	준킬러수1	[준킬러][수학1] 2지수로그함수1
	02
		프로젝트	2023.01.06

03 수1	03 지수함수
01 지수함수의 그래프
04 지수함수의 그래프4 (평행이동과 넓이)

준킬러수1		프로젝트
		[준킬러][수학1] 2지수로그함수1
02

	프로젝트		준킬러수1
	[준킬러][수학1] 2지수로그함수1		02

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 06월 27

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}], [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} +6 `]과 두 직선 [eqn: y=2x+1], [eqn: y=2x+9 `]로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

[정답] [eqn: 24]

[해설]

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} +6]의 그래프는 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 6`]만큼 평행이동한 것이다.

따라서 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT ( 0,```1 RIGHT ) `]이

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} +6]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT ( 3,```7 RIGHT ) `]로 이동한다. 그러므로 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} +6]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+1]의 교점은 [eqn: LEFT ( 3,```7 RIGHT ) `]이다. [그림1]의 [eqn: A`]부분과 [eqn: B`]부분의 넓이가 서로 같으므로 구하고자 하는 도형의 넓이는 [그림2]와 같이 색칠된 평행사변형의 넓이와 같다. 따라서 구하는 도형의 넓이는 [eqn: 4 TIMES 6=24]이다.

[그림1]	[그림2]

03 수1	03 지수함수
01 지수함수의 그래프
05 지수함수의 그래프의 해석1 (기본)

[출처]	2005 모의_공공 사관학교 고3 07월 23
[출처]	2005 모의_공공 사관학교 고3 07월 23

두 지수함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)] 의 교점에서

[eqn: 9^x + a = b cdot 3^x +2]

[eqn: 3^x =t``] (단, [eqn: t>0])라 하면

[eqn: t^2 -b cdot t +a-2=0``cdotscdots``(1)]

ㄱ. 두 곡선이 서로 다른 두 점에서 만나기 위해서 방정식 (1)은 서로 다른 두 양근을 가져야 한다. 따라서 세 조건

[eqn: D=b^2 -4(a-2)>0``], [eqn: b>0``], [eqn: a-2>0``]

을 만족해야 한다. 그러므로

[eqn: b^2 >4a-8``] (거짓)

ㄴ. 교점의 [eqn: x``]좌표가 [eqn: x`=`log_3 ```2``,``x`=`log_3`` `k```](단, [eqn: k``>``2`])이므로 방정식 (1)의 두 근은 [eqn: 2``]와 [eqn: k``]이다. 근과 계수와의 관계에 의하면

[eqn: 2+k=b,```2k=a-2]

따라서 [eqn: a=2b-2``]이다. (참)

ㄷ. [eqn: 2k=a-2``]([eqn: k>2])이므로

[eqn: a=2k+2>6``] (참)

[eqn: f LEFT (x RIGHT ) = 9^x + a], [eqn: g LEFT (x RIGHT ) = b․3^x + 2 `]

에 대하여 곡선 [eqn: y = f LEFT (x RIGHT ) `]와 곡선 [eqn: y = g LEFT (x RIGHT ) `]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나고 두 교점의 [eqn: x `]좌표가 [eqn: x = log`_3 `2], [eqn: x = log`_3 `k] (단, [eqn: k > 2])일 때, <보기>에서 [eqn: a], [eqn: b `]에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르면?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: b^2 = 4a - 8] ㄴ. [eqn: a = 2b - 2] ㄷ. [eqn: a > 6]

① ㄴ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 06월 9

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]는 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT (x+2 RIGHT ) = f LEFT (x RIGHT )`]를 만족시키고, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | x- {1} over {2} RIGHT | +1][eqn: LEFT (- {1} over {2} LEQ x< {3} over {2} RIGHT )`]이다. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 지수함수 [eqn: y=2 ^{{x} over {n}}`]의 그래프와 함수 [eqn: y = f LEFT (x RIGHT )`]의 그래프의 교점의 개수가 [eqn: 5`]가 되도록 하는 모든 [eqn: n`]의 값의 합은?

[정답] ②

[해설]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+2)=f(x)]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 주기는 2이고

[eqn: f(x)= LEFT | x- {1} over {2} RIGHT | +1``` LEFT ( - {1} over {2} LEQ x< {3} over {2} RIGHT )]

[eqn: =` {cases{x+ {1} over {2}&LEFT ( {1} over {2} LEQ x< {3} over {2} RIGHT )#-x+ {3} over {2}&` LEFT ( - {1} over {2} LEQ x< {1} over {2} RIGHT )}}]

이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와

점[eqn: (n,2)]를 지나는 지수함수 [eqn: y=2 ^{{x} over {n}}]의 그래프를 [eqn: n=1,2,3, CDOTS]일 때 좌표평면 위에 나타내면 아래 그림과 같다.

2

1

[eqn: {3} over {2}]

[eqn: {7} over {2}]

[eqn: {11} over {2}]

[eqn: - {1} over {2}]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: {5} over {2}]

[eqn: {9} over {2}]

[eqn: y=2 ^{x}]

[eqn: y=2 ^{{x} over {2}}]

[eqn: y=2 ^{{x} over {3}}]

[eqn: y=2 ^{{x} over {4}}]

[eqn: y=2 ^{{x} over {5}}]

[eqn: y=2 ^{{x} over {6}}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: O]

[eqn: n=1]일 때, 지수함수 [eqn: y=2 ^{x}]의 그래프와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 교점의 개수는 1개

[eqn: n=2]일 때, 지수함수 [eqn: y=2 ^{{x} over {2}}]의 그래프와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 교점의 개수는 3개

[eqn: n=3]일 때, 지수함수 [eqn: y=2 ^{{x} over {3}}]의 그래프와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 교점의 개수는 3개

[eqn: n=4]일 때, 지수함수 [eqn: y=2 ^{{x} over {4}}]의 그래프와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 교점의 개수는 5개

[eqn: n=5]일 때, 지수함수 [eqn: y=2 ^{{x} over {5}}]의 그래프와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 교점의 개수는 5개

[eqn: n=6]일 때, 지수함수 [eqn: y=2 ^{{x} over {6}}]의 그래프와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 교점의 개수는 7개

이므로 교점의 개수가 5개가 되도록 하는 모든 [eqn: n]의 값의 합은

[eqn: 4+5=9]

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: `13]	⑤ [eqn: 15]

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 10월 10

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: y=f(x)`]와 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} `]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 두 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 6`]이다.

(가) [eqn: -2 LEQ x LEQ 0 `]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )= LEFT | x+1 RIGHT | -1 `]

(나) 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) + f LEFT ( -x RIGHT ) = 0]

(다) 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 2 - x RIGHT ) = f LEFT ( 2 + x RIGHT )]

[eqn: -10 LEQ x LEQ 10 `]에서 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{ x} `]의 그래프의 교점의 개수는?

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 04월 16
[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 04월 16

다음은 어느 지역의 방음벽, 배수로, 도로를 나타낸 평면도이다. 평면도에서 방음벽을 [eqn: x `]축, 방음벽과 수직으로 건설된 배수로를 [eqn: y `]축으로 할 때, 도로의 중앙선은 곡선 [eqn: y=a ^{ x} +2][eqn: LEFT ( a>1 RIGHT ) `]의 일부로 나타내어진다. [eqn: rm bar{AB} = bar{BC} =2 `]를 만족시키는 [eqn: x `]축 위의 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC `]를 지나고 [eqn: x `]축에 수직인 세 직선을 그어 곡선 [eqn: y=a ^{ x} +2 `]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rm E], [eqn: rm F `]라 하자. [eqn: rm bar{AD} = {12} over {5}], [eqn: rm bar{BE} = {9} over {2}], [eqn: rm bar{CF} =ith`]일 때, 상수 [eqn: h `]의 값은?
(단, 방음벽, 배수로, 도로의 중앙선의 폭은 무시한다.)

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 하면 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: k+2], 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: k+4]이다.

[eqn: a ^{k} +2= {12} over {5}]에서 [eqn: a ^{k} = {2} over {5}][eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: a ^{k+2} +2= {9} over {2}]에서 [eqn: a ^{k+2} = {5} over {2}][eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에 의해 [eqn: a ^{2} =left( {5} over {2} `right) ^{2}]이므로 [eqn: a= {5} over {2}]

[eqn: h=a ^{k+4} +2 = LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ` LEFT ( {5} over {2} ` RIGHT ) ^{4} +2= {141} over {8}]

따라서 [eqn: h= {141} over {8}]

① [eqn: {121} over {8}]	② [eqn: {125} over {8}]	③ [eqn: {137} over {8}]

④ [eqn: {141} over {8}]	⑤ [eqn: {155} over {8}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 27

그림과같이 두 함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-1}}{{from^2020^06^부산고2^}}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =4 ^{x-1}]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]([eqn: k>2])가 만나는 점을 각각 [eqn: rmA ,```` B]라 하자. 점 [eqn: rm C it LEFT ( 0 ,```` k RIGHT )]에 대하여 [eqn: {bar{rm AC it}} ``:`` {bar{rmCB}}][eqn: =1 ``:`` 5]일 때, [eqn: k ^{3}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 16 }]

[해설]

양수 [eqn: a]에 대하여 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: -a]라 하면 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 5a]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( -a RIGHT ) =g LEFT ( 5a RIGHT )]이므로 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{-a-1} =4 ^{5a-1}]

[eqn: 2 ^{a+1} =2 ^{10a-2}]이므로 [eqn: a+1=10a-2], [eqn: a= {1} over {3}]

점 [eqn: LEFT ( 5a ,```` k RIGHT )]를 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]에 대입하면 [eqn: k=4 ^{{2} over {3}}]

[eqn: therefore][eqn: k ^{3}][eqn: = LEFT ( 4 ^{{2} over {3}} RIGHT ) ^{3}][eqn: =4 ^{2}][eqn: =16]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 20

그림과 같이 [eqn: 1]보다 큰 두 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 직선 [eqn: y=a]가 두 곡선 [eqn: y=2 ^{x}], [eqn: y= LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하고, 직선 [eqn: y= {1} over {b}]이 두 곡선 [eqn: y=2 ^{x}], [eqn: y= LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmC,~D]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

네 점 [eqn: rmA,~B,~C,~D]의 좌표는 각각 [eqn: rmA LEFT ( log` _{2} `a,~a RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( log` _{{1} over {4}} `a,~a RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( log` _{2} ` {1} over {b} ,~ {1} over {b} RIGHT )], [eqn: rmD LEFT ( log` _{{1} over {4}} ` {1} over {b} ,~ {1} over {b} RIGHT )]이다.

ㄱ. [eqn: a=b]이면
[eqn: rm {bar{AB}} =log` _{2} `a-log` _{{1} over {4}} `a= {3} over {2}` log` _{2} `a]
[eqn: {bar{rmCD}} =log` _{{1} over {4}} ` {1} over {a} -log` _{2} ` {1} over {a} = {3} over {2}` log` _{2} `a]
이므로 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{CD}}] (참)

ㄴ. [eqn: m _{1} = {a- {1} over {b}} over {log` _{2} `a-log` _{2} ` {1} over {b}} = {a- {1} over {b}} over {log` _{2} `ab}]이므로

[eqn: m _{2} = {a- {1} over {b}} over {log` _{{1} over {4}} `a-log` _{{1} over {4}} ` {1} over {b}}][eqn: = {a- {1} over {b}} over {log` _{{1} over {4}} `ab}]
[eqn: =it-2 TIMES {a- {1} over {b}} over {log` _{2} `ab}]
[eqn: =it-2m _{1}]

그러므로 [eqn: 2m _{1} +m _{2} =0] (참)

ㄷ. 직선 [eqn: rmAC]의 기울기를 [eqn: m`` LEFT ( m>0 RIGHT )]이라 하면
직선 [eqn: rmBD]의 기울기는 [eqn: -2m]이고,
직선 [eqn: rmAC]와 직선 [eqn: rmBD]가 서로 수직이므로
[eqn: m TIMES LEFT ( -2m RIGHT ) =it-1], [eqn: m ^{2} = {1} over {2}]에서 [eqn: m= {sqrt {2}} over {2}]
[eqn: {a- {1} over {b}} over {log` _{2} `ab} = {sqrt {2}} over {2}]이므로
[eqn: a- {1} over {b} = {sqrt {2}} over {2}` log` _{2} `ab]	… ㉠
직선 [eqn: rmAD]의 기울기는
[eqn: {a- {1} over {b}} over {log` _{2} `a-log` _{{1} over {4}} ` {1} over {b}} = {a- {1} over {b}} over {log` _{2} `a- {1} over {2}` log` _{2} `b} =2 sqrt {2}]
이므로 [eqn: a- {1} over {b} = sqrt {2} `log` _{2} ` {a ^{2}} over {b}]	… ㉡
㉠, ㉡에 의해
[eqn: {sqrt {2}} over {2} `log` _{2} `ab= sqrt {2}` log` _{2} ` {a ^{2}} over {b}]
[eqn: log` _{2} `ab=log` _{2} ` {a ^{4}} over {b ^{2}}]
[eqn: a ^{3} =b ^{3}]에서 [eqn: a=b]이므로 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{CD}}]
사각형 [eqn: rmABCD]는 평행사변형이고
두 대각선 [eqn: rmAC,~BD]가 서로 수직이므로
사각형 [eqn: rmABCD]는 마름모이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a=b]이면 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{CD}}]이다. ㄴ. 직선 [eqn: rmAC]의 기울기를 [eqn: m _{1}], 직선 [eqn: rmBD]의 기울기를 [eqn: m _{2}]라 하면 [eqn: 2m _{1} +m _{2} =0]이다. ㄷ. 직선 [eqn: rmAC]와 직선 [eqn: rmBD]가 서로 수직이고 직선 [eqn: rmAD]의 기울기가 [eqn: 2 sqrt {2}]이면 사각형 [eqn: rmABCD]는 마름모이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

03 수1	03 지수함수
01 지수함수의 그래프
06 지수함수의 그래프의 해석2 (길이와 넓이)

[출처]	2007 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 13
[출처]	2007 모의_공공 평가원 고3 06월 13

그림과 같이 함수 [eqn: y=8 ^{x}`]의 그래프가 두 직선 [eqn: y=a], [eqn: y=b `]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rm B`]라 하고, 함수 [eqn: y=4 ^{x}`]의 그래프가 두 직선 [eqn: y=a], [eqn: y=b`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rm D `]라 하자. 점 [eqn: rmB `]에서 직선 [eqn: y=a`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmE], 점 [eqn: rmC`]에서 직선 [eqn: y=b `]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmF `]라 하자. 삼각형 [eqn: rmAEB `]의 넓이가 [eqn: 20 `]일 때, 삼각형 [eqn: rmCDF `]의 넓이는?
(단, [eqn: a ＞b＞1`]이다.)

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 [eqn: y=8^x]위의 점이고 [eqn: y]좌표가 각각 [eqn: a, ``b]이므로 [eqn: {rmA`}(`log_8 a ,``a``) ,~{rmB}(log_8 b ,``b``)]

따라서 [eqn: rm △AEB]의 넓이는 [eqn: rm { 1} over {2 } × bar AE` ×` bar BE]

[eqn: ={ 1} over {2 } ×(a-b) ×`(log _8 a -`log _8 b `)][eqn: =20]

즉, [eqn: { 1} over {3 } ×{ 1} over {2 } ×(a-b) ×`(log _2 a -`log _2 b `) =20]

[eqn: { 1} over {2 } ×(a-b) ×`(log _2 a -`log _2 b `) =60]--- ㉠

한편 점 C, D는 [eqn: y=4^x]위의 점이고[eqn: y]좌표  가 각각 [eqn: a, ``b]이므로 [eqn: {rmC}`(`log_4 a ,``a``) ,~{rmD}(log_4 b ,``b``)]

따라서 [eqn: rm △CDF]의 넓이는 [eqn: rm { 1} over {2 } × bar DF` ×` bar FC]

[eqn: ={ 1} over {2 } ×(a-b) ×`(log _4 a -`log _4 b `)]

[eqn: ={ 1} over {2 } ×{ 1} over {2 } ×(a-b) ×`(log _2 a -`log _2 b `)]

[eqn: ={ 1} over {2 } ×60]([eqn: ∵``] ㉠ )[eqn: =30]

① [eqn: 26]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 34]

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고2 11월 20

그림과 같이 함수 [eqn: y=3 · 2 ^{ x}`]의 그래프가 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rmA], 함수 [eqn: y=4 ^{ x}`]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: RMB`]라 하자. 점 [eqn: rmA`]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행하게 그은 직선이 함수 [eqn: y=2 ^{x}`]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm C], 점 [eqn: rm B`]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행하게 그은 직선이 함수 [eqn: y=2 ^{x} `]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm D`]라 할 때, 사각형 [eqn: rm ACDB`]의 넓이는?

[정답] ④

[해설]

[eqn: 3CDOT2^x =4^x], [eqn: 2^x left(2^x -3right)=0], [eqn: x=log_2 3]([eqn: BECAUSE `2 ^{x} >0])이므로 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: LEFT ( log _{`2} `3,``9) RIGHT .]이다. 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmC], [eqn: rmD]의 좌표는 각각
[eqn: left(0,``3)], [eqn: LEFT ( log _{2} `3,``3) RIGHT .], [eqn: LEFT ( 2log _{`2} `3,``9) RIGHT .]이다. 그러므로 사각형 [eqn: rmACDB]는 밑변의 길이가 [eqn: log _{2} `3]이고 높이가 [eqn: 6]인 평행사변형이다.
따라서 사각형 [eqn: rmACDB]의 넓이는 [eqn: 6`log _{2} 3]

① [eqn: 3log _{`2} `3]	② [eqn: 4log _{`2} `3]	③ [eqn: 5log _{`2} `3]

④ [eqn: 6log _{`2} `3]	⑤ [eqn: 7log _{`2} `3]

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고2 09월 21

그림과 같이 지수함수 [eqn: y= LEFT ( root {10} of { 3 } RIGHT ) ^{ x} `]의 그래프가 직선 [eqn: y=3 `]과 만나는 점을 [eqn: rm A `]라 하고, 점 [eqn: rm A `]에서 [eqn: x `]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB `]라 하자. 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB `]를 지나는 원이 지수함수 [eqn: y=a ^{x} `]의 그래프와 직선 [eqn: y=3 `]의 교점 [eqn: rmP `]에서 직선 [eqn: rm OP `]와 접하도록 하는 모든 실수 [eqn: a `]의 값의 곱은?
(단, [eqn: a> root {10} of {3} `])

[정답] ②

[해설]

점 [eqn: rm`A]의 [eqn: y`]좌표가 [eqn: 3`]이므로 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 10`], [eqn: rm `A`(`10`,`3`)`]

점 [eqn: rm`A]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발 [eqn: rm`B`(`10`,`0`)`]

점 [eqn: rm`P`]는 [eqn: y=a ^{x`} `]과 [eqn: y=3`]의 교점이므로 [eqn: rm`P`(`log` _{a} 3`,`3`)`]

삼각형 [eqn: rm `BAP`]는 [eqn: ANGLE rm`A`=`90°`]인 직각삼각형이고 선분 [eqn: RM`BP`]는 원의 지름이다. 직선 [eqn: RM`OP`]와 직선 [eqn: RM`BP`]는 수직이므로 기울기의 곱은 [eqn: -1`]이다. [eqn: {3} over {log` _{a`} 3} TIMES {3} over {log _{a} 3-10} =-1`]

[eqn: LEFT ( log _{a} 3 RIGHT ) ^{2} -10`log` _{a} 3`+9=0`][eqn: LRARROW][eqn: log _{a} 3=1`]또는 [eqn: log _{a} 3=9`]

[eqn: a=3`]또는 [eqn: a=3 ^{{1} over {9} `}][eqn: THEREFORE]모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은 [eqn: 3 ^{{10} over {9}} `]

① [eqn: 3 ^{{8} over {9}} `]	② [eqn: 3 ^{{10} over {9}} `]	③ [eqn: 3 ^{{13} over {9}} `]

④ [eqn: 3 ^{{16} over {9}} `]	⑤ [eqn: 3 ^{{20} over {9}} `]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 06월 17
[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 06월 20
[출처]	2020 일반_기타개인 구분
[출처]	2020 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능특강 대표 기출 문제

그림과 같이 함수 [eqn: y=2^x``]의 그래프 위의 한 점 [eqn: rmA`]를 지나고 [eqn: x``]축에 평행한 직선이 함수 [eqn: y=15 cdot 2^-x``]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rmB`]라 하자. 점 [eqn: rmA`]의 [eqn: x``]좌표를 [eqn: a``]라 할 때, [eqn: 1 < rmbarAB < 100`]을 만족시키는 [eqn: 2`] 이상의 자연수 [eqn: a``]의 개수는?

