	준킬러수2	[준킬러][수학2] 4적분
	04
		준킬러수2	2023.01.06

04 수2	07 부정적분
02 부정적분의 계산
01 부정적분의 계산1 (기본)

준킬러수2		준킬러수2
		[준킬러][수학2] 4적분
04

	준킬러수2		준킬러수2
	[준킬러][수학2] 4적분		04

[출처]	2005 모의_공공 사관학교 고3 07월 8

자연수 [eqn: n `]과 실수 [eqn: x `]에 대하여 함수 [eqn: F` _n LEFT (x RIGHT ) `]가

[정답] ④

[해설]

[eqn: F`_{ it n } LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {} {x ^{3n} -1} over {x ^{2} +x+1} dx]에서

[eqn: {x ^{3n} -1} over {x ^{2} +x+1} = { LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{3} -1 RIGHT ) LEFT ( x ^{3 LEFT (n-1 RIGHT )} +x ^{3 LEFT (n-2 RIGHT )} + `CDOTS` +x ^{3} +1 RIGHT )} over { LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT )}][eqn: = {1} over {3n-1} x ^{3n-1} - {1} over {3n-2} x ^{3n-2} + {1} over {3n-4} x ^{3n-4} - {1} over {3n-5} x ^{3n-5}]

[eqn: +`CDOTS` + {1} over {5} x ^{5} - {1} over {4} x ^{4} + {1} over {2} x ^{2} -x+C]	[eqn: cdots cdots] ①

주어진 조건

[eqn: F`_{ it n } LEFT (1 RIGHT ) = {1} over {3n-1} - {1} over {3n-2} + {1} over {3n-4} - {1} over {3n-5} + `CDOTS ` + {1} over {2} -1]

로 부터 적분상수 [eqn: C`=0]이다. 따라서 [eqn: F`_{ it n } LEFT (0 RIGHT )=0]이다.

[eqn: F` _{n} LEFT (x RIGHT ) = int _{} ^{} {} {x ^{3n} - 1 _{}} over {x ^{2} + x+ 1} d x `]
[eqn: F` _{n} LEFT ( 1 RIGHT ) = {1} over {3n-1} - {1} over {3n-2} + {1} over {3n-4} - {1} over {3n-5}]
[eqn: +` CDOTS `+ {1} over {2} -1`]

와 같이 정의될 때, [eqn: F`_n LEFT (0 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: {n LEFT (n - 1 RIGHT )}over{2}]	② [eqn: {n LEFT (n-1 RIGHT ) LEFT (n-2 RIGHT )}over{6}]	③ [eqn: { LEFT (n-1 RIGHT ) LEFT (n-2 RIGHT )}over{n + 1}]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

04 수2	07 부정적분
03 부정적분의 활용
06 함수 구하기6 (도함수의 정의 이용)

[출처]	2017 모의_공공 경찰대 고3 07월 20

미분가능한 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {g(x)-1} over {x}=0]에서 [eqn: g(0)=1], [eqn: g `prime (0)=0]

[eqn: f(1+0)=f(1) g(0)+f(0) g(1)]에서 [eqn: f(0) g(1)=0]

[eqn: g(1+0)=g(1) g(0)+f(1) f(0)]에서 [eqn: f(1) f(0)=0]

[eqn: f(1)=1]이므로 [eqn: f(0)=0]

ㄱ. [eqn: f `prime (x)][eqn: = lim _{y ``rarrow`` 0} {f(x+y)-f(x)} over {y}]
[eqn: = lim _{y ``rarrow`` 0} {f(x) g(y)+f(y) g(x)-f(x)} over {y}]
[eqn: = lim _{y ``rarrow`` 0} f(x) {g(y)-1} over {y}+ lim _{y ``rarrow`` 0} {f(y)} over {y} g(x)]
[eqn: =f `prime (0) g(x)]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠
추가로

[eqn: g `prime (x)][eqn: = lim _{y ``rarrow`` 0} {g(x+y)-g(x)} over {y}]
[eqn: = lim _{y ``rarrow`` 0} {g(x) g(y)+f(y) f(x)-g(x)} over {y}]
[eqn: = lim _{y ``rarrow`` 0} g(x) {g(y)-1} over {y}+ lim _{y ``rarrow`` 0} {f(y)} over {y} f(x)]
[eqn: =f `prime (0) f(x)]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

ㄷ. ㉠, ㉡ 에서
[eqn: f `prime (0)={g `prime (x)} over {f(x)}={f `prime (x)} over {g(x)}]
정리하면
[eqn: 2 g(x) g `prime (x)-2 f(x) f `prime (x)=0]
적분하면
[eqn: left{ g(x) it right} ^{2}- left{ f(x) it right} ^{2}=1 ~ ( because g(0)=1,`` f(0)=0)]

ㄴ. ㄷ에서 [eqn: left{ g(x) it right} ^{2}=1+ left{ f(x) it right} ^{2} geq 1]이므로
[eqn: x=0]를 포함하는 열린구간에서 [eqn: 0<g(x) leq 1]인 점이 없다. 따라서 이 열린구간에서 [eqn: g(x) geq 1=g(0)]이므로 [eqn: x=0]에서 극솟값 [eqn: rm 1]을 갖는다.

[eqn: f(x+y)=f(x) g(y)+f(y) g(x),` ~ f(1)=1]

[eqn: g(x+y)=g(x)g(y)+f(x)f(y),~ lim _{x`` rarrow ``0} {} {g(x)-1} over {x} =0]

을 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f `prime (x)=f `prime (0) g(x)] ㄴ. [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 극솟값 [eqn: rm 1]을 갖는다. ㄷ. [eqn: left{ g(x) it right} ^{2}- left{ f(x) it right} ^{2}=1]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2019 모의_공공 경찰대 고3 07월 17

임의의 두 실수 [eqn: x,``` y]에 대하여

[정답] ②

[해설]

주어진 항등식의 우변에 [eqn: 3xy(x-y)] 으로부터

[eqn: f(x) = - x^3 + k x]이다. 따라서 [eqn: f``'(x) = - 3x^2 + k]

[eqn: f``'(2) = -12 + k = 0], [eqn: f(2) = -8 + 2k = a], [eqn: k = 12], [eqn: a = 16]

[eqn: f```'(0) = k][eqn: = b], [eqn: b = 12][eqn: THEREFORE][eqn: a -b = 16 - 12 = 4]

[eqn: f (x - y) = f (x) - f (y) + 3xy(x - y)]

를 만족시키는 다항함수 [eqn: f (x)]가 [eqn: x = 2]에서 극댓값 [eqn: a]를 가진다. [eqn: f` prime (0)=b]일 때, [eqn: a - b]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

04 수2	07 부정적분
03 부정적분의 활용
07 함수 구하기7 (도함수 구하기)

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 10월 21

사차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]의 도함수 [eqn: y=f `' LEFT (x RIGHT ) `]의 그래프가 그림과 같고, [eqn: f `' LEFT ( - root 2 RIGHT ) =f `' LEFT ( 0 RIGHT ) = f `' LEFT ( root 2 RIGHT ) = 0 `]이다.

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) `]는 삼차함수이고

[eqn: f` prime ` LEFT ( 0 RIGHT ) ``][eqn: =`f` prime ` LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) `=`f` prime ` LEFT ( - sqrt {2} RIGHT ) `=0`]이므로

[eqn: f` prime ` LEFT ( x RIGHT ) `][eqn: =`k`x LEFT ( x+ sqrt {2} RIGHT ) LEFT ( x- sqrt {2} RIGHT )]
[eqn: =`k`x LEFT ( x ^{`2} -2 RIGHT )`]

[eqn: =`k`x ^{`3} -2k`x`] (단, [eqn: k]는 상수)

[eqn: f` LEFT ( x` RIGHT ) `=` {k} over {4} `x ^{`4} `-`k`x ^{`2} `+`C`] (단, [eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) `=C`=1`]

[eqn: f LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) `=`k-2k+C`=`-k+1`=`-3`]

이므로 [eqn: k=4`]

따라서 [eqn: f` LEFT ( x` RIGHT ) `=`x ^{`4} -4x ^{`2} +1`]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) `=f LEFT ( 2 RIGHT ) `=1>0`],

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) `=f LEFT ( 1 RIGHT ) `=`-2<0`]

이므로

[eqn: f LEFT ( m RIGHT )` f LEFT ( m+1 RIGHT ) <0`]을 만족시키는 정수는[eqn: -2`], [eqn: -1`], [eqn: 0`], [eqn: 1`]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( m RIGHT )` f LEFT ( m+1 RIGHT ) <0]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: m`]의 값의

합은 [eqn: -2`]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = 1], [eqn: f LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) =`-3 `]일 때, [eqn: f LEFT (m RIGHT )f LEFT (m+1 RIGHT )<0`]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: m `]의 값의 합은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 10

사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) `]의 값은?

[정답] ②

[해설]

조건 (나)에서 [eqn: f `prime left(x right)=ax left(x-1right)left(x-3right)``left(a<0right)]이라 하면

조건 (가)에서 [eqn: f`prime left(4right)=it-24]이므로

[eqn: f`prime left(4right)=12a=it-24]에서 [eqn: a=it-2]

따라서 [eqn: f`prime left(x right)=it-2x left(x-1right)left(x-3right)=it-2x^3 +8x^2 -6x]이므로

[eqn: f left(x right)=it- 1over2 x^4 + 8over3 x^3 -3x^2 +2] ([eqn: because][eqn: f left(0right)=2])

[eqn: therefore][eqn: f left(2right)= 10over3]

(가) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =2`]이고 [eqn: f`' LEFT ( 4 RIGHT ) =-24`]이다.

(나) 부등식 [eqn: xf`' LEFT ( x RIGHT ) >0`]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x`]의 값의 범위는 [eqn: 1<x<3`]이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: {10} over {3}]	③ [eqn: {11} over {3}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {13} over {3}]

04 수2	07 부정적분
03 부정적분의 활용
08 활용1 (몫과 나머지의 해석)

[출처]	2009 모의_공공 사관학교 고3 07월 27

[eqn: 5 `]차다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여, [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: LEFT ( x - 1 RIGHT )^3 `]으로 나누면 나머지가 [eqn: 8 `]이고, [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: LEFT ( x + 1 RIGHT ) ^{3} `]으로 나누면 나머지가 [eqn: -8 `]일 때, [eqn: P` LEFT ( 2 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 46]

[해설]

나눗셈 정리를 이용하면

[eqn: P(x)=(x-1)^3 Q(x)+8``][eqn: cdots``](1)

[eqn: =(x+1)^3 R(x)-8``][eqn: cdots``](2)

양변을 [eqn: x``]에 관하여 미분하면

[eqn: P`` prime (x)=3(x-1) ^{2} Q(x)+(x-1) ^{3} Q`` prime (x)```]

[eqn: =(x-1) ^{2} LEFT { 3Q(x)+(x-1)Q`` prime (x) RIGHT } ````]

[eqn: =3(x+1) ^{2} R(x)+(x+1) ^{3} R`` prime (x)]

[eqn: =(x+1) ^{2} LEFT { 3R(x)+(x+1)R`` prime (x) RIGHT } ````]

따라서

[eqn: P``'(x)=a(x-1)^2 (x+1)^2 =a(x^2 -1)^2``][eqn: cdots``](3)

이 식을 [eqn: x``]에 관하여 적분하면

[eqn: P(x)= 1 over 5 a x^5 - 2 over 3 a x^3 +ax+C``][eqn: cdots``](4)

식 (1)과 식 (2)에서 [eqn: P(1)=8``], [eqn: P(-1)=-8``]이므로 식 (4)로부터

[eqn: P(1)= 1 over 5 a - 2 over 3 a +a+C= 8 over 15 a +C=8``][eqn: cdots``](5)

[eqn: P(-1)=- 1 over 5 a + 2 over 3 a -a+C=- 8 over 5 a+C=-8``][eqn: cdots``](6)

식 (5)와 (6)을 연립하여 풀면 [eqn: a=15,```C=0``]이다.

따라서

[eqn: P(x)=3x^5 -10x^3 +15x``]

[eqn: therefore`````][eqn: P(2)=3 cdot 2^5 -10 cdot 2^3 +15 cdot 2]

[eqn: =96-80+30=46``]

04 수2	07 부정적분
03 부정적분의 활용
09 활용2 (함수의 상황)

[출처]	2011 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

두 다항함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]와 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]에 대하여 [eqn: f`' LEFT (x RIGHT )=6x ^{2}`]이고, [eqn: g`' LEFT (x RIGHT )=2x`]이다. [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]와 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )`]의 그래프가 두 점에서 만날 때, [eqn: f LEFT (0 RIGHT )-g LEFT (0 RIGHT )`]의 값들의 합은 [eqn: {q} over {p}`]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 28]

[해설]

[eqn: f' (x) - g'(x)][eqn: =6x^2 -2x]이므로

[eqn: f(x)-g (x)][eqn: = 2 x^3 -x^2 +C]이다.

[eqn: y = f(x)]와 [eqn: y= g(x)]가 서로 다른 두 점에서 만나므로 방정식 [eqn: f(x)-g(x)=0]은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

[eqn: f(x)-g(x)]는 삼차함수이므로 방정식 [eqn: f(x)-g(x)=0]은 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는 함수 [eqn: f(x)-g(x)]의 (극솟값)[eqn: =0]또는 (극댓값)[eqn: =0]이어야 한다.

[eqn: f' (x) - g'(x)][eqn: =2x (3x-1)][eqn: =0]에서

[eqn: x =0] 또는 [eqn: x = 1 over3]이므로

[eqn: f(0)-g(0)=C =0]

또는 [eqn: f LEFT ( 1 over3 RIGHT )- g LEFT ( 1 over3 RIGHT ) = 2 over27 - 1 over9 +C =0]

∴ [eqn: C = 0] 또는 [eqn: C = 1 over27]

∴ [eqn: q overp = 0+ 1 over27 = 1 over27]

∴ [eqn: p =27], [eqn: q =1], [eqn: p+q =28]

04 수2	07 부정적분
03 부정적분의 활용
10 활용3 (극대와 극소)

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 19

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: f `' LEFT (x RIGHT )= LEFT (x-1 RIGHT ) ^{3} `]이다. 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]의 극값을 [eqn: M `], 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]의 그래프 위의 두 점 [eqn: {rm A} LEFT ( 0 ,`` f LEFT (0 RIGHT ) RIGHT )], [eqn: {rm B} LEFT ( 2 ,`` f LEFT (2 RIGHT ) RIGHT ) `]에서 접하는 두 접선의 교점의 [eqn: y `]좌표를 [eqn: N ``]이라 할 때, [eqn: 16 LEFT (M`-N` RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold12]

[해설]

[eqn: f(x)= {1} over {4} (x-1) ^{4} +C] 에서  [eqn: M=f(1)=C]

[eqn: f prime (0)=-1], [eqn: f prime (2)=1]

[eqn: x=0]에서의 접선은 [eqn: y=-x+ {1} over {4} +C]

[eqn: x=2]에서의 접선은 [eqn: y=(x-2)+ {1} over {4} +C]

[eqn: -x+ {1} over {4} +C=x-2+ {1} over {4} +C] 에서 [eqn: x=1]이므로

[eqn: N=C- {3} over {4}]

[eqn: THEREFORE ````16(M-N)=12]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 07월 21

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(x) `=` x(x-alpha)^2]이고, [eqn: g`` prime (x)``=``(`x`f(x)`) prime]이므로

[eqn: g(x) `= xf(x) +C], [eqn: g(x)`=`x^2 (x-alpha)^2 +C]

[eqn: g` prime (x)`=`2x(x- alpha ) ^{2} +2x ^{2} (x- alpha )][eqn: =`2x(x- alpha )(2x- alpha )]

[eqn: y`=` g(x)]는 [eqn: x=0], [eqn: x=alpha]에서 극솟값, [eqn: x`=`` alpha over {2}]에서 극댓값을 갖는다. [eqn: ``g LEFT ( {alpha } over {2} RIGHT ) `=`81], [eqn: g(0) `=` g (alpha) `=` 0]

이를 이용하여 [eqn: alpha]와 [eqn: g(x)]를 구하면 [eqn: alpha `=` 6], [eqn: g(x)`=` x^2 (x-6)^2]

[eqn: therefore ` g left ( alpha over 3 right) `=` g(2) `=` 64]

<별해>

함수 [eqn: f(x)]를 구하면 [eqn: f(x) `=` x(x-alpha)^2]이므로,

[eqn: f`'(x) `=` (x-alpha)^2 + 2x(x-alpha)], [eqn: g`'(x) `=`f(x)+xf`'(x)]이므로

[eqn: g` prime (x)`=`4x ^{3} -6 alpha x ^{2} +2 alpha ^{2} x`][eqn: =`2x(x- alpha )(2x- alpha )]

[eqn: y`=` g(x)]는 [eqn: x=0], [eqn: x`=` alpha]에서 극솟값, [eqn: x`=`` alpha over {2}]에서 극댓값을 갖는다. [eqn: ``g LEFT ( {alpha } over {2} RIGHT ) `=`81], [eqn: g(0) `=` g (alpha) `=` 0]

이를 이용하여 [eqn: alpha]와 [eqn: g(x)]를 구하면 [eqn: alpha `=` 6], [eqn: g(x)`=` x^2 (x-6)^2]

[eqn: therefore ` g left ( alpha over 3 right) `=` g(2) `=` 64]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0], [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =0], [eqn: f `prime LEFT ( alpha RIGHT ) =0]

이고 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 두 조건을 만족시킬 때, [eqn: g LEFT ( {alpha } over {3} RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: alpha `]는 양수이다.)

(가) [eqn: g `prime LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) +xf `prime LEFT ( x RIGHT )]

(나) [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값이 [eqn: 81 `]이고 극솟값이 [eqn: 0 `]이다.

① [eqn: 56]	② [eqn: 58]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 62]	⑤ [eqn: 64]

04 수2	08 정적분
01 정적분의 계산
08 계산과 해석1 (정적분 관계식)

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 11월 20

최고차항의 계수가 음수인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]의 도함수를 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )`]라 하자. [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =0`]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )][eqn: LEFT ( a<0 RIGHT )]라 하자.
[eqn: 1<x<2]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >0]
[eqn: int _{1} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx>0}][eqn: THEREFORE](참)

ㄴ. [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f` prime LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( 3x ^{2} -4x-1 RIGHT )]
[eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) =`-a>0][eqn: therefore](거짓)

ㄷ. 방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =0]의 서로 다른 두 실근을
[eqn: alpha], [eqn: beta][eqn: LEFT ( alpha < beta RIGHT )]라 하자.

[eqn: int _{m} ^{n} {h LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값이 최대가 되려면
닫힌 구간 [eqn: LEFT [`m,``n RIGHT ]]이 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]를 만족시키는
구간과 일치하여야 하므로 [eqn: m= alpha], [eqn: n= beta]
[eqn: therefore][eqn: m+n= alpha + beta = {4} over {3}][eqn: therefore](참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

	<보 기>
ㄱ. [eqn: int _{1} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx>0}] ㄴ. [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) <0] ㄷ. [eqn: int _{m} ^{n} {h LEFT ( x RIGHT ) dx}`]의 값이 최대일 때, [eqn: m+n= {4} over {3}`]이다. (단, [eqn: m<n`])

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	08 정적분
01 정적분의 계산
09 계산과 해석2 (절댓값함수의 해석)

[출처]	2002 모의_공공 평가원 고3 11월 16

그림과 같이 삼차함수 [eqn: y=f(x)]가 극댓값 [eqn: f(1)=1]과 극솟값 [eqn: f(3)=-3]을 가지며, [eqn: f(0)=-3]이다. 이때, [eqn: int_{0}^{3} left|f `prime (x) right| d x]의 값은?

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 11월

이차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=0 `]이고 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold45]

[해설]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx` LEFT ( a != 0 RIGHT )]라 하자.

조건 (가)에 의하여

[eqn: int _{0} ^{2} {} LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx=4], [eqn: int _{0} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx= it -4]

이므로 구간 [eqn: LEFT [ 0,~2 RIGHT ]]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 0]이다.

또한, 조건 (나)에 의하여

[eqn: int _{2} ^{3} {} LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx= int _{2} ^{3} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx]

이므로 구간 [eqn: LEFT [ 2,~3 RIGHT ]]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =4a+2b=0]

[eqn: THEREFORE ~b= it -2a]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} -2ax`]이므로

[eqn: int _{0} ^{2} {} LEFT ( ax ^{2} -2ax RIGHT ) dx][eqn: = LEFT [ {a} over {3} x ^{3} -ax ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2}]
[eqn: = {8} over {3} a-4a= it - {4} over {3} a= it -4]

[eqn: THEREFORE ~a=3]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -6x`]이므로

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =3 TIMES 5 ^{2} -6 TIMES 5=75-30=45]

(가) [eqn: int_0^2 { LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | }dx =`-int_0^2{f LEFT (x RIGHT )}dx =4`]

(나) [eqn: int_2^3 {LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | } dx=int_2^3{f LEFT (x RIGHT )}dx`]

[eqn: f LEFT (5 RIGHT )``]의 값을 구하시오.

04 수2	08 정적분
01 정적분의 계산
10 계산과 해석3 (함수 구하기)

[출처]	2003 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

닫힌구간 [eqn: [0,``2]]에서 정의된 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]의 그래프는 아래 그림과 같다. 이때, [eqn: {1} over {3} int_{0}^{2} f(g(x)) d x]의 값을 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오.

[정답] [eqn: 10.67]

[해설]

[eqn: f(x)=cases{``````````````````32 x && (0 leq x leq 1) # -32 x+64 && (1 leq x leq 2)}]

[eqn: g(x)=cases{-2 x+1 && left(0 leq x leq {1} over {2} right) # {2} over {3} x-{1} over {3} && left({1} over {2} leq x leq 2 right)}]

(ⅰ) [eqn: 0 leq x leq {1} over {2}]일 때,
[eqn: f(g(x))=f(-2 x+1)=32(-2 x+1)=-64 x+32]

(ⅱ) [eqn: {1} over {2} leq x leq 2]일 때,
[eqn: f(g(x))=f left({2} over {3} x-{1} over {3} right)=32 left({2} over {3} x-{1} over {3} right)={64} over {3} x-{32} over {3}]
[eqn: {1} over {3} int_{0}^{2} f(g(x)) d x]
[eqn: ={1} over {3} left{ int_{0}^{{1} over {2}}(-64 x+32) d x+ int_{{1} over {2}}^{2} left({64} over {3} x-{32} over {3} right) d x it right}]
[eqn: ={1} over {3} left{ left[ pile{it #it} -32 x^{2}+32 x right]_{0}^{{1} over {2}}+ left[ pile{it #it} {32} over {3} x^{2}-{32} over {3} x right]_{{1} over {2}}^{2} it right}]
[eqn: ={1} over {3}(8+24)={32} over {3}=10.666][eqn: CDOTSCDOTS]
[eqn: therefore~10.67]

[출처]	2012 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

세 다항함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )], [eqn: g LEFT (x RIGHT )], [eqn: h LEFT (x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 18]

[해설]

[eqn: f(xy+1)=xg(y)+h(x+y)] ⋯⋯ ㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=0] 을 대입하면 [eqn: f(1)= h(y)]

[eqn: f(1)=1]이고 위 식은 모든 실수 [eqn: y]에 대하여 성립해야하므로

[eqn: h(x)]는 상수함수이다.  ∴ [eqn: h(x)=1]

따라서 ㉠의 식은 [eqn: f(xy+1)=x g(y)+1] ⋯⋯ ㉡

㉡의 양변에 [eqn: y=1]을 대입하면 [eqn: f(x+1)= x g(1)+1]

[eqn: g(1)=2]이므로 [eqn: f(x+1)][eqn: =2x+1]   ∴ [eqn: f(x)=2x-1] ⋯⋯ ㉢

따라서 [eqn: f(x+1)=][eqn: 2(xy+1)-1][eqn: =2xy+1]이므로

㉡에서 [eqn: 2xy+1 = x g(y)+1]

따라서 [eqn: g(y)=2y] 즉, [eqn: g(x)=2x]이다.

∴ [eqn: f(x)+g(x)+h(x)= 4x]

∴ [eqn: int_0^3 left{f(x)+g(x)+h(x) right}dx][eqn: = int_0^3 4xdx][eqn: =left[2x^2 right]_0^3][eqn: =18]

[별해]

[eqn: f(xy+1)=xg(y)+h(x+y)][eqn: cdots``]㉠

(1) ㉠에 [eqn: x=0``]을 대입하면
[eqn: f(1)=h(y)``]; [eqn: h(y)=1``]   ∴ [eqn: h(x)=1``]

(2) [eqn: h(x)=1``]이므로 ㉠에서 [eqn: f(xy+1)=xg(y)+1``][eqn: cdots``]㉡

㉡에 [eqn: y=1``]을 대입하면 [eqn: f(x+1)=xg(1)+1 = 2x+1``]
∴ [eqn: x``]대신 [eqn: x-1``]을 대입하면 [eqn: f(x)=2(x-1)+1 = 2x-1``]

이 때, ㉡에서

[eqn: 2(xy+1)-1 =xg(y)+1] ; [eqn: 2xy=xg(y)``]; [eqn: g(y)=2y``]

∴ [eqn: g(x)=2x``]

∴ [eqn: int_0^3 `left{f(x)+g(x)+h(x)right}`dx``]

[eqn: =int_0^3 `left{(2x-1)+2x+1right}`dx``]

[eqn: =int_0^3 4x dx = left[2x^2 right]_0 ^3 = 2 cdot 3^2 =18``]

(가) [eqn: f LEFT (1 RIGHT )=1], [eqn: g LEFT (1 RIGHT )=2`]

(나) 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y`]에 대하여  [eqn: f LEFT (xy+1 RIGHT )=xg LEFT (y RIGHT )+h LEFT (x+y RIGHT )`]이다.

