	준킬러확통	[준킬러][확통] 1경우의수
	01
		준킬러확통	2023.01.07

05 확통	01 여러가지순열
01 중복순열
04 중복순열4 (중복허락, 여사건)

준킬러확통		준킬러확통
		[준킬러][확통] 1경우의수
01

	준킬러확통		준킬러확통
	[준킬러][확통] 1경우의수		01

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 18
[출처]	2020 일반_기타개인 구분
[출처]	2020 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 고등 수학영역 확률과 통계(2020)(2021 수능대비)(EBS 수능특강) 대표 기출 문제

서로 다른 공 [eqn: 4`]개를 남김없이 서로 다른 상자 [eqn: 4`]개에 나누어 넣으려고 할 때, 넣은 공의 개수가 [eqn: 1`]인 상자가 있도록 넣는 경우의 수는?
(단, 공을 하나도 넣지 않은 상자가 있을 수 있다.)

[정답] ②

[해설]

서로 다른 공 [eqn: rm 4]개를 서로 다른 상자 [eqn: rm 4]개에 나누어 넣는 경우의 수는 공을 하나도 넣지 않는 상자가 있을 수 있으므로 [eqn: { }_{4} smallprod _{4}=4^{4}=256]

이 중에서 넣은 공의 개수가 [eqn: rm 1]인 상자가 없는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) 상자 [eqn: rm 1]개에 공 [eqn: rm 4]개를 모두 넣는 경우
공 [eqn: rm 4]개를 모두 넣을 상자 [eqn: rm 1]개를 택하는 경우의 수는 [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{1}=4]

(ⅱ) 상자 [eqn: rm 2]개에 공을 [eqn: rm 2]개씩 넣는 경우
공을 넣을 상자 [eqn: rm 2]개를 택하는 경우의 수는 [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{2}]이고, 택한 상자에 공을 [eqn: rm 2]개씩 넣는 경우의 수는 [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{2} times it _{2} {rm{C}} it _{2}]이므로 이 경우의 수는 [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{2} times it _{4} {rm{C}} it _{2} times it _{2} {rm{C}} it _{2}={4 times 3} over {2 times 1} times {4 times 3} over {2 times 1} times 1=36]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 256-4-36=216]

[다른풀이]

(ⅰ) 서로 다른 [eqn: rm 4]개의 상자에 넣는 공의 개수가 각각 [eqn: 3], [eqn: 1], [eqn: 0], [eqn: 0]인 경우
[eqn: rm 4]개의 공을 [eqn: rm 3]개, [eqn: rm 1]개로 나누는 경우의 수는 [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{3} times it _{1} {rm{C}} it _{1}=4]이고, 상자 [eqn: rm 4]개 중 [eqn: rm 2]개를 택하여 공 [eqn: rm 3]개, [eqn: rm 1]개를 넣는 경우의 수는 [eqn: it _{4} {rm{P}} it _{2}=4 times 3=12]이므로
이 경우의 수는 [eqn: 4 times 12=48]

(ⅱ) 서로 다른 [eqn: rm 4]개의 상자에 넣는 공의 개수가 각각 [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 0]인 경우
[eqn: rm 4]개의 공을 [eqn: rm 2]개, [eqn: rm 1]개, [eqn: rm 1]개로 나누는 경우의 수는 [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{2} times it _{2} {rm{C}} it _{1} times it _{1} {rm{C}} it _{1} times {1} over {2 !}=6]이고, 상자 [eqn: rm 4]개 중 [eqn: rm 3]개를 택하여 공 [eqn: rm 2]개, [eqn: rm 1]개, [eqn: rm 1]개를 넣는 경우의 수는 [eqn: it _{4} {rm{P}} it _{3}=4 times 3 times 2=24]이므로 이 경우의 수는 [eqn: 6 times 24=144]

(ⅲ) 서로 다른 [eqn: rm 4]개의 상자에 넣는 공의 개수가 각각 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1]인 경우
[eqn: rm 4]개의 공을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 이 경우의 수는 [eqn: 4 ! it =24]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는 [eqn: 48+144+24=216]

① [eqn: 220]	② [eqn: 216]	③ [eqn: 212]

④ [eqn: 208]	⑤ [eqn: 204]

[출처]	2017 모의_공공 경찰대 고3 07월 13

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]의 숫자가 각각 적힌 [eqn: rm 5]개의 공을 모두 [eqn: rm 3]개의 상자 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C`]에 넣으려고 한다. 각 상자에 넣어진 공에 적힌 수의 합이 [eqn: rm 11] 이하가 되도록 공을 상자에 넣는 방법의 수는? (단, 빈 상자의 경우에는 넣어진 공에 적힌 수의 합을 [eqn: rm 0]으로 생각한다.)

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rm 5]개의 합은 [eqn: rm 15]이므로 [eqn: rm 5]개를 한 상자에 넣으면 안된다.

[eqn: rm 4]개의 수 중 [eqn: 1+2+3+5=11], [eqn: 1+2+3+4=10]이므로

합이 [eqn: rm 11] 이하인 경우는 위 두 가지이므로

[eqn: rm 4]개, [eqn: rm 1]개, [eqn: rm 0]개롤 넣는 경우의 수는 [eqn: 2 times 3 ! it =12]

[eqn: rm 3]개의 합에서 [eqn: 3+4+5=12], 이것만 아니면 합이 [eqn: rm 11] 이하 이므로 [eqn: rm 5]개 중 [eqn: rm 3]개를 뽑는 방법 [eqn: it _{5} {rm{C}} it _{3}=10]가지 중 [eqn: rm 9]가지가 가능하고, [eqn: rm 3]개, [eqn: rm 2]개, [eqn: rm 0]개 또는 [eqn: rm 3]개, [eqn: rm 1]개, [eqn: rm 1]개를 넣으면 된다.

따라서 경우의 수는 [eqn: 9 times(3 !+3 !)=108]

[eqn: rm 2]개, [eqn: rm 2]개, [eqn: rm 1]개씩 넣는 방법의 수는 [eqn: 3 times {5 !} over {2 ! 2 !}=90]

[eqn: therefore~12+108+90=210]

① [eqn: rm 190]	② [eqn: rm 195]	③ [eqn: rm 200]

④ [eqn: rm 205]	⑤ [eqn: rm 210]

05 확통	01 여러가지순열
01 중복순열
05 중복순열5 (정수의 개수)

[출처]	2009 모의_공공 사관학교 고3 07월 23
[출처]	2009 모의_공공 사관학교 고3 07월 23

최대공약수가 [eqn: 5`!`], 최소공배수가 [eqn: 13`!`]이 되는 두 자연수 [eqn: k], [eqn: n] [eqn: LEFT ( k LEQ n RIGHT )`]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( k,`` n RIGHT ) `]의 개수는?

[정답] ③

[해설]

[eqn: k=a cdot (5``!)``], [eqn: n=b cdot (5``!)``] (단, [eqn: a,```b``]는 서로소)로 놓으면 최소공배수가 [eqn: 13``!``]이므로

[eqn: a cdot b = 13 times 12 times 11 times 10 times 9 times 8 times 7 times 6=2^6 times 3^4 times 5 times 7 times 11 times 13``]

[eqn: a,```b``]가 서로소이므로 공약수는 [eqn: 1``]뿐이다.

따라서 [eqn: 2^6 ,```3^4 ,```5,```7,```11,```13``]등 [eqn: 6``]개를 [eqn: 2``]개로 나누는 방법의 수와 같다. [eqn: 6``]개의 수를 둘로 나눌 때 서로 같은 경우는 존재하지 않으므로 [eqn: k<=n``]을 만족하는 경우는 [eqn: 2^6 over 2 = 2^5 =32``]가지이다.

① [eqn: 25]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 49]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 07월 21

세 수 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2] 중에서 중복을 허락하여 다섯 개의 수를 택해 다음 조건을 만족시키도록 일렬로 배열하여 자연수를 만든다.

[정답] ⑤

[해설]

[출제의도] 순열과 조합을 활용하여 문제해결하기

[eqn: 1]을 네 번 이상 사용하면 반드시 [eqn: 1]끼리 서로 이웃하게 되므로 [eqn: 1`]은 세 번 이하로 사용된다.

(ⅰ) [eqn: 1]이 사용되지 않는 경우
[eqn: 2 ^{4} `=16]

(ⅱ) [eqn: 1]이 한 번 사용되는 경우
[eqn: 1]로 시작되는 경우의 수는 [eqn: 2^4`=16]
[eqn: 2]로 시작되는 경우의 수는 [eqn: 4times2^3`=32]

(ⅲ) [eqn: 1]이 두 번 사용되는 경우
[eqn: 1]로 시작되는 경우의 수는 [eqn: 3times2 ^{3} `=24]
[eqn: 2]로 시작되는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 2 ^{2} `=12]

(ⅳ) [eqn: 1]이 세 번 사용되는 경우
첫 번째, 세 번째, 다섯 번째에는 반드시 [eqn: 1]이 사용되므로 [eqn: 2 ^{2} =4]

따라서 조건을 만족시키는 자연수의 개수는 [eqn: 104`]

(가) 다섯 자리의 자연수가 되도록 배열한다.

(나) [eqn: 1]끼리는 서로 이웃하지 않도록 배열한다.

예를 들어 [eqn: 20200], [eqn: 12201]은 조건을 만족시키는 자연수이고 [eqn: 11020]은 조건을 만족시키지 않는 자연수이다. 만들 수 있는 모든 자연수의 개수는?

① [eqn: 88]	② [eqn: 92]	③ [eqn: 96]

④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 104]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 03월 29

주머니 속에 네 개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이 각각 하나씩 적혀 있는 공 [eqn: 4]개가 들어 있다. 이 주머니에서 [eqn: 1]개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이 과정을 [eqn: 3]번 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 하자. [eqn: {bc} over {a}]가 정수가 되도록 하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c RIGHT )]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[해설]

(ⅰ) [eqn: a=0]인 경우
[eqn: {bc} over {a}]가 정의되지 않으므로 정수가 되는 경우는 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a=1]인 경우
[eqn: {bc} over {a}]는 항상 정수이므로 [eqn: b], [eqn: c]를 정하는 경우의 수는 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]에서 [eqn: 2]개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로
[eqn: {}_{4} Π_2][eqn: =4^2 =16]

(ⅲ) [eqn: a=2]인 경우
[eqn: bc=2k] ([eqn: k]는 정수)일 때 [eqn: {bc} over {a}]가 정수이다.
[eqn: a=2]일 때 [eqn: b]와 [eqn: c]를 택하는 전체 경우의 수 [eqn: 16]에서 [eqn: b]와 [eqn: c]가 모두 홀수인 경우의 수 [eqn: 4]를 빼면 되므로 [eqn: 16-4=12]

(ⅳ) [eqn: a=3]인 경우
[eqn: bc=3k] ([eqn: k]는 정수)일 때 [eqn: {bc} over {a}]가 정수이다. [eqn: a=3]일 때 [eqn: b]와 [eqn: c]를 택하는 전체 경우의 수 [eqn: 16]에서 [eqn: bc!= 3k]인 경우의 수를 빼면 된다.
[eqn: bc!= 3k]인 경우의 수는 [eqn: 1], [eqn: 2]에서 [eqn: 2]개를 택하는 중복순열의 수 [eqn: {}_{2} Π_2][eqn: =4]이므로
[eqn: 16-4=12]

(ⅰ)∼(ⅳ)에 의하여 [eqn: {bc} over {a}]가 정수가 되도록 하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c RIGHT )]의 개수는 [eqn: 16+12+12=40]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 29

숫자 [eqn: 1,~2,~3] 중에서 모든 숫자가 한 개 이상씩 포함되도록 중복을 허락하여 [eqn: 6]개를 선택한 후, 일렬로 나열하여 만들 수 있는 여섯 자리의 자연수 중 일의 자리의 수와 백의 자리의 수가 같은 자연수의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 150]

[해설]

일의 자리와 백의 자리에 오는 숫자가 [eqn: 1]일 때, 나머지 네 자리에 [eqn: 2]와 [eqn: 3]이 적어도 하나씩 포함되는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: 1,~1,~2,~3]을 나열하는 경우
[eqn: 4]개의 숫자를 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2!}][eqn: =12]

(ⅱ) [eqn: 1,~2,~2,~3] 또는 [eqn: 1,~2,~3,~3]을 나열하는 경우
[eqn: 4]개의 숫자를 나열하는 경우의 수가 [eqn: {4!} over {2!}][eqn: =12]이므로
(ⅱ)의 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 12][eqn: =24]

(ⅲ) [eqn: 2,~2,~2,~3] 또는 [eqn: 2,~3,~3,~3]을 나열하는 경우
[eqn: 4]개의 숫자를 나열하는 경우의 수가 [eqn: {4!} over {3!}][eqn: =4]이므로
(ⅲ)의 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 4][eqn: =8]

(ⅳ) [eqn: 2,~2,~3,~3]을 나열하는 경우
[eqn: 4]개의 숫자를 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2!`2!}][eqn: =6]

(ⅰ)~(ⅳ)에 의해 일의 자리와 백의 자리에 오는 숫자가 [eqn: 1]인 경우의 수는 [eqn: 12+24+8+6][eqn: =50]

일의 자리와 백의 자리에 오는 숫자가 [eqn: 2]인 경우의 수와 [eqn: 3]인 경우의 수도 같은 방법으로 생각하면 각각 [eqn: 50]이다.

따라서 구하는 자연수의 개수는 [eqn: 3 TIMES 50][eqn: =150]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 30

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중에서 중복을 허락하여 네 개를 선택한 후 일렬로 나열할 때, 다음 조건을 만족시키도록 나열하는 경우의 수를 구하시오.

[정답] [eqn: 97]

[해설]

(ⅰ) [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3`]에서만 선택한 후 나열하는 경우
[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 4`]개를 선택하여 일렬로 나열하는 경우에서 [eqn: 2], [eqn: 3] 중에서만 선택하여 나열하는 경우를 제외하면 되므로 구하는 경우의 수는 [eqn: rm _{3} rm SMALLPROD _{4} - _{2} rm SMALLPROD _{4} =3 ^{4} -2 ^{4} =65]

(ⅱ) [eqn: 1], [eqn: 4], □, □에서 □에 [eqn: 2] 또는 [eqn: 3`]이 있도록 선택한 후 나열하는 경우
[eqn: 1`]과 [eqn: 4]의 위치를 정하는 경우의 수는
[eqn: 2 TIMES LEFT ( {}_{4} rm C _{2} -3 RIGHT ) =6]이고, □에 들어갈 수를 정하는 경우의 수는 [eqn: 2 ^{2} =4]이다.
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 6 TIMES 4=24]

(ⅲ) [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 4], □ 또는 [eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 4], □에서 □에 [eqn: 2] 또는 [eqn: 3`]이 있도록 선택한 후 나열하는 경우
[eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 4]를 나열하는 경우는 [eqn: 11]□[eqn: 4], [eqn: 4]□[eqn: 11`]이고, □에 [eqn: 2] 또는 [eqn: 3`]을 나열할 수 있으므로 경우의 수는 [eqn: 2 times2][eqn: =4`]이다.
[eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 4], □인 경우는 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 4], □인 경우와 같은 방법으로 생각하면 경우의 수는 [eqn: 4]이다.
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 4+4][eqn: =8]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는
[eqn: 65+24+8=97]

(가) 숫자 [eqn: 1`]은 한 번 이상 나온다.

(나) 이웃한 두 수의 차는 모두 [eqn: 2] 이하이다.

05 확통	01 여러가지순열
01 중복순열
06 중복순열6 (함수의 개수)

[출처]	2002 모의_공공 교육청 고3 06월 11
[출처]	2002 모의_공공 교육청 고3 06월 18
[출처]	2002 모의_공공 교육청 고3 06월 11

[eqn: A= left{ 1,``2,``3 it right}]에서 [eqn: A]로의 함수 [eqn: f]가 두 조건
i) 함수 [eqn: f]는 일대일대응이다.

[정답] ④

[해설]

일대일대응 함수 [eqn: f]는 다음의 세 가지 형태이다.

i ) 모든 원소가 자기 자신에 대응될 때 :

[eqn: f=I(I]는 항등함수)이므로

[eqn: f circ f=I], [eqn: f circ f circ f=f]가 성립한다.

ii ) 한 원소는 자기자신에 나머지 두 원소는

엇갈려 대응될 때 : [eqn: f circ f=I]이므로, [eqn: f circ f circ f=f]가 성립한다.

iii) 모든 원소가 서로 엇갈려 대응될 때 :

[eqn: f circ f neq I]이므로, [eqn: f circ f circ f neq f]이다.

따라서, i ), ii), iii)에서 주어진 조건을 만족하는 함수 [eqn: f]는 [eqn: rm 4]개다.

ii) 합성함수 [eqn: f circ f circ f]는 함수 [eqn: f]와 같다.

를 만족하는 함수 [eqn: f]의 개수는?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 09월 이산수학 29

집합 [eqn: left{ 1,``2,``3,``4 it right}]에서 집합 [eqn: left{ 1,``2,``3,``4 it right}]로의 함수 중에서 다음 조건을 만족하는 함수 [eqn: f]의 개수는?

[정답] ①

[해설]

합성함수 [eqn: f circ f]의 치역의 원소의 개수가 [eqn: rm 1]이므로 정의역에 속하는 임의의 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(f(x))=a]라고 할 때 [eqn: a]가 될 수 있는 경우의 수는 [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{1}=4](가지)

이때 [eqn: f(f(x))=a]인 경우 [eqn: a]를 포함하는

함수 [eqn: f]의 치역은 [eqn: left{ a,`` b it right}], [eqn: left{ a,`` c it right}], [eqn: left{ a,`` d it right}]로 [eqn: rm 3]가지이다.

이제 정의역의 원소를 [eqn: left{ a,`` b,`` c,`` d it right}]라 하고

[eqn: f]의 치역을 [eqn: left{ a,`` b it right}]라고 하면

[eqn: f(f(a))=a]이기 위해서 [eqn: f(a)=a]이어야 한다.

또 [eqn: f(f(b))=a]이기 위해서 반드시 [eqn: f(b)=a]가 되어야 한다.

이때 정의역의 나머지 두 원소 [eqn: c], [eqn: d]가 [eqn: a] 또는 [eqn: b]에 대응하는 방법의 수는 [eqn: 2^{2}-1=3]이다

따라서 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 4 times 3 times 3=36]이다.

(가) 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: rm 2]이다.

(나) 합성함수 [eqn: f circ f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: rm 1]이다.

① [eqn: rm 36]	② [eqn: rm 42]	③ [eqn: rm 48]

④ [eqn: rm 54]	⑤ [eqn: rm 60]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 28

두 집합

[정답] ③

[해설]

(ⅰ) [eqn: f ( 3 )][eqn: =4] 또는 [eqn: f ( 3 )][eqn: =10`]인 경우
[eqn: f ( 3 )][eqn: =4`]이면 [eqn: f ( 2 )][eqn: =f ( 5 )][eqn: =2`]이고,
[eqn: f ( 1 ) `]과 [eqn: f(4)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: 10], [eqn: 12] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 중복순열의 수와 같다.
[eqn: f(3)][eqn: =10`]이면 [eqn: f(1)][eqn: =f LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =12`]이고,
[eqn: f(2)]와 [eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 중복순열의 수와 같다.
그러므로 구하는 함수의 개수는
[eqn: 2 TIMES _{4} SMALLPROD _{2}][eqn: =32]

(ⅱ) [eqn: f ( 3 )][eqn: =6] 또는 [eqn: f ( 3 )][eqn: =8`]인 경우
[eqn: f ( 3 )][eqn: =6`]이면 [eqn: f ( 2) `]와 [eqn: f ( 5 ) `]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2], [eqn: 4] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 중복순열의 수와 같고, [eqn: f ( 1) `]과 [eqn: f ( 4 ) `]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 8], [eqn: 10], [eqn: 12] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 중복순열의 수와 같다.
[eqn: f ( 3 ) =8`]이면 [eqn: f ( 1 ) `]과 [eqn: f ( 4 ) `]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 10], [eqn: 12] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 중복순열의 수와 같고, [eqn: f ( 2) `]와 [eqn: f ( 5 ) `]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 중복순열의 수와 같다.
그러므로 구하는 함수의 개수는
[eqn: 2times {}_{2} SMALLPROD _{2} TIMES _{3} SMALLPROD _{2} =72`]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 함수 [eqn: f`]의 개수는

[eqn: 32+72=104]

[eqn: X= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5right}], [eqn: Y= LEFT { 2,``4,``6,``8,``10,``12 RIGHT } `]

에 대하여 [eqn: X`]에서 [eqn: Y`]로의 함수 [eqn: f] 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수의 개수는?

(가) [eqn: f ( 2 ) <f ( 3 ) <f ( 4 )]

(나) [eqn: f ( 1 ) >f ( 3 ) >f ( 5 )]

① [eqn: 100]	② [eqn: 102]	③ [eqn: 104]

④ [eqn: 106]	⑤ [eqn: 108]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 28

집합 [eqn: {X = LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5 ,```` 6 RIGHT }}{{from^2021^09^평가원^중}}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f ``:`` X ``->`` X]의 개수는?

[정답] ④

[해설]

조건 (나)와 조건 (다)에서 [eqn: f(3) ne 1], [eqn: f(4) ne 6]

조건 (가)에서 [eqn: f(3)+f(4)]가 [eqn: 5]의 배수인 [eqn: f(3)], [eqn: f(4)]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( f(3) ,```` f(4) RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( 4 ,```` 1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2 ,```` 3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 6 ,```` 4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5 ,```` 5 RIGHT )]

(ⅰ) [eqn: f(3)=4], [eqn: f(4)=1]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 3^2 =9]
[eqn: f(5)], [eqn: f(6)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 5^2 =25]
즉 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 9 TIMES25=225]

(ⅱ) [eqn: f(3)=2], [eqn: f(4)=3]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 1^2 =1]
[eqn: f(5)], [eqn: f(6)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 3^2 =9]
즉 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 1 TIMES9=9]

(ⅲ) [eqn: f(3)=3], [eqn: f(4)=2]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2^2 =4]
[eqn: f(5)], [eqn: f(6)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 4^2 =16]
즉 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 4 TIMES16 =64]

(ⅳ) [eqn: f(3)=6], [eqn: f(4)=4]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 5^2 =25]
[eqn: f(5)], [eqn: f(6)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2^2 =4]
즉 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 25 TIMES 4=100]

(ⅴ) [eqn: f(3)=5], [eqn: f(4)=5]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 4^2 =16]
[eqn: f(5)], [eqn: f(6)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 1^2 =1]
즉 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 16 TIMES 1=16]

(ⅰ)∼(ⅴ)에서 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 225+9+64+100+16=414]

(가) [eqn: f(3)+f(4)]는 [eqn: 5]의 배수이다.

(나) [eqn: f(1) <f(3)]이고 [eqn: f(2) < f(3)]이다.

(다) [eqn: f(4) <f(5)]이고 [eqn: f(4) <f(6)]이다.

① [eqn: 384]	② [eqn: 394]	③ [eqn: 404]

④ [eqn: 414]	⑤ [eqn: 424]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 28

두 집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT } ,~Y= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [eqn: X``]에서 [eqn: Y``]로의 함수 [eqn: f]의 개수는?

[정답] ①

[해설]

조건 (가)에 의하여

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) ge 1]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) ge sqrt { 2}>1]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )ge sqrt { 3}>1]

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) ge sqrt { 4}=2]

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )ge sqrt { 5}>2]

이고 조건 (나)에 의하여 치역으로 가능한 경우는 [eqn: LEFT { 1,~2,~3 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,~2,~4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,~3,~4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 2,~3,~4 RIGHT }]

이다.

(ⅰ) 치역이 [eqn: LEFT { 1,~2,~3 RIGHT }]인 경우
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )=1], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )=3]이므로 [eqn: LEFT { 2,~3,~4 RIGHT }]에서 [eqn: LEFT { 2,~3 RIGHT }]으로의 함수 중에서 치역이 [eqn: LEFT { 3 RIGHT }]인 함수를 제외하면 되므로 조건을 만족시키는 함수의 개수는
[eqn: `_2 SMALLPROD_3 -1=2^3 -1=7]

(ⅱ) 치역이 [eqn: LEFT { 1,~2,~4 RIGHT }]인 경우
(ⅰ)의 경우와 마찬가지로 조건을 만족시키는 함수의 개수는 [eqn: 7]이다.

(ⅲ) 치역이 [eqn: LEFT { 1,~3,~4 RIGHT }]인 경우
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )=1]이므로 [eqn: LEFT { 2,~3,~4,~5 RIGHT }]에서 [eqn: LEFT { 3,~4 RIGHT }]로의 함수 중에서 치역이 [eqn: LEFT { 3 RIGHT }], [eqn: LEFT { 4 RIGHT }]인 함수를 제외하면 되므로 조건을 만족시키는 함수의 개수는
[eqn: `_2 SMALLPROD_4 -2 =2^4 -2=14]

(ⅳ) 치역이 [eqn: LEFT { 2,~3,~4 RIGHT }]인 경우
((ⅳ)-①) [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )=3]인 경우
[eqn: LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }]에서 [eqn: LEFT { 2,~3,~4 RIGHT }]로의 함수 중에서 치역이 [eqn: LEFT { 2 RIGHT }], [eqn: LEFT { 3 RIGHT }], [eqn: LEFT { 4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 2,~3 RIGHT }], [eqn: LEFT { 3,~4 RIGHT }]인 함수를 제외하면 되므로 조건을 만족시키는 함수의 개수는
[eqn: `_3 SMALLPROD_4 - LEFT { 3+ LEFT ( `_2 SMALLPROD_4 -2 RIGHT ) TIMES2 RIGHT }]
[eqn: =3^4 - LEFT { 3+ LEFT ( 2^4 -2 RIGHT ) TIMES2 RIGHT }]
[eqn: =81-31]
[eqn: =50]
((ⅳ)-②) [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )=4]인 경우
((ⅳ)-①)의 경우와 마찬가지로 조건을 만족시키는 함수의 개수는 [eqn: 50]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 7+7+14+50 TIMES2=128]

(가) 집합 [eqn: X``]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ sqrt {x}]이다.

(나) 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 3]이다.

① [eqn: 128]	② [eqn: 138]	③ [eqn: 148]

④ [eqn: 158]	⑤ [eqn: 168]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 30

집합 [eqn: X= left{ 1,``2,``3,``4,``5 it right}]와 함수 [eqn: f: X ``rarrow`` X]에 대하여 함수 [eqn: f]의 치역을 [eqn: A], 합성함수 [eqn: f circ f]의 치역을 [eqn: B]라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 260]

[해설]

조건 (다)에서 함수 [eqn: f]는 상수함수일 수 없으므로

[eqn: n(A)=2] 또는 [eqn: n(A)=3]

(i) [eqn: n(A)=2]인 경우
집합 [eqn: A]를 정하는 경우의 수는 [eqn: it _{5} {rm{C}} it _{2}=10]
[eqn: A= left{ 1,``2 it right}]인 경우를 생각하면 조건 (다)에서
[eqn: f(1)=2], [eqn: f(2)=1]
[eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]의 값은 [eqn: rm 1], [eqn: rm 2] 중 하나이므로
[eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수는
[eqn: { }_{2} smallprod _{3}=2^{3}=8]
즉, [eqn: n(A)=2]인 경우 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 10 times 8=80]

(ii) [eqn: n(A)=3]인 경우
집합 [eqn: A]를 정하는 경우의 수는 [eqn: it _{5} {rm{C}} it _{3}=10]
[eqn: A= left{ 1,``2,``3 it right}]인 경우를 생각하면 조건 (다)에서
순서쌍 [eqn: (f(1),`` f(2),`` f(3))]은 [eqn: (2,``3,``1)], [eqn: (3,``1,``2)]뿐이므로
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)]의 값을 정하는 경우의 수는[eqn: rm 2]
[eqn: f(4)], [eqn: f(5)]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]중 하나이므로 [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수
[eqn: { }_{3} smallprod _{2}=3^{2}=9]
즉, [eqn: n(A)=3]인 경우 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 10 times 2 times 9=180]

(i), (ii)에서 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 80+180=260]

(가) [eqn: n(A) leq 3]

(나) [eqn: n(A)=n(B)]

(다) 집합 [eqn: X]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) neq x]이다.

05 확통	01 여러가지순열
01 중복순열
07 중복순열7 (집합의 개수)

[출처]	2016 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 3,```4,```5,```6,```7,```8 RIGHT } `]에 대하여

[정답] [eqn: 168]

[해설]

집합[eqn: X] 개수

= [eqn: X SUBSET (AUB)]인 경우 -[eqn: X SUBSET A]인 경우 -[eqn: X SUBSET B]인 경우

+[eqn: x SUBSET (A SMALLINTER B)]인 경우

=[eqn: 2 ^{8} -2 ^{5} -2 ^{6} +2 ^{3} =168]

[eqn: X NSUBSET A`], [eqn: X NSUBSET B`], [eqn: X SUBSET (A CUP B`)`]

를 만족시키는 집합 [eqn: X``]의 개수를 구하시오.

05 확통	01 여러가지순열
02 원순열
01 원순열1 (원순열)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 03월 15

여학생 [eqn: 3`]명과 남학생 [eqn: 6`]명이 원탁에 같은 간격으로 둘러앉으려고 한다. 각각의 여학생 사이에는 [eqn: 1`]명 이상의 남학생이 앉고 각각의 여학생 사이에 앉은 남학생의 수는 모두 다르다. [eqn: 9`]명의 학생이 모두 앉는 경우의 수가 [eqn: n` TIMES 6!`]일 때, 자연수 [eqn: n`]의 값은?
(단, 회전하여 일치하는 것들은 같은 것으로 본다.)

[정답] ②

[해설]

여학생 [eqn: 3`]명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는
[eqn: (3-1)! =2!]

각 경우에 대하여 여학생과 여학생 사이 세 곳에 앉는 남학생의 수는 모두 달라야 하므로 각각 [eqn: 1`]명, [eqn: 2`]명, [eqn: 3`]명이고 이를 정하는 경우의 수는 [eqn: 3!]

남학생을 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 6!]

그러므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 2! times 3! times 6!][eqn: =12 times 6!]

따라서 [eqn: n= 12]

[다른 풀이]

여학생 [eqn: 3`]명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는
[eqn: (3-1)! =2!]

각 경우에 대하여 여학생과 여학생 사이 세 곳에 앉는 남학생의 수는 모두 다르므로 남학생 [eqn: 6`]명이 [eqn: 3`]명, [eqn: 2`]명, [eqn: 1`]명의 세 조로 나뉘어 여학생과 여학생 사이에 앉아야 한다.

이와 같이 남학생을 세 조로 나누는 경우의 수는

[eqn: rm _{6} rm C _{3} TIMES _{3} C _{2} TIMES _{1} C _{1} = {6!} over {3!`2!}]

각 경우에 대하여 세 조를 여학생과 여학생 사이의 세 곳에 배열하는 경우의 수는 [eqn: 3!]

각 경우에 대하여 남학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 3! TIMES 2! TIMES 1!]

이므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 2! TIMES {6!} over {3!2!} TIMES 3! TIMES 3! TIMES 2! TIMES 1!`=12 TIMES 6!]

따라서 [eqn: n=12`]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 확률과 통계 29

두 남학생 [eqn: rmA,~B]를 포함한 [eqn: 4]명의 남학생과 여학생 [eqn: rmC]를 포함한 [eqn: 4]명의 여학생이 있다. 이 [eqn: 8]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수를 구하시오.
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[정답] [eqn: 288]

[해설]

[출제의도] 원순열을 이용하여 추론하기

남학생 [eqn: 4]명 중 [eqn: rm { A,~ B }]가 아닌 남학생 [eqn: 2]명을 [eqn: rm { D,~ E }]라 하면

(ⅰ) [eqn: rm { C }]가 [eqn: rm { D,~ E }]와 모두 이웃하는 경우
[eqn: rm { A,~ B }]를 한 학생으로 생각하고,
[eqn: rm { D,~ C,~ E }]를 한 학생으로 생각하여
[eqn: 5]명의 학생을 원형으로 배열하는 경우의 수는
[eqn: (5-1) ! = 4 ! = 24]
이 각각에 대하여 [eqn: rm { A,~ B }]가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2 !],
[eqn: rm { D,~ E }]가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2 !]이므로
구하는 경우의 수는
[eqn: 24 TIMES2 ! TIMES2 ! =96]

(ⅱ) [eqn: rm { C }]가 [eqn: rm { A }]또는 [eqn: rm { B }]중 한 명과 이웃하는 경우
[eqn: rm { D }] 또는 [eqn: rm { E }]중 한 명과 [eqn: rm { C,~ A,~ B }]의
총 [eqn: 4]명을 한 학생으로 생각하여
[eqn: 5]명의 학생을 원형으로 배열하는 경우의 수는
[eqn: (5-1) ! =4 ! =24]
이 각각에 대하여 [eqn: rm { D }] 또는 [eqn: rm { E }] 중 한 명을 선택하는 경우의 수는 [eqn: rm { {} _{2} C _{1} ,~ A,~ B }]가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수 [eqn: 2 !], [eqn: rm A], [eqn: rmB]를 한  학생으로 생각하여 [eqn: rmC]와 이웃한 두 학생이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2!]이므로
구하는 경우의 수는 [eqn: rm { 24 TIMES _{2} C _{1} TIMES 2 ! TIMES 2 ! =192 }]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 구하는 경우의 수는

[eqn: 96+192=288]

(가) [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]는 이웃한다.

