	준킬러기하	[준킬러][기하] 1이차곡선
	01
		준킬러기하	2023.01.07

07 기하	01 포물선
02 포물선의 정의 활용
01 정의 활용1 (초점, 포물선 위의 점을 이은 선분 관련)

준킬러기하		준킬러기하
		[준킬러][기하] 1이차곡선
01

	준킬러기하		준킬러기하
	[준킬러][기하] 1이차곡선		01

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 기하 29

그림과 같이 꼭짓점이 원점 [eqn: rm O`]이고 초점이 [eqn: rm F it LEFT ( p,`` 0 RIGHT )][eqn: LEFT ( p >0 RIGHT ) `]인 포물선이 있다. 포물선 위의 점 [eqn: rm P], [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rm Q], 직선 [eqn: x=p] 위의 점 [eqn: rm R`]에 대하여 삼각형 [eqn: rm PQR`]는 정삼각형이고 직선 [eqn: rm PR`]는 [eqn: x`]축과 평행하다. 직선 [eqn: rm PQ `]가 점 [eqn: rm S it LEFT ( -p,`` root 21 RIGHT ) `]을 지날 때, [eqn: rm bar QF = it {a +b root 7} over 6 `]이다. [eqn: a+b `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 정수이고, 점 [eqn: rm P`]는 제[eqn: `1`]사분면 위의 점이다.)

[정답] [eqn: 6`]

[해설]

그림에서 [eqn: sqrt21 t + sqrt3 t = sqrt21]이므로

[eqn: t = sqrt7 over{ sqrt7 +1][eqn: = { 7 - sqrt7 } over6], [eqn: THEREFORE][eqn: a+b = 6]

07 기하	01 포물선
02 포물선의 정의 활용
02 정의 활용2 (초점을 지나는 직선 관련)

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 07월 17

그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2} =8x] 위의 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD`]를 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rmABCD`]에 대하여 두 선분 [eqn: {rm AB}`]와 [eqn: {rm CD}`]가 각각 [eqn: y`]축과 평행하다. 사각형 [eqn: rmABCD`]의 두 대각선의 교점이 포물선의 초점 [eqn: rmF`]와 일치하고 [eqn: rm {bar{DF}} =6`]일 때, 사각형 [eqn: rmABCD`]의 넓이는?

[정답] ⑤

[해설]

포물선 [eqn: y ^{2} =8x`]의 초점 [eqn: rmF]의 좌표는  [eqn: LEFT ( `2`,``0` RIGHT ) `]

점 [eqn: rm`D]에서 포물선의 준선 [eqn: x=-2]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm D` prime]이라 하면 [eqn: rm {bar{DD prime `}} = {bar{FD}} =6]이므로 점 [eqn: rm D]의 [eqn: x]좌표는 4이고 점 [eqn: rm D`]의 좌표는  [eqn: LEFT ( 4`,``4 sqrt {2} RIGHT ) `]

점 [eqn: rmB]의 좌표를 [eqn: ( it a,``b)]라 하면

직선 [eqn: rmBF]의 기울기와 직선 [eqn: rmFD]의 기울기가 같으므로
[eqn: {-b} over {2-a} = {4 sqrt {2}} over {2}],  [eqn: b=2 sqrt {2} a-4 sqrt {2}]

[eqn: b ^{2} =8a], [eqn: a ^{2} -5a+4=0]

[eqn: a<2] 이므로  [eqn: a=1]

따라서 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( 8 sqrt {2} +4 sqrt {2} RIGHT ) TIMES 3=18 sqrt {2}]

① [eqn: 14 sqrt { 2]	② [eqn: 15 sqrt { 2}]	③ [eqn: 16 sqrt { 2}]

④ [eqn: 17 sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 18 sqrt { 2}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 28

그림과 같이 좌표평면에서 포물선 [eqn: {y ^{2}}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}][eqn: =4x]의 초점 [eqn: rmF]를 지나고 [eqn: x]축과 수직인 직선 [eqn: l _{1}]이 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rmA ,```` B]라 하고, 점 [eqn: rmF]를 지나고 기울기가 [eqn: m][eqn: LEFT ( m>0 RIGHT )]인 직선 [eqn: l _{2}]가 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rmC ,```` D]라 하자.

[정답] ③

[해설]

[eqn: ANGLE rm AFC][eqn: = ANGLE rm DFB]이고 [eqn: {bar{rm FA}}][eqn: = {bar{rm FB it}}]이다.

삼각형 [eqn: rmFCA]의 넓이가 삼각형 [eqn: rmFDB]의 넓이의 [eqn: 5]배이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm FA}} TIMES {bar{rm FC}} TIMES sin LEFT ( ANGLE rm AFC RIGHT )]

[eqn: =5 TIMES {1} over {2} TIMES {bar{rm FB}} TIMES {bar{rm FD}} TIMES sin LEFT ( ANGLE rm DFB RIGHT )]

[eqn: {bar{rm FC}}][eqn: =5 {bar{rm FD}}]

두 점 [eqn: rmC ,```` D]에서 이 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmP ,```` Q]라 하고, 점 [eqn: rmC]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선과 직선 [eqn: rmQD]가 만나는 점을 [eqn: {rm R]라 하자.

[eqn: {bar{rm FD}}][eqn: =s]라 하면 [eqn: {bar{rm QD}}][eqn: = {bar{rm FD}}][eqn: =s], [eqn: {bar{rm PC}}][eqn: = {bar{rm FC it}}][eqn: =5s]

[eqn: {bar{rm DR}}][eqn: = {bar{rm QR}} - {bar{rm QD}}][eqn: =4s], [eqn: {bar{rm CD}}][eqn: =6s]에서

[eqn: {bar{rm CR}}][eqn: =2 sqrt {5} s]

따라서 [eqn: m][eqn: = {{bar{rm CR}}} over {{bar{rm DR}}}][eqn: = it {2 sqrt {5} s} over {4s}][eqn: = {sqrt {5}} over {2}]

삼각형 [eqn: rmFCA]의 넓이가 삼각형 [eqn: rmFDB]의 넓이의 [eqn: 5]배일 때, [eqn: m]의 값은? (단, 두 점 [eqn: rmA ,```` C]는 제 [eqn: 1]사분면 위의 점이고, 두 점 [eqn: rmB ,```` D]는 제 [eqn: 4]사분면 위의 점이다.)

① [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {sqrt {5}} over {2}]

④ [eqn: {sqrt {6}} over {2}]	⑤ [eqn: {sqrt {7}} over {2}]

07 기하	01 포물선
02 포물선의 정의 활용
05 정의 활용5 (두 포물선 관련)

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 14

그림과 같이 좌표평면에서 [eqn: x`]축 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]에 대하여 꼭짓점이 [eqn: rmA`]인 포물선 [eqn: p _{1}`]과 꼭짓점이 [eqn: rmB`]인 포물선 [eqn: p _{2}`]가 다음 조건을 만족시킨다. 이때, 삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이는?

[정답] ③

[해설]

위의 그림과 같이 포물선 [eqn: p_1]의 준선을 [eqn: l_1], 포물선 [eqn: p_2]의 준선을 [eqn: l_2], [eqn: rmbar OB = itx][eqn: (x>0 )]라 두자.

점 [eqn: \C]에서 준선 [eqn: l_1], [eqn: l_2]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmE], [eqn: rmF`]라 하면 포물선의 정의에 의해

[eqn: rm bar{CF} = bar{CO}], [eqn: rm bar{CE} = bar{CB}]	…… ㉠

이고, 점 [eqn: \A]에서 준선 [eqn: l _{1} `]에 이르는 거리는 [eqn: 2], 점 [eqn: rm B`]에서 준선 [eqn: l _{2} `]에 이르는 거리는 [eqn: x`]이다.

㉠에서  [eqn: rmbar CO = it2x], [eqn: rmbar CB = 2+ (2-itx ) =4-x]

이고, 삼각형 [eqn: rm COB]는 직각삼각형이므로

[eqn: (4-x)^2 = (2x)^2 +x^2],  [eqn: x^2 +2x-4=0]

[eqn: therefore```][eqn: x = sqrt { 5} -1][eqn: (because``` x>0 )]

따라서 삼각형 [eqn: \ABC]의 넓이는

[eqn: rmbar AB times bar CO times 1over2][eqn: = 2 times 2 ( sqrt { 5} -1 ) times 1over2]
[eqn: = 2 ( sqrt { 5}-1)]

(가) [eqn: p _{1}`]의 초점은 [eqn: rmB`]이고, [eqn: p _{2}`]의 초점은 원점 [eqn: rmO`]이다.

(나) [eqn: p _{1}`]과 [eqn: p _{2}`]는 [eqn: y`]축 위의 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD`]에서 만난다.

(다) [eqn: rmbar{AB} =2]

① [eqn: 4( sqrt {2} -1)]	② [eqn: 3( sqrt {3} -1)]	③ [eqn: 2( sqrt {5} -1)]

④ [eqn: sqrt {3} +1]	⑤ [eqn: sqrt {5} +1]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 28

두 양수 [eqn: a,~p]에 대하여 포물선 [eqn: LEFT ( y-a RIGHT ) ^{2} =4px]의 초점을 [eqn: rmF _{1}]이라 하고, 포물선 [eqn: y ^{2} =it-4x]의 초점을 [eqn: rmF _{2}]라 하자.

[정답] ⑤

[해설]

두 점 [eqn: rmF _{1} ,~F _{2}]의 좌표가 각각 [eqn: rm F _{1} LEFT ( itp,~a RIGHT ) ,~ rm F _{2} LEFT ( -1,~0 RIGHT )]이고, [eqn: rm {bar{F _{1} F _{2}}} =3]이므로

[eqn: LEFT ( p+1 RIGHT ) ^{2} +a ^{2} =9]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

그림과 같이 점 [eqn: rmP]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선과 점 [eqn: rmQ]를 지나고 [eqn: y]축에 수직인 직선이 만나는 점을 [eqn: rmR]라 하자.

직선 [eqn: rmPQ]의 기울기는 직선 [eqn: rmF _{1} F _{2}]의 기울기와 같은 [eqn: {a} over {p+1}]이므로 직각삼각형 [eqn: rmPQR]에서 양수 [eqn: t]에 대하여

[eqn: rm {bar{PR}} =itat,~ rm {bar{QR}} =it LEFT ( p+1 RIGHT ) t]로 놓을 수 있다.

이때 [eqn: rm {bar{PQ}} =1]이므로 [eqn: a ^{2} t ^{2} + LEFT ( p+1 RIGHT ) ^{2} t ^{2} =1]에서

[eqn: t ^{2} = {1} over {a ^{2} + LEFT ( p+1 RIGHT ) ^{2}} = {1} over {9}]

즉, [eqn: t= {1} over {3}]

한편, 두 점 [eqn: rmP,~Q]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: x _{1} ,~x _{2}]라 하면

[eqn: rm {bar{PF _{1}}} =itp+x _{1}], [eqn: rm {bar{QF _{2}}} =it1-x _{2}], [eqn: rm {bar{PF _{1}}} + {bar{QF _{2}}} =2]이고

[eqn: x _{1} -x _{2} = LEFT ( p+1 RIGHT ) t= {1} over {3} LEFT ( p+1 RIGHT )]이므로

[eqn: LEFT ( p+x _{1} RIGHT ) + LEFT ( 1-x _{2} RIGHT ) =2]에서

[eqn: p][eqn: =1- LEFT ( x _{1} -x _{2} RIGHT )]
[eqn: =1- {1} over {3} LEFT ( p+1 RIGHT )]

즉, [eqn: p= {1} over {2}]

㉠에서 [eqn: LEFT ( {1} over {2} +1 RIGHT ) ^{2} +a ^{2} =9]이므로 [eqn: a ^{2} = {27} over {4}]

따라서 [eqn: a ^{2} +p ^{2} = {27} over {4} + {1} over {4} =7]

선분 [eqn: rmF _{1} F _{2}]가 두 포물선과 만나는 점을 각각 [eqn: rmP,~Q]라 할 때, [eqn: rm {bar{F _{1} F _{2}}} =3], [eqn: rm {bar{PQ}} =1]이다. [eqn: a ^{2} +p ^{2}]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: {25} over {4}]	③ [eqn: {13} over {2}]

④ [eqn: {27} over {4}]	⑤ [eqn: 7]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 29

포물선 [eqn: y ^{2} =8x]와 직선 [eqn: y=2x-4]가 만나는 점 중 제 [eqn: 1]사분면 위에 있는 점을 [eqn: rmA]라 하자. 양수 [eqn: a]에 대하여 포물선 [eqn: (y-2a) ^{2} =8(x-a)]가 점 [eqn: rmA]를 지날 때, 직선 [eqn: y=2x-4]와 포물선 [eqn: (y-2a) ^{2} =8(x-a)]가 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmB]라 하자. 두 점 [eqn: rmA ,```` B]에서 직선 [eqn: x=-2]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmC ,```` D]라 할 때, [eqn: rm {bar{AC}} + {bar{BD}} - {bar{AB}} it=k]이다. [eqn: k ^{2}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 80 }]

[해설]

[eqn: y ^{2} =8x]와 [eqn: y=2x-4]의 교점을 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB']이고,

[eqn: y ^{2} =8x]와 [eqn: y=2x-4]을 연립하여 풀면

[eqn: LEFT ( 2x-4 RIGHT ) ^{2} =8x], [eqn: 4x ^{2} -24x+16=0]

[eqn: x ^{2} -6x+4=0]

이차방정식의 두 근을 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]라 하면 [eqn: x=3+- sqrt {5}]

따라서 [eqn: rmB']의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 3- sqrt {5}], [eqn: rmA]의 [eqn: x] 좌표는 [eqn: 3+ sqrt {5}]

그런데, 포물선 [eqn: y ^{2} =8x]이 [eqn: x]축으로 [eqn: a]만큼 [eqn: y]축으로 [eqn: 2a]만큼 평행이동한 포물선은 [eqn: (y-2a) ^{2} =8(x-a)]이고, 각각의 초점이 [eqn: rmF(2,````0)], [eqn: {rmF``'}(2+a ,````2a)]가 [eqn: y=2x-4]위에 있으므로 점 [eqn: rm B``']가 [eqn: x]축으로 [eqn: a]만큼 이동한 점이 [eqn: rmA]가 된다.

따라서 [eqn: a= (3+root5) -(3-root5 ) =2 root5]	[eqn: cdotscdots] ㉠

또, 포물선 정의에 의해서 [eqn: rm {bar{AC '}} = {bar{AF '}}], [eqn: rm {bar{BD prime }} = {bar{BF '}}]

그리고, [eqn: rm bar{DD``'][eqn: = rm bar{CC``'][eqn: =a]이므로

[eqn: {bar{rmAC}} + {bar{rmBD}} - {bar{rmAB}}]

[eqn: = rm bar{AC``'} + bar{CC``'} + bar{BD``'} + bar{DD``'} - bar{AB]

[eqn: = rm bar{AB} + bar{CC``'} + bar{DD``'} - bar{AB]
[eqn: = rm bar{CC``'} + bar{DD``'}]
[eqn: =2a]

㉠을 대입하면 [eqn: {bar{rmAC}} + {bar{rmBD}} - {bar{rmAB}}][eqn: =4 sqrt {5}]이므로 [eqn: k=4 sqrt {5}]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: k ^{2} =80]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 29

초점이 [eqn: {rm{F}} it]인 포물선 [eqn: y^{2}=8 x] 위의 점 중 제[eqn: rm 1]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{P}} it]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선이 포물선 [eqn: y^{2}=8 x]의 준선과 만나는 점을 [eqn: {rm{F}} it `prime]이라 하자. 점 [eqn: {rm{F}} it `prime]을 초점, 점 [eqn: {rm{P}} it]를 꼭짓점으로 하는 포물선이 포물선 [eqn: y^{2}=8 x]와 만나는 점 중 [eqn: {rm{P}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. 사각형 [eqn: {rm{PF}} it `prime {rm{QF}} it]의 둘레의 길이가 [eqn: rm 12]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{PF}} it `prime {rm{Q}} it]의 넓이는 [eqn: {q} over {p} sqrt{2}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: {rm{P}} it]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: rm 2]보다 작고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 23]

[해설]

포물선 [eqn: y^{2}=8 x]의 초점은 [eqn: {rm{F}} it (2,``0)]이고 준

선의 방정식은 [eqn: x=-2]이다.

점 [eqn: {rm{P}} it]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a(0<a<2)]라 하면

[eqn: {rm{P}} it (a,`` 2 sqrt{2 a})]

[eqn: {rm{F}} it `prime (-2,``2 sqrt{2 a})]

포물선의 성질에 의해

[eqn: overline{{rm{PF}} it }= overline{{rm{PF}} it `prime }=2+a]

한편, 점 [eqn: {rm{F}} it `prime]을 초점, 점 [eqn: {rm{P}} it]를 꼭짓점으로

하는 포물선의 방정식은

[eqn: (y-2 sqrt{2 a})^{2}=-4(2+a)(x-a)]

이 포물선의 준선의 방정식은 [eqn: x=2 a+2]

점 [eqn: {rm{Q}} it]에서 두 직선 [eqn: x=-2], [eqn: x=2 a+2]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm{R}} it], [eqn: {rm{S}} it]라 하면

포물선의 성질에 의해

[eqn: overline{{rm{QF}} it }= overline{{rm{QR}} it }]

[eqn: overline{{rm{QF}} it `prime }= overline{{rm{QS}} it }]

이므로

[eqn: overline{{rm{QF}} it ^{2}}+ overline{{rm{QF}} it `prime }= overline{{rm{QR}} it }+ overline{{rm{QS}} it }= overline{{rm{RS}} it }=2 a+4]

사각형 [eqn: {rm{PF}} it `prime {rm{QF}} it]의 둘레의 길이가 [eqn: rm 12]이므로

[eqn: overline{{rm{PF}} it }+ overline{{rm{PF}} it `prime }+ overline{{rm{QF}} it }+ overline{{rm{QF}} it `prime }=12]에서

[eqn: 2 overline{{rm{PF}} it `prime }+ overline{{rm{RS}} it }=12]

[eqn: 2(2+a)+(2 a+4)=12]

[eqn: 4 a=4]

[eqn: a=1]

이때, [eqn: {rm{P}} it]의 좌표는 [eqn: (1,``2 sqrt{2})]이고

점 [eqn: {rm{F}} it `prime]을 초점, 점 [eqn: {rm{P}} it]를 꼭짓점으로 하는 포물선의 방정식은

[eqn: (y-2 sqrt{2})^{2}=-12(x-1)]

이다.

두 포물선

[eqn: y^{2}=8 x][eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: (y-2 sqrt{2})^{2}=-12(x-1)][eqn: CDOTS CDOTS]㉡

이 만나는 점 [eqn: {rm{Q}} it]의 [eqn: y]좌표를 구해 보자.

