	준킬러기하	[준킬러][기하] 3공도좌
	03
		준킬러기하	2023.01.07

07 기하	09 공간도형
01 직선, 평면의 위치관계
02 위치 관계1 (직선 또는 평면의 위치 관계)

준킬러기하		준킬러기하
		[준킬러][기하] 3공도좌
03

	준킬러기하		준킬러기하
	[준킬러][기하] 3공도좌		03

[출처]	2004 모의_공공 교육청 고1 06월 20

그림은 각 면에 번호를 적어 넣 은 정팔면체의 전개도이다. 이 전개도로 정팔면체를 만들었을 때 두 개의 면이 한 모서리에서 만나면 그 두 면은 '서로 이웃'하다고 한다. 예를 들어 [eqn: rm 7]의 면과 서로 이웃한 세 면은 [eqn: 1], [eqn: 5], [eqn: 8]이다. 이때, [eqn: rm 6]의 면과 서로 이웃한 세 면을 바르게 묶은 것은?

[정답] ③

[해설]

전개도를 접어 생긴 입체도형을 각 면의 번호를 알기 쉽도록 다시 나타내면 아래 그림과 같다.

이 그림에서 보이지 않는 뒷면의 번호는 [eqn: rm 6]이다.

따라서, [eqn: rm 6]의 면과 서로 이웃한 세 면은 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이다.

① [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]	② [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5]	③ [eqn: rm 2], [eqn: rm 3], [eqn: rm 4]

④ [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 5]	⑤ [eqn: 2], [eqn: 5], [eqn: 8]

07 기하	09 공간도형
01 직선, 평면의 위치관계
06 위치 관계5 (공간에서의 길이. 넓이. 부피)

[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 15

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 12]인 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH`]에 내접하는 구가 있다. 변 [eqn: rmAE,][eqn: rmCG]를 [eqn: 1``:``3``]으로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmP,```R]라 하고 변 [eqn: rmBF`]의 중점을 [eqn: rmQ]라 한다. 네 점  [eqn: rmD,```P,```Q,```R]를 지나는 평면으로 내접하는 구를 자를 때 생기는 원의 넓이는?

[정답] ②

[해설]

내접구의 중심을[eqn: rm O``], 변[eqn: rm DH``]의 중점을 [eqn: rm Q prime ``], 점[eqn: rm O``]에서 선분[eqn: rm DQ``]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm S``]라 하자.

[eqn: △ rm DQQ prime]∽[eqn: △ rm OQS]이고 [eqn: bar{rm DQ prime it} =6``],[eqn: bar{rm DQ it} =18``], [eqn: bar{rm OQ it} =6 sqrt {2} ``]이므로

[eqn: bar{rm OS it} =6 sqrt {2} TIMES {6} over {18} =2 sqrt {2} ``]

구의 반지름의 길이가 [eqn: 6``]이므로 구를 평면 [eqn: rm `DPQR]로 자른 단면의 반지름의 길이를 [eqn: r``]라 하면

[eqn: r ^{2`} =6 ^{2} -(2 sqrt {2} ) ^{2} =28]

따라서 단면의 넓이는 [eqn: 28 pi ``]이다.

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

[eqn: rmF]

[eqn: rmG]

[eqn: rmH]

[eqn: rmQ]

[eqn: rmP]

[eqn: rmR]

① [eqn: 26 pi ``]	② [eqn: 28 pi ``]	③ [eqn: 30 pi ``]

④ [eqn: 32 pi ``]	⑤ [eqn: 34 pi ``]

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 12

중심이 [eqn: O`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 구에 내접하는 정사면체 [eqn: rmABCD`]가 있다. 두 삼각형 [eqn: rmBCD,`````ACD`]의 무게중심을 각각 [eqn: rmF,````G]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ④

[해설]

B

O

A

C

D

F

G

ㄱ. 직선 AF와 직선 BG는 점 O에서 만난다. (참)

ㄴ. 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 내접하는 정삼각형의 한 변의 길이는 [eqn: root3]이다.
따라서 정삼각형 ABC의 한 변의 길이는 [eqn: root3]보다 작다.
그런데, 한 변의 길이가 [eqn: root3]인 정삼각형의 넓이는 [eqn: 1over2 times(root3 )^2 times sin 60DEG = {3root3} over 4]이므로
정삼각형 ABC의 넓이는 [eqn: {3root3} over 4]보다 작다. (참)

ㄷ. 다음 그림에서 삼각형 AFC와 삼각형 AGO는 닮음꼴이다.

그런데, ∠ACF는 정사면체의 이웃한 두 면이 이루는 각의 크기와 같고, ∠ACF=∠AOG이므로
[eqn: cos theta = cos ( ∠ACF ) = 1over3] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[다른 풀이]

ㄱ. 선분 CD의 중점을 M이라 하면 점 F는 선분 BM 위에 있고, 점 G는 선분 AM 위에 있다.
따라서 5개의 점 A, B, F, G, M은 모두 한 평면 위에 있다.
따라서 직선 AF와 직선 BG는 꼬인 위치에 있지 않다.

	<보 기>
ㄱ. 직선 [eqn: rmAF`]와 직선 [eqn: rmBG`]는 꼬인 위치에 있다. ㄴ. 삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이는 [eqn: {3 sqrt {3` _{`}}} over {4}]보다 작다. ㄷ. [eqn: rmANGLE AOG`=it theta `]일 때, [eqn: cos theta = {1 _{`}} over {3`}]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 24

평면 [eqn: pi]에 수직인 직선 [eqn: l]을 경계로 하는 세 반평면 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]가 있다. [eqn: alpha], [eqn: beta]가 이루는 각의 크기와 [eqn: beta], [eqn: gamma]가 이루는 각의 크기는 모두 [eqn: 120 DEG]이다. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 구가 [eqn: pi], [eqn: alpha], [eqn: beta]에 동시에 접하고, 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 구가 [eqn: pi], [eqn: beta], [eqn: gamma]에 동시에 접한다.

[정답] [eqn: bold31]

[해설]

그림과 같이 세 평면과 두 구의 평면 [eqn: pi] 위로의 정사영을 생각하자. 아래 그림에서

[eqn: rm ANGLE OAD= ANGLE OBE=30 DEG]이므로 [eqn: rm bar{OD} = {sqrt {3}} over {3}], [eqn: rm bar{OE} = {2 sqrt {3}} over {3}]이다.

따라서 [eqn: rm bar{DE} = bar{BC} = {sqrt {3}} over {3}]이므로 [eqn: rm bar{AB} = {2 sqrt {21}} over {3}]이다.

[eqn: d= sqrt {1+ {28} over {3}} = sqrt {{31} over{3}}]이므로 [eqn: 3`d ^{``2} =31]이다.

두 구의 중심 사이의 거리를 [eqn: d``]라 할 때, [eqn: 3`d `^{2}]의 값을 구하시오. (단, 두 구는 평면 [eqn: pi]의 같은 쪽에 있다.)

07 기하	09 공간도형
02 삼수선의 정리
01 삼수선의 정리1 (기본, 길이)

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 10월 18

평면 [eqn: alpha] 위에 거리가 [eqn: 4`]인 두 점 [eqn: RMA`], [eqn: RMC`]와 중심이 [eqn: RMC`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 원이 있다. 점 [eqn: rm A`]에서 이 원에 그은 접선의 접점을 [eqn: rm B`]라 하자. 점 [eqn: rm B`]를 지나고 평면 [eqn: alpha`]와 수직인 직선 위에 [eqn: bar{rm BP it} =2`]가 되는 점을 [eqn: rmP`]라 할 때, 점 [eqn: rm C`]와 직선 [eqn: rm AP] 사이의 거리는?

[정답] ②

[해설]

직각삼각형 [eqn: rmABC]에서    [eqn: bar{rm AB it} =2 sqrt {3}]

점 [eqn: rmB]에서 [eqn: bar{rm AP it}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 직각삼각형 [eqn: rm ABP]에서    [eqn: bar{rm BH it} = sqrt {3}]

삼수선의 정리에 의하여 [eqn: bar{rm CH it} BOT bar{rm AP it}]이다. 따라서 직각삼각형 [eqn: rm CBH]에서 [eqn: bar{rm BC it} `=2], [eqn: bar{rm BH it}` `= sqrt {3}]이므로    [eqn: bar{rm CH it} ``= sqrt {7}]

① [eqn: sqrt {6}]	② [eqn: sqrt {7}]	③ [eqn: 2 sqrt {2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: sqrt {10}]

07 기하	09 공간도형
02 삼수선의 정리
02 삼수선의 정리2 (길이, 입체도형에 활용)

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 19

한 변의 길이가 [eqn: 12`]인 정삼각형 [eqn: rm BCD`]를 한 면으로 하는 사면체 [eqn: rm ABCD`]의 꼭짓점 [eqn: rm A`]에서 평면 [eqn: rm BCD`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 할 때, 점 [eqn: rm H`]는 삼각형 [eqn: rm BCD`]의 내부에 놓여 있다.

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: rmH`]에서 세 선분 [eqn: rmBC,~BD,~CD`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmE,~F,~G`]라 하면 주어진 조건에 의하여

[eqn: bar {rm HE}`=k,~bar {rmHF}`=2k,~bar {rmHG}`=3k`]

로 놓을 수 있다.

이때 정삼각형 [eqn: rmBCD`]의 넓이는

[eqn: 1 over 2 times 12 times (k+2k+3k)= 36k`]

이고, 한 변의 길이가 [eqn: 12`]인 정삼각형의 넓이는 [eqn: root 3 over 4 times 12^2 = 36root 3`]이므로

[eqn: 36k= 36 root 3`]에서 [eqn: k=root 3`]

한편 점 [eqn: rmM`]은 선분 [eqn: rmBD`]의 중점이므로 점 [eqn: rmM`]과 선분 [eqn: rmCD`]사이의 거리는 [eqn: 3root 3`]이고, [eqn: bar {rmHG}`=3root 3`]이므로 [eqn: bar {rmHM}`□`` bar {rmCD}`]이다.

따라서

[eqn: △rmCHM=△DHM`]

이므로

[eqn: 1 over 2 times bar {rmHM} times bar {rmHG} `= 1 over 2 times bar {rmDM} times bar {rmHF}`]

[eqn: bar {rmHM} times 3 root 3 = 6 times 2 root 3`]

[eqn: bar {rmHM}`=4`]

한편 [eqn: bar {rmAH} `bot `](평면 [eqn: rmBCD`]), [eqn: bar {rmAQ}`bot`bar {rmCM}`]이므로 삼수선의 정리에 의하여

[eqn: bar {rmHQ}`bot`bar {rmCM}`]

이때 사각형 [eqn: rmHQMF`]는 직사각형이므로

[eqn: bar {rmQM}`=bar {rmHF}`=2root 3`]

직각삼각형 [eqn: rmHQM}`]에서

[eqn: bar {rmHQ}`=root{{bar {rmHM}}^2 -{bar {rm QM}}^2 }`=root {16-12}`=2`]

따라서 직각삼각형 [eqn: rmAQH`]에서

[eqn: bar {rmAQ}`=root{ {bar {rmAH}}^2 +{bar {rmHQ}}^2 } `=root {3^2 +2^2 }=root 13`]

삼각형 [eqn: rm CDH`]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm BCH`]의 넓이의 [eqn: 3`]배, 삼각형 [eqn: rm DBH`]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm BCH`]의 넓이의 [eqn: 2`]배이고 [eqn: rm bar AH = 3`]이다. 선분 [eqn: rm BD`]의 중점을 [eqn: rm M], 점 [eqn: rm A`]에서 선분 [eqn: rm CM`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q`]라 할 때, 선분 [eqn: rm AQ`]의 길이는?

① [eqn: root 11`]	② [eqn: 2 root 3`]	③ [eqn: root 13`]

④ [eqn: root 14`]	⑤ [eqn: root 15`]

07 기하	09 공간도형
02 삼수선의 정리
05 삼수선의 정리5 (직선과 평면이 이루는 각)

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 07월 19

그림과 같이 [eqn: bar{rm AB` it} `=`2`,~ bar{rm AD` it} `=`3`,~ bar{rm AE` it} `=`4`]인 직육면체 [eqn: RMABCD-EFGH`]에서 평면 [eqn: rm AFGD`]와 평면 [eqn: RMBEG`]의 교선을 [eqn: l`]이라 하자. 직선 [eqn: l`]과 평면 [eqn: rmEFGH`]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta`]라 할 때, [eqn: cos ^{2} theta `]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

선분 [eqn: RMAF`]와 선분 [eqn: RMBE`]의 교점을 점 [eqn: RMM`]이라 하면, 평면 [eqn: rm AFGD`]와 평면 [eqn: RMBEG`]의 교선은 직선[eqn: rmGM`]이다. 점 [eqn: rmM`]에서 평면 [eqn: rmEFGH`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmN`]이라 하자.

[eqn: bar{rm GF` it} `=`3`,~ bar{rm FN` it} `=` 1], [eqn: bar{rm MN`} `=`2]이므로

[eqn: bar{rmGN`} `=`root 10], [eqn: bar{rm GM` it} `=` sqrt {14}]

[eqn: cos theta `=` rm {bar{GN}} over {rm bar{GM}} `= {sqrt {5}} over {sqrt {7}} it][eqn: THEREFORE ```cos ^{2} theta `=` {5} over {7}]

① [eqn: {1} over {7}]	② [eqn: {2} over {7}]	③ [eqn: {3} over {7}]

④ [eqn: {4} over {7}]	⑤ [eqn: {5} over {7}]

07 기하	09 공간도형
02 삼수선의 정리
06 이면각1 (이면각 구하기)

[출처]	2007 모의_공공 사관학교 고3 07월 13

그림은 모든 모서리의 길이가 같은 정사각뿔 [eqn: rmO-ABCD]와 정사면체 [eqn: rmO-CDE]를 면 [eqn: rmOCD]가 공유하도록 붙여놓은 것이다. 평면 [eqn: rmABCD]와 평면[eqn: rmCDE`]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos` ^{2} theta]의 값은?

[정답] ②

[해설]

사각형[eqn: ABCD]를 확장한 평면을 [eqn: alpha]라 하고, 점[eqn: E]에서 평면[eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라 하고, 점[eqn: O]에서 사각형[eqn: ABCD]에 내린 수선의 발을 [eqn: H```'], 변 [eqn: CD]의 중점을 [eqn: M]이라 하자.

이때, [eqn: bar{H``'M} BOT bar{CD} `,`` bar{EM} ` BOT bar{CD}]이므로 각[eqn: ANGLE H``'ME]는 이면각의 정의를 만족시키므로 [eqn: ANGLE H`` prime ME`= theta]이다.

여기서 이 [eqn: 7]면체의 항 변의 길이를 [eqn: 2a]라 두면

[eqn: bar{EM} = sqrt {3} `a,`` bar{EH} `= bar{OH``'} `= sqrt {2} `a] 이므로

[eqn: TRIANGLE EMH]에서 [eqn: sin( pi - theta )=sin theta = {sqrt {2} `a} over {sqrt {3} `a} = sqrt {{2} over {3}}]

∴ [eqn: cos` ^{2} theta =1-sin ^{2} theta =1- {2} over {3} = {1} over {3}]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {2} over {9}]	⑤ [eqn: {1} over {9}]

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 25

같은 평면 위에 있지 않고 서로 평행한 세 직선 [eqn: l,`m,`n]이 있다. 직선 [eqn: l] 위의 두 점 [eqn: rmA,`B], 직선 [eqn: m] 위의 점 [eqn: rmC], 직선 [eqn: n]위의 점 [eqn: rmD]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: {bold{30}}]

[해설]

두 직선 [eqn: m,`n`]을 포함하는 평면을 [eqn: alpha`]라 하자.