(나) [eqn: rmC]는 여학생과 이웃하지 않는다.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 확률과 통계 29

[eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]개의 의자가 있다. 이 [eqn: 6]개의 의자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, 서로 이웃한 [eqn: 2]개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 [eqn: 12]가 되지 않도록 배열하는 경우의 수를 구하시오.

[정답] [eqn: 48]

[해설]

[eqn: rm 6]개의 의자를 원형으로 배열하는 원순열의 수는 [eqn: (6-1) ! it =5 ! it =120]

서로 이웃한 [eqn: rm 2]개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 [eqn: rm 12]가 되는 두 수는 [eqn: rm 2], [eqn: rm 6] 또는 [eqn: rm 3], [eqn: rm 4]이다.

(i) [eqn: rm 2], [eqn: rm 6]이 적혀 있는 두 의자를 이웃하게 배열하는 경우

[eqn: rm 2], [eqn: rm 6]이 적혀 있는 두 의자를 [eqn: rm 1]개로 생각하여 의자 [eqn: rm 5]개를 배열하는 원순열의 수는 [eqn: (5-1) ! it =4 ! it =24]

이 각각에 대하여 [eqn: rm 2], [eqn: rm 6]이 적혀 있는 두 의자의 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2 ! it =2]

그러므로 이 경우의 수는 [eqn: 24 times 2=48]

(ii) [eqn: rm 3], [eqn: rm 4]가 적혀 있는 두 의자를 이웃하게 배열하는 경우 마찬가지로 이 경우의 수도 [eqn: rm 48]이다.

(iii) [eqn: rm 2], [eqn: rm 6]이 적혀 있는 두 의자와 [eqn: rm 3], [eqn: rm 4]가 적혀 있는 두 의자를 각각 모두 이웃하게 배열하는 경우 [eqn: rm 2], [eqn: rm 6]이 적혀 있는 두 의자를 [eqn: rm 1]개로 생각하고, [eqn: rm 3], [eqn: rm 4]가 적혀 있는 두 의자를 [eqn: rm 1]개로 생각하여 의자 [eqn: rm 4]개를 원형으로 배열하는 경우의 수는

[eqn: (4-1) ! it =3 ! it =6]

이 각각에 대하여 [eqn: rm 2], [eqn: rm 6]이 적혀 있는 두 의자의 자리를 서로 바꾸고, [eqn: rm 3], [eqn: rm 4]가 적혀 있는 두 의자의 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는

[eqn: 2 ! times 2 ! it =4]

그러므로 이 경우의 수는

[eqn: 6 times 4=24]

(i), (ii), (iii)에 의하여 서로 이웃한 [eqn: rm 2]개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 [eqn: rm 12]가 되도록 배열하는 경우의 수는 [eqn: 48+48-24=72]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 120-72=48]

(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

05 확통	01 여러가지순열
02 원순열
02 원순열2 (다각형)

[출처]	2007 모의_공공 사관학교 고3 07월 23
[출처]	2007 모의_공공 사관학교 고3 07월 23

그림과 같이 정사각형과 서로 합동인 [eqn: 5`]개의 원으로 이루어진 놀이판이 있다. 각 원의 중심은 정사각형의 네 꼭짓점과 두 대각선이 만나는 점이다. 서로 다른 [eqn: 5`]개의 돌 중에서 [eqn: 3`]개를 뽑아 [eqn: 3`]개의 원 안에 각각 [eqn: 1`]개씩 올려놓는 방법의 수는?
(단, 회전하여 같은 경우는 한 가지로 계산한다.)

[정답] ①

[해설]

주어진 5개의 돌 중에서 3개의 돌을 뽑는 경우의 수는

[eqn: rm ` _5 C_3 = 10]

주어진 경우의 수는 가운데 원에 돌을 놓 경우와 그렇지 않은 경우로 분류할 수 있다.

(ⅰ) 가운데 원에 색칠하는 경우
뽑은 3개의 돌 중에 가운데 배열할 돌을 뽑는 경우의 수는 3가지
이 때, 정사각형의 네 꼭지점에 2개의 돌을 배열하는 경우의 수는 2개의 돌과 2개의 빈자리를 돌리는 원순열의 수와 같으므로 [eqn: (4-1)! over 2 = 3]가지가 있다.
[eqn: rm therefore 10 times_3 C_1 TIMES3=90]

(ⅱ) 가운데 원에 색칠하지 않는 경우
이 경우는 결국 게개의 돌과 한 개의 빈자리를 돌리는 경우의 수로 생각할 수 있으므로
[eqn: therefore 10 times (4-1)! = 60]

(ⅰ), (ⅱ)는 배반사건이므로 구하는 총 경우의 수

[eqn: 90+60=150]

① [eqn: 150]	② [eqn: 160]	③ [eqn: 170]

④ [eqn: 190]	⑤ [eqn: 200]

05 확통	01 여러가지순열
02 원순열
03 원순열3 (색칠)

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 03월 15

[eqn: rm A`,~B`,~C`,~D``][eqn: 4``]가지 색의 일부 또는 전부를 사용하여 그림과 같은 프로펠러의 중앙 부분과 [eqn: 4``]개의 날개 부분을 모두 칠하려고 한다. 인접한 중앙 부분과 날개 부분은 서로 다른 색으로 칠하기로 할 때, 칠할 수 있는 방법의 수는? (단, [eqn: 4`]개의 날개는 모두 합동이고, 회전하여 같은 경우에는 한 가지 방법으로 한다.)

[정답] ④

[해설]

주어진 프로펠러를 칠하는데 사용된 색의 수로 구분한다.

(i) 2가지 색이 사용된 경우

[eqn: a,~b```]에 사용될 색을 택하여 칠하는   방법의 수는 [eqn: `_4 \P_2 =12]

(ii) 3가지 색이 사용된 경우

[eqn: a,~b,~c``]에 사용될 색을 택하여 칠하는 방법의 수는

[eqn: `_4 \P_3 +`_4 \P_3 TIMES { 1} over { 2}+`_4 \P_3 TIMES { 1} over { 2} =48]

(iii) 4가지 색이 모두 사용된 경우

[eqn: a,~b,~c,~d``]에 사용될 색을 택하여 칠하는 방법의   수는 [eqn: `_4 \P_4 +`_4 \P_4 TIMES { 1} over { 2}=36]

따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: 12+48+36 =96] (가지)

① [eqn: 60]	② [eqn: 72]	③ [eqn: 84]

④ [eqn: 96]	⑤ [eqn: 108]

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 20
[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 18

[그림 1]과 같이 [eqn: rm 5]개의 스티커 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it], [eqn: {rm{E}} it]는 각각 흰색 또는 회색으로 칠해진 [eqn: rm 9]개의 정사각형으로 이루어져 있다. 이 [eqn: rm 5]개의 스티커를 모두 사용하여 [그림 2]의 [eqn: rm 45]개의 정사각형으로 이루어진  모양의 판에 빈틈없이 붙여 문양을 만들려고 한다. [그림 3]은 스티커 [eqn: RMB]를  모양의 판의 중앙에 붙여 만든 문양의 한 예이다.

[정답] ①

[해설]

[eqn: {rm{A}} it]와 [eqn: {rm{E}} it]는 회전하면 모두 일치하고, [eqn: -1]가지

[eqn: {rm{B}} it]와 [eqn: {rm{C}} it]는 회전하면 모두 놓인 모양이 다르고, [eqn: -4]가지

[eqn: {rm{D}} it]는 회전하여 다른 경우는 [eqn: rm 2]가지이다. [eqn: -2]가지

(ⅰ) 중앙에 [eqn: {rm{A}} it] 또는 [eqn: {rm{E}} it]를 붙인 경우
나머지 [eqn: rm 4]개는 원순열에 의하여 [eqn: rm 3]! 인데, 각각의 경우 회전하여 다른 경우의 수를 따지면 [eqn: 1 times 2 times 4 times 4=32] 그러므로 [eqn: 2 times 3 ! times 32=384]

(ⅱ) 중앙에 [eqn: {rm{B}} it] 또는 [eqn: {rm{C}} it]를 붙인 경우
네 방향이 모두 상대적으로 다른 모양이므로
나머지 [eqn: rm 4]개를 놓는 경우의 수는 [eqn: rm 4]!
각각의 경우 회전하여 다른 경우의 수를 따지면 [eqn: 1 times 1 times 2 times 4=8]
그러므로 [eqn: 2 times 4 ! times 8=384]

(ⅲ) 중앙에 [eqn: rm D]를 붙인 경우
나머지 [eqn: rm 4]개는 회전하여 일치하는 경우가 [eqn: rm 2]방향이므로 [eqn: {4 !} over {2}=12]
각각의 경우 회전하여 다른 경우의 수를 따지면 [eqn: 1 times 1 times 4 times 4=16]
그러므로 [eqn: 12 times 16=192]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 서로 다른 문양의 개수는 [eqn: 384+384+192=960]

(가) [eqn: =a=24], (나) [eqn: =b=12], (다) [eqn: =c=16]

[eqn: therefore~a+b+c=24+12+16=52]

다음은 [eqn: rm 5]개의 스티커를 모두 사용하여 만들 수 있는 서로 다른 문양의 개수를 구하는 과정의 일부이다. (단, 모양의 판을 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

모양의 판의 중앙에 붙이는 스티커에 따라 다음과 같이 [eqn: 3]가지 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: {rm{A}} it] 또는 [eqn: {rm{E}} it]를 붙이는 경우
나머지 [eqn: rm 4]개의 스티커를 붙일 위치를 정하는 경우의 수는 [eqn: rm 3]!
이 각각에 대하여 [eqn: rm 4]개의 스티커를 붙이는 경우의 수는 [eqn: 1 times 2 times 4 times 4]
그러므로 이 경우의 수는 [eqn: 2 times 3 ! times 32]

(ⅱ) [eqn: {rm{B}} it] 또는 [eqn: {rm{C}} it]를 붙이는 경우
나머지 [eqn: rm 4]개의 스티커를 붙일 위치를 정하는 경우의 수는 [eqn: box{`` (가) ``}]
이 각각에 대하여 [eqn: rm 4]개의 스티커를 붙이는 경우의 수는 [eqn: 1 times 1 times 2 times 4]
그러므로 이 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES][eqn: box{`` (가) ``}][eqn: times 8]

(ⅲ) [eqn: {rm{D}} it]를 붙이는 경우
나머지 [eqn: rm 4]개
의 스티커를 붙일 위치를 정하는 경우의 수는 [eqn: box{`` (나) ``}]
이 각각에 대하여 [eqn: rm 4]개의 스티커를 붙이는 경우의 수는 [eqn: {BOX{``(다)``}}]
그러므로 이 경우의 수는 [eqn: box{`` (나) ``}][eqn: times][eqn: {BOX{``(다)``}}]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 할 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: rm 52]	② [eqn: rm 54]	③ [eqn: rm 56]

④ [eqn: rm 58]	⑤ [eqn: rm 60]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 27

그림과 같이 합동인 [eqn: {9}{{from^2020^03^경기고3가^}}]개의 정사각형으로 이루어진 색칠판이 있다.

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[해설]

회전하여 일치하는 것을 같은 것으로 보므로 빨간색을 칠할 정사각형은 그림과 같이 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]중에서 택할 수 있다.

[eqn: {rm A]	[eqn: {rm B]
	[eqn: {rm C]

(ⅰ) [eqn: {rm A]에 빨간색을 칠하는 경우
파란색을 칠할 수 있는 경우의 수는 [eqn: 5]이다.
나머지 [eqn: 7]개의 정사각형에 남은 [eqn: 7]개의 색을 칠하는 경우의 수는 [eqn: 7!]이다.

(ⅱ) [eqn: {rm B]에 빨간색을 칠하는 경우
파란색을 칠할 수 있는 경우의 수는 [eqn: 3]이다.
나머지 [eqn: 7]개의 정사각형에 남은 [eqn: 7]개의 색을 칠하는 경우의 수는 [eqn: 7!]이다.

(ⅲ) [eqn: {rm C]에 빨간색을 칠하는 경우
파란색을 어떤 정사각형에 칠해도 빨간색이 칠해진 정사각형과 꼭짓점을 공유하므로 조건을 만족시킬 수 없다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: LEFT ( 3+5 RIGHT ) TIMES 7! =8 TIMES 7!]

따라서 [eqn: k=8]

빨간색과 파란색을 포함하여 총 [eqn: 9]가지의 서로 다른 색으로 이 색칠판을 다음 조건을 만족시키도록 칠하려고 한다.

(가) 주어진 [eqn: 9]가지의 색을 모두 사용하여 칠한다.

(나) 한 정사각형에는 한 가지 색만을 칠한다.

(다) 빨간색과 파란색이 칠해진 두 정사각형은 꼭짓점을 공유하지 않는다.

색칠판을 칠하는 경우의 수는 [eqn: k TIMES 7!]이다. [eqn: k]의 값을 구하시오.
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

05 확통	01 여러가지순열
03 같은 것을 포함한 순열
01 같은 것을 포함한 순열1 (배열)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 19

매주 월요일부터 수요일까지 총 [eqn: {4}{{from^2020^04^서울고3나^}}]주에 걸쳐 서로 다른 세 종류의 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 반드시 하루에 한 종류씩 다음 규칙에 따라 신청하려고 한다.

[정답] ④

[해설]

규칙에 따라 봉사활동을 신청하는 경우는 첫째 주에 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 모든 신청한 후

‘(ⅰ) 첫째 주를 제외한 [eqn: 3]주간의 봉사활동을 신청하는 경우’에서

‘(ⅱ) 첫째 주에 봉사활동 [eqn: {rm C]를 신청한 요일과 같은 요일에 모두 봉사활동 [eqn: {rm C]를 신청하는 경우’를 제외하면 된다.

첫째 주에 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 모든 신청하는 경우의 수는 [eqn: 3!]이다.

(ⅰ)의 경우 : 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 각각 [eqn: 2]회, [eqn: 2]회, [eqn: 5]회 신청하는 경우의 수는 [eqn: {BOX{ ```` {9!} over {2! TIMES 2! TIMES 5!} ```` }}]이다.

(ⅱ)의 경우 : 첫째 주에 봉사활동 [eqn: {rm C]를 신청한 요일과 같은 요일에 모두 봉사활동 [eqn: {rm C]를 신청하는 경우의 수는 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 각각 [eqn: 2]회, [eqn: 2]회, [eqn: 2]회 신청하는 경우의 수 [eqn: {BOX{ ```` {6!} over {2! TIMES 2! TIMES 2!} ```` }}]과 같다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 구하는 경우의 수는 [eqn: 3! TIMES LEFT ( {BOX{ ```` 756 ```` }} - {BOX{ ```` 90 ```` }} RIGHT )]이다.

[eqn: p=756], [eqn: q=90]

[eqn: therefore][eqn: p+q][eqn: =756+90][eqn: =846]

[eqn: CIRC] 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 각각 [eqn: 3]회, [eqn: 3]회, [eqn: 6]회 신청한다.

[eqn: CIRC] 첫째 주에는 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 모두 신청한다.

[eqn: CIRC] 같은 요일에는 두 종류 이상의 봉사활동을 신청한다.

다음은 봉사활동을 신청하는 경우의 수를 구하는 과정이다.

규칙에 따라 봉사활동을 신청하는 경우는 첫째 주에 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 모든 신청한 후

‘(ⅰ) 첫째 주를 제외한 [eqn: 3]주간의 봉사활동을 신청하는 경우’에서

‘(ⅱ) 첫째 주에 봉사활동 [eqn: {rm C]를 신청한 요일과 같은 요일에 모두 봉사활동 [eqn: {rm C]를 신청하는 경우’를 제외하면 된다.

첫째 주에 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 모든 신청하는 경우의 수는 [eqn: 3!]이다.

(ⅰ)의 경우 : 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 각각 [eqn: 2]회, [eqn: 2]회, [eqn: 5]회 신청하는 경우의 수는 [eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 가 RIGHT ) ```` }}]이다.

(ⅱ)의 경우 : 첫째 주에 봉사활동 [eqn: {rm C]를 신청한 요일과 같은 요일에 모두 봉사활동 [eqn: {rm C]를 신청하는 경우의 수는 [eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 나 RIGHT ) ```` }}]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 구하는 경우의 수는 [eqn: 3! TIMES LEFT ( {BOX{ ```` LEFT ( 가 RIGHT ) ```` }} - {BOX{ ```` LEFT ( 나 RIGHT ) ```` }} RIGHT )]이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p ,```` q]라 할 때, [eqn: p+q]의 값은?

① [eqn: 825]	② [eqn: 832]	③ [eqn: 839]

④ [eqn: 846]	⑤ [eqn: 853]

05 확통	01 여러가지순열
03 같은 것을 포함한 순열
02 같은 것을 포함한 순열2 (정해진 순서)

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 07월

그림과 같이 크기가 서로 다른 [eqn: 3`]개의 펭귄 인형과 [eqn: 4`]개의 곰 인형이 두 상자 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]에 왼쪽부터 크기가 작은 것에서 큰 것 순으로 담겨져 있다.

[정답] [eqn: 13]

[해설]

펭귄 인형을 크기가 작은 것부터 [eqn: a _{1} `], [eqn: a _{2} `], [eqn: a _{3} `]이라 하고 곰 인형을 크기가 작은 것부터 [eqn: b _{1}], [eqn: b _{2} `], [eqn: b _{3} `], [eqn: b _{4} `]라 하자.

(ⅰ) [eqn: a _{3} `]이 [eqn: b _{2} `]보다 왼쪽에 있는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {3!} =4`]

(ⅱ) [eqn: a _{3} `]이 [eqn: b _{2} `]보다 오른쪽에 있는 경우의 수는 [eqn: {3!} over {2!} TIMES {3!} over {2!} =9`]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 [eqn: 13`]

다음 조건을 만족시키도록 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 모든 인형을 일렬로 진열하는 경우의 수를 구하시오.

(가) 같은 상자에 담겨있는 인형은 왼쪽부터 크기가 작은 것에서 큰 것 순으로 진열한다.

(나) 상자 [eqn: rmA`]의 왼쪽에서 두 번째 펭귄 인형은 상자 [eqn: rm B`]의 왼쪽에서 두 번째 곰 인형보다 왼쪽에 진열한다.

05 확통	01 여러가지순열
03 같은 것을 포함한 순열
03 같은 것을 포함한 순열3 (일부 선택 후 배열)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 04월 28

그림과 같이 주머니에 숫자 [eqn: 1]이 적힌 흰 공과 검은 공이 각각 [eqn: 2`]개, 숫자 [eqn: 2`]가 적힌 흰 공과 검은 공이 각각 [eqn: 2`]개가 들어 있고, 비어 있는 [eqn: 8`]개의 칸에 [eqn: 1`]부터 [eqn: 8`]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 진열장이 있다.

[정답] [eqn: bold{ 180]

[해설]

[eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 적힌 칸의 세 개의 공에 적힌 수의 합이
[eqn: 5]이고 세 개의 공이 모두 같은 색인 경우는 다음과 같다.

ⅰ) [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 적힌 칸에 흰 공 ①, ②, ②를 넣는
경우의 수는 [eqn: {3!} over {2!}]
나머지 [eqn: 5]개의 칸에 흰 공 ①, 검은 공 ❶, ❶, ❷,
❷를 넣는 경우의 수는 [eqn: {5!} over {2!2!}]
[eqn: therefore][eqn: {3!} over {2!} times {5!} over {2!2!} =90]

ⅱ) [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 적힌 칸에 검은 공 ❶, ❷, ❷를 넣는
경우도 마찬가지이므로 경우의 수는 [eqn: 90]

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: 2 TIMES 90=180]

숫자가 적힌 [eqn: 8]개의 칸에 주머니 안의 공을 한 칸에 한 개씩 모두 넣을 때, 숫자 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6`]이 적힌 칸에 넣는 세 개의 공이 적힌 수의 합이 [eqn: 5`]이고 모두 같은 색이 되도록 하는 경우의 수를 구하시오. (단, 모든 공은 크기와 모양이 같다.)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 04월 20

다음은 한 개의 주사위를 [eqn: 3`]번 던져서 나오는 눈의 수의 곱이 [eqn: 8] 이상의 짝수인 경우의 수를 구하는 과정이다.

[정답] ④

[해설]

(ⅰ) 한 개의 주사위를 [eqn: 3]번 던져서 나오는 모든 경우의 수는 [eqn: 216]이다.

(ⅱ) 한 개의 주사위를 [eqn: 3]번 던져서 나오는 눈의 수의 곱이 홀수인 경우는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 선택한 후 일렬로 배열하는 중복순열과 같으므로
이 경우의 수는 [eqn: LEFT . {} _{3} SMALLPROD _{3} =3 ^{3} = {BOX{````````27````````}} RIGHT .]이다.

(ⅲ) [eqn: 6] 이하의 짝수는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6]이므로
세 수의 곱이 [eqn: 2]인 경우의 수는 [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 1]을 일렬로 배열하는 순열의 수와 같으므로 [eqn: {3!} over {2!} =3]
[eqn: 4]인 경우의 수는 [eqn: 4], [eqn: 1], [eqn: 1] 또는 [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 1]을 일렬로 배열하는 순열의 수와 같으므로
[eqn: {3!} over {2!} + {3!} over {2!} =3+3=6]
[eqn: 6]인 경우의 수는 [eqn: 6], [eqn: 1], [eqn: 1] 또는 [eqn: 3], [eqn: 2], [eqn: 1]을 일렬로 배열하는 순열의 수와 같으므로
[eqn: {3!} over {2!} +3!`=3+6=9]이다.

그러므로 한 개의 주사위를 [eqn: 3]번 던져서 나오는 눈의 수의 곱이 [eqn: 6] 이하의 짝수인

경우의 수는 [eqn: LEFT . 3+6+9= {BOX{````````18 ````````}} RIGHT .]이다.

따라서 한 개의 주사위를 [eqn: 3]번 던져서 나오는
눈의 수의 곱이 [eqn: 8] 이상의 짝수인 경우의 수는
[eqn: LEFT . 216-27-18= {BOX{````````171````````}} RIGHT .]이다.

[eqn: THEREFORE `][eqn: a=27], [eqn: b=18], [eqn: c=171]

따라서 [eqn: 3a+2b+c=288]

(ⅰ) 한 개의 주사위를 [eqn: 3`]번 던져서 나오는 모든 경우의 수는 [eqn: 216`]이다.

(ⅱ) 한 개의 주사위를 [eqn: 3`]번 던져서 나오는 눈의 수의 곱이 홀수인 경우는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 3`]개를 선택한 후 일렬로 배열하는 중복순열과 같으므로 이 경우의 수는 [eqn: `BOX{~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~}`]이다.

(ⅲ) [eqn: 6] 이하의 짝수는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6`]이므로 세 수의 곱이 [eqn: 2`]인 경우는 [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 1`]을 일렬로 배열하는 순열,
세 수의 곱이 [eqn: 4`]인 경우는 [eqn: 4], [eqn: 1], [eqn: 1] 또는 [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 1`]을 일렬로 배열하는 순열, 세 수의 곱이 [eqn: 6]인 경우는 [eqn: 6], [eqn: 1], [eqn: 1] 또는 [eqn: 3], [eqn: 2], [eqn: 1`]을 일렬로 배열하는 순열이다.
그러므로 한 개의 주사위를 [eqn: 3]번 던져서 나오는 눈의 수의 곱이 [eqn: 6] 이하의 짝수인 경우의 수는 [eqn: `BOX{~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~}`]이다.

따라서 한 개의 주사위를 [eqn: 3`]번 던져서 나오는 눈의 수의 곱이 [eqn: 8] 이상의 짝수인 경우의 수는 [eqn: `BOX{~ LEFT ( 다 RIGHT ) ~}`]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]라 할 때,
[eqn: 3a+2b+c`]의 값은?

① [eqn: 282]	② [eqn: 284]	③ [eqn: 286]

④ [eqn: 288]	⑤ [eqn: 290]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 11월 28
[출처]	2021 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능특강 대표 기출 문제
[출처]	2022 일반_시중교재 좋은책신사고 홍범준,김의석,김형정,김형균,신사고수학콘텐츠연구회 쎈

숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6] 중에서 중복을 허락하여 다섯 개를 다음 조건을 만족시키도록 선택한 후, 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 다섯 자리의 자연수의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold{450]

[해설]

조건 (가)에서 각각의 홀수가 선택하지 않거나 한 번만 선택되어야 하고 조건 (나)에서 각각의 짝수가 선택되지 않거나 두 번만 선택되어야 하므로 홀수는 [eqn: 1`]개, [eqn: 3`]개 선택되어야 한다.

(ⅰ) 홀수 [eqn: 3`]개 중 [eqn: 1`]개가 선택되는 경우
홀수 [eqn: 3`]개 중 [eqn: 1`]개를 선택하고 짝수 [eqn: 3`]개중 [eqn: 2`]개가 각각 [eqn: 2`]번씩 선택되어야 하므로 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rmC _{1} TIMES _{3} C _{2} =3 TIMES 3=9](가지)
이 각각에 대하여 이 수를 나열하는 경우의 수는
[eqn: {5`!} over {2`!`2`!`1`!} =30]
그러므로 경우의 수는
[eqn: 9 TIMES 30=270](가지)

(ⅱ) 홀수 [eqn: 3`]개 중 [eqn: 3`]개가 선택되는 경우
짝수 [eqn: 3`]개 중 [eqn: 1`]개가 [eqn: 2`]번 선택되어야 하므로 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rmC _{3} TIMES _{3} C _{1} =3](가지)
이 각각에 대하여 이 수를 나열하는 경우의 수는
[eqn: {5`!} over {2`!`1`!`1`!`1`!} =60](가지)
그러므로 경우의 수는
[eqn: 3 TIMES 60=180](가지)

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 270+180=450](가지)

(가) 각각의 홀수는 선택하지 않거나 한 번만 선택한다.

(나) 각각의 짝수는 선택하지 않거나 두 번만 선택한다.

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 11월 19

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6] 중에서 중복을 허락하여 다섯 개를 다음 조건을 만족시키도록 선택한 후, 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 다섯 자리의 자연수의 개수는?

[정답] ①

[해설]

조건 (가), (나)를 만족시키는 경우는 다음 두 가지 경우뿐이다.

(ⅰ) 홀수 [eqn: 1 `]개, 짝수 [eqn: 4 `]개를 택하는 경우
사용할 홀수 [eqn: 1`]개를 택하는 경우의 수는
[eqn: `_3 rmC_ 1 = 3 `]
이 각각에 대하여 짝수는 [eqn: 3`]개 중에서 [eqn: 2 `]개를 택하여 두 번씩 사용해야하므로 사용할 짝수를 택하는 경우의 수는
[eqn: `_3 rmC_ 2 = 3 `]
이 각각에 대하여 택한 수 [eqn: 5 `]개를 일렬로 나열하는 경우의 수는
[eqn: { 5 !} over {2 ! `2!} = 30 `]
따라서 이 경우의 수는
[eqn: 3 times 3times 30 = 270`]

(ⅱ) 홀수 [eqn: 3 `]개, 짝수 [eqn: 2 `]개를 택하는 경우
짝수는 [eqn: 1`]개만 택하여 두 번 사용해야 하므로 사용할 짝수 [eqn: 1 `]개를 택하는 경우의 수는
[eqn: `_3 rmC_ 1 = 3 `]
이 각각에 대하여 택한 수 [eqn: 5 `]개를 일렬로 나열하는 경우의 수는
[eqn: { 5 !} over {2 !} = 60 `]
따라서 이 경우의 수는
[eqn: 3times 60= 180`]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 270+ 180= 450`]

(가) 각각의 홀수는 선택하지 않거나 한 번만 선택한다.

(나) 각각의 짝수는 선택하지 않거나 두 번만 선택한다.

① [eqn: 450]	② [eqn: 445]	③ [eqn: 440]

④ [eqn: 435]	⑤ [eqn: 430]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 확률과 통계 28
[출처]	2022 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능특강 대표 기출 문제

한 개의 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 [eqn: 3]이하이면 나온 눈의 수를 점수로 얻고, 나온 눈의 수가 [eqn: 4]이상이면 [eqn: 0]점을 얻는다. 이 주사위를 네 번 던져 나온 눈의 수를 차례로 [eqn: a ,```` b ,```` c ,```` d]라 할 때, 얻은 네 점수의 합이 [eqn: 4]가 되는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c ,```` d RIGHT )]의 개수는?

[정답] [eqn: 199]

[해설]

이 주사위를 네 번 던질 때 나온 눈의 수가 [eqn: rm 4]이상인 경우의 수를 [eqn: n]이라 하자.

(ⅰ) [eqn: n=0], 즉 점수가 [eqn: 1+1+1+1=4]인 경우
[eqn: rm 1]의 눈만 네 번 나와야 하고, 이 경우의 수는 [eqn: rm 1]

(ⅱ) [eqn: n=1], 즉 점수가 [eqn: 0+1+1+2=4]인 경우
[eqn: rm 1]의 눈이 두 번, [eqn: rm 2]의 눈이 한 번 나와야 하고, 이 경우의 수는 점수 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2]를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: {4 !} over {2 !}=12]
이 각각에 대하여 [eqn: rm 4] 이상의 눈이 한 번 나오는 경우의 수는 [eqn: rm 3]이므로 이 경우의 수는 [eqn: 12 times 3=36]

(ⅲ) [eqn: n=2], 즉 점수가 [eqn: 0+0+1+3=4] 또는 [eqn: 0+0+2+2=4]인 경우

㉠ [eqn: rm 1]의 눈이 한 번, [eqn: rm 3]의 눈이 한 번 나올 때, 점수 [eqn: 0], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 3]을 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4 !} over {2 !}=12]

㉡ [eqn: rm 2]의 눈이 두 번 나올 때, 점수 [eqn: 0], [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 2]를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4 !} over {2 ! 2 !}=6]

㉠, ㉡의 각각에 대하여 [eqn: rm 4]이상의 눈이 두 번 나오는 경우의 수는 [eqn: { }_{3} smallprod _{2}=3^{2}=9] 이므로 이 경우의 수는
[eqn: (12+6) times 9=162]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 1+36+162=199]

① [eqn: 187]	② [eqn: 190]	③ [eqn: 193]

④ [eqn: 196]	⑤ [eqn: 199]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 30

흰색 원판 [eqn: rm 4]개와 검은색 원판 [eqn: rm 4]개에 각각 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]의 문자가 하나씩 적혀 있다. 이 [eqn: rm 8]개의 원판 중에서 [eqn: rm 4]개를 택하여 다음 규칙에 따라 원기둥 모양으로 쌓는 경우의 수를 구하시오. (단, 원판의 크기는 모두 같고, 원판의 두 밑면은 서로 구별하지 않는다.)

[정답] [eqn: 708]

[해설]

(ⅰ) [eqn: rm 4]개의 원판에 적힌 문자가 [eqn: rm XXYY]꼴인 경우
[eqn: rm 4]개의 문자 중 [eqn: {rm{X}} it], [eqn: {rm{Y}} it]에 해당하는 문자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{2}=6]
[eqn: rm 4]개의 원판을 쌓는 경우의 수는 [eqn: {4 !} over {2 ! times 2 !}=6]
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 6 times 6=36]

(ⅱ) [eqn: rm 4]개의 원판에 적힌 문자가 [eqn: rm XXYZ]꼴인 경우
[eqn: rm 4]개의 문자 중 [eqn: {rm{X}} it]에 해당하는 문자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{1}=4]
[eqn: {rm{Y}} it], [eqn: {rm{Z}} it]에 해당하는 문자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2}=3]
[eqn: {rm{Y}} it], [eqn: {rm{Z}} it]에 해당하는 원판의 색을 정하는 경우의 수는 [eqn: { }_{2} smallprod _{2}=4]
[eqn: rm 4]개의 원판을 쌓는 경우의 수는 [eqn: {4 !} over {2 !}=12]
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 4 times 3 times 4 times 12=576]

(ⅲ) [eqn: rm 4]개의 원판에 적힌 문자가 모두 다른 경우
각각의 원판의 색을 정하는 경우의 수는 [eqn: { }_{2} smallprod _{4}=16]
[eqn: {rm{D}} it]가 적힌 원판이 맨 아래에 놓이도록 [eqn: rm 4]개의 원판을 쌓는 경우의 수는 [eqn: 3 ! it =6]
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 16 times 6=96]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는 [eqn: 36+576+96=708]

(가) 선택된 [eqn: rm 4]개의 원판 중 같은 문자가 적힌 원판이 있으면 같은 문자가 적힌 원판끼리는 검은색 원판이 흰색 원판보다 아래쪽에 놓이도록 쌓는다.

(나) 선택된 [eqn: rm 4]개의 원판 중 같은 문자가 적힌 원판이 없으면 [eqn: {rm{D}} it]가 적힌 원판이 맨 아래에 놓이도록 쌓는다.

05 확통	01 여러가지순열
03 같은 것을 포함한 순열
05 같은 것을 포함한 순열5 (함수의 개수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 20

집합 [eqn: {X= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT }}{{from^2020^04^서울고3가^}}]에 대하여 함수 [eqn: f ``:`` X ``->`` X]의 치역을 [eqn: A], 합성함수 [eqn: f CIRC f]의 치역을 [eqn: B]라 할 때, 두 집합 [eqn: A ,```` B]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

(ⅰ) [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =3]이고 모든 원소의 합이 [eqn: 3]의 배수인 집합 [eqn: A]는
[eqn: LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT } ,```` LEFT { 1 ,```` 3 ,```` 5 RIGHT } ,```` LEFT { 2 ,```` 3 ,```` 4 RIGHT } ,```` LEFT { 3 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT }]
이다.
[eqn: A= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT }]인 경우 [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) <3]이므로 집합 [eqn: B]는
[eqn: LEFT { 1 RIGHT } ,```` LEFT { 2 RIGHT } ,```` LEFT { 3 RIGHT } ,```` LEFT { 1 ,```` 2 RIGHT } ,```` LEFT { 1 ,```` 3 RIGHT } ,```` LEFT { 2 ,```` 3 RIGHT }]
이다.

