	준킬러수2	[준킬러][수학2] 1극한
	01
		준킬러수2	2023.01.06

04 수2	01 함수의 극한
01 좌극한과 우극한
05 좌극한과 우극한5 (합성함수)

준킬러수2		준킬러수2
		[준킬러][수학2] 1극한
01

	준킬러수2		준킬러수2
	[준킬러][수학2] 1극한		01

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 8

두 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]와 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )`]의 그래프의 일부가 다음 그림과 같고, 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT (x+4 RIGHT )=f LEFT (x RIGHT )`]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ④

[해설]

ㄱ. [eqn: x -> 0-]일 때, [eqn: f(x) -> 0-]이므로
[eqn: lim _{x` -> `0-} {g(f(x))= lim _{t` -> `0-} {} g(t)=0}]
[eqn: x -> `0+]일 때, [eqn: f(x) -> 0+]이므로
[eqn: lim _{x -> `0+} {g(f(x))= lim _{t -> 0+} {} g(t)=-2}]
[eqn: lim _{x -> `0-} {g(f(x)) != lim _{x` -> `0+} {g(f(x))}}]이므로
[eqn: lim_x->0 g(f(x))]는 존재하지 않는다. (거짓)

ㄴ. [eqn: x -> 2-]일 때, [eqn: f(x)=1]이므로 [eqn: lim _{x -> 2+} {g(f(x))=g(1)=1}]
[eqn: x -> 2+]일 때, [eqn: f(x)=-1]이므로 [eqn: lim _{x -> 2+} {g(f(x))=g(-1)=1}]
[eqn: THEREFORE ``` lim _{x -> 2+} {g(f(x))=1}] (참)

ㄷ. [eqn: x->inf]일 때, [eqn: 1 overx ->+0]이므로
[eqn: lim _{x -> INF } {} g LEFT ( f LEFT ( 2k+ {1} over {x} RIGHT ) RIGHT ) = lim _{t` -> `2k+} {} g(f(x))]
또, [eqn: f(x+4) = f(x)]이므로 [eqn: lim _{t` -> `6+} {} g(f(t))= lim _{t` -> `2+} {} g(f(t))=1]
[eqn: lim _{t -> 8+} {} g(f(t))= lim _{t -> 4+} {} g(f(t))= lim _{t -> 0+} {} g(f(t))=-2]
[eqn: therefore```lim_x->inf sum_k=1^4 g LEFT ( f LEFT ( 2k+ 1 overx RIGHT ) RIGHT )][eqn: =lim_t->2+0 g(f(t)) + lim_t->4+0 g(f(t)) +lim_t->6+0 g(f(t)) +lim_t->8+0 g(f(t))]
[eqn: = 1+(-2)+1+(-2) =-2] (참)

[eqn: y=f LEFT (x RIGHT )]	[eqn: y=g LEFT (x RIGHT )]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{x`->` 0} { g LEFT (f LEFT (x RIGHT ) RIGHT )=`-2}] ㄴ. [eqn: lim _{x`->` 2} { g LEFT (f LEFT (x RIGHT ) RIGHT )=1}] ㄷ. [eqn: lim _{x`->` INF } { sum _{k=1} ^{4} g LEFT ( f LEFT ( 2k+ {1} over {x} RIGHT ) RIGHT ) =`-2}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	01 함수의 극한
01 좌극한과 우극한
07 좌극한과 우극한7 (추론)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 12

함수

[정답] ①

[해설]

(ⅰ) [eqn: alpha=2]일 때,
[eqn: f left(alpha)=f left(2right)=5], [eqn: lim_{x`->`alpha+}f left(x right)=lim_{x`->`2+}left(ax+b right)=2a+b]
이므로 [eqn: 5+left(2a+b right)=4]에서
[eqn: 2a+b=it-1]	[eqn: cdotscdots] ㉠

(ⅱ) [eqn: alpha ne2]일 때,
[eqn: f left(alpha right)=lim_{x`->`alpha+}f left(x right)]이므로 [eqn: f left(alpha right)=2]
[eqn: alpha<2]일 때, [eqn: f left(alpha right)=alpha^2 +1=2]
[eqn: therefore][eqn: alpha=it-1] 또는 [eqn: alpha=1]
[eqn: alpha>2]일 때, [eqn: f left(alpha right)=a alpha+b=2]	[eqn: cdotscdots] ㉡

이상에서 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) + lim _{x` rarrow `alpha+} {} f LEFT ( x RIGHT ) =4`]를 만족시키는 실수 [eqn: alpha]의 개수가 [eqn: 4]이고, 이 네 수의 합이 [eqn: 8]이어야 하므로 [eqn: alpha>2]일 때의 [eqn: alpha]의 값은 [eqn: 6]이어야 한다.

[eqn: alpha=6]을 ㉡에 대입하면 [eqn: 6a+b=2]	[eqn: cdotscdots] ㉢

㉠, ㉢을 연립하면 [eqn: a= 3over4], [eqn: b= it- 5over2]

[eqn: therefore][eqn: a+b=it- 7over4]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`x ^{2} +1&~ LEFT ( x LEQ 2 RIGHT )#`ax+b&~ LEFT ( x>2 RIGHT )}} `]

에 대하여 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) + lim _{x` rarrow `alpha+} {} f LEFT ( x RIGHT ) =4`]를 만족시키는 실수 [eqn: alpha`]의 개수가 [eqn: 4`]이고, 이 네 수의 합이 [eqn: 8`]이다. [eqn: a+b`]의 값은?

(단, [eqn: a,~b`]는 상수이다.)

① [eqn: - {7} over {4}]	② [eqn: - {5} over {4}]	③ [eqn: - {3} over {4}]

④ [eqn: - {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {4}]

04 수2	01 함수의 극한
02 극한의 성질과 계산
08 부정형7 (부정형과 극한의 성질)

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 4

다항함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]에 대하여 극한값 [eqn: lim _{x `->` 1} {{g LEFT (x RIGHT )-2x _{ }} over {x-1}}`]가 존재한다. 다항함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가

[정답] ①

[해설]

[eqn: lim _{x -> 1} {{g(x)-2x} over {x-1}}]의 극한값이 존재하고 [eqn: x -> 1] 일 때 (분모)[eqn: -> 0]이므로 (분자)[eqn: -> 0]이어야 하고,  [eqn: g(x)]는 다항함수이므로 연속이다. 그러므로

[eqn: lim _{x -> 1} {LEFT { g(x)-2x RIGHT } =g(1)-2=0}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: g(1)`=2]	…… ㉠

[eqn: f(x)+x-1=(x-1)g(x)]에서

[eqn: f(x)`=`(x-1) LEFT { g(x)-1 RIGHT }]	…… ㉡

따라서 ㉠과 ㉡에 의해

[eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)g(x)} over {x ^{2} -1}}][eqn: = lim _{x -> 1} {{(x-1) LEFT { g(x)-1 RIGHT } g(x)} over {(x-1)(x+1)}}]
[eqn: = lim _{x -> 1} {{LEFT { g(x)-1 RIGHT } g(x)} over {x+1}}]
[eqn: = {LEFT { g(1)-1 RIGHT } g(1)} over {2}]
[eqn: = {(2-1) CDOT 2} over {2} =1]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )+x-1= LEFT (x-1 RIGHT )g LEFT (x RIGHT )`]

를 만족시킬 때, [eqn: lim _{x `->` 1} {} {f LEFT (x RIGHT ) g LEFT (x RIGHT ) _{ }} over {x ^{2} -1 ^{ }}`]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

04 수2	01 함수의 극한
03 극한식의 해석
03 해석3 (차수를 이용한 다항식 결정)

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 06월 19

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가

[정답] [eqn: bold10]

[해설]

[eqn: lim _{x -> 0+} {{x ^{3} f LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) -1} over {x ^{3} +x}}] 에서 [eqn: 1 over x = t]라 하면

[eqn: x -> 0+]일 때 [eqn: t-> inf] 이므로

[eqn: lim _{x -> 0+} {} {x ^{3} f LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) -1} over {x ^{3} +x}][eqn: = lim from { t ->inf } {1 over t^3 f(t) -1} over {1 over t^3 + 1 over t}][eqn: = lim from { t -> inf } {f(t)-t^3} over {t^2 + 1} = 5]

따라서 [eqn: f(t) = t^3 + 5t^2 + at + b]라 하면

[eqn: lim from { x ->1 } f(x) over {x^2 + x- 2} = 1 over 3] 에서 [eqn: x->1]일 때 (분모)[eqn: ->0] 이므로 (분자)[eqn: ->0]이어야 한다. 즉,

[eqn: lim from { x ->1 } f(x) = 1+5+a+b =0]

[eqn: therefore][eqn: a+b = -6]	…… ㉠

[eqn: lim from { x ->1 } f(x) over {x^2 + x- 2}][eqn: = lim from { x ->1 } {x^3 + 5x^2 + ax+ b} over {(x+2)(x-1)}]
[eqn: = lim from { x ->1 } {(x-1)(x^2 + 6x + a+6)} over {(x+2)(x-1)}][eqn: = lim from { x ->1 } {x^2 + 6x + a+6} over {x+2}]
[eqn: = a+13 over 3 = 1 over 3]

[eqn: therefore][eqn: a= -12]

따라서 ㉠에서 [eqn: b=6]이므로

[eqn: f(x)= x^3 + 5x^2 - 12x + 6]

[eqn: therefore][eqn: f(2) = 10]

[eqn: lim _{x `->` 0+ } {{x ^{ 3} f LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) - 1} over {x ^{ 3} + x } =5 }],
[eqn: lim _{x `->` 1 } { {f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{ 2} + x - 2 } = {1} over {3} }]

을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 9

두 다항함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )], [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim_x->inf { f(x)-2g(x)} over { x^2} =1]이므로
[eqn: f(x)-2g(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수이다.
[eqn: lim_x->inf { f(x)+3g(x)} over { x^3}=1]이므로
[eqn: f(x)+3g(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수이다.
[eqn: left{f(x)+3g(x) right}- left{ f(x)-2g(x)right} = 5 g(x)]이므로
[eqn: g(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1 over5]인 삼차함수이다.
∴ [eqn: lim_x->inf { g(x)} over { x^3} = 1 over5]

∴ [eqn: lim_x->inf { f(x)+g(x)} over { x^3}][eqn: =lim_x->inf left{{ f(x)+3g(x)} over { x^3} - 2g(x) overx^3 right}]
[eqn: =lim_x->inf {f(x)+3g(x)} over { x^3} -2times lim_x->inf g(x) overx^3]
[eqn: = 1- 2 over5][eqn: = 3 over5]

(가) [eqn: lim _{x `->` INF } {} {f LEFT (x RIGHT )-2g LEFT (x RIGHT )} over {x ^{2}} =1]

(나) [eqn: lim _{x `->` INF } {} {f LEFT (x RIGHT )+3g LEFT (x RIGHT )} over {x ^{3}} =1]

[eqn: lim _{x `->` INF } {} {f LEFT (x RIGHT )+g LEFT (x RIGHT )} over {x ^{3}}`]의 값은?

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {3} over {5}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: 1]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 11월 27

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]는 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold10]

[해설]

조건 (가)에서 부등식의 각 변을 [eqn: x ^{2}]으로 나누면

[eqn: {2x ^{2} -5x} over {x ^{2}} LEQ {f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2}} LEQ {2x ^{2} +2} over {x ^{2}}]

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {{2x ^{2} -5x} over {x ^{2}}} = lim _{x` -> ` INF } {{2x ^{2} +2} over {x ^{2}}} =2]이므로

[eqn: lim _{x`->`inf} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2}}} =2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 2]인 이차함수이다.

조건 (나)에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )]라 하자.

[eqn: lim _{x` -> `1} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} +2x-3}}][eqn: = lim _{x` -> `1} {{2 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )} over {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )}}]
[eqn: = {2 LEFT ( 1+a RIGHT )} over {4}][eqn: = {1} over {4}]

[eqn: THEREFORE ````a=`- {1} over {2}], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =10]

(가) [eqn: 2x ^{2} -5x LEQ f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 2x ^{2} +2]

(나) [eqn: lim _{x `->` 1} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} +2x-3} = {1} over {4}}]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 06월 28

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold60]

[해설]

(가)에서 모든 실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: lim _{x`-> `a} {{f LEFT ( x RIGHT ) -5x} over {x ^{2} -4}} `]의 값이 존재하므로 (분모)[eqn: -> ``0`]이면 (분자)[eqn: -> ``0`]이다.

[eqn: lim _{x`-> `a} {{f LEFT ( x RIGHT ) -5x} over {x ^{2} -4}} `]에서 [eqn: lim _{x-> 2} {LEFT ( x ^{2} -4 RIGHT ) =0}]이고 [eqn: lim _{x -> -2} {LEFT ( x ^{2} -4 RIGHT ) =0}]이므로 [eqn: lim _{x -> 2} {LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) -5x RIGHT )} =0]이고[eqn: lim _{x -> -2} {LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) -5x RIGHT )} =0]이다.

즉, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) -10=0`], [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) +10=0`]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다항함수이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -5x= LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) `]라 하자. (단, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 다항식)

(나)에서 [eqn: lim _{x -> ` INF } {LEFT ( sqrt {f LEFT ( x RIGHT )} -3x+1 RIGHT ) `= lim _{x -> ` INF } {LEFT ( sqrt {f LEFT ( x RIGHT )} - LEFT ( 3x-1 RIGHT ) RIGHT )}}]

[eqn: {= lim _{x -> ` INF } {{f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( 3x-1 RIGHT ) ^{2}} over {sqrt {f LEFT ( x RIGHT )} +3x-1}}}}]

의 값이 존재하기 위해서는 분모의 차수가 분자의 차수보다 크거나 같아야 하므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 9`]인 이차함수가 되어야 한다.

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -5x=9 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]이므로 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =`60`]이다.

(가) 모든 실수 [eqn: a `]에 대하여 [eqn: lim _{x `->` a} {{f LEFT ( x RIGHT ) -5x} over {x ^{2} -4}} `]의 값이 존재한다.

(나) [eqn: lim _{x `->` INF } { LEFT ( sqrt {f LEFT ( x RIGHT )} -3x+1 RIGHT )} `]의 값이 존재한다.

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 06월 20

다음 조건을 만족시키는 모든 다항함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) }{{from^2019^06^평가원고3나^중}}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 최댓값은?

[정답] ③

[해설]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,
[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {f(x)-4 x^{3}+3 x^{2}} over {x^{2}+1}=6],
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)} over {x}=4]
를 만족시키려면
[eqn: f(x)=4 x^{3}+3 x^{2}+a x ~ (a]는 상수[eqn: )]
의 꼴이어야 한다.
이때
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)} over {x}= lim _{x ``rarrow`` 0} left(4 x^{2}+3 x+a right)=a]
이므로 [eqn: a=4]
즉, [eqn: f(x)=4 x^{3}+3 x^{2}+4 x]이므로
[eqn: f(1)=4+3+4=11]

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때,
[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {f(x)-4 x^{3}+3 x^{2}} over {x^{3}+1}=6],
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)} over {x^{2}}=4]
를 만족시키려면
[eqn: f(x)=10 x^{3}+b x^{2} ~ (b]는 상수[eqn: )]
의 꼴이어야 한다.
이때
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)} over {x^{2}}= lim _{x ``rarrow`` 0}(10 x+b)=b]
이므로 [eqn: b=4]
즉, [eqn: f(x)=10 x^{3}+4 x^{2}]이므로
[eqn: f(1)=10+4=14]

(ⅲ) [eqn: n geq 3]일 때,
[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {f(x)-4 x^{3}+3 x^{2}} over {x^{n+1}+1}=6],
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)} over {x^{n}}=4]
를 만족시키려면
[eqn: f(x)=6 x^{n+1}+c x^{n}(c]는 상수[eqn: )]
의 꼴이어야 한다.
이때
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)} over {x^{n}}= lim _{x ``rarrow`` 0}(6 x+c)=c]
이므로 [eqn: c=4]
즉, [eqn: f(x)=6 x^{n+1}+4 x^{n}]이므로
[eqn: f(1)=6+4=10]

(ⅰ)[eqn: sim](ⅲ)에 의하여 구하는 [eqn: f(1)]의 최댓값은 [eqn: rm 14]

[eqn: lim _{x ``->`` INF } { {f LEFT ( x RIGHT ) -4x ^{3} +3x ^{2}} over {x ^{n+1} +1}} =6], [eqn: lim _{x ``->`` 0} { {f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{n}}} =4]인 자연수 [eqn: n]이 존재한다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

04 수2	01 함수의 극한
03 극한식의 해석
04 해석4 (인수를 이용한 다항식의 결정)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 06월

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 두 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )], [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: n=1]일 때, [eqn: lim _{x-> 1} {} `][eqn: {f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} =0] ……㉠

[eqn: n=2]일 때, [eqn: lim _{x -> 2} {} `][eqn: {f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} =0] ……㉡

[eqn: n=3]일 때, [eqn: lim _{x -> 3} {} `][eqn: {f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} =2] ……㉢

[eqn: n=4]일 때, [eqn: lim _{x -> 4} {} `][eqn: {f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} =6] ……㉣

조건 ㈎에서 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =0]이므로 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT )]로 놓을 수있다.

따라서 ㉠, ㉡에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-2 RIGHT )]이고

㉢에서 [eqn: {f LEFT ( 3 RIGHT )} over {g LEFT ( 3 RIGHT )} = {2} over {9+3a+b} =2]이므로 [eqn: 3a+b+8=0][eqn: cdots] ㉤

㉣에서 [eqn: {f LEFT ( 4 RIGHT )} over {g LEFT ( 4 RIGHT )} = {6} over {16+4a+b} =6]이므로

[eqn: 4a+b+15=0][eqn: cdots] ㉥

㉤, ㉥을 연립하여 풀면 [eqn: a=`-7], [eqn: b=13]

∴ [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -7x+13 RIGHT )]

따라서 구하는 [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT )]의 값은 [eqn: 4 TIMES 3=12]

(가) [eqn: g LEFT (1 RIGHT ) = 0]

(나) [eqn: lim from { x `->` n } {f LEFT (x RIGHT )} over {g LEFT (x RIGHT )} = LEFT (n-1 RIGHT ) LEFT (n-2 RIGHT )][eqn: LEFT ( n = 1,``2,``3,``4 RIGHT )]

[eqn: g LEFT (5 RIGHT )`]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 18

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 이차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim _{x rarrow `a} {} `f(x) != 0``]이면

[eqn: lim _{ x`->`a } { }` { f(x)-(x-a)} over { f(x)+(x-a)} =1 != { 3} over { 5}``]이므로

[eqn: lim _{ x-> a} { }f(x)=f(a)=0]

따라서 [eqn: a= alpha``]라 하면

[eqn: f(x)=(x- alpha)(x- beta)] 이므로

[eqn: lim _{ x`->`a } { }` { f(x)-(x-a)} over { f(x)+(x-a)}][eqn: =lim _{ x->` alpha } { }` { (x- alpha)(x- beta)-(x- alpha) } over {(x- alpha)(x- beta)+(x- alpha) }]
[eqn: =lim _{ x->` alpha } { } { (x- beta)-1 } over { (x- beta)+1 }]
[eqn: ={ alpha- beta-1 } over { alpha- beta+1 } = { 3} over {5 }]

즉, [eqn: 5( alpha- beta)-5 =3( alpha- beta)+3]

[eqn: 2( alpha- beta)=8] 이므로 [eqn: LEFT | `` alpha- beta`` RIGHT |``=4]

[eqn: lim _{ x `->` a } { } { f LEFT (x RIGHT )- LEFT (x-a RIGHT )} over { f LEFT (x RIGHT )+ LEFT (x-a RIGHT )} = { 3} over { 5}`]

을 만족시킨다. 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=0 `]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta `]라 할 때, [eqn: LEFT | alpha- beta RIGHT | `]의 값은? (단, [eqn: a `]는 상수이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 10월 17

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가

[정답] ④

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +cx+d`](단, [eqn: c]와 [eqn: d]는 상수이다.)

[eqn: lim _{x` -> `0} {` LEFT | x RIGHT | LEFT { f` LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) -f` LEFT ( - {1} over {x} RIGHT ) RIGHT }} `=a`]이므로

[eqn: lim _{x` -> `0+} {`x LEFT { f` LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) -f` LEFT ( - {1} over {x} RIGHT ) RIGHT }} `= lim _{x` -> `0-} {`(-x) LEFT { f` LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) -f` LEFT ( - {1} over {x} RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: {1} over {x} =t`]로 치환하면

[eqn: lim _{t` -> ` INF } {` {f LEFT ( t RIGHT ) -f LEFT ( -t RIGHT )} over {t}} =2c],

[eqn: lim _{t` -> `- INF } {` {f LEFT ( t RIGHT ) -f LEFT ( -t RIGHT )} over {-t}} =it-2c]

이므로 [eqn: c=0`], [eqn: a=0`]이고 [eqn: f(x)=x ^{`2} +d]

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {`f` LEFT ( {1} over {x} RIGHT )} = lim _{x` -> ` INF } {LEFT . LEFT ( {1} over {x ^{`2}} RIGHT . +d` RIGHT ) =d=3`}]이므로 [eqn: f(x)=x ^{2} +3]

따라서 [eqn: f(2)=2 ^{`2} +3=7]

[eqn: lim _{x `->` 0} { LEFT | x RIGHT | LEFT { f LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) -f LEFT ( - {1} over {x} RIGHT ) RIGHT }} =a],
[eqn: lim _{x `->` INF } { f LEFT ( {1} over {x} RIGHT )} =3 `]

을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: a `]는 상수이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 11월 14

상수항과 계수가 모두 정수인 두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 최댓값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ,~g LEFT ( x RIGHT )]가 다항함수이면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]도 다항함수이므로 조건 (가)에 의하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x ^{3} +ax ^{2} +bx+c] ([eqn: a,~b,~c]는 상수)

로 놓을 수 있다.

조건 (나)에서 [eqn: lim _{x` rarrow `0} {`} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2}} =it-4]

[eqn: x` rarrow `0]일 때 (분모)[eqn: ` rarrow `0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ` rarrow `0]이어야 한다.

[eqn: lim _{x` rarrow `0} {`} f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x` rarrow `0} {`} LEFT ( 2x ^{3} +ax ^{2} +bx+c RIGHT ) =c=0]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +ax ^{2} +bx]이고

[eqn: lim _{x` rarrow `0} {`} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2}} = lim _{x` rarrow `0} {`} {2x ^{3} +ax ^{2} +bx} over {x ^{2}} = lim _{x` rarrow `0} {`} LEFT ( 2x+a+ {b} over {x} RIGHT )]의 값이 존재하므로 [eqn: b=0]이다.

[eqn: lim _{x` rarrow `0} {`} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2}} = lim _{x` rarrow `0} {`} {2x ^{3} +ax ^{2}} over {x ^{2}} = lim _{x` rarrow `0} {`} LEFT ( 2x+a RIGHT ) =a=it-4]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} -4x ^{2} =2x ^{2} LEFT ( x-2 RIGHT )]

상수항과 계수가 모두 정수인 두 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ,~g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f(2)]의 값은

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} ,~g LEFT ( x RIGHT ) =x-2]

일 때 최대가 된다.

따라서 구하는 [eqn: f(2)]의 최댓값은 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2times2 ^{2} =8]

(가) [eqn: lim_{x `->` inf}`{f(x)g(x)}over{x^{3}}=2]

(나) [eqn: lim _{x` rarrow `0} {} ` {f(x)g(x)} over {x ^{2}} = it -4]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 20

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(5)]의 최댓값을 구하시오.

[정답] [eqn: 226]

[해설]

조건 (가)에 의하여

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0}|f(x)-1|=0]

이므로 삼차식 [eqn: f(x)-1]은 [eqn: x]를 인수로 갖는다.

이차식 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: f(x)-1=x g(x)]라 하자.

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} {|f(x)-1|} over {x}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0+} {|x g(x)|} over {x}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0+} {|x||g(x)|} over {x}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0+}|g(x)|=|g(0)|]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} {|f(x)-1|} over {x}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0-} {|x g(x)|} over {x}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0-} {|x||g(x)|} over {x}]
[eqn: =- lim _{x ``rarrow`` 0-}|g(x)|=-|g(0)|]

[eqn: |g(0)|=-|g(0)|]에서 [eqn: g(0)=0]

이차식 [eqn: g(x)]도 [eqn: x]를 인수로 가지므로

[eqn: f(x)-1=x^{2}(x+a) ~ (a]는 실수[eqn: )]라 하면

[eqn: f(x)=x^{3}+a x^{2}+1]

[eqn: x f(x) geq-4 x^{2}+x]에서

[eqn: x left(x^{3}+a x^{2}+1 right) geq-4 x^{2}+x]

[eqn: x^{4}+a x^{3}+4 x^{2} geq 0]

[eqn: x^{2} left(x^{2}+a x+4 right) geq 0]

[eqn: x^{2} geq 0]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: x^{2}+a x+4 geq 0]이 성립한다.

