	준킬러미적	[준킬러][미적] 5미분법3
	05
		준킬러미적	2023.01.06

06 미적	07 여러 가지 미분법
01 매개변수 미분법
02 매개변수 미분법1 (공식)

준킬러미적		준킬러미적
		[준킬러][미적] 5미분법3
05

	준킬러미적		준킬러미적
	[준킬러][미적] 5미분법3		05

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

좌표평면에 중심이 [eqn: (0,``2)]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원 [eqn: C]가 있고, 이 원 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]가 점 [eqn: (0,``3)]의 위치에 있다. 원 [eqn: C]는 직선 [eqn: y=3]에 접하면서 [eqn: x]축의 양의 방향으로 미끄러지지 않고 굴러간다. 그림은 원 [eqn: C]가 굴러간 거리가 [eqn: t]일 때, 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치를 나타낸 것이다.

[정답] ⑤

[해설]

원 [eqn: C]가 굴러간 거리가 [eqn: t]일 때, 원의 중심을 [eqn: {rm{C}} it], 점 [eqn: (t,`` 3)]을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하면 주어진 조건에 의하여 [eqn: angle {rm{POQ}} it =t]이다.

원 [eqn: x^{2}+y^{2}=1] 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it `prime]에 대하여 동경 [eqn: {rm{OP}} it `prime]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각이 [eqn: { pi} over {2}+t]일 때, 점 [eqn: {rm{P}} it]는 점 [eqn: {rm{P}} it `prime]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: t]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: rm 2]만큼 평행이동시킨 것이다.

따라서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 좌표를 [eqn: (x,`` y)]라 할 때,

[eqn: x= cos left({ pi} over {2}+t right)+t=- sin t+t]

[eqn: y= sin left({ pi} over {2}+t right)+2= cos t+2] 이다.

따라서 원 [eqn: C]가 굴러간 거리가 [eqn: t]일 때, 곡선 [eqn: F] 위의 점에서의 접선의 기울기는

[eqn: {d y} over {d x}={{d y} over {d t}} over {{d x} over {d t}}={- sin t} over {- cos t+1}]

따라서 구하는 값은

[eqn: {d y} over {d x}={- sin {2} over {3} pi} over {- cos {2} over {3} pi+1}=-{ sqrt{3}} over {3}]

점 [eqn: {rm{P}} it]가 나타내는 곡선을 [eqn: F]라 하자. [eqn: t={2} over {3} pi]일 때 곡선 [eqn: F] 위의 점에서의 접선의 기울기는?

① [eqn: - sqrt{3}]	② [eqn: - sqrt{2}]	③ [eqn: -{ sqrt{3}} over {2}]

④ [eqn: -{ sqrt{2}} over {2}]	⑤ [eqn: -{ sqrt{3}} over {3}]

06 미적	07 여러 가지 미분법
03 역함수 미분법
02 역함수의 미분법2 (결합 또는 합성함수)

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 06월 26

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 있다. 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,``1 RIGHT ) `]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 1`]이다. 함수 [eqn: f LEFT ( 2x RIGHT ) `]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]라 할 때, 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,``a RIGHT ) `]에서의 접선의 기울기는 [eqn: b`]이다. [eqn: 10 LEFT ( a+b RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold15]

[해설]

[eqn: y=f(x)]에서 접선의 기울기는 1이므로 [eqn: f(2)=1`,```f prime (2)=1]

[eqn: y=f(2x)=F(x)]라 치환하면

[eqn: g(x)]와 [eqn: F(x)]는 역함수 관계이므로

[eqn: g(x)]가 [eqn: (1,a)]를 지나면 [eqn: F(x)]는 [eqn: (a,1)]을 지난다

[eqn: THEREFORE F(a)=1]이므로 [eqn: f(2a)=1]

[eqn: f(2)=1]에서 [eqn: a=1]

또한 [eqn: g prime (1)= {1} over {F``'(a)} = {1} over {F` prime (1)}] 이므로

[eqn: F``'(x)=(f(2x))'=2f`'(x)]에서 [eqn: F``'(1)`=2f`'(1)=2]

[eqn: THEREFORE b=g`'(1)= {1} over {2}][eqn: THEREFORE][eqn: 10(a+b)=15]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 03월 21

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) e ^{x} `]과 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: f(1)][eqn: =(1+a+b)e][eqn: =e]에서

[eqn: a+b=0] …… ㉠

[eqn: f` prime (x)][eqn: = LEFT { x ^{2} +(a+2)x+a+b RIGHT } e ^{x} `]이므로

[eqn: f`'(1)][eqn: = LEFT { 1+(a+2)+a+b RIGHT } e][eqn: =e]에서

[eqn: 2a+b=it-2] …… ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: a=it-2], [eqn: b=2]

[eqn: f(x)][eqn: =(x ^{2} -2x+2)e ^{x}]에서 [eqn: f``'(x)][eqn: =x^{2}e^{x}]
[eqn: f``''(x)][eqn: =x(x+2)e^{x}]이므로 [eqn: f``''(1)][eqn: =3e]

이때 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`` prime LEFT ( x RIGHT ) ` GEQ 0]이므로

함수 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT )]는 역함수가 존재한다.

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =e]에서 [eqn: f ^{`-1} LEFT ( e RIGHT ) =1]이므로 역함수의 미분법에 의하여

[eqn: LEFT ( f ^{`-1} RIGHT ) ` prime LEFT ( e RIGHT )][eqn: = {1} over {f`` prime LEFT ( 1 RIGHT )}][eqn: = {1} over {e}]

한편 [eqn: g LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =f`` prime LEFT ( 1 RIGHT )], 즉 [eqn: g LEFT ( e RIGHT ) =e]이고

[eqn: g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =f``' LEFT ( x RIGHT )]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g` prime LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) f`` prime LEFT ( x RIGHT ) =f`` '' LEFT ( x RIGHT )] …… ㉢

㉢의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: g`' LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) f``' LEFT ( 1 RIGHT ) =f``'' LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: g`' LEFT ( e RIGHT ) times`e=3e]

[eqn: g`' LEFT ( e RIGHT ) =3]

따라서

[eqn: h`' LEFT ( e RIGHT )][eqn: = LEFT ( f ^{`-1} RIGHT ) ` prime LEFT ( e RIGHT ) g LEFT ( e RIGHT ) +f ^{`-1} LEFT ( e RIGHT ) g` prime LEFT ( e RIGHT )]
[eqn: = {1} over {e} TIMES e+1times3]
[eqn: =4]

(가) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =e], [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =e]

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =f` prime LEFT ( x RIGHT ) `]이다.

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f ^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: h prime LEFT ( e RIGHT ) `]의 값은?
(단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

06 미적	07 여러 가지 미분법
03 역함수 미분법
03 역함수의 미분법3 (해석)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 15

열린구간 [eqn: LEFT ( `- {pi } over {2} ,~ {pi } over {2} ` RIGHT )]에서 정의된 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim _{x` rarrow `-2} `{{g LEFT ( x RIGHT )} over {x+2}} =b]에서 [eqn: x` rarrow `-2]일 때 (분모)[eqn: ` rarrow `0]이고 극한값이 존재하므로 [eqn: lim _{x` rarrow `-2} {`} g LEFT ( x RIGHT ) =0]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 열린구간 [eqn: LEFT ( `- {pi } over {2} ,~ {pi } over {2} ` RIGHT )]에서 연속이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]도 [eqn: x=it-2]를 포함한 구간에서 연속이다.

그러므로 [eqn: g LEFT ( -2 RIGHT ) = lim _{x` rarrow `-2} {`} g LEFT ( x RIGHT ) =0]이고, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =it-2]

이때 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =ln` LEFT ( {sec`0+tan`0} over {a} RIGHT ) =ln` {1} over {a} =it-ln`a]이므로

[eqn: -ln`a=it-2,~ln`a=2,~a=e ^{2}]

또 미분계수의 정의에 의하여

[eqn: b= lim _{x` rarrow `-2} {} ` {g LEFT ( x RIGHT )} over {x+2} = lim _{x` rarrow `-2} {} ` {g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( -2 RIGHT )} over {x- LEFT ( -2 RIGHT )} =g`' LEFT ( -2 RIGHT )]

한편, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln` LEFT ( {sec`x+tan`x} over {a} RIGHT ) =ln` LEFT ( sec`x+tan`x RIGHT ) -2]에서

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {LEFT ( sec`x+tan`x RIGHT ) ` prime } over {sec`x+tan`x} = {sec`x`tan`x+sec ^{2} `x} over {sec`x+tan`x}]
[eqn: = {sec`x` LEFT ( sec`x+tan`x RIGHT )} over {sec`x+tan`x} =sec`x]

또 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =x]이므로 이 식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f`' LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) g`' LEFT ( x RIGHT ) =1]

위 식의 양변에 [eqn: x=it-2]를 대입하면

[eqn: f` prime LEFT ( g LEFT ( -2 RIGHT ) RIGHT ) g` prime LEFT ( -2 RIGHT ) =1,~f`' LEFT ( 0 RIGHT ) timesg`' LEFT ( -2 RIGHT ) =1]

이때 [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =sec`0=1,~g`' LEFT ( -2 RIGHT ) =b]이므로

[eqn: 1 TIMES b=1,~b=1]

따라서 [eqn: a=e ^{2} ,~b=1]이므로 [eqn: ab=e ^{2} TIMES 1=e ^{2}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln` LEFT ( {sec`x+tan`x} over {a} RIGHT )]

의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{x` rarrow `-2} `{{g LEFT ( x RIGHT )} over {x+2}} =b]일 때, 두 상수 [eqn: a,~b]의 곱 [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a>0])

① [eqn: {e ^{2}} over {4}]	② [eqn: {e ^{2}} over {2}]	③ [eqn: e ^{2}]

④ [eqn: 2e ^{2}]	⑤ [eqn: 4e ^{2}]

06 미적	07 여러 가지 미분법
03 역함수 미분법
05 역함수의 미분법5 (함수 구하기)

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 09월 21

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]의 역함수를 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

조건 (나) [eqn: lim_x->3 {f(x)-g(x)}over{(x-3)g(x)} = 8 over9]에서 (분모)[eqn: ->][eqn: 0]이므로 (분자)[eqn: ->][eqn: 0]이어야 한다. 즉, [eqn: lim_x->3 left{f(x)-g(x)} right}=0]

[eqn: f(x),~ g(x)]가 연속함수이므로 [eqn: f(3)=g(3)]이다.

그런데 두 함수 [eqn: f(x) ,~ g(x)]는 서로 역함수 관계로 직선[eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: (3,~3)]을 지난다.

[eqn: therefore```][eqn: f(3)=3], [eqn: g(3)=3]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: lim_x->3 {f(x)-g(x)}over{(x-3)g(x)} = 8 over9]에서 [eqn: f(x)- g(x) = h(x)]라 하면 [eqn: h(3)=0]이므로

[eqn: lim_x->3 {f(x)-g(x)}over{(x-3)g(x)} =lim_x->3 {h(x)-h(3)} over(x-3)g(x) = h'(3) over g(3) = 8 over9]

[eqn: THEREFORE `h prime (3)= {8} over {3}][eqn: therefore```][eqn: f'(3)-g'(3) = 8 over 3]

[eqn: f'(3) = k]라 하면 [eqn: g'(3) = 1 over k]이므로

[eqn: k- 1 over k = 8 over 3], [eqn: k^2 - 8 over 3 k -1 =0]

[eqn: k= f'(3)=3] ([eqn: because```][eqn: f'(x)>0])

(가)에서 [eqn: g'(x) leq 1 over 3]이므로 [eqn: f'(x) geq 3]이고 [eqn: f'(x)]가 이차함수이므로 [eqn: (3,~3)]은 [eqn: f'(x)]의 꼭짓점이다.

이때, [eqn: f(x)=x^3 +ax^2 +bx +c]라 하면

[eqn: f'(x) = 3x^2 +2ax + b = 3 (x-3)^2 +3]에서 [eqn: a=` -9 ,~ b=30]이다.

[eqn: f(x)=x ^{3} -9x ^{2} +30x+c]가 ㉠에서 [eqn: (3,~3)]을 지나므로 [eqn: c=`-33]따라서 [eqn: f(x)=x ^{3} -9x ^{2} +30x-33]이므로 [eqn: f(1)`=`1-9+30-33=`-11]

(가) [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 [eqn: g `' LEFT (x RIGHT ) LEQ { 1} over {3 } `]이다.

(나) [eqn: lim _{ x `->` 3} { f LEFT (x RIGHT )-g LEFT (x RIGHT )} over { LEFT (x-3 RIGHT )g LEFT (x RIGHT )}= { 8} over { 9} `]

[eqn: f LEFT (1 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: -11]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -7]

④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -3]

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 11월

[eqn: 0<t<41`]인 실수 [eqn: t`]에 대하여 곡선 [eqn: y=x^3 + 2x^2 - 15x +5`]와 직선 [eqn: y=t`]가 만나는 세 점 중에서 [eqn: x`]좌표가 가장 큰 점의 좌표를 [eqn: LEFT ( f LEFT ( t RIGHT ) ,``t RIGHT )], [eqn: x`]좌표가 가장 작은 점의 좌표를 [eqn: LEFT ( g LEFT ( t RIGHT ) ,``t RIGHT ) `]라 하자. [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =t TIMES LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) -g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } `]라 할 때, [eqn: h` prime LEFT ( 5 RIGHT ) `]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: h(t)=t times left{ f(t)-g(t) it right}]의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: h `prime (t)=1 times left{ f(t)-g(t) it right} +t times left{ f `prime (t)-g `prime (t) it right}]

[eqn: h `prime (5)= left{ f(5)-g(5) it right} +5 left{ f `prime (5)-g `prime (5) it right}]

곡선 [eqn: y=x^{3}+2 x^{2}-15 x+5]와 직선 [eqn: y=5]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x^{3}+2 x^{2}-15 x+5=5]

[eqn: x(x+5)(x-3)=0]

[eqn: x=-5] 또는 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=3]

따라서 [eqn: f(5)=3], [eqn: g(5)=-5]

한편 [eqn: F(x)=x^{3}+2 x^{2}-15 x+5]라 하면 [eqn: F `prime (x)=3 x^{2}+4 x-15=(x+3)(3 x-5)]

[eqn: F `prime (x)=0]에서 [eqn: x=-3] 또는 [eqn: x={5} over {3}]

[eqn: F(-3)=41], [eqn: F left({5} over {3} right)<0]

[eqn: x>{5} over {3}]일 때 함수 [eqn: y=F(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=t]와 한 점 [eqn: (f(t),`` t)]에서 만나고 [eqn: F(f(t))=t]이므로 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: F `prime (f(t)) f `prime (t)=1], [eqn: f `prime (t)={1} over {F `prime (f(t))}], [eqn: f `prime (5)={1} over {F `prime (f(5))}={1} over {F `prime (3)}={1} over {24}]

[eqn: x < it - 3]일 때 함수 [eqn: y=F(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=t]와 한 점 [eqn: (g(t),`` t)]에서 만나고 [eqn: F(g(t))=t]이므로 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: F `prime (g(t)) g `prime (t)=1], [eqn: g `prime (t)={1} over {F `prime (g(t))}], [eqn: g `prime (5)={1} over {F `prime (g(5))}={1} over {F `prime (-5)}={1} over {40}]

따라서

[eqn: h `prime (5)][eqn: = left{ f(5)-g(5) it right} +5 left{ f `prime (5)-g `prime (5) it right}][eqn: = left{ 3-(-5) it right} +5 times left({1} over {24}-{1} over {40} right)={97} over {12}]

① [eqn: 79 over 12]	② [eqn: 85 over 12]	③ [eqn: 91 over 12]

④ [eqn: 97 over 12]	⑤ [eqn: 103 over 12]

06 미적	07 여러 가지 미분법
03 역함수 미분법
06 역함수의 미분법6 (미분가능성)

[출처]	2016 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

지수함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a ^{x}][eqn: LEFT ( 0<a<1 RIGHT ) `]의 그래프가 직선 [eqn: y=x`]와 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: b`]라 하자. 함수

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x)=a ^{x} ``,````f`'(x)=a ^{x} `·lna] 이고

[eqn: (`b`,```b`)]에서 [eqn: g(x)]가 미분가능하려면

[eqn: f(b)=a ^{b} =b``` CDOTS ①]

[eqn: f`'(b)=a ^{b} ·ln`a=-1```` CDOTS ②]

를 만족하여야 한다.

①의 양변에 [eqn: ln]을 취하면 [eqn: b`lna=lnb```` CDOTS ③]

①을 ②에 대입하면 [eqn: b`ln`a=`-1```` CDOTS ④]

③, ④에서 [eqn: ln`b`=-1]

[eqn: THEREFORE ~`b=e ^{-1} ````,````a=e ^{-e}]

[eqn: THEREFORE ~`ab=e ^{-e-1}]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``````f LEFT ( x RIGHT ) &LEFT ( x LEQ b RIGHT )&#`f` ^{-1} LEFT ( x RIGHT ) `&LEFT ( x>`b RIGHT )&}} `]

가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: ab`]의 값은?

① [eqn: e^-e-1]	② [eqn: e ^{-e- {1} over {e}}]	③ [eqn: e ^{-e+ {1} over {e}}]

④ [eqn: e^{e-1}]	⑤ [eqn: e ^{e+1}]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 28

두 상수 [eqn: {a,````b}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}] ([eqn: a<b])에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: bold { 72 }]

[해설]

[eqn: g ^{-1} LEFT ( x RIGHT )][eqn: =k LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( f CIRC g ^{-1} RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]
[eqn: =f LEFT ( k LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( k LEFT ( x RIGHT ) -a RIGHT ) LEFT ( k LEFT ( x RIGHT ) -b RIGHT ) ^{2}]

이때, 조건 (가)에서 함수 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT | `h LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |] 즉,

[eqn: (x-1)|`` LEFT ( k LEFT ( x RIGHT ) -a RIGHT ) LEFT ( k LEFT ( x RIGHT ) -b RIGHT ) ^{2}``|]

[eqn: =(x-1) LEFT ( k LEFT ( x RIGHT ) -b RIGHT ) ^{2} |``LEFT ( k LEFT ( x RIGHT ) -a RIGHT )``|]

절댓값 안의 값이 [eqn: (x-1)]의 인수를 가져야 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로

[eqn: k LEFT ( 1 RIGHT ) -a][eqn: =0]

한편, [eqn: y][eqn: =k LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x = left{ (k(x) right}^3 + left{ (k(x) right} +1]을 만족하므로

[eqn: 1][eqn: = left{ (k(1) right} ^{3} + left{ (k(1) right}+1]

[eqn: k(1)=0]

즉, [eqn: a=0]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이 성립한다.

또, 조건 (나)에서 [eqn: h' LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =2]을 만족하므로 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( k LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]의 양변을 미분하면 [eqn: h' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f`' LEFT ( k LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) TIMES k' LEFT ( x RIGHT )]

식에 [eqn: x=3]을 대입하면

[eqn: f`' LEFT ( k LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) TIMES k' LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

그런데, [eqn: 3][eqn: = left{ (k(3) right} ^{3} + left{ (k(3) right}+1]에서

[eqn: LEFT (k(3) -1 RIGHT ) LEFT (left{ (k(3) right} ^{2} + k(3) +2 RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: therefore][eqn: k(3) =1]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠을 미분하면 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2} +2x LEFT ( x-b RIGHT )]이므로

[eqn: f`' LEFT ( k LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =f`' LEFT ( 1 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 1-b RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( 1-b RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 1-b RIGHT ) LEFT ( 3-b RIGHT )]

또, [eqn: x = left{ (k(x) right}^3 + left{ (k(x) right} +1]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 1][eqn: = LEFT ( 3left{ (k(x) right} ^{2} +1 RIGHT )k``'(x)]

[eqn: x=3]을 대입하면 [eqn: 1= (3 left{k(3)right}^2 +1 ) k``'(3)]

㉡을 대입하면 [eqn: k' LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: = {1} over {4}]

㉠에 대입하면 [eqn: LEFT ( 1-b RIGHT ) LEFT ( 3-b RIGHT ) TIMES {1} over {4}][eqn: =2]

[eqn: b ^{2} -4b+3][eqn: =8], [eqn: b ^{2} -4b-5][eqn: =0]

[eqn: LEFT ( b+1 RIGHT ) LEFT ( b-5 RIGHT )][eqn: =0]

이때, 조건에서 [eqn: a<b], 즉, [eqn: b>0] ([eqn: because][eqn: a=0])이므로

[eqn: b=5]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x LEFT ( x-5 RIGHT ) ^{2}]이므로 [eqn: x=8]을 대입하면

[eqn: f LEFT ( 8 RIGHT )][eqn: =8 TIMES 3 ^{2}][eqn: =72]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2}]

이라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +x+1]의 역함수 [eqn: g ^{-1} LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 합성함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( f CIRC g ^{-1} RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT )]의 값을 구하시오.

(가) 함수 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT | ``h LEFT ( x RIGHT ) `` RIGHT |]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(나) [eqn: h' LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =2]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 29

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}][eqn: =x ^{3} -x]와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 역함수가 존재하는 삼차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ax ^{3} +x ^{2} +bx+1]이 있다.

[정답] [eqn: bold { 15 }]

[해설]

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 연속함수이다.

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =0]에서 연속이므로 [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = lim _{x ``->`` 0-} {} h LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{x ``->`` 0+} {} h LEFT ( x RIGHT )]에서 [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]이고 [eqn: f LEFT ( g ^{-1} LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: g ^{-1} LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = alpha]라 하면 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =0], [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =0]에서

[eqn: alpha][eqn: = it -1] 또는 [eqn: alpha][eqn: =0] 또는 [eqn: alpha][eqn: =1]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =1]에서 연속이므로 [eqn: h LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = lim _{x ``->`` 1-} {} h LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{x ``->`` 1+} {} h LEFT ( x RIGHT )]에서 [eqn: h LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]이고 [eqn: f LEFT ( g ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1]이므로 [eqn: g ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]이므로 [eqn: f LEFT ( g ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =0]은 성립한다.

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =0]에서 미분가능하므로 [eqn: lim _{x ``->`` 0-} {} {h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( 0 RIGHT )} over {x - }][eqn: =][eqn: lim _{x ``->`` 0+} {} {h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( 0 RIGHT )} over {x - }]에서

[eqn: lim _{x ``->`` 0-} {} {f LEFT ( g ^{-1} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} over {x}][eqn: =][eqn: lim _{x ``->`` 0+} {} {{1} over {pi} ` sin pi x} over {x}][eqn: =1]

[eqn: f ' LEFT ( g ^{-1} LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT ) LEFT ( g ^{-1} RIGHT ) ' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1]

[eqn: g ^{-1} LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = alpha]이고 [eqn: LEFT ( g ^{-1} RIGHT ) ' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = it {1} over {g' LEFT ( alpha RIGHT )}]이므로

[eqn: f prime LEFT ( alpha RIGHT ) TIMES {1} over {g prime LEFT ( alpha RIGHT )}][eqn: =1], [eqn: f ' LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =g' LEFT ( alpha RIGHT )]

[eqn: 3 alpha ^{2} -1][eqn: =3a alpha ^{2} +2 alpha +b]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하므로 [eqn: lim _{x ``->`` 1-} {} {h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}][eqn: =][eqn: lim _{x ``->`` 1+} {} {h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}]에서

[eqn: lim _{x ``->`` 1-} {} {{1} over {pi} ` sin pi x} over {x-1}][eqn: =][eqn: lim _{x ``->`` 1+} {} {f LEFT ( g ^{-1} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} over {x-1}]

[eqn: lim _{x ``->`` 1-} {} {{1} over {pi} ` sin pi x} over {x-1}]에서 [eqn: x-1][eqn: =t]라 하면

[eqn: lim _{x ``->`` 1-} {} {{1} over {pi} ` sin pi x} over {x-1}][eqn: = lim _{t ``->`` 0-} {} {-sin pi t} over {pi t}][eqn: = it -1]

[eqn: lim _{x ``->`` 1+} {} {f LEFT ( g ^{-1} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} over {x-1}][eqn: = it -1]에서

[eqn: f ' LEFT ( g ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) LEFT ( g ^{-1} RIGHT ) ' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = it -1]

[eqn: g ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]이고 [eqn: LEFT ( g ^{-1} RIGHT ) ' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = {1} over {g prime LEFT ( 0 RIGHT )}]이므로

[eqn: f ' LEFT ( 0 RIGHT ) TIMES {1} over {g' LEFT ( 0 RIGHT )}][eqn: = it -1]

[eqn: f ' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = it -1]이므로 [eqn: g' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =b][eqn: =1]

삼차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 역함수 [eqn: g ^{-1} LEFT ( x RIGHT )]를 가지고 [eqn: g' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1][eqn: >0]이므로 증가함수이다.

[eqn: g LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =0], [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1]이므로 [eqn: alpha <0]

㉠에 의하여 [eqn: alpha][eqn: = it -1]

㉡에 의하여 [eqn: a][eqn: =1]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +x ^{2} +x+1]

따라서 [eqn: g LEFT ( a+b RIGHT )][eqn: =g LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =15]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 역함수 [eqn: g ^{-1} LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT ( f CIRC g ^{-1} RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )& & & LEFT ( x<0 ```` 또는 ```` x>1 RIGHT )#````````{1} over {pi} ` sin pi x &&& LEFT ( 0 LEQ x LEQ 1 RIGHT )}}}]

이라 하자. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: g LEFT ( a+b RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a ,```` b]는 상수이다.)

