	준킬러미적	[준킬러][미적] 3미분법1
	03
		준킬러미적	2023.01.06

06 미적	03 지수, 로그함수의 미분
01 자연상수 e의 정의
04 e를 포함한 지수함수와 로그함수의 계산

준킬러미적		준킬러미적
		[준킬러][미적] 3미분법1
03

	준킬러미적		준킬러미적
	[준킬러][미적] 3미분법1		03

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 15

함수 [eqn: y= e^{x}]의 그래프 위의 [eqn: x]좌표가 양수인 점 [eqn: {rmA}]와 함수 [eqn: y= it - ln` x]의 그래프 위의 점 [eqn: {rmB}]가 다음 조건을 만족시킨다. 직선 [eqn: {rmOA}]의 기울기는? (단, [eqn: {rmO}]는 원점이다.)

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: y=e ^{x}] 위의 점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,~e ^{a} RIGHT )]라 하고 직선 [eqn: rmOA]와 [eqn: x]축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 [eqn: alpha]라고 하자. 마찬가지로 [eqn: y=-lnx] 위의 점 [eqn: rmB]의 좌표를 [eqn: LEFT ( b,~-lnb RIGHT )]라고 하고 직선 [eqn: rmOB]와 [eqn: x]축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 [eqn: beta]라고 하면 (나)에 의하여 [eqn: alpha + beta =90 DEG]이다.

한편, 함수 [eqn: y=-lnx]의 그래프는 [eqn: y=e ^{x}]의 그래프를 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동 한 후 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동 한 것과 같으므로 점 [eqn: rm C LEFT ( lnb,~b RIGHT )]는 [eqn: y=e ^{x}] 위의 점이고 [eqn: bar{rmOB} = bar{rmOC}]이며 직선 [eqn: rmOC]와 [eqn: y]축의 양의 방향이 이루는 각의 크기는 [eqn: beta]이다.

따라서 직선 [eqn: rmOC]와 [eqn: x]축의 양의 방향이 이루는 각의 크기는 [eqn: 90DEG-beta=alpha]이므로 세 점 [eqn: rmO,~A,~C]는 한 직선 위에 있다.

(가)에서 [eqn: rm bar{OA} =2 bar{OB} =2 bar{OC}]이므로 [eqn: LEFT ( 2lnb,~2b RIGHT ) = LEFT ( a,~e ^{a} RIGHT )]이고 이를 연립하면 [eqn: a=2ln2]이다.

[eqn: therefore] 직선 [eqn: rmOA]의 기울기는 [eqn: {e ^{a}} over {a} = {4} over {2ln2} = {2} over {ln2}]

(가) [eqn: bar{{rmOA}}`= 2`bar{{rmOB}}]

(나) [eqn: ∠{rmAOB} = 90°]

① [eqn: e]	② [eqn: {3}over{ln` 3}]	③ [eqn: {2}over{ln` 2}]

④ [eqn: {5}over{ln` 5}]	⑤ [eqn: {e^{2}}over{2}]

06 미적	03 지수, 로그함수의 미분
02 지수, 로그함수의 극한
06 e를 포함한 극한의 계산3 (지수식. 무한소)

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 03월 1

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {e^{2 x}-1} over {4 x}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {e^{2 x}-1} over {4 x}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0} left({e^{2 x}-1} over {2 x} times {2 x} over {4 x} right)]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0} {e^{2 x}-1} over {2 x} times lim _{x ``rarrow`` 0} {2 x} over {4 x}]
[eqn: =1 times {2} over {4}]
[eqn: ={1} over {2}]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {5} over {6}]	⑤ [eqn: rm 1]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 04월 1

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {e^{x}-1} over {4 x}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {e^{x}-1} over {4 x}= lim _{x ``rarrow`` 0} {e^{x}-1} over {x} times {1} over {4}={1} over {4}]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: rm 1]

06 미적	03 지수, 로그함수의 미분
02 지수, 로그함수의 극한
11 극한의 활용2 (지수식 극한)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 11월 28

그림과 같이 곡선 [eqn: y=xe ^{x} `]위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( t,`` te ^{t} RIGHT )] ([eqn: t>0`])을 중심으로 하고 [eqn: y`]축에 접하는 원을 [eqn: C ``]라 하자. 원 [eqn: C``]의 반지름의 길이를 [eqn: r it LEFT ( t RIGHT ) `], 원점 [eqn: rm O`]를 지나고 원 [eqn: C``]에 접하는 직선 중에서 [eqn: y`]축이 아닌 직선의 기울기를 [eqn: m LEFT ( t RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: lim _{t` -> `0+} {{4r LEFT ( t RIGHT ) -e ^{t} TIMES m LEFT ( t RIGHT )} over {t}} `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 3 }]

[해설]

[eqn: r LEFT ( t RIGHT )=t]이고, 원점 [eqn: rmO]를 지나는 원 [eqn: C]의 접선의 방정식은

[eqn: y= m(t) x]

점 [eqn: rm P]에서 접선까지의 거리는 원 [eqn: C]의 반지름의 길이와 같으므로

[eqn: t = { LEFT | ``t timesm LEFT ( t RIGHT ) - te^t ``RIGHT | }over{root{left{m LEFT ( t RIGHT ) right}^2 + 1 }], [eqn: { LEFT | `` m LEFT ( t RIGHT ) - e^t ``RIGHT | }={root{left{m LEFT ( t RIGHT ) right}^2 + 1 }]

[eqn: { LEFT { m LEFT ( t RIGHT ) - e^t RIGHT }^2 =left{m LEFT ( t RIGHT ) right}^2 + 1]
[eqn: e^t times m LEFT ( t RIGHT ) = {e^2t -1}over2]

[eqn: therefore][eqn: lim _{ t ``->`` 0 +} {{4 r LEFT(t RIGHT)- { e^t }timesm LEFT ( t RIGHT ) } over {t} }]
[eqn: = lim _{ t ``->`` 0 +}{ {{4t-{e^2t -1}over2}} over {t} }]
[eqn: = lim _{t ``->`` 0+} { LEFT ( 4- {e ^{2t} -1} over {2t} RIGHT ) }]
[eqn: =3]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 10월 17

[eqn: t<1`]인 실수 [eqn: t`]에 대하여 곡선 [eqn: y= ln`x`]와 직선 [eqn: x+y=t`]가 만나는 점을 [eqn: \P`]라 하자. 점 [eqn: \P`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H], 직선 [eqn: \PH`]와 곡선 [eqn: y=e ^{x} `]이 만나는 점을 [eqn: \Q`]라 할 때, 삼각형 [eqn: \OHQ`]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( t RIGHT ) `]라 하자. [eqn: lim _{t` -> `0+} {{2S` LEFT ( t RIGHT ) -1} over {t}} `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: rmP`]의 좌표를 [eqn: (a,``ln`a)`]([eqn: a>0])라 하면 점 [eqn: rmQ`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( it a,``e ^{`a} RIGHT ) `]

점 [eqn: rm P`]는 직선 [eqn: x+y=t`] 위의 점이므로 [eqn: a + ln `a=t`]

[eqn: ln `a e^a =t`]이므로 [eqn: ae ^{`a} =e ^{`t}]

그러므로 삼각형 [eqn: \OHQ`]의 넓이 [eqn: S`(t)`]는

[eqn: S`(t)][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm OH it}} TIMES {bar{rm HQ}} it `]
[eqn: = {1} over {2} TIMES a TIMES e ^{`a}]
[eqn: = {1} over {2} ae ^{`a}]
[eqn: = 1 over 2 e^t]

따라서

[eqn: lim _{t` -> `0+} {} {2S`(t)-1} over {t} `][eqn: = lim _{t` -> `0+} {} {2 TIMES {1} over {2} e ^{`t} -1} over {t} `][eqn: =1`]

① [eqn: 1]	② [eqn: e-1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: e]	⑤ [eqn: 3]

06 미적	03 지수, 로그함수의 미분
02 지수, 로그함수의 극한
12 극한의 활용3 (로그식 극한)

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 11월 21

곡선 [eqn: y= ln (x+1)]위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it (a,`` b)]가 있다. 점 [eqn: {rm{P}} it]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 곡선 [eqn: y=e^{x}-1]과 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]를 지름의 양 끝점으로 하는 원의 넓이를 [eqn: S(a)], 원점 [eqn: {rm{O}} it]와 선분 [eqn: {rm{PQ}} it]의 중점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 넓이를 [eqn: T(a)]라 할 때, [eqn: lim _{a ``rarrow`` 0+} {4 T(a)-S(a)} over { pi a^{2}}]의 값은? (단, [eqn: a>0])

[정답] ⑤

[해설]

두 곡선 [eqn: y= ln (x+1)], [eqn: y=e^{x}-1]은 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이고, 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]는 기울기가 [eqn: -1]인 직선 위의 점이므로 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

두 점 [eqn: {rm{P}} it (a,`` b)], [eqn: {rm{Q}} it (b,`` a)]에 대하여

선분 [eqn: {rm{PQ}} it]의 중점을 [eqn: {rm{M}} it]이라 하면 [eqn: {rm{M}} it left({a+b} over {2},`` {a+b} over {2} right)]

[eqn: overline{{rm{PM}} it }={ sqrt{2}} over {2}(a-b) ~ ( because a>b)]

[eqn: therefore~S(a)={ pi} over {2}(a-b)^{2}]

[eqn: {1} over {2} overline{{rm{OM}} it }={ sqrt{2}} over {4}(a+b)]

[eqn: therefore~T(a)={ pi} over {8}(a+b)^{2}]

[eqn: 4 T(a)-S(a)][eqn: =2 pi a b]
[eqn: =2 pi a {rm ln` } it LEFT (a+1 RIGHT )]

따라서 [eqn: lim _{a ``rarrow`` 0+} {4 T(a)-S(a)} over { pi a^{2}}= lim _{a ``rarrow`` 0+} {2 ln (a+1)} over {a}=2]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {7} over {4}]	⑤ [eqn: rm 2]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 04월 17

[eqn: a>e`]인 실수 [eqn: a`]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=e ^{x-1} `]과 [eqn: y=a ^{x} `]이 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: lim _{a` -> `e+} {{1} over {LEFT ( e-a RIGHT ) f LEFT ( a RIGHT )}} `]의 값은?

[정답] ②

[해설]

두 곡선 [eqn: y=e ^{x-1}]과 [eqn: y=a ^{x}]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표는

방정식 [eqn: e ^{x-1} =a ^{x}]의 해이다.

양변에 [eqn: {e} over {a ^{x}}]를 곱하면 [eqn: LEFT ( {e} over {a} RIGHT ) ^{x} =e]

[eqn: x= {1} over {ln {e} over {a}}]이므로 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) = {1} over {ln {e} over {a}}]

[eqn: a-e=t]라 하면 [eqn: a=t+e]이고, [eqn: a` -> `e+]일 때 [eqn: t` -> `0+]이므로

[eqn: lim _{a` -> `e+} {{1} over {LEFT ( e-a RIGHT ) f LEFT ( a RIGHT )}}][eqn: = lim _{a` -> `e+} {{ln {e} over {a}} over {LEFT ( e-a RIGHT )}}][eqn: =][eqn: lim _{t` -> `0+} {{ln {e} over {t+e}} over {-t}}]
[eqn: = lim _{t` -> `0+} {ln LEFT ( 1+ {t} over {e} RIGHT ) ^{{1} over {t}} }]
[eqn: = lim _{t` -> `0+} {ln LEFT { LEFT ( 1+ {t} over {e} RIGHT ) ^{{e} over {t}} RIGHT } ^{{1} over {e}} =} {1} over {e}]

① [eqn: {1} over {e ^{2}}]	② [eqn: {1} over {e}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: e]	⑤ [eqn: e ^{2}]

06 미적	03 지수, 로그함수의 미분
03 지수, 로그함수의 도함수
01 미분법 공식1 (지수함수)

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 03월 26

실수 전체의 집합에서 정의된 미분 가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 8]

[해설]

[eqn: y=0``]을 대입하면

[eqn: f(x)=f(x)f(0)+4f(x)+4f(0)+12]

[eqn: LEFT { f(x)+4 RIGHT } LEFT { f(0)+3 RIGHT } =0]

[eqn: f(0)=-3]

[eqn: f` prime (x)= lim _{h -> 0} {{f(x+h)-f(x)`} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f(x)f(h)+4f(x)+4f(h)+12-f(x)`} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f(x)f(h)+3f(x)+4f(h)+12} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{LEFT { f(x)+4 RIGHT } LEFT { f(h)+3 RIGHT }} over {h}}]

[eqn: ={LEFT { f(x)+4 RIGHT } lim _{h -> 0} {{ f(h)+3 } over {h}} }]

[eqn: = LEFT { f(x)+4 RIGHT } lim _{h -> 0} {{f(h)-f(0)} over {h}}]

[eqn: = LEFT { f(x)+4 RIGHT } f`'(0)][eqn: =2 LEFT { f(x)+4 RIGHT }]

[eqn: therefore][eqn: f`'(ln2)= 2left{ f(ln2) +4 right} =8]

[다른 풀이]

(가)에서 양변에 [eqn: 4]를 더하여 인수분해하면

[eqn: f(x+y)+4= LEFT { f(x)+4 RIGHT } LEFT { f(y)+4 RIGHT }]

[eqn: f(x)+4=g(x)]라 하면 [eqn: g(x+y)=g(x)g(y)] …㉠

㉠에서 [eqn: y=0]이라 하면 [eqn: g(x)=g(x)g(0)]

[eqn: g(x) LEFT { 1-g(0) RIGHT } =0], [eqn: g(0)=1]

[eqn: f`'(x)=g'(x)]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{g(x+h)-g(x)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h-> 0} {{g(x)g(h)-g(x)} over {h}}]

[eqn: =g(x)` lim _{h -> 0} {{g(h)-1} over {h}}]

[eqn: =g(x)`` lim _{h -> 0} {{g(h)-g(0)} over {h}}]

[eqn: =g(x)``g` prime (0)][eqn: (` BECAUSE `g` prime (0)=f` prime (0)=2)]

[eqn: =2g(x)=2 LEFT { f(x)+4 RIGHT }]

따라서 [eqn: f prime (ln2)=2 LEFT { f(ln2)+4 RIGHT }][eqn: =2times4][eqn: =8]

(가) 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+y RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( y RIGHT ) +4f LEFT ( x RIGHT ) +4f LEFT ( y RIGHT ) +12]

(나) [eqn: f LEFT ( ln`12 RIGHT ) =0], [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =2]

이때, [eqn: f`' LEFT ( ln`2 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

06 미적	03 지수, 로그함수의 미분
03 지수, 로그함수의 도함수
05 조건해석3 (함수의 해석)

