	준킬러수2	[준킬러][수학2] 3미분2
	03
		준킬러수2	2023.01.06

04 수2	05 함수의 증가와 감소
01 함수의 증가와 감소
03 증가와 감소3 (삼차함수와 조건해석, 실수 전체)

준킬러수2		준킬러수2
		[준킬러][수학2] 3미분2
03

	준킬러수2		준킬러수2
	[준킬러][수학2] 3미분2		03

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 6

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +6x ^{2} +15|`x-2a`|+3]이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은?

[정답] ①

[해설]

(ⅰ) [eqn: x` GEQ 2a]일 때,
[eqn: f(x)=x ^{3} +6x ^{2} +15`x-30a`+3]
이므로 [eqn: f prime (x)=3x ^{2} +12x+15>0]
즉, 함수 [eqn: f(x)]는 증가한다.

(ⅱ) [eqn: x LEQ 2a]일 때,
[eqn: f(x)=x ^{3} +6x ^{2} -15`x+30a`+3]
이므로 [eqn: f prime (x)=3(x+5)(x-1)]
이때, 함수 [eqn: f(x)]가 증가하려면 [eqn: 2a LEQ -5]
[eqn: THEREFORE ~~a` LEQ `- {5} over {2}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: - {5} over {2}]이다.

① [eqn: - {5} over {2}]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - {3} over {2}]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - {1} over {2}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 13

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 역함수가 존재하는 삼차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +ax ^{2} +bx+c]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

ㄱ. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 역함수가 존재하고 최고차항의 계수가 양수이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2ax+b GEQ 0]이 성립해야 한다.
그러므로 방정식 [eqn: 3x ^{2} +2ax+b=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면
[eqn: {D} over {4} =a ^{2} -3b LEQ 0,`a ^{2} LEQ 3b] (참)

ㄴ. [eqn: 2f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( -x RIGHT )]에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( -x RIGHT )} over {2}]
[eqn: = {LEFT ( x ^{3} +ax ^{2} +bx+c RIGHT ) - LEFT ( -x ^{3} +ax ^{2} -bx+c RIGHT )} over {2}]
[eqn: =x ^{3} +bx]

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +b]이므로 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: 3x ^{2} +b=0]
이차방정식 [eqn: 3x ^{2} +b=0]의 판별식을 [eqn: D prime]이라 하면
[eqn: D prime =0 ^{2} -4 TIMES 3 TIMES b=-12b]
ㄱ에 의해 [eqn: b GEQ {a ^{2}} over {3} GEQ 0]이므로 [eqn: D prime =-12b LEQ 0]
그러므로 이차방정식 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =0]은 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다. (거짓)

ㄷ. 방정식 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =0] 이 실근을 가지므로 [eqn: 3x ^{2} +b=0]□의 실근이 존재한다. 즉, [eqn: b LEQ 0]
또한, ㄱ에 의해 [eqn: b GEQ 0]이므로  [eqn: b=0]이고
ㄱ에 의해 [eqn: a=0]이다. [eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2}]이므로 [eqn: g prime LEFT ( 1 RIGHT ) =3] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 2f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( -x RIGHT )]이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: a,~b,~c]는 상수이다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a ^{2} LEQ 3b] ㄴ. 방정식 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. 방정식 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]이 실근을 가지면 [eqn: g' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	05 함수의 증가와 감소
01 함수의 증가와 감소
05 증가와 감소5 (사차함수의 증가와 감소)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 09월 21

사차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]의 도함수 [eqn: f `' LEFT (x RIGHT ) `]가

[정답] ③

[해설]

[eqn: (- INF ,0)]에서 감소하고 [eqn: (2, INF )]에서 증가하는 그래프가 되기 위한 [eqn: f prime (x)]의 그래프 개형은 [eqn: x=`-1`]에서 접하는 그래프가 나와야 된다.

[eqn: f prime (x)=(x+1)(x- alpha )(x- beta )][eqn: ( alpha < beta )]라 하면

[eqn: alpha =-1]

[eqn: a=-( alpha + beta )], [eqn: b= alpha beta]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} = alpha ^{2} +2 alpha beta + beta ^{2} +( alpha beta ) ^{2}]

[eqn: =1-2 beta +2 beta ^{2} =2 left ( beta - {1} over {2} right ) ^{2} + {1} over {2}]

따라서 [eqn: beta = {1} over {2}]일 때 최솟값을 갖고,

[eqn: beta =2]일 때 최댓값을 갖는다.

[eqn: m= {1} over {2}, M= 5]

[eqn: THEREFORE ````M+m= {11} over {2}]

[eqn: f `' LEFT (x RIGHT )= LEFT (x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) `]

이다. 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]가 구간 [eqn: LEFT ( - INF ,`` 0 RIGHT ) `]에서 감소하고 구간 [eqn: LEFT ( 2,`` INF RIGHT ) `]에서 증가하도록 하는 실수 [eqn: a], [eqn: b `]의 순서쌍 [eqn: LEFT (a,`` b RIGHT ) `]에 대하여, [eqn: a ^{2} +b ^{2} `]의 최댓값을 [eqn: M`], 최솟값을 [eqn: m `]이라 하자. [eqn: M`+m `]의 값은?

① [eqn: {21} over {4}]	② [eqn: {43} over {8}]	③ [eqn: {11} over {2}]

④ [eqn: {45} over {8}]	⑤ [eqn: {23} over {4}]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
02 함수의 극대와 극소
07 극대와 극소7 (곱함수와 뺀함수)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 06월 18

삼차함수 [eqn: y = f LEFT (x RIGHT )`]와 일차함수 [eqn: y = g LEFT (x RIGHT )`]의 그래프가 그림과 같고, [eqn: f`' LEFT (b RIGHT ) = f`' LEFT (d RIGHT ) =0`]이다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: y `prime =f `prime (x) g(x)+f(x) g `prime (x)]이므로 그래프를 이용하여 [eqn: x]의 값의 범위에 따라 [eqn: y `prime]의 부호를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: a]	[eqn: cdots]	[eqn: b]	[eqn: cdots]	[eqn: c]	[eqn: cdots]	[eqn: d]	[eqn: cdots]	[eqn: e]	[eqn: cdots]
[eqn: f `prime (x) g(x)]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: f(x) g `prime (x)]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: |]	[eqn: |]	[eqn: |]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: |]
[eqn: y `prime]	[eqn: -]	[eqn: -]		[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: -]		[eqn: +]	[eqn: +]

함수 [eqn: f(x) g(x)]는 [eqn: x=c]에서 극대이고, [eqn: p<q]이므로 [eqn: p]는 열린구간 [eqn: (a,`` b)]에 포함되고, [eqn: q]는 열린구간 [eqn: (d,`` e)]에 포함된다. 따라서 [eqn: a<p<b]이고 [eqn: d<q<e]이다.

함수 [eqn: y = f LEFT (x RIGHT ) g LEFT (x RIGHT )`]는 [eqn: x =p `]와 [eqn: x =q `]에서 극소이다. 다음 중 옳은 것은? (단, [eqn: p <q`])

① [eqn: a <p<b `]이고 [eqn: c <q<d`]	② [eqn: a <p<b `]이고 [eqn: d <q<e`]

③ [eqn: b<p<c `]이고 [eqn: c<q<d`]	④ [eqn: b <p<c `]이고 [eqn: d<q<e`]

⑤ [eqn: c<p<d `]이고 [eqn: d<q<e`]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
03 증가감소와 극대극소의 활용
02 활용2 (미정계수와 관계식)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 09월 20

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: x=`-2 `]에서 극댓값을 갖는다.

(나) [eqn: f `' LEFT ( -3 RIGHT ) =f `' LEFT ( 3 RIGHT )`]

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 도함수 [eqn: f `' LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=0 `]에서 최솟값을 갖는다. ㄴ. 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=f LEFT (2 RIGHT ) `]는 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( -1,`` f LEFT (-1 RIGHT ) RIGHT )`]에서의 접선은 점 [eqn: LEFT ( 2,`` f LEFT (2 RIGHT ) RIGHT )`]를 지난다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 06월 20

함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: f prime (x)=x ^{2} -2kx=x LEFT ( x-2k RIGHT )]이고

[eqn: {rmA} LEFT ( alpha ,~ {1} over {3} alpha ^{3} -k alpha ^{2} +1 RIGHT )], [eqn: {rmB} LEFT ( beta ,~ {1} over {3} beta ^{3} -k beta ^{2} +1 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( alpha < beta RIGHT )]라 하면 주어진 조건을 만족시키는 경우는 다음 그림과 같고 도형의 모양은 평행사변형이다.

또한 [eqn: f`' LEFT ( alpha RIGHT ) = alpha ^{2} -2k alpha =3k ^{2}]에서

[eqn: alpha ^{2} -2k alpha -3k ^{2} =0], [eqn: LEFT ( alpha -3k RIGHT ) LEFT ( alpha +k RIGHT ) =0]

이므로

[eqn: alpha = it -k~ LEFT ( alpha <0< beta RIGHT )]

즉, [eqn: beta =3k`]이다.

그리고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]

[eqn: f(2k)= {8k ^{3}} over {3} -4k ^{3} +1=1- {4} over {3} k ^{3}]이므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) -f LEFT ( 2k RIGHT ) = {4} over {3} k ^{3}]

또한, 점 [eqn: A``]에서의 접선 [eqn: l`]의 방정식은

[eqn: y- LEFT ( - {4} over {3} k ^{3} +1 RIGHT ) =3k ^{2} LEFT ( x+k RIGHT )]

[eqn: y=3k ^{2} x+ {5} over {3} k ^{3} +1]

점 [eqn: B``]에서의 접선 [eqn: m`]의 방정식은

[eqn: y-1=3k ^{2} LEFT ( x-3k RIGHT )]

[eqn: y=3k ^{2} x-9k ^{3} +1]

따라서 직선 [eqn: y=1]과 두 접선 [eqn: l,~m`]의 교점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: x _{1} ,~x _{2}]라 하면

[eqn: x _{1} = it - {5} over {9} k], [eqn: x _{2} =3k`]이므로

[eqn: x _{2} -x _{1} =3k+ {5} over {9} k= {32} over {9} k]

이때 평행사변형의 넓이는 [eqn: 24]이므로

[eqn: {4} over {3} k ^{3} TIMES {32} over {9} k=24], [eqn: k ^{4} = {81} over {16}]

따라서 [eqn: k= {3} over {2}]이다.

[eqn: f(x) = {{1} over{3}}x^{3}-kx^{2}+1] ([eqn: k`][eqn: >0`]인 상수)

의 그래프 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서의 접선 [eqn: l], [eqn: m`]의 기울기가 모두 [eqn: 3k^{2}`]이다. 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접하고 [eqn: x`]축에 평행한 두 직선과 접선 [eqn: l], [eqn: m`]으로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: 24]일 때, [eqn: k`]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

[출처]	2019 모의_공공 경찰대 고3 07월 16

사차함수 [eqn: f (x) = k(x - 1)(x - a)(x - a + 1)(x - a + 2)] ([eqn: k > 0])이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

(가)에서 세 실근은 [eqn: a-2], [eqn: a-1 = 1], [eqn: a] 이므로

[eqn: a = 2]이다. 즉 [eqn: f(x) = k x(x-1)^2 (x-2)]

간단히 계산하기 위하여 [eqn: g(x) = k x^2 (x^2 -1)]이라

두고 극솟값을 구한다.

[eqn: g``'(x)= 2 kx ( 2x^2 -1)]

[eqn: g left( 1 over sqrt2 right) = k left( 1 over2 right) left( 1 over2 -1 right) = -5], [eqn: k = 20]

[eqn: THEREFORE][eqn: ak = 40]

(가) 사차방정식 [eqn: f (x) = 0]은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: f (x)]의 두 극솟값의 곱은 [eqn: 25]이다.

두 상수 [eqn: a,``` k `]에 대하여 [eqn: ak]의 값은?

① [eqn: 30]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 45]

④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 60]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 10월 21

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

조건에서 [eqn: f left(x right)= left(x- alpha right)^2 left(x- beta right)]

ㄱ. [eqn: f prime left(x right)][eqn: = left(x- alpha right) left(3x- alpha-2 beta right)]
그러므로 [eqn: f prime left( alpha right)=0]	(참)

ㄴ. 함수 [eqn: f left(x right)]가 [eqn: x= {alpha+2beta } over { 3}]에서 극솟값 [eqn: -4]를 가지므로
[eqn: f left( { alpha+2beta } over { 3}right )][eqn: =left( { alpha +2beta} over {3 } - alpharight)^2 left({ alpha +2beta} over {3 }- beta right)][eqn: = it-4]
[eqn: left(beta- alpha right)^3 =3^{ 3}]에서 [eqn: beta- alpha=3]
그러므로 [eqn: beta= alpha+3]	(참)

ㄷ. [eqn: f left (0 right )=it- alpha^2 beta =16]이고 ㄴ에서 [eqn: beta= alpha+3]이므로
[eqn: alpha^3 +3 alpha^2 +16= left( alpha+4 right ) left( alpha^2 - alpha+4 right)=0]
[eqn: alpha=it-4]이고 [eqn: beta=it-1]
그러므로 [eqn: alpha^{2} + beta^{ 2} =17]	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 실근은 [eqn: alpha], [eqn: beta] ([eqn: alpha<beta])뿐이다.

(나) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값은 [eqn: -4]이다.

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f prime LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =0] ㄴ. [eqn: beta][eqn: = alpha +3] ㄷ. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =16]이면 [eqn: alpha ^{ 2} +beta ^{ 2} =18]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	05 함수의 증가와 감소
03 증가감소와 극대극소의 활용
03 활용3 (구간정의함수)

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 06월 21

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x ^{3} -3x ^{2} -9x-1`]과 실수 [eqn: m`]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]를

[정답] ②

[해설]

[eqn: f'(x)=3x ^{2} -6x-9`=3(x+1)(x-3)]

[eqn: f(-1)=4], [eqn: f(3)=-28], [eqn: f(0)=-1]에서 그래프의 개형은 다음과 같다

이 때 원점을 지나는 직선 중에서 그림과 같이 [eqn: f(x)]의 변곡점을 지나고 변곡점에서의 접선의 기울기와 원점을 지나는 직선의 기울기가 같을 때 실수 전체의 집합에서 미분 가능하게 된다

[eqn: f '' (x)=6x-6=0], [eqn: x=1]일 때 변곡이므로변곡점의 좌표는 [eqn: (1,-12)]

[eqn: THEREFORE]원점과 [eqn: (1,-12)]을 지나는 직선의 기울기는 [eqn: -12]

(변곡점에서의 미분계수 [eqn: f` prime (1)`]또한 [eqn: -12])

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= {cases{``f LEFT (x RIGHT ) &~ LEFT (f LEFT (x RIGHT ) GEQ mx RIGHT )#```mx &~ LEFT (f LEFT (x RIGHT ) < mx RIGHT )}}`]

라 하자. [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가 실수 전체의 집합에서 미분 가능할 때, [eqn: m`]의 값은?

① [eqn: -14]	② [eqn: -12]	③ [eqn: -10]

④ [eqn: -8]	⑤ [eqn: -6]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 06월 21

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``a LEFT ( 3x-x ^{3} RIGHT ) &~ LEFT ( x<0 RIGHT )#~``x ^{3} -ax &~ LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}`]의 극댓값이 [eqn: 5`]일 때, [eqn: f LEFT (2 RIGHT )`]의 값은? (단 [eqn: a`]는 상수이다.)

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=` {cases{a LEFT ( 3x-x ^{3} RIGHT )&LEFT ( x<0 RIGHT )#x ^{3} -ax&LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]에서

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) `=` {cases{a LEFT ( 3-3x ^{2} RIGHT )&LEFT ( x<0 RIGHT )#3x ^{2} -a&LEFT ( x>0 RIGHT )}}]

[eqn: a]의 부호에 따라서 도함수의 그래프가 달라지기 때문에

[eqn: a]의 범위를 나누어야 한다.

(ⅰ) [eqn: a`=0]일 때는 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) `=` {cases{0&LEFT ( x<0 RIGHT )#3x ^{2}&LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]이 되어서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값이 발생하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a>0]일 때는 [eqn: x=`-1,` sqrt {{a} over {3}}]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 극솟값을 가지고 [eqn: x=0]에서 극댓값을 가지지만 그 값이 0이므로 문제의 조건을 만족시키지 못한다.

(ⅲ) [eqn: a`<`0]일 때는 [eqn: x=`-1]에서 극댓값을 갖는다.
이상에서 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) `=`a LEFT ( -3+1 RIGHT ) `=`5], [eqn: a=`-` {5} over {2}]이다.

[eqn: THEREFORE `````f LEFT ( 2 RIGHT ) `=`2 ^{3} + {5} over {2} ·`2`=`13]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

[출처]	2019 모의_공공 경찰대 고3 07월 12

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f (x)]에 대하여 함수 [eqn: g (x)]를

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: x=-1], [eqn: x = 5] 에서 미분가능하다면 [eqn: g``'(-1) = g``'(5) = 0],

즉 [eqn: f``'(-1) = f``'(5) =0], [eqn: f`'(x) = 3(x+1)(x-5)],

따라서 [eqn: x =-1]에서 [eqn: f(x)]는 극댓값을 갖는다.