이때, [eqn: int_0^3 left{f LEFT (x RIGHT )+g LEFT (x RIGHT )+h LEFT (x RIGHT )right} dx`]의 값을 구하시오.

[출처]	2014 모의_공공 경찰대 고3 07월 18

미분가능한 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 모든 실수에서 미분가능하므로

[eqn: g(x)= cases { 3a x^2 +2bx+c ```````&(x <1)#3p(x-2)^2 +2q(x-2)+r ````&(x ge1)]

[eqn: g'(x)= cases { 6a x +2b ``````````````&(x <1)#6p(x-2) +2q````` &(x ge1)]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속일 조건으로부터

[eqn: a+b+c +1 =1], [eqn: -p+q-r+5 =1]

∴ [eqn: a+b+c=0]	⋯⋯ ㉠,

[eqn: p-q+r =4]	⋯⋯ ㉡

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 미분 가능할 조건으로부터

[eqn: 3a+2b+c = 3p-2q +r]	⋯⋯ ㉢

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]에서 미분 가능할 조건으로부터

[eqn: 6a +2b =-6p +2q]	⋯⋯ ㉣

[eqn: g`'(0)= g`'(2)=0]인 조건으로부터

[eqn: 2b=2q=0]

∴ [eqn: b=q=0]	⋯⋯ ㉤

㉠, ㉡, ㉢, ㉣, ㉤에서

[eqn: a=1], [eqn: b=0], [eqn: c=-1]

[eqn: p=-1], [eqn: q=0], [eqn: r=5]

∴ [eqn: int_0^1 f(x)dx][eqn: = int_0^1 (x^3 -x+1 )dx]
[eqn: = left[ x^4 over4 - x^2 over2 +x right]_0^1]
[eqn: = 3 over4]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = cases{ ~~~~~~~ax^3 +bx^2 +cx+1& ~ LEFT ( x<1 RIGHT ) # ~~~~~~~~~~~~`~1& ~ LEFT ( x=1 RIGHT ) #``p LEFT (x-2 RIGHT )^3 +q LEFT (x-2 RIGHT )^2 +r LEFT (x-2 RIGHT )+5 & ~ LEFT ( x>1 RIGHT ) }`]

이고 [eqn: g LEFT (x RIGHT )=f `' LEFT (x RIGHT )`]라 할 때, 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족한다.

(가) [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]는 [eqn: x=1 `]에서 미분가능하다.

(나) [eqn: g `' LEFT (0 RIGHT )=g `' LEFT (2 RIGHT ) =0`]

[eqn: int_0^1 f LEFT (x RIGHT )dx`]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 07월 29

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}`]의 최솟값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: 4m`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold27]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx`+c`] (단, [eqn: a,`b,`c]는 상수) 라 하면

조건 (가)에 의하여 [eqn: c=0`]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2ax+b`]에서

조건 (나)에 의하여 [eqn: a=-6`]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -12x+b`]

[eqn: =3 LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +b-12]

조건 (다)에 의하여 [eqn: b GEQ 9`]이고

[eqn: int _{0} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}][eqn: = int _{0} ^{3} {(x ^{3} -6x ^{2} +bx)`dx}]
[eqn: = LEFT [ {x ^{4}} over {4} -2x ^{3} + {b} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{3}]
[eqn: =- {135} over {4} + {9b} over {2} GEQ {27} over {4}] ([eqn: because~b geq9])

[eqn: b=9`]일 때, 최솟값 [eqn: m= {27} over {4} `]

따라서 [eqn: 4m=27]

(가) [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=0]

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f `' LEFT ( 2-x RIGHT ) =f `' LEFT ( 2+x RIGHT ) `]이다.

(다) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f `' LEFT ( x RIGHT ) GEQ -3 `]이다.

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 09월 28

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 71]

[해설]

[eqn: int _{1} ^{10} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx= int _{0} ^{10} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx`} - int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}}]

[eqn: = int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx+ int _{2} ^{4} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}} + int _{4} ^{6} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}]

[eqn: + int _{6} ^{8} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx+ int _{8} ^{10} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx- int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}}}]

[eqn: =5 TIMES 4- int _{0} ^{1} {LEFT ( x ^{3} -6x ^{2} +8x RIGHT ) `dx}}]

[eqn: =20- {9} over {4}][eqn: = {71} over {4}]

따라서 [eqn: 4 int _{1} ^{10} {f(x)`dx}][eqn: =71]

(가) 모든 정수 [eqn: m `]에 대하여 [eqn: int _{m} ^{m+2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx } =4 `]이다.

(나) [eqn: 0 LEQ x LEQ 2 `]에서 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x ^{3} -6x ^{2} +8x `]이다.

[eqn: 4 int _{1} ^{10} {f LEFT (x RIGHT ) dx} `]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 22

두 함수 [eqn: f(x)=IT-x^{2}+4 x], [eqn: g(x)=2 x-a]에 대하여 함수 [eqn: h(x)={1} over {2} left{ f(x)+g(x)+|`f(x)-g(x)`| it right}]가 극솟값 [eqn: rm 3]을 가질 때, [eqn: int_{0}^{4} h(x) d x]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[정답] [eqn: rm 13]

[해설]

[eqn: f(x)={ f(x) (f(x) > = g(x))]

[eqn: g(x) (f(x)<g(x))]

[eqn: rm 3]이 극솟값이면 그림과 같이 직선 [eqn: g(x)=2 x-a]는 점 [eqn: (3,``3)]을 지난다

따라서 [eqn: a=it-3]

[eqn: int_{0}^{4} h(x) d x][eqn: = int_{0}^{3} left(-x^{2}+4 x right) d x+ int_{3}^{4}(2 x-3) d x][eqn: = left[ pile{it #it} -{1} over {3} x^{3}+2 x^{2} right]_{0}^{3}+ left[ pile{it #it} x^{2}-3 x right]_{3}^{4}]
[eqn: =13]

04 수2	08 정적분
01 정적분의 계산
11 계산과 해석4 (정의된 함수)

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 11월 24

삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x^3 -3x-1 `]이 있다. 실수 [eqn: t][eqn: LEFT (t GEQ -1 RIGHT )`]에 대하여 [eqn: -1 LEQ x LEQ t `]에서 [eqn: LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | `]의 최댓값을 [eqn: g LEFT (t RIGHT ) `]라고 하자. [eqn: int _{-1} ^{1} {g LEFT (t RIGHT ) dt = q over p `]일 때, [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 17]

[해설]

[eqn: f(x)=x^3 -3x -1]에서 [eqn: f'(x)= 3x^2 -3]

따라서 [eqn: f'(x)=0]이 되는 [eqn: x]의 값은 [eqn: +-1]이다.

이때, [eqn: f(1)= -3], [eqn: f(-1)=1]이므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[그림1]

따라서 함수 [eqn: y=|`f(x)`|]의 그래프를 그려보면 다음과 같다.

[그림2]

따라서 [eqn: -1<= x<= t]에서 [eqn: |f(x)|]의 최댓값 [eqn: g(t)]는 구간 [eqn: [-1, 1]]에서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: g(t) = cases{~~~~~~1~~~~~(-1<= t<=0 ) #-t^3 + 3t+1 ~~(0<=t<=1)}]

따라서 함수 [eqn: y=g(t)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

[그림3]

[eqn: therefore][eqn: int from -1 to 1 g(t) ``dt = int_-1^0 g(t)dt + int_0^1 (-t^3 + 3t+1)dt]

[eqn: = int_-1^0 1 dt + int_0^1 (-t^3 + 3t+1 )dt][eqn: = [ t] _-1^0 + [ - 1 over 4 t^4 + 3over2 t^2 +t ]_0^1][eqn: = 1 + (- 1 over 4 + 3 over 2 + 1 ) = 13 over 4][eqn: therefore][eqn: p+q = 4+13 =17]

[출처]	2015 모의_공공 경찰대 고3 07월 22

실수 [eqn: t`]에 대하여 함수

[정답] [eqn: 19]

[해설]

절댓값을 풀면

[eqn: f(x)= {cases{x ^{2} +2x-2t&``(x<t)#x ^{2} -2x+2t&``(x GEQ t)}}]

[eqn: f(x)]의 최댓값= [eqn: g(t)= {cases{2t+3&``(t<`-1)#t ^{2}&``(-1 LEQ t LEQ 1)#3-2t&``(1<t)}}]

따라서 [eqn: int _{0} ^{{3} over {2}} {} `g(t)dt= int _{0} ^{1} {t ^{2} `dt+ int _{1} ^{{3} over {2}} {(3-2t)`dt} = {7} over {12}}]

그러므로 [eqn: p+q=19]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )=x^2 -2 LEFT | x-t RIGHT |][eqn: LEFT (-1le x le1 RIGHT )`]

의 최댓값을 [eqn: g LEFT (t RIGHT )`]라고 하자. [eqn: int_0^{3over2} g LEFT (t RIGHT )dt= q over p`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

04 수2	08 정적분
01 정적분의 계산
12 계산과 해석5 (미지수를 포함한 절댓값함수. 케이스)

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 04월 30

[eqn: x `]에 대한 방정식 [eqn: int _{0} ^{x} {LEFT | t-1 RIGHT | dt} =x `]의 양수인 실근이 [eqn: m+n sqrt {2} `]일 때, [eqn: m ^{ 3} +n ^{3} `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 9]

[해설]

ⅰ) [eqn: x<1`]일 때, [eqn: int _{0} ^{x} {(-t+1)`dt=x}]이므로

[eqn: - {x ^{2}} over {2} +x=x`][eqn: THEREFORE][eqn: x=0`]

ⅱ) [eqn: x GEQ 1`]일 때,

[eqn: int _{0} ^{1} {(-t+1)`dt} `+ int _{1} ^{x} {(t-1)`dt} ``=x]

[eqn: {1} over {2} + LEFT ( {x ^{2}} over {2} -x+ {1} over {2} RIGHT ) =x`][eqn: LRARROW][eqn: x ^{2} -4x+2=0]

[eqn: THEREFORE][eqn: x=2+ sqrt {2} ( BECAUSE x GEQ 1)`]

ⅰ), ⅱ)에 의해 양수인 실근은 [eqn: x=2+ sqrt {2} `]이므로
[eqn: m=2], [eqn: n=1]이다. 따라서 [eqn: m ^{3} +n ^{3} =9]

(단, [eqn: m], [eqn: n `]은 유리수이다.)

04 수2	08 정적분
01 정적분의 계산
13 계산과 해석6 (추론과 해석)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 06월

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)``]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: {{167}}]

[해설]

함수 [eqn: f(x) ``]가 점 [eqn: (3,~7),~(4,~8),~(5,~10),~(6,~13)``]을 지나고

[eqn: 1 LEQ `f'(x)` LEQ 3]이므로

(1) 두 점 [eqn: (3,~7)``], [eqn: (4,~8)``]의 기울기가 [eqn: 1``]이므로

[eqn: 3` leq x leq `4``]에서 [eqn: f(x) = x+ 4]

(2) 두 점 [eqn: (5,~10),~(6,~13)``]의 기울기가 [eqn: 3``]

이므로   [eqn: 5` leq x leq `6``]에서 [eqn: f(x) = 3x- 5]

(3) 주어진 조건에 의해 [eqn: (4,~8)]과 [eqn: (5,~10)]을 지나는 함수는 이차함수이고

[eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c],  [eqn: f` prime (x)=2ax+b]

실수 전체의 집합에서 미분가능하므로

[eqn: f`'(4)=8a+b=1],  [eqn: f`'(5)=`-10a+b=3]

[eqn: a=1,~b=-7],  [eqn: f(4)=8]에서 [eqn: c=20]

(1), (2), (3)에 의해

[eqn: int _{3} ^{6} {`f(x)dx`][eqn: = int _{3} ^{4} {} (x+4)dx+ int _{4} ^{5} {} (x ^{2} -7x+20)dx]

[eqn: + int _{5} ^{6} {} (3x-5)dx]

[eqn: = {167} over {6}]

∴ [eqn: 6a`=`167]

(가) 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: 1 LEQ f'(x) LEQ 3``]이다.

(나) 모든 정수 [eqn: n``]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프는 점 [eqn: (4n,~8n)], 점 [eqn: (4n+1,~8n+2)],
점 [eqn: (4n+2,~8n+5)], 점 [eqn: (4n+3,~8n+7)]을 모두 지난다.

(다) 모든 정수 [eqn: k``]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [2k,~2k+1]``]에서 함수 [eqn: f(x)``]의 그래프는 각각 이차함수의 그래프의 일부이다.

[eqn: int _{3} ^{6} {`f(x)dx=a}``]라 할 때, [eqn: 6a``]의 값을 구하시오.

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 09월 21

최고차항의 계수가 양수인 사차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 도함수 [eqn: y=f `' LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프가 그림과 같다. 함수 [eqn: f `' LEFT ( x RIGHT )`]가 [eqn: x=a `]에서 극댓값을 가질 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: f `' LEFT ( 0 RIGHT )=f `' LEFT ( b RIGHT )=f `' LEFT ( 4 RIGHT )=0])

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: x=4]의 좌우에서 [eqn: f` prime (x)]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 [eqn: x=4]에서 극솟값을 갖는다. (참)

ㄴ. 사차함수 [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: LEFT ( `a`,``t` RIGHT ) `]에서 미분가능하고
구간 [eqn: [`a`,`t`]]에서 연속이므로 평균값 정리에 의하여
[eqn: {f(t)-f(a)} over {t-a} =f` prime (c)]
인 [eqn: c]가 구간 [eqn: LEFT ( `a`,``t` RIGHT ) `]에 존재한다. 또한
사차함수 [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: (`t`,`b`)`]에서 미분가능하고
구간 [eqn: [`t`,`b`]]에서 연속이므로 평균값 정리에 의하여
[eqn: {f(t)-f(b)} over {t-b} = {f(b)-f(t)} over {b-t} =f` prime (d)]
인 [eqn: d]가 구간 [eqn: (`t`,`b`)`]에 존재한다.
함수 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) `]가 구간 [eqn: LEFT ( `a,`b` RIGHT ) `]에서 감소하고
[eqn: a<c<t<d<b`]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( c RIGHT ) >f` prime LEFT ( d RIGHT ) `]이다.
그러므로
[eqn: {f(t)-f(a)} over {t-a} =f` prime (c)>f` prime (d)= {f(b)-f(t)} over {b-t}]
이다. (참)

ㄷ. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT ) `]라 하자.
주어진 조건에 의하여 함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]는
[eqn: x=0`,``b``,``4`]일 때 극값을 갖는다.
[eqn: 0= int _{a} ^{4} {f` prime LEFT ( x RIGHT ) dx} =f LEFT ( 4 RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT ) `]이므로 [eqn: h LEFT ( 4 RIGHT ) =0`]
함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 모양은

이므로 곡선 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT ) `]와 [eqn: x`]축은 서로 다른 세 점에서 만난다.
그러므로 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 직선 [eqn: y=f LEFT ( a RIGHT )]는 서로 다른 세 점에서 만난다. (참)

[eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]는 [eqn: x=4 `]에서 극솟값을 갖는다. ㄴ. [eqn: a<t<b `]일 때, [eqn: {f LEFT (t RIGHT )-f LEFT (a RIGHT )} over {t-a} > {f LEFT (t RIGHT )-f LEFT (b RIGHT )} over {t-b} `]이다. ㄷ. [eqn: int _{a} ^{4} { f `' LEFT (x RIGHT ) } dx = 0`]일 때, 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]와 직선 [eqn: y=f LEFT (a RIGHT ) `]는 서로 다른 세 점에서 만난다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 07월 17

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]이고 [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=0 `]인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는
함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: f(x)-p =(x-2)^2 (x-5)`]

[eqn: f(0)=0`]이므로 [eqn: p=20`]

[eqn: f(x)=(x-2)^2 (x-5) +20`][eqn: =x^3 -9x^2 +24x`]

[eqn: int _{0} ^{2} {f (x)dx][eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT ( x^3 -9x^2 +24x RIGHT )dx}]

[eqn: = left[ 1 over4 x^4 -3x^3 +12x^2 right]_0 ^2 =28`]

(가) [eqn: f LEFT (2 RIGHT )=f LEFT (5 RIGHT )]

(나) 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )-p=0 `]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2 `]가 되게 하는 실수 [eqn: p `]의 최댓값은 [eqn: f LEFT (2 RIGHT ) `]이다.

[eqn: int _{0} ^{2} {f LEFT (x RIGHT )dx} `]의 값은?

① [eqn: 25]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 31]

④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 37]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 07월 21

함수

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x)= {cases{``````````(x _{{}_{}} -1)(x _{{}_{}} -a)&~(x GEQ a) _{{}_{}}#``-(x-1)(x-a)&~(x<a)}} `]

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 그림과 같다.

(ⅰ) [eqn: a<1`]일 때	(ⅱ) [eqn: a=1`]일 때
(ⅲ) [eqn: a>1`]일 때

함수 [eqn: f(x)`]의 극댓값이 [eqn: 1`]이므로 그래프의 개형은 (ⅲ)과 같아야 하고, 극댓값을 갖는 [eqn: x`]의 값은 [eqn: a+1 over2 `]

[eqn: f LEFT ( {a+1} over {2} RIGHT ) =- LEFT ( {a+1} over {2} -1 RIGHT ) LEFT ( {a+1} over {2} -a RIGHT ) =1]

[eqn: (a-1)^2 over4 =1], [eqn: a>1]이므로 [eqn: a=3`]

그림과 같이 영역 [eqn: S_1`]의 넓이와 영역 [eqn: S_2 `]의 넓이가 같으므로

[eqn: int _{ 0} ^{4 } {f(x)dx }`=int _{ 1} ^{3 }left {-(x-1)(x-3) right}dx`]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} +2x ^{2} -3x RIGHT ] _{1}^{3} = {4} over {3} `]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= LEFT (x-1 RIGHT )LEFT | x-a RIGHT | `]

의 극댓값이 [eqn: 1 `]일 때, [eqn: int _{0} ^{4} {f LEFT (x RIGHT )dx} `]의 값은?
(단, [eqn: a `]는 상수이다.)

① [eqn: {4} over {3}]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: {5} over {3}]

④ [eqn: {11} over {6}]	⑤ [eqn: 2]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 15

최고차항의 계수가 [eqn: {1}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]인 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 방정식 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 서로 다른 세 실근 [eqn: alpha ,```` 0 ,```` beta][eqn: LEFT ( alpha <0< beta RIGHT )]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

방정식 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 서로 다른 세 실근 [eqn: alpha ,```` 0 ,```` beta][eqn: LEFT ( alpha <0< beta RIGHT )]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: {rm][eqn: beta][eqn: = it - alpha]

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =4x LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x+ alpha RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{4} -2 alpha ^{2} x ^{2} +C] (단, [eqn: C]는 적분상수이다.)

[eqn: f LEFT ( -x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]이므로 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이고, 조건 (가)에 의하여

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =9], [eqn: C][eqn: =9]

조건 (나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: = alpha ^{4} -2 alpha ^{4} +9][eqn: = it -16]

[eqn: alpha][eqn: = it - sqrt {5}]

함수 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =4x LEFT ( x- sqrt {5} RIGHT ) LEFT ( x+ sqrt {5} RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = left |`` f ' LEFT ( x RIGHT ) ``right | -f ' LEFT ( x RIGHT )]이므로

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{````````````````0& && LEFT ( f ``' LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0 RIGHT )# -2f ``' LEFT ( x RIGHT )&&& LEFT ( f `` ' LEFT ( x RIGHT ) <0 RIGHT )}}}]이고, 함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: int _{0} ^{10} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: =-2 int _{0} ^{sqrt {5}} {} f ``' LEFT ( x RIGHT ) dx]
[eqn: = it -2 LEFT [ f LEFT ( x RIGHT ) pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{sqrt {5}}]
[eqn: = it -2 LEFT { f LEFT ( sqrt {5} RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = it -2 TIMES LEFT ( -16-9 RIGHT )]
[eqn: =50]

(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =9]는 서로 다른 세 실근을 갖는다.

(나) [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: = it -16]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = left |`` f ``' LEFT ( x RIGHT ) ``right | -f `` ' LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{10} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx]의 값은?

① [eqn: 48]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 52]

④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 56]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 15

실수 [eqn: {p}{{from^2021^7^경찰대^중}}]에 대하여 곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{3} -x ^{2}]과 직선 [eqn: y][eqn: =px-1]의 교점의 [eqn: x]좌표 중 가장 작은 값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: m<a<b]인 모든 실수 [eqn: a ,```` b]에 대하여

[정답] ②

[해설]

직선 [eqn: rmAB]의 기울기와 점 [eqn: RMB]에서의 접선의 기울기가 같음을 이용하여 [eqn: t]를 구하면

[eqn: {t ^{3} -t ^{2} +1} over {t} =f prime(t)=3t ^{2} -2t]

[eqn: 2t ^{3} -t ^{2} -1=(t-1)(2t ^{2} +t+1)=0]

[eqn: THEREFORE][eqn: t=1]

즉, [eqn: p=1]이므로 [eqn: x ^{3} -x ^{2} =x-1]을 정리하면,

[eqn: x ^{3} -x ^{2} -x+1=(x+1)(x-1) ^{2} =0]

[eqn: THEREFORE][eqn: x=it-1]

따라서 [eqn: m=it-1]

[eqn: int _{a} ^{b} {} LEFT ( x ^{3} -x ^{2} -px+1 RIGHT ) dx][eqn: >0]

이 되도록 하는 [eqn: m]의 최솟값은?

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - {3} over {2}]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: - {5} over {2}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 14

최고차항의 계수가 [eqn: {1}{{from^2021^09^평가원^중}}]이고 [eqn: f prime (0)=f prime (2)=0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 양수 [eqn: p]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] ⑤

[해설]

삼차함수 [eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f prime (0)=f prime (2)=0]이므로 [eqn: f prime (x)=3x(x-2)=3x ^{2} -6x]이다.

따라서

[eqn: f(x)][eqn: =int _{} ^{} {f prime (x)} dx]
[eqn: = x^3 -3x^2 +C] ([eqn: C] 는 적분상수)

따라서 [eqn: f(x)-f(0)= x^3 -3x^2]이고

[eqn: f(x+p)-f(p)]

[eqn: =(x+p)^3 -3(x+p)^2 +C -(p^3 -3p^2 +C)]
[eqn: = x^3 +(3p-3)x^2 +(3p^2 -6p)x]

이므로

[eqn: g(x)= {cases{ x ^{3} -3x ^{2}&&&(x LEQ 0)# x ^{3} +(3p-3)x ^{2} +(3p ^{2} -6p)x&&&(x>0)}}]

이다.

ㄱ. [eqn: p=1]이면
[eqn: g(x)= {cases{ x ^{3} -3x ^{2}&&&(x LEQ 0)# x ^{3}-3x&&&(x>0)}}]이므로
[eqn: g prime (x)= {cases{ 3x ^{2} -6x&&&(x<0)# 3x ^{2} -3&&&(x>0)}}]
따라서 [eqn: g'(1) = 3-3=0]	(참)

ㄴ. [eqn: lim _{x ``->`` 0-} { g(x)} =lim _{x ``->`` 0+} { g(x)} =g(0)=0]이므로
함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.
이때 [eqn: lim _{x ``->`` 0-} { g prime (x)} = lim _{x ``->`` 0-} { (3x ^{2} -6x)} =0]

[eqn: lim _{x ``->`` 0+} { g prime (x)}][eqn: = lim _{x ``->`` 0+} { LEFT { 3x ^{2} +2(3p-3)x+(3p ^{2} -6p) RIGHT }}]
[eqn: = 3p^2 -6p]

이므로 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면
[eqn: 3p^2 -6p =0]이어야 한다..
따라서 양수 [eqn: p]의 값은 [eqn: p=2]뿐이므로 양수 [eqn: p]의 개수는 [eqn: 1]이다.

(참)

ㄷ. [eqn: int _{-1} ^{0} {g(x)} dx][eqn: = int _{-1} ^{0} {(x^3 -3x^2 )} dx]
[eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} -x ^{3} RIGHT ] _{-1}^{0}]
[eqn: = 0- LEFT ( 1over4 + 1 RIGHT )]
[eqn: = it - 5over4]

이고,

[eqn: int _{0} ^{1} {g(x)} dx][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT { x ^{3} +(3p-3)x ^{2} +(3p ^{2} -6p)x RIGHT }} dx]
[eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} +(p-1)x ^{3} + {3p ^{2} -6p} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0}^{1}]
[eqn: = 1over4 +(p-1)+{3p^2 -6p}over2]
[eqn: = 3over2 p^2 -2p - 3over4]

이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} {g(x)} dx][eqn: =int _{-1} ^{0} {g(x)} dx+int _{0} ^{1} {g(x)} dx]
[eqn: = LEFT ( - 5 over4 RIGHT )+ 3over2 p^2 - 2p - 3over4]
[eqn: = 3over2 p^2 -2p -2]
[eqn: = 1over2 (3p+2)(p-2)]

따라서 [eqn: p ge 2]일 때, [eqn: int _{-1} ^{1} {g(x)} dx ge0]이다.	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[다른 풀이]

삼차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고

[eqn: f prime (0)=f prime (2)=0]

이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극대이고 [eqn: x=2]에서 극소이다.