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 07월 20

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln`x`], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =ln` {1} over {x} `]의 그래프가 만나는 점을 [eqn: rm P`]라 할 때 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: ln`x`=ln {1} over {x}]에서 [eqn: x=1]

점 [eqn: rm `P`]의 좌표는 [eqn: ( it `1,~0)`] (참)

ㄴ. [eqn: f'(1)=1], [eqn: g prime (1)=-1]이므로

[eqn: f prime (1) TIMES g prime (1)=1 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) =-1``]

그러므로 두 곡선 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 각각의 접선은 서로 수직이다. (참)

ㄷ. [eqn: t>1`]에서 함수 [eqn: f(t)`]는 증가하고, [eqn: f prime (t)= {1} over {t} `]이고 [eqn: f'(1)=1`]이므로

[eqn: t>1`]인 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: 0< {f(t)-f(1)} over {t-1} <1`]

[eqn: t>1`]에서 함수 [eqn: g(t)`]는 감소하고, [eqn: g prime (t)=- {1} over {t} `]이고 [eqn: g prime (1)=-1`]이므로

[eqn: t>1`]인 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: -1< {g(t)-g(1)} over {t-1} `<0`]

그러므로

[eqn: -1< {f(t)-f(1)} over {t-1} TIMES {g(t)-g(1)} over {t-1} `<0`]

[eqn: -1< {f(t)g(t)} over {LEFT ( t-1 RIGHT ) ^{2}} <0`] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

	<보 기>
ㄱ. 점 [eqn: rm P`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,``0 RIGHT ) `]이다. ㄴ. 두 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `] 위의 점 [eqn: rm P`]에서의 각각의 접선은 서로 수직이다. ㄷ. [eqn: t>1`]일 때, [eqn: -1< {f LEFT ( t RIGHT ) g LEFT ( t RIGHT )} over {LEFT ( t-1 RIGHT ) ^{2}} <0`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

06 미적	04 삼각함수의 덧셈정리
01 삼각함수의 정의
04 정의4 (해석 및 활용)

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고2 03월 13

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: rm O] 위에 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]가 있다. 점 [eqn: rm A`]에서의 접선이 [eqn: rm bar{OB} `]의 연장선과 만나는 점을 [eqn: rm P], 점 [eqn: rm B`]에서 [eqn: rm bar{OA} `]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q`]라 하고 [eqn: rm ANGLE AOB= theta `]라 한다. [eqn: rm bar{OQ} =2` bar{AP} times bar{BQ}`]가 성립할 때 [eqn: csc` theta TIMES sec` theta times cot` theta `]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}`])

[정답] ③

[해설]

세 선분 [eqn: rm OQ, ``AP, ``BQ]의 길이를 [eqn: theta]로 나타내면

[eqn: rm bar{OQ} = cos theta ,`` rm bar{AP} =tan theta ,````` rm bar{BQ} = sin theta]

[eqn: rm bar{OQ} =2`` rm bar{AP} CDOT ` rm bar{BQ}]에서

[eqn: cos theta =2`tan theta CDOT sin theta][eqn: LRARROW```][eqn: cos ^{2} theta =2sin ^{2} theta][eqn: LRARROW][eqn: cot^2 theta = 2]

가 성립한다.
[eqn: therefore][eqn: csc theta CDOT sec theta CDOT cot theta]

[eqn: = {1} over {sin theta } CDOT {1} over {cos theta } CDOT {cos theta } over {sin theta }][eqn: = {1} over {sin ^{2} theta }][eqn: =csc ^{2} theta][eqn: =1+cot ^{2} theta]

[eqn: =1+2=3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

06 미적	04 삼각함수의 덧셈정리
03 삼각함수의 해석 및 활용
02 해석 및 활용2 (방정식 또는 부등식)

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 07월 15

[eqn: {tan` alpha =`- {5} over {12} }{{from^2019^07^인천교육청고3가^중}}][eqn: LEFT ( {3} over {2} pi < alpha <2 pi RIGHT ) `]이고 [eqn: 0 LEQ x< {pi} over {2}`]일 때, 부등식

[정답] ④

[해설]

[eqn: {3} over {2} pi < alpha <2 pi]에서 [eqn: tan alpha =- {5} over {12}]이므로

[eqn: sin alpha =- {5} over {13}], [eqn: cos alpha = {12} over {13}]

[eqn: sin LEFT ( x+ alpha RIGHT )][eqn: =sin x cos alpha +cos x sin alpha]
[eqn: = {12} over {13} ` sin x- {5} over {13} ` cos x]

[eqn: cosx LEQ {12} over {13} ` sin x- {5} over {13} ` cos x LEQ 2cosx]

양변을 [eqn: cos x]로 나누면

[eqn: 1 LEQ {12} over {13} ` tan x- {5} over {13} LEQ 2]

[eqn: {3} over {2} LEQ tan x LEQ {31} over {12}]에서 최댓값은 [eqn: {31} over {12}], 최솟값은 [eqn: {3} over {2}]

따라서 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: {49} over {12}]

[eqn: cosx LEQ sin LEFT ( x+alpha RIGHT ) leq2cosx]

를 만족시키는 [eqn: x]에 대하여 [eqn: tanx]의 최댓값과 최솟값의 합은?

① [eqn: {31} over {12}]	② [eqn: {37} over {12}]	③ [eqn: {43} over {12}]

④ [eqn: {49} over {12}]	⑤ [eqn: {55} over {12}]

06 미적	04 삼각함수의 덧셈정리
03 삼각함수의 해석 및 활용
05 해석 및 활용5 (두 직선이 이루는 각)

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 04월 미분과 적분 30

원점과 점 [eqn: LEFT ( 1,``1 RIGHT ) `]을 이은 선분이 [eqn: x`]축의 양의 방향과 이루는 각을 [eqn: theta _{1}], 원점과 점 [eqn: LEFT ( 2,``1 RIGHT ) `]을 이은 선분이 [eqn: x`]축의 양의 방향과 이루는 각을 [eqn: theta _{2}],[eqn: `CDOTS `], 원점과 점 [eqn: LEFT ( n,``1 RIGHT ) `]을 이은 선분이 [eqn: x`]축의 양의 방향과 이루는 각을 [eqn: theta _{n} `]이라 하자.

[정답] [eqn: bold9]

[해설]

[eqn: tan theta _{1} =1], [eqn: tan theta _{2} = {1} over {2}], [eqn: tan theta _{p} = {1} over {p}], [eqn: tan theta _{q} ={1} over {q}]

[eqn: tan( theta _{1} - theta _{2} )=tan( theta _{p} - theta _{q} )]

[eqn: {tan theta _{1} -tan theta _{2}} over {1+tan theta _{1} tan theta _{2}} = {tan theta _{p} -tan theta _{q}} over {1+tan theta _{p} tan theta _{q}}]

[eqn: {1- {1} over {2}} over {1+1 TIMES {1} over {2}} = {{1} over {p} - {1} over {q}} over {1+ {1} over {p} TIMES {1} over {q}}]

[eqn: {1} over {3} = {q-p} over {pq+1}], [eqn: (p-3)(q+3)=-10]

[eqn: p], [eqn: q]는 자연수이고 [eqn: 1<p<q]이므로

[eqn: (p-3,`q+3)=(-1,`10)]

[eqn: p-3=-1,``q+3=10][eqn: p=2,``q=7] 따라서, [eqn: p+q=9]

[eqn: theta _{1} - theta _{2} = theta _{p} - theta _{q} `]가 되도록 하는 [eqn: p], [eqn: q`]에 대하여 [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 1<p<q`]이고 [eqn: p], [eqn: q`]는 자연수이다.)

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 07월 미분과 적분 29

두 직선 [eqn: y=x+a], [eqn: y= {1} over {3} x+b`]가 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =r^2 `]에 접하는 점을 각각 [eqn: rm P _{1}], [eqn: rmP _{2}`]라 하고 [eqn: rm ANGLE P _{1} O`P _{2} = alpha `]일 때, [eqn: tan` alpha `]의 값은? (단, [eqn: a<0], [eqn: b<0`])

[정답] ②

[해설]

두 직선 [eqn: y=x+a`,`````y= {1} over {3} x+b]와 [eqn: x]축이 만나는 점을 각각 [eqn: rmA`,``B]라 하고 [eqn: rmANGLE OAP _{1} `= theta _{1}]라 하면

[eqn: tan theta _{1} =1]이므로 [eqn: theta _{1} = {pi } over {4}] 이다.

따라서 [eqn: rmANGLE AOP _{1} = {pi } over {4}]이다

같은 방법으로 [eqn: rmANGLE OBP _{2} = theta _{2}] , [eqn: tan theta _{2} = {1} over {3}]이고

[eqn: {rm bar{BP _{2}}} =3r]이다. [eqn: tan LEFT ( {pi } over {4} + alpha RIGHT ) =3]에 의해서 [eqn: THEREFORE ``tan alpha = {1} over {2}]

[eqn: y=x+a]

[eqn: y= {1} over {3} x+b]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =r ^{2} `]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고2 11월 30

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 원 [eqn: x^{2}+y^{2}=1]과 두 직선 [eqn: y=n x], [eqn: y=(n+1) x]가 제 [eqn: rm 1]사분면에서 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{P}} it _{n}], [eqn: {rm{P}} it _{n+1}]이라 하자.

[정답] [eqn: 3]

[해설]

직선 [eqn: y=n x]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각을 [eqn: theta_{n}], 직선 [eqn: y=(n+1) x]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각을 [eqn: theta_{n+1}]이라 하면, [eqn: l_{n}= theta_{n+1}- theta_{n}]

[eqn: sum_{k=1}^{n} l_{k}][eqn: =l_{1}+l_{2}+ cdots+l_{n}]
[eqn: = left( theta_{2}- theta_{1} right)+ left( theta_{3}- theta_{2} right)+ cdots+ left( theta_{n+1}- theta_{n} right)]
[eqn: = theta_{n+1}- theta_{1}]

[eqn: tan theta_{1}=1], [eqn: tan theta_{n+1}=n+1]이므로

[eqn: tan left( theta_{n+1}- theta_{1} right)][eqn: ={ tan theta_{n+1}- tan theta_{1}} over {1+ tan theta_{n+1} tan theta_{1}}]
[eqn: ={(n+1)-1} over {1+(n+1) times 1}]
[eqn: ={n} over {n+2}]

[eqn: sum_{k=1}^{n} l_{k} geq { pi} over {6}]이므로 [eqn: tan left( theta_{n+1}- theta_{1} right) geq tan { pi} over {6}]

[eqn: {1} over {n+2} geq {1+ sqrt{3}} over { sqrt{3}}], [eqn: n ge1+root3]

따라서 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: rm 3]

제 [eqn: rm 1]사분면에 있는 원 위의 호 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{P}} it _{n+1}]의 길이를 [eqn: l_{n}]이라 할 때, [eqn: sum_{k=1}^{n} l_{k} geq { pi} over {6}]를 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 03월 26

그림과 같이 기울기가 [eqn: - {1} over {3}`]인 직선 [eqn: l`]이 원 [eqn: x^2 + y^2 =1`]과 점 [eqn: rm A`]에서 접하고, 기울기가 [eqn: 1`]인 직선 [eqn: m`]이 원 [eqn: x^2 + y^2 =1`]과 점 [eqn: rm B`]에서 접한다. [eqn: 100`cos ^{2} ` LEFT ( ANGLE rm AOB RIGHT ) `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

[정답] [eqn: bold20]

[해설]

두 직선 [eqn: l`]과 [eqn: m`]이 원 [eqn: x^2 + y^2 =1`]과 접하는 점이 각각 [eqn: \A`], [eqn: \B`]이므로    [eqn: dyad\OA `bot` it l`], [eqn: dyad\OB `bot` it m`]

원 [eqn: x^2 +y^2 =1]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 만나는 점을 [eqn: rmX]라 하고, [eqn: ANGLE rm AOX=it alpha]라 하자.

(ⅰ) 점 [eqn: rmA]가 제[eqn: 1]사분면에 있고, 점 [eqn: rmB]가 제[eqn: 4]사분면에 있을 때
직선 [eqn: rmOA]가 직선 [eqn: l]과 수직이므로 직선 [eqn: rmOA]의 기울기는 [eqn: 3]이다. 따라서
[eqn: tan alpha=3], [eqn: cos alpha = {sqrt {10}} over {10}`], [eqn: sin alpha = {3 sqrt {10}} over {10}`]
직선 [eqn: rm OB]가 직선 [eqn: m]과 수직이므로 직선 [eqn: rm OB]의 기울기는 [eqn: -1`]이다.
따라서 [eqn: ANGLE rm XOB= {pi } over {4} it]
[eqn: cos LEFT ( ANGLE rm AOB RIGHT ) =cos LEFT ( alpha + {pi } over {4} RIGHT )`][eqn: =cos alpha cos {pi } over {4} -sin alpha sin {pi } over {4}`]
[eqn: = {sqrt {2}} over {2} LEFT ( cos alpha -sin alpha RIGHT )`]
[eqn: = {sqrt {2}} over {2} LEFT ( {sqrt {10}} over {10} - {3sqrt {10}} over {10}RIGHT )`]
[eqn: = {sqrt {2}} over {2} timesLEFT ( - {sqrt {10}} over 5 RIGHT ) =`- {sqrt {5}} over {5}]

(ⅱ) 점 [eqn: rmA]가 제[eqn: 1]사분면에 있고, 점 [eqn: rmB]가 제[eqn: 2]사분면에 있을 때
[eqn: tan alpha=3], [eqn: cos alpha = {sqrt {10}} over {10}`], [eqn: sin alpha = {3 sqrt {10}} over {10}`]
직선 [eqn: rm OB]가 직선 [eqn: m]과 수직이므로 직선 [eqn: rm OB]의 기울기는 [eqn: -1]이다.
따라서 [eqn: ANGLE rm XOB= {3} over {4} pi it]
[eqn: cos LEFT ( ANGLE rm AOB RIGHT ) =cos LEFT ( {3} over {4} pi - alpha RIGHT )]

[eqn: =cos {3} over {4} pi cos alpha +sin {3} over {4} pi sin alpha]

[eqn: = {sqrt {2}} over {2} LEFT ( -cos alpha +sin alpha RIGHT )]

[eqn: = {sqrt {2}} over {2} LEFT ( - {sqrt {10}} over {10} + {3sqrt {10}} over {10} RIGHT )`]

[eqn: = {sqrt {2}} over {2} TIMES {sqrt {10}} over {5} = {sqrt {5}} over5`]

(ⅲ) 점 [eqn: rmA]가 제[eqn: 3]사분면에 있고, 점 [eqn: rmB]가 제[eqn: 2]사분면에 있을 때
[eqn: cos(angle \AOB)=`- root5 over5]이다.

