	준킬러수2	[준킬러][수학2] 2미분1
	02
		준킬러수2	2023.01.06

04 수2	03 미분계수와 도함수
01 미분계수
02 미분계수2 (평균변화율과 미분계수)

준킬러수2		준킬러수2
		[준킬러][수학2] 2미분1
02

	준킬러수2		준킬러수2
	[준킬러][수학2] 2미분1		02

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 06월 16

양의 실수 전체의 집합에서 증가하는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=1`]에서 미분가능하다. [eqn: 1] 보다 큰 모든 실수 [eqn: a`]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( 1,``f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) `]과 점 [eqn: LEFT ( a,``f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT )] 사이의 거리가 [eqn: a ^{2} -1`]일 때, [eqn: f`` prime LEFT ( 1 RIGHT ) `]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

주어진 그래프에서 [eqn: a>1]일 때,

[eqn: (1,`f(1))], [eqn: (a,`f(a))] 거리가 [eqn: a ^{2} -1]이므로

[eqn: sqrt {(a-1) ^{2} +(f(a)-f(1)) ^{2}} `=`a ^{2} -1]

양변을 제곱 후 정리하면

[eqn: f(a)-f(1)`=` sqrt {a ^{4} -3a ^{2} +2a}]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하므로

[eqn: f ^{prime } (1)`=` lim _{a-> 1 ^{+} `} {` {f(a)-f(1)} over {a-1} =`````} lim _{a -> 1 ^{+}} {{sqrt {a ^{4} -3a ^{2} +2a}} over {a-1}}]

[eqn: = lim _{a -> 1 ^{+}} {} {(a-1) sqrt {a(a+2)}} over {a-1}][eqn: = lim _{a -> 1 ^{+}} {sqrt {a(a+2)`} `=` sqrt {3}}]

① [eqn: 1]	② [eqn: {sqrt {5}} over {2}]	③ [eqn: {sqrt {6}} over {2}]

④ [eqn: sqrt {2}]	⑤ [eqn: sqrt {3}]

04 수2	03 미분계수와 도함수
01 미분계수
06 미분계수6 (극한식의 해석, 식 변형)

[출처]	2006 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 10

두 다항함수 [eqn: f _{1} LEFT (x RIGHT )], [eqn: f _{2} LEFT (x RIGHT )`]가 다음 세 조건을 만족시킬 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?

[정답] ①

[해설]

(나)에서

[eqn: f_1 '(0) = lim from {x ->0 } { f_1 (x)+2kx} over { f_1 (x)+kx }][eqn: = lim from {x ->0 } { {f_1 (x)} over x +2k } over { {f_1 (x)} over x +k }]

[eqn: f_1 '(0) = lim from {x ->0 } { f_1 (x)-f _1 (0)} over { x-0 }]이므로 [eqn: f`' _1 (0)= { {f'_1 (0)} +2k } over { {f'_1 (0)} +k }]

[eqn: f`' _1 (0)= a]([eqn: a]는 실수)라 하면

[eqn: a= { a +2k } over { a +k }],[eqn: a+2k=a^2 +ak]	…… ㉠

같은 방법으로 [eqn: f`' _2 (0)= b]라 하면

[eqn: b= { b +2k } over { b +k }],[eqn: b+2k=b^2 +bk]	…… ㉡

㉠-㉡에서 [eqn: a-b = (a-b)(a+b+k)]

(다)에서 [eqn: ab=-1]이므로 [eqn: a≠b]

[eqn: ∴```a+b=1-k]	…… ㉢

또한 [eqn: ab= { a +2k } over { a +k } ⋅ { b +2k } over { b +k } =-1]

[eqn: 5k^2 +3(a+b)k-2=0]

위의 식에 ㉢을 대입하여 정리하면

[eqn: 2k^2 +3k-2= (2k-1)(k+2)=0]

즉, [eqn: k= { 1} over {2 } ,```-2]

그런데[eqn: k=-2]이면[eqn: a, ``b]는 실수가 아니다.

[eqn: ∴````k= { 1} over {2 }]

(가) [eqn: f _{1} LEFT (0 RIGHT )=0], [eqn: f _{2} LEFT (0 RIGHT )=0]

(나) [eqn: f _{i} `' LEFT (0 RIGHT )= lim _{x `->` 0} {} {f _{i} LEFT (x RIGHT )+2kx _{ }} over {f _{i} LEFT (x RIGHT )+kx ^{ }}][eqn: LEFT ( i =1,`` 2 RIGHT )]

(다) [eqn: y=f _{1} LEFT (x RIGHT )`]와 [eqn: y=f _{2} LEFT (x RIGHT )`]의 원점에서의 접선이 서로 직교한다.

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: - {1} over {4}]	⑤ [eqn: - {1} over {2}]

04 수2	03 미분계수와 도함수
02 도함수의 정의와 미분법 공식
06 미분법 공식5 (곱의 미분법, 극한식의 해석)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 17

[eqn: {f(1)= it -2}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]인 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 일차함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

(가)에서 [eqn: lim _{x ``->`` 1} {} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) +4 RIGHT }][eqn: =0]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = it -2g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = it -4]에서 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 일차함수이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ax+b]라 하면

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =a]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

(나)에서 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =g' LEFT ( 0 RIGHT )]이므로 [eqn: b=a]

그런데 ㉠에서 [eqn: a+b][eqn: =2]이므로 [eqn: a=1], [eqn: b=1]

㉡에서 [eqn: g' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1]

[eqn: lim _{x ``->`` 1} {} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) +4} over {x-1}]는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]의 [eqn: x=1]에서의 미분계수이므로

[eqn: lim _{x ``->`` 1} {} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) +4} over {x-1}][eqn: =f ' LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 1 RIGHT ) g' LEFT ( 1 RIGHT )]

즉, [eqn: f prime LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 1 RIGHT ) g prime LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2 f prime LEFT ( 1 RIGHT ) -2][eqn: =8]

따라서 [eqn: f ' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =5]

(가) [eqn: lim _{x ``->`` 1} {{f(x) g(x)+4} over {x-1}}][eqn: = 8]

(나) [eqn: g(0)=g prime (0)]

[eqn: f `` prime (1)]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

04 수2	03 미분계수와 도함수
03 미분법 공식의 활용
01 활용1 (함수 구하기, 인수정리)

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(6)]의 최댓값과 최솟값의 합은?

[정답] ①

[해설]

(가)로부터

[eqn: f(x)=(x-2)^{2}(x-c)=x^{3}-(4+c) x^{2}+(4+4 c) x-4 c]

(나)에서

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-2(4+c) x+(4+4 c) geq-3]

[eqn: 3 x^{2}-2(4+c) x+(7+4 c) geq 0]

[eqn: {D} over { 4}][eqn: =(4+c)^{2}-3(7+4 c)=c^{2}-4 c-5]
[eqn: =(c-5)(c+1) leq 0], [eqn: -1 leq c leq 5]

[eqn: f(6)=16(6-c)]의 최대와 최소는 각각 [eqn: c=-1], [eqn: c=5]일 때 이므로 [eqn: 16(6+1)+16(6-5)=128]

(가) [eqn: f(2)=f `prime (2)=0]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f `prime (x) geq-3]이다.

① [eqn: rm 128]	② [eqn: rm 144]	③ [eqn: rm 160]

④ [eqn: rm 176]	⑤ [eqn: rm 192]

04 수2	03 미분계수와 도함수
03 미분법 공식의 활용
02 활용2 (함수 구하기, 해석)

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 11

다항함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]와 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n `]이

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: lim_x->inf f(x) over x^m =1]이므로 [eqn: f(x)]의 최고차항은 [eqn: x^m]이다.

이때 [eqn: lim_x->inf f'(x) over x^m-1 =a]이므로 [eqn: m=][eqn: a]이다.

한편, [eqn: lim_x->0 f(x) over x^n =b]이므로 [eqn: f(x)]의 계수가 [eqn: 0`]이 아닌 항 중 차수가 가장 낮은 항은 [eqn: b x^n]이다. 이때 [eqn: lim_x->0 f'(x) over x^n-1 =9]이므로

[eqn: bn=9]이다.

ㄱ. [eqn: f(x)]의 최고차항이 [eqn: x^m]이고 차수가 가장 낮은 항이 [eqn: b x^n]

이므로 [eqn: m>=n] (참)

ㄴ. [eqn: m=][eqn: a], [eqn: bn=9]이므로 [eqn: a b = m × 9 over n][eqn: >= 9] (∵ [eqn: m>=n]) (참)

ㄷ. [eqn: f(x)]가 삼차함수이면 [eqn: m=a=3], [eqn: bn=9]이므로

[eqn: am=bn] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: lim _{x `->` INF } {} {f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{m}} =1], [eqn: lim _{x `->` INF } {} {f `' LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{m-1}} =a]
[eqn: lim _{x `->` 0} {} {f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{n}} =b],  [eqn: lim _{x `->` 0} {} {f`' LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{n-1}} =9`]

를 모두 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b `]는 실수이다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: m GEQ n] ㄴ. [eqn: ab GEQ 9] ㄷ. [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 삼차함수이면 [eqn: am=bn `]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 23

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이 아닌 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) `]의 값을 구하면?

[정답] [eqn: bold19]

[해설]

ⅰ) (가)의 분수식에서 다항함수가 수렴하기 위해 (분자)와 (분모)의 차수가 같아야 한다. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 차수를 [eqn: n]이라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a _{n} x ^{n} +g LEFT ( x RIGHT )] (단, [eqn: a _{n} != 0,``1]이고 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: n-1]차 이하의 다항식)으로 둘 수 있다.

(분자)의 차수는 [eqn: 2n][eqn: BECAUSE ~ LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -f LEFT ( x ^{2} RIGHT ) & =a _{n} ` ^{2} x ^{2n} +2a _{n} x ^{n} g LEFT ( x RIGHT ) + LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -a _{n} x ^{2n} +g LEFT ( x ^{2} RIGHT )# & =a _{n} LEFT ( a _{n} -1 RIGHT ) x ^{2n} + CDOTS CDOTS]

(분모)의 차수는 [eqn: n+3]

[eqn: 2n=n+3]	[eqn: THEREFORE ~n=3]

ⅱ)  [eqn: lim _{x` -> ` INF } {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -f LEFT ( x ^{2} RIGHT )} over {x ^{3} f LEFT ( x RIGHT )} =4`}]로 수렴하므로 최고차항의 계수는 [eqn: {a _{n} LEFT ( a _{n} -1 RIGHT )} over {a _{n}} =a _{n} -1=4]	[eqn: THEREFORE ~a _{n} =5]

[eqn: THEREFORE ~f` LEFT ( x RIGHT ) =5x ^{3} +ax ^{2} +bx+c], [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =15x ^{2} +2ax+b], [eqn: f` '' LEFT ( x RIGHT ) =30x+2a]

ⅲ)  [eqn: lim _{x`-> `0} {{f`' LEFT ( x RIGHT )} over {x} =4`}]에서 [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =0], [eqn: f`'' LEFT ( 0 RIGHT ) =4]

[eqn: THEREFORE ~b=0`,``a=2]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =15x ^{2} +4x]이므로 [eqn: f`' LEFT ( `1 RIGHT ) =19]

(가) [eqn: lim _{x` -> ` INF } {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -f LEFT ( x ^{2} RIGHT )} over {x ^{3} f LEFT ( x RIGHT )} =4`}]

(나) [eqn: lim _{x`-> `0} {{f`' LEFT ( x RIGHT )} over {x} =4`}]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 18

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0`]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]가

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} {f(x)} over {(x-2) left{ f `prime (x) it right} ^{2}}={1} over {4}]에서 [eqn: x ``rarrow`` 2]일 때 [eqn: (]분모[eqn: ) ``rarrow`` 0]이고 극한값이 존재하므로 [eqn: (]분자[eqn: ) ``rarrow`` 0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} f(x)=0]에서 [eqn: f(x)]는 삼차함수이므로 [eqn: f(2)=0]이다.

삼차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 [eqn: f(1)=0], [eqn: f(2)=0]이므로

[eqn: f(x)=(x-1)(x-2)(x+a)(a]는 상수[eqn: )]

로 놓을 수 있다. 이때

[eqn: f `prime (x)=(x-2)(x+a)+(x-1)(x+a)+(x-1)(x-2)]

이므로 [eqn: f `prime (2)=2+a]

한편,

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} {f(x)} over {(x-2) left{ f `prime (x) it right} ^{2}}= lim _{x ``rarrow`` 2} left[{f(x)-f(2)} over {x-2} times {1} over { left{ f `prime (x) it right} ^{2}} right]={1} over {4}]

에서

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} {f(x)-f(2)} over {x-2}=f `prime (2)], [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} left{ f `prime (x) it right} ^{2}= left{ f `prime (2) it right} ^{2}]이고 극한값이 존재한다.