㉠에서

[eqn: x={y^{2}} over {8}]

[eqn: x={y^{2}} over {8}]을 ㉡에 대입하면

[eqn: (y-2 sqrt{2})^{2}=-12 left({y^{2}} over {8}-1 right)]

[eqn: 5 y^{2}-8 sqrt{2} y-8=0]

[eqn: (y-2 sqrt{2})(5 y+2 sqrt{2})=0]

[eqn: y=2 sqrt{2}] 또는 [eqn: y=-{2 sqrt{2}} over {5}]

점 [eqn: {rm{Q}} it]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: -{2 sqrt{2}} over {5}]이다.

점 [eqn: {rm{Q}} it]에서 선분 [eqn: {rm{PF}} it `prime]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면

[eqn: overline{{rm{PF}} it `prime }=2-(-1)=3]

[eqn: overline{{rm{QH}} it }=2 sqrt{2}- left(-{2 sqrt{2}} over {5} right)={12} over {5} sqrt{2}]

삼각형 [eqn: {rm{PF}} it `prime {rm{Q}} it]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times overline{{rm{PF}} it `prime } times overline{{rm{QH}} it }]

[eqn: ={1} over {2} times 3 times {12} over {5} sqrt{2}]

[eqn: ={18} over {5} sqrt{2}]

따라서 [eqn: p=5], [eqn: q=18]이므로

[eqn: p+q=5+18=23]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 28

실수 [eqn: p(p geq 1)]과 함수 [eqn: f(x)=(x+a)^{2}]에 대하여 두 포물선	[eqn: C_{1}: y^{2}=4 x], [eqn: ~ C_{2}:(y-3)^{2}=4 p left{ x-f(p) it right}]

[정답] ①

[해설]

[eqn: {rm{A}} it]에서 포물선 [eqn: C_{1}]의 준선 [eqn: x=-1]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면

[eqn: overline{{rm{AF}} it _{1}}= overline{{rm{AH}} it }= overline{{rm{AF}} it _{2}}]에서 포물선 [eqn: C_{2}]의 준선이 포물선 [eqn: C_{1}]의 준 선과 같다.

즉, [eqn: C_{2}]의 준선 [eqn: x=-p+f(p)]이 [eqn: x=-1]이므로 [eqn: -p+f(p)=-1]이다.

[eqn: (p+a)^{2}-p+1=0]

[eqn: p^{2}+(2 a-1) p+a^{2}+1=0]

이 식을 만족하는 [eqn: p]가 오직 하나이므로 판별식 [eqn: D=0]이다.

따라서, [eqn: D=(2 a-1)^{2}-4 a^{2}-4=0]에서 [eqn: a=-{3} over {4}]이다.

가 제[eqn: rm 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: {rm{A}} it]라 하자. 두 포물선 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}]의 초점을 각각 [eqn: {rm{F}} it _{1}], [eqn: {rm{F}} it _{2}]라 할 때, [eqn: overline{{rm{AF}} it _{1}}= overline{{rm{AF}} it _{2}}]를 만족시키는 [eqn: p]가 오직 하나가 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -{3} over {4}]	② [eqn: -{5} over {8}]	③ [eqn: -{1} over {2}]

④ [eqn: -{3} over {8}]	⑤ [eqn: -{1} over {4}]

07 기하	01 포물선
02 포물선의 정의 활용
06 정의 활용6 (포물선과 원 관련)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 06월

좌표평면에서 포물선 [eqn: C` _{1} `:` x ^{2} =4y `]의 초점을 [eqn: rmF _{1}], 포물선 [eqn: C` _{2} `:` y ^{2} =8x `]의 초점을 [eqn: rmF _{2} `]라 하자. 점 [eqn: rmP `]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[해설]

포물선 [eqn: C _{1} ``:``x ^{2} =4y]위의 점 [eqn: rmA]를 중심으로 하고 초점 [eqn: rmF _{1}]을 지나는 원의 반지름의 길이는 선분 [eqn: rmAF _{1}]의 길이와 같고, 점 [eqn: rmA]와 포물선 [eqn: C _{1}]의 준선 [eqn: y=it-1] 사이의 거리도 이 원의 반지름의 길이와 같으므로 이 원은 포물선 [eqn: C _{1}]의 준선 [eqn: y=it-1]에 접한다.

그러므로 이 원은 [eqn: {y}ge{it-1]인 영역에 존재한다.

포물선 [eqn: C _{2} ``:``y ^{2} =8x]위의 점 [eqn: rmB]를 중심으로 하고 초점 [eqn: rmF _{2}]를 지나는 원의 반지름의 길이는 선분 [eqn: rmBF _{2}]의 길이와 같고, 점 [eqn: rmB]와 포물선 [eqn: C _{2}]의 준선 [eqn: x=it-2]사이의 거리도 이 원의 반지름의 길이와 같으므로 이 원은 포물선 [eqn: C _{2}]의 준선 [eqn: x=it-2]에 접한다.

그러므로 이 원은 [eqn: {x}ge{it-2]인 영역에 존재한다.

두 원의 교점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: rmP LEFT ( itx,````y RIGHT )]로 놓으면 [eqn: {x}ge{it-2},````{y}ge{it-1]이고, 점 [eqn: rmP]는 제 [eqn: 3]사분면에 있는 점이므로 [eqn: x<0,````y<0]이다.

따라서 점 [eqn: rmP]의 좌표가 [eqn: rmP LEFT ( -2,````-1 RIGHT )]일 때, [eqn: rm{barOP} ^{2}]의 값이 최대가 되므로 [eqn: rm{barOP} ^{2}]의 최댓값은 [eqn: LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} =5]이다.

(가) 중심이 [eqn: C` _{1}] 위에 있고 점 [eqn: rmF _{1}`]을 지나는 원과 중심이 [eqn: C` _{2}] 위에 있고 점 [eqn: rmF _{2}`]를 지나는 원의 교점이다.

(나) 제 [eqn: 3`]사분면에 있는 점이다.

원점 [eqn: rmO`]에 대하여 [eqn: rm {bar{OP}} ^{2}]의 최댓값을 구하시오.

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 07월

그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2} =4px`]의 초점 [eqn: rmF`]를 중심으로 하고 원점을 지나는 원 [eqn: C``]가 있다. 포물선 위의 점 [eqn: rm A`]와 점 [eqn: RMB`]에 대하여 선분 [eqn: rmFA`]와 선분 [eqn: rmFB`]가 원 [eqn: C``]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ`]라 할 때, 점 [eqn: rmP`]는 선분 [eqn: rmFA`]의 중점이고, 점 [eqn: rmQ`]는 선분 [eqn: rmFB`]를 [eqn: 2`:`5`]로 내분하는 점이다. 삼각형 [eqn: rm AFB`]의 넓이가 [eqn: 24`]일 때, [eqn: p`]의 값은?
(단, 점 [eqn: RMA`]와 점 [eqn: RMB`]는 제 [eqn: 1`]사분면 위에 있다.)

[정답] ④

[해설]

원의 반지름의 길이가 [eqn: {bar{rm `FP it}} =p`]이므로  [eqn: {bar{rm `AP it}} = it p]

[eqn: {bar{rm `AF it}} = {bar{rm `AH it}}]이므로 점 [eqn: rm `A]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: p`]이다.

[eqn: {bar{rm `FQ it}} =p`]이므로  [eqn: {bar{rm `BQ it}} = {5} over {2} p]

[eqn: {bar{rm `BF it}} = {bar{rm `BG it}} `]이므로 점 [eqn: rm `B]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: {5} over {2} p]이다.

삼각형 [eqn: rm `AFB]의 넓이는  [eqn: {1} over {2} TIMES 2p TIMES LEFT ( it {5} over {2} p-p RIGHT ) =24]

따라서 [eqn: p=4`]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

07 기하	02 타원
02 타원의 정의 활용
01 정의 활용1 (타원의 두 정보)

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 15

그림과 같이 타원 [eqn: {x^{2}} over {a}+{y^{2}} over {12}=1]의 두 초점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: {rm{F}} it], 음수인 점을 [eqn: {rm{F}} it `prime]이라 하자. 타원 [eqn: {x^{2}} over {a}+{y^{2}} over {12}=1] 위에 있고 제 [eqn: rm 1]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 선분 [eqn: {rm{F}} it `prime {rm{P}} it]의 연장선 위에 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 [eqn: overline{{rm{F}} it `prime {rm{Q}} it }=10]이 되도록 잡는다. 삼각형 [eqn: {rm{PFQ}} it]가 직각이등변삼각형일 때, 삼각형 [eqn: {rm{QF}} it `prime {rm{F}} it]의 넓이는? (단, [eqn: a>12])

[정답] ③

[해설]

아래 그림과 같이 놓으면

[eqn: k+l=10=2 sqrt{a}]이므로 [eqn: a=25]

초점 거리를 [eqn: 2 c]라 하면 [eqn: k^{2}+l^{2}=4 c^{2}=4(a-12)=52][eqn: 2 k l=(k+l)^{2}- left(k^{2}+l^{2} right)=100-52=48]

[eqn: {rm{P}} it]가 제[eqn: rm 1]사분면의 점이므로 [eqn: k>l]이다.

이제 [eqn: k], [eqn: l]을 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: x^{2}-10 x+24=0], [eqn: (x-6)(x-4)=0]

따라서 [eqn: k=6], [eqn: l=4]이고 구하려는 넓이는

[eqn: {1} over {2} k l+{1} over {2} l^{2}=12+8=20]

① [eqn: rm 15]	② [eqn: {35} over {2}]	③ [eqn: rm 20]

④ [eqn: {45} over {2}]	⑤ [eqn: rm 25]

07 기하	02 타원
02 타원의 정의 활용
02 정의 활용2 (타원의 한 정보)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 28

그림과 같이 [eqn: {rm{F}} it (6,``0)], [eqn: {rm{F}} it `prime (-6,``0)]을 두 초점으로 하는 타원 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}+{y^{2}} over {b^{2}}=1]이 있다. 점 [eqn: {rm{A}} it left({3} over {2},`` 0 right)]에 대하여 [eqn: angle {rm{FPA}} it = angle {rm{F}} it `prime {rm{PA}} it]를 만족시키는 타원의 제[eqn: rm 1]사분면 위의 점을 [eqn: {rm{P}} it]라 할 때, 점 [eqn: {rm{F}} it]에서 직선 [eqn: {rm{AP}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{B}} it]라 하자. [eqn: overline{{rm{OB}} it }= sqrt{3}]일 때, [eqn: a times b]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: overline{{rm{AF}} it }={9} over {2}], [eqn: overline{{rm{AF}} it `prime }={15} over {2}]이므로 각의 이등분선의 성질에 의하여 [eqn: overline{{rm{PF}} it }: overline{{rm{PF}} it `prime }=3: 5]

[eqn: overline{{rm{PF}} it }=3 k], [eqn: overline{{rm{PF}} it `prime }=5 k(k>0)]이라 하자.

타원의 정의에 의하여 [eqn: overline{{rm{PF}} it }+ overline{{rm{PF}} it `prime }=8 k=2 a]

그러므로 [eqn: a=4 k]

직선 [eqn: {rm{BF}} it]와 선분 [eqn: {rm{PF}} it `prime]이 만나는 점을 [eqn: {rm{C}} it]라 하면 각 [eqn: {rm{CPF}} it]의 이등분선이 선분 [eqn: {rm{CF}} it]와 수직으로 만나므로 삼각형 [eqn: {rm{PCF}} it]는 이등변삼각형이다. 그러므로 [eqn: overline{{rm{BC}} it }= overline{{rm{BF}} it }] 두 삼각형 [eqn: {rm{FBO}} it]와 [eqn: {rm{FCF}} it `prime]에서 [eqn: overline{{rm{FB}} it }: overline{{rm{FC}} it }= overline{{rm{FO}} it }: overline{{rm{FF}} it `prime }=1: 2] 두 삼각형 [eqn: {rm{FBO}} it], [eqn: {rm{FCF}} it `prime]은 서로 닮음이므로 [eqn: overline{{rm{OB}} it }: overline{{rm{F}} it `prime {rm{C}} it }=1: 2][eqn: overline{{rm{F}} it `prime {rm{C}} it }= overline{{rm{PF}} it `prime }- overline{{rm{PC}} it `prime }= overline{{rm{PF}} it `prime }- overline{{rm{PF}} it }=5 k-3 k=2 k]
[eqn: overline{{rm{F}} it `prime {rm{C}} it }=2 overline{{rm{OB}} it }=2 sqrt{3}]

[eqn: k= sqrt{3}], [eqn: a=4 sqrt{3}]

[eqn: c^{2}=a^{2}-b^{2}]이므로 [eqn: 36=48-b^{2}]

[eqn: b^{2}=12], [eqn: b=2 sqrt{3}]

따라서 [eqn: a times b=24]

(단, [eqn: a>0], [eqn: b>0]이고 [eqn: {rm{O}} it]는 원점이다.)

① [eqn: rm 16]	② [eqn: rm 20]	③ [eqn: rm 24]

④ [eqn: rm 28]	⑤ [eqn: rm 32]

07 기하	02 타원
02 타원의 정의 활용
03 정의 활용3 (타원의 X정보)

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 11월

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rm F LEFT (it c,`` 0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( it-c,`` 0 RIGHT )`]인 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1`]이 있다. 타원 위에 있고 제[eqn: `2`]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmPF']의 중점을 [eqn: rmQ], 선분 [eqn: rmPF]를 [eqn: 1 `:` 3`]으로 내분하는 점을 [eqn: rmR]라 하자. [eqn: ANGLE rmPQR= {pi} over {2}], [eqn: bar{rmQR}= sqrt {5}], [eqn: bar{rmRF}=9`]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 양수이다.)

[정답] [eqn: 104]

[해설]

[eqn: rm {bar{rmPR}} `:` {bar{rmRF}} =1:3]이므로    [eqn: rm {bar{rmPR}} =3]
∴ [eqn: rm {bar{rmPF}}][eqn: = rm {bar{rmPR}} + {bar{rmRF}}][eqn: =3+9=12]
직각삼각형 [eqn: RMPQR]에서
[eqn: rm {bar{rmPQ}} = sqrt {3 ^{2} -( sqrt {5} ) ^{2}}][eqn: = 2]
∴ [eqn: rm {bar{rmPF prime }}][eqn: =][eqn: 2 rm {bar{rmPQ}}][eqn: =2times2=4]

타원의 정의에 의하여 [eqn: rm {bar{rmPF}} + {bar{rmPF prime }} =2][eqn: a]이므로
[eqn: 12+4 =2a][eqn: THEREFORE][eqn: a=8]
한편 [eqn: rmangleQPR][eqn: =theta]라고 하면 직각삼각형 [eqn: RMPQR]에서

[eqn: cos`` theta = rm {{bar{rmPQ}}} over {{bar{rmPR}}} = {2} over {3} it]
삼각형 [eqn: rmPF'F]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: rm {bar{rmF prime F}} ^{2} =][eqn: rm {bar{rm PF prime }} ^{2} + {bar{rm PF}} ^{2} -2` {bar{rm PF prime }} ·` {bar{rmPF}} `cos theta]
[eqn: (2c)^2 =][eqn: 4^2 + 12^2 - 2`·`4`·`12`· `2over3]
[eqn: 4c^2 = 96]    ∴ [eqn: c^2 =24]
따라서 [eqn: b^2 =8^2 -24=40]이므로
[eqn: a ^{2} +b ^{2} =][eqn: 64+40=104]

07 기하	02 타원
02 타원의 정의 활용
05 정의 활용5 (원과 타원)

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 07월 28

그림과 같이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1][eqn: LEFT ( a>b>0 RIGHT ) `]의 두 초점을 [eqn: rm F LEFT ( itc ,`` 0 RIGHT )], [eqn: rm F prime LEFT ( it-c ,`` 0 RIGHT )][eqn: LEFT ( c>0 RIGHT ) `]이라 하고 점 [eqn: rmF prime`]을 지나는 직선이 타원과 만나는 두 점을 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]라 하자. [eqn: {bar{rm PQ it}} =6`]이고 선분 [eqn: rmFQ`]의 중점 [eqn: rmM`]에 대하여 [eqn: bar{rmFM}=bar{rmPM}=5`]일 때,
이 타원의 단축의 길이를 구하시오.

[정답] [eqn: bold8]

[해설]

[eqn: bar{rmQM}=bar{rmFM}=bar{rmPM}=5`]이므로 세 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`], [eqn: rmF`]는 중심이 [eqn: rmM`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 5`]인 원 위의 점이다.

삼각형 [eqn: rm PQF`]는 직각삼각형이므로 [eqn: 6 ^{2} + {bar{rm PF it}} ^{`2} =10 ^{2}]

[eqn: bar{rmPF}=8]
[eqn: bar{rmPF}+bar{rmPF prime}=2a`], [eqn: {bar{rm QF it}} + {bar{rm QF prime it}} =2a`]이므로
[eqn: {bar{rm PF it}} + {bar{rm PF prime it}}+{bar{rm QF it}} + {bar{rm QF prime it}} ={bar{rm PF it}} + {bar{rm PQ it}}+{bar{rm QF it}}=24=4a]

[eqn: a=6]

[eqn: {bar{rm PF it}} + {bar{rm PF prime it}} =12`]이므로 [eqn: {bar{rm PF prime it}} =4]

삼각형 [eqn: rm PF prime F`]는 직각삼각형이므로
[eqn: 4 ^{2} +8 ^{2} = {bar{rmF F prime it}} ^{`2}]

[eqn: {bar{rmF F prime it}} =4 sqrt { 5}`]이므로 [eqn: c=2 sqrt {5}`]

[eqn: c ^{2} =a ^{2} -b ^{2}`]이므로 [eqn: b^{2}=16], [eqn: b=4`]
따라서 이 타원의 단축의 길이는 [eqn: 8]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 28

두 초점이 [eqn: rmF ,```` F']이고 장축의 길이가 [eqn: 2a]인 타원이 있다. 이 타원의 한 꼭짓점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이 이 타원의 서로 다른 두 꼭짓점과 한 초점을 지날 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ③

[해설]

두 초점 [eqn: rmF ,```` F']의 중점을 [eqn: rmO]라 하고 점 [eqn: rmO]를 타원의 중심으로 하고 두 초점이 [eqn: x]축 위에 놓여있는 타원의 방정식을 [eqn: x^2 overa^2 + y^2 overb^2 =1]이라 하자.

위의 그림과 같이 [eqn: y]축 위에 있는 타원의 한 꼭짓점을 [eqn: rmA], [eqn: x]축 위에 있는 타원의 한 꼭짓점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmB]에서 선분 [eqn: rmAF]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자.