이차방정식 [eqn: x^{2}+a x+4=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D=a^{2}-16 leq 0]

[eqn: -4 leq a leq 4]

[eqn: f(5)=25 a+126]이므로 구하는 [eqn: f(5)]의 최댓값은

[eqn: a=4]일 때 [eqn: rm 226]이다.

(가) [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {|f(x)-1|} over {x}]의 값이 존재한다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x f(x) geq-4 x^{2}+x]이다.

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 19

최고차항의 계수가 양수인 다항함수 [eqn: {f(x) }]와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 그래프를 나타내는 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 그래프를 나타내는 함수가 [eqn: g(x)]이므로

[eqn: g(x) = f(-x)]	[eqn: cdotscdots] ㉠

조건 (가)에서 [eqn: lim_{x ``->`` 1} { f(x) over x-1}]의 극한값이 존재하고 (분모)[eqn: `->`0]이므로 (분자)[eqn: `->`0]이어야 한다.

따라서 [eqn: lim_{x`->`1}f left(x right)=0]

함수 [eqn: f left(x right)]는 다항함수이므로 [eqn: f(1) =0]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: lim_{x ``->`` 3} {f(x) over (x-3)g(x)} = k]에서 [eqn: k!=0]이므로 [eqn: f(3) =0]	[eqn: cdotscdots] ㉢

[eqn: lim_{x ``->`` -3+} { 1 over g'(x) } = inf]에서 [eqn: lim_{x ``->`` -3+} { g``'(x) } = 0]이므로

[eqn: lim_{x ``->`` 3-} { f``'(x) } = 0] 즉, [eqn: f``'(3) =0]	[eqn: cdotscdots] ㉣

㉡, ㉢, ㉣에서 [eqn: f(x) = (x-1)(x-3)^2 Q(x)]라 할 수 있다.

[eqn: lim_{x ``->`` 3} {f(x) over (x-3)g(x)} = k]에 대입하면

[eqn: lim_{x ``->`` 3} {(x-1)(x-3)^2 Q(x)} over{ (x-3) (-x-1)(-x-3)^2 Q(-x) } = k]

[eqn: lim_{x ``->`` 3} {(x-1)(x-3)Q(x)} over{ (x+1)(x+3)^2 Q(-x) } = k]	[eqn: cdotscdots] ㉤

그런데 [eqn: k!=0]이므로 분모가 [eqn: (x-3)]이라는 인수를 가지고 있어야 한다. 따라서 [eqn: Q( -x) = (x-3)q_1 (x)]

즉, [eqn: Q(x) = (x+3) q_2 (x)]이어야 한다.

따라서 [eqn: f(x) = (x-1)(x-3)^2 (x+3) q(x)]라 할 수 있다.

따라서 [eqn: f(x)]의 차수의 최솟값 [eqn: m]은 [eqn: q(x)]가 상수일 때이므로

[eqn: m=4]

㉤에 대입하면

[eqn: lim_{x ``->`` 3} {a(x-1)(x-3) (x+3)} over{ a (x+1)(x+3)^2 (x-3) } = k]

[eqn: lim_{x ``->`` 3} {(x-1)} over{ (x+1)(x+3) } = k]

[eqn: therefore][eqn: k = 1over 12]

[eqn: therefore][eqn: m+k = 4+ 1over 12 = 49 over 12 from 넘버41]

(가) [eqn: lim_{x ``->`` 1} { f(x) over x-1}]의 값이 존재한다.

(나) [eqn: lim_{x ``->`` 3} {f(x) over (x-3)g(x)} = k] ([eqn: k]는 [eqn: 0]이 아닌 상수)

(다) [eqn: lim_{x ``->`` -3+} { 1 over g'(x) } = inf]

[eqn: f(x)]의 차수의 최솟값이 [eqn: m]이다. [eqn: f(x)]의 차수가 최소일 때, [eqn: m+k]의 값은?

① [eqn: 10 over 3]	② [eqn: 43 over12]	③ [eqn: 23 over 6]

④ [eqn: 49 over12]	⑤ [eqn: 13 over 3]

04 수2	01 함수의 극한
04 극한의 활용
01 활용1 (좌표와 길이)

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 06월 20

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x^2 -2][eqn: LEFT (x GEQ 0 RIGHT ) `]의 역함수를 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]라 하고, 두 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]와 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT ) `]가 직선 [eqn: x=t][eqn: LEFT (t>2 RIGHT ) `]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rm Q `]라 하자. 선분 [eqn: rmPQ `]의 길이를 [eqn: h LEFT (t RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: lim _{t `->` 2+} {} { h LEFT (t RIGHT ) } over {t-2} `]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: x=t``]와 [eqn: y=f(x)`]가 만나는 점 [eqn: rmP``]의 좌표는

[eqn: (t`,```t^2 -2)``]이고

[eqn: x=t``]와 [eqn: y=g(x)`]가 만나는 점 [eqn: rmQ`]의 좌표는

[eqn: (t`,```roott+2 `)``]이므로

선분 [eqn: rmPQ`]의 길이는 [eqn: h(t)=t ^{2} -2- sqrt {t+2} ``]이다.

[eqn: lim _{t` -> `2+} {} {``h(t)``} over {t-2} = lim _{t` -> `2+} {} {t ^{2} -2- sqrt {t+2} `} over {t-2}]

[eqn: = lim _{t` -> `2+} {} {LEFT ( t ^{2} -4 RIGHT ) + LEFT ( 2- sqrt {t+2} ` RIGHT )} over {t-2} `]

[eqn: = lim _{t` -> `2+} {LEFT . LEFT { LEFT ( t+2 RIGHT ) + {2- sqrt {t+2}} over {t-2} RIGHT } ` RIGHT .}]

[eqn: = lim _{t` -> `2+} {LEFT . LEFT { LEFT ( t+2 RIGHT ) + {2-t} over {LEFT ( t-2 RIGHT ) LEFT ( 2+ sqrt {t+2} RIGHT )} RIGHT } ` RIGHT .} = {15} over {4} `]

[다른 풀이]

[eqn: lim _{t` -> `2+} {} {``h(t)``} over {t-2} = lim _{t` -> `2+} {} {t ^{2} -2- sqrt {t+2} `} over {t-2}]

[eqn: = lim _{t` -> `2+} {} {(t ^{2} -2- sqrt {t+2} )(t ^{2} -2+ sqrt {t+2} )} over {(t-2)(t ^{2} -2+ sqrt {t+2} )}]

[eqn: = lim _{t` -> `2+} {} {(t-2)(t ^{3} +2t ^{2} -1)} over {(t-2)(t ^{2} -2+ sqrt {t+2} )}]

[eqn: = lim _{t` -> `2+} {} {t ^{3} +2t ^{2} -1} over {t ^{2} -2+ sqrt {t+2}} = {15} over {4} `]

① [eqn: {7} over {4}]	② [eqn: {9} over {4}]	③ [eqn: {11} over {4}]

④ [eqn: {13} over {4}]	⑤ [eqn: {15} over {4}]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 04월 14

세 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {x+2}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =`- sqrt {x-2} +2], [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =x`]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ②

[해설]

점 [eqn: rm P LEFT ( it `a,``a RIGHT )]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선 [eqn: y=a`]와

두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점은 각각 [eqn: rm A LEFT ( ` it a ^{2} -2,``a RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( ` it a ^{2} -4a+6,`` it a RIGHT )]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: {bar{rm AB it}} = it LEFT ( a ^{2} -4a+6 RIGHT ) - LEFT ( a ^{2} -2 RIGHT ) =`-4a+8`]

점 [eqn: rm B]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선 [eqn: x=a ^{2} -4a+6]과

함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점은
[eqn: rm C LEFT ( it `a ^{2} -4a+6,``a ^{2} -4a+6 RIGHT )]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: {bar{rm BC it}} = LEFT ( it a ^{2} -4a+6 RIGHT ) -a`=a ^{2} -5a+6`]

따라서

[eqn: lim _{a` -> `2-} {{{bar{rm BC it}}} over {{bar{rm AB it}}} `} = lim _{a` -> `2-} {{it a ^{2} -5a+6} over {-4a+8}}]

[eqn: = lim _{a` -> `2-} {{it LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( a-3 RIGHT )} over {-4 LEFT ( a-2 RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{a` -> `2-} {{a-3} over {-4} = {1} over {4}}]

함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프 위의 점 [eqn: rm P LEFT ( it a,`` a RIGHT )`]를 지나고 [eqn: x `]축에 평행한 직선이 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm A],
함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm B`]라 하자.
점 [eqn: rm B`]를 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이 함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm C`]라 할 때, [eqn: lim _{a `->` 2-} {{{bar{rm BC it}}} over {{bar{rm AB it}}} } `]의 값은?
(단, [eqn: 0<a<2])

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 09월 18

그림과 같이 제 [eqn: 1 `]사분면 위에 있는 점 [eqn: rmA `]와 [eqn: x `]축 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rm B], [eqn: rm C `]를 꼭짓점으로 하고 [eqn: {bar{rm AB it}} = {bar{rm AC it}} `]인 삼각형 [eqn: rmABC `]의 무게중심 [eqn: rm G `]가 곡선 [eqn: y= {1} over {x}] 위에 있다. 점 [eqn: rm G `]의 [eqn: x `]좌표가 [eqn: t], 삼각형 [eqn: rmABC `]의 넓이가 [eqn: 3t `]일 때, 선분 [eqn: rmBC `]의 길이를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]라 하자. [eqn: lim _{t `->` 1} { {f LEFT ( t RIGHT ) -2t} over {t-1}} `]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: rmG left(itt,~ 1 overt right)]이므로 [eqn: rm A it ` LEFT ( t,~ {3} over {t} RIGHT )]

[eqn: 3t= {1} over {2} times f(t) TIMES {3} over {t}]이므로    [eqn: f(t)=2 t^2]

[eqn: lim _{t -> 1} {` {f LEFT ( t RIGHT ) -`2t} over {t`-1}} = lim _{t -> 1} {` {2t ^{2} -2t} over {t-1}}]

[eqn: = lim _{t -> 1} {{2t(t-1)} over {t-1} `= lim _{t -> 1} {`2t} `=`2}]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 09월 28

그림과 같이 무리함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= sqrt {x} `]의 그래프가 직선 [eqn: y=x `]와 만나는 두 점 중에서 원점 [eqn: rmO `]가 아닌 점을 [eqn: RMA `]라 하고, 점 [eqn: rmA `]를 지나고 직선 [eqn: y=x `]와 수직인 직선이 [eqn: x `]축과 만나는 점을 [eqn: rm B `]라 하자. 직선 [eqn: x=t `]가 직선 [eqn: y=x `]와 만나는 점을 [eqn: rm P], 직선 [eqn: x=t `]가 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rmQ], 직선 [eqn: y=t `]가 직선 [eqn: rm AB `]와 만나는 점을 [eqn: rm R `]라 하자. 삼각형 [eqn: rmOAQ `]와 삼각형 [eqn: rm PBR `]의 넓이를 각각 [eqn: S` LEFT ( t RIGHT )], [eqn: T` LEFT ( t RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: lim _{t `->` 1-} {{T` LEFT ( t RIGHT )} over {S` LEFT ( t RIGHT )}} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<t<1])

[정답] [eqn: bold{4} `]

[해설]

[eqn: rm A LEFT ( 1,`1 RIGHT )]를 지나고 직선 [eqn: y=x`]와 수직인 직선은 [eqn: y= `- x+2`]

이므로 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 2]이다.

[eqn: rmP (itt,~t )`]이므로 [eqn: rm Q LEFT ( it t,` sqrt {t} RIGHT )]이고, [eqn: rmR`]는 직선

[eqn: y= `- x+2`] 위의 점이므로 [eqn: rmR(it-t+2 , ~t)]

[eqn: rm {bar{QP}} `=` it sqrt {t} -t,`` {bar{rm PR it}} `=`-2t+2]이므로

[eqn: it S(t)= {1} over {2} TIMESleft{t+(1-t)right} TIMES LEFT ( sqrt {t} -t RIGHT ) = {1} over {2} LEFT ( sqrt {t} -t RIGHT )]

[eqn: it T(t)= {1} over {2} TIMES t TIMES LEFT ( -2t+2 RIGHT ) =`t-t ^{2}]

[eqn: lim _{t -> 1-} {{t-t ^{2}} over {{1} over {2} LEFT ( sqrt {t} -t RIGHT )}} = lim _{t -> 1-} {{2 LEFT ( t-t ^{2} RIGHT ) LEFT ( sqrt {t} +t RIGHT )} over {LEFT ( t-t ^{2} RIGHT )}} =4]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 11월 18

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x^2] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( t,`` t ^{2} RIGHT )][eqn: LEFT ( 0<t<1 RIGHT ) `]에서의 접선 [eqn: l `]이 [eqn: x `]축과 만나는 점을 [eqn: rm Q], 점 [eqn: rm P `]에서 [eqn: x `]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm R `]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm PQR `]의 넓이를 [eqn: f LEFT (t RIGHT ) `]라 하자. 또한, 점 [eqn: rm P `]를 지나고 기울기가 [eqn: -1 `]인 직선 [eqn: m `]이 곡선 [eqn: y=rootx `]와 만나는 점을 [eqn: rm A `]라 할 때, 선분 [eqn: rm PA `]를 대각선으로 하는 정사각형 [eqn: rm PCAB `]의 넓이를 [eqn: g LEFT (t RIGHT ) `]라 하자. [eqn: lim _{t `->` 0+} {} {t TIMES g LEFT (t RIGHT )} over {f LEFT (t RIGHT )} `]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: {rmR}(t,~0)`]이고, 점 [eqn: {rmP}(t,~t^2 )`]에서의 접선 [eqn: l`]의 방정식은

[eqn: y=2t(x-t)+t^2 = 2tx -t^2]

[eqn: x`]절편은 [eqn: t over 2 `]이므로 [eqn: {rmQ} LEFT ( t over 2`,~0 RIGHT )`]

[eqn: rm bar{QR} = it {t} over {2} ,][eqn: rm bar PR = it t^2]

따라서 삼각형 [eqn: rm PQR`]의 넓이

[eqn: f(t) = 1 over 2 times rm bar QR times bar PR =it 1 over 2 times t over 2 times t^2 = 1 over 4 t^3]

[eqn: x>0`]일 때, 두 곡선 [eqn: y=x ^{3} ,][eqn: y=rootx`]는 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이다.

두 점 [eqn: rm P`]와 [eqn: rm A`]는 각각 두 곡선 위의 점이고, 기울기가 [eqn: -1`]인 직선 위에 있으므로 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이다.

따라서 [eqn: {rmA}(t^2`,~t)]

한 변의 길이가 [eqn: t-t^2`]인 정사각형 [eqn: rm PCAB`]의 넓이

[eqn: g(t) = (t-t^2 )^2 = t^4 -2t^3 +t^2]

따라서 [eqn: lim _{ t ``->``0+}` {t times g(t) } over f(t) = lim _{ t``->``0+}` {t(t^4 -2t^3 +t^2 ) } over {1 over 4 t^3} = 4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 28

그림과 같이 좌표평면에서 원 [eqn: {x ^{2} +y ^{2}}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}][eqn: =2]와 곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{2}]이 제 [eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하자. 실수 [eqn: t ````LEFT ( 0<t<1 RIGHT )]에 대하여 직선 [eqn: y=tx]가 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2}][eqn: =2], 곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{2}]과 제 [eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 각각 [eqn: rmP ,```` Q]라 하자. 삼각형 [eqn: rmPAQ]의 넓이를 [eqn: S LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{t ``->`` 1-} {} {S LEFT ( t RIGHT )} over {LEFT ( 1-t RIGHT ) ^{2}}][eqn: =k]이다. [eqn: 20k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 15 }]

[해설]

[eqn: y=x ^{2}]과 [eqn: y=tx]를 연립하여 정리하면 [eqn: x(x-t)=0]이고 [eqn: x>0]이므로 [eqn: x=t]

그러므로 점 [eqn: {rm Q]의 좌표는 [eqn: {rm Q } (t ,```` t ^{2} )]

원점을 [eqn: {rm O]라 하면 [eqn: {rm {bar{OP}} = sqrt {2} ,````][eqn: {rm {bar{OQ}}][eqn: =t sqrt {1+t ^{2}}]이므로

[eqn: {rm {bar{PQ}}][eqn: {rm = {bar{OP}} - {bar{OQ}}][eqn: = sqrt {2} -t sqrt {1+t ^{2}}]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =2]와 [eqn: y=x ^{2}]을 연립하여 정리하면 [eqn: (y+2)(y-1)=0]이고 [eqn: y>0]이므로 [eqn: y=1]

[eqn: x ^{2} =1]에서 [eqn: x>0]이므로 [eqn: x=1]

그러므로 점 [eqn: {rm A]의 좌표는 [eqn: {rm A(1 ,```` 1)]

점 [eqn: {rm A]에서 직선 [eqn: y=tx]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm H]라 하면 [eqn: 0<t<1]이므로

[eqn: {rm {bar{AH}}][eqn: = {LEFT |`` t-1 ``RIGHT | } over {sqrt {t ^{2} +1}}][eqn: = {1-t} over {sqrt {t ^{2} +1}}]

삼각형 [eqn: {rm PAQ]의 넓이 [eqn: S(t)]는

[eqn: S(t)][eqn: {rm = {1} over {2} TIMES {bar{PQ}} TIMES {bar{AH}}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( sqrt {2} -t sqrt {1+t ^{2}} RIGHT ) TIMES {1-t} over {sqrt {1+t ^{2}}}]

이므로

[eqn: k][eqn: = lim _{t ``->`` 1-} {{S(t)} over {(1-t) ^{2}}}]
[eqn: = lim _{t ``->`` 1-} {{sqrt {2} -t sqrt {1+t ^{2}}} over {2(1-t) sqrt {1+t ^{2}}}}]
[eqn: = lim _{t ``->`` 1-} {{2-t ^{2} (1+t ^{2} )} over {2(1-t) sqrt {1+t ^{2}} LEFT ( sqrt {2} +t sqrt {1+t ^{2}} RIGHT )}}]
[eqn: = lim _{t ``->`` 1-} {{(t ^{2} +2)(1-t ^{2} )} over {2(1-t) sqrt {1+t ^{2}} LEFT ( sqrt {2} +t sqrt {1+t ^{2}} RIGHT )}}]
[eqn: = lim _{t ``->`` 1-} {{(t ^{2} +2)(1+t)} over {2 sqrt {1+t ^{2}} LEFT ( sqrt {2} +t sqrt {1+t ^{2}} RIGHT )}}]
[eqn: = {3 TIMES 2} over {2 sqrt {2} LEFT ( sqrt {2} + sqrt {2} RIGHT )} = {3} over {4}]

따라서 [eqn: 20k=20 TIMES {3} over {4} =15]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 18

그림과 같이 실수 [eqn: t`` ( 0 < t < 1 )]에 대하여 직선 [eqn: y= 2t]가 두 곡선 [eqn: y=x^2], [eqn: y= t x^2]과 제[eqn: `1`]사분면에서 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라 하고, 직선 [eqn: y= t+1]이 두 곡선 [eqn: y= x^2], [eqn: y= tx^2]과 제[eqn: `1`]사분면에서 만나는 점을 각각 [eqn: rm C], [eqn: rm D]라 하자.

[정답] ④

[해설]

네 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]의 좌표는 각각

[eqn: rm A it ( root 2t ,~ 2t )], [eqn: rm B it ( root 2 , ~ 2t )], [eqn: rm C it ( root t+1 ,~ t+1 )], [eqn: rm D it left ( sqrt {{t+1} over {t} } ,~t+1} right )]

이므로

[eqn: rm bar AB = root 2 - it root 2t = root 2 ( 1 - root t )]

[eqn: rm bar CD = it root { t+1 over t } - root t+1 = root { t+1 over t } ( 1 - root t )]

점 [eqn: rm C]에서 직선 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면 [eqn: rm bar CH = it ( t+1) - 2t = 1- t]이므로

[eqn: S(t)][eqn: = 1 over 2 times rm ( bar AB + bar CD ) times bar CH]
[eqn: = 1 over 2 left { root 2 ( 1 - root t ) + root {t+1 over t } ( 1 - root t ) right } ( 1 - t )]
[eqn: = 1 over 2 left ( root 2 + root { t+1 over t } right ) ( 1 - root t ) ( 1 - t )]

따라서

[eqn: lim _{ t`->` 1- } { `} S(t) over (1-t)^2][eqn: = lim _{t` rarrow`1-} {`} {1} over {2(1+ sqrt {t} )} LEFT ( sqrt {2} + sqrt {{t+1} over {t}} right)]
[eqn: = 1 over 4 times 2 root 2 = root 2 over 2]

사각형 [eqn: rm ABDC]의 넓이를 [eqn: S(t)]라 할 때, [eqn: lim _{ t`->` 1- } { `} S(t) over (1-t)^2]의 값은?

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: root 2 over 4]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: root 2 over 2]	⑤ [eqn: 1]

04 수2	01 함수의 극한
04 극한의 활용
02 활용2 (원 관련)

[출처]	2006 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 16

반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: rm O] 위에 한 점 [eqn: rm A`]가 있다. 점 [eqn: rm A`]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: r`]인 원이 원 [eqn: rm O`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]라 하고, 원 [eqn: rm O`]의 지름 [eqn: rm AB`]와 만나는 점을 [eqn: rm R`]라 하자. 사각형 [eqn: rm APRQ`]의 넓이를 [eqn: rm S LEFT ( it r RIGHT )`]라 할 때, [eqn: lim _{r `->` 2-} {} {rm S LEFT ( it r RIGHT )} over {sqrt {2-r}} `]의 값은?  (단, [eqn: 0<r<2])

[정답] ④

[해설]

[eqn: rm bar{OA}]와 [eqn: rm bar PQ]의 교점을 [eqn: rm T], [eqn: rm bar PT =it h], [eqn: rm bar AP]의 중점을 [eqn: rm M]이라고 하면, [eqn: rm S it(r)=hr]

[eqn: rm TRIANGLE OAP= {1} over {2} TIMES {bar{OA}} TIMES {bar{PT}}]

[eqn: rm= {1} over {2} TIMES bar{AP} TIMES bar{OM}]

이므로

[eqn: 1 over 2 times 1 times h = 1 over 2 timesr timesroot{ 1- left( r over 2 right)^2}],

[eqn: h = r root{ 1- left( r over 2 right)^2}]

∴ [eqn: lim _{r` -> `2-} {{rm S it (r)} over {sqrt {2-r}}} = lim _{r` -> `2-} {{r ^{2} sqrt {1- LEFT ( {r} over {2} RIGHT ) ^{2}}} over {sqrt {2-r}}}]

[eqn: = lim _{r` -> `2-} {} {r ^{2} sqrt {(2-r)(2+r)}} over {2 sqrt {2-r}} =4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 9

그림과 같이 세 점 [eqn: rm A it LEFT (0,`` 1 RIGHT )], [eqn: rm O it LEFT (0,`` 0 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT (x,`` 0 RIGHT ) `]을 꼭짓점으로 하는 삼각형과 그 삼각형에 내접하는 원이 있다. 점 [eqn: rm B `]가 [eqn: x `]축을 따라 원점에 한없이 가까워질 때, [eqn: rmTRIANGLE AOB `]에 내접하는 원의 반지름의 길이 [eqn: r `]에 대하여 [eqn: {r} over {x} `]의 극한값은? (단, [eqn: x>0])

[정답] ⑤

[해설]

삼각형 [eqn: rmOAB]에서 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r]이라할 때

삼각형의 넓이

[eqn: { 1+x+ sqrt { 1 +x^2} } over { 2} r = { 1} over { 2}x]

[eqn: lim _{x -> 0} {{r} over {x}} = lim _{x -> 0} {} {1} over {1+x+ sqrt {1+x ^{2}}} = {1} over {2}]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 04월 19

그림과 같이 좌표평면에서 곡선 [eqn: y= sqrt { 2x}] 위의 점 [eqn: rm P LEFT ( it t,`` root2t RIGHT )`]가 있다. 원점 [eqn: rmO`]를 중심으로 하고 선분 [eqn: rm { OP}`]를 반지름으로 하는 원을 [eqn: C ``], 점 [eqn: rmP`]에서의 원 [eqn: C ``]의 접선이 [eqn: x `]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ`]라 하자. 원 [eqn: C ``]의 넓이를 [eqn: S` LEFT (t RIGHT )`]라 할 때, [eqn: lim _{t `->` 0+} {rm {it S` LEFT (t RIGHT ) rm} over {rm bar{OQ} - rm bar{PQ}}} it`]의 값은? (단, [eqn: t>0])

[정답] ④

[해설]

[eqn: rm barOP = it root { t^2 + 2t }]이므로

[eqn: S`(t)= ( t^2 + 2t ) pi]

원 [eqn: C`] 위의 점 [eqn: rm P]에서의 접선의 방정식이

[eqn: tx+root2t y = t^2 +2t] 이므로

[eqn: rm Q it (` t+2, ```0`)]

[eqn: rm bar OQ = it t+2], [eqn: rm bar PQ = it root 2t+4]이므로

[eqn: lim _{t` -> `0+} {rm {it S(`t) rm} over {rm bar{OQ} - rm bar{PQ}} = lim _{it t` -> `0+ rm} {it {(t ^{2} +2t) pi } over {(t+2)- sqrt {2t+4}}} rm} it =4 pi]

따라서

[eqn: lim _{t` -> `0+} {rm {it S(`t) rm} over {rm bar{OQ} - rm bar{PQ}} =4 pi } it]

① [eqn: root2 pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: 2root2 pi]

④ [eqn: 4pi]	⑤ [eqn: 4root2 pi]

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 10월 16

그림과 같이 중심이 [eqn: \A LEFT ( 0,`` 3 RIGHT )`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1 `]인 원에 외접하고 [eqn: x `]축에 접하는 원의 중심을 [eqn: {rmP} LEFT (x,`` y RIGHT ) `]라 하자. 점 [eqn: \P`]에서 [eqn: y `]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH `]라 할 때, [eqn: lim _{x `->` INF } {rm {{bar{PH it rm it rm}}^{2}} over {{bar{PA it rm}}}} it `]의 값은?

