	준킬러기하	[준킬러][기하] 2벡터
	02
		준킬러기하	2023.01.07

07 기하	05 평면벡터의연산
02 벡터의 해석과 활용
05 벡터의 해석5 (Mm)

준킬러기하		준킬러기하
		[준킬러][기하] 2벡터
02

	준킬러기하		준킬러기하
	[준킬러][기하] 2벡터		02

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 10월 21

그림과 같이 평면 위에 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 네 개의 원 [eqn: C`_1], [eqn: C`_2], [eqn: C`_3], [eqn: C`_4]가 서로 외접하고 있고, 두 원 [eqn: C`_1], [eqn: C`_2]의 접점을 [eqn: \A]라 하자. 원 [eqn: C`_3] 위를 움직이는 점 [eqn: \P`]와 원 [eqn: C`_4] 위를 움직이는 점 [eqn: \Q`]에 대하여 [eqn: left|` vec{rm AP it} `+` vec{\AQ} ``right|`]의 최댓값은?

[정답] ②

[해설]

네 원 [eqn: C_1], [eqn: C_2], [eqn: C _{3}], [eqn: C _{4}]의 중심을 각각 [eqn: \O_1], [eqn: \O_2], [eqn: \O _{3}], [eqn: \O _{4}]

라 하고, 두 원 [eqn: C _{3}], [eqn: C _{4}]의 접점을 [eqn: \B]라 하자.

사각형 [eqn: \O_1 O_2 O_4 O_3]은 네 변의 길이가 모두 [eqn: 2]인 마름모이고,

두 점 [eqn: \A], [eqn: \B]는 각각 변 [eqn: rm O _{1} O _{2}], 변 [eqn: \O_3 O_4]의 중점이다.

[eqn: therefore][eqn: vec{rm AO _{3} it} + vec{rm AO _{4} it}][eqn: = 2 `vec{rm AB}][eqn: = 2 vec{\O_1 O_3 }]

한편, 벡터 [eqn: vec {\O_4 Q}]를 시점이 [eqn: \O_3]이 되도록 평행이동하였을 때, 그 종점을 [eqn: \Q']이라 하면 [eqn: vec{rm O _{3} P it} + vec{rm O _{4} Q it}][eqn: = vec{rm O _{3} P it} + vec{rm O _{3} Q prime it}]이므로

[eqn: vec{\AP} +vec{\AQ}][eqn: = LEFT ( `vec{rm AO _{3} it} + vec{rm O _{3} P it}` RIGHT ) + LEFT ( `vec{rm AO _{4} it} + vec{rm O _{4} Q it} `RIGHT )]
[eqn: = LEFT (` vec{rm AO _{3} it} + vec{rm AO _{4} it} `RIGHT ) + LEFT (` vec{rm O _{3} P it} + vec{rm O _{4} Q it}` RIGHT )]
[eqn: = 2 vec{\O_1 O_3 }][eqn: + vec{rm O _{3} P it} +vec{rm O _{3} Q prime it}]

이때, 벡터 [eqn: vec{\AP} +vec{\AQ}]의 크기가 최대가 되려면 [eqn: vec{\O_1 O_3 }]은 방향과 크기가 일정한 벡터이므로 두 벡터 [eqn: vec{rm O _{3} P it}], [eqn: vec{rm O _{3} Q prime it}]이 [eqn: vec{\O_1 O_3 }]과 방향이 같아야 한다.

[eqn: therefore][eqn: left|`vec{\AP} +vec{\AQ} ` right| le 3 `left|`vec{\O_1 O_3 } `right| = 6]

① [eqn: 4sqrt { 3}- sqrt { 2}]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 3sqrt { 3}+1]

④ [eqn: 3sqrt { 3}+ sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 7]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 10월 18

[eqn: rm overline AB = 8], [eqn: rm overline BC = 6`]인 직사각형 [eqn: rm ABCD`]에 대하여 네 선분 [eqn: rm AB], [eqn: rm CD], [eqn: rm DA], [eqn: \BD`]의 중점을 각각 [eqn: rm E], [eqn: \F], [eqn: \G], [eqn: \H`]라 하자. 선분 [eqn: \CF`]를 지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: \P`]에 대하여 [eqn: left|` vec { rmEG }+ vec { rm HP} `right|`]의 최댓값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: LEFT | rm {vec{EG}} + {vec{rm HP}} RIGHT | = LEFT | rm {vec{BH}} + {vec{rm HP}} RIGHT | =left| {vec{rm BP}}right |`]이므로

[eqn: left|rm vec { EG}+} vec { rm HP}right|`]의 최댓값은 [eqn: left|rm vec {BP }right|`]의 최댓값과 같다.

즉, 원 밖의 한 점 [eqn: rm B`]에서 원 위의 점 [eqn: rm P`]에 이르는 거리의 최댓값이다.

따라서 원의 중심을 [eqn: rm O`]라 하면 [eqn: left|rm vec { BP }right|`]의 최댓값은

[eqn: bar { rm BO }+2][eqn: = sqrt {6^{2}+2 ^{2}} } +2][eqn: =2root10 +2]

① [eqn: 8]	② [eqn: 2+2root10]	③ [eqn: 2+2root11]

④ [eqn: 2+4root3]	⑤ [eqn: 2+2root13]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 29

좌표평면 위의 네 점 [eqn: rm A it LEFT ( -2,~0 RIGHT ) ,~ rm B it LEFT ( 1,~0 RIGHT ) ,~ rm C it LEFT ( 2,~1 RIGHT ) ,~ rm D it LEFT ( 0,~1 RIGHT )]이 있다. 반원의 호 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} +y ^{2}][eqn: =1]([eqn: 0 LEQ y LEQ 1]) 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 삼각형 [eqn: rmBCD] 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: LEFT | ` {vec{rm OP it}} + {vec{rm AQ it}} ` RIGHT |]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: M ^{2} +m ^{2}][eqn: =p+2 sqrt {q}]일 때, [eqn: p TIMES q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 유리수이다.)

[정답] [eqn: 115]

[해설]

(ⅰ) 두 점 [eqn: rmA,~O]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면
[eqn: {vec{rm OM}} + {vec{rm AM}}][eqn: = {vec{rm 0}}]이므로

[eqn: {vec{rm OP}} + {vec{rm AQ}}][eqn: = LEFT ( {vec{rm OM}} + {vec{rm MP}} RIGHT ) + LEFT ( {vec{rm AM}} + {vec{rm MQ}} RIGHT )]
[eqn: = {vec{rm MP}} + {vec{rm MQ}}]

[eqn: LEFT | ` {vec{rm MP}} ` RIGHT |][eqn: =1]이므로 두 벡터 [eqn: {vec{rm MP}}], [eqn: {vec{rm MQ}}]의 방향이 같고

[eqn: LEFT | ` {vec{rm MQ}} RIGHT |]의 값이 최대일 때, [eqn: LEFT | ` {vec{rm MP it}} + {vec{rm MQ it}} ` RIGHT |]의 값은 최대이다.

그러므로 선분 [eqn: rmMC]와 반원의 호가 만나는 점을 [eqn: rmX]라 하면

점 [eqn: rmQ]가 점 [eqn: rmC]이고 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmX]일 때

[eqn: LEFT | ` {vec{rm MP it}} + {vec{rm MQ it}} ` RIGHT |]의 값은 최대이다.

[eqn: {bar{rm MC}}][eqn: = sqrt {3 ^{2} +1 ^{2}}][eqn: = sqrt {10}]이므로

[eqn: LEFT | ` {vec{rm MP it}} + {vec{rm MQ it}} ` RIGHT |][eqn: LEQ][eqn: LEFT | ` {vec{rm MX it}} + {vec{rm MC it}} ` RIGHT |][eqn: = sqrt {10} +1]

따라서 [eqn: M][eqn: = sqrt {10} +1]

(ⅱ) [eqn: {vec{rm OP}} + {vec{rm AQ}}][eqn: = LEFT ( {vec{rm OA}} + {vec{rm AP}} RIGHT ) + LEFT ( {vec{rm AO}} + {vec{rm OQ}} RIGHT )]
[eqn: = {vec{rm AP}} + {vec{rm OQ}}]

삼각형 [eqn: rmBCD] 위의 임의의 점 [eqn: rmQ]에 대하여

[eqn: {vec{rm QY}}][eqn: = {vec{rm AP}}]인 점을 [eqn: rmY]라 하자.

[eqn: LEFT | ` {vec{rm AP it}} + {vec{rm OQ it}} ` RIGHT |][eqn: = LEFT | ` {vec{rm QY}} + {vec{rm OQ}} RIGHT |][eqn: = LEFT | ` {vec{rm OY}} ` RIGHT |][eqn: GEQ LEFT | ` {vec{rm OQ}} ` RIGHT |]

이므로 점 [eqn: rmY]가 점 [eqn: rmQ]일 때 [eqn: LEFT | ` {vec{rm AP it}} + {vec{rm OQ it}} ` RIGHT |]의 값은 최소이다.

점 [eqn: rmQ]가 선분 [eqn: rmBD] 위에 있고

[eqn: {bar{rm OQ}} BOT {bar{rm BD}}]일 때 [eqn: LEFT | ` {vec{rm OQ}} ` RIGHT |]의 값은 최소이므로

[eqn: m][eqn: = {sqrt {2}} over {2}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해

[eqn: M ^{2} +m ^{2}][eqn: = LEFT ( 11+2 sqrt {10} RIGHT ) + {1} over {2}][eqn: = {23} over {2} +2 sqrt {10}]

따라서 [eqn: p][eqn: = {23} over {2}], [eqn: q][eqn: =10]이므로 [eqn: p TIMES q][eqn: =115]

07 기하	06 위치벡터와평면벡터의성분
01 위치벡터
09 벡터방정식의 해석4 (삼각형 내부의 점의 위치 결정)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 09월 16

직사각형 [eqn: {rm ABCD]의 내부의 점 [eqn: {rm P]가

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: {rm VEC CA = VEC PA - VEC PC]이므로 [eqn: {rm VEC PA + VEC PB + VEC PC + VEC PD = VEC PA - VEC PC]에서 [eqn: {rm VEC PB + VEC PD = - 2VEC PC]

ㄱ.  [eqn: {rm VEC PB + VEC PD =-2 VEC PC = 2 VEC CP](참)

ㄴ. [eqn: {rm { VEC PB + VEC PD } OVER 2 = - VEC PC]
선분 [eqn: {rm BD]의 중점을 [eqn: {rm E]라 하면 [eqn: {rm VEC PE = - VEC PC]

그림에서 점 [eqn: {rm P]는 선분 [eqn: {rm BC]의 중점이므로
[eqn: {rm VEC AP = 3 OVER 4 VEC AC]	(참)

ㄷ. 삼각형 [eqn: {rm ADC]의 넓이는 삼각형 [eqn: {rm ADP]의 넓이의 [eqn: 4 OVER 3]이므로 삼각형 [eqn: {rm ADC]의 넓이는 [eqn: 3 TIMES 4 OVER 3 = 4]
그러므로 사각형 [eqn: {rm ABCD]의 넓이는 [eqn: 4 TIMES 2 = 8]이다.

(참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: {rm VEC PA + VEC PB + VEC PC + VEC PD = VEC CA]

를 만족시킨다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: {rm VEC PB + VEC PD = 2 VEC CP] ㄴ. [eqn: {rm VEC AP = 3 OVER 4 VEC AC] ㄷ. 삼각형 [eqn: {rm ADP]의 넓이가 [eqn: 3]이면 직사각형 [eqn: {rm ABCD]의 넓이는 [eqn: 8]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

07 기하	06 위치벡터와평면벡터의성분
01 위치벡터
10 벡터방정식의 해석5 (자취로 해석)

[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 9

평면 위에 삼각형 [eqn: rmOAB`]가 있다.