[정답] ④

[해설]

두 곡선 [eqn: y=2^x``], [eqn: y=15times2^-x``]의 교점의 [eqn: x``]좌표를 [eqn: t``]라 하면

[eqn: 2^t =15times2^-t``]

[eqn: (2^t )^2 =15`], [eqn: 2^t =root15 <4`]

이므로 [eqn: t<2`][eqn: cdotscdots`] ㉠

점 [eqn: {rmA}(a,~2^a )`]과 점 [eqn: rmB`]의 [eqn: y``]좌표가 서로 같으므로

[eqn: 15 times 2^-x =2^a``][eqn: cdotscdots`] ㉡

㉡의 양변에 밑이 [eqn: 2`]인 로그를 취하면

[eqn: log`_2 (15times2^-x )=log`_2`2^a``], [eqn: log`_2`15-x=a``]

[eqn: x=log`_2`15-a``]

이므로 점 [eqn: rmB`]의 [eqn: x``]좌표는 [eqn: log`_2`15-a``]이다.

이때 ㉠에서 [eqn: t<2`]이고, [eqn: a ge 2`]이므로 점 [eqn: rmA`]의 [eqn: x``]좌표가 점 [eqn: rmB`]의 [eqn: x``]좌표보다 크다.

따라서 [eqn: {rmbarAB}=a-(log`_2`15-a)=2a-log`_2`15`]

[eqn: 1< rmbarAB <100`]에서

[eqn: 1 < 2a-log`_2`15 <100`]

[eqn: {1+log`_2`15}over2 <a<{100+log`_2`15}over2`]

이때 [eqn: log`_2`2^3 < log`_2`15 < log`_2`2^4`], 즉 [eqn: 3<log`_2`15 < 4`]이고 [eqn: a``]는 자연수이므로

[eqn: 3 le a le 51`]

따라서 자연수 [eqn: a``]의 개수는

[eqn: 51-3+1=49`]

① [eqn: 40`]	② [eqn: 43`]	③ [eqn: 46`]

④ [eqn: 49`]	⑤ [eqn: 52`]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 06월 18

곡선 [eqn: y=2 ^{x}] 위의 한 점 [eqn: rmP`]에서 [eqn: x `]축, [eqn: y `]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B `]라 하자. 그림과 같이 [eqn: x `]축 위의 점 [eqn: rm C `]와 [eqn: y `]축 위의 점 [eqn: rm D`]에 대하여 두 사각형 [eqn: rm PACE `]와 [eqn: rm PFDB `]가 각각 직사각형이 되도록 점 [eqn: rm E `]와 점 [eqn: rmF `]를 잡는다.
(단, 세 점 [eqn: rmP], [eqn: rm E], [eqn: rmF `]는 제 [eqn: 1 `]사분면 위의 점이다.)

[정답] ③

[해설]

[eqn: rm {bar{BP}} `:` {bar{PE}} `=`1`:`3`]이므로 점 [eqn: rm A,```C`]의 좌표를 각각

[eqn: rm A( it a,````0),```` rm C( it 4a,````0)]이라 하면 점 [eqn: rmP`]의 좌표는 [eqn: ( it a,``2` ^{a} )]이다.

직사각형 [eqn: rm PFDB`]의 넓이는 [eqn: 3 sqrt {2} a]이고 직사각형

[eqn: rm PACE`]의 넓이는 [eqn: 3a·2` ^{a}]이다. 직사각형 [eqn: rm PACE`]의

넓이는 직사각형 [eqn: rm PFDB`]의 넓이의 [eqn: 2`]배이므로

[eqn: 3a·2` ^{a} =3 sqrt {2} a TIMES 2], [eqn: 2 ^{a} =2 sqrt {2}][eqn: THEREFORE ``a= {3} over {2}]

점 [eqn: rm E`]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 4a=4 TIMES {3} over {2} =6`]이다.

<다른 풀이>

[eqn: □` rm PFDB``:``□` rm PACE`=`1``:``2`]이고 [eqn: rm {bar{BP}} `:` {bar{PE}} `=`1`:`3`]이므로

[eqn: rm {bar{PF}} `:` {bar{CE}} `=`1`:` {2} over {3} `]이다. [eqn: rm {bar{PF}} `=`3 sqrt {2}]이므로

[eqn: rm {bar{CE}} = {2} over {3} TIMES 3 sqrt {2} =2 sqrt {2} `]이다. 점 [eqn: rmP`]의 좌표를 [eqn: ( it a,``2` ^{a} )]이라 하면 [eqn: rm {bar{CE}} =it2 ^{a} `]이므로 [eqn: 2 sqrt {2} =2 ^{a} `]이고 [eqn: a= {3} over {2} `]이다.

따라서 점 [eqn: rm E`]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 4a=4 TIMES {3} over {2} =6`]이다.

두 직사각형 [eqn: rm PACE], [eqn: rm PFDB `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: rm {bar{BP}} `:` {bar{PE}} = 1 `:` 3 `]이고, [eqn: rm {bar{PF}} = 3 sqrt {2}`]이다.

(나) 직사각형 [eqn: rm PACE `]의 넓이는 직사각형 [eqn: rm PFDB `]의 넓이의 [eqn: 2 `]배이다.

점 [eqn: rmE `]의 [eqn: x `]좌표는?

① [eqn: 5]	② [eqn: {11} over {2}]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: {13} over {2}]	⑤ [eqn: 7]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 11월 28

그림과 같이 [eqn: a>b>c>1`]인 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]에 대하여
두 곡선 [eqn: y=a ^{x}], [eqn: y=b ^{x}`]과 직선 [eqn: y=8`]이 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B`]라 하고, 두 곡선 [eqn: y=b ^{x}], [eqn: y=c ^{x}`]과 직선 [eqn: y=4`]가 만나는 점을 각각 [eqn: rm C], [eqn: rmD`]라 하자. 사각형 [eqn: rm ACDB`]가 정사각형일 때, [eqn: abc=2 ^{{q} over {p}}`]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold{ 43]

[해설]

정사각형 [eqn: rm ACDB]의 한 변의 길이가 [eqn: 4]이므로

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하면 두 점 [eqn: rm B], [eqn: rm D]의
[eqn: x]좌표는 [eqn: t+4]이다.

네 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]의 [eqn: y]좌표가 각각
[eqn: a ^{t}], [eqn: b ^{t+4}], [eqn: b ^{t}], [eqn: c ^{t+4}]이므로

[eqn: a ^{t} =8], [eqn: b ^{t+4} =8], [eqn: b ^{t} =4], [eqn: c ^{t+4} =4]이다.

[eqn: b ^{t+4} =8], [eqn: b ^{t} =4]에서 [eqn: 4b ^{4} =8][eqn: therefore][eqn: b=2 ^{{1} over {4}}]

[eqn: b ^{t} =4]에서 [eqn: LEFT ( 2 ^{{1} over {4}} RIGHT ) ^{t} =4][eqn: therefore][eqn: t=8]

[eqn: a ^{t} =8]에서 [eqn: a ^{8} =8][eqn: therefore][eqn: a=2 ^{{3} over {8}}]

[eqn: c ^{t+4} =4]에서 [eqn: c ^{12} =4][eqn: therefore][eqn: c=2 ^{{1} over {6}}]

[eqn: abc=2 ^{{3} over {8} + {1} over {4} + {1} over {6}} =2 ^{{19} over {24}}]

따라서 [eqn: p=24], [eqn: q=19]이고 [eqn: p+q=43]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 13
[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 15

곡선 [eqn: {y=2^{ax+b}}{{from^2020^평가원가^3}}]과 직선 [eqn: y=x]가 서로 다른 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]에서 만날 때, 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm C], [eqn: rm D]라 하자. [eqn: rm bar{AB}=6root2]이고 사각형 [eqn: rm ACDB]의 넓이가 [eqn: 30]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: rm A]에서 선분 [eqn: rm BD]에 수선의 발 [eqn: rm H]를 내리면 [eqn: rm triangle ABH]는 직각이등변삼각형이므로 [eqn: rm bar{AH}=rm bar{BH}=6]

점 [eqn: rm C]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: m]이라 하면 점 [eqn: rm A ,````][eqn: rm H ,````][eqn: rm B ,````][eqn: rm D]의 좌표는 각각

[eqn: {rm A} left(m ,```` m right) ,````][eqn: {rm H} left(m+6 ,```` m right) ,````][eqn: {rm B } left(m+6 ,```` m+6 right) ,````]

[eqn: {rm D} left(m+6 ,```` 0 right)]

따라서 사각형 [eqn: rm ACDB]의 넓이는

[eqn: 1over2 times left({bar{rm AC} + bar{rm BD} right)times {bar{rm CD}}]

[eqn: = 1over2 times left{` m+ left(m+6 right) `right} times 6]
[eqn: =6left(m+3 right)]

따라서 [eqn: 6left(m+3 right)][eqn: =30]에서 [eqn: m=2]

즉, 두 점 [eqn: rm A ,````][eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: rm A left(2 ,```` 2 right) ,````][eqn: rm B left(8 ,```` 8 right)]이다.

이때 두 점 [eqn: rm A ,````][eqn: rm B]가 곡선 [eqn: y=2^{ ax+b}]위의 점이므로

식에 대입하면 [eqn: 2^{ 2a+b}=2 ,````][eqn: 2^{ 8a +b}=8]

즉, [eqn: 2a+b=1], [eqn: 8a+b =3]

두 식을 연립하면 [eqn: 6a=2]	[eqn: THEREFORE][eqn: a= 1over3]

따라서 [eqn: b= 1over3]

[eqn: THEREFORE][eqn: a+b= 1over3 + 1over3 = 2over3]

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 5over6]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 18

그림과 같이 두 곡선 [eqn: {y}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}][eqn: =2 ^{x-3} +1]과 [eqn: y][eqn: =2 ^{x-1} -2]가 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하자. 상수 [eqn: k]에 대하여 직선 [eqn: y][eqn: = it -x+k]가 두 곡선 [eqn: y][eqn: =2 ^{x-3} +1], [eqn: y][eqn: =2 ^{x-1} -2]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmB], [eqn: rmC]라 할 때, 선분 [eqn: rmBC]의 길이는 [eqn: sqrt {2}]이다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는?

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: {rm A]는 두 곡선 [eqn: y=2 ^{x-3} +1]과 [eqn: y=2 ^{x-1} -2]가 만나는 점이므로

[eqn: 2 ^{x-3} +1=2 ^{x-1} -2 ,````][eqn: 3 TIMES 2 ^{x-3} =3]에서 [eqn: x=3]

그러므로 점 [eqn: {rm A]의 좌표는 [eqn: {rm A(3 ,```` 2)]

점 [eqn: {rm B]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 하면

점 [eqn: {rm B]의 좌표는 [eqn: {rm B}(a ,```` 2 ^{a-3} +1)]

두 점 [eqn: {rm B ,```` C]는 기울기가 [eqn: -1]인 직선 위의 점이고

[eqn: {rm {bar{BC}} = sqrt {2}]이므로 점 [eqn: {rm C]의 좌표는 [eqn: {rm C}(a-1 ,```` 2 ^{a-3} +2)]

점 [eqn: {rm C]는 곡선 [eqn: y=2 ^{x-1} -2]위의 점이므로

[eqn: 2 ^{a-3} +2=2 ^{a-2} -2 ,````][eqn: 2 ^{a-3} =4]에서 [eqn: a=5]

점 [eqn: {rm B(5 ,```` 5)]는 직선 [eqn: y=-x+k]위의 점이므로 [eqn: k=10]

점 [eqn: {rm A(3 ,```` 2)]와 직선 [eqn: y=-x+10]사이의 거리는

[eqn: {LEFT |`` 3+2-10 ``RIGHT | } over {sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}}} = {5} over {sqrt {2}}]

따라서 삼각형 [eqn: {rm ABC]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES sqrt {2} TIMES {5} over {sqrt {2}} = {5} over {2}]

(단, 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표보다 크다.)

① [eqn: 2]	② [eqn: {9} over {4}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {11} over {4}]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 18

그림과 같이 [eqn: {2}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]보다 큰 실수 [eqn: t]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=2 ^{x}]과 [eqn: y= - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} +t]가 만나는 점을 각각 [eqn: rmA ,```` B]라 하고, 두 곡선 [eqn: y=2 ^{x}], [eqn: y= - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} +t]가 [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmC ,```` D]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rmA ,```` B]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha ,```` beta LEFT ( alpha <0< beta RIGHT )]라 하면

[eqn: alpha ,```` beta]는 방정식 [eqn: LEFT ( 2 ^{x} RIGHT ) ^{2} -t TIMES 2 ^{x} +1=0]의 두 근이므로

[eqn: 2 ^{alpha } +2 ^{beta } =t ,```` 2 ^{alpha } TIMES 2 ^{beta } =1]

따라서 [eqn: alpha + beta =0 ,```` beta = - alpha]

네 점 [eqn: rm A it LEFT ( alpha ,```` 2 ^{alpha } RIGHT ) ,```` rm B it LEFT ( beta ,```` 2 ^{beta } RIGHT ) ,```` rm C LEFT ( 0 ,```` 1 RIGHT ) ,```` rm D LEFT ( 0 ,```` t-1 RIGHT )]에 대하여

ㄱ. [eqn: bar{rm CD} =t-2]	(참)

ㄴ. [eqn: bar{rm AC}][eqn: = sqrt {LEFT ( it - alpha RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -2 ^{alpha } +1 RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {beta ^{2} + LEFT ( 2 ^{beta } -t+1 RIGHT ) ^{2}} = bar{rm BD}]	(참)

ㄷ. [eqn: bar{rm AD}][eqn: = sqrt {alpha ^{2} + LEFT ( 2 ^{alpha } -t+1 RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {LEFT ( it - beta RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -2 ^{beta } +1 RIGHT ) ^{2}} = bar{rm CB}]

[eqn: bar{rm AC} = bar{rm DB}], [eqn: bar{rm AD} = bar{rm CB}]이므로 사각형 [eqn: rmACBD]는 평행사변형이고 두 대각선의 교점을 [eqn: rmE]라 하면
[eqn: bar{rm CE} = bar{rm DE}]이므로 점 [eqn: rmE]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0 ,```` {t} over {2} RIGHT )]

([eqn: △ rm ABD]의 넓이)

[eqn: =]([eqn: △ rm AED]의 넓이)[eqn: +]([eqn: △ rm BDE]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( - alpha RIGHT ) TIMES bar{rm DE} + {1} over {2} TIMES beta TIMES bar{rm DE}]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( {t-2} over {2} RIGHT ) LEFT ( - alpha + beta RIGHT )]

[eqn: = {LEFT ( t-2 RIGHT ) LEFT ( - alpha + beta RIGHT )} over {4} = {beta LEFT ( t-2 RIGHT )} over {2}]

([eqn: △ rm AOB]의 넓이)

[eqn: =]([eqn: △ rm OEA]의 넓이)[eqn: +]([eqn: △ rm OBE]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( - alpha RIGHT ) TIMES bar{rm OE} + {1} over {2} TIMES beta TIMES bar{rm OE}]

[eqn: = {t LEFT ( - alpha + beta RIGHT )} over {4} = {beta t} over {2}]

따라서 삼각형 [eqn: rmABD]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이의 [eqn: {t-2} over {2}]배이다.	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: bar{rm CD} =t-2] ㄴ. [eqn: bar{rm AC} = bar{rm DB}] ㄷ. 삼각형 [eqn: rmABD]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이의 [eqn: {t-2} over {t}]배이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 9

직선 [eqn: y=2x+k]가 두 함수

[정답] ④

[해설]

두 점 [eqn: rm P, ~Q]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: p, ~ q ` `LEFT ( p < q RIGHT )]라 하면

두 점 [eqn: rmP, ~Q]는 직선 [eqn: y =2 x + k] 위의 점이므로

[eqn: rm P LEFT ( it p, ~ 2p + k RIGHT ), ~ rm Q LEFT ( it q, ~ 2q + k RIGHT )]로 놓을 수 있다.

이때, [eqn: rm bar PQ = sqrt 5 ,] 즉 [eqn: rm bar PQ`^2 = 5]이므로 [eqn: LEFT ( q-p RIGHT )^2 + LEFT ( 2 q - 2p RIGHT )^ 2 = 5]

[eqn: LEFT ( q-p RIGHT )^2 = 1]

[eqn: q- p > 0]이므로 [eqn: q-p = 1]

즉, [eqn: q = p+1]이다.

한편, 점 [eqn: rmP]는 함수 [eqn: y= LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^x+3][eqn: +1]의 그래프 위의 점이므로

[eqn: LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^p+3 +1 = 2p + k]	[eqn: cdots cdots] ㉠

점 [eqn: rmQ]는 함수 [eqn: y= LEFT ( 2over 3 RIGHT )^x+1 + 8 over 3]의 그래프 위의 점이므로

[eqn: LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^p+2 + 8 over 3 = 2p + k + 2]	[eqn: cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^p+2 + 8 over 3 = LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^p+3 + 3]

[eqn: LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^p+2 = 1]

[eqn: p+2 = 0 ,] 즉 [eqn: p=it -2]

[eqn: p=it-2]를 ㉠에 대입하면

[eqn: LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^-2+3 + 1= 2 times LEFT ( -2 RIGHT ) + k]

따라서 [eqn: k = 17 over 3]

[eqn: y= LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{x+3} +1,~y= LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{x+1} + {8} over {3}]

의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP,~Q]라 하자. [eqn: rm {bar{PQ}} = sqrt {5}]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: {31} over {6}]	② [eqn: {16} over {3}]	③ [eqn: {11} over {2}]

④ [eqn: {17} over {3}]	⑤ [eqn: {35} over {6}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 9

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=2^{-x+a}], [eqn: y=2^{x}-1]이 만나는 점을 [eqn: {rm{A}} it], 곡선 [eqn: y=2^{-x+a}]이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: {rm{B}} it]라 하자.

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: {rm{B}} it]의 좌표가 [eqn: {rm{B}} it left(0,``2^{a} right)]이므로 [eqn: overline{{rm{OB}} it }=2^{a}]

[eqn: overline{{rm{OB}} it }=3 times overline{{rm{OH}} it }]에서 [eqn: overline{{rm{OH}} it }={2^{a}} over {3}]

점 [eqn: {rm{A}} it]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 하면 [eqn: {rm{A}} it left(k,`` {2^{a}} over {3} right)]

점 [eqn: {rm{A}} it]는 곡선 [eqn: y=2^{-x+a}] 위의 점이므로

[eqn: 2^{-k+a}={2^{a}} over {3}]에서 [eqn: 2^{-k}={1} over {3}], [eqn: 2^{k}=3]

또한 점 [eqn: {rm{A}} it]는 곡선 [eqn: y=2^{x}-1] 위의 점이므로 [eqn: {2^{a}} over {3}=2^{k}-1=3-1=2]에서 [eqn: 2^{a}=6]

따라서 [eqn: a= log _{2} 6]

점 [eqn: {rm{A}} it]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 할 때, [eqn: overline{{rm{OB}} it }=3 times overline{{rm{OH}} it }]이다. 상수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: {rm{O}} it]는 원점이다.)

① [eqn: rm 2]	② [eqn: log _{2} 5]	③ [eqn: log _{2} 6]

④ [eqn: log _{2} 7]	⑤ [eqn: rm 3]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 21

그림과 같이 곡선 [eqn: y=2^{x}] 위에 두 점 [eqn: {rm{P}} it left(a,`` 2^{a} right)], [eqn: {rm{Q}} it left(b,`` 2^{b} right)]이 있다. 직선 [eqn: {rm{PQ}} it]의 기울기를 [eqn: m]이라 할 때, 점 [eqn: {rm{P}} it]를 지나며 기울기가 [eqn: -m]인 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]라 하고, 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 지나며 기울기가 [eqn: -m]인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: {rm{C}} it]라 하자.