ㄴ. [eqn: f``'(x) = 3 (x+1)(x-5)], [eqn: f(9) = 0]

[eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} -15x-108]

[eqn: f(-1)` =-100], [eqn: f(5) = -208]

[eqn: a = 100], [eqn: b = 208], [eqn: THEREFORE][eqn: a < b]

ㄷ. [eqn: f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + C]

[eqn: a =f(-1)= 8+C], [eqn: b = - f(5) = 100 - C]

[eqn: a = b]이면 [eqn: C = 46], [eqn: THEREFORE][eqn: f(0) = C= 46]

[eqn: g (x) =cases{`` {it}^{it}^{it}a{it}_{it}_{it} &{it}^{it}^{it}(x < - 1){it}_{it}_{it}#`` {it}^{it}^{it}LEFT |` f(x) `RIGHT |{it}_{it}_{it}&{it}^{it}^{it}(- 1 ≤ x ≤ 5){it}_{it}_{it}#`` {it}^{it}^{it}b{it}_{it}_{it}&{it}^{it}^{it}(x > 5){it}_{it}_{it}}]

라 하자. [eqn: g (x)]가 [eqn: x = it - 1], [eqn: x = 5]에서 미분가능할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f (x)]는 [eqn: x = it - 1]에서 극댓값을 갖는다. ㄴ. [eqn: f(9)= 0]이면 [eqn: a > b]이다. ㄷ. [eqn: a = b]이면 [eqn: f(0)= 46]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 28

함수 [eqn: f(x)=x^{3}-6 x^{2}+a x+10]에 대하여 함수

[정답] [eqn: 6]

[해설]

함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=3]에서 연속이고 미분가능하다. 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=3]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 3-} g(x)= lim _{x ``rarrow`` 3+} g(x)=g(3)]

[eqn: b-f(3)=f(3)]

[eqn: b=6 a-34]

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=3]에서 미분가능하므로 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 3{-}} {g(x)-g(3)} over {x-3}= lim _{x ``rarrow`` 3{+}} {g(x)-g(3)} over {x-3}][eqn: lim _{x ``rarrow`` 3{-}} {g(x)-g(3)} over {x-3}= lim _{x ``rarrow`` 3{-}} {b-f(x)-f(3)} over {x-3}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 3{-}} {-f(x)+ left{ b-f(3) it right} } over {x-3}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 3{-}} {- left{ f(x)-f(3) it right} } over {x-3}]

[eqn: ~ =-f `prime (3)]

[eqn: ~ =a-9]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 3{+}} {g(x)-g(3)} over {x-3}= lim _{x ``rarrow`` 3{+}} {f(x)-f(3)} over {x-3}]

[eqn: =f`'(3)]

[eqn: =-a+9]

따라서 [eqn: a=9], [eqn: b=20]

[eqn: g(x)=cases{ -x ^{ 3} +6x ^{ 2} -9x+10&& (x<3) #x ^{ 3} -6x ^{ 2}+9x+10 && (x geq 3)}]

[eqn: x<3]에서

[eqn: g`'(x)=-3x ^{ 2}+12x-9=-3(x-1)(x-3)]

[eqn: g`'(x)=0]에서 [eqn: x=1]

[eqn: x geq3]에서

[eqn: g` prime (x)=-3x ^{2} -12x+9=3(x-1)(x-3)]

[eqn: g`'(x)=0]에서 [eqn: x=3]

함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 1]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 3]	[eqn: cdots]
[eqn: g `prime (x)]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]		[eqn: nearrow]

[eqn: g(1)=-1+6-9+10=6]이므로

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: rm 6]을 갖는다

[eqn: g(x)=cases{b-f(x) && (x<3) #f(x) && (x geq 3)}]

이 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 함수 [eqn: g(x)]의 극솟값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 14

함수 [eqn: {f(x)=x^{3}-x}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]와 상수 [eqn: a][eqn: (a>-1)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]위의 두 점 [eqn: (-1 ,```` f(-1))], [eqn: (a ,```` f(a))]를 지나는 직선을 [eqn: y=g(x)]라 하자. 함수

[정답] ④

[해설]

(가)에 의하여 [eqn: LEFT ( a,````f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( -1,````f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선과 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 교점이다.

[eqn: x=0]에서 변곡점이므로 [eqn: 1``:``2]비율관계에 의해 [eqn: a=2]가 성립한다.

계속 증가해야 하므로 [eqn: LEFT ( -1,````0 RIGHT )]을 변곡점에 대해 대칭시키면 [eqn: LEFT ( 1,````0 RIGHT )]이므로 (나)를 만족한다.

따라서 [eqn: LEFT ( 1,````0 RIGHT )]에서 [eqn: LEFT ( 2,````6 RIGHT )]으로 이동하므로 [eqn: m=1,````n=6]이다.

[eqn: h(x)=cases{```````````````f(x)&&&(x< -1)#``````````````g(x)&&&(-1leq x leq a)#f(x-m)+n&&&(x>a)]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: h(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(나) 함수 [eqn: h(x)]는 일대일대응이다.

[eqn: m+n]의 값은? (단, [eqn: m], [eqn: n]은 상수이다)

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
03 증가감소와 극대극소의 활용
04 활용4 (절댓값함수)

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 17

자연수 [eqn: {n}{{from^2021^7^경찰대^중}}]에 대하여 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{```````LEFT ( x ^{2} -4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +n RIGHT )& && LEFT ( x< it -2 ````또는 ````x>2 RIGHT )#- LEFT ( x ^{2} -4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +n RIGHT )&&& LEFT ( -2 LEQ x LEQ 2 RIGHT )}}]

에서 양변을 미분하면

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{```````4x ^{3} +2(n-4)x& && LEFT ( x< it -2 ```` 또는```` x>2 RIGHT )#-4x ^{3} -2(n-4)x& && LEFT ( -2<x< 2 RIGHT )}}]

즉, [eqn: f(x)= left |`` x ^{2} -4 ``right | (x ^{2} +n)]에서 [eqn: x=-2]와 [eqn: x=2]에서 항상 극소이고 [eqn: f prime (x)=2x LEFT { 2x ^{2} +(n-4)x RIGHT }]에서 [eqn: x=0]에서 극값을 가지며 극값의 개수가 [eqn: 4]이상이므로 [eqn: n<4]가 된다.

따라서 만족하는 자연수 [eqn: n]은 [eqn: n=][eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3]

그런데, [eqn: f(x)= left |`` x ^{2} -4 ``right | (x ^{2} +n) ge 0]이므로 극값의 합이 최대가 되는 경우는 [eqn: n=3]일 때이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = left |`` x ^{2} -4 ``right | LEFT ( x ^{2} +n RIGHT )]

이 [eqn: x][eqn: =a]에서 극값을 갖는 [eqn: a]의 개수가 [eqn: 4]이상일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 모든 극값의 합이 최대가 되도록 하는 [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 14

두 양수 [eqn: p ,```` q]와 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} -9x-12]에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: p+q]의 값은?

[정답] ③

[해설]

(가) 조건에 의해 [eqn: xg(x)= left |`` xf(x-p)+qx ``right |]이므로

[eqn: g(x)= {left |`` x ``right | left |`` f LEFT ( x-p RIGHT ) +q ``right | } over {x}][eqn: (x != 0)]이고 [eqn: g(x)]는 실수 전체에서 연속이므로 [eqn: x=0]에서도 연속이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x ``->`` 0+} {} g(x)= lim _{x ``->`` 0-} {} g(x)=g(0)]이므로

[eqn: lim _{x ``->`` 0+} {} g(x)= lim _{x ``->`` 0+} {} ``|`` f(x-p)+q ``|`` = ``|`` f(-p)+q ``|``],

[eqn: lim _{x ``->`` 0-} {} g(x)= lim _{x ``->`` 0-} { left |`` f(x-p)+q ``right | } =it-left |`` f(-p)+q ``right |]

에서 [eqn: f(-p)+q= 0]

[eqn: THEREFORE ```` f(-p)=it-q]

또, [eqn: g(0) = 0]이므로 [eqn: g(x)]는 원점을 지난다.

따라서 [eqn: g(x)= {cases{ {left |`` x ``right | left |`` f LEFT ( x-p RIGHT ) +q ``right | } over {x} & & &(x != 0)# `````````````````````````` g(0)& & &(x=0)}}]

이 때 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} -9x-12]이므로

[eqn: f'(x)][eqn: =3x ^{2} -6x-9]
[eqn: =3(x+1)(x-3)]

[eqn: x]		[eqn: -1]		[eqn: 3]
[eqn: f``'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	↗	[eqn: -7]	↘	[eqn: -39]	↗

이므로 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: h(x)][eqn: = {left |`` x ``right | left |`` f ( x) ``right | } over {x}] (단, [eqn: x!=0])이라 하면

(ⅰ) [eqn: x>0]에서 [eqn: y=|``f(x)``|]

(ⅱ) [eqn: x<0]에서 [eqn: y= - |``f(x)``|]

따라서 [eqn: y=h(x)]의 그래프는 다음과 같다.

위의 그래프에서 미분불가능한 점이 [eqn: 2]개다. 그런데, 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 [eqn: y=h(x)]의 그래프를 [eqn: x]축으로 [eqn: p]만큼 [eqn: y]축으로 [eqn: q]만큼 평행이동한 것이므로 [eqn: g(x)]의 그래프에서 미분불가능한 점이 [eqn: 1]개가 되기 위해선 원래의 함수 [eqn: y=f(x)]의 평행이동한 함수 [eqn: y=f(x-p)+q]의 극점 중 한 개가 원점에 와야 한다.

즉, 극점이 원점으로 옮겨져야 한다.

따라서 [eqn: y=f(x)]의 극점 [eqn: (-1 ,```` -7)], [eqn: (3 ,```` -39)]에 대하여

(ⅰ) 극점 [eqn: (-1 ,```` -7)]이 원점이 되는 경우

[eqn: p=1 ,```` q=7]

(ⅱ) 극점 [eqn: (3 ,```` -39)]이 원점이 되는 경우
[eqn: p=-3,````q=39]
그런데 [eqn: p,````q]가 양수이어야 하므로 모순

(ⅰ), (ⅱ)에서 만족하는 [eqn: p,````q]의 값은 [eqn: p=1 ,```` q=7]

[eqn: THEREFORE ```` p+q=1+7=8]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: xg(x)= left |`` xf(x-p)+qx ``right |]이다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않는 실수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 1]이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
03 증가감소와 극대극소의 활용
06 활용6 (추론과 해석)

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 06월 24

사차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: {f `' LEFT (5 RIGHT )} over {f `' LEFT (3 RIGHT )}`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 12]

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: f prime LEFT ( 2 RIGHT ) =0]

조건 (나)에서 [eqn: x=1]일 때,

[eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT | =0]을 만족하므로 함수

[eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT |]의 그래프는

점 [eqn: LEFT ( 1,~f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )]에서 [eqn: x]축과 만나야 한다.

[eqn: f{prime} LEFT ( x RIGHT ) != 0]이면 [eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT |]은

[eqn: x=1]에서 미분가능하지 않으므로 모순이다.

따라서 [eqn: f{prime} LEFT ( 1 RIGHT ) !=0]이다.

이때 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )]이 [eqn: x=1]에서 극값을 가지면 [eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT |]이 미분가능하지 않은 점은 [eqn: 0]개 또는 [eqn: 2]개이므로 모순이다.

따라서 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )]은 [eqn: x=1]에서 극값을 갖지 않는다.

따라서,

[eqn: f{prime} LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-2 RIGHT )]

(단, [eqn: k]는 [eqn: 0]이 아닌 상수)

으로 놓을 수 있다.

∴ [eqn: {f prime LEFT ( 5 RIGHT )} over {f prime LEFT ( 3 RIGHT )} = {k CDOT 4 ^{2} CDOT 3} over {k CDOT 2 ^{2} CDOT 1} =12]

(가) 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]는 [eqn: x = 2`]에서 극값을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: LEFT | f LEFT (x RIGHT ) - f LEFT (1 RIGHT ) RIGHT | `]은 오직 [eqn: x = a][eqn: LEFT (a>2 RIGHT )`]에서만 미분가능하지 않다.

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 24

다음 조건을 만족시키는 모든 사차함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]의 그래프가 항상 지나는 점들의 [eqn: y`]좌표의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: bold13]

[해설]

[eqn: f(x)=x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d]	…… ㉠

[eqn: f'(x)=4x ^{3} +3ax ^{2} +2bx ^{} +c]	…… ㉡

주어진 조건이 [eqn: f prime (0)=0,```f prime (2)=0,```f(2)=2```]이므로

㉡ 식에 적용해보면

[eqn: c=0], [eqn: b=-3a-8]

이를 ㉠ 에 적용해보면

[eqn: d=4a+18]

이들을 ㉠에 대입하여 [eqn: a]대하여 정리해보면

[eqn: f(x)=x ^{4} +ax ^{3} +(-3`a-8)x ^{2} +(4a+8)]

[eqn: =(x ^{4} -8x ^{2} +8)+a(x ^{3} -3`x ^{2} +4)]

[eqn: =(x ^{4} -8x ^{2} +8)+a(x-1)(x-2) ^{2}]

따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: a]값에 상관 없이 [eqn: x=1,```x=2```]을 지난다.

따라서 점의 좌표는 [eqn: f(1)=11,```f(2)=2]이다.

[eqn: f(1)+f(2)=13]

(가) [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]의 최고차항의 계수는 [eqn: 1`]이다.

(나) 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]가 점 [eqn: LEFT (2,`` f LEFT (2 RIGHT ) RIGHT )`]에서 직선 [eqn: y=2`]에 접한다.

(다) [eqn: f `' LEFT (0 RIGHT )=0`]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 07월 21

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 사차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )= LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT |`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x= 1 `]에서 미분가능하고 [eqn: g LEFT (1 RIGHT )=g `' LEFT (1 RIGHT )`]이다.

(나) [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]는 [eqn: x=`-1], [eqn: x=0], [eqn: x=1 `]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: g LEFT (2 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 11월

다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: {f `' LEFT (0 RIGHT )} over {f LEFT (0 RIGHT )}`]의 최댓값을 [eqn: M `], 최솟값을 [eqn: m `]이라 하자. [eqn: M` m `]의 값은?

(가) 함수 [eqn: LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | `]는 [eqn: x=`-1 `]에서만 미분가능하지 않다.

(나) 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=0 `]은 닫힌구간 [eqn: LEFT [ 3 ,`` 5 RIGHT ] `]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

① [eqn: {1} over {15}]	② [eqn: {1} over {10}]	③ [eqn: {2} over {15}]

④ [eqn: {1} over {6}]	⑤ [eqn: {1} over {5}]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 29

두 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]와 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[정답] [eqn: bold{10]

[해설]

[eqn: f(x) g(x) = (x-1)^2 (x-2)^2 (x-3)^2]에서

삼차함수 [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 3]이고, 함수 [eqn: f(x) g(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로 삼차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수는 [eqn: 1over 3]이다.

(ⅰ) 다항식 [eqn: g(x)]가 서로 다른 세 개의 일차식을 인수로 가질 때 [eqn: g(x) = 3(x-1) (x-2) (x-3)]
이므로 함수 [eqn: g(x) = 3(x-1) (x-2) (x-3)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이때, 함수 [eqn: g(x) = 3(x-1) (x-2) (x-3)]은 [eqn: x=2]에서 극값을 갖지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) 다항식 [eqn: g(x)]가 [eqn: (x-1)^2]을 인수로 가질 때,
[eqn: g(x) = 3 (x-1)^2 (x-2)] 또는 [eqn: g(x) = 3(x-1)^2 (x-3)]이다.
함수 [eqn: g(x) = 3(x-1)^2 (x-2)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이때, 함수 [eqn: g(x) =3(x-1)^2 (x-2)]는 [eqn: x=2]에서 극값을 갖지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.
또, 함수 [eqn: g(x) = 3(x-1)^2 (x-3)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g'(x)][eqn: = 6(x-1) (x-3) + 3 (x-1)^2][eqn: = 3(x-1) (3x-7 )]
[eqn: g'(x)=0]에서
[eqn: x=1] 또는 [eqn: x= 7 over 3]
함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 극댓값을 갖고, [eqn: x= 7 over 3]에서 극솟값을 갖는다.
따라서 함수 [eqn: g(x) = 3(x-1)^2 (x-3)]은 [eqn: x=2]에서 극값을 갖지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅲ) 다항식 [eqn: g(x)]가 [eqn: (x-2) ^2]을 인수로 가질 때
[eqn: g(x) = 3(x-1) (x-2)^2] 또는 [eqn: g(x) = 3(x-1) (x-3)^2]이다.
함수 [eqn: g(x) = 3(x-1) (x-2) ^2]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: g(x) = 3(x-1) (x-2)^2]은 [eqn: x=2]에서 극솟값을 가지므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.
한편, 함수 [eqn: g(x) = 3(x-2)^2 (x-3)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: g(x) = 3(x-2)^2 (x-3)]은 [eqn: x=2]에서 극댓값을 가지므로 주어진 조건을 만족시킨다.

(ⅳ) 다항식 [eqn: g(x)]가 [eqn: (x-3)^2]을 인수로 가질 때
[eqn: g(x) = 3(x-1) (x-3)^2] 또는 [eqn: g(x) = 3(x-2) (x-3)^2]이다.
함수 [eqn: g(x) = 3(x-1)(x-3)^2]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g'(x)][eqn: = 3(x-3)^2 + 6(x-1) (x-3)][eqn: =3 (x-3) (3x-5)]
[eqn: g'(x) =0]에서
[eqn: x= 5over 3] 또는 [eqn: x=3]
함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x= 5 over 3]에서 극댓값을 갖고, [eqn: x=3]에서 극솟값을 갖는다.
따라서 함수 [eqn: g(x) =3 (x-1) (x-3)^2]은 [eqn: x=2]에서 극값을 갖지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.
또, 함수 [eqn: g(x) =3(x-2)(x-3)^2]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이때, 함수 [eqn: g(x) = 3(x-2)(x-3)^2]은 [eqn: x=2]에서 극값을 갖지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅰ)~(ⅳ)에서

[eqn: g(x) = 3(x-2)^2 (x-3)]이므로 [eqn: f(x)= {1} over {3} LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} (x-3)]이다.

이때,

[eqn: f'(x)][eqn: = 1over 3 left { 2 (x-1) (x-3) + (x-1)^2 right }]
[eqn: = 1over 3 (x-1) (3x-7)]

이므로

[eqn: f'(0) = 1over 3 times (-1) times (-7 ) = 7 over 3]

따라서 [eqn: p=3], [eqn: q=7]이므로

[eqn: p+q =10]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )g LEFT (x RIGHT )= LEFT (x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT (x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT (x-3 RIGHT ) ^{2}`]

을 만족시킨다. [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]의 최고차항의 계수가 [eqn: 3`]이고, [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가 [eqn: x=2`]에서 극댓값을 가질 때, [eqn: f`' LEFT (0 RIGHT )= {q} over {p}`]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 10월 20

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f `' LEFT ( {11} over {3} RIGHT ) <0 `]

(나) 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]는 [eqn: x=2 `]에서 극댓값 [eqn: 35 `]를 갖는다.

(다) 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=f LEFT (4 RIGHT ) `]는 서로 다른 두 실근을 갖는다.

[eqn: f LEFT (0 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] ②

[해설]

[eqn: y = 2a- f(x)]는 [eqn: y = f(x)]을

[eqn: y = a]에 대하여 대칭이동한 것이다.

(가)에서 [eqn: f(x) = (x- alpha)^3 (x-4) + a]

(나)에서 [eqn: f``'(x)= (x- alpha)^2 (4x - 14)], [eqn: f left( 7 over2 right) = 0]

두 식으로부터 [eqn: alpha = 2], [eqn: a = 27 over16]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: f(x)= (x-2)^3 (x-4) + 27 over 16], [eqn: f left( 5 over2 right) = 3 over2]

[eqn: g(x) =cases{`` {it}^{it}^{it}f(x){it}_{it}_{it} &{it}^{it}^{it}(`f(x) ≥ a){it}_{it}_{it}#`` {it}^{it}^{it}2a- f(x){it}_{it}_{it}&{it}^{it}^{it}(`f(x) < a){it}_{it}_{it}}] ([eqn: a]는 상수)

라 하자. 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x = 4]에서만 미분가능하지 않다.

(나) 함수 [eqn: g(x)- f(x)]는 [eqn: x = {7 }over{2}]에서 최댓값 [eqn: 2a]를 가진다.

[eqn: f left ({5 }over{2}right )]의 값은?

