_1 →A_6 →A_5 →A_6 →A_5 →A_4]

여섯 번째 경우: [eqn: A _{1} -> A _{2} -> A _{1} -> A _{6} -> A _{5} -> A _{4}]

∴ [eqn: { 1} over {2^5 } ×6= { 3} over {16 }]

규칙[eqn: 1]. [eqn: A` _{1}`]을 출발점으로 한다.

규칙[eqn: 2]. 동전을 던져 앞면이 나오면 시계방향의 이웃한 꼭짓점으로 이동하고 뒷면이 나오면 반시계 방향의 이웃한 꼭짓점으로 이동한다.

규칙[eqn: 3]. [eqn: A` _{4}`]에 도달하면 더 이상 동전을 던지지 않고 게임은 끝난다.

동전을 다섯 번 던져서 게임이 끝날 확률은?

① [eqn: {7} over {32}]	② [eqn: {3} over {16}]	③ [eqn: {5} over {32}]

④ [eqn: {1} over {8}]	⑤ [eqn: {3} over {32}]

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 11

그림과 같이 바둑판의 중앙에 바둑돌 한 개가 놓여 있다.

[정답] ④

[해설]

바둑돌이 [eqn: 5]회 이동으로 [eqn: rmA]지점으로 이동하는 것은

ⅰ) 왼쪽 3회, 오른쪽 1회, 아래쪽1회로 이동하는 경우

[eqn: {5!} over {3!} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) = {10} over {3 ^{5}}]

ⅱ) 왼쪽 2회, 아래쪽 2회, 위쪽1회로 이동하는 경우

[eqn: {5!} over {2! CDOT 2!} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{3} = {5} over {2 ^{2} CDOT `3 ^{4}}]

ⅰ),ⅱ)에 의하여 [eqn: {10} over {3 ^{5}} + {5} over {2 ^{2} CDOT `3 ^{4}} = {55} over {972}]

한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수에 따라 다음과 같은 규칙으로 바둑돌을 이동시킨다.

나온 눈의 수	이동 방법
[eqn: 1] 또는 [eqn: 2]	오른쪽으로 [eqn: 1]칸
[eqn: 3] 또는 [eqn: 4]	왼쪽으로 [eqn: 1]칸
[eqn: 5]	아래쪽으로 [eqn: 1]칸
[eqn: 6]	위쪽으로 [eqn: 1]칸

한 개의 주사위를 [eqn: 5`]번 던졌을 때, 바둑돌이 [eqn: rm A`]지점에 놓이게 될 확률은?

① [eqn: {49} over {972}]	② [eqn: {17} over {324}]	③ [eqn: {53} over {972}]

④ [eqn: {55} over {972}]	⑤ [eqn: {19} over {324}]

[출처]	2009 모의_공공 사관학교 고3 07월 29
[출처]	2009 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

좌표평면 위에서 점 [eqn: rm P `]는 한 번의 이동으로 다음의 (규칙[eqn: 1`]) 또는 (규칙[eqn: 2`])를 따라 이동한다.

[정답] [eqn: 323``]

[해설]

다섯 번 중에서 규칙 [eqn: 1``]이 일어난 회수를 [eqn: a``], 규칙 [eqn: 2``]가 일어난 회수를 [eqn: b``]로 나타내면 [eqn: x``]축의 양의 방향으로 이동한 크기는 [eqn: a+2b``], [eqn: y``]축의 양의 방향으로 이동한 크기는 [eqn: 2a+b``]이다.

따라서 원점에서 다섯 번 이동으로 점 [eqn: (8,```7)``]에 도달하기 위해서

[eqn: a+2b=8``], [eqn: 2a+b=7``][eqn: therefore`````][eqn: a=2,```b=3``]

즉, 규칙 [eqn: 1``]이 두 번, 규칙 [eqn: 2``]가 [eqn: 3``]번 일어나야 한다. 규칙 [eqn: 1``]과 규칙 [eqn: 2``]가 일어나는 순서를 고려하면 가능한 경우의 수는 [eqn: {5``!} over {2``! times 3``!}=10``]가지, 각 경우의 확률이 [eqn: left( 1 over 3 right)^2 times left(2 over 3right)^3 ``]이므로 구하는 확률은

[eqn: 10 times left(1 over 3 right)^2 times left(2 over 3 right)^3 = 80 over 243 ``]

[eqn: therefore`````][eqn: p=243,```q=80``]

[eqn: therefore`````][eqn: p+q=323``]

(규칙[eqn: 1`]) [eqn: x `]축의 양의 방향으로 [eqn: 1 `]만큼, [eqn: y `]축의 양의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 이동한다.

