	준킬러미적	[준킬러][미적] 1급수1
	02
		준킬러미적	2023.01.06

06 미적	01 수열의 극한
01 수열의 극한의 성질 및 계산
04 부정형의 계산4 (수열과 일반항)

준킬러미적		준킬러미적
		[준킬러][미적] 1급수1
02

	준킬러미적		준킬러미적
	[준킬러][미적] 1급수1		02

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 10월 24

자연수 [eqn: n`]에 대하여,

[정답] [eqn: 7]

[해설]

[eqn: S _{n} & = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( k ^{2} +k` RIGHT ) = {n(n+1)(n+2)} over {3}]

[eqn: T _{n} & = sum _{k=1} ^{n} LEFT { k ^{2} +(2n+1)k+n ^{2} +n RIGHT }][eqn: = {n(n+1)(7n+2)} over {3}]

∴[eqn: lim _{n -> INF } {{T _{n}} over {S _{n}}} = 7]

[eqn: S` _{n} = sum _{k=1} ^{n} k LEFT (k+1 RIGHT )], [eqn: T ` _{n} = sum _{k=1} ^{n} LEFT (n+k RIGHT ) LEFT (n+k+1 RIGHT )]

일 때, [eqn: lim _{n `-> ` INF } {{T` _{n}} over {S` _{n}}} `]의 값을 구하시오.

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고2 09월 18

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {x+3} over {x} `]에 대하여 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]은 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: a_1 = 1 , ````b_1 = 4]

[eqn: b_n = f( a_n ) = {a_n + 3} over a_n][eqn: therefore ````a_n b_n = a_n + 3 = a_n+1]

[eqn: a_n = 1 + (n-1) 3 =3n - 2], [eqn: b_n = 3n+1 over 3n-2]

[eqn: therefore][eqn: lim_n->inf left( a_n over n + b_n right)][eqn: = lim_n->inf left( 3n-2 over n + 3n+1 over 3n-2 right) = 4]

(가) [eqn: a_1 = 1]

(나) [eqn: b_n = f LEFT (a_n RIGHT )]

(다) [eqn: a_n+1 = a_n b_n]

이때, [eqn: lim _{n` ->` INF } {LEFT ( {a _{n}} over {n} +b _{n} RIGHT )} `]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

06 미적	01 수열의 극한
01 수열의 극한의 성질 및 계산
10 극한의 성질3 (극한식의 변형)

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 07월 26
[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 07월 26

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이

[정답] [eqn: 10]

[해설]

[eqn: b_n `=` root{ a_n +n } - rootn]이라 하면,

[eqn: lim_{n `-> ` inf } { b_n `=` 5]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {sqrt {n}}} `=` lim _{n` -> ` INF } {{(b _{n} + sqrt {n} ) ^{2} -n} over {sqrt {n}}} `]

[eqn: `=`` lim _{`n` -> INF } {{b _{n} ^{2}} over {sqrt {n}} +2 lim _{n` -> ` INF } {b _{n}} `=`10}]

[eqn: lim _{n `->` INF } {LEFT ( sqrt {a _{n} +n} - sqrt {n} RIGHT )} =5`]

를 만족시킬 때, [eqn: lim _{n `->` INF } {{a _{n}} over {sqrt {n}}} `]의 값을 구하시오.

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 03월 15
[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 03월 17

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

[eqn: sum_k=1^n (a_k +b_k ) `][eqn: =S_n `]이라 하면

[eqn: a_n +b_n `][eqn: =S_n -S_n-1 `]([eqn: n GEQ 2`])
[eqn: = 1overn+1 - 1overn `]
[eqn: =` - 1overn(n+1) `]

[eqn: lim_{n`->`inf} n^2 (a_n +b_n )`][eqn: = lim_{`n->`inf} (n^2 a_n +n^2 b_n )`]
[eqn: =lim_{n`->`inf} -n^2 over{n(n+1)} `]
[eqn: =`-1`]

또, 조건에 의해 [eqn: lim_{n`->`inf} n^2 b_n `][eqn: =2 `]

따라서

[eqn: lim_{n`->`inf} n^2 a_n`][eqn: = lim _{`n -> ` INF } {} (n ^{2} a _{n} +n ^{2} b _{n} -n ^{2} b _{n} )`]
[eqn: = lim _{ n `->` INF } {} LEFT (n ^{2} a _{n} +n ^{2} b _{n} RIGHT )- lim _{n `->` INF } {} n ^{2} b _{n}]
[eqn: =`-1-2][eqn: =`-3]

(가) [eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT (a _{k} +b _{k} RIGHT )= {1} over {n+1}][eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )]

(나) [eqn: lim _{n` -> `INF } { n ^{2} b _{n}} =2]

[eqn: lim _{n`->` INF } { n ^{2} a _{n}} `]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

06 미적	01 수열의 극한
01 수열의 극한의 성질 및 계산
11 극한의 성질4 (수열의 극한의 대소 관계)

[출처]	2002 모의_공공 사관학교 고3 07월 23
[출처]	2002 모의_공공 사관학교 고3 07월 23

수열 [eqn: LEFT{a_n right}`]을 [eqn: a _{0} =1], [eqn: a _{n} = sqrt {n+a _{n-1}}][eqn: LEFT ( n ge1 RIGHT )`]로 정의한다. 다음은 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {sqrt {n}}} = BOX{~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~} `]임을 증명한 것이다.

[정답] ①

[해설]

[eqn: a_n = SQRT { n+a_n-1} ``(n≧1)]을 양변 제곱하여 정리하면

[eqn: (a_n - SQRT { n} )(a_n + SQRT { n } )=a_n-1```]

[eqn: THEREFORE ````a_n - SQRT { n} = { 1} over {a_n + SQRT { n} } CDOT a_n-1 ```(n≧1)``]

[eqn: 0<a_n - SQRT { n} <1``]이므로 [eqn: SQRT { n} <a_n < SQRT { n} +1``]의 양변을 [eqn: SQRT { n} ``]으로 나누고 양 변에 극한을 취하면

[eqn: 1<= lim from { n -> inf } { a_n} over { SQRT { n} } <= lim from { n -> inf } LEFT ( 1+ { 1} over { SQRT { n} } RIGHT ) =1``]

[eqn: THEREFORE ```` lim from { n -> inf } { a_n} over { SQRT { n} } =1```]

수학적 귀납법을 이용하면 [eqn: CDOTS] ( 중 략 ) [eqn: CDOTS]

[eqn: n ge 0 `]인 모든 정수에 대하여 [eqn: 0 < a_n < a_n+1`]이 성립함을 알 수 있다.

점화식 [eqn: a _{n} = sqrt {n+a _{n-1}}][eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT ) `]을 변형하면 [eqn: a _{n} - sqrt {n} = {1} over {a _{n} + sqrt {n}} times BOX{~~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~~}][eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )`]임을 알 수 있다.

[eqn: a_n < a_n+1 `]과 점화식 [eqn: a _{n} = sqrt {n+a _{n-1}} `]을 이용하여

[eqn: a_n - SQRT { n} `]의 범위를 구하면 [eqn: 0 < a_n - SQRT { n} < 1 `]이 된다.

그러므로 [eqn: lim _{n `-> ` INF } {{a _{n}} over {sqrt {n}}} = BOX{~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~} `]이 된다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① [eqn: a _{n-1}], [eqn: 1]	② [eqn: a _{n-1}], [eqn: 0``]	③ [eqn: a_n], [eqn: 1]

④ [eqn: a_n], [eqn: 0``]	⑤ [eqn: a_n], [eqn: 2``]

06 미적	01 수열의 극한
02 등비수열의 극한의 성질 및 계산
01 등비수열의 극한의 수렴 조건

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 03월 15

[eqn: 0<x<16]일 때, 수열 [eqn: left{ left( sqrt{2} sin { pi} over {8} x right)^{n} it right}]이 수렴하도록 하는 자연수 [eqn: x]의 개수는?

[정답] ②

[해설]

주어진 무한수열이 수렴할 조건은

[eqn: -1< sqrt{2} sin { pi} over {8} x leq 1], [eqn: -{ sqrt{2}} over {2}< sin { pi} over {8} x leq { sqrt{2}} over {2}]

이때 [eqn: 0<x<16]일 때, [eqn: 0<{ pi} over {8} x<2 pi]이므로 위의 부등식의 해는

[eqn: 0<{ pi} over {8} x leq { pi} over {4}], [eqn: {3} over {4} pi leq { pi} over {8} x<{5} over {4} pi], [eqn: {7} over {4} pi<{ pi} over {8} x<2 pi]

따라서 구하는 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 15]의 [eqn: rm 7]개이다.

① [eqn: rm 5]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 9]

④ [eqn: rm 11]	⑤ [eqn: rm 13]

06 미적	01 수열의 극한
02 등비수열의 극한의 성질 및 계산
05 부정형의 계산4 (점화식)

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 09월 28
[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 09월 28

첫째항이 [eqn: 10`]인 수열 [eqn: LEFT {a _{n} RIGHT }`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[정답] [eqn: 12]

[해설]

[eqn: S_n = sum _{ k=1} ^{n }(a_k+1 - a_k )^2]이라 하면

[eqn: S_n - S_n-1][eqn: = (a_n+1 - a_n )^2 }][eqn: = 2 LEFT ( 1- 1over 9^n RIGHT ) - 2 LEFT ( 1 - 1over9^n-1 RIGHT )][eqn: = 16 over 9^n][eqn: = LEFT ( 4 over 3^n RIGHT )^2] (단, [eqn: n ge 2])

이때, [eqn: n=1]이면 [eqn: (a_2 -a_1 )^2 = 2 LEFT ( 1 - 1over9 RIGHT ) = 16 over9]이므로

[eqn: (a_n+1 - a_n )^2 = LEFT ( 4 over3 ^n RIGHT )^2`` (n ge 1 )]이다.

[eqn: a_n+1 > a_n] 즉, [eqn: a_n+1 -a_n >0]이므로 [eqn: a_n+1 - a_n = 4 over 3^n]이다. 따라서

[eqn: a_n = a_1 + sum _{ k=1} ^{ n-1}4 over3^k = 10 + sum _{ k=1} ^{ n-1}4over3 LEFT ( 1over3 RIGHT )^k-1](단, [eqn: n GEQ 2])

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n->inf } { a_n }][eqn: = lim _{n -> INF } {} LEFT { 10+ sum _{k=1} ^{n-1} {4} over {3} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{k-1} RIGHT }][eqn: = 10 + { 4over3} over { 1- 1over3 } = 12]

[eqn: a _{n} <a _{n+1}], [eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( a _{k+1} -a _{k} RIGHT ) ^{2} =2 LEFT ( 1- {1} over {9 ^{n}}} RIGHT)`]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{ n`->`inf} {a_n }`]의 값을 구하시오.

06 미적	01 수열의 극한
02 등비수열의 극한의 성질 및 계산
07 극한식의 해석2 (공비가 미지수인 극한식의 계산)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 06월 19

자연수 [eqn: k`]에 대하여

[정답] ④

[해설]

[eqn: a _{k} = lim _{n -> INF } {{2 TIMES LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{2n+1} + LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n}} over {LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{2n} + LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n} +1} `}]에서

(ⅰ) [eqn: 0< {k} over {10} <1`]일 때, 즉 [eqn: 0<k<10`]일 때

[eqn: a _{k} = lim _{n -> INF } {{2 TIMES LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{2n+1} + LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n}} over {LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{2n} + LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n} +1}}][eqn: = {2 TIMES 0+0} over {0+0+1} =0`]

이다.

(ⅱ) [eqn: {k} over {10} =1`]일 때, 즉 [eqn: k=10`]일 때

[eqn: a _{k} = lim _{n -> INF } {{2 TIMES 1 ^{2n+1} +1 ^{n}} over {1 ^{2n} +1 ^{n} +1}} = {3} over {3} =1`]

(ⅲ) [eqn: {k} over {10} >1`], 즉 [eqn: k>10`]일 때

[eqn: a _{k} = lim _{n -> INF } {{2 TIMES LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{2n+1} + LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n}} over {LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{2n} + LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n} +1}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{2 TIMES LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) + {1} over {LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n}}} over {1+ {1} over {LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n}} + {1} over {LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{2n}}}}][eqn: = {{k} over {5} +0} over {1+0+0}][eqn: = {k} over {5}]

이다.

따라서 [eqn: a _{k} = {cases{` pile{````0#````1}&pile{```(k<10)#```(k=10)} `#``` {k} over {5}&```(k>10)}}] 이다.

그러므로

[eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k} = sum _{k=1} ^{9} a _{k} +a _{10} + sum _{k=11} ^{20} a _{k} `][eqn: = sum _{k=1} ^{9} 0+1+ sum _{k=11} ^{20} {k} over {5}][eqn: =1+ sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2+ {k} over {5} RIGHT )][eqn: =1+20+ {1} over {5} TIMES {10 TIMES 11} over {2}][eqn: =32`]

이다.

[eqn: a _{k} = lim _{n` ->` INF } {{2 TIMES LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{2n+1} + LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n}} over {LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{2n} + LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n} +1}} `]

이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k} `]의 값은?

① [eqn: 26]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 34]

[출처]	2019 모의_공공 경찰대 고3 07월 5

자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a _{k} = lim _{n`->`inf}` {} {5 ^{n+1}} over {5 ^{n} k+4k ^{n+1}}]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} ka _{k}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: ka _{k} = lim _{n -> INF } {} {5 ^{n+1}} over {5 ^{n} +4k ^{n}}], [eqn: 1 le k le 4]이면 [eqn: ka _{k} =5],

[eqn: k`=`5]이면 [eqn: `5`a _{5} = 5 over{ 1 + 4} = 1], [eqn: k ge6]이면 [eqn: k a_k = 0]

[eqn: THEREFORE][eqn: sum_k=1^10 k a_k = 5+5+5+5+1 + 0 + cdots + 0][eqn: = 21]

① [eqn: 16]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 50]

06 미적	01 수열의 극한
02 등비수열의 극한의 성질 및 계산
08 극한식의 해석3 (공비가 미지수인 극한식의 해석)

[출처]	2010 모의_공공 경찰대 고3 07월 20

첫째항과 공비가 모두 [eqn: 0`]이 아닌 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째 항부터 [eqn: n`]번째 항까지의 합 [eqn: S` _{n} `]에 대하여 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{S` _{n} -a _{n} ^{~2}} over {a _{n}}} `]이 수렴할 때, [eqn: a _{10} `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째 항과 공비를 각각 [eqn: a], [eqn: r]이라 하면

[eqn: r=1]일 때, [eqn: {S_n - a_n }over{a_n}][eqn: = { na - a^2} over {a } = n-a]이므로 [eqn: lim_n->inf {S_n - a_n }over{a_n}][eqn: = inf]

[eqn: r!=1]일 때,

[eqn: {S_n - a_n }over{a_n}][eqn: = { { a left{ 1- r^n right}} over { 1-r}- a^2 r^2n-2 } over { ar^n-1}][eqn: = 1 over1-r LEFT ( 1 overr RIGHT )^n-1 - r over1-r - a r^n-1]

위 식에서 [eqn: |`r`|<1], [eqn: r!=0]일 때, [eqn: lim_n->inf LEFT ( 1 overr RIGHT )^n-1]이 발산하고

[eqn: |`r`|>1]일 때, [eqn: lim_n->inf r^n-1]이 발산하므로 [eqn: lim_n->inf {S_n - a_n }over{a_n}]이 수렴

하지 못한다.

따라서 [eqn: lim_n->inf {S_n - a_n }over{a_n}]이 수렴하기 위해서는 [eqn: r = -1]이여야 한다.

[eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: {S_n - a_n }over{a_n}][eqn: = 1 over2 + 1 over2 -a = 1- a]

[eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: {S_n - a_n }over{a_n}][eqn: = - 1 over2 + 1 over2 +a = a]

[eqn: lim_n->inf {S_n - a_n }over{a_n}]이 수렴하므로 [eqn: 1-a = a][eqn: therefore``` a = 1 over2]

[eqn: therefore``` a_10 = 1 over2 (-1)^9 = - 1 over2]

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: - {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

[출처]	2017 모의_공공 경찰대 고3 07월 5

[eqn: rm 10] 이하인 세 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여

[정답] ②

[해설]

(ⅰ) [eqn: a^{2}=b^{2} ~ (a=b)]이면
[eqn: {c^{n}+b^{n}} over {a^{2 n}+b^{2 n}}={ left({c} over {a^{2}} right)^{n}+ left({1} over {b} right)^{n}} over {1+1}]이므로
[eqn: b=1], [eqn: c=a^{2}=1 ~ CDOTS` (a,`` b,`` c)=(1,``1,``1)]

(ⅱ) [eqn: a^{2}>b^{2}(a>b)]이면
[eqn: {c^{n}+b^{n}} over {a^{2 n}+b^{2 n}}={ left({c} over {a^{2}} right)^{n}+ left({b} over {a^{2}} right)^{n}} over {1+ left({b^{2}} over {a^{2}} right)^{n}}]이므로
[eqn: c=a^{2}` CDOTS` (a,`` b,`` c)=(2,``1,``4)], [eqn: (3,``1,``9)], [eqn: (3,``2,``9)]

(ⅲ) [eqn: a^{2}<b^{2}(a<b)]이면
[eqn: {c^{n}+b^{n}} over {a^{2 n}+b^{2 n}}={ left({c} over {b^{2}} right)^{n}+ left({1} over {b} right)^{n}} over { left({a^{2}} over {b^{2}} right)^{n}+1}]이므로
[eqn: c=b^{2} `CDOTS` (a,`` b,`` c)=(1,``2,``4)], [eqn: (1,``3,``9)], [eqn: (2,``3,``9)]

따라서 모두 [eqn: rm 7]개이다.

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {c^{n}+b^{n}} over {a^{2 n}+b^{2 n}}=1]

을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a,`` b,`` c)]의 개수는?

① [eqn: rm 5]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 9]

④ [eqn: rm 12]	⑤ [eqn: rm 15]

06 미적	01 수열의 극한
02 등비수열의 극한의 성질 및 계산
10 등비수열의 극한의 성질2 (대소 관계)

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고2 11월

다음은 모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 양의 상수 [eqn: K``]에 대하여

[정답] ②

[해설]

(가) [eqn: K]  (나) [eqn: a_n-1 -K]  (다) [eqn: 1over{2^n-1]

[eqn: a _{1} GEQ K`], [eqn: a _{n+1} = {1} over {2} LEFT ( a _{n} + {K` ^{2}} over {a _{n}} RIGHT )][eqn: (n=1,``2,``3,` CDOTS `)`]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} `]의 값을 구하는 과정이다.

[eqn: a_n >0], [eqn: K`>0`]이고, [eqn: a _{1} GEQ K``]이므로

[eqn: a _{n+1} = {1} over {2} LEFT ( a _{n} + {K` ^{2}} over {a _{n}} RIGHT ) GEQ BOX{~```` LEFT (가 RIGHT )~````} `]

이다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n} GEQ BOX{````~ LEFT (가 RIGHT )~````}`]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이다.

[eqn: a _{n+1} = {1} over {2} LEFT ( a _{n} + {K` ^{2}} over {a _{n}} RIGHT ) `]이므로 [eqn: 2`]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n} = {1} over {2} LEFT ( a _{n-1} + {K` ^{2}} over {a _{n-1}} RIGHT ) `]

이다.

[eqn: a _{n} -K`][eqn: = {1} over {2} LEFT ( a _{n-1} + {K ` ^{2}} over {a _{n-1}} RIGHT ) -K``]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( BOX{````~ LEFT (나 RIGHT )~````} `` RIGHT ) LEFT ( 1- {K} over {a _{n-1}} RIGHT ) LEQ {1} over {2} ` LEFT ( BOX{````~ LEFT (나 RIGHT )`~```} ` RIGHT )]

이 성립하므로

[eqn: a _{n} -K` LEQ {1} over {2} LEFT ( BOX{```~` LEFT (나 RIGHT )```~`} RIGHT ) LEQ `CDOTS` LEQ BOX{````~ LEFT (다 RIGHT )~````} ` LEFT (a _{1} -K` RIGHT )`]

[eqn: cdotscdots] ㉡

이다.

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: 0LEQa_n -K LEQ box{```~` LEFT (다 RIGHT )~````}`` LEFT (a_1 -K` RIGHT )`]이다.

그러므로 [eqn: lim _{ n`->`inf} { a_n} =box{```~` LEFT (가 RIGHT )``~``}`]이다.

위 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: K]	[eqn: a _{n-1} -K]	[eqn: 1 over 2^n+1]
②	[eqn: K]	[eqn: a_n-1 -K]	[eqn: 1over 2^n-1]
③	[eqn: K]	[eqn: a_n-1 +K]	[eqn: 1over 2^n]
④	[eqn: 2K]	[eqn: a_n-1 -K]	[eqn: 1over 2^n-1]
⑤	[eqn: 2K]	[eqn: a_n-1 +K]	[eqn: 1over 2^n]

06 미적	01 수열의 극한
03 수열의 극한의 활용
02 수열의 극한의 활용2 (대수 또는 방부등식)

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 06월 29

자연수 [eqn: n`]에 대하여 집합

[정답] ②

[해설]

공차가 [eqn: d]일 때 집합 {[eqn: a,b,c]}의 개수는 다음과 같다.

[eqn: d=1]일 때 [eqn: 2n-2](개)

[eqn: d=2]일 때 [eqn: 2n-4](개)

[eqn: vdots]

[eqn: d=n-1]일 때 [eqn: 2n-2(n-1)=2](개)

[eqn: therefore][eqn: T_n =sum_d=1^n-1 (2n-2d)][eqn: = 2sum_d=1^n-1 (n-d)][eqn: =2 sum_k=1^n-1 k][eqn: =n(n-1)]

[eqn: therefore][eqn: lim_n->inf T_n over n^2 = lim_n->inf {n^2 -n} over n^2 =1]

[eqn: LEFT { k`□`1 LEQ k le 2n], [eqn: k`]는 자연수[eqn: right } `]

의 세 원소 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`][eqn: LEFT ( a<b<c RIGHT )`]가 등차수열을 이루는 집합 [eqn: LEFT { a,``b,``c RIGHT }`]의 개수를 [eqn: T` _{n} `]이라 하자. [eqn: lim _{n `-> ` INF } {{T` _{n }} over {n ^{2}}} `]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 04월 28

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]을

[정답] ④

[해설]

[eqn: n= {(n+1) ^{2}} over {a _{n+1}} - {n ^{2}} over {a _{n}}], [eqn: b _{n} = {n ^{2}} over {a _{n}}]라 하면

주어진 식은 [eqn: b _{n+1} -b _{n} =n]으로 표현된다.

[eqn: b _{n} =b _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} (b _{k+1} -b _{k} )= {1} over {2} + sum _{k=1} ^{n-1} k]

[eqn: = {n ^{2} -n+1} over {2}]이므로 [eqn: {n ^{2}} over {a _{n}} = {n ^{2} -n+1} over {2}]이다.

[eqn: a _{n} = {2n ^{2}} over {n ^{2} -n+1}][eqn: THEREFORE][eqn: lim _{n`-> `inf} {a _{n} =2}]

[eqn: a _{1} =2], [eqn: na _{n+1} a _{n} = LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} a _{n} -n ^{2} a _{n+1} `]

으로 정의할 때, [eqn: lim _{n`->` INF } {a _{n}}`]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 10월 28

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]이 [eqn: a _{1} =2], [eqn: a _{2} =3`]

[정답] ⑤

[해설]

로그의 성질에 의해 [eqn: a_{n}a_{n+1}a_{n+2}`=`2``]이므로 수열[eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }`]은 [eqn: 2`,``3`,`` {1} over {3}]이 반복되어 나타난다.

ㄱ. [eqn: 6`=`3`times`2``]이므로 [eqn: a_{6}`=`{1}over{3}`](참)

ㄴ. [eqn: S_{10}`=`{16`times4`-`10}over{3}`=`18``](참)

ㄷ. [eqn: lim _{ n->inf} { }{1}over{n}`S_{3n}`=`{16}over{3}``]이다. (참)

[eqn: log _{`2} `a _{n} +log _{`2} `a _{n+1} +log _{`2} `a _{n+2} =1][eqn: LEFT ( n=1,``2,``3,` CDOTS ` RIGHT )]

을 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고 른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a _{6} = {1} over {3} `] ㄴ. [eqn: sum _{k=1} ^{10} a_{k} =18`] ㄷ. [eqn: lim _{n` ->` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{3n} a _{k} = {16} over {3}} `]

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 11월 20

양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log`x`]의 정수부분과 소수부분을 각각 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]라 하자. 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[정답] ②

[해설]

[eqn: log ``x]의 지표와 가수가 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]이므로

[eqn: log`` x = f(x) + g(x) ````( f(x)]는 정수, [eqn: 0 le g(x) <1 )]

[eqn: f(x) - (n+ 1) g(x) = n], [eqn: f(x) - n = (n+1 ) cdot g(x)] …… ㉠

[eqn: 0 le g(x) < 1]이므로 [eqn: 0 le f(x) -n < n + 1]

[eqn: LRARROW][eqn: n le f(x) < 2n + 1]

[eqn: f(x)]는 정수이므로, [eqn: n], [eqn: n+1], [eqn: cdots], [eqn: 2n]이고, 식 ㉠에 대입하면

[eqn: f(x) = n]일 때 [eqn: g(x) = 0]	[eqn: THEREFORE ```log `` x = n]

[eqn: f(x) = n+1]일 때 [eqn: g(x) = 1 over n+1][eqn: THEREFORE ```log `` x = n+1 + 1 over n+1]

⋮

[eqn: f(x) = n+k]일 때 [eqn: g(x) = k over n+1][eqn: THEREFORE ```log `` x = n+k + k over n+1]

⋮

[eqn: THEREFORE ```a_n = 10^n times 10^{n+1 + 1 over n+1} times cdots times 10^{n+k+ k over n+1} times cdots times 10^{2n + n over n+1}]

[eqn: THEREFORE ```log `` a_n = sum_k=0^n left( n + k + k over n+1 right)]

[eqn: = n (n+1 ) + {n(n+1)} over 2 + {n(n+1)} over {2(n+1)}][eqn: = {3n^2 + 3n } over 2 + n over 2]

[eqn: = {3n^2 + 4n } over 2][eqn: THEREFORE][eqn: lim_{n -> inf} {log `` a_n} over n^2 = lim_{n-> inf} {3n^2 + 4n} over 2n^2 = 3 over 2]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )- LEFT (n+1 RIGHT )g LEFT (x RIGHT ) = n]

을 만족시키는 모든 [eqn: x`]의 값의 곱을 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{log`a _{n}} over {n ^{2}}} `]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 09월

양수 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: log`t`]의 정수부분과 소수부분을 각각 [eqn: f LEFT (t RIGHT )], [eqn: g LEFT ( t RIGHT )`]라 하자. 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: f LEFT (t RIGHT ) = 9n left{ g LEFT (t RIGHT ) - 1 over 3 right}^2 - n]
을 만족시키는 서로 다른 모든 [eqn: f LEFT (t RIGHT )`]의 합을 [eqn: a_n `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` ->` INF } {{a _{n}} over {n ^{2}}} `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: log``t``]의 정수부분 [eqn: f(t)``], 소수부분 [eqn: g(t)``]이므로

[eqn: f(t)``]는 정수, [eqn: 0 LEQ g(t)<1``]

[eqn: g(t)``]의 조건에서

[eqn: - {1} over {3} LEQ g(t)- {1} over {3} < {2} over {3}``]에서 [eqn: 0 LEQ LEFT { g(t)- {1} over {3} RIGHT } ^{2} < {4} over {9}``]

[eqn: -n LEQ 9n LEFT { g(t)- {1} over {3} RIGHT } ^{2} -n<3n``]

[eqn: -n LEQ f(t)<3n``]

따라서 서로 다른 모든 [eqn: f(t)``]의 합

[eqn: a _{n}][eqn: = it-n +(-n+1)+ it CDOTS it+(3n-1)``]

[eqn: =(n+1)+(n+2)+ CDOTS +(3n-1)``][eqn: = {(2n-1)(n+1+3n-1)} over {2}``]

[eqn: =4n ^{2} -2n``][eqn: therefore][eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {n ^{2}} = lim _{n -> INF } {} {4n ^{2} -2n} over {n ^{2}} =4``]

① [eqn: 4]	② [eqn: {9} over {2}]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: {11} over {2}]	⑤ [eqn: 6]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 04월 21

자연수 [eqn: n`]에 대하여 집합

[정답] ②

[해설]

집합 [eqn: S _{n}]의 부분집합 중 원소의 개수가 두 개인
집합에 대하여 이 두 원소의 차가 [eqn: 2n]보다 큰 임의의
두 원소를 [eqn: a], [eqn: b][eqn: LEFT ( a<b RIGHT )]라 하자.
[eqn: b-a>2n]이므로 [eqn: b>a+2n`] (단, [eqn: 1 LEQ a<b LEQ 3n])

[eqn: a=1`]일 때, [eqn: b=2n+2`], [eqn: 2n+3], [eqn: CDOTS] , [eqn: 3n]
[eqn: LEFT { `1,``2n+2 RIGHT }], [eqn: LEFT { `1,``2n+3 RIGHT }], [eqn: CDOTS] , [eqn: LEFT { `1,``3n RIGHT }] : [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT )]개

[eqn: a=2`]일 때, [eqn: b=2n+3], [eqn: 2n+4], [eqn: CDOTS] , [eqn: 3n]

[eqn: LEFT { `2,``2n+3 RIGHT }], [eqn: CDOTS] , [eqn: LEFT { `2,``3n RIGHT }] : [eqn: LEFT ( n-2 RIGHT )]개

⦙

[eqn: a=n-1`]일 때, [eqn: b=`3n`]

[eqn: LEFT { `n-1,``3n RIGHT }] : [eqn: 1]개

[eqn: n LEQ a<3n]일 때, [eqn: b]는 없으므로 [eqn: 0]개

그러므로 원소의 개수가 두 개이고, 이 두 원소의 차가 [eqn: 2n]보다 큰 집합 [eqn: S _{n}]의 모든 부분집합의 개수 [eqn: a _{n}]은

[eqn: a _{n} =][eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) + LEFT ( n-2 RIGHT ) +` CDOTS `+1= {n LEFT ( n-1 RIGHT )} over {2}]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = sum _{k=1} ^{n} {k LEFT ( k-1 RIGHT )} over {2}]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {6} - {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} RIGHT } = {n ^{3} -n} over {6}]

[eqn: THEREFORE][eqn: ` lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n ^{3}} sum _{k=1} ^{n} a _{k}} `= lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {1} over {n ^{3}} TIMES {n ^{3} -n} over {6} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{1- {1} over {n ^{2}}} over {6}} = {1} over {6}]

[eqn: S` _{n} = LEFT { x`□`x RIGHT .]는 [eqn: 3n`]이하의 자연수[eqn: LEFT. ` RIGHT }]

의 부분집합 중에서 원소의 개수가 두 개이고, 이 두 원소의 차가 [eqn: 2n`]보다 큰 원소로만 이루어진 모든 집합의 개수를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n ^{3}} sum _{k=1} ^{n} a _{k}} `]의 값은?