[정답] ①

[해설]

ㄱ. [eqn: rm vec{OP} = it (1-t) rm vec{OA} + it t rm vec{OB} = it rm vec{OA} + it t rm vec{AB} ``]([eqn: 0 <= t <= 1])이므로
점 [eqn: rm `P``]가 그리는 도형은 선분 [eqn: rm AB``]이다.	(참)

ㄴ. [eqn: rm vec{OP} = it s rm vec{OA} + it t rm vec{OB} ``][eqn: = it s rm vec{OA} + it 2t`` LEFT ( {1} over {2} rm vec{OB} RIGHT ) ``]이므로
점 [eqn: rm `P``]가 그리는 도형은 선분 [eqn: rm AB prime ``]
(이 때, [eqn: vec{rm OB prime it} `=` {1} over {2} vec{rm OB it} `] )이고, 그 길이는 선분[eqn: rm AB``]의 길이보다 작은 경우도 있다.	(거짓)

ㄷ. 양수 [eqn: s`,``t``]가 [eqn: s+2t` <= `1``]이면 점 [eqn: rm `P``]가 그리는 영역은 삼각형[eqn: rm OAB prime ``]이므로 삼각형[eqn: rm OAB``]에 포함된다.	(거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

[eqn: vec{rm OP`` it} =s` vec{rm OA`` it} +t` vec{rm OB`` it}] ([eqn: s GEQ 0,````t GEQ 0])

를 만족하는 점  [eqn: rmP`]가 그리는 도형에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: s+t=1]일 때, 점 [eqn: rmP`]가 그리는 도형은 선분 [eqn: rmAB`]이다. ㄴ. [eqn: s+2t=1]일 때, 점 [eqn: rmP`]가 그리는 도형의 길이는 선분 [eqn: rmAB]의 길이보다 크다. ㄷ. [eqn: s+2t LEQ 1`]일 때, 점 [eqn: rmP`]가 그리는 영역은 삼각형 [eqn: rmOAB`]를 포함한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

[출처]	2008 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

그림과 같이 [eqn: RM bar OA `= 3`], [eqn: RM bar OB `= 2`], [eqn: RM ANGLE AOB =30 DEG `]인 삼각형 [eqn: RM OAB `]가 있다. 연립부등식

[정답] [eqn: bold16]

[해설]

[eqn: 3 over 2 x+ 1 over 2 y >=1``]이고

[eqn: vec{rmOP}= 3 over 2 x cdot left(2 over 3 vec{rmOA}right)+ 1 over 2 y cdot (2 vec{rmOB})``]	…… ㉠

이므로 [eqn: vec{rmOP}``]는 점 [eqn: 2 over 3 vec{rmOA}``]와 점 [eqn: 2 vec{rmOB}``]를 연결하는 선분을 경계로 점 [eqn: rmO``]가 있지 않은 영역을 의미한다.

또한, [eqn: 1 over 2 x + 1 over 2 y <=1``]이므로

[eqn: vec{rmOP}= 1 over 2 x cdot (2vec{rmOA})+ 1 over 2 y cdot (2 vec{rmOB})``]	…… ㉡

이므로 두 점 [eqn: 2 vec{rmOA}``]와 [eqn: 2 vec{rmOB}``]를 연결한 선분을 경계로 점 [eqn: rmO``]가 있는 영역을 의미한다.

따라서 [eqn: y>=0``]범위에서 두 조건 ㉠과 ㉡을 동시에 만족하는 영역은 다음 그림과 같다.

[eqn: CDOT]

[eqn: CDOT]

[eqn: CDOT]

[eqn: CDOT]

[eqn: CDOT]

[eqn: 2rmA]

[eqn: 2rmB]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

[eqn: rmO]

[eqn: 2 over 3rmA]

[eqn: therefore`````][eqn: S= 1 over 2 times 4 `sin``30DEG times left(2 over 3 times 6 right)=4``]

[eqn: therefore`````][eqn: S^2 =16``]

[eqn: 3x +y GEQ 2], [eqn: x+y LEQ 2], [eqn: y GEQ 0]

을 만족시키는 [eqn: x], [eqn: y`]에 대하여 벡터 [eqn: RM VEC OP `= {ITx}`` VEC OA `+`{ITy}`VECOB `]의 종점 [eqn: rm P`]가 존재하는 영역의 넓이를 [eqn: S`]라 할 때, [eqn: S``^2`]의 값을 구하시오.

07 기하	06 위치벡터와평면벡터의성분
02 벡터의 성분과 연산
08 벡터의 성분8 (추론과 해석)

[출처]	2013 모의_공공 사관학교 고3 07월 15

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm 2]이고 중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {3}]인 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]에서 선분 [eqn: {rm{OA}} it]의 중점을 [eqn: {rm{M}} it]이라 하자. 점 [eqn: {rm{P}} it]는 두 선분 [eqn: {rm{OM}} it]과 [eqn: {rm{BM}} it] 위를 움직이고, 점 [eqn: {rm{Q}} it]는 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위를 움직인다. [eqn: {vec{{rm{OR}} it }}={vec{{rm{OP}} it }}+{vec{{rm{OQ}} it }}]를 만족시키는 점 [eqn: {rm{R}} it]가 나타내는 영역 전체의 넓이는?

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it]가 선분 [eqn: {rm{OM}} it] 위를 움직일 때, 점 [eqn: {rm{R}} it]이 존재하는 영역은 다음 그림의 어두운 부분과 같다.

점 [eqn: {rm{P}} it]가 선분 [eqn: {rm{BM}} it] 위를 움직일 때, 점 [eqn: {rm{R}} it]이 존재하는 영역은 다음 그림의 어두운 부분과 같다.

따라서 점 [eqn: {rm{R}} it]이 나타내는 영역은 다음 그림과 같다.

위 영역의 넓이는 가로의 길이가 [eqn: rm 2]이고 세로의 길이가 [eqn: sqrt{3}]인 직사각형의 넓이와 같다.

따라서 구하는 넓이는 [eqn: 2 sqrt{3}]이다.

① [eqn: sqrt{3}]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: 2 sqrt{3}]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: 3 sqrt{3}]

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

좌표평면에서 점 [eqn: {rm{A}} it (0,``12)]와 양수 [eqn: t]에 대하여 점 [eqn: {rm{P}} it (0,`` t)]와 점 [eqn: {rm{Q}} it]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: {rm{Q}} it]의 좌표를 [eqn: (x,`` y)]라 하면

[eqn: {vec{{rm{OA}} it }} BULLET {vec{{rm{PQ}} it }}=(0,``12) BULLET (x,`` y-t)=12(y-t)=0], [eqn: y=t]

[eqn: {t} over {3} leq sqrt{x^{2}+(y-t)^{2}} leq {t} over {2}]

따라서 [eqn: y=t], [eqn: {t} over {3} leq|x| leq {t} over {2}], [eqn: 6 leq t leq 12]

즉 [eqn: 2` vert `x` vert LEQ y LEQ 3vert `x` vert], [eqn: 6 leq y leq 12]

이것을 좌표평면에 나타내면 아래그림과 같다.

따라서 구하려는 최솟값은 [eqn: {rm{A}} it (0,``12)]에서 직선 [eqn: y=3 x]에 이르는 거리 [eqn: m={12} over { sqrt{10}}]

최댓값은 [eqn: {rm{A}} it (0,``12)]에서 [eqn: {rm{Q}} it (3,``6)]의 거리 [eqn: M= sqrt{9+36}=3 sqrt{5}]

[eqn: therefore~ ~ M m={12} over { sqrt{10}} times 3 sqrt{5}=18 sqrt{2}]

(가) [eqn: {vec{{rm{OA}} it }} BULLET {vec{{rm{PQ}} it }}=0]

(나) [eqn: {t} over {3} leq|{vec{{rm{PQ}} it }}| leq {t} over {2}]

[eqn: 6 leq t leq 12]에서 [eqn: |{vec{{rm{AQ}} it }}|]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M m]의 값은?

① [eqn: 12 sqrt{2}]	② [eqn: 14 sqrt{2}]	③ [eqn: 16 sqrt{2}]

④ [eqn: 18 sqrt{2}]	⑤ [eqn: 20 sqrt{2}]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 06월 18

좌표평면 위에 두 점 [eqn: {{rmA} LEFT ( 3 ,```` 0 RIGHT )}{{from^2019^06^평가원고3가^중}}], [eqn: {rmB} LEFT ( 0 ,```` 3 RIGHT )]과 직선 [eqn: x=1]위의 점 [eqn: {rmP} LEFT ( 1 ,```` a RIGHT )]가 있다. 점 [eqn: {rmQ}]가 중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {2}]인 부채꼴 [eqn: {rmOAB}]의 호 [eqn: {rmAB}] 위를 움직일 때 [eqn: |`` {rm{vecOP}+{vecOQ}} ``|]의 최댓값을 [eqn: f LEFT ( a RIGHT )]라 하자. [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =5]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은? (단, [eqn: {rmO}]는 원점이다.)

[정답] ③

[해설]

(ⅰ) [eqn: a<0]일 때,

[eqn: |`` {vec{rm OP}} + {vec{rm OQ}} ``|]의 최대가 되는 경우는 점 [eqn: rmQ]가 점 [eqn: rmA][eqn: LEFT ( 3 ,```` 0 RIGHT )]에 존재할 때이다.
따라서 [eqn: rm vec { OP } = it (1,````a)], [eqn: rm vec { OQ} = (3,````0)]

[eqn: f LEFT ( a RIGHT )][eqn: = sqrt {|`` {vec{rm OP}} + {vec{rm OQ}} ``|` ^{2}}]
[eqn: = sqrt {4^2 + a^2}]

따라서 [eqn: sqrt {4^2 + a^2} = 5], [eqn: a ^{2} =9]

[eqn: THEREFORE ```` a= it -3][eqn: LEFT ( BECAUSE ```` a<0 RIGHT )]

(ⅱ) [eqn: a=0]일 때,

[eqn: |`` {vec{rm OP}} + {vec{rm OQ}} ``|]의 최대가 되는 경우는 점 [eqn: rmQ]가 점 [eqn: rmA][eqn: LEFT ( 3 ,```` 0 RIGHT )]에 존재할 때이다.

[eqn: therefore][eqn: |`` {vec{rm OP}} + {vec{rm OQ}} ``|][eqn: = 4]
그런데, 최댓값이 [eqn: 5]이어야 하므로 모순이다.

(ⅲ) [eqn: a>0]일 때,

[eqn: |`` {vec{rm OP}} + {vec{rm OQ}} ``|]은 그림과 같이 [eqn: {vec{rm OP}}]와 [eqn: {vec{rm OQ}}]의 방향이 같을 때 최댓값을 갖는다.
[eqn: rm vec { OP } = it (1,````a)]이므로

[eqn: f LEFT ( a RIGHT )][eqn: =|`` {vec{rm OP}} + {vec{rm OQ}} ``|]
[eqn: =|`` {vec{rm OP}} ``|+|`` {vec{rm OQ}} ``|]
[eqn: = sqrt {a ^{2} +1} +3]

따라서 [eqn: sqrt {a ^{2} +1} +3 =5], [eqn: a ^{2} +1=4], [eqn: a ^{2} =3]

[eqn: THEREFORE ```` a= sqrt {3}][eqn: LEFT ( BECAUSE ```` a>0 RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =5]가 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 값은 [eqn: a=-3 ,````root3]

따라서 만족하는 [eqn: a]의 값의 곱은 [eqn: LEFT ( -3 RIGHT ) TIMES sqrt {3} = it -3 sqrt {3}]

① [eqn: -5 sqrt {3}]	② [eqn: -4 sqrt {3}]	③ [eqn: -3 sqrt {3}]

④ [eqn: -2 sqrt {3}]	⑤ [eqn: - sqrt {3}]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 19

좌표평면 위에 두 점 [eqn: {rmA}(1,``` 0)], [eqn: {rmB}(0,``` 1)]이 있다. 중심각의 크기가 [eqn: { pi}over{2}]인 부채꼴 [eqn: {rmOAB}]의 호 [eqn: {rmAB}] 위를 움직이는 점 [eqn: {rmX}]와 함수 [eqn: y= (x- 2)^{2 }+ 1][eqn: LEFT ( 2 LEQ x LEQ 3 RIGHT )`]의 그래프 위를 움직이는 점 [eqn: {rmY}]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: rm vecOP = vec OY + vecXO]이고, 모든 [eqn: rm vec XO]의 시점을 점 [eqn: rmY]로 평행이동하면

다음 그림과 같이 점 [eqn: rmY]를 중심으로 하는 반지름이 [eqn: 1]인 사분원이다.

