	준킬러미적	[준킬러][미적] 6적분법
	05
		준킬러미적	2023.01.06

06 미적	11 부정적분
01 여러 가지 함수의 부정적분
05 여러 가지 함수5 (구간정의함수)

준킬러미적		준킬러미적
		[준킬러][미적] 6적분법
05

	준킬러미적		준킬러미적
	[준킬러][미적] 6적분법		05

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 10월 17
[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 10월 17

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하므로 [eqn: x=0]에서 연속이다.

조건 (가)에서

[eqn: f(0)= lim _{x ``->`` 0+} { f(x)= lim _{x ``->`` 0+} { LEFT ( axe ^{2x} +bx ^{2} RIGHT ) =0}}]

조건 (나)에서 임의의 [eqn: x _{1}]([eqn: x _{1} <0])에 대하여

[eqn: f prime LEFT ( x _{1} RIGHT ) = lim _{x ``->`` x _{1}} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x _{1} RIGHT )} over {x-x _{1}}}][eqn: = lim _{x ``->`` x _{1}} {3}][eqn: =3]

이므로 [eqn: x<0]일 때 [eqn: f '(x) = 3]이고

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {3} dx][eqn: =3x+C] ([eqn: C]는 적분상수)

[eqn: lim _{x ``->`` 0-} { f(x)=C=f(0)=0}]이므로 [eqn: x<0]일 때 [eqn: f(x) = 3x]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하므로

[eqn: lim _{x ``->`` 0+} {{f(x)-f(0)} over {x - } = lim _{x ``->`` 0-} { {f(x)-f(0)} over {x - }}}]

[eqn: lim _{x ``->`` 0+} {{f(x)-f(0)} over {x - }}][eqn: = lim _{x ``->`` 0+} { {axe ^{2x} +bx ^{2}} over {x}}]
[eqn: = lim _{x ``->`` 0+} { LEFT ( ae ^{2x} +bx RIGHT )}][eqn: =a]

[eqn: lim _{x ``->`` 0-} { {f(x)-f(0)} over {x - }}][eqn: = lim _{x ``->`` 0-} { {3x} over {x} =3}]

이므로 [eqn: a=3]이다.

[eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {3e} over {2} + {b} over {4} =2e]에서 [eqn: b= it 2e]이므로

[eqn: f(x)= {cases{ `````````````````` 3x && &(x LEQ 0) _{ }# 3xe ^{2x} +2ex ^{2 ^{ }}&&&(x>0) ^{ }}}]이고

[eqn: f` prime (x)= {cases{ ```````````````````````````````` 3 && &(x LEQ 0) _{ }# 3e ^{2x} +6xe ^{2x} +4ex &&&(x>0) ^{ }}}]

이므로 [eqn: f ` prime LEFT ( {1} over {2} RIGHT )][eqn: = 3e+3e+2e][eqn: =8e]

(가) [eqn: x>0]일 때, [eqn: f(x)=axe ^{2x} +bx ^{2}]

(나) [eqn: x_1 <x_2 <0]인 임의의 두 실수 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여
[eqn: f LEFT ( x _{2} RIGHT ) -f LEFT ( x _{1 } RIGHT ) =3x _{2} -3x _{1}]

[eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =2e]일 때, [eqn: f prime LEFT ( {1} over {2} RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a ,```` b]는 상수이다.)

① [eqn: 2e]	② [eqn: 4e]	③ [eqn: 6e]

④ [eqn: 8e]	⑤ [eqn: 10e]

06 미적	11 부정적분
03 부정적분의 활용
03 함수 구하기3 (미분법의 역)

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 07월 19

구간 [eqn: LEFT ( 0 ,`` inf RIGHT )`]에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]의 한 부정적분을 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT )`]라 할 때, 함수 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: F(x)+xf(x)=F(x)+xF`` prime (x)= LEFT { xF`(x) RIGHT } ` prime]

주어진 식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 적분하면

[eqn: xF`(x)= int _{} ^{} {(2x+2)e ^{x} dx}]

[eqn: =(2x+2)e ^{x} - int _{} ^{} {2e ^{x} dx}]

[eqn: =(2x+2)e ^{x} -2e ^{x} +C]

[eqn: =2xe ^{x} +C] ([eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: F`(1)=2e]이므로

[eqn: F`(1)=2e+C=2e]에서 [eqn: C=0]

[eqn: F(x)=2e ^{x}]

따라서 [eqn: F`(3)=2e ^{3}]

(가) 모든 양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) +xf LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2x+2 RIGHT ) e ^{x} `]

(나) [eqn: F` LEFT ( 1 RIGHT ) =2e`]

[eqn: F` LEFT ( 3 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: { 1} over { 4}e^3]	② [eqn: { 1} over { 2}e^3]	③ [eqn: e^3]

④ [eqn: 2e^3]	⑤ [eqn: 4e^3]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 10월 16

연속함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다. [eqn: LEFT { f LEFT (1 RIGHT ) RIGHT } ^{ 3} `]의 값은?

[정답] ②

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: "{"f(x)"}" ^{`2} f`'(x) = 2x over {x^{`2} +1}]의 양변을 각각 [eqn: x`]에 대하여 적분하면

[eqn: int _{} ^{} {} ` LEFT { f(x) RIGHT } ^{`2} f` prime (x)`dx``][eqn: = int _{} ^{} {} {2x} over {x ^{`2} +1} dx]

[eqn: f(x) =t`]라 할 때 [eqn: f`'(x) = dt over dx]이므로

[eqn: int _{} ^{} {} ` LEFT { f(x) RIGHT } ^{`2} f` prime (x)`dx][eqn: = int _{} ^{} {} t ^{`2} `dt][eqn: = {1} over {3} t ^{`3} +C _{1}]
[eqn: = 1 over 3left{f(x)`right} ^{`3} +C_1] ([eqn: C_1]은 적분상수)

[eqn: int _{} ^{} {} {2x} over {x ^{`2} +1} dx][eqn: =`ln(x ^{`2} +1)+`C _{2}] ([eqn: C_2]는 적분상수)

그러므로 [eqn: LEFT { f(x)` RIGHT } ^{`3} =3`ln(x ^{`2} +1)+`C`] ([eqn: C``]는 적분상수)

조건 (나)에서 [eqn: f(0)=0] 이므로 [eqn: C`` = 0]

따라서 [eqn: LEFT { f(x)` RIGHT } ^{`3} =3`ln(x ^{`2} +1)]이므로

[eqn: left{f(1) right} ^{`3} = 3` ln`2]

(가) [eqn: x!=0 `]인 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: LEFT { f LEFT (x RIGHT ) RIGHT } ^{ 2} f `' LEFT (x RIGHT ) = {2x} over {x ^{ 2} +1}`]

(나) [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=0`]

① [eqn: 2 ln 2]	② [eqn: 3 ln 2]	③ [eqn: 1+2 ln 2]

④ [eqn: 4 ln 2]	⑤ [eqn: 1+3 ln 2]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 21

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )`]의 값은?

[정답] ④

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: int 2left{ f(x) right}^2 f`'(x)dx= int left{ f(2x+1) right}^2 f`'(2x+1) dx`]

이므로

[eqn: 2 over 3 left{f(x) right}^3 = 1 over 3 left{ f(2x+1) right}^3 times 1 over 2 +C``] (단, [eqn: C``]는 적분상수)

[eqn: left{f(2x+1) right}^3 =4left{ f(x) right}^3 +C``'`]([eqn: C``'=it -6C```])	[eqn: cdots cdots`]㉠

㉠에 [eqn: x=it-1`]을 대입하면

[eqn: left{f(-1) right}^3 = 4 left{ f(-1)right}^3 +C```'`]

에서 [eqn: C``' =it -3left{ f(-1) right}^3`]	[eqn: cdots cdots`]㉡

㉠에 [eqn: x= it - 1 over 8`]을 대입하면

[eqn: left{ f `left( 3 over 4 right)right}^3 = 4 left{ f`left( - 1 over 8 right) right}^3 +C``'=4+C``'`]

㉠에 [eqn: x= 3 over 4`]을 대입하면

[eqn: left{ f` left( 5 over 2 right) right}^3 = 4 left{ f`left( 3 over 4 right) right}^3 +C``'=16+5C``'`]

㉠에 [eqn: x= 5 over 2 `]를 대입하면

[eqn: left{f(6) right}^3 = 4 left{ f`left( 5 over 2 right) right}^3 +C``'`]

[eqn: 2^3 = 64 + 21C``'`]

[eqn: C``'= it- 8 over 3`]	[eqn: cdots cdots`]㉢

㉡, ㉢에서

[eqn: -3 left{ f(-1) right}^3 = it - 8 over 3`]

이므로

[eqn: left{ f(-1) right}^3 = 8 over 9`]

따라서 [eqn: f(-1)= {2 root 3 of 3 } over 3`]

(가) 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: 2 LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }^2 f `' LEFT ( x RIGHT ) = LEFT { f LEFT ( 2x +1 RIGHT ) RIGHT }^2 f `' LEFT ( 2x +1 RIGHT ) `]이다.

(나) [eqn: f LEFT ( - 1 over 8 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT )=2]

① [eqn: {root 3 of 3 } over 6]	② [eqn: {root3 of 3} over 3]	③ [eqn: {root3 of 3} over 2]

④ [eqn: { 2 root3 of 3} over 3]	⑤ [eqn: {5 root3 of 3} over 6]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 03월 17

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]의 역함수를 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]라 하자. 두 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: g(f(x))][eqn: =x]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: g` prime (f(x))f` prime (x)][eqn: =1]

조건 (나)에서 [eqn: g'(f(x))!=0`]이고

[eqn: g` prime (f(x))][eqn: = {1} over {f`'(x)}]이므로

[eqn: f(x)g prime (f(x))][eqn: = {f(x)} over {f` prime (x)}][eqn: = {1} over {x ^{2} +1}]

[eqn: {f``'(x)} over {f(x)}][eqn: =`x ^{2} +1]

양변을 [eqn: x`]에 대하여 적분하면

[eqn: ln` LEFT | f(x) RIGHT |][eqn: = {1} over {3} x ^{3} +x+C] (단, [eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: left|f(x)right|][eqn: =e ^{` {1} over {3} x ^{3} +x+C}]

조건 (가)에서 [eqn: f(0)][eqn: =1`][eqn: >0]이고 함수 [eqn: f(x)`]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{{1} over {3} x ^{3} +x+C}]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]에서 [eqn: C] [eqn: =0]

따라서 [eqn: f(x)][eqn: =e ^{` {1} over {3} x ^{3} +x}]이므로

[eqn: f(3)=e ^{`12}]

(가) [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=1]

(나) 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) g `' LEFT ( f LEFT (x RIGHT ) RIGHT )= {1} over {x ^{2} +1} `]이다.

[eqn: f LEFT (3 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: e ^{3}]	② [eqn: e ^{6}]	③ [eqn: e ^{9}]

④ [eqn: e ^{12}]	⑤ [eqn: e ^{15}]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 07월 26

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: {f left(x right)}{{from^2019^07^인천교육청고3가^중}}]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 72 }]

[해설]

[eqn: {xf prime LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2}} =][eqn: LEFT ( {f(x)} over {x} RIGHT ) pile{prime #} = xe ^{x}]

[eqn: {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} = LEFT ( x-1 RIGHT ) e ^{x} +C] ([eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: C=0]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x-1 RIGHT ) e ^{x}]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =6e ^{3}], [eqn: f LEFT ( -3 RIGHT ) =12e ^{-3}]

따라서 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) TIMES f LEFT ( -3 RIGHT ) =72]

(가) [eqn: f left(1 right)=0]

(나) [eqn: 0]이 아닌 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: {xf prime left(x right)-f left(x right)} over {x ^{2}} =xe ^{x}]이다.

[eqn: f left(3right) TIMES f left(-3 right)]의 값을 구하시오.

06 미적	12 정적분
01 여러 가지 함수의 정적분
05 여러 가지 함수5 (조건 항등식)

[출처]	2016 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: f(x+y)= {f(x)+f(y)} over {1+f(x)`f(y)} `]에서 [eqn: x=1,``y=`-1]을 대입하면

[eqn: f(1)=-f(-1)=-k] 이고

[eqn: f` prime (x)= lim _{h -> 0} {{f(x+h)-f(x)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{{f(x)+f(h)} over {1+f(x)f(h)} -f(x)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f(h) TIMES (1-f(x) ^{2} )} over {h TIMES (1+f(x)f(h))}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f(h)} over {h} TIMES lim _{h -> 0} {{(1-f(x) ^{2} )} over {(1+f(x)f(h))}}}]

[eqn: =f` prime (0) TIMES (1-f(x) ^{2} )]

[eqn: =1-f(x) ^{2}]

[eqn: THEREFORE ``f(x) ^{2} `=1-f` prime (x)]

[eqn: int _{0} ^{1} {} LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} `dx`]

[eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT { 1-f` prime (x) RIGHT }} dx]

[eqn: = LEFT [ x-f(x) RIGHT ] _{0} ^{1} `=1-f(1)]

[eqn: =1+k]

(가) [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=0], [eqn: f `' LEFT (0 RIGHT )=1 `]

(나) 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x+y RIGHT )= {f LEFT (x RIGHT )+f LEFT (y RIGHT )} over {1+f LEFT (x RIGHT ) f LEFT (y RIGHT )} `]이다.

[eqn: f LEFT (-1 RIGHT )=k][eqn: LEFT (-1<k<0 RIGHT ) `]일 때, [eqn: int _{0} ^{1} {} LEFT { f LEFT (x RIGHT ) RIGHT } ^{2} dx `]의 값을 [eqn: k `]로 나타낸 것은?

① [eqn: 1-k ^{2}]	② [eqn: 1-2k]	③ [eqn: 1-k]

④ [eqn: 1+k]	⑤ [eqn: 1+k ^{2}]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 16

[eqn: x>0 `]에서 정의된 연속함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 모든 양수 [eqn: x `]에 대하여

[정답] ②

[해설]

[eqn: 2f(x) + 1over{x^2} f left( 1over x right) = 1over x + 1over{x^2}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

㉠에 [eqn: x`]대신 [eqn: 1overx`]을 대입하면

[eqn: 2f left( 1over x right)+x^2 f(x) =x+x^2]

양변을 [eqn: 2x^2`]으로 나누면

[eqn: 1over{x^2} f left( 1over x right) + 1over2 f(x) = 1over{2x} + 1over2]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠[eqn: -]㉡을 하면

[eqn: 3over2 f(x)= 1over{2x}+ 1over{x^2} - 1over2]

[eqn: f(x)= 1over{3x}+ 2over{3x^2} - 1over3]

따라서

[eqn: int_{1over2} ^2 {f(x)`dx}`][eqn: = int_{1over2} ^{2} { left(1over{3x}+ 2over{3x^2} - 1over3 right)dx}`]
[eqn: =left[ 1over3 `ln`|`x`| - 2over{3x}- 1over3 x right] _{1over2 }^2]
[eqn: = left( 1over3 `ln`2 -1 right) - left( 1over3 `ln`{1over2} - 3over2 right)]
[eqn: = {2ln 2}over3 + 1over2]

[eqn: 2f LEFT (x RIGHT ) + 1over{x^2} f LEFT ( 1over x RIGHT ) = 1over x + 1over{x^2}`]

을 만족시킬 때, [eqn: int_{1over2} ^2 {f LEFT (x RIGHT ) dx} `]의 값은?

① [eqn: {ln` 2}over3 + 1over2]	② [eqn: {2ln` 2}over3 + 1over2]	③ [eqn: {ln` 2}over3 + 1]

④ [eqn: {2ln` 2}over3 + 1]	⑤ [eqn: {2ln` 2}over3 + 3over2]

06 미적	12 정적분
01 여러 가지 함수의 정적분
06 여러가지 함수6 (곱의 미분법의 역)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 10월 14

미분가능한 두 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )], [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]는 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]의 역함수이다. [eqn: f LEFT (1 RIGHT )=3], [eqn: g LEFT (1 RIGHT )=3 `]일 때,

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(g(x))=x], [eqn: g(f(x))=x]이므로

[eqn: f`' (g(x))g`'(x)=1], [eqn: g`'(f(x))f`'(x)=1]

따라서

[eqn: int _{1} ^{3} {LEFT { {f(x)} over {f`'(g(x))} + {g(x)} over {g`'(f(x))} RIGHT }} dx]

[eqn: = int _{1} ^{3} {LEFT { f(x)g` prime (x)+g(x)f` prime (x) RIGHT }} dx]
[eqn: = int _{1} ^{3} {LEFT { f(x)g(x) RIGHT } ` prime } `dx][eqn: = LEFT [pile{`#`} f(x)g(x) RIGHT ] _{1}^{3}]

[eqn: =f(3)g(3)-f(1)g(1)]

[eqn: f(1)=3]에서 [eqn: g(3)=1], [eqn: g(1)=3]에서 [eqn: f(3)=1]

따라서

[eqn: f(3)g(3)-f(1)g(1)][eqn: =1 TIMES 1-3 TIMES 3][eqn: =it-8]

[eqn: int _{1} ^{3} {LEFT { {f LEFT (x RIGHT )} over {f `' LEFT (g LEFT (x RIGHT ) RIGHT )} + {g LEFT (x RIGHT )} over {g `' LEFT (f LEFT (x RIGHT ) RIGHT )} RIGHT }} dx`]

의 값은?

① [eqn: -8]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

06 미적	12 정적분
02 치환적분과 부분적분
05 치환적분5 (삼각치환과 대칭적분)

[출처]	2002 모의_공공 교육청 고3 10월 11

함수 [eqn: f(x)]가 연속일 때, 다음 중 임의의 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: int_{0}^{{a} over {2}} left{ f(x)+f(a-x) it right} d x]와 값이 같은 것은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: int_{0}^{{a} over {2}} left{ f(x)+f(a-x) it right} d x= int_{0}^{{a} over {2}} f(x) d x+ int_{0}^{{a} over {2}} f(a-x) d x]

[eqn: int_{0}^{{a} over {2}} f(a-x) d x]에서 [eqn: t=a-x]라고 놓으면 [eqn: d x=-d t]이고

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=a]이고, [eqn: x={a} over {2}]일 때 [eqn: t={a} over {2}]이다.

[eqn: therefore~ ~ int_{0}^{{a} over {2}} f(a-x) d x= int_{a}^{{a} over {2}} f(t)(-d t)= int_{{a} over {2}}^{a} f(t) d t= int_{{a} over {2}}^{a} f(x) d x]

[eqn: therefore~ ~ int_{0}^{{a} over {2}} left{ f(x)+f(a-x) it right} d x= int_{0}^{{a} over {2}} f(x) d x+ int_{{a} over {2}}^{a} f(x) d x]

[eqn: = int_{0}^{a} f(x) d x]

① [eqn: 2 int_{0}^{{a} over {2}} f(x) d x]	② [eqn: int_{-{a} over {2}}^{{a} over {2}} f(x) d x]

③ [eqn: int_{0}^{a} f(x) d x]	④ [eqn: 2 int_{{a} over {2}}^{a} f(x) d x]

⑤ [eqn: int_{-a}^{a} f(x) d x]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 10월 19

연속함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: int _{0} ^{a} {LEFT { f(2x)+f(2a-x) RIGHT }} dx]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[정답] ②

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: f(2a-x)=f(a+(a-x))]

[eqn: =f(a-(a-x))=f(x)]

이때 조건 (나)에서 [eqn: int _{0} ^{a} {f(x)} dx=8]이므로

[eqn: int _{0} ^{a} {LEFT { f(2x)+f(2a-x) RIGHT }} dx]

[eqn: = int _{0} ^{a} {LEFT { f(2x)+f(x) RIGHT }} dx]

[eqn: = int _{0} ^{a} {f(2x)} dx+ int _{0} ^{a} {f(x)dx}]

[eqn: = int _{0} ^{a} {f(2x)} dx+8]

[eqn: 2x=t]로 놓으면    [eqn: {dt} over {dx} =2]

또 [eqn: x=0]일 때 [eqn: t=0], [eqn: x=a]일 때 [eqn: t=2a]이므로

[eqn: int _{0} ^{a} {f(2x)} dx][eqn: = {1} over {2} int _{0} ^{2a} {f(t)} dt]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { int _{0} ^{a} {f(t)} dt+ int _{a} ^{2a} {f(t)} dt RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { int _{0} ^{a} {f(t)} dt+ int _{0} ^{a} {f(t)} dt RIGHT }]

[eqn: = int _{0} ^{a} {f(t)} `dt][eqn: =8]

[eqn: THEREFORE][eqn: int _{0} ^{a} {LEFT { f(2x)+f(2a-x) RIGHT }} dx]

[eqn: =8+8][eqn: =16]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(a-x)=f(a+x)]이다.

(나) [eqn: int _{0} ^{a} {f(x)} `dx=8]

① [eqn: 12]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 28]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 03월 28

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= {e ^{ cos` x}} over {1+e ^{ cos` x}}`]에 대하여

[정답] [eqn: 51]

[해설]

[eqn: f(x)= {e ^{cosx}} over {1+e ^{cosx}} `]에서

[eqn: f( pi -x)= {e ^{cos(pi-x)}} over {1+e ^{cos(pi-x)}} `]

[eqn: = {e ^{-cosx}} over {1+e ^{-cosx}}]

[eqn: = {e ^{-cosx} TIMES e ^{cosx}} over {LEFT ( 1+e ^{-cosx} RIGHT ) TIMES e ^{cosx}} `]

[eqn: = {1} over {e ^{cosx} +1}]

그러므로

[eqn: a=f(pi-x)+f(x)]

[eqn: ={1} over {e ^{cosx} +1}+ {e ^{cosx}} over {1+e ^{cosx}}]

[eqn: = {1+e ^{cosx} } over {1+e ^{cosx}} =1`]

[eqn: b= int _{0} ^{pi} {} f(x)dx]

[eqn: = int _{0} ^{pi} {} LEFT { 1-f(pi-x) RIGHT } dx]

[eqn: = int _{0} ^{pi} {1`dx`-` int _{0} ^{pi} {f(pi-x)dx}}]

[eqn: pi -x=t`]로 놓으면

[eqn: x= pi -t`]이므로 [eqn: {dx} over {dt} =`-1]

[eqn: x= 0`]일 때, [eqn: t= {pi `]이고

[eqn: x= pi `]일 때, [eqn: t=0`]이므로

[eqn: b=pi`+ int _{pi} ^{0} {f(t)dt}]

[eqn: =pi`- int _{0} ^{pi} {f(t)dt}][eqn: =pi-b]

[eqn: b= pi -b`]이므로 [eqn: b = pi over2`]

따라서 [eqn: a+ {100} over {pi } b=1+ {100} over {pi } TIMES {pi } over {2}]

[eqn: =1+50=51]

[다른풀이]

[eqn: b= int _{0} ^{{pi } over {2}} {} f(x)dx+ int _{{pi } over {2}} ^{pi } {} f(x)dx`]

[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {} f(x)dx+ int _{0} ^{{pi } over {2}} {} f( pi -x)dx`]

[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {LEFT { f(x)+f( pi -x) RIGHT } dx}]

[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {1`dx}`][eqn: = LEFT [ pile{`#`}x` RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}}`][eqn: = {pi } over {2} -0`][eqn: = {pi } over {2}`]

[eqn: a=f LEFT ( pi -x RIGHT ) +f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: b= int _{0} ^{pi } {f LEFT (x RIGHT ) dx`]

일 때, [eqn: a+ {100} over {pi} b `]의 값을 구하시오.

06 미적	12 정적분
02 치환적분과 부분적분
08 치환적분과 부분적분

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 10월 27

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold6]

[해설]

[eqn: int _{0} ^{1} {(x-1)f` prime (x+1)dx} =-4`]에서 [eqn: x+1=t`]로 놓으면

[eqn: {dx} over {dt} =1`]이고, [eqn: x=0`]일 때 [eqn: t=1], [eqn: x=1`]일 때 [eqn: t=2`]

[eqn: int _{0} ^{1} {(x-1)f` prime (x+1)dx`}]

[eqn: = int _{1} ^{2} {(t-2)f` prime (t)dt}][eqn: = LEFT [ pile{`#`} (t-2)f(t) RIGHT ] _{1} ^{2} - int _{1} ^{2} {f(t)dt`}]

[eqn: =f(1)- int _{1} ^{2} {f(t)dt}][eqn: =2- int _{1} ^{2} {f(t)dt}` =`-4]

따라서[eqn: ` int _{1} ^{2} {f(x)dx} `=`6]

(가) [eqn: f LEFT (1 RIGHT )=2]

(나) [eqn: int _{0} ^{1} { LEFT (x-1 RIGHT ) f `' LEFT (x+1 RIGHT ) dx} =`-4]

[eqn: int _{1} ^{2} {f LEFT (x RIGHT ) dx} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: f `' LEFT (x RIGHT ) `]는 연속함수이다.)

06 미적	12 정적분
02 치환적분과 부분적분
09 우함수와 기함수

[출처]	2013 모의_공공 경찰대 고3 07월 15

함수 [eqn: f(x)=cases{1-|`x`| && (|`x`| leq 1) # 0 && (|`x`|>1)}]에 대하여 [eqn: sum_{n=1}^{10} int_{-n}^{n} { left{ f(x) it right} ^{n}} over {n} d x]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(x)=cases{1-|`x`| && (|`x`| leq 1) # 0 && (|`x`|>1)}]이므로 [eqn: f(x)=f(-x)]가 성립한다.

[eqn: therefore~ int_{-n}^{n} { left{ f(x) it right} ^{n}} over {n} d x=2 int_{-n}^{0} { left{ f(x) it right} ^{n}} over {n} d x]

[eqn: =2 int_{-1}^{0} { left{ f(x) it right} ^{n}} over {n} d x=2 int_{-1}^{0} {(x+1)^{n}} over {n} d x]

[eqn: =2 int_{0}^{1} {x^{n}} over {n} d x=2 left[ pile{it #it} {x^{n+1}} over {n(n+1)} right]_{0}^{1}]

[eqn: ={2} over {n(n+1)}=2 left({1} over {n}-{1} over {n+1} right)]

[eqn: therefore~ sum_{n=1}^{10} int_{-n}^{n} { left{ f(x) it right} ^{n}} over {n} d x]

[eqn: = sum_{n=1}^{10} 2 left({1} over {n}-{1} over {n+1} right)]

[eqn: =2 left{ left(1-{1} over {2} right)+ left({1} over {2}-{1} over {3} right)+ cdots+ left({1} over {10}-{1} over {11} right) it right} ={20} over {11}]

[다른 풀이]

[eqn: y=x^{n}]와 [eqn: y=(1-x)^{n}]은 직선 [eqn: x={1} over {2}]에 대하여 대칭이므로 [eqn: int_{0}^{1} x^{n} d x= int_{0}^{1}(1-x)^{n} d x]가 성립한다.

따라서 앞의 풀이에서

[eqn: int_{-n}^{n} { left{ f(x) it right} ^{n}} over {n} d x=2 int_{0}^{n} { left{ f(x) it right} ^{n}} over {n} d x]

[eqn: =2 int_{0}^{1} { left{ f(x) it right} ^{n}} over {n} d x]

[eqn: =2 int_{0}^{1} {(1-x)^{n}} over {n} d x]

[eqn: =2 int_{0}^{1} {x^{n}} over {n} d x]

[eqn: VDOTS]

로 식을 변형하여 문제를 해결할 수 있다.