(a) [eqn: A= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT } ,```` B= LEFT { 1 RIGHT }]인 경우
집합 [eqn: A]의 원소인 [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3]이 [eqn: 1]에 대응하는 경우의 수는 [eqn: 1]이고, [eqn: 4 ,```` 5]가 [eqn: 2 ,```` 3]에 하나씩 대응하는 경우의 수는 [eqn: 2]이므로
[eqn: A= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT } ,```` B= LEFT { 1 RIGHT }]인
함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 1 TIMES 2= {BOX{ ```` 2 ```` }}]이다.

(b) [eqn: A= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT } ,```` B= LEFT { 1 ,```` 2 RIGHT }]인 경우
[eqn: LEFT { f LEFT ( 1 RIGHT ) ,```` f LEFT ( 2 RIGHT ) ,```` f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT } = LEFT { 1 ,```` 2 RIGHT }]이고
[eqn: 4 ,```` 5]가 [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3]에 대응하되 적어도 하나가 [eqn: 3]에 대응하는 경우이므로
[eqn: A= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT } ,```` B= LEFT { 1 ,```` 2 RIGHT }]인 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: LEFT ( _{2} SMALLPROD _{3} -2 RIGHT ) TIMES LEFT ( _{3} SMALLPROD _{3} - _{2} SMALLPROD _{2} RIGHT )][eqn: =6 TIMES 5][eqn: = {BOX{ ```` 30 ```` }}]이다.

(a), (b)와 같은 경우가 각각 [eqn: 3]가지이므로 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =3 ,```` n LEFT ( B RIGHT ) <3]이고 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합이 [eqn: 3]의 배수가 되도록 하는 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 4 TIMES LEFT ( 3 TIMES {BOX{ ```` 2 ```` }} +3 TIMES {BOX{ ```` 30 ```` }} RIGHT )]이다.

(ⅱ) [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =4]이고 모든 원소의 합이 [eqn: 3]의 배수인 집합 [eqn: A]는 [eqn: LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT }]뿐이므로 이 경우 [eqn: X-A= LEFT { 3 RIGHT }]에 의해 [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) =3]이므로 집합 [eqn: B]는 [eqn: LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 5 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT }], [eqn: LEFT { 2 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT }]이다.
[eqn: A= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 4 RIGHT }]인 경우
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =5]이고 집합 [eqn: A]의 원소 중 어떠한 두 원소는 서로 같은 함숫값을 가져야 하므로
[eqn: 1 ,```` 2 ,```` 4]를 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]의 값으로 정하는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES {4!} over {2!}][eqn: =3 TIMES 12][eqn: =36]이다.
그러므로 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =4], [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) <4]이고 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합이 [eqn: 3]의 배수가 되도록 하는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 4 TIMES 36= {BOX{ ```` 144 ```` }}]이다.

(ⅲ) [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =5]인 경우 함수 [eqn: f]는 일대일대응이고 [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) =5]이므로 조건 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) >n LEFT ( B RIGHT )]를 만족시키는 함수 [eqn: f]는 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 4 TIMES LEFT ( 3 TIMES {BOX{ ```` 2 ```` }} +3 TIMES {BOX{ ```` 30 ```` }} RIGHT )][eqn: +][eqn: {BOX{ ```` 144 ```` }}]이다.

따라서 [eqn: p=2], [eqn: q=30], [eqn: r=144]이므로 [eqn: p+q+r=176]

[eqn: CIRC][eqn: n LEFT ( A RIGHT ) GEQ 3]

[eqn: CIRC] 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합이 [eqn: 3]의 배수이다.

[eqn: CIRC][eqn: n LEFT ( A RIGHT ) >n LEFT ( B RIGHT )]

다음은 함수 [eqn: f]의 개수는 구하는 과정이다.

(ⅰ) [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =3]이고 모든 원소의 합이 [eqn: 3]의 배수인 집합 [eqn: A]는
[eqn: LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT } ,```` LEFT { 1 ,```` 3 ,```` 5 RIGHT } ,```` LEFT { 2 ,```` 3 ,```` 4 RIGHT } ,```` LEFT { 3 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT }]
이다.
[eqn: A= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT }]인 경우 [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) <3]이므로 집합 [eqn: B]는
[eqn: LEFT { 1 RIGHT } ,```` LEFT { 2 RIGHT } ,```` LEFT { 3 RIGHT } ,```` LEFT { 1 ,```` 2 RIGHT } ,```` LEFT { 1 ,```` 3 RIGHT } ,```` LEFT { 2 ,```` 3 RIGHT }]
이다.
[eqn: A= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT } ,```` B= LEFT { 1 RIGHT }]인 경우 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 가 RIGHT ) ```` }}]이고,
[eqn: A= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT } ,```` B= LEFT { 1 ,```` 2 RIGHT }]인 경우
함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 나 RIGHT ) ```` }}]이므로 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =3 ,```` n LEFT ( B RIGHT ) <3]이고 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합이 [eqn: 3]의 배수가 되도록 하는 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 4 TIMES LEFT ( 3 TIMES {BOX{ ```` LEFT ( 가 RIGHT ) ```` }} +3 TIMES {BOX{ ```` LEFT ( 나 RIGHT ) ```` }} RIGHT )]이다.

(ⅱ) [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =4]이고 모든 원소의 합이 [eqn: 3]의 배수인 집합 [eqn: A]는 [eqn: LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT }]뿐이므로 이 경우 [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) <4]를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 다 RIGHT ) ```` }}]이다.

(ⅲ) [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =5]인 경우 함수 [eqn: f]는 일대일대응이고 [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) =5]이므로 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) >n LEFT ( B RIGHT )]를 만족시키는 함수 [eqn: f]는 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 4 TIMES LEFT ( 3 TIMES {BOX{ ```` LEFT ( 가 RIGHT ) ```` }} +3 TIMES {BOX{ ```` LEFT ( 나 RIGHT ) ```` }} RIGHT )][eqn: +][eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 다 RIGHT ) ```` }}]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p ,```` q ,```` r]라 할 때, [eqn: p+q+r]의 값은?

① [eqn: 164]	② [eqn: 168]	③ [eqn: 172]

④ [eqn: 176]	⑤ [eqn: 180]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 9

집합 [eqn: {A= left{` 1 ,``2 ,``3 ,``4 ,``5 `right} }]에서 [eqn: A]로의 함수 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f (x)]의 개수는?

[정답] ⑤

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: f]가 일대일함수가 아니고,

조건 (나)에서

[eqn: log`left{f left(1right)+f left(2right)+f left(3right)right}=log`12]

[eqn: therefore][eqn: f (1) +f (2) +f (3) =12]	[eqn: cdotscdots] ㉠

조건 (다)에서

[eqn: log`f left(4right)f left(5right)le1]

[eqn: therefore][eqn: f (4) f (5) le 10]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족하는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: f left(1right)], [eqn: f left(2right)], [eqn: f left(3right)]에 대응되는 값이 [eqn: 5], [eqn: 5], [eqn: 2]인 경우의 수는 [eqn: 3! over2! =3]
[eqn: f left(4right)], [eqn: f left(5right)]의 값이 대응되는 전체 경우의 수가 [eqn: 5^2 =25]
[eqn: f left(4right)f left(5right)>10]을 만족하는 경우의 수는

(1) [eqn: f left(4right)], [eqn: f left(5right)]의 값이 모두 [eqn: 4] 이상인 경우의 수가 [eqn: 2^2 =4]

(2) [eqn: f left(4right)], [eqn: f left(5right)]의 값이 [eqn: 3], [eqn: 5] 또는 [eqn: 4], [eqn: 5]에 대응되는 경우의 수가 [eqn: 2! times2=4]

따라서 [eqn: f left(4 right)f left(5right)le10]을 만족하는 경우의 수는
[eqn: 25-left(4+4right)=17]

이상에서 조건을 만족하는 경우의 수는 [eqn: 3times17=51]

(ⅱ) [eqn: f left(1right)], [eqn: f left(2right)], [eqn: f left(3right)]에 대응되는 값이 [eqn: 5], [eqn: 4], [eqn: 3]인 경우의 수는 [eqn: 3! =6]
[eqn: f left(4 right)f left(5right)le10]을 만족하는 경우의 수는 (ⅰ)에서 [eqn: f left(4right)], [eqn: f left(5right)]가 [eqn: 1], [eqn: 2]에 대응되는 경우는 함수 [eqn: f]가 일대일함수이므로 조건 (가)에 어긋나므로 이 경우를 제외하면 [eqn: 25-left(4+4+2right)=15]
이상에서 조건을 만족하는 경우의 수는 [eqn: 6times15=90]

(ⅲ) [eqn: f left(1right)], [eqn: f left(2right)], [eqn: f left(3right)]에 대응되는 값이 [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 4]인 경우의 수는 [eqn: 1]
[eqn: f left(4 right)f left(5right)le10]을 만족하는 경우의 수는 (ⅰ)에서 [eqn: 17]
이상에서 조건을 만족하는 경우의 수는 [eqn: 1times17=17]

(ⅰ)～(ⅲ)에서 조건을 만족하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 51+90+17=158]이다.

(가) [eqn: log ` f left(x right)]는 일대일함수가 아니다.

(나) [eqn: log ` left{` f left(1right) +f left(2right) +f left(3right) `right} =2 log ` 2 +log ` 3]

(다) [eqn: log `f left(4right) +log `f left(5right) le 1]

① [eqn: 134]	② [eqn: 140]	③ [eqn: 146]

④ [eqn: 152]	⑤ [eqn: 158]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 확률과 통계 30

집합 [eqn: X= left{ 1,``2,``3,``4,``5 it right}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f: X ``rarrow`` X]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 720]

[해설]

함수 [eqn: f: X ``rarrow`` X]의 개수는 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수와 같다.

조건 (가)에서 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)] 중

홀수의 개수를 [eqn: n]이라 하면 [eqn: n=0] 또는 [eqn: n=2] 또는 [eqn: n=4]이다.

(i) [eqn: n=0]일 때
치역의 세 원소는 모두 짝수이고 집합 [eqn: X]의 원소 중
짝수는 [eqn: rm 2]개뿐이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ii) [eqn: n=2]일 때
조건 (나)에서 홀수인 두 함숫값이 서로 같으면
치역의 세 원소 중 홀수인 원소가 [eqn: rm 1]개, 짝수인 원소가
[eqn: rm 2]개이고 홀수인 두 함숫값이 서로 다르면 치역의 세 원소 중 홀수인 원소가 [eqn: rm 2]개, 짝수인 원소가 [eqn: rm 1]개다.
(a) 치역의 세 원소 중 홀수인 원소가 [eqn: rm 1]개, 짝수인 원소가 [eqn: rm 2]개인 경우

집합 [eqn: X]의 원소인 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중에서
홀수 [eqn: rm 1]개와 짝수 [eqn: rm 2]개를 선택하는 경우의 수는 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{1} times it _{2} {rm{C}} it _{2}=3 ~][eqn: cdotscdots]㉠
치역의 세 원소 중 홀수를 [eqn: a], 두 짝수를 [eqn: b], [eqn: c]라 하면 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는
경우의 수는 문자 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: c] 또는
문자 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: c]를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
[eqn: {5 !} over {2 ! times 2 !}+{5 !} over {2 ! times 2 !}=60][eqn: cdotscdots]㉡
㉠, ㉡에 의하여
[eqn: 3 times 60=180]
(b) 치역의 세 원소 중 홀수인 원소가 [eqn: rm 2]개, 짝수인 원소가 [eqn: rm 1]개인 경우
집합 [eqn: X]의 원소인 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중에서
홀수 [eqn: rm 2]개와 짝수 [eqn: rm 1]개를 선택하는 경우의 수는 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2} times it _{2} {rm{C}} it _{1}=6 ~][eqn: cdotscdots]㉢
치역의 세 원소 중 두 홀수를 [eqn: a], [eqn: b], 짝수를 [eqn: c]라 하면 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수는 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: c], [eqn: c]를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
[eqn: {5 !} over {3 !}=20 ~][eqn: cdotscdots]㉣
㉢, ㉣에 의하여
[eqn: 6 times 20=120]
(a), (b)에 의하여 [eqn: 180+120=300]

(iii) [eqn: n=4]일 때
짝수인 함숫값이 [eqn: rm 1]개이므로 조건 (나)에서
치역의 세 원소 중 홀수인 원소는 [eqn: rm 2]개, 짝수인
원소는 [eqn: rm 1]개다.
집합 [eqn: X]의 원소인 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중에서
홀수 [eqn: rm 2]개와 짝수 [eqn: rm 1]개를 선택하는 경우의 수는 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2} times it _{2} {rm{C}} it _{1}=6 ~][eqn: cdotscdots]㉤
치역의 세 원소 중 두 홀수를 [eqn: a], [eqn: b], 짝수를 [eqn: c]라 하면 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는
경우의 수는 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: c] 또는
문자 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: c] 또는 문자 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를
일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
[eqn: {5 !} over {3 !}+{5 !} over {2 ! times 2 !}+{5 !} over {3 !}=70][eqn: cdotscdots]㉥
㉤, ㉥에 의하여
[eqn: 6 times 70=420]

따라서 (i), (ii), (iii)에 의하여

구하는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 300+420=720]

(가) [eqn: f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]는 짝수이다.

(나) 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: rm 3]이다.

05 확통	01 여러가지순열
03 같은 것을 포함한 순열
07 같은 것을 포함한 순열7 (점의 이동)

[출처]	2004 모의_공공 교육청 고3 03월 29

좌표평면 위에서 상하 또는 좌우방향으로 한 번에 [eqn: 1`]만큼씩 움직이는 점 [eqn: rmP`]가 있다. 이 때, 원점을 출발한 점 [eqn: rmP`]가 [eqn: 6`]번 움직여서 최종 위치가 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,`` 3 RIGHT )`]이 되는 경우의 수를 구하시오.

[정답] [eqn: 90]

[해설]

원점에서 점 A[eqn: (1`,``3`)``]까지 최단거리로 움직이는 경우는 위쪽방향으로 [eqn: 3``]칸, 오른쪽방향으로 [eqn: 1``]칸 움직여야 한다. 그런데 모두 [eqn: 6``]번 움직여야 하므로 아래쪽방향 또는 왼쪽방향으로 [eqn: 1``]칸 이동한 후 다시 위쪽 방향 또는 오른쪽방향으로 [eqn: 1``]칸 움직여야 한다.

오른쪽으로 [eqn: 1``]칸 움직이는 경우를 [eqn: a``]

왼쪽으로 [eqn: 1``]칸 움직이는 경우를 [eqn: a`'`]

위쪽으로 [eqn: 1``]칸 움직이는 경우를 [eqn: b``]

아래쪽으로 [eqn: 1``]칸 움직이는 경우를 [eqn: b`'`]라 하면

원점에서 점 A[eqn: (1`,``3`)``]으로 움직이는 경우의 수는 [eqn: a``]를 [eqn: 2``]개, [eqn: a`'`]을 1개, [eqn: b``]를 [eqn: 3``]개 나열하는 경우의 수와 [eqn: a``]를 1개, [eqn: b`'`]을 1개, [eqn: b``]를 [eqn: 4``]개 나열하는 경우의 수의 합과 같다. [eqn: {6!}over{2!``1!``3!}+{6!}over{1!``1!``4!}`=90``](가지)

[출처]	2004 모의_공공 교육청 고2 11월 11

좌표평면에서 원점을 출발하여 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축의 양의 방향으로 [eqn: rm 1]씩 이동하여 점 [eqn: {rm{P}} it (a,`` b)]까지 가는 방법의 수를 [eqn: f(a,`` b)]로 나타내자. 예를 들면, [eqn: f(1,``2)=3], [eqn: f(2,``2)=6]이다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(a,`` b)={(a+b) !} over {a ! b !}]이므로
ㄱ. [eqn: f(2,``3)={5 !} over {2 ! 3 !}=10 ~ therefore~]참
ㄴ. [eqn: f(a,`` b)={(a+b) !} over {a ! b !}={(b+a) !} over {b ! a !}=f(b,`` a) therefore~]참
ㄷ. [eqn: f(1,``2)={3 !} over {2 !}=3], [eqn: ~ f(2,``3)={5 !} over {2 ! 3 !}=10]
[eqn: f(f(1,``2),`` 3)=f(3,``3)={6 !} over {3 ! 3 !}=20][eqn: f(1,`f(2,``3))=f(1,``10)= {11!} over {10!} =11]
[eqn: f(f(1,``2),``3) != f(1,``f(2,``3))` THEREFORE] 거짓

ㄹ. 직선 [eqn: x+y=6] 위의 점 [eqn: (0,``6)], [eqn: (1,``5)], [eqn: (2,``4)], [eqn: (3,``3)], [eqn: ~ (4,``2)], [eqn: (5,``1)], [eqn: (6,``0)]에 대해
[eqn: f(0,``6)=f(6,``0)=1], [eqn: f(1,``5)=f(5,``1)=6],
[eqn: f(2,``4)=f(4,``2)=15], [eqn: f(3,``3)=20]이므로
[eqn: f(a,`` b)=15]를 만족하는 점은 [eqn: rm 2]개다. [eqn: therefore~]참

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 음이 아닌 정수이다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(2,``3)=10] ㄴ. [eqn: f(a,`` b)=f(b,`` a)] ㄷ. [eqn: f(f(1,``2),`` 3)=f(1,`` f(2,``3))] ㄹ. 직선 [eqn: x+y=6] 위의 점 중에서 [eqn: f(a,`` b)=15]를 만족하 는 점은 [eqn: rm 2]개이다.

① ㄱ, ㄷ	② ㄴ, ㄹ	③ ㄷ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄹ

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 27

한 번 누를 때마다 좌표평면 위의 점 [eqn: {rmP}]를 다음과 같이 이동시키는 두 버튼 ㉠, ㉡이 있다.

[정답] [eqn: 14]

[해설]

㉠, ㉡ 버튼의 사용횟수를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 하면

O[eqn: ->]C : [eqn: a+2b = 9], [eqn: a+b = 7]이므로

[eqn: a = 5], [eqn: b = 2] --- [eqn: 7! over{ 5! 2!} = 21]가지

O[eqn: ->]A[eqn: ->]C : [eqn: a+2b = 5], [eqn: a+b = 5]

[eqn: a = 5], [eqn: b = 0] --- 1 가지

O[eqn: ->]B[eqn: ->]C : [eqn: a+2b = 6], [eqn: a+b = 4]

[eqn: a = 2], [eqn: b = 2] --- [eqn: 4! over{ 2! 2!]=[eqn: 6] 가지

[eqn: THEREFORE][eqn: 21 - ( 1+ 6) = 14]

[버튼 ㉠] 그림과 같이 길이가 [eqn: sqrt 2]인 선분을 따라 점 [eqn: (x,``` y)]에 있는 점 [eqn: {rmP}]를 점 [eqn: (x + 1,``` y + 1)]로 이동시킨다.

[버튼 ㉡] 그림과 같이 길이가 [eqn: sqrt 5]인 선분을 따라 점 [eqn: (x,``` y)]에 있는 점 [eqn: {rmP}]를 점 [eqn: (x + 2,``` y + 1)]로 이동시킨다.

예를 들어, 버튼을 ㉠, ㉠, ㉡ 순으로 누르면 원점 [eqn: (0,``` 0)]에 있는 점 [eqn: {rmP}]는 아래 그림과 같이 세 선분을 따라 점 [eqn: (4,``` 3)]으로 이동한다. 또한 원점 [eqn: (0,``` 0)]에 있는 점 [eqn: {rmP}]를 점 [eqn: (4,``` 3)]으로 이동시키도록 버튼을 누르는 경우는 ㉠㉠㉡, ㉠㉡㉠, ㉡㉠㉠으로 [eqn: 3]가지이다.

원점 [eqn: (0,``` 0)]에 있는 점 [eqn: {rmP}]를 두 점 [eqn: {rmA}(5,``` 5)], [eqn: {rmB}(6,``` 4)]중 어느 점도 지나지 않고 점 [eqn: {rmC}(9,``` 7)]로 이동시키도록 두 버튼 ㉠, ㉡을 누르는 경우의 수를 구하시오.

05 확통	01 여러가지순열
03 같은 것을 포함한 순열
08 최단경로의 수1 (평면)

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고2 11월 30

그림과 같이 가로 방향 도로와 세로 방향 도로가 각각 서로 평행한 도로망이 있다. 도로망 위의 [eqn: rm `A], [eqn: rm `B]지점에 숙소가 있고, [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R], [eqn: rm S]지점에 관광지가 있다. 부모님을 모시고 효도관광을 온 어느 가족이 [eqn: rm `A]지점에 있는 숙소를 출발하여 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R], [eqn: rm S]지점에 있는 관광지 중 두 곳을 관광한 후 [eqn: rm `B]지점에 있는 숙소로 가기로 하였을 때, 이 가족이 도로망을 따라 이동할 수 있는 최단 경로의 수를 구하시오. (단, [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R], [eqn: rm S]지점에서 직선도로 [eqn: l`]까지의 거리는 모두 같다.)

[정답] [eqn: 66]

[해설]

(ⅰ) [eqn: rm A -> P -> Q -> B] 경로의 경우: [eqn: 1 TIMES 1 TIMES {6!} over {4!2!} =15]

(ⅱ) [eqn: rmA -> P -> R -> B] 경로의 경우: [eqn: 1 TIMES 1 TIMES {5!} over {4!} =5]

(ⅲ) [eqn: rm A -> P -> S -> B] 경로의 경우: [eqn: 1 TIMES 1 TIMES 1=1]

(ⅳ) [eqn: rm A -> Q -> R -> B] 경로의 경우: [eqn: {5!} over {4!} TIMES 1 TIMES {5!} over {4!} =25]

(ⅴ) [eqn: rmA -> Q -> S -> B] 경로의 경우: [eqn: {5!} over {4!} TIMES 1 TIMES1 =5]

(ⅵ) [eqn: rmA -> R -> S -> B] 경로의 경우: [eqn: {6!} over {4!2!} TIMES 1 TIMES 1=15]

따라서 총 [eqn: 66]가지이다.

05 확통	01 여러가지순열
03 같은 것을 포함한 순열
09 최단경로의 수2 (추론)

[출처]	2008 모의_공공 사관학교 고3 07월 24

철수가 자동차로 그림과 같은 바둑판 모양의 도로를 따라 [eqn: rmA``]지점에서 약속 장소인 [eqn: rm B``]지점까지 최단 거리로 가는 도중에, 도로 [eqn: rmPQ` `] 위에서 약속 장소가 [eqn: rm C``]지점으로 변경되었다는 연락을 받고 곧바로 [eqn: rmC ``]지점을 향하여 도로를 따라 최단 거리로 이동하였다. 이 때, 철수가 [eqn: rmA``]지점에서 출발하여 [eqn: rmC ``]지점까지 최단 거리로 이동하는 경로의 수는? (단, 연락 받은 위치가 달라도 이동 경로가 같으면 동일한 경우로 간주한다.)

[정답] ④

[해설]

아래 그림처럼 점 [eqn: rmC``]를 선분 [eqn: rmPQ``]에 대하여 대칭시킨 점을 [eqn: rmC'``]이라 하면 구하는 경우의 수는 점 [eqn: rmA``]에서 점 [eqn: rmC'``]까지 가는 최단경로의 수와 같다.

[eqn: rmP]

[eqn: rmA]

[eqn: rmC]

[eqn: rmQ]

[eqn: rmC']

따라서

[eqn: {9``!} over {5``! times 4``!}={9 times 8 times 7 times 6} over {4 times 3times 2}=126``](가지)

① [eqn: 120]	② [eqn: 122]	③ [eqn: 124]

④ [eqn: 126]	⑤ [eqn: 128]

[출처]	2010 모의_공공 사관학교 고3 07월 23
[출처]	2010 모의_공공 사관학교 고3 07월 23

그림과 같이 직사각형 모양으로 이루어진 도로망이 있고, 이 도로망의 [eqn: 9`]개의 지점에 이 표시되어 있다.

[정답] ①

[해설]

좌상/우하를 지나는 경우 [eqn: {4!} over {2!2!}]가지씩

중상/중하를 지나는 경우 [eqn: {3!} over {2!}]가지씩

좌중/우중를 지나는 경우 [eqn: {3!} over {2!}]가지씩

좌하/우상을 지나는 경우 [eqn: 1]가지씩

중앙점을 지나는 경우   [eqn: 2 TIMES 2=4]가지

따라서 [eqn: {4!} over {2!2!} TIMES 2+ {3!} over {2!} TIMES 4+1 TIMES 2+4=30]가지

[eqn: rm A`]지점에서 [eqn: rm B`]지점까지 가는 최단경로 중에서 이 표시된 [eqn: 9`]개의 지점 중 오직 한 지점만을 지나는 경로의 수는?

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 15

그림과 같은 바둑판 모양의 도로망이 있다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(x)=cases{2 times it _{6} {rm{C}} it _{k} times it _{6} {rm{C}} it _{k-1} && (x=2 k) #2 times it _{6} {rm{C}} it _{k-1} times it _{6} {rm{C}} it _{k-1} && (x=2 k-1)}]

ㄱ. [eqn: f(1)=2 ~ therefore~]참

ㄴ. [eqn: f(2)=12], [eqn: f(12)=12 ~ therefore~]참

ㄷ. [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: f(7) ~ therefore~]참

[eqn: {rm{P}} it]지점에서 출발하여 [eqn: {rm{Q}} it]지점까지 도로를 따라 최단 거리로 갈 때, 도중에 방향을 바꾸는 횟수가 [eqn: x]번인 경로의 수를 [eqn: f(x)]라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(1)=2] ㄴ. [eqn: f(2)=f(12)] ㄷ. [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: f(7)]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 07월 15

그림과 같은 바둑판 모양의 도로망이 있다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(x)=cases{2 times it _{6} {rm{C}} it _{k} times it _{6} {rm{C}} it _{k-1} && (x=2 k) #2 times it _{6} {rm{C}} it _{k-1} times it _{6} {rm{C}} it _{k-1} && (x=2 k-1)}]

ㄱ. [eqn: f(1)=2 ~ therefore~]참

ㄴ. [eqn: f(2)=12], [eqn: f(12)=12 ~ therefore~]참

ㄷ. [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: f(7)=800 ~ therefore~]참

[eqn: {rm{P}} it]지점에서 출발하여 [eqn: {rm{Q}} it]지점까지 도로를 따라 최단 거리로 갈 때, 도중에 방향을 바꾸는 횟수가 [eqn: x]번인 경로의 수를 [eqn: f(x)]라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(1)=2] ㄴ. [eqn: f(2)=f(12)] ㄷ. [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: f(7)]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2016 모의_공공 경찰대 고3 07월 9

아래 그림은 어느 도시의 도로를 선으로 나타낸 것이다. 교차로 [eqn: rmP``]에서는 좌회전을 할 수 없고, 교차로 [eqn: rmQ``]는 공사 중이어서 지나갈 수 없다고 한다. [eqn: rmA``]를 출발하여 [eqn: rmB``]에 도달하는 최단경로의 개수는?

[정답] ④

[해설]

전체 경로 중 불가능한 경로를 제거하자

전체 경로는 [eqn: {} _{13} C _{5} =1287]

불가능한 경로는

[eqn: A-Q-B`]의 경우 [eqn: {} _{7} C _{2} · _{6} C _{3} =420]

[eqn: A-C-P-D]의 경우 [eqn: {} _{4} C _{1} · _{7} C _{1} =28]

이므로 [eqn: 839]이다.

① [eqn: 818]	② [eqn: 825]	③ [eqn: 832]

④ [eqn: 839]	⑤ [eqn: 846]

[출처]	2018 모의_공공 경찰대 고3 07월 25

그림과 같이 인접한 교차로 사이의 거리가 모두 [eqn: rm 1]인 바둑판 모양의 도로가 있다. [eqn: {rm{A}} it]지점에서 [eqn: {rm{B}} it]지점까지의 최단 경로 중에서 가로 또는 세로의 길이가 [eqn: rm 3] 이상인 직선 구간을 포함하는 경로의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: rm 40]

[해설]

가로, 세로를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라고 하면, 세로 길이가 [eqn: rm 3]인 경로는 가로의 길이가 [eqn: rm 3] 이상인 경로에 포함된다. 따라서 가로의 길이가 [eqn: rm 3] 이상인 경로의 수만 구한다.

(ⅰ) 길이가 [eqn: rm 5]인 경로는 [eqn: (a a a a a)], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: b]의 순열에서 [eqn: {4 !} over {3 !}=4]가지

(ⅱ) 길이가 [eqn: rm 4]인 경로는 [eqn: (a a a a)], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: b]의 순열인데, [eqn: (a a a a) b-(a,`` b,`` b)` CDOTS CDOTS` {3 !} over {2 !}=3]
[eqn: b(aaaa)][eqn: b], [eqn: a], [eqn: b` CDOTS CDOTS` 3 ! it =6]
[eqn: (a,`` b,`` b)-b(][eqn: aaaa][eqn: )` CDOTS CDOTS` {3 !} over {2 !}=3]

(ⅲ) 길이가 [eqn: rm 3]인 경로는 [eqn: (a a a)], [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: b]의 순열인데, [eqn: (a a a) b-(a,`` a,`` b,`` b)` CDOTS CDOTS` {4 !} over {2 ! 2 !}=6]
[eqn: b(a a a) b], [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b` CDOTS CDOTS` {4 !} over {2 !}=12]
[eqn: (a,`` a,`` b,`` b)-(a a a) b` CDOTS CDOTS` {4 !} over {2 ! 2 !}=6]

그러므로 구하려는 경로의 수는

[eqn: 4+(3+6+3)+(6+12+6)=40]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 29

그림과 같이 바둑판 모양의 도로망이 있다. 이 도로망은 정사각형 [eqn: {R}{{from^2020^04^서울고3나^}}]와 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: 9]개로 이루어진 모양이다.

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[해설]

그림과 같이 [eqn: 6]개의 점 [eqn: rmC _{1} ,```` C _{2} ,```` C _{3} ,```` C _{4} ,```` C _{5} ,```` C _{6}]과 [eqn: 4]개의 정사각형 [eqn: R _{1} ,```` R _{2} ,```` R _{3} ,```` R _{4}]가 있다.

최단거리로 [eqn: rmA]지점에서 출발하여 [eqn: rmB]지점을 지나 다시 [eqn: rmA]지점까지 돌아올 때, 조건 (가)를 만족시키려면 [eqn: rmA ``->`` C _{2} ``->`` B ``->`` C _{2} ``->`` A]의 순서로 이동해야 한다.

또한 조건 (나)를 만족시키려면 정사각형 [eqn: R _{1} ,```` R _{2} ,```` R _{3} ,```` R _{4}] 중 네 변을 모두 지나는 정사각형은 없어야 한다.

(ⅰ) [eqn: rmC _{2} ``->`` B ``->`` C _{2}]의 순서로 이동하는 경우
([eqn: rmC _{2}]에서 [eqn: rmB]로 가는 경우의 수)
[eqn: TIMES]([eqn: rmB]에서 [eqn: rmC _{2}]로 가는 경우의 수)
[eqn: =2 TIMES 1][eqn: =2]

(ⅱ) [eqn: rmA ``->`` C _{2}], [eqn: rmC _{2} ``->`` A]의 순서로 이동하는 경우
[eqn: {4!} over {2! TIMES 2!} TIMES {4!} over {2! TIMES 2!}][eqn: =6 TIMES 6][eqn: =36]

⒜ 정사각형 [eqn: R _{1}]의 네 변을 모두 지나는 경우
[eqn: rmA ``->`` C _{3} ``->`` C _{1} ``->`` C _{2}], [eqn: rmC _{2} ``->`` C _{1} ``->`` C _{3} ``->`` A]의 순서로 이동하는 경우의 수이므로
[eqn: LEFT ( 1 TIMES 2 TIMES 1 RIGHT ) TIMES LEFT ( 1 TIMES 1 TIMES 1 RIGHT )][eqn: =2]

⒝ 정사각형 [eqn: R _{2}]의 네 변을 모두 지나는 경우
[eqn: rmA ``->`` C _{4} ``->`` C _{2}], [eqn: rmC _{2} ``->`` C _{4} ``->`` A]의 순서로 이동하는 경우의 수이므로
[eqn: LEFT ( 2 TIMES 2 RIGHT ) TIMES LEFT ( 1 TIMES 2 RIGHT )][eqn: =8]

⒞ 정사각형 [eqn: R _{3}]의 네 변을 모두 지나는 경우
[eqn: rmA ``->`` C _{4} ``->`` C _{2}], [eqn: rmC _{2} ``->`` C _{4} ``->`` A]의 순서로 이동하는 경우의 수이므로
[eqn: LEFT ( 2 TIMES 2 RIGHT ) TIMES LEFT ( 1 TIMES 2 RIGHT )][eqn: =8]

⒟ 정사각형 [eqn: R _{4}]의 네 변을 모두 지나는 경우
[eqn: rm A ``->`` C _{6} ``->`` C _{5} ``->`` C _{2}], [eqn: rm C _{2} ``->`` C _{5} ``->`` C _{6} ``->`` A]의 순서로 이동하는 경우의 수이므로
[eqn: LEFT ( 1 TIMES 2 TIMES 1 RIGHT ) TIMES LEFT ( 1 TIMES 1 TIMES 1 RIGHT )][eqn: =2]

⒠ 정사각형 [eqn: R _{2} ,```` R _{3}]의 네 변을 모두 지나는 경우
[eqn: rmA ``->`` C _{4} ``->`` C _{2}], [eqn: rmC _{2} ``->`` C _{4} ``->`` A]의 순서로 이동하는 경우의 수이므로
[eqn: LEFT ( 2 TIMES 2 RIGHT ) TIMES LEFT ( 1 TIMES 1 RIGHT )][eqn: =4]

⒜∼⒠에 의하여

[eqn: rmA ``->`` C _{2}], [eqn: rmC _{2} ``->`` A]의 순서로 이동할 때, 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 중 네 변을 모두 지나는 정사각형이 없는 경우의 수는 [eqn: 36- LEFT { LEFT ( 2+8+8+2 RIGHT ) -4 RIGHT }][eqn: =20]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 2 TIMES 20][eqn: =40]

이 도로망을 따라 최단거리로 [eqn: {rm A]지점에서 출발하여 [eqn: {rm B]지점을 지나 다시 [eqn: {rm A]지점까지 돌아올 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오.