[eqn: l`□`m ,```l`□`n`]이므로 [eqn: l``□ alpha`]이다.

직선 [eqn: l`] 위의 두 점 [eqn: rm A,``B`]에서 평면 [eqn: alpha`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm E ,``F`]라 하고, 선분 [eqn: rm FD`]와 직선 [eqn: m`]의 교점을 [eqn: rm G`]라 하자.

[eqn: rmG]

[eqn: rmF]

[eqn: rmE]

[eqn: rmD]

[eqn: rmC]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: 2root2]

[eqn: 4root2]

[eqn: 3]

[eqn: n]

[eqn: m]

[eqn: l]

[eqn: 5]

[eqn: alpha]

[eqn: rm bar AB`□ bar EF `], [eqn: rm bar EF`□` bar CG`]이고,    [eqn: rm bar EF = bar CG = 2root2`]

이므로 직각삼각형 [eqn: rm DGC`]에서

[eqn: rm bar GD = root{ 3^2 - (2root2 )^2 } = 1`]

직각삼각형 [eqn: rm ABD`]에서

[eqn: rm bar AD = root{ ( 4 root2 )^2 + (2 root2 )^2 } = 2root10`]

삼각형 [eqn: rm ACD`]에서

[eqn: rm cos (∠ ACD ) = { 5^2 + 3^2 - (2 root10 )^2 } over { 2 cdot 5 cdot 3}` = - 1 over 5`]

이므로    [eqn: rm sin ( ∠ ACD ) = root{ 1- left( - 1over 5 right)^2 } = { 2root6} over 5`]

따라서 삼각형 [eqn: rm ACD`]의 넓이는

[eqn: 1over 2 times 5 times 3 times {2root6} over 5 = 3root6`]이다.

[eqn: {rm bar EC} = a`], [eqn: {rm bar AE = bar BF } = b`]라 하면 [eqn: {rm bar FD} = a+1`]이고,

삼각형 [eqn: rm AEC`]에서    [eqn: a^2 + b^2 = 25`][eqn: cdots ㉠`]

삼각형 [eqn: rm BFD`]에서    [eqn: (a+1)^2 + b^2 = 32`][eqn: cdots㉡`]

㉡-㉠에서    [eqn: 2a+1 = 7`], [eqn: a=3`]

삼각형 [eqn: rm ACD`]의 평면 [eqn: alpha`] 위로의 정사영은 삼각형 [eqn: rm ECD`]이고, 삼각형 [eqn: rm ECD`]의 넓이는

[eqn: 1over 2 times {rm bar EC times bar CG } = 1over 2 times 3 times 2root2 = 3root2`]

따라서, [eqn: 3root6 `times cos theta = 3root2`]에서    [eqn: cos theta = 1over root3`]

∴ [eqn: tan^2 theta = sec^2 theta -1`][eqn: = 1over { cos^2 theta } -1`][eqn: = 3-1`][eqn: = 2`]

∴ [eqn: 15 `tan^2 theta = 30`]

(가) [eqn: rm bar{AB} =2 sqrt {2} ,` bar{CD} =3]

(나) [eqn: rm {bar{AC}} BOT it l,` rm{bar{AC}} =5]

(다) [eqn: rm bar{BD} BOT {itl},` bar{BD} =4 sqrt {2}]

두 직선 [eqn: m,`n]을 포함하는 평면과 세 점 [eqn: rmA,`C,`D]를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: 15tan ^{2} theta]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}])

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

그림은 어떤 사면체의 전개도이다. 삼각형 [eqn: rm BEC]는 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형이고, [eqn: angle rm ABC =angle CFA =90DEG], [eqn: rm barAC =4]이다. 이 전개도로 사면체를 만들 때, 두 면 [eqn: rm ACF], [eqn: rm ABC]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: costheta]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

주어진 전개도로 사면체를 만들 때, 전개도의 점 [eqn: rm D], [eqn: rm E], [eqn: rm F]는
일치한다. 사면체에서 이 세 점을 [eqn: rm P]라 하자.
사면체 [eqn: rm PABC]의 점 [eqn: rm P]에서 면 [eqn: rm APC]와 면 [eqn: rm ABC]의 교선
[eqn: rm AC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H], 점 [eqn: rm P]에서 평면 [eqn: rm ABC]에 내린
수선의 발을 [eqn: rm G]라 할 때,
이면각의 정의에 의하여 [eqn: cos theta][eqn: = rm { barHG} over { barPH}]이다.

삼각형 [eqn: rm PAC]와 삼각형 [eqn: rm FAC]가 합동이므로

[eqn: rm barPH bot barAC], [eqn: rm barFH bot barAC]
따라서 삼수선의 정리에 의하여 점 [eqn: rm G]는 직선 [eqn: rm FH] 위에
존재한다.  점 [eqn: rm P]에서 면 [eqn: rm PBC]와 면 [eqn: rm ABC]의 교선 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 하면 삼각형 [eqn: rm PBC]와 삼각형 [eqn: rm EBC]가 합동이므로

[eqn: rm bar PH bot barBC], [eqn: rm barEH bot barBC]
따라서 삼수선의 정리에 의하여 점 [eqn: rm G]는 직선 [eqn: rm EI] 위에 존재
한다.

[eqn: rm barCF = barCE =2]이므로 직각삼각형 [eqn: rm ABC], [eqn: rm AFC]는 합동이다.
따라서 점 [eqn: rm F]와 점 [eqn: rm B]에서 선분 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 발은
일치한다. 따라서 직선 [eqn: rm FH]는 점 [eqn: rm B]를 지난다.
[eqn: cos (angle rm ACB ) = 1 over2]이므로
[eqn: angle rm ACB =60DEG],

[eqn: angle rm CBH =30DEG]
∴ [eqn: rm barFH = bar BH = 2 sin 60DEG = sqrt { 3}]

[eqn: bar{rm BG} `cos 30DEG = 1]에서

[eqn: rm barBG = {2sqrt { 3}} over 3]
[eqn: rm barHG][eqn: = rm barBH - barBG][eqn: = sqrt { 3} over3]
[eqn: therefore][eqn: cos theta][eqn: = rm { barHG} over { barPH}][eqn: = { sqrt { 3} over3 } over { sqrt { 3} }][eqn: = 1 over3] (∵ [eqn: rm barPH = bar FH])

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {6}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 10월 26

한 모서리의 길이가 [eqn: 4`]인 정사면체 [eqn: rm ABCD`]에서 선분 [eqn: rm AD`]를 [eqn: 1:3`]으로 내분하는 점을 [eqn: rm P], [eqn: 3:1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. 두 평면 [eqn: rm PBC`]와 [eqn: rm QBC`]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta `]라 할 때, [eqn: cos` theta = {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold16`]

[해설]

두 선분 [eqn: rmBC`], [eqn: rmAD`]의 중점을 각각 [eqn: rmM`], [eqn: rmN`]이라 하면, [eqn: rm {bar{AM}} = {bar{DM}} =2 sqrt {3}`]이므로    [eqn: rm {bar{MN}} =2 sqrt {2}]

[eqn: rm {bar{PN}} = {bar{QN}} =1`]이므로     [eqn: rm {bar{PM}} = {bar{QM}} =3]

[eqn: theta = rm ANGLE PMQ`]이고, [eqn: rm {bar{PQ}} =2`]이므로

[eqn: cos` theta = {3 ^{`2} +3 ^{`2} -2 ^{`2}} over {2 TIMES 3 TIMES 3} = {7} over {9}],

따라서    [eqn: p+q=16]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 29

그림과 같이

[정답] [eqn: bold { 25 }]

[해설]

[eqn: ANGLE rm BMD][eqn: = {pi} over {2}]이므로 [eqn: {bar{rm BM}}][eqn: =8]

[eqn: ANGLE rm BAM][eqn: = {pi} over {2}]이므로 [eqn: {bar{rm AM}}][eqn: =4 sqrt {3}]

점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: rmBM]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

[eqn: {bar{rm PM}} BOT {bar{rm BM}}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

직선 [eqn: rmAB]와 평면 [eqn: rmACD]가 서로 수직이므로

[eqn: {bar{rm AB}} BOT {bar{rm CD}}]

직선 [eqn: rmCD]는 두 직선 [eqn: rmAB ,```` BM]과 서로 수직이므로

[eqn: {bar{rm CD}} BOT](평면 [eqn: rmAMB])

직선 [eqn: rmPH]는 평면 [eqn: rmAMB]에 포함되므로 [eqn: {bar{rm PH it}} BOT {bar{rm CD}}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: {bar{rm PH}} BOT](평면 [eqn: rmCDB])

[eqn: {bar{rm PH}} BOT](평면 [eqn: rmCDB])이고 [eqn: {bar{rm PN}} BOT {bar{rm BD}}]이므로 삼수선의 정리에 의하여

[eqn: {bar{rm HN}} BOT {bar{rm BD}}]

두 삼각형 [eqn: rmDBM]과 [eqn: rmHBN]은 서로 닮은 도형이므로 [eqn: {bar{rm BM}} ``:`` {bar{rm MD}}][eqn: = {bar{rm BN}} ``:`` {bar{rm NH}}]에서 [eqn: {bar{rm NH}}][eqn: = {{bar{rm MD}} TIMES {bar{rm BN}}} over {{bar{rm BM}}}][eqn: = sqrt {5}]

[eqn: ANGLE rm BNH][eqn: = {pi} over {2}]이므로 [eqn: {bar{rm BH}} ^{2}][eqn: = {bar{rm BN}} ^{2} + {bar{rm NH}} ^{2}][eqn: =25]

[eqn: {bar{rm BH}}][eqn: =5], [eqn: {bar{rm MH}}][eqn: =3]

[eqn: tan LEFT ( ANGLE rm AMB RIGHT )][eqn: = {sqrt {3}} over {3}]이므로 [eqn: {bar{rm PH}}][eqn: = sqrt {3}]

[eqn: {bar{rm PN}} ^{2}][eqn: = {bar{rm PH}} ^{2} + {bar{rm HN}} ^{2}][eqn: =8], [eqn: {bar{rm PN}}][eqn: =2 sqrt {2}]

두 평면 [eqn: rmPDB], [eqn: rmCDB]의 교선은 직선 [eqn: rmDB]이고, 평면 [eqn: rmPDB] 위의 점 [eqn: rmP]의 평면 [eqn: rmCDB]위로의 정사영이 [eqn: rmH]이므로

[eqn: cos theta][eqn: = {{bar{rm HN}}} over {{bar{rm PN}}}][eqn: = {sqrt {5}} over {2 sqrt {2}}][eqn: = {sqrt {10}} over {4}]

따라서 [eqn: 40 cos ^{2} theta][eqn: =25]

[eqn: {{bar{rm AB}}}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}][eqn: =4], [eqn: {bar{rm CD}}][eqn: =8], [eqn: {bar{rm BC}}][eqn: = {bar{rm BD}}][eqn: =4 sqrt {5}]

인 사면체 [eqn: rmABCD]에 대하여 직선 [eqn: rmAB]와 평면 [eqn: rmACD]는 서로 수직이다. 두 선분 [eqn: rmCD], [eqn: rmDB]의 중점을 각각 [eqn: rmM ,```` N]이라 할 때, 선분 [eqn: rmAM] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmDB]와 선분 [eqn: rmPN]은 서로 수직이다. 두 평면 [eqn: rmPDB]와 [eqn: rmCDB]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: 40 cos ^{2} theta]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 29

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: {8}{{from^2021^09^평가원^중}}]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]에 두 선분 [eqn: RMAB ,```` CD]를 각각 지름으로 하는 두 반원이 붙어 있는 모양의 종이가 있다. 반원의 호 [eqn: RMAB]의 삼등분점 중 점 [eqn: RMB]에 가까운 점을 [eqn: RMP]라 하고, 반원의 호 [eqn: RMCD]를 이등분하는 점을 [eqn: RMQ]라 하자.

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[해설]

[eqn: {bar{rm PG}} = sqrt {3} ,```` {bar{rm QH}} =2 sqrt {3}]이므로 점 [eqn: RMP]를 지나고 평면 [eqn: rm ABCD]와 평행한 평면이 두 선분 [eqn: RMQC ,```` QH]와 만나는 점을 각각 [eqn: RMM _{1} ,```` M _{2}]라 하면 두 점은 중점이다.

이때, 구하는 평면이 이루는 각은 두 평면 [eqn: RMPM _{1} M _{2} ,```` PM _{1} Q]가 이루는 각이다.

한편 점 [eqn: RMP]에서 선분 [eqn: RMAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMP prime], 선분 [eqn: RMAB]를 지름으로 하는 원의 중심을 [eqn: RMO _{1}]이라 하면

[eqn: {bar{rm O _{1} P'}} =4 cos 60°=2]

[eqn: {bar{rm P'G}}][eqn: = sqrt {{bar{rm PP'}} ^{2} - {bar{rm PG}} ^{2}}]
[eqn: = sqrt {LEFT ( 4 sin 60° RIGHT ) ^{2} - LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: =3]

또, 점 [eqn: RMQ]에서 선분 [eqn: RMCD]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMQ prime], 선분 [eqn: RMCD]를 지름으로 하는 원의 중심을 [eqn: RMO _{2}]라 하면

[eqn: {bar{rm HO _{2}}}][eqn: = sqrt {{bar{rm QO _{2}}} ^{2} - {bar{rm QH}} ^{2}}]
[eqn: = sqrt {4 ^{2} - LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: =2]

이때, 점 [eqn: RMM _{1}]의 평면 [eqn: rm ABCD] 위로 정사영 시킨 점을 [eqn: RMM _{1} ']이라 하면, [eqn: RMM _{1} ']은 선분 [eqn: RMCH]의 중점이므로 그림과 같다.

이때,

[eqn: {bar{rm GH}} = sqrt {3 ^{2} +2 ^{2}} = sqrt {13}]

[eqn: {bar{rm HM _{1} '}} = {1} over {2} {bar{rm HC}} = {1} over {2} sqrt {2 ^{2} +4 ^{2}} = sqrt {5}]

또, 선분 [eqn: RMGM _{1} ']과 점 [eqn: RMH]를 지나고 선분 [eqn: RMBC]에 수직인 직선이 만나는 점을 [eqn: RME]라 하면

[eqn: {bar{rm GM _{1} prime }} = {bar{rm "GE"}} + {bar{rm EM _{1} prime }} =3+1=4]

이때,

[eqn: {bar{rm PM _{2}}} = {bar{rm GH}} = sqrt {13}], [eqn: {bar{rm M _{1} M _{2}}} = {bar{rm HM _{1} '}} = sqrt {5}],

[eqn: {bar{rm PM _{1}}} = {bar{rm GM _{1} '}} =4]

이고

[eqn: {bar{rm PQ}} = sqrt {LEFT ( sqrt {13} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2}} =4],

[eqn: {bar{rm QM _{1}}} = sqrt {LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {5} RIGHT ) ^{2}} =2 sqrt {2}]

이므로 다음 그림과 같다.

점 [eqn: RMP]에서 선분 [eqn: rm QM _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMP'']이라 하자.