[정답] ④

[해설]

중심이 [eqn: rm P it `(`x,````y`)]이므로 [eqn: x`]축에 접하는 원의 반지름의 길이는 [eqn: y`]이다. 두 원이 외접하므로 [eqn: bar{rm PA it} `=y+1]

즉, [eqn: sqrt {x` ^{2} `+`(y-3)` ^{2}} `=`y+1`]이다.

[eqn: x` ^{2} `+`(y-3)` ^{2} `=`(y+1)` ^{2} `]에서 [eqn: x` ^{2} `=`8y-8`]

이때, [eqn: x` -> ` INF `]이면 [eqn: y` -> ` INF `]이므로

[eqn: THEREFORE][eqn: lim _{x` -> ` INF } {}{{bar{ rmPH } } ^ {2} it} over {bar{rm PA it} it} `=` lim _{x` -> ` INF } {} {x ^{2}} over {y+1} `][eqn: `=` lim _{y` -> ` INF } {} {8y-8} over {y+1} `=8`]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2012 모의_공공 사관학교 고3 07월 22

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1`]이고 중심이 [eqn: rmO`]인 반원의 호를 이등분하는 점을 [eqn: rmM`]이라 하고, 선분 [eqn: rmOM] 위의 점 [eqn: rmP`]를 지나고 선분 [eqn: rmOM`]에 수직인 직선과 반원이 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rm B`]라 하자. 또, 선분 [eqn: rmPM`]의 중점 [eqn: rmQ`]를 지나고 선분 [eqn: rmOM`]에 수직인 직선과 반원이 만나는 점을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rm D`]라 하고, 점 [eqn: rmC], [eqn: rm D`]에서 선분 [eqn: rmAB`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmE], [eqn: rm F`]라 하자. [eqn: rm barPM it=2x`]일 때, 사다리꼴 [eqn: rmABDC`]와 직사각형 [eqn: rmEFDC`]의 넓이를 각각 [eqn: S` LEFT (x RIGHT )], [eqn: T` LEFT (x RIGHT ) `]라 하자. [eqn: lim _{x `->` +0} {} {T` LEFT (x RIGHT )} over {S` LEFT (x RIGHT )}`]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: rm OP it= 1-2x,``][eqn: rm OB=OD=1``]이므로 직각삼각형 [eqn: rmOBP``]와

[eqn: rm ODQ``]에서

[eqn: (1-2x)^2 + rm bar PB`^2 = 1^2]

∴ [eqn: rm bar BP =it root{4x-4x^2}]

[eqn: (1-x)^2 + rm bar QD`^2 =1^2``]

∴ [eqn: rmbar QD it= root{2x-x^2}``]

∴ [eqn: S(x)=rm 1 over 2 (2 bar PB + 2bar QD )cdot it x = rm( bar PB + bar QD )cdot it x]

[eqn: = ( root{4x-4x^2} + root{2x-x^2})x]

[eqn: T(x)= 2rm barQD cdot it x = 2x root{2x-x^2}]

∴ [eqn: lim_x->+0 T(x) over S(x)``][eqn: =lim_x->+0 {2root{2x-x^2}} over { root{4x-4x^2} + root{2x-x^2}}]
[eqn: =lim_x->+0 {2 root{2-x}} over { root{4-4x} + root{2-x}}= {2root2}over {root4 +root2}]
[eqn: = 2 over {root2 +1}]
[eqn: = 2(root2 -1)]

① [eqn: sqrt2 -1]	② [eqn: 2-sqrt2]	③ [eqn: sqrt3 -1]

④ [eqn: 2 LEFT (sqrt2 -1 RIGHT )]	⑤ [eqn: 2 LEFT (2-sqrt3 RIGHT )]

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 10월 20

그림과 같이 중심이 [eqn: rm C(2,``0`)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: r`] ([eqn: r< sqrt {5} `])인 원 [eqn: rm C]가 있다. 기울기가 [eqn: -2`]이고 원 [eqn: rm C]에 접하는 직선을 [eqn: l`]이라 하자. 직선 [eqn: l`]에 접하고 중심이 [eqn: rm C prime (3,``3`)`]인 원 [eqn: rm C prime]의 반지름을 [eqn: f`(`r`)`]라 할 때, [eqn: lim _{r` -> `0+} {} `f`(`r`)`]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

직선 [eqn: l]의 [eqn: y`]절편을 [eqn: b`]라 하면 직선 [eqn: l]의 기울기가 [eqn: -2]이므로 직선 [eqn: l`]의 방정식은

[eqn: 2x+y-b=0`]

이때 점 [eqn: rmC(2,~0)`]과 직선 [eqn: l] 사이의 거리는 원 [eqn: rmC]의 반지름의 길이 [eqn: r]와 같으므로

[eqn: {|`2 TIMES 2+0-b`|} over {sqrt {2 ^{2`} +1 ^{2}}} `][eqn: = {|`4-b`|} over {sqrt {5}} `=r]

[eqn: therefore~b=4± sqrt {5} r`]

또한, 점 [eqn: rm C`` prime `(3,``3)]과 직선 [eqn: l] 사이의 거리는 원 [eqn: rmC']의 반지름의 길이 [eqn: f(r)]와 같으므로

[eqn: {|`2 TIMES 3`+3-b`|} over {sqrt {2 ^{2`} +1 ^{2}}} `= {|`9-b`|} over {sqrt {5}}]

[eqn: = {|`5± sqrt {5} `r`|} over {sqrt {5}}]

[eqn: =f(r)]

[eqn: THEREFORE ~ lim _{r -> 0+} {} `f(r)`][eqn: = lim _{r -> 0+} {{|`5± sqrt {5} r`|} over {sqrt {5}}} ``=` sqrt {5}]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: sqrt {3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: sqrt {5}]

그림과 같이 좌표평면 위의 두 원

[eqn: C_{1}: x^{2}+y^{2}=1]

[eqn: C_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=r^{2}(0<r< sqrt{2})]

이 제[eqn: rm 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: {rm{P}} it]라 하자. 다음의 물음에 답하시오.

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 04월 14

점 [eqn: {rm{P}} it]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: f(r)]라 할 때, [eqn: lim _{r`` rarrow `` sqrt {2} -} {} {f(r)} over {4-r ^{4}}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: x^{2}+y^{2}=1 ~ cdots cdots]㉠

[eqn: (x-1)^{2}+y^{2}=r^{2}][eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: x={1} over {2} left(2-r^{2} right)]이므로

[eqn: f(r)={1} over {2} left(2-r^{2} right)]

따라서 [eqn: lim _{r`` rarrow `` sqrt {2} -} {} {f(r)} over {4-r ^{4}}][eqn: = lim _{r`` rarrow `` sqrt {2} -} {} {2-r ^{2}} over {2 LEFT ( 4-r ^{4} RIGHT )}]
[eqn: = lim _{r`` rarrow `` sqrt {2} -} {} {1} over {2 LEFT ( 2+r ^{2} RIGHT )} = {1} over {8}]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: rm 2]	⑤ [eqn: rm 4]

[eqn: rm 1]보다 큰 실수 [eqn: t]에 대하여 그림과 같이 점 [eqn: {rm{P}} it left(t+{1} over {t},`` 0 right)]에서 원 [eqn: x^{2}+y^{2}={1} over {2 t^{2}}]에 접선을 그었을 때, 원과 접선이 제 [eqn: rm 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it], 원 위의 점 [eqn: left(0,``-{1} over { sqrt{2} t} right)]을 [eqn: {rm{R}} it]라 하자. 다음 물음에 답하시오.

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 04월 14

삼각형 [eqn: {rm{ORQ}} it]의 넓이를 [eqn: S(t)]라 할 때, [eqn: lim _{t ``rarrow`` inf } left{ t^{4} times S(t) it right}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: angle {rm{QOP}} it = theta]라 하면

[eqn: S(t)][eqn: ={1} over {2} times overline{{rm{OQ}} it } times overline{{rm{OR}} it } times sin left({ pi} over {2}+ theta right)]
[eqn: ={1} over {2} times left({ sqrt{2}} over {2 t} right)^{2} times sin left({ pi} over {2}+ theta right)]
[eqn: ={1} over {4 t^{2}} cos theta]

직각삼각형 [eqn: {rm{PQO}} it]에서

[eqn: cos theta={ overline{{rm{OQ}} it }} over { overline{{rm{OP}} it }}={{ sqrt{2}} over {2 t}} over {t+{1} over {t}}={ sqrt{2}} over {2 left(t^{2}+1 right)}]이므로

[eqn: S(t)={ sqrt{2}} over {8 left(t^{4}+t^{2} right)}]

따라서 [eqn: lim _{t ``rarrow`` inf } left{ t^{4} times S(t) it right}][eqn: = lim _{t ``rarrow`` inf } { sqrt{2} t^{4}} over {8 left(t^{4}+t^{2} right)}]
[eqn: = lim _{t ``rarrow`` inf } { sqrt{2}} over {8 left(1+{1} over {t^{2}} right)}]
[eqn: ={ sqrt{2}} over {8}]

① [eqn: { sqrt{2}} over {8}]	② [eqn: { sqrt{2}} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: { sqrt{2}} over {2}]	⑤ [eqn: rm 1]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 06월

그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 [eqn: rm LEFT (0,`` 2 RIGHT ) `]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2 `]인 원이 있다. 양수 [eqn: t `]에 대하여 점 [eqn: rm P LEFT ( it t,`` 0 RIGHT ) `]과 원의 중심을 지나는 직선이 원과 만나는 두 점 중에서 점 [eqn: rm P `]에 가까운 점을 [eqn: rm Q], 나머지 한 점을 [eqn: rm R `]라 하자. [eqn: lim _{t `->` 0+} {{rm {bar{PQ}} TIMES {bar{PR}} it} over {rm {bar{OP}} ^{2} - {bar{PQ}} ^{2} it}} `]의 값은? (단, [eqn: rm O `]는 원점이다.)

[정답] ①

[해설]

[eqn: rm {bar{OP}} it =t`], [eqn: rm {bar{PQ}} it = sqrt {t ^{2} +4} -2`], [eqn: rm {bar{PR}} it = sqrt {t ^{2} +4} +2`]이므로

[eqn: lim _{t` -> `0+} {{rm {bar{PQ}} TIMES {bar{PR}} it} over {rm {bar{OP}} ` ^{2} - {bar{PQ}} ` ^{2} it}} `][eqn: = lim _{t -> 0+} {{LEFT ( sqrt {t ^{2} +4} -2 RIGHT ) LEFT ( sqrt {t ^{2} +4} +2 RIGHT )} over {t ^{2} - LEFT ( sqrt {t ^{2} +4} -2 RIGHT ) ^{2}}}]
[eqn: = lim _{t -> 0+} {{LEFT ( sqrt {t ^{2} +4} -2 RIGHT ) LEFT ( sqrt {t ^{2} +4} +2 RIGHT )} over {4 LEFT ( sqrt {t ^{2} +4} -2 RIGHT )}}]
[eqn: = lim _{t -> 0+} {{sqrt {t ^{2} +4} +2} over {4}}]
[eqn: =1`]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 06월 15

그림과 같이 좌표평면 위의 점 [eqn: rm A LEFT (0,`` 1 RIGHT ) `]을 지나고 [eqn: x `]축에 접하는 원 [eqn: C ``]가 있다. 원 [eqn: C ``]가 [eqn: y `]축과 만나는 또 다른 점을 [eqn: rm P `]라 하고, [eqn: x `]축과 접하는 점을 [eqn: rm Q LEFT (it t,`` 0 RIGHT ) `]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm APQ `]의 넓이를 [eqn: S` LEFT (t RIGHT )], 원 [eqn: C ``]의 반지름의 길이를 [eqn: r LEFT (t RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: lim _{t `->` INF } {{S` LEFT (t RIGHT )} over {t TIMES r LEFT (t RIGHT )}} `]의 값은? (단, [eqn: t>1 `]이다.)

[정답] ②

[해설]

원의 접선에 대한 성질에 의하여 [eqn: {bar{rm OQ }}^2 `= bar{rm OA it} ` TIMES ` bar{rm OP it} `]이다.

즉, [eqn: bar{rm OP it} `=t ^{2} `]이다.

[eqn: therefore][eqn: r(t)= {bar{rm OA it} + bar{rm OP it} `} over {2} =` {1} over {2} LEFT ( t ^{2} +1 RIGHT ) `]

[eqn: S(t)= {1} over {2} times``bar{rmAP}`times`bar{rmOQ}`]

[eqn: = {1} over {2} times` LEFT ( t ^{2} -1 RIGHT ) times`t`]

[eqn: THEREFORE ```` lim _{t -> INF } {{S(t)} over {t TIMES r(t)}} `= lim _{t -> INF } {{{1} over {2} t LEFT ( t ^{2} -1 RIGHT )} over {{1} over {2} `t LEFT ( t ^{2} +1 RIGHT )}} =1`]

[다른 풀이]

원 [eqn: C``]의 중심을 [eqn: rm B`]라 하면, 원 [eqn: C``]가 [eqn: x`]축과

접하므로 [eqn: rm B` it LEFT ( t,``r(t) RIGHT ) `]이다.

[eqn: bar{rm AB it} `=r(t)= sqrt {t ^{2} + LEFT { r(t)-1 RIGHT } ^{2}} `]

양변을 제곱하면

[eqn: LEFT { r(t) RIGHT } ^{2} `=t ^{2} + LEFT { r(t) RIGHT } ^{2} `-2r(t)+1`]

이다.

따라서 [eqn: r(t)`=` {t ^{2} +1} over {2} `]이다.

원의 중심 [eqn: rm B`]에서 [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라

하면,

[eqn: bar{rm AH it} `= bar{rm OH it} - bar{rm OA it} ``][eqn: = {t ^{2} +1} over {2} `-1`][eqn: = {t ^{2} -1} over {2}]

이다.

따라서 [eqn: bar{rm AP it} `=2 bar{rm AH it} `=t ^{2} -1`]이고

[eqn: S(t)= {1} over {2} TIMES `` bar{rm AP it} ` TIMES ` bar{rm BH it} `]

[eqn: = {1} over {2} times` LEFT ( t ^{2} -1 RIGHT ) times`t`]

이다.

[eqn: THEREFORE ```` lim _{t -> INF } {{S(t)} over {t TIMES r(t)}} `= lim _{t -> INF } {{{1} over {2} t LEFT ( t ^{2} -1 RIGHT )} over {{1} over {2} `t LEFT ( t ^{2} +1 RIGHT )}} `=`1`]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 06월 30

한 변의 길이가 [eqn: 1 `]인 정사각형 [eqn: rm ABCD `]와 점 [eqn: rm A `]가 중심이고 선분 [eqn: rm AB `]를 반지름으로 하는 원이 있다. 원 위를 움직이는 점 [eqn: rmP `]에 대하여 사각형 [eqn: rm APQR `]가 정사각형이 되도록 원 위에 점 [eqn: rmR `]와 원의 외부에 점 [eqn: rmQ `]를 잡는다. 그림과 같이 선분 [eqn: rm BC `]와 선분 [eqn: rm QR `]가 만나도록 할 때, 선분 [eqn: rm BC `]와 선분 [eqn: rm QR `]의 교점을 [eqn: rm I `]라 하자. 삼각형 [eqn: rm IQC `]의 둘레의 길이를 [eqn: L `], 넓이를 [eqn: S ``]라 할 때, 점 [eqn: rm P `]가 점 [eqn: rmB `]에 한없이 가까워지면 [eqn: {L` ^{2}} over {S`} `]의 값이 [eqn: a+b sqrt {2} `]에 한없이 가까워진다. [eqn: a ^{2} +b ^{2} `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a], [eqn: b `]는 유리수이다.)

[정답] [eqn: bold208`]

[해설]

[eqn: {bar{rm CI it}} =t`]라 하자.

점 [eqn: rm P`]가 점 [eqn: rm B]에 한없이 가까워지면 [eqn: t`` -> `0]이다.

점 [eqn: rmI`]에서 선분 [eqn: rmQC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하면

삼각형 [eqn: rmABI]와 [eqn: rm CH I `]는 닮음이다.

[eqn: {bar{rm BI it}} =1-t`], [eqn: {bar{rm AI it}} = sqrt {t ^{2} -2t+2} `]

이고 [eqn: rm {bar{AI}} : {bar{AB}} = {bar{CI}} : {bar{CH}}]이므로 [eqn: sqrt {t ^{2} -2t+2} `:``1`=`t`:` rm {bar{CH it rm}}]

[eqn: THEREFORE `` {bar{rm CH it}} = {t} over {sqrt {t ^{2} -2t+2}}]

이다. [eqn: rm {bar{AI}} : {bar{BI}} = {bar{CI}} : {bar{HI}}]이므로 [eqn: sqrt {t ^{2} -2t+2} `:``1-t`=`t`:` rm {bar{HI it rm}}]

[eqn: THEREFORE `` {bar{rm HI it}} = {t LEFT ( 1-t RIGHT )} over {sqrt {t ^{2} -2t+2}}]

이다. 삼각형 [eqn: rmIQC]에 대하여 [eqn: S], [eqn: L]을 구해보면

[eqn: S= {t ^{2} LEFT ( 1-t RIGHT )} over {t ^{2} -2t+2}],  [eqn: L=2t {sqrt {t ^{2} -2t+2} +1} over {sqrt {t ^{2} -2t+2}}]

이다. 따라서

[eqn: lim _{t`` -> `0} {{L ^{2}} over {S}}][eqn: = lim _{t` -> 0`} {```` {4t ^{2} TIMES {t ^{2} -2t+3+2 sqrt {t ^{2} -2t+2}} over {t ^{2} -2t+2}} over {{t ^{2} LEFT ( 1-t RIGHT )} over {t ^{2} -2t+2}}}]
[eqn: = lim _{t`` -> 0} {``` {4 LEFT ( t ^{2} -2t+3+2 sqrt {t ^{2} -2t+2} RIGHT )} over {1-t}}]
[eqn: =12+8 sqrt {2}]

따라서 [eqn: a=12], [eqn: b=8]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =144+64=208]이다.

[다른풀이]

[그림 1]에서 [eqn: rm ANGLE CIQ= ANGLE DAP rm], [eqn: rm {bar{IC}} = {bar{IQ}}], [eqn: rm {bar{AD}} = {bar{AP}}]이므로

두 삼각형 [eqn: rm`IQC], [eqn: rmAPD]는 서로 닮음인 도형이다. 따라서

[eqn: {rm ` LEFT ( TRIANGLE IQC의```둘레의``길이 RIGHT ) ^{2} it} over {LEFT ( rm TRIANGLE IQC의`넓이 RIGHT ) it} = {rm ` LEFT ( TRIANGLE APD의```둘레의``길이 RIGHT ) ^{2} it} over {LEFT ( rm TRIANGLE APD의`넓이 RIGHT ) it}]

이다.

[그림 2]에서 볼 수 있듯이 점 [eqn: rm`P]가 점 [eqn: rm`B]에 한없이 가까워지면 삼각형 [eqn: rm`APD]는 삼각형 [eqn: rm `ABD]에 한없이 가까워진다.

[그림 3]에서 삼각형 [eqn: rm `ABD]는 직각이등변삼각형이므로

[eqn: {rm ` LEFT ( TRIANGLE ABD의```둘레의``길이 RIGHT ) ^{2} it} over {LEFT ( rm TRIANGLE ABD의`넓이 RIGHT ) it} = {LEFT ( 1+1+ sqrt {2} RIGHT ) ^{2}} over {{1} over {2} TIMES 1` TIMES 1} =12+8 sqrt {2}]

이다. 그러므로 점 [eqn: rm`P]가 점 [eqn: rm`B]에 한없이 가까워지면 [eqn: {L ^{2}} over {S}]의

값은 [eqn: 12+8 sqrt {2}]에 한없이 가까워진다.

따라서 [eqn: a=12], [eqn: b=8]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =144+64=208]이다.

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 11월 19

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원과 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점 [eqn: {rm{O}} it]가 있다. 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 점 [eqn: {rm{P}} it]를 지나고 직선 [eqn: {rm{AB}} it]와 평행한 직선과 점 [eqn: {rm{B}} it]를 지나고 직선 [eqn: {rm{OP}} it]와 평행한 직선이 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. [eqn: overline{{rm{BP}} it }=t]라 할 때, [eqn: lim _{t ``rarrow`` 0+} {3- overline{{rm{AQ}} it }} over {t^{2}}]의 값은? (단, [eqn: 0<t< sqrt{2}])

[정답] ②

[해설]

그림과 같이 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]에서 직선 [eqn: {rm{AB}} it]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm{H}} it _{1}], [eqn: {rm{H}} it _{2}]라 하자.

직각삼각형 [eqn: {rm{APB}} it]에서 [eqn: overline{{rm{AP}} it }= sqrt{4-t^{2}}]이고

직각삼각형 [eqn: {rm{OH}} it _{1} {rm{P}} it]에서 [eqn: { overline{{rm{OH}} it _{1}}}^{2}+{ overline{{rm{PH}} it _{1}}}^{2}=1]이므로

직각삼각형 [eqn: {rm{AH}} it _{1} {rm{P}} it]에서

[eqn: overline{{rm{AP}} it }^{2}= left(1+ overline{{rm{OH}} it _{1}} right)^{2}+{ overline{{rm{PH}} it _{1}}}^{2}], [eqn: 4-t^{2}=2+2 overline{{rm{OH}} it _{1}}]

따라서 [eqn: overline{{rm{OH}} it _{1}}=1-{t^{2}} over {2}]

[eqn: overline{{rm{PH}} it _{1}}= sqrt{1-{ overline{{rm{OH}} it _{1}}}^{2}}={t} over {2} sqrt{4-t^{2}}]

[eqn: overline{{rm{BH}} it _{2}}= overline{{rm{OH}} it _{1}}], [eqn: overline{{rm{QH}} it _{2}}= overline{{rm{PH}} it _{1}}]이므로

직각삼각형 [eqn: {rm{AH}} it _{2} {rm{Q}} it]에서

[eqn: overline{{rm{AQ}} it }][eqn: = sqrt{ left(2+ overline{{rm{BH}} it _{2}} right)^{2}+{ overline{{rm{QH}} it _{2}}}^{2}}]
[eqn: = sqrt{ left(2+ overline{{rm{OH}} it _{1}} right)^{2}+{ overline{{rm{PH}} it _{1}}}^{2}}]
[eqn: = sqrt{ left{ 2+ left(1-{t^{2}} over {2} right) it right} ^{2}+{t^{2}} over {4} left(4-t^{2} right)}]
[eqn: = sqrt{9-2 t^{2}}]

따라서

[eqn: lim _{t ``rarrow`` 0+} {3- overline{{rm{AQ}} it }} over {t^{2}}][eqn: = lim _{t ``rarrow`` 0+} {3- sqrt{9-2 t^{2}}} over {t^{2}}]
[eqn: = lim _{t ``rarrow`` 0+} {9- left(9-2 t^{2} right)} over {t^{2} left(3+ sqrt{9-2 t^{2}} right)}]
[eqn: = lim _{t ``rarrow`` 0+} {2} over {3+ sqrt{9-2 t^{2}}}]
[eqn: ={1} over {3}]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 12

곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{2} -4] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( t,~t ^{2} -4 RIGHT )]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2}][eqn: =4]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하자. 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이를 [eqn: S LEFT ( t RIGHT )], 삼각형 [eqn: rmPBA]의 넓이를 [eqn: T LEFT ( t RIGHT )]라 할 때,

[정답] ②

[해설]

두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmOP] 의 교점을 [eqn: rm M] 이라 하면 직선 [eqn: rm OP]는 선분 [eqn: rmAB]를 수직이등분하므로 직각삼각형 [eqn: rm OAP]와 직각삼각형 [eqn: rm OMA]는 서로 닮음이다.

