	준킬러수1	[준킬러][수학1] 5수열1
	05
		프로젝트	2023.01.06

03 수1	08 등차수열
01 등차수열의 일반항
06 중항1 (등차중항)

준킬러수1		프로젝트
		[준킬러][수학1] 5수열1
05

	프로젝트		준킬러수1
	[준킬러][수학1] 5수열1		05

[출처]	2004 모의_공공 교육청 고2 11월 17
[출처]	2004 모의_공공 교육청 고2 11월 17

양수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 이 순서로 등차수열을 이루고 [eqn: a^{{1} over {x}}=b^{{1} over {y}}=c^{{1} over {z}}]일 때, [eqn: {4 a+c} over {3 b}]의 최솟값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: a^{{1} over {x}}=b^{{1} over {y}}=c^{{1} over {z}}=k]에서

[eqn: a=k^{x}], [eqn: b=k^{y}], [eqn: c=k^{z} ~ x], [eqn: y], [eqn: z]가 등차수열이므로,

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 등비수열을 이룬다.

[eqn: b^{2}=a c], [eqn: {4 a+c} over {3 b} geq 2 sqrt{{4 a c} over {9 b^{2}}}={4} over {3}]

(단, 등호는 [eqn: {4 a} over {3 b}={c} over {3 b}]일때 성립한다.)

(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 [eqn: rm 1]이 아닌 양수이다.)

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: rm 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 07월 26

[eqn: rm 0]이 아닌 세 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]가 이 순서대로 등차수열을 이룬다. [eqn: x^{{1} over { alpha}}=y^{-{1} over { beta}}=z^{{2} over { gamma}}]일 때, [eqn: 16 x z^{2}+9 y^{2}]의 최솟값을 구하시오. (단, [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]는 [eqn: rm 1]이 아닌 양수이다.)

[정답] [eqn: 24]

[해설]

[eqn: x^{{1} over { alpha}}=y^{-{1} over { beta}}=z^{{2} over { gamma}}=k]라고 하면,

[eqn: x=k^{ alpha}], [eqn: y^{-1}=k^{ beta}], [eqn: z^{2}=k^{ gamma}]이고

[eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]가 등차수열이면 [eqn: k^{ alpha}], [eqn: k^{ beta}], [eqn: k^{ gamma}]가 등비수열이므로

[eqn: left(k^{ beta} right)^{2}=k^{ alpha} k^{ gamma}]

[eqn: therefore~ left(y^{-1} right)^{2}=x z^{2}]

[eqn: {1} over {y^{2}}=x z^{2}]

[eqn: therefore~16 x z^{2}+9 y^{2}={16} over {y^{2}}+9 y^{2}]
[eqn: geq 2 sqrt{{16} over {y^{2}} cdot 9 y^{2}}=24]

(단, 등호는 [eqn: y={2 sqrt{3}} over {3}], [eqn: x z^{2}={3} over {4}]일 때 성립한다.)

[eqn: therefore~16 x z^{2}+9 y^{2}]의 최솟값은 [eqn: rm 24]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 04월 26

세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]가 이 순서대로 등차수열을 이루고 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: abc`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold80`]

[해설]

세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 공차를 [eqn: d]라 하면, [eqn: a=b-d], [eqn: c=b+d]

(가)에서

[eqn: {2 ^{a} times2 ^{c}} over {2 ^{b}} =2 ^{a+c-b} =2 ^{LEFT ( b-d RIGHT ) + LEFT ( b+d RIGHT ) -b} =2 ^{b} =32]

[eqn: THEREFORE][eqn: b=5]

(나)에서

[eqn: a+c+ca][eqn: = LEFT ( 5-d RIGHT ) + LEFT ( 5+d RIGHT ) + LEFT ( 5+d RIGHT ) LEFT ( 5-d RIGHT )]
[eqn: =35-d ^{`2} =26]

[eqn: THEREFORE][eqn: d=`±3]

그러므로 [eqn: a=2], [eqn: b=5], [eqn: c=8] 또는 [eqn: a=8], [eqn: b=5], [eqn: c=2]

따라서 [eqn: abc=80]

(가) [eqn: {2 ^{a} TIMES 2 ^{c}} over {2 ^{b}} =32]

(나) [eqn: a+c+ca= 26]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 09월 14

[eqn: 1 `]보다 큰 세 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c `]에 대하여 세 수 [eqn: log` _{ } a], [eqn: log` b], [eqn: log` _{ } c `]가 이 순서대로 공차가 자연수인 등차수열을 이룬다. [eqn: log` _{ } abc=15 `]일 때, [eqn: log` _{ } {ac ^{2}} over {b} `]의 최댓값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: log _{`} `a], [eqn: log _{`} `b], [eqn: log _{`} `c`]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: 2`log`b=log`a+log`c]

[eqn: log`b ^{2} =log`ac`], [eqn: b ^{2} =ac`]

[eqn: log`abc=log`b ^{3} =15]이므로

[eqn: log`b=5]

[eqn: log`a+log`b+log`c=15`]를 만족시키고 공차가 자연수인 등차수열 [eqn: log`a], [eqn: log`b], [eqn: log`c]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( `log`a`,```log`b`,```log`c`` RIGHT )]는       [eqn: LEFT ( 4,``5,``6 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 3,``5,``7 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,``5,``8 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,``5,``9 RIGHT )]이다.

[eqn: log` {ac ^{2}} over {b} =log _{`} {ac} over {b} `+`log`c`]

[eqn: =log`b+log`c=5+log`c`]

따라서 [eqn: log _{} `c=9] 일 때, [eqn: log` {ac ^{2}} over {b} `]의 최댓값은

[eqn: 5+9=14]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

03 수1	08 등차수열
01 등차수열의 일반항
08 중항3 (중항의 활용)

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고2 11월 17

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: rm 2]인 정사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 변 [eqn: {rm{AD}} it] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: overline{{rm{AP}} it }=x], 변 [eqn: {rm{CD}} it] 위의 점 [eqn: {rm{Q}} it]에 대하여 [eqn: overline{{rm{DQ}} it }=y]라 하자. [eqn: triangle {rm{ABP}} it], [eqn: triangle {rm{PQD}} it], [eqn: triangle {rm{QBC}} it]의 넓이가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, [eqn: x], [eqn: y]사이의 관계를 그래프로 나타내면?

[정답] ④

[해설]

[eqn: triangle {rm{ABP}} it], [eqn: triangle {rm{PQD}} it], [eqn: triangle {rm{QBC}} it]의 넓이를 각각 [eqn: S_{1}], [eqn: S_{2}], [eqn: S_{3}]이라 하면

[eqn: S_{1}=x], [eqn: S_{2}={1} over {2} y(2-x)], [eqn: S_{3}=2-y]

[eqn: S_{1}], [eqn: S_{2}], [eqn: S_{3}]이 이 순서로 등차수열을 이루므로

[eqn: 2 S_{2}=S_{1}+S_{3}]

[eqn: y(2-x)=x+(2-y)]

[eqn: y={-x-2} over {x-3}={-5} over {x-3}-1]

(단, [eqn: 0<x<2], [eqn: 0<y<2])

①		②
③		④
⑤

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고2 11월

그림과 같이 [eqn: 5]행 [eqn: 5]열로 이루어진 표에 네 개의 수가 적혀 있다. 각 행의 다섯 개의 수는 열의 순서대로, 각 열의 다섯 개의 수는 행의 순서대로 각각 등차수열을 이루도록 나머지 빈칸에 수를 적고자 한다. [eqn: 3]행 [eqn: 3]열에 들어갈 수를 구하시오.

[정답] [eqn: 44]

[해설]

표의 [eqn: 3]행 [eqn: 3]열의 수를 [eqn: a]라 하면 등차중항에 의하여 표는 아래와 같다.

	[eqn: 1]열	[eqn: 2]열	[eqn: 3]열	[eqn: 4]열	[eqn: 5]열
[eqn: 1]행	[eqn: 0]
[eqn: 2]행	[eqn: a-37]		[eqn: 27]
[eqn: 3]행	[eqn: 2a-74]		[eqn: a]		[eqn: 74]
[eqn: 4]행	[eqn: 109-2a]	[eqn: 41]	[eqn: 2a-27]
[eqn: 5]행

[eqn: (a-37)+(109-2a)=2(2a-74)]

따라서 [eqn: a=44]

	[eqn: 1]열	[eqn: 2]열	[eqn: 3]열	[eqn: 4]열	[eqn: 5]열
[eqn: 1]행	[eqn: 0]
[eqn: 2]행			[eqn: 27]
[eqn: 3]행					[eqn: 74]
[eqn: 4]행		[eqn: 41]
[eqn: 5]행

03 수1	08 등차수열
01 등차수열의 일반항
09 중항4 (등차수열을 이루는 수)

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고2 06월 21

그림과 같이 [eqn: rm 4]개의 원기둥 모양의 물통 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]는 밑면의 반지름의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 높이는 모두 같다.

[정답] ⑤

[해설]

물통 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]의 반지름의 길이는 이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: a], [eqn: a+d], [eqn: a+2 d], [eqn: a+3 d](단, [eqn: a], [eqn: d]는 양의 실수)

라 하고, 물통의 높이를 [eqn: h]라 하자.

물통 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]의 부피는 각각

[eqn: a^{2} h pi], [eqn: (a+d)^{2} h pi], [eqn: (a+2 d)^{2} h pi], [eqn: (a+3 d)^{2} h pi]

이고, 물통에 매분 [eqn: pi {rm{L}} it]의 물을 넣어 물통 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]를 채우는 데 걸리는 시간은 각각

[eqn: {a^{2} h pi} over { pi}=a^{2} h]

[eqn: {(a+d)^{2} h pi} over { pi}=(a+d)^{2} h]

[eqn: {(a+2 d)^{2} h pi} over { pi}=(a+2 d)^{2} h]

[eqn: {(a+3 d)^{2} h pi} over { pi}=(a+3 d)^{2} h]

이다. 조건 (가), (나)에 의해

[eqn: (a+d)^{2} h=a^{2} h+8]

[eqn: (a+2 d)^{2} h=(a+d)^{2} h+16]

두 식을 연립하면 [eqn: a d h=2], [eqn: d^{2} h=4]이다.

[eqn: a]와 [eqn: d]는 모두 양수이므로 [eqn: d=2 a], [eqn: h={1} over {a^{2}}]

따라서 물통 [eqn: {rm{D}} it]를 채우는 데 걸리는 시간은

[eqn: (a+3 d)^{2} h=(7 a)^{2} cdot {1} over {a^{2}}=49](분)

[다른 풀이]

물통 [eqn: {rm{A}} it]를 채우는 데 걸리는 시간을 [eqn: t](분)이라 놓자.

물통의 높이와 물통에 들어가는 물의 양이 일정하므로 물통의 부피의 비는 밑면의 넓이의 비와 같고

물통을 채우는 데 걸리는 시간의 비와 같다.

따라서

[eqn: {(a+d)^{2}} over {a^{2}}={t+8} over {t} cdots]㉠

[eqn: {(a+2 d)^{2}} over {(a+d)^{2}}={t+24} over {t+8} cdots]㉡

㉠, ㉡을 변끼리 곱하면

[eqn: {(a+2 d)^{2}} over {a^{2}}={t+24} over {t} cdots]㉢

㉠, ㉢에서

[eqn: 3 times {(a+d)^{2}} over {a^{2}}-{(a+2 d)^{2}} over {a^{2}}={3(t+8)} over {t}-{t+24} over {t}]

[eqn: {2 a^{2}+2 a d-d^{2}} over {a^{2}}=2]

[eqn: 2 a^{2}+2 a d-d^{2}=2 a^{2}]

[eqn: d(2 a-d)=0]

[eqn: d neq 0]이므로 [eqn: d=2 a]

㉠에 대입하면 [eqn: {9 a^{2}} over {a^{2}}={t+8} over {t}]

[eqn: 9={t+8} over {t}]

[eqn: therefore~t=1]

물통 [eqn: {rm{D}} it]를 채우는 데 걸리는 시간을 [eqn: t_{{rm{D}} it }]라 하면

[eqn: {t_{D}} over {t}={(a+3 d)^{2}} over {a^{2}}=49]

각각의 물통에 매분 [eqn: pi {rm{L}} it]의 물을 넣어 가득 채울 때, 다음이 성립한다.

(가) 물통 [eqn: {rm{B}} it]를 채우는 데 걸리는 시간은 물통 [eqn: {rm{A}} it]를 채우는 데 걸리는 시간보다 [eqn: rm 8]분이 더 걸린다.

(나) 물통 [eqn: {rm{C}} it]를 채우는 데 걸리는 시간은 물통 [eqn: {rm{B}} it]를 채우는 데 걸리는 시간보다 [eqn: rm 16]분이 더 걸린다.

물통 [eqn: {rm{D}} it]를 채우는 데 걸리는 시간은? (단, 물통의 두께는 고려하지 않는다.)

① [eqn: rm 57]분	② [eqn: 55^{]분 [eqn: }]	③ [eqn: rm 53]분

④ [eqn: rm 51]분	⑤ [eqn: rm 49]분

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 04월 20

그림과 같이 함수 [eqn: y= left|x^{2}-9 right|]의 그래프가 직선 [eqn: y=k]와 서로 다른 네 점에서 만날 때, 네 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: a_{4}]라 하자. 네 수 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: a_{4}]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: a_{1}<a_{2}<a_{3}<a_{4}])

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: y= left|x^{2}-9 right|]의 그래프는 [eqn: y]축 대칭이므로

[eqn: a_{2}=-a_{3}]

이 등차수열의 공차는 [eqn: a_{3}-a_{2}=2 a_{3}]이므로

[eqn: a_{4}=a_{3}+2 a_{3}=3 a_{3}]

점 [eqn: left(a_{3},`` k right)]는 곡선 [eqn: y=-x^{2}+9] 위의 점이므로 [eqn: -a_{3} it ^ {2}+9=k cdots cdots]㉠

점 [eqn: left(a_{4},`` k right)]는 곡선 [eqn: y=x^{2}-9] 위의 점이므로 [eqn: a_{4} it ^ {2}-9=9 a_{3} it ^ {2}-9=k cdots cdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 10 k=72]

따라서 [eqn: k={36} over {5}]

① [eqn: {34} over {5}]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: {36} over {5}]

④ [eqn: {37} over {5}]	⑤ [eqn: {38} over {5}]

03 수1	08 등차수열
02 등차수열의 합
02 합2 (합으로 표현된 관계식)

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 04월 14

공차가 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: S _{9} = LEFT |`` S _{3}`` RIGHT | =27]일 때, [eqn: a _{10}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: S _{9} =27]이므로

[eqn: {9 LEFT ( 2a+8d RIGHT )} over {2} =27]	[eqn: THEREFORE][eqn: a+4d=3]

[eqn: LEFT |`` S _{3} `` RIGHT | =27]이므로 [eqn: LEFT |`` {3 LEFT ( 2a+2d RIGHT )} over {2} `` RIGHT | =27], [eqn: LEFT |`` a+d `` RIGHT | =9]

[eqn: THEREFORE][eqn: a+d=9] 또는 [eqn: a+d=it-9]

(ⅰ) [eqn: a+d=9]인 경우
[eqn: a+4d=3]과 [eqn: a+d=9]를 연립하여 풀면 [eqn: a=11], [eqn: d=it-2]가 되어 공차가 양수라는 조건에 맞지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a+d=it-9]인 경우
[eqn: a+4d=3]과 [eqn: a+d=it-9]를 연립하여 풀면
[eqn: a= it -13], [eqn: d=4]

따라서 [eqn: a _{10} =it-13+9 TIMES 4=23]

① [eqn: 23]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 27]

03 수1	08 등차수열
02 등차수열의 합
03 합3 (합에 대한 성질)

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 03월 22

[eqn: n]개의 항으로 이루어진 등차수열 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: cdots], [eqn: a_{n}]이 다음 조건을 만족한다.

[정답] [eqn: 13]

[해설]

(가)와 (나)에서

[eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=26], [eqn: a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}=134]

이므로 [eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}=160][eqn: 4 left(a_{1}+a_{n} right)=160 ~ therefore~a_{1}+a_{n}=40]

한편, [eqn: S_{n}={n left(a_{1}+a_{n} right)} over {2}=260]이므로 [eqn: {40 n} over {2}=260]

[eqn: therefore~n=13]

(가) 처음 [eqn: rm 4]개 항의 합은 [eqn: rm 26]이다.

(나) 마지막 [eqn: rm 4]개 항의 합은 [eqn: rm 134]이다.

(다) [eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}+ cdots+a_{n}=260]

이때 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 17

등차수열[eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^03^경기고3나^}}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: a _{3} =42]일 때, 다음 조건을 만족시키는 [eqn: 4]이상의 자연수 [eqn: k]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: a _{k-3}], [eqn: a _{k-2}], [eqn: a _{k-1}]은 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: a_{k-2}]는 [eqn: a_{k-3}]과 [eqn: a_{k-1}]의 등차중항이다.

즉, [eqn: a _{k-2}][eqn: = {a _{k-3} +a _{k-1}} over {2}][eqn: = -24 over 2][eqn: =it-12]

[eqn: S _{k}][eqn: = {k left( a _{1} +a _{k} right)} over {2}][eqn: = {k left( a _{3} +a _{k-2} right)} over {2}]
[eqn: = {k left{` 42+ left( -12 right) `right} } over {2}][eqn: =15k]

따라서 [eqn: k ^{2} =15k]이고 [eqn: k!=0]이므로 [eqn: k=15]

[다른 풀이[eqn: 1]]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a ,````]공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{3} =a+2d=42]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

[eqn: a _{k-2}][eqn: = {a _{k-3} +a _{k-1}} over {2}]

[eqn: a+ left( k-3 right) d=it-12]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

[eqn: S _{k} = {k left{` 2a+left(k-1right)d `right} } over {2} =k ^{ 2}]이고, [eqn: k!=0]이므로

[eqn: 2a+ left( k-1 right) d=2k]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

㉢에서 ㉠을 빼면 [eqn: a+ left( k-3 right) d=2k-42]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉣

㉡, ㉣에서 [eqn: 2k-42=it-12]이므로 [eqn: k=15]

[다른 풀이[eqn: 2]]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a ,````] 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{3} =a+2d=42], [eqn: a=42-2d]	…… ㉠

[eqn: a _{k-3} +a _{k-1}][eqn: =a+ LEFT ( k-4 RIGHT ) d+a+ LEFT ( k-2 RIGHT ) d][eqn: = it-24]이므로

[eqn: a+ LEFT ( k-3 RIGHT ) d][eqn: =it-12]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: 42-2d+kd-3d=it-12]

[eqn: kd-5d=-54]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

[eqn: S _{k} = {k LEFT { 2a+ LEFT ( k-1 RIGHT ) d RIGHT }} over {2} =k ^{ 2}]이고, [eqn: k!=0]이므로

[eqn: 2a+ LEFT ( k-1 RIGHT ) d=2k]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉣

㉠을 ㉣에 대입하면

[eqn: 84-4d+kd-d=2k], [eqn: kd-5d=2k-84]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉤

㉢, ㉤에서 [eqn: 2k-84=it-54]이므로 [eqn: k=15]

(가) [eqn: a _{k-3} +a _{k-1} = it -24]

(나) [eqn: S _{k} =k ^{2}]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 21

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 35]

[해설]

등차수열의 성질에 의해

[eqn: a_1 +a_n =a_2 +a_n-1 =`cdots]

를 만족하고, 조건 (나)에서 [eqn: a_l +a_m =1]을 만족하는 [eqn: l], [eqn: m]의 순서쌍 [eqn: left(l,``m right)]의 개수가 [eqn: 6]이므로

[eqn: a_1 +a_n =a_2 +a_n-1 =`cdots`=a_6 +a_n-5]

에서 [eqn: n-5=7] 또는 [eqn: n-5=8]

[eqn: n-5=7]일 때는 조건 (가)와 모순이므로 [eqn: n-5=8]이다.

[eqn: therefore][eqn: a_1 +a_13 =a_6 +a_8 =1]	[eqn: cdotscdots] ㉠

조건 (가)에서 [eqn: a_6 +a_7 =it- 1over2]	[eqn: cdotscdots] ㉡

수열 [eqn: left{a_n right}]의 공차를 [eqn: d]라 하면

㉠[eqn: -]㉡에서 [eqn: d= 3over2]

[eqn: therefore][eqn: 2S][eqn: =2times{{14}left(a_1 +a_14 right)}over2]
[eqn: =14 left(a_1 +a_13 +d right)]
[eqn: =14left(1+ 3over2 right)]
[eqn: =35]

(가) [eqn: a _{6} +a _{7} =- {1} over {2}]

(나) [eqn: a _{l} +a _{m} =1`]이 되도록 하는 두 자연수 [eqn: l], [eqn: m][eqn: LEFT ( l<m RIGHT )]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( l,``m RIGHT )`]의 개수는 [eqn: 6`]이다.

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: 14`]항까지의 합을 [eqn: S``]라 할 때, [eqn: 2S``]의 값을 구하시오.

03 수1	08 등차수열
02 등차수열의 합
07 합의 활용2 (함수, 도형 또는 실생활)

[출처]	2006 모의_공공 교육청 고3 03월 30

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{AC}} it }=15], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=20]이고, [eqn: angle {rm{C}} it =90 DEG]인 직각 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 있다. 변 [eqn: {rm{AB}} it]를 [eqn: rm 25]등분하는 점 [eqn: {rm{P}} it _{1}], [eqn: {rm{P}} it _{2}], [eqn: cdots], [eqn: {rm{P}} it _{24}]를 지나 변 [eqn: {rm{AB}} it]에 수직인 직선을 그어 변 [eqn: {rm{AC}} it] 또는 변 [eqn: {rm{CB}} it]와 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{Q}} it _{1}], [eqn: {rm{Q}} it _{2}], [eqn: cdots], [eqn: {rm{Q}} it _{24}]라 하자. [eqn: overline{{rm{P}} it _{1} {rm{Q}} it _{1}}+ overline{{rm{P}} it _{2} {rm{Q}} it _{2}}+ overline{{rm{P}} it _{3} {rm{Q}} it _{3}}+ cdots+ overline{{rm{P}} it _{24} {rm{Q}} it _{24}}] 의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 150]

[해설]

꼭짓점 [eqn: {rm{C}} it]에서 변 [eqn: {rm{AB}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하자.

[eqn: overline{{rm{AB}} it }=25]이므로 [eqn: overline{{rm{CH}} it }={15 times 20} over {25}=12]

[eqn: overline{{rm{AH}} it }= sqrt{15^{2}-12^{2}}=9]이고 [eqn: {rm{P}} it _{9}], [eqn: {rm{Q}} it _{9}]가 각각 [eqn: {rm{H}} it], [eqn: {rm{C}} it]와 일치하므로 [eqn: overline{{rm{P}} it _{9} {rm{Q}} it _{9}}= overline{{rm{CH}} it }=12]

삼각형 [eqn: {rm{AHC}} it]에서

[eqn: overline{{rm{P}} it _{1} {rm{Q}} it _{1}}+ overline{{rm{P}} it _{2} {rm{Q}} it _{2}}+ overline{{rm{P}} it _{3} {rm{Q}} it _{3}}+ cdots+ overline{{rm{P}} it _{9} {rm{Q}} it _{9}}=(1+2+3+ cdots+9) tan A][eqn: ={4} over {3} times {9 times 10} over {2}=60]

또, 삼각형 [eqn: {rm{BHC}} it]에서

[eqn: overline{{rm{P}} it _{10} {rm{Q}} it _{10}}+ overline{{rm{P}} it _{11} {rm{Q}} it _{11}}+ cdots+ overline{{rm{P}} it _{24} {rm{Q}} it _{24}}=(15+14+13+ cdots+2+1) tan B][eqn: ={3} over {4} times {15 times 16} over {2}=90]

따라서

[eqn: overline{{rm{P}} it _{1} {rm{Q}} it _{1}}+ overline{{rm{P}} it _{2} {rm{Q}} it _{2}}+ overline{{rm{P}} it _{3} {rm{Q}} it _{3}}+ cdots+ overline{{rm{P}} it _{24} {rm{Q}} it _{24}}=60+90=150]

[다른 풀이]

다음 그림에서

[eqn: left( overline{{rm{P}} it _{1} {rm{Q}} it _{1}}+ cdots+ overline{{rm{P}} it _{8} {rm{Q}} it _{8}} right)+ overline{{rm{P}} it _{9} {rm{Q}} it _{9}}+ left( overline{{rm{P}} it _{10} {rm{Q}} it _{10}}+ cdots+ overline{{rm{P}} it _{24} {rm{Q}} it _{24}} right)]

[eqn: ={1} over {2} times 12 times 8+12+{1} over {2} times 12 times 15=150]

[출처]	2006 모의_공공 교육청 고3 03월 25

선미는 문제 수가 [eqn: x]인 수학책을 첫째 날에는 [eqn: rm 15]문제를 풀고 둘째 날부터 매일 문제 수를 [eqn: d]만큼씩 증가시키면서 풀어 아홉 째 날까지 문제를 풀고 나면 [eqn: rm 24]문제가 남게 된다. 또, 첫째 날에는 [eqn: rm 30]문제를 풀고 둘째 날부터 매일 문제 수를 [eqn: d]만큼씩 증가시키면서 풀어 일곱째 날까지 문제를 풀고 나면 [eqn: rm 39]문제가 남게 된다. 선미가 풀고자 하는 이 수학책의 문제 수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 375]

[해설]

선미가 매일 푸는 문제수는 공차가 [eqn: d]인 등차수열이므로

[eqn: x=15+(15+d)+(15+2 d)+ cdots+(15+8 d)+24]

[eqn: ~ =30+(30+d)+(30+2 d)+ cdots+(30+6 d)+39]

즉, [eqn: {9(15+15+8 d)} over {2}+24={7(30+30+6 d)} over {2}+39]

[eqn: 9(15+4 d)+24=7(30+3 d)+39]에서

[eqn: 15 d=90 ~ therefore~d=6]

따라서 수학책의 문제수는 [eqn: x=9(15+4 d)+24=9(15+4 cdot 6)+24=375]

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 04월 27

수학자 드 므와브르에 대하여 다음과 같은 일화가 전해지고 있다.