타원의 정의에 의해 거리의 합이 [eqn: 2a]이므로 [eqn: rm bar AF + bar {AF``'} =2 it a]

그런데, [eqn: rm bar AF = bar {AF``'}]이므로 [eqn: rm bar AF = ita]

또, [eqn: triangle rmABF]는 이등변삼각형이므로 [eqn: rm bar AH = bar HF = it 2over a}]

[eqn: rmangle AFO = theta]라 하면 [eqn: triangle rmBHF]와 [eqn: triangle rmAOF]에서 [eqn: cos theta = rm{barBH}over{barFH} = {barOF} over{barAF}]이므로 [eqn: a over2 over1 = 1-a overa]

즉, [eqn: a over 2 = 1-a overa]에서 [eqn: a^2 = 2-2a]

[eqn: therefore][eqn: a^2 +2a-2=0]

[eqn: THEREFORE ```` a= root3 -1][eqn: (because ```` a>0)]

① [eqn: root2 over2]	② [eqn: {root6 -1} over {2}]	③ [eqn: root3 -1]

④ [eqn: 2root2 -2]	⑤ [eqn: root3 over2]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 30

그림과 같이 두 점 [eqn: rm F it LEFT ( c,`` 0 RIGHT )], [eqn: rm F' it LEFT ( -c,`` 0 RIGHT )] ([eqn: c>0])인 타원 [eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {7}][eqn: =1] 위의 점 [eqn: rmP`]에 대하여 직선 [eqn: rmFP`]와 직선 [eqn: rmF'P`]에 동시에 접하고 중심이 선분 [eqn: rmF'F] 위에 있는 원 [eqn: C` `]가 있다. 원 [eqn: C``]의 중심을 [eqn: rmC], 직선 [eqn: rmF'P`]가 원 [eqn: C``]와 만나는 점을 [eqn: rmQ`]라 할 때, [eqn: 2 {bar{rm PQ}}= {bar{rm PF}} `]이다. [eqn: 24 TIMES {bar{rm CP}}`]의 값을 구하시오.
(단, 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.)

[정답] [eqn: 63]

[해설]

[eqn: c ^{2}][eqn: =16-7][eqn: =9], [eqn: c][eqn: =3]

[eqn: {bar{rm FF'}}][eqn: =2c][eqn: =6]

직선 [eqn: rmFP]가 원 [eqn: C]와 접하는 점을 [eqn: rmR]라 하고

[eqn: {bar{rm PQ}}][eqn: =a]라 하면

[eqn: {bar{rm PF}}][eqn: =2 {bar{rm PQ}}][eqn: =2a]이므로 [eqn: {bar{rm RF}}][eqn: = {bar{rm PF}} - {bar{rm PR}}][eqn: = {bar{rm PF}} - {bar{rm PQ}}][eqn: =a]

[eqn: {bar{rm PR}}][eqn: = {bar{rm RF}}]이고, [eqn: ANGLE rm PRC][eqn: =90°]이므로

삼각형 [eqn: rmPCR], [eqn: rmFCR]가 서로 합동이다.

[eqn: {bar{rm CP}}][eqn: =l]이라 하면 [eqn: {bar{rm CP}}][eqn: = {bar{rm FC}}]에서 [eqn: {bar{rm F'C}}][eqn: =6-l]

[eqn: {bar{rm PF'}}][eqn: = {bar{rm PQ}} + {bar{rm QF'}}]이고

[eqn: {bar{rm PF'}} + {bar{rm PF}}][eqn: =8]이므로 [eqn: {bar{rm QF'}}][eqn: =8-3a]

점 [eqn: rmP]가 제[eqn: 1]사분면 위의 점이므로

[eqn: {bar{rm PF'}} > {bar{rm PF}}]에서 [eqn: a<2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

삼각형 [eqn: rmFPF']에서 [eqn: ANGLE rm F'PC][eqn: = ANGLE rm CPF]이므로

[eqn: {bar{rm PF'}} ``:`` {bar{rm PF}}][eqn: = {bar{rm F'C}} ``:`` {bar{rm CF}}]

[eqn: LEFT ( 8-2a RIGHT ) ``:``2a][eqn: = LEFT ( 6-l RIGHT ) ``:``l]에서 [eqn: l][eqn: = {3} over {2} a]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

점 [eqn: rmQ]는 점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rmPF']에 내린 수선의 발이므로

[eqn: {bar{rm F'C}} ^{2} - {bar{rm F'Q}} ^{2}][eqn: = {bar{rm CP}} ^{2} - {bar{rm PQ}} ^{2}]

[eqn: LEFT ( 6-l RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 8-3a RIGHT ) ^{2}][eqn: =l ^{2} -a ^{2}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

㉡, ㉢에 의해 [eqn: 4a ^{2} -15a+14][eqn: =0]

[eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( 4a-7 RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: a=2] 또는 [eqn: a= {7} over {4}]

㉠에 의해 [eqn: a][eqn: = {7} over {4}], [eqn: l][eqn: = {21} over {8}]

따라서 [eqn: 24 TIMES {bar{rm CP it}}][eqn: =63]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 28

그림과 같이 타원 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}+{y^{2}} over {b^{2}}=1]의 두 초점 [eqn: {rm{F}} it], [eqn: {rm{F}} it `prime]에 대하여 선분 [eqn: {rm{FF}} it `prime]을 지름으로 하는 원을 [eqn: C]라 하자. 원 [eqn: C]가 타원과 제[eqn: rm 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: {rm{P}} it]라 하고, 원 [eqn: C]가 [eqn: y]축과 만나는 점 중 [eqn: y]좌표가 양수인 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. 두 직선 [eqn: {rm{F}} it `prime {rm{P}} it], [eqn: {rm{QF}} it]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: cos theta={3} over {5}]일 때, [eqn: {b^{2}} over {a^{2}}]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: a>b>0]인 상수이고, 점 [eqn: {rm{F}} it]의 [eqn: x]좌표는 양수이다.)

[정답] ④

[해설]

두 직선 [eqn: {rm{F}} it `prime {rm{P}} it], [eqn: {rm{QF}} it]의 교점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하면 두 직각삼각형 [eqn: {rm{QF}} it `prime {rm{R}} it], [eqn: {rm{PFR}} it]가 서로 닮음이고 [eqn: cos left( angle {rm{QRF}} it `prime right)= cos ( angle {rm{PRF}} it )= cos theta={3} over {5}]

[eqn: sin theta= sqrt{1- cos ^{2} theta}={4} over {5}]

[eqn: overline{{rm{QR}} it }=3 t(t>0)]이라 할 때

[eqn: overline{{rm{RF}} it `prime }={ overline{{rm{QR}} it }} over { cos theta}=5 t],

[eqn: overline{{rm{QF}} it }= overline{{rm{QF}} it `prime }= overline{{rm{RF}} it `prime } sin theta=4 t],

[eqn: overline{{rm{RF}} it }= overline{{rm{QF}} it }- overline{{rm{QR}} it }=4 t-3 t=t],

[eqn: overline{{rm{RP}} it }= overline{{rm{RF}} it } cos theta={3} over {5} t]

[eqn: overline{{rm{PF}} it }= overline{{rm{RF}} it } sin theta={4} over {5} t]

점 [eqn: {rm{P}} it]는 타원 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}+{y^{2}} over {b^{2}}=1] 위의 점이므로

[eqn: overline{{rm{PF}} it `prime }+ overline{{rm{PF}} it }][eqn: = overline{{rm{RF}} it `prime }+ overline{{rm{RP}} it }+ overline{{rm{PF}} it }]
[eqn: =5 t+{3} over {5} t+{4} over {5} t]
[eqn: ={32} over {5} t]

[eqn: 2 a={32} over {5} t]에서 [eqn: a={16} over {5} t]

점 [eqn: {rm{F}} it]의 좌표를 [eqn: (c,`` 0)(c>0)]이라 할 때

[eqn: overline{{rm{FF}} it `prime }= sqrt{2} times overline{{rm{QF}} it }]에서 [eqn: c=2 sqrt{2} t]

[eqn: b^{2}=a^{2}-c^{2}={256} over {25} t^{2}-8 t^{2}={56} over {25} t^{2}]

따라서 [eqn: {b^{2}} over {a^{2}}={{56} over {25} t^{2}} over {{256} over {25} t^{2}}={7} over {32}]

① [eqn: {11} over {64}]	② [eqn: {3} over {16}]	③ [eqn: {13} over {64}]

④ [eqn: {7} over {32}]	⑤ [eqn: {15} over {64}]

07 기하	02 타원
02 타원의 정의 활용
06 정의 활용6 (포물선과 타원)

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 27

좌표평면에서 초점이 [eqn: rm A LEFT ( it a ,`` 0 RIGHT )][eqn: LEFT ( a > 0 RIGHT ) `]이고 꼭짓점이 원점인 포물선과 두 초점이 [eqn: rm F LEFT ( itc,`` 0 RIGHT )], [eqn: rm F ' LEFT (it -c,`` 0 RIGHT )][eqn: LEFT (c>a RIGHT ) `]인 타원의 교점 중 제 [eqn: 1`]사분면 위의 점을 [eqn: rm P `]라 하자.

[정답] [eqn: bold{29]

[해설]

[eqn: rm bar AF = 2 , ~ A ( it a , ~ 0 )]이고 삼각형 [eqn: rmPAF]가 [eqn: rm bar PA = bar PF]인 이등변삼각형이므로 점 [eqn: rm P]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a + 1]이다.

한편, 점 [eqn: rm P]에서 포물선의 준선 [eqn: x = -a]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면  [eqn: rm bar PA = bar PH][eqn: = ( a + 1 ) - ( - a )][eqn: = 2a + 1]

이때, 이등변삼각형 [eqn: rm PAF]의 꼭짓점 [eqn: rm P]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 하고 [eqn: rm angle PFI = alpha]라 하면

[eqn: cos ` alpha = { rm bar IF } over{ bar {rm PF][eqn: = {{1 over 2 } rm bar AF } over{ { rm bar PF][eqn: = 1 over 2a+1]	[eqn: cdotscdots] ㉠

또, 이등변삼각형 [eqn: rm PF'F]의 꼭짓점 [eqn: rm F ']에서 변 [eqn: rm FP]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm J]라 하면 [eqn: rm F ( it a + 2 , ~ 0 )]이므로

[eqn: cos ` alpha = rm bar FJ over bar FF'][eqn: = { 1 over 2 rm bar PF } over {rm bar FF'][eqn: = {a + 1 over 2} over {2a + 4][eqn: = { 2a + 1} over 4a+8]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠과 ㉡이 같아야 하므로

[eqn: 1 over2a+1 = { 2a+1 } over4a+8],  [eqn: ( 2a+1) ^ 2 = 4a + 8]

[eqn: 4a ^ 2 + 4a + 1 = 4a + 8],  [eqn: a = sqrt { 7}over 2]

따라서 타원의 장축의 길이는

[eqn: rm barPF' + barPF][eqn: rm = bar FF' + bar PF]
[eqn: = ( 2a + 4 ) + ( 2a + 1 )]
[eqn: = 4a + 5]
[eqn: = 4 times sqrt { 7}over 2 + 5]
[eqn: = 5 + 2 sqrt { 7}]

이므로

[eqn: p ^ 2 + q ^ 2 = 5 ^ 2 + 2 ^ 2 = 29]

[eqn: rm bar AF = 2], [eqn: rmbar PA = bar PF], [eqn: rm bar FF' = bar PF']

일 때, 타원의 장축의 길이는 [eqn: p + q sqrt { 7}`]이다. [eqn: p ^ 2 + q ^ 2 `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q`]는 유리수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 30

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rm F LEFT ( it c,``0 RIGHT )], [eqn: rm F prime LEFT ( it -c,``0 RIGHT ) ``][eqn: LEFT ( c>0 RIGHT ) `]이고 장축의 길이가 [eqn: 12`]인 타원이 있다. 점 [eqn: rmF`]가 초점이고 직선 [eqn: x=it-k`][eqn: left(k>0right)`]이 준선인 포물선이 타원과 제[eqn: 2`]사분면의 점 [eqn: rmP`]에서 만난다. 점 [eqn: rmP`]에서 직선 [eqn: x=it-k`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ`]라 할 때, 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 15]

[해설]

점 [eqn: rmF`]가 포물선의 초점이므로 포물선의 정의에 의하여 [eqn: bar{rmFP}=bar{rmPQ}`]이다.

조건 (나)의 [eqn: {bar{rm FP}} - {bar{rm F' Q}} = {bar{rm PQ}} - {bar{rm FF' }}]에서

[eqn: {bar{rm F prime Q}} = {bar{rm FF prime }}]

두 직선 [eqn: rmFF'], [eqn: rmPQ`]가 서로 평행하므로

두 삼각형 [eqn: rm PQF], [eqn: rmF'FQ`]에서

[eqn: rmanglePQF=angleF`primeFQ]

두 삼각형 [eqn: rm PQF], [eqn: rmF'FQ`]는 모두 이등변삼각형이므로

[eqn: rm ANGLE QFP][eqn: = rm ANGLE PQF= ANGLE F prime FQ][eqn: =rm ANGLE F'QF]

이고, 선분 [eqn: rmFQ`]는 공통이므로

두 삼각형 [eqn: rm PQF], [eqn: rmF'FQ`]는 서로 합동이다.

즉 [eqn: {bar{rm FP it}} = {bar{rm PQ it}}][eqn: = {bar{rm F` prime Q it}} = {bar{rm FF` prime it}}]

장축의 길이가 [eqn: 12``]이고 [eqn: bar{rmFP}=bar{rmFF`prime}=2c`]이므로

[eqn: bar{rmPF prime}=12-2c]

삼각형 [eqn: rmPFF`prime`]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: LEFT ( 12-2c RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 2c RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2c RIGHT ) ^{2} -2times LEFT ( 2c RIGHT ) ^{2}times cos LEFT ( rmangleF'FP RIGHT )]

[eqn: c ^{2} -16c+48=0]
[eqn: LEFT ( c-4 RIGHT ) LEFT ( c-12 RIGHT ) =0]

장축의 길이가 [eqn: 12`]이므로 [eqn: c<6`]에서 [eqn: c=4]

점 [eqn: rmP`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하자.

[eqn: {bar{rm FP it}} = it 8`]에서
[eqn: bar{rmFH}][eqn: = {bar{rm FP it}} TIMES cos LEFT ( rmangleF'FP RIGHT )][eqn: =7`]

[eqn: bar{rmFH}][eqn: =7`]에서 점 [eqn: rmH`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 4-7= it -3`]이고

[eqn: {bar{rm PQ it}} = {bar{rm FP it}} = it 8`]에서 점 [eqn: rmH`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: -k+8`]이므로

[eqn: -3= it -k+8], 즉 [eqn: k=11]

따라서 [eqn: c+k=15]

(가) [eqn: cos` LEFT ( rm ANGLE F'FP RIGHT ) = {7} over {8}]

(나) [eqn: {bar{rm FP}} - {bar{rm F prime Q}} = {bar{rm PQ}} - {bar{rm FF prime }}]

[eqn: c+ k`]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 29

그림과 같이 포물선 [eqn: {y^2 =16x}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]의 초점을 [eqn: rmF]라 하자. 점 [eqn: rmF]를 한 초점으로 하고 점 [eqn: rmA(-2 ,```` 0)]을 지나며 다른 초점 [eqn: rmF prime]이 선분 [eqn: rmAF]위에 있는 타원 [eqn: E]가 있다. 포물선 [eqn: y^2 =16x]가 타원 [eqn: E]와 제 [eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하자. [eqn: bar{rmBF} = 21 over5]일 때, 타원 [eqn: E]의 장축의 길이는 [eqn: k]이다. [eqn: 10k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold66]

[해설]

[eqn: y^{2} =16x]의 초점 [eqn: rmF (4,````0)]이고, 준선의 방정식은 [eqn: x=-4]이다.

점 [eqn: rmA(-2,````0)]을 지나고 초점이 선분 [eqn: rmAF] 위에 있으므로 점 [eqn: rmA]는 꼭짓점이다. 타원과 포물선의 교점 [eqn: rmB]에서 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 [eqn: bar{ rmBH} = bar{rmBF]이다.

그러므로 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -4+ 21 over 5 = 1over 5]이다.

그러므로 점 [eqn: rmB left( 1over 5 , ```` 4 over root 5 right)]

중심의 좌표를 [eqn: (a,````0)]이라 하면 [eqn: rmF(4,````0)]이고 중심에서 거리가 [eqn: 4-a]이므로 [eqn: rmF`'( 2it a -4 , ````0)], [eqn: bar{ rmBF`'} + bar{rmBF}]가 장축의 길이이므로 장축의 길이는 [eqn: (a+2) times 2]이다.

[eqn: therefore][eqn: bar{rmBF`'}= 2 it a + 4 - 21 over 5 = 2a - 1over 5]

[eqn: root {left(2a-4 - 1over 5 right)^{2} + left( 4 over root 5 right)^{2} }= 2a- 1over 5]

[eqn: left( 2a - 21 over 5 right )^{2} + 16 over 5 = 4a^{2} - 4 over 5 a + 1 over 25]

[eqn: 4a^{2} - 84 over 5 a + 441 over 25 + 80 over 25 = 4a^{2} - 4 over 5 a + 1over 25]

[eqn: 520 over 25 = 16a]	[eqn: THEREFORE```` a = 13 over 10]

[eqn: THEREFORE```` 10k= 20a+ 40=26+40=66]

07 기하	02 타원
02 타원의 정의 활용
07 정의 활용7 (대칭성)

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 06월 27

두 점 [eqn: rmF LEFT ( 5,``0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( -5,``0 RIGHT ) `]을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ`]에 대하여 원점 [eqn: rmO`]에서 선분 [eqn: rmPF`]와 선분 [eqn: rmQF'`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm H``]와 [eqn: rm I``]라 하자. 점 [eqn: rmH`]와 점 [eqn: rmI`]가 각각 선분 [eqn: rmPF`]와 선분 [eqn: rmQF'`]의 중점이고, [eqn: rmbar{OH} TIMES rm bar{OI} =10`]일 때, 이 타원의 장축의 길이를 [eqn: l`]이라 하자. [eqn: l ^{2}`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmbar{OH} ne rm bar{OI}])

[정답] [eqn: bold180]

[해설]

원점에서 [eqn: rm {bar{PF`` prime }}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmI`` prime]이라 하면 [eqn: rmF`` prime O:F`` prime F`=1:2]이므로 [eqn: rmTRIANGLE F`` prime OI`` prime `]과 [eqn: rmTRIANGLE F`` prime FP`]는 [eqn: 1:2``]닮음

[eqn: rmTHEREFORE ~ {bar{F`` prime I`` prime }} = {bar{I`` prime P}}]

때문에 [eqn: rmI`` prime `]은 [eqn: rmI`]의 대칭점 [eqn: rmP`]는 [eqn: rmQ`]의 대칭점이라 할 수 있다

[eqn: rmTHEREFORE ~OI`` prime =OI]

[eqn: {rm {bar{PF}} }=a`]라 하면 [eqn: {rm {bar{OI`` prime }} }= {a} over {2}], [eqn: {rm {bar{PF`` prime }} }=b`]라 하면 [eqn: {bar{rm OI`` prime it}} = {bar{rmOH}} = {b} over {2}]

[eqn: {a} over {2} TIMES {b} over {2} =10`]에서  [eqn: ab=40]

닮음조건에서  [eqn: rmANGLE F`` prime PF``= ANGLE OHF`= {pi } over {2}]

피타고라스정리에 의해   [eqn: a ^{2} +b ^{2} =100]

장축의 길이는 [eqn: a+b`]이므로

[eqn: l ^{2} =(a+b) ^{2} =a ^{2} +b ^{2} +2ab=180]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 27