삼각형 [eqn: rm OAP]와 삼각형 [eqn: rm OMA]의 닮음비는 □[eqn: rmbar { OP}: bar { OA}]이므로 넓이의 비는 [eqn: rm {bar{OP}} ^{2} : {bar{OA}} ^{2}]이다.

삼각형 [eqn: rm OAP]의 넓이는 [eqn: {S LEFT ( t RIGHT ) +T LEFT ( t RIGHT )} over {2} ,]

삼각형 [eqn: rm OMA]의 넓이는 [eqn: {S LEFT ( t RIGHT )} over {2}]이므로

[eqn: rm {bar{OP}} ^{2} : {bar{OA}} ^{2}][eqn: = {S LEFT ( t RIGHT ) +T LEFT ( t RIGHT )} over {2} : {S LEFT ( t RIGHT )} over {2}]

[eqn: rm{bar{OA}} ^{2}][eqn: TIMES {S LEFT ( t RIGHT ) +T LEFT ( t RIGHT )} over {2} =][eqn: rm {bar{OP}} ^{2}][eqn: TIMES {S LEFT ( t RIGHT )} over {2} ,]

[eqn: {T LEFT ( t RIGHT )} over {S LEFT ( t RIGHT )} =][eqn: rm{{bar{OP}} ^{2} - {bar{OA}} ^{2}} over {{bar{OA}} ^{2}}]

[eqn: rm {bar{OA}} =2,` {bar{OP}} `=][eqn: sqrt {t ^{2} + LEFT ( t ^{2} -4 RIGHT ) ^{2}}]이므로

[eqn: {T LEFT ( t RIGHT )} over {S LEFT ( t RIGHT )} = {t ^{2} + LEFT ( t ^{2} -4 RIGHT ) ^{2} -2 ^{2}} over {2 ^{2}} = {1} over {4} LEFT ( t+2 RIGHT ) LEFT ( t-2 RIGHT ) LEFT ( t ^{2} -3 RIGHT )]

따라서

[eqn: lim _{t` rarrow 2+} {{T LEFT ( t RIGHT )} over {LEFT ( t-2 RIGHT ) S LEFT ( t RIGHT )} + lim _{t` rarrow INF } {{T LEFT ( t RIGHT )} over {LEFT ( t ^{4} -2 RIGHT ) S LEFT ( t RIGHT )}}}]

[eqn: = lim _{t` rarrow 2+} {{LEFT ( t+2 RIGHT ) LEFT ( t ^{2} -3 RIGHT )} over {4} + lim _{t` rarrow INF } {{LEFT ( t+2 RIGHT ) LEFT ( t-2 RIGHT ) LEFT ( t ^{2} -3 RIGHT )} over {4 LEFT ( t ^{4} -2 RIGHT )}}}]

[eqn: =1+ {1} over {4} = {5} over {4}]

[eqn: lim _{t -> 2+} {} {T LEFT ( t RIGHT )} over {LEFT ( t-2 RIGHT ) S LEFT ( t RIGHT )} + lim _{t -> INF } {} {T LEFT ( t RIGHT )} over {LEFT ( t ^{4} -2 RIGHT ) S LEFT ( t RIGHT )}]

의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: t>2]이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {7} over {4}]	⑤ [eqn: 2]

04 수2	01 함수의 극한
04 극한의 활용
04 활용4 (정의된 함수)

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 24

[eqn: x`]가 양수일 때, [eqn: x`]보다 작은 자연수 중에서 소수의 개수를 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]라 하고, 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]를

[정답] [eqn: bold16]

[해설]

(ⅰ) [eqn: 8<x<9`]일 때,
[eqn: x`]보다 작은 자연수 중에서 소수는 [eqn: 2,``3,``5,``7`]의 [eqn: 4`]개이므로 [eqn: f(x)= 4`]
이 때, [eqn: 2`f(x) = 8` <`x`]이므로
[eqn: g(x) = f(x) = 4`]
∴ [eqn: lim _{x -> 8+} {} `g(x)= lim _{x -> 8+} {} `4=4`]
∴ [eqn: alpha = 4`]

(ⅱ) [eqn: 7<x<8`]일 때,
[eqn: x`]보다 작은 자연수 중에서 소수는[eqn: 2,``3,``5,``7`]의 [eqn: 4`]개이므로 [eqn: f(x)= 4`]
이 때, [eqn: 2f`(x) = 8` >x`]이므로 [eqn: g(x) = 1over { f(x)} = 1over 4`]
∴ [eqn: lim _{x -> 8-} {} `g(x)= lim _{x -> 8-} {} ` {1} over {4} = {1} over {4} `]
∴ [eqn: beta = 1over 4`]

∴ [eqn: alpha over beta = 4 over { 1over 4} = 16`]

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= {cases{``f LEFT (x RIGHT )& ~LEFT (x>2f LEFT (x RIGHT ) RIGHT )#``{1} over {f LEFT (x RIGHT )}& ~LEFT (x LEQ 2f LEFT (x RIGHT ) RIGHT )}}`]

라고 하자. 예를 들어, [eqn: f LEFT ( {7} over {2} RIGHT ) =2`]이고 [eqn: {7} over {2} <2f LEFT ( {7} over {2} RIGHT )`]이므로 [eqn: g LEFT ( {7} over {2} RIGHT ) = {1} over {2}`]이다. [eqn: lim _{x `->` 8+} {g LEFT (x RIGHT )= alpha], [eqn: lim _{x `->` 8-} {g LEFT (x RIGHT )= beta }}`]라고 할 때, [eqn: {alpha } over {beta }`]의 값을 구하시오.

[출처]	2016 모의_공공 경찰대 고3 07월 16

좌표평면에서 원 [eqn: x^2 +y^2 =1 `]과 직선 [eqn: y=`- 1 over 2 `]이 만나는 점을 [eqn: rmA], [eqn: rm B `]라 하자. 점 [eqn: {rmP} LEFT (0,`` t RIGHT )][eqn: LEFT ( t ne- 1 over 2 RIGHT ) `]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점 [eqn: rmC `]의 개수를 [eqn: f LEFT (t RIGHT ) `]라 하자.

[정답] ③

[해설]

주어진 조건의 의하여

직선 [eqn: AB]와 점 [eqn: C`]사이의 거리와 직선 [eqn: AB`]와 점 [eqn: P`]사이의 거리가 같아야 한다.

따라서 [eqn: f(t)= {cases{eqalign{0# 1# 2}&eqalign{``(t<`-2)# ``(t=`-2)# ``(-2<t<`-1)}#3&``(t=-1)#4&``(-1<t<0)#3&``(t=0)#2&``(0<t<1)#1&``(t=1)#0&``(1<t)}}]이다.

이에 [eqn: a`,`b]를 구하면 [eqn: a=-1`,`b=4]이다.

그러므로 [eqn: a+b=3]이다.

(가) [eqn: rmC `]는 [eqn: rmA `]나 [eqn: rmB `]가 아닌 원 위의 점이다.

(나) [eqn: rmA], [eqn: rm B], [eqn: rm C `]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는
[eqn: `][eqn: rmA], [eqn: rm B], [eqn: rm P `]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이와 같다.

[eqn: f LEFT (a RIGHT )+ lim _{t `->` a-} {} f LEFT (t RIGHT )=5 `]이고 [eqn: lim _{t `->` 0-} {} f LEFT (t RIGHT )=b `]일 때, [eqn: a+b `]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 09월 30

실수 [eqn: k`]와 함수

[정답] [eqn: bold{ 4]

[해설]

함수 [eqn: f(x)= {cases{`2 ^{x-2}&``(x<2)#`2 ^{-x+2}&``(x GEQ 2)}} `]의 그래프는
아래와 같다.

[eqn: g(x)= LEFT | f(x)-k RIGHT | +k`]

[eqn: = {cases{f(x)``````&`````` LEFT ( f(x) GEQ k RIGHT )#-f(x)+2k&`````` LEFT ( f(x)<k RIGHT )}}]

(ⅰ) [eqn: {k}le0`]일 때,
[eqn: f(x)>k`]이므로 [eqn: g(x)=f(x)>0ge2k`]
함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=2k`]의 그래프가 만나는 점이 없다.
[eqn: h(k)=0`]

(ⅱ) [eqn: 0<{k}< {1} over {2} `]일 때,
함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=k`]가 만나는
두 점을 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]라 하면, 함수 [eqn: y=g(x)`]의
그래프는 아래와 같다.
[eqn: h(k)=2`]

(ⅲ) [eqn: k= {1} over {2} `]일 때,
함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=k`]가 만나는
두 점을 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]라 하면, 함수 [eqn: y=g(x)`]의
그래프는 아래와 같다.
[eqn: h LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =1]

(ⅳ) [eqn: {1} over {2} <k<1`]일 때,
함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=k`]가 만나는
두 점을 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]라 하면, 함수 [eqn: y=g(x)`]의
그래프는 아래와 같다.
[eqn: h(k)=0]

(ⅴ) [eqn: k`geq1`]일 때,
[eqn: g(x)=-f(x)+2k`<2k`]이므로
[eqn: h(k)=0`]
① [eqn: k=1`]인 경우

② [eqn: k>1`]인 경우

따라서 [eqn: y=h(k)`]의 그래프는 아래와 같다.

[eqn: lim _{k` -> ` {1} over {4} -} {`h(k)=2} `]이고 [eqn: lim _{k` -> ` {1} over {4} -} {`h LEFT ( k+ {1} over {4} RIGHT ) =2`}]

따라서 [eqn: lim _{k` -> ` {1} over {4} -} {h(k)h LEFT ( k+ {1} over {4} RIGHT ) =4}]

[eqn: f(x)= {cases{`2 ^{x-2}&````(x<2)#`2 ^{-x+2}&````(x GEQ 2)}} `]

에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를 [eqn: g(x)= LEFT | f(x)-k RIGHT | +k`]라 하자. 직선 [eqn: y=2k`]와 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: h(k)`]라 할 때, [eqn: lim _{k` -> ` {1} over {4} -} {` LEFT { h(k)h LEFT ( k+ {1} over {4} RIGHT ) RIGHT }} `]의 값을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 11월 21

세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: left |`` f LEFT ( x RIGHT ) ``right |]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim _{x ``->`` 0-} {left |`` f LEFT ( x RIGHT ) ``right | } = lim _{x ``->`` 0-} {left |`` 2x+a ``right | } = left |`` a ``right |],

[eqn: left |`` f LEFT ( 0 RIGHT ) ``right | = lim _{x ``->`` 0+} {left |`` f LEFT ( x RIGHT ) ``right | } = lim _{x ``->`` 0+} {left |`` x ^{2} +bx+c ``right | = left |`` c ``right | }]

에서 [eqn: a=c] 또는 [eqn: a= it -c]

조건 (가)에서 [eqn: 4]가 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 치역의 원소 중 하나이므로 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y=t]가 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: t]가 존재해야 한다.

그러므로 직선 [eqn: y=t]가 [eqn: x<0]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만나도록 하고, [eqn: x GEQ 0]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: t]가 존재해야 한다.

따라서 [eqn: a>0], [eqn: b<0], [eqn: c=a]이고 함수 [eqn: y=x ^{2} +bx+c][eqn: LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )]의 최솟값이 [eqn: 0]보다 작아야 한다.

함수 [eqn: y=x ^{2} +bx+c][eqn: LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )]의 최솟값을 [eqn: k]라 하자.

(ⅰ) [eqn: -a<k<0]일 때
함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 그림과 같으므로 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 치역은 [eqn: LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 RIGHT }]이다.

함수 [eqn: y= left |`` f LEFT ( x RIGHT ) ``right |]의 그래프의 개형과 함수 [eqn: y=h LEFT ( t RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

(ⅱ) [eqn: k< it -a]일 때
함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 그림과 같으므로 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 치역은 [eqn: LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 RIGHT }]이다.

함수 [eqn: y= left |`` f LEFT ( x RIGHT ) ``right |]의 그래프의 개형과 함수 [eqn: y=h LEFT ( t RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

(ⅲ) [eqn: k= it -a]일 때
함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 그림과 같으므로 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 치역은 [eqn: LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 RIGHT }]이다.

함수 [eqn: y= left |`` f LEFT ( x RIGHT ) ``right |]의 그래프의 개형과 함수 [eqn: y=h LEFT ( t RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

(ⅰ) ~ (ⅲ)에 의하여 [eqn: k=it-a]일 때, 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 조건 (나)를 만족시키므로 [eqn: a=2]이고 [eqn: c=2], [eqn: k= it -2]
[eqn: x ^{2} +bx+2][eqn: = LEFT ( x+ {b} over {2} RIGHT ) ^{2} +2- {b ^{2}} over {4}]이므로

[eqn: 2- {b ^{2}} over {4} = it -2], [eqn: b= it -4][eqn: LEFT ( b<0 RIGHT )]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ - left |`` 2x+2 ``right | & && LEFT ( x<0 RIGHT ) # x ^{2} -4x+2 &&& LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) +f LEFT ( 6 RIGHT ) = it -2+14=12]

[eqn: f(x)=cases{-|2 x+a| && (x<0) #x^{2}+b x+c && (x geq 0)}]

이고, 함수 [eqn: |f(x)|]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=t]가 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=|f(x)|]의 그래프와 만나는 점의 개수를 각각 [eqn: g(t)], [eqn: h(t)]라 할 때, 두 함수 [eqn: g(t)], [eqn: h(t)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(t)]의 치역은 [eqn: left{ 1,``2,``3,``4 it right}]이다.

(나) [eqn: lim _{t ``rarrow`` 2-} h(t) times lim _{t ``rarrow`` 2+} h(t)=12]

[eqn: f(-2)+f(6)]의 값은?

① [eqn: rm 12]	② [eqn: rm 14]	③ [eqn: rm 16]

④ [eqn: rm 18]	⑤ [eqn: rm 20]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 20

양수 [eqn: {k}{{from^2020^11^서울고2공통^5}}]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT |`` {kx} over {x-1} `` RIGHT |]라 하자.

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x)= LEFT |`` {kx} over {x-1} ``RIGHT | = LEFT |`` {k} over {x-1} +k ``RIGHT |]이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

(ⅰ) [eqn: t<0]일 때
곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=t]는 만나지 않으므로
[eqn: g(t)=0]

(ⅱ) [eqn: t=0] 또는 [eqn: t=k]일 때
곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=t]는 한 점에서 만나므로
[eqn: g(t)=1]

(ⅲ) [eqn: 0<t<k] 또는 [eqn: t>k]일 때
곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=t]는 두 점에서 만나므로
[eqn: g(t)=2]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 함수 [eqn: g(t)]는

[eqn: g(t)= {cases{eqalign{0# }&eqalign{(t<0) # }#eqalign{1# # 2}&eqalign{(t=0 ````또는 ```` t=k)# # (0<t<k```` 또는```` t>k)}}}]

[eqn: lim _{t ``->`` 0+} {g(t)} =2]이고, 모든 양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: lim _{t ``->`` a-} {g(t)} =2]이므로

[eqn: lim _{t ``->`` 2-} {g(t)=2}]

[eqn: lim _{t ``->`` 0+} {g(t)} + lim _{t ``->`` 2-} {g(t)} +g(4)=5]에서 [eqn: g(4)=1]이므로

[eqn: k=4]

따라서 [eqn: f(3)= LEFT |`` {4 TIMES 3} over {3-1} ``RIGHT | =6]

실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 점의 개수를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가

[eqn: lim _{t ``->`` 0+} {} g LEFT ( t RIGHT ) + lim _{t ``->`` 2-} {} g LEFT ( t RIGHT ) +g LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =5]

를 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: {15} over {2}]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: {21} over {2}]	⑤ [eqn: 12]

04 수2	02 함수의 연속성
01 함수의 연속성
02 연속성2 (연속성 판단)

[출처]	2010 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

두 함수 [eqn: f(x)=[x]], [eqn: g(x)= sin pi x]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: f(0) g(0)=0 times 0=0]
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} f(x) g(x)=cases{ lim _{x ``rarrow`` 0-} f(x) g(x)=(-1) times 0=0 # lim _{x ``rarrow`` 0+} f(x) g(x)=0 times 0=0}]
[eqn: therefore~x=0]에서 연속

ㄴ. [eqn: cases{f(g(0))=f(0)=0 # lim _{x ``rarrow`` 0} f(g(x))=cases{ lim _{x ``rarrow`` 0-} f(g(x))=f(-0)=-1 # lim _{x ``rarrow`` 0+} f(g(x))=f(+0)=0}}]
[eqn: therefore~x=0]에서 불연속

ㄷ. [eqn: g(f(0))=g(0)=0]
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} g(f(x))=cases{ lim _{x ``rarrow`` 0-} g(f(x))=g(-1)=0 # lim _{x ``rarrow`` 0+} g(f(x))=g(0)=0}]
[eqn: therefore~x=0]에서 연속

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

(단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: f(x) g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다. ㄴ. 함수 [eqn: (f circ g)(x)]는 모든 정수에서 연속이다. ㄷ. 함수 [eqn: (g circ f)(x)]는 모든 실수에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	02 함수의 연속성
01 함수의 연속성
03 연속성3 (연속조건 해석)

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 17
[출처]	2020 일반_시중교재 희망에듀 임정선 마플시너지
[출처]	2020 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능특강 대표 기출 문제

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: x<0`]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =it-f LEFT ( x RIGHT ) +x ^{2} +4`]

[eqn: x>0`]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) -x ^{2} -2x-8`]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]가 [eqn: x=0`]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x`->`0-} {f LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x`->`0+} {f LEFT ( x RIGHT )} =f LEFT ( 0 RIGHT )`]

이때

[eqn: lim _{x` -> `0-} {g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `0-} {LEFT { -f LEFT ( x RIGHT ) +x ^{2} +4 RIGHT }} = it -f LEFT ( 0 RIGHT ) +4`]

[eqn: lim _{x` -> `0+} {g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `0+} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -x ^{2} -2x-8 RIGHT }} =f LEFT ( 0 RIGHT ) -8`]

이므로 [eqn: lim _{x`->`0-} {g LEFT ( x RIGHT )} - lim _{x`->`0+} {g LEFT ( x RIGHT )} =6`]에서

[eqn: LEFT { -f LEFT ( 0 RIGHT ) +4 RIGHT } - LEFT { f LEFT ( 0 RIGHT ) -8 RIGHT } =6`]

따라서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =3`]

[eqn: x<0`]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +4`]
[eqn: x>0`]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +2x+8`]

이다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]가 [eqn: x=0`]에서 연속이고 [eqn: lim _{x`->`0-} {g LEFT ( x RIGHT )} - lim _{x`->`0+} {g LEFT ( x RIGHT )} =6`]일 때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )`]의 값은?

① [eqn: -3`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]

④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 3`]

04 수2	02 함수의 연속성
01 함수의 연속성
05 연속성5 (구간정의함수)

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 09월 29

실수 전체의 집합에서 연속인 함수

[정답] [eqn: BOLD12]

[해설]

역함수가 존재하려면 함수 [eqn: f(x)]가 일대일 대응이어야 하므로

(ⅰ) [eqn: x GEQ1]일 때, 함수 [eqn: f(x)]가 증가하여야 하므로
[eqn: y=`x ^{2} -ax+3= LEFT ( x- {a} over {2} RIGHT ) ^{2} - {a ^{2}} over {4} +3]
[eqn: {a} over {2} ` LEQ 1], [eqn: a LEQ 2]

(ⅱ) [eqn: x<1]일 때, 함수 [eqn: f(x)]가 증가하여야 하므로
[eqn: y=-x ^{2} +2bx-3=- LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2} +b ^{2} -3]
[eqn: b`geq1]

(ⅲ) [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이어야 하므로
[eqn: lim _{x` -> `1+`} {f(x)} = lim _{x` -> `1-`} {f(x)}][eqn: 1-a+3=-1+2b-3]
[eqn: a+2b=8]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여

[eqn: a LEQ 2], [eqn: b GEQ 1], [eqn: a+2b=8]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a`,```b)]를 좌표평면 위에 나타내면 [eqn: 3a+2b=k]의 그래프가 [eqn: (2`,```3)]을 지날 때 [eqn: k]의 값이 최대가 된다.

따라서 [eqn: 3a+2b]의 최댓값은

[eqn: a=2], [eqn: b=3]일 때 [eqn: 12]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = cases{ ~~x^{2}-ax+3 & ~ LEFT ( x GEQ 1 RIGHT ) # ``-x^{2}+2bx-3 & ~LEFT ( x <1 RIGHT ) }`]

의 역함수가 존재하도록 하는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b `]에 대하여 [eqn: 3a+2b `]의 최댓값을 구하시오.

04 수2	02 함수의 연속성
01 함수의 연속성
06 연속성6 (점정의함수)

[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 23

[eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 다항함수일 때, 모든 실수에서 연속인 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]를

[정답] [eqn: bold15]

[해설]

[eqn: lim from { x -> inf } g(x) = lim from { x -> inf } { f`(x) - x^2 } over { x -1 } =2]이므로

다항함수 [eqn: f`(x)= x^2 +2x +a]꼴이다.

함수 [eqn: g(x)]는 모든 실수에서 연속이므로

[eqn: lim from { x -> 1 } g(x) = lim from { x -> 1 } { 2x+a } over { x -1 } =k]이어야 한다.

[eqn: x``->1]일 때, (분모)[eqn: ->``0]이고 극한값은 일정한 값이므로  (분자)[eqn: -> ``0]이어야 한다. [eqn: 2 times 1 +a =0]

[eqn: therefore`` a= `-2]

[eqn: f`(x)= x^2 +2x -2] 이고

[eqn: lim from { x -> 1 } g(x) = lim from { x -> 1 } { 2x-2 } over { x -1 } =2]

[eqn: therefore``k=2]

[eqn: therefore``k`+ f`(3)= 2 + 13 = 15]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``{f LEFT (x RIGHT )-x ^{2}} over {x-1}& ~LEFT ( x!=1 RIGHT )# ~~~~k& ~LEFT ( x=1 RIGHT )}}`]

로 정의하자. [eqn: lim _{x `->` INF } {} g LEFT (x RIGHT )=2`]일 때, [eqn: k +f LEFT (3 RIGHT )`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: k`]는 상수)

[출처]	2016 모의_공공 경찰대 고3 07월 6

함수

[정답] ①

[해설]

[eqn: x=c]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> c} {{x ^{2} -a} over {sqrt {x ^{2} +b} - sqrt {c ^{2} +b}}}][eqn: =4c]이다.

이 때 (분모)[eqn: -> 0]이므로 분자 역시 [eqn: 0]으로 가므로

[eqn: a=c ^{2}]이며, 부정형을 정리하면, [eqn: 2 sqrt {c ^{2} +b} =4c]이므로 [eqn: b=3c ^{2}]이다.

(이 때, [eqn: sqrt {c ^{2} +b} GEQ 0`]이므로 [eqn: c GEQ 0]이다.)

