	준킬러수1	[준킬러][수학1] 6수열2
	06
		프로젝트	2023.01.06

03 수1	10 수열의합
04 항등식과 수열, 활용
04 활용1 (일반항 구하기. 대수와 식)

준킬러수1		프로젝트
		[준킬러][수학1] 6수열2
06

	프로젝트		준킬러수1
	[준킬러][수학1] 6수열2		06

[출처]	2002 모의_공공 교육청 고2 06월 12

이차방정식 [eqn: x^{2}-3 x+1=0]의 두 근 [eqn: a], [eqn: beta]에 대하여

[정답] ①

[해설]

이차방정식 [eqn: x^{2}-3 x+1=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로 근과 계수의 관계에서 [eqn: ~ {rm{a}} it + beta=3], [eqn: {rm{a}} it beta=1]

[eqn: (]주어진 식) [eqn: = sum_{k=1}^{10} left(1-{k} over {a} right) left(1-{k} over { beta} right)]
[eqn: = sum_{k=1}^{10} {1} over {a beta}(a-k)( beta-k)]
[eqn: left.= sum_{k=1}^{10} LEFT { k^{2}-(a+ beta) k+a beta) RIGHT } ~ ( because a beta=1)]
[eqn: = sum_{k=1}^{10} left(k^{2}-3 k+1 right)]
[eqn: ={10 cdot 11 cdot 21} over {6}-3 cdot {10 cdot 11} over {2}+10]
[eqn: =230]

[eqn: left(1-{1} over {a} right) left(1-{1} over { beta} right)+ left(1-{2} over {a} right) left(1-{2} over { beta} right)+ cdots+ left(1-{10} over {a} right) left(1-{10} over { beta} right)]

의 값은?

① [eqn: rm 230]	② [eqn: rm 240]	③ [eqn: rm 250]

④ [eqn: rm 260]	⑤ [eqn: rm 270]

[출처]	2005 모의_공공 사관학교 고3 07월 10

수열의 합 [eqn: sum_{k=1}^{n} 2^{k}]의 값이 [eqn: rm 65]의 배수가 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: sum_{k=1}^{n} 2^{k}={2 left(2^{n}-1 right)} over {2-1}=2 left(2^{n}-1 right)=65 k]이고 [eqn: rm 2]와 [eqn: rm 65]는

서로소이므로 [eqn: 2^{n}-1=65 k `prime]이 성립하면 된다.

[eqn: 2^{n}=65 k `prime +1=(5 cdot 13) k `prime +1] ([eqn: n,`` k]는 자연수)

(ⅰ) 수열 [eqn: a_{n}=2^{n}]을 [eqn: rm 5]로 나눈 나머지의 수열을 [eqn: a_{n} it ^ { prime}]이라고 하면 [eqn: a_{n} `prime : 2], [eqn: 4], [eqn: 3], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 3], [eqn: 1], [eqn: CDOTS] 이므로 [eqn: 2^{n}]을 [eqn: rm 5]로 나눈 나머지가 [eqn: rm 1]이 되는 경우는 [eqn: n]이 [eqn: rm 4]의 배수일 때이다.

(ⅱ) [eqn: 2^{4 m}= left(2^{4} right)^{m}=(13+3)^{m}]을 [eqn: rm 13]으로 나눈 나머지는 [eqn: 3^{m}]을 [eqn: rm 13]으로 나눈 나머지와 같다.
수열 [eqn: b_{m}=3^{m}]을 [eqn: rm 13]으로 나눈 나머지의 수열을 [eqn: b_{m} it ^ { prime}]이라고 하면 [eqn: b_{m} it ^ { prime}: 3], [eqn: 9], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 9], [eqn: 1], [eqn: CDOTS] 이므로 [eqn: 2^{4 m}]을 [eqn: rm 13]으로 나눈 나머지가 [eqn: rm 1]이 되는 경우는 [eqn: m]이 [eqn: rm 3]의 배수일 때이다.

[eqn: therefore~](ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: 2^{n}]을 [eqn: rm 5], [eqn: rm 13]으로 나눈 나머지가 모두 [eqn: rm 1]이 되는 경우는 [eqn: n]이 [eqn: rm 12]의 배수가 될 때이다.

① [eqn: rm 10]	② [eqn: rm 11]	③ [eqn: rm 12]

④ [eqn: rm 13]	⑤ [eqn: rm 14]

[출처]	2005 모의_공공 경찰대 고3 07월 22

[eqn: a_{n}= left[{n^{2}} over {104} right]]일 때, [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: cdots], [eqn: a_{103}] 중에서 서로 다른 값의 개수는? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]를 넘지 않은 최대정수이다.)

[정답] ⑤

[해설]

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 연속하는 두 항의 값이 서로 다르기 위한 조건은

[eqn: a_{n+1} geq a_{n}+1]

즉, [eqn: b_{n}={n^{2}} over {104}]라고 하면

[eqn: b_{n+1} geq b_{n}+1]	[eqn: CDOTS CDOTS] (1)

여기서

[eqn: b_{n+1}-b_{n}={(n+1)^{2}-n^{2}} over {104}={2 n+1} over {104}]

이므로 조건 (1)에 의해

[eqn: 2 n+1 geq 104 ~~~ therefore~n geq 52]

1) [eqn: n leq 52]인 경우 :
[eqn: a_{52}= left[{52^{2}} over {104} right]=26]이므로 [eqn: 0]부터 [eqn: 26]까지 [eqn: 27]개의 값을 갖는다.

2) [eqn: n>52]인 경우 :
모든 항이 다른 값을 가지므로 [eqn: rm 51]개의 값이 나온다.

따라서 가질 수 있는 값은

[eqn: 27+51=78] (가지)

① [eqn: rm 70]	② [eqn: rm 72]	③ [eqn: rm 74]

④ [eqn: rm 76]	⑤ [eqn: rm 78]

[출처]	2007 모의_공공 경찰대 고3 07월 25

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식

[정답] ①

[해설]

[eqn: 0<{1} over {3}- sum_{k=1}^{n} {a_{k}} over {5^{k}}<{1} over {5^{n}}]에서

[eqn: {1} over {3}-{1} over {5^{n}}< sum_{k=1}^{n} {a_{k}} over {5^{k}}<{1} over {3}]

[eqn: {1} over {3}-{1} over {5^{n}}<{a_{1}} over {5}+{a_{2}} over {5^{2}}+{a_{3}} over {5^{3}}+ cdots+{a_{n}} over {5^{n}}<{1} over {3}]

위의 식의 각 변에 [eqn: rm 5]를 곱하면

[eqn: {5} over {3} - {1} over {5 ^{n-1}} <a _{1} + {a _{2}} over {5} + {a _{3}} over {5 ^{2}} + CDOTS + {a _{n}} over {5 ^{n-1}} < {5} over {3}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: THEREFORE ~a _{1} =1`][eqn: LEFT ( `because``a _{1} ` RIGHT .]은 자연수[eqn: )]

㉠의 각 변에서 [eqn: rm 1]을 빼면

[eqn: {2} over {3}-{1} over {5^{n-1}}<{a_{2}} over {5}+{a_{3}} over {5^{2}}+ cdots+{a_{n}} over {5^{n-1}}<{2} over {3}]

위의 식의 각 변에 [eqn: rm 5]를 곱하면

[eqn: {10} over {3} - {1} over {5 ^{n-2}} <a _{2} + {a _{3}} over {5 ^{1}} + CDOTS + {a _{n}} over {5 ^{n-2}} < {10} over {3}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

[eqn: THEREFORE ~a _{2} =3][eqn: LEFT ( `BECAUSE a _{2} RIGHT .]는 자연수[eqn: )]

㉡의 각 변에서 [eqn: rm 3]을 빼면

[eqn: {1} over {3}-{1} over {5^{n-2}}<{a_{3}} over {5}+{a_{4}} over {5^{2}}+{a_{5}} over {5^{3}}+ cdots+{a_{n}} over {5^{n-2}}<{1} over {3}]

위의 식의 각 변에 [eqn: rm 5]를 곱하면

[eqn: {5} over {3}-{1} over {5^{n-3}}<a_{3}+{a_{4}} over {5}+{a_{5}} over {5^{2}}+ cdots+{a_{n}} over {5^{n-3}}<{5} over {3}]

[eqn: THEREFORE ~a _{3} =1][eqn: LEFT ( BECAUSE a _{3} RIGHT .]은 자연수)

마찬가지로

[eqn: a_{4}=3], [eqn: a_{5}=1], [eqn: a_{6}=3], [eqn: cdots]

[eqn: THEREFORE ~a _{n} = {cases{1&&(n이~홀수)#3&&(n이~짝수)}}]

[eqn: therefore~a_{2007}+a_{2008}+a_{2009}=1+3+1=5]

[eqn: 0<{1} over {3}- sum_{k=1}^{n} {a_{k}} over {5^{k}}<{1} over {5^{n}}]

이 성립하도록 자연수 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: cdots]을 차례로 정할 때, [eqn: a_{2007}+a_{2008}+a_{2009}]의 값은?

① [eqn: rm 5]	② [eqn: rm 6]	③ [eqn: rm 7]

④ [eqn: rm 8]	⑤ [eqn: rm 9]

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 23

자연수 [eqn: n(n geq 2)]으로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수를 모두 더한 값을 [eqn: a_{n}]이라 하자. 예를 들어 [eqn: rm 4]로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수는 [eqn: 5], [eqn: 10], [eqn: 15]이므로 [eqn: a_{4}=5+10+15=30]이다. [eqn: a_{n}>500]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

[정답] [eqn: 11]

[해설]

[eqn: n`]으로 나누었을 때 몫과 나머지가 같아지는 자연수는 [eqn: n+1,````2n+2,````3n+3,````4n+4,```` CDOTS ,````(n-1)n+(n-1)`]의 [eqn: n-1`]개다.

[eqn: therefore][eqn: a_n][eqn: = sum_k=1^n-1 (kn+k)`]
[eqn: = (n+1) sum_k=1^n-1 k`]
[eqn: = (n+1) cdot {(n-1)n} over 2`]

[eqn: a_n >500`]에서

[eqn: {(n-1)n(n+1)} over2 `>500`]

[eqn: (n-1)n(n+1)>1000`]

[eqn: 9 cdot 10 cdot 11 = 990 <1000`]

[eqn: 10 cdot 11 cdot 12 = 1320 >1000`]

이므로 구하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 11`]이다.

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 11월 23

자연수 [eqn: n(n geq 2)]으로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수를 모두 더한 값을 [eqn: a_{n}]이라 하자. 예를 들어 [eqn: rm 4]로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수는 [eqn: 5], [eqn: 10], [eqn: 15]이므로 [eqn: a_{4}=5+10+15=30]이다. [eqn: a_{n}>500]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

[정답] [eqn: 11]

[해설]

[eqn: n`]으로 나누었을 때 몫과 나머지가 같아지는 자연수는 [eqn: n+1,````2n+2,````3n+3,````4n+4,```` CDOTS ,````(n-1)n+(n-1)`]의 [eqn: n-1`]개다.

[eqn: therefore][eqn: a_n][eqn: = sum_k=1^n-1 (kn+k)`]
[eqn: = (n+1) sum_k=1^n-1 k`]
[eqn: = (n+1) cdot {(n-1)n} over 2`]

[eqn: a_n >500`]에서

[eqn: {(n-1)n(n+1)} over2 `>500`]

[eqn: (n-1)n(n+1)>1000`]

[eqn: 9 cdot 10 cdot 11 = 990 <1000`]

[eqn: 10 cdot 11 cdot 12 = 1320 >1000`]

이므로 구하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 11`]이다.

[출처]	2008 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2^{n} leq x leq 2^{n+10}]에서 [eqn: left| log _{2} x-2 n right|]의 최댓값을 [eqn: a_{n}]이라 할 때, [eqn: sum_{k=1}^{10} a_{k}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: rm 75]

[해설]

부등식에 밑을 [eqn: rm 2]로 하는 로그를 취해주면 [eqn: n leq log _{2} x leq n+10 ``RARROW``-n leq log _{2} x-2 n leq 10-n]

[eqn: n<5]일 때는 [eqn: 10-n]의 절댓값이 더 크므로[eqn: a_{n}=10-n]

[eqn: n=5]일 때는 [eqn: -n]과 [eqn: 10-n]의 절댓값이 같으므로 [eqn: a_{n}=5]

[eqn: n>5]일 때는 [eqn: -n]의 절댓값이 더 크므로 [eqn: a_{n}=n]

[eqn: therefore~ sum_{k=1}^{10} a_{k}=9+8+7+6+5+6+7+8+9+10=75]

[출처]	2009 모의_공공 경찰대 고3 07월 14

실수 [eqn: r(|`r`|<1)]에 대하여 [eqn: f(r)={1} over {1-r}]일 때,

[정답] ④

[해설]

[eqn: f(r)={1} over {1-r}]이므로

[eqn: left|`f(-0.1)-1- sum_{k=1}^{n}(-0.1)^{k}` right|<10^{-7}]

[eqn: left|`{1} over {1-(-0.1)}-1-{(-0.1) left{ 1-(-0.1)^{n} it `right} } over {1-(-0.1)} right|<10^{-7}]

[eqn: left|`{1-1.1+0.1+(-0.1)^{n+1}} over {1.1}` right|<10^{-7}]

[eqn: left|`{(-0.1)^{n+1}} over {1.1} `right|<(0.1)^{7}]

[eqn: left|(-0.1)^{n+1} right|<1.1 times(0.1)^{7}]

[eqn: therefore~n+1 geq 7]

따라서 [eqn: n geq 6]이므로 가장 작은 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: rm 6]이다.

[eqn: left|`f(-0.1)-1- sum_{k=1}^{n}(-0.1)^{k}` right|<10^{-7}]

을 만족시키는 가장 작은 자연수 [eqn: n]의 값은?

① [eqn: rm 3]	② [eqn: rm 4]	③ [eqn: rm 5]

④ [eqn: rm 6]	⑤ [eqn: rm 7]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고2 11월 26

[eqn: x]에 대한 이차방정식

[정답] [eqn: 330]

[해설]

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: a_{n}+b_{n}=2 n+1]이고 [eqn: a_{n} b_{n}=n(n+1)]

[eqn: sum_{n=1}^{10} left{ 1- left(a_{n}+b_{n} right)+a_{n} b_{n} it right}]

[eqn: = sum_{n=1}^{10} left{ 1-(2 n+1)+n(n+1) it right} = sum_{n=1}^{10} left(n^{2}-n right)]

[eqn: ={10 times 11 times 21} over {6}-{10 times 11} over {2}=330]

따라서 [eqn: sum_{n=1}^{10} left(1-a_{n} right) left(1-b_{n} right)=330]

[eqn: x^{2}-(2 n+1) x+n(n+1)=0]

의 두 근을 [eqn: a_{n}], [eqn: b_{n}]이라 할 때, [eqn: sum_{n=1}^{10} left(1-a_{n} right) left(1-b_{n} right)]의 값을 구하시오.

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 06월 18

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]을

[정답] ③

[해설]

[eqn: n]이 한 자릿수이면 [eqn: a_{n}]은 [eqn: n]자릿수이므로 [eqn: b_{n}=n-1],

[eqn: n]이 두 자릿수이면 [eqn: a_{n}]은 [eqn: 2 n]자릿수이므로

[eqn: b_{n}=2 n-1]이다. 따라서

[eqn: sum_{n=1}^{20} b_{n}][eqn: = sum_{n=1}^{9}(n-1)+ sum_{n=10}^{20}(2 n-1)]
[eqn: =- sum_{n=1}^{9} n+ sum_{n=1}^{9}(2 n-1)+ sum_{n=10}^{20}(2 n-1)]
[eqn: =- sum_{n=1}^{9} n+ sum_{n=1}^{20}(2 n-1)=355] 이다.

[eqn: a_{n}=(]자연수 [eqn: n]을 [eqn: n]개 이어 붙여 만든 자연수)

라 하자. 예를 들면 [eqn: a_{2}=22], [eqn: a_{10}=10101010101010101010]이다. [eqn: log a_{n}]의 정수부분을 [eqn: b_{n}]이라 할 때, 수열 [eqn: left{ b_{n} it right}]에 대하여

[eqn: sum_{n=1}^{20} b_{n}]의 값은? (단, [eqn: log]는 상용로그이다.)

① [eqn: rm 335]	② [eqn: rm 345]	③ [eqn: rm 355]

④ [eqn: rm 365]	⑤ [eqn: rm 375]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 03월 20

자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: LEFT | LEFT ( n+ {1} over {2} RIGHT ) ^{2} -m RIGHT | < {1} over {2}]
을 만족시키는 자연수 [eqn: m`]을 [eqn: a_{`n} `]이라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{`k} `]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: LEFT | LEFT ( n+ {1} over {2} RIGHT ) ^{2} -m RIGHT | < {1} over {2}]

[eqn: - 1 over 2 < LEFT ( n+ {1} over {2} RIGHT ) ^{2} -m < {1} over {2}]

[eqn: LEFT ( n+ {1} over {2} RIGHT ) ^{`2`][eqn: =n ^{`2} +n+ {1} over {4} `]에서

[eqn: - 3 over 4 < n ^{`2} +n -m < 1 over 4 `]

[eqn: m`], [eqn: n`]은 정수이므로 [eqn: n`^2 +n-m=0`]이다.

[eqn: m`]은 [eqn: n^{`2}+n`]이다. 즉, [eqn: a _{`n} `][eqn: =n ^{`2} +n`]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{`k} `][eqn: = sum _{k=1} ^{5} LEFT ( k ^{`2} +k RIGHT )`][eqn: = {5 TIMES 6` TIMES 11} over {6} + {5 TIMES 6`} over {2} `]

[eqn: =55+15 `][eqn: =70`]이다.

① [eqn: 65]	② [eqn: 70]	③ [eqn: 75]

④ [eqn: 80]	⑤ [eqn: 85]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 11월 17
[출처]	2021 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능완성 01 지수함수와 로그함수 유형3 필수유형
[출처]	2021 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능완성 01 지수함수와 로그함수 유형3 필수유형
[출처]	2021 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능완성 01 지수함수와 로그함수 유형3 필수유형
[출처]	2021 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능특강 대표 기출 문제
[출처]	2022 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능완성 01 지수함수와 로그함수 유형3 필수유형
[출처]	2022 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능완성 01 지수함수와 로그함수 유형3 필수유형

자연수 [eqn: n]의 양의 약수의 개수를 [eqn: f(n)]이라 하고, [eqn: 36]의 모든 양의 약수를 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: CDOTS`], [eqn: a_{9}]라 하자. [eqn: sum _{k=1}^{9} {`} LEFT {(-1)^{f(a_{k})} × log``a_{k} RIGHT }]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: 36`]의 양의 약수는

[eqn: 1,````2,````3,````4,````6,````9,````12,````18,````36]

이고,

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) ,````f LEFT ( 4 RIGHT ) ,````f LEFT ( 9 RIGHT ) ,`````f LEFT ( 36 RIGHT ) `]은 홀수,

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) ,````f LEFT ( 3 RIGHT ) ,````f LEFT ( 6 RIGHT ) ,````f LEFT ( 12 RIGHT ) ,````f LEFT ( 18 RIGHT ) `]은 짝수이다.