이때 점 [eqn: rmY]는 [eqn: y= (x-2)^2 +1][eqn: (2 le x le 3 )]위를 움직이므로

영역 [eqn: R]은 다음 그림의 색칠한 부분과 같다.

따라서 점 [eqn: rmO]로부터 거리의 최댓값은 [eqn: rmP]가 [eqn: (3 `,``1 )]일 때 [eqn: M= sqrt {10}]

최솟값은 원점과 [eqn: (2 `,``1 )]사이의 거리에서 반지름 [eqn: 1]을 뺀 [eqn: m=sqrt {5} -1]이다.

[eqn: M^2 + m^2 = 16 - 2root5]

[eqn: vec{{rmOP}}=vec{{rmOY}}`-vec{{rmOX}}]

를 만족시키는 점 [eqn: {rmP}]가 나타내는 영역을 [eqn: {rmR}]라 하자. 점 [eqn: {rmO}]로부터 영역 [eqn: {rmR}]에 있는 점까지의 거리의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m `]이라 할 때, [eqn: M^{`2}+ m^{2 }]의 값은?
(단, [eqn: rm O]는 원점이다.)

① [eqn: 16 - 2 sqrt 5]	② [eqn: 16 - sqrt 5]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 16 + sqrt 5]	⑤ [eqn: 16 + 2 sqrt 5]

07 기하	07 평면벡터의내적
01 평면벡터의 내적
05 활용1 (도형)

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 11월 14

평면에서 다음 그림의 오각형 [eqn: rmABCDE]가 [eqn: {bar{rmAB}} = {bar{rmBC}}], [eqn: {bar{rmAE}} = {bar{rmED}}], [eqn: ANGLE rm B= ANGLE rm E=90°]를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고르면?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: {vec{rm AB it}} + {vec{rm AE it}} =2 {vec{rm AM it}}]이므로 [eqn: {vec{rmAB}} + {vec{rmAE}}]와 [eqn: {vec{rmAM}}]은 평행하다.(참)

ㄴ. [eqn: ANGLE rmB= ANGLE rmE=90DEG]이므로 [eqn: {vec{rmAB}}]와 [eqn: {vec{rmAE}}]가 이루는 각을 [eqn: theta]라 하면 [eqn: {vec{rmBC}}]와 [eqn: {vec{rmED}}]가 이루는 각은 [eqn: pi-theta]이다. 따라서, [eqn: {vec{rmAB}} BULLET {vec{rmAE}} = LEFT | {vec{rmAB}} RIGHT | LEFT | {vec{rmAE}} RIGHT | cos`theta]

[eqn: {vec{rm BC it}} BULLET {vec{rm ED it}} = LEFT | {vec{rm BC it}} RIGHT | LEFT | {vec{rm ED it}} RIGHT | cos` LEFT ( pi-theta RIGHT )][eqn: =- LEFT | {vec{rmBC}} RIGHT | LEFT | {vec{rmED}} RIGHT | cos`theta]

이때, [eqn: {bar{rmAB}} = {bar{rmBC}}], [eqn: {bar{rmAE}} = {bar{rmED}}]이므로

[eqn: {vec{rmAB}} BULLET {vec{rmAE}} =- {vec{rmBC}} BULLET {vec{rmED}}] (참)

ㄷ. [eqn: LEFT | {vec{rm BC it}} + {vec{rm ED it}} RIGHT | ^{2} = LEFT | {vec{rm BC it}} RIGHT | ^{2} +2 {vec{rm BC it}} BULLET {vec{rm ED it}} + LEFT | rm {vec{rmED}} RIGHT | ^{2}]

[eqn: LEFT | {vec{rmBE}} RIGHT | ^{2} = LEFT | {vec{rmAE}} - {vec{rmAB}} RIGHT | ^{2}][eqn: = LEFT | {vec{rmAE}} RIGHT | ^{2} -2 {vec{rmAE}} BULLET {vec{rmAB}} + LEFT | {vec{rmAB}} RIGHT | ^{2}]

이때, [eqn: {bar{rmAB}} = {bar{rmBC}}], [eqn: {bar{rm AE it}} = {bar{rm ED it}}]이고,

‘ㄴ’에 의해 [eqn: {vec{rmAB}} BULLET {vec{rmAE}} =- {vec{rmBC}} BULLET {vec{rmED}}]이 성립하므로

[eqn: LEFT | {vec{rmBC}} + {vec{rmED}} RIGHT | ^{2} = LEFT | {vec{rmBE}} RIGHT | ^{2}],

[eqn: LEFT | {vec{rm BC it}} + {vec{rm ED it}} RIGHT | = LEFT | {vec{rm BE it}} RIGHT |]이 성립한다. (참)

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

	<보 기>
ㄱ. 선분 [eqn: rmBE]의 중점 [eqn: rmM]에 대하여 [eqn: {vec{rmAB}} + {vec{rmAE}}]와 [eqn: {vec{rm AM it}}]은 서로 평행하다. ㄴ. [eqn: {vec{rm AB it}} BULLET {vec{rm AE it}} =- {vec{rm BC it}} BULLET {vec{rm ED it}}] ㄷ. [eqn: LEFT | {vec{rmBC}} + {vec{rmED}} RIGHT | = LEFT | {vec{rmBE}} RIGHT |]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

07 기하	07 평면벡터의내적
01 평면벡터의 내적
06 활용2 (벡터 분할)

[출처]	2008 모의_공공 사관학교 고3 07월 22

그림과 같은 [eqn: RM bar AD = 1], [eqn: RM bar AB = ROOT6], [eqn: RM ANGLE ADB = 90 DEG `]인 평행사변형 [eqn: RM ABCD `]에서 [eqn: RM VEC AD = VEC {ita}], [eqn: RM VEC AB = VEC {it b} `]라 놓는다. 꼭짓점 [eqn: RMD`]에서 선분 [eqn: RMAC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: RME `]라 할 때, 벡터 [eqn: RM VEC AE = ITk LEFT ( VEC a + VEC b RIGHT ) `]를 만족시키는 실수 [eqn: k`]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: vec{rmDA} cdot vec{rmDB}=0``]이므로

[eqn: (-veca ``) cdot (-veca +vecb )=0``]

[eqn: |``veca``|^2 -veca cdot vecb =0``]

[eqn: therefore`````][eqn: veca cdot vecb =1``]

또한, 그림에서 [eqn: vec{rmDE} cdot vec{rmAE}=0``]이다. [eqn: vec{rmAE}=k`vec{rmAC}=k(veca +vecb )``]라 놓으면

[eqn: vec{rmDE} =vec{rmDA}+vec{rmAE}=-veca +k(veca +vecb )=(k-1)veca +k vecb``]

이므로

[eqn: vec{rm DE it} CDOT vec{rm AE}][eqn: = LEFT { (k-1) vec{a} +k vec{b} ) RIGHT } CDOT k( vec{a} + vec{b} )]
[eqn: =k(k-1) |``veca``|^2 +k(2k -1) veca cdot vecb +k^2 |``vecb``|^2]
[eqn: =k(k-1)+k(2k-1)+6k^2 =0``]

[eqn: 9k^2 -2k=0``]

[eqn: therefore`````][eqn: k= 2 over 9``]

[다른 풀이]

피타고라스 정리를 이용하면 선분 [eqn: rmBD``]는 [eqn: sqrt5``]이므로

[eqn: bar{rmOD}= sqrt5 over 2``]

삼각형 [eqn: rmABD``]에서 중선 정리를 이용하면

[eqn: bar{rmAD}^2 +bar{rmAB}^2 =2(bar{rmAO}^2 +bar{rmOD}^2 )``]

에서

[eqn: 1+6=2 left(bar{rmAO}^2 + 5 over 4 right)``]

[eqn: therefore````][eqn: bar{rmAO}= 3 over 2``]

삼각형 [eqn: rmADH``]에서 [eqn: bar{rmAH}=x``]라 하면 [eqn: bar{rmAD}^2 =bar{rmAH} cdot bar{rmAO}``]이므로

[eqn: 1=x cdot 3 over 2``]

[eqn: therefore`````][eqn: x= 2 over 3``]

따라서    [eqn: k= {bar{rmAH}} over {bar{rmAC}}= {2 over 3} over 3 = 2 over 9``]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: RMD]

[eqn: vecb]

[eqn: veca]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {2} over {9}]	③ [eqn: {5} over {18}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {sqrt {6}} over {6}]

07 기하	07 평면벡터의내적
02 내적의 성분계산
03 성분과 내적3 (평행 또는 수직)

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 27

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=3], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=4]인 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 선분 [eqn: {rm{AC}} it]를 [eqn: 1: 2]로 내분하는 점을 [eqn: {rm{D}} it], 선분 [eqn: {rm{AC}} it]를 [eqn: 2: 1]로 내분하는 점을 [eqn: {rm{E}} it]라 하자. 선분 [eqn: {rm{BC}} it]의 중점을 [eqn: {rm{F}} it]라 하고, 두 선분 [eqn: {rm{BE}} it], [eqn: {rm{DF}} it]의 교점을 [eqn: {rm{G}} it]라 하자. [eqn: {vec{{rm{AG}} it }} BULLET {vec{{rm{BE}} it }}=0]일 때, [eqn: cos ( angle {rm{ABC}} it )={q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 37]

[해설]

그림과 같이

[eqn: {vec{{rm{BA}} it }}={vec{a}}], [eqn: {vec{{rm{BC}} it }}={vec{c}}]라 놓으면

[eqn: {vec{{rm{BD}} it }}={2} over {3} {vec{a}}+{1} over {3} {vec{c}}], [eqn: ~ {vec{{rm{BE}} it }}={1} over {3} {vec{a}}+{2} over {3} {vec{c}}], [eqn: ~ {vec{{rm{BF}} it }}={1} over {2} {vec{c}}]

[eqn: {vec{{rm{BG}} it }}]는 실수 [eqn: t], [eqn: s]에 대하여

[eqn: {t} over {3} {vec{a}}+{2 t} over {3} {vec{c}}=s left({2} over {3} {vec{a}}+{1} over {3} {vec{c}} right)+(1-s) left({1} over {2} {vec{c}} right)]

[eqn: {t} over {3}={2 s} over {3}], [eqn: {2 t} over {3}={s} over {3}+{1-s} over {2}],

[eqn: t={2} over {3}], [eqn: s={1} over {3}], [eqn: {vec{{rm{BG}} it }}={2} over {9} {vec{a}}+{4} over {9} {vec{c}}], [eqn: {vec{{rm{AG}} it }}={vec{{rm{BG}} it }}-{vec{{rm{BA}} it }}=-{7} over {9} {vec{a}}+{4} over {9} {vec{c}}]