[정답] ②

[해설]

이 사실을 알게 된 날을 첫째 날로 하여 드 므와브르가 깨어 있는 시간을 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이라고 하면 [eqn: a_{n}]은 [eqn: a_{1}=10](시간)이고 공차가 [eqn: -{1} over {4}](시간)인 등차수열이다. [eqn: rm 24]시간 계속 수면하게 되는 날은 깨어 있는 시간이 [eqn: rm 0]시간이므로 [eqn: a_{n}=10-{1} over {4}(n-1)=0 ~ therefore~n=41]

[eqn: therefore~]깨어있는 시간의 합은 [eqn: {41(10+0)} over {2}=205](시간)이다.

드 므와브르는 자신의 수면 시간이 매일 [eqn: rm 15]분씩 길어진다는 것을 깨닫고, 수면 시간이 [eqn: rm 24]시간이 되는  날을 계산하여 그날에 자신이 죽을 것이라고 예측하였다. 그런데, 놀랍게도 그날에 수면하는 상태에서 생을 마쳤다.

드 므와브르가 매일 밤 [eqn: rm 12]시에 잠든다고 가정할 때, 처음 이 사실을 알게 된 날의 수면 시간이 [eqn: rm 14]시간이었다면 그날부터 생을 마칠 때까지 깨어있는 시간의 합은?

① [eqn: rm 197]	② [eqn: rm 205]	③ [eqn: rm 214]

④ [eqn: rm 224]	⑤ [eqn: rm 235]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 10월 29

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold400]

[해설]

(ⅰ) [eqn: 0leq`x<2`]일 때 [eqn: f(x)=5`]에서
[eqn: 3 ^{`x} =5`] ∴ [eqn: x=log` _{3} `5`]

(ⅱ) [eqn: 2leq`x<4`]일 때 [eqn: f(x)=5`]에서
[eqn: 3 ^{-x+4} =5`], [eqn: -x+4=log _{`3} `5`] ∴ [eqn: x=4-log _{`3} `5`]

함수 [eqn: y=f(x)`]는 주기가 [eqn: 4`]인 주기함수이므로 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `0,```40` RIGHT ] `]에서 [eqn: f(x)=5`]인 [eqn: x`]값들을 차례대로 구하면 다음과 같다. [eqn: log _{`3} `5`], [eqn: 4-log _{`3} `5`], [eqn: 4+log _{`3} `5`], [eqn: 8-log _{`3} `5`], [eqn: 8+log _{`3} `5`], [eqn: 12-log _{`3} `5`], [eqn: 12+log _{`3} `5`], … , [eqn: 40-log _{`3} `5`]

따라서 이들을 모두 더하면

[eqn: LEFT { log _{`3} `5+(4-log _{`3} `5) RIGHT } + LEFT { (4+log _{`3} `5)+(8-log _{`3} `5) RIGHT } ``]

[eqn: LEFT . +`` CDOTS `+ LEFT { (36+log _{`3} `5)+(40-log _{`3} `5) RIGHT } ` RIGHT .]

[eqn: =4+12+20+` CDOTS `+76`][eqn: = {10 TIMES (4+76)} over {2} `][eqn: =400`]

(가) [eqn: 0 le x < 4 `]일 때, [eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{ ~~~3 ^{ x}&~ LEFT ( 0 LEQ x<2 RIGHT )# ``3 ^{ - LEFT (x-4 RIGHT )}&~ LEFT ( 2 LEQ x<4 RIGHT )}} `]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x+4 RIGHT )=f LEFT (x RIGHT ) `]이다.

닫힌 구간 [eqn: left[ 0 ,`` 40 right] `]에서 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )-5=0 `]의 모든 실근의 합을 구하시오.

03 수1	08 등차수열
03 등차수열의 추론과 함수적 해석
01 추론1 (등차수열의 결합과 합성)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 16

두 실수 [eqn: a {{from^2020^08^사관학교고3가나^중복}}], [eqn: b]와 수열 [eqn: LEFT { c_n RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

(가)에서 등차수열의 합을 이용하면

[eqn: a+log _{ 2} c _{1} + CDOTS +log _{ 2} c _{m}+b ={(a+b)(m+2)} over2]

[eqn: log _{ 2} c _{1} + CDOTS +log _{ 2} c _{m}+1 ={(m+2)} over2] ([eqn: because][eqn: a+b=1])

[eqn: log _{ 2} c _{1} + CDOTS +log _{ 2} c _{m} ={m} over2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

(나)에서 [eqn: c _{1} TIMES CDOTS times c_m =32]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉡에서 [eqn: log _{ 2} (c _{1} TIMES CDOTS times c_m )][eqn: =log _{2} 32 =5]

㉠에서 [eqn: log _{ 2} (c _{1} TIMES CDOTS times c_m )][eqn: = m over 2]

[eqn: THEREFORE][eqn: m over 2 =5]	[eqn: therefore][eqn: m=10]

(가) [eqn: (m+2)]개의 수
[eqn: a], [eqn: log _{2} c _{1}], [eqn: log _{2} c _{2}], [eqn: log _{2} c _{3}], [eqn: CDOTS], [eqn: log _{2} c _{m}], [eqn: b]
가 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

(나) 수열 [eqn: LEFT { c_n RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: m]항까지의 항을 모두 곱한 것은 [eqn: 32]이다.

[eqn: a+b=1]일 때, 자연수 [eqn: m]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

03 수1	08 등차수열
03 등차수열의 추론과 함수적 해석
02 추론2 (함수적 해석)

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 04월 21

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에서 [eqn: a_{3}=40], [eqn: a_{8}=30]일 때, [eqn: left|a_{2}+a_{4}+ cdots+a_{2 n} right|]이 최소가 되는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 22]

[해설]

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에서 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_{3}=a+2 d=40], [eqn: a_{8}=a+7 d=30]이고 [eqn: a=44], [eqn: d=-2]이므로 [eqn: a_{n}=-2 n+46]이다.

[eqn: therefore~a_{2 n}=-4 n+46]

[eqn: left|a_{2}+a_{4}+ cdots+a_{2 n} right|= left|-2 n^{2}+44 n right|]

따라서 최소가 되는 자연수 [eqn: n]은 [eqn: rm 22]이다.

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 03월 30

첫째항이 [eqn: 60`]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { T _{n} RIGHT } `]을

[정답] [eqn: 61]

[해설]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: T _{n} = LEFT | {n LEFT { 120+(n-1)d RIGHT }} over {2} RIGHT | `], [eqn: T_{`20} = T_{`21} `]

[eqn: LEFT |` {20 LEFT ( 120+19d RIGHT)} over {2}` RIGHT | = LEFT | `{21 LEFT ( 120+20d RIGHT )} over {2}` RIGHT | `]

(ⅰ) [eqn: {20 LEFT ( 120+19d RIGHT )} over {2} `=` {21 LEFT ( 120+20d RIGHT )} over {2} ``]일 때

[eqn: d=-3], 이때 조건 [eqn: T_{`19} < T_{`20} `]이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: {20 LEFT ( 120+19d RIGHT)} over {2}` = `- `{21 LEFT ( 120+20d RIGHT )} over {2}``]

일 때  [eqn: d=`- 123 over 20 `], 이때 조건[eqn: T_{`19} < T_{`20} `]이 성립하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: T _{n} = LEFT | { - 3n^{`2} +123n } over {2} RIGHT | `]

[eqn: f(x)=LEFT | { - 3x^{`2} +123x } over {2} RIGHT | `]라 하면 함수

[eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

위 그래프에서 [eqn: f(41)= 0`]이므로 [eqn: T_{`41} =0`]

[eqn: THEREFORE `T _{`21} >T _{`22} >T _{`23} >` CDOTS `>T _{`41} =0`], [eqn: T_{`41} < T_{`42} `]

따라서 [eqn: T_{`n} >T_{`n+1} `]을 만족시키는 [eqn: n`]의 값은

[eqn: 21], [eqn: 22], [eqn: 23], [eqn: cdots], [eqn: 40`]이다.

[eqn: THEREFORE] 최솟값과 최댓값의 합은[eqn: 21+40=61`]

[eqn: T _{n} =` LEFT |` a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+`a _{n} ` RIGHT | `]

이라 하자. 수열 [eqn: LEFT { T _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: T _{19} <T _{20} `]        (나) [eqn: T _{20}=T _{21} `]

[eqn: T _{n} >T _{n+1} `]을 만족시키는 [eqn: n`]의 최솟값과 최댓값의 합을 구하시오.

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 03월 29

첫째항이 [eqn: rm 50], 공차가 정수인 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여 수열 [eqn: left{ T_{n} it right}]을

[정답] [eqn: 33]

[해설]

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 공차를 [eqn: d(d]는 정수)라 하자.

[eqn: T_{16}<T_{17}], [eqn: T_{17}>T_{18}]이 성립하므로

[eqn: a_{17}>0], [eqn: a_{18}<0]

[eqn: a_{17}=50+16 d>0]에서

[eqn: d>-{25} over {8}]

[eqn: a_{18}=50+17 d<0]에서

[eqn: d < it - {50} over {17}]

따라서 [eqn: -{25} over {8}<d < it - {50} over {17}]이므로

[eqn: d=-3]

[eqn: therefore~T_{n}= left|{n left{ 100+(n-1)(-3) it right} } over {2} right|]

[eqn: ={ left|3 n^{2}-103 n right|} over {2}]

이때 [eqn: f(x)={ left|3 x^{2}-103 x right|} over {2}]라 하면

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: 34<{103} over {3}<35]이므로

[eqn: T_{n}]은 [eqn: n=34]또는 [eqn: rm 35]일 때 최솟값을 갖는다.

[eqn: T_{34}={ left|3 times 34^{2}-103 times 34 right|} over {2}=17]

[eqn: T_{35}={ left|3 times 35^{2}-103 times 35 right|} over {2}=35]

따라서 [eqn: T_{n}>T_{n+1}]을 만족시키는 [eqn: n]은 [eqn: n=17], [eqn: 18], [eqn: 19], [eqn: cdots], [eqn: 33] 이므로 구하는 [eqn: n]의 최댓값은 [eqn: rm 33]이다.

[eqn: T_{n}= left|a_{1}+a_{2}+a_{3}+ cdots+a_{n} right|]

이라 하자. 수열 [eqn: left{ T_{n} it right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: T_{16}<T_{17}]

(나) [eqn: T_{17}>T_{18}]

[eqn: T_{n}>T_{n+1}]을 만족시키는 [eqn: n]의 최댓값을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 07월 29

첫째항이 [eqn: {0}{{from^2019^07^인천교육청고3나^중}}]이 아닌 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]에 대하여 [eqn: S _{9} =S _{18}]이다. 집합 [eqn: T _{n}]을

[정답] [eqn: bold { 273 }]

[해설]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a][eqn: LEFT ( a != 0 RIGHT )], 공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: S _{9} =S _{18}]이므로

[eqn: {9 LEFT ( 2a+8d RIGHT )} over {2} = {18 LEFT ( 2a+17d RIGHT )} over {2}]

[eqn: a= -13d]

[eqn: S _{n} = {n LEFT { -26d+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d RIGHT }} over {2} = {d} over {2} n LEFT ( n-27 RIGHT )]

[eqn: S _{1} =S _{26} = -13d], [eqn: S _{2} =S _{25} = -25d],

[eqn: S _{3} =S _{24} = -36d],

[eqn: VDOTS]

[eqn: S _{13} =S _{14} = -91d],

[eqn: S _{27} =0], [eqn: S _{28} =14d], [eqn: S _{29} =29d], [eqn: cdots]

집합 [eqn: T_n]의 원소의 개수가 [eqn: 13]이 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 값은

[eqn: 13], [eqn: 14], [eqn: cdots], [eqn: 26]

따라서 모두 자연수 [eqn: n]의 값의 합은

[eqn: 13+14+15+ CDOTS +26=273]

[eqn: T _{n} = LEFT { S _{k} `` right |`` k=1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` CDOTS ,```` n RIGHT }]

이라 하자. 집합 [eqn: T _{n}]의 원소의 개수가 [eqn: 13]이 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 15

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자. 두 자연수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: S_{n}=p n^{2}-36 n+q]일 때, [eqn: S_{n}]이 다음 조건을 만족시키도록 하는 [eqn: p]의 최솟값을 [eqn: p_{1}]이라 하자.

[정답] ①

[해설]

[eqn: S_{n}]이 주어진 조건을 만족시키면 [eqn: i neq j]인 임의의 두 자연수

[eqn: i], [eqn: j]에 대하여

[eqn: S_{i}-S_{j} neq 0]이므로

[eqn: S_{i}-S_{j}][eqn: = left(p i^{2}-36 i+q right)- left(p j^{2}-36 j+q right)]
[eqn: =(i-j)(p i+p j-36) neq 0]

따라서 [eqn: i+j neq {36} over {p}]

[eqn: p leq 4]이면 [eqn: i+j={36} over {p}]인 서로 다른 두 자연수

[eqn: i], [eqn: j]가 존재한다.

[eqn: p=5]이면 [eqn: i+j={36} over {p}]인 서로 다른 두 자연수

[eqn: i], [eqn: j]가 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: p]의 최솟값은 [eqn: rm 5], 즉 [eqn: p_{1}=5]이다.

[eqn: p=5]일 때 [eqn: S_{n}=5 n^{2}-36 n+q]이므로

[eqn: a_{1}=S_{1}=q-31]

[eqn: n geq 2]일 때, [eqn: a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=10 n-41]

이때

[eqn: a_{2}=-21], [eqn: a_{3}=-11], [eqn: a_{4}=-1], [eqn: a_{5}=9], [eqn: a_{6}=19][eqn: a_{7}=29], [eqn: cdots]

[eqn: left|a_{k} right|<a_{1}]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: rm 3]이므로

[eqn: k]의 값은 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]이다.

[eqn: 11<a_{1} leq 19], [eqn: 11<q-31 leq 19]

[eqn: 42<q leq 50]

이다. 따라서 모든 [eqn: q]의 값의 합은

[eqn: 43+44+ cdots+50={8 times(43+50)} over {2}=372]

임의의 두 자연수 [eqn: i], [eqn: j]에 대하여 [eqn: i neq j]이면 [eqn: S_{i} neq S_{j}]이다.

[eqn: p=p_{1}]일 때, [eqn: left|a_{k} right|<a_{1}]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: rm 3]이 되도록 하는 모든 [eqn: q]의 값의 합은?

① [eqn: rm 372]	② [eqn: rm 377]	③ [eqn: rm 382]

④ [eqn: rm 387]	⑤ [eqn: rm 392]

03 수1	08 등차수열
03 등차수열의 추론과 함수적 해석
03 추론3 (추론과 해석)

[출처]	2014 모의_공공 경찰대 고3 07월 23

백의 자리의 수, 십의 자리의 수, 일의 자리의 수가 이 순서대로 등차수열을 이루는 세 자리 자연수의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: rm 45]

[해설]

백의 자리의 수를 [eqn: a( neq 0)], 십의 자리의 수를 [eqn: b], 일의 자리의 수를 [eqn: c]라 하면 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로, [eqn: a+c=2 b]가 성립한다.

[eqn: b=0]인 경우는 존재하지 않으므로 [eqn: b]는 [eqn: rm 9] 이하의 자연수이고

이때, [eqn: a+c]는 짝수이다.

[eqn: a]와 [eqn: c]의 값이 정해지면 [eqn: b={a+c} over {2}]로 [eqn: b]도 정해지므로 구하는 자연수의 개수는 [eqn: a+c]가 짝수가 되도록 [eqn: a]와 [eqn: c]를 정하는 방법의 수와 같다.

(ⅰ) [eqn: a]가 홀수인 경우 [eqn: c]도 홀수이어야 한다.
[eqn: rm 10]보다 작은 홀수는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 9]이므로 [eqn: a]와 [eqn: c]를 정하는 방법의 수는 [eqn: 5 times 5=25]

(ⅱ) [eqn: a]가 짝수인 경우 [eqn: c]는 [eqn: rm 0] 또는 짝수이어야 한다.
[eqn: rm 10]보다 작은 짝수는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8]이므로 [eqn: a]와 [eqn: c]를 정하는 방법의 수는 [eqn: 4 times 5=20]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 자연수의 개수는 [eqn: 25+20=45]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 03월 30

모든 항이 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: "{"a _{n} "}"]과 [eqn: 1]보다 큰 자연수 [eqn: m]에 대하여 다항식

[정답] [eqn: 23]

[해설]

등차수열 [eqn: "{"a _{n} "}"]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하자.

[eqn: P`(x)][eqn: =a _{m+1} x ^{m} +a _{m} x ^{m-1} + `CDOTS` +a _{2} x+a _{1}]에서

[eqn: P`(1)][eqn: =a _{m+1} +a _{m} + `CDOTS` +a _{2} +a _{1}]이고

이는 등차수열 [eqn: "{"a _{n} "}"]의 첫째항부터 제[eqn: LEFT ( m+1 RIGHT )]항까지의 합이므로

[eqn: P(1)`][eqn: = { LEFT (m+1 RIGHT ) LEFT (2a+md RIGHT )} over {2}]

[eqn: P`(-1)][eqn: =a _{m+1} LEFT (-1 RIGHT ) ^{m} +a _{m} LEFT (-1 RIGHT ) ^{m-1} + `CDOTS` -a _{2} +a _{1}]

(ⅰ) [eqn: m`]이 홀수일 때

[eqn: P`(-1)][eqn: =it-a_m+1 +a_m -`cdots`-a_2 +a_1]
[eqn: =it-(a_m+1 -a_m )-`cdots`-(a_2 -a_1 ) `]
[eqn: =it - m+1over2 d`]
이므로 [eqn: P`(1)=5P`(-1)`]에서
[eqn: { LEFT (m+1 RIGHT ) LEFT (2a+md RIGHT )} over {2}][eqn: =5 TIMES LEFT ( - {m+1} over {2} d RIGHT )]
[eqn: m+`1 !=0]이므로
[eqn: 2a+md = -5d`]
[eqn: a + {m+5}over2 d =0`]
[eqn: m`]은 홀수이므로 [eqn: m+5 over2`]는 자연수이고
[eqn: a+ {m+5} over {2} d]는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 제[eqn: LEFT ( {m+7} over {2} RIGHT )]항이다.
이때
[eqn: a _{{m+7} over {2}}][eqn: =a+ LEFT ( {m+7} over {2} -1 RIGHT ) d][eqn: = a + {m+5}over2 d][eqn: =0]
이 되어 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]의 모든 항이 [eqn: 0`]이 아니라는 조건에 모순이다. 따라서 [eqn: P`(1)=5P`(-1)`]을 만족시키는 홀수 [eqn: m`]은 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: m`]이 짝수일 때
[eqn: P`(-1)][eqn: =a_m+1 -a_m +`cdots`-a_2 +a_1`]
[eqn: =(a_m+1 -a_m )+`cdots`+(a_3 -a_2 )+a`]
[eqn: =a+ m over2 d`][eqn: = {2a+md}over2]
[eqn: P`(1)=5P`(-1)`]에서
[eqn: {(m+1)(2a+md)}over2`][eqn: =5 times {2a+md} over2][eqn: cdotscdots`(ast)`]
[eqn: m`]은 짝수이므로 [eqn: m over2`]은 자연수이고
[eqn: a + {m}over2 d `]는 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]의 제[eqn: LEFT(m over2 +1 RIGHT)`]항이다.
이때 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]의 모든 항이 [eqn: 0`]이 아니므로
[eqn: a_{m over2 +1 }][eqn: =a+ m over2 d][eqn: = {2a + md} over2 !=0`]
[eqn: (ast)]에서 [eqn: m+1=5`]이므로 [eqn: m=4`]

(ⅰ), (ⅱ)에서 가능한 자연수 [eqn: m`]은 [eqn: 4`]뿐이므로 [eqn: k=4]이다.

다항식 [eqn: a_5 x^4 +a_4 x^3 +a_3 x^2 +a_ 2 x +a_1 `]이 [eqn: x+2`]로 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여

[eqn: a_5 LEFT(-2 RIGHT)^4 +a_4 LEFT(-2 RIGHT)^3 +a_3 LEFT(-2 RIGHT)^2 +a_ 2 LEFT(-2 RIGHT) +a_1][eqn: =0]

[eqn: a_n = a+(n-1)d`]이므로

[eqn: (a+4d)(-2)^4 +(a+3d)(-2)^3]

[eqn: +(a+2d)(-2)^2 +(a+d)(-2)+a`]

[eqn: =16 LEFT(a+4d RIGHT)-8(a+3d)+4(a+2d)-2(a+d)+a]

[eqn: =11a+46d`][eqn: =0`]

[eqn: d=it - 11 over46 a]

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n !=0`]이므로

[eqn: a_1 over{a_k+1}][eqn: = a over a_5][eqn: = a overa+4d]
[eqn: = a over{a- 22 over23 a}][eqn: = 1 over{ 1over23}]
[eqn: =23]

[eqn: P` LEFT (x RIGHT )=a _{m+1} x ^{m} +a _{m} x ^{m-1} +a _{m-1} x ^{m-2} + `CDOTS` +a _{2} x+a _{1}]

이 있다.

[eqn: P` LEFT (1 RIGHT )=5P` LEFT (-1 RIGHT )]

을 만족시키는 다항식 [eqn: P` LEFT (x RIGHT )]에서 자연수 [eqn: m]의 값을 [eqn: k]라 하자.

다항식 [eqn: a _{k+1} x ^{k} +a _{k} x ^{k-1} + `CDOTS` +a _{2} x+a _{1}]이 [eqn: x+2]로 나누어떨어질 때, [eqn: {a _{1}} over {a _{k+1}}]의 값을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 09월 20

두 수 [eqn: 2`]와 [eqn: 4] 사이에 [eqn: n`]개의 수 [eqn: a _{1} `], [eqn: a _{2} `], [eqn: a _{3} `], [eqn: cdots`], [eqn: a _{n} `]을 넣어 만든 [eqn: LEFT ( n+2 RIGHT ) `]개의 수 [eqn: 2`], [eqn: a _{1} `], [eqn: a _{2} `], [eqn: a _{3} `], [eqn: cdots`], [eqn: a _{n} `], [eqn: 4`]가 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 집합 [eqn: A _{n} = LEFT { 2`,```a _{1} `,```a _{2} `,```a _{3} `,` CDOTS `,```a _{n} `,```4 RIGHT } `]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: n`]은 자연수이다.)

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: n`]이 홀수이면 항의 개수가 홀수이고 [eqn: 3`]이 [eqn: 2`]와 [eqn: 4`]의 등차중항이므로 [eqn: 3in{A _{n} }`] (참)

ㄴ. [eqn: 4=2+ LEFT ( n+1 RIGHT ) d _{1} `]이라 하면, 집합 [eqn: A _{n} `]의 모든 원소 [eqn: 2`], [eqn: 2+ {2} over {n+1}], [eqn: CDOTS `], [eqn: 2+ {2n} over {n+1}], [eqn: 4`]는 공차가 [eqn: d _{1} = {2} over {n+1} `]인 등차수열이다. [eqn: 4=2+ LEFT ( 2n+2 RIGHT ) d _{2} `]라 하면, 집합 [eqn: A _{2n+1} `]의 모든 원소 [eqn: 2`], [eqn: 2+ {1} over {n+1}], [eqn: CDOTS `], [eqn: 2+ {2n+1} over {n+1}], [eqn: 4`]는 공차가 [eqn: d _{2} = {1} over {n+1} `]인 등차수열이다.

즉, [eqn: A _{n} SUBSET A _{2n+1} `] (참)

ㄷ. ㄴ에 의하여
[eqn: A _{2n+1} -A _{n} `]
[eqn: = LEFT { 2+ {1} over {n+1} ,```2+ {3} over {n+1} ,``` CDOTS `,``2+ {2n+1} over {n+1} RIGHT } `]
[eqn: S _{n} = {n+1} over {2} LEFT ( 2+ {1} over {n+1} +2+ {2n+1} over {n+1} RIGHT )]

[eqn: =3(n+1)]

[eqn: S _{6} +S _{13} =21+42=63`] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

	<보 기>
ㄱ. [eqn: n`]이 홀수이면 [eqn: 3 IN A _{n} `] ㄴ. 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: A _{ n} SUBSET A _{ 2n+1 } `] ㄷ. 집합 [eqn: A _{2n+1} - A _{n} `]의 모든 원소의 합을 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: S _{6} +S _{13} =63`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 13

첫째항이 양수인 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항부터

[정답] ①

[해설]

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 공차를 [eqn: d]라 하자. [eqn: d geq 0]이면 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항이 양수이므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n}>0]이 되어 조건을 만족시키지 않는다. 따라서 [eqn: d<0]이어야 한다.

( i ) [eqn: S_{3}=S_{6}]인 경우

[eqn: {3 left(2 a_{1}+2 d right)} over {2}={6 left(2 a_{1}+5 d right)} over {2}]에서

[eqn: a_{1}=-4 d]이므로

[eqn: S_{3}=S_{6}=-9 d>0],

[eqn: S_{11}={11 left(2 a_{1}+10 d right)} over {2}=11 d<0]

즉, [eqn: S_{3}=-S_{11}-3]에서

[eqn: -9 d=-11 d-3], [eqn: d=-{3} over {2}]

[eqn: a_{1}=-4 d=6]

(ii) [eqn: S_{3}=-S_{6}]인 경우

[eqn: {3 left(2 a_{1}+2 d right)} over {2}=-{6 left(2 a_{1}+5 d right)} over {2}]에서

[eqn: a_{1}=-2 d]이므로

[eqn: S_{3}=-S_{6}=-3 d>0]

[eqn: S_{11}={11 left(2 a_{1}+10 d right)} over {2}=33 d<0]

즉, [eqn: S_{3}=-S_{11}-3]에서

[eqn: -3 d=-33 d-3], [eqn: d=-{1} over {10}]

[eqn: a_{1}=-2 d={1} over {5}]

(i), (ii)에서 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의

첫째항의 합은 [eqn: 6+{1} over {5}={31} over {5}]이다.

제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자.

[eqn: left|S_{3} right|= left|S_{6} right|= left|S_{11} right|-3]

을 만족시키는 모든 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항의 합은?