(ⅳ) 점 [eqn: rmA]가 제[eqn: 3]사분면에 있고, 점 [eqn: rmB]가 제[eqn: 4]사분면에 있을 때
[eqn: cos(angle \AOB)= root5 over5]이다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)로부터

[eqn: cos(angle \AOB)=`- root5 over5] 또는 [eqn: cos(angle \AOB)= root5 over5]

[eqn: 100cos ^{2} LEFT ( ANGLE rm AOB RIGHT ) =100 TIMES 1over5 =20]

06 미적	04 삼각함수의 덧셈정리
03 삼각함수의 해석 및 활용
06 해석 및 활용6 (다각형의 성질)

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 06월 미분과 적분 29

눈높이가 [eqn: 1``rmm`]인 어린이가 나무로부터 [eqn: 7``rmm`] 떨어진 지점에서 나무의 꼭대기를 바라본 선과 나무가 지면에 닿는 지점을 바라본 선이 이루는 각이 [eqn: theta `]이었다. 나무로부터 [eqn: 2``rmm`] 떨어진 지점까지 다가가서 나무를 바라보았더니 나무의 꼭대기를 바라본 선과 나무가 지면에 닿는 지점을 바라본 선이 이루는 각이 [eqn: theta + {pi } over {4} `]가 되었다. 나무의 높이는 [eqn: a`` LEFT ( rmm RIGHT ) `] 또는 [eqn: b`` LEFT ( rmm RIGHT ) `]이다. [eqn: a+b`]의 값은?

[정답] ①

[해설]

위의 그림에서 [eqn: tan p = 1over 7 ,~tan q = x over 7]이므로

[eqn: tan (p+q)= {1over 7 + x over 7} over {1- 1 over 7 cdot x over 7} = 7(x+1) over 49-x]

또, [eqn: tan r = 1over 2 ,~tan s = x over 2]이므로

[eqn: tan (r+s)= {1over 2 + x over 2} over {1- 1 over 2 cdot x over 2} = 2(x+1) over 4-x]

이 때 [eqn: a+b = alpha +beta+ pi over 4]이므로

[eqn: tan "{"(p+q)-(r+s)"}" = tan pi over 4]

[eqn: {{2(x+1)} over {4-x} - {7(x+1)} over {49-x}} over {1+ {2(x+1)} over {4-x} CDOT {7(x+1)} over {49-x}} =1]

[eqn: {5x ^{2} +75x+70} over {15x ^{2} -25x+210} =1]

[eqn: therefore][eqn: x^2 -10x+14=0]

위 방정식의 두 근을 [eqn: alpha+beta]라 하면 [eqn: alpha +beta = 10]

이 때 [eqn: a=alpha+1,~b=beta +1]이므로

[eqn: a+b = (alpha+1)+(beta+1)=10+2=12]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 11월 28

그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} =2`]이고 [eqn: rm ANGLE A= {pi } over {2} `]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]에 대하여 선분 [eqn: rm BC`]를 [eqn: 6`]등분한 점을 점 [eqn: rm B`]에서 가까운 순서대로 [eqn: rm P _{1}], [eqn: rm P _{2}], [eqn: rm P _{3}], [eqn: rm P _{4}], [eqn: rm P _{5} `]라 하고, [eqn: rm ANGLE P _{1} AP _{2} = alpha], [eqn: rm ANGLE P _{5} AC= beta `]라 하자. [eqn: 2tan` alpha =3tan` beta `]일 때, 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이는 [eqn: S``]이다. [eqn: 9S` ^{2} `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold{ 40]

[해설]

선분 [eqn: rm AC]의 길이를 [eqn: a]라 하자. 점 [eqn: rmA]가 원점, [eqn: rm {bar{AB}}]를 [eqn: x]축 위에 오도록 직각삼각형[eqn: rmABC]를 좌표평면 위에 놓으면 [eqn: rm B LEFT ( 2,``0 RIGHT )], [eqn: rm C(0,`` it a)]이다.

세 점 [eqn: rm P _{1} it LEFT ( {5} over {3} ,`` {a} over {6} RIGHT )], [eqn: rm P _{2} it LEFT ( {4} over {3} ,`` {a} over {3} RIGHT )], [eqn: rm P _{5} it LEFT ( {1} over {3} ,`` {5a} over {6} RIGHT )][eqn: rm ANGLE BAP _{1} = theta _{1}], [eqn: rm ANGLE BAP _{2 rm} = theta _{2}]라 하면 [eqn: tan theta _{1} = {a} over {10}], [eqn: tan theta _{2} = {a} over {4}]이므로

[eqn: tan alpha =tan LEFT ( theta _{2} - theta _{1} RIGHT )][eqn: =` {6a} over {40+a ^{2}}]

[eqn: tan beta = {2} over {5 it a rm}]

[eqn: 2tan alpha =3tan beta]에서

[eqn: {12a} over {40+a ^{2}} = {6} over {5a}]이므로 [eqn: a ^{2} = {40} over {9}], [eqn: a= {2 sqrt {10}} over {3}]

삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이 [eqn: S= {1} over {2} TIMES 2 TIMES {2 sqrt {10}} over {3}]

따라서 [eqn: 9S ^{`2} =40]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 03월 27

[eqn: bar{rm AC it} =3], [eqn: bar{rm BC it} =1], [eqn: ANGLE rm C=90 DEG `]인 직각삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 4`:`1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm P], 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 2`:`3`]으로 내분하는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. 점 [eqn: rm P`]에서 선분 [eqn: rm BC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm R], 점 [eqn: rm Q`]에서 선분 [eqn: rm AC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm S`]라 하자. [eqn: ANGLE rm CPR= alpha], [eqn: anglermCQS= beta `]라 할 때, [eqn: tan` LEFT ( beta - alpha RIGHT ) = {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold61]

[해설]

점 [eqn: rmP`]가 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 4:1`]로 내분하는 점이므로

[eqn: {bar{rm PR it}} = {1} over {5} {bar{rm AC it}} = {3} over {5} `], [eqn: {bar{rm RC it}} = {4} over {5} {bar{rm BC it}} = {4} over {5} `]

삼각형 [eqn: rm PRC`]가 직각삼각형이므로 [eqn: tan` alpha = {{bar{rm RC it}}} over {{bar{rm PR it}}} `= {4} over {3} `]

점 [eqn: rm Q`]가 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 2:3`]으로 내분하는 점이므로

[eqn: {bar{rmQS}} = {2} over {5} {bar{rm BC it}} = {2} over {5} `], [eqn: {bar{rm SC it}} = {3} over {5} {bar{rm AC it}} = {9} over {5} `]

삼각형 [eqn: rm QCS`]가 직각삼각형이므로 [eqn: tan` beta = {{bar{rm SC it}}} over {{bar{rm QS it}} `} = {9} over {2} `]

따라서

[eqn: tan( beta - alpha )= {tan beta -tan alpha } over {1+tan beta ``tan alpha } `][eqn: = {{9} over {2} - {4} over {3}} over {1+ {9} over {2} TIMES {4} over {3}} `][eqn: = {{27-8} over {6}} over {{6+36} over {6}} = {19} over {42} `]

이므로 [eqn: p+q=42+19=61`]이다.

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 14

그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB}} =5], [eqn: rm {bar{AC}} =2 sqrt {5}]인 삼각형 [eqn: rm ABC]의 꼭짓점 [eqn: rm A]에서 선분 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm D]라 하자. 선분 [eqn: rm AD]를 [eqn: 3``:``1]로 내분하는 점 [eqn: rm E]에 대하여 [eqn: rm {bar{EC}} = sqrt {5}]이다. [eqn: ANGLE rm ABD= alpha], [eqn: ANGLE rm DCE= beta]라 할 때, [eqn: cos`(alpha-beta)]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rm {bar{CD}} = it a][eqn: (a>0)]라 하면 직각삼각형 [eqn: rm CED]에서

[eqn: {bar{rm DE it}} = sqrt {5-a ^{2}}]

이때 [eqn: {bar{rm AD it}} =4 {bar{rm DE it}}]이므로

[eqn: {bar{rm AD it}} =4 sqrt {5-a ^{2}} it]

직각삼각형 [eqn: rm CAD]에서

[eqn: (2 sqrt {5} ) ^{2} =a ^{2} +(4 sqrt {5-a ^{2}} ) ^{2}]

[eqn: a ^{2} =4][eqn: therefore`a=2][eqn: ( BECAUSE a>0)]

따라서 [eqn: {bar{rm DE it}} =1], [eqn: {bar{rm AD it}} =4]이므로 직각삼각형 [eqn: rm ABD]에서

[eqn: {bar{rm BD it}} = sqrt {5 ^{2} -4 ^{2}} =3]

[eqn: therefore`sin`alpha= {4} over {5}], [eqn: cos`alpha`= {3} over {5}]

삼각형 [eqn: rm CED]에서

[eqn: sin`beta= {1} over {sqrt {5}}], [eqn: cos`beta= {2} over {sqrt {5}}]

[eqn: therefore][eqn: cos`(alpha-beta)=cos`alpha`cos`beta+sin`alpha`sin`beta]

[eqn: =][eqn: {3} over {5} TIMES {2} over {sqrt {5}} + {4} over {5} TIMES {1} over {sqrt {5}}]

[eqn: = {2 sqrt {5}} over {5}]

① [eqn: {sqrt {5}} over {5}]	② [eqn: {sqrt {5}} over {4}]	③ [eqn: {3 sqrt {5}} over {10}]

④ [eqn: {7 sqrt {5}} over {20}]	⑤ [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 14

그림과 같이 [eqn: {rm {bar{AB _{1}}}}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}][eqn: =2], [eqn: rm {bar{AD _{1}}}][eqn: =4]인 직사각형 [eqn: rmAB _{1} C _{1} D _{1}]이 있다.

[정답] ③

[해설]

선분 [eqn: rmAD _{1}]을 [eqn: 3``:``1]로 내분하는 점을 [eqn: rmE _{1}]이므로 [eqn: rm { bar{ D_1 E_1} }=1]

위의 그림에서

([eqn: TRIANGLE{rmC _{1} D _{1} E _{1} }]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES{bar{rmD _{1} E _{1} }}TIMES{bar{rmC _{1} D _{1} }}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES1TIMES2]
[eqn: =1]	[eqn: cdotscdots] ㉠

삼각형 [eqn: rm C_1 D_1 E_1]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: {bar{rm E _{1} C _{1} it}} ^{2}][eqn: = {bar{rm E _{1} D _{1} it}} ^{2} + {bar{rm C _{1} D _{1} it}} ^{2}]
[eqn: =1 ^{2} +2 ^{2} =5]

그런데 [eqn: TRIANGLE{rmE _{1} F _{1} C _{1} }]은 직각이등변삼각형이므로

[eqn: rm { bar{ E_1 F_1} }= rm { bar{ C_1 F_1} } = root{ 5 over 2]

[eqn: THEREFORE] ([eqn: TRIANGLE{rmE _{1} F _{1} C _{1} }]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES{bar{rmE _{1} F _{1} }}TIMES{bar{rmC _{1} F _{1} }}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES {sqrt{5}} over {sqrt{2}} TIMES {sqrt{5}} over {sqrt{2}}]
[eqn: = {5} over {4}]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: S _{1} =1+ {5} over {4} = {9} over {4}]

[eqn: bar{rmD _{2} C _{2} }= {x}], [eqn: ANGLE{rmD _{1} E _{1} C _{1} }=alpha], [eqn: ANGLE{rm D _{2} E_1 C _{2} }=theta]라 하면 조건에서 [eqn: rm {bar{AB _{2}}} ``:`` {bar{AD _{2}}}][eqn: =1``:``2]이므로 [eqn: rm {bar{AD _{2}}} = it2x]

즉, [eqn: rm {bar{AE _{1}}} = 3]이고, [eqn: rm {bar{AD _{2}}} = it2x]이므로 [eqn: rm {bar{D_2 E _{1}}} = it3 -2x]

[eqn: THEREFORE][eqn: tan`alpha=2], [eqn: tan`theta= {x} over {3-2x}]

그런데 [eqn: theta+ alpha + pi over 4 = pi]이므로 [eqn: theta = 3 over 4 pi - alpha]

즉. [eqn: tan LEFT (3 over {4} pi -alpha RIGHT ) = {x} over {3-2x}]

[eqn: tan LEFT ( {3} over {4} pi-alpha RIGHT )][eqn: = {tan {3} over {4} pi-tan`alpha} over {1+tan` {3} over {4} pi{tan`alpha}}]
[eqn: = {-1-2} over {1-2} =3]

이므로 [eqn: {x} over {3-2x} =3], [eqn: x=9-6x], [eqn: 7x=9]

[eqn: THEREFORE][eqn: x= {9} over {7}]

따라서 [eqn: S _{2][eqn: = 1 over 2 times 9 over 7 times 9 over 14 +][eqn: 5 over 4 times 9 over 14 times 9 over 14][eqn: = 9 over 4 left( 9 over 14 right)^2]

즉, 수열 [eqn: left{ S_n right}]은 초항이 [eqn: 9 over4]이고 공비가 [eqn: left({9} over {14} right)^2]인 등비급수이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n}][eqn: ={{9} over {4}} over {1- LEFT ( {9} over {14} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = {441} over {115}]

선분 [eqn: rmAD _{1}]을 [eqn: 3``:``1]로 내분하는 점을 [eqn: rmE _{1}]이라 하고, 직사각형 [eqn: rmAB _{1} C _{1} D _{1}]의 내부에 점 [eqn: rmF _{1}]을 [eqn: rm {bar{F _{1} E _{1}}}][eqn: =rm {bar{F _{1} C _{1}}}], [eqn: ANGLE rm E _{1} F _{1} C _{1}][eqn: = {pi} over {2}]가 되도록 잡고 삼각형 [eqn: rmE _{1} F _{1} C _{1}]을 그린다.

사각형 [eqn: rmE _{1} F _{1} C _{1} D _{1}]을 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에서 선분 [eqn: rmAB _{1}]위의 점 [eqn: rmB _{2}], 선분 [eqn: rmE _{1} F _{1}]위의 점 [eqn: rmC _{2}], 선분 [eqn: rmAE _{1}]위의 점 [eqn: rmD _{2}]와 점 [eqn: rmA]를 꼭짓점으로 하고 [eqn: rm {bar{AB _{2}}} ``:`` {bar{AD _{2}}}][eqn: =1``:``2]인 직사각형 [eqn: rm AB _{2} C _{2} D _{2}]를 그린다.

그림 [eqn: R _{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 [eqn: rm AB _{2} C _{2} D _{2}]에 삼각형 [eqn: rmE _{2} F _{2} C _{2}]를 그리고 사각형 [eqn: rmE _{2} F _{2} C _{2} D _{2}]를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n}]의 값은?