즉, [eqn: f `prime (2) neq 0]이므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} {f(x)} over {(x-2) left{ f `prime (x) it right} ^{2}}=f `prime (2) times {1} over { left{ f `prime (2) it right} ^{2}}={1} over {f `prime (2)}={1} over {2+a}]

[eqn: {1} over {2+a}={1} over {4}]에서 [eqn: a=2]

따라서 [eqn: f(x)=(x-1)(x-2)(x+2)]이므로

[eqn: f(3)=2 times 1 times 5=10]

[eqn: lim _{x`->` 2} { {f LEFT ( x RIGHT )} over { LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT { f `' LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}}} = {1} over {4}`]

을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )`]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 28

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 18]

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: lim _{x`->`1} {`} {f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1} =3]이고

[eqn: lim _{x`->`1} {`} LEFT ( x-1 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: lim _{x`->`1} {`} f LEFT ( x RIGHT ) =0]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 연속이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

조건 (나)에서 [eqn: lim _{x`->`2} {`} {f LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT ( x-2 RIGHT ) f`' LEFT ( x RIGHT )} =alpha][eqn: LEFT ( alpha != 1 RIGHT )]이고

[eqn: lim _{x` rarrow `2} {`} LEFT ( x-2 RIGHT ) f` prime LEFT ( x RIGHT ) =0]이므로 [eqn: lim _{x`->`2} {`} f LEFT ( x RIGHT ) =0]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=2]에서 연속이므로 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에 의해

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )] ([eqn: k], [eqn: a]는 상수, [eqn: k!=0])

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT { LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) + LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) + LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: a!=it-2]라 하면

[eqn: lim _{x` rarrow `2} {`} {f LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT ( x-2 RIGHT ) f` prime LEFT ( x RIGHT )}][eqn: = lim _{x`->`2} {`} {k LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )} over {f`' LEFT ( x RIGHT )}]
[eqn: = {2+a} over {2+a}]
[eqn: =1!=alpha]

그러므로 [eqn: a=it-2]이며 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: alpha][eqn: = lim _{x` rarrow `2} {`} {f LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT ( x-2 RIGHT ) f` prime LEFT ( x RIGHT )}]
[eqn: = lim _{x` rarrow `2} {`} {k LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}} over {LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT { k LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +2k LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) RIGHT }}]
[eqn: = lim _{x` rarrow `2} {`} {LEFT ( x-1 RIGHT )} over {LEFT ( x-2 RIGHT ) +2 LEFT ( x-1 RIGHT )}]
[eqn: = {1} over {0+2 TIMES 1} = {1} over {2}]

조건 (가)에서

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {`} {f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1} = lim _{x` rarrow `1} {`} {f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1} =f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =3]이므로 [eqn: k=3]

따라서 [eqn: alpha TIMES f LEFT ( 4 RIGHT ) = {1} over {2} TIMES LEFT ( 3 TIMES 3 TIMES 2 ^{2} RIGHT ) =18]

(가) [eqn: lim _{x`->`1} {`} {f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1} =3]

(나) [eqn: 1]이 아닌 상수 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: lim _{x`->`2} {`} {f LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT ( x-2 RIGHT ) f`' LEFT ( x RIGHT )} =alpha]이다.

[eqn: alpha TIMES f LEFT ( 4 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 14

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] ②

[해설]

ㄱ. [eqn: lim_{x`->`1-}g left(x right)=lim_{x`->`1-}f left( x right)=f left(1right)],
[eqn: lim_{x`->`1+}g left(x right)=lim_{x`->`1-}left{2f left(1right)-f left(x right)right}=f left(1right)],
[eqn: g left(1right)=2f left(1right)-f left(1right)=f left(1right)]
이므로 함수 [eqn: g left(x right)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.
따라서 함수 [eqn: g left(x right)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (참)

ㄴ. [eqn: lim _{h rarrow 0+} {} {g LEFT ( -1+h RIGHT ) +g LEFT ( -1-h RIGHT ) -6} over {h} =a]에서 극한값이 존재하고 (분모)[eqn: `->`0]이므로 (분자)[eqn: `->`0]이어야 한다.
[eqn: lim_{h`->`0+}left{g left(-1+h right)+g left(-1-h right)-6right}=0]에서 [eqn: g left(-1right)=3]
[eqn: therefore][eqn: f left(-1right)=3]
[eqn: lim _{h rarrow 0+} {} {g LEFT ( -1+h RIGHT ) +g LEFT ( -1-h RIGHT ) -6} over {h}]
[eqn: =lim_{h`->`0+}left{{g left(-1+h right)-g left(-1right)}overh -{g left(-1-h right)-g left(-1right)}over-h right}]
[eqn: =g`prime left(-1right)-g`prime left(-1right)]
[eqn: =0]
[eqn: therefore][eqn: a=0]
또한, [eqn: g left(1right)=1]에서 [eqn: f left(1right)=1]
[eqn: f left(x right)=x^2 +px+q]라 하면
[eqn: f left(-1right)=3]에서 [eqn: 1-p+q=3], [eqn: p-q=it-2]	[eqn: cdotscdots] ㉠
[eqn: f left(1right)=1]에서 [eqn: 1+p+q=1], [eqn: p+q=0]	[eqn: cdotscdots] ㉡
㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: p=it-1], [eqn: q=1]
따라서 [eqn: f left(x right)=x^2 -x+1]이므로
[eqn: g left(a right)=g left(0right)=f left(0right)=1] (참)

ㄷ. [eqn: b ne1]이면 [eqn: lim _{h rarrow 0+} {} {g LEFT ( b+h RIGHT ) +g LEFT ( b-h RIGHT ) -6} over {h} =0]이므로 [eqn: b=1]이다.
[eqn: lim _{h rarrow 0+} {} {g LEFT ( 1+h RIGHT ) +g LEFT ( 1-h RIGHT ) -6} over {h} =4]에서 극한값이 존재하고 (분모)[eqn: `->`0]이므로 (분자)[eqn: `->`0]이어야 한다.
[eqn: lim_{h`->`0+}left{g left(1+h right)+g left(1-h right)-6right}=0]에서
[eqn: g left(1right)=3]	[eqn: therefore][eqn: f left(1right)=3]
[eqn: lim _{h rarrow 0+} {} {g LEFT ( 1+h RIGHT ) +g LEFT ( 1-h RIGHT ) -6} over {h}]
[eqn: =lim_{h`->`0+}{2f left(1right)-f left(1+h right)+f left(1-h right)-6}overh]
[eqn: =lim_{h`->`0+}{f left(1-h right)-f left(1+h right)}overh]
[eqn: =it-2f`prime left(1right)]
따라서 [eqn: -2f`prime left(1right)=4]에서 [eqn: f`prime left(1right)=it-2]
[eqn: f left(x right)=x^2 +rx+s]라 하면 [eqn: f`prime left(x right)=2x+r]
[eqn: f left(1right)=3]에서 [eqn: 1+r+s=3], [eqn: r+s=2]	[eqn: cdotscdots] ㉢
[eqn: f`prime left(1right)=it-2]에서 [eqn: 2+r=it-2], [eqn: r=it-4]
[eqn: r=it-4]를 ㉢에 대입하면 [eqn: s=6]
따라서 [eqn: f left(x right)=x^2 -4x+6]이므로
[eqn: g left(4right)=2f left(1right)-f left(4right)=6-6=0] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f LEFT ( x RIGHT )&LEFT ( x<1 RIGHT )#2f LEFT ( 1 RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT ) ~~&LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]

이라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ㄴ. [eqn: lim _{h rarrow 0+} {} {g LEFT ( -1+h RIGHT ) +g LEFT ( -1-h RIGHT ) -6} over {h} =a] ([eqn: a]는 상수)이고 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이면 [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =1]이다. ㄷ. [eqn: lim _{h rarrow 0+} {} {g LEFT ( b+h RIGHT ) +g LEFT ( b-h RIGHT ) -6} over {h} =4] ([eqn: b]는 상수)이면 [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) =1]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	03 미분계수와 도함수
03 미분법 공식의 활용
05 활용5 (조건항등식)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 09월 19

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 두 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[정답] ②

[해설]

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) ={it}- f(x)], [eqn: g LEFT ( -x RIGHT ) ={it}- g(x)]이므로 두 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]의 모든 항의 차수는 홀수이다. 두 홀수 [eqn: m`], [eqn: n`]에 대하여 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]의 최고차항을 각각 [eqn: x ^{m`}], [eqn: x ^{n`}]이라 하면, 두 도함수 [eqn: f` prime LEFT ( x` RIGHT ) `], [eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) `]의 최고차항은 각각 [eqn: mx ^{m-1`}], [eqn: nx ^{n-1`}]이다.

[eqn: m-1=2+ LEFT ( n-1 RIGHT ) `]이고 [eqn: {m} over {n} =3]

그러므로 [eqn: m=3`], [eqn: n=1`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax`][eqn: (][eqn: a`]는 상수[eqn: )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x]라 하면

[eqn: lim _{x` -> `0} {{f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2}}} = lim _{x` -> `0} {{LEFT ( x ^{3} +ax RIGHT ) x} over {x ^{2}}}][eqn: =a ={it}- 1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -x], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x]

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +g LEFT ( 3 RIGHT ) =6+3=9]

[eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =`-f LEFT (x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( -x RIGHT ) =`-g LEFT (x RIGHT )`]

를 만족시킨다. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여

[eqn: lim _{x `->` INF } {} {f `' LEFT ( x RIGHT )} over { x ^{2} g `' LEFT ( x RIGHT ) } =3], [eqn: lim _{x `->` 0} {} { f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) } over {x ^{2}} =`-1 `]

일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +g LEFT ( 3 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

04 수2	03 미분계수와 도함수
03 미분법 공식의 활용
06 활용6 (문자 2개 항등식)

[출처]	2006 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 23

다항함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]는 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y `]에 대하여

[정답] [eqn: bold28]

[해설]

[eqn: f``(x+y) = f``(x)+ f``(y) + 2xy-1`]에서

[eqn: x=0 ,`y=0`]을 대입하면

[eqn: f``(0) = f``(0)+ f``(0) -1`]

∴ [eqn: f``(0) = 1`]

[eqn: f``'(0)` = lim_h->0``{f``(h)- f`(0)} over h = lim_h->0 `{f``(h) -1} over h`]

이므로

[eqn: f``'(x) = lim_h->0 ``{ f``(x+h)-f``(x)} over h`]

[eqn: = lim_h->0 `{ f``(x)+f``(h) + 2xh-1 - f``(x)} over h`]
[eqn: = 2x + lim_h->0 { f``(h)-1} over h`][eqn: = 2x+f``'(0)`]	…… ㉠

[eqn: lim_x->1 {f``(x) - f``'(x)} over {x^2 -1} = 14`]에서

[eqn: x->1`]일 때, (분모)[eqn: ->0`]이므로 (분자)[eqn: ->0`]이어야 한다.

∴ [eqn: f``(1) = f``'(1)`]

㉠에서 [eqn: f``'(1) = 2+ f``'(0)`]이므로

[eqn: f``'(0) = f``'(1) -2 = f``(1) -2`]

∴ [eqn: lim_x->1 {f``(x) - f``'(x)} over {x^2 -1} `][eqn: = lim_x->1 {f``(x) - 2x-f``'(0)} over {x^2 -1} `]
[eqn: = lim_x->1 {f``(x) - 2x-f``(1)+2} over {x^2 -1} `]
[eqn: = lim_x->1 {f``(x) -f``(1)} over {x^2 -1} `- lim_x->1 {2(x-1)} over {x^2 -1}`]
[eqn: = 1over2 f``'(1) - 1`]
[eqn: = 14`]

∴ [eqn: f``'(1) = 30`]

∴ [eqn: f``'(0) = f``'(1) - 2 = 28`]

[다른풀이]

후에 배우는 부정적분을 이용

[eqn: f``(x+y) = f``(x)+ f``(y) + 2xy-1`]에서 [eqn: x=0 ,`y=0`]을 대입하면

[eqn: f``(0) = f``(0)+ f``(0) -1`]

∴ [eqn: f``(0) = 1`]

[eqn: f``'(0) = k`]라 하면

[eqn: k` = lim_h->0``{f``(h)- f`(0)} over h = lim_h->0 `{f``(h) -1} over h`]

[eqn: f``'(x) = lim_h->0 ``{ f``(x+h)-f``(x)} over h`]

[eqn: = lim_h->0 `{ f``(x)+f``(h) + 2xh-1 - f``(x)} over h`]

[eqn: = 2x + lim_h->0 { f``(h)-1} over h`][eqn: = 2x+k`]

∴ [eqn: f``(x) = int`(2x+k )``dx` = x^2 + kx+C`][eqn: (C`]는 상수)

[eqn: f``(0) = 1`]이므로 [eqn: C=1`]

∴ [eqn: f``(x) = x^2 + kx+1`]

따라서, [eqn: f``'(x) = 2x+k`]이므로

[eqn: lim_x->1 {f``(x) - f``'(x)} over {x^2 -1}`= lim_x->1{ x^2 + kx+1 -2x-k } over {x^2 -1}`]

[eqn: = lim_x->1 { (x-1)^2 + k(x-1)} over{(x-1)(x+1)}`]
[eqn: = lim_x->1 { x-1+k} over x+1`]
[eqn: = k over 2`]
[eqn: = 14`]

∴ [eqn: k= 28`]

[eqn: f LEFT (x+y RIGHT )=f LEFT (x RIGHT )+f LEFT (y RIGHT )+2xy-1`]

을 만족시킨다. [eqn: lim _{x `->` 1} {} {f LEFT (x RIGHT )-f `' LEFT (x RIGHT ) _{ }} over {x ^{2} -1} =14`]일 때, [eqn: f `' LEFT (0 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[출처]	2011 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

두 다항함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )], [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가 임의의 실수 [eqn: x], [eqn: y`]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: x left{ f(x+y )- f(x-y) right} = 4y left{ f(x)+g(y) right]에서

[eqn: x times {f(x+y)-f(x-y) } over { 2y} = 2 left{f(x)+g(y) right}]

[eqn: f(x)], [eqn: g(x)]는 다항함수이므로 연속이고 미분가능하다.

따라서

[eqn: lim_y->0 left{x times {f(x+y)-f(x-y) } over { 2y}right} =x f'(x)],

[eqn: lim_y->0 2 left{f(x)+g(y) right} = 2 left{f(x)+g(0) right} = 2 left{ f(x)+1 right}]

∴ [eqn: x f'(x) = 2 left{ f(x)+1 right}]

[eqn: f(x)]가 최고차항의 계수가 [eqn: a]인 [eqn: n]차 함수라 하면

[eqn: x f'(x)]의 최고차항의 계수는 [eqn: an]이고 [eqn: 2 left{ f(x)+1 right}]의 최고차항의 계수는 [eqn: 2a]이므로 [eqn: n=2]이다.