[정답] [eqn: 220]

[해설]

위 그림과 같이 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm{D}} it], [eqn: {rm{E}} it]라 하자.

[eqn: overline{{rm{PB}} it }=k]라 하면

[eqn: overline{{rm{AP}} it }][eqn: = overline{{rm{AB}} it }- overline{{rm{PB}} it }][eqn: =4 overline{{rm{PB}} it }- overline{{rm{PB}} it }][eqn: =3 overline{{rm{PB}} it }=3 k]

이고,

[eqn: overline{{rm{CQ}} it }][eqn: =3 overline{{rm{AB}} it }][eqn: =3 times overline{{rm{PB}} it }][eqn: =12 overline{{rm{PB}} it }=12 k]

이므로 [eqn: overline{{rm{AP}} it }: overline{{rm{CQ}} it }=3 k: 12 k=1: 4]

이때 [eqn: TRIANGLE rm PDA it]와 [eqn: TRIANGLE rm QEC it]는 닮음이므로

[eqn: overline{{rm{PD}} it }: overline{{rm{QE}} it }= overline{{rm{AP}} it }: overline{{rm{CQ}} it }=1: 4]

즉, [eqn: 2^{a}: 2^{b}=1: 4]이므로 [eqn: 2^{b}=4 times 2^{a}=2^{a+2}]에서

[eqn: b=a+2]

즉,

[eqn: m={2^{b}-2^{a}} over {b-a}][eqn: ={2^{a+2}-2^{a}} over {(a+2)-a}][eqn: ={3 times 2^{a}} over {2}][eqn: =3 times 2^{a-1}]

이므로 직선 [eqn: {rm{AB}} it]의 방정식은

[eqn: y-2^{a}=-3 times 2^{a-1}(x-a)]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

㉠에 [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: -2^{a}=-3 times 2^{a-1}(x-a)]

[eqn: x=a+{2} over {3}]

즉, 점 [eqn: {rm{A}} it]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: a+{2} over {3}]이다.

이때 원점 [eqn: {rm{O}} it]에 대하여 [eqn: TRIANGLE rm APD it]와 [eqn: TRIANGLE rm ABO it]는 닮음이므로

[eqn: {rm{AO}} it : overline{{rm{DO}} it }={rm{AB}} it : {rm{PB}} it =4: 1]

[eqn: a+{2} over {3}: a=4: 1]

[eqn: a={2} over {9}]

[eqn: b=a+2={2} over {9}+2={20} over {9}]

따라서

[eqn: 90 times(a+b)][eqn: =90 times left({2} over {9}+{20} over {9} right)][eqn: =90 times {22} over {9}][eqn: =220]

[eqn: overline{{rm{AB}} it }=4 overline{{rm{PB}} it }], [eqn: ~ overline{{rm{CQ}} it }=3 overline{{rm{AB}} it }]

일 때, [eqn: 90 times(a+b)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<a<b])

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 21

그림과 같이 [eqn: a>1]인 실수 [eqn: a]에 대하여 두 곡선

[정답] [eqn: 8]

[해설]

[eqn: overline{{rm{OA}} it }: overline{{rm{OB}} it }= sqrt{3}: sqrt{19}]이므로 [eqn: overline{{rm{OA}} it }= sqrt{3} k(k>0)]

이라 하면 [eqn: overline{{rm{OB}} it }= sqrt{19} k]이고 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=4 k]이다.

두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]의 좌표를 각각 [eqn: left(x_{1},`` y_{1} right)], [eqn: left(x_{2},`` y_{2} right)]라

하자. 직선 [eqn: {rm{OA}} it]와 [eqn: x]축이 이루는 예각의 크기가

[eqn: 60 DEG]이므로

[eqn: x_{1}=-{ sqrt{3}} over {2} k], [eqn: y_{1}={3} over {2} k]

따라서 [eqn: {rm{A}} it left(-{ sqrt{3}} over {2} k,`` {3} over {2} k right)]

직선 [eqn: {rm{AB}} it]의 기울기는 [eqn: { sqrt{3}} over {3}]이므로 직선 [eqn: {rm{AB}} it]와

[eqn: x]축이 이루는 예각의 크기가 [eqn: 30 DEG]이다.

[eqn: x_{2}-x_{1}=4 k cos 30 DEG =2 sqrt{3} k]에서

[eqn: x_{2}=x_{1}+2 sqrt{3} k={3 sqrt{3}} over {2} k]

[eqn: y_{2}-y_{1}=4 k sin 30 DEG =2 k]에서

[eqn: y_{2}=y_{1}+2 k={7} over {2} k]

따라서 [eqn: {rm{B}} it left({3 sqrt{3}} over {2} k,`` {7} over {2} k right)]

점 [eqn: {rm{A}} it]는 곡선 [eqn: y=a^{-2 x}-1] 위의 점이므로

[eqn: {3} over {2} k=a^{ sqrt{3} k}-1]에서 [eqn: a^{ sqrt{3} k}={3 k+2} over {2}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

점 [eqn: {rm{B}} it]는 곡선 [eqn: y=a^{x}-1] 위의 점이므로

[eqn: {7} over {2} k=a^{{3 sqrt{3}} over {2} k}-1]에서 [eqn: a^{{3 sqrt{3}} over {2} k}={7 k+2} over {2}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: left({3 k+2} over {2} right)^{3}= left({7 k+2} over {2} right)^{2}]

[eqn: 27 k^{3}-44 k^{2}-20 k=0], [eqn: k(k-2)(27 k+10)=0]

[eqn: k>0]이므로 [eqn: k=2]

따라서 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=4 k=8]

[eqn: y=a^{-2 x}-1], [eqn: y=a^{x}-1]

이 있다. 곡선 [eqn: y=a^{-2 x}-1]과 직선 [eqn: y=- sqrt{3} x]가 서로 다른 두 점 [eqn: {rm{O}} it], [eqn: {rm{A}} it]에서 만난다. 점 [eqn: {rm{A}} it]를 지나고 직선 [eqn: {rm{OA}} it]에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y=a^{x}-1]과 제 [eqn: rm 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: {rm{B}} it]라 하자. [eqn: overline{{rm{OA}} it }: overline{{rm{OB}} it }= sqrt{3}: sqrt{19}]일 때, 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 길이를 구하시오. (단, [eqn: {rm{O}} it]는 원점이다.)

03 수1	03 지수함수
02 지수함수의 최대와 최소
03 Mm3 (치환)

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고2 06월 21
[출처]	2011 모의_공공 교육청 고2 06월 21

두 함수

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(g(x))][eqn: =`f(a ` ^{x} )`][eqn: =`-a` ^{2x} +2a ` ^{x} +1`]

[eqn: =`-(a` ^{x} -1) ^{2} +2`][eqn: (-1` LEQ `x` LEQ `2)`]

[eqn: g(f(x))][eqn: =`a`^f(x)][eqn: =a ^{-x ^{2} +2x+1} `][eqn: =a ^{-(x-1) ^{2} `+2} `][eqn: (-1` LEQ `x` LEQ `2)`]

(ⅰ) [eqn: a`>`1`]일 때,
[eqn: `a` ^{x} `=`t`] ([eqn: t>0`])라 하면
[eqn: f(g(x))][eqn: =`-(t-1) ^{2} +2`][eqn: left( {1} over {a} ` LEQ `t` LEQ `a ^{2} `right)`]
이때, [eqn: 0`<` {1} over {a} `<1`]이고 [eqn: a ^{2} `>`1`]이므로 [eqn: f`(`g`(`x`)`)`]의 최댓값은 [eqn: 2`]이다. 함수 [eqn: g(f(x))][eqn: =a` ^f(x)]은 [eqn: f`(x)]가 최대일 때 최댓값을 갖는다. 따라서 [eqn: x`=`1`]일 때 최댓값 [eqn: a ^{2} `]을 가지므로 [eqn: a ^{2} `=`2`]
∴ [eqn: a`= sqrt {2} `][eqn: ( BECAUSE ~a`>`1)`]

(ⅱ) [eqn: 0`<`a`<`1`]일 때,
[eqn: `a` ^{x} `=`t`] ([eqn: t>0`])라 하면
[eqn: f`(`g(x))][eqn: =`-(t-1) ^{2} +2`][eqn: LEFT ( a ^{2} ` LEQ `t` LEQ ` {1} over {a} ` RIGHT ) `] 이때, [eqn: 0`<`a ^{2} `<1`]이고 [eqn: {1} over {a} `>`1`]이므로 [eqn: f`(`g`(`x`)`)`]의 최댓값은 [eqn: 2`]이다.
함수 [eqn: g(f(x))][eqn: =a` ^f(x)]은 [eqn: f(x)]가 최소일 때 최댓값을 갖는다.
따라서 [eqn: x`=`-1`]일 때 최댓값 [eqn: a ^{-2} `]을 가지므로 [eqn: a ^{-2} `=`2`]
∴ [eqn: a`=` {1} over {sqrt {2}} `=` {sqrt2} over {2} `][eqn: ( BECAUSE ````0`<`a`<`1`)]

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 [eqn: a`]값의 합은 [eqn: sqrt { 2} + sqrt 2 over 2 =][eqn: {3 sqrt {2}} over {2} `]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =`-x ^{ 2} +2x+1], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = a ^{ x}]  ([eqn: a>0], [eqn: a!=1])

이 있다. [eqn: -1 le x le 2 `]에서 두 함수 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )], [eqn: g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )`]의 최댓값이 같아지도록 하는 모든 [eqn: a `]의 값의 합은?

① [eqn: {3 sqrt {2}} over {2} `]	② [eqn: {4 sqrt {2}} over {3}]	③ [eqn: sqrt {2}]

④ [eqn: {2 sqrt {2}} over {3} `]	⑤ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 12

[eqn: a>1]인 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=a^{2 x}+4 a^{x}-2]가 구간 [eqn: [-1,``1]]에서 최댓값 [eqn: rm 10]을 갖는다. 구간 [eqn: [-1,``1]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: a^{x}=t]라 하면 [eqn: {1} over {a} leq t leq a]이고

[eqn: f(x)=t^{2}+4 t-2=(t+2)^{2}-6]

[eqn: t=a]일 때 최댓값 [eqn: a^{2}+4 a-2=10]이므로 [eqn: a=2]

최솟값은 [eqn: t={1} over {a}={1} over {2}]일 때 [eqn: {1} over {4}+2-2={1} over {4}]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: -{1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: -{1} over {2}]	⑤ [eqn: rm 1]

03 수1	03 지수함수
02 지수함수의 최대와 최소
04 Mm4 (여러가지 Mm)

[출처]	2003 모의_공공 교육청 고2 10월 29

지수함수 [eqn: y=4^{x}+4^{-x}-2 left(2^{x}+2^{-x} right)+5]의 최솟값을 구하시오.

[정답] [eqn: 3]

[해설]

함수 [eqn: y=4^{x}+4^{-x}-2 left(2^{x}+2^{-x} right)+5]에서

[eqn: 2^{x}+2^{-x}=X]라 하면

[eqn: 2^{x}+2^{-x} geq 2 sqrt{2^{x} cdot 2^{-x}}=2]이므로 [eqn: X geq 2]이다.

[eqn: 4^{x}+4^{-x}= left(2^{x}+2^{-x} right)^{2}-2 cdot 2^{x} cdot 2^{-x}=X^{2}-2]

[eqn: y= left(X^{2}-2 right)-2 X+5=(X-1)^{2}+2(X geq 2)]

[eqn: therefore~X=2]일 때, 최솟값 [eqn: y=4-4+3=3]. 답 [eqn: rm 3]

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고2 11월 8

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= LEFT (2 ^{x-2} +2 ^{-x} RIGHT ) ^{2} - LEFT (2 ^{x} + 2 ^{2-x} RIGHT )+8 `]의 최솟값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: t=2 ^{x-2} +2 ^{-x}]라 하면 [eqn: t=2 ^{x-2} +2 ^{-x}>=2root{2^x-2 2^-x} =1]이고,

[eqn: 2 ^{x} +2 ^{2-x}=4 LEFT ( 2 ^{x-2} +2 ^{-x} RIGHT ) =4t]이므로

[eqn: f(t)=t ^{2} -4t+8=(t-2) ^{2} +4] (단, [eqn: t >= 1])

그러므로 최솟값은 [eqn: 4]이다.

① [eqn: -8]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 10월 15
[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 10월 15

함수 [eqn: y=3^{ x} `]의 그래프 위의 점 [eqn: rmP LEFT (it alpha ,`` 3 ^{ alpha } RIGHT )`]과 함수 [eqn: y=`-3 ^{ -x} `]의 그래프 위의 점 [eqn: rmQ LEFT (it beta ,`` -3 ^{- beta } RIGHT )`]에 대하여 [eqn: beta - alpha = 4 `]가 성립한다. 그림과 같이 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ`]를 지나고 [eqn: x `]축, [eqn: y `]축과 평행한 직선을 그려 만들어지는 직사각형의 넓이의 최솟값은?

[정답] ⑤

[해설]

직사각형의 가로의 길이는 [eqn: beta - alpha `=`4`]이고, 세로의 길이는 [eqn: 3` ^{alpha } -(`-3` ^{- beta } `)`]이므로 직사각형의 넓이를 [eqn: S`]라 하면

[eqn: S`=][eqn: ` LEFT ( beta - alpha RIGHT )][eqn: LEFT ( `3` ^{alpha } +3` ^{- beta } ` RIGHT )][eqn: `=`4 LEFT ( `3` ^{alpha } +`3` ^{- alpha -4} ` RIGHT )]

[eqn: GEQ 4 TIMES 2 sqrt {3` ^{alpha } ` CDOT `3` ^{- alpha -4}}][eqn: `=` {8} over {9} `]

(단, 등호는 [eqn: alpha =-2], [eqn: beta = 2]일 때 성립)

따라서 직사각형의 넓이의 최솟값은 [eqn: {8} over {9} `]이다.

① [eqn: {2} over {9}]	② [eqn: {2 sqrt {2}} over {9}]	③ [eqn: {4} over {9}]

④ [eqn: {4 sqrt {2}} over {9}]	⑤ [eqn: {8} over {9}]

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고2 09월 19

직선 [eqn: x=a `]와 두 곡선 [eqn: y=2 ^{-x+3} +4], [eqn: y=`-2 ^{x-5} -3 `]의 교점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ `]라 할 때, 선분 [eqn: rm PQ it `]를 대각선으로 하는 정사각형의 넓이의 최솟값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: rm P it `(`a,~2 ^{-a+3} +4`),~ rm Q it `(`a,~-2 ^{a-5} -3)]이므로

[eqn: bar{rm PQ it} =7+2 ^{-a+3} +2 ^{a-5} `]이다. [eqn: 2 ^{-a+3} `>0], [eqn: 2 ^{a-5} `>0] 이므로

산술․기하평균의 관계에 의해

[eqn: bar{rm PQ it} & =7+2 ^{-a+3} +2 ^{a-5}][eqn: GEQ `7+2 sqrt {2 ^{-a+3} 2 ^{a-5}}]

[eqn: =7+2 sqrt {2 ^{-2}} =8] (등호는 [eqn: a=4`]일 때 성립)

따라서 선분 [eqn: rm PQ it] 길이의 최솟값은 [eqn: 8`]이다.

선분 [eqn: rm PQ it]를 대각선으로 하는 정사각형의 한 변의 길이는

[eqn: 4 sqrt {2}] 이다. [eqn: THEREFORE] 정사각형 넓이의 최솟값은 [eqn: 32`]

① [eqn: 32]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 44]	⑤ [eqn: 48]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 09월 29

그림과 같이 곡선 [eqn: y=2 ^{x} `]의 제 [eqn: 1 `]사분면 위의 점 [eqn: rmA `]에서 [eqn: x `]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB `]라 하고, 직선 [eqn: rmAB `]와 곡선 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-4} `]의 교점을 [eqn: rmP`]라 하자. 점 [eqn: rm rmP`]를 지나고 [eqn: x `]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2 ^{x} `]과 만나는 점을 [eqn: rm E], 점 [eqn: rmE `]에서 [eqn: x `]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하자. [eqn: x `]축 위의 두 점 [eqn: rmC `]와 [eqn: rmG `]를 [eqn: rm {bar{AB}} `:` {bar{BC}} = 2 `:` 1], [eqn: rm {bar{EH}} `:` {bar{HG}} = 1 `:` 2 `]가 되도록 잡아 직사각형 [eqn: rmABCD `]와 직사각형 [eqn: rm EFGH `]를 각각 그린다. 이때 직사각형 [eqn: rmABCD `]의 넓이와 직사각형 [eqn: rm EFGH `]의 넓이의 합의 최솟값을 구하시오.

[정답] [eqn: 32]

[해설]

점 [eqn: rm`A]의 좌표를 [eqn: (a,```2 ^{a} )`]라고 하면 [eqn: rm` {bar{AB}} =][eqn: 2 ^{a}]

[eqn: rm bar{AB} ``:`` bar{BC} `=`2``:``1``]이므로 [eqn: rm {bar{BC}}][eqn: =2 ^{a-1}]

따라서 [eqn: rm□ABCD]의 넓이는 [eqn: 2 ^{2a-1}]

점 [eqn: rmP]의 좌표가 [eqn: LEFT ( `a`,````2 ^{4-a} `right) RIGHT .]이므로

점 [eqn: rmE]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 2 ^{4-a}] 즉, [eqn: rm {bar{EH}} =][eqn: 2 ^{4-a}]

[eqn: rm {bar{EH}} ``:`` {bar{HG}} `=`1``:``2`]이므로 [eqn: rm {bar{HG}} it =][eqn: 2 ^{5-a}]

따라서 [eqn: rm □EFGH]의 넓이는 [eqn: 2 ^{9-2a}]

두 직사각형의 넓이의 합은 절대부등식의 성질에 의하여

[eqn: 2 ^{2a-1} +2 ^{9-2a} `][eqn: GEQ 2 sqrt {2 ^{2a-1} `․`2 ^{9-2a} `}][eqn: =2 ^{5} =32`]

[eqn: LEFT ( pile{`#`}]단, 등호는 [eqn: a= {5} over {2}]일 때만 성립[eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )]

그러므로 최솟값은 [eqn: 32]

03 수1	03 지수함수
03 지수방정식과 부등식
03 지수방정식3 (연립방정식)

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고2 06월 27

등식 [eqn: 2 ^x+y +2 ^x + 2 ^y = 1160`]을 만족시키는 자연수 [eqn: x], [eqn: y `]의 값을 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta][eqn: LEFT ( alpha gebeta RIGHT )`]라 할 때, [eqn: alpha beta `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 21`]

[해설]

[eqn: 2`^x+y +2`^x + 2`^y =1160] ⇔ [eqn: 2`^y (2`^x +2`^x-y + 1)=2`^3 cdot 5 cdot 29]

⇔ [eqn: 2`^y-3 (2`^x +2`^x-y + 1)=145]

따라서 [eqn: 2`^y-3 =1], [eqn: 2`^x + 2`^x-y +1 = 145]이어야 한다.

[eqn: 2`^y-3 =1]에서 [eqn: y-3 = 0]이므로 [eqn: y=3]

이때, [eqn: 2`^x + 2`^x-3 +1 = 145]에서

[eqn: 2`^x = 2^7]이므로

[eqn: x=7]

∴ [eqn: alpha `beta = 3 times 7 =21]

[다른 풀이]

[eqn: 2`^x+y +2`^x + 2`^y =1160]에서

[eqn: 2`^x 2`^y +2`^x + 2`^y +1=1161]이므로

[eqn: (2`^x +1 )(2`^y +1)=1161]

이때, [eqn: 1161= 3`^3 cdot 43]이고 [eqn: 2`^x +1], [eqn: 2`^y +1]은 모두 [eqn: 3] 이상인 홀수이다.

