	준킬러수1	[준킬러][수학1] 4삼각함수
	04
		프로젝트	2023.01.06

03 수1	05 삼각함수의 정의
02 삼각함수의 정의
09 활용1 (삼각함수의 정의)

준킬러수1		프로젝트
		[준킬러][수학1] 4삼각함수
04

	프로젝트		준킬러수1
	[준킬러][수학1] 4삼각함수		04

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 06월 19

그림과 같이 원점 [eqn: rmO `]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmP LEFT (1,`` 0 RIGHT ) `]을 지나는 원과 곡선 [eqn: y=a ^{x}][eqn: LEFT (a>1 RIGHT ) `]이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB `]라 하자. [eqn: rm ANGLE APB= {pi } over {12} `]일 때, [eqn: a `]의 값은?

[정답] ②

[해설]

그림의 직각삼각형 [eqn: rm AOC`]에서 [eqn: {bar{rmOA}} =1`]이고

[eqn: ANGLE rm AOC= {pi } over {6} `]이므로 [eqn: {bar{rm AC it}} = {1} over {2} `], [eqn: {bar{rm OC it}} = {sqrt {3}} over {2} `]이다. 따라서 점 [eqn: rmA`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( - {1} over {2} ,``` {sqrt {3}} over {2} ` RIGHT ) `]이므로 [eqn: y=a ^{x}`]에서 [eqn: {sqrt {3}} over {2} =a ^{- {1} over {2}} `]이고 [eqn: a= {4} over {3} `]이다.

[다른 풀이]

[eqn: rm ANGLE APB= {pi } over {12} `]에서 원주각과 중심각의 관계에 의해

[eqn: rm ANGLE AOB= {pi } over {6}`]이므로 점 [eqn: \A`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: cos {2} over {3} pi =`- {1} over {2} `],

[eqn: y`]좌표는 [eqn: sin {2} over {3} pi= {sqrt {3}} over {2}`]이다. [eqn: y=a ^{x}`]에서 [eqn: {sqrt {3}} over {2} =a ^{- {1} over {2}} `]이고 [eqn: a= {4} over {3} `]이다.

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 09월 20

그림과 같이 길이가 [eqn: 2`]인 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하고 중심이 [eqn: rm O`]인 반원이 있다. 호 [eqn: rmAB`] 위에 점 [eqn: rmP`]를 [eqn: cos LEFT ( ANGLE rm BAP RIGHT ) `= {4} over {5} `]가 되도록 잡는다. 부채꼴 [eqn: rm OBP`]에 내접하는 원의 반지름의 길이가 [eqn: r _{1} `], 호 [eqn: rm AP`]를 이등분하는 점과 선분 [eqn: rm AP`]의 중점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름의 길이가 [eqn: r _{2} `]일 때, [eqn: r _{1} `r _{2}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

반지름의 길이가 [eqn: r_1 `]인 원의 중심을 [eqn: rmC], 선분 [eqn: rmAP]의 중점을 [eqn: rm D]라 하자. [eqn: ANGLE rm BAP= theta `]라 할 때, [eqn: cos theta = {4} over {5}]이므로 [eqn: sin theta = {3} over {5}][eqn: left (0< theta < {pi } over {2}right )]

(ⅰ) [eqn: ANGLE rm BOP=2 theta `]이므로 [eqn: ANGLE rm BOC= theta `]

[eqn: r _{1} + {bar{rm OC it}} `=r _{1} + {r _{1}} over {sin theta } `=1`]

[eqn: r _{1} = {sin theta } over {1+sin theta } `= {3} over {8}]

(ⅱ) [eqn: 2r _{2} + {bar{rm OD it}} `=2r _{2} +sin theta =1]

[eqn: r _{2} = {1-sin theta } over {2} `= {1} over {5} `]

따라서 [eqn: r _{1} r _{2} = {3} over {40} `]

① [eqn: {3} over {40}]	② [eqn: {1} over {10}]	③ [eqn: {1} over {8}]

④ [eqn: {3} over {20}]	⑤ [eqn: {7} over {40}]

03 수1	05 삼각함수의 정의
02 삼각함수의 정의
10 활용2 (특수각의 확장)

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 06월 21

음이 아닌 세 정수 [eqn: {a}{{from^2019^06^부산교육청고2나^중}}], [eqn: b], [eqn: n]에 대하여

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: y=cos {pi x} over {4}]의 주기가 [eqn: 8]이고 함수 [eqn: y=tan {LEFT ( 2x+1 RIGHT ) pi } over {4}]의 주기가 [eqn: 2]이므로 다음과 같이 [eqn: 8]가지 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: n=8k] ([eqn: k]는 음이 아닌 정수)일 때
[eqn: cos {n } over {4} pi =cos 2k pi=1]이고, [eqn: tan {2n+1} over {4} pi =tan LEFT ( 4k+ {1} over {4} RIGHT ) pi =1]이다.
[eqn: LEFT ( a ^{2} +b ^{2} +2ab-4 RIGHT ) + LEFT ( b ^{2} +ab+2 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: a ^{2} +2b ^{2} +3ab-2=0]이다.
따라서 [eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) LEFT ( a+2b RIGHT ) =2]이고 [eqn: a+b LEQ a+2b]이므로 [eqn: a+b=1 ,````][eqn: a+2b=2]이다.
그러므로 [eqn: a=0], [eqn: b=1]인데 이것은 [eqn: a GEQ b]라는 조건에 맞지 않다.

(ⅱ) [eqn: n=8k+1] ([eqn: k]는 음이 아닌 정수)일 때
[eqn: cos {n} over {4} pi =cos LEFT ( 2k+ {1} over {4} RIGHT ) pi = {sqrt {2}} over {2}]이고 [eqn: tan {2n+1} over {4} pi =tan LEFT ( 4k+ {3} over {4} RIGHT ) pi = it -1]이므로[eqn: a ^{2} +b ^{2} +2ab-4=0], [eqn: b ^{2} +ab+2=0]이다.
[eqn: b ^{2} +ab+2=0]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b]는 존재하지 않는다.

(ⅲ) [eqn: n=8k+2] ([eqn: k]는 음이 아닌 정수)일 때
[eqn: cos {n} over {4} pi =cos LEFT ( 2k+ {1} over {2} RIGHT ) pi =0]이고 [eqn: tan {2n+1} over {4} pi =tan LEFT ( 4k+ {5} over {4} RIGHT ) pi =1]이므로 [eqn: b ^{2} +ab+2=0]이다.
[eqn: b ^{2} +ab+2=0]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b]는 존재하지 않는다.

(ⅳ) [eqn: n=8k+3] ([eqn: k]는 음이 아닌 정수)일 때
[eqn: cos {n} over {4} pi =cos LEFT ( 2k+ {3} over {4} RIGHT ) pi = it - {sqrt {2}} over {2}]이고 [eqn: tan {2n+1} over {4} pi =tan LEFT ( 4k+ {7} over {4} RIGHT ) pi =it-1]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} +2ab-4=0], [eqn: b ^{2} +ab+2=0]이다.
[eqn: b ^{2} +ab+2= 0]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b]는 존재하지 않는다.

(ⅴ) [eqn: n=8k+4] ([eqn: k]는 음이 아닌 정수)일 때
[eqn: cos {n} over {4} pi =cos LEFT ( 2k+1 RIGHT ) pi =it-1]이고, [eqn: tan {2n+1} over {4} pi =tan LEFT ( 4k+ {9} over {4} RIGHT ) pi =1]이다.
[eqn: - LEFT ( a ^{2} +b ^{2} +2ab-4 RIGHT ) + LEFT ( b ^{2} +ab+2 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: a ^{2} +ab-6=0]이다.
따라서 [eqn: a LEFT ( a+b RIGHT ) =6]이고 [eqn: a LEQ a+b]이므로
[eqn: a=1], [eqn: a+b=6] 또는 [eqn: a=2], [eqn: a+b=3]
그러므로 [eqn: a=1], [eqn: b=5] 또는 [eqn: a=2], [eqn: b=1]이다.
[eqn: a GEQ b]이므로 [eqn: a=2], [eqn: b=1]이다.

(ⅵ) [eqn: n=8k+5] ([eqn: k]는 음이 아닌 정수)일 때
[eqn: cos {n } over {4} pi =cos LEFT ( 2k+ {5} over {4} RIGHT ) pi =it- {sqrt {2}} over {2}]이고, [eqn: tan {2n+1} over {4} pi =tan LEFT ( 4k+ {11} over {4} RIGHT ) pi =it-1]이므로
[eqn: a ^{2} +b ^{2} +2ab-4=0], [eqn: b ^{2} +ab+2=0]이다.
[eqn: b ^{2} +ab+2=0]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b]는 존재하지 않는다.

(ⅶ) [eqn: n=8k+6] ([eqn: k]는 음이 아닌 정수)일 때
[eqn: cos {n} over {4} pi =cos LEFT ( 2k+ {3} over {2} RIGHT ) pi =0]이고 [eqn: tan {2n+1} over {4} pi =tan LEFT ( 4k+ {13} over {4} RIGHT ) pi =1]이므로 [eqn: b ^{2} +ab+2=0]이다. [eqn: b ^{2} +ab+2=0]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b]는 존재하지 않는다.

(ⅷ) [eqn: n=8k+7] ([eqn: k]는 음이 아닌 정수)일 때
[eqn: cos {n} over {4} pi =cos LEFT ( 2k+ {7} over {4} RIGHT ) pi = {sqrt {2}} over {2}]이고 [eqn: tan {2n+1} over {4} pi =tan LEFT ( 4k+ {15} over {4} RIGHT ) pi =it-1]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} +2ab-4=0], [eqn: b ^{2} +ab+2=0]이다.
[eqn: b ^{2} +ab+2=0]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b]는 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: n=8k+4] ([eqn: k]는 음이 아닌 정수)이고, [eqn: a=2], [eqn: b=1]이다. 그러므로 [eqn: a+b+ sin ^{2} {n} over {8} pi =2+1+sin ^{2} LEFT ( k+ {1} over {2} RIGHT ) pi =4]이다.

[eqn: LEFT ( a ^{2} +b ^{2} +2ab-4 RIGHT ) cos {n} over {4} pi + LEFT ( b ^{2} +ab+2 RIGHT ) tan {2n+1} over {4} pi =0]

일 때, [eqn: a+b+sin ^{2} {n} over {8} pi]의 값은? (단, [eqn: a GEQ b])

① [eqn: 4]	② [eqn: {19} over {4}]	③ [eqn: {11} over {2}]

④ [eqn: {25} over {4}]	⑤ [eqn: 7]

03 수1	05 삼각함수의 정의
02 삼각함수의 정의
11 활용3 (삼각함수 사이의 관계)

[출처]	2010 모의_공공 경찰대 고3 07월 12

그림과 같이 직사각형 [eqn: rmABCD`]의 꼭짓점 [eqn: rmA`]에서 대각선 [eqn: rmBD`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmE], 점 [eqn: rmE`]에서 두 변 [eqn: rmBC `]와 [eqn: rmCD`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmF`]와 [eqn: rmG`]라 하자. [eqn: rmbarEF =ita`]이고 [eqn: rmbarEG =itb`]일 때, 대각선 [eqn: rmBD`]의 길이는?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rm angle ADB = angle DBC = angle BAE = angle D EG]이므로 이 각을 [eqn: theta]라 하고

[eqn: rm barBD][eqn: =x]라 하면

[eqn: rm barAB][eqn: = x sin theta], [eqn: rmbar BE][eqn: =rm barAB sin theta][eqn: = x sin^2 theta], [eqn: rm bar EF][eqn: = rm bar BE sin theta][eqn: = x sin ^3 theta]

[eqn: rm bar AD][eqn: = x cos theta], [eqn: rm bar DE][eqn: =rm bar AD cos theta][eqn: = x cos ^2 theta], [eqn: rm bar EG][eqn: = rm barDE cos theta][eqn: = x cos^3 theta]

[eqn: therefore``` a = x sin^3 theta], [eqn: b = x cos ^3 theta]

[eqn: a^{2 over3 } + b^{2 over3}][eqn: = x^{2 over3} sin ^2 theta + x^{2 over3} cos^2 theta][eqn: = x^{2 over3}] (∵ [eqn: sin^2 theta + cos^2 theta =1])

이므로 [eqn: x = LEFT ( a^{2 over3 }+ b^{2 over3} RIGHT )^{3 over2}]

① [eqn: root2 LEFT ( a+b RIGHT )]	② [eqn: 2root{a^2 +b^2}]	③ [eqn: LEFT ( roota +rootb RIGHT )^2]

④ [eqn: LEFT ( a^{1over3}+b^{1over3} RIGHT )^3]	⑤ [eqn: LEFT ( a^{2over3}+b^{2over3} RIGHT )^{3over2}]

03 수1	05 삼각함수의 정의
02 삼각함수의 정의
12 활용4 (각변형규칙)

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고2 03월 21

그림과 같이 원점 [eqn: rmO `]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1 `]인 원 위의 점 [eqn: rmA `]가 제 [eqn: 2 `]사분면에 있을 때 동경 [eqn: rmOA `]가 나타내는 각의 크기를 [eqn: theta `]라 하자. 점 [eqn: rm B LEFT ( -1 ,`` 0 RIGHT ) `]을 지나는 직선 [eqn: x =`-1 `]과 동경 [eqn: rmOA `]가 만나는 점을 [eqn: rmC], 점 [eqn: rmA `]에서의 접선이 [eqn: x `]축과 만나는 점을 [eqn: rmD `]라 하자. 다음 중 삼각형 [eqn: rmOCD `]의 넓이에서 부채꼴 [eqn: rmOAB `]의 넓이를 뺀 어두운 부분의 넓이와 항상 같은 것은? (단, [eqn: pi over2 < theta <pi `])

[정답] ④

[해설]

삼각형 [eqn: rm`OBC]에서 [eqn: rm` bar{BC}][eqn: =tan( pi - theta )][eqn: `=`-`tan theta]

삼각형 [eqn: rm`OAD]에서 [eqn: rm ` ANGLE OAD=90°``]이므로

[eqn: cos`( pi - theta )= {1} over {rm ` bar{OD} it} ``]

∴ [eqn: rm ` bar{OD}][eqn: = {1} over {cos( pi - theta )}][eqn: `=`-` {1} over {cos theta }]

(삼각형 [eqn: rm`OCD]의 넓이)-(부채꼴[eqn: rm `OAB]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} (-`tan theta `)`` TIMES ``][eqn: LEFT ( `-` {1} over {cos theta } RIGHT )][eqn: - {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES ( pi - theta )][eqn: = {1} over {2} LEFT ( `` {sin theta } over {cos ^{2} theta } - pi + theta `` RIGHT )]

[다른풀이]

[eqn: bar{rm BC it} =tan`( pi - theta )`=`-tan` theta``]

원 위의 점 [eqn: rm `A(cos` theta `,```sin` theta )]에서 그은 접선의 방정식은 [eqn: x`cos theta `+y`sin theta =1]이므로

점 [eqn: rm `D]의 좌표는 [eqn: `left( {1} over {cos` theta } `,```0`right)``]이다.

∴ [eqn: rm bar{rm OD}][eqn: =- {1} over {cos` theta }]

(삼각형 [eqn: rm`OCD]의 넓이)-(부채꼴[eqn: rm `OAB]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} (-`tan theta `)`` TIMES ``][eqn: LEFT ( `-` {1} over {cos theta } RIGHT )][eqn: - {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES ( pi - theta )]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( `` {sin theta } over {cos ^{2} theta } - pi + theta `` RIGHT )]

① [eqn: 1over 2 LEFT ( - { cos`theta}over {sin`^2 theta} - pi+theta RIGHT )]

② [eqn: 1over 2 LEFT ( - {sin` theta}over {cos`^2 theta} - pi + theta RIGHT )]

③ [eqn: 1over 2 LEFT ( {cos`^2 theta}over {sin` theta} - theta RIGHT )]

④ [eqn: 1over 2 LEFT ( {sin` theta}over {cos`^2 theta} - pi+theta RIGHT )]

⑤ [eqn: 1over 2 LEFT ( {sin`^2 theta}over {cos` theta} - theta RIGHT )]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
01 삼각함수의 그래프
02 그래프2 (삼각함수의 그래프)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 28

[eqn: {0<a< {4} over {7}}{{from^2020^03^경기고3가^}}]인 실수 [eqn: a]와 유리수 [eqn: b]에 대하여 닫힌구간 [eqn: LEFT [ - {pi } over {a} ,```` {2 pi } over {a} RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 sin LEFT ( ax RIGHT ) +b]가 있다. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( - {pi} over {2} ,```` 0 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( {7} over {2} pi ,```` 0 RIGHT )]을 지날 때, [eqn: 30 LEFT ( a+b RIGHT )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[해설]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ - {pi } over {a} ,```` {2 pi } over {a} RIGHT ]]에서 [eqn: 0<a< {4} over {7}]이므로 [eqn: - {pi} over {a} < it - {7} over {4} pi], [eqn: {7pi} over {2} < {2pi} over {a}]이다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 sin LEFT ( ax RIGHT ) +b]의 그래프가 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( - {pi} over {2} ,```` 0 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( {7} over {2} pi ,```` 0 RIGHT )]을 지나므로

[eqn: f LEFT ( - {pi} over {2} RIGHT )][eqn: =2 sin LEFT ( - {a} over {2} pi RIGHT ) +b][eqn: = it -2 sin LEFT ( {a} over {2} pi RIGHT ) +b][eqn: =0]

[eqn: f LEFT ( {7pi} over {2} RIGHT )][eqn: =2 sin LEFT ( {7a} over {2} pi RIGHT ) +b][eqn: =0]

따라서 [eqn: sin LEFT ( {7a pi} over {2} RIGHT ) = it -sin LEFT ( {a} over {2} pi RIGHT )]

[eqn: 0<a< {4} over {7}]에서 [eqn: 0< {a} over {2} pi< {2} over {7} pi], [eqn: 0< {7a} over {2} pi<2pi]이므로

[eqn: {7a pi} over {2} =2 pi - {a} over {2} pi] 또는 [eqn: {7a pi } over {2} = pi + {a} over {2} pi]

따라서 [eqn: a= {1} over {2}] 또는 [eqn: a= it {1} over {3}]

(ⅰ) [eqn: a= {1} over {2}]일 때
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 sin LEFT ( {1} over {2} x RIGHT ) +b]에서

[eqn: f LEFT ( - {pi} over {2} RIGHT )][eqn: =2 sin LEFT ( - {pi} over {4} RIGHT ) +b]
[eqn: =2 TIMES LEFT ( - {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) +b]
[eqn: = it - sqrt {2} +b=0]

이므로 [eqn: b= sqrt {2}]

이는 [eqn: b]는 유리수라는 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a= {1} over {3}]일 때
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 sin LEFT ( {1} over {3} x RIGHT ) +b]에서

[eqn: f LEFT ( - {pi} over {2} RIGHT )][eqn: =2 sin LEFT ( - {pi } over {6} RIGHT ) +b]
[eqn: =2 TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) +b]
[eqn: = it -1+b=0]

이므로 [eqn: b=1]

이때 [eqn: f LEFT ( {7} over {2} pi RIGHT ) =0]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a= {1} over {3}], [eqn: b=1]이고

[eqn: 30 LEFT ( a+b RIGHT )][eqn: =30 TIMES LEFT ( {1} over {3} +1 RIGHT )][eqn: =40]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
01 삼각함수의 그래프
03 그래프3 (평행이동과 대칭이동)

[출처]	2007 모의_공공 경찰대 고3 07월 12

<보기>에서 두 함수의 그래프가 여러 번의 대칭이동과 평행 이동으로 일치할 수 있는 것을 모두 고른 것은?

[정답] ④

[해설]

ㄱ. [eqn: y= sqrt{4 x-x^{2}}-1]을 변형하면
[eqn: (y+1)^{2}=4 x-x^{2}]
[eqn: (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=4]
[eqn: y=- sqrt{1-x^{2}}+4]을 변형하면
[eqn: (y-4)^{2}=1-x^{2}]
[eqn: x^{2}+(y-4)^{2}=1]
즉, 두 함수는 각각 반지름이 [eqn: rm 2]와 [eqn: rm 1]인 원의 부분을 나타낸다. 따라서 평행이동과 대칭이동으로 겹쳐지지 않는다.	(거짓)

ㄴ. 함수 [eqn: y=2^{x-3}-1]는 기본형이 [eqn: y=2^{x}]형태인 지수함수이다. 반면에 함수 [eqn: y=3+2 log _{{1} over {4}}(x-1)]을 변형하면 [eqn: x-1= left({1} over {4} right)^{y-3}=2^{3-y}] 로서 기본형 [eqn: x=2^{-y}]을 평행이동한 함수이다.
[eqn: y=2^{x}]을 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하고 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면 [eqn: x=2^{-y}]이 되므로 대칭과 평행이동으로 두 함수는 겹쳐질 수 있다.	(참)

ㄷ. [eqn: y= {1} over {pi } `sin( pi x-1)+3= {1} over {pi } `sin pi LEFT ( x- {1} over {pi } RIGHT ) +3]이므로 기본형 [eqn: y= {1} over {pi } `sin pi x]를 [eqn: x]축으로 [eqn: {1} over { pi}]만큼, [eqn: y]축으로 [eqn: rm 3]만큼 평행이동한 함수이다.
또한, 함수	[eqn: y=- {1} over {pi } `cos( pi x+3)-1=- {1} over {pi } `cos pi LEFT ( x- {3} over {pi } RIGHT ) -1] 이므로 기본형 [eqn: y=- {1} over {pi } `cos pi x]를 [eqn: x]축으로 [eqn: {3} over { pi}]만큼, [eqn: y]축으로 [eqn: -1]만큼 평행이동시킨 함수이다. [eqn: y= {1} over {pi } `sin pi x= {1} over {pi } `cos LEFT ( {pi } over {2} - pi x RIGHT ) = {1} over {pi } `cos pi LEFT ( {1} over {2} -x RIGHT )] 이므로 [eqn: y= {1} over {pi } `sin pi x]를 원점에 대하여 대칭하고 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: {1} over {2}]만큼 평행이동하면 두 기본형은 겹쳐진다. (참)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: y= sqrt{4 x-x^{2}}-1]과 [eqn: y=- sqrt{1-x^{2}}+4] ㄴ. [eqn: y=2^{x-3}-1]과 [eqn: y=3+2 log _{{1} over {4}}(x-1)] ㄷ. [eqn: y= {1} over {pi } `sin( pi x-1)+3]과 [eqn: y=- {1} over {pi } `cos( pi x+3)-1]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

03 수1	06 삼각함수의 그래프
01 삼각함수의 그래프
04 그래프4 (표준형 그래프에서 Mm)

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고2 03월 21

하루 중 해수면의 높이가 가장 높아졌을 때를 만조, 가장 낮아졌을 때를 간조라 하고, 만조와 간조 때의 해수면 높이의 차를 조차라 한다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: f(x)=a`cosb pi (x-c)+4.5`]라고 하자.

만조 때의 해수면의 높이는 함수 [eqn: f(x)`]의 최댓값 [eqn: a+4.5`]이고, 간조 때의 해수면의 높이는 함수 [eqn: f(x)`]의 최솟값 [eqn: -a+4.5`]이다.

조차는 만조 때와 간조 때의 해수면의 높이의 차이므로

[eqn: (a+4.5)-(-a+4.5)=8`]	∴ [eqn: a= 4`]

만조와 만조, 또는 간조와 간조 사이의 시간이 함수 [eqn: f(x)`]의 주기이다.

만조시각인 [eqn: 4`]시 [eqn: 30`]분은 [eqn: 4.5`]시이고, [eqn: 17`]시[eqn: 00`]분은 [eqn: 17`]시이므로 만조와 만조 사이의 시간은	[eqn: 17-4.5= 12.5`]

[eqn: f(x)=a`cosb pi (x-c)+4.5`]에서 주기는 [eqn: {2 pi } over {b pi }`]이므로

[eqn: 12.5 = 2pi over {b pi} `]에서 [eqn: b = 4 over 25 `]

함수 [eqn: f(x)=4`cos left(4 over25 pi (x-c)right) +4.5`]는

[eqn: x=4.5`]일 때 최댓값 [eqn: a+4.5=8.5`]를 가지므로

[eqn: 4`cos LEFT ( {4} over {25} pi (4.5-c) RIGHT ) +4.5 = 8.5`]

방정식을 풀면 [eqn: c = 4.5`](∵[eqn: 0<c<6`])

따라서 [eqn: a + 100 b + 10 c = 65`]

	시각
만조	[eqn: 04 `]시 [eqn: 30 `]분 [eqn: 17 `]시 [eqn: 00 `]분
간조	[eqn: 10 `]시 [eqn: 45 `]분 [eqn: 23 `]시 [eqn: 15 `]분

어느 날 [eqn: rmA `]지점에서 시각 [eqn: x `](시)와 해수면의 높이 [eqn: y `][eqn: LEFT ( rm m RIGHT )] 사이에는 다음과 같은 식이 성립한다고 한다.

[eqn: y = a cos` b pi LEFT (x - c RIGHT ) + 4.5][eqn: LEFT ( 0 LEQ x<24 RIGHT )]

이 날 [eqn: rmA `]지점의 조차가 [eqn: 8``rmm`]이고, 만조와 간조 시각이 표와 같다. 이때, [eqn: a + 100b + 10c `]의 값은?
(단, [eqn: a>0], [eqn: b>0], [eqn: 0<c<6 `]이다.)

① [eqn: 35`]	② [eqn: 45`]	③ [eqn: 55`]

④ [eqn: 65`]	⑤ [eqn: 75`]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 06월 29

함수 [eqn: {y=k sin LEFT ( 2x+ {pi } over {3} RIGHT ) +k ^{2} -6}{{from^2019^06^부산교육청고2나^중}}]의 그래프가 제 [eqn: 1]사분면을 지나지 않도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[해설]

함수 [eqn: y=k sin LEFT ( 2x+ {pi } over {3} RIGHT ) +k ^{2} -6]의 그래프에서

(ⅰ) [eqn: k=0]일 때,
[eqn: y=it-6]이므로 함수의 그래프는 제 [eqn: 1]사분면을 지나지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k>0]일 때,
[eqn: y=k sin LEFT ( 2x+ {pi } over {3} RIGHT ) +k ^{2} -6]의 최댓값은 [eqn: k+ LEFT ( k ^{2} -6 RIGHT )]이고, 함수의 그래프가 제 [eqn: 1]사분면을 지나지 않으려면 최댓값이 [eqn: 0]보다 작거나 같아야 한다.

[eqn: k+ LEFT ( k ^{2} -6 RIGHT ) LEQ 0], [eqn: k ^{2} +k-6 le 0]

[eqn: LEFT ( k-2 RIGHT ) LEFT ( k+3 RIGHT ) LEQ 0]

[eqn: therefore][eqn: -3 LEQ k LEQ 2]

따라서 [eqn: 0 < k LEQ 2]이다.

(ⅲ) [eqn: k<0]일 때,
[eqn: y=k sin LEFT ( 2x+ {pi } over {3} RIGHT ) +k ^{2} -6]의 최댓값은 [eqn: -k+ LEFT ( k ^{2} -6 RIGHT )]이고, 함수의 그래프가 제 [eqn: 1]사분면을 지나지 않으려면 최댓값이 [eqn: 0]보다 작거나 같아야 한다.

[eqn: -k+ LEFT ( k ^{2} -6 RIGHT ) LEQ 0], [eqn: k ^{2} -k-6 le0]

[eqn: LEFT ( k+2 RIGHT ) LEFT ( k-3 RIGHT ) LEQ 0]

[eqn: therefore][eqn: -2 LEQ k LEQ 3]

따라서 [eqn: -2 LEQ k<0]이다.

그러므로 [eqn: -2 LEQ k LEQ 2]이고 모든 정수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 5]이다.

03 수1	06 삼각함수의 그래프
01 삼각함수의 그래프
07 그래프7 (삼각함숫값의 대소비교)

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 06월 20

[eqn: {0<theta< {pi} over {4} }{{from^2019^06^부산교육청고2나^중}}]인 [eqn: theta]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: 0<theta< {pi} over {4}]에서 [eqn: y=sin theta], [eqn: y=cos theta]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 [eqn: 0<sin theta <cos theta <1]이다.	(참)

ㄴ. [eqn: 0<sin theta<1]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =log _{ sin theta } x]는 감소한다.
[eqn: sin theta <cos theta <1]이므로 [eqn: log _{ sin theta } 1<log _{ sin theta } cos theta <log _{ sin theta } sin theta]이다.
따라서 [eqn: 0<log _{ sin theta } cos theta <1]이다.	(참)

ㄷ. [eqn: 0<sin theta < cos theta]이므로 [eqn: LEFT ( sin theta RIGHT ) ^{cos theta } < LEFT ( cos theta RIGHT ) ^{cos theta }]이다.
[eqn: 0<cos theta <1]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( cos theta RIGHT ) ^{x}]은 감소한다.
[eqn: sin theta <cos theta]이므로 [eqn: LEFT ( cos theta RIGHT ) ^{cos theta } < LEFT ( cos theta RIGHT ) ^{sin theta }]이다.
따라서 [eqn: LEFT ( sin theta RIGHT ) ^{cos theta } < LEFT ( cos theta RIGHT ) ^{cos theta } < LEFT ( cos theta RIGHT ) ^{sin theta }]이다.	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[다른 풀이]

ㄷ. [eqn: sin theta <cos theta] 이고 [eqn: log _{sin theta } cos theta >0]이므로
[eqn: sin theta TIMES log _{ sin theta } cos theta <cos theta TIMES log _{ sin theta } cos theta]
[eqn: log _{ sin theta } LEFT ( cos theta RIGHT ) ^{sin theta } <log _{ sin theta } LEFT ( cos theta RIGHT ) ^{cos theta }]
[eqn: 0<sin theta <1]이므로 [eqn: LEFT ( cos theta RIGHT ) ^{cos theta } < LEFT ( cos theta RIGHT ) ^{sin theta }]
[eqn: log _{ sin theta } cos theta <1] 이므로
[eqn: log _{ sin theta } cos theta <log _{ sin theta } sin theta],
[eqn: cos theta TIMES log _{ sin theta } cos theta <cos theta TIMES log _{ sin theta } sin theta],
[eqn: log _{ sin theta } LEFT ( cos theta RIGHT ) ^{cos theta } <log _{ sin theta } LEFT ( sin theta RIGHT ) ^{cos theta }]
[eqn: 0<sin theta <1]이므로 [eqn: LEFT ( sin theta RIGHT ) ^{cos theta } < LEFT ( cos theta RIGHT ) ^{cos theta }] 이다.
따라서 [eqn: LEFT ( sin theta RIGHT ) ^{cos theta } < LEFT ( cos theta RIGHT ) ^{cos theta } < LEFT ( cos theta RIGHT ) ^{sin theta }]이다.	(참)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: 0<sin theta <cos theta <1] ㄴ. [eqn: 0<log _{sin theta } cos theta <1] ㄷ. [eqn: LEFT ( sin theta RIGHT ) ^{cos theta } < LEFT ( cos theta RIGHT ) ^{cos theta } < LEFT ( cos theta RIGHT ) ^{sin theta }]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

03 수1	06 삼각함수의 그래프
02 삼각함수의 그래프 활용
01 활용1 (대칭성과 길이 또는 넓이)

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 09월 15

그림과 같이 두 양수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 함수

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a`sin`bx`]의 주기가 [eqn: {2pi} over {b} `]이므로

두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]의 좌표는 [eqn: {rmA} LEFT ( {pi} over {2b} ,```a RIGHT ) `], [eqn: {rmB} LEFT ( {pi} over {b} ,```0 RIGHT ) `]

점 [eqn: rmA`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하자.

[eqn: {bar{rm OH it}} = {bar{rm BH it}} = {bar{rm AH it}} =a`]이므로 [eqn: {pi} over {b} =2a`]

삼각형 [eqn: rmOAB`]의 넓이는 [eqn: 4`]이므로

[eqn: {1} over {2} times2a{times}a=4`] 즉, [eqn: a=2`]

[eqn: b= {pi} over {2a} = {pi} over {4} `]

따라서 [eqn: a+b=2+ {pi} over {4} `]

[eqn: f(x)=a`sin`bx`][eqn: LEFT ( 0 LEQ x LEQ { pi } over {b} RIGHT ) `]

의 그래프가 직선 [eqn: y=a`]와 만나는 점을 [eqn: rmA`], [eqn: x`]축과 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 [eqn: rmB`]라 하자. [eqn: ANGLE rm OAB it = {pi } over {2} `]인 삼각형 [eqn: rm OAB`]의 넓이가 [eqn: 4`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은?
(단, [eqn: rmO`]는 원점이다.)

① [eqn: 1+ {pi} over {6}]	② [eqn: 2+ {pi } over {6}]	③ [eqn: 2+ {pi } over {4}]

④ [eqn: 3+ {pi } over {4}]	⑤ [eqn: 3+ {pi } over {3}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 10

두 양수 [eqn: { a ,```` b }{{from^2021^09^평가원^중}}]에 대하여 곡선 [eqn: y= a sin b pi x][eqn: LEFT ( 0 le x le 3 over b RIGHT )]이 직선 [eqn: y= a]와 만나는 서로 다른 두 점을 [eqn: rmA ,```` B]라 하자.