좌표평면에서 두 점 [eqn: rm A( 0 , ```` 3 ) , ```` B( 0 , ```` -3 )]에 대하여 두 초점이 [eqn: rm F , ```` F ']인 타원 [eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {7} =1]위의 점 [eqn: rm P]가 [eqn: rm bar AP = bar PF]를 만족시킨다. 사각형 [eqn: rm AF'BP]의 둘레의 길이가 [eqn: a + b root 2]일 때, [eqn: a+ b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm bar PF < bar {PF' } `]이고, [eqn: a], [eqn: b`]는 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 14 }]

[해설]

[eqn: triangle {rmAFP}], [eqn: triangle {rmPF'B}]는 이등변 삼각형이고, [eqn: y=x]에 대칭이므로

[eqn: bar{rmAP}=bar{rmPF}], [eqn: bar{rmPF'}=bar{rmPB}]

또, 삼각형 [eqn: rmAF``'O]와 삼각형 [eqn: rmOBF`']는 직각이등변삼각형이므로

[eqn: bar{rmAF'}][eqn: =bar{rmF'B}][eqn: = 3root2]

따라서 사각형 [eqn: rmAF'BP]의 둘레의 길이는

[eqn: bar{rmAF'}+bar{rmF'B}+bar{rmPB}+bar{rmPA}]

[eqn: =3root{2}+3root{2}+bar{rmPF'}+bar{rmPF}]

[eqn: =6root{2}+8] ([eqn: because] 타원의 정의에 의해)

[eqn: THEREFORE ```` a+b=14]

07 기하	02 타원
02 타원의 정의 활용
10 자취의 방정식

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 8

좌표평면에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =36] 위를 움직이는 점   [eqn: rmP LEFT (it a,``b RIGHT )`]와 점 [eqn: rmA LEFT (it 4,``0 RIGHT )`]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점 [eqn: rmQ] 전체의 집합을 [eqn: X``]라 하자. (단, [eqn: b` != 0`])

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rmbar AP`// bar BQ`]이므로

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

[eqn: B]

[eqn: A]

[eqn: Q]

[eqn: P]

•

•

[eqn: 6]

[eqn: 6]

[eqn: -6]

[eqn: -6]

[eqn: rm∠AQB = ∠QAP`]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

[eqn: B]

[eqn: A]

[eqn: Q]

[eqn: P]

•

•

[eqn: 6]

[eqn: 6]

[eqn: -6]

[eqn: -6]

[eqn: rm∠OQB = ∠QPA`]

따라서 [eqn: rm∠QAP = ∠QPA`]이므로

삼각형[eqn: rmQAP`]는 [eqn: rmbar QA = bar QP`]인 이등변삼각형이고,

[eqn: rmbar OQ + bar QB = bar OQ + bar QP` = bar OP = 6`]

따라서, 점[eqn: rmQ`]는 두 점[eqn: rmO,Q`]에 이르는 거리의 합이 [eqn: 6`]으로 일정하다. 점[eqn: rmQ`]의 좌표를 [eqn: (x,y)`]라 하면

[eqn: {rm {bar{OQ}} + {bar{QA}} }= sqrt {x ^{2} +y ^{2}} + sqrt {(x-4) ^{2} +y ^{2}} =6`]

[eqn: root{(x-4)^2 + y^2 } = 6- root{ x^2 + y^2 }`]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: x^2 - 8x+16+y^2 = 36 - 12root{ x^2 + y^2 } + x^2 + y^2`]

[eqn: 3root{ x^2 + y^2 } = 2x+5`]

양변을 제곱하면

[eqn: 9x^2 + 9y^2 = 4x^2 + 20x+25`],  [eqn: 5(x-2)^2 + 9y^2 = 45`]

따라서, 점 [eqn: rmQ``]의 차쥐는

[eqn: {(x-2)^2 } over 9 + y^2 over 5 =1`] (단, [eqn: y ne 0`])이므로

[eqn: X ⊂`left{ (x,y) left|`{(x-2)^2 } over 9 + y^2 over 5 = 1`right}`]

(가) 점 [eqn: rmQ`]는 선분 [eqn: rmOP] 위에 있다.

(나) 점 [eqn: rmQ`]를 지나고 직선 [eqn: rmAP`]에 평행한 직선이 [eqn: ANGLE rmOQA`]를 이등분한다.

집합의 포함관계로 옳은 것은?

① [eqn: X`` SUBSET LEFT { (x,```y)` LEFT | ` {(x-1) _{`} ^{2}} over {9} - {(y-1) _{`} ^{2}} over {5} =1 RIGHT } RIGHT .]

② [eqn: X`` SUBSET LEFT { (x,```y)` LEFT | ` {(x-2) _{`} ^{2}} over {9} + {(y-1) _{`} ^{2}} over {5} =1 RIGHT } RIGHT .]

③ [eqn: X`` SUBSET LEFT { (x,```y)` LEFT | ` {(x-1) _{`} ^{2}} over {9} - {y _{`} ^{2}} over {5} =1 RIGHT } RIGHT .]

④ [eqn: X`` SUBSET LEFT { (x,``y)` LEFT | ` {(x-1) _{`} ^{2}} over {9} + {y _{`} ^{2}} over {5} =1 RIGHT } RIGHT .]

⑤ [eqn: X`` SUBSET LEFT { (x,``y)` LEFT | ` {(x-2) _{`} ^{2}} over {9} + {y _{`} ^{2}} over {5} =1 RIGHT } RIGHT .]

[출처]	2011 모의_공공 사관학교 고3 07월 19

좌표평면 위를 움직이는 두 점

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: (1, `` sqrt { 3})+ LEFT ( 1 over2 ( sin theta +cos theta) , `` { sqrt { 3} } over { 2}(sin theta -cos theta) RIGHT )]

[eqn: X = 1 over2 (sin theta +cos theta)], [eqn: Y = sqrt { 3} over2 (sin theta -cos theta)`]라 하면

[eqn: 3X^2 + Y^2 = 3 over4 ( 2 sin^2 theta + 2 cos^2 theta) = 3 over2]

[eqn: therefore~ {X ^{2}} over {{1} over {2}} + {Y ^{2}} over {{3} over {2}} =1]	⋯⋯ ㉠

따라서 [eqn: (X , ``Y)]는 타원위에 존재한다.

ㄱ. 중점 [eqn: rmM]은 ㉠을 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: 1]만큼 [eqn: y]축 방향으로 [eqn: sqrt { 3}]만큼 평행이동시킨 것이므로 중점 [eqn: rmM]이 그리는 도형은 타원이다. (참)

ㄴ. ㄱ에서 점 [eqn: rm C (1, ``0)]은 장축의 연장선 위에 존재하므로 점 [eqn: rm C]와 [eqn: rm D]는 타원의 장축의 양 끝점이다.
∴ [eqn: rm barCD][eqn: =sqrt { 3}+ sqrt { { 3} over { 2} }], [eqn: rm bar CE = sqrt { 3}- sqrt { 3 over2}]
∴ [eqn: rm barCD +barCE][eqn: = 2 sqrt { 3}]

ㄷ. [eqn: rmangle DOC= theta_1], [eqn: rmangle EOC = theta_2]라 하면 [eqn: rmbarOC =1]이므로
[eqn: tan theta_1 =][eqn: rm barCD][eqn: =sqrt { 3}+ sqrt { { 3} over { 2} }]
[eqn: tan theta_2][eqn: =][eqn: rm bar CE = sqrt { 3}- sqrt { 3 over2}]
[eqn: alpha = theta_1 - theta_2]이므로
[eqn: tan alpha][eqn: = tan (theta _1 + theta_2 )][eqn: ={ tan theta_1 - tan theta_2 } over { 1+tan theta_1 tan theta_2}][eqn: = { 2 sqrt { 3 over2} } over { 1+ LEFT ( 3 - 3 over2 RIGHT ) }]

[eqn: = 2 over5 sqrt { 6}]

[eqn: rm A LEFT ( 2+sin` theta ,`` 2 sqrt {3} + rm sqrt {3} sin` theta RIGHT )], [eqn: rm B LEFT (cos` theta ,`` rm - sqrt {3} cos `theta RIGHT ) `]

와 점 [eqn: rmC LEFT ( 1, ``0 RIGHT ) `]에 대하여 선분 [eqn: rmAB`]의 중점을 [eqn: rmM`]이라 하고, [eqn: rm bar{CM} `]이 최대일 때 점 [eqn: rmM`]을 [eqn: rmD], [eqn: rm barCM`]이 최소일 때 점 [eqn: rmM`]을 [eqn: rmE`]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: 0≤ theta＜2pi`])

	<보 기>
ㄱ. 점 [eqn: rmM`]이 그리는 도형은 타원이다. ㄴ. [eqn: rm {bar{CD}} + {bar{CE}} =2 sqrt {3}] ㄷ. [eqn: rm angleDOE= alpha`]라 하면 [eqn: tanalpha= 2over5 sqrt6`]이다. (단,[eqn: rmO`]는 원점이다.)

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

07 기하	02 타원
03 기타
01 교과외1 (삼각함수의 덧셈정리)

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 17

그림과 같이 한 초점이 [eqn: rmF LEFT ( itc,`` 0 RIGHT )`]인 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1`]과 두 점 [eqn: rm A LEFT (ita,`` 0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( it0,`` b RIGHT )`]가 있다. 점 [eqn: rmB]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmF]를 지나는 원이 [eqn: y`]축과 만나는 점 중에서 [eqn: y`]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmC]라 할 때, 직선 [eqn: rmCF]와 직선 [eqn: rmCA]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: tan` LEFT ( ANGLE rm CFB RIGHT ) = {1} over {4}`]일 때, [eqn: tan` theta `]의 값은?
(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]는 양수이다.)

[정답] ①

[해설]

[eqn: bar{rmBC}=bar{rmBF}][eqn: =a]이므로    [eqn: rm C LEFT ( it 0,~a+b RIGHT )]
[eqn: ANGLE rm CFB= theta']이라고 하면    [eqn: angle rmBCF = it theta']

삼각형 [eqn: rmCOF]에서
[eqn: tan` theta prime = {sqrt {a ^{2} -b ^{2}}} over {a+b}]
이므로    [eqn: {sqrt {a ^{2} -b ^{2}}} over {a+b} = {1} over {4}]

[eqn: {a ^{2} -b ^{2}} over {LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2}} = {1} over {16}],    [eqn: {LEFT ( a+b RIGHT ) LEFT ( a-b RIGHT )} over {LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2}} = {1} over {16}]
[eqn: {a-b} over {a+b} = {1} over {16}],    [eqn: 16a-16b=a+b]

[eqn: THEREFORE `b= {15} over {17} a]
[eqn: tan LEFT ( theta + theta prime RIGHT ) = {tan` theta +tan theta prime `} over {1-tan theta `tan theta prime }]에서
[eqn: tan LEFT ( theta + theta prime RIGHT ) = {tan` theta + {1} over {4} `} over {1- {1} over {4} `tan theta }]

[eqn: = {4tan theta +1} over {4-tan theta }]            …… ㉠
삼각형 [eqn: rmCOA]에서
[eqn: tan LEFT ( theta + theta prime RIGHT ) = {a`} over {a+b} = {a} over {a+ {15} over {17} a}]

[eqn: = {17} over {32}]                   …… ㉡
㉠, ㉡에서    [eqn: {4tan theta +1} over {4-tan theta } = {17} over {32}]
[eqn: 145tan theta =36][eqn: THEREFORE `tan` theta = {36} over {145}]

① [eqn: {36} over {145}]	② [eqn: {41} over {145}]	③ [eqn: {46} over {145}]

④ [eqn: {51} over {145}]	⑤ [eqn: {56} over {145}]

07 기하	03 쌍곡선
02 쌍곡선의 정의 활용
01 정의 활용1 (쌍곡선의 두 정보)

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 09월 19

두 초점이 [eqn: rm F,````F prime]인 쌍곡선 [eqn: x^2 - y^2 over 3 =1] 위의 점 [eqn: rmP]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

쌍곡선 [eqn: x^2 - y^2 over 3 =1]의 두 초점의 좌표는 [eqn: rm F(2,````0),````F prime (-2,````0)]이므로

[eqn: rm bar{F F prime}`=`2-(-2)`=`4]

삼각형 [eqn: rm PF primeF]에서 [eqn: bar{rmPF'} SUCC bar{rmPF}]이므로 이 삼각형이 이등변삼각형인 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: bar{rmPF'} = bar{rmFF'}]일 때
쌍곡선의 정의에 의하여 [eqn: bar{rmPF'} - bar{rmPF}=2]이고 [eqn: bar{rmFF'}=4]이므로
[eqn: bar{rmPF}=bar{rmPF'}-2=bar{rmFF'}-2=4-2=2]
점 [eqn: rmF']에서 선분 [eqn: rmPF]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면
[eqn: bar{rmFH}={bar{rmPF}}over{2}={2}over{2}=1],
[eqn: bar{rmF'H}=sqrt{ bar{rmFF'}` ^{2}-bar{rmFH}}^{2}=sqrt{4^{2}-1^{2}}=sqrt{15}]
삼각형 [eqn: rm PF primeF]의 넓이 [eqn: a]는
[eqn: a={1}over{2} times bar{rmPF} times bar{rmF'H}={1}over{2}times2times sqrt{15}=sqrt{15}]

(ⅱ) [eqn: bar{rmPF}=bar{rmFF'}]일 때
쌍곡선의 정의에 의하여 [eqn: bar{rmPF'}-bar{rmPF}=2]이고 [eqn: bar{rmFF'}=4]이므로
[eqn: bar{rmPF'}=bar{rmPF}+2=bar{rmFF'}+2=4+2=6]
점 [eqn: rmF]에서 선분 [eqn: rmPF']에 내린 수선의 발을 [eqn: rmK]라 하면
[eqn: bar{rmF'K}={bar{rmPF'}} over{2}={6}over{2}=3],

[eqn: bar{rmFK}= sqrt { bar {rmFF'}` ^{2}-bar{rmF'K}}^{2}}=sqrt{4^{2}-3^{2}}=sqrt{7}]
삼각형 [eqn: rmPF'F]의 넓이 [eqn: a]는

[eqn: a={1}over{2} times bar{rmPF'} times bar{rmFK}={1}over{2}times6 times sqrt{7}=3sqrt{7}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 [eqn: a]의 값의 곱은

[eqn: sqrt{15} times 3sqrt{7}=3sqrt{{105}]

(가) 점 [eqn: rmP]는 제 [eqn: 1]사분면에 있다.

(나) 삼각형 [eqn: rm PF primeF]가 이등변삼각형이다.

삼각형 [eqn: rm PF primeF]의 넓이를 [eqn: a`]라 할 때, 모든 [eqn: a]의 값의 곱은?

① [eqn: 3 root 77]	② [eqn: 6root21]	③ [eqn: 9root10]

④ [eqn: 21root2]	⑤ [eqn: 3 root 105]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 29

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rmF,~F']인 쌍곡선 [eqn: x ^{2} - {y ^{2}} over {16}][eqn: =1]이 있다. 쌍곡선 위에 있고 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]에 대하여 점 [eqn: rmF]에서 선분 [eqn: rmPF']에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 하고, [eqn: ANGLE rm FQP]의 이등분선이 선분 [eqn: rmPF]와 만나는 점을 [eqn: rmR]라 하자. [eqn: 4` {bar{rm PR}}][eqn: =3` {bar{rm RF}}]일 때, 삼각형 [eqn: rmPF'F]의 넓이를 구하시오.
(단, 점 [eqn: rmF]의 [eqn: x]좌표는 양수이고, [eqn: ANGLE rm F'PF<90°]이다.)

[정답] [eqn: 32]

[해설]

직선 [eqn: {rmQ}it{rmR}it]가 [eqn: angle`{rmF}it{rmQ}it{rmP}it]를 이등분하므로 [eqn: bar{{rmP}it{rmQ}it}``:``bar{{rmQ}it{rmF}it}``=``bar{{rmP}it{rmR}it}``:``bar`{{rmR}it{rmF}it}]

이때 [eqn: 4bar{{rmP}it{rmR}it}=3bar{{rmR}it{rmF}it}]이므로 [eqn: bar{{rmP}it{rmQ}it}``:``bar{{rmQ}it{rmF}it}`=``3``:``4]

[eqn: bar{{rmP}it{rmQ}it}`=3k` left ( k>0 right )]이라 하면 [eqn: bar{{rmQ}it{rmF}it}`=4k]이고 [eqn: angle`{rmP}it{rmQ}it{rmF}it`=90°]이므로

삼각형 [eqn: {rmP}it{rmQ}it{rmF}it]에서 [eqn: bar{{rmP}it{rmF}it}=5k]

쌍곡선의 정의에 의하여 [eqn: bar{{rmP}it{rmF}it`'}-bar{{rmP}it{rmF}it}=2]이므로

[eqn: bar{{rmP}it{rmF}it`'}=5k+2], [eqn: bar{{rmQ}it{rmF}it`'}=bar{{rmP}it{rmF}it`'}-bar{{rmP}it{rmQ}it}][eqn: = left ( 5k+2 right ) -3k`=2k+2]

[eqn: rm`{rmF}it left ( sqrt {17} ,~0 right )], [eqn: rm`{rmF}it`' left ( - sqrt {17} ,~0 right )]이므로 직각삼각형 [eqn: ` rm `{rmQ}it{rmF}it'{rmF}it]에서

[eqn: {bar{{rmF}it{rmF}it`'}} ^{2} `={bar{{rmQ}it{rmF}it}} ^{2} +{bar{{rmQ}it{rmF}it`'}} ^{2}], [eqn: left ( 2 sqrt {17} right ) ^{2} = left ( 4k right ) ^{2} + left ( 2k+2 right ) ^{2}]

[eqn: `5k ^{2} +2k-16=0], [eqn: ` LEFT ( 5k-8 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT ) =0], [eqn: k= {8} over {5}][eqn: LEFT ( k>0 RIGHT )]

따라서 삼각형 [eqn: rmPF`'F]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} `times`bar{{rmP}it{rmF}it`'}times`bar{{rmQ}it{rmF}it}= {1} over {2} `times`10`times` {32} over {5} =32]

07 기하	03 쌍곡선
02 쌍곡선의 정의 활용
02 정의 활용2 (쌍곡선의 한 정보)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 28

점근선의 방정식이 [eqn: y= +- {4} over {3} x`]이고 두 초점이 [eqn: rm`F LEFT ( it`c,~0 RIGHT )], [eqn: rm`F' LEFT ( it`-c,~0 RIGHT )][eqn: LEFT ( c>0 RIGHT )]인 쌍곡선이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 12]

[해설]

쌍곡선의 방정식을 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1][eqn: LEFT ( a>0,~b>0 RIGHT )]으로 놓으면 점근선의 방정식이 [eqn: y= +- {b} over {a} x]이므로 [eqn: {b} over {a} = {4} over {3}]에서

[eqn: b= {4} over {3} a]

또 조건 (가)에서 [eqn: rm` {bar{PF'}} > {bar{PF}}]이고 점 [eqn: rm`P]가 쌍곡선 위의 점이므로 쌍곡선의 정의에 의하여

[eqn: rm` {bar{PF'}} - {bar{PF}} =it2a]

[eqn: rm` {bar{PF}} = {bar{PF'}} -it2a=30-2a]

이때 [eqn: 16 LEQrm` {bar{PF}} LEQ20]이므로 [eqn: 16 LEQ 30-2a LEQ 20]에서

[eqn: 5 LEQa LEQ7]

한편, [eqn: c ^{2} =a ^{2} +b ^{2} =a ^{2} + LEFT ( {4} over {3} a RIGHT ) ^{2} = {25} over {9} a ^{2}]이므로 [eqn: rm`F LEFT ( {5} over {3}it a,~0 RIGHT )]이고, [eqn: rm`A LEFT ( it`a,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: rm` {bar{AF}} =it` {5} over {3} a-a= {2} over {3} a]

조건 (나)에서 선분 [eqn: rm`AF]의 길이가 자연수이므로 [eqn: {10} over {3} LEQ {2} over {3} a LEQ {14} over {3}]에서

[eqn: {2} over {3} a=4], [eqn: a=6]

따라서 구하는 쌍곡선의 주축의 길이는

[eqn: 2a=2 TIMES6=12]

(가) 쌍곡선 위의 한 점 [eqn: rm`P]에 대하여 [eqn: rm` {bar{PF'}} =30], [eqn: 16 LEQrm {bar{PF}} LEQ20`]이다.