① [eqn: {31} over {5}]	② [eqn: {33} over {5}]	③ [eqn: rm 7]

④ [eqn: {37} over {5}]	⑤ [eqn: {39} over {5}]

03 수1	08 등차수열
03 등차수열의 추론과 함수적 해석
04 추론4 (추론과 정수론)

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고2 06월 29

네 자연수 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: a_{4}]가 [eqn: a_{1}<a_{2}<a_{3}<a_{4}]를 만족한다. [eqn: b_{n}={a_{n+1}} over {a_{n}}(n=1,``2,``3)]이라 할 때, 세 자연수 [eqn: b_{1}], [eqn: b_{2}], [eqn: b_{3}]은 이 순서대로 첫째항과 공차가 같은 등차수열을 이룬다. [eqn: a_{4}=144]일 때, [eqn: a_{1}+b_{1}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 5]

[해설]

수열 [eqn: left{ b_{n} it right}]의 첫째항과 공차가 같으므로

[eqn: b_{2}=2 b_{1}], [eqn: b_{3}=3 b_{1}]

[eqn: b_{1}={a_{2}} over {a_{1}}]에서 [eqn: a_{2}=a_{1} b_{1}]

[eqn: b_{2}={a_{3}} over {a_{2}}=2 b_{1}]에서 [eqn: a_{3}=2 a_{2} b_{1}=2 a_{1} b_{1}^{2}]

[eqn: b_{3}={a_{4}} over {a_{3}}=3 b_{1}]에서 [eqn: a_{4}=3 a_{3} b_{1}=6 a_{1} b_{1}^{3}]

[eqn: a_{4}=144]에서 [eqn: a_{1} b_{1}^{3}=24]

이때, [eqn: 24=2^{3} times 3]이고 네 개의 수 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: a_{4}]와 [eqn: b_{1}]이 자연수이고 [eqn: a_{1}<a_{2}<a_{3}<a_{4}]이므로

[eqn: a_{1}=3], [eqn: b_{1}=2]

[eqn: therefore~a_{1}+b_{1}=5]

03 수1	09 등비수열
01 등비수열의 일반항
01 일반항1 (관계식)

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 7

모든 항이 양수이고 공비가 서로 같은 두 등비수열 [eqn: { left{` a_n `right} }{{^2020^08^경찰대^중}}], [eqn: left{` b_n `right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ③

[해설]

모든 항이 양수이고 공비가 서로 같은 두 등비수열 [eqn: left{` a_n `right}], [eqn: left{` b_n `right}]에 대하여 일반항을 각각 [eqn: a_n =ar^n-1], [eqn: b_n = br^n-1]라고 하고

[eqn: a_n b_n = {(a_n+1 )^2 + 4(b_n+1 )^2 }over5]에 대입하면

[eqn: abr^{2n-2} ={a^2 r^2n +4b^2 r^2n}over5]

[eqn: div r^2n]을 하면 [eqn: ab r^-2][eqn: ={a^2 +4b^2 }over5]

[eqn: r^2][eqn: = 5ab over{a^4 +4b^2}][eqn: = 5over{a overb + 4b overa }]

그런데 [eqn: a>0,````b>0]이므로 산술-기하평균에 의해

[eqn: a overb + 4b overa }][eqn: ge { 2 root{a overb times 4b overa}}][eqn: =4]

따라서 [eqn: a overb + 4b overa }]의 최솟값이 [eqn: 4]이므로 [eqn: r^2]의 최댓값은 [eqn: 5 over 4]이다.

따라서 구하는 [eqn: r]의 최댓값은 [eqn: root5 over2]이다.

[eqn: a_n b_n = {(a_n+1 )^2 + 4(b_n+1 )^2 }over5]

를 만족시킬 때, 공비의 최댓값은?

① [eqn: {5root5 }over2]	② [eqn: 5 over2]	③ [eqn: root5 over2]

④ [eqn: root5]	⑤ [eqn: 1]

03 수1	09 등비수열
01 등비수열의 일반항
04 일반항4 (등차수열과 등비수열)

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 10월 27

등차수열 [eqn: left{ a_{`n} right}`]과 공비가 [eqn: 1`]보다 작은 등비수열 [eqn: left{` b_{`n} right}`]이

[정답] [eqn: 18]

[해설]

수열 [eqn: left{ a_{`n} right}`]은 등차수열이므로 [eqn: a_{`1} + a_{`8 }= a_{`4} + a_{`5}`]

수열 [eqn: left{b_{`n} right}`]은 등비수열이므로 [eqn: b_{`2}`` b_{`7} = b_{`4} `` b_{`5}]

이때 [eqn: b_{`4} ``b_{`5 }= a_{`4}`` a_{`5}]이므로

[eqn: a_{`4 }+a_{`5 }= 8`], [eqn: a_{`4}`` a_{`5 }= 12`]

[eqn: a_{`4}`], [eqn: a_{`5}`]가 두 이차방정식의 근이라 하면 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해

이차방정식 [eqn: x^{`2} - 8x +12 =0]의 두 근이다.

따라서 [eqn: a_{`4} = 6`], [eqn: a_{`5} =2`]

([eqn: because `][eqn: a_{`4} = b_{`4 }`], [eqn: a_{`5} =b_{`5}`], [eqn: b_{`4} >b_{`5} `])

수열 [eqn: left{ a_{`n} right} `]은 공차가 [eqn: -4`]인 등차수열이므로

[eqn: a_{`4} =` a_{`1 }+(4-1)times (-4) = 6]

따라서 [eqn: a_{`1} = 18`]

[eqn: a_{`1} +a_{`8} = 8`], [eqn: b _{`2}`` b _{`7} =12`], [eqn: a _{`4} =`b _{`4}`], [eqn: a _{`5} =`b _{`5}`]

를 모두 만족시킬 때, [eqn: a_{`1} `]의 값을 구하시오.

03 수1	09 등비수열
01 등비수열의 일반항
06 중항2 (등차중항과 등비중항)

[출처]	2004 모의_공공 평가원 고3 예비 27

<보기>의 함수 중에서 그 그래프 위의 서로 다른 세 점 [eqn: {rm{A}} it (a,`` p)], [eqn: {rm{B}} it (b,`` q)], [eqn: {rm{C}} it (c,`` r)]를 선택하되, [eqn: x]좌표 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 차례로 등차수열을 이루고 [eqn: y]좌표 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]는 차례로 등비수열을 이루게 할 수 있는 것을 모두 고른 것은?

[정답] ③

[해설]

세 점 [eqn: rm A(ITa,~p),~ rm B(ITb,~q),~ rm C(ITc,~r)]에서

[eqn: a,~b,~c]는 차례로 등차수열을 이루고, [eqn: p,~q,~r]는 차례로 등비수열을 이루므로

[eqn: 2b = a+c][eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: q^2 = pr][eqn: CDOTS CDOTS]㉡

ㄱ. [eqn: f(x)=x] 위의 세 점을 잡으면

[eqn: {rm A}(ita,~ a), ~{rm B}(itb,~ b), ~{rm C}(itc,~ c)]

이므로 ㉡은 [eqn: b^2 = ac][eqn: CDOTS CDOTS]㉢

㉠의 양변을 제곱하면

[eqn: 4b^2 = a^2 + 2ac +c^2]

㉢을 대입하면

[eqn: 4ac = a^2 + 2ac + c^2]

[eqn: (a-c)^2 = 0]

[eqn: therefore~ a = c]

그런데, 문제에서 [eqn: a ≠c]이므로 조건을 만족하는 함수가 아니다.

ㄴ. [eqn: g(x) = 1 over x] 위의 세 점을 잡으면

[eqn: {rm A} left(ita,~ 1 over a right), ~{rm B}left(itb,~ 1 over b right), ~{rm C} left(itc,~ 1 over c right)]

이므로 ㉡은 [eqn: 1 over b^2 = 1 over ac][eqn: CDOTS CDOTS]㉢

즉, [eqn: b^2 = ac]이므로 [eqn: a=c( BECAUSE ~㉠)]가 되어 문제의 조건을 만족하는 함수가 아니다.

ㄷ. [eqn: h(x) = 2^x] 위의 세 점을 잡으면

[eqn: {rm A} left(ita,~ 2^a right), ~{rm B}left(itb,~ 2^b right), ~{rm C} left(itc,~ 2^c right)]

이므로 ㉡은 [eqn: (2^b )^2 = 2^a CDOT 2^c], 즉 [eqn: 2^2b = 2^a+c]

[eqn: therefore~ 2b = a+c]

따라서, ㉠과 같은 조건이 되므로 [eqn: 2b = a+c]를 만족하는 모든 실수 [eqn: a, ~ b, ~c]에 대하여 문제의 조건이 성립한다.

(예. [eqn: a=1,~ b=2,~ c=3])

그러므로 조건을 만족하는 것은 ㄷ뿐이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(x)=x ~] ㄴ. [eqn: g(x)={1} over {x} ~] ㄷ. [eqn: h(x)=2^{x}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 06월 30

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합을 [eqn: k]라 하자. [eqn: 48 k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 84]

[해설]

[eqn: a b<0]이므로 [eqn: a]와 [eqn: b]의 부호가 다르다.

1) [eqn: a<0], [eqn: b>0]일 때
세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: a b]에서 [eqn: a]와 [eqn: a b]는 음수, [eqn: b]는 양수이다. 음수 두 개와 양수 한 개가 등비수열이 되는 배열은 (음수, 양수, 음수)이므로 세 수의 배열은 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: a b] 또는 [eqn: a b], [eqn: b], [eqn: a] 뿐이다. 그러므로 [eqn: b]가 등비중항이므로
[eqn: b^{2}=a times a b]
[eqn: b=a^{2}]
이다. 따라서 세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: a b]는 [eqn: a], [eqn: a^{2}], [eqn: a^{3}]이다. [eqn: a<0], [eqn: a^{2}>0], [eqn: a^{3}<0]이므로 세 수를 배열하여 등차수열로 되는 경우의 등차중항은 음수인 [eqn: a] 또는 [eqn: a^{3}]이다.

i) [eqn: a]가 등차중항인 경우
[eqn: 2 a=a^{3}+a^{2}]
[eqn: a(a+2)(a-1)=0]
[eqn: a<0]이므로 [eqn: a=-2]이고 [eqn: b=4]이다.

ii) [eqn: a^{3}]이 등차중항인 경우
[eqn: 2 a^{3}=a+a^{2}]
[eqn: a(a-1)(2 a+1)=0]
[eqn: a<0]이므로 [eqn: a=-{1} over {2}]이고 [eqn: b={1} over {4}]이다. 따라서 [eqn: a]의 값은 [eqn: -2], [eqn: -{1} over {2}]이다.

2) [eqn: a>0], [eqn: b<0]일 때
1) 과 같은 방법에 의해 [eqn: a]의 값은 [eqn: 4], [eqn: {1} over {4}]이다.

1)과 2)에 의해 [eqn: a]의 값은 [eqn: -2], [eqn: -{1} over {2}], [eqn: 4], [eqn: {1} over {4}]이다. 따라서 [eqn: k=-2-{1} over {2}+4+{1} over {4}={7} over {4}]이고 [eqn: 48 k=84]이다.

(가) [eqn: a b<0]

(나) 세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: a b]를 적절히 배열하여 등비수열을 만들 수 있다.

(다) 세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: a b]를 적절히 배열하여 등차수열을 만들 수 있다.

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 03월 30

공차가 양수인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right} `]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: a _{7} `], [eqn: a _{8} `], [eqn: a _{k} `]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
이 수열의 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a _{8} `][eqn: =a _{7} r`], [eqn: a _{k} `][eqn: =a _{7} r ^{2}]	[eqn: cdotscdots````]㉠

등차수열 [eqn: "{"a _{n} "}"`]의 공차를 [eqn: d`]라 하면

조건 (가)에서

[eqn: a _{n} `][eqn: =a _{1} +(n-1)d] ([eqn: a _{1} `]은 정수, [eqn: d`]는 자연수)

이므로

[eqn: a _{8} -a _{7} `][eqn: =d`], [eqn: a _{k} -a _{8} `][eqn: =(k-8)d`]

이 식에 ㉠을 대입하면

[eqn: a _{7} LEFT ( r-1 RIGHT ) =d`], [eqn: a _{7} LEFT ( r-1 RIGHT ) r= LEFT ( k-8 RIGHT ) d`]

위 식으로부터

[eqn: dr`][eqn: =(k-8)d`]

[eqn: d != 0`]이므로 [eqn: r][eqn: =k-8`]	[eqn: cdotscdots````]㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: a _{k} `][eqn: =a _{7} (k-8) ^{2} `], [eqn: a _{k} `][eqn: =144`][eqn: =12 ^{2} `]

위 식으로부터

[eqn: a _{7} (k-8) ^{2} `][eqn: =12 ^{2} `]

조건 (가)에서 [eqn: k-8`]과 [eqn: a _{7} `]이 정수이므로 [eqn: a _{7} `]은 완전제곱수이다. 따라서 [eqn: a_7`]은 [eqn: 12`]의 약수의 제곱수인

[eqn: 1], [eqn: 2^2], [eqn: 3^2], [eqn: 4^2], [eqn: 6^2], [eqn: 12 ^{2} `]

중 하나이다.

(ⅰ) [eqn: a _{7} `][eqn: =1`]일 때 [eqn: (k-8) ^{2} `][eqn: =12 ^{2} `]이므로 [eqn: k][eqn: =20`]([eqn: k>8`])

(ⅱ) [eqn: a _{7} `][eqn: =2 ^{2} `]일 때 [eqn: (k-8) ^{2} `][eqn: =6 ^{2} `]이므로 [eqn: k][eqn: =14`]([eqn: k>8`])

(ⅲ) [eqn: a _{7} `][eqn: =3 ^{2} `]일 때 [eqn: (k-8) ^{2} `][eqn: =4 ^{2} `]이므로 [eqn: k`][eqn: =12`]([eqn: k>8`])

(ⅳ) [eqn: a _{7}][eqn: =4 ^{2} `]일 때 [eqn: (k-8) ^{2}][eqn: =3 ^{2} `]이므로 [eqn: k][eqn: =11]([eqn: k>8`])

(ⅴ) [eqn: a _{7} `][eqn: =6 ^{2} `]일 때 [eqn: (k-8) ^{2} `][eqn: =2 ^{2} `]이므로 [eqn: k`][eqn: =10`]([eqn: k>8`])

(ⅵ) [eqn: a _{7} `][eqn: =12 ^{2} `]일 때 [eqn: (k-8) ^{2} `][eqn: =1`]이므로 [eqn: k`][eqn: =9``]([eqn: k>8`])
그런데 [eqn: k=9`]이면 ㉡에서 [eqn: r=1`]이므로 수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 공차가 [eqn: 0`]이다. 따라서 [eqn: k!=9`]이다.

(ⅰ)[eqn: sim](ⅵ)에서 구하는 모든 [eqn: k`]의 값의 합은

[eqn: 20+14+12+11+10`][eqn: =67`]

(가) 수열 [eqn: left{a _{n} right} `]의 모든 항은 정수이다.

(나) [eqn: a _{7}], [eqn: a _{8}], [eqn: a _{k} `]가 이 순서대로 등비수열을 이루도록 하는 [eqn: 8 `]보다 큰 자연수 [eqn: k `]가 존재한다.

[eqn: a _{k} =144 `]가 되도록 하는 모든 [eqn: k `]의 값의 합을 구하시오.

① [eqn: 66]	② [eqn: 67]	③ [eqn: 68]

④ [eqn: 69]	⑤ [eqn: 70]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 21

공차가 [eqn: {d}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]이고 모든 항이 자연수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 117 }]

[해설]

[eqn: a _{1}][eqn: =a]라 하면 조건 (나)에 의하여

[eqn: LEFT { a+ LEFT ( k-1 RIGHT ) d RIGHT } ^{2}][eqn: = LEFT ( a+d RIGHT ) LEFT { a+ LEFT ( 3k-2 RIGHT ) d RIGHT }]

[eqn: d LEFT { k ^{2} -5k+3 RIGHT }][eqn: =a LEFT ( k+1 RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

모든 항이 자연수이므로 조건 (가)에서 [eqn: 0<a LEQ d]

[eqn: a LEFT ( k+1 RIGHT ) LEQ d LEFT ( k+1 RIGHT )], [eqn: k ^{2} -5k+3 LEQ k+1]

[eqn: k ^{2} -6k+2 LEQ 0]

[eqn: therefore][eqn: 3- sqrt {7} LEQ k LEQ 3+ sqrt {7}]

[eqn: k GEQ 3]이므로 자연수 [eqn: k][eqn: =3 ,```` 4 ,```` 5]

㉠에서 [eqn: k ^{2} -5k+3>0]이므로 [eqn: k=5], [eqn: d=2a]

[eqn: 90 LEQ a _{16} LEQ 10], [eqn: a _{16}][eqn: =a+15d][eqn: =31a]

이므로 [eqn: a=3], [eqn: d=6]

따라서 [eqn: a _{20}][eqn: =a+19d][eqn: =][eqn: 117]

(가) [eqn: a _{1} LEQ d]

(나) 어떤 자연수 [eqn: k][eqn: LEFT ( k GEQ 3 RIGHT )]에 대하여 세 항 [eqn: a _{2} ,```` a _{k} ,```` a _{3k-1}]이 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

[eqn: 90 LEQ a _{16} LEQ 100]일 때, [eqn: a _{20}]의 값을 구하시오.

03 수1	09 등비수열
01 등비수열의 일반항
07 중항3 (등비중항의 활용)

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 07월 11

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=10]인 평행사변형 [eqn: {rm{ABCD}} it]가 있다. 이 도형을 대각선 [eqn: {rm{BD}} it]를 따라 접어서 생기는 삼각형 [eqn: {rm{EBC}} it]의 넓이가 평행사변형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 넓이의 [eqn: {1} over {5}]이고, [eqn: overline{{rm{CE}} it }], [eqn: overline{{rm{EB}} it }], [eqn: overline{{rm{BD}} it }]의 길이가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 선분 [eqn: {rm{AD}} it]의 길이는?

[정답] ③

[해설]

[eqn: overline{{rm{CE}} it }=a], [eqn: overline{{rm{EB}} it }=a r], [eqn: overline{{rm{BD}} it }=a r^{2}]이라 하자.

[eqn: (]삼각형 [eqn: {rm{EBC}} it]의 넓이[eqn: )={1} over {5}](사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 넓이)

[eqn: THEREFORE ~a=4]	[eqn: cdots][eqn: cdots]①

[eqn: angle {rm{ABD}} it = angle {rm{A}} it `prime {rm{BD}} it], [eqn: angle {rm{ABD}} it = angle {rm{BDC}} it]

[eqn: triangle {rm{DEB}} it]는 이등변 삼각형이므로 [eqn: overline{{rm{DE}} it }= overline{{rm{EB}} it }]

[eqn: THEREFORE ~r= {3} over {2}]	[eqn: cdots][eqn: cdots]②

①, ②에 의하여

[eqn: overline{{rm{CE}} it }], [eqn: {bar{rmEB}}], [eqn: overline{{rm{BD}} it }]의 길이는 각각 [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 9].

[eqn: angle {rm{EDB}} it = theta]이라 할 때, [eqn: triangle {rm{DEB}} it]에서 제이코사인법칙에 의하여 [eqn: cos theta={36+81-36} over {2 times 6 times 9}={3} over {4}]

[eqn: triangle {rm{ABD}} it]에서 제이코사인법칙에 의하여 [eqn: {bar{rm AD it rm}} ^{2} =10 ^{2} +9 ^{2} -2 TIMES 9 TIMES 10 TIMES cos theta]

[eqn: therefore~ overline{{rm{AD}} it }= sqrt{46}]

① [eqn: 2 sqrt{11}]	② [eqn: 3 sqrt{5}]	③ [eqn: sqrt{46}]

④ [eqn: sqrt{47}]	⑤ [eqn: 4 sqrt{3}]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고2 11월 14

세 지수함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =4 ^{x}], [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{x+2}`]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ①

[해설]

ⅰ) [eqn: 0<k<2`]일 때, [eqn: f(k)<g(k)<h(k)]이므로 크기 순서대로 나열하여 등비수열을 이루면 [eqn: g LEFT ( k RIGHT )]가 등비중항이다.

[eqn: LEFT ( 4 ^{k} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{k} TIMES 2 ^{`k+2}][eqn: LRARROW][eqn: 2 ^{`4k} `=`2 ^{-2k} TIMES 2 ^{`k+2}][eqn: THEREFORE ``k= {2} over {5}]

ⅱ) [eqn: k``=2`]일 때,

[eqn: f(2)<g(2)``=`h(2)]이므로 등비수열을 이루지 않는다.

ⅲ) [eqn: k>2`]일 때,

[eqn: f(k)<h(k)<g(k)]이므로 크기 순서대로 나열하여  등비수열을 이루면 [eqn: h LEFT ( k RIGHT )]가 등비중항이다. [eqn: LEFT ( 2 ^{`k+2} RIGHT ) ^{2} `= LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{k} times4 ^{`k}]

[eqn: LRARROW][eqn: 2 ^{`2k+4} =2 ^{`-2k} TIMES 2 ^{`2k}][eqn: THEREFORE ``k=`-2]

[eqn: k=`-2`]는 [eqn: k>2`]를 만족하지 않으므로 조건을 만족하는 등비수열은 존재하지 않는다.

따라서 ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 실수 [eqn: k]의 값은 [eqn: {2} over {5}]

양수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: x=k`]에서의 함숫값 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )], [eqn: g LEFT ( k RIGHT )], [eqn: h LEFT ( k RIGHT )`]를 크기 순서대로 나열하였을 때, 이 순서대로 등비수열을 이루는 [eqn: k`]의 값은?

① [eqn: {2} over {5}]	② [eqn: {4} over {5}]	③ [eqn: {8} over {5}]

④ [eqn: {12} over {5}]	⑤ [eqn: {14} over {5}]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 06월 19

그림과 같이 곡선 [eqn: y=log` _{ 2} `x] 위의 서로 다른 세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C `]에서 [eqn: x `]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rm E], [eqn: rmF `]라 하자.
세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C `]의 각각의 [eqn: y `]좌표가 이 순서대로 공차가 양수인 등차수열을 이루고 점 [eqn: rm F `]는 선분 [eqn: rm DE `]를 [eqn: 9 `:` 5 `]로 외분하는 점일 때, 원점 [eqn: rmO `]에 대하여 [eqn: {{bar{rm OE it}}} over {{bar{rm OD it}} + {bar{rm OF it}}} = {q} over {p}`]이다. [eqn: p+q `]의 값은? (단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] ①

[해설]

세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 각각의 [eqn: y`]좌표가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: x`]좌표는 등비수열을 이룬다. 따라서 세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 각각의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: a,``ar,``ar ^{2} `]([eqn: a>0], [eqn: r>1])이라 하자. 점 [eqn: rm F]는 선분 [eqn: rm DE]를 [eqn: 9:5`]로 외분하는 점이므로 [eqn: ar ^{2} = {9ar-5a} over {9-5}]이다. 따라서 [eqn: r= {5} over {4} `]이므로 [eqn: {{bar{rm OE it}}} over {{bar{rm OD it}} + {bar{rm OF it}}} = {{5} over {4} a} over {a+ {25} over {16} a} = {20} over {41} `]이다.

그러므로 [eqn: p+q=61`]이다.

[다른 풀이1]

세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 각각의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: a,``b,``c`]라 하자. 세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 각각의 [eqn: y`]좌표가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: log _{`2} `a], [eqn: log _{`2} `b], [eqn: log _{`2} `c]는 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 그러므로 [eqn: 2log _{`2} `b=log _{`2} `a+log _{`2} `c]이므로 [eqn: b ^{2} =ac`]이다. 따라서 [eqn: a], [eqn: b`], [eqn: c`]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 공비를 [eqn: r`]이라 하면 [eqn: b=ar], [eqn: c=ar ^{2} `]이다. 점 [eqn: rm F]는 선분 [eqn: rm DE]를 [eqn: 9:5`]로 외분하는 점이므로 [eqn: ar ^{2} = {9ar-5a} over {9-5}]이다. 따라서 [eqn: r= {5} over {4} `]이므로

[eqn: {{bar{rm OE it}}} over {{bar{rm OD it}} + {bar{rm OF it}}} = {{5} over {4} a} over {a+ {25} over {16} a} = {20} over {41} `]이다. 그러므로 [eqn: p+q=61`]이다.

[다른 풀이2]

점 [eqn: rm F]는 선분 [eqn: rm DE]를 [eqn: 9:5`]로 외분하는 점이므로 세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 각각의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: a], [eqn: a+4k], [eqn: a+9k]라 하자. 세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 각각의 [eqn: y`]좌표가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: log _{`2} `a], [eqn: log _{`2} ` LEFT ( a+4k RIGHT )], [eqn: log _{`2} ` LEFT ( a+9k RIGHT )]는 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 그러므로 [eqn: 2log _{`2} ` LEFT ( a+4k RIGHT ) =log _{`2} `a+log _{`2} ` LEFT ( a+9k RIGHT )]이므로

[eqn: LEFT ( a+4k RIGHT ) ^{2} =a LEFT ( a+9k RIGHT ) `]이다. 따라서 [eqn: a=16k`]이므로

[eqn: {{bar{rm OE it}}} over {{bar{rm OD it}} + {bar{rm OF it}}} = {20k} over {16k+25k} = {20} over {41} `]이다. 그러므로 [eqn: p+q=61`]이다.

① [eqn: 61]	② [eqn: 62]	③ [eqn: 63]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 65]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 06월 29

그림과 같이 세 원 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}], [eqn: C_{3}]은 직선 [eqn: y= sqrt{3} x]와 [eqn: x]축에 동시에 접하고, 원 [eqn: C_{2}]는 두 원 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{3}]과 각각 외접하고 있다. 세 원 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}], [eqn: C_{3}]의 반지름의 길이는 이 순서대로 등비수열을 이루고 원 [eqn: C_{1}]의 중심과 원 [eqn: C_{3}]의 중심 사이의 거리는 [eqn: rm 12]일 때, 세 원의 넓이의 합은 [eqn: {q} over {p} pi]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, 세 원 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}], [eqn: C_{3}]의 중심은 제 [eqn: rm 1]사분면에 있고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 835]

[해설]

세 원 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}], [eqn: C_{3}]의 반지름의 길이는 이 순서대로 등비수열을 이루므로 세 원 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}], [eqn: C_{3}]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: a], [eqn: a r], [eqn: a r^{2}]이라고 하자.

원 [eqn: C_{1}]의 중심과 원 [eqn: C_{3}]의 중심 사이의 거리는 [eqn: rm 12]이므로 [eqn: a+2ar+ar ^{2} =12]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉠

이다.

세 원 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}], [eqn: C_{3}]의 중심을 각각 [eqn: rm O_{1}], [eqn: rm O_{2}], [eqn: rm O_{3}]라 하자.