① [eqn: {12} over {11}]	② [eqn: {14} over {11}]	③ [eqn: {16} over {11}]

④ [eqn: {18} over {11}]	⑤ [eqn: {20} over {11}]

06 미적	12 정적분
03 치환적분과 부분적분의 활용
01 활용1 (적분식의 해석)

[출처]	2001 모의_공공 사관학교 고3 07월 17

두 일차식 [eqn: f LEFT (t RIGHT )], [eqn: g LEFT (t RIGHT ) `]를 각각

[정답] ②

[해설]

[eqn: f(t)-g(t)=0``]이므로 준 식을 변형하면

[eqn: t``int_{0}^{pi over 4}``sin^2``x``dx-int_{0}^{pi over 4}``cos^2``x``dx=0``]

[eqn: int_{0}^{pi over 4}``t``sin^2 ``x-cos^2``x``dx=0``]

[eqn: int_{0}^{pi over 4}``left{(t+1)``sin^2``x -1right}``dx=0``]

[eqn: int_{0}^{pi over4}``left{(t+1)`{1-cos``2x} over 2 -1right}``dx=0``]

[eqn: (t+1)``left[ 1 over 2 x- 1 over 4 `sin``2x right]_{0}^{pi over 4} -left[x right]_{0}^{pi over4} =0``]

[eqn: (t+1) left(pi over 8 - 1 over 4 right)= pi over 4``]

[eqn: therefore```t= {pi+2} over {pi-2}``]

[eqn: f LEFT (t RIGHT ) = t INT _{ 0}^{{pi}over{6} } sin` ^2 x dx + INT _{ {pi}over{4}}^{{pi}over{6} } cos` ^2 u du],
[eqn: g LEFT (t RIGHT ) = INT _{ 0}^{{pi}over{6} } cos`^2 x dx + t INT _{ {pi}over{4}}^{{pi}over{6} } sin`^2 y dy `]

라 할 때, 방정식 [eqn: f LEFT (t RIGHT ) = g LEFT (t RIGHT ) `]의 근은?

① [eqn: {pi-2}over{pi+2}`]	② [eqn: {pi+2}over{pi-2}`]	③ [eqn: {pi+3}over{pi-3}`]

④ [eqn: {pi+2}over{2pi-4}`]	⑤ [eqn: {pi+4}over{pi-2}`]

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 09월 미분과 적분 29

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=sin` {x ^{2}} over {2}`]에 대한 설명으로 옳은 것만을  <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ④

[해설]

ㄱ. [eqn: 0<x^2 <1] 이므로, [eqn: x^2 sin x^2 over2 ``<``sin x^2 over2][eqn: cdotscdots①]

[eqn: 0< x^2 over 2 < 1over 2 < pi over 6] 이므로, [eqn: sin x^2 over2 <cos x^2 over2][eqn: cdotscdots②]

①, ② 에 의해 [eqn: x^2 sin x^2 over2 ``<``f(x)``<``cos x^2 over2]   (참)

ㄴ. [eqn: f'(x) =x cos x^2 over 2] , [eqn: f''(x) =cos x^2 over 2 - x^2 sin x^2 over 2 >0]

([eqn: ~because `]ㄱ. 에 의해 )

따라서, [eqn: y=f(x)] 는 [eqn: 0<x <1] 에서 아래로 볼록. (거짓)

ㄷ.

[eqn: 0<x <1] 에서 아래로 볼록이므로, [그림1]에서 [eqn: f(x)<= left(sin 1 over 2right) x]

따라서, [eqn: int _{ 0} ^{ 1} {f(x) }``dx <= int _{ 0} ^{1 } {left(sin 1 over 2right) x }``dx = 1 over 2 rm sin 1 over 2]   (참)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: 0<x<1`]일 때, [eqn: x ^{2} sin` {x ^{2}} over {2} <f LEFT (x RIGHT )<cos` {x ^{2}} over {2}`]이다. ㄴ. 구간 [eqn: LEFT ( 0,``1 RIGHT )`]에서 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]는 위로 볼록하다. ㄷ. [eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT (x RIGHT )dx LEQ {1} over {2} {rmsin}`} {1} over {2}`]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

[출처]	2009 모의_공공 사관학교 고3 07월 13

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0 ,`` 1 RIGHT ] `]에서 [eqn: 0 < f LEFT ( x RIGHT ) < 1 `]를 만족시키는 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: g(x)=f(x)-x``]라 하면 [eqn: f(x)``]가 다항함수이므로 [eqn: g(x)``]도 다항함수이고 모든 실수에서 연속이다.

[eqn: g(0)=f(0)``]이므로 [eqn: 0<g(0)<1``]을 만족한다. [eqn: g(1)=f(1)-1``]이므로 [eqn: -1<g(1)<0``]을 만족한다. 따라서 중간값 정리에 의해 방정식 [eqn: g(x)=f(x)-x=0``]의 실근이 개구간 [eqn: (0,```1)``]에 적어도 하나 존재한다. (참)

ㄴ. [eqn: g(x)``]는 폐구간 [eqn: [``0,```1``]``]에서 연속이고, 개구간 [eqn: (0,```1)``]에서 미분가능이므로 평균값 정리에 의해

[eqn: g'(b)=f'(b)-1 = {g(1)-g(0)} over {1-0}``] (단, [eqn: 0<b<1])

을 만족하는 [eqn: b``]가 적어도 하나 존재한다. 여기서 [eqn: g(1)``]은 음수이고 [eqn: g(0)``]은 양수이므로 [eqn: g'(b)``]는 음수이다. 따라서 개구간 [eqn: (0,```1)``]에 [eqn: g'(b)=f'(b)-1<0``]을 만족하는 실수 [eqn: b``]가 적어도 하나 존재한다. (참)

ㄷ. [eqn: h(x)=int_{0}^{x}``f(t)``dt-x``]라 놓으면

[eqn: h'(x)=f(x)-1``]

[eqn: 0<f(x)<1``]이므로 [eqn: -1<f(x)-1<0``]이다. 즉, 개구간 [eqn: (0,```1)``]에서 [eqn: h'(x)``]는 항상 음의 값이므로 함수 [eqn: h(x)``]는 단조감소함수이다. 따라서 [eqn: h(0)=0``]이므로

[eqn: h(x)=int_{0}^{x}``f(t)``dt -x<0``]

[eqn: therefore`````][eqn: int_{0}^{x}``f(t)``dt<x``] (단, [eqn: 0<x<1]) (참)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) = a `]인 실수 [eqn: a `]가 열린구간 [eqn: LEFT ( 0 ,`` 1 RIGHT ) `]에 적어도 하나 존재한다. ㄴ. [eqn: f `' LEFT ( b RIGHT ) < 1 `]인 실수 [eqn: b `]가 열린구간 [eqn: LEFT ( 0 ,`` 1 RIGHT ) `]에 적어도 하나 존재한다. ㄷ. 열린구간 [eqn: LEFT ( 0 ,`` 1 RIGHT ) `]의 모든 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) dt < x `]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 15

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]가

[정답] ④

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {` {1} over {1+e ^{-t}} dt}]
[eqn: = int _{0} ^{x} {` {e ^{t}} over {1+e ^{t}} dt}]

에서 [eqn: 1+e ^{t} =s]로 놓으면

[eqn: e ^{t} = {ds} over {dt}]

이고, [eqn: t=0]일 때 [eqn: s=2]이고, [eqn: t=x]일 때 [eqn: s=1+e ^{x}]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{2} ^{1+e ^{x}} {` {1} over {s} dt}]
[eqn: = LEFT [ ln``s RIGHT ] _{2} ^{1+e ^{x}}]
[eqn: =ln` LEFT ( 1+e ^{x} RIGHT ) -ln`2]
[eqn: =ln` {1+e ^{x}} over {2}]

[eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( a RIGHT )][eqn: =f LEFT ( f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT )]
[eqn: =f LEFT ( ln` {1+e ^{a}} over {2} RIGHT )]
[eqn: =ln` {1+e ^{ln` {1+e ^{a}} over {2}}} over {2}]

이때,

[eqn: e ^{ln` {1+e ^{a}} over {2}} = LEFT ( {1+2 ^{a}} over {2} RIGHT ) ^{ln`e} = {1+e ^{a}} over {2}]

이므로

[eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( a RIGHT )][eqn: =ln` {1+e ^{ln` {1+e ^{a}} over {2}}} over {2}]
[eqn: =ln` {1+ {1+e ^{a}} over {2}} over {2}]
[eqn: =ln` {3+e ^{a}} over {4}]

한편, [eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( a RIGHT ) =ln`5]이므로

[eqn: ln` {3+e ^{a}} over {4} =ln`5]

이때, [eqn: y=ln`x]는 일대일 함수이므로

[eqn: {3+e ^{a}} over {4} =5], [eqn: e ^{a} =17]

따라서

[eqn: a=ln`17]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} { {1} over {1+e ^{-t}} dt}`]

일 때, [eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( a RIGHT ) =ln 5`]를 만족시키는 실수 [eqn: a`]의 값은?

① [eqn: ln 11]	② [eqn: ln 13]	③ [eqn: ln 15]

④ [eqn: ln 17]	⑤ [eqn: ln 19]

06 미적	12 정적분
03 치환적분과 부분적분의 활용
02 활용2 (적분식의 모양 변경)

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 11월 29

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 두 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]와 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여 정적분

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ.[eqn: int from 0 to 1 left{ f'(x) g(1-x)-g'(x)f(1-x) right} `dx =k]

에서 [eqn: 1-x =t]라 하면

[eqn: int from 1 to 0 left{ f'(1-t) g(t) - g'(1-t)f(t) right}`(-1)dt =k]

즉, [eqn: int from 0 to 1 left{ f'(1-x)g(x) - g'(1-x)f(x) right} `dx =k]

∴[eqn: int from 0 to 1 left{ f(x) g'(1-x) - g(x) f'(1-x) right} `dx =-k] (참)

ㄴ. [eqn: left{ f(x) g(1-x) right}']

[eqn: =f'(x)g(1-x)-f(x)g'(1-x)]

이므로 양변에 정적분을 취하면

[eqn: left[ f(x) g(1-x)right]_0^1][eqn: = int from 0 to 1 f'(x)g(1-x)`dx - int from 0 to 1 f(x) g'(1-x) `dx][eqn: cdots cdots㉠]

이때, [eqn: int from 0 to 1 f(x) g'(1-x) `dx]에서 [eqn: 1-x =t]라 하면

[eqn: int from 0 to 1 f(x) g'(1-x) `dx= int from 1 to 0 f(1-t)g'(t) (-1) `dt][eqn: = int from 0 to 1 g'(x) f(1-x) `dx]

이므로 ㉠의 식은

[eqn: left[ f(x) g(1-x)right]_0^1}][eqn: = int from 0 to 1 f'(x)g(1-x)`dx - int from 0 to 1 g'(x)f(1-x) `dx]

[eqn: = int from 0 to 1 left{ f'(x) g(1-x)-g'(x)f(1-x) right} dx][eqn: =k]

[eqn: therefore][eqn: k=left[ f(x) g(1-x)right]_0^1 = f(1) g(0) -f(0)g(1)]

따라서 [eqn: f(0)=f(1),~g(0)=g(1)]이면

[eqn: k= f(1) g(0) -f(0)g(1) =0] (참)

ㄷ. [eqn: f(x) = ln (1+x^4 )], [eqn: g(x) = sin pi x]이면

[eqn: f(0)=ln 1 =0], [eqn: g(0)=sin 0 =0]이므로

[eqn: k= f(1) g(0) -f(0)g(1)][eqn: =0] (참)

[eqn: int _{ 0} ^{1 } {left{f `' LEFT (x RIGHT ) g LEFT (1-x RIGHT ) -g `' LEFT (x RIGHT ) f LEFT (1-x RIGHT ) right}dx }`]

의 값을 [eqn: k `]라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: int _{ 0} ^{1 } {left{f LEFT (x RIGHT ) g `' LEFT (1-x RIGHT ) -g LEFT (x RIGHT ) f `' LEFT (1-x RIGHT ) right}dx }=`-k] ㄴ. [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=f LEFT (1 RIGHT ) `]이고 [eqn: g LEFT (0 RIGHT )=g LEFT (1 RIGHT ) `]이면 [eqn: k=0 `]이다. ㄷ. [eqn: f LEFT (x RIGHT )=ln LEFT (1+x^4 RIGHT ) `]이고 [eqn: g LEFT (x RIGHT )=sin` pi x `]이면, [eqn: k=0 `]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 11월 미분과 적분 28

실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 있다. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT (2x RIGHT )=2f LEFT (x RIGHT )f`' LEFT (x RIGHT )`]이고,

[정답] ④

[해설]

[eqn: int _{ a} ^{ 2a} { x^-2 cdot left{f(x) right}^2 dx}]

[eqn: = left[ -x^-1 cdot left{f(x) right}^2 right]_a^2a][eqn: - int _{ a} ^{2a } { left{-x^-1 cdot2 f(x)`f`'(x)} right}dx]

[eqn: = left[ -2a^-1 cdot left{ f(2a) right}^2 +a^-1 cdot left{ f(a) right}^2 right]][eqn: + int _{ a} ^{ 2a} { { f(2x)} over { x}dx }]

그런데, [eqn: f(2x) = 2f(x)`f`'(x)]이고 [eqn: f(a)=0]이므로

[eqn: f(2a)=2f(a)`f`'(a)=0]

[eqn: therefore```][eqn: int _{ a} ^{2a } { x^-2 cdot left{ f(x) right}^2 dx}][eqn: =int _{ a} ^{2a } { { f(2x)} over {x } }dx]
[eqn: = int _{ 2t} ^{ 4t} { { 2f(t)} over { t} }cdot { 1} over { 2} `dt] ([eqn: because```][eqn: 2x=t] → [eqn: 2dx=dt])
[eqn: = int _{ 2t} ^{4t } { { f(t)} over { t} }dt][eqn: =k]

[eqn: f LEFT (a RIGHT )=0], [eqn: int _{2a} ^{4a} {{f LEFT (x RIGHT )} over {x} dx=k][eqn: LEFT (a > 0,`` 0 < k < 1 RIGHT )}`]

일 때, [eqn: int _{a} ^{2a} {{LEFT { f LEFT (x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {x ^{2}} dx}`]의 값을 [eqn: k`]로 나타낸 것은?

① [eqn: {k ^{2}} over {4}]	② [eqn: {k ^{2}} over {2}]	③ [eqn: k ^{2}]

④ [eqn: k]	⑤ [eqn: 2k]

[출처]	2011 모의_공공 평가원 고3 06월 19

정의역이 [eqn: LEFT { x` LEFT | `x>-1 `RIGHT.RIGHT }`]인 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]에 대하여 [eqn: f`' LEFT (x RIGHT )= {1} over { LEFT (1+x ^{3} RIGHT ) ^{2}}`]이고, 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )=x ^{2}`]일 때, [eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT (x RIGHT )g`' LEFT (x RIGHT )dx= {1} over {6}}`]이다. [eqn: f LEFT (1 RIGHT )`]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: int _{0} ^{1} {eqalign{f(x)g prime (x)dx# }}][eqn: = LEFT [ f(x)g(x) RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {f'(x)} g(x)dx]

[eqn: =f(1)g(1)-f(0)g(0)- int _{0} ^{1} {{x ^{2}} over {(1+x ^{3} ) ^{2}}} dx]

[eqn: g(1)=1,``g(0)=0]이고

[eqn: 1+x ^{3} =t]로 치환하면

[eqn: f(1)- int _{1} ^{2} {{1} over {t ^{2}} `dt}][eqn: =f(1)- {1} over {6}]

[eqn: f(1)- {1} over {6} = {1} over {6}]이므로 [eqn: f(1)= {1} over {3}]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {2} over {9}]	③ [eqn: {5} over {18}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {7} over {18}]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 09월 30

두 연속함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )], [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]가

[정답] [eqn: 17]

[해설]

[eqn: y=e ^{x}]로 고치면, [eqn: g(y)`=`` {cases{f(lny)& left (1 LEQ y LEQ e right )#g left ( {y} over {e} right)+5&(e LEQ y LEQ e ^{2} )}}]

[eqn: int _{1} ^{e ^{2}} {g(y)dy} `=` int _{1} ^{e} {f(lny)} dy+ int _{e} ^{e ^{2}} {LEFT { g left ( {y} over {e}right )+5 RIGHT } dy} `=6e ^{2} +4]

[eqn: {y} over {e} =t`,`dy`=`e`dt]라 두면,

[eqn: int _{e} ^{e ^{2}} {LEFT { g left ( {y} over {e} right)+5 RIGHT } dy`} =e int _{1} ^{e} {g(t)} dt+5e ^{2} +5e]

[eqn: int _{1} ^{e} {g(t)dt`=` int _{1} ^{e} {f(lnt)dt}}]이므로

[eqn: int _{1} ^{e ^{2}} {g(y)dy} `=`(1+e) int _{1} ^{e} {f(lny)dy+5e ^{2} +5e`=`6e ^{2} +4}]

∴[eqn: int _{1} ^{e} {f(lny)dy} `=`e+4]   ∴[eqn: a=1,`b=4] ∴[eqn: a ^{2} +b ^{2} `=`17]

[eqn: g LEFT (e^x RIGHT ) = cases{ ~~~ f LEFT (x RIGHT ) &~ LEFT (0 LEQ x<1 RIGHT ) # `` g LEFT (e^x-1 RIGHT ) +5 &~ LEFT (1 LEQ x LEQ 2 RIGHT )`]

를 만족시키고, [eqn: int _{1} ^{e^2} {g LEFT ( x RIGHT )} dx =6e^2 +4 `]이다. [eqn: int _{1} ^{e} {f LEFT (ln x RIGHT )} dx =ae+b `]일 때, [eqn: a^2 +b^2 `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a], [eqn: b `]는 정수이다.)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 예비 21

함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(x)= {(x^2 -1)^2}over {x^4 +1}]에서

[eqn: f prime (x)= {2(x ^{2} -1)`․`2x(x ^{4} +1)-(x ^{2} -1) ^{2} `․`4x ^{3}} over {(x ^{4} +1) ^{2}}]

[eqn: = {4x(x+1)(x-1)(x^2 +1)} over {(x^4 +1)^2}]

[eqn: -1≤x＜1]에서 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: -1]	⋯	[eqn: 0]	⋯	[eqn: 1]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]
[eqn: f(x)]	[eqn: 0]	↗	[eqn: 1]	↘	[eqn: 0]

[eqn: f(x)]는 주기가 [eqn: 2]인 주기함수이므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

ㄱ. (참) [eqn: f(x)]가 우함수이므로

[eqn: int _{ -1} ^{0 } f(x)dx = int _{ 0} ^{1 } f(x) dx]

[eqn: f(x+2)=f(x)]이므로

[eqn: int _{ -2} ^{2 } f(x)dx = 4int _{ 0} ^{1 } f(x) dx]

ㄴ. (참) [eqn: 1＜x＜2]일 때의 [eqn: f'(x)]의 값은 [eqn: -1＜x＜0]일 때의 [eqn: f'(x)]의 값과 같다.

따라서, [eqn: 1＜x＜2]일 때 [eqn: f'(x)＞0]이다.

ㄷ. (참) [eqn: 2＜x＜3]일 때 [eqn: f'(x)＜0]이므로

[eqn: int _{ 1} ^{3 } x|f'(x)|dx]

[eqn: = int _{ 1} ^{ 2} xf'(x)dx - int _{ 2} ^{3 } xf'(x)dx]

[eqn: = left[ xf(x) right]_1^2 - int _{ 1} ^{2 } f(x) dx]

[eqn: - left( left[ xf(x) right]_2^3 - int _{ 2} ^{3 } f(x)dx right)]

[eqn: =2f(2)-f(1)-3f(3)+2f(2)]

[eqn: left(∵`` int _{ 1} ^{2 } f(x)dx = int _{ 2} ^{3 } f(x)dx right)]

[eqn: =2-0-0+2]

[eqn: =4]

(가) [eqn: -1 leq x<1]일 때 [eqn: f(x)={ left(x^{2}-1 right)^{2}} over {x^{4}+1}]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+2)=f(x)]이다.

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: int_{-2}^{2} f(x) d x=4 int_{0}^{1} f(x) d x] ㄴ. [eqn: 1<x<2]일 때 [eqn: f `prime (x)>0]이다 ㄷ. [eqn: int_{1}^{3} x left|f `prime (x) right| d x=4]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 25

도함수가 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 8]

[해설]

[eqn: y=f(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로

[eqn: f(x) cos x]는 원점에 대하여 대칭이고

[eqn: x f(x)]는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이다.

따라서 [eqn: int_{- pi}^{* pi}(x+ cos x) f(x) d x=2 int_{0}^{ pi} x f(x) d x]이다.

[eqn: int _{0} ^{pi } {} x ^{2} f prime LEFT (x RIGHT )dx][eqn: = LEFT [ pile{ it#it } pile{it#it} x ^{2} f LEFT (x RIGHT ) RIGHT ] _{0}^{pi } -2 int _{0} ^{pi } {} xf LEFT (x RIGHT )dx]
[eqn: =0-2 int _{0} ^{pi } {} xf LEFT (x RIGHT )dx][eqn: =`-8 pi]

따라서 [eqn: 2 int _{0} ^{pi } {} xf LEFT (x RIGHT )dx=8 pi]

[eqn: THEREFORE~ k=8]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT (-x RIGHT )=`-f LEFT (x RIGHT )]이다.

(나) [eqn: f LEFT ( pi RIGHT )=0]

(다) [eqn: int _{0} ^{pi } {} x ^{2} f prime LEFT (x RIGHT )dx=`-8 pi]

[eqn: int_{- pi}^{ pi}(x+ cos x) f(x) d x=k pi]일 때, [eqn: k]의 값을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 17

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: f(x) g(x)=x^{4}-1]이므로

[eqn: f(1) g(1)=0], [eqn: f(-1) g(-1)=0]

또 [eqn: f `prime (x) g(x)+f(x) g `prime (x)=4 x^{3}]	[eqn: cdots cdots] ㉠

한편, [eqn: int_{-1}^{1} left{ f(x) it right} ^{2} g `prime (x) d x]에서

[eqn: u(x)= left{ f(x) it right} ^{2}], [eqn: v `prime (x)=g `prime (x)]로 놓으면

[eqn: u `prime (x)=2 f(x) f `prime (x)], [eqn: v(x)=g(x)]이므로

[eqn: int_{-1}^{1} left{ f(x) it right} ^{2} g `prime (x) d x][eqn: = left[ pile{it #it} left{ f(x) it right} ^{2} g(x) right]_{-1}^{1}]
[eqn: -2 int_{-1}^{1} f(x) f `prime (x) g(x) d x]
[eqn: = 0-2 int_{-1}^{1} f(x) f `prime (x) g(x) d x]

조건 (나)에서 [eqn: int_{-1}^{1} left{ f(x) it right} ^{2} g `prime (x) d x=120]이므로

[eqn: int_{-1}^{1} f(x) f `prime (x) g(x) d x=-60]

이때 ㉠에서 [eqn: f `prime (x) g(x)=4 x^{3}-f(x) g `prime (x)]이므로

[eqn: int_{-1}^{1} f(x) left{ 4 x^{3}-f(x) g `prime (x) it right} d x=-60]

[eqn: 4 int_{-1}^{1} x^{3} f(x) d x- int_{-1}^{1} left{ f(x) it right} ^{2} g `prime (x) d x=-60]

따라서 [eqn: 4 int_{-1}^{1} x^{3} f(x) d x- 120=-60]에서 [eqn: 4 int_{-1}^{1} x^{3} f(x) d x=60]이므로

[eqn: int_{-1}^{1} x^{3} f(x) d x=15]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)g(x) = x^{4 }- 1]이다.

(나) [eqn: int _{- 1}^{1} {`} LEFT {`f(x) RIGHT }^{2 }g prime (x)`dx= 120]

[eqn: int _{- 1}^{1} {`}x^{3 }f(x)`dx]의 값은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 07월 20

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) }{{from^2019^07^인천교육청고3가^중}}]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: f LEFT ( 2+x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 2-x RIGHT ) =f LEFT ( 1+ LEFT ( 1-x RIGHT ) RIGHT )]
[eqn: =f LEFT ( 1- LEFT ( 1-x RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x+2 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]	(참)

ㄴ. [eqn: int _{2} ^{5} {f prime LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: {= LEFT [ pile{ `#` } f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ] _{2}^{5}}][eqn: =f LEFT ( 5 RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT ) =4]이고 ㄱ에 의하여 [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT )]이고, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 0 RIGHT )]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) =4]	(참)

ㄷ. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =a]라 하면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =a+4]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = t]라 치환하면 [eqn: {dt} over {dx} =f prime LEFT ( x RIGHT )]이므로
[eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) f prime LEFT ( x RIGHT ) dx= int _{f LEFT ( 0 RIGHT )} ^{f LEFT ( 1 RIGHT )} {f LEFT ( t RIGHT ) dt=6}}]
ㄱ, ㄴ에 의하여 [eqn: int _{a} ^{a+4} {f LEFT ( t RIGHT ) dt=6}][eqn: =2 int _{a} ^{a+2} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]에서
[eqn: int _{0} ^{2} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =3], [eqn: int _{0} ^{10} {f(x)dx} =5 int _{0} ^{2} {f(x)dx} =15]
[eqn: f LEFT ( 1+x RIGHT ) =f LEFT ( 1-x RIGHT )]이므로
[eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx} = int _{1} ^{2} {f(x)dx} = {3} over {2}]

[eqn: int _{1} ^{10} {f(x)dx}][eqn: = int _{0} ^{10} {f(x)dx} - int _{0} ^{1} {f(x)dx}]
[eqn: =15- {3} over {2} = {27} over {2}]	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: f left(1+x right)=f left(1-x right)], [eqn: f left(2+x right)=f left(2-x right)]

를 만족시킨다. 실수 전체의 집합에서 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )]가 연속이고, [eqn: int _{2} ^{5} {f prime left(x right)dx=4}]일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+2 RIGHT )=f LEFT ( x RIGHT )]이다. ㄴ. [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) =4] ㄷ. [eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) f prime LEFT ( x RIGHT ) dx=6}]일 때, [eqn: int _{1} ^{10} {f left(x right)dx} = { 27} over { 2}]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 04월 27

실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 있다. [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수이고 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =1], [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT ) =5]일 때, [eqn: int _{1} ^{5} {{40} over {g prime LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} dx}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 12 }]

[해설]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수이므로 [eqn: g prime LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) = {1} over {f prime LEFT ( x RIGHT )}]

[eqn: int _{1} ^{5} {{40} over {g prime LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} dx } =40 int _{1} ^{5} {{f prime LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} dx}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =t]라 하면 [eqn: {dt} over {dx} =f ' LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =1], [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT ) =5]에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =5]이므로 [eqn: x=1]일 때 [eqn: t=2], [eqn: x=5]일 때 [eqn: t=5]이다.