06 미적	08 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
01 활용1 (두 직선이 이루는 각의 크기)

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 27

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {x}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {k} over {x}][eqn: LEFT ( k>1 RIGHT ) `]에 대하여 좌표평면에서 직선 [eqn: x=2`]가 두 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]라 하자. 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 점 [eqn: rm P`]에서의 접선을 [eqn: l], 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 점 [eqn: rm Q`]에서의 접선을 [eqn: m`]이라 하자. 두 직선 [eqn: l], [eqn: m`]이 이루는 예각의 크기가 [eqn: {pi } over {4} `]일 때, 상수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: 3k`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 20]

[해설]

[eqn: f(x) = 1 overx], [eqn: g(x) = k overx]이므로
[eqn: f`'(x) = - 1 overx^2], [eqn: g`'(x) = - k overx^2]
직선 [eqn: l]과 [eqn: m]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라
하면
점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표가 모두 [eqn: 2]이므로
[eqn: tan alpha =f(2) = - 1 over4], [eqn: tan beta = g`'(2)=- k over4]
두 직선 [eqn: l], [eqn: m]이 이루는 예각의 크기가 [eqn: pi over4]이므로
[eqn: left|`tan (beta- alpha)`right| =1]
[eqn: left|` { - k over4 - LEFT ( - 1 over4 RIGHT ) } over {1+ LEFT ( - k over4 RIGHT ) LEFT (- 1 over4 RIGHT ) } `right|=1]
[eqn: 4|`k-1`| =|`16 +k`|]
그런데 [eqn: k>1]이므로 [eqn: 4(k-1) =16 +k]
∴ [eqn: 3k =20]

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 26

함수 [eqn: f(x)={2 x} over {x+1}]의 그래프 위의 두 점 [eqn: (0,``0)], [eqn: (1,``1)]에서의 접선을 각각 [eqn: l], [eqn: m]이라 하자. 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: 12 tan theta]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 9]

[해설]

[eqn: f(x)={2 x} over {x+1}=2-{2} over {x+1}]

[eqn: f `prime (x)={2} over {(x+1)^{2}}]

[eqn: f `prime (0)=2], [eqn: f `prime (1)={1} over {2}]

[eqn: tan theta={2-{1} over {2}} over {1+2 times {1} over {2}}={3} over {4}]

[eqn: therefore~ ~ 12 tan theta=9]

06 미적	08 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
03 활용3 (접선의 활용)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 11월 14

[eqn: a>3`]인 상수 [eqn: a`]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=a ^{x-1} `]과 [eqn: y=3 ^{x} `]이 점 [eqn: rm P`]에서 만난다. 점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: k`]라 하자.

[정답] ④

[해설]

[eqn: y`' = 3^x `ln3]이므로 곡선 [eqn: y=3^x]에 접하는 접선의 방정식은

[eqn: y- 3^k = 3^k `ln 3 `(x-k)]

따라서 점 [eqn: rmA`]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: - 3^k = 3^k `ln 3 `(x-k) ,```` x-k = - 1 over{ln3}]

[eqn: therefore```` x= k- 1 overln3]

[eqn: y`' = a^x-1 `lna]이므로 곡선 [eqn: y= a^x-1]에 접하는 접선의 방정식은

[eqn: y- a^k-1 = a^k-1 `ln a``(x-k)]

따라서 점 [eqn: rmB`]의 좌표는

[eqn: - a^k-1 = a^k-1 `lna `(x-k),``` x-k =- 1 over{lna}]

[eqn: therefore```` x= k - 1 over lna]

따라서,

[eqn: {rm barAH} = k- left(k - 1 over ln3 right) = 1 over ln3]

[eqn: {rm barBH} = k- left(k - 1 over lna right) = 1 over lna]

이므로

[eqn: 1 overln3 = 2 over lna ,```` lna = ln 9]

[eqn: therefore````a=9]

점 [eqn: rm P`]에서 곡선 [eqn: y=3 ^{x} `]에 접하는 직선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm A], 점 [eqn: rm P`]에서 곡선 [eqn: y=a ^{x-1} `]에 접하는 직선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm B`]라 하자. 점 [eqn: rm H it LEFT ( k,``0 RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: rm bar{AH} =2 bar{BH} `]일 때, [eqn: a`]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 03월 14

그림과 같이 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =log _{`2} ` LEFT ( x+ {1} over {2} RIGHT ) `]의 그래프와 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =a ^{x}][eqn: LEFT ( a>1 RIGHT ) `]의 그래프가 있다. 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rm A], 점 [eqn: rm A`]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 만나는 점 중 점 [eqn: rm A`]가 아닌 점을 [eqn: rm B], 점 [eqn: rm B`]를 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]와 만나는 점을 [eqn: rm C`]라 하자.

[정답] ③

[해설]

[eqn: g(x) = a^x `]에 대하여 [eqn: g`'(x) = a^x lna`]이므로

곡선 [eqn: y=g(x) `] 위의 점 [eqn: rm C`left( 3 over2`,~ it a^{3 over2} ``right)]에서 이 곡선에 접하는 직선의 방정식은

[eqn: y- a^{3 over2} = a^{3 over2} lna`` left( x- 3 over2 `right)]

이 식에 [eqn: y=0`]을 대입하면

[eqn: - a^{3 over2} = a^{3 over2} lna`` left( x- 3 over2 `right)]

[eqn: x - 3 over2` =` - 1 over lna]

[eqn: x= 3 over2 - 1 over {ln a}]

따라서 점 D의 좌표는 [eqn: rm`` LEFT ( 3 over2 - 1 over {ln a}``,```0` RIGHT )`] … ㉠

조건에서 [eqn: rm bar AD = bar BD`]이므로

점 [eqn: rmD`]는 두 점 [eqn: rmA(0,~1)], [eqn: rmB LEFT ( 3 over2 ,``1` RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: \AB`]의 수직이등분선과 [eqn: x]축의 교점이다.

그러므로 점 [eqn: rmD`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {3} over {4} ,~0 RIGHT )]이다.

㉠에서 [eqn: 3 over2 - 1 over {ln a} = 3 over4`]이므로

[eqn: 1 over {ln a}`=`3 over4],[eqn: `][eqn: lna = 4 over3], [eqn: a= e^{4 over3}]

따라서 [eqn: g(x) = e^{4 over3 `x}]이므로 [eqn: g(2) = e^{8 over3}]이다.

[참고]

[eqn: rmA(0,~1)], [eqn: rmB LEFT ( 3 over2`,``1` RIGHT )], [eqn: rmD`` LEFT ( 3 over2 - 1 over {ln a}``,```0` RIGHT )`]에 대하여

[eqn: rm{ bar AD} ^2 = {bar BD}^2`]이므로

[eqn: LEFT ( 3 over2 - 1 over {ln a}` RIGHT )^2 ` + 1^2 = LEFT ( 1 over {lna}` RIGHT )^2 + 1^2`]

[eqn: 3 over2 - 1 over {ln a} = 1 over {ln a}]

[eqn: 1 over {ln a}`=`3 over4], [eqn: lna = 4 over3], [eqn: a= e^{4 over3}]

따라서 [eqn: g(x) = e^{4 over3 `x}]이므로

[eqn: g(2) = e^{8 over3}]

곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `] 위의 점 [eqn: rmC`]에서의 접선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm D`]라 하자. [eqn: rm {bar{AD}} = {bar{BD}} `]일 때, [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: e^{ { 2} over { 3} }]	② [eqn: e^{{ 5} over { 3}}]	③ [eqn: e^{{ 8} over { 3}}]

④ [eqn: e^{{ 11} over { 3}}]	⑤ [eqn: e^{{ 14} over { 3}}]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 03월 15

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `] 위의 점 [eqn: LEFT ( 4,``f LEFT ( 4 RIGHT ) RIGHT ) `]에서의 접선 [eqn: l`]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

조건 (가)에서 직선 [eqn: l]이 제[eqn: 2]사분면을 지나지 않고, 조건 (나)에서

직선 [eqn: l]과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형인 직각이등변삼각형의

넓이가 [eqn: 2]이므로 아래 그림과 같이 직선 [eqn: l`]의 [eqn: x`]절편과 [eqn: y`]절편은

각각 [eqn: 2], [eqn: -2`]이다.

함수 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( 4,```f(4) RIGHT )]에서의 접선 [eqn: l`]은 기울기가 [eqn: 1]이고,

점 [eqn: LEFT ( 2,```0 RIGHT )]을 지나므로 직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y=x-2]이다.

따라서 [eqn: f(4)=2], [eqn: f`` prime (4)=1]이다.

[eqn: g(x)=xf(2x)`]에서

[eqn: g'(x)][eqn: =f(2x)+2xf`` prime (2x)]이므로

[eqn: g'(2)][eqn: =f(4)+4f`` prime (4)]
[eqn: =2+4]
[eqn: =6]

(가) 직선 [eqn: l`]은 제 [eqn: 2`]사분면을 지나지 않는다.

(나) 직선 [eqn: l`]과 [eqn: x`]축 및 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 도형은 넓이가 [eqn: 2`]인 직각이등변삼각형이다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =xf LEFT ( 2x RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: g prime LEFT ( 2 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

06 미적	08 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
04 활용4 (Mm)

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 07월 미분과 적분 29

그림과 같이 함수 [eqn: y=ln`x+4], [eqn: y=e ^{x-4} `]의 그래프의 두 교점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: a], [eqn: b`]라 하자. 일차함수 [eqn: y=`-x+k`]의 그래프가 [eqn: a LEQ x LEQb`]에서 두 함수의 그래프와 만나는 두 점 사이의 거리가 최대가 될 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?

[정답] ④

[해설]

직선 [eqn: y=-x+k]와 [eqn: y=x]가 수직이다.

직선 [eqn: y=-x+k]와 두 함수[eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]가 만나는 두 점 사이의 거리가 최대가 되려면

직선 [eqn: y=-x+k]가 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]와 만나는 점에서 접선의 기울기가 [eqn: 1]일 때이다.

[eqn: f'(x)= { 1} over {x }=1] ∴ [eqn: x=1]

[eqn: g'(x)= e^x-4`=`1] ∴ [eqn: x=4]

[eqn: (1,~4),~(4,~1)]을 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y=-x`+`5]이므로 [eqn: k]의 값은 [eqn: 5]이다.

① [eqn: 7 over 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 9 over 2]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 11 over 2]

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 07월 미분과 적분 28

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln` {x} over {k} `] ([eqn: k`]는 자연수)의 역함수를 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]라 할 때, 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]위의 점과 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 사이의 최단 거리를 [eqn: l _{k} `]라 하자. [eqn: l _{k} {ge}3 sqrt {2} `]를 만족시키는 [eqn: k`]의 최솟값은? (단, [eqn: e=2.7`]로 계산한다.)

[정답] ④

[해설]

역함수는 [eqn: y=x``]대하여 대칭이므로

함수 [eqn: f(x)`=ln {x} over {k} ``]의 접선 중 기울기가 [eqn: 1``]인 접선에서 [eqn: y=x``]까지 거리의 두 배가 [eqn: l _{k} ``]이다.

[eqn: f` prime (x)`=1``]인 접점의 좌표는 [eqn: (1,~ln {1} over {k} )``]이다.

[eqn: d= {LEFT | 1-ln {1} over {k} RIGHT |} over {sqrt {2}} = {1+lnk} over {sqrt {2}} = {(1+lnk) sqrt {2}} over {2}]

[eqn: l _{k} =2d=(1+lnk) sqrt {2} >= 3 sqrt {2}] 에서 [eqn: k >= e ^{2}]

[eqn: THEREFORE][eqn: k```]의 최솟값은 [eqn: 8`]

① [eqn: 11]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 7]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 07월 27

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위의 임의의 점 [eqn: rmP`]와 곡선 [eqn: y= sqrt {x} -3] 위의 임의의 점 [eqn: rmQ`]에 대하여 [eqn: bar{rmPQ}`]의 최솟값은 [eqn: sqrt {a} -b`]이다. 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a ^{2} +b^2`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 26]

[해설]

곡선 [eqn: y= sqrt { x}-3] 위의 임의의 점 [eqn: rm Q`]의 좌표를 [eqn: LEFT ( t,~ sqrt {t} -3 RIGHT )``]([eqn: t≥0`])이라 하고, 원점을 [eqn: rmO`]라 하자.

선분 [eqn: {{rm PQ it}}`]의 길이가 최소가 되려면 점 [eqn: rmQ`]에 대하여 선분 [eqn: rmOQ`]와 원 [eqn: x^2 +y^2 =1`]이 만나는 점이 [eqn: rmP`]이고, 원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 접선의 기울기와 곡선 [eqn: y= sqrt {x} -3] 위의 점 [eqn: rmQ`]에서의 접선의 기울기가 같아야 한다.

곡선 [eqn: y= sqrt { x} }-3] 위의 점 [eqn: rm Q it LEFT ( t,~ sqrt {t} -3 RIGHT ) ``][eqn: left(t>0 right)] 에서의 접선과 직선 [eqn: rmOQ`]는 수직이다.

[eqn: {1} over {2 sqrt {t}} times` {sqrt {t} -3} over {t} `=-1]

[eqn: 2LEFT ( sqrt { t} RIGHT )^3 + sqrt { t}-3`=`0`]

[eqn: LEFT ( sqrt {t} -1 RIGHT ) LEFT ( 2t+2 sqrt {t} +3 RIGHT ) `=`0]

[eqn: t=1`]이므로 [eqn: rm Q(1,~-2)`]이다.

[eqn: bar{rm PQ}`][eqn: =` bar{rm OQ}-1`]
[eqn: =sqrt { 5}-1]

[eqn: a=5`], [eqn: b=1`]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =26]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 29

함수 [eqn: f(x)=e^{x}+x]가 있다. 양수 [eqn: t]에 대하여 점 [eqn: (t,`` 0)]과 점 [eqn: (x,`` f(x))]사이의 거리가 [eqn: x=s]에서 최소일 때, 실수 [eqn: f(s)]의 값을 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]의 역함수를 [eqn: h(t)]라 할 때, [eqn: h `prime (1)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: rm 3]

[해설]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의 한 점을 [eqn: (s,`` f(s))]라 하자.

[eqn: t]가 정해져 있다면 점 [eqn: (t,`` 0)]에서 [eqn: (s,`` f(s))]사이의 거리가

최소일 때, [eqn: (t,`` 0)]과 [eqn: (s,`` f(s))]를 연결한 직선은 [eqn: y=f(x)]

위의 점 [eqn: (s,`` f(s))]에서의 접선과 수직이다.

따라서 [eqn: {-f(s)} over {t-s}=-{1} over {f `prime (s)}]이고,

[eqn: t=s+f(s) f `prime (s)][eqn: cdotscdots]㉠

이때, [eqn: g(t)=e^{s}+s], [eqn: h(g(t))=t]이므로,

[eqn: h(1)]을 찾기 위해 [eqn: g(t)=1]이 되는 [eqn: s]를 찾으면 [eqn: s=0]이고,

㉠에서 [eqn: s=0]일 때, [eqn: t=2]이다.

한편, [eqn: g `prime (t)= left(e^{s}+1 right) {d s} over {d t}][eqn: cdotscdots]㉡

㉠을 미분하면

[eqn: 1= left{ 1+f `prime (s) f `prime (s)+f(s) f `prime prime (s) it right} {d s} over {d t}][eqn: cdotscdots]㉢

[eqn: s=0]을 대입하면 [eqn: f `prime (0)=2], [eqn: f `prime prime (0)=1]이므로 ㉢에 대입하면 [eqn: 1=6 {d s} over {d t}], [eqn: {d s} over {d t}={1} over {6}]

㉡에 대입하면 [eqn: g `prime (2)={1} over {3}]

[eqn: therefore~h `prime (1)={1} over {g `prime (h(1))}={1} over {g `prime (2)}=3]

[다른 풀이]

점 [eqn: (t,`` 0)]과 점 [eqn: (x,`` f(x))]사이의 거리가 최소일 때, 두 점 [eqn: (t,`` 0)]과 [eqn: (x,`` f(x))]를 지나는 직선과 점 [eqn: (x,`` f(x))]에서의 [eqn: y=f(x)]에서의 접선은 서로 수직이다.

이때 [eqn: x=s]이므로

[eqn: {f(s)} over {s-t} times f `prime (s)=-1], [eqn: t=s+f(s) times f `prime (s)][eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: h(1)=a]라 하면 [eqn: g(a)=1]이고, [eqn: h `prime (1)={1} over {g `prime (a)}]이다.

[eqn: t=a]일 때 [eqn: s=b]라 하면 [eqn: g(a)=f(b)=1]에서

[eqn: e^{b}+b=1], [eqn: b=0]이다.

㉠에서 [eqn: a=0+f(0) times f `prime (0)=2]이다.

㉠의 양변을 [eqn: s]로 미분하면

[eqn: {d t} over {d s}][eqn: =1+f `prime (s) times f `prime (s)+f(s) times f `prime prime (s)]
[eqn: =1+ left(e^{s}+1 right)^{2}+ left(e^{s}+s right) e^{s}]

이므로

[eqn: t=2], [eqn: s=0]일 때 [eqn: {d t} over {d s}=6]이다.

[eqn: g(t)=f(s)]의 양변을 [eqn: s]로 미분하면

[eqn: g `prime (t) times {d t} over {d s}=f `prime (s)]이므로 [eqn: g `prime (2) times 6=f `prime (0)],

[eqn: g `prime (2)={2} over {6}={1} over {3}]이다.

[eqn: therefore~h `prime (1)={1} over {g `prime (2)}=3]

06 미적	08 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
05 활용5 (정의된 함수)

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 06월 16

실수 [eqn: k`]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]는

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: g(t)]의 불연속이 되는 점이 한 개이기 위해서는 그림과 같이 직선 [eqn: y=x+t]가 두 곡선 [eqn: y=x^{2}+k]와 [eqn: y= ln (x-2)]에 동시에 접해야 한다.

곡선 [eqn: y= ln (x-2)]의 접선의 기울기가 [eqn: rm 1]이므로 [eqn: y `prime ={1} over {x-2}=1]에서 [eqn: x=3]

그러므로 접점의 좌표는 [eqn: (3,``0)]이다.

직선 [eqn: y=x+t]가 점 [eqn: (3,``0)]을 지나므로

[eqn: 0=3+t]에서 [eqn: t=-3]

한편, 곡선 [eqn: y=x^{2}+k]의 접선의 기울기가 [eqn: rm 1]이므로 [eqn: y `prime =2 x=1]에서 [eqn: x={1} over {2}]

곡선 [eqn: y=x^{2}+k] 위의 점 [eqn: left({1} over {2},`` {1} over {4}+k right)]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=x+t], 즉 [eqn: y=x-3]이므로

[eqn: {1} over {4}+k={1} over {2}-3]

따라서 [eqn: k=-{11} over {4}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``x ^{2} +k&LEFT ( x LEQ 2 RIGHT )#``ln` LEFT ( x-2 RIGHT )&LEFT ( x>2 RIGHT )}}]

이다. 실수 [eqn: t`]에 대하여 직선 [eqn: y =x+t`]와 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )`]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )`]가 [eqn: t=a`]에서 불연속인 [eqn: a`]의 값이 한 개일 때, [eqn: k`]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: - 9over 4]	③ [eqn: - 5 over 2]

④ [eqn: - 11 over 4]	⑤ [eqn: -3]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 20

점 [eqn: LEFT ( - pi over 2 ,~0 RIGHT )`]에서 곡선 [eqn: y=sin`x`][eqn: LEFT ( x>0 RIGHT ) `]에서 접선을 그어 접점의 [eqn: x`]좌표를 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, [eqn: n`]번째 수를 [eqn: a_n`]이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: (sin`x)'=cos`x`]이므로 점 [eqn: (a_n ,~sin`a_n )`]에서의 접선의 기울기는
[eqn: cos`a_n `]	[eqn: cdots cdots`]㉠
이 접선이 두 점 [eqn: left( - pi over 2 ,~0 right),~ (a_n ,~ sin`a_n )`]을 지나므로 기울기는
[eqn: {sin`a_n -0} over {a_n + pi over 2 }`]	[eqn: cdots cdots`]㉡
㉠, ㉡에서
[eqn: cos`a_n = {sin`a_n} over {a_n + pi over 2}`]
이므로 [eqn: {sin`a_n} over {cos`a_n } = a_n + pi over 2`]
따라서 [eqn: tan`a_n = a_n + pi over 2`] (참)

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: a_n`]은 곡선 [eqn: y=tan`x`]와 직선 [eqn: y=x+ pi over 2`]의 교점의 [eqn: x`]좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것이다.

위 그림에서 [eqn: a_n+1 >a_n + pi`]이므로 [eqn: a_n+1 -a_n > pi`]임을 알 수 있다. 따라서
[eqn: tan`a_n+1 -tan`a_n`][eqn: = left( a_n+2 + pi over 2 right) - left( a_n + pi over 2 right)`]
[eqn: =a_n+2 -a_n`]
[eqn: =(a_n+2 -a_n+1 )+(a_n+1 -a_n )`]
[eqn: >pi +pi =2pi`] (참)

ㄷ. ㄴ의 그림에서
[eqn: a_n+1 -(a_n +pi)> (a_n+3 -pi)-a_n+2`]
이므로
[eqn: a_n+1 -a_n > a_n+3 -a_n+2`]
따라서
[eqn: a_n+1 +a_n+2 >a_n +a_n+3`] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: tan`a _{n} =a _{n} + {pi } over {2} `] ㄴ. [eqn: tan`a _{n+2} -tan`a _{n} >2 pi `] ㄷ. [eqn: a_{n + 1} + a_{n + 2} > a_n +a_{n + 3}`]

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 06월 21

함수 [eqn: {f(x)= { lnx} over {x }}{{from^2019^06^평가원고3가^중}}]와 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 기울기가 [eqn: t]인 직선이 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접할 때 접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: g(t)]라 하자. 원점에서 곡선 [eqn: y=f(x)]에 그은 접선의 기울기가 [eqn: a]일 때, 미분가능한 함수 [eqn: g(t)]에 대하여 [eqn: a times g'(a)]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: f(x)= {lnx} over {x}]와 기울기가 [eqn: t]인 직선 [eqn: l]과의 접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: s]라 하자.

[eqn: f '(x)={{1} over {x} x-lnx} over {x ^{2}} = {1-lnx} over {x ^{2}}]

[eqn: x=s]에서의 기울기는 [eqn: f'(s)={1-lns} over {s ^{2}} =t]이다.

즉, [eqn: s=g(t)]이고 [eqn: t= {1-lns} over {s ^{2}}]	[eqn: cdots cdots] ㉠

또, 원점 [eqn: (0 ,```` 0)]에서 [eqn: y=f(x)]에 그은 접선의 기울기와 접점의 좌표를 구하기 위해 접점의 좌표를 [eqn: left(r ,```` {lnr} over {r} right)]이라고 하면

두 점 [eqn: (0 ,```` 0)]과 [eqn: left(r ,```` {lnr} over {r} right)]의 기울기는 [eqn: {{lnr} over {r} -0} over {r-0} = {lnr} over {r ^{2}} =a]

[eqn: x=r]에서의 접선의 기울기는 [eqn: f'(r)= {1-lnr} over {r ^{2}}=a]이므로 두 식을 연립하면 [eqn: {lnr} over {r ^{2}} = {1-lnr} over {r ^{2}}]

[eqn: THEREFORE ```` lnr= {1} over {2} ,```` r= sqrt {e}]

[eqn: therefore][eqn: f'(sqrt e )= { 1} over { 2e} =a]	[eqn: cdots cdots] ㉡

한편 ㉠으로부터

[eqn: g prime (t)][eqn: = { dg(t)} over {dt }][eqn: = { ds} over { dt}][eqn: ={1} over {{dt} over {ds}}]
[eqn: = {1} over {{- {1} over {s} TIMES s ^{2} -(1-lns)2s} over {s ^{4}}}]
[eqn: = {1} over {{-s-2s(1-lns)} over {s ^{4}}}]
[eqn: = {s ^{3}} over {-1-2(1-lns)}]
[eqn: = {s ^{3}} over {-3+2lns}]

즉, [eqn: g prime (t)][eqn: = {s ^{3}} over {-3+2lns}]	[eqn: cdotscdots] ㉢

㉡에서 [eqn: a= { 1} over { 2e}]일 때 [eqn: s=r = sqrt {e}]이므로 이를 ㉢에 대입하면

[eqn: g'(a)=g'left( { 1} over {2e } right)= {e sqrt {e}} over {-2}]

[eqn: THEREFORE ```` ag prime (a)= {1} over {2e} TIMES - {e sqrt {e}} over {2} =- {sqrt {e}} over {4}]

① [eqn: -{ sqrt { e} } over {3 }]	② [eqn: - {sqrt {e}} over {4}]	③ [eqn: - {sqrt {e}} over {5}]

④ [eqn: - {sqrt {e}} over {6}]	⑤ [eqn: - {sqrt {e}} over {7}]

06 미적	08 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
06 활용4 (평균값의 정리)

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 03월 21

[eqn: -1`]과 [eqn: 1`]을 제외한 모든 실수 [eqn: x`]에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

주어진 조건에서 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이고 원점을 지난다. 또, 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x != `-1], [eqn: x != 1`]인 모든 [eqn: x`]에서 연속이고, 구간 [eqn: (-inf,~-1)`], [eqn: (-1,~1)`], [eqn: (1, ~inf)`]에서 각각 감소한다.