따라서 [eqn: a+b+c=4c ^{2} +c]이며,

이는 아래로 볼록이고 축이 [eqn: c=- {1} over {8}]인 이차 함수이므로 [eqn: c=0]일 때, 최솟값 [eqn: 0]을 가진다.

따라서 [eqn: a+b+c]의 최솟값은 [eqn: 0]이다.

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{``{x ^{2} -a} over {sqrt {x ^{2} +b} - sqrt {c ^{2} +b}}&~ LEFT (x != c RIGHT )# ~~~~~~~~4c&~ LEFT (x=c RIGHT )}} `]

가 [eqn: x=c `]에서 연속이 되도록 하는 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c `]에 대하여 [eqn: a+b+c `]의 최솟값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: - 1 over 8]	③ [eqn: - 1 over 4]

④ [eqn: - 1 over 2]	⑤ [eqn: -1]

04 수2	02 함수의 연속성
01 함수의 연속성
08 연속성8 (주기함수)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 11

두 정수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

조건 (가)와 (나)에서

[eqn: f(4)= lim _{x ``rarrow`` 4-} f(x)=16 a+4 b-24]이고

[eqn: f(0)=f(4)]이므로 [eqn: -24=16 a+4 b-24]에서

[eqn: b=-4 a]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: 0 leq x<4]에서 [eqn: f(x)=a(x-2)^{2}-4 a-24]이므로

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+4)=f(x)]이므로

[eqn: 1<x<2]일 때 방정식 [eqn: f(x)=0]이 실근을 갖지 않으면 [eqn: 1<x<10]일 때 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 4] 이하이다.

[eqn: 1<x<2]일 때 방정식 [eqn: f(x)=0]이 실근을 [eqn: rm 1]개 가지면 [eqn: 1<x<10]일 때 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 5]이다.

함수 [eqn: f(x)]는 닫힌구간 [eqn: [1,``2]]에서 연속이므로

[eqn: f(1) f(2)][eqn: =(-3 a-24)(-4 a-24)]
[eqn: =12(a+8)(a+6)<0]

[eqn: -8<a < it - 6]이고 [eqn: a]는 정수이므로 [eqn: a=-7]

㉠에 의하여 [eqn: b=28]

따라서 [eqn: a+b=-7+28=21]

(가) [eqn: 0 leq x<4]에서 [eqn: f(x)=a x^{2}+b x-24]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+4)=f(x)]이다.

[eqn: 1<x<10]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 5]이다. [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: rm 18]	② [eqn: rm 19]	③ [eqn: rm 20]

④ [eqn: rm 21]	⑤ [eqn: rm 22]

04 수2	02 함수의 연속성
01 함수의 연속성
09 연속성9 (함수의 사칙연산)

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 07월 18

다항함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가

[정답] ②

[해설]

[eqn: lim _{x -> INF } {{f(x)} over {x ^{2}} `=1}]이므로 [eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)} over {x-1} `=`k}`]이므로 [eqn: f(x)=(x-1)(x-a)`]

[eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)} over {x-1} `=1-a=`k}]

[eqn: h(x)=f(x)g(x)`]가 [eqn: x=2`]에서 연속이므로

[eqn: h(2)= lim _{x -> 2+0} {h(x)`} = lim _{x -> 2-0} {h(x)`}]

[eqn: h(2)=f(2)g(2)=3 LEFT ( 2-a RIGHT ) `]

[eqn: lim _{x -> 2+} {h(x)`} = lim _{x -> 2+} {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( 2-x RIGHT ) =0``}]

[eqn: lim _{x -> 2-} {h(x)`} = lim _{x -> 2-} {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )}][eqn: =3 LEFT ( 2-a RIGHT ) ```}]

따라서 [eqn: a`=2`]이므로 [eqn: k=`-1`]

[eqn: lim _{x `->` INF } {{f LEFT (x RIGHT )} over {x ^{2}} =1}], [eqn: lim _{x `->` 1} {{f LEFT (x RIGHT )} over {x-1} = k}`]

를 만족시키고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ ``x+1 & ~LEFT ( x LEQ 2 RIGHT )# ``2-x&~ LEFT ( x >2 RIGHT )}}`]

이다. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT (x RIGHT )g LEFT (x RIGHT )`]가 [eqn: x=2`]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: k`]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 04월 30

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -8x+a `]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를

[정답] [eqn: bold56`]

[해설]

주어진 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 축의 방정식이 [eqn: x=4]이고
(가)에서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]은 열린 구간 [eqn: LEFT ( `0,``2 RIGHT )]에서
적어도 하나의 실근을 가지므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =a>0], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =a-12<0]

[eqn: THEREFORE][eqn: 0<a<12]

(나)에서

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) g LEFT ( a RIGHT ) =7a ^{2} LEFT ( a-7 RIGHT )],

[eqn: lim _{x` -> `a+} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x` -> `a+} {LEFT ( x ^{2} -8x+a RIGHT ) LEFT ( 2x ^{`} +5a RIGHT )}}]

[eqn: =7a ^{2} LEFT ( a-7 RIGHT )],

[eqn: lim _{x` -> `a-} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `a-} {LEFT ( x ^{2} -8x+a RIGHT ) f LEFT ( x ^{`} +4 RIGHT )}]

[eqn: = LEFT ( a ^{2} -8a+a RIGHT ) LEFT { LEFT ( a+4 RIGHT ) ^{2} -8 LEFT ( a+4 RIGHT ) +a RIGHT }]

[eqn: =a LEFT ( a-7 RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +a-16 RIGHT )]

이고 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a]에서 연속이므로

[eqn: 7a ^{2} LEFT ( a-7 RIGHT ) =a LEFT ( a-7 RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +a-16 RIGHT )]

[eqn: a LEFT ( a-7 RIGHT ) LEFT ( a-8 RIGHT ) LEFT ( a+2 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE][eqn: a=7] 또는 [eqn: a=8] ([eqn: BECAUSE][eqn: 0<a<12])

따라서 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은 [eqn: 56]다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ ```2x+5a &~LEFT ( x GEQ a RIGHT ) #`` f LEFT ( x+4 RIGHT ) &~ LEFT ( x<a RIGHT ) }}`]

라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 곱을 구하시오.

(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0 `]은 열린구간 [eqn: LEFT ( 0,`` 2 RIGHT ) `]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=a `]에서 연속이다.

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 09월 17

실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[정답] ③

[해설]

(ⅰ) [eqn: k=1`]인 경우
[eqn: lim _{x -> 2-} {f(x)f(x)=(-2) TIMES (-2)=4}]
[eqn: lim_x->2+ {f(x)f(x)=(-6) times(-6) = 36]
[eqn: lim_x->2{f(x)f(x)]가 존재하지 않으므로
함수 [eqn: f(x)f(x)]는 [eqn: x=2]에서 불연속이다.

(ⅱ) [eqn: k=`-1`]인 경우
위의 (i)과 같은 방법에 의하여
함수 [eqn: f(x)f(-x)]는 [eqn: x=2]에서 불연속이다.

(ⅲ) [eqn: k != `-1`,```k != 1`]인 경우
함수 [eqn: f(kx)]는 [eqn: x=2]에서 연속이다.
함수 [eqn: f(x)f(kx)]가 [eqn: x=2]에서 연속이 되려면
[eqn: lim_x->2- {f(x)f(kx) = lim_x->2+{f(x)f(kx) = f(2)f(2k)]
[eqn: -2 f(2k) =` -6 f(2k) = `-2f(2k)]
따라서 [eqn: f(2k)`=`0]
[eqn: x = `-4,``-sqrt2 , ``sqrt2 ,``4`]에서 [eqn: f(x)=0]이므로
[eqn: 2k]는 [eqn: -4,``-sqrt2 , ``sqrt2 ,``4`]이다.
그러므로 [eqn: k = `-2,``- sqrt2 over2 ,`` sqrt2 over2 ,``2]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 모든 상수 [eqn: k]의 값의 곱은 [eqn: 2`]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{`` {1} over {2} x ^{2} -8 &~ LEFT ( LEFT | x RIGHT | >2 RIGHT )#``-x ^{2} +2 &~ LEFT ( LEFT | x RIGHT | LEQ 2 RIGHT )}} `]

의 그래프가 그림과 같다.

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )f LEFT (kx RIGHT ) `]가 [eqn: x=2 `]에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 [eqn: k `]의 값의 곱은?

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 4]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 10

양의 실수 [eqn: {a}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x)=cases{x^{2}-5a&&&(x <a)#-2x+4&&&(x geq a)]에서

[eqn: lim _{x` -> `a+} {} f LEFT ( -x RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT { LEFT ( -a RIGHT ) ^{2} -5a RIGHT } TIMES LEFT ( -2a+4 RIGHT )]

[eqn: lim _{x`->`a-} {} f LEFT ( -x RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT { LEFT ( -a RIGHT ) ^{2} -5a RIGHT } TIMES LEFT ( a ^{2} -5a RIGHT )]

따라서 [eqn: a ^{2} -5a=0]이거나 [eqn: -2a+4=a ^{2} -5a]이므로

[eqn: a=4] 또는 [eqn: a=5][eqn: LEFT ( BECAUSE````a>0 RIGHT )]

따라서 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 9]

[eqn: f(x)=cases{``````x^{2}-5a&&&(x <a)#-2x+4&&&(x geq a)]

라 하자. 함수 [eqn: f(-x)f(x)]가 [eqn: x=a]에서 연속이 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합은?

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

04 수2	02 함수의 연속성
01 함수의 연속성
10 연속성10 (합성함수)

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 11

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]는 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ -1,`` 1 RIGHT ]`]에서

[정답] ②

[해설]

[eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) (x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> 1+} {(f CIRC g)(x)} = lim _{x -> 1-} {(f CIRC g)(x)=(f CIRC g)(1)}]

(ⅰ) [eqn: x -> 1+`]일 때, [eqn: x != 1]이고 [eqn: f(x)=f(x+2)]이므로
[eqn: lim _{x -> 1+} {(f CIRC g)(x)} = lim _{x -> 1+} {f(g(x))}]
[eqn: = lim _{x -> 1+} {f(x)}][eqn: = lim _{x -> -1+} {f(x)}][eqn: =0]

(ⅱ) [eqn: x -> 1-`]일 때, [eqn: x != 1]이고 [eqn: f(x)=f(x+2)]이므로

[eqn: lim _{x -> 1-} {(f CIRC g)(x)} = lim _{x -> 1-} {f(g(x))}][eqn: = lim _{x -> 1-} {f(x)}][eqn: =0]

(ⅲ) [eqn: x=1]일 때,

[eqn: (f CIRC g)(1)=f(g(1))][eqn: =f(a)]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: f(a)=0]

그런데 [eqn: a>1]이고 [eqn: f(x)=f(x+2)]이므로 [eqn: a]의 최소값은

[eqn: a= {5} over {2}]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= LEFT (x-1 RIGHT ) LEFT (2x-1 RIGHT ) LEFT (x+1 RIGHT )`]

이고, 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=f LEFT (x+2 RIGHT ) `]이다. [eqn: a＞1`]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ ``x &~ LEFT ( x != 1 RIGHT )# ``a &~ LEFT ( x=1 RIGHT )}}]

일 때, 합성함수 [eqn: LEFT (f CIRC g RIGHT ) LEFT (x RIGHT )`]가 [eqn: x=1 `]에서 연속이다. [eqn: a`]의 최솟값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 10

열린구간 [eqn: LEFT (-2,`` 2 RIGHT ) `]에서 정의된 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄴ. [eqn: lim _{x -> `0+} {} f LEFT ( f(x) RIGHT ) = lim _{t -> -1+} {} f(t)=0]이고
[eqn: lim _{x -> 0-} {} f(f(x))= lim _{t -> 1-} {} f(t)=0]이므로 [eqn: lim _{x -> 0} `{} ``f(f(x))=0]
[eqn: f(f(0)) =`0]이므로 [eqn: x=0]에서 연속이다. (참)

ㄷ. [eqn: a neq0]일 때, [eqn: lim _{x -> a} `{``f(x)f(-x)} =- lim _{x -> a} {` LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}}]
[eqn: a =0]일 때, [eqn: - lim _{x -> 0+} {} LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} =`- lim _{x -> 0-} {} LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} =`-1]
따라서 [eqn: -2<a<2`]인 모든 실수 [eqn: `a`]에 대하여  [eqn: lim _{x -> a} {} ``f(x)f(-x)]의 값이 존재한다. (참)

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{x `->` 0+} {} f LEFT ( x RIGHT )=`-1] ㄴ. 함수 [eqn: LEFT (f CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=0 `]에서 연속이다. ㄷ. [eqn: -2<a<2```]인 모든 실수 [eqn: a `]에 대하여 [eqn: lim _{x `->` a} {} f LEFT ( x RIGHT )f LEFT ( -x RIGHT ) `]의 값이 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 03월 30

다음 그림은 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프이다. 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=1,][eqn: x=2,][eqn: x=3`]에서만 불연속이다. 이차함수 [eqn: g(x)=x ^{2} -4x+k`]에 대하여 함수 [eqn: (f CIRC g)(x)`]가 [eqn: x=2`]에서 불연속이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: {13}}]

[해설]

[eqn: g(x)=(x-2) ^{2} +k-4`]이므로 [eqn: x ``->`` 2`]일 때, [eqn: g(x)`` -> ``(k-4)+] 이다.

따라서 [eqn: lim _{x` -> `2} {`} f(g(x))= lim _{t` -> `(k-4)+} {} `f(t)`] 이다.

이때 주어진 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프에서 [eqn: lim _{t` -> `(k-4)+} {} f(t)`]의 값은 항상 존재하므로 함수 [eqn: (f CIRC g)(x)`]가 [eqn: x=2`]에서 불연속이려면

[eqn: lim _{t` -> `(k-4)+} {} `f(t) != f(g(2))`]이어야 한다.

이때 [eqn: f(g(2))=f(k-4)`]이므로 함수 [eqn: (f CIRC g)(x)`]가 [eqn: x=2`]에서 불연속이려면 [eqn: lim _{t` -> `(k-4)+} {} `f(t) != f(k-4)`]이어야 한다.

즉, 함수 [eqn: f(x)`]의 [eqn: x=k-4`]에서의 함숫값과 [eqn: x=k-4`]에서의 우극한이 서로 달라야 한다.

따라서 [eqn: k-4 = 2] 또는 [eqn: k-4=3`]이므로

[eqn: k=6] 또는 [eqn: k=7]

구하는 모든 [eqn: k`]의 값의 합은

[eqn: 6+7=13`]

04 수2	02 함수의 연속성
01 함수의 연속성
11 연속성11 (추론과 해석)

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 11

모든 실수에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{``{ax} over {x-1}& ~LEFT ( LEFT | x RIGHT | >1 RIGHT )#``{a} over {1-x}& ~LEFT (LEFT | x RIGHT | <1 RIGHT )#~~ {a} over {2}&~ LEFT (LEFT | x RIGHT |=1 RIGHT )}}`]

일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: a`]는 실수이다.)

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]는 [eqn: x=`-1`]에서 연속이다. ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 모든 실수에서 연속이 되도록 하는 [eqn: a`]의 값이 존재한다. ㄷ. 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=a`]는 한 개의 실근을 갖는다. (단, [eqn: a != 0 `])

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 21

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f(x)``]에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

조건 (가)의 식에 [eqn: x=0`]을 대입하면 [eqn: f(0) g(0) = 0`]이고,

조건 (나)에서 [eqn: g(0) =1`]이므로 [eqn: f(0)=0`]

이때 함수 [eqn: f(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수이므로

[eqn: f(x) = x (x^2 + ax+b)`] ([eqn: a`], [eqn: b``]는 실수)

로 놓을 수 있다.

[eqn: f(x) ne 0`]일 때 [eqn: x ne 0`]이므로 조건 (가)의 식에서

[eqn: g(x)`][eqn: = {x(x+3)} over {f(x)}]
[eqn: = {x(x+3)} over {x(x ^{2} +ax+b)}]
[eqn: = {x+3} over {x ^{2} +ax+b} `] (단, [eqn: f(x) ne 0 `])

함수 [eqn: g(x)``]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x=0`]에서도 연속이다. 즉, [eqn: lim _{x` -> `0} {`g(x)} = g(0)`]이 성립한다.

이때 [eqn: lim _{x` -> `0} {`g(x)} = lim _{x` -> `0} {` {x+3} over {x ^{2} +ax+b}} = 3 over b`]이고 [eqn: g(0) =1`]이므로 [eqn: 3 over b =1`]에서     [eqn: b=3`]

한편 함수 [eqn: g(x)``]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 함수 [eqn: y= {x+3} over {x ^{2} +ax+b}`]이 실수 전체의 집합에서 연속이어야 하므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: x^2 + ax +3 ne 0`]이어야 한다.

즉, 이차방정식 [eqn: x^2 + ax+3 =0`]의 판별식을 [eqn: D``]라 하면 [eqn: D<0``]이어야 하므로

[eqn: D =`][eqn: a^2 -12 <0`],

[eqn: (a+2root 3 ) (a- 2root 3 ) <0`]

[eqn: -2 root 3 < a< 2root 3`]	[eqn: cdots cdots`]㉠

그런데 [eqn: f(1) = 1 times (1 +a + 3) = a+4`]이고 [eqn: f(1)`]이 자연수이므로 [eqn: a`]의 값은 [eqn: a> -4`]인 정수이어야 한다.

그러므로 ㉠을 만족시키는 정수 [eqn: a``]의 값은 [eqn: -3,~-2,~-1,~0,~1,~2,~3`]이다.

따라서 [eqn: g(2) = 5 over 2a+7`]는 [eqn: a=3`]일 때 최솟값 [eqn: 5 over 13`]를 갖는다.

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) g LEFT (x RIGHT ) = x LEFT (x+3 RIGHT ) `]이다.

(나) [eqn: g(0) =1`]

[eqn: f(1)`]이 자연수일 때, [eqn: g(2)`]의 최솟값은?

① [eqn: 5 over 13`]	② [eqn: 5 over 14`]	③ [eqn: 1 over 3`]

④ [eqn: 5 over 16`]	⑤ [eqn: 5 over 17`]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 29

함수

[정답] [eqn: 20]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: f ^{``-1} (x)]가 존재하므로 [eqn: f(x)]는 증가함수이거나 감소함수이다.

(ⅰ) [eqn: f(x)]가 증가함수일 때

[eqn: f(x)]가 증가함수이므로 두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f^{``-1}(x)]의 교점은 [eqn: y=x] 위에만 존재한다.

따라서 [eqn: f(-1)=it-1,~f(1)=1,~f(2)=2]이 성립한다.

주어진 조건에 대입하면

[eqn: f(1)=c+{5}over{2}=1]에서 [eqn: c=it-{3}over{2}]이고 [eqn: f(2)=4c+5=2]에서

[eqn: c=it-{3}over{4}]이므로 모순이다.

(ⅱ) [eqn: f(x)]가 감소함수일 때

[eqn: f(x)]가 감소함수이므로 곡선 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: y=x]와 한 점에서

만나고, [eqn: y=f^{``-1}(x)]와 두 점에서 만난다.

두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f^{``-1}(x)]의 두 교점은 [eqn: y=x]에 대하여

대칭이므로

[eqn: y=f(x)]는 [eqn: y=x]와 [eqn: x=1]에서 만나고, [eqn: y=f^{``-1}(x)]와

[eqn: x=it-1,~2]에서 만난다.

따라서 세 교점의 좌표는 [eqn: (-1,~2),~(1,~1),~(2,~-1)]가 된다.

이를 주어진 조건에 대입하면

[eqn: f(-1)=it-a+b=2,~f(1)=a+b=c+{5}over{2}=1,~f(2)=4c+5=it-1]

이다.

위의 연립방정식을 풀면

[eqn: a=it-{1}over{2},~b={3}over{2},~c=it-{3}over{2}]을 얻을 수 있다.

[eqn: therefore~2a+4b-10c= it -1+6+15=20]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~~ax+b&~ LEFT ( x<1 RIGHT ) # ``cx ^{2} + {5} over {2} x&~ LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}`]

이 실수 전체의 집합에서 연속이고 역함수를 갖는다. 함수 [eqn: y= f LEFT (x RIGHT ) `]의 그래프와 역함수 [eqn: y=f ^{ -1} LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 교점의 개수가 [eqn: 3 `]이고, 그 교점의 [eqn: x `]좌표가 각각 [eqn: -1], [eqn: 1], [eqn: 2 `]일 때, [eqn: 2 a + 4b - 10c `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c `]는 상수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 12

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} - LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) +x ^{2} =0]에서

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -1 RIGHT } LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +x RIGHT } LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -x RIGHT } =0]

이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =1,~f LEFT ( x RIGHT ) = it -x,~f LEFT ( x RIGHT ) =x]

이때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1] 또는 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이다.

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]일 때,
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이고, 최댓값이 [eqn: 1]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =1]
이다. 이때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값이 [eqn: 0]이 아니므로 주어진 조건을 만족시키지 못한다.

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]일 때,
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이고, 최댓값이 [eqn: 1]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`` LEFT | `x` RIGHT |&&&LEFT ( LEFT | `x` RIGHT | LEQ 1 RIGHT )#``1&&&LEFT ( LEFT | `x` RIGHT | >`1 RIGHT )}}]
이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`` LEFT | `x` RIGHT |&&&LEFT ( LEFT | `x` RIGHT | LEQ 1 RIGHT )#``1&&&LEFT ( LEFT | `x` RIGHT | >`1 RIGHT )}}]

따라서

[eqn: f LEFT ( - {4} over {3} RIGHT ) =1,~f LEFT ( 0 RIGHT ) =0,~f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {2}]

이므로

[eqn: f LEFT ( - {4} over {3} RIGHT ) +f LEFT ( 0 RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =1+0+ {1} over {2} = {3} over {2}]

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} - LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) +x ^{2} =0]

을 만족시킨다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값이 [eqn: 1]이고 최솟값이 [eqn: 0]일 때, [eqn: f LEFT ( - {4} over {3} RIGHT ) +f LEFT ( 0 RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {2} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 8

자연수 [eqn: {n}{{from^2021^7^경찰대^중}}]과 [eqn: lim _{x ``->`` INF } {} {f LEFT ( x RIGHT ) -x ^{3}} over {x ^{2}}][eqn: =2]인 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가

[정답] ①

[해설]

[eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x-1]을 인수로 가지고 나머지는 허근이 존재해야 한다.

따라서 [eqn: f(x)=(x-1)(x^{2}+3x+a)]에서 [eqn: x^{2}+3x+a=0]의 판별식 [eqn: D<0]이어야 한다.

즉, [eqn: {D}=9-4a<0]이므로 [eqn: a >{9}over{4}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: f(x)=0]일 때 연속이어야 하므로 [eqn: lim_{x ``->`` 1}{x-1}over{f(x)}={1}over{n}]

[eqn: lim_{x ``->`` 1}{x-1}over{f(x)}][eqn: =lim_{x ``->`` 1}{x-1}over{(x-1)(x^{2}+3x+a)}]
[eqn: =lim_{x ``->`` 1}{1}over{x^{2}+3x+a}]
[eqn: ={1}over{4+a}]

즉, [eqn: {1}over{4+a}={1}over{n}]이므로 [eqn: 4+a=n]

[eqn: therefore][eqn: a= n-4]

㉠에 대입하면 [eqn: n-4>{9}over{4}]이므로 [eqn: n>{25}over{4}]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 7]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ {x-1} over {f LEFT ( x RIGHT )}& && LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) != 0 RIGHT )# ````` {1} over {n}& && LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) =0 RIGHT )}}}]

이다. [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 [eqn: n]의 최솟값은?

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

04 수2	02 함수의 연속성
02 연속함수의 성질과 활용
02 불연속 후보군2 (연속X불연속)

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 07월 28

함수

[정답] [eqn: bold32]

[해설]

함수 [eqn: f(x)g(x)]가 모든 실수에서 연속이 되기 위해서는 [eqn: x=2]에서 연속이 되어야 하므로 [eqn: lim _{x -> 2} {f(x)g(x) }=f(2)g(2)}]를 만족하여야 한다. [eqn: lim _{x -> 2} {f(x)g(x)=} lim _{x -> 2} {{2g(x)} over {x-2}} =f(2)g(2)]이므로

[eqn: g(2)=0], [eqn: g(x)=a(x-2)(x- alpha )]라고 하면,

[eqn: lim _{x -> 2} {f(x)g(x)}=lim _{x-> 2} {2a(x- alpha )=f(2)g(2)=0}]

[eqn: therefore][eqn: alpha =2]

[eqn: g(x)=a(x-2) ^{2}] 이고 [eqn: g(0)=8]

[eqn: therefore][eqn: a=2]

[eqn: g(x)=2(x-2) ^{2}]

[eqn: therefore``][eqn: g(6)=2(6-2) ^{2} =32]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{``{2} over {x-2} &~ LEFT (x != 2 RIGHT )# ~~``1&~ LEFT (x=2 RIGHT )}}`]

와 이차함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =8]

(나) 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )g LEFT (x RIGHT )`]는 모든 실수에서 연속이다.