① [eqn: {1} over {7}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {5}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

06 미적	01 수열의 극한
03 수열의 극한의 활용
03 수열의 극한의 활용3 (평면좌표 또는 함수)

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 04월 11

원점 [eqn: rm O LEFT (0,``0 RIGHT )`]과 직선 [eqn: x=`-4] 위에 점 [eqn: rm A _{1} LEFT (-4,``1 RIGHT )], [eqn: rm A _{2} LEFT (-4,``2 RIGHT )], [eqn: rm A _{it 3} LEFT (-4,`` 3 RIGHT )],[eqn: `CDOTS `]이 있다. 직선 [eqn: y=`-1`]과 직선 [eqn: rm OA _{1}], 직선 [eqn: rm OA _{2}], 직선 [eqn: rm OA _{3}],[eqn: `CDOTS `]과의 교점을 각각 [eqn: rm B _{1}], [eqn: rm B _{2}], [eqn: rm B _{3}],[eqn: `CDOTS `]이라 하자. [eqn: rm TRIANGLE A _{it n rm} OA _{it n+1 rm} `]의 넓이를 [eqn: S` _{n}], [eqn: rm TRIANGLE B _{it n rm} OB _{it n+1 rm} `]의 넓이를 [eqn: T` _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n `-> ` INF } {sum _{k=1} ^{n} S` _{k}T` _{k}} `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

(ⅰ) [eqn: S _{n}]의 넓이는 한 변의 길이가 1이고 높이가

4인 삼각형의 넓이이므로 [eqn: S _{n} = {1} over {2} CDOT 1 CDOT 4=2]

(ⅱ) 점 [eqn: B _{n}]의 [eqn: x]좌표는 직선 [eqn: y=`- {n} over {4} x]과 [eqn: y=`-1]과의

교점의 [eqn: x]좌표이므로 [eqn: {4} over {n}]이다. 점 [eqn: B _{n+1}]의 [eqn: x]좌표는 직선

[eqn: y=`- {n+1} over {4} x]과 [eqn: y=`-1]과의 교점의 [eqn: x]좌표이므로

[eqn: {4} over {n+1}]이다. 따라서 [eqn: T _{n} = 1 over 2 LEFT ( {4} over {n} - {4} over {n+1} RIGHT )]

[eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} S _{k} `T` _{k}} ``=][eqn: 4 lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+1} RIGHT )}]

[eqn: =4 lim _{n -> INF } {LEFT ( 1- {1} over {n+1} RIGHT )} =4]

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고2 11월 14

그림과 같이 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: y=nx], [eqn: y= {n} over {x} `]의 그래프의 교점을 각각 [eqn: rm A _{itn}], [eqn: rm B _{itn}], 점 [eqn: rm A _{it n rm} `]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm C _{itn}], 선분 [eqn: rm B _{it n rm} rm C _{it n rm} `]와 [eqn: y`]축과의 교점을 [eqn: rm D _{it n rm} `]이라 하자. 사다리꼴 [eqn: rm OD _{it n rm} C _{it n rm} A _{it n rm} `]의 넓이를 [eqn: S` _{n}], 삼각형 [eqn: rm OB _{it n rm} D _{it n rm} `]의 넓이를 [eqn: T` _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` ->` INF } {{T` _{n} +n} over {S` _{n} +n+1}} `]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: nx = n over x]에서 [eqn: x= +-1]이므로

두 그래프의 교점 [eqn: rm A_{itn}`( 1,~itn)], [eqn: rm B_{itn}`(- 1,~-itn)]이고

[eqn: rm C_{itn}`( 1,~0)]이다.

직선 [eqn: rm B _{itn} C _{itn}]의 방정식은 [eqn: y= n over 2 ( x-1)]이므로

[eqn: rm D_{itn}`left( 0,~ - itn over 2right)]이다.

따라서 [eqn: S_n = 1 over 2 ``․`` 1 ``․``left( n over 2 + n right) = 3 over 4 n]

[eqn: T_n = 1 over 2 ``․``1 ``․`` n over 2 = n over 4]

[eqn: therefore~](준식)[eqn: = lim_{ n`->` inf} { n over 4 + n } over { 3 over 4 n + n +1} = 5 over 7]

① [eqn: {2} over {7}]	② [eqn: {3} over {7}]	③ [eqn: {4} over {7}]

④ [eqn: {5} over {7}]	⑤ [eqn: {6} over {7}]

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 09월 29

자연수 [eqn: n`]에 대하여 이차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= sum _{k=1 } ^{n } LEFT ( x- {k } over {n} RIGHT ) ^{2}`]의 최솟값을 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n `-> ` INF } {{a _{n}} over {n}} `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x)=sum_k=1^n left( x - k over n right)^2]

[eqn: =sum_k=1^n left( x^2 - 2k over n x+ k^2 over n^2 right)]

[eqn: = nx^2 - 2 over n cdot n(n+1) over 2 x+ {n(n+1)(2n+1)} over 6n^2]

[eqn: =nx^2 - (n+1)x+ {(n+1)(2n+1)} over 6n]

[eqn: = n left( x - n+1 over 2n right)^2][eqn: + {(n+1)(2n+1)} over 6n - (n+1)^2 over 4n]

따라서 주어진 이차함수의 최솟값은

[eqn: a_n = {2(n+1)(2n+1)-3(n+1)^2 } over 12n][eqn: = {n^2 -1} over 12n]

∴ [eqn: lim_n->inf a_n over n = lim_n->inf {n^2 -1} over 12n^2 = 1over12]

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 13
[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 11월 13

자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 점 [eqn: rm P _{it n-1}], [eqn: {rmP}_n `]이 함수 [eqn: y=x ^{2} `]의 그래프 위의 점일 때, 점 [eqn: rm P _{itn+1} `]을 다음 규칙에 따라 정한다.

[정답] ②

[해설]

직선[eqn: rm P_0 P_1`]의 기울기가 1이므로

직선[eqn: rm P_1 P_2`]의 기울기는 -1이다.

점[eqn: rmP_1 (1,1)`]을 지나고 기울기가 -1인 직선의 방정식은 [eqn: y-1 = -(x-1)`] 즉, [eqn: y= -x+2`]이므로

점[eqn: rm P_2`]의 좌표를 구하면

[eqn: x^2 = -x+2`]에서 [eqn: x^2 +x-2=0`]

[eqn: (x+2)(x-1)=0`~], [eqn: x<0`~]이므로 [eqn: x=-2`] ∴ [eqn: rm P_2 (-2,`4)`]

점[eqn: rm P_2 (-2,`4)`]를 지나고 기울기가 1인 직선의 방정식은 [eqn: y-4 = x+2`] 즉, [eqn: y= x+6`]이므로 점[eqn: rm P_3`]의 좌표를 구하면

[eqn: x^2 = x+6`]에서 [eqn: x^2 -x-6=0`][eqn: LRARROW][eqn: (x+2)(x-3)=0`]

[eqn: x>0`]이므로 [eqn: x=3`] ∴ [eqn: rmP_3 (3,9)`]

점[eqn: rmP_3 (3,9)`]를 지나고 기울기가 -1인 직선의 방정식은 [eqn: y-9 = -(x-3)`] 즉, [eqn: y= -x+12`]이므로 점[eqn: rmP_4`]의 좌표를 구

하면 [eqn: x^2 = -x+12`]에서 [eqn: x^2 + x-12=0`][eqn: LRARROW][eqn: (x+4)(x-3)=0`]

[eqn: x<0`]이므로 [eqn: x=-4`] ∴ [eqn: rmP_4 (-4 , 16 )`]

이와 같은 방법으로 [eqn: rmP_n`]의 좌표를 구하면

[eqn: rm P_2m-1 left( 2m-1 , `4m^2 -4m+1 )`]

[eqn: rm P_2m ``( -2m ,``4m^2 `)`]

[eqn: n= 2m`]일 때, [eqn: l_n = l_2m = bar { rm P_2m-1 P_2m } `]

[eqn: = bar {rm P_2m-1 P_2m }][eqn: = root{ (4m-1)^2 + (4m-1)^2 }`]

[eqn: = root2 (4m-1)`][eqn: = root2 (2n-1 )`]

[eqn: n= 2m+1`]일 때, [eqn: l_n = l_2m+1 = bar{ rm P_2m P_2m+1}`]

[eqn: = root{ (4m+1)^2 + (4m+1)^2 }`][eqn: = root2 (4m+1)`][eqn: = root2 (2n-1 )`]

∴ [eqn: lim_n->inf``l_n over n = lim_n->inf``{root2 (2n-1)} over n``][eqn: = 2root2`]

(가) 두 점 [eqn: rm P _{0}], [eqn: \P_1 `]의 좌표는 각각 [eqn: LEFT (0, ``0 RIGHT )], [eqn: LEFT (1, ``1 RIGHT ) `]이다.

(나) 점 [eqn: rm P _{itn+1}`]은 점 [eqn: rm P _{itn} `]을 지나고 직선 [eqn: rm P _{itn-1} rm P _{itn} `]에 수직인 직선과 함수 [eqn: y=x ^{2} `]의 그래프의 교점이다.

(단, [eqn: rm P _{itn} `]과 [eqn: rm P _{itn+1}]은 서로 다른 점이다.)

[eqn: l _{n} = bar{rm P _{itn-1} rm P _{itn}} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` ->` INF } {{l _{n}} over {n}} `]의 값은?

① [eqn: 2 sqrt {3}]	② [eqn: 2 sqrt {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: sqrt {3}]	⑤ [eqn: sqrt {2}]

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 03월 17

좌표평면에서 직선 [eqn: y=1] 위의 점 [eqn: rm P _{ it n rm} LEFT (it n,``1 RIGHT )`]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]을 다음과 같이 정의한다.

[정답] ②

[해설]

주어진 조건에서 [eqn: a _{n} = sqrt {n ^{2} +1}]이다.

[eqn: n< sqrt {n ^{2} +1} < sqrt {n ^{2} +2n+1} =n+1]이므로 [eqn: LEFT [ ``a _{n} ``RIGHT ]=n]이다.

[eqn: lim _{n` -> INF } {{LEFT [ `a _{`1} ` RIGHT ] `+` LEFT [ `a _{`2} ` RIGHT ] `+` LEFT [ `a _{`3} ` RIGHT ] `+` CDOTS `+ LEFT [ `a _{`n} ` RIGHT ]} over {n ^{`2}}} `]

[eqn: = lim _{n` -> INF } {{1+2+3+` CDOTS` +n} over {n ^{2}}}][eqn: = lim _{n` -> INF } {{{n(n+1)} over {2}} over {n ^{2}}}]

[eqn: = lim _{n` -> INF } {{n(n+1)} over {2n ^{2}}} = {1} over {2}]

[eqn: a _{n}][eqn: =](선분 [eqn: rm OP_{it n }`]의 길이) [eqn: LEFT ( n=1,``2,``3,`cdots` RIGHT )]

[eqn: lim _{n `->` INF } {{LEFT [ a _{1} RIGHT ] + LEFT [ a _{2} RIGHT ] + LEFT [ a _{3} RIGHT ] +` CDOTS `+ LEFT [ a _{n} RIGHT ]} over {n ^{2}}} `]의 값은?
(단, [eqn: rm O`]는 원점이고, [eqn: LEFT [x RIGHT ]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 16
[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 10월 16

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: LEFT ( -1,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT (0,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,``1 RIGHT )`]을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 [eqn: A it ` _{1} `]이라 하자.
곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: LEFT ( -2,``4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -1,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,``4 RIGHT ) `]를 꼭짓점으로 하는 오각형을 [eqn: A` _{2} `]라 하자.
곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: LEFT ( -3,``9 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -2,``4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -1,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,``4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,``9 RIGHT )`]를 꼭짓점으로 하는 칠각형을 [eqn: A` _{3} `]이라 하자. 이와 같은 방법으로 [eqn: n`]번째 얻은 다각형 [eqn: A` _{n} `]은
곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: LEFT ( -n,``n ^{2} RIGHT )], [eqn: LEFT ( -n+1,`` LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} RIGHT )],[eqn: `CDOTS `], [eqn: LEFT ( -1,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,``1 RIGHT ) `],[eqn: `CDOTS `], [eqn: LEFT ( n-1,`` LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} RIGHT )], [eqn: LEFT ( n,``n ^{2} RIGHT ) `]을 꼭짓점으로 하는 다각형이다. 다각형 [eqn: A` _{n} `]의 넓이를 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` ->` INF } {{a _{n} } over {n ^{3}}}`]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: a _{n+1} -a _{n} =(2n+1) ^{2}]

[eqn: a _{n} =1+ sum _{k=1} ^{n-1} (2k+1) ^{2}]

[eqn: ={4n ^{3} -n} over {3}]

∴[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {n ^{3}}} = 4over3]

① [eqn: 2]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {6} over {5}]

[출처]	2014 모의_공공 경찰대 고3 07월 14

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =log _{`2} `x+1][eqn: LEFT ( x ge1 RIGHT )`]에 대하여
[eqn: f_1 LEFT (x RIGHT ) =f LEFT (x RIGHT )], [eqn: f_2 LEFT (x RIGHT )= f LEFT (f_1 LEFT (x RIGHT ) RIGHT )],[eqn: `cdots`], [eqn: f_n LEFT (x RIGHT ) = f LEFT (f_n-1 LEFT (x RIGHT ) RIGHT )],[eqn: `cdots`]로 나타낼 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ④

[해설]

ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 위의 그래프를 참고하면,

ㄱ. [eqn: m<n`]이면,
[eqn: x=1], [eqn: x=2`]일 때, [eqn: f_{m} LEFT (x RIGHT )=f_{n} LEFT (x RIGHT )]
[eqn: 1<x<2`]일 때, [eqn: f_{m} LEFT (x RIGHT )<f_{n} LEFT (x RIGHT )`]
[eqn: x>2`]일 때, [eqn: f_{m} LEFT (x RIGHT )>f_{n} LEFT (x RIGHT )] (거짓)

ㄴ. [eqn: x=1`]일 때, [eqn: lim _{n rightarrow inf} f_{n} LEFT (x RIGHT )=1`]
[eqn: x>1`]일 때, [eqn: lim _{n rightarrow inf} f_{n} LEFT (x RIGHT )=2`]
따라서 [eqn: x geq 1`]에서 모두 수렴하므로 [eqn: x geq {3} over {2} `]일 때 역시 수렴한다. (참)

ㄷ. ㄱ에 의해 참이다. (참)

따라서 <보기> 중 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: m<n`]이면 [eqn: f _{m} LEFT (x RIGHT ) LEQ f _{n} LEFT (x RIGHT )`]이다. ㄴ. [eqn: x GEQ {3} over {2} `]일 때 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {f _{n} LEFT ( x RIGHT )} `]는 수렴한다. ㄷ. 임의의 자연수 [eqn: m], [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f _{m} LEFT (x RIGHT )=f _{n} LEFT (x RIGHT )`]이면 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=2`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 15

자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표평면에 점 [eqn: {rm A}_n], [eqn: rm B it _{itn} `]을 다음과 같은 규칙으로 정한다.

[정답] ②

[해설]

점 [eqn: {rmA}_n]의 좌표를 [eqn: (x_n , ``y_n )]이라 하면
조건 (나)에 의하여 점 [eqn: {rmB}_n]의 좌표는 [eqn: (y_n +1, ``x_n )]이고
조건 (다)에 의하여 점 [eqn: {rmA}_n+1]의 좌표는 [eqn: (x_n +1, ``y_n +2)]이다.
∴ [eqn: x_n+1 = x_n +1], [eqn: y_n+1 = y_n +2]
조건 (가)에 의하여 [eqn: x_1 =1], [eqn: y_1 =2]이므로
[eqn: x_n = n], [eqn: y_n =2n]이다.
∴ [eqn: {rmA}_n][eqn: (n , ``2n )], [eqn: {rmB}_n][eqn: (2n+1 , ``n )]
∴ [eqn: {bar{{rmA}_n{rmB}_n }][eqn: =sqrt { (n+1)^2 +(-n)^2}][eqn: =sqrt { 2n^2 +2n +1}]

[eqn: lim_n->inf { {bar{{rmA}_n{rmB}_n }} over { n}][eqn: =lim_n->inf { sqrt { 2n^2 +2n +1}} over { n}]
[eqn: =lim_n->inf { sqrt { 2 + 2 overn + 1overn^2}}][eqn: =sqrt { 2}]

(가) 점 [eqn: rm A _{1} `]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,``2 RIGHT ) `]이다.

(나) 점 [eqn: rm B it rm _{itn} `]은 점 [eqn: rm A it rm _{itn} `]을 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동 시킨 다음 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 평행이동 시킨 점이다.

(다) 점 [eqn: rm A it rm _{itn+1} `]은 점 [eqn: rm B it rm _{itn} `]을 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동 시킨 다음 [eqn: x`]축과 [eqn: y`]축의 방향으로 각각 [eqn: 1`]만큼 평행이동 시킨 점이다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{bar{rm A it rm _{itn} rm B it rm _{itn} it}} over {n}} `]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 4]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 10월 21

좌표평면 위의 점 [eqn: rm P _{it n rm}] ([eqn: n=1,~2,~3,`cdots`])은 다음 규칙을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: a _{`3}`][eqn: = root {1^{`2} + 1^{`2} `], [eqn: a _{`4} `][eqn: = root {2^{`2} + 1^{`2} `], [eqn: a _{`5}`][eqn: = root {2^{`2} + 2^{`2} `],

[eqn: cdots `], [eqn: a _{`2m-1}`][eqn: = root {(m-1)^{`2} + (m-1)^{`2} `],

[eqn: a _{`2m}`][eqn: = root {m^{`2} + (m-1)^{`2} `]

ⅰ) [eqn: n][eqn: =2m-1`]([eqn: m`]은 자연수)일 때,

[eqn: lim _{n -> INF }`{LEFT ( a _{`n+1} -a _{`n} RIGHT )} `][eqn: = lim _{m -> INF } {LEFT ( a _{`2m} -a _{`2m-1} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{m -> INF } {LEFT ( sqrt {2m ^{`2} -2m+1 }- sqrt {2(m-1) ^{`2}} } RIGHT )}][eqn: = {sqrt {2}} over {2}]

ⅱ) [eqn: n][eqn: =2m`]([eqn: m`]은 자연수)일 때,

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( a _{`n+1} -a _{`n} RIGHT )}][eqn: = lim _{m -> INF } {LEFT ( a _{`2m+1} -a _{`2m} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{m -> INF } {LEFT ( sqrt {2m ^{`2}} - sqrt {2m ^{`2} -2m+1} RIGHT )}][eqn: = {sqrt {2}} over {2}]

따라서 ⅰ), ⅱ)에 의해 [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( a _{`n+1} -a _{`n} RIGHT )}][eqn: = {sqrt {2}} over {2} `]

(가) 점 [eqn: rm P _{1}`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,``1 RIGHT ) `]이다.

(나) [eqn: rm {bar{P _{it n rm} rm P _{it n+1 rm}}} =1]

(다) 점 [eqn: rm P _{it n+2 rm} `]는 점 [eqn: rm P _{it n+1}`]을 지나고 직선 [eqn: rm{ P _{it n } rm P _{it n+1 }} `]에 수직인 직선 위의 점 중 [eqn: rm {bar{P _{it 1 rm} rm P _{it n+2}}} `]가 최대인 점이다.

수열 [eqn: left{ a_{n} right} `]은 [eqn: a _{1}=0], [eqn: a _{2}=1`]이고, [eqn: a _{n} = bar{rm P _{1} rm P _{it n rm} it}] ([eqn: n=3,~4,~5,` cdots`])일 때, [eqn: lim _{n `-> ` INF } {LEFT ( a _{n+1} -a _{n} RIGHT )}`]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 09월 28

자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: x=n`]이 두 곡선 [eqn: y= sqrt {3x}], [eqn: y= sqrt {x} `]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A _{it n rm}], [eqn: rm B _{it n rm} `]이라 하고 삼각형 [eqn: rm A _{it n rm} rm B _{it n rm} rm B _{it n+1 rm} `]의 넓이를 [eqn: S` _{it n} `]이라 하자.
[eqn: lim _{n `-> ` INF } {sqrt {n} LEFT ( S` _{n+1} -S` _{n} RIGHT )} =a+b sqrt {3} `]일 때, [eqn: 40 LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 유리수이다.)

[정답] [eqn: bold{ 5]

[해설]

점 [eqn: rm `A _{it `n rm}][eqn: LEFT ( n,`` sqrt {3n} RIGHT )], [eqn: rm B _{it n rm}][eqn: LEFT ( n,`` sqrt {n} RIGHT ) ``]이므로

[eqn: rm {bar{A _{it `n rm} B _{it n rm}}} _{it rm} = it sqrt {3n} - sqrt {n} = sqrt {n} LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT )]

[eqn: S _{it n rm } = {sqrt {n} LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT )} over {2}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {sqrt {n} LEFT ( S _{n+1} -S _{n} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {sqrt {n} LEFT ( {sqrt {3} -1} over {2} RIGHT ) LEFT ( sqrt {n+1} - sqrt {n} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {sqrt {3} -1} over {2} RIGHT ){{sqrt {n}} over {sqrt {n+1} + sqrt {n}}} `][eqn: = {sqrt {3} -1} over {4}]

이므로 [eqn: a=- {1} over {4}], [eqn: `b= {1} over {4}]

따라서 [eqn: 40 LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) =5]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 06월 27

자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: x+y=n`]이 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B`]라 하고, 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 1`:`2`]로 내분하는 점을 [eqn: rm P], [eqn: 2`:`1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]를 지날 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 일차항의 계수를 [eqn: a _{n}], 상수항을 [eqn: b _{n} `]이라 하면 [eqn: lim _{n` ->` INF } {{9b _{n}} over {na _{n}} =k} `]이다. [eqn: 10k ^{2} `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 40]

[해설]

[eqn: rm A(it n`,``0)`,```rm B(it 0`,``n)`]이고 [eqn: rm P it `` LEFT ( {2} over {3} n`,`` {n} over {3} RIGHT ) `], [eqn: rm Q it LEFT ( {n} over {3} `,`` {2} over {3} n RIGHT ) `]이다.

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +a _{n} x+b _{n}]라고 하자.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y=`-x+n]의 교점이 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]

이므로 방정식 [eqn: x ^{2} +a _{n} x+b _{n} =`-x+n`]의 두 근이 두 점[eqn: rm`P], [eqn: rm`Q]

의 [eqn: x]좌표이다. 따라서 이차방정식

[eqn: x ^{2} +(a _{n} +1)x+(b _{n} -n)=0`]

의 두 근이 [eqn: {n} over {3}],[eqn: {2n} over {3}]이므로 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: -(a _{n} +1)= {n} over {3} + {2n} over {3} =n], [eqn: b _{n} -n= {n} over {3} {2n} over {3} = {2} over {9} n ^{2} `]

[eqn: a _{n} =`-n-1`,``b _{n} = {2} over {9} n ^{2} +n`]

이다. 따라서

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{9b _{n}} over {na _{n}}} `][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{2n ^{2} +9n} over {-n ^{2} -n}} `=`-2`]

이므로 [eqn: k=`-2]이고 [eqn: 10k ^{2} =40]이다.

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 03월 14

자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표가 [eqn: { LEFT (0,``3n+1 RIGHT )}`]인 점을 [eqn: rm P _{itn rm} it], 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2}][eqn: LEFT ( x ge0 RIGHT ) `]이라 하자. 점 [eqn: {rmP_{it n}}`]을 지나고 [eqn: {x`}]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]와 만나는 점을 [eqn: {rm Q_{it n } }`]이라 하자.

[정답] ①

[해설]

삼각형 [eqn: rm `P _{it `n rm} OQ _{it `n rm}`]의 넓이 [eqn: S_{`n} `]은

[eqn: S _{`n}`][eqn: = {1} over {2} {bar{rm `OP _{it n rm} it}} CDOT {bar{rm `P _{it n } rm Q _{it `n rm } it}}`][eqn: = {1} over {2} (3n+1) sqrt {3n+1}`]이다.

점 [eqn: rm R`_{it n}`]은 곡선 위의 점이고 [eqn: y`]의 좌표가 자연수이므로 자연수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: (sqrta ,~ a)`]로 놓을 수 있다.

그런데 직선 [eqn: rm`P_{it n`}R_{it` n}`]의 기울기가 음수이므로
[eqn: a < 3n+1`]

삼각형 [eqn: rm `P _{it n rm} OR _{it `n }]의 넓이가 최대가 되기 위해서는 [eqn: rm R_{`it n} `]의 [eqn: x`]좌표 [eqn: root a`]가 최대일 때이다. 그러므로 [eqn: a`][eqn: = 3n`]인 경우이고, 이때 점 [eqn: rm R`_{it n}`]의 좌표는 [eqn: (sqrt3n , ~3n )`]이다.

즉, 삼각형 [eqn: rm `P _{it n rm} OR _{it `n }]의 넓이는

[eqn: T _{`n}`][eqn: = {1} over {2} bar{rm `OP _{it n} } cdot sqrt3n `][eqn: = {1} over {2} (3n+1) sqrt {3n}`]이다.