ㄱ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프는 직선 [eqn: y=x`]와 원점에서만 만난다.

ㄴ. (반례) 함수 [eqn: f(x)= {cases{`-x~(`|x|le1) #` {1} over {x} ~~(`|x| ``> 1)`}}]은 주어진 조건을 만족시키지만 [eqn: x]축과 원점에서만 만난다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)`]는 닫힌 구간 [eqn: [`0,~ 1`]`]에서 연속이고, 열린 구간 [eqn: (`0, ~1`)`]에서 미분가능하므로 평균값의 정리에 의하여

[eqn: f` prime ( c`_1 )= {-1-0} over {1-0} =`-1`]을 만족시키는 실수 [eqn: c_1 `]이 열린 구간 [eqn: (`0, ~1`)`]에 적어도 하나 존재한다. 마찬가지로 함수 [eqn: f(x)]는 닫힌 구간 [eqn: [`-1`,~ 0`]`]에서 연속이고, 열린 구간 [eqn: (`-1`,~ 0`)`]에서 미분가능하므로 [eqn: f` prime ( c`_2 )= {1-0} over {-1-0} =`-1`]을 만족시키는 실수 [eqn: c`_2 `]가 열린 구간 [eqn: (`-1`,~ 0`)`]에 적어도 하나 존재한다. 그러므로

[eqn: f` prime ( alpha )=`-1]을 만족시키는 실수 [eqn: alpha]가 적어도 두 개 존재한다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =`-f LEFT ( x RIGHT ) `]이다.

(나) [eqn: lim _{x `->` 1-} {f LEFT ( x RIGHT )} =f LEFT ( 1 RIGHT ) =`-1`]이고 [eqn: lim _{x` ->` 1+} {f LEFT ( x RIGHT )} =1`]이다.

(다) [eqn: x!=1`]인 모든 양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) <0`]이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 직선 [eqn: y= x`]와 한 점에서 만난다. ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 [eqn: x`]축과 세 점에서 만난다. ㄷ. [eqn: f` prime LEFT ( alpha RIGHT ) =`-1`]인 실수 [eqn: alpha`]가 적어도 두 개 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
01 증가와 감소, 극대와 극소
01 증가와 감소1 (증가 또는 감소하는 구간)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 예비 20

열린구간 [eqn: LEFT (0,`` 5 RIGHT )`]에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )], [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]의 그래프가 그림과 같다. 합성함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT )= LEFT (f circ g RIGHT ) LEFT (x RIGHT )`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: h(3)=f(g(3)=f(1)=5]	(거짓)

ㄴ. [eqn: h``'`(2)=(f circ g)``'`(2)=f`'`(g(2))g``'(2)]
[eqn: 2<g(2)<3]이고, [eqn: 2<x<3]에서 [eqn: f``'(x)le 0]
[eqn: f``'(g(2))le0]이고 [eqn: g``'(2)le 0]이므로 [eqn: h``'(2) ge 0]	(참)

ㄷ. [eqn: h``'`(x)=(f circ g )``'(x)=f`'(g(x))g`'`(x)]에 대하여 구간 [eqn: (3,````4)]에서 [eqn: 0<g(x)<1]이므로 [eqn: f``'(g(x))>0]이고 [eqn: g``'(x)<0]이다.
따라서 [eqn: h``'`(x)=f`'(g(x))g`'`(x)<0]이므로 함수 [eqn: h(x)]는 구간 [eqn: (3,````4)]에서 감소한다.	(참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: h LEFT (3 RIGHT )=4] ㄴ. [eqn: h ' LEFT (2 RIGHT ) ge 0] ㄷ. 함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT )`]는 구간 [eqn: LEFT (3,`` 4 RIGHT )`]에서 감소한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
01 증가와 감소, 극대와 극소
04 극대와 극소1 (기본)

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 03월 19

열린구간 [eqn: LEFT ( 0,`` 2 pi RIGHT )`]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= {sin`x} over {e ^{2x}}`]가 [eqn: x = a `]에서 극솟값을 가질 때, [eqn: cos` a `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x) = sinx over e^2x][eqn: = e^-2x sinx]이므로

[eqn: f'(x) = -2e^-2x sinx + e^-2x cos x][eqn: =e^-2x ( - 2 sin x + cos x )]이고

[eqn: f''(x)`` =-2 e^-2x ( - 2 sin x + cos x )][eqn: + e^-2x ( - 2 cos x - sinx )]

[eqn: =e^-2x ( 3 sin x - 4cos x )]이다.

이때 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = a]에서 극솟값을 가지므로

[eqn: f'(a) = 0 , ~~ f''(a) >0]이어야 한다. 이때 [eqn: e ^{-2a} >0]이므로

[eqn: -2 sin a + cos a =0] … ㉠, [eqn: 3 sin a - 4cos a >0] … ㉡이 성립해야 한다. ㉠에서 [eqn: cos a = 2 sin a]이므로 [eqn: tan a = 1 over 2]

㉠을 ㉡에 대입하면 [eqn: -5 sin a >0]

따라서 [eqn: tan a > 0]이고, [eqn: sin a <0]이므로 [eqn: pi <a< {3} over {2} pi]

[eqn: sec ^{2} a=1+tan ^{2} a=1+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT )^2 = {5} over {4}]

[eqn: cos`a= {1} over {sec`a} =± {2} over {sqrt {5}}] ∴ [eqn: cos`a=- {2 sqrt {5}} over {5}] (∵ [eqn: pi <a< {3} over {2} pi])

<다른 풀이>

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 극값을 가지므로 [eqn: f'(a)=0]이어야 한다.

[eqn: f(x) = sinx over e^2x][eqn: = e^-2x sinx]이므로

[eqn: f` prime `(x)=-2e ^{-2x} `sinx+e ^{-2x} `cosx][eqn: =-e ^{-2x} (2sinx-cosx)]

이때 [eqn: -e^-2a (2 sin a - cos a ) = 0]에서 [eqn: tan a = 1 over 2]

ⅰ) [eqn: 0 < a < pi over2]일 때

[eqn: 0< x < a]이면 [eqn: sin x < sin a]이고 [eqn: cos x > cos a]이므로

[eqn: 2 sin x - cos x <2 sin a - cos a =0] ∴ [eqn: f`'(x)>0]

[eqn: a < x < pi over2]이면 [eqn: sin x > sin a]이고 [eqn: cos x < cos a]이므로

[eqn: 2 sin x - cos x > 2 sin a - cos a =0] ∴ [eqn: f`'(x)<0]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 극댓값을 갖는다.

ⅱ) [eqn: pi < a < 3 over2 pi]일 때

[eqn: pi< x < a]이면 [eqn: sin x > sin a]이고 [eqn: cos x < cos a]이므로

[eqn: 2 sin x - cos x > 2 sin a - cos a =0] ∴ [eqn: f`'(x)<0]

[eqn: a<x< {3pi } over {2}]이면 [eqn: sin x < sin a]이고 [eqn: cos x > cos a]이므로

[eqn: 2 sin x - cos x <2 sin a - cos a =0] ∴ [eqn: f`'(x)>0]

따라서 [eqn: x=a]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: sec^2 a = 1+tan^2 a = 5 over4]에서 [eqn: sec`a`=`- root5 over 2] (∵ [eqn: pi < a < 3 over2 pi])

∴ [eqn: cos`a = - {2root5} over5]

<다른 풀이>

[eqn: f(x) = sinx over e^2x]는 미분가능한 함수이므로 몫의 미분법을 사용하면 [eqn: f'(x) ``= {e^2x cosx - 2e^2x sinx } over {(e^2x )^2 }][eqn: = -{ 2 sinx - cos x } over e^2x]

이때 삼각함수의 합성에 의해서 [eqn: 2 sinx - cos x = root5 rm sin it ( x - alpha )] 이므로 (단, [eqn: cos alpha = 2 over root5], [eqn: sin alpha = 1 over root5]) [eqn: f'(x) =][eqn: -{root5 rm sin it (x-alpha)} over e^2x] 이때 [eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: sin (x-alpha) =0]이므로

[eqn: x- alpha =0] 또는 [eqn: x-alpha = pi] ∴ [eqn: x = alpha] 또는 [eqn: x = pi + alpha]

이때 증가와 감소를 나타내는 표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: (0)]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha]	[eqn: cdots]	[eqn: pi + alpha]	[eqn: cdots]	[eqn: ( 2pi )]
[eqn: f'(x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]		↗	[eqn: f(alpha)]	↘	[eqn: f( pi+alpha)]	↗

그러므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = pi + alpha]에서 극솟값을 갖는다.

∴ [eqn: a = pi + alpha] ∴ [eqn: cos a][eqn: ``=cos ( pi + alpha )][eqn: = ` - cos alpha][eqn: =` - 2 over root5][eqn: =` -{ 2root5} over 5]

① [eqn: - {2 sqrt {5}} over {5}]	② [eqn: - {sqrt {5}} over {5}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {sqrt {5}} over {5}]	⑤ [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 28

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =6pi LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] ②

[해설]

[eqn: g(x)=3f(x)+4`cos`f(x)]이므로

[eqn: g`'(x)][eqn: =3f` prime (x)-4f` prime (x)`sin`f(x)]
[eqn: =f` prime (x) LEFT { 3-4`sin`f(x) RIGHT }]
[eqn: =12 pi (x-1) LEFT { 3-4`sin` LEFT ( 6 pi (x-1) ^{2} RIGHT ) RIGHT }]

이므로 [eqn: g`'(x)=0]에서

[eqn: x=1] 또는 [eqn: sin` LEFT ( 6pi(x-1)^2 RIGHT ) = 3 over4]

(ⅰ) [eqn: x=1]일 때

[eqn: x=1]일 때 [eqn: sin` LEFT ( 6pi(x-1)^2 RIGHT ) = 0]이므로

[eqn: x=1] 부근에서 [eqn: 3-4`sin` LEFT ( 6 pi (x-1) ^{2} RIGHT ) >0]이다.

이때 [eqn: x-1]은 [eqn: x=1]의 좌우에서 음에서 양으로 변하므로

[eqn: g`'(x)][eqn: =12 pi (x-1) LEFT { 3-4`sin` LEFT ( 6 pi (x-1) ^{2} RIGHT ) RIGHT }]도 [eqn: x=1]의 좌우에서 음에서 양으로 변한다.

따라서 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 극소이다.

(ⅱ) [eqn: 1<x<2]일 때

[eqn: 12pi(x-1)>0]이고, 함수 [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: [`1,~2`]]에서 [eqn: 0]에서 [eqn: 6pi]까지 증가한다.

즉, [eqn: f(x)=t]라 하면 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 2]까지 증가할 때 [eqn: t]의 값은 [eqn: 0]에서 [eqn: 6pi]까지 증가한다.

이때 함수 [eqn: y=3-4`sin`t]의 그래프는 다음과 같으므로 [eqn: t=alpha,~beta,~gamma]의 좌우에서 [eqn: y=3-4`sin`t]의 값은 음에서 양으로 변한다.

따라서 [eqn: f(x)=alpha,~beta,~gamma]인 [eqn: x]의 좌우에서 [eqn: y=3-4`sin`f(x)]의 값은 음에서 양으로 변하고 이러한 [eqn: x]는 세 수 [eqn: alpha,~beta,~gamma]에 대하여 각각 하나씩 존재한다.

따라서 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: 1<x<2]에서 극소가 되는 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 3]이다.

(ⅲ) [eqn: 0<x<1]일 때

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=1]에 대하여 대칭이다.

즉, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(1-x)=f(1+x)]

가 성립한다.

이때

[eqn: g(1-x)][eqn: =3f(1-x)+4`cos`f(1-x)]
[eqn: =3f(1+x)+4`cos`f(1+x)]
[eqn: =g(1+x)]

이므로 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프도 직선 [eqn: x=1]에 대하여 대칭이다.

따라서 (ⅱ)와 같이 [eqn: 0<x<1]에서 함수 [eqn: g(x)]가 극소가 되는 [eqn: x]의 개수도 [eqn: 3]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 [eqn: x]의 개수는

[eqn: 1+3+3=7]

이다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =3f LEFT ( x RIGHT ) +4cos`f LEFT ( x RIGHT )]

라 하자. [eqn: 0<x<2]에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 극소가 되는 [eqn: x]의 개수는?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
01 증가와 감소, 극대와 극소
05 극대와 극소2 (해석)

[출처]	2013 모의_공공 사관학교 고3 07월 14

두 함수 [eqn: f(x)=e^{x} left(x^{2}+a x+b right)], [eqn: g(x)=e^{-x} left(x^{2}+a x+b right)]는 각각 [eqn: x=it-3], [eqn: x=2]에서 극댓값을 갖는다. 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 극솟값을 각각 [eqn: m_{1}], [eqn: m_{2}]라 할 때, [eqn: m_{1}+m_{2}]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

[정답] ②

[해설]

[eqn: f `prime (x)][eqn: =e^{x} left(x^{2}+a x+b right)+e^{x}(2 x+a)]
[eqn: =e^{x} left{ x^{2}+(a+2) x+a+b it right}]

[eqn: g `prime (x)][eqn: =IT-e^{-x} left(x^{2}+a x+b right)+e^{-x}(2 x+a)]
[eqn: =IT-e^{-x} left{ x^{2}+(a-2) x-a+b it right}]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 각각 [eqn: x=IT-3], [eqn: x=2]에서 극값을 가지므로

[eqn: f `prime (-3)=0], [eqn: g `prime (2)=0]이다.

[eqn: f `prime (-3)=e^{-3} left{ 9-3(a+2)+a+b it right} =0]

[eqn: therefore~2 a-b=3]	[eqn: CDOTSCDOTS]㉠

[eqn: g `prime (2)=-e^{-2} left{ 4+2(a-2)-a+b it right} =0]

[eqn: therefore~a+b=0]	[eqn: CDOTSCDOTS]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a=1], [eqn: b=IT-1]

[eqn: f `prime (x)=e^{x} left(x^{2}+3 x right)=e^{x} cdot x(x+3)]

이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: therefore~m_{1}=f(0)=e^{0} cdot(0+0-1)=IT-1]

[eqn: g `prime (x)=IT-e^{-x} left(x^{2}-x-2 right)=IT-e^{-x}(x-2)(x+1)]

이므로 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극댓값을 갖는다.

[eqn: therefore~m_{2}=g(-1)=e^{1}(1-1-1)=-e]

[eqn: therefore~m_{1}+m_{2}=-e-1]

① [eqn: -2 e]	② [eqn: -e-1]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: e-1]	⑤ [eqn: 2 e]

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
01 증가와 감소, 극대와 극소
07 극대와 극소4 (불연속함수 또는 구간정의함수)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 03월 14

모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x+2 RIGHT )=f LEFT (x RIGHT ) `]이고, [eqn: 0 LEQ x<2 `]일 때 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= { LEFT (x-a RIGHT ) ^{2}} over {x+1} `]인 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 [eqn: x=0 `]에서 극댓값을 갖는다. 구간 [eqn: LEFT [ 0,~2 RIGHT ] `]에서 극솟값을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: a `]의 값의 곱은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: a=it-1`]일 때 구간 [eqn: LEFT [`0,``2 RIGHT ) `]에서 [eqn: f(x)=x+1`]이므로

[eqn: x=0`]에서 극댓값을 갖지 않는다.

이것은 모순이므로 [eqn: a!=it-1]

구간 [eqn: [`0,``2)`]에서 [eqn: f(x)`]가 극솟값을 갖도록 하는 [eqn: a`]의 값의 범위를 구하면

[eqn: f(x)= {(x-a) ^{`2}} over {x+1} `]에서 [eqn: f`` prime (x)= {(x-a)(x+2+a)} over {(x+1) ^{`2}} `]

[eqn: f``'(x)=0`]에서 [eqn: x= a] 또는 [eqn: x= it-a-2]

(ⅰ) [eqn: a<it-a-2`]일 때
[eqn: a<it-a-2`]에서 [eqn: a < it-1]이고,
[eqn: x=it-a-2`]의 좌우에서 [eqn: f``'(x)`]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 [eqn: x=it-a-2`]에서 [eqn: f(x)`]는 극솟값을 갖는다. 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 가지므로 구간 [eqn: (0,``2)`]에서 극솟값을 갖는다.
즉 [eqn: 0<it-a-2<2`], [eqn: -4<a<it-2]
[eqn: a`]는 정수이므로 [eqn: a= it -3]

(ⅱ) [eqn: a>it-a-2`]일 때
[eqn: a>it-a-2`]에서 [eqn: a > it-1]이고,
[eqn: x=a`]의 좌우에서 [eqn: f``'(x)`]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 [eqn: x=a`]에서 [eqn: f(x)`]는 극솟값을 갖는다. 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 가지므로 구간 [eqn: (0,``2)`]에서 극솟값을 갖는다.
즉 [eqn: 0<a<2`]
[eqn: a`]는 정수이므로 [eqn: a= 1`]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해서 조건을 만족하는 정수 [eqn: a`]의 값은 [eqn: -3] 또는 [eqn: 1]

따라서 모든 정수 [eqn: a`]의 값의 곱은 [eqn: (-3)times1= it-3`]

[보충 설명]

(ⅰ) [eqn: a= it -3`]일 때, 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프를 그려 보면 다음과 같이 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 갖는다.

(ⅱ) [eqn: a= 1`]일 때, 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프를 그려 보면 다음과 같이 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 갖는다.

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
01 증가와 감소, 극대와 극소
08 극대와 극소5 (활용)

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 04월 18

양의 실수 [eqn: t`]에 대하여 곡선 [eqn: y = ln x] 위의 두 점 [eqn: rm P LEFT ( it t,`` lnt RIGHT )], [eqn: rm Q LEFT ( it 2t,`` ln2t RIGHT )`]에서의 접선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm R LEFT ( it r LEFT ( t RIGHT ) ,`` 0 RIGHT )], [eqn: rm S LEFT ( it s LEFT ( t RIGHT ) ,`` 0 RIGHT )`]이라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )`]를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = r LEFT ( t RIGHT ) - s LEFT ( t RIGHT )`]라 할 때, 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )`]의 극솟값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: y=lnx]를 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: y`'= {1} over {x}]

점 [eqn: rmP LEFT ( `itt,``lnt RIGHT )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-lnt= {1} over {t} LEFT ( x-t RIGHT )]

[eqn: THEREFORE][eqn: r LEFT ( t RIGHT ) =t-t`lnt]

점 [eqn: rmQ LEFT ( `it2t,``ln2t RIGHT )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-ln2t= {1} over {2t} LEFT ( x-2t RIGHT )]

[eqn: THEREFORE][eqn: s LEFT ( t RIGHT ) =2t-2t`ln2t]

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =r LEFT ( t RIGHT ) -s LEFT ( t RIGHT ) = LEFT ( 2ln2-1 RIGHT ) t+t`lnt]

[eqn: f`' LEFT ( t RIGHT ) =2ln2+lnt=0]에서 [eqn: t= {1} over {4}]

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: t]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: cdots]
[eqn: f` prime LEFT ( t RIGHT )]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( t RIGHT )]		[eqn: SEARROW]	[eqn: - 1 over 4]	[eqn: NEARROW]

따라서 극솟값은 [eqn: - {1} over {4}]

① [eqn: rm- {1} over {2}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: - 1 over 4]

④ [eqn: - {1} over {5}]	⑤ [eqn: - {1} over {6}]

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
02 곡선의 개형과 변곡점
03 곡선의 개형3 (변곡점)

[출처]	2011 모의_공공 평가원 고3 06월 21

양의 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ.[eqn: f`'(x)= {1} over {27} (4x ^{3} -18x ^{2} +24x+19)]

[eqn: f`''(x)= {1} over {27} (12x ^{2} -36x+24)][eqn: = {1} over {27} (x-1)(x-2)]

[eqn: f''(2)=0]이고 좌우에서 부호가 바뀌므로 변곡점이다(참)

ㄴ.[eqn: f(x)=x]

[eqn: {1} over {27} (x ^{4} -6x ^{3} +12x ^{2} +19x)=x]에서

[eqn: x ^{4} -6x ^{3} +12x ^{2} -8x=0]

인수분해하면

[eqn: = {1} over {27} x(x-2) ^{3} =0]에서 실근은 [eqn: 0,`2]이므로

양의 실근은 [eqn: 2]뿐이다(참)

ㄷ.[eqn: f(2)=2], [eqn: f`'`(2)=1]이므로

[eqn: g`'(2)`= {1} over {f`'(2)} =1]

[eqn: 0<x<2]에서 [eqn: f(x)<x]이므로 [eqn: f(x)<g(x)]

[eqn: x GEQ 2]에서 [eqn: f(x)>x]이므로 [eqn: f(x) GEQ g(x)]

[eqn: H(x)= LEFT | f(x)-g(x) RIGHT |]라 하면

[eqn: x<2]에서 [eqn: H(x)=g(x)-f(x)]

[eqn: x GEQ 2]에서 [eqn: H(x)=f(x)-g(x)]

[eqn: lim _{h -> 0} {{f(2+h)-f(2)} over {h}} =1], [eqn: lim _{h -> 0} {{g(2+h)-g(2)} over {h}} =1]이므로

[eqn: lim _{h -> 0-} {{H(2+h)-H(2)} over {h}}][eqn: = lim _{h-> 0-} {LEFT ( {g(2+h)-g(2)} over {h} `-` {f(2+h)-f(2)} over {h} RIGHT )}][eqn: =0]

같은 방법으로 [eqn: lim _{h-> 0+} {{H(2+h)-H(2)} over {h}} =0]

[eqn: THEREFORE H(x)]는 [eqn: x=2]에서 미분가능하다(참)

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {1} over {27} LEFT (x ^{4} -6x ^{3} +12x ^{2} +19x RIGHT )`]

에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]의 역함수를 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 점 [eqn: LEFT (2,`` 2 RIGHT )`]는 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]의 변곡점이다. ㄴ. 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x`]의 실근 중 양수인 것은 [eqn: x=2] 하나뿐이다. ㄷ. 함수 [eqn: LEFT | f LEFT (x RIGHT )-g LEFT (x RIGHT ) RIGHT |`]는 [eqn: x=2`]에서 미분가능하다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
03 그래프의 개형
02 그래프의 개형2 (도함수의 그래프 해석)

[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 09월 미분과 적분 29

아래 그림은 [eqn: 5`]차 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]의 도함수 [eqn: f `' LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프이다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?
(단, [eqn: f `' LEFT (4 RIGHT ) = 0`]이고 [eqn: f `'' LEFT (1 RIGHT ) =f `'' LEFT (4 RIGHT ) =f `'' LEFT (6 RIGHT ) =0 `]이다.)

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: f``'(x)=0]에서

[eqn: x=p,```4,```q`]이고 이 때,

[eqn: x=p,```q`] 각각의 좌우에서 [eqn: f``'(x)]의 부호가 변하므로 [eqn: y=f``(x)]는 서로 다른 두 점에서 극값을 갖는다. ([eqn: x=p]에서 극소, [eqn: x=q]에서 극대)  [eqn: therefore]거짓

ㄴ. 개구간 (4, 6)에서 [eqn: f``'(x)>0,~f``''(x)>0]이므

로 [eqn: y=f``(x)]는 개구간 (4, 6)에서 아래로 볼록이다.

오른쪽 그림에서

[eqn: f`` left( {x_1 + x_2 } over 2 right) < {f``(x_1 ) + f``(x_2 )} over 2][eqn: therefore~]참

ㄷ. ㄱ의 그림에서 [eqn: x=p]  에서 극소, [eqn: x=q`]에서

극대이며 [eqn: f``(0)=0]이므로 [eqn: y=f``(x)]의 개형을 그리면 오른쪽 그림과 같다.

이 때, [eqn: y=a~(a>0)]가 [eqn: y=f``(x)]와 서로 다른 두 점에서 만나려면 극대점을 지나야 한다. 따라서 극대값은 [eqn: a]이다.  [eqn: therefore~]참

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]는 서로 다른 세 점에서 극값을 갖는다. ㄴ. [eqn: 4 ＜ x _{1} ＜ x _{2} ＜ 6`]인 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( {x _{1} +x _{2}} over {2} RIGHT ) ＜ {f LEFT ( x _{1} RIGHT )+f LEFT ( x _{2} RIGHT )} over {2}`]이다. ㄷ. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )=0`]일 때, 양의 실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: y =f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 [eqn: y =a `]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]의 극댓값은 [eqn: a`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 09월 미분과 적분 29

다항함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]에 대하여 다음 표는 [eqn: x`]의 값에 따른 [eqn: f LEFT (x RIGHT )], [eqn: f `' LEFT (x RIGHT )], [eqn: f `'' LEFT (x RIGHT )`]의 변화 중 일부를 나타낸 것이다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: x]	[eqn: x<1]	[eqn: x=1]	[eqn: 1<x<3]	[eqn: x=3]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: 0]		[eqn: 1]
[eqn: f`''(x)]	[eqn: +]		[eqn: +]	[eqn: 0]
[eqn: f(x)]		[eqn: pi over 2]		[eqn: pi]

위의 표에서 [eqn: x<1`], [eqn: 1<x<3`]일 때, [eqn: f`''(x)>0`]이므로 [eqn: f`'(x)]는 증가하고 이 구간에서 [eqn: f(x)~]의 그래프는 아래로 볼록하다. 또한, [eqn: x=1`]일 때, [eqn: f`'(x)`=0`]이므로 [eqn: x=1`]의 좌우에서 [eqn: f(x)`]의 부호가 [eqn: -`]에서 [eqn: +`]로 바뀌게 된다. 따라서 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 극솟값을 갖고 그래프는 아래로 볼록하다.

