	준킬러미적	[준킬러][미적] 2급수2
	01
		준킬러미적	2023.01.06

06 미적	02 급수
01 급수의 성질 및 계산
03 소거형 급수1 (분배 후 소거)

준킬러미적		준킬러미적
		[준킬러][미적] 2급수2
01

	준킬러미적		준킬러미적
	[준킬러][미적] 2급수2		01

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고2 09월 19

첫째항과 공차가 모두 [eqn: 2`]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]을 다음과 같이 정의한다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: a_n = 2n]이므로 [eqn: a_2n = 4n], [eqn: a_2n-1 = 4n-2]

[eqn: b_n][eqn: = { sum_k=1^n a_2k } over { sum_k=1^n a_2k-1 }][eqn: = { sum_k=1^n 4k } over { sum_k=1^n (4k-2) }][eqn: = 1 + 1 over n], [eqn: b_n+1 - b_n = 1 over n+1 - 1 over n]

[eqn: sum_n=1^inf ( b_n+1 - b_n )][eqn: = sum_n=1^inf left( 1 over n+1 - 1 over n right)][eqn: = lim_n->inf left{ left( 1 over 2 - 1 right) + left( 1 over 3 - 1 over 2 right) + cdots + left( 1 over n+1 - 1 over n right) right}][eqn: = -lim_n->inf left{ left( 1- 1 over 2 right) + left( 1 over 2 - 1 over 3 right) + cdots + left( 1 over n - 1 over n+1 right) right}][eqn: = - lim_n->inf left( 1 - 1 over n+1 right) = -1]

[eqn: b _{n} = {a _{2} +a _{4} +a _{6} + `CDOTS ` +a _{2n}} over {a _{1} +a _{3} +a _{5} + `CDOTS ` +a _{2n-1}}]

이때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( b _{n+1} -b _{n} RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

06 미적	02 급수
01 급수의 성질 및 계산
05 소거형 급수3 (부분분수)

[출처]	2010 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {2n+3} over {n LEFT (n+1 RIGHT ) LEFT (n+2 RIGHT )} = {q} over {p} `]일 때, [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 11]

[해설]

[eqn: 2n+3 over{n(n+1)(n+2)} `][eqn: = a over{n(n+1)} - b over {(n+1)(n+2)} `]
[eqn: = {a`(n+2 )-b`n} over{n(n+1)(n+2)} `]
[eqn: = {(a-b`)n +2a`} over{n(n+1)(n+2)} `]

[eqn: a-b`=2`], [eqn: 2a`=3`]

[eqn: therefore~][eqn: a`= 3over2`], [eqn: b`=- 1over2`]

그러면,

[eqn: 2n+3 over{n(n+1)(n+2)} `][eqn: = 3over2 cdot 1 over{n(n+1)} + 1over2 cdot 1 over {(n+1)(n+2)} `]
[eqn: = 3over2 left( 1over n - 1over n+1 right)- 1over2 left( 1over n+1 - 1over n+2 right)`]

[eqn: therefore][eqn: sum _{ n=1} ^{inf } 2n+3 over{n(n+1)(n+2)} `][eqn: =lim_{n~->~inf`}sum _{ k=1} ^{n } 2k+3 over{k`(k+1)(k+2)} `]

[eqn: =lim_{n~->~inf`}sum _{ k=1} ^{n } left{3over2 left( 1over k - 1over k+1 right)+ 1over2 left( 1over k+1 - 1over k+2 right)`right}]

[eqn: =lim_{n~->~inf`}left[ 3over2 left{left( 1over 1 - 1over2 right)+left( 1over2 - 1over3 right)`+cdots`+left( 1over n - 1over n+1 right)`right}`]

[eqn: + 1over2 left{ left( 1over 2 - 1over 3 right)+left( 1over 3 - 1over 4 right)`+`cdots`+left( 1over n+1 - 1overn+2 right)`right}`]

[eqn: =lim_{n~->~inf`}left{ 3over2 left( 1over 1 - 1over n+1 right)+ 1over2 left( 1over2 - 1over n+2 right)`right}`]

[eqn: = 3over2 + 1over 4`][eqn: = 7over4`]

[eqn: therefore~][eqn: p+q`=11`]

[출처]	2013 모의_공공 경찰대 고3 07월 16

첫째항이 [eqn: rm 3]인 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여 [eqn: a_{10}-a_{2}=4]일 때, [eqn: sum_{n=1}^{ inf } {1} over {a_{n} a_{n+1} a_{n+2}}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_{10}-a_{2}=8 d=4]

[eqn: therefore~d={1} over {2}]

[eqn: therefore~a_{n}={n+5} over {2} left( because a_{1}=3 right)]

[eqn: therefore~ sum_{n=1}^{ inf } {1} over {a_{n} a_{n+1} a_{n+2}}]

[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } sum_{k=1}^{n} {1} over {a_{k} a_{k+1} a_{k+2}}]

[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } sum_{k=1}^{n} {8} over {(k+5)(k+6)(k+7)}]

[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } sum_{k=1}^{n} 4 left({1} over {(k+5)(k+6)}-{1} over {(k+6)(k+7)} right)]

[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } sum_{k=1}^{n} 4 left({1} over {42}-{1} over {(n+6)(n+7)} right)]

[eqn: ={2} over {21}]

① [eqn: {1} over {21}]	② [eqn: {2} over {21}]	③ [eqn: {1} over {7}]

④ [eqn: {4} over {21}]	⑤ [eqn: {5} over {21}]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 09월 21

공차가 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]의 첫째항을 [eqn: a`], 공차를 [eqn: d`]라 하면

조건 (가)에 의하여

[eqn: {``a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{2n-1}+a _{2n} ``} over {a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{n-1}+a _{n}} `=p`]([eqn: p]는 상수)

이고,

[eqn: {```` {2n LEFT { 2a+(2n-1)d RIGHT }} over {2} ````} over {{n LEFT { 2a+(n-1)d RIGHT }} over {2}} `=p`]

[eqn: 4a+4dn-2d=2ap+dnp-dp`]

[eqn: LEFT ( 4d-dp RIGHT ) n+ LEFT ( 4a-2d-2ap+dp RIGHT ) =0`][eqn: cdots](★)

(★)이 자연수 [eqn: n`]에 대한 항등식이므로

[eqn: 4d-dp=0], [eqn: 4a-2d-2ap+dp=0`]

[eqn: d != 0`]이므로 [eqn: p=4`], [eqn: d=2a`]

[eqn: a _{n} =a+(n-1) TIMES 2a=a(2n-1)`]

조건 (나)에서

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {2} over {(2n+1)a _{n}} = sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a} LEFT ( {1} over {2n-1} `- {1} over {2n+1} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {a} lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {2k-1} `- {1} over {2k+1} RIGHT )}]

[eqn: = {1} over {a}]

[eqn: {1} over {a} = {1} over {10}`]이므로 [eqn: a=10`], [eqn: d=20`]

따라서 [eqn: a _{n} =20n-10`]이므로 [eqn: a _{10} =190]

(가) 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: {a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{2n-1} +a _{2n} } over {a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{n-1} +a _{n}} `]은 일정한 값을 가진다.

(나) [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {2} over { LEFT (2n+1 RIGHT )a _{n}} = {1} over {10}]

[eqn: a _{10}`]의 값은?

① [eqn: 190]	② [eqn: 192]	③ [eqn: 194]

④ [eqn: 196]	⑤ [eqn: 198]

06 미적	02 급수
02 등비급수의 성질 및 계산
01 등비급수의 수렴조건1 (공비의 범위)

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고2 09월 30

다음 두 조건을 만족시키는 모든 정수 [eqn: r`]의 값의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: 18]

[해설]

무한급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } LEFT ( r-5 over 8 RIGHT )^n]이 수렴하려면

[eqn: -1 < r-5 over 8 <1]이므로 [eqn: -3 < r <13]

(ⅰ) [eqn: -3 < r <7]일 때,

[eqn: lim _{n -> INF } {{r ^{n+1} -7 ^{n} +2} over {r ^{n} +7 ^{n+1} +2 ^{n-1}} = lim _{n -> INF } {{r LEFT ( {r} over {7} RIGHT ) ^{n} -1+ {2} over {7 ^{n}}} over {LEFT ( {r} over {7} RIGHT ) ^{n} +7+ {1} over {2} LEFT ( {2} over {7} RIGHT ) ^{n}}}}][eqn: =- {1} over {7}]

(ⅱ) [eqn: r=7]일 때,

[eqn: lim _{n -> INF } {} {7 ^{n+1} -7 ^{n} +2} over {7 ^{n} +7 ^{n+1} +2 ^{n-1}} = lim _{n -> INF } {} {6 TIMES 7 ^{n} +2} over {8 TIMES 7 ^{n} +2 ^{n-1}} = {3} over {4}]

(ⅲ) [eqn: 7<r<13]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {r- LEFT ( {7} over {r} RIGHT ) ^{n} + {2} over {r ^{n}}} over {1+7 LEFT ( {7} over {r} RIGHT ) ^{n} + {1} over {2} LEFT ( {2} over {r} RIGHT ) ^{n}}][eqn: = r]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: -3<r<7]

따라서 모든 정수 [eqn: r]의 값의 합은 [eqn: 18]이다.

(가) 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {r-5} over {8} RIGHT ) ^{n} `]이 수렴한다.