따라서

[eqn: lim _{n -> INF } {} {S _{`n} -T _{n} `} over {sqrt {n}} `]

[eqn: = lim _{n -> INF } {1oversqrtn`} LEFT { {1} over {2} (3n+1) sqrt {3n+1} - {1} over {2} (3n+1) sqrt {3n} RIGHT }`][eqn: = lim_{n -> INF } {} {3n+1} over {2 sqrt {n}} LEFT ( sqrt {3n+1} - sqrt {3n} RIGHT )]

[eqn: = lim_{n -> INF } {3n+1} over {2 sqrt {n}} {( sqrt {3n+1} - sqrt {3n} )( sqrt {3n+1} + sqrt {3n} )} over {sqrt {3n+1} + sqrt {3n}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {3n+1} over {2( sqrt {3n ^{`2} +n} + sqrt {3``n} )}]

[eqn: = lim_{n -> INF } {3+` {1} over {n}} over {2left( sqrt {3+` {1} over {n }}} + sqrt {3}right )}][eqn: = {3} over {4 sqrt {3}}][eqn: = {sqrt {3}} over {4}]

곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`] 위의 점 [eqn: rm R_{it n}`]은 직선 [eqn: rmP_{it n}R_{it n}`]의 기울기가 음수이고 [eqn: y`]좌표가 자연수인 점이다. 삼각형 [eqn: rm P _{it n rm} OQ _{it n rm} `]의 넓이를 [eqn: S` _{n} `], 삼각형 [eqn: rm P _{it n rm} OR _{it n rm}`]의 넓이가 최대일 때 삼각형 [eqn: rm P _{it n rm} OR _{it n } `]의 넓이를 [eqn: T`_n `]이라 하자. [eqn: lim _{n `-> ` INF } {{S` _{n} -T` _{n}} over {sqrt {n}}} `]의 값은?
(단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

① [eqn: {sqrt {3}} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {sqrt {5}} over {4}]

④ [eqn: {sqrt {6}} over {4}]	⑤ [eqn: {sqrt {7}} over {4}]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 03월 18

자연수 [eqn: n]에 대하여 원점을 지나는 직선과 곡선 [eqn: y=it- LEFT ( x-n RIGHT ) LEFT ( x-n-2 RIGHT )]가 제[eqn: 1]사분면에서 접할 때, 접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a_n], 직선의 기울기를 [eqn: b _{n}]이라 하자. 다음은 [eqn: lim _{n ``->`` inf} {a _{n} b _{n} }]의 값을 구하는 과정이다.

[정답] ④

[해설]

원점을 지나고 기울기가 [eqn: b_n]인 직선의 방정식은 [eqn: y= b_n x]이다.

이 직선이 곡선 [eqn: y=it- LEFT ( x-n RIGHT ) LEFT ( x-n-2 RIGHT )]에 접하므로 이차방정식 [eqn: b_n x = it -(x-n) (x-n-2)]의 근 [eqn: x= a_n]은 중근이다.

그러므로 이차방정식 [eqn: x ^{ 2} + LEFT { b _{n} -2(n+1) RIGHT } x+n LEFT ( n+2 RIGHT ) =0]에서 이차식 [eqn: x ^{ 2} + LEFT { b _{n} -2(n+1) RIGHT } x+n LEFT ( n+2 RIGHT )]는 완전제곱식으로 나타내어진다.

즉,

[eqn: x ^{ 2} + LEFT { b _{n} -2(n+1) RIGHT } x+n LEFT ( n+2 RIGHT )]

[eqn: = left{` x + root n(n+2) `right} ^2]

또는

[eqn: x ^{ 2} + LEFT { b _{n} -2(n+1) RIGHT } x+n LEFT ( n+2 RIGHT )]

[eqn: = left{` x - root n(n+2) `right} ^2]

그런데 [eqn: a _{n} >0]이므로

[eqn: x ^{ 2} + LEFT { b _{n} -2 LEFT ( n+1 RIGHT ) RIGHT } x+n LEFT ( n+2 RIGHT )]

[eqn: = LEFT { x- sqrt {n LEFT ( n+2 RIGHT )} RIGHT } ^{ 2}][eqn: =0]

에서 [eqn: a _{n} = {BOX{ ```` sqrt {n LEFT ( n+2 RIGHT )} ```` }}]이고, [eqn: x]항의 계수에서 [eqn: b _{n} -2 LEFT ( n+1 RIGHT ) =it-2 sqrt {n LEFT ( n+2 RIGHT )}], 즉

[eqn: b _{n} = {BOX{ ```` 2 LEFT { n+1- sqrt {n LEFT ( n+2 RIGHT )} RIGHT } ```` }}]

이다. 따라서

[eqn: lim _{n ``->`` inf} {a _{n} b _{n}}][eqn: = lim _{n ``->`` INF } {2 sqrt {n LEFT ( n+2 RIGHT )} LEFT { n+1- sqrt {n LEFT ( n+2 RIGHT )} RIGHT }}]
[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {{2 sqrt {n LEFT ( n+2 RIGHT )}} over {n+1+ sqrt {n LEFT ( n+2 RIGHT )}}}]
[eqn: =][eqn: lim _{n ``->`` INF } {{2 sqrt {1+ {2} over {n}}} over {1+ {1} over {n} + sqrt {1+ {2} over {n}}}}]
[eqn: = {BOX{ ```` 1 ```` }}]

이다.

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = sqrt {n LEFT ( n+2 RIGHT )}], [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) = 2 LEFT { n+1- sqrt {n LEFT ( n+2 RIGHT )} RIGHT }],

[eqn: alpha= {1}]이고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = sqrt {3}], [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =2 LEFT ( 2- sqrt {3} RIGHT )]

따라서 [eqn: 2f LEFT ( 1 RIGHT ) +g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2 sqrt {3} +2 LEFT ( 2- sqrt {3} RIGHT )][eqn: =4]

원점을 지나고 기울기가 [eqn: b_n]인 직선의 방정식은 [eqn: y= b_n x]이다.

이 직선이 곡선 [eqn: y=it- LEFT ( x-n RIGHT ) LEFT ( x-n-2 RIGHT )]에 접하므로 이차방정식 [eqn: b_n x = it -(x-n) (x-n-2)]의 근 [eqn: x= a_n]은 중근이다.

그러므로 이차방정식

[eqn: x ^{ 2} + LEFT { b _{n} -2(n+1) RIGHT } x+n LEFT ( n+2 RIGHT ) =0]

에서 이차식

[eqn: x ^{ 2} + LEFT { b _{n} -2(n+1) RIGHT } x+n LEFT ( n+2 RIGHT )]

는 완전제곱식으로 나타내어진다.

그런데 [eqn: a_n >0]이므로

[eqn: x ^{ 2} + LEFT { b _{n} -2(n+1) RIGHT } x+n LEFT ( n+2 RIGHT )]

[eqn: = left{` x - root n(n+2) `right} ^2]

에서 [eqn: a _{n} = {BOX{ ```` (가) ```` }}], [eqn: b _{n} = {BOX{ ```` (나) ```` }}]이다.

따라서 [eqn: lim _{n ``->`` inf} {a _{n} b _{n} }][eqn: = {BOX{ ```` (다)```` }}]이다.

위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )], [eqn: g LEFT ( n RIGHT )]이라 하고, (다)에 알맞은 값을 [eqn: alpha]라 할 때, [eqn: 2f LEFT ( alpha RIGHT ) +g LEFT ( alpha RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 29

자연수 [eqn: n`]에 대하여 삼차함수 [eqn: f(x)=x left(x-n right)left(x-3n^2 right)`]이 극대가 되는 [eqn: x`]를 [eqn: a_{`n}`]이라 하자. [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: f(x)=f left(a_{`n}right) `]의 근 중에서 [eqn: a_{`n}`]이 아닌 근을 [eqn: b_{`n}`]이라 할 때, [eqn: lim_{n`->`infty}{{a_{`n} b_{`n}} over {n^{3}}}= q over p `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 5]

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: =x left(x-n right)left(x-3n^2 right)]
[eqn: =x^3 -left(3n^2 +n right) x^2 +3n^3 x]

[eqn: f`'(x)=3x^2 -2(3n^2 +n)x+3n^3]

[eqn: f`'(x)=0`]에서

[eqn: x= {3n^2 +n-sqrt{9n^4 -3n^3 +n^2 }} over {3 }]

또는 [eqn: x= {3n^2 +n+sqrt{9n^4 -3n^3 +n^2 }} over {3 }]

함수 [eqn: f(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수이므로

[eqn: x= {3n^2 +n-sqrt{9n^4 -3n^3 +n^2 }} over {3 }]에서 극댓값을 갖는다.

즉 [eqn: a_{`n}= {3n^2 +n-sqrt{9n^4 -3n^3 +n^2 }} over {3 }]

[eqn: lim_{n`->`inf}{{a_{`n}}overn}][eqn: =lim_{n`->`inf}{ {3n^2 +n-sqrt{9n^4 -3n^3 +n^2 }} over {3n }]
[eqn: =lim_{n`->`inf}{ {3n +1-sqrt{9n^2 -3n +1 }} over {3 }]
[eqn: =lim_{n`->`inf}{ {left(3n +1right)^2 - left(9n^2 -3n +1right)} over {3left(3n +1 +sqrt{9n^2 -3n +1 } right)}]
[eqn: =lim_{n`->`inf}{ {3n }over{3n +1 +sqrt{9n^2 -3n +1 }}}]
[eqn: =lim_{n`->`inf}{ {3 }over{3 + 1overn +sqrt{9 - 3 overn + 1overn^2 }}}]
[eqn: = 1over2]

방정식 [eqn: f(x)-f left(a_{`n} right)=0]은 [eqn: x=a_{`n}`]을 중근으로 가지고, [eqn: a_{`n}`]이 아닌 근이 [eqn: b_{`n}`]이므로

[eqn: f(x)-f(a_{n})=(x-a_{n})^{2}(x-b_{n})`]

[eqn: x=0`]을 대입하면 [eqn: f(0)=0`]이므로 [eqn: f(a_{n})=a_{n} ^{```2} b_{n}]에서

[eqn: a_{`n}^{```2}b_{`n}`][eqn: ={a_{`n} ^{```3} -left(3n^2 +n right) {a_{`n}^{```2} +3n^3 a_{`n}]

양변을 [eqn: n^3 {a_{`n}}`]으로 나누면

[eqn: {a_{`n}b_{`n}}over{n^3 }][eqn: ={{a_{`n} ^{```2} -left(3n^2 +n right) {a_{`n} +3n^3 }}over{n^3 }]

이때

[eqn: lim_{n`->`inf}{{a_{`n}b_{`n}}over{n^3 }}][eqn: =lim_{n`->`inf}{{{a_{`n} ^{```2} -left(3n^2 +n right) {a_{`n} +3n^3 }}over{n^3 }}]
[eqn: =lim_{n`->`inf}{left{1overn times left( {a_{`n}}overn right)^2 }- {3n^2 +n }overn^2 times a_n overn +3 right}]
[eqn: = 0-3 times 1over2 +3][eqn: = 3over2]

[eqn: p=2], [eqn: q=3`]이므로

[eqn: p+q=5]

06 미적	01 수열의 극한
03 수열의 극한의 활용
04 수열의 극한의 활용4 (원 관련)

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고2 11월

자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: y=nx`]가 원 [eqn: x ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =1`], 직선 [eqn: y=2`]와 제 [eqn: 1`]사분면에서 만나는 점을 각각 [eqn: rm S` it rm _{n} LEFT (a _{n} ,``b _{n} RIGHT )], [eqn: rm T _{itn} LEFT (itc _{n} ,``d _{n} RIGHT )`]이라 하자.

[정답] ③

[해설]

두 점 [eqn: {rm S}_n``,``{rm T}_n]의 좌표를 자연수 [eqn: n]에 대하여 나타내면

[eqn: {rm S}_n (a_n`,`b_n )={rm S}_n LEFT ( { 2n} over { n^2 +1}``,`` { 2n^2} over {n^2 +1 } RIGHT )], [eqn: {rm T}_n (c_n`,`d_n`)={rm T}_n LEFT ( 2over n ``,``2 RIGHT )]이다.

ㄱ. [eqn: lim _{ n->inf} {b_n }= lim _{ n->inf} { { 2n^2} over {n^2 +1 } } =2] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{ n->inf} { { c_n -a_n} over {d_n -b_n } }= lim _{ n->inf} { 2overn - 2n over {n^2 +1}} over {2- {2n^2 }over{n^2 +1} }][eqn: =lim _{ n->inf} { 1over n}=0](거짓)

ㄷ. [eqn: lim _{ n->inf} { { c_n } over {n(d_n -b_n ) } }= lim _{ n->inf} { { 2overn} over {n LEFT ( 2- {2n^2 }over{n^2 +1} RIGHT ) } } =1] (참)

극한값이 옳은 것을 다음에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{ n`->`inf} {b_n }=2] ㄴ. [eqn: lim _{n` ->` INF } {{c _{n} -a _{n}} over {d _{n} -b _{n}}} =1] ㄷ. [eqn: lim _{ n`->`inf} { { c_n } over {n LEFT (d_n -b_n RIGHT ) } }=1]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 11월 14

좌표평면에서 자연수 [eqn: n``]에 대하여 두 직선 [eqn: y= {1} over {n} x``]와 [eqn: x=n``]이 만나는 점을 [eqn: {rm A} _{n} `,~]직선 [eqn: x=n``]과 [eqn: x``]축이 만나는 점을 [eqn: {rmB} _{n} ``]이라고 하자. 삼각형 [eqn: {rmA } _{n} {rmOB} _{n} ``]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: {rmC} _{n} ``]이라 하고, 삼각형 [eqn: {rmA} _{n} {rmOC} _{n} ``]의 넓이를 [eqn: S _{n} ``]이라고 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {` {S _{n}} over {n} ``}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: S _{n} `]는 삼각형 [eqn: {rmA } _{n} {rmOB} _{n} ``]의 [eqn: {sqrt {n ^{2} +1}} over {sqrt {n ^{2} +1} +n+1} `]이다.

([eqn: because`] 둘레의 길이)

[eqn: S _{n} = {n} over {2} TIMES {sqrt {n ^{2} +1}} over {sqrt {n ^{2} +1} +n+1} `]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} {{n} over {2} times {sqrt {n ^{2} +1}} over {sqrt {n ^{2} +1} +n+1}} over {n} = {1} over {4} `]

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고2 09월 28

좌표평면 위의 네 점 [eqn: rm A it _{n} it LEFT ( n,``0 RIGHT )],[eqn: {rmB} _{n} ` LEFT ( 2n,``n RIGHT )], [eqn: {rmC}_n LEFT ( n,``2n RIGHT )], [eqn: {rmD}_n LEFT ( 0, n RIGHT )`]을 연결한 사각형과 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} = {1} over {2} n ^{2}`]이 있다. 그림과 같이 사각형 [eqn: rm A _{it n rm} rm B _{it n rm} rm C _{it n rm} rm D _{it n rm} `]이 변 [eqn: rm bar{A _{it n} rm D _{it n }} `]의 중점에서 원에 접하며 원을 따라 한 바퀴 움직일 때, 사각형 [eqn: rm A _{it n rm} rm B _{it n rm} rm C _{it n rm} rm D _{it n rm} `]이 지나간 부분의 넓이를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. 이 때, [eqn: lim _{n `-> ` INF } { {10} over {pi n ^{3}} sum _{k=1} ^{n} a _{k} } `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 15]

[해설]

원점에서 점 [eqn: LEFT ( n`,~2n RIGHT )]까지의 거리는 [eqn: sqrt {5} n]이므로

사각형이 지나간 부분은 그림과 같다.

[eqn: a _{n} =5n ^{2} pi - {1} over {2} n ^{2} pi = {9} over {2} n ^{2} pi `]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = {9} over {2} pi TIMES {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {6} `]

[eqn: lim _{n -> INF } {{10} over {pi `n ^{3}} sum _{k=1} ^{n} a _{k} = lim _{n -> INF } {{10} over {pi `n ^{3}} {9 pi `n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {12}}}][eqn: =15]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 03월 21

자연수 [eqn: n`]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: {rm P}_ n LEFT (n,``n^{2} RIGHT )`]을 중심으로 하고 [eqn: y`]축에 접하는 원을 [eqn: {C`}_{ it n}`]이라 하자. 원점을 지나고 원 [eqn: C`_{ it n}`]에 접하는 직선 중에서 [eqn: y`]축이 아닌 직선의 기울기를 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim_{n` ->` inf}{ { a_{n}}over n} `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

원 [eqn: C _{` it `n rm } `]의 중심이 [eqn: rm P _{it n rm} it left(n,``n ^{2} right )`]이고 [eqn: y`]축에 접하므로, 반지름의 길이는 [eqn: n`]이다. 또 원점을 지나고 기울기가 [eqn: a _{n} `]인 직선의 방정식은 [eqn: y=a _{n} `x] 즉, [eqn: a _{n} x-y=0`]이다.

원 [eqn: C _{` it `n rm } `]과 직선 [eqn: a _{n} x-y=0`]이 접하므로 원의 중심 [eqn: rm P _{it n rm} it left(n,~n ^{`2} right )`]에서 직선 [eqn: a _{n} x-y=0`]에 이르는 거리가 [eqn: n`]이다.

∴ [eqn: {LEFT | n`a _{n} -n ^{`2} RIGHT |} over {sqrt {a _{n} ^{2} +1}} =n`][eqn: LRARROW][eqn: {LEFT | `a _{n} -n RIGHT |} over {sqrt {a _{n} ^{2} +1}} =1`]

양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: a _{n} ^{2} -2`n a _{`n} `+n ^{`2} =a _{`n} ^{`2} +1`]

∴ [eqn: a _{`n} = {n ^{`2} -1} over {2n}] ∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{`n}} over {n} ```= `lim _{n -> INF } {} {n ^{`2} -1} over {2n ^{2}} `][eqn: = lim _{n -> INF } {} {1- {1} over {n ^{2}}} over {2}][eqn: ``= {1} over {2}]

<다른 풀이>

원의 방정식은 [eqn: (x-n) ^{2} +(y-n ^{2} ) ^{2} =n ^{2} `]

[eqn: y=a _{n} `x]를 대입하면 [eqn: (x-n) ^{2} +(a _{n} x-n ^{2} ) ^{2} =n ^{2} `]

[eqn: x ^{2} -2nx+n ^{2} +a _{n} ^{2} x ^{2} -2n ^{2} a _{n} x+n ^{4} =n ^{2} `][eqn: (1+a _{n} ^{2} )x ^{2} -2(n+n ^{2} a _{n} )x+n ^{4} =0`] 직선과 원이 접하므로 판별식 [eqn: D over 4 = LEFT ( n+n ^{`2} a _{n} RIGHT ) ^{2} -n ^{`4} (1+a _{n} ^{`2} )=0`]이다.

[eqn: 2n^{`3}` a _{`n} = n^{`4}- n^{`2} `] ∴ [eqn: a _{`n} = {n ^{`2} -1} over {2n}] ∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{`n}} over {n}][eqn: = {1} over {2}]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

좌표평면에서 곡선 [eqn: y=x^{2}] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it _{n} left(n,`` n^{2} right)]과 중심이 [eqn: x]축 위에 있는 원 [eqn: C_{n}]은 다음 조건을 만족시킨다. (단, [eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots] 이다.)

(가) 곡선 [eqn: y=x^{2}]과 원 [eqn: C_{n}]은 점 [eqn: {rm{P}} it _{n}]에서 만난다.

(나) 곡선 [eqn: y=x^{2}]과 원 [eqn: C_{n}]은 점 [eqn: {rm{P}} it _{n}]에서 공통인 접선을 갖는다.

다음 물음에 답하시오.

[출처]	2013 모의_공공 사관학교 고3 07월 12

원 [eqn: C_{n}]의 넓이를 [eqn: S(n)]이라 할 때, [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {S(n)} over {n^{6}}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

원 [eqn: C_{n}]의 중심을 [eqn: {rm{C}} it _{n} left(a_{n},`` 0 right)]이라 하면

직선 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{C}} it _{n}]은 점 [eqn: {rm{P}} it _{n} left(n,`` n^{2} right)]에서의 곡선 [eqn: y=x^{2}]의 접선에 수직이다.

점 [eqn: {rm{P}} it _{n}]에서의 곡선 [eqn: y=x^{2}]의 접선의 기울기는 [eqn: 2 n]이므로 [eqn: 2 n times {n^{2}-0} over {n-a_{n}}=it-1]

[eqn: therefore~a_{n}=2 n^{3}+n]

따라서 원 [eqn: C_{n}]의 넓이 [eqn: S_{n}]은

[eqn: S_{n}][eqn: = pi times{ overline{{rm{P}} it _{n} {rm{C}} it _{n}}}^{2}]
[eqn: = pi left{ left(-2 n^{3} right)^{2}+ left(n^{2} right)^{2} it right}]
[eqn: = pi left(4 n^{6}+n^{4} right)]

[eqn: therefore~ lim _{n ``rarrow`` inf } {S(n)} over {n^{6}}= lim _{n ``rarrow`` inf } pi times left(4+{1} over {n^{2}} right)=4 pi]

① [eqn: pi]	② [eqn: 2 pi]	③ [eqn: 3 pi]

④ [eqn: 4 pi]	⑤ [eqn: 5 pi]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고2 11월 30

자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A LEFT ( it 12n+1,``0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 0,``it 5n RIGHT )`]을 지름의 양 끝으로 하는 원이 있다. 원점 [eqn: rm O`]와 원 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 삼각형 [eqn: rm OAP`]의 넓이의 최댓값을 [eqn: S`(n)`]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{S`(n)} over {n ^{2}}} `]의 값을 구하시오.
(단, 점 [eqn: rm P`]는 [eqn: x`]축 위의 점이 아니다.)

[정답] [eqn: 54]

[해설]

그림과 같이 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원은 원점 [eqn: rmO]를 지난다. ([eqn: because][eqn: angle rm BOA = 90 DEG]) 선분 [eqn: rmOA]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면, 점 [eqn: rmM]을 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 제[eqn: 1]사분면에서 원과 만나는 점이 [eqn: rmP]일 때, 삼각형 [eqn: rmOAP]의 넓이가 최대이다. 이때, 선분 [eqn: rmAB]와 선분 [eqn: rmPM]의 교점 [eqn: rm C]가 원의 중심이다.

[eqn: rm bar{PC} = {1} over {2} bar{AB} = {sqrt {it (12n+1) ^{2} rm + it (5`n) ^{2} rm}} over {2}][eqn: = {sqrt {169n ^{2} +24n+1}} over {2}]

[eqn: rm bar{CM} = {1} over {2} bar{BO} = {it 5n rm} over {2}], [eqn: rm bar PM = bar PC + bar CM][eqn: = {{sqrt {169n ^{2} +24n+1}+5n} over {2}]

[eqn: therefore][eqn: S`(n)= {1} over {2} TIMES rm bar{OA} TIMES bar{PM}][eqn: = {LEFT ( 12n+1` RIGHT ) LEFT ( sqrt {169n ^{2} +24n+1} +5n RIGHT )} over {4}]

[eqn: lim_{n`->`inf} {S`(n)} over n^2][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {(12n+1) LEFT ( sqrt {169n ^{2} +24n+1} +5n RIGHT )} over {4n ^{2}}][eqn: =54]

따라서 [eqn: lim_{n`->`inf} {S`(n)} over n^2][eqn: =54]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 04월 28

그림과 같이 자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표평면 위의 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =n`]을 [eqn: C` _{n} `]이라 하고, 직선 [eqn: y= sqrt {3} x] 위의 점 중에서 원점 [eqn: rm O`]로부터 거리가 [eqn: n+2`]인 점을 [eqn: rm P _{it n rm}], 점 [eqn: rm P _{it n rm} `]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q _{it n rm} `]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm P _{it n rm} OQ _{it n rm} `]의 내부와 원 [eqn: C` _{n} `]의 외부의 공통부분의 넓이를 [eqn: S` _{n} `]이라 하자. [eqn: lim _{n`->` INF } { {n ^{2}} over {S` _{n}}} =a`]일 때, [eqn: 3a ^{2} `]의 값을 구하시오.
(단, 점 [eqn: rm P _{it n rm} `]은 제 [eqn: 1`]사분면 위의 점이다.)

[정답] [eqn: 64]

[해설]

직각삼각형 [eqn: rm P _{it n rm} rm OQ _{it n rm}]에서 [eqn: rm ANGLE P _{it n rm} OQ _{it n rm} = {pi} over {3}]이고 [eqn: rm {bar{OP _{itn}}} `=itn+2]이므로 [eqn: rm {bar{OQ _{it n rm}}} `= it {1} over {2} ` LEFT ( n+2 RIGHT )], [eqn: rm {bar{P _{itn} Q _{it n rm}}} `= it {sqrt {3}} over {2} ` LEFT ( n+2 RIGHT )]

[eqn: TRIANGLE rm P _{it n rm} rm OQ _{it n rm} = {1} over {2} ` TIMES ` {bar{rm O _{it rm} rm Q _{it n rm} it rm}} ` TIMES ` {bar{rm P _{it n rm} rm Q _{it n rm} it rm}} `= it {sqrt {3} LEFT ( n+2 RIGHT ) ^{2}} over {8}]

[eqn: S _{`n}]은 [eqn: TRIANGLE rm P _{it n rm} rm OQ _{itn rm}]의 넓이에서 원 [eqn: C _{`n}]의 넓이의 [eqn: {1} over {6}]을 빼면 된다.

[eqn: therefore][eqn: S _{`n} = {sqrt {3} LEFT ( n+2 RIGHT ) ^{2}} over {8} `-` {n pi } over {6}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {n ^{2}} over {S _{`n}}} `= lim _{n` -> ` INF } {` {n ^{2}} over {{sqrt {3} LEFT ( n+2 RIGHT ) ^{2}} over {8} `-` {n pi } over {6}} `= {8} over {sqrt {3}}} `=a]

따라서 [eqn: 3a ^{2} =64]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 04월

자연수 [eqn: n`]에 대하여 그림과 같이 두 점 [eqn: rm A _{it n rm} LEFT ( it n,``0 RIGHT )], [eqn: rm B _{it n rm} it LEFT ( 0,`` it n+1 RIGHT ) `]이 있다. 삼각형 [eqn: rm OA _{it n rm} B _{it n rm} `]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: rm C _{it n rm} `]이라 하고, 두 점 [eqn: rm B _{it n rm} `]과 [eqn: rm C _{it n rm} `]을 지나는 직선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm P _{it n rm} `]이라 하자. [eqn: lim _{n` ->` INF } {{bar{rm OP _{it n rm} it}} over {n}} `]의 값은?
(단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

[정답] ②

[해설]

그림과 같이 삼각형 [eqn: rm OA it _{n} rm B it _{n}]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: rm C _{itn} (`itr _{n} ,``r _{n} )]이라 하고 내접하는 원이 삼각형 [eqn: rm OA _{itn} rm B it _{itn}]의 세 변과 만나는 점을 각각 [eqn: rmD _{itn}], [eqn: rm E _{itn}], [eqn: rmF _{itn}]이라 하자.

[eqn: TRIANGLE rm B _{it n rm} F _{it n rm} C _{it n` rm} `□ TRIANGLE rm B _{it n rm} OP _{it n` rm}]

[eqn: bar {rmB_{itn}rmF_{it n} }`:`bar {rmB_{itn}rmO }`=`bar {rmF_{itn}rmC_{it n} }`:`bar {rmOP_{it n} }]

[eqn: n+1-r _{n} `:`n+1 =r_n`:``bar {rmOP_{it n} }]

[eqn: bar {rmOP_{it n} }= {(n+1)r _{n}} over {n+1-r _{n}}][eqn: CDOTS CDOTS `㉠]

[eqn: rm{bar{B _{itn} rm F _{itn}}} = {bar{ rm B _{itn} rm E _{itn}}}], [eqn: rm {bar{D _{itn} rm A _{itn}}} = {bar{ rm E _{itn} rm A _{itn}}}]이고
[eqn: rm {bar{ rm B _{itn} rm E _{itn}}} + {bar{ rm E _{itn} rm A _{itn}}} = {bar{ rm B _{itn} rm A _{itn}}}]이므로

[eqn: (n+1-r _{n} )+(n-r _{n} )= sqrt {2n ^{2} +2n+1}]

[eqn: r _{n} = {1} over {2} LEFT ( 2n+1- sqrt {2n ^{2} +2n+1} RIGHT )][eqn: CDOTS CDOTS `㉡]

[eqn: ㉡]을 [eqn: ㉠]에 대입하여 계산하면

[eqn: bar {rmOP_{it n} }= { LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1- sqrt {2n ^{2} +2n+1} RIGHT )} over {1 + sqrt {2n ^{2} +2n+1}}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {bar {rmOP_{it n} }} over {n}} `= lim _{n` -> ` INF } {{(n+1) LEFT ( 2n+1- sqrt {2n ^{2} +2n+1} RIGHT )} over {n LEFT ( 1+ sqrt {2n ^{2} +2n+1} RIGHT )}}]

[eqn: = {2- sqrt {2}} over {sqrt {2}} `=` sqrt {2} -1]

① [eqn: { sqrt2 -1} over { 2}]	② [eqn: sqrt 2 -1]	③ [eqn: 2 - sqrt 2]

④ [eqn: { sqrt 2} over {2 }]	⑤ [eqn: { 2sqrt 2 -2}]

[출처]	2016 모의_공공 경찰대 고3 07월 10

좌표평면에서 직선 [eqn: y=n x(n]은 자연수[eqn: )]와 원 [eqn: x^{2}+y^{2}=1]이 만나는 점을 [eqn: rm A it _{rm ITn it}], [eqn: rm B it _{rm itn it}]이라 하자. 원점 [eqn: {rm{O}} it]와 [eqn: {rm{A}} it _{{{n}} it }]의 중점을 [eqn: {rm{P}} it _{{{n}} it }]이라 하고, [eqn: overline{{rm{A}} it _{{{n}} it } {rm{P}} it _{{{n}} it }}= overline{{{RMB}} it _{{{n}} it } {rm{Q}} it _{{{n}} it }}]을 만족시키는 직선 [eqn: y=n x] 위의 점을 [eqn: {rm{Q}} it _{n}]이라 하자. (단, [eqn: {rm{Q}} it _{{{n}} it }]은 원 외부에 있다.) 점 [eqn: {rm{Q}} it _{{{n}} it }]의 좌표를 [eqn: left(a_{n},`` b_{n} right)]이라 할 때, [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } left|n a_{n}+b_{n} right|]의 값은?