① [eqn: {441} over {103}]	② [eqn: {441} over {109}]	③ [eqn: {441} over {115}]

④ [eqn: {441} over {121}]	⑤ [eqn: {441} over {127}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 29

그림과 같이 [eqn: ANGLE rm BAC][eqn: = {2} over {3} pi]이고 [eqn: {bar{rm AB}} > {bar{rm AC}}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: {bar{rm BD}}][eqn: = {bar{rm CD}}]인 선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmD]에 대하여 [eqn: ANGLE rm CBD][eqn: = alpha], [eqn: ANGLE rm ACD][eqn: = beta]라 하자. [eqn: cos ^{2} ` alpha][eqn: = {7+ sqrt {21}} over {14}]일 때, [eqn: 54 sqrt {3} TIMES tan` beta]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 18]

[해설]

삼각형 [eqn: rmBCD]는 이등변삼각형이므로

[eqn: ANGLE rm CBD][eqn: = ANGLE rm DCB][eqn: = alpha]이고 [eqn: ANGLE rm CDA][eqn: =2 alpha]

삼각형 [eqn: rm ADC]에서 [eqn: beta][eqn: = {pi} over {3} -2 alpha]

[eqn: cos`2 alpha][eqn: =cos` alpha `cos` alpha -sin` alpha `sin` alpha]
[eqn: =cos ^{2} ` alpha -sin ^{2} ` alpha]
[eqn: =2cos ^{2} ` alpha -1][eqn: = {sqrt {21}} over {7}]

[eqn: sin ^{2} `2 alpha][eqn: =1-cos ^{2} `2 alpha][eqn: = {28} over {49}]이고

[eqn: 0<2 alpha <pi]이므로 [eqn: sin`2 alpha][eqn: = {2 sqrt {7}} over {7}]

[eqn: tan`2 alpha][eqn: = {sin`2 alpha } over {cos`2 alpha }][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: tan` beta][eqn: =tan` LEFT ( {pi} over {3} -2 alpha RIGHT )]
[eqn: = {tan` {pi} over {3} -tan`2 alpha } over {1+tan` {pi} over {3} TIMES tan`2 alpha }]
[eqn: = {sqrt {3} - {2 sqrt {3}} over {3}} over {1+ sqrt {3} TIMES {2 sqrt {3}} over {3}}][eqn: = {sqrt {3}} over {9}]

따라서 [eqn: 54 sqrt {3} TIMES tan` beta][eqn: =18]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 29

그림과 같이 좌표평면 위의 제 [eqn: rm 2]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{A}} it]를 지나고 기울기가 각각 [eqn: m_{1}], [eqn: m_{2} left(0<m_{1}<m_{2}<1 right)]인 두 직선을 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]라 하고, 직선 [eqn: l_{1}]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 직선을 [eqn: l_{3}]이라 하자. 직선 [eqn: l_{3}]이 두 직선 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]와 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]라 하면 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 18]

[해설]

두 직선 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는

각의 크기를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면

[eqn: m_{1}= tan alpha], [eqn: m_{2}= tan beta]이고

[eqn: 0<m_{1}<m_{2}<1]에서 [eqn: 0< alpha< beta<{ pi} over {4}]이다.

직선 [eqn: l_{3}]은 직선 [eqn: l_{1}]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한

직선이므로

[eqn: angle {rm{CBA}} it =2 alpha], [eqn: ~ angle {rm{BAC}} it = beta- alpha]

[eqn: angle {rm{ACB}} it = pi-2 alpha-( beta- alpha)= pi-( alpha+ beta)]

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {9} over { sin 2 alpha}={12} over { sin left{ pi-( alpha+ beta) it right} }=15][eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: sin 2 alpha={3} over {5}]이고 [eqn: 0<2 alpha<{ pi} over {2}]이므로

[eqn: cos 2 alpha= sqrt{1- left({3} over {5} right)^{2}}={4} over {5}], [eqn: ~ tan 2 alpha={3} over {4}]

[eqn: tan 2 alpha= tan ( alpha+ alpha)={2 tan alpha} over {1- tan ^{2} alpha}={3} over {4}]

[eqn: 3 tan ^{2} alpha+8 tan alpha-3=0]

[eqn: (3 tan alpha-1)( tan alpha+3)=0]

[eqn: 0< alpha<{ pi} over {4}]이므로 [eqn: m_{1}= tan alpha={1} over {3}]

㉠에서 [eqn: sin left{ pi-( alpha+ beta) it right} = sin ( alpha+ beta)={4} over {5}]이고

[eqn: 0< alpha+ beta<{ pi} over {2}]이므로

[eqn: cos ( alpha+ beta)= sqrt{1- left({4} over {5} right)^{2}}={3} over {5}], [eqn: tan ( alpha+ beta)={4} over {3}]

[eqn: tan ( alpha+ beta)={ tan alpha+ tan beta} over {1- tan alpha tan beta}={{1} over {3}+ tan beta} over {1-{1} over {3} tan beta}={4} over {3}]

[eqn: 1+3 tan beta=4-{4} over {3} tan beta]

[eqn: {13} over {3} tan beta=3]에서 [eqn: m_{2}= tan beta={9} over {13}]

따라서 [eqn: 78 times m_{1} times m_{2}=78 times {1} over {3} times {9} over {13}=18]

(가) [eqn: overline{{rm{AB}} it }=12], [eqn: overline{{rm{AC}} it }=9]

(나) 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 외접원의 반지름의 길이는 [eqn: {15} over {2}]이다.

[eqn: 78 times m_{1} times m_{2}]의 값을 구하시오.

06 미적	04 삼각함수의 덧셈정리
03 삼각함수의 해석 및 활용
07 해석 및 활용7 (원의 성질)

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 10월 27

그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} =3], [eqn: rm bar{BC} =1`]이고 [eqn: ANGLE rm ABC= {pi } over {2} `]인 직각삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원 위의 점 [eqn: rm P`]에서의 접선과 [eqn: rm AC`]의 연장선이 만나는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. [eqn: ANGLE rm PQA= {pi } over {4}`]이고 [eqn: ANGLE rm PAB= theta `]라 할 때, [eqn: 60tan`2 theta `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<theta< {pi} over {6} `])

[정답] [eqn: bold30]

[해설]

원의 중심을 [eqn: rm`O]라 하면 [eqn: rm ANGLE POB=2 theta]

직선 [eqn: rmOP]와 선분 [eqn: rm AC]가 만나는 점을 [eqn: rm R], [eqn: rm ANGLE BAC= alpha]라 하면 [eqn: rm ANGLE PRQ= alpha +2 theta `]이고 [eqn: tan alpha`=` { 1} over { 3}]

[eqn: rm ANGLE QPR=`pi over 2 ,~][eqn: ANGLE rm PQA= {pi } over {4}`]이므로 [eqn: rm ANGLE PRQ= alpha +2 theta = {pi } over {4}]

[eqn: tan 2 theta = tan left( pi over 4 - alpha right) = {1- tan alpha}over{1+ 1 cdot tan alpha} ={ 2over3 }over{4over3 } = 1 over 2]

따라서 [eqn: 60tan2 theta =30]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 04월 27

그림과 같이 평면에서 중심이 [eqn: rm O`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 4`]인 원 위의 점 [eqn: rm A`]를 점 [eqn: rm O`]를 중심으로 시계 반대 방향으로 각 [eqn: theta][eqn: LEFT ( 0< theta < {pi } over {2} RIGHT ) `]만큼 회전시킨 원 위의 점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rm B`]를 점 [eqn: rm O`]를 중심으로 시계 반대 방향으로 [eqn: {pi } over {2} `]만큼 회전시킨 원 위의 점을 [eqn: rm C`]라 하자. 점 [eqn: rm A`]에서의 접선이 점 [eqn: rm B`]에서의 접선과 만나는 점을 [eqn: rmD], 점 [eqn: rm C`]에서의 접선과 만나는 점을 [eqn: rm E`]라 하자. 사각형 [eqn: rm OADB`]의 넓이가 [eqn: 8`]일 때, 사각형 [eqn: rm OAEC`]의 넓이를 구하시오.

[정답] [eqn: bold48]

[해설]

[eqn: rm bar{OA} `=4], [eqn: rm bar{AD} `=4tan {theta } over {2}]이므로
[eqn: rm □OADB=2 TIMES {1} over {2} TIMES bar{OA} TIMES bar{AD} =16tan {theta } over {2} =8]

[eqn: tan` {theta } over {2} `= {1} over {2}]

[eqn: therefore][eqn: rm □OAEC=2times {1} over {2} times4times4tan LEFT ( {pi } over {4} + {theta } over {2} RIGHT )]

[eqn: =16 TIMES {tan {pi } over {4} +tan {theta } over {2}} over {1-tan {pi } over {4} `tan {theta } over {2}} `=16 TIMES {1+ {1} over {2}} over {1- {1} over {2}}]

[eqn: =48]

06 미적	05 삼각함수의 미분
01 삼각함수의 극한
05 극한의 계산4 (치환)

[출처]	2011 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}], [eqn: left{ b_{n} it right}]이 [eqn: rm 3] 이상인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] [eqn: 16]

[해설]

[eqn: {rm sin } it {pi } over {n} = {a _{n}} over {2+a _{n}}]에서

[eqn: a _{n} = {2{rm sin } it {pi } over {n}} over {1-{rm sin } it {pi } over {n}} = {2{rm sin } it {pi } over {n} LEFT ( 1+{rm sin } it {pi } over {n} RIGHT )} over {{rm cos } it ^{2} {pi } over {n}}]이고

[eqn: {rm sin } it {pi } over {n} = {b _{n}} over {2-b _{n}}]에서

[eqn: b _{n} = {2{rm sin } it {pi } over {n}} over {1+{rm sin } it {pi } over {n}} = {2{rm sin } it {pi } over {n} LEFT ( 1-{rm sin } it {pi } over {n} RIGHT )} over {{rm cos } it ^{2} {pi } over {n}}]이므로

[eqn: a _{n} +b _{n} = {4{rm sin } it {pi } over {n}} over {{rm cos } it ^{2} {pi } over {n}}], [eqn: a _{n} -b _{n} = {4{rm sin } it ^{2} {pi } over {n}} over {{rm cos } it ^{2} {pi } over {n}}]

[eqn: n`->`inf]일 때, [eqn: {pi } over {n} ` rarrow ``0+]이므로 [eqn: {pi } over {n} = theta]라 하면

[eqn: {1} over {pi ^{3}} lim _{n `->` INF } {} n ^{3} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) LEFT ( a _{n} -b _{n} RIGHT )]

[eqn: = lim _{theta `->` 0} {} {1} over {theta ^{3}} CDOT {4{rm sin } it theta } over {{rm cos } it ^{2} theta } CDOT {4{rm sin } it ^{3} theta } over {{rm cos } it ^{2} theta }]

[eqn: = lim _{theta `->` 0} {} 16 CDOT LEFT ( {{rm sin } it theta } over {theta } RIGHT ) ^{3} CDOT {1} over {{rm cos } it ^{4} theta }]

[eqn: =16]

[eqn: sin { pi} over {n}={a_{n}} over {2+a_{n}}={b_{n}} over {2-b_{n}}]

을 만족시킬 때, [eqn: {1} over { pi^{3}} lim _{n ``rarrow`` inf } n^{3} left(a_{n}+b_{n} right) left(a_{n}-b_{n} right)]의 값을 구하시오.

06 미적	05 삼각함수의 미분
02 극한의 해석 및 활용
03 활용1 (함수의 그래프)

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 11월 미분과 적분 30

좌표평면에서 그림과 같이 원 [eqn: x^{2}+y^{2}=1] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 선분 [eqn: {rm{OP}} it]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta left(0< theta<{ pi} over {4} right)]라 하자. 점 [eqn: {rm{P}} it]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=e^{x}-1]과 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하고, 점 [eqn: {rm{Q}} it]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{R}} it]라 하자. 선분 [eqn: {rm{OP}} it]와 선분 [eqn: {rm{QR}} it]의 교점을 [eqn: {rm{T}} it]라 할 때, 삼각형 [eqn: {rm{ORT}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow``0+} {S( theta)} over { theta^{3}}=a]일 때, [eqn: 60 a]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: rm 30]

[해설]

점 [eqn: rm P]의 좌표를 [eqn: rm P( cos theta,`` sin theta)]라고 하면

[eqn: rm Q( ln ( sin theta+1),`` sin theta)], [eqn: rmR( ln ( sin theta+1),`` 0)]이고

이때 직선 [eqn: rm O P]의 방정식은 [eqn: y= tan theta x]이므로 점 [eqn: rm T]의 좌표는 [eqn: rm T( ln ( sin theta+1),`` tan theta ln ( sin theta+1))]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rm O R T]의 넓이 [eqn: S( theta)={1} over {2}` tan theta left{ ln (1+ sin theta) it right} ^{2}]이므로

[eqn: lim _{ theta ``rarrow``0+} {S( theta)} over { theta^{3}}][eqn: ={1} over {2} lim _{ theta ``rarrow``0+} { tan theta left{ ln (1+ sin theta) it right} ^{2}} over { theta^{3}}]
[eqn: ={1} over {2} lim _{ theta ``rarrow``0+} { tan theta} over { theta} lim _{ theta ``rarrow``0+} { left{ ln (1+ sin theta) it right} ^{2}} over { theta^{2}}]
[eqn: ={1} over {2} lim _{ theta ``rarrow``0+} { tan theta} over { theta} lim _{ theta ``rarrow``0+} left{ { left{ ln (1+ sin theta) it right} } over { theta} it right} ^{2}]
[eqn: ={1} over {2} lim _{ theta ``rarrow``0+} { tan theta} over { theta} lim _{ theta ``rarrow``0+} left[ ln (1+ sin theta)^{{1} over { sin theta} cdot { sin theta} over { theta}} right]^{2}]
[eqn: ={1} over {2} times 1 times 1={1} over {2}=a]

[eqn: therefore~60 a=60 times {1} over {2}=30]

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 15

그림과 같이 직선 [eqn: x=t(0<t<1)]이 세 곡선 [eqn: y=1-{x^{2}} over {2}], [eqn: y= sqrt{1-x^{2}}], [eqn: y= sin ^{4} x]및 [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]라 하자. 두 삼각형 [eqn: {rm{AOB}} it], [eqn: {rm{COD}} it]의 넓이를 각각 [eqn: S_{1}], [eqn: S_{2}]라 할 때, [eqn: lim _{t`` rarrow ``0+} {} {S _{1}} over {S _{2}}]의 값은? (단, [eqn: rm O]는 원점이다.)