① [eqn: {5 }over{4}]	② [eqn: {3 }over{2}]	③ [eqn: {7}over{4}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {9}over{4}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 10

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: 3]보다 작은 실수 [eqn: a]에 대하여 함수

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=a]에서 미분가능하고 [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =0]이므로

[eqn: lim _{x` rarrow a-} {{g LEFT ( x RIGHT )} over {x-a} = lim _{x` rarrow a+} {{g LEFT ( x RIGHT )} over {x-a} ,}}]

[eqn: lim _{x` rarrow a-} {{LEFT | LEFT ( x-a RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {x-a} = lim _{x` rarrow a+} {{LEFT | LEFT ( x-a RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {x-a} ,}}]

[eqn: lim _{x` rarrow a-} {{- LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {x-a} = lim _{x` rarrow a+} {{LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {x-a}}}]

그러므로 [eqn: - LEFT | f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | = LEFT | f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT |]에서 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =0]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-k RIGHT ) `` LEFT ( k는`상수 RIGHT )]라 하면

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-k RIGHT ) RIGHT |]가 [eqn: x=3]에서만 미분가능하지 않으므로 [eqn: k=3]이다.

그러므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-3 RIGHT ) RIGHT |]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-3 RIGHT )]이라 하면

[eqn: a<3]이고 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값이 [eqn: 32]으므로 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값은 [eqn: -32]이다.

[eqn: h prime LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) + LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} = LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( 3x-6-a RIGHT ) =0]

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x= {6+a} over {3}]에서 극솟값 [eqn: -32]를 갖는다.

[eqn: h LEFT ( {6+a} over {3} RIGHT ) = LEFT ( {6+a} over {3} -a RIGHT ) ^{2} LEFT ( {6+a} over {3} -3 RIGHT ) =`-4 LEFT ( 1- {a} over {3} RIGHT ) ^{3} =-32]

[eqn: LEFT ( 1- {a} over {3} RIGHT ) ^{3} =8]이므로 [eqn: 1- {a} over {3} =2]에서 [eqn: a=-3]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]에서 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =7]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT | ` LEFT ( x-a RIGHT ) `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |]

가 [eqn: x=3]에서만 미분가능하지 않다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값이 [eqn: 32]일 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 20

최고차항의 계수가 [eqn: {1}{{from^2021^7^경찰대^중}}]인 두 이차다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )], [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+4 RIGHT ) P LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-4 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

(나)에서 [eqn: -4 ,```` a _{1} ,```` a _{2} ,```` a _{3} ,```` 4]는 등차수열이므로 각각 [eqn: -4 ,```` -2 ,```` 0 ,```` 2 ,```` 4]이다.

[eqn: f ' LEFT ( -4 RIGHT )][eqn: != 0], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: != 0]이고 (다)에서 [eqn: f prime LEFT ( a RIGHT )][eqn: =0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+4 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT ) ^2] ([eqn: a=-2 ,```` 0 ,```` 2])

의 꼴을 가진다.

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 다음 3가지의 조합이 가능하다.

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+4 RIGHT ) (x+2) ^{2}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+4 RIGHT ) x ^{2}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )]

(ⅲ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+4 RIGHT ) (x-2) ^{2}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]가 서로 다른 두 점에서 만나는 경우는 (ⅱ)의 경우이다.

즉, [eqn: LEFT ( x+4 RIGHT ) x ^{2}= LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )]에서

[eqn: x ^{3} +4x ^{2} =x ^{3} -4x ^{2} -4x+16]

[eqn: 8x ^{2} +4x+6=0]

따라서 이차방정식 [eqn: 8x ^{2} +4x+6=0]의 근과 계수의 관계에서 두 근의 합은 [eqn: - {1} over {2}]

(가) [eqn: f ' LEFT ( -4 RIGHT )][eqn: != 0], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: != 0], [eqn: g LEFT ( -4 RIGHT )][eqn: != 0]

(나) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 서로 다른 모든 해를 크기순으로 나열한 [eqn: -4 ,```` a _{1} ,```` a _{2} ,```` a _{3} ,```` 4]는 등차수열을 이룬다.

(다) [eqn: f ' LEFT ( a _{i} RIGHT )][eqn: =0]인 [eqn: i IN LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT }]은 하나만 존재하고 모든 [eqn: i IN LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT }]에 대하여 [eqn: g' LEFT ( a _{i} RIGHT )][eqn: != 0]이다.

두 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 교점의 [eqn: x]좌표의 합은?

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: - {1} over {4}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 23

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] [eqn: 7]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]가 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수이므로

[eqn: f(x) =x^2 +ax+b]

라 하면

[eqn: g(x)= {cases{ -x ^{2} +2x+2 ```` & LEFT ( x<1 RIGHT )# ```````x^2 +ax+b& LEFT ( x GEQ1 RIGHT )}}]에서

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: f(1) = lim _{ x``->``1} { (-x^2 +2x+2)}=3]

[eqn: 1+a+b =3], [eqn: b=2-a]

따라서 [eqn: f(x) =x^2 +ax+ (2-a)]

또한, 함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체에서 증가해야 하므로

[eqn: g``'(x) = cases { -2x+2 ````&(x<1)#```````2x+a& (x > 1)]

에서 [eqn: x>1]에서 [eqn: 2x+a ge0]을 만족해야 한다.

따라서 [eqn: x=1]을 대입했을 때, [eqn: 2+a ge0]에서

[eqn: a ge -2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: f(3) = 9+3a +(2-a)][eqn: =2a+11]이므로

㉠에서 [eqn: 2a+11 ge -4+11 =7]

[eqn: therefore][eqn: f(3) ge 7]

따라서 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: 7 from 넘버41]이다.

[다른 풀이]

함수 [eqn: f(x)]가 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수이므로

[eqn: f(x) =x^2 +ax+b]

라 하면 [eqn: g(x)= {cases{ -x ^{2} +2x+2 ```` & LEFT ( x<1 RIGHT )# ```````x^2 +ax+b& LEFT ( x GEQ1 RIGHT )}}]

(ⅰ) [eqn: x=1]에서 연속
[eqn: lim_{x`->`1-}g left( x right)=lim_{x`->`1+}g left(x right)=g left(1right)]이어야 하므로
[eqn: 3=1+a+b], [eqn: b=2-a]

(ⅱ) 실수 전체의 집합에서 증가
함수 [eqn: f left(x right)]의 대칭축에서 [eqn: - a over2 le1], [eqn: a ge-2]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: f left(3 right)=9+3a+b=9+3a+left(2-a right)=2a+11ge7]

따라서 [eqn: f left(3right)]의 최솟값은 [eqn: 7]이다.

[eqn: g(x)= {cases{ -x ^{2} +2x+2 & & & LEFT ( x<1 RIGHT )# ``````````````````` f(x)& & & LEFT ( x GEQ1 RIGHT )}}]

이라 하자. 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이고 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 모든 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 최솟값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 7

최고차항의 계수가 [eqn: {1 }]인 삼차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]과 [eqn: x=it-1]에서 극값을 갖는다.

[정답] ④

[해설]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f left(x right)]를

[eqn: f left(x right)=x^3 +ax^2 +bx+c]

라 하면 [eqn: f`prime left(x right)=3x^2 +2ax+b]

[eqn: f`prime left(-1right)=f `prime left(1right)=0]이므로 [eqn: 3x^2 +2ax+b=0]의 두 근이 [eqn: -1], [eqn: 1]이다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에서

[eqn: - 2a over3 =0], [eqn: b over3 =it-1]

즉 [eqn: a=0], [eqn: b=it-3]이므로 [eqn: f left(x right)=x^3 -3x+c]

[eqn: f left(x right)le 9x+9]에서

[eqn: x^3 -12x le 9-c]

[eqn: g left(x right)=x^3 -12x]라 하면 [eqn: g`prime left(x right)=3x^2 -12=3left(x+2right)left(x-2right)]

[eqn: g`prime left(x right)=0]에서 [eqn: x=it-2] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: g left(x right)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -2]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: g `prime left(x right)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g left(x right)]	[eqn: nearrow]	극대	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]

함수 [eqn: g left(x right)]는 [eqn: x=it-2]에서 극댓값 [eqn: g left(-2right)=16], [eqn: x=2]에서 극솟값 [eqn: g left(2right)=it-16]을 가지므로 그래프는 다음과 같다.

[eqn: f left(x right)le 9x+9]를 만족하는 [eqn: x]의 범위가 [eqn: x le a]이므로 위의 그림에서 [eqn: 9-c ge16]을 만족해야 하고 [eqn: g left(x right)=16]에서

[eqn: x^3 -12x=16], [eqn: left(x+2right)^2 left(x-4right)=0]

이므로 [eqn: a ge4]이다.

따라서 양수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 4]이다.

[다른 풀이]

삼차함수 [eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고, [eqn: x=1]과 [eqn: x=-1]에서 극값을 가지므로

[eqn: f``'(x) = 3left(x+1right)left(x-1right) = 3x^2 -3]

[eqn: therefore][eqn: f(x)][eqn: =int {f``'(x) dx = int {(3x^2 -3 ) dx} }]
[eqn: =x^3 -3x+C]

[eqn: left{` x ``|`` f(x) le 9x+9 `right} = (-inf ,```` a ]]를 만족하므로

[eqn: x^3 -3x+C le 9x+9]

즉, [eqn: x^3 - 12x +C-9 le 0]을 만족하는 범위는 [eqn: x le a] ([eqn: a>0])이므로 그래프를 그리면 다음과 같다.

극대가 되는 [eqn: x=-2]에서 (극댓값)[eqn: le 0]을 만족해야 하므로

[eqn: -8+24 +C-9 le 0], [eqn: C le -7]	[eqn: cdotscdots] ㉠

그런데 [eqn: x=a]가 [eqn: y=f(x)]의 근이므로

[eqn: a^3 -12a +C-9 =0]

[eqn: C= -a^3 +12a +9]

㉠에 대입하면 [eqn: -a^3 +12a+9 le -7]

따라서 [eqn: a^3 -12a -16 ge 0]

인수정리를 이용하면 [eqn: (a-4)(a+2)^2 ge 0]이므로

[eqn: a-4 ge 0]

따라서 양수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 4 from 넘버41]이다.

[eqn: left{` x `left|` f(x) le 9x+9 `right} = left(-inf ,`` a right]]

를 만족시키는 양수 [eqn: a]의 최솟값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 13

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 [eqn: f(0)={1} over {2}]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: f(x)]가 극값을 가지므로 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x= alpha]에서 극댓값을 갖고 [eqn: x= beta]에서 극솟값을 갖는다고 하자.

(i ) [eqn: alpha< beta leq-2]인 경우
[eqn: x geq-2]에서 함수 [eqn: g(x)]는 증가한다.
[eqn: f(-2)<g(-2)<g(2)]
[eqn: g(2) neq f(-2)]이므로 모순

(ii) [eqn: alpha < it - 2< beta]인 경우
방정식 [eqn: g(x)=f(-2)]의 실근이 열린구간 [eqn: (- inf ,`` alpha)]에서 존재하므로 모순

(iii) [eqn: alpha=-2]인 경우
방정식 [eqn: g(x)=f(-2)]의 실근이 [eqn: rm 2]뿐이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 극솟값을 갖는다.
[eqn: f `prime (x)=3(x+2)(x-2)]
[eqn: f(x)=x^{3}-12 x+{1} over {2}]
[eqn: g(2) neq f(-2)]이므로 모순

(iv) [eqn: -2< alpha< beta]인 경우
함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g(2)=f(-2)]이므로 [eqn: f(2)+8=f(-2)][eqn: f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+{1} over {2}(a,`` b]는 상수[eqn: )]라 하자. [eqn: 8+4 a+2 b+{1} over {2}+8=-8+4 a-2 b+{1} over {2}]

[eqn: b=-6], [eqn: f(x)=x^{3}+a x^{2}-6 x+{1} over {2}]

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}+2 a x-6]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=2]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: f `prime (2)=12+4 a-6=0], [eqn: a=-{3} over {2}]

[eqn: f(x)=x^{3}-{3} over {2} x^{2}-6 x+{1} over {2}]이므로 [eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-3 x-6=3(x+1)(x-2)]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극댓값을 갖는다.

따라서 극댓값은 [eqn: f(-1)=4]

[eqn: g(x)=cases{f(x) && (x < it - 2) #f(x)+8 && (x geq-2)}]

라 하자. 방정식 [eqn: g(x)=f(-2)]의 실근이 [eqn: rm 2]뿐일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은?

① [eqn: rm 3]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: rm 4]

④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: rm 5]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
03 증가감소와 극대극소의 활용
07 활용7 (정의된 함수)

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 24

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고, [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=3], [eqn: f`' LEFT (3 RIGHT )<0`]인 사차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 있다. 실수 [eqn: t`]에 대하여 집합 [eqn: S``]를

[정답] [eqn: 147]

[해설]

함수 [eqn: g(t)]가 두 개의 불연속인 점을 가지려면 [eqn: y = f(x)]의 두 개의 극솟값이 같아야 한다.

주어진 조건에서 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=3]과 [eqn: t=19]에서만 불연속이고, [eqn: f(0)=3]이므로 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 [eqn: f(x)=x^2 (x-alpha)^2 +3]이라 두면, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: 19]이어야 하므로

[eqn: f`'(x)][eqn: = 2x (x-alpha)^2 + 2x^2 (x-alpha)][eqn: = 2x (x-alpha) (2x-alpha)][eqn: =0]

에서 [eqn: f LEFT ( alpha over2 RIGHT ) = { alpha^2} over { 4} cdot { alpha^2} over { 4} +3 =19][eqn: therefore```][eqn: alpha=4]

따라서 [eqn: f(x) = x^2 (x-4)^2 +3]이므로 [eqn: f(-2)=147]

[eqn: S`= LEFT { a` LEFT | ` RIGHT . RIGHT .]함수 [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) - t RIGHT |`]가
[eqn: x=a`]에서 미분가능하지 않다.[eqn: LEFT. ` RIGHT }`]

라 하고, 집합 [eqn: S``]의 원소의 개수를 [eqn: g LEFT (t RIGHT )`]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT (t RIGHT )`]가 [eqn: t=3`]과 [eqn: t=19`]에서만 불연속일 때, [eqn: f LEFT (-2 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[출처]	2011 모의_공공 사관학교 고3 07월 22

[eqn: 0<a<{1} over {2}]일 때, 곡선 [eqn: y=x^{2}] 위의 임의의 점 [eqn: {rm{P}} it left(a,`` a^{2} right)]에서 그은 접선 [eqn: l]이 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: {rm{A}} it]에서 만난다. 접선 [eqn: l]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동시킨 직선을 [eqn: m]이라 하고, 직선 [eqn: m]이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: {rm{B}} it]라 하자. 또, 점 [eqn: {rm{A}} it]를 지나고 접선 [eqn: l]에 수직인 직선을 [eqn: n]이라 할 때, 직선 [eqn: n]이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: {rm{C}} it]라 하자. 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 넓이를 [eqn: S(a)]라 할 때, [eqn: S(a)]의 극댓값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: y=x^{2}]에서 [eqn: y `prime =2 x]이므로

접선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y-a^{2}=2 a(x-a)] 즉, [eqn: y=2 a x-a^{2}]

이고 점 [eqn: {rm{A}} it left({a} over {2},`` 0 right)]이다.

이때, 직선 [eqn: m]의 방정식은 [eqn: y=-2 a x+a^{2}]

직선 [eqn: n]의 방정식은 [eqn: y=-{1} over {2 a} left(x-{a} over {2} right)=-{x} over {2 a}+{1} over {4}]

이므로 점 [eqn: {rm{B}} it left(0,`` a^{2} right)], 점 [eqn: {rm{C}} it left(0,`` {1} over {4} right)]이다.

[eqn: THEREFORE ~S(a)= {1} over {2} TIMES LEFT ( {1} over {4} -a ^{2} RIGHT ) TIMES {a} over {2} = {a LEFT ( 1-4a ^{2} RIGHT )} over {16} ~ LEFT ( BECAUSE ~0<a< {1} over {2} RIGHT )]

[eqn: S `prime (a)={1-12 a^{2}} over {16}=0]에서 [eqn: a= +- { sqrt{3}} over {6}]이므로

[eqn: S(a)]는 [eqn: a=-{ sqrt{3}} over {6}]에서 극솟값을 [eqn: a={ sqrt{3}} over {6}]에서 극댓값을 갖는다.

따라서 구하는 값은

[eqn: S left({ sqrt{3}} over {6} right)][eqn: ={1} over {16} times { sqrt{3}} over {6} times left(1-{1} over {3} right)]
[eqn: ={ sqrt{3}} over {144}]

① [eqn: { sqrt{3}} over {144}]	② [eqn: {1} over {48}]	③ [eqn: { sqrt{3}} over {72}]

④ [eqn: {1} over {12}]	⑤ [eqn: { sqrt{3}} over {6}]

[출처]	2014 모의_공공 경찰대 고3 07월 19

한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: rm ABCD`]가 있다. 점 [eqn: rm P`]는 [eqn: rm B]를 출발하여 매초 [eqn: 1`]의 속력으로 정사각형 [eqn: rm ABCD`]의 변을 따라 [eqn: rm B``->``C ``->``D ``->``A`]의 방향으로 움직이고, 점 [eqn: rm Q`]는 [eqn: rm C`]를 출발하여 매초 [eqn: 2 over3`]의 속력으로 정사각형 [eqn: rm ABCD`]의 변을 따라 [eqn: rm C `->` D `->` A `->` B`]의 방향으로 움직인다. 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rmQ`]가 각각 [eqn: rm B], [eqn: rm C`]에서 동시에 출발한 후 시각 [eqn: t`]초일 때 삼각형 [eqn: rm APQ`]의 넓이를 [eqn: f LEFT (t RIGHT )`]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [eqn: left(matrix{it#it}]단, [eqn: 0 le t le 3 over2`][eqn: matrix{it#it}right)]

[정답] ④

[해설]

[eqn: 0 le t le 1]일 때, 점 [eqn: rm P]는 선분 [eqn: rm BC], 점 [eqn: rm C]는 선분 [eqn: rm CD] 위에 있다.

∴ [eqn: f(t)][eqn: = 1- LEFT { 1 over2 t + 1 over2 cdot 2 over3 t cdot(1-t) + 1 over2 LEFT ( 1- 2 over3 t RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = t^2 over3 - t over2 + 1 over2] ([eqn: 0 le t le1])

[eqn: 1 < t le 3 over2]일 때, 점 [eqn: rm P]와 [eqn: rm Q]는 선분 [eqn: rm CD] 위에 있다.