[정답] ③

[해설]

문제에는 [eqn: rmA _{itn}]과 [eqn: rmB _{itn}]의 위치가 나와 있지 않지만, 편의상 [eqn: rmA _{itn}]을 제[eqn: rm 1]사분면 [eqn: rmB _{itn}]을 제[eqn: rm 2]사분면에 잡도록 하자. 문제 조건에 의하여 [eqn: rmP _{itn}]과 [eqn: rm Q _{ITn}]을 찾으면 다음과 같다.

원과 직선 식을 연립하여 [eqn: rmB _{itn}]의 좌표를 구하면,

[eqn: rm B _{it n rm} LEFT ( - {1} over {sqrt {it n ^{2} +1 rm}} ,``- {itn} over {sqrt {it n ^{2} +1 rm}} RIGHT )]이며,

이때 [eqn: rmQ _{itn}]은 [eqn: rmOB _{itn}]을 [eqn: 3: 1]로 외분하는 점이므로

[eqn: rm Q _{it n rm} LEFT ( - {3} over {2 sqrt {it n ^{2} +1 rm}} ,``- {3itn} over {2 sqrt {it n ^{2} +1 rm}} RIGHT )]이다.

따라서

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } left|n a_{n}+b_{n} right|= lim _{n ``rarrow`` inf } left|{-3 n} over { sqrt{n^{2}+1}} right|=3]이다.

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 09월 21

그림과 같이 자연수 [eqn: n`]에 대하여 점 [eqn: rm P _{it n rm}`]의 좌표를 [eqn: LEFT ( 0,~-n RIGHT ) `], 점 [eqn: rm Q _{it n} `]의 좌표를 [eqn: LEFT ( n+1,~0 RIGHT ) `]이라 하자. 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =n ^{2}] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rm A _{it n rm}], [eqn: rm B _{it n rm} `]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

원주각과 중심각의 관계에 의하여
[eqn: rm ANGLE A _{it n rm} P_{itn}B _{it n rm} =60 DEG]이므로 [eqn: rm ANGLE A _{it n rm} OB _{it n rm} =120 DEG]

원점 [eqn: rmO]에서 직선 [eqn: rm A _{it n rm} B _{it n rm}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH_{itn]이라 하자.

삼각형 [eqn: rmA _{itn} OB _{itn}]이 이등변 삼각형이고

[eqn: rm {bar{OA _{it n rm}}} = itn, `rm ANGLE A _{it n rm} OH _{it n rm} =60 DEG]이므로 [eqn: rm bar{OH _{itn}} = itn over2]

원점 [eqn: RMO]와 직선 [eqn: a _{n} x-y- left(n+1 right) a _{n} =0] 사이의 거리는 [eqn: it {n} over {2}]

이므로 [eqn: {LEFT | - LEFT ( n+1 RIGHT ) `a _{n} RIGHT |} over {sqrt {a _{n} ^{```2} +1}} = {n} over {2}]

[eqn: {(n+1) ^{2} `a _{n} ^{````2}} over{a _{n} ^{````2}+1 } `=` n^2 over4]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n} ` ^{2}} over {`a _{n} ` ^{2} +1} `= lim _{n -> INF } {` {n ^{2}} over {4(n+1) ^{2}} `=`1over4}]

(가) 세 점 [eqn: rm A _{it n rm}], [eqn: rm B _{it n rm}], [eqn: rmQ _{itn} `]은 한 직선 위에 있다.

(나) [eqn: rm ANGLE A _{it n rm} P _{it n rm} B _{it n rm} =60 DEG `]

직선 [eqn: rm A _{it n rm} B _{itn} `]의 기울기를 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n `->` INF } { {a _{n} ^{~2}} over {a _{n} ^{~2} +1}} `]의 값은?
(단, 두 점 [eqn: rm A _{it n rm}], [eqn: rm B _{it n rm}`]의 [eqn: y`]좌표는 모두 양수이다.)

① [eqn: {1} over {7}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {5}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 11월 29

그림과 같이 자연수 [eqn: n`]에 대하여 점 [eqn: rm A LEFT ( 2 it n,``n+3 RIGHT ) `]을 지나는 기울기가 양수인 직선이 점 [eqn: rm B LEFT ( it n,``0 RIGHT ) `]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: n`]인 원에 접할 때, 이 직선이 원과 만나는 점을 [eqn: rm C], [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rm D`]라 하자. 사각형 [eqn: rm OBCD`]의 둘레의 길이와 넓이를 각각 [eqn: l _{n}], [eqn: S` _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n `->` INF } {{l _{n} TIMES S` _{n}} over {n ^{3}}}`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

[정답] [eqn: bold{ 4]

[해설]

그림과 같이 점 [eqn: rm A]에서 원에 그은 두 접선의 접점 중
점 [eqn: rm C]가 아닌 점을 [eqn: rm E LEFT (it `2n,``0 RIGHT )]이라 하자.

[eqn: TRIANGLE rm AEB]와 [eqn: triangle rm BOD]는 서로 닮음이므로

[eqn: {bar{rm AE it}} : {bar{rm EB it}} = {bar{rm BO it}} : {bar{eqalign{rm OD} it}}}]

[eqn: n+3:n=n: {bar{rm OD it}}]

[eqn: therefore][eqn: {bar{rm OD it}} = {n ^{2}} over {n+3}]

[eqn: {bar{rm OD it}} = {bar{rm CD it}}], [eqn: bar { rm BO } = bar { rm BC}]

[eqn: l _{n} = 2 times LEFT ( {n ^{2}} over {n+3} +n RIGHT )= {4n ^{2} +6n} over {n+3}]

[eqn: S _{n} =2 TIMES "(" TRIANGLE rm BOD]의 넓이[eqn: ")"]

[eqn: =it 2 TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES n TIMES {n ^{2}} over {n+3} RIGHT ) = {n ^{3}} over {n+3}]

[eqn: therefore][eqn: lim _{n -> INF } {} {l _{n} TIMES S _{n}} over {n ^{3}} = lim _{n -> INF } {} LEFT ( {1} over {n ^{3}} times {4n ^{2} +6n} over {n+3} times {n ^{3}} over {n+3} RIGHT )]

[eqn: = lim _{ n rarrow inf} { } { 4n^2 + 6n} over { LEFT ( n+3 RIGHT )^2 }=4]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 11월 19

그림과 같이 자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( 0,``n RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( -2n,``0 RIGHT )`]과 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =n`]이 있다. 원 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 삼각형 [eqn: rm PAB`]의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n`-> ` INF } {sqrt {n} LEFT ( a _{n+1} -a _{n} RIGHT )}`]의 값은?

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: rm P]에서 직선 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자.

삼각형 [eqn: rm PAB]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm AB it}} TIMES {bar{rm PH it}}]이고

선분 [eqn: rm PH]의 길이는 직선 [eqn: rm PH]가 원의 중심 [eqn: rm O]를

지날 때 최대이다.

직선 [eqn: rmAB]의 기울기가 [eqn: {1} over {2}]이므로

점 [eqn: rm P]는 직선 [eqn: y=`-2x]와 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =n]이 만나는

점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점이다.

점 [eqn: rm P LEFT ( ` it a _{n} ,``-2a _{n} RIGHT )]이라 하면

[eqn: a _{n} ^{2} +4a _{n} ^{2} =n]

[eqn: THEREFORE `a _{n} = {sqrt {n}} over {sqrt {5}}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {sqrt {n} LEFT ( a _{n+1} -a _{n} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {sqrt {n} LEFT ( {sqrt {n+1} - sqrt {n}} over {sqrt {5}} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{sqrt {n}} over {sqrt {5} LEFT ( sqrt {n+1} + sqrt {n} RIGHT )}} = {sqrt {5}} over {10}]

① [eqn: {sqrt {5}} over {10}]	② [eqn: {sqrt {10}} over {10}]	③ [eqn: {sqrt {5}} over {5}]

④ [eqn: {sqrt {10}} over {5}]	⑤ [eqn: {sqrt {5}} over {2}]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 07월 29

그림과 같이 자연수 [eqn: n`]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: {rmP} _{n} LEFT ( n,``n ^{2} RIGHT ) `]에서의 접선을 [eqn: l _{n} `]이라 하고, 직선 [eqn: l _{n} `]이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rm Y _{it n rm} `]이라 하자. [eqn: x`]축에 접하고 점 [eqn: rm P _{it n rm} `]에서 직선 [eqn: l _{n} `]에 접하는 원을 [eqn: C` _{n}], [eqn: y`]축에 접하고 점 [eqn: rm P _{it n rm} `]에서 직선 [eqn: l _{n} `]에 접하는 원을 [eqn: C` _{n} prime `]이라 할 때, 원 [eqn: C _{n} `]과 [eqn: x`]축과의 교점을 [eqn: rm Q _{it n rm}], 원 [eqn: C` _{n} prime `]과 [eqn: y`]축과의 교점을 [eqn: rm R _{it n rm} `]이라 하자. [eqn: lim _{n `->` INF } { {bar{rm OQ _{it n rm} it}} over {bar{rm Y _{it n rm} R _{it n rm} it}} }= alpha `]라 할 때, [eqn: 100alpha`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: rm O`]는 원점이고, 점 [eqn: rm Q _{it n rm} `]의 [eqn: x`]좌표와 점 [eqn: rm R _{it n rm} `]의 [eqn: y`]좌표는 양수이다.)

[정답] [eqn: bold{50]

[해설]

접선 [eqn: l_n`]의 방정식은 [eqn: y = 2nx - n^2`]이므로

[eqn: rm Y _{it n rm}][eqn: LEFT ( 0,``-n` ^{2} RIGHT )]

직선 [eqn: l_n`]이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm X _{it n rm} `]이라 하면

[eqn: rm X _{it n rm}][eqn: LEFT ( {1} over {2} n,````0 RIGHT )]

[eqn: bar{rmO`X_{itn }} = 1 over2 n]

[eqn: rm bar{X _{it n rm} Q _{it n rm}} it = rm bar{X _{it n rm} P _{it n rm}} it =sqrt {n^4 + 1 over 4 n^2}}]

[eqn: rm bar{Y _{it n rm} R _{it n rm}} it = rm bar{Y _{it n rm} P _{it n rm}} it = sqrt {4n^{4} +n^2 }}]

이므로

[eqn: alpha = lim _{n `-> ` INF } {{bar{rm O`Q _{it n rm} it}} over {bar{rm Y _{it n rm} R _{it n rm} it}}}][eqn: =lim_{n`->`inf}{ {{bar {rm O` X_{it n}}} + {bar {rm X_{it n} Q_{it n}}}} over {bar {rm Y_{it n} R_{it n}}}]
[eqn: = lim_{n`->`inf}{ {1 over 2 n + root{n^4 + 1 over 4 n^2}} over {root{4n^4 + n^2 } }]
[eqn: = lim_{n`->`inf}{ {1 over 2n + root{1+ 1 over 4n^2}} over {root{4 + 1over n^2}} = 1 over2]

따라서 [eqn: 100alpha = 50]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 09월 19

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표평면 위의 두 원

[정답] ⑤

[해설]

원 [eqn: C_1], [eqn: C _{2} `]의 중심을 각각 [eqn: rm O _{1}], [eqn: rm O _{2}]라 하자.
점 [eqn: rm O _{2}]에서 선분 [eqn: rm O _{1} P _{itn}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H _{itn}], 점 [eqn: rm P _{itn}]에서 선분

[eqn: rm O _{1} O _{2}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm M _{itn}]이라 하자.

삼각형 [eqn: rm O _{2} P _{itn} O _{1} `]이 이등변삼각형이므로

[eqn: {bar{rm P _{itn} H _{itn} it}} = {n-1} over {2}]

직각삼각형 [eqn: rm P _{itn} H _{itn} O _{it2}]에서

[eqn: {bar{rm O _{2} H _{itn} it}}][eqn: = sqrt {n ^{2} - LEFT ( {n-1} over {2} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = {sqrt {3n ^{2} +2n-1}} over {2}]

삼각형 [eqn: rm O _{2} P _{itn} O _{1}]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm P _{itn} O _{1} it}} TIMES {bar{rm O _{2} H _{itn} it}}][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm O _{1} O _{2} it}} TIMES {bar{rm P _{itn} M _{itn} it}}]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES (n-1) TIMES {sqrt {3n ^{2} +2n-1}} over {2}][eqn: = {1} over {2} TIMES n TIMES {bar{rm P _{itn} M _{itn} it}}]

[eqn: {bar{rm P _{itn} M _{itn} it}} = {(n-1) sqrt {3n ^{2} +2n-1}} over {2n}]

[eqn: {bar{rm P _{itn} Q _{itn} it}} =2 {bar{rm P _{itn} M _{itn} it}}]이므로
[eqn: lim _{itn -> INF } {{{bar{rm P _{itn} Q _{itn} it}}} over {n}}][eqn: = lim _{itn -> INF } {{(n-1) sqrt {3n ^{2} +2n-1}} over {n ^{2}}}][eqn: = sqrt {3}]

[eqn: C`_1`:`x ^{2} +y ^{2} = LEFT (n-1 RIGHT ) ^{2} `],
[eqn: C`_2 `:`LEFT (x-n RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =n ^{2}]

이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rm P _{it n rm}], [eqn: rm Q _{it n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n `-> ` INF } { {bar{rm P _{it n rm} Q _{it n rm} it}} over {n} }`]의 값은?

① [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt {2}]	⑤ [eqn: sqrt {3}]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 11월 27

자연수 [eqn: n`]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( 4n,``3n RIGHT ) `]을 중심으로 하고, [eqn: x`]축에 접하는 원 [eqn: C` _{n} `]이 있다. 원 [eqn: C` _{n}] 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 선분 [eqn: rm OP`]의 길이가 자연수가 되도록 하는 점 [eqn: rm P`]의 개수를 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` ->` INF } {{1} over {n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} a _{k}} `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

[정답] [eqn: {bold{6]

[해설]

원 [eqn: C _{n}]은 [eqn: x]축에 접하는 원이므로 반지름의 길이는 [eqn: 3n]이다.

원 [eqn: C _{n}]의 중심을 [eqn: rm G _{itn} ( it `4n,``3n)]이라 하면
[eqn: {bar{rm OG _{itn} it}} = sqrt {(4n) ^{2} +(3n) ^{2}} =5n]

그림과 같이 직선 [eqn: rm OG _{itn}]과 원 [eqn: C _{n}]이 만나는 점을 각각 [eqn: rm A,][eqn: rm B]라 하면 선분 [eqn: rmOP]의 길이는 [eqn: rmbar{OB} LEQ {bar{rm OP it}} LEQ bar{OA}]

[eqn: bar{rm OA it} = bar{rm OG _{it n rm} it} +3n=8n,][eqn: bar{rm OB it} = bar{rm OG _{it n rm} it} -3n=2n]

[eqn: {bar{rm OP it}} =2n] 또는 [eqn: bar{rm OP it} =8n`]일 때 점 [eqn: rmP]의 개수는 각각 [eqn: 1]개이고, [eqn: 2n+1 LEQ bar{rmOP} LEQ 8n-1]일 때 선분 [eqn: rmOP]의 길이가 자연수인 점 [eqn: rmP]의 개수는 각각 [eqn: 2]개이다.

그러므로 구하는 점 [eqn: rmP]의 개수는 [eqn: 2+2 TIMES LEFT ( 6n-1 RIGHT ) =12n`]이므로

[eqn: a _{n} =12n]

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} a _{k}}]=[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` LEFT { {1} over {n ^{2}} TIMES {12n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} RIGHT }} =6]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 29

자연수 [eqn: n`]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: rm P _{it n rm} LEFT ( it 2n,``4n ^{2} RIGHT ) `]에서의 접선과 수직이고 점 [eqn: rm Q _{it n rm} it LEFT ( 0,``2n ^{2} RIGHT )]을 지나는 직선을 [eqn: l _{n} `]이라 하자. 점 [eqn: rm P _{it n rm}`]을 지나고 점 [eqn: rm Q _{it n rm} `]에서 직선 [eqn: l _{n} `]과 접하는 원을 [eqn: C _{n} `]이라 할 때, 원점을 지나고 원 [eqn: C _{n} `]의 넓이를 이등분하는 직선의 기울기를 [eqn: a _{`n} `]이라 하자. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{`n}} over {n}} `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 12]

[해설]

점 [eqn: rm`Q _{itn`}]을 지나고 직선 [eqn: l _{n} `]에 수직인 직선을 [eqn: m_n `]이라 하면 원 [eqn: C_n `]의 중심은 직선 [eqn: m_n] 위에 존재한다. 직선 [eqn: m_n`]은 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: rmP_{it n}`]에서의 접선과 평행하고 [eqn: y'=2x`]이므로 직선 [eqn: m_n `]의 기울기는 [eqn: 4n`]이다. 직선 [eqn: m_n`]이 점 [eqn: rmQ_{it n}`]을 지나므로 직선 [eqn: m_n`]의 방정식은

[eqn: y= it 4nx+2n ^{2}]

선분 [eqn: rm P _{it n rm} Q_{itn }]의 수직이등분선을 [eqn: k_n`]이라 하면 원 [eqn: C _{n} `]의 중심은 직선 [eqn: k_n] 위에 존재한다.
직선 [eqn: rm P _{it n rm} Q _{it n rm} `]의 기울기는 [eqn: n`], 선분 [eqn: rm P _{it n rm} Q_{itn }]의 중점의 좌표는 [eqn: LEFT ( n,``3n ^{2} RIGHT )`]이므로 직선 [eqn: k_n]의 방정식은

[eqn: y= it - {1} over {n} LEFT ( x-n RIGHT ) +3n ^{2} `]
[eqn: y= it - {1} over {n} x +3n ^{2} +1`]

원 [eqn: C _{n} `]의 중심은 두 직선 [eqn: m _{n}], [eqn: k _{n} `]의 교점이므로 원 [eqn: C_n `]의 중심의 좌표를 [eqn: LEFT ( x _{n} ,``y _{n} RIGHT ) `]이라 하면

[eqn: 4nx _{n} +2n ^{2} = it - {1} over {n} x _{n} +3n ^{2} +1`]에서

[eqn: LEFT ( 4n+ {1} over {n} RIGHT ) x _{n} =n ^{2} +1]

[eqn: x _{n} = {n ^{3} +n} over {4n ^{2} +1}]
[eqn: y _{n} = 4n times {n ^{3} +n } over {4n ^{2} +1} +2n ^{2} `= {12n ^{4} +6n ^{2}} over {4n^2 +1}]

원점을 지나고 원 [eqn: C _{n} `]의 넓이를 이등분하는 직선은 이 원의 중심을 지나야 하므로
[eqn: a _{n} = {y _{n}} over {x _{n}} = {12n ^{4} +6n ^{2}} over {n ^{3} +n} `][eqn: = {12n^3 +6n}over{n^2 +1}]

따라서
[eqn: lim _{n` -> INF } {{a _{n}} over {n} =} lim _{n` -> INF } {{12n^2 +6} over {n ^{2} +1}} =12`]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 30

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선

[정답] [eqn: 80]

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it _{n}]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하면 [eqn: y]좌표는 [eqn: { sqrt{3}} over {n+1} t^{2}]

[eqn: overline{{rm{OP}} it _{n}}=2 n+2]이므로 [eqn: sqrt{t^{2}+ left({ sqrt{3}} over {n+1} t^{2} right)^{2}}=2 n+2]에서

[eqn: t=n+1]

직각삼각형 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{OH}} it _{n}]에서 [eqn: overline{{rm{OH}} it _{n}}: overline{{rm{P}} it _{n} {rm{H}} it _{n}}=1: sqrt{3}]이므로 [eqn: tan left( angle {rm{P}} it _{n} {rm{OH}} it _{n} right)= sqrt{3}]즉 [eqn: angle {rm{P}} it _{n} {rm{OH}} it _{n}={ pi} over {3}]

[eqn: angle {rm{R}} it _{n} {rm{P}} it _{n} {rm{H}} it _{n}=2 times angle {rm{OP}} it _{n} {rm{H}} it _{n}=2 times { pi} over {6}={ pi} over {3}]

점 [eqn: {rm{R}} it _{n}]을 포함하지 않는 호 [eqn: {rm{Q}} it _{n} {rm{H}} it _{n}]과 선분 [eqn: {rm{OH}} it _{n}], 곡선 [eqn: T_{n}]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: h(n)]이라 하자.

(i) 곡선 [eqn: T_{n}]과 [eqn: x]축 및 선분 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{H}} it _{n}]으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: f(n)+h(n)]이므로

[eqn: f(n)+h(n)][eqn: = int_{0}^{n+1} { sqrt{3}} over {n+1} x^{2} d x]
[eqn: = left[ pile{it #it} { sqrt{3}} over {3(n+1)} x^{3} right]_{0}^{n+1}]
[eqn: ={ sqrt{3}} over {3}(n+1)^{2} cdots cdots] ㉠

(ii) 점 [eqn: {rm{Q}} it _{n}]을 포함하는 호 [eqn: {rm{R}} it _{n} {rm{H}} it _{n}]과 두 선분 [eqn: {rm{OR}} it _{n}], [eqn: {rm{OH}} it _{n}]으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: g(n)+h(n)]이고, 이 값은 사각형 [eqn: {rm{OH}} it _{n} {rm{P}} it _{n} {rm{R}} it _{n}]의 넓이에서 중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {3}]인 부채꼴 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{R}} it _{n} {rm{H}} it _{n}]의 넓이를 뺀 값과 같으므로

[eqn: g(n)+h(n)][eqn: =2 times left({1} over {2} times overline{{rm{OH}} it _{n}} times overline{{rm{P}} it _{n} {rm{H}} it _{n}} right)-{1} over {2} times{ overline{{rm{P}} it _{n} {rm{H}} it _{n}}}^{2} times { pi} over {3}]
[eqn: = sqrt{3}(n+1)^{2}-{ pi(n+1)^{2}} over {2}]
[eqn: = left( sqrt{3}-{ pi} over {2} right)(n+1)^{2} cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: f(n)-g(n)= left({ pi} over {2}-{2 sqrt{3}} over {3} right)(n+1)^{2}]이므로

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {f(n)-g(n)} over {n^{2}}= lim _{n ``rarrow`` inf } { left({ pi} over {2}-{2 sqrt{3}} over {3} right)(n+1)^{2}} over {n^{2}}]

[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } left({ pi} over {2}-{2 sqrt{3}} over {3} right) left(1+{1} over {n} right)^{2}]

[eqn: ={ pi} over {2}-{2 sqrt{3}} over {3}]

그러므로 [eqn: k=-{2 sqrt{3}} over {3}]

따라서 [eqn: 60 k^{2}=60 times left(-{2 sqrt{3}} over {3} right)^{2}=80]

[eqn: T_{n}: y={ sqrt{3}} over {n+1} x^{2}(x geq 0)]

위에 있고 원점 [eqn: {rm{O}} it]와의 거리가 [eqn: 2 n+2]인 점을 [eqn: {rm{P}} it _{n}]이라 하고, 점 [eqn: {rm{P}} it _{n}]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it _{n}]이라 하자.

중심이 [eqn: {rm{P}} it _{n}]이고 점 [eqn: {rm{H}} it _{n}]을 지나는 원을 [eqn: C_{n}]이라 할 때, 곡선 [eqn: T_{n}]과 원 [eqn: C_{n}]의 교점 중 원점에 가까운 점을 [eqn: {rm{Q}} it _{n}], 원점에서 원 [eqn: C_{n}]에 그은 두 접선의 접점 중 [eqn: {rm{H}} it _{n}]이 아닌 점을 [eqn: {rm{R}} it _{n}]이라 하자.

점 [eqn: {rm{R}} it _{n}]을 포함하지 않는 호 [eqn: {rm{Q}} it _{n} {rm{H}} it _{n}]과 선분 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{H}} it _{n}], 곡선 [eqn: T_{n}]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: f(n)], 점 [eqn: {rm{H}} it _{n}]을 포함하지 않는 호 [eqn: {rm{R}} it _{n} {rm{Q}} it _{n}]과 선분 [eqn: {rm{OR}} it _{n}], 곡선 [eqn: T_{n}]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {f(n)-g(n)} over {n^{2}}={ pi} over {2}+k]이다. [eqn: 60 k^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

06 미적	01 수열의 극한
03 수열의 극한의 활용
05 수열의 극한의 활용5 (도형)

[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 03월 25
[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 03월 25

그림과 같이 자연수 [eqn: n`]에 대하여 가로의 길이가 [eqn: n], 세로의 길이가 [eqn: 48`]인 직사각형 [eqn: rm OAB it rm _{n} rm C it rm _{n} `]이 있다. 대각선 [eqn: rm AC it rm _{n} `]과 선분 [eqn: rm B it rm _{1} rm C it rm _{1} `]의 교점을 [eqn: rm D it rm _{n} `]이라 한다.

[정답] [eqn: 24]

[해설]

[eqn: bar{rm `AC it _{n}} ````-`` bar{rm `OC it _{n}} `````=`` sqrt {n ^{2} `+`48 ^{2} ``} ``-``n``],

[eqn: bar{{\ B} _{1} {\ D}_{n}} ``= {4 8} over {n} ``]이므로

[eqn: rm lim _{n -> INF } {} {bar{{\ AC} _{n}} ````-`` bar{{\ OC} _{n}} ``} over {bar{{\ B} _{1} {\ D} _{n}} ``} ``][eqn: = lim _{n -> INF } {} {sqrt {n ^{2} `+`48 ^{2}} ``-``n``} over {{48} over {n}} ``]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {( sqrt {n ^{2} `+`48 ^{2}} ``-``n``)( sqrt {n ^{2} `+`48 ^{2}} ``+``n`)} over {{48} over {n} ( sqrt {n ^{2} `+`48 ^{2}} ``+``n``)``} ``]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {48 ^{2}} over {48( sqrt {1`+` {48 ^{2}} over {n ^{2}}} `````+``1```)``} ``= {48} over {2} =24``]

이 때, [eqn: lim _{n `-> ` INF } {{bar{{rmAC} _{n} } - bar{{rmOC} _{n} } }over {bar{{rmB _{1} D _{itn} }}} `]의 값을 구하시오

[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 10월 16
[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 16

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정삼각형의 내부에 크기가 같은 원들이 첫째 행부터 차례로 한 개, 두 개, 세 개,[eqn: `CDOTS `], [eqn: n`]개가 배열되어 있다. 이 원들은 서로 외접하고, 가장자리의 원들은 삼각형의 각 변에 접한다.

[정답] ⑤

[해설]

한 원의 반지름의 길이를 [eqn: r _{n}]이라 하면

[eqn: 2(n-1)r _{n} +2 sqrt {3} `r _{n} `=2``] ∴ [eqn: r _{n} = {1} over {(n-1)+ sqrt {3} ``}]

또, 원의 총 개수는

[eqn: 1+2+3+…+n= {n(n+1)} over {2} `]이므로 원의 총 넓이는

[eqn: S _{n} = {n(n+1)} over {2} `․`( pi `r _{n} ^{2} )``][eqn: = {n(n+1)` pi } over {2((n-1)+ sqrt {3} `) ^{2}} ``]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}} = {pi } over {2} ` lim _{n -> INF } {{1`․ LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT )} over {LEFT ( 1+ {-1+ sqrt {3}} over {n} RIGHT ) ^{2}} ``}][eqn: = {pi} over {2} ``]

자연수 [eqn: n`]의 값이 한없이 커질 때, 이 원들의 넓이의 합은 어떤 값에 한없이 가까워지는가?