이때 [eqn: g LEFT (6 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 11월 14

함수

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 [eqn: x=1], [eqn: x=3]에서 연속이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} =1 TIMES g LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =2 TIMES g LEFT ( 1 RIGHT )}]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT ) =2timesg LEFT ( 1 RIGHT )]이므로

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =0]

(ⅱ) [eqn: lim _{x` -> `3+} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} =2 TIMES g LEFT ( 3 RIGHT )]

[eqn: lim _{x` -> `3-} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =1 TIMES g LEFT ( 3 RIGHT )}]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) g LEFT ( 3 RIGHT ) =2 TIMES g LEFT ( 3 RIGHT )]이므로

[eqn: g LEFT ( 3 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE][eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) =x ^{2} -4x+3]

따라서

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =`-1]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{ ~~~~1 &~ LEFT (1<x<3 RIGHT ) # ``3- LEFT | x-2 RIGHT | &~ LEFT (x LEQ 1,`` x GEQ 3 RIGHT ) }}`]

에 대하여 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프는 그림과 같다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]에 대하여
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )`]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT )`]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 11월 21

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]가

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx+c]라 하자.

조건 (가)에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서
연속이므로 [eqn: x=1], [eqn: x=`-1]에서 연속이어야 한다.

[eqn: lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT )}}]

[eqn: a+b+c=`-1]

[eqn: lim _{x` -> `-1+} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x` -> `-1-} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( -1 RIGHT ) g LEFT ( -1 RIGHT )}}]

[eqn: a-b+c=1]

[eqn: THEREFORE `````b=`-1], [eqn: c=`-a]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} -x-a= LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )]

조건 (나)에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x+k RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서
연속이 되도록 하는 상수 [eqn: k]가 존재하므로

[eqn: x=1], [eqn: x=`-1]에서 연속이어야 한다.

[eqn: lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x+k RIGHT ) = lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x+k RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1+k RIGHT )}}]

[eqn: k LEFT ( k+2 RIGHT ) LEFT ( k+a+1 RIGHT ) =0]

[eqn: k=`-2] 또는 [eqn: k=`-a-1][eqn: LEFT ( k != 0 RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS `㉠]

[eqn: lim _{x` -> `-1+} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x+k RIGHT )}][eqn: = lim _{x` -> `-1-} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x+k RIGHT )}]
[eqn: =f LEFT ( -1 RIGHT ) g LEFT ( -1+k RIGHT )]

[eqn: k LEFT ( k-2 RIGHT ) LEFT ( k+a-1 RIGHT ) =0]

[eqn: k=2] 또는 [eqn: k=`-a+1][eqn: LEFT ( k != 0 RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS `㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에 의해

[eqn: k=`-2]일 때, [eqn: a=3]

[eqn: k=2]일 때, [eqn: a=`-3]

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =`-a<0]이므로 [eqn: a=3]

따라서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x ^{2} -x-3]이고    [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =15]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = cases{``-x+1 &~ LEFT ( x LEQ -1 RIGHT ) #~~~``1 & ~ LEFT ( -1 < x LEQ 1 RIGHT ) #~```x-1 &~ LEFT ( x > 1 RIGHT ) }`]

이고 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]가 다음 조건을
만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )`]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(나) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x+k RIGHT )`]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: k`]가 존재한다.
(단, [eqn: k!=0`])

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) <0`]일 때, [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT )`]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 06월 16

함수

[정답] ③

[해설]

이차함수 [eqn: g(x)`]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

함수 [eqn: f(x)`]는 실수 전체의 집합에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >0]이고, [eqn: x=2`]에서만 불연속이다.

따라서 함수 [eqn: {g(x)} over {f(x)}]가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위해서는 [eqn: x=2`]에서만 연속이면 된다.

[eqn: {g(2)} over {f(2)} `=][eqn: lim _{x` -> 2+} {{g(x)} over {f(x)} = lim _{x -> 2-} {{g(x)} over {f(x)}} `} `]

[eqn: {g(2)} over {f(2)} `][eqn: = lim _{x -> 2+} {{g LEFT ( x RIGHT )} over {x-2}}][eqn: = lim _{x -> 2-} {{g LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} -4x+5}}]

[eqn: lim _{x -> 2+} {{g LEFT ( x RIGHT )} over {x-2}}]가 존재하고 [eqn: LEFT ( 분모 RIGHT ) -> `0]이므로 [eqn: LEFT ( 분자 RIGHT ) -> `0]이다.

따라서 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =0]이다. 따라서 이차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )]

라고 하자.

[eqn: {g(2)} over {f(2)} `= {g LEFT ( 2 RIGHT )} over {1} =0],

[eqn: lim _{x -> 2-} {{g LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} -4x+5}} = {g LEFT ( 2 RIGHT )} over {1} =0]

이므로 [eqn: lim _{x -> 2+} {{g LEFT ( x RIGHT )} over {x-2}} =0]이고

[eqn: lim _{x -> 2+} {{LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )} over {x-2}} = lim _{x -> 2+} {LEFT ( x+a RIGHT )} =2+a=0]이다.

[eqn: THEREFORE ````a=`-2]

따라서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}]이므로 [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT ) =3 ^{2} =9]이다.

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{ ``x ^{2} -4x+5& ~LEFT (x LEQ 2 RIGHT ) #~~~ x-2 & ~LEFT (x>2 RIGHT ) }}`]

와 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]에 대하여 함수 [eqn: {g LEFT (x RIGHT )} over {f LEFT (x RIGHT )} `]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 10월 14

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f LEFT(x RIGHT)]와 함수

[정답] ①

[해설]

[eqn: lim _{ x ``->`` 2+} {f left (x right ) g left (x right )][eqn: = lim _{ x ``->`` 2+} f left (x right )×lim _{ x ``->`` 2+} g left (x right )}]
[eqn: =lim_{x ``->`` 2+} f left (x right )]

[eqn: lim _{ x ``->`` 2-} {f left (x right )g left(x right)][eqn: = lim _{ x ``->`` 2-} f left(x right)×lim _{ x ``->`` 2-} g left(x right)}][eqn: =0]이고, 함수 [eqn: f left(x right)g left (x right )]가 [eqn: x=2]에서 연속이므로

[eqn: f left (2 right)][eqn: =lim _{x ``->`` 2+} {} f left (x right )][eqn: =0]

같은 방법으로 [eqn: f left (-2 right )][eqn: =lim _{x ``->`` -2-} {f left (x right )}][eqn: = 0 }]

그러므로 [eqn: f left (x right )= left (x+2 right ) left (x-2 right )]

함수 [eqn: f left(x-a right)g left(x right)][eqn: =left(x-a+2 right) left(x-a-2 right)g left(x right)]의 그래프가 한 점에서만 불연속이 되기 위해서는

[eqn: a-2=2] 또는 [eqn: a+2=it-2]

[eqn: therefore][eqn: a=4] 또는 [eqn: a= it -4]

따라서 구하는 값은 [eqn: 4 times left (-4 right)][eqn: = it -16]

[eqn: g LEFT(x RIGHT)][eqn: = {cases{it - left |`` x ``right | +2& && LEFT ( left |`` x ``right | leq 2 RIGHT )# `````````````````` 1 &&& left( left |`` x ``right | >2 right)}}]

에 대하여 함수 [eqn: f LEFT(x RIGHT)g LEFT(x RIGHT)]가 실수 전체의 집합에서 연속이다. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x-a RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 한 점에서만 불연속이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은?

① [eqn: -16]	② [eqn: -12]	③ [eqn: -8]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -1]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 29

[eqn: {5}{{from^2020^11^서울고2공통^5}}]이하의 두 자연수 [eqn: a ,```` b]에 대하여 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: bold { 7 }]

[해설]

함수 [eqn: f(x)g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위해서는 [eqn: x=1]과 [eqn: x=3]에서 연속이어야 한다.

(ⅰ) 함수 [eqn: f(x)g(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속일 때

[eqn: f(1)g(1)][eqn: = lim _{x ``->`` 1-} {f(x)g(x)}]
[eqn: =(a ^{2} -3a+2)(7-b)]
[eqn: =(a-1)(a-2)(7-b)]

[eqn: lim _{x ``->`` 1+} {f(x)g(x)][eqn: =(a ^{2} -3a+2)(1+b)}]
[eqn: =(a-1)(a-2)(1+b)]

[eqn: f(1)g(1)= lim _{x ``->`` 1-} {f(x)g(x)} = lim _{x ``->`` 1+} {f(x)g(x)}]

이므로 [eqn: (a-1)(a-2)(7-b)=(a-1)(a-2)(1+b)]에서

[eqn: a=1] 또는 [eqn: a=2] 또는 [eqn: b=3]

(ⅱ) 함수 [eqn: f(x)g(x)]가 [eqn: x=3]에서 연속일 때

[eqn: f(3)g(3)][eqn: = lim _{x ``->`` 3+} {f(x)g(x)}]
[eqn: =(a ^{2} -7a+10)(7-b)]
[eqn: =(a-2)(a-5)(7-b)]

[eqn: lim _{x ``->`` 3-} {f(x)g(x)}][eqn: =(a ^{2} -7a+10)(3+b)]
[eqn: =(a-2)(a-5)(3+b)]

[eqn: f(3)g(3)= lim _{x ``->`` 3-} {f(x)g(x)} = lim _{x ``->`` 3+} {f(x)g(x)}]

이므로 [eqn: (a-2)(a-5)(7-b)][eqn: =(a-2)(a-5)(3+b)]에서

[eqn: a=2] 또는 [eqn: a=5] 또는 [eqn: b=2]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a=1]인 경우

함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이고, [eqn: x=3]에서도 연속이기 위해서는 [eqn: b=2]

[eqn: a=2]인 경우

함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=1]과 [eqn: x=3]에서 모두 연속이므로

[eqn: b=1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5]

[eqn: a=3] 또는 [eqn: a=4]인 경우

함수 [eqn: f(x)g(x)]가 [eqn: x=1]과 [eqn: x=3]에서 모두 연속이 되도록 하는 [eqn: b]의 값은 존재하지 않는다.
[eqn: a=5]인 경우

함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=3]에서 연속이고, [eqn: x=1]에서도 연속이기 위해서는 [eqn: b=3]

따라서 함수 [eqn: f(x)g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 순서쌍 [eqn: (a ,```` b)]는

[eqn: (1 ,```` 2) ,````][eqn: (2 ,```` 1) ,```` (2 ,```` 2) ,```` (2 ,```` 3) ,]

[eqn: (2 ,```` 4) ,```` (2 ,```` 5) ,```` (5 ,```` 3)]

이고 그 개수는 [eqn: 7]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} -2ax+a ^{2} -a+1]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ x+b& && LEFT ( 1<x<3 RIGHT )# 7-b& && LEFT ( x LEQ 1 ```` 또는 ```` x GEQ 3 RIGHT )}}]

이라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b RIGHT )]의 개수를 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 12

다항함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]는 [eqn: lim _{x ``->`` INF } {} {f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} -3x-5}][eqn: =2]을 만족시키고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는

[정답] ①

[해설]

[eqn: lim _{x ``->`` INF } {} {f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} -3x-5}][eqn: =2]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x ^{2} +ax+b]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x][eqn: =3]에서 연속이다.

[eqn: lim _{x ``->`` 3} {} f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 3 RIGHT ) g LEFT ( 3 RIGHT )]

[eqn: lim _{x ``->`` 3} {} {2x ^{2} +ax+b} over {x-3}][eqn: =18+3a+b]에서 (분모)[eqn: ``->``][eqn: 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ``->``][eqn: 0]

[eqn: lim _{x ``->`` 3} {} LEFT ( 2x ^{2} +ax+b RIGHT )][eqn: =0]이므로 [eqn: 18+3a+b][eqn: =0]

[eqn: lim _{x ``->`` 3} {} {2x ^{2} +ax+b} over {x-3}][eqn: =0]

[eqn: b][eqn: =-3a-18]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( 2x+a+6 RIGHT )]

[eqn: lim _{x ``->`` 3} {} {2x ^{2} +ax+b} over {x-3}][eqn: = lim _{x ``->`` 3} {} {LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( 2x+a+6 RIGHT )} over {x-3}]
[eqn: = lim _{x ``->`` 3} {} LEFT ( 2x+a+6 RIGHT )][eqn: =0]

이므로 [eqn: a= it -12], [eqn: b=18]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x ^{2} -12x+18]

따라서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =8]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{{1} over {x-3}& && LEFT ( x != 3 RIGHT )# `````````1 &&& LEFT ( x=3 RIGHT )}}}]

이다. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 12

[eqn: a>2]인 상수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: f(1)=0], [eqn: f(a)=0]이고, [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-} f(x)=-1], [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2+} f(x)=-4+2 a]에서 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-} f(x) neq lim _{x ``rarrow`` 2+} f(x)]이므로 [eqn: x=2]에서 불연속이다.

함수 [eqn: h(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=1], [eqn: x=a], [eqn: x=2]에서 연속이어야 한다.

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {g(x)} over {f(x)}=h(1)], [eqn: lim _{x ``rarrow`` a} {g(x)} over {f(x)}=h(a)]에서

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} f(x)=f(1)=0], [eqn: lim _{x ``rarrow`` a} f(x)=f(a)=0]이므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} g(x)=0], [eqn: lim _{x ``rarrow`` a} g(x)=0] 즉, [eqn: g(1)=0], [eqn: g(a)=0]

또, [eqn: ~ lim _{x ``rarrow`` 2-} {g(x)} over {f(x)}= lim _{x ``rarrow`` 2+} {g(x)} over {f(x)}], [eqn: ~ {g(2)} over {-1}={g(2)} over {-4+2 a}]이므로 [eqn: g(2)=0]이고 [eqn: g(x)=(x-1)(x-2)(x-a)]이다.

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} h(x)][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1} {(x-1)(x-2)(x-a)} over {(x-1)(x-3)}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1} {(x-2)(x-a)} over {x-3}]
[eqn: ={1-a} over {2}]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` a} h(x)][eqn: = lim _{x ``rarrow`` a} {(x-1)(x-2)(x-a)} over {-x(x-a)}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` a} {(x-1)(x-2)} over {-x}]
[eqn: =`-{(a-1)(a-2)} over {a}]

[eqn: h(1)=h(a)]이므로

[eqn: {1-a} over {2} =`- {(a-1)(a-2)} over {a}]

[eqn: a>2]이므로    [eqn: a=4]

따라서

[eqn: h(x)={g(x)} over {f(x)}=cases{{(x-2)(x-4)} over {x-3} ```````~(x LEQ 2) # -{(x-1)(x-2)} over {x} ~ (x>2)}]

이므로

[eqn: h(1)+h(3)=`-{3} over {2}+ left(-{2} over {3} right)=`-{13} over {6}]

[eqn: f(x)=cases{x^{2}-4 x+3 && (x leq 2) #-x^{2}+a x && (x>2)}]

라 하자. 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: g(x)]에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: h(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: h(1)+h(3)]의 값은?

(가) [eqn: x neq 1], [eqn: x neq a]일 때, [eqn: h(x)={g(x)} over {f(x)}]이다.

(나) [eqn: h(1)=h(a)]

① [eqn: -{15} over {6}]	② [eqn: -{7} over {3}]	③ [eqn: -{13} over {6}]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -{11} over {6}]

04 수2	02 함수의 연속성
02 연속함수의 성질과 활용
03 불연속 후보군3 (불연속X불연속)

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 04월 17

함수

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: |x|<1]일 때 [eqn: f(x)=x^{2}]은 연속이고, [eqn: |x|>1]일 때 [eqn: f(x)=x^{2}-4|x|+3]은 연속이다.
i) [eqn: x=-1]일 때
[eqn: lim _{x`` rarrow ``-1-} {} f(x)=0], [eqn: ~ lim _{x`` rarrow ``-1+} {} f(x)=1]
ii) [eqn: x=1]일 때
[eqn: lim _{x`` rarrow ``1-} {} f(x)=1], [eqn: lim _{x`` rarrow ``1+} {} f(x)=0]
[eqn: therefore~x=-1]과 [eqn: x=1]에서 불연속이므로
[eqn: f(x)]가 불연속인 점은 [eqn: rm 2]개이다. (참)

ㄴ. i ) [eqn: x=-1]일 때
[eqn: lim _{x`` rarrow ``-1-} {} f(x)cos {pi } over {2} x= lim _{x`` rarrow ``-1+} {} f(x)cos {pi } over {2} x=0]
[eqn: f(-1) cos left(-{ pi} over {2} right)=0]
ii) [eqn: x=1]일 때
[eqn: lim _{x`` rarrow ``1-} {} f(x)cos {pi } over {2} x= lim _{x`` rarrow ``1+} {} f(x)cos {pi } over {2} x=0]
[eqn: f(1) cos { pi} over {2}=0]
[eqn: therefore~]함수 [eqn: y=f(x) cos { pi} over {2} x]는 [eqn: x=-1]과 [eqn: x=1]에서 연속이다. (참)

ㄷ. [반례] [eqn: a=2]일 때
[eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1], [eqn: 1]에서 불연속이고,
[eqn: f(x-2)]는 [eqn: x=1], [eqn: 3]에서 불연속이므로
[eqn: x=-1], [eqn: 1], [eqn: 3]에서의 연속성을 조사해 보면
[eqn: lim _{x`` rarrow ``-1-} {} f(x)f(x-2)= lim _{x`` rarrow ``-1+} {} f(x)f(x-2)]
[eqn: =f(-1) f(-3)=0]
[eqn: lim _{x`` rarrow ``1-} {} f(x)f(x-2)= lim _{x`` rarrow ``1+} {} f(x)f(x-2)]
[eqn: =f(1) f(-1)=0]
[eqn: lim _{x`` rarrow ``3-} {} f(x)f(x-2)= lim _{x`` rarrow ``3+} {} f(x)f(x-2)]
[eqn: =f(3) f(1)=0]
[eqn: therefore~]함수 [eqn: y=f(x) f(x-2)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

[eqn: f(x)=cases{x^{2} && (|x|<1) #x^{2}-4|x|+3 && (|x| geq 1)}]

에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]가 불연속인 점은 [eqn: rm 2]개이다. ㄴ. 함수 [eqn: y=f(x) cos { pi} over {2} x]는 [eqn: x=-1]과 [eqn: x=1]에서 연속이다. ㄷ. 함수 [eqn: y=f(x) f(x-a)]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a]는 없다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 06월 15

두 함수

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서만 불연속이고, 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=a]에서만 불연속이므로 함수 [eqn: f(x) g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 [eqn: x=0], [eqn: x=a]에서 연속이어야 한다.

(i) [eqn: a<0]일 때,
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} f(x) g(x)=3 times(-1)=-3], [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} f(x) g(x)=2 times(-1)=-2]
이므로 함수 [eqn: f(x) g(x)]는 [eqn: x=0]에서 불연속이다.

(ii) [eqn: a=0]일 때,
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} f(x) g(x)=3 times 0=0],
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} f(x) g(x)=2 times(-1)=-2]
이므로 함수 [eqn: f(x) g(x)]는 [eqn: x=0]에서 불연속이다.

(iii) [eqn: a>0]일 때,
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} f(x) g(x)=3 times 0=0], [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} f(x) g(x)=2 times 0=0], [eqn: f(0) g(0)=2 times 0=0]
에서 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} f(x) g(x)=f(0) g(0)]이므로 함수 [eqn: f(x) g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.

(i), (ii), (iii)에서 [eqn: a>0]이므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` a-} f(x) g(x)=(-2 a+2) times 2 a]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` a+} f(x) g(x)=(-2 a+2) times(2 a-1)]

[eqn: f(a) g(a)=(-2 a+2) times(2 a-1)]

이때 함수 [eqn: f(x) g(x)]가 [eqn: x=a]에서 연속이려면 [eqn: lim _{x ``rarrow`` a} f(x) g(x)=f(a) g(a)]이어야 하므로

[eqn: (-2 a+2) times 2 a=(-2 a+2) times(2 a-1)], [eqn: 2 a-2=0]

따라서 [eqn: a=1]

[eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{-2x+3 && &LEFT ( x<0 RIGHT )#-2x+2&&&LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}}{{from^2019^06^평가원고3나^중}}] , [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{````````2x&&&LEFT ( x<a RIGHT )#2x-1 && &LEFT ( x GEQ a RIGHT )}}]

가 있다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

04 수2	02 함수의 연속성
02 연속함수의 성질과 활용
04 불연속 후보군4 (합성함수)

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 06월 10

닫힌구간 [eqn: LEFT [ -1,`` 2 RIGHT ] `]에서 정의된 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]의 그래프가 다음과 같다.

[정답] ①

[해설]

[eqn: g(x)= {cases{f(x)&(f(x) >= 0)#0&(f(x)<0)}}][eqn: = {cases{1&(x=0)#0&(x != 0)}}]

[eqn: h(x)= {cases{0&(f(x) >= 0)#f(x)&(f(x)<0)}}][eqn: = {cases{0&(x=0)#f(x)&(x != 0)}}]

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 1+} {h(x)} = lim _{x -> 1+} {f(x)} =0]
[eqn: lim _{x -> 1-} {h(x)} = lim _{x -> 1-} {f(x)} =-1]
이므로 극한값 [eqn: lim _{x -> 0} {h(x)}]는 존재하지 않는다.  <거짓>

ㄴ. [eqn: x=0]일 때, [eqn: (h CIRC g)(0)=h(g(0))=h(1)=0]
[eqn: x != 0]일 때, [eqn: (h CIRC g)(x)=h(g(x))=h(0)=0]
즉, 구간 [eqn: LEFT [ -1,``2 RIGHT ]]에서 [eqn: (h CIRC g)(x)=0]이므로 함수 [eqn: y=(h CIRC g)(x)]는 연속이다.<참>

ㄷ. [eqn: x -> 0]일 때, [eqn: h(x) -> 0]이므로 [eqn: h(x)=t]로 놓으면
[eqn: lim _{x -> 0} {(g CIRC h)(x)} = lim _{x -> 0} {(g(h(x))}][eqn: =][eqn: lim _{t -> 0} {g(t)}][eqn: =0]
한편,  [eqn: (g CIRC h)(0)][eqn: =g(h(0))][eqn: =g(0)][eqn: =1]
그러므로 [eqn: lim _{x -> 0} {(g CIRC h)(x)} !=][eqn: (g CIRC h)(0)] <거짓>

닫힌구간 [eqn: LEFT [ -1,`` 2 RIGHT ] `]에서 두 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )], [eqn: h LEFT (x RIGHT )`]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {f LEFT ( x RIGHT ) + LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {2}], [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {2}`]

으로 정의할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{x `->` 1} {} h LEFT (x RIGHT )`]는 존재한다. ㄴ. 함수 [eqn: LEFT (h circ g RIGHT ) LEFT (x RIGHT )`]는 닫힌구간 [eqn: LEFT [ -1,`` 2 RIGHT ] `]에서 연속이다. ㄷ. [eqn: lim _{x `->` 0} {} LEFT (g CIRC h RIGHT ) LEFT (x RIGHT ) = LEFT (g CIRC h RIGHT ) LEFT (0 RIGHT )`]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 11월 15

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같고, 삼차함수 [eqn: g(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고, [eqn: g(0)=3]이다. 합성함수 [eqn: (g CIRC f)(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: g(3)]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: g(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+3```(a,```b]는 상수)이라 하면 합성함수 [eqn: (g∘f)(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위해서는 [eqn: f(x)]가 불연속인 점 [eqn: x=0,```x=-2]에서 연속이면 된다.

(ⅰ) [eqn: x=0]일 때

[eqn: (g CIRC f)(0)=g(f(0))=g(0)=3]

[eqn: lim _{x` -> `0+} {} g(f(x))= lim _{x` -> `1-} {} g(x)=g(1)]

[eqn: (∵~g(x)]는 삼차함수이므로 연속함수이다.)