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: y= a sin b pi x]의 주기는 [eqn: 2pi over {b pi} = 2 over b]이므로 두 점 [eqn: rmA ,```` B]의 좌표는 [eqn: rm A LEFT ( it 1over 2b ,```` a RIGHT ) ,```` rm B LEFT ( it 5 over 2b ,```` a RIGHT )]

따라서 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이가 [eqn: 5]이므로

[eqn: 1 over 2 times a times LEFT ( 5 over 2b - 1over 2b RIGHT ) = 5 ,```` a over b = 5]

[eqn: a= 5b]	[eqn: cdots cdots] ㉠

직선 [eqn: rmOA]의 기울기와 직선 [eqn: rmOB]의 기울기의 곱이 [eqn: 5 over 4]이므로

[eqn: a over {1 over 2b} times a over {5 over 2b }][eqn: = 2ab times 2ab over 5]
[eqn: = {4a^2 b^2} over 5 = 5over 4]

[eqn: a^2 b^2 = 25 over 16 ,```` ab = 5over 4]	[eqn: cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a= 5 over 2 ,```` b= 1over 2]이므로

[eqn: a+b= 3]

삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이가 [eqn: 5]이고 직선 [eqn: rmOA]의 기울기와 직선 [eqn: rmOB]의 기울기의 곱이 [eqn: 5over 4]일 때, [eqn: a+b]의 값은?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
02 삼각함수의 그래프 활용
02 활용2 (그래프의 활용)

[출처]	2003 모의_공공 평가원 고3 06월 13
[출처]	2003 모의_공공 평가원 고3 06월 13
[출처]	2003 모의_공공 평가원 고3 06월 13

그림과 같이 경사면은 수평면과 [eqn: 60DEG]를 이루고, 햇빛이 수평면에 수직으로 비치고 있다. 수평면과 경사면의 경계선 위의 한 지점 [eqn: rmP]에서 경계선과 수직으로 [eqn: 1`rmm] 떨어진 수평면 위의 지점 [eqn: rmA]에 길이가 [eqn: 2`rmm]인 막대를 수평면에 수직으로 세웠다.

[정답] ①

[해설]

(ⅰ) 막대의 그림자가 수평면에만 생기는 경우 [eqn: left(0le x`< pi over 6 right)]
그림과 같이 막대의 한끝을 [eqn: rmB], 그림자의 끝을 [eqn: rmC]라 하자.

[eqn: cos left ( pi over 2 -x right)= rm bar AC over 2]에서 그림자의 길이는 [eqn: rm bar AC]이다.
∴ [eqn: f`(x)=rm bar AC][eqn: = 2 cos left(pi over 2 -x right)][eqn: =2 sin x]

(ⅱ) 막대의 그림자가 수평면과 경사면에 생기는 경우 [eqn: left( pi over 6 le x`< pi over 2 right)]

그림과 같이 점 [eqn: rm B _{1} `,``B _{2} `,``P _{1} `]을 놓으면 [eqn: rm TRIANGLE P _{1} AP]에서
[eqn: cos left ( pi over 2 -x right)= rm 1 over bar {P_1 A}]
즉, [eqn: rm bar {P_1 A} = 1 over {cos it left(pi over 2 -x right)}][eqn: = 1 over sinx]
[eqn: ∴~rm bar {P_1 B} = 2- it 1 over sinx]
[eqn: rm TRIANGLE BB _{1} P _{1}]에서

[eqn: rm bar{P_1 B_1}][eqn: = left(2- it 1 over {sin`x} right) ․ cos left(pi over 2 - x right)]
[eqn: = left(2 - 1 over sinx right) sinx][eqn: =2sinx-1]

∴ [eqn: f`(x)][eqn: =rm bar AP + bar PC = 1+ 2 bar {PB_2}]
[eqn: =1+2 rm bar {P_1 B_1} (∵~bar PB_2 = bar {P_1`B_1}`)]
[eqn: =1+2(2sinx-1)=4sinx-1]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: f`(x)= left{ {2sinx~~~~ {left(0le x＜ pi over 6 right)````}} atop {4sinx-1 ```left(pi over 6 le x＜ pi over 2 right)}]

이므로 [eqn: f`(x)]의 그래프의 개형은 아래 그림과 같다.

이 막대를 [eqn: {rm{P}} it]지점 쪽으로 기울여 막대와 햇빛의 방향이 이루는 각의 크기를 [eqn: x({rm{rad}} it )]라고 할 때, 막대의 그림자의 길이를 [eqn: f(x)]라고 하자.

다음 중 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형으로 옳은 것은?

[eqn: pile{`#`}right(]단, [eqn: left.0 leq x<{ pi} over {2} right)]

①		②
③		④
⑤

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 11

양수 [eqn: a]에 대하여 집합 [eqn: LEFT { pile{it#it} x` RIGHT | `- {a} over {2} <x LEQ a,~x!= {a} over {2}][eqn: pile{it#it}right}]에서 정의된 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: {pi } over {{pi } over {a}} =a]이므로

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 주기는 [eqn: a]이다.

직선 [eqn: rmAB]는 원점을 지나고 기울기가 [eqn: sqrt {3}]인 직선이므로

양수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: rm B LEFT ( itt,~ sqrt {3} t RIGHT )]로 놓으면 [eqn: rm A LEFT ( it-t,~- sqrt {3} t RIGHT )]이고, [eqn: {bar{rm AB}} =it4t]이다.

이때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 주기가 [eqn: a]이므로 [eqn: {bar{rm AC}} =it4t=a]이고, [eqn: rm C LEFT ( it-t+a,~- sqrt {3} t RIGHT )], 즉 [eqn: rm C LEFT ( it3t,~- sqrt {3} t RIGHT )]이다.

점 [eqn: rmC]가 곡선 [eqn: y=tan` {pi x} over {a} =tan` {pi x} over {4t}] 위의 점이므로

[eqn: - sqrt {3} t=tan` {pi TIMES 3t} over {4t}]

[eqn: - sqrt {3} t=tan` {3pi } over {4}]에서

[eqn: t= {1} over {sqrt {3}}]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는

[eqn: {sqrt {3}} over {4} TIMES LEFT ( 4t RIGHT ) ^{2}][eqn: = {sqrt {3}} over {4} TIMES LEFT ( {4} over {sqrt {3}} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = {4} over {sqrt {3}}]
[eqn: = {4 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =tan` {{pi}x} over {a}]

가 있다. 그림과 같이 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위의 세 점 [eqn: rmO,~A,~B]를 지나는 직선이 있다. 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmC]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABC]가 정삼각형일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

① [eqn: {3 sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: {17 sqrt {3}} over {12}]	③ [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {4}]	⑤ [eqn: {7 sqrt {3}} over {6}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 18

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: -{ pi} over {2 n}<x<{ pi} over {2 n}]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=3 sin 2 n x]가 있다. 원점 [eqn: {rm{O}} it]를 지나고 기울기가 양수인 직선과 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 서로 다른 세 점 [eqn: {rm{O}} it], [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]에서 만날 때, 점 [eqn: {rm{C}} it left({ pi} over {2 n},`` 0 right)]에 대하여 넓이가 [eqn: { pi} over {12}]인 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 존재하도록 하는 [eqn: n]의 최댓값은?

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: y=3 sin 2 n x]의 주기는 [eqn: {2 pi} over {2 n}={ pi} over {n}]이다.

원점을 지나고 기울기가 양수인 직선이 [eqn: -{ pi} over {2 n}<x<{ pi} over {2 n}]에서 함수 [eqn: y=3 sin 2 n x]의 그래프와 만나는 원점이 아닌 두 점 [eqn: {rm{A}} it]와 [eqn: {rm{B}} it]는 원점에 대하여 대칭이다. 따라서 실수 [eqn: t left(-{ pi} over {2 n}<t<{ pi} over {2 n},`` t neq 0 right)]에 대하여 점 [eqn: {rm{A}} it]의 좌표를 [eqn: (t,`` 3 sin 2 n t)]라 하면 점 [eqn: {rm{B}} it]의 좌표는 [eqn: (-t,``-3 sin 2 n t)]이다.

삼각형 [eqn: {rm{AOC}} it]의 넓이와 삼각형 [eqn: {rm{BOC}} it]의 넓이가 같으므로 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 넓이는

[eqn: 2 times {1} over {2} times { pi} over {2 n} times 3| sin 2 n t|={ pi} over {12}]

이고 [eqn: | sin 2 n t|={n} over {18}]이다.

[eqn: 0<| sin 2 n t| leq 1]이므로 [eqn: 0<{n} over {18} leq 1]이다.

따라서 [eqn: n]의 최댓값은 [eqn: rm 18]이다.

① [eqn: rm 12]	② [eqn: rm 14]	③ [eqn: rm 16]

④ [eqn: rm 18]	⑤ [eqn: rm 20]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
02 삼각함수의 그래프 활용
03 활용3 (치환을 이용한 Mm)

[출처]	2013 모의_공공 경찰대 고3 07월 7

함수 [eqn: y=a cos ^{2} x+a sin x+b]의 최댓값이 [eqn: rm 10]이고 최솟값이 [eqn: rm 1]일 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: a b]의 값은 [eqn: p]도는 [eqn: q]이다. [eqn: p+q]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: sin x=t]라 하면 [eqn: -1 leq t leq 1]이고

[eqn: y][eqn: =a cos ^{2} x+a sin x+b]
[eqn: =a left(1- sin ^{2} x right)+a sin x+b]
[eqn: =a left(1-t^{2} right)+a t+b]
[eqn: =it-a left(t-{1} over {2} right)^{2}+{5} over {4} a+b]

(ⅰ) [eqn: a>0]인 경우 주어진 함수는 [eqn: t={1} over {2}]일 때, 최댓값 [eqn: {5} over {4} a+b]를 갖고 [eqn: t=it-1]일 때, 최솟값 [eqn: -a+b]를 갖는다.
[eqn: therefore~{5} over {4} a+b=10], [eqn: -a+b=1]
[eqn: therefore~a=4], [eqn: b=5]

(ⅱ) [eqn: a<0]인 경우
[eqn: t={1} over {2}]일 때, 최솟값 [eqn: {5} over {4} a+b]를 갖고
[eqn: t=it-1]일 때, 최댓값 [eqn: -a+b]를 갖는다.
[eqn: therefore~{5} over {4} a+b=1], [eqn: -a+b=10]
[eqn: therefore~a=it-4], [eqn: b=6]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a b]의 값은 [eqn: rm 20] 또는 [eqn: -24]이다.

[eqn: therefore~p+q=it-4]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: rm 2]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 6]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 19

그림과 같이 두 점 [eqn: {rm A it LEFT ( -1 ,```` 0 RIGHT )}{{from^2020^06^부산고2^}}], [eqn: rm B it LEFT ( 1 ,```` 0 RIGHT )]과 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]이 있다. 원 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: ANGLE rm PAB][eqn: = theta][eqn: LEFT ( 0< theta < {pi } over {2} RIGHT )]라 할 때, 반직선 [eqn: rmPB] 위에 [eqn: {bar{rmPQ}}][eqn: =3]인 점 [eqn: rmQ]를 정한다. 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표가 최대가 될 때, [eqn: sin ^{2} theta]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: ANGLE rm APB][eqn: = {pi} over {2}]이므로 [eqn: ANGLE rm PBA][eqn: = {pi} over {2} - theta]이고, [eqn: {bar{rmBP}}][eqn: =2 sin theta]이므로

[eqn: {bar{rmBQ}}][eqn: =3-2 sin theta]

따라서 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: 1+ {bar{rm BQ it}} TIMES cos LEFT ( {pi} over {2} - theta RIGHT )]

[eqn: =1+ LEFT ( 3-2 sin theta RIGHT ) sin theta]
[eqn: =][eqn: 1+3 sin theta -2 sin ^{2} theta]
[eqn: = it -2 LEFT ( sin theta - {3} over {4} RIGHT ) ^{2} + {17} over {8}]

이므로 [eqn: sin theta = {3} over {4}]일 때 최대이다.

그러므로 [eqn: sin ^{2} theta][eqn: = {9} over {16}]

① [eqn: {7} over {16}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {9} over {16}]

④ [eqn: {5} over {8}]	⑤ [eqn: {11} over {16}]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
04 삼각방정식4 (대칭성과 실근)

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 09월 28

방정식 [eqn: it {2} over {sqrt {3}} `sin` LEFT ( x+ {pi} over {3} RIGHT ) - {7} over {8} =0`]의 모든 실근의 합이 [eqn: {q} over {p} pi `]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: 0 LEQ x LEQ 2 pi `]이고, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold{ 10]

[해설]

[eqn: {2} over {sqrt {3}} `sin LEFT ( x+ {pi} over {3} RIGHT ) - {7} over {8} =0`]에서

[eqn: `sin LEFT ( x+ {pi } over {3} RIGHT ) = {7 sqrt {3}} over {16} `]

[eqn: t=x+ {pi } over {3} `]라 하면 [eqn: {pi} over {3} LEQ t LEQ {7} over {3} pi `]

[eqn: {7 sqrt {3}} over {16} < {sqrt {3}} over {2} `]이므로

방정식 [eqn: sin`t= {7 sqrt {3}} over {16} `][eqn: LEFT ( {pi } over {3} LEQ t LEQ {7} over {3} pi RIGHT ) `]는 두 실근
[eqn: t _{1} `], [eqn: t _{2} `][eqn: LEFT ( t _{1} <t _{2} RIGHT ) `]를 갖는다.

[eqn: t _{1} =x _{1} + {pi} over {3} `], [eqn: t _{2} =x _{2} + {pi} over {3} `] ([eqn: x _{1} `], [eqn: x _{2} `]는 실수)라
하면

[eqn: t _{2} =2 pi + LEFT ( pi -t _{1} RIGHT ) `]이므로

[eqn: t _{1} +t _{2} `= LEFT ( x _{1} + {pi} over {3} RIGHT ) + LEFT ( x _{2} + {pi} over {3} RIGHT ) =3 pi `]

방정식 [eqn: `sin LEFT ( x+ {pi } over {3} RIGHT ) = {7 sqrt {3}} over {16} `]의 모든 실근의 합은
[eqn: x _{1} +x _{2} =3pi- {2} over {3} pi= {7} over {3} pi`]

따라서 [eqn: p+q=10`]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 9

닫힌구간 [eqn: [0,``12]]에서 정의된 두 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: f(x)= cos { pi x} over {6}]의 주기는 [eqn: {2 pi} over {{ pi} over {6}}=12]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=6]에 대하여 대칭이므로 [eqn: alpha_{1}< alpha_{2}]라 하면 [eqn: alpha_{2}=12- alpha_{1}]

[eqn: left| alpha_{1}- alpha_{2} right|=8]에서 [eqn: left|2 alpha_{1}-12 right|=8]

[eqn: alpha_{1}=2] 또는 [eqn: alpha_{1}=10]

[eqn: alpha_{1}< alpha_{2}]이므로 [eqn: alpha_{1}=2], [eqn: alpha_{2}=10]이다.

[eqn: f(2)=f(10)= cos { pi} over {3}={1} over {2}]이므로 [eqn: k={1} over {2}]이다.

곡선 [eqn: y=g(x)]와 직선 [eqn: y={1} over {2}]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: -3 cos { pi x} over {6}-1={1} over {2}]

[eqn: cos { pi x} over {6}=-{1} over {2}]

[eqn: x=4] 또는 [eqn: x=8]

[eqn: therefore~ left| beta_{1}- beta_{2} right|=4]

[eqn: f(x)= cos { pi x} over {6}], [eqn: ~ g(x)=-3 cos { pi x} over {6}-1]

이 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=k]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha_{1}], [eqn: alpha_{2}]라 할 때, [eqn: left| alpha_{1}- alpha_{2} right|=8]이다. 곡선 [eqn: y=g(x)]와 직선 [eqn: y=k]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: beta_{1}], [eqn: beta_{2}]라 할 때, [eqn: left| beta_{1}- beta_{2} right|]의 값은? (단, [eqn: k]는 [eqn: -1<k<1]인 상수이다.)

① [eqn: rm 3]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: rm 4]

④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 21

자연수 [eqn: k(1<k<12)]에 대하여 [eqn: 0 leq x leq 12]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]를

[정답] ②

[해설]

[eqn: 0 leq x<k]에서 [eqn: -{1} over {2} leq f(x) leq {1} over {2}]이고,

함수 [eqn: y={1} over {2} sin pi x]의 주기는 [eqn: rm 2]이다.

[eqn: f(k)= left({2} over {3} right)^{k-k}-1=0]이므로

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 점 [eqn: (k,`` 0)]을 지난다.

방정식 [eqn: f(x)+a=0]의 실근은 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=-a]의 교점의 [eqn: x]좌표와 같다.

[eqn: 0 leq x leq 12]에서 방정식 [eqn: f(x)+a=0]의 실근의 최댓값이 [eqn: rm 12]이므로 모든 실근의 합이 [eqn: rm 46]이기 위하여 실근의 개수는 [eqn: rm 4] 이상이어야 한다.

(i) [eqn: a={1} over {2}]인 경우

[eqn: k=10]일 때 방정식 [eqn: f(x)+a=0]의 모든 실근의 합이 최대이다. [eqn: 0 leq x<10]에서 모든 실근의 합은 [eqn: {3} over {2}+{7} over {2}+{11} over {2}+{15} over {2}+{19} over {2}={55} over {2}=27.5]이고 [eqn: f(12)= left({2} over {3} right)^{12-10}-1={4} over {9}-1=-{5} over {9} < it - {1} over {2}]이므로 [eqn: 10 leq x leq 12]에서 방정식 [eqn: f(x)+a=0]은 오직 하나의 실근을 갖고 그 값은 [eqn: rm 12]보다 작다.

따라서 방정식 [eqn: f(x)+a=0]의 모든 실근의 합은 [eqn: 39.5]보다 작으므로 조건을 만족시키지 않는다.

(ii) [eqn: 0<a<{1} over {2}]인 경우

[eqn: k leq x leq 12]에서 방정식 [eqn: left({2} over {3} right)^{x-k}-1+a=0]의 실근의 개수는 최대 [eqn: rm 1]이고 그 값은 [eqn: rm 12] 이하이다.

[eqn: 0 leq x leq 12]에서 방정식 [eqn: f(x)+a=0]의 모든 실근의 합이 [eqn: rm 46]이기 위하여

[eqn: 0 leq x<k]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} sin pi x+a=0]의 모든 실근의 합이 [eqn: rm 34] 이상이어야 한다.

[eqn: 0 leq x<2]에서 함수 [eqn: y={1} over {2} sin pi x]의 그래프와 직선 [eqn: y=-a]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha_{1}], [eqn: alpha_{2}]라 할 때, [eqn: { alpha_{1}+ alpha_{2}} over {2}={3} over {2}], 즉 [eqn: alpha_{1}+ alpha_{2}=3]이다.

또한, 함수 [eqn: y={1} over {2} sin pi x]의 주기가 [eqn: rm 2]이므로 [eqn: 2 leq x<4]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} sin pi x+a=0]의
모든 실근의 합은 [eqn: rm 7],

[eqn: 4 leq x<6]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} sin pi x+a=0]의
모든 실근의 합은 [eqn: rm 11],

[eqn: 6 leq x<8]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} sin pi x+a=0]의
모든 실근의 합은 [eqn: rm 15],

[eqn: 8 leq x<10]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} sin pi x+a=0]의

모든 실근의 합은 [eqn: rm 19],

[eqn: 10 leq x<11]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} sin pi x+a=0]은 실근을 갖지 않는다.

따라서 다음 세 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.

① [eqn: k leq 7]일 때

[eqn: 0 leq x<k]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} sin pi x+a=0]의

모든 실근의 합이 [eqn: rm 34] 미만이므로 조건을 만족시키지 않는다.

② [eqn: k=8] 또는 [eqn: k=9]일 때

[eqn: 0 leq x<k]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} sin pi x+a=0]의

모든 실근의 합은 [eqn: 3+7+11+15=36]이므로

[eqn: k leq x leq 12]에서 실근이 [eqn: rm 10]이면 조건을 만족시킨다.

[eqn: k=8]이면 [eqn: f(10)+a= left({2} over {3} right)^{10-8}-1+a=0]에서

[eqn: a={5} over {9}]이므로 [eqn: 0<a<{1} over {2}]에 모순이다.

[eqn: k=9]이면 [eqn: f(10)+a= left({2} over {3} right)^{10-9}-1+a=0]에서

[eqn: a={1} over {3}]이므로 [eqn: 0<a<{1} over {2}]을 만족시킨다.

③ [eqn: k=10] 또는 [eqn: k=11]일 때

[eqn: 0 leq x<k]에서 모든 실근의 합은

[eqn: 3+7+11+15+19=55>46]이므로 조건을 만족시키지 않는다.

(i), (ii) 에 의하여 [eqn: a={1} over {3}], [eqn: k=9]이다.

따라서 [eqn: {k} over {a}=27]

[eqn: f(x)=cases{{1} over {2} sin pi x && (0 leq x<k) # left({2} over {3} right)^{x-k}-1 && (k leq x leq 12)}]

라 하자. 실수 [eqn: a left(0<a leq {1} over {2} right)]에 대하여 방정식

[eqn: f(x)+a=0]

의 모든 실근의 합이 [eqn: rm 46]일 때, [eqn: {k} over {a}]의 값은?

① [eqn: rm 24]	② [eqn: rm 27]	③ [eqn: rm 30]

④ [eqn: rm 33]	⑤ [eqn: rm 36]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 12

양수 [eqn: a]에 대하여 함수

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=2]와 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0 leq x<{4 pi} over {a}]일 때 방정식 [eqn: left|4 sin left(a x-{ pi} over {3} right)+2 right|=2 ~]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

의 실근과 같다.

[eqn: a x-{ pi} over {3}=t]라 하면 [eqn: -{ pi} over {3} leq t<{11 pi} over {3}]이고

[eqn: |4 sin t+2|=2 ~]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

에서 [eqn: sin t=0] 또는 [eqn: sin t=-1]

[eqn: -{ pi} over {3} leq t<{11 pi} over {3}]일 때, 방정식 ㉡의 실근은

[eqn: 0], [eqn: pi], [eqn: {3 pi} over {2}], [eqn: 2 pi], [eqn: 3 pi], [eqn: {7 pi} over {2}]

의 [eqn: rm 6]개이고 이 [eqn: rm 6]개의 실근의 합은 [eqn: 11 pi]이다.

따라서 [eqn: n=6]이고 방정식 ㉠의 [eqn: rm 6]개의 실근의 합이 [eqn: rm 39]이므로

[eqn: 39 a-{ pi} over {3} times 6=11 pi], [eqn: a={ pi} over {3}]

따라서 [eqn: n times a=6 times { pi} over {3}=2 pi]

[eqn: f(x)= left|4 sin left(a x-{ pi} over {3} right)+2 right| left(0 leq x<{4 pi} over {a} right)]

의 그래프가 직선 [eqn: y=2]와 만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: n]이다. 이 [eqn: n]개의 점의 [eqn: x]좌표의 합이 [eqn: rm 39]일 때, [eqn: n times a]의 값은?

① [eqn: { pi} over {2}]	② [eqn: pi]	③ [eqn: {3 pi} over {2}]

④ [eqn: 2 pi]	⑤ [eqn: {5 pi} over {2}]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
05 삼각방정식5 (실근의 개수)

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 04월 26

[eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: LEFT | cos`x+ {1} over {4} RIGHT | =k`]가 서로 다른 [eqn: 3`]개의 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값을 [eqn: alpha `]라 할 때, [eqn: 40 alpha `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0 le x < 2 pi])

[정답] [eqn: bold{ 30]

[해설]

[eqn: y=cosx+ {1} over {4}]의 그래프는 [eqn: y=cosx]의 그래프를
[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: {1} over {4}]만큼 평행이동한 그래프이므로
주기는 [eqn: 2pi], 치역은 [eqn: LEFT { ``y ```LEFT □- {3} over {4} LEQ y LEQ {5} over {4} RIGHT } RIGHT .]이다.

[eqn: y= LEFT | cosx+ {1} over {4} RIGHT |]의 그래프는 [eqn: y=cosx+ {1} over {4}]의
그래프에서 [eqn: y<0]인 부분을 [eqn: x]축에 대하여
대칭이동시켜 얻은 그래프이다.

[eqn: y= LEFT | cosx+ {1} over {4} RIGHT |]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: y= LEFT | cosx+ {1} over {4} RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]가
서로 다른 세 점에서 만나는 [eqn: k]의 값은 [eqn: {3} over {4}]

따라서 [eqn: alpha= {3} over {4}]이고 [eqn: 40alpha=30]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 11월 16

[eqn: 0 LEQ t LEQ 3]인 실수 [eqn: t]와 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: t LEQ x LEQ t+1]에서 방정식 [eqn: sin {pi} over {2} x=k]의 모든 해의 개수를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]가

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: y=sin {pi } over {2} x]의 치역은 [eqn: LEFT { y ``|`` -1 LEQ y LEQ 1 RIGHT }]이고, 주기가 [eqn: 4]이다.

따라서 [eqn: 0 LEQ x LEQ 4]에서 함수 [eqn: y=sin {pi } over {2} x]의 그래프가 직선 [eqn: y=k]와 두 점에서 만나려면 [eqn: -1<k<1]이어야 한다.

[eqn: 0 LEQ x LEQ 4]에서 함수 [eqn: y=sin {pi } over {2} x]의 그래프가 직선 [eqn: y=k]와 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta][eqn: LEFT ( alpha < beta RIGHT )]라 하면 [eqn: beta - alpha >1]일 때, [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =2]를 만족시키는 [eqn: t]의 값은 존재하지 않고, [eqn: beta - alpha <1]일 때, [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =2]를 만족시키는 [eqn: t]의 값이 유일하지 않다.

[eqn: beta - alpha =1]일 때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]이므로 [eqn: alpha = {1} over {2}], [eqn: beta= {3} over {2}]

[eqn: 0 LEQ t< {1} over {2}], [eqn: {1} over {2} <t LEQ {3} over {2}]일 때, [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =1]
[eqn: t= {1} over {2}]일 때, [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =2]
[eqn: {3} over {2} <t LEQ 3]일 때, [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =0]

따라서 [eqn: a= {1} over {2}], [eqn: b= {3} over {2}], [eqn: k= {sqrt {2}} over {2}]이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} +k ^{2} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{2} =3]

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {cases{ 1 & & & LEFT ( 0 LEQ t<a ````또는 ```` a<t LEQ b RIGHT ) # 2 & & & LEFT ( t=a RIGHT ) # 0 & & & LEFT ( b<t LEQ 3 RIGHT )]

일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +k ^{2}]의 값은?
(단, [eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: 0<a<b<3]인 상수이다.)

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 21

자연수[eqn: {n}{{^2020^08^경찰대^중}}]에 대하여 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi]에서 방정식 [eqn: left |`` sin nx ``right | = {2} over {3}]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: a _{n}], 서로 다른 모든 실근의 합을 [eqn: b _{n}]이라 할 때, [eqn: a _{5} b _{6} =k pi]이다. 자연수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold480]

[해설]

[eqn: y= left |`` sin nx ``right |]의 그래프는 다음과 같다.

위의 그래프에서 주기는 [eqn: {pi} over {n}]이고, [eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi]까지 [eqn: 2n]개의 그래프가 반복된다.

또, 한 주기 구간마다 [eqn: 2]개의 실근을 갖고 각각의 근은 대칭성을 가지므로

제일 작은 근을 [eqn: alpha]라 하면 [eqn: alpha.````pi over n - alpha , ````pi over n + alpha,```` 2pi over n - alpha````cdots,```` 2pi -alpha]

[eqn: therefore][eqn: a _{n} =4n], [eqn: b _{n} =4n pi]

[eqn: THEREFORE ```` a _{5} b _{6} =20times24pi=480pi]

[eqn: therefore][eqn: k=480]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 26

[eqn: {0 LEQ x LEQ 2pi}{{from^2020^04^서울고3가^}}]에서 정의된 함수 [eqn: y=a sin 3x+b]의 그래프가 두 직선 [eqn: y=9 ,```` y=2]와 만나는 점의 개수가 각각 [eqn: 3 ,```` 7]이 되도록 하는 두 양수 [eqn: a ,```` b]에 대하여 [eqn: a TIMES b]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 14 }]

[해설]

함수 [eqn: y=a sin 3x+b]의 그래프의 주기가 [eqn: {2} over {3} pi]이므로 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi]에서 함수 [eqn: y=a sin 3x+b]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: y=a sin 3x+b]의 그래프가 직선 [eqn: y=k]와 만나는 점의 개수는 [eqn: k= it -a+b] 또는 [eqn: k=a+b]일 때, [eqn: 3]

[eqn: k=b]일 때, [eqn: 7]이므로 [eqn: b=2]이고, [eqn: -a+2=9] 또는 [eqn: a+2=9]

[eqn: a]가 양수이므로 [eqn: a=7]

따라서 [eqn: a TIMES b][eqn: =7 TIMES 2][eqn: =14]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 21

자연수[eqn: {n}{{from^2020^06^부산고2^}}]에 대하여 [eqn: 0<x< {n} over {12} pi]일 때, 방정식 [eqn: sin ^{2} LEFT ( 4x RIGHT ) -1=0]의 실근의 개수를 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라 하자. [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =33]이 되도록 하는 모든 [eqn: n]의 값의 합은?

[정답] ②

[해설]

방정식 [eqn: sin ^{2} LEFT ( 4x RIGHT ) -1=0]에서 [eqn: sin 4x=1] 또는 [eqn: sin 4x= it -1]이다.

따라서 [eqn: 0<x< {n} over {12} pi]에서 함수 [eqn: y=sin 4x]의 그래프가 직선 [eqn: y=1] 또는 직선 [eqn: y=-1]과 만나는 점의 개수가 [eqn: 33]이어야 한다.

함수 [eqn: y=sin 4x]의 주기는 [eqn: {2pi} over {4}][eqn: = {pi} over {2}]이다.

[eqn: 0<x LEQ {pi} over {4}]에서 함수 [eqn: y=sin 4x]의 그래프와 직선 [eqn: y=1]이 만나는 점의 개수가 [eqn: 1]이고, [eqn: {pi} over {4} <x LEQ {pi} over {2}]에서 함수 [eqn: y=sin 4x]의 그래프과 직선 [eqn: y= it -1]이 만나는 점의 개수가 [eqn: 1]이므로 [eqn: 0<x LEQ {pi} over {2}]에서 함수 [eqn: y=sin 4x]의 그래프가 직선 [eqn: y=1] 또는 직선 [eqn: y= it -1]과 만나는 점의 개수가 [eqn: 2]이다.

따라서 [eqn: 0<x LEQ {pi} over {2} TIMES 16]에서 함수 [eqn: y=sin 4x]의 그래프가 직선 [eqn: y=1] 또는 직선 [eqn: y= it -1]과 만나는 점의 개수는 [eqn: 2 TIMES 6=32]이다.

그러므로 [eqn: 0<x< {n} over {12} pi]에서 방정식 [eqn: sin ^{2} LEFT ( 4x RIGHT ) -1=0]의 실근의 개수가 [eqn: 33]이기 위해 [eqn: 8pi<x< {n} over {12} pi]에서 함수 [eqn: y=sin 4x]의 그래프가 두 직선 [eqn: y=1 ,```` y= it -1]과 만나는 점의 개수가 각각 [eqn: 1 ,```` 0]이어야 한다.

따라서 [eqn: 8pi+ {pi} over {8} < {n} over {12} pi LEQ 8pi+ {3} over {8} pi]이고 [eqn: 97.5<n LEQ 100.5]이다.

그러므로 구하는 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 98 ,```` 99 ,```` 100]이고  합은 [eqn: 297]이다.

① [eqn: 295]	② [eqn: 297]	③ [eqn: 299]

④ [eqn: 301]	⑤ [eqn: 303]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 19

두 함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^7^경찰대^중}}]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가

[정답] ②

[해설]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cos ax] 의 주기 [eqn: {2 pi } over {a}], 한 개가 [eqn: x< {pi } over {4}]의 범위에 있으면서 그래프는 [eqn: x= {pi } over {4}]와 만나면 교점의 개수가 [eqn: 3]이 된다.

따라서 [eqn: {2 pi } over {a} < { pi } over { 4}]을 만족하므로 [eqn: a>8]

즉, [eqn: cos {a} over {4} pi = {sqrt {2}} over {2}]를 만족하는 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 9]

[eqn: THEREFORE ```` p=9]

위의 그래프처럼 주기는 [eqn: {2} over {9}pi]이며 닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0 ,```` {11} over {12} pi RIGHT ]]에는 네 개의 주기 [eqn: {2} over {9}pi], [eqn: {4} over {9} pi], [eqn: {6} over {9} pi], [eqn: {8} over {9} pi]가 있다.

[eqn: x=0]에서 한 번 만나며, 세 주기 [eqn: {2} over {9}pi], [eqn: {4} over {9} pi], [eqn: {6} over {9} pi]의 양쪽에서 각각 한 번씩 만나고 [eqn: {8} over {9} pi]에서는 왼쪽에서 한번 만난다.