[eqn: f(x) = ax^2 +bx+c]라 하면

[eqn: x (2ax +b ) = 2 (ax^2 +bx+c+1 )]에서 [eqn: b=0], [eqn: c=-1]

또한 [eqn: f(1) = a+b+c][eqn: =a+0-1 =4]에서 [eqn: a=5]

∴ [eqn: f(x) = 5x^2 -1]

∴ [eqn: f'(x)= 10x]

∴ [eqn: f'(2) = 20]

[다른 풀이] 이과용

[eqn: x f'(x) = 2 left{ f(x)+1 right}]에서

[eqn: { f'(x)} over { f(x)+1} = 2 overx]

위 식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 적분하면

[eqn: ln``(f(x)+1) = 2 ln ``x +C]

[eqn: f(1)=4]이므로 [eqn: C=ln``5]

따라서 [eqn: ln``(f(x)+1) = ln ``5x^2]에서

[eqn: f(x)+1 = 5x^2] 즉,    [eqn: f(x) = 5x^2 -1]

[eqn: x LEFT { f LEFT (x+y RIGHT )-f LEFT (x-y RIGHT ) RIGHT } =4y LEFT { f LEFT (x RIGHT )+g LEFT (y RIGHT ) RIGHT }`]

를 만족시킨다. [eqn: f LEFT (1 RIGHT )=4], [eqn: g LEFT (0 RIGHT )=1`]일 때, [eqn: f`' LEFT (2 RIGHT )`]의 값은?

① [eqn: 20]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 36]

04 수2	03 미분계수와 도함수
03 미분법 공식의 활용
07 활용7 (조건항등식, 미정계수법)

[출처]	2011 모의_공공 사관학교 고3 07월 27

다항함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )], [eqn: g LEFT (x RIGHT )], [eqn: h LEFT (x RIGHT )`]에 대하여 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]는 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]의 도함수이고, [eqn: h LEFT (x RIGHT )`]는 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]의 도함수라 하자. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[정답] [eqn: bold54]

[해설]

[eqn: f'(x) = g(x)], [eqn: g'(x)= h(x)]

[eqn: f(x)+h(x) = 2g(x)+x^4 +1]에서

좌변 [eqn: f(x)+h(x)]의 최고차항은 [eqn: f(x)]의 최고차항과 같고 [eqn: g(x)]의 차수는 [eqn: f(x)]보다 작으므로 우변 [eqn: 2g(x)+x^4 +1]의 최고차항은 [eqn: x^4]이다.

따라서 [eqn: f(x)]는 최고차항이 [eqn: x^4]인 사차함수이다.

[eqn: f(x)][eqn: =x^4 +ax^3 +bx^2 +cx+d]라 하면

[eqn: g(x) = f'(x)][eqn: = 4x^3 +3ax^2 +2bx+c]

[eqn: h(x)=g'(x)][eqn: =12x^2 +6ax +2b]

이고

[eqn: f(x)+h(x)][eqn: = x^4 +ax^3 +(b+12)x^2 +(6a+c)x +2b +d]⋯⋯ ㉠

[eqn: 2g(x)+x^4 +1][eqn: =x^4 +8x^3 +6ax^2 +4bx +2c +1] ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡의 계수를 비교하면

[eqn: a=8], [eqn: b+12 =6a], [eqn: 6a+c =4b], [eqn: 2b+d =2c +1]

∴ [eqn: a=8], [eqn: b=36], [eqn: c =96], [eqn: d = 121]

∴ [eqn: f(-1)][eqn: =1 -a+b-c+d]
[eqn: = 1-8+36-96+121]
[eqn: =54]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )+h LEFT (x RIGHT )=2g LEFT (x RIGHT )+x ^{4} +1`]

이 성립할 때, [eqn: f LEFT (-1 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

04 수2	03 미분계수와 도함수
03 미분법 공식의 활용
08 활용8 (부등식의 해석)

[출처]	2019 모의_공공 경찰대 고3 07월 11

삼차함수 [eqn: P (x) = ax^{3 }+ bx^{2 }+ cx + d]가 [eqn: 0 ≤ x ≤ 1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT |` P``prime (x) `RIGHT |`LEQ 1]을 만족할 때, [eqn: a]의 최댓값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: `d]는 실수이다.)

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: P(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d],

[eqn: P``'(x) = 3ax^2 + 2bx + c], [eqn: P``'(0) = c]

[eqn: P``'(1) = 3a+2b + c], [eqn: P`' left( 1 over2 right) = 3 over4 a + b + c]

[eqn: a = 2 over3 P`'(1) + 2 over3 P``'(0) - 4 over3 P``' left( 1 over2 right)]

[eqn: P``'(0) = P``'(1)= 1], [eqn: P``' left( 1 over2 right) =-1]일 때

[eqn: a]는 최댓값[eqn: 2 over3 + 2 over3 + 4 over3 = 8 over3]이다.

① [eqn: {4 }over{3}]	② [eqn: {5 }over{3}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {7 }over{3}]	⑤ [eqn: {8}over{3}]

04 수2	03 미분계수와 도함수
04 미분가능성과 연속성
04 미분가능조건1 (구간정의함수)

[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 24

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x ^{2} -9x `]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]를

[정답] [eqn: bold118`]

[해설]

함수 [eqn: g(x)`]는 연속이고 미분가능하므로

[eqn: f`(a`)=m-f`(a`)``], [eqn: m-f`(b`)=n+f`(b`)``]	…… ㉠

[eqn: g`` prime (x`)= cases{f`` prime (x`)~~&(x<a`)#-f`` prime (x`)~~&(a` <= `x`<`b`)#f`` prime (x`)``&(x` >= `b`)} ``]

[eqn: f`` prime (x`)``=3x ^{2} +6x-9=3(x+3`)(x-1`)``]

따라서 극대값은 [eqn: f`(-3`)=27``], 극소값은 [eqn: f`(1`)=-5``]

㉠에서

[eqn: m=2f`(-3`)=54``],

[eqn: n=m-2f`(1`)=54+10=64``]

[eqn: a=-3,``b=1,``m=54,``n=64``]

∴ [eqn: m+n=118``]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~~f LEFT ( x RIGHT )&~ LEFT ( x<a RIGHT )#``m-f LEFT ( x RIGHT )&~ LEFT ( a LEQ x<b RIGHT )#```n+f LEFT ( x RIGHT )&~ LEFT ( x GEQ b RIGHT )}} `]

로 정의한다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]가 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 미분 가능하도록 상수 [eqn: a], [eqn: b `]와 [eqn: m], [eqn: n `]의 값을 정할 때, [eqn: m+n `]의 값을 구하시오.

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 11월 17

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 다항함수이므로 모든 실수에서 미분가능.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 주기함수로 [eqn: x=-1,1]에서 미분가능하다면 모든 실수에서 미분가능하므로 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT )]이고, [eqn: f`' LEFT ( -1 RIGHT ) =f`' LEFT ( 1 RIGHT )]이면 모든 실수에서 미분가능. (ㄱ참)

모든 실수에서 미분가능하므로 ㄱ에서

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) =p]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) +p]로 둘 수 있다.

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) + LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) + LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 2x+a RIGHT )]

[eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =2 LEFT ( 1+a+b RIGHT ) ,~~f`' LEFT ( -1 RIGHT ) =-2 LEFT ( 1-a+b RIGHT )]

[eqn: f`' LEFT ( -1 RIGHT ) =f`' LEFT ( 1 RIGHT )]이므로 [eqn: b=-1]

[eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =2a,~~f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =-a]

[eqn: THEREFORE ~f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =-2a ^{2} ``le`0] 즉, [eqn: a=0]일 때가 거짓임을 보이는 반례가 된다. ( 반례: [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) ^{2} +p]의 꼴) (ㄴ거짓)

ㄴ에서 [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =2a>0]이면 [eqn: f`' LEFT ( -1 RIGHT ) >0]이고, 최고차 계수가 [eqn: 1]인 사차함수이므로 [eqn: x->-inf]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ->inf]가 되어야 한다.

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x< -1]일 때 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) <0]이되는 [eqn: x]가 있고, 중간값 정리에 의해 [eqn: f`' LEFT ( c RIGHT ) =0]인 [eqn: c]가 [eqn: LEFT ( -inf,-1 RIGHT )]에 적어도 [eqn: 1]개 존재한다. (ㄷ참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ,ㄷ

(가) [eqn: -1`le`x`<1]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g LEFT ( x+2 RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]이다.

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT )]이고 [eqn: f`' LEFT ( -1 RIGHT ) =f`' LEFT ( 1 RIGHT )]이면, [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. ㄴ. [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하면, [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) f`' LEFT ( 1 RIGHT ) <0]이다. ㄷ. [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) >0]이면, 구간 [eqn: LEFT ( -inf,`-1 RIGHT )]에 [eqn: f`' LEFT ( c RIGHT ) =0]인 [eqn: c]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 7

삼차식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를

[정답] ②

[해설]

[eqn: f` prime `(x)=k(x-1)(x+1)`]이고 [eqn: f(-1)=3], [eqn: f(1)=-1]

∴ [eqn: f(x)=x ^{3} -3x+1`],

[eqn: f` prime `(x)=3x ^{2} -3``]

[eqn: g`` prime (x)= cases{``0~~~~~&(x < -1,`````x > 1)#3x ^{2} -3&(-1 <= x <= 1)}`]에서

ㄱ. [eqn: g`` prime (`-1`)=g`` prime (`1`)] (참)

ㄴ. [eqn: g`` prime (x) <= 0] (참)

ㄷ. [eqn: g`` prime (x) >= -3]이므로 [eqn: g`` prime (x)]의 최솟값은 [eqn: -3`] (거짓)

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~```3&~ LEFT ( x {<} -1 RIGHT )#``f LEFT ( x RIGHT )&~ LEFT ( -1 LEQ x LEQ 1 RIGHT )#```-1&~ LEFT ( x>1 RIGHT )}} ``]

로 정의하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 모든 실수에서 미분 가능할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g `' LEFT ( -1 RIGHT )=g `' LEFT ( 1 RIGHT )`] ㄴ. 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: g `' LEFT ( x RIGHT ) LEQ 0`] ㄷ. 함수 [eqn: g `' LEFT ( x RIGHT ) `]의 최솟값은 [eqn: -2 `]이다.

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 03월 20

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 다음과 같다.

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]과 [eqn: x=0]에서만 불연속이고,

[eqn: f`'(x) = 1over2 (3x^2 -3 )] (단, [eqn: x!=-1,~x!=0])

따라서 도함수 [eqn: f`'(x)]의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 불연속이므로 [eqn: x=0]에서 미분가능하지 않다.

ㄴ. 함수 [eqn: y=f`'(x)]의 그래프에서 [eqn: lim_x->0 f`'(x) = - 3over 2]

ㄷ. [eqn: f`'`(x)=t]라 하면 [eqn: x -> -1+`]일 때 [eqn: t -> 0-`]이다.
∴ [eqn: lim _{x -> -1+} {} f(f` prime (x))=][eqn: lim _{t -> 0-} {} f(t)][eqn: =-1]

따라서 옳은 것은 ㄴ이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = cases{ ~~ { 1} over { 2} LEFT ( x^{3}-3x RIGHT ) &~ LEFT ( x LEQ -1 ``또는``x GEQ 0 RIGHT ) # `` { 1} over { 2} LEFT ( x^{3}-3x RIGHT )-1 &~ LEFT ( -1 < x < 0 RIGHT ) }`]

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]는 [eqn: x=0`]에서 미분가능하다. ㄴ. [eqn: lim _{x `->` 0} {} f `' LEFT (x RIGHT )=`- {3} over {2}`] ㄷ.[eqn: lim _{x `->` -1+} {} f LEFT (f `' LEFT (x RIGHT ) RIGHT )=0`]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 03월 28

삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x ^{3} -x ^{2} -9x+1 `]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]를

[정답] [eqn: bold13]

[해설]

다항함수 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 직선 [eqn: x=k`]에 대하여 대칭인 함수 [eqn: g(x)`]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 [eqn: x=k`]에서 미분가능하면 된다.

[eqn: lim _{x` -> `k-} {{g(x)-g(k)} over {x-k}} = lim _{x` -> `k-} {{f(2k-x)-f(k)} over {x-k}}]

[eqn: = lim _{x` -> `k-} {LEFT [ {LEFT { (2k-x) ^{3} -(2k-x) ^{2} -9(2k-x)+1 RIGHT }} over {x-k} RIGHT .}]

[eqn: LEFT . - {(k ^{3} -k ^{2} -9k+1)} over {x-k} RIGHT ]]

[eqn: = lim _{x` -> `k-} {LEFT [ pile{`#`} (k-x) RIGHT .}]

[eqn: LEFT. TIMES {LEFT { (2k-x) ^{2} +k(2k-x)+k ^{2} -(3k-x)-9 RIGHT }} over {x-k} RIGHT ]]

[eqn: =`-3k ^{2} +2k+9]

또,

[eqn: lim _{x` -> `k+} {{g(x)-g(k)} over {x-k}}][eqn: = lim _{x` -> `k+} {{f(x)-f(k)} over {x-k}}]

[eqn: = lim _{x` -> `k+} {{(x ^{3} -x ^{2} -9x+1)-(k ^{3} -k ^{2} -9k+1)} over {x-k}}]

[eqn: = lim _{x` -> `k+} {{(x-k) LEFT { x ^{2} +kx+k ^{2} -(x+k)-9 RIGHT }} over {x-k}}]

[eqn: =3k ^{2} -2k-9]

[eqn: lim _{x` -> `k-} {{g(x)-g(k)} over {x-k}} = lim _{x` -> `k+} {{g(x)-g(k)} over {x-k}}]

이므로

[eqn: -3k ^{2} +2k+9=3k ^{2} -2k-9]

[eqn: 3k ^{2} -2k-9=0]

그러므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: {2} over {3}]이다.