(ⅰ) [eqn: 2`^x +1 = 3^2 cdot 43], [eqn: 2`^y +1= 3]일 때,
[eqn: 2`^x =386]인 자연수 [eqn: x]가 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: 2`^x +1 =3 cdot 43], [eqn: 2`^y +1 =3^2]일 때,
[eqn: 2`^x =128]에서 [eqn: x=7]
[eqn: 2` ^{y} =8]에서 [eqn: y=3]

(ⅲ) [eqn: 2`^x +1 =43], [eqn: 2`^y +1 =3^3]일 때,
자연수 [eqn: x, ``y`]가 존재하지 않는다.

∴ [eqn: alpha `beta = 3 times 7 =21]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 06월 28

[eqn: x>1], [eqn: y>1`]일 때, 연립방정식 [eqn: {cases{`` x ^{2} =y ^{3}# ``x ^{ y} =y ^{ x}}}`]의 해를 [eqn: x= alpha], [eqn: y= beta `]라 할 때, [eqn: 16 LEFT ( alpha + beta RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 90]

[해설]

[eqn: {cases{x ^{2} =y ^{3}#x ^{y} =y ^{x}}}] 두 식의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: 2`log`x=3`log`y````]……㉠

[eqn: y`log`x=x`log`y```]……㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: {2`log`x} over {y`log`x} = {3`log`y``} over {x`log`y``} ``]따라서 [eqn: {2} over {y} = {3} over {x}]이므로 [eqn: 2x=3y]

이다. 이 식을 [eqn: x ^{2} =y ^{3} `]에 대입하면 [eqn: x ^{2} = LEFT ( {2} over {3} x RIGHT ) ^{3}][eqn: LRARROW][eqn: x ^{2} = {8} over {27} x ^{3}]

이다. 따라서 [eqn: x= {27} over {8}]이고 [eqn: 2x=3y]에 대입하면 [eqn: y= {9} over {4}]이다. 그러므로 [eqn: 16( alpha + beta )][eqn: =90]이다.

<다른 풀이>

[eqn: x ^{2} =y ^{3} `]에서 [eqn: y=x ^{{2} over {3}}]

이 식을 [eqn: x ^{y} =y ^{x} `]에 대입하여 정리하면 [eqn: x ^{x ^{{2} over {3}}} =x ^{{2} over {3} x}]이다. [eqn: x>1`]이므로 [eqn: x ^{{2} over {3}} = {2} over {3} x]이다. 양변을 세제곱하면[eqn: x ^{2} = {8} over {27} x ^{3} `]이다.

따라서 [eqn: x= {27} over {8}]이고 [eqn: y=x ^{{2} over {3}}]에 대입하면 [eqn: y= {9} over {4} `]이다. 그러므로 [eqn: 16 LEFT ( alpha + beta RIGHT ) =90`]이다.

03 수1	03 지수함수
03 지수방정식과 부등식
04 지수방정식4 (근과 계수의 관계)

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고2 09월 17

지수방정식 [eqn: 3 ^{2x} -k · 3 ^{x+1} +3k+15=0 `]의 두 실근의 비가 [eqn: 1 `:` 2 `]일 때, 실수 [eqn: k`] 의 값은?

[정답] ①

[해설]

방정식 [eqn: 3 ^{2x} `-`k`․`3 ^{x+1} `+3k+15=0`]의 두 실근을 [eqn: alpha `,~2 alpha `]라 하자. [eqn: 3 ^{x} =t``(`t>0`)`]라 하면 [eqn: t ^{2} -3`k`t+3k+15=0`]의 두 실근은 [eqn: 3 ^{alpha } `,~3 ^{2 alpha } `] 따라서 근과 계수와의 관계에 의해서

[eqn: {cases{##}}]	[eqn: 3 ^{alpha } `+`3 ^{2 alpha } =`3k`]	…… ㉠
	[eqn: 3 ^{alpha } `․`3 ^{2 alpha } `=3k+15]	…… ㉡

㉠과 ㉡에 의하여 [eqn: LEFT ( `3 ^{` alpha } ` RIGHT ) ^{3} =3 ^{` alpha } + LEFT ( `3 ^{` alpha } ` RIGHT ) ` ^{2} +15]

[eqn: 3 ^{` alpha } =s``(`s>0`)`]라 하면 [eqn: s ^{3} -s ^{2} -s-15=0]

[eqn: LEFT ( `s-3` RIGHT ) LEFT ( `s ^{2} `+`2s`+`5 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: s=3 ^{` alpha } =3]

[eqn: 3k & =3 ^{` alpha } + LEFT ( 3 ^{` alpha } RIGHT ) ^{2} =3+3 ^{2} =12][eqn: THEREFORE ~k=4]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

03 수1	03 지수함수
03 지수방정식과 부등식
05 지수방정식5 (해석)

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 11월 18

그림과같이 가로줄 [eqn: l _{1}], [eqn: l _{2}], [eqn: l _{3}]과 세로줄 [eqn: l _{4}], [eqn: l _{5}], [eqn: l _{6}]이 만나는 곳에 있는 [eqn: 9]개의 메모판에 모두 [eqn: x]에 대한 식이 하나씩 적혀 있고, 그중 [eqn: 4]개의 메모판은 접착 메모지로 가려져 있다. [eqn: x=a]일 때, 각 줄 [eqn: l _{k}] ([eqn: k=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6])에 있는 [eqn: 3]개의 메모판에 적혀 있는 모든 식의 값의 합을 [eqn: S _{k}]라 하자. [eqn: S _{k}] ([eqn: k=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6])의 값이 모두 같게 되는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은?

[정답] ①

[해설]

	[eqn: l _{4}]	[eqn: l _{5}]	[eqn: l _{6}]
[eqn: l _{1}]	[eqn: 4 ^{ a}]	[eqn: p]	[eqn: -2 ^{ a+1}]	[eqn: S _{1}]
[eqn: l _{2}]	[eqn: q]	[eqn: 2 ^{ a+3} -16]	[eqn: r]	[eqn: S _{2}]
[eqn: l _{3}]	[eqn: -2 ^{ a+1}]	[eqn: 2 ^{ a+3} -16]	[eqn: s]	[eqn: S _{3}]
	[eqn: S _{4}]	[eqn: S _{5}]	[eqn: S _{6}]

그림과 같이 빈 칸에 들어갈 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s]라 하자.

[eqn: S _{1} =S _{4}]이므로 [eqn: q=p]

[eqn: S _{3} =S _{6}]이므로 [eqn: r=2 ^{ a+3} -16]

[eqn: S _{3} =S _{4}]이므로 [eqn: s][eqn: =4 ^{ a} -2 ^{ a+3} +16+p]

	[eqn: l _{4}]	[eqn: l _{5}]	[eqn: l _{6}]
[eqn: l _{1}]	[eqn: 4 ^{ a}]	[eqn: p]	[eqn: -2 ^{ a+1}]	[eqn: S _{1}]
[eqn: l _{2}]	[eqn: p]	[eqn: 2 ^{ a+3} -16]	[eqn: 2 ^{ a+3} -16]	[eqn: S _{2}]
[eqn: l _{3}]	[eqn: -2 ^{ a+1}]	[eqn: 2 ^{ a+3} -16]	[eqn: 4 ^{ a} -2 ^{ a+3} +16+p]	[eqn: S _{3}]
	[eqn: S _{4}]	[eqn: S _{5}]	[eqn: S _{6}]

[eqn: S _{1}][eqn: =S _{3}][eqn: =S _{4}][eqn: =S _{6}][eqn: =4 ^{ a} -2 ^{ a+1} +p]

[eqn: S _{2}][eqn: =S _{5}][eqn: =2 ^{ a+4} -32+p]이므로

[eqn: 4 ^{ a} -2 ^{ a+1} +p=2 ^{ a+4} -32+p]

[eqn: LEFT ( 2 ^{ a} RIGHT ) ^{2} -18 TIMES 2 ^{ a} +32=0], [eqn: LEFT ( 2 ^{ a} -2 RIGHT ) LEFT ( 2 ^{ a} -16 RIGHT ) =0]

[eqn: 2 ^{ a} =2] 또는 [eqn: 2 ^{ a} =16]

[eqn: therefore][eqn: a=1] 또는 [eqn: a=4]

따라서 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 5]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

03 수1	03 지수함수
03 지수방정식과 부등식
06 지수부등식1 (기본)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 19

부등식 [eqn: LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{m} ge LEFT ( 3-2 sqrt {2} RIGHT ) ^{5-n}]을 만족시키는 자연수 [eqn: m ,```` n]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( m ,```` n RIGHT )]의 개수는?

[정답] ④

[해설]

[eqn: p= sqrt {2} -1]이라 하면 [eqn: p ^{2} =3-2 sqrt {2}]이고 [eqn: LEFT ( p ^{2} RIGHT ) ^{5-n} =p ^{10-2n}]이므로 [eqn: p ^{m} gep ^{10-2n}]이다.

[eqn: 0<p<1]이므로 [eqn: m{le}10-2n]이다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: 1{le}m{le}8]

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때, [eqn: 1{le}m{le}6]

(ⅲ) [eqn: n=3]일 때, [eqn: 1{le}m{le}4]

(ⅳ) [eqn: n=4]일 때, [eqn: 1{le}m{le}2]

(ⅴ) [eqn: n{ge}5]일 때, 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: m]은 존재하지 않는다.

따라서 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: m ,```` n]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( m ,```` n RIGHT )]의 개수는 [eqn: 8+6+4+2=20]

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

03 수1	03 지수함수
03 지수방정식과 부등식
09 지수부등식4 (해의 조건)

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고2 09월 21

두 집합

[정답] ③

[해설]

[eqn: A`=` LEFT { `x` LEFT | `` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x+2} `<` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x ^{2}} RIGHT } = LEFT { x``|`x+2>x ^{2} RIGHT } RIGHT .][eqn: = LEFT { `x`|`-1<x<2 RIGHT } `]

[eqn: B``=` LEFT { `x`|`2 ^{|x-2|} ` LEQ `2 ^{a} ` RIGHT } =` LEFT { `x`|``|x-2|` LEQ `a` RIGHT }]

[eqn: = LEFT { `x`|``2-a LEQ x LEQ 2+a RIGHT } `], [eqn: A` SMALLINTER`B``=`A`]이므로 [eqn: A SUBSET B``]이다.

그러므로 [eqn: 2-a LEQ`-1`]이고 [eqn: 2 LEQ 2+a]이다.

즉, [eqn: 3LEQ a]이다. [eqn: THEREFORE][eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 3]이다.

[eqn: A`=LEFT { pile{`#`} x` LEFT | pile{`#`} ` LEFT ( { 1} over {3 } RIGHT )^{x+2} < LEFT ( { 1} over { 3} RIGHT )^{x^{2}} ` RIGHT . RIGHT }], [eqn: B`=LEFT { x` LEFT | `2^{ LEFT | x-2 RIGHT | } LEQ 2^{a}` RIGHT . RIGHT }`]

에 대하여 [eqn: A` SMALLINTER B` = A` `]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: a `]의 최솟값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고2 06월 28

두 집합

[정답] [eqn: 3]

[해설]

[eqn: x ^{2} -(a+b)x+ab<0`][eqn: LRARROW][eqn: (x-a)(x-b)<0`], [eqn: a<b`]이므로 [eqn: a<x<b`][eqn: THEREFORE ````][eqn: A= LEFT { x`□``a<x<b RIGHT } `]

한편, [eqn: 2 ^{2`x+2} -9`․`2 ^{x} +2<0`][eqn: LRARROW][eqn: 4(2` ^{x} ) ^{2} -9`․`2` ^{x} +2<0`]

[eqn: LRARROW][eqn: (4``․`2` ^{x} -1)(2 ^{`x} -2)<0`][eqn: LRARROW][eqn: {1} over {4} <2` ^{x} <2`], [eqn: 2 ^{-2} <2` ^{x} <2 ^{1}]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: B= LEFT { x`□``-2``<x<1 RIGHT }]

[eqn: A SUBSET B`]이므로

[eqn: -2 LEQ a<b LEQ 1] 따라서 [eqn: b-a`]의 최댓값은 [eqn: 1-(-2)=3]

[eqn: A`=LEFT { x` LEFT | `x^{2}- LEFT ( a+b RIGHT )x+ab<0 ` RIGHT . RIGHT }`]
[eqn: B`=LEFT { x` LEFT | `2^{2x+2}-9·2^{x}+2<0` RIGHT . RIGHT }`]

에 대하여 [eqn: A` SUBSET B` `]일 때, [eqn: b-a `]의 최댓값을 구하시오.
(단, [eqn: a<b `]이다.)

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고2 06월 27

두 집합 [eqn: A`=LEFT { x` LEFT | `x<3` RIGHT . RIGHT }`]와

[정답] [eqn: 112]

[해설]

[eqn: 2 ^{2x} +3 `·`2 ^{x+1} -a = (2^x -8)(2^x +14)][eqn: <0] 양변을 비교하면

[eqn: -a = -112] ∴ [eqn: a=112]

<다른 풀이>

[eqn: 2 ^{2x} +3 `·`2 ^{x+1} -a<0]에서 [eqn: 2^x = t]([eqn: t>0])라 하면 집합 [eqn: A]에서 [eqn: 0<t<8], 집합 [eqn: B]에서 [eqn: t^2 + 6t -a<0][eqn: (t>0)]

함수 [eqn: f(t) = t^2 +6t -a]([eqn: t>0])의 그래프에 대하여 [eqn: t]축 보다 아래에 있는 [eqn: t]값의 범위가 [eqn: 0<t<8]이 되기 위해서는 [eqn: f(8) =0]이어야 한다. [eqn: f(8 ) = 64+48-a =0] ∴ [eqn: a=112]

[eqn: B`=LEFT { x` LEFT | `2^{2x}+3·2^{x+1}-a<0` RIGHT . RIGHT }`]

에 대하여 [eqn: A` = B` `]가 되도록 하는 실수 [eqn: a `]의 값을 구하시오.

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 04월 26

[eqn: x`]에 대한 부등식 [eqn: LEFT (3 ^{x+2} -1 RIGHT ) LEFT (3 ^{x-p} -1 RIGHT ) LEQ 0`]을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 20`]일 때, 자연수 [eqn: p `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 17]

[해설]

주어진 부등식의 양변에 [eqn: 3 ^{-2} times3 ^{p}]을 곱하면

[eqn: LEFT ( 3 ^{x} -3 ^{-2} RIGHT ) LEFT ( 3 ^{x} -3 ^{p} RIGHT ) LEQ 0]

[eqn: p`]가 자연수이므로 [eqn: 3 ^{-2} LEQ 3 ^{x} LEQ 3 ^{p}][eqn: therefore][eqn: -2 LEQ x LEQ p]

[eqn: -2 LEQ x LEQ p`]를 만족시키는 정수 [eqn: x`]는 [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: cdots`], [eqn: p]

이때, 정수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: p+3=20] 따라서 [eqn: p=17]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 28

[eqn: {x}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]에 대한 부등식

[정답] [eqn: bold{12}]

[해설]

[eqn: LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x} -(3n+16) TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} +48n LEQ 0]

[eqn: left{` left({1}over{2} right)^{x}-3n `right} left{` left({1}over{2} right)^{x}-16 `right} le0]

(ⅰ) [eqn: 3n le 16]일 때,
[eqn: 3n le left({1}over{2} right)^{x} le 16]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하려면 [eqn: 2^{2} <3n le 2^{3}], [eqn: n=2]

(ⅱ) [eqn: 3n >16]일 때,
[eqn: 16 le left({1}over{2} right)^{x} le 3n]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하려면 [eqn: 2^{5} le 3n <2^{6}], [eqn: n=11], [eqn: 12], [eqn: cdots], [eqn: 21]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 12]

[eqn: LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x} -(3n+16) TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} +48n LEQ 0]

을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 개수를 구하시오.

03 수1	03 지수함수
04 지수함수의 활용
01 활용1 (부등식과 그래프)

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고2 09월 11

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: left( 1over3 right)^f(x) GEQ left( 1over3 right)^3][eqn: LRARROW][eqn: f(x) LEQ 3~ CDOTS ㉠]

[eqn: -2 LEQ x LEQ 2]에서 ㉠의 해는 [eqn: - log_2``3 LEQ x LEQ log_2``3 ~cdots㉡]

㉡에서 정수 [eqn: x=-1,``0,``1]이므로

[eqn: -10 LEQ x LEQ 10]에서 ㉠의 해 중 정수는

[eqn: x=-9,``-8,``-7,``-5,``-4,``-3,``-1,``0,``1,``][eqn: 3,``4,``5,``7,``8,``9]

따라서 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 15]

(가) [eqn: 0≤x≤2 `]일 때, [eqn: f LEFT (x RIGHT )=2^x`]

(나) 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=f LEFT (-x RIGHT )`]

(다) 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=f LEFT (x+4 RIGHT )`]

[eqn: -10≤x≤10 `]에서 부등식 [eqn: LEFT ( { 1} over {3 } RIGHT )^{f LEFT (x RIGHT )} - { 1} over { 27}≥0 `]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x `]의 개수는?

① [eqn: 9]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 17]

03 수1	03 지수함수
04 지수함수의 활용
02 활용2 (지수방정식의 실근 조건, 치환)

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고2 11월

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= { 2^{ LEFT [ x RIGHT ] }+2^{LEFT [ -x RIGHT ]}} over { 2}`]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: LEFT [ 1over2 RIGHT ]=0], [eqn: LEFT [- 1over2 RIGHT ]=-1]이므로

[eqn: f LEFT (1over2 RIGHT )= { 2^0 +2^-1} over {2 }= { 1+ 1over2} over { 2}= 3over4] (참)

ㄴ. [eqn: x]가 정수이고 [eqn: 2^x >0], [eqn: 2^{-x}>0]이므로

[eqn: f(x)= { 2^x +2^-x} over {2 } GEQ sqrt { 2^x `․`2^-x }=1] (단 등호는 [eqn: x=0]일 때, 성립한다.) (참)

ㄷ. [eqn: 1<x<2], [eqn: -2<x< -1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)= { 2+ 1over4} over {2 }= { 9} over {8 }]이다.

따라서 방정식의 해는 무수히 많다. (거짓)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT ( 1over2 RIGHT )= 3over4] ㄴ. [eqn: x`]가 정수이면 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) GEQ1`]이다. ㄷ. 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= 9over8`]의 해의 개수는 [eqn: 2`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2013 모의_공공 경찰대 고3 07월 24

지수방정식 [eqn: 9^{x}-2(a+4) 3^{x}-3 a^{2}+24 a=0]의 서로 다른 두 근이 모두 양수가 되도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: rm 19]

[해설]

[eqn: 3^{x}=t]라 할 때, 주어진 방정식은

[eqn: t^{2}-2(a+4) t-3 a^{2}+24 a=0 ~]	[eqn: CDOTSCDOTS]㉠

[eqn: x]가 양수일 때, [eqn: t>1]이므로 방정식 ㉠의 서로 다른 해는 모두 [eqn: rm 1]보다 커야한다.

따라서 방정식 ㉠의 판별식을 [eqn: D]라 할 때 [eqn: D>0]이고, [eqn: f(t)=t^{2}-2(a+4) t-3 a^{2}+24 a]라 할 때

[eqn: f(1)>0], 이차함수 [eqn: f(t)]의 축 [eqn: x=a+4>1]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: D=(a+4)^{2}- left(-3 a^{2}+24 a right)>0]에서
[eqn: 4 a^{2}-16 a+16>0]
[eqn: 4(a-2)^{2}>0]
따라서 [eqn: a neq 2]인 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 위 부등식이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: f(1)=1-2(a+4)-3 a^{2}+24 a>0]에서
[eqn: 3 a^{2}-22 a+7<0]
[eqn: (3 a-1)(a-7)<0]
[eqn: therefore~{1} over {3}<a<7]

(ⅲ) [eqn: a+4>1]에서 [eqn: a>-3]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: {1} over {3}<a<7]이다.

따라서 정수 [eqn: a]는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이다.