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: {pi} over {3}]

④ [eqn: {2} over {5} pi]	⑤ [eqn: {pi} over {2}]

[출처]	2007 모의_공공 사관학교 고3 07월 21
[출처]	2007 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 25], 모선의 길이가 [eqn: 100`]인 원뿔이 있다. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 그림과 같이 모선 [eqn: bar{rmAB} `]를 [eqn: n`]등분한 점 중 꼭지점 [eqn: rmA`]에 가까운 점부터 차례로 [eqn: {rm P_1], [eqn: rmP_2], [eqn: rmP_3],[eqn: `CDOTS `], [eqn: rmP}_n-1 `]이라 하고, 점 [eqn: rmB`]를 [eqn: {rm P}_n `]이라 하자.
또, 점 [eqn: {rm P}_k][eqn: LEFT ( k=1,~2,~3,` CDOTS `,~n RIGHT ) `]에서 원뿔의 옆면을 한 바퀴 돌아서 점 [eqn: {rm P}_k`]로 되돌아오는 최단 경로의 길이를 [eqn: l_k`]라 할 때, [eqn: S`_n= sum _{k=1} ^{n} l _{k} `]라 하자. 이 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{S` _{n}} over {n}} `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

주어진 그림의 전개도에서 [eqn: l_k =bar {P_k P_k '} =][eqn: 100sqrt2 cdot k overn]

[eqn: therefore sum_k=1^n l_k = {100sqrt2} over n cdot n(n+1) over2 = 50sqrt2 (n+1)]

[eqn: therefore lim_n->inf { S_n over n `}=lim_n->inf{{50sqrt2 (n+1) }overn = 50sqrt2]

① [eqn: 50root2]	② [eqn: 75root2]	③ [eqn: 100root2]

④ [eqn: 125 root2]	⑤ [eqn: 150root2]

[출처]	2007 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 17
[출처]	2007 모의_공공 평가원 고3 06월 17

한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형과 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. [그림 [eqn: 1`]]과 같이 정사각형 둘레를 따라 시계 방향으로 정삼각형 [eqn: rmABC`]를 회전시킨다. 정삼각형 [eqn: rm ABC`]가 처음 위치에서 출발한 후 정사각형 둘레를 [eqn: n`]바퀴 도는 동안, 변 [eqn: rm BC`]가 정사각형의 변 위에 놓이는 횟수를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. 예를 들어 [eqn: n=1`]일 때, [그림 [eqn: 2`]]와 같이 변 [eqn: rm BC`]가 [eqn: 2`]회 놓이므로 [eqn: a _{1} =2`]이다. 이 때, [eqn: lim _{n`->` INF } {{a _{3n-2}} over {n}}`]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[그림1]의 점 [eqn: rm B]를 수직선의 원점으로 생각하고 삼각형 [eqn: rm ABC]가 회전하면서 수직선 위를 움직인다고 생각하자.

변 BC가 수직선 위에 놓이는 순간의 점 B의 좌표를 차례로 나열하면 3, 6, 9, 12, ⋯

그런데, 정사각형의 둘레의 길이는 8이므로 정삼각형이 정사각형의 둘레를 [eqn: 3n-2] 바퀴 도는 동안 수직선 위를 움직인 거리는 [eqn: 8(3n-2)][eqn: =][eqn: 24n - 16]

이 때, 변 BC가 정사각형의 변 위에 놓이는 횟수는 수직선 위의 [eqn: 0<x< 24n - 16]인 범위에서 [eqn: x]좌표가 [eqn: 3]의 배수인 점의 개수와 같다. ∴ [eqn: a_3n-2`][eqn: = left[ 24n-16 over 3 right]][eqn: =8n-6]

∴ [eqn: lim_n->inf a_3n-2 over n][eqn: =lim_n->inf 8n-6 over n = 8]

[그림 [eqn: 1]]	[그림 [eqn: 2]]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 04월 30

[그림 [eqn: 1`]]과 같이 한 개의 넓이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: 5`] 개로 이루어진

모양의 도형에서 네 꼭짓점을 연결하여 만든 정사각형의 넓이를 [eqn: S` _{1} `]이라 하자. [그림 [eqn: 2`]]와 같이 [그림 [eqn: 1`]]의

모양의 도형에 한 개의 넓이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: 4`]개를 붙여 만든

모양의 도형에서 네 꼭짓점을 연결하여 만든 정사각형의 넓이를 [eqn: S` _{2} `]라 하자. [그림 [eqn: 3`]]과 같이 [그림 [eqn: 2`]]의

모양의 도형에 한 개의 넓이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: 4`]개를 붙여 만든

모양의 도형에서 네 꼭짓점을 연결하여 만든 정사각형의 넓이를 [eqn: S` _{3} `]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻어진

모양의 도형에서 네 꼭짓점을 연결하여 만든 정사각형의 넓이를 [eqn: S` _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` ->` inf} {{10S` _{n}} over {n ^{2}}} `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 20]

[해설]

[eqn: S _{n} =2n(n+1)+1=2n ^{2} +2n+1]

∴ [eqn: lim _{n-> INF } {{10S _{n}} over {n ^{2}} = lim _{n-> INF } {{10(2n ^{2} +2n+1)} over {n ^{2}}} =20}]

[그림 1]    [그림 2]         [그림3]

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 07월 30

그림과 같이 길이가 [eqn: 1`]인 성냥개비를 이용하여 가로의 길이가 [eqn: n], 세로의 길이가 [eqn: 1], 높이가 [eqn: n`]인 직육면체 모양의 [eqn: {rmA}_{n} `]을 계속 만들자.

[정답] [eqn: 10]

[해설]

[eqn: left{`a _{n}`right} `:` 12`,```33`,```64`,` CDOTS`]

따라서 [eqn: a_n = 12+ {(n-1)left{42+(n-2)10right} }over 2 #``````````=(n+1)(5n+1)]

[eqn: b _{n`} `=2n^2 + 4n = `2n(n+2)] 이므로 [eqn: THEREFORE~ lim _{ n->inf} { { a_n b_n} over {n^4 } }=10]

직육면체 모양의 [eqn: rm A _{itn} `]을 만드는데 필요한 성냥개비의 개수와 겉넓이를 각각 [eqn: a _{n}], [eqn: b _{n}`]이라 할 때, [eqn: lim _{n` ->` INF } { {a _{n}b _{n}} over n^4}`]의 값을 구하시오. (단, 성냥개비의 두께는 무시한다.)

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 07월 30

그림과 같이 넓이가 [eqn: M``]인 삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다. 자연수 [eqn: n`]과 선분 [eqn: rm AC]위의 두 점 [eqn: rmD], [eqn: rmE`]에 대하여 [eqn: rm bar{AD} `:` bar{DE} `:` bar{EC}][eqn: =n`: `LEFT ( 2n+1 RIGHT )` : `LEFT ( 3n+2 RIGHT ) `]이고 [eqn: rm bar{DF} // bar{AB}], [eqn: rm bar{G E} // bar{BC} `]이다. 선분 [eqn: rm DF`]와 선분 [eqn: rm G E`]의 교점을 지나는 선분 [eqn: rm HI`]는 선분 [eqn: rm AC`]와 평행하다. 어두운 부분의 넓이의 합을 [eqn: S` _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` ->` INF } {S` _{n}} = {q} over {p} M``]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 25]

[해설]

[eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n`}][eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT . LEFT { {n ^{2} M} over {(6n+3) ^{2}} + {(2n+1) ^{2} M`} over {(6n+3) ^{2}} + {(3n+2) ^{2} M} over {(6n+3) ^{2}} ` RIGHT . RIGHT }}]

[eqn: = {7} over {18} `M`][eqn: therefore`````][eqn: p+q`=`25]

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고2 09월 18

밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 4], 높이가 [eqn: 10`]인 직원기둥이 있다. 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]는 서로 다른 두 밑면의 원주 위에 있고, 선분 [eqn: rm AB `]의 길이는 직원기둥의 높이와 같다. 그림과 같이 점 [eqn: rm A`]에서 시작하여 직원기둥의 옆면을 한 바퀴 돌아 점 [eqn: rm B`]까지 최단거리의 선을 그을 때 그 선의 길이를 [eqn: a _{1}], 두 바퀴 돌아 최단거리의 선을 그을 때 그 선의 길이를 [eqn: a _{2}],[eqn: `CDOTS `], [eqn: n`]바퀴 돌아 최단거리의 선을 그을 때 그 선의 길이를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. 이때, [eqn: lim _{n `->` INF } {{a _{n}} over {n}} `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

다음은 직원기둥의 옆면의 전개도에서 최단거리의 선을 나타낸 것이다.

[eqn: a _{1} = sqrt {64 pi ^{2} +10 ^{2}}]

[eqn: a _{2} =2 TIMES sqrt {64 pi ^{2} + LEFT ( {10} over {2} RIGHT ) ^{2}}]

⋮

같은 방법으로 [eqn: a _{n} =n TIMES sqrt {64 pi ^{2} + LEFT ( {10} over {n} RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {n}} = lim _{n` -> ` INF } {sqrt {64 pi ^{2} + LEFT ( {10} over {n}`RIGHT ) ^{2}}} =8 pi]

① [eqn: 8pi]	② [eqn: 7pi]	③ [eqn: 6pi]

④ [eqn: 5pi]	⑤ [eqn: 4pi]

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고2 09월 21

그림과 같이 [eqn: ANGLE rmA=90 DEG `]인 직각이등변삼각형 [eqn: rm AB _{0} C _{0} `]이 있다. 선분 [eqn: rm B _{0} C _{0}] 위에 꼭짓점 [eqn: rm P _{1} `]이 있고, 각 [eqn: rm A`]를 낀 두 변에 두 꼭짓점 [eqn: rm B _{1}], [eqn: rm C _{1} `]이 있는 직사각형 [eqn: rmAB _{1} P _{1} C _{1} `]을 [eqn: rm bar{P _{1} B _{1}} : bar{P _{1} C _{1}} =1:1`]이 되도록 그린다. 선분 [eqn: rm B _{1} C _{1}] 위에 꼭짓점 [eqn: rm P _{2} `]가 있고, 각 [eqn: rm A`]를 낀 두 변에 두 꼭짓점 [eqn: rm B _{2}], [eqn: rm C _{2} `]가 있는 직사각형 [eqn: rm AB _{2} P _{2} C _{2} `]를 [eqn: rm bar{P _{2} B _{2}} : bar{P _{2} C _{2}} =1:2`]가 되도록 그린다. 이와 같은 방법으로 선분 [eqn: rm B _{it n-1 rm} C _{it n-1 rm}] 위에 꼭짓점 [eqn: rm P _{it n} `]이 있고, 각 [eqn: rm A`]를 낀 두 변에 두 꼭짓점 [eqn: rm B _{it n}], [eqn: rm C _{it n} `]이 있는 직사각형 [eqn: rm AB _{it n } P _{it n } C _{it n } `]을 [eqn: rm bar{P _{it n rm} B _{it n rm}} : bar{P _{it n rm} C _{it n rm}} =1: itn`]이 되도록 그린다. 선분 [eqn: rm P _{it n rm} B _{it n rm} `]의 길이를 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n `->` INF } {{a _{n+1}} over {a _{n}}} `]의 값은?
(단, 점 [eqn: rm B _{it n rm} `]은 선분 [eqn: rm AB _{0}] 위에 있다.)

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: TRIANGLE rm C _{itn}rm AB _{it n rm}]□[eqn: TRIANGLE rm P _{it n rm +1} B _{it n+1 rm} B _{it n rm} `]이므로

[eqn: ` bar{rm AB it rm _{n} rm } `:` bar{rm C it rm _{n} rmA rm } =` bar{rm B it rm _{n+1} rm B it rm _{n} it} `:` bar{rm P it rm _{n+1} rm B it rm _{n+1} it}]

[eqn: na _{n} `:`a _{n} ="{"na _{n} -(n+1)a _{n+1} "}":a _{n+1} `][eqn: LRARROW][eqn: na _{n} =(2n+1)`a _{n+1}]

[eqn: {a _{n+1}} over {a _{n}} = {n} over {2n+1} `][eqn: THEREFORE ``` lim _{n -> INF } {{a _{n+1}} over {a _{n}}} = {1} over {2} `]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 10월 28

한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 변 [eqn: rm BC] 위에 양 끝점이 아닌 한 점 [eqn: rm P_0 `]을 잡는다. 그림과 같이 [eqn: rm P_0 `]을 지나고 변 [eqn: rm AB`]와 평행한 직선을 그어 변 [eqn: rm AC`]와 만나는 점을 [eqn: rm P _{1}], 점 [eqn: rm P_1`]을 지나고 변 [eqn: rm BC`]와 평행한 직선을 그어 변 [eqn: rm AB `]와 만나는 점을 [eqn: rm P _{2}], 점 [eqn: rm P_2`]를 지나고 변 [eqn: rm AC`]와 평행한 직선을 그어 변 [eqn: rm BC`]와 만나는 점을 [eqn: rm P_3`]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 점을 [eqn: rm P _{it n}`]이라 하고, 점 [eqn: rm P_0`]을 출발하여 점 [eqn: rm P_{it n} `]까지 이동한 거리 [eqn: l _{n} `]을

[정답] [eqn: 3]

[해설]

선분 [eqn: rmCP _{0}]의 길이를 [eqn: a`]([eqn: 0<a<1])이라 하면

[eqn: rmbar{P _{0} P _{1}} = bar{P _{2} P _{3}} `][eqn: rm= bar{P _{4} P _{5}} `][eqn: = ``CDOTS `][eqn: =a`]

[eqn: rmbar{P _{1} P _{2}} = bar{P _{3} P _{4}} `][eqn: rm= bar{P _{5} P _{6}} `][eqn: = ``CDOTS `][eqn: =1-`a]

이므로 [eqn: l _{2n} =`n`]이다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {l` _{2n}} over {2n+1} = lim _{n` -> ` INF }{n} over {2n+1} `][eqn: = {1} over {2} `] ∴ [eqn: a+b=3`]

[eqn: l _{n} = rmbar{P _{0} P _{1} it} + bar{P _{1} P _{2} it} + bar{P _{2} P _{3} it} +` CDOTS` + bar{P _{it n-1} P _{it n} it}]
[eqn: LEFT ( n=1,``2,``3,` CDOTS` RIGHT )]

이라 하자. [eqn: lim _{n` ->` INF } {{l _{2n}} over {2n+1}}= b over a`]일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a], [eqn: b`]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 06월

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형을 [도형 [eqn: 1]]이라 하자. [도형 [eqn: 1]]의 아랫변에 가로의 길이 [eqn: 4], 세로의 길이 [eqn: 2`]인 직사각형을 한 직선에 대해 대칭이 되도록 이어 붙여 만든 도형을 [도형 [eqn: 2]]라 하자. 이때 한 직선은 [도형 [eqn: 2]]의 가장 긴 변의 중점을 지난다. 이와 같은 방법으로 [eqn: 3`]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [도형 [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) `]]의 아랫변에 가로의 길이 [eqn: 2n], 세로의 길이 [eqn: 2`]인 직사각형을 이어 붙여 만든 도형을 [도형 [eqn: n]]이라 하자.

[정답] [eqn: 125]

[해설]

[도형 [eqn: n`]]을 포함하는 원들 중 가장 작은 원은 위의 그림과 같이 네 꼭짓점을 지나게 된다. 이 원의 반지름의 길이를 [eqn: r _{n} `]이라 하고, 원의 중심에서 도형의 윗변까지의 길이를 [eqn: x`]라 하면

[eqn: LEFT ( r _{n} RIGHT ) ^{2} =x ^{2} +1], [eqn: LEFT ( r _{n} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 2n-x RIGHT ) ^{2} +n ^{2}]

이다. 따라서 [eqn: x ^{2} +1][eqn: = LEFT ( 2n-x RIGHT ) ^{2} +n ^{2} `]이므로

[eqn: x= {5n ^{2} -1} over {4n} `]이다. 따라서

[eqn: LEFT ( r _{n} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( {5n ^{2} -1} over {4n} RIGHT ) ^{2} +1= {25n ^{4} +6n ^{2} +1} over {16n ^{2}} `]이다.

그러므로

[eqn: a _{n} = pi LEFT ( r _{n} RIGHT ) ^{2} =][eqn: {25n ^{4} +6n ^{2} +1} over {16n ^{2}} pi `]이다.

[eqn: THEREFORE lim _{n-> INF } {{80a _{n}} over {pi n ^{2}} `} = lim _{n->INF } {{125n ^{4} +30n ^{2} +5} over {n ^{4}} =125}]

[다른 풀이]

[도형 [eqn: n]]을 포함하는 원들 중 가장 작은 원은 위의 그림처럼 네 점을 지나게 된다. 이 원의 방정식을 [eqn: x ^{2} + LEFT ( y-k _{n} RIGHT ) ^{2} =r _{n} ^{2} ``]이라 하자. 이 원은 [eqn: LEFT ( n,``0 RIGHT ) `]과 [eqn: LEFT ( 1,``2n RIGHT ) `]을 지나므로

[eqn: {cases{`n ^{2} + LEFT ( k _{n} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( r _{n} RIGHT ) ^{2}&#`1+ LEFT ( 2n-k _{n} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( r _{n} RIGHT ) ^{2}&}}]

이다. 따라서

[eqn: n ^{2} + LEFT ( k _{n} RIGHT ) ^{2} =1+ LEFT ( 2n-k _{n} RIGHT ) ^{2}]

이므로 [eqn: k _{n} = {3n ^{2} +1} over {4n} `]이다. 따라서

[eqn: LEFT ( r _{n} RIGHT ) ^{2} =n ^{2} + LEFT ( {3n ^{2} +1} over {4n} RIGHT ) ^{2}][eqn: = {25n ^{4} +6n ^{2} +1} over {16n ^{2}} `]이다.

그러므로 [eqn: a _{n} = pi LEFT ( r _{n} RIGHT ) ^{2} =][eqn: {25n ^{4} +6n ^{2} +1} over {16n ^{2}} pi `]이다.

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {{80a _{n}} over {pi n ^{2}} `} = lim _{n-> INF } {{125n ^{4} +30n ^{2} +5} over {n ^{4}} =125}]

		[eqn: CDOTS]
[도형 1]	[도형 2]	[eqn: CDOTS]	[도형 [eqn: n]]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [도형 [eqn: n]]을 포함하는 원들 중 가장 작은 원의 넓이를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. [eqn: lim _{n` ->` INF } {{80a _{n}} over {pi n ^{2}}} `]의 값을 구하시오.

06 미적	01 수열의 극한
03 수열의 극한의 활용
06 수열의 극한의 활용6 (격자점)

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 17
[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 10월 17

다음과 같이 좌표평면 위에 단계별로 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 음이 아닌 정수인 점을 표시한다. [[eqn: 1]단계]에서는 원점과 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표의 합이 [eqn: 1`]인 점들을 표시하고, [[eqn: 2]단계]에서는 [[eqn: 1]단계]의 점에 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표의 합이 [eqn: 2`]인 점들을 추가로 표시한다. 이와 같은 방법으로 [[eqn: n`]단계]에서는 [[eqn: n-1`]단계]의 점에 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표의 합이 [eqn: n][eqn: LEFT ( n=2,``3,``4,`cdots` RIGHT )]인 점들을 추가로 표시한다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: a _{n} =1+2+3+4+ CDOTS +(n+1)= {(n+1)(n+2)} over {2}]

[eqn: a _{2n} = {(2n+1)(2n+2)} over {2} =(2n+1)(n +1)]

[eqn: b_2n = b_2n+1 =(n+1)^2]

∴[eqn: lim _{ n->inf} {a_2n over b_2n }= lim _{ n->inf} { {(2n+1)(n+1)}over{(n+1)^2}}=2]

[[eqn: 1]단계]	[[eqn: 2]단계]
[[eqn: 3]단계]	[[eqn: 4]단계]
[eqn: VDOTS]

이 때, [[eqn: n`]단계]에 있는 모든 점의 개수를 [eqn: a _{n}], [[eqn: n`]단계]에 있는 점들을 꼭짓점으로 하는 정사각형 중에서 원점을 한 꼭짓점으로 하고 넓이가 최대인 정사각형의 내부 및 둘레에 있는 모든 점의 개수를 [eqn: b _{n}`]이라 하자. 예를 들어 [eqn: a _{4} =15], [eqn: b _{4} =9`]이다. [eqn: lim _{n `->` INF } {{a _{2n}} over {b _{2n}}} `]의 값은?

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: 1]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 11월 19

그림과 같이 [eqn: 1] 보다 큰 자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 원

[정답] ①

[해설]

각 점의 좌표는 그림과 같다.

[eqn: rm A _{it n rm} LEFT ( it 2n ,```` 0 RIGHT )], [eqn: rm B _{it n} LEFT ( it n ,```` n RIGHT )], [eqn: rm C _{it n} LEFT ( it n ,```` -n RIGHT )],

[eqn: rm D _{it n} LEFT ( it -n+1 ,```` n-1 RIGHT )], [eqn: rm E _{it n} LEFT ( it -n+1 ,```` -n+1 RIGHT )],

[eqn: rm F _{it n} LEFT ( it n-1 ,```` -n+1 RIGHT )], [eqn: rm G _{it n} LEFT ( it n-1 ,```` n-1 RIGHT )]

오각형 [eqn: rm A _{it n rm} B _{it n rm} D _{it n rm} E _{it n rm} C _{it n rm}]에서 삼각형 [eqn: RM A_{itn} B_{itn} C_{itn}]의 둘레 및 내부에 있는 점 중에서 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점들의 개수는

[eqn: 1+3+ cdots + LEFT ( 2n+1 RIGHT ) = LEFT ( n+1 RIGHT )^2]

변 [eqn: rmD_{itn} E_{itn}] 위의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점들의 개수는 [eqn: 2n-1]이므로 정사각형 [eqn: RM E_{itn} F_{itn} G_{itn} D_{itn}]의 둘레 및 내부에 있는 점 중에서 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점들의 개수는

[eqn: LEFT ( 2n-1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: a _{n} = LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2n-1 RIGHT ) ^{2} =5n ^{2} -2n+2]

[eqn: lim _{n ``->`` INF } {LEFT ( sqrt {5} n- sqrt {a _{n}} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {LEFT ( sqrt {5} n- sqrt {5n ^{2} -2n+2} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {{2n-2} over {sqrt {5} n+ sqrt {5n ^{2} -2n+2}}}]

[eqn: = {sqrt {5}} over {5}]

[eqn: O` _{1} `:` LEFT ( x-n RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =n ^{2}], [eqn: O` _{2} `:`x ^{2} +y ^{2} =2 LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2}]

과 점 [eqn: rm A _{it n rm} LEFT ( 2 it n,``0 RIGHT ) `]이 있다. 원 [eqn: O` _{1} `]과 직선 [eqn: x=n`]이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm B _{it n}], [eqn: rm C _{it n}], 원 [eqn: O` _{2} `]와 직선 [eqn: x=`-n+1`]이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm D _{it n}], [eqn: rm E _{it n rm} `]이라 하자. 오각형 [eqn: rm A _{it n rm} B _{it n rm} D _{it n rm} E _{it n rm} C _{it n rm} `]의 둘레 및 내부에 있는 점 중에서 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 정수인 점들의 개수를 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n `-> ` INF } {LEFT ( sqrt {5} n- sqrt {a _{n}} RIGHT )} `]의 값은?

① [eqn: {sqrt {5}} over {5}]	② [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]	③ [eqn: { 3sqrt5} over { 5}]

④ [eqn: {4 sqrt {5}} over {5}]	⑤ [eqn: sqrt5]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 03월 18

좌표평면에서 자연수 [eqn: n`]에 대하여 곡선 [eqn: y= LEFT ( x-2n RIGHT ) ^{2} `]이 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm P _{ITn}], [eqn: rm Q it rm _{n} `]이라 하자. 두 점 [eqn: rmP _{itn}], [eqn: rm Q _{it n rm} `]을 지나는 직선과 곡선 [eqn: y= LEFT ( x-2n RIGHT ) ^{2} `]으로 둘러싸인 영역(경계선 포함)에 속하고 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 자연수인 점의 개수를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. 다음은 [eqn: lim _{n `-> ` INF } {{a _{n}} over {n ^{3}}} `]의 값을 구하는 과정이다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: {rmP}_n`][eqn: (2n,``0)`], [eqn: {rmQ}_n`][eqn: (0,`` 4n^2 )`]이므로 직선 [eqn: {rmP}_n {rmQ}_n`]의 기울기는

[eqn: {0 - 4n^{`2}} over {2n-0}][eqn: = -4n^{`2} over 2n]
[eqn: = it -2n]이고

[eqn: y`]절편은 [eqn: 4n^{`2}`]이므로

직선 [eqn: {rmP}_n {rmQ}_n`]의 방정식은 [eqn: y= {BOX{~-2n~}} ` TIMES `x+4n ^{2}]

[eqn: x`]좌표가 [eqn: k`]([eqn: k`]는 [eqn: 2n-1] 이하의 자연수)일 때 영역에 속하는 점의

[eqn: y`]좌표는 [eqn: (k-2n)^2`]부터 [eqn: {BOX{~-2n~}} ` TIMES k+4n ^{2} `]까지이므로 그 개수는

[eqn: {BOX{~-2n~}} ``{times}k+4n ^{2}][eqn: -(k-2n) ^{2} +1][eqn: = {BOX{~-k ^{2} +1``~}} `+2nk]

[eqn: a _{n}][eqn: = sum _{k=1} ^{2n-1} LEFT ( ` {BOX{~`-k ^{2} +1``~}} `+2nk` RIGHT )]
[eqn: = it - {(2n-1) TIMES 2n TIMES (4n-1)} over {6} +(2n-1)][eqn: +2n TIMES {(2n-1) TIMES 2n} over {2} `]

[eqn: = it - {n LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT ( 4n-1 RIGHT )} over {3} + LEFT ( 2n-1 RIGHT ) +2n ^{2} LEFT ( 2n-1 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 2n-1 RIGHT ) `left{2n ^{2} - {n LEFT ( 4n-1 RIGHT )} over {3} +1right}]
[eqn: = LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT ( {2} over {3} n ^{2} + {n} over {3} +1 RIGHT )]

그러므로

[eqn: lim _{n`->`inf} {} {a _{n}} over {n ^{3}}][eqn: = lim _{n`->`inf} {} {LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT ( {2} over {3} n ^{2} + {n} over {3} +1 RIGHT )} over {n ^{3}}][eqn: =` {BOX{~`` {4} over {3} `~}} `]

[eqn: f(n)= it -2n`], [eqn: g(k)= it -k^2 +1`], [eqn: p= 4 over 3`]이고

[eqn: f(3)= it -6`], [eqn: g(4)= it -15]

따라서

[eqn: p TIMES f(3) TIMES g(4)][eqn: = {4} over {3} TIMES (-6) TIMES (-15)]
[eqn: =120]

두 점 [eqn: rmP _{itn}], [eqn: rm Q _{it n rm} `]을 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y= BOX{~~ LEFT (가 RIGHT )~~} `` TIMES x+4n ^{2}`]이다. 주어진 영역에 속하는 점 중에서 [eqn: x`]좌표가 [eqn: k] ([eqn: k`]는 [eqn: 2n-1`]이하의 자연수)이고 [eqn: y`]좌표가 자연수인 점의 개수는 [eqn: BOX{~~ LEFT (나 RIGHT ) ~~ } ``+2nk`]이므로 [eqn: a _{`n}][eqn: = sum _{k=1} ^{2n-1} LEFT ( {BOX{~~ LEFT (나 RIGHT )~~}}`` +2nk RIGHT )`]이다.

따라서 [eqn: lim _{n-> INF } { {a _{n}} over {n ^{3}} = {BOX{~~ LEFT (다 RIGHT ) ~~}} `]이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )], [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) `]라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: p`]라 할 때, [eqn: p TIMES f LEFT ( 3 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 4 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 100]	② [eqn: 105]	③ [eqn: 110]

④ [eqn: 115]	⑤ [eqn: 120]

06 미적	01 수열의 극한
03 수열의 극한의 활용
07 등비수열의 극한의 활용1 (대수 또는 방부등식)

[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 03월 16
[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 03월 16

어느 강 상류와 하류에 각각 위치한 [eqn: 1`]호 댐과 [eqn: 2`]호 댐이 있다. 강 상류의 [eqn: 1`]호 댐으로부터 [eqn: 2`]호 댐으로 매일 [eqn: 100`]만톤의 물이 유입되고, 정오에 [eqn: 2`]호 댐의 저수량을 측정한다. 정오부터는 측정된 저수량의 [eqn: 2``%`]를 농업용수와 생활용수 등을 위하여 강 하류로 방류한다고 한다. 매일 이와 같은 과정이 한없이 반복된다고 할 때, 정오에 측정되는 [eqn: 2`]호 댐의 저수량은 어떤 값에 한없이 가까워지는가?
(단, 방류는 그날 중으로 이루어지고 자연 증발 및 기타 유실량은 무시한다.)