따라서

[eqn: sum _{k=1}^{9} {`} LEFT {(-1)^{f(a_{k)}} × log``a_{k} RIGHT }]

[eqn: =-log`1+log`2+log`3-log`4+log`6-log`9]
[eqn: +log`12+log`18-log`36]
[eqn: =log` {2times3times6times12times18} over {1times4times9times36}]
[eqn: =log`6]
[eqn: =log`2+log`3]

① [eqn: log``2 +log 3]	② [eqn: 2`log``2 +log 3]

③ [eqn: log``2 +2`log 3]	④ [eqn: 2`log``2 +2`log 3]

⑤ [eqn: 3`log``2 +2`log 3]

[출처]	2019 모의_공공 경찰대 고3 07월 23

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT |` n - sqrt {m - {1}over{2}} `RIGHT | < 1]을 만족하는 자연수 [eqn: m]의 개수를 [eqn: a_{n}]이라 하자. [eqn: {1}over{ 100}sum _{n = 1}^{100}a_{n}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 202]

[해설]

[eqn: n-1 < sqrt{m - 1 over2} < n+1], [eqn: (n-1)^2 < m - 1 over2 < (n+1)^2]

[eqn: (n-1)^2 + 1 over2 < m <(n+1)^2 + 1 over2], [eqn: a_n = (n+1)^2 - (n-1)^2 = 4n]

[eqn: THEREFORE][eqn: 1 over100 sum_n=1^100 a_n = 1 over100 sum_n=1^100 4n][eqn: = 1 over50 Times 100 Times 101 = 202]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 11월 17
[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 11월 19

다음은 [eqn: 21]이하의 서로 다른 [eqn: 4]개의 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d][eqn: LEFT ( a<b<c<d RIGHT )]에 대하여 [eqn: 2b=a+d]를 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c ,```` d RIGHT )]의 개수를 구하는 과정이다.

[정답] ③

[해설]

세 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: d]는 [eqn: 2b=a+d]를 만족시키므로 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

이 등차수열의 공차가 될 수 있는 가장 작은 값은 [eqn: 2], 가장 큰 값은 [eqn: LEFT . {BOX{ ```` 10```` }} RIGHT .]이다.
이 등차수열의 공차를 [eqn: k][eqn: LEFT ( 2 LEQ k LEQ LEFT . {BOX{ ```` 10 ```` }} RIGHT . RIGHT )]이라 하면
[eqn: 1 LEQ a<a+k<c<a+2k LEQ 21]이므로 [eqn: c]가 될 수 있는 모든 자연수의 개수는 [eqn: k-1]이고 [eqn: a]가 될 수 있는 모든 자연수의 개수는 [eqn: LEFT . {BOX{ ```` 21-2k ```` }} RIGHT .]이다.

따라서 구하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c ,```` d RIGHT )]의 개수는

[eqn: sum _{k=2} ^ {BOX{ ```` 10 ```` }} LEFT { LEFT ( LEFT . k-1 RIGHT . RIGHT ) TIMES LEFT ( LEFT . {BOX{ ```` 21-2k ```` }} RIGHT . RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = sum _{k=2} ^{10} LEFT ( -2k ^{2} +23k-21 RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( -2k ^{2} +23k-21 RIGHT ) - LEFT ( -2 TIMES 1 ^{2} +23 TIMES 1-21 RIGHT )]

[eqn: = it -2 TIMES {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6} +23 TIMES {10 TIMES 11} over {2} -21 TIMES 10]

[eqn: = LEFT . {BOX{ ```` 285 ```` }} RIGHT .]

따라서 [eqn: p=10], [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =21-2k], [eqn: q=285]이므로

[eqn: p+q+f LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =10+285+15=310]

세 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: d]는 [eqn: 2b=a+d]를 만족시키므로 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

이 등차수열의 공차가 될 수 있는 가장 작은 값은 [eqn: 2], 가장 큰 값은 [eqn: LEFT . {BOX{ ```` (가) ```` _{ }^{ } }} RIGHT .]이다.

이 등차수열의 공차를 [eqn: k][eqn: LEFT ( 2 LEQ k LEQ LEFT . {BOX{ ```` (가) ```` _{ }^{ } }} RIGHT . RIGHT )]라 하면

[eqn: a<a+k<c<a+2k]이므로 [eqn: c]가 될 수 있는 모든 자연수의 개수는 [eqn: k-1]이고，[eqn: a]가 될 수 있는 모든 자연수의 개수는 [eqn: LEFT . {BOX{ ```` (나) ```` _{ }^{ } }} RIGHT .]이다.

따라서 구하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c ,```` d RIGHT )]의 개수는

[eqn: sum _{k=2} ^ {BOX{ ```` (가) ```` }}left { LEFT ( k-1 RIGHT ) TIMES LEFT ( {BOX{ ```` (나) ```` }} RIGHT ) RIGHT } = {BOX{ ```` (다) ```` }}]

위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q]라 하고, (나)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )]라 할 때, [eqn: p+q+f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 304]	② [eqn: 307]	③ [eqn: 310]

④ [eqn: 313]	⑤ [eqn: 316]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 29

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: {a}{{from^2020^10^서울고3가^5}}], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c RIGHT )]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 525 }]

[해설]

자연수 [eqn: a ,```` b ,```` c]에 대하여 [eqn: a<b]이고 조건 (나)에서 [eqn: a+b>c]이므로 [eqn: c GEQ 4]이다.

(ⅰ) [eqn: c=2k] ([eqn: k=2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` CDOTS ,```` 10])인 경우
[eqn: b=2k-1]일 때 [eqn: 2 LEQ a LEQ 2k-2]
[eqn: b=2k-2]일 때 [eqn: 3 LEQ a LEQ 2k-3]
[eqn: VDOTS]
[eqn: b=k+1]일 때 [eqn: a=k]이므로 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c RIGHT )]의 개수는
[eqn: LEFT ( 2k-3 RIGHT ) + LEFT ( 2k-5 RIGHT ) + LEFT ( 2k-7 RIGHT ) + CDOTS +3+1]
[eqn: = {LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT { LEFT ( 2k-3 RIGHT ) +1 RIGHT }} over {2}]
[eqn: = LEFT ( k-1 RIGHT ) ^{2}]

(ⅱ) [eqn: c=2k+1] ([eqn: k=2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` CDOTS ,```` 9])인 경우
[eqn: b=2k]일 때 [eqn: 2 LEQ a LEQ 2k-1]
[eqn: b=2k-1]일 때 [eqn: 3 LEQ a LEQ 2k-2]
[eqn: VDOTS]
[eqn: b=k+2]일 때 [eqn: k LEQ a LEQ k+1]이므로 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c RIGHT )]의 개수는
[eqn: LEFT ( 2k-2 RIGHT ) + LEFT ( 2k-4 RIGHT ) + LEFT ( 2k-6 RIGHT ) + CDOTS +4+2]
[eqn: = {LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT { LEFT ( 2k-2 RIGHT ) +2 RIGHT }} over {2}]
[eqn: =k LEFT ( k-1 RIGHT )]

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c RIGHT )]의 개수는

[eqn: sum _{k=2} ^{10} LEFT ( k-1 RIGHT ) ^{2} + sum _{k=2} ^{9} k LEFT ( k-1 RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{9} k ^{2} + sum _{k=1} ^{9} LEFT ( k ^{2} -k RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{9} LEFT ( 2k ^{2} -k RIGHT )]

[eqn: =2 TIMES {9 TIMES 10 TIMES 19} over {6} - {9 TIMES 10} over {2}]

[eqn: =525]

(가) [eqn: a<b<c LEQ 20]

(나) 세 변의 길이가 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]인 삼각형이 존재한다.

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 22

이차방정식 [eqn: {x ^{2} -x-1}{{from^2021^7^경찰대^중}}][eqn: =0]의 두 근을 [eqn: alpha ,```` beta]라 하자.

[정답] [eqn: bold { 49 }]

[해설]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -x-1=0]의 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha + beta =1], [eqn: alpha beta =-1]

[eqn: alpha ^{3} + beta ^{3}][eqn: = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{3} -3 alpha beta LEFT ( alpha + beta RIGHT )]
[eqn: =1 ^{3} -3 TIMES (-1) TIMES 1=4]

[eqn: alpha ^{6} + beta ^{6}][eqn: = LEFT ( alpha ^{3} + beta ^{3} RIGHT ) ^{2} -2 alpha ^{2} beta ^{2}]
[eqn: =4 ^{2} -2 TIMES (-1) ^{3} =18]

(ⅰ) [eqn: k=1]일 때
[eqn: a _{3} = {1} over {2} LEFT ( alpha ^{3} + beta ^{3} RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES 4=2]

(ⅱ) [eqn: k=2]일 때
[eqn: a _{6} = {1} over {2} LEFT ( alpha ^{6} + beta ^{ 6} RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES 18=9]

(ⅲ) [eqn: k=3]일 때

[eqn: a _{9}][eqn: = {1} over {2} LEFT ( alpha ^{9} + beta ^{ 9} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} LEFT { LEFT ( alpha ^{3} + beta ^{ 3} RIGHT ) LEFT ( alpha ^{6} + beta ^{ 6} RIGHT ) - alpha ^{ 3} beta ^{ 3} LEFT ( alpha ^{ 3} + beta ^{ 3} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {1} over {2} LEFT { 4 TIMES 18-(-1) TIMES 4 RIGHT }]
[eqn: =38]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

[eqn: sum _{k=1} ^{3} a _{3k} =a _{3} +a _{6} +a _{9} =2+9+38=49]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n}][eqn: = {1} over {2} LEFT ( alpha ^{n} + beta ^{n} RIGHT )]

을 만족시킬 때, [eqn: sum _{k=1} ^{3} a _{3k}]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 28

[eqn: rm 2] 이상의 자연수 [eqn: n]과 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: n^{2}-17 n+19 k]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: f(n)]이라 하자.

[정답] [eqn: 3]

[해설]

[eqn: n geq 2]에서 [eqn: n^{2}-17 n+19 k]의 값을 [eqn: g(n)]이라 하자.

(i) [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: n=2 m+1]( [eqn: m]은 자연수)

[eqn: g(n)]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수는 [eqn: rm 1]이므로 [eqn: f(2 m+1)=1]

(ii) [eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: n=2 m]( [eqn: m]은 자연수)

[eqn: g(2 m)>0]이면 [eqn: f(2 m)=2]

[eqn: g(2 m)<0]이면 [eqn: f(2 m)=0]

[eqn: g(2 m)=0]이라 하면 [eqn: 19 k=2 m(17-2 m)]

이를 만족시키는 두 자연수 [eqn: m]과 [eqn: k]는 존재하지 않는다.

(i), (ii) 에 의하여

[eqn: sum_{n=2}^{19} f(n)= sum_{m=1}^{9} f(2 m)+ sum_{m=1}^{9} f(2 m+1)]

[eqn: sum_{m=1}^{9} f(2 m)=19-1 times 9=10]

[eqn: sum_{m=1}^{9} f(2 m)=10]을 만족시키기 위해서는

[eqn: g(2 m)>0]인 [eqn: m]의 개수가 [eqn: rm 5]이어야 한다. [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: 2 leq n leq 7]이면 [eqn: g(n)>g(n+1)]

[eqn: n=8]이면 [eqn: g(n)=g(n+1)], 즉 [eqn: g(8)=g(9)]

[eqn: n geq 9]이면 [eqn: g(n)<g(n+1)]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: g(n)=g(17-n)]이므로

[eqn: g(18)>g(16)>g(15)=g(2)>g(14)>g(13)=g(4)]
[eqn: >g(12)>g(11)=g(6)>g(10)>g(9)=g(8)]

㉠을 만족시키는 경우는

[eqn: g(18)>g(16)>g(2)>g(14)>g(4)>0>g(12)]

[eqn: g(4)=4^{2}-17 times 4+19 k>0], [eqn: 19 k>52]

[eqn: g(12)=g(5)=5^{2}-17 times 5+19 k<0], [eqn: 19 k<60]

[eqn: {52} over {19}<k<{60} over {19}]

따라서 자연수 [eqn: k]는 [eqn: rm 3]

[eqn: sum_{n=2}^{19} f(n)=19]를 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 13

자연수 [eqn: m ~ LEFT ( m GEQ 2 RIGHT )]에 대하여 [eqn: m^{12}]의 [eqn: n]제곱근 중에서 정수가 존재하도록 하는 [eqn: rm 2] 이상의 자연수 [eqn: n]의 개수를 [eqn: f LEFT (m RIGHT )]이라 할 때, [eqn: sum _{m=2} ^{9} f LEFT (m RIGHT )]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: m^{12}]의 [eqn: n]제곱근 중 정수가 존재하기 위해서는

[eqn: root{n}of{m^12}=m^{12overn}`]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이 정수이어야 한다.

[eqn: m]의 값에 따라 [eqn: rm 2]이상의 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: m`]이 제곱수, 세제곱수인지에 따라서 다음과 같이 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: m=2], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7`]일 때
[eqn: n`]은 [eqn: 12`]의 약수 중 [eqn: 1`]을 제외한 수가 가능하므로
[eqn: f left(m right)=5]

(ⅱ) [eqn: m=4], [eqn: 9`]일 때
[eqn: m=k^2 `]([eqn: k=2,``3])이라 하면 ㉠에서
[eqn: m^{12overn}=k^{24overn}]
따라서 [eqn: n`]은 [eqn: 24`]의 약수 중 [eqn: 1`]을 제외한 수가 가능하므로
[eqn: f left(m right)=7]

(ⅲ) [eqn: m=8`]일 때
[eqn: m=2^3 `]이므로 ㉠에서
[eqn: m^{12overn}=2^{36overn}]
따라서 [eqn: n`]은 [eqn: 36`]의 약수 중 [eqn: 1`]을 제외한 수가 가능하므로
[eqn: f left(8right)=8]

이상에서

[eqn: sum_{m=2}^{9} f(m)][eqn: =f(2)+f(3)+ cdots+f(9)]
[eqn: =5 times 5+7 times 2+8]
[eqn: =47]

① [eqn: rm 37]	② [eqn: rm 42]	③ [eqn: rm 47]

④ [eqn: rm 52]	⑤ [eqn: rm 57]

03 수1	10 수열의합
04 항등식과 수열, 활용
05 활용2 (일반항 구하기. 함수와 도형)

[출처]	2007 모의_공공 경찰대 고3 07월 19

넓이가 [eqn: rm 363]인 정삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 선분 [eqn: {rm{BC}} it]의 중점을 [eqn: {rm{P}} it _{0}]라 하고, 선분 [eqn: rm P it _{0} rm A it `]를 [eqn: rm 121]등분한 점과 끝점을 [eqn: {rm{P}} it _{0}]로부터 차례로	[eqn: rm P it _{0} `], [eqn: rm P it _{1} `], [eqn: rm P it _{2} `], [eqn: cdots], [eqn: {rm{P}} it _{120}], [eqn: {rm{P}} it _{121}={rm{A}} it]

[정답] ④

[해설]

삼각형 [eqn: {rm{P}} it _{k-1} {rm{B}} it _{k} {rm{C}} it _{k}]의 높이는 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 높이의 [eqn: {1} over {121}]이고, 밑변 [eqn: {rm{B}} it _{k} {rm{C}} it _{k}]는 [eqn: overline{{rm{B}} it _{k} {rm{C}} it _{k}}: overline{{rm{BC}} it }= left(1-{k} over {121} right): 1]에서 [eqn: overline{{rm{B}} it _{k} {rm{C}} it _{k}}= left(1-{k} over {121} right) overline{{rm{BC}} it }]

이다. 따라서 삼각형 [eqn: {rm{P}} it _{k-1} {rm{B}} it _{k} {rm{C}} it _{k}]의 면적 [eqn: a_{k}]는 [eqn: a_{k}={1} over {121} times left(1-{k} over {121} right) times 363=3 left(1-{k} over {121} right)]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{120} a _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{120} LEFT ( 3- {3} over {121} k RIGHT )]
[eqn: = sum _{k=1} ^{120} 3- {3} over {121} sum _{k=1} ^{120} k]
[eqn: =360- {3} over {121} TIMES {1} over {2} TIMES 120 TIMES 121]
[eqn: =180]

라 하자. 점 [eqn: rm P it rm _{ k it rm} ( k it =1,``2,``3,`` CDOTS ,``120)]를 지나고 직선 [eqn: {rm{P}} it _{0} {rm{A}} it]에 수직인 직선이 선분 [eqn: {rm{AB}} it]와 만나는 점을 [eqn: {rm{B}} it _{{{k}} it }]라 하고, 선분 [eqn: {rm{AC}} it]와 만나는 점을 [eqn: {rm{C}} it _{{{k}} it }]라 하자. 삼각형	[eqn: rm P it rm _{k it -1 rm } rm B it rm _{k it rm } rm C it rm _{k it rm } ~~(k it =1,``2,``3,`` CDOTS ,``120)]

의 넓이를 [eqn: a_{k}]라 할 때, [eqn: sum_{k=1}^{120} a_{k}]의 값은?

① [eqn: rm 177]	② [eqn: rm 178]	③ [eqn: rm 179]

④ [eqn: rm 180]	⑤ [eqn: rm 181]

[출처]	2009 모의_공공 경찰대 고3 07월 6

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=a x]가 원 [eqn: (x-4)^{2}+y^{2}={4} over {n^{2}}]에 접하도록 하는 실수 [eqn: a]를 [eqn: f(n)]으로 나타낼 때, [eqn: sum_{n=1}^{10} left{ {{f}} it ({{n}} it ) it right} ^{2}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

직선 [eqn: y=a x]가 원 [eqn: (x-4)^{2}+y^{2}={4} over {n^{2}}]에 접하므로

원의 중심 [eqn: (4,``0)]에서 직선 [eqn: a x-y=0]에 이르는 거리와 원의 반지름의 길이 [eqn: {2} over {n}]가 같다.