[정답] ①

[해설]

두 삼각형 [eqn: {rm{AOB}} it], [eqn: {rm{COD}} it]의 넓이를 구할 때, 두 삼각형의 밑변을 각각 [eqn: overline{{rm{AB}} it }], [eqn: overline{{rm{CD}} it }]로 잡으면 점 [eqn: {rm{O}} it]에서 직선 [eqn: x=t]에 이르는 거리가 두 삼각형의 높이이므로 [eqn: {S_{1}} over {S_{2}}={ overline{{rm{AB}} it }} over { overline{{rm{CD}} it }}]이다.

[eqn: therefore~ lim _{t ``rarrow`` 0+} {S_{1}} over {S_{2}}][eqn: = lim _{t ``rarrow`` 0+} { overline{{rm{AB}} it }} over { overline{{rm{CD}} it }}]
[eqn: = lim _{t ``rarrow`` 0+} {1-{t^{2}} over {2}- sqrt{1-t^{2}}} over { sin ^{4} t}]
[eqn: = lim _{t ``rarrow`` 0+} {{t^{4}} over {4}} over { sin ^{4} t left(1-{t^{2}} over {2}+ sqrt{1-t^{2}} right)}][eqn: = lim _{t ``rarrow`` 0+} {1} over { left({ sin t} over {t} right)^{4}} cdot {1} over {4 left(1-{t^{2}} over {2}+ sqrt{1-t^{2}} right)}][eqn: =1 cdot {1} over {4 cdot 2}={1} over {8}]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

[출처]	2015 모의_공공 사관학교 고3 07월 27

좌표평면에서 곡선 [eqn: y= cos 2 x]가 두 직선 [eqn: x=t], [eqn: x=-t ~ left(0<t<{ pi} over {4} right)]와 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]라 하고, 곡선 [eqn: y= cos 2 x]가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하자. 세 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it], [eqn: {rm{R}} it]를 지나는 원의 중심을 [eqn: {rm{C}} it (0,`` f(t))]라 할 때, [eqn: lim _{t``->``0+} f(t)= alpha]이다. [eqn: 100 alpha]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 75]

[해설]

선분 [eqn: {rm{PQ}} it]의 수직이등분선이 [eqn: y]축이므로 [eqn: f(t)]는 선분 [eqn: {rm{PR}} it]을 수직이등분하는 직선의 [eqn: y]절편이다.

[eqn: {rm{P}} it (t,`` cos 2 t)], [eqn: {rm{R}} it (0,``1)]이므로 선분 [eqn: {rm{PQ}} it]의 중점은 [eqn: left({t} over {2},`` { cos 2 t+1} over {2} right)]이고

선분 [eqn: {rm{PQ}} it]의 기울기는 [eqn: { cos 2 t-1} over {t}]이다. 따라서 선분 [eqn: {rm{PR}} it]을 수직이등분하는 직선의 방정식은

[eqn: y=`- {t} over {rm {rm cos } it it 2t-1} LEFT ( x- {t} over {2} RIGHT ) + {rm {rm cos } it it 2t+1} over {2}]

[eqn: THEREFORE~ f LEFT ( t RIGHT )][eqn: =`- {t} over {rm {rm cos } it it 2t-1} LEFT ( 0- {t} over {2} RIGHT ) + {rm {rm cos } it it 2t+1} over {2}]
[eqn: = {t ^{2}} over {2 LEFT ({rm cos } it 2t-1 RIGHT )} + {{rm cos } it 2t+1} over {2}]
[eqn: = {t ^{2} LEFT ({rm cos } it 2t+1 RIGHT )} over {2 LEFT ( {rm cos } it ^{2} 2t-1 RIGHT )} + {{rm cos } it 2t+1} over {2}]
[eqn: =`- {t ^{2} LEFT ({rm cos } it 2t+1 RIGHT )} over {2{rm sin } it ^{2} 2t} + {{rm cos } it 2t+1} over {2}]

[eqn: THEREFORE~ alpha][eqn: = lim _{t `->` 0+} {} f LEFT ( t RIGHT )]
[eqn: = lim _{t `->` 0+} {} LEFT ( - {t ^{2} LEFT ({rm cos } it 2t+1 RIGHT )} over {2{rm sin } it ^{2} 2t} + {{rm cos } it 2t+1} over {2} RIGHT )]
[eqn: = lim _{t `->` 0+} {} LEFT ( - LEFT ( {2t} over {{rm sin } it 2t} RIGHT ) ^{2} CDOT {{rm cos } it 2t+1} over {8} + {{rm cos } it 2t+1} over {2} RIGHT )]
[eqn: =`- {1} over {4} +1= {3} over {4}]

[eqn: therefore~100 alpha=75]

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 11월

그림과 같이 좌표평면에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]과 곡선 [eqn: y=ln`(x+1)]이 제 [eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rm A]라 하자. 점 [eqn: rm B(1,~0)]에 대하여 호 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rm P]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H], 선분 [eqn: rm PH]와 곡선
[eqn: y=ln`(x+1)]이 만나는 점을 [eqn: rm Q]라 하자. [eqn: ANGLE rm POB=theta]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm OPQ]의 넓이를 [eqn: S(theta)], 선분 [eqn: rm HQ]의 길이를 [eqn: L(theta)]라 하자. [eqn: lim _{theta -> 0+} {{S( theta )} over {L(theta)}} =k]일 때, [eqn: 60k]의 값을 구하시오.
[eqn: LEFT ( pile{`#`} RIGHT .]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {6}]이고, [eqn: rm O]는 원점이다.[eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT )]

[정답] [eqn: 30]

[해설]

[eqn: rm {bar{OP}} =1]이고 [eqn: ANGLE rm POB= theta]이므로

[eqn: rm P(cos`theta,~sin`theta)]

점 [eqn: rm P]와 점 [eqn: rm Q]의 [eqn: y]좌표가 같으므로 점 [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: ln`(x+1)=sin`theta]에서

[eqn: x+1=e ^{sin`theta}],    [eqn: x=e ^{sin` theta `} -1]

[eqn: therefore` rm Q( it e ^{sin`theta} -1,~sin`theta)]

따라서

[eqn: S( theta )= {1} over {2} TIMES {bar{rm QP it}} TIMES rm {bar{HO}}]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( cos`theta`-e ^{sin`theta} +1 RIGHT ) sin`theta]

[eqn: L(theta)= rm {bar{HQ}} = it e ^{sin`theta} -1]

이므로

[eqn: lim _{theta->0+} {{S(theta)} over {L(theta)}}]

[eqn: = lim _{theta -> 0+} left{{{1} over {2} TIMES {sin`theta} over {e ^{sin`theta} -1} TIMES (cos`theta`-e ^{sin`theta} +1)} right}]

[eqn: = {1} over {2} times1times1][eqn: = {1} over {2}]

즉 [eqn: k= {1} over {2}]이므로    [eqn: 60k=60 TIMES {1} over {2} =30]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 27

그림과 같이 곡선 [eqn: y][eqn: =x`sin`x] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( t,~t`sin`t RIGHT )] ([eqn: 0<t<pi])를 중심으로 하고 [eqn: y]축에 접하는 원이 선분 [eqn: rmOP]와 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{t -> 0+} {} {f LEFT ( t RIGHT )} over {t ^{3}}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: rmQ]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각

[eqn: rmP',~Q']이라 하면 [eqn: {bar{rm OP'}}][eqn: =t], [eqn: {bar{rm OQ'}}][eqn: =f LEFT ( t RIGHT )]

[eqn: {bar{rm OP}}][eqn: = sqrt {t ^{2} +t ^{2} `sin ^{2} `t}][eqn: =t sqrt {1+sin ^{2} `t}]

[eqn: {bar{rm OQ}}][eqn: = {bar{rm OP}} - {bar{rm PQ}}][eqn: =t LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} -1 RIGHT )]

삼각형 [eqn: rmOPP']과 삼각형 [eqn: rmOQQ']은 서로 닮음이므로

[eqn: {bar{rm OP'}} ``:`` {bar{rm OQ'}}][eqn: = {bar{rm OP}} ``:`` {bar{rm OQ}}]

[eqn: t``:``f LEFT ( t RIGHT )][eqn: =t sqrt {1+sin ^{2} `t} ``:``t LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} -1 RIGHT )]에서

[eqn: f LEFT ( t RIGHT )][eqn: = {t LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} -1 RIGHT )} over {sqrt {1+sin ^{2} `t}}]

[eqn: lim _{t -> 0+} {} {f LEFT ( t RIGHT )} over {t ^{3}}]

[eqn: = lim _{t -> 0+} {} {sqrt {1+sin ^{2} `t} -1} over {t ^{2} sqrt {1+sin ^{2} `t}}]

[eqn: = lim _{t -> 0+} {} {LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} -1 RIGHT ) LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} +1 RIGHT )} over {t ^{2} sqrt {1+sin ^{2} `t} LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} +1 RIGHT )}]
[eqn: = lim _{t -> 0+} {} {sin ^{2} `t} over {t ^{2} sqrt {1+sin ^{2} `t} LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} +1 RIGHT )}]

[eqn: = lim _{t -> 0+} {} LEFT ( {sin`t} over {t} RIGHT ) ^{2} TIMES {1} over {sqrt {1+sin ^{2} `t} LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} +1 RIGHT )}]

[eqn: =1 ^{2} TIMES {1} over {sqrt {1} TIMES LEFT ( sqrt {1} +1 RIGHT )}][eqn: = {1} over {2}]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

06 미적	05 삼각함수의 미분
02 극한의 해석 및 활용
04 활용2 (다각형의 성질)

[출처]	2004 모의_공공 평가원 고3 예비 미분과 적분 29

그림의 직각삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=1], [eqn: angle {rm{ABC}} it ={ pi} over {2}], [eqn: angle {rm{ACB}} it ={ pi} over {6}]이다. 변 [eqn: {rm{BC}} it]의 연장선 위에 점 [eqn: {rm{C}} it _{1}], [eqn: {rm{C}} it _{2}], [eqn: {rm{C}} it _{3}], [eqn: cdots]과 변의 길이 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: cdots] 을 다음과 같이 정한다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: a _{it n} = {bar{rm C _{it n - 1} rm C it _{it n}}} = {bar{rm AC _{it n-1}}}]이고,

[eqn: rm △ABC], [eqn: rm △ABC_1``],[eqn: `CDOTS`] 직각삼각형이므로

[eqn: {rm sin } it {pi } over {6} = {1} over {a _{1}}]

[eqn: therefore][eqn: a _{1} = {1} over {{rm sin } it {pi } over {6}}]

[eqn: {rm sin } it {pi } over {12} = {1} over {a _{2}}]

[eqn: therefore][eqn: a _{2} = {1} over {{rm sin } it {pi } over {12}} = {1} over {{rm sin } it LEFT ( {pi } over {6} ․ {1} over {2} RIGHT )}]

[eqn: {rm sin } it {pi } over {24} = {1} over {a _{3}}]

[eqn: therefore][eqn: a _{3} = {1} over {{rm sin } it {pi } over {24}} = {1} over {{rm sin } it LEFT { {pi } over {6} ․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT }}]

⋮

[eqn: therefore][eqn: a _{n}][eqn: = {1} over {{rm sin } it LEFT { {pi } over {6} ․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }}]
[eqn: = {1} over {{rm sin } it LEFT { {pi } over {6} ․2․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }}]
[eqn: = {1} over {{rm sin } it LEFT { {pi } over {3} ․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }}]

[eqn: THEREFORE~ lim _{n `->` INF } {} {pi a _{n}} over {2 ^{n}}][eqn: = lim _{n `->` INF } {} {1} over {2 ^{n}} ․ {pi } over {{rm sin } it LEFT { {pi } over {3} ․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }}]
[eqn: = lim _{n `->` INF } {} {{pi } over {3} ․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}} over {{rm sin } it LEFT { {pi } over {3} ․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} ․ 3][eqn: =``3``]

[eqn: {bar{rmCC _{1}}} = {bar{rmAC}} =a]

[eqn: {bar{rm C _{1} C _{2} it}} = {bar{rm AC _{1} it}} =a _{2}]

[eqn: {bar{rm C _{2} C _{3} it}} = {bar{rm AC _{2} it}} =a _{3}]

[eqn: cdotscdots]

이때, 극한 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } { pi a_{n}} over {2^{n}}]의 값은?

① [eqn: rm 2]	② [eqn: rm 3]	③ [eqn: rm 4]

④ [eqn: rm 5]	⑤ [eqn: rm 6]

[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 06월 미분과 적분 29

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: rm 2]인 정사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]에서 변 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점을 [eqn: {rm{E}} it], 변 [eqn: {rm{CD}} it]의 중점을 [eqn: {rm{F}} it]라 하자. 선분 [eqn: {rm{AD}} it] 위의 양 끝점이 아닌 임의의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 선분 [eqn: {rm{BP}} it]와 선분 [eqn: {rm{EF}} it]의 교점을 [eqn: {rm{G}} it], 선분 [eqn: {rm{CP}} it]와 선분 [eqn: {rm{EF}} it]의 교점을 [eqn: {rm{H}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{BGE}} it = alpha], [eqn: angle {rm{CHF}} it = beta]라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

아래 그림과 같이 점 [eqn: rm P]에서 [eqn: rm overline{B C}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q]라 하고, [eqn: rm overline{P Q}]와 [eqn: rm overline{E F}]가 만나는 점을 [eqn: rm R]라 하자.

ㄱ. (참) [eqn: rm rm overline{E G}= overline{G R}], [eqn: rm overline{R H}= overline{H F}]이므로

[eqn: rm overline{G H}= overline{G R}+ overline{R H}={1} over {2} overline{E F}=1](일정)

ㄴ. (거짓) [eqn: rm triangle P G H]에서 [eqn: rm angle G P H+ alpha+ beta=180 DEG]

[eqn: rm therefore~a+ beta=180 DEG - angle G P H]

이때, 점 [eqn: rm P]의 위치에 따라 [eqn: rm angle G P H]의 크기가 달라지고,

[eqn: rm angle G P H]의 크기가 달라지면 [eqn: a+ beta]의 값이 달라진다.