[정답] ④

[해설]

[eqn: n`]일 후 정오에 측정한 [eqn: 2`]호 댐의 저수량을 [eqn: x _{n} `](만톤)이라 하면 [eqn: x _{n} `` TIMES ``0.98+100=x _{n+1} ``]

[eqn: (x _{n+1} `-5000`)`=0.98``(x _{n} `-5000`)``]

[eqn: THEREFORE ~x _{n} -`5000=(x _{1} -`5000`)0.98 ^{n-1} ``]

[eqn: lim _{n -> INF } {x _{n}} =5000+ lim _{n -> INF } {} (x _{1} -5000)0.98 ^{n-1} ``=5000``]

따라서, 측정되는 저수량은 [eqn: 5000`]만톤에 한없이 가까워진다.

① [eqn: 4400`]만톤	② [eqn: 4600`]만톤	③ [eqn: 4800`]만톤

④ [eqn: 5000`]만톤	⑤ [eqn: 5200`]만톤

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 03월 25
[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 03월 25

[eqn: 2500``rmL`]의 물을 저장할 수 있는 물탱크에 현재 [eqn: 1200`` rm L`]의 물이 담겨 있다. 이 물탱크에 있는 물의 양의 [eqn: 12``%`]를 사용한 다음 [eqn: x ``rmL`]의 물을 넣는 시행을 한다. 이와 같은 시행을 [eqn: n`]번 반복한 후 물탱크에 남아 있는 물의 양을 [eqn: a_n``rmL`]라 하자. 부등식 [eqn: lim _{n `->` INF } { a _{n} le 2000}`]이 성립하도록 하는 [eqn: x`]의 최댓값을 구하시오.

[정답] [eqn: 240]

[해설]

[eqn: a _{n+1} =a _{n} TIMES 0.88+x`]이므로

[eqn: a _{n} =a _{n-1} TIMES 0.88+x`]

[eqn: =a _{n-2} TIMES 0.88 ^{2} +(1+0.88)x`]

[eqn: CDOTS]

[eqn: =1200 TIMES 0.88 ^{n} +(1+0.88+0.88 ^{2} + CDOTS +0.88 ^{n-1} )x``]

[eqn: =1200 TIMES 0.88 ^{n} + {1-0.88 ^{n}} over {1-0.88} x``]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n}][eqn: = lim _{n -> INF } {} LEFT ( 1200 TIMES 0.88 ^{n} + {1-0.88 ^{n}} over {0.12} x RIGHT )][eqn: = x over 0.12`]

[eqn: lim_n->inf a_n <=2000`]에서 [eqn: x over 0.12 <= 2000`] ∴ [eqn: x<=240]

따라서 구하는 [eqn: x`]의 최대값은 [eqn: 240`]이다.

[출처]	2010 모의_공공 경찰대 고3 07월 16

직각삼각형 [eqn: rm AP _{1} P _{2} `]는 [eqn: ANGLE rm AP _{1} P _{2} `]가 직각이고 [eqn: rm bar{AP _{1}} = bar{P _{1} P _{2}} =1`]이라 하자. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 직각삼각형 [eqn: rm AP _{it n rm} P _{it n+1 rm} `]을 [eqn: ANGLE rm AP _{it n rm} P _{it n+1 rm} `]이 직각이고 [eqn: rm bar{P _{it n rm} P _{it n+1 rm}} =2 bar{P _{it n-1 rm} P _{it n rm}}`]이 되도록 그린다. 이때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {rm bar{P _{it n } P _{it n+1 }} it} over {bar{rm AP _{it n } }} RIGHT ) ^{2} }`]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: bar{ rm P_1 P_2} =1]이고 [eqn: {bar{rm P_{ it n it}rm P_{ it n+1 }}} =2 {bar{rm P_{ it n-1 it}rm P_{ it n }}}]이므로 [eqn: {bar{rm P_{ it n it}rm P_{ it n+1 }}} =2 ^{n-1}]

[eqn: THEREFORE~ {bar{rm P_{ it n it}rm P_{ it n+1 }}} ^{2} =4 ^{n-1}]

[eqn: {bar{rm AP_{ it n+1 } it}} ^{2}][eqn: = {bar{rm AP_{ it n } it}} ^{2} + {bar{rm P_{ it n it}rm P_{ it n+1 }}} ^{2}]

[eqn: = {bar{rm AP_{ it n } it}} ^{2} +4 ^{n-1}]

[eqn: therefore```{bar{{rmAP}_n}}^2][eqn: = {bar{rm AP_{ it 1 } it}} ^{2} + sum _{k=1} ^{n-1} 4 ^{k-1}][eqn: = 1 + { 4^n-1 -1} over { 4-1}][eqn: = 4^n-1 over3 + 2 over3]

[eqn: THEREFORE~ lim _{n `->` INF } {} LEFT ( {{bar{rm P_{ it n it}rm P_{ it n+1 }}}} over {{bar{rm AP_{ it n } it}}} RIGHT ) ^{2}][eqn: = lim _{n `->` INF } {} {4 ^{n-1}} over {{4 ^{n-1}} over {3} + {2} over {3}}][eqn: =3]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2012 모의_공공 사관학교 고3 07월 29
[출처]	2012 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

다음과 같이 두 수 [eqn: 0`]과 [eqn: 1`]만을 사용하여 제 [eqn: n`]행에 [eqn: n`]자리의 자연수를 크기순으로 모두 나열해 나간다. [eqn: LEFT ( n=1,``2,``3,`cdots` RIGHT )]

[정답] [eqn: 379]

[해설]

[eqn: a_1 =1]

[eqn: a_2 = 2 times 10 +1]

[eqn: a_3 = 4 times10^2 +2 times (10+1)]

[eqn: a_4 = 8 times 10^3 + 4times (10^2 +10 +1)]

⋮

∴ [eqn: a_n][eqn: = 2^n-1 times 10^n-1 + 2^n-2 times LEFT ( 10^n-2 + 10^n-3 + cdots + 10+1 RIGHT )]

[eqn: = (20)^n-1 + 2^n-2 times {10^n-1 -1 } over { 10-1}]

[eqn: = 19 over18 (20)^n-1 - 1 over9 cdot 2^n-2]

∴ [eqn: lim_n->inf a_n over20^n][eqn: = lim_x->inf left{ 19 over360 - 1 over36 LEFT ( 1 over10 RIGHT )^n right}][eqn: = 19over360]

∴ [eqn: p=360], [eqn: q=19], [eqn: p+q=379]

[별해]

[eqn: cases{a_n =10cdots00+10cdots01+cdots+11cdots11 #a_n = 11cdots11+11cdots01+cdots+10cdots00}``]

에서 변끼리 더하면

[eqn: 2a_n = 21cdots11 times 2^n-1]

∴ [eqn: a_n = 21 cdots 11 times 2^n-2 =(2 times 10^n-1 +1cdots11) times 2^n-2]

[eqn: =20^n-1 + {10^n-1 -1} over 9 times 2^n-2]

[eqn: =20^n-1 + 20^n-1 over18 - 2^n-2 over 9``]

∴ [eqn: lim_n->inf `a_n over20^n = 1 over 20 + 1 over {20 cdot 18} = 19 over {360] 이므로 [eqn: 360+19`=379]

제[eqn: 1]행	[eqn: 1]
제[eqn: 2]행	[eqn: 10,~11]
제[eqn: 3]행	[eqn: 100,~101,~110,~111]
제[eqn: 4]행	[eqn: 1000,~1001,~1010,~1011,~1100,~1101,~1110,~1111]
[eqn: cdots]

제 [eqn: n`]행에 나열한 모든 수의 합을 [eqn: a _{n} `]이라 하자. 예를 들어, [eqn: a _{2} =21], [eqn: a _{3} =422`]이다. [eqn: lim _{n `-> ` INF } { {a _{n}} over {20 ^{n}} = {q} over {p}`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 06월 30

두 집합

[정답] [eqn: 25]

[해설]

[eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{2 ^{n-1}} M(2k)`=M(2)+M(4)+M(6)+ CDOTS +M(2 ^{n} )``]

이므로 [eqn: a _{n} `]은 집합 [eqn: B``]의 원소 중에서 집합 [eqn: A``]의 원소인

[eqn: 2,4,6,8, CDOTS ,2 ^{n} ``]에서 각각 가장 큰 약수를 찾아 합한 것과 같다.

그리고 [eqn: 2,4,6,8, CDOTS ,2 ^{n} ``]의 개수는 [eqn: 2 ^{n-1} `]개이다.

[eqn: n=1`]이면 [eqn: a _{1} =M(2)=2`]이다.

[eqn: n`ge2`]일 때,

(ⅰ) [eqn: M(2k)=2`]인 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 2,4,6,8, CDOTS ,2 ^{n} ``]을

[eqn: 2times](홀수)로 나타낼 수 있는 수의 개수와

같으므로 [eqn: 2`]의 배수 중 [eqn: 4`]의 배수가 아닌

것의 개수와 같다.

따라서 [eqn: k`]의 개수는

[eqn: {2 ^{n}} over {2} - {2 ^{n}} over {2 ^{2}} = {2 ^{n-1}} over {2} `=2 ^{n-2} ``(n GEQ 2)]

개이다.

(ⅱ) [eqn: M(2k)=4`]인 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 2,4,6,8, CDOTS ,2 ^{n} ``]을

[eqn: 4 TIMES](홀수)로 나타낼 수 있는 수의 개수와

같으므로 [eqn: 4`]의 배수 중 [eqn: 8`]의 배수가 아닌

것의 개수와 같다.

따라서 [eqn: k]의 개수는

[eqn: {2 ^{n}} over {2 ^{2}} - {2 ^{n}} over {2 ^{3}} =][eqn: {2 ^{n-1}} over {2 ^{2}} `=2 ^{n-3} ``` LEFT ( n GEQ 3 RIGHT )]

개이다.

(ⅲ) [eqn: M(2k)=8`]인 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 2,4,6,8, CDOTS ,2 ^{n} ``]을

[eqn: 8 TIMES](홀수)로 나타낼 수 있는 수의 개수와

같으므로 [eqn: 8`]의 배수 중 [eqn: 16`]의 배수가 아닌

것의 개수와 같다.

따라서 [eqn: k]의 개수는

[eqn: {2 ^{n}} over {2 ^{3}} - {2 ^{n}} over {2 ^{4}} =][eqn: {2 ^{n-1}} over {2 ^{3}} `=2 ^{n-4} ``` LEFT ( n GEQ 4 RIGHT )]

개이다.

이와 같은 방법으로 계속하면 [eqn: n ge2`]인 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: M(2k)=2 ^{i}]([eqn: i`=`][eqn: 1`], [eqn: 2], [eqn: 3`], [eqn: cdots`], [eqn: n-1])인 [eqn: k`]의 개수는

[eqn: 2,4,6,8, CDOTS ,2 ^{n} ``] 중에서 [eqn: 2 ^{i} TIMES](홀수)로 나타낼 수 있는

수의 개수와 같으므로 [eqn: 2 ^{i} `]의 배수 중 [eqn: 2 ^{i+1} `]의 배수가

아닌 것의 개수와 같다.

따라서 [eqn: k]의 개수는

[eqn: {2 ^{n}} over {2 ^{i}} - {2 ^{n}} over {2 ^{i+1}} =][eqn: {2 ^{n-1}} over {2 ^{i}} `=2 ^{n-i-1} ``` LEFT ( n GEQ i+1 RIGHT )]

개이다.

또한, [eqn: M(2k)=2 ^{n} `]을 만족하는 [eqn: k`]는 [eqn: 2 ^{n-1} `]뿐이므로

[eqn: k`]의 개수는 [eqn: 1`]개이다.

따라서 [eqn: n GEQ 2]일 때

[eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{2 ^{n-1}} M(2k)`=M(2)+M(4)+M(6)+ CDOTS +M(2 ^{n} )``]

[eqn: = LEFT ( 2 TIMES 2 ^{n-2} +2 ^{2} TIMES 2 ^{n-3} +` CDOTS `+`2 ^{n-1} TIMES 2 ^{0} RIGHT ) +2 ^{n} TIMES 1]

[eqn: = sum _{i=1} ^{n-1} LEFT ( 2 ^{i} ․2 ^{n-i-1} RIGHT ) +2 ^{n} ․1`]

[eqn: = sum _{i=1} ^{n-1} 2 ^{n-1} +2 ^{n} ․1`]

[eqn: =2 ^{n-1} (n-1)+2 ^{n} ```]

[eqn: =2 ^{n-1} (n+1)``]

이다.

그러므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{150a _{n}} over {LEFT ( 3n+1 RIGHT ) ` TIMES 2 ^{n}}} ``= lim _{n -> INF } {{150(n+1)2 ^{n-1}} over {LEFT ( 3n+1 RIGHT ) TIMES 2 ^{n}}} =25]이다.

[eqn: A`= LEFT { 2l LEFT | l `RIGHT .]은 자연수[eqn: LEFT. ` RIGHT }], [eqn: B`= rm LEFT { it 2 ^{m} ` LEFT | `m` RIGHT .]은 자연수[eqn: LEFT. ` RIGHT }]

가 있다. 집합 [eqn: A``]의 원소 [eqn: a`]에 대하여 집합 [eqn: B``]의 원소 중 [eqn: a`]의 약수의 최댓값을 [eqn: M` LEFT (a RIGHT )`]라 하자. 예를 들어, [eqn: M` LEFT (2 RIGHT )=2], [eqn: M` LEFT (12 RIGHT )=4`]이다. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]을

[eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{2 ^{n-1}} M` LEFT ( 2k RIGHT )][eqn: LEFT ( n=1, ``2,``3,`cdots` RIGHT )]

라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{150a _{n}} over {LEFT ( 3n+1 RIGHT ) TIMES 2 ^{n}}} `]의 값을 구하시오.

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 11월 18

자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를

[정답] ③

[해설]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =x ^{n+2} -3 LEFT ( 3 ^{n+1} -1 RIGHT ) -3 ^{n+1} LEFT ( n+2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( n+2 RIGHT )]차 다항함수이다.

[eqn: h prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( n+2 RIGHT ) x ^{n+1} - LEFT ( n+2 RIGHT ) 3 ^{n+1}]
[eqn: = LEFT ( n+2 RIGHT ) TIMES LEFT ( `` {BOX{``````````x ^{n+1} -3 ^{n+1} ``` ^{` ^{`}} `` _{`} ````}} `` RIGHT )]

[eqn: x>3]에서 [eqn: h prime LEFT ( x RIGHT ) >0]이므로 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 증가한다.
[eqn: x GEQ 3]에서 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: h LEFT ( 3 RIGHT )]

[eqn: h LEFT ( 3 RIGHT ) =3 ^{n+2} -3 LEFT ( 3 ^{n+1} -1 RIGHT ) =3]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: {BOX{`````````` 3``` _{`}```` ^{`} ``}}]

[eqn: x GEQ 3]에서 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) GEQ {BOX{`````````` _{`} 3``````` ^{`} ```}} `>0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) >0]

[eqn: x GEQ 3]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `A LEFT ( x RIGHT ) =x ^{n+1} -3 ^{n+1}], [eqn: p=3]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{p TIMES A LEFT ( 4 RIGHT )} over {4 ^{n}}}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{3 LEFT ( 4 ^{n+1} -3 ^{n+1} RIGHT )} over {4 ^{n}}}]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT { 12-9 TIMES LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} =12]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{n+2} -3 LEFT ( 3 ^{n+1} -1 RIGHT )],
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =3 ^{n+1} LEFT ( n+2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]

이라 하자. 다음은 [eqn: x GEQ 3`]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >g LEFT ( x RIGHT )`]가 성립함을 증명하는 과정이다.

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) `]라 하면

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: LEFT ( n+2 RIGHT ) `]차 다항함수이다.

[eqn: h prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( n+2 RIGHT ) TIMES BOX{``~`` LEFT ( 가 RIGHT ) ~````} `]

[eqn: x>3`]에서 [eqn: h prime LEFT ( x RIGHT ) >0`]이므로 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]는 증가한다.

[eqn: x GEQ 3`]에서 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]의 최솟값은 [eqn: BOX{~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~} `]

[eqn: x GEQ 3`]에서 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) GEQ BOX{~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~} ``>0`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) >0]

따라서 [eqn: x GEQ 3`]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

부등식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >g LEFT ( x RIGHT ) `]가 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: A` LEFT ( x RIGHT )], (나)에 알맞은 수를 [eqn: p`]라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{p TIMES A` LEFT ( 4 RIGHT )} over {4 ^{n}}} `]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

06 미적	01 수열의 극한
03 수열의 극한의 활용
08 등비수열의 극한의 활용2 (함수 및 도형)

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 03월 29

넓이가 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 9], [eqn: 27],[eqn: ` CDOTS`]인 등비수열을 이루는 정사각형들을 그림과 같이 왼쪽부터 차례로 배열하고, 각 정사각형의 내부에 정사각형과 한 변을 공유하는 정삼각형을 그린다.

[정답] ③

[해설]

정사각형의 넓이를 [eqn: a ^{2}]이라 하면 정삼각형의 넓이는 [eqn: {sqrt {3}} over {4} a ^{2}]이므로

[eqn: a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n} = LEFT ( 1- {sqrt {3}} over {4} RIGHT ) LEFT ( 1+3+3 ^{2} + CDOTS +3 ^{n-1} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( 1- {sqrt {3}} over {4} RIGHT ) CDOT {3 ^{n} -1} over {3-1} = {4- sqrt {3}} over {8} ` LEFT ( 3 ^{n} -1 RIGHT )]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {{8 LEFT ( a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n} RIGHT )} over {3 ^{n}} &][eqn: = lim _{n -> INF `} {`(4- sqrt {3} `)` CDOT {3 ^{n} -1} over {3 ^{n}}}} =4- sqrt {3}]

정삼각형의 외부와 정사각형의 내부의 공통부분(어두운 부분)의 넓이를 왼쪽부터 차례로 [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3],[eqn: ` CDOTS`]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{8 LEFT ( a _{1} +a _{2} +` CDOTS `+a _{n} RIGHT )} over {3 ^{n}} }`]의 값은?

① [eqn: { 2- sqrt { 3}}]	② [eqn: { 3- sqrt { 3}}]	③ [eqn: { 4- sqrt { 3}}]

④ [eqn: { 2- sqrt { 3}} over 2]	⑤ [eqn: { 4- sqrt { 3}} over 2]

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 03월 29

그림은 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=2 LEFT | x- {1} over {2} RIGHT |][eqn: LEFT ( 0 le x le 1 RIGHT )`]의 그래프이다.

[정답] ②

[해설]

방정식 [eqn: f (x)=1]의 해는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=1]의 교점의 [eqn: x]좌표와 같다.

∴ [eqn: A_1 ="{"0,~1"}"] … ㉠

㉠에서 [eqn: f(f(x))=1] ⇔ [eqn: f(x)=0] 또는 [eqn: f(x)=1]

따라서 방정식 [eqn: f ` ^{2} (x)=1]의 해는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 두 직선 [eqn: y=0], [eqn: y=1]의 교점의 [eqn: x]좌표와 같다.

∴ [eqn: A _{2} = LEFT { 0,~ {1} over {2} ,~1 RIGHT }] … ㉡

㉡에서 [eqn: f(f(f(x)))=1]

⇔ [eqn: f(x)=0] 또는 [eqn: f(x)= 1over 2] 또는 [eqn: f(x)=1]

따라서 방정식 [eqn: f`^3 (x)=1]의 해는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 세 직선 [eqn: y=0], [eqn: y= 1over 2], [eqn: y=1]의 교점의 [eqn: x]좌표와 같다.

∴ [eqn: A_3 =left{0,~ 1over 4 ,~ 1over2 ,~ 3over 4 ,~1 right}]

이와 같은 방법으로 [eqn: a_1 = 2], [eqn: a_n+1` = 2a_n -1] ([eqn: n=1,``2,``3,``cdots])

이 성립함을 알 수 있다.

이때, [eqn: (a_n+1 -1) =2(a_n -1)]이므로

[eqn: a_n -1 = (a_1 -1) times2^n-1] ∴ [eqn: a_n = 2^n-1 +1] ([eqn: n=1,``2,``3,``cdots])

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {a _{n+1}}][eqn: =lim _{n -> INF } {2^n-1 +1} over{2^n +1} = 1over2]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 집합 [eqn: A`_n`]을

[eqn: A` _{n} = LEFT { `x LEFT | `f ^{`n} (x)=1 RIGHT . RIGHT .], [eqn: 0 LEQ x LEQ 1`][eqn: LEFT. ` RIGHT }]

이라 할 때, 집합 [eqn: A`_n`]의 원소의 개수를 [eqn: a _{n}`]이라 하자. 예를 들어 [eqn: A _{1} = LEFT {0,``1 RIGHT }], [eqn: A _{2} = LEFT { 0,``1over2 ,``1 RIGHT }`]이므로 [eqn: a _{1} =2], [eqn: a _{2} =3`]이다. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {a _{n+1} }} `]의 값은?
(단, [eqn: f ^{`1} =f], [eqn: f ^{`n+1} =f CIRC f ^{`n}][eqn: LEFT ( n=1, ``2,``3,`cdots` RIGHT )]이다.)

① [eqn: { 1} over { 4}]	② [eqn: { 1} over { 2}]	③ [eqn: { 2} over { 3}]

④ [eqn: { 3} over { 4}]	⑤ [eqn: 1]

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 17
[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 04월 17

그림과 같이 크기가 [eqn: 60°`]인 [eqn: ANGLE rm AOB`]의 이등분선 위에 [eqn: bar{rm OC _{1} it} =2`]인 점 [eqn: rm C _{1} `]을 잡아 점 [eqn: rm C _{1} `]을 중심으로 하고 반직선 [eqn: rm OA`]와 [eqn: rm OB`]에 접하는 원 [eqn: rm C _{1} `]을 그릴 때, 원 [eqn: rm C _{1} `]과 반직선 [eqn: rmOA], [eqn: rm OB`]와의 접점을 각각 [eqn: rmP _{1}], [eqn: rm Q _{1} `]이라 하자.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: TRIANGLE C _{1} OQ _{1}]에서 [eqn: ANGLEC _{1} OQ _{1} =30 DEG]이고, [eqn: barOC _{1} `=2]이므로 [eqn: bar{C _{1} Q _{1}} =1]이다. 이 때, 원 [eqn: C _{n}]의 반지름의 길이를 [eqn: r _{n}], 원 [eqn: C _{n+1}]의 반지름의 길이를 [eqn: r _{n+1}]이라 하면, [eqn: r _{1} =1]이고 [eqn: sin30 DEG = {r _{n+1} -r _{n}} over {r _{n+1}} = {1} over {2}]에서 [eqn: r _{n+1} =2r _{n}]이므로 [eqn: S _{n+1} =4S _{n}]이 된다. [eqn: S _{1} =2times TRIANGLE C _{2} C _{1} B _{1} = {sqrt {15}} over {2}]이므로 [eqn: S _{n} = {sqrt {15}} over {2} 4 ^{n-1}]이

다. 따라서, [eqn: lim _{n-> INF } {{S _{n}} over {4 ^{n} +3 ^{n}}}][eqn: = lim _{n-> INF } {{{sqrt {15}} over {8} 4 ^{n}} over {4 ^{n} +3 ^{n}}} = {sqrt {15}} over {8}]이다.

점 [eqn: rm C _{1} `]을 지나고 반직선 [eqn: rm OA`]와 [eqn: rm OB`]에 접하는 두 원 중에서 큰 원의 중심을 [eqn: rm C _{2}], 원 [eqn: rm C _{2} `]와 반직선 [eqn: rmOA], [eqn: rm OB`]와의 접점을 각각 [eqn: rm P _{2}], [eqn: rm Q _{2} `]라 하고, 원 [eqn: rm C _{1} `]과 원 [eqn: rm C _{2} `]가 만나는 점을 각각 [eqn: rm A _{1}], [eqn: rm B _{1} `]이라 할 때, 사각형 [eqn: rm A _{1} C _{1} B _{1} C _{2} `]의 넓이를 [eqn: S` _{1} `]이라 하자.

점 [eqn: rm C _{2} `]를 지나고 반직선 [eqn: rm OA`]와 [eqn: rm OB`]에 접하는 두 원 중에서 큰 원의 중심을 [eqn: rm C _{3}], 원 [eqn: rm C _{3} `]과 반직선 [eqn: rmOA], [eqn: rm OB`]와의 접점을 각각 [eqn: rm P _{3}], [eqn: rm Q _{3} `]이라 하고, 원 [eqn: rm C _{2} `]와 원 [eqn: rm C _{3} `]이 만나는 점을 각각 [eqn: rm A _{2}], [eqn: rm B _{2} `]라 할 때, 사각형 [eqn: rm A _{2} C _{2} B _{2} C _{3} `]의 넓이를 [eqn: S` _{2} `]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 도형의 넓이를 [eqn: S` _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{S` _{n}} over {4 ^{n} +3 ^{n}}} `]의 값은?

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {4}]	⑤ [eqn: {sqrt {15}} over {8}]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 07월

그림과 같이 좌표평면에 원 [eqn: C` _{1} `:` LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =1`]과
점 [eqn: rm A LEFT ( 2,``0 RIGHT ) `]이 있다. 원 [eqn: C` _{1} `]의 중심을 [eqn: rm O _{1} `]이라 하고, 선분 [eqn: rm O _{1} A`]를 지름으로 하는 원을 [eqn: C` _{2} `]라 하자. 원 [eqn: C` _{2} `]의 중심을 [eqn: rm O _{2} `]라 하고, 선분 [eqn: rm O _{2} A`]를 지름으로 하는 원을 [eqn: C` _{3} `]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 원을 [eqn: C` _{n} `]이라 하자. 점 [eqn: rm B LEFT (-1,``0 RIGHT )`]에서 원 [eqn: C` _{n} `]에 그은 접선의 기울기를 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {2 ^{n} a _{n}} `]의 값은? (단, [eqn: a _{n} >0`]이다.)

[정답] ③

[해설]

[eqn: C _{1}]은 중심이 [eqn: rm O _{1} LEFT ( 2-1,``0 RIGHT )], 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원
[eqn: C _{2}]는 중심이 [eqn: rm O _{2} LEFT ( 2- {1} over {2} ,``0 RIGHT ) `], 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {2}]인 원
[eqn: C _{3}]은 중심이 [eqn: rm O _{3} LEFT ( 2- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} `,``0` RIGHT ) `], 반지름의 길이가 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} `]인 원

[eqn: C _{n}]은 중심이 [eqn: rm O it rm _{n} LEFT ( 2- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} `,``0` RIGHT )], 반지름의 길이가 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]인

원

[eqn: rmB(-1,``0`)]을 지나고, 기울기가 [eqn: a _{n}]인 직선의 방정식을

[eqn: y=`a _{n} (x+1)]이라 하자.

점 [eqn: rm O it rm _{n} `]부터 직선 [eqn: a _{n} x`-y+a _{n} `=`0]까지의 거리는

원 [eqn: C _{n}]의 반지름의 길이 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]과 같다.

[eqn: {LEFT | a _{n} LEFT ( 3- {1} over {2 ^{n-1}} RIGHT ) RIGHT |} over {sqrt {a _{n} ` ^{2} +1}} = {1} over {2 ^{n-1}}][eqn: LRARROW][eqn: sqrt {a _{n} ` ^{2} +1} =2 ^{n-1} a _{n} LEFT ( 3- {1} over {2 ^{n-1}} RIGHT )]

[eqn: LRARROW][eqn: a _{n} ` ^{2} +1 =4 ^{n-1} a _{n} ` ^{2} LEFT ( 3- {1} over {2 ^{n-1}} RIGHT ) ^{2}][eqn: =a _{n} ` ^{2} ` LEFT ( 9·4 ^{n-1} -3·2 ^{n} +1 RIGHT )]

[eqn: LRARROW][eqn: a _{n} ` ^{2} = {1} over {9·4 ^{n-1} -3·2 ^{n}}][eqn: LRARROW][eqn: `a _{n} `= {1} over {sqrt {9·4 ^{n-1} -3·2 ^{n}}} `]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {2 ^{n}} `a _{n} `= lim _{n -> INF } {{2 ^{n}} over {sqrt {9·4 ^{n-1} -3·2 ^{n}}}} = {2} over {3}]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {5} over {6}]	⑤ [eqn: 1]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 07월 20

자연수 [eqn: n`]에 대하여 중심이 [eqn: x`]축 위에 있고 반지름의 길이가 [eqn: r _{n} `]인 원 [eqn: C` _{it n } `]을 다음과 같은 규칙으로 그린다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: C _{1 rm}]: [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]

[eqn: C _{2 rm}]: [eqn: (x-2) ^{2} +y ^{2} =2 ^{2}]

[eqn: C _{3}]: [eqn: LEFT { x- LEFT ( 2+2 ^{2} RIGHT ) RIGHT } ^{2} +y ^{2} = LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: C _{itn rm}]: [eqn: LEFT { x- LEFT ( 2+2 ^{2} + CDOTS +2 ^{n-1} RIGHT ) RIGHT } ^{2} +y ^{2} = LEFT ( 2 ^{n-1} RIGHT ) ^{2}]

원 [eqn: C _{itn} `]의 중심의 [eqn: x`]좌표 [eqn: a _{n} =2+2 ^{2} + CDOTS +2 ^{n-1} =2 ^{n} -2][eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT ) `]

원 [eqn: C _{itn} `]의 반지름의 길이 [eqn: r _{n} =2 ^{n-1} `]

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`` {`a _{n}} over {r _{n}}} it = lim _{n` -> ` INF } {`` {2 ^{n} -2} over {2 ^{n-1}}} =2`]

(가) 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: C` _{it 1 rm } `]을 그린다.