이때, 곡선 [eqn: =f(x) -f(0)]은 곡선 [eqn: y=f(x)]를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -f(0)]만큼 평행이동한 것이고, 곡선 [eqn: y=f(x+p)-f(p)]는 곡선 [eqn: y=f(x)]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: - p]만큼 평행이동한 것이다. 따라서 두 곡선 [eqn: y=f(x)-f(0)], [eqn: y=f(x+p)-f(p)]는 모두 원점을 지나고 함수 [eqn: g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. [eqn: p=1]일 때, 곡선 [eqn: y=f(x+1)-f(1)]는 곡선 [eqn: y=f(x)]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -f(1)]만큼 평행이동한 것이다.
따라서 [eqn: g prime (1)=0]이다.	(참)

ㄴ. [eqn: lim _{x ``->`` 0-} { g(x)}=lim _{x ``->`` 0+} { g(x)}=g(0)=0]이므로 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.
이때 [eqn: lim _{x ``->`` 0-} { g prime (x)} = lim _{x ``->`` 0-} { (3x ^{2} -6x)} =0]이므로 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 [eqn: lim _{x ``->`` 0+} { g prime (x)} =0]이어야 한다.
그런데 [eqn: f prime (x)=0]인 양수 [eqn: x]의 값은 [eqn: 2]뿐이므로 양수 [eqn: p]의 값은 [eqn: 2]뿐이다. 따라서 양수 [eqn: p]의 개수는 [eqn: 1]이다.	(참)

ㄷ. [eqn: p ge2]일 때 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: p=2]일 때, 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 [eqn: int _{-1} ^{1} {g(x)} dx=0]
[eqn: p>2]일 때, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+p)-f(p) ge f(x+2)-f(2)]이므로
[eqn: int _{-1} ^{1} {g(x)} dx ge0]
따라서 [eqn: p ge2]일 때, [eqn: int _{-1} ^{1} {g(x)} dx ge0]	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: g(x)= {cases{ f(x)-f(0)&&&(x LEQ 0)# f(x+p)-f(p)&&&(x>0)}}]

이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: p=1]일 때, [eqn: g prime (1)=0]이다. ㄴ. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 양수 [eqn: p]의 개수는 [eqn: 1]이다. ㄷ. [eqn: p ge2]일 때, [eqn: int _{-1} ^{1} {g(x)} dx ge0]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	08 정적분
02 여러가지 함수의 정적분
02 여러가지 함수의 정적분2 (우함수와 기함수의 판단)

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 07월 19

정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c `]에 대하여 함수

[정답] ②

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +bx ^{2} +10]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +2bx],  [eqn: f`'(1) `=` 4+2b] 이므로

[eqn: -6<4+2b < - 2]

[eqn: -10<2b< -6]

[eqn: -5<b < - 3] 이므로 [eqn: b= `-4]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -4x ^{2} +10]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} -8x=4x LEFT ( x+ sqrt {2} RIGHT ) LEFT ( x- sqrt {2} RIGHT )]

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: - sqrt {2}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: sqrt {2}]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	↘	극소	↗	극대	↘	극소	↗

극솟값은 [eqn: f LEFT ( - sqrt {2} RIGHT ) =f LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) =6]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2} +cx+10 `]

이 다음 두 조건을 모두 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: alpha`]에 대하여 [eqn: int _{- alpha } ^{alpha } { f LEFT ( x RIGHT )} dx=2 int _{0} ^{alpha } {f LEFT ( x RIGHT )} dx`]

(나) [eqn: -6<f `' LEFT ( 1 RIGHT ) < - 2`]

이때, 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 극솟값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

04 수2	08 정적분
02 여러가지 함수의 정적분
03 여러가지 함수의 정적분3 (우함수와 기함수의 활용)

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 07월 20

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 사차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: f` prime (-x)=-f` prime (x)`]이고 [eqn: f`'(1)=0`]
[eqn: f` prime (-1)=-f` prime (1)=0`] (참)

ㄴ. [eqn: f` prime (-1)=f` prime (1)=0`], [eqn: f`'(0)=0`]
[eqn: f` prime (x)=4x(x-1)(x+1)`]
[eqn: f(x)=x^4 -2x^2 +C]
[eqn: f(1)=2`], [eqn: C=3`]
[eqn: f(x)=x ^{4} -2x ^{2} +3`]
[eqn: f(-x)=f(x)`]이므로
[eqn: int _{ -k} ^{0 } { }f(x) dx = int _{0} ^{k } { }f(x) dx`] (참)

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)=x ^{4} -2x ^{2} +3`]의 그래프는 그림과
같다.

[eqn: x={rm-}t`], [eqn: x=t`], [eqn: x`]축, [eqn: y=f(x)`]로
둘러싸인 영역의 넓이 [eqn: int _{ -t} ^{t } { }f(x) dx`]는
[eqn: x={rm-}t`], [eqn: x=t`], [eqn: x`]축, [eqn: y=3`]으로
둘러싸인 직사각형의 넓이 [eqn: 6t`]보다 작다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: f` prime LEFT ( -x RIGHT ) =`-f` prime LEFT ( x RIGHT ) `]

를 만족시킨다. [eqn: f `' LEFT (1 RIGHT )=0 `], [eqn: f LEFT (1 RIGHT )=2 `]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f `' LEFT (-1 RIGHT )=0`] ㄴ. 모든 실수 [eqn: k `]에 대하여 [eqn: int _{-k} ^{0} {} f LEFT (x RIGHT )dx= int _{0} ^{k} {} f LEFT (x RIGHT )dx`] ㄷ. [eqn: 0<t<1 `]인 모든 실수 [eqn: t `]에 대하여 [eqn: int _{-t} ^{t} {} f LEFT (x RIGHT )dx<6t`]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	08 정적분
02 여러가지 함수의 정적분
04 여러가지 함수의 정적분4 (대칭성)

[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 20

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: y = f LEFT (x RIGHT )`]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 16]

[해설]

[eqn: f``(x) = x(x-a)(x-6) ```( 0＜a＜6)```cdots` ㉠`]

[eqn: -f``(x-k) = -(x-k)(x-k-a)(x-k-6) ``` cdots ` ㉡`]

위의 두 함수의 그래프는 [eqn: x=4`]에 대하여 대칭이므로 [eqn: ㉠`]에서 [eqn: f``(8-x)= (8-x)(8-x-a)(2-x)`]

[eqn: = -(x-2)(x+a-8)(x-8)``` cdots` ㉢`]

[eqn: ㉡``과 ~ ㉢`]이 일치하므로 [eqn: k=2, ~`` a= 3`]

[eqn: therefore ~ int_0^2 f``(x) `dx= int_0^2 `x(x-3)(x-6) `dx`]

[eqn: = left[ 1 over 4 x^4 - 3x^3 + 9x^2 right]_0^2`][eqn: = 16`]

[다른 풀이]

조건 (나)에서 [eqn: k=0`]일 때에도 성립하므로

[eqn: int_alpha^gamma` 2f``(x)` dx =0, ~`` int_alpha^gamma` f``(x)` dx =0] 에서 [eqn: alpha=0, ~ beta=3, ~ gamma =6`] ([eqn: ∵``] 변곡점이 [eqn: x`]축 위에 있어야 한다.)

[eqn: therefore~`` f``(x) = x(x-3)(x-6)`]

또, 문제의 그림에서 [eqn: x=k`]와 [eqn: x=6`]의 중점이 [eqn: x=4`]이므로 [eqn: k+6 over 2 = 4 ~~~~ therefore ~`` k = 2`]

[eqn: therefore ~`` int_0^2 f``(x) `dx= int_-1^1 (x+1)(x-2)(x-5) `dx`]

[eqn: =2 int_0^1` (-6x^2 + 10)`dx`][eqn: = 2 left[ -2x^3 + 10x {} atop{} right]_0^1`][eqn: = 16`]

(가)  [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=f LEFT (6 RIGHT )=0]

(나) 함수 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 함수 [eqn: y =`-f LEFT ( x-k RIGHT )`]의 그래프가 서로 다른 세 점 [eqn: LEFT ( alpha ,`` f LEFT ( alpha RIGHT ) RIGHT )], [eqn: LEFT ( beta ,`` f LEFT ( beta RIGHT ) RIGHT )], [eqn: LEFT ( gamma ,`` f LEFT ( gamma RIGHT ) RIGHT )] (단, [eqn: alpha ＜ beta ＜ gamma `])에서 만나면 [eqn: k`]의 값에 관계없이 [eqn: int _{alpha } ^{gamma } {} f LEFT ( x RIGHT )+f LEFT ( x-k RIGHT ) dx = 0`]이다.

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 함수 [eqn: y=`-f LEFT ( x-k RIGHT )`]의 그래프가 다음 그림과 같이 서로 다른 세 점에서 만나고 가운데 교점의 [eqn: x`]좌표의 값이 [eqn: 4`]일 때, [eqn: int _{0} ^{k} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx`]의 값을 구하시오.

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 09월 19

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x^3 -4x `]의 그래프를 [eqn: x `]축에 대하여 대칭이동한 곡선을 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) `=`-f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: g(x)=`-f(x)]이므로

ㄱ. [eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)dx} `=`0] (참)

ㄴ. [eqn: int _{-1} ^{0} {f(x)dx`} + int _{0} ^{1} {g(x)dx}]

[eqn: =`- int _{0} ^{1} {f(x)dx`} - int _{0} ^{1} {f(x)dx}]

[eqn: =`-2 int _{0} ^{1} {f(x)dx`}]

[eqn: =`-2`left[1 over4 `x^4 `-`2x^2 right]_0 ^1 `=` 7 over2] (참)

ㄷ. [eqn: h(x)= int _{0} ^{x} {g(t)dt- int _{0} ^{x} {f(t)dt} `-3}]이라 하자.

[eqn: h(x)=`-2 int _{0} ^{x} {f(t)dt} `-`3]은 연속함수이다.

[eqn: h(0)=`-3<0]

[eqn: h(1)=-2 int _{0} ^{1} {f(t)dt} `-3= {1} over {2} >0]
사이값 정리에 의하여 [eqn: h(c)=0]인 실수 [eqn: c]가
[eqn: 0]과 [eqn: 1] 사이에 적어도 하나 존재한다. (참)

따라서 <보기>에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

	<보 기>
ㄱ. [eqn: int _{-1} ^{ 1} {f LEFT (x RIGHT )dx} =0`] ㄴ. [eqn: int _{-1} ^{ 0} { f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{ 0} ^{ 1} { g LEFT ( x RIGHT ) dx}} = {7} over {2}`] ㄷ. 방정식 [eqn: int _{0} ^{x} {g LEFT (t RIGHT )dt } = int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} + 3 `]은 열린 구간 [eqn: LEFT ( 0,`` 1 RIGHT ) `]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 10월 29

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 25]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]는 이차함수이고 조건 (가)에서

[eqn: int _{0} ^{t} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx= int _{2a-t} ^{2a} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx`]이므로 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는

직선 [eqn: x= {0+2a} over {2} =a`]에 대하여 대칭이다.

조건 (나)에서 [eqn: 0< int _{a} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx< int _{a} ^{2} {} LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx`]이므로 [eqn: a<2`]이고, 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 [eqn: x`]축과 두 점 [eqn: LEFT ( k,~0 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 2a-k,```0 RIGHT ) `]에서 만난다.

위의 그림에서 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{1} `], 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 [eqn: x`]축 및 직선 [eqn: x=2`]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{2} `]라 하면

[eqn: int _{k} ^{a} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx= int _{a} ^{2a-k} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx= it - {S _{1}} over {2} `]이므로

[eqn: int _{a} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT )} dx= it - {S _{1}} over {2} +S _{2}][eqn: =2]

[eqn: int _{a} ^{2} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} dx= {S _{1}} over {2} +S _{2}][eqn: = {22} over {9}]

따라서 [eqn: S _{1} = {4} over {9}], [eqn: S _{2} = {20} over {9}]이다.

[eqn: int _{k} ^{2} {f(x)dx} = it -S _{1} +S _{2} = it {16} over {9}]

[eqn: p=9], [eqn: q=16]이므로 [eqn: p+q=25]

(가) 모든 실수 [eqn: t `]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{t} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx= int _{2a-t} ^{2a} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx `]이다.

(나) [eqn: int _{a} ^{2} {} f LEFT (x RIGHT ) dx=2], [eqn: int _{a} ^{2} {} LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | dx= {22} over {9}`]

[eqn: f LEFT ( k RIGHT )`][eqn: =0`]이고 [eqn: k<a `]인 실수 [eqn: k `]에 대하여 [eqn: int _{k} ^{2} {f LEFT (x RIGHT ) dx } = it {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a `]는 상수이고, [eqn: p`]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2019 모의_공공 경찰대 고3 07월 14

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f (x)]와 양수 [eqn: a]가 다음 조건을 만족할 때, [eqn: a]의 값은?

[정답] ①

[해설]

(가)로부터 [eqn: y= f(x)]는 [eqn: f(a)= 0]이고,

점 [eqn: (a, `` f(a))]에 대하여 대칭인 곡선이다.

(나)에서 [eqn: f(a) = f(0) = f(2a) = 0]이므로

[eqn: f(x)= x(x-a)(x-2a)][eqn: = (x-a)^3 - a^2 (x-a)]

(다)에서 [eqn: int_0^a f(x) dx][eqn: = left[ 1 over4 (x-a)^4 - a^2 over2 (x-a)^2 right]_0^a][eqn: = a^4 over4 = 144]

[eqn: THEREFORE][eqn: a = 2 sqrt6]

(가) 모든 실수 [eqn: t `]에 대하여 [eqn: int _{a - t}^{a + t}f (x)`dx = 0]이다.

(나) [eqn: f (a) = f (0)]

(다) [eqn: int _{0}^{a}f (x)`dx = 144]

① [eqn: 2 sqrt 6]	② [eqn: 3 sqrt 6]	③ [eqn: 4 sqrt 6]

④ [eqn: 5 sqrt 6]	⑤ [eqn: 6 sqrt 6]

04 수2	08 정적분
02 여러가지 함수의 정적분
06 여러가지 함수의 정적분6 (주기함수)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 11월 20

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]는 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x+3 RIGHT ) =f LEFT (x RIGHT )`]를 만족시키고,

[정답] ①

[해설]

곡선 [eqn: y = f(x)`]는 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이므로

[eqn: int_-a^a f(x) dx = 13`]에서

[eqn: 2 int_0^a f(x) dx = 13`]

[eqn: therefore~ int_0^a f(x) dx = 13 over 2`]

한편,

[eqn: int_0^3 f(x) dx = 1 over 2 times (3 + 1) times 1`]
[eqn: = 2`]

이고, [eqn: f(x +3) = f(x)`]이므로

[eqn: int_0^3 f(x) dx = int_3^6 f(x) dx = int_6^9 f(x) dx = 2]

[eqn: therefore~int_0^9 f(x) dx = 6`]

따라서 [eqn: int_0^9 f(x) dx + int_9^a f(x) dx = 13 over 2`]에서

[eqn: int_9^a f(x) dx = 1 over 2`]

한편

[eqn: int_9^10 f(x)dx = int_0^1 f(x) dx = 1 over 2`]

이므로

[eqn: a = 10`]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{ ~~~`x &~ LEFT (0 LEQ x<1 RIGHT ) # ~~~``1 &~ LEFT (1 LEQ x<2 RIGHT ) # ``-x+3 &~ LEFT (2 LEQ x<3 RIGHT ) }}`]

이다. [eqn: int_-a^a f LEFT (x RIGHT )dx =13`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 07월

연속함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 다음 조건을
만족시킨다.

[정답] [eqn: 102]

[해설]

[eqn: int _{-3} ^{3} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = int _{-3} ^{-1} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx`} + int _{-1} ^{1} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx`} + int _{1} ^{3} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx`}]

[eqn: =2 int _{1} ^{3} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx`} +2`][eqn: =2 int _{-1} ^{1} {(x+2) ^{2} f LEFT ( x+2 RIGHT ) dx`} +2`]

[eqn: =2 int _{-1} ^{1} {(x+2) ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx`} +2`][eqn: =102`]

(가) [eqn: f LEFT (-x RIGHT )=f LEFT (x RIGHT )]

(나) [eqn: f LEFT (x+2 RIGHT )=f LEFT (x RIGHT )]

(다) [eqn: int _{-1} ^{1} { LEFT (x+2 RIGHT ) ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx=50 }], [eqn: int _{-1} ^{1} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx=2 }`]

[eqn: int _{-3} ^{3} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx} `]의 값을 구하시오.

[출처]	2015 모의_공공 사관학교 고3 07월 17

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프 그리기

조건 (나)에서 [eqn: f(x+2)=f(x)+2]이고

[eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: f(2)=f(0)+2], [eqn: 4a=2]

[eqn: therefore``a= {1} over {2}]

이 때 [eqn: f(x)= {1} over {2} x ^{2} (0 LEQ x<2)]이고 실수 전체의 집합에서 [eqn: f(x+2)=f(x)+2]

이 성립하므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: x+2=t]로 놓으면 [eqn: x=t-2], 즉 [eqn: f(t)=f(t-2)+2]을 만족하므로

함수 [eqn: f(t)= {1} over {2} t ^{2} (0 LEQ t<2)]는 함수 [eqn: y=f(t)]을 [eqn: x]축으로 [eqn: 2]만큼 ,

[eqn: y]축으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 그래프와 일치하는 연속인 함수를 의미한다.

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 이용하여 [eqn: int _{1} ^{7} {} f(x)dx]의 값 구하기

이 떄 [eqn: LEFT . int _{0} ^{1} {} f(x)dx= int _{6} ^{7} {} LEFT { f(x)-6 RIGHT } dx RIGHT .]이므로

[eqn: int _{1} ^{7} {} f(x)dx]의 값은

[eqn: = int _{0} ^{6} {} f(x)dx+](가로의 길이가 [eqn: 1]이고 세로의 길이가 [eqn: 6]인 직사각형의 넓이)

[eqn: =3 int _{0} ^{2} {} {1} over {2} x ^{2} dx+2 BULLET 2+2 BULLET 4+1 BULLET 6]

[eqn: =3left[ {1} over {6} x ^{3} right] _{0} ^{2 _{}} +4+8+6]

[eqn: =4+18]

[eqn: =22]

(가) [eqn: f LEFT (x RIGHT )=ax^2][eqn: LEFT ( 0 le x <2 RIGHT )]

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT (x+2 RIGHT )=f LEFT (x RIGHT )+2`]이다.

[eqn: int_1^7 f LEFT (x RIGHT )dx`]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

① [eqn: 20]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 24]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 11

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0 ,```` 1 RIGHT ]]에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: y=-f(x+1)+1]의 그래프는

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동시킨 후, [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: rm 1]만큼  평행이동시킨 것이다.

[eqn: f(0)=0], [eqn: f(1)=1], [eqn: int_{0}^{1} f(x) d x={1} over {6}]이므로

조건 (가)에서

[eqn: int_{-1}^{0} g(x) d x= int_{-1}^{0} left{ -f(x+1)+1 it right} d x=-{1} over {6}+1={5} over {6}]

[eqn: int_{0}^{1} g(x) d x= int_{0}^{1} f(x) d x={1} over {6}]

[eqn: int_{-1}^{1} g(x) d x= int_{-1}^{0} g(x) d x+ int_{0}^{1} g(x) d x={5} over {6}+{1} over {6}=1]

조건 (나)에서

[eqn: g(x+2)=g(x)]이므로

[eqn: int_{-3}^{2} g(x) d x= int_{-3}^{-1} g(x) d x+ int_{-1}^{1} g(x) d x+ int_{1}^{2} g(x) d x`]

[eqn: =2 int_{-1}^{1} g(x) d x+ int_{-1}^{0} g(x) d x]

[eqn: =2 times 1+{5} over {6}={17} over {6}]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1], [eqn: int _{0} ^{1} { f LEFT ( x RIGHT ) dx} = {1} over {6}]

을 만족시킨다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: int _{-3} ^{2} { g LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값은?

(가) [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ -f LEFT ( x+1 RIGHT ) +1&&&LEFT ( -1<x<0 RIGHT )# ````````````````````` f LEFT ( x RIGHT )&&&LEFT ( 0 LEQ x LEQ 1 RIGHT )}}]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g LEFT ( x+2 RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]이다.

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: {17} over {6}]	③ [eqn: {19} over {6}]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: {23} over {6}]

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
02 정적분으로 정의된 함수1 (적분함수)

[출처]	2004 모의_공공 사관학교 고3 07월 26

실수 전체의 집합에서 정의된 다항함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 세 조건을 만족한다.

[정답] [eqn: 50``]

[해설]

1) 조건Ⅱ.에서 양변을 [eqn: x``]에 관하여 미분하면

[eqn: f`'(x)&= { 1} over {2 } LEFT { f`(x+1)-f`(x) RIGHT } - { 1} over {2 } LEFT { f`(x-1)-f`(x) RIGHT }]

[eqn: = { 1} over {2 } LEFT { f`(x+1)-f`(x-1) RIGHT } ``]

[eqn: THEREFORE ~ f`'(1)= { 1} over {2 } LEFT { f`(2)-f`(0) RIGHT } ~~ CDOTS CDOTS CDOTS ①``]

2) 조건Ⅰ. 과 Ⅱ.에서 임의의 실수[eqn: x,```y``]에 대하여

[eqn: f`(x+y)+f`(x-y)=2 LEFT { f`(x)+f`(y) RIGHT } ``]가 성립하므로

ⅰ) [eqn: x=1,``` y=0``]을 대입하면
[eqn: f`(1) +f`(1)=2 LEFT { f`(1)+f`(0) RIGHT } ``~~ THEREFORE ~f`(0)=0```` CDOTS CDOTS ②``]

ⅱ) [eqn: x=1,~y=1``]을 대입하면
[eqn: & f`(2) +f`(0)=2 LEFT { f`(1)+f`(1) RIGHT }][eqn: THEREFORE `````f`(2)=4f`(1)=100```` CDOTS CDOTS ③``]

①, ②, ③에서

[eqn: THEREFORE ~f`'(1)=50``]

Ⅰ. [eqn: f LEFT (1 RIGHT )=25]

Ⅱ. [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = {1} over {2} int _{x} ^{x+1} {f LEFT (t RIGHT )dt} - {1} over {2} int _{x} ^{x-1} {f LEFT (t RIGHT )dt} - int _{0} ^{1} {f LEFT (t RIGHT )dt}]

Ⅲ. 임의의 실수 [eqn: x], [eqn: y `]에 대하여  [eqn: f LEFT (x+y RIGHT )+f LEFT (x-y RIGHT )=2 LEFT { f LEFT (x RIGHT )+f LEFT (y RIGHT ) RIGHT } `]

이때, 미분계수 [eqn: f `' LEFT (1 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 11

다항함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^09^평가원^중}}]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ④

[해설]

[eqn: x f(x)=2 x^{3}+a x^{2}+3 a+ int_{1}^{x} f(t) d t][eqn: cdots cdots] ㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f(1)=2+a+3 a+0=4 a+2][eqn: cdots cdots] ㉡

㉠의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: 0=3 a+ int_{1}^{0} f(t) d t=3 a- int_{0}^{1} f(t) d t]

[eqn: int_{0}^{1} f(t) d t=3 a][eqn: cdots cdots] ㉢

[eqn: f(1)= int_{0}^{1} f(t) d t]이므로 ㉡, ㉢에서

[eqn: 4 a+2=3 a]

따라서 [eqn: a=-2]이고 [eqn: f(1)=-6]이다.