[eqn: {vec{{rm{AG}} it }} BULLET {vec{{rm{BE}} it }}][eqn: = left(-{7} over {9} {vec{a}}+{4} over {9} {vec{c}} right) BULLET left({1} over {3} {vec{a}}+{2} over {3} {vec{c}} right)]
[eqn: ={1} over {27}(-7 {vec{a}}+4 {vec{c}})({vec{a}}+2 {vec{c}})][eqn: ={1} over {27} left{ -7|{vec{a}}|^{2}+8|{vec{c}}|^{2}-10({vec{a}} BULLET {vec{c}}) it right}][eqn: ={1} over {27} left{ -63+128-10({vec{a}} BULLET {vec{c}}) it right} =0]

따라서 [eqn: {vec{a}} BULLET {vec{c}}={13} over {2}], [eqn: cos theta={{vec{a}} BULLET {vec{c}}} over {|{vec{a}} PVER {vec{c}}|}={{13} over {2}} over {3 times 4}={13} over {24}={q} over {p}]

[eqn: therefore~ ~ p+q=37]

07 기하	07 평면벡터의내적
03 내적의 활용
01 활용1 (움직이는 점 조건과 자취)

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 14

평면에서 그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} =1]이고 [eqn: rm bar{BC} = sqrt {3}]인 직사각형 [eqn: rmABCD]와 정삼각형 [eqn: rmEAD]가 있다. 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmAE] 위를 움직일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: rm |` vec CB - vec CP`|` = |`vec PB`|` = bar PB`]이므로 선분 [eqn: rm PB`]의 길이는 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmA]와 일치할 때 최소이다.
따라서, 최솟값은 [eqn: rm bar AB = 1`]이다.	(참)

ㄴ. [eqn: rm △ACD]에서 [eqn: rm bar AD = root3`], [eqn: rm bar DC = 1`]이므로
[eqn: rm ∠ CAD = 30°`]
[eqn: rm △ EAD`]가 정삼각형이므로
[eqn: rm ∠ EAD = 60°`]
∴ [eqn: rm ∠ EAC = ∠ PAC = 90 °`]
∴ [eqn: rm vec CA ⊥ vec AP`]
∴ [eqn: rm vec CA `•`vec CP = vec CA `•` ( vec CA + vec AP `)`]
[eqn: rm = vec CA `•` vec CA + vec CA `•` vec AP]
[eqn: = rm | vec CA`|`^2 + 0`]
[eqn: = 2^2 = 4`]	(참)

ㄷ. 점 [eqn: rm A]를 원점, 직선 [eqn: rm AD]를 [eqn: x`]축으로 하는 좌표평면에 주어진 도형을 나타내면 그림과 같다.

[eqn: rm bar AD = bar DF`]인 [eqn: x`]축 위의 점을 [eqn: rm F`]라 하고
직사각형 [eqn: rm DCGF`]를 그리면
[eqn: rm vec DA + vec CP = vec CB + vec CP = vec GC + vec CP`= vec GP`]
이므로 [eqn: rm |`vec GP`|`]의 최솟값은
점 [eqn: rm G( 2root 3 , `-1)`]에서 직선 [eqn: rm AE`]에 이르는 거리와 같다.
직선 [eqn: rm AE`]의 방정식은 [eqn: y= root3 x`] 즉, [eqn: sqrt {3} x-y=0`]이므로
구하는 최솟값은 [eqn: { |` root3 cdot 2 root3 - (-1) `|`} over root{ ( root3 )^2 + (-1)^2 } = 7 over 2`]	(참)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: rm LEFT | vec{CB} - vec{CP} RIGHT |]의 최솟값은 [eqn: 1]이다. ㄴ. [eqn: rm vec{CA} BULLET vec{CP}]의 값은 일정하다. ㄷ. [eqn: rm LEFT | vec{DA} + vec{CP} RIGHT |]의 최솟값은 [eqn: {7} over {2}]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 06월 28

그림과 같이 선분 [eqn: rmAB] 위에 [eqn: rmbar{AE}=bar{DB}=2`]인 두 점 [eqn: rmD], [eqn: rmE`]가 있다. 두 선분 [eqn: rmAE], [eqn: rmDB`]를 각각 지름으로 하는 두 반원의 호 [eqn: rmAE], [eqn: rmDB]가 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하고, 선분 [eqn: rmAB] 위에 [eqn: rmbar{O _{1} A}=bar{O _{2} B}=1`]인 두 점을 [eqn: rmO _{1}], [eqn: rmO _{2} `]라 하자. 호 [eqn: rmAC`]위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 호 [eqn: rmDC] 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: LEFT | rm vec{O _{1} P} + vec{O _{2} Q } RIGHT |`]의 최솟값이 [eqn: {1} over {2} `]일 때, 선분 [eqn: rmAB`]의 길이는 [eqn: {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 1<bar{rmO _{1} O _{2} }<2`]이고, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 19 }]

[해설]

점 [eqn: rmC]를 지나고 직선 [eqn: rmAB]에 평행한 직선이 호 [eqn: rmAC]와 만나는 다른 한 점을 [eqn: rmF]라 하면 [eqn: rm {vec{O _{2} Q}} `= {vec{O _{1} G`}}]를 만족시키는 점 [eqn: rmG]는 호 [eqn: rmAF] 위에 있다. [eqn: rm {vec{O _{1} P}} + {vec{O _{2} Q}} = {vec{O _{1} P}} + {vec{O _{1} G}}]이고 벡터 [eqn: rm {vec{O _{1} P}} + {vec{O _{1} G}}]의 크기가 최소인 경우는 [eqn: angle`rmPO _{1} G]의 크기가 최대일 때이며, 이때 점 [eqn: rmG]가 점 [eqn: rmA]와 일치하고, 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmC]와 일치한다.

따라서 [eqn: left|``rm {vec{O _{1} P}} + {vec{O _{1} G}}` `right|`ge`left| ``{vec{O _{1} C}} + {vec{O _{1} A}}` `right|= {1} over {2}]

[eqn: angle`rmAO _{1} C=theta]라 하자.

[eqn: rm`left|``rm {vec{O _{1} C}} + {vec{O _{1} A}} ``right|= {1} over {2}]의 양변을 제곱하면

[eqn: LEFT | ``rm {vec{O _{1} C}} `` RIGHT | ^{2} +2 {vec{O _{1} C}} `bullet` {vec{O _{1} A}} + LEFT | ``rm {vec{O _{1} A}} `` RIGHT | ^{2} = {1} over {4}]

[eqn: 1+2 rm ` LEFT | ``{vec{O _{1} C}} `` RIGHT | LEFT | ` `{vec{O _{1} A}}`` RIGHT | `cos`theta+1= {1} over {4}]

[eqn: 2 TIMES 1 TIMES 1 TIMES cos`theta= {1} over {4} -2]

[eqn: cos`theta=- {7} over {8}]

점 [eqn: rmC]에서 직선 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

[eqn: rmbar{O _{1} H}=bar{O _{1} C}`cos` LEFT ( pi-theta RIGHT ) =1times LEFT ( -cos`theta RIGHT ) = {7} over {8}]

이고 [eqn: {bar{rm O _{1} H it}} = {bar{rmHO _{2}}}]이므로

[eqn: rm {bar{AB}}][eqn: {rm = {bar{AO _{1}}} + {bar{O _{1} H}} + {bar{HO _{2}}} + {bar{O _{2} B}}]
[eqn: =1+ {7} over {8} + {7} over {8} +1]
[eqn: = {15} over {4}]

따라서 [eqn: p=4], [eqn: q=15]이므로 [eqn: p+q=4+15=19]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 19

좌표평면에서 원점 [eqn: rmO`]가 중심이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 위의 세 점 [eqn: rmA_1 ,~A_2 ,~A_3`]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: |`rmvecOX`| leq 1 `]이므로 점 [eqn: rmX`]는 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원의 내부와 경계이다.

또, [eqn: rmvecOX cdot vecOA_{itk} geq 0`]에서 두 벡터 [eqn: rmvecOX ,~vecOA_{itk}`]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라 하면 [eqn: |`rmvecOX`| |`vecOA_{itk}`| cos theta geq 0`]

[eqn: cos`theta geq0`]

그러므로 [eqn: 0 leq theta leq pi over 2`]

ㄱ. [eqn: rmvecOA_1 = vecOA_2 = vecOA_3`]이므로 조건을 만족시킬 점 [eqn: X`]를 나타내는 도형 [eqn: D``]는 반원과 이 반원의 내부이다.

그러므로 도형 [eqn: D``]의 넓이는 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원의 넓이의 [eqn: 1 over 2`]이므로 [eqn: 1 over 2 times1^2 times pi = pi over 2`]	(참)

ㄴ. [eqn: rmvecOA_2 = it- rmvecOA_1`]이고 [eqn: rmvecOA_3 = vecOA_1`]이면 아래 그림과 같다. 이때, 점 [eqn: rmX`]를 나타내는 도형 [eqn: D`]는 선분 [eqn: rmA_1 A_2`]와 수직인 원의 지름이다.

그러므로 [eqn: D``]의 길이는 [eqn: 2`]이다.	(참)

ㄷ. [eqn: rmvecOA_1 cdot vecOA_2 =0`]이면 [eqn: rmvecOA_1 bot vecOA_2`]
이때, 두 벡터 [eqn: rmvecOA_1 ,~vecOA_2`]에 대하여 조건을 만족시킬 점 [eqn: rmX`]를 나타내면 다음과 같은 사분원의 경계 및 내부이다.

[그림1]
또, 벡터 [eqn: rmvecOA_3`]에 대하여 조건을 만족시킬 점 [eqn: rmX`]를 나타내면 그림과 같이 반원과 이 반원의 내부이다.

[그림2]
이때, 도형 [eqn: D``]의 넓이가 [eqn: pi over 4`]이기 위해서는 위의 두 도형의 공통부분이 [그림1]과 같은 사분원의 경계 및 내부이어야 한다. 그러므로 점 [eqn: rmA_3`]는 호 [eqn: rmA_1 A_2`]위에 있어야 한다. 즉, [eqn: D``]에 포함되어야 한다.	(참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: |`rmvecOX`| leq 1`]이고, [eqn: rmvecOX cdot vecOA_{itk} geq 0~~(itk=1,~2,~3)`]

을 만족시키는 모든 점 [eqn: rmX`]의 집합이 나타내는 도형을 [eqn: D`]라 하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: rmvecOA_1 = vecOA_2 = vecOA_3`]이면 [eqn: D`]의 넓이는 [eqn: pi over 2`]이다. ㄴ. [eqn: rmvecOA_2 = it- {rmvecOA_1} `]이고 [eqn: rmvecOA_3 = vecOA_1`]이면 [eqn: D``]는 길이가 [eqn: 2`]인 선분이다. ㄷ. [eqn: rmvecOA_1 cdot vecOA_2 =0`]인 경우에, [eqn: D`]의 넓이가 [eqn: pi over4`]이면 점 [eqn: rmA_3`]은 [eqn: D``]에 포함되어 있다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 29

좌표평면에서 [eqn: rm {bar{OA}} = sqrt {2} ,~ {bar{OB}} =2 sqrt {2}]이고 [eqn: cos` LEFT ( {rmANGLE AOB} RIGHT ) = {1} over {4}]인 평행사변형 [eqn: rmOACB]에 대하여 점 [eqn: rmP]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 100]

[해설]

조건 (가)에 의하여 점 [eqn: rmP]는 평행사변형 [eqn: rmOACB]의 둘레 또는 내부에 있는 점이다.