[eqn: rpile{즉,``~ {|`4 a`|} over { sqrt{a^{2}+1}}={2} over {n}] 이므로

[eqn: {16 a^{2}} over {a^{2}+1}={4} over {n^{2}}]

[eqn: 16 a^{2} n^{2}=4 a^{2}+4]

[eqn: 16 a^{2} n^{2}-4 a^{2}=4]

[eqn: a^{2} left(16 n^{2}-4 right)=4]

[eqn: a^{2}={4} over {16 n^{2}-4}={1} over {4 n^{2}-1}}]

이때, [eqn: a=f(n)]이므로

[eqn: a^{2}= left{ f(n) it right} ^{2}={1} over {4 n^{2}-1}={1} over {(2 n-1)(2 n+1)}]

[eqn: therefore~ sum_{n=1}^{10} left{ f(n) it right} ^{2}]

[eqn: = sum_{n=1}^{10} {1} over {(2 n-1)(2 n+1)}= sum_{n=1}^{10} {1} over {2} left({1} over {2 n-1}-{1} over {2 n+1} right)]

[eqn: ={1} over {2} left{ left({1} over {1}-{1} over {3} right)+ left({1} over {3}-{1} over {5} right)+ left({1} over {5}-{1} over {7} right)+ `cdots`+ left({1} over {19}-{1} over {21} right) it right}]

[eqn: ={1} over {2} left(1-{1} over {21} right)={1} over {2} cdot {20} over {21}={10} over {21}]

① [eqn: {8} over {21}]	② [eqn: {10} over {21}]	③ [eqn: {4} over {7}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {16} over {21}]

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 17

두 함수 [eqn: f(x)= log _{2} x]와 [eqn: g(x)=- log _{2} x]의 그래프의 교점을 [eqn: {rm{A}} it _{1}], 직선 [eqn: x=2]가 세 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=0], [eqn: y=g(x)]의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{B}} it _{1}], [eqn: {rm{A}} it _{2}], [eqn: {rm{C}} it _{1}]이라 하고 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]의 넓이를 [eqn: S_{1}]이라 하자.

[정답] ①

[해설]

[eqn: {rm{A}} it _{n} left(2^{n-1},`` 0 right)], [eqn: {rm{A}} it _{n+1} left(2^{n},`` 0 right)], [eqn: {rm{B}} it _{n} left(2^{n},`` n right)],

[eqn: {rm{C}} it _{n} left(2^{n},``-n right)]이므로 [eqn: S_{n}=n cdot 2^{n-1}]이다.

[eqn: sum_{k=1}^{10} S_{k}=S]라 하면

[eqn: S=1+2 CDOT 2+3 CDOT 2 ^{2} + CDOTS +10 CDOT 2 ^{9}][eqn: CDOTS CDOTS `]①

[eqn: 2S=1 CDOT 2+2 CDOT 2 ^{2} +3 CDOT 2 ^{3} + CDOTS +10 CDOT 2 ^{10}][eqn: CDOTS CDOTS `]②

①-②를 하면

[eqn: -S=1+2+2^{2}+ cdots+2^{9}-10 cdot 2^{10}]

[eqn: =-9 cdot 2^{10}-1]이다. 따라서 [eqn: S=9 cdot 2^{10}+1]이다.

직선 [eqn: x=2^{2}]이 세 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=0], [eqn: y=g(x)]의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{B}} it _{2}], [eqn: {rm{A}} it _{3}], [eqn: {rm{C}} it _{2}]라 하고 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2}]의 넓이를 [eqn: S_{2}]라 하자.

직선 [eqn: x=2^{3}]이 세 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=0], [eqn: y=g(x)]의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{B}} it _{3}], [eqn: {rm{A}} it _{4}], [eqn: {rm{C}} it _{3}]라 하고 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{3} {rm{B}} it _{3} {rm{C}} it _{3}]의 넓이를 [eqn: S_{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻어진 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{n} {rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n}]의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: sum_{k=1}^{10} S_{k}]의 값은?

① [eqn: 9 cdot 2^{10}+1]	② [eqn: 9 cdot 2^{11}+1]	③ [eqn: 10 cdot 2^{10}+1]

④ [eqn: 10 cdot 2^{11}+1]	⑤ [eqn: 11 cdot 2^{11}+1]

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 03월 25

한 평면 위에 다음과 같은 규칙으로 직선들을 차례로 그려 나간다.

[정답] [eqn: 840]

[해설]

구하는 [eqn: a_{15}-a_{14}]의 값은 [eqn: rm 2]단계, [eqn: rm 4]단계, [eqn: rm 6]단계, [eqn: cdots], [eqn: 14]단계에서 그린 직선의 총 개수와 [eqn: rm 15]단계에서 그린 직선의 개수의 곱과 같다.

[eqn: therefore~a_{15}-a_{14}=15 times(2+4+6+ cdots+14)=840]

[[eqn: rm 1]단계] : 직선을 [eqn: rm 1]개 그린다.

[[eqn: rm 2]단계] : [[eqn: rm 1]단계]에서 그린 직선과 수직인 직선을 [eqn: rm 2]개 그린다.

[[eqn: rm 3]단계] : [[eqn: rm 2]단계]에서 그린 직선과 수직인 직선을 [eqn: rm 3]개 그린다.

[eqn: VDOTS]

[[eqn: n]단계] : [eqn: [(n-1)]단계[eqn: ]]에서 그린 직선과 수직인 직선을 [eqn: n]개 그린다. [eqn: (n=2,``3,``4,`` cdots)]

[[eqn: rm 1]단계]	[[eqn: rm 2]단계]	[[eqn: rm 3]단계]

[[eqn: rm 1]단계]부터 [eqn: [n]단계]까지 그린 직선들의 모든 교점의 개수를 [eqn: a_{n}(n=2,``3,``4,`` cdots)]이라 하자. 예를 들어, [eqn: a_{2}=2], [eqn: a_{3}=8]이다. [eqn: a_{15}-a_{14}]의 값을 구하시오.

(단, 모든 직선은 서로 겹치지 않도록 그린다.)

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 07월 11

두 점 [eqn: {rm{P}} it left(x_{1},`` y_{1} right)], [eqn: {rm{Q}} it left(x_{2},`` y_{2} right)]에 대하여 [eqn: d({rm{P}} it ,`` {rm{Q}} it )]를

[정답] ④

[해설]

[eqn: d( rm A,``P _{it n rm} )= it LEFT |`` 1-n`` RIGHT | + LEFT |`` 0-2 ^{n}`` RIGHT |]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{10} d(rmA,`P _{it n} )= itsum _{n=1} ^{10} (-1+n+2 ^{n} )=2 ^{11} +43]

[eqn: d({rm{P}} it ,`` {rm{Q}} it )= left|x_{1}-x_{2} right|+ left|y_{1}-y_{2} right|]

라 정의하자. 두 점 [eqn: {rm{A}} it (1,``0)]과 [eqn: {rm{P}} it _{n} left(n,`` 2^{n} right)]에 대하여 [eqn: sum_{n=1}^{10} d left({rm{A}} it ,`` {rm{P}} it _{n} right)]의 값은?

① [eqn: 2^{9}+45]	② [eqn: 2^{10}+43]	③ [eqn: 2^{10}+45]

④ [eqn: 2^{11}+43]	⑤ [eqn: 2^{11}+45]

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 07월 11

두 점 [eqn: {rm{P}} it left(x_{1},`` y_{1} right)], [eqn: {rm{Q}} it left(x_{2},`` y_{2} right)]에 대하여 [eqn: d({rm{P}} it ,`` {rm{Q}} it )]를	[eqn: d({rm{P}} it ,`` {rm{Q}} it )= left|x_{1}-x_{2} right|+ left|y_{1}-y_{2} right|]

[정답] ④

[해설]

[eqn: d left({rm{A}} it ,`` {rm{P}} it _{n} right)=|1-n|+ left|0-2^{n} right|]이다.

[eqn: sum_{n=1}^{10} d left({rm{A}} it ,`` {rm{P}} it _{n} right)= sum_{n=1}^{10} left(-1+n+2^{n} right)=2^{11}+43]

라 정의하자. 두 점 [eqn: {rm{A}} it (1,``0)]과 [eqn: {rm{P}} it _{n} left(n,`` 2^{n} right)]에 대하여 [eqn: sum_{n=1}^{10} d left({rm{A}} it ,`` {rm{P}} it _{n} right)]의 값은?

① [eqn: 2^{9}+45]	② [eqn: 2^{10}+43]	③ [eqn: 2^{10}+45]

④ [eqn: 2^{11}+43]	⑤ [eqn: 2^{11}+45]

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고2 06월 30

좌표평면에 다음과 같은 규칙으로 점 [eqn: {rm{A}} it _{n}(n=1,``2,``3,`` cdots)]을 정해 나간다. (단, 점 [eqn: {rm{A}} it _{0}]의 좌표는 [eqn: (0,``0)]이다.)

[정답] [eqn: 214]

[해설]

[eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{A}} it _{2}}=2 sqrt{2}], [eqn: overline{{rm{A}} it _{2} {rm{A}} it _{3}}=3 sqrt{2}], [eqn: overline{{rm{A}} it _{3} {rm{A}} it _{4}}=4 sqrt{2}], [eqn: cdots]이므로

점 [eqn: {rm{A}} it _{n}(n=1,``2,``3,`` cdots)]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_{n}]이라 하면 수열 [eqn: left{ x_{n} it right}]은 다음과 같다.

[eqn: 1], [eqn: -1], [eqn: 2], [eqn: -2], [eqn: 3], [eqn: -3], [eqn: cdots]

[eqn: therefore~x_{2 k-1}=k], [eqn: x_{2 k}=-k(k=1,``2,``3,`` cdots)]

한편, 점 [eqn: {rm{A}} it _{n}(n=1,``2,``3,`` cdots)]의 [eqn: y]좌표를 [eqn: y_{n}]이라 하면

[eqn: y_{n}=1+2+3+ cdots+n={n(n+1)} over {2}]

따라서 세 점 [eqn: {rm{A}} it _{19}], [eqn: {rm{A}} it _{20}], [eqn: {rm{A}} it _{21}]의 좌표는

[eqn: {rm{A}} it _{19}(10,``190)], [eqn: {rm{A}} it _{20}(-10,``210)], [eqn: {rm{A}} it _{21}(11,``231)]

이므로 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{19} {rm{A}} it _{20} {rm{A}} it _{21}]의 무게중심의 좌표는

[eqn: left({10-10+11} over {3},`` {190+210+231} over {3} right)]

즉, [eqn: left({11} over {3},`` {631} over {3} right)]이다.

[eqn: therefore~a+b={11} over {3}+{631} over {3}={642} over {3}=214]

(가) 점 [eqn: {rm{A}} it _{1}]의 좌표는 [eqn: (1,``1)]이다.

(나) [eqn: overline{{rm{A}} it _{n-1} {rm{A}} it _{n}}= sqrt{2} n]이고 [eqn: angle {rm{A}} it _{n-1} {rm{A}} it _{n} {rm{A}} it _{n+1}=90 DEG]이다.

(다) 선분 [eqn: {rm{A}} it _{n} {rm{A}} it _{n+1}]은 [eqn: y]축과 한 점에서 만난다.

삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{19} {rm{A}} it _{20} {rm{A}} it _{21}]의 무게중심의 좌표를 [eqn: (a,`` b)]라 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 03월 28
[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 03월 28

[eqn: x]에 대한 방정식

[정답] [eqn: 120]

[해설]

그림에서 [eqn: a_{n}=2 n-1(n geq 1)]

[eqn: sum_{n=1}^{24} {500} over { left(a_{n}+1 right) left(a_{n}+3 right)}][eqn: = sum_{n=1}^{24} {500} over {2 n(2 n+2)}]
[eqn: = sum_{n=1}^{24} {125} over {n(n+1)}]
[eqn: =125 sum_{n=1}^{24} left({1} over {n}-{1} over {n+1} right)=120]

[eqn: cos x={1} over {(2 n-1) pi} x ~ (n=1,``2,``3,`` cdots)]

의 양의 실근의 개수를 [eqn: a_{n}]이라 할 때, [eqn: sum_{n=1}^{24} {500} over { left(a_{n}+1 right) left(a_{n}+3 right)}]의 값을 구하시오.

[출처]	2011 모의_공공 평가원 고3 09월 30

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면에서 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: a_{n}]이라 하자.

[정답] [eqn: 392]

[해설]

(i) [eqn: n=1]일 때

세 점 [eqn: (1,2^1 ),~(2,2^2 ) ,~(3,2^3 )]이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로

[eqn: a_1 = 2times(2^3 - 2^1 ) = 12]

(ii) [eqn: n=2]일 때

세 점 [eqn: (1,2^1 ),~(2,2^2 ) ,~(3,2^3 )]이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로

[eqn: a_2 = 2times(2^3 - 2^2 ) = 8]

(iii) [eqn: n ge 3]일 때

세 점 [eqn: (n-2,2^n-2 ),~(n-1,2^n-1 ) ,~(n,2^n )]이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로

[eqn: a_n = 2times(2^n - 2^n-2 ) = 3times 2^n-1]

(i), (ii), (iii)에서

[eqn: sum_k=1^7 a_k = 12+8 + 3 (2^2 +2^3 +cdots+2^6 )]

[eqn: = 20 +3 times {2^2 (2^5 -1 )} over 2-1 = 20 + 12 times31 = 392]

(가) 정사각형의 각 변은 좌표축에 평행하고, 두 대각선의 교점은 [eqn: left(n,`` 2^{n} right)]이다.

(나) 정사각형과 그 내부에 있는 점 [eqn: (x,`` y)] 중에서 [eqn: x]가 자연수이고, [eqn: y=2^{x}]을 만족시키는 점은 [eqn: rm 3]개뿐이다.

예를 들어 [eqn: a_{1}=12]이다. [eqn: sum_{k=1}^{7} a_{k}]의 값을 구하시오.

[출처]	2011 모의_공공 평가원 고3 09월 30

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면에서 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: a_{n}]이라 하자.

[정답] [eqn: 392]

[해설]

i) [eqn: n=1]일 때

세 점 [eqn: (1,2^1 ),~(2,2^2 ) ,~(3,2^3 )]이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로

[eqn: a_1 = 2times(2^3 - 2^1 ) = 12]

(ii) [eqn: n=2]일 때

세 점 [eqn: (1,2^1 ),~(2,2^2 ) ,~(3,2^3 )]이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로

[eqn: a_2 = 2times(2^3 - 2^2 ) = 8]

(iii) [eqn: n ge 3]일 때

세 점 [eqn: (n-2,2^n-2 ),~(n-1,2^n-1 ) ,~(n,2^n )]이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로

[eqn: a_n = 2times(2^n - 2^n-2 ) = 3times 2^n-1]

(i), (ii), (iii)에서

[eqn: sum_k=1^7 a_k = 12+8 + 3 (2^2 +2^3 +cdots+2^6 )]

[eqn: = 20 +3 times {2^2 (2^5 -1 )} over 2-1 = 20 + 12 times31 = 392]

(가) 정사각형의 각 변은 좌표축에 평행하고, 두 대각선의 교점은 [eqn: left(n,`` 2^{n} right)]이다.

(나) 정사각형과 그 내부에 있는 점 [eqn: (x,`` y)] 중에서 [eqn: x]가 자연수이고, [eqn: y=2^{x}]을 만족시키는 점은 [eqn: rm 3]개뿐이다.

예를 들어 [eqn: a_{1}=12]이다. [eqn: sum_{k=1}^{7} a_{k}]의 값을 구하시오.

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 06월 30
[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 06월 30

[eqn: 3`]보다 큰 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f(n)]을 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 자연수 [eqn: a`]라 하자.

[정답] [eqn: 86]

[해설]

조건 (나)에서 두 점 [eqn: (2,``0)], [eqn: (a,``log _{n} `a)]를 지나는 직선의 기울기는 [eqn: {log _{n} `a} over {a-2} LEQ {1} over {2}][eqn: cdotscdots㉠]

[eqn: 3]보다 큰 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 ㉠을 만족시키는 가장 작은 자연수 [eqn: a]는 다음 두 부등식을 동시에 만족시킨다.

[eqn: log_n `a le { a-2} over { 2}][eqn: (∵~a ge3)]	[eqn: cdotscdots㉡]

[eqn: log_n (a-1) > { (a-1)-2} over {2 }]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉢]

(ⅰ) [eqn: a=3]일 때

㉡에서  [eqn: log _{n} `3 LEQ {1} over {2}], [eqn: n ge 9]

㉢에서 모든 [eqn: n]에 대하여 [eqn: log _{n} `2>0]
그러므로 [eqn: n ge 9]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: f(n) = 3]

(ⅱ) [eqn: a=4]일 때

㉡에서 [eqn: log _{n} `4 LEQ 1], [eqn: n GEQ 4]

㉢에서 모든 [eqn: n]에 대하여 [eqn: log _{n} `3> {1} over {2}]
[eqn: ∴~][eqn: 4le n <9] ([eqn: ∵~][eqn: n ge 4])

그러므로 [eqn: 4 LEQ n<9]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n) = 4]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: f(n) =cases{4&~~(4 LEQ n<9)#3&~~(n GEQ 9)}]

[eqn: f(n) =cases{4&~~(4 LEQ n<9)#3&~~(n GEQ 9)}]

[eqn: ∴~][eqn: sum_n=4^30 f(n) =][eqn: 4 times 5 + 3 times 22 = 86]

(가) [eqn: a GEQ 3]

(나) 두 점 [eqn: (2,``0)], [eqn: (a,``log` _{n} `a)]를 지나는 직선의 기울기는 [eqn: 1 over 2 `]보다 작거나 같다.

예를 들어 [eqn: f(5)=4`]이다. [eqn: sum from n=4 to 30 f(n)`]의 값을 구하시오.