이때, [eqn: ANGLE rm PM _{1} Q= alpha]라 하면

[eqn: cos alpha = {{bar{rm M _{1} P''}}} over {{bar{rm PM _{1}}}} = {{1} over {2} {bar{rm M _{1} Q}}} over {{bar{rm PM _{1}}}} = {sqrt {2}} over {4}]

또, 점 [eqn: RMQ]에서 선분 [eqn: RMPM _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMQ']이라 하면 [eqn: {bar{rm QQ'}} BOT {bar{rm PM _{1}}}]이고 [eqn: {bar{rm QM _{2}}} BOT](평면 [eqn: RMPM _{1} M _{2}])이므로 삼수선의 정리에 의해 [eqn: {bar{rm M _{2} Q'}} BOT {bar{rm PM _{1}}}]

이때, [eqn: {bar{rm M _{1} Q'}}][eqn: = {bar{rm QM _{1}}} ` cos alpha][eqn: =2 sqrt {2} TIMES {sqrt {2}} over {4}][eqn: =1]이므로

[eqn: {bar{rm QQ'}}][eqn: = sqrt {{bar{rm QM _{1}}} ^{2} - {bar{rm Q'M _{1}}} ^{2}}]
[eqn: = sqrt {LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} -1 ^{2}}]
[eqn: = sqrt {7}]

[eqn: {bar{rm M _{2} Q prime }}][eqn: = sqrt {{bar{rm M _{2} M _{1}}} ^{2} - {bar{rm Q prime M _{1}}} ^{2}}]
[eqn: = sqrt {LEFT ( sqrt {5} RIGHT ) ^{2} -1 ^{2}}]
[eqn: =2]

따라서 [eqn: cos theta = {{bar{rm Q'M _{2}}}} over {{bar{rm QQ'}}} = {2} over {sqrt {7}}]이므로

[eqn: 70 TIMES cos ^{2} theta =70 TIMES {4} over {7} =40]

이 종이에서 두 선분 [eqn: RMAB]와 [eqn: RMCD]를 접는 선으로 하여 두 반원을 접어 올렸을 때 두 점 [eqn: RMP ,```` Q]에서 평면 [eqn: rm ABCD]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: RMG ,```` H]라 하면 두 점 [eqn: RMG ,```` H]는 정사각형 [eqn: rm ABCD]의 내부에 놓여 있고, [eqn: {bar{rm PG}} = sqrt {3} ,```` {bar{rm QH}} =2 sqrt {3}]이다. 두 평면 [eqn: RMPCQ]와 [eqn: rm ABCD]가 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]일 때, [eqn: 70 TIMES cos ^{2} theta]의 값을 구하시오.
(단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 28

[그림[eqn: {1}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]]과 같이 [eqn: bar{rmAB}=3], [eqn: bar{rmAD} = 2sqrt7]인 직사각형 [eqn: rmABCD] 모형의 종이가 있다. 선분 [eqn: rmAD]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하자. 두 선분 [eqn: rmBM], [eqn: rmCM]을 접는 선으로 하여 [그림[eqn: 2]]와 같이 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmD]가 한 점 [eqn: rmP]에서 만나도록 종이를 접었을 때, 평면 [eqn: rmPBM]과 평면 [eqn: rmBCM]이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: cos theta]의 값은? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: bar{rmAM} = root 7]이고, 점 [eqn: rmM]에서 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH], 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: bar {rmBM}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmX]라 하면 직선 [eqn: rmAX]와 [eqn: bar {rmBH}]의 교점이 생긴다. 이때 이 점을 [eqn: rmY]라 하자.

[eqn: triangle{ rmAXM}]과 [eqn: triangle rmMXY], [eqn: triangle{ rmBXA]가 닮음이므로

[eqn: bar {rmMY} = 7 over 3]

[eqn: bar{rm AX} = bar{ rmXP}]이므로 [eqn: cos theta = {bar{ rmXY} over { bar{ rmXP} } = bar{ rmXY} over {bar{rmAX}]

[eqn: triangle{ rmABX}]와 [eqn: triangle{ rmYMX}]이므로

[eqn: bar{ rmXY} over {bar {rmXA}}={bar{rmMY} over {bar{ rmAB} } = 7 over 9]

[eqn: THEREFORE```` cos theta = 7 over 9]

① [eqn: 17 over27]	② [eqn: 2 over3]	③ [eqn: 19 over27]

④ [eqn: 20 over27]	⑤ [eqn: 7 over9]

07 기하	09 공간도형
02 삼수선의 정리
07 이면각2 (이면각 조건)

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 24

그림과 같이 반지름의 길이가 모두 [eqn: SQRT { 3`}]이고 높이가 서로 다른 세 원기둥이 서로 외접하며 한 평면 [eqn: alpha] 위에 놓여 있다. 평면 [eqn: alpha`]와 만나지 않는 세 원기둥의 밑면의 중심을 각각 [eqn: \P], [eqn: \Q], [eqn: \R]라 할 때, 삼각형 [eqn: \QPR]는 이등변삼각형이고, 평면 [eqn: \QPR]와 평면 [eqn: alpha`]가 이루는 각의 크기는 [eqn: 60 °]이다. 세 원기둥의 높이를 각각 [eqn: 8], [eqn: a], [eqn: b`]라 할 때, [eqn: a+ b`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: 8＜a＜b`])

[정답] [eqn: bold25]

[해설]

세 원기둥의 밑면의 반지름의 길이가 모두 같으므로 삼각형 QRP가 이등변삼각형이려면 세 원기둥의 높이가 작은 것부터 차례로 등차수열을 이루어야 하고,

이때[eqn: \ bar QP = bar QR]이다.

또 선분 PR의 중점을 M이라 하면 점 Q를 지나고 평면 [eqn: alpha]와 평행한 평면 [eqn: beta]와 평면 QPR의 교선은 선분 QM이다.

이때[eqn: \ bar QM bot bar PR]이므로 두 평면 [eqn: alpha,~ beta]가 이루는 각의 크기는 선분 PR와 평면 [eqn: alpha]가 이루는 각의 크기와 같다.

그런데 선분 PR의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영의 길이는 두 원기둥의 반지름의 길이의 합과 같으므로

[eqn: \ bar PR times cos 60DEG = 2root3]    ∴[eqn: \ bar PR = 4root3]

따라서 위의 그림에서 점 P와 점 R의 평면 [eqn: alpha]로부터의 거리의 차는    [eqn: rm {bar{PR}} sin60 DEG =][eqn: 6]

따라서 세 원기둥의 높이는 각각 8, 8+3, 8+6이다.

∴ [eqn: a=11,~b=14]    ∴ [eqn: a+b = 25]

[eqn: P]

[eqn: Q]

[eqn: R]

[eqn: alpha]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 09월 29

그림과 같이 직선 [eqn: l]을 교선으로 하고 이루는 각의 크기가 [eqn: pi over 4]인 두 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]가 있고, 평면 [eqn: alpha]□위의 점 [eqn: rmA]와 평면 [eqn: beta] 위의 점 [eqn: rmB]가 있다. 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rm {bar{rmAB}} =2], [eqn: rm {bar{rmAD}} = sqrt {3}]이고 직선 [eqn: rmAB]와 평면 [eqn: beta]가 이루는 각의 크기가 [eqn: pi over 6`]일 때, 사면체 [eqn: rmABCD]의 부피는 [eqn: a+ b root2`]이다.□[eqn: 36 LEFT ( a+b RIGHT )`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a], [eqn: b`]는 유리수이다.)

[정답] [eqn: 12]

[해설]

위의 그림과 같이 점 [eqn: rmA]에서 평면 [eqn: beta]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면 [eqn: bar{rmAB}=2]이고 [eqn: ANGLE rmABH= {pi} over {6}]이므로 직각삼각형 [eqn: rmABH]에서
[eqn: bar{rmAH}=2sin {pi} over {6} =1], [eqn: bar{rmBH}=2cos {pi} over {6} = sqrt {3}]

한편 [eqn: {bar{rm AH it}} BOT beta], [eqn: bar{rmAC} BOT l]이므로 삼수선의 정리에 의하여
[eqn: bar{rmHC} BOT l]
두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 이루는 각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]이므로
[eqn: ANGLE rmACH= {pi} over {4}]
직각삼각형 [eqn: rmACH]에서
[eqn: bar{rmCH}=bar{rmAH}=1], [eqn: bar{rmAC}= sqrt {2}]
또 [eqn: bar{rmAD}= sqrt {3}]이므로 직각삼각형 [eqn: rmADC]에서

[eqn: bar{rmCD}= sqrt {LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{2}} =1]

이때 점 [eqn: rmH]에서 [eqn: bar{rmBD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH']이라고 하면
[eqn: bar{rmHH'}=bar{rmCD}=1], [eqn: bar{rmH'D}=bar{rmCH}=1]
이므로 직각삼각형 [eqn: rmHH'B]에서
[eqn: bar{rmBH'}= sqrt {LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} -1 ^{2}} = sqrt {2}]
따라서 사면체 [eqn: rmABCD]의 부피는
[eqn: {1} over {3} times LEFT ( {1} over {2} times{bar{rm CD it}} times {bar{rm BD it}} RIGHT ) times {bar{rm AH it}}]

[eqn: = {1} over {3} times LEFT { {1} over {2} times1times LEFT ( sqrt {2} +1 RIGHT ) RIGHT } times1]

[eqn: = {1} over {6} + {sqrt {2}} over {6}]
이므로    [eqn: a= {1} over {6}], [eqn: b= {1} over {6}]
[eqn: THEREFORE][eqn: 36 LEFT ( a+b RIGHT ) =36 LEFT ( {1} over {6} + {1} over {6} RIGHT ) =12]

07 기하	09 공간도형
02 삼수선의 정리
08 이면각3 (서로 수직인 두 평면)

[출처]	2007 모의_공공 사관학교 고3 07월 12

중심이 [eqn: rm O`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 구와, 점 [eqn: rm O`]로부터 같은 거리에 있고 서로 수직인 두 평면 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]가 있다. 그림과 같이 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta`]의 교선이 구와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]라 하자. 삼각형 [eqn: rm OAB`]가 정삼각형일 때, 점 [eqn: rm O`]와 평면 [eqn: alpha]사이의 거리는?

[정답] ②

[해설]

[eqn: BAR{RMAB}]의 중점을 [eqn: RMM], 점 [eqn: RMO]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH], [eqn: beta]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMBARH']라 두면

[eqn: rmBAROM = SQRT3 OVER2] ([eqn: BECAUSE][eqn: RMBAROA =RMBAROB = RMBARAB = 1]인 정삼각형)

[eqn: {RMBAROH} =ita]라 하면

[eqn: {rmbarOH = RMBAROH' = BARHM} =ita]이므로 직각삼각형 [eqn: RM TRIANGLE O HM]은 직각이등변삼각형이 된다.

[eqn: THEREFORE][eqn: {RMBAROH}``:``{RMBARHM}``:``{RMBAROM} ``= ``1:1:SQRT2]이므로    [eqn: SQRT2 a= sqrt3 over2]

[eqn: therefore][eqn: a=sqrt6 over4]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

① [eqn: {sqrt {2}} over {5}]	② [eqn: {sqrt {6}} over {4}]	③ [eqn: {sqrt {5}} over {5}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {6}]	⑤ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 11월

좌표공간에 서로 수직인 두 평면 [eqn: alpha`]와 [eqn: beta`]가 있다. 평면 [eqn: alpha`] 위의 두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]에 대하여 [eqn: rm bar AB `= 3root5]이고 직선 [eqn: rm AB`]는 평면 [eqn: beta`]에 평행하다. 점 [eqn: rm A`]와 평면 [eqn: beta`] 사이의 거리가 [eqn: 2`]이고, 평면 [eqn: beta`] 위의 점 [eqn: rm P`]와 평면 [eqn: alpha] 사이의 거리는 [eqn: 4`]일 때, 삼각형 [eqn: rm PAB`]의 넓이를 구하시오.

[정답] [eqn: 15]

[해설]

그림과 같이 점 [eqn: rmP]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH], 점 [eqn: rmH]에서 직선 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH']이라 하면

[eqn: {bar{rm PH}} BOT alpha], [eqn: {bar{rm HH'}} BOT](직선 [eqn: rmAB])

그러므로 삼수선의 정리에 의해

[eqn: {bar{rm PH'}} BOT](직선 [eqn: rmAB])

한편, 점 [eqn: rmA]와 평면 [eqn: rm beta] 사이의 거리가 [eqn: 2]이고 직선 [eqn: rmAB]가 평면 [eqn: beta]와 평행하므로

[eqn: {bar{rm HH'}} =2]

또, 점 [eqn: rmP]와 평면 [eqn: alpha] 사이의 거리가 [eqn: 4]이므로

[eqn: {bar{rm PH}} =4]

그러므로 직각삼각형 [eqn: rm PHH prime]에서

[eqn: {bar{rm PH'}}][eqn: = sqrt {{bar{rm PH}} ^{2} + {bar{rm HH'}} ^{2}}]
[eqn: = sqrt {4 ^{2} +2 ^{2}}]
[eqn: =2 sqrt {5}]

따라서 삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= {1} over {2} TIMES {bar{rm AB it}} TIMES {bar{rm PH prime it}}][eqn: = {1} over {2} TIMES 3 sqrt {5} TIMES 2 sqrt {5}]
[eqn: =15]

07 기하	09 공간도형
03 정사영
02 정사영2 (길이)

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 17

그림과 같이 서로 다른 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]의 교선 위에 점 [eqn: {rm{A}} it]가 있다. 평면 [eqn: alpha] 위의 세 점 [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]의 평면 [eqn: beta]위로의 정사영을 각각 [eqn: {rm{B}} it `prime], [eqn: {rm{C}} it `prime], [eqn: {rm{D}} it `prime]이라 할 때, 사각형 [eqn: {rm{AB}} it `prime {rm{C}} it `prime {rm{D}} it `prime]은 한 변의 길이가 [eqn: 4 sqrt{2}]인 정사각형이고, [eqn: overline{{rm{BB}} it `prime }= overline{{rm{DD}} it `prime }]이다. 두 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tan theta={3} over {4}]이다. 선분 [eqn: {rm{BC}} it]의 길이는? (단, 선분 [eqn: {rm{BD}} it]와 평면 [eqn: beta]는 만나지 않는다.)

[정답] ④

[해설]

아래 그림과 같이 평면 [eqn: beta]를 평행이동하여 [eqn: overline{{rm{BD}} it }]를 지나도록 하면

삼각형 [eqn: {rm{BCD}} it]의 정사영은 변의 길이가 [eqn: 4 sqrt{2}], [eqn: 4 sqrt{2}], [eqn: 8]인 직각이등변삼각형이다.

이등변삼각형의 성질과 삼수선의 정리에서 [eqn: overline{{rm{BC}} it }= sqrt{25+16}= sqrt{41}]

① [eqn: sqrt{35}]	② [eqn: sqrt{37}]	③ [eqn: sqrt{39}]

④ [eqn: sqrt{41}]	⑤ [eqn: sqrt{43}]

07 기하	09 공간도형
03 정사영
03 정사영3 (이면각이 주어진 경우)

[출처]	2007 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 24

반지름의 길이가 [eqn: 6]인 반구가 평면 [eqn: alpha] 위에 놓여 있다. 반구와 평면 [eqn: alpha `]가 만나서 생기는 원의 중심을 [eqn: O`]라 하자. 그림과 같이 중심 [eqn: O`]로부터 거리가 [eqn: 2 sqrt {3}]이고 평면 [eqn: alpha `]와 [eqn: 45°]의 각을 이루는 평면으로 반구를 자를 때, 반구에 나타나는 단면의 평면 [eqn: alpha `] 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: sqrt {2``} (a+b pi `)]이다. [eqn: a+b]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a,````b]는 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold15]

[해설]

O

A

H

6

[eqn: 2ROOT3]

[eqn: 2ROOT6]

B

[eqn: 45DEG]

[eqn: 2ROOT3]

C

D

위의 그림에서

[eqn: BARAH = ROOT{6^2 - (2ROOT3 )^2} = 2ROOT6], [eqn: BARBH = 2ROOT3] 이고

평면 [eqn: alpha]와  [eqn: 45DEG]의 각을 이루는 평면으로 반구를 자른 단면은 다음 그림과 같다.