ㄱ. [eqn: g(x)= sin (f(x))]에서
[eqn: g`'(x) = cos (f(x)) times f`'(x)]
∴ [eqn: g`'(3) = cos (f(3)) times f`'(3)]
[eqn: = cos pi times f`'(3)][eqn: =(-1) times 1][eqn: =-1] (참)

ㄴ. [eqn: 1<x<3`]에서 [eqn: f(x)~]의 그래프는 아래로 볼록하며 증가하므로 [eqn: pi over 2 < f(x) < pi `]
따라서 [eqn: pi over 2 < f(x) < pi `]에서
[eqn: g(x) = sin( f(x))]의 그래프는 감소하면서 위로 볼록하다.

[eqn: x=1`]일 때,
[eqn: g`'(1 ) = cos (f(1)) times f`'(1)][eqn: = cos pi over2 times 0 = 0]
[eqn: x= 3`]일 때,
[eqn: g`'(3 ) = cos (f(3)) times f`'(3)][eqn: = cos pi times 1 = -1]
따라서 [eqn: 1<a<b<3`]에서
[eqn: -1 < { g(b) - g(a)} overb-a <0] (참)

ㄷ. [eqn: g`''(x) = - sin (f(x)) times f`'(x) times f`'(x)]
[eqn: + cos (f(x)) times f`''(x)]
[eqn: x=1`]일 때,
[eqn: g`''(1) = - sin (f(1)) times f`'(1) times f`'(1)]
[eqn: + cos (f(1)) times f`''(1)]
[eqn: =-sin {pi } over {2} TIMES 0 TIMES 0+cos {pi } over {2} times pi over 2 =0]
이지만 [eqn: x<1`]과 [eqn: x>1`]에서 [eqn: g`''(x)`]의 부호가 같으므로 [eqn: x=1`]에서 변곡점을 갖지 않는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: x]	[eqn: x < 1]	[eqn: x=1]	[eqn: 1 < x < 3]	[eqn: x=3]
[eqn: f `' LEFT (x RIGHT )]		[eqn: 0]		[eqn: 1]
[eqn: f `' ' LEFT (x RIGHT )]	[eqn: +]		[eqn: +]	[eqn: 0]
[eqn: f LEFT (x RIGHT )]		[eqn: {pi } over {2}]		[eqn: pi]

함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )=sin` LEFT ( f LEFT (x RIGHT ) RIGHT )`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g `' LEFT (3 RIGHT )=`-1] ㄴ. [eqn: 1 < a < b < 3`]이면 [eqn: -1 < {g LEFT (b RIGHT )-g LEFT (a RIGHT )} over {b-a} < 0`]이다. ㄷ. 점 [eqn: rmP LEFT (1,`` 1 RIGHT ) `]은 곡선 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )`]의 변곡점이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 07월 18

실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 미분가능하고 도함수 [eqn: f `' LEFT (x RIGHT )`]가 연속이다. [eqn: x `]축과의 교점의 [eqn: x `]좌표가 [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d `]뿐인 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {f `' LEFT ( x RIGHT )} over {x}`]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: f(x)]에 대한 증감표를 작성하면

[eqn: x]	-	[eqn: b]	-	[eqn: 0]	+	[eqn: c]	+	[eqn: d]	+
[eqn: g(x)]	+	[eqn: 0]	-		+	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+
[eqn: f` prime (x)]	-		+		+		-		+
[eqn: f(x)]	↘	극소	↗		↗	극대	↘	극소	↗

ㄱ. [eqn: f(x)]는 열린 구간 [eqn: (`b, ``0`)]에서 증가한다.(참)

ㄴ. [eqn: f(x)]는 [eqn: x=b`]에서 극솟값을 갖는다.(참)

ㄷ. [eqn: f(x)]는 닫힌 구간 [eqn: [``a,```e]]에서 [eqn: x=b], [eqn: c], [eqn: d]에서 극값을 가지므로 [eqn: 3]개의 극값을 갖는다. (거짓)

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]는 열린 구간 [eqn: LEFT (b,`` 0 RIGHT ) `]에서 증가한다. ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]는 [eqn: x=b `]에서 극솟값을 갖는다. ㄷ. 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]는 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ a,`` e RIGHT ]`]에서 [eqn: 4`]개의 극값을 갖는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
03 그래프의 개형
03 그래프의 개형3 (주어진 함수의 해석. 합답형)

[출처]	2007 모의_공공 평가원 고3 11월 미분과 적분 27

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = x+sin`x `]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]를

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: f(x)`=`x+sinx]에서

[eqn: f` prime`(x)`=`1`+`cosx`], [eqn: f` prime` prime (x)`=`-`sinx`]

[eqn: 0``＜x``＜pi]에서  [eqn: 0``＜ `sinx``＜1]

[eqn: THEREFORE][eqn: -1`＜```f` prime` prime (x)`＜```0`]

따라서, [eqn: f(x)]는 [eqn: 0``＜x``＜pi]에서 위로 볼록하다. (참)

ㄴ. [eqn: g`prime (x)`=`f` prime`(`f(x)`)`f` prime`(x)][eqn: `=``(`1+`cosf(x)`)`(`1+`cosx)]

[eqn: 0``＜x``＜pi]에서 [eqn: -1`＜ cosx`＜1], [eqn: cosf(x)``＞``0`]이므로

[eqn: 1+`cosf(x)`＞0`,``````1+`cosx ``＞`0`][eqn: THEREFORE][eqn: g`` prime(x)``＞``0]

따라서, [eqn: g(x)]는[eqn: 0``＜x``＜pi]에서 증가한다. (참)

ㄷ. [eqn: g(0)`=`f(f(0))=f(0)`=`0]

[eqn: g(pi)`=f(f(pi))=f(pi)=pi]

[eqn: g(x)]가 [eqn: [0`,`pi]]에서 연속이고, [eqn: (0, pi)]에서

미분가능하므로

[eqn: f` prime`(`x`)`=`{g(pi)-g(0)} over {pi-0}`=`1]인[eqn: x][eqn: (`0``＜``x``＜``pi`)]

가 적어도 하나 존재한다. (평균값 정리) (참)

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= LEFT (f circf RIGHT ) LEFT (x RIGHT )`]

로 정의할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]의 그래프는 열린구간 [eqn: LEFT (0,`` pi RIGHT ) `]에서 위로 볼록하다. ㄴ. 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]는 열린구간 [eqn: LEFT (0,`` pi RIGHT )`]에서 증가한다. ㄷ. [eqn: g`' LEFT (x RIGHT )=1`]인 실수 [eqn: x `]가 열린구간 [eqn: LEFT (0,`` pi RIGHT )`]에 존재한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2013 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

함수 [eqn: f(x)=x sin x]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(x)=x sin x]에서

[eqn: f `prime (x)= sin x+x cos x], [eqn: f `prime prime (x)=2 cos x-x sin x]

ㄱ. [eqn: f `prime (0)=0], [eqn: f `prime prime (0)=2>0]이므로
[eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극솟값을 갖는다. (참)

ㄴ. 원점에서 곡선 [eqn: y=f(x)]에 그은 접선을 생각하자.
곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,`` t sin t)]에서의 접선의 방정식은
[eqn: y=( sin t+t cos t)(x-t)+t sin t]
위 직선이 원점을 자날 때,
[eqn: 0=( sin t+t cos t)(0-t)+t sin t]
[eqn: t^{2} cos t=0]
[eqn: therefore~t=0] 또는 [eqn: cos t=0]
[eqn: t=2 n pi+{ pi} over {2}]( [eqn: n]은 정수 [eqn: )]일 때, [eqn: f `prime (x)=1]이므로
곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: left(2 n pi+{ pi} over {2},`` 2 n pi+{ pi} over {2} right)]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=x]이다.
따라서 직선 [eqn: y=x]는 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접한다. (참)

ㄷ. [eqn: f `prime left({ pi} over {2} right)=1>0]이고 [eqn: f `prime left({3} over {4} pi right)={ sqrt{2}} over {2} left(1-{3} over {4} pi right)<0]이므로
[eqn: f(a)=0]이고 [eqn: f `prime (x)]의 부호가 [eqn: x=a]를 기준으로 양에서 음으로 바뀌도록 하는 [eqn: a]가 구간 [eqn: left({ pi} over {2},`` {3} over {4} pi right)]에 존재한다.
따라서 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 극댓값을 갖는 [eqn: a]가 구간 [eqn: left({ pi} over {2},`` {3} over {4} pi right)]에 존재한다. (참)

따라서 [eqn: rm 7], , ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

[다른 풀이]

ㄴ. 직선 [eqn: y=x]와 곡선 [eqn: y=f(x)]와 점 [eqn: (t,`` t)]에서 접할 때,
[eqn: f(t)=t]이고 [eqn: f `prime (t)=1]이다.
[eqn: f(t)=t]에서 [eqn: t sin t=t]

[eqn: therefore~t=0] 또는 [eqn: t=2 n pi+{ pi} over {2}]( [eqn: n]은 정수[eqn: )]
[eqn: t=0]일 때, [eqn: f `prime (t)=0]이고
[eqn: t=2 n pi+{ pi} over {2}]일 때, [eqn: f `prime (t)=1]이므로
함수 [eqn: y=f(x)]는 직선 [eqn: y=x]와 점 [eqn: left(2 n pi+{ pi} over {2},`` 2 n pi+{ pi} over {2} right)]에서 접한다. (참)

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극솟값을 갖는다. ㄴ. 직선 [eqn: y=x]는 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접한다. ㄷ. 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 극댓값을 갖는 [eqn: a]가 구간 [eqn: left({ pi} over {2},`` {3} over {4} pi right)]에 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 09월

[eqn: 3] 이상의 자연수 [eqn: n `]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x ^{n} e ^{-x}]에서
[eqn: f LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) = LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) ^{n} e ^{- {n} over {2}}]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠
또한 [eqn: f `prime LEFT (x RIGHT )=nx ^{n-1} e ^{-x} -x ^{n} e ^{-x} =x ^{n-1} e ^{-x} LEFT (n-x RIGHT )]이므로
[eqn: f `prime LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) = LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) ^{n-1} TIMES e ^{- {n} over {2}} TIMES {n} over {2} = LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) ^{n} e ^{- {n} over {2}}]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡
㉠, ㉡에서 [eqn: f LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) =f `prime LEFT ( {n} over {2} RIGHT )]	(참)

ㄴ. [eqn: f `prime LEFT (x RIGHT )=x ^{n-1} e ^{-x} LEFT (n-x RIGHT )]이므로 [eqn: f `prime LEFT (n RIGHT )=0]
또한 [eqn: 0<x<n]일 때 [eqn: f `prime LEFT (x RIGHT )>0]이고, [eqn: x>n]일 때 [eqn: f `prime (x)<0]이므로
함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]는 [eqn: x=n]에서 극댓값을 갖는다.	(참)

ㄷ. [반례] [eqn: f `prime LEFT (x RIGHT )=x ^{n-1} e ^{-x} LEFT (n-x RIGHT )]에서
[eqn: f `prime prime (x)=][eqn: LEFT (n-1 RIGHT )x ^{n-2} e ^{-x} LEFT (n-x RIGHT )+x ^{n-1} LEFT ( -e ^{-x} RIGHT ) LEFT (n-x RIGHT )]
[eqn: +x ^{n-1} e ^{-x} TIMES LEFT (-1 RIGHT )]
[eqn: =x ^{n-2} e ^{-x} LEFT ( x ^{2} -2nx+n ^{2} -n RIGHT )]
[eqn: n=4]일 때, [eqn: f `prime prime LEFT (x RIGHT )=x ^{2} e ^{-x} LEFT ( x ^{2} -8x+12 RIGHT )]이므로 [eqn: f `prime prime LEFT (0 RIGHT )=0]이지만 [eqn: x=0]의 좌우에서 [eqn: f `prime prime LEFT (x RIGHT )]의 부호가 바뀌지 않으므로 점 [eqn: (0,``0)]이 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )]의 변곡점이라 할 수 없다.	(거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: f LEFT (x RIGHT ) = x^n e^-x`]

일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT ( n over 2 RIGHT ) = f `' LEFT ( n over 2 RIGHT )] ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]는 [eqn: x = n `]에서 극댓값을 갖는다. ㄷ. 점 [eqn: LEFT (0,`` 0 RIGHT ) `]은 곡선 [eqn: y = f LEFT (x RIGHT ) `]의 변곡점이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 20

열린구간 [eqn: (0,~2pi)]에서 정의된 함수

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: f(x)= cos x+2 x sin x]에서

[eqn: f `prime (x)=- sin x+2 sin x+2 x cos x= sin x+2 x cos x]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x= alpha], [eqn: x= beta(0< alpha< beta<2 pi)]에서 극값을 가지므로

[eqn: f `prime ( alpha)= sin alpha+2 alpha cos alpha=0]

[eqn: cos alpha=0]이면 [eqn: sin alpha= +- 1]이고, [eqn: f `prime ( alpha) neq 0]이므로 모순이다.

따라서 [eqn: cos alpha neq 0]이고 [eqn: sin alpha=-2 alpha cos alpha]
[eqn: {sin alpha} over {cos alpha} =-2 alpha,~ tan alpha=-2alpha]

함수 [eqn: y= tan x]의 주기는 [eqn: pi]이므로

[eqn: tan ( alpha+ pi)= tan alpha=-2 alpha]                   (참)

ㄴ. ㄱ과 같은 방법으로 [eqn: tan beta=-2 beta]이므로 그림에서 곡선 [eqn: y=g(x)]와 직선 [eqn: y=-2 x]가 만나는 두 점을 [eqn: {rm{A}} it ( alpha,`` tan alpha)], [eqn: {rm{B}} it ( beta,`` tan beta)]라 하고, 점 [eqn: {rm{A}} it]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: pi]만큼 평행이동한 점을 [eqn: {rm{A}} it `prime ( alpha+ pi,`` tan alpha)]라 하면 점 [eqn: {rm{A}} it `prime]은 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점이고, 두 점 [eqn: {rm{A}} it `prime], [eqn: {rm{B}} it]에서의 접선의 기울기는 각각 [eqn: g `prime ( alpha+ pi)], [eqn: g `prime ( beta)]이므로

[eqn: g `prime ( alpha+ pi)<g `prime ( beta)`]                         (참)

ㄷ. [eqn: -2 alpha= tan ( alpha+ pi)], [eqn: 2 beta=- tan beta]이므로

[eqn: {2( beta- alpha)} over { alpha+ pi- beta}={ tan ( alpha+ pi)- tan beta} over { alpha+ pi- beta}]는 직선 [eqn: {rm{A}} it `prime {rm{B}} it]의 기울기이다.

또 [eqn: g `prime (x)=( tan x) `prime = sec ^{2} x]이므로

[eqn: g `prime ( alpha+ pi)= sec ^{2}( alpha+ pi)={1} over { cos ^{2}( alpha+ pi)}={1} over { cos ^{2} alpha}= sec ^{2} alpha]

즉, [eqn: sec ^{2} alpha]는 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: {rm{A}} it `prime]에서의 접선의 기울기이다.

따라서 [eqn: {2( beta- alpha)} over { alpha+ pi- beta}> sec ^{2} alpha]                 (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: f(x)=cos`x+2x`sin`x]

가 [eqn: x=alpha]와 [eqn: x=beta]에서 극값을 가진다. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: alpha<beta])

	<보 기>
ㄱ. [eqn: tan(alpha+pi)=-2alpha] ㄴ. [eqn: g(x)=tan`x]라 할 때, [eqn: g'(alpha+pi)<g'(beta)]이다. ㄷ. [eqn: {2(beta-alpha)} over {alpha+pi-beta} <sec ^{2} `alpha]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
03 그래프의 개형
05 그래프의 개형5 (함수 구하기)

[출처]	2006 모의_공공 평가원 고3 11월 미분과 적분 29

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]에 대하여 점 [eqn: {rmA} LEFT (a,`` f LEFT (a RIGHT ) RIGHT )`]를 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]의 변곡점이라 하고, 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: \A`]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y= g LEFT (x RIGHT )`]라 하자. 직선 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )`]가 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]의 그래프와 점 [eqn: {rm B} LEFT (b,`` f LEFT (b RIGHT ) RIGHT ) `]에서 접할 때, 함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT )`]를 [eqn: h LEFT (x RIGHT ) = f LEFT (x RIGHT ) - g LEFT (x RIGHT )`] 라 하자. <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?
(단, [eqn: a ≠b `]이다.)

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: h(x)=f(x)-g(x)]이므로 [eqn: h(x)`]는 미분가능하고, [eqn: h'(x) = f``'(x)-g'(x)`]이다.

ㄱ. 두 함수 [eqn: f(x),~g(x)`]의 그래프가 [eqn: x=b`]에서 접하므로

[eqn: f(b)=g(b),~f``'(b)=g'(b)`]

∴ [eqn: h'(b)=f`'(b)-g'(b)=0`] (참)

ㄴ. 두 함수 [eqn: f(x),~g(x)`]의 그래프가 [eqn: x=a`]에서 접하므로

[eqn: f`(a)=g(a),~f``'(a)=g'(a)`]

∴ [eqn: h'(a)=f`'(a)-g'(a)=0`]

한편, 모든 실수의 구간에서 함수 [eqn: h(x)`]는 미분가능한 함수이고 [eqn: h(a)=h(b)=0`]이므로 평균값의 정리(롤의 정리)에 의하여 [eqn: h'(c)=0`]을 만족하는 실수 [eqn: c`]가 구간 [eqn: (a,~b)`]에 적어도 하나 존재한다.

그러므로 방정식 [eqn: h'(x)=0`]은 적어도 [eqn: x=a,~b,~c`]의 3개의 근을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: g(x)`]는 일차함수이므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g''(x)=0`]이다.

∴ [eqn: h''(x)= f``''(x)-g''(x) = f``''(x)`]

그런데, 점 [eqn: (a,f(a))`]가 곡선 [eqn: y=f(x)`]의 변곡점이므로 [eqn: f''(a)=0`]이고, [eqn: f`'''(x)!=0`]이다.

∴ [eqn: h''(a)=0`,~g'''(a)!=0`]

따라서 점 [eqn: {rm }(a,~h(a))`]는 곡선 [eqn: y=h(x)`]의 변곡점이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: h `' LEFT (b RIGHT )=0`] ㄴ. 방정식 [eqn: h`' LEFT (x RIGHT ) = 0`]은 [eqn: 3`]개 이상의 실근을 갖는다. ㄷ. 점 [eqn: LEFT (a,`` h LEFT (a RIGHT ) RIGHT )`]는 곡선 [eqn: y=h LEFT (x RIGHT )`]의 변곡점이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2011 모의_공공 평가원 고3 09월 21

삼차함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: alpha ,``beta ,``gamma`]는 방정식 [eqn: f(x) = x`]의 근이므로

[eqn: f(alpha ) = alpha`], [eqn: f ( beta ) = beta], [eqn: f( gamma ) = gamma`]

∴ [eqn: f(f(alpha)) = f(alpha)= alpha`]

[eqn: f(f(beta ) ) = f(beta )= beta`]

[eqn: f(f( gamma)) = f(gamma ) = gamma`]

따라서, [eqn: alpha ,`beta ,` gamma`]는 방정식 [eqn: f(f(x)) = x`]의 근이다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x) - x`]가 삼차식이므로

[eqn: h(x) = px^2 + qx+r`]로 놓을 수 있다.

∴ [eqn: f(f(x)) = left{ f(x) - x` right}` g(x) + h(x)`]

[eqn: = left{ f(x) - x `right} `g(x) + px^2 + qx+r`]

[eqn: f(f(alpha )) = p alpha^2 + q alpha + r = alpha`][eqn: cdots㉠`]

[eqn: f(f(beta )) = p beta^2 + q beta + r = beta``][eqn: cdots㉡]

[eqn: f(f( gamma )) = p gamma^2 + q gamma + r = gamma`][eqn: cdots㉢]

㉠-㉡에서 [eqn: p (alpha^2 - beta^2 ) + q (alpha - beta ) = alpha - beta`]

[eqn: alpha ne beta`]이므로 [eqn: p (alpha + beta ) + q = 1`][eqn: cdots㉣`]

㉡-㉢에서 [eqn: p (beta^2 - gamma^2 ) + q ( beta - gamma ) = beta - gamma`]

[eqn: beta ne gamma`]이므로 [eqn: p ( beta + gamma ) + q = 1`][eqn: cdots㉤`]

㉣-㉤에서 [eqn: p (alpha - gamma ) =0`]

[eqn: alpha ne gamma`]이므로 [eqn: p=0`]

㉣에서 [eqn: q = 1`]

㉠에서 [eqn: alpha + r = alpha`]이므로 [eqn: r=0`]

∴ [eqn: h(x) = x`] (참)

ㄷ. [eqn: f(f(x)) = left{ f(x) - x right} `g(x) + x`][eqn: cdots(*)`]

조건(나),(다)에서

[eqn: f(3) = 7`], [eqn: f(f(3)) = 5`]이므로

[eqn: f(f(3)) = left{ f(3) - 3 right}` g(3) + 3`]에서

[eqn: 5 = (7-3) g(3) + 3`] ∴ [eqn: g(3) = 1over2`]

[eqn: (*)`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(f(x))` f`'(x) `][eqn: = left{ f`'(x) - 1`right} `g(x) + left{ f(x) - x `right} `g`'(x) +1`]

[eqn: x=3`]을 대입하면

[eqn: f`'(f(3)) `f`'(3) `][eqn: = left{ f`'(3) -1 `right}` g(3) + left{ f(3) - 3 `right}` g`'(3) +1`]

조건(나)에서 [eqn: f`'(3) = 0`]이므로

[eqn: 0` = (0-1 ) times 1over2 + (7-3) `g`'(3) +1`]

[eqn: 4 `g'(3) = - 1over2`] ∴ [eqn: g`'(3) = - 1over8`] (거짓)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

(가) 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )-x=0`]이 서로 다른 세 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma `]를 갖는다.

(나) [eqn: x=3 `]일 때 극값 [eqn: 7`]을 갖는다.

(다) [eqn: f LEFT (f LEFT (3 RIGHT ) RIGHT )=5 `]

[eqn: f LEFT (f LEFT (x RIGHT ) RIGHT )`]를 [eqn: f LEFT (x RIGHT )-x`]로 나눈 몫을 [eqn: g LEFT (x RIGHT )], 나머지를 [eqn: h LEFT (x RIGHT )`]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma `]는 방정식 [eqn: f LEFT (f LEFT (x RIGHT ) RIGHT )-x=0`]의 근이다. ㄴ. [eqn: h LEFT (x RIGHT )=x] ㄷ. [eqn: g `' LEFT (3 RIGHT )=1]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 04월 19

그림과 같이 좌표평면에서 최고차항의 계수가 양수이고 원점을 지나는 삼차함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]의 그래프가 있다. 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]의 변곡점을 [eqn: rm A LEFT ( it a,`` f LEFT (a RIGHT ) RIGHT ) `]라 하고 원점을 지나는 직선 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT ) `]가 점 [eqn: rm B LEFT ( it b,`` f LEFT (b RIGHT ) RIGHT ) `]에서 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]에 접할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: 0<a<b])

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: f(x)=px ^{3} +qx ^{2} +rx```(p>0)]라 하고
[eqn: g(x)=mx][eqn: (m != 0)]라 하자.

두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f(x)-g(x)]의 변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: - {q} over {3p}]이므로 곡선 [eqn: y=f(x)-g(x)]의 변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a]이다. (참)

ㄴ. 그림과 같이 함수 [eqn: y=f(x)-g(x)]의 그래프는 원점을 지나고 [eqn: x=b]에서 [eqn: x]축에 접하므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =px(x-b) ^{2}]이다.