(나) 원 [eqn: C` _{it n-1 rm } `]의 중심을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 2r _{n-1} `]만큼 평행이동시킨 점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2r _{n-1} `]인 원 [eqn: C` _{it n} `]을 그린다. [eqn: LEFT ( n=2,``3,``4,`cdots` RIGHT )]

원 [eqn: C` _{it n rm } `]의 중심을 [eqn: LEFT ( a _{n} ,~0 RIGHT ) `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {r _{n}}} `]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

[출처]	2014 모의_공공 경찰대 고3 07월 15

자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: y=n`]이 두 함수 [eqn: y=log _{`2} `x `], [eqn: y=log _{`3} x`]의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: {rmA}_n], [eqn: rm B _{itn} `]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm A _{itn} rm B _{itn-1} rm B _{itn} `]과 삼각형 [eqn: rm A it _{itn} rm A it _{itn-1} rm B it _{itn-1} `]의 넓이를 각각 [eqn: S` _{n}], [eqn: T` _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{S` _{n}} over {T` _{n}} }`]의 값은?

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: rm A _{itn}]은 [eqn: y=n]과 [eqn: y=log _{2} `x]의 교점이므로 [eqn: rm A _{itn}]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: log _{2} `x=n], [eqn: x=2 ^{n`}] 따라서 [eqn: rm A _{itn} (2 ^{itn} ,``itn)]

점 [eqn: rm B _{itn}]은 [eqn: y=n]과 [eqn: y=log _{3} `x]의 교점이므로 [eqn: rm B _{itn}]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: log _{3} `x=n], [eqn: x=3 ^{n}] 따라서 [eqn: rm B _{itn} (3 ^{itn} ,``itn)]

삼각형 [eqn: rm A _{itn} B _{itn-1} B _{itn}]의 넓이 [eqn: S_n]은

[eqn: S _{n=} {1} over {2} ·1· {bar{rm A _{itn} B _{itn} it}} = {1} over {2} (3 ^{n`} -2 ^{n} )]

삼각형 [eqn: rmA _{itn} A _{itn-1} B _{itn-1}]의 넓이 [eqn: T _{n}]은

[eqn: T _{n} = {1} over {2} ·1· {bar{rmA _{itn-1} B _{itn-1}}} = {1} over {2} (3 ^{n-1} -2 ^{n-1} )]

[eqn: lim _{n rarrow inf} {} {S _{n}} over {T _{n}} = lim _{n rarrow INF } {} {{1} over {2} (3 ^{n} -2 ^{n} )} over {{1} over {2} (3 ^{n-1} -2 ^{n-1} )}]

[eqn: = lim _{n rarrow INF } {} {3 ^{n} -2 ^{n}} over {3 ^{n-1} -2 ^{n-1}} = lim _{n rarrow INF } {} {3-2 LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n-1}} over {1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n-1}}]

[eqn: =3]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 11월 26

좌표평면에서 자연수 [eqn: n`]에 대하여 곡선 [eqn: y=3 ^{x} +n`]이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rm A _{itn}], 곡선 [eqn: y=log _{`3} ` LEFT ( x-n RIGHT ) `]이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm B _{it n rm} `]이라 하자. 점 [eqn: rm A _{it n rm} `]을 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=log _{`3} ` LEFT ( x-n RIGHT ) `]과 만나는 점을 [eqn: rmC _{itn}], 점 [eqn: rm B _{it n rm} `]을 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=3 ^{x} +n`]과 만나는 점을 [eqn: rm D _{it n rm} `]이라 하자. 선분 [eqn: rm C _{it n rm} D _{it n rm} `]을 대각선으로 하는 정사각형의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{S` _{n}} over {3 ^{2n}}} `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold{ 9]

[해설]

점 [eqn: rm A _{it n rm} LEFT ( 0,`` it n+1 RIGHT )], 점 [eqn: rm B _{it n rm} LEFT ( it n+1,``0 RIGHT )]

점 [eqn: rm C _{it n rm} LEFT ( 3 ^{it n+1 rm} + it n, it ``n+1 RIGHT )],

점 [eqn: rm D _{it n rm} LEFT ( it n+1,``3 ^{it n+1} + it n RIGHT )]이므로

선분 [eqn: rm C _{itn} D _{itn}]을 대각선으로 하는 정사각형의 넓이 [eqn: S _{n}]은

[eqn: S _{n}][eqn: = LEFT ( 3 ^{n+1} -1 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: `=3 ^{2n+2} -2` TIMES 3 ^{n+1} +1]

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{S _{n}} over {3 ^{2n}} `} =`9]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 07월 29

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정삼각형 [eqn: rm ABC`]와 점 [eqn: rm A`]를 지나고 직선 [eqn: rm BC`]와 평행한 직선 [eqn: l`]이 있다. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 중심 [eqn: rmO_{it n}`]이 변 [eqn: rm AC] 위에 있고 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} `]인 원이 직선 [eqn: rm AB`]와 직선 [eqn: l`]에 모두 접한다. 이 원과 직선 [eqn: rm AB`]가 접하는 점을 [eqn: rm P _{it n rm}], 직선 [eqn: rm O _{it n rm} P _{it n rm}`]과 직선 [eqn: l`]이 만나는 점을 [eqn: rm Q _{it n rm}]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm BO _{it n rm} Q _{it n rm} `]의 넓이를 [eqn: S`_n`]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {2 ^{n} S` _{n}} =k`]이다. [eqn: k ^{2} `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 192]

[해설]

원 [eqn: rm O _{it n rm} `]이 직선 [eqn: rm AB]와 점 [eqn: \P_{it n}`]에서 접하므로
직선 [eqn: rm AB]와 직선 [eqn: rm O_{it n}Q_{it n}]은 서로 수직이다.

직선 [eqn: l`]과 직선 [eqn: rmBC`]가 평행이므로

[eqn: ANGLE rm Q _{it n rm} AB= ANGLE rm ABC=60 DEG]

두 직각삼각형 [eqn: rm AP _{it n rm} Q _{it n rm} `]과 [eqn: rm AP _{it n rm} O _{it n rm} `]은 합동이므로

[eqn: bar{rmQ_{itn}O_{it n}}=2bar{rmP_{it n}O_{it n}}=2 sqrt { 3} LEFT ( { 1} over { 2} RIGHT )^{n-1}]

직각삼각형 [eqn: rm AP _{it n rm} O _{it n rm} `]에서

[eqn: {{bar{rm O _{it n rm} P _{it n rm} it}}} over {{bar{rm AP _{it n rm} it}}} = sqrt {3}]이므로 [eqn: {bar{rm AP _{it n rm} it}} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: {bar{rm BP _{it n rm} it}}=bar{rm AB}-{bar{rm AP _{it n rm} it rm }} =4-LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: S _{n} `= sqrt {3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} ` TIMES LEFT { 4- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }]

[eqn: k=lim_n->inf{`2^n`S_n}=lim_n->inf{ 2 sqrt { 3} } LEFT { 4- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }}=8 sqrt { 3}]

따라서 [eqn: k^2`=192`]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 09월 29

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]과 두 정수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A it LEFT (a,``b RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( 0,``2 RIGHT )], [eqn: rm C it LEFT (0,``2 ^{n} RIGHT )`]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold{32]

[해설]

조건 (가)에 의하여 [eqn: b=2`], [eqn: a != 0`]

조건 (나)에 의하여 [eqn: a`]는 [eqn: -2 ^{n} LEQ a LEQ -1`], [eqn: 1 LEQ a LEQ 2 ^{n} `]인 정수

(ⅰ) [eqn: 1 LEQ a LEQ 2 ^{n} `]인 경우
모든 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이의 합은
[eqn: {1} over {2} TIMES (2 ^{n} -2) TIMES LEFT { 1+2+3+ CDOTS +(2 ^{n} -1)+2 ^{n} RIGHT }]
[eqn: = {1} over {2} times(2 ^{n} -2)times {2 ^{n} (1+2 ^{n} )} over {2}]
[eqn: = {1} over {4} (8 ^{n} -4 ^{n} -2 ^{n+1} )`]

(ⅱ) [eqn: -2 ^{n} LEQ a LEQ -1`]인 경우
모든 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이의 합은 (ⅰ)과 같다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: S` _{n} =2` TIMES {1} over {4} (8 ^{n} -4 ^{n} -2 ^{n+1} )`][eqn: = {1} over {2} (8 ^{n} -4 ^{n} -2 ^{n+1} )`]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{S` _{n}} over {8 ^{n-2}} = {1} over {2} lim _{n` -> ` INF } {{8 ^{n} -4 ^{n} -2 ^{n+1}} over {8 ^{n-2}}} `}]
[eqn: = {1} over {2} lim _{n` -> ` INF } {{1- {1} over {2 ^{n}} - {2} over {4 ^{n}}} over {{1over64}}} =32`]

(가) [eqn: ANGLE rm B it =90 DEG `]인 직각삼각형이다.

(나) [eqn: LEFT | ab RIGHT | LEQ 2 ^{n+1} `]

위의 조건을 만족시키는 모든 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이의 합을 [eqn: S` _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{S` _{n}} over {8 ^{n-2}}} `]의 값을 구하시오.

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 06월 18

좌표평면에서 자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: 3x-4y+4 ^{n} =0`]과 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 동시에 접하면서 원의 중심이 직선 [eqn: y=x] 위에 있는 두 원의 반지름의 길이의 합을 [eqn: a _{n} `]이라 하자. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {4 ^{n} +1}} `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 동시에 접하고 원의 중심이 직선 [eqn: y=x`] 위에 있는 두  원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: a], [eqn: b`]라 하면 두 원의 방정식은

[eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-a RIGHT ) ^{2} =a ^{2}], [eqn: LEFT ( x+b RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+b RIGHT ) ^{2} =b ^{2}]

이다. 두 원의 중심 [eqn: LEFT ( a,`a RIGHT )], [eqn: LEFT ( -b,`-b RIGHT ) `]에서

직선 [eqn: 3x-4y+4 ^{n} =0`]까지의 거리가 각각 [eqn: a], [eqn: b`]이므로

[eqn: a= {LEFT | 3a-4a+4 ^{n} RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}}][eqn: = {LEFT | -a+4 ^{n} RIGHT |} over {5}]

[eqn: a= {4 ^{n}} over {6}], [eqn: - {4 ^{n}} over {4}][eqn: THEREFORE a= {4 ^{n}} over {6}][eqn: LEFT ( BECAUSE a>0 RIGHT )]

[eqn: b= {LEFT | -3b+4b+4 ^{n} RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}}][eqn: = {LEFT | b+4 ^{n} RIGHT |} over {5}]

[eqn: b= {4 ^{n}} over {4}], [eqn: - {4 ^{n}} over {6}][eqn: THEREFORE b= {4 ^{n}} over {4}][eqn: LEFT ( BECAUSE b>0 RIGHT )]

이다. 두 원의 반지름의 길이는 각각 [eqn: {4 ^{n}} over {6}], [eqn: {4 ^{n}} over {4}`]이므로

[eqn: a _{n} = {4 ^{n}} over {6} + {4 ^{n}} over {4} = {5 TIMES 4 ^{n}} over {12}`]이다.

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {4 ^{n} +1}} = lim _{n -> INF } {{{5 TIMES 4 ^{n}} over {12}} over {4 ^{n} +1}} = {5} over {12} `]이다.

① [eqn: {5} over {12}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {7} over {12}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

06 미적	01 수열의 극한
03 수열의 극한의 활용
09 극한으로 정의된 함수1 (기본)

[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 10

두 함수 [eqn: f(x)= lim _{n ``rarrow`` inf }-{x^{2 n+1}} over {1+x^{2 n}}], [eqn: g(x)=-x left(x^{2}-a^{2} right)]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)-g(x)=0]이 단 하나의 실근을 갖는 [eqn: a]의 최댓값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: f(x)= lim _{n ``rarrow`` inf } {x^{2 n+1}} over {1+x^{2 n}}]에서

(i) [eqn: |x|>1]일 때 [eqn: f(x)= lim _{n ``rarrow`` inf } {x} over {{1} over {x^{2 n}}+1}=x]

(ii) [eqn: |x|<1]일 때 [eqn: f(x)=0]

(iii) [eqn: x=1]일 때 [eqn: f(x)={1} over {2}]

(iv) [eqn: x=-1]일 때 [eqn: f(x)=-{1} over {2}]

방정식 [eqn: f(x)-g(x)=0]이 단 하나의 실근을 가지려 면 [eqn: f(x)=g(x)]에서 [eqn: y=f(x)]와

[eqn: y=g(x)]의 그래프가 오직 한 점에서만 만나야 한다.

[eqn: y=g(x)]의 그래프는 원점 대칭이므로 점 [eqn: (1,``1)], [eqn: (-1,``-1)]을 지날 때 [eqn: a]의 값이 최대이다.

[eqn: g(1)=1]에서 [eqn: 1=- left(1-a^{2} right) ``LRARROW`` a^{2}=2]

[eqn: therefore~a= +- sqrt{2}]

따라서, [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: sqrt{2}]이다.

① [eqn: rm 1]	② [eqn: sqrt{2}]	③ [eqn: rm 2]

④ [eqn: 2 sqrt{2}]	⑤ [eqn: rm 3]

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 12

두 실수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 함수

[정답] ④

[해설]

[eqn: ㄱ.][eqn: - LEFT | b _{n} RIGHT | LEQ b _{n} LEQ LEFT | b _{n} RIGHT |]에서 [eqn: lim _{n-> INF } {LEFT ( - LEFT | b _{n} RIGHT | RIGHT )} `=` lim _{n-> INF } {LEFT | b _{n} RIGHT |} `=`0]

이므로 [eqn: ` lim _{n-> INF } {b _{n}} `=`0]이다. (참)

[eqn: ㄴ.][eqn: LEFT ( 3n+1 RIGHT ) a _{n} `=`c _{n}]라 하면, [eqn: ` lim _{n -> INF } {c _{n}} `=`6]이고 [eqn: a _{n} = {c _{n}} over {3n+1}]

이므로 [eqn: ` lim _{n -> INF } {na _{n}} `][eqn: =` lim _{n -> INF } {{nc _{n}} over {3n+1}}][eqn: =` lim _{n -> INF } {{n} over {3n+1}} c _{n}][eqn: = {1} over {3} TIMES 6=2]

이다. (참)

[eqn: ㄷ.] (반례) [eqn: a _{n} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n}], [eqn: b _{n} =2 LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n}]에 대하여

[eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}} b _{n} =2] (수렴)이지만, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,~ LEFT { b _{n} RIGHT }]은 각각

발산한다. (거짓)

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{-a LEFT | x RIGHT | - LEFT | x RIGHT | ^{n} +b} over {LEFT | x RIGHT | ^{n} +1}}]

가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a-b=1] ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최솟값은 [eqn: -1`]이다. ㄷ. [eqn: a<1`]일 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 [eqn: x`]축과 만나지 않는다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 11월 18

실수 [eqn: m`]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =mx+1`]의 그래프와 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`````````````x&` _{} ^{}&~ LEFT ( LEFT | `x` RIGHT | >1 RIGHT )#`````~~3&` _{} ^{}&~ LEFT ( x=-1 RIGHT ) ~#-3x+4&` _{} ^{}&~ LEFT ( LEFT | `x` RIGHT | <1 RIGHT ) ~#~~~`1&` _{} ^{}&~ LEFT ( x=1 RIGHT )}}]이므로

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-2x+1]은 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]와
한 점 [eqn: LEFT ( -1,``3 RIGHT )]에서 만나므로 [eqn: h LEFT ( -2 RIGHT ) =1]

(ⅱ) 함수 [eqn: h LEFT ( m RIGHT )]에서
[eqn: 0<m<1]일 때, [eqn: h LEFT ( m RIGHT ) =2]

[eqn: lim _{m` -> `1-} {h LEFT ( m RIGHT ) =2}]

[eqn: 1<m<2]일 때, [eqn: h LEFT ( m RIGHT ) =2]

[eqn: lim _{m` -> `1+} {h LEFT ( m RIGHT ) =2}]

[eqn: THEREFORE][eqn: lim _{m` -> `1} {h LEFT ( m RIGHT ) =2}]

따라서

[eqn: h(-2)`+` lim _{m` -> `1} {h(m)`} =3]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{x ^{2n+1} -3x+4} over {x ^{2n} +1}} `]

의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: h LEFT ( m RIGHT ) `]이라 하자. [eqn: h LEFT ( -2 RIGHT ) + lim _{m` -> `1} {h LEFT ( m RIGHT )} `]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 06월 21

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가

[정답] ③

[해설]

[eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {{x ^{2n-1} +x} over {x ^{2n} +2}}]에서

ⅰ) [eqn: LEFT | x RIGHT | >1]일 때, [eqn: f(x)= lim _{n-> INF } {{{1} over {x} + {x} over {x ^{2n}}} over {1+ {2} over {x ^{2n}}} = {1} over {x}}]

ⅱ) [eqn: x=1]일 때, [eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {{1+1} over {1+2} = {2} over {3}}]

ⅲ) [eqn: x=-1]일 때, [eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {{-1-1} over {1+2} =`- {2} over {3}}]

ⅳ) [eqn: LEFT | x RIGHT | <1]일 때, [eqn: f(x)= {0+x} over {0+2} = {x} over {2}]

주어진 방정식이 서로 다른 네 실근을 가지기 위해

서는 함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 함수 [eqn: y=ax ^{2} (a>0)]의

그래프가 서로 다른 네 점에서 만나야 하므로 그림과 같이 [eqn: y=ax ^{2} (a>0)]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( 1,``` {2} over {3} RIGHT )]을 지나야 한다.

따라서 [eqn: `a= {2} over {3}]이다.

[eqn: THEREFORE ``60a=40]

[참고]

닫힌구간 [eqn: [0,``1]`]에서

[eqn: y=ax ^{2} `]과 [eqn: y= {x} over {2} `]을 연립하여

풀면 [eqn: x=0,`` {1} over {2a} `]이다.

[eqn: 0< {1} over {2a} <1``]이면

[eqn: y=ax ^{2} `]과 [eqn: y= {1} over {2} x`]의 그래프는 구간 [eqn: [0,``1)`]에서

서로 다른 두 점에서 만나므로 구간 [eqn: [1,``inf)`]에서

[eqn: y=f(x)`]의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만나면

된다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{x ^{2n-1} +x} over {x ^{2n} +2}} `]

이다. [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )-ax ^{2} =0`]이 서로 다른 네 실근을 가지도록 하는 양수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: 60a`]의 값은?

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 06월 19

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{ax ^{n}} over {1+x ^{n}}}][eqn: LEFT ( x>0 RIGHT )`]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} f LEFT ( {k} over {5} RIGHT ) =33`]이다. 상수 [eqn: a`]의 값은?

[정답] ①

[해설]

ⅰ) [eqn: 0<x<1`]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {x ^{n}} =0`]이므로

[eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {{ax ^{n}} over {1+x ^{n}} =0`}]이다.

ⅱ) [eqn: x=1`]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {x ^{n}} =1`]이므로

[eqn: f(1)= lim _{n-> INF } {{ax ^{n}} over {1+x ^{n}}} = {a} over {2} `]이다.

ⅲ) [eqn: x>1]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{1} over {x ^{n}} =0`}]이므로

[eqn: f(x)= lim _{n-> INF } {{ax ^{n}} over {1+x ^{n}}} = lim _{n-> INF } {{a} over {{1} over {x ^{n}} +1}} =a`]이다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해

[eqn: f(x)= {cases{``0&~~~(0<x<1)#{a} over {2}&~~~(x=1)#``a&~~~(x>1)}}]

이다.

[eqn: f LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) =f LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) =f LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) =f LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) =0`],

[eqn: f LEFT ( {5} over {5} RIGHT ) =f(1)= {a} over {2} `],

[eqn: f LEFT ( {6} over {5} RIGHT ) =f LEFT ( {7} over {5} RIGHT ) =f LEFT ( {8} over {5} RIGHT ) =f LEFT ( {9} over {5} RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =a]

이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{10} `f LEFT ( {k} over {5} RIGHT ) `][eqn: = {a} over {2} +5a= {11} over {2} `a`]

이다. [eqn: {11} over {2} `a`=33`]이므로 [eqn: a=6`]이다.

[참고]

[eqn: a>0`]일 때, [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 다음과 같다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 06월 19

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: -1<x LEQ 1`]일 때,

[정답] ②

[해설]

[eqn: -1<x`le1`]일 때, [eqn: f(x)= lim _{n` -> ` INF } {{3x ^{2n} + LEFT | x RIGHT |} over {x ^{2n} +1}} `]이므로

[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT )][eqn: LEFT | x RIGHT |<1`]일 때, [eqn: f(x)= {0+ LEFT | x RIGHT |} over {0+1} = LEFT | x RIGHT |]

[eqn: LEFT ( ⅱ RIGHT )][eqn: x=1`]일 때, [eqn: f(x)= lim_{n`->`inf} { {3+1} over {1+1}}= 2]

이고, [eqn: f LEFT ( x+2 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 다음과

같다.

ㄱ. [eqn: f(3)=2`] (참)

ㄴ.

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =2]는 [eqn: y=f(x)`]의 그래프와 만나지 않는다. (참)

ㄷ.

원 [eqn: x^2 +y^2 =k`]가 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프와 서로 다른 네 점

에서 만나려면 [eqn: LEFT ( 1,2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,`2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,`2 RIGHT )], [eqn: CDOTS]을 지나야 한다.

즉, 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT ( 2n-1,`2 RIGHT )]를 지나야 한다. 이때

[eqn: (2n-1) ^{2} +2 ^{2} `=k]이고 [eqn: k le 100`]이므로

[eqn: n=1`,``2`,``3`,``4`,``5`]이다.

따라서 [eqn: 100]이하의 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 5]이다. (거짓)

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{3x ^{2n} + LEFT | x RIGHT |} over {x ^{2n} +1}} `]

이고, 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x+2 RIGHT ) `]이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT (3 RIGHT )=2`] ㄴ. 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =2`]와 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]의 그래프는 만나지 않는다. ㄷ. 원 [eqn: x^2 +y^2 =k][eqn: LEFT ( k>0 RIGHT ) `]와 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]의 그래프가 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 [eqn: 100`]이하의 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 6`]이다.

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 10월 20

두 함수

[정답] ④

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= lim _{n -> INF } {{2x ^{`2n+1}} over {1+x ^{`2n}} `}]을 구하면

(ⅰ) [eqn: LEFT | x RIGHT | >1]일 때, [eqn: lim _{n->inf} {{1} over {x ^{`2n}}} =0`]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )` = lim _{n -> INF } {{2x ^{`2n+1}} over {1+x ^{`2n}} `}][eqn: = lim _{n -> INF } {{2x} over {{1} over {x ^{`2n}} +1}}` =`2x]

(ⅱ) [eqn: LEFT | x RIGHT | <1]일 때, [eqn: lim _{n->inf} {x ^{`2n}}` = lim _{n->inf} {x ^{`2n+1}}` =0`]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )` = lim _{n -> INF } {{2x ^{`2n+1}} over {1+x ^{`2n}} `} =0]

(ⅲ) [eqn: x=1]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {x ^{`2n}}` = lim _{n -> INF } {x ^{`2n+1}}` =1`]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= lim _{n -> INF } {{2x ^{`2n+1}} over {1+x ^{`2n}} `} =1]

(ⅳ) [eqn: x`=`-1`]일 때,
[eqn: lim _{n -> INF } {x ^{`2n}} `=1`]이고, [eqn: lim _{n -> INF } {x ^{`2n+1}} `=`-1`]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= lim _{n -> INF } {{2x ^{`2n+1}} over {1+x ^{`2n}} } `=`-1]

ⅰ)~ⅳ)에 의해 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{````2x&`````` LEFT ( LEFT | x RIGHT | >1 RIGHT )#``````0&`````` LEFT ( LEFT | x RIGHT | <1 RIGHT )#``````1&`````` LEFT ( x=1 RIGHT )#`-1&`````` LEFT ( x`=`-1 RIGHT )}} `]

두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 다음과 같다.

(1) [eqn: a=0`]인 경우, 서로 다른 세 점에서 만난다.

(2) [eqn: a=1]인 경우, 서로 만나지 않는다.

[eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) =3`]이고, [eqn: h LEFT ( 1 RIGHT ) =0`]에서 [eqn: lim _{a` -> `1+} {h LEFT ( a RIGHT )} `=1`]이다.

따라서 [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) `+ lim _{a` -> `1+} {h LEFT ( a RIGHT )} `=3+1=4`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n ``->`` INF } {{2x ^{ 2n+1}} over {1+x ^{ 2n}}}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x+a`]

의 그래프의 교점의 개수를 [eqn: h LEFT ( a RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) + lim _{a ``->`` 1+} {h LEFT ( a RIGHT ) } `]의 값은? (단, [eqn: a`]는 실수이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2018 모의_공공 경찰대 고3 07월 19

함수

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x)= {cases{lim _{n`` rarrow `` INF } {} {x LEFT ( x ^{2n} -x ^{-2n} RIGHT )} over {x ^{2n} +x ^{-2n}}&&(x != 0)#``````````````````````````````````0&&(x=0)}}]

[eqn: f(x)= {cases{-x&&(-1<x<1)#```````0&&(x= +- 1)#```````x&&(x< it -1,``x<1)}}]

이때, [eqn: f(x)=(x-k)^{2}]이 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 3]인 조건은

ㄱ. [eqn: k=0]일 때,

ㄴ. [eqn: y=-x]와 [eqn: y=(x-k)^{2}]접할 때,
[eqn: -x=(x-k)^{2}]
[eqn: x^{2}-(2 k-1) x+k^{2}=0]
[eqn: D=(2 k+1)^{2}-4 k^{2}=-4 x+1=0]
[eqn: k={1} over {4}]

ㄱ, ㄴ의 사이 영역에서 실근 개수가 [eqn: rm 3]개 성립

[eqn: therefore~0<k<{1} over {4}]

[eqn: therefore~ ~ a+b=0+{1} over {4}={1} over {4}]

[eqn: f(x)= {cases{lim _{n`` rarrow `` INF } {} {x LEFT ( x ^{2n} -x ^{-2n} RIGHT )} over {x ^{2n} +x ^{-2n}}&&(x != 0)#````````````````````````````````0&&(x=0)}}]

에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=(x-k)^{2}]의 서로 다른 실근의 개수 가 [eqn: rm 3]인 실수 [eqn: k]의 범위는 [eqn: a<k<b]이다. 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 18

실수 [eqn: {a}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] ③

[해설]

(i) [eqn: |x|>1]일 때

[eqn: f(x)][eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } {(a-2) x^{2 n+1}+2 x} over {3 x^{2 n}+1}]
[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } {(a-2) x+{2} over {x^{2 n-1}}} over {3+{1} over {x^{2 n}}}]
[eqn: ={a-2} over {3} x]

(ii) [eqn: |x|<1]일 때

[eqn: f(x)= lim _{n ``rarrow`` inf } {(a-2) x^{2 n+1}+2 x} over {3 x^{2 n}+1}=2 x]

(iii) [eqn: x=1]일 때

[eqn: f(1)={a} over {4}]

(iv) [eqn: x=-1]일 때

[eqn: f(-1)=-{a} over {4}]

(i)[eqn: sim](iv)에서 [eqn: f(1)={a} over {4}]이므로

[eqn: (f circ f)(1)=f(f(1))=f left({a} over {4} right)={5} over {4}]

㉠ [eqn: left|{a} over {4} right|>1], 즉 [eqn: |a|>4]일 때

[eqn: f left({a} over {4} right)={a-2} over {3} times {a} over {4}={5} over {4}]에서

[eqn: a^{2}-2 a-15=0]

[eqn: (a-5)(a+3)=0]

[eqn: |a|>4]이므로 [eqn: a=5]

㉡ [eqn: left|{a} over {4} right|<1], 즉 [eqn: |a|<4]일 때

[eqn: f left({a} over {4} right)=2 times {a} over {4}={5} over {4}]에서 [eqn: a={5} over {2}]

㉢ [eqn: {a} over {4}=1], 즉 [eqn: a=4]일 때

[eqn: f left({a} over {4} right)=f(1)=1 neq {5} over {4}]

㉣ [eqn: {a} over {4}=-1], 즉 [eqn: a=-4]일 때

[eqn: f left({a} over {4} right)=f(-1)=1 neq {5} over {4}]

따라서 모든 [eqn: a]의 값은 [eqn: a=5] 또는 [eqn: a={5} over {2}]이고, 그 합은

[eqn: 5+{5} over {2}={15} over {2}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{n -> INF } {} {LEFT ( a-2 RIGHT ) x ^{2n+1} +2x} over {3x ^{2n} +1}]

라 하자. [eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = {5} over {4}]가 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합은?