(규칙[eqn: 2`]) [eqn: x`]축의 양의 방향으로 [eqn: 2`]만큼, [eqn: y`]축의 양의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 이동한다.

예를 들어, 원점 [eqn: rm O `]에 있는 점 [eqn: rm P `]가 두 번의 이동으로 도달할 수 있는 곳을 표시하면 그림과 같다.

점 [eqn: rm P `]가 (규칙[eqn: 1`])을 따라 이동할 확률은 [eqn: 1 over 3 `]이고 (규칙[eqn: 2`])를 따라 이동할 확률은 [eqn: 2 over 3 `]일 때, 위와 같은 규칙으로 점 [eqn: rm P`]가 원점 [eqn: rm O `]에서부터 다섯 번의 이동으로 점 [eqn: LEFT (8,`` 7 RIGHT ) `]에 도달할 확률은 [eqn: q over p `]이다. 이때, 서로소인 두 자연수 [eqn: p`], [eqn: q `]의 합 [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, 매번 이동하는 사건은 서로 독립이다.)

05 확통	06 사건의 독립과 종속
03 독립시행의 확률
06 독립시행의 확률6 (조건부확률)

[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 10월 20
[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 20

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP `]가 있다. 한 개의 주사위를 던져 짝수의 눈이 나오면 오른쪽으로 [eqn: 1`]만큼, 홀수의 눈이 나오면 왼쪽으로 [eqn: 1`]만큼 점 [eqn: rmP `]가 움직인다. 주사위를 [eqn: 4`]번 던진 후 원점에서 출발한 점 [eqn: rmP `]가 다시 원점으로 돌아왔을 때, 점 [eqn: rmP `]가 점 [eqn: rmA LEFT ( 1 RIGHT )`]을 들러 왔을 확률은 [eqn: {b} over {a}] ([eqn: a], [eqn: b`]는 서로소인 자연수)이다. 이 때, [eqn: a ^{2} + b ^{2} `]의 값을 구하시오.
(단, 주사위의 각 눈이 나올 확률은 같다.)

[정답] [eqn: 13]

[해설]

점 [eqn: rm P``]가 원점으로 다시 돌아오는 경우는 (짝, 짝, 홀, 홀)이 배열되는 경우: [eqn: {4!} over {2!`2!`} =6`](가지),

이 때, 점 [eqn: rmA(1)``]을 들러 왔을 경우는

([eqn: 짝,`` TIMES ,`` TIMES ,`` TIMES ``]):[eqn: {3!} over {2!} =3`](가지), (홀, 짝, 짝, 홀) : [eqn: 1`](가지)

따라서 구하는 확률은 [eqn: {3+1} over {6} = {2} over {3} ``]이고 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =13`]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 18

좌표평면의 원점에 점 [eqn: rmA`]가 있다. 한 개의 동전을 사용하여 다음 시행을 한다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: y`]좌표가 처음으로 [eqn: 3`]이 되는 경우는

① 점 [eqn: rmA`]가 [eqn: (0,~2)`]에 있을 때 동전의 뒷면이 나오는 경우

② 점 [eqn: rmA`]가 [eqn: (1,~2)`]에 있을 때 동전의 뒷면이 나오는 경우

③ 점 [eqn: rmA`]가 [eqn: (2,~2)`]에 있을 때 동전의 뒷면이 나오는 경우

이다. 이때, 점 [eqn: rmA`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: 1`]인 경우는 ②의 경우이다.