점 [eqn: {rm{O}} it _{3}]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it],

점 [eqn: {rm{O}} it _{1}]에서 선분 [eqn: {rm{O}} it _{3} {rm{H}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{G}} it]라고 하면 [eqn: angle {rm{O}} it _{3} {rm{O}} it _{1} {rm{G}} it =30 DEG]이므로 [eqn: overline{{rm{O}} it _{1} {rm{O}} it _{3}}=2 overline{{rm{O}} it _{3} {rm{G}} it }]이다.

따라서

[eqn: a LEFT ( 1+2r+r ^{2} RIGHT ) =2a LEFT ( r ^{2} -1 RIGHT )]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉡

이다.

㉡에서 [eqn: r=3]이고 이것을 ㉠에 대입하면 [eqn: a={3} over {4}]이다.

따라서 세 원의 넓이의 합은

[eqn: left({3} over {4} right)^{2} pi+ left({9} over {4} right)^{2} pi+ left({27} over {4} right)^{2} pi={819} over {16} pi]

이다. 그러므로 [eqn: p+q=835]이다.

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 03월 28

두 함수 [eqn: f(x)=k(x-1)], [eqn: g(x)=2 x^{2}-3 x+1]에 대하여 함수	[eqn: h(x)=cases{f(x) && (f(x) geq g(x)) #g(x) && (f(x)<g(x))}]

[정답] [eqn: 8]

[해설]

함수 [eqn: g(x)=2 x^{2}-3 x+1=(x-1)(2 x-1)]이므로 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프의 교점의 좌표는 [eqn: (1,``0)]이다.

조건 (가)에서 [eqn: h(2)], [eqn: h(3)], [eqn: h(4)]가 이 순서대로 등차수열을 이루려면 좌표평면 위의 세 점 [eqn: (2,`` h(2))], [eqn: (3,`` h(3))], [eqn: (4,`` h(4))] 는 직선 [eqn: y=f(x)] 위의 점이다.

[eqn: h(2)=f(2)=k]

[eqn: h(3)=f(3)=2 k]

[eqn: h(4)=f(4)=3 k]

조건 (나)에서 [eqn: h(3)], [eqn: h(4)], [eqn: h(5)]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: h(3)=2 k], [eqn: h(4)=3 k]이므로 이 등비수열의 공비는 [eqn: {3} over {2}]이다. 따라서 [eqn: h(5)={9} over {2} k]이다.

이때 [eqn: f(5)=4 k]이고, [eqn: k neq 0]이므로 [eqn: f(5)]는 [eqn: h(5)]의 값이 될 수 없다.

따라서 [eqn: h(5)=g(5)]에서 [eqn: {9} over {2} k=36]이므로 [eqn: k=8]

가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

(가) 세 수 [eqn: h(2)], [eqn: h(3)], [eqn: h(4)]는 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

(나) 세 수 [eqn: h(3)], [eqn: h(4)], [eqn: h(5)]는 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

03 수1	09 등비수열
01 등비수열의 일반항
08 중항4 (등비수열을 이루는 수)

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 25

모래시계 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C``]에 들어 있는 모래의 양은 각각 [eqn: 3^{a}], [eqn: 9^{b}], [eqn: 27^{c}]이고 매 초당 모래가 위에서 아래로 일정하게 떨어지는 양은 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c``]이다. [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c``]는 이 순서대로 등비수열을 이루고, [eqn: 3^{a}], [eqn: 9^{b}], [eqn: 27 ^{c} ``]도 이 순서대로 등비수열을 이루며, 두 수열의 공비는 같다. 모래시계 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C``]로 잴 수 있는 시간(초)을 각각 [eqn: t_{A}], [eqn: t_{B}], [eqn: t _{C} ```]라 할 때, [eqn: t _{A} +t _{B} +t _{C} ```]의 값을 구하시오. (단, 모래가 다 떨어진 후 뒤집지 않는다.)

[정답] [eqn: 27]

[해설]

수열 [eqn: a,`b,`c]의 공비를 [eqn: r``]이라고 하면 [eqn: b=ar`,``c=ar ^{2} ``]

그러므로  [eqn: 3 ^{a} `,`9 ^{b} ``,`27 ^{c} ``]은 [eqn: 3 ^{a} `,``9 ^{ar} `,``27 ^{ar ^{2}} ``]이고 두 수열의 공비가 같으므로 [eqn: {9 ^{ar}} over {3 ^{a}} = {27 ^{ar ^{2}}} over {9 ^{ar}} =r``]

즉, [eqn: 3 ^{2ar-a} =3 ^{3ar ^{2} -2ar} `=r][eqn: CDOTS ㉠]

[eqn: 2ar-a=3ar ^{2} -2ar``]

[eqn: a(3r ^{2} -4r+1)=0]

[eqn: THEREFORE ``````r= {1} over {3} ``][eqn: ( BECAUSE ``a>0`,``r != 1``)][eqn: CDOTS `㉡]

[eqn: ㉡]을 [eqn: ㉠`]에 대입하면 [eqn: a=3``]

[eqn: t _{A} = {3 ^{3}} over {3} =9`,``t _{B} `= {9 ^{1}} over {1} =9`,``t _{c} `= {27 ^{{1} over {3}}} over {{1} over {3}} =9]

[eqn: THEREFORE ``][eqn: t _{A} +t _{B} +t _{C} =27]

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 07월 25

모래시계 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]에 들어 있는 모래의 양은 각각 [eqn: 3^{a}], [eqn: 9^{b}], [eqn: 27^{c}]이고 매 초당 모래가 위에서 아래로 일정하게 떨어지는 양은 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]이다. [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 이 순서대로 등비수열을 이루고, [eqn: 3^{a}], [eqn: 9^{b}], [eqn: 27^{c}]도 이 순서대로 등비수열을 이루며, 두 수열의 공비는 같다. 모래시계 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]로 잴 수 있는 시간(초)을 각각 [eqn: t_{A}], [eqn: t_{B}], [eqn: t_{C}]라 할 때, [eqn: t_{A}+t_{B}+t_{C}]의 값을 구하시오. (단, 모래가 다 떨어진 후 뒤집지 않는다.)

[정답] [eqn: 27]

[해설]

수열 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 공비를 [eqn: r]이라고 하면

[eqn: b=a r], [eqn: c=a r^2]

그러므로 [eqn: 3^a], [eqn: 9^b], [eqn: 27^c]은 [eqn: 3^a], [eqn: 9^{a r}], [eqn: 27^{a r^2}]이고

두 수열의 공비가 같으므로

[eqn: {9^{a r}} over {3^a}={27^{a r^2}} over {9^{a r}}=r],[eqn: 3^{2 a r-a}=3^{3 a r^2 - 2 a r}=r][eqn: CDOTSCDOTS] ㉠

[eqn: &2 a r-a=3 a r^2 - 2 a r]

[eqn: a left(3 r^2 - 4 r+1 right)=0]

[eqn: therefore~ r={1} over {3}~( because a>0,`` r neq 1)][eqn: CDOTSCDOTS]㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 [eqn: a=3]

[eqn: t _{A}= {3^{3}} over {3} =9,~t _{B}= {9 ^{1}} over {1} =9,~t_C = {27^{{1} over {3}}} over {{1} over {3}}=9],

[eqn: THEREFORE ~ t _{A} +t _{B} +t _{C} =27]

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 04월 29

서로 다른 세 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 다음 세 조건을 모두 만족시킬 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

[정답] ①

[해설]

(다)에서 [eqn: log _{6} a b c=3]이므로 [eqn: abc=6 ^{3} ~ CDOTS CDOTS]㉠이다.

(가)에서 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 등비수열을 이루므로 [eqn: b^{2}=a c ~ cdots cdots]㉡이다.

그러므로 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면, [eqn: b=6~ CDOTS CDOTS]㉢이다.

이때, ㉢을 ㉡에 대입하여 풀면, [eqn: a c=6^{2}]이다.

그러므로 (나)로부터 [eqn: 6-a=1], [eqn: 4]이므로 [eqn: a=5], [eqn: 2]이다.

한편, [eqn: a c=6^{2}]에서 [eqn: a]는 [eqn: 6^{2}]의 약수이므로 [eqn: a=2]뿐이다.

그러므로 [eqn: a=2]를 [eqn: a c=6^{2}]에 대입하면 [eqn: b=6], [eqn: c=18]이다.

따라서, [eqn: a+b+c=26]이다.

(가) [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

(나) [eqn: b-a=n^{2}](단, [eqn: n]은 자연수이다.)

(다) [eqn: log _{6} a+ log _{6} b+ log _{6} c=3]

① [eqn: rm 26]	② [eqn: rm 28]	③ [eqn: rm 30]

④ [eqn: rm 32]	⑤ [eqn: rm 34]

03 수1	09 등비수열
03 등비수열의 추론과 활용
02 추론2 (정수론)

[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 09월 21

두 자연수 [eqn: m]과 [eqn: n]의 최대공약수를 [eqn: p],

[정답] [eqn: 25]

[해설]

[eqn: e f=12^{2}=144=3^{2} times 4^{2}]

[eqn: b=3], [eqn: c=4]

[eqn: a]는 [eqn: rm 3]의 배수이고, [eqn: b=3]이므로 [eqn: e]는 [eqn: 3^{2}]의 배수이다.

[eqn: d]는 [eqn: rm 4]의 배수이고, [eqn: c=4]이므로 [eqn: f]는 [eqn: 4^{2}]의 배수이다.

그런데 [eqn: e f=3^{2} times 4^{2}]이므로 [eqn: e=3^{2}], [eqn: f=4^{2}]

이므로 [eqn: e+f=9+16=25]

최소공배수를 [eqn: q]라 할 때, 이런 관계를

[그림 1]

만족시키는 수를 [그림 1]과 같이

나타내기로 하자.

[그림 2]는 [그림 1]의 관계를 만족시키도록

수를 연결하여 나타낸 것이다. 세 자연수 [eqn: e], [eqn: 12], [eqn: f]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때,

[eqn: e+f]의 값을 구하시오.

[그림 2]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 10월 30

두 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}], [eqn: left{ b_{n} it right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 11]

[해설]

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 일반항은 [eqn: a_{n}=6+(n-1) p]

수열 [eqn: left{ b_{n} it right}]의 일반항은 [eqn: b_{n}=6 p^{n-1}]

수열 [eqn: left{ b_{n} it right}]의 모든 항이 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 항이 되려면 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 6 p^{n-1}=6+p(m-1)]인 자연수 [eqn: m]이 존재한다.

[eqn: p(m-1)=6 p^{n-1}-6]

[eqn: m-1={6 p^{n-1}-6} over {p}=6 p^{n-2}-{6} over {p}]

[eqn: {6} over {p}=6 p^{n-2}-m+1]

[eqn: p^{n-2}(n geq 2)]과 [eqn: m]은 모두 자연수이므로 [eqn: {6} over {p}]도 자연수이다. 따라서 [eqn: p]는 [eqn: rm 6]의 약수이다.

[eqn: therefore~p=2], [eqn: 3], [eqn: 6( because p>1)]

그러므로 모든 자연수 [eqn: p]의 합은 [eqn: 2+3+6=11]이다.

[다른 풀이]

[eqn: a_{m}=b_{2}]인 자연수 [eqn: m]이 존재하므로

[eqn: 6+(m-1) p=6 p]에서

[eqn: m-1={6(p-1)} over {p}=6-{6} over {p}]

[eqn: {6} over {p}]이 자연수이어야 하므로 [eqn: p]는 [eqn: rm 6]의 약수이다.

(i) [eqn: p=2]일 때
[eqn: a_{m}=4+2 m], [eqn: ~ b_{n}=6 cdot 2^{n-1}]

(ii) [eqn: p=3]일 때
[eqn: a_{m}=3+3 m], [eqn: ~ b_{n}=6 cdot 3^{n-1}]

(iii) [eqn: p=6]일 때
[eqn: a_{m}=6 m], [eqn: b_{n}=6^{n}]

(i), (ii), (iii)의 모든 경우 임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: b_{n}=a_{m}]을 만족시키는 [eqn: m]이 존재하므로 수열 [eqn: left{ b_{n} it right}]의 모든 항은 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 항이 된다. [eqn: therefore~p=2], [eqn: 3], [eqn: 6]이고 모든 자연수 [eqn: p]의 합은 [eqn: rm 11]이다.

(가) [eqn: a_{1}=b_{1}=6]

(나) 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]은 공차가 [eqn: p]인 등차수열이고, 수열 [eqn: left{ b_{n} it right}]은 공비가 [eqn: p]인 등비수열이다.

수열 [eqn: left{ b_{n} it right}]의 모든 항이 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 항이 되도록 하는 [eqn: rm 1]보다 큰 모든 자연수 [eqn: p]의 합을 구하시오.

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 06월 28

[eqn: 10 `]보다 크고 [eqn: 100 `]보다 작은 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n `]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: m+n `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold80`]

[해설]

조건 (나)에서 [eqn: n ^{2} =16 ^{2} m`], [eqn: m=` LEFT ( {n} over {16} RIGHT ) ^{2} `]이고

[eqn: m`]은 자연수이므로 [eqn: n`]은 [eqn: 16`]의 배수이어야 한다.

그리고 [eqn: 10`]보다 크고 [eqn: 100`]보다 작은 [eqn: 16`]의 배수는

[eqn: 16,`32,`48,`64,`80,`96`]이므로 [eqn: n`]은 이들 값 중에서 선택할 수 있다. 조건 (가)로부터

[eqn: log _{`m} `n`= {q} over {p} `] (단, [eqn: p,`q`]는 서로소인 자연수)

라 둘 수 있고, 로그의 정의로부터 [eqn: n=m ^{{q} over {p}} `]로 나타낼 수 있다. 식을 변형하면 [eqn: n ^{p} =m ^{q} `]이고 [eqn: m`], [eqn: n`]은 자연수이므로 [eqn: m=c` ^{p} `], [eqn: n=c` ^{q} `](단, [eqn: c`]는 자연수)로 둘 수 있다.

[eqn: n`]은 [eqn: 16,`32,`48,`64,`80,`96`] 값들 중 [eqn: c ^{`q} `]꼴로 표현할 수

있는 값이므로 [eqn: 16,`32,`64`] 세 수뿐이다.

그러므로 [eqn: n`=`16,`32,`64`]이고 각각에 대하여

[eqn: m=` LEFT ( {n} over {16} RIGHT ) ^{2} `]에서 [eqn: m`]을 구하면 [eqn: m`=1,`4,`16`] 이다.

조건에서 [eqn: m`], [eqn: n`]이 [eqn: 10`]보다 크고 [eqn: 100`]보다

작은 자연수이므로 [eqn: n=64`], [eqn: m`=16`]이다.

따라서 [eqn: m+n`=80`]이다.

(가) [eqn: log` _{ m} `n `]은 유리수이다.

(나) 세 수 [eqn: m], [eqn: n], [eqn: 256 `]은 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고1 11월 29

[eqn: r>1]인 실수 [eqn: r]에 대하여 전체집합

[정답] [eqn: 9]

[해설]

[eqn: U= left{ r^{k} `|` k right.]는 [eqn: rm 102]이하의 자연수[eqn: it right}]의 부분집합 [eqn: A]의 원소들은 모두 [eqn: r]의 거듭제곱으로 표현된다.

(가)에 의해 [eqn: r in A]

(나)에 의해 집합 [eqn: A]의 원소들을 작은 수부터

차례대로 배열한 수열은 등비수열이고 [eqn: r>1]이므로

첫째항은 [eqn: r]이다.

공비를 [eqn: r^{a}(a]는 자연수[eqn: )]라 하면

일반항은 [eqn: r left(r^{a} right)^{n-1}(n geq 2)]이다.

[eqn: r^{31} in A], [eqn: r^{100} in A]이므로 두 자연수 [eqn: n_{1}], [eqn: n_{2}]에 대하여

[eqn: r left(r^{a} right)^{n_{1}-1}=r^{31}], [eqn: r left(r^{a} right)^{n_{2}-1}=r^{100}]

[eqn: r^{a left(n_{1}-1 right)}=r^{30}], [eqn: r^{a left(n_{2}-1 right)}=r^{99}]

따라서 [eqn: a]는 [eqn: rm 30]과 [eqn: rm 99]의 공약수이므로 [eqn: a=1]또는 [eqn: a=3]

(다)에 의해 [eqn: A]는 전체집합 [eqn: U]의 진부분집합이므로 [eqn: a=3]이고,

일반항은 [eqn: r left(r^{3} right)^{n-1}=r^{3 n-2}]

전체집합 [eqn: U]의 원소들의 합은

첫째항이 [eqn: r], 공비가 [eqn: r]인 등비수열의 제 [eqn: rm 102]항까지의

합과 같으므로 [eqn: {r left(r^{102}-1 right)} over {r-1}]이다.

집합 [eqn: A]의 원소의 개수를 [eqn: n]이라 하면

[eqn: 3 n-2 leq 102], [eqn: n leq 34]

집합 [eqn: A]의 원소들의 합은 첫째항이 [eqn: r], 공비가 [eqn: r^{3}]인 등비수열의 제 [eqn: rm 34]항까지의 합과 같으므로 [eqn: {r left{ left(r^{3} right)^{34}-1 it right} } over {r^{3}-1}]이다.

[eqn: {r left(r^{102}-1 right)} over {r-1}=91 times {r left(r^{102}-1 right)} over {r^{3}-1}]

[eqn: =91 times {r left(r^{102}-1 right)} over {r-1} times {1} over {r^{2}+r+1}]

[eqn: r^{2}+r+1=91]

[eqn: r^{2}+r-90=(r+10)(r-9)=0]

[eqn: therefore~r=-10]또는 [eqn: r=9]

따라서 [eqn: r=9]

[eqn: U= left{ r^{k} LEFT | k RIGHT .]는 [eqn: 102] 이하의 자연수[eqn: it right}]

의 부분집합 [eqn: A]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: left{ r], [eqn: r^{31}], [eqn: r^{100} it right} subset A]

(나) 집합 [eqn: A]의 원소들을 작은 수부터 차례대로 배열한 수열은 등비수열이다.

(다) 전체집합 [eqn: U]의 모든 원소들의 합은 집합 [eqn: A]의 모든 원소들의 합의 [eqn: rm 91]배이다.

실수 [eqn: r]의 값을 구하시오.

03 수1	09 등비수열
03 등비수열의 추론과 활용
03 활용1 (도형과 함수)

[출처]	2010 모의_공공 사관학교 고3 07월 8

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 지수함수 [eqn: y=a^{x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동시킨 것이다. 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]은 첫째항이 [eqn: rm 2], 공비가 [eqn: rm 3]인 등비수열이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: left(n,`` a_{n} right)]은 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의 점일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

지수함수 [eqn: y=a^{x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동시킨 함수식은

[eqn: y=a^{x-b}]	[eqn: CDOTSCDOTS]㉠

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]은 첫째항이 [eqn: rm 2], 공비가 [eqn: rm 3]인 등비수열이므로 [eqn: a_{n}=2 times 3^{n-1}]

[eqn: left(n,`` a_{n} right)]점이 ㉠식 위의 점이므로 함수식을 만족한다.

즉, [eqn: a^{n-b}=2 times 3^{n-1}]이 성립한다.

이때 [eqn: a=3]이어야 한다.	[eqn: CDOTSCDOTS]㉡

대입하면, [eqn: 3^{n-b}=2 times 3^{n-1}]에서

좌우변에 [eqn: 3^{n-1}]을 나누면 [eqn: 3^{-b+1}=2]

이 성립하고 로그의 정의에 의해서 [eqn: -b+1= log _{3} 2]

[eqn: therefore~b=1- log _{3} 2 ~]	[eqn: CDOTSCDOTS]㉢

㉡, ㉢ 에서

[eqn: a+b=4- log _{3} 2]

① [eqn: - log _{3} 2]	② [eqn: 1- log _{3} 2]	③ [eqn: 2- log _{3} 2]

④ [eqn: 3- log _{3} 2]	⑤ [eqn: 4- log _{3} 2]

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고2 06월 12

한 변의 길이가 [eqn: rm 1]인 정삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]의 세 변 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}], [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}], [eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{A}} it _{1}]의 중점을 각각 [eqn: {rm{P}} it _{1}], [eqn: {rm{Q}} it _{1}], [eqn: {rm{R}} it _{1}]이라 하고, 세 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{P}} it _{1} {rm{R}} it _{1}], [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{Q}} it _{1} {rm{P}} it _{1}], [eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{R}} it _{1} {rm{Q}} it _{1}]의 무게중심을 각각 [eqn: {rm{A}} it _{2}], [eqn: {rm{B}} it _{2}], [eqn: {rm{C}} it _{2}]라 하자. 또, 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2}]의 세 변 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2}], [eqn: {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2}], [eqn: {rm{C}} it _{2} {rm{A}} it _{2}]의 중점을 각각 [eqn: {rm{P}} it _{2}], [eqn: {rm{Q}} it _{2}], [eqn: {rm{R}} it _{2}]라 하고, 세 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{P}} it _{2} {rm{R}} it _{2}], [eqn: {rm{B}} it _{2} {rm{Q}} it _{2} {rm{P}} it _{2}], [eqn: {rm{C}} it _{2} {rm{R}} it _{2} {rm{Q}} it _{2}]의 무게 중심을 각각 [eqn: {rm{A}} it _{3}], [eqn: {rm{B}} it _{3}], [eqn: {rm{C}} it _{3}]이라 하자.

[정답] ③

[해설]

[eqn: l_{1}=3]이다.

두 점 [eqn: {rm{B}} it _{2}], [eqn: {rm{C}} it _{2}]에서 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm{X}} it _{1}], [eqn: {rm{Y}} it _{1}]이라 하자. 삼각형 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{Q}} it _{1} {rm{P}} it _{1}]과 삼각형 [eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{R}} it _{1} {rm{Q}} it _{1}]은 합동인 정삼각형이고 점 [eqn: {rm{B}} it _{2}]는 삼각형 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{Q}} it _{1} {rm{P}} it _{1}]의 무게중심, 점 [eqn: {rm{C}} it _{2}]는 삼각형 [eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{R}} it _{1} {rm{Q}} it _{1}]의 무게 중심, 점 [eqn: {rm{Q}} it _{1}]은 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]의 중점이므로

[eqn: overline{{rm{B}} it _{1} {rm{X}} it _{1}}= overline{{rm{X}} it _{1} {rm{Q}} it _{1}}= overline{{rm{Q}} it _{1} {rm{Y}} it _{1}}= overline{{rm{Y}} it _{1} {rm{C}} it _{1}}]

[eqn: overline{{rm{B}} it _{2} {rm{X}} it _{1}}= overline{{rm{C}} it _{2} {rm{Y}} it _{1}}]

[eqn: therefore~ overline{{rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2}}= overline{{rm{X}} it _{1} {rm{Y}} it _{1}}={1} over {2} overline{{rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}}={1} over {2}]

같은 방법으로 두 선분 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2}], [eqn: {rm{C}} it _{2} {rm{A}} it _{2}]의 길이를 각각 구하면

[eqn: overline{{rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2}}= overline{{rm{C}} it _{2} {rm{A}} it _{2}}={1} over {2}]

따라서 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2}]는 한 변의 길이가 [eqn: {1} over {2}]인 정삼각형이다.

[eqn: therefore~l_{2}={3} over {2}]

이와 같은 과정을 계속하면 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{n+1} {rm{B}} it _{n+1} {rm{C}} it _{n+1}]의 둘레의 길이는 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{n} {rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n}]의 둘레의 길이의 [eqn: {1} over {2}]이므로 수열 [eqn: left{ l_{n} it right}]은 첫째항이 [eqn: rm 3]이고 공비가 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열이다.

[eqn: therefore~ sum_{n=1}^{8} l_{n}={3 left(1-{1} over {2^{8}} right)} over {1-{1} over {9}}={765} over {128}]

		[eqn: cdots]

이와 같은 과정을 계속하여 삼각형을 그려나갈 때, 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{n} {rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n}]의 둘레의 길이를 [eqn: l_{n}]이라 하자. [eqn: sum_{n=1}^{8} l_{n}]의 값은?

① [eqn: {705} over {128}]	② [eqn: {735} over {128}]	③ [eqn: {765} over {128}]

④ [eqn: {795} over {128}]	⑤ [eqn: {825} over {128}]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 11월 21

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=2 ^{x}`]과 [eqn: y=a^{x}][eqn: LEFT ( a>2 RIGHT )`]에 대하여 [eqn: y`]축 위의 점 [eqn: rm C`]를 지나고 [eqn: x`]축과 평행한 직선이 두 곡선과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B`]라 하자.
자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: rm barCB `:`rm barBA =1`:`itn `]을 만족시키는 [eqn: a`]의 값을 [eqn: f LEFT (n RIGHT )`]이라 할 때, [eqn: f LEFT (1 RIGHT ) TIMES f LEFT (2 RIGHT ) TIMES f LEFT (3 RIGHT ) times `CDOTS` TIMES f LEFT (10 RIGHT )=2 ^{m}`]이다. [eqn: m`]의 값은?
(단, 점 [eqn: rm C`]의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: 1`]보다 크다.)

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: rm C]의 좌표를 [eqn: LEFT ( 0,``t RIGHT )]로 놓으면 점 [eqn: rm][eqn: rm A]의 좌표는
[eqn: LEFT (` log `_{2}` t,``t `RIGHT )]이고, 점 [eqn: rm][eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: LEFT (` log ` _{a}` t,``t `RIGHT )]이다.