∴ [eqn: f(t)][eqn: = 1 over2 LEFT ( 1- t over3 RIGHT )][eqn: = 1 over2 - t over6]

ㄱ. [eqn: lim _{t -> 1-} {} {f(t)-f(1)} over {t-1}][eqn: = 2 over3 - 1 over2 = 1 over6]
[eqn: lim _{t -> 1+} {} {f(t)-f(1)} over {t-1}][eqn: = - 1 over6]
따라서 함수 [eqn: f(t)]는 [eqn: t=1]에서 미분가능하지 않다. (거짓)

ㄴ. [eqn: 0 < t <1]일 때, [eqn: f`'(t)][eqn: = 2 over3 t - 1 over2]이므로
[eqn: t= 3 over4]에서 함수 [eqn: f(t)]는 극솟값을 갖는다. (참)

ㄷ. 함수 [eqn: f(t)]가 [eqn: t=1]에서 연속이고
[eqn: t= 1]를 기준으로 [eqn: f`'(t)]의 부호가 양에서 음으로 변하므로
[eqn: f(t)]는 [eqn: t=1]에서 극댓값을 갖는다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT (t RIGHT )`]는 구간 [eqn: LEFT ( 0,`` 3 over2 RIGHT )`]에서 미분가능하다. ㄴ. [eqn: f LEFT (t RIGHT )`]는 [eqn: t= 3 over4`]에서 극솟값을 갖는다. ㄷ. [eqn: f LEFT (t RIGHT )`]는 [eqn: t=1`]에서 극댓값을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 09월 21

실수 [eqn: t ``]에 대하여 직선 [eqn: x = t `]가 두 함수

[정답] ④

[해설]

[eqn: (x^4 - 4 x^3 +10 x -30) - ( 2x+2 )>0]

[eqn: Lrarrow][eqn: x^4 - 4 x^3 +8x - 32 >0]

[eqn: Lrarrow][eqn: ( x^3 +8)( x -4) >0]

로부터

[eqn: f(t) `=` cases{ `` t^4 - 4 t^3 +8 t - 32 ~````~ ( t < -2 , ``` t >4) # `` - t^4 + 4 t^3 - 8t +32 ~ ( -2 Le t Le4) }]

[eqn: x =` t `]인 지점에서의 좌미분계수와 우미분계수의 부호가 서로 달라야 하므로 [eqn: y = f(t) `]의 개형이 바뀌는 [eqn: t `=` -2], [eqn: 4`]와 [eqn: f `' (t) `=` 0 `]을 만족하는 [eqn: t `=` -2], [eqn: 1 - root{3}][eqn: 1], [eqn: 1 + root{3}], [eqn: 4]이 주어진 조건을 만족한다.

따라서 구하고자 하는 답은

[eqn: - 2 + (1- root{3} ) + 1+ ( 1+ root{3}) +4 `=` 5]

[eqn: y = x^4 - 4 x^3 +10 x - 30], [eqn: y = 2x+2 `]

의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B `]라 할 때, 점 [eqn: rm A `]와 점 [eqn: rm B] 사이의 거리를 [eqn: f LEFT (t RIGHT ) `]라 하자.

[eqn: lim from { h `->` 0+ } { f LEFT (t+h RIGHT ) - f LEFT (t RIGHT ) } over h times lim from { h `->` 0- } { f LEFT (t+h RIGHT ) - f LEFT (t RIGHT ) } over h Le 0`]

을 만족시키는 모든 실수 [eqn: t `]의 값의 합은?

① [eqn: -7]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 9]

[출처]	2016 모의_공공 경찰대 고3 07월 12

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x+ LEFT (x-1 RIGHT ) LEFT (x-2 RIGHT ) LEFT (x-3 RIGHT ) LEFT (x-4 RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: left{f LEFT (x RIGHT ) right}^2 -x^2 f LEFT (x RIGHT ) `]를 [eqn: f LEFT (x RIGHT )-x `]로 나눈 나머지를 [eqn: r LEFT (x RIGHT ) `]라 하자. 함수 [eqn: r LEFT (x RIGHT ) `]의 극댓값과 극솟값의 합은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: g(x)=f(x)-x]라 하자.

[eqn: left{f(x) right}^2 -x^2 f(x)``]를 [eqn: f(x)-x``]로 나눈 나머지를 [eqn: r(x)``]라 하자.

이를 [eqn: g(x)]로 표현하면,

[eqn: (g(x)+x) ^{2} -x ^{2} (g(x)+x)=g(x)Q(x)+r(x)]이다.

(단, [eqn: Q(x)]는 몫 [eqn: r(x)]는 나머지 [eqn: r(x)]의 차수는 [eqn: 3]차 이하)

이므로 [eqn: r(x)=-x ^{3} +x ^{2}]이다.

이제 극댓값과 극솟값을 구하자.

[eqn: r`'(x)=x(-3x+2)]이므로

[eqn: x=0]에서 극솟값 [eqn: 0]을 가지고

[eqn: x= {2} over {3}]에서 극댓값 [eqn: {4} over {27}]을 가진다.

따라서 두 개의 합은 [eqn: {4} over {27}]이다.

① [eqn: {3} over {8}]	② [eqn: {4} over {9}]	③ [eqn: {5} over {12}]

④ [eqn: {3} over {16}]	⑤ [eqn: {4} over {27}]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 11월 21

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]가 있다. 실수 [eqn: t`]에 대하여 함수 [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -t RIGHT |`]가 미분가능하지 않은 서로 다른 점의 개수를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )`]라 할 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( t RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d]라 하면 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +3ax ^{2} +2bx+c]이다.

(가)에서 방정식 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =0]의 실근이 [eqn: 1], [eqn: 4]뿐이므로 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =4(x-1)(x-4) ^{2}]이거나 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =4(x-1) ^{2} (x-4)]이다.

(ⅰ) [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =4(x-1)(x-4) ^{2}]일 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 4]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )]	[eqn: NEARROW]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형과 실수 [eqn: t]에 대한 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 값은 그림과 같다.

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=f LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: t=f LEFT ( 4 RIGHT )]에서 불연속이므로 (나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = it -25], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =2]이다.
따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

이때 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 두 실근이 모두 [eqn: 4]보다 작으므로 (다)를 만족시키지 못한다.

(ⅱ) [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =4(x-1) ^{2} (x-4)]일 때

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 4]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형과 실수 [eqn: t]에 대한 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 값은 그림과 같다.

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=f LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: t=f LEFT ( 1 RIGHT )]에서 불연속이므로 (나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = 2], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =it-25]이다.
따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

이때 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]은 [eqn: 4]보다 큰 실근을 갖는다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =4 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-4 RIGHT )]
[eqn: =4x ^{3} -24x ^{2} +36x-16]

[eqn: THEREFORE][eqn: a=it-8], [eqn: b=18], [eqn: c=it-16]

또한 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2]이므로 [eqn: d=7]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -8x ^{3} +18x ^{2} -16x+7]이므로

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =50]

(가) 방정식 [eqn: f `' LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 실근은 [eqn: 1], [eqn: 4 `]뿐이다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )`]는 [eqn: t=2`]와 [eqn: t=`-25`]에서만 불연속이다.

(다) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0`]은 [eqn: 4`]보다 큰 실근을 갖는다.

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )`]의 값은?

① [eqn: 41]	② [eqn: 44]	③ [eqn: 47]

④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 53]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는

[정답] [eqn: 36]

[해설]

[eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같아야 한다.

[eqn: x>0]일 때,

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-4 a x+a^{2}=4]인 점을 [eqn: x=b], [eqn: c(b<c)]라 하면 [eqn: b+c={4 a} over {3}], [eqn: b c={a^{2}-4} over {3}]

[eqn: {c(c-a)^{2}+b(-b+a)^{2}} over {c+b}=4]

이것을 풀면

[eqn: c^{2}+b^{2}=(c+b)^{2}-2 b c={10} over {9} a^{2}+{8} over {3}]

[eqn: c^{3}+b^{3}=(c+b)^{3}-3 b c(b+c)={28} over {27} a^{3}+{16} over {3} a]

[eqn: c^{3}+b^{3}-2 a left(c^{2}+b^{2} right)+a^{2}(c+b)=4(c+b)]

즉, [eqn: left({28} over {27} a^{3}+{16} over {3} a right)-2 a left({10} over {9} a^{2}+{8} over {3} right)+{4} over {3} a^{3}={16} over {3} a]

[eqn: therefore~f `prime (0)=a^{2}=36]

[eqn: f(x)=cases{x(x+a)^{2} && (x<0) #x(x-a)^{2} && (x geq 0)}]

이다. 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=4 x+t]의 서로 다른 교점의 개수를 [eqn: g(t)]라 할 때, 함수 [eqn: g(t)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(t)]의 최댓값은 [eqn: rm 5]이다.

(나) 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t= alpha]에서 불연속인 [eqn: alpha]의 개수는 [eqn: rm 2]이다.

[eqn: f `prime (0)]의 값을 구하시오.

04 수2	05 함수의 증가와 감소
04 함수의 최대와 최소
03 최대와 최소3 (Mm 조건 해석)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 06월 28

양수 [eqn: a`]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} -a ^{2} x+2`]가 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ -a,~a RIGHT ] `]에서 최댓값 [eqn: M`], 최솟값 [eqn: {14} over {27} `]를 갖는다. [eqn: a+M`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 12]

[해설]

[eqn: f `'(x) `=` 3 x^2 + 2ax -a^2 `=`0][eqn: Lrarrow][eqn: x `=` -a], [eqn: a over 3 `] 로부터

[eqn: f (-a) `=` a^3 +2], [eqn: f` left( a over 3 right) `=` - 5 over 27 a^3 +2], [eqn: f (a) `=` a^3 +2 `]

이므로

[eqn: - 5 over 27 a^3 +2 `=` 14 over 27]

∴ [eqn: a `=` 2], [eqn: M `=` 10]

따라서 [eqn: a +M `=` 12]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 11월 19

양수 [eqn: k `]에 대하여 함수

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: f(x)`]에서

[eqn: f`prime(x)][eqn: =6kx^2 -6(3k+1)x +18]
[eqn: =6(kx-1)(x-3)]
[eqn: =6k LEFT ( x- 1 over k RIGHT )(x-3)]

[eqn: 1 over k = 3`]인 경우 [eqn: f`prime(x) = 2(x-3)^2 ge 0]이므로 함수 [eqn: f(x)`]는 실수 전체의 집합에서 증가한다. 따라서 [eqn: k= box{~ 1 over 3 ~}`]인 경우를 제외하고 함수 [eqn: f(x)`]는 실수 전체의 집합에서 극댓값과 극솟값을 모두 가지므로

(ⅰ) [eqn: 0<k le box{~ 1 over 3 ~}`]일 때,
[eqn: 0<x<3`]에서 [eqn: f`prime(x)>0`]이므로 함수 [eqn: f(x)`]는 증가한다.
따라서 닫힌 구간 [eqn: left[0,~3]`]에서 함수 [eqn: f(x)`]의 최댓값이 [eqn: f(3) = box{~-27k+25~}`]이다. 그러나 [eqn: box{~-27k+25~}=12`]를 만족하는 [eqn: k= 13 over 27`]이므로 [eqn: 0<k le box{~ 1 over 3 ~}`]에 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k > box{~ 1 over 3 ~}`]일 때,
닫힌 구간 [eqn: [0,~3]`]에서 함수 [eqn: f(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 1 over k]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]
[eqn: f`prime(x)]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]
[eqn: f(x)]		[eqn: ↗]	극대	[eqn: ↘]

따라서 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x= 1 over k`]에서 극대이면서 최대이다.
[eqn: f LEFT ( 1 over k RIGHT ) = 2 over k^2 - {3(3k+1)} over k^2 + 18 over k -2 =12]
[eqn: (7k-1)(2k-1) =0`]에서 [eqn: k > 1 over 3`]이므로 [eqn: k= 1 over 2]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 [eqn: f(x)`]가 닫힌 구간 [eqn: [0,~3]`]에서 최댓값 [eqn: 12`]를 가질 때, [eqn: k=box{~ 1 over 2 ~}`]이다.

(가), (다)에 알맞은 수는 각각 [eqn: a= 1 over 3], [eqn: b= 1 over 2 `]

(나)에 알맞은 식은 [eqn: g(k) = -27k+25]

따라서 [eqn: g(a) over b = 32]

[eqn: f LEFT (x RIGHT ) = 2kx^3 -3 LEFT (3k+1 RIGHT )x^2 +18x-2 `]

가 닫힌 구간 [eqn: LEFT [0,`` 3 RIGHT ] `]에서 최댓값 [eqn: 12 `]를 가질 때, [eqn: k `]의 값을 구하는 과정이다.

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에서

[eqn: f `' LEFT (x RIGHT )][eqn: = 6kx^2 -6 LEFT (3k+1 RIGHT )x +18]
[eqn: = 6 LEFT (kx-1 RIGHT ) LEFT (x-3 RIGHT )]

[eqn: k = box{ ~ LEFT (가 RIGHT ) ~} `]인 경우를 제외하고 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]는 실수 전체의 집합에서 극댓값과 극솟값을 모두 가지므로

(ⅰ) [eqn: 0<k le box{ ~LEFT (가 RIGHT ) ~} `]일 때,
[eqn: 0<x<3 `]에서 [eqn: f `' LEFT (x RIGHT )>0 `]이므로 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]는 증가한다.
따라서 닫힌 구간 [eqn: LEFT [0,`` 3 RIGHT ] `]에서 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]의 최댓값은 [eqn: box{~ LEFT (나 RIGHT ) ~} `]이다. 그러나 [eqn: box{ ~LEFT (나 RIGHT )~ } = 12 `]를 만족하는 [eqn: k `]의 값은 [eqn: 0<k le box{ ~ LEFT (가 RIGHT ) ~} `]에 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k> box{~ LEFT (가 RIGHT )~ } `]일 때,
닫힌 구간 [eqn: LEFT [0,`` 3 RIGHT ] `]에서 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 1 over k]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]
[eqn: f `' LEFT (x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]
[eqn: f LEFT (x RIGHT )]		[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

따라서 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]는 [eqn: x= 1 over k `]에서 극대이면서 최대이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 닫힌 구간 [eqn: LEFT [0,`` 3 RIGHT ] `]에서 최댓값 [eqn: 12 `]를 가질 때, [eqn: k = box{ ~LEFT (다 RIGHT ) ~} `]이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b `]라 하고, (나)에 알맞은 식을 [eqn: g LEFT (k RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: {g LEFT (a RIGHT )} over {b} `]의 값은?

① [eqn: 24]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 32]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 12

닫힌구간 [eqn: {[-1 ,```` 3]}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]에서 정의된 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: y=x ^{3} -6x ^{2} +5]의 양변을 미분하면

[eqn: y'=3x ^{2} -12x=3x LEFT ( x-4 RIGHT )]

즉, [eqn: y``'=0]에서 [eqn: x=0], [eqn: x=4]이므로

[eqn: x=0]에서 극대, [eqn: x=4]에서 극소를 갖는다.

주어진 범위가 [eqn: -1 LEQ x LEQ 1]이므로 [eqn: x=0]일 때, 최댓값 [eqn: 5], [eqn: x=`-1]에서 최솟값 [eqn: -2]를 갖는다.

즉, [eqn: y=x ^{2} -4x+a][eqn: LEFT ( 1<x LEQ 3 RIGHT )]은 [eqn: x=2]에서 대칭이고 최솟값을 갖는다.

즉, 최댓값이 [eqn: 5]이므로 최솟값은 [eqn: -5]이어야 한다.

따라서 [eqn: a-4=`-5]

[eqn: THEREFORE```` lim _{x->1+} {f LEFT ( x RIGHT )} =a-3=`-4]

[eqn: f(x)=cases{x^{3}-6x^{2}+5&&&(-1 leq x leq 1)#x^{2}-4x+a&&&(1<x leq 3)]

의 최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: 0]일 때, [eqn: lim_{x ``->`` 1+}f(x)]의 값은?
(단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: -5]	② [eqn: -{9}over{2}]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -{7}over{2}]	⑤ [eqn: -3]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
04 함수의 최대와 최소
05 최대와 최소5 (활용)

[출처]	2007 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 22

그림과 같이 좌표평면 위에 네 점 [eqn: rmO LEFT ( 0,`` 0 RIGHT )], [eqn: rmA LEFT ( 8,`` 0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 8,`` 8 RIGHT )], [eqn: rmC LEFT ( 0,`` 8 RIGHT )`]을 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rmOABC `]와 한 변의 길이가 [eqn: 8`]이고 네 변이 좌표축과 평행한 정사각형 [eqn: rmPQRS `]가 있다. 점 [eqn: rmP `]가 점 [eqn: LEFT ( -1,`` -6 RIGHT ) `]에서 출발하여 포물선 [eqn: y =`-x ^{2} +5x`]를 따라 움직이도록 정사각형 [eqn: rmPQRS `]를 평행이동시킨다. 평행이동시킨 정사각형과 정사각형 [eqn: rmOABC `]가 겹치는 부분의 넓이의 최댓값을 [eqn: {q _{ }} over {p}`]라 할 때, [eqn: p +q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold527]

[해설]

점[eqn: rmP`]의 좌표를 [eqn: (x, -x^2 + 5x )`]라 하면 두 정사각형[eqn: rm OABC, PQRS`]가 겹칠 때, [eqn: 0<= x<= 5`]이다.

두 정사각형이 겹치는 부분의 넓이를 [eqn: S(x)`]라 하면

[eqn: S(x) = x(-x^2 + 5x)` = -x^3 + 5x^2`]이다.

[eqn: S`'(x) = -3x^2 +10x = -3x left( x - 10 over3 right)`]이므로

[eqn: S`'(x) = 0`]에서 [eqn: x=0 , 10 over 3`]

[eqn: x`]	[eqn: 0`]	[eqn: cdots`]	[eqn: 10 over 3`]	[eqn: cdots`]	[eqn: 5`]
[eqn: S`'(x)`]		+	[eqn: 0`]	-
[eqn: S(x)`]		↗		↘

증감표에서 [eqn: S(x)`]는 [eqn: x= 10 over 3`]일 때, 최댓값을 갖고 최댓값은

[eqn: S left( 10 over 3 right) = - 1000 over 27 + 5 cdot 100 over 9` = 500 over 27`]

∴ [eqn: p+q = 27 + 500 = 527`]

[출처]	2011 모의_공공 평가원 고3 06월 21

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: rm ABCD `]의 두 대각선의 교점의 좌표는 [eqn: LEFT (0,`` 1 RIGHT )`]이고, 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: rm EFGH `]의 두 대각선의 교점은 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위에 있다. 두 정사각형의 내부의 공통부분의 넓이의 최댓값은?
(단, 정사각형의 모든 변은 [eqn: x`]축 또는 [eqn: y`]축에 평행하다.)

[정답] ①

[해설]

정사각형 [eqn: rmEFGH]의 두 대각선의 교점의 좌표를 [eqn: LEFT ( x,`` x ^{2} RIGHT )]이라 하자.

곡선 [eqn: y=x ^{2}]과 정사각형 [eqn: rmABCD]는 [eqn: y]축에 대하여 각각 대칭이므로 [eqn: 0<x<1]인 경우만 생각해도 일반성을 잃지 않는다.