①의 경우의 확률은 [eqn: `_2 {rmC}_2 `left( 1 over 2 right)^2 times 1 over 2 = 1 over 8`]

②의 경우의 확률은 [eqn: `_3 {rmC}_2 `left( 1 over 2 right)^3 times 1 over 2 = 3 over 16`]

③의 경우의 확률은 [eqn: `_4 {rmC}_2 `left( 1 over 2 right)^4 times 1 over 2 = 6 over 32 = 3 over 16`]

따라서 구하는 확률은

[eqn: { 3 over 16} over { 1 over 8 + 3 over 16 + 3 over 16} = { 3 over 16} over {1 over 2 } = 3 over 8`]

동전을 한 번 던져

앞면이 나오면 점 [eqn: rmA`]를 [eqn: x `]축의 양의 방향으로 [eqn: 1`]만큼,

뒷면이 나오면 점 [eqn: rmA`]를 [eqn: y`]축의 양의 방향으로 [eqn: 1`]만큼

이동시킨다.

위의 시행을 반복하여 점 [eqn: rmA`]의 [eqn: x`]좌표 또는 [eqn: y`]좌표가 처음으로 [eqn: 3`]이 되면 이 시행을 멈춘다. 점 [eqn: rmA`]의 [eqn: y`]좌표가 처음으로 [eqn: 3`]이 되었을 때, 점 [eqn: rmA`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: 1`]일 확률은?

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {5} over {16}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {7} over {16}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 30

흰 공과 검은 공이 각각 [eqn: 10]개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

[정답] [eqn: 191]

[해설]

[eqn: a _{5} +b _{5} GEQ 7]인 사건을 [eqn: A], [eqn: a _{k} =b _{k}]인 자연수 [eqn: k`` LEFT ( 1 LEQ k LEQ 5 RIGHT )]가 존재하는 사건을 [eqn: B]라 하자.

사건 [eqn: A]가 일어나는 경우는

[eqn: a _{5} +b _{5} =7=2+2+1+1+1]

[eqn: a _{5} +b _{5} =8=2+2+2+1+1]

[eqn: a _{5} +b _{5} =9=2+2+2+2+1]

[eqn: a _{5} +b _{5} =10=2+2+2+2+2]

이고 주사위의 눈의 수가 [eqn: 5] 이상일 확률은 [eqn: {1} over {3}], [eqn: 4] 이하일 확률은 [eqn: {2} over {3}]이므로

(ⅰ) [eqn: a _{5} +b _{5} =7]일 확률은
[eqn: {}_{5} rm C _{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} =10 TIMES {8} over {3 ^{5}}]

(ⅱ) [eqn: a _{5} +b _{5} =8]일 확률은
[eqn: {}_{5} rm C _{3} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} =10 TIMES {4} over {3 ^{5}}]

(ⅲ) [eqn: a _{5} +b _{5} =9]일 확률은
[eqn: {}_{5} rm C _{4} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{1} =5 TIMES {2} over {3 ^{5}}]

(ⅳ) [eqn: a _{5} +b _{5} =10]일 확률은
[eqn: {}_{5} rm C _{5} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{5} = {1} over {3 ^{5}}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여

[eqn: rm P it LEFT ( A RIGHT ) =10 TIMES {8} over {3 ^{5}} +10 TIMES {4} over {3 ^{5}} +5 TIMES {2} over {3 ^{5}} + {1} over {3 ^{5}}]

또한, 사건 [eqn: A SMALLINTER B]인 경우는 (ⅰ), (ⅱ)의 경우 [eqn: 3]번째 시행까지 [eqn: 5] 이상의 눈의 수가 [eqn: 1]번, [eqn: 4] 이하의 눈의 수가 [eqn: 2]번 일어나야 하고 (ⅲ), (ⅳ)의 경우는 사건 [eqn: A SMALLINTER B]은 일어나지 않는다.

[eqn: rm P it LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )][eqn: = _{3} rm C _{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} TIMES _{2} C _{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) + _{3} C _{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =][eqn: 3 TIMES {16} over {3 ^{5}} +3 TIMES {4} over {3 ^{5}}]

그러므로, 구하는 확률은

[eqn: rm P it LEFT ( B``|``A` RIGHT )][eqn: ={ {rmP}it LEFT ( A cap B RIGHT ) } over {{rmP}it LEFT ( A RIGHT ) }]
[eqn: = {3 TIMES {16} over {3 ^{5}} +3 TIMES {4} over {3 ^{5}}} over {10 TIMES {8} over {3 ^{5}} +10 TIMES {4} over {3 ^{5}} +5 TIMES {2} over {3 ^{5}} + {1} over {3 ^{5}}}]
[eqn: = {48+12} over {80+40+10+1}]
[eqn: = {60} over {131}]

이므로

[eqn: p=131,~q=60]

따라서, [eqn: p+q=131=60=191]

주사위를 한 번 던져

나온 눈의 수가 [eqn: 5] 이상이면 바구니에 있는 흰 공 [eqn: 2]개를 주머니에 넣고,

나온 눈의 수가 [eqn: 4] 이하이면 바구니에 있는 검은 공 [eqn: 1]개를 주머니에 넣는다.