[eqn: x f(x)=2 x^{3}-2 x^{2}-6+ int_{1}^{x} f(t) d t]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)+x f `prime (x)=6 x^{2}-4 x+f(x)]

[eqn: x f `prime (x)=6 x^{2}-4 x]

[eqn: f `prime (x)=6 x-4]이므로

[eqn: f(x)][eqn: = int f `prime (x) d x]
[eqn: = int(6 x-4) d x]
[eqn: left.=3 x^{2}-4 x+C](단, [eqn: C]는 적분상수[eqn: right)]

[eqn: f(1) =3-4+C=-6]에서 [eqn: C=-5]

따라서 [eqn: f(x)=3 x^{2}-4 x-5]이므로

[eqn: a+f(3)=-2+10=8]

[eqn: xf LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +ax ^{2} +3a+ int _{1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT )} dt]

를 만족시킨다. [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT )} dt]일 때, [eqn: a+f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?
(단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
03 정적분으로 정의된 함수2 (피적분함수의 변수와 상수의 구분)

[출처]	2017 모의_공공 경찰대 고3 07월 25

함수 [eqn: f(x)=(x-1)^{4}(x+1)]에 대하여 이차함수 [eqn: g(x)], [eqn: h(x)]가

[정답] [eqn: 57]

[해설]

[eqn: f(x)=(x-1)^{4}(x+1)]에서

[eqn: f `prime (x)=4(x-1)^{3}(x+1)+(x-1)^{4}=(x-1)^{3}(5 x+3)]

[eqn: f `prime prime (x)=3(x-1)^{2}(5 x+3)+5(x-1)^{3}=(x-1)^{2}(20 x+4)]

이차함수 [eqn: g(x)=a x^{2}+b x+c]라하고

[eqn: f(x)][eqn: =g(x)+ int_{0}^{x}(x-t)^{2} h(t) d t][eqn: =g(x)+x^{2} int_{0}^{x} h(t) d t-2 x int_{0}^{x} t h(t) d t+ int_{0}^{x} t^{2} h(t) d t]

[eqn: x=0]을 대입하면, [eqn: f(0)=g(0)], [eqn: therefore~c=1]

이제 양변을 미분하면

[eqn: (x-1)^{3}(5 x+3)]

[eqn: =2 a x+b+2 x int_{0}^{x} h(t) d t+x^{2} h(x)-2]

[eqn: int_{0}^{x} t h(t) d t-2 x^{2} h(x)+x^{2} h(x)]

[eqn: =2 a x+b+2 x int_{0}^{x} h(t) d t-2 int_{0}^{x} t h(t) d t]

[eqn: x=0]을 대입하면, [eqn: -3=b]

또 양변을 미분하면

[eqn: (x-1)^{2}(20 x+4)]

[eqn: =2 a+2 int_{0}^{x} h(t) d t+2 x h(x)-2 x h(x)]

[eqn: =2 a+2 int_{0}^{x} h(t) d t]

[eqn: x=0]을 대입하면, [eqn: 4=2 a], [eqn: therefore~a=2]

또 양변을 미분하면

[eqn: 12(x-1)(5 x-1)=2 h(x)]

그러므로

[eqn: g(x)=2 x^{2}-3 x+1], [eqn: h(x)=6(x-1)(5 x-1)]

[eqn: therefore~g(2)+h(2)=3+54=57]

[eqn: f(x)=g(x)+ int_{0}^{x}(x-t)^{2} h(t) d t]

를 만족시킬 때, [eqn: g(2)+h(2)]의 값을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 경찰대 고3 07월 9

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ④

[해설]

[eqn: int_0^x ( x-t)^2 f``'(t) dt]

[eqn: = x^2 int_0^x f``'(t) dt - 2x int_0^x t f``'(t) dt + int_0^x t^2 f`'(t) dt]

[eqn: = 3 over4 x^4 - 2x^3]

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하기를 거듭하면

[eqn: 2 int_0^x f``'(t) dt = 9x^2 - 12x], [eqn: 2(f(x) - f(0)) = 9 x^2 - 12x]

[eqn: f(x)= 9 over2 x^2 - 6x +1]

[eqn: THEREFORE][eqn: int_0^1 f(x) dx =][eqn: left[ 3 over2 x^3 - 3x^2 +x right]_0^1][eqn: = - 1 over2]

[eqn: int _{0}^{x}(x - t)^{2}f` prime (t)`dt = {3}over{4}x^{4 }- 2x^{3}]

을 만족한다. [eqn: f (0) = 1]일 때, [eqn: int _{0}^{1}f (x)`dx]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: - {1 }over{2}]	⑤ [eqn: - {1}over{3}]

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
04 정적분으로 정의된 함수3 (정적분의 기본정리)

[출처]	2012 모의_공공 사관학교 고3 07월 14

모든 실수 [eqn: x`]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=int_1^x LEFT (x^2 -t RIGHT ) dt`]에 대하여 직선 [eqn: y=6x-k`]가 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]에 접할 때, 양수 [eqn: k`]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(x)= int _{1} ^{x} {} (x ^{2} -t)`dt=x^2 int_1 ^x dt- int_1 ^x t dt]

[eqn: =x ^2 left[ t right]_1 ^x - left[ 1 over 2 t^2 right]_1 ^x = x^2 (x-1) - 1 over 2 (x^2 -1)]

[eqn: = x^3 - 3 over 2 x^2 + 1 over 2]

직선 [eqn: y=6x-k``]와 곡선 [eqn: y=f(x)``]의 접점의 좌표를

[eqn: {rmP}left(t,``t^3 - 3 over 2 t^2 + 1 over 2 right)]라 놓으면 접선의 기울기가 [eqn: 6``]이므로

[eqn: f`'(t)=6``]; [eqn: 3t^2 -3t =6``]; [eqn: (t-2)(t+1)=0``]

∴ [eqn: t=2,``-1``] ∴ [eqn: {rmP} left(2,``5 over 2 right),``{rmP}(-1,``-2)``]

점 [eqn: rmP``]는 직선 위의 점이므로 [eqn: {rmP} left(2,``5 over 2 right)``]일 때, [eqn: k= 19 over 2``]

[eqn: {rmP}(-1,``-2)``]일 때, [eqn: k=-4``]

∴ [eqn: k>0``]이므로 [eqn: k= 19 over 2``]

[별해]

[eqn: f(x)][eqn: = int_1^x (x^2 -t)dt][eqn: = left[ x^2 t - 1 over2 t^2 right]_1^x][eqn: = x^2 (x-1) - 1 over2 (x^2 -1)]

[eqn: =x^3 - 3 over2 x^2 + 1 over2]  ∴ [eqn: f`'(x)][eqn: =3x^2 -3x]

[eqn: f`'(x)=6]에서 [eqn: x^2 -x-2=0]   ∴ [eqn: x=-1], [eqn: 2]

[eqn: f(-1)=-1 - 3 over2 + 1 over2 =-2]

[eqn: f(2)=8-6+ 1 over2 = 5 over2]

이므로 함수 [eqn: f(x)]에 접하는 기울기가 [eqn: 6]인 직선의 방정식은

[eqn: y=6(x+1)-2 = 6x +4] 또는 [eqn: y= 6(x-2)+ 5 over2 = 6x - 19 over2]

이다. 따라서 양수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 19 over2]이다.

① [eqn: {11} over {2}]	② [eqn: {13} over {2}]	③ [eqn: {15} over {2}]

④ [eqn: {17} over {2}]	⑤ [eqn: {19} over {2}]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 12

다항함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^7^경찰대^중}}]가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ③

[해설]

조건 (가)로부터

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )+x^2 +2ax -3]

[eqn: = 2 f LEFT ( x RIGHT ) -3x - LEFT { 2 f LEFT ( 1 RIGHT )-3 RIGHT }]
[eqn: =2 f LEFT ( x RIGHT )-3x-2f LEFT ( 1 RIGHT )+3]

[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( x RIGHT )=x^2 + LEFT ( 2a+3 RIGHT )x +2f LEFT ( 1 RIGHT )-6]

위 식에서 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )=1+2a+3+2 f LEFT ( 1 RIGHT )-6]

[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )=-2a-2]

[eqn: THEREFORE ```` f LEFT ( x RIGHT )= x^2 + LEFT ( 2a+3 RIGHT )x -4a-2]

조건 (나)로부터

[eqn: lim _{h ``->`` 0} {} {f LEFT ( 3+h RIGHT ) -f LEFT ( 3-h RIGHT )} over {h}]

[eqn: =lim _{h ``->`` 0} {} {f LEFT ( 3+h RIGHT )-f LEFT ( 3 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) -f LEFT ( 3-h RIGHT )} over {h}]

[eqn: =lim _{h ``->`` 0} LEFT[ {f LEFT ( 3+h RIGHT )-f LEFT ( 3 RIGHT )} over {h} - {f LEFT ( 3-h RIGHT ) -f LEFT ( 3 RIGHT )}over{h} RIGHT ]]

[eqn: =lim _{h ``->`` 0} LEFT[ {f LEFT ( 3+h RIGHT )-f LEFT ( 3 RIGHT )} over {h} + {f LEFT ( 3-h RIGHT ) -f LEFT ( 3 RIGHT )}over{-h} RIGHT ]]

[eqn: =f' LEFT ( 3 RIGHT )+f' LEFT ( 3 RIGHT )=2f' LEFT ( 3 RIGHT )]

[eqn: 2 f' LEFT ( 3 RIGHT )=6]이므로 [eqn: f ' LEFT ( 3 RIGHT )=3]

[eqn: therefore][eqn: f' LEFT ( x RIGHT )= 2x+2a+3]

즉, [eqn: f ' LEFT ( 3 RIGHT )=2a+9 =3]이므로 [eqn: a=-3]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: {d} over {dx} LEFT { int _{1} ^{x} {} LEFT ( f LEFT ( t RIGHT ) +t ^{2} +2at-3 RIGHT ) dt RIGHT }]
[eqn: = int _{1} ^{x} {} LEFT { {d} over {dt} LEFT ( 2f LEFT ( t RIGHT ) -3t+7 RIGHT ) RIGHT } dt]

(나) [eqn: lim _{h ``->`` 0} {} {f LEFT ( 3+h RIGHT ) -f LEFT ( 3-h RIGHT )} over {h}][eqn: =6]

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
06 활용2 (극대와 극소)

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 11월 21

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = x ^{3} -3x+a`]에 대하여 함수 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT )} dt`]가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 양수 [eqn: a`]의 최솟값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: F`` prime (x)=f(x)=x ^{3} -3x+a]

[eqn: f prime (x)=3x ^{2} -3=0]에서 [eqn: x=`-1] 또는 [eqn: x=1]이므로

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=±1]에서 극값을 갖고,

[eqn: f(-1)=a+2,~f(1)=`a-2,][eqn: f(0)=a]

이때, [eqn: F(x)]가 오직 하나의 극값을 가져야 하므로 [eqn: F(x)]의 도함수 [eqn: f(x)]의 부호가 한 번만 바뀌어야 한다.

즉, 삼차함수 [eqn: f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 한 번만 만나거나

접해야 한다.

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값과 극솟값의 부호가 같거나 극댓값 또는 극솟값이 [eqn: 0]이어야 한다.

즉, [eqn: f(-1)`․`f(1) GEQ 0], [eqn: (2+a)(-2+a) GEQ 0]

[eqn: a LEQ -2] 또는 [eqn: a GEQ 2]

따라서 양수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 2]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 07월 19

양수 [eqn: a], [eqn: b `]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= int _{0} ^{x} { LEFT (t-a RIGHT ) LEFT (t-b RIGHT )dt}`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a+b`]의 값은?

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: f`'`(x)=(x-a)(x-b)`]이고 (가)에서 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x= {1} over {2} `]에서 극값을 가지므로 [eqn: a= {1} over {2} `] 또는 [eqn: b= {1} over {2} `]

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) -f LEFT ( b RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{a} {LEFT ( t-a RIGHT ) LEFT ( t-b RIGHT ) dt} `-` int _{0} ^{b} {LEFT ( t-a RIGHT ) LEFT ( t-b RIGHT ) dt}]

[eqn: = int _{0} ^{a} {LEFT ( t-a RIGHT ) LEFT ( t-b RIGHT ) dt} `+` int _{b} ^{0} {LEFT ( t-a RIGHT ) LEFT ( t-b RIGHT ) dt}]

[eqn: = int _{b} ^{a} {LEFT ( t-a RIGHT ) LEFT ( t-b RIGHT ) dt}][eqn: =- {LEFT ( a-b RIGHT ) ^{3}} over {6} = {1} over {6}]이므로 [eqn: b-a=1`]

[eqn: b= {`1} over {2} `]이면 [eqn: a=- {1} over {2} `]이므로 모순

따라서 [eqn: a= {1} over {2}]이고 [eqn: b= {3} over {2}]이므로 [eqn: a+b=2]

(가) 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]는 [eqn: x= {1} over {2}`]에서 극값을 갖는다.

(나) [eqn: f LEFT (a RIGHT )-f LEFT (b RIGHT )= {1} over {6}`]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 20

실수 [eqn: {a}{{from^2020^11^대수능고3나^5}}] ([eqn: a>1])에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )]라 하자. 함수	[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} int _{0} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) dt- int _{0} ^{x} {} t ^{2} f LEFT ( t RIGHT ) dt]가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 [eqn: a]의 최댓값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: f(x)=(x+1)(x-1)(x-a)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g(x)=x ^{2} int _{0} ^{x} {f(t) dt} - int _{0} ^{x} {t ^{2} f(t) dt }]의 양변을 미분하면

[eqn: g prime (x)][eqn: =2x ^{} int _{0} ^{x} {f(t) dt} - x ^{2} f(x)+x ^{2} f(x)]
[eqn: =2x ^{} int _{0} ^{x} {f(t) dt}]

(ⅰ) [eqn: 0<x<1]일 때,
[eqn: 2x >0], [eqn: int _{0} ^{x} {f(t) dt} >0]이므로 [eqn: g'(x)>0]

(ⅱ) [eqn: -1<x<0]일 때,
[eqn: 2x <0], [eqn: int _{0} ^{x} {f(t) dt} <0]이므로 [eqn: g'(x)>0]

따라서 [eqn: x=0]에서 [eqn: g(x)]는 극값을 갖지 않는다.

(ⅲ) [eqn: x < -1]인 경우
[eqn: int _{0} ^{x} {f(t) dt}]의 값이 [eqn: x < -1]인 어떤 점에서 [eqn: g'(x)]가 [eqn: -]에서 [eqn: +]으로 바뀌는 극솟값을 갖게 된다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: g(x)]가 극값을 [eqn: 1]개 가지므로 [eqn: x>1]인 경우에 극값을 갖지 않아야 한다.

즉 [eqn: x>1]에서 항상 [eqn: int _{0} ^{x} {f(t) dt} GEQ 0]이 성립해야 하므로 최대가 되는 [eqn: a]의 값은 [eqn: int _{0} ^{1} {f(x) dx} =- int _{1} ^{a} {f(x) dx}]일 때이다.

즉, [eqn: int _{0} ^{a} {f(x) dx =0}]이 성립할 때 [eqn: a]가 최대가 된다.

[eqn: int _{0} ^{a} {f(x) dx][eqn: =} LEFT [ {1} over {4} x ^{4} - {1} over {3} ax ^{3} - {1} over {2} x ^{2} +ax RIGHT ] _{0}^{a}]
[eqn: = {1} over {4} a ^{4} - {1} over {3} a ^{4} - {1} over {2} a ^{2} +a ^{2}]
[eqn: =a ^{2} (a ^{2} -6)=0]

[eqn: therefore][eqn: a=0,````-root6 ,````root6]

그런데 [eqn: a>1]이므로 [eqn: a= sqrt {6}]

① [eqn: {9 sqrt {2}} over {8}]	② [eqn: {3 sqrt {6}} over {4}]	③ [eqn: {3 sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: sqrt {6}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 20

실수 [eqn: a]와 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -12x ^{2} +45x+3]에 대하여 함수

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[해설]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } TIMES LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt]
[eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt- int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{5}} dt]

양변을 미분하면

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f prime LEFT ( x RIGHT ) int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt+f LEFT ( x RIGHT ) TIMES LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{4} - LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{5}]
[eqn: =f prime LEFT ( x RIGHT ) int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt]
[eqn: = LEFT ( 3x ^{2} -24x+45 RIGHT ) int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt]
[eqn: =3 LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT ) int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt]

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=3] 또는 [eqn: x=5] 또는 [eqn: int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt=0]

그런데 조건에서 극값이 오직 하나이므로 [eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) =0]의 근은 오직 하나이어야 한다.

즉, [eqn: int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt=0]이 [eqn: x=3] 또는 [eqn: x=5]를 반드시 근으로 가져야 한다. 즉, [eqn: int _{a} ^{3} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt=0] 또는 [eqn: int _{a} ^{5} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt=0]가 성립해야 한다.

따라서 [eqn: a=3] 또는 [eqn: a=5]

즉, 만족하는 모든 [eqn: a]값의 합은 [eqn: 8]이다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } TIMES LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt]

가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합을 구하시오.

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
07 활용3 (최대와 최소)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 09월 29

구간 [eqn: LEFT [ 0,`` 8 RIGHT ]`]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]는

[정답] [eqn: bold43]

[해설]

[eqn: 0 LEQ a LEQ 4`]에서

[eqn: g(a)= int _{a} ^{a+4} {} f(x)`dx]라 하자

(ⅰ) [eqn: a=0`]일 때,

[eqn: g(0)= int _{0} ^{4} {} f(x)`dx]

[eqn: = int _{0} ^{4} {} LEFT { -x(x-4) RIGHT } `dx]

[eqn: = int _{0} ^{4} {} (-x ^{2} +4x)`dx]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} +2x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{4}]

[eqn: =- {64} over {3} +32= {32} over {3}]

(ⅱ) [eqn: 0<a<4`]일 때,

[eqn: g(a)= int _{a} ^{4} {} f(x)`dx+ int _{4} ^{a+4} {} f(x)`dx]

[eqn: = int _{a} ^{4} {} LEFT { -x(x-4) RIGHT } `dx+ int _{4} ^{a+4} {} (x-4)`dx]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} +2x ^{2} RIGHT ] _{a} ^{4} + LEFT [ {1} over {2} x ^{2} -4x RIGHT ] _{4} ^{a+4}]

[eqn: = {32} over {3} + {1} over {3} a ^{3} -2a ^{2} + {1} over {2} (a+4) ^{2} -4(a+4)-(8-16)]

[eqn: = {1} over {3} a ^{3} - {3} over {2} a ^{2} + {32} over {3}]

(ⅲ) [eqn: a=4`]일 때,

[eqn: g(a)= int _{4} ^{8} {} f(x)`dx]

[eqn: = int _{4} ^{8} {} (x-4)`dx]

[eqn: = LEFT [ {1} over {2} x ^{2} -4x RIGHT ] _{4} ^{8}]

[eqn: =32-32-(8-16)=8]

[eqn: 0<a<4`]에서

[eqn: g(a)= {1} over {3} a ^{3} - {3} over {2} a ^{2} + {32} over {3}]

이므로

[eqn: g prime (a)=a ^{2} -3a=a(a-3)]

[eqn: g prime (a)=0]에서

[eqn: 0<a<4`]이므로 [eqn: a=3]

함수 [eqn: g(a)]의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: a]	[eqn: (0)]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]	[eqn: (4)]
[eqn: g` prime (a)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g(a)]	[eqn: {32} over {3}]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	[eqn: 8]

따라서 [eqn: g(a)]는 [eqn: a=3]에서 최솟값

[eqn: g(3)= {1} over {3} TIMES 3 ^{3} - {3} over {2} TIMES 3 ^{2} + {32} over {3}]

[eqn: =9- {27} over {2} + {32} over {3}]

[eqn: = {54-81+64} over {6}]

[eqn: = {37} over {6}]

을 가지므로 [eqn: p=6,~q=37]

[eqn: p+q=43]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{``-x LEFT (x-4 RIGHT ) &~ LEFT (0 LEQ x<4 RIGHT )# ~~~x-4 &~ LEFT (4 LEQ x LEQ 8 RIGHT )}}`]

이다. 실수 [eqn: a][eqn: LEFT (0 LEQ a LEQ 4 RIGHT )`]에 대하여 [eqn: int _{a} ^{a+4} {} f LEFT (x RIGHT ) dx`]의 최솟값은 [eqn: {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 18

함수

[정답] ②

[해설]

[eqn: g(x)][eqn: = int_-1^x {f(t) left{` 2x - f(t) `right} dt]
[eqn: =2x int _{ -1} ^{x } {f(t)dt } - int _{ -1} ^{x } left{f(t) right }^2 dt]

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g``'(x)][eqn: = 2 int _{ -1} ^{x } { f(t)dt + 2xf(x) - left{ f(x)right}^2}]

(ⅰ) [eqn: x< -1]일 때,
[eqn: g``'(x)][eqn: = 2 int _{ -1} ^{x } {0dt + 2x cdot0- left{0 right}^2}][eqn: =0]

(ⅱ) [eqn: -1 le x <0]일 때,

[eqn: g``'(x)][eqn: = 2 int _{ -1} ^{x } { (1+t) dt + 2x(1+x) - left( 1+x right )^2}]
[eqn: = left[ pile{ `#` } (1+t)^2 right]_-1 ^x + x^2 -1]
[eqn: =(1+x)^2 +x^2 -1]
[eqn: =2x^2 +2x]
[eqn: =2 x(x+1)]

(ⅲ) [eqn: 0 le x <1]일 때,

[eqn: g``'(x)][eqn: = 2 left{ int _{ -1} ^{0 } { (1+t) dt +int _{ 0} ^{x } (1-t) dt right }]
[eqn: + 2x(1-x) - left( 1-x right )^2}]
[eqn: = 1- left[ pile{ `#` } (1-t)^2 right]_0 ^x -3 x^2 +4x -1]
[eqn: =-(1-x)^2 +1 -3 x^2 +4x]
[eqn: =-4x^2 +6x]
[eqn: =-2 x(2x+3)]

(ⅳ) [eqn: x ge 1]일 때,

[eqn: g``'(x)][eqn: = 2 left{ int _{ -1} ^{0 } { (1+t) dt +int _{ 0} ^{1 } (1-t) dt + int _{ 1} ^{x } {0 dt } right }]
[eqn: + 2x cdot 0- left( 0 right )^2}]
[eqn: = 2 left ( 1over 2 + 1over 2 right)][eqn: =2]

따라서 [eqn: y=g``'(x)]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

따라서 [eqn: x=0]일 때, 극소이면서 최소가 되므로 최솟값은 [eqn: g(0)]이다.

[eqn: therefore][eqn: g(0)][eqn: =2 cdot 0 cdot int _{ -1} ^{0 } { (1+t)dt } - int _{ -1} ^{0 } (1+t)^2 dt]
[eqn: =0 - left[ 1over 3 (1+t)^3 right]_-1 ^0]
[eqn: = - 1 over 3 from 넘버41]

[eqn: {f(x)= cases{ {1+x &&& (-1 le x < 0)} # 1-x &&& (0 le x le1) #``````` 0 &&& ( ``|`` x ``|`` >1)}} }]

에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)= int_-1^x {f(t) left{` 2x - f(t) `right} dt]

라 할 때, 함수 [eqn: g(x)]의 최솟값은?

① [eqn: - 1over4]	② [eqn: - 1over3]	③ [eqn: - 5 over12]

④ [eqn: - 1over2]	⑤ [eqn: - 7 over12]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 12

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: n-1 leq x leq n]일 때,

[eqn: f(x)=6(x-n+1)(x-n)] 또는

[eqn: f(x)=`-6(x-n+1)(x-n)]

열린구간 [eqn: left(0,``4right)`]에서 함수 [eqn: g left(x right)`]는 미분가능하고, 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=2]에서 최솟값 [eqn: rm 0]를 가지므로

[eqn: g left(2right)=0], [eqn: g`prime left(2right)=0]

[eqn: g(x)= int_{0}^{x} f(t) d t- int_{x}^{4} f(t) d t]에서

[eqn: g`prime left(x right)=2f left(x right)]

함수 [eqn: g left(x right)`]가 [eqn: x=2`]에서 최솟값을 가지므로 [eqn: x=2`]에서 극솟값을 가져야 한다.

따라서 [eqn: 1le x <3`]에서 함수 [eqn: f left(x right)`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g(2)= int_{0}^{2} f(t) d t- int_{2}^{4} f(t) d t=0]에서

[eqn: int_{0}^{2} f(t) d t= int_{2}^{4} f(t) d t]

따라서 닫힌구간 [eqn: [0,``4]]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: therefore] [eqn: int_{{1} over {2}}^{4} f(x) d x][eqn: = int_{{1} over {2}}^{1} f(x) d x+ int_{1}^{2} f(x) d x+ int_{2}^{3} f(x) d x]
[eqn: + int_{3}^{4} f(x) d x]
[eqn: = int_{{1} over {2}}^{1} f(x) d x- int_{0}^{1} f(x) d x+ int_{0}^{1} f(x) d x]
[eqn: - int_{0}^{1} f(x) d x]
[eqn: =`- int_{0}^{{1} over {2}} f(x) d x]
[eqn: =`- int_{0}^{{1} over {2}} left{ -6 x(x-1) it right} d x]
[eqn: = int_{0}^{{1} over {2}} left(6 x^{2}-6 x right) d x]
[eqn: = left[ pile{it #it} 2 x^{3}-3 x^{2} right]_{0}^{{1} over {2}}]
[eqn: =`-{1} over {2}]

[eqn: n-1 LEQ x<n]일 때, [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | = LEFT | 6 LEFT ( x-n+1 RIGHT ) LEFT ( x-n RIGHT ) RIGHT |]이다.

(단, [eqn: n]은 자연수이다.)

열린구간 [eqn: LEFT (0,`` 4 RIGHT )]에서 정의된 함수

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= int _{0} ^{x} {} f LEFT (t RIGHT )dt- int _{x} ^{4} {} f LEFT (t RIGHT )dt]

가 [eqn: x=2]에서 최솟값 [eqn: rm 0]을 가질 때, [eqn: int _{{1} over {2}} ^{4} {} f LEFT (x RIGHT )dx]의 값은?

① [eqn: -{3} over {2}]	② [eqn: -{1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
08 활용4 (양적관계 활용)

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 11월 17

최고차항의 계수가 양수인 사차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]의 도함수 [eqn: f `' LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여 방정식 [eqn: f `' LEFT (x RIGHT )=0 `]이 세 실근 [eqn: alpha], [eqn: 0], [eqn: beta][eqn: LEFT ( alpha<0<beta RIGHT ) `]를 갖는다.

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: f`prime(x)`]의 최고차항의 계수가 양수이므로 함수 [eqn: y=f`prime(x)`]의 그래프는 그림과 같다.
[eqn: f`prime(0) =0`]이고 [eqn: x=0`]의 좌우에서 [eqn: f`prime(x)`]의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 갖는다.

(참)

ㄴ. [eqn: alpha = -beta`]에 의하여
[eqn: f`prime(x) = k(x-beta)x(x+beta)=kx^3 - k beta^2 x``]([eqn: k>0])
[eqn: f(x)= {k} over {4} x ^{4} - {k beta ^{2}} over {2} x ^{2} +C``](단, [eqn: C`]는 적분상수)
따라서 [eqn: f(x)`]는 [eqn: y`]축에 대하여 대칭인 함수이므로
[eqn: f(-beta) = f(beta)]
[eqn: S = int_alpha^0`left|f`prime(x) right|`dx = int_-beta^0`f`prime(x)`dx = f(0)-f(-beta)]

[eqn: T = int_0^beta`left|f`prime(x) right|`dx][eqn: =int_0^beta`left{-f`prime(x) right}`dx]
[eqn: =-f(beta)+f(0)]

따라서 [eqn: S=T] (참)

ㄷ. [eqn: S<T,][eqn: f(alpha)=0`]이므로
[eqn: f(0)-f(alpha) < -f(beta)+f(0)`]에서 [eqn: f(beta)<0]
함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=alpha,~x=beta`]에서 극솟값, [eqn: x=0`]에서 극댓값을 갖는다.
[eqn: y=f(x)`]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

방정식 [eqn: f(x)=0`]의 양의 실근의 개수는 [eqn: 2`] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: S`= int _{alpha } ^{0} {} LEFT | f `' LEFT (x RIGHT ) RIGHT | dx], [eqn: T` = int_0^beta left|f `' LEFT (x RIGHT ) right| dx`]

라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]는 [eqn: x=0 `]에서 극댓값을 갖는다. ㄴ. [eqn: alpha+beta =0 `]이면 [eqn: S`=T` `]이다. ㄷ. [eqn: S`<T` `]이고 [eqn: f LEFT (alpha RIGHT )=0 `]이면 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=0 `]의 양의 실근의 개수는 [eqn: 2 `]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
09 활용5 (함수 구하기)

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 20

두 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 27]

[해설]

(가)에서 [eqn: f(x)g(x)=(x-1)(x+1)(x+3)]

(다)에서 [eqn: g` prime (x)=2f(x)], [eqn: g (1)=0]이므로

[eqn: f(x)=x+1,`~g(x)=(x-1)(x+3)] ([eqn: because][eqn: f` prime(x)=1] )

[eqn: therefore][eqn: int_0^3 3 g(x) dx][eqn: = int_0^3 3 (x^2 + 2x-3) dx][eqn: = 27]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

(가) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )=x ^{3} +3x ^{2} -x-3]

(나) [eqn: f `' LEFT ( x RIGHT )=1]

(다) [eqn: g LEFT ( x RIGHT )=2 int _{1} ^{x} {} f LEFT (t RIGHT ) dt]

[eqn: int _{0} ^{3} {} 3 g LEFT ( x RIGHT ) dx `]의 값을 구하시오.