따라서 [eqn: p=3], [eqn: q=2]이므로 [eqn: p ^{`2} +q ^{`2} =13]이다.

[참고]

함수 [eqn: y`=`f(2k-x)`]의 그래프는 함수 [eqn: y`=`f(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: x`=`k`]에 대하여 대칭이다. 따라서 함수 [eqn: y`=`g(x)`]의 그래프는 [eqn: x`=`k`]에 대하여 대칭이고, 함수 [eqn: y`=`g(x)`]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 [eqn: f` prime (k)=0]이어야 한다.

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= {cases{ ~~~f LEFT (x RIGHT ) &~ LEFT (x GEQ k RIGHT )#``f LEFT (2k-x RIGHT ) &~ LEFT (x<k RIGHT )}}`]

라 하자. 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 실수 [eqn: k `]의 값의 합을 [eqn: {q} over {p} `]라 할 때, [eqn: p ^{2} +q ^{ 2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2018 모의_공공 경찰대 고3 07월 24

다항함수 [eqn: g(x)]와 자연수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가 다음과 같다.

[정답] [eqn: rm 3]

[해설]

가장 낮은 차수의 다항함수 [eqn: g(x)]는 삼차함수이고,

그림과 같이 양쪽 직선이 접선이다.

[eqn: g(x)=x(x-2)(a x+b)+1=a x^{3}-2 a x^{2}+b x^{2}-2 b x+1]

라고 놓을 수 있다.

[eqn: g `prime (x)=3 a x^{2}-4 a x+2 b x-2 b]

[eqn: g `prime (0)=-2 b=1]에서 [eqn: b=-{1} over {2}]

[eqn: g(1)=-a-b+1=-a+{3} over {2}],

[eqn: {1} over {4} < it - a+{3} over {2}<{3} over {4}], 즉 [eqn: {3} over {4}<a<{5} over {4}]

[eqn: k=g `prime (2)=2(2 a+b)=4 a-1]이므로 [eqn: 2<k<4]

[eqn: therefore~k=3]

[eqn: f(x)=cases{x+1 && (x leq 0) #g(x) && (0<x<2) #k(x-2)+1 && (x geq 2)}]

함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능하도록 하는 가장 낮은 차수의 다항함수 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: {1} over {4}<g(1)<{3} over {4}]일 때, [eqn: k]의 값을 구하시오.

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 09월 19

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} x ^{2} `]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) `= {1} over {2} LEQ 1`]이므로 [eqn: g(1)=f(1)= { 1} over {2 }]

ㄴ. (i) [eqn: f(x) LEQ x`]인 경우 [eqn: g(x)=f(x) LEQ x]
(ii) [eqn: f(x)>x`]인 경우 [eqn: g(x)=x]
(i), (ii)에 의하여
모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g(x) LEQ x]

ㄷ. 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프는 다음과 같다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x<0`], [eqn: 0<x<2`], [eqn: x>2`]에서미분가능하므로 [eqn: x=0`], [eqn: x=2`]에서의 미분가능성을 조사해보면

(i) [eqn: x=0`]일 때,
[eqn: lim _{h` -> `0-} {{g LEFT ( 0+h RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {h}} `][eqn: = lim _{h` -> `0-} {{h-0} over {h}} `][eqn: =1`]
[eqn: lim _{h` -> `0+} {{g LEFT ( 0+h RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {h}} `][eqn: = lim _{h` -> `0+} {{{1} over {2} h ^{2} -0} over {h}} `][eqn: =0`]
이므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=0`]에서 미분가능하지 않다.

(ii) [eqn: x=2`]일 때,

[eqn: lim _{h` -> `0-} {{g LEFT ( 2+h RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT )} over {h}} `][eqn: = lim _{h` -> `0-} {{{1} over {2} LEFT ( 2+h RIGHT ) ^{2} -2} over {h}} `]
[eqn: =2]
[eqn: lim _{h` -> `0+} {{g LEFT ( 2+h RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT )} over {h}} `][eqn: = lim _{h` -> `0+} {{LEFT ( 2+h RIGHT ) -2} over {h}} `]
[eqn: =1`]
이므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=2`]에서 미분가능하지 않다.

따라서 실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 미분가능하지 않은 점의 개수는 [eqn: 2`]이다.

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = cases{ ``f LEFT ( x RIGHT ) & ~ LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) LEQ x RIGHT ) # ~~x &~ LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) >x RIGHT ) }`]

라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) = {1} over {2}`] ㄴ. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) LEQ x `]이다. ㄷ. 실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 미분가능하지 않은 점의 개수는 [eqn: 2 `]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	03 미분계수와 도함수
04 미분가능성과 연속성
06 미분가능조건3 (곱함수)

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 07월 11

함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: lim _{ x``-> root 2 } { [ ` x ` f(x) ` ] `=` 1] (참)

ㄴ. [eqn: g(x) `=` [` x `f(x) ` ]]라 하면,
[eqn: g(root2 ) `=` 0], [eqn: lim_{ x ``-> root 2 } { g(x) `=` 1] 이므로
[eqn: [xf(x)]]는 [eqn: x =root 2]에서 불연속이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: lim _{x -> sqrt {2}} {{(x- sqrt {2} )[xf(x)]-0} over {x- sqrt {2}}} =1]  (참)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{x `->` sqrt {2}} { LEFT [xf LEFT (x RIGHT ) RIGHT ] =1}] ㄴ. 함수 [eqn: LEFT [xf LEFT (x RIGHT ) RIGHT ]`]는 [eqn: x= sqrt {2}`]에서 연속이다. ㄷ. 함수 [eqn: LEFT ( x- sqrt {2} RIGHT ) LEFT [xf LEFT (x RIGHT ) RIGHT ]`]는 [eqn: x= sqrt {2}`]에서 미분가능하다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고2 11월 16

두 함수 [eqn: f(x) = |`x`|], [eqn: g(x)= {cases{`2x+1 &~~(x GEQ 0) #`-x-1 &~~(x<0)]에 대하여 [eqn: x=0]에서 미분가능한 함수만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: xf(x)] ㄴ. [eqn: f(x) g(x)] ㄷ. [eqn: LEFT | `f(x)-g(x)` RIGHT |]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 11월 29

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]와 함수

[정답] [eqn: {bold{32}}]

[해설]

[eqn: h` prime LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: = lim _{x -> `4} {{f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 4 RIGHT ) g LEFT ( 4 RIGHT )} over {x-4}}]
[eqn: = lim _{x`->`4} {{f LEFT ( x RIGHT ) times {1} over {x-4} -2f LEFT ( 4 RIGHT )} over {x-4}}]
[eqn: = lim _{x` -> `4} {{f LEFT ( x RIGHT ) -2 LEFT ( x-4 RIGHT ) f LEFT ( 4 RIGHT )} over {LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2}}}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

에서 [eqn: lim _{x` rarrow `4} {LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} =0} `]이므로

[eqn: lim _{x` -> `4} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -2 LEFT ( x-4 RIGHT ) f LEFT ( 4 RIGHT ) RIGHT } =f LEFT ( 4 RIGHT ) =0}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) `]라 두고 ㉠에 대입하면

[eqn: h`' LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: = lim _{x` -> `4} {{LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT )} over {LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2}}}]
[eqn: = lim _{x` -> `4} {{x ^{2} +ax+b} over {x-4}}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

이고 [eqn: lim _{x` rarrow `4} {LEFT ( x-4 RIGHT ) =0} `]이므로

[eqn: lim _{x`->`4} {LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) =16+4a+b=0}]

[eqn: b=-4a-16`]이고 이를 ㉡에 대입하면

[eqn: h`' LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: = lim _{x` -> `4} {{x ^{2} +ax-4a-16} over {x-4}}]
[eqn: = lim _{x` -> `4} {{LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x+a+4 RIGHT )} over {x-4}}]
[eqn: =a+8=6]

에서 [eqn: a=-2,][eqn: b=-8`]이다.

[eqn: therefore`][eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+2 RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =16times2=32]

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= {cases{``{1} over {x-4} &~ LEFT ( x != 4 RIGHT ) # ~~```2 &~ LEFT ( x=4 RIGHT ) }}`]

에 대하여 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) `]라 할 때, 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 [eqn: h `' LEFT ( 4 RIGHT ) =6 `]이다. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 14

정수 [eqn: k]와 함수

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: y=|f(x)|]의 그래프는 그림과 같다.

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y=|f(x)|]의

그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동한 것이므로

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=k+3]에서만 불연속이다.

ㄱ. [eqn: k=-3]일 때
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} g(x)= lim _{x ``rarrow`` 0-}|f(x+3)|=0],
[eqn: g(0)=|f(0+3)|=0]에서 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} g(x)=g(0)] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} f(x)=1], [eqn: f(0)=-1]에서 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} f(x) neq f(0)]
[eqn: k neq-3]일 때 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이므로 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} left{ f(x)+g(x) it right} neq f(0)+g(0)]
[eqn: k=-3]일 때 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} g(x)=g(0)]이므로
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} left{ f(x)+g(x) it right} neq f(0)+g(0)]
그러므로 모든 정수 [eqn: k]에 대하여
함수 [eqn: f(x)+g(x)]는 [eqn: x=0]에서 불연속이다. (거짓)

ㄷ. 함수 [eqn: f(x) g(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하기 위해서는
함수 [eqn: f(x) g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이어야 한다.
[eqn: lim _{x`` rarrow ``0-} {} f(x)g(x)= lim _{x`` rarrow ``0-} {} g(x)],
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} f(x) g(x)=- lim _{x ``rarrow`` 0+} g(x)],
[eqn: f(0) g(0)=-g(0)]에서
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} g(x)=- lim _{x ``rarrow`` 0+} g(x)=-g(0)]
모든 정수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} g(x)=g(0)]이므로 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} g(x)=g(0)=0]
그러므로 함수 [eqn: f(x) g(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이
되도록 하는 정수 [eqn: k]의 값은 [eqn: -4], [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 1]

(i) [eqn: k=-4] 또는 [eqn: k=1]일 때
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} {f(x) g(x)-f(0) g(0)} over {x-0}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0-} {(x+1)(-x)} over {x}]
[eqn: =-1]
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} {f(x) g(x)-f(0) g(0)} over {x-0}= lim _{x ``rarrow`` 0+} {(x-1) x} over {x}]
[eqn: =-1]
이므로 함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하다.

(ii) [eqn: k=-2]일 때
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} {f(x) g(x)-f(0) g(0)} over {x-0}=0]
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} {f(x) g(x)-f(0) g(0)} over {x-0}=0]
이므로 함수 [eqn: f(x) g(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하다.

(iii) [eqn: k=-1]일 때
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} {f(x) g(x)-f(0) g(0)} over {x-0}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0-} {(x+1)(-x)} over {x}]
[eqn: =-1]
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} {f(x) g(x)-f(0) g(0)} over {x-0}=0]
이므로 함수 [eqn: f(x) g(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하지 않다.

(i), (ii), (iii)에 의하여 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: -4+(-2)+1=-5]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

[eqn: f(x)=cases{x+1 && (x<0) #x-1 && (0 leq x<1) #0 && (1 leq x leq 3) #-x+4 && (x>3)}]

에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x)=|f(x-k)|]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: k=-3]일 때, [eqn: lim_{``x ``rarrow``0-}g(x)=g(0)]이다. ㄴ. 함수 [eqn: f(x)+g(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이 되도록 하는 정수 [eqn: k]가 존재한다. ㄷ. 함수 [eqn: f(x) g(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: -5]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	03 미분계수와 도함수
04 미분가능성과 연속성
07 미분가능조건4 (정의된 함수)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 06월 29

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]는

[정답] [eqn: bold186]

[해설]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]위의 점을 [eqn: rmP]라 하고 구간을 나누어 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]

를 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: x<1]일 때, [eqn: RMP LEFT ( itx,~x+1 RIGHT )]이므로

[eqn: rm {bar{AP}} it ^{2}][eqn: =LEFT ( x+1 RIGHT )^2 + LEFT ( x+2 RIGHT )^2]
[eqn: =2x^2 +6x+5]

[eqn: rm {bar{BP}} it rm ^{2}][eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =2x ^{2} -4x+2]

이때, [eqn: rm bar{AP} it rm ^{`2}][eqn: rm GEQ bar{BP} it rm ^{`2}]을 풀면

[eqn: 2x ^{2} +6x+5 GEQ][eqn: 2x ^{2} -4x+2]

[eqn: 10x GEQ -3]

[eqn: x GEQ - {3} over {10}]

그러므로

[eqn: g(x)`=` {cases{``2x ^{2} +6x+5&~ LEFT ( x< it - {3} over {10} RIGHT )#``2x ^{2} -4x+2&~ LEFT ( - {3} over {10} LEQ x<1 RIGHT )}}]

(ⅱ) [eqn: x GEQ 1]일 때, [eqn: rm P LEFT ( it x,~-2x+4 RIGHT )]이므로

[eqn: rm {bar{AP}} it ^{2}][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -2x+5 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =5x ^{2} -18x+26]

[eqn: rm {bar{BP}} it rm ^{2}][eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -2x+2 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =5x ^{2} -10x+5]

이때, [eqn: rm {bar{AP}} it ^{2}][eqn: rm GEQ {bar{BP}} it rm ^{2}]을 풀면

[eqn: 5x ^{2} -18x+26 GEQ][eqn: 5x ^{2} -10x+5]

[eqn: 8x LEQ 21]

[eqn: x LEQ {21} over {8}]

그러므로

[eqn: g(x)`=` {cases{``5x ^{2} -10x+5&~ LEFT ( 1 LEQ x< {21} over {8} RIGHT )#``5x ^{2} -18x+26&~ LEFT ( x GEQ {21} over {8} RIGHT )}}]

그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: g(x)`=` {cases{``2x ^{2} +6x+5&~ LEFT ( x< it - {3} over {10} RIGHT )#``2x ^{2} -4x+2&~ LEFT ( - {3} over {10} LEQ x<1 RIGHT )#``5x ^{2} -10x+5&~ LEFT ( 1 LEQ x< {21} over {8} RIGHT )#``5x ^{2} -18x+26&~ LEFT ( x GEQ {21} over {8} RIGHT )}}]

이때, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 모든 실수에서 연속이다.