즉, 교점의 개수 [eqn: q]는 [eqn: q=8]

[eqn: THEREFORE ```` p+q=17]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ cos x& && LEFT ( cos x GEQ sin x RIGHT )# sin x&&& LEFT ( cos x<sin x RIGHT )}}}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cos ax]

([eqn: a>0]인 상수)

이다. 닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0 ,```` {pi} over {4} RIGHT ]]에서 두 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 교점의 개수가 [eqn: 3]이 되도록 하는 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: p]라 하자. 닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0 ,```` {11} over {12} pi RIGHT ]]에서 두 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y][eqn: =cos px]의 교점의 개수를 [eqn: q]라 할 때, [eqn: p+q]의 값은?

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 11

닫힌구간 [eqn: LEFT [ `0,~2pi` RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는

[정답] ④

[해설]

그림은 [eqn: k]값에 따른 두 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) ,`y=sinx]와 직선 [eqn: y=sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )]를 좌표평면에 나타낸 것이다.

각 그림에서 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )]의 교점의 개수 [eqn: a _{k}]를 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: k=1] 일 때, [eqn: a _{1} =2]

(ⅱ) [eqn: k=2] 일 때, [eqn: a _{2} =2]

(ⅲ) [eqn: k=3] 일 때, [eqn: a _{3} =1]

(ⅳ) [eqn: k=4] 일 때, [eqn: a _{4} =2]

(ⅴ) [eqn: k=5] 일 때, [eqn: a _{5} =2]

따라서 [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5} =2+2+1+2+2=9]

[다른 풀이]

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )]의 교점의 개수는 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )] 의 서로 다른 실근의 개수와 같다. 즉,

(ⅰ) [eqn: 0 LEQ x LEQ {k} over {6} pi] 일 때, [eqn: sinx=sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )]□

(ⅱ) [eqn: {k} over {6} pi <x LEQ 2 pi]일 때,
[eqn: 2sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT ) -sinx=sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )]에서 [eqn: sinx=sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )]

그러므로 교점의 개수는 구간 [eqn: [0,`2 pi ]]에서 방정식

[eqn: sinx=sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )]의 서로 다른 실근의 개수와 같다.

[eqn: k=1,`k=5] 일 때, [eqn: sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT ) = {sqrt {3}} over {2}]이므로 [eqn: sinx= {sqrt {3}} over {2}]의 서로 다른 실근의 개수는 각각 [eqn: 2]이다.

[eqn: k=3] 일 때, [eqn: sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT ) =1]이므로 [eqn: sinx=1]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 1]이다.

따라서 [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5} =2+2+1+2+2=9]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{sin`x&~~~ LEFT ( 0 LEQ x LEQ {k} over {6} pi RIGHT )#eqalign{# 2`sin` LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT ) -sin`x}&eqalign{# ~~~ LEFT ( {k} over {6} pi<x LEQ 2pi RIGHT )}}}]

이다. 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y][eqn: =sin` LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )]의 교점의 개수를 [eqn: a _{k}]라 할 때, [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5}]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 6

두 정수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: cos { (a-b)pi} over { 2}=0]에서 [eqn: (a-b)pi over 2 = n pi + pi over 2]

[eqn: therefore][eqn: a-b=2n+1]	[eqn: cdotscdots] ㉠

㉠에서 정수 [eqn: l], [eqn: m]에 대하여

[eqn: a=2l]일 때, [eqn: b=2m+1]

[eqn: a=2l+1]일 때, [eqn: b=2m]

꼴이어야 한다.

따라서 [eqn: a^2 +b^2 le 13]을 만족하는 정수 [eqn: a], [eqn: b]는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: a=0]일 때,
[eqn: b^2 le 13]에서 [eqn: b=+-1], [eqn: +-3]이므로 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는 [eqn: 4]쌍이다.

(ⅱ) [eqn: a=+-1]일 때,
[eqn: b^2 le 12]에서 [eqn: b=0], [eqn: +-2]이므로 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는 [eqn: 2times3=6]쌍이다.

(ⅲ) [eqn: a=+-2]일 때,
[eqn: b^2 le9]에서 [eqn: b=+-1], [eqn: +-3]이므로 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는 [eqn: 2times4=8]쌍이다.

(ⅳ) [eqn: a=+-3]일 때,
[eqn: b^2 le4]에서 [eqn: b=0], [eqn: +-2]이므로 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는 [eqn: 2times3=6]쌍이다.

이상에서 조건을 만족하는 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는

[eqn: 4+6+8+6 = 24 from 넘버41]쌍이다.

[eqn: a^2 +b^2 le 13], [eqn: cos { (a-b)pi} over { 2}=0]

을 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,``b right)]의 개수는?

① [eqn: 16]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 32]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 17

두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수

[정답] ①

[해설]

[eqn: log_2 f(x) =][eqn: n] (단, [eqn: n]은 정수)라 하면 [eqn: f(x) = 2^n]

즉, [eqn: sin(a pi x) + 2b =2^n]에서 [eqn: sin`left(a pi x right)=2^n -2b]이다.

[eqn: sin`left(a pi x right)=2^n -2b]를 만족하는 [eqn: x]의 값이 [eqn: 8]개가 되도록 하는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: b=1]일 때,
[eqn: sin(a pi x ) = 2^n -2]에서
[eqn: n=0]일 때, [eqn: sina pi x =-1]
[eqn: n=1]일 때, [eqn: sina pi x =0]

[eqn: 0 le x le 1]에서 [eqn: sina pi x =-1] 또는 [eqn: sina pi x =0]의 해가 [eqn: 8]개이기 위해서는 위의 그림과 같이
[eqn: 5overa le1], [eqn: 11over2a >1]
을 만족해야한다.
따라서 [eqn: 5le a< 11over2]이므로 자연수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 5]이다.

(ⅱ) [eqn: b ge2]일 때,

(1) [eqn: b=2^n-1``left(n ge2 right)]인 경우 [eqn: sina pi x =0]

[eqn: 0 le x le 1]에서 [eqn: sina pi x =0]의 해가 [eqn: 8]개이기 위해서는 위의 그림과 같이
[eqn: 7overa le1], [eqn: 8overa >1]
을 만족해야 한다.
따라서 [eqn: 7le a<8]이므로 자연수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 7]이다.

(2) [eqn: b ne 2^n-1``left(n ge2 right)]인 경우 [eqn: sin`left(a pi x right)=2^n -2b]의 해는 존재하지 않는다.

이상에서 만족하는 [eqn: a]의 값은 [eqn: 5] 또는 [eqn: 7]이므로 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 12 from 넘버41]이다.

[eqn: f(x) = sin(a pi x) + 2b][eqn: (0 le x le 1)]

이 있다. 집합 [eqn: left{` x `left|` log_2 f(x)]는 정수[eqn: `right}]의 원소의 개수가 [eqn: 8]이 되도록 하는 서로 다른 모든 [eqn: a]의 값의 합은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 18

집합 [eqn: left{ x `|`- pi leq x leq pi it right}]에서 정의된 함수

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선

[eqn: y=k_{0} left(k_{0}>0 right)]과 만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: 0<k_{0}<{1} over {3}]일 때 [eqn: 8], [eqn: k_{0}={1} over {3}]일 때 [eqn: rm 6]

[eqn: {1} over {3}<k_{0}<{2} over {3}]일 때 [eqn: 4], [eqn: k_{0}={2} over {3}]일 때 [eqn: rm 5]

[eqn: {2} over {3}<k_{0}<{5} over {3}]일 때 [eqn: 4], [eqn: k_{0}={5} over {3}]일 때 [eqn: rm 2]

[eqn: k_{0}>{5} over {3}]일 때 [eqn: rm 0]

[eqn: 3 k>k]이므로 [eqn: |m-n|=3]을 만족시키는

[eqn: m]과 [eqn: n]은 [eqn: m=2], [eqn: n=5 CDOTS CDOTS]㉠

또는 [eqn: m=5], [eqn: n=8]

[eqn: m=2]이면 [eqn: 3 k={5} over {3}], [eqn: k={5} over {9}]

[eqn: {1} over {3}<{5} over {9}<{2} over {3}]에서 [eqn: n=4]이므로

㉠을 만족시키지 않는다.

[eqn: m=5]이면 [eqn: 3 k={2} over {3}], [eqn: k={2} over {9}]

[eqn: 0<{2} over {9}<{1} over {3}]에서 [eqn: n=8]이다.

[eqn: - pi leq x leq pi]일 때, 방정식 [eqn: left| sin 2 x+{2} over {3} right|={2} over {9}]의

모든 실근을 크기순으로 나열한 것을 [eqn: alpha_{1}], [eqn: alpha_{2}], [eqn: alpha_{3}], [eqn: cdots], [eqn: alpha_{8}]이라 하자.

[eqn: alpha_{1}+ alpha_{4}= alpha_{2}+ alpha_{3}=2 times left(-{ pi} over {4} right)=-{ pi} over {2}]

[eqn: alpha_{5}+ alpha_{8}= alpha_{6}+ alpha_{7}=2 times {3} over {4} pi={3} over {2} pi]

따라서

[eqn: alpha_{1}+ alpha_{2}+ cdots+ alpha_{8}=2 times left(-{ pi} over {2} right)+2 times {3} over {2} pi=2 pi]

[eqn: f(x)= left| sin 2 x+{2} over {3} right|]

가 있다. 양수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 두 직선 [eqn: y=3 k], [eqn: y=k]와 만나는 서로 다른 점의 개수를 각각 [eqn: m], [eqn: n]이라 할 때, [eqn: |m-n|=3]을 만족시킨다. [eqn: - pi leq x leq pi]일 때, [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x)=k]의 모든 실근의 합은?

① [eqn: {3} over {2} pi]	② [eqn: 2 pi]	③ [eqn: {5} over {2} pi]

④ [eqn: 3 pi]	⑤ [eqn: {7} over {2} pi]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
09 방부등식의 활용2 (부등식의 성립조건)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 26

[eqn: 0 le x <2pi]에서 [eqn: x]에 대한 부등식

[정답] [eqn: 7]

[해설]

[eqn: (2a+6)`cos`x-a`sin^2`x+a+12<0]

[eqn: (2a+6)cos`x-a(1-cos^2`x)+a+12<0]

[eqn: a`cos^2`x+(2a+6)`cos`x+12<0]

[eqn: LEFT ( a cos`x+6 RIGHT ) LEFT ( cos`x+2 RIGHT )<0]에서

[eqn: cos`x+2>0]이므로 [eqn: a`cos`x+6<0]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: cos`x<it- 6 overa]

[eqn: 0 le x<2pi]에서 부등식 [eqn: cos`x<it- 6 overa]의 해가 존재하기 위해서는 [eqn: - 6 overa >it-1]이어야 한다.

따라서 [eqn: a>6]이며 자연수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 7]

[eqn: LEFT ( 2a+6 RIGHT )cos`x-a`sin^2`x +a+12<0]

의 해가 존재하도록 하는 자연수 [eqn: a]의 최솟값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 24

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[정답] [eqn: 14]

[해설]

[eqn: LEFT ( a sin ^{ 2} x-4 RIGHT ) cos x+4][eqn: =left{ a(1-cos^2 x ) -4right} cosx +4]
[eqn: =-a cos^3 x + (a-4) cos x +4]

[eqn: cos x =t]라 하면 [eqn: -1 le t le 1]

(준 식)[eqn: =-at^3 +(a-4)t +4]
[eqn: = - (t-1)(at^2 +at +4)]

즉, [eqn: -1 le t le 1]에서 [eqn: - (t-1)(at^2 +at +4) ge 0]을 만족하는 [eqn: a]의 범위를 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: t=1]일 때,
[eqn: 0ge0]이므로 성립한다.

(ⅱ) [eqn: -1 le t <1]일 때,
[eqn: t-1<0]이므로 [eqn: at^2 +at+4 ge 0]을 만족해야 한다.

(1) [eqn: a=0]일 때,
[eqn: 4 ge 0]이므로 성립한다.

(2) [eqn: a>0]일 때,
[eqn: a left( t + 1 over 2 right)^2 - 1over 4 a +4 ge 0]이므로 [eqn: t= - 1 over 2]일 때가 최소가 된다.
즉, [eqn: - 1over 4 a +4 ge 0]이므로 [eqn: a le 16]
[eqn: therefore][eqn: 0 < a le 16]

(3) [eqn: a<0]일 때,
[eqn: a left( t + 1 over 2 right)^2 - 1over 4 a +4 ge 0]이므로 [eqn: t=1]일 때가 최소가 된다. 즉, [eqn: 2 a +4 ge 0]이므로 [eqn: a ge -2]
[eqn: therefore][eqn: -2 le a <0]

(1), (2), (3)에서 만족하는 [eqn: a]의 범위는 [eqn: -2 le a le 16]

따라서 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 16], 최솟값은 [eqn: -2]이므로 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 14 from 넘버41]이다.

[eqn: LEFT ( a sin ^{ 2} x-4 RIGHT ) cos x+4 GEQ0]

을 만족시키는 실수 [eqn: a]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
10 방부등식의 활용3 (여러가지)

[출처]	2008 모의_공공 경찰대 고3 07월 16

[eqn: 0 leq x leq pi]일 때, [eqn: x]에 관한 방정식 [eqn: left[ cos x+{1} over {2} right]=x-k]의 정수 해가 존재하도록 하는 [eqn: k]의 값의 합은? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대 정수)

[정답] ③

[해설]

다음의 [eqn: y= left[ cos x+{1} over {2} right]]그래프에서

ⅰ) [eqn: x=0]인 경우
[eqn: left[ cos x+{1} over {2} right]=1=-k ~ therefore~k=-1]

ⅱ) [eqn: 0<x LEQ {pi } over {3} ( image 1.05)]인 경우
정수 [eqn: x=1]이므로
[eqn: LEFT [ cosx+ {1} over {2} RIGHT ] =1=1-k~ THEREFORE~k=0]

ⅲ) [eqn: {pi } over {3} ( image 1.05)<x LEQ {2} over {3} pi ( image 2.11)]인 경우
정수 [eqn: x=2]이므로
[eqn: left[ cos x+{1} over {2} right]=0=2-k ~ therefore~k=2]

ⅳ) [eqn: {2} over {3} pi ( image 2.11)<x LEQ pi ( image 3.14)]인 경우
정수 [eqn: x=3]이므로
[eqn: left[ cos x+{1} over {2} right]=-1=3-k ~ therefore~k=4]

따라서 주어진 방정식의 정수해가 존재하도록 하는 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: -1+0+2+4=5]이다.

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 5]

④ [eqn: rm 7]	⑤ [eqn: rm 8]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 11월 18

[eqn: x ge0]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a cos bx+c]의 최댓값이 [eqn: 3], 최솟값이 [eqn: -1]이다. 그림과 같이 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y=3]이 만나는 점 중에서 [eqn: x]좌표가 가장 작은 점과 두 번째로 작은 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: x]축이 만나는 점 중에서 [eqn: x]좌표가 가장 작은 점과 두 번째로 작은 점을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하자. 사각형 [eqn: rm ACDB]의 넓이가 [eqn: 6 pi]일 때, [eqn: 0 LEQ x LEQ 4 pi]에서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2]의 모든 해의 합은?
(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 양수이다.)

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a cos bx+c]의 최댓값이 [eqn: 3], 최솟값이 [eqn: -1]이고 [eqn: a]가 양수이므로 [eqn: a=2], [eqn: c=1]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 cos bx+1]의 주기가 [eqn: {2pi} over {b}]이므로 [eqn: {bar{rm AB it}} = {2 pi } over {b}]

[eqn: 0 LEQ x LEQ {2 pi } over {b}]에서 방정식 [eqn: 2cos bx+1=0]의 해는 [eqn: x= {2 pi } over {3b}], [eqn: x= {4 pi } over {3b}]이므로 [eqn: {bar{rm CD it}} = {2 pi } over {3b}]

사각형 [eqn: rmACDB]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( it {2 pi } over {3b} + rm {2 pi } over {it b rm} RIGHT ) TIMES 3][eqn: =6 pi]이므로 [eqn: b= {2} over {3}]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2cos {2} over {3} x+1]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 4 pi]에서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2]의 모든 해는 [eqn: {pi } over {2}], [eqn: {5} over {2} pi], [eqn: {7} over {2} pi]이므로 합은 [eqn: {13} over {2} pi]

① [eqn: 6 pi]	② [eqn: {13} over {2} pi]	③ [eqn: 7 pi]

④ [eqn: {15} over {2} pi]	⑤ [eqn: 8 pi]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
11 방부등식의 활용4 (추론과 해석)

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고2 03월 21

좌표평면에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위의 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ `]가 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,`` 0 RIGHT ) `]에서 동시에 출발하여 시계 바늘이 도는 방향과 반대 방향으로 매초 [eqn: {2} over {3} pi], [eqn: {4} over {3} pi `]의 속력으로 각각 움직인다. 출발 후 [eqn: 100 `]초가 될 때까지 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ `]의 [eqn: y `]좌표가 같아지는 횟수는?

[정답] ②

[해설]

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ`]의 [eqn: t LEFT ( t>0 RIGHT )]초 후의 [eqn: y]좌표를 각각 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) ,~g LEFT ( t RIGHT )]라 하면 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =sin {2} over {3} pit,][eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =sin {4} over {3} pit]이고 그래프는 그림과 같다.

출발 후 [eqn: 3]초가 될 때까지 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) ,~g LEFT ( t RIGHT )]의 값이 [eqn: 4]회 같아지므로 [eqn: 99]chc가 될 때까지 [eqn: 132]회 같아진다.

[eqn: THEREFORE] 출발 후 [eqn: 100]초가 될 때까지는 [eqn: 133]회

① [eqn: 132]	② [eqn: 133]	③ [eqn: 134]

④ [eqn: 135]	⑤ [eqn: 136]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 21

자연수[eqn: {k}{{from^2020^04^서울고3가^}}]에 대하여 집합 [eqn: A _{k}]를

[정답] ②

[해설]

[eqn: f LEFT ( m RIGHT )][eqn: =sin {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {k} pi]라 하면 함수 [eqn: f LEFT ( m RIGHT )]의 주기가 [eqn: k]이므로 집합 [eqn: A _{k}]는 [eqn: A _{k} = LEFT { f LEFT ( 1 RIGHT ) ,```` f LEFT ( 2 RIGHT ) ,```` CDOTS ,```` f LEFT ( k RIGHT ) RIGHT }]이다.

ㄱ. [eqn: k=3]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =sin {2} over {3} pi = {sqrt {3}} over {2}], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =sin {2 TIMES 2} over {3} pi= it - {sqrt {3}} over {2}]이므로
[eqn: A _{3} = LEFT { - {sqrt {3}} over {2} ,```` 0 ,```` {sqrt {3}} over {2} RIGHT }]	(참)

ㄴ. [eqn: 1]이 집합 [eqn: A _{k}]의 원소가 되려면 [eqn: f LEFT ( m RIGHT ) =1]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]([eqn: m=1 ,```` 2 ,```` CDOTS ,```` k])가 존재해야 한다.
[eqn: sin {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {k} pi =1]에서 [eqn: {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {k} pi= {pi} over {2}]
[eqn: m=1+ {k} over {4}]이고 [eqn: m]이 자연수이므로 [eqn: k]는 [eqn: 4]의 배수이어야 한다.
따라서 [eqn: k=12 ,```` 16 ,```` CDOTS ,```` 96]이며 그 개수는 [eqn: 22]이다.	(참)

ㄷ. [eqn: 4]이상의 자연수 [eqn: k]에 대하여

(ⅰ) [eqn: k=4l] ([eqn: l]은 자연수)인 경우
[eqn: f LEFT ( m RIGHT ) =sin {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {4l} pi=sin {m-1} over {2l} pi]이므로
[eqn: m=1]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =sin {1-1} over {2l} pi][eqn: =sin 0][eqn: =0]
[eqn: m=l+1]일 때,
[eqn: f LEFT ( l+1 RIGHT ) =sin {l+1-1} over {2l} pi][eqn: =sin {pi} over {2}][eqn: =1]
[eqn: m=2l+1]일 때,
[eqn: f LEFT ( 2l+1 RIGHT ) =sin {2l+1-1} over {2l} pi][eqn: =sin pi][eqn: =0]
[eqn: m= alpha]([eqn: alpha =2 ,```` 3 ,```` CDOTS ,```` l])일 때,
[eqn: pi- {alpha -1} over {2l} pi][eqn: = {LEFT ( 2l+2- alpha RIGHT ) -1} over {2l} pi]
이므로 [eqn: beta =2l+2- alpha]라 하면 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =f LEFT ( beta RIGHT )]

그러므로 집합 [eqn: A _{k}]의 원소 중 양수는 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )], [eqn: CDOTS], [eqn: f LEFT ( l+1 RIGHT )]이고 그 개수는 [eqn: l]이다.
같은 방법으로 집합 [eqn: A _{k}]의 원소 중 음수의 개수도 [eqn: l]이다.
따라서 집합 [eqn: A _{k}]의 원소의 개수는
[eqn: l+l+1=2l+1]

(ⅱ) [eqn: k=4l+1] ([eqn: l]은 자연수)인 경우
[eqn: f LEFT ( m RIGHT ) =sin {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {4l+1} pi]이므로
[eqn: m=1]일 때,
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =sin {2 TIMES LEFT ( 1-1 RIGHT )} over {4l+1} pi][eqn: =sin 0][eqn: =0]
[eqn: 4l+1]이하의 서로 다른 두 자연수 [eqn: r ,```` s]에 대하여
[eqn: {2 LEFT ( r-1 RIGHT )} over {4l+1} pi+ {2 LEFT ( s-1 RIGHT )} over {4l+1} pi][eqn: = {2 LEFT ( r+s-2 RIGHT )} over {4l+1} pi]에서
[eqn: 4l+1]은 홀수이고 [eqn: 2 LEFT ( r+s-2 RIGHT )]는 짝수이므로
[eqn: {2 LEFT ( r+s-2 RIGHT )} over {4l+1} pi != pi], [eqn: {2 LEFT ( r+s-2 RIGHT )} over {4l+1} pi != 3pi]이다.

따라서 집합 [eqn: A _{k}]의 원소의 개수는 [eqn: 4l+1]

(ⅲ) [eqn: k=4l+2] ([eqn: l]은 자연수)인 경우
[eqn: f LEFT ( m RIGHT )][eqn: =sin {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {4l+2} pi][eqn: =sin {m-1} over {2l+1} pi]
[eqn: m=1]일 때,
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =sin {1-1} over {2l+1} pi][eqn: =sin 0][eqn: =0]
[eqn: m=2l+2]일 때,
[eqn: f LEFT ( 2l+2 RIGHT )][eqn: =sin {2l+2-1} over {2l+1} pi][eqn: =sin pi][eqn: =0]
[eqn: m= alpha]([eqn: alpha =2 ,```` 3 ,```` CDOTS ,```` l+1])일 때,
[eqn: pi- {alpha -1} over {2l+1} pi][eqn: = {LEFT ( 2l+3- alpha RIGHT ) -1} over {2l+1} pi]이므로
[eqn: beta =2l+3- alpha]라 하면 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =f LEFT ( beta RIGHT )]

그러므로 집합 [eqn: A _{k}]의 원소 중 양수는 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )] , [eqn: CDOTS], [eqn: f LEFT ( l+1 RIGHT )]이고 그 개수는 [eqn: l]이다.
같은 방법으로 집합 [eqn: A _{k}]의 원소 중 음수의 개수도 [eqn: l]이다.
따라서 집합 [eqn: A _{k}]의 원소의 개수는
[eqn: l+l+1=2l+1]

(ⅳ) [eqn: k=4l+3] ([eqn: l]은 자연수)인 경우
(ⅱ)와 같은 방법으로 구하면 집합 [eqn: A _{k}]의 원소의 개수는 [eqn: 4l+3]이다.

[eqn: A _{1} =A _{2} = LEFT { 0 RIGHT }]이고 (ⅰ)~(ⅳ)에 의하여

집합 [eqn: A _{k}]의 원소의 개수는

[eqn: n LEFT ( A _{k} RIGHT ) = {cases{4l-3&&& LEFT ( k=4l-3 RIGHT )# 2l-1 &&& LEFT ( k=4l-2 RIGHT )#4l-1 &&& LEFT ( k=4l-1 RIGHT )# 2l+1&&& LEFT ( k=4l RIGHT )}}}] ([eqn: l]은 자연수)

[eqn: k=4l-3]인 경우 [eqn: 4l-3=11]을 만족시키는 자연수 [eqn: l]은 존재하지 않는다.

[eqn: k=4l-2]인 경우 [eqn: 2l-1=11]을 만족시키는 자연수 [eqn: l]은 [eqn: 6]이므로 [eqn: k=22]

[eqn: k=4l-1]인 경우 [eqn: 4l-1=11]을 만족시키는 자연수 [eqn: l]은 [eqn: 3]이므로 [eqn: k=11]

[eqn: k=4l]인 경우 [eqn: 2l+1=11]을 만족시키는 자연수 [eqn: l]은 [eqn: 5]이므로

[eqn: k=20]

따라서 [eqn: n LEFT ( A _{k} RIGHT )][eqn: =11]을 만족시키는 모든 [eqn: k]의 값의 합은
[eqn: 22+11+20=53]	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: A _{k}][eqn: =][eqn: LEFT { sin {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {k} pi `` left |`` m pile{it#it} RIGHT . RIGHT .]은 자연수[eqn: LEFT. it pile{it#it} RIGHT }]

라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: A _{3} = LEFT { - {sqrt {3}} over {2} ,```` 0 ,```` {sqrt {3}} over {2} RIGHT }] ㄴ. [eqn: 1]이 집합 [eqn: A _{k}]의 원소가 되도록 하는 두 자리 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 22]이다. ㄷ. [eqn: n LEFT ( A _{k} RIGHT ) =11]을 만족시키는 모든 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 33]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 21

닫힌구간[eqn: {[-2pi ,```` 2pi]}{{from^2020^평가원가^3}}]에서 정의된 두 함수

[정답] ②

[해설]

[eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]는 [eqn: 0<x< { pi} over { 24}]에서 적어도 하나의 교점을 가진다. 이 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha]라 하자.

[eqn: y=f(x)]는 주기가 [eqn: { 2pi} over { k}], [eqn: y=g(x)]는 주기가 [eqn: { pi} over { 6}]인 함수이므로

[eqn: LEFT { x ``|`` f(x)][eqn: =f( alpha ) RIGHT }]

[eqn: = LEFT { alpha ,```` {pi } over {k} - alpha ,```` {2 pi } over {k} + alpha ,```` {3 pi } over {k} - alpha ,```` CDOTS RIGHT }]

즉, [eqn: A][eqn: = LEFT { alpha ,```` {pi } over {k} - alpha ,```` {2 pi } over {k} + alpha ,```` {3 pi } over {k} - alpha ,```` CDOTS RIGHT }]라 하고,

[eqn: LEFT { x ``|`` g(x)=g(alpha) RIGHT }]

[eqn: = LEFT { alpha ,```` {pi } over {6} - alpha ,```` {pi } over {6} + alpha ,```` {2 pi } over {6} - alpha ,```` CDOTS ,```` {12 pi } over {6} - alpha RIGHT }]

에서 [eqn: B][eqn: = LEFT { alpha ,```` {pi } over {6} - alpha ,```` {pi } over {6} + alpha ,```` {2 pi } over {6} - alpha ,```` CDOTS ,```` {12 pi } over {6} - alpha RIGHT }]라고 하자.

이때 [eqn: A subset B]를 만족하기 위해서는 [eqn: { pi} over { k}- alpha in B]여야 한다.

(ⅰ) [eqn: {pi } over {k} - alpha = {n pi } over {6} - alpha]인 경우
[eqn: { 1} over { k} = { n} over { 6}]에서 [eqn: k= { 6} over { n}]이므로 [eqn: n=1], [eqn: n=2], [eqn: n=3], [eqn: n=6]일 때 각각 [eqn: k=6], [eqn: k=3], [eqn: k=2], [eqn: k=1]이다.
즉 [eqn: 4]가지

㉠ [eqn: k=6]일 때 [eqn: A= left{` alpha ,```` { pi} over { 6} - alpha ,```` { 2pi} over { 6} + alpha ,```` { 3pi} over { 6} - alpha ,```` { 4pi} over { 6} - alpha ,```` cdots `right} subset B]

㉡ [eqn: k=3]일 때 [eqn: A= left{` alpha ,```` { 2pi} over { 6} - alpha ,```` { 4pi} over { 6} + alpha ,```` { 6pi} over { 6} - alpha ,```` cdots `right} subset B]

㉢ [eqn: k=2]일 때 [eqn: A= left{` alpha ,```` { 3pi} over { 6} - alpha ,```` { 6pi} over { 6} + alpha ,```` { 9pi} over { 6} - alpha `right}][eqn: subset B]
㉣ [eqn: k=1]일 때 [eqn: A= left{` alpha ,```` { 6pi} over { 6} -alpha `right} subset B]
삼각함수의 대칭성과 주기성에 의하여 [eqn: (alpha ,```` f(alpha ))]이외의 교점에 대해서도 같은 방법으로 확인할 수 있다.

(ⅱ) [eqn: {pi } over {k} - alpha = {n pi } over {6} + alpha]인 경우
그림과 같이 [eqn: beta in A], [eqn: beta NOTIN B]가 되는 [eqn: beta]가 존재하므로 조건에 모순이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 조건을 만족하는 [eqn: k]는 [eqn: 4]가지다.

[eqn: f(x)=sinkx +2], [eqn: g(x)= 3cos12x]

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수는?

실수 [eqn: a]가 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 교점의 [eqn: y]좌표이면

[eqn: left{` x ``|`` f(x)=a `right} subset left{` x ``|`` g(x)=a `right}]

이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 15

[eqn: -1 le t le 1]인 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식

[정답] ②

[해설]

ㄱ. [eqn: -1 le t < 0]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: alpha LEFT ( t RIGHT )]와 [eqn: beta LEFT ( t RIGHT )]의 위치는 아래 그림과 같다.

주어진 [eqn: t]의 범위에서 점 [eqn: (t ,```` alpha LEFT ( t RIGHT ))]는 곡선 [eqn: y=sin { pi x} over {2}]위에 있고 점 [eqn: (t ,```` beta LEFT ( t RIGHT ))]는 곡선 [eqn: y=cos { pi x} over { 2}]에 있다.
이때, [eqn: alpha(t)]와 [eqn: beta(t)]는 직선 [eqn: x={ 5} over { 2}]에 대해 대칭이므로 [eqn: {alpha(t) + beta(t)} over 2 = 5 over 2]이므로 [eqn: alpha(t) + beta(t) = 5]이다.	(참)

ㄴ. [eqn: t=0]일 때, [eqn: alpha LEFT ( 0 RIGHT )=0], [eqn: beta LEFT ( 0 RIGHT )=3]이다.

이때, [eqn: t > { sqrt { 2} } over { 2}]일 때는 [eqn: beta LEFT ( t RIGHT )- alpha LEFT ( t RIGHT )>3]이므로
[eqn: beta LEFT ( t RIGHT )- alpha LEFT ( t RIGHT )=3]을 만족하는 [eqn: t]의 범위는 [eqn: 0 le t le { sqrt { 2} } over { 2}]이다.	(참)

ㄷ. [eqn: alpha LEFT ( t_1 RIGHT )= alpha LEFT ( t_2 RIGHT )=k]라 하면, [eqn: t_1]과 [eqn: t_2]는 [eqn: sin { k pi } over { 2}] 또는 [eqn: cos { k pi} over { 2}]이다.
이때, [eqn: sin { k pi } over { 2}=t_1], [eqn: cos { k pi } over { 2}=t_2]라 하면,
[eqn: t _{2} -t _{1} =cos {k pi } over {2} -sin {k pi } over {2} = {1} over {2}]이고, 양변을 제곱하면
[eqn: LEFT { cos { k pi } over {2 } RIGHT }^2 -2 cos { k pi } over { 2} ` sin { k pi } over { 2}+ LEFT { sin { k pi } over {2 } RIGHT }^2 = { 1} over { 4}]
[eqn: cos { k pi } over { 2} ` sin { k pi} over { 2}= { 3} over { 8}][eqn: =t_2 TIMES t_1]
즉, [eqn: t_1 TIMES t_2 = { 3} over { 8}]이다.	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: LEFT ( sin { pix} over {2 }-t RIGHT ) LEFT ( cos { pix} over {2 }-t RIGHT )=0]

의 실근 중에서 집합 [eqn: LEFT { x ``|`` 0 LEQ x < 4 RIGHT }]에 속하는 가장 작은 값을 [eqn: alpha LEFT ( t RIGHT )], 가장 큰 값을 [eqn: beta LEFT ( t RIGHT )]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: -1 le t < 0]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: alpha LEFT ( t RIGHT )+ beta LEFT ( t RIGHT )][eqn: =5]이다. ㄴ. [eqn: LEFT { t ``|`` beta LEFT ( t RIGHT )- alpha LEFT ( t RIGHT )=beta LEFT ( 0 RIGHT )- alpha LEFT ( 0 RIGHT ) } RIGHT }= LEFT { t `` left |`` 0 le t le { sqrt { 2} } over {2 } RIGHT }] ㄷ. [eqn: alpha LEFT ( t_1 RIGHT )= alpha LEFT ( t_2 RIGHT )]인 두 실수 [eqn: t_1], [eqn: t_2]에 대하여 [eqn: t_2 -t_1 = { 1} over { 2}]이면 [eqn: t_1 TIMES t_2 = { 1} over { 3}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

03 수1	07 삼각함수의 활용
01 사인법칙과 코사인법칙
01 사인법칙1 (기본)

[출처]	2001 모의_공공 사관학교 고3 07월 21
[출처]	2001 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 반원에서 지름의 양 끝점을 [eqn: {rm{P}} it _{0}], [eqn: {rm{P}} it _{1}]이라 하자. 이때, [eqn: angle {rm{P}} it _{0} {rm{P}} it _{1} {rm{P}} it _{2}=1 DEG], [eqn: angle {rm{P}} it _{1} {rm{P}} it _{2} {rm{P}} it _{3}=2 DEG], [eqn: cdots], [eqn: ANGLE rm P it _{it rm k it -1} rm P it _{it rm k it} rm P it _{it rm k it +1} = LEFT ( 2 ^{rm itk it -1} RIGHT ) DEG]를 만족하는 원 주위의 점 [eqn: {rm{P}} it _{2}], [eqn: {rm{P}} it _{3}], [eqn: cdots], [eqn: {rm{P}} it _{7}]에 대하여 선분 [eqn: {rm{P}} it _{6} {rm{P}} it _{7}]의 길이는?