[eqn: lim _{x` -> `0+} {} g(f(x))=(g CIRC f)(0)]이므로 [eqn: g(1)=3]

[eqn: 1+a+b+3=3]에서 [eqn: a+b=-1][eqn: CDOTS cdots]㉠

(ⅱ) [eqn: x=2]일 때

[eqn: (g CIRC f)(2)=g(f(2))=g(0)=3]

[eqn: lim _{x` -> `2+} {} g(f(x))= lim _{x` -> `-1+} {} g(x)=g(-1)]

[eqn: lim _{x` -> `2+} {} g(f(x))=(g CIRC f)(2)]이므로 [eqn: g(-1)=3]

[eqn: -1+a-b+3=3]에서 [eqn: a-b=1][eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=0], [eqn: b=-1]

[eqn: THEREFORE ```g(x)=x ^{3} -x+3]

[eqn: THEREFORE ~g(3)=27-3+3=27]

① [eqn: 31]	② [eqn: 30]           ③ [eqn: 29]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 27]

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 09월 6

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(x) = cases{x-3&& (x!=2)#&&#```````1&& (x=2)}]이고,

[eqn: f(x)=2]일 때, [eqn: x=5]이므로

[eqn: (f circ f )(x) = cases{x-6 && (x!=2,~ x!=5)#``` -2 && (x=2)#``````````1&&(x=5)}]

[eqn: lim _{x` -> `2} {`` LEFT ( x-6 RIGHT ) =`-4}]이고 [eqn: f(f(2))=`-2]이므로

[eqn: lim _{x` -> `2} {`` LEFT ( x-6 RIGHT ) != f(f(2))}] 따라서 [eqn: x=2]에서 불연속

[eqn: lim _{x` -> `5} {`` LEFT ( x-6 RIGHT ) =`-1}]이고 [eqn: f(f(5))=1]이므로

[eqn: lim _{x` -> `5} {`` LEFT ( x-6 RIGHT ) != f(f(5))}] 따라서 [eqn: x=5]에서 불연속

즉, 합성함수 [eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=5]에서 불연속이므로 [eqn: 0 LEQ x LEQ 6]에서 불연속이 되는 모든 [eqn: a]값의 합은     [eqn: 2+5=7]이다.

합성함수 [eqn: LEFT (f CIRC f RIGHT ) LEFT (x RIGHT )`]가 [eqn: x=a `]에서 불연속이 되는 모든 [eqn: a`]의 값의 합은? (단, [eqn: 0LEQa LEQ6`]이다.)

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 10월 25

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y = f LEFT (x RIGHT )`]의 그래프는 그림과 같다. 함수

[정답] [eqn: bold20]

[해설]

합성함수 [eqn: (g circf)(x)`]가 실수 전체에서 연속이므로 [eqn: x=2`]에서도 연속이어야 한다.  함수 [eqn: g(x)]는 다항함수이므로 모든 실수에서 연속이다. 그러므로 [eqn: f(x)=t`]라 놓으면

[eqn: lim_x->2-0 g(f(x))=lim_t->-0 g(t)=g(0)]

[eqn: lim_x->2+0 g(f(x))=lim_t->2-0 g(t)=g(2)]

[eqn: g(f(2))=g(1)]

따라서 [eqn: lim _{x -> 2-0} {} g LEFT ( f(x) RIGHT ) = lim _{x -> 2+0} {} g LEFT ( f(x) RIGHT ) =g(f(2))`]에서  [eqn: g(0)=g(2)=g(1)]이고 [eqn: g(0)=10]이므로

[eqn: g(1)+g(2)=10+10=20]

[eqn: g LEFT (x RIGHT )=ax^3 +bx^2 +cx+10] ([eqn: a], [eqn: b], [eqn: c `]는 상수)

에 대하여 합성함수 [eqn: LEFT ( g circ f RIGHT ) LEFT (x RIGHT )`]가 실수 전체의 집합에서 연속이다. [eqn: g LEFT (1 RIGHT )+g LEFT (2 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

04 수2	02 함수의 연속성
02 연속함수의 성질과 활용
05 불연속 후보군5 (불연속점의 개수)

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 17

[eqn: 0<x<20 `]에서 정의된 함수 [eqn: y=f (x)``]가 다음과 같다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: g(f(x))= cases{2```` LEFT ( 0<x< {1} over {2} RIGHT )#0```` LEFT ( {1} over {2} <= x< {7} over {2} RIGHT )#2```` LEFT ( {7} over {2} <= x< {15} over {2} RIGHT )#6```` LEFT ( {15} over {2} <= x< {31} over {2} RIGHT )#12````left( { 31} over { 2}≦x<20 right)}]

따라서 불연속 점의 개수는 [eqn: 4]개이다.

함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )= LEFT [ x RIGHT ]^2 - LEFT [x RIGHT ]`]에 대하여 합성함수 [eqn: y=g LEFT (f LEFT (x RIGHT ) RIGHT ) `]의 불연속점의 개수는?
(단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]`]는 [eqn: x`]를 넘지 않는 최대의 정수)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 11

함수

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: y=f(x)]           [eqn: y=|f(x)|]

ㄱ. 그래프에 의하여 [eqn: lim _{x` -> `1} {LEFT | `f(x)` RIGHT |} =2] (참)

ㄴ.[eqn: lim _{x` -> `2+} {} f(f(x))= lim _{t`` -> 1-} {f(t)=-2}] (참)

ㄷ. 함수 [eqn: y=f LEFT ( f(x) RIGHT )]는 [eqn: `f(x)=1]일 때 불연속점을 가지므로 [eqn: x=2``,``1`,``1- sqrt {3}] 에서 불연속이다. 따라서 [eqn: 3`]개 존재한다. (참)

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= cases{~``` x ^{2} -2x-1 &~ LEFT (x<1 RIGHT )# ~~~~~1 &~ LEFT (x=1 RIGHT )# ``-x ^{2} +2x+1 &~ LEFT (x>1 RIGHT )} `]

에 대한 설명 중 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{x `->` 1} {LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT |=2] ㄴ. [eqn: lim _{x `->` 2+} {} f LEFT (f LEFT (x RIGHT ) RIGHT )=`-2] ㄷ. 함수 [eqn: y=f LEFT ( f LEFT (x RIGHT ) RIGHT )`]의 불연속점의 개수는 [eqn: 3 `]개이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 8

함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 다음과 같을 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: g(f(0))=g(0)=0](참)

ㄴ. [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} g(f(x))=0], [eqn: g(f(0))=0]이므로 [eqn: x=0]에서 연속 (참)

ㄷ. [eqn: y=g(x)]가 [eqn: x=1]에서 불연속이므로 주어진 구간에서 [eqn: y=g(f(x))]는 [eqn: f(x)=1]인 [eqn: x={1} over {2}]에서 불연속,
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2+} g(f(x))=-1], [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-} g(f(x))=-2]
이므로 [eqn: x=2]에서 불연속,
구간내의 이외의 점에서는 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]가 모두 연속이므로 [eqn: y=g(f(x))]는 연속 (참)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g(f(0))=0] ㄴ. [eqn: y=g(f(x))]는 [eqn: x=0]에서 연속이다. ㄷ. [eqn: -1 leq x leq 3]에서 [eqn: y=g(f(x))]가 불연속인 [eqn: x]의 값은 [eqn: rm 2]개이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 15

그래프는 두 함수

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: y=(g` CIRC `f)(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: y=(g` CIRC `f)(x)]는 [eqn: x=-3], [eqn: -2], [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 3]에서 불연속이다. 따라서 불연속점은 [eqn: 5]개이다.

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{`` x-2 &~ LEFT (x>1 RIGHT )# ```-x &~ LEFT ( LEFT | x RIGHT | LEQ 1 RIGHT )# ``x+2 &~ LEFT (x< -1 RIGHT )}}],
[eqn: g LEFT (x RIGHT )= {cases{ ```LEFT | x RIGHT | &~ LEFT (0< LEFT | x RIGHT | LEQ 1 RIGHT )#`` -1 &~ LEFT (x=0 RIGHT )# ~```0 &~ LEFT ( LEFT | x RIGHT | >1 RIGHT )}}`]

를 각각 나타낸 것이다.

합성함수 [eqn: y=(g CIRC f)(x)]의 불연속점의 개수는?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[출처]	2018 모의_공공 경찰대 고3 07월 18

함수 [eqn: f(x)=[4 x]-[6 x]+ left[{x} over {2} right]- left[{x} over {4} right]]가 [eqn: x=a]에서 불연속이 되는 실수 [eqn: a`(0<a<5)]의 개수는? (단, [eqn: [`x`]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[정답] ②

[해설]

각각의 항의 함수가 불연속이 되는 [eqn: x]의 값은

[eqn: y=[4 x]: {1} over {4}], [eqn: {2} over {4}], [eqn: {3} over {4}], [eqn: {4} over {4}], [eqn: {5} over {4}], [eqn: cdots], [eqn: {21} over {4} ` CDOTS CDOTS` 21]개

[eqn: y=[6 x]: {1} over {6}], [eqn: {2} over {6}], [eqn: {3} over {6}], [eqn: {4} over {6}], [eqn: {5} over {6}], [eqn: {6} over {6}], [eqn: {7} over {6}], [eqn: cdots], [eqn: {29} over {6} `CDOTS CDOTS `29]개

[eqn: y= left[{x} over {2} right]: 2], [eqn: 4` CDOTS CDOTS` 2]개

[eqn: y= left[{x} over {4} right]: 4` CDOTS CDOTS` 1]개

서로 다른 점은 [eqn: rm 39]곳인데, 한 함수만 불연속인 점에서 [eqn: f(x)]는 불연속이다. 이제 두 개 이상의 함수가 공통으로 불연속인 점

[eqn: {1} over {2}], [eqn: 1], [eqn: {3} over {2}], [eqn: 2], [eqn: {5} over {2}], [eqn: 3], [eqn: {7} over {2}], [eqn: 4], [eqn: {9} over {2}]

에 대하여 연속성을 조사한다.

(ⅰ) [eqn: x={1} over {2}~: ~ f left({1} over {2} right)=2-3+0-0=-1]
[eqn: lim _{x ``rarrow`` {1} over {2}-} f(x)=1-2+0-0=-1], [eqn: lim _{x ``rarrow`` {1} over {2}+} f(x)=2-3+0-0=-1]이므로 연속이다.
[eqn: x={3} over {2}], [eqn: x={5} over {2}], [eqn: x={7} over {2}], [eqn: x={9} over {2}]에서도 마찬가지로 연속이다.

(ⅱ) [eqn: x=1: f(1)=4-6+0-0=-2]
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1-} f(x)=3-5+0-0=-2],[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1+} f(x)=4-6+0-0=-2]이므로 연속이다.
[eqn: x=3]에서 마찬가지 방법으로 연속이다.

(ⅲ) [eqn: x=2: f(x)=8-12+1-0=-3]
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-} f(x)=7-11+0-0=-4], [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2+} f(x)=-3]이므로 불연속이다.

(ⅳ) [eqn: x=4: f(4)=16-24+2-1=-7]
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 4-} f(x)=15-23+1-0=-7], [eqn: lim _{x ``rarrow`` 4+} f(x)=-7]이므로 연속이다.

[eqn: {1} over {2}], [eqn: 1], [eqn: {3} over {2}], [eqn: 2], [eqn: {5} over {2}], [eqn: 3], [eqn: {7} over {2}], [eqn: 4], [eqn: {9} over {2}] 중에서 연속인 점은 [eqn: rm 8]곳이므로 함수 [eqn: f(x)]가 불연속인 점은 [eqn: 39-8=31]개이다.

① [eqn: rm 30]	② [eqn: rm 31]	③ [eqn: rm 32]

④ [eqn: rm 33]	⑤ [eqn: rm 34]

04 수2	02 함수의 연속성
02 연속함수의 성질과 활용
06 활용1 (교점의 개수로 정의된 함수)

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 06월

양수 [eqn: r `]에 대하여 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT |]의 그래프와 원 [eqn: LEFT (x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT (y-2 RIGHT ) ^{2} =r ^{2} `]이 만나는 점의 개수를 [eqn: f LEFT (r RIGHT ) `]라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( r RIGHT ) `]가 불연속인 점의 개수는?

[정답] ③

[해설]

원의 중심[eqn: LEFT ( 1,``2 RIGHT )]와 직선 [eqn: x-y=0`] 사이의 거리는

[eqn: {LEFT | 1-2 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}}} = {sqrt {2}} over {2}]

이고 원의 중심[eqn: LEFT ( 1,``2 RIGHT )]와 직선 [eqn: x+y=0`] 사이의 거리는

[eqn: {LEFT | 1+2 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}}} = {3 sqrt {2}} over {2}]

이다. 원의 중심[eqn: LEFT ( 1,``2 RIGHT )]와 원점 사이의 거리는 [eqn: sqrt {5} `]이다.

(ⅰ) [eqn: 0<r< {sqrt {2}} over {2} `]일 때, [eqn: f LEFT ( r RIGHT ) =0`](그림 참고)

(ⅱ) [eqn: r= {sqrt {2}} over {2} `]일 때, [eqn: f LEFT ( r RIGHT ) =1`](그림 참고)

(ⅲ) [eqn: {sqrt {2}} over {2} <r< {3 sqrt {2}} over {2} `]일 때, [eqn: f LEFT ( r RIGHT ) =2`](그림 참고)

(ⅳ) [eqn: r= {3 sqrt {2}} over {2} `]일 때, [eqn: f LEFT ( r RIGHT ) =3`](그림 참고)

(ⅴ) [eqn: {3 sqrt {2}} over {2} <r< sqrt {5} `]일 때, [eqn: f LEFT ( r RIGHT ) =4`](그림 참고)

(ⅵ) [eqn: r= sqrt {5} `]일 때, [eqn: f LEFT ( r RIGHT ) =3`](그림 참고)

(ⅶ) [eqn: r> sqrt {5} `]일 때, [eqn: f LEFT ( r RIGHT ) =2`](그림 참고)

(ⅰ)~(ⅶ)에 의해 함수 [eqn: f LEFT ( r RIGHT ) `]의 그래프는

이다. 따라서 함수 [eqn: f LEFT ( r RIGHT ) `]가 [eqn: r= {sqrt {2}} over {2} ,` {3 sqrt {2}} over {2} ,` sqrt {5} `]에서 불연속이므로 불연속인 점의 개수는 [eqn: 3`]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 06월 29

실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=t]가 곡선 [eqn: y= LEFT | x ^{2} -2x RIGHT |]와 만나는 점의 개수를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) g LEFT ( t RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: t`]에서 연속일 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) +g LEFT ( 3 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 8]

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]는

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {cases{0&LEFT ( t<0 RIGHT )#2&LEFT ( t=0 RIGHT )#4&LEFT ( 0<t<1 RIGHT )#3&LEFT ( t=1 RIGHT )#2&LEFT ( t>1 RIGHT )}}]

이고 [eqn: t=0]과 [eqn: t=1]에서 불연속이다.

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) g LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t=0]과 [eqn: t=1]에서 연속이므로

[eqn: {cases{eqalign{lim _{t -> 0+} {} f LEFT ( t RIGHT ) g LEFT ( t RIGHT ) =4g LEFT ( 0 RIGHT )# }&#eqalign{lim _{t -> 0-} {} f LEFT ( t RIGHT ) g LEFT ( t RIGHT ) =0# }&#f LEFT ( 0 RIGHT ) g LEFT ( 0 RIGHT ) =2g LEFT ( 0 RIGHT )&}}]

[eqn: 4g LEFT ( 0 RIGHT ) =0=2g LEFT ( 0 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~g LEFT ( 0 RIGHT ) =0]

[eqn: {cases{eqalign{lim _{t -> 1+} {} f LEFT ( t RIGHT ) g LEFT ( t RIGHT ) =2g LEFT ( 1 RIGHT )# }&#eqalign{lim _{t -> 1-} {} f LEFT ( t RIGHT ) g LEFT ( t RIGHT ) =4g LEFT ( 1 RIGHT )# }&#f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT ) =3g LEFT ( 1 RIGHT )&}}]

[eqn: 2g LEFT ( 1 RIGHT ) =4g LEFT ( 1 RIGHT ) =3g LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~g LEFT ( 1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ~g LEFT ( t RIGHT ) =t LEFT ( t-1 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~f LEFT ( 3 RIGHT ) +g LEFT ( 3 RIGHT ) =2+6=8]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 11월 21

실수 [eqn: t `]에 대하여 두 함수

[정답] ③

[해설]

ㄱ.

[eqn: lim _{t` ->` -1+} {h LEFT ( t RIGHT ) =3}] (참)

ㄴ.

[eqn: lim _{t` ->` 1-} {h LEFT ( t RIGHT ) =3}], [eqn: lim _{t` ->` 1+} {h LEFT ( t RIGHT ) =3}], [eqn: h(1) = 3]이므로

함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=1]에서 연속이다. (참)

ㄷ. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 [eqn: t = { 5} over { 4}]에서
접하므로 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]는

[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = {cases{``2 _{`} ^{`} ```````&`` LEFT ( t LEQ -1 RIGHT ) _{`} ^{`}#``3 _{`} ^{`}&`` LEFT ( -1<t< {5} over {4} RIGHT ) _{`} ^{`}#``2 _{`} ^{`}&`` LEFT ( t= {5} over {4} RIGHT ) _{`} ^{`}#``1 _{`} ^{`}&`` LEFT ( {5} over {4} <t LEQ 3 RIGHT ) _{`} ^{`}#``2 _{`} ^{`}&`` LEFT ( t>3 RIGHT ) _{`} ^{`}}}]

함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t=`-1], [eqn: t= 5over4], [eqn: t=3]에서
불연속이므로 모든 [eqn: a]의 값의 합은
[eqn: -1+ 5over4 + 3 = 13over4]이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-t RIGHT ) ^{2} -1],

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~``-x&~ LEFT ( x LEQ 1 RIGHT )#~~x+2&~ LEFT ( x>1 RIGHT )}}]

의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{t ``->`` -1+} {h LEFT ( t RIGHT ) =3] ㄴ. 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]는 [eqn: t=1 `]에서 연속이다. ㄷ. 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]가 [eqn: t=a `]에서 불연속이 되는 모든 [eqn: a `]의 값의 합은 [eqn: 15 over 4 `]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 06월 21

함수

[정답] ②

[해설]

점 [eqn: LEFT ( 0,`5 RIGHT ) `]를 지나고 기울기가 [eqn: t`]인 직선이 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프

가 만나는 점의 개수를 [eqn: a`]의 값의 범위에 따라 나타내면 다음

과 같다.

[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT )][eqn: a+7<5][eqn: LEFT ( a<`-2 RIGHT )]일 때

기울기 [eqn: t]의 범위에 따라 교점의 개수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이다.  따라서 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

그러므로 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이 아니다.

[eqn: LEFT ( ⅱ RIGHT )][eqn: a+7=5][eqn: LEFT ( a=`-2 RIGHT )]일 때

기울기 [eqn: t]의 범위에 따라 교점의 개수는 [eqn: 2], [eqn: 3]이다. 따라서

[eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

그러므로 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이 아니다.

[eqn: LEFT ( ⅲ RIGHT )][eqn: a-1`<5<a+7][eqn: LEFT ( -2<a<6 RIGHT )]일 때

기울기 [eqn: t]의 범위에 따라 교점의 개수는 [eqn: 2]이다.

따라서 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

그러므로 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

[eqn: LEFT ( ⅳ RIGHT )][eqn: a-1=5 LEFT ( a=6 RIGHT )]일 때

기울기 [eqn: t]의 범위에 따라 교점의 개수는 [eqn: 1], [eqn: 2]이다. 따라서

[eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

그러므로 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이 아니다.

[eqn: LEFT ( ⅴ RIGHT )][eqn: a-1`>5][eqn: LEFT ( a>6 RIGHT )]일 때

기울기 [eqn: t]의 범위에 따라 교점의 개수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이다.

따라서 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

그러므로 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이 아니다.

따라서 [eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT )]~[eqn: LEFT ( ⅴ RIGHT )]에서 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 연속이 되도록 하는 [eqn: a]의 범위는 [eqn: -2<a<6]이므로 정수 [eqn: a]는 [eqn: -1,0,``1,`2,`3,`4,`5]이다.

그러므로 그 합은 [eqn: -1+0+1+2+3+4+5=14]이다.

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{ ~~x ^{2} +a-1& ~LEFT (x <0 RIGHT )#``-x ^{2} +a+7 &~ LEFT (x GEQ 0 RIGHT )}}`]

가 있다. 실수 [eqn: t `]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( 0,`` 5 RIGHT ) `]를 지나고 기울기가 [eqn: t `]인 직선이 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 만나는 점의 개수를 [eqn: g LEFT (t RIGHT ) `]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT (t RIGHT ) `]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 정수 [eqn: a `]의 값의 합은?

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 04월 29

그림과 같이 [eqn: {bar{rm AB it}} =4], [eqn: {bar{rm BC it}} =3], [eqn: ANGLE rm B=90 DEG]인 삼각형 [eqn: rm ABC]의 변 [eqn: rm AB] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 [eqn: O]가 있다. [eqn: {bar{rm AP it}} =x] [eqn: LEFT ( 0<x<4 RIGHT )]라 할 때, 원 [eqn: O]가 삼각형 [eqn: rm ABC]와 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a]에서 불연속이 되는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 19]

[해설]

[그림1]과 같이 [eqn: x=2]일 때,
원 [eqn: O`]가 삼각형 [eqn: rm ABC]와 만나는 서로 다른 점의
개수는 [eqn: 3]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =3]

[eqn: 0 < x<2]에서 원 [eqn: O`]가 삼각형 [eqn: rm ABC]와
만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: 2]이다.
[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2]([eqn: 0 < x<2])

[그림1]

[그림2]와 같이 원 [eqn: O`]가 선분 [eqn: rmAC]에 접할 때, 접하는 점을 [eqn: rm H]라 하면 삼각형 [eqn: rm AHP]와 삼각형 [eqn: rm ABC]는
닮음이므로

[eqn: {bar{rm AC it}} : {bar{rm BC it}} = {bar{rm AP it}} : {bar{rm HP it}}]

[eqn: 5:3=x:2]

[eqn: x= {10} over {3}]

[eqn: x= { 10} over { 3}]일 때, [eqn: f` LEFT ( { 10} over {3 } RIGHT ) =3]

[eqn: 2<x< {10} over {3}]에서 원 [eqn: O`]가 삼각형 [eqn: rm ABC]와
만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: 4]이다.
[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4]([eqn: 2<x< {10} over {3}])

[eqn: {10} over {3} <x < 4]에서 원 [eqn: O`]가 삼각형 [eqn: rm ABC]와
만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: 2]이다.

[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2]([eqn: {10} over {3} <x < 4])

[그림2]

따라서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{```2 _{`}&&LEFT ( 0<x<2 RIGHT )#```3 ^{`}&&LEFT ( x=2 RIGHT )#```4&&(2<x< {10} over {3} )#```3&&(x= {10} over {3} )#```2&&( {10} over {3} <x<4)}}]

함수 [eqn: y=f(x)]를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

함수 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=2], [eqn: x= {10} over {3}]에서 불연속이므로

모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 2+ {10} over {3} = {16} over {3}]이다.

[eqn: therefore][eqn: p = 3], [eqn: q=16]

따라서 [eqn: p+q=19]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 11월 21

실수 [eqn: t `]에 대하여 좌표평면에서 집합

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. 집합 [eqn: LEFT . LEFT { (x,````y) RIGHT | `y=x RIGHT .] 또는 [eqn: LEFT . it y=x ^{2} RIGHT } `]이 나타내는 도형과

직선 [eqn: x+y=0`]을 좌표평면에 나타내면 그림과 같다.

[eqn: x ^{2} =-x`]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=it-1]
[eqn: ∴][eqn: a=0`]일 때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =2`]이다. (참)

ㄴ. [eqn: x+y=- {1} over {4} `]과 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a`]를 연립하여 정리하면 [eqn: x ^{2} - LEFT ( 2a-1 RIGHT ) x+a ^{2} -a+ {1} over {4} =0`]이다.
이 이차방정식의 판별식을

[eqn: D _{1} `]이라 하면 [eqn: D _{1} = LEFT ( 2a-1 RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( a ^{2} -a+ {1} over {4} RIGHT ) =0`]이므로 직선 [eqn: x+y= it - {1} over {4} `]과

곡선 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a`]는 한 점에서 만난다.