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 20

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. 조건 (가)에서 [eqn: f `prime (x)=a x(x-k)(a>0)]이라 하면 닫힌구간 [eqn: [0,`` k]]에서 [eqn: f `prime (x) leq 0]이므로 [eqn: int_{0}^{k} f `prime (x) d x<0](참)

ㄴ. 조건 (나)에서 [eqn: int_{0}^{t} left|f `prime (x) right| d x=f(t)+f(0)]의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면 [eqn: left|f `prime (t) right|=f `prime (t)][eqn: t>1]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: left|f `prime (t) right|=f `prime (t)]가 성립하므로 [eqn: f `prime (t) geq 0(t>1)]
조건 (가)에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극댓값, [eqn: x=k]에서 극솟값을 가지므로. [eqn: 0<k leq 1] (참)

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: 0<k leq 1]이고 조건 (나)에서 [eqn: t>1]일 때,

[eqn: int_{0}^{t} left|f `prime (x) right| d x][eqn: =- int_{0}^{k} f `prime (x) d x+ int_{k}^{t} f `prime (x) d x]
[eqn: =`- LEFT [ pile{ it#it } f LEFT (x RIGHT ) RIGHT ]_{0}^{k}+ LEFT [ pile{ it#it } f LEFT (x RIGHT ) RIGHT ]_{k}^{t}]
[eqn: =- left{ f(k)-f(0) it right} + left{ f(t)-f(k) it right}]
[eqn: =-2 f(k)+f(0)+f(t)=f(t)+f(0)]
따라서 [eqn: f(k)=0]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은 [eqn: rm 0]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극댓값, [eqn: x=k]에서 극솟값을 가진다. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

(나) [eqn: 1]보다 큰 모든 실수 [eqn: t]에 대하여
[eqn: int _{0} ^{t} {LEFT | f prime (x) RIGHT | dx} =f(t)+f(0)]
이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: int _{0} ^{k} {f` prime (x)dx<0}] ㄴ. [eqn: 0<k LEQ 1] ㄷ. 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은 [eqn: 0]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 09월 15

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여　함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{2} ^{x} {LEFT ( t-2 RIGHT ) f` prime } LEFT ( t RIGHT ) dt`]이므로

[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) f` prime LEFT ( x RIGHT )]

함수 [eqn: g(x)`]가 [eqn: x=0`]에서만 극값을 가지므로 상수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) TIMES ax LEFT ( x-2 RIGHT ) `]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =ax LEFT ( x-2 RIGHT ) `]이고

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최고차항이 [eqn: x ^{3} `]이므로 [eqn: a=3`]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x(x-2)]

따라서 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = int _{2} ^{0} {3t LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} dt}][eqn: = LEFT [ {3} over {4} t ^{4} -4t ^{3} +6t ^{2} RIGHT ] _{2} ^{0} ={it}- 4`]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{2} ^{x} { LEFT ( t-2 RIGHT ) f `' } LEFT ( t RIGHT ) dt`]

라 하자. 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]가 [eqn: x=0 `]에서만 극값을 가질 때, [eqn: g LEFT (0 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: - {5} over {2}]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: - {7} over {2}]	⑤ [eqn: -4]

[출처]	2017 모의_공공 경찰대 고3 07월 17

음이 아닌 정수 [eqn: n]에 대하여 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 [eqn: n]차 다항함수 [eqn: P_{n}(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

[eqn: P_{2}(x)=x^{2}+a x+b]라 하면

[eqn: int_{-1}^{1} P_{0}(x) P_{2}(x) d x= int_{-1}^{1} left(x^{2}+a x+b right) d x={2} over {3}+2 b=0]

[eqn: int_{-1}^{1} P_{1}(x) P_{2}(x) d x= int_{-1}^{1} left(x^{3}+a x^{2}+b x right) d x={2} over {3} a=0]

[eqn: therefore~a=0], [eqn: b=-{1} over {3}], [eqn: P_{2}(x)=x^{2}-{1} over {3}]

[eqn: P_{3}(x)=x^{3}+c x^{2}+d x+e]라 하면

[eqn: int_{-1}^{1} left(x^{3}+c x^{2}+d x+e right) d x={2} over {3} c+2 e=0], [eqn: ~ {1} over {3} c+e=0]

[eqn: int_{-1}^{1} left(x^{4}+c x^{3}+d x^{2}+e x right) d x={2} over {5}+{2} over {3} d=0], [eqn: ~ d=-{3} over {5}]

[eqn: int_{-1}^{1} left(x^{2}-{1} over {3} right) left(x^{3}+c x^{2}+d x+e right) d x]
[eqn: = int_{-1}^{1} left(x^{5}+c x^{4}+d x^{3}+e x^{2} right) d x-{1} over {3} int_{-1}^{1} left(x^{3}+c x^{2}+d x+e right) d x]
[eqn: = {2} over {5} c+{2} over {3} e=0]

[eqn: int_{0}^{1} P_{3}(x) d x][eqn: = int_{0}^{1} left(x^{3}+c x^{2}+d x+e right) d x][eqn: ={1} over {4}+{1} over {3} c+{1} over {2} d+e][eqn: = {1} over {4}+{1} over {2} d={1} over {4}-{3} over {10}=-{1} over {20}]

(가) [eqn: P_{0}(x)=1], [eqn: P_{1}(x)=x]

(나) 음이 아닌 서로 다른 정수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여
[eqn: int_{-1}^{1} P_{m}(x) P_{n}(x) d x=0]

[eqn: int_{0}^{1} P_{3}(x) d x]의 값은?

① [eqn: -{1} over {20}]	② [eqn: -{1} over {10}]	③ [eqn: {1} over {5}]

④ [eqn: {1} over {10}]	⑤ [eqn: {1} over {20}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 20

최고차항의 계수가 [eqn: {4}{{from^2020^10^서울고3나^5}}]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] ②

[해설]

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +x f ' LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }][eqn: = it -x f ' LEFT ( x RIGHT )]

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항의 계수가 [eqn: 4]이므로 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )]는 이차항의 계수가 [eqn: 12]인 이차함수이다.

그러므로 [eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it -x f ' LEFT ( x RIGHT )]에서 [eqn: g' LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: -12]인 삼차함수이다.

또, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) LEQ g LEFT ( 3 RIGHT )]이므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=3]에서 최댓값을 가지고 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=3]에서 극값을 가진다.

즉, [eqn: g prime LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =0]

그러므로 [eqn: f ' LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =-12x LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )]

사차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 오직 [eqn: 1]개의 극값을 가지므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 극값을 가질 수 없다.

즉, [eqn: a][eqn: =0]

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it -12x ^{2} LEFT ( x-3 RIGHT )][eqn: = it -12x ^{3} +36x ^{2}]

따라서 [eqn: int _{0} ^{1} {} g' LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = LEFT [ -3x ^{4} +12x ^{3} pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{1}][eqn: =9]

[eqn: g(x)][eqn: = int _{0} ^{x} {f(t) dt} -xf(x)]

라 하자. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x) LEQ g(3)]이고 함수 [eqn: g(x)]는 오직 [eqn: 1]개의 극값만 가진다. [eqn: int _{0} ^{1} {g prime (x) dx}]의 값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 20

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] ②

[해설]

[eqn: g(x)= int_{0}^{x} f(t) d t+f(x)]에서

[eqn: g `prime (x)=f(x)+f `prime (x)]

[eqn: g(0)= int_{0}^{0} f(t) d t+f(0)=0+f(0)]

[eqn: g `prime (0)=f(0)+f `prime (0)]

조건 (가)에 의해

[eqn: g(0)=f(0)=0]

[eqn: g `prime (0)=f(0)+f `prime (0)=0+f `prime (0)=0]이므로 [eqn: f `prime (0)=0]

그러므로 [eqn: x^{2}]은 [eqn: f(x)]의 인수이다.

[eqn: f(x)=x^{2}(x-k)(]단, [eqn: k]는 상수 [eqn: )]라 하면

[eqn: g `prime (x)=x^{3}-k x^{2}+3 x^{2}-2 k x]

[eqn: ~ =x^{3}+(3-k) x^{2}-2 k x]

조건 (나)에 의해 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g `prime (-x)=-g `prime (x)]가 성립한다.

즉, [eqn: -x^{3}+(3-k) x^{2}+2 k x=-x^{3}-(3-k) x^{2}+2 k x],

[eqn: 2(3-k) x^{2}=0]에서 [eqn: k=3]

그러므로 [eqn: f(x)=x^{2}(x-3)]

따라서 [eqn: f(2)=-4]

[다른 풀이]

[eqn: f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c]라고 놓으면

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}+2 a x+b]

조건 (가)에 의해 [eqn: f(0)=0]이므로 [eqn: c=0],

[eqn: f `prime (0)=0]이므로 [eqn: b=0]

즉, [eqn: f(x)=x^{3}+a x^{2}]

[eqn: g `prime (x)=f(x)+f `prime (x)]

[eqn: ~ =x^{3}+a x^{2}+3 x^{2}+2 a x]

[eqn: ~ =x^{3}+(a+3) x^{2}+2 a x]

조건 (나)에 의해 함수 [eqn: y=g `prime (x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 [eqn: x^{2}]의 계수는 [eqn: rm 0]이다. 즉, [eqn: a=-3]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2}]에서 [eqn: f(2)=8-12=-4]

[eqn: g(x)= int_{0}^{x} f(t) d t+f(x)]

라 할 때, 함수 [eqn: g(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 극댓값 [eqn: rm 0]을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]의 도함수 [eqn: y=g `prime (x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

[eqn: f(2)]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 20

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 110]

[해설]

[eqn: f(x+1) - x f(x) = ax + b]에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: f(1) = b]

닫힌구간 [eqn: left [` 0,~ 1 ` right ]]에서 [eqn: f(x) = x]이므로

[eqn: b=1]

또, [eqn: f(x+1) - x f(x) = ax + 1]이므로 [eqn: 0 le x le 1]에서

[eqn: f(x+1)][eqn: = x f(x) + ax + 1][eqn: = x^2 + ax + 1]

[eqn: x+1 = t]로 치환하면

[eqn: f(t)][eqn: = (t-1)^2 + a (t-1) + 1]
[eqn: = t^2 + (a-2) t + 2 - a]	[eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: f`' (t) = 2t +( a-2)]이고,

닫힌구간 [eqn: left [` 0,~ 1 ` right ]]에서 [eqn: f(x) = x]이고, 함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수이므로 [eqn: f`' (1) = 1]이므로

[eqn: a=1]

따라서 ㉠에서 [eqn: 1 le x le 2]일 때 [eqn: f(x) =x^2 - x + 1]이다.

[eqn: int _{ 1} ^{ 2} { f(x)` dx}][eqn: = int _{1} ^{2} {(x ^{2} -x+1)`dx}]
[eqn: = left [ pile{ `#` } 1 over 3 x^3 - 1 over 2 x^2 + x ` right ]_1 ^2]
[eqn: = 8 over 3 - 5 over 6 = 11 over 6]

즉, [eqn: 60 times int _{ 1} ^{ 2} { f(x)` dx }][eqn: = 60 times 11 over 6][eqn: = 110]

(가) 닫힌구간 [eqn: LEFT [ `0,~1` RIGHT ]]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x]이다.

(나) 어떤 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 구간 [eqn: [`0,~ INF `)]에서 [eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT ) -xf LEFT ( x RIGHT ) =ax+b]이다.

[eqn: 60 TIMES int _{1} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 14

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 [eqn: f(0)=0], [eqn: f(1)=0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(t)]를

[정답] ⑤

[해설]

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 [eqn: ~ f(0)=0], [eqn: f(1)=0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]를

[eqn: f(x)=x(x-1)(x-a)] ([eqn: a]는 상수)

라 하자.

ㄱ. [eqn: g(0)= int_{0}^{1} f(x) d x- int_{0}^{1}|f(x)| d x=0]

[eqn: int_{0}^{1} f(x) d x= int_{0}^{1}|f(x)| d x]

따라서 [eqn: 0 leq x leq 1]일 때 [eqn: f(x) geq 0]이므로

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

(i) [eqn: a>1]일 때

(ii) [eqn: a=1]일 때

(i), (ii)에 의하여

[eqn: int_{-1}^{0} f(x) d x<0]

이므로

[eqn: g(-1)= int_{-1}^{0} f(x) d x- int_{0}^{1}|f(x)| d x<0]

이다. (참)

ㄴ. [eqn: g(-1)>0]이면 [eqn: ~ 0 leq x leq 1]일 때, [eqn: f(x) leq 0]이므로

[eqn: g(-1)][eqn: = int _{-1} ^{0} {} f(x)dx- int _{0} ^{1} {} vert f(x)vert dx]
[eqn: = int_{-1}^{0} f(x) d x+ int_{0}^{1} f(x) d x]
[eqn: = int_{-1}^{1} f(x) d x]
[eqn: = int_{-1}^{1} x(x-1)(x-a) d x]
[eqn: = int_{-1}^{1} left{ x^{3}-(a+1) x^{2}+a x it right} d x]
[eqn: =2 int_{0}^{1} left{ -(a+1) x^{2} it right} d x]
[eqn: =2 left[ pile{it #it} -{a+1} over {3} x^{3} right]_{0}^{1}]
[eqn: =-{2(a+1)} over {3}>0]

즉, [eqn: a < it - 1]이므로 [eqn: f(k)=0]을 만족시키는 [eqn: k < it - 1]인 실수 [eqn: k]가 존재한다. (참)

ㄷ. [eqn: g(-1)=-{2(a+1)} over {3}>1]에서    [eqn: a < it - {5} over {2}]

[eqn: 0 leq x leq 1]일 때 [eqn: f(x) leq 0]이므로

[eqn: g(0)][eqn: = int _{0} ^{1} {} f(x)dx- int _{0} ^{1} {} vert f(x)vert dx]
[eqn: = int_{0}^{1} f(x) d x+ int_{0}^{1} f(x) d x]
[eqn: =2 int_{0}^{1} f(x) d x]
[eqn: =2 int_{0}^{1} left{ x^{3}-(a+1) x^{2}+a x it right} d x]
[eqn: =2 left[ pile{it #it} {1} over {4} x^{4}-{a+1} over {3} x^{3}+{a} over {2} x^{2} right]_{0}^{1}]
[eqn: =2 left({1} over {4}-{a+1} over {3}+{a} over {2} right)]
[eqn: ={1} over {3} a-{1} over {6} < it - 1]

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[다른 풀이]

ㄱ. [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) = int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} - int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx=0}]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ`0]이고 만족하는 경우는 [그림[eqn: 1]]과 [그림[eqn: 2]]와 같다.

[그림[eqn: 1]]	[그림[eqn: 2]]

따라서 [eqn: 1`LEQ`alpha]이므로 [eqn: int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx<0}]이고, [eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx>0}]이다.

[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: = int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} - int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx]
[eqn: = int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} - int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} <0}]

이다. (참)

ㄴ. [eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) = int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx- int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx>0}}]이면 [eqn: int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx>0}]이어야 하므로 만족하는 경우는 [그림[eqn: 3]]과 같다.

[그림[eqn: 3]]

[eqn: int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx> int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx}}]이므로 [eqn: alpha `<`-1]이다.
따라서 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =0]인 [eqn: k=alpha<`-1]을 만족한다. (참)

ㄷ. [eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) = int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx- int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx>1}}]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-k RIGHT )][eqn: =x ^{3} - LEFT ( k+1 RIGHT ) x ^{2} +kx]라 두면

[eqn: int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} - {k+1} over {3} x ^{3} + {k} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{-1}^{0}]
[eqn: =- {1} over {4} - {k+1} over {3} - {k} over {2}]

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT { -f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx}]
[eqn: = LEFT [ - {1} over {4} x ^{4} + {k+1} over {3} x ^{3} - {k} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0}^{1}}]
[eqn: =- {1} over {4} + {k+1} over {3} - {k} over {2}]

이므로
[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) = int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx- int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx}}][eqn: =- {2k+2} over {3} >1]
즉, [eqn: 2k+2<`-3]이므로 [eqn: 2k`<`-5], [eqn: k<`- {5} over {2}]

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx- int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx]
[eqn: =2 int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}}}]
[eqn: =2 LEFT ( {1} over {4} - {k+1} over {3} + {k} over {2} RIGHT ) =- {1} over {6} + {k} over {3}]
[eqn: <`- {1} over {6} - {5} over {6} =-1]

이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: g(t)= int_{t}^{t+1} f(x) d x- int_{0}^{1}|f(x)| d x]

라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g(0)=0]이면 [eqn: g(-1)<0]이다. ㄴ. [eqn: g(-1)>0]이면 [eqn: f(k)=0]을 만족시키는 [eqn: k < it - 1]인 실수 [eqn: k]가 존재한다. ㄷ. [eqn: g(-1)>1]이면 [eqn: g(0) < it - 1]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 20

최고차항의 계수가 [eqn: rm 3]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[정답] [eqn: 8]

[해설]

[eqn: g `prime (x)=2 x int_{0}^{x} f(t) d t+x^{2} f(x)-x^{2} f(x)]

[eqn: =2 x int_{0}^{x} f(t) d t]

[eqn: h(x)= int_{0}^{x} f(t) d t]라 하면 [eqn: h(0)=0]

조건 (나)에 의하여

방정식 [eqn: h(x)=0]의 실근은 [eqn: rm 0]과 [eqn: rm 3]이므로

(ⅰ) [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( a]는 상수[eqn: )]라 하면 [eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) =2ax ^{3} LEFT ( x-3 RIGHT )]이고 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0], [eqn: x=3]에서 극값을 가지므로 모순

(ⅱ) [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =ax LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}][eqn: LEFT (a]는 상수[eqn: )]라 하면 [eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) =2ax ^{2} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]이므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 극값을 갖지 않는다.

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: =a LEFT ( 3x ^{2} -12x+9 RIGHT ) =3a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항의 계수가 [eqn: 3]이므로 [eqn: a=1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]

따라서

[eqn: int_{0}^{3}|f(x)| d x]

[eqn: =3 int_{0}^{3}|(x-1)(x-3)| d x]

[eqn: =3 int_{0}^{1}(x-1)(x-3) d x-3 int_{1}^{3}(x-1)(x-3) d x]

[eqn: =3 left[ pile{it #it} {1} over {3} x^{3}-2 x^{2}+3 x right]_{0}^{1}-3 left[ pile{it #it} {1} over {3} x^{3}-2 x^{2}+3 x right]_{1}^{3}]

[eqn: =3 left({1} over {3}-2+3 right)-3 left(9-18+9-{1} over {3}+2-3 right)=8]

[eqn: g(x)=x^{2} int_{0}^{x} f(t) d t- int_{0}^{x} t^{2} f(t) d t]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 극값을 갖지 않는다.

(나) 방정식 [eqn: g `prime (x)=0]의 모든 실근은 [eqn: rm 0], [eqn: rm 3]이다.

[eqn: int_{0}^{3}|f(x)| d x]의 값을 구하시오.

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
10 활용6 (정의된 함수)

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 09월 21

양수 [eqn: t `]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4tx+3t ^{2}][eqn: = LEFT ( x-t RIGHT ) LEFT ( x-3t RIGHT )] (참)

ㄴ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{3t} ^{x} {LEFT ( s ^{2} -4ts+3t ^{2} RIGHT ) `ds}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {3} s ^{3} -2ts ^{2} +3t ^{2} s RIGHT ] _{3t}^{x}][eqn: = {1} over {3} x ^{3} -2tx ^{2} +3t ^{2} x]
[eqn: = {1} over {3} x LEFT ( x-3t RIGHT ) ^{2}]

[eqn: f` prime LEFT ( t RIGHT ) =0`], [eqn: f(t)= {4} over {3} t ^{3}]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) - {4} over {3} t ^{3} = {1} over {3} x LEFT ( x ^{2} -6tx+9t ^{2} RIGHT ) - {4} over {3} t ^{3}`]

[eqn: = {1} over {3} LEFT ( x-t RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-4t RIGHT )]
[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( 4t RIGHT ) = {4} over {3} t ^{3}]

ⅰ) [eqn: t>2]일 때

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=2]에서 최댓값을 가지므로
[eqn: g(t)=f LEFT ( 2 RIGHT ) = {2} over {3} (3t-2) ^{2}]

ⅱ) [eqn: t` LEQ `2<4t] 즉, [eqn: {1} over {2} <t` LEQ `2]일 때

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=t`]에서 최댓값을 가지므로
[eqn: g(t)=f LEFT ( t RIGHT ) = {4} over {3} t ^{3}]

ⅲ) [eqn: 4t` LEQ `2] 즉, [eqn: 0<`t` LEQ ` {1} over {2}]일 때

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 최댓값을 가지므로
[eqn: g(t)=f(2)= {2} over {3} (3t-2) ^{2}]

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여

[eqn: t>2]일 때, [eqn: g(t)= {2} over {3} (3t-2) ^{2}] (참)

ㄷ. 함수

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =]	[eqn: {cases{`&eqalign{`# `}#eqalign{`# ` pile{`#` pile{``#`}}}&`}}]	[eqn: {2} over {3} (3t-2) ^{2}]	[eqn: LEFT ( 0<t` LEQ ` {1} over {2} RIGHT )]
		[eqn: {4} over {3} t ^{3}]	[eqn: LEFT ( {1} over {2} <t` LEQ `2 RIGHT )]
		[eqn: {2} over {3} (3t-2) ^{2}]	[eqn: LEFT ( t`>2 pile{`#`} RIGHT )]

의 미분가능성을 조사하면

ⅰ) [eqn: t= {1} over {2}]일 때,

[eqn: lim _{itt` -> ` {1} over {2} -} {{g(t)-g LEFT ( {1} over {2} RIGHT )} over {t- {1} over {2}}}][eqn: = lim _{itt` -> ` {1} over {2} -} {{{2} over {3} (3t-2) ^{2} - {1} over {6}} over {t- {1} over {2}}}]

[eqn: = lim _{itt` -> ` {1} over {2} -} {{(2t-1)(6t-5)} over {2t-1}}][eqn: =`-2]

[eqn: lim _{itt` -> ` {1} over {2} +} {{g(t)-g LEFT ( {1} over {2} RIGHT )} over {t- {1} over {2}}}][eqn: = lim _{itt` -> ` {1} over {2} +} {{{4} over {3} t ^{3} - {1} over {6}} over {t- {1} over {2}}}]

[eqn: = lim _{itt` -> ` {1} over {2} +} {{LEFT ( 2t-1 ^{`} RIGHT ) LEFT ( 4t ^{2} +2t+1 RIGHT )} over {3(2t-1)}}][eqn: =1]

따라서 [eqn: t= {1} over {2}]에서 미분가능하지 않다.

ⅱ) [eqn: t=2`]일 때,

[eqn: lim _{itt` -> `2-} {{g(t)-g(2)} over {t-2}}][eqn: `= lim _{itt` -> `2-} {{{4} over {3} t ^{3} - {32} over {3}} over {t-2}}]

[eqn: `= lim _{itt` -> `2-} {{{4} over {3} (t ^{3} -8)} over {t-2}}][eqn: `= lim _{itt` -> `2-} {{4(t ^{2} +2t+4)} over {3}} =16]

[eqn: lim _{itt` -> `2+} {{g(t)-g(2)} over {t-2}}][eqn: = lim _{itt` -> `2+} {{{2} over {3} (3t-2) ^{2} - {32} over {3}} over {t-2}}]

[eqn: = lim _{itt` -> `2+} {{2(t-2)(3t+2)} over {t-2}} =16`]

따라서 [eqn: t=2]에서 미분가능하다.