[정답] ③

[해설]

원의 중심을 [eqn: rm O]라 두면 중심각의 크기는 원주각의 크기의 [eqn: rm 2]배이고, [eqn: rm angle P_{0} {rm{P}} it _{1} {rm{P}} it _{2}=1^{o}], [eqn: rm angle P_{1} {rm{P}} it _{2} {rm{P}} it _{3}=2^{o}], [eqn: rm angle P_{2} {rm{P}} it _{3} {rm{P}} it _{4}= left(2^{2} right) DEG],

[eqn: cdots], [eqn: rm ANGLE P _{k-1} rm P it rm _{k} rm P it rm _{k+1} = LEFT ( 2 ^{k-1} RIGHT ) DEG]

[eqn: rm angle P_{5} {rm{P}} it _{6} {rm{P}} it _{7}= left(2^{6-1} right)=32 DEG], [eqn: rm ~ angle P_{6} {rm{P}} it _{7} {rm{P}} it _{8}=64 DEG]이므로

호 [eqn: rm P_{6} {rm{P}} it _{7}]의 중심각의 크기를 [eqn: x DEG]라 두면 각 호의 중심각의 크기의 합은 [eqn: 2 DEG +4 DEG +8 DEG +16 DEG +32 DEG +64 DEG +x DEG =180 DEG][eqn: therefore~x DEG =54 DEG]이므로 호 [eqn: rm P_{6} {rm{P}} it _{7}]의 원주각의 크기는 [eqn: 27 DEG]이다.

그러므로 사인 법칙에서

[eqn: rm {RMP _{6} rm P rm _{7}} over {sin27 DEG } =2 TIMES 1]이므로 [eqn: RMP_{6} {rm{P}} it _{7}=2 sin 27 DEG =2 cos 63 DEG]

① [eqn: 2cos32DEG]

② [eqn: 2 sin 32 DEG]

③ [eqn: 2 cos 63 DEG]

④ [eqn: 2 cos 64 DEG]

⑤ [eqn: 2 sin 64 DEG]

03 수1	07 삼각함수의 활용
01 사인법칙과 코사인법칙
04 코사인법칙2 (코사인법칙의 변형)

[출처]	2003 모의_공공 교육청 고3 04월 30
[출처]	2003 모의_공공 교육청 고3 04월 30

삼각형의 세 꼭짓점에서 각각의 대변 또는 그 연장선에 내린 수선의 길이의 비가 [eqn: 2: 3: 4]이다. 이 삼각형의 내각 중 최대각을 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: {1} over { cos theta}]의 값을 반올림하여 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.

[정답] [eqn: -2.18]

[해설]

그림과 같이 [eqn: triangle {rm{ABC}} it]의 꼭짓점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]에서 대변 또는 그 연장선 위에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{D}} it], [eqn: {rm{E}} it], [eqn: {rm{F}} it]라 하고, [eqn: overline{{rm{CF}} it }: overline{{rm{BE}} it }: overline{{rm{AD}} it }=2: 3: 4]라 하자. [eqn: overline{{rm{CF}} it }=2 k], [eqn: overline{{rm{BE}} it }=3 k], [eqn: overline{{rm{AD}} it }=4 k(]단, [eqn: k>0)][eqn: triangle {rm{ABC}} it]의 면적 [eqn: S]는 [eqn: S={1} over {2} cdot overline{{rm{AB}} it } cdot 2 k={1} over {2} cdot overline{{rm{BC}} it } cdot 4 k][eqn: ={1} over {2} cdot overline{{rm{CA}} it } cdot 3 k]

[eqn: rm overline{A B}: overline{B C}: overline{C A}]

[eqn: ={1} over {2}: {1} over {4}: {1} over {3}=6: 3: 4]

이때, 최대각은 [eqn: overline{{rm{AB}} it }]에 대응하는 각이므로 [eqn: angle {rm{ACB}} it = theta]라면 [eqn: cos theta={ overline{{rm{BC}} it }^{2}+ overline{{rm{CA}} it }^{2}- overline{{rm{AB}} it }^{2}} over {2 cdot overline{{rm{BC}} it } cdot overline{{rm{CA}} it }}=-{11} over {24}]

[eqn: therefore~ ~ {1} over { cos theta}=-{24} over {11}=-2.1818 cdots]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 03월 19

그림과 같이 [eqn: rmA >90 DEG`]인 삼각형 [eqn: rm ABC `]의 세 꼭짓점 [eqn: rmA], [eqn: \B], [eqn: \C`]에서 세 직선 [eqn: \BC], [eqn: \CA], [eqn: \AB`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: \D], [eqn: \E], [eqn: \F`]라 하자. [eqn: rmbar{AD} `:` bar{BE} `:` bar{CF}= 2 `:` 3 `:` 4 `]일 때, 삼각형 [eqn: \ABC`]에서 [eqn: cos` C` `]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: rm bar{BC} =ita], [eqn: rm bar{CA} = it b], [eqn: rm bar{AB} = it c], 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= { 1} over { 2}times a times bar{rmAD}][eqn: ={ 1} over {2 }times b times bar{rmBE}][eqn: ={ 1} over {2 }times c times bar{rmCF}]

[eqn: a= { 2S} over {bar{rmAD} }], [eqn: b= { 2S} over { bar{rmBE}}], [eqn: c= { 2S} over { bar{rmCF}}]

[eqn: a`:`b`:`c][eqn: ={ 2S} over {bar{rmAD} }`:` { 2S} over {bar{rmBE} }`:` { 2S} over { bar{rmCF}}][eqn: ={ 1} over { bar{rmAD}}`:` { 1} over { bar{rmBE}}`:` { 1} over { bar{rmCF}}][eqn: ={ 1} over { 2}`:` { 1} over {3 }`:` { 1} over { 4}]
[eqn: =6:4:3]

[eqn: a=6k], [eqn: b=4k], [eqn: c=3k]([eqn: k]는 양수)라 하면 [eqn: cosC][eqn: = {a ^{2} +b ^{2} -c ^{2}} over {2a`b} `]

[eqn: = {(6k) ^{2} +(4k) ^{2} -(3k) ^{2}} over {2` TIMES 6k` TIMES `4k} `][eqn: = {43} over {48} `]

① [eqn: {5} over {6}]	② [eqn: {41} over {48}]	③ [eqn: {7} over {8}]

④ [eqn: {43} over {48}]	⑤ [eqn: {11} over {12}]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 14

삼각형 [eqn: {rmABC}{{from^2021^7^경찰대^중}}]에서 [eqn: ANGLE rm A][eqn: = {2pi} over {3}]이고 [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =6]이다. [eqn: {bar{rm AC}}]와 [eqn: {bar{rm BC}}]의 합이 [eqn: 24]일 때, [eqn: {rm cos B]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: {rm ANGLEA = { 2pi} over { 3}], [eqn: rm bar { AB}=6], [eqn: rm bar { AC} + bar { BC}=24]이므로 [eqn: rm bar { AC}=it x]라 하면

[eqn: rm bar { BC}=it 24-x]

코사인법칙에 의해서

[eqn: LEFT ( 24-x RIGHT )^2 = 6^2 +x^2 - 2 CDOT 6 CDOT x CDOT cos { 2pi} over { 3}]

즉, [eqn: x^2 -48x +576 = x^2 +6x+36]이므로 [eqn: 54x = 540]

[eqn: THEREFORE ```` x=10]

[eqn: rm bar { AB}=6], [eqn: rm bar { AC}=10], [eqn: rm bar { BC}=14]이므로 코사인법칙에 의해

[eqn: cos rm B = it{ 6^2 +14^2 - 10^2} over { 2 CDOT 6 CDOT14} = { 11} over { 14}]

① [eqn: {19} over {28}]	② [eqn: {5} over {7}]	③ [eqn: {21} over {28}]

④ [eqn: {11} over {14}]	⑤ [eqn: {23} over {28}]

03 수1	07 삼각함수의 활용
01 사인법칙과 코사인법칙
05 사인법칙과 코사인법칙의 동시 적용

[출처]	2006 모의_공공 교육청 고2 03월 19

그림과 같이

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: a=5] 이면 △ABC 는 직각삼각형이므로 변 BC 는 원의 지름이다.  ∴ [eqn: R=`5over2] (참)

ㄴ. 사인법칙에 의해 [eqn: a `=` 2R `sinA``]
∴ [eqn: a`=`2 cdot 4 cdot sin A`=`8` sin A``] (참)

ㄷ. [eqn: 1<a^2`<=13]이고 제이코사인법칙에 의하여
[eqn: a^2`=b^2`+c^2`-2bc cosA] 이므로
[eqn: cosA`= {3 ^{2} `+4 ^{2} `-a ^{2}} over {2 CDOT 3 CDOT 4} ``= {25-a ^{2}} over {24}]
∴ [eqn: 1over2`<= `cosA`<`1]
∴ [eqn: 0 DEG <A<=60DEG]
따라서 [eqn: ANGLE A]의 최댓값은 [eqn: 60DEG]이다. (참)

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

[eqn: rm bar{ AB } = 3], [eqn: rm bar{ BC } = it a], [eqn: rm bar{ AC } = 4 `]

인 삼각형 [eqn: rm ABC `]가 원에 내접하고 있다. 이 원의 반지름의 길이를 [eqn: R ``]라 할 때, 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a = 5 `]이면 [eqn: R` = { 5 } over { 2 } `]이다. ㄴ. [eqn: R` =4 `]이면 [eqn: a = 8 sin`A` `]이다. ㄷ. [eqn: 1< a LEQ sqrt { 13 }`]일 때, [eqn: rm ANGLE A `]의 최댓값은 [eqn: 60 DEG `]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

03 수1	07 삼각함수의 활용
02 사인법칙과 코사인법칙의 활용
02 활용2 (사인법칙의 활용)

[출처]	2003 모의_공공 교육청 고3 03월 30
[출처]	2003 모의_공공 교육청 고3 03월 30
[출처]	2003 모의_공공 교육청 고3 03월 30

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 [eqn: {rm{O}} it (0,``0)], [eqn: {rm{A}} it (0,``8)]과 제[eqn: rm 1]사분면 위의 점 [eqn: {rm{B}} it]에 대하여 [eqn: angle {rm{ABO}} it =30]일 때, 세 점 [eqn: {rm{O}} it], [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]를 지나는 원의 중심의 좌표를 [eqn: (a,`` b)], 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하자. 이때, [eqn: a+b+r]의 값을 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오. (단, [eqn: sqrt{3}=1.732]로 계산한다.)

[정답] [eqn: 18.93]

[해설]

사인법칙에서 [eqn: { overline{{rm{OA}} it }} over { sin B}=2 r][eqn: therefore~r={ overline{{rm{OA}} it }} over {2 sin B}={8} over {2 cdot {1} over {2}}=8]또, [eqn: overline{{rm{OA}} it }=8]이므로 [eqn: b=4]

한편, 주어진 원은 원점을 지나므로 [eqn: a^{2}+b^{2}=r^{2}]에서 [eqn: a=4 sqrt{3}]

[eqn: therefore~a+b+r=4 sqrt{3}+4+8=12+4 sqrt{3}]

[eqn: =18.928 image 18.93]

[다른풀이]

원과 [eqn: x]축이 만나는 점을 [eqn: {rm{C}} it]라 하면

[eqn: angle {rm{ACO}} it = angle {rm{ABO}} it =30 DEG] 직각삼각형 [eqn: {rm{ACO}} it]에서 [eqn: overline{{rm{OC}} it }=8 sqrt{3}], [eqn: ~ overline{{rm{AC}} it }=16]
[eqn: therefore~a={1} over {2} overline{{rm{OC}} it }=4 sqrt{3}], [eqn: b={1} over {2} overline{{rm{OA}} it }=4], [eqn: r={1} over {2} overline{{rm{AC}} it }=8]

[eqn: therefore~a+b+r=12+4 sqrt{3}]

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고2 03월 19

그림과 같이 [eqn: rm bar AB =10], [eqn: bar {rmBC} =6], [eqn: rmbar CA =8 `]인 삼각형 [eqn: rmABC `]와 그 삼각형의 내부에 [eqn: rm bar{AP} =6 `]인 점 [eqn: rmP `]가 있다. 점 [eqn: rmP `]에서 변 [eqn: rmAB `]와 변 [eqn: rmAC `]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm Q], [eqn: rm R `]라 할 때, 선분 [eqn: rm {QR } `]의 길이는?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: bar{rm AQ it} BOT bar{rm PQ it} `], [eqn: bar{rm AR it} BOT bar{rm PR it} `]이므로 네 점 [eqn: rmA`], [eqn: rm Q`], [eqn: rmP`], [eqn: rm R`]는 한 원 위의 점이다. 즉, 선분 [eqn: rm AP`]는 삼각형 [eqn: rm AQR`]의 외접원의 지름이다.

[eqn: rm △AQR`]에서 사인법칙을 이용하면 [eqn: {rm bar {QR }} over { sinA }= rm bar AP =6`]

[eqn: rm △ABC`]는 직각삼각형이므로	[eqn: sin A = 6 over 10 = 3 over 5 `]

따라서 구하는 길이는

[eqn: bar {rmQR } = bar{rmAP} `sin A `][eqn: =6 TIMES {3} over {5} `][eqn: = {18} over {5}`]

① [eqn: {14}over5`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: {16} over 5`]

④ [eqn: {17 }over 5`]	⑤ [eqn: {18 } over 5`]

[출처]	2013 모의_공공 경찰대 고3 07월 10

반지름의 길이가 각각 [eqn: rm 5]와 [eqn: rm 3]인 두 원이 점 [eqn: {rm{A}} it]에서 내접할 때, 그림과 같이 큰 원의 지름 [eqn: {rm{AE}} it]에 수직인 직선 [eqn: l]이 두 원과 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{B}} it]와 [eqn: {rm{C}} it]라 하자. [eqn: overline{{rm{AD}} it }=4]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 외접원의 반지름의 길이는?

[정답] ②

[해설]

반지름이 [eqn: rm 5]와 [eqn: rm 3]인 원의 중심을 각각 [eqn: {rm{O}} it], [eqn: {rm{O}} it `prime]이라 하자.

직각삼각형 [eqn: {rm{OAD}} it]에서

[eqn: overline{{rm{BD}} it }= sqrt{ overline{{rm{OB}} it }`^{2}- overline{{rm{OD}} it }`^{2}}= sqrt{5^{2}-1^{2}}=2 sqrt{6}]

직각삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]에서

[eqn: overline{{rm{AB}} it }= sqrt{ overline{{rm{BD}} it }`^{2}+ overline{{rm{AD}} it }`^{2}}= sqrt{(2 sqrt{6})^{2}+4^{2}}=2 sqrt{10}]

[eqn: therefore~ sin ( angle {rm{ABC}} it )={ overline{{rm{AD}} it }} over { overline{{rm{AB}} it }}={2} over { sqrt{10}}]

직각삼각형 [eqn: {rm{O}} it `prime {rm{CD}} it]에서

[eqn: overline{{rm{CD}} it }= sqrt{{ overline{{rm{O}} it `prime {rm{C}} it }}^{2}- overline{{rm{O}} it `prime {rm{D}} it }}= sqrt{3^{2}-1^{2}}=2 sqrt{2}]

직각삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]에서

[eqn: overline{{rm{AC}} it }= sqrt{ overline{{rm{CD}} it }^{2}+ overline{{rm{AD}} it }^{2}}= sqrt{(2 sqrt{2})^{2}+4^{2}}=2 sqrt{6}]

구하는 외접원의 반지름을 [eqn: R]이라 하면

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: 2 R={ overline{{rm{AC}} it }} over { sin ( angle {rm{ABC}} it )}={2 sqrt{6}} over {{2} over { sqrt{10}}}=2 sqrt{15}]

[eqn: therefore~R= sqrt{15}]

① [eqn: sqrt{12}]	② [eqn: sqrt{15}]	③ [eqn: sqrt{20}]

④ [eqn: rm 5]	⑤ [eqn: sqrt{30}]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 11월 28
[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 11월 29

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 6]인 원에 내접하는 사각형 [eqn: rmABCD]에 대하여 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{CD}} =3 sqrt {3}], [eqn: rm {bar{BD}} =8 sqrt {2}]일 때, 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이를 [eqn: S]라 하자. [eqn: {S ^{ 2}} over {13}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 192 }]

[해설]

삼각형 [eqn: rmABD]에서 [eqn: angle rmADB =alpha]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmABD]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 6]이므로 [eqn: {{bar{rm AB it}}} over {sin alpha} = 12]

[eqn: sin alpha = {3 sqrt {3}} over {12} = {sqrt {3}} over {4}]이므로

[eqn: cos alpha = sqrt{1- left( sqrt3 over4 right)^2} = sqrt13 over4]

[eqn: rmbar{AB} = bar{CD}]이므로 [eqn: ANGLE rm ADB= angle rm CBD]

선분 [eqn: rmAD]와 선분 [eqn: rmBC]는 평행하므로 사각형 [eqn: rmABCD]는 등변사다리꼴이다.

두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rmAD]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmH_1], [eqn: rmH_2]라 할 때,

[eqn: rmbar{rmDH_1}=bar{rmBD}cos alpha][eqn: =8sqrt2 times sqrt13 over4][eqn: =2sqrt26]

[eqn: rmbar{rmBH_1}=bar{rmBD}sin alpha][eqn: =8 sqrt {2} TIMES {sqrt3} over {4}][eqn: =2 sqrt {6}]

[eqn: rmbar{rmAH_1}=rmbar{rmDH_2}]이므로 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이

[eqn: S][eqn: = {1} over {2} TIMES ( {bar{rm AD it}} + {bar{rm BC it}} ) TIMES {bar{rm BH _{1} it}}]
[eqn: = 1over2 times left{` left( bar{rmDH_1}+bar{rmAH_1} right)+ left( bar{rmDH_1}-bar{rmDH_2}right) `right} times bar{rmBH_1}]
[eqn: =bar{rmDH_1}timesbar{rmBH_1}]
[eqn: =2 sqrt {26} TIMES 2 sqrt {6}]
[eqn: =8sqrt39]

따라서 [eqn: {S ^{2}} over {13} =192]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 19

그림과 같이 [eqn: { rm bar AB = barAC}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]인 이등변삼각형 [eqn: rmABC]에서 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 5`:`3]으로 내분하는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: 2 sin ( rm angleABD ) = 5 sin ( angle rm DBC )]일 때, [eqn: {sin rm C} over {sin rmA]의 값은?

[정답] ③

[해설]

삼각형 [eqn: rm BDC]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: sin rm C = { rmbarBD times sin( angle rm DBC)} over{rmbarDC }]

마찬가지로 삼각형 [eqn: rm ABD]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: sin rm A = { rmbarBD times sin( angle rm ABD)} over{rmbarAD]

조건에서 [eqn: rmbarAD `:` barDC = 5`:`3]이고

[eqn: 2 sin ( rm angleABD ) = 5 sin ( angle rm DBC )]

즉, [eqn: sin( rm angle ABD) `:` sin (angle rm DBC) = 5`:`2]이므로

[eqn: therefore][eqn: {sin rm C} over { sin rm A}][eqn: = { rmbarBD times sin( angle rm DBC)} over{rmbarDC }][eqn: times{rmbarAD }over { rmbarBD times sin( angle rm ABD)}]
[eqn: = { rmbarAD times sin( angle rm DBC)} over{rmbarDC times sin( angle rm ABD)} }]
[eqn: = 5 over3 times 2 over5 = 2 over3]

① [eqn: 3 over5]	② [eqn: 7 over11]	③ [eqn: 2 over3]

④ [eqn: 9 over13]	⑤ [eqn: 5 over7]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 17

그림과 같이 [eqn: {rm ANGLE ABC= {pi } over {2} }{{from^2020^10^서울고3가^중}}]인 삼각형 [eqn: rm ABC]에 내접하고 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원의 중심을 [eqn: rmO]라 하자. 직선 [eqn: rmAO]가 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 할 때, [eqn: rm {bar{DB}} =4]이다. 삼각형 [eqn: rmADC]의 외접원의 넓이는?

[정답] ①

[해설]

삼각형 [eqn: rmABC]에 내접하는 원이 세 선분 [eqn: rmCA], [eqn: rmAB], [eqn: rmBC]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP ,```` Q ,```` R]라 하자.

[eqn: rm {bar{OQ}}][eqn: =rm {bar{OR}}][eqn: =3]이므로 [eqn: rm { {bar{DR}} }][eqn: rm { = {bar{DB}} - {bar{RB}} }][eqn: =1]

[eqn: rm { {bar{DO}} }][eqn: = sqrt {3 ^{2} +1 ^{2}}][eqn: = sqrt {10}]이므로

[eqn: sin LEFT ( ANGLE rm DOR RIGHT )][eqn: = {1} over {sqrt {10}}][eqn: = {sqrt {10}} over {10}]

삼각형 [eqn: rmDOR]와 삼각형 [eqn: rmOAQ]는 닮음비가 [eqn: 1 ``:`` 3]이므로

[eqn: rm {bar{AQ}}][eqn: =3 TIMES rm {bar{OR}}][eqn: =9]

이때 점 [eqn: rmO]가 삼각형 [eqn: rmABC]의 내심이므로

[eqn: rm { {bar{PA}} }][eqn: rm { = {bar{AQ}} }][eqn: =9], [eqn: ANGLE rm CAD][eqn: = ANGLE rm DAB]

[eqn: rm { {bar{AB}} ``:`` {bar{AC}} }][eqn: rm { = {bar{BD}} ``:`` {bar{DC}} }], [eqn: 12 ``:`` LEFT ( 9+ {bar{rmCP}} RIGHT )][eqn: =4 ``:`` LEFT ( {bar{rmCR}} -1 RIGHT )]

[eqn: 9+ {bar{rmCP}}][eqn: =3 LEFT ( {bar{rmCR}} -1 RIGHT )]

이때 [eqn: {bar{rmCP}}][eqn: = {bar{rmCR}}]이므로 [eqn: {bar{rmCR}}][eqn: =6], 즉 [eqn: {bar{rmCD}}][eqn: =5]

직선 [eqn: rmOR]와 직선 [eqn: rmAB]가 평행하므로

[eqn: ANGLE rm DAB][eqn: = ANGLE rm DOR]

즉 [eqn: ANGLE rm CAD][eqn: = ANGLE rm DOR]

삼각형 [eqn: rmADC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면 사인법칙에 의하여

[eqn: 2R][eqn: = {{bar{rmCD}}} over {sin LEFT ( ANGLE rm CAD RIGHT )}][eqn: =5 sqrt {10}]

[eqn: R][eqn: = {5 sqrt {10}} over {2}]이므로 삼각형 [eqn: rmADC]의 외접원의 넓이는 [eqn: {125} over {2} pi]이다.

① [eqn: {125} over {2} pi]	② [eqn: 63 pi]	③ [eqn: {127} over {2} pi]

④ [eqn: 64pi]	⑤ [eqn: {129} over {2} pi]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 29

그림과 같이 [eqn: {1}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]보다 큰 두 실수 [eqn: a], [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=-x+t]가 두 곡선 [eqn: y=a^{x}], [eqn: y=log_{a} x]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때, 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmH]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold{50}]

[해설]

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: (p ,```` q)][eqn: (q>p)]라 하면

[eqn: q=a^{p}], [eqn: p+q=t]	[eqn: cdotsCDOTS] ㉠

함수 [eqn: y=log_{a} x]는 함수 [eqn: y=a^{x}]의 역함수이므로

점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: (q ,```` p)]

[eqn: bar{rmAB}=root{2(q-p)}^{2}}=root{2}(q-p)]

조건 (가)에 의하여

[eqn: 2bar{rmOH}=bar{rmAB}], [eqn: 2p=root{2}(q-p)],

[eqn: q=(1+root{2})p]	[eqn: cdotsCDOTS] ㉡

원점 [eqn: rmO]에서 직선 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmO ']이라 하면 조건 (가)에 의하여 [eqn: bar{rmOH}=bar{rmBO '}]이고

[eqn: bar{rmOA}=bar{rmOB}], [eqn: angle{rmOHA}=angle{rmBO 'O}={pi}over{2}]이므로

[eqn: triangle{rmAOH}==triangle{rmOBO '}]	[eqn: cdotsCDOTS] ㉢

[eqn: angle{rmAOB}=theta]라 하면

[eqn: angle{rmAOH}][eqn: =angle{rmO 'OH}+angle{rmAOO '}]
[eqn: ={pi}over{4}+{theta}over{2}]

[eqn: angle{rmOBO '}][eqn: ={pi}over{2}-angle{rmBOO '}]
[eqn: ={pi}over{2}-{theta}over{2}]

㉢에 의하여 [eqn: angle{rmAOH}=angle{rmOBO '}]이므로

[eqn: {pi}over{4}+{theta}over{2}={pi}over{2}-{theta} over{2}], [eqn: theta={pi}over{4}]

사인법칙에 의하여

[eqn: bar{rmAB}][eqn: =2times{root{2}}over{2}times sin{pi}over{4}][eqn: =1][eqn: =2p]

[eqn: p={1}over{2}]

㉡에 의하여 [eqn: q={1}over{2}+{root{2}}over{2}]

㉠에 의하여 [eqn: t=1+{root{2}}over{2}], [eqn: a=left({1}over{2}+root{2}over{2} right)^{2}={3}over{4}+{root{2}}over{2}]

따라서 [eqn: 200(t-a)=50]

(가) [eqn: bar{rmOH} ``:`` bar{rmAB}=1 ``:`` 2]

(나) 삼각형 [eqn: rmAOB]의 외접원의 반지름의 길이는 [eqn: {root{2}}over{2}]이다.

[eqn: 200(t-a)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 21

[eqn: {angle rmBAC=theta}{{from^2021^7월 사관학교^중}}][eqn: left({2}over{3}pi leq theta <{3}over{4} right)]인 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 중심을 [eqn: rmO], 세 점 [eqn: rmB], [eqn: rmO], [eqn: rmC]를 지나는 원의 중심을 [eqn: rmO ']이라 하자. 다음은 점 [eqn: rmO ']이 선분 [eqn: rmAB]위에 있을 때, [eqn: {bar{rmBC}}over{bar{rmAC}}]의 값을 [eqn: theta]에 대한 식으로 나타내는 과정이다.

[정답] [eqn: bold27]

[해설]

[eqn: rm□BACQ]는 원 위에 내접하는 사각형이므로

[eqn: rm ANGLE BQC= pi - theta]

[eqn: rm ANGLE BQC]는 [eqn: rm {arch{``BC``}}]의 원주각이고 [eqn: rm ANGLE BOC]는 [eqn: rm {arch{``BC``}}]의 중심각이므로

[eqn: rm ANGLE BOC=2 pi -2 theta]

[eqn: rm TRIANGLE BOM == TRIANGLE COM]이므로 [eqn: rm ANGLE O` prime OB= pi - theta]이고 [eqn: rm ANGLEBO primeO=2 theta- pi]이다.

(ⅰ)

[eqn: rm TRIANGLE O` prime BO]는 이등변삼각형이므로
[eqn: rm ANGLE O` prime BO= ANGLE O` prime OB= pi - theta]
점 [eqn: rmO` prime]에서 [eqn: rm {bar{BO}}]에 수선을 긋고, 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면
[eqn: rm △O` prime OH]에서
[eqn: cos LEFT ( pi - theta RIGHT ) = {{R} over {2}} over {r}], [eqn: -cos theta = {{ R it} over {2}} over {r}], [eqn: {R} over {2} = it -r`cos theta]
[eqn: THEREFORE][eqn: R=it-2cos theta r]
따라서 (가)는 [eqn: -2cos theta]	[eqn: cdotscdots] ㉠

(ⅱ)

[eqn: rm△BO` prime M]에서
[eqn: rm ANGLE O` prime BM+ ANGLE BMO` prime + ANGLE MO` prime B= pi]
[eqn: rm ANGLE O` prime BM+ {pi } over {2} +2 theta - pi = pi]
[eqn: rm ANGLE O` prime BM= {3} over {2} pi -2 theta]
[eqn: rm △O` prime BM]에서
[eqn: sin LEFT ( {3} over {2} pi -2 theta RIGHT ) =it-cos2 theta]
따라서 (나)는 [eqn: -cos2 theta]	[eqn: cdotscdots] ㉡

(ⅲ) [eqn: rm △ABC]에서 사인법칙에 의하여
[eqn: {rm {bar{BC}}} over {sin theta } = {rm {bar{AC}}} over {sin LEFT ( ANGLE rmO` prime BM RIGHT )}], [eqn: {rm {bar{BC}}} over {rm {bar{AC}}} = {sin theta } over {1-2cos ^{`2} theta }]
따라서 (다)는 [eqn: {sin theta } over {1-2cos ^{`2} theta }]	[eqn: cdotscdots] ㉢

즉, ㉠, ㉡, ㉢에서

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) =it-2cos theta], [eqn: g LEFT ( theta RIGHT ) = it -cos2 theta], [eqn: h LEFT ( theta RIGHT ) = {sin theta } over {1-2cos ^{`2} theta }]

그런데, [eqn: cos alpha =it- {3} over {5}], [eqn: cos beta =it- {sqrt {10}} over {5}]이므로

[eqn: f(alpha)+g(beta)+ left{` h left({2}over{3}piright) `right} ^{2}]

[eqn: = {6} over {5} +1-2 TIMES {2} over {5} +3]
[eqn: = {22} over {5}]

따라서 [eqn: {q} over {p} = {22} over {5}]에서 [eqn: p=5,````q=22]이므로

[eqn: p+q=2+5=27]

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면 사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rmBC}}over{sin theta}=2R]

세 점 [eqn: rmB], [eqn: rmO], [eqn: rmC]를 지나는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하자.

선분 [eqn: rmO 'O]는 선분 [eqn: rmBC]를 수직이등분하므로 이 두 선분의 교점을 [eqn: rmM]이라 하면

[eqn: bar{rmO 'M}=r-bar{rmOM}=r- ``|`` R cos theta ``|``]

직각삼각형 [eqn: rmO 'BM]에서 [eqn: R=box{ ```` (가) ```` }times r]이므로

[eqn: sin( angle rmO 'BM)=box{ ```` (나) ```` }]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rmBC}}over{bar{rmAC}}=box{ ```` (다) ```` }]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(theta)], [eqn: g(theta)], [eqn: h(theta)]라 하자. [eqn: cos alpha=-{3}over{5}], [eqn: cos beta=-{root{10}}over{5}]인 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: f(alpha)+g(beta)+ left{` h left({2}over{3}piright) `right} ^{2}={q}over{p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

03 수1	07 삼각함수의 활용
02 사인법칙과 코사인법칙의 활용
03 활용3 (코사인법칙의 활용)

[출처]	2006 모의_공공 교육청 고2 06월 21

다음 그림과 같은 사각형 [eqn: rm ABCD `]에서 [eqn: bar{rm AB it}]□[eqn: bar{rm CD it}], [eqn: bar { RMBC}=2], [eqn: rm bar{AB} = bar{AC} = bar{AD} =3`]일 때, 대각선 [eqn: rm BD`]의 길이는?