ㄷ. (참) [eqn: rm triangle A B P]에서 [eqn: tana=rm {2} over {{bar{AP}}}]이므로

[eqn: rm {bar{AP}} = {2} over {tan alpha } =2cotita]

[eqn: THEREFORE ~ lim _{a`` rarrow `` {pi } over {2}} {} {{bar{rmAP}}} over {{pi } over {2} -a} = lim _{a`` rarrow `` {pi } over {2}} {} {2cota} over {{pi } over {2} -a}]

[eqn: = lim _{a ``rarrow`` { pi} over {2}} {2 tan left({ pi} over {2}-a right)} over {{ pi} over {2}-a}=2]

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄷ 이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: overline{{rm{GH}} it }]는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치에 관계없이 일정하다. ㄴ. [eqn: alpha+ beta]는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치에 관계없이 일정하다. ㄷ. [eqn: ~ lim _{ alpha ``rarrow``-{ pi} over {2}} { overline{{rm{AP}} it }} over {{ pi} over {2}- alpha}=2]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 06월 미분과 적분 30

[그림 1]은 중심이 같은 두 개의 정[eqn: 2 n]각형에서 큰 정 [eqn: 2 n]각형의 꼭짓점, 작은 정[eqn: 2 n]각형의 꼭짓점과 중심이 한 직선 위에 있도록 연결한 것이다. 중심에서 두 개의 정[eqn: 2 n]각형의 꼭짓점까지의 거리는 각각 [eqn: rm 10], [eqn: rm 20]이다. [그림 1]의 어두운 부분을 잘라내어 만든 [그림 2]와 같은 도형의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 하자. [eqn: {1} over { pi} lim _{n ``rarrow`` inf } S_{n}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: rm 250]

[해설]

[그림 [eqn: rm 2]]의 도형의 넓이는 두 변의 길이가 [eqn: rm 20]인 이등변 삼각형 [eqn: n]개의 넓이와 두 변의 길이가 [eqn: rm 10]인 이등변삼각형 [eqn: n]개의 넓이의 합이다. 이때, 같은 두 변 사이의 끼인 각의 크기는 [eqn: {2 pi} over {2 n}={ pi} over {n}]이므로

[eqn: S_{n}=n cdot {1} over {2} cdot 20^{2} cdot sin { pi} over {n}+n cdot {1} over {2} cdot 10^{2} cdot sin { pi} over {n}]

[eqn: =250 n cdot sin { pi} over {n}]

[eqn: therefore~{1} over { pi} lim _{n ``rarrow`` inf } S_{n}={1} over { pi} lim _{n ``rarrow`` inf } left(250 n cdot sin { pi} over {n} right)]

[eqn: =250 lim _{n ``rarrow`` inf } { sin { pi} over {n}} over {{ pi} over {n}}=250]

[그림 1]	[그림 2]

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 06월 미분과 적분 30

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: rm 1]인 정사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]에서 변 [eqn: {rm{AB}} it]를 연장한 직선 위에 [eqn: overline{{rm{BE}} it }=1]인 점 [eqn: {rm{E}} it]가 있다. 점 [eqn: {rm{E}} it]를 꼭짓점으로 하고 한 변의 길이가 [eqn: rm 1]인 정사각형 [eqn: {rm{EFGH}} it]에 대하여 [eqn: angle {rm{BEF}} it = theta]일 때, 변 [eqn: {rm{FG}} it]와 변 [eqn: {rm{AB}} it]의 교점을 [eqn: {rm{K}} it], 변 [eqn: {rm{FG}} it]와 변 [eqn: {rm{BC}} it]의 교점을 [eqn: {rm{L}} it]이라 하자. 삼각형 [eqn: {rm{KBL}} it]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{ theta `->` 0} {S` LEFT ( theta RIGHT )} over { theta^{3}}={q} over {p}]이다. [eqn: p^{2}+q^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}]이고, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 65]

[해설]

[eqn: { bar \EF} over {bar \KE } = cos ` theta]이므로

[eqn: {bar \KE } = { 1} over { cos ` theta }]

∴ [eqn: {bar \KB} = { 1} over {cos ` theta } -1]

또, [eqn: ANGLE \BKL = { pi} over { 2} - theta]에서

[eqn: { BAR \BL} over {BAR \KB } = tan ` LEFT ( { pi} over {2 } - theta RIGHT ) = cot ` theta]

∴ [eqn: BAR \BL = BAR KB cdot cot ` theta]

[eqn: S( theta)][eqn: = { 1} over { 2} cdot BAR \KB CDOT BAR BL][eqn: = { 1} over { 2} LEFT ( { 1} over {cos ` theta } -1 RIGHT ) TIMES LEFT ( { 1} over {cos ` theta } -1 RIGHT ) cdot cot ` theta]
[eqn: = { 1} over { 2} { (1-cos ` theta) ^2 } over {cos^2 ` theta } cdot { cos ` theta } over { sin ` theta } = { (1-cos ` theta )^2 } over { 2 ` sin ` theta ` cos ` theta }]

∴ [eqn: lim _{ theta ->0} { S( theta) } over { theta^3 }][eqn: = lim _{ theta ->0} { { (1-cos ` theta)^2 } } over {2 ` sin ` theta ` cos ` theta cdot ` theta^3 }]
[eqn: = lim _{theta -> 0} {} {(1-cos` theta ) ^{2} (1+cos` theta ) ^{2}} over {2`sin` theta `cos` theta cdot `` theta ^{3} (1+cos` theta ) ^{2}}]
[eqn: = lim _{ theta ->0} { sin ^4 ` theta } over {2 ` sin ` theta ` cos ` theta cdot ` theta^3 (1+ cos ` theta)^2 }]
[eqn: = { 1} over {2 cdot 1 cdot 2^2 } = { 1} over {8 }]

∴ [eqn: p^2 + q^2 =65]

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 11월 29

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=1]이고 [eqn: angle {rm{A}} it = theta], [eqn: angle {rm{B}} it =2 theta]이다. 변 [eqn: {rm{AB}} it] 위의 점 [eqn: {rm{D}} it]를 [eqn: angle {rm{ACD}} it =2 angle {rm{BCD}} it]가 되도록 잡는다. [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {bar{rm CD it}} over {theta } =a]일 때, [eqn: 27 a^{2}]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}]이다.)

[정답] [eqn: 16]

[해설]

[eqn: rm bar{AB} =1,```` ANGLE A=theta,```` ANGLE B=2theta`]이고

[eqn: {rm ANGLE BCD}=alpha`]라 하면 [eqn: {rm ANGLE ACD}=2alpha`]이므로

[eqn: {rm ANGLE CDB}=theta+2alpha,````{rm ANGLE CDA}=2theta+alpha`]이다.

[eqn: LEFT ( theta+2alpha RIGHT ) + LEFT ( 2theta+alpha RIGHT ) =pi`]이므로

[eqn: THEREFORE ````alpha= {pi} over {3} -theta]

사인법칙에 의해

(ⅰ) 삼각형 [eqn: rmADC`]에서

[eqn: {rm bar{AD}} over {sin``2alpha} = {rm bar{CD}} over {sin``theta}]

[eqn: {rm bar{AD} }= {sin``2alpha} over {sin``theta} ㆍ{rm bar{CD} }]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

(ⅱ) 삼각형 [eqn: rmBDC`]에서

[eqn: {rm bar{BD}} over {sin``alpha} = {rm bar{CD}} over {sin``2theta}]

[eqn: rm bar{BD} it = {sin`` alpha } over {sin``2 theta } ㆍ rm bar{CD} it]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠과 ㉡에서

[eqn: rm bar{AD} + bar{BD} =1`]이므로

[eqn: {rm bar{CD} }ㆍ LEFT ( {sin``2alpha} over {sin``theta} + {sin``alpha} over {sin``2theta} RIGHT ) =1]

[eqn: rm bar{CD}][eqn: = {1} over {{sin``2alpha} over {sin``theta} + {sin``alpha} over {sin``2theta}}]
[eqn: = {1} over {{2sin``alpha`cos``alpha} over {sin``theta} + {sin``alpha} over {2sin``theta`cos``theta}}]
[eqn: = {sin``theta} over {sin``alpha} TIMES {1} over {2cos``alpha+ {1} over {2cos``theta}}]

그런데,

[eqn: lim _{theta rarrow 0+} {sin`` alpha } = lim _{theta rarrow 0+} {sin`` LEFT ( {pi } over {3} - theta RIGHT )} = {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: lim _{theta rarrow 0+} {cos`` alpha } = lim _{theta rarrow 0+} {cos`` LEFT ( {pi } over {3} - theta RIGHT )} = {1} over {2}]

이므로

[eqn: THEREFORE ```` lim _{theta rarrow 0+} {{rm {bar{CD}} it} over {theta }}][eqn: = lim _{theta rarrow 0+} {{sin`` theta } over {theta }} TIMES {1} over {sin`` alpha } TIMES {1} over {2cos`` alpha + {1} over {2cos`` theta }}]
[eqn: = {1} over {{sqrt {3}} over {2}} TIMES {1} over {2ㆍ {1} over {2} + {1} over {2}}]
[eqn: = {4} over {3 sqrt {3}}]

[eqn: THEREFORE ````27a ^{2} =27 LEFT ( {4} over {3 sqrt {3}} RIGHT ) ^{2} =16]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 11월 28

그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: {rm AB]를 한 변으로 하고, [eqn: {rm {bar{AC}} `= {bar{BC}}], [eqn: {rm ANGLE ACB= theta]인 이등변삼각형 [eqn: {rm ABC]가 있다. 선분 [eqn: {rm AB]의 연장선 위에 [eqn: {rm {bar{AC}} `= {bar{AD}}]인 점 [eqn: {rm D]를 잡고, [eqn: {rm {bar{AC}} `= {bar{AP}}]이고 [eqn: {rm ANGLE PAB=2 theta]인 점 [eqn: {rm P]를 잡는다. 삼각형 [eqn: {rm BDP]의 넓이를 [eqn: S( theta )]라 할 때, [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {} ( theta TIMES S( theta ))]의 값을 구하시오.[eqn: pile{~#`}right(]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {6} RIGHT )]

[정답] [eqn: bold { 16 }]

[해설]

[eqn: {rm {bar{AC}}} `=x]라 하면 [eqn: {rm {bar{AC}} `= {bar{BC}} `= {bar{AD}} `= {bar{AP}} }`=x]이다.

이등변삼각형 [eqn: {rm ABC]에서 [eqn: sin` {theta } over {2} = {2} over {x}]이므로 [eqn: x= {2} over {sin` {theta } over {2}}]

따라서 삼각형 [eqn: {rm BDP]의 넓이를 [eqn: S( theta )]는

[eqn: S( theta )][eqn: {rm =△ADP-△ABP]
[eqn: = {1} over {2} TIMES x TIMES x TIMES sin`2 theta - {1} over {2} TIMES 4 TIMES x TIMES sin`2 theta]
[eqn: = {2`sin2 theta } over {sin ^{2} ` {theta } over {2}} - {4`sin2 theta } over {sin` {theta } over {2}}]

[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {} ( theta TIMES S( theta ))][eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {} LEFT ( {2 theta `sin2 theta } over {sin ^{2} ` {theta } over {2}} - {4 theta `sin2 theta } over {sin` {theta } over {2}} RIGHT )]
[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {} LEFT ( 2 TIMES {theta `} over {sin` {theta } over {2}} TIMES {sin`2 theta `} over {sin` {theta } over {2}} -4 theta TIMES {sin`2 theta `} over {sin` {theta } over {2}} RIGHT )]
[eqn: =2 TIMES 2 TIMES 4-4 TIMES 0 TIMES 4=16]

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 06월

그림과 같이 사다리꼴 [eqn: rm ABCD]에서 변 [eqn: rm AD]와 변 [eqn: rm BC]가 평행하고 [eqn: ANGLE rm B=2theta], [eqn: ANGLE rm C=3theta], [eqn: rm {bar{BC}} =2sin`theta], [eqn: {bar{rm AD}} =sin`theta]이다. 사다리꼴 [eqn: rm ABCD]의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 할 때, [eqn: lim _{theta->0+} {{S(theta)} over {theta ^{3}}} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
[eqn: LEFT ( pile{`#`} RIGHT .]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {6}]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.[eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT )]

[정답] [eqn: 14]

[해설]

오른쪽 그림과 같이 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm D]에서 선분 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm E], [eqn: rm F]라 하자.

[eqn: rm {bar{BE}} = it x]라 하면

[eqn: {bar{rm AE}} = it x`tan`2`theta]

[eqn: {bar{rm AE it}} = rm {bar{DF}} it]에서

[eqn: x`tan`2`theta=(sin` theta `-x)tan`3 theta]

[eqn: THEREFORE x= {sin`theta`tan`3`theta} over {tan`2theta+tan`3theta}]

사다리꼴 [eqn: rm ABCD]의 넓이는

[eqn: S(theta)= {1} over {2} (sin`theta+2`sin`theta) TIMES x`tan`2theta]

[eqn: =][eqn: {1} over {2} TIMES 3`sin`theta TIMES {sin`theta`tan`3theta} over {tan`2theta+tan`3theta} TIMES tan`2`theta]

[eqn: = {3} over {2} TIMES {sin` ^{2`} theta`tan`2theta`tan`3theta} over {tan`2theta+tan`3`theta}]

이므로

[eqn: lim _{theta->0+} {{S(theta)} over {theta ^{3}}}]

[eqn: = lim _{theta -> 0+} {} left{ {3} over {2} TIMES {sin` ^{2`} theta `tan`2 theta `tan`3 theta } over {theta ^{3} (tan`2 theta +tan`3` theta )} right}]

[eqn: = lim _{theta -> 0+} {}left{ {3} over {2} TIMES {sin` ^{2`} theta} over {theta ^{2}} TIMES {`tan`2 theta `} over {2theta } TIMES 2 TIMES {tan`3`theta} over {3theta} TIMES 3]

[eqn: TIMES {theta} over {tan`2theta+tan`3theta} right}]

[eqn: = lim _{theta -> 0+} {}left{ 9 TIMES {sin` ^{2`} theta } over {theta ^{2}} TIMES {`tan`2 theta `} over {2 theta } TIMES {tan`3` theta } over {3 theta }]

[eqn: TIMES {1} over {2 TIMES {tan`2 theta } over {2 theta } +3 TIMES {tan`3 theta } over {3 theta }} right]

[eqn: =9 TIMES 1 TIMES 1 TIMES 1 TIMES {1} over {5}]

[eqn: = {9} over {5}]

따라서 [eqn: p=5], [eqn: q=9]이므로

[eqn: p+q=14]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 17

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 마름모 [eqn: rm ABCD]가 있다. 점 [eqn: rm C]에서 선분 [eqn: rm AB]의 연장선에 내린 수선의 발을 [eqn: rm E], 점 [eqn: rm E]에서 선분 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm F], 선분 [eqn: rm EF]와 선분 [eqn: rm BC]의 교점을 [eqn: rm G]라 하자. [eqn: ANGLE rm DAB= theta]일 때, 삼각형 [eqn: rm CFG]의 넓이를 [eqn: S( theta )]라 하자. [eqn: lim _{theta -> 0+} {{S( theta )} over {theta ^{5}}}]의 값은? [eqn: LEFT ( pile{`#`} RIGHT .]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}][eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT )]

[정답] ③

[해설]