(나) [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{r ^{n+1} -7 ^{n} +2} over {r ^{n} +7 ^{n+1} +2 ^{n-1}} =`- {1} over {7}}]

06 미적	02 급수
02 등비급수의 성질 및 계산
03 등비급수의 계산1 (기본)

[출처]	2005 모의_공공 교육청 고2 11월 8

두 실수 [eqn: a], [eqn: r`]에 대하여 무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ar ^{n-1}`]이 수렴하면 [그림 [eqn: 1 `]], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ar ^{n-1}`]이 발산하면 [그림 [eqn: 2 `]]와 같이 나타내고, [eqn: 0 `]이 아닌 실수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: LEFT | k RIGHT | le 1`]인 경우 [그림 [eqn: 3 `]], [eqn: LEFT | k RIGHT | >1`]인 경우에는 [그림 [eqn: 4 `]]와 같이 나타내기로 한다.

[정답] ①

[해설]

(ⅰ)

에서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n-1}]은 발산하므로

[그림2]에 의하여 [eqn: beta = 1over 4]

(ⅱ)

에서 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf alpha LEFT ( 1 over 3 RIGHT ) ^n-1]은 수렴하므로

[그림1]에 의하여 [eqn: alpha over {1 - 1over3}=3] ∴[eqn: alpha = 2]

(ⅲ) 에서 [eqn: LEFT |` 3` RIGHT | `＞`1`]이므로

[그림4]에 의하여 [eqn: gamma =- 1over 3] 따라서, [eqn: alpha + beta + gamma = 23 over 12]

[그림 [eqn: 1`]]	[그림 [eqn: 2`]]
[그림 [eqn: 3`]]	[그림 [eqn: 4`]]

아래 그림의 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma `]에 대하여 [eqn: alpha + beta + gamma `]의 값은?

① [eqn: {23} over {12}]	② [eqn: {25} over {12}]	③ [eqn: {9} over {4}]

④ [eqn: {29} over {12}]	⑤ [eqn: {31} over {12}]

06 미적	02 급수
02 등비급수의 성질 및 계산
04 등비급수의 계산2 (등비수열의 일반항)

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 06월 12

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 [eqn: 7a _{1} +7 ^{2} a _{2} + `CDOTS` +7 ^{n} a _{n} =3 ^{n} -1`]을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}} over {3 ^{n-1}} `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: 7a _{1} +7 ^{2} a _{2} + CDOTS +7 ^{n-1} a _{n-1} +7 ^{n} a _{n} =3 ^{n} -1`]	[eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: 7a _{1} +7 ^{2} a _{2} + CDOTS +7 ^{n-1} a _{n-1} =3 ^{n-1} -1`]	[eqn: cdots cdots] ㉡

㉠[eqn: -]㉡에서

[eqn: 7 ^{n} a _{n} =3 ^{n} -3 ^{n-1} =2 CDOT 3 ^{n-1} `]

∴ [eqn: a _{n} = {2 CDOT 3 ^{n-1}} over {7 ^{n}} `] ([eqn: n >= 2`])

[eqn: n=1`]일 때, [eqn: 7a _{1} =3 ^{1} -1`]에서 [eqn: a _{1} = {2} over {7} `]이므로

[eqn: a _{n} = {2 CDOT 3 ^{n-1}} over {7 ^{n}} `] ([eqn: n >= 1`])

∴ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `` {a _{n}} over {3 ^{n-1}} `][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } `` LEFT ( ` {1} over {3 ^{n-1}} TIMES {2 CDOT 3 ^{n-1}} over {7 ^{n}} ` RIGHT ) `]

[eqn: = sum _{n=1} ^{INF } `` {2} over {7 ^{n}} `][eqn: = {{2} over {7}} over {1- {1} over {7}} `][eqn: = {1} over {3} `]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {4} over {9}]	③ [eqn: {5} over {9}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {7} over {9}]

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 21

임의의 자연수 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r`]에 대하여, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]은

[정답] [eqn: 15]

[해설]

[eqn: p=q=1``], [eqn: r=n``]이면 [eqn: 2a _{1} +a _{n} =a _{n+2} ``]이므로

[eqn: a _{n+2} =a _{n} +20]

[eqn: a _{1} =10``]이므로 [eqn: a _{3} =30], [eqn: a _{5} =50`]

[eqn: a _{5} =a _{3} +2a _{1} ``]이므로 [eqn: a _{2} =20]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]은 공차가 [eqn: 10``]인 등차수열이다.

[eqn: a _{n} =10`n``] …①

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에서 [eqn: p=1```]을 대입하여 정리하면

[eqn: b _{n} = {3} over {5} LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n-1`} = LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n}]…②

①, ②에 의하여

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n} `b _{n}} over {n} ``=` sum _{n=1} ^{INF } {10`n` TIMES `( {3} over {5} ) ^{n}} over {n} `][eqn: `=`10 sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n} =`15]

[eqn: a _{1} =10], [eqn: a _{p} +a _{q} +a _{r} =a _{p+q+r}`]

를 만족하고, 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }`]은

[eqn: b _{1} = {3} over {5}], [eqn: b _{p} b _{q} =b _{p+q} `]

를 만족한다. 이때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n} b _{n}} over {n} `]의 값을 구하시오.

[출처]	2011 모의_공공 평가원 고3 09월 28
[출처]	2011 모의_공공 평가원 고3 09월 28

첫째항이 [eqn: 12`]이고 공비가 [eqn: {1} over {3} `]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }`]을 다음 규칙에 따라 정한다.

[정답] [eqn: 19]

[해설]

[eqn: a_n = 12times left( 1over 3 right)^n-1] ([eqn: n =1,2,3,cdots])

점 [eqn: P_n]을 지나고 기울기가 [eqn: a_n]인 직선의 방정식은

[eqn: y-b_n ^2 = a_n (x+b_n )] 즉, [eqn: y= a_n x + a_n b_n +b_n ^2]

이 직선과 곡선 [eqn: y=x^2]의 교점의 [eqn: x]좌표는 방정식

[eqn: a_n x + a_n b_n + b_n ^2 = x^2] 즉,

[eqn: (x+b_n ) (x-a_n -b_n ) =0]의 실근이다.

∴ [eqn: b_n+1 = a_n +b_n] (∵[eqn: b_n+1 != - b_n])

이때, [eqn: b_n+1 - b_n = a_n]이므로 수열 {[eqn: b_n]}의 계차수열이 {[eqn: a_n]}이다. ∴ [eqn: b_n = b_1 + sum_k=1^n-1 a_k][eqn: = 1+ sum_k=1^n-1 a_k]

∴ [eqn: lim_n->inf b_n = 1+ lim_n->inf sum_k=1^n-1 a_k][eqn: = 1+ sum_k=1^inf 12 left( 1over 3 right)^k-1]

[eqn: = 1+ 12 over { 1- 1over3} = 1+ 18 = 19]

(가) [eqn: b _{1} =1]

(나) [eqn: n GEQ 1`]일 때, [eqn: b _{n+1} `]은 점 [eqn: {rm P} _{it n} LEFT ( -b _{n} ,``b _{n}it^{2} RIGHT ) `]을 지나고 기울기가 [eqn: a _{n} `]인 직선과 곡선 [eqn: y=x ^{2} `]의 교점 중에서 [eqn: {rmP} _{it n} `]이 아닌 점의 [eqn: x`]좌표이다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {b _{n}} `]의 값을 구하시오.

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 06월 26

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 450]

[해설]

[eqn: log a_n]의 가수가 [eqn: log a_n+1]의 가수와 같으므로

[eqn: log a_n - log a_n+1]은 정수이다. [eqn: 1 < a_n overa_n+1 < 100]

양변에 [eqn: log]를 취하면 [eqn: 0 < log a_n - log a_n+1 < 2]이므로

[eqn: log a_n - log a_n+1 = 1]이다. ∴ [eqn: a_n+1 = 1 over10 a_n]

따라서, [eqn: left{ a_n right}]은 초항이 [eqn: a_1]이고 공비가 [eqn: 1 over10]인 등비수열이므로

[eqn: sum_n=1^inf a_n = a_1 over {1- 1 over10} = 500]이므로 [eqn: a_1 =450]

(가) [eqn: log`a _{n} `]의 소수부분과 [eqn: log`a_n+1`]의 소수부분은 서로 같다.

(나) [eqn: 1< {a _{n}} over {a _{n+1}} <100]

[eqn: sum from n=1 to inf a_n = 500`]일 때, [eqn: a _{1} `]의 값을 구하시오.

06 미적	02 급수
02 등비급수의 성질 및 계산
05 등비급수의 계산3 (삼각함수)

[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 13
[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 11월 13

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]이 각각

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: n= 1,``2,``3,``⋯]을 대입하여 나열해 보면

[eqn: left{ a_n right}~ ;~ 1,``0,`` - 1 over {2^2 } ,``0,`` 1over { 2^4 },`` 0,`` ⋯]

[eqn: left{ b_n right} ~;~ 1,``0,``1 over{ 2^2 },`` 0,`` 1 over { 2^4 } ,`` 0,`` ⋯]

ㄱ. [eqn: a_6 = 0]이므로 거짓.