[eqn: LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } { prime } =p(x-b)(3x-b)]이므로

함수 [eqn: f(x)-g(x)]는 [eqn: x= {b} over {3}]에서 극댓값을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: h(x)=f(x)-g(x)= px(x-b)^2]
이라 하면 ㄱ 에서 [eqn: h prime prime(a) =0]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: a= 2b over 3]이므로 [eqn: {b-a} over {a} `= {1} over {2}] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

	<보 기>
ㄱ. 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )-g LEFT (x RIGHT ) `]의 변곡점의 [eqn: x `]좌표는 [eqn: a `]이다. ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )-g LEFT (x RIGHT ) `]는 [eqn: x= {b} over {3} `]에서 극댓값을 갖는다. ㄷ. [eqn: {b-a} over {a} = {1} over {2}]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 09월 30

양수 [eqn: a`]와 두 실수 [eqn: b], [eqn: c`]에 대하여 함수

[정답] [eqn: bold{ 15]

[해설]

[eqn: f(x)=(ax^2 +bx+c)e^x``]을 [eqn: x``]에 대하여 미분하면

[eqn: f^`' (x)=(ax^2 +(2a+b)x+b+c)`e^x]

[eqn: f(x)``]가 [eqn: x= sqrt { 3`}``], [eqn: x= -sqrt { 3`}``]에서 극값을 가지므로

[eqn: ax^2 +(2a+b)x+b+c=0]의 근이 [eqn: x= sqrt {3 }`, `-sqrt {3 }]

근과 계수와의 관계에서 [eqn: -{ 2a+b} over {a }=0``], [eqn: { b+c} over {a }=-3``]이므로

[eqn: b=-2a``], [eqn: c=-a``]

[eqn: THEREFORE`` f^`' (x)=a(x^2 -3)`e^x], [eqn: f(x)=a(x^2 -2x-1)e^x``]

[eqn: 0 leq x_1 <x_2"]인 임의의 두 실수 [eqn: x_1`,`x_2``]에 대하여

[eqn: f(x _{1} )-f(x _{2} )+x _{2} `-x _{1} GEQ 0``]이므로 양변을 [eqn: x _{2} `-x _{1} ( > 0`)`]로

나누어 식을 정리하면 [eqn: { f(x _{1} )-f(x _{2} ) } over {x _{2} `-x _{1} } GEQ -1``]

[eqn: f(x)``]가 [eqn: x geq 0``]에서 연속이고 미분 가능하므로 평균값 정리에 의하여

[eqn: { f(x _{1} )-f(x _{2} ) } over {x _{2} `-x _{1} } =f^``'(c)``] ([eqn: 0 leq x_1 <`c`<x_2"])이다.

[eqn: THEREFORE f^``'(c) geq`-1``]

즉, [eqn: x geq 0``]에서 [eqn: f^``'(x)``]의 최솟값이 [eqn: -1``]이고 [eqn: f(x)``]의 변곡점에서

[eqn: f^``'(x)``]의 최솟값을 가지므로

[eqn: f^``''(x)=a(x^2 +2x-3)`e^x =0``]에서 [eqn: x=-3`,`1]

[eqn: x geq 0``]을 만족하는 [eqn: x`=1``]에서 [eqn: f^``'(x)``]의 최솟값을 갖는다.

[eqn: f^``'(1)=-2ae=-1``]에서 [eqn: a`= { 1} over {2e }``][eqn: THEREFORE a leq { 1} over {2e }]

따라서, [eqn: abc=a(-2a)(-a)=2a^3 leq2 left( { 1} over {2e } right)^3 = { { 1} over {4 } } over {e^3 }]이므로 [eqn: k= { 1} over {4 }``]

[eqn: THEREFORE 60k=15``]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= LEFT (ax^{2}+bx+c RIGHT ) e^{x} `]

은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]는 [eqn: x=`-root{3}`]과 [eqn: x=root{3}`]에서 극값을 갖는다.

(나) [eqn: 0 leq x_{1} < x_{2} `]인 임의의 두 실수 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}`]에 대하여
[eqn: f LEFT (x_{2} RIGHT )-f LEFT (x_{1} RIGHT )+x_{2}-x_{1} geq0`]이다.

세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]의 곱 [eqn: abc`]의 최댓값을 [eqn: {k}over{e^{3}`]라 할 때, [eqn: 60k`]의 값을 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 06월 20

양수 [eqn: a `]와 실수 [eqn: b `]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=a e^{3x}+b e^{x} `]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT (0 RIGHT ) `]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: f `prime (x)=3 a e^{3 x}+b e^{x}]이고 [eqn: f `prime prime (x)=9 a e^{3 x}+b e^{x}]

조건 (가)에서 [eqn: x_{1}< ln {2} over {3}<x_{2}]를 만족시키는 모든 실수 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}]에 대하여 [eqn: f `prime prime left(x_{1} right)<0], [eqn: f `prime prime left(x_{2} right)>0] 또는 [eqn: f `prime prime left(x_{1} right)>0], [eqn: f `prime prime left(x_{2} right)<0]

(i) [eqn: f `prime prime left(x_{1} right)<0], [eqn: f `prime prime left(x_{2} right)>0]인 경우

함수의 극한의 대소 관계에 의하여

[eqn: lim _{x_1 rightarrow ln {2} over {3}-} f `prime prime left(x_1 right) leq 0], [eqn: ~ lim _{x_2 rightarrow ln {2} over {3}+} f `prime prime left(x_2 right) geq 0][eqn: cdots cdots] ㉠

이고, 함수 [eqn: f `prime prime (x)]는 [eqn: x= ln {2} over {3}]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x_{2} ``rarrow`` ln {2} over {3}+} f `prime prime left(x_{2} right)= lim _{x_{1} ``rarrow`` ln {2} over {3}-} f `prime prime left(x_{1} right)=f `prime prime left( ln {2} over {3} right) ~ cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: f `prime prime left( ln {2} over {3} right) leq 0], [eqn: f `prime prime left( ln {2} over {3} right) geq 0]이므로 [eqn: f `prime prime left( ln {2} over {3} right)=0]

(ii) [eqn: f `prime prime left(x_{1} right)>0], [eqn: f `prime prime left(x_{2} right)<0]인 경우

같은 방법으로 [eqn: f `prime prime left( ln {2} over {3} right)=0]

(i), (ii)에서 [eqn: f `prime prime left( ln {2} over {3} right)=0]

[eqn: f `prime prime left( ln {2} over {3} right)=9 a e^{3 ln {2} over {3}}+b e^{ ln {2} over {3}}=9 a e^{ ln left({2} over {3} right)^{3}}+b e^{ ln {2} over {3}}]

[eqn: ~ =9 a times left({2} over {3} right)^{3}+b times {2} over {3}={8} over {3} a+{2} over {3} b=0]

즉, [eqn: b=-4 a]이므로

[eqn: f `prime (x)=3 a e^{3 x}+b e^{x}=3 a e^{3 x}-4 a e^{x}]

[eqn: =3 a e^{x} left(e^{2 x}-{4} over {3} right)]

이때 [eqn: lim _{x ``rarrow`` inf } f `prime (x)= inf]이므로 조건 (나)에서 함수 [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: [k,`` inf )]에서 [eqn: f `prime (x) geq 0]이다.

[eqn: f `prime (x)=3 a e^{x} left(e^{2 x}-{4} over {3} right) geq 0]에서 [eqn: a>0], [eqn: e^{x}>0]이므로

[eqn: e^{2 x}-{4} over {3} geq 0], [eqn: x geq {1} over {2} ln {4} over {3}]

즉, [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: k geq {1} over {2} ln {4} over {3}]이므로 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: m={1} over {2} ln {4} over {3}]

[eqn: f(x)=a e^{3 x}+b e^{x}=a e^{3 x}-4 a e^{x}]이므로

[eqn: f(2 m)=f left( ln {4} over {3} right)=a e^{3 ln {4} over {3}}-4 a e^{ ln {4} over {3}}=a e^{ ln left({4} over {3} right)^{3}}-4 a e^{ ln {4} over {3}}]

[eqn: =a times left({4} over {3} right)^{3}-4 a times {4} over {3}=-{80} over {27} a=-{80} over {9}]

에서 [eqn: a=3], [eqn: b=-4 a=-4 times 3=-12]

따라서 [eqn: f(0)=a+b=3+(-12)=-9]

(가) [eqn: x_{1}<ln{2}over{3}<x_{2} `]를 만족시키는 모든 실수 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2} `]에
대하여 [eqn: f `'' LEFT (x_{1} RIGHT )f `'' LEFT (x_{2} RIGHT )<0 `]이다.

(나) 구간 [eqn: LEFT [k,`` inf RIGHT ) `]에서 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]의 역함수가 존재하도록 하는 실수 [eqn: k `]의 최솟값을 [eqn: m `]이라 할 때, [eqn: f LEFT (2m RIGHT )=`-{80}over{9} `]이다.

① [eqn: -15]	② [eqn: -12]	③ [eqn: -9]

④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -3]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 03월 20

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +ax+b][eqn: LEFT ( 0<b< {pi } over {2} RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g (x)=sin LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: g(x)=sin LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT )]이므로

[eqn: g '(x)= LEFT ( 2x+a RIGHT ) cos LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT )]

조건 (가)에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: LEFT ( -2x+a RIGHT ) cos LEFT ( x ^{2} -ax+b RIGHT ) =it- LEFT ( 2x+a RIGHT ) cos LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT )]

[eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: a cos b=0]

[eqn: 0<b< {pi } over {2}]에서 [eqn: cos b != 0]이므로 [eqn: a=0]

[eqn: g(x)=sin LEFT ( x ^{2} +b RIGHT )], [eqn: g prime (x)=2x cos LEFT ( x ^{2} +b RIGHT )]

[eqn: g '' (x)=2 cos LEFT ( x ^{2} +b RIGHT ) -4x ^{2} sin LEFT ( x ^{2} +b RIGHT )]

조건 (나)에서 점 [eqn: LEFT ( k ,```` g LEFT ( k RIGHT ) RIGHT )]는 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 변곡점이므로

[eqn: g '' LEFT ( k RIGHT ) =0]

[eqn: 2 cos LEFT ( k ^{2} +b RIGHT ) -4k ^{2} sin LEFT ( k ^{2} +b RIGHT ) =0]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: k=0]이면 [eqn: 0<b< {pi } over {2}]에서 [eqn: cos b != 0]이므로 ㉠이 성립하지 않고, [eqn: cos LEFT ( k ^{2} +b RIGHT ) =0]이면 ㉠에서 [eqn: sin LEFT ( k ^{2} +b RIGHT ) =0]이므로 [eqn: sin ^{2} LEFT ( k ^{2} +b RIGHT ) +cos ^{2} LEFT ( k ^{2} +b RIGHT ) =1]이 성립하지 않는다.

따라서 [eqn: k!=0], [eqn: cos LEFT ( k ^{2} +b RIGHT ) != 0]

㉠에서 [eqn: tan LEFT ( k ^{2} +b RIGHT ) = {1} over {2k ^{2}}]	[eqn: cdotscdots] ㉡

조건 (나)에서

[eqn: 2k sin LEFT ( k ^{2} +b RIGHT ) =2 sqrt {3} k cos LEFT ( k ^{2} +b RIGHT )]

[eqn: tan LEFT ( k ^{2} +b RIGHT ) = sqrt {3}]	[eqn: cdotscdots] ㉢

㉡, ㉢에서 [eqn: {1} over {2k ^{2}} = sqrt {3}], [eqn: k ^{2} = {sqrt {3}} over {6}]

㉡에서 [eqn: tan LEFT ( {sqrt {3}} over {6} +b RIGHT ) = sqrt {3}]이고 [eqn: 0<b< {pi } over {2}]이므로

[eqn: {sqrt {3}} over {6} +b= {pi } over {3}], [eqn: b= {pi} over {3} - {sqrt {3}} over {6}]

따라서 [eqn: a+b][eqn: =0+left({pi } over {3} - {sqrt {3}} over {6}right)][eqn: = {pi} over {3} - {sqrt {3}} over {6}]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g` prime LEFT ( -x RIGHT ) =`-g` prime LEFT ( x RIGHT ) `]이다.

(나) 점 [eqn: LEFT ( k ,```` g(k) RIGHT )]는 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 변곡점이고, [eqn: 2k g (k) = sqrt {3} g ``prime LEFT ( k RIGHT )]이다.

두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은?

① [eqn: {pi } over {3} - {sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: {pi } over {3} - {sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: {pi } over {3} - {sqrt {3}} over {6}]

④ [eqn: {pi } over {2} - {sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: {pi } over {2} - {sqrt {3}} over {6}]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

세 상수 [eqn: {a}{{from^2020^08^사관고3가^중}}], [eqn: b], [eqn: c] ([eqn: a>0], [eqn: c>0])에 대하여 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: g(x) =-ax^2 +6ex +b]라 하면 [eqn: g``'(x) = -2ax +6e] 즉, [eqn: g``'(x)=0]인 점 [eqn: x= 3e overa]에서 극대가 된다.

[eqn: h(x)=][eqn: a(ln x) ^{2} -6ln x]라 하면 [eqn: h``'(x) ={ 2a lnx } over x - 6 over x] 즉 [eqn: h``'(x)=0]인 점 [eqn: ln x= {3} over {a}], [eqn: x= e^{3over a}]에서 극소가 된다.

따라서 [eqn: e ^{{3} over {a}} LEQ c LEQ {3e} over {a}]이고, (가), (나)조건에서 [eqn: e^{3over a} = 3e over a]

[eqn: 3 over a =x]라 하면 [eqn: y=e^x]와 [eqn: y=ex]의 그래프는 그림과 같이 [eqn: e^x ge ex]이고 등호는 [eqn: x=1]일 때 성립한다.

그러므로 [eqn: 3overa = 1]

[eqn: therefore][eqn: a=3,````c=e]	[eqn: cdotscdots] ㉠

㉠을 식에 대입하면

[eqn: f(x)= {cases{-3x ^{2} +6ex+b&&(x<e)#```3(ln x) ^{2} -6ln x&&(x ge e)}}]

(가)조건에서 [eqn: f(x)]는 모든 실수에서 연속이므로 [eqn: x=e]에서도 연속이어야 한다.

[eqn: -3e^2 +6e^2 +b =3-6]

[eqn: therefore][eqn: b=it-3-3e ^{2}]

[eqn: therefore][eqn: f(x)= {cases{-3x ^{2} +6ex-3-3e^2&&(x<e)#``````````````3(ln x) ^{2} -6ln x&&(x ge e)}}]

[eqn: THEREFORE][eqn: f LEFT ( {1} over {2e} RIGHT )][eqn: =it-3 LEFT ( {1} over {4e ^{2}} RIGHT ) + {6e} over {2e} -3-3e ^{2}]
[eqn: =it -3 LEFT ( e^2 + 1over4e^2 RIGHT )]

[eqn: f(x) = {cases{it -ax ^{2} +6ex+b&&&(x<c)#```a(ln x)^2 - 6ln x &&&( x ge c)}}]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(나) 함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 존재한다.

[eqn: f LEFT ( 1over2e RIGHT )]의 값은?

① [eqn: -4 LEFT ( e^2 + 1over4e^2 RIGHT )]	② [eqn: -4 LEFT ( e ^{2} - {1} over {4e ^{2}} RIGHT )]

③ [eqn: -3 LEFT ( }e^2 + 1over4e^2 RIGHT )]	④ [eqn: -3LEFT ( e ^{2} - {1} over {4e ^{2}} RIGHT )]

⑤ [eqn: -2 LEFT ( e ^{2} + {1} over {4e ^{2}} RIGHT )]

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
03 그래프의 개형
06 그래프의 개형6 (정의된 함수)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 06월 16

실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=x^{3}] 위의 점 [eqn: left(t,`` t^{3} right)]과 직선 [eqn: y=x+6] 사이의 거리를 [eqn: g(t)]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: left(t,`` t^{3} right)]과 직선 [eqn: y=x+6]사이의 거리 [eqn: g(t)]는

[eqn: g(t)={ left|t-t^{3}+6 right|} over { sqrt{2}}={ left|-t^{3}+t+6 right|} over { sqrt{2}}]

[eqn: g(t)=0]에서 [eqn: (t-2) left(t^{2}+2 t+3 right)=0]

[eqn: therefore~t=2]

[eqn: h(t)=-t^{3}+t+6]이라 하면

[eqn: h `prime (t)=-3 t^{2}+1]

[eqn: h `prime (t)=0]에서 [eqn: t= +- { sqrt{3}} over {3}]

이때, 함수 [eqn: y=h(t)]의 증가와 감소를 조사하면

다음 표와 같다.

[eqn: t]	[eqn: cdots]	[eqn: -{ sqrt{3}} over {3}]	[eqn: cdots]	[eqn: { sqrt{3}} over {3}]	[eqn: cdots]
[eqn: h `prime (t)]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]
[eqn: h(t)]	[eqn: searrow]	[eqn: {2 sqrt{3}} over {9}+6]	[eqn: nearrow]	[eqn: -{2 sqrt{3}} over {9}+6]	[eqn: searrow]

따라서 함수 [eqn: y=g(t)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

ㄱ. 함수 [eqn: g(t)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (참)

ㄴ. 함수 [eqn: g(t)]는 양수인 극솟값을 갖는다. (참)

ㄷ. 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=2]에서 미분불가능하 다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: g(t)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ㄴ. 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: rm 0]이 아닌 극솟값을 갖는다. ㄷ. 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=2]에서 미분가능하다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 29

[eqn: t> 2e]인 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = t (ln x)^2 - x^2]이 [eqn: x= k]에서 극대일 때, 실수 [eqn: k]의 값을 [eqn: g(t)]라 하면 [eqn: g(t)]는 미분가능한 함수이다. [eqn: g(alpha) = e^2]인 실수 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: alpha times left{` g '(alpha) `right} ^2 = q overp]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 17 }]

[해설]

[eqn: f(x) = t (ln x)^2 - x^2]이 [eqn: x= k]에서 극대일 때, 실수 [eqn: k]의 값을 [eqn: g(t)]이므로 [eqn: f``'(k)=0], 즉, [eqn: f '(g(t)) = 0]이 성립한다.

[eqn: f '(x) = {2t lnx } overx - 2x]에서

[eqn: f '(g(t))][eqn: ={2t ln g(t) } overg(t)} - 2 g(t) = 0]

[eqn: t ln g(t) - left{` g(t) `right} ^2 = 0]	[eqn: cdotscdots] ㉠

㉠에 [eqn: t= alpha]를 대입하면

[eqn: alpha ln g(alpha) - left{` g(alpha) `right} ^2 = 0]

그런데 [eqn: g(alpha) = e^2]이므로 [eqn: alpha ln e^2 - ( e^2 ) ^2 = 0]

[eqn: 2alpha - e^4 = 0]

[eqn: THEREFORE ```` alpha = e^4 over2]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: lng (t) + {t g '(t)} overg(t) - 2 g(t) g '(t) = 0]

[eqn: t =alpha]를 대입하면

[eqn: ln g(alpha) + {alpha g '(alpha) } over g(alpha) - 2 g (alpha) g '(alpha) = 0]

[eqn: ln e^2 + { e^4 over2 g '(alpha) } overe^2 - 2 e^2 g '(alpha) = 0]

[eqn: 2 + e^2 over2 g '(alpha) - 2 e^2 g '(alpha)= 0]

[eqn: THEREFORE ```` g '(alpha) = 4 over{ 3e^2]	[eqn: cdotscdots] ㉢

㉡, ㉢에서 [eqn: alpha times left{` g '(alpha) `right} ^2 = e^4 over2 times left( 4 over3e^2 right)^2 = e^4 over2 times 16 over 9e^4 = 8 over9]

따라서 [eqn: p=9,````q=8]이므로 [eqn: p+q = 8+ 9 = 17]

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
04 최대와 최소
01 Mm1 (Mm 구하기)

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 04월 21

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln LEFT ( 2x ^{2} +1 RIGHT )`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = {4x} over {2x ^{2} `+1}]이므로 [eqn: f`'`(-x)`=`-`f`'`(x)] (참)

ㄴ. [eqn: f` prime prime LEFT ( x RIGHT ) = {4 LEFT ( 2x ^{2} +1 RIGHT ) -4x CDOT 4x} over {LEFT ( 2x ^{2} +1 RIGHT ) ^{2}} = {4 LEFT ( 1-2x ^{2} RIGHT )} over {LEFT ( 2x ^{2} +1 RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: f` prime prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=- {1} over {sqrt {2}}] 또는 [eqn: x= {1} over {sqrt {2}}]

[eqn: x]	⋯	[eqn: - {1} over {sqrt {2}}]	⋯	[eqn: {1} over {sqrt {2}}]	⋯
[eqn: f` prime prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )]	↘	[eqn: - sqrt {2}]	↗	[eqn: sqrt {2}]	↘

[eqn: lim _{x -> - INF } {f` prime LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x -> INF } {f` prime LEFT ( x RIGHT )} =0]이므로 [eqn: y=f` prime LEFT ( x RIGHT )]의

그래프는 그림과 같다.

따라서 함수 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: sqrt {2}]이다. (참)

ㄷ. ⅰ) [eqn: x _{1} =x _{2}]일 때, 주어진 부등식은 성립한다.

ⅱ) [eqn: x _{1} != x _{2}]일 때, 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ x _{1} ,~x _{2} RIGHT ]]에서
평균값의 정리에 의하여 [eqn: {f LEFT ( x _{1} RIGHT ) -f LEFT ( x _{2} RIGHT )} over {x _{1} -x _{2}} =f` prime LEFT ( c RIGHT )]인
[eqn: c]가 열린 구간 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~x _{2} RIGHT )]에서 적어도 하나 존재한다.

ㄱ, ㄴ에 의하여 [eqn: - sqrt {2} LEQ f` prime LEFT ( x RIGHT ) LEQ sqrt {2}]이므로

[eqn: LEFT | {f LEFT ( x _{1} RIGHT ) -f LEFT ( x _{2} RIGHT )} over {x _{1} -x _{2}} RIGHT | ``= LEFT | `f` prime LEFT ( c RIGHT ) ` RIGHT | `` LEQ sqrt {2}]이다.

[eqn: THEREFORE] ⅰ), ⅱ)에 의하여 임의의 두 실수 [eqn: x _{1} ,~x _{2}]에
대하여 [eqn: LEFT | `f LEFT ( x _{1} RIGHT ) -f LEFT ( x _{2} RIGHT ) ` RIGHT | `` LEQ sqrt {2} ` LEFT | `x _{1} -x _{2} ` RIGHT |] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

	<보 기>
ㄱ. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f `' LEFT (-x RIGHT ) =`-f `' LEFT (x RIGHT )`]이다. ㄴ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]의 도함수 [eqn: f `' LEFT ( x RIGHT )`]의 최댓값은 [eqn: sqrt {2}`]이다. ㄷ. 임의의 두 실수 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}`]에 대하여 [eqn: LEFT | f LEFT ( x _{1} RIGHT ) -f LEFT ( x _{2} RIGHT ) RIGHT | LEQ sqrt {2} LEFT | x _{1} -x _{2} RIGHT |`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
04 최대와 최소
04 Mm4 (함수 구하기)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 29

이차함수 [eqn: {f(x)}{{from^2021^09^평가원^중}}]에 대하여 함수 [eqn: g(x)= left{` f(x)+2 `right} e^{f(x)}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 24 }]

[해설]

[eqn: g(x)= left{` f(x)+2 `right} e^{f(x)}]이므로

[eqn: g '(x)=f '(x) left{` f(x)+3 `right} e^f(x)]

[eqn: g '(x)=0]에서

[eqn: f '(x)=0] 또는 [eqn: f(x)+3=0]

[eqn: f(x)]가 이차함수이므로 조건 (가), (나)에 의해

[eqn: f '(a)=0], [eqn: f(a)=6]

[eqn: f(b)+3=0 ,```` f(b+6)+3=0]이어야 한다.

이차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수를 [eqn: p]라 하면 [eqn: f(b)+3=0 ,```` f(b+3)+3=0]이므로

[eqn: f(x)+3=p(x-b)(x-b-6)]

즉, [eqn: f(x)=p(x-b)(x-b-6)-3]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이때, [eqn: f '(a)=0]이므로 [eqn: {b+(b+6)}over2 =a]

[eqn: b=a-3]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: f(x)=p(x-a+3)(x-a-3)-3]이므로

[eqn: f(a)=it-9p-3=6]에서 [eqn: p=it-1]

방정식 [eqn: f(x)=0]에서

[eqn: -(x-a+3)(x-a-3)-3=0],

[eqn: (x-a)^2 -6=0]

[eqn: therefore][eqn: x=a+- root6]

따라서 [eqn: (alpha-beta)^2 = left{` (a+root6 )-(a-root6 ) `right} ^2 =24]

(가) [eqn: f(a)=6]인 [eqn: a]에 대하여 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=a]에서 최댓값을 갖는다.

(나) [eqn: g(x)]는 [eqn: x=b], [eqn: x=b+6]에서 최솟값을 갖는다.

방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha ,```` beta]라 할 때, [eqn: (alpha-beta)^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a ,```` b]는 실수이다.)

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
04 최대와 최소
05 Mm5 (정의된 함수)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 09월 21

자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]를 매개변수 [eqn: t`]로 나타내면

[정답] ②

[해설]

[eqn: y prime =e ^{t} LEFT { 2t ^{2} +(n+4)t+2n RIGHT }], [eqn: n=3]에서부터 [eqn: n=6]일 때 [eqn: y prime =0]인 경우를 찾으면 [eqn: n=3]일 때 [eqn: t=-2,`- {3} over {2}]

[eqn: n=4]일 때 [eqn: t=-2](중근), [eqn: n=5]일 때 [eqn: t=-2,`- {5} over {2}]

[eqn: n=6]일 때 [eqn: t=-2,`-3], [eqn: g(t)=2t ^{2} +(n+4)t+2n]이라고 하면 그래프와 t축의 교점 중 큰 값이 [eqn: y=f(x)]의 최솟값의 x좌표가 된다. [eqn: {dy} over {dt} =0]가 되는 [eqn: t]에 의해 결정되는 [eqn: x]의 값이 [eqn: {dy} over {dx} =0]가 되는 [eqn: x]이므로 [eqn: {b _{n}} over {a _{n}} = {y} over {x}]에서 [eqn: {y} over {x} =2t ^{2} +nt+n]

[eqn: n=3]일 때 [eqn: t=- {3} over {2}], [eqn: n=4]일 때 [eqn: t=-2], [eqn: n=5]일 때 [eqn: t=-2],

[eqn: n=6]일 때 [eqn: t=-2]를 대입하여 계산해주면,

∴[eqn: 3+4+3+2`=`12]

[eqn: {cases{x=e ^{t}#y= LEFT ( 2t ^{2} +nt+n RIGHT ) e ^{t}}}]

이고, [eqn: x{ge}e ^{- {n} over {2}} `]일 때 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=a _{n} `]에서 최솟값 [eqn: b _{n} `]을 갖는다. [eqn: {b _{3}} over {a _{3}} + {b _{4}} over {a _{4}} + {b _{5}} over {a _{5}} + {b _{6}} over {a _{6}} `]의 값은?