A

H

B

C

D

[eqn: 2ROOT6]

[eqn: 2ROOT6]

[eqn: 2ROOT3]

[eqn: 2ROOT3]

[eqn: 45DEG]

즉, [eqn: BARBD = ROOT{(2ROOT6 )^2 - (2ROOT3 )^2} = 2ROOT3] 이므로

[eqn: ∠DHB = 45DEG]

따라서, 단면의 넓이는

[eqn: ( 2 ROOT 6 )^2 piTIMES 3 OVER 4 + 1 over2 times 2root6 times 2 root6 = 18pi +12]

따라서, 이 단면을 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영한 넓이가 [eqn: root2 (a+b pi )] 이므로

[eqn: sqrt {2} (a+b pi )][eqn: =(18 pi +12)cos45 DEG][eqn: = (18pi + 12 ) times root2 over 2][eqn: = root2 ( 9pi + 6 )][eqn: therefore][eqn: a+b = 15]

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 11

그림과 같이 중심 사이의 거리가 [eqn: sqrt {3}]이고 반지름의 길이가 1인 두 원판과 평면 [eqn: a]가 있다. 각 원판의 중심을 지나는 직선 [eqn: l]은 두 원판의 면과 각각 수직이고, 평면 [eqn: a]와 이루는 각의 크기가 [eqn: 60 DEG]이다. 태양광선이 그림과 같이 평면 [eqn: a]에 수직인 방향으로 비출 때, 두 원판에 의해 평면 [eqn: a]에 생기는 그림자의 넓이는?
(단, 원판의 두께는 무시한다.)

[정답] ⑤

[해설]

[그림 1]

[그림 2]

[그림 1]과 같이 두 원판을 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2]라 하자.

[eqn: S_1]와 [eqn: S_2]의 반지름의 길이는 모두 [eqn: 1]이고, 중심 사이의 거리가 [eqn: sqrt { 3}]이므로 [eqn: S_2]를 평행이동시켜 [eqn: S_1]과 같은 평면 위에 그리면 [그림 2]와 같다.

이때, [eqn: S_2]가 [eqn: S_1]의 중심을 지나므로 [그림 2]의 도형의 넓이를 [eqn: S`]라 하면 [eqn: S`]는 [그림 2]의 어두운 부분의 넓이의 [eqn: 2]배와 같다.

[eqn: therefore```][eqn: S = 2 times LEFT ( 1^2 times 2over3 pi + sqrt { 3} times 1over2 times 1over2 RIGHT )][eqn: = 4over3 pi + { sqrt { 3} } over { 2}]

두 원판에 의해 평면 [eqn: alpha]에 생기는 그림자는 [그림 2]의 도형을 평면 [eqn: alpha] 위에 정사영시킨 도형과 같으므로

(그림자의 넓이)[eqn: = S` `cos` 30°]
[eqn: = LEFT ( 4over3 pi + sqrt { 3 } over2 RIGHT ) times {sqrt3}over2][eqn: = { 2sqrt3} over { 3} pi + {3 } over { 4}]

① [eqn: {sqrt {3}} over {3} pi + {3} over {8}]	② [eqn: {2} over {3} pi + {sqrt {3}} over {4}]	③ [eqn: {2 sqrt {3}} over {3} pi + {1} over {8}]

④ [eqn: {4} over {3} pi + {sqrt {3}} over {16}]	⑤ [eqn: {2 sqrt {3}} over {3} pi + {3} over {4}]

07 기하	09 공간도형
03 정사영
04 정사영4 (각의 크기 구하기)

[출처]	2011 모의_공공 평가원 고3 11월 29

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 7]인 원기둥과 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 5]이고 높이가 [eqn: 12]인 원뿔이 평면 [eqn: alpha]위에 놓여 있고, 원뿔의 밑면의 둘레가 원기둥의 밑면의 둘레에 내접한다. 평면 [eqn: alpha]와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 [eqn: O], 원뿔의 꼭짓점을 [eqn: rm A]라 하자. 중심이 [eqn: rm B]이고 반지름의 길이가 [eqn: 4]인 구 [eqn: S]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold32]

[해설]

네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmA'], [eqn: rmB], [eqn: rmB']을 지나는 평면으로 자른 단면은 다음과 같다.

그림에서 [eqn: rm bar OB' = 3], [eqn: rm bar OA' = 2]이므로 [eqn: rm bar {A'B ' }= 5]

[eqn: rm bar {AB '} = sqrt { 12^2 +5^2} =13]

점 [eqn: \B]에서 [eqn: rm bar AA']에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라 하면 직선 [eqn: rm AB]와 평면 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기는 선분 [eqn: rm AB]와 선분 [eqn: rm BH]가 이루는 각의 크기와 같다.

[eqn: therefore```][eqn: rm angle ABH = theta]

또, 구와 원뿔의 접점을 [eqn: rmD]라 하자. 두 삼각형 [eqn: rm B' BD]와 [eqn: rm AB'A']에서 [eqn: rm angle BB'D = beta]라 하면 [eqn: rm angle B' A A' = beta](엇각)이므로 [eqn: rm triangle B' BD]□[eqn: rm triangle AB' A']이다.

따라서 [eqn: rm bar BD ： bar B'A' = bar B'B ： bar AB']이므로

[eqn: 4：5 = rm bar B'B ：13][eqn: therefore```][eqn: rm bar B'B = 52 over 5]

[eqn: rm bar AH = 12 - 52 over5 = 8 over 5],    [eqn: rm bar BH = bar B'A' = 5]

[eqn: therefore```][eqn: tan theta = rm { bar AH} over { bar BH} = { 8 over 5} over { 5} = { 8} over { 25} = itp]

[eqn: therefore```][eqn: 100p = 100 times { 8} over { 25} = 32]

(가) 구 [eqn: S]는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다.

(나) 두 점 [eqn: rmA,`B]의 평면 [eqn: alpha]위로의 정사영이 각각

[eqn: rmA` prime ,`B`` prime]일 때, [eqn: rmANGLE A` prime OB`` prime =180 DEG]이다.

직선 [eqn: rmAB]와 평면 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tan theta =p]이다. [eqn: 100p]의 값을 구하시오.
(단, 원뿔의 밑면의 중심과 점 [eqn: rm A`']은 일치한다.)

[eqn: alpha]

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 11월 28

그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} ``=`9], [eqn: rm bar{AD} `=`3]인 직사각형 [eqn: rmABCD] 모양의 종이가 있다. 선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmE]와 선분 [eqn: rmDC] 위의 점 [eqn: rmF]를 연결하는 선을 접는 선으로 하여, 점 [eqn: rmB]의 평면 [eqn: rmAEFD] 위로의 정사영이 점 [eqn: rmD]가 되도록 종이를 접었다. [eqn: rm bar{AE} `=`3]일 때, 두 평면 [eqn: rmAEFD]와 [eqn: rmEFCB]가 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]이다. [eqn: 60`costheta]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}]이고, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)

[정답] [eqn: 40]

[해설]

점 [eqn: \B]에서 평면 [eqn: \AEFD]로의 정사영이 점 [eqn: \D]이므로 선분 [eqn: \BD]와 평면 [eqn: \AEFD]는 서로 수직이다.

점 [eqn: \D]에서 선분 [eqn: \EF]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라 하면 삼수선의 정리에 의하여 선분 [eqn: \BH]도 선분 [eqn: \EF]에 수직이다.

[eqn: rm ` ANGLE BHD= theta]라 하면 구하는 [eqn: cos` theta = rm ` {bar{DH}} over {bar{BH}} it]이다.

두 삼각형 [eqn: \BHE,~BAD]는 닮음이므로

[eqn: rm {bar{BH}} : {bar{BE}} = {bar{BA}} : {bar{BD}}]

[eqn: rm bar{BE} =6,~ bar{BA} =9,~][eqn: rm ` bar{BD} = sqrt {9 ^{2} +3 ^{2}} =3 sqrt {10}]이므로

[eqn: rm ` bar{BH} :6=9:3 sqrt {10}]

[eqn: rm `3 sqrt {10} TIMES bar{BH} =54,~ bar{BH} = {9 sqrt {10}} over {5}]

그러므로    [eqn: rm ` bar{DH} =3 sqrt {10} - {9 sqrt {10}} over {5} = {6 sqrt {10}} over {5}]

[eqn: THEREFORE `cos` theta = {\ bar{DH}} over {\ bar{BH}} = {{6 sqrt {10}} over {5}} over {{9 sqrt {10}} over {5}} = {2} over {3}]

[eqn: THEREFORE `60cos` theta =40]

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 07월 21

그림과 같이 정사면체 [eqn: rm ABCD`]의 모서리 [eqn: rm CD`]를 [eqn: 3:1`]로 내분하는 점을 [eqn: rmP`]라 하자. 삼각형 [eqn: rm ABP`]와 삼각형 [eqn: RMBCD`]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라 할 때, [eqn: cos theta`]의 값은?
[eqn: LEFT ( pile{`#`}]단, [eqn: LEFT. 0< theta < {pi } over {2} RIGHT )]

[정답] ②

[해설]

정사면체 [eqn: rm ABCD`]의 모서리의 길이를 [eqn: 4a]라 하면, 코사인법칙에 의하여

[eqn: bar{rm AP` it} `=` bar{rm `BP` it} `= sqrt {(4a) ^{2} +a ^{2} -4a ^{2}} `= sqrt {13} a]

삼각형 [eqn: rm ABP]의 넓이는 [eqn: ``6 a^2] 이다.

점 [eqn: rmA`]에서 삼각형 [eqn: rm BCD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmG]라 하면, 점 [eqn: rmG]는 삼각형 [eqn: rm BCD]의 무게중심이다.

삼각형 [eqn: rm BGP]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm BCD]의 넓이의 [eqn: 1 over6]이므로 삼각형 [eqn: rm BGP]의 넓이는    [eqn: { 2 root3 } over 3 a^2]

[eqn: 6a ^{2} cos theta `=` {2 sqrt {3}} over {3} a ^{2}][eqn: therefore cos theta `=` root3 over 9]

[eqn: rmA]

[eqn: rm D]

[eqn: rm C]

[eqn: rm B]

[eqn: rmP]

① [eqn: {sqrt {3}} over {6}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {9}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {12}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {15}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {18}]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 10월 27

그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 위에 넓이가 [eqn: 27`]인 삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있고, 평면 [eqn: beta] 위에 넓이가 [eqn: 35`]인 삼각형 [eqn: rm ABD`]가 있다. 선분 [eqn: rm BC`]를 [eqn: 1`:`2`]로 내분하는 점을 [eqn: rm P`]라 하고 선분 [eqn: \AP`]를 [eqn: 2`:`1`]로 내분하는 점을 [eqn: \Q`]라 하자. 점 [eqn: \D`]에서 평면 [eqn: alpha`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H`]라 하면 점 [eqn: \Q`]는 선분 [eqn: \BH`]의 중점이다. 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta`]가 이루는 각을 [eqn: theta`]라 할 때, [eqn: cos` theta = {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 47]

[해설]

점 [eqn: rmP`]가 선분 [eqn: rmBC`]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점이므로

[eqn: rm TRIANGLEABP= {1} over {3} TIMES triangleABC = 1over3 times 27][eqn: =9]

점 [eqn: rmQ`]가 선분 [eqn: rmAP`]를 [eqn: 2:1`]로 내분하는 점이므로

[eqn: rm TRIANGLE ABQ= {2} over {3} TIMES triangleABP = 2over3 times 9][eqn: =6]

점 [eqn: rmQ`]가 선분 [eqn: rmBH`]의 중점이므로

[eqn: rm TRIANGLE ABH][eqn: rm =2times TRIANGLE ABQ][eqn: =2times6 = 12]

삼각형 [eqn: rmABD`]의 평면 [eqn: alpha`]로의 정사영이 삼각형 [eqn: rmABH`]이므로

[eqn: rm TRIANGLE ABD timescos theta = rm TRIANGLE ABH]에서 [eqn: rm cos theta = {12} over {35}]

따라서    [eqn: p+q=47]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 07월 29

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 구 [eqn: S`]와 서로 다른 두 직선 [eqn: l`], [eqn: m`]이 있다. 구 [eqn: S`]와 직선 [eqn: l`]이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: rmB`], 구 [eqn: S`]와 직선 [eqn: m`]이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q`]라 하자. 삼각형 [eqn: rmAPQ`]는 한 변의 길이가 [eqn: 2 sqrt {3}`]인 정삼각형이고 [eqn: rm bar AB = 2sqrt2`], [eqn: rm ANGLE ABQ= {pi} over {2} `]일 때 평면 [eqn: rm APB`]와 평면 [eqn: rm APQ`]가 이루는 각의 크기 [eqn: theta`]에 대하여 [eqn: 100`cos ^{2} theta `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 60]

[해설]

구 [eqn: S`]의 중심을 [eqn: rmO]라 하면 한 변의 길이가 [eqn: 2 sqrt {3} `]인 정삼각형 [eqn: rmAPQ]의 무게중심은 점 [eqn: rmO]와 같다. 점 [eqn: rm P`]에서 선분 [eqn: rm`AQ]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmO']라 하면 점 [eqn: rm`O']는 선분 [eqn: rmAQ]의 중점이고

[eqn: rm ANGLE ABQ= {pi } over {2} `]이므로 점 [eqn: rmB`]는 점 [eqn: rm `O prime `]를 중심으로 하고 반지름이 선분 [eqn: rmAO prime `]인 원 위의 점이다.

삼각형 [eqn: rmBO'O`]에서

[eqn: rm {bar{O prime B}} = it sqrt {3} `], [eqn: rm {bar{OB}} = it 2`], [eqn: rm {bar{OO prime }} =1`]이므로

[eqn: rm ANGLE BO prime O= {pi } over {2} `]

그러므로 [eqn: rm {bar{OO prime }} BOT {bar{O prime B}} `], [eqn: rm {bar{PO prime }} BOT {bar{O prime B}} `]

[eqn: rm {bar{AO prime `}} BOT {bar{PO prime }} `], [eqn: rm {bar{PO prime }} BOT {bar{O prime B}} `]이므로 직선 [eqn: rm PO prime `]는 평면 [eqn: rm ABQ`]와 수직이고, 평면 [eqn: rm ABQ`]와 평면 [eqn: rm APQ`]는 수직이다.

그러므로 점 [eqn: rm `B`]에서 선분 [eqn: rm`AQ`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하면 삼각형 [eqn: rm APB`]의 평면 [eqn: rmAPQ] 위로의 정사영은 삼각형 [eqn: rm APH`]이다.