(나) [eqn: x]좌표가 양수인 꼭짓점 [eqn: rm`A]에 대하여 선분 [eqn: rm`AF]의 길이는 자연수이다.

이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 기하 28

두 초점이 [eqn: rm F it LEFT (c,`` 0 RIGHT )], [eqn: rm F it ` prime LEFT ( -c,``0 RIGHT ) ~ LEFT ( c>0 RIGHT )]인 쌍곡선 [eqn: C`]와 [eqn: y]축 위의 점 [eqn: {rm{A}} it]가 있다. 쌍곡선 [eqn: C`]가 선분 [eqn: rm AF it]와 만나는 점을 [eqn: {rm{P}} it], 선분 [eqn: rm AF it `prime]과 만나는 점을 [eqn: rm P it `prime]이라 하자.

[정답] ②

[해설]

선분 [eqn: rmPP`prime]의 중점을 [eqn: rmM`]이라 하면 [eqn: rm bar AP `:` bar PP' `=` 5`:`6]에서

[eqn: rmbarAP`:`bar{PM}=5`:`3`]

삼각형 [eqn: rmAMP`]에서 [eqn: rm{barAM}over{barPM}= 4over3 `]이므로 직선 [eqn: rmAF`]의 기울기는 [eqn: - 4over3 `]이고, 직선 [eqn: rmAF`prime`]의 기울기는 [eqn: 4over3 `]이다.

쌍곡선의 방정식을 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}-{y^{2}} over {b^{2}}=1 ``](단, [eqn: a>0], [eqn: b>0])라 하면 점근선의 기울기가 [eqn: +- 4over3 `]이므로

[eqn: b overa = 4over3],    [eqn: b= 4over3 a]

[eqn: c^2 =a^2 +b^2 =a^2 +left(4over3 a right)^2 = 25over9 a^2]에서    [eqn: c= 5over3 a]

쌍곡선의 정의에 의하여 [eqn: rmbar{PF`prime}-barPF =it2a`]이므로

[eqn: rmbar{PF`prime}=it2a+1]

삼각형 [eqn: rmPFF`prime`]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: left(2a+1right)^2 = left(2c right)^2 +1^2 -2cdot2c cdot1 cos`left(angle rmPFF prime right)]

[eqn: c= 5over3 a], [eqn: cos`left(angle rmPFF`prime right)= 3over5 `]이므로

[eqn: 4a^2 +4a+1= 100over9 a^2 +1 -4a]

[eqn: 8over9 a left(8a-9right)=0]

[eqn: a>0`]이므로    [eqn: a= 9over8]

따라서 쌍곡선 [eqn: C`]의 주축의 길이는 [eqn: 9 over4 `]이다.

[다른 풀이]

그림과 같이 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it], 선분 [eqn: {rm{PP}} it `prime]이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmM]이라 하자.

[eqn: overline{{rm{AP}} it }: overline{{rm{PP}} it `prime }=5: 6]이고 점 [eqn: {rm{M}} it]은 선분 [eqn: {rm{PP}} it `prime]의 중점이므로

[eqn: overline{{rm{AP}} it }: overline{{rm{MP}} it }=5: 3]

직각삼각형 [eqn: {rm{AMP}} it]에서 [eqn: { overline{{rm{AM}} it }} over { overline{{rm{MP}} it }}={4} over {3}]이므로 직선 [eqn: {rm{AF}} it]의 기울기는 [eqn: -{4} over {3}]이고 직선 [eqn: {rm{AF}} it `prime]의 기울기는 [eqn: {4} over {3}]이다.

쌍곡선 [eqn: C]의 방정식을

[eqn: {x^{2}} over {a^{2}}-{y^{2}} over {b^{2}}=1 ``](단, [eqn: a>0], [eqn: b>0])

으로 놓으면 점근선의 기울기가 [eqn: +- 4over3 `]이므로

[eqn: {b} over {a}={4} over {3}]

[eqn: a=3 k], [eqn: b=4 k] (단, [eqn: k>0)]

이라 하면 쌍곡선 [eqn: C]의 방정식은

[eqn: {x^{2}} over {9 k^{2}}-{y^{2}} over {16 k^{2}}=1]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이때 점 [eqn: {rm{F}} it]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: sqrt{9 k^{2}+16 k^{2}}= sqrt{25 k^{2}}=5 k]

이고, 직각삼각형 [eqn: {rm{PHF}} it]에서 [eqn: overline{{rm{PF}} it }=1]이므로

[eqn: overline{{rm{HF}} it }={3} over {5}], [eqn: overline{{rm{PH}} it }={4} over {5}]

따라서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 좌표는    [eqn: {rm{P}} it left(5 k-{3} over {5},`` {4} over {5} right)]

점 [eqn: rmP`]가 쌍곡선 [eqn: C] 위의 점이므로 ㉠에 대입하면

[eqn: { left(5 k-{3} over {5} right)^{2}} over {9 k^{2}}-{ left({4} over {5} right)^{2}} over {16 k^{2}}=1]

[eqn: 16 k^{2}-6 k=0],    [eqn: 2 k(8 k-3)=0]

[eqn: k>0]이므로    [eqn: k={3} over {8}]

따라서 구하는 쌍곡선 [eqn: C]의 주축의 길이는

[eqn: 2 a=6 k={9} over {4}]

직선 [eqn: {rm{AF}} it]는 쌍곡선 [eqn: C`]의 한 점근선과 평행하고

[eqn: {bar{rm AP it}} `:` {bar{rm PP it `prime }} =5`:`6], [eqn: {bar{rm PF it}} =1]

일 때, 쌍곡선 [eqn: C`]의 주축의 길이는?

① [eqn: {13} over {6}]	② [eqn: {9} over {4}]	③ [eqn: {7} over {3}]

④ [eqn: {29} over {12}]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

07 기하	03 쌍곡선
02 쌍곡선의 정의 활용
04 정의 활용4 (둘레의 길이 관련)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 29

두 점 [eqn: {rm{F}} it], [eqn: {rm{F}} it `prime]을 초점으로 하는 쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {4}-{y^{2}} over {32}=1] 위의 점 [eqn: {rm{A}} it]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 128]

[해설]

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {4}-{y^{2}} over {32}=1]의 두 초점의 좌표를 [eqn: {rm{F}} it (6,``0)], [eqn: {rm{F}} it `prime (-6,``0)]이라 하자.

점 [eqn: {rm{F}} it `prime]이 선분 [eqn: {rm{AF}} it]의 수직이등분선 위의 점이므로

두 직각삼각형 [eqn: {rm{AF}} it `prime {rm{M}} it], [eqn: {rm{FF}} it `prime {rm{M}} it]이 합동이다.

그러므로 [eqn: overline{{rm{AF}} it `prime }= overline{{rm{FF}} it `prime }=12]

점 [eqn: {rm{A}} it]가 쌍곡선 위의 점이므로

[eqn: overline{{rm{AF}} it `prime }- overline{{rm{AF}} it }=4]에서 [eqn: overline{{rm{AF}} it }=8]

점 [eqn: {rm{M}} it]은 선분 [eqn: {rm{AF}} it]의 중점이므로

[eqn: overline{{rm{AM}} it }=4]

직각삼각형 [eqn: {rm{AF}} it `prime {rm{M}} it]에서 피타고라스 정리에 의하여 [eqn: overline{{rm{MF}} it `prime }= sqrt{12^{2}-4^{2}}=8 sqrt{2}]

점 [eqn: {rm{B}} it]가 쌍곡선 위의 점이므로

[eqn: overline{{rm{BF}} it ^{2}}= overline{{rm{BF}} it `prime }-4]이고

[eqn: overline{{rm{BM}} it }=8 sqrt{2}- overline{{rm{BF}} it `prime }]이므로

삼각형 [eqn: {rm{BFM}} it]의 둘레의 길이는

[eqn: overline{{rm{BF}} it }+ overline{{rm{FM}} it }+ overline{{rm{BM}} it ^{2}}][eqn: = left( overline{{rm{BF}} it `prime }-4 right)+4+ left(8 sqrt{2}- overline{{rm{BF}} it `prime } right)]
[eqn: =8 sqrt{2}]

따라서 [eqn: k=8 sqrt{2}]이므로 [eqn: k^{2}=128]

(가) [eqn: overline{{rm{AF}} it }< overline{{rm{AF}} it `prime }]

(나) 선분 [eqn: {rm{AF}} it]의 수직이등분선은 점 [eqn: {rm{F}} it `prime]을 지난다.

선분 [eqn: {rm{AF}} it]의 중점 [eqn: {rm{M}} it]에 대하여 직선 [eqn: {rm{MF}} it `prime]과 쌍곡선의 교점 중 점 [eqn: {rm{A}} it]에 가까운 점을 [eqn: {rm{B}} it]라 할 때, 삼각형 [eqn: {rm{BFM}} it]의 둘레의 길이는 [eqn: k]이다. [eqn: k^{2}]의 값을 구하시오.

07 기하	03 쌍곡선
02 쌍곡선의 정의 활용
05 정의 활용5 (원과 쌍곡선)

[출처]	2006 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 9

쌍곡선 [eqn: x ^2over 9 - y ^2 over 3 = 1`]의 두 초점 [eqn: LEFT ( 2 sqrt {3} ,`` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -2 sqrt {3} ,`` 0 RIGHT ) `]을 각각 [eqn: rmF], [eqn: rmF'`]이라 하자. 이 쌍곡선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP LEFT ( itx,``y RIGHT )][eqn: LEFT ( x＞0 RIGHT ) `]에 대하여 선분 [eqn: rmF prime P] 위의 점 [eqn: rmQ`]가 [eqn: rmbar{FP} = bar{PQ}`]를 만족시킬 때, 점 [eqn: rmQ`]가 나타내는 도형 전체의 길이는?

[정답] ③

[해설]

다음 그림에서 쌍곡선의 정의에 의하여

[eqn: rm {bar{PF prime }} - {bar{PF}} =6], [eqn: rm {bar{PF}} = {bar{PQ}}]

이므로 [eqn: rm {bar{PF prime }} - {bar{PQ}} =6]

F

F'

P

O

Q

P

따라서 점 [eqn: rmQ`]는 점 [eqn: rmF prime `]으로부터 거리가

항상 [eqn: 6`]인 점이므로 점 [eqn: rmF prime `]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 6`]인 원위의 점이다. 한편 주어진 쌍곡선의 점근선의 방정식이

[eqn: y= ±{ root3} over {3 }x] 이므로 점근선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 각각 [eqn: { pi} over {6 } ,~{ 5pi} over {6 }] 이고 이 때 [eqn: rmANGLE PF prime F= theta] 라 하면 [eqn: x>0]일 때 [eqn: 0`<` theta `< {pi } over {6}] 이다.

따라서 점 [eqn: rmQ`]가 움직이는 도형의 길이는

중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {3 }] 이고 반지름의 길이가 [eqn: 6`]인 부채꼴의 호의 길이이므로  [eqn: 6× { pi} over {3 } = 2pi]

① [eqn: pi]	② [eqn: sqrt {3`} pi]	③ [eqn: 2 pi]

④ [eqn: 3 pi]	⑤ [eqn: 2 sqrt {3`} pi]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 27

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmF']인 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {18} - {y ^{2}} over {25} =1] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 직선 [eqn: rmFP]와 직선 [eqn: rmF'P]에 동시에 접하고 중심이 [eqn: y]축 위에 있는 원 [eqn: C``]가 있다. 직선 [eqn: rmF'P]와 원 [eqn: C``]의 접점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rm bar{F prime Q} =4 sqrt {2}]일 때, [eqn: rmbar{FP}` ^{2} +bar{F'P}` ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmbar{F'P}<bar{FP}])

[정답] [eqn: 116]

[해설]

원의 중심을 [eqn: rmA` LEFT ( it0,~a RIGHT )]라 하고, 원과 직선 [eqn: rmPF]의 접점을 [eqn: rmR]라 하자.

[eqn: rmbar{PF'}=itp], [eqn: rmbar{PQ}=bar{PR}=itq], [eqn: rmbar{RF}=itr]라 하자.

[eqn: rmbar{F'Q}=5 sqrt {2}]이므로

[eqn: p+q=5 sqrt {2}][eqn: cdotscdots] ㉠

쌍곡선의 주축의 길이가

[eqn: 2times2 sqrt {2} =4 sqrt {2}]

이므로 쌍곡선의 정의에 의해

[eqn: rmbar{PF}-bar{PF'}=itq+r-p=4 sqrt {2}][eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: rmbar{AQ}=bar{AR}], [eqn: rmbar{AF}=bar{AF'}]이고 [eqn: rmangleAQF'=angleARF=90DEG]이므로 두 삼각형 [eqn: rmAQF']과 직각삼각형 [eqn: rmARF]는 서로 합동이다.

따라서 [eqn: rmbar{RF}=bar{QF'}]이므로

[eqn: r=5 sqrt {2}]	[eqn: cdotscdots] ㉢

㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: p-q= sqrt {2}]	[eqn: cdotscdots] ㉣

㉠, ㉣을 연립하면

[eqn: p=3 sqrt {2}], [eqn: q=2 sqrt {2}]

따라서

[eqn: rm {bar{FP}} ` ^{2} + {bar{F prime P}} ` ^{2}][eqn: =p ^{2} + LEFT ( q+r RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = LEFT ( 3 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 7 sqrt {2} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =18+98=116]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 07월 28

그림과 같이 두 점 [eqn: {rmF}{{from^2019^07^인천교육청고3가^중}}], [eqn: rmF prime]을 초점으로 하는 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {16} =1]의 제[eqn: 1]사분면 위의 점을 [eqn: rmP]라 하자. 삼각형 [eqn: rmPF primeF]에 내접하는 원의 반지름의 길이가 [eqn: 3]일 때, 이 원의 중심을 [eqn: rm Q]라 하자. 원점 [eqn: rmO]에 대하여 [eqn: bar{rmOQ} ^2]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rmF]의 [eqn: x]좌표는 양수이다.)

[정답] [eqn: bold { 18 }]

[해설]

주어진 쌍곡선의 두 초점 [eqn: rmF'], [eqn: rmF]의 좌표는 [eqn: rmF' LEFT (it -5 ,```` 0 RIGHT )], [eqn: rmF LEFT (it 5 ,```` 0 RIGHT )]이다.

그림과 같이 삼각형 [eqn: rm PF prime F]에 내접하는 원과 삼각형의 세 변의 접점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C]라 하자.

[eqn: rm {bar{AF prime }} it = rm {bar{F prime B}} = it p it], [eqn: rm {bar{BF}} it = rm {bar{F C}} = it q it]라 하면

[eqn: rm {bar{PF prime }} - {bar{PF}} = it p-q=6], [eqn: rm {bar{F prime B}} + {bar{BF}} = it p+q=10]

[eqn: p=8]이므로 점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 3 ,```` 0 RIGHT )]이다.

삼각형 [eqn: rm PF prime F]에 내접하는 원의 중심 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 3 ,```` 3 RIGHT )]이다.

따라서 [eqn: bar{rmOQ} ` ^2 =18]

07 기하	03 쌍곡선
02 쌍곡선의 정의 활용
07 정의 활용7 (타원과 쌍곡선)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 29

두 초점이 [eqn: rmF_1 LEFT ( itc,``0 RIGHT )], [eqn: rm F _{2} LEFT ( it -c,``0 RIGHT )``][eqn: left(c>0right)`]인 타원이 [eqn: x`]축과 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 3,``0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( -3,``0 RIGHT ) `]에서 만난다. 선분 [eqn: rmBO`]가 주축이고 점 [eqn: rmF_1`]이 한 초점인 쌍곡선의 초점 중 [eqn: rmF_1`]이 아닌 점을 [eqn: rmF _{3} `]이라 하자. 쌍곡선이 타원과 제[eqn: 1`]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmPF _{3} F _{2} `]의 둘레의 길이를 구하시오. (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.)

[정답] [eqn: 12]

[해설]

점 [eqn: rmP`]에서 타원의 두 초점 [eqn: rmF_1], [eqn: rmF_2 `]까지의 거리의 합은 장축인 선분 [eqn: rmAB`]의 길이와 같다.

즉 [eqn: rm {bar{PF _{2}}} + rm {bar{PF _{1}}} =6][eqn: cdotscdots] ㉠

점 [eqn: rmP`]에서 쌍곡선의 두 초점 [eqn: rmF_1], [eqn: rmF_3 `]까지의 거리의 차는 주축인 선분 [eqn: rmBO`]의 길이와 같다.

즉 [eqn: rm {bar{PF _{3}}} - rm {bar{PF _{1}}} =3][eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 더하면

[eqn: rm {bar{PF _{2}}} + rm {bar{PF _{3}}} =9]

쌍곡선의 두 초점이 [eqn: rmF_3], [eqn: rmF_1`]이므로
[eqn: bar{rmF_3 B][eqn: =bar{ rmOF_1}=c]
[eqn: bar{rm BF_2 }][eqn: = bar{rm BO}-bar{rmF_2 O}][eqn: =3-c]

그러므로 [eqn: rm {bar{F _{3} F _{2}}} =bar{rmF_3 B }+ bar{rm BF_2 } =3]

따라서 삼각형 [eqn: rmPF _{3} F _{2} `]의 둘레의 길이는

[eqn: rm {bar{PF _{2}}} + rm {bar{PF _{3}}} + rm {bar{F _{3} F _{2}}} =12]

07 기하	03 쌍곡선
02 쌍곡선의 정의 활용
08 정의 활용8 (대칭성)

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 06월 19

그림과 같이 초점이 각각 [eqn: rmF,````F `{prime }]과 [eqn: rmG,````G `{prime }]이고 주축의 길이가 [eqn: 2,] 중심이 원점 [eqn: rmO]인 두 쌍곡선이 제 [eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP], 제 [eqn: 3]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rm Q]라 하자. [eqn: rmbar{PG} TIMES bar{QG} =8,`` bar{PF} TIMES bar{QF} =4`]일 때, 사각형 [eqn: rm PGQF]의 둘레의 길이는? (단, 점 [eqn: rmF]의 [eqn: x]좌표와 점 [eqn: rmG`]의 [eqn: y`]좌표는 양수이다.)