[정답] ②

[해설]

[eqn: triangle rm ACD]가 이등변삼각형이므로

[eqn: ANGLE rm ADC= ANGLE ACD]

[eqn: rm bar AB]□[eqn: rm bar CD]이므로

[eqn: ANGLE rmACD= ANGLE CAB]

[eqn: ANGLE rm CAB= theta]라 하면 [eqn: TRIANGLE rm ABC]에서 코사인법칙에 의하여      [eqn: cos theta = {3 ^{2} +3 ^{2} -2 ^{2}} over {2 TIMES 3 TIMES 3} = {7} over {9}]

[eqn: ANGLE rm CAD= pi -2 theta]이므로

[eqn: ANGLE rm BAD= pi -2 theta + theta = pi - theta]

[eqn: TRIANGLE RMABD]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos( pi - theta )=-cos` theta]

[eqn: = {3 ^{2} +3 ^{2} - bar{rm BD it rm it} ` ^{2}} over {2` TIMES `3 TIMES `3} =- {7} over {9}]

[eqn: {bar{rm BD it}} ` ^{2} `=32]

[eqn: THEREFORE ` bar{rm BD it} =4 sqrt {2}][eqn: ( BECAUSE `rmbar BD >0)]

① [eqn: 5]	② [eqn: 4sqrt2]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 5sqrt2]	⑤ [eqn: 8]

[출처]	2006 모의_공공 교육청 고2 06월 21

사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]에서 변 [eqn: {rm{AB}} it]와 변 [eqn: {rm{CD}} it]는 평행이고 [eqn: overline{{rm{BC}} it }=2], [eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{AC}} it }= overline{{rm{AD}} it }=3]일 때, 대각선 [eqn: {rm{BD}} it]의 길이는?

[정답] ②

[해설]

[eqn: cos theta={3^{2}+3^{2}-2^{2}} over {2 times 3 times 3}={7} over {9}]

[eqn: therefore~ overline{{rm{PA}} it }={7} over {3}], [eqn: overline{{rm{DP}} it }={4 sqrt{2}} over {3}]

[eqn: overline{{rm{BD}} it ^{2}}= left({4 sqrt{2}} over {3} right)^{2}+ left({7} over {3}+3 right)^{2}]

[eqn: overline{{rm{BD}} it }=4 sqrt{2}]

[다른풀이]

위 그림과 같이 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 연장선 위에 [eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{AP}} it }]가 되도록 점 [eqn: {rm{P}} it]를 잡으면 사각형 [eqn: {rm{DPBC}} it]는 등변사다리꼴이고, 원에 내접한다.

[eqn: overline{{rm{PB}} it }]가 지름이므로

삼각형 [eqn: {rm{DPB}} it]는 직각삼각형이다.

따라서 [eqn: overline{{rm{BD}} it }= sqrt{6^{2}-2^{2}}=4 sqrt{2}]

① [eqn: rm 5]	② [eqn: 4 sqrt{2}]	③ [eqn: rm 6]

④ [eqn: 5 sqrt{2}]	⑤ [eqn: rm 8]

[출처]	2010 모의_공공 경찰대 고3 07월 13

다음 그림과 같이 네 개의 원이 서로 내접 또는 외접하고 있다. 중심이 [eqn: rmA`]인 원의 반지름의 길이는 [eqn: 3`]이고, 중심이 [eqn: rmB`]인 원의 반지름의 길이는 [eqn: 4`]이며, 세 중심 [eqn: rmA], [eqn: rm B], [eqn: rm C`]는 같은 직선에 있다. 이때, 중심이 [eqn: rmD`]인 원의 반지름의 길이는?

[정답] ④

[해설]

중심이 [eqn: rm C]인 반지름의 길이를 [eqn: r_1], 중심이 [eqn: rm D]인 원의 반지름의 길이를 [eqn: r_2]라고 하자.

[eqn: rm bar AC][eqn: = 3+r_1](외접), [eqn: rm bar BC][eqn: = 4- r_1](내접)이고

[eqn: rm bar AB][eqn: = rm bar AC - bar BC][eqn: =2r_1 -1 = 1]에서 [eqn: r_1 = 1]

[eqn: rm bar AD][eqn: = 3+r_2](외접), [eqn: rm bar CD][eqn: = 1+r_2](외접), [eqn: rm bar BD][eqn: = 4- r_2](내접)이고 [eqn: rmbar AB =1], [eqn: rm bar BC =3]

[eqn: rm angle DBA][eqn: = theta]라 하면 [eqn: rm angle DBC][eqn: = pi - theta]

[eqn: triangle][eqn: rm DAB]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: cos theta][eqn: = { 1^2 + (4-r_2 )^2 - (3+r_2 )^2} over {2 cdot1 cdot (4-r_2 ) }][eqn: = { 4-7r_2} over {4-r_2 }]	…… ㉠

[eqn: triangle rm DBC]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: cos (pi- theta)][eqn: = - cos theta]
[eqn: = { 3^2 + (4- r_2 )^2 - (1+r_2 )^2} over {2cdot 3cdot(4-r_2 ) }]
[eqn: = { 12-5r_2} over {3(4-r_2 ) }]	…… ㉡

㉠+㉡ : [eqn: { (12-21r_2 )+ 12-5r_2} over { 3(4-r_2 )}=0]

즉,

[eqn: 24 - 26 r_2 =0]

[eqn: therefore```r_2 = 12 over13]

① [eqn: { root2} over { 2}]	② [eqn: 11over12]	③ [eqn: { 2root2 -1} over { 2}]

④ [eqn: 12 over13]	⑤ [eqn: 14over15]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 27

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: {2}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]이고 중심각의 크기가 [eqn: {3}over{2}pi]인 부채꼴 [eqn: rmOBA]가 있다. 호 [eqn: rmBA] 위에 점 [eqn: rmP]를 [eqn: angle{rmBAP}={pi}over{6}]가 되도록 잡고, 점 [eqn: rmB]에서 선분 [eqn: rmAP]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때, [eqn: {bar{rmOH}}^{2}]의 값은 [eqn: m+n root{3}]이다. [eqn: m^{2}+n^{2}]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: m], [eqn: n]은 유리수이다.)

[정답] [eqn: bold{20}]

[해설]

점 [eqn: rmO]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmM]이라 하면 삼각형 [eqn: rmOAB]는 직각이등변삼각형이므로 [eqn: bar{rmAM}=bar{rmBM}]

삼각형 [eqn: rmOAM]에서 [eqn: bar{rmOA}=2], [eqn: angle{rmOAM}={pi}over{4}]이므로

[eqn: bar{rmAM}=bar{rmOM}=bar{rmBM}=root{2}]

삼각형 [eqn: rmABH]에서 [eqn: angle{rmBAH}={pi}over{6}]이므로 [eqn: bar{rmBH}=root{2}]

삼각형 [eqn: rmBHM]에서 [eqn: bar{rmBM}=bar{rmBH}=root{2}], [eqn: angle{rmABH}={pi}over{3}]이므로

삼각형 [eqn: rmBHM]은 정삼각형

따라서 [eqn: bar{rmHM}=root{2}], [eqn: angle{rmBMH}={pi}over{3}]

삼각형 [eqn: rmOMH}]에서 [eqn: angle{rmOMH}={pi}over{6}], [eqn: bar{rmOM}=bar{rmHM}=root{2}]이므로

코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rmOH}}^{2}][eqn: =left(root{2}}right)^{2}+left(root{2}right)^{2}-2timesroot{2}timesroot{2}timescos {pi}over{6}]
[eqn: =4-2root{3}]

[eqn: m=4], [eqn: n=-2]

따라서 [eqn: m^{2}+n^{2}=20]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 21

[eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =6], [eqn: {bar{rm AC}}][eqn: =8]인 예각삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: ANGLE rm A]의 이등분선과 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원이 만나는 점을 [eqn: rmD], 점 [eqn: rmD]에서 선분 [eqn: rmAC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmE]라 하자. 선분 [eqn: rmAE]의 길이를 [eqn: k]라 할 때, [eqn: 12k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 84]

[해설]

호 [eqn: rmBD]와 호 [eqn: rmDC]에 대한 원주각의 크기가 같으므로 [eqn: rmANGLE CBD= ANGLE CAD= ANGLE DAB= ANGLE DBC]이다. 즉, [eqn: rm{bar{BD}} `=` {bar{DC}}]

[eqn: rm {bar{BD}} `=` {bar{DC}} =ita`,` {bar{rmAD}} =itb,` ANGLE CAD= theta]라 하면 [eqn: rmANGLE DAB= theta]이고 [eqn: rm {bar{BD}} ^{2} `=` {bar{DC}} ^{2}]이므로 삼각형 [eqn: rmDAB]와 삼각형 [eqn: rm CAD]에 각각 코사인법칙을 적용하면

[eqn: 6 ^{2} +b ^{2} -2 TIMES 6 TIMES b TIMES cos theta =b ^{2} +8 ^{2} -2 TIMES b TIMES 8 TIMES cos theta ,]

[eqn: 4b`cos theta =28]이므로 직각삼각형 [eqn: rm ADE]에서 [eqn: k=b`cos theta =7]

따라서 [eqn: 12k=84]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 15

그림과 같이 [eqn: rmbar{AB} =5], [eqn: rmbar{BC}=4], [eqn: cos `left( rmangleABC right) ` = 1 over 8]인 삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. [eqn: rmangleABC`]의 이등분선과 [eqn: rmangleCAB`]의 이등분선이 만나는 점을 [eqn: rmD], 선분 [eqn: rmBD`]의 연장선과 삼각형 [eqn: rmABC`]의 외접원이 만나는 점을 [eqn: rm E`]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: angle rm ABC][eqn: =theta`]라 하자.

ㄱ. 삼각형 [eqn: rmABC`]에서 코사인법칙을 이용하면
[eqn: rm {bar{AC}} ^{2}][eqn: = rm {bar{AB}} ^{2} + rm {bar{BC}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{AB}} TIMES rm {bar{BC}} TIMES cos `theta]
이므로 [eqn: rm {bar{AC}} ^{2}][eqn: =5 ^{2} +4 ^{2} -2 TIMES 5 TIMES 4 TIMES {1} over {8}][eqn: =36`]
그러므로 [eqn: rmbar{AC}][eqn: =6] (참)

ㄴ. 호 [eqn: rm EA`]에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로
[eqn: rm ANGLE ACE][eqn: = rm ANGLE ABE]
호 [eqn: rm CE`]에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로
[eqn: rmangleEAC][eqn: =rmangleEBC]
한편, [eqn: rm ANGLE ABE][eqn: = rm ANGLE EBC`]이므로 [eqn: rm ANGLE ACE][eqn: = rm ANGLE EAC]
그러므로 삼각형 [eqn: rm EAC`]는 [eqn: rm {bar{EA}}][eqn: = rm {bar{EC}} `]인 이등변삼각형이다. (참)

ㄷ. 삼각형 [eqn: rm ABD`]에서 [eqn: rm ANGLE ADE][eqn: = rm ANGLE DAB+ ANGLE ABD]
한편, [eqn: anglerm DAB][eqn: rm =angleCAD], [eqn: rm ANGLE ABD][eqn: = rm ANGLE EBC`]

그러므로 [eqn: rm ANGLE ADE][eqn: = rm ANGLE CAD+ ANGLE EBC]
[eqn: = rm ANGLE CAD+ ANGLE EAC]
[eqn: = rm ANGLE EAD]

즉, 삼각형 [eqn: rmEAD`]는 [eqn: rmbar{EA}][eqn: = rm {bar{ED}} `]인 이등변삼각형이다. 삼각형 [eqn: rmEAC`]에서 코사인법칙을 이용하면
[eqn: rm {bar{AC}} ^{2}][eqn: = rm {bar{EA}} ^{2} + rm {bar{EC}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{EA}} TIMES rm {bar{EC}} TIMES `cos `LEFT ( rm pi - thetaRIGHT ) `]이고
ㄴ에서 [eqn: rm {bar{EA}}][eqn: = rm {bar{EC}} `]이므로
[eqn: 36][eqn: =2 TIMES rm {bar{EA}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{EA}} ^{2} TIMES LEFT ( - {1} over {8} RIGHT )], [eqn: rm {bar{EA}}][eqn: =4]
그러므로 [eqn: rmbar{EA}][eqn: = rm {bar{ED}} `]에서 [eqn: rm {bar{ED}}][eqn: =4] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: rm {bar{AC}} =6] ㄴ. [eqn: rm barEA =rm barEC] ㄷ. [eqn: rm {bar{ED}}= {31} over {8}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 12

그림과 같이 [eqn: rm bar AB = 4], [eqn: rm bar AC =5`]이고 [eqn: {rm cos } it LEFT ( angle rm BAC RIGHT ) = 1 over 8`]인 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 선분 [eqn: rm AC] 위의 점 [eqn: rm D`]와 선분 [eqn: rm BC] 위의 점 [eqn: rm E`]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: rm triangle ABC]에서 코사인법칙을 적용하면

[eqn: rm {bar{BC}} ^{2}][eqn: = rm {bar{AB}} ^{2} + {bar{CA}} ^{2} - 2 times barAB times bar CA times cos left( angle rmBAC right)]
[eqn: = 4^2 + 5^2 - 2 times 4 times 5 times 1 over 8]
[eqn: = 1]

[eqn: therefore][eqn: rm bar BC = 6]

[eqn: triangle rm ABD]는 이등변삼각형이므로 [eqn: rm barBD = 4]

[eqn: triangle rm ABD]에서 코사인법칙을 적용하면

[eqn: rm{ bar DB}^2][eqn: = rm {bar AB}^2 + {barAD}^2 - 2 times bar AB times bar AD times cos left( angle rmBAC)]

[eqn: 4^2 = 4^2 + rm {bar AD}^2 - 2 times 4 times {barAD}times 1 over8]

따라서 [eqn: rm barAD = 1], [eqn: rm bar CD = 4]

위의 그림에서 [eqn: triangle rm BCD]는 이등변 삼각형이므로 점 [eqn: rm D]에서 선분 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면 [eqn: rm bar BH = 3]

따라서 피타고라스 정리에 의해 [eqn: rm bar BH = root7]

[eqn: cos left( angle rm BAC right)= cos left( angle rm DEH right) = 1 over 8]이므로

[eqn: sin left( angle rm DEH right)][eqn: = root{ 1- cos^2 ( {rm angle DEH)]
[eqn: =root{ 1- 1over 64]
[eqn: = {3root7 } over 8]

그런데, [eqn: sin left( angle rm DEH right)][eqn: = {rm bar DH} over { rm bar DE} = root7 over { rm bar DE}]이므로 [eqn: root7 over { rm bar DE}][eqn: = {3root7 } over 8]

[eqn: therefore][eqn: bar{ rm DE }= 8 over 3]

[eqn: rm angle BAC = angle BDA = angle BED`]

일 때, 선분 [eqn: rm DE`]의 길이는?

① [eqn: 7 over 3]	② [eqn: 5 over 2]	③ [eqn: 8 over 3]

④ [eqn: 17 over 6]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 15

두 점 [eqn: rmO _{1} ,~O _{2}]를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: rm {bar{O _{1} O _{2}}}]인 두 원 [eqn: C _{1} ,~C _{2} `]가 있다. 그림과 같이 원 [eqn: C _{1}] 위의 서로 다른 세 점 [eqn: rmA,~B,~C]와 원 [eqn: C _{2}] 위의 점 [eqn: rmD]가 주어져 있고, 세 점 [eqn: rmA,~O _{1} ,~O _{2}]와 세 점 [eqn: rmC,~O _{2} ,~D]가 각각 한 직선 위에 있다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: ANGLERMCO_2 O_1 +ANGLERMO_1 O_2 D =pi]이므로 [eqn: theta_3 = pi over2 + theta_2 over2]이고
[eqn: theta _3 = theta_1 +theta _2]에서 [eqn: 2theta_1 +theta_2 =pi]이므로 [eqn: anglermCO_1 B= theta_1]이다.

이때, [eqn: anglermO_2 O_1 B =theta_1 +theta_2 = theta_3]이므로

삼각형 [eqn: rmO_1 O_2 B]와 삼각형 [eqn: RMO_2 O_1 D]는 합동이다.

[eqn: BAR{RMAB}=ITk]라 할 때,

[eqn: {bar{rm BO _{2}}} = {bar{rm O _{1} D}} =2 sqrt {2} itk]이므로

[eqn: {bar{rm AO _{2}}} =it sqrt {k ^{2} +(2 sqrt {2} k) ^{2}} = {BOX{~3k~}}]이고,

[eqn: anglermBO_2 A= theta_1 over2]이므로

[eqn: cos` {theta _{1}} over {2} = {2 sqrt {2} k} over {3k} = {BOX{~ {2 sqrt {2}} over {3} ~}}]이다.

삼각형 [eqn: rmO_2 BC]에서

[eqn: BAR{RMBC}=ITk], [eqn: {bar{rm BO _{2} it}} =2 sqrt {2}k], [eqn: anglerm CO_ 2 B = theta_1 over2]이므로 삼각형 [eqn: rmBO_2 C]에서

[eqn: {bar{rm O _{2} C}} =itx] ([eqn: 0<x< 3k])라 하면

코사인법칙에 의하여

[eqn: k ^{2} =x ^{2} +(2 sqrt {2} k) ^{2} -2 TIMES x TIMES 2 sqrt {2} k TIMES cos` {theta _{1}} over {2}]

[eqn: k^2 = x^2 +(2root2 k)^2 -2times x times 2root2 k times {2root2 }over3]

[eqn: 3x^2 -16kx +21k^2 =0]

[eqn: (3x-7k)(x-3k)=0]

[eqn: 0<x<3k]이므로

[eqn: x= 7 over3 k]

즉, [eqn: {bar{rm O _{2} C}} =it {BOX{~ {7} over {3} k~}}]이다.

[eqn: bar{RmCD}= BAR{RMO_2 D}+BAR{RMO_2 C}= BAR{RMO_1 O_2 }+BAR{RMO_2 C}]이므로

[eqn: {bar{rm AB it}} `:` {bar{rm CD it}} =k`:` LEFT ( {{BOX{~3k~}}} over {2} + {BOX{~ {7} over {3} k~}} RIGHT )]이다.

이상에서

[eqn: f(k)=3k], [eqn: g(k)= 7 over3 k], [eqn: p= {2root2 }over3]

이므로

[eqn: f(p)times g(p)]

[eqn: = LEFT ( 3 times {2root2}over3 RIGHT )times LEFT ( 7 over3 times {2root2}over3 RIGHT )]

[eqn: = 56over9]

이때 [eqn: {rmANGLE BO _{1} A}=theta _{1}], [eqn: {rmANGLE O _{2} O _{1} C}=theta _{2}], [eqn: rm ANGLE O _{1} O _{2} D it = theta _{3}]이라 하자.

다음은 [eqn: rm {bar{AB}} `:` {bar{O _{1} D}} =1`:`2 sqrt {2}]이고 [eqn: theta _{3} =theta _{1} +theta _{2}]일 때, 선분 [eqn: rmAB]와 선분 [eqn: rmCD]의 길이의 비를 구하는 과정이다.

[eqn: rm ANGLE CO _{2} O _{1} + ANGLE O _{1} O _{2} D` it = pi]이므로 [eqn: theta _{3} = {pi} over {2} + {theta _{2}} over {2}]이고 [eqn: theta _{3} =theta _{1} +theta _{2}]에서 [eqn: 2theta _{1} +theta _{2} =pi]이므로 [eqn: rm ANGLE CO _{1} B it `= theta _{1}]이다.

이때 [eqn: rm ANGLE O _{2} O _{1} B` it = theta _{1} + theta _{2} = theta _{3}]이므로 삼각형 [eqn: rmO _{1} O _{2} B]와 삼각형 [eqn: rm O _{2} O _{1} D]는 합동이다.

[eqn: rm {bar{AB}} =itk]라 할 때

[eqn: rm {bar{BO _{2}}} = {bar{O _{1} D}} =it2 sqrt {2} k]이므로 [eqn: rm {bar{AO _{2}}} = {BOX{~~㈎~~}} `]이고,

[eqn: {rmANGLE BO _{2} A}= {theta _{1}} over {2}]이므로 [eqn: cos` {theta _{1}} over {2} = {BOX{~~㈏~~}} `]이다.

삼각형 [eqn: rmO _{2} BC]에서

[eqn: rm {bar{BC}} it =k,~ rm {bar{BO _{2}}} it =2 sqrt {2} k,~ rm ANGLE CO _{2} B it `= {theta _{1}} over {2}]이므로

코사인법칙에 의하여 [eqn: rm {bar{O _{2} C}} = {BOX{~~㈐~~}} `]이다.

[eqn: rm {bar{CD}} = {bar{O _{2} D}} + {bar{O _{2} C}} = {bar{O _{1} O _{2}}} + {bar{O _{2} C}}]이므로

[eqn: rm {bar{AB}} `:` {bar{CD}} =itk`:` LEFT ( {{BOX{~~㈎~~}}} over {2} + {BOX{~~㈐~~}} RIGHT )]이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) ,~g LEFT ( k RIGHT )]라 하고, (나)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES g LEFT ( p RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {169} over {27}]	② [eqn: {56} over {9}]	③ [eqn: {167} over {27}]

④ [eqn: {166} over {27}]	⑤ [eqn: {55} over {9}]

03 수1	07 삼각함수의 활용
02 사인법칙과 코사인법칙의 활용
04 활용4 (사인법칙과 코사인법칙의 활용)

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고2 03월 13

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2 root3 `]이고 [eqn: ∠rmB=120 DEG `]인 마름모 [eqn: rmABCD `]의 내부에 [eqn: rm bar {E F} = bar {E G} = 2 `]이고 [eqn: rm angle E F G = 30 DEG `]인 이등변삼각형 [eqn: rm EFG`]가 있다. 점 [eqn: rm F `]는 선분 [eqn: rm AB] 위에, 점 [eqn: rm G `]는 선분 [eqn: rmBC] 위에 있도록 삼각형 [eqn: rm EFG `]를 움직일 때, [eqn: ANGLE rmB G F= theta `]라 하자. <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: 0 DEG<theta < 60 DEG])

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: ANGLE rm `BGF= theta] 이므로 [eqn: ANGLE rm `BFG=60 ° - theta ``]

[eqn: ANGLE rm `BFE= ANGLE BFG+ ANGLE GFE``]

[eqn: =(`60°- theta `)+30°=90°- theta ``] (참)

ㄴ. 삼각형 [eqn: rm EFG``]에서

[eqn: bar{rm FG it} `=`2`` bar{rm EF it} `cos30°``=``2 root3``]

삼각형 [eqn: rm`BGF]에서 사인법칙을 적용하면

[eqn: {bar{rm FG it}} over {sin120 ° } = {` bar{rm BF it}} over {sin` theta }]

∴ [eqn: bar{rm BF it} =4`sin theta ``] (참)

ㄷ. 삼각형 [eqn: rm `E`FB]에서 코사인법칙을 적용하면
[eqn: rm ` bar{BE`} it rm ^{`2} = rm bar{BF} it rm ^{2} + rm bar{EF} it rm ^{2} -2 rm bar{BF}` it ㆍ rm ` bar{EF}` it ㆍcos(`90°- theta `)``]

[eqn: =(4sin theta ) ^{2} +2 ^{2} -2`ㆍ4sin theta `ㆍ2ㆍsin theta ``][eqn: =4``]

따라서 [eqn: bar{rm `BE it} `=2``]로 항상 일정하다. (참)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: ANGLE rmB F E = 90 DEG - theta] ㄴ. [eqn: bar{rmB F} = 4 sin` theta] ㄷ. 선분 [eqn: rm BE `]의 길이는 항상 일정하다.

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 03월 27

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [eqn: \ABCD`]가 [eqn: {bar{rm AB it}} =10], [eqn: {bar{rm AD it}} =2], [eqn: cos` LEFT ( ANGLE rm BCD it RIGHT )= {3} over {5}`]을 만족시킨다. 이 원의 넓이가 [eqn: a pi`]일 때, [eqn: a `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 50]

[해설]

사각형 [eqn: \ABCD]가 원에 내접하므로 [eqn: ANGLE{\BCD}= theta]([eqn: 0 < theta < { pi}])

라 하면 [eqn: ANGLE rm BAD it =pi- theta]

선분 [eqn: \BD]의 길이를 [eqn: x]라 하고, 삼각형 [eqn: \ABD]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: x ^{2}][eqn: =2 ^{2} +10 ^{2} -2 times 2 times 10 times cos( pi - theta )]
[eqn: = 104 +40 cos theta][eqn: =104+40 TIMES {3} over {5}][eqn: =128]

∴ [eqn: x= sqrt { 128}= 8 sqrt {2}]

[eqn: sin theta = sqrt { 1- cos^2 theta}= sqrt {1- {9} over {25}} = {4} over {5}]

삼각형 [eqn: \BCD]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하고 사인법칙을 이용하면     [eqn: {8 sqrt {2}} over {sin theta } =2R]

[eqn: R=5 sqrt {2}]이므로 외접원의 넓이는

[eqn: pi(5 sqrt { 2})^2 =50 pi] ∴ [eqn: a=50]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 21

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: {1}{{from^2020^11^서울고2공통^5}}]인 정삼각형 [eqn: rmABC]가 있다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: {rm {bar{AP}}][eqn: =a ,````][eqn: {rm {bar{BQ}}][eqn: =b]라 하면 [eqn: {rm {bar{CR}}][eqn: =1-a-b]이고

[eqn: {rm {bar{BP}}][eqn: =1-a ,````][eqn: {rm {bar{AR}}][eqn: =a+b]이다.

ㄱ. 삼각형 [eqn: {rm APR]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: {rm {bar{PR}} ^{2}][eqn: =a ^{2} +(a+b) ^{2} -2 TIMES a TIMES (a+b) TIMES cos {pi } over {3}]
[eqn: =a ^{2} +ab+b ^{2}]

삼각형 [eqn: {rm PBQ]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: {rm {bar{PQ}} ^{2}][eqn: =b ^{2} +(1-a) ^{2} -2 TIMES b TIMES (1-a) TIMES cos {pi } over {3}]
[eqn: =a ^{2} +ab-2a+b ^{2} -b+1]	[eqn: CDOTS cdots] ㉠

[eqn: {rm {bar{PR}} ^{2} = {bar{PQ}} ^{2}]이므로
[eqn: a ^{2} +ab+b ^{2} =a ^{2} +ab-2a+b ^{2} -b+1]에서
[eqn: 2a+b=1]	[eqn: CDOTS cdots] ㉡
그러므로 [eqn: {rm 2 {bar{AP}} + {bar{BQ}} =1]에서 [eqn: {rm 4 {bar{AP}} + {bar{BQ}} =2]

[eqn: {rm {bar{AP}} >0]이므로 [eqn: {rm 3 {bar{AP}} +2 {bar{BQ}} <2]	(거짓)

ㄴ. ㉡에서 [eqn: b=1-2a]이므로
[eqn: {rm {bar{CQ}}][eqn: =1-b][eqn: =1-(1-2a)][eqn: =2a]
[eqn: {rm {bar{CR}}][eqn: =1-a-(1-2a)][eqn: =2]
삼각형 [eqn: {rm CRQ]에서 [eqn: {rm {bar{CQ}} ``:`` {bar{CR}} =2 ``:`` 1]이고 [eqn: {rm ANGLE RCQ= {pi } over {3}]이므로 삼각형 [eqn: {rm CRQ]는 [eqn: {rm ANGLE QRC= {pi } over {2}]인 직각삼각형이다.
그러므로 [eqn: {rm {bar{QR }}][eqn: {rm = sqrt {{bar{CQ}} ^{2} - {bar{CR}} ^{2}}][eqn: = sqrt {3} a]	(참)

ㄷ. 두 삼각형 [eqn: {rm PBQ ,````][eqn: {rm CRQ]의 외접원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: R _{1 ,```` } R _{2}]라 하면 삼각형 [eqn: {rm PBQ]에서 사인법칙에 의해
[eqn: {{bar{{rm PQ}}} over {sin {pi } over {3}} =2R _{1}]
삼각형 [eqn: {rm CRQ]에서 사인법칙에 의해 [eqn: {{bar{ rm QR}}} over {sin {pi } over {3}} =2R _{2}]
삼각형 [eqn: {rm PBQ]의 외접원의 넓이가 삼각형 [eqn: {rm CRQ]의 외접원의 넓이의 [eqn: 2]배이므로 [eqn: R _{1} = sqrt {2} TIMES R _{2}]
[eqn: {{bar{{rm PQ}}} over {2sin {pi } over {3}} = sqrt {2} TIMES {{bar{{rm QR}}} over {2sin {pi } over {3}}]에서 [eqn: {rm {bar{PQ}} ^{2} =2 TIMES {bar{QR}} ^{2}]
㉠, ㉡에 의해 [eqn: {rm {bar{PQ}} ^{2}][eqn: =3a ^{2} -3a+1]이고 [eqn: {rm {bar{QR}} ^{2}][eqn: =3a ^{2}]이므로
[eqn: 3a ^{2} -3a+1=6a ^{2} ,````][eqn: 3a ^{2} +3a-1=0]
[eqn: a= {-3 +- sqrt {9+12}} over {6}]
[eqn: a>0]이므로 [eqn: a= {sqrt {21} -2} over {6}]	(참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

선분 [eqn: rmAB]위의 점 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmBC]위의 점 [eqn: rmQ], 선분 [eqn: rmCA]위의 점 [eqn: rmR]에 대하여 세 점 [eqn: rmP ,```` Q ,```` R]가

[eqn: rm {bar{AP}} + {bar{BQ}} + {bar{CR}}][eqn: =1], [eqn: rm {bar{PQ}} = {bar{PR}}]

를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, 세 점 [eqn: rmP ,```` Q ,```` R]는 각각 점 [eqn: rmA], 점 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmC]가 아니다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: rm3 {bar{AP}} +2 {bar{BQ}}][eqn: =2] ㄴ. [eqn: rm {bar{QR}}][eqn: = sqrt {3} TIMES {bar{rm AP it}}] ㄷ. 삼각형 [eqn: rmPBQ]의 외접원의 넓이가 삼각형 [eqn: rmCRQ]의 외접원의 넓이의 [eqn: 2]배일 때, [eqn: {bar{rmAP}}][eqn: = {sqrt {21} -3} over {6}]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 19

정삼각형 [eqn: {rm ABC}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]가 반지름의 길이가 [eqn: r]인 원에 내접하고 있다. 선분 [eqn: rm AC]와 선분 [eqn: rm BD]가 만나고 [eqn: rm {bar{BD}} = sqrt {2}]가 되도록 원 위에서 점 [eqn: rm D]를 잡는다. [eqn: rm ANGLE DBC= theta]라 할 때, [eqn: sin theta = {sqrt {3}} over {3}]이다. 반지름의 길이 [eqn: r]의 값은?

[정답] ①

[해설]

주어진 원이 삼각형 [eqn: rmBCD]의 외접원이고 반지름의 길이가 [eqn: r]이므로 사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rmCD}}][eqn: =2r sin theta][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3} r], [eqn: {bar{rmBC}}][eqn: =2r sin {pi} over {3}][eqn: = sqrt {3} r]

삼각형 [eqn: rmBCD]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: LEFT ( sqrt {3} r RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {2 sqrt {3}} over {3} r RIGHT ) ^{2} -2 TIMES sqrt {2} TIMES LEFT ( {2 sqrt {3}} over {3} r RIGHT ) TIMES cos {pi} over {3}]

이 식을 정리하면 [eqn: 5r ^{2} +2 sqrt {6} r-6][eqn: =0]

그러므로 [eqn: r][eqn: = it {- sqrt {6} ±6} over {5}]

따라서 [eqn: r>0]이므로 [eqn: r][eqn: = {6- sqrt {6}} over {5}]

① [eqn: { 6- sqrt { 6} } over { 5}]	② [eqn: {6- sqrt {5}} over {5}]	③ [eqn: {4} over {5}]

④ [eqn: { 6- sqrt { 3} } over { 5}]	⑤ [eqn: { 6- sqrt { 2} } over { 5}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 29

그림과 같이 [eqn: {rm { bar{AB} `=3 }}{{from^2021^9 고2인천^중}}], [eqn: rm { bar{AC} `=4 }]인 예각삼각형 [eqn: rm { ABC }]가 있다. 점 [eqn: rm { B }]에서 변 [eqn: rm { AC }]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm { D }], 점 [eqn: rm { C }]에서 변 [eqn: rm { AB }]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm { E }]라 하고, 두 선분 [eqn: rm { BD }], [eqn: rm { CE }]의 교점을 [eqn: rm { P }]라 하자. 삼각형 [eqn: rm { ABC }]의 외접원의 넓이와 삼각형 [eqn: rm { ADE }]의 외접원의 넓이의 차가 [eqn: 4 pi]일 때, 삼각형 [eqn: rm { PDE }]의 외접원의 넓이는 [eqn: a pi]이다. [eqn: 55a]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a]는 상수이다.)