이때, 점 [eqn: C]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,`` {1} over {2} RIGHT )]이므로 구하는 넓이를 [eqn: S LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: S LEFT ( x RIGHT ) = LEFT { {1} over {2} - LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) TIMES LEFT ( x ^{2} + {1} over {2} RIGHT ) - {1} over {2} RIGHT }]

[eqn: = LEFT ( 1-x RIGHT ) x ^{2} =x ^{2} -x ^{3}] 이다.

[eqn: THEREFORE~ S ^{prime } LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2x=x LEFT ( -3x+2 RIGHT )]

이때 [eqn: S ^{prime } LEFT ( x RIGHT ) =0]에서

[eqn: x= {2} over {3}```` LEFT ( BECAUSE ````9<x<1 RIGHT )]

따라서 함수 [eqn: S LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x= {2} over {3}]에서 극대이자 최대이므로

구하는 넓이의 최댓값은

[eqn: THEREFORE~ S ^{prime } LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) = LEFT ( 1- {2} over {3} RIGHT ) TIMES LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) = {4} over {27}]

① [eqn: {4} over {27}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {5} over {27}]

④ [eqn: {11} over {54}]	⑤ [eqn: {2} over {9}]

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

그림과 같이 좌표평면에서 곡선 [eqn: y= 1 over2 x^2] 위의 점 중에서 제 [eqn: 1`]사분면에 있는 점 [eqn: {rm A } LEFT ( t ,`` 1 over2 t^2 RIGHT )`]을 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 직선 [eqn: y=`-x+10`]과 만나는 점을 [eqn: rm B`]라 하고, 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm C], [eqn: rmD`]라 하자. 직사각형 [eqn: rmACDB`]의 넓이가 최대일 때, [eqn: 10t`]의 값을 구하시오.
(단, 점 [eqn: rmA`]의 [eqn: x`]좌표는 점 [eqn: rmB`]의 [eqn: x`]좌표보다 작다.)

[정답] [eqn: bold25]

[해설]

[eqn: 1 over2 x^2 = -x+10]에서 [eqn: x^2 +2x -20 =0]
∴ [eqn: x =-1 +- sqrt { 21}]
곡선 [eqn: y= 1 over2 x^2]과 직선 [eqn: y=-x+10]는 [eqn: x =-1 +- sqrt { 21}]일 때
만나므로 [eqn: t]의 범위는 [eqn: 0<t< -1+ sqrt { 21}]이다.
점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]의 [eqn: y]좌표가 같으므로
[eqn: -x+10 = 1 over2 t^2]에서 [eqn: x = 10- 1 over2 t^2]
따라서 점 [eqn: rm B]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 10- 1 over2 t^2]이다.
∴ [eqn: bar{rm AC} = LEFT ( 10 - 1 over2 t^2 RIGHT )-t], [eqn: bar{rm CD} = 1 over2 t^2]
직사각형 [eqn: rm ACDB]의 넓이를 [eqn: f(t)]라 하면

[eqn: f(t)][eqn: = bar{rm AC} times bar{rm CD}]
[eqn: = LEFT ( 10- 1 over2 t^2 -t RIGHT ) times 1 over2 t^2]
[eqn: =- 1 over 4 t^4 - 1 over2 t^3 +5 t^2]([eqn: 0<t < -1+ sqrt { 21}])

[eqn: f`'(t)][eqn: =- t^3 - 3 over2 t^2 +10 t]
[eqn: =- t over2 (2t-5 )(t+4)] ([eqn: 0<t < -1+ sqrt { 21}])

[eqn: f`'(t)=0]에서 [eqn: t = 5 over2] (∵ [eqn: t>0])

함수 [eqn: f(t)]의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: 0]	⋯	[eqn: 5 over2]	⋯	[eqn: -1+ sqrt { 21}]
[eqn: f`'(t)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(t)]		↗	극대	↘

따라서 함수 [eqn: f(t)]는 [eqn: t= 5 over2]일 때, 극대이자 최대이다.
∴ [eqn: 10t = 10 times 5 over2 = 25]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 11월 21

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정사각형 [eqn: rmABCD`]에서
선분 [eqn: rm BC`]와 선분 [eqn: rm CD`]의 중점을 각각 [eqn: rm E], [eqn: rmF`]라 하자. 점 [eqn: rm E`]를 꼭짓점으로 하고 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm D`]를 지나는 포물선과 선분 [eqn: rm AF`]가 만나는 점을 [eqn: rmG`]라 하자. 선분 [eqn: rm AG] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP`]를 지나고 직선 [eqn: rmAB`]와 평행한 직선이 포물선과 만나는 점을 [eqn: rmQ`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm AQP`]의 넓이의 최댓값은? (단, 점 [eqn: rmP`]는 점 [eqn: rm A`]와 점 [eqn: rmG`]가 아니다.)

[정답] ②

[해설]

주어진 그림을 꼭짓점 [eqn: rmB]를 원점으로, 직선 [eqn: rmBC]를 [eqn: x]축,
직선 [eqn: rmBA]를 [eqn: y]축으로 하는 좌표평면 위에 나타내면
다음과 같다.

직선 [eqn: rmAF]의 방정식은

[eqn: y=`- {1} over {2} x+4]

포물선 [eqn: y=a LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}] ([eqn: a>0])은 점 [eqn: rm A(`0,``4)]를 지나므로
[eqn: 4=a TIMES LEFT ( 0-2 RIGHT ) ^{2}], [eqn: a=1]

포물선 [eqn: y= LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}]과 직선 [eqn: y=`- {1} over {2} x+4]가
만나는 점의 [eqn: x]의 좌표는 [eqn: x=0], [eqn: x= 7 over2]

점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t`` LEFT ( 0<t< {7} over {2} RIGHT )]라 하면
점 [eqn: rm P LEFT ( it `t,``- {1} over {2} it t+4 RIGHT )], 점 [eqn: rm Q LEFT ( ` it t,`` it LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} RIGHT )]이고
삼각형 [eqn: rm AQP]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( t RIGHT )]라 하면

[eqn: S` LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} TIMES t TIMES LEFT { - {1} over {2} t+4- LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} RIGHT } =`- {1} over {4} LEFT ( 2t ^{3} -7t ^{2} RIGHT )]

[eqn: S`` prime LEFT ( t RIGHT ) =`- {1} over {4} LEFT ( 6t ^{2} -14t RIGHT ) =`- {1} over {2} t LEFT ( 3t-7 RIGHT )]

[eqn: S`` prime LEFT ( t RIGHT ) =0]에서 [eqn: t=0] 또는 [eqn: t= 7 over3]

[eqn: S` LEFT ( t RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: cdots]	[eqn: 7 over3]	[eqn: cdots]	[eqn: LEFT ( {7} over {2} RIGHT )]
[eqn: S`` prime LEFT ( t RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: S` LEFT ( t RIGHT )]		↗	[eqn: S`` LEFT ( {7} over {3} RIGHT )]	↘

따라서 [eqn: S` LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t= 7 over 3]에서 극대이면서 최대이므로
[eqn: S` LEFT ( t RIGHT )]의 최댓값은
[eqn: - {1} over {4} times LEFT { 2 TIMES LEFT ( {7} over {3} RIGHT ) ^{3} -7 TIMES LEFT ( {7} over {3} RIGHT ) ^{2} RIGHT } `= {343} over {108}]

① [eqn: {85} over {27}]	② [eqn: {343} over {108}]	③ [eqn: {173} over {54}]

④ [eqn: {349} over {108}]	⑤ [eqn: {88} over {27}]

[출처]	2016 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

그림과 같이 직선 [eqn: y=x+k] [eqn: LEFT (3<k<9 RIGHT ) `]가 곡선 [eqn: y=`-x ^{2} +9]와 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ `]라 하고, [eqn: y `]축과 만나는 점을 [eqn: rmR `]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: rmO `]는 원점이고, 점 [eqn: rmP `]의 [eqn: x `]좌표는 점 [eqn: rmQ `]의 [eqn: x `]좌표보다 크다.)

[정답] ③

[해설]

[eqn: -x ^{2} +9=x+k```` RARROW ````x ^{2} +x+k-9=0] 의 두 근 [eqn: alpha ,`` beta]는 [eqn: rmP,`Q`]의 [eqn: x]좌표 이다.

ㄱ. [eqn: {alpha + beta } over {2} =`- {1} over {2}]  (참)

ㄴ. [eqn: k=7]이면 [eqn: P`(1,8)`,``Q(-2,5)]
[eqn: rmQR]을 밑변으로 보면 높이가 [eqn: 2`]배이므로 넓이도 [eqn: 2`]배이다.  (참)

ㄷ. [eqn: {rmOR}=k`,`` alpha + beta =`-1`,`` alpha beta =k-9]
[eqn: rmTRIANGLE OPQ= TRIANGLE OPR+ TRIANGLE OPQ]
[eqn: = {1} over {2} LEFT | alpha RIGHT | k`+ {1} over {2} LEFT | beta RIGHT | k`= {1} over {2} LEFT | alpha - beta RIGHT | k````( BECAUSE ` alpha beta <0`)]
[eqn: = {1} over {2} k sqrt {1-4(k-9)}]
[eqn: = {1} over {2} sqrt {-4k ^{3} +37k ^{2}}]
여기서 [eqn: f(k)=-4k ^{3} +37k ^{2} `]이라 두면
[eqn: f`'(k)=-12k ^{2} +74k=0]
[eqn: k= {37} over {6}]일 때, [eqn: f(k)]는 최댓값을 가진다.
[eqn: THEREFORE `][eqn: k= {37} over {6}]일 때, [eqn: TRIANGLE OPQ]의 넓이는 최대이다. (거짓)

	<보 기>
ㄱ. 선분 [eqn: rmPQ `]의 중점의 [eqn: x `]좌표는 [eqn: - {1} over {2} `]이다. ㄴ. [eqn: k=7 `]일 때, 삼각형 [eqn: rmORQ `]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmOPR `]의 넓이의 [eqn: 2 `]배이다. ㄷ. 삼각형 [eqn: rmOPQ `]의 넓이는 [eqn: k=6 `]일 때 최대이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 16

점 [eqn: {rm{A}} it (1,``0)]과 곡선 [eqn: y=2-x^{2}] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 선분 [eqn: {rm{AP}} it]의 길이를 [eqn: k]라 하자. [eqn: k^{2}]의 최솟값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: f(x)= rm overline{A P}= it(x-1)^{2}+ left(2-x^{2} right)^{2}=x^{4}-3 x^{2}-2 x+5]

[eqn: f `prime (x)=4 x^{3}-6 x-2=2(x+1) left(2 x^{2}-2 x-1 right)]

각각 극솟값, 극댓값, 극솟값을 갖는다

그림의 [eqn: f(x)]의 그래프에서 구하는 최솟값은

[eqn: x={1+ sqrt{3}} over {2}]일 때이므로

[eqn: x-1={ sqrt{3}-1} over {2}], [eqn: 2-x^{2}={2- sqrt{3}} over {2}]

[eqn: (x-1)^{2}+ left(2-x^{2} right)^{2}]

[eqn: = left({ sqrt{3}-1} over {2} right)^{2}+ left({2- sqrt{3}} over {2} right)^{2}]

[eqn: {11-6 sqrt{3}} over {4}]

① [eqn: {5-3 sqrt{3}} over {2}]	② [eqn: {6+ sqrt{3}} over {2}]	③ [eqn: {11-6 sqrt{3}} over {4}]

④ [eqn: {5+3 sqrt{3}} over {4}]	⑤ [eqn: {12-5 sqrt{3}} over {4}]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 12

좌표평면에서 점 [eqn: {(18 ,`` -1) }]을 지나는 원 [eqn: C]가 곡선 [eqn: y=x^2 -1]과 만나도록 하는 원 [eqn: C]의 반지름의 길이의 최솟값은?

[정답] ④

[해설]

원과 곡선이 만나는 점을 [eqn: rmP left(itx,``x^2 -1right)]라 하고, 점 [eqn: left(18,``-1right)]과 점 [eqn: rmP] 사이의 거리를 [eqn: d]라 하면

[eqn: d=root{left(x-18right)^2 +x^4]

[eqn: f left(x right)=x^4 +left(x-18right)^2]라 하면

[eqn: f`prime left(x right)][eqn: =4x^3 +2left(x-18right)]
[eqn: =2left(2x^3 +x-18right)]
[eqn: =2left(x-2right)left(2x^2 +4x+9right)]

[eqn: f`prime left(x right)=0]에서 [eqn: x=2]

따라서 함수 [eqn: f left(x right)]는 [eqn: x=2]에서 극소이면서 최솟값 [eqn: f left(2right)=272]를 갖는다.

원의 반지름이 최소일 때는 [eqn: d]가 지름일 때이므로 반지름의 최솟값은 [eqn: d over2 ={root272}over2 =2root17]이다.

[다른 풀이]

좌표평면에서 점 [eqn: (18 ,```` -1)]을 지나는 원 [eqn: C]가 곡선 [eqn: y=x^2 -1]과 만나도록 하는 원 [eqn: C]의 반지름의 길이의 최소가 되는 경우는 아래 그림과 같다.

즉, 만나는 접점을 [eqn: {rmP} (itt ,``t^2 -1)]라 하면 곡선 [eqn: y=x^2 -1] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 기울기는 [eqn: y``' =2t]이다.

직선 [eqn: rm AP]의 기울기와 접선의 기울기가 수직이므로

[eqn: t^2 over{t-18} times 2t =it-1], [eqn: 2t^3 +t-18=0]

[eqn: left(t-2right) left(2t^2 +4t +9right) =0]

[eqn: therefore][eqn: t=2]

따라서 점 [eqn: {rmP} left(2 ,``3right)]이므로 최소가 되는 원 [eqn: C]의 지름은

[eqn: bar {rm AP][eqn: =root{ (18-2)^2 + (-1-3)^2][eqn: = 4 root17]

따라서 원 [eqn: C]의 반지름의 길이의 최솟값은 [eqn: 2root17 from 넘버41]

① [eqn: sqrt17 over2]	② [eqn: sqrt17]	③ [eqn: {3 sqrt17} over2]

④ [eqn: 2 sqrt17]	⑤ [eqn: {5 sqrt17} over2]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
04 함수의 최대와 최소
06 최대와 최소6 (추론과 해석)

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 06월 18

최고차항의 계수가 [eqn: {1}{{from^2019^06^평가원고3나^중}}]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]는

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: g(x) ={cases{````{1} over {2}&&&(x<0)# f(x)&&&(x GEQ0)}}]에서 [eqn: f(x) = x ^{3} +ax ^{2} +bx+c]라고 놓으면 [eqn: g(x)]는 모든 실수에서 미분 가능하므로 [eqn: x=0]에서 연속이다.

[eqn: lim _{x ``->`` 0+} {g(x) = lim _{x ``->`` 0+} {(x ^{3} +ax ^{2} +bx+c )= c}}]

[eqn: lim _{x ``->`` 0-} {g(x) } = lim _{x ``->`` 0-} {{1} over {2} = {1} over {2}}]

[eqn: g(0) = f(0) = c]

[eqn: therefore][eqn: c= 1over 2]

[eqn: x=0]에서 미분 가능하므로

[eqn: lim _{h ``->`` 0+} {eqalign{{f(h)-f(0)} over {h}][eqn: = lim _{h ``->`` 0+} {eqalign{{h ^{3} +ah ^{2} +bh} over {h}]
[eqn: = lim _{h ``->`` 0+} {(h ^{2} +ah+b)}]
[eqn: = b]

[eqn: lim _{h ``->`` 0-} {{{1} over {2} - {1} over {2}} over {h} = 0}]

[eqn: THEREFORE ```` b=0]

[eqn: therefore][eqn: f(x) = x ^{3} +ax ^{2} + {1} over {2}]

또, 양변을 미분하면 [eqn: f `` prime } (x)][eqn: =3x ^{2} +2ax][eqn: =3x left (x+ {2} over {3} a right )]이므로  조건에서 [eqn: g(x)]의 최솟값이 [eqn: {1} over {2}]보다 작은 값을 만족하는 [eqn: g(x)]의 개형은 아래와 같다.

ㄱ. [eqn: g(0)= {1} over {2} ,```` g ``{prime } (0) = 0]이므로

[eqn: g(0)+g '(0)= {1} over {2}]	(참)

ㄴ. [eqn: g(1)][eqn: =f(1)][eqn: = 1+a+ {1} over {2}][eqn: = {3} over {2} +a]	[eqn: cdotscdots] ㉠
그런데 [eqn: f left (- {2} over {3} a right ) < 1over 2]에서

[eqn: f left ( - {2} over {3} a right )][eqn: =- {8} over {27} a ^{3} + {4} over {9} a ^{3} + {1} over {2}]
[eqn: = {4} over {27} a ^{3} + {1} over {2} < {1} over {2}]

[eqn: therefore][eqn: a<0]

[eqn: THEREFORE ```` {3} over {2} +a < {3} over {2}]	[eqn: cdotscdots] ㉡
[eqn: therefore][eqn: g(1) < 3 over 2] ([eqn: because] ㉠, ㉡)	(참)

ㄷ. [eqn: g(x)]의 최솟값이 [eqn: f left (- {2} over {3} a right )][eqn: =][eqn: {4} over {27} a ^{3} + {1} over {2} =0]에서
[eqn: {4} over {27} a ^{3} =- {1} over {2}]	[eqn: therefore][eqn: a = - {3} over {2}]	[eqn: cdotscdots] ㉢

[eqn: g(2)][eqn: = f(2)]
[eqn: = 8+4a+ {1} over {2}]
[eqn: = {5} over {2}] ([eqn: because] ㉢)	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: g(x) ={cases{````{1} over {2}&&&(x<0)# f(x)&&&(x GEQ0)}}]

이다. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 [eqn: g(x)]의 최솟값이 [eqn: {1} over {2}]보다 작을 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g(0)+g '(0)= {1} over {2}] ㄴ. [eqn: g(1)< {3} over {2}] ㄷ. 함수 [eqn: g(x)]의 최솟값이 [eqn: 0]일 때, [eqn: g(2)= {5} over {2}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	05 함수의 증가와 감소
04 함수의 최대와 최소
07 최대와 최소7 (Mm로 정의된 함수)

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 16

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=`-3x ^{4} +4 LEFT (a-1 RIGHT )x ^{3} +6ax ^{2}][eqn: LEFT (a>0 RIGHT )`]과 실수 [eqn: t`]에 대하여, [eqn: x LEQ t`]에서 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]의 최댓값을 [eqn: g LEFT (t RIGHT )`]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT (t RIGHT )`]가 실수 전체의 집합에서 미분 가능하도록 하는 [eqn: a`]의 최댓값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: f`'(x) = -12x^3 + 12(a-1)x^2 + 12ax`]

[eqn: = -12x left{ x^2 - (a-1)x - a`right}`][eqn: = -12x (x+1)(x-a)`]

[eqn: f`'(x) =0`]에서 [eqn: x= -1,``0,``a`]

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: a]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]	+	0	-	0	+	0	-
[eqn: f(x)]	↗		↘		↗		↘

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: f(-1) = 2a+1`], [eqn: f(a) = a^4 +2a^3`]이고,

[eqn: f(a)- f(-1) =][eqn: a^4 + 2a^3 -2a-1`][eqn: = (a+1)^3 (a-1)`]

이므로 [eqn: 0<a<1`]이면 [eqn: f(a)`<`f(-1)`]

[eqn: a>=1`]이면 [eqn: f(a)`>= f(-1)`]이다.