따라서

[eqn: 40 int _{1} ^{5} {{f prime LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} dx}][eqn: =40 int _{2} ^{5} {{1} over {t ^{2}} dt}]
[eqn: =40 LEFT [ - {1} over {t} RIGHT ] _{2}^{5} =12]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 28

실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

[eqn: int_{-1}^{5} f(x)(x+ cos 2 pi x) d x]

[eqn: = int _{-1} ^{5} {} xf(x)dx+ int _{-1} ^{5} {} f(x)cos2 pi xdx]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉠

조건 (가)에 의하여

[eqn: int_{-1}^{1} x f(x) d x=0], [eqn: int_{-1}^{1} f(x) d x=2 int_{0}^{1} f(x) d x]

[eqn: int_{-1}^{5} x f(x) d x]

[eqn: = int_{-1}^{1} x f(x) d x+ int_{1}^{3} x f(x) d x+ int_{3}^{5} x f(x) d x]

[eqn: = int_{-1}^{1} x f(x) d x+ int_{-1}^{1}(x+2) f(x+2) d x]

[eqn: ~ + int_{-1}^{1}(x+4) f(x+4) d x]

[eqn: =][eqn: int_{-1}^{1} x f(x) d x+ int_{-1}^{1}(x+2) f(x) d x]
[eqn: + int_{-1}^{1}(x+4) f(x) d x]
[eqn: = 3 int_{-1}^{1} x f(x) d x+6 int_{-1}^{1} f(x) d x]
[eqn: =12 int _{0} ^{1} {} f(x)dx=24]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉡

조건 (가), (나)에 의하여 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x) cos 2 pi(-x)=f(x) cos 2 pi x]

[eqn: f(x+2) cos 2 pi(x+2)=f(x) cos 2 pi x]

[eqn: int_{-1}^{5} f(x) cos 2 pi x d x]

[eqn: = int_{-1}^{1} f(x) cos 2 pi x d x+ int_{1}^{3} f(x) cos 2 pi x d x]

[eqn: + int_{3}^{5} f(x) cos 2 pi x d x]
[eqn: = int_{-1}^{1} f(x) cos 2 pi x d x]
[eqn: + int_{-1}^{1} f(x+2) cos 2 pi(x+2) d x]
[eqn: + int_{-1}^{1} f(x+4) cos 2 pi(x+4) d x]
[eqn: = int_{-1}^{1} f(x) cos 2 pi x d x+ int_{-1}^{1} f(x) cos 2 pi x d x]
[eqn: + int_{-1}^{1} f(x) cos 2 pi x d x]
[eqn: = 3 int_{-1}^{1} f(x) cos 2 pi x d x]
[eqn: = 6 int_{0}^{1} f(x) cos 2 pi x d x]

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: int_{0}^{1} f(x) cos 2 pi x d x={1} over {6} left({47} over {2}-24 right)=-{1} over {12}]

따라서

[eqn: int_{0}^{1} f `prime (x) sin 2 pi x d x]

[eqn: = LEFT [ f LEFT ( x RIGHT ) sin2 pi `x pile{#} RIGHT ] _{0}^{1} -2 pi int _{0} ^{1} {} f(x)cos2 pi xdx]

[eqn: =-2 pi int_{0}^{1} f(x) cos 2 pi x d x]

[eqn: ={ pi} over {6}]

(가) [eqn: f(-x)=f(x)]

(나) [eqn: f(x+2)=f(x)]

[eqn: int_{-1}^{5} f(x)(x+ cos 2 pi x) d x={47} over {2}], [eqn: int_{0}^{1} f(x) d x=2]일 때,

[eqn: int_{0}^{1} f `prime (x) sin 2 pi x d x]의 값은?

① [eqn: { pi} over {6}]	② [eqn: { pi} over {4}]	③ [eqn: { pi} over {3}]

④ [eqn: {5} over {12} pi]	⑤ [eqn: { pi} over {2}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 미적분 29

세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=ae ^{2x} +be ^{x} +c]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 26]

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: lim _{x ``rarrow``- inf } {f(x)+6} over {e^{x}}][eqn: = lim _{x ``rarrow``- inf } {a e^{2 x}+b e^{x}+c+6} over {e^{x}}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow``- inf } left(a e^{x}+b+{c+6} over {e^{x}} right)]

극한값이 [eqn: 1`]에 수렴하므로    [eqn: c=`-6], [eqn: b=1]

[eqn: therefore] [eqn: f(x)=a e^{2 x}+e^{x}-6]

조건 [eqn: (]나)에서

[eqn: f( ln 2)=a e^{2 ln 2}+e^{ ln 2}-6=4 a+2-6=0]

[eqn: a=1]

즉, [eqn: f(x)=e^{2 x}+e^{x}-6]

[eqn: int_{0}^{14} g(x) d x]에서 [eqn: x=f left(t right)`]라 하면 [eqn: dx=f`prime left(t right)dt`]이고

[eqn: x=0`]일 때, [eqn: f left(t right)=left(e^t +3right)left(e^t -2right)=0`]에서

[eqn: e^t =2],    [eqn: t=ln`2]

[eqn: x=14`]일 때, [eqn: f left(t right)=e^2t +e^t -6=14`]에서

[eqn: left(e^t +5right)left(e^t -4right)=0],    [eqn: e^t =4],    [eqn: t=ln`4]

[eqn: therefore] [eqn: int_{0}^{14} g(x) d x][eqn: =int_{ln`2}^{ln`4} g left(f left(t right)right)`f`prime left(t right)`dt]
[eqn: =int_{ln`2}^{ln`4} tf`prime left(t right)`dt]
[eqn: =left[tf left(t right)pile{`#`}right]_{ln`2}^{ln`4}-int_{ln`2}^{ln`4}`f left(t right)`dt]
[eqn: =14 ln 4- int_{ ln 2}^{ ln 4} left(e^{2 t}+e^{t}-6 right) d t]
[eqn: =14 ln 4- left[ pile{it #it} {1} over {2} e^{2 t}+e^{t}-6 t right]_{ ln 2}^{ ln 4}]
[eqn: =28 ln 2-(8-6 ln 2)]
[eqn: =34 ln 2-8]

따라서 [eqn: p=`-8], [eqn: q=34]이므로

[eqn: p+q=26]

(가) [eqn: lim _{x ``->`` - INF } {} {f LEFT (x RIGHT )+6} over {e ^{x}} =1]

(나) [eqn: f LEFT ( ln` 2 RIGHT )=0]

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]의 역함수를 [eqn: g LEFT (x RIGHT )]라 할 때, [eqn: int _{0} ^{14} {} g LEFT (x RIGHT )dx=p+q ln` 2]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p], [eqn: q]는 유리수이고, [eqn: ln` 2]는 무리수이다.)

06 미적	12 정적분
03 치환적분과 부분적분의 활용
03 활용3 (함수 구하기)

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]와 함수 [eqn: f(x) = {LEFT |` x `RIGHT |}over{x^{2}+ 1}]에 대하여 함수 [eqn: g(x) = cases{`` f(x) &(x < a)#`` f(b - x) &(x ≥ a)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: int _{a}^{a - b}g(x)`dx]의 값은?

[정답] ①

[해설]

그림과 같이 [eqn: a = it -1], [eqn: b = it -2]일 때이다.

[eqn: int_-1^1 g(x)`dx][eqn: = int_1^3 x over{ x^2 +1}`dx][eqn: = LEFT [ {1} over {2}`ln(x ^{2} +1) RIGHT ] _{1} ^{3}][eqn: = {1} over {2}`ln`5]

① [eqn: {1}over{2}`ln`5]	② [eqn: ln`5]	③ [eqn: {3}over{2}`ln`5]

④ [eqn: 2`ln`5]	⑤ [eqn: {5}over{2}`ln`5]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 29

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =sin` LEFT ( ax RIGHT )]([eqn: a != 0])에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: 14]

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: int _{ 0} ^{pi overa } {f LEFT ( x RIGHT ) }``dx][eqn: = int _{ 0} ^{pi overa } { sin` LEFT ( ax RIGHT ) }`dx]
[eqn: = left[ - 1overa `cos` LEFT ( ax RIGHT ) right]_0 ^{pi overa} = 2overa]

[eqn: 2overa geq 1over2]이므로

[eqn: 0<a leq4]	[eqn: cdotscdots] ㉠

조건 (나)에서

[eqn: int _{ 0} ^{3pi } left{ left|`f LEFT ( x RIGHT )+t `right|-left|`f LEFT ( x RIGHT )-t `right| right}`dx =0]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )= left|`f LEFT ( x RIGHT )+t`right| - left|`f LEFT ( x RIGHT )-t`right|]라 하면

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )= cases{ ``-2t&&& LEFT ( -1 leq` sin` LEFT ( ax RIGHT )< - t RIGHT )#``2`sin` LEFT ( ax RIGHT )&&& LEFT ( -t leq `sin` LEFT ( ax RIGHT )<t RIGHT )#``2t &&& LEFT ( t leq `sin` LEFT ( ax RIGHT ) leq1 RIGHT )]

함수 [eqn: y= g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같으므로

[eqn: 0<k< 2piovera]인 모든 실수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: int _{ 0} ^{k } {g LEFT ( x RIGHT ) }`dx>0]이고, [eqn: int _{ 0} ^{2piovera } {g LEFT ( x RIGHT ) }`dx=0]이다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 주기가 [eqn: 2pi overa]이고 [eqn: int _{ 0} ^{ 3pi} {g LEFT ( x RIGHT ) }`dx=0]이므로

[eqn: 3pi = 2piovera timesn ~(n]은 자연수[eqn: ),~a= 2over3n]

㉠에서 [eqn: 0< 2over3 n leq4]

따라서 구하는 모든 실수 [eqn: a]의 값은

[eqn: 2over3 , ~4over3 ,~2,~ 8over3 ,~ 10over3 ,~4]이므로 그 합은 [eqn: 14]이다.

(가) [eqn: int _{0} ^{{pi } over {a}} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx GEQ {1} over {2}]

(나) [eqn: 0<t<1]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여
[eqn: int _{0} ^{3pi} {} LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) +t` RIGHT | `dx][eqn: = int _{0} ^{3pi} {} LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) -t` RIGHT | dx]
이다.

06 미적	12 정적분
03 치환적분과 부분적분의 활용
04 활용4 (정의된 함수)

[출처]	2006 모의_공공 교육청 고3 10월 미분과 적분 28

[eqn: a _{n} = int _{0} ^{{pi } over {4}}}{} tan` ^{n} x dx][eqn: LEFT ( n = 1,`` 2,`` 3,` CDOTS` RIGHT ) `]으로 정의할 때, 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은?

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: a _{1} `+`a _{3} `=` int _{0} ^{{pi } over {4}} {} `tan`x``dx```+` int _{0} ^{{pi } over {4}} {} `tan ^{3} `x``dx``]

[eqn: `=` int _{0} ^{{pi } over {4}} {} `tan`x`(1`+`tan ^{2} `x`)`dx``][eqn: `=` int _{0} ^{{pi } over {4}} {} `tan`x`````sec ^{2} `x``dx``]

[eqn: tan`x`=`t`]일 때, [eqn: sec ^{2} `x`=` {dt} over {dx} ``]이므로

[eqn: `` int _{0} ^{{pi } over {4}} {} `tan`x`````sec ^{2} `x``dx```=` int _{0} ^{1} {} `t```dt`][eqn: `=` LEFT [ {1} over {2} `t ^{2} ` RIGHT ] _{0} ^{1} `=` {1} over {2} `] (참)

ㄴ. 마찬가지로 생각하면

[eqn: a _{2} `+`a _{4} `][eqn: ``=` int _{0} ^{1} {} `t ^{2} ```dt`][eqn: `=` LEFT [ {1} over {3} `t ^{3} ` RIGHT ] _{0} ^{1} `=` {1} over {3} `]

∴ [eqn: a _{1} `+a _{2} `+a _{3} `+a _{4} `=` {1} over {2} `+` {1} over {3} `](참)

ㄷ. 일반적으로 [eqn: a _{4k+1} `+a _{4k+2} `+a _{4k+3} `+a _{4k+4} ``]

[eqn: =`(a _{4k+1} `+a _{4k+3} `)+(a _{4k+2} `+a _{4k+4} `)`]

[eqn: ``=` int _{0} ^{1} {} `t ^{4k+1} ````dt`][eqn: ``+ int _{0} ^{1} {} `t ^{4k+2} ````dt`][eqn: =` {1} over {4k+2} `+` {1} over {4k+3} `]

∴ [eqn: sum _{k=1} ^{100} a _{k} `=`][eqn: sum _{k=0} ^{24} (a _{4k+1} `+a _{4k+2} `+a _{4k+3} `+a _{4k+4} `)``]

[eqn: =` sum _{k=0} ^{24} LEFT ( ` {1} over {4k+2} `+` {1} over {4k+3} ` RIGHT ) ``]

[eqn: =` {1} over {2} `+` {1} over {3} `+` {1} over {6} `+` {1} over {7} `+` CDOTS `+` {1} over {98} `+` {1} over {99} `] (거짓)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a _{1} +a _{3} = {1} over {2}] ㄴ. [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} = {1} over {2} + {1} over {3}] ㄷ. [eqn: sum _{k=1} ^{100} a _{k} = {1} over {2} + {1} over {3} + {1} over {4} + `CDOTS` + {1} over {51}]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 03월 16

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= lim _{n `->` INF } {{x ^{2n} +cos`2 pi x} over {x ^{2n} +1}} `]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]를

[정답] ③

[해설]

ⅰ) [eqn: x>`1] 또는 [eqn: x< -1]일 때

[eqn: lim _{n` -> INF } {` {1} over {x ^{2n}}}=0]이므로

[eqn: f(x)=` lim _{n -> INF } {} {x ^{2n} +cos`2 pi x} over {x ^{2n} +1}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {1+ {1} over {x ^{2n}} TIMES cos`2 pi `x} over {1+ {1} over {x ^{2n}}}][eqn: =1]

ⅱ) [eqn: x=`1]일 때

[eqn: f(1)=` lim _{n -> INF } {} {1 ^{2n} +cos`2 pi } over {1 ^{2n} +1}][eqn: =1]

ⅲ) [eqn: x=`-1]일 때

[eqn: f(-1)=` lim _{n -> INF } {} {(-1) ^{2n} +cos`2 pi (-1)} over {(-1) ^{2n} +1}][eqn: =1]

ⅳ) [eqn: -1<x<1]일 때

[eqn: lim _{n`-> INF } {`x ^{2n}} `=0]이므로

[eqn: f(x)=` lim _{n -> INF } {} {x ^{2n} +cos`2 pi x} over {x ^{2n} +1}][eqn: =cos2 pi x]

ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)로부터 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x)=cases{1~~~&(|`x`|ge1)#cos 2pix~&(|`x`|<1)]

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 아래 그림과 같다.

[eqn: g(x)= int _{-x} ^{2} {f(t)dt`+ int _{2} ^{x} {t`f(t)dt`}}]에서

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이고,

함수 [eqn: y=x`f(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

[eqn: g(-2)= int _{2} ^{2} {f(t)dt`+ int _{2} ^{-2} {t`f(t)dt`}}]

[eqn: =0+ int _{2} ^{-2`} {tf(t)dt}]

[eqn: = int _{2} ^{-2`} {tf(t)dt}][eqn: =0]

[eqn: g(2)= int _{-2} ^{2} {f(t)dt`+ int _{2} ^{2} {t`f(t)dt`}}]

[eqn: = int _{-2} ^{2} {f(t)dt`}][eqn: +`0]

[eqn: = 2 int _{0} ^{2} {f(t)dt`}]

[eqn: =2 left{ int _{0} ^{1} f(t)dt+ int _{1} ^{2} {} f(t)dt right}]

[eqn: =2 LEFT [ {1} over {2 pi } `sin2 pi t RIGHT ] _{0} ^{1} +2 LEFT [pile{`#`} t pile{`#`} RIGHT ] _{1} ^{2}]

[eqn: =0 +2 =2`]

따라서 [eqn: g(-2)+g(2)=0+2=2]

[참고]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: y]축에 대하여 대칭이면

[eqn: f(-x)=f(x)]이고,

[eqn: g(x)=x`f(x)]라 하면

[eqn: g(-x)=(-x)f(-x)]

[eqn: =`-xf(x)]

[eqn: =`-g(x)]이므로

함수 [eqn: y=xf(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= int _{-x} ^{2} {f LEFT (t RIGHT ) dt} + int _{2} ^{x} {tf LEFT (t RIGHT ) dt}`]

라 할 때, [eqn: g LEFT (-2 RIGHT ) +g LEFT (2 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 04월 20

그림과 같이 세 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,`` 1 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 4,`` 1 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( 4,`` 5 RIGHT ) `]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다. 점 [eqn: rmP`]는 점 [eqn: rmA`]를 출발하여 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 변을 따라 점 [eqn: rmrmB`]를 지나 점 [eqn: rmC`]까지 매초 [eqn: 1`]의 일정한 속력으로 움직이고 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =kx ^{2} `]의 그래프가 점 [eqn: rmP`]를 지난다. [eqn: t `]초 후 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 접선의 기울기를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, 점 [eqn: rmP`]는 한 번 지나간 점은 다시 지나가지 않는다.)

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: 0 LEQ t<3]일 때 점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: {rmA} LEFT ( `1,``1 RIGHT )]을 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: t]만큼 평행이동한 점이므로 점 [eqn: rmP]의 좌표는
[eqn: LEFT ( ` t+1,``1 RIGHT )][eqn: therefore](참)

ㄴ. 점 [eqn: rm P LEFT ( ` it t+1,``1 RIGHT )]은 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =kx ^{2}] 위의 점이므로
[eqn: k= {1} over {LEFT ( t+1 RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =2kx]이므로
[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =f` prime LEFT ( t+1 RIGHT ) = {2} over {t+1}][eqn: therefore](참)

ㄷ. [eqn: 3 LEQ t LEQ 7]일 때 점 [eqn: rm P]는 점 [eqn: rm B LEFT ( `4,``1 RIGHT )]을 [eqn: y]축 방향으로 [eqn: LEFT ( t-3 RIGHT )]만큼 평행이동한 점이므로 점 [eqn: rmP]의
좌표는 [eqn: LEFT ( ` 4,``t-2 RIGHT )]이다. 점 [eqn: rmP]는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =kx ^{2}]
위의 점이므로 [eqn: k= {t-2} over {16}]
[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =f` prime LEFT ( 4 RIGHT ) = {t-2} over {2}]
[eqn: therefore][eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = {cases{````` {2} over {t+1 _{` _{`}}}&`````` LEFT ( 0 LEQ t<` 3 RIGHT ) _{` _{`}}#````` {t-2} over {2} ` ^{`}&`````` it (3 LEQ t LEQ 7) ^{` ^{`}}}}]

[eqn: int _{0} ^{7} {g LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: = int _{0} ^{3} {g LEFT ( t RIGHT ) dt+ int _{3} ^{7} {g LEFT ( t RIGHT ) dt}}]

[eqn: = int _{0} ^{3} {{2} over {t+1} dt+ int _{3} ^{7} {{t-2} over {2} dt}}]

[eqn: = LEFT [ 2ln LEFT | t+1 RIGHT | _{` _{`}}^{` ^{`}} RIGHT ] _{0}^{3} + LEFT [ {1} over {4} t ^{2} -t RIGHT ] _{3}^{7}]
[eqn: =6+4ln2][eqn: therefore](참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

	<보 기>
ㄱ. [eqn: 0 LEQ t<3 `]일 때 점 [eqn: rmP`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( t+1,`` 1 RIGHT )`] ㄴ. [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = {2} over {t+1}][eqn: LEFT ( 0 LEQ t<3 RIGHT )`] ㄷ. [eqn: int _{0} ^{7} {g LEFT ( t RIGHT )} dt=6+4 ln 2`]

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 11월 21

실수 [eqn: t`]에 대하여 곡선 [eqn: y=e ^{x} `] 위의 점 [eqn: (t,````e ^{t} )`]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y=f(x)`]라 할 때, 함수 [eqn: y= LEFT | `f(x)+k-ln`x` RIGHT | `]가 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 실수 [eqn: k`]의 최솟값을 [eqn: g(t)`]라 하자. 두 실수 [eqn: a], [eqn: b][eqn: ( a < b )]에 대하여 [eqn: int _{a} ^{b} {`} g(t)`dt=m`]이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

곡선 [eqn: y=e ^{x} `]에서 [eqn: y prime =e ^{x} `]

곡선 [eqn: y=e ^{x} `]위의 점 [eqn: (t,````e ^{t} )`]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=f(x)`]이므로

[eqn: f(x)=e ^{t} (x-t)+e ^{t} `]

함수 [eqn: y= LEFT | f(x)+k-lnx RIGHT | `]에서

[eqn: h(x)`][eqn: =f(x)+k`]
[eqn: =e ^{t} x+(1-t)e ^{t} +k`]

라 하자.

함수 [eqn: y= LEFT | f(x)+k-lnx RIGHT | `]가 미분가능하고,

실수 [eqn: k`]가 최소일 때는

곡선 [eqn: y=h(x)`]와 곡선 [eqn: y=lnx`]가 한 점에서 만날 때이다.

곡선 [eqn: y=h(x)`]와 곡선 [eqn: y=lnx`]가 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: p`]라 하면

[eqn: e ^{t} p+(1-t)e ^{t} +k=lnp`]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

또 [eqn: h'(x)=e ^{t} `]이고, [eqn: y=lnx`]에서 [eqn: y'= {1} over {x} `]이므로

[eqn: e ^{t} = {1} over {p} `]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

[eqn: lnp=ln {1} over {e ^{t}} =-t`]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉢

㉡, ㉢을 ㉠에 대입하면

[eqn: {1} over {p} timesp+(1-t)e ^{t} +k=-t`]

[eqn: k=(t-1)e ^{t} -t-1`]

따라서

[eqn: g(t)=(t-1)e ^{t} -t-1`]

ㄱ. [eqn: g prime (t)][eqn: =e ^{t} +(t-1)e ^{t} -1`]
[eqn: =te ^{t} -1`]

한편, [eqn: g''(t)=e ^{t} +te ^{t} =(t+1)e ^{t} `]

이므로 함수 [eqn: y=g'(t)`]의 그래프는 다음 그림과 같다.

이때 함수 [eqn: y=g'(t)`]의 그래프와 [eqn: t`]축이 만나는 점의 [eqn: t`]의 좌표를 [eqn: q`]라 하면 [eqn: p>0`]이므로 함수 [eqn: y=g(t)`]는 [eqn: t=q`]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: g(q)`][eqn: =qe ^{q} -e ^{q} -q-1`]
[eqn: =-e ^{q} -q<0`]

이므로 [eqn: m<0`]이 되도록 하는 두 실수 [eqn: a,~b`]가 존재한다. (참)

ㄴ. [eqn: g(c)=(c-1)e ^{c} -c-1=0`]에서

[eqn: e ^{c} = {c+1} over {c-1} `]

따라서

[eqn: g(-c)`][eqn: =(-c-1)e ^{-c} +c-1`]
[eqn: =-(c+1)times {c-1} over {c+1} +c-1`]
[eqn: =0`] (참)

ㄷ. [eqn: g'(t)=te ^{t} -1`]이고 ㄴ에서 [eqn: beta =c,```` alpha =-c`]이므로

[eqn: {1+g prime ( beta )} over {1+g prime ( alpha )} = {1+g prime (c)} over {1+g prime (-c)} = {ce ^{c}} over {-ce ^{-c}} =-e ^{2c} `]

한편, [eqn: g(1)=-2`]이므로

[eqn: c>1`]이다.

이때, [eqn: -e ^{2c} <e ^{2} `]이므로

[eqn: {1+g prime ( beta )} over {1+g prime ( alpha )} <e ^{2} `] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: m < 0]이 되도록 하는 두 실수 [eqn: a] , [eqn: b][eqn: ( a < b )]가 존재한다. ㄴ. 실수 [eqn: c] 에 대하여 [eqn: g(c) = 0]이면 [eqn: g(-c)=0]이다. ㄷ. [eqn: a=alpha] , [eqn: b= beta ````( alpha < beta )]일 때 [eqn: m`]의 값이 최소이면 [eqn: {1 +g prime (beta)}over{1+g prime (alpha)}< -e^{2}]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 28

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: {2}{{from^2021^09^평가원^중}}]인 원 [eqn: C]와 두 점 [eqn: rm A( 2 ,```` 0)], [eqn: rm B( 0 ,```` -2)]가 있다. 원 [eqn: C] 위에 있고 [eqn: x]좌표가 음수인 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm angle PAB = theta]라 하자. 점 [eqn: rm Q( 0 ,```` 2 cos theta)]에서 직선 [eqn: rm BP]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm R]라 하고, 두 점 [eqn: rm P]와 [eqn: rm R]사이의 거리를 [eqn: f(theta)]라 할 때, [eqn: int _{ pi over 6 } ^{pi over 3 } { f(theta) d theta }]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: rm bar QB = it 2+ 2 cos theta = 2 LEFT ( 1+cos theta RIGHT )]이고 직각삼각형 [eqn: rm QRB]에서

[eqn: rm angle QBR = pi over 2 - theta]이므로

[eqn: rm bar BR = bar QB times cos LEFT ( pi over 2 - theta RIGHT ) = 2 LEFT ( 1+ cos theta RIGHT ) sin theta]

삼각형 [eqn: rm APB]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 2]이므로 사인법칙에 의해 [eqn: rm { rm bar BP} over { sin theta} = 2 times 2]이므로 [eqn: rm bar BP = 4 sin theta]

따라서

[eqn: f(theta)][eqn: rm = bar BP - bar BR]
[eqn: = 4 sin theta - 2 LEFT ( 1+ cos theta RIGHT ) sin theta]
[eqn: = 2 sin theta - 2 cos theta sin theta]

이므로

[eqn: int _{ pi over 6} ^{ pi over 3} {f(theta) d theta }][eqn: = int _{ pi over 6 } ^{pi over 3 } { LEFT ( 2 sin theta - 2 cos theta sin theta RIGHT ) } d theta]
[eqn: = left[ pile{ it#it } -2 cos theta - sin ^2 theta right] _{pi over 6 } ^{pi over 3}]
[eqn: = LEFT ( -2 cos pi over 3 - sin ^2 pi over 3 RIGHT ) - LEFT ( -2 cos pi over 6 - sin ^2 pi over 6 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( - 1 - 3 over 4 RIGHT ) - LEFT ( -root3 - 1 over 4 RIGHT )]
[eqn: = { 2root3 - 3 } over { 2}]

① [eqn: { 2root3 - 3 } over {2 }]	② [eqn: root3 -1]	③ [eqn: { 3root3 - 3 } over {2 }]

④ [eqn: { 2root3 - 1 } over {2 }]	⑤ [eqn: { 4root3 - 3 } over {2 }]

06 미적	12 정적분
03 치환적분과 부분적분의 활용
05 활용5 (그래프 추론)

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 11월 미분과 적분 29

실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{2} {f LEFT (x RIGHT )dx}`]의 최솟값은?

[정답] ③

[해설]

(ⅰ) [eqn: 0<x<1]일 때
[eqn: f`'(x) = int _{ } ^{ } { e^x` dx} =e^x +C] (단, [eqn: C`]는 적분상수)
조건 (가)에서 [eqn: f`'(0)=1]이므로 [eqn: 1+C=1]
[eqn: therefore```][eqn: C=0]
[eqn: f(x)= int _{ } ^{ } { e^x``dx = e^x +C_1}] (단, [eqn: C_1]은 적분상수)
조건 (가)에서 [eqn: f(0)=1]이므로 [eqn: 1+C_1 =1]
[eqn: therefore```][eqn: C_1 =0][eqn: therefore```][eqn: f(x) = e^x]

(ⅱ) [eqn: 1le x<2]일 때
조건 (나)에 의해 [eqn: f`'(x)]는 증가하는 함수이므로
[eqn: f`'(x) ge f`'(1)=e]
따라서 [eqn: f`'(x)=e]일 때 적분값이 최소가 된다.
즉, 점 [eqn: (1,~e)]를 지나고 기울기가 [eqn: e]인 직선의 방정식은 [eqn: f(x)=ex]이다.