[출처]	2014 모의_공공 경찰대 고3 07월 22

원 [eqn: x^{2}+y^{2}=1]에 내접하는 정 [eqn: rm 96]각형의 각 꼭짓점의 좌표를 [eqn: left(a_{1},`` b_{1} right)], [eqn: left(a_{2},`` b_{2} right)], [eqn: cdots`], [eqn: left(a_{96},`` b_{96} right)]이라 할 때, [eqn: sum_{n=1}^{96} a_{n}^{2}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: rm 48]

[해설]

[eqn: {rm{P}} it _{n} left(a_{n},`` b_{n} right)(n=1,``2,`` cdots,`` 96)]이라 하면

[eqn: angle {rm{P}} it _{n} {rm{OP}} it _{n+1}={ pi} over {48}(n=1,``2,`` cdots,`` 95)]이다

동경 [eqn: {rm{OP}} it _{n}]이 [eqn: x]축 양의 방향과 이루는 각을 [eqn: theta_{n}]이라 하면

점 [eqn: {rm{P}} it _{n}]이 원 [eqn: x^{2}+y^{2}=1] 위의 점이므로 [eqn: a_{n}= cos theta_{n}]이다.

그런데 [eqn: angle {rm{P}} it _{n} {rm{OP}} it _{n+48}={ pi} over {48} times 48= pi]이므로

[eqn: left(a_{n+48} right)^{2}= cos ^{2} left( theta_{n}+ pi right)= cos ^{2} theta_{n}= left(a_{n} right)^{2}]이다.

따라서 [eqn: sum_{n=1}^{96} a_{n}^{2}=2 sum_{n=1}^{48} a_{n}^{2}]이다.

또한, [eqn: angle {rm{P}} it _{n} {rm{OP}} it _{n+24}={ pi} over {48} times 24={ pi} over {2}]이므로

[eqn: left(a_{n} right)^{2}+ left(a_{n+24} right)^{2}][eqn: = cos ^{2} theta_{n}+ cos ^{2} left( theta_{n}+{ pi} over {2} right)]
[eqn: = cos ^{2} theta_{n}+ sin ^{2} theta_{n}=1]이다.

따라서 [eqn: sum_{n=1}^{48} a_{n}^{2}= sum_{n=1}^{24} left{ left(a_{n} right)^{2}+ left(a_{n+24} right)^{2} it right} = sum_{n=1}^{24} 1=24]이다.

[eqn: therefore~ sum_{n=1}^{96} a_{n}^{2}=2 sum_{n=1}^{48} a_{n}^{2}=2 times 24=48]

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 11월 21

자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 자연수 [eqn: m`]을 [eqn: a_n`]이라 할 때, [eqn: sum_n=1^10 a_n`]의 값은?

[정답] ①

[해설]

두 점 [eqn: {rm B it} LEFT ( 1,~0 RIGHT ) ,~ {rm C it} LEFT ( 2 ^{m} ,~m RIGHT )]을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y= {m} over {2 ^{m} -1} LEFT ( x-1 RIGHT )]이므로 점 [eqn: rm D]의 좌표는 [eqn: {rm D it} LEFT ( 2 ^{n} ,~ {m} over {2 ^{m} -1} LEFT ( 2 ^{n} -1 RIGHT ) RIGHT )]

따라서, 삼각형 [eqn: rm ABD]의 넓이가 [eqn: {m} over {2}]보다 작거나 같으므로

[eqn: {1} over {2} times LEFT ( 2 ^{n} -1 RIGHT ) times {m} over {2 ^{m} -1} LEFT ( 2 ^{n} -1 RIGHT ) LEQ {m} over {2}]

[eqn: LEFT ( 2 ^{n} -1 RIGHT ) ^{2} LEQ 2 ^{m} -1]

이때 [eqn: n=1]이면

[eqn: 1 LEQ 2 ^{m} -1,~2 LEQ 2 ^{m}]이므로 [eqn: a _{1} =1]

또한, [eqn: 2]이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: LEFT ( 2 ^{n} -1 RIGHT ) ^{2} LEQ 2 ^{2n} -1]

이므로 [eqn: 2n LEQ m]이면 된다.

[eqn: THEREFORE a _{1} =1,~a _{n} =2n LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE sum _{n=1} ^{10} a _{n}][eqn: =a _{1} + sum _{n=2} ^{10} 2n]
[eqn: =1+ {9 LEFT ( 4+20 RIGHT )} over {2} =109]

(가) 점 [eqn: rm A`]의 좌표는 [eqn: LEFT (2^n ,`` 0 RIGHT )`]이다.

(나) 두 점 [eqn: rm B LEFT (1,`` 0 RIGHT ) `]과 [eqn: {rmC it} LEFT (2^m ,`` m RIGHT ) `]을 지나는 직선 위의 점 중 [eqn: x `]좌표가 [eqn: 2^n `]인 점을 [eqn: rmD `]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm ABD `]의 넓이는 [eqn: m over2 `]보다 작거나 같다.

① [eqn: 109]	② [eqn: 111]	③ [eqn: 113]

④ [eqn: 115]	⑤ [eqn: 117]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 04월 19

그림과 같이 자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표평면 위의 곡선 [eqn: y=2 ^{x}] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P _{it n rm} LEFT ( it n,`` 2 ^{n} RIGHT )`]이 있다. 점 [eqn: rm P _{it n rm}`]을 지나고 기울기가 [eqn: -1`]인 직선이 곡선 [eqn: y=log` _{ 2} `x`]와 만나는 점을 [eqn: rm Q _{it n rm}`]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm P _{it n rm} OQ _{it n rm}`]의 넓이를 [eqn: S` _{ n}`]이라 할 때, [eqn: 2 sum _{n=1} ^{5} S` _{ n}`]의 값은? (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.)

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: y=log _{`2} `x]는 함수 [eqn: y=2 ^{x}]의 역함수이므로 점 [eqn: rm Q _{it `n rm}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( it `2 ^{n} ,``n` RIGHT )], 직선 [eqn: rmP _{it`n} rmQ _{it`n}]의 방정식은 [eqn: x+y-2 ^{n} -n=0]이고,
원점 [eqn: rmO]와 직선 [eqn: rmP _{it`n} rmQ _{it`n}] 사이의 거리는 [eqn: {2 ^{n} +n} over {sqrt {2}}],

선분 [eqn: rmP _{it`n} rmQ _{it`n}]의 길이는 [eqn: sqrt {2} ` LEFT ( 2 ^{n} -n RIGHT ) `]([eqn: BECAUSE][eqn: 2 ^{n} >n])

[eqn: THEREFORE][eqn: S` _{n} `][eqn: = it {1} over {2} ` TIMES ` {2 ^{n} +n} over {sqrt {2}} ` TIMES sqrt {2} LEFT ( 2 ^{n} -n RIGHT )][eqn: = it {4 ^{n} -n ^{2}} over {2}]

따라서 [eqn: 2 sum _{n=1} ^{5} `S _{`n} `][eqn: =` sum _{n=1} ^{5} ` LEFT ( 4 ^{n} -n ^{2} RIGHT )][eqn: = {4 LEFT ( 4 ^{5} -1 RIGHT )} over {4-1} `-` {5 TIMES 6 TIMES 11} over {6}][eqn: =1309]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=2 ^{x}]

[eqn: y=log` _{ 2}` x]

[eqn: rm P _{it n rm}]

[eqn: rm Q _{itn}]

① [eqn: 1309]	② [eqn: 1311]	③ [eqn: 1313]

④ [eqn: 1315]	⑤ [eqn: 1317]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 04월 29

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 553]

[해설]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=log _{`2n} `x]는 점 [eqn: LEFT ( `4n ^{2} ,``2` RIGHT )]를 지난다.

그러므로 자연수 [eqn: k`]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ k,``k+1 RIGHT ]]에서

곡선 [eqn: y=log _{`2n} `x`]와 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점의

개수는 [eqn: 1]이다. (단, [eqn: 1 LEQ k LEQ 4n ^{2} -1]) [eqn: therefore][eqn: a _{n} =4n ^{2} -1]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{7} `a _{n}][eqn: = sum _{n=1} ^{7} ` LEFT ( 4n ^{2} -1 RIGHT )][eqn: =4 TIMES {7 TIMES 8 TIMES 15} over {6} `-7=553]

(가) [eqn: -1 LEQ x<1`]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | 2x RIGHT |`]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+2 RIGHT ) = f LEFT ( x RIGHT )`]이다.

자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 함수 [eqn: y=log` _{ 2n} `x`]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: a _{n}`]이라 하자.
[eqn: sum _{n=1} ^{7} a _{n}`]의 값을 구하시오.

[출처]	2015 모의_공공 경찰대 고3 07월 10

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]는 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT (x+2 RIGHT )=f LEFT (x RIGHT )`]를 만족시키고 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=2- LEFT | x-1 RIGHT |][eqn: LEFT (0le x<2 RIGHT ) `]이다. [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: y=log` _{n} `x`]의 그래프와 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: a_n`]이라 할 때, [eqn: sum_n=2^10 a_n`]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: 1)][eqn: n]이 홀수 일 때

[eqn: (n ^{2} ,2)]에서 마지막으로 만나고

[eqn: (n,1)]을 지나므로 그래프를 이용하여 교점의 개수를 구하면 [eqn: n ^{2} -n]개 이다.

[eqn: 2)][eqn: n]이 짝수일 때

[eqn: (n`,`1)]에서 처음 만나고 [eqn: (n ^{2} `,`2`)]을 지나므로 그래프를 이용하여 교점의 개수를 구하면 [eqn: n ^{2} -n]개 이다.

[eqn: sum _{n=2} ^{10} `a _{n} =330]

① [eqn: 250]	② [eqn: 270]	③ [eqn: 290]

④ [eqn: 310]	⑤ [eqn: 330]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 10월 15

자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: rm P _{itn}]을 다음 규칙에 따라 정한다.

[정답] ③

[해설]

선분 [eqn: rmOA]를  [eqn: 2 ^{`n} `:`1`]로 내분하는 점 [eqn: rm P_{it n}`]의 좌표는

[eqn: LEFT ( ` {2 ^{`n}} over {2 ^{`n} +1} ,~0` RIGHT )`]이므로 [eqn: l _{`n} `=` {2 ^{`n}} over {2 ^{`n} +1} `]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} {1} over {l _{`n}} `][eqn: = sum _{n=1} ^{10} ` {2 ^{`n} +1} over {2 ^{`n}} `][eqn: =` sum _{n=1} ^{10} LEFT { 1+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{`n} RIGHT } `]
[eqn: = sum _{n=1} ^{10} 1+` sum _{n=1} ^{10} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{`n} `][eqn: =`10+ {{1} over {2} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{`10} RIGHT }} over {1- {1} over {2}} ``]
[eqn: =`10+ LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{`10} RIGHT } `=`11- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{`10} `]

(가) 점 [eqn: rmA`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,``0 RIGHT ) `]이다.

(나) 점 [eqn: rm P _{itn}]은 선분 [eqn: rmOA]를 [eqn: ``2 ^{`n} :1]로 내분하는 점이다.

[eqn: l _{n} = bar{rmOP _{itn}}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} { 1} over {l _{n}} `]의 값은? (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.)

① [eqn: 10- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10}]	② [eqn: 10+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10}]	③ [eqn: 11- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10}]
④ [eqn: 11+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10}]	⑤ [eqn: 12- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10}]

[출처]	2016 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

자연수 [eqn: n]에 대하여 원 [eqn: x^{2}+y^{2}=n^{2}]과 곡선 [eqn: y={k} over {x}(k>0)]이 서로 다른 네 점에서 만날 때, 이 네 점을 꼭짓점으로 하는 직사각형을 만든다. 이 직사각형에서 긴 변의 길이가 짧은 변의 길이의 [eqn: rm 2]배가 되도록 하는 [eqn: k]의 값을 [eqn: f(n)]이라 하자. [eqn: sum_{n=1}^{12} f(n)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 195]

[해설]

원 [eqn: x^{2}+y^{2}=n^{2}]과 곡선 [eqn: y={k} over {x}]의 제[eqn: rm 1]사분면의 두 교점을 [eqn: rm P LEFT ( ITa,`` {k} over {a} RIGHT )], [eqn: rm Q LEFT ( IT {k} over {a} ,``a RIGHT ) LEFT ( a> {k} over {a} RIGHT )]라 하고

선분[eqn: rm P Q]의 중점을 [eqn: rm M LEFT ( it {a+ {k} over {a}} over {2} ,`` {a+ {k} over {a}} over {2} RIGHT )]라 하자.

두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]는 원 위의 점이므로 [eqn: a ^{2} + LEFT ( {k} over {a} RIGHT ) ^{2} =n ^{2}]	[eqn: cdotscdots][eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]

직사각형의 긴변이 짧은 변의 [eqn: rm 2]배이면 [eqn: rm overline{P Q}= overline{O M}]이 성립한다

[eqn: sqrt{2} left(a-{k} over {a} right)= sqrt{2} left({a+{k} over {a}} over {2} right)]

정리하면 [eqn: a ^{2} =3k]	[eqn: cdotscdots][eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]

(2)를 (1)에 대입하면

[eqn: 3 k+{k} over {3}=n^{2}]

[eqn: k={3 n^{2}} over {10}]

[eqn: therefore~f(n)={3} over {10} n^{2}]

[eqn: sum_{n=1}^{12} f(n)={3} over {10} times {12 times 13 times 25} over {6}=195]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 03월 30

유리함수 [eqn: f(x)= {8x} over {2x-15}`]와 수열 [eqn: left{ a_{`n} right}`]에 대하여 [eqn: a_{`n} = f(n)`]이다. [eqn: sum _{n=1} ^{m} a` _{n} ` LEQ 73`]을 만족시키는 자연수 [eqn: m`]의 최댓값을 구하시오.

[정답] [eqn: 16]

[해설]

곡선 [eqn: f(x)`=`4+`60over{2x-15} `]의 그래프는 그림과 같다.

곡선 [eqn: y = f(x)`]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( {15} over {2} ,~4 RIGHT ) `]에 대해 대칭이므로

[eqn: f(7)+f(8)= 8`], [eqn: f(6)+f(9)= 8`],

[eqn: f(5)+f(10)= 8`], [eqn: f(4)+f(11)= 8`],

[eqn: f(3)+f(12)= 8`], [eqn: f(2)+f(13)= 8`],

[eqn: f(1)+f(14)= 8`]

에서 [eqn: sum _{n=1} ^{14} a _{n} =f(1)+f(2)+f(3)+ `CDOTS` +f(14)=56`]

또, [eqn: a_15 = f(15)=8`]

[eqn: a_16 = f(16) = 4+ 60 over {2 times 16 - 15 } = 7 + 9 over17 <8`]

[eqn: a_17 = f(17) >4`]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{16} a _{n} <73< sum _{n=1} ^{17} a _{n} `]이다.

따라서 [eqn: m`]의 최댓값은 [eqn: 16`]이다.

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위에 두 점 [eqn: {rm{P}} it _{n}(n,`` 2 n)], [eqn: {rm{Q}} it _{n}(2 n,`` 2 n)]이 있다. 선분 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{Q}} it _{n}]과 곡선 [eqn: y={1} over {k} x^{2}]이 만나도록 하는 자연수 [eqn: k]의 개수를 [eqn: a_{n}]이라 할 때, [eqn: sum_{n=1}^{15} a_{n}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: rm 191]

[해설]

선분과 곡선의 위치관계로부터

[eqn: {1} over {k} n^{2} leq 2 n leq {1} over {k} 4 n^{2}], [eqn: {n} over {2} leq k leq 2 n]

(ⅰ) [eqn: n=2 m-1] (홀수)이면
[eqn: m leq k leq 4 m-2], [eqn: a_{n}=a_{2 m-1}=3 m-1]

(ⅱ) [eqn: n=2 m] (짝수)이면
[eqn: m leq k leq 4 m], [eqn: a_{n}=a_{2 m}=3 m+1]

그러므로

[eqn: sum_{n=1}^{15} a_{n}= sum_{m=1}^{8}(3 m-1)+ sum_{m=1}^{7}(3 m+1)=100+91=191]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 03월 16

그림과 같이 제 [eqn: 1 `]사분면에 있는 곡선 [eqn: y=log` _{2} `LEFT ( x+1 RIGHT )] 위의 점 [eqn: rmP `]를 지나고 기울기가 [eqn: -1 `]인 직선이 [eqn: x `]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ `]라 하자. 자연수 [eqn: n `]에 대하여 [eqn: bar{rmPQ}= sqrt {2} n `]이 되도록 하는 점 [eqn: rmQ `]의 [eqn: x `]좌표를 [eqn: x _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{5} x _{k} `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (a,```b)] (단, [eqn: a], [eqn: b]는 양수)라 하고, 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H it]라 하자.

이때 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 지나는 직선의 기울기가 [eqn: -1]이므로 삼각형 [eqn: rmPHQ`]는 [eqn: bar{rmPH}=bar{rmHQ}]인 직각이등변삼각형이다.

이때 [eqn: bar{rmPQ}= sqrt {2} n`]이므로

[eqn: bar{rmPH}=n], 즉 [eqn: b=n]이다.

점 [eqn: rm P it (a,```n)]이 곡선 [eqn: y=log` _{2} `(x+1)] 위의 점이므로

[eqn: n][eqn: =log _{2} (a+1)]

[eqn: a][eqn: =2^n -1]

이때 [eqn: {bar{rm OQ it}} = {bar{rm OH it}} + {bar{rm HQ it}}], [eqn: bar{rmHQ}=n]이므로

[eqn: x _{n}][eqn: =a+n]
[eqn: =2 ^{n} -1+n]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{5} x _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{5} LEFT ( 2 ^{k} -1+k RIGHT )]
[eqn: = sum _{k=1} ^{5} 2 ^{k} - sum _{k=1} ^{5} 1+ sum _{k=1} ^{5} k]
[eqn: =` {2` TIMES (2 ^{5} -1)} over {2-1} -5 TIMES 1+ {5 TIMES 6} over {2}]
[eqn: =62-5+15]
[eqn: =72]

[다른 풀이]

점 [eqn: rm P`]의 좌표를 [eqn: (a,```b)] (단, [eqn: a], [eqn: b]는 양수)라 하자.

점 [eqn: rmQ`]의 좌표가 [eqn: LEFT ( x _{n} ,```0 RIGHT )]이고 직선 [eqn: rm PQ`]의 기울기가 [eqn: -1]이므로

[eqn: {0-b} over {x _{n} -a} = it -1]에서 [eqn: x _{n} -a=b]

[eqn: x _{n} =a+b]

[eqn: {bar{rm PQ it}}][eqn: = sqrt {(x _{n} -a) ^{2} +(0-b) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {b ^{2} +b ^{2}}]
[eqn: = sqrt {2} b]

[eqn: bar{rmPQ} = sqrt2 n]에서 [eqn: b=n]이다.