(ⅰ) [eqn: 0<a<1`]인 경우

[eqn: t< -1`]이면 [eqn: g(t) = f(t) = -3t^4 + 4(a-1)t^3 + 6at^2`]

[eqn: t>= -1`]이면 [eqn: g(t) = f(-1) = 2a+1`]

따라서, [eqn: g`'(t) = cases{ -12t^3 + 12(a-1)t^2 +12at &(t < -1)#~~~0&(t> -1)}`]이고,

[eqn: lim_t->-1-0 g`'(t) = lim_t->-1+0 g`'(t)`=0`]이므로 [eqn: g(t)`]는 [eqn: t= -1`]에서 미분가능하다.

그러므로 [eqn: 0<a<1`]일 때 함수 [eqn: g(t)`]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(ⅱ) [eqn: a>=1`]인 경우

[eqn: f(-1) = f( alpha )] ([eqn: 0< alpha <= a`])이라 하자.

[eqn: t< -1`]이면 [eqn: g(t) = f(t) = -3t^4 + 4(a-1)t^3 + 6at^2`]

[eqn: -1<= t< alpha`]이면 [eqn: g(t) = f(-1) = 2a+1`]

[eqn: alpha` <= t< a`]이면 [eqn: g(t) = f(t) = -3t^4 + 4(a-1)t^3 + 6at^2`]

[eqn: t>=a`]이면 [eqn: g(t) = f(a) = a^4 + 2a^3`]

따라서, [eqn: g`'(t) = cases{ -12t^3 + 12(a-1)t^2 +12at&(t< -1)#~~~~0&(-1<t<alpha)#-12t^3 + 12(a-1)t^2 +12at&(alpha<t<a)#~~~~0&(t>a)}]

[eqn: lim_t->-1-0 g`'(t) = lim_t->-1+0 g`'(t)`=0`]이므로

[eqn: g(t)`]는 [eqn: t= -1`]에서 미분가능하다.

[eqn: lim_t->a-0 g`'(t) = lim_t->a+0 g`'(t)`]이어야 하므로

[eqn: -12a^3 + 12(a-1)a^2 +12a^3 =0`]에서 [eqn: 12(a-1)a^2 =0`]  ∴ [eqn: a=1`]

[eqn: a=1`]이면 [eqn: f(x) = -3x^4 + 6x^2`]이므로 [eqn: f(-1) = f(1)`]

∴ [eqn: alpha = a = 1`]

∴ [eqn: g`'(t) = cases{ -12t^3 + 12t &(t< -1)#~~~0&(-1<t<1)#-12t^3 +12t &(t>1)}`]

[eqn: g`'(-1) =0`], [eqn: g`'(1) = 0]이므로

[eqn: a=1`]일 때, [eqn: g(t)`]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(ⅰ),(ⅱ)에서 함수 [eqn: g(t)`]가 수 전체의 집합에서 미분가능하기 위한 [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: 0<a<=1`]이므로

구하는 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: 1`]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 21

[eqn: rm 0]이 아닌 실수 [eqn: m]에 대하여 두 함수

[정답] ⑤

[해설]

그림과 같이 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

ㄱ. [eqn: m=-1]일 때, [eqn: f left({1} over {2} right)=-{15} over {4}], [eqn: g left({1} over {2} right)=-5]

[eqn: g left({1} over {2} right) leq f left({1} over {2} right)]이므로 [eqn: h left({1} over {2} right)=g left({1} over {2} right)=-5]

ㄴ. [eqn: m=-1]일 때, [eqn: g(x)= {cases{```47x-4&LEFT ( x<`0 RIGHT )#-2x-4&LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]

( i ) [eqn: x<0]일 때, 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 기울기가 양수이고 [eqn: y]절편이 음수인 직선의 일부이므로 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프는 단 하나의 교점을 갖는다. 그 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_{1} left(x_{1}<0 right)]이라 하면 [eqn: x<0]에서 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=x_{1}]에서만 미분가능하지 않다.

(ii) [eqn: x=0]일 때, [eqn: g(0)-4<0=f(0)]이므로 [eqn: x=0]에서 함수 [eqn: h(x)]의 미분가능성은 함수 [eqn: g(x)]의 미분가능성과 같다. 즉, 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하지 않다.

(iii) [eqn: x>0]일 때,
[eqn: f(x)-g(x)=2 x^{3}-6 x+4]
[eqn: =(x-1)^{2}(x+2) geq 0]
즉, [eqn: f(x) geq g(x)]
[eqn: x>0]에서 [eqn: h(x)=g(x)]이므로 함수 [eqn: h(x)]의 미분가능성은 함수 [eqn: g(x)]의 미분가능성과 같다.
따라서 [eqn: x>0]에서 함수 [eqn: h(x)]는 미분가능하다.

(i), (ii), (iii)에서 함수 [eqn: h(x)]가 미분가능하지

않은 [eqn: x]의 개수는 [eqn: rm 2]이다. (참)

ㄷ. 양수 [eqn: m]에 대하여

[eqn: x=0]일 때, [eqn: g(0)={4} over {m^{3}}>0=f(0)]이므로

[eqn: x=0]에서 함수 [eqn: h(x)]의 미분가능성은 함수

[eqn: f(x)]의 미분가능성과 같다. 즉, 함수 [eqn: h(x)]는

[eqn: x=0]에서 미분가능하다.

[eqn: x>0]일 때, 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 기울기가 양수이고 [eqn: y]절편도 양수인 직선의 일부이므로 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프는 단 하나의 교점을 갖는다. 그 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_{2} left(x_{2}>0 right)]이라 하면 [eqn: x>0]에서 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=x_{2}]에서만 미분가능하지 않다.

그러므로 함수 [eqn: h(x)]가 미분가능하지 않은 [eqn: x]의 개수가 [eqn: rm 1]이려면 [eqn: x<0]에서 함수 [eqn: h(x)]는 미분가능해야 한다.

[eqn: x<0]에서 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프가 접한다고 할 때, 접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하자.

[eqn: f(t)=g(t)], [eqn: f `prime (t)=g `prime (t)]에서

[eqn: 2t ^{3} -8t=- {47} over {m} t+ {4} over {m ^{3}}]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉠

[eqn: 6t ^{2} -8=- {47} over {m}]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉡

[eqn: t times(]㉡ [eqn: -] ㉠ 에서

[eqn: 4 t^{3}=-{4} over {m^{3}}]

[eqn: t=- {1} over {m}]	[eqn: cdotscdots]㉢

㉢을 ㉡에 대입하면

[eqn: {6} over {m^{2}}-8=-{47} over {m}], [eqn: 8 m^{2}-47 m-6=0]

[eqn: (8 m+1)(m-6)=0]

[eqn: m]은 양수이므로 [eqn: m=6]

[eqn: m=6]일 때 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의

그래프는 [eqn: x=-{1} over {6}]인 점에서 접한다.

(i) [eqn: m=6]일 때, 함수 [eqn: x<0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x) geq f(x)]이므로 [eqn: h(x)=f(x)]이다.

그러므로 [eqn: x<0]에서 함수 [eqn: h(x)]는 미분가능하다.

(ii) [eqn: 0<m<6]일 때, [eqn: x<0]에서 [eqn: m]의 값이 작아질수록 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 [eqn: m=6]일 때보다 기울기의 절댓값이 커지고 [eqn: y]절편도 커지므로 [eqn: x<0]에서 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프는 만나지 않는다.

그러므로 [eqn: x<0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x) geq f(x)]이므로 [eqn: h(x)=f(x)]이다. 따라서 [eqn: x<0]에서 함수 [eqn: h(x)]는 미분가능하다.

(iii) [eqn: m>6]일 때, [eqn: x<0]에서 [eqn: m]의 값이

커질수록 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 [eqn: m=6]일 때보다 기울기의 절댓값이 작아지고 [eqn: y]절편도 작아지므로 [eqn: x<0]에서 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프는 서로 다른 두 점에서 만난다. 이때 두 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: x_{3}], [eqn: x_{4}]라고 하면 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=x_{3}], [eqn: x=x_{4}]에서 미분가능하지 않다.

( i ), (ii), (iii)에서 함수 [eqn: h(x)]가 미분가능하지

않은 [eqn: x]의 개수가 [eqn: rm 1]인 양수 [eqn: m]의 최댓값은 [eqn: rm 6]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

[eqn: f(x)=2 x^{3}-8 x],

[eqn: g(x)=cases{-{47} over {m} x+{4} over {m^{3}} && (x<0) #2 m x+{4} over {m^{3}} && (x geq 0)}]

이 있다. 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)] 중 크지 않은 값을
[eqn: h(x)]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: m=-1]일 때, [eqn: h left({1} over {2} right)=-5]이다. ㄴ. [eqn: m=-1]일 때, 함수 [eqn: h(x)]가 미분가능하지 않은 [eqn: x]의 개수는 [eqn: rm 2]이다. ㄷ. 함수 [eqn: h(x)]가 미분가능하지 않은 [eqn: x]의 개수가 [eqn: rm 1]인 양수 [eqn: m]의 최댓값은 [eqn: rm 6]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
01 방정식과 미분1 (삼차방정식의 근의 판별)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 28

함수 [eqn: {f(x)=2x ^{3} -3(a+1) x ^{2} +6a x}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=0]이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: a]의 값을 가장 작은 수부터 차례대로 나열할 때 [eqn: n]번째 수를 [eqn: a _{n}]이라 하자.

[정답] [eqn: bold { 160 }]

[해설]

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =6x ^{2} -6 LEFT ( a+1 RIGHT ) x+6a][eqn: =6 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )]

이므로 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=a]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2-3 LEFT ( a+1 RIGHT ) +6a][eqn: =3a-1],

[eqn: f LEFT ( a RIGHT )][eqn: =2a ^{3} -3a ^{2} LEFT ( a+1 RIGHT ) +6a ^{2}][eqn: = it -a ^{2} LEFT ( a-3 RIGHT )]

이므로 삼차방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]이 서로 다른 세 실근을 갖기 위해서는

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) f LEFT ( a RIGHT )][eqn: = it -a ^{2} LEFT ( 3a-1 RIGHT ) LEFT ( a-3 RIGHT )][eqn: <0]

[eqn: a ^{2} >0]이므로 [eqn: LEFT ( 3a-1 RIGHT ) LEFT ( a-3 RIGHT )][eqn: >0]

그런데 [eqn: a]는 자연수이므로 [eqn: a>3]

그러므로 [eqn: a _{1} =4], [eqn: a _{2} =5], [eqn: CDOTS], [eqn: a _{n}][eqn: =n+3]

[eqn: a=a _{n}]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x ^{3} -3 LEFT ( a _{n} +1 RIGHT ) x ^{2} +6a _{n} x]이고

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =1]에서 극댓값 [eqn: b _{n}][eqn: =f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =3a _{n} -1]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT ( b _{n} -a _{n} RIGHT )][eqn: = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( 2n+5 RIGHT )][eqn: =160]

[eqn: a=a _{n}]일 때, [eqn: f(x)]의 극댓값을 [eqn: b _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{10} left(b _{n} -a _{n} right)]의 값을 구하시오.

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
04 방정식과 미분4 (다항함수, 방정식의 동치변형)

[출처]	2012 모의_공공 경찰대 고3 07월

다음을 만족시키는 한 자리 자연수 [eqn: a]의 개수는?

[정답] ④

[해설]

[eqn: x^{3}-x^{2}-a x-3=0]에서 [eqn: x^{3}-x^{2}-3=a x]이므로

방정식 [eqn: x^{3}-x^{2}-a x-3=0]의 실근은

곡선 [eqn: y=x^{3}-x^{2}-3]과 직선 [eqn: y=a x]의 교점의 [eqn: x]좌표이다.

[eqn: f(x)=x^{3}-x^{2}-3]이라 하면

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-2 x=x(3 x-2)]

따라서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 다음 그림과 같고 [eqn: y=a x]의 그래프가 그림과 같이 [eqn: y]축과 원점을 지나며 함수 [eqn: y=f(x)]에 접하는 접선 사이에 있을 때, 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=a x]가 서로 다른 세 교점을 갖는다.

원점에서 함수 [eqn: y=f(x)]에 그은 접선의 방정식을 구하자. 접점을 [eqn: (t,`` f(t))]라 할 때, 접선의 방정식은 [eqn: y=f `prime (t)(x-t)+f(t)][eqn: = left(3 t^{2}-2 t right)(x-t)+t^{3}-t^{2}-3]

접선이 원점을 지나므로

[eqn: 0= left(3 t^{2}-2 t right)(0-t)+t^{3}-t^{2}-3]

[eqn: 2 t^{3}-t^{2}+3=0]

[eqn: (t+1) left(2 t^{2}-3 t+3 right)=0]

[eqn: therefore~t=-1 left( because 2 t^{2}-3 t+3>0 right)]

따라서 원점에서 함수 [eqn: y=f(x)]에 그은 접선의 방정식은 [eqn: y=5 x]이다.

따라서 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=a x]가 서로 다른 세 교점을 갖도록 하는 [eqn: a]의 범위는 [eqn: a>5]이다.

따라서 구하는 한 자리 자연수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9]로 총 [eqn: rm 4]개다.

방정식 [eqn: x^{3}-x^{2}-a x-3=0]이 서로 다른 세 실근을 가진다

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 11월 29

두 실수 [eqn: a][eqn: LEFT ( a != 0 RIGHT )], [eqn: b`]에 대하여 두 함수

[정답] [eqn: bold59]

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 증가하므로 [eqn: a]는 양수이다. [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} -2bx- LEFT ( a-4 RIGHT )]이므로 방정식 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D =4b ^{2} + {BOX{ ```` 4a ^{2} -16a ```` }} LEQ 0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) =0]이 서로 다른 [eqn: 2]개의 실근을 가지므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} ax ^{3} +ax ^{2} -3ax-3a ^{2} =0]이고, [eqn: a>0]에서

[eqn: x ^{3} +3x ^{2} -9x-9a=0]

따라서 방정식 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} -9x= {BOX{ ```` 9a ```` }}]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x ^{2} -9x]라 하자.

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -3]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: h prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h(x)]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 27]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -5]	[eqn: NEARROW]

방정식 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} -9x=9a]가 서로 다른 [eqn: 2]개의 실근을 가지려면 [eqn: 9a=27] 또는 [eqn: 9a=it-5]이어야 하고 [eqn: a>0]이므로

[eqn: a= {BOX{ ```` 3 ```` }}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: b ^{2} LEQ 3]이므로 [eqn: - sqrt {3} LEQ b LEQ sqrt {3}]

[eqn: THEREFORE][eqn: F LEFT ( a RIGHT ) =4a ^{2} -16a], [eqn: G LEFT ( a RIGHT ) =9a], [eqn: k=3]

따라서 [eqn: F LEFT ( 5 RIGHT ) +G LEFT ( 4 RIGHT ) +k=59]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} ax ^{3} -bx ^{2} - LEFT ( a-4 RIGHT ) x-3a ^{2}],
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( a+b RIGHT ) x ^{2} -2 LEFT ( a+2 RIGHT ) x `]

가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]는 실수 전체의 집합에서 증가하고, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) =0`]이 서로 다른 [eqn: 2`]개의 실근을 갖는다.

다음은 실수 [eqn: b`]의 범위를 구하는 과정이다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]는 실수 전체의 집합에서 증가하므로 [eqn: a`]는 양수이다.

방정식 [eqn: f `' LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 판별식을 [eqn: D``]라 하면

[eqn: D`=4b ^{2} + {BOX {~ LEFT (가 RIGHT ) ~}} LEQ 0]	[eqn: CDOTS cdots] ㉠

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) =0`]이 서로 다른 [eqn: 2`]개의 실근을 가지므로 방정식 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} -9x= {BOX{~ LEFT (나 RIGHT ) ~}}`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2`]이다. [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x ^{2} -9x`]라 하자.

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -3]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: h `' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

따라서 [eqn: a= {BOX{ ~LEFT (다 RIGHT ) ~}}]	[eqn: CDOTS cdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: - sqrt {3} LEQ b LEQ sqrt {3}]

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: F` LEFT ( a RIGHT )], [eqn: G` LEFT ( a RIGHT )`]라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: k`]라 할 때, [eqn: F` LEFT ( 5 RIGHT ) +G` LEFT ( 4 RIGHT ) +k`]의 값을 구하시오.

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
05 방정식과 미분5 (변형함수, 방정식의 동치변형)

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 09월 21

좌표평면에서 두 함수

[정답] ④

[해설]

두 함수 [eqn: f(x) = 6x^3 -x]와 [eqn: g(x) = |`x-a`|]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나려면 함수 [eqn: g(x)]의 그래프가 곡선 [eqn: f(x) = 6x^3 -x]에 접해야 한다.

[eqn: g(x)= cases{```````x-a&&(x GEQ a)#&&#-x+a&&(x<a)}]

즉, [eqn: f` prime (x)=1] 또는 [eqn: f`'(x)=`-1]이면서 두 함수의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 [eqn: a]의 값을 찾으면 된다.

(ⅰ) [eqn: f`' (x) = 1]이면서 두 함수 [eqn: g _{1} (x)]와 [eqn: f(x)]의 그래프가 두 점에서 만날 때
[eqn: 18 x^2 -1=1], [eqn: x^2 = 1over 9]
[eqn: therefore```][eqn: x = `- 1over3][eqn: ``(x < 0 )]
[eqn: y = 1over9]이므로 점 [eqn: LEFT ( - 1over3 ,~ 1 over 9 RIGHT )]을 지날 때의 [eqn: a]값은
[eqn: a =` - 4over 9]

(ⅱ) [eqn: f`' (x) =`- 1]이면서 두 함수 [eqn: g _{2} (x)]와 [eqn: f(x)]의 그래프가 두 점에서 만날 때
[eqn: 18x^2 -1 =`-1], [eqn: x^2 =0][eqn: therefore```][eqn: x=0]
[eqn: y =0]이므로 점 [eqn: (0,~0)]을 지날 때의 [eqn: a]값은 [eqn: a=0]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 [eqn: a]값의 합은 [eqn: - 4 over 9]이다.

[eqn: f(x)=6x^3`-x],  [eqn: g(x)= LEFT | x-a RIGHT |]

의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은?

① [eqn: - {11 } over {18}]	② [eqn: - {5 } over {9}]	③ [eqn: - { 1 over 2}]

④ [eqn: -{4} over {9}]	⑤ [eqn: -{7} over {18}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 20

함수 [eqn: {f(x)= 1 over2 x^3 - 9 over2 x^2 + 10x}{{from^2021^09^평가원^중}}]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식

[정답] [eqn: bold { 21 }]

[해설]

함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x)= f(x) + left |`` f(x) +x ``right | - 6x]라 하면

[eqn: g(x)= cases{ -7 x &&&(f(x) < it -x) # 2 f(x) - 5x &&&(f(x) ge it -x) }]

이고, 주어진 방정식은 [eqn: g(x)= k]와 같다.