(가) 정사각형 [eqn: R]의 네 변을 모두 지나야 한다.

(나) 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 중 네 변을 모두 지나게 되는 정사각형은 오직 정사각형 [eqn: R]뿐이다.

05 확통	02 중복조합
01 중복조합
03 중복조합3 (개수조건)

[출처]	2016 모의_공공 사관학교 고3 07월 14

같은 종류의 볼펜 [eqn: 6`]개, 같은 종류의 연필 [eqn: 6`]개, 같은 종류의 지우개 [eqn: 6`]개가 필통에 들어 있다. 이 필통에서 [eqn: 8`]개를 동시에 꺼내는 경우의 수는?
(단, 같은 종류끼리는 서로 구별하지 않는다.)

[정답] ④

[해설]

구하는 경우의 수는

[eqn: a+b+c=8``(0 LEQ a,`b,`c LEQ 6)]

을 만족하는 정수 [eqn: (a,`b,`c)`]순서쌍의 개수이다.

[eqn: a+b+c=8``(0 LEQ a,`b,`c LEQ 8)]인 경우 : [eqn: rm {} _{3} H _{8}]

여기서 제외할 경우의 수는

[eqn: a=7]인 경우: 2가지, [eqn: a=8]인 경우: 1가지

[eqn: b,`c`]도 각각 3가지

[eqn: rm THEREFORE `][eqn: {} _{3} H _{8} -9=36]

① [eqn: 18]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 42]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 20

다음은 [eqn: n`]명의 사람이 각자 세 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 중 [eqn: 2`]개의 상자를 선택하여 각 상자에 공을 하나씩 넣을 때, 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수를 구하는 과정이다.
(단, [eqn: n`]은 [eqn: 6`]의 배수인 자연수이고 공은 구별하지 않는다.)

[정답] ①

[해설]

(ⅰ) 의 경우:
[eqn: n`]명의 사람이 각자 세 상자 중 공을 넣을 두 상자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: n`]명의 사람이 각자 공을 넣지 않을 한 상자를 선택하는 경우의 수와 같다. 따라서 세 상자에서 중복을 허락하여 [eqn: n`]개의 상자를 선택하는 경우의 수인 [eqn: box{~`_3rmH_{itn}~}`]이다.

(ⅱ) 의 경우:
각 상자에 [eqn: 2n over 3`]개의 공이 들어가는 경우뿐이므로 경우의 수는 [eqn: 1`]이다.

(ⅲ) 의 경우:
두 상자 [eqn: rmA,~B`]에 같은 개수의 공이 들어가면 상자 [eqn: rmC`]에는 최대 [eqn: n`]개의 공을 넣을 수 있으므로 두 상자 [eqn: rmA,~B`]에 각각 [eqn: n over 2`]개보다 작은 개수의 공이 들어갈 수 없다. 따라서 두 상자 [eqn: rmA,~B`]에 같은 개수의 공이 들어가려면 두 상자에 들어있는 공의 개수는 각각 [eqn: n over 2 ,~ n over 2 +1 ,~ n over 2 +2 ,`cdots`,~ n over 2 + n over 2`]이므로 경우의 수는 [eqn: box{~n over 2 + 1 ~}`]이다.
그런데 세 상자에 같은 개수의 공이 들어있는 경우를 제외해야 하므로 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 [eqn: `_3 rmC_2 times Left (box{~ it n over 2 +1~}`-1right)``]이다.
따라서 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 [eqn: box{~`_3 rmH_{itn}-1- it3n over 2`~}`]이다.

[eqn: f(n)= `_3 rmH _{itn} = {it(n+2)(n+1)}over2`]

[eqn: g(n) = n over 2 +1`]

[eqn: h(n)= {(n+2)(n+1)} over 2 -1 - 3n over 2`]

이므로 [eqn: f(30) over g(30) + h(30) `][eqn: = 496 over 16 + 450`]
[eqn: =31+ 450`= 481`]

세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우는 ‘(ⅰ) 세 상자에 공이 들어가는 모든 경우’에서 ‘(ⅱ) 세 상자에 모두 같은 개수의 공이 들어가는 경우’와 ‘(ⅲ) 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우’를 제외하면 된다.

(ⅰ) 의 경우:
[eqn: n`]명의 사람이 각자 세 상자 중 공을 넣을 두 상자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: n`]명의 사람이 각자 공을 넣지 않을 한 상자를 선택하는 경우의 수와 같다. 따라서 세 상자에서 중복을 허락하여 [eqn: n`]개의 상자를 선택하는 경우의 수인 [eqn: box{~~(가)~~}`]이다.

(ⅱ) 의 경우:
각 상자에 [eqn: 2n over 3`]개의 공이 들어가는 경우뿐이므로 경우의 수는 [eqn: 1`]이다.

(ⅲ) 의 경우:
두 상자 [eqn: rmA,~B`]에 같은 개수의 공이 들어가면 상자 [eqn: rmC`]에는 최대 [eqn: n`]개의 공을 넣을 수 있으므로 두 상자 [eqn: rmA,~B`]에 각각 [eqn: n over 2`]개의 작은 개수의 공이 들어갈 수 없다. 따라서 두 상자 [eqn: rmA,~B`]에 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 [eqn: box{~~(나)~~}`]이다.
그러므로 세 상자 중 두 상제에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 [eqn: `_3 rmC_2 times (box{~~(나)~~}`-1)`]이다.

따라서 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 [eqn: box{~~(다)~~}`]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT (n RIGHT )], [eqn: g LEFT (n RIGHT )], [eqn: h LEFT (n RIGHT )`]이라 할 때, [eqn: {f LEFT (30 RIGHT )} over {g LEFT (30 RIGHT )} +h LEFT (30 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 481`]	② [eqn: 491`]	③ [eqn: 501`]

④ [eqn: 511`]	⑤ [eqn: 521`]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 03월 29

사과, 배, 귤 세 종류의 과일이 각각 [eqn: 2`]개씩 있다. 이 [eqn: 6`]개의 과일 중 [eqn: 4`]개를 선택하여 [eqn: 2`]명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 종류의 과일은 서로 구별하지 않고, 과일을 한 개도 받지 못하는 학생은 없다.)

[정답] [eqn: 51]

[해설]

[eqn: 6]개의 과일에서 선택한 [eqn: 4]개의 과일 중 사과, 배, 귤의 개수를 각각  [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z`]라 하자.

(ⅰ) [eqn: (x,```y,```z)][eqn: =][eqn: LEFT ( 0,```2,```2 RIGHT ) `]인 경우
배 [eqn: 2`]개와 귤 [eqn: 2`]개를 [eqn: 2`]명의 학생에게 나누어주는 경우의 수는 각각 [eqn: {}_{2} {rmH} _{2}], [eqn: {}_{2} rm H it rm _{2} `]이고, [eqn: 4`]개의 과일을 한 명의 학생에게 모두 주는 경우는 제외해야 하므로 구하는 경우의 수는

[eqn: {}_{2} rm H it rm _{2} TIMES ` _{2} rm H it rm _{2} -2][eqn: =` _{3} rm C it rm _{2} TIMES ` _{3} rm C it rm _{2} -2]
[eqn: =3 TIMES 3-2]
[eqn: =7]

[eqn: (x,```y,```z)][eqn: =][eqn: LEFT ( 2,```0,```2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,```2,```0 RIGHT ) `]인 경우의 수도 모두 [eqn: 7`]이다.

(ⅱ) [eqn: (x,```y,```z)][eqn: =][eqn: LEFT ( 1,```1,```2 RIGHT ) `]인 경우
사과 [eqn: 1`]개, 배 [eqn: 1`]개, 귤 [eqn: 2`]개를 [eqn: 2]명의 학생에게 나누어주는 경우의 수는 차례로 [eqn: {}_{2} {rmH} _{1}], [eqn: {}_{2} {rmH} _{1}], [eqn: {}_{2} rm H it _{2} `]이고, [eqn: 4]개의 과일을 한 명의 학생에게 모두 주는 경우는 제외해야 하므로 구하는 경우의 수는

[eqn: {}_{2} rm H it rm _{1} TIMES _{2} rm H it rm _{1} TIMES _{2} rm H it rm _{2} -2][eqn: =` _{2} rm C it rm _{`1} TIMES ` _{2} rm C it rm _{1} TIMES ` _{3} rm C it rm _{2} -2]
[eqn: =2 TIMES 2 TIMES 3-2]
[eqn: =10]

[eqn: (x,```y,```z)][eqn: =][eqn: LEFT ( 1,```2,```1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,```1,```1 RIGHT ) `]인 경우의 수도 모두 [eqn: 10`]이다.

위의 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 3 TIMES 7+3 TIMES 10=51]

[다른 풀이]

[eqn: 6`]개의 과일에서 선택한 [eqn: 4`]개의 과일 중 사과, 배, 귤의 개수를 각각 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z`]라 하고, [eqn: 2`]명의 학생을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]라 하자.

이때 과일을 하나도 받지 못하는 학생이 없어야 하고, 학생 [eqn: rm A`]가 받는 과일이 정해지면 학생 [eqn: rmB`]가 받는 과일도 정해진다.

(ⅰ) [eqn: (x,```y,```z)][eqn: =][eqn: LEFT ( 0,```2,```2 RIGHT ) `]인 경우
학생 [eqn: rm A`]가 받는 배와 귤의 수를 순서쌍으로 나타내면
[eqn: LEFT ( 0,```1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,```2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,```1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,```2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,```1 RIGHT )]
이므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 7`]이다.
이때 [eqn: (x,```y,```z)][eqn: =][eqn: LEFT ( 2,```0,```2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,```2,```0 RIGHT ) `]인 경우의 수도 모두 [eqn: 7`]이다.

(ⅱ) [eqn: (x,```y,```z)][eqn: =][eqn: LEFT ( 1,```1,```2 RIGHT ) `]인 경우
학생 [eqn: rm A`]가 받는 사과, 배, 귤의 수를 순서쌍으로 나타내면
[eqn: LEFT ( 0,```0,```1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,```0,```2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,```1,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,```1,```1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,```1,```2 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( 1,```0,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,```0,```1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,```0,```2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,```1,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,```1,```1 RIGHT )]
이므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 10`]이다.
이때 [eqn: (x,```y,```z)][eqn: =][eqn: LEFT ( 1,```2,```1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,```1,```1 RIGHT ) `]인 경우의 수도 모두 [eqn: 10`]이다.

위의 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 3 TIMES 7+3 TIMES 10=51]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 28
[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 29

연필 [eqn: 7]자루와 볼펜 [eqn: 4]자루를 다음 조건을 만족시키도록 여학생 [eqn: 3]명과 남학생 [eqn: 2]명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 연필끼리는 서로 구별하지 않고, 볼펜끼리도 서로 구별하지 않는다.)

[정답] [eqn: bold{49]

[해설]

주어진 조건을 표로 나타내면 다음과 같다.

여학생	[eqn: A]	[eqn: B]		[eqn: C]	합
연필	[eqn: s]개	[eqn: s]개		[eqn: s]개	[eqn: 3s]개
볼펜					[eqn: 4-2t]
남학생	[eqn: a]		[eqn: b]		합
연필					[eqn: 7-3s]
볼펜	[eqn: t]개		[eqn: t]개		[eqn: 2t]개

(1) 여학생이 연필을 [eqn: 1]개씩 받으면 남학생 [eqn: 2]명이 연필 [eqn: 4]개를 나누어 가지므로 [eqn: {}_2 rmH_4 = 5]가지

(2) 여학생이 연필을 [eqn: 2]개씩 받으면 남학생이 남은 연필을 나누어 가지는 경우는 [eqn: {}_2 rmH_1 =2]
따라서 남학생과 여학생이 연필을 나누어 갖는 경우는 [eqn: 7]가지

(3) 남학생이 볼펜을 [eqn: 1]개씩 받으면 여학생이 남은 볼펜을 나누어 가지는 경우는 [eqn: {}_3 rmH_2 = 6]

(4) 남학생이 볼펜을 [eqn: 2]개씩 받으면 여학생이 남은 볼펜을 나누어 가지는 경우는 [eqn: {}_3 rmH_0 = 1]

따라서 남학생과 여학생이 볼펜을 나누어 갖는 경우는 [eqn: 7]가지

그러므로 조건을 만족하는 경우의 수는 [eqn: 49]가지다.

(가) 여학생이 각각 받는 연필의 개수는 서로 같고, 남학생이 각각 받는 볼펜의 개수도 서로 같다.

(나) 여학생은 연필을 [eqn: 1]자루 이상 받고, 볼펜을 받지 못하는 여학생이 있을 수 있다.

(다) 남학생은 볼펜을 [eqn: 1]자루 이상 받고, 연필을 받지 못하는 남학생이 있을 수 있다.

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 29

검은색 볼펜 [eqn: {1}{{from^2020^06^평가원고3가^}}]자루, 파란색 볼펜 [eqn: 4]자루, 빨간색 볼펜 [eqn: 4]자루가 있다. 이 [eqn: 9]자루의 볼펜 중에서 [eqn: 5]자루를 선택하여 [eqn: 2]명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.
(단, 같은 색 볼펜끼리는 서로 구별하지 않고, 볼펜을 [eqn: 1]자루도 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)

[정답] [eqn: bold { 114 }]

[해설]

(ⅰ) 검은색 볼펜을 안 뽑는 경우
파란색 볼펜을 뽑는 개수를 [eqn: x]개, 빨간색 볼펜을 뽑는 개수를 [eqn: y]개라 하면 [eqn: x+y =5]
그런데, [eqn: x le 4 ,````y le 4]이므로 [eqn: x=5,````y=0]과 [eqn: x=0,````y=5]인 경우는 제외해야 한다.
따라서 경우의 수는
(파, 빨)[eqn: = (4,````1)], [eqn: (3,````2)], [eqn: (2,````3)], [eqn: (1,````4)]
[eqn: 2]명의 학생에게 나누어주어야 하므로

㉠ (파, 빨)[eqn: = (4,````1)], [eqn: (1,````4)]인 경우
각각 [eqn: 5 times 2][eqn: = 10]가지이므로 [eqn: 20](가지)

㉡ (파, 빨)[eqn: =(3,````2)], [eqn: (2,````3)]인 경우
각각 [eqn: 4 times 3 = 12]가지이므로 [eqn: 24](가지)

㉠, ㉡에서 총 경우의 수는 [eqn: 44](가지)

(ⅱ) 검은색 볼펜을 [eqn: 1]자루 뽑는 경우
파란색 볼펜을 뽑는 개수를 [eqn: x]개, 빨간색볼펜을 뽑는 개수를 [eqn: y]개라 하면 [eqn: x+y =4]
따라서 경우의 수는
(파, 빨)[eqn: = (4,````0)], [eqn: (3,````1)], [eqn: (2,````2)], [eqn: (1,````3)], [eqn: (0,````4)]
[eqn: 2]명의 학생에게 나누어주어야 하므로

㉠ (파, 빨)[eqn: = (4,````0)], [eqn: (0,````4)]인 경우
각각 [eqn: 5 times 1][eqn: =5]가지, 검은색을 주는 경우가 [eqn: 2]가지이므로
[eqn: 5 times 2 times 2 =20](가지)

㉡ (파, 빨)[eqn: =(3,````1)], [eqn: (1,````3)]인 경우
각각 [eqn: 4 times 2 = 8]가지, 검은색을 주는 경우가 [eqn: 2]가지이므로
[eqn: 8 times 2 times 2 =32](가지)

㉢ (파, 빨)[eqn: = (2,````2)]인 경우 [eqn: 3 times 3 =9]가지, 검은색을 주는
경우가 [eqn: 2]가지이므로 [eqn: 9 times 2 =18](가지)

㉠, ㉡, ㉢에서 총 경우의 수는 [eqn: 70](가지)

(ⅰ), (ⅱ)에서 총 경우의 수는 [eqn: 44+70 =114](가지)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 29

어느 학교 도서관에서 독서프로그램 운영을 위해 철학, 사회과학, 자연과학, 문학, 역사 분야에 해당하는 책을 각 분야별로 [eqn: {10}{{from^2020^04^서울고3가^}}]권씩 총 [eqn: 50]권을 준비하였다. 한 학급에서 이 [eqn: 50]권의 책 중 [eqn: 24]권의 책을 선택하려고 할 때, 다음 조건을 만족시키도록 선택하는 경우의 수를 구하시오.
(단, 같은 분야에 해당하는 책은 서로 구별하지 않는다.)

[정답] [eqn: bold { 396 }]

[해설]

철학, 사회과학, 자연과학 분야에 해당하는 책은 반드시 선택해야 하므로 최소 [eqn: 3]개 분야에서 최대 [eqn: 5]개 분야에 해당하는 책을 선택할 수 있다. 철학, 사회과학, 자연과학 각각의 분야에서 선택한 책의 권수를 순서대로 [eqn: a ,```` b ,```` c]([eqn: a ,```` b ,```` c]는 [eqn: 4] 이상 [eqn: 10] 이하의 자연수)라 하자.

(ⅰ) [eqn: 3]개 분야에 해당하는 책을 선택하는 경우
[eqn: a+b+c=24]에서
[eqn: a=4]일 때, [eqn: b+c=20]을 만족시키는
순서쌍 [eqn: LEFT ( b ,```` c RIGHT )]의 개수는 [eqn: 1]
[eqn: a=5]일 때, [eqn: b+c=19]를 만족시키는
순서쌍 [eqn: LEFT ( b ,```` c RIGHT )]의 개수는 [eqn: 2]
[eqn: VDOTS]
[eqn: a=10]일 때, [eqn: b+c=14]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( b ,```` c RIGHT )]의 개수는 [eqn: 7]
따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 1+2+ CDOTS +7][eqn: =28]

(ⅱ) [eqn: 4]개 분야에 해당하는 책을 선택하는 경우
문학 또는 역사 분야 중 한 분야를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 2]이고 선택된 분야에서 선택한 책의 권수를 [eqn: d] ([eqn: d]는 [eqn: 4] 이상 [eqn: 10] 이하의 자연수)라 하자.
[eqn: a=a'+4], [eqn: b=b'+4], [eqn: c=c'+4],	[eqn: d=d'+4]
([eqn: a' ,```` b' ,```` c' ,```` d']은 [eqn: 6] 이하의 음이 아닌 정수)
라 하면 [eqn: a+b+c+d][eqn: = it 24]에서
[eqn: LEFT ( a'+4 RIGHT ) + LEFT ( b'+4 RIGHT ) + LEFT ( c'+4 RIGHT ) + LEFT ( d'+4 RIGHT )][eqn: =24]
[eqn: a'+b'+c'+d'][eqn: =8]
방정식 [eqn: a'+b'+c'+d'][eqn: =8]을 만족시키는 [eqn: 6] 이하의 음이 아닌 정수 [eqn: a' ,```` b' ,```` c' ,```` d']의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a prime ,```` b prime ,```` c prime ,```` d prime RIGHT )]의 개수는 서로 다른 [eqn: 4]개에서 중복을 허용하여 [eqn: 8]개를 택하는 중복조합의 수 [eqn: {}_{4} rmH _{8}][eqn: = _{11} rmC _{8}][eqn: = _{11} rmC _{3}][eqn: =165]에서 [eqn: a' ,```` b' ,```` c' ,```` d'] 중 어느 하나의 값이 [eqn: 7]인 경우의 수 [eqn: {}_{4} rmC _{1} TIMES _{3} H _{1}][eqn: =12]와 [eqn: a' ,```` b' ,```` c' ,```` d'] 중 어느 하나의 값이 [eqn: 8]인 경우의 수 [eqn: 4]를 뺀 것과 같다.
따라서 구하는 경우의 수는
[eqn: 2 TIMES LEFT ( 165-12-4 RIGHT )][eqn: =298]

(ⅲ) [eqn: 5]개 분야에 해당하는 책을 선택하는 경우
문학 분야와 역사 분야에서 선택한 책의 권수를 각각 [eqn: d ,```` e]([eqn: d ,```` e]는 [eqn: 4] 이상 [eqn: 10] 이하의 자연수)라 하자.
[eqn: a=a'+4], [eqn: b=b'+4], [eqn: c=c'+4], [eqn: d=d'+4],	[eqn: e=e'+4]
([eqn: a prime ,```` b prime ,```` c prime ,```` d prime ,```` e']은 [eqn: 6] 이하의 음이 아닌 정수)
라 하면 [eqn: a+b+c+d+e][eqn: = it 24]에서
[eqn: LEFT ( a prime +4 RIGHT ) + LEFT ( b prime +4 RIGHT ) + LEFT ( c prime +4 RIGHT ) + LEFT ( d prime +4 RIGHT ) + LEFT ( e'+4 RIGHT )][eqn: =24]
[eqn: a prime +b prime +c prime +d prime +e'][eqn: =4]
방정식 [eqn: a prime +b prime +c prime +d prime +e'][eqn: =4]을 만족시키는 [eqn: 6] 이하의 음이 아닌 정수 [eqn: a prime ,```` b prime ,```` c prime ,```` d prime ,```` e']의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a prime ,```` b prime ,```` c prime ,```` d prime ,```` e' RIGHT )]의 개수는 서로 다른 [eqn: 5]개에서 중복을 허용하여 [eqn: 4]개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: {}_{5} rmH _{4}][eqn: = _{8} rmC _{4}][eqn: =70]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 28+298+70][eqn: =396]

(가) 철학, 사회과학, 자연과학 각각의 분야에 해당하는 책은 [eqn: 4]권 이상씩 선택한다.

(나) 문학 분야에 해당하는 책은 선택하지 않거나 [eqn: 4]권 이상 선택한다.

(다) 역사 분야에 해당하는 책은 선택하지 않거나 [eqn: 4]권 이상 선택한다.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 28

세 명의 학생 [eqn: {rmA}{{from^2020^10^서울고3가^중}}], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에게 같은 종류의 빵 [eqn: 3]개와 같은 종류의 우유 [eqn: 4]개를 남김없이 나누어 주려고 한다. 빵만 받는 학생은 없고, 학생 [eqn: rmA]는 빵을 [eqn: 1]개 이상 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.
(단, 우유를 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)

[정답] [eqn: bold { 37 }]

[해설]

[eqn: rmA]가 반드시 빵을 [eqn: 1]개 이상 받는 경우의 수는 [eqn: rmA]에게 빵 [eqn: 1]개와 우유 [eqn: 1]개를 먼저 주고, 남은 빵 [eqn: 2]개와 우유 [eqn: 3]개를 [eqn: rmA ,```` B ,```` C]에게 나누어 주는 경우의 수와 같다.

(ⅰ) [eqn: rmA]에게 남은 빵 [eqn: 2]개를 주는 경우
남은 우유 [eqn: 3]개를 [eqn: rmA ,```` B ,```` C]에게 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: {}_{3} rmH _{3}][eqn: = _{5} rmC _{3}][eqn: =10]이다.

(ⅱ) [eqn: rmA]에게 남은 빵 [eqn: 2]개 중 [eqn: 1]개를 주는 경우
남은 빵 [eqn: 1]개를 [eqn: rmB] 또는 [eqn: rmC]에게 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: 2]이고, 빵을 준 학생에게 우유를 [eqn: 1]개 주고 남은 우유 [eqn: 2]개를 [eqn: rmA ,```` B ,```` C]에게 나누어 주는 경우의 수가 [eqn: {}_{3} rm H _{2}][eqn: = _{4} rmC _{2}][eqn: =6]이므로 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 6][eqn: =12]이다.

(ⅲ) [eqn: rmA]에게 남은 빵을 주지 않는 경우
남은 빵 [eqn: 2]개를 [eqn: rmB] 또는 [eqn: rmC] 중 한 명에게 모두 주는 경우의 수는 [eqn: 2]이고, 빵을 준 학생에게 우유를 [eqn: 1]개 주고 남은 우유 [eqn: 2]개를 [eqn: rmA ,```` B ,```` C]에게 나누어 주는 경우의 수가 [eqn: {}_{3} rm H _{2}][eqn: = _{4} rmC _{2}][eqn: =6]이므로 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 6][eqn: =12]이다.
또 남은 빵 [eqn: 2]개를 학생 [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]에게 각각 [eqn: 1]개씩 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: 1]이고, 빵을 준 학생에게 우유를 [eqn: 1]개씩 주고 남은 우유 [eqn: 1]개를 세 명의 학생에게 주는 경우의 수가 [eqn: 3]이므로 경우의 수는 [eqn: 1 TIMES 3][eqn: =3]이다.
따라서 [eqn: rmA]에게 남은 빵을 주지 않는 경우의 수는 [eqn: 12+3=15]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 10+12+15][eqn: =37]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 29

네 명의 학생 [eqn: {{rm A }{{from^2020^11^대수능고3가^5}}], [eqn: {rm B], [eqn: {rm C], [eqn: {rm D]에게 검은 색 모자 [eqn: 6]개와 흰 색 모자 [eqn: 6]개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.
(단, 같은 색 모자끼리는 서로 구별하지 않는다.)

[정답] [eqn: bold { 201 }]

[해설]

조건 (나)에 의하여 학생 [eqn: {rm A]는 검은색 모자를 [eqn: 4]개 또는 [eqn: 5]개 받아야 하므로 다음과 같이 경우를 나누어 생각할 수 있다.

(ⅰ) 학생 [eqn: {rm A]가 검은색 모자를 [eqn: 4]개 받는 경우
조건 (다)에 의하여 검은색 모자를 더 많이 받는 학생이 [eqn: 1]명 나와야 하므로

㉠ 나머지 세 학생 중 한 명의 학생이 검은색 모자를 [eqn: 2]개 받고 흰 모자를 [eqn: 1]개 받는 경우

㉡ 나머지 세 학생 중 한 명의 학생이 검은색 모자를 [eqn: 2]개 받고 흰 모자를 안 받는 경우

㉢ 나머지 세 학생 중 두 명의 학생이 검은색 모자를 [eqn: 1]개씩 받고 한 명만 흰 모자를 안 받는 경우

따라서 각각의 경우를 구하면 다음과 같다.

㉠ 나머지 세 학생 중 한 명의 학생이 검은색 모자를 [eqn: 2]개 받고 흰 모자를 [eqn: 1]개 받는 경우
검은색 모자를 [eqn: 2]개 받은 학생이 흰색 모자를 [eqn: 1]개 받는 경우 나머지 흰색 모자 [eqn: 3]개를 세 학생에게 나누어주면 되므로 [eqn: {}_{3} rmH _{3}][eqn: =10]

㉡ 나머지 세 학생 중 한 명의 학생이 검은색 모자를 [eqn: 2]개 받고 흰 모자를 안 받는 경우
검은색 모자를 [eqn: 2]개 받는 학생을 택하는 경우의 수는 [eqn: 3]
각각에 대하여 다른 두 학생에게 흰색 모자 [eqn: 1]개씩을 나누어 주고 나머지 흰색 모자 [eqn: 4]개를 나누어주는 경우의 수는 검은색 모자를 [eqn: 2]개 받은 학생이 흰색 모자를 받지 않는 경우 나머지 흰색 모자 [eqn: 4]개를 세 학생에게 나누어주는 경우의 수에서 학생 [eqn: {rm A]가 [eqn: 4]개를 모두 받는 경우의 수를 빼면 되므로 [eqn: {}_{3} rmH _{4} -1][eqn: =14]

㉠, ㉡에서 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES LEFT ( 14+10 RIGHT )][eqn: =72]

㉢ 나머지 세 학생 중 두 명의 학생이 검은색 모자를 [eqn: 1]개씩 받고 한 명만 흰 모자를 안 받는 경우
검은색 모자를 흰색 모자보다 더 많이 받는 학생을 정하는 경우의 수는 [eqn: 3]
이 각각에 대하여 나머지 두 학생 중에 검은색 모자를 받는 학생을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2]
이 각각에 대하여 검은색 모자를 흰색 모자보다 더 많이 받는 학생에게는 흰색 모자를 나누어주면 안 되고, 다른 두 학생에게는 흰색 모자를 [eqn: 1]개 이상씩 나누어주어야 한다. 즉, 두 학생에게 흰색 모자를 [eqn: 1]개씩 나누어주고 나머지 흰색 모자 [eqn: 4]개를 나누어주는 경우의 수는 학생 [eqn: {rm A]가 [eqn: 4]개를 모두 받는 한 가지 경우를 제외해야 하므로
[eqn: {}_{3} rmH _{4} -1][eqn: =14]
따라서 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 2 TIMES 14][eqn: =84]

(ⅱ) 학생 [eqn: {rm A]가 검은색 모자를 [eqn: 5]개 받는 경우
조건 (다)에 의하여 검은색 모자를 더 많이 받는 학생이 [eqn: 1]명 나와야 한다.
다른 세 학생 중 검은색 모자를 받는 학생을 정하는 경우의 수는 [eqn: 3]
모든 학생이 한 개이상의 모자를 받아야 하므로 다른 두 학생에게 흰색 모자를 [eqn: 1]개씩 나누어주고, 검은색 모자를 [eqn: 1]개 받은 학생을 제외한 세 명의 학생에게 나머지 흰색 모자를 [eqn: 4]개를 나누어주는 경우의 수를 구하면
[eqn: {}_{3} rmH _{4}][eqn: =15]
따라서 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 15][eqn: =45]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 총 경우의 수는

[eqn: 72+84+45][eqn: =201]

(가) 각 학생은 [eqn: 1]개 이상의 모자를 받는다.

(나) 학생 [eqn: {rm A]가 받은 검은색 모자의 개수는 [eqn: 4]이상이다.

(다) 흰색 모자보다 검은색 모자를 더 많이 받는 학생은 [eqn: {rm A]를 포함하여 [eqn: 2]명뿐이다.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 29

흰 공 [eqn: {2 }{{from^2020^인천교육청고3나^중}}]개, 빨간 공 [eqn: 3]개, 검은 공 [eqn: 3]개를 [eqn: 3]명의 학생에게 남김없이 나누어 주려고 한다. 흰 공을 받은 학생은 빨간 공과 검은 공도 반드시 각각 [eqn: 1]개 이상 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않고, 공을 하나도 받지 못하는 학생은 없다.)

[정답] [eqn: bold72]

[해설]

[eqn: 3]명의 학생을 [eqn: rm A ,````][eqn: rm B ,````][eqn: rm C]라 하자.