① [eqn: 23 over 2]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 25 over 2]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 27 over 2]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 06월 26

그림과 같이 좌표평면에 점

[정답] [eqn: 34]

[해설]

주어진 원이 [eqn: x`]축과 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 [eqn: rm B]라 하면 삼각형 [eqn: rmOQB]는 [eqn: ANGLE rm OQB it = {pi } over {2} `]인 직각삼각형이다.

[eqn: {bar{rm OB it}} =2]이므로 [eqn: {bar{rm OQ it}} =2`cos` theta `]이고

[eqn: {bar{rm OP it}} =2`cos` theta `-1]

점 [eqn: rm P]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면 점 [eqn: rm P]의 [eqn: y`]좌표는 선분 [eqn: rmPH]의 길이와 같으므로

[eqn: {bar{rm PH it}} = {bar{rm OP it}} `sin` theta = LEFT ( 2`cos` theta -1 RIGHT ) sin` theta ``]

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) `= LEFT ( 2`cos` theta -1 RIGHT ) sin` theta ``]라 하면

[eqn: f` prime LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = it -2`sin ^{2} ` theta + LEFT ( 2`cos` theta -1 RIGHT ) cos` theta `]
[eqn: = it -2`sin ^{2} ` theta +2``cos ^{2} ` theta -cos` theta `]
[eqn: = it -2` LEFT ( 1-`cos ^{2} ` theta RIGHT ) +2`cos ^{2} ` theta -cos` theta `]
[eqn: =4`cos ^{2} ` theta -cos` theta `-2]

[eqn: f` prime LEFT ( theta RIGHT ) =0]에서 [eqn: cos` theta = {1± sqrt {33}} over {8}]

[eqn: 0< theta < {pi } over {3}]이므로 [eqn: cos` theta = {1+ sqrt {33}} over {8}]이고 [eqn: cos` alpha = {1+ sqrt {33}} over {8}]이라 하면 [eqn: 0< theta < alpha `]일 때, [eqn: f` prime LEFT ( theta RIGHT ) >0], [eqn: alpha < theta < {pi } over {3}]일 때 [eqn: f` prime LEFT ( theta RIGHT ) <0]이므로 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )]는 [eqn: theta = alpha `]에서 극대이면서 최대이다.

따라서 [eqn: a=1], [eqn: b=33]이므로

[eqn: a+b=1+33=34]

[eqn: rm A LEFT ( 1,`` 0 RIGHT ) `]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원이 있다. 원 위의 점 [eqn: rmQ`]에 대하여 [eqn: ANGLE rm AOQ it = theta][eqn: LEFT ( 0< theta < {pi } over {3} RIGHT )`]라 할 때, 선분 [eqn: rm OQ] 위에 [eqn: {bar{rm PQ it}} =1`]인 점 [eqn: rm P`]를 정한다. 점 [eqn: rmP `]의 [eqn: y `]좌표가 최대가 될 때 [eqn: cos` theta = {a+ sqrt {b}} over {8} `]이다. [eqn: a+b `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 자연수이다.)

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
04 최대와 최소
06 Mm6 (활용)

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 09월 미분과 적분 30

그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: 90 DEG`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1 `]인 부채꼴 [eqn: rmAOB `]와 선분 [eqn: rmOA] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP `]가 있다. 선분 [eqn: rmOP `]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rmOPQR `]가 호 [eqn: rmAB `]와 서로 다른 두 점 [eqn: rmS], [eqn: rmT`]에서 만날 때, 정사각형[eqn: rmOPQR `]에서 점 [eqn: rmQ `]를 중심으로 하고 반지름이 [eqn: rmQS `]인 부채꼴 [eqn: rmSQT `]를 제외한 어두운 부분의 넓이를 [eqn: D ``]라 하자. [eqn: rmANGLE SOT= theta `]라 할 때, [eqn: D ``]가 최대가 되도록 하는 [eqn: theta `]에 대하여 [eqn: 10 pi tan` theta `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 20]

[해설]

[eqn: rm angle SOT=theta`]이므로

[eqn: rm angle SOP = pi over 4 - theta over 2][eqn: = t`]( [eqn: 0<= t <= pi over 4])로 놓으면

[eqn: rm bar OP =it cos t], [eqn: rm bar ST =it sin t]이므로

[eqn: D= cos^2 t - ( cos t - sin t )^2 pi over 4][eqn: = cos^2 t - ( 1- 2sin t cos t ) pi over 4]

[eqn: = cos^2 t - ( 1- sin2 t ) pi over 4]

[eqn: D`' = - 2 cos t sint + pi over 4 cdot 2 cos 2t][eqn: = - sin2 t + pi over 2 `cos 2t][eqn: =0`]

즉, [eqn: tan 2t = pi over 2`] ( [eqn: 0<= t <= pi over 4])를 만족하는 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: D`]는 최댓값을 갖는다.

[eqn: tan 2t][eqn: = tan 2 ( pi over 4 - theta over 2 ) =tan ( pi over 2 - theta)][eqn: = cot ( pi over 2 - theta)][eqn: = cot theta][eqn: = pi over 2]

∴ [eqn: tan theta = 2 over pi] ∴ [eqn: 10 pi tan theta = 10 pi times 2 over pi][eqn: = 20]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 06월 30

좌표평면에서 곡선 [eqn: y=x ^{2} +x] 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: s], [eqn: t][eqn: LEFT ( 0<s<t RIGHT ) `]라 하자. 양수 [eqn: k`]에 대하여 두 직선 [eqn: rmOA], [eqn: rmOB`]와 곡선 [eqn: y=x ^{2} +x`]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: k`]가 되도록 하는 점 [eqn: LEFT ( s,``t RIGHT ) `]가 나타내는 곡선을 [eqn: C``]라 하자. 곡선 [eqn: C`] 위의 점 중에서 점 [eqn: LEFT ( 1,``0 RIGHT ) `]과의 거리가 최소인 점의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: {2} over {3} `]일 때, [eqn: k= {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: rmO`]는 원점이고, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 109]

[해설]

구하려고 하는 부분의 넓이는

[eqn: (선분```OB와```포물선으로```둘러싸인```도형)]

[eqn: -(선분```OA와```포물선으로```둘러싸인```도형)]

이므로 [eqn: {1} over {6} t ^{3} - {1} over {6} s ^{3}]이다. ([eqn: BECAUSE]포물선과 이차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 [eqn: {1} over {6} |a|(beta-alpha) ^{3}])이 값이 [eqn: k]이므로 [eqn: (s,```t)]가 그리는 도형 [eqn: C]의 방정식은 [eqn: x ^{3} -y ^{3} =-6k][eqn: LRARROW][eqn: y^3 =x^3 +6k][eqn: cdots] ①

곡선 [eqn: C``]위의 점 중에서 점 [eqn: (1,```0)``]과의 거리가 최소인 점의 [eqn: x``]좌표가 [eqn: 2 over 3 ``]이려면 그림에서와 같이 [eqn: x= 2 over3]인 그래프 위의 점에서 접선과 수직인 직선이 [eqn: (1,~0)]을 지나야 한다.

[eqn: 2 over3]

[eqn: 1]

[eqn: y^3 = x^3 + 6k]

①의 식을 미분하면 [eqn: 3y^2 y`' = 3x^2 , ~~y`' = x^2 over y^2]

[eqn: x= 2 over3]에서 [eqn: y=a] 라 두면 접선의 기울기는 [eqn: 4 over {9a^2 }]

따라서 접선에 수직인 접선의 기울기는 [eqn: - {9a^2 } over 4]

직선의 식은 [eqn: y -a = - 9 over 4 a^2 (x- 2over3 )]

[eqn: (1,~0)]을 지나므로 [eqn: -a = - 9 over 4 a^2 times 1over3]

[eqn: a ne 0] 이므로 [eqn: a= 4 over3], [eqn: left( 4over3 right)^3 = left( 2over3 right)^3 + 6k]

[eqn: therefore ~ 6k= 56 over 27], [eqn: k = 28 over 81][eqn: therefore~ p+q = 109]

<다른 풀이>

[eqn: y^3 =x^3 +6k][eqn: cdots] ①

[eqn: y= left( x^3 +6k right)^ {1over 3}] 곡선 [eqn: C``]위의 점 중에서 점 [eqn: (1,```0)``]과의 거리가 최소인 점의 [eqn: x``]좌표가 [eqn: 2 over 3 ``]이려면 그림에서와 같이 [eqn: x= 2 over3]인 그래프 위의 점에서 접선과 수직인 직선이 [eqn: (1,~0)]을 지나야 한다.

[eqn: 2 over3]

[eqn: 1]

[eqn: y= ( x^3 + 6k )^ { 1over 3}]

[eqn: f(x)= left( x^3 +6k right)^ {1over 3}] 라 두면 [eqn: f( 2over3 ) = left{ ( 2over3 )^3 + 6k right}^ {1 over3}]

[eqn: f`'(x ) = 1over3 left( x^3 +6k right)^ {- 2over 3} times (3x^2 ) = x^2 left( x^3 +6k right)^ {- 2over 3}]

[eqn: f`'( 2 over 3 ) = ( 2 over 3 )^2 left{ ( 2over 3 )^3 +6k right}^ {- 2over 3}]

[eqn: left{ ( 2over3 )^3 + 6k right}^ {1 over3} =a]라 두면 [eqn: f( 2over3 ) =a],

[eqn: f`' ( 2over 3 ) = 4 over 9 a^{- 2 } = 4 over { 9a^2 }] 따라서 주어진 직선의 기울기를 [eqn: m] 이라 두면 [eqn: f`'( 2 over 3 ) times m =-1][eqn: therefore ~ m = - {9a^2 } over 4]

따라서 직선의 식은 [eqn: y-a = - 9 over 4 a^2 (x- 2over3 )]

[eqn: (1,~0)]을 지나므로 [eqn: -a = - 9 over 4 a^2 times 1over3]

[eqn: a ne 0] 이므로 [eqn: a= 4 over3], [eqn: left{ ( 2over3 )^3 + 6k right}^ {1 over3} = 4 over 3]

[eqn: ( 2over3 )^3 + 6k = 64 over 27][eqn: therefore ~ 6k= 56 over 27], [eqn: k = 28 over 81][eqn: therefore~ p+q = 109]

<다른 풀이>

곡선 [eqn: C] 위의 점 [eqn: (x`,```y)]에서 [eqn: (1`,``0)]까지의 거리를 [eqn: l]이라고 하면 [eqn: l^2 = (x-1)^2 + y^2]이다. [eqn: y =(x^3 + 6k )^ { 1 over3}]을 대입하면 ([eqn: because ~①])

[eqn: l^2 = (x-1)^2 + (x^3 +6k )^{2 over3}]이다. [eqn: f(x) = (x-1)^2 + (x^3 + 6k )^{2 over3}]라고 하면 [eqn: l^2]이 최소일 때 [eqn: f(x)]도 최소이므로 주어진 조건에 의해서 [eqn: f prime left( 2 over3 right) =0]이다. [eqn: f prime(x) =2(x-1) + 2 over3 (x^3 +6k) ^{- 1 over3 } cdot(3x^2 )]

[eqn: `f prime left( 2 over3 right) = 2 left( - 1 over3 right) + 2 over3 left(6k + 8 over27 right) ^{ - 1 over3 } cdot3 cdot 4 over 9 =0]에서 [eqn: k= 28 over81]이다.

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 10월 30

그림과 같이 [eqn: bar{\AB} = 2], [eqn: bar{rm AD it} =2 sqrt {3}`]인 직사각형 [eqn: \ABCD`]가 있다. 선분 [eqn: \BC] 위의 점 [eqn: \P`]에 대하여 선분 [eqn: \AP`]의 수직이등분선이 두 직선 [eqn: \AB], [eqn: \AD`]와 만나는 점을 각각 [eqn: \Q], [eqn: \R`]라 하자. 선분 [eqn: \QR`]의 길이의 최솟값이 [eqn: k `]일 때, [eqn: 4k^2 `]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rm P `]는 점 [eqn: rm B `]가 아니다.)

[정답] [eqn: 27]

[해설]

선분 [eqn: rmAP`]의 중점을 [eqn: rmM`], [eqn: anglermBAP` =it theta`][eqn: LEFT ( 0 < theta le piover3 RIGHT )]라 하면

[eqn: bar{rm AP it} = {2} over {cos` theta }`], [eqn: bar{rm AM it} = 1over2 bar{\AP} = {1} over {cos` theta } `], [eqn: bar{rm AQ it} `= {bar{rm AM it}} over {cos theta } = {1} over {cos ^{2} ` theta }]

삼각형 [eqn: rmAQR`]에서 [eqn: bar{rmAM}`][eqn: bot][eqn: bar{rmQR}`]이므로 [eqn: angle rmARQ =it theta`]

∴ [eqn: bar{rm QR it} `= {bar{rm AQ it}} over {sin` theta } = {1} over {cos ^{2} theta `sin theta }][eqn: = { 1} over {sin theta - sin ^3 theta }]

[eqn: sin`theta`=t`]라 하면 [eqn: bar{rm QR it}= {1} over {t -t^3 }]

[eqn: f(t) =][eqn: t - t^3][eqn: LEFT ( 0 < t le { sqrt { 3} } over {2 } RIGHT )]이라 하자.

[eqn: f`'(t) =1-3t^2 =0`]에서 [eqn: t= {sqrt {3}} over {3}] 또는 [eqn: t=` -{sqrt {3}} over {3}]

[eqn: f`(t)`]는 [eqn: t= {sqrt {3}} over {3}]일 때, 최댓값 [eqn: f LEFT ( {sqrt {3}} over {3} RIGHT )]을 가진다.

[eqn: bar{rm QR it} = {1} over {f(t)} GEQ {1} over {f LEFT ( {sqrt {3}} over {3} RIGHT )}][eqn: = {3 sqrt {3}} over {2} `] ∴ [eqn: 4`k ^{2} =4 timesLEFT ( {3 sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{2} =27]

<다른 풀이>

[eqn: bar{\AQ} = x]라 하면 [eqn: bar{\AQ} = bar{\QP}][eqn: =x]이므로

[eqn: bar{\BP} = sqrt {x^2 - LEFT ( 2-x RIGHT )^2 } = sqrt { 4x-4}][eqn: = 2 sqrt { x-1}]

∴ [eqn: bar{\AP} = sqrt { 2^2 + (4x-4)} = 2sqrt {x }]

두 직각삼각형 [eqn: \ABP], [eqn: \RAQ]는 서로 닮은 도형이므로

[eqn: bar{rm AQ it} : bar{rm QR it} = bar{rm BP it} : bar{rm PA it}]에서

[eqn: bar{rm QR it} = {bar{rm AQ it} · bar{rm PA it}} over {bar{rm BP it}} = {2x sqrt {x}} over {2 sqrt {x-1}}][eqn: ={ x sqrtx} over { sqrt { x-1} }]

[eqn: {bar{rm QR it}}^2 =f(x)]라 하면 [eqn: f(x)= { x^3} over { x-1}] (단, [eqn: 1<x LEQ 4])

[eqn: f` prime (x)= {3x ^{2} (x-1)-x ^{3}} over {(x-1) ^{2}}][eqn: = {x ^{2} (2x-3)} over {(x-1) ^{2}}]

함수 [eqn: f(x)]의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: (1)]	…	[eqn: {3} over {2}]	…	[eqn: 4]
[eqn: f``'(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]		↘	[eqn: 27 over 4]	↗	[eqn: 64 over 3]

∴ [eqn: 4k ^{2} ``=4f LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) `=27`]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 04월 21

그림과 같이 좌표평면 위에 네 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,`` 0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 3,`` 0 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( 3,`` 2 RIGHT )], [eqn: rm D LEFT ( 1,`` 2 RIGHT )`]를 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rmABCD`]가 있다. 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형 [eqn: rmEFGH`]의 두 대각선의 교점이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위에 있을 때, 두 정사각형의 내부의 공통부분의 넓이의 최댓값은?
(단, 정사각형의 모든 변은 [eqn: x`]축 또는 [eqn: y`]축에 수직이다.)

[정답] ④

[해설]

정사각형 [eqn: rmEFGH]의 두 대각선의 교점을 [eqn: rmP]라 하자.

동경 [eqn: {rm OP it}]가 나타내는 각을 [eqn: theta]라 하면 공통부분이 생기는 [eqn: theta]의 범위는 [eqn: - {pi} over {2} <theta< {pi} over {2}]이다.

점 [eqn: rm P it LEFT ( cos theta `,``sin theta RIGHT )], 점 [eqn: rm G it LEFT (cos theta +1,``sin theta +1 RIGHT )]이므로

공통부분의 넓이 [eqn: LEFT . S` LEFT ( theta RIGHT ) =cos theta LEFT ( sin theta +1 RIGHT ) RIGHT .]

[eqn: S` prime LEFT ( theta RIGHT )][eqn: =cos2 theta -sin theta]
[eqn: =`- LEFT ( sin theta +1 RIGHT ) LEFT ( 2sin theta -1 RIGHT ) =0]

[eqn: sin theta =`-1] 또는 [eqn: sintheta= {1} over {2}]

[eqn: therefore][eqn: theta = {pi } over {6}][eqn: LEFT ( BECAUSE ```- {pi } over {2} < theta < {pi } over {2} RIGHT )]

[eqn: theta]	[eqn: - {pi } over {2}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {pi} over {6}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {pi} over {2}]
[eqn: S` prime ( theta )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )]		[eqn: NEARROW]	[eqn: {3 sqrt {3}} over {4}]	[eqn: SEARROW]

[eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )]는 [eqn: theta= {pi} over {6}]에서 극대이고 최댓값을 갖는다.
따라서 최댓값은 [eqn: {3 sqrt {3}} over {4}]

① [eqn: {2+ sqrt {3}} over {4}]	② [eqn: {1+ sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: {2+ sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: {3 sqrt {3}} over {4}]	⑤ [eqn: {5 sqrt {2}} over {4}]

[출처]	2015 모의_공공 사관학교 고3 07월 15

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2]이고 중심각의 크기가 [eqn: 90DEG`]인 부채꼴 [eqn: rm OAB`]가 있다. 선분 [eqn: rm OB] 위에 [eqn: rm barOC = 1 over3`]인 점 [eqn: rm C`]를 잡고, 점 [eqn: rm C`]를 지나고 선분 [eqn: rm OA`]와 평행한 직선을 [eqn: l`]이라 하자. 호 [eqn: rm AB] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]에서 선분 [eqn: rm OB`]와 직선 [eqn: l `]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm Q], [eqn: rm R`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm PQR`]의 넓이의 최댓값은?

[정답] ⑤

[해설]

삼각형 [eqn: rm PQR]의 넓이는 [eqn: 1 over2 rm barPQ cdot barPR]이다.

직선 [eqn: l]이 호 [eqn: rm AB]와 만나는 점을 [eqn: rm D]라 하자.

(ⅰ) 점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: rm A]에서 출발하여 호 [eqn: rm AD]를 따라 점 [eqn: rm D]까지 움직일 때,
[eqn: rm barPQ]와 [eqn: rm barPR]의 길이가 모두 감소한다.

점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: rm A]에 있을 때, 삼각형 [eqn: rm PQR]의 넓이는 [eqn: 1 over3]이므로
점 [eqn: rm P]가 호 [eqn: rm AD] 위에 있을 때, 삼각형 [eqn: rm PQR]의 넓이의 최댓값은 [eqn: 1 over3]이다.

(ⅱ) 점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: rm D]에서 출발하여 호 [eqn: rm AD]를 따라 점 [eqn: rm B]까지 움직일 때,
[eqn: rm angle OPA= theta][eqn: left(matrix{it#it}][eqn: alpha le theta le pi over2], [eqn: rm angle DOA = alpha][eqn: matrix{it#it}right)]라 하면
[eqn: rm angleOPQ = theta]이므로
[eqn: rm barPQ][eqn: =2 cos theta], [eqn: rm barOQ = 2 sin theta]이고
[eqn: rm barPR][eqn: =rm barCQ][eqn: = rm barOQ - barOC][eqn: =2 sin theta - 1 over3]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rm PQR]의 넓이를 [eqn: f(theta)]라 하면

[eqn: f(theta)][eqn: =][eqn: 1 over2 rm barPQ cdot barPR]

[eqn: = costheta LEFT (2 sin theta - 1 over3 RIGHT )]

[eqn: =sin 2theta - 1 over3 `cos theta]

[eqn: f`'(theta)][eqn: = 2 cos 2theta + 1 over3 ` sin theta]

[eqn: = 2-4 sin^2 theta + 1 over3 `sin theta]

[eqn: =- 1 over3 (3 sin theta +2 )(4 sin theta -3)]

[eqn: alpha le theta le pi over2]에서 [eqn: 3 sin theta +2 >0]이므로

[eqn: f(theta)]는 [eqn: sin theta = 3 over4]일 때, 극대이자 최대이다.

이때, [eqn: cos theta][eqn: =sqrt { 1-sin^2 theta}][eqn: =sqrt { 7} over4]이므로

[eqn: f(theta)]의 최댓값은 [eqn: sqrt { 7} over4 LEFT ( 2 times 3 over4 - 1 over3 RIGHT )][eqn: = { 7 sqrt { 7} } over { 24}]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: f(theta)]의 최댓값은 [eqn: { 7 sqrt { 7} } over { 24}]이다.

① [eqn: sqrt { 7} over8]	② [eqn: sqrt { 7} over6]	③ [eqn: {5sqrt { 7}} over24]

④ [eqn: {sqrt { 7}} over4]	⑤ [eqn: {7sqrt { 7}} over24]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 03월 20

그림과 같이 [eqn: rm bar OP =1 `]인 제 [eqn: 1 `]사분면 위의 점 [eqn: rm P `]를 중심으로 하고 원점을 지나는 원 [eqn: C`_1 `]이 [eqn: x `]축과 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 [eqn: rm Q `]라 하자. [eqn: bar\OR =2 `]이고 [eqn: ANGLE rm ROQ= {1} over {2} ANGLE POQ `]인 제 [eqn: 4 `]사분면 위의 점 [eqn: \R `]를 중심으로 하고 원점을 지나는 원 [eqn: C`_2 `]가 [eqn: x `]축과 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 [eqn: rm S `]라 하자. [eqn: ANGLErmPOQ=it theta`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm OQP `]와 삼각형 [eqn: rm ORS `]의 넓이의 합이 [eqn: `]최대가 되도록 하는 [eqn: theta `]에 대하여 [eqn: cos` theta `]의 값은?
(단, [eqn: rm O `]는 원점이고, [eqn: LEFT . 0< theta < {pi } over {2} RIGHT .`]이다.)

[정답] ⑤

[해설]

점 P의 좌표는 [eqn: (cos theta`,`` sin theta)`]이므로

삼각형 [eqn: rm OQP`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 2cos theta TIMES sin theta =sin theta cos theta]

[eqn: = {1} over {2} `sin2 theta `]

점 [eqn: rm R`]의 좌표는 [eqn: left (2cos {1} over {2} theta`,``-2sin {1} over {2} theta right)`]이므로

삼각형 [eqn: rm ORS`]의 넓이는

[eqn: 1 over2 times 4 cos 1 over2 theta times2 sin 1 over2 theta][eqn: = 4sin 1 over2 theta cos 1 over2 theta]

[eqn: = 2 sin theta`]

따라서 삼각형 [eqn: rm OQP`]와 삼각형 [eqn: \ORS`]의 넓이의 합을 [eqn: f(theta)`]라 하면

[eqn: f( theta) = 1 over2 ` sin 2theta `+ 2 sin theta`]

[eqn: f`'(theta ) = cos 2 theta + 2cos theta]

[eqn: = 2 cos^2 theta + 2 cos theta -1`]

이므로

[eqn: f`'(theta) =0`]에서 [eqn: cos theta = {-1+- sqrt{3}}over2]

[eqn: 0 < theta < pi over2`]에서 [eqn: cos theta >0`]이므로

[eqn: cos theta = {-1 + sqrt3} over2]

[eqn: f`'(theta) =0`]인 [eqn: theta`]의 값을 [eqn: theta_1` LEFT ( 0< theta_1 < pi over2 RIGHT )]라 할 때,
[eqn: f(theta)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: theta]	[eqn: (0)]	[eqn: cdots`]	[eqn: theta_1`]	[eqn: cdots`]	[eqn: LEFT ( pi over2 RIGHT )]
[eqn: f`'(theta)`]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(theta)`]		↗	[eqn: f( theta_1 `)]	↘

그러므로 [eqn: f(theta)`]는 [eqn: theta = theta_1`]에서 극대이면서 최대이다. 따라서 [eqn: f(theta)`]가 [eqn: `]최대가 되도록 하는 [eqn: theta`]에 대하여[eqn: cos theta]의 값은 [eqn: cos theta =][eqn: {-1 + sqrt3} over2`]이다.