점 [eqn: rm P it (a,```n)]이 곡선 [eqn: y=log` _{2} `(x+1)] 위의 점이므로

[eqn: n=log _{2} (a+1)]에서

[eqn: a][eqn: =2 ^{n} -1]

[eqn: x _{n}][eqn: =a+b][eqn: =2^n - 1 +n]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{5} x _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{5} LEFT ( 2 ^{k} -1+k RIGHT )]
[eqn: = sum _{k=1} ^{5} 2 ^{k} - sum _{k=1} ^{5} 1+ sum _{k=1} ^{5} k]
[eqn: =` {2` TIMES (2 ^{5} -1)} over {2-1} -5 TIMES 1+ {5 TIMES 6} over {2}]
[eqn: =62-5+15]
[eqn: =72]

① [eqn: 72]	② [eqn: 84]	③ [eqn: 96]

④ [eqn: 108]	⑤ [eqn: 120]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 04월 20

그림과 같이 자연수 [eqn: n`]에 대하여 한 변의 길이가 [eqn: 2n`]인 정사각형 [eqn: rm ABCD`]가 있고, 네 점 [eqn: rm E], [eqn: rm F], [eqn: rm G], [eqn: rm H`]가 각각 네 변 [eqn: rm AB], [eqn: rm BC], [eqn: rm CD], [eqn: rm DA] 위에 있다. 선분 [eqn: rm HF`]의 길이는 [eqn: sqrt {4n ^{2} +1}`]이고 선분 [eqn: rm HF`]와 선분 [eqn: rm EG`]가 서로 수직일 때, 사각형 [eqn: rm EFGH`]의 넓이를 [eqn: S` _{ n}`]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{10} S` _{ n}`]의 값은?

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: rm H]에서 선분 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 하고
점 [eqn: rm E]에서 선분 [eqn: rm CD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm J]라 하자.

두 선분 [eqn: RMHF], [eqn: RMHI]와 선분 [eqn: RMEJ]가 만나는 점을 각각 [eqn: rm K], [eqn: RML]이라 하고,

선분 [eqn: RMEG]와 선분 [eqn: RMHF]가 만나는 점을 [eqn: rm N]이라 하면

[eqn: ANGLE rm HKL= ANGLE rm NKE]이고, [eqn: ANGLE rm KLH= ANGLE rm ENK=90 DEG]

이므로 [eqn: ANGLE rm KEN= ANGLE rm LHK]

또한 [eqn: {bar{RMHI}} = {bar{RMEJ}}]이고 [eqn: ANGLE rm FIH= ANGLE rm GJE=90 DEG]이므로

두 삼각형 [eqn: rm HFI], [eqn: rm EGJ]는 합동이다.

따라서 [eqn: {bar{rm EG it}} = {bar{rm HF it}} = sqrt {4n ^{2} +1}]

[eqn: S _{n}][eqn: = {1} over {2} TIMES sqrt {4n ^{2} +1} TIMES sqrt {4n ^{2} +1}]
[eqn: = {4n ^{2} +1} over {2} =2n ^{2} + {1} over {2}]

따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{10} S _{n}][eqn: = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( 2n ^{2} + {1} over {2} RIGHT )]
[eqn: =2 TIMES {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6} + {1} over {2} TIMES 10]
[eqn: =775]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: rm G]

[eqn: rm H]

① [eqn: 765]	② [eqn: 770]	③ [eqn: 775]

④ [eqn: 780]	⑤ [eqn: 785]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 09월 16

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 0<x<n pi `]일 때, 방정식 [eqn: sin`x= {3} over {n} `]의 모든 실근의 개수를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{7} a _{n} `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

(ⅰ) [eqn: n=1,```2`]일 때,
[eqn: {3} over {n} >1`]이므로 방정식 [eqn: sinx= {3} over {n}`]의 실근의 개수
[eqn: a _{1} =a _{2} =0`]

(ⅱ) [eqn: n`=3`]일 때,
[eqn: {3} over {n} =1`]이므로 방정식 [eqn: sinx= {3} over {n}`]의 실근의 개수
[eqn: a _{3} =2`]

(ⅲ) [eqn: n`geq4`]일 때,
자연수 [eqn: k`][eqn: (k` ge2)`]에 대하여
[eqn: a _{n} = {cases{n&`````(n=2k)#n+1&`````(n=2k+1)}}]

[eqn: sum _{n=1} ^{7} a _{n} =0+0+2+4+6+6+8=26]

① [eqn: 26]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 29]	⑤ [eqn: 30]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 09월 17

그림과 같이 자연수 [eqn: n`]에 대하여 중심이 직선 [eqn: y= {n} over {n+1} x] 위에 있는 원이 원점을 지난다. 이 원이 [eqn: x`]축과 만나는 점 중에서 [eqn: x`]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmA`], [eqn: y`]축과 만나는 점 중에서 [eqn: y`]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmB`]라 하자. [eqn: bar{rmOB}=2n`]이고 삼각형 [eqn: rm OAB`]의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} ` {1} over {S _{n}} `]의 값은?
(단, [eqn: rmO`]는 원점이다.)

[정답] ①

[해설]

[eqn: ANGLE rm BOA it = {pi } over {2} `]이므로 선분 [eqn: rmAB`]는 원의 지름이다.
원의 중심을 [eqn: rmC`]라 하면, 점 [eqn: rmC`]는 선분 [eqn: rmAB`]의 중점이고, [eqn: {bar{rm OB it}} =2n`]이므로 점 [eqn: rmC`]의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: n`]이다. 점 [eqn: rmC`]는 직선 [eqn: y= {n} over {n+1} x] 위의 점이므로 점 [eqn: rmC`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( n+1,```n RIGHT ) `]이다.

[eqn: S _{n} = {1} over {2} times2n{times}2 LEFT ( n+1 RIGHT ) =2n LEFT ( n+1 RIGHT )]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} ` {1} over {S _{n}} = sum _{n=1} ^{10} ` {1} over {2n LEFT ( n+1 RIGHT )}]

[eqn: = {1} over {2} sum _{n=1} ^{10} ` LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT ) `]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {10} - {1} over {11} RIGHT ) RIGHT } `]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( 1- {1} over {11} RIGHT ) `][eqn: = {5} over {11}]

① [eqn: {5} over {11}]	② [eqn: {6} over {11}]	③ [eqn: {7} over {11}]

④ [eqn: {8} over {11}]	⑤ [eqn: {9} over {11}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 27

자연수[eqn: {n }{{from^2020^인천교육청고3나^중}}]에 대하여 [eqn: 0 LEQ x<2 ^{n+1}]일 때, 부등식

[정답] [eqn: bold169]

[해설]

[eqn: 0 le x < 2^n+1]일 때, [eqn: 0le pi over{2^n}x < 2pi]이므로 부등식 [eqn: cos left( pi over{2^n }x right) le it - 1over2]의 해는 [eqn: 2over3 pi le pi over{2^n}x le 4over3 pi]

즉, [eqn: {2^n+1}over3 le x le {2^{n+2}over3]

[eqn: a_n]은 [eqn: {2^n+1}over3 le x le {2^{n+2}over3]을 만족시키는 서로 다른 모든 자연수 [eqn: x]의 개수이고, [eqn: {2^{n+2}}over3]은 자연수가 아니므로 [eqn: sum_{n=1}^7{ a_n}]은 [eqn: 2^2 over3 le x le 2^9 over3]이 자연수의 개수와 같다.

[eqn: 2^2 over3 = 1.333cdots ,````][eqn: 2^9 over3 = 170.666 cdots]

따라서 [eqn: sum_{n=1}^7{ a_n} =170-1 =169]

[참고]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: 2^2 over3 le x le 2^3 over3]인 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 2]이므로
[eqn: a_1 =1]

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때, [eqn: {2 ^{3}} over {3} LEQ x LEQ {2 ^{4}} over {3}]인 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 3 ,````][eqn: 4 ,````][eqn: 5]이므로
[eqn: a_2 =3]

(ⅲ) [eqn: n=3]일 때, [eqn: 2^4 over3 le x le 2^5 over3]인 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 6 ,````][eqn: 7 ,````][eqn: 8 ,````][eqn: 9 ,````][eqn: 10]이므로 [eqn: a_3 =5]

(ⅳ) [eqn: n=4]일 때, [eqn: 2^5 over3 le x le 2^6 over3]인 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 11 ,````][eqn: 12 ,````][eqn: 13 ,````][eqn: cdots ,````][eqn: 21]이므로 [eqn: a_4 =11]

(ⅴ) [eqn: n=5]일 때, [eqn: 2^6 over3 le x le 2^7 over3]인 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 22 ,````][eqn: 23 ,````][eqn: 24 ,````][eqn: cdots ,````][eqn: 42]이므로 [eqn: a_5 =21]

(ⅵ) [eqn: n=6]일 때, [eqn: 2^7 over3 le x le 2^8 over3]인 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 43 ,````][eqn: 44 ,````][eqn: 45 ,````][eqn: cdots ,````][eqn: 85]이므로 [eqn: a_6 =43]

(ⅶ) [eqn: n=7]일 때, [eqn: 2^8 over3 le x le 2^9 over3]인 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 86 ,````][eqn: 87 ,````][eqn: 88 ,````][eqn: cdots ,````][eqn: 170]이므로 [eqn: a_7 = 85]

[eqn: cos LEFT ( {pi } over {2 ^{n}} x RIGHT ) LEQ - {1} over {2}]

을 만족시키는 서로 다른 모든 자연수 [eqn: x]의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{7} a _{n}]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 15

함수 [eqn: {y=2^x -root2}{{^2020^08^경찰대^중}}]의 그래프 위의 점 [eqn: {rm P]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: {rm Q]라 하자. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: {rm bar{PQ}][eqn: =n]일 때, 점 [eqn: {rm P]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: a_n]이라 하자. [eqn: sum _{ n=1} ^{6 }a_n]의 정수 부분은? (단, 점 [eqn: {rm P]는 제 [eqn: 1]사분면에 있다.)

[정답] ②

[해설]

점 [eqn: {rm P } (a_n,````2^a_n -root2 )]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선의 방정식은

[eqn: y= -x +a_n +2^a_n -root2]

따라서 점 [eqn: rmQ]는 [eqn: (a_n +2^a_n -root2 ,````0)]

[eqn: {rm bar{PQ}][eqn: =n]이므로

[eqn: root { (2^a_n -root2 )^2 + (2^a_n -root2 )^2 }][eqn: =n]

[eqn: root2][eqn: (2^a_n -root2 )][eqn: =n]

따라서 [eqn: 2^{a_n} - root2 = n over root2], [eqn: root2 times 2^{a_n} =n+2]

[eqn: 2^{ 1over 2 +a_n} =n+2], [eqn: 1over 2 + a_n = log_2 (n+2)]

[eqn: therefore][eqn: a_n = log_2{(n+2)} - 1over2]

[eqn: sum _{ n=1} ^{6 }a_n][eqn: =log_2 (3 times 4 times cdots times 8 ) -3]
[eqn: = log_2 (2^6 times 315)-3]
[eqn: =3+ log_2 315]

여기서 [eqn: 2^8 < 315< 2^9]이므로 [eqn: log_2 315 =8. cdots]

따라서 [eqn: sum _{ n=1} ^{6 }a_n]의 정수부분은 [eqn: 11]이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 17

[eqn: {n GEQ 2}{{^2020^08^경찰대^중}}]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: x=n]이 함수 [eqn: y=log _{{1} over {2}} LEFT ( 2x-m RIGHT )]의 그래프와 한 점에서 만나고, 직선 [eqn: y=n]이 함수 [eqn: y= left |`` 2 ^{-x} -m ``right |]의 그래프와 두 점에서 만나도록 하는 모든 자연수 [eqn: m]의 값의 합을 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=5} ^{10} {1} over {a _{n}}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

로그함수 [eqn: y=log _{{1} over {2}} LEFT ( 2x-m RIGHT )]과 직선 [eqn: x=n]이 한 점에서 만나므로

[eqn: {m} over {2} <n]	[eqn: cdotscdots] ㉠

지수함수 [eqn: y= left |`` 2 ^{-x} -m ``right |]와 직선 [eqn: y=n]이 두 점에서 만나므로

[eqn: n<m]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: n<m<2n]

따라서 만족하는 자연수 [eqn: m]의 값의 합 [eqn: a _{n}]은

[eqn: a _{n}][eqn: = LEFT ( n+1 RIGHT ) + LEFT ( n+2 RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( 2n-1 RIGHT )][eqn: = {3} over {2} n LEFT ( n-1 RIGHT )]

따라서 [eqn: 1over a_n = 2 over { 3n(n-1)]

[eqn: therefore][eqn: {1} over {a _{n}} = {2} over {3} LEFT ( {1} over {n-1} - {1} over {n} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ```` sum _{n=5} ^{10} {1} over {a _{n}}][eqn: = 2 over 3 left{ left( 1 over 4 - 1over 5 right) + left( 1over 5 - 1over6 right)]
[eqn: + cdots+ left( 1over 9 - 1over 10 right) right}]
[eqn: = {2} over {3} LEFT ( {1} over {4} - {1} over {10} RIGHT )][eqn: = {1} over {10}]

① [eqn: {1} over {10}]	② [eqn: {1} over {20}]	③ [eqn: {1} over {30}]

④ [eqn: {1} over {40}]	⑤ [eqn: {1} over {50}]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 27

모든 자연수 [eqn: {n}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]에 대하여 곡선 [eqn: y= sqrt {x}]위의 점 [eqn: {rmA}_n (n^2 ,```` n)]과 곡선 [eqn: y=it-x^2] ([eqn: x ge0])위의 점 [eqn: {rmB}_n]이 [eqn: bar{rmOA}_n = bar{rmOB}_n]을 만족시킨다. 삼각형 [eqn: {rmA}_n {RMOB}_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{10 } {2 S_n }over n^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[정답] [eqn: bold395]

[해설]

위의 그래프에서 [eqn: bar{rmOA}_n]의 기울기는 [eqn: 1 over n], [eqn: bar{rmOB}_n]의 기울기는 [eqn: -n]이므로 두 기울기는 수직이다.

또, [eqn: bar{rmOA}_n = bar{rmOB}_n]이므로 삼각형 [eqn: {rmOA}_n {rmB}_n]은 직각이등변삼각형이다.

따라서 삼각형 [eqn: {rmOA}_n {rmB}_n]의 넓이 [eqn: S_n]은

[eqn: S_n = 1over2 (n^2 +n^4 )]

[eqn: therefore][eqn: sum _{ n=1} ^{10 }{2 S_n }overn^2][eqn: = sum _{ n=1} ^{10 } (1+n^2 )]
[eqn: = 10 + 1over6 cdot10cdot11 cdot 21]
[eqn: =395]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 17

자연수 [eqn: {n}{{from^2021^9 고2인천^중}}]에 대하여 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2 ^{n+1}]에서 함수 [eqn: y=2sin LEFT ( {pi } over {2 ^{n}} x RIGHT )]의 그래프가 직선 [eqn: y= {1} over {n}]과 만나는 모든 점의 [eqn: x]좌표의 합을 [eqn: x _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{6} x _{n}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2sin LEFT ( {pi } over {2 ^{n}} x RIGHT )]라 하자.

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 주기는 [eqn: {2 pi } over {{pi } over {2 ^{n}}} =2 ^{n+1}],

최댓값은 [eqn: 2], 최솟값은 [eqn: -2]이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0< {1} over {n} <2]이므로 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2 ^{n+1}]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {n}]은 서로 다른 두 점에서 만난다.

만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha _{n} ,```` beta _{n}]이라 하면 [eqn: beta _{n} =2 ^{n} - alpha _{n}]이므로 [eqn: x _{n} = alpha _{n} + beta _{n} =2 ^{n}]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{6} x _{n} = sum _{n=1} ^{6} 2 ^{n} = {2 TIMES LEFT ( 2 ^{6} -1 RIGHT )} over {2-1} =126]

① [eqn: 122]	② [eqn: 126]	③ [eqn: 130]

④ [eqn: 134]	⑤ [eqn: 138]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 16

자연수 [eqn: {n}{{from^2021^7^경찰대^중}}]에 대하여 곡선

[정답] ⑤

[해설]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: 1]개

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때, [eqn: 3]개

(ⅲ) [eqn: n=3]일 때, [eqn: 10]개

[eqn: vdots]

계속하여 규칙을 구하면

[eqn: n=1]일 때, [eqn: 1]개

[eqn: n=2]일 때, [eqn: 1+2=3]개

[eqn: n=3]일 때, [eqn: 2+4+4=10]개

[eqn: n=4]일 때, [eqn: 2+4+4+4=14]개

[eqn: n=5]일 때, [eqn: 3+6+6+6+6=3+(6times4)=27]개

[eqn: n=6]일 때, [eqn: 3+(6times5)=33]개

[eqn: n=7]일 때, [eqn: 4+(8times6)=52]개

[eqn: n=8]일 때, [eqn: 4+(8times7)=60]개

[eqn: n=9]일 때, [eqn: 5+(10times8)=85]개

[eqn: n=10]일 때, [eqn: 5+(10times9)=95]개

[eqn: vdots]

[eqn: y=n sin(n pix) ```` (0 leq x leq 1)]위의 점 중 [eqn: y]좌표가 자연수인 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하면

[eqn: sum _{k = 1} ^{10} a _{k}][eqn: =1+3+10+14+27+33+52+60+85+95]
[eqn: =380]

[eqn: y][eqn: =n sin LEFT ( n pi x RIGHT )] ([eqn: 0 LEQ x LEQ 1])

위의 점 중 [eqn: y]좌표가 자연수인 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n}]의 값은?

① [eqn: 340]	② [eqn: 350]	③ [eqn: 360]

④ [eqn: 370]	⑤ [eqn: 380]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 11

자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: x=n`]이 직선 [eqn: y=x`]와 만나는 점을 [eqn: rmP _{itn}], 곡선 [eqn: y= {1} over {20} x LEFT ( x+ {1} over {3} RIGHT ) `]과 만나는 점을 [eqn: rmQ _{itn}], [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rmR _{itn} `]이라 하자. 두 선분 [eqn: rm P _{it n rm} Q _{it n rm}], [eqn: rmQ _{it n rm} R _{it n rm}]의 길이 중 작은 값을 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} `]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rmbar{P_{itn}rmQ_{itn}}=itn- 1over20 n left(n+ 1over3 right)], [eqn: rmbar{Q_{itn}rmR_{itn}}= 1over20 n left(n+ 1over3 right)]이다.