조건 (나)에서

[eqn: rm {vec{OP}} BULLET {vec{OB}} + {vec{BP}} BULLET {vec{BC}}]

[eqn: =rm {vec{OP}} BULLET {vec{OB}} + LEFT ( {vec{OP}} - {vec{OB}} RIGHT ) BULLET {vec{OA}}]

[eqn: = rm {vec{OP}} BULLET {vec{OB}} + {vec{OP}} BULLET {vec{OA}} - {vec{OA}} BULLET {vec{OB}}]

[eqn: ={rm {vec{OP}} BULLET LEFT ( {vec{OA}} + {vec{OB}} RIGHT ) - LEFT | ` {vec{OA}} ` RIGHT | LEFT | ` {vec{OB}} ` RIGHT | }cos` LEFT ( {rmANGLE AOB} RIGHT )]

[eqn: =rm {vec{OP}} BULLET {vec{OC}} - sqrt {2} times2 sqrt {2} times {1} over {4}]

[eqn: =rm {vec{OP}} BULLET {vec{OC}} -1=2]

이므로 [eqn: rm {vec{OP}} BULLET {vec{OC}} =3]

(ⅰ) 벡터 [eqn: rm3 {vec{OP}} - {vec{OX}}]의 크기는 [eqn: rm {vec{OP}}]의 크기가 최대이고 [eqn: rm {vec{OX}}]가 [eqn: rm {vec{OP}}]와 반대 방향일 때 최대가 되고, [eqn: rm {vec{OP}}]의 크기는 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmOA] 위에 있을 때 최대가 된다.
다음 그림과 같이 점 [eqn: rmC]에서 직선 [eqn: rmOA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하고 [eqn: {rmANGLE COA}=alpha]라 하자.

[eqn: rmANGLE CAH= ANGLE AOB]에서

[eqn: cos` LEFT ( {rmANGLE CAH} RIGHT ) =cos` LEFT ( {rmANGLE AOB} RIGHT ) = {1} over {4}]이므로

[eqn: rm {bar{AH}}][eqn: ={rm {bar{AC}} } TIMES cos` LEFT ( {rmANGLE CAH} RIGHT )]
[eqn: ={rm {bar{OB}} } TIMES {1} over {4}]
[eqn: =2 sqrt {2} times {1} over {4}]
[eqn: = {sqrt {2}} over {2}]

한편,

[eqn: rm LEFT | ` {vec{OC}} ` RIGHT | ^{2}][eqn: =rm LEFT | ` {vec{OA}} + {vec{OB}} ` RIGHT | ^{2}]
[eqn: =rm LEFT | ` {vec{OA}} ` RIGHT | ^{2} + LEFT | ` {vec{OB}} ` RIGHT | ^{2} +2 {vec{OA}} BULLET {vec{OB}}]
[eqn: = LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} +2times sqrt {2} times2 sqrt {2} times {1} over {4}]
[eqn: =2+8+2=12]

이므로

[eqn: rm LEFT | ` {vec{OC}} ` RIGHT | =2 sqrt {3}]

그러므로

[eqn: cos`alpha= {sqrt {2} + {sqrt {2}} over {2}} over {2 sqrt {3}} = {sqrt {6}} over {4}]

즉, 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmOA] 위에 있을 때

[eqn: rm {vec{OP}} BULLET {vec{OC}}][eqn: ={rm LEFT | ` {vec{OP}} ` RIGHT | LEFT | ` {vec{OC}} ` RIGHT | }cos`alpha]
[eqn: =rm LEFT | ` {vec{OP}} ` RIGHT | TIMES 2 sqrt {3} times {sqrt {6}} over {4}]
[eqn: =rm {3 sqrt {2}} over {2} LEFT | ` {vec{OP}} ` RIGHT | =3]

이므로 [eqn: rm LEFT | ` {vec{OP}} ` RIGHT | = sqrt {2}]

이때 [eqn: rm {vec{OX}}]가 [eqn: rm {vec{OP}}]와 반대 방향이면

[eqn: rm LEFT | `3 {vec{OP}} - {vec{OX}} ` RIGHT | =3 LEFT | ` {vec{OP}} ` RIGHT | + LEFT | ` {vec{OX}} ` RIGHT |]이므로

[eqn: M=3 sqrt {2} + sqrt {2} =4 sqrt {2}]

(ⅱ) 벡터 [eqn: rm3 {vec{OP}} - {vec{OX}}]의 크기는 [eqn: rm {vec{OP}}]의 크기가 최소이고 [eqn: rm {vec{OX}}]가 [eqn: rm {vec{OP}}]와 같은 방향일 때 최소가 되고, [eqn: rm {vec{OP}}]의 크기는 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmOC] 위에 있을 때 최소가 된다.

이때

[eqn: RM {vec{OP}} BULLET {vec{OC}}][eqn: =rm LEFT | ` {vec{OP}} ` RIGHT | LEFT | ` {vec{OC}} ` RIGHT |]
[eqn: =rm LEFT | ` {vec{OP}} ` RIGHT | times2 sqrt {3} =3]

이므로 [eqn: rm LEFT | ` {vec{OP}} ` RIGHT | = {sqrt {3}} over {2}]

이때 [eqn: rm {vec{OX}}]가 [eqn: rm {vec{OP}}]와 같은 방향이면

[eqn: rm LEFT | `3 {vec{OP}} - {vec{OX}} ` RIGHT | =3 LEFT | ` {vec{OP}} ` RIGHT | - LEFT | ` {vec{OX}} ` RIGHT |]이므로

[eqn: m=3times {sqrt {3}} over {2} - sqrt {2} = {3 sqrt {3}} over {2} - sqrt {2}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: M TIMES m][eqn: =4 sqrt {2} LEFT ( {3 sqrt {3}} over {2} - sqrt {2} RIGHT )]
[eqn: =6 sqrt {6} -8]이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =6 ^{2} + LEFT ( -8 RIGHT ) ^{2} =100]

(가) [eqn: rm {vec{OP}} =its rm {vec{OA}} +itt rm {vec{OB}} ~ LEFT ( 0 LEQ it s LEQ 1,~0 LEQ it t LEQ 1 RIGHT )]

(나) [eqn: rm {vec{OP}} BULLET {vec{OB}} + {vec{BP}} BULLET {vec{BC}} =2]

점 [eqn: rmO]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmA]를 지나는 원 위를 움직이는 점 [eqn: rmX]에 대하여 [eqn: rm LEFT | `3 {vec{OP}} - {vec{OX}} ` RIGHT |]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M,~m]이라 하자. [eqn: M` TIMES `m=a sqrt {6} +b]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 유리수이다.)

07 기하	07 평면벡터의내적
03 내적의 활용
02 활용2 (벡터방정식의 해석)

[출처]	2007 모의_공공 사관학교 고3 07월 7

[eqn: rm ` ANGLE BAC=60 DEG `]이고 [eqn: rm ANGLE BCA>90 DEG]인 둔각삼각형 [eqn: RMABC``]가 있다. 그림과 같이[eqn: rm ANGLE BAC``]의 이등분선과 선분 [eqn: rm BC it `]의 교점을 [eqn: RMD``], [eqn: rm ANGLE BAC``]의 외각의 이등분선과 선분 [eqn: rm BC it ``]의 연장선의 교점을 [eqn: RME`]라 할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

[정답] ④

[해설]

ㄱ. [eqn: vec{RMAD} NEQ {VEC{RMAB} ``+``VEC{RMAC} ``}OVER2] ([eqn: rmBECAUSE D]는 중점이 아님)	(거짓)

ㄴ. [eqn: rmA]에서 [eqn: rmbarBE]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자.
[eqn: vec{RMHA} =it vec{a}], [eqn: vec{RMHB} = vec{itb}], [eqn: vec{RMHC} =it vec{c}], [eqn: vec{RMHD} = it vec{d}], [eqn: vec{RMHE} =it vec{e}]라 두면
[eqn: vec{rm AB it} BULLET vec{rm AD it} ``-`` vec{rm AC it} BULLET vec{rm AE it} ```]
[eqn: =`` LEFT ( vec{b} - vec{a} RIGHT ) BULLET LEFT ( vec{d} - vec{a} RIGHT ) ``-`` LEFT ( vec{c} - vec{a} RIGHT ) BULLET LEFT ( vec{e} - vec{a} RIGHT )]
[eqn: = vecb bulletvecd ``- ``vecc bulletvece ``>0]
([eqn: BECAUSE][eqn: vec{b} BULLET vec{a} = vec{c} BULLET vec{a} = vec{d} BULLET vec{a}][eqn: = vec{e} BULLET vec{a} =0], [eqn: vec{b} BULLET vec{d} >0], [eqn: vec{c} BULLET vec{e} <0]) (참)

ㄷ. [eqn: vec{rm AB it} BULLET vec{rm AC it} ``-`` vec{rm AD it} BULLET vec{rm AE it} ```]
[eqn: =`` LEFT ( vec{b} - vec{a} RIGHT ) BULLET LEFT ( vec{c} - vec{a} RIGHT ) ``-`` LEFT ( vec{d} - vec{a} RIGHT ) BULLET LEFT ( vec{e} - vec{a} RIGHT )]
[eqn: = vec{b} BULLET vec{c} ``-`` vec{d} BULLET vec{e} ``>0]
([eqn: BECAUSE][eqn: vec{b} BULLET vec{a}= vec{c} BULLET vec{a} = vec{d} BULLET vec{a}][eqn: = vec{e} BULLET vec{a} =0], [eqn: vec{b} BULLET vec{c} >0], [eqn: vec{d} BULLET vec{e} <0]) (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: 60°]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: rmvec AB ``+ vec AC`` = 2 vec AD] ㄴ. [eqn: VEC{RM AB} BULLET VEC{RM AD} ```>`` VEC{RM AC} BULLET VEC{RM AE}] ㄷ. [eqn: VEC{RM AB} BULLET VEC{RM AC} ```>`` VEC{RM AD} BULLET VEC{RM AE}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 기하 28

좌표평면에서 반원의 호 [eqn: x^{2}+y^{2}=4(x geq 0)] 위의 한 점 [eqn: {rm{P}} it (a,`` b)]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

그림과 같이 [eqn: rm vecOP]위로 [eqn: rm vecOQ]의 정사영의 길이가 [eqn: 1]이다.

따라서 직선 [eqn: rm OP]의 기울기는 [eqn: tan theta][eqn: 4 over3]이고,

[eqn: a + b = 2 cos theta + 2 sin theta][eqn: 6 over5 + 8 over5 = 14 over5]

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OQ}} it }}=2]

를 만족시키는 반원의 호 [eqn: (x+5)^{2}+y^{2}=16(y geq 0)] 위의 점 [eqn: {rm{Q}} it]가 하나뿐일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: {rm{O}} it]는 원점이다.)

① [eqn: {12} over {5}]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: {13} over {5}]

④ [eqn: {27} over {10}]	⑤ [eqn: {14} over {5}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 28

삼각형 [eqn: rmABC]와 삼각형 [eqn: rmABC]의 내부의 점 [eqn: rmP]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]
[eqn: ` {vec{{rmP}it{rmA}it}} cdot` {vec{{rmP}it{rmC}it}} =0] 이므로 두 벡터 [eqn: {vec{{rmP}it{rmA}it}}]와 [eqn: {vec{{rmP}it{rmC}it}}]가 이루는 각의 크기는 [eqn: 90°]이다.