ㄴ. [eqn: a_{ 4k-1} + b_{4k-1}][eqn: = - 1 over { 2^{4k-2}} + 1 over { 2^{ 4k-2}} =0] (참)

ㄷ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf} a_n][eqn: = 1 over { 1- left( - 1over 4 right ) } = 4 over 5]

[eqn: 3 over 5 sum _{ n=1} ^{ inf} b_n = 3 over 5 ⋅ 1 over{ 1 - 1 over 4 }][eqn: = 3 over 5 ⋅ 4over 3 = 4 over 5] (참)

[eqn: a _{n} = {1} over {2 ^{n-1} } cos `{LEFT ( n-1 RIGHT ) pi } over {2}], [eqn: b _{n} = {1+ LEFT (-1 RIGHT ) _{} ^{n-1}} over {2 ^{n}}]

일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 모든 자연수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: a _{3k} ＜0`]이다. ㄴ. 모든 자연수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: a_4k-1 +b_4k-1 =0`]이다. ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = {3 } over {5} sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

06 미적	02 급수
02 등비급수의 성질 및 계산
07 등비급수의 계산5 (합의 해석)

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 09월 29

첫째항과 공비가 모두 [eqn: 0`]이 아닌 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{1} +m sum _{n=2} ^{INF } a _{n} =0`]을 만족시키는 자연수 [eqn: m`]의 최솟값을 [eqn: N``]이라 할 때, [eqn: 10N``]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 30]

[해설]

등비수열 [eqn: left{a _{n} right}]의 공비를 [eqn: r][eqn: (r != 0)]이라 하자.

[eqn: sum _{n=2} ^{INF } a _{n} =- {a _{1}} over {m}]이므로 [eqn: □`r`□<1][eqn: CDOTS]㉠

[eqn: sum _{n=2} ^{INF } a _{n} = {a _{2}} over {1-r} =- {a _{1}} over {m}], [eqn: {a _{2}} over {a _{1}} =r]이므로 [eqn: m=1- {1} over {r}]

㉠에서 [eqn: {1} over {|`r`|} >1]이므로 [eqn: |`1-m`|>1][eqn: LRARROW][eqn: m<0`] 또는 [eqn: m>2]

따라서 자연수 [eqn: m]의 최솟값 [eqn: N`]은 [eqn: 3] 그러므로 [eqn: 10N`=30]

[출처]	2018 모의_공공 경찰대 고3 07월 16

양의 실수 [eqn: t]에 대하여 한 변의 길이가 [eqn: rm 1]인 정사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it _{0}], [eqn: {rm{P}} it _{1}], [eqn: {rm{P}} it _{2}], [eqn: {rm{P}} it _{3}], [eqn: `cdots`]은 다음과 같은 규칙을 따라 정해진다.

[정답] ⑤

[해설]

이동거리의 합(등비급수의 합) [eqn: S={1} over {1-t}]의 값이 [eqn: 4 n+3 leq {1} over {1-t} leq 4 n+4 ~ (n]은 음이 아닌 정수[eqn: )]

일 때이다. 따라서 [eqn: {4 n+2} over {4 n+3} leq t leq {4 n+3} over {4 n+4}]

[eqn: {4 n+3} over {4 n+4}={39} over {40}]이므로 [eqn: n=9],

그러므로 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: {38} over {39}]

(규칙 1) [eqn: {rm{P}} it _{0}={rm{A}} it]

(규칙 2) 자연수 [eqn: n]에 대해 점 [eqn: {rm{P}} it _{n-1}]에서 점 [eqn: {rm{P}} it _{n}]까지 정사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 변을 반시계방향으로 따라가는 경로의 길이는 [eqn: t^{n-1}]이다.

다음을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 최솟값은?

[eqn: k<t<{39} over {40}]인 [eqn: t]에 의해 정해지는 점 [eqn: {rm{P}} it _{0}], [eqn: {rm{P}} it _{1}], [eqn: {rm{P}} it _{2}], [eqn: {rm{P}} it _{3}], [eqn: cdots] 중에서 무수히 많은 점들이 변 [eqn: {rm{DA}} it] 위에 있다.

① [eqn: {30} over {31}]	② [eqn: {32} over {33}]	③ [eqn: {34} over {35}]

④ [eqn: {36} over {37}]	⑤ [eqn: {38} over {39}]

06 미적	02 급수
02 등비급수의 성질 및 계산
08 등비급수의 계산6 (순환소수)

[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 09월 9
[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 9

순환소수로 이루어진 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 각 항이 [eqn: a _{1} =0. dot{1}], [eqn: a _{2} =0. dot{1} dot{0}], [eqn: a _{3} =0. dot{1} 0 dot{0}],[eqn: `CDOTS `], [eqn: a _{n} =0. dot{1} UNDERBRACE {0은`` n-1개} {0 ^{} 0 ^{}` CDOTS `0 dot{0}}],[eqn: `CDOTS `]일 때, [eqn: sum _{n=1 ^{}} ^{` INF _{}} LEFT ( {1 } over {a _{n+1}} - {1 } over {a _{n}} RIGHT ) `]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: a_n = 0.dot1 000cdots0dot0 = 100cdots00 over 99cdots99 = 10 ^n-1 over{{10^n}-1}}]

[eqn: 1overa_n =10^n -1 over 10^n-1 = 10 - 1over 10^n-1]

[eqn: {1} over {a _{n+1}} - {1} over {a _{n}} & = LEFT ( 10- {1} over {10 ^{n}} RIGHT ) - LEFT ( 10- {1} over {10 ^{n-1}} RIGHT ) & = {1} over {10 ^{n}} (-1+10)][eqn: = 9over 10^n]

[eqn: therefore ~sum _n=1^inf 9over10^n = {9over10 }over{1-{1over10}}=1]

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: 2]

[출처]	2012 모의_공공 사관학교 고3 07월 27

집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3 RIGHT }`]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 집합 [eqn: A``]의 원소로 이루어진 수열이다. 이 수열이 등식

[정답] [eqn: 103``]

[해설]

[eqn: 104 over 333 = 312 over 999 = 0. dot 3 1 dot 2``]이므로 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n over 10^n = 0. dot 3 1 dot 2``]

∴ [eqn: sum_n=1 ^inf a_n over 5^n = 0. dot 3 1 dot 2`_(5)][eqn: = 3 over 5 + 1 over 5^2 + 2 over 5^3 + 3 over 5^4 +cdots``]

[eqn: = {3 over 5 + 1 over 5^2 + 2 over 5^3 } over {1- 1 over 5^3 } = {3 times 5^2 + 1 times 5+2} over {5^3 -1}][eqn: = 82 over 124 = 41 over 62``]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}} over {10 ^{n}} = {104} over {333} `]

를 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}} over {5 ^{n}} = {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

06 미적	02 급수
03 급수의 활용
01 급수의 진위판정

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 07월 18

자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: y=log _{`c} ` LEFT | x RIGHT |`]의 그래프와 직선 [eqn: y=n`]의 교점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: a _{n}], [eqn: b _{n}][eqn: LEFT ( a _{n} >b _{n} RIGHT ) `]이라 할 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: y=log _{``c`} LEFT | x RIGHT |]과 [eqn: y=n]의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면 [eqn: a _{n} =`c ^{n} `]이고 [eqn: b _{n} =`-c ^{n}]이다. 즉, [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]과 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 공비가 [eqn: c`]인 등비수열이다.

ㄱ. [eqn: a _{n} +b _{n} =c ^{n} + LEFT ( -c ^{n} RIGHT ) =0] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{n -> INF } {`b _{n`}} `=`0] 이면 [eqn: 0<c<1]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{n} = {c} over {1-c}] (참)

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `1 over{` b_n}]이 발산하면 수열 [eqn: LEFT { {1} over {b _{n}} RIGHT }]의 공비 [eqn: {1} over {c}]은[eqn: {1} over {c} >1] 이므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비 [eqn: c`]는 [eqn: 0<c<1]이다. 따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{n}]은 수렴한다. (거짓)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a _{n} +b _{n} =0] ㄴ. [eqn: lim _{n `->` INF } {b _{n}}=0`]이면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}][eqn: = {c} over {1-c} `]이다. ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {b _{n}} `]이 발산하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} `]이 발산한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

06 미적	02 급수
03 급수의 활용
02 일반급수의 활용1 (대수 및 방부등식)

[출처]	2006 모의_공공 교육청 고2 09월 29

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 [eqn: a _{1} = {1} over {4} `]이고

[정답] [eqn: 12]

[해설]

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}`]이고 [eqn: a _{n+1} `=`S _{n+1} `-`S _{n}`]이므로

[eqn: na _{n+1} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}]에서 [eqn: n(S _{n+1} -S _{n} )=S _{n}]

[eqn: {S _{n+1}} over {S _{n}} = {n+1} over {n}`]의 양변의 [eqn: n`]에 [eqn: 1,~2,~3,~ CDOTS ,~n-1``]을

대입하여 변끼리 곱하면

[eqn: {S _{2}} over {S _{1}} times S_3 over S_2 times S_4 over S_3 times cdots times S_n over S_n-1 `=` 2over1 times 3over 2 times 4over3 times cdots times n over {n-1}]

[eqn: {S _{n}} over {S _{1}} `=`n`] ∴ [eqn: S _{n} `=`n`S _{1} `=`n`a_1 =` {n} over {4} `]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {S _{n} S _{n+2}} `=`16 `sum _{n=1} ^{INF } {1} over {n(n+2)}][eqn: =`16` lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n}} {1} over {k`(k`+`2)}]

[eqn: =`8 lim _{n -> INF } {} sum _{n=1} ^{n} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+2} RIGHT ) `][eqn: =`8 lim _{n -> INF } {LEFT ( 1+ {1} over {2} - {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT )} `=`12`]

[eqn: na _{n+1} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}][eqn: LEFT ( n=1,`` 2,`` 3,` CDOTS ` RIGHT )]

을 만족한다. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S` _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {S` _{n} S` _{n+2}} `]의 값을 구하시오.