위의 시행을 [eqn: 5]번 반복할 때, [eqn: n~ LEFT ( 1 LEQ n LEQ 5 RIGHT )]번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 [eqn: a _{n} ,~b _{n}]이라 하자. [eqn: a _{5} +b _{5} GEQ 7]일 때, [eqn: a _{k} =b _{k}]인 자연수 [eqn: k~ LEFT ( 1 LEQ k LEQ 5 RIGHT )]가 존재할 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 30

각 면에 숫자 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 2]가 하나씩 적혀 있는 정육면체 모양의 상자가 있다. 이 상자를 [eqn: rm 6]번 던질 때, [eqn: n(1 leq n leq 6)]번째에 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 수를 [eqn: a_{n}]이라 하자. [eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}>a_{4}+a_{5}+a_{6}]일 때, [eqn: a_{1}=a_{4}=1]일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 133]

[해설]

정육면체 모양의 상자를 한 번 던져 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 수가 각각 [eqn: rm 1],[eqn: rm 2]일 확률은 각각 [eqn: {1} over {3}], [eqn: {2} over {3}]이다.

[eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}>a_{4}+a_{5}+a_{6}]일 사건을 [eqn: A], [eqn: a_{1}=a_{4}=1]일 사건을 [eqn: B]라 하자.

[eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}>a_{4}+a_{5}+a_{6} geq 3]

(Ⅰ) [eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}=4]인 경우
[eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}=4]일 확률은 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{1} left({1} over {3} right)^{2} left({2} over {3} right)]
[eqn: a_{4}+a_{5}+a_{6}=3]일 확률은 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{0} left({1} over {3} right)^{3}={1} over {3^{3}}]
그러므로 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{1} left({1} over {3} right)^{2} left({2} over {3} right) times {1} over {3^{3}}={6} over {3^{6}}]

(Ⅱ) [eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}=5]인 경우
[eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}=5]일 확률은 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2} left({1} over {3} right) left({2} over {3} right)^{2}][eqn: 3 leq a_{4}+a_{5}+a_{6} leq 4]일 확률은 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{0} left({1} over {3} right)^{3}+ it _{3} {rm{C}} it _{1} left({1} over {3} right)^{2} left({2} over {3} right)={7} over {3^{3}}]
그러므로 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2} left({1} over {3} right) left({2} over {3} right)^{2} times {7} over {3^{3}}={84} over {3^{6}}]

(Ⅲ) [eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}=6]인 경우
[eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}=6]일 확률은 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{3} left({2} over {3} right)^{3}]
[eqn: 3 leq a_{4}+a_{5}+a_{6} leq 5]일 확률은 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{0} left({1} over {3} right)^{3}+ it _{3} {rm{C}} it _{1} left({1} over {3} right)^{2} left({2} over {3} right)+ it _{3} {rm{C}} it _{2} left({1} over {3} right) left({2} over {3} right)^{2}={19} over {3^{3}}]
그러므로 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{3} left({2} over {3} right)^{3} times {19} over {3^{3}}={152} over {3^{6}}]

(Ⅰ), (Ⅱ), (Ⅲ)에 의하여

[eqn: {rm{P}} it (A)={6} over {3^{6}}+{84} over {3^{6}}+{152} over {3^{6}}={242} over {3^{6}}]

[eqn: a_{1}=a_{4}=1]이면 [eqn: a_{2}+a_{3}>a_{5}+a_{6} geq 2]이다.