[정답] [eqn: bold { 36 }]

[해설]

[eqn: rm { ANGLE BAC`= theta }][eqn: LEFT ( 0< theta < {pi } over {2} RIGHT )]라 하면 삼각형 [eqn: rm { ABC }]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: rm { bar{BC ^{`2}} ` }][eqn: =3 ^{2} +4 ^{2} -2 TIMES 3 TIMES 4 TIMES cos theta][eqn: =25-24cos theta]

[eqn: rm { bar{BC} ` }][eqn: = sqrt {25-24cos theta }]

삼각형 [eqn: rm { ABC }]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R _{1}]이라 하면 사인법칙에 의하여

[eqn: rm {rm {bar{BC}}} over {sin theta } =it2R _{1}], [eqn: R _{1} = {sqrt {25-24cos theta }} over {2sin theta }]

직각삼각형 [eqn: rm { ABD }]에서 [eqn: rm { bar{AD} ` }][eqn: rm { =` bar{AB} `cos theta }][eqn: =3cos theta]

직각삼각형 [eqn: rm { ACE }]에서 [eqn: rm { bar{AE} ` }][eqn: rm { = bar{AC} `cos theta }][eqn: =4cos theta]

삼각형 [eqn: rm { ADE }]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: rm { bar{DE} ` ^{`2} ` }][eqn: = LEFT ( 3cos theta RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 4cos theta RIGHT ) ^{2} -2 TIMES 3cos theta ` TIMES 4cos theta TIMES cos theta]
[eqn: =25`cos ^{2} theta `-24`cos ^{3} theta]
[eqn: =cos ^{2} theta ` LEFT ( 25-24cos theta RIGHT )]

[eqn: rm { bar{DE} `=cos theta ` sqrt {25-24cos theta } }]

삼각형 [eqn: {rm ADE]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R _{2}]라 하면 사인법칙에 의하여 [eqn: rm {{bar{rmDE}}} over {sin theta } =it2R _{2}], [eqn: R _{2} = {cos theta sqrt {25-24cos theta }} over {2sin theta }]

삼각형 [eqn: rm { ABC }]의 외접원의 넓이와 삼각형 [eqn: rm { ADE }]의 외접원의 넓이의 차가 [eqn: 4 pi]이므로

[eqn: 4 pi][eqn: = pi R _{1} ^{2} `- pi R _{2} ^{2}]
[eqn: = pi TIMES {LEFT ( 1-cos ^{2} theta RIGHT ) LEFT ( 25-24cos theta RIGHT )} over {4sin ^{2} theta }]
[eqn: = {pi LEFT ( 25-24cos theta RIGHT )} over {4}]

[eqn: cos theta = {3} over {8}], [eqn: sin theta][eqn: = sqrt {1-cos ^{2} theta }][eqn: = {sqrt {55}} over {8}]

사각형 [eqn: rm { AEPD }]에서 [eqn: rm { ANGLE AEP` }][eqn: rm { = ANGLE ADP }][eqn: = {pi } over {2}]

이므로 네 점 [eqn: rm { A,````E,````P,````D }]는 선분 [eqn: rm { AP }]를 지름으로 하는 한 원 위에 있고 삼각형 [eqn: rm { PDE }]의 외접원은 삼각형 [eqn: rm { ADE }]의 외접원과 일치한다.

삼각형 [eqn: rm { PDE }]의 외접원의 넓이는 [eqn: pi R _{2} ^{2}]

[eqn: R _{2} = {{3} over {8} TIMES sqrt {25-24 TIMES {3} over {8}}} over {2 TIMES {sqrt {55}} over {8}} = {6} over {sqrt {55}}]

[eqn: pi R _{2} ^{2} `= pi LEFT ( {6} over {sqrt {55}} RIGHT ) ^{2} = {36} over {55} pi]

따라서 [eqn: a= {36} over {55}], [eqn: 55a=36]

[참고]

두 삼각형 [eqn: rm { ABC }], [eqn: rm { ADE }]는 서로 닮음이고, 닮음비가 [eqn: 1:cos theta]이므로

[eqn: rm { bar{DE} `= bar{BC} ` TIMES cos theta }], [eqn: R _{2} `=R _{1} TIMES cos theta]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 15

그림과 같이 [eqn: bar{rmAB}=3], [eqn: bar{rmAC}=1]이고 [eqn: ANGLE {rmBAC}= {pi} over {3}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: ANGLE rmBAC]의 이등분선이 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmP]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmAPC]의 외접원의 넓이는?

[정답] ④

[해설]

선분 [eqn: rmAP]가 [eqn: ANGLE {rmBAC}]의 이등분선이고 [eqn: bar{rmAB} ``:`` bar{rmAC}=3 ``:`` 1]이므로 [eqn: bar{rmBP} ``:`` bar{rmPC}=3 ``:`` 1]이다.

[eqn: bar{rmPC}=k]라 하면 [eqn: bar{rmBP}=3k]이다.

삼각형 [eqn: rmBAC]에서 코사인법칙에 의하여 [eqn: cos {pi} over {3} = {3 ^{2} +1 ^{2} - LEFT ( 4k RIGHT ) ^{2}} over {2times3times1}]에서 [eqn: k>0]이므로 [eqn: k= {sqrt {7}} over {4}]이다.

삼각형 [eqn: rmAPC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면 사인법칙에 의하여 [eqn: {k} over {sin {pi} over {6}} =2R]이므로 [eqn: R= {sqrt {7}} over {4}]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rmAPC]의 외접원의 넓이는 [eqn: {7} over {16} pi]

① [eqn: {pi} over {4}]	② [eqn: {5} over {16} pi]	③ [eqn: {3} over {8} pi]

④ [eqn: {7} over {16} pi]	⑤ [eqn: {pi} over {2}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 20

그림과 같이 선분 [eqn: {rmAB}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]를 지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: rmC]에 대하여

[정답] [eqn: bold { 27 }]

[해설]

선분 [eqn: rmAB]는 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 지름이므로 삼각형 [eqn: rmABC]는 직각삼각형이다.

[eqn: ANGLE rm BCA][eqn: = {pi} over {2}], [eqn: ANGLE rm CAB][eqn: = alpha]라 하면 [eqn: cos alpha][eqn: = {1} over {3}]이고, [eqn: sin ^{2} alpha][eqn: =1-cos ^{2} alpha][eqn: = {8} over {9}]이므로 [eqn: sin alpha][eqn: = {2 sqrt {2}} over {3}]

[eqn: {bar{rm BC}}][eqn: = {bar{rm AB it}} TIMES sin alpha]이므로 [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =18]이고, [eqn: {bar{rm AC}}][eqn: =6]

점 [eqn: rmD]는 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 5 ``:`` 4]로 내분하는 점이므로

[eqn: {bar{rm AD}}][eqn: =10]

삼각형 [eqn: rmCAD]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm DC}} ^{2}][eqn: =6 ^{2} +10 ^{2} -2 TIMES 6 TIMES 10 TIMES cos alpha][eqn: =96]

[eqn: therefore][eqn: {bar{rmDC}}][eqn: = sqrt {96}][eqn: =4 sqrt {6}]

삼각형 [eqn: rmCAD]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면 사인법칙에 의하여 [eqn: {{bar{rm DC}}} over {sin alpha }][eqn: =2R]에서 [eqn: R][eqn: =3 sqrt {3}]

삼각형 [eqn: rmCAD]의 외접원의 넓이 [eqn: S]는 [eqn: S][eqn: =27pi]이므로 [eqn: {S} over {pi}][eqn: =27]

[eqn: {bar{rm BC}}][eqn: =12 sqrt {2}], [eqn: cos LEFT ( ANGLE rm CAB RIGHT )][eqn: = {1} over {3}]

이다. 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 5 ``:`` 4]로 내분하는 점을 [eqn: rmD]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmCAD]의 외접원의 넓이는 [eqn: S]이다. [eqn: {S} over {pi}]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 21

그림과 같이 [eqn: bar { rm AB} =2], [eqn: rm {bar{AC}}]□[eqn: rm{bar{BD}}], [eqn: rm bar{AC} : bar{BD} = 1:2 `]인 두 삼각형 [eqn: rm ABC], [eqn: rm ABD`]가 있다. 점 [eqn: rm C`]에서 선분 [eqn: rmAB`]에 내린 수선의 발 [eqn: rmH`]는 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 1:3`]으로 내분한다.

[정답] [eqn: 15]

[해설]

[eqn: {bar{rm AC it}}][eqn: =k`]라 하면 [eqn: {bar{rm BD it}}][eqn: =2k`]이고

[eqn: rm bar{AH} : bar{HB}][eqn: =1:3`]이므로 [eqn: {bar{rm AH it}}][eqn: = {1} over {2} `]

[eqn: ANGLE rm CAB][eqn: = theta `]라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rmABC], [eqn: rmABD`]에서 사인법칙을 이용하면

[eqn: {{bar{rm BC it}} over {sin ` theta}][eqn: =2 it r], [eqn: {{bar{rm AD it}}} over { sin ( pi - theta )][eqn: ={{bar{rm AD it}}} over { sin ` theta}][eqn: =2R]

즉, [eqn: {{bar{rm BC it}}][eqn: } =2 it r sin` theta], [eqn: rm bar{AD}][eqn: =2R sin` theta]

[eqn: 4(R ^{2} -r ^{2} ) TIMES sin ^{2} `theta][eqn: = left( 2R sin `theta right)^2 - left( 2 r sin ` theta )^2]이므로

두 식을 [eqn: left( 2R sin `theta right)^2 - left( 2 r sin ` theta )^2][eqn: =51`]에 대입하면

[eqn: {bar{rm AD it}} ^{2} - {bar{rm BC it}} ^{2}][eqn: =51]	[eqn: cdotscdots] ㉠

삼각형 [eqn: rmAHC`]에서 [eqn: cos`theta][eqn: = rm {bar{AH}} over { bar{CA}}][eqn: = {1} over {2k}`]이므로

두 삼각형 [eqn: rmABC], [eqn: rmABD`]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: {bar{rm BC it}} ^{2}][eqn: = rm {bar{AB}} ^{2} + rm {bar{AC}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{AB}} TIMES rm {bar{AC}} TIMES cos `theta]
[eqn: =4+k ^{2} -2 TIMES 2 TIMES k TIMES cos `theta][eqn: =k^{2} +2][eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: {bar{rm AD it}}^{2}][eqn: = rm {bar{AB}} ^{2} + rm {bar{BD}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{AB}} TIMES rm {bar{BD}} TIMES cos ( pi - theta )]
[eqn: =4+4k^{2} +2 TIMES 2 TIMES 2k TIMES cos` theta][eqn: =4k ^{2} +8][eqn: cdotscdots] ㉢

㉡, ㉢을 ㉠에 대입하면 [eqn: {bar{rm AD it}} ^{2} - {bar{rm BC it}} ^{2}][eqn: =3k^{2} +6][eqn: =51]

즉, [eqn: k ^{2}][eqn: =15`]
따라서 [eqn: {bar{rm AC it}} ^{2}][eqn: =15]

두 삼각형 [eqn: rmABC`], [eqn: rmABD`]의 외접원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: r`], [eqn: R`]라 할 때, [eqn: 4(R^{2} -r ^{2} ) TIMES sin ^{2} ( ANGLE rm CAB)= 51`]이다. [eqn: rm { bar{AC}}^2 `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: ANGLE rm CAB< {pi } over {2}])

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 12

반지름의 길이가 [eqn: {2 sqrt {7}}{{from^2021^09^평가원^중}}]인 원에 내접하고 [eqn: anglermA= {pi} over {3}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 점 [eqn: rmA]를 포함하지 않는 호 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmD]에 대하여 [eqn: sin LEFT ( anglermBCD RIGHT ) = {2 sqrt {7}} over {7}]일 때, [eqn: bar{rmBD}+bar{rmCD]의 값은?

[정답] ②

[해설]

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 2 sqrt {7}]이므로 사인법칙에 의하여 [eqn: {bar{rmBC}} over {sin LEFT ( anglermBAC RIGHT )} =4 sqrt {7}]

즉, [eqn: bar{rmBC}][eqn: =sin {pi} over {3} times4 sqrt {7}][eqn: = {sqrt {3}} over {2} times4 sqrt {7} =2 sqrt {21}]

또, 삼각형 [eqn: rmBCD]의 외접원의 반지름의 길이도 [eqn: 2 sqrt {7}]이므로 삼각형 [eqn: rmBCD]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{RmBD}} over {sin LEFT ( anglermBCD RIGHT )} =4 sqrt {7}]

즉, [eqn: bar{RmBD}][eqn: =sin LEFT ( anglermBCD RIGHT ) times4 sqrt {7}][eqn: = {2 sqrt {7}} over {7} times4 sqrt {7}][eqn: =8]

한편, [eqn: anglermBDC=pi-anglermBAC= {2} over {3} pi]이므로 [eqn: bar{rmCD}=x]라 하면 삼각형 [eqn: rmBCD]에서 코사인 법칙에 의하여

[eqn: LEFT ( 2 sqrt {21} RIGHT ) ^{2} =x ^{2} +8 ^{2} -2 TIMES x times8 TIMES cos {2} over {3} pi]

[eqn: x ^{2} +8x-20=0], [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+10 RIGHT ) =0]

[eqn: x>0]이므로 [eqn: x=2]

즉, [eqn: bar{RmCD}=2]

따라서 [eqn: bar{rmBD}+bar{rmCD}=8+2=10]

① [eqn: {19} over {2}]	② [eqn: 10]	③ [eqn: {21} over {2}]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: {23} over {2}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 21

그림과 같이 한 평면 위에 있는 두 삼각형 [eqn: rm ABC], [eqn: rmACD `]의 외심을 각각 [eqn: rm O], [eqn: rmO' `]이라 하고 [eqn: rm angle ABC = alpha], [eqn: rmangle ADC = beta `]라 할 때,

[정답] [eqn: bold26]

[해설]

[eqn: {sin beta} over { sin alpha} = 3 over2]이므로 사인법칙에 의하여 두 원의 반지름의 길이의 비는 [eqn: 3 `:`2]이다.

각각의 반지름의 길이를 [eqn: 3r], [eqn: 2r]라 하면 삼각형 [eqn: rm AOO']에서 코사인법칙에서

[eqn: 1 = 9r^2 + 4r^2 - 12r^2 cos ( pi - ( alpha+ beta))][eqn: = 17r^2]

[eqn: r^2 = 1 over17],

[eqn: THEREFORE][eqn: S= 9r^2 pi][eqn: = 9 over17 pi], [eqn: p+q=26]

[eqn: {sin` beta} over {sin` alpha} = 3 over 2], [eqn: cos` LEFT ( alpha + beta RIGHT ) = 1 over 3], [eqn: rm bar {OO'} = 1]

이 성립한다. 삼각형 [eqn: rm ABC `]의 외접원의 넓이가 [eqn: q over p pi `]일 때, [eqn: p + q `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 13

그림과 같이 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위에 두 점 [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]가 있다. 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점 [eqn: {rm{O}} it]에 대하여 두 선분 [eqn: {rm{AD}} it], [eqn: {rm{CO}} it]가 점 [eqn: {rm{E}} it]에서 만나고,

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: angle {rm{CED}} it ={ pi} over {4}]이므로 [eqn: triangle {rm{ECD}} it]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: overline{{rm{CD}} it }^{2}=4^{2}+(3 sqrt{2})^{2}-2 times 4 times 3 sqrt{2} times {1} over { sqrt{2}}=10]

에서 [eqn: overline{{rm{CD}} it }= sqrt{10}]	[eqn: cdotscdots]㉠

반지름을 [eqn: R]라 하면 [eqn: overline{{rm{OD}} it }=R], [eqn: overline{{rm{OE}} it }=R-4]이므로 삼각형 [eqn: {rm{ODE}} it]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: R^{2}=(R-4)^{2}+(3 sqrt{2})^{2}-2 times 3 sqrt{2} times(r-4) cos {3} over {4} pi]

[eqn: therefore~ ~ R=5]

[eqn: angle {rm{CAD}} it = theta]라 하면 삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]에서 사인법칙에 의해 [eqn: { overline{{rm{CD}} it }} over { sin theta}=2 {rm{R}} it]에서 [eqn: { sqrt{10}} over { sin theta}=10 ~]	[eqn: therefore~ sin theta={ sqrt{10}} over {10}]

따라서 삼각형 [eqn: {rm{ACE}} it]에서 사인법칙에 의해 [eqn: { overline{{rm{AC}} it }} over { sin {3} over {4} pi}={ overline{{rm{CE}} it }} over { sin theta}]에서

[eqn: overline{{rm{AC}} it }={4} over {{ sqrt{10}} over {10}} times {1} over { sqrt{2}}=4 sqrt{5}][eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: overline{{rm{AC}} it } times overline{{rm{CD}} it }=20 sqrt{2}]

[다른 풀이]

[eqn: angle {rm{CED}} it ={ pi} over {4}]이므로 [eqn: triangle {rm{ECD}} it]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: overline{{rm{CD}} it }`^{2}=4^{2}+(3 sqrt{2})^{2}-2 times 4 times 3 sqrt{2} times {1} over { sqrt{2}}=10]

에서 [eqn: overline{{rm{CD}} it }= sqrt{10}]

[eqn: angle {rm{OCD}} it = alpha]라 하면 [eqn: triangle {rm{ECD}} it]에서 코사인법칙에 의해 [eqn: cos alpha={4^{2}+( sqrt{10})^{2}-(3 sqrt{2})^{2}} over {2 times 4 times 10}={1} over { sqrt{10}}]

[eqn: overline{{rm{OC}} it }=R]이라 하면 [eqn: triangle {rm{OCD}} it]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: R^{2}=R^{2}+( sqrt{10})^{2}-2 R times sqrt{10} times {1} over { sqrt{10}}]에서 [eqn: R=5]

[eqn: angle {rm{CAD}} it = beta]라 하면 [eqn: triangle {rm{ACD}} it]에서 사인법칙에 의해 [eqn: { sqrt{10}} over { sin beta}=2 R]에서 [eqn: sin beta={1} over { sqrt{10}}]

[eqn: triangle {rm{AED}} it]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {4} over { sin beta}={ overline{{rm{AC}} it }} over { sin {3} over {4} pi}]에서 [eqn: overline{{rm{AC}} it }=4 sqrt{5}]

따라서 [eqn: overline{{rm{AC}} it } times overline{{rm{CD}} it }=4 sqrt{5} times sqrt{10}=20 sqrt{2}]

[eqn: overline{{rm{CE}} it }=4], [eqn: ~ overline{{rm{ED}} it }=3 sqrt{2}], [eqn: ~ angle {rm{CEA}} it ={3} over {4} pi]

이다. [eqn: overline{{rm{AC}} it } times overline{{rm{CD}} it }]의 값은?

① [eqn: 6 sqrt{10}]	② [eqn: 10 sqrt{5}]	③ [eqn: 16 sqrt{2}]

④ [eqn: 12 sqrt{5}]	⑤ [eqn: 20 sqrt{2}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 15

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]에 대하여

[정답] ④

[해설]

삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]와 삼각형 [eqn: {rm{BCD}} it]에서 코사인법칙을 이용하여 선분 [eqn: {rm{CD}} it]의 길이를 구하자.

삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: overline{{rm{BD}} it }`^{2}=3^{2}+2^{2}-2 times 3 times 2 times cos { pi} over {3}=7]

이므로 [eqn: overline{{rm{BD}} it }= sqrt{7}]이다.

[eqn: angle {rm{BAD}} it + angle {rm{BCD}} it = pi]이므로 삼각형 [eqn: {rm{BCD}} it]에서 코사인법

칙에 의하여

[eqn: 2^{2}+ overline{{rm{CD}} it }`^{2}-2 times 2 times overline{{rm{CD}} it } times cos {2 pi} over {3}=7]

이므로 [eqn: {bar{rm CD it}} =box{~1~}]이다.

삼각형 [eqn: {rm{EAB}} it]와 삼각형 [eqn: {rm{ECD}} it]에서 [eqn: angle {rm{AEB}} it]는 공통이고

[eqn: angle {rm{EAB}} it = angle {rm{ECD}} it]이므로 삼각형 [eqn: {rm{EAB}} it]와 삼각형 [eqn: {rm{ECD}} it]는

닮음이다. 따라서 [eqn: { overline{{rm{EA}} it }} over { overline{{rm{EC}} it }}={ overline{{rm{EB}} it }} over { overline{{rm{ED}} it }}={ overline{{rm{AB}} it }} over { overline{{rm{CD}} it }}]이다. 즉,

[eqn: {3+ overline{{rm{ED}} it }} over { overline{{rm{EC}} it }}={2+ overline{{rm{EC}} it }} over { overline{{rm{ED}} it }}={2} over {1}]

에서 [eqn: overline{{rm{ED}} it }=box{~{7} over {3}~}]이다.

[eqn: angle {rm{DCE}} it = pi- angle {rm{BCD}} it = angle {rm{BAD}} it ={ pi} over {3}]

이므로 삼각형 [eqn: {rm{ECD}} it]에서 사인법칙을 이용하면

[eqn: { {7} over {3} } over { sin { pi} over {3}}={1} over { sin theta}]

에서 [eqn: sin theta=box{~{3 sqrt{3}} over {14}~}]이다.

[eqn: p=1], [eqn: q={7} over {3}], [eqn: r={3 sqrt{3}} over {14}]이므로

[eqn: (p+q) times r= left(1+{7} over {3} right) times {3 sqrt{3}} over {14}={5 sqrt{3}} over {7}]

[eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{BC}} it }=2], [eqn: ~ overline{{rm{AD}} it }=3], [eqn: ~ angle {rm{BAD}} it ={ pi} over {3}]

이다. 두 직선 [eqn: {rm{AD}} it], [eqn: {rm{BC}} it]의 교점을 [eqn: {rm{E}} it]라 하자.

다음은 [eqn: angle {rm{AEB}} it = theta]일 때, [eqn: sin theta]의 값을 구하는 과정이다.

삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]와 삼각형 [eqn: {rm{BCD}} it]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: overline{{rm{CD}} it }=][eqn: box{~(가)~}]

이다. 삼각형 [eqn: {rm{EAB}} it]와 삼각형 [eqn: {rm{ECD}} it]에서

[eqn: angle {rm{AEB}} it]는 공통, [eqn: angle {rm{EAB}} it = angle {rm{ECD}} it]

이므로 삼각형 [eqn: {rm{EAB}} it]와 삼각형 [eqn: {rm{ECD}} it]는 닮음이다.

이를 이용하면

[eqn: overline{{rm{ED}} it }=][eqn: box{~(나)~}]

이다. 삼각형 [eqn: {rm{ECD}} it]에서 사인법칙을 이용하면

[eqn: sin theta=][eqn: box{~(다)~}]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]라 할 때, [eqn: (p+q) times r]의 값은?

① [eqn: { sqrt{3}} over {2}]	② [eqn: {4 sqrt{3}} over {7}]	③ [eqn: {9 sqrt{3}} over {14}]

④ [eqn: {5 sqrt{3}} over {7}]	⑤ [eqn: {11 sqrt{3}} over {14}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 13

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=2], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=3 sqrt{3}], [eqn: overline{{rm{CA}} it }= sqrt{13}]인 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 있다. 선분 [eqn: {rm{BC}} it] 위에 점 [eqn: {rm{B}} it]가 아닌 점 [eqn: {rm{D}} it]를 [eqn: overline{{rm{AD}} it }=2]가 되도록 잡고, 선분 [eqn: {rm{AC}} it] 위에 양 끝점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{C}} it]가 아닌 점 [eqn: {rm{E}} it]를 사각형 [eqn: {rm{ABDE}} it]가 원에 내접하도록 잡는다.

[정답] ①

[해설]

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 코사인법칙에 의하여 [eqn: cos ( angle {rm{ABC}} it )={2^{2}+(3 sqrt{3})^{2}-( sqrt{13})^{2}} over {2 times 2 times 3 sqrt{3}}= box {`{ sqrt{3}} over {2}` }]이다.

삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]에서 [eqn: sin ( angle {rm{ABD}} it )= sqrt{1- left({ sqrt{3}} over {2} right)^{2}}={1} over {2}]

이므로 사인법칙에 의하여 삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]의 외접원의

반지름의 길이는 [eqn: {1} over {2} times { overline{{rm{AD}} it }} over { sin ( angle {rm{ABD}} it )}=box{~2~]이다.

삼각형 [eqn: {rm{ADC}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: { overline{{rm{CD}} it }} over { sin ( angle {rm{CAD}} it )}={ overline{{rm{AD}} it }} over { sin ( angle {rm{ACD}} it )}]

이므로

[eqn: sin ( angle {rm{CAD}} it )][eqn: ={ overline{{rm{CD}} it }} over { overline{{rm{AD}} it }} times sin ( angle {rm{ACD}} it )]
[eqn: ={ sqrt{3}} over {2} times { sqrt{13}} over {13}={ sqrt{39}} over {26}]

이다. 삼각형 [eqn: {rm{ADE}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: overline{{rm{DE}} it }=2 times 2 times sin ( angle {rm{CAD}} it )= box {`{2 sqrt{39}} over {13}` }]

이다.

따라서 [eqn: p={ sqrt{3}} over {2}], [eqn: q=2], [eqn: r={2 sqrt{39}} over {13}]이므로

[eqn: p times q times r={ sqrt{3}} over {2} times 2 times {2 sqrt{39}} over {13}={6 sqrt{13}} over {13}]

다음은 선분 [eqn: {rm{DE}} it]의 길이를 구하는 과정이다.

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos ( angle {rm{ABC}} it )= box {~~(가)~~ }]

이다. 삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]에서 [eqn: sin ( angle {rm{ABD}} it )= sqrt{1-( box{~~가~~})^2]

이므로 사인법칙에 의하여 삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]의 외접원의 반지름의 길이는 [eqn: {BOX{~~(나)~~}}] 이다.

삼각형 [eqn: {rm{ADC}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: { overline{{rm{CD}} it }} over { sin ( angle {rm{CAD}} it )}={ overline{{rm{AD}} it }} over { sin ( angle {rm{ACD}} it )}]

이므로 [eqn: sin ( angle {rm{CAD}} it )={ overline{{rm{CD}} it }} over { overline{{rm{AD}} it }} times sin ( angle {rm{ACD}} it )]이다.

삼각형 [eqn: {rm{ADE}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: overline{{rm{DE}} it }=][eqn: {BOX{~~(다)~~}}]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]라 할 때, [eqn: p times q times r]의 값은?

① [eqn: {6 sqrt{13}} over {13}]	② [eqn: {7 sqrt{13}} over {13}]	③ [eqn: {8 sqrt{13}} over {13}]

④ [eqn: {9 sqrt{13}} over {13}]	⑤ [eqn: {10 sqrt{13}} over {13}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 11

그림과 같이 사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]가 한 원에 내접하고

[정답] ①

[해설]

[eqn: angle {rm{BAC}} it = angle {rm{CAD}} it = theta]라 하면

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: { overline{{rm{BC}} it }}^{2}][eqn: ={ overline{{rm{AB}} it }}^{2}+ {overline{{rm{AC}} it }}^{2}-2 times overline{{rm{AB}} it } times overline{{rm{AC}} it } times cos theta]
[eqn: =25+45-2 times 5 times 3 sqrt{5} times cos theta]
[eqn: =70-30 sqrt{5} cos theta]	[eqn: cdotscdots] ㉠

또 삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {overline{{rm{CD}} it }}^{2}][eqn: = {overline{{rm{AD}} it }}^{2}+ {overline{{rm{AC}} it }}^{2}-2 times overline{{rm{AD}} it } times overline{{rm{AC}} it } times cos theta]
[eqn: =49+45-2 times 7 times 3 sqrt{5} times cos theta]
[eqn: =94-42 sqrt{5} cos theta]	[eqn: cdotscdots] ㉡

이때 [eqn: angle {rm{BAC}} it = angle {rm{CAD}} it]이므로    [eqn: overline{{rm{BC}} }= overline{{rm{CD}} }]

즉, ㉠[eqn: =]㉡에서

[eqn: 70-30 sqrt{5} cos theta=94-42 sqrt{5} cos theta]

[eqn: cos theta={2 sqrt{5}} over {5}]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

㉢을 ㉠에 대입하면

[eqn: {overline{{rm{BC}} it }}^{2}][eqn: =70-30 sqrt{5} cos theta]
[eqn: =70-30 sqrt{5} times {2 sqrt{5}} over {5}]
[eqn: =10]

[eqn: therefore] [eqn: overline{{rm{BC}} it }= sqrt{10}]

㉢에서

[eqn: sin ^{2} theta=1- cos ^{2} theta=1- left({2 sqrt{5}} over {5} right)^{2}={1} over {5}]

이므로    [eqn: sin theta={ sqrt{5}} over {5}]

따라서 구하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: { overline{{rm{BC}} it }} over { sin theta}=2 R],    [eqn: {root10}over{root5 over5}=2R]

[eqn: therefore] [eqn: R}={5 sqrt{2}} over {2}]

[eqn: {bar{rm AB it}} =5], [eqn: {bar{rm AC it}} =3 sqrt {5}], [eqn: {bar{rm AD it}} =7], [eqn: ANGLE rm BAC it = ANGLE rm CAD it]

일 때, 이 원의 반지름의 길이는?

① [eqn: {5 sqrt{2}} over {2}]	② [eqn: {8 sqrt{5}} over {5}]	③ [eqn: {5 sqrt{5}} over {3}]

④ [eqn: {8 sqrt{2}} over {3}]	⑤ [eqn: {9 sqrt{3}} over {4}]

03 수1	07 삼각함수의 활용
02 사인법칙과 코사인법칙의 활용
05 활용5 (식의 모양-연결공식)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 19

길이가[eqn: {10 ,```` a ,```` b}{{from^2020^03^경기고3나^}}]인 세 선분 [eqn: rmAB ,```` BC ,```` CA]를 각 변으로 하는 예각삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 세 꼭짓점을 지나는 원의 반지름의 길이가 [eqn: 3 sqrt {5}]이고 [eqn: {a ^{2} +b ^{2} -ab cos C} over {ab} = {4} over {3}]일 때, [eqn: ab]의 값은?

[정답] ②

[해설]

삼각형 [eqn: \ABC]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 3root5]이므로 사인법칙에 의해 [eqn: 10 over {sin rmC }][eqn: = 2 times 3root5], [eqn: sin rmC][eqn: = root5 over 3]

삼각형 [eqn: rmABC]는 예각삼각형이므로

[eqn: cos rmC][eqn: = root{1- sin^2 rmC}][eqn: = { 2} over {3 }]

[eqn: {a ^{ 2} +b ^{ 2} -ab cos rmC} over {ab}][eqn: = 4 over 3]에서 [eqn: {a ^{ 2} +b ^{ 2} - {2} over {3} ab} over {ab}][eqn: = 4 over 3]

[eqn: 3a ^{ 2} +3b ^{ 2} -2ab=4ab], [eqn: 3LEFT ( a-b RIGHT ) ^{2} =0]이므로 [eqn: a=b]

코사인법칙에 의해

[eqn: 10 ^{ 2}][eqn: =a ^{ 2} +b ^{ 2} -2ab cos rmC]
[eqn: = a^2 + a^2 - 2a^2 times 2 over 3]
[eqn: = { 2} over {3 } a^2]

[eqn: 100][eqn: = {2} over {3} a ^{ 2}], [eqn: a ^{ 2}][eqn: =150]

따라서 [eqn: ab][eqn: =a^{ 2 }][eqn: =150]

① [eqn: 140]	② [eqn: 150]	③ [eqn: 160]

④ [eqn: 170]	⑤ [eqn: 180]

03 수1	07 삼각함수의 활용
02 사인법칙과 코사인법칙의 활용
06 활용6 (Mm)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 19

그림과 같이 원 [eqn: {C}{{from^2020^04^서울고3가^}}]에 내접하고 [eqn: {bar{rmAB}} =3], [eqn: ANGLE rm BAC= {pi} over {3}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 원 [eqn: C]의 넓이가 [eqn: {49} over {3} pi]일 때, 원 [eqn: C]위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPAC]의 넓이의 최댓값은?
(단, 점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: rmA]도 아니고 점 [eqn: rmC]도 아니다.)

[정답] ①

[해설]

원 [eqn: C]의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면 원 [eqn: C]의 넓이가 [eqn: {49} over {3} pi]이므로

[eqn: R ^{2} pi][eqn: = {49} over {3} pi], [eqn: R= {7} over {3} sqrt {3}]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {{bar{rmBC}}} over {sin {pi} over {3}}][eqn: =2R], [eqn: {bar{rmBC}}][eqn: =2 TIMES {7} over {3} sqrt {3} TIMES {sqrt {3}} over {2}][eqn: =7]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: {bar{rmAC}} =a]라 하면 코사인법칙에 의해

[eqn: 7 ^{2}][eqn: =a ^{2} +3 ^{2} -2 TIMES a TIMES 3 TIMES cos {pi} over {3}]

[eqn: a ^{2} -3a-40=0], [eqn: LEFT ( a-8 RIGHT ) LEFT ( a+5 RIGHT ) =0]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=8]

[eqn: {bar{rmAC}} =8]이고 삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: cos LEFT ( ANGLE rm CBA RIGHT )][eqn: = {3 ^{2} +7 ^{2} -8 ^{2}} over {2 TIMES 3 TIMES 7}][eqn: = it - {1} over {7}]

이므로 [eqn: {pi} over {2} < ANGLE rm CBA<pi]가 되어 삼각형 [eqn: rmABC]는 둔각삼각형이다.

삼각형 [eqn: rmPAC]의 넓이가 최대가 되도록 하는 점을 [eqn: rmQ]라 하면 점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmAC]의 수직이등분선과 원 [eqn: C]의 두 교점 중 직선 [eqn: rmAC]로부터 멀리 떨어져 있는 점이다.

그림과 같이 점 [eqn: rmQ]에서 선분 [eqn: rmAC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 원 [eqn: C]의 중심 [eqn: rmO]는 선분 [eqn: rmQH] 위에 있다.