한편

[eqn: g`'(x)`=` {cases{``4x+6&~ LEFT ( x< it - {3} over {10} RIGHT )#``4x-4&~ LEFT ( - {3} over {10} <x<1 RIGHT )#``10x-10&~ LEFT ( 1<x< {21} over {8} RIGHT )#``10x-18&~ LEFT ( x> {21} over {8} RIGHT )}}]

이므로

[eqn: lim _{x`-> `- {3} over {10} -} {g`'(x)!= lim _{x`-> `- {3} over {10} +} {g`'(x)}}]

[eqn: lim _{x` -> `1-} {g` prime (x) = lim _{x` -> `1+} {g` prime (x)}}]

[eqn: lim _{x` -> ` {21} over {8} -} {g` prime (x) != lim _{x` -> ` {21} over {8} +} {g` prime (x)}}]

그러므로 [eqn: x=a`]에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 미분가능하지 않는 [eqn: a`]의 값은  [eqn: - {3} over {10} ,~ {21} over {8}] 이다.

따라서

[eqn: 80p][eqn: =80 LEFT ( - {3} over {10} + {21} over {8} RIGHT )]
[eqn: =it-24+210]
[eqn: =186]

[eqn: f LEFT (x RIGHT ) = cases { ~~x+1 &~ LEFT (x <1 RIGHT ) # ``-2x +4 &~ LEFT (x ge 1 RIGHT )`]

이고, 좌표평면 위에 두 점 [eqn: rm A LEFT (-1,`` -1 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT (1,`` 2 RIGHT )`]가 있다. 실수 [eqn: x`]에 대하여 점 [eqn: LEFT (x ,`` f LEFT (x RIGHT ) RIGHT )`]에서 점 [eqn: rm A`]까지의 거리의 제곱과 점 [eqn: rm B`]까지의 거리의 제곱 중 크지 않은 값을 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가 [eqn: x=a`]에서 미분가능하지 않은 모든 [eqn: a`]의 값의 합이 [eqn: p `]일 때, [eqn: 80p `]의 값을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 11월 20

함수 [eqn: f(x)]는

[정답] ③

[해설]

그림과 같이 선분 [eqn: {rm{BC}} it]의 수직이등분선 [eqn: y=4]는 함수 [eqn: y=f(x) ~ (x<0)]의 그래프와 점 [eqn: (-2,``4)]에서 만나고, 선분 [eqn: {rm{AC}} it]의 수직이등분선 [eqn: y=-x+4]는 함수 [eqn: y=f(x) ~ (x geq 0)]의 그래프와 점 [eqn: (2,``2)]에서 만난다.

점 [eqn: {rm{P}} it (x,`` f(x))]에 대하여

[eqn: overline{{rm{PQ}} it } `^{2}]의 값이 최대가 되도록 하는 점 [eqn: {rm{Q}} it]는

[eqn: x < it - 2]일 때 점 [eqn: {rm{B}} it (1,``3)]

[eqn: -2 leq x<2]일 때 점 [eqn: {rm{C}} it (1,``5)]

[eqn: x geq 2]일 때 점 [eqn: {rm{A}} it (-1,``3)]이다.

(i) [eqn: x < it - 2]일 때
점 [eqn: {rm{P}} it left(x,`` x^{2} right)]에 대하여 [eqn: g(x)= {bar{rm PB it}} ^{2}]이므로 [eqn: g(x)=(x-1)^{2}+ left(x^{2}-3 right)^{2}=x^{4}-5 x^{2}-2 x+10]

(ii) [eqn: -2 leq x<0]일 때
점 [eqn: {rm{P}} it left(x,`` x^{2} right)]에 대하여 [eqn: g(x)= {bar{rm PC it}} ^{2}]이므로
[eqn: g(x)=(x-1)^{2}+ left(x^{2}-5 right)^{2}=x^{4}-9 x^{2}-2 x+26]

(iii) [eqn: 0 leq x<2]일 때
점 [eqn: {rm{P}} it (x,`` x)]에 대하여 [eqn: g(x)= {bar{rm PC it}} ^{2}]이므로 [eqn: g(x)=(x-1)^{2}+(x-5)^{2}=2 x^{2}-12 x+26]

(iv) [eqn: x geq 2]일 때
점 [eqn: {rm{P}} it (x,`` x)]에 대하여 [eqn: g(x)= {overline{{rm{PA}} it } }^{2}]이므로 [eqn: g(x)=(x+1)^{2}+(x-3)^{2}=2 x^{2}-4 x+10]

(i)[eqn: sim](iv)에 의하여

[eqn: g(x)=cases{x^{4}-5 x^{2}-2 x+10 && (x < it - 2) #x^{4}-9 x^{2}-2 x+26 && (-2 leq x<0) #2 x^{2}-12 x+26 && (0 leq x<2) #2 x^{2}-4 x+10 && (x geq 2)}]

ㄱ. [eqn: g(0)=26] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-} g(x)= lim _{x ``rarrow`` 2-} left(2 x^{2}-12 x+26 right)=10],
[eqn: g(2)= lim _{x ``rarrow`` 2+} g(x)= lim _{x ``rarrow`` 2+} left(2 x^{2}-4 x+10 right)=10]
이므로 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=2]에서 연속이다.
[eqn: 0 leq x leq 2]에서 함수 [eqn: y=2(x-3)^{2}+8]은
[eqn: x=2]일 때 최솟값 [eqn: 10]을 갖고,
[eqn: 2 leq x leq 3]에서 함수 [eqn: y=2(x-1)^{2}+8]은
[eqn: x=2]일 때 최솟값 [eqn: 10]을 가지므로
닫힌구간 [eqn: [0,``3]]에서 함수 [eqn: g(x)]의 최솟값은 [eqn: 10]이다. (참)

ㄷ. [eqn: lim _{x ``rarrow``-2-} {g(x)-g(-2)} over {x-(-2)}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow``-2-} {x^{4}-5 x^{2}-2 x+10-10} over {x+2}=-14]
[eqn: lim _{x ``rarrow``-2+} {g(x)-g(-2)} over {x-(-2)}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow``-2+} {x^{4}-9 x^{2}-2 x+26-10} over {x+2}=2]이므로
함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=-2]에서 미분가능하지 않다.
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} {g(x)-g(0)} over {x}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0-} {x^{4}-9 x^{2}-2 x+26-26} over {x}=-2]
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} {g(x)-g(0)} over {x}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0+} {2 x^{2}-12 x+26-26} over {x}=-12]이므로
함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하지 않다.
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-} {g(x)-g(2)} over {x-2}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 2-} {2 x^{2}-12 x+26-10} over {x-2}=-4]
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2+} {g(x)-g(2)} over {x-2}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 2+} {2 x^{2}-4 x+10-10} over {x-2}=4]이므로
함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=2]에서 미분가능하지 않다.
따라서 미분가능하지 않은 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: -2+0+2=0]이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, 느

[eqn: f(x)=cases{x^{2} && (x<0) #x && (x geq 0)}]

이고, 좌표평면 위에 세 점 [eqn: {rm{A}} it (-1,``3)], [eqn: {rm{B}} it (1,``3)], [eqn: {rm{C}} it (1,``5)]가 있다. 실수 [eqn: x]에 대하여 점 [eqn: {rm{P}} it (x,`` f(x))]와 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 세 변 위의 임의의 점 [eqn: {rm{Q}} it]에 대하여 [eqn: overline{{rm{PQ}} it } it^{2}]의 최댓값을 [eqn: g(x)]라 하자. 함수 [eqn: g(x)]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g(0)=26] ㄴ. 닫힌구간 [eqn: [0,``3]]에서 함수 [eqn: g(x)]의 최솟값은 [eqn: rm 10]이다. ㄷ. 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않은 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: rm 2]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	04 접선의 방정식
01 접선의 방정식
03 접점3 (해석)

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 11월

두 다항함수 [eqn: f(x)`], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 97]

[해설]

조건 (가)의 [eqn: g(x)=x^{3} f(x)-7]에 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: g(2)=8f(2)-7]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉠

이때 조건 (나)에서 [eqn: x ``rarrow`` 2]일 때 [eqn: (]분모[eqn: ) ``rarrow`` 0]이고 극한값이 존재하므로 [eqn: (]분자[eqn: ) ``rarrow`` 0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} left{ f(x)-g(x) it right} =0]이고, 두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 [eqn: x=2]에서 연속이므로

[eqn: f`(2)-g`(2)]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =8g LEFT ( 2 RIGHT ) -7]에서 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =1]

조건 (나)에서 ㉡에 의하여

[eqn: lim _{x rarrow 2} {} {f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )} over {x-2}][eqn: = lim _{x rarrow 2} {} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT } - LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT }} over {x-2}]
[eqn: lim _{x rarrow 2} {} {f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2} - lim _{x rarrow 2} {} {g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2}]
[eqn: =f`' LEFT ( 2 RIGHT ) -g`' LEFT ( 2 RIGHT ) =2]

[eqn: g(x)=x^{3} f(x)-7]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g `prime (x)=3 x^{2} f(x)+x^{3} f `prime (x)]

위의 식에 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: g `prime (2)=12 f(2)+8 f `prime (2)=12 times 1+8 left{ g `prime (2)+2 it right} =8 g `prime (2)+28]

즉, [eqn: 7 g `prime (2)=-28]이므로 [eqn: g `prime (2)=-4]

그러므로 곡선 [eqn: y=g(x)]위의 점 [eqn: (2,`` g(2))]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y-1=-4(x-2)], 즉 [eqn: y=-4 x+9]

따라서 [eqn: a=-4], [eqn: b=9]이므로 [eqn: a^{2}+b^{2}=16+81=97]

(가) [eqn: g(x) =x^3 f(x) -7]

(나) [eqn: lim_x->2 {{f(x) -g(x)} over x-2 }=2]

곡선 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT (2 ,`` g LEFT (2 RIGHT ) RIGHT )`]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=ax+b `]일 때, [eqn: a^2 +b^2 `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a`], [eqn: b `]는 상수이다.)

04 수2	04 접선의 방정식
01 접선의 방정식
05 기울기2 (접점의 좌표)

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 03월 18

곡선 [eqn: y =x ^{3} -3 x ^{2} +2x `]에 기울기가 [eqn: m `]인 접선을 두 개 그었을 때, 두 접점을 [eqn: rm P], [eqn: rmQ`]라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: rm P], [eqn: rmQ`]는 서로 다른 점이다.)

[정답] ③

[해설]

두 접점의 좌표를

[eqn: rm P LEFT ( `alpha ,``` alpha ^{3} -3` alpha ^{2} +2 alpha ` RIGHT )], [eqn: rm Q LEFT ( `beta ,``` beta ` ^{3} -3 beta ` ^{2} +2 beta ` RIGHT )]라 하면

ㄱ. [eqn: y'=3x ^{2} -6x+2]이므로 기울기가 [eqn: m]인 접선의 두 접점의 [eqn: x]좌표는  [eqn: 3x ^{2} -6x+2-m=0]을 만족하므로 [eqn: alpha+beta=2]이다. (참)

ㄴ. 기울기가 [eqn: m]인 접선의 두 접점이 존재하므로 [eqn: alpha], [eqn: beta]는 서로 다른 실수이다.

[eqn: 3x ^{2} -6x+2-m=0] 이 서로 다른 실근을 가지므로

[eqn: 3 ^{2} -3(2-m)>0] [eqn: therefore][eqn: m>-1] (참)

ㄷ. 두 접선은 평행하므로 두 접선 사이의 거리가 [eqn: rmbarPQ]가 되기 위해서는 두 접점 [eqn: rmP], [eqn: rm`Q]를 지나는 직선과 접선이 수직이어야 한다. 즉, 기울기의 곱은 [eqn: -1]이다.

[eqn: m TIMES {LEFT ( alpha ^{3} -3` alpha ^{2} +2 alpha RIGHT ) `- LEFT ( beta ` ^{3} -3` beta ` ^{2} +2 beta ` RIGHT )} over {alpha - beta } =`-1]

[eqn: m LEFT { alpha ^{2} + beta ^{2} + alpha ` beta `-3( alpha + beta )+2 RIGHT }` =`-1]

[eqn: m LEFT { ( alpha + beta ) ^{2} - alpha ` beta `-3( alpha + beta )+2 RIGHT }` =`-1]

그런데, [eqn: alpha`,``beta`]는 [eqn: 3x^{2}`-`6x`+`2`-`m`=`0``]의 두 근이므로

근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: alpha `+` beta `=`2`], [eqn: alpha `beta `=`{2`-`m}over{3}``]  ∴ [eqn: m LEFT ( {2-m} over {3} RIGHT ) =1]

∴ [eqn: m ^{2} -2m+3=0]

판별식 [eqn: D over 4`=1 ^{2} -3=-2<0]이므로 실수 [eqn: m]이 존재하지 않는다.

따라서 두 접선 사이의 거리와 [eqn: rmbarPQ]가 같아지는 실수 [eqn: m]은 존재하지 않는다. (거짓)

	<보 기>
ㄱ. 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q `]의 [eqn: x `]좌표의 합은 [eqn: 2 `]이다. ㄴ. [eqn: m > -1`] ㄷ. 두 접선 사이의 거리와 [eqn: rmbar{PQ it} `]가 같아지는 실수 [eqn: m `]이 존재한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	04 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
01 활용1 (접선과 교점의 관계)

[출처]	2011 모의_공공 경찰대 고3 07월 24

곡선 [eqn: f(x)=x^{4}-3 x^{2}+6 x+1] 위의 서로 다른 두 점에서 접하는 직선의 방정식은?