[eqn: rm bar{P_{itn}rmQ_{itn}}>rm bar{Q_{itn}rmR_{itn}]을 만족하는 [eqn: n]의 범위를 구하면

[eqn: n- 1over20 n left(n+ 1over3 right)> 1over20 n left(n+ 1over3 right)]

[eqn: n> 1over10 n left(n+ 1over3 right)]

[eqn: n]은 자연수이므로

[eqn: 1> 1over10 left(n+ 1over3 right)], [eqn: n< 10- 1over3]

[eqn: therefore][eqn: a_n =cases{rmbar{Q_{itn}rmR_{itn}}= 1over20 n left(n+ 1over3 right)&left(1le n le 9right)#rmbar{P_{itn}rmQ_{itn}}=n- 1over20 n left(n+ 1over3 right)````&left(n ge10right)]

[eqn: therefore][eqn: sum_n=1^10 a_n][eqn: =sum_n=1^9 1over20 n left(n+ 1over3 right)+a_10]
[eqn: = 1over20 times{9times10times19}over6 + 1over60 times{9times10}over2]
[eqn: + 10- 1over20 times10 left(10+ 1over3 right)]
[eqn: = 119over6]

① [eqn: {115} over {6}]	② [eqn: {58} over {3}]	③ [eqn: {39} over {2}]

④ [eqn: {59} over {3}]	⑤ [eqn: {119} over {6}]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 16

좌표평면에 네 점 [eqn: {rmA(0 ,`` 0) }], [eqn: rmB(1 ,`` 0)], [eqn: rmC(1 ,`` 1)], [eqn: rmD(0 ,`` 1)]이 있다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 집합 [eqn: X_n]은 다음 조건을 만족시키는 모든 점 [eqn: (a ,`` b)]를 원소로 하는 집합이다.

[정답] ①

[해설]

조건 (다)에서 [eqn: k], [eqn: m]이 자연수이므로 [eqn: 0<a le 1over2], [eqn: 0<b le 1over2]를 만족한다. 따라서 조건 (나)에서 점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: left(a,``b right)] 사이의 거리의 최솟값 [eqn: 1over2^n]은 [eqn: 1over2^k] 또는 [eqn: 1over2^m]과 같아야 한다.

따라서 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: k=n]일 때, [eqn: 1le m le n]이므로 [eqn: n]가지

(ⅱ) [eqn: m=n]일 때, [eqn: 1le k le n]이므로 [eqn: n]가지

(ⅲ) [eqn: k=m=n]일 때, [eqn: 1]가지

[eqn: a_n]의 값은 (ⅰ)[eqn: +](ⅱ)[eqn: -](ⅲ)이므로

[eqn: a_n =2n-1]

[eqn: sum_n=1^10 a_n][eqn: = sum_n=1^10 (2n-1)][eqn: =100 from 넘버41]

[다른 풀이]

[eqn: n]의 값에 따라서 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]를 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,
[eqn: left( 1 over2^k ,```` 1 over 2^m right)]과 정사각형 [eqn: rmABCD]의 변 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 거리의 최솟값이 [eqn: 1 over 2]이므로 [eqn: left( 1 over2 ,```` 1 over 2 right)]
즉 집합 [eqn: X_1]의 원소의 개수를 [eqn: a_1 =1]

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때,
[eqn: left( 1 over2^k ,```` 1 over 2^m right)]과 정사각형 [eqn: rmABCD]의 변 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 거리의 최솟값이 [eqn: 1 over 4]이므로
[eqn: left( 1 over4 ,```` 1 over 4 right) , ````left( 1 over4 ,```` 1 over 2 right) ,][eqn: left( 1 over2 ,```` 1 over 4 right)]
즉 집합 [eqn: X_2]의 원소의 개수를 [eqn: a_2 = 3]

(ⅲ) [eqn: n=3]일 때,
[eqn: left( 1 over2^k ,```` 1 over 2^m right)]과 정사각형 [eqn: rmABCD]의 변 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 거리의 최솟값이 [eqn: 1 over 8]이므로
[eqn: left( 1 over8 ,```` 1 over 8 right) , ````left( 1 over8 ,```` 1 over 4 right) ,````left( 1 over8 ,```` 1 over 2 right) ,][eqn: left( 1 over4 ,```` 1 over 8 right) ,][eqn: left( 1 over2 ,```` 1 over 8 right)]
즉 집합 [eqn: X_3]의 원소의 개수를 [eqn: a_2 = 5]

[eqn: vdots]

따라서 집합 [eqn: X_n]의 원소의 개수를 [eqn: a_n][eqn: =2n-1]이므로

[eqn: sum_n=1^10 a_n][eqn: = sum_n=1^10 (2n-1)][eqn: =100 from 넘버41]

(가) 점 [eqn: (a ,`` b)]는 정사각형 [eqn: rmABCD]의 내부에 있다.

(나) 정사각형 [eqn: rmABCD]의 변 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: (a ,`` b)] 사이의 거리의 최솟값은 [eqn: 1 over2^n]이다.

(다) [eqn: a = 1 over2^k]이고 [eqn: b = 1 over2^m]인 자연수 [eqn: k], [eqn: m]이 존재한다.

집합 [eqn: X_n]의 원소의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1^10 a_n]의 값은?

① [eqn: 100]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 140]

④ [eqn: 160]	⑤ [eqn: 180]

03 수1	10 수열의합
04 항등식과 수열, 활용
06 활용3 (추론, 주기수열)

[출처]	2008 모의_공공 경찰대 고3 07월 25

두 원 [eqn: C_{1}: x^{2}+y^{2}=1]과 [eqn: C_{r}: x^{2}+y^{2}=r^{2}]이 있다. (단, [eqn: r>1]) 다음 조건에 따라 [eqn: C_{r}] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it _{{{k}} it }]를 차례로 잡자. [eqn: (k=1,``2,``3 cdots)]

[정답] ④

[해설]

그림에서 [eqn: angle {rm{OP}} it _{1} {rm{H}} it = theta]라고 하면

[eqn: angle {rm{P}} it _{n} {rm{P}} it _{n+1} {rm{P}} it _{n+2}=2 theta], [eqn: sin theta={bar{rm{OH}} it } over {bar{{rm{OP}} it _{1}}}={1} over {r}]이다.

ㄱ. [eqn: r> sqrt{2}]이면 [eqn: sin theta={1} over {r}<{1} over { sqrt{2}}]이므로 [eqn: theta<45 DEG]
[eqn: therefore~ ~ angle {rm{P}} it _{1} {rm{P}} it _{2} {rm{P}} it _{3}=2 theta<90 DEG](참)

ㄴ. [eqn: r={2 sqrt{3}} over {3}]이면 [eqn: sin theta={1} over {r}={ sqrt{3}} over {2}]에서 [eqn: theta=60 DEG]이므로
[eqn: angle {rm{OP}} it _{n} {rm{P}} it _{n+1}=60 DEG], [eqn: ~ angle {rm{P}} it _{n} {rm{P}} it _{n+1} {rm{P}} it _{n+2}=120 DEG]이다.
따라서 [eqn: r={2 sqrt{3}} over {3}]이면 한 내각의 크기가 [eqn: 120 DEG]이므로 정육각형이 된다.

그러므로 그림에서와 같이 [eqn: {rm{P}} it _{5}]의 좌표는 [eqn: {rm{P}} it _{2}]의 좌표의 원점 대칭이다.
[eqn: {rm{P}} it _{2}(x,`` y)= left({2 sqrt{3}} over {3} cos 60 DEG ,`` {2 sqrt{3}} over {3} sin 60 DEG right)= left({ sqrt{3}} over {3},`` 1 right)]
[eqn: rm therefore~P_{5} left(-{ sqrt{3}} over {3},``-1 right)] (거짓)

ㄷ. [eqn: angle {rm{P}} it _{1} {rm{P}} it _{2} {rm{P}} it _{3}=100 DEG]이면, [eqn: angle {rm{P}} it _{n} {rm{OP}} it _{n+1}=80 DEG]이다.
따라서 [eqn: 80 times n=360 times m]인 최소의 양의 정수 [eqn: m], [eqn: n]은 각각 [eqn: n=9], [eqn: m=2]이다.
그러므로 [eqn: {rm{P}} it _{1}={rm{P}} it _{10}]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

(ⅰ) [eqn: {rm{P}} it _{1}={rm{P}} it _{1}~({{r}} it ,`` 0)]

(ⅱ) 점 [eqn: {rm{P}} it _{{{k}} it +1}]은 점 [eqn: {rm{P}} it _{{{k}} it }]에서 [eqn: C_{1}]에 그은 접선이 [eqn: C_{r}]와 만나는 점이다.

(ⅲ) 선분 [eqn: {rm{P}} it _{1} {rm{P}} it _{2}]는 제[eqn: rm 1]사분면을 지난다.

(ⅳ) 선분 [eqn: {rm{P}} it _{{{k}} it +1} {rm{P}} it _{{{k}} it +2}]와 선분 [eqn: {rm{P}} it _{{{k}} it } {rm{P}} it _{{{k}} it +1}]은 다른 선분이다.

이때, <보기>에서 참인 명제를 모두 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: r> sqrt{2}]이면 [eqn: angle {rm{P}} it _{1} {rm{P}} it _{2} {rm{P}} it _{3}<90 DEG]이다. ㄴ. [eqn: r={2 sqrt{3}} over {3}]이면 [eqn: {rm{P}} it _{5}]의 좌표는 [eqn: {rm{P}} it _{5} left(-1,``-{ sqrt{3}} over {3} right)]이다. ㄷ. [eqn: angle {rm{P}} it _{1} {rm{P}} it _{2} {rm{P}} it _{3}=100 DEG]이면 [eqn: {rm{P}} it _{1}={rm{P}} it _{10}]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 03월 21

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n^{2}]을 [eqn: rm 6]으로 나눈 나머지를 [eqn: a_{n}]이라 할 때, [eqn: a_{n}=4]를 만족시키는 [eqn: rm 100] 이하의 자연수 [eqn: n]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 34]

[해설]

[eqn: (n+6)^{2}][eqn: =n^{2}+12 n+36]
[eqn: =6(2 n+6)+n^{2}]

이므로 [eqn: a_{n+6}=a_{n}]이 성립한다.

또, [eqn: a_{1}=1], [eqn: a_{2}=4], [eqn: a_{3}=3], [eqn: a_{4}=4], [eqn: a_{5}=1], [eqn: a_{6}=0]이므로 [eqn: a_{n}=4]를 만족시키는 자연수 [eqn: n]은

[eqn: rm 2] 또는 [eqn: n=6 k +- 2]( [eqn: k]는 자연수)이다.

따라서 구하는 [eqn: rm 100] 이하의 자연수 [eqn: n]은

[eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8], [eqn: 10], [eqn: cdots], [eqn: 94], [eqn: 98], [eqn: 100]의 [eqn: rm 34]개다.

[출처]	2010 모의_공공 사관학교 고3 07월 29
[출처]	2010 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

그림과 같이 정삼각형을 붙여서 만든 도형 위에 흰색과 검은색의 바둑돌을 정삼각형의 각 꼭짓점 위에 나열하는데, 제 [eqn: n]행에는 [eqn: (n+1)]개의 돌을 다음과 같은 규칙으로 나열한다. [eqn: (n=1,``2,``3,`` cdots)]

[정답] [eqn: 142]

[해설]

[eqn: rm 198]행의 흰 돌에는 [eqn: rm 198]이 적혀 있으므로 그 수를 구하면 [eqn: rm 132]개다.

[eqn: n]행의 검은 돌에 [eqn: rm 198]이 적혀있다면 주변의 [eqn: rm 4]개 또는 [eqn: rm 6]개 돌의 숫자의 합이다.

[eqn: rm 4]개 숫자의 합이라면 [eqn: n-1+n+2(n+1)=198]이므로 만족하는 자연수 [eqn: n]이 존재하지 않는다.

[eqn: rm 6]개 숫자의 합이라면 [eqn: 2(n-1)+2 n+2(n+1)=198]이므로 [eqn: n=33]이다.

[eqn: rm 33]행에는 검은 돌이 [eqn: rm 12]개 있고 양 끝의 검은 돌을 제외하면 가능한 경우는 [eqn: rm 10]개다.

따라서 [eqn: rm 198]이 적혀 있는 돌의 개수는 [eqn: 132+10=142]개다.

(가) 제 [eqn: rm 1]행에는 모두 흰색의 바둑돌을 나열한다.

(나) 제 [eqn: (3 n-1)]행에는 맨 왼쪽부터 흰색, 검은색, 흰색의 바둑돌 [eqn: rm 3]개를 [eqn: n]회 반복하여 나열한다.

(다) 제 [eqn: 3 n]행에는 맨 왼쪽에 검은색의 바둑돌을 [eqn: rm 1]개 놓은 다음 그 오른쪽으로 흰색, 흰색, 검은색의 바둑돌 [eqn: rm 3]개를 [eqn: n]회 반복하여 나열한다.

(라) 제 [eqn: (3 n+1)]행에는 맨 왼쪽에 흰색의 바둑돌을 [eqn: rm 2]개 나열한 다음 그 오른쪽으로 검은색, 흰색, 흰색의 바둑돌 [eqn: rm 3]개를 [eqn: n]회 반복하여 나열한다.

위의 규칙대로 바둑돌을 나열한 다음 제 [eqn: n]행에 놓인 흰색의 바둑돌에는 [eqn: n]을 적고, 각 행에 놓인 검은색의 바둑돌에는 그 돌과 가장 가까운 [eqn: rm 4]개 또는 [eqn: rm 6]개의 흰색의 바둑돌에 적힌 숫자의 합을 적는다. 이때, [eqn: rm 198]이 적힌 바둑돌의 개수를 구하시오.

03 수1	10 수열의합
04 항등식과 수열, 활용
07 활용4 (추론, 규칙적인 변화)

[출처]	2005 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 7

[eqn: rm 3]으로도 [eqn: rm 5]로도 나누어 떨어지지 않는 자연수를 작은 것부터 순서대로 나열한 수열을 [eqn: left{ a_{n} it right}]이라 한다. 예를 들면, [eqn: a_{1}=1], [eqn: a_{2}=2], [eqn: a_{3}=4]이다. 이때, [eqn: a_{100}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

다음과 같이 자연수를 나열하여 [eqn: rm 3]의 배수와 [eqn: rm 5]의 배수를 지우고 남는 수가 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 각 항이므로

[eqn: a_{n+8}=a_{n}+15 ~ therefore~a_{100}=a_{4}+15 times 12=187]

① [eqn: rm 172]	② [eqn: rm 187]	③ [eqn: rm 195]

④ [eqn: rm 202]	⑤ [eqn: rm 210]

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 03월 10

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]은 다음과 같이 [eqn: rm 3]으로 나누어 떨어지지 않는 자연수를 작은 수부터 차례로 나열한 것이다.

[정답] ①

[해설]

주어진 수열은 [eqn: rm 3]의 배수를 함께 생각하면

[eqn: 1], [eqn: 2], ❸, [eqn: 4], [eqn: 5], ❻, [eqn: cdots], [eqn: 44],

[eqn: sum_{k=1}^{30} a_{k}= sum_{k=1}^{45} k- sum_{k=1}^{15} 3 k={45 times 46} over {2}-3 times {15 times 16} over {2}=675]

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: cdots]

이때 [eqn: sum_{k=1}^{30} a_{k}]의 값은?

① [eqn: rm 675]	② [eqn: rm 685]	③ [eqn: rm 695]

④ [eqn: rm 705]	⑤ [eqn: rm 715]

[출처]	2009 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

[eqn: 1 leq x<10]인 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: {x^{3}} over {[x]}]의 값이 자연수가 되는 [eqn: x]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[정답] [eqn: 171]

[해설]

[eqn: {[`x`]=n]이라 두면 [eqn: }]

[eqn: n leq x<n+1]

[eqn: ``RARROW`` n^{3} leq x^{3}<(n+1)^{3}=n^{3}+3 n^{2}+3 n+1]

[eqn: ``RARROW`` n^{2} leq {x^{3}} over {n} leq n^{2}+3 n+3<n^{2}+3 n+3+{1} over {n}]

[eqn: therefore~[`x`]=n]일 때, [eqn: {x^{3}} over {[`x`]}]가 자연수가 되는 [eqn: x]는 총

[eqn: n^{2}+3 n+3- left(n^{2} right)+1=3 n+4]개가 존재한다.

그런데 [eqn: 1 leq x<10]이므로 [eqn: [`x`]]값은 [eqn: 1 leq [`x`]<10]이므로

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: cdots], [eqn: 9]까지 총 [eqn: rm 9]개가 존재한다.