[eqn: lim _{t` -> `- {1} over {4} -} {f LEFT ( t RIGHT )} =1,][eqn: lim _{t` rarrow `- {1} over {4} +} {f LEFT ( t RIGHT )} =3`]이므로 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]는

[eqn: t=- {1} over {4} `]에서 불연속이다. (참)

ㄷ. (ⅰ) 곡선 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a`]와 직선 [eqn: y=x`]가 만나는 점의

개수가 [eqn: 0`]인 경우

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]의 불연속인 점의 개수가 [eqn: 1]이다.
(ⅱ) 곡선 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a]와 직선 [eqn: y=x]가 만나는 점의

개수가 [eqn: 1]인 경우

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]의 불연속인 점의 개수가 [eqn: 2`]이다.

곡선 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a`]와 직선 [eqn: y=x`]가 접할 때의 [eqn: a`]의

값을 구하자.

[eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a=x`]에서 이를 정리하면

[eqn: x^2 - left( 2a+1 right)x + a^2 -a = 0]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D _{2} `]라 하면

[eqn: D _{2} = LEFT ( 2a+1 RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( a ^{2} -a RIGHT ) =8a+1]

[eqn: D _{2} =0`]에서 [eqn: a= it - {1} over {8}]
(ⅲ) 곡선 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a`]와 직선 [eqn: y=x]가 만나는 점의

개수가 [eqn: 2`]인 경우

(a) 곡선 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a`]가 두 직선 [eqn: y=x,][eqn: y= it -x- {1} over {4} `]이

만나는 점을 지나는 경우

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]의 불연속인 점의 개수가 [eqn: 2`]이다.
곡선 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a`]가 두 직선 [eqn: y=x,][eqn: y=-x- {1} over {4} `]이

만나는 점 [eqn: LEFT ( - {1} over {8} ,``- {1} over {8} RIGHT ) `]을 지나므로 [eqn: - {1} over {8} = LEFT ( - {1} over {8} -a RIGHT ) ^{2} -a`]를

정리하면 [eqn: LEFT ( a- {3} over {8} RIGHT ) ^{2} =0]
[eqn: therefore][eqn: a= {3} over {8}]

(b) 곡선 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a]가 두 직선 [eqn: y=x,]

만나는 점을 지나지 않는 경우

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]의 불연속인 점의 개수가 [eqn: 3`]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 함수 [eqn: f(t)`]가 [eqn: t= alpha `]에서

불연속이 되는 실수 [eqn: alpha `]의 개수가 [eqn: 2`]일 때, [eqn: a`]의 값은 [eqn: - {1} over {8} ,][eqn: {3} over {8} `]이다.
따라서 모든 [eqn: a`]의 값의 합은 [eqn: {1} over {4} `]이다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

[eqn: LEFT { LEFT ( x,`` y RIGHT ) LEFT | y=x RIGHT . RIGHT .] 또는 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT )^{2}-a][eqn: LEFT. ` RIGHT }] (단, [eqn: a `]는 실수)

가 나타내는 도형이 직선 [eqn: x+y=t `]와 만나는 점의 개수를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]라 하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a=0 `]일 때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =2 `]이다. ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]는 [eqn: t=`- {1} over {4} `]에서 불연속이다. ㄷ. 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]가 [eqn: t= alpha `]에서 불연속이 되는 실수 [eqn: alpha `]의 개수가 [eqn: 2 `]인 모든 [eqn: a `]의 값의 합은 [eqn: {1} over {4} ``]이다.

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 11월 28

실수 [eqn: t `]에 대하여 두 함수

[정답] [eqn: {bold{100]

[해설]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: x=0]에서 불연속이고 그 개형은 그림과 같다.

함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]에 대하여

(ⅰ) [eqn: -2<t<2]일 때
[eqn: k]값에 관계없이 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) ,][eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점의 개수는 [eqn: 2]이므로 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =2]

(ⅱ) [eqn: t GEQ 2]일 때
[eqn: lim _{x` -> `0-} {f` prime LEFT ( x RIGHT )} =3k`]이고, 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의
기울기가 [eqn: 2]이므로

([eqn: a`]) [eqn: 3k<2`]이면 [eqn: f` prime LEFT ( x _{0} RIGHT ) =2`]인 [eqn: x=x _{0} ``][eqn: LEFT ( x _{0} <0 RIGHT ) `]가
존재한다.

즉, [eqn: x=x _{0} `]에서 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) ,][eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 접할 때 [eqn: t=t _{0} `]이라 하면, [eqn: t=2`]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =2]   [eqn: y=f(x)]   [eqn: y=g(x)]
[eqn: 2<t<t _{0} `]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =3]
[eqn: t=t _{0} `]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =2]
[eqn: t>t _{0} `]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =1]

([eqn: b`]) [eqn: 3k GEQ 2`]이면 [eqn: t GEQ 2`]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =1]

(ⅲ) [eqn: t LEQ -2`]일 때
[eqn: lim _{x` -> `0+} {f` prime LEFT ( x RIGHT )} = {4} over {3k}]이고, 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의
기울기가 [eqn: 2]이므로

([eqn: a`]) [eqn: {4} over {3k} <2]이면 [eqn: f` prime LEFT ( x _{1} RIGHT ) =2]인 [eqn: x=x _{1} ``][eqn: LEFT ( x _{1} >0 RIGHT ) `]가 존재한다.
즉, [eqn: x=x _{1} `]에서 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) ,][eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 접할 때 [eqn: t=t _{1} `]이라 하면,
[eqn: t _{1} <t LEQ -2`]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =3]
[eqn: t=t _{1} `]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =2]
[eqn: t<t _{1} `]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =1]

([eqn: b`]) [eqn: {4} over {3k} GEQ 2`]이면
[eqn: t=-2`]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =2]
[eqn: t< it -2`]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =1]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여

[eqn: k< {2} over {3} `]일 때

[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = {cases{~1~&~ LEFT ( t<IT-2 RIGHT )#~2~&~ LEFT ( -2 LEQ t LEQ 2 RIGHT )#~3~&~ LEFT ( 2<t<t _{0} RIGHT )#~2~&~ LEFT ( t=t _{0} RIGHT )#~1~&~ LEFT ( t>t _{0} RIGHT )}}]

[eqn: k> {2} over {3} `]일 때

[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = {cases{~1~&~ LEFT ( t<t _{1} RIGHT )#~2~&~ LEFT ( t=t _{1} RIGHT )#~3~&~ LEFT ( t _{1} <t LEQ it -2 RIGHT )#~2~&~ LEFT ( -2<t<2 RIGHT )#~1~&~ LEFT ( t GEQ 2 RIGHT )}}]

[eqn: k= {2} over {3} `]일 때

[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = {cases{~1~&~ LEFT ( t< it -2 RIGHT )#~2~&~ LEFT ( -2 LEQ t<2 RIGHT )#~1~&~ LEFT ( t GEQ 2 RIGHT )}}]

그러므로 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t= alpha]에서 불연속이 되는 실수 [eqn: alpha]의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 [eqn: k= {2} over {3}]

따라서 [eqn: 150k=100]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`` -x ^{2} +3kx+2 &~ LEFT (x<0 RIGHT ) #~ x ^{2} + {4} over {3k} x-2 &~ LEFT (x GEQ 0 RIGHT )}}],

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x+t]

의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]라 하자. 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]가 [eqn: t= alpha `]에서 불연속이 되는 실수 [eqn: alpha `]의 개수가 [eqn: 2 `]가 되도록 양수 [eqn: k `]를 정할 때, [eqn: 150k `]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 20

실수 [eqn: m`]에 대하여 직선 [eqn: y=mx`]와 함수

[정답] [eqn: 8]

[해설]

직선 [eqn: y][eqn: =mx`]는 실수 [eqn: m`]의 값에 관계없이 항상 원점을 지나므로 직선 [eqn: y][eqn: =mx`]와 함수

[eqn: f(x)][eqn: = {cases{`x+4 _{`}&(x<1) _{`}#`3x+2 ^{`}~~&(x GEQ 1) ^{`}}}]의 그래프는 다음과 같다.

그러므로 함수 [eqn: g(m)`]은

[eqn: g(m)][eqn: = {cases{`1_{`}~~&(m<1~또는~m>3) _{`}# `0^{`}& ( 1 LEQ m LEQ 3 )^{`}]

즉, 함수 [eqn: g(m)`]은 [eqn: m][eqn: =1`]과 [eqn: m][eqn: =3`]에서 불연속이다.

그런데 함수 [eqn: g(x)h(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x][eqn: =1], [eqn: x`][eqn: =3`]에서도 연속이 되어야 한다.

(ⅰ) [eqn: x=1`]일 때
[eqn: lim _{x` ->` 1-} {g(x)h(x)}][eqn: =1 TIMES h ( 1 )][eqn: =h(1)],
[eqn: lim _{x `->` 1+} {g(x)h(x)}][eqn: =0 TIMES h(1)][eqn: =0]
함수 [eqn: g(x)h(x)`]는 [eqn: x][eqn: =1`]에서 연속이므로
[eqn: lim _{x`->`1} {`g ( x )h ( x )}`]의 값이 존재한다.
즉, [eqn: lim _{x` ->` 1-} {g(x)h(x)}][eqn: =lim _{x `->` 1+} {g(x)h(x)}`]에서 [eqn: h(1)][eqn: =0]

(ⅱ) [eqn: x][eqn: =3`]일 때
[eqn: lim _{x` -> `3-} {g(x)h(x)}][eqn: =0 TIMES h ( 3 )][eqn: =0],
[eqn: lim _{x` -> `3+} {g(x)h(x)}][eqn: =1 TIMES h ( 3 )}][eqn: =h ( 3 )]
함수 [eqn: g(x)h(x)`]는 [eqn: x][eqn: =3`]에서 연속이므로
[eqn: lim _{x`->`3} {`g ( x )h ( x )}`]의 값이 존재한다.
즉, [eqn: lim _{x` -> `3-} {g(x)h(x)}][eqn: =lim _{x` -> `3+} {g(x)h(x)}`]에서 [eqn: h(3)][eqn: =0]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: h(1)][eqn: =h(3)][eqn: =0`]이므로 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: h(x)`]는 [eqn: h(x)][eqn: =(x-1)(x-3)]

따라서 [eqn: h(5)][eqn: =4 times 2][eqn: =8`]

[eqn: f(x)=2x+3+ left | x-1 right|]

의 그래프의 교점의 개수를 [eqn: g(m)`]이라 하자. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: h(x)`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)h(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: h(5)`]의 값을 구하시오.

04 수2	02 함수의 연속성
02 연속함수의 성질과 활용
07 활용2 (기타 정의된 함수)

[출처]	2006 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 9

좌표평면에서 중심이 [eqn: LEFT (0,`` 3 RIGHT ) `]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1 `]인 원을 [eqn: C` `]라 하자. 양수 [eqn: r `]에 대하여 [eqn: f LEFT (r RIGHT ) `]를 반지름의 길이가 [eqn: r `]인 원 중에서, 원 [eqn: C` `]와 한 점에서 만나고 동시에 [eqn: x `]축에 접하는 원의 개수라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: 0<r< 1]이면 [eqn: f(r)=0`]

[eqn: r = 1]이면 [eqn: f(r)=1`]

[eqn: 1< r < 2 `]이면 [eqn: f(r)=2`]

[eqn: r= 2`]이면 [eqn: f(r)=3`]

[eqn: r> 2`]이면 [eqn: f(r) = 4`]

따라서 함수 [eqn: f(r)`]의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. [eqn: f(2) =3] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{r -> 1+} {} f(r)`=2 != 1=f(1)`] (거짓)

ㄷ. 함수 [eqn: f(r)`]은 [eqn: r= 1`]일 때와 [eqn: r = 2`]일 때 불연속이므로 구간 [eqn: (0,4)`]에서 불연속점의 개수는 [eqn: 2`]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT (2 RIGHT ) = 3] ㄴ. [eqn: lim _{r `->` 1+} {} f LEFT (r RIGHT )=f LEFT (1 RIGHT )] ㄷ. 구간 [eqn: LEFT (0,`` 4 RIGHT ) `]에서 함수 [eqn: f LEFT (r RIGHT ) `]의 불연속점은 [eqn: 2 `]개이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 11월 8

실수 [eqn: a `]에 대하여 집합

[정답] ④

[해설]

(ⅰ) [eqn: a`!=0] 인 경우
방정식 [eqn: ax^2 + 2(a-2)x -(a-2)=0]이 서로 다른 두 실근을 갖는 경우는 판별식 [eqn: D]가 양수이어야 하므로
[eqn: D over 4 = (a-2)^2 + a(a-2) = 2a^2 -6a +4]
[eqn: = 2( a^2 -3a +2)= 2(a-1)(a-2) >0]
[eqn: THEREFORE][eqn: a<0] 또는 [eqn: 0<a<1] 또는 [eqn: a>2]
또한, 중근(한 개의 실근)을 가질 조건은
[eqn: D OVER 4 =][eqn: 2(a-1)(a-2) =0]
[eqn: THEREFORE][eqn: a=1] 또는 [eqn: a=2]
또한, 실근을 갖지 않을 조건은
[eqn: D OVER 4 =][eqn: 2(a-1)(a-2) <0]
[eqn: therefore][eqn: 1<a<2]

(ⅱ) [eqn: a=0] 인 경우
[eqn: -4x +2 =0]이므로 실수 [eqn: x]는 [eqn: x= 1 over 2]인 한 개다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: f(a) = cases{2 ~~~&(a<0 ``또는 `0<a<1, ``a >2)#1&(a=0,``1,``2)#0&(1<a<2)}]

이를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

ㄱ. [eqn: lim from a->0 f(a) =2], [eqn: f(0)=1]이므로 [eqn: lim from a->0 f(a) not = f(0)] (거짓)

ㄴ. [eqn: lim _{a -> c+} {} f(a) not= lim _{a -> c-} {} f(a)]인 [eqn: c]는 [eqn: c=1], [eqn: c=2]이다. (참)

ㄷ. [eqn: a=0,``1,``2]에서 함수 [eqn: f(a)]가 불연속이다.(참)

[eqn: LEFT { x LEFT | ax ^{2} +2 LEFT ( a-2 RIGHT ) x- LEFT ( a-2 RIGHT ) =0 RIGHT . RIGHT .], [eqn: x`]는 실수[eqn: LEFT. ` RIGHT }`]

의 원소의 개수를 [eqn: f LEFT (a RIGHT ) `]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{ a ``->`` 0 } {f LEFT (a RIGHT ) }=f LEFT (0 RIGHT )] ㄴ. [eqn: lim _{a ``->`` c+} {f LEFT (a RIGHT )} != lim _{a ``->`` c-} {f LEFT (a RIGHT )} `]인 실수 [eqn: c `]는 [eqn: 2 `]개이다. ㄷ. 함수 [eqn: f LEFT (a RIGHT ) `]가 불연속인 점은 [eqn: 3 `]개이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 06월 21

좌표평면에서 반지름의 길이가 [eqn: t]인 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =t ^{2}]의 내부에 포함되고 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: f(t)]라 하자. 예를 들어, [eqn: f LEFT (1 RIGHT )=1]이고 [eqn: f LEFT ( sqrt {2} RIGHT )=5]이다. [eqn: 0<t<6]인 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT (t RIGHT )]가 불연속이 되는 [eqn: t]의 개수는?

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]는 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =t ^{2}]의 내부에 포함되는 정수 격자점의 개수이므로 다음과 같이 구할 수 있다.

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {cases{``1&```````` LEFT ( 0<t LEQ 1 RIGHT )#``5&``````` LEFT ( 1<t LEQ sqrt {2} RIGHT )#``9&``````` LEFT ( sqrt {2} <t LEQ 2 RIGHT )#VDOTS &```````````````````````````VDOTS }}]

위와 같이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =t ^{2}]이 정수 격자점을 지날 때마다 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]는 불연속이 된다. 그러므로 원점으로부터 거리(반지름의 길이 [eqn: t])가 서로 다른 정수 격자점의 개수를 세면 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]가 불연속이 되는 [eqn: t]의 개수를 알 수 있다.

[eqn: 0<t<6]이므로 원점으로부터 거리(반지름의 길이 [eqn: t])가 서로 다른 정수 격자점은 그림과 같이

영역 [eqn: {cases{`0<x ^{2} +y ^{2} <6 ^{2}#`0 LEQ y LEQ x]에서 찾을 수 있다.

[eqn: x=1]일 때, [eqn: LEFT (1,`` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,`` 1 RIGHT )]

[eqn: x=2]일 때, [eqn: LEFT (2,`` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT (2,`` 1 RIGHT )], [eqn: LEFT (2,`` 2 RIGHT )]

[eqn: x=3]일 때, [eqn: LEFT (3,`` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT (3,`` 1 RIGHT )], [eqn: LEFT (3,`` 2 RIGHT )], [eqn: LEFT (3,`` 3 RIGHT )]

[eqn: x=4]일 때, [eqn: LEFT (4,`` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT (4,`` 1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,`` 2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,`` 4 RIGHT )]

[eqn: x=5]일 때, [eqn: LEFT (5,`` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT (5,`` 1 RIGHT )], [eqn: LEFT (5,`` 2 RIGHT )], [eqn: LEFT (5,`` 3 RIGHT )]

여기서 주의할 점은 그림과 같이 두 좌표 [eqn: LEFT (5,`` 0 RIGHT )]과 [eqn: LEFT (4,`` 3 RIGHT )]은 원점으로부터 거리(반지름의 길이 [eqn: t])가 같다.

따라서 불연속이 되는 [eqn: t]의 개수는 [eqn: 17]이다.

① [eqn: 15]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 23]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 24

좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: {1}{{from^2021^7^경찰대^중}}]인 원 [eqn: C]와 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( 3 ,```` 3 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( 0 ,```` -1 RIGHT )]이 있다.

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[해설]

직선 [eqn: rmAB]에서 가장 먼 원 위의 점 [eqn: {rm X]까지의 거리는 [eqn: 8over5]이고 그때의 넓이는 [eqn: 4]이다.

반대편의 가장 먼 점 [eqn: {rm X]까지의 거리는 [eqn: 2over5]이고, 그때의 넓이는 [eqn: 1]이다.

즉, 선분 [eqn: rmbarAB = sqrt { 3^2 +4^2 }=5]이고 삼각형 [eqn: rmABX]의 넓이의 최댓값이 [eqn: 4], 최솟값이 [eqn: 1]이므로 원 위의 모든 점이 집합의 원소가 될 수 있다.

따라서 [eqn: t]의 범위에 따라 [eqn: f(t)]를 구하면 다음과 같다.

[eqn: f(t)=cases{ 4 && &(0<t<1)#3 &&&(t=1)#2 &&&(1<t<4)#1&&&(t=4)]

따라서 불연속이 되는 점은 [eqn: t][eqn: =][eqn: 1 ,```` 4]이므로 불연속인 모든 [eqn: t]의 합은 [eqn: 1+4=5]

실수 [eqn: t] ([eqn: 0<t LEQ 4])에 대하여 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]를 집합

[eqn: LEFT { X left |`` X]는 원 [eqn: C] 위의 점이고, 삼각형 [eqn: rmABX]의 넓이는 [eqn: LEFT. t RIGHT }]

의 원소의 개수라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]가 연속하지 않은 모든 [eqn: t]의 값의 합을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 15

좌표평면에서 정삼각형 [eqn: {rmABC }]에 내접하는 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: S]가 있다. 실수 [eqn: t ``(0 le t le 1)]에 대하여 삼각형 [eqn: rmABC] 위의 점 [eqn: rmP]와 원 [eqn: S]의 거리가 [eqn: t]인 점 [eqn: rmP]의 개수를 [eqn: f(t)]라 하자. 함수 [eqn: f(t)]가 [eqn: t=k]에서 불연속인 [eqn: k]의 개수를 [eqn: a], [eqn: lim_{t ``->`` 1- }{f(t)}=b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은? (여기서, 점 [eqn: rmP]와 원 [eqn: S] 위의 점 [eqn: rmX]에 대하여 선분 [eqn: rmPX]의 길이의 최솟값이다.)

[정답] ③

[해설]

원에서 거리가 [eqn: t ````(0 le t le 1)]인 삼각형 [eqn: rmABC] 위의 점 [eqn: rmP]의 개수를 [eqn: f(t)]라 하므로 다음과 같이 나누어볼 수 있다.

(ⅰ) [eqn: t=0]일 때
위의 그림에서 원 [eqn: S]와 삼각형 [eqn: rmABC]의 교점의 개수와 같으므로 [eqn: f left(t right)=3]

(ⅱ) [eqn: 0<t<1]일 때
위의 그림과 같이 중심이 원 [eqn: S]와 같고, 반지름이 [eqn: 1+t]인 원 [eqn: S_1]과 삼각형 [eqn: rmABC]의 교점의 개수와 같으므로 [eqn: f left(t right)=6]

(ⅲ) [eqn: t=1]일 때
위의 그림과 같이 중심이 원 [eqn: S]와 같고, 반지름이 [eqn: 2]인 원 [eqn: S_2]와 삼각형 [eqn: rmABC]의 교점의 개수와 같으므로 [eqn: f left(t right)=3]

이상에서 [eqn: f(t) = cases { 3~&left(t= 0right)# 6& left( 0 <t<1right)#3&left(t=1right)]

따라서 함수 [eqn: f(t)]는 [eqn: t=0] 또는 [eqn: t=1]에서 불연속이므로 불연속점의 개수 [eqn: a]는 [eqn: a=2]

또, [eqn: lim_{t ``->`` 1- }{f(t)}= 6]이므로 [eqn: b=6]

[eqn: therefore][eqn: a+b =2+6 =8 from 넘버41]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

04 수2	02 함수의 연속성
03 사잇값 정리
03 사잇값 정리2 (활용)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 09월 20

[eqn: 2 `]가 아닌 양수 [eqn: a `]에 대하여 함수

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 두 가지 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: a > 2`]인 경우	(ⅱ) [eqn: 0<a<2`]인 경우

(ⅰ) [eqn: a>2`]인 경우
함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: 0<x<1+{a}over{2}`]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x)>0`]이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: 0<a<2`]인 경우
함수 [eqn: f(x)`]는 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `0,~1+ {a} over {2} RIGHT ] `]에서 연속이고, [eqn: f(0)>0`], [eqn: f` LEFT ( 1+ {a} over {2} RIGHT ) `<0`]이므로 사이값 정리에 의하여 [eqn: 0`]과 [eqn: 1+{a}over{2}] 사이에 [eqn: f(c)=0`]인 [eqn: c `]가 적어도 하나 존재한다.

조건 (나)에 의해 [eqn: 0<a<2`]인 경우의 삼각형의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES (2-a) TIMES left{- f` LEFT ( 1+ {a} over {2} RIGHT ) right}`][eqn: =- {1} over {2} times(2-a)times LEFT ( {a-2} over {2} RIGHT ) LEFT ( {2-a} over {2} ` RIGHT )]
[eqn: ={1over8}(2-a) ^{3} ={1over8}]

[eqn: (2-a) ^{3} =1`],

즉 [eqn: a=1`]

따라서 [eqn: f(3a)=f(3)=2`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~~~ LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2}&~ LEFT ( x LEQ a RIGHT )#`` LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )&~ LEFT ( x>a RIGHT )}} `]

가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT (3a RIGHT ) `]의 값은?

(가) [eqn: f LEFT (c RIGHT ) = 0 `]인 [eqn: c `]가 [eqn: 0 `]과 [eqn: 1+ {a} over {2} `] 사이에 적어도 하나 존재한다.

(나) 세 점 [eqn: it LEFT (2,`` f LEFT (2 RIGHT ) RIGHT )], [eqn: LEFT (a,`` f LEFT (a RIGHT ) RIGHT )], [eqn: it LEFT ( 1+ {a} over {2} ,`` f LEFT ( 1+ {a} over {2} RIGHT ) RIGHT ) `]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 [eqn: 1over8 `]이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

[준킬러][수학2] 1극한(빠른 정답)
준킬러수2	2023.01.06

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ①

[정답] [eqn: bold10]

[정답] ③

[정답] [eqn: bold10]

[정답] [eqn: bold60]

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: 226]

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: bold{4} `]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 15 }]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ②

[정답] [eqn: bold208`]

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: bold16]

[정답] ③

[정답] [eqn: bold{ 4]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: BOLD12]

[정답] [eqn: bold15]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: bold56`]

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: {13}}]

[정답] ①

[정답] [eqn: 20]

[정답] ③

[정답] ①

[정답] [eqn: bold32]

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 7 }]

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold20]

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: 8]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] [eqn: 19]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: {bold{100]

[정답] [eqn: 8]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[정답] ③

[정답] ①

[준킬러][수학2] 1극한(해설)
준킬러수2	2023.01.06