[eqn: rm bar{CB} `: rm bar{BA} `=1: it n]이므로

[eqn: rm bar{BA} `= it n TIMES rm bar{CB}]

[eqn: log` _{2}` t-log` _{a}` t=n TIMES log `_{a}`t]

[eqn: LEFT ( n+1 RIGHT )` log ` _{a}` t=log `_{2}` t]

[eqn: n+1= {log ` _{2}` t} over {log` _{a} `t} = { log `t} over {log `2 } times {log`a } over {log`t } = log` _{2}` a]

그러므로 [eqn: a=f(n)=2 ^{n+1}]

[eqn: THEREFORE][eqn: f(1) TIMES f(2) TIMES f(3) times ` CDOTS` TIMES f(10)]

[eqn: =2 ^{2+3+ 4 + `CDOTS` +11}][eqn: =2 ^{{10 times (2+11)} over {2}} =2 ^{65}]

따라서 [eqn: m=65]

① [eqn: 65]	② [eqn: 67]	③ [eqn: 69]

④ [eqn: 71]	⑤ [eqn: 73]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 04월

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 모양의 종이 [eqn: rmABCD]에서 각 변의 중점을 각각 [eqn: rm A _{1} ,``B _{1} ,][eqn: rm C _{1} ,``D _{1}]이라 하고 [eqn: rm bar{A _{1} B _{1}} ,][eqn: rm bar{B _{1} C _{1}} ,][eqn: rm bar{C _{1} D _{1}} ,][eqn: rm bar{D _{1} A _{1}}]을 접는 선으로 하여 네 점 [eqn: rm A,``B,``C,``D]가 한 점에서 만나도록 접은 모양을 [eqn: S _{1}]이라 하자. [eqn: S _{1}]에서 정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]의 각 변의 중점을 각각 [eqn: rm A _{2} ,``B _{2} ,][eqn: rm C _{2} ,``D _{2}]라 하고 [eqn: rm bar{A _{2} B _{2}} ,][eqn: rm bar{B _{2} C _{2}} ,][eqn: rm bar{C _{2} D _{2}} ,][eqn: rm bar{D _{2} A _{2}}]를 접는 선으로 하여 네 점 [eqn: rm A _{1} ,``B _{1} ,``C _{1} ,``D _{1}]이 한 점에서 만나도록 접은 모양을 [eqn: S _{2}]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 모양을 [eqn: S _{n}]이라 하고, [eqn: S _{n}]을 정사각형 모양의 종이 [eqn: rmABCD]와 같도록 펼쳤을 때 접힌 모든 선들의 길이의 합을 [eqn: l _{n}]이라 하자. 예를 들어 [eqn: l _{1} =4 sqrt {2}]이다. [eqn: l _{5}]의 값은?
(단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)

[정답] ①

[해설]

종이 [eqn: rmABCD]를 접는 선은 한 변의 길이가 [eqn: sqrt {2}]인 정사각형이므로 [eqn: S _{1}]을 펼친 그림에서 접힌 모든 선들의 길이의 합은 [eqn: 4 sqrt {2}]이다. [eqn: S _{1}]을 접는 선은 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형이고 종이가 [eqn: 2]겹이므로 [eqn: S _{2}]를 펼친 그림에서 새로 접힌 모든 선들의 길이의 합은 [eqn: 8]이다. [eqn: S _{2}]를 접는 선은 한 변의 길이가 [eqn: {1} over {sqrt {2}}]인 정사각형이고 종이가 [eqn: 4]겹이므로 [eqn: S _{3}]을 펼친 그림에서 새로 접힌 모든 선들의 길이의 합은 [eqn: 8 sqrt {2}]이다. [eqn: S _{n}]을 펼친 그림에서 새로 접힌 모든 선들의 길이의 합을 [eqn: a _{n}]
[eqn: (n=1,``2,``3,`` CDOTS )]이라 하면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 4 sqrt {2}]이고 공비가 [eqn: sqrt {2}]인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE l _{5} = {4 sqrt {2} times LEFT { ( sqrt {2} ) ^{5} -1 RIGHT }} over {sqrt {2} -1} =24+28 sqrt {2}]

① [eqn: 24+28 sqrt {2}]	② [eqn: 28+28 sqrt {2}]	③ [eqn: 28+32 sqrt {2}]

④ [eqn: 32+32 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 36+32 sqrt {2}]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 09월 29

한 변의 길이가 [eqn: rm 66]인 정삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 있다. 그림과 같이 세 선분 [eqn: {rm{AB}} it], [eqn: {rm{AC}} it], [eqn: {rm{CB}} it]를 [eqn: 5: 1]로 내분하는 점을 각각 [eqn: {rm{P}} it _{1}], [eqn: {rm{Q}} it _{1}], [eqn: {rm{R}} it _{1}]이라 하고, 세 선분 [eqn: {rm{AP}} it _{1}], [eqn: {rm{AQ}} it _{1}], [eqn: {rm{CR}} it _{1}]을 [eqn: 5: 1]로 내분하는 점을 각각 [eqn: {rm{P}} it _{2}], [eqn: {rm{Q}} it _{2}], [eqn: {rm{R}} it _{2}]라 하고, 세 선분 [eqn: {rm{AP}} it _{2}], [eqn: {rm{AQ}} it _{2}], [eqn: {rm{CR}} it _{2}]를 [eqn: 5: 1]로 내분하는 점을 각각 [eqn: {rm{P}} it _{3}], [eqn: {rm{Q}} it _{3}], [eqn: {rm{R}} it _{3}]이라 하자.

[정답] [eqn: 22]

[해설]

[eqn: overline{{rm{A}} it _{n} {rm{B}} it _{n}}=a_{n}], [eqn: overline{{rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n}}=b_{n}], [eqn: overline{{rm{C}} it _{n} {rm{D}} it _{n}}=c_{n}],

[eqn: overline{{rm{D}} it _{n} {rm{E}} it _{n}}=d_{n}], [eqn: overline{{rm{E}} it _{n} {rm{F}} it _{n}}=e_{n}]이라 하면,

[eqn: b_{n}={5} over {6} a_{n}], [eqn: c_{n}={5} over {6} b_{n}= left({5} over {6} right)^{2} a_{n}]

[eqn: d_{n}={5} over {6} c_{n}= left({5} over {6} right)^{3} a_{n}], [eqn: e_{n}={5} over {6} d_{n}= left({5} over {6} right)^{4} a_{n}]

한편, [eqn: a_{n+1}={5} over {6} a_{n}], [eqn: a_{1}= overline{{rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}}=66 times {1} over {6} times left({5} over {6} right)^{2}]

[eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}}+ overline{{rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2}}+ overline{{rm{C}} it _{3} {rm{D}} it _{3}}+ overline{{rm{D}} it _{4} {rm{E}} it _{4}}+ overline{{rm{E}} it _{5} {rm{F}} it _{5}}]

[eqn: =a_{1}+b_{2}+c_{3}+d_{4}+e_{5}]

[eqn: =a_{1}+{5} over {6} a_{2}+ left({5} over {6} right)^{2} a_{3}+ left({5} over {6} right)^{3} a_{4}+ left({5} over {6} right)^{4} a_{5}]

[eqn: =a_{1}+ left({5} over {6} right)^{2} a_{1}+ left({5} over {6} right)^{4} a_{1}+ left({5} over {6} right)^{6} a_{1}+ left({5} over {6} right)^{8} a_{1}]

[eqn: ={a_{1} left{ 1- left({5} over {6} right)^{10} it right} } over {1- left({5} over {6} right)^{2}}=25 left{ 1- left({5} over {6} right)^{10} it right} =25-{5^{12}} over {6^{10}}]

[eqn: a=10], [eqn: b=12]

따라서 [eqn: a+b=22]

이와 같은 방법으로 세 선분 [eqn: {rm{AP}} it _{k-1}], [eqn: {rm{AQ}} it _{k-1}], [eqn: {rm{CR}} it _{k-1}]을 [eqn: 5: 1]로 내분하는 점을 각각 [eqn: {rm{P}} it _{k}], [eqn: {rm{Q}} it _{k}], [eqn: {rm{R}} it _{k}(k=4,``5,``6,`` cdots)]라 하자.

자연수 [eqn: n]에 대하여 선분 [eqn: {rm{AR}} it _{1}]과 선분 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{Q}} it _{n}]의 교점을 [eqn: {rm{A}} it _{n}], 선분 [eqn: {rm{AR}} it _{2}]와 선분 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{Q}} it _{n}]의 교점을 [eqn: {rm{B}} it _{n}], 선분 [eqn: {rm{AR}} it _{3}]과 선분 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{Q}} it _{n}]의 교점을 [eqn: {rm{C}} it _{n}], 선분 [eqn: {rm{AR}} it _{4}]와 선분 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{Q}} it _{n}]의 교점을 [eqn: {rm{D}} it _{n}], 선분 [eqn: {rm{AR}} it _{5}]와 선분 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{Q}} it _{n}]의 교점을 [eqn: {rm{E}} it _{n}], 선분 [eqn: {rm{AR}} it _{6}]과 선분 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{Q}} it _{n}]의 교점을 [eqn: {rm{F}} it _{n}]이라 하자.

[eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}}+ overline{{rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2}}+ overline{{rm{C}} it _{3} {rm{D}} it _{3}}+ overline{{rm{D}} it _{4} {rm{E}} it _{4}}+ overline{{rm{E}} it _{5} {rm{F}} it _{5}}=25-{5^{b}} over {6^{a}}]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 자연수이다.)

03 수1	09 등비수열
03 등비수열의 추론과 활용
04 활용2 (실생활)

[출처]	2006 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 14

다음은 어느 회사의 연봉에 관한 규정이다.

[정답] ④

[해설]

입사 첫째 해부터 [eqn: rm 19]년째까지 받은 금액 [eqn: a+a times 1.08+a times 1.08^{2}+ cdots+a times 1.08^{17}+a times 1.08^{18}]

[eqn: rm 20]년째부터 [eqn: rm 28]년째까지 [eqn: rm 9]년간 받은 금액 [eqn: a times 1.08^{18} times {2} over {3} times 9]

[eqn: therefore~](연봉의 총합)

[eqn: =a+a times 1.08+a times 1.08^{2}+ cdots+a times 1.08^{17}]

[eqn: +a times 1.08^{18}+a times 1.08^{18} times {2} over {3} times 9]

[eqn: ={a left(1.08^{18}-1 right)} over {1.08-1}+a times 1.08^{18}+6 a times 1.08^{18}]

[eqn: ={131} over {2} a]

(가) 입사 첫째 해 연봉은 [eqn: a]원이고, 입사 [eqn: rm 19]년째 해까지의 연봉은 해마다 직전 연봉에서 [eqn: 8 %]씩 인상된다.

(나) 입사 [eqn: rm 20]년째 해부터의 연봉은 입사 [eqn: rm 19]년째 해 연봉의 [eqn: {2} over {3}]로 한다.

이 회사에 입사한 사람이 [eqn: rm 28]년 동안 근무하여 받는 연봉의 총합은? (단, [eqn: 1.08^{18}=4]로 계산한다.)

① [eqn: {101} over {2} a]	② [eqn: {111} over {2} a]	③ [eqn: {121} over {2} a]

④ [eqn: {131} over {2} a]	⑤ [eqn: {141} over {2} a]

[출처]	2006 모의_공공 평가원 고3 06월 14

다음은 어느 회사의 연봉에 관한 규정이다.

[정답] ④

[해설]

입사 첫째 해부터 [eqn: rm 19]년째까지 받은 금액 [eqn: a+a times 1.08+a times 1.08^{2}+ cdots+a times 1.08^{17}+a times 1.08^{18}]

[eqn: rm 20]년째부터 [eqn: rm 28]년째까지 [eqn: rm 9]년간 받은 금액

[eqn: a times 1.08^{18} times {2} over {3} times 9]

[eqn: therefore~](연봉의 총합)

[eqn: =][eqn: a+a times 1.08+a times 1.08^{2}+ cdots+a times 1.08^{17}]
[eqn: +a times 1.08^{18}+a times 1.08^{18} times {2} over {3} times 9]
[eqn: = {a left(1.08^{18}-1 right)} over {1.08-1}+a times 1.08^{18}+6 a times 1.08^{18}]
[eqn: = {131} over {2} a]

(가) 입사 첫째 해 연봉은 [eqn: a]원이고, 입사 [eqn: rm 19]년째 해까지의 연봉은 해마다 직전 연봉에서 [eqn: 8 %]씩 인상된다.

(나) 입사 [eqn: rm 20]년째 해부터의 연봉은 입사 [eqn: rm 19]년째 해 연봉의 [eqn: {2} over {3}]로 한다.

이 회사에 입사한 사람이 [eqn: rm 28]년 동안 근무하여 받는 연봉의 총합은? (단, [eqn: 1.08^{18}=4]로 계산한다.)

① [eqn: {101} over {2} a]	② [eqn: {111} over {2} a]	③ [eqn: {121} over {2} a]

④ [eqn: {131} over {2} a]	⑤ [eqn: {141} over {2} a]

03 수1	09 등비수열
03 등비수열의 추론과 활용
05 활용3 (원리합계)

[출처]	2005 모의_공공 경찰대 고3 07월 25

정확히 [eqn: rm 10]년 전([eqn: rm 120]개월 전) [eqn: A]씨는 집을 사면서 집값의 일부를 빌려, [eqn: rm 20]년 간 매달 월이율 [eqn: r](연이율 [eqn: 1200 r %])의 월 복리로 계산하여 돈을 빌린 지 한 달 후부터 매달 일정 금액 [eqn: P]만큼씩 [eqn: rm 240]회로 나누어 원금과 이자를 갚되 중도에 일시 상환할 경우에는 일시 상환 금액의 [eqn: 2 %]를 수수료로 추가 지불하기로 하였다. 그런데 [eqn: A]씨는 오늘 오전 [eqn: rm 120]회째 상환금 [eqn: P]를 납부한 직후 [eqn: B]씨에게 집을 팔면서 다음 달 상환금부터는 [eqn: B]씨가 지불하기로 하고 상환 통장을 [eqn: B]씨에게 넘겨주었다. 한편, [eqn: B]씨는 집을 산 그날 오후 마음이 변하여, 남은 [eqn: rm 10]년 간의 상환액을 일시 상환하고자 한다. [eqn: B]씨가 오늘 수수료와 함께 납부해야할 금액을 [eqn: P]와 [eqn: r]를 이용하여 나타낸 것은?

[정답] ④

[해설]

남아있는 [eqn: rm 120]번의 상환금 총액과 현재 일시불로 갚는 금액 [eqn: A]가 서로 같아야 하므로

[eqn: A(1+r)^{120}={P left{ (1+r)^{120}-1 it right} } over {(1+r)-1}]

[eqn: A={P left{ (1+r)^{120}-1 it right} } over {r(1+r)^{120}}={P} over {r} left{ 1-(1+r)^{-120} it right}]

중도 상환시의 수수료 [eqn: 2 %]를 고려하면 지불총액은

[eqn: 1.02 A={1.02 P} over {r} left{ 1-(1+r)^{-120} it right}]

① [eqn: 1.02 P(1+r) left[(1+r)^{120}-1 right]]

② [eqn: 1.02 P(1+r) left[1-(1+r)^{-120} right]]

③ [eqn: {1.02 P} over {r} left[(1+r)^{120}-1 right]]

④ [eqn: {1.02 P} over {r} left[1-(1+r)^{-120} right]]

⑤ [eqn: {1.02 P} over {1+r} left[(1+r)^{120}-1 right]]

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 04월 14

[eqn: rm 1]월 초에 [eqn: rm 1000]만원을 월이율 [eqn: 0.5 %], [eqn: 1]개월 마다 복리로 계산하는 예금 상품에 가입하고, [eqn: rm 1]월부터 그 해 [eqn: rm 12]월까지 매월 말에 [eqn: rm 50]만원씩 찾았다. 그 해 [eqn: rm 12]월 말에 통장에 남아있는 금액은? (단, [eqn: 1.005^{12}=1.0617]으로 계산한다.)

[정답] ④

[해설]

[eqn: n]월 말에 통장에 남아있는 잔액을 [eqn: a_{n}]이라 하면

[eqn: a_{1}=1000 times 1.005-50]

[eqn: a_{2}=a_{1} times 1.005-50][eqn: =1000 times 1.005^{2}-50(1.005+1)]

[eqn: a_{3}=a_{2} times 1.005-50][eqn: =1000 times 1.005^{3}-50 left(1.005^{2}+1.005+1 right)]

[eqn: ~ ~ vdots]

[eqn: a_{12}=a_{11} times 1.005-50][eqn: =1000 times 1.005^{12}-50 left(1.005^{11}+ cdots+1.005+1 right.)]

[eqn: =444.7]

① [eqn: rm 426]만 [eqn: rm 7000]원	② [eqn: rm 432]만 [eqn: rm 7000]원

③ [eqn: rm 438]만 [eqn: rm 7000]원	④ [eqn: rm 444]만 [eqn: rm 7000]원

⑤ [eqn: rm 450]만 [eqn: rm 7000]원

03 수1	09 등비수열
03 등비수열의 추론과 활용
06 활용4 (상용로그)

[출처]	2004 모의_공공 교육청 고2 09월 19

현주는 이번 달 휴대전화의 사용 요금으로 [eqn: rm 20],[eqn: rm 000]원을 납 부하였다. 매월 사용 요금이 [eqn: 3 %]씩 증가한다고 할 때, [eqn: rm 9]개월 후에 현주가 납부할 휴대전화 사용 요금을 주어진 상용로그 표를 이용하여 구하면?

[정답] ③

[해설]

[eqn: 1]달 후 사용요금은 [eqn: 20000 LEFT ( 1+0.03 RIGHT )]

[eqn: 2]달 후 사용요금은 [eqn: 20000 LEFT ( 1+0.03 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: vdots]

[eqn: 9]달 후 사용요금은 [eqn: 20000 LEFT ( 1+0.03 RIGHT ) ^{9}]

상용로그표에서 비례부분을 이용하여 계산하면

[eqn: log1.03 ^{9} =9log1.03]

[eqn: =0.1152]

[eqn: =log1.304]

[eqn: 1.03 ^{9} =1.304]이므로

[eqn: 20000`times`1.304=26080](원)

① 약 [eqn: rm 25],[eqn: rm 400]원	② 약 [eqn: rm 25],[eqn: rm 560]원	③ 약 [eqn: rm 26],[eqn: rm 080]원

④ 약 [eqn: rm 26],[eqn: rm 400]원	⑤ 약 [eqn: rm 28],[eqn: rm 380]원

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 6

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2021^7^경찰대^중}}]에 대하여

[정답] ②

[해설]

[eqn: a_{1}=2a_{4}]에서 [eqn: a=2ar^{3}]이므로 [eqn: r^{3}={1}over{2}]

[eqn: a_{3}^{ log_{2}3}=27]에서 [eqn: a_{3}=8]이므로 [eqn: a_3 = a r^2]에서 [eqn: a left( 1over 2 right)^{2 over 3 }=2^3]이므로

[eqn: THEREFORE ```` a=2^{{11}over{3}]

따라서 [eqn: a=2^{{11}over{3}], [eqn: a_{2}=2^{{10}over{3}}], [eqn: a_{3}=2^{{9}over{3}}], [eqn: cdots]

주어진 집합의 조건에 의해서

[eqn: log_{4}a_{n}-log_{2}{{1}over{a_{n}}][eqn: =log_{4}a_{n}+log_{4}a_{n}^{ 2}]
[eqn: =log_{4}a_{n}^{ 3}]
[eqn: ={3}over{2} ` log_{2}a_{n}]

따라서 [eqn: log_{4}a_{n}-log_{2}{{1}over{a_{n}}]가 자연수가 되려면 [eqn: a_{n}=2^{{짝수}over{3}}]이어야 한다.

즉, [eqn: a_{2}=2^{{10}over{3}}], [eqn: a_{4}=2^{{8}over{3}}], [eqn: cdots], [eqn: a_{10}=2^{{2}over{3}}]이므로 원소의 개수는 [eqn: 5]개이다.

[eqn: a _{1}][eqn: =2a _{4}], [eqn: a _{3} ^{log _{2} 3}][eqn: =27]

일 때, 집합 [eqn: LEFT { n left |`` pile{it#it} ` log _{4} ` a _{n} -log _{2} {1} over {a _{n}}]은 자연수[eqn: pile{it#it} RIGHT }]의 모든 원소의 개수는?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

03 수1	10 수열의합
01 시그마의 뜻과 성질
01 시그마의 뜻1 (표현과 나열)

[출처]	2004 모의_공공 교육청 고2 11월 9

[eqn: 0 leq x leq 4]에서 함수 [eqn: f(x)= sum_{k=1}^{3}|x-k|]로 정의할 때, [eqn: f(x)]의 최댓값과 최솟값의 합은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(x)=|x-1|+|x-2|]

[eqn: +|x-3|(0 leq x leq 4)]

[eqn: 0 leq x<1], [eqn: ~ f(x)=-3 x+6]

[eqn: 1 leq x<2], [eqn: ~ f(x)=-x+4]

[eqn: 2 leq x<3], [eqn: ~ f(x)=x]

[eqn: 3 leq x leq 4], [eqn: ~ f(x)=3 x-6]

[eqn: therefore~2 leq f(x) leq 6]

최댓값과 최솟값 합은 [eqn: rm 8]

① [eqn: rm 0]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 4]

④ [eqn: rm 6]	⑤ [eqn: rm 8]

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 25

좌표평면 위에 [eqn: {5}{{^2020^08^경찰대^중}}]개의 점 [eqn: rmP_1 it LEFT ( -2 ,```` 1 RIGHT )], [eqn: rm P _{2} it LEFT ( -1 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: rm P _{3} it LEFT ( 0 ,```` 3 RIGHT )], [eqn: rm P _{4} it LEFT ( 1 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: rm P _{5} it LEFT ( 2 ,```` 4 RIGHT )]가 있다. 점 [eqn: rmP _ { iti}][eqn: LEFT ( i=1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT )]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x _{i}], [eqn: y]좌표를 [eqn: y _{i}]라 할 때, [eqn: sum _{i=1} ^{5} LEFT ( ax _{i} +b-y _{i} RIGHT ) ^{2}]의 값이 최소가 되도록 하는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold3]

[해설]

[eqn: rmP_1 it LEFT ( -2 ,```` 1 RIGHT )], [eqn: rm P _{2} it LEFT ( -1 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: rm P _{3} it LEFT ( 0 ,```` 3 RIGHT )], [eqn: rm P _{4} it LEFT ( 1 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: rm P _{5} it LEFT ( 2 ,```` 4 RIGHT )]에 대하여 식에 대입하면

[eqn: sum _{i=1} ^{5} LEFT ( ax _{i} +b-y _{i} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT ( -2a+b-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -a+b-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b-3 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: + LEFT ( a+b-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2a+b-4 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =10a ^{2} +5b ^{2} -12a-24b+34]
[eqn: =10 LEFT ( a- {3} over {5} RIGHT ) ^{2} +5 LEFT ( b- {12} over {5} RIGHT ) ^{2} + 8 over 5]

따라서 [eqn: a= {3} over {5}], [eqn: b= {12} over {5}]일 때 최솟값을 갖는다.

[eqn: THEREFORE ```` a+b= {3} over {5} + {12} over {5} =3]

03 수1	10 수열의합
01 시그마의 뜻과 성질
02 시그마의 뜻2 (등차수열)

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 06월 29

모든 항이 양수인 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]은

[정답] [eqn: 24]

[해설]

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 공차를 [eqn: d]라고 하자.

[eqn: a_{26}=30]이므로 [eqn: a_{1}+25 d=30 cdots 1]	[eqn: cdots cdots] ①

[eqn: sum_{n=1}^{13} left{ left(a_{2 n} right)^{2}- left(a_{2 n-1} right)^{2} it right}]

[eqn: = sum_{n=1}^{13} left(a_{2 n}-a_{2 n-1} right) left(a_{2 n}+a_{2 n-1} right)]

[eqn: = sum_{n=1}^{13} d left(a_{2 n}+a_{2 n-1} right)]

[eqn: =d left{ left(a_{2}+a_{1} right)+ left(a_{4}+a_{3} right)+ cdots+ left(a_{26}+a_{25} right) right.]

[eqn: =d left(a_{1}+a_{2}+ cdots+a_{26} right)]

[eqn: ={d times 26 left(a_{1}+a_{26} right)} over {2}]

[eqn: =13 d left(a_{1}+30 right)=260]

[eqn: therefore~d left(a_{1}+30 right)=20]	[eqn: cdots cdots] ②

①, ②에 의해서

[eqn: d(30-25 d+30)=20]

[eqn: 25 d^{2}-60 d+20=0]

[eqn: 5 d^{2}-12 d+4=0]

[eqn: (5 d-2)(d-2)=0]

[eqn: d={2} over {5}] 또는 [eqn: d=2]

[eqn: d=2]이면 [eqn: a_{1}=-20<0]이므로 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 모든 항이 양수인 것은 아니다.

따라서 [eqn: d={2} over {5}]이고 [eqn: a_{1}=20]이다. 그러므로

[eqn: a_{11}=20+10 times {2} over {5}=20+4=24]이다.

[eqn: a_{26}=30], [eqn: ~ sum_{n=1}^{13} left{ left(a_{2 n} right)^{2}- left(a_{2 n-1} right)^{2} it right} =260]

을 만족시킨다. [eqn: a_{11}]의 값을 구하시오.

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 04월 28

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 26]

[해설]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

(가)에서

[eqn: a _{1} + LEFT ( a _{1} +d RIGHT ) + LEFT ( a _{1} +2d RIGHT ) =159]이므로

[eqn: a _{1} +d=53]	[eqn: CDOTS cdots㉠]

(나)에서

[eqn: LEFT ( a _{m} -2d RIGHT ) + LEFT ( a _{m} -d RIGHT ) +a _{m} =96]이므로

[eqn: a _{m} -d=32]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: a _{1} +a _{m} =85]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} = {m} over {2} LEFT ( a _{1} +a _{m} RIGHT ) = {m} over {2} TIMES 85=425]이고 [eqn: m=10]이다.

또한 [eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: a _{1} =56], [eqn: d=it-3]이므로
[eqn: a _{n} =it-3n+59]

따라서 [eqn: a _{11} =it-33+59=26]

(가) [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} = 159]

(나) [eqn: a _{m-2} +a _{m-1} +a _{m} = 96 `]인 자연수 [eqn: m`]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} = 425] (단, [eqn: m>3])

[eqn: a _{11}`]의 값을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 11월 15

첫째항이 [eqn: 50]이고 공차가 [eqn: -4]인 등차수열의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{k=m}^{m +4} {`}S_{k}]의 값이 최대가 되도록 하는 자연수 [eqn: m]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: S _{n}][eqn: = {n LEFT { 2times50+ LEFT ( n-1 RIGHT ) times LEFT ( -4 RIGHT ) RIGHT }} over {2}]
[eqn: =-2n ^{2} +52n]
[eqn: =-2 LEFT ( n-13 RIGHT ) ^{2} +2times13 ^{2}]

이므로 [eqn: S _{n} `]의 값은 [eqn: n=13`]일 때 최대이다.