(i) [eqn: a_{1}=a_{4}=1]이고 [eqn: a_{2}+a_{3}=3]인 경우
[eqn: a_{1}=a_{4}=1]일 확률은 [eqn: it _{2} {rm{C}} it _{0} left({1} over {3} right)^{2}= left({1} over {3} right)^{2}]
[eqn: a_{2}+a_{3}=3]일 확률은 [eqn: it _{2} {rm{C}} it _{1} left({1} over {3} right) left({2} over {3} right)={4} over {3^{2}}]
[eqn: a_{5}+a_{6}=2]일 확률은 [eqn: it _{2} {rm{C}} it _{0} left({1} over {3} right)^{2}= left({1} over {3} right)^{2}]
그러므로 [eqn: left({1} over {3} right)^{2} times {4} over {3^{2}} times left({1} over {3} right)^{2}={4} over {3^{6}}]

(ii) [eqn: a_{1}=a_{4}=1]이고 [eqn: a_{2}+a_{3}=4]인 경우
[eqn: a_{1}=a_{4}=1]일 확률은 [eqn: it _{2} {rm{C}} it _{0} left({1} over {3} right)^{2}= left({1} over {3} right)^{2}]
[eqn: a_{2}+a_{3}=4]일 확률은 [eqn: it _{2} {rm{C}} it _{2} left({2} over {3} right)^{2}= left({2} over {3} right)^{2}]
[eqn: 2 leq a_{5}+a_{6} leq 3]일 확률은 [eqn: it _{2} {rm{C}} it _{0} left({1} over {3} right)^{2}+ it _{2} {rm{C}} it _{1} left({1} over {3} right) left({2} over {3} right)={5} over {3^{2}}]
그러므로 [eqn: left({1} over {3} right)^{2} times left({2} over {3} right)^{2} times {5} over {3^{2}}={20} over {3^{6}}]

(i), (ii)에 의하여

[eqn: {rm{P}} it (A cap B)={4} over {3^{6}}+{20} over {3^{6}}={24} over {3^{6}}]

[eqn: {rm{P}} it (B `|` A)={{rm{P}} it (A cap B)} over {{rm{P}} it (A)}={24} over {242}={12} over {121}]

따라서 [eqn: p=121], [eqn: q=12]이므로 [eqn: p+q=133]

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 확률과 통계 29

앞면에는 [eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 6]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있고 뒷면에는 모두 [eqn: rm 0]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: rm 6]장의 카드가 있다. 이 [eqn: rm 6]장의 카드가 그림과 같이 [eqn: rm 6] 이하의 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: k]번째 자리에 자연수 [eqn: k]가 보이도록 놓여 있다.

[정답] [eqn: 49]

[해설]

주어진 시행을 [eqn: rm 3]번 반복한 후 [eqn: rm 6]장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수인 사건을 [eqn: A], 주사위의 [eqn: rm 1]의 눈이 한 번만 나오는 사건을 [eqn: B]라 하면 구하는 확률은 [eqn: {rm{P}} it left(B `left|` A right)]이다.

(ⅰ) 사건 [eqn: A]가 일어날 확률
주어진 시행을 [eqn: rm 3]번 반복한 후 [eqn: rm 6]장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수인 경우는 주사위를 [eqn: rm 3]번 던질 때 홀수의 눈이 나오는 횟수가 [eqn: 1] 또는 [eqn: 3`]이어야 하므로
[eqn: `_3 rmC_1 left(1over2 right)^1 left(1over2 right)^2 +_3 C_3 left(1over2 right)^3 = 3over8 + 1over8 = 1over2]

(ⅱ) 사건 [eqn: A cap B]가 일어날 확률
주어진 시행을 [eqn: rm 3]번 반복한 후 [eqn: rm 6]장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수이면서 주사위의 [eqn: 1`]의 눈이 한 번만 나오는 경우는
[eqn: 1`]의 눈이 한 번, 짝수의 눈이 두 번
또는 [eqn: 1`]의 눈이 한 번, [eqn: 3] 또는 [eqn: 5`]의 눈이 두 번
나오는 경우이므로
[eqn: ` _{3} rm C _{1} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + _{3} rm C _{1} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} = {13} over {72}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 조건부확률은

[eqn: {rm{P}} it (B `|` A)={{rm{P}} it (A cap B)} over {{rm{P}} it (A)}][eqn: ={{13} over {72}} over {{1} over {2}}={13} over {36}]

이므로    [eqn: p+q=36+13][eqn: =49]

이 [eqn: rm 6]장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 [eqn: k]이면 [eqn: k]번째 자리에 놓여 있는 카드를 한 번 뒤집어 제자리에 놓는다.