삼각형 [eqn: rm`BO'P`]는 직각삼각형이고 [eqn: rm {bar{O'B}} = it sqrt {3}], [eqn: rm {bar{O prime P}} = it 3`]이므로 [eqn: rm {bar{PB}} =2 sqrt {3} `]

삼각형 [eqn: rm APB`]는 [eqn: rm` {bar{PA}} = {bar{PB}} =2 sqrt {3} `]인 이등변삼각형이고, [eqn: rm` {bar{AB}} =2 sqrt {2} `]이므로 삼각형 [eqn: rm `APB`]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 2 sqrt {2} TIMES sqrt {10} =2 sqrt {5} `]

삼각형 [eqn: rm ABQ`]와 삼각형 [eqn: rm AHB`]는 닮음이므로

[eqn: rm {bar{AH}} = {4 sqrt {3}} over {3} `]

그러므로 삼각형 [eqn: rmAPH`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES {4 sqrt {3}} over {3} TIMES 3=2 sqrt {3} `]

[eqn: cos theta = {(삼각형`` rm APH의``넓이) it} over {(삼각형`` rm APB의``넓이) it} = {sqrt {15}} over {5} `]

따라서 [eqn: `100cos ^{2} theta =100 TIMES {3} over {5} =60`]

07 기하	09 공간도형
03 정사영
05 정사영5 (정사영의 넓이 구하기. 이면각이 주어지지 않은 경우)

[출처]	2007 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 24

한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정사면체 [eqn: rm OABC]가 있다. 세 삼각형 [eqn: rm△OAB], [eqn: rm△OBC], [eqn: rm△OCA]에 각각 내접하는 세 원의 평면 [eqn: rm ABC] 위로의 정사영을 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3]이라 하자. 그림과 같이 세 도형 [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3]으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 [eqn: S`]라 할 때, [eqn: (S+pi )^2`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold27]

[해설]

[eqn: O`]

[eqn: A`]

[eqn: B`]

[eqn: C`]

[eqn: θ]

[eqn: H]

[eqn: M]

두 평면[eqn: OAB ,`ABC`]가 이루는 각을 [eqn: θ`]라 하면

[eqn: cosθ = {bar MH} over{ bar AM}`][eqn: = {bar MH} over{ bar CM}`= 1over3`]

[eqn: O`]

[eqn: A`]

[eqn: B`]

[eqn: C`]

위의 그림과 같이 [eqn: △OAB`]에서 어두운 부분을 평면[eqn: ABC`] 위로 정사영시키고, [eqn: △OBC `],[eqn: △OCA`]에서도 같은 방법으로 정사영시키면 이들은 서로 겹치지 않고 [eqn: S_1 , S_2 , S_3`]로 둘러싸인 부분과 일치한다.

[eqn: △OAB`]에서 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r`]라고 하면

[eqn: 1over2 r `(6+6+6) = root3 over 4 × 6^2`]    ∴ [eqn: r = root3`]

따라서, 어두운 부분의 넓이는

[eqn: 1over3 left( root3 over 4 × 6^2 - 3pi`right)` = 3root3 - pi`]

이므로 구하는 넓이[eqn: S`]는

[eqn: S = (3 root3 - pi )× cos θ ``×`3`][eqn: = (3 root3 - pi ) × 1over3 × 3`][eqn: = 3root3 - pi`]

∴ [eqn: (S+pi )^2 = (3root3 )^2 = 27`]

[출처]	2011 모의_공공 평가원 고3 09월 29

그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 위에 점 A가 있고 [eqn: alpha `]로부터의 거리가 각각 [eqn: 1], [eqn: 3 `]인 두 점 [eqn: rm B], [eqn: rmC `]가 있다. 선분 [eqn: rmAC`]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점 [eqn: rmP`]에 대하여 [eqn: rm bar{BP} =4]이다. 삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이가 [eqn: 9`]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC`]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S``]라 하자. [eqn: S` ^{2} `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold45]

[해설]

점 [eqn: P`]가 선분 [eqn: AC`]를 [eqn: 1``:``2`]로 내분하는 점이고, 점 [eqn: C`]에서 평면 [eqn: alpha`]에 이르는 거리가 [eqn: 3]이므로 점 [eqn: P`]에서 평면 [eqn: alpha`]에 이르는 거리는 [eqn: 1`]이다.

따라서, 직선 [eqn: PB`]는 평면 [eqn: alpha`]와 평행하다.

삼각형 [eqn: ABC`]와 평면 [eqn: alpha`]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라고 하자. 평면 [eqn: alpha`]에 평행하고 직선 [eqn: PB`]를 포함하는 평면을 [eqn: beta`]라고 하면 삼각형 [eqn: PBC`]와 평면 [eqn: beta`]가 이루는 각의 크기도 [eqn: theta`]이다.

점 [eqn: C`]에서 직선 [eqn: PB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: D`]라 하고, 점 [eqn: C`]에서 평면 [eqn: beta`]에 내린 수선의 발을 [eqn: Q``]라 하자.

삼수선의 정리에 의하여 [eqn: bar DQ` ⊥`bar PB`]이므로

[eqn: ∠ CDQ = theta`]이다. [eqn: bar CQ = 3-1 = 2`]이므로

[eqn: bar CD = x`]라 하면 [eqn: sin theta = 2 over x`]이다.

삼각형 [eqn: ABC`]의 넓이가 [eqn: 9`]이므로

삼각형 [eqn: PBC`]의 넓이는     [eqn: 9 times 2 over 3 = 6`]

따라서, [eqn: 1over 2 times bar PB` times x = 6`]에서    [eqn: 1over 2 times 4 times x = 6`], [eqn: x = 3`]

∴ [eqn: sin theta = 2over 3`]

∴ [eqn: cos theta = root{ 1- sin^2 theta } = root{ 1- 4over9} = root5 over 3`]

따라서, 삼각형 [eqn: ABC`]의 평면 [eqn: alpha`] 위로의 정사영의 넓이 [eqn: S`]는       [eqn: S = 9 cos theta = 9 times root5 over 3 = 3root5`]    ∴ [eqn: S^2 = 45`]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 07월

한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정육면체 [eqn: rm ``ABCD`-`EFGH``]와 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {2}]이고 높이가 [eqn: 2]인 원기둥이 있다. 그림과 같이 이 원기둥의 밑면이 평면 [eqn: rm ABCD]에 포함되고 사각형 [eqn: rm ABCD]의 두 대각선의 교점과 원기둥의 밑면의 중심이 일치하도록 하였다. 평면 [eqn: rm ABCD]에 포함되어 있는 원기둥의 밑면을 [eqn: alpha], 다른 밑면을 [eqn: beta]라 하자. 평면 [eqn: rm AEGC]가 밑면 [eqn: alpha]와 만나서 생기는 선분을 [eqn: rm bar{MN}], 평면 [eqn: rm BFHD]가 밑면 [eqn: beta]와 만나서 생기는 선분을 [eqn: rm bar{PQ}]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm MPQ]의 평면 [eqn: rm D EG] 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: {b} over {a} sqrt {3} `]이다. [eqn: a ^{2} +b ^{2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: {bold{13}}]

[해설]

원기둥의 밑면 [eqn: alpha], [eqn: beta]의 중심을 각각 [eqn: rmR], [eqn: rm S]라 하자.

[eqn: rm {bar{PQ}} □ {bar{DB}}]이고, [eqn: rm {bar{SM}} □ {bar{RG}}]이므로 평면 [eqn: rmMPQ`]와 평면 [eqn: rmGDB`]는 평행하다.

삼각형 [eqn: rm GDB`]와 삼각형 [eqn: rm D EG `]는 모두 정삼각형이고 두 삼각형이 만나서 생기는 선분은 [eqn: rm bar{DG}]이다.

선분 [eqn: rm {{DG}}]의 중점을 [eqn: rm M`']이라 하고 [eqn: theta = rm ANGLE BM`'E]라 하면

[eqn: rm {bar{BM`'}} = {bar{EM`'}} =2 sqrt {6}], [eqn: rm bar{BE} =4 sqrt {2}]이므로

삼각형 [eqn: rm BM`'E]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos` theta ` & =cos( rm ANGLE BM`'E)= {24+24-32} over {2·2 sqrt {6} ·2 sqrt {6}} = {1} over {3}]

삼각형 [eqn: rm MPQ]의 넓이 [eqn: S`]는 [eqn: S= {2 sqrt {2} TIMES sqrt {6}} over {2} =2 sqrt {3}]이므로

삼각형 [eqn: rm MPQ]의 평면 [eqn: rm D EG] 위로의 정사영의 넓이는

[eqn: S`cos` theta ``=2 sqrt {3`} TIMES {1} over {3} = {2 sqrt {3}} over {3}][eqn: THEREFORE][eqn: a=3`], [eqn: b=2`]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =13`]

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 09월

그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 위에 놓여 있는 서로 다른 네 구 [eqn: S`], [eqn: S`_1], [eqn: S`_2], [eqn: S`_3`]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold11]

[해설]

평면과 평면이 이루는 각을 단면화 시켜서 관찰하기 위하여 우선 도형을 옆에서 관찰하면 다음과 같다.

[eqn: rmS]의 중심을 [eqn: rmO]라 하면

[eqn: bar{rmOO_{1}}=4], [eqn: bar{rmOH}=2] 이고    [eqn: therefore ``bar{rmO_{1}H}=2root{3}]

위에서 이 도형의 이면각 [eqn: theta]를 표현하기 위해 단면화 시키면

다음과 같다.

이때, [eqn: angle{rmOO_{1}O_{2}]를 [eqn: alpha]라 하면    [eqn: angle{rmO_{1}OO_{2}=pi-2alpha]

두 평면이 이루는 각도 [eqn: pi-2alpha=theta]이고

[eqn: sin{theta}over{2}={1}over{2root{3}],     [eqn: costheta] [eqn: =1-2sin^{2}{theta}over{2}][eqn: =1-{1}over{6}={5}over{6}]

도형 [eqn: rmD]의 단면의 넓이는 [eqn: pi]이므로

따라서 정사영의 넓이는 [eqn: {pi}times{5}over{6}]이다    [eqn: ∴ `` p+ q = 11]

(가) [eqn: S` `]의 반지름의 길이는 [eqn: 3 `]이고, [eqn: S` _1], [eqn: S` _2], [eqn: S` _3 `]의 반지름의 길이는 [eqn: 1 `]이다.

(나) [eqn: S` _1], [eqn: S` _2], [eqn: S` _3 `]은 모두 [eqn: S` `]에 접한다.

(다) [eqn: S` _1 `]은 [eqn: S` _2 `]와 접하고, [eqn: S` _2 `]는 [eqn: S` _3 `]과 접한다.

[eqn: S` _1], [eqn: S` _2], [eqn: S` _3 `]의 중심을 각각 [eqn: rmO_1`], [eqn: rm O_2`], [eqn: rm O_3]이라 하자. 두 점 [eqn: rmO_1], [eqn: rm O_2`]를 지나고 평면 [eqn: alpha `]에 수직인 평면을 [eqn: beta], 두 점 [eqn: rmO_2], [eqn: rm O_3`]을 지나고 평면 [eqn: alpha `]에 수직인 평면이 [eqn: S` _3 `]과 만나서 생기는 단면을 [eqn: D` `]라 하자. 단면 [eqn: D` `]의 평면 [eqn: beta] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: q overp pi `]라 할 때, [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 10월 19

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정팔면체 [eqn: rm ABCDEF`]가 있다. 두 삼각형 [eqn: rm ABC`], [eqn: rm CBF`]의 평면 [eqn: rm BEF] 위로의 정사영의 넓이를 각각 [eqn: S _{`1}], [eqn: S _{`2}]라 할 때, [eqn: S _{`1} +S _{`2} `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

선분 [eqn: rm AC`]와 [eqn: rmEF`]의 중점을 각각 [eqn: rmM], [eqn: rmN`]이라 하면

사각형 [eqn: rmAEFC`]가 정사각형이므로 [eqn: rm {bar{MN}} =2]

[eqn: rm {bar{BM}}` =` {bar{BN}}` = sqrt {3}]

[eqn: cos`left( ANGLE rmMBN right)][eqn: = {( sqrt {3} ) ^{2} +( sqrt {3} ) ^{2} -2 ^{2}} over {2 TIMES sqrt {3} TIMES sqrt {3}} = {1} over {3}`]

이므로

[eqn: S _{`1}][eqn: =left( {sqrt {3}} over {4} TIMES 2 ^{2} right) TIMES {1} over {3} = {sqrt {3}} over {3}]

두 평면 [eqn: rmBEF`]와 [eqn: rmCBF`]가 이루는 각의 크기는 두 평면 [eqn: rmACD`]와 [eqn: rmABC`]가 이루는 각의 크기와 같다.

평면 [eqn: rmBEF`]와 평면 [eqn: rmACD`]가 평행하므로

[eqn: S _{`2} =S _{`1}][eqn: = {sqrt {3}} over {3}]

[eqn: therefore`][eqn: S _{`1} +S _{`2} = {2 sqrt {3}} over {3}]

① [eqn: {2 sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {3}]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 07월 17

사면체 [eqn: rm OABC`]에서 [eqn: {bar{rm OC it}} =3`]이고 삼각형 [eqn: rm ABC`]는 한 변의 길이가 [eqn: 6`]인 정삼각형이다. 직선 [eqn: rm OC`]와 평면 [eqn: rm OAB`]가 수직일 때, 삼각형 [eqn: rm OBC`]의 평면 [eqn: rm ABC] 위로의 정사영의 넓이는?

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: rm C`]에서 선분 [eqn: rm AB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmM`]이라 하자.

[eqn: {bar{rm OC it}} BOT](평면 [eqn: rmOAB]), [eqn: rmbar{rmCM} BOTbar{rmAB`]이므로

삼수선의 정리에 의하여 [eqn: rmbar{rmOM} BOTbar{rmAB}`]이고

[eqn: bar{rmOA}=bar{rmOB}`]이다.

[eqn: {bar{rm MC it}} =3 sqrt {3} `], [eqn: {bar{rm OM it}} =3 sqrt {2} `]

점 [eqn: rm O`]에서 선분 [eqn: rm MC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하면 삼수선의 정리에 의하여
[eqn: {bar{rm OH it}} BOT](평면 [eqn: rm ABC])이므로 점 [eqn: rmO`]의 평면 [eqn: rmABC`] 위로의 정사영은 점 [eqn: rmH`]이다.

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm OM it}} TIMES {bar{rm OC it}} = {1} over {2} TIMES {bar{rm MC it}} TIMES {bar{rm OH it}} `]이므로

[eqn: {bar{rm OH it}} = sqrt {6} `], [eqn: {bar{rm HC it}} = sqrt {3} `], [eqn: {bar{rm MH it}} =2 sqrt {3} `]

삼각형 [eqn: rm OBC`]의 평면 [eqn: rm ABC] 위로의 정사영은 삼각형 [eqn: rmHBC`]이고 점 [eqn: rmH`]는 선분 [eqn: rmCM`]을 [eqn: 1:2`]로 내분한다.

([eqn: TRIANGLE rmHBC`]의 넓이)[eqn: =][eqn: { 1} over { 6}times]([eqn: TRIANGLE rmABC`]의 넓이)

따라서 정사영의 넓이는 [eqn: {1} over {6} TIMES 9 sqrt {3} = {3 sqrt {3}} over {2} `]

① [eqn: {3 sqrt {3}} over {4}]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: {5 sqrt {3}} over {4}]

④ [eqn: {3 sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: {7 sqrt {3}} over {4}]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 10월 19
[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 10월 19

그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 1]인 정사면체 [eqn: rmABCD]에서 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM], 선분 [eqn: rmCD]를 [eqn: 3 ``:`` 1]로 내분하는 점을 [eqn: rmN]이라 하자. 선분 [eqn: rmAC] 위에 [eqn: rm {bar{MP}} + {bar{PN}}]의 값이 최소가 되도록 점 [eqn: rmP]를 잡고, 선분 [eqn: rmAD] 위에 [eqn: rm {bar{MQ}} + {bar{QN}}]의 값이 최소가 되도록 점 [eqn: rmQ]를 잡는다. 삼각형 [eqn: rmMPQ]의 평면 [eqn: rmBCD]위로의 정사영의 넓이는?

[정답] ②

[해설]

[그림[eqn: 1]]과 같이 네 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rmC], [eqn: rmD]가 한 평면에 있도록 전개하면 조건을 만족하는 점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmAC]와 선분 [eqn: rmMN]이 만나는 점이다.

사각형 [eqn: rm ABCD]는 평행사변형이므로 [eqn: rm bar AB]□[eqn: rmbarCD]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rm AMP]와 삼각형 [eqn: rm CNP]는 닮음이고 [eqn: bar{rmAM}= { 1} over {2}], [eqn: {bar{rm CN it}} = {3} over {4}]이므로 점 [eqn: rm P]는 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 2 ``:`` 3]으로 내분하는 점이다.