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: t>0]에서 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t= {1} over {2}]에서만 미분가능하지 않다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{3t} ^{x} { LEFT ( s ^{2} -4ts+3t ^{2} RIGHT ) ds} `]

라 할 때, 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,`` 2 RIGHT ] `]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최댓값을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f `' LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-t RIGHT ) LEFT ( x-3t RIGHT )] ㄴ. [eqn: t>2 `]일 때, [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = {2} over {3} LEFT ( 3t-2 RIGHT ) ^{2} `]이다. ㄷ. [eqn: t>0 `]에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT (t RIGHT ) `]는 [eqn: t= {1} over {2} `]에서만 미분가능하지 않다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 18

실수 [eqn: {t}{{from^2021^7^경찰대^중}}]([eqn: 0<t<3])에 대하여 삼차함수

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =6x ^{2} -2 LEFT ( t+3 RIGHT ) x+2t]이므로

[eqn: f prime LEFT ( a RIGHT )][eqn: =6a ^{2} -2 LEFT ( t+3 RIGHT ) a+2t=0]

[eqn: LEFT ( 6a-2t RIGHT ) LEFT ( a-1 RIGHT ) =0]에서 [eqn: a= {t} over {3} ,```` a=1]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = {a} over {2} f LEFT ( a RIGHT )]
[eqn: =a ^{4} - {3} over {2} LEFT ( a+1 RIGHT ) a ^{3} +3a ^{3}]
[eqn: =- {1} over {2} a ^{4} + {3} over {2} a ^{3}]

그런데, [eqn: t=3a]이므로 [eqn: t ``->`` 0]일 때 [eqn: a ``->`` 0]이므로

[eqn: int _{0} ^{a} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = LEFT [ {1} over {2} x ^{4} - {1} over {3} LEFT ( t+3 RIGHT ) x ^{3} +tx ^{2} RIGHT ] _{0}^{a}]
[eqn: = {1} over {2} a ^{4} - LEFT ( a+1 RIGHT ) a ^{3} +3a ^{3}]
[eqn: =- {1} over {2} a ^{4} +2a ^{3}]

[eqn: therefore][eqn: lim _{t ``->`` 0} {} {1} over {g LEFT ( t RIGHT )} int _{0} ^{a} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = lim _{a ``->`` 0} {} {-a ^{4} +4a ^{3}} over {-a ^{4} +3a ^{3}} = {4} over {3}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x ^{3} - LEFT ( t+3 RIGHT ) x ^{2} +2tx]

가 [eqn: x][eqn: =a]에서 극댓값을 가질 때, 세 점 [eqn: LEFT ( 0 ,```` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( a ,```` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( a ,```` f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT )]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{t ``->`` 0} {} {1} over {g LEFT ( t RIGHT )} int _{0} ^{a} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: {13} over {12}]	③ [eqn: {7} over {6}]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {4} over {3}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 14

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F(x)]라 하면 주어진 방정식은 [eqn: int_{t}^{x} f(s) d s=F(x)-F(t)=0]이므로 [eqn: F(x)=F(t)]이다.

따라서 [eqn: g(t)]는 곡선 [eqn: y=F(x)]와 직선 [eqn: y=F(t)]의 서로 다른 교점의 개수와 같다.

ㄱ. [eqn: F `prime (x)=f(x)=x^{2}(x-1)]이다.
함수 [eqn: F(x)]는 [eqn: x<1]에서 감소, [eqn: x>1]에서
증가하므로 [eqn: x=1]에서 극소이면서 최소이다.
따라서 곡선 [eqn: y=F(x)]와 직선 [eqn: y=F(1)]은
오직 한 점에서 만나므로 [eqn: g(1)=1]이다. (참)

ㄴ. 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 3]일 때, 함수 [eqn: F(x)]의 두 극솟값이 같은 경우와 두 극솟값이 다른 경우가 있다. 각 경우 곡선 [eqn: y=F(x)]와 직선 [eqn: y=F(a)]가
서로 다른 세 점에서 만나는 실수 [eqn: a]가 존재한다.

따라서 [eqn: g(a)=3]인 실수 [eqn: a]가 존재한다. (참)

ㄷ. 함수 [eqn: F(x)]가 극댓값을 갖지 않거나, 극댓값을 갖지만 두 극솟값의 크기가 다른 경우에는 [eqn: lim _{t ``rarrow`` b} g(t)+g(b)=6]인 실수 [eqn: b]가 존재하지 않는다. 따라서 곡선 [eqn: y=F(x)]의 개형은 다음과 같고, [eqn: F(0)=F(3)]이다.

[eqn: f(0)=F `prime (0)=0]이고 [eqn: f(3)=F `prime (3)=0]이므로
[eqn: F(x)-F(0)={x^{2}(x-3)^{2}} over {4}={x^{4}-6 x^{3}+9 x^{2}} over {4}]
양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: f(x)=x^{3}-{9} over {2} x^{2}+{9} over {2} x]
이므로 [eqn: f(4)=64-72+18=10] (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: int_{t}^{x} f(s) d s=0]

의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: g(t)]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(x)=x^{2}(x-1)]일 때, [eqn: g(1)=1]이다. ㄴ. 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 3]이면 [eqn: g(a)=3]인 실수 [eqn: a]가 존재한다. ㄷ. [eqn: lim _{t ``rarrow`` b} g(t)+g(b)=6]을 만족시키는 실수 [eqn: b]의 값이 [eqn: rm 0]과 [eqn: rm 3]뿐이면 [eqn: f(4)=12]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
11 활용7 (추론과 해석)

[출처]	2001 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

부등식 [eqn: n < INT _{ 0}^{2 } root{27 + 2 sin` x } dx < n + 1 `]을 만족하는 양의 정수 [eqn: n `]을 구하시오.

[정답] [eqn: 10``]

[해설]

구간 [eqn: 0<=x<=2``]에서 [eqn: 0<=sin``x<=1``]이므로

[eqn: int_{0}^{2}``sqrt{27}dx<int_{0}^{2}``sqrt{27+2sin``x}dx<int_{0}^{2}``sqrt29 dx``]

[eqn: sqrt27 x`]_0^2 <int_{0}^{2}``sqrt{27+2sin``x} `dx<sqrt29 x]_0^2``]

[eqn: sqrt108 <int_{0}^{2}``sqrt{27+2sin``x}``dx< sqrt116``]

[eqn: 10<sqrt108 <int_{0}^{2}``sqrt{27+2sin``x}``dx<sqrt116 <11``]

[eqn: therefore`````n=10``]

[출처]	2004 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 8

다음은 연속함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 이 그래프 위의 서로 다른 두 점 [eqn: {rmP} LEFT ( a,`` f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT )], [eqn: {rmQ} LEFT ( b,`` f LEFT ( b RIGHT ) RIGHT )`]를 나타낸 것이다.

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: F'(x)=f(x)>0]이므로 구간 [eqn: [a,~b]]에서 [eqn: y=F(x)]

는 증가한다.             [eqn: therefore~]참

ㄴ. 직선 [eqn: RM PQ]의 기울기는 [eqn: f(b)-f(a) over b-a = {F'(b)-F'(a)} over b-a]

[eqn: therefore~]거짓

ㄷ. [eqn: INT from a to b left{f(x)-f(b) right }dx][eqn: =](그림의 어두운 부분의 넓이)

[eqn: {(b-a) {left{f(a)-f(b)} right}} over 2][eqn: =(rm triangle PRQ]의 넓이)     [eqn: THEREFORE~]참

함수 [eqn: F` `' LEFT ( x RIGHT )`]가 [eqn: F` `' LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )`]를 만족시킬 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT )`]는 구간 [eqn: LEFT [a,`` b RIGHT ]`]에서 증가한다. ㄴ. [eqn: { F` LEFT (b RIGHT )-F` LEFT (a RIGHT ) _{ }} over {b -a}`]는 직선 [eqn: rmPQ `]의 기울기와 같다. ㄷ. [eqn: int _{a} ^{b} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( b RIGHT ) RIGHT } dx LEQ { LEFT ( b-a RIGHT ) LEFT { f LEFT ( a RIGHT ) -f LEFT ( b RIGHT ) RIGHT }} over {2} }`]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 10

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~~ -1 &~ LEFT ( x < 1 RIGHT )#`` -x+2 &~ LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}`]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]를

[정답] ③

[해설]

(ⅰ) [eqn: x<1]일 때,
[eqn: g(x)`= int _{-1} ^{x} {(t-1)f(t)dt}][eqn: = int _{-1} ^{x} {(t-1)(-1)dt}]
[eqn: = LEFT [ - {t ^{2}} over {2} +t RIGHT ] _{-1} ^{x}][eqn: =- {x ^{2}} over {2} +x+ {3} over {2}]

(ⅱ) [eqn: x >= 1]일 때,
[eqn: g(x)`= int _{-1} ^{x} {(t-1)f(t)dt}]
[eqn: = int _{-1} ^{1} {(t-1)(-1)dt} + int _{1} ^{x} {(t-1)(-t+2)dt}]
[eqn: = LEFT [ - {t ^{2}} over {2} +t RIGHT ] _{-1} ^{1} + LEFT [ - {t ^{3}} over {3} + {3} over {2} t ^{2} -2t RIGHT ] _{1} ^{x}]
[eqn: =- {x ^{3}} over {3} + {3} over {2} x ^{2} -2x+ {17} over {6}]

ㄱ. 구간 [eqn: (1,``2)]에서
[eqn: g'(x)=-x ^{2} +3x-2=-(x-1)(x-2)]에서
[eqn: g'(x)>0]이므로 [eqn: g(x)]는 증가한다. <참>

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1+0} {{g(x)-g(1)} over {x-1}} =0], [eqn: lim _{x -> 1-0} {{g(x)-g(1)} over {x-1}} =0]
이므로 [eqn: x=1]에서 미분가능하다. <참>

ㄷ. [eqn: x<1]일 때, [eqn: g'(x)=-x+1]
[eqn: x>1]일 때, [eqn: g'(x)=-(x-1)(x-2)]
이므로 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 아래 그림과 같다.

따라서 방정식 [eqn: g(x)=k]이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 [eqn: k]가 존재하지 않는다. <거짓>

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= int _{-1} ^{x} { LEFT (t -1 RIGHT )f LEFT (t RIGHT ) dt}`]

라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 구간 [eqn: LEFT ( 1,`` 2 RIGHT )`]에서 증가한다. ㄴ. [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 [eqn: x=1`]에서 미분가능하다. ㄷ. 방정식 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =k`]가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k`]가 존재한다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 11

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]가 다음 두 조건을 만족한다.

[정답] ④

[해설]

조건(나)에서 [eqn: 0<x<y<1`]인 모든 [eqn: x, ``y]에 대하여

[eqn: 0<xf(y)< yf(x)]

이므로 [eqn: 0< f(y) over y < f(x) over x]이고

[eqn: f(0)=0]을 동시에 만족하는 다항함수 [eqn: f(x)`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

주어진 그림에서 삼각형 [eqn: OAB]의 넓이는 [eqn: 1over 2 f(1)]이므로

[eqn: y=k][eqn: 1over 2 f(1) < int_0 ^1 f(x) dx]

∴ [eqn: f(1) < 2 int_0 ^1 f(x) dx]   즉, [eqn: B<C`]

한편, 원점 [eqn: O`]을 지나는 접선의 방정식은 [eqn: y= f`'(0) x`]

직선 [eqn: y= f`'(0) x`]와 직선 [eqn: x=1`] 및 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 [eqn: 1over 2 f`'(0)]이고 주어진 그림에서 [eqn: 1over 2 f`'(0) >int_0 ^1 f(x) dx]

∴ [eqn: f`'(0) > 2int_0 ^1 f(x) dx] 즉, [eqn: A>C`] ∴ [eqn: B<C<A]

(가) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]

(나) [eqn: 0 ＜ x ＜ y ＜ 1`]인 모든 [eqn: x], [eqn: y`]에 대하여 [eqn: 0 ＜ xf LEFT (y RIGHT ) ＜ yf LEFT (x RIGHT )`]

세 수

[eqn: A`=f `' LEFT (0 RIGHT )],
[eqn: B`=f LEFT (1 RIGHT )],
[eqn: C`=2 int _{0} ^{1} {} f LEFT (x RIGHT )dx`]

의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은?

① [eqn: A` ＜ B` ＜ C`]	② [eqn: A` ＜ C` ＜ B`]	③ [eqn: B` ＜ A` ＜ C`]

④ [eqn: B` ＜ C` ＜ A`]	⑤ [eqn: C` ＜ A` ＜ B`]

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 9

실수 전체의 집합에서 정의된 연속함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프의 일부가 그림과 같다.

[정답] ④

[해설]

ㄱ. [eqn: g`(-1`)= int _{-1} ^{1} {} `f``(t`)`dt``=0] (참)

ㄴ. 함수 [eqn: g(x)`]는 개구간 [eqn: (`1,`2`)`]에서 증가한다. (거짓)

ㄷ. 방정식 [eqn: g(x)=2]의 실근은 [eqn: -4,][eqn: ``-2,][eqn: ``4,``6`]이므로

[eqn: -4-2`+`4`+`6``=`4`]이다. (참)

실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{x} ^{x+2} {f LEFT ( t RIGHT )} dt`]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g LEFT (-1 RIGHT )=0] ㄴ. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 열린구간 [eqn: LEFT (-2,`` 2 RIGHT ) `]에서 감소한다. ㄷ. [eqn: -4 LEQ x LEQ 6 `]에서 방정식 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )=2 `]의 모든 실근의 합은 [eqn: 4 `]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 11월 19

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]는 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) > 0`]을 만족시킨다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} RIGHT |`]라 할 때, 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt]라 하면

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 사차함수이고 [eqn: h prime LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) >0]이므로 [eqn: h' LEFT ( 0 RIGHT ) >0]이다. 그러므로 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

그러므로 피적분함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

ㄱ.(참) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x]축과 서로 다른 [eqn: 3]점에서 만나므로 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]은 서로 다른 [eqn: 3]개의 실근을 갖는다.

ㄴ.(참) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 [eqn: x=0]에서 감소하므로 [eqn: f' LEFT ( 0 RIGHT ) <0]이다.

ㄷ.(참) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프에서 [eqn: m=3] 또는 [eqn: m=4] 또는 [eqn: m=5]인 경우 [eqn: int _{m} ^{m+2} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx>0]이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0`]은 서로 다른 [eqn: 3`]개의 실근을 갖는다. ㄴ. [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) < 0`] ㄷ. [eqn: int _{m} ^{m+2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} > 0`]을 만족시키는 자연수 [eqn: m`]의 개수는 [eqn: 3`]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2016 모의_공공 경찰대 고3 07월 11

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]를

[정답] ②

[해설]

[eqn: g`'(x)= LEFT | f(x)-2x RIGHT |]이며 이 때 실수 전체에서 미분가능하기 위해서는

모든 [eqn: x]에서 [eqn: f(x)-2x GEQ 0] 이어야 한다.

[eqn: x=1`]대입하면 [eqn: f(1)-2 GEQ 0]

[eqn: f(1) GEQ 2]

[eqn: g LEFT (x RIGHT )=int_0 ^x left| f LEFT (t RIGHT )-2t right|dt `]

로 정의하자. 다음 조건을 만족시키는 이차함수 [eqn: f] 중에서 [eqn: f LEFT (1 RIGHT ) `]의 최솟값은?

[eqn: g`'(x)``]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 11월 20

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =`-x+2-t`]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프와 [eqn: x]축이 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 2-t]

(ⅰ) [eqn: 0<t<1]일 때,
함수 [eqn: y= LEFT | ``f LEFT ( x RIGHT ) ``RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: x=t]는 그림과 같다.

[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{t} {LEFT ( -x+2-t RIGHT ) dx}]
[eqn: = LEFT [ - {1} over {2} x ^{2} +2x-tx RIGHT ] _{0}^{t}]
[eqn: =it- {3} over {2} t ^{2} +2t]

(ⅱ) [eqn: 1 le t <2]일 때,
함수 [eqn: y= LEFT | `` f LEFT ( x RIGHT )`` RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: x=t]는 그림과 같다.

[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{2-t} {LEFT ( -x+2-t RIGHT ) dx} + int _{2-t} ^{t} {LEFT ( x-2+t RIGHT ) dx}]
[eqn: = LEFT [ - {1} over {2} x ^{2} +2x-tx RIGHT ] _{0}^{2-t}][eqn: + LEFT [ {1} over {2} x ^{2} -2x+tx RIGHT ] _{2-t}^{t}]
[eqn: = { 5} over {2 }t^2 -6t +4]

(ⅲ) [eqn: t ge 2]일 때,
함수 [eqn: y= LEFT | `` f LEFT ( x RIGHT ) ``RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: x=t]는 그림과 같다.

[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{t} {LEFT ( x-2+t RIGHT ) dx}]
[eqn: = LEFT [ {1} over {2} x ^{2} -2x+tx RIGHT ] _{0}^{t}]
[eqn: = 3 over 2 t^2 -2t]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = {cases{ - {3} over {2} t ^{2} +2t& LEFT ( 0<t<1 RIGHT )# {5} over {2} t ^{2} -6t+4& LEFT ( 1 LEQ t<2 RIGHT )# {3} over {2} t ^{2} -2t& LEFT ( t GEQ 2 RIGHT )}}]

ㄱ. [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{1}{ LEFT | -x+1RIGHT | dx}= { 1} over {2 }]	(참)

ㄴ. (ⅰ) [eqn: t=2]에서 연속

[eqn: lim _{t ``->`` 2-} {LEFT . LEFT ( {5} over {2} t ^{2} -6t+4 RIGHT . RIGHT ) = lim _{t ``->`` 2+} {LEFT ( {3} over {2} t ^{2} -2t RIGHT )}} =2]

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT )=2]

(ⅱ) [eqn: t=2]에서 미분가능
[eqn: lim _{t ``->`` 2-} {{g LEFT ( t RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT )} over {t-2}} = lim _{t ``->`` 2-} {LEFT ( {5} over {2} t-1 RIGHT ) =4}]
[eqn: lim _{t ``->`` 2+} {{g LEFT ( t RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT )} over {t-2}} =][eqn: lim _{t ``->`` 2+} { LEFT ( { 3} over {2 }t+1 RIGHT ) } =4]

[eqn: THEREFORE] 함수 [eqn: g left( t right)]는 [eqn: t=2]에서 미분가능	(참)
ㄷ. 함수 [eqn: g left( t right)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: LEFT (0 RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: { 2} over { 3}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 6 over 5]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: g ' LEFT ( t RIGHT )]		+	[eqn: 0]	-	-	-	[eqn: 0]	+	+	+
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )]		↗	[eqn: 2over3]	↘		↘	극소	↗		↗

함수 [eqn: g left( t right)]는 [eqn: t= 2over3]에서 극댓값 [eqn: 2over3]를 가지므로 방정식 [eqn: g left( t right) = 2over3]는 서로 다른 두 실근을 갖는다.	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = int _{0} ^{t} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx}`]

라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: t>0`])

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) = { 1} over {2 }] ㄴ. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )`]는 [eqn: t=2`]에서 미분가능하다. ㄷ. 방정식 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = {2} over {3}`]는 서로 다른 두 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 07월 20

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: g prime(x)=xf(x)`]이므로 [eqn: g `prime(0)=0`] (참)

ㄴ. 함수 [eqn: g(x)`]가 닫힌 구간 [eqn: [`0,``alpha`]`]에서 연속, 열린 구간 [eqn: (`0,``alpha`)`]에서 미분가능, [eqn: g(0)=g(alpha)=0`]이므로 롤의 정리에 의하여 [eqn: g prime (c)=cf(c)=0`]인 [eqn: c`]가 열린 구간 [eqn: (`0,``alpha`)`]에 적어도 하나 존재한다.
[eqn: c ne 0`]이므로 [eqn: f(c)=0]
따라서 방정식 [eqn: f(x)=0`]은 열린 구간 [eqn: (`0`,`` alpha `)`]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: beta>0`]이고 [eqn: g(beta)=0 `]이므로 ㄴ에 의하여 [eqn: f(gamma)=0`]인 [eqn: gamma`][eqn: (0< gamma < beta )`]가 존재한다.
[eqn: f(x)=a(x-gamma)(x-beta)`][eqn: (a>0)`]이고
[eqn: S_1 = int_0^gamma{left|`xf(x) right|`dx`], [eqn: S_2 = int_gamma^beta{left|`xf(x)right|`dx`]라 하면 [eqn: y=xf(x)`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: g( beta )= int _{0} ^{beta } {tf(t)`dt=S _{`1} -S _{`2} =0`} `]이므로
[eqn: S _{`1} =S _{`2} `]이다.
[eqn: int_beta ^x {tf(t)}dt `=` g(x)-g(beta)][eqn: `=` g(x) `=` int_0 ^x {tf(t)}`dt ge0]
이므로, 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: int_beta ^x {tf(t)}`dt ge 0 `] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: g LEFT (x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {tf LEFT (t RIGHT ) } dt`]

라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g `' LEFT (0 RIGHT )=0] ㄴ. 양수 [eqn: alpha `]에 대하여 [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT )=0 `]이면 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=0 `]은 열린 구간 [eqn: LEFT ( 0 ,`` alpha RIGHT ) `]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. ㄷ. 양수 [eqn: beta `]에 대하여 [eqn: f LEFT ( beta RIGHT )=g LEFT ( beta RIGHT )=0 `]이면 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: int _{beta } ^{x} {tf LEFT (t RIGHT )} dt GEQ 0 `]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 11월 21

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} -24x ^{2} +36x-8k] ([eqn: k `]는 정수)에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 극댓값, [eqn: x=3]에서 극솟값을 갖고, [eqn: k]의 값에 따른 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

(ⅰ) [eqn: k<0]일 때

그림과 같이 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 [eqn: a,````b`]가 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k=0]일 때

그림과 같이 [eqn: b=3]일 때 [eqn: g` prime LEFT ( 3 RIGHT ) =0]이므로
[eqn: g LEFT ( 3 RIGHT ) = int _{0} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = LEFT [ x ^{4} -8x ^{3} +18x _{` ^{`}}^{2} RIGHT ] _{0}^{3} =27=c]
[eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =27]에서
[eqn: a ^{4} -8a ^{3} +18a ^{2} =27,][eqn: LEFT ( a+1 RIGHT ) LEFT ( a-3 RIGHT ) ^{3} =0]
[eqn: a=-1]
따라서 [eqn: a=-1,][eqn: b=3,][eqn: c=27]

(ⅲ) [eqn: k=1]일 때

함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} -24x ^{2} +36x-8]에서 [eqn: f LEFT ( 2- sqrt {3} RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 2+ sqrt {3} RIGHT ) =0]이므로 그림과 같이 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는
[eqn: x=2- sqrt {3} ,][eqn: x=2+ sqrt {3}]에서 극솟값 [eqn: -1,]
[eqn: x=2]에서 극댓값을 갖는다.
[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) = int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = LEFT [ x ^{4} -8x ^{3} +18x _{` ^{`}}^{2} -8x RIGHT ] _{0}^{2} =8=c]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =8]에서
[eqn: x ^{4} -8x ^{3} +18x ^{2} -8x=8]
[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-2+ sqrt {6} RIGHT ) LEFT ( x-2- sqrt {6} RIGHT ) =0]
따라서 [eqn: a=2- sqrt {6} ,][eqn: b=2,][eqn: c=8]
또는 [eqn: a=2,][eqn: b=2+ sqrt {6} ,][eqn: c=8]

(ⅳ) [eqn: k=2`]일 때

그림과 같이 [eqn: a=1]일 때, [eqn: g` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =0]이므로
[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = LEFT [ {}^{{}^{}} x ^{4} -8x ^{3} +18x _{` ^{`}}^{2} -16x _{{}_{}} RIGHT ] _{0}^{1} = it -5=c]
[eqn: g LEFT ( b RIGHT ) = it -5]에서
[eqn: b ^{4} -8b ^{3} +18b ^{2} -16b= it -5], [eqn: LEFT ( b-1 RIGHT ) ^{3} LEFT ( b-5 RIGHT ) =0]
[eqn: b=5]
따라서 [eqn: a=1,][eqn: b=5,][eqn: c=it-5]

(ⅴ) [eqn: k GEQ 3]일 때

(ⅰ)의 경우와 마찬가지로 조건을 만족하는 [eqn: a,````b,````c`]는 존재하지 않는다.

(ⅰ)[eqn: SIM](ⅴ)에 의하여 조건을 만족하는 [eqn: k,````a,````b,````c`]의 합 [eqn: k+a+b+c`]의 값은 각각 [eqn: 29,][eqn: 13- sqrt {6} ,][eqn: 13+ sqrt {6} ,][eqn: 3]

따라서 [eqn: k+a+b+c`]의 최솟값은 [eqn: 3]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ ``int _{0} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) dt & ~ LEFT ( x LEQ a ``또는`` x GEQb RIGHT ) # ~~~~~c& ~ LEFT ( a<x<b RIGHT ) }}`]

라 하자. 어떤 정수 [eqn: k `]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 오직 한 점에서만 미분가능하지 않도록 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c `]를 정할 때, [eqn: k+a+b+c `]의 최솟값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 21

함수 [eqn: f(x) = x^{3 }+ x^{2 }+ ax + b]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: h``' LEFT ( x RIGHT )]는 곱의 미분에 의해 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) + LEFT ( x-1 RIGHT ) f`' LEFT ( x` RIGHT )]이다. (참)

ㄴ. [eqn: x=-1]에서 극값 0을 가지므로 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =0`,`f`' LEFT ( -1 RIGHT ) =0]이다. 따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대입하여 연립하면 [eqn: a=-1`,b=-1]이므로  [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =`x ^{3} +x ^{2} -x-1][eqn: int _{0} ^{1} {g LEFT ( x RIGHT ) dx=[h LEFT ( x RIGHT ) ] _{0}^{1}} =[ LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{3} +x ^{2} -x-1 RIGHT ) ] _{0}^{1} =-1]이다. (참)

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{1} {g LEFT ( x RIGHT ) dx=} [{LEFT ( x-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) ] _{0}^{1} =-f LEFT ( 0 RIGHT )}]이다. 그런데 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )=0]이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: 0]부터 [eqn: 1]까지 적분한 값이 [eqn: 0]이 된다. 따라서 어떤 경우에서도 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =0]이 되는 지점이 열린구간 [eqn: LEFT ( 0``,``1 RIGHT )]에서 적어도 하나 존재한다. (참)

[eqn: g(x) = f(x) + (x - 1)f`prime (x)]

라 하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: h(x) = (x - 1)f(x)]이면 [eqn: h prime (x) = g(x)]이다. ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x = it - 1]에서 극값 [eqn: 0]을 가지면 [eqn: int _{0}^{1} {`} g(x) `dx = it - 1]이다. ㄷ. [eqn: f(0) = 0]이면 방정식 [eqn: g(x) = 0]은 열린구간 [eqn: (0,``` 1)]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 20

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: f `prime (0)=g `prime (0)=0]
[eqn: x<0]에서 [eqn: f `prime (x)>0], [eqn: g `prime (x)>0]
[eqn: 0<x<4]에서 [eqn: f `prime (x)<0], [eqn: g `prime (x)<0]
이므로 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 모두 [eqn: x=0]에서
극대이다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x)={1} over {3} x^{3}-2 x^{2}+C_{1}], [eqn: g(x)=-x^{2}+C_{2}]
(단, [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}]는 적분상수)
[eqn: h(x)=f(x)-g(x)]라 하면
[eqn: h `prime (x)=f `prime (x)-g `prime (x)=x(x-2)]
두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 그래프가 서로 다른
두 점에서만 만나는 경우는 삼차함수 [eqn: h(x)]의
그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서만 만나는
경우이므로 삼차함수 [eqn: h(x)]의 그래프의 개형은
다음 [eqn: y=h_{1}(x)]와 [eqn: y=h_{2}(x)]의 두 가지이다.