그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: int _{ 0} ^{2 } { f(x)`dx}][eqn: = int _{ 0} ^{1 } { f(x)`dx + int _{ 1} ^{ 2} { f(x)`dx} }]
[eqn: >= int _{0} ^{1} {e ^{x} `dx+ int _{1} ^{2} {ex`dx}}]
[eqn: = [e^x ]_0^1][eqn: + left[ 1over2 ex^2 right]_1^2][eqn: = 5over2 e-1]

따라서 [eqn: int _{ 0} ^{2 } { f(x)`dx}]의 최솟값은 [eqn: 5over2 e -1]이다.

(가) [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=1], [eqn: f`' LEFT (0 RIGHT )=1`]

(나) [eqn: 0<a<b<2`]이면 [eqn: f`' LEFT (a RIGHT ) LEQ f`' LEFT (b RIGHT )`]이다.

(다) 구간 [eqn: LEFT (0,`` 1 RIGHT )`]에서 [eqn: f`'' LEFT (x RIGHT )=e ^{x}`]이다.

① [eqn: {1} over {2} e-1]	② [eqn: {3} over {2} e-1]	③ [eqn: {5} over {2} e-1]

④ [eqn: {7} over {2} e-2]	⑤ [eqn: {9} over {2} e-2]

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 09월 21

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]를

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x)]를 범위에 따라 정리해보면

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{0```` (- {7 pi } over {2} LEQ x LEQ -3 pi ,`-2 pi LEQ x LEQ - pi ,`0 LEQ x LEQ pi ,`2 pi LEQ x LEQ 3 pi )# -2sinx(-3 pi LEQ x LEQ -2 pi ,`- pi LEQ x LEQ 0`)}#2sinx````( pi LEQ x LEQ 2 pi ,`3 pi LEQ x LEQ {7 pi } over {2} )}} ``]

그래프는 다음과 같다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{a} ^{x} {f(t)dt GEQ 0}]이 되도록 하는 실수 [eqn: a]의

최솟값 [eqn: alpha=][eqn: - {7} over {2} pi], 최댓값 [eqn: beta =][eqn: -3 pi]

[eqn: THEREFORE ```` beta - alpha`=` -3 pi - left(- {7} over {2} pi right)= {1} over {2} pi]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT | sin`x RIGHT | -sin`x&~ LEFT ( - {7} over {2} pi LEQ x LEQ 0 RIGHT )#``sin`x- LEFT | sin`x RIGHT |&~ LEFT ( 0 LEQ x LEQ {7} over {2} RIGHT )}}]

라 하자. 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ - 7 over 2 pi ,`` 7 over 2 pi RIGHT ] `]에 속하는 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: int_ a ^ x f LEFT (t RIGHT ) dt ge 0 `]이 되도록 하는 실수 [eqn: a`]의 최솟값을 [eqn: alpha], 최댓값을 [eqn: beta `]라 할 때, [eqn: beta - alpha `]의 값은?
(단, [eqn: - 7 over 2 pi le alpha le 7 over 2 pi])

① [eqn: pi over 2]	② [eqn: 3 over 2 pi]	③ [eqn: 5 over 2 pi]

④ [eqn: 7 over 2 pi]	⑤ [eqn: 9 over 2 pi]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 04월 27

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold12]

[해설]

(가)와 (나)에서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 0 RIGHT ) =1], [eqn: f` LEFT ( 1 RIGHT ) =1]

[eqn: 1 LEQ x LEQ 2]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 연속이고
[eqn: 1<x<2]에서 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =1]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: int _{0} ^{6} {f LEFT ( x RIGHT ) dx=3 int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}}]

[eqn: =3 int _{0} ^{1} {LEFT ( sin`pix+1 RIGHT ) dx+3 int _{1} ^{2} {dx}}]

[eqn: =3 times LEFT [ - {1} over {pi } `cos` pi x+x RIGHT ] _{0} ^{1} +3]

[eqn: =6+ {6} over {pi}]

따라서 [eqn: p=6], [eqn: q=6]이고 [eqn: p+q`=12]

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+2 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )`]이다.

(나) [eqn: 0 LEQ x LEQ 1`]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin` pi x+1`]이다.

(다) [eqn: 1<x<2`]일 때, [eqn: f `' LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0 `]이다.

[eqn: int _{0} ^{6} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =p+ {q} over {pi } `]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q`]는 정수이다.)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 20

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2020^11^대수능고3가^5}}][eqn: =pi`sin`2pi`x]에 대하여 정의역이 실수 전체의 집합이고, 치역이 집합 [eqn: LEFT { 0,````1 RIGHT }]인 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]와 자연수 [eqn: n]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: n]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( nx RIGHT ) `g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 치역이 [eqn: LEFT { 0,~1 RIGHT }]이다.

한편, 구간 [eqn: LEFT [ -1,~1 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( nx RIGHT )]의 함숫값이 [eqn: 0]이 되는 [eqn: x]의 값은

[eqn: x= {k} over {2n}] (단, [eqn: -2n le k le 2n]인 정수)

그러므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 어떤 정수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: LEFT [ {k} over {2n} ,~ {k+1} over {2n} RIGHT ]]에서 [eqn: 0]이어야 한다.

한편,

[eqn: int _{0} ^{{1} over {2n}} {} f LEFT ( nx RIGHT ) dx][eqn: = int _{0} ^{{1} over {2n}} {} pi{sin`2pix}dx]
[eqn: = LEFT [ - {1} over {2n} `cos`2n pi x RIGHT ] _{0}^{{1} over {2n}}]
[eqn: = {1} over {2n} - LEFT ( - {1} over {2n} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {n}]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]인 구간에서 함수 [eqn: f LEFT ( nx RIGHT )]의 정적분은

[eqn: {1} over {n} TIMES n TIMES 2][eqn: =2]

조건에서 [eqn: int _{-1} ^{1} {} h LEFT ( x RIGHT ) dx=2]이므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{1&~~~ LEFT ( f LEFT ( nx RIGHT ) >0 RIGHT )#0&~~~ LEFT ( f LEFT ( nx RIGHT ) LEQ 0 RIGHT )}}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이어야 한다.

[eqn: int _{-1} ^{1} {} xh LEFT ( x RIGHT ) dx]

[eqn: = int _{0} ^{-1} {} xf LEFT ( nx RIGHT ) g(x) dx][eqn: +int _{0} ^{1} {} xf LEFT ( nx RIGHT ) g(x) dx]
[eqn: = int _{0} ^{1} {} xf LEFT ( nx RIGHT ) dx] ([eqn: because] ㉠)
[eqn: = int _{0} ^{1} {} pi x`sin`2n pi x`dx] ([eqn: because] ㉡)
[eqn: = LEFT [ - {x} over {2n} `cos` LEFT ( 2n pi x RIGHT ) RIGHT ] _{0}^{1} - int _{0} ^{1} {} LEFT ( - {1} over {2n} `cos`2n pi x RIGHT ) `dx]
[eqn: = it - {1} over {2n} + {1} over {2n} TIMES LEFT [ {1} over {2n` pi } `sin`2n pi x RIGHT ] _{0}^{1}]
[eqn: = it - {1} over {2n}]

조건에서 [eqn: int _{-1} ^{1} {} x`h LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: = it - {1} over {32}]이므로 [eqn: it - {1} over {2n}][eqn: = it - {1} over {32}]

[eqn: therefore][eqn: n=16]

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( nx RIGHT ) `g LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이고

[eqn: int _{-1} ^{1} {} h LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: =2], [eqn: int _{-1} ^{1} {} x`h LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: = it - {1} over {32}]

이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

06 미적	12 정적분
04 정적분으로 정의된 함수
02 정적분으로 정의된 함수2 (적분함수)

[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 10월 미분과 적분 28

실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가

[정답] ④

[해설]

ㄱ. 주어진 식에 [eqn: x=0``]을 대입하면

[eqn: f(0)=e ^{0} -1+ int _{0} ^{0} {f(t)dt} =1-1+0=0``]   ∴ 참

ㄴ.  주어진 식을 [eqn: x``]에 대하여 미분하면

[eqn: f` prime (x)=e ^{x} +f(x)``], [eqn: f` prime (0)=e ^{0} +f(0)=1``] ∴ 거짓

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: f` prime (x)-f(x)=e ^{x} >0``]이므로

[eqn: f` prime (x)>f(x)``]   ∴ 참

[eqn: f LEFT (x RIGHT )=e ^{x} -1+ int _{0} ^{x} {f LEFT (t RIGHT )} dt `]

를 만족할 때, <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: e `]는 자연로그의 밑)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=0 `]이다. ㄴ. [eqn: f `' LEFT (0 RIGHT )=0 `]이다. ㄷ. 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f `' LEFT (x RIGHT )>f LEFT (x RIGHT ) `]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

[출처]	2011 모의_공공 평가원 고3 09월 20

구간 [eqn: LEFT [0,`` {pi } over {2} RIGHT ]`]에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )`]의 값은?

[정답] ④

[해설]

조건(나)에서

[eqn: cos x `int_0^x`f(t)`dt` = - sin x `int_{pi over 2 }^x`f(t)`dt`]

양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: - sin x `int_0^x`f(t)`dt`+ cos x` cdotf(x)`][eqn: = - cos x `int_{pi over 2 }^x`f(t)`dt` - sin x cdot``f(x)`]

등식의 양변에 [eqn: x= pi over 4`]를 대입하면

[eqn: - root2 over 2 int_0^{ pi over 4 }` f(t)`dt` + root2 over 2 `f left( pi over 4 right)`]

[eqn: = - root2 over 2 int_{pi over 2}^{pi over 4 }`f(t)`dt` - root2 over 2` f left( pi over 4 right)`]

[eqn: root2` f left( pi over 4 right) = root2 over 2 int_0^{ pi over 4 }`f(t)`dt` + root2 over 2 int_{ pi over 4 }^{pi over 2 }`f(t)`dt`]

[eqn: = root2 over 2 int_0^{ pi over 2 } `f(t`)dt`][eqn: = root2 over 2 times 1 `] (∵ 조건(가) )

∴ [eqn: f left( pi over 4 right) = root2 over2 times 1over root2` = 1 over 2`]

(가) [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {f LEFT (t RIGHT )dt=1}]

(나) [eqn: cos`x int _{0} ^{x} {f LEFT (t RIGHT )dt=sin`x int _{x} ^{{pi } over {2}} {f LEFT (t RIGHT )dt}}]
(단, [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {2}])

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

[출처]	2011 모의_공공 평가원 고3 11월 28

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=3 LEFT (x-1 RIGHT ) ^{2} +5`]에 대하여 함수 [eqn: F` LEFT (x RIGHT )`]를 [eqn: F` LEFT (x RIGHT )= int _{0} ^{x} {f LEFT (t RIGHT )dt}`]라 하자. 미분 가능한 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: F` LEFT (g LEFT (x RIGHT ) RIGHT )= {1} over {2} F` LEFT (x RIGHT )`]를 만족시킨다. [eqn: g `' LEFT (2 RIGHT )=p `]일 때, [eqn: 30p `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 24]

[해설]

[eqn: F``(x) = int _{ 0} ^{x } { f(t)dt}]에서 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: F``'(x)=f(x)]

[eqn: F``(g(x))= 1over2 F``(x)]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(g(x)) g'(x) = { 1} over { 2} f(x)]

[eqn: x=2]를 대입하면 [eqn: f(g(2)) g'(2) = { 1} over { 2} f(2)]…… ㉠

[eqn: F``(x)][eqn: = int _{ 0} ^{x } { left{ 3(t-1)^2 +5 right}dt}]
[eqn: = int _{ 0} ^{x } {(3t^2 - 6t +8)dt }][eqn: = left[ t^3 -3t^2 +8t right]_0^x]
[eqn: = x^3 - 3x^2 +8x]

[eqn: F``(g(2)) = 1over2 F``(2) = 6]에서 [eqn: g(2)=a]로 놓으면

[eqn: a^3 - 3a^2 +8a= 6], [eqn: a^3 - 3a^2 +8a -6=0]

[eqn: (a-1)(a^2 - 2a+6)=0][eqn: therefore```][eqn: a=1]

즉, [eqn: g(2)=1]이므로 ㉠에 대입하면

[eqn: f(1) g'(2) = 1over2 f(2)]

이때, [eqn: f(1)=5], [eqn: f(2)=8]이므로

[eqn: g'(2) = 4over5 = p][eqn: therefore```][eqn: 30p = 30 times 4over5 = 24]

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 10월 15

두 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )], [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]가 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT (0 RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: a `]는 상수이다.)

[정답] ④

[해설]

(나)에서 [eqn: int _{} ^{} {}_0 ^{pi over 2} f(t) dt =k]라 두면 [eqn: g(x) =k cos x +3]

(가)에서 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: -k =(k+3+a)cdot0 -2]이므로 [eqn: k=2]이고, [eqn: x= pi over 2]를 대입하면 [eqn: 0=(3+a)cdot1 -2]이므로 [eqn: a=`-1]이다. 따라서 [eqn: g(x) = 2cos x +3]이므로

[eqn: int _ {piover2} ^x f(t) dt = (2cosx+2) sin x -2]

[eqn: f(x) =` -2 sin ^2 x + (2cos x +2 )cos x] ∴ [eqn: f(0) = 4]

(가) [eqn: int _{{pi } over {2}}^{ x} {} f LEFT (t RIGHT )dt= LEFT { g LEFT (x RIGHT )+a RIGHT } sin`x-2]

(나) [eqn: g LEFT (x RIGHT )= int _{0} ^{ { pi} over {2 } } {} f LEFT (t RIGHT )dt cos`x +3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 11월 21

연속함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]의 그래프가 원점에 대하여 대칭이고, 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= {pi } over {2} int _{1} ^{x+1} {f LEFT (t RIGHT )dt}`]이다. [eqn: f LEFT (1 RIGHT )=1`]일 때, [eqn: pi ^{2} int _{0} ^{1} {xf LEFT (x+1 RIGHT )dx}`]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x)= {pi } over {2} int _{1} ^{x+1} {f(t)dt}]    ……… ㉠

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(x)= {pi } over {2} f(x+1)]이므로  [eqn: f(x+1)= {2} over {pi } f`'(x)]

[eqn: pi ^{2} int _{0} ^{1} {xf(x+1)dx= pi ^{2} int _{0} ^{1} {{x TIMES {2} over {pi } f`'(x)}dx=2 pi int _{0} ^{1} {xf`'(x)dx}}}]

[eqn: int _{0} ^{1} {xf`'(x)dx}]에서 [eqn: u=x,```v`'=f`'(x)]로 놓으면

[eqn: u`'=1,```v=f(x)]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {xf` prime (x)dx} = LEFT [ xf(x) RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {f(x)dx} =f(1)- int _{0} ^{1} {f(x)dx}]

한편, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 원점에 대하여 대칭이므로 [eqn: f(1)=1]에서 [eqn: f(-1)=-1]이다.

[eqn: -1=f(-1)= {pi } over {2} int _{0} ^{1} {f(t)dt}]에서 [eqn: int _{0} ^{1} {f(t)dt= {2} over {pi }}]

[eqn: THEREFORE ` pi ^{2} int _{0} ^{1} {xf(x+1)dx`=2 pi TIMES left { f(1)- int _{0} ^{1} {f(x)dx} right}]

[eqn: =2 pi TIMES (1- {2} over {pi } )=2( pi -2)]

① [eqn: 2 LEFT ( pi -2 RIGHT )]	② [eqn: 2 pi -3]	③ [eqn: 2 LEFT ( pi -1 RIGHT )]

④ [eqn: 2 pi -1]	⑤ [eqn: 2 pi]

06 미적	12 정적분
04 정적분으로 정의된 함수
03 정적분으로 정의된 함수3 (피적분함수의 변수와 상수의 구분)

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 10월 미분과 적분 29

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (-x RIGHT ) =`-f LEFT ( x RIGHT ) `]를 만족시킨다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: g`(`x`)`=`-sinx int _{- {pi } over {2}} ^{x} {} f(t)dt+cosx CDOT f(x)]

ㄱ. [eqn: g`(`0`)`][eqn: =``0`] (∵[eqn: f(`0`)=0]) (참)

ㄴ. [eqn: g(-x)=-sin(-x) int _{- {pi } over {2}} ^{-x} {} f(t)dt+cos(-x) CDOT f(-x)]

[eqn: =sinx`` LEFT ( int _{- {pi } over {2}} ^{-x} {} f(t)dt+ int _{-x} ^{x} {} f(t)dt right)-cosx CDOT f(x) RIGHT .]

[eqn: =sinx int _{- {pi } over {2}} ^{x} {} f(t)dt-cosx CDOT f(x)]=[eqn: -g(x)] (참)

ㄷ. [eqn: g `LEFT (` - {pi } over {2} `RIGHT ) `=`g`(`0`)]이므로 평균값의 정리에 의해 [eqn: LEFT ( - {pi } over {2} ,``0 RIGHT )]에서 [eqn: g`'(c) =0]인 [eqn: c]가 적어도 하나 존재한다. 마찬가지로 [eqn: LEFT ( 0,~ {pi } over {2} RIGHT )]에서 [eqn: g`'(c) =0]인 [eqn: c]가 적어도 하나 존재한다. (참)

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {d} over {d x} int _{- {pi } over {2}} ^{x} {cos` x · f LEFT ( t RIGHT ) dt } `]

라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) = 0] ㄴ. 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: g LEFT ( -x RIGHT ) =`-g LEFT ( x RIGHT ) `]이다. ㄷ. [eqn: g `' LEFT ( c RIGHT ) = 0 `]인 실수 [eqn: c `]가 열린구간 [eqn: LEFT ( - pi over 2 ,`` pi over 2 RIGHT ) `]에서 적어도 두 개 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 09월 미분과 적분 28

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 모든 실수 [eqn: t`]에 대하여

[정답] ④

[해설]

[eqn: int_0 ^2 x f(tx) dx = 4t^2]에서 [eqn: tx = y`]로 놓으면

[eqn: t = dy over dx]에서 [eqn: dx = dy over t]

[eqn: x=0]일 때, [eqn: y=0]

[eqn: x= 2]일 때, [eqn: y= 2t]이므로

[eqn: int_0 ^2 x f(tx) dx = int_0 ^2t y over t f(y) dy over t][eqn: = 1over t^2 int_0 ^2t yf(y) dy][eqn: =4t^2]

∴ [eqn: int_0 ^2t y f(y) dy = 4t^4]

양변을 [eqn: t`]에 관하여 미분하면

[eqn: 2t f(2t) times (2t)`' = 16t^3]  ∴ [eqn: f(2t) = 4t^2]  ∴ [eqn: f(2) = 4`]

[eqn: int _{0} ^{2} {xf LEFT (tx RIGHT )} dx=4t ^{2}`]

을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT (2 RIGHT )`]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 06월 27

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= 1 over 1+x `]에 대하여

[정답] [eqn: 9]

[해설]

[eqn: x-t =u]라 하면 [eqn: t= x-u]

[eqn: cases{ t=0,```````&u=x#t=x, ```````&u=0]

[eqn: dt = - du]이므로 [eqn: F(x) = int_0^x t f( x-t) dt = - int_x^0 (x-u) f(u) du]

[eqn: = int_0^x (x-u) f(u) du][eqn: = x int_0^x f(u) du - int_0^x u f(u) du]

[eqn: F' (x)= int_0^x f(u) du + x f(x) - xf(x)][eqn: = int_0^x f(u) du]

[eqn: F``' (a) = int_0^a 1 overu+1 du = left[ ln (u+1) right]_0^a = ln (a+1) = ln 10]

∴ [eqn: a=9]

[eqn: F` LEFT (x RIGHT )= int from 0 to x t f LEFT (x-t RIGHT ) dt][eqn: LEFT (x GEQ 0 RIGHT ) `]

일 때, [eqn: F `' LEFT (a RIGHT )=ln 10 `]을 만족시키는 상수 [eqn: a `]의 값을 구하시오.

06 미적	12 정적분
04 정적분으로 정의된 함수
05 활용2 (적분식의 모양 변경)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 03월 16

연속함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가

[정답] ④

[해설]

[eqn: int _{-1} ^{x} {f(t)`dt=F(x)} `]이므로 [eqn: F`` prime (x)=f(x)], [eqn: F`(-1)=0]

[eqn: int _{0} ^{1} {xf(x)`dx= int _{0} ^{-1} {xf(x)`dx}} `]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {xf(x)`dx- int _{0} ^{-1} {xf(x)`dx} =0} `]

[eqn: int _{0} ^{1} {xf(x)`dx+ int _{-1} ^{0} {xf(x)`dx} =0} `]

[eqn: int _{-1} ^{1} {xf(x)`dx=0} `]

정적분의 부분적분법에 의하여,

[eqn: int _{-1} ^{1} {} F(x)`dx][eqn: = LEFT [ pile{`#`} xF(x) RIGHT ] _{-1}^{1} - int _{-1} ^{1} {} xf(x)`dx]
[eqn: =F(1)+F(-1)-0]
[eqn: =F(1)+0]
[eqn: = int _{-1} ^{1} {} f(x)`dx][eqn: =12]

[eqn: int _{-1} ^{1} {f LEFT (x RIGHT ) dx=12}], [eqn: int _{0} ^{1} {xf LEFT (x RIGHT ) dx= int _{0} ^{-1} {xf LEFT (x RIGHT ) dx}}`]

를 만족시킨다. [eqn: int _{-1} ^{x} {f LEFT (t RIGHT ) dt=F` LEFT (x RIGHT )} `]라 할 때, [eqn: int _{-1} ^{1} {F` LEFT (x RIGHT ) dx} `]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 07월 20

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]와 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

[eqn: u` prime LEFT ( x RIGHT ) =x,~v LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) `]라 하면

[eqn: u LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} x ^{2} `,~v` prime LEFT ( x RIGHT ) =g` prime LEFT ( x RIGHT )`]

조건 (가)에 의하여 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =0`], [eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = {f LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT )} over {x} `]

[eqn: int _{1} ^{2} {xg LEFT ( x RIGHT ) dx}`]

[eqn: = LEFT [ {1} over {2} x ^{2} g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ] _{1}^{2} - int _{1} ^{2} {{1} over {2} x ^{2} g` prime LEFT ( x RIGHT ) dx}`]

[eqn: =2g LEFT ( 2 RIGHT ) - {1} over {2} g LEFT ( 1 RIGHT ) - int _{1} ^{2} {LEFT { {1} over {2} x ^{2} TIMES {f LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT )} over {x} RIGHT } dx} `]

[eqn: =2 TIMES 3- {1} over {2} TIMES 0- {1} over {2} int _{1} ^{2} {xf LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) dx}]

[eqn: x ^{2} +1=t`]라 하자.

[eqn: int _{1} ^{2} {xg LEFT ( x RIGHT ) dx} `]

[eqn: =6- {1} over {2} int _{2} ^{5} {{1} over {2} f LEFT ( t RIGHT ) dt}]

[eqn: =6- {1} over {4} TIMES 16=2`]

(가) 모든 양의 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )= int _{1} ^{x} {{f LEFT (t ^{2} +1 RIGHT )} over {t} dt}`]

(나) [eqn: int _{2} ^{5} {f LEFT (x RIGHT )dx} =16`]

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =3 `]일 때, [eqn: int _{1} ^{2} {xg LEFT ( x RIGHT ) dx} `]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

06 미적	12 정적분
04 정적분으로 정의된 함수
06 활용3 (도함수의 활용)

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 11월 미분과 적분 29

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]를

[정답] ④

[해설]

[eqn: f(x) = int_a^x "{"2+ sin (t^2 )"}"dt]에서

[eqn: f`'(x) = 2+sin x^2]이고

[eqn: f`''(x)= cos x^2 (2x ) = 2x `cos x^2]이다.

이때 [eqn: f`''(a) = 2a cos a^2 = root 3 a]에서

[eqn: cos a^2 = root3 over 2]   ∴ [eqn: a^2 = pi over6]

한편, [eqn: f^-1 (0)= b]로 놓으면

[eqn: f(b) = int_a^b "{"2+ sin (t^2 )"}"dt =0]

에서 [eqn: b=a]이다. 이때

[eqn: f`'(b) =f`'(a) = 2+sin a^2][eqn: =2+sin pi over 6 = 5 over 2]

이므로 [eqn: (f^-1 )`' (0) = 1 over {f`'(b) }= 2over 5]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{a} ^{x} {2+ rm sin` it LEFT ( t ^{2} RIGHT ) rm }dt } it`]

라 하자. [eqn: f `'' LEFT (a RIGHT )=SQRT { 3 }a `]일 때, [eqn: LEFT (f^{`-1} RIGHT )`' LEFT (0 RIGHT )`]의 값은?
(단, [eqn: a `]는 [eqn: 0＜a＜ sqrt {{pi _{ }} over {2 }} `]인 상수이다.)

① [eqn: {1_`}over {10}]	② [eqn: {1_`}over {5}]	③ [eqn: {3_`}over {10}]

④ [eqn: {2_`}over {5}]	⑤ [eqn: {1_`}over {2}]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 04월 20

그림은 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~~~1 &~ LEFT ( x LEQ 0 RIGHT ) #``-x+1 &~ LEFT ( x>0 RIGHT ) }} `]의 그래프이다.

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: x LEQ 0]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =1]이므로

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) `= int _{-1} ^{``0} {e ^{t} f LEFT ( t RIGHT ) `dt} ``= int _{-1} ^{``0} {e ^{t} `dt}][eqn: = LEFT [ e ^{t} RIGHT ] _{-1} ^{``0} =1- {1} over {e}] (참)

ㄴ. [eqn: g`' LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} f LEFT ( x RIGHT ) =0]이면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]이므로 [eqn: x=1]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증감표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]
[eqn: g prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g(x)]	↗	[eqn: e-1- {1} over {e}]	↘

[eqn: THEREFORE][eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 극댓값 [eqn: e-1- {1} over {e}]을 갖는다. (거짓)

ㄷ. ㄴ의 증감표에 의하여 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=0]은 많아야 [eqn: 2]개의 실근을 갖는다.

ⅰ) [eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) `=0]이므로 한 실근을 갖는다.

ⅱ) [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) `=e-1- {1} over {e} `>0], [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) `=`-1- {1} over {e} `<0]이므로 중간값의 정리에 의하여 열린 구간 [eqn: LEFT ( 1,``2 RIGHT )]에서 적어도 한 실근을 갖는다.