같은 방법으로 [그림[eqn: 2]]에서 점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmAD]를 [eqn: 2 ``:`` 1]로 내분하는 점임을 알 수 있다.

네 점 [eqn: rm A], [eqn: rm M], [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 평면 [eqn: rm BCD]위로의 정사영을 각각 [eqn: rm A'], [eqn: rm M'], [eqn: rm P'], [eqn: rm Q']이라 하면 점  [eqn: rm M']은 선분 [eqn: rmA'B]의 중점이고, 점 [eqn: rm P']은 선분 [eqn: rm A'C]를 [eqn: 2 ``:`` 3]으로 내분하는 점이고, 점 [eqn: rm Q']은 선분 [eqn: rm A'D]를 [eqn: 2 ``:`` 1]로 내분하는 점이다.

이때 점 [eqn: rmA']은 정삼각형 [eqn: rmBCD]의 무게중심이므로

[eqn: rm {bar{A prime B}}][eqn: = {bar{\A prime C}} = {bar{\A prime D}}]
[eqn: = {2} over {3} TIMES {sqrt {3}} over {2} TIMES {bar{rmBC}} = {sqrt {3}} over {3}]

이고, [eqn: rm {bar{A prime M prime }} = {1} over {2} {bar{A prime B}} = {sqrt {3}} over {6}],

[eqn: rm {bar{A prime P prime }} = {2} over {5} {bar{A prime C}} = {2 sqrt {3}} over {15}], [eqn: rm {bar{A prime Q prime }} = {2} over {3} {bar{A prime D}} = {2 sqrt {3}} over {9}]

삼각형 [eqn: rm M prime P prime Q prime]의 넓이 [eqn: S]는 세 삼각형 [eqn: rm A prime M prime P prime], [eqn: rm A'P'Q'], [eqn: rm A'Q'M']의 넓이의 합이므로

[eqn: S][eqn: = {1} over {2} TIMES sin {2} over {3} pi TIMES LEFT ( rm {sqrt {3}} over {6} TIMES {2 sqrt {3}} over {15}]
[eqn: +LEFT. {2 sqrt {3}} over {15} TIMES {2 sqrt {3}} over {9} + {2 sqrt {3}} over {9} TIMES {sqrt {3}} over {6} RIGHT )]
[eqn: = {sqrt {3}} over {15}]

① [eqn: {sqrt {3}} over {30}]	② [eqn: root 3 over 15]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {10}]

④ [eqn: {2 sqrt {3}} over {15}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {6}]

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 26

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형 [eqn: {rmACD}]를 한 면으로 하는 사면체 [eqn: {rmABCD}]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 450]

[해설]

그림에서

[eqn: rm bar{BR}`= 9], [eqn: rm bar{BP}`=][eqn: a], [eqn: rm bar{PR}`=][eqn: 9 - a]

[eqn: h^2 = ( 3 sqrt6 )^2 - a^2]

[eqn: = ( 3sqrt3 )^2 - (9-a)^2]

따라서 [eqn: a = 6], [eqn: rm bar{PR}`= 3]

[eqn: S = 1 over2 Times 3 Times left( 6 + 3 over2 right) = 45 over4]

[eqn: THEREFORE][eqn: 40 S= 450]

(가) [eqn: bar{{rmBC}}= 3 sqrt 10]

(나) [eqn: bar{{rmAB}}⊥bar{{rmAC}}], [eqn: bar{{rmAB}}⊥bar{{rmAD}}]

두 모서리 [eqn: {rmAC}], [eqn: {rmAD}]의 중점을 각각 [eqn: {rmM}], [eqn: {rmN}]이라 할 때, 삼각형 [eqn: {rmBMN}]의 평면 [eqn: {rmBCD}] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S]라 하자. [eqn: 40 times S]의 값을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 07월 19

그림과 같이 [eqn: {rm {bar{AB}} = {bar{AD}}}{{from^2019^07^인천교육청고3가^중}}]이고 [eqn: rm {bar{AE}} = sqrt {15}]인 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]가 있다. 선분 [eqn: rm BC] 위의 점 [eqn: rmP]와 선분 [eqn: rm EF] 위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여 삼각형 [eqn: rm PHQ]의 평면 [eqn: RMEFGH]위로의 정사영은 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정삼각형이다. 삼각형 [eqn: rm EQH]의 평면 [eqn: rm PHQ] 위로의 정사영의 넓이는?

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: rm P]에서 평면 [eqn: rm EFGH]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P prime], 점 [eqn: rm P prime]에서 선분 [eqn: rm HQ]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmM]이라 하면 [eqn: {bar{rm PP prime it}} BOT](평면 [eqn: rm EFGH rm RIGHT )]이고 [eqn: {bar{rm P prime M it}} rm BOT {bar{rm HQ}}]이므로 [eqn: {bar{rm PM it}} rm BOT {bar{rm HQ}}]

[eqn: rm {bar{PP prime }} it = sqrt {15}], [eqn: rm {bar{P prime M}} it =2 sqrt {3}]이므로 [eqn: rm {bar{PM}} it =3 sqrt {3}]

[eqn: rm ANGLE PMP prime = rm theta]라 하면 [eqn: cos theta = {2} over {3}]

[eqn: rm {bar{EH}} it =a], [eqn: rm {bar{EQ}} it =b]라 하자.

[eqn: rm {bar{GP prime }} it =b], [eqn: rm {bar{FP prime }} it = rm {bar{FQ}} it =a-b it]

[eqn: rm {bar{HQ}} it = rm {bar{QP '}}=4]이므로 [eqn: a-b=2 sqrt {2}], [eqn: a ^{2} +b ^{2} =16]에서 [eqn: ab=4]

평면 [eqn: rm EQH]와 평면 [eqn: rm PHQ]가 이루는 예각의 크기가 [eqn: theta]이므로 삼각형 [eqn: rm EQH]의 넓이를 [eqn: S], 삼각형 [eqn: rm EQH]의 평면 [eqn: rm PHQ]위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S `` prime]이라 하면 [eqn: S `` prime =S cos theta]이다.

따라서 [eqn: S `` prime = {1} over {2} ab cos theta = {1} over {2} TIMES 4 TIMES {2} over {3} = {4} over {3}]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 11월 27

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4 `]이고 [eqn: ∠{rmBAD}={pi}over{3} `]인 마름모 [eqn: {rmABCD}] 모양의 종이가 있다. 변 [eqn: {rmBC} `]와 변 [eqn: {rmCD} `]의 중점을 각각 [eqn: {rmM} `]과 [eqn: {rmN} `]이라 할 때, 세 선분 [eqn: {rmAM}], [eqn: {rmAN}], [eqn: {rmMN}]을 접는 선으로 하여 사면체 [eqn: {rmPAMN}]이 되도록 종이를 접었다. 삼각형 [eqn: {rmAMN} `]의 평면 [eqn: {rmPAM}] 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: {q}over{p}sqrt 3 `]이다. [eqn: p +q `]의 값을 구하시오. (단, 종이의 두께는 고려하지 않으며 [eqn: {rmP}]는 종이를 접었을 때 세 점 [eqn: {rmB}], [eqn: {rm C}], [eqn: {rmD}] 가 합쳐지는 점이고, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 8]

[해설]

두 점 [eqn: {rm{M}} it], [eqn: {rm{N}} it]은 각각 두 변 [eqn: {rm{BC}} it], [eqn: {rm{CD}} it]의 중점이므로 [eqn: overline{{rm{MN}} it }={1} over {2} overline{{rm{BD}} it }={1} over {2} times 4=2]

두 삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it], [eqn: {rm{BCD}} it]는 모두 정삼각형이므로 두 선분 [eqn: {rm{MN}} it], [eqn: {rm{AC}} it]의 중점을 각각 E, F라 하면

[eqn: overline{{rm{AE}} it }={3} over {2} overline{{rm{AF}} it }={3} over {2} times left({ sqrt{3}} over {2} times 4 right)=3 sqrt{3}]

삼각형 [eqn: {rm{AMN}} it]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S={1} over {2} times overline{{rm{MN}} it } times overline{{rm{AE}} it }=3 sqrt{3}]

점 [eqn: {rm{P}} it]에서 평면 [eqn: {rm{AMN}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it],

점 [eqn: {rm{P}} it]에서 선분 [eqn: {rm{AM}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하면 삼수선의 정리에 의하여 [eqn: overline{{rm{HQ}} it } BOT overline{{rm{AM}} it }]이므로 평면 [eqn: {rm{AMN}} it]과

평면 [eqn: {rm{PAM}} it]이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta left(0 DEG leq theta leq 90 DEG right)]라 하면 [eqn: theta= angle {rm{HQP}} it]이다.

[eqn: overline{{rm{AM}} it }= sqrt{ overline{{rm{AE}} it }^{2}+ overline{{rm{ME}} it }^{2}}=2 sqrt{7}]이고 [eqn: angle {rm{APM}} it = angle {rm{ABC}} it =120 DEG]이므로 삼각형 [eqn: {rm{PAM}} it]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times overline{{rm{AP}} it } times overline{{rm{MP}} it } times sin 120 DEG ={1} over {2} times overline{{rm{AM}} it } times overline{{rm{PQ}} it }], [eqn: {1} over {2} times 4 times 2 times { sqrt{3}} over {2}={1} over {2} times 2 sqrt{7} times overline{{rm{PQ}} it }], [eqn: overline{{rm{PQ}} it }={2 sqrt{3}} over { sqrt{7}}={2 sqrt{21}} over {7}]

한편, [eqn: overline{{rm{HE}} it }=k]라 하면 두 직각삼각형 [eqn: {rm{AHP}} it], [eqn: {rm{EHP}} it]에서 [eqn: overline{{rm{AP}} it }^{2}- overline{{rm{AH}} it }^{2}= overline{{rm{EP}} it }^{2}- overline{{rm{EH}} it }^{2}],

즉 [eqn: 4^{2}-(3 sqrt{3}-k)^{2}=( sqrt{3})^{2}-k^{2}]이므로 [eqn: k={7 sqrt{3}} over {9}]

따라서 직각삼각형 [eqn: {rm{PHE}} it]에서 [eqn: overline{{rm{PH}} it }= sqrt{ overline{{rm{PE}} it }^{2}- overline{{rm{HE}} it }^{2}}={4 sqrt{6}} over {9}]

이때 직각삼각형 [eqn: {rm{PHQ}} it]에서 [eqn: overline{{rm{HQ}} it }= sqrt{ overline{{rm{PQ}} it }^{2}- overline{{rm{PH}} it }^{2}}={10 sqrt{21}} over {63}]이므로 [eqn: cos theta={ overline{{rm{HQ}} it }} over { overline{{rm{PQ}} it }}={5} over {9}]

그러므로

삼각형 [eqn: {rm{AMN}} it]의 평면 [eqn: {rm{PAM}} it]위로의 정사영의 넓이는 [eqn: S times cos theta=3 sqrt{3} times {5} over {9}={5} over {3} sqrt{3}]

따라서 [eqn: p=3], [eqn: q=5]이므로 [eqn: p+q=3+5=8]

07 기하	09 공간도형
03 정사영
07 정사영7 (그림자의 넓이)

[출처]	2006 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 25

서로 수직인 두 평면 [eqn: alpha ,~ beta `]의 교선을  [eqn: l]이라 하자. 반지름의 길이가 [eqn: 6`]인 원판이 두 평면 [eqn: alpha ,~ beta `]와 각각 한 점에서 만나고 교선 [eqn: l]에 평행하게 놓여 있다. 태양광선이 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: 30DEG]의 각을 이루면서 원판의 면에 수직으로 비출 때, 그림과 같이 평면 [eqn: beta]에 나타나는 원판의 그림자의 넓이를 [eqn: S`]라 하자. [eqn: S`]의 값을 [eqn: a+b` sqrt {3} pi]라 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a,`````b]는 자연수이고 원판의 두께는 무시한다.)

[정답] [eqn: bold34]

[해설]

반지름의 길이가 [eqn: 6`]인 원판이 평면 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]와 맞닿는 점을 각각 [eqn: A, B`]라 하고, 두 점 [eqn: A, B`]에서 교선 [eqn: l`]에 내린 수선의 발을 [eqn: O`]라 하고, 점 [eqn: O`]에서 선분 [eqn: AB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: H~]라 하면 주어진 상황의 단면을 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다.

따라서 그림자가 [eqn: S`]부분에 해당되는 영역 [eqn: S ``'`]은 원판에서 다음과 같다.

[eqn: S``'][eqn: = 6^2 pi -]{(부채꼴[eqn: PQC]의 넓이)-(삼각형 [eqn: PQC]의 넓이)}
[eqn: = 36pi - ( 1over 2 cdot 6^2 cdot 2pi over 3 - 1 over 2 cdot 6^2 cdot sin 2pi over 3 )][eqn: = 36pi - ( 12pi - 9 root3 )][eqn: = 24pi +9 root3]

이 때, [eqn: S= {S``' }over {cos 30DEG}]이므로

[eqn: S = {24pi +9 root3 } over { root3 over 2}][eqn: = 18 + 16 root3 pi]

∴ [eqn: a=18], [eqn: b= 16`]  ∴ [eqn: a+b = 34`]

태양광선

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: l]

[eqn: S]

[eqn: 6]

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 15

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: r]인 구 모양의 공이  공중에 있다. 벽면과 지면은 서로 수직이고, 태양광선이 지면과 크기가 [eqn: theta]인 각을 이루면서 공을 비추고 있다. 태양광선과 평행하고 공의 중심을 지나는 직선이 벽면과 지면의 교선 [eqn: l]과 수직으로 만난다. 벽면에 생기는 공의 그림자 위의 점에서 교선 [eqn: l]까지의 거리의 최댓값을 [eqn: a]라 하고, 지면에 생기는 공의 그림자 위의 점에서 교선 [eqn: l]까지의 거리의 최댓값을 [eqn: b]라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ③

[해설]

ㄱ. 구의 지름 중 구의 중심을 지나고 교선 [eqn: l]과 평행한 지름의 정사영의 길이는 변치 않으므로 그림자와 교선 [eqn: l]의 공통부분의 길이는 [eqn: 2r] 이다 (참)
또, 구의 중심을 교선[eqn: l]위에 오도록 평행이동하고 구면 위의 원 중에서 태양광선에 수직인 원의 지름을 [eqn: xy]평면 에서 생각하면 그림과 같다

이때 [eqn: a`cos theta `=`r,``b`sin theta `=r] 이므로

ㄴ. [eqn: a`cos60 ^{CIRC } =b`sin60 ^{CIRC }]에서    [eqn: a= sqrt {3} b]
즉 [eqn: a>b] (거짓)

ㄷ. [eqn: cos theta = {r} over {a} `,``sin theta = {r} over {b}] 이므로
[eqn: sin ^{2} theta `+cos ^{2} theta `=1] 에 대입하면    [eqn: {r ^{2}} over {a ^{2}} + {r ^{2}} over {b ^{2}} =1]
즉 [eqn: {1} over {a ^{2}} + {1} over {b ^{2}} = {1} over {r ^{2}}] (참)

	<보 기>
ㄱ. 그림자와 교선 [eqn: l]의 공통부분의 길이는 2[eqn: r]이다. ㄴ. [eqn: theta =60 DEG]이면 [eqn: a<b]이다. ㄷ. [eqn: {1} over {a ^{2}} + {1} over {b ^{2}} = {1} over {r ^{2}}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2010 모의_공공 사관학교 고3 07월 14

그림과 같이 지면과 이루는 각의 크기가 [eqn: theta`]인 평평한 유리판 위에 반구가 엎어져있다. 햇빛이 유리판에 수직인 방향으로 비출 때 지면 위에 생기는 반구의 그림자의 넓이를 [eqn: S _{1}`], 햇빛이 유리판과 평행한 방향으로 비출 때 지면 위에 생기는 반구의 그림자의 넓이를 [eqn: S _{2}`]라 하자. [eqn: S _{1} ``:`S _{2} `=`3``:`2`]일 때, [eqn: tan` theta `]의 값은? (단, [eqn: theta`]는 예각이다.)