[정답] ①

[해설]

구하는 직선의 방정식을 [eqn: g(x)=m x+n]이라 하면 [eqn: f(x)-g(x)=0]은 서로 다른 두 중근을 갖는다.

즉, [eqn: f(x)-g(x)=(x- alpha)^{2}(x- beta)^{2}]꼴이다.

([eqn: alpha], [eqn: beta]는 서로 다른 실수[eqn: )]

이때, [eqn: f(x)-g(x)]의 [eqn: x^{3}]의 계수가 [eqn: rm 0]이므로 [eqn: alpha+ beta=0]이어야 한다. 이때, 좌변 [eqn: f(x)-g(x)=(x- alpha)^{2}(x- beta)^{2}]이 짝함수이므로 우변도 짝함수이어야 한다.

따라서 [eqn: m=6]이다. ([eqn: because x]의 홀수차수항이 없어야 하므로)

이때, [eqn: f(x)-g(x)=x^{3}-3 x^{2}+1-n]이고

[eqn: (x- alpha)^{2}(x- beta)^{2}=(x- alpha)^{2}(x+ alpha)^{2}=x^{4}-2 alpha^{2} x^{2}+ alpha^{4}]

이므로 계수비교법에 의해서 [eqn: 2 alpha^{2}=3]이고 [eqn: 1-n= alpha^{4}]이다.

[eqn: therefore~n=1- alpha^{4}=1- left({3} over {2} right)^{2}-{5} over {4}]

[eqn: therefore~g(x)=6 x-{5} over {4}]

① [eqn: y=6 x-{5} over {4}]	② [eqn: y=3 x-{5} over {2}]	③ [eqn: y=6 x+{5} over {4}]

④ [eqn: y=3 x+{5} over {4}]	⑤ [eqn: y=3 x+{5} over {2}]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 10월 20

삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax]가 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)`] 위의 점 [eqn: rm A``(-1,`` it -1-`a)]에서의 접선이 이 곡선과 만나는 다른 한 점을 [eqn: rm B`]라 하자. 또, 곡선 [eqn: y=f(x)`] 위의 점 [eqn: rm B`]에서의 접선이 이 곡선과 만나는 다른 한 점을 [eqn: rmC`]라 하자. 두 점 [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: b`], [eqn: c`]라 할 때, [eqn: f(b)+f(c)=`-80`]을 만족시킨다. 상수 [eqn: a`]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: f(x)=x ^{`3} +ax`]를 미분하면 [eqn: f`'(x)=3x ^{2} +a`],

곡선 [eqn: y=f(x)`] 위의 점 [eqn: rmA`]에서의 접선의 기울기는

[eqn: f`prime(-1)=3+a`]

곡선 [eqn: y=f(x)`] 위의 점 [eqn: rmA`]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=(3+a)(x+1)+(-1-a)`]

이 접선이 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 만나는 점을 구하면

[eqn: x ^{3} +ax=(3+a)(x+1)+(-1-a)`]

[eqn: x ^{3} -3x-2=0``][eqn: LRARROW][eqn: (x+1) ^{2} (x-2)=0`]

∴ [eqn: b=2`]

따라서 점 [eqn: rmB`]의 좌표는 [eqn: (2,``8+2 it a)`]이다. 마찬가지로 점 [eqn: rm B`]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=(12+a)(x-2)+(8+2a)`]

이 접선이 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 만나는 점을 구하면

[eqn: x ^{3} +ax=(12+a)(x-2)+(8+2a)`]

[eqn: x ^{3} -12x+16=0``][eqn: LRARROW][eqn: (x-2) ^{2} (x+4)=0`]

∴ [eqn: c=`-4`]

주어진 조건에서

[eqn: f(b)+f(c)`][eqn: =f(2)+f(-4)`][eqn: =8+2a-64-4a`][eqn: =`-80`]

∴ [eqn: a=12`]

[다른 풀이]

점 [eqn: rmA`]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y=g(x)`]라 하면

[eqn: f(x)-g(x)=(x+1) ^{2} (x-b)]

[eqn: g(x)`]는 일차식이므로 [eqn: f(x)-g(x)`]는 이차항을 갖지  않는다.

즉, 이차항의 계수는 [eqn: 0`]이므로 [eqn: -b+2=0`]

∴ [eqn: b=2`]

점 [eqn: rmB`]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y=h(x)`]라 하면

[eqn: f(x)-h(x)=(x-2) ^{2} (x-c)`]

마찬가지로 이차항의 계수는 [eqn: 0`]이므로 [eqn: -c-4=0`]

∴ [eqn: c=`-4`]

따라서

[eqn: f(b)+f(c)`][eqn: =f(2)+f(-4)`][eqn: =`-56-2a=`-80`]

∴ [eqn: a=12`]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 10월 18

서로 다른 두 점에서 만나는 두 곡선

[정답] ②

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`x ^{`2} -2x+2`], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=`-x ^{`2} +ax+b`]라 하고,

두 곡선 [eqn: C _{`1}`], [eqn: C _{`2} `]의 한 교점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: t`]라 하자.

두 접선 [eqn: l`], [eqn: m`]이 서로 수직이므로

[eqn: f ` prime LEFT ( t RIGHT )` g ` prime LEFT ( t RIGHT ) `=`-1`]에서

[eqn: 4`t ^{`2} -2 LEFT ( a+2 RIGHT ) t+ {BOX{`2a-1`}}` =0]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `=`g LEFT ( t RIGHT ) `]에서

[eqn: 2`t ^{`2} - LEFT ( a+2 RIGHT ) t+2-b=0`]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: b= {BOX{` {5} over {2} `}} `-a`]를 [eqn: y`=`-x ^{`2} +ax+b`]에 대입하고 [eqn: a`]에

관하여 정리하면,

[eqn: a LEFT ( x-1 RIGHT ) -x ^{2} -y+ {BOX{` {5} over {2} `}} `= 0`]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉢

㉢에서 [eqn: x-1=0`], [eqn: -x ^{`2} -y+ {BOX{` {5} over {2} `}}` =0`]을 만족시키는

[eqn: x`]와 [eqn: y`]의 값을 구하면 점 [eqn: rmQ`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,`` {BOX{{3} over {2}}} `` RIGHT ) `]이다.

[eqn: THEREFORE `][eqn: h LEFT ( a RIGHT ) =2a-1`], [eqn: alpha= {5} over {2} `], [eqn: beta= {3} over {2} `]

따라서 [eqn: h LEFT ( alpha RIGHT ) times h LEFT ( beta RIGHT ) `][eqn: =h LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) times h LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) =4 TIMES 2=8`]

[eqn: C` _{ 1} `:` y=x ^{ 2} -2x+2], [eqn: C` _{ 2} `:` y =`-x ^{ 2} +ax+b `]

의 한 교점을 [eqn: rmP `]라 하고, 점 [eqn: rmP `]에서 두 곡선 [eqn: C` _{ 1}], [eqn: C` _{ 2} `]에 접하는 직선을 각각 [eqn: l], [eqn: m `]이라 하자. 두 접선 [eqn: l], [eqn: m `]이 서로 수직일 때, 곡선 [eqn: C` _{ 2} `]는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b `]의 값에 관계없이 일정한 점 [eqn: rm Q `]를 지난다. 다음은 점 [eqn: rm Q `]의 좌표를 구하는 과정이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = x ^{ 2} -2x+2], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =`-x ^{ 2} +ax+b `]라 하고,

두 곡선 [eqn: C` _{ 1}], [eqn: C` _{ 2} `]의 한 교점 [eqn: rm P `]의 [eqn: x `]좌표를 [eqn: t `]라 하자.

두 접선 [eqn: l], [eqn: m `]이 서로 수직이므로

[eqn: f `' LEFT ( t RIGHT ) g `' LEFT ( t RIGHT ) =`-1 `]에서

[eqn: 4 t ^{ 2} -2 LEFT ( a+2 RIGHT ) t+ {BOX{ ~LEFT (가 RIGHT )~ }}` = 0]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = g LEFT ( t RIGHT ) `]에서

[eqn: 2 t ^{ 2} - LEFT ( a+2 RIGHT ) t+ 2-b =0]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: b= {BOX{ ~LEFT (나 RIGHT )~ }}` -a`]를 [eqn: y =`-x ^{ 2} +ax+b `]에 대입하고 [eqn: a `]에 관하여 정리하면,

[eqn: a LEFT ( x-1 RIGHT ) -x ^{ 2} -y+ {BOX{ ~ LEFT (나 RIGHT ) ~}}` = 0]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉢

㉢에서 [eqn: x-1=0], [eqn: -x ^{ 2} -y+ {BOX{ ~LEFT (나 RIGHT )~ }}` = 0 `]을 만족시키는
[eqn: x `]와 [eqn: y `]의 값을 구하면 점 [eqn: rmQ `]의 좌표는 [eqn: LEFT ( it 1 ,`` BOX{ ~LEFT (다 RIGHT ) ~} RIGHT ) `]이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: h LEFT ( a RIGHT ) `]라 하고, (나)와 (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta `]라 할 때, [eqn: h LEFT ( alpha RIGHT ) times h LEFT (beta RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 7

실수 [eqn: {k}{{from^2021^7^경찰대^중}}]에 대하여 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: k]값에 관계없이 성립하므로 [eqn: k]에 관한 항등식이다.

즉, [eqn: x^2 +2x+1=0]이므로 [eqn: x=-1]

따라서 점 [eqn: rmP]는 [eqn: {rm P it}(-1 ,```` 3)]

점 [eqn: rmP]에서의 접선이 곡선 [eqn: y=f(x)]와 오직 한 점에서 만나므로 점 [eqn: rmP]는 변곡점이다.

[eqn: f '(x)=3x^{2}+2kx+2k-1]

[eqn: f ''(x)=6x+2k]

[eqn: f ''(-1)=0]이므로 [eqn: -6+2k=0]

[eqn: therefore][eqn: k=3]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +kx ^{2} + LEFT ( 2k-1 RIGHT ) x+k+3]

의 그래프가 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: rmP]를 지난다.

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 오직 한 점에서 만난다고 할 때, [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

04 수2	04 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
02 활용2 (접선에 대한 조건)

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 12

그림과 같이 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=`-x ^{3} +4x ^{2} -3x `]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT (a,`` f LEFT (a RIGHT ) RIGHT ) `]에서 기울기가 양의 값인 접선을 그어 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: RMA`], 점 [eqn: RMB LEFT (3,`` 0 RIGHT ) `]에서 접선을 그어 두 접선이 만나는 점을 [eqn: RMC`], 점 [eqn: RMC`]에서 [eqn: x`]축에 수선을 그어 만나는 점을 [eqn: RMD`]라 하고 [eqn: rmbar{AD} `:` bar{DB } =3 `:` 1 `]일 때, [eqn: a `]의 값들의 곱은?

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 13

좌표평면 위의 점 [eqn: left(a ,``b right)]에서 곡선 [eqn: y=x^2]에 그은 두 접선이 서로 수직이고

[정답] ②

[해설]

곡선 [eqn: y=x^2] 위의 점을 [eqn: (t,````t^2 )]이라 하면 접선의 기울기는 [eqn: y``'=2x]에서 [eqn: m= 2t]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-t^2 =2t(x-t)]

그런데 이 접선이 [eqn: (a ,```` b)]를 지나므로 [eqn: b-t^2 =2t(a-t)]

즉, [eqn: t^2 -2at +b =0]

이차방정식 [eqn: t^2 -2at +b =0]을 만족하는 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 근과 계수의 관계에서 [eqn: alpha beta =b]

그런데, 두 접선이 서로 수직이므로 [eqn: 2alpha cdot 2beta =-1]이어야 한다.

따라서 [eqn: 4b =-1], [eqn: b =- 1 over4]

조건에서 [eqn: a^2 +b^2 le 37 over16]이므로 [eqn: a^2 + 1over16 le 37 over16]

즉, [eqn: a^2 le 9 over4]이므로 [eqn: - 3 over2 le a le 3over2]

따라서 [eqn: a+b]의 최댓값은 [eqn: a= 3 over 2]일 때이고, 최솟값은 [eqn: a= - 3over 2]일 때이므로

최댓값 [eqn: p]는 [eqn: p= 3 over2 - 1 over4 = 5 over 4]

최솟값 [eqn: q]는 [eqn: q = - 3 over2 - 1 over4 = - 7 over4]

[eqn: therefore][eqn: pq = - 35 over16 from 넘버41]

[eqn: a^2 +b^2 le 37 over16]

일 때, [eqn: a+b]의 최댓값을 [eqn: p], 최솟값을 [eqn: q]라 하자. [eqn: pq]의 값은?

① [eqn: - 33 over16]	② [eqn: - 35 over16]	③ [eqn: - 37 over16]

④ [eqn: - 39 over16]	⑤ [eqn: - 41 over16]

04 수2	04 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
03 활용3 (공통접선)

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 07월 14

두 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x ^{2} `]과 [eqn: {g LEFT (x RIGHT )=`- LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +k}][eqn: { LEFT ( k>0 RIGHT )}`]에 대하여

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: rmP LEFT ( 1,`` 1 RIGHT ) `]에서의 접선을 [eqn: l`]이라 하자. 직선 [eqn: l`]에 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]가 접할 때의 접점을 [eqn: \Q], 곡선 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )`]와 [eqn: x`]축이 만나는 두 점을 각각 [eqn: \R], [eqn: \S]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmQRS`]의 넓이는?