따라서 구하는 합은 [eqn: 1+3+4+5+6=19]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 09월 28

두 지수함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=4 ^{ x}], [eqn: g LEFT (x RIGHT )=3 · 2 ^{ x+1} -k `]의 그래프가 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rm B `]에서 만난다. 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rm B `]의 [eqn: x `]좌표를 각각 [eqn: a], [eqn: b `]라 할 때, [eqn: ab<0 `]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: k `]의 값의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: 10]

[해설]

[eqn: a`,```b][eqn: (a<b)]는 방정식 [eqn: 4 ^{x} =3·2 ^{x+1} -k]의 근이므로 [eqn: 2 ^{x} =t]([eqn: t>0])

이라 하면 [eqn: t ^{2} -6t+k=0]의 두 근 [eqn: 2 ^{a}], [eqn: 2 ^{b}]은 [eqn: 0<2 ^{a} <1<2 ^{b}]

[eqn: h(t)=t ^{2} -6t+k]라 하면 [eqn: h(0)=k>0], [eqn: h(1)=k-5<0]

따라서 [eqn: 0<k<5]

그러므로 만족하는 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 10]

03 수1	03 지수함수
04 지수함수의 활용
03 활용3 (지수방정식의 실근 조건, 그래프로 해석)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 13

[eqn: {a>1}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]인 실수 [eqn: a]에 대하여 좌표평면에 두 곡선

[정답] ②

[해설]

ㄱ. [eqn: x=`-1]을 대입하면 [eqn: LEFT | a ^{0} -1 RIGHT | =0]	(참)

ㄴ. [eqn: x< it -1]인 곳에서는 교점이 반드시 생긴다.
[eqn: x>0]인 곳에서 교점을 조사해 보면,
[eqn: a ^{x} =1-a ^{x-1}], [eqn: a ^{x} +a ^{-x-1} =1]
이때 산술 기하 평균에서 [eqn: a ^{x} +a ^{-x-1} GEQ 2 sqrt {a ^{-1}}]이므로 [eqn: a=4]일 때 등호 성립조건에 부합한다.
따라서 [eqn: 4 ^{x} =4 ^{-x-1}] 즉, [eqn: x=`- {1} over {2}]에서 접한다.
그러므로 두 점에서 만난다.	(참)

ㄷ. [eqn: x< -1]에서의 교점은 [eqn: -2]보다 크고 [eqn: -1]보다 작다.
[eqn: x>-1]에서의 교점은 [eqn: a ^{x} =1-a ^{x-1}]을 풀어보면
[eqn: t=1- {1} over {a {t}}] ([eqn: because][eqn: a^x =t]로 치환) 즉, [eqn: at ^{2} -at+1=0]
이때 [eqn: a ^{alpha } TIMES a ^{beta } = {1} over {a} =a ^{-1}]이므로 두 근의 합은 [eqn: -1]이다.
따라서 모든 교점의 합은 [eqn: -3]과 [eqn: -2]사이이다.	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: y=a^{x}], [eqn: y= ``|`` a^{-x-1}-1 ``|``]

이 있다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 곡선 [eqn: y= ``|`` a^{-x-1}-1} ``|``]은 점 [eqn: (-1 ,```` 0)]을 지난다. ㄴ. [eqn: a=4]이면 두 곡선의 교점의 개수는 [eqn: 2]이다. ㄷ. [eqn: a>4]이면 두 곡선의 모든 교점의 [eqn: x]좌표의 합은 [eqn: -2]보다 크다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

03 수1	03 지수함수
04 지수함수의 활용
04 활용4 (부등식의 성립조건)

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 07월 26

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식 [eqn: k TIMES 2 ^{x} LEQ 4 ^{x} -2 ^{x} +4`]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: k `]값의 범위는?

[정답] ④

[해설]

[eqn: f(x)=(2^x`)^2`-(k+1)2^x`+4>=0]

[eqn: g({t})={t}^2`-(k+1){t}`+4>=0] ([eqn: t=2^x`>0])

(1) [eqn: y=g({t})]의 대칭축이 양수 일 때,

[eqn: -1<k<=3]

(2) [eqn: y=g({t})]의 대칭축이 음수 일 때,

[eqn: k< -1]

(3) [eqn: k=-1]일 때, [eqn: g({t})={t}^2`+4>0]

(1), (2), (3)에서 [eqn: k<=3]

① [eqn: k LEQ -1]	② [eqn: -4 LEQ k LEQ 3]	③ [eqn: -1 LEQ k LEQ 3]

④ [eqn: k LEQ 3]	⑤ [eqn: k GEQ 0]

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고2 06월 28
[출처]	2011 모의_공공 교육청 고2 06월 28

모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 지수부등식

[정답] [eqn: 25`]

[해설]

[eqn: 5`^x =t] ([eqn: t>0])라 하면 [eqn: t^2 -k`t +2`k +5 ≥0]

[eqn: LRARROW][eqn: t ^{2``} +5 geq`k(t-2)], [eqn: f(t)=t^2 +5], [eqn: g(t)=k(t-2)]라 하면

[eqn: t>0]인 모든 [eqn: t]에 대하여 [eqn: f(t) ge g(t)]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: y = g(t)]의 그래프가 점 [eqn: (0, ````5)]를 지날 때,
[eqn: 5=k(0-2)]에서 [eqn: k = `- 5 over 2]

(ⅱ) 두 함수 [eqn: f(t)], [eqn: g(t)]의 그래프가 접할 때,
방정식 [eqn: t^2 -k`t +2`k +5 =0]이 중근을 가지므로

판별식 [eqn: D = k^2 -8k` -20 =0]에서 [eqn: (k-10)(k+2)=0]
∴ [eqn: k= 10`] 또는 [eqn: k=`-2] 이때, [eqn: k>0]이므로 [eqn: k=10]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: - 5over2 le k le10] ∴ [eqn: | `alpha ` beta `|= LEFT |` - {5} over {2} times10 `RIGHT | =25`]

<다른 풀이>

지수부등식 [eqn: 5^2x -k cdot 5`^ x +2k +5 ≥ 0`]에서

[eqn: 5`^x =t] ([eqn: t>0])로 놓으면 [eqn: t^2 -k`t +2k +5 ≥0]

[eqn: f(t)=t^2 -k`t +2k +5][eqn: =LEFT ( t - k over 2 RIGHT ) ^2 - 1 over 4 k`^2 +2k +5] ([eqn: t>0])

라 하면 꼭짓점의 [eqn: t]좌표는 [eqn: k over 2]이다.

(ⅰ) [eqn: k over 2 >0]일 때,
[eqn: - 1 over 4 k^2 +2k+5 ≥0]이어야 하므로 [eqn: k^2 -8k -20 le 0]
∴ [eqn: -2 le k le 10]
그런데, [eqn: k>0]이므로 [eqn: 0<k le 10]

(ⅱ) [eqn: k over 2 le 0]일 때,
[eqn: f(0)≥0]이어야 하므로 [eqn: 2k+5 ≥ 0][eqn: LRARROW][eqn: k≥ - 5 over 2]
그런데, [eqn: k≤ 0]이므로 [eqn: - 5 over 2 le k le 0]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: - 5 over 2 le k le 10] ∴ [eqn: |` alpha` beta`| = LEFT | ` - 5 over 2 times 10 `RIGHT | = 25]

[eqn: 5^2x GEQ k · 5 ^x -2k-5 `]

가 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: k `]의 값의 범위는 [eqn: alpha LEQ k LEQ beta `]이다. [eqn: LEFT | alpha beta RIGHT | `]의 값을 구하시오.

03 수1	03 지수함수
04 지수함수의 활용
05 활용5 (그래프를 이용한 대소 비교)

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 03월 10

그림은 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )=2 ^x -1 `]의 그래프와 직선 [eqn: y=x `]이다. 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위에 임의로 두 점을 잡아 그 두 점의 [eqn: x `]좌표를 각각 [eqn: a], [eqn: b][eqn: LEFT (0<a<b RIGHT ) `]라 할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

[정답] ③

[해설]

ㄱ. 곡선 [eqn: y=f`(x)`]와 직선 [eqn: y=x`]는 점 [eqn: (1,1)]에서 만나므로 오른쪽 그림에서

[eqn: 0`<`a`<`1`]이면 [eqn: f`(a)`<`a`]이고,

[eqn: a`>`1`]이면 [eqn: f`(a)`>`a`]이다. (참)

ㄴ. 직선 [eqn: rm AB]의 기울기는

[eqn: {f`(b)-f`(a)}over b-a = {2^b -1-(2^a -1)}over b-a ={2^b -2^a}over b-a`]이고

기울기가 1보다 큰 경우는 [eqn: {2 ^{b} -2 ^{a}} over {b-a} `>`1`]

즉, [eqn: b`-`a``<`2^b -2^a `]

기울기가 1보다 작은 경우는

[eqn: {2 ^{b} -2 ^{a}} over {b-a} `<`1`]

즉, [eqn: `b-a``>`2^b -2^a `] (거짓)

ㄷ. (직선 [eqn: \OA]의 기울기)

<(직선 [eqn: \OB]의 기울기)이므로

[eqn: {2^a -1}over a `<` {2^b -1}over b]

∴ [eqn: b(2^a -1) `<` a(2^b -1)`] (참)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: 0 < a < 1 `]이면 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) < a `]이다. ㄴ. [eqn: b-a <2 ^{b} -2 ^{a}] ㄷ. [eqn: b LEFT (2 ^a -1 RIGHT ) < a LEFT (2 ^b -1 RIGHT ) `]

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2008 모의_공공 사관학교 고3 07월 18
[출처]	2008 모의_공공 사관학교 고3 07월 18

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= LEFT | 2 ^x -2 RIGHT |`]의 그래프 위의 세 점 [eqn: LEFT (a,`` f LEFT (a RIGHT ) RIGHT )], [eqn: LEFT (b,`` f LEFT (b RIGHT ) RIGHT )], [eqn: LEFT (c,`` f LEFT (c RIGHT ) RIGHT ) `]가 [eqn: 0＜a＜b＜c `]와 [eqn: f LEFT (a RIGHT ) ＞f LEFT (b RIGHT ) ＞f LEFT (c RIGHT )`]를 만족할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: 0<a<b<c``]일 때, [eqn: f(a)>f(b)>f(c)``]를 만족하기 위한 필요조건은 [eqn: 0<b<1``]이다. 그 이유는 만약 [eqn: b>=1``]인 경우에는 함수가 증가하는 형태이므로 [eqn: f(b)<f(c)``]가 되어 조건을 만족하지 않는다. 그림에서 알 수 있듯이 [eqn: b<c``]일 때 [eqn: f(b)>f(c)``]를 만족하기 위한 충분조건은 [eqn: b<c<2-b``]이다. (거짓)

ㄴ. 조건은 만족하는 [eqn: a,```b,``c``]의 범위가 [eqn: 0<a<1``], [eqn: a<b<1``], [eqn: b<c<2-b``]이므로 [eqn: f(a),```f(b),```f(c)``]의 최댓값은 [eqn: 1``]보다 작다. 따라서 [eqn: 0<f(a)+f(b)+f(c)<3``]이다. (참)

ㄷ. [eqn: 0<a<1``]이므로 [eqn: f(x)=a``]의 실근의 개수는 [eqn: 2``]개다. (참)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: 0＜ c ＜1] ㄴ. [eqn: 0＜f LEFT (a RIGHT )+f LEFT (b RIGHT )+f LEFT (c RIGHT )＜3] ㄷ. 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )-a = 0 `]은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

[출처]	2009 모의_공공 사관학교 고3 07월 24
[출처]	2009 모의_공공 사관학교 고3 07월 24

다음 등식을 만족시키는 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c `]가 있다.

[정답] ①

[해설]

방정식 [eqn: left( 1 over 3 right)^a =2a``]의 근 [eqn: a``]는 함수 [eqn: y=left(1 over 3 right)^x ``]과 [eqn: y=2x``]의 교점의 [eqn: x``]좌표로 볼 수 있다. 마찬가지 방법으로 방정식 [eqn: left( 1 over 3 right)^2b =b``]의 근 [eqn: b``]는 함수 [eqn: y=left(1 over 3 right)^2x = left(1 over 9 right)^x``]과 [eqn: y=x``]의 교점의 [eqn: x``]좌표로 볼 수 있고, 방정식 [eqn: left( 1 over 2 right)^2c =c``]의 근 [eqn: c``]는 함수 [eqn: y=left(1 over 2 right)^2x = left(1 over 4 right)^x ``]과 [eqn: y=x``]의 교점으로 볼 수 있다. 아래 그림에서 알 수 있듯이

[eqn: therefore`````][eqn: a<b<c``]

[eqn: LEFT ( 1 over 3 RIGHT )^a =2a],   [eqn: LEFT ( 1 over 3 RIGHT )^2b =b],   [eqn: LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^2c =c]

이때, 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c `]의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은?

① [eqn: a<b<c]	② [eqn: a<c<b]	③ [eqn: b<a<c]

④ [eqn: b<c<a]	⑤ [eqn: c<a<b]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 18
[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 21

두 곡선 [eqn: {y=2 ^{x}}{{from^2020^06^평가원고3가^}}]과 [eqn: y= it -2x ^{2} +2]가 만나는 두 점을 [eqn: LEFT ( x _{1} ,```` y _{1} RIGHT )], [eqn: LEFT ( x _{2} ,```` y _{2} RIGHT )]라 하자. [eqn: x _{1} <x _{2}]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

곡선 [eqn: y=2 ^{x}]과 [eqn: y= it -2x ^{2} +2]가 만나는 두 점이 [eqn: LEFT ( x _{1} ,```` y _{1} RIGHT )], [eqn: LEFT ( x _{2} ,```` y _{2} RIGHT )] (단, [eqn: x_1 < x_2])이므로 그래프를 그리면 다음과 같다.

ㄱ. 위의 그래프에서 [eqn: {1} over {2} < x_2]	(참)

ㄴ. 두 점 [eqn: LEFT ( x _{1} ,```` y _{1} RIGHT )], [eqn: LEFT ( x _{2} ,```` y _{2} RIGHT )]의 기울기를 구하면 [eqn: {y _{2} -y _{1}} over {x _{2} -x _{1}]
그런데 위의 그래프에서 [eqn: (0,````1),`````left( 1 over 2 ,```` 3 over 2 right)]를 지나는 기울기가 [eqn: 1]이므로 두 기울기를 비교해보면 [eqn: {y _{2} -y _{1}} over {x _{2} -x _{1}][eqn: <1]

[eqn: therefore][eqn: {y _{2} -y _{1}} < {x _{2} -x _{1}] ([eqn: because][eqn: x_1 < x_2])	(참)

ㄷ. 위의 그래프에서 [eqn: -1 < x_1 < 0], [eqn: 1 over 2 < x_2 <1]이므로
따라서 [eqn: - 1over 2 < x_1 + x_2 < 1]	[eqn: cdotscdots] ㉠
그런데, 곡선 [eqn: y= it -2x ^{2} +2]이 [eqn: y]축 대칭함수이므로 [eqn: |``x_1 ``|`> |``x_2 ``|], 즉, [eqn: x_1 + x_2 <0]	[eqn: cdotscdots] ㉡
㉠, ㉡에서 [eqn: - 1over 2 < x_1 + x_2 < 0]
식을 정리하면 [eqn: 2^{- 1over 2 }< 2^{x_1 + x_2 }< 2^{ 1}]
[eqn: 2 over root2 < 2^x_1 cdot 2^x_2 <2]
[eqn: therefore][eqn: 2 over root2 < y_1 cdot y _2 <2]	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: x _{2} > {1} over {2}] ㄴ. [eqn: y _{2} -y _{1} <x _{2} -x _{1}] ㄷ. [eqn: {sqrt {2}} over {2} <y _{1} y _{2} <1]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

03 수1	03 지수함수
04 지수함수의 활용
06 활용6 (추론과 해석)

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 09월 9

[eqn: k`]가 자연수일 때 [eqn: log` k `]의 정수부분 [eqn: n`]과 소수부분 [eqn: alpha `]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: {rmP} _{k}`]를 [eqn: {rmP} _{k} LEFT ( alpha ,`` n RIGHT )`]이라 하자. 점 [eqn: {rmP} _{k}`]를 곡선 [eqn: y= LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{x}] 위에 있도록 하는 모든 [eqn: k`]값의 합은?

[정답] ⑤

[해설]

자연수 [eqn: k`]에 대하여

[eqn: log k = n+ alpha`]([eqn: n`]은 정수, [eqn: 0<=alpha<1])

점 [eqn: P _k (alpha, ``n)]이 곡선 [eqn: y = ( root10 )^x`] 위에 있으려면

[eqn: n = (root10 )^alpha][eqn: = 10^{ alphaover 2 }]

[eqn: alpha = 2 log``n][eqn: =log ``n^2`]

[eqn: 0<=alpha<1]이므로 [eqn: alpha`][eqn: =log ``n^2`]의 값은

[eqn: n= 1, ``2, ``3`]일 때, [eqn: log``1`], [eqn: log``4], [eqn: log``9`]

∴ [eqn: log ``k= 1] 또는 [eqn: log ``k= 2+ log4]

또는 [eqn: log``k= 3 + log 9]

∴ [eqn: k= 10] 또는 [eqn: k = 400] 또는 [eqn: k= 9000]

따라서 모든 [eqn: k`]의 값의 합은

[eqn: 10 +400+9000 = 9410]

① [eqn: 1210]	② [eqn: 3210]	③ [eqn: 5410]

④ [eqn: 7510]	⑤ [eqn: 9410]

[출처]	2011 모의_공공 사관학교 고3 07월 24
[출처]	2011 모의_공공 사관학교 고3 07월 24

[eqn: 1]보다 큰 실수 [eqn: a]에 대하여 두 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: f(x)- g(x)][eqn: = a^2x -a^x+1 +2]

따라서 [eqn: a^x = t]라 하면

[eqn: f(x)- g(x)][eqn: = t^2 -at +2]

이차방정식 [eqn: t^2 -at +2 =0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D = a^2 -8 =0]에서 [eqn: a =2 sqrt { 2}] (∵ [eqn: a>1])

[eqn: y = t^2 -at +2]는 대칭축이 [eqn: t= a over2]이고 [eqn: y]절편이 [eqn: 2]인 이차함수이므로 [eqn: a]의 크기에 따라서 [eqn: y=|`t^2 -at+2`|]의 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다.

[eqn: a > 2sqrt { 2}]	[eqn: a=2 sqrt { 2}]
[eqn: 1<a<2 sqrt { 2}]

이때, [eqn: t=a^x]는 모든 실수에서 임의의 양수로의 일대일대응이고 [eqn: x_1 <x _2]에 대하여 [eqn: t_1 < t_2]를 만족한다.

⋯⋯ ㉠

ㄱ. [eqn: a= 2 sqrt { 2}]일 때, [eqn: y =|` t^2 -at +2`|]의 그래프는 [eqn: x]축과 한 점에서 만나므로 (접하므로) [eqn: y = h(x)]의 그래프도 [eqn: x]축과 한 점에서 만난다. (∵ ㉠) (참)

ㄴ. [eqn: a =4]일 때,
[eqn: t^2 - 4t +2 =0]에서 [eqn: t = 2+- sqrt { 2}]이므로
[eqn: y=|`t^2 -at +2`|]의 그래프는 [eqn: 0 < t <2- sqrt { 2}]에서 감소하고 [eqn: 2- sqrt { 2}<t <2]에서 감소한다. ⋯⋯ ㉡
[eqn: x < 1 over2]일 때, [eqn: 0 <t< 4^{1 over2}=2]이므로 ㉠, ㉡에 의해서 [eqn: h(x_1 )], [eqn: h(x_2 )]의 대소를 비교할 수 없다.