[eqn: {left | {vec{{rmP}it{rmA}it}} right |} over {left | {vec{{rmP}it{rmC}it}} right |} =3]에서 [eqn: left | {vec{{rmP}it{rmC}it}} right | =t][eqn: LEFT ( t>0 RIGHT )]이라 하면 [eqn: left | {vec{{rmP}it{rmA}it}} right | =3t]

두 벡터 [eqn: {vec{{rmP}it{rmB}it}}]와 [eqn: {vec{{rmP}it{rmC}it}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: {vec{{rmP}it{rmB}it}} `cdot` {vec{{rmP}it{rmC}it}} `= left | {vec{{rmP}it{rmB}it}} right | left | {vec{{rmP}it{rmC}it}} right | `cos`theta][eqn: =- {sqrt {2}} over {2} left | {vec{{rmP}it{rmB}it}} right | left | {vec{{rmP}it{rmC}it}} right |]이므로

[eqn: cos`theta`=- {sqrt {2}} over {2}], [eqn: theta`=135°]에서

[eqn: left | {vec{{rmP}it{rmB}it}} right | =2 sqrt {2} left | {vec{{rmP}it{rmC}it}} right |]이므로 [eqn: left | {vec{{rmP}it{rmB}it}} right | =2 sqrt {2} t]

[eqn: angle`{rmA}it{rmP}it{rmB}it`=angle`{rmB}it{rmP}it{rmC}it`=135°], [eqn: angle`{rmC}it{rmP}it{rmA}it`=90°]이므로

세 삼각형 [eqn: `rm`ABP], [eqn: `rm`BCP], [eqn: rmCA`P]의 넓이를 각각

[eqn: S _{1}], [eqn: `S _{2}], [eqn: S _{3}]이라 하면

[eqn: S _{1} ``:``S _{2} ``:``S _{3} ``=`3t ^{2} ``:t ^{2} ``:` {3} over {2} t ^{2} =6``:``2``:``3]

직선 [eqn: rm`AP]와 변 [eqn: rmBC]의 교점이 [eqn: rm`D]이므로

[eqn: bar{{rmA}it{rmD}it}`:`bar{{rmD}it{rmP}it}`=` left ( {rmS}it _{1} +{rmS}it _{2} +{rmS}it _{2} right ) `:``{rmS}it _{2} ``=``11``:``2]

따라서 [eqn: {vec{{rmA}it{rmD}it}} ``= {11} over {2} {vec{{rmP}it{rmD}it}} `]이므로 [eqn: k= {11} over {2}]

(가) [eqn: {vec{rm PA}} BULLET {vec{rm PC}}][eqn: =0], [eqn: {LEFT | ` {vec{rm PA}} ` RIGHT |} over {LEFT | ` {vec{rm PC}} ` RIGHT |}][eqn: =3]

(나) [eqn: {vec{rm PB it}} BULLET {vec{rm PC it}}][eqn: = it - {sqrt {2}} over {2} LEFT | ` {vec{rm PB}} ` RIGHT | LEFT | ` {vec{rm PC}} ` RIGHT |][eqn: = it -2 LEFT | ` {vec{rm PC}} ` RIGHT | ^{2}]

직선 [eqn: rmAP]와 선분 [eqn: rmBC]의 교점을 [eqn: rmD]라 할 때, [eqn: {vec{rm AD}}][eqn: =k` {vec{rm PD}}]이다. 실수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: {11} over {2}]	② [eqn: 6]	③ [eqn: {13} over {2}]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: {15} over {2}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 기하 29

평면 [eqn: alpha] 위에 [eqn: {bar{rm AB it}} = {bar{rm CD it}} = {bar{rm AD it}} =2], [eqn: ANGLE rm ABC it = ANGLE rm BCD it = {pi } over {3}]인 사다리꼴 [eqn: rm ABCD it]가 있다. 다음 조건을 만족시키는 평면 [eqn: alpha] 위의 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]에 대하여 [eqn: {vec{rm CP it}} BULLET {vec{rm DQ it}}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 12]

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: 2 {vec{{rm{BP}} it }}][eqn: ={vec{{rm{AC}} it }}-2 {vec{{rm{AD}} it }}][eqn: ={vec{{rm{AC}} it }}+{vec{{rm{CB}} it }}][eqn: ={vec{{rm{AB}} it }}]

이므로    [eqn: {vec{{rm{BP}} it }}={1} over {2} {vec{{rm{AB}} it }}]

따라서 점 [eqn: {rm{P}} it]는 선분 [eqn: {rm{AB}}`]를 [eqn: 3`:`1`]으로 외분하는 점이고,

[eqn: overline{{rm{AP}} it }={3} over {2} overline{{rm{AB}} it }=3]

한편, [eqn: overline{{rm{AB}} it }=2], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=4], [eqn: angle {rm{CBA}} it ={ pi} over {3}]이므로

[eqn: angle {rm{BAC}} it ={ pi} over {2}], [eqn: overline{{rm{AC}} it }=2 sqrt{3}]

따라서 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 직선 [eqn: {rm{AC}} it]에 내린 수선의 발이 [eqn: {rm{A}} it]이다.

점 [eqn: {rm{Q}} it]에서 직선 [eqn: {rm{AC}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면 조건 (나)에 의하여

[eqn: {vec{{rm{AC}} it }} BULLET {vec{{rm{PQ}} it }}][eqn: ={vec{{rm{AC}} it }} BULLET {vec{{rm{AH}} it }}]
[eqn: =left|`{vec{{rm{AC}} it }}`right|left|` {vec{{rm{AH}} it }} `right|]
[eqn: =2 sqrt{3} times left|` {vec{{rm{AH}} it }}`right|=6]

[eqn: therefore] [eqn: overline{{rm{AH}} it }= sqrt{3}]

따라서 점 [eqn: {rm{H}} it]는 선분 [eqn: {rm{AC}} it]의 중점이므로 점 [eqn: {rm{Q}} it]는 선분 [eqn: {rm{AC}} it]의 수직이등분선인 직선 [eqn: {rm{DH}} it] 위에 있다.

이때 삼각형 [eqn: {rm{ABQ}} it]에서

[eqn: angle {rm{PBQ}} it = angle {rm{BAQ}} it + angle {rm{BQA}} it]

이므로 [eqn: 2 times angle {rm{BQA}} it = angle {rm{PBQ}} it]를 만족시키려면

[eqn: angle {rm{BAQ}} it = angle {rm{BQA}} it]

즉, [eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{BQ}} it }]이어야 한다.

따라서 점 [eqn: rmQ`]는 점 [eqn: rmB`]를 중심으로 하고 반지름이 [eqn: 2`]인 원과 직선 [eqn: rmDH`]의 교점이므로 그림과 같이 점 [eqn: rmQ_1] 또는 점 [eqn: rmQ_2 `]가 가능하다.

점 [eqn: rmQ_1 `]은 조건 (다)에서 [eqn: angle rmPBQ< pi over2 `]라는 조건에 어긋나므로 점 [eqn: rmQ_2 `]가 조건을 만족하는 점이다.

이때 직각삼각형 [eqn: {rm{AQD}} it]에서

[eqn: overline{{rm{AD}} it }=2], [eqn: overline{{rm{AQ}} it }=2 sqrt{3}]

이므로    [eqn: overline{{rm{DQ}} it }= sqrt{4+12}=4]

[eqn: therefore] [eqn: {vec{{rm{CP}} it }} BULLET {vec{{rm{DQ}} it }}][eqn: =({vec{{rm{CA}} it }}+{vec{{rm{AP}} it }}) BULLET {vec{{rm{DQ}} it }}]
[eqn: ={vec{{rm{CA}} it }} BULLET {vec{{rm{DQ}} it }}+{vec{{rm{AP}} it }} BULLET {vec{{rm{DQ}} it }}]
[eqn: =0+ left|` {vec{{rm{AP}} it }}`right|left|` {vec{{rm{DQ}} it }} `right|]
[eqn: =12]

[다른 풀이]

그림과 같이 네 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]의 좌표가 각각

[eqn: {rm{A}} it (0,`` sqrt{3})], [eqn: {rm{B}} it (-1,``0)], [eqn: {rm{C}} it (3,``0)], [eqn: {rm{D}} it (2,`` sqrt{3})]

이 되도록 좌표평면을 설정하자.

점 [eqn: {rm{P}} it]의 좌표를 [eqn: {rm{P}} it (a,`` b)]라 하면

[eqn: {vec{{rm{AC}} it }}=2({vec{{rm{AD}} it }}+{vec{{rm{BP}} it }})]

에서    [eqn: (3,``- sqrt{3})=2 left{ (2,``0)+(a+1,`` b) it right}]

[eqn: 3=2(a+3)]에서    [eqn: a=`-{3} over {2}]

[eqn: - sqrt{3}=2 b]에서    [eqn: b=`-{ sqrt{3}} over {2}]

즉, [eqn: {rm{P}} it left(-{3} over {2},``-{ sqrt{3}} over {2} right)]이므로 그림과 같이 세 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{P}} it]는 한 직선 위에 있고 [eqn: overline{{rm{BP}} it }=1]이다.

또, 점 [eqn: {rm{Q}} it]의 좌표를 [eqn: {rm{Q}} it (x,`` y)]라 하면

[eqn: {vec{{rm{AC}} it }} BULLET {vec{{rm{PQ}} it }}=6]에서

[eqn: (3,``- sqrt{3}) cdot left(x+{3} over {2},`` y+{ sqrt{3}} over {2} right)=6]

[eqn: y= sqrt{3} x- sqrt{3}]

이므로 점 [eqn: {rm{Q}} it]는 직선 [eqn: y= sqrt{3} x- sqrt{3}] 위에 있다.

이때 삼각형 [eqn: {rm{ABQ}} it]에서

[eqn: angle {rm{PBQ}} it = angle {rm{BAQ}} it + angle {rm{BQA}} it]

이므로 [eqn: 2 times angle {rm{BQA}} it = angle {rm{PBQ}} it < pi over2 `]를 만족시키려면

[eqn: angle {rm{BAQ}} it = angle {rm{BQA}} it]

즉, [eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{BQ}} it }]이어야 한다.

따라서 조건을 만족시키는 점 [eqn: {rm{Q}} it]의 좌표는 [eqn: {rm{Q}} it (0,``- sqrt{3})]이므로

[eqn: {vec{{rm{CP}} it }} BULLET {vec{{rm{DQ}} it }}][eqn: = left(-{9} over {2},``-{ sqrt{3}} over {2} right) BULLET (-2,``-2 sqrt{3})]
[eqn: =9+3]
[eqn: =12]

(가) [eqn: {vec{rm AC it}} =2 LEFT ( {vec{rm AD it}} + {vec{rm BP it}} RIGHT )]

(나) [eqn: {vec{rm AC it}} BULLET {vec{rm PQ it}} =6]

(다) [eqn: 2 TIMES ANGLE rm BQA it = ANGLE rm PBQ it < {pi } over {2}]

07 기하	07 평면벡터의내적
03 내적의 활용
04 내적의 Mm2 (도형)

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 07월 29

중심이 [eqn: {rm O}{{from^2019^07^인천교육청고3가^중}}]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이 있다. 양수 [eqn: x]에 대하여 원 위의 서로 다른 세 점 [eqn: rm A], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가

[정답] [eqn: bold { 60 }]

[해설]

세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C]는 원 위의 점이므로

[eqn: rm left |`` {vec{OA}} ``right | = left |`` {vec{OB}} ``right | = left |`` {vec{OC}} ``right | =1]

[eqn: x rm {vec{OA}} it +5 rm {vec{OB}} it =-3 rm {vec{OC}} it]에서

[eqn: x ^{2} rm left |`` {vec{OA}} ``right | ^{2} it +10x rm LEFT ( rm {vec{OA}} BULLET {vec{OB}} it RIGHT ) +25 rm left |`` {vec{OB}} ``right | ^{2}]

[eqn: =9 rm left |`` {vec{OC}} ``right | ^{2}]

[eqn: x ^{2} +10x LEFT ( rm {vec{OA}} BULLET {vec{OB}} RIGHT ) +25=9]이고

[eqn: rm {vec{OA}} BULLET {vec{OB}} it = {-x ^{2} -16} over {10x}][eqn: =- {1} over {10} LEFT ( x+ {16} over {x} RIGHT )]

[eqn: x>0]이므로

[eqn: x+ {16} over {x} GEQ 2 sqrt {x TIMES {16} over {x}} =8]

(등호는 [eqn: x=4]일 때 성립한다.)