06 미적	02 급수
03 급수의 활용
03 일반급수의 활용2 (함수 및 도형)

[출처]	2001 모의_공공 사관학교 고3 07월 19

자연수 [eqn: n `]에 대하여 원 [eqn: LEFT (x-2n RIGHT )^2 +y^2 =1 `]과 원점을 지나는 직선이 제 [eqn: 1 `]사분면에서 접할 때, 이 직선의 기울기를 [eqn: a_n `]이라고 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} ^{ 2} `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

오른쪽 그림에서 접선의 기울기 [eqn: a _{n``}]은

[eqn: a_n =tan``theta= 1 over {sqrt{4n^2 -1}}``]

따라서,

[eqn: sum_{n=1}^{inf}``a_n^2 =lim_{n->inf}``sum_{k=1}^n``left( 1 over {sqrt{4k^2 -1}} right)^2``]

[eqn: =lim_{n->inf}``sum_{k=1}^{n}``1 over {4k^2 -1}``]

[eqn: =lim_{n->inf}``sum_{k=1}^{n}`` 1 over 2 left( 1 over 2k-1 - 1 over 2k+1 right)``]

[eqn: =lim_{n->inf}``1 over 2 left{ left( 1- 1 over 3 right)+left( 1 over 3 - 1 over 5 right)+cdots+left( 1 over 2n-1 - 1 over 2n+1 right)right}``]

[eqn: =lim_{n->inf}``1 over 2 left(1- 1 over 2n+1 right)``]

[eqn: = 1 over 2``]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[출처]	2007 모의_공공 평가원 고3 11월 24

[eqn: n ge 2`]인 자연수 [eqn: n`]에 대하여 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: C``]를 [eqn: x`]축 방향으로 [eqn: {2} over {n} `]만큼 평행이동 시킨 원을 [eqn: C` _{n} `]이라 하자. 원 [eqn: C``]와 원 [eqn: C` _{n} `]의 공통현의 길이를 [eqn: l _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=2} ^{INF } {1 } over {LEFT ( nl _{n} RIGHT ) ^{2}} = {q } over {p}`]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 19]

[해설]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: C]

[eqn: C _{n}]

[eqn: \O]

[eqn: P]

[eqn: 2 over n]

[eqn: Q`]

[eqn: M]

삼각형[eqn: POM`]은 직각삼각형이고

[eqn: bar OP ~= 1], [eqn: bar OM = 1 over n]이므로 [eqn: bar PM = root{ 1- 1over n^2 }]

∴ [eqn: l_n = 2 bar PM][eqn: =2 root{ 1- 1over n^2 }]

[eqn: (n l_n )^2 = n^2 l_n^2][eqn: =n^2 cdot 4 cdot { n^ 2 -1} over n^2][eqn: = 4(n^2 -1 )]

∴ [eqn: SUM_n=2 ^inf 1 over { (n l_n )^2 }][eqn: = SUM_n=2 ^inf 1 over{ 4 (n^2 -1)}][eqn: = lim_n->inf SUM_k=2 ^n 1 over{ 4 (k^2 -1)}]

[eqn: = lim_n->inf 1over4 SUM_k=2 ^n 1over 2 left(1over k-1 - 1over k+1 right)]

[eqn: = lim_n->inf 1over8 left{ left(1- 1over 3 right)+ left( 1over 2 - 1over 4 right) + left( 1over 3 - 1over 5 right) + cdots]

[eqn: + left( 1over n-1 right - 1over n+1 right) right}`]

[eqn: = lim_n->inf 1over8 left(1 + 1over 2 - 1over n - 1 over n+1 right) `][eqn: = 3 over 16]

∴ [eqn: p+q = 16+3 = 19`]

[출처]	2007 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

두 곡선 [eqn: y= {1} over {x}], [eqn: y= {1} over {x+1} `]과 직선 [eqn: x=n] ([eqn: n`]은 자연수)이 만나는 점을 각각 [eqn: rm A it _{n}], [eqn: {\B}_n`]이라 하고, 사각형 [eqn: rm A it rm _{n} rm B it rm _{n} rm B it rm _{n+1} rm A it rm _{n+1} `]의 넓이를 [eqn: S` _{n} `]이라 하자. 이 때, [eqn: 100 sum _{ n=1} ^{inf}S`_n`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 75]

[해설]

[eqn: S_n][eqn: =][eqn: -]

[eqn: =][eqn: 1 over 2 cdot 1cdotleft(1 over n + 1 over n+1 right)][eqn: -][eqn: 1 over 2 cdot 1 cdot left( 1 over n+1 + 1 over n+2 right)]

[eqn: =][eqn: 1 over 2 left( 1 over n - 1 over n+2 right)]

[eqn: therefore][eqn: sum _n=1^inf S_n = lim_n->inf{{sum_k=1 ^n S_k = `lim_n->inf{1 over 2 left( 1 + 1 over 2 - 1 over n+1 - 1 over n+2 right) = 3 over 4]

[eqn: THEREFORE ``100 sum _{n=1} ^{INF } S _{n} =75]

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 23
[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 04월 23

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A LEFT (0,``0 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( 5,``0 RIGHT )`]과 [eqn: 1] 보다 큰 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: bar{rm AP} `: `bar{rm PB it} = it 1`:`n`]을 만족하는 점 [eqn: rm P it LEFT ( x,``y RIGHT ) `]들의 집합을 [eqn: T` _{n} `]이라 하자. 집합 [eqn: T` _{n} `]의 임의의 두 원소 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]에 대하여 [eqn: bar{rm PQ it} `]의 최댓값을 [eqn: M` LEFT (n RIGHT )`]이라고 할 때, [eqn: sum _{n=2} ^{INF } {10M` LEFT (n RIGHT )} over {n}`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 75]

[해설]

[eqn: sqrt {x ^{2} +y ^{2}} : sqrt {LEFT ( x-5 RIGHT ) ^{2} +y ^{2}} =1:n]이므로

[eqn: LEFT ( x+ {5} over {n ^{2} -1} RIGHT ) ^{2} +y ^{2} = LEFT ( {5n} over {n ^{2} -1} RIGHT ) ^{2}]이다.

[eqn: T _{n}]의 임의의 두 원소 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rm bar{PQ}]의 최댓값 [eqn: M` LEFT ( n RIGHT ) = {10n} over {n ^{2} -1}]이다.

[eqn: sum _{n=2} ^{INF } ` {10M` LEFT ( n RIGHT )} over {n} =50 sum _{n=2} ^{INF } ` LEFT ( {1} over {n-1} - {1} over {n+1} RIGHT ) =75]

[출처]	2010 모의_공공 경찰대 고3 07월 25

좌표평면에서 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]의 그래프에 있는 각 점과 그 점에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 연결하는 선분으로 이루어지는 영역을 [eqn: R` LEFT (f RIGHT )`]라 하자.
예를 들어 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT [ x RIGHT ] +1][eqn: LEFT ( 0<x<2 RIGHT ) `]인 경우에 [eqn: R` LEFT ( f RIGHT ) `]는 다음 그림의 어두운 부분이다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가

[정답] ③

[해설]

[eqn: 1 over2 < x < 1]일 때, [eqn: 1< 1 overx <2]이므로 [eqn: left[ 1 overx right] =1]

∴ [eqn: g(x) = 1 over3]

[eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: 1 overn+1 < x le 1 overn]일 때, [eqn: n le 1 overx <n+1]이므로 [eqn: left[ 1 overx right] = n]

∴ [eqn: g(x) = 1 overn+2]

따라서 구간 [eqn: LEFT ( 1 over2 , ``1 RIGHT )]에서 [eqn: R(g)]가 차지하는 영역의 넓이는

[eqn: 1 over2 times 1 over6 = 1 over{1cdot2cdot3}]

구간 [eqn: LEFT ( 1 overn+1 , ``1 overn RIGHT ]]에서 [eqn: R(g)]가 차지하는 영역의 넓이는

[eqn: LEFT ( 1 overn - 1 overn+1 RIGHT ) times 1 overn+2 = 1 over{n(n+1)(n+2)}]

따라서 [eqn: R(g)]의 넓이는

[eqn: sum_n=1^inf 1 over{n(n+1)(n+2)}][eqn: = 1 over2 sum_n=1^inf left{ 1 overn(n+1) - 1 over{(n+1)(n+2)} right}]
[eqn: = 1 over2 lim_n->inf LEFT ( 1 over2 - 1 over{(n+1)(n+2)} RIGHT )][eqn: = 1 over4]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {LEFT [ {1} over {x} RIGHT ] +2}][eqn: LEFT (0<x<1 RIGHT )`]

일 때, 영역 [eqn: R` LEFT ( g RIGHT ) `]의 넓이는?
(단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ] `]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 가장 큰 정수이다.)

① [eqn: {7} over {36}]	② [eqn: {2} over {9}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {5} over {18}]	⑤ [eqn: {11} over {36}]

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고2 11월 13

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표평면 위에 점 [eqn: rm P _{it n rm} `]을 다음 규칙에 따라 정한다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: rm P_{itn}]의 [eqn: y]좌표를 [eqn: y_n]이라 하면

[eqn: y _{n} =1+ {1} over {2} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + CDOTS + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} =2- {1} over {2 ^{n-1}}]이다.

[eqn: a_n][eqn: = 1 over 2 left( y_n + y_n+1 right)]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( 4- {1} over {2 ^{n-1}} - {1} over {2 ^{n}} RIGHT )]
[eqn: = 2 - 3 over 2^n+1]

이다. 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} -alpha RIGHT )]가 수렴하면 [eqn: lim _{n ``->`` inf} left( a_n - alpha right) =0]이고 [eqn: lim_{n ``->`` inf } a_n =2]이다.

따라서 [eqn: alpha = 2]

(가) 점 [eqn: rm P _{1} `]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,``1 RIGHT ) `]이다.

(나) 점 [eqn: rm P _{it n rm} `]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: n`]이다.