ㄷ. [eqn: y = t^2 -at +2]의 그래프가 직선 [eqn: y =1]과 접할 때, [eqn: y=h(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y =1]이 오직 한 점에서 만나게 된다.
[eqn: t^2 -at +2 =1]에서 [eqn: t^2 -at +1 =0]
위의 방정식은 [eqn: a =2]일 때 중근을 가지므로 [eqn: a =2]일 때, [eqn: y=h(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y =1]이 오직 한 점에서 만나게 된다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[eqn: f(x)=a^{2 x}], [eqn: g(x)=a^{x+1}-2]

가 있다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: h(x)]를 [eqn: h(x)= LEFT | f(x)-g(x) RIGHT |]라 하자. [eqn: y=h(x)]의 그래프에 대한 설명으로 [보기]에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a=2 sqrt{2}]일 때, [eqn: y=h(x)]의 그래프와 [eqn: x]축은 한 점에서 만난다. ㄴ. [eqn: a=4]일 때, [eqn: x_{1}<x_{2}<{1} over {2}]이면 [eqn: h left(x_{1} right)>h left(x_{2} right)]이다. ㄷ. [eqn: y=h(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=1]이 오직 한 점에서 만나는 [eqn: a]의 값이 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고2 11월 29
[출처]	2012 모의_공공 교육청 고2 11월 29

[eqn: k]가 자연수일 때, [eqn: log k]의 지표 [eqn: n]과 가수 [eqn: alpha]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: {rm{P}} it _{k}]를 [eqn: {rm{P}} it _{k}(n,`` alpha)]라 하자.

[정답] [eqn: 297]

[해설]

[eqn: {rm{P}} it _{1}(0,``0)], [eqn: {rm{P}} it _{3}(0,`` log 3)], [eqn: {rm{P}} it _{10}(1,``0)]이다.

[eqn: 10<m<100]이므로 [eqn: log m]의 지표는 [eqn: rm 1]이고, 가수는

[eqn: ( log m-1)]이므로 점 [eqn: {rm{P}} it _{m}]의 좌표는 [eqn: (1,`` log m-1)]

이다.

(사각형 [eqn: {rm{P}} it _{1} {rm{P}} it _{10} {rm{P}} it _{m} {rm{P}} it _{3}]의 넓이)

[eqn: ={1} over {2}( log 3+ log m-1)={1} over {2} log {3 m} over {10}]이므로

자연수 [eqn: m]이 최대일 때 사각형 [eqn: {rm{P}} it _{1} {rm{P}} it _{10} {rm{P}} it _{m} {rm{P}} it _{3}]의 넓이는 최대이다.

따라서 [eqn: m=99]일 때, [eqn: log M={1} over {2} log {297} over {10}]

[eqn: therefore~M= sqrt{{297} over {10}}]

따라서 [eqn: 10M it ^{``2} =297]

[eqn: 10<m<100]인 자연수 [eqn: m]에 대하여 사각형 [eqn: {rm{P}} it _{1} {rm{P}} it _{10} {rm{P}} it _{m} {rm{P}} it _{3}]의 넓이의 최댓값을 [eqn: log M]이라 할 때, [eqn: 10 M^{2}]의 값을 구하시오.

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고2 06월 18

두 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=2^x], [eqn: g LEFT (x RIGHT )= {x} - LEFT [ {x} RIGHT ] `]에 대하여 합성함수 [eqn: y= LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT (x RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y=`- 1 over n x +1][eqn: LEFT ( n=1,``2``,3`cdots` RIGHT )`]이 만나는 점의 개수를 [eqn: a _{ n} `]이라 하자. [eqn: a _{1}+ a _{2} +a _{3}`]의 값은?
(단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]`]는 [eqn: x `]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(x) = 2^x], [eqn: g(x) = x - [x]]이므로

[eqn: g( f( x) ) = f(x) - [ f(x ) ] = 2^x - [ 2^ x ]]

ⅰ) [eqn: x <0 `]일 때, [eqn: 0< 2^ x < 1 `]이므로 [eqn: [ 2^x ] =0]

즉 [eqn: g( f(x)) =][eqn: 2^x - [ 2^x ] = 2^x `]

ⅱ) [eqn: 0le x < log_2 2]일 때, [eqn: 1 le 2^x <2`] 이므로 [eqn: [ 2^x ] =1]

즉, [eqn: g( f(x)) =][eqn: 2^x - [ 2^x ] = 2^x `-1`]이므로

[eqn: y=g(f(x))]의 그래프는 [eqn: y=2^x `]의 그래프를 [eqn: y`]축 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동 시킨 것이다.

ⅲ) [eqn: log_2 2 le x < log_2 3]일 때, [eqn: 2le2^ x < 3`]이므로 [eqn: [ 2^x ] =2]

즉, [eqn: g( f(x)) =][eqn: 2^x - [ 2^x ] = 2^x `-2`]이므로

[eqn: y=g(f(x))]의 그래프는 [eqn: y=2^x `]의 그래프를 [eqn: y`]축 방향으로 [eqn: -2]만큼 평행이동 시킨 것이다.

ⅳ) [eqn: log_2 3 le x < log_2 4]일 때, [eqn: 3le2^ x < 4`]이므로 [eqn: [ 2^x ] =3]

즉, [eqn: g( f(x)) =][eqn: 2^x - [ 2^x ] = 2^x `-3`]이므로

[eqn: y=g(f(x))]의 그래프는 [eqn: y=2^x `]의 그래프를 [eqn: y`]축 방향으로 [eqn: -3]만큼 평행이동 시킨 것이다. 다음의 그래프는 각각의 [eqn: x]의 범위에 따라 [eqn: y=2^x]의 그래프를 평행이동하는 과정을 보여주는 것이다.

그러므로 [eqn: y=(`g` CIRC f)(x)``=2 ^{x} -[2 ^{x} ]]의 그래프와 [eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3]일 때 [eqn: y= - 1over n x` +1]의 그래프를 그리면 그림과 같다.

그림을 참고하여 [eqn: n=1 `],[eqn: 2 `],[eqn: 3`]일 때 [eqn: y= - 1over n x` +1]과 [eqn: y= 2^x - [ 2^x ]]의 그래프가 만나는 점의 개수 [eqn: a_n]을 구하면

[eqn: n=1]일 때, [eqn: y= - 1over n x` +1]의 [eqn: x`]절편이 [eqn: 1= log_2 2]이므로 교점의 개수 [eqn: a_1 = 2]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: y= - 1over n x` +1]의 [eqn: x`]절편이 [eqn: 2= log_2 ```2^2]이므로 교점의 개수 [eqn: a_2 = 2^2]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: y= - 1over n x` +1]의 [eqn: x`]절편이 [eqn: 3 =log_2 ```2^3]이므로 교점의 개수 [eqn: a_3 = 2^3] 따라서 [eqn: a_1 + a_2 + a_3 = 2 + 4 + 8 = 14]

<참고>

자연수 [eqn: k`]에 대해 [eqn: log_2 k le x < log_2 (k+1)]일 때

[eqn: k le2^ x < k+1`]이므로 [eqn: [ 2^x ] =k]

즉, [eqn: g( f(x)) =][eqn: 2^x - [ 2^x ]][eqn: = 2^x `-k`]이므로 [eqn: y=g(f(x))]의 그래프는 [eqn: y=2^x `]의 그래프를 [eqn: y`]축 방향으로 [eqn: -k`]만큼 평행이동 시킨 것이다. [eqn: n=k]([eqn: k`]는 자연수)일 때, 직선 [eqn: y= - 1over n x` +1]의 [eqn: x`]절편이 [eqn: k= log_2 ```2^k]이므로 교점의 개수는 [eqn: a_k = 2^k]

① [eqn: 6 `]	② [eqn: 8`]	③ [eqn: 10`]

④ [eqn: 12`]	⑤ [eqn: 14`]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고2 06월 14
[출처]	2013 모의_공공 교육청 고2 06월 20

그림은 곡선 [eqn: y=2 ^{x} `]과 직선 [eqn: y=x `]이다. 정수 [eqn: n `]에 대하여 중심이 곡선 [eqn: y=2 ^x +n] 위에 있고 [eqn: x `]축, [eqn: y `]축에 모두 접하는 원의 개수를 [eqn: f LEFT (n RIGHT ) `]이라 하자. [eqn: f LEFT (-2 RIGHT )+f LEFT (0 RIGHT )+f LEFT (2 RIGHT ) `]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

반지름의 길이가 [eqn: r]이고 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 모두 접하는 원의 중심의 좌표는 [eqn: (r,``r)], [eqn: (r,``-r)], [eqn: (-r,``r)], [eqn: (-r,``-r)]

꼴이므로 원의 중심이 직선 [eqn: y=x] 또는 [eqn: y=-x] 위에 있다.

그러므로 원의 중심이 곡선 [eqn: y=2`^x +n] 위에 있고 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 모두 접하는 원의 개수는 곡선 [eqn: y=2^x +n]과 직선 [eqn: y=x] 또는 [eqn: y=-x]의 교점 중 원점이 아닌 점의 개수와 같다.

(ⅰ) [eqn: n =-2]일 때,

곡선 [eqn: y=2`^x -2]는 직선 [eqn: y=x]와 원점이 아닌 서로 다른 두 점에서 만나고, 직선 [eqn: y=-x]와 원점이 아닌 한 점에서 만난다.

∴ [eqn: f(-2) =2+1=3]

(ⅱ) [eqn: n=0]일 때,

곡선 [eqn: y=2`^x]은 직선 [eqn: y=x]와 만나지 않고, 직선 [eqn: y=-x]와 원점이 아닌 한 점에서 만난다. ∴ [eqn: f(0)=1]

(ⅲ) [eqn: n =2]일 때,

곡선 [eqn: y=2`^x +2]는 직선 [eqn: y=x]와 만나지 않고, 직선 [eqn: y=-x]와 원점이 아닌 한 점에서 만난다. ∴ [eqn: f(2)=1]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 [eqn: f(-2) +f(0) +f(2)][eqn: = 3+1+1=5]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고2 09월 12

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: a_1 =2,~a_2 =6,~a_3 =8,~a_4 =12,~a_5 =14,~cdots]

[eqn: a_2n-1 =6n-4,~a_2n =6n]이므로 [eqn: therefore~a_2n-1 +a_2n =12n-4]

따라서 [eqn: a_9 +a_10 =12times5 -4=56]

(가) [eqn: 0≤x≤2 `]일 때, [eqn: f LEFT (x RIGHT )=2^x]

(나) 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=f LEFT (-x RIGHT )]

(다) 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=f LEFT (x+4 RIGHT )]

자연수 [eqn: n `]에 대하여 세 점 [eqn: LEFT (0,`` 2 RIGHT )], [eqn: LEFT (2n,`` 4 RIGHT )], [eqn: LEFT (-2n,`` 4 RIGHT ) `]를 꼭 지점으로 하는 삼각형의 둘레와 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]의 그래프의 교점의 개수를 [eqn: a_n `]이라 하자. 예를 들어 [eqn: a_2 =6 `]이다. 이 때, [eqn: a_9 +a_10 `]의 값은?

① [eqn: 52]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 68]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 06월 30

지수함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=a ^{x}], [eqn: g LEFT (x RIGHT )=b ^{x} `]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [eqn: a], [eqn: b `]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT (a,`` b RIGHT ) `]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b `]는 [eqn: 1 `]보다 큰 자연수이다.)

[정답] [eqn: 25]

[해설]

(ⅰ) 조건 (가)에서 [eqn: f(2)`g(11)=a ^{2} b ^{11} =2 ^{2015} `]이므로
[eqn: a ^{2} ``b ^{11} =2 ^{2015}][eqn: cdots cdots] ①이다. [eqn: a,```b`]는 각각 [eqn: 1`]보다 큰 자연수이면서 [eqn: 2`]의 거듭제곱꼴이어야 하므로 [eqn: a=2 ^{m} ,```b=2 ^{n} `]([eqn: m`], [eqn: n`]은 자연수)로 두자. [eqn: a=2 ^{m} ,```b=2 ^{n} `]을 식 ①에 대입하면
[eqn: 2m+11n=2015][eqn: cdots cdots] ②이다. 그런데 [eqn: 2m`]은 짝수이므로 [eqn: 11n`]은 홀수이어야 한다. 따라서 [eqn: n`]은 홀수이므로
[eqn: n=2k-1`]([eqn: k`]는 자연수) [eqn: cdots cdots] ③이다. ③을 ②에 대입하면

[eqn: 2015 & =2m+11n=2m+11(2k-1)=2m+22k-11]
이고 정리하면 [eqn: m=1013-11k`][eqn: cdots cdots] ④이다. [eqn: m`]과 [eqn: k`]가 자연수이므로 ④식에서 [eqn: m=1013-11k GEQ 1`]이고 정리하면

[eqn: 1 LEQ k LEQ {1012} over {11} `=92]이다.

(ⅱ) 조건(나)에서 [eqn: a ^{2} =f(2)<g(4)=b ^{4} `]이고
[eqn: a=2 ^{m} ,```b=2 ^{n} `]([eqn: m`], [eqn: n`]은 자연수)에서 [eqn: 2 ^{2m} <2 ^{4n} `]이므로
[eqn: m<2n][eqn: cdots cdots] ⑤이다. ③과 ④를 ⑤에 대입하면
[eqn: 1013-11k<2(2k-1)`][eqn: LRARROW][eqn: k> {1015} over {15} =67.6 CDOTS `]이다.

[eqn: k`]가 자연수이므로 [eqn: k GEQ 68`]이다.

(ⅰ)과 (ⅱ)를 모두 만족하는 자연수 [eqn: k`]의 범위는 [eqn: 68 LEQ k LEQ 92`]이다. 따라서 순서쌍 [eqn: (a,`b)`]의 개수는 자연수 [eqn: k`]의 개수와 같으므로 [eqn: 92-68+1=25`]이다.

(가) [eqn: f LEFT (2 RIGHT ) TIMES g LEFT (11 RIGHT )=2 ^{2015}]

(나) [eqn: f LEFT (2 RIGHT )<g LEFT (4 RIGHT )]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 06월 29

[eqn: {0{le}x{le}8}{{from^2019^06^부산교육청고2가^중}}]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 60 }]

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ ````2 ^{x} -1 &&& LEFT ( 0 LEQ x LEQ 1 RIGHT )# 2-2 ^{x-1} &&& LEFT ( 1< x LEQ 2 RIGHT ) }}]

이고, 조건 (나)에서

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: 2f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x-2 RIGHT )][eqn: LEFT (2 < x le 4 RIGHT )]
즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} f LEFT ( x-2 RIGHT )]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{2 ^{x-3} - {1} over {2}& && LEFT ( 2<x LEQ 3 RIGHT )#``1-2 ^{x-4} & && LEFT ( 3<x LEQ 4 RIGHT )}}]

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때, [eqn: 2 ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x-4 RIGHT )][eqn: LEFT (4 < x le 6 RIGHT )]
즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {4} f LEFT ( x-4 RIGHT )]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{2 ^{x-6} - {1} over {4}& && LEFT ( 4<x LEQ 5 RIGHT )#`{1} over {2} -2 ^{x-7} & && LEFT ( 5<x LEQ 6 RIGHT )}}]

(ⅲ) [eqn: n=3]일 때, [eqn: 2 ^{3} f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x-6 RIGHT )][eqn: LEFT (6 < x le 8 RIGHT )]
즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {8} f LEFT ( x-6 RIGHT )]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{2 ^{x-9} - {1} over {8}& && LEFT ( 6<x LEQ 7 RIGHT )#`{1} over {4} -2 ^{x-10} & && LEFT ( 7<x LEQ 8 RIGHT )}}]

이다. 따라서 [eqn: 0 le x le 8]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: 0 LEQ x LEQ 1]에서 함수 [eqn: y=2 ^{x} -1]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 후 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 그래프는 [eqn: 1 LEQ x LEQ 2]에서 함수 [eqn: y=2-2 ^{x-1 }]의 그래프와 일치한다.

그림에서 색칠한 두 부분의 넓이가 서로 같으므로 [eqn: 0 le x le 2]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 1]이다.

같은 방법으로 [eqn: 2 le x le 4]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 1 over 2],

[eqn: 4 le x le 6]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 1 over 4],

[eqn: 6 le x le 8]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 1 over 8]이다.

따라서 [eqn: S=1+ {1} over {2} + {1} over {4} + {1} over {8} = {15} over {8}]이므로 [eqn: 32S =60]이다.

(가) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ 2 ^{x} -1 & LEFT ( 0 LEQ x LEQ 1 RIGHT )# 2-2 ^{x-1 }& LEFT ( 1< x LEQ 2 RIGHT )}}]

(나) [eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3]일 때,

[eqn: 2 ^{n} f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x-2n RIGHT )][eqn: left(2n<x LEQ 2n+2right)]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: 32S]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 13

함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: g(x)][eqn: =2^x], [eqn: h(x)][eqn: =left( 1over4 right)^x+a - left( 1over4 right)^3+a +8`]이라 하면

곡선 [eqn: y][eqn: =g(x)`]의 점근선의 방정식은 [eqn: y][eqn: =0`]이고,

곡선 [eqn: y][eqn: =h(x)`]의 점근선의 방정식은
[eqn: y][eqn: =it- left(1over4 right)^3+a +8`]이다.

그러므로 함수 [eqn: y][eqn: =f(x)`]의 그래프를 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

곡선 [eqn: y][eqn: =f(x)] 위의 점 중에서 [eqn: y`]좌표가 정수인 점의 개수가 [eqn: 23`]이므로 [eqn: y le0`]에서 [eqn: y`]좌표가 정수인 점의 개수는 [eqn: 8`]이다.

곡선 [eqn: y][eqn: =h(x)`]의 점근선이 [eqn: y][eqn: =it- left(1over4 right)^3+a +8`]이므로

[eqn: it- left(1over4 right)^3+a +8`]은 [eqn: -8] 이상 [eqn: -7] 미만이어야 한다.

즉, [eqn: -8le it- left(1over4 right)^3+a +8`<it -7 `],

[eqn: 15< left( 1over4 right)^3+a le16], [eqn: 4 <15<4^{-3-a} le4^2],

[eqn: 1 <it -3-a le 2], [eqn: -5 le a < it -4]

따라서 구하는 정수 [eqn: a`]의 값은 [eqn: -5`]

[eqn: f(x)= {cases{```2^{x}_{`}& (x < 3 )_{`} # `LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x+a}^{`} - LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{3+a} +8~~& (x ge3 ) ^{`}}}]

에 대하여 곡선 [eqn: y=f (x)] 위의 점 중에서 [eqn: y`]좌표가 정수인 점의 개수가 [eqn: 23`]일 때, 정수 [eqn: a`]의 값은?

① [eqn: -7]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -3]

03 수1	04 로그함수
01 로그함수의 그래프
01 로그함수의 그래프1 (기본)

[출처]	2003 모의_공공 교육청 고2 10월 21

그림과 같이 [eqn: y= log _{3}(x+2)]의 그래프와 원점을 지나는 세 직선과의 교점을 각각 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it], [eqn: {rm{R}} it]이라 하자.

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it], [eqn: {rm{R}} it]이 곡선 [eqn: y= log _{3}(x+2)] 위에 있다.

[eqn: {rm{P}} it left(s,`` log _{3}(s+2) right)], [eqn: {rm{Q}} it (1,``1)], [eqn: {rm{R}} it left(t,`` log _{3}(t+2) right)]

[eqn: overline{{rm{OP}} it }]의 기울기 [eqn: ={ log _{3}(s+2)} over {s}]

[eqn: overline{{rm{OQ}} it }]의 기울기 [eqn: =1]

[eqn: overline{{rm{OR}} it }]의 기울기 [eqn: ={ log _{3}(t+2)} over {t}]

[eqn: overline{{rm{OR}} it }]의 기울기 [eqn: < overline{{rm{OQ}} it }]의 기울기 [eqn: < overline{{rm{OP}} it }]의 기울기

[eqn: { log _{3}(t+2)} over {t}<1<{ log _{3}(s+2)} over {s}]

[eqn: s log _{3}(t+2)<s t<t log _{3}(s+2)]

[eqn: (t+2)^{s}<3^{s t}<(s+2)^{t}]

세 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it], [eqn: {rm{R}} it]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: s], [eqn: 1], [eqn: t]라 할 때, 다음 중 옳은 것은? (단, [eqn: 0<s<1<t])

① [eqn: 3^{s t}<(s+2)^{t}<(t+2)^{s}]

② [eqn: 3^{s t}<(t+2)^{s}<(s+2)^{t}]

③ [eqn: (s+2)^{t}<3^{s t}<(t+2)^{s}]

④ [eqn: (t+2)^{s}<3^{s t}<(s+2)^{t}]

⑤ [eqn: (t+2)^{s}<(s+2)^{t}<3^{s t}]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 06월 20

함수 [eqn: {f left(x right)=log _{ 3} x}{{from^2019^06^부산교육청고2가^중}}]에 대하여 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: |`` log _{ 3} a-log _{ 3} b ``| LEQ 1]이므로 [eqn: -1 LEQ log _{ 3} {a} over {b} LEQ 1]이고 [eqn: {1} over {3} LEQ {a} over {b} LEQ 3]이다.