[eqn: - {1} over {10} LEFT ( x+ {16} over {x} RIGHT ) LEQ - {4} over {5}]

[eqn: rm {vec{OA}} BULLET {vec{OB}} it]는 [eqn: x=4]일 때 최댓값 [eqn: - {4} over {5}]를 갖는다.

[eqn: x=4]일 때 주어진 식은

[eqn: 4 rm {vec{OA}} it +5 rm {vec{OB}} it +3 rm {vec{OC}} it = {vec{0}}], [eqn: {1} over {3} rm {vec{CO}} it = {4 rm {vec{OA}} it +5 rm {vec{OB}} it} over {9}]

선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 5 ``:`` 4]로 내분하는 점을 [eqn: rm D]라 하면 [eqn: rm {vec{OD}} it = {4 rm {vec{OA}} it +5 rm {vec{OB}} it} over {9}]이다.

[eqn: {1} over {3} rm {vec{CO}} it = rm {vec{OD}} it]에서 [eqn: rm {bar{CO}} ``:`` {bar{OD}} =3 ``:`` 1]이므로

[eqn: rm {bar{CD}} ``:`` {bar{OD}} =4 ``:`` 1]	[eqn: CDOTSCDOTS] ㉠

두 벡터 [eqn: rm {vec{OA}} it], [eqn: rm {vec{OB}} it]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라

하면 [eqn: rm {vec{OA}} BULLET {vec{OB}} it = left |`` rm {vec{OA}} ``right | left |`` rm {vec{OB}} ``right | cos theta]에서 [eqn: cos theta =- {4} over {5}]이므로

[eqn: sin theta = {3} over {5}]

삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이는

[eqn: rm {1} over {2} TIMES {bar{OA}} TIMES {bar{OB}} TIMES sin theta = {3} over {10}]

㉠에 의하여 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이는 [eqn: {6} over {5}]

따라서 [eqn: 50S=60]

[eqn: x rm {vec{OA}} it + 5 rm {vec{OB}} it + 3 rm {vec{OC}} it = {vec{0}}]

를 만족시킨다. [eqn: rm {vec{OA}} BULLET it rm {vec{OB}} it]의 값이 최대일 때, 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이를 [eqn: S]라 하자. [eqn: 50S]의 값을 구하시오.

07 기하	07 평면벡터의내적
03 내적의 활용
05 내적의 Mm3 (벡터의 분할)

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 11

그림은 [eqn: rm bar{AB} =2], [eqn: rm bar{AD it} =2 sqrt {3} ``]인 직사각형 [eqn: rm ABCD``]와 이 직사각형의 한 변 [eqn: rm CD``]를 지름으로 하는 원을 나타낸 것이다. 이 원 위를 움직이는 점 [eqn: rm P``]에 대하여 두 벡터 [eqn: rm vec{AC}], [eqn: rm vec{AP it} ``]의 내적 [eqn: rm vec{AC} CDOT vec{AP} ``]의 최댓값은?
(단, 직사각형과 원은 같은 평면 위에 있다.)

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: RM A]를 원점, 직선 [eqn: rm `AD]를 [eqn: x`]축, 직선 [eqn: RM`AB]를 [eqn: y`]축으로 하면 점 [eqn: rm C`]의 좌표는 [eqn: rm C` LEFT ( 2 sqrt {3} `,`-2 RIGHT )]이다.

원 [eqn: left (x-2 sqrt 3 right) ^{2}} +(y+1) ^{2} =1] 위의 점 [eqn: rm P( it x,``y)]에 대하여

[eqn: rm vec{AC} CDOT vec{AP}][eqn: =`2 sqrt {3} x `-2y]

[eqn: `2 sqrt {3} x `-2y=k`]라 하면 [eqn: 10<=k<=18]일 때, 직선과 원이 만나므로 [eqn: k`]의 최댓값은 [eqn: 18]이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 22

그림과 같이 평면 위에 정삼각형 [eqn: rmABC]와 선분 [eqn: rmAC]를 지름으로 하는 원 [eqn: rmO]가 있다. 선분 [eqn: rmBC]위의 점 [eqn: rmD]를 [eqn: ANGLE {rmDAB}= {pi } over {15}]가 되도록 정한다. 점 [eqn: rmX]가 원 [eqn: rmO]위를 움직일 때, 두 벡터 [eqn: rm bar{AD} ,` bar{CX}]의 내적 [eqn: rm vec{AD} BULLET vec{CX}]의 값이 최소가 되도록 하는 점 [eqn: rmX]를 점 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: ANGLE {rmACP}= {q} over {p} pi]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold17`]

[해설]

[eqn: rm vec AD cdot vec CX][eqn: = rm vec AD cdot left(` vec OX - vec OC `right)]
[eqn: = rm vec AD cdot vec OX - vec AD cdot vec OC]

이고, 네 점 [eqn: \A], [eqn: \C], [eqn: \D], [eqn: \O]는 모두 정점이므로 [eqn: rm vec AD cdot vec OC]는 상수이다. 즉, 내적 [eqn: rm vec AD cdot vec CX]의 값이 최소가 되기 위해서는 [eqn: rm vec AD cdot vec OX]의 값이 최소가 되어야 한다.

이제, 두 벡터 [eqn: rm vec AD]와 [eqn: rm vec OX]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: rm vec AD cdot vec OX = |`vec AD`| cdot |`vec OX `| cdot cos theta]이고,

[eqn: rm |`vecAD`|], [eqn: rm |`vec OX`|]의 값은 상수이므로 내적 [eqn: rm vec AD cdot vec CX]의 값이 최소가 되기 위해서는 [eqn: cos theta]의 값이 최소가 되어야 한다.

그러므로 [eqn: theta = - pi]일 때 즉, 두 벡터 [eqn: rm vec AD]와 [eqn: rm vec OX]가 반대 방향일 때, 내적 [eqn: rm vec AD cdot vec CX]의 값이 최소가 된다.

따라서 다음 그림에서

[eqn: rm angle AOP][eqn: = rm angle CAD]
[eqn: = pi over3 - pi over 15 = 4 over 15 pi]

이고, [eqn: rm angle ACP = 1over2 angle AOP]이므로

[eqn: rm angle ACP = 2over 15 pi]

[eqn: therefore```][eqn: p = 15], [eqn: q=2]

[eqn: therefore```][eqn: p+q=17]

[출처]	2016 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 5`]인 원 [eqn: C``]와 원 [eqn: C`] 위의 점 [eqn: rmA`]에서의 접선 [eqn: l`]이 있다. 원 [eqn: C`] 위의 점 [eqn: rmP`]와 [eqn: bar{rmAB}=24`]를 만족시키는 직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmB`]에 대하여 [eqn: {vec{rmPA}} cdot {vec{rmPB}} `]의 최댓값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold180`]

[해설]

[eqn: {vec{rmPA}} cdot {vec{rmPB}} `][eqn: rm=(`` vec{OA it} `-`` vec{OP it} `) CDOT (` vec{OB it} `-` vec{OP it} `)]
[eqn: rm=` vec{OA it} BULLET ` vec{OB it} ``+` vec{OP it} ` ^{2} `-(` vec{OA it} `+` vec{OB it} `) BULLET ` vec{OP it} `]

여기서, [eqn: rm` vec{OA it} BULLET ` vec{OB it} ``=25] , [eqn: rm` vec{OP it} ` ^{2} `=25] 이고

[eqn: rmAB`]의 중점을 Q라 하면

[eqn: rm` vec{OA it} `+` vec{OB it} `=2` vec{OQ it} ``]

[eqn: rm` vec{OP it} `]와 [eqn: rm` vec{OQ it} `]가 반대방향일 때, [eqn: {vec{rmPA}} cdot {vec{rmPB}} `]는 최댓값을 가진다

[eqn: THEREFORE][eqn: {vec{rmPA}} cdot {vec{rmPB}} `][eqn: LEQ 25+25-2(-5 TIMES 13)=180]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 10월 28

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정사각형 [eqn: \ABCD`]의 내부에 선분 [eqn: rm AB]와 선분 [eqn: \BC]에 접하고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: C_1]과 선분 [eqn: rm AD]와 선분 [eqn: rm CD `]에 접하고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: C_2 `]가 있다. 원 [eqn: C_1 `]과 선분 [eqn: rm AB `]의 접점을 [eqn: \P`]라 하고, 원 [eqn: C_2] 위의 한 점을 [eqn: \Q`]라 하자. [eqn: rm vec {PC}cdot vec { PQ} `]의 최댓값을 [eqn: a + root b`]라 할 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 유리수이다.)

[정답] [eqn: bold27]

[해설]

원 [eqn: C_2]의 중심을 [eqn: rmO_2]라 하면,

[eqn: rm {vec{PC}} bullet {vec{PQ}}][eqn: rm = {vec{PC}} bullet( {vec{PO _{2}}} + {vec{O _{2} Q}} )]
[eqn: = rm {vec{PC}} bullet {vec{PO _{2}}} + {vec{PC}} bullet {vec{O _{2} Q}}]

점 [eqn: rmP]가 원점에, 선분 [eqn: \AB`]가 [eqn: y`]축 위에 오도록 정사각형 [eqn: rmABCD]와 두 원 [eqn: C_1], [eqn: C_2`]를 좌표평면 위에 놓으면 두 점 [eqn: rmO_2], [eqn: rmC]의 좌표는 각각 [eqn: (3,~2)], [eqn: (4,~-1)]이다.

그러므로

[eqn: rm {vec{PC}} BULLET {vec{PO _{2}}} =(4,~-1)bullet(3,~2)][eqn: =12-2][eqn: =10`]

[eqn: rmvecPC]와 [eqn: rm vec{O_2 Q}]가 이루는 각을 [eqn: theta]라 하면

[eqn: rm {vec{PC}} BULLET {vec{O _{2} Q}}][eqn: rm =left| vecPC right |left| vec{O_2 Q} right |cos `theta]
[eqn: =sqrt17 times 1 times cos`theta]
[eqn: le sqrt17]

에서

[eqn: theta=0]일 때, [eqn: rm {vec{PC}} BULLET {vec{O _{2} Q}}]의 최댓값은    [eqn: root17`]

그러므로 [eqn: rm {vec{PC}} bullet {vec{PQ}}]의 최댓값은    [eqn: 10+sqrt17]

따라서     [eqn: a+b=10+17=27]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 29

평면 위에 한 변의 길이가 [eqn: rm 6]인 정삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 무게중심 [eqn: {rm{O}} it]에 대하여 [eqn: {vec{{rm{OD}} it }}={3} over {2} {vec{{rm{OB}} it }}-{1} over {2} {vec{{rm{OC}} it }}]를 만족시키는 점을 [eqn: {rm{D}} it]라 하자. 선분 [eqn: {rm{CD}} it] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: |2 {vec{{rm{PA}} it }}+{vec{{rm{PD}} it }}|]의 값이 최소가 되도록 하는 점 [eqn: {rm{P}} it]를 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. [eqn: |{vec{{rm{OR}} it }}|=|{vec{{rm{OA}} it }}|]를 만족시키는 점 [eqn: {rm{R}} it]에 대하여 [eqn: {vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{QR}} it }}]의 최댓값이 [eqn: p+q sqrt{93}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 유리수이다.)