[정답] ④

[해설]

두 쌍곡선은 각각 원점에 대하여 대칭이므로 두 쌍곡선의 교점인 [eqn: rmP,````Q]도 원점에 대하여 대칭이다.

즉, [eqn: rm bar{PG} = bar{QG `{prime }} ,```` bar{PF} = bar{QF `{prime }}]

주어진 두 쌍곡선의 주축의 길이가 모두 [eqn: 2]이므로

(ⅰ) [eqn: bar{rm PG it} =k]라고 하면 쌍곡선의 정의에 의하여
[eqn: rm bar{QG} = bar{QG `{prime }} +2]이므로

[eqn: rmbar{PG} TIMES bar{QG} = bar{QG `{prime }} TIMES bar{QG} = IT k(k+2)=8]

[eqn: k ^{2} +2k-8=0,````(k+4)(k-2)=0]

[eqn: k>0]이므로 [eqn: k=2]

(ⅱ) [eqn: bar{rmPF} =l]이라고 하면 쌍곡선의 정의에 의하여
[eqn: rm bar{QF} = bar{QF ^{prime }} +2]이므로

[eqn: rm bar{PF} TIMES bar{QF} = bar{QF ^{prime }} TIMES bar{QF} = it l(l+2)=4]

[eqn: l ^{2} +2l-4=0]

[eqn: l>0]이므로 [eqn: l= it -1+ sqrt {5``}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 사각형 [eqn: rm PGQF]의 둘레의 길이는

[eqn: rm bar{PG} + bar{QG} + bar{PF} + bar{QF}]

[eqn: = it k+(k+2)+l+(l+2)]

[eqn: =2k+2l+4]

[eqn: =2 TIMES 2+2(-1+ sqrt {5} )+4]

[eqn: =6+2 sqrt {5}]

① [eqn: 6+2 sqrt {2}]	② [eqn: 6+2 sqrt {3}]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 6+2 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 6+2 sqrt {6}]

07 기하	03 쌍곡선
02 쌍곡선의 정의 활용
09 정의 활용9 (Mm)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 06월 18

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: x^2 over 16 - y^2 over 9 = 1`]의 두 초점을 [eqn: {rm F,```` F']이라 하고, 이 쌍곡선 위의 점 [eqn: {rm P `]를 중심으로 하고 선분 [eqn: {rm PF']을 반지름으로 하는 원을 [eqn: C``]라 하자. 원 [eqn: C`] 위를 움직이는 점 [eqn: {rm Q]에 대하여 선분 [eqn: {rm FQ]의 길이의 최댓값이 [eqn: 14]일 때, 원 [eqn: C]의 넓이는? (단, [eqn: rm {bar{PF prime }} < {bar{PF}} it])

[정답] ③

[해설]

그림과 같이 직선 [eqn: {rm FP]가 원 [eqn: C]와 만나는 두 점을 각각 [eqn: {rm A,```` B]라 하면

선분 [eqn: {rm FQ]의 길이의 최댓값은 선분 [eqn: {rm AF]의 길이와 같다.

한편, 쌍곡선의 정의에 의하여

[eqn: {rm BARBF][eqn: {rm = BAR PF - BAR PB][eqn: {rm = BAR PF - BAR PF']
[eqn: = 2 TIMES 4][eqn: = 8]

이므로 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

[eqn: {rm BAR AF][eqn: {rm = BAR AP + BAR PB + BAR BF]
[eqn: = 2r + 8]
[eqn: = 14]

따라서 [eqn: r=3]이므로 원 [eqn: C]의 넓이는 [eqn: 9pi]이다.

① [eqn: 7pi]	② [eqn: 8pi]	③ [eqn: 9pi]

④ [eqn: 10pi]	⑤ [eqn: 11pi]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 04월 28

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rm F LEFT ( `itc,``0 RIGHT )], [eqn: rm F prime LEFT ( it -c,`` 0 RIGHT )][eqn: LEFT ( c>0 RIGHT )`]이고, 주축의 길이가 [eqn: 6]인 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]과 점 [eqn: rm A LEFT ( 0,`` 5 RIGHT ) `]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: C ``]가 있다. 제 [eqn: 1]사분면에 있는 쌍곡선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 원 [eqn: C``] 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: {bar{rm PQ it}} + {bar{rm PF' it}}]의 최솟값이 [eqn: 12]일 때, [eqn: a ^{2} +3b ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.)

[정답] [eqn: bold54]

[해설]

쌍곡선의 주축의 길이가 [eqn: 6]이므로 [eqn: a ^{2} =9]

점 [eqn: rmP]가 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] 위의 점이므로

[eqn: {bar{rm PF prime it}} - {bar{rm PF it}} =6]

[eqn: {bar{rm PQ it}} + {bar{rm PF prime it}} = {bar{rm PQ it}} + LEFT ( {bar{rm PF it}} +6 RIGHT )][eqn: = LEFT ( {bar{rm PQ it}} + {bar{rm PF it}} RIGHT ) +6]

[eqn: {bar{rm PQ it}} + {bar{rm PF it}}]는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 선분 [eqn: rmAF] 위의 점일 때 최소이다.

그림과 같이 선분 [eqn: rmAF]가 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]과
원 [eqn: C`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP'], [eqn: rmQ']이라 하면

[eqn: {bar{rm PQ it}} + {bar{rm PF' it}}][eqn: GEQ LEFT ( {bar{rm P prime Q prime it}} + {bar{rm P prime F it}} RIGHT ) +6]
[eqn: = LEFT ( {bar{rm AF it}} -1 RIGHT ) +6]
[eqn: = sqrt {c ^{2} +25} +5]

[eqn: {bar{rm PQ it}} + {bar{rm PF prime it}}]의 최솟값이 [eqn: 12]이므로 [eqn: sqrt {c ^{2} +25} +5=12]

[eqn: c ^{2} =24]

[eqn: THEREFORE][eqn: b ^{2} =c ^{2} -a ^{2} =24-9=15]

따라서 [eqn: a ^{2} +3b ^{2} =9+3times15=54]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 11월 17
[출처]	2021 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능특강 대표 기출 문제
[출처]	2022 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능특강 대표 기출 문제

평면에 한 변의 길이가 [eqn: 10]인 정삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: rm{barPB}-rmbar{PC}=2]를 만족시키는 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmPA]의 길이가 최소일 때, 삼각형 [eqn: rmPBC]의 넓이는?

[정답] ⑤

[해설]

선분 [eqn: {rm{BC}} it]의 중점이 원점 [eqn: {rm{O}} it], 직선 [eqn: {rm{BC}} it]가 [eqn: x]축, 직선 [eqn: {rm{OA}} it]가 [eqn: y]축이고 세 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]의 좌표가 각각 [eqn: {rm{A}} it (0,``5 sqrt{3})], [eqn: {rm{B}} it (-5,``0)], [eqn: {rm{C}} it (5,``0)]인 좌표평면을 생각하자.

[eqn: overline{{rm{PB}} it }- overline{{rm{PC}} it }=2]를 만족시키는 점 [eqn: {rm{P}} it]는 두 점 [eqn: {rm{B}} it (-5,``0)], [eqn: {rm{C}} it (5,``0)]이 초점이고, 주축의 길이가 [eqn: rm 2]인 쌍곡선 위의 점이다.

이 쌍곡선의 방정식을[eqn: {x^{2}} over {a^{2}}-{y^{2}} over {b^{2}}=1(a>0,`` b>0)] 이라 하면

[eqn: 2 a=2], [eqn: a=1]

[eqn: b^{2}=25-a^{2}=24]

즉, 쌍곡선의 방정식은 [eqn: x^{2}-{y^{2}} over {24}=1]이다.

점 [eqn: {rm{P}} it]의 좌표를 [eqn: (p,`` q)]라 하면 [eqn: p^{2}-{q^{2}} over {24}=1]이므로

[eqn: overline{{rm{PA}} it }^{2}][eqn: =p^{2}+(q-5 sqrt{3})^{2}]
[eqn: =1+{q^{2}} over {24}+(q-5 sqrt{3})^{2}]
[eqn: ={25} over {24} left(q-{24 sqrt{3}} over {5} right)^{2}+4]

따라서 [eqn: q={24 sqrt{3}} over {5}]일 때 선분 [eqn: {rm{PA}} it]의 길이가 최소이고, 이때 삼각형 [eqn: {rm{PBC}} it]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times 10 times {24 sqrt{3}} over {5}=24 sqrt{3}]

① [eqn: 20 sqrt { 3}]	② [eqn: 21 sqrt { 3}]	③ [eqn: 22 sqrt { 3}]

④ [eqn: 23 sqrt { 3}]	⑤ [eqn: 24 sqrt { 3}]

07 기하	03 쌍곡선
02 쌍곡선의 정의 활용
11 자취의 방정식

[출처]	2005 모의_공공 사관학교 고3 07월 18

쌍곡선 [eqn: 4x^{ 2 } - 9y^{ 2 } =36 `]이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]라 하고, 직선 [eqn: x=t] (단, [eqn: t>3]) 가 이 쌍곡선과 만나는 점을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD`]라 하자. [eqn: t`]의 값이 변함에 따라 두 직선 [eqn: rmAC`]와 [eqn: rmBD`]의 교점 [eqn: rmP`]는 곡선을 그린다. 이 때, 이 곡선의 두 초점 사이의 거리는?

[정답] ②

[해설]

쌍곡선의 꼭짓점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 각각 [eqn: left(3,``0right)], [eqn: left(-3,``0right)]이다. 직선 [eqn: x=t``] ([eqn: t>3``])와 쌍곡선의 교점을 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하면

[eqn: {rmC} LEFT ( itt,`` {sqrt {4t ^{2} -36}} over {3} RIGHT )], [eqn: {rmD} LEFT (itt,`` {sqrt {4t ^{2} -36}} over {3} RIGHT )]

이므로 직선 [eqn: rmAC``]와 직선 [eqn: rmBD``]는 각각

[eqn: y= { 2 sqrt { t^{ 2 } -9 } } over { 3(t+3) } (x+3) ``], [eqn: y=`- {2 sqrt {t ^{2} -9}} over {3(t+3)} (x-3)``]

두 직선의 교점을 [eqn: {rmP}left(itX,``Y right)]라 하면

[eqn: {2 sqrt {t ^{2} -9}} over {3(t+3)} (X+3)=`- {2 sqrt {t ^{2} -9}} over {3(t+3)} (X-3)]

관계로부터

[eqn: X= {9} over {t} `]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: Y=`- {2 sqrt {t ^{2} -9}} over {3(t+3)} (X-3)`]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: { X^{ 2 } } over { 9 } + { Y^{ 2 } } over { 4 } =1]

따라서 두 초점 사이의 거리는 [eqn: 2sqrt5``]이다.

① [eqn: 2`root{3}``]	② [eqn: 2`root{5}``]	③ [eqn: 2root{13}`]

④ [eqn: 2`root{15}`]	⑤ [eqn: 4`root{2}`]

07 기하	03 쌍곡선
03 기타
03 교과외3 (무리함수의 미분가능성)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 10월 20

쌍곡선 [eqn: x ^{`2} -y ^{`2} =1] 위의 점 [eqn: rmP`]와 [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rm A it LEFT ( t,`` 0 RIGHT ) `]이 있다. [eqn: bar{rmAP}`]의 최솟값을 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )`]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: \P`]의 좌표를 [eqn: (x,``y)`]라 할 때

[eqn: rm {bar{AP}} it rm ^{2}][eqn: = it LEFT ( x-t RIGHT ) ^{2} +y ^{2}]
[eqn: = LEFT ( x-t RIGHT ) ^{2} +x ^{2} -1]
[eqn: =2x ^{2} -2tx+t ^{2} -1]
[eqn: =2 LEFT ( x- {t} over {2} RIGHT ) ^{2} + {t ^{2}} over {2} -1`]

[eqn: x ^{2} =y ^{2} +1 GEQ 1`]이므로  [eqn: LEFT | x RIGHT | GEQ 1`]

[eqn: LEFT | x RIGHT | GEQ 1`]이므로 [eqn: t over 2`]의 값에 따라 [eqn: rm {bar{AP}} it rm ^{2} `]의 최솟값이 달라진다.

즉, 각 경우에 따라 [eqn: f(t)`]의 값을 구하면

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {cases{sqrt {{t ^{2}} over {2} -1}&```````` LEFT ( LEFT | t RIGHT | GEQ 2 RIGHT )#LEFT | t+1 RIGHT |&```````` LEFT ( -2<t LEQ 0 RIGHT )#LEFT | t-1 RIGHT |&```````` LEFT ( 0<t<2 RIGHT )}}]

그러므로 [eqn: s=f LEFT ( t RIGHT ) `]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

ㄱ. [eqn: f(t)`]에서 [eqn: t=0`]을 대입하면 [eqn: f(0)=1`](참)

ㄴ. 직선 [eqn: s= {1} over {3} `]과 곡선 [eqn: s=f(t)`]의 교점의 개수는 [eqn: 4`]이다. (참)

ㄷ. [eqn: lim _{t -> -2-} {{f LEFT ( t RIGHT ) -f LEFT ( -2 RIGHT )} over {t- LEFT ( -2 RIGHT )}}][eqn: = lim _{t -> -2-} {{sqrt {{t ^{2}} over {2} -1} -1} over {t+2}}]
[eqn: = lim _{t -> -2-} {{t ^{2} -4} over {LEFT ( t+2 RIGHT ) sqrt {2} ` LEFT ( sqrt {t ^{2} -2} + sqrt {2} RIGHT )}}][eqn: = lim _{t -> -2-} {{t-2} over {sqrt {2} ` LEFT ( sqrt {t ^{2} -2} + sqrt {2} RIGHT )}}][eqn: =it-1]

[eqn: lim _{t -> -2+} {{f LEFT ( t RIGHT ) -f LEFT ( -2 RIGHT )} over {t- LEFT ( -2 RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{t -> -2+} {{LEFT | t+1 RIGHT | -1} over {t+2}}][eqn: = lim _{t -> -2+} {{- LEFT ( t+1 RIGHT ) -1} over {LEFT ( t+2 RIGHT )}}][eqn: =it-1]
따라서 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]는 [eqn: t= it -2`]에서 미분가능하다.
같은 방법을 이용하면 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]는 [eqn: t=2`]에서도 미분가능하다는 사실을 알 수 있다.
그러므로 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]가 미분가능하지 않은 [eqn: t`]의 값은 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1]이므로 그 개수는 [eqn: 3`]이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f( 0 ) =1] ㄴ. 방정식 [eqn: f ( t) = {1} over {3} `]의 실근의 개수는 [eqn: 4`]이다. ㄷ. 함수 [eqn: f ( t ) `]가 미분가능하지 않은 [eqn: t`]의 값의 개수는 [eqn: 5`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

07 기하	04 이차곡선과접선
01 포물선과 접선
02 포물선과 접선2 (접점조건)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 29

두 점 [eqn: {rm{F}} it _{1}(4,``0)], [eqn: {rm{F}} it _{2}(-6,``0)]에 대하여 포물선 [eqn: y^{2}=16 x] 위의 점 중 제 [eqn: rm 1]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{P}} it]가 [eqn: overline{{rm{PF}} it _{2}}- overline{{rm{PF}} it _{1}}=6]을 만족시킨다. 포물선 [eqn: y^{2}=16 x] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: {rm{F}} it _{3}]이라 하면 두 점 [eqn: {rm{F}} it _{1}], [eqn: {rm{F}} it _{3}]을 초점으로 하는 타원의 한 꼭짓점은 선분 [eqn: {rm{PF}} it _{3}] 위에 있다. 이 타원의 장축의 길이가 [eqn: 2 a]일 때, [eqn: a^{2}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 54]

[해설]

[eqn: overline{{rm{PF}} it _{2}}- overline{{rm{PF}} it _{1}}=6]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]는 두 초점이 [eqn: {rm{F}} it _{1}(4,``0)], [eqn: {rm{F}} it _{2}(-6,``0)]이고 주축의 길이가 [eqn: rm 6]인 쌍곡선 위의 점이다. 쌍곡선의 중심의 좌표는 [eqn: (-1,``0)]이므로 쌍곡선의 방정식은

[eqn: {(x+1)^{2}} over {9}-{y^{2}} over {16}=1 ~]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

점 [eqn: {rm{P}} it]는 포물선 [eqn: y^{2}=16 x]와 쌍곡선 ㉠의 교점이므로 [eqn: {(x+1)^{2}} over {9}-{16 x} over {16}=1], [eqn: x^{2}-7 x-8=0], [eqn: (x-8)(x+1)=0], [eqn: x=8] 또는 [eqn: x=-1]

제 [eqn: rm 1]사분면 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]의 좌표는 [eqn: (8,``8 sqrt{2})]이다.

포물선 [eqn: y^{2}=16 x] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에서의 접선의 방정식이

[eqn: 8 sqrt{2} y=8(x+8)], 즉 [eqn: y={ sqrt{2}} over {2}(x+8)]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

이므로 점 [eqn: {rm{F}} it _{3}]의 좌표는 [eqn: (-8,``0)]이다.

두 점 [eqn: {rm{F}} it _{1}(4,``0)], [eqn: {rm{F}} it _{3}(-8,``0)]을 초점으로 하는 타원의 꼭짓점은 [eqn: x]축 또는 직선 [eqn: x=-2] 위에 있다.

이때 선분 [eqn: {rm{PF}} it _{3}] 위에 있는 꼭짓점은 직선 [eqn: x=-2]위에 있으므로 ㉡에 [eqn: x=-2]를 대입하면 [eqn: y=3 sqrt{2}]이 타원의 단축의 길이는 [eqn: 6 sqrt{2}]이고 두 초점 사이의 거리는 [eqn: rm 12]이다.

따라서 [eqn: a^{2}=6^{2}+(3 sqrt{2})^{2}=54]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 29

초점이 [eqn: {rm{F}} it]인 포물선 [eqn: y^{2}=4 p x(p>0)]에 대하여 이 포물선 위의 점 중 제[eqn: rm 1]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{P}} it]에서의 접선이 직선 [eqn: x=-p]와 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하고, 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 지나고 직선 [eqn: x=-p]에 수직인 직선이 포물선과 만나는 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하자.

[정답] [eqn: 21]

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 하면 점 [eqn: {rm{P}} it]의 좌표는 [eqn: (k,`` 2 sqrt{k p})]이다.

직선 [eqn: {rm{QR}} it]는 [eqn: x]축과 평행하고 [eqn: angle {rm{PRQ}} it ={ pi} over {2}]에서
직선 [eqn: {rm{PR}} it]는 [eqn: y]축과 평행하므로 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{R}} it]의 [eqn: x]좌표는

서로 같고 두 점 [eqn: {rm{Q}} it], [eqn: {rm{R}} it]의 [eqn: y]좌표는 서로 같다.