이때, [eqn: b>0]이므로 [eqn: {1} over {3} b LEQ a LEQ 3b]이다.

조건 (나)에서 [eqn: a=3-b]이므로 [eqn: {1} over {3} b LEQ 3-b LEQ 3b]이고, 이 부등식의 해는 [eqn: {3} over {4} LEQ b LEQ {9} over {4}]이다.

한편, [eqn: ab= LEFT ( 3-b RIGHT ) b= it - LEFT ( b- {3} over {2} RIGHT ) ^{ 2} + {9} over {4}][eqn: LEFT ( {3} over {4} {le}b{le} {9} over {4} RIGHT )]이므로 [eqn: ab]는 [eqn: b= 3 over 4] 또는 [eqn: b= 9 over 4]에서 최솟값 [eqn: m= 27 over 16]을 가진다.

그러므로 [eqn: f LEFT ( m RIGHT ) =log _{ 3} {27} over {16} =3-log _{ 3} 16]이다.

따라서 [eqn: k=16]이다.

(가) [eqn: |`` f(a)-f(b) ``|` LEQ 1]

(나) [eqn: f LEFT ( a+b RIGHT ) =1]

[eqn: ab]의 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: f LEFT ( m RIGHT ) = it 3- log_{ 3} k]이다. 자연수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 16]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 28]

03 수1	04 로그함수
01 로그함수의 그래프
03 로그함수의 그래프3 (로그함수의 성질)

[출처]	2004 모의_공공 교육청 고2 11월 19

다음은 [eqn: y=f(x)]의 그래프이다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: f(x)= {cases{2``````````(x< it -2,``x>2)#-x``(-2 LEQ x<0)#x`````````(0<x LEQ 2)}}]

[eqn: log _{2} f(x)=cases{1 && (x < it - 2,`` x>2) # log _{2}(-x) && (-2 leq x<0) # log _{2} x && (0<x leq 2)}]

이때, [eqn: y= log _{2} f(x)]의 그래프로 가장 적절한 것은?

①		②
③		④
⑤

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고2 11월 21

함수 [eqn: f LEFT ( 2 ^{x} RIGHT ) =`-log` _{3} `x`]일 때, [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]의 그래프의 개형은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: 2^x = t]라 하면 [eqn: x= log_ 2 `t](진수조건에서 [eqn: x>0]이므로 [eqn: t>1]이다.)

[eqn: f(t) =`-log_3 ( log_2 `t)][eqn: = log_{1 over 3} ` ( log_2` t)]

[eqn: log_{1 over 3} ` ( log_2` t) = 0]이 되는 값은 [eqn: t=2]이므로

[eqn: x]축과의 교점이 [eqn: (2,~0)]이고 [eqn: log _{2} `t]가 증가하므로

[eqn: 0<](밑)[eqn: <1]인 로그함수 그래프이다.

①		②
③		④
⑤

03 수1	04 로그함수
01 로그함수의 그래프
04 로그함수의 그래프4 (평행이동과 넓이)

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고3 03월 30

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=log` _{6} ` LEFT ( x+1 RIGHT )], [eqn: y=log` _{6} `LEFT ( x-1 RIGHT ) -4 `]와 두 직선 [eqn: y=`-2x], [eqn: y=`-2x+8 `]로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

[정답] [eqn: 16]

[해설]

주어진 두 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 그림과 같이 평행사변형 [eqn: rm OABC`]의 넓이와 같다.

[eqn: y=log` _{`6} (x-1)-4`]의 그래프는 [eqn: y=log` _{`6} (x+1)`]의 그래프를 [eqn: x]축, [eqn: y]축의 방향으로 각각 [eqn: 2`], [eqn: -4`]만큼 평행이동시킨 것이다. 원점을 [eqn: x]축, [eqn: y]축의 방향으로 각각 [eqn: 2`], [eqn: -4`]만큼 평행이동시키면 [eqn: (2`,``-4)`]이고, 점 [eqn: (2`,``-4)`]는 직선 [eqn: y=`-2x`] 위의 점이다.

따라서 [eqn: y=log` _{`6} (x-1)-4`]의 그래프와 직선 [eqn: y=`-2x`]의 교점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: rm A(2,``-4)]이다. 이때, 점 [eqn: rmC `]의 좌표는 [eqn: (4`,``0)`]이므로 [eqn: bar{rm OC} `= 4`]이고, 평행사변형 [eqn: rm OABC`]의 넓이는 [eqn: 4 times 4 = 16 `]이다.

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고2 06월 16

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=log` _{5} `x], [eqn: y=log` _{5} `{x} over {5} `]가 직선 [eqn: x=1 `]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B `]라 하자. 또, 두 곡선이 직선 [eqn: x=5 `]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm C], [eqn: rm D `]라 하자. 곡선 [eqn: y=log` _{5} `x `]와 두 선분 [eqn: rm AD], [eqn: rm DC `]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S`], 곡선 [eqn: y=log` _{5} `{x} over {5} `]와 세 선분 [eqn: rmBA], [eqn: rmAC], [eqn: rmCD `]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: T ``]라 할 때 [eqn: S`+T` `]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: log _{5} `` {x} over {5} =log _{5} ``x-log _{5} ``5][eqn: =log _{5} ``x-1]이므로

주어진 함수 [eqn: y = log_5 `` x over 5]는 [eqn: y = log_5 `` x - 1]이다.

이 함수의 그래프는 [eqn: y = log_5 `` x]를 [eqn: y]축 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동 시킨 것이다.

로그함수 [eqn: y=log _{5} x-1]의 그래프와 선분 [eqn: rm`BD`]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: U`]라 하자. 그림에서와 같이 선분 [eqn: rm`BD`]를 연결하면 넓이 [eqn: T`]는 평행사변형 [eqn: rm `ABDC`]에서 [eqn: U`]를 뺀 것이다.

즉 [eqn: T = 2 triangle {\ADC} - U][eqn: CDOTS `]㉠

그런데 로그함수 [eqn: y=log _{5} x`]의 그래프와 선분 [eqn: rm `AC`]로 둘러싸인 부분의 넓이는 로그함수 [eqn: y=log _{5} x-1`]의 그래프와 선분 [eqn: rm`BD`]로 둘러싸인 부분의 넓이와 같으므로 [eqn: U`]이다.

즉 [eqn: S = triangle {\ADC} + U][eqn: CDOTS `]㉡

㉠[eqn: +]㉡을 계산하면 [eqn: S+T = 3 triangle \ADC]

삼각형 [eqn: \ADC]는 밑변이 4, 높이가 1인 직각삼각형이므로

[eqn: triangle \ADC = 1 over 2 times 4 times 1 = 2] 따라서 [eqn: S+T = 3 times 2 = 6]

<다른 풀이>

[eqn: log_5 `` x over 5 = log_5 `` x - log_5 `` 5][eqn: = log_5 `` x -1]이므로

주어진 함수 [eqn: y = log_5 `` x over 5]는 [eqn: y = log_5 `` x - 1]이다.

그러므로 [eqn: y = log_5 `` x over 5]의 그래프를 [eqn: y]축 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동 시키면 [eqn: y = log_5 ``x]의 그래프와 일치한다.

점 [eqn: rm A], 점 [eqn: \C]를 [eqn: y]축 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동 시킨 점을 각각 [eqn: \A'], [eqn: \C']이라 하면 넓이 [eqn: T]는 [eqn: y = log_5 ``x]의 그래프와 세 선분 [eqn: \AA'], [eqn: \A'C'], [eqn: \C'C]로 둘러싸인 넓이와 같다.

그러므로 넓이의 합 [eqn: S + T]는 사다리꼴 [eqn: \A'ADC']의 넓이와 같다. [eqn: S+T= {1} over {2} ( rm ` bar{A prime A} + bar{C prime D} ) bar{AD}][eqn: = {1} over {2} TIMES (1+2) TIMES 4][eqn: =6]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

03 수1	04 로그함수
01 로그함수의 그래프
05 로그함수의 그래프의 해석1 (기본)

[출처]	2009 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

방정식 [eqn: 2 ^{{x} over {2}} = log _{sqrt {2}} `{vert `x `vert}]의 서로 다른 실근의 개수는?

[정답] ①

[해설]

무한등비급수이고, 모두 닮음도형이며, 초항 [eqn: =1]이기 때문에 ([eqn: because]정사각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1} {rm{D}} it _{1}]의 넓이=[eqn: 1]) 공비만 구해주면 된다.

주어진 무한수열의 공비는 첫 번째 정사각형의 한변의 길이만 구하면 구할 수 있다.

(ⅰ) <그림 [eqn: 1>]에서 두 번째 정사각형의 한변의 길이를 [eqn: a]라 하면 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{C}} it _{2}]는 [eqn: sqrt{2} a]이다. 그런데 이 길이는
[eqn: overline{{rm{HH}} it `prime }- left( overline{{rm{A}} it _{2} {rm{H}} it `prime }+ overline{{rm{C}} it _{2} {rm{H}} it } right)=1-2 overline{{rm{A}} it _{2} {rm{H}} it `prime }]로 구할 수 있다.
이때, [eqn: overline{{rm{A}} it _{2} {rm{H}} it `prime }=1-{ sqrt{3}} over {2}][eqn: left( because right.]삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{1} {rm{H}} it]에서
[eqn: rm {bar{A it rm _{2} rm B it rm _{1}} =1], [eqn: rm {bar{B it rm _{1} rm H} it = {1} over {2}]인 직각삼각형[eqn: )]이므로 [eqn: 2 overline{{rm{A}} it _{2} {rm{H}} it `prime }=2- sqrt{3}]
[eqn: therefore~ overline{{rm{HH}} it `prime }=1-(2- sqrt{3})= sqrt{3}-1= sqrt{2} a ``RARROW`` a={ sqrt{3}-1} over { sqrt{2}}]
한편 이 무한등비급수는 넓이의 합을 묻고 있으므로 공비는 넓이비가 되고, 이는 곧 닮음비 [eqn: (=]길이비[eqn: )]의 제곱이 된다.
닮음비 [eqn: ={a} over {1}=a]이므로 공비는 [eqn: a^{2}]이 된다.
[eqn: therefore~a^{2}={( sqrt{3}-1)^{2}} over {2}=2- sqrt{3}]
[eqn: therefore~ sum_{n=1}^{ inf } S_{n}={1} over {1-(2- sqrt{3})}={1+ sqrt{3}} over {2}]

(ⅱ) <그림 2>에서 빨간색 삼각형을 관찰하면 [eqn: overline{{rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{1}}= overline{{rm{D}} it _{2} {rm{B}} it _{1}}=1], [eqn: angle {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{1} {rm{D}} it _{2}={ pi} over {6}]이므로 주어진 삼각형에서 코사인법칙을 쓰면
[eqn: { overline{{rm{A}} it _{2} {rm{D}} it _{2}}}^{2}=1^{2}+1^{2}-2 cdot 1 cdot 1 cdot cos { pi} over {6}=2- sqrt{3}]
[eqn: therefore~ sum_{n=1}^{ inf } S_{n}={1} over {1-(2- sqrt{3})}={ sqrt{3}+1} over {2}]

<그림 1>	<그림 2>

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 0]

[출처]	2010 모의_공공 사관학교 고3 07월 14

양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: log a]의 소수부분를 [eqn: g(a)]라 하자. 두 함수 [eqn: y=g(3|`x`|+1)], [eqn: y=m x+1]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 실수 [eqn: m]의 최댓값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: 3|`x`|+1 geq 1]이므로 [eqn: log (3|`x`|+1) geq 0]이다.

[eqn: 0 leq log (3|`x`|+1)<1 ``RARROW`` 1 leq 3|`x`|+1<10], [eqn: 0 leq|`x`|<3]

[eqn: 1 leq log (3|`x`|+1)<2 ``RARROW`` 1 leq 3|`x`|+1<10], [eqn: 3 leq|`x`|<33]

[eqn: vdots]

의 소수부분을 그래프로 나타내면 그림과 같다.

그러므로 [eqn: y=m x+1]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 실수 [eqn: m]의 최댓값은 [eqn: (-3,``0)]을 지날 때이므로 [eqn: m={1} over {3}]이다.

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

좌표평면에서 꼭짓점의 좌표가 [eqn: {rm{O}} it (0,``0)], [eqn: {rm{A}} it left(2^{n},`` 0 right)], [eqn: {rm{B}} it left(2^{n},`` 2^{n} right)], [eqn: {rm{C}} it left(0,``2^{n} right)]인 정사각형 [eqn: {rm{OABC}} it]와 두 곡선 [eqn: y=2^{x}], [eqn: y= log _{2} x]에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: n]은 자연수이다.)

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 09월 13

선분 [eqn: {rm{AB}} it]가 곡선 [eqn: y= log _{2} x]와 만나는 점을 [eqn: {rm{D}} it]라 하자. 선분 [eqn: {rm{AD}} it]를 [eqn: 2: 3]으로 내분하는 점을 지나고 [eqn: y]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y= log _{2} x]와 만나는 점을 [eqn: {rm{E}} it], 점 [eqn: {rm{E}} it]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y=2^{x}]과 만나는 점을 [eqn: {rm{F}} it]라 하자. 점 [eqn: {rm{F}} it]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: rm 16]일 때, 직선 [eqn: {rm{DF}} it]의 기울기는?

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: {rm{E}} it]의 좌표를 [eqn: (a,`` b)]라 하면 점 [eqn: {rm{F}} it]의 좌표는 [eqn: left(a,`` 2^{a} right)]이고 [eqn: 2^{a}=16]에서

[eqn: therefore~a=4]

또 점 [eqn: {rm{E}} it]는 곡선 [eqn: y= log _{2} x]위의 점이므로

[eqn: b= log _{2} 4=2]

두 점 [eqn: {rm{A}} it left(2^{n},`` 0 right)], [eqn: {rm{D}} it left(2^{n},`` n right)]을 이은 선분을 [eqn: 2: 3]으로 내분하는 점은 [eqn: left(2^{n},`` {2} over {5} n right)]이고

이 점의 [eqn: y]좌표가 점 [eqn: {rm{E}} it]의 [eqn: y]좌표와 같으므로

[eqn: {2} over {5} n=2 ~]	[eqn: therefore~n=5]

따라서 두 점 [eqn: {rm{D}} it (32,``5)], [eqn: {rm{F}} it (4,``16)]을 지나는

직선 [eqn: {rm{DF}} it]의 기울기는

[eqn: {16-5} over {4-32}=-{11} over {28}]

① [eqn: -{13} over {28}]	② [eqn: -{25} over {56}]	③ [eqn: -{3} over {7}]

④ [eqn: -{23} over {56}]	⑤ [eqn: -{11} over {28}]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고2 09월 20

[eqn: x GEQ 1 `]에서 정의 된 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]를 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) =log` x - LEFT [ log` x RIGHT ] `]라 하자. [보기]에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ] `]는 [eqn: x `]보다 크지 않는 최대의 정수이다.)

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: f(50)`=`log50-`[`log50]`=`log5`]

[eqn: f(5)=`log5`-[log5]`=`log5`] (참)

ㄴ. [eqn: f(a)+f(b)=1``]이고

[eqn: log`a`=`[log`a`]`+`f(a)`,~``log`b`=`[log`b`]`+`f(b)`]이므로

[eqn: logab`=`[log`a`]`+`[log`b`]`+`1`]는 정수 [eqn: THEREFORE~f(ab)`=0``](참)

ㄷ. [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: y=- { 1} over {10^{3} }`x`+`1`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: THEREFORE~`]교점은 모두 [eqn: `4`]개다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT (5 RIGHT ) =f LEFT (50 RIGHT )] ㄴ. [eqn: f LEFT (a RIGHT ) + f LEFT (b RIGHT ) =1 `]이면 [eqn: f LEFT (ab RIGHT )=0 `]이다. ㄷ. 두 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]와 [eqn: y=`- { 1} over {10^{3} } x + 1 `]의 그래프의 교점은 모두 [eqn: 4 `]개다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 06월
[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 06월

[eqn: 0 < a < 1 < b `]인 두 실수 [eqn: a], [eqn: b `]에 대하여 두 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: g(x)=`log _{b} (ax-1)]의 점근선은 [eqn: x= {1} over {a}]

[eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축과의 교점이 [eqn: y=g(x)]의 점근선 위에 존재하므로 [eqn: f LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) =0]을 만족한다.

[eqn: log _{a} ` LEFT ( {b} over {a} -1 RIGHT ) =0][eqn: LRARROW][eqn: {b} over {a} -1=1] 에서 [eqn: b=2a]

조건에 의하여 [eqn: 0<a<1]이고 [eqn: b>1]이므로 [eqn: 2a>1]

[eqn: ∴ `` 1 over 2 < a < 1 ``][eqn: THEREFORE b=2a][eqn: LEFT ( {1} over {2} <a<1 RIGHT )]

[eqn: f LEFT (x RIGHT ) = log`_a `LEFT ( b x -1 RIGHT )], [eqn: g LEFT (x RIGHT ) = log`_ b `LEFT (a x - 1 RIGHT ) `]

이 있다. 곡선 [eqn: y = f LEFT (x RIGHT ) `]와 [eqn: x `]축의 교점이 곡선 [eqn: y = g LEFT (x RIGHT ) `]의 점근선 위에 있도록 하는 [eqn: a `]와 [eqn: b] 사이의 관계식과 [eqn: a `]의 범위를 옳게 나타낸 것은?

① [eqn: b =`-2a +2][eqn: LEFT (a < a < 1 over 2 RIGHT )]	② [eqn: b =2 a][eqn: LEFT ( 0 < a < 1 over 2 RIGHT )]

③ [eqn: b =2 a][eqn: LEFT ( 1 over 2 < a < 1 RIGHT )]	④ [eqn: b =2 a +1][eqn: LEFT ( 0 < a < 1 over 2 RIGHT )]

⑤ [eqn: b =2 a+1][eqn: LEFT ( 1 over 2 < a < 1 RIGHT )]

[출처]	2015 모의_공공 사관학교 고3 07월 18

그림과 같이 곡선 [eqn: y=2^x-1 +1] 위의 점 [eqn: rmA`]와 곡선 [eqn: y=log` _2 `LEFT (x+1 RIGHT )] 위의 두 점 [eqn: rm B], [eqn: rmC`]에 대하여 두 점 [eqn: rm A`]와 [eqn: rm B`]는 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이고, 직선 [eqn: rm AC`]는 [eqn: x`]축과 평행하다. 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 무게중심의 좌표가 [eqn: LEFT (p,`` q RIGHT )`]일 때, [eqn: p+q`]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rm A]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 하면 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: (a, ``2^a-1 +1)]

점 [eqn: rm A]와 [eqn: rm B]는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로

점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: (2^a-1 +1 , ``a)]

점 [eqn: rm B]가 곡선 [eqn: y=log`_2 `(x+1)] 위의 점이므로

[eqn: a = log`_2 ``(2^a-1 +2 )]

[eqn: 2^a = 2^a-1 +2]

[eqn: 2^a-1 =2]

∴ [eqn: a=2]

점 [eqn: rm A]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 2^{ 2-1} +1][eqn: = 3]

직선 [eqn: rm AC]가 [eqn: x]축과 평행하므로 점 [eqn: rm C]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 3]이다.