(다) 두 점 [eqn: rmP _{itn}], [eqn: rm P _{it n+1 rm} `]을 지나는 직선의 기울기는 [eqn: {1} over {2 ^{n}} `]이다.

두 직선 [eqn: x=n], [eqn: x=n+1`]과 선분 [eqn: rm P _{it n rm} P _{it n+1 rm}], [eqn: x`]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - alpha RIGHT ) `]가 수렴할 때, 상수 [eqn: alpha `]의 값은?

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {7} over {4}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {9} over {4}]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 11월 14

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 두 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {n} x]의 그래프는 다음과 같다.

위 그림에서 [eqn: a _{1} =2], [eqn: a _{2} =3], [eqn: a _{3} =4], [eqn: a _{4} =5], [eqn: cdots]

[eqn: THEREFORE `a _{n} =n+1]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {2} over {a _{n} TIMES a _{n+2}} = sum _{n=1} ^{INF } {2} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+3 RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {` sum _{k=1} ^{n} {2} over {LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+3 RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {` sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {k+1} - {1} over {k+3} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT { LEFT ( {1} over {2} - {1} over {4} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {5} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {4} - {1} over {6} RIGHT ) +` CDOTS ` RIGHT .}]

[eqn: LEFT . `+ LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {n+1} - {1} over {n+3} RIGHT ) ` RIGHT }]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {1} over {2} + {1} over {3} - {1} over {n+2} - {1} over {n+3} RIGHT ) `=`} {5} over {6}]

(가) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`````````````````x ^{3}&``````` LEFT ( 0 LEQ x<1 RIGHT )#`-x ^{2} +2x&``````` LEFT ( 1 LEQ x<2 RIGHT )}}]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+2 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) `]이다.

자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: y= {1} over {n} x`]와 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {2} over {a _{n} TIMES a _{n+2}} `]의 값은?

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 03월 21

수열 [eqn: left{ a_{n} right} `]에 대하여 집합

[정답] ②

[해설]

두 함수 [eqn: y=x ^{2} +2x`], [eqn: y=x ^{2} -1`]의 그래프는 그림과 같다.

자연수 [eqn: 1,~2`]는 [eqn: x=1`]일 때 [eqn: 1 ^{2} -1=0`]과

[eqn: 1 ^{2} +2 TIMES 1=3`] 사이의 수이다. 이때 [eqn: 1 IN A`]이므로 [eqn: A != EMPTYSET `]이다.

그러므로 [eqn: 1,~2`]는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항이 될 수 없다.

그런데 [eqn: a=3`]일 때, 부등식 [eqn: x ^{2} -1<a<x ^{2} +2x`]를 만족시키는 자연수 [eqn: x`]가 존재하지 않으므로 [eqn: rm A= EMPTYSET`]이다. 즉, [eqn: a`_1 =3`]

자연수 [eqn: 4], [eqn: 5`], [eqn: 6`], [eqn: 7`]은 [eqn: x`][eqn: =2`]일 때 [eqn: 2 ^{`2} -1=3`]과 [eqn: 2 ^{`2} +2 TIMES 2=8`] 사이의 수이다. 이 때 [eqn: 2 IN A`]이므로 [eqn: A != EMPTYSET `]이다. 따라서 [eqn: 4], [eqn: 5`], [eqn: 6`], [eqn: 7`]은 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의

둘째 항이 될 수 없다.

그런데 위 그림에서 [eqn: x ^{2} -1<8<x ^{2} +2x`]를 만족시키는 자연수 [eqn: x`]가 존재하지 않으므로 [eqn: a _{2} `][eqn: =8`]이다.

마찬가지로 자연수 [eqn: 9`], [eqn: 10`], [eqn: 11`], [eqn: 12`], [eqn: 13`], [eqn: 14`]는

[eqn: x`][eqn: =3`]일 때 [eqn: 3 ^{`2} -1=8`]과 [eqn: 3 ^{`2} +2 TIMES 3=15`] 사이의 수이다. 이 때 [eqn: 3 IN A`]이므로 [eqn: A != EMPTYSET `]이다.

따라서 [eqn: 9`], [eqn: 10`], [eqn: 11`], [eqn: 12`], [eqn: 13`], [eqn: 14`]는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의

셋째 항이 될 수 없다.

그런데 위 그림에서 [eqn: x ^{2} -1<15<x ^{2} +2x`]를 만족시키는 자연수 [eqn: x`]가 존재하지 않으므로 [eqn: a _{3} `][eqn: =15`]이다.

⋮

위의 과정을 통해 집합 [eqn: A`]를 공집합이 되도록 하는 자연수 [eqn: a`]는 [eqn: k ^{`2} -1`] 또는 [eqn: k ^{`2} +2k`] ([eqn: k`]는 자연수)의 값임을 알 수 있다.

그런데 [eqn: x`][eqn: =k`]([eqn: k`]는 자연수)일 때 [eqn: k ^{`2} +2k`]의 값은

[eqn: x`][eqn: =k+1`]([eqn: k`]는 자연수)일 때 [eqn: (k+1)^{`2} -1`]의 값과

같고, [eqn: x`][eqn: =1`]일 때, [eqn: 1^2 -1`][eqn: =0`]은 자연수가 아니므로 [eqn: x`][eqn: =k`]([eqn: k`]는 자연수)일 때 [eqn: k^{`2} +2k`]인 자연수를 나열하면 된다.

따라서 [eqn: n`]번째 나열된 수는 [eqn: n^{`2} + 2n`]이므로

[eqn: a_{`n}`][eqn: = n^{`2} +2n`]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a _{n}}`][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } {1} over {n(n+2)}`][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } {1} over {2} LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT )`][eqn: = lim _{n -> INF } {{1} over {2} left{ LEFT ( {1} over {1} - {1} over {3} right) + left( {1} over {2} - {1} over {4} right) + left( {1} over {3} - {1} over {5} right) + CDOTS `]

[eqn: + left( {1} over {n-1} - {1} over {n+1} right) + left( {1} over {n} - {1} over {n+2} right) RIGHT } ``}`][eqn: = lim _{n -> INF } {{1} over {2} LEFT ( {1} over {1} + {1} over {2} - {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT ) ``} `]

[eqn: = {{1} over {2} LEFT ( {1} over {1} + {1} over {2} -0-0 RIGHT ) ``} `][eqn: = 3 over 4`]

[다른풀이]

[eqn: x^2 -1 <a<x^2 +2x]를 정리하면

[eqn: x^2 <a+1<x^2 +2x+1]

[eqn: x^2 <a+1<(x+1)^2]

[eqn: a+1`]이 자연수 [eqn: x`]에 대해 [eqn: x ^{2} `] 또는 [eqn: (x+1) ^{2} `]이면 부등식 [eqn: x^2 -1 <a<x^2 +2x]의 해 중 자연수는 존재하지 않으므로 [eqn: A`]가 공집합이다.

이 때, [eqn: a+1=k ^{2} `]([eqn: k`]는 [eqn: 2`] 이상의 자연수)를 만족시키는 자연수 [eqn: a`]를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것이 수열 [eqn: left{ a_{`n} right} `]이다.

따라서　[eqn: sum _{n=1`} ^{INF } {1} over {a _{n}}`][eqn: = sum _{k=2} ^{INF } {1} over {k^{`2} -1}`]

[eqn: = sum _{k=2} ^{INF } 1 over 2 left( 1 over{k-1} - 1 over k+1 right)][eqn: = 3 over 4`]

[eqn: A`= LEFT { x LEFT | x ^{2} -1<a<x ^{2} +2x RIGHT.], [eqn: x`]는 자연수[eqn: LEFT. ` RIGHT }][eqn: }`]

가 공집합이 되도록 하는 자연수 [eqn: a`]를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: n`]번째 수를 [eqn: a _{n} `]이라 하자.
예를 들어, [eqn: a=3`]은 [eqn: x^2 -1 <a<x^2 +2x`]를 만족시키는 자연수 [eqn: x`]가 존재하지 않는 첫 번째 수이므로 [eqn: a_1 =3`]이다. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a _{n}} `]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 06월 29

자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +nx][eqn: LEFT ( x GEQ 0 RIGHT ) `]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]라 하고, 직선 [eqn: y=`-x+n+2`]와 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 만나는 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]라 하자. 삼각형 [eqn: rmPOQ`]의 넓이를 [eqn: S` _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {50} over {S` _{n}} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.)

[정답] [eqn: 75]

[해설]

점 [eqn: rmP`]는 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프와 직선

[eqn: y=-x+n+2`]와의 교점이다.

[eqn: x ^{2} +nx=-x+n+2]

[eqn: x ^{2} +(n+1)x-(n+2)=0`]

[eqn: (x-1)(x+n+2)=0`]

[eqn: x=1```( BECAUSE x GEQ 0)`]

따라서 [eqn: rmP(it1,```n+1)`]이다. 점 [eqn: rmQ`]는 점 [eqn: rmP`]와 직선 [eqn: y=x`]에 대한

대칭인 점이므로

[eqn: rm Q(itn+1,```1)`]

이다. 그러므로 [eqn: {bar{rmPQ}} & = sqrt {LEFT { (n+1)-1 RIGHT } ^{2} + LEFT { 1-(n+1) RIGHT } ^{2}}# # & = sqrt {2n ^{2}}# # & = sqrt {2} `n]

이고 점 [eqn: rmO`]에서 직선 [eqn: y=-x+n+2`]까지의 거리([eqn: d])는

[eqn: d= {LEFT | n+2 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}}} = {n+2} over {sqrt {2}} `]

이다. 따라서 삼각형 [eqn: rmPOQ`]의 넓이 [eqn: S _{n} `]은

[eqn: S _{n} = {1} over {2} times {n+2} over {sqrt {2}} times sqrt {2} n= {n(n+2)} over {2} `]

이다. 그러므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {50} over {S _{n}} & =50 sum _{n=1} ^{INF } ` {2} over {n(n+2)}# & =50 sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT )# & =50 lim _{n` -> ` INF } {} LEFT { LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {4} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {5} RIGHT ) + CDOTS ` RIGHT .# & LEFT . ~~~~~~~~~~ CDOTS + LEFT ( {1} over {n-1} - {1} over {n+1} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT ) RIGHT }# & =50 TIMES {3} over {2}# & =75]

[다른 풀이]

삼각형 [eqn: rmPOQ`]의 넓이를 다음과 같이 구할 수도 있다.