직각삼각형 [eqn: rmAHO]에서

[eqn: {bar{rmOH}}][eqn: = sqrt {LEFT ( {7} over {3} sqrt {3} RIGHT ) ^{2} -4 ^{2}}][eqn: = {sqrt {3}} over {3}]

[eqn: {bar{rmQH}}][eqn: = {8} over {3} sqrt {3}]이므로 삼각형 [eqn: rmPAC]의 넓이의 최댓값은

[eqn: {1} over {2} TIMES 8 TIMES {8} over {3} sqrt {3}][eqn: = {32} over {3} sqrt {3}]

① [eqn: {32} over {3} sqrt {3}]	② [eqn: {34} over {3} sqrt {3}]	③ [eqn: 12 sqrt {3}]

④ [eqn: {38} over {3} sqrt {3}]	⑤ [eqn: {40} over {3} sqrt {3}]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 13

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO _{1} `]이고 반지름의 길이가 [eqn: r~ LEFT ( r>3 RIGHT ) `]인 원 [eqn: C _{1} `]과 중심이 [eqn: rmO _{2} `]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: C _{2} `]에 대하여 [eqn: rm {bar{O _{1} O _{2}}} =2`]이다. 원 [eqn: C _{1}] 위를 움직이는 점 [eqn: rmA`]에 대하여 직선 [eqn: rmAO _{2} `]가 원 [eqn: C _{1} `]과 만나는 점 중 [eqn: rmA`]가 아닌 점을 [eqn: rmB`]라 하자. 원 [eqn: C _{2}] 위를 움직이는 점 [eqn: rmC`]에 대하여 직선 [eqn: rmAC`]가 원 [eqn: C _{1} `]과 만나는 점 중 [eqn: rmA`]가 아닌 점을 [eqn: rmD`]라 하자.

[정답] ④

[해설]

삼각형 [eqn: rmADB`]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {rm {bar{BD}} it} over {sin`A} = {BOX{~2r~}}]

이므로 [eqn: rm {bar{BD}} `]가 최대이려면 직선 [eqn: rmAD`]가 원 [eqn: C _{2} `]와 점 [eqn: rmC`]에서 접해야 한다.

이때 직각삼각형 [eqn: rmACO _{2} `]에서 [eqn: sin`A= {1} over {rm {bar{AO _{2}}}} `]이므로

[eqn: rm {bar{BD}} = {1} over {{bar{AO _{2}}}} TIMES {BOX{~2itr~}}]

이다.

그러므로 직선 [eqn: rmAD`]가 원 [eqn: C _{2} `]와 점 [eqn: rmC`]에서 접하고 [eqn: rm {bar{AO _{2}}} `]가 최소일 때 [eqn: rm {bar{BD}} `]는 최대이다. [eqn: rm {bar{AO _{2}}} `]가 최소일 때는 두 원의 중심 [eqn: rmO_1], [eqn: rmO_2]와 점 [eqn: rmA]가 일직선 위에 있을 때이므로 [eqn: rm {bar{AO _{2}}} `]의 최솟값은

[eqn: rmbar{AO_1}-bar{O_1 O_2}=`{BOX{~itr-2~}}]

[eqn: rm {bar{AO _{2}}} `]가 최소일 때, [eqn: sin`A= 1overr-2]이므로 삼각형 [eqn: rmCO_1 O_2]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: rm {bar{O _{1} C}} ` ^{2}][eqn: =1^2 +2^2 -2cdot1cdot2 cos`left(pi over2 +A right)]
[eqn: =5+4sin`A]
[eqn: =`box{~5+ 4overr-2 ~}]

이상에서 [eqn: f left(r right)=2r], [eqn: g left(r right)=r-2], [eqn: h left(r right)=5+ 4overr-2]이므로

[eqn: f left(4right)times g left(5right)timesh left(6right)=8times3times6=144]

다음은 [eqn: rm {bar{BD}} `]가 최대가 되도록 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]를 정할 때, [eqn: rm {bar{O _{1} C}} ` ^{2} `]을 [eqn: r`]에 대한 식으로 나타내는 과정이다.

삼각형 [eqn: rmADB`]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {rm {bar{BD}} it} over {sin`A} = {BOX{~~(가)~~}}]

이므로 [eqn: rm {bar{BD}} `]가 최대이려면 직선 [eqn: rmAD`]가 원 [eqn: C _{2} `]와 점 [eqn: rmC`]에서 접해야 한다.

이때 직각삼각형 [eqn: rmACO _{2} `]에서 [eqn: sin`A= {1} over {rm {bar{AO _{2}}}} `]이므로

[eqn: rm {bar{BD}} = {1} over {{bar{AO _{2}}}} TIMES {BOX{~~(가)~~}}]

이다.

그러므로 직선 [eqn: rmAD`]가 원 [eqn: C _{2} `]와 점 [eqn: rmC`]에서 접하고 [eqn: rm {bar{AO _{2}}} `]가 최소일 때 [eqn: rm {bar{BD}} `]는 최대이다.

[eqn: rm {bar{AO _{2}}} `]의 최솟값은

[eqn: {BOX{~~(나)~~}}]

이므로 [eqn: rm {bar{BD}} `]가 최대일 때,

[eqn: rm {bar{O _{1} C}} ` ^{2} = {BOX{~~(다)~~}}]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( r RIGHT )], [eqn: g LEFT ( r RIGHT )], [eqn: h LEFT ( r RIGHT )]라 할 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 5 RIGHT ) TIMES h LEFT ( 6 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 216]	② [eqn: 192]	③ [eqn: 168]

④ [eqn: 144]	⑤ [eqn: 120]

03 수1	07 삼각함수의 활용
02 사인법칙과 코사인법칙의 활용
07 활용7 (실생활 활용)

[출처]	2004 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 16

그림과 같은 [eqn: ANGLE rm ABC `=` 120]°, [eqn: rm bar {AB``}`=`3`km`], [eqn: rm bar {BD``}`=`6`km`]인 산책로에는 다음과 같은 두 가지 코스가 있다.

[정답] ①

[해설]

[코스 1]의 거리는 [eqn: 9 rm km] 이므로 걸리는 시간은 [eqn: 9 over 3 = 3](시간)이다.

[eqn: rm bar BC = it x`]로 놓으면 [eqn: rm bar CD = it 6-x`]이고 코사인법칙에 의하여

[eqn: rm bar AC `^2 it =3^2 +x^2 -2․3․x cos 120°][eqn: =x^2 +3x+9]

∴[eqn: rm bar AC = it root{x^2 +3x+9}]

[코스 2]의 거리는 [eqn: root{x^2 +3x+9} +6-x`] 이므로 걸리는 시간은

[eqn: {root{x^2 +3x+9}} over 3 + 6-x over 3](시간)

[코스 2]가 [코스 1]보다 10분 더 빠르므로

[eqn: {root{x^2 +3x+9}} over 3 + 6-x over 3 = 3- 1 over 6]

[eqn: 2root{x^2 +3x+9} + 12-2x =17]

[eqn: 2root{x^2 +3x+9}=2x+5]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 4x^2 +12x+36=4x^2 +20x+25]

[eqn: 8x=11]

∴ [eqn: x= 11 over 8](km)

갑이 시속 [eqn: rm 3`km`]의 일정한 속력으로 산책할 경우, [코스1]을 따라갈 때 소요되는 시간이 [코스2]를 따라가는 것보다 [eqn: 10``]분 더 걸린다고 한다. [eqn: rm bar {BC``}`]의 길이는?

① [eqn: {11_`} over {8^`} rm km]	② [eqn: {5_`} over {4^`} rm km]	③ [eqn: {9_`} over {8^`} rm km]

④ [eqn: 1 rm km]	⑤ [eqn: {7_`} over {8^`} rm km]

03 수1	07 삼각함수의 활용
03 삼각형의 넓이
04 넓이4 (내접원과 외접원)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 18

반지름의 길이가 [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]인 원이 삼각형 [eqn: rmABC]에 내접하고 있다. 원이 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하고 [eqn: bar{rmBD}=12], [eqn: bar{rmDC}=4]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 둘레의 길이는?

[정답] ②

[해설]

그림과 같이 원의 중심을 [eqn: rmO]라 하고, 원과 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAC]가 만나는 저을 각각 [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 하자.

[eqn: tan LEFT ( ANGLE rmOCD RIGHT ) = {sqrt {3}} over {3}]이므로 [eqn: ANGLE {rmOCD}= {pi} over {6}], [eqn: ANGLE {rmACB}= {pi} over {3}]이다. [eqn: bar{rmAE}=a]라 하면 [eqn: bar{rmAF}=a]이고

(삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} times16times LEFT ( a+4 RIGHT ) times{sin {pi} over {3} }]

[eqn: =4 sqrt {3} LEFT ( a+4 RIGHT )]

(삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이)[eqn: +](삼각형 [eqn: rmOBC]의 넓이)

[eqn: +](삼각형 [eqn: rmOCA]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} times {4 sqrt {3}} over {3} times LEFT { LEFT ( a+12 RIGHT ) +16+ LEFT ( a+4 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {4 sqrt {3}} over {3} LEFT ( a+16 RIGHT )]

이다.

그러므로 [eqn: 4 sqrt {3} LEFT ( a+4 RIGHT ) = {4 sqrt {3}} over {3} LEFT ( a+16 RIGHT )]에서 [eqn: a=2]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 둘레의 길이는

[eqn: 2times LEFT ( 12+4+2 RIGHT ) =36]

[다른 풀이]

삼각형 [eqn: rmBCA]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos {pi} over {3} = {16 ^{2} + LEFT ( a+4 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( a+12 RIGHT ) ^{2}} over {2times16times LEFT ( 1+4 RIGHT )}]

이므로 [eqn: a=2]이다.

① [eqn: {71} over {2}]	② [eqn: 36]	③ [eqn: {73} over {2}]

④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: {75} over {2}]

03 수1	07 삼각함수의 활용
03 삼각형의 넓이
05 넓이5 (사각형의 넓이)

[출처]	2003 모의_공공 평가원 고3 06월 30
[출처]	2020 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능특강 대표 기출 문제

그림과 같이 도형 [eqn: {rm{ABCDE}} it]에서

[정답] [eqn: 19.39]

[해설]

(ⅰ) 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times overline{{rm{BC}} it } times overline{{rm{CA}} it } times sin 60 DEG ={1} over {2} times 4 times 3 times { sqrt{3}} over {2}=3 sqrt{3}]
삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times overline{{rm{AC}} it } times overline{{rm{CD}} it } times sin 60 DEG ={1} over {2} times 3 times 4 times { sqrt{3}} over {2}=3 sqrt{3}]

(ⅱ) 삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]에서 코사인법칙에 의하여
[eqn: {bar{ rm AD it }}^{2} = {bar{ rm AC it }}^{2} + {bar{ rm CD it }}^{2} -2 TIMES {bar{rm AC it}} TIMES {bar{rm CD it}} TIMES `cos60 DEG][eqn: {bar{ rm AD it }}^{2} =3 ^{2} +4 ^{2} -2 TIMES 3 TIMES 4 TIMES {1} over {2}]
[eqn: {bar{ rm AD it }}^{2} =13]이므로 [eqn: overline{{rm{AD}} it }= sqrt{13}]
이때 삼각형 [eqn: {rm{ADE}} it]에서 [eqn: angle {rm{DEA}} it = theta]로 놓으면 코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{ rm AD it }}^{2}][eqn: = {bar{ rm DE it }}^{2} + {bar{ rm AE it }}^{2} -2 TIMES {bar{rm DE it}} TIMES {bar{rm AE it}} TIMES][eqn: ( sqrt{13})^{2}][eqn: =5^{2}+6^{2}-2 times 5 times 6 times cos theta]

에서 [eqn: cos theta={4} over {5}]이므로 [eqn: sin theta={3} over {5}]

삼각형 [eqn: {rm{ADE}} it]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times overline{{rm{DE}} it } times overline{{rm{AE}} it } times sin theta={1} over {2} times 5 times 6 times {3} over {5}=9]

(ⅰ), (ⅱ)에서 도형 [eqn: {rm{ABCDE}} it]의 넓이는 세 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it], [eqn: {rm{ACD}} it], [eqn: {rm{ADE}} it]의 넓이의 합이므로

[eqn: 3 sqrt{3}+3 sqrt{3}+9][eqn: =6 sqrt{3}+9=6 times 1.732+9]
[eqn: =19.392]

따라서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내면 [eqn: 19.39]이다.

[eqn: angle {rm{ACB}} it = angle {rm{ACD}} it =60 DEG], [eqn: overline{{rm{AC}} it }=3], [eqn: overline{{rm{BC}} it }= overline{{rm{CD}} it }=4],

[eqn: overline{{rm{DE}} it }=5], [eqn: overline{{rm{AE}} it }=6]

이다. 이 도형 [eqn: {rm{ABCDE}} it]의 넓이를 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오. (단, [eqn: sqrt{3}=1.732]로 계산한다.)

[출처]	2003 모의_공공 평가원 고3 06월 30

그림과 같이 도형 [eqn: {rm{ABCDE}} it]에서 [eqn: angle {rm{ACB}} it = angle {rm{ACD}} it =60 DEG], [eqn: overline{{rm{AC}} it }=3], [eqn: overline{{rm{BC}} it }= overline{{rm{CD}} it }=4],

[정답] [eqn: 19.39]

[해설]

코사인법칙에 의해서

[eqn: rm bar AD`^2 =3^2 +4^2 -2․3․4․cos`60°][eqn: =13]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm bar AD = root13 ~(∵~ bar AD `＞0)]

위의 그림과 같이 [eqn: ANGLE rmAED=theta]로 놓으면 코사인법칙에 의해서

[eqn: cos` theta = {6^2 +5^2 -(root13 `)^2} over 2․6․5]=[eqn: 4 over 5]

[eqn: THEREFORE][eqn: sin` theta = root{1-left(4 over 5 right)^2 }] ([eqn: because][eqn: theta] 는 예각)[eqn: = 3 over 5]

[eqn: THEREFORE] (도형[eqn: rmABCDE]의 넓이)=[eqn: S_1 +S_2 +S_3]

[eqn: = {1} over {2} ․3․4․sin`60°+ {1} over {2} ․3․4․sin`60°`][eqn: + 1 over 2 ․6․5․sin` theta]

[eqn: = 6 ․ root3 over 2 + 6․ root3 over 2 + 15․ 3 over 5]

[eqn: =6root3 `+9]

[eqn: =6×1.732+9]

[eqn: =19.392]

따라서, [eqn: 19.392]를 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하면 [eqn: 19.39]이다.

[eqn: overline{{rm{DE}} it }=5], [eqn: overline{{rm{AE}} it }=6]이다.

이 도형 [eqn: {rm{ABCDE}} it]의 넓이를 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오. (단, [eqn: sqrt{3}=1.732]로 계산한다.)

[출처]	2003 모의_공공 평가원 고3 06월 30

그림과 같이 도형 [eqn: {rm{ABCDE}} it]에서 [eqn: angle {rm{ACB}} it = angle {rm{ACD}} it =60 DEG], [eqn: overline{{rm{AC}} it }=3], [eqn: overline{{rm{BC}} it }= overline{{rm{CD}} it }=4], [eqn: overline{{rm{DE}} it }=5], [eqn: overline{{rm{AE}} it }=6]이다. 이 도형 [eqn: {rm{ABCDE}} it]의 넓이를 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오. (단, [eqn: sqrt{3}=1.732]로 계산한다.)

[정답] [eqn: 19.39]

[해설]

코사인법칙에 의해서

[eqn: rm {bar{AD}} ^{2} =3 ^{2} +4 ^{2} -2CDOT3CDOT4CDOTcos60DEG]

[eqn: =13]

[eqn: THEREFORE][eqn: {bar{rmAD}} = sqrt {13}][eqn: LEFT ( BECAUSE {bar{RMAD}} >0 RIGHT )]

위의 그림과 같이 [eqn: ANGLE `rmAED= theta]로 놓으면 코사인법칙에 의해서 [eqn: cos` theta = {6 ^{2} +5 ^{2} - LEFT ( sqrt {13} RIGHT ) ^{2}} over {2cdot6cdot5}]

[eqn: = {4} over {5}]

[eqn: THEREFORE sin theta & = sqrt {1- LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{2}} ( BECAUSE theta 는예각) & = {3} over {5}]

[eqn: therefore(]도형 [eqn: {rm{ABCDE}}]의 넓이 [eqn: )=S _{1}+S _{2}+S _{3}}}]

[eqn: ={1} over {2} cdot 3 cdot 4 cdot sin 60 DEG+{1} over {2} cdot 3 cdot 4 cdot sin 60 DEG]

[eqn: + {1} over {2} CDOT 6 CDOT 5 CDOT sin theta]

[eqn: =6 CDOT {sqrt {3}} over {2} +6 CDOT {sqrt {3}} over {2} +15 CDOT {3} over {5}]

[eqn: =6 sqrt {3} +9= & 6 TIMES 1.732+9]

[eqn: = & 19.392]

따라서, [eqn: 19.392]를 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하면 [eqn: 19.39]이다.

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고2 03월 15

그림과 같이 직각삼각형 [eqn: rmABC `]의 세 변 [eqn: rmAB], [eqn: rmBC], [eqn: rmCA `]를 각각 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rmAPQB], [eqn: rmBRSC], [eqn: rmCTUA `]를 그린다. 세 변 [eqn: rmAB], [eqn: rmBC], [eqn: rmCA `]의 길이를 각각 [eqn: c], [eqn: a], [eqn: b `]라 할 때, 다음 중 육각형 [eqn: rmPQRSTU `]의 넓이를 나타낸 것은?

[정답] ③

[해설]

세 사각형 [eqn: rmAPQB], [eqn: rm BRSC], [eqn: rm CTUA`]의 넓이는 각각

[eqn: c^2], [eqn: a^2], [eqn: b^2`]이고, [eqn: rm ABC`]의 넓이는 [eqn: { 1} over {2 }ab `]이다.

[eqn: rm ANGLE BAC= it theta`]라 하면 [eqn: rm ANGLE PAU=180DEG- it theta `]이므로

삼각형 [eqn: rm PAU`]의 넓이는

[eqn: rm TRIANGLE PAU][eqn: rm= {1} over {2} bar{AU} bar{AP} sin LEFT ( 180DEG-theta RIGHT ) `]
[eqn: = {1} over {2} bc sin theta `]
[eqn: = rm TRIANGLE ABC][eqn: = {1} over {2} ab`]

이다. 마찬가지 방법으로 두 삼각형 [eqn: rm QRB], [eqn: rm CST`]의 넓이도 각각 [eqn: { 1} over {2 }ab`]이다. 따라서 육각형 [eqn: rm PQRSTU`]의 넓이는

[eqn: c ^{2} +a ^{2} +b ^{2} + {1} over {2} ab TIMES 4=2 LEFT ( c^2 +ab RIGHT )][eqn: LEFT ( because~a^2 +b^2 =c^2 RIGHT )]

① [eqn: 2 LEFT ( a^2 + bc RIGHT )]	② [eqn: 2 LEFT ( b^2 + ca RIGHT )]	③ [eqn: 2 LEFT ( c^2 + ab RIGHT )]

④ [eqn: ab+bc+ca+2a^2]	⑤ [eqn: ab+bc+ca+2c^2]

03 수1	07 삼각함수의 활용
03 삼각형의 넓이
06 넓이6 (각 표시)

[출처]	2009 모의_공공 경찰대 고3 07월 9

평행사변형 [eqn: {rm{ABCD}} it]에서 [eqn: overline{{rm{AC}} it }= sqrt{7}], [eqn: overline{{rm{BD}} it }= sqrt{13}], [eqn: angle {rm{ABC}} it =60 DEG]이고 두 대각선이 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]일 때, [eqn: sin ^{2} `theta]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: overline{{rm{AB}} it }=a], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=b]라 하면 평행사변형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 넓이는

[eqn: □ {rm{ABCD}} it][eqn: = triangle {rm{ABC}} it + triangle {rm{ACD}} it][eqn: =2 triangle {rm{ABC}} it]
[eqn: =2 times {1} over {2} a b sin` theta=a b sin `60 DEG ={ sqrt{3}} over {2} a b]

이고

[eqn: □ {rm{ABCD}} it][eqn: ={1} over {2} times overline{{rm{AC}} it } times overline{{rm{BD}} it } times sin ` theta]
[eqn: ={1} over {2} times sqrt{7} times sqrt{13} times sin `theta={ sqrt{91}} over {2} sin` theta]

이므로 [eqn: { sqrt{3}} over {2} a b={ sqrt{91}} over {2} sin` theta]

[eqn: sqrt{3} a b= sqrt{91} sin ` theta]	[eqn: cdotscdots]㉠

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 코사인법칙을 적용하면 [eqn: ( sqrt{7})^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b cos `60 DEG]

[eqn: 7=a^{2}+b^{2}-a b ~]	[eqn: cdotscdots]㉡

또, 삼각형 [eqn: {rm{BCD}} it]에서 코사인법칙을 적용하면 [eqn: ( sqrt{13})^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b cos `120 DEG]

[eqn: 13=a^{2}+b^{2}+a b ~]	[eqn: cdotscdots]㉢

㉢ [eqn: -]㉡을 하면

[eqn: 2 a b=6 ~ therefore~a b=3]

이를 ㉠에 대입하면

[eqn: 3 sqrt{3}= sqrt{91} sin` theta]

[eqn: therefore~ sin ` theta={3 sqrt{3}} over { sqrt{91}}]

[eqn: therefore~ sin ^{2} ` theta= left({3 sqrt{3}} over { sqrt{91}} right)^{2}={27} over {91}]

① [eqn: {27} over {91}]	② [eqn: {30} over {91}]	③ [eqn: {33} over {91}]

④ [eqn: {36} over {91}]	⑤ [eqn: {39} over {91}]

[출처]	2014 모의_공공 경찰대 고3 07월 5

원에 내접하는 사각형 [eqn: rm ABCD`]에 대하여 [eqn: rm barAB =1], [eqn: rm barBC =3], [eqn: rm barCD =4], [eqn: rm barDA =6`]이다. 사각형 [eqn: rm ABCD`]의 넓이는?

[정답] ②

[해설]

사각형 [eqn: rm ABCD]가 원에 내접하므로

[eqn: rm angle BAD + angle BCD = pi]

[eqn: angle rm BAD = theta]라 하면

삼각형 [eqn: rm BAD]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: rm {bar{BD}}^2][eqn: = rm {barAB}^2 + {barAD}^2 - 2barAB cdotbarAD costheta][eqn: = 37-12 cos theta]

삼각형 [eqn: rm BCD]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: rm {barBD}^2][eqn: = rm {barBC}^2 + {barCD}^2 - 2barBC cdotbarCD cos(pi-theta)][eqn: = 25+24 cos theta]

[eqn: 37-12 cos theta][eqn: = 25+24 cos theta]에서

[eqn: costheta = 1 over3]

∴ [eqn: sin theta][eqn: = sqrt { 1- cos^2 theta}][eqn: = { 2 sqrt { 2}} over { 3}]

∴ ([eqn: □rm ABCD]의 넓이)

[eqn: =]([eqn: triangle rm BAD]의 넓이)+([eqn: triangle rm BCD]의 넓이)
[eqn: = rm 1 over2 barAB cdot barAD sin theta + 1 over2 barBC cdotbarCD sin (pi-theta)]
[eqn: = 1 over2 cdot 1 cdot6 cdot {2 sqrt { 2} } over3 + 1 over2 cdot3 cdot4 cdot {2 sqrt { 2} } over3]
[eqn: =6 sqrt { 2}]

① [eqn: 5 sqrt { 2}]	② [eqn: 6sqrt { 2}]	③ [eqn: 7sqrt { 2}]

④ [eqn: 8sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 9sqrt { 2}]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 09월 19

반지름의 길이가 [eqn: 3`]인 원의 둘레를 [eqn: 6`]등분하는 점 중에서 연속된 세 개의 점을 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]라 하자. 점 [eqn: rmB`]를 포함하지 않는 호 [eqn: rm AC] 위의 점 [eqn: rmP`]에 대하여 [eqn: {bar{rm AP it}} + {bar{rm CP it}} =8`]이다. 사각형 [eqn: rm ABCP`]의 넓이는?

[정답] ②

[해설]

원의 중심을 [eqn: rm O`]라 하자.

두 삼각형 [eqn: rm OAB`]와 [eqn: rmOBC`]는 정삼각형이므로 [eqn: {bar{rm AB it}} = {bar{rm BC it}} =3]

삼각형 [eqn: rmABC`]에서 [eqn: ANGLE rm ABC it = {2pi} over {3}]이므로 삼각형 [eqn: rmABC`]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm AC it}} ^{`2} =3 ^{2} +3 ^{2} -2 TIMES 3 TIMES 3 TIMES cos` {2pi} over {3} =27`]
[eqn: bar{rmAC}=3 sqrt {3} `]

사각형 [eqn: rmABCP`]가 원에 내접하므로

[eqn: ANGLE {rmABC}+angle{rmAPC}=pi`] 즉, [eqn: ANGLE rm APC it = {pi} over {3} `]

[eqn: {bar{rm AP it}} =x`], [eqn: {bar{rm CP it}} =y`]라 하면

삼각형 [eqn: rm ACP`]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: LEFT ( 3 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} =x ^{2} +y ^{2} -2xy`cos {pi} over {3} `]

[eqn: 27= LEFT ( x+y RIGHT ) ^{2} -3xy]

[eqn: x+y=8`]이므로    [eqn: xy= {37} over {3}]

삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 3 TIMES 3 TIMES sin {2pi} over {3} `= {9 sqrt {3}} over {4} `]

삼각형 [eqn: rm ACP`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES x TIMES y TIMES sin {pi} over {3} `= {37 sqrt {3}} over {12} `]

따라서 사각형 [eqn: rmABCP`]의 넓이는

[eqn: {9 sqrt {3}} over {4} + {37 sqrt {3}} over {12} = {16 sqrt {3}} over {3} `]

① [eqn: {13 sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {16 sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: {19 sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: {22 sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: {25 sqrt {3}} over {3}]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 15

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: {4}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]이고 중심이 [eqn: rmO]인 원 위의 세 점 [eqn: rmA ,```` B ,```` C]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: ANGLE rm ABC=120°], [eqn: rm {bar{AB}} + {bar{BC}} =2 sqrt {15}]이므로 [eqn: rm {bar{AB}} =it a,```` {bar{rmBC}} = it b]라 하면 [eqn: a+b = 2root15]	[eqn: cdotscdots] ㉠

위의 그림안의 삼각형 [eqn: rmABC]에서 사인법칙을 이용하면

[eqn: {bar{rm AC}} =8 TIMES sin120 DEG =4 sqrt {3}]	[eqn: cdotscdots] ㉡

또 코사인법칙을 이용하면

[eqn: {bar{rm AC}} ^{2}][eqn: =a ^{2} +b ^{2} -2ab cos120 DEG]
[eqn: =a ^{2} +b ^{2} +ab]
[eqn: = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} -ab]

㉠, ㉡을 대입하면

[eqn: ab= LEFT ( 2 sqrt {15} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 4 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} =12]	[eqn: cdotscdots] ㉢

사각형 [eqn: rmOABC]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S][eqn: = (rmtriangle ABC]의 넓이[eqn: )+( rm triangle OAB]의 넓이[eqn: )]
[eqn: = 1over 2 cdot a cdot b cdot sin 120DEG+ 1over 2 cdot 4 cdot 4 cdot sin 120DEG][eqn: ={1} over {2} LEFT ( 4 TIMES 4+ab RIGHT ) sin120 DEG]
[eqn: =7 sqrt {3}] ([eqn: because] ㉢)

[eqn: ANGLE rm ABC=120°], [eqn: rm {bar{AB}} + {bar{BC}} =2 sqrt {15}]

일 때, 사각형 [eqn: rmOABC]의 넓이는?

① [eqn: 5 sqrt {3}]	② [eqn: {11 sqrt {3}} over {2}]	③ [eqn: 6 sqrt {3}]

④ [eqn: {13 sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: 7 sqrt {3}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 29

그림과 같이 예각삼각형 [eqn: {rmABC}{{from^2020^03^경기고3나^}}]가 한 원에 내접하고 있다. [eqn: {bar{rm AB}} =6]이고, [eqn: ANGLE rm ABC= alpha]라 할 때 [eqn: cos alpha= {3} over {4}]이다. 점 [eqn: rmA]를 지나지 않는 호 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmD]에 대하여 [eqn: {bar{rm CD}} =4]이다. 두 삼각형 [eqn: rm ABD], [eqn: rmCBD]의 넓이를 각각 [eqn: S _{1} ,```` S _{2}]라 할 때, [eqn: S _{1} ``:`` S _{2} =9 ``:`` 5]이다. 삼각형 [eqn: rmADC]의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: S ^{2}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 63 }]

[해설]

[eqn: angle{rmBAD}]와 [eqn: angle{rmBCD}]는 같은 호에 대한 원주각이므로 그 크기가 같다.

[eqn: angle{rmBAD}=angle{rmBCD}=theta ,```` bar{rmAD}=a ,```` bar{rmCB}=b]라 하면

삼각형 [eqn: rmABD]의 넓이 [eqn: S _{1}]은

[eqn: S _{1} = {1} over {2} TIMES {bar{rm AB it}} TIMES {bar{rm AD it}} TIMES sin theta = {1} over {2} TIMES 6 TIMES a TIMES sintheta=3a sintheta]

삼각형 [eqn: rmCBD]의 넓이 [eqn: S _{2}]는

[eqn: S _{2} = {1} over {2} TIMES {bar{rm CB it}} TIMES {bar{rm CD it}} TIMES sin theta = {1} over {2} TIMES b TIMES 4 TIMES sin theta =2b sin theta]

[eqn: S _{1} ``:`` S _{2} =9 ``:`` 5]이므로 [eqn: 3a ``:`` 2b=9 ``:`` 5]

[eqn: a ``:`` b=6 ``:`` 5]이므로 [eqn: a=6k ,```` b=5k LEFT ( k>0 RIGHT )]라고 하자.

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: {bar{rm AC it}} ^{2} =6 ^{2} + LEFT ( 5k RIGHT ) ^{2} -2 TIMES 6 TIMES 5k TIMES cosalpha]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: angle{rmABC}]와 [eqn: angle{rmADC}]는 같은 호에 대한 원주각이므로

[eqn: angle{rmABC}=angle{rmADC}=alpha]

삼각형 [eqn: rmADC]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm AC it}} ^{2} = LEFT ( 6k RIGHT ) ^{2} +4 ^{2} -2 TIMES 6k TIMES 4 TIMES cos alpha]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: 11k ^{2} +9k-20=0], [eqn: LEFT ( 11k+20 RIGHT ) LEFT ( k-1 RIGHT ) =0]

[eqn: k>0]이므로 [eqn: k=1]이고 [eqn: a=6k=6]

[eqn: sin alpha = sqrt {1-cos ^{2} alpha } = sqrt {1- LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2}} = {sqrt {7}} over {4}]

삼각형 [eqn: rmADC]의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S= {1} over {2} TIMES {bar{rm AD it}} TIMES {bar{rm CD it}} TIMES sin alpha = {1} over {2} TIMES 6 TIMES 4 TIMES {sqrt {7}} over {4} =3 sqrt {7}]

따라서 [eqn: S ^{2} = LEFT ( 3 sqrt {7} RIGHT ) ^{2} =63]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 19

그림과 같이 중심이 [eqn: {rmO}{{from^2020^03^경기고3가^}}]이고 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {10}]인 원에 내접하는 예각삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 두 삼각형 [eqn: rmOAB], [eqn: rmOCA]의 넓이를 각각 [eqn: S _{1} ,```` S _{2}]라 하자. [eqn: 3S _{1} =4S _{2}]이고 [eqn: {bar{rm BC}} =2 sqrt {5}]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는?

[정답] ③

[해설]

[eqn: {bar{rm BC}} =2 sqrt {5}], [eqn: {bar{rm OB}} = {bar{rm OC}} = sqrt {10}]이므로 삼각형 [eqn: rmOBC]는 직각이등변삼각형이고 [eqn: ANGLE rm BOC= {pi} over {2}]이다.