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=0]의 실근의 개수는 [eqn: 2] (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{-1} ^{x} {e ^{t} f LEFT ( t RIGHT ) dt}`]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =1- {1} over {e}] ㄴ. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 극댓값 [eqn: e - {1} over {e}`]을 갖는다. ㄷ. 방정식 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 실근의 개수는 [eqn: 2`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 20

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) =e^-x int _{ 0} ^{ x} { } sin` LEFT (t^2 RIGHT ) dt `]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: `0<x`<` sqrt {` pi }]에서

[eqn: e^-x >0], [eqn: sin (x^2 ) ge 0]이고, [eqn: sin 0 = 0], [eqn: sin pi =0]이므로

[eqn: f( sqrt { pi} ) = e^-pi int_0^{root pi} sin (t^2 ) dt > 0] (참)

ㄴ. [eqn: f' (x) = it -e^x int_0^x sin (t^2 ) dt + e^-x sin (x^2 )]

[eqn: f'(0)= it - e^-0 int _0^0 sin (t^2 ) dt + e^-0 sin(0^2 ) =0]

[eqn: f'(rootpi )][eqn: =it -e^{-rootpi } int_0 ^{rootpi } sin(t^2 ) dt + e^{-rootpi } sin (rootpi^2 )]
[eqn: =it - f(root pi ) <0]

함수 [eqn: f(x)]가 닫힌 구간 [eqn: left [ 0,~ rootpi right]]에서 연속이고, 열린

구간 [eqn: (0,~root pi )]에서 미분가능하므로 평균값의 정리에

의하여

[eqn: f(a) = {f(root pi )-f(0)} over { sqrt { pi}-0} >0]

를 만족시키는 [eqn: a]가 열린 구간 [eqn: (0,~root pi )]에서 적어도 하나 존재한다. (참)

ㄷ.ㄴ을 만족시키는 [eqn: a] ([eqn: 0<a <pi])에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가

닫힌 구간 [eqn: left [a ,~ root pi right]`]에서 연속이고, [eqn: f' (a) >0],[eqn: f'(rootpi ) <0]이므로 사잇값의 정리에 의하여

[eqn: f' (b) =0]

을 만족시키는 [eqn: n]가 열린 구간 [eqn: (0,~root pi )]에서 적어도 하나 존재한다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT (root pi RIGHT )>0] ㄴ. [eqn: f `' LEFT (a RIGHT )>0 `]을 만족시키는 [eqn: a `]가 열린 구간 [eqn: LEFT (0,`` root pi RIGHT )`]에 적어도 하나 존재한다. ㄷ. [eqn: f `' LEFT (b RIGHT )=0 `]을 만족시키는 [eqn: b `]가 열린 구간 [eqn: LEFT (0,`` rootpi RIGHT )`]에 적어도 하나 존재한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 06월 20

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = 5 over 2 - 10x over { x^2 + 4 } `]와 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) = { 4 - left| x -4 right| } over 2`]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ④

[해설]

(i) [eqn: 0 LEQ a LEQ 4`]일 때,

[eqn: int _{0} ^{a} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{a} ^{8} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: = int _{0} ^{a} {LEFT ( {5} over {2} - {10x} over {x ^{2} +4} RIGHT ) dx} + int _{a} ^{8} {{x} over {2} dx} `]

[eqn: = LEFT [ {5} over {2} x-5ln LEFT ( x ^{2} +4 RIGHT ) RIGHT ] _{0} ^{a} + LEFT [ {1} over {4} x ^{2} RIGHT ] _{a} ^{8} `]

[eqn: = {5} over {2} a-5ln LEFT ( a ^{2} +4 RIGHT ) - {1} over {4} a ^{2} +5ln4+16`]

따라서,

[eqn: S LEFT ( a RIGHT ) = {5} over {2} a-5ln LEFT ( a ^{2} +4 RIGHT ) - {1} over {4} a ^{2} +5ln4+16`]

라 하자.

(ii) [eqn: 4<a LEQ 8`]일 때,

[eqn: int _{0} ^{a} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{a} ^{8} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: = int _{0} ^{a} {LEFT ( {5} over {2} - {10x} over {x ^{2} +4} RIGHT ) dx} + int _{a} ^{8} {{-x+8} over {2} dx} `]

[eqn: = LEFT [ {5} over {2} x-5ln LEFT ( x ^{2} +4 RIGHT ) RIGHT ] _{0} ^{a} + LEFT [ - {1} over {4} x ^{2} +4x RIGHT ] _{a} ^{8} `]

[eqn: = {5} over {2} a-5ln LEFT ( a ^{2} +4 RIGHT ) +5ln4+16+ {1} over {4} a ^{2} -4a`]

따라서,

[eqn: S LEFT ( a RIGHT ) = {5} over {2} a-5ln LEFT ( a ^{2} +4 RIGHT ) +5ln4+16+ {1} over {4} a ^{2} -4a`]

라 하자.

따라서 [eqn: 0 LEQ a LEQ 4`]일 때,

[eqn: S``' LEFT ( a RIGHT ) = {- LEFT ( a-1 RIGHT ) LEFT ( a ^{2} -4a+20 RIGHT )} over {2 LEFT ( a ^{2} +4 RIGHT )} `]이므로

[eqn: a=1`]에서 극대이고

[eqn: S LEFT ( 0 RIGHT ) =16`]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

[eqn: S LEFT ( 4 RIGHT ) =22-5ln5`]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

[eqn: 4<a LEQ 8`]일 때

[eqn: S``' LEFT ( a RIGHT ) = {LEFT ( a-6 RIGHT ) LEFT ( a+1 RIGHT ) LEFT ( a+2 RIGHT )} over {2 LEFT ( a ^{2} +4 RIGHT )} `]에서

[eqn: a=6`]에서 극소이므로

[eqn: S LEFT ( 6 RIGHT ) =16-5ln10`]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉢

㉠, ㉡, ㉢에서 최솟값은 [eqn: S LEFT ( 6 RIGHT ) =16-5ln10`]

[다른 풀이]

[eqn: S LEFT ( a RIGHT ) = int _{0} ^{a} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{a} ^{8} {g LEFT ( x RIGHT ) dx} `]라 하면

[eqn: S``' LEFT ( a RIGHT ) = {dS} over {da} LEFT ( a RIGHT ) =f LEFT ( a RIGHT ) -g LEFT ( a RIGHT ) `]이므로

[eqn: 0 LEQ a LEQ 8`]에서 [eqn: S``' LEFT ( a RIGHT ) =0`]을 구하면

[eqn: a=1`] 또는 [eqn: a=6`]이다.

그리고 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) -g LEFT ( a RIGHT ) `]의 부호를 조사하면

[eqn: a=1`]에서 극대를 가지고 [eqn: a=6`]에서 극소를 가진다.

[eqn: a=0,~a=6`]에서 [eqn: S LEFT ( a RIGHT ) `]의 함숫값은

[eqn: S LEFT ( 0 RIGHT ) =16,~S LEFT ( 6 RIGHT ) =16-5ln10`]이므로

최솟값은 [eqn: S LEFT ( 6 RIGHT ) =16-5ln10`]

[eqn: 0 le a le 8 `]인 [eqn: a `]에 대하여 [eqn: int _0 ^ a f LEFT (x RIGHT ) dx + int_ a ^ 8 g LEFT (x RIGHT ) dx `]의 최솟값은?

① [eqn: 14 - 5 ln 5]	② [eqn: 15 - 5 ln 10]	③ [eqn: 15 - 5 ln 5]

④ [eqn: 16 - 5 ln 10]	⑤ [eqn: 16 - 5 ln 5]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 10월 20
[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 10월 20

함수 [eqn: f(x)= int _{x} ^{x+2} {left |`` 2 ^{t} -5 ``right | } dt]의 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: 2 ^{m}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: g(x)= ``|`` 2^{x}-5 ``|``]라 하면 함수 [eqn: y=g(x+2)]의 그래프와 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표는 그림과 같이 [eqn: -2+log _{2} 5]보다 크고 [eqn: log _{2} 5]보다 작다.

[eqn: f ` prime (x)=g(x+2)-g(x)]이므로 [eqn: f ` prime (x)=0]에서

[eqn: f prime (x)=2 ^{x+2} -5-(-2 ^{x} +5)=0],

[eqn: 5 TIMES 2 ^{x} =10], [eqn: x=1]

[eqn: x<1]에서 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) <0]이고, [eqn: x>1]에서 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) >0]이므로

함수 [eqn: y=f(x )]는 [eqn: x=1]에서 극소이면서 최소이다.

[eqn: f(1)][eqn: = int _{1} ^{3} { ``|`` 2 ^{t} -5 ``|`` } dt]
[eqn: = int _{1} ^{log _{2} 5} {(-2 ^{t} +5)} dt+ int _{log _{2} 5} ^{3} {(2 ^{t} -5)} dt]
[eqn: = LEFT [ - {2 ^{t}} over {ln 2} +5t RIGHT ] _{1}^{log _{2} 5}][eqn: + LEFT [ {2 ^{t}} over {ln 2} -5t RIGHT ] _{log _{2} 5}^{3}]
[eqn: = LEFT ( - {3} over {ln 2} +5log _{2} 5-5 RIGHT )]
[eqn: + LEFT ( {3} over {ln 2} +5log _{2} 5-15 RIGHT )]
[eqn: =10log _{2} 5-20]

따라서 [eqn: m=10log _{2} 5-20][eqn: =log _{2} LEFT ( {5} over {4} RIGHT ) ^{10}]이므로

[eqn: 2 ^{m}][eqn: =2 ^{log _{2} LEFT ( {5} over {4} RIGHT ) ^{10}}][eqn: = LEFT ( {5} over {4} RIGHT ) ^{10}]

① [eqn: LEFT ( {5} over {4} RIGHT ) ^{8}]	② [eqn: LEFT ( {5} over {4} RIGHT ) ^{9}]	③ [eqn: LEFT ( {5} over {4} RIGHT ) ^{10}]

④ [eqn: LEFT ( {5} over {4} RIGHT ) ^{11}]	⑤ [eqn: LEFT ( {5} over {4} RIGHT ) ^{12}]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 06월 20

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) }{{from^2019^06^평가원고3가^중}}]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

조건 (나) [eqn: ln f LEFT ( x RIGHT ) +2 int _{0} ^{x} {LEFT ( x-t RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt} =0]에서

[eqn: ln f LEFT ( x RIGHT ) +2x int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt-2 int _{0} ^{x} {tf LEFT ( t RIGHT ) dt} =0}]	[eqn: CDOTSCDOTS] ㉠

㉠의 양변을 미분하여 정리하면

[eqn: {f prime LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )} +2 int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} +2xf LEFT ( x RIGHT ) -2xf LEFT ( x RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ```` {f ' LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )} +2 int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =0]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉡에서 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =it -2f LEFT ( x RIGHT ) int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]	[eqn: cdotscdots] ㉢

ㄱ. 조건 (가)에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >0]이고 [eqn: x>0]에서 [eqn: int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} >0]이므로
㉢에서 [eqn: x>0]의 범위에서 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) <0]이다.
따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 감소한다.	(참)

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: x>0]에서 [eqn: f``'(x)<0]이고,
[eqn: x<0]에서 [eqn: int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} <0]이고, [eqn: f(x)>0]이므로 [eqn: f``'(x)>0]
따라서 증감표를 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: x<0]	[eqn: x=0]	[eqn: x>0]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	↗	극대	↘

따라서 [eqn: x=0]에서 극대이자 최댓값을 갖는다.
조건 (나)에 [eqn: x=0]을 대입하면
[eqn: ln f LEFT ( 0 RIGHT ) +2 int _{0} ^{0} {LEFT ( x-t RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt} =0]
[eqn: lnf LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]
따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 최댓값 [eqn: 1]을 갖는다.	(참)

ㄷ. [eqn: F LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} { f LEFT ( t RIGHT ) dt}]이므로 ㉢에서

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =it -2f LEFT ( x RIGHT ) F LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: cdotscdots] ㉣
그런데. [eqn: y= LEFT { F LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}]라 할 때, [eqn: {dy} over {dx} =2F LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )]이므로
㉣을 부정적분하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =it - LEFT { F LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} +C]
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1 ,```` f ' LEFT ( 0 RIGHT ) =0 ,```` F LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: C=1]
[eqn: THEREFORE ```` f LEFT ( 1 RIGHT ) + LEFT { F LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} =1]	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다

(가) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >0]

(나) [eqn: ln f LEFT ( x RIGHT ) +2 int _{0} ^{x} {LEFT ( x-t RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt} =0]

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: x>0]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 감소한다. ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: 1]이다. ㄷ. 함수 [eqn: F LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: F LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} { f LEFT ( t RIGHT ) dt}]라 할 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) + LEFT { F LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} =1]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 20

함수 [eqn: {f(x)=sin(pirootx )}{{from^2020^평가원가^3}}]에 대하여 함수

[정답] ①

[해설]

[eqn: g(x) = int_0 ^x t f(x-t)dt][eqn: (x GEQ0)]에서 [eqn: x-t=s]라 하면 [eqn: -dt=ds]이므로

[eqn: g(x)= int _{x} ^{0} {} (x-s)f(s)(-ds)]

즉, [eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {} (x-s)f(s)ds]이므로 양변을 미분하면

[eqn: g'(x)= int _{0} ^{x} {} f(s)ds]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: g prime (x)]의 도함수이므로 그래프를 그려보면 다음과 같다.

즉, 극대가 되는 값을 조사해보면

[eqn: 1 ^{2 }<a_1 <2^2], [eqn: 3 ^{2} <a _{2} <4 ^{2}], [eqn: cdots]

[eqn: therefore][eqn: (2n-1) ^{2} <a _{n} <(2n) ^{2}]

따라서 [eqn: n=6]일 때, [eqn: 11^2 <a_6 <12^2]이므로 [eqn: k=11]

[eqn: g(x) = int_0 ^x t f(x-t)dt][eqn: (x GEQ0)]

이 [eqn: x=a]에서 극대인 모든 [eqn: a]를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: n]번째 수를 [eqn: a_n]이라 하자. [eqn: k^2 < a_6 < (k+1)^2]인 자연수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 11]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 23]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 19

실수 전체의 집합에서 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) >0 }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]이고 도함수가 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 있다. 실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: g (x)]가

[정답] ①

[해설]

[eqn: g(x)= int _{ 0} ^{x } {ln f(t) } dt]에서

[eqn: g(0)=0], [eqn: g '(x)=ln f(x)], [eqn: g ''(x)={f '(x)}over{f(x)}]

조건 (가)에 의하여 [eqn: g(1)=2], [eqn: g '(1)=0]

조건 (나)에 의하여 [eqn: g '(-1)=g '(1)=0]

[eqn: int _{ -1} ^{1 } {{xf '(x)}over{f(x)} } dx][eqn: =int _{ -1} ^{ 1} {xg ''(x) } dx]
[eqn: =left[pile{{ ` }#{ ` }}xg '(x)right]_{-1}^{1}- int _{ -1} ^{1 } {g '(x) } dx]
[eqn: =g '(1)+g '(-1)-2 int _{ 0} ^{1 } { g '(x)} dx]
[eqn: =2g '(1)-2 left{` g(1)-g(0) `right}]
[eqn: =2times0-2(2-0)]
[eqn: =-4]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {ln f LEFT ( t RIGHT ) dt}]

일 때, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: g prime LEFT ( x RIGHT )]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 극값 [eqn: 2]를 갖는다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g prime LEFT ( -x RIGHT ) =g prime LEFT ( x RIGHT )]이다.

[eqn: int _{-1} ^{1} {{xf prime LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )} dx}]의 값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

06 미적	12 정적분
04 정적분으로 정의된 함수
07 활용4 (함수 구하기)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 07월 20

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 이차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]가

[정답] ④

[해설]

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT )= x over{f LEFT ( x RIGHT ) }`], [eqn: g prime LEFT ( -x RIGHT ) =it-g prime LEFT ( x RIGHT ) `]이므로

[eqn: f left(-x right) = f left (x right)`]이다.

[eqn: f(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수이므로

[eqn: f(x) =x^2 +k`] (단, [eqn: k]는 상수이다.)

점 [eqn: LEFT ( 1,~g(1) RIGHT )`]은 곡선 [eqn: y=g(x)`]의 변곡점이므로

[eqn: g '' LEFT ( x RIGHT ) `= {f(x)-xf` prime LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}}]

[eqn: g '' LEFT ( 1 RIGHT ) `= {f(1)-f prime LEFT ( 1 RIGHT )} over {LEFT { f(1) RIGHT } ^{2}} = {1+k-2} over {(1+k) ^{2}} =0]

[eqn: `k=1`]이므로 [eqn: f(x)=x^2 +1]

따라서 [eqn: g(1)`][eqn: =int _{ 0} ^{1 } { t over{t^2 +1}}dt][eqn: = 1 over2 LEFT [ ln LEFT ( t^2 + 1 RIGHT ) RIGHT ]_0 ^1][eqn: = 1 over2 rmln2]

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= int _{0} ^{x} {{t} over {f LEFT (t RIGHT )} dt} `]

일 때, 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: g `' LEFT (-x RIGHT )=`-g `' LEFT (x RIGHT ) `]이다.

(나) 점 [eqn: LEFT ( 1 ,`` g LEFT (1 RIGHT ) RIGHT )`]은 곡선 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT ) `]의 변곡점이다.

[eqn: g LEFT (1 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: rm{1} over {5} ln2]	② [eqn: rm{1} over {4} ln2]	③ [eqn: rm{1} over {3} ln2]

④ [eqn: rm{1} over {2} ln2]	⑤ [eqn: rmln2]

06 미적	12 정적분
04 정적분으로 정의된 함수
08 활용5 (정의된 함수)

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 04월 27

자연수 [eqn: n`]에 대하여 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[정답] [eqn: 325]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{1} ^{x} {{n-lnt} over {t} dt}]의 양변을 [eqn: x]에 대하여
미분하면 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = {n-lnx} over {x}]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=e ^{n}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: e ^{n}]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=e ^{n}]에서 최댓값을 가지므로
[eqn: g LEFT ( n RIGHT ) =f LEFT ( e ^{n} RIGHT ) = int _{1} ^{e ^{n}} {{n-ln`t} over {t}} dt]

[eqn: n-lnt=s]라 하면 [eqn: {ds} over {dt} = it - {1} over {t}]이고,

[eqn: t=1]일 때 [eqn: s=n], [eqn: t=e ^{n}]일 때 [eqn: s=0]이므로

[eqn: g LEFT ( n RIGHT )][eqn: = int _{n} ^{0} {(-s)ds}]
[eqn: = LEFT [ - {1} over {2} s ^{2} RIGHT ] _{n}^{0}][eqn: = it {1} over {2} n ^{2}]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{12} g LEFT ( n RIGHT ) = it sum _{n=1} ^{12} {n ^{2}} over {2} = it 325]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{1} ^{x} {{n-ln t} over {t} dt}`]

의 최댓값을 [eqn: g LEFT ( n RIGHT )`]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{12} g LEFT ( n RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 미적분 29

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = e^x + x -1 `]과 양수 [eqn: t `]에 대하여 함수

[정답] [eqn: 12`]

[해설]

[eqn: F``'(x)= t - f(x)][eqn: =0]에서

[eqn: f( alpha) = t]이므로 [eqn: alpha = f^-1 (t) = g(t)]

[eqn: g(t) = x]로 치환하면 [eqn: f(x)= t]이므로

[eqn: dt = f``'(x) dx = ( e^x +1) dx]

[eqn: int_{f(1)}^{f(5)} g(t) over{1 + e^ g(t)} dt]

[eqn: = int_1^5][eqn: x over{ 1 + e^x} (e^x +1) dx]

[eqn: = int_1^5 x dx][eqn: = left[ 1 over2 x^2 right]_1^5 = 12]

[eqn: F` LEFT (x RIGHT ) = int_0^x left{t - f LEFT ( s RIGHT ) right} ds `]

가 [eqn: x = alpha `]에서 최댓값을 가질 때, 실수 [eqn: alpha`]의 값을 [eqn: g LEFT (t RIGHT ) `]라 하자. 미분가능한 함수 [eqn: g LEFT (t RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: int _{f LEFT (1 RIGHT )} ^{f LEFT (5 RIGHT )} {} {g LEFT (t RIGHT )} over {1+e ^{g LEFT (t RIGHT )}} dt `]의 값을 구하시오.

06 미적	12 정적분
04 정적분으로 정의된 함수
09 활용5 (추론과 해석)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 09월

양의 실수 전체의 집합에서 감소하고 연속인 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 127]

[해설]

[eqn: (`0`,~0`)`,~(`t`,~f(t)`)`,~(`t+1`,~f(t+1)`)`]을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 [eqn: { 1} over {2 }`` LEFT |``t`f(`t+1)-(t+1)`f(t)`` RIGHT |= { t+1} over {t }``]

양변을 [eqn: t(t+1)``]로 나누면

[eqn: { 1} over {2 }`` LEFT |`` {f(`t+1) } over {t+1 } - {`f(t) } over { t} `` RIGHT |= {1} over {t^2 }``]

[eqn: f(t)``]는 감소함수이고 [eqn: f(t)``>`0``]이므로 [eqn: {f(t)} over {t }``>`` { f(t+1)} over {t+1 }``]

[eqn: THEREFORE ` {f(`t) } over {t } - {`f(t+1) } over { t+1} ` = {2} over {t^2 }``]

[eqn: {`f(t+1) } over { t+1} ` - {f(`t) } over {t } = - 2 over t^2 `][eqn: cdots] ㈀

㈀ 은 [eqn: int _t ^t+1 f(x) over x ` dx ` = 2 over t + c ``]를 양변 미분한 것이다

[eqn: t=1 `]일 때, [eqn: int_1 ^2 f(x) over x dx = 2 + c = 2`]에서 [eqn: c=0]

[eqn: ∴ ```int _t ^t+1 f(x) over x ` dx ` = 2 over t]

[eqn: int _{ { 7} over {2 } } ^{ { 11} over { 2} } { {f(`x) } over {x }}dx] [eqn: =int _{ { 7} over {2 } } ^{ { 9} over { 2} } { {f(`x) } over {x }}``dx``+ int _{ { 9} over {2 } } ^{ { 11} over { 2} } { {f(`x) } over {x }}``dx``][eqn: = 4 over 7 + 4 over 9][eqn: = 64 over 63]

[eqn: THEREFORE ~p+q=127``]

(가) 모든 양의 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) > 0 `]이다.

(나) 임의의 양의 실수 [eqn: t `]에 대하여 세 점 [eqn: LEFT (0,`` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT (t,`` f LEFT (t RIGHT ) RIGHT )], [eqn: LEFT (t+1,`` f LEFT (t+1 RIGHT ) RIGHT )`]을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 [eqn: t+1overt `]이다.

(다) [eqn: int _{1} ^{2} { {f LEFT (x RIGHT )} over {x} dx = 2`]

[eqn: int _{{7} over {2}} ^{{11} over {2}} { {f LEFT (x RIGHT )} over {x} dx = q over p`]라 할 때, [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p `]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 03월 20

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= int _{0} ^{x} {} sin` LEFT ( pi cos` t RIGHT ) dt `]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {} sin`( pi `cos`t)dt`]에서
[eqn: f` prime (x)=sin`( pi `cos`x)]

[eqn: f`'(0)][eqn: =sin`( pi `cos`0)][eqn: =sin`pi][eqn: =0] (참)

ㄴ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(-x)][eqn: = int _{0} ^{-x} {sin` LEFT ( pi `cos`t RIGHT ) dt}]

[eqn: -t=y]로 놓으면 [eqn: - {dt} over {dy} =1]이고
[eqn: t=0]일 때 [eqn: y=0], [eqn: t=it-x]일 때 [eqn: y=x]이므로

[eqn: f(-x)][eqn: = it - int _{0} ^{x} {sin` LEFT { pi `cos`(-y) RIGHT } dy}]
[eqn: = it - int _{0} ^{x} {sin` LEFT ( pi `cos`y RIGHT ) dy}]
[eqn: = it -f(x)]

따라서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. (참)

ㄷ. [eqn: pi -t=y]라 하면 [eqn: - {dt} over {dy} =1`]이고,
[eqn: t=0]일 때 [eqn: y= pi], [eqn: t=pi]일 때 [eqn: y= it 0]이므로

[eqn: f( pi )][eqn: = int _{0} ^{pi } {} sin`( pi `cos`t)dt`]
[eqn: = it - int _{pi } ^{0} {} sin` LEFT { pi `cos` LEFT ( pi -y RIGHT ) RIGHT } dy]
[eqn: = it - int _{pi } ^{0} {} sin` LEFT ( - pi `cos`y RIGHT ) dy]
[eqn: = int _{pi } ^{0} {} sin` LEFT ( pi `cos`y RIGHT ) dy]
[eqn: = it - int _{0} ^{pi } {} sin` LEFT ( pi `cos`y RIGHT ) dy]
[eqn: =it-f LEFT ( pi RIGHT )]

[eqn: 2f LEFT ( pi RIGHT ) =0]이므로 [eqn: f LEFT ( pi RIGHT ) =0]이다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이다.

[참고]

함수 [eqn: y=sin` LEFT ( pi`cos`x RIGHT ) `]의 그래프는 그림과 같다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f `' LEFT (0 RIGHT )=0] ㄴ. 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. ㄷ. [eqn: f LEFT ( pi RIGHT )=0]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 18

함수

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: f(t)]와 함수 [eqn: f(1-t)]의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. [eqn: x LEQ 0]에서 [eqn: f(x)=0]이므로

[eqn: g(x)][eqn: =- int _{x} ^{0} {f(t)f(1-t)dt}]
[eqn: =- int _{x} ^{0} {0 TIMES f(1-t)dt}]
[eqn: =0]	(참)

ㄴ. 위의 그래프에서 [eqn: f(t)]와 [eqn: f(1-t)]가 [eqn: t= {1} over {2}]에 대하여 대칭이므로

[eqn: g(1)][eqn: = int _{0} ^{1} {f(t)f(1-t)dt}]
[eqn: =2 int _{0} ^{{1} over {2}} {f(t)f(1-t)dt}]
[eqn: =2 g left( 1over 2 right)]	(참)

ㄷ. (ⅰ) [eqn: t LEQ 0 ,```` t GEQ 1]일 때 [eqn: g(x)=0<1]
(ⅱ) [eqn: 0<t<1]일 때
[eqn: f(t)<1 ,```` f(1-t)<1]이므로 [eqn: f(t)f(1-t)<1]
정적분의 정의는 함숫값의 총합이므로 (ⅰ)과 (ⅱ)에 의해
[eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {f(t)f(1-t)dt} < 1]
[eqn: g(a) GEQ 1]인 실수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: {f(x)= {cases{``````````````````````0& && (x LEQ 0)#LEFT { ln LEFT ( 1+x ^{4} RIGHT ) RIGHT } ^{10}& && (x>0)}}}{{from^2020^평가원가^3}}]

에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {f(t)f(1-t)dt}]

라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: x LEQ 0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x)=0]이다. ㄴ. [eqn: g(1)=2g LEFT ( {1} over {2} RIGHT )] ㄷ. [eqn: g(a) GEQ 1]인 실수 [eqn: a]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

함수 [eqn: {f(x)}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]를

[정답] ③

[해설]

수직선 운동에서 점 [eqn: rmP]의 속도를 [eqn: v(t)=t sin t]로 보면

[eqn: int _{0} ^{x} {left |`` t sin t ``right | } dt], [eqn: int _{0} ^{x} {t sin t}dt]는 각각 움직인 거리와 위치의 변화량이다.