(삼각형 [eqn: rmPOQ`]의 넓이)

[eqn: =] (삼각형 [eqn: rm OAB`]의 넓이)[eqn: -][eqn: 2`](삼각형 [eqn: rm OAQ`]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} (n+2) ^{2} -2 TIMES LEFT { {1} over {2} TIMES (n+2)times1 RIGHT }]

[eqn: = {n(n+2)} over {2}]

06 미적	02 급수
03 급수의 활용
04 등비급수의 활용1 (대수 및 방부등식)

[출처]	2004 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 20
[출처]	2004 모의_공공 평가원 고3 09월 20

다음 등식을 만족하는 소수 [eqn: p`]는 [eqn: 2`]개 존재한다.

[정답] [eqn: 12]

[해설]

[eqn: sum from n=1 to inf left(a over 6^2n-1 + b over 6^2n right)][eqn: =left(a over 6 + a over 6^3 + a over 6^5 +… right)][eqn: +left(b over 6^2 + b over 6^4 + b over 6^6 +… right)]

[eqn: = a over 6 over {1- 1 over 6^2} + b over 6^2 over {1- 1 over 6^2}][eqn: = 6a+b over {6^2 -1}][eqn: = 6a+b over 35][eqn: = 1 over p]

∴ [eqn: p= 35 over 6a+b][eqn: = 5×7 over 6a+b]

따라서, [eqn: p]는 소수이므로 [eqn: 6a+b=7]일 때 [eqn: p=5]이고, [eqn: 6a+b=5]일 때 [eqn: p=7]이다. ∴ [eqn: 5+7=12]

[eqn: {1} over {p} = sum _{n=1 } ^{INF } LEFT ( {a} over {6 ^{2n-1}} + {b} over {6 ^{2n}} RIGHT )][eqn: ={a} over {6} + {b} over {6 ^{2}}+ {a} over {6 ^{3}} + {b} over {6 ^{4}} + `CDOTS`]
(단, [eqn: 0 LEQ a<6], [eqn: 0 LEQ b<6], [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 정수이다.)

위 등식을 만족하는 두 소수의 합을 구하시오.

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 07월 21

[eqn: log _{`10} `x= LEFT [ log _{`10} `x RIGHT ] `]를 만족하는 [eqn: 0<x<1`]인 모든 [eqn: x`]값들의 합을 [eqn: S``]라 할 때, [eqn: 99S``]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ] `]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수)

[정답] [eqn: 11]

[해설]

[eqn: log _{10} `x=left[log _{10} ` {x} right]`]이므로 [eqn: log _{10} `x`]의 가수는 [eqn: 0`]이다. 따라서 [eqn: log _{10} `x=n]([eqn: n`]은 음의 정수)

따라서 [eqn: x= {1} over {10} `,``` {1} over {10 ^{2}} `,``` {1} over {10 ^{3}} `,``` CDOTS `,``` {1} over {10 ^{n}} `,``` CDOTS]

[eqn: S= {1} over {10} + {1} over {10 ^{2}} + {1} over {10 ^{3}} +` CDOTS `+ {1} over {10 ^{n}} `+` CDOTS `= {{1} over {10}} over {1- {1} over {10}} = { 1} over { 9}]

∴ [eqn: `99S=11]

[출처]	2008 모의_공공 사관학교 고3 07월 20
[출처]	2008 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =log _{`2} `x`]라 할 때, [eqn: 0＜x＜1`]에서 방정식

[정답] ④

[해설]

로그함수의 개형을 이용하면 [eqn: 0<x<1``]인 경우에 함수 [eqn: f(x)``]의 범위는 [eqn: f(x)<0``]이다.

주어진 방정식이 성립하기 위해서

[eqn: left[``f(x) over {[``f(x)``]}``right]=1``], [eqn: 1<= f(x) over {[``f(x)``]}<2``][eqn: cdots``](1)

[eqn: f(x)<0``]이므로 [eqn: f(x)``]가 정수가 아닌 경우에 [eqn: [``f(x)``]<f(x)``]이고 [eqn: 0<{f(x)} over {[``f(x)``]}<1``]이다. 따라서 부등식 (1)의 해는 [eqn: f(x)=log_2``x``]가 정수일 때, 즉

[eqn: x= 1 over 2 ,```1 over 4 ,```1 over 8 ,```cdots``]

[eqn: therefore`````][eqn: a_n = 1 over 2^n``]

[eqn: therefore`````][eqn: sum_{n=1}^{inf}``a_n =sum_{n=1}^{inf}``1 over 2^n = {1 over 2 } over {1- 1 over 2}=1``]

[eqn: log _{`2} ` LEFT [ {f LEFT (x RIGHT )} over {LEFT [ f LEFT (x RIGHT ) RIGHT ]} RIGHT ] =0`]

을 만족시키는 모든 [eqn: x`]의 값을 가장 큰 수부터 차례대로 나열한 것을 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}],[eqn: `CDOTS `]이라 하자. 이 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} `]의 값은?
(단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ] `]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고2 11월 10

[eqn: 3times2 ^{n}] ([eqn: n`]은 자연수)의 모든 양의 약수

[정답] ④

[해설]

[eqn: 3․2 ^{n}]의 양의 약수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2 ^{2}], [eqn: CDOTS],[eqn: 2 ^{n}],

[eqn: 3], [eqn: 3․2], [eqn: 3․2 ^{2}], [eqn: CDOTS], [eqn: 3․2 ^{n}]이므로

[eqn: S(n)= LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {2 ^{2}} + CDOTS + {1} over {2 ^{n}} RIGHT )][eqn: + LEFT ( {1} over {3} + {1} over {3․2} + {1} over {3․2 ^{2}} + CDOTS + {1} over {3․2 ^{n}} RIGHT )]

[eqn: lim _{n-> INF } {S(n)= {1} over {1- {1} over {2}}} + {{1} over {3}} over {1- {1} over {2}} = {8} over {3}]

[eqn: p _{1}], [eqn: p _{2}], [eqn: p _{3}],[eqn: `CDOTS`], [eqn: p _{2n+2}]

에 대하여 [eqn: S` LEFT ( n RIGHT ) = sum _{k=1} ^{2n+2} {1} over {p _{k}} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S` LEFT ( n RIGHT )} `]의 값은?

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: {10} over {3}]

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고2 09월 29

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 2 ^{n}] 이하의 자연수 중에서 [eqn: 2 ^{n} `]과 서로소인 모든 자연수의 합을 [eqn: S` it _{n} `]이라 하자. 이 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {9} over {S ` _{itn} } `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 12]

[해설]

[eqn: S it _{n} =left{1+2+3+` CDOTS `+(2 ^{n} -1)+2 ^{n} `right}][eqn: -left{`2+4+6+` CDOTS +(2 ^{n} -2)`+2 ^{n} `right}][eqn: = {2 ^{n} LEFT ( 1+2 ^{n} RIGHT )} over {2} ```-`` {2 ^{n-1} LEFT ( 2+2 ^{n} RIGHT )} over {2}]

[eqn: =2 ^{n-1} LEFT ( 2 ^{n} -2 ^{n-1} RIGHT ) =4 ^{n-1}][eqn: THEREFORE][eqn: sum _{n=1} ^{INF } {9} over {S it rm _{n} it} = {9} over {1- {1} over {4}} =12`]

06 미적	02 급수
03 급수의 활용
05 등비급수의 활용2 (함수 및 도형)

[출처]	2004 모의_공공 평가원 고3 09월 10

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} = {1} over {2 ^{n}} `]에 대하여 기울기가 [eqn: -1`]이고 제 [eqn: 1`]사분면을 지나는 접선이 [eqn: x`]축과 만나는 점의 좌표를 [eqn: LEFT ( a _{n} ,``0 RIGHT ) `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1 } ^{INF } a _{n}`]의 값은?

[정답] ②

[해설]

기울기가 -1이고, 점 ([eqn: a_n `], 0)을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y=-(x-a_n )], [eqn: x+y-a_n =0]	…………… ㉠

원 [eqn: x^2 + y^2 = 1 over 2^n]이 직선 ㉠과 접하므로 원의 중심

(0, 0)에서 직선 ㉠과의 거리는 원의 반지름의 길이와 같다. [eqn: {|-a_n |} over {root{1^2 +1^2}} = root {1 over 2^n}] ∴ [eqn: a_n = root2 ․ root{1 over 2^n }= root{1 over 2^n-1 }]

∴ [eqn: SUM from { {n}=1} to inf a_n = SUM from { {n}=1} to inf root{1 over 2^ n-1}][eqn: = 1+root {1 over 2} + root {1 over 2^2}][eqn: + root{1 over 2^3 } +…]

[eqn: = 1 over {1 - 1 over root2}][eqn: = 1 over {{2-root2} over 2}][eqn: = 2+root2]

① [eqn: 2]	② [eqn: 2+ sqrt {2}]	③ [eqn: 2 sqrt {2}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 4+ sqrt {2}]

[출처]	2004 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 16
[출처]	2004 모의_공공 평가원 고3 06월 16

한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정삼각형 [eqn: \ABC `]가 있다. 양수 [eqn: r`]에 대하여 점 [eqn: rm P _{itn} `]을 다음 규칙에 따라 정한다.