위의 시행을 [eqn: rm 3]번 반복한 후 [eqn: rm 6]장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수일 때, 주사위의 [eqn: rm 1]의 눈이 한 번만 나왔을 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

05 확통	06 사건의 독립과 종속
03 독립시행의 확률
07 독립시행의 확률7 (활용)

[출처]	2006 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 22

한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수 [eqn: n]에 대하여

[정답] [eqn: 21]

[해설]

[eqn: f(1)=f(3)=f(5)=`-1],

[eqn: f(2)=f(4)=f(6)=2]

짝수의 눈이 나온 횟수를 [eqn: X], 홀수의 눈이 나온 횟수를 [eqn: Y]라 하면 던진 횟수는 5이므로 [eqn: X+Y=5 cdotscdots]㉠

[eqn: f(n _{1} )+f(n _{2} )+f(n _{3} )+f(n _{4} )+f(n _{5} )=4]이므로

[eqn: 2X-Y=4 cdots cdots]㉡

㉠과 ㉡을 연립하면 [eqn: X=3], [eqn: Y=2]

[eqn: 5]번 중 주사위의 눈이 짝수가 [eqn: 3]번, 홀수가 [eqn: 2]번 나올 확률은 [eqn: {} _{5} rmC_3 left( 1 over 2 right)^3 left( 1 over 2 right)^2 = 5 over 16]

∴ [eqn: a+b=5+16=21]

[eqn: f(n)=n+2(-1)^{n}-2 left[{n} over {2} right]]

이라 하자. 한 개의 주사위를 [eqn: rm 5]번 던져서 나온 눈의 수
[eqn: n_{1}], [eqn: n_{2}], [eqn: n_{3}], [eqn: n_{4}], [eqn: n_{5}]에 대하여

[eqn: f left(n_{1} right)+f left(n_{2} right)+f left(n_{3} right)+f left(n_{4} right)+f left(n_{5} right)=4]

일 확률을 [eqn: {a} over {b}]라 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대 정수이고, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 03월 28

여섯 면에 [eqn: 1 `]부터 [eqn: 6 `]까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀있는 정육면체 모양의 주사위가 있다. 이 주사위를 [eqn: 100 `]번 반복하여 던질 때, [eqn: 3 `]의 배수가 [eqn: k `]번 나올 확률을 [eqn: {rm {rm P} } LEFT ( k RIGHT ) `]라 하자. [eqn: sum _{k =1} ^{50} LEFT { rm P it LEFT ( 2 k-1 RIGHT )- rm P it LEFT ( 2 k RIGHT ) RIGHT } `]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: rmP(itk) = `_100` rmC_{`itk} it LEFT ( 1over3 RIGHT ) ^{`k} LEFT ( 2over 3 RIGHT ) ^{`100-k}][eqn: (k`=`0,`1,`2,`cdots,`100)]

[eqn: sum _{k=1} ^{50} LEFT { {\P}(2`k-1)-{\P}(2`k) RIGHT }]

[eqn: = rm LEFT { P(1)-P(2) RIGHT }+LEFT { P(3) -P(4)RIGHT } + `` CDOTS ``+LEFT { P(99) -P(100)RIGHT }]

[eqn: =` _{100} ` rm C _{` it 1 rm} it LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{99} -` _{100} ` rm C _{` it 2 rm} it LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{98} +` _{100} ` rm C _{` it 3 rm} it LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{97}]

[eqn: -`cdots`+ `_100 `rmC_{`it99}` it LEFT ( 1over3 RIGHT ) ^99 LEFT ( 2over 3 RIGHT ) ``- `_100` rmC_{`100} it ``LEFT ( 1over3 RIGHT ) ^100]

[eqn: =`- LEFT ( 1over 3 - 2 over 3 RIGHT )^100 + LEFT ( 2 over3 RIGHT ) ^100 = LEFT ( 2over 3 RIGHT )^100 -LEFT ( 1over 3 RIGHT )^100]