① [eqn: 4]	② [eqn: {9} over {2}]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: {11} over {2}]	⑤ [eqn: 6]

[출처]	2016 모의_공공 경찰대 고3 07월 14

두 곡선 [eqn: y=2x^2 +6], [eqn: y=`-x^2 `]에 모두 접하고 기울기가 양수인 직선 [eqn: l `]이 있다. 직선 [eqn: l `]과 곡선 [eqn: y=2x^2 +6 `]의 접점을 [eqn: rmP], 직선 [eqn: l `]과 곡선 [eqn: y=`-x^2 `]의 접점을 [eqn: rmQ `]라 할 때, 선분 [eqn: rmPQ `]의 길이는?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: l`:`y=ax+b]라 하자.

[eqn: l]이 두 곡선 [eqn: y=2x^2 +6 ,``y=-x^2``]에 접하므로 판별식을 이용하면, [eqn: a ^{2} -48+8b=0``,``a ^{2} -4b=0]이고 이를 풀면 [eqn: a=4`,`b=4]이다.[eqn: (a>0)]

따라서 직선이 [eqn: y=4x+4]이고

두 곡선의 도함수가 [eqn: y'=4x``,`y`'=-2x]이며 접선의 기울기가 [eqn: 4]이므로 [eqn: {rmP}(1`,`8)`,`{rmQ}(-2`,`-4)]이다.

따라서 [eqn: {rmPQ=3 sqrt {17}]이다.

① [eqn: 2 sqrt {31}]	② [eqn: 8 sqrt {2}]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 5 sqrt {6}]	⑤ [eqn: 3 sqrt {17}]

04 수2	04 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
04 활용4 (곡선과 원의 접선)

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 13

곡선 [eqn: y=x^{3}+1] 위의 점 [eqn: (1,``2)]에서의 접선을 [eqn: l]이라 하자. 중심이 [eqn: y]축 위에 있는 원이 점 [eqn: (1,``2)]에서 직선 [eqn: l]에 접할 때, 이 원의 넓이는?

[정답] ④

[해설]

그림과 같이 원의 반지름의 기울기가 [eqn: -{1} over {3}]이므로

중심은 [eqn: left(0,``2+{1} over {3} right)]

따라서 반지름 [eqn: r]에 대하여

[eqn: S= left(1+{1} over {9} right) pi={10} over {9} pi]

① [eqn: {5} over {9} pi]	② [eqn: {8} over {9} pi]	③ [eqn: pi]

④ [eqn: {10} over {9} pi]	⑤ [eqn: {13} over {9} pi]

04 수2	04 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
05 활용5 (함수 구하기)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 09월

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

조건 (나)의 부등식에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: 0 leq f(1) leq 0]이므로 [eqn: f(1)=0]

[eqn: x>1]일 때,

[eqn: {6 x-6} over {x-1} leq {f(x)-f(1)} over {x-1} leq {2 x^{3}-2} over {x-1}]에서

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1+} {6 x-6} over {x-1}= lim _{x ``rarrow`` 1+} {6(x-1)} over {x-1}=6], [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1+} {2 x^{3}-2} over {x-1}= lim _{x ``rarrow`` 1+} {2(x-1) left(x^{2}+x+1 right)} over {x-1}=6]

이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1+} {f(x)-f(1)} over {x-1}=6]

따라서 다항함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하므로

[eqn: f `prime (1)=6]

조건 (나)에 의하여 다항함수 [eqn: f(x)]는 일차함수 또는 이차함수 또는 삼차함수이다.

(i) [eqn: f(x)]가 일차함수인 경우
[eqn: f(x)=x-3]이고, [eqn: f `prime (x)=1]
[eqn: f `prime (1)=1 neq 6]이므로 조건을 만족시키는 일차함수는 존재하지 않는다.

(ii) [eqn: f(x)]가 이차함수인 경우
[eqn: f(x)=x^{2}+a x-3]( [eqn: a]는 상수)로 놓으면 [eqn: f(1)=0]이므로 [eqn: a=2][eqn: f(x)=x^{2}+2 x-3], [eqn: f `prime (x)=2 x+2]
[eqn: f `prime (1)=4 neq 6]이므로 조건을 만족시키는 이차함수는 존재하지 않는다.

(iii) [eqn: f(x)]가 삼차함수인 경우
[eqn: f(x)=x^{3}+b x^{2}+c x-3(b,`` c]는 상수 [eqn: )]로 놓으면 [eqn: f(1)=0]이므로 [eqn: b+c=2 ~ cdots cdots]㉠
[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}+2 b x+c]에서
[eqn: f `prime (1)=6]이므로 [eqn: 2 b+c=3][eqn: cdots cdots] ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: b=1], [eqn: c=1]이므로 [eqn: f(x)=x^{3}+x^{2}+x-3]

(i), (ii), (iii)에서 [eqn: f(x)=x^{3}+x^{2}+x-3]이므로 [eqn: f(3)=27+9+3-3=36]

(가) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =`-3]

(나) 모든 양의 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: 6x-6 LEQ f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 2x ^{3} -2 `]이다.

① [eqn: 36]	② [eqn: 38]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 44]

[출처]	2015 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]가 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rm A]라 하자. 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: rm A]에서의 접선을 [eqn: l]이라 할 때, 직선 [eqn: l]이 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]와 만나는 점 중에서 [eqn: rm A]가 아닌 점을 [eqn: rm B]라 하자. 또, 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: rm B]에서의 접선을 [eqn: m]이라 할 때, 직선 [eqn: m]이 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]와 만나는 점 중에서 [eqn: rm B]가 아닌 점을 [eqn: rm C]라 하자. 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]이 서로 수직이고 직선 [eqn: m]의 방정식이 [eqn: y=x]일 때, 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: rm C]에서의 접선의 기울기는? (단, [eqn: f(0)>0]이다.)

[정답] ②

[해설]

점 [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: b], [eqn: c]라 하면

직선 [eqn: m]과 곡선 [eqn: y=f(x)]가 두 점 [eqn: rm B], [eqn: rm C]에서 만나고 [eqn: f(x)]가 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수이므로

[eqn: f(x)-x =(x-b)^2 (x-c)]	⋯⋯ ㉠

로 놓을 수 있다.

점 [eqn: rm B]는 직선 [eqn: y=x] 위의 점이므로 좌표는 [eqn: (b, ``b)]이다.

직선 [eqn: l]은 점 [eqn: rm B]를 지나며 직선 [eqn: y=x]와 수직이므로 기울기가 [eqn: -1]이다.  따라서 직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y=-x+2b]이다.

점 [eqn: rm A]는 직선 [eqn: l]의 [eqn: y]절편이므로 점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: (0, ``2b)], 즉 [eqn: f(0)=2b]이다.

문제의 조건에서 [eqn: f(0)>0]이므로 [eqn: b>0]이다.

㉠의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: f(0)][eqn: =-b^2 c =2b]

∴ [eqn: bc =-2] (∵ [eqn: b>0])	⋯⋯ ㉡

직선 [eqn: l]은 점 [eqn: rm A]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]와 접하므로 [eqn: f`'(0)=-1]이다.

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(x)-1 = 2(x-b)(x-c)+(x-b)^2]	⋯⋯ ㉢

㉢의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: f`'(0)-1][eqn: =2bc+b^2][eqn: =-2]

[eqn: b^2 =2] (∵ ㉡)

∴ [eqn: b= sqrt { 2}] (∵ [eqn: b>0])

[eqn: b= sqrt { 2}]를 ㉡에 대입하면 [eqn: c=- sqrt { 2}]

구하는 값은 [eqn: f`'(c)]이므로 ㉢에 [eqn: x=c]를 대입하면

[eqn: f`'(c)-1 = (c-b)^2 = (-2 sqrt { 2})^2 =8]

∴ [eqn: f`'(c)=9]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 07월 17

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,`` 4 RIGHT ) `]에서의 접선이 점 [eqn: LEFT ( -1,`` 1 RIGHT ) `]에서 이 곡선과 만날 때, [eqn: f prime LEFT (3 RIGHT ) `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+c``]라 하면

[eqn: f `'(x) = 3x^2 + 2ax + b]

이고, 두 점 [eqn: (2,~4)`], [eqn: (-1,~1)`]을 지나는 직선의 방정식이 [eqn: y=x+2`]이므로

[eqn: f(2) = 4`]에서 [eqn: 4a+2b+c=it-4]	[eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: f(-1) = 1`]에서 [eqn: a-b+c = 2]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: f`` prime (2)=1`]에서 [eqn: 4a+b=it-11]	[eqn: cdots cdots] ㉢

㉠, ㉡, ㉢ 에 의하여 [eqn: a=it-3`], [eqn: b=1`], [eqn: c=6]

[eqn: f`'(x) = 3x^2 -6x +1]

따라서 [eqn: f`'(3) = 10]

[다른 풀이]

두 점 [eqn: (2,~4)`], [eqn: (-1,~1)`]을 지나는 직선의 방정식이 [eqn: y=x+2`]이므로

[eqn: f(x)-(x+2)= (x-2)^2 (x+1)]

[eqn: f(x) =x^3 -3x^2 +x+6]

[eqn: f` prime (x)=3x ^{2} -6x+1]

따라서 [eqn: f` prime (3)=10]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 10

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]에서의 접선과 곡선 [eqn: y=xf LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )]에서의 접선이 일치할 때, [eqn: f`prime LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: (0,``0)]이 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점이므로 [eqn: f(0)=0]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (0,``0)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-0=f `prime (0)(x-0)], [eqn: y=f `prime (0) x ~ cdots cdots] ㉠

점 [eqn: (1,``2)]가 곡선 [eqn: y=x f(x)] 위의 점이므로

[eqn: 1 times f(1)=2], [eqn: f(1)=2]

[eqn: y=x f(x)]에서 [eqn: y `prime =f(x)+x f `prime (x)]이므로

곡선 [eqn: y=x f(x)] 위의 점 [eqn: (1,``2)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-2= left{ f(1)+f `prime (1) it right} (x-1)], [eqn: y= left{ f `prime (1)+2 it right} (x-1)+2]

[eqn: y= left{ f `prime (1)+2 it right} x-f `prime (1) ~ cdots cdots] ㉡

[eqn: f(x)]는 삼차함수이므로

[eqn: f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d(a,`` b,`` c,`` d]는 상수, [eqn: a neq 0)]이라 하면 [eqn: f(0)=0]에서 [eqn: d=0]

이때 [eqn: f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x]이므로

[eqn: f(1)=2]에서 [eqn: a+b+c=2 ~ cdots cdots] ㉢

한편, ㉠, ㉡에서 두 접선이 일치하므로

[eqn: f `prime (0)=f `prime (1)+2]이고 [eqn: -f `prime (1)=0]

즉, [eqn: f `prime (1)=0], [eqn: f `prime (0)=2]

[eqn: f `prime (x)=3 a x^{2}+2 b x+c]이므로

[eqn: f `prime (0)=2]에서 [eqn: c=2]

이때 [eqn: f `prime (x)=3 a x^{2}+2 b x+2]이므로

[eqn: f `prime (1)=0]에서 [eqn: 3 a+2 b+2=0 ~ cdots cdots] ㉣

㉢에 [eqn: c=2]를 대입하면 [eqn: a+b=0 ~ cdots cdots] ㉤

㉣, ㉤을 연립하여 풀면 [eqn: a=-2], [eqn: b=2]

따라서 [eqn: f `prime (x)=-6 x^{2}+4 x+2]이므로

[eqn: f `prime (2)=-24+8+2=-14]

① [eqn: -18]	② [eqn: -17]	③ [eqn: -16]

④ [eqn: -15]	⑤ [eqn: -14]

04 수2	04 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
06 활용6 (정의된 함수)

[출처]	2009 모의_공공 사관학교 고3 07월 18

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x^2] 위의 점 [eqn: {rm P} LEFT ( 2a ,`` 4a^2 RIGHT ) `]에서의 접선 [eqn: l`]이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm A`]라 하고, 점 [eqn: rm A`]를 지나고 접선 [eqn: l`]에 수직인 직선이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rm B`]라 하자. 삼각형 [eqn: rm OAB`]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r(a)`]라 할 때, [eqn: lim from a->inf ``r(a)]의 값은? (단, [eqn: a >0`], [eqn: rm O`]는 원점이다.)

[정답] ③

[해설]

[eqn: f'(x)=2x``]이므로 점 [eqn: rmP``]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=4a(x-2a)+4a^2 =4ax-4a^2``]

이고 점 [eqn: {rmA}``]의 좌표는 [eqn: (a,```0)``]이다. 점 [eqn: rmA``]를 지나고 직선 [eqn: l``]에 수직인 직선의 방정식은

[eqn: y=- 1 over 4a (x-a)``]

[eqn: x+4ay-a=0``]	…… ㉠

따라서 점 [eqn: rmB``]는 [eqn: left(0,```1 over 4 right)``]이다.

삼각형 [eqn: rmOAB``]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: (r,```r)``]이라 하면 직선 ㉠까지의 거리가 [eqn: r``]이므로

[eqn: {|``r+4ar-a``|} over sqrt{1+16a^2}=r``]

[eqn: |``r+4ar-a``|^2 =r^2 (1+16a^2 )``]

[eqn: r^2 +16a^2 r^2 +a^2 +8ar^2 -8a^2 r -2ar=r^2 +16a^2 r^2``]

[eqn: 8ar^2 -2a(1+4a)r+a^2 =0``]

[eqn: a left{8r^2 -2(1+4a)r +a right}=0``]

[eqn: a>0``]이므로

[eqn: r= {(1+4a)-sqrt{(1+4a)^2 -8a}} over 8``]

[eqn: therefore````][eqn: r= {(1+4a)-sqrt{1+16a^2}} over 8``] ([eqn: because`````][eqn: 0<r<a])

따라서

[eqn: lim_{a->inf}``r(a)=lim_{a->inf}``{(1+4a)-sqrt{1+16a^2}} over 8`]

[eqn: =lim_{a->inf}``{8a} over {8left{(1+4a)+sqrt{1+16a^2}right}}= 1 over 8]

[eqn: rm O]

[eqn: {rm P}(2a, ``4a^2 )]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: x]

[eqn: y]

•

[eqn: y=x^2]

[eqn: l]

① [eqn: {sqrt {3}} over {6}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {4}]	③ [eqn: {1} over {8}]

④ [eqn: {1} over {6}]	⑤ [eqn: {3} over {16}]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 11월 21

좌표평면에서 삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx]와 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,~f(t))]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmP]라 할 때, 원점에서 점 [eqn: rmP]까지의 거리를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: f(x)]와 함수 [eqn: g(t)]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: f(1)=2]이므로    [eqn: 1+a+b=2]

[eqn: THEREFORE `a+b=1]                    …… ㉠

[eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx]에서

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} +2ax+b]

따라서 점 [eqn: (t,~f(t))], 즉 [eqn: (t,~t ^{3} +at ^{2} +bt)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-(t ^{3} +at ^{2} +bt)=(3t ^{2} +2at+b)(x-t)]

이므로 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: (0,~-2t ^{3} -at ^{2} )]이다.