[eqn: f(x) = it -x]에서

[eqn: 1 over2 x^3 - 9 over2 x^2 + 10 x = it -x], [eqn: x over2 LEFT ( x^2 -9x +22 RIGHT )=0]

이때 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: x^2 -9x +22 = LEFT ( x- 9 over2 RIGHT )^2 + 7 over4 >0]이므로 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=it-x]는 오직 원점 [eqn: (0 ,```` 0)]에서만 만난다.

따라서 함수 [eqn: h(x)]를 [eqn: h(x) =2f(x) -5x = x^3 -9x^2 +15x]라 하면

[eqn: g(x)= cases{ -7x &&&( x<0) # h(x) &&&(x ge0) }]이다.

[eqn: h '(x) =3x^2 -18x +15 =3 (x-1)(x-5)]이므로 [eqn: h '(x)=0]에서

[eqn: x=1] 또는 [eqn: x=5]

따라서 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=1]에서 극댓값 [eqn: h(1)= 1 - 9 + 15 =7]을 갖고, [eqn: x=5]에서 극솟값 [eqn: h(5) = 125 -225 + 75 = it -25]를 갖는다.

따라서 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]가 되기 위해서는 곡선 [eqn: y=g(x)]와 직선 [eqn: y=k]의 교점의 개수가 [eqn: 4]이어야 하므로 실수 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: 0<k<7]이다.

따라서 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은

[eqn: 1+2+3 + cdots + 6 = 6 over2 (1+6)=21]

[eqn: f(x) + left |`` f(x) +x right |`` = 6x+k]

의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]가 되도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합을 구하시오.

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
06 방정식과 미분6 (도함수의 그래프 조건)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 06월 21

삼차함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: y=f``prime(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: f (0) <0 `]이면 함수 [eqn: f (x) `]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이 때, [eqn: f(2)<f(0)<0] 이므로 [eqn: |` f(0) `| < |` f(2) `| `]  <참>

ㄴ. [eqn: f (0) f(2) Ge 0 `]일 때 [eqn: f(0)>f(2)]이므로 함수 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프의 개형을 각 경우에 따라 그리면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: f(0)>f(2)>0] 일 때,

함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

그러므로 [eqn: LEFT | f( alpha ) RIGHT | =0``( alpha != 2)`]라 하면 [eqn: a]의 값은 [eqn: alpha]와 2로 2개이다.

(ⅱ) [eqn: f(0)>f(2)] 이고, [eqn: f(2)=0] 일 때,

함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

그러므로 [eqn: LEFT | f( alpha ) RIGHT | =0``( alpha != 2)`]라 하면 [eqn: a]의 값은 [eqn: alpha]와 2로 2개이다.

(ⅲ) [eqn: f(0)=0] 이고 [eqn: f(2)<0] 일 때,

함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

그러므로 [eqn: LEFT | f( alpha ) RIGHT | =0``( alpha != 2)`]라 하면 [eqn: a]의 값은 0과 [eqn: alpha]로 2개이다.

(ⅳ) [eqn: f(2)<f(0)<0] 일 때,

함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

그러므로 [eqn: LEFT | f( alpha ) RIGHT | =0``]라 하면 [eqn: a]의 값은 0과 [eqn: alpha]로 2개이다.

따라서 (ⅰ),(ⅱ),(ⅲ),(ⅳ)에 의하여

극소인 [eqn: a]의 값의 개수는 2이다.  <참>

ㄷ. [eqn: f(0)+f(2)=0] 이므로 [eqn: f(2)=`-f(0)]

함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이때, 방정식 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT | =f(0)]의 서로 다른 실근의 개수는 함수 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: y=f(0)]과의 서로 다른 교점의 개수와 같다.

위의 그림에서 함수 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: y=f(0)]의 서로 다른 교점의 개수는 4개이므로 서로 다른 실근의 개수도 4개이다.   <참>

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(0)<0]이면 [eqn: LEFT | f(0) RIGHT | < LEFT | f(2) RIGHT | `]이다. ㄴ. [eqn: f(0)f(2) GEQ 0]이면 함수 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT |]가 [eqn: x=a]에서 극소인 [eqn: a]의 값의 개수는 [eqn: 2]이다. ㄷ. [eqn: f(0)+f(2)=0]이면 방정식 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT | =f(0)]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 07월 18

그림과 같이 두 삼차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 도함수 [eqn: y=f `prime (x)], [eqn: y=g `prime(x)]의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: a`], [eqn: b`]([eqn: 0<`a`<b`])이다. 함수 [eqn: h(x)`]를

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: y=h` prime (x) `]의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. 함수 [eqn: h(x)`]는 [eqn: x=a`]에서 극댓값을 갖는다. (참)

ㄴ. [eqn: h(b)=0`]일 때, 함수 [eqn: y=h (x) `]의 그래프는
다음과 같다.

그러므로 방정식 [eqn: h(x)=0`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2`]이다. (참)

ㄷ. 함수 [eqn: h(x)`]는 닫힌 구간 [eqn: [`alpha,~beta`]`]에서 연속이고 열린 구간 [eqn: left(`alpha,~beta`right)`]에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여
[eqn: {`h( beta )-h( alpha )} over {beta - alpha } =h prime ( gamma )`]를 만족시키는 [eqn: gamma`]가
열린 구간 [eqn: left(`alpha,~beta`right)`]에 존재한다.
열린 구간 [eqn: (`0, ~ b `)`]에 있는 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: h prime (x)<5] 이므로
[eqn: {`h( beta )-h( alpha )} over {beta - alpha } =h prime ( gamma )`<5`]
[eqn: h( beta )-h( alpha )<5( beta - alpha )] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: h(x) = f(x) -g(x)]

라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: f `prime(0)=7], [eqn: g` prime (0 )=2])

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: h(x)`]는 [eqn: x=a`]에서 극댓값을 갖는다. ㄴ. [eqn: h(b)=0`]이면 방정식 [eqn: h(x)=0`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2`]이다. ㄷ. [eqn: 0< alpha < beta <b`]인 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta`]에 대하여 [eqn: h(beta)-h(alpha) < 5(beta-alpha)]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
07 방정식과 미분7 (접선의 개수)

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 10월 29

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = x^{ 3} + 3x^{ 2} `]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 정수 [eqn: a `]의 최댓값을 [eqn: M ``]이라 할 때, [eqn: M`^{ 2} `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold9]

[해설]

함수 [eqn: y`][eqn: =f(x) `]는 [eqn: x`][eqn: =`-2`]에서 극댓값 [eqn: 4`], [eqn: x][eqn: =0`]에서 극솟값 [eqn: 0`]을 갖는다. 세 접선의 기울기의 곱이 음수이므로 [eqn: y`][eqn: =f(x) `]의 그래프에 접하는 세 접선의 기울기 중 한 접선의 기울기만 음수이다.

[eqn: 0][eqn: <a][eqn: <4 `]이므로 정수 [eqn: a`]의 최댓값 [eqn: M`]은 [eqn: 3`]이다.

따라서 [eqn: M^{``2}][eqn: = 9`]

(가) 점 [eqn: LEFT ( -4 ,`` a RIGHT ) `]를 지나고 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]에 접하는 직선이 세 개 있다.

(나) 세 접선의 기울기의 곱은 음수이다.

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
09 방정식과 미분9 (함수 구하기)

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 07월 21

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 [eqn: f(0)<f(2)]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(2+x)=f(2-x)]를 만족시킨다. 방정식 [eqn: f(|x|)=1]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 3]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은?

[정답] ④

[해설]

사차함수 [eqn: f(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고

함수 [eqn: f(x)`]의 그래프가 직선 [eqn: x=2]에 대해 대칭이므로

[eqn: f(x)=(x-2) ^{4} +a(x-2) ^{2} +b`]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) <f LEFT ( 2 RIGHT ) `]이고 방정식 [eqn: f LEFT ( LEFT | x RIGHT | RIGHT ) =1`]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3`]이려면 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=0`], [eqn: 4`]에서 극솟값 [eqn: 1`]을 갖고 [eqn: x=2`]에서 극댓값을 가져야 한다.

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =1]에서 [eqn: 16+4a+b=1]

[eqn: f` prime ` LEFT ( x RIGHT ) =4 LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{3} +2a(x-2)]에서

[eqn: f` prime `(0)=f` prime `(4)=0]이므로 [eqn: -32-4a=0`]

[eqn: a=-8], [eqn: b=17`]이므로

[eqn: f(x)=(x-2) ^{4} -8(x-2) ^{2} +17`]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 극댓값 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =17]

① [eqn: rm 11]	② [eqn: rm 13]	③ [eqn: rm 15]

④ [eqn: rm 17]	⑤ [eqn: rm 19]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 11월 30

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 51]

[해설]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{3} +bx ^{2} +cx][eqn: (][eqn: a>0], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수[eqn: )]로 놓을 수 있다.

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3ax+2bx+c]이고,

[eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =1]에서 [eqn: 3a+2b+c=1]

[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

두 조건 (가), (나)에 의하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]는 그림과 같이 직선 [eqn: y=x]와 원점에서 접하고, 직선 [eqn: y=it-x]와 점 [eqn: LEFT ( alpha,~f LEFT ( alpha RIGHT ) RIGHT )][eqn: LEFT ( 0<alpha<1 RIGHT )]에서 접한다.

[eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =1]이므로 [eqn: c=1]이고, ㉠에서 [eqn: 3a+2b=0], 즉 [eqn: b=it- {3} over {2} a]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{3} - {3} over {2} ax ^{2} +x], [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3ax ^{2} -3ax+1]

[eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =a alpha ^{3} - {3} over {2} a alpha ^{2} +alpha=it-alpha]에서 [eqn: alpha LEFT ( 2a alpha ^{2} -3a alpha+4 RIGHT ) =0]

[eqn: alpha!=0]이므로 [eqn: 2a alpha ^{2} -3a alpha+4=0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

[eqn: f`' LEFT ( alpha RIGHT ) =3a alpha ^{2} -3a alpha+1=it-1]에서

[eqn: 3a alpha ^{2} -3a alpha+2=0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

㉡, ㉢에서 [eqn: a alpha ^{2} -2=0], [eqn: a alpha ^{2} =2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉣

㉣을 ㉡에 대입하면 [eqn: 4-3a alpha+4=0], [eqn: a alpha= {8} over {3}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉤

㉤을 ㉣에 대입하면 [eqn: {8} over {3} alpha=2], [eqn: alpha= {3} over {4}]

㉤에서 [eqn: {3} over {4} a= {8} over {3}], [eqn: a= {32} over {9}]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {32} over {9} x ^{3} - {16} over {3} x ^{2} +x]이므로

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =96-48+3=51]

(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -x=0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

(나) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +x=0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0], [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =1]일 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 19

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f `prime (x)]는 [eqn: x=IT-1]에서 최솟값을 갖는다. 방정식

[정답] ④

[해설]

주어진 조건을 만족하는 때는

[eqn: x=it-3]에서 극댓값을 갖고, [eqn: x=1]에서 극솟값을 가질 때이고

구하는 [eqn: m]의 최댓값은 극댓값과 극솟값의 차이다

따라서

[eqn: f `prime (x)=3(x+3)(x-1)=3 x^{2}+6 x-9]

[eqn: f(x)=x^{3}+3 x^{2}-9 x+C]

[eqn: therefore~m=f(-3)-f(1)=32]

[eqn: |`f(x)-f(-3)`|=k]

가 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: 0<k<m]이다. 실수 [eqn: m]의 최댓값은?

① [eqn: rm 8]	② [eqn: rm 16]	③ [eqn: rm 24]

④ [eqn: rm 32]	⑤ [eqn: rm 40]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 14

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를

[정답] ①

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: f(0)][eqn: =0`]이고 [eqn: g(0)][eqn: =0`]이므로

[eqn: g(x)][eqn: =f(x)+left| f`prime(x)right|]에서 [eqn: f`prime(0)][eqn: =0`]

[eqn: f(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수이므로

[eqn: f(x)][eqn: =x left(x^2 +ax+b right)`]([eqn: a], [eqn: b`]는 상수)로 놓으면

[eqn: f` prime(x)][eqn: = left(x^2 +ax+b right) + x(2x+a)`]에서 [eqn: f`prime(0)][eqn: =b][eqn: =0]

그러므로 [eqn: f(x)][eqn: =x^2 (x+a)], [eqn: f` prime(x)][eqn: =x(3x+2a)`]

[eqn: f`prime(x)][eqn: =0`]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x= it- {2} over {3}a `]

조건 (나)에서 [eqn: -a >0`]이므로 [eqn: - 2 over3 a>0`]
함수 [eqn: f(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: - 2 over3 a]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`prime ( x )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f( x )]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 0]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 4 over 27 a^3]	[eqn: NEARROW]

이고, 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

조건 (다)에서 [eqn: left| f` LEFT ( - {2} over {3} a RIGHT )right|][eqn: = 4 `]이므로

[eqn: f` LEFT ( -{2} over {3}a RIGHT )][eqn: =it{4} over {27} a ^{3}][eqn: =it-4`]이고 [eqn: a ^{3}][eqn: = it - 27`]에서 [eqn: a][eqn: =it -3`]

그러므로 [eqn: f(x)][eqn: =x ^{2} (x-3)`]이고

[eqn: g(x)][eqn: =x ^{2} (x-3)+ LEFT | 3x(x-2) RIGHT | `]

따라서 [eqn: g(3)][eqn: = 9]

[eqn: g(x)= f (x) + left|f` prime(x) right|]

라 할 때, 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f (0 )=g(0)=0]

(나) 방정식 [eqn: f(x)=0`]은 양의 실근을 갖는다.

(다) 방정식 [eqn: left|f(x) right| =4`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 3`]이다.

[eqn: g(3)`]의 값은?

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
10 방정식과 미분10 (정의된 함수)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 10월 26

함수 [eqn: y=x ^{ 3} +2 `]의 그래프와 직선 [eqn: y=kx `]가 만나는 교점의 개수를 [eqn: f LEFT (k RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{6} f LEFT (k RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold13]

[해설]

함수 [eqn: y=x ^{`3} +2`]의 그래프와 직선 [eqn: y=kx`]는

제[eqn: 3`]사분면에서 [eqn: 1`]개의 교점을 갖는다.

함수 [eqn: y=x ^{`3} +2`]의 그래프와 직선 [eqn: y=kx`]가 접하는

경우 그 접점의 좌표를 [eqn: (t,``t ^{`3} +2)`]라 하자.

접선의 방정식은 [eqn: y-(t ^{`3} +2)=3`t ^{`2} (x-t)`]이고

접선이 원점을 지나므로 [eqn: t ^{`3} =1]

[eqn: t`]는 실수이므로 [eqn: t=1`]이고 접점의 좌표는 [eqn: (1,```3)`]이다.

원점을 지나는 접선의 기울기가 [eqn: 3`]이므로 [eqn: f(3)=2]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1`], [eqn: k>3`]인 경우 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =3]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{6} f LEFT ( k RIGHT ) =1+1+2+3+3+3=13]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 20

삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]와 실수 [eqn: t`]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]와 직선 [eqn: y=`-x+t`]의 교점의 개수를 [eqn: g LEFT (t RIGHT )`]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x ^{3}`]이면 함수 [eqn: g LEFT (t RIGHT )`]는 상수함수이다. ㄴ. 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]에 대하여, [eqn: g LEFT (1 RIGHT )=2`]이면 [eqn: g LEFT (t RIGHT )=3`]인 [eqn: t `]가 존재한다. ㄷ. 함수 [eqn: g LEFT (t RIGHT )`]가 상수함수이면, 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]의 극값은 존재하지 않는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 07월 21

실수 [eqn: t `]에 대하여 [eqn: x `]에 대한 사차방정식

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: (x-1) LEFT { x ^{2} (x-3)-t RIGHT } =0]

[eqn: x=1] 또는 [eqn: x ^{`2} (x-3)-t=0]

[eqn: x^2 (x-3) -t=0`]의 서로 다른 실근의 개수는

[eqn: y = x^2 (x-3)`]의 그래프와 직선 [eqn: y= t`]의 교점의 개수와 같다.

따라서 [eqn: y=f(t)`]의 그래프는 다음과 같다.

함수 [eqn: f(t)`]가 [eqn: t=it-4`], [eqn: -2`], [eqn: 0`]에서 불연속이다.

함수 [eqn: f(t)g(t)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위해서는 [eqn: t= it -4`], [eqn: -2`], [eqn: 0`]에서 연속이어야 한다.

[eqn: t=it-4]일 때,

[eqn: lim _{t` -> `-4-} {} f(t)g(t)=2g(-4)`],

[eqn: lim _{t` -> `-4+} {} f(t)g(t)=4g(-4)`],

[eqn: f(-4)g(-4)=3g(-4)`]이고

함수 [eqn: f(t)g(t)`]가 [eqn: t=-4`]에서 연속이므로

[eqn: 2g(-4)=4g(-4)=3g(-4)]

따라서 [eqn: g(-4)=0]

같은 방법으로 [eqn: g(-2)=g(0)=0]

(가)에서 [eqn: g(x)`]가 삼차 이하의 다항함수이므로

[eqn: g(x)=a`x(x+2)(x+4)`] [eqn: (a` ne`0 )`]이라 하면

(나)에서 [eqn: g(-3)=6`]이므로 [eqn: a `=` 2]

[eqn: g(x)=2`x(x+2)(x+4)]

따라서 [eqn: g(1)`=30]

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) left{ x^2 LEFT ( x-3 RIGHT ) - t right} = 0`]

의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: f LEFT (t RIGHT ) `]라 하자. 다항함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{x `->` INF } {} {g LEFT (x RIGHT )} over {x ^{4}} = 0]

(나) [eqn: g LEFT (-3 RIGHT )=6`]

함수 [eqn: f LEFT (t RIGHT ) g LEFT (t RIGHT ) `]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: g LEFT (1 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 22]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 30]

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 16

자연수 [eqn: n]에 대하여 삼차함수 [eqn: y=n left(x^{3}-3 x^{2} right)+k]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점의 개수가 [eqn: rm 3]이 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수를 [eqn: a_{n}]이라 할 때, [eqn: sum_{n=1}^{10} a_{n}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: n left(x^{3}-3 x^{2} right)+k=0]

[eqn: x^{3}-3 x^{2}=-{k} over {n}]

[eqn: y=x^{3}-3 x^{2}]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 [eqn: -4 < it - {k} over {n}<0]

[eqn: 0<k<4 n], [eqn: a_{n}=4 n-1]

[eqn: sum_{n=1}^{10} a_{n}= sum_{n=1}^{10}(4 n-1)=4 times 55-10=210]

① [eqn: rm 195]	② [eqn: rm 200]	③ [eqn: rm 205]

④ [eqn: rm 210]	⑤ [eqn: rm 215]

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가

[정답] ③

[해설]

[eqn: (g circ f)(x)=(f(x))^{2}-3(f(x))-4=(f(x)+1)(f(x)-4)=0]

이므로 [eqn: y=(g circ f)(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점은

즉, 방정식 [eqn: (g circ f)(x)=0]의 실근은 [eqn: f(x)=-1] 또는 [eqn: f(x)=4]이다.