① [eqn: {-3+2 sqrt {3}} over {4}]	② [eqn: {2- sqrt {3}} over {2}]	③ [eqn: {-1+ sqrt {3}} over {4}]

④ [eqn: {-3+2 sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: {-1 + sqrt3}over2]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 15

곡선 [eqn: y=2e^-x] 위의 점 [eqn: {rmP} LEFT (t,`` 2e^-t RIGHT )][eqn: LEFT (t>0 RIGHT ) `]에서 [eqn: y `]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmA `]라 하고, 점 [eqn: rmP `]에서의 접선이 [eqn: y `]축과 만나는 점을 [eqn: rmB `]라 하자. 삼각형 [eqn: rmAPB `]의 넓이가 최대가 되도록 하는 [eqn: t `]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: y' = -2e^-x `]이므로

점 [eqn: rm P`]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y -2e^-t = - 2e^-t (x-t)]

[eqn: x =0`]을 대입하면

[eqn: y = 2(1+t)e^-t]

즉 [eqn: rm B it (0,~ 2(1+t)e^-t )]

[eqn: rm A it (0,~ 2e^-t )`]이므로

[eqn: rm bar AB = it 2te^-t]

삼각형 [eqn: rm APB`]의 넓이를 [eqn: S`(t)`]라 하면

[eqn: S`(t)`][eqn: = 1 over 2 times 2te^-t times t]
[eqn: = t^2 e^-t]

[eqn: S`'(t) `][eqn: = 2te^-t - t^2 e^-t `]
[eqn: = t(2-t)e^-t `]

[eqn: S`'(t)=0`]에서 [eqn: t =2`]

이때, [eqn: S`(t)`]는 [eqn: t =2`]에서 극대이면서 최대이므로

구하는 [eqn: t`]의 값은 [eqn: 2`]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: { e} over { 2}]	③ [eqn: root2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: e]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 10월 21

그림과 같이 길이가 [eqn: 2 `]인 선분 [eqn: rmAB `]를 지름으로 하는 반원 모양의 색종이가 있다. 호 [eqn: \AB] 위의 점 [eqn: rm P `]에 대하여 두 점 [eqn: \A], [eqn: \P `]를 연결하는 선을 접는 선으로 하여 색종이를 접는다. [eqn: rm ANGLE PAB= theta `]일 때, 포개어지는 부분의 넓이를 [eqn: S` LEFT (theta RIGHT ) `]라 하자. [eqn: theta= alpha `]에서 [eqn: S` LEFT (theta RIGHT ) `]가 최댓값을 갖는다고 할 때, [eqn: cos` 2 alpha `]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}`])

[정답] ④

[해설]

색종이를 접었을 때 호 [eqn: \AP`]와 선분 [eqn: \AB`]의 교점을 [eqn: \Q`], 접힌 색종이를 다시 폈을 때 점 [eqn: \Q`]가 호 [eqn: \AB`]위에 있게 되는 점을 [eqn: \Q'`]이라 하자.

도형 [eqn: rm`AQP]와 도형 [eqn: rm`APQ']은 합동이므로 [eqn: S`( theta )`]는 호 [eqn: rm AP`]와 현 [eqn: rmAP`]로 둘러싸인 도형에서 호 [eqn: rmAQ']과 현 [eqn: rmAQ']으로 둘러싸인 도형의 넓이를 뺀 것이다.

[eqn: S`( theta )][eqn: = {1} over {2} LEFT { ( pi -2 theta )-sin( pi -2 theta ) RIGHT }]
[eqn: - {1} over {2} LEFT { ( pi -4 theta )-sin( pi-4 theta ) RIGHT }]
[eqn: = {1} over {2} ( 2 theta -sin`2 theta +sin`4 theta )]

[eqn: S``'( theta )][eqn: =2`cos`4 theta -cos`2theta +1]
[eqn: = 2 (cos^2` 2theta - sin^2` 2theta )-cos`2 theta +1]
[eqn: = 2 (2`cos^2` 2theta - 1 )-cos`2 theta +1]
[eqn: =4`cos ^{`2}` 2 theta -cos`2 theta -1]

[eqn: S``'(theta)`=0`]에서

[eqn: 4` left(cos `2theta -{1+ root17} over 8 right) left( cos `2 theta-{1-root17}over 8 right)=0]

따라서 [eqn: 0< theta < pi over 4]에서 [eqn: 0 < cos`2theta < 1`]이므로

[eqn: cos`2 theta = {1+ sqrt {17}} over {8} `]인 [eqn: theta]에서 [eqn: S`(theta)=0`]이다.

[eqn: 0< theta < pi over 4]에서 [eqn: cos`2 theta = {1+ sqrt {17}} over {8} `]를 만족시키는 [eqn: theta`]를 [eqn: theta _{0}]이라 하면

[eqn: theta<theta _{0}]일 때 [eqn: S``' ( theta `)>0]이고

[eqn: theta > theta _{0}]일 때 [eqn: S```'( theta )<0]이므로

[eqn: S`(theta)`]는 [eqn: theta`=` theta _{0}]에서 최댓값을 갖는다.

그러므로 [eqn: theta _{0} =alpha] 따라서 [eqn: cos`2alpha= {1+ sqrt {17}} over {8}]

	➡

① [eqn: {-2+ sqrt {17}} over {8}]	② [eqn: {-1+ sqrt {17}} over {8}]	③ [eqn: {sqrt {17}} over {8}]

④ [eqn: {1+ sqrt {17}} over {8}]	⑤ [eqn: {2+ sqrt {17}} over {8}]

06 미적	10 방부등식에의 활용과 평면운동
01 방정식과 미분
01 방정식과 미분1 (실근의 개수)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 03월 18

그림은 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x ^{ 2} e ^{ -x+2} `]의 그래프이다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: f(x)=x ^{`2} e ^{`-x+2} `]에서

[eqn: f ``prime (x)=(-x ^{2} +2x)e ^{-x+2}`]

[eqn: f``prime`(x)=0`]에서 [eqn: x=0`] 또는 [eqn: x=2]

[eqn: y=(f CIRC f )(x)`]에서 [eqn: `dy over dx =f ``prime (f(x))f ``prime (x)`]

[eqn: dy over dx =0]인 [eqn: x]의 값을 구하면

(ⅰ) [eqn: f``prime(x)=0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

(ⅱ) [eqn: f`` prime (f(x))=0]에서
[eqn: f(x)=0`]일 때, [eqn: x=0`]
[eqn: f(x)=2`]일 때,
[eqn: x=alpha] 또는 [eqn: x=beta] 또는 [eqn: x=gamma] ([eqn: alpha < beta < gamma])로 놓으면 함수 [eqn: y=(f CIRC f )(x)`]의 증가와 감소를 나타낸 표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: beta]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]	[eqn: gamma]	[eqn: cdots]
[eqn: f``'(x)]	-	-	-	[eqn: 0]	+	+	+	[eqn: 0]	-	-	-
[eqn: f``'(f(x))]	-	[eqn: 0]	+	[eqn: 0]	+	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+
[eqn: dy over dx]	+	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+	[eqn: 0]	-
[eqn: y]	↗	[eqn: 4]	↘	[eqn: 0]	↗	[eqn: 4]	↘	[eqn: 16 over e^{`2}]	↗	[eqn: 4]	↘

위의 표를 이용하여 함수 [eqn: y=(f CIRC f )(x)`]의 그래프를 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 [eqn: y=(f CIRC f )(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y= 15 over e^{`2}]가 만나는 점의 개수는 [eqn: 4`]이다.

함수 [eqn: y = LEFT (f CIRCf RIGHT ) LEFT (x RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y= 15 over e^{ 2} `]의 교점의 개수는? (단, [eqn: lim _ {x `->` inf} f LEFT (x RIGHT ) =0 `])

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

06 미적	10 방부등식에의 활용과 평면운동
01 방정식과 미분
02 방정식과 미분2 (실근의 개수. 제한범위)

[출처]	2012 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

[eqn: x>0`]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= { LEFT ( ln x RIGHT )^6}over x^2`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: lim _{x` -> ` INF } {} {LEFT ( lnx RIGHT ) ^{6}} over {x ^{2}} =0`]이다.)

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim_x->+0 1 overx^2 = inf], [eqn: lim_x->+0` LEFT ( ln ``x RIGHT )^6 = inf]이므로 [eqn: lim_x->+0 { LEFT ( ln ``x RIGHT )^6 } over { x^2}= inf]이다.

[eqn: f`'(x)][eqn: = { 6 LEFT ( ln ``x RIGHT )^5 cdot 1 overx cdot x^2 - LEFT ( ln ``x RIGHT )^6 cdot2x } over { (x^2 )^2}]

[eqn: = { 2x LEFT ( ln ``x RIGHT )^5 LEFT ( 3 - ln ``x RIGHT ) } over { x^4}]

이므로 [eqn: f'(x)=0]에서 [eqn: x=1], [eqn: x=e]이고 [eqn: f(x)]의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	⋯	[eqn: 1]	⋯	[eqn: e^3]	⋯
[eqn: f`'(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: inf]	↘	[eqn: 0]	↗	[eqn: LEFT ( 3 overe RIGHT )^6]	↘

또한, [eqn: x >0]인 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) ge0]이고 [eqn: lim_x->inf { LEFT ( ln ``x RIGHT )^6 } over { x^2}][eqn: =0]

이므로 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

ㄱ. (참)

ㄴ. (거짓)

ㄷ. [eqn: e<3]이므로 [eqn: LEFT ( 3 overe RIGHT )^6 >1]이다. 따라서 위의 그림과 같이

방정식 [eqn: f(x)=1]을 만족하는 실근의 개수는 [eqn: 3]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: x=e^3 `]에서 극댓값을 갖는다. ㄴ. [eqn: x=e]에서 극솟값을 갖는다. ㄷ. [eqn: x>0`]에서 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=1`]의 실근의 개수는 [eqn: 3`]이다.

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 07월 19

자연수 [eqn: n `]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]와 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]는 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x ^{n} -1], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =log` _{3} `LEFT ( x ^{4} +2n RIGHT ) `]이다. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) `]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {ln3} TIMES {4x ^{3}} over {x ^{4} +2n} `]이므로
[eqn: g` prime LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =g`' LEFT ( 0 RIGHT ) =0]
[eqn: h` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =g` prime LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =0] (참)

ㄴ. [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =log` _{3} LEFT [ LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{4} +2n RIGHT ] `]

[eqn: h` prime LEFT ( x RIGHT ) `][eqn: = {1} over {ln3} TIMES {4 LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} f` prime LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{4} +2n} `]
[eqn: = {1} over {ln3} TIMES {4nx ^{n-1} LEFT ( x ^{n} -1 RIGHT ) ^{3}} over {LEFT ( x ^{n} -1 RIGHT ) ^{4} +2n}]

열린 구간 [eqn: LEFT ( `0`,~1` RIGHT ) `]에서 [eqn: -1<x ^{n`} -1<0`]이므로 [eqn: h prime LEFT ( x RIGHT ) <0`]이다.
열린 구간 [eqn: LEFT ( `0`,~1` RIGHT ) `]에서
함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]는 감소한다. (거짓)

ㄷ. [eqn: x>0`]에서 함수 [eqn: h left(x right)`]는 [eqn: x=1`]에서 극솟값 [eqn: log_{3}{2n}`]을 갖는다.
함수 [eqn: h left(x right)`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.
(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,

(ⅱ) [eqn: n geq2`]일 때,

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 방정식 [eqn: h left(x right)=n`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 1`]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

	<보 기>
ㄱ. [eqn: h `' LEFT (1 RIGHT )=0] ㄴ. 열린 구간 [eqn: LEFT ( 0 ,`` 1 RIGHT ) `]에서 함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT ) `]는 증가한다. ㄷ. [eqn: x>0 `]일 때, 방정식 [eqn: h LEFT (x RIGHT )=n `]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 1 `]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

06 미적	10 방부등식에의 활용과 평면운동
01 방정식과 미분
03 방정식과 미분3 (동치변형)

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 07월 미분과 적분 29

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= {x- {1} over {2}} over { LEFT (x ^{2} -2x+2 RIGHT ) ^{2}} `]에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: f`{prime}(x)= {-x(3x-4)} over {(x ^{2} -2x+2) ^{3}} ``], [eqn: f`{prime}(1)=1``]

접선의 방정식은 [eqn: y=x- {1} over {2} ``]이므로

[eqn: THEREFORE] 접선과 원점 사이의 거리는 [eqn: {sqrt {2}} over {4}][eqn: THEREFORE `````]참

ㄴ. [eqn: x=0``]에서 최솟값 [eqn: - {1} over {8} ``]을 갖는다. [eqn: THEREFORE `````]참

ㄷ. 함수 [eqn: f`(x)``]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: f`(x)-f`(10)=0``]의 근은 [eqn: 2``]개다. [eqn: THEREFORE `````]참

	<보 기>
ㄱ. 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1 ,`` 1 over 2 RIGHT ) `]에서의 접선과 원점 사이의 거리는 [eqn: sqrt2 over {4} `]이다. ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]의 최솟값은 [eqn: - 1 over {8} `]이다. ㄷ. 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) - f LEFT (10 RIGHT ) = 0 `]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2 `]개이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

06 미적	10 방부등식에의 활용과 평면운동
01 방정식과 미분
04 방정식과 미분4 (활용)

[출처]	2011 모의_공공 평가원 고3 11월 18

정의역이 [eqn: LEFT { x` LEFT | `0 LEQ x LEQ pi ` RIGHT.RIGHT }`]인 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=2x cos`x`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(x) = 2 x ` cos`x]에서

[eqn: f`'(x)][eqn: = 2` cos`x - 2 x`sin` x]

ㄱ. (참) [eqn: a=0]이면 [eqn: f'(a)=2]이므로 [eqn: a!=0]

[eqn: f`'(a) = 2` cos`a - 2 a`sin` a =0]에서

[eqn: cos`a = a sin` a], [eqn: { sin` a} over { cos` a} = { 1} over { a}]

[eqn: therefore```][eqn: tan `a = { 1} over { a}]

ㄴ. (참) [eqn: f`' (x) = 2` cos`x (1- x`tan`x )=0]에서

[eqn: cos`x =0] 또는 [eqn: tan`x = 1over x]

[eqn: tan`x = 1over x]의 근을 [eqn: alpha left(0 le alpha le pi over2 right)]라 하면

방정식 [eqn: f`'(x) =0]의 실근은 [eqn: x = alpha] 또는 [eqn: x = pi over2]

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 증가 또는 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha]	[eqn: cdots]	[eqn: pi over2]	[eqn: cdots]	[eqn: pi]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: 2]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: -2]
[eqn: f(x)]	[eqn: 0]	↗	극대	↘	[eqn: 0]	↘	[eqn: -2pi]

[eqn: x =alpha]에서 함수 [eqn: f(x)]는 극대이므로

[eqn: a = alpha][eqn: LEFT (단,~ 0 le alpha le pi over2 RIGHT )]	…… ㉠

함수 [eqn: f`'(x)]는 [eqn: 0 le x le pi]에서 연속이고 미분가능하다.

또한, [eqn: f`' LEFT ( pi over 4 RIGHT )][eqn: =2`cos` {pi } over {4} LEFT ( 1- {pi } over {4} `tan` {pi } over {4} RIGHT )]
[eqn: = 2 times { sqrt { 2} } over { 2} times LEFT ( 1 - pi over 4 RIGHT )][eqn: =sqrt2`left(1-{pi over 4} right)>0]

[eqn: f`' LEFT ( pi over 3 RIGHT )][eqn: =2`cos`{pi } over {3} LEFT ( 1- {pi } over {3} `tan`{pi } over {3} RIGHT )]
[eqn: = 2 times 1over2 times LEFT ( 1 - { sqrt { 3} } over {3 } pi RIGHT )][eqn: = 1- { sqrt { 3} } over { 3} pi <0]

따라서 중간값의 정리에 의해 [eqn: f`'(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]가 구간 [eqn: LEFT ( pi over 4 ,~ pi over 3 RIGHT )]에 존재한다.

그런데 ㉠에서 [eqn: f`'(a)=0][eqn: LEFT ( 0 le a le pi over 2 RIGHT )]이므로

[eqn: a]는 구간 [eqn: LEFT ( pi over 4 ,~ pi over 3 RIGHT )]에 있다.

ㄷ. (참) ㄴ에서 [eqn: pi over 4 < a< pi over 3]이고

[eqn: f LEFT ( pi over 3 RIGHT ) = 2 times pi over3 times cos`{ pi} over { 3} = pi over3 >1]이므로 [eqn: f(a)>1]

또, [eqn: f LEFT ( pi over2 RIGHT )=0]이므로 구간 [eqn: left[ 0,~ pi over2 right]]에서

방정식 [eqn: f(x)=1]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f `' LEFT (a RIGHT )=0`]이면 [eqn: tan` a = {1} over {a}`]이다. ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 [eqn: x= a`]에서 극댓값을 가지는 [eqn: a`]가 구간 [eqn: LEFT ( {pi } over {4} ,`` {pi } over {3} RIGHT ) `]에 있다. ㄷ. 구간 [eqn: LEFT [0,`` {pi } over {2} RIGHT ] `]에서 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=1 `]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 10월 21

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: g(-x)= {sinf(-x)} over {-x} = {sinf(x)} over {-x} = it -g(x)`]
이므로 모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: g(-x)= it -g(x)`]이다. (참)

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]가 미분가능하므로
조건 (다)에서 [eqn: lim _{x` -> `0} {} `f(x)=f(0)=0`]이고,
조건 (가)에서 [eqn: f` prime (x)= it-f` prime (-x)`]이므로
[eqn: f` prime (0)=0`]이다.

[eqn: lim _{x` -> `0} {} `g(x)][eqn: = lim _{x` -> `0} {} ` {sinf(x)} over {x} `]
[eqn: = lim _{x` -> `0} {} ` LEFT ( {sinf(x)} over {f(x)} TIMES {f(x)} over {x} RIGHT ) `]
[eqn: =1 TIMES f`'(0)=0] (참)

ㄷ. [eqn: g( alpha )= {sinf( alpha )} over {alpha } = {1} over {alpha } >0]이고,
[eqn: lim _{x` -> `0} `g(x)=0`]이므로 [eqn: 0<x< alpha `]에서
함수 [eqn: g(x)`]가 증가하는 구간이 있다.
[eqn: g` prime (x)= {xf` prime (x)cosf(x)-sinf(x)} over {x ^{2}} `]에서
[eqn: g` prime ( alpha )= {alpha f` prime ( alpha )cosf( alpha )-sinf( alpha )} over {alpha ^{2}} = it - {1} over {alpha ^{2}} <0]
그러므로 함수 [eqn: g(x)`]는 구간 [eqn: (0,`` alpha )`]에서 [eqn: {1} over {alpha }`]보다 큰 극댓값을 갖는다.
따라서 방정식 [eqn: g(x)= {1} over {alpha } `]은 [eqn: 0<x LEQ alpha `]에서
적어도 [eqn: 2`]개의 서로 다른 실근을 갖는다.
[eqn: g(-x)= it -g(x)`]이므로 방정식 [eqn: g(x)=it- {1} over {alpha } `]은
구간 [eqn: - alpha LEQ x<0]에서 적어도 [eqn: 2`]개의 서로 다른
실근을 가지므로 방정식 [eqn: LEFT | g(x) RIGHT | = {1} over {alpha } `]은 적어도
[eqn: 4`]개의 서로 다른 실근을 갖는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

(가) 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=f LEFT (-x RIGHT ) `]이다.

(나) 모든 양의 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f `' LEFT (x RIGHT )>0 `]이다.

(다) [eqn: lim _{x `->` 0} { } f LEFT (x RIGHT )=0], [eqn: lim _{x `->` INF } { } f LEFT (x RIGHT )=pi`]

함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )= {sin` f LEFT (x RIGHT )} over {x} `]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 모든 양의 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: g LEFT (x RIGHT )+g LEFT (-x RIGHT )=0 `]이다. ㄴ. [eqn: lim _{x `->` 0} { } g LEFT (x RIGHT )=0] ㄷ. [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )= {pi} over {2}][eqn: LEFT ( alpha >0 RIGHT ) `]이면 방정식 [eqn: LEFT | g LEFT (x RIGHT ) RIGHT | = {1} over {alpha } `]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2 `]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 20

자연수 [eqn: {n}{{from^2020^10^서울고3가^5}}]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[정답] ②

[해설]

[eqn: x != -1]일 때, [eqn: f ``' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {n- LEFT ( n ^{2} -n RIGHT ) x ^{n}} over {LEFT ( x ^{n} +1 RIGHT ) ^{2}}]

ㄱ. [eqn: n=3]이면 [eqn: x< it -1]일 때, [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {3-6x ^{3}} over {LEFT ( x ^{3} +1 RIGHT ) ^{2}}][eqn: >0]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 구간 [eqn: LEFT ( - INF ,```` -1 RIGHT )]에서 증가한다.	(참)

ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x= it -1]에서 연속이므로
[eqn: lim _{x ``->`` -1} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( -1 RIGHT )]이 성립한다.
[eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: x ``->`` -1]이면 (분모)[eqn: ``->`` 0]이고 (분자)[eqn: ``->`` -n]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극한값이 존재하지 않는다.
[eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: lim _{x ``->`` -1} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it - {n} over {2}]이고 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: =2]이므로 [eqn: n][eqn: =4]이다.
따라서 [eqn: n][eqn: =4]일 때만 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x= it -1]에서 연속이므로
[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {4-12x ^{4}} over {LEFT ( x ^{4} +1 RIGHT ) ^{2}}]이다.
[eqn: x<0]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) <0]이고, [eqn: x GEQ 0]일 때 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {1} over {root {4} of {3}}]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: 0]	[eqn: NEARROW]	[eqn: root {4} of {27}]	[eqn: SEARROW]

[eqn: 2< root {4} of {27}]이므로 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2]는 [eqn: x GEQ 0]에서만 서로 다른 두 실근을 갖는다.	(참)

ㄷ. [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: x ^{n}][eqn: = {1} over {n-1}] ([eqn: n != 1])

(ⅰ) [eqn: n]이 홀수일 때 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 극솟값을 갖지 않는다.

(ⅱ) [eqn: n]이 짝수일 때
[eqn: n=2]이면 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 극솟값을 갖지 않고,
[eqn: n GEQ 4]이면 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: = it - {1} over {root {n} of {n-1}}]에서 극솟값을 갖는다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 구간 [eqn: LEFT ( -1 ,```` INF RIGHT )]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 극솟값을 갖도록 하는 [eqn: 10]이하의 모든 자연수 [eqn: n]은 [eqn: 4 ,```` 6 ,```` 8 ,```` 10]이므로 그 합은 [eqn: 28]이다.	(거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{{nx} over {x ^{n} +1} & & & LEFT ( x != it -1 RIGHT )# ``````` -2& & & LEFT ( x= it -1 RIGHT )]

일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: n=3]일 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 구간 [eqn: LEFT ( - INF ,```` -1 RIGHT )]에서 증가한다. ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=it-1]에서 연속이 되도록 하는 [eqn: n]에 대하여 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다. ㄷ. 구간 [eqn: LEFT ( -1 ,```` INF RIGHT )]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 극솟값을 갖도록 하는 [eqn: 10]이하의 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 24]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

06 미적	10 방부등식에의 활용과 평면운동
01 방정식과 미분
05 방정식과 미분5 (함수 구하기)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 28

최고차항의 계수가 [eqn: {1} over {2}]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]가

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: f(x)]는 최고차항이 양수인 삼차함수이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축은 적어도 한 점에서 만난다.

조건 (가)에서 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x neq 1]인 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이므로

[eqn: cases{x=1 일~때,``~ f(1)=0 #x neq 1 일~때,``~ f(x) neq 0}][eqn: CDOTS CDOTS]㉠

한편,

[eqn: g(x)=cases{ ln |f(x)| && (f(x) neq 0) #1 && (f(x)=0)}]

이므로

[eqn: g `prime (x)={f `prime (x)} over {f(x)}(f(x) neq 0)]

이때, 조건 (나)에서 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=2]

에서 극값을 가지고 ㉠을 만족해야 하므로

[eqn: f` prime (2)=0~ CDOTS CDOTS]㉡

한편, 조건 [eqn: (]다)에서 주어진 방정식 [eqn: g(x)=0]은

[eqn: ~ ln |f(x)|=0]

[eqn: |f(x)|=1]

[eqn: f(x)=-1] 또는 [eqn: f(x)=1]

이때, 이 방정식이 서로 다른 세 실근을

갖고 ㉠을 만족하려면 함수 [eqn: y=f(x)]는

극값을 가져야 한다.

한편, ㉡으로부터 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 극값을 가지므로

[eqn: f `prime ( alpha)=f `prime ( beta)=0 ~ (1< alpha< beta)]

로 놓을 수 있다.

이때, [eqn: alpha=2]이거나 [eqn: beta=2]이다.