[정답] ⑤

[해설]

반구의 밑면의 넓이를 [eqn: S]라고 하면

[eqn: S_1 = S 1overcostheta]이고 [eqn: S_2 = 1over2 S 1oversintheta]이다.

[eqn: S_1 :S_2 = 3:2]이므로     [eqn: 4 over costheta = 3over sintheta]

[eqn: therefore~ tan theta = 3 over4]

↙

↙

↙

평행한 빛

지면

[eqn: theta]

↘

↘

↘

수직인 빛

□ 유리판

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {3}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

[출처]	2015 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

한 변의 길이가 [eqn: 8]인 정사각형을 밑면으로 하고 높이가 [eqn: 4+4 sqrt { 3}]인 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]가 있다. 그림과 같이 이 직육면체의 바닥에 [eqn: rm∠EPF=90DEG]인 삼각기둥 [eqn: rm EFP-HGQ]가 놓여있고 그 위에 구를 삼각기둥과 한 점에서 만나도록 올려놓았더니 이 구가 밑면 [eqn: rm ABCD]와 직육면체의 네 옆면에 모두 접하였다. 태양광선이 밑면과 수직인 방향으로 구를 비출 때, 삼각기둥의 두 옆면 [eqn: rmPFGQ] , [eqn: rm EPQH]에 생기는 구의 그림자의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2] ([eqn: S_1 >S_2])라 하자.□[eqn: S_1 + 1 over sqrt { 3} S_2]의 값은?

[정답] ④

[해설]

구의 중심을 지나고 평면 [eqn: {rm{AEFB}}]에 평행하게 절단하면 구가 밑면 [eqn: {rm{ABCD}}]와 직육면체의 네 옆면에 모두 접하므로 구의 반지름은 [eqn: 4]이고 구의 중심을 [eqn: {rm{X}}]라 하면 구의 중심에서 평면 [eqn: {rm{EFGH}}]에 이르는 거리는 [eqn: (4+4 sqrt{3})-4=4 sqrt{3}]이다.

구와 삼각기둥과 한 점에서 만나므로 그 점은 두 점 [eqn: {rm{P}}], [eqn: {rm{Q}}]의 중점 [eqn: {rm{P}}_{1}]이 된다.

이때 두 점 [eqn: {rm{F}}], [eqn: {rm{G}}]의 중점을 [eqn: {rm{F}}_{1}], 두 점 [eqn: {rm{E}}], [eqn: {rm{H}}]의 중점을 [eqn: {rm{E}}_{1}], 구의 중심 [eqn: {rm{X}}]에서 태양광선에 평행하게 연장하였을 때, 평면 [eqn: {rm{EFGH}}]와 교점을 [eqn: {rm{X}}_{2}]라 하면 삼각형 [eqn: {rm{XX}}_{2} {rm{E}}_{1}]과 [eqn: {rm{F}}_{1} {rm{P}}_{1} {rm{E}}_{1}]는 직각과 맞꼭짓각을 공유하는 [eqn: {rm{AA}}]닮음 관계의 삼각형이 되므로 [eqn: angle {rm{X}}_{2} {rm{XE}}_{1}= theta]라 하면 [eqn: tan theta={4} over {4 sqrt{3}}={ sqrt{3}} over {3}]

[eqn: therefore theta={ pi} over {6}]

이때 삼각기둥에 그림자는 구의 중심을 지나고 직육면체의 밑면에 평행한 평면과의 교원의 넓이는 [eqn: pi cdot 4^{2}=16 pi]이므로

[eqn: {rm{S}}_{2} cos { pi} over {3}+{rm{S}}_{1} cos { pi} over {6}=16 pi]
[eqn: {{rm{S}}_{2}+ sqrt{3} {rm{~S}}_{1}} over {2}=16 pi]

따라서 양변에 [eqn: {2} over { sqrt{3}}]을 곱하면

[eqn: {rm{S}}_{1}+{1} over { sqrt{3}} {rm{S}}_{2}={32 sqrt{3} pi} over {3}]

① [eqn: { 20 sqrt { 3} } over { 3}pi]	② [eqn: 8sqrt { 3}pi]	③ [eqn: { 28 sqrt { 3} } over { 3}pi]

④ [eqn: { 32 sqrt { 3} } over { 3}pi]	⑤ [eqn: 12sqrt { 3}pi]

07 기하	09 공간도형
04 기타
02 교과외2 (삼각함수의 덧셈정리)

[출처]	2012 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

그림과 같은 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에서 네 모서리 [eqn: rmAD,][eqn: rmCD,~EF,~EH]의 중점을 각각 [eqn: rmP,~Q,~R,][eqn: rmS]라 하고, 두 선분 [eqn: rmRS]와 [eqn: rmEG]의 교점을 [eqn: rmM]이라 하자. 평면 [eqn: rmPMQ]와 평면 [eqn: rmEFGH]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tan^2 `theta+sec^2 `theta]의 값을 구하여라.

[정답] [eqn: bold17]

[해설]

[eqn: rm barPQ]//[eqn: rm barEG]이므로 평면 [eqn: rm PMQ]는 평면 [eqn: rm PEGQ]에 포함된다.

따라서 [eqn: theta]는 평면 [eqn: rm PEGQ]와 평면 [eqn: rm EFGH]가 이루는 예각이다.

정육면체의 한 변의 길이를 [eqn: 4]라 하면

[eqn: rm barPQ = sqrt { 2^2 +2^2} = 2 sqrt { 2}], [eqn: rm barEG = sqrt { 4^2 +4^2} =4 sqrt { 2}],

[eqn: rm barQG = barPE = sqrt { 2^2 +4^2} = 2 sqrt { 5}]이므로 사각형 [eqn: rm PEGQ]는 등변사다리꼴이다.

점 [eqn: rm Q]에서 변 [eqn: rm EG]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmI]라 하면 위 그림에서

[eqn: rm barQI = sqrt { (2 sqrt { 5} )^2 -( sqrt { 2} )^2} = 3 sqrt { 2}]

점 [eqn: rm Q]에서 평면 [eqn: rm EFGH]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm K]라 하면

점 [eqn: rm Q]에서 평면 [eqn: rm EFGH]에 이르는 거리가 [eqn: 4]이므로 [eqn: rm barQK =4]

삼수선의 정리에 의해서 [eqn: rm angle QIK = theta]이므로

[eqn: sin theta = { 4} over { 3 sqrt { 2} }= { 2 sqrt { 2} } over { 3}]

∴ [eqn: cos theta = sqrt { 1-sin^2 theta} = 1 over9]

∴ [eqn: tan^2 theta + sec^2 theta][eqn: = 2 sec^2 theta -1][eqn: = 2 times 9 -1 =17]

07 기하	09 공간도형
04 기타
03 교과외3 (공간벡터)

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 12

좌표공간에서 점 [eqn: (0,`` a,`` b)]를 지나고 평면 [eqn: x+3 y-z=0]에 수직인 직선이 구 [eqn: (x+1)^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=1]과 두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]에서 만난다. [eqn: overline{{rm{AB}} it }=2]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

구의 지름의 길이가 [eqn: rm 2]이고 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=2]이므로

선분 [eqn: {rm{AB}} it]는 구의 중심 [eqn: (-1,``0,``2)]를 지난다.

평면의 법선벡터가 직선 [eqn: {rm{AB}} it]의 방향벡터이므로

직선 [eqn: {rm{AB}} it]의 방정식은 [eqn: {x+1} over {1}={y} over {3}={z-2} over {-1}]인데, 이것이 점 [eqn: (0,`` a,`` b)]를 지난다.

따라서 [eqn: 1={a} over {3}={b-2} over {-1}]

[eqn: a=3], [eqn: b=1]

[eqn: therefore~a+b=4]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: rm 2]	⑤ [eqn: rm 4]

07 기하	10 공간좌표
01 공간좌표
01 공간좌표1 (공간 위의 점의 좌표)

[출처]	2010 모의_공공 사관학교 고3 07월 19

한 모서리의 길이가 [eqn: 1`]인 정육면체 [eqn: \ ABCD-EFGH `]를 다음 두 조건을 만족시키도록 좌표공간에 놓는다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: rmbar AG =root3], [eqn: rmbar AB = 1], [eqn: rmbar GB = root2]이므로 [eqn: TRIANGLE rmABG]는 직각삼각형이다.

[eqn: rmB]에서 [eqn: rmbarAG]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 [eqn: rm barBH]는 [eqn: root 6 over 3]이고 [eqn: rmBAR AH = root 3 over3]이므로 [eqn: a= root3 over3], [eqn: b= root6 over3]이다.

[eqn: therefore][eqn: ab = root2 over3]

(가) 꼭짓점 [eqn: \A`]는 원점에 놓이도록 한다.

(나) 꼭짓점 [eqn: \G`]는 [eqn: y`]축 위에 놓이도록 한다.

위의 조건을 만족시키는 상태에서 이 정육면체를 [eqn: y`]축의 둘레로 회전시킬 때, 점 [eqn: \B`]가 그리는 도형은 점 [eqn: (0,`a,`0)`]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: r`]인 원이다. 이때, [eqn: a,``r`]의 곱 [eqn: a`r`]의 값은? (단, 점 [eqn: \G`]의 [eqn: y`]좌표는 양수이다.)

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \C]

[eqn: \D]

[eqn: \E]

[eqn: \H]

[eqn: \F]

[eqn: \G]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {6}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {sqrt {2}} over {3}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]

07 기하	10 공간좌표
01 공간좌표
04 공간좌표4 (두 점 사이의 거리의 활용)

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 9

그림과 같이 좌표공간에 있는 정육면체 [eqn: rm ABCD-EFGH``]에서 [eqn: rm A(0,`3,`3)``], [eqn: rm E(0,`3,`0)``], [eqn: rm F(3,`3,`0)``], [eqn: rm H(0,`6,`0)``]이다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rmbar{ M rm Q}]가 최대가 되려면 점 [eqn: rm B]를 지나야 하므로

(최댓값)[eqn: rm =2 bar{MB} =2 sqrt {3 ^{2} + LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2}} =2 sqrt {17}]

점 [eqn: rm M(1,`5,`6)``]과 정육면체의 모서리 위를 움직이는 점 [eqn: rm P``]에 대하여 직선 [eqn: rm MP``]가 [eqn: xy``]평면과 만나는 점을 [eqn: rm Q``]라 하자. 이때, 선분 [eqn: rm MQ``]의 길이의 최댓값은?

① [eqn: 2root11]	② [eqn: 2root13]	③ [eqn: 2root14]

④ [eqn: 2root15]	⑤ [eqn: 2root17]

[출처]	2010 모의_공공 사관학교 고3 07월 18

좌표공간에 [eqn: 5`]개의 점 [eqn: rm A`(0,`0,`` it 4-t)`], [eqn: \B`(it t,``0,`0)`], [eqn: \C`(it0,`` t,``0)`], [eqn: \D`(it- t,``0,`0)`], [eqn: \E`(it0,``- t,``0)`]을 꼭짓점으로 하는 사각뿔 [eqn: rm A-BCDE`]가 있다. [eqn: 0<t<4`]일 때, 이 사각뿔의 부피가 최대가 되도록 하는 실수 [eqn: t`]의 값은?

[정답] ④

[해설]

사각뿔 [eqn: \ A-BCDE`]에서 밑면 [eqn: rm BCDE`]는 한 변이 [eqn: sqrt {2} t`]인 정사각형이고 높이는 [eqn: 4-t`]이므로 부피 [eqn: f(t)]라 하면

[eqn: f(t)= {1} over {3} BULLET 2t ^{2} (4-t)``][eqn: (``0<t<4``)``]

[eqn: f` prime `(t)=-2t ^{2} + {16} over {3} t``=0]에서 [eqn: t= {8} over {3} ``]

에서 극대이자 최대를 갖는다.

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: {10} over {3}]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 20

좌표공간에 한 직선 위에 있지 않은 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 있다. 다음 조건을 만족시키는 평면 [eqn: alpha]에 대하여 각 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]와 평면 [eqn: alpha] 사이의 거리 중에서 가장 작은 값을 [eqn: d` LEFT ( alpha RIGHT )]라 하자.

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. 평면 [eqn: alpha]와 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 지나는 평면의 교선을 [eqn: l`]이라 하자.
점 [eqn: rmA]에서 평면 [eqn: alpha]와 교선 [eqn: l`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmH _{1}], [eqn: rmH _{2}]라 하면
[eqn: rmbar{AH _{1} }LEQbar{AH _{2} }]
즉, 점 [eqn: rmA]에서 평면 [eqn: alpha]에 이르는 거리는 평면 [eqn: alpha]와 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 지나는 평면이 수직일 때 최대이다.

마찬가지로 두 점 [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]에서 평면 [eqn: alpha]에 이르는 거리는 평면 [eqn: alpha]와 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 지나는 평면이 수직일 때 최대이다.
따라서 평면 [eqn: alpha] 중에서 [eqn: d` LEFT ( alpha RIGHT )]가 최대가 되는 평면을 [eqn: beta`]라 하면 평면 [eqn: beta]는 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 지나는 평면과 수직일 때 최대이다. (참)

ㄴ. [eqn: rmbar{BC}LEQbar{AC}]라 하자.
선분 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면 평면 [eqn: alpha]가 점 [eqn: rmM]을 지날 때 [eqn: d` LEFT ( alpha RIGHT )]는 최대이다.
즉, 평면 [eqn: beta`]는 선분 [eqn: rmBC]의 중점을 지난다.
마찬가지로 [eqn: rmbar{AC}LEQbar{BC}]일 때에는 평면 [eqn: beta`]는 선분 [eqn: rmAC]의 중점을 지난다. (참)

ㄷ. [eqn: rmbar{AC}= sqrt {LEFT ( 2-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -1-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 0-0 RIGHT ) ^{2}} =4]
[eqn: rmbar{BC}= sqrt {LEFT ( 2-0 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -1-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 0-0 RIGHT ) ^{2}} =2 sqrt {2}]
이때, [eqn: rmbar{BC}LEQbar{AC}]이므로 [eqn: d` LEFT ( beta` RIGHT )]는 점 [eqn: rmB]와 평면 [eqn: beta`] 사이의 거리와 같다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

(가) 평면 [eqn: alpha]는 선분 [eqn: rmAC]와 만나고, 선분 [eqn: rmBC]와도 만난다.

(나) 평면 [eqn: alpha]는 선분 [eqn: rmAB]와 만나지 않는다.