(ⅰ) [eqn: 1]명의 학생이 흰 공 [eqn: 2]개를 모두 받는 경우
흰 공 [eqn: 2]개를 모두 받는 [eqn: 1]명의 학생을 정하는 경우의 수는
[eqn: {}_3{rm C}_1 =3]
흰 공 [eqn: 2]개를 모두 받은 학생이 [eqn: rm A]일 때, 학생 [eqn: rm A]는 빨간 공과 검은 공을 각각 적어도 [eqn: 1]개씩 받아야 한다. 학생 [eqn: rm A]에게 빨간 공 [eqn: 1]개와 검은 공 [eqn: 1]개를 주고, 남은 빨간 공 [eqn: 2]개와 검은 공 [eqn: 2]개를 학생 [eqn: rm A ,````][eqn: rm B ,````][eqn: rm C]에게 나누어 주는 경우의 수는
[eqn: {}_3{rm H}_2 times {}_3{rm H}_2 =36]
학생 [eqn: rm B]가 공을 하나도 받지 못하는 경우의 수는 남은 빨간 공 [eqn: 2]개와 검은 공 [eqn: 2]개를 학생 [eqn: rm A ,````][eqn: rm C]에게 나누어 주는 경우의 수이므로 [eqn: {}_2{rm H}_2 times {}_2{rm H}_2 =9]
같은 방법으로 학생 [eqn: rm C]가 공을 하나도 받지 못하는 경우의 수도 [eqn: {}_2{rm H}_2 times {}_2{rm H}_2 =9]
학생 [eqn: rm B]와 [eqn: rm C]가 모두 공을 하나도 받지 못하는 경우의 수는
[eqn: {}_1{rm H}_2 times {}_1{rm H}_2 =1]
그러므로 [eqn: 1]명의 학생이 흰 공 [eqn: 2]개를 모두 받도록 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: 3 times left(36-2 times 9+1 right)=57]

(ⅱ) [eqn: 2]명의 학생이 흰 공을 [eqn: 1]개씩 받는 경우
흰 공을 [eqn: 1]개씩 받는 [eqn: 2]명의 학생을 정하는 경우의 수는
[eqn: {}_3{rm C}_2 =3]
흰 공을 [eqn: 1]개씩 받은 학생이 [eqn: rm A ,````][eqn: rm B]일 때, 학생 [eqn: rm A ,````][eqn: rm B]는 빨간 공과 검은 공을 각각 적어도 [eqn: 1]개씩 받아야 한다.
학생 [eqn: rm A ,````][eqn: rm B]에게 각각 빨간 공 [eqn: 1]개와 검은 공 [eqn: 1]개를 주고, 남은 빨간 공 [eqn: 1]개와 검은 공 [eqn: 1]개를 학생 [eqn: rm A ,````][eqn: rm B ,````][eqn: rm C]에게 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: {}_3{rm H}_1 times {}_3{rm H}_1 =9]
학생 [eqn: rm C]가 공을 하나도 받지 못하는 경우의 수는
[eqn: {}_2{rm H}_1 times {}_2{rm H}_1= 4]
그러므로 [eqn: 2]명의 학생이 흰 공을 [eqn: 1]개씩 받도록 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: 3times left(9-4 right)= 15]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 [eqn: 57+15=72]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 29
[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 29

흰 공 [eqn: {4}{{from^2020^평가원가^3}}]개와 검은 공 [eqn: 6]개를 세 상자 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]에 남김없이 나누어 넣을 때, 각 상자에 공이 [eqn: 2]개 이상씩 들어가도록 나누어 넣는 경우의 수를 구하시오.
(단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)

[정답] [eqn: bold { 168 }]

[해설]

세 상자에 서로 같은 흰 공 [eqn: 4]개를 나누어 넣는 경우는

[eqn: (4 ,```` 0 ,```` 0)], [eqn: (3 ,```` 1 ,```` 0)], [eqn: (2 ,```` 2 ,```` 0)], [eqn: (2 ,```` 1 ,```` 1)]

(ⅰ) 흰 공을 [eqn: (4 ,```` 0 ,```` 0)]으로 나누어 넣는 경우
흰 공 [eqn: 4]개 넣을 상자를 선택한 후 검은 공 [eqn: 6]개를 나누어 넣는 경우는 [eqn: x+y+z=6]에서 흰 공이 들어가지 않은 상자에 [eqn: 2]개 이상씩 넣어야 하므로
[eqn: y= y`'+2 ,````z= z`'+2] (단, [eqn: y`' ,````z`' ge 0])
식에 대입하면 [eqn: x+ y`' +z `' =2]
즉, [eqn: rm{}_{3} H_2 = _4 C_2 =6]이므로 구하는 경우의 수는
[eqn: rm{}_{3}C_1 times_3 H_2 = 3 times6 =18]

(ⅱ) 흰 공을 [eqn: (3 ,```` 1 ,```` 0)]으로 나누어 넣는 경우
흰 공을 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]에 나누어 넣고, 검은 공 [eqn: 6]개를 나누어 넣는 경우는 [eqn: x+y+z=6]에서 흰 공 [eqn: 1]개 넣은 상자에 [eqn: 1]개 이상 흰 공 [eqn: 2]개 넣은 상자에 [eqn: 2]개 이상 넣는 경우이므로
[eqn: y= y`'+1 ,````z= z`'+2] (단, [eqn: y`' ,````z`' ge 0])
식에 대입하면 [eqn: x+ y`' +z `' =3]
즉, [eqn: rm {}_{3} H _{3} = _{5} C _{2} =10]이므로 구하는 경우의 수는
[eqn: rm3! times _3 H_3 = 6 times10 =60]

(ⅲ) 흰 공을 [eqn: (2 ,```` 2 ,```` 0)]으로 나누어 넣는 경우
흰 공 [eqn: 0]개인 상자를 선택한 후 검은 공 [eqn: 6]개를 나누어 넣는 경우는 [eqn: x+y+z=6]에서 흰 공이 안 들어간 상자에 [eqn: 2]개 이상 넣는 경우이므로
[eqn: z= z`'+2] (단, [eqn: z`' ge 0])
식에 대입하면 [eqn: x+ y +z `' =4]
즉, [eqn: rm {}_{3} H _{4} = _{6} C _{2} =15]이므로 구하는 경우의 수는
[eqn: rm{}_{3}C_1 times_3 H_4 = 3 times15 =45]

(ⅳ) 흰 공을 [eqn: (2 ,```` 1 ,```` 1)]으로 나누어 넣는 경우
흰 공 [eqn: 2]개 들어가는 상자를 선택한 후 검은 공 [eqn: 6]개를 나누어 넣는 경우는 [eqn: x+y+z=6]에서 흰 공 [eqn: 1]개씩 들어간 상자에 [eqn: 1]개 이상 넣는 경우이므로
[eqn: y= y`'+1 ,````z= z`'+1] (단, [eqn: y`' ,````z`' ge 0])
식에 대입하면 [eqn: x+ y`' +z `' =4]
즉, [eqn: rm {}_{3} H _{4} = _{6} C _{2} =15]이므로 구하는 경우의 수는
[eqn: rm{}_{3}C_1 times_3 H_4 = 3 times15 =45]

(ⅰ)∼(ⅳ)에 의해서 [eqn: 18+60+45+45=168]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 30
[출처]	2022 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능특강 대표 기출 문제

네 명의 학생 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C ,```` D}{{from^2021^09^평가원^중}}]에게 같은 종류의 사인펜 [eqn: 14]개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.

[정답] [eqn: 218]

[해설]

[eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]가 받는 사인펜의 개수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]라 하면

[eqn: a+b+c+d=14][eqn: cdotscdots] ㉠

조건 (가)에서

[eqn: a=a prime +1], [eqn: b=b prime +1], [eqn: c=c prime +1], [eqn: d=d prime +1]

([eqn: a`prime], [eqn: b`prime], [eqn: c`prime], [eqn: d`prime]은 음이 아닌 정수)로 놓으면 ㉠에서

[eqn: a `prime +b `prime +c `prime +d `prime =10 ~ cdots cdots] ㉡

방정식 ㉡을 만족시키는 순서쌍 [eqn: left(a `prime ,`` b `prime ,`` c `prime ,`` d `prime right)]의 개수는 [eqn: it _{4} {rm{H}} it _{10}= it _{13} {rm{C}} it _{10}= it _{13} {rm{C}} it _{3}={13 times 12 times 11} over {3 times 2 times 1}=286]

한편, 네 명의 학생이 모두 홀수 개의 사인펜을 받는 경우의 수는 다음과 같다.

[eqn: a=2 a `prime prime +1], [eqn: b=2 b `prime prime +1], [eqn: c=2 c `prime prime +1], [eqn: d=2 d `prime prime +1]

([eqn: a `prime prime], [eqn: b `prime prime], [eqn: c `prime prime], [eqn: d `prime prime]은 음이 아닌 정수[eqn: )]로 놓으면 ㉠에서

[eqn: a `prime prime +b `prime prime +c `prime prime +d `prime prime =5 ~ cdots cdots] ㉢

㉢을 만족시키는 순서쌍 [eqn: left(a `prime prime ,`` b `prime prime ,`` c `prime prime ,`` d `prime prime right)]의 개수는

[eqn: it _{4} {rm{H}} it _{5}= it _{8} {rm{C}} it _{5}= it _{8} {rm{C}} it _{3}={8 times 7 times 6} over {3 times 2 times 1}=56]

따라서 두 조건 (가), (다)를 만족시키는 경우의 수는 [eqn: 286-56=230]

한편, 두 조건 (가), (다)를 만족시키는 동시에 사인펜을 [eqn: rm 10]개 이상 받은 학생이 있는 경우는 각 학생이 받은 사인펜의 개수가 [eqn: 10], [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 1]일 때뿐이고, 이 경우의 수는

[eqn: {4 !} over {2 !}=12]

따라서 주어진 세 조건을 모두 만족시키는 경우의 수는

[eqn: 230-12=218]

(가) 각 학생은 [eqn: 1]개 이상의 사인펜을 받는다.

(나) 각 학생이 받는 사인펜의 개수는 [eqn: 9]이하이다.

(다) 적어도 한 학생은 짝수 개의 사인펜을 받는다.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 30

네 명의 학생 [eqn: {rm {A ,```` B ,```` C ,```` D}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]에게 검은 공 [eqn: 4]개, 흰 공 [eqn: 5]개, 빨간 공 [eqn: 5]개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.
(단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)

[정답] [eqn: bold { 51 }]

[해설]

학생 [eqn: {rm A]가 받은 검은 공의 개수와 흰 공의 개수를 각각 [eqn: b ,```` w]라 하자.

조건 (가), (나)를 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( b ,```` w RIGHT )] 중 학생 [eqn: {rm A]가 홀수 개의 공을 받은 경우는

[eqn: LEFT ( 4 ,```` 3 RIGHT ) ,```` LEFT ( 4 ,```` 1 RIGHT ) ,```` LEFT ( 3 ,```` 2 RIGHT ) ,```` LEFT ( 2 ,```` 1 RIGHT )]

(ⅰ) 순서쌍 [eqn: LEFT ( b ,```` w RIGHT )]가 [eqn: LEFT ( 4 ,```` 3 RIGHT )]일 때
흰 공 [eqn: 2]개, 빨간 공 [eqn: 5]개가 남으므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) 순서쌍 [eqn: LEFT ( b ,```` w RIGHT )]가 [eqn: LEFT ( 4 ,```` 1 RIGHT )]일 때
흰 공 [eqn: 4]개와 빨간 공 [eqn: 5]개가 남으므로 세 명의 학생 [eqn: {rm B ,```` C ,```` D]에게 흰 공과 빨간 공을 각각 [eqn: 1]개씩 나누어 주고
남은 흰 공 [eqn: 1]개, 빨간 공 [eqn: 2]개를 나누어 주는 경우의 수는 다음과 같다.
흰 공 [eqn: 1]개를 받은 학생을 정하는 경우의 수는 [eqn: {}_{3} rmC _{1}][eqn: =3]
세 명의 학생 [eqn: {rm B ,```` C ,```` D]에게 빨간 공 [eqn: 2]개를 나누어 줄 때, 흰 공을 받는 학생에게 빨간 공 [eqn: 2]개를 모두 나누어 주는 경우를 제외해야 하므로 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rmH _{2} -1][eqn: = _{4} rmC _{2} -1][eqn: =5]
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 5][eqn: =15]

(ⅲ) 순서쌍 [eqn: LEFT ( b ,```` w RIGHT )]가 [eqn: LEFT ( 3 ,```` 2 RIGHT )]일 때
검은 공 [eqn: 1]개, 흰 공 [eqn: 3]개, 빨간 공 [eqn: 5]개가 남으므로
다음의 (1)과 (2)의 경우로 나누어 볼 수 있다.

(1) 세 명의 학생 [eqn: {rm B ,```` C ,```` D] 중에서 한 명의 학생이 검은 공과 흰 공을 받는 경우
검은 공과 흰 공을 받는 학생을 정하는 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rmC _{1}][eqn: =3]
검은 공과 흰 공을 받는 학생이 [eqn: {rm B]일 때
남은 흰 공 [eqn: 2]개와 빨간 공 [eqn: 5]개는 학생 [eqn: {rm B]를 제외한 두 명의 학생 [eqn: {rm C ,```` D]에게 나누어 준다.
두 명의 학생 [eqn: {rm C ,```` D]에게 흰 공 [eqn: 1]개, 빨간 공 [eqn: 1]개씩을 각각 나누어 주고 남은 빨간 공 [eqn: 3]개를 나누어 줄 때,
한 명의 학생에게 빨간 공 [eqn: 3]개를 모두 나누어 주는 경우를 제외해야 하므로
경우의 수는 [eqn: {}_{2} rm H _{3} -2][eqn: = _{4} rmC _{3} -2][eqn: =2]
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 2][eqn: =6]

(2) 세 명의 학생 [eqn: {rm B ,```` C ,```` D] 중에서 한 명의 학생이 검은 공과 빨간 공을 받는 경우
검은 공과 빨간 공을 받는 학생을 정하는 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rmC _{1}][eqn: =3]
검은 공과 빨간 공을 받는 학생이 [eqn: {rm B]일 때
두 명의 학생 [eqn: {rm C ,```` D]에게 흰 공 [eqn: 1]개, 빨간 공 [eqn: 1]개씩을 각각 나누어 준다.
남은 흰 공 [eqn: 1]개, 빨간 공 [eqn: 2]개에 대하여 흰 공은 학생 [eqn: {rm B]를 제외한 두 명의 학생 [eqn: {rm C ,```` D]중에서 한 명을 택하여 나누어 주고, 빨간 공은 세 명의 학생 [eqn: {rm B ,```` C ,```` D]중에서 한 명을 택하여 나누어 준다.
이 때, 마지막에 흰 공을 받는 학생에게 빨간 공 [eqn: 2]개를 모두 나누어 주는 경우를 제외해야 하므로
경우의 수는
[eqn: 2 TIMES LEFT ( {}_{3} rmH _{2} -1 RIGHT )][eqn: =2 TIMES LEFT ( {}_{4} rmC _{2} -1 RIGHT )][eqn: = it 10]
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 10][eqn: =30]

(ⅳ) 순서쌍 [eqn: LEFT ( b ,```` w RIGHT )]가 [eqn: LEFT ( 2 ,```` 1 RIGHT )]일 때
조건 (다)를 만족시키지 않는다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여

구하는 경우의 수는 [eqn: 15+6+30][eqn: =51]

(가) 각 학생이 받는 공의 색의 종류의 수는 [eqn: 2]이다.

(나) 학생 [eqn: {rm A]는 흰 공과 검은 공을 받으며 흰 공보다 검은 공을 더 많이 받는다.

(다) 학생 [eqn: {rm A]가 받는 공의 개수는 홀수이며 학생 [eqn: {rm A]가 받는 공의 개수 이상의 공을 받는 학생은 없다.

05 확통	02 중복조합
01 중복조합
05 중복조합5 (부정방정식)

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 09월 27

다음 조건을 만족시키는 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d`]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,`` b ,`` c ,`` d RIGHT ) `]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 32]

[해설]

① [eqn: d=2]일 때,

[eqn: a`=`2p`,~b`=`2q`,~c`=`2r`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)로 놓으면

[eqn: 2p`+`2q`+`2r`=`18``]

[eqn: RARROW `` p+q+r`=`9`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)를 만족시키는

순서쌍 [eqn: (`p`,~q`,~r`)``]의 개수가 순서쌍 [eqn: (`a`,~b`,~c`,~d`)``]의 개수와

같으므로 [eqn: rm `_3 H _9-3 `=``_8 C_6 `=``_8 C_2 `=`28``}]가지이다.

② [eqn: d`=`3``]일 때,

[eqn: a`=`3p`,~b`=`3q`,~c`=`3r`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)로 놓으면

[eqn: 3p`+`3q`+`3r`=`17``]을 만족시키는 자연수 [eqn: p`,~q`,~r``]은 존재하지 않는다.

③ [eqn: d=4]일 때,

[eqn: a`=`4p`,~b`=`4q`,~c`=`4r`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)로 놓으면

[eqn: 4p`+`4q`+`4r`=`16``]

[eqn: RARROW `` p+q+r`=`4`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)를 만족시키는

순서쌍 [eqn: (`p`,~q`,~r`)``]의 개수가 순서쌍 [eqn: (`a`,~b`,~c`,~d`)``]의 개수와

같으므로 [eqn: rm`_3 H _4-3 `=``_3 C_1 `=`3``}]가지이다.

④ [eqn: d=5]일 때,

[eqn: a`=`5p`,~b`=`5q`,~c`=`5r`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)로 놓으면

[eqn: 5p`+`5q`+`5r`=`15``]

[eqn: RARROW `` p+q+r`=`3`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)를 만족시키는

순서쌍 [eqn: (`p`,~q`,~r`)``]은 [eqn: (1`,~1`,~1)``]밖에 없으므로

순서쌍 [eqn: (`a`,~b`,~c`,~d`)``]의 개수는 [eqn: bold{1``}]가지이다.

⑤ [eqn: d ge6``]이면 만족시키는 순서쌍 [eqn: (`a`,~b`,~c`,~d`)``]은 존재하지

않는다.

따라서 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (`a`,~b`,~c`,~d`)``]의 개수는

[eqn: 28`+`3`+`1 `=`32``]가지이다.

(가) [eqn: a + b + c +d = 20`]

(나) [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]는 모두 [eqn: d `]의 배수이다.

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 27

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a,~b,~c``]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT (a,`` b,`` c RIGHT )`]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 32]

[해설]

방정식 [eqn: a+b+c=7]을 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (a,~b,~ c )]의

개수는

[eqn: `_3 rm H _7 = _9 C _7 = _9 C _2 =36]

이때, 조건 (나)를 만족시키지 않는 순서쌍 [eqn: (a,~ b)]는

[eqn: (0,~0) ,~ (0,~ 1),~(1,~0), ~(2,~0)]

뿐이다.

따라서 구하는 순서쌍의 개수는

[eqn: 36 -4=32]

(가) [eqn: a+b+c=7]

(나) [eqn: 2^a times 4^b] 은 [eqn: 8``]의 배수이다.

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 04월 28
[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 04월 28

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: w]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,`` y,`` z,`` w RIGHT )`]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold{210]

[해설]

(나)에서 자연수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: w] 중 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가
[eqn: 1]인 수 [eqn: 2]개를 선택하고 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2]인
수 [eqn: 2]개를 선택하는 경우의 수는 [eqn: {} _{4} rm C _{2} times _{2} C _{2} =6]

[eqn: x], [eqn: y]가 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 1]인 수,

[eqn: z], [eqn: w]는 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2]인 수라 하면

[eqn: x=3x prime +1], [eqn: `y=3y prime +1], [eqn: z=3z prime +2`], [eqn: w=3w prime +2`]
[eqn: (][eqn: x'], [eqn: y'], [eqn: z'], [eqn: w']은 음이 아닌 정수[eqn: )]

(가)에서 [eqn: x+y+z+w=18]

[eqn: (3x prime +1)+`(`3y prime +1)+`(3z prime +2)+(3w prime +2)`=18]

[eqn: x prime +y prime +z prime +w prime =4````` CDOTS CDOTS `㉠]

이때 [eqn: ㉠]을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수는
[eqn: 4]개의 문자 [eqn: x'], [eqn: y'], [eqn: z'], [eqn: w']에서 [eqn: 4]개를 선택하는
중복조합의 수와 같으므로
[eqn: {} _{4} rm H _{4} =][eqn: {} _{4+4-1} rm C _{4} = _{7} C _{4} =35]

따라서 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( `x,``y,``z,``w RIGHT )]의 개수는
[eqn: 6 TIMES 35=210]

(가) [eqn: x+y+z+w=18]

(나) [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: w] 중에서 [eqn: 2`]개는 [eqn: 3`]으로 나눈 나머지가 [eqn: 1`]이고, [eqn: 2`]개는 [eqn: 3`]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2`]이다.

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 04월 21

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( `a,``b,``c,``d RIGHT )]의 개수는?

[정답] ②

[해설]

조건에 맞는 순서쌍 [eqn: LEFT ( `a,``b,``c,``d RIGHT )]의 개수를 구하려면 (가)를 만족시키는 경우에서 두 점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )], [eqn: LEFT ( `c,``d RIGHT )]가 서로 같은 경우와 점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )] 또는 점 [eqn: LEFT ( `c,``d RIGHT )]가 직선 [eqn: y=2x] 위에 있는 경우를 제외하면 된다.

[eqn: a=a prime +1], [eqn: b=b prime +1], [eqn: c=c prime +1], [eqn: d=d` prime +1]이라 하면

[eqn: a+b+c+d=12]를 만족시키는 자연수 해의 개수는

[eqn: a prime +b prime +c prime +d` prime =8]을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수와  같으므로

[eqn: {}_{4} rm H _{8} = _{11} C _{3} =165]

(ⅰ) 두 점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )], [eqn: LEFT ( `c,``d RIGHT )]가 같은 경우
[eqn: a=c], [eqn: b=d]이므로 [eqn: a+b=6]이고 순서쌍의 개수는 [eqn: {}_{2} rm H _{4} =5]
즉, 순서쌍은 [eqn: LEFT ( `1,``5,``1,``5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `2,``4,``2,``4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `3,``3,``3,``3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `4,``2,``4,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `5,``1,``5,``1 RIGHT )]의 [eqn: 5]가지이다.

(ⅱ) 점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )]가 직선 [eqn: y=2x] 위에 있는 경우
[eqn: b=2a]이므로 [eqn: 3a+c+d=12]
[eqn: a=1]인 경우 [eqn: c+d=9]의 자연수 해의 개수는 [eqn: rm ` _{2} H _{7} =8]
[eqn: a=2]인 경우 [eqn: c+d=6]의 자연수 해의 개수는 [eqn: rm ` _{2} H _{4} =5]
[eqn: a=3]인 경우 [eqn: c+d=3]의 자연수 해의 개수는 [eqn: rm ` _{2} H _{1} =2]
따라서 점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )]가 직선 [eqn: y=2x] 위에 있을 때의 순서쌍의 개수 [eqn: 8+5+2=15]에서 (ⅰ)과 중복되는 순서쌍 [eqn: LEFT ( `2,``4,``2,``4 RIGHT )]를 제외한 순서쌍의 개수는 [eqn: 14]이다.

(ⅲ) 점 [eqn: LEFT ( `c,``d RIGHT )]가 직선 [eqn: y=2x] 위에 있는 경우
(ⅱ)와 같이 순서쌍의 개수는 [eqn: 14]이다.

(ⅳ) 두 점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )], [eqn: LEFT ( `c,``d RIGHT )]가 모두 직선 [eqn: y=2x] 위에 있는 경우
[eqn: 3a+3c=12]이므로 [eqn: a+c=4]
따라서 두 점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )], [eqn: LEFT ( `c,``d RIGHT )]가 모두 직선 [eqn: y=2x] 위에 있을 때의 순서쌍의 개수 [eqn: {}_{2} rmH _{2} =3]에서 (ⅰ)과 중복되는 순서쌍 [eqn: LEFT ( `2,``4,``2,``4 RIGHT )]를 제외한 순서쌍의 개수는 [eqn: 2]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여 구하는 순서쌍의 개수는

[eqn: 165-5- LEFT ( 14+14-2 RIGHT ) =134]

(가) [eqn: a+b+c+d=12]

(나) 좌표평면에서 두 점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )], [eqn: LEFT ( `c,``d RIGHT )]는 서로 다른 점이며 두 점 중 어떠한 점도 직선 [eqn: y=2x] 위에 있지 않다.

① [eqn: 125]	② [eqn: 134]	③ [eqn: 143]

④ [eqn: 152]	⑤ [eqn: 161]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 20
[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 20

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 2a+ 2b + c + d = 2n `]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d `]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT (a ,`` b,`` c,`` d RIGHT ) `]의 개수를 [eqn: a_n`]이라 하자. 다음은 [eqn: sum_n=1 ^ 8 a_n `]의 값을 구하는 과정이다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: c= 2k_1``,``d=2k_2]을 [eqn: 2a +2b +c+d=2n]에 대입하면,

[eqn: 2a +2b +2k_1 + 2k_2 =2n]에서 [eqn: a +b +k_1 + k_2 =n]를 만족하는

음이 아닌 정수의 순서쌍의 개수는 [eqn: `_4 \H_n]이다.

(가) [eqn: `_4 \H_n] 에서 [eqn: f`(6)=`_4 \H_9 = `_9 \C_3 = 84]	[eqn: cdots] ①

[eqn: c= 2k_3 +1``,``d=2k_4 +1]을 [eqn: 2a +2b +c+d=2n]에 대입하면,

[eqn: 2a +2b +2k_3 + 2k_4 =2n-2]에서 [eqn: a +b +k_3 + k_4 =n -1]를 만족하는

음이 아닌 정수의 순서쌍의 개수는 [eqn: `_4 \H_n-1]이다.

(나) [eqn: `_4 \H_n-1] 에서 [eqn: g`(5)=`_4 \H_4 = `_7 \C_3 = 35]	[eqn: cdots] ②

[eqn: sum _{n=1 } ^{m } (나) =sum _{n=1 } ^{m } `_4 \H_n-1 = `_3 \C_3 + `_4 \C_3 + `_5 \C_3 + cdots +`_m+2 \C_3 = `_m+3 C_4]에서

[eqn: sum _{n=1 } ^{m } (가)=sum _{n=1 } ^{m } `_4 \H_n = `_4 \C_3 + `_5 \C_3 + cdots +`_m+3 \C_3 = `_m+4 C_4`-`1]임을 알 수 있다.

따라서,

[eqn: sum _{ n=1} ^{8} a_n = `_12 \C_4 -1 +`_11 \C_4 = 824]이다. [eqn: r=824]	[eqn: cdots] ③

①，②，③에 의해

[eqn: f(6) + g(5) +r = 943]

음이 아닌 정수 [eqn: a , ~b,~ c, ~ d `]가 [eqn: 2a+ 2b + c + d = 2n `]을 만족시키려면 음이 아닌 정수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: c+ d = 2k `]이어야 한다.

[eqn: c+d = 2k`]인 경우는 (1) 음이 아닌 정수 [eqn: k_1], [eqn: k_2 `]에 대하여 [eqn: c= 2k_1], [eqn: d= 2k_2 `]인 경우이거나 (2) 음이 아닌 정수 [eqn: k_3], [eqn: k_ 4 `]에 대하여 [eqn: c= 2k_3 + 1 ,~ d= 2k_4 + 1 `]인 경우이다.

(1) [eqn: c= 2k_1 ,~ d= 2k_2 `]인 경우 :
[eqn: 2a+ 2b + c + d = 2n `]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a , ~b,~ c, ~ d `]의 모든 순서쌍 [eqn: (a ,~ b, ~ c, ~ d )`]개수는 [eqn: box { ~~(가)~~}``]이다.

(2) [eqn: c= 2k_3 + 1 ,~ d= 2k_4 + 1 `]인 경우 :
[eqn: 2a+ 2b + c + d = 2n `]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a , ~b,~ c, ~ d `]의 모든 순서쌍 [eqn: (a ,~ b, ~ c, ~ d )`]개수는 [eqn: box { ~~(나)~~}``]이다.

(1), (2)에 의하여 [eqn: 2a+ 2b + c + d = 2n `]을 만족시키는

음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT (a ,`` b,`` c,`` d RIGHT ) `]의 개수 [eqn: a_n`]은

[eqn: a_n = `][eqn: box { ~~(가)~~}``][eqn: +][eqn: box { ~~(나)~~}``]

이다. 자연수 [eqn: m`]에 대하여

[eqn: sum_n=1 ^ m `box {~~(나)~~} `= _m+3 {\C_4]

이므로

[eqn: sum_n=1 ^ 8 a_n` = box{ ~~(다)~~]

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT (n RIGHT ) `], [eqn: g LEFT (n RIGHT ) `]이라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: r `]이라 할 때, [eqn: f LEFT (6 RIGHT ) + g LEFT (5 RIGHT ) + r `]의 값은?

① [eqn: 893]	② [eqn: 918]	③ [eqn: 943]

④ [eqn: 968]	⑤ [eqn: 993]

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 24

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: {a}{{^2020^08^경찰대^중}}], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c ,```` d ,```` e RIGHT )]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold31]

[해설]

[eqn: 12=2 ^{2} times3]이고 [eqn: c+d+e GEQ 3]이므로

(가)조건에서 [eqn: ab LEFT ( c+d+e RIGHT ) =12]을 만족하는 경우는 다음 [eqn: 4]가지 경우이다.

(ⅰ) [eqn: c+d+e=3], [eqn: ab=4]이면 (나)조건에서 적어도 짝수가 [eqn: 2]개이어야 하므로
[eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c ,```` d ,```` e RIGHT ) = LEFT ( 2 ,```` 2 ,```` 1 ,```` 1 ,```` 1 RIGHT )]
즉, [eqn: 1](가지)

(ⅱ) [eqn: c+d+e=4], [eqn: ab=3]이면
이 경우는 짝수가 적어도 [eqn: 2]개인 경우가 없다.

(ⅲ) [eqn: c+d+e=6], [eqn: ab=2]이면
[eqn: LEFT ( a ,```` b RIGHT ) = LEFT ( 1 ,```` 2 RIGHT ) ,```` LEFT ( 2 ,```` 1 RIGHT )] 즉 [eqn: 2](가지)이고
[eqn: LEFT ( c ,```` d ,```` e RIGHT )]에서 짝수가 적어도 [eqn: 1]가지는 나오므로
[eqn: {}_3 rmH _3 = _{5} rmC _{3} =10](가지)
따라서 만족하는 경우의 수는

[eqn: 2 times 10 =20](가지)

(ⅳ) [eqn: c+d+e=12], [eqn: ab=1]이면
[eqn: LEFT ( a ,```` b RIGHT ) = LEFT ( 1 ,```` 1 RIGHT )] 즉, [eqn: 1](가지)
적어도 짝수가 [eqn: 2]개이려면 [eqn: c ,```` d ,```` e]는 모두 짝수인 경우에만 만족하므로
[eqn: {2c``'} + {2d``'} + {2e``'} =12], 즉 [eqn: c``'+d``'+e``' =6]
따라서 경우의 수는 [eqn: {}_3 rmH _3 = _{5} rmC _{3} =10](가지)

(ⅰ)∼(ⅳ)에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 1+10+20=31](가지)

(가) [eqn: ab LEFT ( c+d+e RIGHT ) =12]

(나) [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]중에서 적어도 [eqn: 2]개는 짝수이다.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 확률과 통계 29

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d `]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`` b,`` c,`` d RIGHT ) `]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 332`]

[해설]

(가)에서 [eqn: rm `_4 H_12 = `_15 C_12 = `_15 C_ 3 = 455]

(나)에서

[eqn: a= 2]이면 [eqn: b+c+d = 10] -- [eqn: rm `_3 H_10 = `_12 C_2 = 66]

[eqn: a+b+c = 10]이면 --- [eqn: rm `_3 H_10 = `_12 C_2 = 66]

[eqn: a = 2], [eqn: a+b+c = 10]이면

[eqn: a =2], [eqn: d= 2], [eqn: b+c = 8] -- 9가지

[eqn: THEREFORE][eqn: 455 - ( 66 + 66 - 9) = 332]

(가) [eqn: a+b+c+d = 12 `]

(나) [eqn: a ne 2 `]이고 [eqn: a+b+c ne 10 `]이다.

05 확통	02 중복조합
01 중복조합
06 중복조합6 (함수의 개수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 28

집합 [eqn: {X= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5 ,```` 6 RIGHT } }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]에 대하여 함수 [eqn: f ``:`` X ``->`` X] 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold{327}]

[해설]

(ⅰ) [eqn: f(3)]이 [eqn: 3]의 배수인 경우

① [eqn: f(3)=3]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _3{rmH}_2 = _4{rmC}_2 = 6]
[eqn: f(4)], [eqn: f(5)], [eqn: f(6)]을 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _4{rmH}_3 = _6{rmC}_3 = 20]
그러므로 [eqn: 6 times 20 = 120]

② [eqn: f(3) = 6]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _6{rmH}_2 = _7{rmC}_2 = 21]
[eqn: f(4)], [eqn: f(5)], [eqn: f(6)]을 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _1{rmH}_3 = _3{rmC}_3 = 1]
그러므로 [eqn: 21 times 1 = 21]

①, ②에 의하여 [eqn: f(3)]이 [eqn: 3]의 배수인 경우의 수는
[eqn: 120+21 =141]

(ⅱ) [eqn: f(6)]이 [eqn: 3]의 배수인 경우

① [eqn: f(6)= 3]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _3{rmH}_5 = _7{rmC}_5 = 21]

② [eqn: f(6) = 6]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _6{rmH}_5 = _10{rmC}_5 = 252]

①, ②에 의하여 [eqn: f(6)]이 [eqn: 3]의 배수인 경우의 수는
[eqn: 21+252 = 273]

(ⅲ) [eqn: f(3)], [eqn: f(6)]이 모두 [eqn: 3]의 배수인 경우

① [eqn: f(3) = f(6) =3]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _3{rmH}_2 = _4{rmC}_2 = 6]
[eqn: f(4)], [eqn: f(5)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _1{rmH}_2 = _2{rmC}_2 = 1]
그러므로 [eqn: 6times 1 = 6]

② [eqn: f(3) = 3], [eqn: f(6) = 6]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _3{rmH}_2 = _4{rmC}_2 = 6]
[eqn: f(4)], [eqn: f(5)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _4{rmH}_2 = _5{rmC}_2 = 10]
그러므로 [eqn: 6times 10 = 60]

③ [eqn: f(3) = f(6) =6]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _6{rmH}_2 = _7{rmC}_2 = 21]
[eqn: f(4)], [eqn: f(5)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _1{rmH}_2 = _2{rmC}_2 = 1]
그러므로 [eqn: 21times 1 = 21]

①, ②, ③에 의하여 [eqn: f(3)], [eqn: f(6)]이 모두 [eqn: 3]의 배수인 경우의 수는 [eqn: 6+60+21=87]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 141+273 -87 =327]

(가) [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) TIMES f LEFT ( 6 RIGHT )]은 [eqn: 3]의 배수이다.

(나) 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]에 대하여 [eqn: x _{1} <x _{2}]이면 [eqn: f LEFT ( x _{1} RIGHT ) LEQ f LEFT ( x _{2} RIGHT )]이다.

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 28

두 집합

[정답] ②

[해설]

구하고자 하는 함수의 개수를 치역에 따라 분류하면

(ⅰ) 치역이 [eqn: LEFT { 1 RIGHT }]인 경우
조건을 성립하며 경우의 수는 [eqn: 1]가지이다.

(ⅱ) 치역이 [eqn: LEFT { 1,````2 RIGHT }]인 경우

(가)조건에 의해 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이고

(1) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1]일 때
[eqn: x=2]인 경우
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )][eqn: =f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1] 이고
[eqn: x`GE3]인 경우도
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )]는 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =1] 또는 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =1] 이므로 주어진 조건을 만족한다.
[eqn: 3]이상의 정의역이 [eqn: 1,````2]에 대응하는 개수를 각각 [eqn: x _{1} ,````x _{2}]라 하면
[eqn: x _{1} +x _{2} =6] ([eqn: x _{1} `GE0], [eqn: x _{2} `GE1]인 정수)
이므로 [eqn: {} _{2} rm H it _{6-1}][eqn: = _{6} {rmC} _{5}][eqn: =6]가지이다.