이때, 조건 (다)를 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: g(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

(ⅰ)

(ⅱ)

이때, 조건 [eqn: (]나)로부터 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=2]에서 극대이고 [eqn: |g(x)|]가 [eqn: x=2]에서 극소이기 위해서는 그림 ( i )과 같아야 하고 [eqn: alpha=2]

이때, 함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: {1} over {2}]이므로

[eqn: f(x)-1={1} over {2}(x-2)^{2}(x-k)(k]는 상수 [eqn: )]

즉, [eqn: f(x)={1} over {2}(x-2)^{2}(x-k)+1]

이고 ㉠에서 [eqn: f(1)=0]이므로

[eqn: f(1)={1} over {2}(1-k)+1=0]

[eqn: 1-k=-2]

[eqn: k=3]

이때,

[eqn: f(x)={1} over {2}(x-2)^{2}(x-3)+1]

이므로

[eqn: f `prime (x)=(x-2)(x-3)+{1} over {2}(x-2)^{2}]

[eqn: ={1} over {2}(x-2) left{ (2 x-6)+(x-2) it right}]

[eqn: ~ ={1} over {2}(x-2)(3 x-8)]

이때, [eqn: f `prime (x)=0]에서

[eqn: x=2] 또는 [eqn: x={8} over {3}]

그러므로 [eqn: beta={8} over {3}]

따라서 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x={8} over {3}]에서 극솟값을 갖고 그 값은

[eqn: ln left|f left({8} over {3} right) right|][eqn: = ln left|{1} over {2} times left({2} over {3} right)^{2} times left(-{1} over {3} right)+1 right|]
[eqn: = ln {25} over {27}]

[eqn: g(x)=cases{ ln |f(x)| && (f(x) neq 0) #1 && (f(x)=0)}]

이고 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 [eqn: g(x)]의 극솟값은?

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x neq 1]인 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=2]에서 극대이고,
함수 [eqn: |g(x)|]는 [eqn: x=2]에서 극소이다.

(다) 방정식 [eqn: g(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 3]이다.

① [eqn: ln {13} over {27}]	② [eqn: ln {16} over {27}]	③ [eqn: ln {19} over {27}]

④ [eqn: ln {22} over {27}]	⑤ [eqn: ln {25} over {27}]

06 미적	10 방부등식에의 활용과 평면운동
01 방정식과 미분
06 방정식과 미분6 (실근 또는 교점의 개수로 정의된 함수)

[출처]	2011 모의_공공 평가원 고3 11월 19

실수 [eqn: m`]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( 0,`` 2 RIGHT ) `]를 지나고 기울기가 [eqn: m`]인 직선이 곡선 [eqn: y=x ^{3} -3x ^{2} +1`]과 만나는 점의 개수를 [eqn: f LEFT (m RIGHT )`]이라 하자. 함수 [eqn: f LEFT (m RIGHT )`]이 구간 [eqn: LEFT (- INF ,`` a RIGHT )`]에서 연속이 되게 하는 실수 [eqn: a`]의 최댓값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: g(x) = x^3 - 3x^2 +1]로 놓으면

[eqn: g'(x) = 3x^2 -6x][eqn: = 3x(x-2)=0]

[eqn: therefore```][eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

따라서 함수 [eqn: g(x)]의 증가 또는 감소를 표로 나타내고, 이를 이용하여 그래프를 그리면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: g`'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]	↗	[eqn: 1]	↘	[eqn: -3]	↗

곡선 [eqn: y =x^3 -3x^2 +1] 위의 점 [eqn: (t,~t^3 - 3t^2 +1)]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y = (3t^2 -6t)(x-t) +t^3 -3t^2 +1]

이 직선이 점 [eqn: (0,~2)]를 지나므로

[eqn: 2 = (3t^2 -6t )(-t) +t^3 -3t^2 +1]

[eqn: 2 = -2t^3 +3t^2 +1]

[eqn: 2t^3 -3t^2 +1=0], [eqn: (t-1)^2 (2t+1)=0]

[eqn: therefore```][eqn: t = - 1over2] 또는 [eqn: t=1]

따라서 주어진 직선은 곡선 [eqn: y =x^3 -3x^2 +1] 위의

두 점 [eqn: LEFT ( - 1over2 ,~ 1over8 RIGHT )] 또는 [eqn: (1,~-1)]에서 접한다.

[eqn: g' LEFT ( - 1over2 RIGHT ) = 15over4]에 대하여

[eqn: m < 15 over4]일 때, 주어진 곡선과 직선은 한 점에서 만나고,

[eqn: m > 15 over 4]일 때, 주어진 곡선과 직선은 서로 다른 세 점에서 만나므로 함수 [eqn: y = f(m)]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 함수 [eqn: f(m)]이 구간 [eqn: (-inf,~a)]에서 연속이 되게 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 15 over4]이다.

① [eqn: -3]	② [eqn: - {3} over {4}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {15} over {4}]	⑤ [eqn: 6]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 04월 30

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {lnx ^{2}} over {x}`]의 극댓값을 [eqn: alpha`]라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]와 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) - {alpha } over {n} x=0`]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: a _{n}`]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n}`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 34]

[해설]

[eqn: f(x)= {ln`x ^{2}} over {x}]에 대하여

(ⅰ) [eqn: x>0]일 때
[eqn: f(x)= {2ln`x} over {x}], [eqn: f`'(x)`=` {2-2lnx} over {x ^{2}}]
[eqn: x=e``]에서 [eqn: f` prime (x)=0``]이고

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: e]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: NEARROW]	[eqn: {2} over {e}]	[eqn: SEARROW]

[eqn: THEREFORE] 극댓값 [eqn: alpha= {2} over {e}]

(ⅱ) [eqn: x != 0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =`-f LEFT ( x RIGHT )]가 성립하므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 원점에 대하여 대칭이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: y= {2} over {en} x`]는 원점을 지나는 직선이고 원점에서 곡선 [eqn: y= {2lnx} over {x}]에 그은 접선의 접점을 [eqn: (t,``f(t))`]라 하면 접선의 방정식은
[eqn: y= {2-2`ln`t} over {t ^{2}} (x-t)+ {2`ln`t} over {t} `]이고 [eqn: LEFT ( 0,``0 RIGHT )]을 지나므로

[eqn: 0= {2-2`ln`t} over {t ^{2}} (0-t)+ {2`ln`t} over {t} `]

[eqn: THEREFORE `][eqn: t= sqrt {e}]

[eqn: THEREFORE `] 접점은 [eqn: left(` sqrt {e} ,`` {1} over {sqrt {e}} right)]이고 접선의 방정식은 [eqn: y= {1} over {e} `x`]

[eqn: n=1]일 때, 직선 [eqn: y= {2} over {e} x`]와 함수 [eqn: f(x)]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 0][eqn: THEREFORE][eqn: a _{1} =0]

[eqn: n=2]일 때, 직선 [eqn: y= {1} over {e} x`]와 함수 [eqn: f(x)]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 2][eqn: THEREFORE][eqn: a _{2} =2]

[eqn: 3 LEQ n LEQ 10]일 때, 직선 [eqn: y= {2} over {en} x`]와 함수 [eqn: f(x)]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 4][eqn: THEREFORE][eqn: a _{n} =4]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{10} `a _{n} `=0+2+4times8=34]

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

함수 [eqn: f(x)=x^{3}+a x^{2}-a x-a]의 역함수가 존재할 때, [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하자. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n times g `prime (n)=1]을 만족시키는 실수 [eqn: a]의 개수를 [eqn: a_{n}]이라 할 때, [eqn: sum_{n=1}^{27} a_{n}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 30]

[해설]

[eqn: f(x)=x^{3}+a x^{2}-a x-a]의 역함수가 존재하려면

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f `prime (x)=3 x^{2}+2 a x-a geq 0]이다.

따라서 [eqn: { D} over {4 } =a^{2}+3 a=a(a+3) leq 0], [eqn: -3 leq a leq 0]

이제 [eqn: f(k)=n]이라고 하면 [eqn: g(n)=k]이고

[eqn: n times g `prime (n)={n} over {f `prime (k)}={f(k)} over {f `prime (k)}=1]

이므로 [eqn: n times g `prime (n)=1]을 만족시키는 경우는

[eqn: f(k)=f `prime (k)=n]

그러므로 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: -3 leq a leq 0], [eqn: f(k)=f `prime (k)=n]

을 만족시키는 실수 [eqn: a]의 개수를 알아보면 된다.

[eqn: f(k)=f `prime (k)]에서

[eqn: k^{3}+a k^{2}-a k-a=3 k^{2}+2 a k-a]

[eqn: k^{3}+(a-3) k^{2}-3 a k=0], [eqn: k(k-3)(k+a)=0]

따라서 [eqn: k=0] 또는 [eqn: rm 3] 또는 [eqn: -a]인데,

각각에 대하여 [eqn: f `prime (k)=n]을 풀면

(ⅰ) [eqn: k=0]이면 [eqn: -a=n]

(ⅱ) [eqn: k=3]이면 [eqn: 27+5 a=n]

(ⅲ) [eqn: k=-a]이면 [eqn: a^{2}-a=n]

이제 자연수 [eqn: n]에 대하여 위의 등식 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)을 만족하는 실수 [eqn: a][eqn: (-3 leq a leq 0)]의 개수를 구해본다.

그림에서와 같이

[eqn: a _{1} =a _{2} =a _{3} =2], [eqn: a _{4} =a _{5} = `CDOTS` =a _{27} =1]이다.

[eqn: THEREFORE~ sum _{n=1} ^{27} a _{n} =30]

06 미적	10 방부등식에의 활용과 평면운동
01 방정식과 미분
07 방정식과 미분7 (기타 정의된 함수)

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 21

열린 구간 [eqn: left( - pi over 2 ,~ 3pi over 2 right)`]에서 정의된 함수

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 아래와 같다.

[eqn: y=sqrt {LEFT | f(x)-t RIGHT |} = {cases{sqrt {f(x)-t}&~~(f(x) GEQ t)#sqrt {-f(x)+t}&~~(f(t)<t)}}]를 [eqn: x]에 대해 미분하면 [eqn: y` prime =cases{{f`prime(x)}over{2root{f(x)-t}}&~~(f(x)get)#{-f`prime(x)}over{2root{-f(x)+t}}&~~(f(x)<t)}]

[eqn: lim_{x``rarrow``{pi}over{4}-}f(x)=f`left({pi}over{4}right)={root{2}}over{2}]이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x={pi}over{4}]에서 연속이다.

하지만, [eqn: lim_{x``rarrow``{pi}over{4}-}f`prime(x)={3root{2}}over{2},~lim_{x``rarrow``{pi}over{4}+}f`prime(x)=it-{root{2}}over{2}]이므로 [eqn: x={pi}over{4}]에서 미분가능하지 않다.

또한 [eqn: y=f(x)]과 [eqn: y=t]가 만나는 점에서 미분가능하지 않다.

[eqn: t=it-1]일 때 즉, [eqn: y= sqrt {1+cos`t}]의 [eqn: x=pi]에서의 미분가능성을 조사해보면

[eqn: lim_{h``rarrow``0}{root{1+cos`(pi+h)}}over{h}]

[eqn: =lim_{h``rarrow``0}{root{1-cos`h}}over{h}]

[eqn: =lim_{h``rarrow``0}{root{2sin^{2}{h}over{2}}over{h}]

[eqn: =lim_{h``rarrow``0}{root{2}left|sin{h}over{2}right|}over{h}]

에서

[eqn: lim _{h`` -> ``0-} {} {sqrt {1+cos`( pi +h)}} over {h}=it-{root{2}over{2},~]

[eqn: lim _{h`` -> ``0+} {} {sqrt {1+cos`( pi +h)}} over {h}={root{2}over{2}]

이므로 [eqn: x=pi]에서 미분가능하지 않다.

[eqn: t]의 값의 범위에 따른 [eqn: g(t)]의 값을 구해보면

[eqn: g(t)= {cases{~1&~~(t LEQ -2)#~2&~~(-2<t<{}-1)#~3&~~(t= it -1)#~4&~~(-1<t<0)#~2&~~(t=0)#~3&~~ LEFT ( 0<t< {sqrt {2}} over {2} RIGHT )#~1&~~ LEFT ( t GEQ {sqrt {2}} over {2} RIGHT )}}]

따라서 [eqn: a=g LEFT ( {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) =1,~b=g(0)=2,~c=g(-1)=3]이다.

또한, 함수 [eqn: h(g(t))]가 실수 전체에서 연속이므로

[eqn: h(1)=h(2)=h(3)=h(4)]이 성립하고

[eqn: h(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수이므로

[eqn: h(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+k]라 할 수 있다.

[eqn: THEREFORE ~h(a+5)-h(b+3)+c]

[eqn: =h(6)-f(5)+3]

[eqn: =(120+k)-(24+k)+3]

[eqn: =99]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`2sin ^{3} x~~ LEFT ( - {pi } over {2} <x< {pi } over {4} RIGHT ) #`cosx~~~~ LEFT ( {pi } over {4} LEQ x< {3 pi } over {2} RIGHT )}}]

가 있다. 실수 [eqn: t`]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: k`]의 개수를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]라 하자.

(가) [eqn: - pi over 2 < k < 3pi over 2]

(나) 함수 [eqn: sqrt {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -t RIGHT |} `]는 [eqn: x= k`]에서 미분가능하지 않다.

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]에 대하여 합성함수 [eqn: LEFT ( h CIRC g RIGHT ) LEFT ( t RIGHT ) `]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 사차함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]가 있다. [eqn: g LEFT ( {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) =a], [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =b], [eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) =c`]라 할 때, [eqn: h LEFT ( a+5 RIGHT ) -h LEFT ( b+3 RIGHT ) +c`]의 값은?

① [eqn: 96]	② [eqn: 97]	③ [eqn: 98]

④ [eqn: 99]	⑤ [eqn: 100]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 04월 20

좌표평면 위에 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =9`]와 직선 [eqn: y=4]가 있다. [eqn: t!= it -3], [eqn: t!=3]인 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=4] 위의 점 [eqn: rm P LEFT ( it t ,`` 4 RIGHT )`]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =9`]에 그은 두 접선의 기울기의 곱을 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )`]라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: rm P]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =9]에 그은 접선의 기울기를 [eqn: m]이라 하면 접선의 방정식은 [eqn: y=mx-mt+4]

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =9]의 중심에서 접선까지의 거리는 반지름의 길이와 같다.

[eqn: {LEFT |`` mt-4 ``RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1}} =3]

[eqn: m]에 대한 이차방정식 [eqn: LEFT ( t ^{2} -9 RIGHT ) m ^{2} -8tm+7=0]은 서로 다른 두 실근을 가지므로 두 접선의 기울기의 곱은 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {7} over {t ^{2} -9}]이다.

ㄱ. [eqn: f LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) = it -1]	(참)

ㄴ. [eqn: f prime LEFT ( t RIGHT ) =it- {14t} over {LEFT ( t ^{2} -9 RIGHT ) ^{2}}], [eqn: f '' LEFT ( t RIGHT ) = {42 LEFT ( t ^{2} +3 RIGHT )} over {LEFT ( t ^{2} -9 RIGHT ) ^{3}}]이므로 열린구간 [eqn: LEFT ( -3 ,```` 3 RIGHT )]에서 [eqn: f '' LEFT ( t RIGHT ) <0]	(참)

ㄷ. [eqn: 9f LEFT ( x RIGHT ) =3 ^{x+2} -7], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3 ^{x} - {7} over {9}]
방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3 ^{x} - {7} over {9}]의 서로 다른 실근의 개수는 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y= 3^x - 7over9]의 그래프가 만나는 점의 개수와 같다.
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: LEFT ( -3 RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: LEFT ( 3 RIGHT )]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]		[eqn: -]
[eqn: f '' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]		[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]		[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	↗		↗	[eqn: - {7} over {9}]	↘		↘

[eqn: lim _{x ``->`` - INF } {f LEFT ( x RIGHT ) = it 0}],[eqn: lim _{x ``->`` -3-} {f LEFT ( x RIGHT ) = it INF }],
[eqn: lim _{x ``->`` -3+} {f LEFT ( x RIGHT ) = it - INF }],[eqn: lim _{x ``->`` 3-} {f LEFT ( x RIGHT ) =it- INF }],
[eqn: lim _{x ``->`` 3+} {f LEFT ( x RIGHT ) = it INF }], [eqn: lim _{x ``->`` inf} {f LEFT ( x RIGHT ) = it 0}]
두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y=3 ^{x} - {7} over {9}]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 실근의 개수는 [eqn: 1]이다.	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) = it -1] ㄴ. 열린구간 [eqn: LEFT ( -3 ,```` 3 RIGHT )]에서 [eqn: f '' LEFT ( t RIGHT ) <0]이다. ㄷ. 방정식 [eqn: 9f LEFT ( x RIGHT ) =3 ^{x+2} -7]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

06 미적	10 방부등식에의 활용과 평면운동
02 부등식과 미분
04 부등식과 미분4 (활용)

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 06월 21

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[정답] ④

[해설]

[eqn: f(x)]가 역함수를 갖기 위해선

[eqn: f`'(x) geq 0] 또는 [eqn: f`'(x) leq0]이어야 한다.

[eqn: f(x)]를 미분하면

[eqn: f`'(x)=e^{x+1} left{x^{2}+left( n-2 right)x -n +3 right} + e^{x+1} left{2x + left( n-2 right) right} + a]

[eqn: f`'(x)=e^{x+1} left(x^{2}+ nx + 1 right) + a]이다

이때

[eqn: lim_{x-> inf}{f`'(x)= inf]이고 [eqn: lim_{x->-inf} {f`'(x)=a]이므로

[eqn: f(x)]가 역함수를 갖기 위해선

[eqn: f`'(x)geq 0]이어야 한다.

[eqn: f`''(x)]를 구하면

[eqn: f`''(x)=e^{x+1} left(x^{2}+ nx + 1 right) + e^{x+1} left(2x+ n right)]

[eqn: f`''(x)=e^{x+1} left(x^{2}+ (n+2)x + n+1 right)]

[eqn: =e^{x+1} left( x+1 right) left{x+ (n+1) right}]이므로

[eqn: f`'(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극소이며 최솟값이므로

[eqn: f`'(x)]의 그래프를 그려보면

따라서

[eqn: f`'(-1)=e^{0} left{ (-1)^{2} +n(-1)+1 right}+a=2-n+a geq0]

[eqn: therefore a geq n-2]

따라서

[eqn: therefore` g(n)=n-2]

[eqn: 1 leq g(n) leq8]

[eqn: LRARROW ~1 leq n-2 leq 8]

[eqn: LRARROW ~3 leq n leq 10]

따라서 [eqn: n=3,~4,~…,~10]이고

[eqn: therefore``sum_{k=3}^{10} k = sum_{k=1}^{10} k - sum_{k=1}^{2} k =55-3=52]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )=e^{x+1} left{x^{2}+ LEFT ( n-2 RIGHT )x -n +3 right}+ax`]

가 역함수를 갖도록 하는 실수 [eqn: a`]의 최솟값을 [eqn: g LEFT (n RIGHT )`]이라 하자. [eqn: 1 leq g LEFT (n RIGHT ) leq 8`]을 만족시키는 모든 [eqn: n`]의 값의 합은?

① [eqn: 43]	② [eqn: 46]	③ [eqn: 49]

④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 55]

06 미적	10 방부등식에의 활용과 평면운동
02 부등식과 미분
05 부등식과 미분5 (대소 비교 및 증명)

[출처]	2011 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= {1} over {x}` lnx `]에 대하여 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(x)= 1 overx `ln``x]에서

[eqn: f'(x) = - 1 overx^2 `ln ``x + ``1 overx^2 = 1 overx^2 (1- ln``x)]

[eqn: f''(x)][eqn: = - 2 overx^3 (1-ln``x) - 1 overx^3 = - 1 overx^3 (3 - 2 ln ``x )]

[eqn: x]	[eqn: 0]	⋯	[eqn: e]	⋯	[eqn: e^{3 over2}]	⋯
[eqn: f'(x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f''(x)]		[eqn: -]			[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]		□	극대	□	변곡	□

[eqn: lim_x->+0 f(x)][eqn: = lim_x->+0 1 overx `ln``x][eqn: = - inf]

[eqn: lim_x->inf][eqn: f(x)][eqn: = lim_x->inf 1 overx `ln ``x][eqn: =0]

이므로 [eqn: y= f(x)]의 개형은 다음 그림과 같다.

ㄱ. [eqn: y =f(x)]는 [eqn: x=e]일 때, 최댓값 [eqn: f(e)=][eqn: 1 overe]를 갖는다. (참)

ㄴ. [eqn: x>e]일 때, [eqn: f(x)]는 감소함수이므로
[eqn: 1 over2011 ` ln ``2011 > 1 over2012 `ln ``2012]
위 부등식을 변형하면
[eqn: 2012 cdotln``2011> 2011 cdotln``2012]에서
[eqn: ln``2011^2012 > ln``2012^2011]
∴ [eqn: 2011^2012 >2012^2011] (참)

ㄷ. 열린구간 [eqn: (0, ``e)]에서 [eqn: f''(x)<0]이므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 위로 볼록하다. (참)

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최댓값은 [eqn: 1over e `]이다. ㄴ. [eqn: 2011^2012 ＞ 2012^2011 `] ㄷ. 열린구간 [eqn: LEFT ( 0,`` e RIGHT ) `]에서 [eqn: y= f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 위로 볼록하다.

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

06 미적	10 방부등식에의 활용과 평면운동
03 속도와 가속도
05 평면 운동4 (점의 자취)

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 10월 미분과 적분 30

좌표평면 위의 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: C ``]와 이 원 위를 움직이는 점 [eqn: rmP`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 6]

[해설]

[eqn: t]초 후에 [eqn: rm P][eqn: (10 t + cos t ,`` sin t)]이고, 직선의 방정식은

[eqn: y = { sin t } over { cos t } (x- 10t )]이므로 점 [eqn: \ Q]의 [eqn: x``]좌표는

[eqn: x = 10 t + 2cot ``t]

∴ [eqn: dx over dt = 10 - 2csc ^2 t] ∴ [eqn: left[ dx over dt right]_{ t = 3 over 4 pi } = 6]

(가) 점 [eqn: rm P `]는 원 [eqn: C `] 위를 시계 반대 방향으로 매초 [eqn: 1 `]의 속력으로 움직인다.

(나) 원 [eqn: C ``]는 [eqn: x`]축의 양의 방향으로 매초 [eqn: 10`]의 속력으로 움직인다.

원 [eqn: C ``]는 중심이 원점에서, 점 [eqn: rm P `]는 점 [eqn: LEFT (1,`` 0 RIGHT ) `]에서 동시에 출발할 때, 원 [eqn: C ``]의 중심과 점 [eqn: rm P `]를 지나는 직선이 직선 [eqn: y=2 `]와 만나는 점을 [eqn: rm Q `]라 하자. 출발한 후 [eqn: 3 over 4 pi `]초가 되는 순간, 점 [eqn: rm Q `]는 직선 [eqn: y=2] 위를 매초 [eqn: a`]의 속력으로 움직인다. [eqn: a `]의 값을 구하시오.

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 04월 30

좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 부채꼴 [eqn: RMOAB`]가 있다. 점 [eqn: rmP`]가 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,`` 0 RIGHT )`]에서 출발하여 호 [eqn: RMAB] 위를 시계 반대 방향으로 매초 [eqn: 1`]의 일정한 속력으로 움직일 때, [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rmQ`]는 [eqn: rmbar{PQ it} = sqrt {5}`]를 만족시키면서 [eqn: x`]축 위를 움직인다.

[정답] [eqn: 8]

[해설]

점 [eqn: rmP]는 호 [eqn: rmAB] 위의 점이고 시각 [eqn: t]일 때 [eqn: ANGLE rm POA= it t][eqn: LEFT ( 0 LEQ t LEQ {pi } over {2} RIGHT )]이므로 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: it LEFT ( cos`t,~sin`t RIGHT )]이다.

점 [eqn: rm Q( it x,`0)]의 시각 [eqn: t]에서의 위치는

[eqn: x=cos`t+ sqrt {5-sin ^{2} `t}], [eqn: y=0]

점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표의 시간에 대한 변화율

[eqn: {dx} over {dt} =`-sin`t- {sin`t`cos`t} over {sqrt {5-sin ^{2} `t}}]

[eqn: therefore][eqn: ANGLE rm POA= pi over 4]가 되는 순간, 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표의
시간에 대한 변화율

[eqn: r=`- {sqrt {2}} over {2} - {{1} over {2}} over {sqrt {5- {1} over {2}}} =`- {sqrt {2}} over {2} - {sqrt {2}} over {6} =`- {2} over {3} ` sqrt {2}]

따라서 [eqn: 9r ^{2} =8]

[eqn: rm ANGLE POA= {pi } over {4}`]가 되는 순간, 점 [eqn: rm Q`]의 [eqn: x`]좌표의 시간(초)에 대한 변화율을 [eqn: r`]이라 할 때, [eqn: 9r ^{2}`]의 값을 구하시오.

[준킬러][미적] 5미분법3(빠른 정답)
준킬러미적	2023.01.06

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold15]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 72 }]

[정답] [eqn: bold { 15 }]

[정답] [eqn: 20]

[정답] [eqn: 9]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ④

[정답] [eqn: 26]

[정답] [eqn: rm 3]

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold{ 15]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 17 }]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 24 }]

[정답] ②

[정답] [eqn: 34]

[정답] [eqn: 20]

[정답] [eqn: 109]

[정답] [eqn: 27]

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: 34]

[정답] [eqn: 30]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 6]

[정답] [eqn: 8]

[준킬러][미적] 5미분법3(해설)
준킬러미적	2023.01.06