따라서 [eqn: sum _{k=m} ^{m+4} S _{k} `]의 값은 [eqn: m=11`]일 때 최대가 된다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 10월 17

수열 [eqn: left{` a _{n} `right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{ n}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

[eqn: S _{ n}]의 이차항의 계수를 [eqn: a]라 하자. 조건에서 [eqn: S _{ 10} =S _{ 50}]이고 [eqn: S _{ n}]은 [eqn: n=30]일 때 최댓값 [eqn: 410]을 가지므로

[eqn: S _{ n} =a LEFT(n-30 RIGHT) ^{2} +410]

[eqn: S_{ 10} =10]이므로 [eqn: 10=a LEFT(10-30 RIGHT) ^{2} +410]에서 [eqn: a=it-1]

그러므로 [eqn: S _{ n} = IT - LEFT (n-30 RIGHT) ^{2} +410]

[eqn: S _{ m} >S _{ 50} =S _{ 10}]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 범위는 [eqn: 10<m<50]이므로 [eqn: p=11], [eqn: q=49]

따라서

[eqn: sum _{k=p} ^{q} a _{k}][eqn: = sum _{k=11} ^{49} a _{k}][eqn: =S _{ 49} -S _{ 10}]
[eqn: = LEFT { - LEFT (49-30 RIGHT) ^{2} +410 RIGHT } -10]
[eqn: =39]

(가) [eqn: S _{ n}]은 [eqn: n]에 대한 이차식이다.

(나) [eqn: S _{ 10} =S _{ 50} =10]

(다) [eqn: S _{ n}]은 [eqn: n=30]에서 최댓값 [eqn: 410]을 갖는다.

[eqn: 50]보다 작은 자연수 [eqn: m]에 대하여 [eqn: S_{ m} > S_{ 50}]을 만족시키는 [eqn: m]의 최솟값을 [eqn: p], 최댓값을 [eqn: q]라 할 때, [eqn: sum _{k=p} ^{q} a _{k}]의 값은?

① [eqn: 39]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 41]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 43]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 09월 21

공차가 [eqn: 0`]이 아닌 등차수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

등차수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 공차를 [eqn: d` LEFT ( d != 0 RIGHT ) `]라 하면 (가)에 의하여

[eqn: {5 LEFT ( 2a _{1} +4d RIGHT )} over {2} =2` LEFT | {10 LEFT ( 2a _{1} +9d RIGHT )} over {2} RIGHT |]

[eqn: a _{1} +2d=2` LEFT | 2a _{1} +9d RIGHT |]

(ⅰ) [eqn: a _{1} +2d=4a _{1} +18d`]일 때, [eqn: a _{1} =`- {16} over {3} d]
[eqn: a _{3} ``a _{6} = LEFT ( - {10} over {3} d RIGHT ) TIMES LEFT ( - {d} over {3} RIGHT ) `= {10} over {9} d ^{2} >0`]이므로 (나)의 조건을 만족시킨다.

(ⅱ) [eqn: a _{1} +2d=`-4a _{1} -18d`]일 때, [eqn: a _{1} =`-4d]
[eqn: a _{3} ``a _{6} = LEFT ( `-2d` RIGHT ) TIMES d=`-2d ^{`2} <0``]이므로 (나)의 조건에 모순이다.

따라서 [eqn: {a _{21}} over {a _{1}} `=` {- {16} over {3} d+20d} over {- {16} over {3} d} `=`- {11} over {4}]

(가) [eqn: sum _{n=1} ^{5} `a _{n} =2 LEFT | sum _{n=1} ^{10} `a _{n} RIGHT |]

(나) [eqn: a _{3} ``a _{6} >0]

[eqn: {a _{21}} over {a _{1}} `]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: - {17} over {4}]	③ [eqn: - {7} over {2}]

④ [eqn: - {11} over {4} `]	⑤ [eqn: -2]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 11월 28

첫째항이 자연수이고 공차가 음수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a_1]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 13 }]

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: left |`` a _{5} ``right | + left |`` a _{6} ``right | = left |`` a _{5} +a _{6} ``right | +2]이고 공차가 음수이므로 [eqn: a _{5} >0], [eqn: a _{6} <0]이다.

이 수열의 공차를 [eqn: d]라 하면
[eqn: LEFT ( a _{1} +4d RIGHT ) - LEFT ( a _{1} +5d RIGHT ) = left |`` 2a _{1} +9d ``right | +2]

[eqn: left |`` 2a _{1} +9d ``right | =it-d-2]이므로

[eqn: 2a _{1} +9d=d+2], [eqn: a _{1} +4d=1]	[eqn: cdotscdots] ㉠

또는 [eqn: 2a _{1} +9d=it-d-2], [eqn: a _{1} +5d= it -1]	[eqn: cdotscdots] ㉡

조건 (나)에서

[eqn: sum _{n=1} ^{6} left |`` a _{n} ``right |][eqn: = it sum _{n=1} ^{5} a _{n} -a _{6}]
[eqn: = {5 LEFT ( 2a _{1} +4d RIGHT )} over {2} -a _{1} -5d]
[eqn: =37]

에서 [eqn: 4a _{1} +5d=37]	[eqn: cdotscdots] ㉢

㉠, ㉢에서 [eqn: a _{1} =13]

㉡, ㉢에서 [eqn: a _{1} = {38} over {3}]은 자연수가 아니다.

따라서 [eqn: a _{1} =13]

(가) [eqn: left |`` a _{5} ``right | + left |`` a _{6} ``right | = left |`` a _{5} +a _{6} ``right | +2]

(나) [eqn: sum _{n=1} ^{6} left |`` a _{n} ``right | =37]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 09월 21

공차가 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a _{14} `]의 값은?

[정답] ④

[해설]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항을 [eqn: a`], 공차를 [eqn: d`]라 하자.

조건 (가)에 의하여

[eqn: sum _{n=1} ^{2m-1} a _{n} = {LEFT ( 2m-1 RIGHT ) LEFT { 2a+ LEFT ( 2m-2 RIGHT ) d RIGHT }} over {2}]

[eqn: = LEFT ( 2m-1 RIGHT ) LEFT { a+ LEFT ( m-1 RIGHT ) d RIGHT } =0`]

[eqn: 2m-1>0`]이므로 [eqn: a+ LEFT ( m-1 RIGHT ) d=0`]

즉, [eqn: a _{m} =0`]

조건 (나)에 의하여

[eqn: sum _{n=1} ^{15} `a _{n} != sum _{n=1} ^{15} ` LEFT | a _{n} RIGHT |`]이고 [eqn: sum _{n=1} ^{15} `a _{n} >0`]이므로

[eqn: a _{m} =0`]을 만족시키는 [eqn: m`]의 범위는 [eqn: {m}le7`]

수열의 항	항의 개수
[eqn: - LEFT ( m-1 RIGHT ) d], [eqn: CDOTS] , [eqn: -2d] , [eqn: -d]	[eqn: LEFT ( m-1 RIGHT ) `]개
[eqn: 0][eqn: LEFT ( =a _{m} RIGHT )]	[eqn: 1`]개
[eqn: d], [eqn: 2d], [eqn: CDOTS] , [eqn: LEFT ( m-1 RIGHT ) d]	[eqn: LEFT ( m-1 RIGHT ) `]개
[eqn: md], [eqn: (m+1)d], [eqn: CDOTS] , [eqn: a _{15}]	[eqn: LEFT ( 16-2m RIGHT ) `]개

[eqn: sum _{n=1} ^{2m-1} `a _{n} =0`]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{15} `a _{n} = {LEFT ( 16-2m RIGHT ) LEFT { 2md+ LEFT ( 15-2m RIGHT ) d RIGHT }} over {2}]

[eqn: =15 LEFT ( 8-m RIGHT ) d=45]

즉, [eqn: LEFT ( 8-m RIGHT ) d=3`]

[eqn: sum _{n=1} ^{15} ` LEFT | a _{n} RIGHT | `]

[eqn: =2 TIMES {LEFT ( m-1 RIGHT ) LEFT { d+ LEFT ( m-1 RIGHT ) d RIGHT }} over {2} +15 LEFT ( 8-m RIGHT ) d]

[eqn: = LEFT ( m-1 RIGHT ) md+45`=90]

[eqn: 2 sum _{n=1} ^{15} `a _{n} = sum _{n=1} ^{15} ` LEFT | a _{n} RIGHT |`]이므로

[eqn: 15 LEFT ( 8-m RIGHT ) d= LEFT ( m-1 RIGHT ) md]

[eqn: m ^{2} +14m-120=0]

[eqn: LEFT ( m-6 RIGHT ) LEFT ( m+20 RIGHT ) =0]

[eqn: m`]은 자연수이므로 [eqn: m=6]

[eqn: sum _{n=1} ^{15} `a _{n} =30d=45] 즉, [eqn: d= {3} over {2}]

따라서 [eqn: a _{14} =a _{6} +8d=0+12=12`]

(가) [eqn: sum _{n=1} ^{2m-1} a _{n} =0`]을 만족시키는 자연수 [eqn: m`]이 존재한다.

(나) [eqn: 2 sum _{n=1} ^{15} `a _{n} = sum _{n=1} ^{15} ` LEFT | a _{n} RIGHT | =90`]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 19

다음은 공차가 [eqn: {1}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}]보다 크고 [eqn: a _{3} +a _{5}][eqn: =2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT ( a _{k} ` ^{2} -5 LEFT |`` a _{k} `` RIGHT | RIGHT )]의 값이 최소가 되도록 하는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 구하는 과정이다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: a _{3} +a _{5} =2a _{4}]이므로 [eqn: a _{3} +a _{5} =2]에서 [eqn: a _{4}= {BOX{ ```` 1 ```` }]

등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{1} =1-3d ,````][eqn: a _{2} =1-2d ,````][eqn: a _{3} =1-d ,````]

[eqn: a _{4} =1 ,````][eqn: a _{5} =1+d]

[eqn: d>1]이므로 [eqn: a _{1} <0 ,````][eqn: a _{2} <0 ,````][eqn: a _{3} <0 ,````][eqn: a _{5} >0]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k}` ^{2}]과 [eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT |`` a _{k} ``RIGHT |]를 각각 [eqn: d]에 대한 식으로 나타내면

[eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k }`^{2}}]

[eqn: =(1-3d) ^{2} +(1-2d) ^{2} +(1-d) ^{2} +1 ^{2} +(1+d) ^{2}]

[eqn: =15d ^{2} -10d+5]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT |`` a _{k} ``RIGHT |]

[eqn: = LEFT |`` 1-3d ``RIGHT | + LEFT |`` 1-2d ``RIGHT | + LEFT |`` 1-d``RIGHT |]

[eqn: + LEFT |`` 1 ``RIGHT | + LEFT |`` 1+d ``RIGHT |]

[eqn: =(3d-1)+(2d-1)+(d-1)+1+(1+d)]

[eqn: = box{ ```` 7d-1 ```` }]

그러므로

[eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT ( a _{k} ^{2} -5 LEFT |`` a _{k} ``right| RIGHT )]

[eqn: =(15d ^{2} -10d+5)-5(7d-1)]

[eqn: =15d ^{2} -45d+10]

[eqn: =15 LEFT ( d- {3} over {2} RIGHT ) ^{2} - {95} over {4}]

[eqn: d>1]이므로 [eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT ( a _{k} `^{2} -5 LEFT |`` a _{k} ``RIGHT | RIGHT )]의 값이 최소가 되도록 하는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차는 [eqn: {BOX{ ```` {3} over {2} ```` }}]이다.

따라서 [eqn: p=1 ,````][eqn: q= {3} over {2} ,````][eqn: f(d)=7d-1]이므로

[eqn: f(p+2p)=f(4)=27]

[eqn: a _{3} +a _{5}][eqn: =2]에서 [eqn: a _{4}][eqn: = {BOX{ ```` LEFT ( 가 RIGHT ) ```` }}]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하고

[eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k} ` ^{2}]과 [eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT |`` a _{k} `` RIGHT |]를 각각 [eqn: d]에 대한 식으로 나타내면

[eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k} ` ^{2}][eqn: =15d ^{2} -10d+5]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT |`` a _{k} ``RIGHT |][eqn: = {BOX{ ```` LEFT ( 나 RIGHT ) ```` }}]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT ( a _{k} ` ^{2} -5 LEFT |`` a _{k} `` RIGHT | RIGHT )]의 값이 최소가 되도록 하는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차는 [eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 다 RIGHT ) ```` }}]이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p ,```` q]라 하고, (나)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( d RIGHT )]라 할 때, [eqn: f LEFT ( p+2q RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 21]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 29]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 20

공차가 정수인 등차수열 [eqn: left{a_n right} `]에 대하여

[정답] [eqn: 25`]

[해설]

[eqn: a_3 + a_5 = 0]에서 [eqn: a_4 = 0]이다. 공차를 [eqn: d]라고 하면

수열 {[eqn: a_n]}은 [eqn: - 3d], [eqn: -2d], [eqn: d], [eqn: 0], [eqn: d], [eqn: 2d], [eqn: cdots]

[eqn: d le0]이면 [eqn: 2( -3d - 2d - d) = -12d = 30]

만족하는 정수 [eqn: d]가 없다. 따라서 [eqn: d >0]이다.

그러면 [eqn: 2 ( d + 2d) = 6d = 30], [eqn: d = 5]

[eqn: THEREFORE][eqn: a_9 = a_4 +5d = 25]

[eqn: a_3 +a_5 = 0], [eqn: sum_{k =1}^6 LEFT ( left| a_k right| + a_k RIGHT ) = 30 `]

일 때, [eqn: a_9 `]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 21

공차가 자연수 [eqn: d]이고 모든 항이 정수인 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 [eqn: d]의 값의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: 170]

[해설]

[eqn: a_{2 m}=-a_{m}]에서 [eqn: a_{m}+m d=-a_{m}]

[eqn: 2 a_{m}=-m d]이므로

[eqn: m]과 [eqn: d] 중에서 적어도 하나는 짝수이다.

[eqn: m]이 짝수, 즉 [eqn: m=2 p(p]는 자연수[eqn: )]라 하면

[eqn: a_{2 m}+a_{m}][eqn: =a_{4 p}+a_{2 p}]
[eqn: = left{ a_{1}+(4 p-1) d it right} + left{ a_{1}+(2 p-1) d it right}]
[eqn: =2 left{ a_{1}+(3 p-1) d it right}]
[eqn: =2 a_{3 p}=0]

이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

그러므로 [eqn: m]은 홀수이고 [eqn: d]는 짝수이다.

[eqn: m=2l-1]([eqn: l]은 자연수)라 하면

[eqn: a_4l-2 = -a_2l-1]에서

[eqn: a_{3 l-1}][eqn: =a_{4 l-2}-(l-1) d]
[eqn: =-a_{2 l-1}-(l-1) d]
[eqn: =-a_{3 l-2}]

이고 [eqn: d>0]이므로

[eqn: 1 leq n leq 3l-2]일 때 [eqn: a_n < 0],

[eqn: n geq 3l-1]일 때 [eqn: a_n >0]이다.

[eqn: sum_{k=m}^{2 m}|a_k |= sum_{k=2l-1}^{4l-2} |a_k |]
[eqn: = it -a _{2l-1} -a _{2l} -a _{2l+1} - CDOTS -a _{3l-2}]
[eqn: +a _{3l-1} +a _{3l} +a _{3l+1} + CDOTS +a _{4l-2}]
[eqn: = it -a _{2l-1} - LEFT ( a _{2l-1} +d RIGHT ) - LEFT ( a _{2l-1} +2d RIGHT )][eqn: - CDOTS - LEFT ( a _{2l-1} + LEFT ( l-1 RIGHT ) d RIGHT )]
[eqn: + LEFT ( a _{2l-1} +ld RIGHT ) + LEFT { a _{2l-1} + LEFT ( l+1 RIGHT ) d RIGHT }][eqn: + CDOTS + LEFT { a _{2l-1} + LEFT ( 2l-1 RIGHT ) d RIGHT }]
[eqn: = it - LEFT { 1+2+3 CDOTS + LEFT ( l-1 RIGHT ) RIGHT }d]
[eqn: + LEFT { l+ LEFT ( l+1 RIGHT ) + LEFT ( l+2 RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( 2l-1 RIGHT ) RIGHT } d]
[eqn: = it - {l LEFT ( l-1 RIGHT )} over {2} d+ {l LEFT { l+ LEFT ( 2l-1 RIGHT ) RIGHT }} over {2} d]
[eqn: =l^{2} d=128]

[eqn: l]은 자연수이고 [eqn: d]는 짝수이므로 모든 순서쌍 [eqn: (l,`` d)]는

[eqn: (1,``128)], [eqn: (2,``32)], [eqn: (4,``8)], [eqn: (8,``2)]이다.

따라서 모든 [eqn: d]의 값의 합은 [eqn: 2+8+32+128=170]

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n} neq 0]이다.

(나) [eqn: a_{2 m}=-a_{m}]이고 [eqn: sum_{k=m}^{2 m} left|a_{k} right|=128]인 자연수 [eqn: m]이 존재한다.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 12

공차가 [eqn: rm 3]인 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a_{10}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 공차가 양수이고 조건

(가)에서

[eqn: a_{5} times a_{7}<0]

이므로

[eqn: a_{5}<0], [eqn: a_{7}>0]

즉, [eqn: n leq 5]일 때 [eqn: a_{n}<0]이고, [eqn: n geq 7]일 때

[eqn: a_{n}>0]이다.

이때 조건 [eqn: (]나)에서

[eqn: sum_{k=1}^{6} left|a_{k+6} right|=6+ sum_{k=1}^{6} left|a_{2 k} right|]

이므로

[eqn: left|a_{7} right|+ left|a_{8} right|+ left|a_{9} right|+ left|a_{10} right|+ left|a_{11} right|+ left|a_{12} right|]

[eqn: =6+ left|a_{2} right|+ left|a_{4} right|+ left|a_{6} right|+ left|a_{8} right|+ left|a_{10} right|+ left|a_{12} right|]

[eqn: a_{7}+a_{9}+a_{11}=6-a_{2}-a_{4}+ left|a_{6} right|]

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 공차가 [eqn: rm 3]이므로

[eqn: left(a_{1}+18 right)+ left(a_{1}+24 right)+ left(a_{1}+30 right)]

[eqn: =6- left(a_{1}+3 right)- left(a_{1}+9 right)+ left|a_{1}+15 right|]

[eqn: LEFT | a _{1} +15 RIGHT | =5a _{1} +78~ CDOTS CDOTS]㉠

㉠에서 [eqn: a_{1}+15 geq 0]이면

[eqn: a_{1}+15=5 a_{1}+78]

[eqn: 4 a_{1}=-63]

[eqn: a_{1}=-{63} over {4} < it - 15]

이므로 조건을 만족시키지 않는다.

즉, [eqn: a_{1}+15<0]이므로 ㉠에서

[eqn: -a_{1}-15=5 a_{1}+78]

[eqn: 6 a_{1}=-93]

[eqn: a_{1}=-{31} over {2}]

따라서

[eqn: a_{10}=a_{1}+9 times 3]

[eqn: =-{31} over {2}+27]

[eqn: ={23} over {2}]

(가) [eqn: a_{5} times a_{7}<0]

(나) [eqn: sum_{k=1}^{6} left|a_{k+6} right|=6+ sum_{k=1}^{6} left|a_{2 k} right|]

① [eqn: {21} over {2}]	② [eqn: rm 11]	③ [eqn: {23} over {2}]

④ [eqn: rm 12]	⑤ [eqn: {25} over {2}]

03 수1	10 수열의합
01 시그마의 뜻과 성질
03 시그마의 뜻3 (등비수열)

[출처]	2008 모의_공공 경찰대 고3 07월 17

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 [eqn: sum_{k=1}^{12} a_{k}=100]과 [eqn: sum_{k=1}^{12} {1} over {a_{k}}=10]을 만족시킬 때, [eqn: sum_{k=1}^{12} log a_{k}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: a_{n}=a cdot r^{n-1}(a>0,`` r>0)]라 두면

[eqn: sum_{k=1}^{12} a_{k}={a left(r^{12}-1 right)} over {r-1}=100]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

수열 [eqn: left{ {1} over {a_{n}} it right}]은 첫째항이 [eqn: {1} over {a}]이고, 공비가 [eqn: {1} over {r}]인 등비수열이므로

[eqn: sum_{k=1}^{12} {1} over {a_{k}}={{1} over {a} left(1-{1} over {r^{12}} right)} over {1-{1} over {r}}={r left(r^{12}-1 right)} over {a r^{12}(r-1)}=10 ~]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면, [eqn: a^{2} r^{11}=10]

[eqn: THEREFORE ~ sum _{k=1} ^{12} loga _{k}][eqn: =log LEFT ( a _{1} TIMES a _{2} TIMES CDOTS TIMES a _{12} RIGHT )]
[eqn: = log left(a^{12} r^{{11 times 12} over {2}} right)= log left(a^{12} r^{66} right)]
[eqn: = log left(a^{2} r^{11} right)^{6}= log 10^{6}=6]

① [eqn: rm 3]	② [eqn: rm 4]	③ [eqn: rm 6]

④ [eqn: rm 8]	⑤ [eqn: rm 10]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 09월 26

첫째항과 공비가 모두 자연수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: 5 LEQ a _{2} LEQ 6`], [eqn: 42 LEQ a _{4} LEQ 96`]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{5} `a _{n} `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold{ 242]

[해설]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항을 [eqn: a`], 공비를 [eqn: r`]라 하자.

[eqn: 5 LEQ a _{2} LEQ 6`]에 의하여 [eqn: 5 LEQ ar LEQ 6`]이고
[eqn: a`]와 [eqn: r`]는 자연수이므로 [eqn: ar=5`] 또는 [eqn: ar=6`]

[eqn: 42 LEQ a _{4} LEQ 96`]에 의하여 [eqn: 42 LEQ ar ^{3} LEQ 96`]이므로

[eqn: {42} over {ar} LEQ r ^{2} LEQ {96} over {ar}`][eqn: cdots]㉠

i) [eqn: ar=5`]일 때,

㉠에 의하여 [eqn: {42} over {5} LEQ r ^{2} LEQ {96} over {5}]

[eqn: r=3] 또는 [eqn: r=4`]

[eqn: ar=5`]를 만족시키는 자연수 [eqn: a`]는
존재하지 않는다.

ii) [eqn: ar=6`]일 때,

㉠에 의하여 [eqn: 7 LEQ r ^{2} LEQ 16`]이므로
[eqn: r=3] 또는 [eqn: r=4`]

[eqn: ar=6`]을 만족시키는 자연수 [eqn: r=3`], [eqn: a=2]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{5} `a _{n} = {2 TIMES LEFT ( 3 ^{5} -1 RIGHT )} over {3-1} =242`]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 06월 28

첫째항이 [eqn: {2}{{from^2019^06^평가원고3나^중}}]이고 공비가 정수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]과 자연수 [eqn: m]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a _{m}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 162 }]

[해설]

첫째항이 [eqn: 2]이고 공비를 [eqn: r] (단, [eqn: r]은 정수)이라 하면

[eqn: a _{n} =2r ^{n-1}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

㉠에서 [eqn: a_2 = 2r ,````a_3 =2r^2]이므로 조건 (가)에 대입하면

[eqn: 4 <2r+2r ^{2} LEQ12], [eqn: 2 <r+r ^{2} LEQ6]

따라서 [eqn: 0<r ^{2} +r-2], [eqn: r ^{2} +r-6LEQ0]를 풀면

[eqn: 0< LEFT ( r+2 RIGHT ) LEFT ( r-1 RIGHT )]에서 [eqn: r< -2] 또는 [eqn: r>1]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: LEFT ( r+3 RIGHT ) LEFT ( r-2 RIGHT ) LEQ0]에서 [eqn: -3LEQr LEQ2]	[eqn: cdotscdots] ㉢
㉡, ㉢을 연립하면 [eqn: -3 LEQr < -2] 또는 [eqn: 1<r LEQ2]

그런데 공비 [eqn: r]이 정수이므로 [eqn: r=-3] 또는 [eqn: r=2]

(나)조건에서 [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} =122]이므로

(ⅰ) [eqn: r=-3]인 경우
[eqn: sum _{k=1} ^{m} 2 LEFT ( -3 RIGHT ) ^{k-1} =122]
[eqn: {2 LEFT { LEFT ( -3 RIGHT ) ^{m} -1 RIGHT }} over {LEFT ( -3-1 RIGHT )} =122], [eqn: LEFT { LEFT ( -3 RIGHT ) ^{m} -1 RIGHT } =-244]
[eqn: LEFT ( -3 RIGHT ) ^{m} =-243]	[eqn: therefore][eqn: m=5]
따라서 ㉠에서 [eqn: a _{m} =2 LEFT ( -3 RIGHT ) ^{m-1}]이므로 [eqn: a _{5} =2 LEFT ( -3 RIGHT ) ^{4}]
[eqn: therefore][eqn: a _{5} =162]

(ⅱ) [eqn: r=2]인 경우
[eqn: sum _{k=1} ^{m} 2 LEFT ( 2 RIGHT ) ^{k-1} =122]
[eqn: {2 LEFT ( 2 ^{m} -1 RIGHT)} over {2-1 } =122], [eqn: 2 ^{m} -1 =61], [eqn: 2 ^{m} =62]
그런데 [eqn: m]은 자연수이므로 조건에 모순이 된다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 만족하는 [eqn: m=5]이므로 [eqn: a _{m} = a_5 = 162]

(가) [eqn: 4 <a _{2} +a _{3} LEQ 12]

(나) [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} =122]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 17

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^04^서울고3가^}}]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a _{3}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하자.