[eqn: therefore~x]의 개수 [eqn: = sum_{n=1}^{9}(3 n+4)=3 cdot 45+4 cdot 9=171]

[출처]	2009 모의_공공 경찰대 고3 07월 24

함수 [eqn: f(x)= log _{2} `left(x^{2}+x+1 right)- log _{2} `x]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: = log _{2} left(x^{2}+x+1 right)- log _{2} `x][eqn: = log _{2} {x^{2}+x+1} over {x}][eqn: = log _{2} left(x+1+{1} over {x} right)]

에서 [eqn: x geq 1]일 때 [eqn: x+1+{1} over {x} geq 3]이므로

[eqn: f(x)= log _{2} left(x+1+{1} over {x} right)>1]

따라서 [eqn: [`f(x)`]= left[` log _{2} left(x+1+{1} over {x} right)` right]=k(k]는 자연수[eqn: )]라 하면

[eqn: k leq log _{2} left(x+1+{1} over {x} right)<k+1]

[eqn: 2^{k} leq x+1+{1} over {x}<2^{k+1}]

[eqn: therefore~2^{k}-1 leq x+{1} over {x}<2^{k+1}-1]

[eqn: k=1]일 때, [eqn: 1 leq x+{1} over {x}<3]이므로 자연수 [eqn: x]는 [eqn: rm 1], [eqn: rm 2]의 [eqn: rm 2]개 [eqn: k=2]일 때, [eqn: 3 leq x+{1} over {x}<7]이므로 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]의 [eqn: rm 4]개 [eqn: k=3]일 때, [eqn: 7 leq x+{1} over {x}<15]이므로 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: cdots`], [eqn: 14]의 [eqn: rm 8]개

[eqn: vdots]

[eqn: k=9]일 때, [eqn: 511 leq x+{1} over {x}<1023]이므로 자연수 [eqn: x]는

[eqn: 511], [eqn: 512], [eqn: cdots`], [eqn: 1022]의 [eqn: rm 512]개

이때, [eqn: k=[`f(x)`]]이므로

[eqn: [`f(1)`]+[`f(2)`]+` cdots` +[`f(1022)`]]

[eqn: =1 times 2+2 times 2^{2}+3 times 2^{3}+ `cdots`+9 times 2^{9}]

[eqn: S=1 times 2+2 times 2^{2}+3 times 2^{3}+` cdots`+9 times 2^{9}]	[eqn: cdotscdots]㉠

이라 하면

[eqn: 2 S=1 times 2^{2}+2 times 2^{3}+3 times 2^{4}+ `cdots`+8 times 2^{9}+9 times 2^{10}]	[eqn: cdotscdots]㉡

이므로 ㉠[eqn: -]㉡을 하면

[eqn: -S=2+2^{2}+2^{3}+ cdots+2^{9}-9 times 2^{10}={2 left(2^{9}-1 right)} over {2-1}-9 times 2^{10}]

[eqn: therefore~S][eqn: =-{2 left(2^{9}-1 right)} over {2-1}+9 times 2^{10}]
[eqn: =9 times 2^{10}-2^{10}+2=8 times 2^{10}+2=2^{13}+2]

[eqn: [`f(1)`]+[`f(2)`]+[`f(3)`]+ `cdots`+[`f(1022)`]]

의 값은? (단, [eqn: [`x`]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① [eqn: 2^{11}+2]	② [eqn: 2^{12}-2]	③ [eqn: 2^{12}+2]

④ [eqn: 2^{13}-2]	⑤ [eqn: 2^{13}+2]

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고2 11월 28

[eqn: sum_{n=1}^{50} n left( sin {n} over {2} pi+ cos {n} over {2} pi right)^{n}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 675]

[해설]

[eqn: sum_{n=1}^{50} n left( sin {n} over {2} pi+ cos {n} over {2} pi right)^{n}]

[eqn: =1+2-3+4+5+6-7+8]

[eqn: + cdots+41+42-43+44+45+46-47+48+49+50]

[eqn: = sum_{n=1}^{50} n-2 sum_{n=1}^{12}(4 n-1)=1275-600=675]

[출처]	2013 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x]의 정수 부분을 [eqn: f(x)]라 할 때,

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: sum_{k=1}^{10} f left(2^{k} right)= sum_{k=1}^{10} 2^{k}={2 left(2^{10}-1 right)} over {2-1}=2046]

[eqn: 2^{n} leq k<2^{n+1}]일 때, [eqn: n leq log _{2} k<n+1]이므로 [eqn: f left( log _{2} k right)=n]이다.

이때, [eqn: f left( log _{2} k right)=n]인 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 2^{n+1}-2^{n}=2^{n}]이다.

[eqn: 2=2^{1}], [eqn: 1024=2^{10}]이므로

[eqn: sum_{k=2}^{1024} f left( log _{2} k right)= sum_{n=1}^{9} n cdot 2^{n}+10]

[eqn: S= sum_{n=1}^{9} n cdot 2^{n}=1 cdot 2+2 cdot 2^{2}+3 cdot 2^{3}+ ` CDOTS` +9 cdot 2^{9}][eqn: CDOTSCDOTS]㉠

이라 하면

[eqn: 2S][eqn: = sum _{n=1} ^{9} n CDOT 2 ^{n+1}]
[eqn: =1 CDOT 2 ^{2} +2 CDOT 2 ^{3} +3 CDOT 2 ^{4} +` CDOTS `+9 CDOT 2 ^{10}]	[eqn: CDOTSCDOTS]㉡

㉠[eqn: -]㉡에서 [eqn: -S= sum_{n=1}^{9} 2^{n}-9 cdot 2^{10}]

[eqn: S=1 cdot 2+2 cdot 2^{2}+3 cdot 2^{3}+ cdots+9 cdot 2^{9}]

[eqn: -2S=~~~1 CDOT 2 ^{2} +2 CDOT 2 ^{3} +3 CDOT 2 ^{4} +` CDOTS `+9 CDOT 2 ^{10}]

[eqn: -S=~~~~2 ^{2} +2 ^{3} +` CDOTS `+2 ^{9} -9 CDOT 2 ^{10}]

[eqn: therefore~ ~ S=9 cdot 2^{10}- sum_{n=1}^{9} 2^{n}]

[eqn: =9 cdot 2^{10}-{2 left(2^{9}-1 right)} over {2-1}]

[eqn: =8 cdot 2^{10}+2]

[eqn: =8194]

[eqn: therefore~ sum_{k=2}^{1024} f left( log _{2} k right)=8194+10=8204]

[eqn: therefore~ sum_{k=1}^{10} f left(2^{k} right)+ sum_{k=2}^{1024} f left( log _{2} k right)=2046+8204=10250]

[eqn: sum_{k=1}^{10} f left(2^{k} right)+ sum_{k=2}^{1024} f left( log _{2} k right)]

의 값은?

① [eqn: rm 9850]	② [eqn: rm 9950]	③ [eqn: rm 10050]

④ [eqn: rm 10150]	⑤ [eqn: rm 10250]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 06월 13

그림과 같이 곡선 [eqn: {{y= LEFT | log` _{2}` x RIGHT |}} `]와 직선 [eqn: {{y=k}} `]가 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm {{B}} `]라 하고 곡선 [eqn: {{y= LEFT | log` _{2}` x RIGHT |}} `]와 [eqn: x `]축이 만나는 점을 [eqn: rm C`]라 하자.

[정답] ④

[해설]

[eqn: rm A it (2 ^{-k} ,~k),~rm B it (2 ^{k} ,~k)]이므로 [eqn: x]좌표가 [eqn: 2 ^{m}]([eqn: m]은 정수)의 꼴인 점의 개수는 [eqn: -k`]부터 [eqn: k`]까지 정수의 개수이다. 따라서 [eqn: a _{k} `=k- LEFT ( -k RIGHT ) +1=2k+1]이다. 그러므로

[eqn: sum _{k=1} ^{15} a _{k} = sum _{k=1} ^{15} (2k+1)=2 TIMES {15 TIMES 16} over {2} +15=255]이다.

[다른 풀이]

[eqn: k=1]일 때, [eqn: rm A(2 ^{-1} ,~1),~B(2 ^{1} ,~1)]이고 [eqn: a _{1} =3]이다.

[eqn: k=2]일 때, [eqn: rm A(2 ^{-2} ,~2),~B(2 ^{2} ,~2)]이고 [eqn: a _{2} =5]이다.

[eqn: k]가 증가할수록 양 끝점이 두 개씩 늘어나므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 3]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이다. 따라서 [eqn: `a _{k} =2k+1]이다. 그러므로 [eqn: sum _{k=1} ^{15} a _{k} = sum _{k=1} ^{15} (2k+1)=2 TIMES {15 TIMES 16} over {2} +15=255]이다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: y=k]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \C]

[eqn: {{y= LEFT | log` _{2}` x RIGHT |}} `][eqn: y= LEFT | `log _{2} x` RIGHT | `]

[eqn: k `]가 자연수일 때, 선분 [eqn: rm AB] 위의 점(양 끝점 포함) 중에서 [eqn: x`]좌표가 [eqn: 2 ^{m}] ([eqn: m`]은 정수) 꼴인 점의 개수를 [eqn: a _{k} `]라 하자.
[eqn: sum _{k=1} ^{15} a _{k} `]의 값은?

① [eqn: 240]	② [eqn: 245]	③ [eqn: 250]

④ [eqn: 255]	⑤ [eqn: 260]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 03월 21

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]은 [eqn: 15`]와 서로소인 자연수를 작은 수부터 차례대로 모두 나열하여 만든 것이다. 예를 들면 [eqn: a _{2} =2`], [eqn: a _{4} =7 `]이다. [eqn: sum _{n=1} ^{16} a _{n} `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: 1 LEQ n LEQ 15`]를 만족시키는 자연수 [eqn: n] 중 [eqn: 15`]와 서로소인 자연수 [eqn: 8`]개

[eqn: 16 LEQ n LEQ 30`]을 만족시키는 자연수 [eqn: n] 중 [eqn: 15`]와 서로소인 자연수 [eqn: 8`]개

[eqn: VDOTS `]

[eqn: 15(k-1)+1 LEQ n LEQ 15k`]를 만족시키는 자연수 [eqn: n] 중 [eqn: 15`]와 서로소인 자연수 [eqn: 8`]개 ([eqn: k=1,`2,`3`,` CDOTS `])

[eqn: a _{16} `]은 [eqn: 16 LEQ n LEQ 30`]을 만족시키는 [eqn: 15`]와 서로소인 자연수 [eqn: n] 중 가장 큰 수이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{16} a _{n} `]은 [eqn: 1`]부터 [eqn: 30`]까지 자연수 중 [eqn: 15`]와 서로소인 자연수들의 합이다.

[eqn: 1`]부터 [eqn: 30`]까지 자연수 중에는 [eqn: 10`]개의 [eqn: 3`]의 배수, [eqn: 6`]개의 [eqn: 5`]의 배수, [eqn: 2`]개의 [eqn: 15`]의 배수가 있다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{16} a _{n} `][eqn: = sum _{n=1} ^{30} n- sum _{n=1} ^{10} 3n- sum _{n=1} ^{6} 5n+ sum _{n=1} ^{2} 15n`]

[eqn: =240`]

[다른 풀이]

[eqn: a _{1`][eqn: }=1 `], [eqn: a _{2}`][eqn: =2`], [eqn: a _{3}`][eqn: =4`], [eqn: a _{4}`][eqn: =7 `], [eqn: a _{5}`][eqn: =8 `], [eqn: a _{6}`][eqn: =11 `], [eqn: a _{7} `][eqn: =13 `], [eqn: a _{8}`][eqn: =14 `]이고

[eqn: k`]([eqn: k`][eqn: =1,`2,`3,`cdots`,14`])가 [eqn: 15`]와 서로소이면 [eqn: 15+k`]도 [eqn: 15`]와 서로소이므로

[eqn: a _{9} `][eqn: = a_1 + 15 `], [eqn: a _{10} `][eqn: = a_2 + 15`], [eqn: cdots`], [eqn: a _{16} `][eqn: = a_8 + 15 `]

[eqn: sum_n=1 ^8 a_n `][eqn: = 1+2+4+7+8+11+13+14 `][eqn: = 60`]

[eqn: sum_n=1 ^16 a_n `][eqn: = sum _{n=1} ^{8} a _{n} + sum _{n=9} ^{16} a _{n}`][eqn: = 2sum_n=1 ^8 a_n + 15 times 8 `][eqn: = 2 times 60 + 120`]

[eqn: =240`]

① [eqn: 240]	② [eqn: 280]	③ [eqn: 320]

④ [eqn: 360]	⑤ [eqn: 400]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 04월

[eqn: x ge1`]일 때, [eqn: log` x`]의 정수부분과 소수부분을 각각 [eqn: f LEFT (x RIGHT )], [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]라 하자. 좌표평면에서 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수

[정답] [eqn: bold65`]

[해설]

정수 [eqn: k]([eqn: k ge0])에 대하여
[eqn: 10^k} le x < 10^{k+1}]에서 [eqn: log `x]의 정수부분과 소수부분은

[eqn: f(x) =k], [eqn: g(x) = log`x` - k]

이므로

[eqn: y= LEFT { f(x) +1 RIGHT } g left (x right ) = LEFT ( {k+1} RIGHT ) left(log `x`-k right )]가 [eqn: y=n]과 만나는 점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: LEFT ( {k+1} RIGHT ) left(log `x`-k right ) = n]

[eqn: log `x = k+ n over k+1] (단, [eqn: n <k+1])

[eqn: therefore][eqn: x= 10^{ k+ n over k+1 }]

[eqn: n=1]일 때,

[eqn: x= 10^ { 1 + 1 over 2 }], [eqn: 10^ { 2 + 1 over 3 }], [eqn: 10^ { 3 + 1 over 4 }], [eqn: cdots]
[eqn: therefore][eqn: a_1 = 10^{ 1 + 1 over 2 }]

[eqn: n=2]일 때,

[eqn: x= 10^ { 2 + 2 over 3 }], [eqn: 10^ { 3 + 2 over 4 }], [eqn: 10^ { 4 + 2 over 5 }], [eqn: cdots]
[eqn: therefore][eqn: a_2 = 10^{ 2 + 2 over 3 }]

[eqn: n=3]일 때,

[eqn: x= 10^ { 3 + 3 over 4 }], [eqn: 10^ { 4 + 3 over 5 }], [eqn: 10^ { 5 + 3 over 6 }], [eqn: cdots]
[eqn: therefore][eqn: a_3 = 10^{ 3 + 3 over 4 }]

[eqn: VDOTS]

[eqn: therefore][eqn: a_n = 10^{ n + n over n+1 }]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT ( log` _{`} a _{n} `+ {1} over {n+1} RIGHT )` = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( log` _{`} 10^{n + n over n+1 }`+ {1} over {n+1} RIGHT )]

[eqn: = sum _{n=1} ^{10}left(n+1 right) = 65]

[eqn: y=LEFT { {f LEFT (x RIGHT )+1} RIGHT } {g LEFT (x RIGHT )} `]

의 그래프와 직선 [eqn: y= n`]이 만나는 점의 [eqn: x`]좌표 중 가장 작은 값을 [eqn: a_n`]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1 } ^{ 10} LEFT ( log` a_n + 1 over n+1 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 03월 26

양의 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: log` x `]의 소수부분을 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} f LEFT (2 ^{k} RIGHT )= m log` 2-n `]이다. 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n `]에 대하여 [eqn: m+n `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold67`]

[해설]

ⅰ) [eqn: 1 le k le 3]일 때, [eqn: 1 le 2^k < 10]이므로

[eqn: log `2^k`]의 정수부분은 [eqn: 0`]이고,

[eqn: f(2^ k ) = log `2^k = k log `2]

ⅱ) [eqn: 4 le k le 6]일 때, [eqn: 10 le 2^k < 10^2]이므로

[eqn: log `2^k`]의 정수부분은 [eqn: 1`]이고,

[eqn: f(2^ k ) = log `2^k -1][eqn: = k log `2 -1]

ⅲ) [eqn: 7 le k le 9]일 때, [eqn: 10^2 le 2^k < 10^3]이므로

[eqn: log `2^k`]의 정수부분은 [eqn: 2`]이고,

[eqn: f(2^ k ) = log `2^k -2][eqn: = k log `2 -2]

ⅳ) [eqn: k=10]일 때, [eqn: 10^3 le 2^k < 10^4]이므로

[eqn: log `2^k`]의 정수부분은 [eqn: 3`]이고,

[eqn: f(2^ k ) = log `2^k -3][eqn: = k log `2 -3]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{10} f(2 ^{k} )`][eqn: = sum_{k=1}^10 k log`2 - (1 times 3 + 2times 3 + 3times1)`]
[eqn: = 55 log `2 - 12]

이므로 [eqn: m = 55], [eqn: n=12]

따라서

[eqn: m+n= 67]

[출처]	2017 모의_공공 경찰대 고3 07월 18

함수

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: {4} over {3}=1.333 `cdots`]이므로
[eqn: 0 leq k leq 66 ; left[x+{k} over {100} right]=1], [eqn: ~ 67 leq k leq 99 ; left[x+{k} over {100} right]=2]
이므로 [eqn: f left({4} over {3} right)=67 times 1+33 times 2=134]

ㄴ. [eqn: n=2 m] (짝수) 이면
[eqn: left[x+{n} over {2} right]= left[x+m+{k} over {100} right]=m+ left[x+{k} over {100} right]]이므로
[eqn: f left(x+{n} over {2} right)=100 m+f(x)=50 n+f(x)]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: n=2 m-1] (홀수) 이면
[eqn: left[x+{n} over {2} right]= left[x+m-{1} over {2}+{k} over {100} right]]의 값은
[eqn: 0 leq k leq 49 `:` m-1+ left[x+{k+50} over {100} right]]
[eqn: 50 leq k leq 99 `:` m+ left[x+{k-50} over {100} right]]이므로
[eqn: f left(x+{n} over {2} right)=50(m-1)+50 m+f(x)=50 n+f(x)][eqn: CDOTS CDOTS] ㉡
㉠, ㉡ 에서
[eqn: therefore~f left(x+{n} over {2} right)=f(x)+50 n ~](참)

ㄷ. [eqn: {n} over {100} leq x<{n+1} over {100}]일 때, [eqn: f(x)=n]이므로
[eqn: f(f(x)-1)=f(n-1)=100 n-100]
[eqn: n f(x)-1=n^{2}-1]
식에 대입하면
[eqn: 100 n-100=n^{2}-1]
[eqn: n^{2}-100 n+99=0]
[eqn: n=1], [eqn: 99]
[eqn: therefore~2]개 (거짓)

[eqn: f(x)=[x]+ left[x+{1} over {100} right]+ left[x+{2} over {100} right]+ `cdots`+ left[x+{99} over {100} right]]

에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대 정수이다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f left({4} over {3} right)=133] ㄴ. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f left(x+{n} over {2} right)=f(x)+50 n] ㄷ. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: {n} over {100} leq x<{n+1} over {100}]일 때, [eqn: f(f(x)-1)=n f(x)-1] 을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: rm 1]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

수열 [eqn: { left{ a_n right}}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[정답] [eqn: bold { 282 }]

[해설]

[eqn: a_n][eqn: = S_n - S_n-1]
[eqn: =(n^2 +cn) - (n-1)^2 -c (n-1)]
[eqn: = 2n-1+c]

수열 [eqn: left{ a_n right]을 [eqn: 30`]번째항까지 나열하면

[eqn: 1+c], [eqn: 3+c], [eqn: 5+ c], [eqn: cdots], [eqn: 55+c], [eqn: 57+c], [eqn: 59+c]

(ⅰ) [eqn: c=3k]인 경우
[eqn: b_20][eqn: =][eqn: 59+c]이므로 [eqn: 59+c = 199]
따라서 [eqn: c= 140]이므로 [eqn: c!=3k]꼴이므로 성립하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: c=3k+1]인 경우
[eqn: b_20 =][eqn: 57+c]이므로 [eqn: 57+c = 199]

[eqn: c=142]
따라서 성립한다.