① [eqn: left( 1over3 right)^100]	② [eqn: left( 2over3 right)^100 -`left( 1over3 right)^100]

③ [eqn: left( 1over3 right)^100 -`left( 2over3 right)^100]	④ [eqn: left( 2over3 right)^50 -left( 1over3 right)^50]

⑤ [eqn: left( 1over3 right)^50 -`left( 2over3 right)^50]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 06월 19

각 면에 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4 `]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 정사면체 모양의 상자를 던져 밑면에 적힌 숫자를 읽기로 한다. 이 상자를 [eqn: 3 `]번 던져 [eqn: 2 `]가 나오는 횟수를 [eqn: m], [eqn: 2`]가 아닌 숫자가 나오는 횟수를 [eqn: n `]이라 할 때, [eqn: i ^{ |m-n|} =`- i `]일 확률은?
(단, [eqn: i = root-1`])

[정답] ②

[해설]

[eqn: 0 LEQ m LEQ 3,~0 LEQ n LEQ 3`]이고 [eqn: m+n=3]

이므로

[eqn: LEFT | m-n RIGHT | =3] 또는 [eqn: LEFT | m-n RIGHT | =1]

그런데 [eqn: i ^{LEFT | m-n RIGHT |} = it -i`]이므로

[eqn: LEFT | m-n RIGHT | =3]

즉, [eqn: m=3,~n=0] 또는 [eqn: m=0,~n=3`]

이므로 구하고자 하는 확률은

[eqn: LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{3} + LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{3}][eqn: = {1} over {64} + {27} over {64}][eqn: = {7} over {16}]

① [eqn: 3 over 8]	② [eqn: 7 over 16]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 9 over 16]	⑤ [eqn: 5 over 8]

05 확통	06 사건의 독립과 종속
03 독립시행의 확률
08 확률과 점화식

[출처]	2004 모의_공공 사관학교 고3 07월 21
[출처]	2004 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

두 개의 주머니 [eqn: rm A], [eqn: rmB `]가 있다. [eqn: rm A `]주머니에는 흰 공 [eqn: 1 `]개와 검은 공 [eqn: 1 `]개가 들어 있고 [eqn: rm B `]주머니에는 검은 공 [eqn: 2 `]개가 들어 있다. [eqn: rm A `]주머니에 있는 공을 [eqn: 1 `]개 꺼내어 [eqn: rm B `]주머니에 넣은 후, 다시 [eqn: rm B `]주머니에서 공을 [eqn: 1 `]개 꺼내어 [eqn: rm A `]주머니에 넣는 과정을 [eqn: 1 `]번의 시행이라 하자. 이와 같은 시행을 [eqn: 4```]번 반복하였을 때, [eqn: rm A `]주머니에 횐 공이 들어 있을 확률은?

[정답] ④

[해설]

한 번 시행에서 주머니 [eqn: \A`]에 흰 공이 들어 있을 확률 [eqn: p_1``]이라 두면

[eqn: p_1 = { 1} over {2 } TIMES { 1} over {3 } + { 1} over { 2} = { 4} over {6 } = { 2} over {3 } ``]이다. [eqn: n`]번 시행 후 주머니[eqn: \A`]에 흰 공이 들어 있을 확률을 [eqn: p_n``]이라 두면 [eqn: (n+1)``]번 시행 후 주머니[eqn: \A`]에 흰 공이 들어 있을 확률 [eqn: p_n+1`]은

[eqn: p_n+1 =p_n TIMES { 2} over {3 } +(1- p_n ) TIMES { 1} over {3 } = { 1} over {3 } p_n + { 1} over { 3} ``]

[eqn: LRARROW ~~ LEFT ( p_n+1 - { 1} over {2 } RIGHT ) = { 1} over {3 } LEFT ( p_n - { 1} over {2 } RIGHT ) ```]

이므로 수열 [eqn: LEFT { p_n - { 1} over {2 } RIGHT } ``]은 첫째항은 [eqn: p_1 - { 1} over {2 } = { 1} over {6 } ``]이고 공비가 [eqn: { 1} over {3 } ``]인 등비수열이므로