[eqn: int _{0} ^{pi} {t sin t} dt][eqn: = LEFT [ pile{it#it} -t cos t+2sin t RIGHT ] _{0}^{pi } = pi]

[eqn: int _{pi} ^{2pi} {t sin t} dt][eqn: = LEFT [ pile{it#it} -t cos t+2sin t RIGHT ] _{pi }^{2 pi } =it-3 pi]

[eqn: int _{2pi } ^{3 pi } {t sin t} dt][eqn: = LEFT [ pile{it#it} -t cos t+2sin t RIGHT ] _{2pi }^{3 pi } = 5 pi]

[eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {left |`` t sin t ``right | } dt- left |`` int _{0} ^{x} {t sin t} dt ``right |]

따라서 [eqn: f(x)][eqn: =](거리의 합)[eqn: -][eqn: |``](위치의 변화량)[eqn: ``|]이다.

ㄱ. [eqn: f(2pi)= (pi +3pi )- left |`` pi -3pi``right | = 2pi]	(참)

ㄴ. [eqn: pi <alpha<2pi], [eqn: int _{0} ^{alpha } {t sin t} dt=0]이면
[eqn: f(alpha)=(pi +pi )- left |`` pi -pi ``right | =2pi]	(거짓)

ㄷ. [eqn: 2pi <beta le x le 3pi], [eqn: int _{0} ^{beta } {t sin t} dt=0]이면

[eqn: f(x)][eqn: = int _{0} ^{x} {left |`` t sin t ``right | } dt- left |`` int _{0} ^{x} {t sin tdt} ``right |]
[eqn: =6 pi + int _{beta } ^{x} {t sin t} dt- int _{beta } ^{x} {t sin t} dt]
[eqn: = 6pi]

[eqn: therefore][eqn: int _{ beta} ^{3 pi } {f(x) }dx = 6pi(3pi -beta)]	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {left |`` t sin t ``right | } dt- left |`` int _{0} ^{x} {t sin t} dt ``right |]

라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(2pi)=2pi] ㄴ. [eqn: pi <alpha<2pi]인 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{alpha } {t sin t} dt=0]이면 [eqn: f(alpha)= pi]이다. ㄷ. [eqn: 2pi < beta<3 pi]인 [eqn: beta]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{beta } {t sin t} dt=0]이면 [eqn: int _{beta} ^{3pi } {f(x)} dx=6pi(3pi -beta)]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 29

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: {f(x)}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold19]

[해설]

[eqn: -1 le x le 0]일 때, [eqn: left |`` f(x)sinx ``right |][eqn: =f(x)`sin`x]

[eqn: 0 le x le 1]일 때. [eqn: left |`` f(x)sinx ``right | =][eqn: -f(x)sin`x]

[eqn: THEREFORE][eqn: int _{ -1} ^{ 0} { left |`` f(x)sinx ``right | dx =2 }], [eqn: int _{ 0} ^{1 } { left |`` f(x) sinx ``right | dx =3 }]

[eqn: g(x)]에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: g(0)= int _{ -1} ^{0 } {left|`f(x)sin`x right| }dx=2]

[eqn: THEREFORE][eqn: g(0)=2]

[eqn: g(x)]에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: g(1)][eqn: = int _{ -1} ^{1 } { left |`` f(t) sint ``right | dt }]
[eqn: =int _{ -1} ^{ 0} { left|`f(x)`sin`x right|}dx+ int _{ 0} ^{1 } {left|`f(x)`sin`x`right| }dx]
[eqn: =2+3]

[eqn: THEREFORE][eqn: g(1)=2+3=5]

[eqn: g(x)]에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: g(-1)= int _{ -1} ^{-1 } {left|`f(x)sin`x right| }dx=0]

[eqn: THEREFORE][eqn: g(-1)=0]

이때 [eqn: g`'(x)= left|`f(x)`sin`x`right|]가

[eqn: -1 le x le 0]일 때, [eqn: left |`` f(x)sinx ``right |][eqn: =f(x)`sin`x]

[eqn: 0 le x le 1]일 때. [eqn: left |`` f(x)sinx ``right | =][eqn: -f(x)sin`x]이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} {f(-x)g(-x)sinxdx]에서 [eqn: -x=t]로 치환하면

[eqn: dx=-dt], [eqn: -1 le t le 1]

[eqn: THEREFORE][eqn: int _{-1} ^{1} {f(-x)g(-x)sinx`dx]
[eqn: =int _{1} ^{-1} {f(t)g(t)sin(-t)(-1)dt]
[eqn: =-int _{-1} ^{1} {f(t)g(t)sin`t`dt]
[eqn: =-int _{ -1} ^{0 } {g`'(t)g(t) }dt+ int _{ 0} ^{1 } {g`'(t)g(t) }dt]
[eqn: =-left[{1}over{2}left{g(t)right}^{2} right]_{-1}^{0}+left[{1}over{2} left{g(t)right}^{2} right]_{0}^{1}]
[eqn: ={1}over{2} left[left{g(1)right}^{2}-left{g(0)right}^{2} right]-{1}over{2} left[left{g(0)right}^{2}-left{g(-1)right}^{2}right]]
[eqn: ={1}over{2}(5^{2}-2^{2})-{1}over{2}(2^{2}-0^{2})]
[eqn: = {17} over {2}]

(가) [eqn: -1 le x le 1]에서 [eqn: f(x) <0]이다.

(나) [eqn: int _{ -1} ^{ 0} { left |`` f(x)sinx ``right | dx =2 }], [eqn: int _{ 0} ^{1 } { left |`` f(x) sinx ``right | dx =3 }]

함수 [eqn: g(x)= int _{ -1} ^{x } { left |`` f(t) sint ``right | dt }]에 대하여

[eqn: int _{-1} ^{1} {f(-x)g(-x)sinxdx= q overp}]

이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 28

닫힌구간 [eqn: [0,``4 pi]]에서 연속이고 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: int_{0}^{4 pi}|f(x)| d x]의 최솟값은?

[정답] ②

[해설]

조건 (가)에서 곡선 [eqn: y=f(x)]는 구간 [eqn: left(0,`` { pi} over {2} right)]에서 아래로 볼록이고, 구간 [eqn: left({ pi} over {2},`` pi right)]에서 위로 볼록이므로 점 [eqn: left({ pi} over {2},`` f left({ pi} over {2} right) right)]는 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이다.

조건 (나)에 의하여 [eqn: n pi<x leq(n+1) pi]에서 곡선의 모양은 다음 두 가지 중 하나이다.

[eqn: 0<x<4 pi]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점의 개수가 [eqn: rm 6]인 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) 함수 [eqn: y=f(x)]가 [eqn: x= pi]에서 극대일 때

위 그림에서 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점은 [eqn: x]좌표가
[eqn: { pi} over {2}], [eqn: {3} over {2} pi], [eqn: 2 pi], [eqn: {5} over {2} pi], [eqn: 3 pi], [eqn: {7} over {2} pi]인 점이다.
[eqn: int_{0}^{4 pi}|f(x)| d x][eqn: =4 int_{0}^{ pi} f(x) d x+ pi times 2]

[eqn: =4 int_{0}^{ pi}(1- cos x) d x+2 pi]
[eqn: =4 left[x-sinx pile{`#`} right] _{0}^{pi } +2 pi =6 pi]

(ⅱ) 함수 [eqn: y=f(x)]가 [eqn: x=2 pi]에서 극대일 때

위 그림에서 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점은 [eqn: x]좌표가

[eqn: { pi} over {2}], [eqn: pi], [eqn: {3} over {2} pi], [eqn: {5} over {2} pi], [eqn: 3 pi], [eqn: {7} over {2} pi]인 점이다. [eqn: int_{0}^{4 pi}|f(x)| d x=4 int_{0}^{ pi} f(x) d x+2 pi times 2=8 pi]

(ⅲ) 함수 [eqn: y=f(x)]가 [eqn: x=3 pi]에서 극대일 때

위 그림에서 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점은 [eqn: x]좌표가

[eqn: { pi} over {2}], [eqn: pi], [eqn: {3} over {2} pi], [eqn: 2 pi], [eqn: {5} over {2} pi], [eqn: {7} over {2} pi]인 점이다. [eqn: int_{0}^{4 pi}|f(x)| d x=4 int_{0}^{ pi} f(x) d x+2 pi times 5=14 pi]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 최솟값은 [eqn: 6 pi]이다.

(가) [eqn: 0 leq x leq pi]일 때, [eqn: f(x)=1- cos x]이다.

(나) [eqn: 1 leq n leq 3]인 각각의 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: f(n pi+t)=f(n pi)+f(t) ~ (0<t leq pi)]
또는
[eqn: f(n pi+t)=f(n pi)-f(t) ~ (0<t leq pi)]
이다.

(다) [eqn: 0<x<4 pi]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점의 개수는 [eqn: rm 6]이다.

① [eqn: 4 pi]	② [eqn: 6 pi]	③ [eqn: 8 pi]

④ [eqn: 10 pi]	⑤ [eqn: 12 pi]

06 미적	13 정적분의활용
01 정적분과 급수
01 구분구적법

[출처]	2007 모의_공공 사관학교 고3 07월 8

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) =x^3 `]에 대하여 [eqn: A`_{ n}], [eqn: B`_{ n} `]을 다음과 같이 정의하자.

[정답] ②

[해설]

주어진 식 [eqn: A_n ,``B_n ``]의 극한값을 각각 구해보자.

[eqn: k-1 overn =x]라 두면 구간은 [eqn: [0,1]], [eqn: dx= 1overn]이 된다.

[eqn: therefore lim_n->inf {A_n}=int_0 ^1{f(x)}dx = 1 over 4]

[eqn: k over n = x]라 두면 구간은 [eqn: [0,`1]], [eqn: dx= 1 over n]이 된다.

[eqn: therefore lim_n->inf {B_n = int _0 ^1{left{1-f(x)right}dx = 3 over 4]가 된다.

그러므로 옳은 것은 ㄱ과 ㄴ이다.

[eqn: A`_n = sum_k=1^n f LEFT ( k-1 over n RIGHT ) 1 over n] , [eqn: B` _n = sum_k=1^n left{ 1- f LEFT ( k over n RIGHT ) right} 1 over n `]

[eqn: y]

[eqn: 1 over n]

[eqn: 2 over n]

[eqn: k-1 over n]

[eqn: k over n]

[eqn: 1]

[eqn: n-1 over n]

[eqn: cdots]

[eqn: cdots]

[eqn: cdots]

[eqn: cdots]

[eqn: y = f LEFT (x RIGHT )]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: 1]

이 때, [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{n `->` INF } {} LEFT ( A` _{n} + B` _{n} RIGHT ) = 1] ㄴ. [eqn: lim _{n `->` INF } {} B` _{n} = {3} over {4}] ㄷ. [eqn: lim _{n `->` INF } {} LEFT ( A` _{n} - B` _{n} RIGHT ) =`- {1} over {4}]

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 11

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 있다. [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n`]에 대하여 닫힌구간 [eqn: LEFT [0,`` 1 RIGHT ]`]을 [eqn: n`]등분한 각 분점 (양 끝점도 포함)을 차례로

[정답] ②

[해설]

ㄱ. (반례)

[eqn: x_2k+2 - x_2k = 2 over 2m = 1over m`]이므로

[eqn: sum_k=0^m-1 `{f(x_2k )} over m`]은 [그림1]의 직사각형들의 넓이의 합을 나타낸다. [eqn: x_k+1 - x_k = 1over n`]이므로 [eqn: sum_k=0^n-1`{f(x_k )} over n`]은 [그림2]의 직사각형들의 넓이의 합을 나타낸다.

따라서, [eqn: sum_k=0^m-1 { f(x_2k )} over m `> `sum_k=0^n-1 {f(x_k )} over n`]이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: x_k = k over n`]이므로

[eqn: lim_n->inf` sum_k=1^n 1over n left{ { f(x_k-1 )+f(x_k )} over 2 right}`]

[eqn: = 1over2 `left{ lim_n->inf`` sum_k=1^n f(x_k-1 ) 1over n + lim_n->inf`sum_k=1^n`f(x_k ) 1over n``right}`]

[eqn: = 1over2 `left{ lim_n->inf`` sum_k=1^n f left( k-1 over n right) 1over n + lim_n->inf`sum_k=1^n`f left( k over n right) 1over n``right}`]

[eqn: = 1over2 `left{ lim_n->inf`` sum_k=0^n-1 f left( k over n right) 1over n + lim_n->inf`sum_k=1^n`f left( k over n right) 1over n``right}`]

[eqn: = 1over 2 left{ `int_0^1`f(x)`dx + int_0^1 `f(x)`dx` right}`][eqn: = int_0^1`f(x)`dx`] (참)

ㄷ. (반례)

ㄱ의 [그림2]에서 [eqn: int_0^1`f(x)`dx`]는 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: x`]축 및 두 직선 [eqn: x=0 ,``x=1`]로 둘러싸인 부분의 넓이이고, [eqn: sum_k=0^n-1`{f(x_k )} over n`]은 직사각형들의 넓이의 합을 나타내므로

[eqn: sum_k=0^n-1`{f(x_k )} over n`>` int_0^1`f(x)`dx`] (거짓)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄴ이다.

[eqn: 0=x _{0} ,`` x _{1} ,`` x _{2} ,` CDOTS` ,`` x _{n-1} ,`` x _{n} =1]

이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: n=2m] ([eqn: m`]은 자연수)이면 [eqn: sum _{k=0} ^{m-1} {f LEFT (x _{2k} RIGHT )} over {m} LEQ sum _{k=0} ^{n-1} {f LEFT (x _{k} RIGHT )} over {n}`]이다. ㄴ. [eqn: lim _{n`->` INF } {sum _{k=1} ^{n} {1} over {n} LEFT { {f LEFT (x _{k-1} RIGHT )+f LEFT (x _{k} RIGHT )} over {2} RIGHT }} = int _{0} ^{1} {f LEFT (x RIGHT )dx}] ㄷ. [eqn: sum _{k=0} ^{n-1} {f LEFT (x _{k} RIGHT )} over {n} LEQ int _{0} ^{1} {f LEFT (x RIGHT )dx LEQ } sum _{k=1} ^{n} {f LEFT (x _{k} RIGHT )} over {n}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 04월 14

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. 구간 [eqn: (`0,``1`)]에서 [eqn: {d` LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {dx} `=2f(x)f` prime (x)`]

[eqn: {d ^{2} ` LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {dx ^{2}} `=2 LEFT { f` prime (x) RIGHT } ^{2} `+2f(x)f` '' (x)]이므로

[eqn: {d ^{2} ` LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {dx ^{2}} >0]

[eqn: THEREFORE `]함수 [eqn: y= LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}]의 그래프는 구간 [eqn: (`0,```1`)]에서 아래로 볼록하다. (참)

ㄴ. [eqn: 1-x=t]라 하면

[eqn: int _{0} ^{1} {f(1-x)dx= int _{0} ^{1} {f(t)dt}}]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { f(x)+f(1-x) RIGHT } dx=2 int _{0} ^{1} {f(x)dx}}]

조건에 의해 구간 [eqn: (`0,```1`)]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의

그래프의 개형은 다음과 같고

[eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx}]의 값은 사다리꼴 [eqn: rm COAB]의 넓이보다 작다.

[eqn: therefore][eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { f(x)+f(1-x) RIGHT } dx<3}] (참)

ㄷ. ㄱ과 ㄴ에 의해

[eqn: {LEFT { f LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {2} · {1} over {n}][eqn: GEQ int _{{k-1} over {n}} ^{{k} over {n}} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} dx}]

이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {LEFT { f LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {2} · {1} over {n}][eqn: GEQ int _{0} ^{1} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} dx}](참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

(가) [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=1], [eqn: f LEFT (1 RIGHT )=2]

(나) [eqn: f `' LEFT (x RIGHT )>0],  [eqn: f `'' LEFT (x RIGHT )>0] (단, [eqn: 0<x<1`])

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: y= LEFT { f LEFT (x RIGHT ) RIGHT } ^{ 2} `]의 그래프는 구간 [eqn: LEFT ( 0,`` 1 RIGHT )`]에서 아래로 볼록하다. ㄴ. [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { f LEFT (x RIGHT )+f LEFT (1-x RIGHT ) RIGHT } dx<3}] ㄷ. [eqn: sum _{k=1} ^{n} {LEFT { f LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {2} · {1} over {n} GEQ int _{0} ^{1} {LEFT { f LEFT (x RIGHT ) RIGHT } ^{2} dx}`]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

06 미적	13 정적분의활용
01 정적분과 급수
02 정적분과 급수1 (다항함수)

[출처]	2006 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 12

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x ^{2}`]에 대하여 그림과 같이 구간 [eqn: LEFT [ 0,`` 1 RIGHT ]`]을 [eqn: 2n `]등분한 후, 구간 [eqn: LEFT [ {k-1 _{ }} over {2n ^{ }} ,`` {k _{ }} over {2n ^{ }} RIGHT ]`]를 밑변으로 하고 높이가 [eqn: f LEFT ( {k _{ }} over {2n ^{ }} RIGHT )`]인 직사각형의 넓이를 [eqn: S` _{k}`]라 하자.
(단, [eqn: n `]은 자연수이고 [eqn: k=1,`` 2,`` 3,` CDOTS` ,`` 2n `]이다.)

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n _{`}} S _{k} `][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n _{`}} LEFT { {1} over {2n} timesf LEFT ( {k} over {2n} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n _{`}} LEFT { {1} over {2n} TIMES LEFT ( {k} over {2n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n _{`}} LEFT { {1} over {2n} TIMES LEFT ( {k} over {2n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = int _{``0} ^{{1} over {2}} {} x ^{2} `dx``] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n _{`}} `(S _{2k} -S _{2k-1} `)]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n _{`}} LEFT { {1} over {2n} TIMES f LEFT ( {2k} over {2n} RIGHT ) - {1} over {2n} TIMES f LEFT ( {2k-1} over {2n} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {2n}} sum _{k=1} ^{n _{`}} LEFT { LEFT ( {2k} over {2n} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {2k-1} over {2n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {8n ^{3}}} sum _{k=1} ^{n _{`}} LEFT ( 4k-1 RIGHT )]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {8n ^{3}}} LEFT ( n ^{2} +n-1 RIGHT )][eqn: =0]  (참)

ㄷ. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n _{`}} S _{2k} `][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n _{`}} LEFT { {1} over {2n} TIMES f LEFT ( {2k} over {2n} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n _{`}} LEFT { {1} over {2n} TIMES LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }][eqn: = {1} over {2} int _{0} ^{1} {} ``x ^{2} ``dx``] (참)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{n `->` INF } {} sum _{k=1} ^{n _{ }} S` _{k} = int _{ 0} ^{{1} over {2}} {} x ^{2} dx] ㄴ. [eqn: lim _{n `->` INF } {} sum _{k=1} ^{n _{ }} LEFT (S` _{2k} -S` _{2k-1} RIGHT )=0] ㄷ. [eqn: lim _{n `->` INF } {} sum _{k=1} ^{n _{ }} S` _{2k} = {1} over {2} int _{0} ^{1} {} x ^{2} dx]

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2015 모의_공공 경찰대 고3 07월 15

함수 [eqn: f`]는 임의의 실수 [eqn: x], [eqn: y`]에 대하여 다음을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(xy)=f(x)f(y)-x-y]에 [eqn: x=y=1] 대입하여 정리하면 [eqn: f(1)>0]이므로 [eqn: f(1)=2]이며, [eqn: y=1]을 대입하면,

[eqn: f(x)=x+1]이다.

[eqn: lim_n->inf `sum_k=1^n `left{ 6over sqrtn `f`left(2+ 4k over n right)right}^2]의 계산을 위해

[eqn: x=2+ {4k} over {n}]이라 하면, [eqn: dx= {4} over {n}]이며

따라서

[eqn: lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} ` LEFT { {6} over {sqrt {n}} `f` LEFT ( 2+ {4k} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2}][eqn: =9 int _{2} ^{6} {(f(x)) ^{2} dx}]
[eqn: =9 int _{2} ^{6} {x ^{2} +2x+1dx}]
[eqn: =948]

[eqn: f LEFT (1 RIGHT )>0], [eqn: f LEFT (xy RIGHT )=f LEFT (x RIGHT )f LEFT (y RIGHT )-x-y`]

이때, [eqn: lim _{n `->` INF } {} sum _{k=1} ^{n} LEFT { {6} over {sqrt {n}} f LEFT ( 2+ {4k} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2}`]의 값은?

① [eqn: 510]	② [eqn: 624]	③ [eqn: 756]

④ [eqn: 832]	⑤ [eqn: 948]

06 미적	13 정적분의활용
01 정적분과 급수
04 정적분과 급수3 (나열된 항)

[출처]	2019 모의_공공 경찰대 고3 07월 25

함수 [eqn: f(x)]를

[정답] [eqn: 23]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]의 그래프

[eqn: f(x)= Cases{ x+1 ~~&(1le x < 2)# 2 + 1over2 x ~~&(2 le x < 3)#~~7 over2 &( x ge 3)]

정적분의 정의에서

[eqn: g(3) = 1 over2 int_1^3 f(x) dx][eqn: = 23 over8], [eqn: THEREFORE][eqn: 8 Times g(3) = 23]

[eqn: f(x)= {cases{`` it ^{it ^{it}} {[x]^2 +x} over {[x]} it _{it _{it}}&it ^{it ^{it}} (1 LEQ x<3) it _{it _{it}}#`` it ^{it ^{it}} {7} over {2} it _{it _{it}}&it ^{it ^{it}} (x GEQ 3) it _{it _{it}}}}]

이라 하자. 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: a ≥ 3]인 실수 [eqn: a]에 대하여

[eqn: g(a)= lim_{n`->`inf}` { f(a)+ f left(a - {2 }over{n}right)+ f left(a - {4 }over{n}right)+ cdots + f left(a - {2(n - 1) }over{n}right)}over{n}]

이라 할 때, [eqn: 8 times g(3)]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: [ x ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대 정수이다.)

06 미적	13 정적분의활용
01 정적분과 급수
05 정적분과 급수4 (활용)

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 06월 19

사차함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: lim _{n `->` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n}} f LEFT (m+ {k} over {n} RIGHT ) < 0`]을 만족시키는 정수 [eqn: m`]의 개수는?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} f(m+ {k} over {n} )}][eqn: = int _{m} ^{m+1} {f(x)dx} <0]

에서 정수 [eqn: m]부터 [eqn: m+1]사이 정적분값이 음인 m의 값들을 찾으면 된다  [eqn: THEREFORE `-3,`-2,`-1,``2,``3,``4,``5] 총 7개

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

06 미적	13 정적분의활용
01 정적분과 급수
06 정적분과 급수5 (함수에서 식 세우기)

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 11월 21

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= x^2 +ax+b][eqn: LEFT (a GEQ 0,`` b>0 RIGHT ) `]가 있다. 그림과 같이 [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n `]에 대하여 닫힌구간 [eqn: LEFT [0,`` 1 RIGHT ] `]을 [eqn: n `]등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로

[정답] [eqn: 14]

[해설]

[eqn: A_1 = 1 over n f left( 1 over n right)], [eqn: A_n = 1 over n f(1)]이므로

[eqn: A_1 + A_n &= 1 over n left{ f left( 1 over n right) + f(1) right}][eqn: = 1 over n left( 1 over n^2 + a over n + b + 1 +a+b right)]

[eqn: = 1 over n^3 left{ 1 + an + (1+a+2b )n^2 right}][eqn: = {7n^2 +1} over n^3]

따라서 [eqn: a=0]이고 [eqn: 1+a+2b = 7] 즉, [eqn: b=3]이다.

∴ [eqn: f(x) = x^2 +3]

[eqn: lim from n->inf sum from k=1 to n 8k over n A_k &= 8lim from n->inf sum from k=1 to n k over n times 1 over n times f left ( k over n right)]

[eqn: = 8 int from 0 to 1 x f(x) ``dx][eqn: = 8 int from 0 to 1 x(x^2 + 3) ``dx]

[eqn: = 8left( 1 over 4 + 3 over 2 right) = 2 + 12 =14]

[eqn: 0=x _{0} ,``x _{1} ,``x _{2} ,`cdots`,``x_n-1 ,`` x_n =1]

이라 하자. 닫힌구간 [eqn: LEFT [x_k-1 ,`` x_k RIGHT ] `]를 밑변으로 하고 높이가 [eqn: f LEFT (x_k RIGHT ) `]인 직사각형의 넓이를 [eqn: A`_k `]라 하자. [eqn: LEFT ( k=1,``2,`cdots`,n RIGHT )`]

양 끝에 있는 두 직사각형의 넓이의 합이

[eqn: A`_1 +A`_n = {7n^2 +1}overn^3 `]

일 때, [eqn: lim _{ n`->`inf} sum _{ k=1} ^{n } { 8k over n A`_k }`]의 값을 구하시오.

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 10

[eqn: F `' LEFT (x RIGHT )=f LEFT (x RIGHT ) `]인 이차함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]와 임의의 두 실수 [eqn: a], [eqn: c `]에 대하여 서로 다른 두 점 [eqn: {rmA`} LEFT (a ,`` F` LEFT (a RIGHT ) RIGHT )], [eqn: {rmB`} LEFT (a+c ,`` F` LEFT (a+c RIGHT ) RIGHT ) `]를 지나는 직선의 기울기와 같은 값을 갖는 것은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: F``` prime `(x)=f`(x)```]이므로 [eqn: int _{} ^{} {f(x)`dx=`F``(x)+C``} `]이다.