[eqn: THEREFORE `g(t)=|`-2t ^{3} -at ^{2} `|=t ^{2} `|`2t+a`|]

함수 [eqn: g(t)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 [eqn: - {a} over {2} =0]이어야 하므로    [eqn: a=0]

[eqn: a=0]을 ㉠에 대입하면    [eqn: b=1]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{3} +x]이므로

[eqn: f(3)=3 ^{3} +3=30]

(가) [eqn: f(1)=2]

(나) 함수 [eqn: g(t)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

[eqn: f(3)]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.)

① [eqn: 21]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 33]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 9

삼차함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^7^경찰대^중}}][eqn: =x ^{3} +x ^{2}]의 그래프 위의 두 점 [eqn: LEFT ( t ,```` f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]와 [eqn: LEFT ( t+1 ,```` f LEFT ( t+1 RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: y]절편을 각각 [eqn: g _{1} LEFT ( t RIGHT )]와 [eqn: g _{2} LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )][eqn: = left |`` g _{1} LEFT ( t RIGHT ) -g _{2} LEFT ( t RIGHT ) ``right |]의 최솟값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: f '(x)=3x^{2}+2x]이고, [eqn: (t ,```` f(t))]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=(3t^{2}+2t)(x-t)+t^{3}+t^{2}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: (t+1 ,```` f(t+1))]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=(3(t+1)^{2}+2(t+1))(x-t-1)+(t+1)^{3}+(t+1)^{2}]

[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서 각각의 [eqn: y]절편 [eqn: g_1 (t) , ````g_2 (t)]를 구하면

[eqn: g_{1}(t)=-2t^{3}-t^{2}], [eqn: g_{2}(t)=-2(t+1)^{3}-(t+1)^{2}]

[eqn: therefore][eqn: h(t)][eqn: = ``|`` g_{1}(t)-g_{2}(t) ``|``]
[eqn: = ``|`` 6t^{2}+8t+3 ``|``]
[eqn: = left|``6 left (t+ 2over 3 right) ^2 + 1 over 3 ``right|]

따라서 [eqn: h(t)]의 최솟값은 [eqn: t=-{2}over{3}]일 때 [eqn: {1}over{3}]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

04 수2	04 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
07 활용7 (추론과 이해)

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 7

삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x LEFT (x-1 RIGHT ) LEFT (ax+1 RIGHT ) `]의 그래프 위의 점 [eqn: rmP LEFT ( 1,`` 0 RIGHT )`]을 접점으로 하는 접선을 [eqn: l `]이라 하자. 직선 [eqn: l `]에 수직이고 점 [eqn: rmP`]를 지나는 직선이 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]와 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 [eqn: a`]의 값의 범위는?

[정답] ③

[해설]

주어진 함수는 삼차함수이므로 [eqn: a not=0]

[eqn: f``'(x) = (x-1)(ax+1)+x(ax+1)][eqn: +ax(x-1)]

이므로 점 P(1, 0)에서의 접선 [eqn: l]의 기울기는

[eqn: f``'(1) = a+1]

또한 접선 [eqn: l]과 수직이면서 점 P(1, 0)을 지나는

직선의 방정식은 [eqn: y= - 1 over a+1 (x-1)] ([eqn: a not=-1])…㉠

따라서 ㉠과 곡선 [eqn: y=f(x)]가 서로 다른 세 점에서

만나야 하므로 [eqn: - 1 over a+1 (x-1) = x(x-1)(ax+1)]

[eqn: (x-1) ( ax^2 + x + 1 over a+1 ) = 0]

이 때 [eqn: ax^2 + x + 1over a+1 =0]은 [eqn: x=1]을 근으로 갖지 않으므로

[eqn: D = 1- 4a cdot 1 over a+1 = -3a+1 over a+1 >0]

[eqn: 3a-1 over a+1 <0], [eqn: (3a-1)(a+1)<0]

[eqn: therefore][eqn: -1<a<0] 또는 [eqn: 0<a< 1 over 3] ([eqn: ∵][eqn: a not=0])

① [eqn: -1＜a ＜- {1 _{ }} over {3}] 또는 [eqn: 0＜a ＜1]

② [eqn: - {1 _{ }} over {3} ＜a ＜0] 또는 [eqn: 0＜a ＜1]

③ [eqn: -1＜a ＜0] 또는 [eqn: 0＜a ＜ {1 _{ }} over {3}]

④ [eqn: -1＜a ＜0] 또는 [eqn: {1 _{ }} over {3} ＜a ＜1]

⑤ [eqn: -2＜a ＜- {1 _{ }} over {3}] 또는 [eqn: {1 _{ }} over {3} ＜a ＜2]

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 03월 30

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )=x^2 LEFT ( x-2 RIGHT )^2 `]이 있다. [eqn: 0≤x≤2 `]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEQ f prime LEFT ( t RIGHT ) LEFT (x-t RIGHT )+f LEFT ( t RIGHT ) `]를 만족시키는 실수 [eqn: t `]의 집합은 [eqn: LEFT { t `LEFT | it RIGHT .` p≤t≤q RIGHT }`]이다. [eqn: 36pq `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 32]

[해설]

직선 [eqn: y=f`'(t)(x-t)+f(t)]는 곡선 위의 점 [eqn: \P][eqn: (t,``f(t))]에서의 접선이므로 접선이 주어진 곡선의 위쪽에 놓이려면 접점은 곡선이 위로 볼록한 부분의 점이다.

그런데 위로 볼록한 부분에 있는 점에서의 접선 중에는 구간 [eqn: [`0,``2`]`]에서 [eqn: y=f(x)]의 그래프 아래쪽을 지나는 직선이 생길 수 있다.

그러므로 원점에서 그은 접선의 접점과 점 [eqn: (2,``0)]에서 그은 접선의 접점의 [eqn: x]좌표를 조사하면 된다.

[eqn: y=x^2 (x-2)^2`]에서 [eqn: y'=2x(x-2)^2 +2x^2 (x-2)][eqn: = 4x(x-1)(x-2)]

점 [eqn: (a,``f(a))]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-a^2 (a-2)^2 =4a(a-1)(a-2)(x-a)]

[eqn: x=0], [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: -a^2 (a-2)^2 =`-4a^2 (a-1)(a-2)][eqn: THEREFORE][eqn: a= 2over3]

한편 곡선 [eqn: y=x^2 (x-2)^2]은 직선 [eqn: x=1`]에 대하여 대칭이므로 점 [eqn: (2,``0)]에서 그은 접선의 접점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: b`]라 하면 [eqn: 2over3 + b=2`]에서 [eqn: b= 4over3]

따라서 주어진 부등식을 만족시키는 실수 [eqn: t]의 값의 범위는 [eqn: 2over3 ≤t≤ 4over3]이다.  [eqn: THEREFORE][eqn: 36pq = 36 ``·``2over3 ``·`` 4over3 = 32]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 29

두 실수 [eqn: a`]와 [eqn: k`]에 대하여 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는

[정답] [eqn: 32]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 [eqn: x=a]에서 미분가능해야 한다.

[eqn: lim _{x ``rarrow`` a-} {f(x)-f(a)} over {x-a}= lim _{x ``rarrow`` a-} {0-0} over {x-a}=0]이므로 [eqn: lim _{x ``rarrow`` a+} {f(x)-f(a)} over {x-a}= lim _{x ``rarrow`` a+} {(x-1)^{2}(2 x+1)} over {x-a}=0]에서

[eqn: x ``rarrow`` a+]일 때 [eqn: (]분모[eqn: ) ``rarrow`` 0]이고

극한값이 존재하므로 (분자) [eqn: ``rarrow`` 0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x ``rarrow`` a+}(x-1)^{2}(2 x+1)=0], [eqn: (a-1)^{2}(2 a+1)=0],

[eqn: a=-{1} over {2}] 또는 [eqn: a=1]

(i) [eqn: a=-{1} over {2}]일 때,

[eqn: lim _{x ``rarrow`` a+} {f(x)-f(a)} over {x-a}][eqn: = lim _{x ``rarrow``-{1} over {2}+} {(x-1)^{2}(2 x+1)} over {x- left(-{1} over {2} right)}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow``-{1} over {2}+} 2(x-1)^{2}={9} over {2} neq 0]

(ii) [eqn: a=1]일 때,

[eqn: lim _{x ``rarrow`` a+} {f(x)-f(a)} over {x-a}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1+} {(x-1)^{2}(2 x+1)} over {x-1}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1+}(x-1)(2 x+1)=0]

(i), (ii)에서 [eqn: a=1]

조건 (나)에 의하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프보다 위쪽에 있거나 접해야 한다.

[eqn: x>1]일 때,

함수 [eqn: f(x)=(x-1)^{2}(2 x+1)]의 그래프와 접하고 기울기가 [eqn: rm 12]인 접선의 접점을 [eqn: (m,`` f(m))(m>1)]이라 하자.

[eqn: f(x)=(x-1)^{2}(2 x+1)=2 x^{3}-3 x^{2}+1]이므로

[eqn: f `prime (x)=6 x^{2}-6 x]

[eqn: f `prime (m)=12]에서 [eqn: 6 m^{2}-6 m=12], [eqn: m^{2}-m-2=0], [eqn: (m+1)(m-2)=0]

[eqn: m>1]에서 [eqn: m=2]이므로 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (2,``5)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: rm 12]인 접선의 방정식은 [eqn: y-5=12(x-2)], 즉 [eqn: y=12 left(x-{19} over {12} right)]

따라서 [eqn: k geq {19} over {12}]에서 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: {19} over {12}]이므로 [eqn: a+p+q=1+12+19=32]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`0~&LEFT ( x LEQ a RIGHT )#` LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( 2x+1 RIGHT ) ~~&LEFT ( x>a RIGHT )}}],
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`0&LEFT ( x LEQ k RIGHT )#`12 LEFT ( x-k RIGHT ) ~~&LEFT ( x>k RIGHT )}}]

이고, 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQg LEFT ( x RIGHT )`]이다.

[eqn: k]의 최솟값이 [eqn: {q} over {p}`]일 때, [eqn: a+p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

함수 [eqn: f(x) = (x - 2)^{3}]과 두 실수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: (-1, ``-27)], [eqn: (1, ``-1)]으로부터 [eqn: m = { (-1) - (-27)} over {1 - (-1)][eqn: = 13]

ㄱ.                                 ㄴ.

ㄴ. [eqn: x = a]에서의 접선이 점 [eqn: (-a,`` (-a-2)^3 )]을 지날 때이므로

[eqn: f``'(x)= 3(x-2)^2]에서 [eqn: m = f``'(a) = 3(a-2)^3]

[eqn: y = 3(a-2)^2 ( x - a) + (a-2)^3]

점 [eqn: (-a, ``(-a-2)^3 )]을 대입하면

[eqn: -(a+2)^3 = - 6a ( a-2)^2 + (a-2)^3], [eqn: 4a^3 - 24a^2 = 0], [eqn: THEREFORE][eqn: a = 6]

ㄷ. [eqn: x = a]에서 접선은 [eqn: y = f``'(a) (x-a) + f(a)]이고,

[eqn: x = -a]에서 [eqn: y = f(a) - 2a f``'(a)]이다.

[eqn: y = mx+n]에서는 [eqn: x = -a`]이면 [eqn: y = n - ma]이다.

[eqn: f(a) - 2a f``'(a) > n - ma]를 만족시키려면 ㄴ의 결과에서

[eqn: 0 < a < 6]이므로 자연수 [eqn: a]의 개수는 5이다.

[eqn: g(x) =cases{`` {it}^{it}^{it}f(x){it}_{it}_{it} &{it}^{it}^{it}( LEFT |` x `RIGHT | < a){it}_{it}_{it}#`` {it}^{it}^{it}mx + n{it}_{it}_{it}&{it}^{it}^{it}( LEFT |` x `RIGHT | ≥ a){it}_{it}_{it}}] ([eqn: a > 0])

이라 하자. 함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a = 1]일 때, [eqn: m = 13]이다. ㄴ. 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]가 [eqn: x=a`]에서 미분가능할 때, [eqn: m = 48 `]이다. ㄷ. [eqn: f LEFT (a RIGHT )- 2af prime LEFT (a RIGHT ) > n- ma `]를 만족시키는 자연수 [eqn: a `]의 개수는 [eqn: 5]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[준킬러][수학2] 2미분1(빠른 정답)
준킬러수2	2023.01.06

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold19]

[정답] ④

[정답] [eqn: 18]

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: bold28]

[정답] ①

[정답] [eqn: bold54]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold118`]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: bold13]

[정답] [eqn: rm 3]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] [eqn: {bold{32}}]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold186]

[정답] ③

[정답] [eqn: 97]

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ③

[정답] [eqn: 32]

[정답] [eqn: 32]

[정답] ⑤

[준킬러][수학2] 2미분1(해설)
준킬러수2	2023.01.06