[eqn: p_n - { 1} over {2 } = { 1} over {6 } TIMES LEFT ( { 1} over {3 } RIGHT ) ^n-1 ```` LRARROW ````p_n = { 1} over {6 } TIMES LEFT ( { 1} over {3 } RIGHT ) ^n-1 + { 1} over {2 }``]

[eqn: THEREFORE ````` p_4 = { 1} over { 6} TIMES LEFT ( { 1} over { 3} RIGHT ) ^3 + { 1} over {2 } = { 41} over {81 } ``]

① [eqn: {83} over {162}]	② [eqn: {41} over {81}]	③ [eqn: {14} over {27}]

④ [eqn: {33} over {64}]	⑤ [eqn: {9} over {16}]

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 03월 16

그림과 같은 말과 말판이 있다. 말은 한 번에 한 칸씩 인접한 칸으로 움직이는 데 인접한 각 칸으로 이동할 확률은 모두 [eqn: 1over2 `]이다. 예를 들어 [eqn: rm A `]에 있던 말이 [eqn: rm A `]와 인접한 칸인 [eqn: rm B], [eqn: rm C `]로 이동할 확률은 각각 [eqn: 1over2 `]이다. 최초 [eqn: rmA `]에 있던 말이 [eqn: n `]번 이동하여 처음으로 [eqn: rmD `]에 도착할 확률을 [eqn: {\P}_{n}`]이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ②

[해설]

ㄱ. [eqn: rmP_2 = 1over4 + 1over4 = 1over2] (참)

ㄴ. 짝수 번을 이동하면 말은 [eqn: rm A`] 또는 [eqn: rm D``]에 도착하게 된다. 말이 [eqn: (2n+2)`]번째에 처음으로 [eqn: rmD`]에 도착하려면 처음 [eqn: 2`]번을 이동한 후 [eqn: rmA`]에 있고 그 이후 [eqn: 2`n`]번을 이동하여 처음으로 [eqn: rmD`]에 도착해야 하므로 [eqn: rmP_{it2n+2} = 1over2 P_{it2n}] (참)

ㄷ. [eqn: {rm P } _{2n-1} =0`] ([eqn: n=1`,``2`,``3`,` CDOTS `])이므로

∴ [eqn: sum_k=1^10 rm {P}_ {itk }=rm P_2 +P_4 +P_6 +P_8 +P_10]

[eqn: = 1over2 + 1over2^{`2} + 1over2^{`3} + 1over2^{`4} + 1over2^{`5}][eqn: = 31over32] (거짓)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: rm P _{2} = {1} over {2}] ㄴ. [eqn: {rm P } _{ 2n+2 } = {1} over {2}`` {\P} _{2n }] ([eqn: n`=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS]) ㄷ. [eqn: sum _{k=1} ^{10} `{rm P} _{ k} `= 1023over1024]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[준킬러][확통] 2확률(빠른 정답)
준킬러확통	2023.01.07

[정답] ③

[정답] [eqn: 23]

[정답] [eqn: 19]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] [eqn: 68]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ②

[정답] [eqn: 259]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: 13]

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 89]

[정답] ②

[정답] [eqn: 35]

[정답] [eqn: 19]

[정답] [eqn: 22]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: bold{50]

[정답] [eqn: 43]

[정답] [eqn: bold { 46 }]

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 25 }]

[정답] [eqn: 9]

[정답] [eqn: 48]

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ④

[정답] 11

[정답] [eqn: 49]

[정답] ③

[정답] [eqn: 78]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] [eqn: 34]

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 41 }]

[정답] [eqn: 17]

[정답] [eqn: 73]

[정답] [eqn: 33``]

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: 7]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: 12]

[정답] [eqn: 8]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: 13]

[정답] ③

[정답] [eqn: 35]

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 135 }]

[정답] [eqn: bold { 47 }]

[정답] ④

[정답] ①

[정답] [eqn: 182]

[정답] ①

[정답] [eqn: bold{ 251]

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] [eqn: rm 587]

[정답] [eqn: 41]

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: 323``]

[정답] [eqn: 13]

[정답] ③

[정답] [eqn: 191]

[정답] [eqn: 133]

[정답] [eqn: 49]

[정답] [eqn: 21]

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ②

[준킬러][확통] 2확률(해설)
준킬러확통	2023.01.07