따라서 [eqn: rm A it (`a,```F``(a))], [eqn: rm B it (`a+c`,``F`(a+c))`]를 지나는 직선의 기울기는

[eqn: {F``(a+c)-F``(a)} over {(a+c)-a} =` {1} over {c} LEFT { `F``(a+c)-F``(a) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {c} ` int _{a} ^{a+c} {f(x)dx```} `][eqn: =` {1} over {c} `` lim _{n -> INF } {LEFT . sum _{k=1} ^{n} `f` LEFT ( a+` {ck} over {n} ` RIGHT ) ` {c} over {n} RIGHT .}][eqn: =``` lim _{n -> INF } {LEFT . `` sum _{k=1} ^{n} ``f` LEFT ( a+` {ck} over {n} ` RIGHT ) ` {1} over {n} RIGHT .}]

① [eqn: lim _{n `->` INF } {} sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( {k} over {2n} RIGHT ) {c} over {n}]	② [eqn: lim _{n `->` INF } {sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( a+ {ck} over {n} RIGHT ) {1} over {n}}]

③ [eqn: lim _{n `->` INF } {sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( a+c+ {k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}}]	④ [eqn: lim _{n `->` INF } {sum _{k=0} ^{n-1} f LEFT (c+ {ak} over {n} RIGHT ) {1} over {2n}}]

⑤ [eqn: lim _{n `->` INF } {sum _{k=0} ^{n-1} f LEFT (a+ {k} over {n} RIGHT ) {2} over {n}}]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 06월 18

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=e^x `]이 있다. [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n `]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 1,`` 2 RIGHT ] `]를 [eqn: n `]등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로 [eqn: 1= x_0 ,`` x_1 ,`` x_2 ,` CDOTS` ,`` x_n-1 ,`` x_n =2 `]라 하자. 세 점 [eqn: LEFT (0,`` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT (x_k ,`` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT (x_k ,`` f LEFT (x_k RIGHT ) RIGHT ) `]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 [eqn: A`_k][eqn: LEFT (k= 1,`` 2,` CDOTS` ,`` n RIGHT ) `]이라 할 때, [eqn: lim _{n `->` INF } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} A` _{k} `]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: x_k = 1 + k overn] 따라서, 넓이 [eqn: A_k = 1 over2 left( 1 + k overn right) f left( 1+ k overn right)]

[eqn: lim_n->inf 1 overn sum_k=1^n A_k = lim_n->inf 1 overn sum_k=1^n 1 over2 left( 1 + k overn right) f left( 1+ k overn right)]

[eqn: = 1 over2 lim_n->inf 1 overn sum_k=1^n left(1 + k overn right) f left( 1 + k overn right)][eqn: = 1 over2 int_1^2 x f(x) dx][eqn: = 1 over2 int_1^2 x e^x dx]

[eqn: = 1 over2 left{ [ x e^x ]_1^2 - int_1^2 e^x dx right} = 1 over2 e^2]

① [eqn: 1 over 2 e^2 -e]	② [eqn: 1 over 2 LEFT (e^2 -e RIGHT )]	③ [eqn: 1 over 2 e^2]

④ [eqn: e^2 -e]	⑤ [eqn: e^2 - 1 over 2 e]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 04월 28

그림과 같이 곡선 [eqn: y=`-x ^{2} +1] 위에 세 점 [eqn: rm A LEFT (-1,`` 0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT (1,`` 0 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT (0,`` 1 RIGHT )`]이 있다. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 선분 [eqn: rm OC`]를 [eqn: n`]등분할 때, 양 끝점을 포함한 각 분점을 차례로 [eqn: rm O=D _{0}], [eqn: rm D _{1}], [eqn: rm D _{2}],[eqn: `CDOTS`], [eqn: rm D _{it n-1 rm}], [eqn: rm D _{it n rm} =C`]라 하자. 직선 [eqn: rm AD _{it k rm} `]가 곡선과 만나는 점 중 [eqn: rm A`]가 아닌 점을 [eqn: rm P _{it k rm}`]라 하고, 점 [eqn: rm P _{it k rm}`]에서 [eqn: x `]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q _{it k rm}`]라 하자. [eqn: LEFT ( k=1,`` 2,` CDOTS` ,`` n RIGHT )]
삼각형 [eqn: rm AP _{it k rm} rm Q _{it k rm} `]의 넓이를 [eqn: S` _{k} `]라 할 때, [eqn: lim _{n `->` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} S` _{k}} = alpha `]이다. [eqn: 24 alpha `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 11]

[해설]

점 [eqn: rm D _{it k rm} LEFT ( 0,`` it {k} over {n} RIGHT )]이므로 직선 [eqn: rm AD _{it k rm} `]의 방정식은
[eqn: y= {k} over {n} x+ {k} over {n} `]

직선 [eqn: rm AD _{it k rm} `]와 곡선 [eqn: y=`-x ^{2} +1`]과의 교점 [eqn: rm P _{it k rm} `]는
[eqn: rm P _{it k rm} LEFT ( it1- {k} over {n} ,`` {2k} over {n} - LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT ) `]이므로

[eqn: △ rm AP _{itk} Q _{it k rm}]의 밑변의 길이는 [eqn: 2- {k} over {n}]이고
높이는 [eqn: {2k} over {n} - LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} `]

[eqn: therefore][eqn: S _{k} = {1} over {2} LEFT ( 2- {k} over {n} RIGHT ) LEFT { {2k} over {n} - LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} S _{k}} `][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} {1} over {2} LEFT ( 2- {k} over {n} RIGHT )} LEFT { {2k} over {n} - LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]
[eqn: = int _{0} ^{1} {{1} over {2} LEFT ( 2-x RIGHT ) LEFT ( 2x-x ^{2} RIGHT ) `dx`} = {11} over {24}]

따라서 [eqn: alpha= {11} over {24}]이고 [eqn: 24alpha=11]

06 미적	13 정적분의활용
01 정적분과 급수
07 정적분과 급수6 (도형에서 식 세우기)

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 23

[eqn: rm {bar{AD}} =1], [eqn: rm {bar{AB}} = sqrt {2}], [eqn: rm {bar{BC}} =3]인 등변사다리꼴 [eqn: rm rmABCD `]에서 변 [eqn: rmAB`]를 [eqn: n`]등분한 점을 각각 [eqn: rmP _{1}], [eqn: rmP _{2}],[eqn: `CDOTS`], [eqn: rmP _{itn-1}`]이라 하고 각 점에서 변 [eqn: rmBC`]에 평행한 직선을 그어 변 [eqn: rm CD `]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm Q _{1 }], [eqn: rm Q _{2}],[eqn: `CDOTS`], [eqn: rm Q it _{itn-1} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n`` rarrow `` INF } {{1} over {n} rm LEFT ( {bar{P _{1} Q _{1} }} ^{3}+ rm {bar{P _{2} Q _{2} }} ^{3} + rm {bar{P _{3} Q _{3} it }}^{3} +` CDOTS `+ {bar{rm P it _{it n} rm Q it _{it n} it }}^{3} RIGHT )}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 10]

[해설]

[eqn: lim _{ n->inf} { { 1} over { n} } left( {bar{ {rmP}_1 {rmQ}_1 }}^3 ``+``{bar{ {rmP}_2 {rmQ}_2 }}^3 ``+`CDOTS`+`{bar{ {rmP}_n {rmQ}_n }}^3 right)]

[eqn: =lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1 } ^{n } left(1+ {2 k} over { n} right)^3 = {1 } over { 2} int _{ 1} ^{ 3} {x^3` dx }=10]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 04월 29

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: rmABCD`]가 있다. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 변 [eqn: rmBC`]를 [eqn: n`]등분한 각 분점을 점 [eqn: rmB`]에서 가까운 것부터 차례로 [eqn: rm P _{1}], [eqn: rmP _{2}], [eqn: rmP _{3}],[eqn: `CDOTS`], [eqn: rm P _{it n rm -1}`]이라 하고, 변 [eqn: rmCD`]를 [eqn: n `]등분한 각 분점을 점 [eqn: rmC `]에서 가까운 것부터 차례로 [eqn: rm Q _{1}], [eqn: rm Q _{2}], [eqn: rm Q _{3}],[eqn: `CDOTS`], [eqn: rm Q _{it n rm -1}`]이라 하자. [eqn: 1 LEQ k LEQ n-1`]인 자연수 [eqn: k`]에 대하여 사각형 [eqn: rm A P_{itk}Q_{itk}D`]의 넓이를 [eqn: S` _{k}`]라 하자. [eqn: lim _{n `->` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} S` _{k}} =alpha `]일 때, [eqn: 150alpha`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: {bold{100}}]

[해설]

[eqn: S _{k} =1- {1} over {2} TIMES {k} over {n} `- {1} over {2} TIMES {k} over {n} LEFT ( 1- {k} over {n} RIGHT )][eqn: =1- {k} over {n} + {1} over {2} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} S _{k}} `= lim _{n -> INF } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} LEFT { 1- {k} over {n} + {1} over {2} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }][eqn: = int_0^1 left(1-x + 1over 2 x^2 right) dx][eqn: = left[ x - 1 over 2 x^2 + 1 over 6 x^3 right]_0^1][eqn: = {2} over {3}][eqn: therefore][eqn: alpha= {2} over {3}]
따라서    [eqn: 150alpha=100]

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 09월

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO], 반지름의 길이가 [eqn: 1 `]이고 중심각의 크기가 [eqn: pi over2 `]인 부채꼴 [eqn: rmOAB `]가 있다. 자연수 [eqn: n `]에 대하여 호 [eqn: rmAB `]를 [eqn: 2n `]등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로 [eqn: rm P_0 LEFT (=A RIGHT )], [eqn: rmP_1], [eqn: rm P_2],[eqn: `CDOTS`], [eqn: rm P_{it2n-1}], [eqn: rmP_{it2n} LEFT (=B RIGHT )`]라 하자.

[정답] ①

[해설]

[eqn: S_k`=` 1over2 times 1^2 times sin{2k pi}over{4n}][eqn: = 1over2 `sin {k pi}over{2n}]

[eqn: lim _{n`->`inf} {1overn} sum_k=1 ^n {S}`_k] [eqn: = lim _{n`->`inf} {1overn} sum_k=1 ^n 1over2 rmsin it{k pi}over{2n}][eqn: =lim _{n`->`inf} sum_k=1 ^n rmsin it{k pi}over{2n} times 1over2n]

([eqn: x_k `=`k over2n `], [eqn: TRIANGLE x`=` 1over2n]로 놓으면)

[eqn: =int_0 ^{1over2} sin pix` dx][eqn: =`left[ - 1overpi `cos `pix right]_0 ^{1over2}`=`1overpi]

주어진 자연수 [eqn: n `]에 대하여 [eqn: {S`} _k][eqn: LEFT (1 LEQ k leq n RIGHT )`]을 삼각형 [eqn: rmOP_{itn-k} P_{itn+k `]의 넓이라 할 때, [eqn: lim _{n `->` inf} {1overn} sum_k=1 ^n {S`} _k`]의 값은?

① [eqn: 1overpi]	② [eqn: 13over12pi]	③ [eqn: 7over6pi]

④ [eqn: 5over4pi]	⑤ [eqn: 4over3pi]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 04월 28

그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {2}`]이고, 반지름의 길이가 [eqn: 8`]인 부채꼴 [eqn: rm OAB`]가 있다. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 호 [eqn: rm AB`]를 [eqn: n`]등분한 각 분점을 점 [eqn: rmA`]에서 가까운 것부터 차례로 [eqn: rmP _{1}], [eqn: rmP _{2}], [eqn: rmP _{3}],[eqn: `CDOTS`], [eqn: rm P _{it n-1}`]이라 하자. [eqn: 1 LEQ k LEQ n-1`]인 자연수 [eqn: k`]에 대하여 점 [eqn: rm B`]에서 선분 [eqn: rm OP _{it k }`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q _{it k }`]라 하고, 삼각형 [eqn: rm OQ _{it k rm} B`]의 넓이를 [eqn: S` _{k }`]라 하자. [eqn: lim _{n `->` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} S` _{k}} = {alpha } over {pi }`]일 때, [eqn: alpha `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 32]

[해설]

삼각형 [eqn: rm OQ _{it k rm} B]에서

[eqn: ANGLE rm OBQ _{it k rm} it = ANGLE rm AOP _{it k rm} it = {k pi } over {2n}]이고 [eqn: {bar{rm OB it}} =8]이므로

[eqn: {bar{rm OQ _{it k rm} it}} =8sin {k pi } over {2n}], [eqn: {bar{rm BQ _{it k rm} it}} =8cos {k pi } over {2n}]

[eqn: S _{k`} = {1} over {2} TIMES ` {bar{rm OQ _{it k rm} it}} TIMES ` {bar{rm BQ _{it k rm} it}}# = {1} over {2} TIMES 8sin {k pi } over {2n} TIMES 8cos {k pi } over {2n} =16sin {k pi } over {n}]

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} S _{k}} =16 lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} sin {k pi } over {n}}]

[eqn: =16 int _{0} ^{1} {sin pi x``dx}][eqn: =16 LEFT [ - {1} over {pi } `cos pi x RIGHT ] _{0} ^{1} = {32} over {pi }]

따라서 [eqn: alpha =32]

06 미적	13 정적분의활용
02 정적분과 넓이
02 넓이2 (그래프 그리기)

[출처]	2012 모의_공공 사관학교 고3 07월 19

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,`` piover2 RIGHT ]`]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= {sin` 2x}over{1+sin` x}`]에 대하여 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. 구간 [eqn: left[0 , ``pi over2 right]]에서 [eqn: 0 le sin 2x le1]이고

[eqn: 1 le 1+ sin x le2]이므로

[eqn: f(x)= { sin2x} over { 1+sin x} ge0]이다. (참)

ㄴ. [eqn: f(0)=0], [eqn: f LEFT ( pi over2 RIGHT )=0]이므로 롤의 정리에 의해서

[eqn: f'(c)=0]인 [eqn: c]가 열린 구간 [eqn: LEFT ( 0 , ``pi over2 RIGHT )]에 존재한다. (참)

ㄷ. 열린 구간 [eqn: LEFT ( 0 , ``pi over2 RIGHT )]에서 [eqn: sin 2x !=0]이므로

열린 구간 [eqn: LEFT ( 0 , ``pi over2 RIGHT )]에서 [eqn: f(x)>0]이다.

ㄴ에서 [eqn: f(0)=0], [eqn: f LEFT ( pi over2 RIGHT )=0]이므로

함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int_0^{pi over2} f(x)dx]이다.

[eqn: 1+sin x=t]라 하면 [eqn: cos x dx = dt]이고

[eqn: x=0]일 때, [eqn: t=1]이고 [eqn: x= pi over2]일 때, [eqn: t=2]이므로

[eqn: int_0^{pi over2} f(x)dx][eqn: =int_0^{pi over2} { sin 2x} over { 1+sinx} dx][eqn: = int_0^{pi over2} { 2 sinx cosx} over { 1+sinx}dx]

[eqn: = int_1^2 { 2(t-1)} over { t}dt][eqn: = 2 int_1^2 LEFT ( 1- 1 overt RIGHT )dt]

[eqn: = 2 left[ t - ln ``t ]_1^2][eqn: =2(1-ln``2)] (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

[다른 풀이]

ㄴ. [eqn: f'(x)][eqn: = { 2 cos 2x (1+sin x)- sin2x cos x} over { LEFT ( 1+sinx RIGHT )^2}]

[eqn: f'(0)=2], [eqn: f' LEFT ( pi over2 RIGHT )][eqn: =-1]이므로 중간값의 정리에 의해서

[eqn: f'(c)=0]인 [eqn: c]가 열린 구간 [eqn: LEFT ( 0 , ``pi over2 RIGHT )]에 존재한다. (참)

[별해]

ㄱ. 주어진 구간에서 [eqn: 1+sinx>0]이고 [eqn: sin ^{2} x GEQ 0]이므로

[eqn: f(x) GEQ 0]이다.   (참)

ㄴ. [eqn: f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =f(0)=0] 이므로 평균값의 정리에 의하여 [eqn: c]가

주어진 구간에 존재한다.     (참)

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {`` {sin`2x} over {1+sin`x} `dx}]에서 [eqn: sin`x=t]로 치환하면

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {`` {sin`2x} over {1+sin`x} `dx} = int _{0} ^{1} {` {2t} over {1+t} `dt= int _{0} ^{1} {`2- {2} over {1+t} `dt}}]

[eqn: =2-2 int _{1} ^{2} {` {1} over {t} `dt=2-2`ln2}] 이므로  참

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT (x RIGHT )ge0] ㄴ. [eqn: f `' LEFT (c RIGHT )=0`]인 [eqn: c`]가 열린구간 [eqn: LEFT (0,`` piover2 RIGHT )`]에 존재한다. ㄷ. 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]의 그래프와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 2-2 ln 2`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

06 미적	13 정적분의활용
02 정적분과 넓이
03 넓이3 (대칭성)

[출처]	2013 모의_공공 사관학교 고3 07월 18

[eqn: 0 leq x leq pi]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)={ cos x} over { sin x+2}]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_{1}], 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x= pi]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_{2}]라 하자. [eqn: S _{1} +S _{2}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: f(x)=0]에서 [eqn: x={ pi} over {2}( because 0 leq x leq pi)]

따라서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: left({ pi} over {2},`` 0 right)]에서 [eqn: x]축과 만난다. 이때, [eqn: f(x)+f( pi-x)=0]이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 점 [eqn: left({ pi} over {2},`` 0 right)]에 대하여 대칭이다.

[eqn: therefore~S_{1}=S_{2}]

[eqn: therefore~S_{1}+S_{2}=2 int_{0}^{{ pi} over {2}} { cos x} over { sin x+2} d x]

[eqn: t= sin x+2]라 하면

[eqn: x=0]일 때, [eqn: t=2], [eqn: x={ pi} over {2}]일 때, [eqn: t=3]이고

[eqn: d t= cos x d x]이므로

[eqn: 2 int_{0}^{{ pi} over {2}} { cos x} over { sin x+2} d x=2 int_{2}^{3} {1} over {t} d t]

[eqn: =2 LEFT[ PILE{IT#IT} ln x RIGHT ]_{2}^{3}=2( ln 3- ln 2)=2 ln {3} over {2}]

① [eqn: ln {3} over {2}]	② [eqn: ln {4} over {3}]	③ [eqn: 2 ln {3} over {2}]

④ [eqn: 2 ln {4} over {3}]	⑤ [eqn: 4 ln {3} over {2}]

06 미적	13 정적분의활용
02 정적분과 넓이
04 넓이4 (함수 결정 후 넓이)

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 07월 28

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1 `]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]와 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} `]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold54]

[해설]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =g LEFT ( 1 RIGHT )`]이고 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) =1`]이므로 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =g LEFT ( -1 RIGHT ) =1]

두 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: -1`], [eqn: 1`]이고

[eqn: lim _{n` -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n}left{f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) -g LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) `right}][eqn: = int _{0} ^{1} { LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }dx} =27`]

이므로 [eqn: -1leq x leq 1]에서 [eqn: f(x)geq g(x)]이다.

두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 [eqn: y`]축 대칭이므로 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `-g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 [eqn: y`]축 대칭이다.

두 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx} `= int _{-1} ^{1} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx}]

[eqn: =2 int _{0} ^{1} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx} `=54`]

따라서 구하는 넓이는 [eqn: 54]

(가) 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) `]이다.

(나) [eqn: lim _{n `->` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT { f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) -g LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } } =27 `]

두 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 18

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=0`]이고 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f `' LEFT (x RIGHT )>0`]이다. 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: rm A it LEFT (t,`` f LEFT (t RIGHT ) RIGHT )][eqn: LEFT (t>0 RIGHT )`]에서 [eqn: x `]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm B`]라 하고, 점 [eqn: rm A`]를 지나고 점 [eqn: rm A`]에서의 접선과 수직인 직선이 [eqn: x `]축과 만나는 점을 [eqn: rm C`]라 하자. 모든 양수 [eqn: t `]에 대하여 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이가 [eqn: 1 over2 LEFT (e^3t -2e^2t +e^t RIGHT )`]일 때, 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]와 [eqn: x `]축 및 직선 [eqn: x=1`]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: rm A]를 지나고 점 [eqn: rm A]에서의 접선과 수직인 직선의 방정식은

[eqn: y-f(t)= it - 1over{f`'(t)} (x-t)]

[eqn: y=0]일 때 [eqn: x= f(t) f`'(t)+t`]이므로 [eqn: rm C it ( f(t)f`'(t)+t,~0)]

[eqn: rm bar AB =it f(t),~ rm bar BC = it f(t)f`'(t)]이므로

삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이는 [eqn: 1 over2 left{ f(t) right}^2 f`'(t)]

즉 [eqn: 1 over2 left{ f(t) right}^2 f`'(t)= 1 over2 (e^3t -2e^2t +e^t )]에서

[eqn: left{ f(t)right}^2 f`'(t)= e^3t -2e^2t +e^t]

[eqn: d over dx left[ pile{`#`} 1 over3 left{ f(t) right}^2 right] = e^3t -2 e^2t +e^t]

[eqn: 1 over3 left{ f(t) right}^3 = 1 over3 e^3t - e^2t +e^t +C``] (단, [eqn: C``]는 적분상수)

이때, [eqn: f(0)=0]이므로 [eqn: C = it - 1over3]

[eqn: 1 over3 left{ f(t) right}^3 = 1 over3 e^3t - e^2t +e^t - 1over3]에서

[eqn: left{ f(t) right}^3][eqn: = e^3t - 3e^2t +3 e^t -1]
[eqn: =(e^t -1)^3]

따라서 [eqn: f(x)= e^x -1]이므로 구하는 넓이는

[eqn: int_0^1 (e^x -1)dx][eqn: = left[ pile{`#`} e^x - x right]_0^1]
[eqn: =(e-1)-1]
[eqn: =e-2]

① [eqn: e-2]	② [eqn: e]	③ [eqn: e+2]

④ [eqn: e+4~]	⑤ [eqn: e+6]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 03월 17

두 함수 [eqn: f(x)=ax ^{2}] ([eqn: a>0]), [eqn: g(x)=ln x]의 그래프가 한 점 [eqn: rm P]에서 만나고, 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 기울기와 곡선 [eqn: y=g(x)]위의 점 [eqn: rm P]에서의 접선의 기울기가 서로 같다. 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[정답] ②

[해설]

[eqn: f(x)=ax ^{2}], [eqn: g(x)=ln x]에서 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프가 만나는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 하면

[eqn: ak ^{2} =ln k]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: f prime (x)=2ax], [eqn: g prime (x)= {1} over {x}]

두 곡선 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 기울기가 서로 같으므로

[eqn: 2a k= {1} over {k}]

[eqn: 2a k ^{2} =1]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: ln k= {1} over {2}], [eqn: k= sqrt {e}]

[eqn: a= {1} over {2e}]

[eqn: f(x)= {x ^{2}} over {2e}]이고 점 [eqn: rm P]의 좌표는 [eqn: LEFT ( sqrt {e} ,```` {1} over {2} RIGHT )]이므로 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 구하는 넓이는

[eqn: int _{0} ^{sqrt {e}} {{x ^{2}} over {2e}} dx- int _{1} ^{sqrt {e}} {ln x} dx]

[eqn: = LEFT [ {x ^{3}} over {6e} RIGHT ] _{0}^{sqrt {e}} - LEFT { LEFT [ pile{ # } x ln x RIGHT ] _{1}^{sqrt {e}} - int _{1} ^{sqrt {e}} {LEFT ( x TIMES {1} over {x} RIGHT ) dx} RIGHT }]

[eqn: = LEFT [ {x ^{3}} over {6e} RIGHT ] _{0}^{sqrt {e}} - LEFT [ x ln x pile{it#it} RIGHT ] _{1}^{sqrt {e}} + LEFT [ x pile{it#it} RIGHT ] _{1}^{sqrt {e}}]

[eqn: = LEFT ( {sqrt {e}} over {6} -0 RIGHT ) - LEFT ( {sqrt {e}} over {2} -0 RIGHT ) + LEFT ( sqrt {e} -1 RIGHT )]

[eqn: = {2 sqrt {e} -3} over {3}]

① [eqn: {2 sqrt {e} -3} over {6}]	② [eqn: {2 sqrt {e} -3} over {3}]	③ [eqn: {sqrt {e} -1} over {2}]

④ [eqn: {4 sqrt {e} -3} over {6}]	⑤ [eqn: sqrt {e} -1]

06 미적	13 정적분의활용
03 정적분과 넓이의 해석
01 넓이와 해석1 (넓이조건과 관계식)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 21

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,`` 1 RIGHT ] `]에서 증가하는 연속함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: y = f(x)`]의 그래프가 닫힌구간 [eqn: [0, ````1]`]에서 [eqn: x`]축과 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: k`]라 하자.

곡선 [eqn: y = f(x)`]와 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_1], 곡선 [eqn: y = f(x)`]와 [eqn: x`]축 및 직선 [eqn: x = 1`]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_2`]라 하면

[eqn: int _0 ^1 f(x) dx = 2`]에서 [eqn: - S_1 + S_2 = 2][eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: int _0 ^1 left| ` f(x) `| dx = 2 sqrt 2 `]에서 [eqn: S_1 + S_2 = 2sqrt2][eqn: cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡에서[eqn: S_1 = sqrt2 - 1], [eqn: S_2 = sqrt2 + 1]

(ⅰ) [eqn: 0 le x le k `]인 경우

[eqn: F(x) = int _0 ^x ( - f(t)) dt `]이므로

[eqn: F``'(x) = - f(x)]

[eqn: int _0 ^k f(x) F(x) dx `]에서

[eqn: F(x) = s`]로 놓으면

[eqn: x = 0`]일 때 [eqn: s = 0], [eqn: x = k`]일 때 [eqn: s = sqrt2 - 1`]이고,
[eqn: ds over dx = F`prime(x)=-f`(x)`]이므로

[eqn: int _0 ^k f(x) F(x) dx][eqn: = int _0 ^{ sqrt2 - 1 } (-s) ds][eqn: = left[ - 1 over 2 s^2 right] _0 ^{sqrt2 - 1}]
[eqn: = - 1 over 2 ( sqrt2 - 1 ) ^2]

(ⅱ) [eqn: k le x le 1`]인 경우

[eqn: F(x) = (sqrt2 - 1 ) int _k ^x f(t) dt `]이므로 [eqn: F``'(x) = f(x)]
[eqn: int _k ^1 f(x) F(x) dx `]에서 [eqn: F(x) = s`]로 놓으면
[eqn: x = k`]일 때 [eqn: s = sqrt2 - 1], [eqn: x = 1`]일 때 [eqn: s = 2 sqrt 2`]이고,
[eqn: {ds} over {dx} =F``' LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) `]이므로

[eqn: int _k ^1 f(x) F(x) dx][eqn: = int _{sqrt2 - 1} ^{2sqrt2} s `ds][eqn: = left [ 1 over 2 s^2 right] _{sqrt2 - 1} ^{ 2 sqrt2}]
[eqn: = 4 - 1 over 2 ( sqrt2 - 1 )^2]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: int _0 ^1 f(x) F(x) dx]

[eqn: = int _0 ^k f(x) F(x) dx + int _k ^1 f(x) F(x) dx]

[eqn: = - 1 over 2 ( sqrt2 - 1 ) ^2 + 4 - 1 over 2 ( sqrt2 - 1 )^2]

[eqn: = 4 - ( sqrt2 - 1 ) ^2][eqn: = 4 - ( 3 - 2 sqrt2 )]

[eqn: = 1 + 2 sqrt 2]

[eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT )} dx=2], [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} dx=2 sqrt {2}`]

를 만족시킨다. 함수 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) `]가

[eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} dt][eqn: LEFT ( 0 LEQ x LEQ 1 RIGHT )]

일 때, [eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) F` LEFT ( x RIGHT )} dx`]의 값은?