[eqn: log`_2 `(x+1)= 3]에서 [eqn: x = 2^3 -1 =7]

∴ [eqn: rm A][eqn: LEFT ( 2 , ``3RIGHT )], [eqn: rm B][eqn: LEFT (3, ``2 RIGHT )], [eqn: rm C][eqn: LEFT (7, ``3 RIGHT )]

∴ [eqn: p][eqn: = { 2+3+7} over { 3}=4], [eqn: q = { 3+2+3} over { 3} = 8 over3]

∴ [eqn: p+q = 20 over3]

① [eqn: 16 over3]	② [eqn: 17 over3]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 19 over3]	⑤ [eqn: 20 over3]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 07월 28

그림과 같이 세 로그함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=k log` x], [eqn: g LEFT (x RIGHT )=k ^{2} log` x], [eqn: h LEFT (x RIGHT )=4k ^{2} log` x`]의 그래프가 있다. 점 [eqn: \P it LEFT ( 2 ,`` 0 RIGHT )`]을 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이 두 곡선 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )], [eqn: y=h LEFT (x RIGHT ) `]와 만나는 점의 [eqn: y`]좌표를 각각 [eqn: p], [eqn: q`]라 하자. 직선 [eqn: y=p`]와 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]가 만나는 점을 [eqn: \Q it LEFT ( a ,`` p RIGHT )], 직선 [eqn: y=q`]와 곡선 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )`]가 만나는 점을 [eqn: \R it LEFT ( b ,`` q RIGHT )`]라 하자. 세 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R`]가 한 직선 위에 있을 때, 두 실수 [eqn: a], [eqn: b`]의 곱 [eqn: ab`]의 값을 구하시오. [eqn: (]단, [eqn: k>1][eqn: )]

[정답] [eqn: 88]

[해설]

직선 [eqn: x=2]와 곡선 [eqn: y=g(x)]가 만나는 점의 [eqn: y]좌표가 [eqn: p]이므로 [eqn: p=k ^{2} `log`2]

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `] 위의 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: p]이므로

[eqn: k ^{2} `log`2`=k`log`a]를 정리하면 [eqn: a=2 ^{k}]

직선 [eqn: x=2]와 곡선 [eqn: y=h(x)]의 만나는 점의 [eqn: y]좌표가 [eqn: q]이므로 [eqn: q=4k ^{2} log`2]

곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `] 위의 점 [eqn: rmR]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: q]이므로

[eqn: 4k ^{2} `log`2=k ^{2} `log`b]를 정리하면 [eqn: b=2 ^{4}]

세 점 [eqn: rmP(2,``0)], [eqn: rmQ(it2 ^{k} ,``k ^{2} `log`2)], [eqn: rmR(it2 ^{4} ,``4k ^{2} `log`2)]가 한 직선 위에 있으므로

[eqn: {k ^{2} `log`2} over {2 ^{k} -2} = {4k ^{2} `log`2} over {14}]를 정리하면 [eqn: 2 ^{k} = {11} over {2}]

[eqn: a= {11} over {2}], [eqn: b=16]

따라서 [eqn: ab=88]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 06월 28

곡선 [eqn: {y=log _{ 2} x}{{from^2019^06^부산교육청고2나^중}}]를 원점에 대하여 대칭이동한 후 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: {5} over {2}]만큼 평행이동한 곡선을 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]라 하자. 두 곡선 [eqn: y=log _{ 2} x]와 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 두 교점을 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라 할 때, 직선 [eqn: rm AB]의 기울기는 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: 10p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 34 }]

[해설]

곡선 [eqn: y=log _{ 2} x]를 원점에 대하여 대칭이동한 곡선은 [eqn: y= it -log _{ 2} LEFT ( -x RIGHT )]이고, 이것을 다시 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: {5} over {2}]만큼 평행이동한 곡선은

[eqn: y= it -log _{ 2} LEFT { - LEFT ( x- {5} over {2} RIGHT ) RIGHT } = it -log _{ 2} LEFT ( -x+ {5} over {2} RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = it -log _{ 2} LEFT ( -x+ {5} over {2} RIGHT )]이다.

두 점 [eqn: rmA] , [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta] ([eqn: alpha <beta])라 하면 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]는 방정식 [eqn: log _{ 2} x= it -log _{ 2} LEFT ( -x+ {5} over {2} RIGHT )]의 해다.

따라서 [eqn: log _{ 2} x= it -log _{ 2} LEFT ( -x+ {5} over {2} RIGHT )]

[eqn: log _{ 2} x+log _{ 2} LEFT ( -x+ {5} over {2} RIGHT ) =0], [eqn: log _{ 2} LEFT { x LEFT ( -x+ {5} over {2} RIGHT ) RIGHT } =0],

[eqn: x LEFT ( -x+ {5} over {2} RIGHT ) =1],	[eqn: 2x ^{2} -5x+2=0]

[eqn: LEFT ( 2x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) =0]

[eqn: therefore][eqn: alpha= {1} over {2}], [eqn: beta=2]

따라서 [eqn: rm A LEFT ( {1} over {2} ,```` -1 RIGHT )], [eqn: rm B(2 ,```` 1)]이고, 직선 [eqn: rm AB]의 기울기는 [eqn: {q} over {p} = {1- LEFT ( -1 RIGHT )} over {2- {1} over {2}} = {4} over {3}]이다.

따라서 [eqn: 10p+q=34]이다.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 29

자연수[eqn: {k}{{from^2020^06^부산고2^}}] ([eqn: k LEQ 39])에 대하여 함수

[정답] [eqn: bold { 24 }]

[해설]

[eqn: x]의 값이 증가할 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 값은 감소하므로 조건 (가)와 (나)를 만족하기 위해서는 두 교점이 제 [eqn: 2]사분면과 제 [eqn: 4]사분면에 각각 한 개씩 존재하야 한다.

따라서 [eqn: -8<f LEFT ( 0 RIGHT ) <8], [eqn: f LEFT ( -8 RIGHT ) >0], [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) <0]

(ⅰ) [eqn: -8<f LEFT ( 0 RIGHT ) <8]일 때,
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =2log _{{1} over {2}} LEFT ( -7+k RIGHT ) +2]이므로 [eqn: -8<2 log _{{1} over {2}} LEFT ( -7+k RIGHT ) +2<8]에서 [eqn: {57} over {8} <k<39]

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( -8 RIGHT ) >0]일 때,
[eqn: f LEFT ( -8 RIGHT )][eqn: =2 log _{{1} over {2}} LEFT ( -15+k RIGHT ) +2]이므로 [eqn: 2 log _{{1} over {2}} LEFT ( -15+k RIGHT ) +2>0]에서 [eqn: k<17]

(ⅲ) [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) <0]일 때,
[eqn: f LEFT ( 8 RIGHT )][eqn: =2 log _{{1} over {2} } LEFT ( 1+k RIGHT ) +2]이므로 [eqn: 2 log _{{1} over {2}} LEFT ( 1+k RIGHT ) +2<0]에서
[eqn: k>1]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해서 [eqn: {57} over {8} <k<17]이다.

따라서 [eqn: k]의 최댓값 [eqn: M=16], 최솟값 [eqn: m=8]이므로

[eqn: M+m=24]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 log _{{1} over {2}} LEFT ( x-7+k RIGHT ) +2]

의 그래프와 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =64]가 만나는 서로 다른 두 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a ,```` b]라 하자. 다음 조건을 만족시키는 [eqn: k]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값을 구하시오.

(가) [eqn: ab<0]

(나) [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) f LEFT ( b RIGHT ) <0]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 15

그림과 같이 [eqn: 1`]보다 큰 실수 [eqn: k`]에 대하여 두 곡선 [eqn: y= {rm {rm log` } it } it _{ 2} LEFT | kx RIGHT |]와 [eqn: y= {rm {rm log` } it } it _{2} LEFT ( x+4 RIGHT )]가 만나는 서로 다른 두 점을 [eqn: rmA], [eqn: rm B`]라 하고, 점 [eqn: rmB`]를 지나는 곡선 [eqn: y= {rm log` } it _{2} LEFT ( -x+m RIGHT )]이 곡선 [eqn: y= {rm log` } it _{ 2} LEFT | kx RIGHT |]와 만나는 점 중 [eqn: rmB`]가 아닌 점을 [eqn: rmC`]라 하자. 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rm B], [eqn: rm C`]의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}], [eqn: x _{3}`]이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: x _{1} <x _{2}`]이고, [eqn: m`]은 실수이다.)

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: log _{ 2} LEFT | kx _{1} RIGHT | =log _{2} (x _{1} +4)]에서 [eqn: x _{1} <0]이므로
[eqn: -kx _{1} =x _{1} +4 ,~ x _{1} = {-4} over {k+1}]
[eqn: log _{ 2} LEFT | kx _{2} RIGHT | =log _{2} (x _{2} +4)]에서 [eqn: x _{2} >0]이므로
[eqn: kx _{2} =x _{2} +4 ,~ x _{2} = {4} over {k-1}]
[eqn: x _{2} =-2x _{1}]에서
[eqn: {4} over {k-1} = {8} over {k+1}], [eqn: k+1=2k-2 ,~ k=3] (참)

ㄴ. [eqn: log _{ 2} LEFT | kx _{2} RIGHT | =log _{2} (-x _{2} +m)]에서 [eqn: x _{2} >0]이므로
[eqn: kx _{2} =-x _{2} +m],
[eqn: m=(k+1)x _{2} = {4(k+1)} over {k-1}]
[eqn: log _{ 2} LEFT | kx _{3} RIGHT | =log _{2} (-x _{3} +m)]에서 [eqn: x _{3} <0]이므로
[eqn: -kx _{3} =-x _{3} +m],
[eqn: x _{3}][eqn: = {-m} over {k-1}][eqn: = {-4(k+1)} over {(k-1) ^{2}}]
그러므로
[eqn: x _{1} x _{3}][eqn: = {-4} over {k+1} TIMES {-4(k+1)} over {(k-1) ^{2}}][eqn: = LEFT ( {4} over {k-1} RIGHT ) ^{2}][eqn: =x _{2} ` ^{2}] (참)

ㄷ. [eqn: x _{2} ` ^{2} =x _{1} x _{3}]에서 [eqn: {x _{2}} over {x _{1}} = {x _{3}} over {x _{2}}]
[eqn: {x _{2}} over {x _{1}} = {-k-1} over {k-1} =-1- {2} over {k-1} < -1]
[eqn: {x _{2}} over {x _{1}} =r ( r < -1)]이라 하면 [eqn: x _{2} =x _{1} r ,~ x _{3} =x _{1} r ^{2}]
세 점 [eqn: rm { A,~ B,~ C }]의 [eqn: y]좌표를 각각 [eqn: y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3}]이라 하면
두 직선 [eqn: rm { AB ,~ AC }]의 기울기의 합이 [eqn: 0]이므로
[eqn: {y _{2} -y _{1}} over {x _{2} -x _{1}} + {y _{3} -y _{1}} over {x _{3} -x _{1}}]
[eqn: = {log _{2} LEFT | kx _{2} RIGHT | -log _{2} LEFT | kx _{1} RIGHT |} over {x _{1} (r-1)} + {log _{2} LEFT | kx _{3} RIGHT | -log _{2} LEFT | kx _{1} RIGHT |} over {x _{1} (r ^{2} -1)}]
[eqn: = {log _{2} LEFT | {x _{2}} over {x _{1}} RIGHT |} over {x _{1} (r-1)} + {log _{2} LEFT | {x _{3}} over {x _{1}} RIGHT |} over {x _{1} (r ^{2} -1)}]
[eqn: = {log _{2} (-r)} over {x _{1} (r-1)} + {2 log _{2} (-r)} over {x _{1} (r ^{2} -1)}][eqn: =0]
에서 [eqn: 1+ {2} over {r+1} =0 ,~ r=-3]
[eqn: x _{2} =x _{1} r]에서
[eqn: {4} over {k-1} = {12} over {k+1}], [eqn: k+1=3k-3], [eqn: k=2]이고,
[eqn: m= {4(k+1)} over {k-1} =12]이므로 [eqn: m+k ^{2} =16] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

	<보 기>
ㄱ. [eqn: x _{2}=`-2x _{1}`]이면 [eqn: k=3`]이다. ㄴ. [eqn: x _{2} `^{2}=x _{1} x _{3}] ㄷ. 직선 [eqn: rmAB`]의 기울기와 직선 [eqn: rmAC`]의 기울기의 합이 [eqn: 0`]일 때, [eqn: m+k ^{2} =19]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 10

[eqn: n GEQ 2]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 곡선

[정답] ②

[해설]

[eqn: y=log _{n} x], [eqn: y=-log _{n} LEFT ( x+3 RIGHT ) +1]을 연립하면

[eqn: log _{n} x=-log _{n} LEFT ( x+3 RIGHT ) +1], [eqn: log _{n} x+log _{n} LEFT ( x+3 RIGHT ) =1]

[eqn: log _{n} x LEFT ( x+3 RIGHT ) =1]

즉, [eqn: x LEFT ( x+3 RIGHT ) =n]이므로 [eqn: x^2 +3x -n=0]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x^2 +3x -n]이라 하면 문제 조건에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 근이 [eqn: 1]보다 크고 [eqn: 2]보다 작은 근이 존재한다는 의미이므로 [eqn: f(1)<0 ,````f(2) >0]이어야 한다.

따라서 [eqn: f(1) = 4-n <0, ````f(2) =4+6-n >0]

즉, [eqn: n>4,````n<10]이므로 만족하는 [eqn: n]의 범위는 [eqn: 4<n<10]

따라서 만족하는 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: n=5 ,```` 6 ,```` 7 ,```` 8 ,```` 9]

구하고자 하는 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 5+6+7+8+9=35]

[eqn: y=log _{n} x], [eqn: y=-log _{n} LEFT ( x+3 RIGHT ) +1]

이 만나는 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1]보다 크고 [eqn: 2]보다 작도록 하는 모든 [eqn: n]의 값의 합은?

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 28

두 자연수 [eqn: a ,```` b]에 대하여 좌표평면 위에 두 점 [eqn: {rmA} LEFT ( a ,```` log _{4} b RIGHT )], [eqn: {rmB} LEFT ( 1 ,```` log _{8} root {4} of {27} RIGHT )]이 있다. 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2 ``:`` 1]로 외분하는 점이 곡선 [eqn: y=-log _{4} LEFT ( 3-x RIGHT )] 위에 있고, 집합

[정답] [eqn: bold { 15 }]

[해설]

선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2 ``:`` 1]로 외분하는 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( {2-a} over {2-1} ,```` {2log _{8} root {4} of {27} -log _{4} b} over {2-1} RIGHT )]이고

[eqn: 2log _{8} root {4} of {27} -log _{4} b][eqn: =log _{8} sqrt {27} -log _{4} b]
[eqn: =log _{4} 3-log _{4} b]
[eqn: =log _{4} {3} over {b}]

이므로 [eqn: LEFT ( {2-a} over {2-1} ,```` {2log _{8} root {4} of {27} -log _{4} b} over {2-1} RIGHT ) = LEFT ( 2-a ,```` log _{4} {3} over {b} RIGHT )]이다.

이 점이 곡선 [eqn: y=-log _{4} LEFT ( 3-x RIGHT )]위에 있으므로

[eqn: log _{4} {3} over {b} =-log _{4} LEFT ( a+1 RIGHT ) =log _{4} {1} over {a+1}]

따라서 [eqn: b=3 LEFT ( a+1 RIGHT )]이다.

집합 [eqn: left{` n ``|`` b<2 ^{n} {times}a{le}32b ,```` n]은 정수[eqn: `right}]의 원소의 개수는 [eqn: 5]이다.

[eqn: left{` n ``|`` b<2 ^{n} {times}a{le}32b ,```` n]은 정수[eqn: `right}]

[eqn: = LEFT { m ,```` m+1 ,```` m+2 ,```` m+3 ,```` m+4 RIGHT }][eqn: (m]은 정수[eqn: )]

라 하면 [eqn: m+ LEFT ( m+1 RIGHT ) + LEFT ( m+2 RIGHT ) + LEFT ( m+3 RIGHT ) + LEFT ( m+4 RIGHT ) =25]이므로  [eqn: m=3]이다.

그러므로 [eqn: 2{le}log _{2} {b} over {a} <3]이다.

[eqn: 4le {b} over {a} <8]이고 [eqn: b=3 LEFT ( a+1 RIGHT )]이므로 [eqn: {3} over {5} <a{le}3]이다.

그러므로 [eqn: a=1], [eqn: b=6] 또는 [eqn: a=2], [eqn: b=9]
또는 [eqn: a=3], [eqn: b=12]이다.

따라서 [eqn: a+b]의 최댓값은 [eqn: 15]

[eqn: LEFT {` n ``|`` b<2 ^{n} TIMES a LEQ 32b ,```` n RIGHT .]은 정수[eqn: ` RIGHT }]

의 모든 원소의 합은 [eqn: 25]이다. [eqn: a+b]의 최댓값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 9

곡선 [eqn: y= LEFT | log` _{2} ` LEFT ( -x RIGHT ) RIGHT | `]를 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 후 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: k`]만큼 평행이동한 곡선을 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]라 하자. 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 곡선 [eqn: y= LEFT | log` _{2} ` LEFT ( -x+8 RIGHT ) RIGHT | ``]이 세 점에서 만나고 세 교점의 [eqn: x`]좌표의 합이 [eqn: 18`]일 때, [eqn: k`]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: f left(x right)=left|`log`_2`left(x-k right)`right|]이므로

[eqn: left|`log`_2`left(x-k right)`right|=left|`log`_2`left(-x+8right)`right|]	[eqn: cdotscdots] ㉠

(ⅰ) [eqn: log`_2`left(x-k right)=log`_2`left(-x+8right)]일 때,
[eqn: x-k=it-x+8]
[eqn: therefore][eqn: x={k+8}over2]

(ⅱ) [eqn: log`_2`left(x-k right)=it-log`_2`left(-x+8right)]일 때,
[eqn: log`_2`left(x-k right)left(-x+8 right)=0]
[eqn: -x^2 +left(k+8right)x-8k=1]
[eqn: x^2 -left(k+8right)x+8k-1=0]	[eqn: cdotscdots] ㉡
곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 곡선 [eqn: y= LEFT | log` _{2} ` LEFT ( -x+8 RIGHT ) RIGHT |]이 세 점에서 만나기 위해서는 방정식 ㉠이 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로 이차방정식 ㉡이 서로 다른 두 실근을 갖는다. 이 두 실근을 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 근과 계수의 관계에서
[eqn: alpha+beta=k+8]

(ⅰ), (ⅱ)에서 세 실근의 합이 [eqn: 18]을 만족해야 하므로

[eqn: {k+8}over2 +left(k+8right)=18], [eqn: k+8= 12]

[eqn: therefore][eqn: k=4]

[다른 풀이]

[eqn: f left(x right)=left|`log`_2`left(x-k right)`right|]이므로 [eqn: y=left|`log`_2`left(-x+8 right)`right|]과 [eqn: x={k+8}over2]에 대하여 대칭이다.

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 곡선 [eqn: y= LEFT | log` _{2} ` LEFT ( -x+8 RIGHT ) RIGHT |]이 세 점에서 만나므로 교점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma] ([eqn: alpha<beta<gamma])라 하면

[eqn: beta={k+8}over2], [eqn: {alpha+gamma}over2 =k+8]

을 만족한다.

따라서 [eqn: alpha+beta+gamma= 3over2 left(k+8right)=18], [eqn: k+8= 12]

[eqn: therefore][eqn: k=4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[준킬러][수학1] 2지수로그함수1(빠른 정답)
프로젝트	2023.01.06

[정답] [eqn: 24]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 16 }]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: bold{ 43]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: 220]

[정답] [eqn: 8]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] [eqn: 3]

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] [eqn: 32]

[정답] [eqn: 21`]

[정답] [eqn: 90]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: 3]

[정답] [eqn: 112]

[정답] [eqn: 17]

[정답] [eqn: bold{12}]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: rm 19]

[정답] [eqn: 10]

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: 25`]

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] [eqn: 297]

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] [eqn: 25]

[정답] [eqn: bold { 60 }]

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 16]

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 88]

[정답] [eqn: bold { 34 }]

[정답] [eqn: bold { 24 }]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 15 }]

[정답] ④

[준킬러][수학1] 2지수로그함수1(해설)
프로젝트	2023.01.06