(2) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2]일 때
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )][eqn: =2]이므로 모순

(ⅲ) 치역이 [eqn: LEFT { 1,````3 RIGHT }]인 경우

(1) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =1]인 경우
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )]는 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =1] 또는 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) =1]이므로 성립
[eqn: 4]이상의 정의역이 [eqn: 1,````3]에 대응하는 개수를 각각 [eqn: x _{1} ,````x _{2}]라 하면
[eqn: x _{1} +x _{2} =5] ([eqn: x _{1} `GE0], [eqn: x _{2} `GE1]인 정수)
이므로 [eqn: {} _{2} rm H it rm _{5-1}][eqn: = _{5} {rmC} _{4}][eqn: =5]가지이다.

(2) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =3]인 경우
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )][eqn: =3]이므로 모순

(3) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =3]인 경우
(가)에 의해 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) `GEf LEFT ( 2 RIGHT ) =3] 즉, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =3]이므로 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT ) =3]이므로  모순

(ⅳ) 치역이 [eqn: LEFT { 1,````2,````3 RIGHT }]인 경우
[eqn: 3]이상의 정의역이 [eqn: 1,````2,````3]에 각각 대응하는 개수를 [eqn: x _{1} ,````x _{2} ,````x _{3}]라 하면
[eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} =6] ([eqn: x _{1} ` GEQ 0], [eqn: x _{2} `GE1], [eqn: x _{3} `GE1]인 정수)
이므로 [eqn: {} _{3} rm H it rm _{6-2}][eqn: = _{6} {rmC} _{4}][eqn: =15]가지이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f ``:`` X ``->`` Y]의 개수는 [eqn: 1+6+5+15][eqn: =27]가지

[eqn: {X= left{` 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5 ,```` 6 ,```` 7 ,```` 8 `right} }{{from^2021^7월 사관학교^중}}], [eqn: Y= left{` 1 ,```` 2 ,```` 3 `right}]

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f ``:`` X ``->`` Y]의 개수는?

(가) 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 [eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x_1 ) le f(x_2 )]이다.

(나) 집합 [eqn: X]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (f circ f circf)(x) =1]이다.

① [eqn: 24]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 36]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 29

두 집합 [eqn: X= left{ 1,``2,``3,``4,``5 it right}], [eqn: Y= left{ -1,``0,``1,``2,``3 it right}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f: X ``rarrow`` Y]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 65]

[해설]

조건 (가)를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: Y]의 원소 중에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 5]개를 선택하는 중복조합의 수와 같다.

이때 조건 (나)를 만족시키기 위해서는 [eqn: -1]과 [eqn: rm 1]을 적어도 [eqn: rm 1]개씩 선택하거나, [eqn: rm 0]을 적어도 [eqn: rm 2]개 선택해야 한다.

(ⅰ) [eqn: -1]과 [eqn: rm 1]을 적어도 [eqn: rm 1]개씩 선택하는 경우
[eqn: -1]과 [eqn: rm 1]을 [eqn: rm 1]개씩 선택한 후 [eqn: Y]의 원소 중에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 3]개를 선택하는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: rm 5]개에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 3]개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: it _{5} {rm{H}} it _{3}= it _{5+3-1} {rm{C}} it _{3}= it _{7} {rm{C}} it _{3}=35]

(ⅱ) [eqn: rm 0]을 적어도 [eqn: rm 2]개 선택하는 경우
[eqn: rm 0]을 [eqn: rm 2]개 선택한 후 [eqn: Y]의 원소 중에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 3]개를 선택하는 경우의 수는
[eqn: it _{5} {rm{H}} it _{3}= it _{5+3-1} {rm{C}} it _{3}= it _{7} {rm{C}} it _{3}=35]

(ⅲ) 위의 (ⅰ), (ⅱ)를 동시에 만족시키는 경우
[eqn: -1]을 [eqn: rm 1]개, [eqn: rm 0]을 [eqn: rm 2]개, [eqn: rm 1]을 [eqn: rm 1]개 선택한 후 [eqn: Y]의 원소 중에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 1]개를 선택하는 경우의 수는
[eqn: it _{5} {rm{H}} it _{1}= it _{5+1-1} {rm{C}} it _{1}= it _{5} {rm{C}} it _{1}=5]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 35+35-5=65]

(가) [eqn: f(1) leq f(2) leq f(3) leq f(4) leq f(5)]

(나) [eqn: f(a)+f(b)=0]을 만족시키는 집합 [eqn: X]의 서로 다른
두 원소 [eqn: a], [eqn: b]가 존재한다.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 29

두 집합

[정답] [eqn: 105]

[해설]

조건 (가)를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: it _{6} {rm{H}} it _{4}= it _{9} {rm{C}} it _{4}={9 times 8 times 7 times 6} over {4 times 3 times 2 times 1}=126]

(ⅰ) 조건 (나)를 만족시키지 않는 경우
[eqn: f(1) geq 4]인 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: it _{3} {rm{H}} it _{4}= it _{6} {rm{C}} it _{4}=15]

(ⅱ) 조건 (다)를 만족시키지 않는 경우
[eqn: f(3)-f(1)>4]에서
[eqn: f(1)=1], [eqn: f(3)=6]이어야 하므로
[eqn: f(4)=6], [eqn: 1 leq f(2) leq 6]
이때 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: rm 6]

(ⅰ), (ⅱ)를 동시에 만족하는 경우는 없다.

따라서 구하는 함수의 개수는 [eqn: 126-(15+6)=105]

[eqn: X= left{ 1,``2,``3,``4 it right}], [eqn: Y= left{ 1,``2,``3,``4,``5,``6 it right}]

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f: X ``rarrow`` Y]의 개수를 구하시오.

(가) 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}]에 대하여 [eqn: x_{1}<x_{2}]이면 [eqn: f left(x_{1} right) leq f left(x_{2} right)]이다.

(나) [eqn: f(1) leq 3]

(다) [eqn: f(3) leq f(1)+4]

05 확통	02 중복조합
02 중복조합의 활용 (식 활용)
02 중복조합식 활용2 (소인수분해)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 09월

네 개의 자연수 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8] 중에서 중복을 허락하여 세 수를 선택할 때, 세 수의 곱이 [eqn: 100] 이하가 되도록 선택하는 경우의 수는?

[정답] ③

[해설]

네 개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 세 수를 선택하는 경우의 수는 [eqn: {} _{4+3-1} C _{3} = _{6} C _{3}][eqn: = {6 TIMES 5 TIMES 4} over {3 TIMES 2 TIMES 1} =20] … ㉠

이때, 네 개의 자연수 [eqn: 1,~2,~4,~8]은 각각 [eqn: 2 ^{0,} ~2 ^{1} ,~2 ^{2} ,~2 ^{3}]으로 나타낼 수 있고, [eqn: 2 ^{6} =64,~2 ^{7} =128]이므로 ㉠ 중에서

[eqn: (2 ^{3} ,~2 ^{3} ,~2 ^{3} ),~(2 ^{3} ,~2 ^{3} ,~2 ^{2} ),~(2 ^{3} ,~2 ^{3} ,~2),~(2 ^{3} ,~2 ^{2} ,~2 ^{2} )]인 경우는 제외해야 하므로 구하고자 하는 경우의 수는 [eqn: 20-4=16]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 10월 28

다음 조건을 만족시키는 세 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c `]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT (a,`` b,`` c RIGHT )]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 96]

[해설]

[eqn: 180=2 ^{`2} TIMES 3 ^{`2} TIMES 5`]이므로

조건 (가)를 만족하는 [eqn: LEFT ( a,`b,`c RIGHT ) `]의 개수는

[eqn: a=2 ^{`x _{`1}} `3 ^{`y _{`1}} `5 ^{`z _{`1}}], [eqn: b=2 ^{`x _{`2}} `3 ^{`y _{`2}} `5 ^{`z _{`2}}], [eqn: c=2 ^{`x` _{3}} `3 ^{`y _{`3}} `5 ^{`z _{`3}} `]에서

(단, [eqn: i=1,``2,``3`]에 대하여 [eqn: x _{`i} ,``y _{`i} ,``z _{`i} `]는 음이 아닌 정수)

[eqn: x _{`1} +x _{`2} +x _{`3} =2], [eqn: y _{`1} +y _{`2} +y _{`3} =2], [eqn: z _{`1} +z _{`2} +z _{`3} =1]

[eqn: rm rm _{3`} H _{`2} TIMES ` _{3`} H _{`2} TIMES ` _{3`} H _{`1}][eqn: = rm ` _{4`} C _{`2} TIMES ` _{4`} C _{`2} TIMES _{3`} C _{`1}][eqn: =108][eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉠

조건 (나)는 [eqn: a != b], [eqn: b != c], [eqn: c != a`]이므로

이를 만족하지 않는 경우는

[eqn: a=b] 또는 [eqn: a=c] 또는 [eqn: b=c`]이다.

이 중 [eqn: a=b=c`]인 경우는 존재하지 않는다.

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 중 두 수가 같은 순서쌍은

[eqn: (1,``1,``180)], [eqn: (2,``2,``45)], [eqn: (3,``3,``20)], [eqn: (6,``6,``5)`]

[eqn: (1,``180,``1)], [eqn: (2,``45,``2)], [eqn: (3,``20,``3)], [eqn: (6,``5,``6)`]

[eqn: (180,``1,``1)], [eqn: (45,``2,``2)], [eqn: (20,``3,``3)], [eqn: (5,``6,``6)`]이므로

조건 (나)를 만족하지 않는 순서쌍의 개수는[eqn: 12][eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉡

따라서 ㉠, ㉡에 의하여 [eqn: 108-12=96]

(가) [eqn: abc=180]

(나) [eqn: (a-b)(b-c)(c-a) != 0`]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 04월 29

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c RIGHT )]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 126 }]

[해설]

[eqn: a TIMES b TIMES c=10 ^{5} =2 ^{5} TIMES 5 ^{5}]이므로 [eqn: a=2 ^{x _{1}} TIMES 5 ^{y _{1}}], [eqn: b=2 ^{x _{2}} TIMES 5 ^{y _{2}}], [eqn: c=2 ^{x _{3}} TIMES 5 ^{y _{3}}]이라 하자.

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 짝수이므로 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}], [eqn: x _{3}]은 자연수이고 [eqn: y _{1}], [eqn: y _{2}], [eqn: y _{3}]은 음이 아닌 정수이다.

방정식 [eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} =5]의 양의 정수해의 개수는

[eqn: {}_{3} rm H it rm _{5-3} = _{4} rm C it rm _{2} =6]

방정식 [eqn: y _{1} +y _{2} +y _{3} =5]의 음이 아닌 정수해의 개수는

[eqn: {}_{3} rm H it rm _{5} = _{7} rm C it rm _{5} =21]

따라서 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c RIGHT )]의 개수는

[eqn: 6 TIMES 21=126]

(가) [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 모두 짝수이다.

(나) [eqn: a TIMES b TIMES c=10 ^{5}]

05 확통	02 중복조합
02 중복조합의 활용 (식 활용)
03 중복조합식 활용3 (부등식)

[출처]	2014 모의_공공 경찰대 고3 07월 13

[eqn: 15] 이하의 자연수 중에서 서로 다른 [eqn: 4]개의 수를 뽑을 때, 어느 두 수도 [eqn: 3] 이상 차이가 나도록 뽑는 방법의 수는?

[정답] ③

[해설]

뽑히는 네 수를 작은 수부터 차례로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]라 하면

조건을 만족시키는 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]는

[eqn: b-a ge3], [eqn: c-b ge3], [eqn: d-c ge3]이고

[eqn: a ge1], [eqn: d le15]이다.

따라서 [eqn: 1 le a le b-3 le c-6 le d-9 le6]이 성립한다.

이때, [eqn: 6] 이하의 자연수 중에서 위 부등식을 만족시키는 네 자연수 [eqn: a], [eqn: b-3], [eqn: c-6], [eqn: d-9]를 정하는 방법의 수는 [eqn: `_6 {rm H}_4]이다.

따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: `_6 {rm H}_4][eqn: = `_9 rmC_4][eqn: = 126]이다.

① [eqn: 108]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 126]

④ [eqn: 132]	⑤ [eqn: 144]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 06월 29

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: {x _{1} ,```` x _{2} ,```` x _{3}}{{from^2019^06^평가원고3나^중}}]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( x _{1} ,```` x _{2} ,```` x _{3} RIGHT )]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 84 }]

[해설]

[eqn: n=1]일 때, [eqn: x _{2} -x _{1} GEQ 2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: n=2]일 때, [eqn: x _{3} -x _{2} GEQ 2]이므로 ㉠과 연립하면

[eqn: x _{1} +4 LEQ x _{2} +2 LEQ x _{3} LEQ 10]	[eqn: cdotscdots] ㉡

그런데 [eqn: x_1 ge 0]이므로 [eqn: x_1 +4 ge 4]	[eqn: cdotscdots] ㉢

㉡, ㉢을 만족하므로

[eqn: 4 le x _{1} +4 LEQ x _{2} +2 LEQ x _{3} LEQ 10]

따라서 [eqn: 4,````5,````6,````cdots ,````10]의 [eqn: 7]개 수중에서 [eqn: 3]개를 중복을 허락하여 뽑는 가지수이다.

[eqn: {}_{7} rm H _{3} = _{9} C _{3} = {9!} over {6! CDOT 3!} = {9 CDOT 8 CDOT 7} over {3 CDOT 2 CDOT 1} =84]

[다른 풀이[eqn: bold { 1 }]]

(가)조건에서 [eqn: x _{n+1} -x _{n} ge2]이므로

[eqn: x_n+1 -2 ge x_n]

(나)조건에서 [eqn: x_3 le 10]

따라서 [eqn: 0 LEQ x _{1} LEQ x _{2} -2 LEQ x _{3} -4 LEQ 6]

[eqn: x _{1} =a ,```` x _{2} -2=b ,```` x _{3} -4=c]라 하면

[eqn: 0 LEQ a LEQ b LEQ c LEQ 6]

[eqn: {}_{7} rm H _{3} = _{9} C _{3} = {9!} over {6! CDOT 3!} = {9 CDOT 8 CDOT 7} over {3 CDOT 2 CDOT 1} =84]

(가) [eqn: n=1 ,```` 2]일 때, [eqn: x _{n+1} -x _{n} ge2]

(나) [eqn: x _{3} le10]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 29

[eqn: 5] 이하의 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d`]에 대하여 부등식

[정답] [eqn: 55]

[해설]

[eqn: c`]가 [eqn: 5] 이하의 자연수이므로 [eqn: 1 LEQ b LEQ 4`]이다.

(ⅰ) [eqn: b=1`]인 경우
[eqn: a le 2 le c le d`]에서 [eqn: a`]를 택하는 경우의 수는
[eqn: {}_{2} rm C _{1} `]이고, [eqn: c], [eqn: d`]를 택하는 경우의 수는 [eqn: {}_{4} rm H it rm _{2} `]이다.
그러므로 구하는 경우의 수는
[eqn: {}_{2}{rmC}_{1} times_{4}{rmH}_{2}][eqn: =_2 {rmC}_1 times _{5}{rmC}_{2}][eqn: = 2 times 10][eqn: =20]

(ⅱ) [eqn: b=2`]인 경우
[eqn: a LEQ 3 LEQ c LEQ d`]에서 [eqn: a`]를 택하는 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rm C _{1} `]이고, [eqn: c], [eqn: d`]를 택하는 경우의 수는 [eqn: {}_{3} rm H it rm _{2} `]이다.
그러므로 구하는 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rm C it _{1} TIMES _{3} rm H it _{2}][eqn: = _{3} rm C it _{1} TIMES _{4} rm C it _{2}][eqn: =3 TIMES 6][eqn: =18]

(ⅲ) [eqn: b=3`]인 경우
[eqn: a LEQ 4 LEQ c LEQ d`]에서 [eqn: a`]를 택하는 경우의 수는
[eqn: {}_{4} rm C _{1} `]이고, [eqn: c], [eqn: d`]를 택하는 경우의 수는 [eqn: {}_{2} rm H it rm _{2} `]이다.
그러므로 구하는 경우의 수는
[eqn: {}_{4} rm C it _{1} TIMES _{2} rm H it _{2}][eqn: = _{4} rm C it _{1} TIMES _{3} rm C it _{2}][eqn: =4 TIMES 3][eqn: =12]

(ⅳ) [eqn: b=4`]인 경우
[eqn: a LEQ 5 LEQ c LEQ d`]에서 [eqn: a`]를 택하는 경우의 수는
[eqn: {}_{5} rm C _{1} `]이고, [eqn: c], [eqn: d`]를 택하는 경우의 수는 [eqn: 1`]이다.
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: {}_{5} rm C it _{1} times1=5]

(ⅰ) ~ (ⅳ)에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 20+18+12+5=55]

[eqn: a le b+1 le c le d`]

를 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c,``d)`]의 개수를 구하시오.

05 확통	02 중복조합
02 중복조합의 활용 (식 활용)
05 중복조합식 활용5 (부등식을 방정식으로 동치변형)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 07월 28

다음 조건을 만족시키는 모든 자연수의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold{80]

[해설]

조건을 만족시키는 자연수는 각 자리의 수의 합이 [eqn: 8`]보다 작은 네 자리의 홀수이므로 일의 자리의 수는 [eqn: 1`], [eqn: 3`], [eqn: 5`]이다.

이 네 자리의 자연수를

[eqn: a times 10^3 +b times 10^2 +c times 10 +d`][eqn: (a != 0)`]이라 하자.

(ⅰ) [eqn: d=1`]인 경우
부등식 [eqn: a+b+c le6`][eqn: (][eqn: a GEQ 1][eqn: )`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 순서쌍 [eqn: (][eqn: a,````b,````c`][eqn: )`]의 개수와 같으므로
[eqn: a+b+c=6`][eqn: (][eqn: a GEQ 1][eqn: )]일 때, [eqn: {} _{3} rm H _{5}]
[eqn: a+b+c=5`][eqn: (][eqn: a GEQ 1][eqn: )`]일 때, [eqn: {} _{3} rm H _{4}]
[eqn: VDOTS]
[eqn: a+b+c=1`][eqn: (][eqn: a GEQ 1][eqn: )`]일 때, [eqn: {} _{3} rm H _{0}]
[eqn: {} _{3} rm H _{5} + _{3} H _{4} + CDOTS + _{3} H _{0} = _{7} C _{5} + _{6} C _{4} + CDOTS + _{2} C _{0}][eqn: =56]

(ⅱ) [eqn: d=3`]인 경우
부등식 [eqn: a+b+c le4`][eqn: (][eqn: a GEQ 1][eqn: )`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 순서쌍 [eqn: (][eqn: a,````b,````c`][eqn: )`]의 개수와 같으므로 (ⅰ)과 같은 방법으로
[eqn: {} _{3} rm H _{3} + _{3} H _{2} + _{3} H _{1} + _{3} H _{0} = _{5} C _{3} + _{4} C _{2} + _{3} C _{1} + _{2} C _{0}][eqn: =20]

(ⅲ) [eqn: d=5`]인 경우
부등식 [eqn: a+b+c le2`][eqn: (][eqn: a GEQ 1][eqn: )`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 순서쌍 [eqn: (][eqn: a,````b,````c`][eqn: )`]의 개수와 같으므로 (ⅰ)과 같은 방법으로
[eqn: {} _{3} rm H _{1} + _{3} H _{0} = _{3} C _{1} + _{2} C _{0} = 4]

따라서 조건을 만족시키는 자연수의 개수는 [eqn: 80]

[다른 풀이]

(ⅰ) [eqn: d=1`]인 경우
[eqn: a+b+c le6~(a ge1)`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 순서쌍 [eqn: a,````b,````c`]의 개수는
[eqn: a+b+c+e =6~(a ge1)`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: e`]의 순서쌍 [eqn: (a,````b,````c,````e)`]의 개수와 같다.
그러므로 [eqn: {} _{4} rm H it _{5} = _{8} rmC _{5} =56]

(ⅱ) [eqn: d=3`]인 경우
[eqn: a+b+c le4~(a ge1)`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 순서쌍 [eqn: (a,````b,````c)`]의 개수는
[eqn: a+b+c+e =4~(a ge1)`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: e`]의 순서쌍 [eqn: (a,````b,````c,````e)``]의 개수와 같다.
그러므로 [eqn: {} _{4} rm H it _{3} = _{6} rmC _{3} =20]

(ⅲ) [eqn: d=5`]인 경우
[eqn: a+b+c le2~(a ge1)`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 순서쌍 [eqn: (a,````b,````c)`]의 개수는
[eqn: a+b+c+e =2~(a ge1)`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: e`]의 순서쌍 [eqn: (a,````b,````c,````e)``]의 개수와 같다.
그러므로 [eqn: {} _{4} rm H it _{1} = _{4} rmC _{1} =4]

따라서 조건을 만족시키는 자연수의 개수는 [eqn: 80]

(가) 네 자리의 홀수이다.

(나) 각 자리의 수의 합이 [eqn: 8`]보다 작다.

05 확통	02 중복조합
02 중복조합의 활용 (식 활용)
07 중복조합식 활용7 (추론과 해석)

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 10월 29

크기가 같은 정육면체 모양의 블록 [eqn: 12`]개를 모두 사용하여 쌓은 입체도형을 만들려고 한다. 이 도형을 위에서 내려다 본 모양이 <그림[eqn: `][eqn: 1`]>, 정면을 기준으로 오른쪽 옆에서 본 모양이 <그림[eqn: 2`]>와 같이 되도록 만들 수 있는 방법의 수를 구하시오. (단, 블록은 서로 구별하지 않는다.)

[정답] [eqn: 60]

[해설]

[eqn: 1]층에 [eqn: 6]개를 모두 쌓은 후 남은 [eqn: 6]개를 쌓는 방법은 다음과 같다.

ⅰ) [eqn: 2]층 앞줄에 모두 [eqn: 1]개씩 쌓는 경우

[eqn: rm`_4 C_1 times _3 C_1 = 12]

ⅱ) [eqn: 2]층 앞줄 두 곳 중 한 곳에만 [eqn: 1]개를 쌓는 경우

뒷줄 네 곳 중 한 곳에 [eqn: 3]개를 쌓고 나머지 세 곳에 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 쌓으면 되므로

[eqn: rm` _{2} C _{1} TIMES _{4} C _{1} TIMES _{3} rm H _{2} =48]

따라서 [eqn: 12 + 48 =60]

<그림[eqn: 1`]>

<그림[eqn: 2`]>

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 07월 21

검은 바둑돌 과 흰 바둑돌 을 일렬로 나열하였을 때 이웃한 두 개의 바둑돌의 색이 나타날 수 있는 유형은

[정답] ③

[해설]

<[eqn: rmB]형>과 <[eqn: rmC]형>이 각각 [eqn: 2]번 나타나도록 [eqn: 5]개의 바둑돌을 나열한 경우는

●○●○● 또는 ○●○●○

(ⅰ) ●○●○●인 경우
[eqn: 1]번의 <[eqn: rmD]형>을 만들기 위해서는 새로운 [eqn: 1]개의 ○을 나열되어 있는 ○에 이웃하도록 나열하고, [eqn: 4]번의 <[eqn: rmA]형>을 만들기 위해서는 새로운 [eqn: 4]개의 ●을 나열되어 있는 ●에 이웃하도록 나열하면 되므로
[eqn: ` _{2} rm C _{1} TIMES ` _{3} rm H _{4} `=` _{2} rm C _{1} TIMES _{6} rm C _{4} ```=`30]

(ⅱ) ○●○●○인 경우
같은 방법으로
[eqn: ` _{3} rm C _{1}`` TIMES _{2} rm H _{4} ` =` _{3} rm C _{1}times _{5} rm C _{4} ` =`15]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 경우의 수는 [eqn: 45]

[eqn: <][eqn: \A]형[eqn: >]	[eqn: <][eqn: \B]형[eqn: >]	[eqn: <][eqn: \C]형[eqn: >]	[eqn: <][eqn: \D]형[eqn: >]

으로 [eqn: 4]가지이다.
예를 들어, [eqn: 6]개의 바둑돌을 [eqn: <][eqn: \A]형[eqn: >][eqn: 2]번, [eqn: <][eqn: \B]형[eqn: >][eqn: 1]번, [eqn: <][eqn: \C]형[eqn: >][eqn: 1]번, [eqn: <][eqn: \D]형[eqn: >][eqn: 1]번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수는 아래와 같이 [eqn: 5]이다.

[eqn: 10]개의 바둑돌을 [eqn: <][eqn: \A]형[eqn: >][eqn: 4]번, [eqn: <][eqn: \B]형[eqn: >][eqn: 2]번, [eqn: <][eqn: \C]형[eqn: >][eqn: 2]번, [eqn: <][eqn: \D]형[eqn: >][eqn: 1]번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수는?
(단, 검은 바둑돌과 흰 바둑돌은 각각 [eqn: 10]개 이상씩 있다.)

① [eqn: 35]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 45]

④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 55]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 07월 30

검은 바둑돌과 흰 바둑돌 [eqn: bigcirc]을 일렬로 나열하였을 때 이웃한 두 개의 바둑돌의 색이 나타날 수 있는 유형은

[정답] [eqn: 45]

[해설]

<[eqn: rmB]형>과 <[eqn: rmC]형>이 각각 [eqn: 2]번 나타나도록 [eqn: 5]개의 바둑돌을 나열한 경우는

●◌●◌● 또는 ◌●◌●◌

(ⅰ) ●◌●◌●인 경우
[eqn: 1]번의 <[eqn: rmD]형>을 만들기 위해서는 새로운 [eqn: 1]개의 ◌을 나열되어 있는 ◌에 이웃하도록 나열하고, [eqn: 4]번의 <[eqn: rmA]형>을 만들기 위해서는 새로운 [eqn: 4]개의 ●을 나열되어 있는 ●에 이웃하도록 나열하면 되므로
[eqn: ` _{2} rm C _{1} TIMES ` _{3} rm H _{4} `=` _{2} rm C _{1} TIMES _{6} rm C _{4} ```=`30]

(ⅱ) ◌●◌●◌인 경우
같은 방법으로
[eqn: ` _{3} rm C _{1}`` TIMES _{2} rm H _{4} ` =` _{3} rm C _{1}times _{5} rm C _{4} ` =`15]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 경우의 수는 [eqn: 45]

<[eqn: rmA]형>	<[eqn: rmB]형>	<[eqn: rmC]형>	<[eqn: rmD]형>

으로 [eqn: rm 4]가지이다.

예를 들어, [eqn: rm 6]개의 바둑돌을 [eqn: <{rm{A}} it]형> [eqn: 2]번, <[eqn: rm B]형>[eqn: 1]번, [eqn: <{rm{C}} it]형> [eqn: 1]번, [eqn: <{rm{D}} it]형> [eqn: 1]번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수는 아래와 같이 [eqn: rm 5]이다.

[eqn: rm 10]개의 바둑돌을 <[eqn: rm A it]형> [eqn: 4]번, <[eqn: rm B]형> [eqn: 2]번, <[eqn: rm C]형> [eqn: 2]번, <[eqn: rmD]형> [eqn: 1]번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 검은 바둑돌과 흰 바둑돌은 각각 [eqn: rm 10]개 이상씩 있다.)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 03월 20

그림과 같이 가로로 [eqn: n `]개, 세로로 [eqn: 2`]개씩 총 [eqn: 2n`]개의 크기가 같은 정사각형 모양의 타일을 이어 붙인다.

[정답] ③

[해설]

(ⅰ) [eqn: k=0`]일 때
둘째 줄에 있는 [eqn: n`]개의 타일 중에서 검은색으로 칠할 타일 [eqn: 3`]개를 고르는 경우의 수는 다음과 같다.
검은색으로 칠할 타일 사이에는 검은색으로 칠하지 않을 타일이 각각 [eqn: 1`]개 이상씩 있어야 한다.
즉, 검은색으로 칠하지 않을 타일이 있을 수 있는 곳은 많아야 [eqn: 4`]곳이므로 타일의 개수를 결정하는 경우의 수는 [eqn: box{`{}_{4}` {\H} _{`n-5}`}]이다.

(ⅱ) [eqn: k=1`]일 때
둘째 줄에 있는 [eqn: n`]개의 타일 중에서 검은색으로 칠할 타일 [eqn: 2`]개를 고르는 경우의 수는 [eqn: `_3 {\H}_n-3`]이다.
첫째 줄에서 검은색으로 칠할 타일 [eqn: 1`]개를 고르는 경우의 수는 둘째 줄에서 검은색으로 칠할 타일의 바로 위쪽에 있는 타일을 제외한 나머지 [eqn: n-2`]개의 타일 중 [eqn: 1`]개의 타일을 고르는 경우의 수와 같으므로 [eqn: box{`{}_{n-2`} {\C} _{`1}`}]이다. 그러므로 검은색으로 칠할 타일 [eqn: 3`]개를 고르는 경우의 수는
[eqn: `_3 {\H}_n-3 times][eqn: box{`{}_{n-2`} {\C} _{`1}`}]이다.

(가)에 알맞은 식은 [eqn: {}_{4`} {\H} _{`n-5}`]이므로 [eqn: f(n)={}_{4}` {\H} _{`n-5}]

(나)에 알맞은 식은 [eqn: {}_{n-2`} {\C} _{`1}`]이므로 [eqn: g(n)={}_{n-2`} {\C} _{`1}]

따라서 [eqn: f(10)+g(8)][eqn: = {}_{4}` {\H} _{`5}`times`{}_{6`} {\C}_{1}][eqn: =56+6][eqn: =62]

	[eqn: n`]개 [eqn: OVERBRACE {~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} {pile}]
첫째 줄
둘째 줄

이 타일 중에서 [eqn: 3`]개를 골라 검은색으로 칠하되, 검은색으로 칠한 타일이 서로 이어 붙지 않게 하려고 한다. 다음은 검은색으로 칠한 타일이 이어 붙지 않은 경우와 이어 붙은 경우의 한 예이다.

이어 붙지 않은 경우 :
이어 붙은 경우 :

다음은 [eqn: n GEQ 6 `]일 때, 검은색으로 칠할 타일 [eqn: 3 `]개를 고르는 경우의 수 [eqn: S` LEFT (n RIGHT ) `]을 구하는 과정이다.

첫째 줄에 있는 타일 중 검은색으로 칠할 타일의 개수를 [eqn: k][eqn: LEFT ( k=0,`` 1,`` 2,`` 3 RIGHT )`]이라 하면

(ⅰ) [eqn: k=0 `]일 때 둘째 줄에 있는 [eqn: n`]개의 타일 중에서 검은색으로 칠할 타일 [eqn: 3`]개를 고르는 경우의 수는 [eqn: {BOX{~(가)~}}`]이다.

(ⅱ) [eqn: k=1`]일 때 둘째 줄에 있는 [eqn: n`]개의 타일 중에서 검은색으로 칠할 타일 [eqn: 2`]개를 고르는 경우의 수는 [eqn: {}_{3`} {\H}_n-3`]이고, 첫째 줄에서 검은색으로 칠할 타일 [eqn: 1`]개를 고르는 경우의 수는 [eqn: {BOX{~(나)~}}`]이므로, 검은색으로 칠할 타일 [eqn: 3`]개를 고르는 경우의 수는 [eqn: {}_{3`} {\H}_n-3 times][eqn: {BOX{~(나)~}}`]이다.

(ⅲ) [eqn: k=2`]일 때 (ⅱ)와 같은 방법으로 구할 수 있다.

(ⅳ) [eqn: k=3`]일 때 (ⅰ)과 같은 방법으로 구할 수 있다.

따라서 [eqn: S`(n)][eqn: ={2 LEFT (n-2 RIGHT ) LEFT (2n^{ 2} -8n+9 RIGHT )} over 3 `]이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT (n RIGHT )], [eqn: g LEFT (n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: f LEFT (10 RIGHT )+g LEFT (8 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 60]	② [eqn: 61]	③ [eqn: 62]

④ [eqn: 63]	⑤ [eqn: 64]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 07월 15

한 개의 주사위를 세 번 던져 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]라 하자. [eqn: a+b+c=14`]를 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (a`], [eqn: b`], [eqn: c)`]의 개수는?

[정답] ⑤

[해설]

(ⅰ) [eqn: 6,~6,~2`]인 경우 순서쌍의 개수 [eqn: {3!} over {2!} =3`]

(ⅱ) [eqn: 6,~5,~3`]인 경우 순서쌍의 개수 [eqn: 3! = 6]

(ⅲ) [eqn: 6,~4,~4`]인 경우 순서쌍의 개수 [eqn: {3!} over {2!} =3`]

(ⅳ) [eqn: 5,~5,~4`]인 경우 순서쌍의 개수 [eqn: 3! over2! =3`]

따라서 [eqn: 3+6+3+3=15]

(다른 풀이)

[eqn: a=6-a'], [eqn: b=6-b'], [eqn: c=6-c'] 이라 하자.