① [eqn: 4- sqrt {2}]	② [eqn: 2+ sqrt {2}]	③ [eqn: 5- sqrt {2}]

④ [eqn: 1+2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2+2 sqrt {2}]

06 미적	13 정적분의활용
03 정적분과 넓이의 해석
03 넓이와 해석3 (넓이로 정의된 함수)

[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 11월 미분과 적분 28

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= e^-x `]과 자연수 [eqn: n `]에 대하여 점 [eqn: rm P _{itn}], [eqn: rm Q _{itn}`]을 각각 [eqn: rm P _{itn} LEFT ( itn,``f LEFT ( n RIGHT ) RIGHT )], [eqn: rm Q _{itn} LEFT (it n+1,`` f LEFT ( n RIGHT ) RIGHT ) `]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm P _{itn} rm P _{itn+1} rm Q _{itn} `]의 넓이를 [eqn: A`_n], 선분 [eqn: rm P _{itn} rm P _{itn+1} `]과 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: B`_n `]이라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: f`(n) = int from n to n+1 f`(x) dx + (A_n +B_n )]

[eqn: therefore][eqn: int _n ^n+1 `f`(x)dx = f`(n) - (A_n +B_n )]     따라서 참

ㄴ. [eqn: A_n = 1 over 2 ( e ^ -n - e^ {-n-1} ) = { e-1} over 2 e^{-n-1}]

[eqn: sum _ { n=1} ^{ inf} = { 1 over 2 (e-1) e^-2 } over { 1-e^-1} = 1 over 2e]    따라서 참

ㄷ. [eqn: B_n = 1 over 2 ( e^ -n + e^ {-n-1} ) - int _n ^{n+1} e^-x ~ dx]

[eqn: = 1 over 2 ( e^-n + e^{ -n-1} ) + ( e^{ -n-1} - e^-n )][eqn: = 3 over 2 e^{ -n-1} - 1 over 2 e^-n]

[eqn: sum _{n=1} ^{ inf} B_n = { 3 over 2 e^ {-2} - 1 over 2 e^ -1 } over { 1 - 1 over e }][eqn: = { 3-e} over { 2e^2 -2e }][eqn: = { 3-e } over { 2e(e-1)}]   따라서 참

	<보 기>
ㄱ. [eqn: int _{n} ^{n+1} {} f LEFT (x RIGHT ) dx =f LEFT (n RIGHT )- LEFT (A` _{n} +B` _{n} RIGHT )] ㄴ. [eqn: sum _{n=1 ^{ }} ^{INF _{ }} A` _{n} = {1 _{ }} over {2e}] ㄷ. [eqn: sum _{n=1 ^{ }} ^{INF _{ }} B` _{n} = {3-e _{ }} over {2e LEFT (e-1 RIGHT )}]

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 28

[eqn: 0<a<1`]인 실수 [eqn: a`]에 대하여 구간 [eqn: LEFT [ 0 ,`` pi over 2 RIGHT )]에서 정의된 두 함수

[정답] ②

[해설]

두 함수 [eqn: y=sin`x], [eqn: y=a tan `x]의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha``left(0<alpha< pi over2 right)]라 하면

[eqn: sin`alpha=a tan`alpha], [eqn: sin`alpha=a cdot{sin`alpha}over{cos`alpha}]

[eqn: sin`alpha ne=]이므로 [eqn: cos`alpha=a]

[eqn: f left(a right)][eqn: =int_0^alpha left(sin`x-a tan`x right)`dx]
[eqn: =int_0^alpha sin`x`dx-a int_0^alpha tan`x`dx]	[eqn: cdotscdots] ㉠

㉠을 [eqn: a]에 대하여 미분하면

[eqn: f`prime left(a right)][eqn: =sin`alpha`{d alpha}overda -int_0^alpha tan`x`dx-a tan`alpha `{d alpha}overda]
[eqn: =left(sin`alpha-cos`alpha`tan` alpha right){d alpha}overda -int_0^alpha{sin`x}over{cos`x}`dx]
[eqn: =left[ln`cos`x pile{`#`}right]_0^alpha]
[eqn: =ln`cos`alpha]
[eqn: =ln`a]

[eqn: therefore][eqn: f`prime left(1overe^2 right)=ln`1overe^2 =it-2]

[eqn: y =sin` x], [eqn: y =a`tan` x]

의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: f LEFT ( a RIGHT )`]라 할 때, [eqn: f`' LEFT ( 1 over e^2 RIGHT )`]의 값은?

① [eqn: - 5 over 2]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - 3 over2]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - 1 over 2]

06 미적	13 정적분의활용
03 정적분과 넓이의 해석
04 넓이와 해석4 (포함과 배제)

[출처]	2013 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

조건 (가), (나)에 의하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

위 그림에서 [eqn: int_{1}^{3} f(x) d x]는 가로와 세로의 길이가 각각 [eqn: 1], [eqn: e-1]인 직사각형의 넓이와 같다.

[eqn: therefore~ int_{0}^{3} f(x) d x]

[eqn: = int_{0}^{1} left(e^{x}-1 right) d x+(e-1) times 1]

[eqn: = left[ pile{it #it} e^{x}-x right]_{0}^{1}+e-1]

[eqn: =2 e-3]

(가) [eqn: 0 leq x<1]일 때, [eqn: f(x)=e^{x}-1]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+1)=it-f(x)+e-1]이다.

[eqn: int_{0}^{3} f(x) d x]의 값은?

① [eqn: 2 e-3]	② [eqn: 2 e-1]	③ [eqn: 2 e+1]

④ [eqn: 2 e+3]	⑤ [eqn: 2 e+5]

06 미적	13 정적분의활용
03 정적분과 넓이의 해석
05 넓이와 해석5 (활용)

[출처]	2009 모의_공공 사관학교 고3 07월 16

좌표평면 위에 네 점 [eqn: rm O LEFT (0,`` 0 RIGHT )], [eqn: rm A LEFT (1,`` 0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT (1,`` 1 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT (0,`` 1 RIGHT ) `]을 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm OABC `]가 있다. 곡선 [eqn: y=x^4 `]과 직선 [eqn: y=k][eqn: LEFT ( 0<k<1 RIGHT )`]에 의해 정사각형 [eqn: rm OABC `]를 네 영역으로 나눌 때, 그림과 같이 네 영역의 넓이를 각각 [eqn: S`_1], [eqn: S`_2], [eqn: S`_3], [eqn: S`_4 `]라 하자. 이때, [eqn: LEFT | S` _{1} -S` _{3} RIGHT | + LEFT | S` _{2} -S` _{4}RIGHT | `]의 최솟값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: S_1 +S_2 =k``](단, [eqn: 0<k<1])이고

[eqn: S_1 =int_{0}^{k}``x``dy=int_{0}^{k}``y^{1 over 4}``dy]

[eqn: =left[``4 over 5 y^{5 over 4}``right]_{0}^{k}= 4 over 5 k^{5 over 4}``]

[eqn: therefore`````][eqn: S_2 =k- 4 over 5 k^{5 over 4}``]

또한, [eqn: S_3 +S_4 =1-k``]이고

[eqn: S_4 =int_{k}^{1}``y^{1 over 4}``dy= left[``4 over 5 y^{5 over 4}``right]_{k}^{1}= 4 over 5 left(1- k^{5 over 4} right)]

[eqn: therefore`````][eqn: S_3 =(1-k)- 4 over 5 left(1- k^{5 over 4} right)= 1 over 5 -k+ 4 over 5 k^{5 over 4}``]

따라서

[eqn: |``S _{1} -S _{3} ``|+|``S _{2} -S _{4} ``|=left|``k- 1 over 5 ``right|+left|``k- 4 over 5 ``right|]

이고 [eqn: y=left|``k- 1 over 5 ``right|+left|``k- 4 over 5 ``right|``]는 다음 그림과 같다.

따라서 최솟값은 [eqn: 3 over 5``]이다.

[eqn: rm O]

[eqn: rm A LEFT (1,`` 0 RIGHT )]

[eqn: rm B LEFT (1,`` 1 RIGHT )]

[eqn: rm C LEFT (0,`` 1 RIGHT )]

[eqn: y=k]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=x^4]

[eqn: S`_1]

[eqn: S`_2]

[eqn: S`_3]

[eqn: S`_4]

① [eqn: 2 over 5]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 3 over 5]

④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 3 over 4]

06 미적	13 정적분의활용
03 정적분과 넓이의 해석
06 역함수와 정적분1 (대칭성)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 03월 28

연속함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]와 그 역함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold{24]

[해설]

함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: f(1)<f(3)`]이고 일대일대응이므로 함수 [eqn: f(x)`]는 구간 [eqn: left[`1,``3`right]`]에서 증가한다.

그러므로 [eqn: int_1 ^3 f(x)`dx][eqn: =3 TIMES 3-1 TIMES 1- int _{1} ^{3} {} g(x)`dx]

조건 (다)에 의해서 [eqn: int _{1} ^{3} {} g(x)`dx=3`]이므로

[eqn: int_1 ^3 f(x)`dx][eqn: = 8 -3][eqn: =5]

[eqn: int_3 ^7 f(x)`dx][eqn: =int_1 ^7 f(x)`dx- int_1 ^ 3 f(x)`dx]
[eqn: = 27 - 5][eqn: =22]

조건 (나)에 의해서 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프는 구간 [eqn: (3,``7)`]에서 위로 볼록하다. 조건 (가)에 의해서 [eqn: f(3)=3`], [eqn: f(7) =7`]이므로 구간 [eqn: [`3,``7`]]에서 [eqn: f(x)-x ge 0`]이다.

[eqn: 12 int _3 ^7 left| f(x) - x right| `dx][eqn: =12 int _3 ^7 left{ f(x) - x right} `dx]
[eqn: =12left{ int _3 ^7 f(x)`dx - int _3 ^7 x `dx right}]
[eqn: =12 times(22 - 20)][eqn: =24]

(가) [eqn: f LEFT (1 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT (3 RIGHT ) =3], [eqn: f LEFT (7 RIGHT ) =7]

(나) [eqn: x!=3 `]인 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f `'' LEFT (x RIGHT )<0 `]이다.

(다) [eqn: int _{1} ^{7} {f LEFT (x RIGHT )} dx= 27], [eqn: int _{1} ^{3} {g LEFT (x RIGHT )} dx=3 `]

[eqn: 12 int _{3} ^{7} {} LEFT | f LEFT (x RIGHT )-x RIGHT | dx `]의 값을 구하시오.

06 미적	13 정적분의활용
03 정적분과 넓이의 해석
07 역함수와 정적분2 (정적분과 급수)

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 10월 20

연속함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: S_n = sum_k=1^n left{ f left( 2k overn right) -f left( 2k-2 overn right)right} k overn]이라 하면

[eqn: S_n =sum _{ k=1} ^{n }left{ f LEFT ( { 2k} over {n } RIGHT ) - f LEFT ( { 2k-2} over {n } RIGHT ) right} k overn]

[eqn: = {1} over {n} LEFT { f LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) -f(0) RIGHT }][eqn: + {2} over {n} LEFT { f LEFT ( {4} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: + {3} over {n} LEFT { f LEFT ( {6} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( {4} over {n} RIGHT ) RIGHT }][eqn: +][eqn: ``CDOTS `]

[eqn: + {n-1} over {n} LEFT { f LEFT ( {2n-2} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( {2n-4} over {n} RIGHT ) RIGHT }][eqn: + {n} over {n} LEFT { f LEFT ( {2n} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( {2n-2} over {n} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =][eqn: -{1} over {n} `f(0)][eqn: - {1} over {n} `f LEFT ( { 2} over { n} RIGHT )][eqn: - {1} over {n} `f LEFT ( {4} over {n} RIGHT )][eqn: - `CDOTS `]

[eqn: - {1} over {n} `f LEFT ( {2n-2} over {n} RIGHT )][eqn: +`f LEFT ( 2 RIGHT )]

[eqn: =f(2)- sum _{k=0} ^{n-1} f LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}]

[eqn: k overn =x_k]라 하면 [eqn: {1} over {n} = DELTA x]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=0} ^{n-1} f LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=0} ^{n-1}} f(2x _{k`} ) DELTA x= int _{0} ^{1} {f(2x)} dx][eqn: =`1over2 int _{ 0} ^{2 } {f(t) dt }][eqn: = {1} over {8}]

[eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n} = lim _{n -> INF } {} LEFT { f(2)- sum _{k=0} ^{n-1} f LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n} RIGHT }][eqn: =f(2)-][eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=0} ^{n-1} f LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}]

[eqn: = 1- 1over8][eqn: = 7over8]

(가) [eqn: f LEFT (2 RIGHT )=1]

(나) [eqn: int _{0} ^{2} {f LEFT (x RIGHT )} dx= {1} over {4}]

[eqn: lim _{n `->` INF } {sum _{k =1} ^{n} LEFT { f LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( {2k-2} over {n} RIGHT ) RIGHT } {k} over {n}}`]의 값은?

① [eqn: {3} over {4}]	② [eqn: {4} over {5}]	③ [eqn: {5} over {6}]

④ [eqn: {6} over {7}]	⑤ [eqn: {7} over {8}]

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 13

모든 실수에서 연속이고 역함수가 존재하는 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]의 그래프는 제 [eqn: 1`]사분면에 있는 두 점 [eqn: LEFT (2,`` a RIGHT )], [eqn: LEFT (4,`` a+8 RIGHT )`]을 지난다. 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]의 역함수를 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]라 할 때,

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim_n->inf 2 overn sum_k=1^n f LEFT ( 2+ 2k overn RIGHT )][eqn: = int_2^4 f(x)dx]
[eqn: lim_n->inf 8 overn sum_k=1^n g LEFT ( a+ 8k overn RIGHT )= int_a^a+8 g(x)dx]
함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수에서 연속이고 역함수가 존재하므로
구간 [eqn: [`2, ``4`]]에서 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같이 [eqn: (2, ``a)]에
서 [eqn: (4, ``a+8)]까지 증가하는 모양이다.

[eqn: int_2^4 f(x)dx]의 값은 위 그림의 [eqn: rm A]부분의 넓이와 같고,
[eqn: int_a^a+8 g(x)dx]의 값은 위 그림의 [eqn: rm B]부분의 넓이와 같다.
[eqn: int_2^4 f(x)dx + int_a^a+8 g(x)dx][eqn: =50]에서
[eqn: 4 (a+8)-2a][eqn: =50]
∴ [eqn: a =9]

[eqn: lim _{n `->` INF } {} {2} over {n} sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( 2+ {2k} over {n} RIGHT ) + lim _{n `->` INF } {} {8} over {n} sum _{k=1} ^{n} g LEFT ( a+ {8k} over {n} RIGHT ) =50`]

을 만족시키는 상수 [eqn: a`]의 값은?

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

06 미적	13 정적분의활용
03 정적분과 넓이의 해석
08 역함수와 정적분3 (함수 구하기)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 21

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) = {4x ^{2}} over {x ^{2} +3} }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, 함수 [eqn: h (x)]를

[정답] ②

[해설]

[eqn: f '(x) = { 8x (x^2 +3) -4x^2 times 2x}over {(x^2 +3)^2 } = 24x over { (x^2 +3)^2 }]

양의 실수 전체의 집합에서 [eqn: f '(x) >0]이므로 [eqn: f(x)]는 증가함수이다.

두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 교점은 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=x]의 교점과 같다.

[eqn: f(x)=x]에서 [eqn: x^3 -4x^2 +3x = x(x-1)(x-3)=0]이므로

두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1], [eqn: 3]이다.

[eqn: f '' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {24(x ^{2} +3) ^{2} -24x TIMES 2(x ^{2} +3) TIMES 2x} over {(x ^{2} +3) ^{4}}]
[eqn: = {72(1-x)(1+x)}over {(x^2 +3)^3 }]

곡선 [eqn: y=f(x)]는 열린 구간 [eqn: (0 ,```` 1)]에서 아래로 볼록하고,열린 구간 [eqn: (1 ,```` inf)]에서 위로 볼록하며,변곡점은 [eqn: (1 ,```` 1)]이다.

두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]의 그래프 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: h(x)]는 닫힌구간 [eqn: [ 1 ,```` 3 ]]에서만 [eqn: h(x){geq}0]이고, 함수 [eqn: h(x)]의 그래프 개형은 다음과 같다.

ㄱ. 두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1], [eqn: 3]이므로
[eqn: f(1)=g(1)=1], [eqn: h(1) =0]	(참)

ㄴ. 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: int _{a} ^{b} {h ( x ) dx}]의 값이 최대가 되려면
닫힌구간 [eqn: [ a ,```` b ]]에서 [eqn: h(x){geq}0]이고 [eqn: b-a]의 값이 최대이어야 하므로 [eqn: a=1], [eqn: b=3]
그러므로 [eqn: b-a=2]	(참)

ㄷ. [eqn: f(g(x)) =x]에서 [eqn: f '(g(x))g '(x) =1]이고
[eqn: g '(x) = 1 over { f '(g(x))}]
[eqn: h '(x) = f '(x) - g '(x) = f '(x) - 1over {f '(g(x))}]
[eqn: g ''(x) = - { f ''(g(x)) g '(x) } over { left{` f '(g(x)) `right} ^2 }]
곡선 [eqn: y=f(x)]가 점 [eqn: (1 ,```` 1)]에서만 변곡점을 가지므로
[eqn: f ''(1)=0]
[eqn: f(1)=g(1)=1]이므로
[eqn: g ''(1) = - { f ''(g(1)) g '(1) } over { left{` f '(g(1)) `right} ^2 } = - { f ''(1) g '(1) } over { left{` f '(1) `right} ^2 } =0]
[eqn: h ''(1) = f ''(1) - g ''(1)=0]

(ⅰ) [eqn: 0<x<1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f ''(x) >0], [eqn: g '(x)>0], [eqn: 0<g(x)<1]이므로
[eqn: g ''(x) = - { f ''(g(x)) g '(x) } over { left{` f '(g(x)) `right} ^2 } <0]
열린구간 [eqn: (0 ,```` 1)]에서 [eqn: h ''(x) = f ''(x) - g ''(x) >0]

(ⅱ) [eqn: 1<x<4]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: g '(x)>0], [eqn: g(x)>1]이고 [eqn: x>1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f ''(x) <0]이므로
[eqn: g ''(x) = - { f ''(g(x)) g '(x) } over { left{` f '(g(x)) `right} ^2 } >0]
열린구간 [eqn: (1 ,```` 4)]에서 [eqn: h ''(x) = f ''(x) - g ''(x) <0]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 [eqn: h '(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 4]
[eqn: h'' LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: h' LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: NEARROW]	[eqn: {5} over {6}]	[eqn: SEARROW]

함수 [eqn: h '(x)]는 [eqn: x=1]에서 최댓값을 갖는다.
[eqn: f ' (1) = 3over2]이므로
[eqn: h '(1) = f '(1) - 1over {f '(g(1))} = f '(1) - 1over {f '(1)} = 5over6]

(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )][eqn: LEFT ( 0<x<4 RIGHT )]

라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: h LEFT ( 1 RIGHT ) =0] ㄴ. 두 양수 [eqn: a], [eqn: b][eqn: LEFT ( a<b<4 RIGHT )]에 대하여 [eqn: int _{a} ^{b} {h LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값이 최대일 때, [eqn: b-a=2]이다. ㄷ. [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: h prime LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: {7} over {6}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

06 미적	13 정적분의활용
04 정적분과 부피
01 부피1 (좌표평면과 함수)

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 04월 19

그림과 같이 함수

[정답] ①

[해설]

선분 [eqn: RM PQ]를 한 변으로 하는 정삼각형의 넓이 [eqn: S` LEFT ( x RIGHT )]는
[eqn: S` LEFT ( x RIGHT ) = {sqrt {3}} over {4} LEFT { sqrt {x LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) sin LEFT ( x ^{2} RIGHT ) ^{`}} RIGHT } ^{2}]

입체도형의 부피 [eqn: V`]는

[eqn: V= int _{0} ^{sqrt {pi}} {{sqrt {3}} over {4} x LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) sin LEFT ( x ^{2} RIGHT ) dx}]

[eqn: x ^{2} =t]라 하면 [eqn: 2x {dx} over {dt} =1]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=0], [eqn: x= sqrt {pi}]일 때 [eqn: t=pi]이므로

[eqn: V= {sqrt {3}} over {8} int _{0} ^{pi } {LEFT ( t+1 RIGHT ) sint`dt}]

[eqn: u LEFT ( t RIGHT ) =t+1], [eqn: v' LEFT ( t RIGHT ) =sint]

[eqn: u' LEFT ( t RIGHT ) =1],   [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) =`-cost]

[eqn: V= {sqrt {3}} over {8} TIMES LEFT [ - LEFT ( t+1 RIGHT ) cost pile{`#`} RIGHT ] _{0} ^{pi } - {sqrt {3}} over {8} int _{0} ^{pi } {LEFT ( -cost RIGHT ) dt}]

[eqn: = {sqrt {3} LEFT ( pi+2 RIGHT )} over {8}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {x LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) ^{ } sin` LEFT ( x ^{2} RIGHT ) ^{ }}][eqn: LEFT ( 0 LEQ x LEQ sqrt {pi } RIGHT )`]

에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 두 점 [eqn: rm P LEFT ( it x,`` 0 RIGHT )], [eqn: rmQ LEFT ( it x,`` f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )`]를 지나고 [eqn: x`]축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면이 선분 [eqn: rmPQ`]를 한 변으로 하는 정삼각형이다. 이 입체도형의 부피는?

① [eqn: {sqrt {3} LEFT ( pi +2 RIGHT )} over {8}]	② [eqn: {sqrt {3} LEFT ( pi +3 RIGHT )} over {8}]	③ [eqn: {sqrt {3} LEFT ( pi +4 RIGHT )} over {8}]

④ [eqn: {sqrt {3} LEFT ( pi +2 RIGHT )} over {4}]	⑤ [eqn: {sqrt {3} LEFT ( pi +3 RIGHT )} over {4}]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 03월 20

그림과 같이 함수	[eqn: f(x)= {cases{`e ^{-x} ~~~~&(x<0)#sqrt {ln(x+1)+1} ~&(x GEQ 0)}}]의 그래프 위의 점 [eqn: rm P LEFT ( it x,``f(x) RIGHT ) `]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하고, 선분 [eqn: rm PH]를 한 변으로 하는 정사각형을 [eqn: x]축에 수직인 평면 위에 그린다. 점 [eqn: rm P]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: x=`-ln2]에서 [eqn: x=e-1]까지 변할 때, 이 정사각형이 만드는 입체도형의 부피는?

[정답] ④

[해설]

[eqn: x<0]일 때, [eqn: bar{rmPH} =e ^{-x}]이므로 선분 [eqn: rmPH]를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는

[eqn: e ^{-2x}]

[eqn: x GEQ 0]일 때,

[eqn: bar{rm PH it} = sqrt {ln(x+1)+1}]

이므로 선분 [eqn: rmPH]를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는

[eqn: ln(x+1)+1]

따라서 구하는 부피를 [eqn: V]라 하면

[eqn: V= int _{-ln`2} ^{0} {e ^{-2x}} `dx+ int _{0} ^{e-1} {LEFT { ln(x+1)+1 RIGHT } `dx}]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {2} e ^{-2x} RIGHT ] _{-ln`2} ^{0}][eqn: + int _{0} ^{e-1} {ln(x+1)`dx}]

[eqn: + int _{0} ^{e-1} {1`dx}]

[eqn: =- {1} over {2} + {1} over {2} e ^{2ln`2} + int _{0} ^{e-1} {ln(x+1)} `dx]

[eqn: + LEFT [ x RIGHT ] _{0} ^{e-1}]

[eqn: =e+ {1} over {2} + int _{0} ^{e-1} {ln(x+1)} `dx]

[eqn: int _{0} ^{e-1} {ln(x+1)} `dx]에서 [eqn: x+1=t]로 놓으면

[eqn: {dt} over {dx} =1]

또 [eqn: x=0]일 때 [eqn: t=1], [eqn: x=e-1]일 때 [eqn: t=e]이므로

[eqn: int _{0} ^{e-1} {ln(x+1)} `dx][eqn: = int _{1} ^{e} {ln`t} `dt]

[eqn: = LEFT [ t`ln`t RIGHT ] _{1} ^{e} - int _{1} ^{e} {1} `dt]

[eqn: =e- LEFT [ t RIGHT ] _{1} ^{e}][eqn: =1]

따라서 구하는 부피는

[eqn: V=e+ {1} over {2} +1][eqn: =e+ {3} over {2}]

① [eqn: e- {3} over {2}]	② [eqn: e+ {2} over {3}]	③ [eqn: 2e- {3} over {2}]

④ [eqn: e+ {3} over {2}]	⑤ [eqn: 2e- {2} over {3}]

06 미적	13 정적분의활용
05 평면운동과 곡선의 길이
04 평면운동2 (매개변수 함수 구하기)

[출처]	2012 모의_공공 사관학교 고3 07월 22

[그림 [eqn: 1]]과 같이 좌표평면 위에 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 4`]인 큰 원 [eqn: C` _1 `]과 반지름의 길이가 [eqn: 1 `]인 작은 원 [eqn: C`_2`]가 점 [eqn: LEFT (4,`` 0 RIGHT )`]에서 외접하고 있다. 이때 작은 원 위의 한 점을 [eqn: rmP`]라 하자. [그림 [eqn: 2]]와 같이 원 [eqn: C`_2`]가 원 [eqn: C`_1`]에 접한 상태로 굴러갈 때, 두 원의 중심을 연결한 선분이 [eqn: x`]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라 하자. [eqn: theta`]의 값이 [eqn: 0`]에서 [eqn: piover2`]까지 변할 때, 점 [eqn: LEFT (4,`` 0 RIGHT )`]에서 출발한 점 [eqn: rmP`]가 움직인 거리는?

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rmvecOP]의 위치벡터를 [eqn: LEFT ( x , ``y RIGHT )]라 하면 [eqn: theta]가 [eqn: 0]에서 [eqn: pi over2]까지 변할 때, 점 [eqn: rm P]가 움직인 거리는

[eqn: int_0^{pi over2} sqrt { LEFT ( dx over {d theta} RIGHT )^2 + LEFT ( { dy} over {d theta } RIGHT )^2 } cdotd theta]이다.

원 [eqn: C_2]의 중심을 [eqn: rm O']이라 하면

[eqn: rm vecOO' = LEFT ( 5 cos theta , ``5 sin theta RIGHT )],

[eqn: rmvec{O'O}][eqn: = LEFT ( cos (pi+5theta) , ``sin(pi+5theta) RIGHT )][eqn: = LEFT ( -cos5theta , ``-sin 5 theta RIGHT )]

이므로

[eqn: rm vecOP][eqn: = rm vec{OO'} + vecO'P][eqn: = LEFT ( 5 cos theta -cos5theta , ``5 sin theta -sin5 theta RIGHT )]

∴ [eqn: dx over{d theta}][eqn: = -5 sin theta +5 sin 5theta]

[eqn: dy over{d theta}][eqn: = 5 cos theta -5 cos 5theta]

[eqn: LEFT ( dx over {d theta} RIGHT )^2 + LEFT ( { dy} over {d theta } RIGHT )^2][eqn: = LEFT (-5 sin theta +5 sin 5theta RIGHT )^2 + LEFT ( 5 cos theta -5 cos 5theta RIGHT )^2]

[eqn: =50-50 LEFT ( sin theta sin 5theta +costheta cos5 theta RIGHT )]

[eqn: = 50- 50 cos 4 theta][eqn: =50 -50(1- 2 sin^2 2theta)]

[eqn: =100 sin^2 2 theta]

∴ [eqn: int_0^{pi over2} sqrt { LEFT ( dx over {d theta} RIGHT )^2 + LEFT ( { dy} over {d theta } RIGHT )^2 } cdotd theta][eqn: = int_0^{pi over2} 10 sin 2 theta d theta]

[eqn: =left[matrix{it#it} -5 cos 2 theta right]_0^{pi over2}][eqn: =10]

[그림 [eqn: 1]]                   [그림 [eqn: 2]]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[준킬러][미적] 6적분법(빠른 정답)
준킬러미적	2023.01.06

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 72 }]

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ②

[정답] [eqn: 51]

[정답] [eqn: bold6]

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ④

[정답] [eqn: 17]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 8]

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 12 }]

[정답] ①

[정답] [eqn: 26]

[정답] ①

[정답] [eqn: 14]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ①

[정답] [eqn: bold12]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ④

[정답] [eqn: 24]

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: 9]

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ④

[정답] [eqn: 325]

[정답] [eqn: 12`]

[정답] [eqn: 127]

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: bold19]

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 23]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 14]

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: 11]

[정답] [eqn: 10]

[정답] [eqn: {bold{100}}]

[정답] ①

[정답] [eqn: 32]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] [eqn: bold54]

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ③

[정답] [eqn: bold{24]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ③

[준킬러][미적] 6적분법(해설)
준킬러미적	2023.01.06