[정답] [eqn: 15]

[해설]

[eqn: {vec{{rm{OD}} it }}={3 {rm{OB}} it -{rm{OC}} it } over {3-1}]이므로 점 [eqn: {rm{D}} it]는 선분 [eqn: {rm{CB}} it]를 [eqn: 3: 1]로 외분하는 점이다.

선분 [eqn: {rm{DA}} it]를 [eqn: 2: 1]로 내분하는 점을 [eqn: G]라 하면 [eqn: |2 {vec{{rm{PA}} it }}+{vec{{rm{PD}} it }}|=3|{vec{{rm{PG}} it }}|]이므로 선분 [eqn: {rm{PG}} it]의 길이가 최소일 때 [eqn: |2 {vec{{rm{PA}} it }}+{vec{{rm{PD}} it }}|]가 최소이다.

그러므로 점 [eqn: {rm{Q}} it]는 점 [eqn: {rm{G}} it]에서 선분 [eqn: {rm{CD}} it]에 내린 수선의 발이다.

점 [eqn: {rm{A}} it]에서 선분 [eqn: {rm{BC}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면 [eqn: overline{{rm{DH}} it }=6][eqn: overline{{rm{QH}} it }={1} over {3} overline{{rm{DH}} it }=2], [eqn: overline{{rm{AH}} it }=3 sqrt{3}]이므로 [eqn: overline{{rm{QA}} it }= sqrt{2^{2}+(3 sqrt{3})^{2}}= sqrt{31}]

[eqn: overline{{rm{OA}} it }={2} over {3} times 3 sqrt{3}=2 sqrt{3}]

정삼각형은 무게중심과 외심이 같으므로 점 [eqn: {rm{R}} it]는 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 외접원 위의 점이다.

[eqn: {vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{QR}} it }}][eqn: ={vec{{rm{QA}} it }} BULLET ({vec{{rm{QO}} it }}+{vec{{rm{OR}} it }})]
[eqn: =({vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{QO}} it }})+({vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{OR}} it }})]

두 벡터 [eqn: {vec{{rm{QA}} it }}], [eqn: {vec{{rm{QO}} it }}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta_{1} left(0 leq theta_{1} leq pi right)]라 하자.

[eqn: {vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{QO}} it }}=|{vec{{rm{QA}} it }}||{vec{{rm{QO}} it }}| cos theta_{1}]

점 [eqn: {rm{O}} it]에서 선분 [eqn: {rm{QA}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 하자.

두 삼각형 [eqn: {rm{AIO}} it], [eqn: {rm{AHQ}} it]가 서로 닮음이므로
[eqn: overline{{rm{AI}} it }: overline{{rm{AH}} it }= overline{{rm{OA}} it }: overline{{rm{QA}} it }]

[eqn: overline{{rm{AI}} it }: 3 sqrt{3}=2 sqrt{3}: sqrt{31}]

[eqn: overline{{rm{AI}} it }={18} over { sqrt{31}}={18 sqrt{31}} over {31}]

[eqn: overline{{rm{QI}} it }= overline{{rm{QA}} it }- overline{{rm{AI}} it }= sqrt{31}-{18 sqrt{31}} over {31}={13 sqrt{31}} over {31}]

[eqn: {vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{QO}} it }}][eqn: =|{vec{{rm{QA}} it }}||{vec{{rm{QO}} it }}| cos theta_{1}]
[eqn: =|{vec{{rm{QA}} it }}||{vec{{rm{QI}} it }}|]
[eqn: = sqrt{31} times {13 sqrt{31}} over {31}=13]

두 벡터 [eqn: {vec{{rm{QA}} it }}], [eqn: {vec{{rm{OR}} it }}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta_{2} left(0 leq theta_{2} leq pi right)]라 하자.

[eqn: {vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{OR}} it }}][eqn: =|{vec{{rm{QA}} it }}||{vec{{rm{OR}} it }}| cos theta_{2}]
[eqn: = sqrt{31} times 2 sqrt{3} times cos theta_{2}]

[eqn: {vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{OR}} it }}]의 값은 두 벡터 [eqn: {vec{{rm{QA}} it }}]와 [eqn: {vec{{rm{OR}} it }}]가 방향이 같을 때 최대이다.

그러므로 [eqn: {vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{OR}} it }}]의 최댓값은 [eqn: sqrt{31} times 2 sqrt{3} times cos 0=2 sqrt{93}][eqn: {vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{QR}} it }}][eqn: =({vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{QO}} it }})+({vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{OR}} it }})]
[eqn: leq 13+2 sqrt{93}]

[eqn: {vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{QR}} it }}]의 최댓값은 [eqn: 13+2 sqrt{93}]
[eqn: p=13], [eqn: q=2]

따라서 [eqn: p+q=15]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 28

그림과 같이 한 평면 위에 반지름의 길이가 [eqn: rm 4]이고 중심각의 크기가 [eqn: 120 DEG]인 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]와 중심이 [eqn: {rm{C}} it]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원 [eqn: C`]가 있고, 세 벡터 [eqn: {vec{{rm{OA}} it }}], [eqn: {vec{{rm{OB}} it }}], [eqn: {vec{{rm{OC}} it }}]가

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: {vec{{rm{OB}} it }} BULLET {vec{{rm{OC}} it }}=0]에서 [eqn: angle {rm{COB}} it =90 DEG], [eqn: angle {rm{AOC}} it =30 DEG]

[eqn: {vec{{rm{OA}} it }} BULLET {vec{{rm{OC}} it }}=|{vec{{rm{OA}} it }}| times|{vec{{rm{OC}} it }}| times cos 30 DEG =2 sqrt{3} times|{vec{{rm{OC}} it }}|]

[eqn: {vec{{rm{OA}} it }} BULLET {vec{{rm{OC}} it }}=24]에서 [eqn: |{vec{{rm{OC}} it }}|=4 sqrt{3}]

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{PQ}} it }}][eqn: ={vec{{rm{OP}} it }} BULLET ({vec{{rm{OQ}} it }}-{vec{{rm{OP}} it }})]
[eqn: ={vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OQ}} it }}-|{vec{{rm{OP}} it }}|^{2}]
[eqn: ={vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OQ}} it }}-16]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }}]와 [eqn: {vec{{rm{OC}} it }}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: 0 DEG leq theta leq 90 DEG]이고

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OQ}} it }}][eqn: ={vec{{rm{OP}} it }} BULLET ({vec{{rm{OC}} it }}+{vec{{rm{CQ}} it }})]
[eqn: ={vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OC}} it }}+{vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{CQ}} it }}]
[eqn: =16 sqrt{3} cos theta+{vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{CQ}} it }}]

[eqn: theta=0 DEG]이고 두 벡터 [eqn: {vec{{rm{OP}} it }}], [eqn: {vec{{rm{CQ}} it }}]의 방향이 같을 때,

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OQ}} it }}]의 값이 최대이므로

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OQ}} it }} leq 16 sqrt{3}+4]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

[eqn: theta=90 DEG]이고 두 벡터 [eqn: {vec{{rm{OP}} it }}], [eqn: {vec{{rm{CQ}} it }}]의 방향이 반대일 때,

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OQ}} it }}]의 값이 최소이므로

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OQ}} it }} geq-4]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

㉠, ㉡, ㉢에서

[eqn: -4-16 leq {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{PQ}} it }} leq 16 sqrt{3}+4-16]

[eqn: M=16 sqrt{3}-12], [eqn: m=-20]

따라서 [eqn: M+m=16 sqrt{3}-32]

[eqn: {vec{{rm{OA}} it }} BULLET {vec{{rm{OC}} it }}=24], [eqn: {vec{{rm{OB}} it }} BULLET {vec{{rm{OC}} it }}=0]

을 만족시킨다. 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]와 원 [eqn: C] 위를

움직이는 점 [eqn: {rm{Q}} it]에 대하여 [eqn: {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{PQ}} it }}]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은?

① [eqn: 12 sqrt{3}-34]	② [eqn: 12 sqrt{3}-32]	③ [eqn: 16 sqrt{3}-36]

④ [eqn: 16 sqrt{3}-34]	⑤ [eqn: 16 sqrt{3}-32]

07 기하	08 평면벡터와도형의방정식
02 원의 방정식
03 원의 방정식3 (원과 접선)

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 06월 26

좌표평면에서 [eqn: {rm|`` {vec{OP}} ``|=10}{{from^2019^06^평가원고3가^중}}]을 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형 위의 점 [eqn: rmA][eqn: (a ,```` b)]에서의 접선을 [eqn: l], 원점을 지나고, 방향벡터가 [eqn: (1 ,```` 1)]인 직선을 [eqn: m]이라 하고, 두 직선 [eqn: l ,```` m]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: rm theta]라 하자. [eqn: rmcos theta = {sqrt {2}} over {10}]일 때, 두 수 [eqn: a ,```` b]의 곱 [eqn: ab]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: a>b>0]이다.)

[정답] [eqn: bold { 48 }]

[해설]

[eqn: rm|`` {vec{OP}} ``| =10]을 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형은

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =10 ^{2}]
따라서 이 도형 위의 점 [eqn: rmA][eqn: (a ,```` b)]에서의 접선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: l ``:`` ax+by=100]

즉, [eqn: y=- {a} over {b} x+ {100} over {b}]이므로 기울기 [eqn: u prime =- {a} over {b}]이다.

또한, 점 [eqn: rmA][eqn: (a ,```` b)]는 원 위의 점이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =100]	[eqn: cdotscdots] ㉠

원점을 지나고 방향벡터가 [eqn: (1 ,```` 1)]인 직선을 [eqn: m]이라 하면
기울기 [eqn: u=1]이다.

두 직선 [eqn: l ,```` m]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: rm theta]가 [eqn: rmcos theta = {sqrt {2}} over {10}]이므로

[eqn: tantheta = 7] ([eqn: because] 피타고라스정리)

따라서 [eqn: tan theta = LEFT |`` {u-u prime } over {1+uu prime } RIGHT |``]에서 [eqn: u=1 ,```` u prime =- {a} over {b}]이므로

[eqn: tan theta][eqn: = LEFT |`` {1+ {a} over {b}} over {1- {a} over {b}} RIGHT |]
[eqn: = {1+ {a} over {b}} over {- LEFT ( 1- {a} over {b} RIGHT )}]
[eqn: =7][eqn: LEFT ( because ```` a>b>0 RIGHT )]

[eqn: -7+ {7a} over {b} =1+ {a} over {b} ,```` {6a} over {b} =8 ,````]

[eqn: {a} over {b} = {4} over {3}]	[eqn: therefore][eqn: a= {4} over {3} b]	[eqn: cdotscdots] ㉡

따라서 ㉠, ㉡을 연립하면
[eqn: LEFT ( {4} over {3} b RIGHT ) ^{2} +b ^{2} =100 ,```` b ^{2} LEFT ( {16} over {9} +1 RIGHT ) =100 ,```` b ^{2} LEFT ( {25} over {9} RIGHT ) =100]
[eqn: b ^{2} =36]	[eqn: THEREFORE ```` b=6][eqn: LEFT ( BECAUSE ```` b>0 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE ```` a= {4} over {3} TIMES 6=8]

따라서 두 수 [eqn: a ,```` b]의 곱 [eqn: ab=48]

[준킬러][기하] 2벡터(빠른 정답)
준킬러기하	2023.01.07

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: 115]

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] [eqn: bold16]

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] [eqn: 37]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 19 }]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 100]

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] [eqn: 12]

[정답] [eqn: bold { 60 }]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold17`]

[정답] [eqn: bold180`]

[정답] [eqn: bold27]

[정답] [eqn: 15]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 48 }]

[준킬러][기하] 2벡터(해설)
준킬러기하	2023.01.07