[정답] ②

[해설]

ㄱ. [eqn: r `=2`]이면, 점[eqn: \P _2 ``]는 꼭지점 [eqn: \C``]이고,

점 [eqn: \P_3 ``]는 꼭지점 [eqn: \B`~]이다.

ㄴ. [eqn: r`={`4``} over {`5``}]이면, 점[eqn: \P_2 ``]는 점 [eqn: \A``= \P_1``]에서 [eqn: { 4} over {5 } ``]되는 지점의 점이고, 점[eqn: \P_3``]는 앞의 점에서 [eqn: LEFT ( { 4} over { 5} RIGHT ) ^2``]되는 지점의 점이다. 계속하면 점[eqn: \P_n``]이 움직인 거리는

[eqn: { 4} over { 5} + LEFT ( { 4} over {5 } RIGHT ) ^2 + LEFT ( { 4} over {5 } RIGHT ) ^3 + CDOTS = { { 4} over {5 } } over {1- { 4} over {5 } } =4``](즉, 점[eqn: \B``])에 가까이 가므로 변[eqn: \CA``]위에 [eqn: S``]의 원소는 유한개이다.

ㄷ. [eqn: 0`＜r``＜ {`1``}over{`2``}]이면, 점[eqn: \P_2 ``]는 점 [eqn: \A``= \P_1``]에서 [eqn: r``]되는 지점의 점이고, 점[eqn: \P_3``]는 앞의 점에서 [eqn: r ^2``]되는 지점의 점이다. 계속하면 점[eqn: \P_n``]이 움직인 거리는 [eqn: r+r^2 +r^3 + CDOTS = { r} over { 1-r} ``][eqn: LEFT ( 0< { r} over {1-r }<1 RIGHT ) ~~]

(즉, 점[eqn: \B``])이므로 변 [eqn: \AB`] 위에 [eqn: S ``]의 원소가 무수히 많다.

(가) 점 [eqn: {rmP} _{1} `]은 꼭짓점 [eqn: rmA`]이다.

(나) 점 [eqn: {rmP} _{n+1} `]은 점 [eqn: rm P _{itn} `]에서 정삼각형 [eqn: rmABC`]의 변을 따라 시계 반대 방향으로 [eqn: r ^{n} `]만큼 이동한 점이다.

집합 [eqn: S``]를 [eqn: S`= LEFT { P` _{n} LEFT | n` RIGHT .]은 자연수[eqn: LEFT. ` RIGHT }]라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: r=2`]이면, 점 [eqn: rm P _{3} `]은 꼭짓점 [eqn: rmC `]이다. ㄴ. [eqn: r= {4} over {5} `]이면, 변 [eqn: rm CA] 위에 [eqn: S` `]의 원소가 무수히 많다. ㄷ. [eqn: 0<r< {1} over {2} `]이면, 변 [eqn: rm AB] 위에 [eqn: S ``]의 원소가 무수히 많다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 03월 22

[eqn: x _{0} =1], [eqn: x _{1} = {3} over {4}], [eqn: x _{2} = {5} over {8}],[eqn: `CDOTS`], [eqn: x _{n} = {2 ^{n} +1} over {2 ^{n+1}}],[eqn: `CDOTS` `]에 대하여 좌표평면 위에 점 [eqn: rm P _{0} LEFT (1,`` 1 RIGHT ) `]과 [eqn: rm P _{it n rm} LEFT ( it x _{n} ,`` x _{n} ^{2} RIGHT )], [eqn: rm Q _{it n rm} LEFT ( it x _{n-1} ,`` x _{n} ^{~2} RIGHT )][eqn: LEFT ( n=1,`` 2,`` 3,` CDOTS` RIGHT ) `]을 그림과 같이 나타낸다. 무한급수 [eqn: rmbar{P _{0} Q _{1} it} + bar{Q _{1} P _{1} it} + bar{P _{1} Q _{2} it} + bar{Q _{2} P _{2} it} + bar{P _{2} Q _{3} it} + `CDOTS` `]의 합을 [eqn: S` `]라 할 때 [eqn: 100S` `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 125]

[해설]

[eqn: S= sum _{n=0} ^{INF } bar{{\ P} it _{n} {\ Q} _{n+1}} ``+ sum _{n=1} ^{INF } bar{{\ Q} _{n} {{\P}} _{n}} ```]이고,

[eqn: x _{n} = {1} over {2} + {1} over {2 ^{n+1}} ``]이므로

[eqn: sum _{n=0} ^{INF } bar{{\ P} _{n} {\ Q} _{n+1}} ``= sum _{n=0} ^{INF } (x _{n} ` ^{2} -x _{n+1} ` ^{2} `)``]

[eqn: = sum _{n=0} ^{INF } ` LEFT ( {1} over {2 ^{n+2}} `+` {3} over {4 ^{n+2}} RIGHT ) ``]

[eqn: = {{1} over {4}} over {1- {1} over {2}} + {{3} over {16}} over {1- {1} over {4}}= {1} over {2} + {1} over {4} = {3} over {4}]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } bar{{\ Q} _{n} {\ P} _{n}} ``= sum _{n=1} ^{INF } (x _{n-1} `-x _{n} `)``= sum _{n=1} ^{INF } {1} over {2 ^{n+1}} ``][eqn: = {{1} over {4}} over {1- {1} over {2}} = {1} over {2}]

따라서, [eqn: S= {3} over {4} + {1} over {2} = {5} over {4}]이므로 [eqn: 100S=125``]

[출처]	2008 모의_공공 경찰대 고3 07월 24

함수 [eqn: f(x)={1} over {2} left(3^{x}-3^{-x} right)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 다음을 만족시키는 [eqn: x]의 값 전체의 곱은?

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: f(x)={1} over {2} left(3^{x}-3^{-x} right)]의 역함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x={1} over {2} left(3^{y}-3^{-y} right)]이므로

[eqn: 2 x=3^{y}-{1} over {3^{y}}]

[eqn: 3^{2 y}-2 x cdot 3^{y}-1=0]

[eqn: 3^{y}]를 [eqn: t]로 치환하면 [eqn: t^{2}-2 x t-1=0]

[eqn: t=x +- sqrt{x^{2}+1}]

[eqn: therefore~3^{y}=x+ sqrt{x^{2}+1} ~ left( because 3^{y}>0 right)]

[eqn: therefore~g(x)= log _{3} left(x+ sqrt{x^{2}+1} right)]

그런데,

[eqn: g(-x)][eqn: = log _{3} left(-x+ sqrt{x^{2}+1} right)]
[eqn: = log _{3} { left(-x+ sqrt{x^{2}+1} right) left(x+ sqrt{x^{2}+1} right)} over {x+ sqrt{x^{2}+1}}]
[eqn: = log _{3} {1} over {x+ sqrt{x^{2}+1}}]
[eqn: =- log _{3} left(x+ sqrt{x^{2}+1} right)=-g(x)]이므로

[eqn: g(x) cdot g(-x)=g(x) cdot left{ -g(x) it right} =- left{ g(x) it right} ^{2}]

따라서 [eqn: sum_{n=1}^{ inf } left{ g(x) cdot g(-x) it right} ^{n}={- left{ g(x) it right} ^{2}} over {1+ left{ g(x) it right} ^{2}}=-{1} over {5}]

[eqn: 5 left{ g(x) it right} ^{2}=1+ left{ g(x) it right} ^{2}]

[eqn: g(x)= +- {1} over {2}]

즉, [eqn: g(x)]는 함수 [eqn: f(x)]의 역함수이므로 [eqn: f left( +- {1} over {2} right)=x]의 값을 구하면 된다.

따라서 [eqn: f left( +- {1} over {2} right)= +- {1} over { sqrt{3}}]이므로 조건을 만족시키는 [eqn: x]의 값 전체의 곱은

[eqn: -{1} over { sqrt{3}} times {1} over { sqrt{3}}=-{1} over {3}]이다.

[eqn: sum_{n=1}^{ inf } left{ g(x) g(-x) it right} ^{n}=-{1} over {5}]

① [eqn: -{1} over {5}]	② [eqn: -{1} over {4}]	③ [eqn: -{1} over {3}]

④ [eqn: -{1} over {2}]	⑤ [eqn: -1]

[출처]	2011 모의_공공 경찰대 고3 07월 13

점 [eqn: {rm{A}} it _{n}]의 좌표가 [eqn: left( left({3} over {4} right)^{n} cos {n pi} over {3},`` left({3} over {4} right)^{n} sin {n pi} over {3} right)]일 때, [eqn: sum_{n=1}^{ inf } overline{{rm{A}} it _{n} {rm{A}} it _{n+1}}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: overline{{rm{OA}} it _{n}}= left({3} over {4} right)^{n}]이고 [eqn: angle {rm{A}} it _{n} {rm{OA}} it _{n+1}={ pi} over {3}]이므로

삼각형 [eqn: {rm{OA}} it _{n} {rm{A}} it _{n+1}]에서 코사인정리를 이용하면

[eqn: overline{{rm{A}} it _{n} {rm{A}} it _{n+1}}= left({3} over {4} right)^{2 n}+ left({3} over {4} right)^{2 n+2}-2 left({3} over {4} right)^{2 n+1} cos { pi} over {3}={13} over {16} left({3} over {4} right)^{2 n}]