[eqn: (6-a')+(6-b')+(6-c')=14`]

[eqn: a`'+b`'+c`' =4`](단, [eqn: a` prime ,`b` prime ,`c` prime `]은 음이 아닌 정수)

따라서 [eqn: rm{}_3 H_4 = {}_6 C_4 ={}_6 C_2 =15`]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 07월 27

어느 수영장에 [eqn: {1}{{from^2019^07^인천교육청고3가나^중복}}]번부터 [eqn: 8]번까지 [eqn: 8]개의 레인이 있다. [eqn: 3]명의 학생이 서로 다른 레인의 번호를 각각 [eqn: 1]개씩 선택할 때, [eqn: 3]명의 학생이 선택한 레인의 세 번호 중 어느 두 번호도 연속되지 않도록 선택하는 경우의 수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 120 }]

[해설]

[eqn: 8]개의 레인 번호 중 어느 두 번호도 연속되지 않도록 선택한 [eqn: 3]개의 레인 번호를 각각 [eqn: X], [eqn: Y], [eqn: Z][eqn: LEFT ( X<Y<Z RIGHT )]라 하자.

[eqn: X], [eqn: Y], [eqn: Z]를 선택하는 경우의 수는 다음과 같다.
[eqn: X]보다 작은 레인 번호의 개수를 [eqn: a], [eqn: X]보다 크고 [eqn: Y]보다 작은 레인 번호의 개수를 [eqn: b], [eqn: Y]보다 크고 [eqn: Z]보다 작은 레인 번호의 개수를 [eqn: c], [eqn: Z]보다 큰 레인 번호의 개수를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a+b+c+d=5][eqn: LEFT ( a GEQ 0 ,```` b GEQ 1 ,```` c GEQ 1 ,```` d GEQ 0 RIGHT )]

[eqn: b=b'+1], [eqn: c=c'+1]

[eqn: a+b prime +c prime +d=3][eqn: LEFT ( a GEQ 0 ,```` b prime GEQ 0 ,```` c prime GEQ 0 ,```` d GEQ 0 RIGHT )]

[eqn: {}_4 {rm H}_3 = {}_6 {rm C}_3 = 20]

[eqn: 3]개의 레인 번호 [eqn: X], [eqn: Y], [eqn: Z]를 [eqn: 3]명의 학생이 선택하는 경우의 수는

[eqn: {3!}]

따라서 [eqn: 20times 3! = 120]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 07월 16

어느 수영장에 [eqn: rm 1]번부터 [eqn: rm 8]번까지 [eqn: rm 8]개의 레인이 있다.

[정답] ①

[해설]

[eqn: 8]개의 레인 번호 중 어느 두 번호도 연속되지 않도록 선택한 [eqn: 3]개의 레인 번호를 각각 [eqn: X], [eqn: Y], [eqn: Z][eqn: LEFT ( X<Y<Z RIGHT )]라 하자.

[eqn: X], [eqn: Y], [eqn: Z]를 선택하는 경우의 수는 다음과 같다.

[eqn: X]보다 작은 레인 번호의 개수를 [eqn: a],

[eqn: X]보다 크고 [eqn: Y]보다 작은 레인 번호의 개수를 [eqn: b],

[eqn: Y]보다 크고 [eqn: Z]보다 작은 레인 번호의 개수를 [eqn: c],

[eqn: Z]보다 큰 레인 번호의 개수를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a+b+c+d=5][eqn: LEFT ( a GEQ 0 ,```` b GEQ 1 ,```` c GEQ 1 ,```` d GEQ 0 RIGHT )]

[eqn: b=b'+1], [eqn: c=c'+1]

[eqn: a+b prime +c prime +d=3][eqn: LEFT ( a GEQ 0 ,```` b prime GEQ 0 ,```` c prime GEQ 0 ,```` d GEQ 0 RIGHT )]

[eqn: {}_4 {rm H}_3 = {}_6 {rm C}_3 = 20]

[eqn: 3]개의 레인 번호 [eqn: X], [eqn: Y], [eqn: Z]를 [eqn: 3]명의 학생이 선택하는 경우의 수는 [eqn: {3!}]

따라서 [eqn: 20times 3! = 120]

[eqn: rm 3]명의 학생이 서로 다른 레인의 번호를 각각 [eqn: rm 1]개씩 선택할 때, [eqn: rm 3]명의 학생이 선택한 레인의 세 번호 중 어느 두 번호도 연속되지 않도록 선택하는 경우의 수는?

① [eqn: rm 120]	② [eqn: rm 132]	③ [eqn: rm 144]

④ [eqn: rm 156]	⑤ [eqn: rm 168]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 03월 18

네 개의 비어 있는 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]가 있다. 각각의 상자에 최대 [eqn: 5]개의 공을 넣을 수 있을 때, 네 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]에 [eqn: n][eqn: (1le n le 20)]개의 공을 남김없이 나누어 넣는 경우의 수를 [eqn: f LEFT (n RIGHT )`]이라 하자. 다음은 [eqn: f LEFT (15 RIGHT )+f LEFT (14 RIGHT )+f LEFT (13 RIGHT )`]의 값을 구하는 과정이다. (단, 공은 구별하지 않고, 공을 하나도 넣지 않은 상자가 있을 수 있다.)

[정답] ①

[해설]

네 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]에 [eqn: n]개의 공을 남김없이 나누어 넣는 경우의 수는 공이 [eqn: 5]개씩 모두 [eqn: 20]개가 들어 있는 네 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]에서 총 [eqn: 20-n]개의 공을 꺼내는 경우의 수와 같다.

(ⅰ) [eqn: n=15]인 경우
공이 [eqn: 5]개씩 모두 [eqn: 20]개가 들어 있는 네 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]에서 총 [eqn: 5]개의 공을 꺼내는 경우의 수는 서로 다른 네 상자에서 [eqn: 5]개를 택하는 중복조합의 수 [eqn: rm _{4} rm H _{5}]와 같으므로

[eqn: f(15)][eqn: =rm _{4} rm H _{5} = _{8} rm C _{3}][eqn: = {8 TIMES 7 TIMES 6} over {3 TIMES 2 TIMES 1} = {BOX{ ```` 56 ```` }}]

(ⅱ) [eqn: n=14]인 경우
공이 [eqn: 5]개씩 모두 [eqn: 20]개가 들어 있는 네 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]에서 총 [eqn: 6]개의 공을 꺼내는 경우의 수는 서로 다른 네 상자에서 [eqn: 6]개를 택하는 중복조합의 수 [eqn: rm _{4} rm H _{6}]에서 서로 다른 네 상자 중 한 상자만 [eqn: 6]번 택하는 경우의 수 [eqn: 4]를 뺀 수와 같으므로

[eqn: f(14)][eqn: =rm _{4} rm H _{6} -{BOX{ ```` 4 ```` }}]
[eqn: = _{9} rm C _{3} -4]
[eqn: = {9 TIMES 8 TIMES 7} over {3 TIMES 2 TIMES 1} -4=80]

(ⅲ) [eqn: n=13]인 경우
공이 [eqn: 5]개씩 모두 [eqn: 20]개가 들어 있는 네 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]에서 총 [eqn: 7]개의 공을 꺼내는 경우의 수는 서로 다른 네 상자에서 [eqn: 7]개를 택하는 중복조합의 수 [eqn: rm _{4} rm H _{7}]에서 서로 다른 네 상자 중 한 상자만 [eqn: 7]번 택하는 경우의 수 [eqn: 4]와 서로 다른 네 상자 중 서로 다른 두 상자를 각각 [eqn: 1]번, [eqn: 6]번 택하는 경우의 수 [eqn: ` _4 \P_2]를 뺀 수와 같으므로

[eqn: f(13)][eqn: =rm _{4} rm H _{7} -4- _4 \P_2]
[eqn: = _{10} rm C _{3} -4-12]
[eqn: =120-16= {BOX{ ```` 104 ```` }}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여

[eqn: f(15)+f(14)+f(13)]
[eqn: = {BOX{ ```` 56 ```` }} + left( _{4} rm H _{6} - {BOX{ ```` 4 ```` }} right) + {BOX{ ```` 104 ```` }} =240]
따라서 [eqn: p=56], [eqn: q=4], [eqn: r=104]이므로

[eqn: p+q+r=164]

네 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]에 [eqn: n]개의 공을 남김없이 나누어 넣는 경우의 수는 공이 [eqn: 5]개씩 모두 [eqn: 20]개가 들어 있는 네 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]에서 총 [eqn: 20-n]개의 공을 꺼내는 경우의 수와 같다.

(ⅰ) [eqn: n=15]인 경우
공이 [eqn: 5]개씩 모두 [eqn: 20]개가 들어 있는 네 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]에서 총 [eqn: 5]개의 공을 꺼내는 경우의 수와 같으므로
[eqn: f(15)= {BOX{ ```` (가) ```` }}]

(ⅱ) [eqn: n=14]인 경우
공이 [eqn: 5]개씩 모두 [eqn: 20]개가 들어 있는 네 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]에서 총 [eqn: 6]개의 공을 꺼내는 경우의 수와 같으므로
[eqn: f(14)= _{4} rm H _{6} - {BOX{ ```` (나) ```` }}]

(ⅲ) [eqn: n=13]인 경우
공이 [eqn: 5]개씩 모두 [eqn: 20]개가 들어 있는 네 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]에서 총 [eqn: 7]개의 공을 꺼내는 경우의 수와 같으므로
[eqn: f (13)= box{ ```` (다) ```` }]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해

[eqn: f(15)+f(14)+f(13)]

[eqn: = {BOX{ ```` (가) ```` }} + LEFT ( _{4} rm H _{6} - {BOX{ ```` (나) ```` }} RIGHT ) + {BOX{ ```` (다) ```` }}]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]라 할 때, [eqn: p+q+r]의 값은?

① [eqn: 164]	② [eqn: 168]	③ [eqn: 172]

④ [eqn: 176]	⑤ [eqn: 180]

05 확통	03 이항정리
01 특정항의 계수
01 특정항의 계수1 (기본형)

[출처]	2010 모의_공공 경찰대 고3 07월 10

다항식 [eqn: LEFT ( x^3 +3x^2 +3x+a RIGHT )^4`]의 전개식에서 [eqn: x^7`]의 계수가  [eqn: 2^3 times 3^5`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: LEFT ( x^3 +3x^2 +3x+a RIGHT )^4`][eqn: =left{left(x+1right)^3 +a-1right}^4`]에서 일반항은

[eqn: `_4 rmC_{itr}it left(a-1right)^4-r left(x+1right)^3r] ([eqn: 0le r le4])	[eqn: cdotscdots] ㉠

㉠에서 [eqn: x^7 `]항은

[eqn: `_4 rmC_{itr}itleft(a-1right)^4-r `_3r {rmC}_7 ``x^7]

[eqn: 3r ge7`]이어야 하므로 [eqn: r=3] 또는 [eqn: r=4]

[eqn: r=3`]일 때, [eqn: x^7 `]의 계수는

[eqn: `_4 rmC_3 it left(a-1right)`_9 rmC_7 =2^4 cdot3^2 itleft(a-1right)]

[eqn: r=4`]일 때, [eqn: x^7 `]의 계수는

[eqn: `_4 rmC_4 cdot`_12 C_7 =2^3 cdot3^2 cdot11]

따라서 [eqn: 2^4 cdot3^2 left(a-1right)+2^3 cdot3^2 cdot11=2^3 cdot3^5]에서

[eqn: 2left(a-1right)+11=27], [eqn: a=9]

[다른 풀이]

[eqn: x^3]이 두 번, [eqn: x]가 한 번 곱해지거나

[eqn: x^3]이 한 번, [eqn: x^2]이 두 번 곱해지거나

[eqn: x^3], [eqn: x^2]이 각각 한 번, [eqn: x]가 두 번 곱해지거나

[eqn: x^2]이 세 번 [eqn: x]가 한 번 곱해질 때, [eqn: x^7]이 만들어지므로

[eqn: x^7]의 계수는

[eqn: 4! over2! times 3a + 4! over2! times 3^2 a + 4! over2! times 3^3 + 4! over3! times 3^4]

[eqn: = 2^2 3^2 a + 2^2 3^3 a +2^2 3^4 + 2^2 3^4][eqn: = 2^2 3^2 ( 4a +18 )]

[eqn: 4a +18 = 2 times 3^3 = 54]에서 [eqn: a=9]

① [eqn: 9]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 45]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 8
[출처]	2020 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능완성 07 경우의 수 유형7 필수유형

다항식 [eqn: (x+2)^19]의 전개식에서 [eqn: x^k]의 계수가 [eqn: x^k+1]의 계수보다 크게 되는 자연수 [eqn: k]의 최솟값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: (x+2)^{19}]의 전개식의 일반항은

[eqn: it _{19} {rm{C}} it _{r} 2^{19-r} x^{r}(r=0,``1,``2,`` cdots,`` 19)]

로 나타낼 수 있다. 이때

[eqn: x^{k}]의 계수는 [eqn: it _{19} {rm{C}} it _{k} 2^{19-k}]이고

[eqn: x^{k+1}]의 계수는 [eqn: it _{19} {rm{C}} it _{k+1} 2^{18-k}]이므로

[eqn: it _{19} {rm{C}} it _{k} 2^{19-k}> it _{19} {rm{C}} it _{k+1} 2^{18-k}]에서

[eqn: it _{19} {rm{C}} it _{k} times 2> it _{19} {rm{C}} it _{k+1}]

[eqn: {19 !} over {k !(19-k) !} times 2>{19 !} over {(k+1) !(18-k) !}]

[eqn: {2} over {19-k}>{1} over {k+1}]

[eqn: 3 k>17]에서 [eqn: k>{17} over {3}]

따라서 자연수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: rm 6]이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

05 확통	03 이항정리
01 특정항의 계수
03 특정항의 계수3 (곱의 꼴)

[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 11월 30

다항식 [eqn: 2 LEFT (x+a RIGHT ) ^n `]의 전개식에서 [eqn: x ^n-1 `]의 계수와 다항식 [eqn: LEFT (x-1 RIGHT ) LEFT (x+a RIGHT ) ^n `]의 전개식에서 [eqn: x ^n-1`]의 계수가 같게 되는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT (a,`` n RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: an `]의 최댓값을 구하시오.
(단, [eqn: a `]는 자연수이고, [eqn: n `]은 [eqn: n GEQ 2`]인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 12]

[해설]

[eqn: 2(x`+`a)^n`]의 전개식에서 [eqn: x^n-1]항의 계수는

[eqn: 2 `_n C_1`a`=`2na][eqn: cdots`㉠]

[eqn: (x`-`1)(x`+`a)^n]의 전개식에서 [eqn: x^n-1]의 항의 계수는

[eqn: (x`-`1)(x`+`a)^n`=`x(x`+`a)^n`-`(x`+`a)^n]으로 부터

[eqn: `_n C_2`a^2`+`(-1)(`_n C_1 a)`=`{n(n`-`1)}over2 a^2`-`na][eqn: cdots ㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: 2na`=`{n (n-1)}over2 a^2`-`na]

정리하면 [eqn: (n`-1)a`=`6`=`1 cdot 6`=`2 cdot`3`=`3 cdot 2 `=`6 cdot1]이므로

[eqn: (n`,``a)`=`(2`,``6)`,``(3`,``3)`,``(4`,`2)`,``(7`,``1)]

∴[eqn: an]의 최대값은 [eqn: 12]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 06월 19
[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 06월 19

다음은 [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: LEFT (x+a^{2} RIGHT )^{n}`]과 [eqn: LEFT (x^{2}-2a RIGHT ) LEFT (x+a RIGHT )^{n}`]의 전개식에서 [eqn: x^{n-1}`]의 계수가 같게 되는 두 자연수 [eqn: a`]와 [eqn: n~ LEFT (n geq 4 RIGHT )`]의 값을 구하는 과정의 일부이다.

[정답] ①

[해설]

[eqn: LEFT ( x+a ^{2} RIGHT ) ^{n} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{n-1} `]의 계수는 [eqn: a ^{2} n`]이다.

[eqn: LEFT ( x ^{2} -2a RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) =x ^{2} LEFT ( x+a RIGHT ) ^{n} -2a LEFT ( x+a RIGHT ) ^{n} `]에서 [eqn: x ^{2} LEFT ( x+a RIGHT ) ^{n} `]을 전개하면 [eqn: x ^{n-1} `]의 계수는 [eqn: LEFT ( x+a RIGHT ) ^{n} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{n-3} `]의 계수와 같으므로

[eqn: {} _{n} it rm C it rm _{n-3} TIMES a ^{3} = {BOX{` _{n} it rm C it rm _{3} `}} TIMES a ^{3} `]이고, [eqn: 2a LEFT ( x+a RIGHT ) ^{n} `]을 전개하면 [eqn: x ^{n-1} `]의 계수는 [eqn: 2a ^{2} n`]이다.

그러므로 [eqn: a ^{2} n= {BOX{` _{n} it rm C it rm _{3} `}} TIMES a ^{3} -2a ^{2} n`]이고, 이 식을 정리하면 [eqn: a`]를 [eqn: n`]에 관한 식으로 나타내면

[eqn: n= _{n} it rm C it rm _{3} TIMES a-2n]

[eqn: a= {3n} over {{} _{n} rm C _{3} it} = {3n} over {{n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT )} over {3 TIMES 2 TIMES 1}} = {18} over {{BOX{`` LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT ) ``}}}]

이다. 여기서 [eqn: a`]는 자연수이고 [eqn: n`]은 [eqn: 4`]이상의 자연수이므로 [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT ) `]는 [eqn: 18`]의 양의 약수이어야 한다.

그러므로

[eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT ) `=3times2]

[eqn: n-1=3]

[eqn: n= {BOX{`4`}}] 이다.

따라서, [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = _{n} rm C it rm _{3} ,~g LEFT ( n RIGHT ) = LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT ) ,~k=4`]이므로

[eqn: f LEFT ( k RIGHT ) +g(k)][eqn: = _{4} rm C it rm _{3} + LEFT ( 4-1 RIGHT ) TIMES LEFT ( 4-2 RIGHT )]
[eqn: =4+6]
[eqn: =10]

[eqn: LEFT (x+a^{2} RIGHT )^{n}`]의 전개식에서 [eqn: x^{n-1}`]의 계수는 [eqn: a^{2}n`]이다.

[eqn: LEFT (x^{2}-2a RIGHT ) LEFT (x+a RIGHT )^{n} = x^{2} LEFT (x+a RIGHT )^{n}-2a LEFT (x+a RIGHT )^{n}`]에서

[eqn: x^{2} LEFT (x+a RIGHT )^{n}`]을 전개하면 [eqn: x^{n-1}`]의 계수는 [eqn: box{``~(가)``~ }` timesa^{3}]이고,

[eqn: 2a LEFT (x+a RIGHT )^{n}`]을 전개하면 [eqn: x^{n-1}`]의 계수는 [eqn: 2a^{2}n`]이다.

따라서 [eqn: LEFT (x^{2}-2a RIGHT ) LEFT (x+a RIGHT )^{n}`]의 전개식에서 [eqn: x^{n-1}`]의 계수는

[eqn: box{``~(가)~`` }` timesa^{3} - 2a^{2}n]

이다. 그러므로

[eqn: a^{2}n = `box{``~(가)``~ }` timesa^{3} - 2a^{2}n]

이고, 이 식을 정리하여 [eqn: a]를 [eqn: n]에 관한 식으로 나타내면

[eqn: a={18} over{ box{``~(나)~``}]

이다. 여기서 [eqn: a]는 자연수이고 [eqn: n]은 [eqn: 4] 이상의 자연수이므로

[eqn: n= box{~``(다)~``}]

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT (n RIGHT )], [eqn: g LEFT (n RIGHT )`]이라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: k`]라 할 때, [eqn: f LEFT (k RIGHT )+g LEFT (k RIGHT )`]의 값은?

① [eqn: 10]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 34]

05 확통	03 이항정리
02 이항정리의 활용
01 활용1 (이항정리를 이용한 수의 계산)

[출처]	2005 모의_공공 사관학교 고3 07월 29
[출처]	2005 모의_공공 사관학교 고3 07월 27

실수 [eqn: x `]에 대한 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가

[정답] [eqn: 12]

[해설]

이항정리에 의하면

[eqn: f(x) = sum from r=0 to 6 `_6 C_r ・(x^2 )`^r = (1+x^2 )^6]

로 나타낼 수 있다. 그러므로 주어진 조건으로부터

[eqn: f( tan theta ) = (1+tan^2 theta )^6 = 2^12] , [eqn: 1+ tan^2 theta =4``]

이다. [eqn: theta``]는 [eqn: 1``]사분면의 각이므로

[eqn: tan``theta=sqrt3``], [eqn: theta= pi over 3`]

따라서 구하는 값은

[eqn: 36theta over pi = 36 over pi × pi over 3 = 12]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = _{6} rm C it rm _{0} + _{6} rm C it rm _{1} x ^{2} + _{6} rm C it rm _{2} x ^{4} + _{6} rm C it rm _{3} x ^{6}]
[eqn: + _{6} rm C it rm _{4} x ^{8} + _{6} rm C it rm _{5} x ^{10} + _{6} rm C it rm _{6} x ^{12}]

와 같이 정의될 때, [eqn: f LEFT (tan` theta RIGHT ) = 2^12 `]을 만족하는 [eqn: theta `]에 대하여 [eqn: {36 theta}over{pi} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0 < theta < {pi}over{2}])

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 10월 30

[eqn: 1`]부터 [eqn: 9`]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 9`]개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 공을 한 개씩 모두 꺼낼 때, [eqn: i `]번째 ([eqn: i=1], [eqn: 2], [eqn: CDOTS], [eqn: 9`]) 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 [eqn: a _{`i} `]라 하자. [eqn: 1<p<q<9 `]인 두 자연수 [eqn: p], [eqn: q `]에 대하여 [eqn: a _{ i} `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 243]

[해설]

[eqn: a_p+1`]부터 [eqn: a_9`]까지의 [eqn: (9-p)`]개의 수 중에서 최솟값은 [eqn: a_q], 즉  [eqn: a_q =1], [eqn: 9`]는 [eqn: a _{p} =8`]보다 큰 수이므로 최댓값은 [eqn: a _{9} =9`]이다.

(ⅰ) 첫 번째와 [eqn: p`]번째 사이의 공을 꺼내는 경우의 수는 [eqn: a_1 =2], [eqn: a_p =8], [eqn: a_q =1], [eqn: a_9 =9`]가 적힌 공을 제외한 [eqn: 5`]개의 공 중에서 [eqn: (p-2)`]개의 공을 꺼내는 조합의 수이므로 [eqn: {}_{5} rm C _{it p-2 rm}`]이다.

(ⅱ) (ⅰ)에서 남아 있는 공 중 [eqn: p`]번째와 [eqn: q`]번째 사이의 공을 꺼내는 경우의 수는 [eqn: a_q =1], [eqn: a_9 =9`]가 적힌 공을 제외한 [eqn: (9-p-2)=(7-p)`]개의 공 중에서 [eqn: (q-p-1)`]개의 공을 꺼내는 조합의 수이므로 [eqn: {}_{7-p} rm C it rm _{it q-p-1 rm }`]이다.

(ⅲ) (ⅰ)과 (ⅱ)의 과정을 거치면 [eqn: q `]번째와 [eqn: 9 `]번째 사이의 공은 정해진다.

이때, [eqn: p`]가 정해지면 [eqn: q`]가 취할 수 있는 값은 [eqn: p+1`]부터 [eqn: 8`]까지이므로 (ⅱ)에 의해 [eqn: sum _{q=p+1} ^{8} ` _{7-p} rm C _{it q-p-1 rm} it `]

[eqn: q-p-1=k `]로 놓으면

[eqn: q=p+1`]일 때 [eqn: k=0`]이고,

[eqn: q=8`]일 때 [eqn: k=7-p`]이므로

[eqn: sum _{q=p+1} ^{8} ` _{7-p} rm C _{it q-p-1 rm}][eqn: = sum _{k=0} ^{7-p} ` _{7-p} rm C _{it k rm}][eqn: =(1+1) ^{7-p}][eqn: =2 ^{7-p}]

[eqn: p`]의 값은 [eqn: 2`]부터 [eqn: 7`]까지 취할 수 있다.

그러므로 구하는 값은 (ⅰ)에 의해 [eqn: sum _{p=2} ^{7} ` _{5} rm C it rm _{it p-2 rm } 2 ^{7-p}]

따라서 [eqn: p-2=r`]로 놓으면

[eqn: p=2`]일 때 [eqn: r=0`]이고, [eqn: p=7`]일 때 [eqn: r=5`]이므로

[eqn: sum _{p=2} ^{7} ` _{5} rm C it rm _{it p-2 rm } 2 ^{7-p}][eqn: = sum _{r=0} ^{5} ` _{5} rm C it rm _{it r rm } 2 ^{5-r}][eqn: =(2+1) ^{5}][eqn: =243]

[다른 풀이]

구하는 경우의 수는 [eqn: a_1 =2], [eqn: a_p =8], [eqn: a_q =1], [eqn: a_9 =9`]가 적힌 [eqn: 4]개의 공을 제외한 [eqn: 5`]개의 공을 첫 번째와 [eqn: p`]번째 사이, [eqn: p`]번째와 [eqn: q]번째 사이, [eqn: q]번째와 [eqn: 9]번째 사이로 나누는 경우의 수와 같다. 그러므로

[eqn: ` _{5} rm C _{it 0 rm} it `` TIMES (` _{5} rm C _{it 0 rm} CDOT rm _{5} rm C _{5} +` _{5} rm C _{it 1 rm} CDOT rm _{4} rm C _{it 4 rm} +` _{5} rm C _{it 2 rm} CDOT rm _{3} rm C _{it 3 rm}]

[eqn: +` _{5} rm C _{it 3 rm} CDOT rm _{2} rm C _{it 2 rm} + _{5} rm C _{it 4 rm} CDOT rm _{1} rm C _{it 1 rm} +` _{5} rm C _{it 5 rm} CDOT 1)]

[eqn: + _{5} rm C _{it 1 rm} it `` TIMES (` _{4} rm C _{it 0 rm} CDOT rm _{4} rm C _{4} `+` _{4} rm C _{it 1 rm} CDOT _{3} rm C _{3} `+` _{4} rm C _{it 2 rm} CDOT _{2} rm C _{2} `]

[eqn: `+` _{4} rm C _{it 3 rm} CDOT _{1} rm C _{1} `+` _{4} rm C _{it 4 rm} CDOT 1)]

[eqn: + _{5} rm C _{it 2 rm} it `` TIMES (` _{3} rm C _{it 0 rm} CDOT _{3} rm C _{it 3 rm} +` _{3} rm C _{it 1 rm} CDOT _{2} rm C _{it 2 rm} +` _{3} rm C _{it 2 rm} CDOT _{1} rm C _{it 1 rm} +` _{3} rm C _{it 3 rm} CDOT 1)]

[eqn: + _{5} rm C _{it 3 rm} it `` TIMES (` _{2} rm C _{it 0 rm} CDOT _{2} rm C _{2} +` _{2} rm C _{it 1 rm} CDOT _{1} rm C _{it 1 rm} +` _{2} rm C _{it 2 rm} CDOT 1)]

[eqn: + _{5} rm C _{it 4 rm} it `` TIMES (` _{1} rm C _{it 0 rm} CDOT _{1} rm C _{it 1 rm} +` _{1} rm C _{it 1 rm} cdot1)]

[eqn: + _{5} rm C _{it 5 rm} it `` TIMES (1cdot1)=243]

[다른 풀이]

[eqn: a_p+1`]부터 [eqn: a_9`]까지의 [eqn: (9-p)`]개의 수 중에서 최솟값은 [eqn: a_q], 즉 [eqn: a_q =1], [eqn: 9`]는 [eqn: a _{p} =8`]보다 큰 수이므로 최댓값은 [eqn: a _{9} =9`]이다.

[eqn: 3`]이 적힌 공을 꺼내는 경우는 첫 번째와 [eqn: p`]번째 사이, [eqn: p`]번째와 [eqn: q`]번째 사이, [eqn: q`]번째와 [eqn: 9`]번째 사이 중 하나이므로 그 경우의 수는 [eqn: 3`]이다. [eqn: 4,``5,``6,``7`]이 적힌 공을 꺼내는 경우의 수도 같은 방법으로 생각하면 각각 [eqn: 3`]이다. 따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 ^{5} =243`]이다.

(가) [eqn: 1 LEQ i<p `]이면 [eqn: a _{`i} <a _{`i+1} `]이다.

(나) [eqn: p LEQ i<q `]이면 [eqn: a _{`i} >a _{`i+1} `]이다.

(다) [eqn: q LEQ i<9 `]이면 [eqn: a _{`i} <a _{`i+1} `]이다.

[eqn: a _{`1} =2], [eqn: a _{ p} =8 `]인 모든 경우의 수를 구하시오.
(단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.)

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 04월 29

전체집합 [eqn: U= LEFT { ``x`` RIGHT | ``x]는 [eqn: 10] 이하의 자연수[eqn: LEFT . ` RIGHT }]의 세 부분집합 [eqn: S _{`1}], [eqn: S _{`2}], [eqn: S _{`3}]이

[정답] [eqn: 93]

[해설]

[eqn: n LEFT ( S _{`1} RIGHT ) =k]([eqn: 3 LEQ k LEQ 10], [eqn: k]는 자연수)인 집합 [eqn: S _{`1}]의 개수는 전체집합 [eqn: U`]의 원소 [eqn: 10]개 중 서로 다른 [eqn: k]개를 선택하는 조합의 수와 같으므로 [eqn: {}_{10} rmC _{itk}]이다.

또한 [eqn: S _{`1} SUBSET S _{`2} SUBSET S _{`3}]이므로 집합 [eqn: S _{`1}]에 속하지 않는 원소는 세 집합 [eqn: S _{`2} -S _{`1}], [eqn: S _{`3} -S _{`2}], [eqn: U-S _{`3}] 중 어느 한 집합에 속해야 한다.

집합 [eqn: S _{`1}]에 속하지 않는 [eqn: LEFT ( 10-k RIGHT )]개의 원소가 세 집합 [eqn: S _{`2} -S _{`1}], [eqn: S _{`3} -S _{`2}], [eqn: U-S _{`3}] 중 어느 한 집합의 원소가 되도록 정하는 경우의 수는 서로 다른 세 개에서 중복을 허락하여  [eqn: LEFT ( 10-k RIGHT )]개를 선택하는 중복순열의 수 [eqn: {}_{3} rm SMALLPROD _{10- it k rm} =3 ^{10- it k rm}]과 같다.

그러므로 [eqn: n LEFT ( S _{`1} RIGHT ) =k]일 때 집합 [eqn: S _{`1}], [eqn: S _{`2}], [eqn: S _{`3}]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( `S _{`1} ,``S _{`2} ,``S _{`3} RIGHT )]의 개수는 [eqn: {}_{10} rm C _{it k rm} TIMES][eqn: LEFT . {BOX{``````3 ^{10-k} ``````}} RIGHT .]이다.

따라서 [eqn: n LEFT ( S _{`1} RIGHT ) GEQ 3], [eqn: S _{`1} SUBSET S _{`2} SUBSET S _{`3}]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( `S _{`1} ,``S _{`2} ,``S _{`3} RIGHT )]의 개수는 이항정리에 의하여

[eqn: sum _{k=3} ^{10} ` LEFT ( {}_{10} rm C _{it k rm} TIMES {BOX{``````3 ^{10- it k rm} ``````}} ` RIGHT )]

[eqn: =` sum _{it k=3 rm} ^{10} ` _{10} rm C _{it k rm} TIMES 1 ^{it k rm} TIMES 3 ^{10- it k rm}]
[eqn: = sum _{k=0} ^{10} ` _{10} rm C _{it k rm} TIMES ``1 ^{it k rm} TIMES 3 ^{10- it k rm} ````- sum _{it k=0 rm} ^{2} rm _{10} C _{it k rm} ` TIMES `1 ^{it k rm} TIMES 3 ^{10- it k rm}]
[eqn: = LEFT ( 1+3 RIGHT ) ^{10} - LEFT ( 3 ^{10} +10 TIMES 3 ^{9} +45 TIMES 3 ^{8} RIGHT )]
[eqn: =4 ^{10} -` {BOX{``````84``````}} `TIMES 3 ^{8}]

따라서 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =3 ^{10-k}]이고 [eqn: a=84]이므로

[eqn: a+f LEFT ( 8 RIGHT ) =84+9=93]

<참고>

[eqn: sum _{k=0} ^{10} ` _{10} rm C _{it k rm} TIMES ``1 ^{it k rm} TIMES 3 ^{10- it k rm} `]
[eqn: = _{10} rm C _{0} TIMES 1 ^{0} TIMES 3 ^{10} + _{10} rm C _{1} TIMES 1 ^{1} TIMES 3 ^{9} +` CDOTS `+ _{10} rm C _{10} TIMES 1 ^{10} TIMES 3 ^{0}]

[eqn: = LEFT ( 1+3 RIGHT ) ^{10}]

[eqn: n LEFT ( S _{`1} RIGHT ) ` GEQ `3], [eqn: S _{1} SUBSET S _{`2} SUBSET S _{`3}]

을 만족시킨다. 다음은 집합 [eqn: S _{`1}], [eqn: S _{`2}], [eqn: S _{`3} `]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( `S _{`1} ,``S _{`2} `,``S _{`3} ` RIGHT )]의 개수를 구하는 과정이다.

[eqn: n LEFT ( S` _{ 1} RIGHT ) =k] ([eqn: 3 LEQ k LEQ 10], [eqn: k]는 자연수)인 집합 [eqn: S` _{ 1}`]의 개수는 전체집합 [eqn: U` `]의 원소 [eqn: 10]개 중 서로 다른 [eqn: k]개를 선택하는 조합의 수와 같으므로 [eqn: {}_{10`} rm C _{it k rm}]이다.