그러므로 두 점 [eqn: {rm{R}} it], [eqn: {rm{Q}} it]의 좌표는

[eqn: {rm{R}} it (k,``-2 sqrt{k p})], [eqn: {rm{Q}} it (-p,``-2 sqrt{k p})]

포물선 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에서의 접선의 방정식은

[eqn: 2 sqrt{k p} y=2 p(x+k)]이고 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 지나므로

[eqn: -4 k p=2 p(-p+k)], [eqn: p=3 k]

[eqn: overline{{rm{QR}} it }=p+k=4 k]에서 [eqn: overline{{rm{RF}} it }= overline{{rm{FP}} it }=4 k]이고

[eqn: overline{{rm{PR}} it }=4 sqrt{k p}=4 sqrt{3} k]이므로

직각삼각형 [eqn: {rm{PQR}} it]에서

[eqn: overline{{rm{PQ}} it }`^{2}=(4 k)^{2}+(4 sqrt{3} k)^{2}=64 k^{2}]

[eqn: overline{{rm{PQ}} it }=8 k]

사각형 [eqn: {rm{PQRF}} it]의 둘레의 길이는

[eqn: overline{{rm{PQ}} it }+ overline{{rm{QR}} it }+ overline{{rm{RF}} it }+ overline{{rm{FP}} it }=8 k+4 k+4 k+4 k=140], [eqn: ~ k=7]

따라서 [eqn: p=3 k=21]

[eqn: angle {rm{PRQ}} it ={ pi} over {2}]일 때, 사각형 [eqn: {rm{PQRF}} it]의 둘레의 길이가 [eqn: rm 140]이

되도록 하는 상수 [eqn: p]의 값을 구하시오.

07 기하	04 이차곡선과접선
01 포물선과 접선
04 포물선과 접선4 (기울기조건)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 07월 28

그림과 같이 초점이 [eqn: rm F`]인 포물선 [eqn: y ^{2} =12x`]가 있다. 포물선 위에 있고 제 [eqn: 1`]사분면에 있는 점 [eqn: rmA`]에서의 접선과 포물선의 준선이 만나는 점을 [eqn: rmB`]라 하자. [eqn: bar{rm AB it} =2 bar{rm AF it}`]일 때, [eqn: bar{rm AB it} TIMES bar{rm AF it}`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold{32]

[해설]

점 [eqn: rmA`]의 좌표를 [eqn: LEFT ( x_1 ,~ y_1 RIGHT )`], 점 [eqn: rmA`]에서 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자.

[eqn: bar{ rm AB} = 2bar{ rm AF}`], [eqn: bar{ rm AF} = bar{ rm AH}`]이므로  [eqn: bar{rm AH}`: bar{rm AB}=1 : 2]

점 [eqn: rmA`]에서의 접선의 기울기는  [eqn: bar{rmBH} over bar{rmAH } = root3 over1 = root3]

[eqn: y^2 = 12x`]에서  [eqn: 2y dy over dx = 12]

[eqn: dy overdx = 6 overy`]이므로  [eqn: {6} over {y_1} = sqrt {3}]

그러므로 [eqn: rm A left(1,~2root3 right)`]이다.

[eqn: bar {rm AF}][eqn: =x _{1`}+ 3=4 `], [eqn: bar {rm AB}= 2bar{ rm AF}=8]

따라서 [eqn: bar{ rm AB} times bar{ rm AF}][eqn: = 32]

07 기하	04 이차곡선과접선
01 포물선과 접선
06 포물선과 접선6 (곡선 밖의 점)

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 04월 18

그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2} =16x`]에 대하여 포물선의 준선 위의 한 점 [eqn: rmA`]가 제[eqn: 3`]사분면에 있다. 점 [eqn: rm A]에서 포물선에 그은 기울기가 양수인 접선과 포물선이 만나는 점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmB]에서 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH], 준선과 [eqn: x]축이 만나는 점을 [eqn: rm C]라 하자. [eqn: {bar{rm AC it}} TIMES {bar{rm CH it}} =8]일 때, 삼각형 [eqn: rm ABH]의 넓이는?

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rm A]에서 포물선에 그은 기울기가 양수인 접선과
포물선이 만나는 점을 [eqn: rm B LEFT ( it `x _{1} ,``y _{1} RIGHT ) `]이라 하면

점 [eqn: rm B]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y= {8} over {y _{1}} LEFT ( x+x _{1} RIGHT )]

포물선의 준선의 방정식이 [eqn: x=it-4]이므로
[eqn: rm A it LEFT ( -4,`` {8} over {y _{1}} LEFT ( x _{1} -4 RIGHT ) RIGHT )], [eqn: rm H LEFT ( -4,`` it y _{1} RIGHT )]

점 [eqn: rmA]가 제[eqn: 3]사분면 위의 점이므로 [eqn: {bar{rm AC it}} = {8} over {y _{1}} LEFT ( 4-x _{1} RIGHT )]

[eqn: {bar{rm AC it}} TIMES {bar{rm CH it}} = {8} over {y _{1}} LEFT ( 4-x _{1} RIGHT ) TIMES y _{1} =8]

[eqn: therefore][eqn: x _{1} =3], [eqn: y _{1} =4 sqrt {3}]

[eqn: rm A LEFT ( -4,`- {2 sqrt {3}} over {3} RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( `3,``4 sqrt {3} RIGHT )], [eqn: rm H LEFT ( -4,``4 sqrt {3} RIGHT )]

따라서 삼각형 [eqn: rm ABH]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 7 TIMES {14} over {3} sqrt {3} = {49} over {3} sqrt {3}]

① [eqn: 15 sqrt {3}]	② [eqn: {46} over {3} sqrt {3}]	③ [eqn: {47} over {3} sqrt {3}]

④ [eqn: 16 sqrt {3}]	⑤ [eqn: {49} over {3} sqrt {3}]

07 기하	04 이차곡선과접선
02 타원과 접선
02 타원과 접선2 (접점조건)

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 07월

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rm F], [eqn: rm F prime `]인 타원 [eqn: 3x ^{2} +4y ^{2} =12] 위를 움직이는 제 [eqn: 1`]사분면 위의 점 [eqn: RM P`]에서의 접선 [eqn: l`]이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm Q`], 점 [eqn: rmP`]에서 접선 [eqn: l`]과 수직인 직선을 그어 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm R`]라 하자. 세 삼각형 [eqn: rmPRF], [eqn: rm PF prime R], [eqn: rm PFQ`]의 넓이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 점 [eqn: RM P`]의 [eqn: x`]좌표는?

[정답] ④

[해설]

초점 [eqn: rm F it (1,``0)], [eqn: rm F`' it (-1,``0)], [eqn: rm P it (x _{1} ,~y _{1} )`]에서 접선의 방정식은

[eqn: 3x _{1} x+4y _{1} y=12]

접선의 [eqn: x]절편은 [eqn: {4} over {x _{1}} `], [eqn: rm P it (x _{1} ,~y _{1} )`]에서 접선에 수직인 직선의 방정식은  [eqn: y-y _{1} = {4y _{1}} over {3x _{1}} (x-x _{1} )]

접선에 수직인 직선의 방정식의 [eqn: x]절편은 [eqn: {x _{1}} over {4} `]

세 삼각형의 높이는 모두 같으므로 세 삼각형의 밑변의 길이가 등차수열을 이룬다.

[eqn: rm {bar{RF}} = it 1- {x _{1}} over {4}], [eqn: rm {bar{F'`R}} = it {x _{1}} over {4} +1], [eqn: rm {bar{FQ}} = it {4} over {x _{1}} -1]

[eqn: 2 LEFT ( {x _{1}} over {4} +1 RIGHT ) = LEFT ( 1- {x _{1}} over {4} RIGHT ) + LEFT ( {4} over {x _{1}} -1 RIGHT )]

양변에 [eqn: 4x _{1} `]을 곱하여 정리하면

[eqn: 3x _{1} ^{``2} +8x _{1} -16=(3x _{1} -4)(x _{1} +4)`=0]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: `x _{1} = {4} over {3}]

① [eqn: {13} over {12}]	② [eqn: {7} over {6}]	③ [eqn: {5} over {4}]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {17} over {12}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 28

그림과 같이 두 점 [eqn: {rm F LEFT ( it c ,```` 0 RIGHT ) ,```` rm F' LEFT ( it-c ,```` 0 RIGHT ) ```` LEFT ( c>0 RIGHT )}{{from^2021^09^평가원^중}}]을 초점으로 하는 타원 [eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {12} =1]위의 점 [eqn: rm P LEFT ( 2 ,```` 3 RIGHT )]에서 타원에 접하는 직선을 [eqn: l]이라 하자. 점 [eqn: rmF]를 지나고 [eqn: l]과 평행한 직선이 타원과 만나는 점 중 제[eqn: 2]사분면 위에 있는 점을 [eqn: rmQ]라 하자.

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: rm P LEFT ( 2 ,```` 3 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: {2x} over {16} + {3y} over {12} =1]

[eqn: {x} over {8} + {y} over {4} =1]

그러므로 점 [eqn: rmS]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 8 ,```` 0 RIGHT )]이다.

한편, [eqn: c= sqrt {16-12} =2]이므로 [eqn: rm F LEFT ( 2 ,```` 0 RIGHT ) ,```` rm F' LEFT ( -2 ,```` 0 RIGHT )]

이때, 두 삼각형 [eqn: rmF'FQ ,```` F'SR]는 [eqn: ANGLE rm QF'F= ANGLE rm RF'S]이고 [eqn: {bar{rm FQ}}]□[eqn: {bar{rm SR}}]이므로 닮은 삼각형이다.

한편, [eqn: {bar{rm F'F}} =4 ,```` {bar{rm F'S}} =10]이므로 두 삼각형 [eqn: rmF'FQ ,```` F'SR]의 둘레의 길이의 비는 [eqn: 2 ``:`` 5]

한편, 삼각형 [eqn: RMF'FQ]의 둘레의 길이는 타원의 정의에 의해

[eqn: {bar{rm FQ}} + {bar{rm QF'}} =2 TIMES 4=8]이므로

[eqn: {bar{rm FF prime }} + {bar{rm FQ}} + {bar{rm QF prime }} =4+8=12]

따라서 구하는 삼각형 [eqn: RMSRF']의 둘레의 길이를 [eqn: l]이라 하면

[eqn: 12 ``:`` l = 2 ``:`` 5]이므로 [eqn: l=30]

두 직선 [eqn: rmF'Q]와 [eqn: l]이 만나는 점을 [eqn: rm R], [eqn: l]과 [eqn: x]축이 만나는 점을 [eqn: rmS]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmSRF']의 둘레의 길이는?

① [eqn: 30]	② [eqn: 31]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 34]

07 기하	04 이차곡선과접선
02 타원과 접선
03 타원과 접선3 (기울기조건)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 예비 17

그림과 같이 좌표평면에서 원점 [eqn: {rm{O}} it]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{P}} it `prime]이라 하자. 점 [eqn: {rm{P}} it `prime]을 초점으로 하고, [eqn: x]축 위에 있는 원의 지름을 장축으로 하는 타원에 대하여 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 타원에 그은 접선 [eqn: l]의 기울기가 [eqn: -{3} over {2}]일 때, 직선 [eqn: {rm{OP}} it]의 기울기는?

[정답] ③

[해설]

중심이 [eqn: rm O]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원의 방정식은

[eqn: x^2 +y^2 =1]

원 위의 점 [eqn: rm P]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하면

[eqn: rm P it (t], [eqn: root1-t^2 )], [eqn: rm P' it (t], [eqn: 0)]

따라서, 점 [eqn: rm P']을 초점으로 하고, 원의 지름을 장축으로 하는 타원의 방정식은

[eqn: x ^{2} + {y ^{2}} over {1-t ^{2}} =1]

이때, 점 [eqn: rm P]에서 타원에 그은 접선 [eqn: l]의 기울기가 [eqn: - 3 over 2]이므로 접선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: l：y=- {3} over {2} x+ sqrt {1`․` LEFT ( - {3} over {2} RIGHT ) ^{2} +1-t ^{2}}]

[eqn: =- 3 over 2 x + root{13 over 4 -t^2}]

점 [eqn: rm P it (t], [eqn: root1-t^2 )]이 접선 [eqn: l] 위의 점이므로

[eqn: root 1-t^2 = - 3 over 2 t + root{13 over 4 -t^2}]

[eqn: root1-t^2 + 3 over 2 t = root{13 over 4 -t^2}]

[eqn: (1-t^2 )+ 9 over 4 t^2 +3t root1-t^2 = 13 over 4 -t^2]

[eqn: 4t root1-t^2 =3-3t^2]

[eqn: 16t^2 (1-t^2 )=9(1-t^2 )^2]

[eqn: 25t^4 -34t^2 +9=0]

[eqn: (25t^2 -9)(t^2 -1)=0]

[eqn: t ^{2} = {9} over {25} `( BECAUSE ``t != ±1)]     ∴ [eqn: t= 3 over 5][eqn: ( BECAUSE ``t>0)]

∴ [eqn: rm P left(3 over 5], [eqn: 4 over 5 right)]

따라서, 직선 [eqn: rm OP]의 기울기는

[eqn: {{4} over {5}} over {{3} over {5}} = {4} over {3}]

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: {17} over {12}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

07 기하	04 이차곡선과접선
03 쌍곡선과 접선
03 쌍곡선과 접선3 (기울기조건)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 30

그림과 같이 두 점 [eqn: {rm{F}} it (c,`` 0)], [eqn: {rm{F}} it `prime (-c,`` 0)(c>0)]을 초점으로 하는 쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {10}-{y^{2}} over {a^{2}}=1]이 있다. 쌍곡선 위의 점 중 제[eqn: rm 2]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 삼각형 [eqn: {rm{F}} it `prime {rm{FP}} it]는 넓이가 [eqn: rm 15]이고 [eqn: angle {rm{F}} it `prime {rm{PF}} it ={ pi} over {2}]인 직각삼각형이다. 직선 [eqn: {rm{PF}} it `prime]과 평행하고 쌍곡선에 접하는 두 직선을 각각 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]라 하자. 두 직선 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{Q}} it _{1}], [eqn: {rm{Q}} it _{2}]라 할 때, [eqn: overline{{rm{Q}} it _{1} {rm{Q}} it _{2}}={q} over {p} sqrt{3}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이고, [eqn: a]는 양수이다.)

[정답] [eqn: 13]

[해설]

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {10}-{y^{2}} over {a^{2}}=1]의 주축의 길이가 [eqn: 2 sqrt{10}]이므로

[eqn: overline{{rm{PF}} it }=k]라 하면 [eqn: overline{{rm{PF}} it `prime }=k-2 sqrt{10}]

삼각형 [eqn: {rm{F}} it `prime {rm{FP}} it]는 넓이가 [eqn: rm 15]인 직각삼각형이므로 [eqn: {1} over {2} times k times(k-2 sqrt{10})=15]

[eqn: k^{2}-2 sqrt{10} k-30=(k-3 sqrt{10})(k+ sqrt{10})=0]

[eqn: k=3 sqrt{10}]이므로 [eqn: overline{{rm{PF}} it }=3 sqrt{10}], [eqn: overline{{rm{PF}} it `prime }= sqrt{10}]

직각삼각형 [eqn: {rm{F}} it `prime {rm{FP}} it]에서

[eqn: rm {bar { F prime F }}^2][eqn: =(root10 )^2 +(3 root 10 )^2][eqn: =100]이므로

[eqn: overline{{rm{F}} it `prime {rm{F}} it }=2 c=10], [eqn: c=5]

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {10}-{y^{2}} over {a^{2}}=1]에서

[eqn: 10+a^{2}=c^{2}=25]이므로 [eqn: a^{2}=15]

점 [eqn: {rm{P}} it]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하자.

삼각형 [eqn: {rm{F}} it `prime {rm{FP}} it]와 삼각형 [eqn: {rm{F}} it `prime {rm{PH}} it]는 서로 닮음이므로

직선 [eqn: {rm{PF}} it `prime]의 기울기는

[eqn: { overline{{rm{PH}} it }} over { overline{{rm{F}} it `prime {rm{H}} it }}={ overline{{rm{PF}} it }} over { overline{{rm{PF}} it `prime }}={3 sqrt{10}} over { sqrt{10}}=3]

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {10}-{y^{2}} over {15}=1]에 접하고 기울기가 [eqn: rm 3]인

직선의 방정식은

[eqn: y=3 x +- sqrt{10 times 3^{2}-15}=3 x +- 5 sqrt{3}]이므로

[eqn: l_{1}: y=3 x+5 sqrt{3}], [eqn: l_{2}: y=3 x-5 sqrt{3}]

에서 두 점 [eqn: {rm{Q}} it _{1}], [eqn: {rm{Q}} it _{2}]의 좌표는 각각

[eqn: {rm{Q}} it _{1} left(-{5 sqrt{3}} over {3},`` 0 right)], [eqn: {rm{Q}} it _{2} left({5 sqrt{3}} over {3},`` 0 right)]

따라서 [eqn: overline{{rm{Q}} it _{1} {rm{Q}} it _{2}}={10} over {3} sqrt{3}={q} over {p} sqrt{3}]에서

[eqn: p=3], [eqn: q=10]이므로 [eqn: p+q=3+10=13]

07 기하	04 이차곡선과접선
04 접선의 활용
01 활용1 (두 개 이상의 이차곡선과 접선의 관계)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 19

두 양수 [eqn: k], [eqn: p `]에 대하여 점 [eqn: {rmA} LEFT (-k,`` 0 RIGHT ) `]에서 포물선 [eqn: y^2 =4px `]에 그은 두 접선이 [eqn: y `]축과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmF], [eqn: rmF'], 포물선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ `]라 할 때, [eqn: rm anglePAQ = pi over3 `]이다. 두 점 [eqn: rmF,~F'`]을 초점으로 하고 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ `]를 지나는 타원의 장축의 길이가  [eqn: 4root3 +12 `]일 때, [eqn: k+p `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: y^2 =4px`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: 2y = dy overdx =4p`]에서 [eqn: dy overdx = 2p overy] (단, [eqn: y!=0])

포물선 [eqn: y^2 =4px] 위의 제[eqn: 1`]사분면의 점 [eqn: {rmP}(t,~2rootpt )`]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y -2 rootpt =rootp overroott (x-t)]

점 [eqn: {rmA}(-k,~0)`]이 이 접선 위의 점이므로

[eqn: 0-2rootpt = rootp overroott (-k-t)`]에서 [eqn: t=k]

즉 점 [eqn: rmP`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하면 [eqn: {rm H it} LEFT (k,`` 0 RIGHT )]이다. [eqn: {rm anglePAH} = pi over6 `]이므로

[eqn: rm {bar{FO}} it = {k} over {sqrt {3}} ,~ rm {bar{PH}} it = {2k} over {sqrt {3}} ,~ rm {bar{AF}} = rm {bar{FP}} it = {2k} over {sqrt {3}}]

[eqn: rm P it LEFT ( k,~ {2} over {sqrt {3}} k` RIGHT)], [eqn: rm F prime it LEFT ( 0,~- {k} over {sqrt {3}} RIGHT)]에서

[eqn: {rm barPF' it} = root{k^2 + left( 3k overroot3 right)^2} =2k`]이므로 타원의 장축의 길이는

[eqn: {rm barPF + barPF' it} = 2k overroot3 +2k]

[eqn: 2k overroot3 +2k = 4root3 +12`]에서 [eqn: k=6]

또 점 [eqn: {rmP}(6,~4root3 )`]이 포물선 [eqn: y^2 =4px] 위의 점이므로

[eqn: (4root3 )^2 =4p times 6]

[eqn: 48 =24p`]에서 [eqn: p=2]

따라서 [eqn: k+p=6+2 =8]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 28

좌표평면에서 두 점 [eqn: rm F it LEFT ( {9} over {4} ,~0 RIGHT ) ,~ rm F it ' LEFT ( -c,~0 RIGHT )]([eqn: c>0])을 초점으로 하는 타원과 포물선 [eqn: y ^{2}][eqn: =9x]가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: {bar{rm PF}}][eqn: = {25} over {4}]이고 포물선 [eqn: y ^{2}][eqn: =9x] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 점 [eqn: rmF']을 지날 때, 타원의 단축의 길이는?