[eqn: ANGLE rm DAB= ANGLE rm CBE= theta]이므로

[eqn: angle rm BAC = angle BCA = angle CEF = theta over 2]

또 [eqn: rmtriangle BCE]에서 [eqn: rm bar CE = sin theta]이므로 [eqn: △ rm CEF]에서

[eqn: rm {bar{CF}} = it sin`theta`sin` {theta} over {2}]

[eqn: △ rm CFG]에서

[eqn: {bar{rm FG it}} = {bar{rm CF it}} TIMES tan` {theta } over {2}]

[eqn: =sin` theta TIMES sin` {theta } over {2} TIMES tan` {theta } over {2}]

[eqn: therefore][eqn: S( theta )= {1} over {2} TIMES rm {bar{CF}} TIMES rm {bar{FG}}]

[eqn: = {1} over {2} TIMES sin` ^{2} theta TIMES sin` ^{2} {theta } over {2} TIMES tan` {theta } over {2}]

[eqn: therefore][eqn: lim _{theta -> 0+} {{S( theta )} over {theta ^{5}}}]

[eqn: = lim _{theta->0+}left{ {{1} over {2} TIMES {sin` ^{2} theta} over {theta ^{2}}} LEFT ( {sin` {theta} over {2}} over {{theta} over {2}} RIGHT ) ^{2} TIMES {tan` {theta} over {2}} over {{theta} over {2}}]

[eqn: TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} right]

[eqn: = {1} over {16}]

① [eqn: {1} over {24}]	② [eqn: {1} over {20}]	③ [eqn: {1} over {16}]

④ [eqn: {1} over {12}]	⑤ [eqn: {1} over {8}]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 11월 20

그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} =4], [eqn: rm ANGLE ACB= {pi } over {2}], [eqn: rm angleCBA = theta`]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다. 선분 [eqn: rm AB] 위에 [eqn: rm angleACD = 2theta`]가 되도록 점 [eqn: rm D`]를 잡고, 선분 [eqn: rm BC] 위에 [eqn: rm angleBDE = pi over 2 `]가 되도록 점 [eqn: rm E`]를 잡는다. 삼각형 [eqn: rm CDE`]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{3}}} `]의 값은? (단, [eqn: LEFT. 0< theta < {pi } over {4} `])

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: rm D`]에서 선분 [eqn: rm BC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하면 삼각형 [eqn: rm BED`]와 삼각형 [eqn: rm DEH`]는 닮음이므로

[eqn: rm angleEBD = rm angleEDH = theta]

선분 [eqn: rm AC`]와 선분 [eqn: rm DH`]는 서로 평행하므로

[eqn: rm angleACD = rm angleCDH = 2theta]

[eqn: rm angleDAC = rm angleCDA = pi over 2 - theta`]이므로 삼각형 [eqn: rm CAD`]는 [eqn: rm bar CA = bar CD`]인 이등변삼각형이다.

[eqn: rm bar AB = 4 `]이므로 [eqn: rm bar CA = bar CD = 4`sin`theta]

삼각형 [eqn: rm DHC`]에서

[eqn: rm bar DH = bar CD`cos`2theta = 4`sin`theta`cos`2theta]

삼각형 [eqn: rm DHE`]에서

[eqn: rm bar DE = {rmbar DH} over {cos`theta} = 4`tan`theta`cos`2theta]

점 [eqn: rm E`]에서 선분 [eqn: rm CD`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm F`]라 할 때,

[eqn: rm bar EF = bar DE`sin`theta]

삼각형 [eqn: rm CDE`]의 넓이

[eqn: S(theta)][eqn: rm= 1 over 2 times bar CD times bar EF]
[eqn: =8`sin` ^{2} ` theta `tan` theta `cos`2 theta]

따라서

[eqn: lim _{ theta``->``0+}` {S(theta) } over theta^3][eqn: = lim _{theta `` -> ``0+} {} ` {8`sin` ^{2} ` theta `tan` theta `cos`2 theta } over {theta ^{3}}]
[eqn: =8times lim _{ theta``->``0+}` left{ LEFT ( {sin`theta} over theta RIGHT )^2 times LEFT ( {tan`theta} over theta RIGHT )times cos`2theta right}]
[eqn: =8]

① [eqn: 8]	② [eqn: 17 over 2]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 19 over 2]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

그림과 같이 [eqn: bar{{rmAB}}= 1]이고 [eqn: ∠{rmABC} = { pi}over{2}]인 직각삼각형 [eqn: {rmABC}]에서 [eqn: ∠{rmCAB} = theta]라 하자. 선분 [eqn: {rmAC}]를 [eqn: 4 : 7]로 내분하는 점을 [eqn: {rmD}]라 하고 점 [eqn: {rmC}]에서 선분 [eqn: {rmBD}]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rmE}]라 할 때, 삼각형 [eqn: {rmCEB}]의 넓이를 [eqn: S (theta)]라 하자. [eqn: lim_{ theta -> 0+} {S ( theta)}over{theta^{3}}= {q}over{p}]일 때, [eqn: p + q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: 0<theta<{pi}over{4}]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold{ 9]

[해설]

그림에서 삼각형 [eqn: rm rm BCE], [eqn: rm BDM]은 닮음이고,

[eqn: rm bar{BC}`= tan`theta], [eqn: rm bar{BD}`= 1 over11 sqrt{ 49 + 16`tan^{2}` theta]

[eqn: S( theta )][eqn: = {1} over {2} TIMES {7} over {11} TIMES {4} over {11} `tan` theta TIMES LEFT ( {11 ^{2} `tan ^{2} ` theta } over {49+16`tan ^{2} ` theta } RIGHT )]
[eqn: =][eqn: { 14`tan^{3}` } over{ 49 + 16`tan^{2}` theta}]

[eqn: lim_{ theta->0+} {S( theta)} over{ theta^3 } =][eqn: 14 over49+0 = 2 over7]

[eqn: THEREFORE][eqn: 2 +7 = 9]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 04월 19

그림과 같이 [eqn: {bar{rm AB it}} it=1], [eqn: ANGLE rmB= {pi } over {2}]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 선분 [eqn: rmAB]위에 [eqn: {bar{rm AD it}} = {bar{rm CD it}}]가 되도록 점 [eqn: rmD]를 잡는다. 점 [eqn: rmD]에서 선분 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm E], 점 [eqn: rmD]를 지나고 직선 [eqn: rmAC]에 평행한 직선이 선분 [eqn: rm BC]와 만나는 점을 [eqn: rm F]라 하자. [eqn: ANGLE rm BAC= theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmDEF]의 넓이를 [eqn: S LEFT ( theta RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{theta ``->`` 0+} { {S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }}]의 값은? [eqn: pile{ `#` }right(]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4} right)]

[정답] ④

[해설]

[eqn: RM BAR AD = BAR CD]이므로 삼각형 [eqn: rmADC]는 이등변삼각형이고, [eqn: rm {bar{AE}} = {bar{CE}}]이다. 또한, 선분 [eqn: rmAC]와 선분 [eqn: rmDF]가 평행하므로 [eqn: anglermBDF=theta]이고, 삼각형 [eqn: rmDEF]는 직각삼각형이다.

삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: {bar{rm AC it}} it=sec theta]이므로 [eqn: {bar{rm AE it}} it = 1OVER2 {rm sec} theta]

삼각형 [eqn: rm AED]에서

[eqn: {bar{rm DE it}} it = {bar{rm AE it}} TIMES tan theta = {1} over {2} rm sec theta tan theta],

[eqn: {bar{rm AD it}} it = {bar{rm AE it}} TIMES sec theta = {1} over {2} rm sec ^{2} theta]

이므로 [eqn: {bar{rm DB it}} it = 1-{1OVER2 } RMsec^2 theta]

삼각형 [eqn: rm DBF]에서 [eqn: {bar{rm DF it}} it =bar{rmDB}timessec theta=sec theta LEFT ( 1- {1} over {2} rm sec ^{2} theta RIGHT )]

[eqn: S LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES rm {bar{DE}} TIMES {bar{DF}}]
[eqn: = 1OVER2 TIMES 1OVER2 RMsec theta tan theta times sec theta left(1- 1over2 rmsec^2 theta right)]
[eqn: = 1OVER4 RMsec^2 theta tan theta left(1- 1over2 rmsec^2 theta right)]

[eqn: lim _{theta ``->`` 0+} { {S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }}][eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} {{{1} over {4} rm sec ^{2} theta tan theta LEFT ( 1- {1} over {2} rm sec ^{2} theta RIGHT ) it} over {theta }}]
[eqn: = {1} over {8}]

① [eqn: {1} over {32}]	② [eqn: {1} over {16}]	③ [eqn: {3} over {32}]

④ [eqn: {1} over {8}]	⑤ [eqn: {5} over {32}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 28

그림과 같이 [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =1], [eqn: {bar{rm BC}}][eqn: =2]인 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 선분 [eqn: rmAC]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하고, 점 [eqn: rmM]을 지나고 선분 [eqn: rmAB]에 평행한 직선이 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: ANGLE rm BAC]의 이등분선이 두 직선 [eqn: rm BC,~DM]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmE,~F]라 하자. [eqn: ANGLE rm CBA][eqn: = theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmABE]의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], 삼각형 [eqn: rmDFC]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{theta -> 0+} {} {g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2} TIMES f LEFT ( theta RIGHT )}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta <pi])

[정답] ③

[해설]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {rmbarAC }^{2} = 1^2 +2^2 -2times1times2 timescos `theta=5-4`cos`theta]이므로

[eqn: rmbarAC = sqrt { 5-4`cos`theta}]

직선 [eqn: rmAE]가 [eqn: rmangleBAC]의 이등분선이므로

[eqn: rmbarBE `:`barCE`=`barAB`:`barAC `=`1`:` sqrt { 5-4`cos`theta}]에서

[eqn: rmbarBE = 1over{1+ sqrt { 5-4`cos`theta}}times rmbarBC = 2over{1+ sqrt { 5-4`cos`theta}]

그러므로

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = 1over2 times rmbarAB times barBE times sin` LEFT ( angleCBA RIGHT )]
[eqn: = 1over2 times 1 times 2over1+ sqrt { 5-4`cos`theta }timessin`theta]
[eqn: = {sin`theta} over{1+ sqrt { 5-4`cos`theta}]

두 직선 [eqn: rmAB, ~DM]이 서로 평행하므로

[eqn: rmangleCDM = theta ,~angleBAE = angleDFE]

이다. 이때 [eqn: rmangleBAE =angleFAC]이므로 삼각형 [eqn: rmAMF]는 이등변삼각형이다.

점 [eqn: rmM]은 선분 [eqn: rmAC]의 중점이므로

[eqn: rmbarFM = 1over2 times barAC = sqrt { 5-4`cos`theta}over 2]이고

[eqn: rmbarBD =barCD =1 ,~barDM = 1over2]

그러므로 [eqn: rmbarDF = barFM - barDM = {sqrt { 5-4`cos`theta} -1}over2]

[eqn: rmangleFDC = pi -angleCDM =pi- theta]이므로

[eqn: g LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = 1over2 times rmbarCD timesbarDF timessin` LEFT ( angleFDC RIGHT )]
[eqn: = 1over2 times 1times {sqrt { 5-4`cos`theta}-1} over2 timessin `LEFT ( pi-theta RIGHT )]
[eqn: = { sqrt { 5-4`cos`theta}-1}over4 timessin`theta]

따라서

[eqn: lim _{ theta`->`0+} `{ g LEFT ( theta RIGHT ) }over{theta^2 timesf LEFT ( theta RIGHT )}][eqn: = lim _{ theta`->`0+}` {{{sin`theta} over4 } LEFT ( sqrt { 5-4`cos`theta} -1RIGHT )} over {theta^2 times { sin`theta}over{1+ sqrt { 5-4`cos`theta}}]
[eqn: =lim _{ theta`->`0+} `{ LEFT ( sqrt { 5-4`cos`theta} -1RIGHT ) LEFT ( sqrt { 5-4`cos`theta}+1 RIGHT ) }over{4`theta^2}]
[eqn: =lim _{ theta`->`0+} `{ LEFT ( 5-4`cos`theta RIGHT ) -1 }over{4`theta ^2 }]
[eqn: =lim _{ theta`->`0+} `{1-cos`theta }overtheta^2]
[eqn: = lim _{theta ` rarrow `0+} {} ` {LEFT ( 1-cos` theta RIGHT ) LEFT ( 1+cos` theta RIGHT )} over {theta ^{2} LEFT ( 1+cos` theta RIGHT )}]
[eqn: = {1} over {2} times lim _{ theta`->`0+}` {sin`^2 `theta }over theta^2]
[eqn: = 1over2]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

06 미적	05 삼각함수의 미분
02 극한의 해석 및 활용
05 활용3 (원의 방정식)

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 06월 미분과 적분 30

좌표평면에서 중심이 원점 [eqn: {rm{O}} it]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it], 점 [eqn: {rm{A}} it (0,``1)]과 점 [eqn: {rm{P}} it]를 지나는 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{QOP}} it = theta]라 하고 삼각형 [eqn: {rm{PQR}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라고 하자. [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{2}} = alpha]일 때, [eqn: 100 alpha]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: {rm{P}} it]는 제 [eqn: rm 1]사분면 위의 점이다.)

[정답] [eqn: 50]

[해설]

[eqn: {rm{P}} it ( cos theta,`` sin theta)]이므로 직선 [eqn: A P]의 방정식은

[eqn: y={ sin theta-1} over { cos theta} x+1]

위 직선의 [eqn: bold {x}]절편은

[eqn: { cos theta} over {1- sin theta}]

이므로 점 [eqn: {rm{R}} it]의 좌표는 [eqn: left({ cos theta} over {1- sin theta},`` 0 right)]이다.

[eqn: rm Delta O R P={1} over {2} times { cos theta} over {1- sin theta} times sin theta]

[eqn: rm triangle O Q P={1} over {2} times 1 times tan theta]

이므로

[eqn: rm triangle P Q R][eqn: ={1} over {2} left({ sin theta cos theta} over {1- sin theta}- tan theta right)]
[eqn: = {1} over {2} left{ { sin theta cos theta(1+ sin theta)} over {(1- sin theta)(1+ sin theta)}-{ sin theta} over { cos theta} it right}]
[eqn: = {1} over {2} left{ { sin theta cos theta(1+ sin theta)- sin theta cos theta} over { cos ^{2} theta} it right}]
[eqn: = { sin ^{2} theta} over {2 cos theta}]

[eqn: THEREFORE ~a= lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{2}} = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {sin ^{2} theta } over {2 theta ^{2}} CDOT {1} over {cos theta } = {1} over {2}]

[eqn: therefore~100 a=50]

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 09월 20

그림과 같이 점 [eqn: {rm{A}} it (-2,``0)]과 원 [eqn: x^{2}+y^{2}=4] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 직선 [eqn: {rm{AP}} it]가 원 [eqn: (x-1)^{2}+y^{2}=1]과 두 점에서 만날 때 두 점 중에서 점 [eqn: {rm{P}} it]에 가까운 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자.