[eqn: therefore~ overline{{rm{A}} it _{n} {rm{A}} it _{n+1}}={ sqrt{13}} over {4} left({3} over {4} right)^{n}]

[eqn: sum_{n=1}^{ inf } overline{{rm{A}} it _{n} {rm{A}} it _{n+1}}= sum_{n=1}^{ inf } { sqrt{13}} over {4} left({3} over {4} right)^{n}={{3 sqrt{13}} over {16}} over {1-{3} over {4}}={3 sqrt{13}} over {4}]

① [eqn: {3 sqrt{13}} over {4}]	② [eqn: sqrt{13}]	③ [eqn: {5 sqrt{13}} over {4}]

④ [eqn: {3 sqrt{13}} over {2}]	⑤ [eqn: {7 sqrt{13}} over {4}]

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 07월 16
[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 07월 16

그림과 같이 중심이 [eqn: rm A LEFT ( 0,``1 RIGHT )`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 위의 점 [eqn: rm P _{it n} `]과 [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rm Q it rm _{itn} `]은 다음 규칙을 만족한다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: ANGLE rm P _{it n-1 rm} AP _{it n rm} = theta _{it n rm}]이라 하면 [eqn: l _{n} = theta _{n}]이고

㈏에 의하여 [eqn: theta _{n} = theta _{1} `r ^{n-1}]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n} = sum _{n=1} ^{INF } theta _{n} = {theta _{1}} over {1-r} = {8} over {15} pi][eqn: cdots]①

㈐에 의하여 [eqn: theta _{1} (1+r)= {pi } over {2}][eqn: cdots]②

따라서 ①, ②에 의하여 [eqn: r= {1} over {4}]

(가) 점 [eqn: rm P it rm _{0} `]은 원점이고, 점 [eqn: rm P _{it n rm} `]은 제 [eqn: 1`]사분면의 점이다.

(나) 호 [eqn: rm P _{it n-1 rm} rm P _{it n rm} `]의 길이를 [eqn: l _{n} `]이라 할 때, [eqn: l _{n+1} =rl _{n} `]이다.

(다) 점 [eqn: rm Q it rm _{itn} `]은 점 [eqn: rm B LEFT ( 0,``2 RIGHT ) `]와 점 [eqn: rm P _{it n rm} `]을 이은 직선이 [eqn: x`]축과 만나는 점이다.

[eqn: rm Q _{2}][eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT ) `]이고 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n} = {8} over {15} pi `]일 때, 상수 [eqn: r`]의 값은?

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[출처]	2014 모의_공공 경찰대 고3 07월 10

[eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rm A it rm _{itn} LEFT ( x _{itn} ,``0 RIGHT ) `]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{2} `]의 그래프 위의 점 [eqn: rm B it rm _{itn} LEFT ( x _{itn} ,``f LEFT ( x _{itn} RIGHT ) RIGHT ) `]에서 접선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm A it rm _{itn+1} LEFT (x _{itn+1} ,``0 RIGHT )`]이라 하자. 삼각형 [eqn: {rmA}_n {rmB}_n {rmA}_n+1`]의 넓이를 [eqn: S` _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S ` _{n}`]의 값은? (단, [eqn: x _{1} =1`])

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f`'(x)=8x]이므로

[eqn: f(x)=4x^2]의 그래프 위의 점 [eqn: {rmB}_n (x_n , ``f(x_n ))]에서 접선의 방정식은

[eqn: y = 8x_n (x-x_n ) +4x_n ^2]

따라서 [eqn: 0=8x_n (x_n+1 -x_n ) +4x_n ^2]에서

[eqn: x_n+1 = 1 over2 x_n]

∴ [eqn: x_n = LEFT ( 1 over2 RIGHT )^n-1] (∵ [eqn: x_1 =1])

∴ [eqn: S_n][eqn: = 1 over2 LEFT ( x_n over2 RIGHT ) 4x_n^2][eqn: = LEFT ( 1 over8 RIGHT )^n-1]

∴ [eqn: sum_n=1^inf S_n][eqn: = { 1} over { 1- 1 over8}][eqn: = 8 over7]

① [eqn: {4} over {3}]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: {6} over {5}]

④ [eqn: {7} over {6}]	⑤ [eqn: {8} over {7}]

06 미적	02 급수
03 급수의 활용
06 등비급수의 활용3 (실생활)

[출처]	2004 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 17
[출처]	2004 모의_공공 교육청 고3 10월 17

어느 장학재단은 [eqn: 14`]억 원의 기금을 조성하였다. 매 년 초에 기금을 운용하여 연말까지 [eqn: 20`%`]의 이익을 내고, 기금과 이익을 합한 금액의 [eqn: 40`%`]를 매년 말에 장학금으로 지급하려 한다. 장학금으로 지급하고 남은 금액을 기금으로 하여 기금의 운용과 장학금의 지급을 매년 이와 같은 방법으로 실시할 계획이다. 이 계획대로 해마다 지급한 장학금의 총액의 극한값은? (단, 단위는 억 원이다.)

[정답] ①

[해설]

지급되는 장학금의 총액의 극한값은 첫째항이 [eqn: 14 × 6 over 5 × 2 over 5 ``], 공비가 [eqn: 6 over 5 × 3 over5``]인 무한등비급수이므로 [eqn: {14 × 6 over 5 × 2 over 5} over {1- 6 over 5 × 3 over5``}``][eqn: = {{14×12} over 25 } over {1- 18 over 25}``][eqn: = 24] (억 원)

① [eqn: 24]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 32]

[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 17
[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 07월 17

[eqn: K``]보험사에는 다음과 같은 종신연금 상품이 있다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: 2015]년 초 원리합계는 [eqn: 10 ^{8} `` TIMES ``(1+0.05) ^{10}] (원)

매년 [eqn: rm A]원 씩 연금을 받는다고 할 때, [eqn: 2015]년을 기준으로 했을 때의 가치는 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm {A} over {1+0.05}], [eqn: rm {A} over {LEFT ( 1+0.05 RIGHT ) ^{2}}], …

이다. 따라서 [eqn: rm {A} over {1- {1} over {1.05}} =10 ^{8} `` TIMES ``1.05 ^{10}]에서

[eqn: rm A=10 ^{8} `` TIMES ``1.05 ^{10} `` TIMES `` {0.05} over {1.05} `][eqn: =10 ^{8} `` TIMES ``1.05 ^{9} `` TIMES ``0.05`]

[eqn: =7,750,000`]

◦ 최초 가입 시 단 한번 납입한 [eqn: 1`]억 원을 연이율 [eqn: 5%`], [eqn: 1`]년 단위의 복리로 계산하여 [eqn: 10`]년 후의 원리합계를 연금 준비금으로 한다.

◦ 가입하여 [eqn: 10`]년이 지난 후부터 매년 [eqn: A``]원씩 연금을 영구히 받는다.

◦ [eqn: n`]번째의 연금 [eqn: A``]원을 연금 지급이 시작된 해의 가치로 환산하면 [eqn: {rm A it} over {LEFT ( 1+0.05 RIGHT ) ^{n-1}} `]원이다.

◦ 매년 받을 수 있는 연금을 연금 지급이 시작된 해의 가치로 환산하여 모두 더한 금액이 연금 준비금과 같아지도록 한다.

[eqn: 2005`]년 초에 이와 같은 종신연금에 가입했을 때, [eqn: 2015`]년 초부터 매년 받을 수 있는 연금액은?
(단, [eqn: 1.05 ^{9} =1.55`]로 계산한다.)

① [eqn: 675]만원	② [eqn: 725]만원	③ [eqn: 775]만원

④ [eqn: 825]만원	⑤ [eqn: 875]만원

06 미적	02 급수
03 급수의 활용
07 등비급수의 활용4 (급수로 정의된 함수)

[출처]	2011 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

함수

[정답] ④

[해설]

[eqn: x=0]일 때, [eqn: f(x)=0]

[eqn: x!=0]일 때, [eqn: 0< 9 over9+x^2p <1]이므로

[eqn: f(x)][eqn: = sum_n=1^inf { 9^n x^18} over { (9+x^2p )^n}]
[eqn: =x^18 times sum_n=1^inf LEFT ( { 9 } over { 9+x^2p } RIGHT )^n]
[eqn: = x^18 times{ { 9} over {9+x^2p } } over { 1- { 9} over { 9+x^2p} }]
[eqn: =x^18 times { 9} over { x^2p}][eqn: = 9 x^2(9-p)]

[eqn: lim_x->0 f(x)=0]이려면 [eqn: 9-p >0] 즉, [eqn: p<9]이어야 한다.

따라서 자연수 [eqn: p]는 [eqn: 1], [eqn: 2], ⋯ , [eqn: 8]의 총 [eqn: 8]개다.

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= sum _{n=1} ^{INF } {9 ^{n} x ^{18}} over { LEFT (9+x ^{2p} RIGHT ) ^{n}}]

에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 실수전체의 집합에서 연속이기 위한 자연수 [eqn: p`]의 개수는?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[준킬러][미적] 2급수2(빠른 정답)
준킬러미적	2023.01.06

[정답] ②

[정답] [eqn: 11]

[정답] ②

[정답] ①

[정답] [eqn: 18]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] [eqn: 15]

[정답] [eqn: 19]

[정답] [eqn: 450]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 30]

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] [eqn: 103``]

[정답] ③

[정답] [eqn: 12]

[정답] ①

[정답] [eqn: 19]

[정답] [eqn: 75]

[정답] [eqn: 75]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] [eqn: 75]

[정답] [eqn: 12]

[정답] [eqn: 11]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] [eqn: 12]

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: 125]

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ④

[준킬러][미적] 2급수2(해설)
준킬러미적	2023.01.06