위의 조건을 만족시키는 평면 [eqn: alpha] 중에서 [eqn: d` LEFT ( alpha RIGHT )]가 최대가 되는 평면을 [eqn: beta`]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 평면 [eqn: beta`]는 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 지나는 평면과 수직이다. ㄴ. 평면 [eqn: beta`]는 선분 [eqn: rmAC]의 중점 또는 선분 [eqn: rmBC]의 중점을 지난다. ㄷ. 세 점이 [eqn: rmA` LEFT ( 2,~3,~0 RIGHT )], [eqn: rmB` LEFT ( 0,~1,~0 RIGHT )], [eqn: rmC` LEFT ( 2,~-1,~0 RIGHT )]일 때, [eqn: d` LEFT ( beta RIGHT )]는 점 [eqn: rmB]와 평면 [eqn: beta`] 사이의 거리와 같다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

07 기하	10 공간좌표
01 공간좌표
06 정사영

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 09월 19

좌표공간에서 [eqn: y``]축을 포함하는 평면 [eqn: alpha``]에 대하여 [eqn: xy``]평면 위의 원 [eqn: C_1`:`(x-10)^2 +y^2 =3``]의 평면 [eqn: alpha``]위로의 정사영의 넓이와 [eqn: yz``]평면 위의 원 [eqn: C_2`:`y^2 +(z-10)^2 =1``]의 평면 [eqn: alpha``]위로의 정사영의 넓이가 [eqn: S``]로 같을 때, [eqn: S``]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

원 [eqn: C _{1}]을 포함하는 평면이 평면 [eqn: alpha]와 이루는 각도를 [eqn: theta _{1}], 원 [eqn: C _{2}]를 포함하는 평면이 평면 [eqn: alpha]와 이루는 각도를 [eqn: theta _{2}]라고 하면

[eqn: S=3 pi `cos theta _{1} = pi `cos theta _{2} = pi `sin theta _{1} `( BECAUSE ` theta _{1} + theta _{2} =90 DEG )]

∴[eqn: left ( {S} over {3 pi }right ) ^{2} + left ( {S} over {pi }right ) ^{2} =1]   ∴[eqn: S`=` {3 sqrt {10}} over {10} pi]

① [eqn: root10 over 6 pi]	② [eqn: root10 over 5 pi]	③ [eqn: {7 root10} over 30 pi]

④ [eqn: {4root10} over 15 pi]	⑤ [eqn: {3root 10 } over 10 pi]

07 기하	10 공간좌표
02 분점
03 분점3 (각의 등분)

[출처]	2009 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

좌표공간에서 세 점 [eqn: rm A(1,``0,``0)`], [eqn: rm B(0,``2,``0)`], [eqn: rm C(0,``0,``3)`]을 지나는 평면을 [eqn: alpha`]라 하자. 그림과 같이 평면 [eqn: alpha`]와 [eqn: xy`]평면의 이면각 중에서 예각인 것을 이등분하면서 선분 [eqn: rm AB`]를 포함하는 평면을 [eqn: beta`]라 할 때, 평면 [eqn: beta`]가 [eqn: z`]축과 만나는 점의 [eqn: z`]좌표는?

[정답] ①

[해설]

평면 [eqn: beta``]가 [eqn: z``]축과 만나는 점을 [eqn: rmD(0,```0,```z)``]라 하자. 점 [eqn: rmC``]와 점 [eqn: rmD``]에서 선분 [eqn: rmAB``]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH``]라 하면 삼수선 정리에 의하여 선분 [eqn: rmOH``]는 선분 [eqn: rmAB``]에 수직이다. [eqn: bar{rmOA} cdot bar{rmOB}=bar{rmOH} cdot bar{rmAB}``]이므로

[eqn: bar{rmOH}= 2 over sqrt5``]

[eqn: therefore`````][eqn: bar{rmHC}=sqrt{3^2 + left( 2 over sqrt5 right)^2 }=sqrt{49 over 5}= 7 over sqrt5``][eqn: cdots``](1)

삼각형 [eqn: rmOHC``]의 단면을 나타내면 다음 그림과 같다.

[eqn: rmH]

[eqn: rmO]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: 2 over sqrt5]

[eqn: 3]

[eqn: z]

[eqn: 7 over sqrt5]

선분 [eqn: rmHD``]가 선분 [eqn: rmHO``]와 선분 [eqn: rmHC``]의 사이 각을 이등분하므로 [eqn: angle rmOHD =angle DHC =theta``]라 하자. 정사영의 원리에 의해 선분 [eqn: rmHC``]와 선분 [eqn: rmHD``]를 [eqn: xy``]평면으로 정사영한 길이는 서로 같으므로

[eqn: bar{rmHC}`cdotcos``2theta=bar{rmHD} cdot cos``theta= 2 over sqrt5``][eqn: cdots``](2)

식 (1)로부터

[eqn: cos``2theta=2`cos^2``theta-1= 2 over 7``]

[eqn: therefore`````][eqn: cos``theta= 3 over sqrt14``] ([eqn: because`````][eqn: 0<theta<90DEG])

식 (2)에 대입하면

[eqn: bar{rmHD}= {2sqrt14} over{3sqrt5}``]

직각삼각형 [eqn: rmOHD``]에서 [eqn: bar{rmHD}^2 = z^2 +bar{rmHO}^2``]이므로

[eqn: z^2 =bar{rmHD}^2 -bar{rmHO}^2 = 56 over 45 - 4 over 5 = 20 over 45 = 4 over 9``]

[eqn: therefore`````][eqn: z= 2 over 3``] ([eqn: because`````][eqn: z>0])

[eqn: z]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A(1,``0,``0)]

[eqn: rm B(0,``2,``0)]

[eqn: rm C(0,``0,``3)]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {8} over {9}]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {4} over {3}]

07 기하	10 공간좌표
03 구의 방정식
06 구의 방정식6 (자취 및 활용)

[출처]	2004 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 23

좌표공간에 반구 [eqn: (x-5) ^{2} +(y-4) ^{2} +`z ^{2} `=9,``z GEQ 0]가 있다. [eqn: y]축을 포함하는 평면 [eqn: alpha `]가 반구와 접할 때, [eqn: alpha `]와 [eqn: xy]평면이 이루는 각을 [eqn: theta]라 하자. 이 때, [eqn: 30`cos theta]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: 0`< theta ``< {pi } over {2}])

[정답] [eqn: bold24]

[해설]

반구의 중심을[eqn: rm Oʹ]이라 하고,[eqn: rm Oʹ]에서 [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 H라 하면 H(0, 4, 0)이므로

[eqn: rm bar OʹH =5]	……………… ㉠

이 때, [eqn: y`]축을 포함하는 평면 [eqn: alpha`]와 반구의 접점을 Q라 하면

[eqn: rm bar OʹQ =3]	……………… ㉡

또한,[eqn: rm bar OʹQ ⊥alpha],[eqn: rm bar OʹH ⊥ bar OH]이므로 삼수선의 정리에 의해 [eqn: rm bar OH ⊥ bar QH]이다.

∴[eqn: rm bar QH = root{5^2 -3^2} =4]	……………… ㉢

㉠, ㉡, ㉢에서 [eqn: alpha`]와 [eqn: xy`]평면이 이루는 각이 [eqn: θ= ∠rm QHO']이므로      [eqn: cos θ rm = bar QH over bar OʹH = 4 over 5]    ∴ [eqn: 30 cosθ =24]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 17

좌표공간에 구 [eqn: S``:``x^2 +y^2 +(z-1)^2 =1]과 [eqn: xy`]평면 위의 원 [eqn: C``:``x^2 +y^2 =4]가 있다. 구 [eqn: S``]와 점 [eqn: rm P]에서 접하고 원 [eqn: C``]위의 두 점 [eqn: rm Q,~R]를 포함하는 평면이 [eqn: xy`]평면과 이루는 예각의 크기가 [eqn: pi over3]이다. 점 [eqn: rm P]의 [eqn: z`]좌표가 [eqn: 1]보다 클 때, 선분 [eqn: rm QR]의 길이는?

[정답] ④

[해설]

구 [eqn: S]의 중심 [eqn: (0,``0,``1)]을 [eqn: {rm{A}} it]라 하고, 구 [eqn: S]와 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 접하고 두 점 [eqn: {rm{Q}} it], [eqn: {rm{R}} it]를 포함하는 평면이 [eqn: z]축과 만나는 점을 [eqn: {rm{B}} it]라 하자.

이등변삼각형 [eqn: {rm{OQR}} it]에서 선분 [eqn: {rm{QR}} it]의 중점을 [eqn: {rm{M}} it]이라 하면

[eqn: overline{{rm{BO}} it } BOT]( [eqn: x y]평면), [eqn: overline{{rm{OM}} it } BOT overline{{rm{QR}} it }]이므로 삼수선의 정리에 의하여

[eqn: overline{{rm{BM}} it } BOT overline{{rm{QR}} it }]

이때 [eqn: x y]평면과 평면 [eqn: {rm{BQR}} it]의 교선은 직선 [eqn: {rm{QR}} it]이고

[eqn: overline{{rm{OM}} it } BOT overline{{rm{QR}} it }], [eqn: overline{{rm{BM}} it } BOT overline{{rm{QR}} it }]이므로 [eqn: x y]평면과 평면 [eqn: {rm{BQR}} it]가 이루는 예각의 크기는

[eqn: angle {rm{OMB}} it ={ pi} over {3}]

직각삼각형 [eqn: {rm{BAP}} it]에서 [eqn: angle {rm{ABP}} it ={ pi} over {6}]이고 선분 [eqn: {rm{AP}} it]의 길이는 구 [eqn: S]의 반지름의 길이인 [eqn: rm 1]이므로 [eqn: sin { pi} over {6}={ overline{{rm{AP}} it }} over { overline{{rm{AB}} it }}],

즉 [eqn: {1} over {2}={1} over { overline{{rm{AB}} it }}]에서 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=2]

이때 [eqn: overline{{rm{OA}} it }=1]이므로

[eqn: overline{{rm{OB}} it }= overline{{rm{OA}} it }+ overline{{rm{AB}} it }=1+2=3]

따라서 직각삼각형 [eqn: {rm{BOM}} it]에서

[eqn: tan { pi} over {3}={ overline{{rm{OB}} it }} over { overline{{rm{OM}} it }}], 즉 [eqn: sqrt{3}={3} over { overline{{rm{OM}} it }}]이므로

[eqn: overline{{rm{OM}} it }= sqrt{3}]

따라서 이등변삼각형 [eqn: {rm{OQR}} it]에서

[eqn: overline{{rm{QR}} it }=2 overline{{rm{QM}} it }=2 sqrt{ overline{{rm{OQ}} it }^{2}- overline{{rm{OM}} it }^{2}}=2 sqrt{2^{2}-( sqrt{3})^{2}}=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: sqrt {3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: sqrt {5}]

07 기하	10 공간좌표
03 구의 방정식
07 구의 방정식7 (Mm)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 기하 30

좌표공간에서 점 [eqn: rm A LEFT ( 0,`` 0,`` 1 RIGHT ) `]을 지나는 직선이 중심이 [eqn: rm C LEFT ( 3,`` 4,`` 5 RIGHT ) `]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1 `]인 구와 한 점 [eqn: rm P`]에서만 만난다. 세 점 [eqn: rm A], [eqn: rmC], [eqn: rmP `]를 지나는 원의 [eqn: xy `]평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값은 [eqn: q over p root41 pi `]이다. [eqn: p +q `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 9`]

[해설]

삼각형 [eqn: rm APC`]는 빗변이 [eqn: rm {bar{AC}}`]인 직각삼각형이므로

원의 지름은 [eqn: rm barAC =sqrt41]이다.

이것의 [eqn: xy]평면으로의 정사영의 길이는 [eqn: rm A prime (0,````0,````0)`], [eqn: rm C prime (3,````4,````0)`]

에서 [eqn: rm bar{A'C' } = 5],

따라서 최대 넓이는 장축의 길이가 [eqn: sqrt41],

단축의 길이가 [eqn: 5`]인 타원이므로

[eqn: S= 5 over2 Times sqrt41 over2 pi = 5 over4 sqrt41pi], [eqn: THEREFORE][eqn: p+q = 9]

07 기하	10 공간좌표
04 기타
03 교과외3 (삼각함수의 덧셈정리)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 11월 29

좌표공간에 구 [eqn: S: x^2 +y^2 +z^2 =50]과 점 [eqn: rm P(0 , ``5, ``5)]가 있다. 다음 조건을 만족시키는 모든 원 [eqn: C``]에 대하여 [eqn: C``]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값을 [eqn: q overp pi]라 하자. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 9]

[해설]

원 [eqn: C]의 중심을 [eqn: C]라 하자.

조건 (나)에서 원 [eqn: C]의 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]이므로 원 [eqn: C]를 포함하는 평면과 [eqn: x y]평면이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 정사영의 넓이는 [eqn: pi cos theta]

㉠의 값이 최대가 되려면 [eqn: theta]의 값이 최소가 되어야 한다. 그러기 위해서는 원 [eqn: C]의 중심 [eqn: {rm{C}} it]의 [eqn: z]좌표가 최대가 되어야 하므로 원 [eqn: C]를 포함하는 평면은 [eqn: y z]평면과 수직이어야 한다. 점 [eqn: {rm{P}} it (0,``5,``5)]가 [eqn: y z]평면 위의 점이므로 그림과 같이 구의 [eqn: y z]평면에 의한 단면에서 주어진 구는 [eqn: y^{2}+z^{2}=50]인 원으로 나타내어지고 원 [eqn: C]를 포함하는 평면은 직선 [eqn: l_{1}] 또는 [eqn: l_{2}]로 나타내어지는데 [eqn: theta]의 값이 최소이어야 하므로 [eqn: l_{1}]로 한정된다.

직선 [eqn: {rm{CP}} it]가 [eqn: x y]평면과 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하면 [eqn: angle {rm{OCQ}} it ={ pi} over {2}]이고,

점 [eqn: {rm{P}} it]의 [eqn: y]좌표와 [eqn: z]좌표가 같으므로 [eqn: angle {rm{POQ}} it ={ pi} over {4}]이다.

[eqn: angle {rm{COP}} it = alpha]라 하면 직각삼각형 [eqn: {rm{OCQ}} it]에서 [eqn: theta+ alpha+{ pi} over {4}={ pi} over {2}]이므로 [eqn: theta={ pi} over {4}- alpha]

또 직각삼각형 [eqn: {rm{OCP}} it]에서

[eqn: {bar{rm OC it}} = sqrt {{bar{ rm OP it }}^{2} - {bar{ rm CP it }}^{2}} = sqrt {50-1} =7]이므로

[eqn: cos` alpha = {7} over {sqrt {50}} = {7} over {5 sqrt {2}}], [eqn: sin` alpha = {1} over {5 sqrt {2}}]

[eqn: cos` theta][eqn: =cos` LEFT ( {pi } over {4} - alpha RIGHT )][eqn: =cos` {pi } over {4} cos` alpha +sin` {pi } over {4} sin` alpha]
[eqn: = {sqrt {2}} over {2} TIMES {7} over {5 sqrt {2}} + {sqrt {2}} over {2} TIMES {1} over {5 sqrt {2}} = {8} over {10} = {4} over {5}]

그러므로 구하는 정사영의 넓이의 최댓값은 [eqn: pi cos` theta = pi TIMES {4} over {5} = {4} over {5} pi]

따라서 [eqn: p=5], [eqn: q=4]이므로 [eqn: p+q=5+4=9]

(가) 원 [eqn: C``]는 점 [eqn: rmP]를 지나는 평면과 구 [eqn: S``]가 만나서 생긴다.

(나) 원 [eqn: C``]의 반지름의 길이는 [eqn: 1]이다.

[준킬러][기하] 3공도좌(빠른 정답)
준킬러기하	2023.01.07

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: bold31]

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] [eqn: {bold{30}}]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold16`]

[정답] [eqn: bold { 25 }]

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold25]

[정답] [eqn: 12]

[정답] ②

[정답] [eqn: 15]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold15]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold32]

[정답] [eqn: 40]

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 47]

[정답] [eqn: 60]

[정답] [eqn: bold27]

[정답] [eqn: bold45]

[정답] [eqn: {bold{13}}]

[정답] [eqn: bold11]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: 450]

[정답] ④

[정답] [eqn: 8]

[정답] [eqn: bold34]

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: bold17]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] [eqn: bold24]

[정답] ④

[정답] [eqn: 9`]

[정답] [eqn: 9]

[준킬러][기하] 3공도좌(해설)
준킬러기하	2023.01.07