① [eqn: {11} over {2}]	② [eqn: {13} over {2}]	③ [eqn: {15} over {2}]

④ [eqn: {17} over {2}]	⑤ [eqn: {19} over {2}]

06 미적	01 수열의 극한
03 수열의 극한의 활용
10 극한으로 정의된 함수2 (연속성)

[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 14

삼차함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]가 극댓값 [eqn: {1} over {2}], 극솟값 [eqn: -2`]를 가질 때, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를 다음과 같이 정의한다.

[정답] ④

[해설]

(ⅰ) [eqn: vert f(x) vert ``＜``1``]일 때 [eqn: g(x)=1``]

(ⅱ) [eqn: vert f(x) vert =1``]일 때 [eqn: g(x)= {1} over {2} ``]

(ⅲ) [eqn: vert f(x) vert ``＞``1``]일 때 [eqn: g(x)=0``]

따라서 함수 [eqn: y=g(x)``]는

[eqn: f(x)=1``] 또는 [eqn: f(x)=-1``]일 때 불연속이다.

그림과 같이 [eqn: f(x)=1``]인 [eqn: x``]는 [eqn: 1``]개, [eqn: f(x)=-1``]인 [eqn: x``]는 [eqn: 3``]개이므로 실수전체의 집합에서 불연속인 [eqn: x``]는 [eqn: 4``]개다.

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= lim _{n `-> ` INF } {{1} over {1+ LEFT {f LEFT (x RIGHT ) RIGHT } ^{2n}} `]

이 때, 실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )`]는 [eqn: x= alpha `]에서 불연속이다. [eqn: alpha `]의 개수는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 6

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4x+a`]와 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: f(x)= (x-2)^2 +a-4]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭인 연속함수이다.

한편, [eqn: g(x)]를 간단히 하면 다음과 같다.

(i) [eqn: |x-b|>1]일 때 [eqn: g(x) =2]

(ii) [eqn: |x-b|=1]일 때 [eqn: g(x) = 3OVER 2]

(iii) [eqn: |x-b|<1]일 때 [eqn: g(x) =1]

이때, [eqn: |x-b|=1] ⇔ [eqn: x= b-1] 또는 [eqn: x=b+1]

이므로 함수 [eqn: g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

이때, 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=b-1], [eqn: x=b+1]일 때 불연속이므로 함수 [eqn: h(x)=f(x)g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 연속이 되려면

[eqn: f(b-1)=f(b+1)=0]이어야 한다.

따라서 [eqn: y=f(x)]의 대칭축의 방정식은 [eqn: x=2= b] ⋯㉠

이고, [eqn: f(3)= 9-12+a=0] ⋯㉡ 이어야 한다.

㉠, ㉡에서 [eqn: a=3,~b=2] ∴ [eqn: a+b=5]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{2 LEFT | x-b RIGHT | ^{n} +1} over {LEFT | x-b RIGHT | ^{n} +1} }`]

에 대하여 [eqn: h LEFT (x RIGHT )=f` LEFT (x RIGHT )g LEFT (x RIGHT )`]라 하자. 함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT )`]가 모든 실수 [eqn: x`]에서 연속이 되도록 하는 두 상수 [eqn: a],[eqn: b`]의 합 [eqn: a+b`]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 06월 23

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]와 두 함수

[정답] [eqn: bold90`]

[해설]

[eqn: g(x)]를 [eqn: x]의 범위에 따라 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: LEFT | x RIGHT | >1]일 때,
[eqn: g(x)`= lim _{n -> INF } {{x ^{2n-1} -1} over {x ^{2n} +1}}][eqn: = lim _{n -> INF } {{x ^{-1} - {1} over {x ^{2n}}} over {1+ {1} over {x ^{2n}}}} = {1} over {x}]

(ⅱ) [eqn: LEFT | x RIGHT | =1]일 때,
[eqn: g(1)`= lim _{n -> INF } {{1 ^{2n-1} -1} over {1 ^{2n} +1}}][eqn: =0]

(ⅲ) [eqn: LEFT | x RIGHT | <1]일 때,
[eqn: g(x)`= lim _{n -> INF } {{x ^{2n-1} -1} over {x ^{2n} +1}}][eqn: =-1]

[eqn: THEREFORE][eqn: g(x)= {cases{{1} over {x}&(|x|>1)#0&(|x|=1)#-1&(|x|<1)}}]

또, [eqn: h(x)= {cases{{|x|} over {x}&(x != 0)#0&(x=0)}}][eqn: = {cases{1&(x>0)#0&(x=0)#-1&(x<0)}}]

함수 [eqn: f(x)]가 최고차항의 계수가 1인 이차함수이므로

[eqn: f(x)=x ^{2} +ax+b]

로 놓으면 [eqn: f(x)g(x)]가 연속이므로 [eqn: x=1]에서 연속이어야 한다. 즉,

[eqn: lim _{x -> 1+} {f(x)g(x)} = lim _{x -> 1-} {f(x)g(x)} =f(1)g(1)]

이므로

[eqn: lim _{x -> 1+} {f(x)g(x)}][eqn: = lim _{x -> 1+} {LEFT { (x ^{2} +ax+b) TIMES {1} over {x} RIGHT }} =1+a+b]

[eqn: lim _{x -> 1-} {f(x)g(x)}][eqn: = lim _{x -> 1-} {LEFT { (x ^{2} +ax+b) TIMES (-1) RIGHT }} =-1-a-b]

[eqn: f(1)g(1)=(1+a+b) TIMES 0=0]에서

[eqn: 1+a+b=0]	…… ㉠

또, 함수 [eqn: f(x)h(x)]가 연속이므로 [eqn: x=0]에서 연속이어야 한다. 즉,

[eqn: lim _{x -> 0+} {f(x)h(x)} = lim _{x -> 0-} {f(x)h(x)} =f(0)h(0)]

이므로

[eqn: lim _{x -> 0+} {f(x)h(x)}][eqn: = lim _{x -> 0+} {LEFT { (x ^{2} +ax+b) TIMES 1 RIGHT }} =b]

[eqn: lim _{x -> 0-} {f(x)h(x)}][eqn: = lim _{x -> 0-} {LEFT { (x ^{2} +ax+b) TIMES (-1) RIGHT }} =-b]

[eqn: f(0)h(0)=b TIMES 0=0]에서

[eqn: b=0]	…… ㉡

㉠과 ㉡에서 [eqn: a=-1], [eqn: b=0]이므로 [eqn: f(x)=x ^{2} -x]

따라서

[eqn: f(10)=10 ^{2} -10=90]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{x ^{2n-1} -1} over {x ^{2n} +1}}], [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``{LEFT | x RIGHT |} over {x} `` LEFT ( x != 0 RIGHT )#````````0````````` LEFT ( x=0 RIGHT ) ``}}]

에 대하여 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )g LEFT (x RIGHT )`]와 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )h LEFT (x RIGHT )`]가 모두 연속함수일 때, [eqn: f LEFT (10 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고2 11월 28

두 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )], [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가

[정답] [eqn: bold8`]

[해설]

[eqn: f(x)= lim _{n` -> ` INF } {{x ^{2n+1} +1} over {x ^{2n} +1}}]에서 [eqn: f(x)= {cases{`x _{{} _{}}&````````(|``x`|>1)#`1 _{{} _{}}&````````(|``x`|<1)#`1 _{{} _{}}&````````(x=1)#`0&````````(x=`-1)}}]이므로 함수 [eqn: f(x)g(x-a)]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이려면 [eqn: x=`-1]에서 연속이어야 한다.

[eqn: lim _{x` -> `-1-} {f(x)g(x-a)}][eqn: = lim _{x`->`-1-0}{x left{(x-a)^2 + 10 (x-a ) right}}]
[eqn: =`-(a+1)(a-9)`]	…… ㉠

[eqn: lim _{x` -> `-1+} {f(x)g(x-a)}][eqn: = lim _{x` -> `-1+} {1 CDOT LEFT { (x-a) ^{2} +10(x-a) RIGHT }}]
[eqn: =(a+1)(a-9)]	…… ㉡

[eqn: f(-1)g(-1-a)=0 TIMES g(-1-a)=0]	…… ㉢

㉠, ㉡, ㉢의 값이 모두 같아야 하므로

[eqn: a=`-1] 또는 [eqn: a=9]이다.

따라서 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 8]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n` ->` INF } {{x ^{2n+1} +1} over {x ^{2n} +1}}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +10x]

이다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x-a RIGHT ) `]가 모든 실수 [eqn: x`]에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 [eqn: a`]의 값의 합을 구하시오.

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고2 11월 19

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{LEFT | x RIGHT | ^{n} +2 LEFT | x RIGHT | +1} over {LEFT | x RIGHT | ^{n} +1}} `]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(x)= lim _{n` -> ` INF } {} {|`x`| ^{`n} +2|`x`|+1} over {|`x`| ^{`n} +1}]에서

ⅰ) [eqn: |`x`|<1]일 때, [eqn: f(x) = 2|`x`|+1], ⅱ) [eqn: |`x`|=1]일 때, [eqn: f(x)=2]

ⅲ) [eqn: |`x`|>1]일 때, [eqn: f(x) = 1]

ㄱ. [eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =2 left| 1over 2right|+1 =2] (참)

ㄴ. [eqn: lim_{x`->`1-0} f(x) = lim_{x`->`1-0}(2`|`x`|`+1) =3] (참)

ㄷ. [eqn: g(x)= (x^2 -1 ) f(x)]라 하면, 함수 [eqn: y=x^2 -1]은 실수 전체의 집합에서 연속이고 함수 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x ne +-1]인 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이므로 [eqn: x=1], [eqn: x=`-1]에서의 연속성을 조사하면 된다.

ⅰ) [eqn: x=1]일 때, [eqn: g(1)=0]이고

[eqn: lim_{x`->`1+0 } g(x) = lim_{x`->`1+0} left{(x^2 -1) times 1 right}=0]

[eqn: lim _{x` -> `1-0} {} g(x)= lim _{x` -> `1-0} {}(x ^{2} -1) (2|`x`|+1)=0]이므로 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

ⅱ) [eqn: x=`-1]일 때, [eqn: g(-1)=0]이고

[eqn: lim _{x` -> `-1+0} {} g(x)= lim _{x` -> `-1+0} {} (x ^{2} -1)(2|`x`|+1)=0]

[eqn: lim _{x` -> -`1-0} {} g(x)= lim _{x` -> `-1-0} {} left{(x^2 -1) times 1 right}=0]이므로 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=`-1]에서 연속이다.

ⅰ), ⅱ)에 의하여 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =2`] ㄴ. [eqn: lim_{x`->`1-} {f LEFT (x RIGHT )} =3] ㄷ. 함수 [eqn: LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )`]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 07월 27

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{x ^{2n}} over {1+x ^{2n}}} `]과 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )g LEFT (x RIGHT )`]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: g LEFT (8 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold63`]

[해설]

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 다음과 같다.

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=`-1,```1]에서 불연속이다.

함수 [eqn: g(x)=x^2 +ax+b]라 하면

함수 [eqn: f(x) g(x)]가 실수 전체의 집합에서

연속이므로 [eqn: x=1`]과 [eqn: x=`-1`]에서 연속이다.

[eqn: x=1`]에서 연속이므로

[eqn: f(1)g(1)= lim _{ x->1+ } { f(x)g(x)}= lim _{ x->1- } { f(x)g(x)}]

[eqn: {1} over {2} LEFT ( 1+a+b RIGHT ) =1 LEFT ( 1+a+b RIGHT ) =0]에서

[eqn: a+b=`-1]	…… ㉠

[eqn: x=`-1`]에서 연속이므로

[eqn: f left(-1 right)g left(-1 right)= lim _{ x->-1+ } { f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) }= lim _{ x->-1- } { f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) }]

[eqn: {1} over {2} LEFT ( 1-a+b RIGHT ) =0=1 LEFT ( 1-a+b RIGHT )]에서

[eqn: a-b=1]	…… ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: a=0], [eqn: b=`-1]이므로

[eqn: g(x) = x^2 - 1]

따라서   [eqn: g(8)=63]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 09월 26

일차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x+a`]와 함수

[정답] [eqn: 30]

[해설]

함수 [eqn: g(x)=`` {cases{`-x+2&````(`x LEQ -1)#````````````3&````(``|`x`|<1)#````````````2&````(`````x=1```)#````````````x&````(````x>1```)}}]

이므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=1`]에서만 불연속이다.

함수 [eqn: f(x)g(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: f(1)g(1)= lim _{x -> 1+} {f(x)g(x)= lim _{x -> 1-} {f(x)g(x)}}]

[eqn: (3+a) TIMES 2= lim _{x -> 1+} {(3x+a)x= lim _{x -> 1-} {(3x+a) TIMES 3}}]

[eqn: a ={it}- 3`]이므로

[eqn: f(x)=3x-3]

따라서 [eqn: f(11)=30]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``-x+2&`` LEFT ( x LEQ -1 RIGHT ) #`` lim _{n `->` INF } {{x ^{2n+1} +3} over {x ^{2n} +1}}&```` LEFT ( x>-1 RIGHT )}} `]

에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) `]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: f LEFT (11 RIGHT )`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 29

실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=t x-2]가 함수

[정답] [eqn: 28]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]를 구하면 다음과 같다.

( i ) [eqn: |x|<1]이면 [eqn: lim x^{n}=0]이므로 [eqn: f(x)=-1]

(ii) [eqn: x=1]이면 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } x^{n}=1]이므로 [eqn: f(x)={1} over {2}]

(iii) [eqn: x=-1]이면 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } x^{2 n+1}=-1]이고 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } x^{2 n}=1]

이므로 [eqn: f(x)=-{3} over {2}]

(iv) [eqn: |x|>1]이면 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } left({1} over {x} right)^{n}=0]이므로

[eqn: f(x)= lim _{n ``rarrow`` inf } {2 x- left({1} over {x} right)^{2 n}} over {1+ left({1} over {x} right)^{2 n}}=2 x]

그러므로 [eqn: f(x)= cases{eqalign{`-1~~(-1<x<1)# ```````` {1} over {2} ~(x=1)# - {3} over {2} ~(x=-1)# `````````2x~(x< it -1~또는~x>1)}]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

직선 [eqn: y=t x-2]는 점 [eqn: (0,``-2)]를 지나므로 기울기 [eqn: t]의 값에 따른 교점의 개수 [eqn: g(t)]를 구해 보면

[eqn: -1 leq t < it - {1} over {2}] 또는 [eqn: -{1} over {2}<t leq 0]일 때 [eqn: g(t)=0]

[eqn: t < it - 1] 또는 [eqn: t=-{1} over {2}] 또는 [eqn: 0<t leq 1] 또는 [eqn: t=2]

또는 [eqn: t geq 4]일 때 [eqn: g(t)=1]

[eqn: 1<t<2] 또는 [eqn: 2<t<{5} over {2}] 또는 [eqn: {5} over {2}<t<4]일 때 [eqn: g(t)=2]

[eqn: t={5} over {2}]일 때 [eqn: g(t)=3]

즉 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=a]에서 불연속인 [eqn: a]의 값은

[eqn: -1], [eqn: -{1} over {2}], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: {5} over {2}], [eqn: 4]

이므로 [eqn: m=7], [eqn: a_{m}=4]

따라서 [eqn: m times a_{m}=7 times 4=28]

[eqn: f(x)= lim _{n ``rarrow`` inf } {2 x^{2 n+1}-1} over {x^{2 n}+1}]

의 그래프와 만나는 점의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=a]에서 불연속인 모든 [eqn: a]의 값을 작은 수부터 크기순으로

나열한 것을 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: cdots], [eqn: a_{m}]( [eqn: m]은 자연수)라 할 때, [eqn: m times a_{m}]의 값을 구하시오.

06 미적	01 수열의 극한
03 수열의 극한의 활용
11 극한으로 정의된 함수3 (미분과 적분)

[출처]	2008 모의_공공 사관학교 고3 07월 9

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n `->` INF } { {2x ^{2n+1} +x ^{2} +1} over {x ^{2n} +1}`]에 대한 설명 중 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: x=-1``]에서 연속이기 위해서 [eqn: f(-1)``]과 [eqn: lim_{x->-1}``f(x)``]가 서로 같아야 한다.
[eqn: f(-1)=lim_{n->inf}``{2(-1)^2n+1 +(-1)^2 +1} over {(-1)^2n +1}=lim_{n->inf}``0 over 2 =0``]
[eqn: lim _{x -> -1+} {} ``f(x)= lim _{x -> -1+} {} `` LEFT { lim _{n -> INF } {} `` {2x ^{2n+1} +x ^{2} +1} over {x ^{2n} +1} RIGHT } =2``]
[eqn: lim _{n -> -1-} {} ``f(x)= lim _{x -> -1-} {} `` LEFT { lim _{n -> INF } {} `` {2x ^{2n+1} +x ^{2} +1} over {x ^{2n} +1} RIGHT } =-2``]
따라서 [eqn: lim_{x->-1}``f(x)``]의 값은 존재하지 않고, 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=-1``]에서 불연속이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: -1<x<1``]일 때 [eqn: lim_{n->inf}``x^2n+1 =lim_{n->inf}``x^2n =0``]이므로
[eqn: f(x)=x^2 +1``]	[eqn: cdots``](1)
따라서 [eqn: x=0``]에서 극솟값 [eqn: 1``]을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: x=1``]에서 연속성을 조사하면
[eqn: f(1)=lim_{n->inf}``{2 cdot 1^2n+1 +1^2 +1} over {1^2n +1}=2``]
[eqn: lim _{x -> 1+} {} `` LEFT { lim _{n -> INF } {} `` {2x ^{2n+1} +x ^{2} +1} over {x ^{2n} +1} RIGHT } =2``]
[eqn: lim _{x -> 1-} {} `` LEFT { lim _{n -> INF } {} `` {2x ^{2n+1} +x ^{2} +1} over {x ^{2n} +1} RIGHT } =2``]
[eqn: therefore`````][eqn: f(1)=lim_{x->1}``f(x)``]

그러므로 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=1``]에서 연속이다.

[eqn: x>1``]일 때 [eqn: f(x)=2x``]이고 [eqn: -1<x<1``]일 때 [eqn: f(x)=x^2 +1``]이므로

[eqn: x>1``]일 때 [eqn: f'(x)=2``]이고 [eqn: -1<x<1``]일 때 [eqn: f'(x)=2x``]이다.

따라서 [eqn: x=1``]에서 미분가능하다. (참)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: x=`-1`]에서 연속이다. ㄴ. [eqn: x=0`]에서 극솟값 [eqn: 1`]을 갖는다. ㄷ. [eqn: x=1`]에서 미분가능하다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

06 미적	01 수열의 극한
03 수열의 극한의 활용
12 수열의 극한의 진위판정

[출처]	2010 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

세 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { c _{n} RIGHT }`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ④

[해설]

ㄱ. [eqn: 0<a _{n} <b _{n} `]이고, [eqn: lim _{n-> INF } {`b _{n} `= INF }`]이므로
[eqn: lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {b _{n} ^{````2}}} `=`][eqn: lim _{n-> INF } 1over b_n`×{{a _{n}} over {b _{n} } `=`0`×0=0``] (참)

ㄴ. [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `;`1`,``0`,``1`,``0`,``1,``0`,``…``]이고
[eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }`;`0`,``1`,``0`,``1`,``0`,``1`,``…``]이면
수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]은 발산하고 수열 [eqn: LEFT { a _{n}` b _{n} RIGHT }`]은 수렴하지만
[eqn: lim _{n-> INF } {}` b _{n} ``]은 발산한다. (거짓)

ㄷ. [eqn: a _{n} <b _{n} <c _{n} `][eqn: (`n=1,`2,`3, CDOTS `)]이고
[eqn: lim _{n -> INF } {} (n+1)`a _{n} = lim _{n -> INF } {} (n-1)`c _{n} =1`]이므로
[eqn: a_n = 1over{n+a} `,````c_n = 1over {n+b} `~```(a`>`b)``]꼴이다.
∴ [eqn: 1over{n+a} `<`b _{n}` <`1over {n+b} `~```(a`>`b)``]에서
[eqn: n over{n+a} `<`n`b _{n}` <`n over {n+b} `~```(a`>`b)``]이므로
[eqn: lim _{n -> INF } {} `n`b _{n} =1`]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: 0<a _{n} <b _{n}][eqn: LEFT (n=1,``2,``3,` CDOTS ` RIGHT )`]이고 [eqn: lim _{n`->` INF } {b _{n}= INF }`]이면 [eqn: lim _{n `->` INF } {{a _{n}} over {b _{n} ^{ ~2}}} =0 `]이다. ㄴ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]이 발산하고 수열 [eqn: LEFT { a _{n} b _{n} RIGHT }`]이 수렴하면 [eqn: lim _{n`->` INF } {b _{n}} =0`]이다. ㄷ. [eqn: a _{n} <b _{n} <c _{n}][eqn: LEFT (n=1,``2,``3, `CDOTS ` RIGHT )`]이고 [eqn: lim _{n` ->` INF } { LEFT (n+1 RIGHT )a _{n}} = lim _{n `-> ` INF } { LEFT (n-1 RIGHT )c _{n}} =1`]이면 [eqn: lim _{n `-> ` INF } {nb _{n}} =1`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 03월 20

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]의 일반항이

[정답] ③

[해설]

ㄱ. 수열 [eqn: left{ a_{`n} right} `]은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: cdots `]
이므로 수열 [eqn: left{ a_{`n} right} `]은 발산(진동)한다. (참)

ㄴ. 수열 [eqn: left{ b_{`n} right} `]은
[eqn: p+q], [eqn: -p+q], [eqn: p+q], [eqn: -p+q], [eqn: cdots `]
이므로 [eqn: p=0`]인 경우 수열 [eqn: left{ b_{`n} right} `]은 [eqn: q], [eqn: q], [eqn: q], [eqn: cdots]
가 되어 수렴한다. (참)

ㄷ. 수열 [eqn: left{a _{n} +b _{n} right}`]은
[eqn: 1+p+q], [eqn: 2-p+q], [eqn: 1+p+q], [eqn: 2-p+q], [eqn: cdots`]
이므로 수열 [eqn: left{ a_{`n} + b_{`n} right} `]이 수렴하기 위해서는
[eqn: 1+p+q=2-p+q]
[eqn: p= {1} over {2}]
수열 [eqn: left{a _{n} b _{n} right}`]은
[eqn: 1 TIMES LEFT ( p+q RIGHT )], [eqn: 2 TIMES LEFT ( -p+q RIGHT )], [eqn: 1 TIMES LEFT ( p+q RIGHT )], [eqn: 2 TIMES LEFT ( -p+q RIGHT )], [eqn: cdots `]이므로 수열 [eqn: left{ a_{`n} b_{`n} right} `]이 수렴하기 위해서는
[eqn: 1{times} LEFT ( p+q RIGHT )][eqn: =2times LEFT ( -p+q RIGHT ) `]
[eqn: q=3p`]
그러므로
[eqn: q][eqn: =3 TIMES {1} over {2}][eqn: = {3} over {2}]
그러면 [eqn: 1+p+q=2-p+q=3`]이므로
[eqn: lim _{n`->`inf} {} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) =3]
또한, [eqn: 1 TIMES LEFT ( p+q RIGHT ) =2 TIMES LEFT ( -p+q RIGHT ) =2`]이므로
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} b _{n} =2]
그러므로
[eqn: lim _{n`->`inf} {} left{ LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b _{n} RIGHT ) ^{2} right}]
[eqn: = lim _{n`->`inf} {} left{ LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) ^{2} -2a _{n} b _{n} right}]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) TIMES lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) -2` lim _{n`->`inf} {} a _{n} b _{n}]
[eqn: =3 ^{2} -2times2][eqn: =5] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

[다른 풀이]

ㄷ. [eqn: a _{n} +b _{n}][eqn: = LEFT { {1} over {2} TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} + {3} over {2} RIGHT } + LEFT { `p TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n+1} +q` RIGHT }]
[eqn: = LEFT ( {1} over {2} -p RIGHT ) LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} + {3} over {2} +q`]이므로

수열 [eqn: left{a _{n} +b _{n} right}`]이 수렴하려면
[eqn: {1} over {2} -p=0], 즉 [eqn: p= {1} over {2} `]이어야 한다.
[eqn: p= {1} over {2} `]일 때,

[eqn: a _{n} b _{n}][eqn: = LEFT { {1} over {2} TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} + {3} over {2} RIGHT } LEFT { {1} over {2} TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n+1} +q` RIGHT }]
[eqn: = LEFT { {1} over {2} TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} + {3} over {2} RIGHT } LEFT { - {1} over {2} TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} +q` RIGHT }]
[eqn: = it - {1} over {4} {times} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2n} + LEFT ( {q} over {2} - {3} over {4} RIGHT ) LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} + {3} over {2} q]
[eqn: = LEFT ( {q} over {2} - {3} over {4} RIGHT ) LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} - {1} over {4} + {3} over {2} q]이므로

수열 [eqn: LEFT { a _{n} b _{n} RIGHT } `]이 수렴하려면
[eqn: {q} over {2} - {3} over {4} =0], 즉 [eqn: q= {3} over {2} `]이어야 한다.
그러므로

[eqn: lim _{n`->`inf} {} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT )][eqn: = {3} over {2} +q][eqn: = {3} over {2} + {3} over {2} =3]

[eqn: lim _{n`->`inf} {} a _{n} b _{n}][eqn: = it - {1} over {4} + {3} over {2} q][eqn: =it- {1} over {4} + {9} over {4} =2]

따라서

[eqn: lim _{n`->`inf} {} left{ LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b _{n} RIGHT ) ^{2} right}]
[eqn: = lim _{n`->`inf} {} left{ LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) ^{2} -2a _{n} b _{n} right}]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) ^{2} - lim _{n`->`inf} {} 2a _{n} b _{n}]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) TIMES lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) -2` lim _{n`->`inf} {} a _{n} b _{n}]
[eqn: =3 ^{2} -2times2][eqn: =5]

[eqn: a _{n} = {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} +3} over {2}], [eqn: b _{n} =p TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n+1} +q`]

일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: p], [eqn: q`]는 실수이다.)

	<보 기>
ㄱ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 발산한다. ㄴ. 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]이 수렴하도록 하는 실수 [eqn: p`]가 존재한다. ㄷ. 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} +b _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { a _{n} b _{n} RIGHT } `]이 모두 수렴하면 [eqn: lim _{n`-> ` INF } { LEFT { LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b _{n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }} =6`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[준킬러][미적] 1급수1(빠른 정답)
준킬러미적	2023.01.06

[정답] [eqn: 7]

[정답] ④

[정답] [eqn: 10]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ②

[정답] [eqn: 12]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: bold{ 5]

[정답] [eqn: 40]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] [eqn: 5]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: 15]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] [eqn: 54]

[정답] [eqn: 64]

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ④

[정답] [eqn: bold{ 4]

[정답] ①

[정답] [eqn: bold{50]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: {bold{6]

[정답] [eqn: 12]

[정답] [eqn: 80]

[정답] [eqn: 24]

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ①

[정답] [eqn: 20]

[정답] [eqn: 10]

[정답] [eqn: 25]

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 3]

[정답] [eqn: 125]

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ④

[정답] [eqn: 240]

[정답] ③

[정답] [eqn: 379]

[정답] [eqn: 25]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ④

[정답] [eqn: bold{ 9]

[정답] [eqn: 192]

[정답] [eqn: bold{32]

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: bold90`]

[정답] [eqn: bold8`]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold63`]

[정답] [eqn: 30]

[정답] [eqn: 28]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ③

[준킬러][미적] 1급수1(해설)
준킬러미적	2023.01.06