[정답] ④

[해설]

그림에서 [eqn: rm B(2,``0)]라 하면

[eqn: rm overline{A P}=4 cos theta], [eqn: rm ~ overline{B P}=4 sin theta]

이고 [eqn: rm overline{O Q}=it a], [eqn: rm overline{B Q}=it b], [eqn: rm overline{P Q}=it x]라 하면

[eqn: a^{2}+b^{2}=4 cdots cdots] ㉠

[eqn: b^{2}=x^{2}+(4 sin theta)^{2}=x^{2}+16 sin ^{2} theta]

[eqn: a^{2}=2^{2}+(4 cos theta-x)^{2}-2 times 2 times(4 cos theta-x) cos theta]

[eqn: =4+ left(16 cos ^{2} theta-8 cos theta x+x^{2} right)-16 cos ^{2} theta][eqn: +4 cos theta x]

[eqn: =x^{2}-4 cos theta x+4]

따라서, ㉠에 대입하면

[eqn: left(x^{2}-4 cos theta x+4 right)+ left(x^{2}+16 sin ^{2} theta right)=4]

[eqn: x^{2}-2 cos theta x+8 sin ^{2} theta=0]

[eqn: rm therefore~it x= overline{rm P Q}= cos theta- sqrt{ cos ^{2} theta-8 sin ^{2} theta}]

[eqn: ( because 0< cos theta<1)]

[eqn: THEREFORE ~ lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {{bar{rm PQ}}} over {theta ^{2}}]

[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {cos theta - sqrt {cos ^{2} theta -8sin ^{2} theta }} over {theta ^{2}}]

[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {8sin ^{2} theta } over {theta ^{2} LEFT ( cos theta + sqrt {cos ^{2} theta -8sin ^{2} theta } RIGHT )}]

[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} 8 LEFT ( {sin theta } over {theta } RIGHT ) ^{2} TIMES {1} over {cos theta + sqrt {cos ^{2} theta -8sin ^{2} theta }}]

[eqn: =8 times 1^{2} times {1} over {2}=4]

[eqn: angle {rm{OAP}} it = theta]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {rm PQ it} over {theta ^{2}}]의 값은?

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: rm 3]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 03월 29

그림과 같이 중심이 [eqn: {rm{A}} it (3,``0)]이고 점 [eqn: {rm{B}} it (6,``0)]을 지나는 원이 있다. 이 원 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]를 지나는 두 직선 [eqn: {rm{AP}} it], [eqn: {rm{BP}} it]가 [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{Q}} it], [eqn: {rm{R}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{PBA}} it = theta]라 하고, 삼각형 [eqn: {rm{PQR}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{5}}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}])

[정답] [eqn: 18]

[해설]

[eqn: angle {rm{PBO}} it = theta]이므로 [eqn: angle {rm{PAO}} it =2 theta]이다.

점 [eqn: {rm{P}} it]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면 [eqn: overline{{rm{AP}} it }=3], [eqn: overline{{rm{AH}} it }=3 cos 2 theta], [eqn: overline{{rm{HO}} it }=3-3 cos 2 theta]이다.

[eqn: overline{{rm{OA}} it }=3], [eqn: angle {rm{PAO}} it =2 theta]이므로

[eqn: overline{{rm{OQ}} it }=3 tan 2 theta]

[eqn: overline{{rm{OB}} it }=6], [eqn: angle {rm{PBO}} it = theta]이므로

[eqn: overline{{rm{OR}} it }=6 tan theta]

[eqn: overline{{rm{RQ}} it }][eqn: = overline{{rm{OQ}} it }- overline{{rm{OR}} it }]
[eqn: =3 tan 2 theta-6 tan theta]

[eqn: overline{{rm{HO}} it }=3-3 cos 2 theta]이므로

[eqn: S( theta)][eqn: ={1} over {2} times overline{{rm{RQ}} it } times overline{{rm{HO}} it }]
[eqn: ={1} over {2}(3 tan 2 theta-6 tan theta)(3-3 cos 2 theta)]
[eqn: ={9} over {2}( tan 2 theta-2 tan theta)(1- cos 2 theta)]
[eqn: =9 left({2 tan theta} over {1- tan ^{2} theta}-2 tan theta right) sin ^{2} theta]
[eqn: ={18 tan ^{3} theta sin ^{2} theta} over {1- tan ^{2} theta}]

따라서

[eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{5}}][eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {18tan ^{3} theta `sin ^{2} theta } over {theta ^{5} LEFT ( 1-tan ^{2} theta RIGHT )}]
[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} LEFT ( {18} over {1-tan ^{2} theta } TIMES {tan ^{3} theta } over {theta ^{3}} TIMES {sin ^{2} theta } over {theta ^{2}} RIGHT )]
[eqn: =18 times 1 times 1=18]

[다른 풀이]

[eqn: TRIANGLE rm PAH it □ TRIANGLE rm QAO it]이므로

[eqn: {bar{rm AP it}} `:` {bar{rm PQ it}} = {bar{rm AH it}} `:` {bar{rm HO it}}]

[eqn: 3: overline{{rm{PQ}} it }=3 cos 2 theta: 3-3 cos 2 theta]이므로

[eqn: overline{{rm{PQ}} it }={3(3-3 cos 2 theta)} over {3 cos 2 theta}]

또, [eqn: TRIANGLE rm PBH it □ TRIANGLE rm RBO it]이므로

[eqn: overline{{rm{BP}} it }: overline{{rm{PR}} it }= overline{{rm{BH}} it }: overline{{rm{HO}} it }]

[eqn: 6 cos theta: overline{{rm{PR}} it }=3+3 cos 2 theta: 3-3 cos 2 theta]이므로

[eqn: overline{{rm{PR}} it }={6 cos theta(3-3 cos 2 theta)} over {3+3 cos 2 theta}]

[eqn: angle {rm{QPR}} it = angle {rm{APB}} it = angle {rm{PBA}} it = theta]이므로

[eqn: S( theta)][eqn: ={1} over {2} times overline{{rm{PR}} it } times overline{{rm{PQ}} it } times sin theta]
[eqn: ={1} over {2} times {6 cos theta(3-3 cos 2 theta)} over {(3+3 cos 2 theta)} times {3(3-3 cos 2 theta)} over {3 cos 2 theta} times sin theta]
[eqn: ={9 cos theta(1- cos 2 theta)^{2} sin theta} over {(1+ cos 2 theta) cos 2 theta}]
[eqn: ={9 cos theta left(2 sin ^{2} theta right)^{2} sin theta} over {(1+ cos 2 theta) cos 2 theta}]
[eqn: ={36 cos theta sin ^{5} theta} over {(1+ cos 2 theta) cos 2 theta}]

따라서

[eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{5}}][eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {36cos theta sin ^{5} theta } over {theta ^{5} (1+cos2 theta )cos2 theta }]
[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} LEFT { {36cos theta } over {(1+cos2 theta )cos2 theta } TIMES {sin ^{5} theta } over {theta ^{5}} it RIGHT }]
[eqn: ={36} over {2 times 1} times 1]
[eqn: =18]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 19

자연수 [eqn: n`]에 대하여 중심이 원점 [eqn: rm O`]이고 점 [eqn: rm P it LEFT ( 2 ^{n} ,``0 RIGHT ) `]을 지나는 원 [eqn: C``]가 있다. 원 [eqn: C`] 위에 점 [eqn: rm Q`]를 호 [eqn: rm PQ`]의 길이가 [eqn: pi `]가 되도록 잡는다. 점 [eqn: rm Q`]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {rm LEFT ( bar{OQ} TIMES bar{HP} RIGHT )} it `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: angle {rm{POQ}} it = theta]로 놓으면 [eqn: pi= arch {{rm{PQ}} it }=2^{n} theta]에서 [eqn: theta={ pi} over {2^{n}}]

점 [eqn: {rm{Q}} it]의 좌표는 [eqn: left(2^{n} cos { pi} over {2^{n}},`` 2^{n} sin { pi} over {2^{n}} right)]이므로

[eqn: overline{{rm{HP}} it }=2^{n}-2^{n} cos { pi} over {2^{n}}]이다.

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf }( overline{{rm{OQ}} it } times overline{{rm{HP}} it })= lim _{n ``rarrow`` inf } left{ 2^{n} times 2^{n} left(1- cos { pi} over {2^{n}} right) it right}]

이때 [eqn: {1} over {2^{n}}=t]로 놓으면 [eqn: n ``rarrow`` inf]일 때, [eqn: t ``rarrow`` 0+]이고

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } 4^{n} left(1- cos { pi} over {2^{n}} right)][eqn: = lim _{t ``rarrow`` 0+} {1- cos pi t} over {t^{2}}]
[eqn: = lim _{t ``rarrow`` 0+} {(1- cos pi t)(1+ cos pi t)} over {t^{2}(1+ cos pi t)}]
[eqn: = pi^{2} lim _{t ``rarrow`` 0+} left({ sin ^{2} pi t} over { pi^{2} t^{2}} times {1} over {1+ cos pi t} right)]
[eqn: = pi^{2} times 1 times {1} over {2}={ pi^{2}} over {2}]

① [eqn: pi^2 over 2]	② [eqn: {3} over {4} pi ^{2}]	③ [eqn: pi^2]

④ [eqn: 5 over 4 pi^2]	⑤ [eqn: 3 over 2 pi^2]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 07월 21

그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 [eqn: rm O LEFT ( 0,~0 RIGHT ) `]이고
점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~0 RIGHT ) `]을 지나는 원 [eqn: C` _{1}] 위의 제 [eqn: 1`]사분면 위의 점을 [eqn: rmP`]라 하자. 점 [eqn: rm P`]를 원점에 대하여 대칭이동시킨 점을 [eqn: rm Q], [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동시킨 점을 [eqn: rm R`]라 하자. 선분 [eqn: rm QR`]를 지름으로 하는 원 [eqn: C` _{2} `]와 두 선분 [eqn: rm PQ], [eqn: rmAQ`]와의 교점을 각각 [eqn: rm M], [eqn: rmN`]이라 하자. [eqn: ANGLE rm POA it = theta `]라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rm MQN], [eqn: rm PNR`]의 넓이를 각각 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )], [eqn: T` LEFT ( theta RIGHT ) `]라 하자. [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{theta ^{2} TIMES S` LEFT ( theta RIGHT )} over {T` LEFT ( theta RIGHT )}} `]의 값은?

[정답] ②

[해설]

원 [eqn: C` _{`1}] 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 [eqn: {arch{rm ``PA`` it}} = {arch{rm ``AR`` it}} `]이므로

[eqn: ANGLE rm PQA it `=` ANGLE rm AQR it `=` {theta } over {2} `]
[eqn: ANGLE rm PRQ= {pi } over {2} `]이므로

[eqn: {bar{rm PR it}} `=`2`sin` theta `], [eqn: {bar{rm QR it}} `=`2`cos` theta `]
[eqn: ANGLE rm QMR=` ANGLE rm QNR= {pi } over {2} `]이므로

[eqn: {bar{rm QM}} `=`2`cos` theta `cos theta `], [eqn: {bar{rm QN it}} `=`2`cos` theta `cos` {theta } over {2} `]

[eqn: S`( theta )`][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm QM it}} TIMES {bar{rm QN it}} TIMES sin` {theta } over {2} `]
[eqn: =` {1} over {2} TIMES 2`cos ^{2} ` theta TIMES 2`cos` theta `cos` {theta } over {2} ` TIMES `sin` {theta } over {2} `][eqn: =2`cos` ^{3} theta `cos {theta } over {2} `sin` {theta } over {2} `]

점 [eqn: rm N`]에서 선분 [eqn: rm QR`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하면

[eqn: T(theta)`=` { 1} over { 2} TIMESbar{rm PR} TIMES bar{rm HR}`]

[eqn: {bar{rm HR it}} `][eqn: =` {bar{rm QR it}} - {bar{rm QH it}} `=`2`cos` theta `-` {bar{rm QN it}} `cos` {theta } over {2} `]
[eqn: =`2`cos` theta `-`2cos` theta `cos` ^{2} {theta } over {2} `]
[eqn: =`2`cos` theta LEFT ( 1-cos` ^{2} {theta } over {2} RIGHT ) `]
[eqn: =`2`cos` theta `sin` ^{2} {theta } over {2} `]

[eqn: T(theta)`][eqn: =` {1} over {2} TIMES `2`sin` theta ` TIMES `2`cos` theta `sin` ^{2} {theta } over {2} `]
[eqn: =`2`sin` theta `cos` theta `sin` ^{2} {theta } over {2} `]

[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{theta ^{2} TIMES S`( theta )} over {T`( theta )}} `][eqn: =` lim _{theta ` -> `0+} {{theta ^{2} TIMES `2cos` ^{3} ` theta `cos` {theta `} over {2} `sin` {theta } over {2} `} over {2sin` theta` cos` theta `sin` ^{2} {theta `} over {2} `}}]
[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {LEFT ( cos ^{2} theta cos {theta } over {2} RIGHT ) TIMES lim _{theta ` -> `0+} {{theta ^{2}} over {sin theta sin {theta } over {2}}}}]
[eqn: =1 TIMES ` lim _{theta ` -> `0+} {LEFT ( 2 TIMES {theta } over {sin` theta } TIMES {{theta } over {2} `} over {sin` {theta } over {2}} RIGHT )}][eqn: =`2`]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[준킬러][미적] 3미분법1(빠른 정답)
준킬러미적	2023.01.06

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 3 }]

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] [eqn: 8]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ④

[정답] [eqn: bold9]

[정답] ②

[정답] [eqn: 3]

[정답] [eqn: bold20]

[정답] ①

[정답] [eqn: bold{ 40]

[정답] [eqn: bold61]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] [eqn: 18]

[정답] [eqn: 18]

[정답] [eqn: bold30]

[정답] [eqn: bold48]

[정답] [eqn: 16]

[정답] [eqn: rm 30]

[정답] ①

[정답] [eqn: 75]

[정답] [eqn: 30]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: rm 250]

[정답] [eqn: 65]

[정답] [eqn: 16]

[정답] [eqn: bold { 16 }]

[정답] [eqn: 14]

[정답] ③

[정답] ①

[정답] [eqn: bold{ 9]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: 50]

[정답] ④

[정답] [eqn: 18]

[정답] ①

[정답] ②

[준킬러][미적] 3미분법1(해설)
준킬러미적	2023.01.06