[eqn: r=1]이면 조건 (가)에서 [eqn: a= {45} over {4}]이고

조건 (나)에서는 [eqn: a= {63} over {2}]이므로 [eqn: r != 1]

[eqn: sum _{k=1} ^{4} a _{k}][eqn: = {a LEFT ( r ^{4} -1 RIGHT )} over {r-1}][eqn: =45]

[eqn: sum _{k=1} ^{6} {a _{2} TIMES a _{5}} over {a _{k}}][eqn: = LEFT ( a _{2} TIMES a _{5} RIGHT ) TIMES sum _{k=1} ^{6} {1} over {a _{k}}]
[eqn: =ar TIMES ar ^{4} TIMES {{1} over {a} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {r} RIGHT ) ^{6} RIGHT }} over {1- {1} over {r}}]
[eqn: =a ^{2} r ^{5} TIMES {r ^{6} -1} over {a LEFT ( r ^{6} -r ^{5} RIGHT )}]
[eqn: = {a LEFT ( r ^{6} -1 RIGHT )} over {r-1}][eqn: =189]

[eqn: {{a LEFT ( r ^{6} -1 RIGHT )} over {r-1}} over {{a LEFT ( r ^{4} -1 RIGHT )} over {r-1}}][eqn: = {r ^{6} -1} over {r ^{4} -1}]
[eqn: = {LEFT ( r ^{2} -1 RIGHT ) LEFT ( r ^{4} +r ^{2} +1 RIGHT )} over {LEFT ( r ^{2} -1 RIGHT ) LEFT ( r ^{2} +1 RIGHT )}]
[eqn: = {r ^{4} +r ^{2} +1} over {r ^{2} +1}][eqn: = {189} over {45}]

이므로 [eqn: 5r ^{4} +5r ^{2} +5=21r ^{2} +21]

[eqn: 5r ^{4} -16r ^{2} -16=0], [eqn: LEFT ( 5r ^{2} +4 RIGHT ) LEFT ( r ^{2} -4 RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: r>0]이므로 [eqn: r=2]

[eqn: {a LEFT ( 2 ^{4} -1 RIGHT )} over {2-1}][eqn: =15a][eqn: =45]이므로 [eqn: a=3]

따라서 [eqn: a _{3}][eqn: =3 TIMES 2 ^{2}][eqn: =12]

(가) [eqn: sum _{k=1} ^{4} a _{k}][eqn: =45]

(나) [eqn: sum _{k=1} ^{6} {a _{2} TIMES a _{5}} over {a _{k}}][eqn: =189]

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

03 수1	10 수열의합
01 시그마의 뜻과 성질
04 시그마의 성질1 (기본성질)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 27

공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]과 자연수 [eqn: m]이

[정답] [eqn: 29]

[해설]

수열 [eqn: left{a_n right]은 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이므로

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+1 -a_n =2]

[eqn: sum_{k`=`1}^m`a_k+1 -sum_{k`=`1}^m` LEFT ( a_k +m RIGHT )][eqn: =sum_{k`=`1}^m` LEFT ( a_k+1 -a_k -m RIGHT )]
[eqn: =sum_{k`=`1}^m` LEFT ( 2-m RIGHT )]
[eqn: =m(2-m)]

[eqn: 2m-m^2 =240-360], [eqn: m^2 -2m-120=0]

[eqn: (m+10)(m-12)=0]에서 [eqn: m=it-10] 또는 [eqn: m=12]

[eqn: m]은 자연수이므로 [eqn: m=12]

[eqn: sum_{k`=`1}^12` LEFT ( a_k +12 RIGHT )][eqn: =sum_{k`=`1}^12`a_k +sum_{k`=`1}^12`12]
[eqn: ={12 LEFT ( 2a_1 +11times2 RIGHT ) }over2 +12times12=360]

[eqn: 6LEFT ( 2a_1 +22 RIGHT )+144=360]에서 [eqn: a_1 =7]

따라서 [eqn: a_m =a_12 =7+11times2=29]

[eqn: sum_{k`=`1}^m`a_k+1 =240,~sum_{k`=`1}^m` LEFT ( a_k +m RIGHT )=360]

을 만족시킬 때, [eqn: a_m]의 값을 구하시오.

03 수1	10 수열의합
01 시그마의 뜻과 성질
05 시그마의 성질2 (식 변형)

[출처]	2016 모의_공공 경찰대 고3 07월 20

두 수 [eqn: a], [eqn: b]가

[정답] ①

[해설]

[eqn: a][eqn: = sum _{k=1} ^{}][eqn: LEFT ( {1} over {2k-1} - {1} over {2k} RIGHT )][eqn: = sum _{k=1} ^{}][eqn: {1} over {k} -2 sum _{k=1} ^{}][eqn: {1} over {2k}][eqn: = sum_{k=1}^{200} {1} over {k}- sum_{k=1}^{100} {1} over {k}= sum_{k=101}^{200} {1} over {k}]
[eqn: = sum_{k=1}^{100} {1} over {k+100}]

[eqn: b][eqn: = sum _{k=1} ^{}][eqn: = {-1} over {(k-201)(k+100)}]
[eqn: ={-1} over {301} sum_{k=1}^{100} left({1} over {k-201}-{1} over {k+100} right)]
[eqn: ={-1} over {301} left( sum_{k=1}^{100} {1} over {k-201}- sum_{k=1}^{100} {1} over {k+100} right)][eqn: ={-1} over {301} left(- sum_{k=1}^{100} {1} over {k+101}- sum_{k=1}^{100} {1} over {k+100} right)]
[eqn: ={2} over {301} left( sum_{k=1}^{100} {1} over {k+100} right)]

[eqn: therefore~ left[{a} over {b} right]= left[{ sum_{k=1}^{100} {1} over {k+100}} over {{2} over {301} sum_{k=1}^{100} {1} over {k+100}} right]= left[{301} over {2} right]=150]

[eqn: a][eqn: = sum_{k=1}^{100} {1} over {2 k(2 k-1)}]
[eqn: b = sum_{k=1}^{100} {1} over {(100+k)(201-k)}]

일 때, [eqn: left[{a} over {b} right]]의 값은? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① [eqn: rm 150]	② [eqn: rm 152]	③ [eqn: rm 154]

④ [eqn: rm 156]	⑤ [eqn: rm 158]

03 수1	10 수열의합
02 자연수의 거듭제곱의 합
05 자연수의 거듭제곱의 합4 (나열된 수)

[출처]	2016 모의_공공 경찰대 고3 07월 17

[eqn: a_1 = 9 over 8 `]이고 자연수 [eqn: n `]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: {9} over {8} +9+9 ^{2} + CDOTS +9 ^{n} =b _{n+1} ``]라고 하면,

[eqn: b _{n+1} = {9} over {8} +9+9 ^{2} + CDOTS +9 ^{n} = {9} over {8} + {9} over {8} (9 ^{n} -1)= {9} over {8} 9 ^{n}]

따라서

[eqn: a _{n} = LEFT ( {9} over {8} RIGHT ) ^{n} ·9 ^{{n(n-1)} over {2}} = LEFT ( {9} over {8} RIGHT ) ^{n} 3 ^{n(n-1)}][eqn: = LEFT ( {9} over {8} TIMES 3 ^{n-1} RIGHT ) ^{n}]

[eqn: {loga _{n}} over {n} =log` {9} over {8} TIMES 3 ^{n-1} `=`log {3 ^{n+1}} over {2 ^{3}}]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} {log``a _{k}} over {k} = sum _{k=1} ^{10} log {3 ^{k+1}} over {2 ^{3}} =log {3 ^{65}} over {2 ^{30}}]

그러므로

[eqn: A= {3 ^{65}} over {2 ^{30}}]

[eqn: a_n+1 = 9 over 8 LEFT ( 9over 8 +9 RIGHT ) LEFT ( 9over 8 +9+9^2 RIGHT )]
[eqn: `CDOTS` LEFT ( 9over 8 +9+9^2 +`CDOTS`+9^n RIGHT )]

이라 하자. [eqn: sum_k=1 ^10 {log` a_k} over k =log` rmA `]일 때, [eqn: rmA `]의 값은?

① [eqn: 3^65 over 2^30]	② [eqn: 3^60 over 2^25]	③ [eqn: 2^65 over 3^30]

④ [eqn: 2^60 over 3^25]	⑤ [eqn: 3^60 over 2^30]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 07월 16

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 각 항이

[정답] ③

[해설]

[eqn: a _{n} `=`1+3+5+` CDOTS `+`(2n-1)=`n ^{2}`]

[eqn: log` _{4`} ` LEFT ( ``2 ^{a _{1}} ` TIMES 2 ^{a _{2}} ` TIMES 2 ^{a _{3}} TIMES CDOTS TIMES `2 ^{a _{12}} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} ` ({a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{12}} )`]

[eqn: = {1} over {2} `(1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} + CDOTS +12 ^{2} )]

[eqn: = {1} over {2} ` TIMES ` {12 TIMES 13 TIMES 25} over {6} =325]

[eqn: a _{1} `=1]
[eqn: a _{2} `=1+3]
[eqn: a _{3} `=1+3+5]
[eqn: vdots]
[eqn: a _{n}=1+3+5+` CDOTS `+(2n-1)]
[eqn: vdots]

일 때, [eqn: log _{`4} ` LEFT ( `2 ^{a _{1}} ` TIMES `2 ^{a _{2}} ` TIMES `2 ^{a _{3}} ` TIMES ` CDOTS ` TIMES `2 ^{a _{12}} ` RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 315]	② [eqn: 320]	③ [eqn: 325]

④ [eqn: 330]	⑤ [eqn: 335]

03 수1	10 수열의합
03 여러가지 수열
01 소거형1 (시그마의 성질)

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고2 06월 28

첫째항이 양수인 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여

[정답] [eqn: 27]

[해설]

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하자.

[eqn: S_{10}=][eqn: sum_{k=1}^{10}(-1)^{k} a_{k}]	[eqn: =-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}-a_{5}+a_{6}-a_{7}+a_{8}-a_{9}+a_{10}]	[eqn: = left(a_{2}-a_{1} right)+ left(a_{4}-a_{3} right)+ left(a_{6}-a_{5} right)][eqn: + left(a_{8}-a_{7} right)+ left(a_{10}-a_{9} right)]

[eqn: = d+d+d+d+d]

[eqn: = 5 d]
[eqn: S_{10}= 25]이므로
[eqn: 5 d=25 ~ therefore~ ~ d=5]

[eqn: {1} over {a_{k} a_{k+1}}={1} over {a_{k+1}-a_{k}} left({1} over {a_{k}}-{1} over {a_{k+1}} right)]

그런데 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]은 공차가 [eqn: d]인 등차수열이므로 [eqn: a_{k+1}-a_{k}=d=5]

즉, [eqn: {1} over {a_{k+1}-a_{k}}={1} over {5}]

그러므로 [eqn: {1} over {a_{k} a_{k+1}}={1} over {5} left({1} over {a_{k}}-{1} over {a_{k+1}} right)]

[eqn: T_{5}= sum_{k=1}^{5} {1} over {a_{k} a_{k+1}}]

[eqn: ={1} over {5} left{ left({1} over {a_{1}}-{1} over {a_{2}} right)+ left({1} over {a_{2}}-{1} over {a_{3}} right)+ left({1} over {a_{3}}-{1} over {a_{4}} right) right.]	[eqn: left.+ left({1} over {a_{4}}-{1} over {a_{5}} right)+ left({1} over {a_{5}}-{1} over {a_{6}} right) it right}]

[eqn: ={1} over {5} left({1} over {a_{1}}-{1} over {a_{6}} right)]

[eqn: ={1} over {5} left({1} over {a}-{1} over {a+5 d} right)]

[eqn: ={1} over {5} left({1} over {a}-{1} over {a+25} right)]

[eqn: ={1} over {5} cdot {25} over {a(a+25)}]

[eqn: = {5} over {a(a+25)}]

[eqn: {1} over {T_{5}}={54} over {5}]이므로

[eqn: {a(a+25)} over {5}={54} over {5}]

[eqn: a(a+25)=54]

[eqn: a^{2}+25 a-54=0]

[eqn: (a+27)(a-2)=0]

[eqn: therefore~ ~ a=2( because a>0)]

따라서 [eqn: a_{6}=2+5 times 5=27]

[eqn: S_{n}= sum_{k=1}^{n}(-1)^{k} a_{k}], [eqn: T_{n}= sum_{k=1}^{n} {1} over {a_{k} a_{k+1}}]

이다. [eqn: S_{10}=25], [eqn: {1} over {T_{5}}={54} over {5}]일 때, [eqn: a_{6}]의 값을 구하시오.

03 수1	10 수열의합
03 여러가지 수열
03 소거형3 (기타)

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 09월 17

첫째항이 [eqn: 3 `]이고 공비가 [eqn: r][eqn: LEFT ( r>1 RIGHT ) `]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]의 각 항이

[정답] ④

[해설]

수열 [eqn: left{ a _{itn} right]의 일반항 [eqn: a _{it n} =3r ^{it n-1} `][eqn: LEFT (it r>1 RIGHT ) `]

[eqn: b _{itn} `][eqn: = LEFT ( log _{`a _{1}} a _{2} RIGHT ) ` TIMES ` LEFT ( log _{`a _{2}} a _{3} RIGHT ) ` TIMES ` LEFT ( log _{`a _{3}} a _{4} RIGHT ) ` TIMES `][eqn: ` CDOTS ` TIMES ` LEFT ( log _{`a _{itn}} a _{itn+1} RIGHT ) `]

[eqn: = {log`a _{2}} over {log`a _{1}} TIMES {log`a _{3}} over {log`a _{2}} TIMES ` {log`a _{4}} over {log`a _{3}} TIMES ` CDOTS ` TIMES {log`a _{itn+1}} over {log`a _{itn}}]

[eqn: =log _{a _{1}} a _{itn+1} `=log _{`3} ` LEFT ( 3r ^{itn} RIGHT ) `=1+n`log _{3} `r]

[eqn: sum _{itk=1} ^{10} b _{itk}][eqn: =10+ LEFT ( log _{3} r RIGHT ) TIMES sum _{itk=1} ^{10} k`]

[eqn: =10+55log _{`3} r=120]

따라서 [eqn: log _{`3} `r=2`]

[eqn: b _{1} =log` _{ a _{1}} `a _{2}]
[eqn: b _{2} = LEFT ( log` _{ a _{1}}` a _{2} RIGHT ) TIMES LEFT ( log` _{ a _{2}}` a _{3} RIGHT )]
[eqn: b _{3} = LEFT ( log` _{ a _{1}}` a _{2} RIGHT ) TIMES LEFT ( log` _{ a _{2}}` a _{3} RIGHT ) TIMES LEFT ( log` _{ a _{3}}` a _{4} RIGHT )]
[eqn: VDOTS]
[eqn: b _{n} = LEFT ( log` _{a _{1}} `a _{2} RIGHT ) TIMES LEFT ( log` _{a _{2}} `a _{3} RIGHT ) TIMES LEFT ( log` _{a _{3}} `a _{4} RIGHT ) TIMES]
[eqn: ` CDOTS ` TIMES LEFT ( log` _{a _{n}} `a _{n+1} RIGHT )]
[eqn: VDOTS]

일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} b _{k} =120 `]이다. [eqn: log` _{3} `r `]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 21
[출처]	2022 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능특강 대표 기출 문제

수열 [eqn: { left{` a_n `right} }{{from^2020^06^평가원고3가^}}]의 일반항은 [eqn: a_n =log _2 root{{2 left(n+1 right)}over{n+2}}]이다. [eqn: sum_{k = 1}^m { a_k]의 값이 [eqn: 100]이하의 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: m]의 값의 합은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: sum_{k=1}^{m} a_{k}][eqn: = sum_{k=1}^{m} log _{2} sqrt{{2(k+1)} over {k+2}}={1} over {2} sum_{k=1}^{m} log _{2} {2(k+1)} over {k+2}]
[eqn: ={1} over {2} left{ log _{2} {2 times 2} over {3}+ log _{2} {2 times 3} over {4}+ log _{2} {2 times 4} over {5}+ cdots+ log _{2} {2 times(m+1)} over {m+2} it right}]
[eqn: ={1} over {2} log _{2} left{ {2 times 2} over {3} times {2 times 3} over {4} times {2 times 4} over {5} times cdots times {2 times(m+1)} over {m+2} it right}]
[eqn: ={1} over {2} log _{2} {2^{m+1}} over {m+2}]
이때 [eqn: sum_{k=1}^{m} a_{k}=N(N]은 [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: )]라 하면
[eqn: ~ {1} over {2} log _{2} {2^{m+1}} over {m+2}=N], [eqn: {2^{m+1}} over {m+2}=2^{2 N}], [eqn: 2^{m+1-2 N}=m+2]

이므로 [eqn: m+2]는 [eqn: rm 2]의 거듭제곱이어야 한다.

[eqn: m geq 1]이므로 [eqn: m=2^{l}-2]( [eqn: l]은 [eqn: rm 2] 이상의 자연수 [eqn: )]로 놓으면

[eqn: 2^{m+1-2 N}=m+2]에서

[eqn: 2^{2^{l}-1-2 N}=2^{l}]

즉, [eqn: 2^{l}-2 N=l+1]

이때 좌변이 짝수이므로 [eqn: l]은 홀수이고,

역으로 [eqn: l]이 [eqn: rm 2] 이상인 홀수이면

[eqn: N={1} over {2} left(2^{l}-l-1 right)]은 자연수이다.

[eqn: {1} over {2} left(2^{l}-l-1 right) leq 100]에서 [eqn: 2^{l}-l-1 leq 200]을 만족시키는 [eqn: rm 2]이상의 홀수 [eqn: l]의 값은 [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7]이다.

따라서 모든 [eqn: m]의 값은

[eqn: 2^{3}-2], [eqn: 2^{5}-2], [eqn: 2^{7}-2]이고 그 합은

[eqn: 6+30+126=162]

① [eqn: 150]	② [eqn: 154]	③ [eqn: 158]

④ [eqn: 162]	⑤ [eqn: 166]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 11

수열 [eqn: { left{` a_n `right} }]의 일반항이

[정답] ②

[해설]

[eqn: root 3n+1 =x], [eqn: root 3n-2 =y]라 하면

[eqn: root{9n^2 -3n-2}=root{left(3n-1right)left(3n+2right)}=xy],

[eqn: 6n-1=left(3n-1right)+left(3n+2right)=x^2 +y^2],

[eqn: x^2 -y^2 =3]이므로

[eqn: a_n][eqn: = {sqrt{9n^2 -3n-2} +6n-1} over{sqrt{3n+1} +sqrt{3n-2}}]
[eqn: = {xy+ x^2 +y^2 } over{x+y }]
[eqn: ={(x-y)(x^2 +xy +y^2 )} over{(x-y)(x+y)}]
[eqn: = {x^3 -y^3 } over{x^2 - y^2}]
[eqn: ={x^3 -y^3 } over3]
[eqn: = {(sqrt{3n+1})^3 - (sqrt{3n-2})^3} over3]

[eqn: therefore][eqn: sum _{ n=1} ^{ 16} {(sqrt{3n+1})^3 - (sqrt{3n-2})^3} over3]
[eqn: = 1over 3 right{ left{ (root4 )^3 - (root1 )^3 right} + left{ (root7 )^3 - (root4 )^3 right}]
[eqn: + cdots + left{ (root49 )^3 - (root46 )^3 right}]
[eqn: = 1over3 (7^3 -1^3 )]
[eqn: =114 from 넘버41]

[eqn: a_n = {sqrt{9n^2 -3n-2} +6n-1} over{sqrt{3n+1} +sqrt{3n-2}}]

일 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{ 16 } a_n]의 값은?

① [eqn: 110]	② [eqn: 114]	③ [eqn: 118]

④ [eqn: 122]	⑤ [eqn: 126]

03 수1	10 수열의합
03 여러가지 수열
06 여러가지 수열3 (군수열)

[출처]	2002 모의_공공 교육청 고2 11월 8

오른쪽

[eqn: times]	[eqn: rm 1]	[eqn: rm 2]	[eqn: rm 3]	[eqn: rm 4]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 20]
[eqn: rm 1]		㉠
[eqn: rm 2]
[eqn: rm 3]				㉡
[eqn: rm 4]
[eqn: vdots]
[eqn: rm 20]			㉢

그림과 같은 표 안의 각 빈 칸에 가로줄의 수와 세로줄의 수의 곱을 써넣기로 한다. 예를 들어 ㉠, ㉡, ㉢ 에는 각각 [eqn: 2], [eqn: 12], [eqn: 60]을 써넣는다. 어두운 부분의 빈 칸에 써넣을 모든 수들의 합은?

[정답] ②

[해설]

각 빈 칸에 들어갈 수들은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: 20] 중 (같은 두 수를 포함하여) 두 수의 곱이다.

즉, [eqn: (1+2+3+ cdots+20)^{2}]을 전개했을 때의 모든 항들이다.

따라서, 구하는 수들의 합은

[eqn: (1+2+3+ cdots+20)^{2}=210^{2}=44100]

① [eqn: rm 44000]	② [eqn: rm 44100]	③ [eqn: rm 44200]

④ [eqn: rm 44300]	⑤ [eqn: rm 44400]

[출처]	2004 모의_공공 평가원 고3 예비 24

[eqn: rm 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 분모는 [eqn: 2^{n}]꼴이고, 분자는 분모보다 작은 홀수인 모든 분수로 이루어진 다음 수열에서 첫째 항부터 제[eqn: rm 126]항까지의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: 63]

[해설]

주어진 수열을 분모가 같은 것끼리 군으로 묶으면

[eqn: LEFT ( {1} over {2 ^{2}} ,~ {3} over {2 ^{2}} RIGHT ) ,]	[eqn: LEFT ( {1} over {2 ^{3}} ,~ {3} over {2 ^{3}} ,~ {5} over {2 ^{3}} ,~ {7} over {2 ^{3}} RIGHT ) ,]
제[eqn: 1]군	제[eqn: 2]군

[eqn: LEFT ( {1} over {2 ^{4}} ,~ {3} over {2 ^{4}} ,~ {5} over {2 ^{4}} ,~ {7} over {2 ^{4}} ,~ CDOTS ,~ {15} over {2 ^{4}} RIGHT ) ,~]	[eqn: CDOTS]
제[eqn: 3]군	[eqn: CDOTS]

이때, 각 군의 항 수가 [eqn: 2,~4,~8,CDOTS]이므로 제[eqn: n]군까지의 항 수는

[eqn: SUM from { { k}=1} to n 2^k = {2 left( 2^n - 1)} over { 2-1} = 2(2^n - 1)]

[eqn: 2(2^n - 1) = 126]에서 [eqn: 2^n - 1 = 63]

[eqn: 2^n = 64][eqn: therefore~ n = 6]

따라서, 제[eqn: 6]군까지의 항 수가 [eqn: 126]이므로 구하는 합은 제[eqn: 1]군부터 제[eqn: 6]군까지의 합이다.

한편, 제[eqn: n]군의 분모는 [eqn: 2^n+1]이고, 분자의 합은

[eqn: SUM from { { k}=1} to 2^n (2k-1)][eqn: =2 SUM from { {k}=1} to 2^n k-2^n][eqn: =2 ․{2^n (1+2^n )} over 2 - 2^n]

[eqn: =4^n]

따라서, 구하는 합은

[eqn: SUM from { { n}=1} to 6 4^n over 2^n+1 = SUM from { { n}=1} to 6 2^n-1 = {2^6 -1} over {2 - 1} = 64-1 = 63]

[eqn: {1} over {2^{2}}], [eqn: {3} over {2^{2}}], [eqn: {1} over {2^{3}}], [eqn: {3} over {2^{3}}], [eqn: {5} over {2^{3}}], [eqn: {7} over {2^{3}}], [eqn: {1} over {2^{4}}], [eqn: {3} over {2^{4}}], [eqn: cdots]

[출처]	2004 모의_공공 교육청 고2 06월 12

다음 규칙에 따라 자연수를 나열한다.

[정답] ③

[해설]

	[eqn: 1]열	[eqn: 2]열	[eqn: 3]열	[eqn: 4]열	[eqn: 5]열	[eqn: 6]열	[eqn: 7]열	[eqn: 8]열	[eqn: cdots]
제[eqn: rm 1]행	[eqn: rm 1]	[eqn: rm 2]	[eqn: rm 3]	[eqn: rm 4]	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 6]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 8]	[eqn: cdots]
제[eqn: 2]행	[eqn: rm 2]	[eqn: rm 3]	[eqn: rm 4]	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 6]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 8]	[eqn: rm 9]	[eqn: cdots]
제[eqn: 3]행	[eqn: rm 3]	[eqn: rm 3]	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 9]	[eqn: rm 9]	[eqn: cdots]
제[eqn: 4]행	[eqn: rm 4]	[eqn: rm 4]	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 10]	[eqn: rm 10]	[eqn: cdots]
제[eqn: 5]행	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 10]	[eqn: rm 10]	[eqn: cdots]
제[eqn: 6]행	[eqn: rm 6]	[eqn: rm 6]	[eqn: rm 6]	[eqn: rm 6]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 11]	[eqn: rm 11]	[eqn: cdots]
제[eqn: 7]행	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 11]	[eqn: rm 11]	[eqn: cdots]
제[eqn: 8]행	[eqn: rm 8]	[eqn: rm 8]	[eqn: rm 8]	[eqn: rm 8]	[eqn: rm 8]	[eqn: rm 8]	[eqn: rm 11]	[eqn: rm 11]	[eqn: cdots]
제[eqn: 9]행	[eqn: rm 9]	[eqn: rm 9]	[eqn: rm 9]	[eqn: rm 9]	[eqn: rm 9]	[eqn: rm 9]	[eqn: rm 11]	[eqn: rm 11]	[eqn: cdots]
제[eqn: 10]행	[eqn: rm 10]	[eqn: rm 10]	[eqn: rm 10]	[eqn: rm 10]	[eqn: rm 10]	[eqn: rm 10]	[eqn: rm 11]	[eqn: rm 11]	[eqn: cdots]
[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: ddots]

ㄱ. 제[eqn: rm 5]행을 규칙에 따라 써보면 제[eqn: rm 8]열이 [eqn: rm 10]이다. [eqn: therefore~]참

ㄴ. 제[eqn: rm 6]열에서 [eqn: rm 7]은 제[eqn: rm 2]행부터 나타나고 [eqn: rm 7]은 소수이므로 제[eqn: rm 7]행까지만 계속된다. 따라서 모두 [eqn: rm 6]번 나타난다. [eqn: therefore~]참

ㄷ. 제[eqn: rm 22]열은 제[eqn: rm 2]행부터 [eqn: rm 23]이 나타나며 [eqn: rm 23]은 소수이므로 제[eqn: rm 23]행까지 계속되고 제[eqn: rm 24]행에서 처음으로 [eqn: rm 24]가 나타난다. [eqn: therefore~]거짓

규칙 [eqn: rm 1]: 제[eqn: rm 1]행에는 자연수를 차례로 나열한다.

규칙 [eqn: rm 2]: 제[eqn: n]행에 나열된 수 [eqn: k]가 [eqn: n]의 배수이면 한 칸 아래에 [eqn: k+1]을 쓰고, 그렇지 않으면 [eqn: k]를 쓴다.

위의 규칙에 따라 자연수를 나열하면 다음과 같다.