[eqn: ANGLE rm AOB= alpha], [eqn: ANGLE rm AOC= beta]라 하면 두 삼각형 [eqn: rmOAB ,```` OCA]의 넓이 [eqn: S _{1} ,```` S _{2}]는 각각

[eqn: S _{1}][eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{2} TIMES sin alpha][eqn: =5 sin alpha]

[eqn: S _{2}][eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{2} TIMES sin beta][eqn: =5 sin beta]

주어진 조건에서 [eqn: 3S _{1} =4S _{2}]이므로

[eqn: sin alpha = {4} over {3} ` sin beta]

[eqn: alpha + beta + {pi} over {2}][eqn: =2pi]이므로 [eqn: beta = {3pi} over {2} - alpha]

[eqn: sin alpha][eqn: = {4} over {3} `sin LEFT ( {3} over {2} pi- alpha RIGHT )][eqn: = it - {4} over {3} ` cos alpha]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: sin ^{2} alpha +cos ^{2} alpha =1]에서 [eqn: {16} over {9} cos ^{2} alpha +cos ^{2} alpha][eqn: =1]

[eqn: cos ^{2} alpha = {9} over {25}]

[eqn: sin alpha >0]이므로 ㉠에서 [eqn: cos alpha <0]

따라서 [eqn: cos alpha = it - {3} over {5}]

코사인법칙에 의하여 구하는 선분 [eqn: rmAB]의 길이는

[eqn: {bar{rm AB}}][eqn: = sqrt {LEFT ( {bar{rm OA it}} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {bar{rm OB it}} RIGHT ) ^{2} -2 TIMES {bar{rm OA it}} TIMES {bar{rm OB it}} cos alpha }]
[eqn: = sqrt {LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{2} TIMES LEFT ( - {3} over {5} RIGHT )}]
[eqn: =4 sqrt {2}]

① [eqn: 2 sqrt {7}]	② [eqn: sqrt {30}]	③ [eqn: 4 sqrt {2}]

④ [eqn: sqrt {34}]	⑤ [eqn: 6]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 17

[eqn: 0<theta< {pi} over {4}]인 임의의 실수 [eqn: theta]에 대하여 그림과 같이 [eqn: bar{rmAB}=3], [eqn: ANGLE {rmABC}=theta], [eqn: ANGLE {rmCAB}=3theta]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmBC] 위에 점 [eqn: rmD]를 [eqn: ANGLE {rmDAC}=theta]가 되도록 잡고, 선분 [eqn: rmAC] 위에 점 [eqn: rmE]를 [eqn: ANGLE {rmEDC}=theta]가 되도록 잡는다. 다음은 삼각형 [eqn: rmADE]의 넓이 [eqn: S LEFT ( theta RIGHT )]를 구하는 과정이다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: ANGLE {rmABC}=theta], [eqn: ANGLE {rmDAB}=2theta]이므로 [eqn: ANGLE {rmBDA}=pi-3theta]이다.

삼각형 [eqn: rmABD]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {{bar{rm AD it}}} over {sin{theta}} = {bar{rmAB}} over {box{ ```` sin LEFT ( pi-3theta RIGHT ) ```` }}]

이므로 [eqn: bar{rmAD}= {3sin{theta}} over {box{ ```` sin LEFT ( pi-3theta RIGHT ) ```` }}]이다.

또한 [eqn: ANGLE {rmEAD}=theta]이고 [eqn: ANGLE {rmADE}=2theta]이므로 [eqn: ANGLE {rmDEA}=pi-3theta]이다.

삼각형 [eqn: rmADE]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rmDE}} over {sin{theta}} = {bar{rmAD}} over {sin LEFT ( pi-3theta RIGHT )} times{bar{rmAD}}=box{ ```` {1} over {3} ```` }times{bar{rmAD}} ^{2}]

이다. 따라서 삼각형 [eqn: rmADE]의 넓이 [eqn: S LEFT ( theta RIGHT )]는

[eqn: S LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {1} over {2} times{bar{rmAD}}times{bar{rmDE}}times{sin LEFT ( ANGLE rmADE RIGHT ) }]
[eqn: = {1} over {6} TIMES LEFT { {3sin theta } over {sin LEFT ( pi -3 theta RIGHT )} RIGHT } ^{3} TIMES sin2 theta]
[eqn: = {9} over {2} TIMES LEFT ( {sin theta } over {sin3 theta } RIGHT ) ^{3} TIMES {BOX{ ```` sin2 theta ```` }}]

이다.

[eqn: LEFT . f LEFT ( theta RIGHT ) =sin LEFT ( pi -3 theta RIGHT ) RIGHT .], [eqn: g LEFT ( theta RIGHT ) =sin2theta], [eqn: p= {1} over {3}]이므로

[eqn: {p}times{f LEFT ( {pi} over {6} RIGHT ) }times{g LEFT ( {pi} over {12} RIGHT ) }][eqn: = {1} over {3} times{sin {pi} over {2} }times{sin {pi} over {6} }]
[eqn: = {1} over {6}]

[eqn: ANGLE {rmABC}=theta], [eqn: ANGLE {rmDAB}=2theta]이므로 [eqn: ANGLE {rmBDA}=pi-3theta]이다.

삼각형 [eqn: rmABD]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rmAD}} over {sin{theta}} = {bar{rmAB}} over {box{ ```` (가) ```` }}]

이므로 [eqn: bar{rmAD}= {3sin{theta}} over {box{ ```` (가) ```` }}]이다.

또한 [eqn: ANGLE {rmADE}=2theta]이므로

[eqn: bar{rmDE}=box{ ```` (나) ```` }times{bar{rmAD}} ^{2}]

이다. 따라서 삼각형 [eqn: rmADE]의 넓이 [eqn: S LEFT ( theta RIGHT )]는

[eqn: S LEFT ( theta RIGHT ) = {9} over {2} times LEFT ( {sin{theta}} over {sin{3theta}} RIGHT ) ^{3} times{box{ ```` (다) ```` }}]

이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]라 하고, (나)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: p{times}f LEFT ( {pi} over {6} RIGHT ) times{g LEFT ( {pi} over {12} RIGHT ) }]의 값은?

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 11

그림과 같이 원에 내접하는 삼각형 [eqn: {rmABC}{{from^2021^7^경찰대^중}}]가 있다. 호 [eqn: rmAB], 호 [eqn: rmBC], 호 [eqn: rmCA]의 길이가 각각 [eqn: 3 ,```` 4 ,```` 5]이고 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: S]일 때, [eqn: {pi ^{2} S} over {9}]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

원의 중심을 [eqn: {rm O]라 하면 [eqn: rm arch { AB} ``:`` arch { BC} ``:`` arch { CA} =3 ``:`` 4 ``:`` 5]이므로

[eqn: rm ANGLE A ``:`` ANGLE B ``:`` ANGLE C = 4 ``:`` 5 ``:`` 3]

그런데. [eqn: rm ANGLE A + ANGLE B + ANGLE C = 180 DEG]이므로

[eqn: rm ANGLE A = { 4 over { 12} TIMES 180 DEG = 60 DEG]

[eqn: rm ANGLE C = { 3} over { 12} TIMES 180 DEG = 45 DEG]

삼각형 [eqn: rm ABC]의 외접원의 둘레의 길이가 [eqn: 12]이므로 외접원의 반지름 [eqn: R]은 [eqn: 2piR = 12]

[eqn: therefore][eqn: R= { 6} over { pi}]

즉, 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 사인법칙에 의해 [eqn: { rm bar { BC} } over { sin 60DEG} = {rm bar { AB} } over { sin45 DEG} = { 12} over { pi}]이므로

[eqn: rm bar { BC}= { 6 sqrt { 3} } over { pi}], [eqn: rm {bar{AB}} = { 6 sqrt { 2} } over { pi}]

[eqn: rm bar { AC}=it x]라 하면 [eqn: rm TRIANGLE ABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar { BC}}^2 = {bar { AB}}^2 + {bar { AC}}^2 -2 CDOT bar { AB} CDOT bar { AC} CDOT cos A]

즉, [eqn: { 108} over { pi^2} = { 72} over { pi^2} + x^2 - 2 CDOT { 6 sqrt { 2} } over { pi} CDOT x CDOT cos 60 DEG]에서

[eqn: x^2 - { 6 sqrt { 2} } over { pi}x- { 36} over { pi^2}=0]

[eqn: therefore][eqn: x= { 3 LEFT ( sqrt { 2}+ sqrt { 6} RIGHT ) } over { pi}]

따라서 [eqn: rm bar { AC}= { 3 LEFT ( sqrt { 2}+ sqrt { 6} RIGHT ) } over { pi}]이므로

[eqn: S][eqn: = { 1} over { 2} CDOT { 6 sqrt { 2} } over { pi}CDOT { 3 LEFT ( sqrt { 2}+ sqrt { 6} RIGHT ) } over { pi }CDOT sin 60 DEG]
[eqn: ={ 27+9 sqrt { 3} } over { pi^2}]

따라서 [eqn: { pi^2 S} over { 9}= 3+ sqrt { 3}]

① [eqn: 2- sqrt {3}]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: 1+ sqrt {3}]

④ [eqn: 2+ sqrt {3}]	⑤ [eqn: 3+ sqrt {3}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 29

[eqn: bar{rmDA}=2bar{rmAB}], [eqn: angle{rmDAB}= {2} over {3} pi]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 내접하는 사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. 두 대각선 [eqn: rmAC], [eqn: rmBD]의 교점을 [eqn: rmE]라 할 때, 점 [eqn: rmE]는 선분 [eqn: rmBD]를 [eqn: 3 ``:`` 4]로 내분한다. 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이가 [eqn: {q} over {p} sqrt {3}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 13 }]

[해설]

[eqn: bar{rmAB}=a]라 하면 [eqn: bar{rmDA}=2a]이다.

삼각형 [eqn: rmDAB]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rmBD}} ^{2}][eqn: =a ^{2} + LEFT ( 2a RIGHT ) ^{2} -2{times}a{times}2a TIMES cos {2} over {3} pi][eqn: =7a ^{2}]이므로 [eqn: bar{rmBD}= sqrt {7} a]이다.

[eqn: bar{rmBE} ``:`` bar{rmED}=3 ``:`` 4]이므로

[eqn: (]삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이[eqn: )][eqn: ``:``][eqn: (]삼각형 [eqn: rmADC]의 넓이[eqn: )]

[eqn: =3 ``:`` 4]

[eqn: angle{rmABC}=theta]라 할 때,

[eqn: (]삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이[eqn: )][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm BA it}} times {bar{rm BC it}} TIMES sin theta]

[eqn: (]삼각형 [eqn: rmADC]의 넓이[eqn: )][eqn: = {1} over {2} {times}bar{rmDA}{times}bar{rmDC}{times}sin LEFT ( pi-theta RIGHT )]

이고

[eqn: (]삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이[eqn: )][eqn: ``:``][eqn: (]삼각형 [eqn: rmADC]의 넓이[eqn: )]

[eqn: =bar{rmBA}{times}bar{rmBC} ``:`` bar{rmDA}{times}bar{rmDC}][eqn: =3 ``:`` 4]

이므로 [eqn: bar{rmBC}= {3} over {2} bar{rmDC}]이다.

[eqn: bar{rmDC}=k]라 하면 [eqn: bar{rmBC}= {3k} over {2}]이고 [eqn: bar{rmBD}= sqrt {7} a], [eqn: angle{rmBCD}= {pi} over {3}]이므로 삼각형 [eqn: rmBCD]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos {pi} over {3} = {LEFT ( {3k} over {2} RIGHT ) ^{2} +k ^{2} - LEFT ( sqrt {7} a RIGHT ) ^{2}} over {2{times} {3k} over {2} {times}k}]이므로 [eqn: k=2a]이고 [eqn: bar{rmBC}=3a], [eqn: bar{rmDC}=2a]이다.

삼각형 [eqn: rmDAB]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 사인법칙에 의하여 [eqn: {sqrt {7} a} over {sin {2} over {3} pi} =2]이므로 [eqn: a= {sqrt {21}} over {7}]이다.

[eqn: (]삼각형 [eqn: rmABD]의 넓이[eqn: )]

[eqn: = {1} over {2} times {sqrt {21}} over {7} times {2 sqrt {21}} over {7} {times}sin {2} over {3} pi]
[eqn: = {3 sqrt {3}} over {14}]

[eqn: (]삼각형 [eqn: rmBCD]의 넓이[eqn: )]

[eqn: = {1} over {2} times {3 sqrt {21}} over {7} times {2 sqrt {21}} over {7} {times}sin {pi} over {3}]

[eqn: = {9 sqrt {3}} over {14}]

이므로 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는 [eqn: {3 sqrt {3}} over {14} + {9 sqrt {3}} over {14} = {6 sqrt {3}} over {7}]이다.

따라서 [eqn: p+q=13]

03 수1	07 삼각함수의 활용
03 삼각형의 넓이
07 넓이7 (넓이관계식)

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고2 06월 30
[출처]	2008 모의_공공 교육청 고2 06월 30

길이가 [eqn: 10`]인 [eqn: rm barAB`]를 지름으로 하는 반원 위에 [eqn: rm TRIANGLE ABC`]의 넓이가 [eqn: 11]이 되도록 점 [eqn: rm C`]를 잡는다. [eqn: rm TRIANGLE ACP`]와 [eqn: rm TRIANGLE BCQ`]의 넓이가 최대가 되도록 [eqn: arch{rm AC it}`], [eqn: arch{rm BC it}] 위에 점 [eqn: rm P`,```Q`]를 정할 때, [eqn: rm TRIANGLE ACP`]와 [eqn: rm TRIANGLE BCQ`]의 넓이의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: 19]

[해설]

원의 중심을 [eqn: rm`O]라 하자. [eqn: rm TRIANGLE ABC]의 넓이가 [eqn: 11]이므로, [eqn: rm ` {1} over {2} bar{AC} ``․`` bar{BC} `=11`,```` bar{AC} ``․`` bar{BC} `=22]… ①

[eqn: rm TRIANGLE ABC]직각삼각형, [eqn: rm ` {barAC} ^{ 2}+`` {bar{BC}} ^2 `={bar{AB}} ^2]… ②

①, ②에서 [eqn: rm ` bar{AC} + bar{BC} =12]              … ③

한편 [eqn: rm bar{AC} BOT bar{OP} `], [eqn: rm bar{BC} BOT bar{OQ} `]일 때, [eqn: TRIANGLE ` rm ACP`]와 [eqn: TRIANGLE ` rm BCQ`]의 넓이가 각각 최대이다.

[eqn: TRIANGLE ` rm ACP`와``` TRIANGLE BCQ]의 넓이의 합의 최댓값은

[eqn: rm □AOCP+□BQCO- TRIANGLE ABC]

[eqn: rm = {1} over {2} TIMES 5 TIMES bar{AC} `+` {1} over {2} TIMES 5 TIMES bar{BC} ``-11]

[eqn: rm = {1} over {2} TIMES 5 TIMES LEFT ( bar{AC} + bar{BC} RIGHT ) ```-11]

[eqn: rm = {1} over {2} TIMES 5 TIMES 12```-11][eqn: =19] ([eqn: BECAUSE `③])

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고2 03월 30

그림과 같이 [eqn: rmbar{AB}=6], [eqn: rm bar{BC} =4], [eqn: rm bar{CA} =5 `]인 삼각형 [eqn: rm ABC `]의 내부의 한 점 [eqn: rm P `]에서 세 변 [eqn: rmBC], [eqn: \CA], [eqn: rm AB `]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm D], [eqn: rm E], [eqn: rm F `]라 한다. [eqn: rm bar{PD} = sqrt {7}], [eqn: rm bar{PE} ={sqrt {7}} over {2} `]일 때, 삼각형 [eqn: rm EFP `]의 넓이는 [eqn: {q } over {p} sqrt{7} `]이다. [eqn: p+q `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold103]

[해설]

[eqn: cosA``=` {6 ^{2} +5 ^{2} -4 ^{2}} over {2 TIMES 6 TIMES 5} = {3} over {4}`]이므로 [eqn: sinA``=` {sqrt {7}} over {4}`]이다.

[eqn: rm ` TRIANGLE ABC`]의 넓이[eqn: = {1} over {2} TIMES 6 TIMES 5 TIMES {sqrt {7}} over {4} = {15` sqrt {7}} over {4}]

[eqn: rm bar{PF} = it x`]라 하면

[eqn: {15` sqrt {7}} over {4}]=[eqn: {1} over {2} LEFT ( 6x``+``4 sqrt {7} ``+` {5 sqrt {7}} over {2} RIGHT )][eqn: THEREFORE ~x`=` {sqrt {7}} over {6}]

[eqn: rm △EFP= {1} over {2} TIMES {sqrt {7}} over {6} TIMES {sqrt {7}} over {2} sin( pi-A)= {7 sqrt {7}} over {96}]

[eqn: THEREFORE ~p+q=103`]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 29

삼각형 [eqn: rmABC]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 71]

[해설]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: bar{rmBC}=ita], [eqn: bar{rmCA}=itb], [eqn: bar{rmAB}=itc]라 하고

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하자.

삼각형 [eqn: rmABC]에서 사인법칙에 의해

[eqn: a=2R`sin`A], [eqn: b=2R`sin`B], [eqn: c=2R`sin`C]

조건 (가)에 의해

[eqn: sin`A= sqrt {1- LEFT ( - {1} over {4} RIGHT ) ^{2}} = {sqrt {15}} over {4}]이므로

[eqn: a= {sqrt {15}} over {2} R]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

조건 (나)에 의해

[eqn: b+c=2R LEFT ( sin`B+sin`C RIGHT ) =2R TIMES {9} over {8} = {9} over {4} R]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: sqrt {15}]이므로

[eqn: {1} over {2} bc`sin`A= {1} over {2} bc TIMES {sqrt {15}} over {4} = sqrt {15}]에서 [eqn: bc=8]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: a ^{2}][eqn: =b ^{2} +c ^{2} -2bc`cos`A]
[eqn: =b ^{2} +c ^{2} + {1} over {2} bc]
[eqn: = LEFT ( b+c RIGHT ) ^{2} - {3} over {2} bc]

㉠, ㉡, ㉢에 의해

[eqn: LEFT ( {sqrt {15}} over {2} R RIGHT ) ^{2} = LEFT ( {9} over {4} R RIGHT ) ^{2} - {3} over {2} TIMES 8]에서 [eqn: R ^{2} = {64} over {7}]이므로

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 넓이는 [eqn: {64} over {7} pi]

따라서 [eqn: p=7], [eqn: q=64]이며 [eqn: p+q=71]

(가) [eqn: cos`A=it- {1} over {4}]

(나) [eqn: sin`B+sin`C= {9} over {8}]

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: sqrt {15}]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 넓이는 [eqn: {q} over {p} pi]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 15

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: R(5<R<5 sqrt{5})]인 원에 내접하는 사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{AD}} it }=k]라 할 때

두 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it], [eqn: {rm{ACD}} it]에서 각각 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos ( angle {rm{ACB}} it )][eqn: ={10^{2}+ overline{{rm{BC}} it }^{2}-k^{2}} over {2 times 10 times overline{{rm{BC}} it }}]
[eqn: ={1} over {20} left( overline{{rm{BC}} it }+{box{``100-k^{2}``}} over { overline{{rm{BC}} it }} right)]

[eqn: cos ( angle {rm{DCA}} it )][eqn: ={10^{2}+ overline{{rm{CD}} it }^{2}-k^{2}} over {2 times 10 times overline{{rm{CD}} it }}]
[eqn: ={1} over {20} left( overline{{rm{CD}} it }+{box{``100-k^{2}``}} over { overline{{rm{CD}} it }} right)]

이다.

이때 두 호 [eqn: {rm{AB}} it], [eqn: {rm{AD}} it]에 대한 원주각의 크기가

같으므로 [eqn: cos ( angle {rm{ACB}} it )= cos ( angle {rm{DCA}} it )]이다.

[eqn: {1} over {20} left( overline{{rm{BC}} it }+{100-k^{2}} over { overline{{rm{BC}} it }} right)={1} over {20} left( overline{{rm{CD}} it }+{100-k^{2}} over { overline{{rm{CD}} it }} right)]

[eqn: overline{{rm{BC}} it }- overline{{rm{CD}} it }= left(100-k^{2} right) times left({1} over { overline{{rm{CD}} it }}-{1} over { overline{{rm{BC}} it }} right)]

[eqn: overline{{rm{BC}} it }- overline{{rm{CD}} it }= left(100-k^{2} right) times { overline{{rm{BC}} it }- overline{{rm{CD}} it }} over { overline{{rm{BC}} it } times overline{{rm{CD}} it }}]

[eqn: overline{{rm{AC}} it }=10<2 R]이므로 [eqn: overline{{rm{BC}} it } neq overline{{rm{CD}} it }]

그러므로 [eqn: overline{{rm{BC}} it } times overline{{rm{CD}} it }=100-k^{2}]

사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 넓이는

두 삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it], [eqn: {rm{BCD}} it]의 넓이의 합과 같으므로

[eqn: {1} over {2} k^{2} sin ( angle {rm{BAD}} it )+{1} over {2} times overline{{rm{BC}} it } times overline{{rm{CD}} it } times sin ( pi- angle {rm{BAD}} it )]

[eqn: ={1} over {2} left{ k^{2}+ left(100-k^{2} right) it right} sin ( angle {rm{BAD}} it )]

[eqn: =50 sin ( angle {rm{BAD}} it )=40]

에서 [eqn: sin ( angle {rm{BAD}} it )=box{``{4} over {5}``}]이다.

삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: { overline{{rm{BD}} it }} over { sin ( angle {rm{BAD}} it )}=2 R]에서 [eqn: overline{{rm{BD}} it }={8} over {5} R]이므로

[eqn: overline{{rm{BD}} it }: R=box{``{8} over {5}``}`: 1]

따라서 [eqn: f(k)=100-k^{2}], [eqn: p={4} over {5}], [eqn: q={8} over {5}]이므로

[eqn: {f(10 p)} over {q}= left(100-8^{2} right) times {5} over {8}={45} over {2}]

∘[eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{AD}} it }]이고 [eqn: overline{{rm{AC}} it }=10]이다.

∘사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 넓이는 [eqn: rm 40]이다.

다음은 선분 [eqn: {rm{BD}} it]의 길이와 [eqn: R]의 비를 구하는 과정이다.

[eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{AD}} it }=k]라 할 때

두 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it], [eqn: {rm{ACD}} it]에서 각각 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos( ANGLErmACB)={1} over {20} LEFT(overlineBC +BOX{``(가)``} OVER OVERLINE BC RIGHT)],

[eqn: rm cos(angle DCA)rm][eqn: rm ={1} over {20} LEFT(overlineCD +BOX{``(가)``} OVER OVERLINE CD RIGHT)]

이다.

이때 두 호 AB, AD에 대한 원주각의 크기가 같으므로

[eqn: rm cos(angleACB)][eqn: rm =cos(angleDCA)]이다.

사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이는

두 삼각형 [eqn: rm ABD], [eqn: rm BCD]의 넓이의 합과 같으므로

[eqn: {1} over {2} k^2sin(angleRMBAD)+{1} over {2} TIMES overline {BC} times overline {CD} times sin(pi-angleBAD)=40]

에서 [eqn: rm sin(angleBAD)=][eqn: box{```(나)```}]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rm ABD]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: OVERLINE {RMBD} `: R=][eqn: box{```(다)```}``:1]이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(k)]라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q]라 할 때, [eqn: {f(10 p)} over {q}]의 값은?

① [eqn: {25} over {2}]	② [eqn: rm 15]	③ [eqn: {35} over {2}]

④ [eqn: rm 20]	⑤ [eqn: {45} over {2}]

03 수1	07 삼각함수의 활용
03 삼각형의 넓이
08 넓이8 (포함과 배제)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 16

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: {1}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에서 선분 [eqn: rmAB]의 연장선과 선분 [eqn: rmAC]의 연장선 위에 [eqn: bar{rm AD} = bar{rm CE}]가 되도록 두 점 [eqn: rmD ,```` E]를 잡는다. [eqn: bar{rm DE} = sqrt {13}]일 때, 삼각형 [eqn: rmBDE]의 넓이는?

[정답] ④

[해설]

[eqn: bar{rm AD} = bar{rm CE} =a][eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]이라 하면 삼각형 [eqn: rmADE]에서 코사인법칙에 의하여 [eqn: LEFT ( sqrt {13} RIGHT ) ^{2} =a ^{2} + LEFT ( a+1 RIGHT ) ^{2} -2a LEFT ( a+1 RIGHT ) cos {pi} over {3}]

[eqn: a ^{2} +a-12=0 ,```` LEFT ( a+4 RIGHT ) LEFT ( a-3 RIGHT ) =0 \]

[eqn: THEREFORE][eqn: a=3]

([eqn: △ rm ADE]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES 4 TIMES 3 TIMES sin {pi} over {3} =3 sqrt {3}]

([eqn: △ rm ABE]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES 4 TIMES 1 TIMES sin {pi} over {3} = sqrt {3}]

따라서

([eqn: △ rm BDE]의 넓이)

[eqn: =]([eqn: △ rm ADE]의 넓이)[eqn: -]([eqn: △ rm ABE]의 넓이)[eqn: =2 sqrt {3}]

① [eqn: sqrt {6}]	② [eqn: 2 sqrt {2}]	③ [eqn: sqrt {10}]

④ [eqn: 2 sqrt {3}]	⑤ [eqn: sqrt {14}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 19

중심이 [eqn: {rm { O }}{{from^2021^9 고2인천^중}}]이고 길이가 [eqn: 10]인 선분 [eqn: rm { AB }]를 지름으로 하는 반원의 호 위에 점 [eqn: rm { P }]가 있다. 그림과 같이 선분 [eqn: rm { PB }]의 연장선 위에 [eqn: rm { bar{PA} `= bar{PC} }]인 점 [eqn: rm { C }]를 잡고, 선분 [eqn: rm { PO }]의 연장선 위에 [eqn: rm { bar{PA} `= bar{PD} }]인 점 [eqn: rm { D }]를 잡는다. [eqn: rm { ANGLE PAB= theta }]에 대하여 [eqn: 4`sin theta =3cos theta]일 때, 삼각형 [eqn: rm { ADC }]의 넓이는?

[정답] ③

[해설]

[eqn: rm { bar{OA} `= bar{OP} }]이므로 [eqn: rm { ANGLE OAP`= ANGLE OPA= theta }]

[eqn: rm { ANGLE APB= {pi } over {2} }]이므로 [eqn: rm { ANGLE CPD= {pi } over {2} - theta }]

[eqn: 4sin theta =3cos theta], [eqn: sin ^{2} theta `+cos ^{2} theta =1]이므로

[eqn: sin ^{2} theta + {16} over {9} `sin ^{2} theta =1], [eqn: sin ^{2} theta = {9} over {25}]

[eqn: 0< theta < {pi } over {2}]이므로 [eqn: sin theta = {3} over {5}], [eqn: cos theta = {4} over {5}]

[eqn: rm { bar{AB} =10 }], [eqn: rm { ANGLE APB= {pi } over {2} }]이므로

[eqn: rm { bar{PA} `=10cos theta `=8 }], [eqn: rm { bar{PA} `= bar{PC} `=` bar{PD} `=8 }]

(삼각형 [eqn: rm { ADC }]의 넓이)

[eqn: =](삼각형 [eqn: rm { PAD }]의 넓이)[eqn: +](삼각형 [eqn: rm { PDC }]의 넓이)

[eqn: -](삼각형 [eqn: rm { PAC }]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} TIMES 8 TIMES 8 TIMES sin theta + {1} over {2} TIMES 8 TIMES 8 TIMES sin LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT )][eqn: - {1} over {2} TIMES 8 TIMES 8]

[eqn: =32sin theta +32cos theta -32]

[eqn: =32 TIMES {3} over {5} +32 TIMES {4} over {5} -32]

[eqn: = {64} over {5}]

① [eqn: {63} over {5}]	② [eqn: {127} over {10}]	③ [eqn: {64} over {5}]

④ [eqn: {129} over {10}]	⑤ [eqn: 13]

03 수1	07 삼각함수의 활용
03 삼각형의 넓이
09 넓이9 (Mm)

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 20

[eqn: {{bar{rmAB}} =5}{{^2020^08^경찰대^중}}], [eqn: {bar{rmBC}} =7], [eqn: {bar{rmAC}} =6]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAC]위에 삼각형 [eqn: rmADE]의 외접원이 선분 [eqn: rmBC]에 접하도록 점 [eqn: rmD], [eqn: rmE]를 각각 잡을 때, 선분 [eqn: rmDE]의 길이의 최솟값은?

[정답] ⑤

[해설]

선분 [eqn: rmDE]가 최소가 될 때는 그림과 같이 수선 [eqn: rmAH]가 원의 지름일 때이다.

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙을 적용하면

[eqn: cos rm A= {25+36-49} over {2times5times6} = {1} over {5}]

따라서 [eqn: sin rm A= {sqrt {24}} over {5}] ([eqn: because][eqn: sin rmA >0])

또, 삼각형의 넓이를 비교하면

[eqn: {1} over {2} times5times6times sin rmA= {1} over {2} times7times {bar{rmAH}}]

이므로 [eqn: {bar{rmAH}} = {6 sqrt {24}} over {7}]

즉, 원은 지름이 [eqn: {bar{rmAH}}]이고, 삼각형 [eqn: rmADE]의 외접원이므로 사인법칙 [eqn: {bar{rmDE}} over { sin rm A} = 2R]에서

[eqn: {bar{rmDE}}][eqn: = {bar{rmAH}} times sin rmA][eqn: =][eqn: {6 sqrt {24}} over {7}][eqn: times {sqrt {24}} over {5}][eqn: = {144} over {35}]

① [eqn: {64} over {15}]	② [eqn: {81} over {20}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: {121} over {30}]	⑤ [eqn: {144} over {35}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 14

길이가 [eqn: rm 14]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위에 점 [eqn: {rm{C}} it]를 [eqn: overline{{rm{BC}} it }=6]이 되도록 잡는다. 점 [eqn: {rm{D}} it]가 호 [eqn: {rm{AC}} it] 위의 점일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: angle {rm{BCA}} it ={ pi} over {2}]이므로

[eqn: cos ( angle {rm{CBA}} it )={ overline{{rm{BC}} it }} over { overline{{rm{AB}} it }}={3} over {7}]

[eqn: sin ( angle {rm{CBA}} it )= sqrt{1- left({3} over {7} right)^{2}}={2 sqrt{10}} over {7}] (참)

ㄴ. [eqn: angle {rm{CBA}} it = theta left(0< theta<{ pi} over {2} right)]라 하면

[eqn: angle {rm{ADC}} it = pi- theta]

[eqn: overline{{rm{AC}} it }= overline{{rm{AB}} it } times sin theta=14 times {2 sqrt{10}} over {7}=4 sqrt{10}]

[eqn: overline{{rm{AD}} it }=k(k>0)]이라 하면

삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: (4 sqrt{10})^{2}=k^{2}+7^{2}-2 times k times 7 times cos ( pi- theta)]

[eqn: =k^{2}+49+14 k cos theta]

[eqn: =k^{2}+6 k+49]

[eqn: k^{2}+6 k-111=0]이므로

[eqn: overline{{rm{AD}} it }=-3+ sqrt{9+111}=-3+2 sqrt{30}]

ㄷ. 삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]의 넓이가 최대일 때 사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 넓이가 최대이므로 점 [eqn: {rm{D}} it]는 선분 [eqn: {rm{AC}} it]의 수직이등분선이 호 [eqn: {rm{AC}} it]와 만나는 점이다. 그러므로 [eqn: overline{{rm{AD}} it }= overline{{rm{CD}} it }]

[eqn: overline{{rm{AD}} it }=x(x>0)]이라 하면 삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]에서 코사인법칙에 의하여 [eqn: (4 sqrt{10})^{2}][eqn: =x^{2}+x^{2}-2 times x times x times cos ( pi- theta)]
[eqn: =2 x^{2}+2 x^{2} times {3} over {7}={20} over {7} x^{2}]

[eqn: x^{2}=56]이므로 [eqn: overline{{rm{AD}} it }=2 sqrt{14}]

사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 넓이의 최댓값은

[eqn: {1} over {2} times overline{{rm{AD}} it } times overline{{rm{CD}} it } times sin ( pi- theta)+{1} over {2} times overline{{rm{AC}} it } times overline{{rm{BC}} it }]

[eqn: ={1} over {2} times(2 sqrt{14})^{2} times {2 sqrt{10}} over {7}+{1} over {2} times 4 sqrt{10} times 6]

[eqn: =8 sqrt{10}+12 sqrt{10}=20 sqrt{10}]	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

(단, 점 [eqn: {rm{D}} it]는 점 [eqn: {rm{A}} it]와 점 [eqn: {rm{C}} it]가 아닌 점이다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: ~ sin ( angle {rm{CBA}} it )={2 sqrt{10}} over {7}] ㄴ. [eqn: overline{{rm{CD}} it }=7]일 때, [eqn: overline{{rm{AD}} it }=-3+2 sqrt{30}] ㄷ. 사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 넓이의 최댓값은 [eqn: 20 sqrt{10}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[준킬러][수학1] 4삼각함수(빠른 정답)
프로젝트	2023.01.06

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ③

[정답] [eqn: bold{ 10]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: bold{ 30]

[정답] ③

[정답] [eqn: bold480]

[정답] [eqn: bold { 14 }]

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ②

[정답] [eqn: 7]

[정답] [eqn: 14]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: -2.18]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 18.93]

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 192 }]

[정답] ③

[정답] ①

[정답] [eqn: bold{50}]

[정답] [eqn: bold27]

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: bold{20}]

[정답] [eqn: 84]

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 50]

[정답] ④

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 36 }]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 27 }]

[정답] [eqn: 15]

[정답] ②

[정답] [eqn: bold26]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ②

[정답] [eqn: 19.39]

[정답] [eqn: 19.39]

[정답] [eqn: 19.39]

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 63 }]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 13 }]

[정답] [eqn: 19]

[정답] [eqn: bold103]

[정답] [eqn: 71]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[준킬러][수학1] 4삼각함수(해설)
프로젝트	2023.01.06