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rm F it LEFT ( {9} over {4} ,~0 RIGHT )]이 포물선의 초점이므로

준선의 방정식은 [eqn: x][eqn: = it - {9} over {4}]

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~y _{1} RIGHT )]이라 하면

[eqn: {bar{rm PF}}][eqn: =x _{1} + {9} over {4}][eqn: = {25} over {4}]에서 [eqn: x _{1}][eqn: =4], [eqn: y _{1}][eqn: = it 6]

포물선 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 방정식은

[eqn: 6y][eqn: = {9} over {2} LEFT ( x+4 RIGHT )]이고 점 [eqn: rmF']을 지나므로 [eqn: c][eqn: =4]

[eqn: rm P it LEFT ( 4,~6 RIGHT )], [eqn: rm F it ' LEFT ( -4,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: {bar{rm PF'}}][eqn: =10]

타원의 장축의 길이는 [eqn: {bar{rm PF'}} + {bar{rm PF}}][eqn: = {65} over {4}]이고

[eqn: {bar{rm F'F}}][eqn: =4+ {9} over {4}][eqn: = {25} over {4}]이므로

타원의 단축의 길이를 [eqn: k]라 하면

[eqn: LEFT ( {k} over {2} RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( {65} over {8} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {25} over {8} RIGHT ) ^{2}][eqn: = {225} over {4}]

따라서 타원의 단축의 길이는 [eqn: 15]

① [eqn: 13]	② [eqn: {27} over {2}]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: {29} over {2}]	⑤ [eqn: 15]

07 기하	04 이차곡선과접선
04 접선의 활용
04 활용4 (자취의 방정식)

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 5

좌표평면에서 점 [eqn: rmA LEFT ( 0,``4 RIGHT )`]와 타원 [eqn: {x ^{2}} over {5} +y ^{2} =1] 위의 점 [eqn: rmP`]에 대하여 두 점 [eqn: rmA`]와 [eqn: rmP`]를 지나는 직선이 원 [eqn: x ^{2} + LEFT (y-3 RIGHT ) ^{2} =1`]과 만나는 두 점 중에서 [eqn: rmA`]가 아닌 점을 [eqn: rmQ`]라 하자. 점 [eqn: rmP`]가 타원 위의 모든 점을 지날 때, 점 [eqn: rmQ`]가 나타내는 도형의 길이는?

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: \A(0,~4)]에서 타원 [eqn: x^2 over5 +y^2 =1]에 그은 접선의 기울기를 [eqn: m]이라 하면 접선의 방정식은

[eqn: y = mx+- sqrt { 5m^2 +1}]

이 접선이 점 [eqn: \A(0,~4)]를 지나므로

[eqn: 4 = +- sqrt { 5m^2 +1}]

[eqn: 5m^2 +1=16],  [eqn: m^2 =3][eqn: therefore```][eqn: m=+- sqrt { 3}]

이때, [eqn: tan pi over3 = sqrt { 3}]이므로 다음 그림과 같이 점 [eqn: \Q]는 중심각의 크기가 [eqn: pi over3]이고, 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 부채꼴의 호 위의 점이다.

따라서 점 [eqn: \Q]가 나타내는 도형의 길이는 [eqn: pi over3 times 2 = 2over 3 pi`]이다.

① [eqn: {pi } over {6}]	② [eqn: {pi } over {4}]	③ [eqn: {pi } over {3}]

④ [eqn: {2} over {3} pi]	⑤ [eqn: {3} over {4} pi]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 06월 29

좌표평면에서 포물선 [eqn: y^2 =16 x] 위의 점 [eqn: rmA`]에 대하여 점 [eqn: rmB`]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold{14}]

[해설]

[eqn: {rmA} ( x_1 ,~y_1 )]이라 두면 접선   [eqn: y_1 y = 8 ( x+ x_1 )]

[eqn: x=0]이면 [eqn: y = 8x_1 overy_1], [eqn: y]축과 교점  [eqn: {rmD } left( 0,~ 8x_1 overy_1 right)]

[eqn: y_1`^2 = 16x_1]이므로

[eqn: y_1 over2 = 8x_1 overy_1]  ∴ [eqn: {rmD } left( 0 ,~ y_1 over2 right)]

따라서, [eqn: rm triangleOAD]의 무게중심

[eqn: {rmB} left( 0+0+x_1 over3 ,~ { 0+ y_1 over2 + y_1 } over3 right)][eqn: = left( x_1 over3 ,~ y_1 over2 right)]

[eqn: x_1 over3 = x], [eqn: y_1 over2 = y]라 두면 [eqn: x_1 = 3x], [eqn: y_1 = 2y], [eqn: y_1`^2 = 16x_1]이므로 [eqn: 4y^2 = 16 times 3x] 따라서,  [eqn: y^2 = 12x]

[eqn: rm barPQ = barPF + barQF][eqn: = (3+x_1 ) + (3 + x_2 ) = 20]

[eqn: x_1 + x_2 + 6 =20]

∴ [eqn: x_1 + x_2 = 14]

(가) 점 [eqn: rmA`]가 원점이면 점 [eqn: rmB`]도 원점이다.

(나) 점 [eqn: rmA`]가 원점이 아니면 점 [eqn: rmB`]는 점 [eqn: rmA], 원점 그리고 점 [eqn: rmA`]에서의 접선이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심이다.

점 [eqn: rmA`]가 포물선 [eqn: y^2 =16x] 위를 움직일 때 점 [eqn: rmB`]가 나타내는 곡선을 [eqn: C ``]라 하자. 점 [eqn: LEFT ( 3, ``0 RIGHT ) `]을 지나는 직선이 곡선 [eqn: C``]와 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ`]에서 만나고 [eqn: rmbar{PQ}=20`]일 때, 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ`]의 [eqn: x`]좌표의 값의 합을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 21

좌표평면에서 두 점 [eqn: {rmA}(- 2,``` 0)], [eqn: {rmB}(2,``` 0)]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 직사각형의 넓이의 최댓값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rm{bar{PA`}} + {bar{PB`}} `=it2a`]라 하면 [eqn: 2sqrt { 10 } le 2a le 4 sqrt { 10}] 이다.

[eqn: a]가 일정할 때, 점 [eqn: rmP`]의 자취는 타원이므로

[eqn: a= sqrt { 10}]일 때, [eqn: { x^2 } over {10 }+ { y^2 } over { 6}=1] 이고

[eqn: a=2 sqrt { 10}]일 때, [eqn: { x^2 } over { 40}+ { y^2 } over { 36}=1] 이다.

위 그림과 같이 조건을 만족하는 넓이가 최대인 직사각형은 타원 [eqn: { x^2 } over {10 }+ { y^2 } over { 6}=1]과 점 [eqn: LEFT ( { 5} over {2 }`,`` {3 } over { 2}` RIGHT )`]에서 접하면서 외부에 있고 점 [eqn: LEFT ( 0`,``6` RIGHT )``]을 지나고 타원 [eqn: { x^2 } over { 40}+ { y^2 } over { 36}=1] 내부에 위치한다.

점 [eqn: LEFT ( { 5} over {2 }`,`` {3 } over { 2}` RIGHT )`]에서 타원 [eqn: { x^2 } over {10 }+ { y^2 } over { 6}=1]의 접선은 [eqn: { x} over { 4} + { y} over { 4}=1]이므로 넓이가 최대인 직사각형의 한 변의 길이는 점 [eqn: LEFT ( 0`,``6` RIGHT )``]에서 [eqn: { x} over { 4} + { y} over { 4}=1] 이르는 거리와 같으므로 [eqn: sqrt { 2}]이다. 점 [eqn: LEFT ( 0`,``6` RIGHT )``]을 지나고 [eqn: { x} over { 4} + { y} over { 4}=1]에 평행한 직선의 방정식은 [eqn: x+y=6]이므로 이 직선과 타원 [eqn: { x^2 } over { 40}+ { y^2 } over { 36}=1]의 교점은 [eqn: LEFT ( {120} over {19} `,` -{6} over {19} RIGHT )]이다. 따라서 넓이가 최대인 직사각형의 다른 한 변의 길이는 [eqn: { 120 sqrt { 2} } over { 19}]이므로 넓이의 최댓값은 [eqn: { 240} over { 19}]이다.

직사각형 위를 움직이는 점 [eqn: {rmP}]에 대하여 [eqn: rm{bar{PA}`+ bar{PB}}]의 값은 점 [eqn: {rmP}]의 좌표가 [eqn: (0,``` 6)]일 때 최대이고 [eqn: LEFT ({5}over{2},``` {3}over{2} RIGHT )]일 때 최소이다.

① [eqn: {200}over{19}]	② [eqn: {210}over{19}]	③ [eqn: {220}over{19}]

④ [eqn: {230}over{19}]	⑤ [eqn: {240}over{19}]

07 기하	04 이차곡선과접선
04 접선의 활용
06 활용6 (미적분 관련)

[출처]	2006 모의_공공 사관학교 고3 07월 17

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: x ^{2} - {y ^{2}} =1] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT (a,`` b RIGHT )][eqn: LEFT ( a>1,`` b>0 RIGHT ) `]에서의 접선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm A], 쌍곡선의 점근선 중 기울기가 양수인 직선과 만나는 점을 [eqn: rm B `]라 하자. 삼각형 [eqn: rm OAB`]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( a RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: lim _{a `->` INF } S` LEFT ( a RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

[정답] ①

[해설]

주어진 쌍곡선의 도함수를 구하기 위하여 음함수 미분법을 이용하면

[eqn: 2xdx-2ydy=0``]

[eqn: therefore`````dy over dx = x over y``]

따라서, 점 [eqn: rmP(ita,``b)``]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y= a over b (x-a)+b``],  [eqn: ax-by=1``]

이다. 한편, 기울기가 양인 점근선은 [eqn: y=x``]이므로, 접선과의 교점 [eqn: rmB``]는

[eqn: ax-bx=1``],  [eqn: x=y= 1 over a-b``]

이므로 [eqn: left( 1 over a-b ,``1 over a-b right)``]이다. 또한, 접선의 [eqn: x``]절편, [eqn: rmA``]는 [eqn: left(1 over a ,``0 right)``]이다. 그러므로 점근선 [eqn: y=x``]와 점 [eqn: rmA``]사이의 수직거리 [eqn: d``]는  [eqn: d= 1 over sqrt2 {left|``1 over a ``right|}``]

따라서, 삼각형 [eqn: rmOAB``]의 면적 [eqn: S(a)``]는

[eqn: S(a)][eqn: = {1} over {2} · rm {bar{OB}} · it d``]

[eqn: = {1} over {2} · sqrt {2} · {1} over {|``a-b``|} · {1} over {sqrt {2}} · LEFT | `` {1} over {a} `` RIGHT | ``]

[eqn: = {1} over {2} · {1} over {|``a(a-b)``|} ``]

그러므로 구하는 값은

[eqn: lim _{a -> inf} {} ``S(a)][eqn: = lim _{a -> inf} {} `` {1} over {2} · {1} over {|``a(a-b)``|} ``]
[eqn: = lim _{a -> inf} {} `` {1} over {2} · {1} over {a LEFT ( a- sqrt {a ^{2} -1} RIGHT )} ``]

[eqn: = lim _{a -> inf} {} `` {1} over {2} · {a+ sqrt {a ^{2} -1}} over {a(a ^{2} -a ^{2} +1)} ``=1``]

① [eqn: 1``]	② [eqn: sqrt {2} ``]	③ [eqn: sqrt3 ``]

④ [eqn: 2 ``]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2} ``]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 04월 21

닫힌구간 [eqn: LEFT [ -2,``2 RIGHT ]`]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]는

[정답] ⑤

[해설]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {k ^{2}} +y ^{2} =1]은 네 점 [eqn: LEFT ( `k,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `-k,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `0,``1 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( `0,``-1 RIGHT )]을 네 꼭짓점으로 하는 타원이다.

타원 [eqn: {x ^{2}} over {k ^{2}} +y ^{2} =1]과 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 접할 때 [eqn: k]의 값을 구하자.

[eqn: {x ^{2}} over {k ^{2}} +y ^{2} =1] 위의 점 [eqn: LEFT ( `x _{1`} ,``y _{1} RIGHT )]([eqn: x_1 >0])에서의 접선의 방정식을 구하면

[eqn: {dy} over {dx} =`- {x} over {k ^{2} y}]이므로 접선의 기울기는 [eqn: - {x _{1}} over {k ^{2} y _{1}}]이고

접선의 방정식은  [eqn: y-y _{1} =`- {x _{1}} over {k ^{2} y _{1}} LEFT ( x-x _{1} RIGHT )]([eqn: y _{1} != 0])

[eqn: therefore][eqn: y=`- {x _{1}} over {k ^{2} y _{1}} x+ {1} over {y _{1}}]

타원이 직선 [eqn: y=`-x+2]에 접하므로

[eqn: {x _{1}} over {k ^{2} y _{1}} =1], [eqn: {1} over {y _{1}} =2]

[eqn: therefore][eqn: x _{1} = { k^2} over {2 }], [eqn: y _{1} = {1} over {2}]

점 [eqn: LEFT ( `x _{1} ,``y _{1} RIGHT )]은 [eqn: y=`-x+2] 위의 점이므로  [eqn: k ^{2} = 3]

[eqn: THEREFORE][eqn: k= sqrt { 3}]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {k ^{2}} +y ^{2} =1]이 점 [eqn: LEFT ( `2,``0 RIGHT )]을 지날 때,  [eqn: k=2]

[eqn: THEREFORE][eqn: g LEFT ( k RIGHT ) = {cases{`0 _{`} ^{`}&``````` LEFT ( 1<k< sqrt {3} RIGHT ) _{`} ^{`}#`2 _{`} ^{`}&``````` LEFT ( k= sqrt {3} RIGHT ) _{`} ^{`}#`4 _{`} ^{`}&``````` LEFT ( sqrt {3} <k LEQ 2 RIGHT ) _{`} ^{`}#`2 _{`} ^{`}&``````` LEFT ( k>2 RIGHT ) _{`} ^{`}}}]

따라서 함수 [eqn: g LEFT ( k RIGHT )]는 [eqn: k= sqrt {3}], [eqn: k=2]에서 불연속이고,불연속이 되는 모든 [eqn: k]의 값들의 제곱의 합은 [eqn: LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} +2 ^{2} =7`]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`````````x+2 &~LEFT ( -2 LEQ x LEQ 0 RIGHT )#`-x+2&~LEFT ( 0<x LEQ 2 RIGHT )}}]

이다. 좌표평면에서 [eqn: k>1`]인 실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 타원 [eqn: {x ^{2}} over {k ^{2}} +y ^{2} =1`]이 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: g LEFT ( k RIGHT )`]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( k RIGHT )`]가 불연속이 되는 모든 [eqn: k`]의 값들의 제곱의 합은?

① [eqn: 6]	② [eqn: {25} over {4}]	③ [eqn: 13 OVER 2]

④ [eqn: {27} over {4}]	⑤ [eqn: 7]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 19

[eqn: 0`]이 아닌 실수 [eqn: p`]에 대하여 좌표평면 위의 두 포물선 [eqn: x^2 = 2y `]와 [eqn: left( y + 1 over 2 right) ^2 = 4px `]에 동시에 접하는 직선의 개수를 [eqn: f(p)`]라 하자. [eqn: lim _{p -> `k+} {} `f LEFT ( p RIGHT ) >f LEFT ( k RIGHT ) `]를 만족시키는 실수 [eqn: k`]의 값은?

[정답] ③

[해설]

이차곡선 [eqn: left(y+ 1over2 right)^2 = 4px]이 위 그림에서

① 의 경우 공통접선이 3개,

② 의 경우 공통접선이 2개

③ 의 경우 공통접선이 1개 이므로

[eqn: lim _p→k+ {f`(p) >f`(k`)]를 만족하는 경우는 [eqn: p]의 크기가 증가하며
① → ② 임을 알 수 있다.

따라서 [eqn: p]는 음수이고 극한값 [eqn: k]는 두 이차곡선이 접할 때 [eqn: p]의 값이 된다.

두 곡선의 접점을 [eqn: (x_1 `,`y_1 )]이라고 하면

[eqn: x^2 = 2y]에서 [eqn: dy overdx = x_1]이고,

[eqn: left(y+ 1over2 right)^2 = 4px]에서 [eqn: dy overdx = 2p over{y_1 + 1over2}]이므로 두 식을 연립하면

[eqn: 2p = x_1 left (y_1 + 1over2 right)]이고 이 식을 [eqn: left(y_1 + 1over2 right)^2 = 4px_1]에 대입하면

[eqn: y_1 = 1over6`,`x_1 =± 1over root3] 가 된다. [eqn: p]가 음수이므로

[eqn: therefore p= - root3 over9]

① [eqn: - root 3 over 3]	② [eqn: - { 2 root 3 } over 9]	③ [eqn: - { root 3 } over 9]

④ [eqn: { 2 root 3 } over 9]	⑤ [eqn: { root 3 } over 3]

[준킬러][기하] 1이차곡선(빠른 정답)
준킬러기하	2023.01.07

[정답] [eqn: 6`]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 80 }]

[정답] [eqn: 23]

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: 104]

[정답] [eqn: bold8]

[정답] ③

[정답] [eqn: 63]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold{29]

[정답] [eqn: 15]

[정답] [eqn: bold66]

[정답] [eqn: bold180]

[정답] [eqn: bold { 14 }]

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 32]

[정답] [eqn: 12]

[정답] ②

[정답] [eqn: 128]

[정답] ③

[정답] [eqn: 116]

[정답] [eqn: bold { 18 }]

[정답] [eqn: 12]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: bold54]

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: 54]

[정답] [eqn: 21]

[정답] [eqn: bold{32]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ③

[정답] [eqn: 13]

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: bold{14}]

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ③

[준킬러][기하] 1이차곡선(해설)
준킬러기하	2023.01.07