	제[eqn: 1]열	제[eqn: 2]열	제[eqn: 3]열	제[eqn: 4]열	제[eqn: 5]열	제[eqn: 6]열	제[eqn: 7]열	제[eqn: 8]열	[eqn: cdots]
제[eqn: 1]행	[eqn: rm 1]	[eqn: rm 2]	[eqn: rm 3]	[eqn: rm 4]	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 6]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 8]	[eqn: cdots]
제[eqn: rm 2]행	[eqn: rm 2]	[eqn: rm 3]	[eqn: rm 4]	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 6]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 8]	[eqn: rm 9]	[eqn: cdots]
제[eqn: rm 3]행	[eqn: rm 3]	[eqn: rm 3]	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 9]	[eqn: rm 9]	[eqn: cdots]
제[eqn: rm 4]행	[eqn: rm 4]	[eqn: rm 4]	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 10]	[eqn: rm 10]	[eqn: cdots]
[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: ddots]

<보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

	<보 기>
ㄱ. 제[eqn: rm 5]행에서 제[eqn: rm 8]열의 수는 [eqn: rm 10]이다. ㄴ. 제[eqn: rm 6]열에서 [eqn: rm 7]은 [eqn: rm 6]번 나타난다. ㄷ. 제[eqn: rm 22]열에서 처음으로 [eqn: rm 24]가 나타나는 행은 제[eqn: rm 23]행 이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고2 11월 27

다음과 같이 각 행의 등식이 성립하도록 [eqn: □]안에 자연수를 넣으려고 한다.

[정답] [eqn: 225]

[해설]

제 [eqn: n]행의 좌변은 첫째항이 [eqn: a_{n}], 공차가 [eqn: n]인 등차수열의 [eqn: (n+1)]개 항의 합이고, 우변은 첫째항이 [eqn: a_{n}+n(n+1)]이고 공차가 [eqn: n]인 등차수열의 [eqn: n]개 항의 합이므로

[eqn: a_{n}+ left(a_{n}+n right)+ left(a_{n}+2 n right)+ cdots+ left(a_{n}+n^{2} right)]
[eqn: = left{ a_{n}+n(n+1) it right} + left{ a_{n}+n(n+2) it right} + cdots]
[eqn: + left(a_{n}+2 n^{2} right)]
[eqn: {(n+1) left(2 a_{n}+n^{2} right)} over {2}={n left(2 a_{n}+3 n^{2}+n right)} over {2}]
[eqn: therefore~a_{n}=n^{3}]
[eqn: therefore~ sum_{k=1}^{5} a_{k}= sum_{k=1}^{5} k^{3}= left({5 cdot 6} over {2} right)^{2}=225]

제 [eqn: rm 1]행에 있는 [eqn: rm 3]개의 [eqn: □]안에 들어가는 수는 왼쪽부터 차례대로 공차가 [eqn: rm 1]인 등차수열을 이룬다.

제 [eqn: rm 2]행에 있는 [eqn: rm 5]개의 [eqn: □]안에 들어가는 수는 왼쪽부터 차례대로 공차가 [eqn: rm 2]인 등차수열을 이룬다.

제[eqn: rm 3]행에 있는 [eqn: rm 7]개의 [eqn: □]안에 들어가는 수는 왼쪽부터 차례대로 공차가 [eqn: rm 3]인 등차수열을 이룬다.

[eqn: VDOTS]

제 [eqn: n]행에 있는 [eqn: (2 n+1)]개의 [eqn: □]안에 들어가는 수는 왼쪽부터 차례대로 공차가 [eqn: n]인 등차수열을 이룬다.

제 [eqn: n]행의 맨 왼쪽의 수를 [eqn: a_{n}]이라 할 때, [eqn: sum_{k=1}^{5} a_{k}]의 값을 구하시오.

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고2 11월 26

그림과 같은 규칙으로 위에서부터 차례로 숫자를 써내려간다. 예를 들어 [eqn: rm 17]은 위에서 [eqn: rm 4]번째, 왼쪽에서 [eqn: rm 7]번째에 위치하고 있다. [eqn: rm 2008]은 위에서 [eqn: m]번째, 왼쪽에서 [eqn: n]번째에 위치한다고 할 때, [eqn: m+n]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 485]

[해설]

각 행의 마지막 숫자들만 나열한 수열을 [eqn: left{ a_{n} it right}]이라 하면 [eqn: left{ a_{n} it right}]은 [eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 10], [eqn: 22], [eqn: 46], [eqn: cdots]이다. [eqn: left{ a_{n} it right}]의 계차수열이 첫째항이 [eqn: rm 3], 공비가 [eqn: rm 2]인 등비수열이다.

[eqn: therefore~a_{n}=1+ sum_{k=1}^{n-1} 3 cdot 2^{k-1}=3 cdot 2^{n-1}-2]

그러므로 [eqn: rm 2008]에 가장 가까운 마지막 항을 구하면 [eqn: n=10]일 때, [eqn: rm 1534]이다. 그러므로 [eqn: rm 2008]은 다음 행의 [eqn: rm 1535]부터 [eqn: rm 474]번째에 위치한다.

[eqn: therefore~m=11], [eqn: n=474]

[eqn: therefore~m+n=485]

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 17
[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 10월 17

그림과 같이 제 [eqn: 1 `]행에는 [eqn: 1 `]개, 제 [eqn: 2 `]행에는 [eqn: 2 `]개,[eqn: `CDOTS`],
제 [eqn: n `]행에는 [eqn: n `]개의 직사각형을 나열하고 그 안에 다음과 같은 규칙으로 수를 적었다.

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: <10`,``1>`+`<10`,``10>`=`2``] (참)

ㄴ. [eqn: <n`+`1,``2>`+`<n`+`1`,``n>`=`2n`]이므로

[eqn: <11`,``2>`+`<11`,``10>`=`20``](참)

ㄷ. 제 [eqn: n`]행의 수의 합을 [eqn: S_{n}``]라 하면 [eqn: S_{n+1}`=`2`S_{n}``]

∴ [eqn: <12`,``3>`+`<12`,``4>`+`cdots`+`<12`,``10>`]

[eqn: =`2^{11}`-`2`-`22`=`2024] (참)

(가) 제 [eqn: 1 `]행의 직사각형에는 [eqn: 1 `]을 적는다.

(나) 제 [eqn: n+1 `]행의 왼쪽 끝 직사각형에는 제 [eqn: n `]행의 왼쪽 끝 직사각형에 적힌 수보다 [eqn: 1 `]이 큰 수를 적는다.

(다) 제 [eqn: n+1 `]행의 오른쪽 끝 직사각형에는 제 [eqn: n `]행의 오른쪽 끝 직사각형에 적힌 수보다 [eqn: 1 `]이 작은 수를 적는다.

(라) 제 [eqn: n+1 `]행의 안쪽 직사각형에는 그 직사각형에 인접한 제 [eqn: n `]행의 두 직사각형에 적힌 수의 합을 적는다.

제 [eqn: 1`]행						[eqn: 1]
제 [eqn: 2`]행					[eqn: 2]		[eqn: 0]
제 [eqn: 3`]행				[eqn: 3~]		[eqn: 2]		[eqn: -1]
제 [eqn: 4`]행			[eqn: 4]		[eqn: 5]		[eqn: 1]		[eqn: -2]
제 [eqn: 5`]행		[eqn: 5]		[eqn: 9]		[eqn: 6]		[eqn: -1]		[eqn: -3]
[eqn: VDOTS]		[eqn: VDOTS]

제 [eqn: n `]행의 맨 왼쪽으로부터 [eqn: k `]번째 직사각형에 적힌 수를 [eqn: LEFT < n,`` k RIGHT >`]로 나타내자. 예를 들어 [eqn: LEFT < 4,`` 2 RIGHT > = 5 `]이다. 이 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: LEFT < 10,``1 RIGHT > + LEFT < 10,``10 RIGHT > = 2] ㄴ. [eqn: LEFT < 11,``2 RIGHT > + LEFT < 11,``10 RIGHT > =20] ㄷ. [eqn: LEFT < 12,``3 RIGHT > + LEFT < 12,``4 RIGHT > + `CDOTS` + LEFT < 12,``10 RIGHT > =2024]

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2013 모의_공공 경찰대 고3 07월 12

그림과 같이 자연수 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: cdots]를 나선 모양으로 차례로 적을 때, [eqn: rm 1000]과 이웃한 [eqn: rm 8]개의 수 중에서 가장 작은 것은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: rm 2]부터 [eqn: (2 n+1)^{2}-(2 n-1)^{2}=8 n]씩 묶어서 군으로 생각하면 [eqn: n]군의 가장 큰 수는 [eqn: (2 n+1)^{2}]이다.

[eqn: (2 cdot 14+1)^{2}=841]

[eqn: (2 cdot 15+1)^{2}=961]

[eqn: (2 cdot 16+1)^{2}=1089]

이므로 [eqn: rm 1000]은 [eqn: rm 16]군의 [eqn: rm 39]번째 수이다.

[eqn: n]군은 ⇧ ⇦ ⇩ ⇨ 순으로 [eqn: 2 n]개의 수가 나열되므로

구하는 수는 그림과 같이 [eqn: rm 15]군의 [eqn: rm 35]번째 수이다.

따라서 구하는 수는 [eqn: 841+35=876]이다.

	[eqn: rm 17]	[eqn: rm 16]	[eqn: rm 15]	[eqn: rm 14]	[eqn: rm 13]
	[eqn: rm 18]	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 4]	[eqn: rm 3]	[eqn: rm 12]
	[eqn: rm 19]	[eqn: rm 6]	[eqn: rm 1]	[eqn: rm 2]	[eqn: rm 11]
	[eqn: rm 20]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 8]	[eqn: rm 9]	[eqn: rm 10]
	[eqn: rm 21]	[eqn: rm 22]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]

① [eqn: rm 868]	② [eqn: rm 872]	③ [eqn: rm 876]

④ [eqn: rm 880]	⑤ [eqn: rm 884]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 03월 20
[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 03월 21

자연수 [eqn: n]에 대하여 다음과 같이 모든 자연수를 작은 것부터 [eqn: n]행에 [eqn: n]개씩 차례로 나열하였다. 이때 [eqn: n]행에 있는 [eqn: n]의 배수를 [eqn: a_{n}]이라 하자. 예를 들어 [eqn: a_{2}=2], [eqn: a_{5}=15]이다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: n geq 2]일 때, 제 [eqn: n-1]행의 맨 오른쪽 끝의 수는 [eqn: 1+2+3+ cdots+(n-1)= sum_{k=1}^{n-1} k={n(n-1)} over {2}]이다.

따라서 [eqn: a_{n}]은 [eqn: {n(n-1)} over {2}]보다 큰 수 중 가장 작은 [eqn: n]의 배수이다.

i) [eqn: n]이 홀수일 때,
[eqn: {n(n-1)} over {2}]이 [eqn: n]의 배수이므로
[eqn: a_{n}={n(n-1)} over {2}+n={n(n+1)} over {2}]
[eqn: a_{2 n-1}={(2 n-1)(2 n-1+1)} over {2}=2 n^{2}-n]

ii) [eqn: n]이 짝수일 때,
[eqn: {n(n-1)} over {2}=n times {n-2} over {2}+{n} over {2}]이므로
[eqn: a_{n}={n(n-1)} over {2}+{n} over {2}={1} over {2} n^{2}]
[eqn: a_{2 n}={1} over {2}(2 n)^{2}=2 n^{2}]

[eqn: therefore~ sum_{n=1}^{30} a_{n}= sum_{n=1}^{15} left(a_{2 n-1}+a_{2 n} right)]

[eqn: = sum_{n=1}^{15} left(2 n^{2}-n+2 n^{2} right)]

[eqn: =4 sum_{n=1}^{15} n^{2}- sum_{n=1}^{15} n]

[eqn: =4 times {15 times 16 times 31} over {6}-{15 times 16} over {2}]

[eqn: =4840]

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여 [eqn: sum_{n=1}^{30} a_{n}]의 값은?

① [eqn: rm 4800]	② [eqn: rm 4820]	③ [eqn: rm 4840]

④ [eqn: rm 4860]	⑤ [eqn: rm 4880]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 11월 29

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: rm 1]행에는 [eqn: rm 1]개, [eqn: rm 2]행에는 [eqn: rm 3]개, [eqn: cdots], [eqn: n]행에는 [eqn: (2 n-1)]개의 크기가 같은 원을 나열하고 그 안에 다음 규칙에 따라 숫자를 써넣는다.

[정답] [eqn: 247]

[해설]

[eqn: n geq 2]일 때,

[eqn: n]행의 홀수 번째 놓인 원 안에는 [eqn: (2 n-1)]이 [eqn: n]개,

[eqn: n]행의 짝수 번째 놓인 원 안에는

[eqn: left{ 2 times(2 n-1)+(2 n-3) it right}]이 [eqn: (n-1)]개 쓰여 있다.

[eqn: n]행의 모든 수의 합을 [eqn: a_{n}]이라 하면

[eqn: a_{n}][eqn: =(2 n-1) n+(6 n-5)(n-1)]
[eqn: =8 n^{2}-12 n+5(n geq 2)]

[eqn: a_{1} =1]이므로

[eqn: a_{n} =8 n^{2}-12 n+5(n geq 1)]

[eqn: therefore~ ~ S][eqn: = sum_{n=1}^{10} left(8 n^{2}-12 n+5 right)]
[eqn: =8 sum_{n=1}^{10} n^{2}-12 sum_{n=1}^{10} n+ sum_{n=1}^{10} 5]
[eqn: =8 times {10 times 11 times 21} over {6}-12 times {10 times 11} over {2}+5 times 10]
[eqn: =2470]

따라서 [eqn: {S} over {10}=247]

(가) [eqn: rm 1]행의 원 안에는 [eqn: rm 1]을 써 넣는다.

(나) [eqn: n geq 2]일 때, [eqn: n]행의 홀수 번째 놓인 원 안에는 [eqn: (2 n-1)]을 써넣는다. [eqn: n]행의 짝수 번째 놓인 원 안에는 [eqn: (n-1)]행과 [eqn: n]행에 놓인 원 중에서, [eqn: n]행의 짝수 번째 놓인 원과 접하는 세 원 안에 쓰인 수의 합을 써넣는다.

[eqn: rm 1]행부터 [eqn: rm 10]행까지 나열된 원 안에 써넣은 모든 수의 합을 [eqn: S]라 할 때, [eqn: {S} over {10}]의 값을 구하시오.

03 수1	10 수열의합
04 항등식과 수열, 활용
01 항등식과 수열1 (합과 일반항의 관계)

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 03월 18

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여 [eqn: sum_{n=1}^{20} a_{n}=p]라 할 때, 등식	[eqn: 2 a_{n}+n=p ~ (n geq 1)]

[정답] ③

[해설]

[eqn: 2 a_{n}+n=p]에

[eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: 20]을 대입하면

[eqn: 2 a_{1}+1=p]

[eqn: 2 a_{2}+2=p]

[eqn: cdots]

[eqn: 2 a_{20}+20=p]

변끼리 더하면

[eqn: 2 left(a_{1}+a_{2}+ cdots+a_{20} right)+(1+2+ cdots+20)=20 p]

[eqn: 2 p+{20 times 21} over {2}=20 p]

[eqn: 18 p=210]

[eqn: THEREFORE p= { 35} over { 3}]

[eqn: 2 a_{10}+10={35} over {3}]에서

[eqn: a_{10}={1} over {2} left({35} over {3}-10 right)={5} over {6}]

가 성립한다. [eqn: a_{10}]의 값은? (단, [eqn: p]는 상수이다.)

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {5} over {6}]

④ [eqn: {11} over {12}]	⑤ [eqn: rm 1]

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 25

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] [eqn: rm 18]

[해설]

[eqn: sum_{k=1}^{n} left(a_{2 k-1}+a_{2 k} right)=2 n^{2}-n]이므로 [eqn: n geq 2]일 때,

[eqn: a _{2n-1} +a _{2n}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( a _{2k-1} +a _{2k} RIGHT ) - sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( a _{2k-1} +a _{2k} RIGHT )]
[eqn: = left(2 n^{2}-n right)- left{ 2(n-1)^{2}-(n-1) it right}]
[eqn: =4 n-3]

[eqn: therefore~ left(a_{9}+a_{10} right)+ left(a_{11}+a_{12} right)=17+21=38]

[eqn: therefore~a_{9}+a_{12}=38- left(a_{10}+a_{11} right)=38-20=18]

[eqn: sum_{k=1}^{n} left(a_{2 k-1}+a_{2 k} right)=2 n^{2}-n]

을 만족시킨다. [eqn: a_{10}+a_{11}=20]일 때, [eqn: a_{9}+a_{12}]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 28

수열 [eqn: {LEFT { a_n RIGHT }}{{from^2020^06^평가원고3나^}}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] [eqn: bold { 58 }]

[해설]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} {4k-3} over {a _{k}} =2n ^{2} +7n]을 만족하므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {4k-3} over {a _{k}} - sum _{k=1} ^{n-1} {4k-3} over {a _{k}}]
[eqn: =2n ^{2} +7n- LEFT { 2(n-1) ^{2} +7(n-1) RIGHT }]
[eqn: =4n+5]

즉, [eqn: {4n-3} over {a _{n}} =4n+5]이므로

[eqn: a _{n} = {4n-3} over {4n+5}] (단, [eqn: n GEQ 2)]

[eqn: n=5]를 대입하면 [eqn: a_5 = 17 over 25]

[eqn: n=7]를 대입하면 [eqn: a_5 = 25 over 33]

[eqn: n=9]를 대입하면 [eqn: a_5 = 33 over 41]

[eqn: therefore][eqn: a_5 TIMES a_7 TIMESa_9 = { 17} over {25 } TIMES { 25} over {33 } TIMES { 33} over {41 }][eqn: ={ 17} over { 41}]

따라서 [eqn: p=41], [eqn: q=17]이므로 [eqn: p+q=58]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {4k-3} over {a _{k}} =2n ^{2} +7n]

을 만족시킨다. [eqn: a _{5} TIMES a _{7} TIMES a _{9} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

03 수1	10 수열의합
04 항등식과 수열, 활용
02 항등식과 수열2 (주어진 일반항)

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 04월 12

자연수 [eqn: m]에 대하여 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 일반항이 [eqn: a_{n}= left[{n} over {m} right]]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: m=2]일 때, [eqn: a_{5}= left[{5} over {2} right]=2]이다. (참)

ㄴ. [eqn: m=3]일 때,
[eqn: sum_{k=1}^{100} left[{k} over {3} right]=3 sum_{k=1}^{32} k+33+33=1650]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: sum_{k=1}^{m n} left[{k} over {m} right]=m sum_{k=1}^{n-1} k+n]
[eqn: ={n(m n-m+2)} over {2}]  (참)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: m=2]일 때, [eqn: a_{5}=2]이다. ㄴ. [eqn: m=3]일 때, [eqn: sum_{k=1}^{100} a_{k}=1683]이다. ㄷ. [eqn: sum_{k=1}^{m n} a_{k}={n(m n-m+2)} over {2}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

03 수1	10 수열의합
04 항등식과 수열, 활용
03 항등식과 수열3 (일반항 구하기)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 03월 21

첫째항이 [eqn: rm 1]인 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여 수열 [eqn: left{ b_{n} it right}]을

[정답] ②

[해설]

등차수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{n} =1+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d`]이므로

[eqn: b _{n}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} k`left{1+ LEFT ( k-1 RIGHT ) d`right}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{n} `left{dk ^{2} + LEFT ( 1-d RIGHT ) k`right}]
[eqn: =d sum _{k=1} ^{n} `k ^{2} + LEFT ( 1-d RIGHT ) sum _{k=1} ^{n} k]
[eqn: = {dn LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {6} + {LEFT ( 1-d RIGHT ) n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2}]
[eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {6} TIMES left{d LEFT ( 2n+1 RIGHT ) +3 LEFT ( 1-d RIGHT ) right}]
[eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {6} TIMES LEFT ( 2dn-2d+3 RIGHT )]

[eqn: b _{10} =715`]이므로

[eqn: {10 TIMES 11} over {6} TIMES LEFT ( 20d-2d+3 RIGHT ) =715]

[eqn: 18d+3=39]

[eqn: 18d=36]

[eqn: d=2]

[eqn: b _{n}][eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {6} TIMES LEFT ( 2times2timesn-2times2+3 RIGHT )]
[eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {6} TIMES LEFT ( 4n-1 RIGHT )]

[eqn: {b _{n}} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )} = {1} over {6} LEFT ( 4n-1 RIGHT )]

따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{10} {b _{n}} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )} `][eqn: = sum _{n=1} ^{10} {1} over {6} LEFT ( 4n-1 RIGHT )]
[eqn: = {1} over {6} LEFT ( 220-10 RIGHT )]
[eqn: =35]

[다른 풀이]

등차수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{n} =1+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d`]이므로

[eqn: b _{n}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} k`left{1+ LEFT ( k-1 RIGHT ) d`right}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{n} `left{dk ^{2} + LEFT ( 1-d RIGHT ) k`right}]
[eqn: =d sum _{k=1} ^{n} `k ^{2} + LEFT ( 1-d RIGHT ) sum _{k=1} ^{n} k]
[eqn: = {dn LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {6} + {LEFT ( 1-d RIGHT ) n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2}]
[eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {6} TIMES left{d LEFT ( 2n+1 RIGHT ) +3 LEFT ( 1-d RIGHT ) right}]
[eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {6} TIMES LEFT ( 2dn-2d+3 RIGHT )]

[eqn: {b _{n}} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )}][eqn: = {3-2d+2dn} over {6}]
[eqn: = {1} over {2} + LEFT ( n-1 RIGHT ) {d} over {3}]

이므로

수열 [eqn: left{ {b _{n}} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )} right}`]은 첫째항이 [eqn: {1} over {2}]이고 공차가 [eqn: {d} over {3} `]인 등차수열이다.

[eqn: b _{10} =715`]이므로

수열 [eqn: left{ {b _{n}} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )} right}`]의 제[eqn: 10]항은

[eqn: {b _{10}} over {10times11} = {715} over {10times11} = {13} over {2}]

따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{10} {b _{n}} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )} `][eqn: = {10times LEFT ( {1} over {2} + {13} over {2} RIGHT )} over {2}]
[eqn: = {10times7} over {2}]
[eqn: =35]

[eqn: b _{n} =a _{1} +2a _{2} +3a _{3} + `CDOTS` +na _{n}][eqn: LEFT (n GEQ 1 RIGHT )]

이라 하자. [eqn: b_{10}=715]일 때, [eqn: sum_{n=1}^{10} {b_{n}} over {n(n+1)}]의 값은?

① [eqn: rm 30]	② [eqn: rm 35]	③ [eqn: rm 40]

④ [eqn: rm 45]	⑤ [eqn: rm 50]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 06월 19

자연수 [eqn: n `]에 대하여 두 실수 [eqn: a `]와 [eqn: b `]가

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: n=1`]일 때 [eqn: 2 ^{a} =10`]에서

로그의 정의에 의해 [eqn: a=log _{2} 10`]이므로

[eqn: a-1=log _{2} 10-log _{2} 2=log _{2} {10} over {2} =log _{2} 5`]이다.  (참)

ㄴ. [eqn: n=2`]일 때 [eqn: 2 ^{a} =10 ^{2} `]에서

로그의 정의에 의해 [eqn: a=log _{2} 10 ^{2} `]이다.

[eqn: a-2=log _{2} 10 ^{2} -log _{2} 2 ^{2} =log _{2} {10 ^{2}} over {2 ^{2}} =log _{2} 5 ^{2} =2log _{2} 5`]

[eqn: 5 ^{b} =10 ^{2} `]에서 [eqn: b=log _{5} 10 ^{2} `]이다.

[eqn: b-2=log _{5} 10 ^{2} -log _{5} 5 ^{2} =log _{5} {10 ^{2}} over {5 ^{2}} =log _{5} 2 ^{2} =2log _{5} 2`]

따라서 [eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( b-2 RIGHT ) =2log _{2} 5 TIMES 2log _{5} 2=4`]이다.  (참)

ㄷ. ㄴ과 마찬가지 방법으로 계산하면

[eqn: a=log _{2} 10 ^{n} `]에서 [eqn: a-n=log _{2} 10 ^{n} -log _{2} 2 ^{n} =n`log _{2} 5`]

[eqn: b=log _{5} 10 ^{n} `]에서 [eqn: b-n=log _{5} 10 ^{n} -log _{5} 5 ^{n} =n`log _{5} 2`]

[eqn: LEFT ( a-n RIGHT ) LEFT ( b-n RIGHT ) =n`log _{2} 5 TIMES n`log _{5} 2=n ^{2} ` {log5} over {log2} TIMES {log2} over {log5} =n ^{2} `]

이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{20} {LEFT ( a-n RIGHT ) LEFT ( b-n RIGHT )} over {n} = sum _{n=1} ^{20} {n ^{2}} over {n} = sum _{n=1} ^{20} n=210`]이다.  (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: 2 ^{a} =5 ^{b} =10 ^{n}`]

을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: n=1 `]이면 [eqn: a-1=log` _{2} `5 `]이다. ㄴ. [eqn: n=2 `]이면 [eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( b-2 RIGHT ) =4 `]이다. ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{20} { LEFT ( a-n RIGHT ) LEFT ( b-n RIGHT )} over {n} =210 `]이다.

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[준킬러][수학1] 5수열1(빠른 정답)
프로젝트	2023.01.06

[정답] ④

[정답] [eqn: 24]

[정답] [eqn: bold80`]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] [eqn: 44]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ①

[정답] [eqn: 13]

[정답] ③

[정답] [eqn: 35]

[정답] [eqn: 150]

[정답] [eqn: 375]

[정답] ②

[정답] [eqn: bold400]

[정답] ③

[정답] [eqn: 22]

[정답] [eqn: 61]

[정답] [eqn: 33]

[정답] [eqn: bold { 273 }]

[정답] ①

[정답] [eqn: rm 45]

[정답] [eqn: 23]

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] [eqn: 5]

[정답] ③

[정답] [eqn: 18]

[정답] ③

[정답] [eqn: 84]

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 117 }]

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ①

[정답] [eqn: 835]

[정답] [eqn: 8]

[정답] [eqn: 27]

[정답] [eqn: 27]

[정답] ①

[정답] [eqn: 25]

[정답] [eqn: 11]

[정답] [eqn: bold80`]

[정답] [eqn: 9]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ①

[정답] [eqn: 22]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold3]

[정답] [eqn: 24]

[정답] [eqn: 26]

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 13 }]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] [eqn: 25`]

[정답] [eqn: 170]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: bold{ 242]

[정답] [eqn: bold { 162 }]

[정답] ①

[정답] [eqn: 29]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ③

[정답] [eqn: 27]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: 63]

[정답] ③

[정답] [eqn: 225]

[정답] [eqn: 485]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: 247]

[정답] ③

[정답] [eqn: rm 18]

[정답] [eqn: bold { 58 }]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[준킬러][수학1] 5수열1(해설)
프로젝트	2023.01.06