ㄱ. [eqn: k=2]일 때 [eqn: f(x)=x`|`x-2`|]의 그래프는 그림과 같다.
따라서 [eqn: h(2)=2]이다.

ㄴ. [eqn: k=5]일 때 [eqn: f(x)=x|x-5|]의 그래프는 그림과 같다.
따라서 [eqn: h(k)=4]를 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: rm 5]이다.

ㄷ. [eqn: k=-2], [eqn: k=4]일 때, [eqn: f(x)=x|x-k|]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 [eqn: h(k)=3]을 만족시키는 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: (-2)+4=2]이다.

[eqn: f(x)=x`|`x-k`|]

이다. 함수 [eqn: g(x)=x^{2}-3 x-4]에 대하여 합성함수 [eqn: y=(g circ f)(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점의 개수를 [eqn: h(k)]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: h(2)=2] ㄴ. [eqn: h(k)=4]를 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: rm 6]이다. ㄷ. [eqn: h(k)=3]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: rm 2]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
11 방정식과 미분11 (추론과 해석)

[출처]	2016 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x ^{3} +3x ^{2} -9x `]가 있다. 실수 [eqn: t `]에 대하여 함수

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: x=a]에서 연속이므로

[eqn: f(a)=t-f(a)][eqn: THEREFORE `f(a)= {t} over {2}]

[eqn: h(t)]는 [eqn: f(a)= {t} over {2} `]를 만족하는 [eqn: a]의 개수이다.

[eqn: h(t)=3`]이려면 [eqn: y= {t} over {2}]가 [eqn: f(x)]의 극댓값, 극솟값 사이에 존재해야 한다.

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} +6x-9=0] 에서 [eqn: x=-3`,````1]

[eqn: f(-3)=27`,````f(1)=-5] 이므로

[eqn: -5< {t} over {2} <27]

[eqn: -10<t<54]

[eqn: THEREFORE] 정수 [eqn: t]의 개수는 [eqn: 63`]개

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= {cases{ ~~f LEFT (x RIGHT ) &~ LEFT (x< a RIGHT ) # ``t-f LEFT (x RIGHT ) &~ LEFT (x GEQ a RIGHT ) }} `]

가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 [eqn: a `]의 개수를 [eqn: h LEFT (t RIGHT ) `]라 하자. 예를 들어 [eqn: h LEFT (0 RIGHT )=3 `]이다. [eqn: h LEFT (t RIGHT )=3 `]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: t `]의 개수는?

① [eqn: 55]	② [eqn: 57]	③ [eqn: 59]

④ [eqn: 61]	⑤ [eqn: 63]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 10월 20

사차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )] (단, [eqn: a `]는 실수)

(나) 방정식 [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | =f LEFT (0 RIGHT ) `]은 실근을 갖지 않는다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a=0 `]이면 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0 `]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄴ. [eqn: 0<a<2 `]이고 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) >0 `]이면, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0 `]은 서로 다른 네 실근을 갖는다. ㄷ. 함수 [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT | `]가 [eqn: x=k `]에서만 미분가능하지 않으면 [eqn: k<0 `]이다.

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 07월 20

최고차항의 계수가 양수인 사차함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )=ax^4 +bx^2 +c}{{from^2019^07^인천교육청고3나^중}}] ([eqn: a ,```` b ,```` c]는 상수)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 모든 실근이 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]이다.

(단, [eqn: LEFT. alpha < beta < gamma])

(나) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = - {3} over {4}], [eqn: f `` ' LEFT ( -1 RIGHT ) =1]

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )=0] ㄴ. [eqn: f `` prime LEFT ( alpha RIGHT ) = -4] ㄷ. 방정식 [eqn: left |`` f LEFT ( x RIGHT ) ``right | =k(x- alpha )]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3]이 되도록 하는 양수 [eqn: k]의 범위는 [eqn: {8} over {27} <k<4]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 21

이차함수 [eqn: g(x)=x^{2}-6 x+10]에 대하여 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: f(x)]의 삼차항의 계수를 [eqn: a]라 하면 조건 (가)에 의해 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축이 서로 다른 점에서 만나므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

[eqn: a>0]일 때	[eqn: a<0]일 때

함수 [eqn: f(x)]는 삼차함수이므로 실수 전체의 집합을 치역으로 갖고, 이차함수 [eqn: g(x)=x^{2}-6 x+10=(x-3)^{2}+1]은 [eqn: x=3]에서 최솟값 [eqn: rm 1]을 갖는다.

그러므로 조건 (나)에서 함수 [eqn: g(f(x))= left{ f(x)-3 it right} ^{2}+1]은 [eqn: f(x)=3]인 [eqn: x]에서 최솟값 [eqn: rm 1]을 가지므로 [eqn: m=1]

한편, 방정식 [eqn: g(f(x))=1]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 2]이므로 방정식 [eqn: f(x)=3]을 만족시키는 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 2]

그러므로 직선 [eqn: y=3]과 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

[eqn: a>0]일 때	[eqn: a<0]일 때

즉, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은 [eqn: rm 3]

조건 (다)의 방정식 [eqn: g(f(x))=17]을 풀면

[eqn: left{ f(x)-3 it right} ^{2}+1=17], [eqn: left{ f(x)-3 it right} ^{2}=16]

[eqn: f(x)=-1] 또는 [eqn: f(x)=7]

조건 (다)에서 방정식 [eqn: g(f(x))=17]은 서로 다른 세 실근을  갖고 위의 그래프에서 방정식 [eqn: f(x)=7]의 실근의 개수를 유추하면 [eqn: rm 1]이므로 방정식 [eqn: f(x)=-1]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 2]이다.

그러므로 세 직선 [eqn: y=-1], [eqn: y=3], [eqn: y=7]과

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

[eqn: a>0]일 때	[eqn: a<0]일 때

즉, 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은 [eqn: -1]

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은 [eqn: rm 3], 극솟값은 [eqn: -1]이므로

그 합은 [eqn: 3+(-1)=2]

(가) 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: (g circ f)(x)]의 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, 방정식 [eqn: g(f(x))=m]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 2]이다.

(다) 방정식 [eqn: g(f(x))=17]은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

함수 [eqn: f(x)]의 극댓값과 극솟값의 합은?

① [eqn: rm 2]	② [eqn: rm 4]	③ [eqn: rm 6]

④ [eqn: rm 8]	⑤ [eqn: rm 10]

04 수2	06 방부등식과 직선운동
02 부등식과 미분
04 부등식과 미분4 (함수구한 후 부등식의 해석)

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 20

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

두 조건 (가), (나)를 만족시키는 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프와 도함수 [eqn: y=f`'(x)`]의 그래프는 아래쪽 그림과 같다.

ㄱ. 함수 [eqn: y=f`'(x)`]의 그래프에서 함수 [eqn: y=f`'(x)`]의 그래프와 [eqn: x`]축은 열린구간 [eqn: (k,~2)]에서 한 점에서 만난다. 즉, 방정식 [eqn: f`'(x)=0`]은 열린구간 [eqn: (0,~2)]에서 한 개의 실근을 갖는다. (참)

ㄴ. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에서 함수 [eqn: f(x)]는 극솟값을 갖지만 극댓값은 갖지 않는다. (거짓)

ㄷ. [eqn: f(0)=0]이면 양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: f(x)=x ^{3} (x-a)]로 놓을 수 있다.
[eqn: f(x)=x ^{4} -ax ^{3}]에서 [eqn: f`'(x)=4x ^{3} -3ax ^{2}`]이고
[eqn: f` prime (2)=32-12a=16`]에서 [eqn: a= {4} over {3}]이므로 [eqn: f(x)=x ^{3} left(x- {4} over {3} right)]
함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: - {1} over {3}]을 가지므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)geq- {1} over {3}]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

(가) [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =0], [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT ) =16]

(나) 어떤 양수 [eqn: k]에 대하여 두 열린구간 [eqn: LEFT ( -inf,~0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,~k RIGHT )]에서 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) <0]이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 방정식 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =0]은 열린구간 [eqn: LEFT ( 0,~2 RIGHT )]에서 한 개의 실근을 갖는다. ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 극댓값을 갖는다. ㄷ. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이면, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ- {1} over {3}]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	06 방부등식과 직선운동
02 부등식과 미분
05 부등식과 미분5 (함수 구하기)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 11월 21

다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: f LEFT (2 RIGHT )`]의 최솟값은?

[정답] ⑤

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+c] ([eqn: a,~b,~c`]는 상수)로 놓을 수 있다.

[eqn: f `prime (x)=3x ^{2} +2ax+b]

조건 (나)에서 [eqn: f(0)=f`'(0)]이므로 [eqn: c=b]

즉, [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+b`]이므로

[eqn: g(x)=f(x)-f` prime (x)]라 하면

[eqn: g(x)][eqn: =(x ^{3} +ax ^{2} +bx+b)-(3x ^{2} +2ax+b)]
[eqn: =x^3 + (a-3)x^2 + (b-2a)x]

[eqn: g` prime (x)=3x ^{2} +2(a-3)x+b-2a]

[eqn: g(0)=0]이고, 조건 (다)에서 [eqn: x GEQ -1]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g(x) GEQ 0]이므로

그림과 같이 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 극솟값을 갖는다.

따라서 [eqn: g`'(0)=0]이므로 [eqn: b-2a=0,~b=2a]

[eqn: g(x)][eqn: =x ^{3} +(a-3)x ^{2}]
[eqn: =x` ^{2} (x+a-3)]

[eqn: g(x)=0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=3-a]

[eqn: x GEQ -1]에서 [eqn: g(x) GEQ 0]이므로 [eqn: 3-a LEQ -1], 즉 [eqn: a GEQ 4]이어야 한다.

[eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +2ax+2a`]에서

[eqn: f(2)=8+4a+4a+2a=10a+8]이고 [eqn: a GEQ 4]이므로

[eqn: f(2)=10a+8 GEQ 10 TIMES 4+8=48]

따라서 [eqn: f(2)]의 최솟값은 [eqn: 48]이다.

(가) [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]의 최고차항의 계수는 [eqn: 1 `]이다.

(나) [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=f prime LEFT (0 RIGHT )`]

(다) [eqn: x GEQ -1`]인 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) GEQ f prime LEFT (x RIGHT )`]이다.

① [eqn: 28]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 38]

④ [eqn: 43]	⑤ [eqn: 48]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 28

자연수 [eqn: a]에 대하여 두 함수

[정답] [eqn: 34]

[해설]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: f(x) leq 12 x+k leq g(x)]를 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여 보자.

(i) [eqn: f(x) leq 12 x+k]
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: f(x) leq 12 x+k]를 만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위를 구하면 다음과 같다
[eqn: h(x)=f(x)-12 x]라고 하면
[eqn: h(x)=-x^{4}-2 x^{3}-x^{2}-12 x],
[eqn: h `prime (x)=-4 x^{3}-6 x^{2}-2 x-12=-2(x+2) left(2 x^{2}-x+3 right)]
[eqn: h(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -2]	[eqn: cdots]
[eqn: h `prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]
[eqn: h(x)]	[eqn: nearrow]	[eqn: rm 20]	[eqn: searrow]

[eqn: h(x)]는 [eqn: x=-2]에서 최대이고 최댓값은 [eqn: rm 20]
그러므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식
[eqn: f(x) leq 12 x+k]를 만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: k geq 20]

(ii) [eqn: g(x) geq 12 x+k]
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: g(x) geq 12 x+k]를 만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위를 구하면 다음과 같다
부등식 [eqn: 3 x^{2}-12 x+a-k geq 0]이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립해야 하므로 이차방정식 [eqn: 3 x^{2}-12 x+a-k=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면
[eqn: {D} over {4}=(-6)^{2}-3 times(a-k) leq 0], [eqn: k leq a-12]
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: g(x) geq 12 x+k]를 만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: k leq a-12]

(i), (ii)에 의해 [eqn: 20 leq k leq a-12]이고 이를 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: rm 3]이므로 [eqn: 22 leq a-12<23]

따라서 [eqn: 34 leq a<35]이므로 자연수 [eqn: a]의 값은 [eqn: rm 34]

[eqn: f(x)=-x^{4}-2 x^{3}-x^{2}], [eqn: g(x)=3 x^{2}+a]

가 있다. 다음을 만족시키는 [eqn: a]의 값을 구하시오.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[eqn: ~~~f(x) leq 12 x+k leq g(x)]

를 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: rm 3]이다.

04 수2	06 방부등식과 직선운동
03 속도, 가속도와 미분
07 속도와 가속도의 해석6 (실생활)

[출처]	2007 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 12

그림과 같이 편평한 바닥에 [eqn: 60 DEG`]로 기울어진 경사면과 반지름의 길이가 [eqn: 0.5 rm ``m`]인 공이 있다. 이 공의 중심은 경사면과 바닥이 만나는 점에서 바닥에 수직으로 높이가 [eqn: 21 rm``m`]인 위치에 있다.

[정답] ①

[해설]

공이 빗면과 충돌할 때의 공의 중심과 바닥사이의 거리를 [eqn: h _{0}]라 하면 아래 그림에서

[eqn: h _{0}]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: 60 DEG]

[eqn: 30 DEG]

[eqn: h _{0} `sin`30` DEG = {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE][eqn: h _{0} =`1]

구와 빗면이 만나는 시각을 [eqn: t]라 하면 [eqn: h(t)=1]에서

[eqn: 21-5t ^{2}][eqn: =1]

[eqn: THEREFORE][eqn: t=2][eqn: ( BECAUSE ```t>0])

따라서 [eqn: t]초 후의 공의 중심의 속도는 [eqn: h'(t)`=`-10t]이므로 충돌하는 순간의 속도는

[eqn: h prime (1)=-20]

이 공을 자유 낙하시킬 때, [eqn: t`]초 후 공의 중심의 높이 [eqn: h LEFT (t RIGHT )`]는 [eqn: h LEFT (t RIGHT )=21-5t ^{2}` rm LEFT (m RIGHT )`]라고 한다. 공이 경사면과 처음으로 충돌하는 순간, 공의 속도는?
(단, 경사면의 두께와 공기의 저항은 무시한다.)

① [eqn: -20`` rm m]/초	② [eqn: -17`` rm m]/초	③ [eqn: -15`` rm m]/초

④ [eqn: -12 ``rm m]/초	⑤ [eqn: -10`` rm m]/초

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 13

그림과 같이 케이블 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n `]은 모두 벽면과 수직이고, 케이블 사이의 거리가 각각 [eqn: 2], [eqn: 1 `]이다. [eqn: l] 위의 광원 [eqn: rm A `]에서 [eqn: m] 위의 물체 [eqn: rm B `]에 빛을 비추면 [eqn: n] 위에 그림자 [eqn: rm C `]가  나타난다.

[정답] ③

[해설]

ㄱ. 광원과 물체의 속도는 각각
[eqn: {dx} over {dt} =`- {1} over {2}], [eqn: {dy} over {dt} =2t- {11} over {2} ``]이므로
[eqn: t= 5over2]에서 속도는 [eqn: - {1} over {2} ``]로 같다. [eqn: THEREFORE `````]참

ㄴ. [eqn: rm bar{AB} + bar{BC} =3``]인 순간은
[eqn: t ^{`2} - {11} over {2} t`+10`=`4- {1} over {2} t``]이므로
[eqn: t=2] 또는 [eqn: t=3][eqn: THEREFORE `````]참

ㄷ. 그림자 [eqn: rmC``]의 시각 [eqn: t``]에서 벽으로부터의 거리를 [eqn: f`(t)``],
점 [eqn: rmA``]에서 직선 [eqn: m`,```n``]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm H`,```H{prime}``]라 하자.

[eqn: rm bar{BH} it =left(4- {1} over {2} t right)-left(t ^{2} - {11} over {2} t+10 right)=-t ^{2} +5t-6]
[eqn: rm bar{CH{prime}} it =4- {1} over {2} t`-f`(t)]
[eqn: rm bar{BH} ``:`` bar{CH prime } `=`2``:``3``]이므로 [eqn: f`(t)=` {3} over {2} t ^{2} -8t+13``]이다.
속도 [eqn: v``]는 [eqn: v= {d`f(t)} over {dt} =3t-8``]이므로
가속도 [eqn: a``]는  [eqn: a`=` {dv} over {dt} =3``]이다. [eqn: THEREFORE `````]거짓

광원 [eqn: rm A `]와 물체 [eqn: rm B `]의 시각 [eqn: t][eqn: LEFT ( t LEQ 8 RIGHT )`]에서 벽으로부터의 거리를 각각

[eqn: x=4- {1} over {2} t], [eqn: y=t ^{2} - {11} over {2} t+10 `]

이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, 광원, 물체, 그림자의 크기는 무시한다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: t= {5} over {2} `]에서 광원과 물체의 속도가 같아진다. ㄴ. [eqn: rm A `]와 [eqn: rm C] 사이의 거리가 [eqn: 3 `]인 순간은 두 번이다. ㄷ. [eqn: 2<t<3 `]에서 그림자 [eqn: rm C `]의 가속도는 [eqn: 1 `]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	06 방부등식과 직선운동
03 속도, 가속도와 미분
09 변화율2 (넓이)

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 07월 24

한 변의 길이가 [eqn: 12 sqrt {3} `]인 정삼각형과 그 정삼각형에 내접하는 원으로 이루어진 도형이 있다. 이 도형에서 정삼각형의 각 변의 길이가 매초 [eqn: 3 sqrt {3}`]씩 늘어남에 따라 원도 정삼각형에 내접하면서 반지름의 길이가 늘어난다. 정삼각형의 한 변의 길이가 [eqn: 24 sqrt {3} `]이 되는 순간, 정삼각형에 내접하는 원의 넓이의 시간(초)에 대한 변화율이 [eqn: a pi `]이다. 이때, 상수 [eqn: a `]의 값을 구하시오.

[준킬러][수학2] 3미분2(빠른 정답)
준킬러수2	2023.01.06

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] [eqn: 6]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: 12]

[정답] [eqn: bold13]

[정답] [eqn: bold{10]

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ①

[정답] [eqn: 7]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: 147]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: 36]

[정답] [eqn: 12]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] [eqn: bold527]

[정답] ①

[정답] [eqn: bold25]

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 160 }]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold59]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 21 }]

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold9]

[정답] ④

[정답] [eqn: 51]

[정답] ④

[정답] ①

[정답] [eqn: bold13]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 34]

[정답] ①

[정답] ③

[준킬러][수학2] 3미분2(해설)
준킬러수2	2023.01.06