또한 [eqn: S` _{ 1} SUBSET S` _{ 2} SUBSET S` _{ 3}`]이므로 집합 [eqn: S` _{ 1}`]에 속하지 않는 원소는 세 집합 [eqn: S` _{ 2} -S` _{ 1}], [eqn: S` _{ 3} -S` _{ 2}], [eqn: U`-S` _{ 3}] 중 어느 한 집합에 속해야 한다.

그러므로 [eqn: n LEFT ( S _{`1} RIGHT ) `=k]일 때 집합 [eqn: S _{`1}], [eqn: S _{`2}], [eqn: S _{`3}]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( S` _{ 1} ,`` S` _{ 2} ,`` S` _{ 3} RIGHT )`]의 개수는 [eqn: LEFT . {}_{10`} rm C _{it k rm} TIMES {BOX{``````````(가) _{`}^{`} `````````}} RIGHT .`]이다.

따라서 [eqn: n LEFT ( S` _{ 1} RIGHT ) GEQ 3], [eqn: S` _{1} SUBSET S` _{ 2} SUBSET S` _{ 3}`]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( S` _{ 1} ,`` S` _{ 2} ,`` S` _{ 3} RIGHT )`]의 개수는 이항정리에 의하여

[eqn: LEFT . sum _{k=3} ^{10} rm LEFT ( {}_{10`} rm C _{it k rm} TIMES {BOX{``````````(가) _{`}^{`} `````````}} ` RIGHT ) RIGHT .][eqn: =4 ^{10} - LEFT . {BOX{``````````(나) _{`}^{`} `````````}} RIGHT . ` TIMES 3 ^{8}]

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )`], (나)에 알맞은 수를 [eqn: a]라 할 때, [eqn: a+f LEFT ( 8 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

05 확통	03 이항정리
02 이항정리의 활용
03 활용3 (파스칼의 삼각형)

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 10월 10

원에 내접하는 정[eqn: n `]각형의 꼭짓점 중에서 서로 다른 [eqn: 4 `]개의 점을 연결하여 만든 직사각형의 개수를 [eqn: a_{ n} `]이라 하자. 예를 들어 [eqn: a _{ 4} =1], [eqn: a _{ 6} =3 `]이다. [eqn: sum _{k=2} ^{20} a _{`2k} ``]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: sum _{k=2} ^{20} `a` _{2k} `][eqn: =a _{4} `+`a _{6`} +`a _{8} `+` CDOTS `+a _{40} `]

[eqn: `= _{2} ` rm C` _{2} ``+` _{3} `C` _{2} `+ _{4} C` _{2} `+` CDOTS `+ _{20} `C` _{2} ```][eqn: `= _{21} ` rm C` _{3} ``][eqn: =1330``]

[eqn: a _{`4} =1]

[eqn: a _{`6} =3]

① [eqn: 960]	② [eqn: 1020]	③ [eqn: 1140]

④ [eqn: 1235]	⑤ [eqn: 1330]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 04월 30

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 0`]부터 [eqn: n`]까지 정수가 하나씩 적힌 [eqn: LEFT ( n+1 RIGHT ) `]개의 공이 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 한 개의 공을 꺼내어 공에 적힌 수를 확인하고 다시 넣는 과정을 [eqn: 5`]번 반복할 때, 확인한 [eqn: 5`]개의 수가 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 [eqn: a _{n} `]이라 하자.

[정답] [eqn: {bold{760}}]

[해설]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0]부터 [eqn: n]까지 정수가 하나씩
적힌 [eqn: LEFT ( n+1 RIGHT )]개의 공이 들어 있는 상자에서
한 개의 공을 꺼내어 공에 적힌 수를 확인하고 다시
넣는 [eqn: 5]번의 과정 중 [eqn: m]번째 꺼낸 공에 적힌 수를
[eqn: f LEFT ( m RIGHT )]이라 할 때,

조건 (가)에 의하여

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 2 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 3 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 4 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 5 RIGHT )]

조건 (나)에 의하여 [eqn: f` LEFT ( 3 RIGHT )=f` LEFT ( 1 RIGHT ) +1]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =a]([eqn: a=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: cdots], [eqn: n-1])이라 하면
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =a+1]

[eqn: a LEQ f LEFT ( 2 RIGHT ) LEQ a+1 LEQ f LEFT ( 4 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 5 RIGHT )]

(ⅰ) [eqn: a=0]일 때,
[eqn: 0 LEQ f LEFT ( 2 RIGHT ) LEQ 1 LEQ f LEFT ( 4 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 5 RIGHT )]
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]를 선택하는 경우는 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1]의 두 가지이고 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: n] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: {}_{n} rm H it rm _{2} = _{n+1} rm C _{2}]
[eqn: THEREFORE][eqn: 2 times _{n+1} rm C _{2}]

(ⅱ) [eqn: a=1]일 때,
[eqn: 1 LEQ f LEFT ( 2 RIGHT ) LEQ 2 LEQ f LEFT ( 4 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 5 RIGHT )]
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]를 선택하는 경우는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]의 두 가지이고 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: cdots], [eqn: n] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: {}_{n-1} rm H it rm _{2} = _{n} rm C _{2}]
[eqn: THEREFORE][eqn: 2 times _{n} rm C _{2}]

(ⅲ) [eqn: a=k]일 때,
[eqn: k LEQ f LEFT ( 2 RIGHT ) LEQ k+1 LEQ f LEFT ( 4 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 5 RIGHT )]
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]를 선택하는 경우는 [eqn: k] 또는 [eqn: k+1]의 두 가지이고
[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: k+1], [eqn: k+2], [eqn: k+3], [eqn: cdots], [eqn: n] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: {}_{n-k`} rm H it rm _{2} = _{n-k+1} rm C _{2}]
[eqn: THEREFORE][eqn: 2 times _{n-k+1} rm C _{2}]

[eqn: 0 le k le n-1]이므로

[eqn: a _{n}][eqn: =2 LEFT ( {}_{n+1} rm C it rm _{2} + _{n} rm C it rm _{2} + _{n-1} rm C it rm _{2} ` rm +` CDOTS `+ _{3} rm C it rm _{2} + _{2} rm C it rm _{2} RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( {}_{2} rm C it rm _{2} + _{3} rm C it rm _{2} ` rm + _{4} rm C it rm _{2} +` CDOTS `+ _{n} rm C it rm _{2} + _{n+1} rm C it rm _{2} RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( {}_{3} rm C it rm _{3} + _{3} rm C it rm _{2} ` rm + _{4} rm C it rm _{2} +` CDOTS `+ _{n} rm C it rm _{2} + _{n+1} rm C it rm _{2} RIGHT )]

한편, [eqn: {}_{n} rm C it rm _{r-1} + _{itn} rm C it rm _{r} = _{itn+1} rm C it rm _{r}]([eqn: 1 le r le n])이므로

[eqn: a _{n} =2 TIMES _{n+2} rm C it rm _{3}][eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT ) } over {3}]

[eqn: therefore][eqn: sum _{n=1} ^{18} {a _{n}} over {n+2}][eqn: = sum _{n=1} ^{18} {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {3}][eqn: = {1} over {3} sum _{n=1} ^{18} LEFT ( n ^{2} +n RIGHT )]
[eqn: = {1} over {3} LEFT ( {18times19times37} over {6} + {18times19} over {2} RIGHT )][eqn: =760]

[다른 풀이]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0]부터 [eqn: n]까지 정수가 하나씩
적힌 [eqn: LEFT ( n+1 RIGHT )]개의 공이 들어 있는 상자에서
한 개의 공을 꺼내어 공에 적힌 수를 확인하고 다시
넣는 [eqn: 5]번의 과정 중 [eqn: m]번째 꺼낸 공에 적힌 수를
[eqn: f LEFT ( m RIGHT )]이라 할 때,

조건 (가)에 의하여

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 2 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 3 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 4 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 5 RIGHT )]

조건 (나)에 의하여 [eqn: f` LEFT ( 3 RIGHT )=f` LEFT ( 1 RIGHT ) +1]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =a]([eqn: a=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: cdots], [eqn: n-1])이라 하면
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =a+1]

[eqn: a LEQ f LEFT ( 2 RIGHT ) LEQ a+1 LEQ f LEFT ( 4 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 5 RIGHT )]

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]를 선택하는 경우는
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =a] 또는 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )=a+1]이므로
이 경우의 수는 [eqn: 2][eqn: CDOTS CDOTS]㉠

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]이 결정되면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]은 유일하므로
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]를 선택하는 경우만 고려하면 된다.
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =a+1 ge 1]이므로
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]를 선택하는 경우는
[eqn: 1]부터 [eqn: n`]까지 수 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를
선택하는 중복조합의 수와 같다.
이 경우의 수는 [eqn: {} _{n} rm H it rm _{3}][eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: a _{n}][eqn: =2 TIMES _{n} rm H _{3} =2 TIMES _{it n+2 rm} rm C it rm _{3} `=`2 TIMES {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT )} over {6}][eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT )} over {3}]

[eqn: therefore][eqn: sum _{n=1} ^{18} {a _{n}} over {n+2} = 760]

(가) 꺼낸 공에 적힌 수는 먼저 꺼낸 공에 적힌 수보다 작지 않다.

(나) 세 번째 꺼낸 공에 적힌 수는 첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수보다 [eqn: 1`]이 더 크다.

[eqn: sum _{n=1} ^{18} a_{n} over n+2]의 값을 구하시오.

05 확통	03 이항정리
02 이항정리의 활용
04 활용4 (이항계수의 성질)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 04월 18

다음은 자연수 [eqn: n `]에 대하여 부등식

[정답] ⑤

[해설]

이항정리를 이용하여 [eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n}]을 전개하면

[eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n} = sum _{k=0} ^{n} LEFT ( ` {BOX{````` _{n} {rmC} _{k} _{`}^{`} `````}} ` TIMES x ^{k} RIGHT )][eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

위 식의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 2 ^{n} = _{n} rm C _{0} + _{it n rm} rm C _{1} it + _{it n} rm C _{2} it +` CDOTS `+ _{it n} rm C _{it n rm}][eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠의 양변을 [eqn: 0]에서 [eqn: 1]까지 적분하면

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n} dx} = LEFT [ {LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n+1}} over {n+1} RIGHT ] _{0}^{1} = {2 ^{n+1}} over {n+1} - {1} over {n+1}]

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( {}_{n} rm C _{0} + _{it n rm} rm C _{1} it x+ _{it n} rm C _{2} it x ^{2} + CDOTS + _{it n rm } rm C _{it n rm} it x ^{n} RIGHT )} dx]

[eqn: = LEFT [ {}_{n} rm C _{0} it `x+ {1} over {2} rm _{it n} rm C _{1} it `x ^{2} + {1} over {3} rm _{it n} rm C _{2} it `x ^{3} + CDOTS + {1} over {n+1} rm _{it n} rm C _{it n rm} ` it `x ^{n+1} RIGHT ] _{0}^{1}]

[eqn: = _{n} rm C _{0} + {1} over {2} ` _{it n} rm C _{1} it + {1} over {3} ` _{it n } rm C _{2} it + CDOTS + {1} over {n+1} ` _{it n} rm C _{it n }]이므로

[eqn: {2 ^{n+1}} over {n+1} - {1} over {n+1} = _{n} rm C _{0} + {1} over {2} ` _{it n rm} rm C _{1} it + CDOTS + {1} over {n+1} ` _{it n} rm C _{it n rm}][eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

㉡에서 ㉢을 빼면

[eqn: {BOX{`````` {n-1} over {n+1} TIMES 2 ^{n} `````}} `+ {1} over {n+1}][eqn: = {1} over {2} ` _{n} rm C _{1} + {2} over {3} ` _{it n } rm C _{2} it + {3} over {4} ` _{it n} rm C _{3} it + CDOTS + {n} over {n+1} ` _{it n} rm C _{it n }][eqn: = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {k+1} TIMES _{n} rm C _{it k } RIGHT )]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {k+1} TIMES _{n} rm C _{it k rm} RIGHT ) = it {n-1} over {n+1} TIMES 2 ^{it n} + {1} over {n+1} <100]

[eqn: h LEFT ( n RIGHT ) = {n-1} over {n+1} TIMES 2 ^{n} + {1} over {n+1}]이라 하면

[eqn: h LEFT ( 7 RIGHT ) = {769} over {8} <100]

[eqn: h LEFT ( 8 RIGHT ) = {1793} over {9} >100]이므로

[eqn: n]의 최댓값은 [eqn: BOX{`````` 7 `````}}] 이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = _{n} rm C it _{1}], [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) = {n-1} over {n+1} TIMES 2 ^{n}], [eqn: p=7]이고

[eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 5 RIGHT ) +p=6 TIMES {64} over {3} +7=135]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {k+1} TIMES _{n} rm C _{it k rm} RIGHT ) <100`]

을 만족시키는 [eqn: n`]의 최댓값을 구하는 과정이다.

이항정리를 이용하여 [eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n} `]을 전개하면

[eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n} = sum _{k=0} ^{n} LEFT ( ` {BOX{``````````(가) _{`}^{`} ``````````}} ` TIMES x ^{k} ` RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

위 식의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 2 ^{n} = _{n} rm C _{0} + _{it n rm} rm C _{1} it + _{it n} rm C _{2} it +` CDOTS `+ _{it n} rm C _{it n rm} it]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠의 양변을 [eqn: 0]에서 [eqn: 1]까지 적분하여

[eqn: {2 ^{n+1}} over {n+1} - {1} over {n+1} = _{n} rm C _{0} + {1} over {2} ` _{it n rm} rm C _{1} it + {1} over {3} ` _{it n} rm C _{2} it +` CDOTS `+ {1} over {n+1} ` _{it n} rm C _{it n rm} it]

[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

을 얻는다. ㉡과 ㉢에서

[eqn: {BOX{``````````(나) _{`}^{`} ``````````}} `+ {1} over {n+1}]

[eqn: = {1} over {2} ` _{n} rm C _{1} + {2} over {3} ` _{it n rm} rm C _{2} it + {3} over {4} ` _{it n} rm C _{3} it +` CDOTS `+ {n} over {n+1} ` _{it n} rm C _{it n rm}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {k+1} TIMES _{n} rm C _{it k rm} RIGHT )]

이므로 부등식 [eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {k+1} TIMES _{n} rm C _{it k rm} RIGHT ) <100`]을 만족시키는 [eqn: n`]의 최댓값은 [eqn: {BOX{``````````(다) _{`}^{`} ``````````}} `]이다.

위의 과정에서 (가)에 알맞은 식에 대하여 [eqn: k=1]일 때의 식을 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )], (나)에 알맞은 식을 [eqn: g LEFT ( n RIGHT )], (다)에 알맞은 수를 [eqn: p`]라 할 때, [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 5 RIGHT ) +p`]의 값은?

① [eqn: 115]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 125]

④ [eqn: 130]	⑤ [eqn: 135]

05 확통	03 이항정리
02 이항정리의 활용
05 활용5 (이항계수의 성질의 활용)

[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 25

집합 [eqn: U`= LEFT { 1,`` 2,`` 3,` CDOTS ` ,`` 10 RIGHT }`]에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족시키는 [eqn: U``]의 부분집합 [eqn: A``]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 64]

[해설]

[eqn: "{" 1, ``2,``3"}"cap A ="{"1,``2"}"]이므로 [eqn: A]는 [eqn: 1],[eqn: 2]는 포함하고

[eqn: 3]은 포함하지 않아야 한다.

한편, [eqn: n(A) ge6]이어야 하므로 [eqn: "{" 4,`` 5,`` 6,`` cdots``, ``9,`` 10 "}"] 중 원소를 각각 [eqn: 4]개, [eqn: 5]개, [eqn: 6]개, [eqn: 7]개를 선택하여 부분집합을 만든다. 위 조건을 만족하는 집합 [eqn: A]의 개수는

[eqn: rm therefore `` `_7 C _4 + `_7 C _5 + `_7 C _6 + `_7 C _7 = 2^6 =64]

(참고)

[eqn: rm `_7 C _0 + `_7 C _1 + `_7 C _2 + cdots + `_7 C _7 = 2^7],

[eqn: rm `_7 C _0 + `_7 C _1 + `_7 C _2 + `_7 C _3 = `_7 C _4 + `_7 C _5 + `_7 C _6 + `_7 C _7]

(가) [eqn: "{" 1,`` 2,`` 3 "}" cap A` = "{"1,`` 2 "}" `]

(나) 집합 [eqn: A ``]의 원소의 개수는 [eqn: 6 `]개 이상이다.

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 07월 29

전체집합 [eqn: U`= LEFT { 2,`` 2^{2},`` 2^{3},`` 2^{4},`` 2^{5},`` 2^{6} RIGHT } `]의 서로 다른 부분집합을 [eqn: A` _{i}][eqn: LEFT ( i = 1,``2,``3,```CDOTS`,``64 RIGHT ) `]라 하자. [eqn: n LEFT ( A` _{i} RIGHT ) GEQ 3 `]을 만족시키는 모든 집합 [eqn: A` _{i} `]에 대하여 각 집합의 가장 작은 원소를 모두 더한 값을 구하시오.
(단, [eqn: n LEFT ( A` RIGHT ) `]는 집합 [eqn: A` `]의 원소의 개수이다.)

[정답] [eqn: 144]

[해설]

(ⅰ) 가장 작은 원소가 [eqn: 2`]인 경우

[eqn: rm2 times left (rm {}_5 C_2 +{}_5 C_3 +{}_5 C_4 +{}_5 C_5 right)`]

[eqn: rm=2 times left (2^5 - rm {}_5 C _0 - {}_5 C _1 right)=52`]

(ⅱ) 가장 작은 원소가 [eqn: 2^2`]인 경우

[eqn: rm2^2 times left (rm {}_4 C_2 +{}_4 C_3 +{}_4 C_4 right)`]

[eqn: rm=2^2 times left (2^4 -rm {}_4 C _0 - {}_4 C _1 right)=44`]

(ⅲ) 가장 작은 원소가 [eqn: 2^3`]인 경우

[eqn: rm2^3 timesleft (rm {}_3 C_2 +{}_3 C_3 right)=32`]

(ⅳ) 가장 작은 원소가 [eqn: 2^4`]인 경우

[eqn: rm2^4 times {}_2 C_2`=16`]

따라서 [eqn: 52+44+32+16=144]

(다른 풀이)

각 부분집합에서 가장 작은 원소의 합은
[eqn: 2 TIMES 2 ^{5} +2 ^{2} TIMES 2 ^{4} +` CDOTS `+`2 ^{6} TIMES 1]

[eqn: =6 TIMES 2 ^{6} =384]

원소의 개수가 [eqn: 1`], [eqn: 2`]인 부분집합의 가장 작은
원소의 합은

[eqn: (2+2 ^{2} +2 ^{3} +2 ^{4} +2 ^{5} +2 ^{6} )]

[eqn: +(2 TIMES 5+2 ^{2} TIMES 4+2 ^{3} TIMES 3+2 ^{4} TIMES 2+2 ^{5} TIMES 1)]

[eqn: = {2 TIMES (2 ^{6} -1)} over {2-1} +(10+16+24+32+32)]

[eqn: =126+114=240]

따라서 [eqn: 384-240=144]

05 확통	03 이항정리
02 이항정리의 활용
06 활용6 (이항계수의 곱)

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 06월 15
[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 06월 15

다음은 [eqn: n`]이 [eqn: 2] 이상의 자연수일 때 [eqn: sum _{k=1} ^{n} k LEFT ( {} _{n} {rmC} _{k} RIGHT ) ^{2} `]의 값을 구하는 과정이다.

[정답] ③

[해설]

두 다항식의 곱

[eqn: left(a_{0}+a_{1} x+ cdots+a_{n-1} x^{n-1} right) left(b_{0}+b_{1} x+ cdots+b_{n} x^{n} right)]에서

[eqn: x^{n-1}]의 계수는

[eqn: a _{0} b _{n-1} +a _{1} b _{n-2} ++a _{n-1} b _{0}]	[eqn: cdotscdots] (*)

이다.

등식 [eqn: (1+x)^{2 n-1}=(1+x)^{n-1}(1+x)^{n}]의 좌변에서

[eqn: x^{n-1}]의 계수는 [eqn: box{`` 2_{2 n-1} {rm{C}} it _{n-1} ``}]이고, [eqn: (*)]을 이용하여 우변에서

[eqn: x^{n-1}]의 계수를 구하면 [eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( it _{n-1} rm C it rm _{k-1} TIMES {BOX{it _{``n} rm C it rm _{n-k} `}} it RIGHT )]이다.

따라서

[eqn: {BOX{` _{2n-1} C it _{n-1} `}} rm = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( it rm _{n-1} rm C it rm _{k-1} TIMES {BOX{` _{n} rm C it rm _{n-k} ``}} it rm RIGHT )]이다.

한편, [eqn: 1 leq k leq n]일 때 [eqn: k times it _{n} {rm{C}} it _{k}=n times it _{n-1} {rm{C}} it _{k-1}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k LEFT ( it _{n} rm C it _{k} RIGHT ) ^{2}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( n TIMES it _{n-1} rm C it rm _{it k-1} TIMES it rm {BOX{` _{itn} rm C it rm _{n-k} rm}} RIGHT )]
[eqn: =n TIMES sum _{k=1} ^{n} LEFT ( it _{n-1} rm C it rm _{k-1} TIMES it {BOX{`` _{n} C it rm _{n-k}}} rm RIGHT )]
[eqn: =n times_{2 n-1} {rm{C}} it _{n-1}]
[eqn: =n times {(2 n-1) !} over {n !(n-1) !}]
[eqn: ={n} over {2} times {(2 n) !} over {n ! n !}]
[eqn: = {BOX{`` {n} over {2} TIMES it _{2n} rm C it _{n} ``}}]

두 다항식의 곱
[eqn: LEFT (a_0 +a_1 x+`CDOTS` +a_n-1 x^n-1 RIGHT ) LEFT (b_0 +b_1 x+`CDOTS`+b_n x^n RIGHT )`]에서 [eqn: x ^{n-1}`]의 계수는

[eqn: a_0 b_n-1 +a_1 b_n-2 +`CDOTS`+a_n-1 b_0][eqn: cdotscdots(＊)]이다.
등식 [eqn: (1+x)^2n-1`=(1+x)^n-1`(1+x)^n]의 좌변에서

[eqn: x^n-1]의 계수는 [eqn: BOX{```(가)```}]이고, [eqn: (＊)]을 이용하여 우변에서

[eqn: x_n-1 `]의 계수를 구하면[eqn: sum _{k=1} ^{n} `(` _{n-1} {rmC} _{k-1} ` TIMES {BOX{```(나)```}} `)]

이다. 따라서 [eqn: `BOX{```(가)```}` = sum _{k=1} ^{n} `(` _{n-1} {rmC} _{k-1} ` TIMES BOX{```(나)```} `)] 이다.
한편 [eqn: 1 LEQ k LEQ n`]일 때, [eqn: k TIMES _{n} {rmC} it _{k} `=n TIMES ` _{n-1}{rmC} _{k-1}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k LEFT ( {} _{n} {rmC} _{k} RIGHT ) ^{2} `][eqn: = sum _{k=1} ^{n} `(n TIMES ` _{n-1} {rmC} _{k-1} ` TIMES BOX{```(나)```} `)]
[eqn: =n TIMES sum _{k=1} ^{n} `(` _{n-1} {rmC} _{k-1} ` TIMES BOX{```(나)```} `)]
[eqn: = BOX{```(다)```}]

이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: ` _{2n} `{rmC} _{n}]	[eqn: ` _{n} `{rmC} _{n-k+1}]	[eqn: {n} over {2} TIMES ` _{2n} {rmC} _{n+1}]
②	[eqn: ` _{2n-1} `{rmC} _{n-1}]	[eqn: ` _{n} `{rmC} _{n-k+1}]	[eqn: {n} over {2} TIMES ` _{2n} {rmC} _{n}]
③	[eqn: ` _{2n-1} `{rmC} _{n-1}]	[eqn: ` _{n} {rmC} _{n-k}]	[eqn: {n} over {2} TIMES ` _{2n} {rmC} _{n}]
④	[eqn: ` _{2n} `{rmC} _{n}]	[eqn: ` _{n} `{rmC} _{n-k+1}]	[eqn: n TIMES ` _{2n} ` {rmC} _{n+1}]
⑤	[eqn: ` _{2n-1} `{rmC} _{n-1}]	[eqn: ` _{n} {rmC} _{n-k}]	[eqn: n TIMES ` _{2n} {rmC} _{n}]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 03월 18

다음은 부등식

[정답] ①

[해설]

[eqn: (1+x) ^{2n} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{n} `]의 계수는 [eqn: box{~ _{2n} rm C it rm _{n} ~}`]이다.

[eqn: (1+x) ^{n} (1+x) ^{n} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{n} `]의 계수는

[eqn: sum _{k=0} ^{n} LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} TIMES ` _{n} rm C it rm _{n-k} ` RIGHT )][eqn: =][eqn: sum _{k=0} ^{n} LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} ` RIGHT ) ^{2}]이므로

[eqn: sum _{k=0} ^{n} LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} ` RIGHT ) ^{2}][eqn: =` _{2n} rm C it rm _{n}]이 성립한다.

그러므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT { 2k TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n} LEFT { k TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT } + sum _{k=1} ^{n} LEFT { k TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{n-k} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = LEFT { LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{1} ` RIGHT ) ^{2} +2 TIMES LEFT ( ` _{n} rm C _{2} ` RIGHT ) ^{2} +it CDOTS it+n TIMES LEFT ( ` _{n} rm C _{n} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: + LEFT { LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{n-1} ` RIGHT ) ^{2} +2 TIMES LEFT ( ` _{n} rm C _{n-2} ` RIGHT ) ^{2} +it CDOTS it+n TIMES LEFT ( ` _{n} rm C _{0} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = LEFT { LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{1} ` RIGHT ) ^{2} +2 TIMES LEFT ( ` _{n} rm C _{2} ` RIGHT ) ^{2} +it CDOTS it+n TIMES LEFT ( ` _{n} rm C _{n} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: + LEFT { n` TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{0} ` RIGHT ) ^{2} +(n-1) TIMES LEFT ( ` _{n} rm C _{1} ` RIGHT ) ^{2} +it CDOTS it+ LEFT ( ` _{n} rm C _{n-1} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: =n TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{0} ` RIGHT ) ^{2} +n TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{1} ` RIGHT ) ^{2} + it CDOTS it +n TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{n} ` RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = {BOX{~n~}} ` TIMES LEFT { LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{0} ` RIGHT ) ^{2} + LEFT ( ` _{n} rm C _{1} ` RIGHT ) ^{2} +it CDOTS it+ LEFT ( ` _{n} rm C _{n} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: =box{~n~}` TIMES `box{~ _{2n} rm C it _{n} ~}]

이다. 한편

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT { 2k TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT } GEQ 10 TIMES _{2n} rm C it rm _{n+1}]

[eqn: n times `_2n {rmC} _n][eqn: geq 10 times `_{2n} {rmC}_n+1]

[eqn: n` TIMES {LEFT ( 2n RIGHT ) !} over {n!` TIMES n!} ` GEQ `10`times {LEFT ( 2n RIGHT ) !} over {(n+1)!` TIMES (n-1)!}]

[eqn: n` TIMES {1} over {n} ` GEQ `10` TIMES {1} over {n+1}]

[eqn: n+1ge10]

[eqn: n geq 9]

따라서 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: box{~9~}`]이다.

[eqn: f(n) = `_2n {rmC}_n], [eqn: g(n)=n], [eqn: p=9]이므로

[eqn: f(3)+g(3)+p][eqn: =` _{6} rm C it _{3} +3+9]
[eqn: =20+3+9]
[eqn: =32]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT { 2k TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT } GEQ 10 TIMES _{2n} rm C it rm _{n+1}]

을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값을 구하는 과정이다.

[eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{2n} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{n} `]의 계수는 [eqn: {BOX{~~ ^{`} (가) ^{`} ~~}} `]이다.

[eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n} LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{n} `]의 계수는

[eqn: sum _{k=0} ^{n} LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} TIMES ` _{n} rm C it rm _{n-k} ` RIGHT )][eqn: =][eqn: sum _{k=0} ^{n} LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} ` RIGHT ) ^{2}]

이다. 그러므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT { 2k TIMES LEFT ( _{n} rm C it rm _{k} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n} LEFT { k TIMES LEFT ( _{n} rm C it rm _{k} RIGHT ) ^{2} RIGHT } + sum _{k=1} ^{n} LEFT { k TIMES LEFT ( _{n} rm C it rm _{n-k} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = LEFT { LEFT ( _{n} rm C it rm _{1} RIGHT ) ^{2} +2 TIMES LEFT ( _{n} rm C _{2} RIGHT ) ^{2} +it `CDOTS` it+n TIMES LEFT ( _{n} rm C _{n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: + LEFT { LEFT ( _{n} rm C it rm _{n-1} RIGHT ) ^{2} +2 TIMES LEFT ( _{n} rm C _{n-2} RIGHT ) ^{2} +it `CDOTS` it+n TIMES LEFT ( _{n} rm C _{0} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = {BOX{~~ ^{`} (나) ^{`} ~~}} ` TIMES LEFT { LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{0} ` RIGHT ) ^{2} + LEFT ( ` _{n} rm C _{1} ` RIGHT ) ^{2} +it` CDOTS `it+ LEFT ( ` _{n} rm C _{n} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = {BOX{~~ ^{`} (나) ^{`} ~~}} ` TIMES ` {BOX{~~ ^{`} (가) ^{`} ~~}}]

이다.

따라서 부등식 [eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT { 2k TIMES LEFT ( _{n} rm C it rm _{k} RIGHT ) ^{2} RIGHT } GEQ 10 TIMES _{2n} rm C it rm _{n+1}`]을 만족시키는 자연수 [eqn: n `]의 최솟값은 [eqn: {BOX{~~ ^{`} (다) ^{`} ~~}} `]이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT (n RIGHT )], [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) `]이라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: p `]라 할 때, [eqn: f LEFT (3 RIGHT )+g LEFT (3 RIGHT )+p `]의 값은?

① [eqn: 32]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 40]

05 확통	03 이항정리
03 기타
01 교과외1 (다항정리)

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 14

[eqn: {(x-y+1)^n+2}{{^2020^08^경찰대^중}}]의 전개식에서 [eqn: x^n y^2]의 계수를 [eqn: f(n)]이라 할 때,

[정답] ③

[해설]

[eqn: (x-y+1)^n+2]의 전개식의 일반항은

[eqn: {(n+2)!} over {p! q! r!}cdot x^p cdot(-y)^q cdot1^r] (단, [eqn: p+q+r =n+2])

[eqn: x^n y^2]의 계수 [eqn: f(n)]은 [eqn: p=n], [eqn: q=2], [eqn: r=0]이므로

[eqn: {(n+2)!} over {n! 2! 0!}cdot x^n cdot(-y)^2 cdot1^0]

즉, [eqn: f(n)= {(n+2)!}over{n!cdot2!}][eqn: = {(n+2)(n+1)}over2]

[eqn: therefore][eqn: 1over f(n) =2 left( 1over n+1 - 1over n+2 right)]

[eqn: 1overf(1) + 1overf(2) + cdots + 1overf(2020)]

[eqn: = 2 left { left( 1over 2 - 1over3 right) + left( 1 over 3 - 1 over 4 right) + cdots + left( 1 over 2021 - 1over 2022 right) right}]
[eqn: = 2 left( 1over2 - 1over 2022 right)= 1010 over1011]

따라서 [eqn: a=1010], [eqn: b=1011]이므로 [eqn: a+b=2021]

[eqn: 1overf(1) + 1overf(2) + 1over f(3) + cdots + 1overf(2020) = a overb]

이다. [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a ,```` b]는 서로소인 자연수이다.)

① [eqn: 2019]	② [eqn: 2020]	③ [eqn: 2021]

④ [eqn: 2022]	⑤ [eqn: 2023]

[준킬러][확통] 1경우의수(빠른 정답)
준킬러확통	2023.01.07

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[정답] [eqn: 150]

[정답] [eqn: 97]

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ①

[정답] [eqn: 260]

[정답] [eqn: 168]

[정답] ②

[정답] [eqn: 288]

[정답] [eqn: 48]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[정답] ④

[정답] [eqn: 13]

[정답] [eqn: bold{ 180]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold{450]

[정답] ①

[정답] [eqn: 199]

[정답] [eqn: 708]

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 720]

[정답] [eqn: 90]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 14]

[정답] [eqn: 66]

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: rm 40]

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[정답] ④

[정답] ①

[정답] [eqn: 51]

[정답] [eqn: bold{49]

[정답] [eqn: bold { 114 }]

[정답] [eqn: bold { 396 }]

[정답] [eqn: bold { 37 }]

[정답] [eqn: bold { 201 }]

[정답] [eqn: bold72]

[정답] [eqn: bold { 168 }]

[정답] [eqn: 218]

[정답] [eqn: bold { 51 }]

[정답] [eqn: 32]

[정답] [eqn: 32]

[정답] [eqn: bold{210]

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: bold31]

[정답] [eqn: 332`]

[정답] [eqn: bold{327}]

[정답] ②

[정답] [eqn: 65]

[정답] [eqn: 105]

[정답] ③

[정답] [eqn: 96]

[정답] [eqn: bold { 126 }]

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 84 }]

[정답] [eqn: 55]

[정답] [eqn: bold{80]

[정답] [eqn: 60]

[정답] ③

[정답] [eqn: 45]

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 120 }]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ③

[정답] [eqn: 12]

[정답] ①

[정답] [eqn: 12]

[정답] [eqn: bold { 243]

[정답] [eqn: 93]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: {bold{760}}]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 64]

[정답] [eqn: 144]

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ③

[준킬러][확통] 1경우의수(해설)
준킬러확통	2023.01.07