[eqn: h(x)=h_{1}(x)]일 때, [eqn: h_{1}(2)=0]이므로
[eqn: h_{1}(0) times h_{1}(2)=0]
[eqn: h(x)=h_{2}(x)]일 때, [eqn: h_{2}(0)=0]이므로
[eqn: h_{2}(0) times h_{2}(2)=0]
[eqn: left{ f(0)-g(0) it right} times left{ f(2)-g(2) it right} =0] (참)

ㄷ. [eqn: int_{-1}^{0} h_{2}(t) d t<0]이므로 함수 [eqn: h_{2}(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int_{-1}^{x} left{ f(t)-g(t) it right} d t geq 0]을 만족시키는 함수 [eqn: h(x)]가 아니다.
[eqn: h_{1}(2)=-{4} over {3}+C_{1}-C_{2}=0], [eqn: C_{1}-C_{2}={4} over {3}]
[eqn: h_{1}(x)={1} over {3} x^{3}-x^{2}+{4} over {3}={1} over {3}(x+1)(x-2)^{2}]

[eqn: x < it - 1]일 때, [eqn: h_{1}(x)<0]이므로 [eqn: int_{-1}^{x} h_{1}(t) d t>0]
[eqn: x geq-1]일 때, [eqn: h_{1}(x) geq 0]이므로 [eqn: int_{-1}^{x} h_{1}(t) d t geq 0]
그러므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: int_{-1}^{x} left{ f(t)-g(t) it right} d t geq 0]을 만족시키는 함수 [eqn: h(x)]는
함수 [eqn: h_{1}(x)]이다.
[eqn: int_{-1}^{1} left{ f(x)-g(x) it right} d x= int_{-1}^{1} left({1} over {3} x^{3}-x^{2}+{4} over {3} right) d x]
[eqn: =2] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

(가) [eqn: f `prime (x)=x^{2}-4 x], [eqn: g `prime (x)=-2 x]

(나) 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 서로 다른 두 점에서만 만난다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 모두 [eqn: x=0]에서 극대이다. ㄴ. [eqn: left{ f(0)-g(0) it right} times left{ f(2)-g(2) it right} =0] ㄷ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int_{-1}^{x} left{ f(t)-g(t) it right} d t geq 0]이면 [eqn: int_{-1}^{1} left{ f(x)-g(x) it right} d x=2]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	09 정적분의 활용
01 정적분과 넓이
03 정적분과 넓이3 (그래프 그리기)

[출처]	2019 모의_공공 경찰대 고3 07월 15

두 곡선 [eqn: y = x^{3 }+ 4x^{2 }- 6x + 5], [eqn: y = x^{3 }+ 5x^{2 }- 9x + 6]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha], [eqn: beta] ([eqn: alpha < beta])라 할 때, 곡선 [eqn: y = 6x^{5 }+ 4x^{3 }+ 1 `]과 두 직선 [eqn: x = alpha], [eqn: x = beta `]와 [eqn: x `]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: a sqrt 5 `]이다. 자연수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ④

[해설]

교점을 확인하면

[eqn: x^3 + 4x^2 - 6x+5 = x^3 + 5x^2 - 9x +6]

[eqn: x^2 - 3x + 1 = 0]

[eqn: (beta- alpha)^2 = ( beta+ alpha)^2 - 4 alpha beta][eqn: = 9 -4 = 5]

[eqn: THEREFORE][eqn: beta- alpha = sqrt5]

[eqn: x^2 = 3x-1],

[eqn: x^4 = ( 3x-1)^2 =][eqn: 9x^2 - 6x+1]

[eqn: = 9(3x-1) - 6x +1][eqn: = 21x - 8]

[eqn: x^6 = x^2 x^4 = (3x-1) ( 21x-8)][eqn: = 63 x^2 - 45x + 8]

[eqn: = 63( 3x-1) - 45x +8][eqn: = 144x - 55]

이므로 [eqn: alpha^2 = 3 alpha-1], [eqn: alpha^4 = 21 alpha - 8], [eqn: alpha^6 = 144 alpha - 55]이다.

[eqn: beta]의 경우도 마찬가지이다.

[eqn: S= int_ alpha^ beta ( 6x^5 + 4x^3 +1 ) dx][eqn: = left[ x^6 + x^4 + x right]_ alpha^ beta]

[eqn: =( beta^6 - alpha^6 ) +( beta^4 - alpha^4 ) + ( beta- alpha)][eqn: = 166( beta- alpha)][eqn: = 166 sqrt5]

[eqn: THEREFORE][eqn: a = 166]

① [eqn: 160]	② [eqn: 162]	③ [eqn: 164]

④ [eqn: 166]	⑤ [eqn: 168]

04 수2	09 정적분의 활용
01 정적분과 넓이
07 정적분과 넓이7 (해석 후 넓이)

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 09월 29

그림과 같이 중심이 [eqn: rm LEFT ( 0,`` {3} over {2} RIGHT ) `]이고, 반지름의 길이가 [eqn: r][eqn: LEFT ( r< {3} over {2} RIGHT ) `]인 원 [eqn: C ``]가 있다. 원 [eqn: C ``]가 함수 [eqn: y= {1} over {2} x ^{2} `]의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만날 때, 원 [eqn: C ``]와 함수 [eqn: y= {1} over {2} x ^{2} `]의 그래프로 둘러싸인 모양의 넓이는 [eqn: a+b pi `]이다. [eqn: 120 LEFT ( a+b RIGHT ) `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a], [eqn: b `] 는 유리수이다.)

[정답] [eqn: 140]

[해설]

두 곡선의 교점의 좌표를 각각
[eqn: rmP left(alpha, ` 1 over2 alpha ^2 right),`` rmQ left(-alpha,` 1 over2 alpha ^2 right)]이라 하자. [eqn: (alpha >0)]

함수 [eqn: y= {1} over {2} x ^{2}] 의 그래프의 접점 [eqn: rm P]에서 접선의 기울기는 [eqn: alpha`]이고 이 접선은 직선 [eqn: rmAP]와 수직이다.

즉,

[eqn: {{1} over {2} alpha ^{2} `-` {3} over {2}} over {alpha `-`0} `=`- {1} over {alpha } `]

[eqn: alpha ^2 `=`1`]이므로

[eqn: rm P LEFT ( 1`,`` {1} over {2} RIGHT ) `,``Q LEFT ( -1`,`` {1} over {2} RIGHT )`]

직선 [eqn: rmAP]는 [eqn: y=-x+ {3} over {2}]

[eqn: ANGLE rm PAQ=90DEG], 원의 반지름은 [eqn: sqrt {2}]

구하는 넓이를 [eqn: S] 라 하면

[eqn: S=2 LEFT { int _{0} ^{1} {LEFT ( -x+ {3} over {2} - {1} over {2} x ^{2} RIGHT )} dx- {pi } over {4} RIGHT }# ``````=2 LEFT { LEFT [ - {1} over {6} x ^{3} - {1} over {2} x ^{2} + {3} over {2} x RIGHT ] _{0} ^{1} - {pi } over {4} RIGHT }# ```````= {5} over {3} - {pi } over {2}]

[eqn: a`=` 5 over3 ,~ b`=` - 1 over2 `]이므로

[eqn: 120` (a`+`b) `=`140]

04 수2	09 정적분의 활용
01 정적분과 넓이
08 정적분과 넓이8 (함수결정 후 넓이)

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 07월 30

[그림[eqn: 1]]은 무대 디자이너 길섭이가 야외공연 무대디자인 공모전에 출품한 작품이다. [그림[eqn: 1]]의 중앙무대를 확대하면 [그림[eqn: 2]]와 같고, 중앙 무대를 디자인하는 과정은 다음과 같다.

[정답] [eqn: 15]

[해설]

점 [eqn: rm E,~G]를 지나는 직선을 [eqn: x]축, 점 [eqn: rm H,~F]를 지나는 직선을 [eqn: y]축으로 할 때, 세 점 [eqn: rm B,~H,~C]를 지나는 이차함수는 [eqn: y=-2x ^{2} +1]

교점 [eqn: rmD`']의 좌표는 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,` {1} over {2} RIGHT )]이므로

어두운 부분의 넓이는

[eqn: S _{1} +8S _{2} =1+8 int _{{1} over {2}} ^{{sqrt {2}} over {2}} {LEFT ( -2x ^{2} +1 RIGHT ) dx} = {8 sqrt {2} -7} over {3}]

[eqn: p=8,~q=-7],  따라서 [eqn: p-q=15]

([eqn: 1]) 한 변의 길이가 [eqn: 2 `]인 정사각형 [eqn: rm ABCD`]를 그리고 각 변의 중점을 각각 [eqn: rm E], [eqn: rm F], [eqn: rm G], [eqn: rm H`]라 한다.

([eqn: 2]) 변 [eqn: rm BC`]를 좌표평면 위의 [eqn: x`]축과 평행하게 놓고 두 점 [eqn: rm B], [eqn: rm C`]를 지나며 점 [eqn: rm H`]를 꼭짓점으로 하는 이차함수의 그래프와 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm D`]를 지나며 점 [eqn: rm F`]를 꼭짓점으로 하는 이차함수의 그래프를 그린다.

([eqn: 3]) 변 [eqn: rm AB`]를 좌표평면 위의 [eqn: x`]축과 평행하게 놓고 ([eqn: 2])와 같은 방법으로 세 점 [eqn: RM A], [eqn: rm B], [eqn: rm G`]를 지나는 이차함수와 세 점 [eqn: rm C], [eqn: rm D], [eqn: rm E`]를 지나는 이차함수의 그래프를 추가로 그린다.

[그림[eqn: 1]]	[그림[eqn: 2]]

[그림[eqn: 2]]의 어두운 부분의 넓이를 [eqn: {p sqrt {2} +q} over {3}`]라 할 때, [eqn: p-q `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q`]는 정수이다.)

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 07월 14

반지름의 길이가 [eqn: 1], 중심이 [eqn: rmO`]인 원을 밑면으로 하고 높이가 [eqn: 2 sqrt {2}`]인 원뿔이 평면 [eqn: alpha] 위에 놓여있다. 그림과 같이 원뿔을 평면 [eqn: alpha `]와 평행하고 원뿔의 밑면의 중심 [eqn: rmO`]를 지나는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 일부분은 포물선이다. 이때 단면의 넓이는?

[정답] ④

[해설]

삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 [eqn: bar{rmBC} =3]이고 [eqn: bar{rm BC it}]□[eqn: bar{rmDO}], [eqn: bar{rm OA it} = bar{rmOC}]이므로 삼각형의 중점연결정리에 의하여 [eqn: bar{rm DO it} = {1} over {2} bar{rm BC it} = {3} over {2}]

좌표평면에 포물선을 나타내면

이 포물선은 [eqn: LEFT ( 0,` {3} over {2} RIGHT )]을 꼭짓점으로 하고 [eqn: LEFT ( 1,``0 RIGHT )]을 지나므로, 포물선의 방정식은 [eqn: y=- {3} over {2} x ^{2} + {3} over {2}] 따라서 구하고자 하는 단면의 넓이는 [eqn: S= int _{-1} ^{1} {LEFT ( - {3} over {2} x ^{2} + {3} over {2} RIGHT ) dx=2}]

[eqn: alpha]

[eqn: rmO]

① [eqn: {13} over {8}]	② [eqn: {7} over {4}]	③ [eqn: {15} over {8}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {17} over {8}]

[출처]	2016 모의_공공 경찰대 고3 07월 19

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x^4 -6x^3 +12x^2 -8x+1 `]과 이차함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]는 어떤 실수 [eqn: alpha `]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: g(x)=ax ^{2} +bx+c]라 하자.

이 때, (가) (나)에 의하여

[eqn: f(x)-g(x)=(x- alpha ) ^{2} (x- alpha -1) ^{2}]

따라서 [eqn: S _{1} = {1} over {30}]이다. 또한

[eqn: f(x)-g(x) & =x ^{4} -6x ^{3} +(12-a)x ^{2} +(-8-b)x+1-c`]

[eqn: =(x- alpha ) ^{2} (x- alpha -1) ^{2}]

이므로 [eqn: alpha =1]이다.

따라서 [eqn: a=-1`,`b=4`,`c=-3]이면, [eqn: S _{2} = {4} over {3}]이다.

따라서 [eqn: {S _{2}} over {S _{1}} =40]이다.

(가) [eqn: f LEFT (alpha RIGHT )=g LEFT (alpha RIGHT )], [eqn: f `' LEFT (alpha RIGHT )=g `' LEFT (alpha RIGHT )`]

(나) [eqn: f LEFT (alpha+1 RIGHT )=g LEFT (alpha+1 RIGHT )], [eqn: f `' LEFT (alpha+1 RIGHT )=g `' LEFT (alpha+1 RIGHT )`]

두 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]와 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT ) `]로 둘러싸인 영역의 넓이를 [eqn: S`_1], 곡선 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT ) `]와 [eqn: x `]축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 [eqn: S`_2 `]라 할 때, [eqn: {S` _{2}} over {S` _{1}}`]의 값은?

① [eqn: 20]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 40]

[출처]	2016 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 35]

[해설]

[eqn: f(x)= {cases{(x LEQ 0)&-x ^{2} -2x#(x GEQ 0)&x ^{2} -2x}}]

[eqn: f(x+1)= {cases{(x LEQ -1)&-x ^{2} -4x-3#(x GEQ -1)&x ^{2} -1}}]

[eqn: g(x)= {cases{(x LEQ - {3} over {2} )&f(x)#(- {3} over {2} LEQ x LEQ 0)&f(x+1)#(0 LEQ x LEQ 1)&f(1)#(1 LEQ x)&f(x)}}]

두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]로 둘러싸인 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= int _{- {3} over {2}} ^{0} {LEFT { f(x)-f(x+1) RIGHT } dx+ int _{0} ^{1} {LEFT { f(x)-f(1) RIGHT } dx}}]

[eqn: = int _{- {3} over {2}} ^{-1} {LEFT { (-x ^{2} -2x)-(-x ^{2} -4x-3) RIGHT } dx}]

[eqn: + int _{-1} ^{0} {LEFT { (-x ^{2} -2x)-(x ^{2} -1) RIGHT } dx}]

[eqn: + int _{0} ^{1} {LEFT { (x ^{2} -2x)-(-1) RIGHT } dx}]

[eqn: = {1} over {4} + {4} over {3} + {1} over {3} = {23} over {12}]

[eqn: THEREFORE `p+q=35]

(가) [eqn: x GEQ 0 `]일 때, [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x ^{2} -2x `]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (-x RIGHT )+f LEFT (x RIGHT )=0 `]이다.

실수 [eqn: t `]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ t,`` t+1 RIGHT ] `]에서 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]의 최솟값을 [eqn: g LEFT (t RIGHT ) `]라 하자. 좌표평면에서 두 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]와 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT ) `]로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 17

실수 전제의 집합에서 증가하는 연속함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

조건 (가)에 의하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: rm 3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: rm 4]만큼 평행이동한 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 일치한다.

조건 (나)에서

[eqn: int_{0}^{6} f(x) d x][eqn: = int_{0}^{3} f(x) d x+ int_{3}^{6} f(x) d x]
[eqn: = int_{0}^{3} f(x) d x+ int_{3}^{6} left{ f(x-3)+4 it right} d x]
[eqn: = int_{0}^{3} f(x) d x+ int_{0}^{3} left{ f(x)+4 it right} d x]
[eqn: =2 int_{0}^{3} f(x) d x+12]

[eqn: int_{0}^{3} f(x) d x =-6]

또한 [eqn: int_{0}^{3} f(x) d x+ int_{3}^{6} f(x) d x=0]에서

[eqn: int_{3}^{6} f(x) d x=6]

이고 함수 [eqn: f(x)]는 증가함수이므로 [eqn: x geq 6]일 때 [eqn: f(x)>0]이다.

따라서 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S][eqn: = int_{6}^{9}|f(x)| d x= int_{6}^{9} f(x) d x]
[eqn: = int_{6}^{9} left{ f(x-3)+4 it right} d x]
[eqn: = int_{3}^{6} f(x) d x+12]
[eqn: =6+12]
[eqn: =18]

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=f LEFT (x-3 RIGHT )+4`]이다.

(나) [eqn: int _{0} ^{6} {f LEFT (x RIGHT ) dx} =0`]

함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]의 그래프와 [eqn: x`]축 및 두 직선 [eqn: x=6], [eqn: x=9`]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 21]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 20

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]이고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1-x RIGHT )][eqn: = it -f LEFT ( 1+x RIGHT )]를 만족시킨다. 두 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y][eqn: = it -6x ^{2}]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: 4S]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 2]

[해설]

[eqn: f LEFT ( 1-x RIGHT ) =-f LEFT ( 1+x RIGHT )]에 [eqn: x=0,``x=1]을 각각 대입하면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =-f LEFT ( 1 RIGHT )]에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0,``f LEFT ( 0 RIGHT ) =-f LEFT ( 2 RIGHT )]에서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]이고 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =`-6x ^{2}]에서 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} +2x=0]이므로

[eqn: x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) =0,`x=0] 또는 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=-2]

[eqn: -2 LEQ x LEQ -1] 에서 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} +2x GEQ 0]이고

[eqn: -1 LEQ x LEQ 0] 에서  [eqn: x ^{3} +3x ^{2} +2x LEQ 0]이므로

[eqn: S][eqn: = int _{-2} ^{0} {LEFT | x ^{3} +3x ^{2} +2x RIGHT |} dx]
[eqn: = int _{-2} ^{-1} {LEFT ( x ^{3} +3x ^{2} +2x RIGHT ) dx+ int _{-1} ^{0} {LEFT { - LEFT ( x ^{3} +3x ^{2} +2x RIGHT ) RIGHT } dx}}]
[eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} +x ^{3} +x ^{2} RIGHT ] _{-2}^{-1} + LEFT [ - {1} over {4} x ^{4} -x ^{3} -x ^{2} RIGHT ] _{-1}^{0} = {1} over {2}]

따라서 [eqn: 4S=2]

04 수2	09 정적분의 활용
01 정적분과 넓이
09 정적분과 넓이9 (곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이)

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 10

그림과 같이 중심이 [eqn: rm O `]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 원의 둘레를 [eqn: 6 `]등분하는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D], [eqn: rm E], [eqn: rm F `]라 하자. 두 점 [eqn: \A], [eqn: rmB`]에서 두 직선 [eqn: rm OA], [eqn: rm OB `]에 접하는 포물선 [eqn: C` _1 `]을 그리고, 두 점 [eqn: rm B], [eqn: rmC `]에서 두 직선 [eqn: rm OB], [eqn: rm OC `]에 접하는 포물선 [eqn: C` _{2}`]를 그린다.

[정답] ①

[해설]

포물선 [eqn: C_1`]의 방정식을 [eqn: y=ax^2 +b``]로 놓으면 곡선 [eqn: y=ax^2 +b``]가 점 [eqn: (1,~root3 )``]을 지나고 이 점에서 접선의 기울기가 [eqn: root3 `]이므로 [eqn: root 3 = a+b``]이고 [eqn: root3 = 2a``]이다.

따라서 [eqn: a =b= root3 over 2``]이므로 [eqn: y= root3 over2 x^2 + root3 over 2]

∴ [eqn: S= 12 int_0^1 left( root3 over 2 x^2 + root3 over 2 - root3 x right)dx][eqn: =][eqn: 2root3]

이와 같은 방법으로 포물선 [eqn: C` _{3}], [eqn: C` _{4}], [eqn: C` _{5}], [eqn: C` _{6} `]을 그릴 때, [eqn: 6`]개의 포물선으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: 2root3]	② [eqn: {5root3} over 2]	③ [eqn: 3root3]

④ [eqn: {7root3} over 2]	⑤ [eqn: 4root3]

[출처]	2013 모의_공공 경찰대 고3 07월 14

좌표평면 위의 점 [eqn: {rm{P}} it left({1} over {2},``-2 right)]에서 곡선 [eqn: y=x^{2}]에 그은 두 접선을 [eqn: l], [eqn: m]이라 할 때, 두 접선 [eqn: l], [eqn: m]과 곡선 [eqn: y=x^{2}]으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[정답] ④

[해설]

접점을 [eqn: left(t,`` t^{2} right)]이라 하면 [eqn: y=x^{2}]에서 [eqn: y `prime =2 x]이므로 접선의 방정식은 [eqn: y=2 t(x-t)+t^{2}]	[eqn: CDOTSCDOTS]㉠

㉠이 점 [eqn: left({1} over {2},``-2 right)]를 지나므로

[eqn: -2=2 t left({1} over {2}-t right)+t^{2}]

[eqn: t^{2}-t-2=0]

[eqn: therefore~t=it-1] 또는 [eqn: t=2]

따라서 접점의 좌표는 [eqn: (-1,``1)], [eqn: (2,``4)]이다.

[eqn: {rm{A}} it (-1,``1)], [eqn: {rm{B}} it (2,``4)]라 할 때, 직선 [eqn: {rm{AB}} it]의 방정식은 [eqn: y=x+2]

점 [eqn: left({1} over {2},``-2 right)]에서 직선 [eqn: {rm{AB}} it]에 이르는 거리는

[eqn: { left|{1} over {2}+2+2 right|} over { sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}={9 sqrt{2}} over {4}]이고

[eqn: overline{{rm{AB}} it }= sqrt{3^{2}+3^{2}}=3 sqrt{2}]이다.

[eqn: therefore~( triangle {rm{PAB}} it]의 넓이[eqn: )={1} over {2} times 3 sqrt{2} times {9 sqrt{2}} over {4}={27} over {4}]

직선 [eqn: {rm{AB}} it]와 곡선 [eqn: y=x^{2}]로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: {1} over {6}(2-(-1))^{3}={9} over {2}]

따라서 구하는 넓이는

[eqn: {27} over {4}-{9} over {2}={9} over {4}]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {7} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {9} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

[출처]	2014 모의_공공 경찰대 고3 07월 25

직선 [eqn: l`]이 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x^4 -2x^2 -2x+3`]의 그래프와 서로 다른 두 점에서 접할 때, 직선 [eqn: l`]과 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]로 둘러싸인 영역의 넓이가 [eqn: A``]이다. [eqn: 30A``]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold32]

[해설]

직선 [eqn: l]의 방정식을 [eqn: y= g(x)]라 하자.
(단, [eqn: g(x)]는 일차 이하의 다항함수)

직선 [eqn: l]과 곡선 [eqn: y=f(x)]가 서로 다른 두 점에서 접하므로

이 두 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha], [eqn: beta]([eqn: alpha < beta])라 하면

[eqn: f(x)- g(x)][eqn: = (x-alpha)^2 (x-beta )^2]이 성립한다.

그런데 [eqn: g(x)]는 [eqn: 1]차 이하의 다항함수이므로

다항식 [eqn: f(x)- g(x)]의 [eqn: x^3]과 [eqn: x^2]항의 계수는 [eqn: f(x)]와 같다.

[eqn: f(x)- g(x)]의 [eqn: x^3]의 계수는 [eqn: 0]이므로

근과 계수와의 관계에서

방정식 [eqn: f(x)- g(x)=0]의 중근을 포함한 모든 근의 합

[eqn: 2(alpha+beta ) =0]이다.

∴ [eqn: beta = -alpha]

[eqn: f(x)- g(x)][eqn: = (x-alpha)^2 (x+alpha)^2]
[eqn: = (x^2 - alpha^2 )^2][eqn: = x^4 -2alpha^2 x^2 +alpha^4]

[eqn: f(x)- g(x)]의 [eqn: x^2]의 계수는 [eqn: -2]이므로

[eqn: -2 alpha^2][eqn: =-2]

∴ [eqn: alpha = -1], [eqn: beta =1] (∵ [eqn: alpha < beta])

∴ [eqn: f(x)- g(x)][eqn: = x^4 -2x^2 +1]

∴ [eqn: A][eqn: = int_-1^1 left{f(x)- g(x) right}dx]
[eqn: = int_-1^1 (x^4 -2x^2 +1 )dx]
[eqn: = 2 left[ x^5 over5 - 2 over3 x^3 + x right]_0^1]
[eqn: = 16 over15]

∴ [eqn: 30A][eqn: =32]

04 수2	09 정적분의 활용
02 정적분과 넓이의 해석
01 넓이와 해석1 (넓이조건과 관계식)

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 10

그림과 같이 네 점 [eqn: LEFT ( 0,`` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,`` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,`` 1 RIGHT )], [eqn: (`0,``1)`]을 꼭짓점으로 하는 정사각형의 내부를 두 곡선 [eqn: y= {1} over {2} x ^{2}], [eqn: y=ax ^{2} `]으로 나눈 세 부분의 넓이를 각각 [eqn: S` _{1}], [eqn: S` _{2}], [eqn: S` _{3} `]이라 하자.

[정답] ①

[해설]

[eqn: S _{1} +S _{2} +S _{3} =1], [eqn: 2S _{2} =S _{1} +S _{3}][eqn: cdots] ㉠

[eqn: S _{1} = int _{0} ^{1} {} 1over 2 x ^{2} dx `= 1over6][eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: S _{2} = {1} over {3}], [eqn: S _{3} = {1} over {2}]

[eqn: ax ^{2} =1`]에서 [eqn: x= {1} over {sqrt {a}} ``( BECAUSE `x>0)`]이므로

[eqn: S _{3} = {1} over {sqrt {a}} `- int _{0} ^{{1} over {sqrt {a}}} {} ax ^{2} dx`][eqn: = 1 over2]에서  [eqn: a = 16 over 9]

[eqn: S` _{1}], [eqn: S` _{2}], [eqn: S` _{3} `]이 이 순서로 등차수열을 이룰 때, 양수 [eqn: a `]의 값은?

① [eqn: {16} over {9}]	② [eqn: {17} over {9}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {19} over {9}]	⑤ [eqn: {20} over {9}]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 20

양의 실수 [eqn: {a}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를

[정답] [eqn: bold290]

[해설]

[eqn: f(x)=cases{{3}over{a}x^{2}&&&(-a leq x leq a)#``3a&&&(x< it-a ```` 또는 ```` x>a)]

의 그래프는 [eqn: y]축 대칭함수이므로 [eqn: y= f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=it-3], [eqn: x=3]으로 둘러싸인 넓이가 [eqn: 8]이면 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=0], [eqn: x=3]으로 둘러싸인 넓이가 [eqn: 4]이다.

[eqn: x ge0]일 때 [eqn: y= f(x)]의 그래프를 그려보면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: a ge 3]일 때

[eqn: int _{0 } ^3 { 3 overa x^2 dx = left[ x^3 overa right] _0^3 = 27 overa =4]
[eqn: THEREFORE][eqn: a= 27 over4]

(ⅱ) [eqn: 0 <a<3]일 때

[eqn: int _{0 } ^a { 3 overa x^2 dx + (3-a)times 3a]

[eqn: = left[ x^3 overa right]_0^a + 9a -3a^2]
[eqn: = it-2a^2 +9a]
[eqn: =4]

[eqn: THEREFORE][eqn: a= 1 over2] ([eqn: because ```` 0<a<3])

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 만족하는 [eqn: a]는 [eqn: 27 over 4 ,````1over 2]이므로 모든 [eqn: a]값의 합 [eqn: S]는 [eqn: S= 29 over 4]

[eqn: therefore][eqn: 40 S = 40 times 29 over 4 = 290]

[eqn: f(x)=cases{{3}over{a}x^{2}&&&(-a leq x leq a)#```3a&&&(x<-a ```` 또는 ```` x>a)]

라 하자. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=-3], [eqn: x=3]으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 8]이 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: S]이다. [eqn: 40S]의 값을 구하시오.

04 수2	09 정적분의 활용
02 정적분과 넓이의 해석
03 넓이와 해석3 (넓이로 정의된 함수)

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 09월 29

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x^2]과 양수 [eqn: t]에 대하여 세 점 [eqn: {rmO}(0,``0)], [eqn: {rmA}(t,``0)], [eqn: {rmB}(t,``t^2 )]을 지나는 원 [eqn: C]가 있다. 원 [eqn: C]의 내부와 부등식 [eqn: y` LEQ x ^{2}]이 나타내는 영역의 공통부분의 넓이를 [eqn: S(t)]라 할 때, [eqn: S`` prime (1)= {p` pi +q} over {4}]이다. [eqn: p ^{2} +q ^{2}]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q]는 정수이다.)

[정답] [eqn: 13]

[해설]

삼각형 [eqn: \OAB]는 직각삼각형이므로 선분 [eqn: \OB]는 원 [eqn: C`]의 지름이다. 원 [eqn: C]의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

[eqn: r =][eqn: 1over2 bar{\OB} = 1over2 sqrt{t^2 + t^4}]

이때 두 점 [eqn: \O(0,~0)], [eqn: \B (itt,~ t^2 )]을 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y = t x]이고, 원 [eqn: C`]의 내부와 부등식 [eqn: y le x^2]이 나타내는 영역의 공통부분의 넓이는 반원의 넓이에서 원 [eqn: C`]의 직선 [eqn: y = tx]와 곡선 [eqn: y = x^2]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 뺀 값과 같다.

[eqn: S(t)][eqn: = 1over2 pi r^2 - int _{ 0} ^{t } {(tx -x^2 ) dx }]
[eqn: = {1} over {8} pi (t ^{2} +t ^{4} )-t int _{0} ^{t} {x`dx} + int _{0} ^{t} {x ^{2} dx}]

[eqn: S``'(t)][eqn: = {1} over {8} pi (2t+4t ^{3} )- int _{0} ^{t} {x`dx} -t ^{2} +t ^{2}]
[eqn: = 1over4 pi (t + 2t^3 ) - 1over 2 t^2]

∴ [eqn: S``'(1) = 3over4 pi - 1over2][eqn: = { 3pi -2} over { 4}]

따라서 [eqn: p = 3], [eqn: q=`-2]이므로

[eqn: p^2 + q^2 = 13]

04 수2	09 정적분의 활용
02 정적분과 넓이의 해석
04 넓이와 해석4 (넓이가 같을 조건)

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 23

그림과 같이 임의로 그은 직선 [eqn: l`]이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rm A], 점 [eqn: rm C LEFT (6 ,`` 0 RIGHT ) `]을 지나고 [eqn: y`]축과 평행하게 그은 직선과의 교점을 [eqn: rm B`]라 하자. 사다리꼴 [eqn: rm OABC`]의 넓이가  곡선 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x^3 -6x^2`]과 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같을 때, 임의의 직선 [eqn: l`]은 항상 일정한 점 [eqn: rm D`]를 지난다. 이 때, [eqn: rm TRIANGLE ODC`]의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: rm bar{AB}`]는 [eqn: rm bar{OC}`]아래에 있다.)

[정답] [eqn: 54]

[해설]

직선을 [eqn: y=mx+n] 이라 두면

[eqn: int _{0} ^{6} {`(x ^{3} `-6x ^{2} `-mx-n)dx`=0}] 이므로 [eqn: n=-3m-18]

직선 [eqn: y=mx-3m-18]

[eqn: m(x-3)``-(`y+18)=0#]이고 [eqn: m]에 관한 항등식

이므로 점 [eqn: rmD]의 좌표는 [eqn: (`x,~y)`=(3`,`-18)``#]따라서 넓이는 [eqn: 54]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -6x ^{2}]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmO]

04 수2	09 정적분의 활용
03 속도와 거리
01 속도와 거리1 (위치, 위치조건)

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 10월 19

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rm Q`]가 있다. 점 [eqn: rmP`]는 점 [eqn: rmA LEFT ( 5 RIGHT ) `]를 출발하여 시각 [eqn: t `]에서의 속도가 [eqn: 3 t ^2 -2 `]이고, 점 [eqn: rm Q`]는 점 [eqn: {rmB} LEFT ( it k RIGHT ) `]를 출발하여 시각 [eqn: t `]에서의 속도가 [eqn: 1 `]이다. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rm Q`]가 동시에 출발한 후 [eqn: 2 `]번 만나도록 하는 정수 [eqn: k `]의 값은? (단, [eqn: k!=5`])

[정답] ②

[해설]

[eqn: t`]에서의 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 위치를 각각 [eqn: x _{rm P it} `], [eqn: x `_{rmQ it} `]라 하면

[eqn: x _{rm P it} `=`5+ int _{0} ^{t} {`(`3t ^{2} -2`)} `dt=t` ^{3} -2`t+5],

[eqn: x _{rm Q it} `=`k+ int _{0} ^{t} {`1`} dt=t+k]

이때, 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]가 만나려면 [eqn: t^3 -2t +5 = t+k] 즉, [eqn: t^3 -3t +5 = k]이어야 한다.

[eqn: f`(t)=t ^{3} -3`t+5`]라 하면 [eqn: f` prime (t)=3t ^{2} -3=3(t-1)(t+1)`]이므로 [eqn: t>0]에서 함수 [eqn: f`(t`)`]의 그래프는 그림과 같다.

직선 [eqn: y`=`k`]와 곡선 [eqn: y`=`f`(`t`)`]가 서로 다른 두 점에서 만날 조건은 [eqn: 3<k<5`]이므로 정수 [eqn: k`]는 [eqn: 4`]이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 20

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t~ LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )`]에서의 속도는

[정답] [eqn: 14]

[해설]

조건 (가), (나)에서 [eqn: v left(3)=0]이고, 그림과 같이 색칠한 부분의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2]라 하면

[eqn: s left(3right)=S_1 +S_2], [eqn: x left(3right)=S_1 -S_2]

조건 (나)에서 [eqn: s left(3right)-x left(3right)=8]이므로

[eqn: left(S_1 +S_2 right)-left(S_1 -S_2 right)=8]

[eqn: therefore][eqn: S_2 =4]

위의 그림에서

[eqn: S_2 = 1over2 times left(3-alpha right)times4=4]

[eqn: therefore][eqn: alpha=1]

[eqn: v left(2right)=it-4]이므로 [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = LEFT | at-b RIGHT | -4]에서

[eqn: v left(2right)=left|`2a-b`right|-4=it-4], [eqn: b=2a]

[eqn: v left(1right)=v left(3right)=0]이므로

[eqn: v left(1right)=left|`a-b`right|-4=0], [eqn: left|`-a`right|=4]

[eqn: therefore][eqn: a=4``left(because````a>0right)], [eqn: b=8]

[eqn: v left(t right)=left|`4t-8`right|-4]이므로 [eqn: t=1]에서 [eqn: t=6]까지 점 [eqn: rmP]의 위치의 변화량은

[eqn: int_1^6 v left(t right)`dt][eqn: =it-S_2 +int_3^6 left(4t-12right)`dt]
[eqn: =it-4+left[2t^2 -12t pile{`#`}right]_3^6]
[eqn: =it-4+18=14]

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = LEFT | at-b RIGHT | -4~ LEFT ( a>0,~b>4 RIGHT )]

이다. 시각 [eqn: t=0`]에서 [eqn: t=k`]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리를 [eqn: s LEFT ( k RIGHT )], 시각 [eqn: t=0`]에서 [eqn: t=k`]까지 점 [eqn: rmP`]의 위치의 변화량을 [eqn: x LEFT ( k RIGHT )`]라 할 때, 두 함수 [eqn: s LEFT ( k RIGHT ) ,~x LEFT ( k RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 0 LEQ k<3`]이면 [eqn: s LEFT ( k RIGHT ) -x LEFT ( k RIGHT ) <8`]이다.

(나) [eqn: k GEQ 3`]이면 [eqn: s LEFT ( k RIGHT ) -x LEFT ( k RIGHT ) =8`]이다.

시간 [eqn: t=1`]에서 [eqn: t=6`]까지 점 [eqn: rmP`]의 위치의 변화량을 구하시오. (단, [eqn: a,~b`]는 상수이다.)

04 수2	09 정적분의 활용
03 속도와 거리
02 속도와 거리2 (속도, 가속도 조건)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 14

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t]에서의 가속도가

[정답] ④

[해설]

[eqn: a(t)= 3t^2 - 12t + 9], [eqn: v(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + k]

ㄱ. [eqn: t > 3]이면
[eqn: a(t)= 3 (t-1)(t-3)][eqn: > 0]이므로 [eqn: v(t)]는 증가한다. [eqn: therefore] 참

ㄴ. [eqn: k =-4]이면 [eqn: v(1) =0](극댓값)이므로 [eqn: v(t)= 0]은 그림과 같다.
따라서 점 [eqn: rm P`]의 운동 방향은 한 번 바뀐다. [eqn: therefore] 거짓

ㄷ. [eqn: 0 le t le 5]에서 [eqn: v(t) ge 0]이면 된다.
이 구간에서 최솟값은 [eqn: v(3) = k]이므로 [eqn: k ge 0]
따라서 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 0`]이다.
[eqn: therefore] 참

[eqn: a(t)=3 t^{2}-12 t+9(t geq 0)]

이고, 시각 [eqn: t=0]에서의 속도가 [eqn: k]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 구간 [eqn: (3,`` inf )]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 속도는 증가한다. ㄴ. [eqn: k=-4]이면 구간 [eqn: (0,`` inf )]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 운동 방향이 두 번 바뀐다. ㄷ. 시각 [eqn: t=0]에서 시각 [eqn: t=5]까지 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치의 변화량과 점 [eqn: {rm{P}} it]가 움직인 거리가 같도록 하는 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: rm 0]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	09 정적분의 활용
03 속도와 거리
03 속도와 거리3 (이동거리)

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 17

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP`]의 시각 [eqn: t][eqn: LEFT (0 LEQ t LEQ 5 RIGHT )`]에서의 속도 [eqn: v LEFT (t RIGHT )`]가 다음과 같다.

[정답] ①

[해설]

[eqn: v(t)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

ㄱ. (참) 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 움직인 거리는
[eqn: 1 times 4 times 1over2 =2]
시각 [eqn: t=1]에서 [eqn: t=3]까지 움직인 거리는 [eqn: 2 times 4 times 1over2 =4]
시각 [eqn: t=3]에서 [eqn: t=5]까지 움직인 거리는 [eqn: 2 times 2 times 1over2 =2]
이므로 [eqn: f(1)=2]이다.

ㄴ. (거짓) [eqn: x=2]일 때, 시각 [eqn: t=4]에서 [eqn: t=5]까지 움직인 거리가 최소이므로 [eqn: f(2) = (1+2 ) times 1 times 1over2 = 3over2]

[eqn: therefore```][eqn: f(2) - f(1)][eqn: = 3over2 -2][eqn: = - 1over2 != int _{1 } ^{2 } { v(t)`dt}]

ㄷ. (거짓) (ⅰ) [eqn: x<1]인 경우
시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=x]까지 움직인 거리가 최소이므로
[eqn: f(x) = x times 4x times 1over2 = 2 x^2]
[eqn: lim _{ x->1-0} { { f(x) -f(1)} over { x-1} } = lim _{ x->1-0} { (2x+2)=4}]

(ⅱ) [eqn: x>1]인 경우
시각 [eqn: t= x+2]에서 [eqn: t=5]까지 움직인 거리가 최소이므로  [eqn: f(x)][eqn: = left{ (x-1) +2 right} times (3-x) times 1over2]

[eqn: = 1over2 (-x^2 +2x+3)]

[eqn: lim _{ x->1+0} { { f(x)-f(1)} over { x-1} } = lim _{ x->1+0} { LEFT ( - 1over2 x + 1over2 RIGHT ) } =0]

(ⅰ), (ⅱ)에서
[eqn: lim _{ x->1-0} { { f(x)-f(1)} over { x-1} } != lim _{ x->1+0} { { f(x)-f(1)} over {x-1 } }]
그러므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하지 않다.

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = {cases{~~~4t&~ LEFT ( 0 LEQ t<1 RIGHT )#``-2t+6&~ LEFT ( 1 LEQ t<3 RIGHT )#~~t-3&~ LEFT ( 3 LEQ t LEQ 5 RIGHT )}}`]

[eqn: 0<x<3`]인 실수 [eqn: x`]에 대하여 점 [eqn: rmP`]가

시각 [eqn: t=0`]에서 [eqn: t=x`]까지 움직인 거리,
시각 [eqn: t=x`]에서 [eqn: t=x+2`]까지 움직인 거리,
시각 [eqn: t=x+2`]에서 [eqn: t=5`]까지 움직인 거리

중에서 최소인 값을 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT (1 RIGHT )=2`] ㄴ. [eqn: f LEFT (2 RIGHT )-f LEFT (1 RIGHT )= int _{1} ^{2} {v LEFT (t RIGHT )dt} `] ㄷ. 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]는 [eqn: x=1 `]에서 미분가능하다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 14

원점에서 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 속도를 각각 [eqn: f(t)], [eqn: g(t)]라 하면

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: t]초 후 두 점의 위치는 각각 [eqn: {1} over {3} t^{3}+{1} over {2} t^{2}], [eqn: {5} over {2} t^{2}]

위치가 같으므로 [eqn: {1} over {3} t^{3}+{1} over {2} t^{2}={5} over {2} t^{2}]

이것을 풀면 [eqn: t=6]이다.

[eqn: t>0]일 때 각각의 점의 속도는 양수이므로, 점의 위치가 곧 움직인 거리이다.

[eqn: therefore~ ~ {5} over {2} times 6^{3}=90]

[eqn: f(t)=t^{2}+t], [eqn: g(t)=5 t]

이다. 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]가 출발 후 처음으로 만날 때까지 점 [eqn: {rm{P}} it]가 움직인 거리는?

① [eqn: rm 82]	② [eqn: rm 84]	③ [eqn: rm 86]

④ [eqn: rm 88]	⑤ [eqn: rm 90]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 11

시각 [eqn: {t=0}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t][eqn: (t geq 0)]에서의 속도가 각각

[정답] ②

[해설]

[eqn: {cases{x _{1} LEFT ( t RIGHT ) =t ^{3} -3t ^{2}&#x _{2} LEFT ( t RIGHT ) =t ^{2}&}}]이므로 [eqn: a ^{3} -3a ^{2} =a ^{2}]

[eqn: THEREFORE````a=4][eqn: ( BECAUSE````a>0)]

또한, [eqn: LEFT { x _{1} LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } '=3t ^{2} -6t]이므로 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는

[eqn: int _{0} ^{4} {LEFT |`` 3t ^{2} -6t`` RIGHT | dt}]

[eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT ( -3t ^{2} +6t RIGHT ) dt} + int _{2} ^{4} {LEFT ( 3t ^{2} -6t RIGHT ) dt}]
[eqn: = {3 TIMES LEFT ( 2-0 RIGHT ) ^{3}} over {6} +x _{1} LEFT ( 4 RIGHT ) -x _{1} LEFT ( 2 RIGHT )]
[eqn: =4+20]
[eqn: =24]

따라서 움직인 거리는 [eqn: 24]이다.

[eqn: v_{1}(t)=3t^{2}-6t], [eqn: v_{2}(t)=2t]

이다. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 시각 [eqn: t=a][eqn: (a>0)]에서 만날 때, 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=a]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는?

① [eqn: 22]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 30]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 14

시각 [eqn: {t=0}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t][eqn: LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: v LEFT ( t RIGHT )][eqn: =3t ^{2} -6t][eqn: =3t LEFT ( t-2 RIGHT )]
[eqn: t<2]일 때, [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) <0]
[eqn: t][eqn: =2]일 때, [eqn: v LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =0]
[eqn: t>2]일 때, [eqn: v LEFT ( t RIGHT )][eqn: >0]
[eqn: t][eqn: =2]에서 점 [eqn: rmP]의 움직이는 방향이 바뀐다.	(참)

ㄴ. 시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치를 [eqn: x LEFT ( t RIGHT )]라 하면
[eqn: x LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =0+ int _{0} ^{2} {} LEFT ( 3t ^{2} -6t RIGHT ) dt][eqn: = LEFT [ t ^{3} -3t ^{2} pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{2}][eqn: = it -4]

(참)

ㄷ. 시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 가속도를 [eqn: a LEFT ( t RIGHT )]라 하면
[eqn: a LEFT ( t RIGHT )][eqn: =6t-6]
[eqn: 6t-6][eqn: =12], [eqn: t][eqn: =3]
[eqn: t][eqn: =0]에서 [eqn: t][eqn: =3]까지 움직인 거리를 [eqn: s]라 하면

[eqn: s][eqn: = int _{0} ^{3} {} left |`` 3t ^{2} -6t ``right | dt]
[eqn: = it - int _{0} ^{2} {} LEFT ( 3t ^{2} -6t RIGHT ) dt+ int _{2} ^{3} {} LEFT ( 3t ^{2} -6t RIGHT ) dt]
[eqn: =4+ LEFT [ t ^{3} -3t ^{2} pile{it#it} RIGHT ] _{2}^{3}][eqn: =8]	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: v LEFT ( t RIGHT )][eqn: =3t ^{2} -6t]

일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 시각 [eqn: t][eqn: =2]에서 점 [eqn: rmP]가 움직이는 방향이 바뀐다. ㄴ. 점 [eqn: rmP]가 출발한 후 움직이는 방향이 바뀔 때 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: -4]이다. ㄷ. 점 [eqn: rmP]가 시각 [eqn: t][eqn: =0]일 때부터 가속도가 [eqn: 12]가 될 때까지 움직인 거리는 [eqn: 8]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 14

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x LEFT ( t RIGHT )]가 두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: x(0)=0], [eqn: x(1)=0]이므로 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: t=0]일 때 수직선의 원점이고, [eqn: t=1]일 때도 수직선의 원점이다.

또, [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | `v(t)` RIGHT |} dt=2]이므로 점 [eqn: rmP]가 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 움직인 거리가 [eqn: 2]이다.

ㄱ. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 위치의 변화량이 [eqn: 0]이므로 [eqn: int _{0} ^{1} {v(t)} `dt=0] (참)

ㄴ. [eqn: LEFT | `x(t _{1} )` RIGHT | >1]이면 점 [eqn: rmP]와 원점 사이의 거리가 [eqn: 1]보다 큰 시각 [eqn: t_1]이 존재하므로 점 [eqn: rmP]가 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 움직인 거리가 [eqn: 2]보다 크다. (거짓)

ㄷ. [eqn: 0 le t le 1]인 모든 시각 [eqn: t]에서 점 [eqn: RMP]와 원점 사이의 거리가 [eqn: 1]보다 작고, 점 [eqn: RMP]가 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 움직인 거리가 [eqn: 2]이므로 점 [eqn: rmP]는 [eqn: 0<t<1]에서 적어도 한 번 원점을 지나간다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[eqn: x LEFT ( t RIGHT ) =t LEFT ( t-1 RIGHT ) LEFT ( at+b RIGHT ) ~ LEFT ( a!=0 RIGHT )]

이다. 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | `v LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT | `dt=2}]를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: int _{0} ^{1} {v LEFT ( t RIGHT ) `dt=0}] ㄴ. [eqn: LEFT | x LEFT ( t _{1} RIGHT ) RIGHT | >1]인 [eqn: t _{1}]이 열린구간 [eqn: LEFT ( `0,~1` RIGHT )]에 존재한다. ㄷ. [eqn: 0 LEQ t LEQ 1]인 모든 [eqn: t]에 대하여 [eqn: LEFT | `x LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT | <1]이면 [eqn: x LEFT ( t _{2} RIGHT ) =0]인 [eqn: t _{2}]가 열린구간 [eqn: LEFT ( `0,~1` RIGHT )]에 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	09 정적분의 활용
03 속도와 거리
05 속도와 거리5 (실생활)

[출처]	2005 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

동일한 직선도로 위를 같은 방향으로 달리는 두 자동차 [eqn: \A `]와 [eqn: \B `]가 있다. 자동차 [eqn: \A `]가 매시 [eqn: 72rm``km`]의 속력으로 달리고 있던 중 [eqn: \P `]지점에 이르렀을 때, [eqn: \P `]지점에서 [eqn: 100rm``m] 앞에 정지하고 있던 자동차 [eqn: \B `]를 발견하고 제동장치를 작동하여 [eqn: -5``rm m/초 ^{2} `]의 가속도로 운행하였다. [eqn: \A `]가 제동장치를 작동한지 [eqn: 4 `]초가 되는 순간에 정지하고 있던 [eqn: \B `]는 [eqn: 6``rm m/초 ^{2} `]의 가속도로 출발하였고, 동시에 [eqn: \A `]는 [eqn: 10``rm m/초 ^{2} `]의 가속도로 계속하여 운행하였다. 이 때, [eqn: \P `]지점에서 [eqn: \A `]가 [eqn: \B `]를 추월하는 지점까지의 거리는 몇 [eqn: rmm] 인지를 구하시오.

[정답] [eqn: 190]

[해설]

아래 그림은 시간에 따른 [eqn: A``]와 [eqn: B``]의 속도변화를 보여준다.

[eqn: k``]초 후에 [eqn: A``]가 [eqn: B``]를 추월하려면 [eqn: P``]지점을 기준점으로 다음과

같은 관계식이 성립한다.

[eqn: k``]초 후의 [eqn: A``]의 위치[eqn: = 1over 2 cdot 4 cdot 20 + int_{4}^{k}``10x-40 ``dx``]

[eqn: =40+ left[` 5x^2 -40x right]_4^k``]

[eqn: =40+(5k^2 -40k)-(80-160)``]

[eqn: =5k^2 -40k+120``]

[eqn: k``]초 후의 [eqn: B``]의 위치[eqn: =100+int_{4}^k{}``6x-24``dx``]

[eqn: =100+ left[`3x^2 -24x`right]_4^k``]

[eqn: =100+(3k^2 -24k)-(48-96)``]

[eqn: =3k^2 -24k+148``]

따라서,

[eqn: 5k^2 -40k+120=3k^2 -24k+148``]

[eqn: 2k^2 -16k-28=0``]

[eqn: therefore`````k^2 -8k=14``]

따라서, [eqn: k``]초 후의 [eqn: A``]의 위치는

[eqn: 5(k^2 -6k)+120=5 times 14+120=190``]([eqn: m])

[준킬러][수학2] 4적분(빠른 정답)
준킬러수2	2023.01.06

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ②

[정답] [eqn: 46]

[정답] [eqn: 28]

[정답] [eqn: bold12]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] [eqn: bold45]

[정답] [eqn: 10.67]

[정답] [eqn: 18]

[정답] ②

[정답] [eqn: bold27]

[정답] [eqn: 71]

[정답] [eqn: rm 13]

[정답] [eqn: 17]

[정답] [eqn: 19]

[정답] [eqn: 9]

[정답] [eqn: {{167}}]

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 16]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 25]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] [eqn: 102]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] [eqn: 50``]

[정답] ④

[정답] [eqn: 57]

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[정답] [eqn: bold43]

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 27]

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: 110]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 8]

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] [eqn: 10``]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: 140]

[정답] [eqn: 15]

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 35]

[정답] ④

[정답] [eqn: 2]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] [eqn: bold32]

[정답] ①

[정답] [eqn: bold290]

[정답] [eqn: 13]

[정답] [eqn: 54]

[정답] ②

[정답] [eqn: 14]

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] [eqn: 190]

[준킬러][수학2] 4적분(해설)
준킬러수2	2023.01.06