(ⅲ) [eqn: c=3k+2]인 경우
[eqn: b_20][eqn: =][eqn: 59+c]이므로 [eqn: 59+c = 199]
따라서 [eqn: c= 140]이므로 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: b_20 = 199]가 되도록 하는 모든 [eqn: c`]의 값의 합은 [eqn: 142+140 = 282]

[eqn: sum_k=1^n a_k = n^2 +cn] ([eqn: c`]는 자연수)

를 만족시킨다. 수열 [eqn: left{ a_n right}]의 각 항 중에서 [eqn: 3`]의 배수가 아닌 수를 작은 것부터 크기순으로 모두 나열하여 얻은 수열을 [eqn: left{ b_n right]이라 하자. [eqn: b_20 = 199]가 되도록 하는 모든 [eqn: c`]의 값의 합을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 13

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 구간 [eqn: (0 ,```` 1]]에서

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ 3 && &LEFT ( 0<x<1 RIGHT )# 1&&&LEFT ( x=1 RIGHT )}}]이고 [eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]를 만족하므로

(ⅰ) [eqn: x= 1,````2,````3,````cdots], 즉 [eqn: x=](자연수)일 때, [eqn: f(x)=1]

(ⅱ) [eqn: x!=](자연수)일 때, [eqn: f(x)=3]

또, [eqn: rootk]가 자연수가 되려면 [eqn: k]는 완전제곱수이므로

[eqn: k=1,````4,````9,````16]일 때, [eqn: f(rootk )=1]

[eqn: k !=1,````4,````9,````16]일 때, [eqn: f(rootk )=3]

[eqn: therefore][eqn: sum _{k=1} ^{20} {k TIMES f LEFT ( sqrt {k} RIGHT )} over {3}]
[eqn: =][eqn: {1} over {3} sum _{k=1} ^{20} LEFT { k TIMES f LEFT ( sqrt {k} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =][eqn: 1over 3 {left( 1times 1 +4 times 1 + 9 times 1 + 16 times 1 )]
[eqn: + 1over 3 ( 2 times 3 + 3times 3 + 5 times 3 + cdots + 20 times 3)]
[eqn: =10 + (2+3+5+6 + cdots +20)]
[eqn: <-][eqn: (`````````)]안에 [eqn: 1,```4,```9,```16]이 빠짐
[eqn: =10 + (1+2+3+ cdots +20 ) - (1+4+9+16)]
[eqn: =][eqn: sum _{k=1} ^{20} k-20]
[eqn: = {20 TIMES 21} over {2} -20]
[eqn: =190]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ 3 && &LEFT ( 0<x<1 RIGHT )# 1&&&LEFT ( x=1 RIGHT )}}]

이고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]를 만족시킨다.

[eqn: sum _{k=1} ^{20} {k TIMES f LEFT ( sqrt {k} RIGHT )} over {3}]의 값은?

① [eqn: 150]	② [eqn: 160]	③ [eqn: 170]

④ [eqn: 180]	⑤ [eqn: 190]

03 수1	10 수열의합
04 항등식과 수열, 활용
08 활용5 (여러가지 추론)

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 03월 30

그림과 같이 크기가 같은 정사각형 [eqn: rm 1]개, [eqn: rm 4]개, [eqn: rm 9]개, [eqn: cdots]로 만들 어진 도형 [eqn: A_{1}], [eqn: A_{2}], [eqn: A_{3}], [eqn: cdots]이 이어져 있다.

[정답] [eqn: 245]

[해설]

[eqn: A_{8}]의 마지막 수는

[eqn: 1^{2}+2^{2}+3^{2}+ cdots+8^{2}={8 cdot 9 cdot 17} over {6}=204]

이므로 [eqn: A_{9}]의 처음 수는 [eqn: rm 205]이다.

[eqn: A_{9}]의 마지막 수는

[eqn: 1^{2}+2^{2}+3^{2}+ cdots+9^{2}=204+81=285]

따라서 [eqn: A_{9}]의 정중앙에 적힌 수는

[eqn: {205+285} over {2}={490} over {2}=245]

각 정사각형에 자연수를 규칙적으로 적어 나갈 때, [eqn: A_{1}], [eqn: A_{3}], [eqn: A_{5}], [eqn: cdots]에는 정중앙(어두운 부분)에 적힌 수가 있다. 예를 들면, [eqn: A_{3}]의 정중앙에 적힌 수는 [eqn: rm 10]이고, [eqn: A_{5}]의 정중앙에 적힌 수는 [eqn: rm 43]이다. 이때 [eqn: A_{9}]의 정중앙에 적힌 수를 구하시오.

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고2 11월 30

상용로그 [eqn: log A]의 정수부분 [eqn: n]과 소수부분 [eqn: alpha]가 방정식 [eqn: 4 x^{2}-13 x+ beta=0]의 두 근일 때, [eqn: sum_{k=1}^{30} left[{400 alpha} over {n^{k}} right]]의 값을 구하시오. (단, [eqn: beta]는 상수이고, [eqn: [x]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

[정답] [eqn: 48]

[해설]

상용로그 [eqn: log A]의 정수부분 [eqn: n]과 소수부분 [eqn: alpha]가 방정식 [eqn: 4 x^{2}-13 x+ beta=0]의 두 근이므로

[eqn: log A=n+ alpha={13} over {4}]이다.
[eqn: n]은 정수, [eqn: 0 leq alpha<1]이므로, [eqn: n=3], [eqn: alpha={1} over {4}]이다.
[eqn: therefore~ sum_{k=1}^{30} left[{400 alpha} over {n^{k}} right]= sum_{k=1}^{30} left[{100} over {3^{k}} right]]
[eqn: = { left[{100} over {3} right]+ left[{100} over {3^{2}} right]+ left[{100} over {3^{3}} right]+ left[{100} over {3^{4}} right]+0+ cdots }]
[eqn: = 48]

[출처]	2008 모의_공공 교육청 고3 03월 30

그림은 직사각형 모양을 이루고 있는 [eqn: (5 times 100)]개의 칸에 다음 규칙에 따라 수를 나열한 것이다.

[정답] [eqn: 650]

[해설]

나머지 빈 칸을 주어진 규칙에 따라 채워보면 각 행의 수들은 다음과 같은 규칙대로 나열됨을 알 수 있다.

제[eqn: rm 2]행: [eqn: (1,``1)], [eqn: (2,``2)], [eqn: (3,``3)], [eqn: (4,``4)], [eqn: cdots], [eqn: (50,``50)]

제[eqn: rm 3]행: [eqn: (1,``0)], [eqn: (2,``0)], [eqn: (3,``0)], [eqn: (4,``0)], [eqn: cdots], [eqn: (50,``0)]

제[eqn: rm 4]행: [eqn: (1,``1,``1,``1)], [eqn: (2,``2,``2,``2)], [eqn: cdots], [eqn: (25,``25,``25,``25)]

제[eqn: rm 5]행: [eqn: (1,``0,``1,``0)], [eqn: (2,``0,``2,``0)], [eqn: cdots], [eqn: (25,``0,``25,``0)]

따라서 구하는 제 [eqn: rm 5]행의 [eqn: rm 100]개의 수들의 합은

[eqn: sum_{n=1}^{25} 2 n=25 times 26=650]

(가) 제[eqn: rm 1]행에는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: 100]을 차례로 나열하고, 각 행의 첫 칸에는 모두 [eqn: rm 1]을 나열한다.

(나) 그림에 있는 [eqn: (2 times 2)]개의 칸으로 이루어진 임의의 직사각형

[eqn: a]	[eqn: b]
[eqn: c]	[eqn: d]

에서 등식 [eqn: d=|b-c|]가 성립하도록 한다.
예를 들면

[eqn: 4]	[eqn: 5]
[eqn: 2]	[eqn: 3]

에서 [eqn: 3=|5-2|]가 성립한다.

이때 제[eqn: rm 5]행 (어두운 부분)에 나열된 [eqn: rm 100]개의 수의 합을 구하시오.

제[eqn: 1]행	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 100]
제[eqn: 2]행	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 3]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 50]
제[eqn: 3]행	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 0]	[eqn: 3]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]
제[eqn: 4]행	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 25]
제[eqn: 5]행	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 11월 23
[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 23

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n `]에 대하여 집합

[정답] [eqn: bold100]

[해설]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: left{3,~ 3^3 right}]이므로
[eqn: S= left{ 3^4 right}], 즉 [eqn: f(2)=1]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: left{ 3,~~3^3 ,~ 3^5 right}]이므로
[eqn: S = left{ 3^4 ,~ 3^6 ,~ 3^8 right}], 즉 [eqn: f(3)=3]

[eqn: n=4]일 때, [eqn: left{ 3,~ 3^3 ,~ 3^5 , ~ 3^7 right}]이므로
[eqn: S= left{ 3^4 ,~3^6 ,~ 3^8 ,~ 3^10 ,~ 3^12 right}], 즉 [eqn: f(4)=5]

[eqn: vdots]

[eqn: n=k`]일 때, [eqn: left{ 3,~ 3^3 ,~ cdots,~ 3^2k-1 right}]이므로
[eqn: S= left{ 3^4 ,~ 3^6 ,~ cdots,~ 3^4(k-1) right}], 즉 [eqn: f(k) = 2k-3]

따라서

[eqn: sum _{ n=2} ^{11 } f(n)][eqn: = sum _{ n=2} ^{11 }(2n-3)]
[eqn: =1+3+5+`cdots`+19]
[eqn: ={10 times (1+19)} over 2 = 100]

[eqn: LEFT { 3 ^{2k-1} ` LEFT | `k` RIGHT . RIGHT .]는 자연수, [eqn: 1 LEQ k LEQ n RIGHT }]

의 서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 모든 값만을 원소로 하는 집합을 [eqn: S ``]라 하고, [eqn: S ``]의 원소의 개수를 [eqn: f LEFT (n RIGHT )`]이라 하자. 예를 들어, [eqn: f LEFT (4 RIGHT )=5 `]이다. 이때, [eqn: sum _{n=2} ^{11} f LEFT (n RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[출처]	2010 모의_공공 사관학교 고3 07월 17
[출처]	2010 모의_공공 사관학교 고3 07월 17

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]는 다음과 같은 규칙으로 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축과 평행한 방향으로 이동한다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: LEFT (0,`` 1 RIGHT )`:`3]

[eqn: LEFT (0,`` 2 RIGHT )`:`3+11]

[eqn: LEFT ( 0,`` 3 RIGHT ) `:` 3+11+19]
[eqn: vdots]

[eqn: LEFT (0,`` 10 RIGHT )`:`3+11+19+ `CDOTS` +75=390]

(가) [eqn: rm 1]회 이동거리는 [eqn: rm 1]이고, 처음에는 원점을 출발하여 점 [eqn: (1,``0)]으로 이동한다.

(나) 점 [eqn: {rm{P}} it]가 반직선 [eqn: y=-x+1(x geq 1)] 위의 점에 도착하면 [eqn: y]축의 양의 방향으로 이동하고, 반직선 [eqn: y=x(x>0)] 위의 점에 도착하면 [eqn: x]축의 음의 방향으로 이동한다.

(다) 점 [eqn: {rm{P}} it]가 반직선 [eqn: y=-x(x<0)] 위의 점에 도착하면 [eqn: y]축의 음의 방향으로 이동하고, 반직선 [eqn: y=x(x<0)] 위의 점에 도착하면 [eqn: x]축의 양의 방향으로 이동한다.

예를 들어, 그림과 같이 점 [eqn: {rm{P}} it]가 원점을 출발하여 [eqn: rm 11]회 이동하면 점 [eqn: (2,``1)]에 도착한다.

점 [eqn: {rm{P}} it]가 원점을 출발하여 [eqn: k]회 이동하면 점 [eqn: (0,``10)]에 도착한다. [eqn: k]의 값은? (단, 각각의 반직선에 도착하기 전에는 진행방향을 바꾸지 않는다.)

① [eqn: rm 350]	② [eqn: rm 360]	③ [eqn: rm 370]

④ [eqn: rm 380]	⑤ [eqn: rm 390]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 06월 30

양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log x]의 정수부분과 소수부분을 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]라 하자. 양수 [eqn: a]가 다음 조건을 만족한다.

[정답] [eqn: 69]

[해설]

[eqn: f(a)=n]이라 하면

[eqn: n=f(a) leq f( sqrt {10} of {10} a) leq f left( sqrt {10} of {10^{2}} a right) leq f left( sqrt {10} of {10^{3}} a right) leq cdots][eqn: leq f left( sqrt {10} of {10^{9}} a right) leq f left( sqrt {10} of {10^{10}} a right)=n+1]

이고 [eqn: sum_{k=1}^{10} f left( sqrt {10} of {10^{k}} a right)=94]이므로

[eqn: f( sqrt {10} of {10} a)=f left( sqrt {(0)} of {10^{2}} a right)=f left( sqrt {10} of {10^{3}} a right)= cdots=f left( sqrt {10} of {10^{6}} a right)=9]

[eqn: f left( sqrt {10} of {10^{7}} a right)=f left( sqrt {10} of {10^{8}} a right)=f left( sqrt {(0)} of {10^{9}} a right)=f left( sqrt {10} of {10^{10}} a right)=10]

이다. 그러므로

[eqn: 9 LEQ {1} over {10} +loga<10]	[eqn: cdots][eqn: cdots]①

[eqn: 9 LEQ {2} over {10} +loga<10]	[eqn: cdots][eqn: cdots]②

[eqn: vdots]

[eqn: 9 LEQ {6} over {10} +loga<10]	[eqn: cdots][eqn: cdots]⑥

[eqn: 10 LEQ {7} over {10} +loga<11]	[eqn: cdots][eqn: cdots]⑦

[eqn: ~ vdots]

[eqn: 10 LEQ {10} over {10} +loga<11]	[eqn: cdots][eqn: cdots]⑩

이다. 이 [eqn: rm 10]개의 부등식은 ⑥, ⑦만 연립하면 충분하다. 따라서 [eqn: 9.3 leq log`a<9.4]이므로 [eqn: 0.3 leq g(a)<0.4]이고

[eqn: 30 leq 100 g(a)<40]이다.

그러므로 [eqn: M+m=39+30=69]이다.

(가) [eqn: sum_{k=1}^{10} f left( sqrt {10} of {10^{k}} a right)=94]

(나) [eqn: 100 {rm{g}} it (a)]의 값은 자연수이다.

[eqn: 100 g(a)]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값을 구하시오.

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 03월 29

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여

[정답] [eqn: 20]

[해설]

[eqn: sum_{k=1}^{n} k log a_{k}=n^{2}-n ~ (n geq 1)]

[eqn: b_{n}=n log a_{n}], [eqn: S_{n}= sum_{k=1}^{n} b_{k}]라 하면 [eqn: S_{n}=n^{2}-n]이므로

[eqn: b_{1}=S_{1}=0]

[eqn: b_{n}=S_{n}-S_{n-1}]

[eqn: = left(n^{2}-n right)- left{ (n-1)^{2}-(n-1) it right}]

[eqn: =2 n-2(n geq 2)]

[eqn: therefore~b_{n}=n log a_{n}=2 n-2(n geq 1)]

[eqn: therefore~ log a_{n}=2-{2} over {n}(n geq 1)]

[eqn: n=1] 또는 [eqn: n=2]일 때, [eqn: log a_{n}]의 소수부분은 [eqn: rm 0]이므로

[eqn: m geq 3]이다. 이때 [eqn: 0<{2} over {m}<1]이므로

[eqn: log`a _{m} =1+ LEFT ( 1- {2} over {m} RIGHT )]

에서 [eqn: log a_{m}]의 소수부분은 [eqn: 1-{2} over {m}]이다.

[eqn: 1-{2} over {m}=0.9]

[eqn: therefore~m=20]

[eqn: sum_{k=1}^{n} k log a_{k}=n^{2}-n ~ (n geq 1)]

이 성립한다. [eqn: log a_{m}]의 소수부분이 [eqn: 0.9]일 때, [eqn: m]의 값을 구하시오.

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 09월 21

[eqn: rm 3]행 [eqn: rm 3]열로 이루어진 바닥에 고정된 숫자판이 있다. [그림]과 같이 이 숫자판에서 이웃한 두 행과 이웃한 두 열이 교차하여 만들어지는 오른쪽 위, 오른쪽 아래, 왼쪽 아래, 왼쪽 위에 있는 두 행과 두 열의 네 칸으로 이루어진 영역을 각각 [eqn: A_{1}], [eqn: A_{2}], [eqn: A_{3}], [eqn: A_{0}]이라 하자.

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: b_{n}= sum_{k=1}^{n} k={n(n+1)} over {2}]이므로 [eqn: b_{8}=36] (참)

ㄴ. [eqn: c_{4 n}=(1+2)+(5+6)+(9+10)+ cdots]

[eqn: +left{(4n-3)+(4n-2)right}]

[eqn: ~ = sum_{k=1}^{n}(8 k-5) ~] (참)

ㄷ. [eqn: b_{4 n}=a_{4 n}+c_{4 n}]이 성립하므로
[eqn: a_{4 n}=b_{4 n}-c_{4 n}=4 n^{2}+3 n]
[eqn: sum_{n=1}^{10} a_{4 n}= sum_{n=1}^{10} left(4 n^{2}+3 n right)=1705 ~] (거짓)

[그림]

[eqn: rm 0] 이상의 정수 [eqn: n]에 대하여 숫자판 [eqn: T_{n}]을 다음과 같은 규칙에 따라 만든다.

(가) 모든 칸에 [eqn: rm 0]을 써 만든 숫자판이 [eqn: T_{0}]이다.

(나) [eqn: n geq 1,`` m=(n]을 [eqn: rm 4]로 나눈 나머지[eqn: )]일 때, 숫자판 [eqn: T_{n-1}]에서 영역 [eqn: A_{m}]의 네 칸에만 각각 [eqn: n]을 더하여 만든 숫자판이 [eqn: T_{n}]이다.

숫자판 [eqn: T_{n}]에서 제 [eqn: rm 2]행에 있는 세 수를 왼쪽부터 차례대로 [eqn: a_{n}], [eqn: b_{n}], [eqn: c_{n}]이라 하자. 예를 들어 [eqn: a_{5}=7], [eqn: b_{5}=15], [eqn: c_{5}=8]이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: b_{8}=36] ㄴ. [eqn: c_{4 n}= sum_{k=1}^{n}(8 k-5)] ㄷ. [eqn: sum_{n=1}^{10} a_{4 n}=1505]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면에 원 [eqn: C_{n}]을 다음과 같은 규칙으로 그린다.

[정답] ②

[해설]

원 [eqn: C_{n}]의 중심을 [eqn: left(x_{n},`` y_{n} right)]이라 하면

[eqn: x_{1}=1]

[eqn: x_{2}=x_{3}=1-(1+2)]

[eqn: x_{4}=x_{5}=1-(1+2)+(3+4)]

[eqn: x_{6}=x_{7}=1-(1+2)+(3+4)-(5+6)]

[eqn: x_{8}=x_{9}=1-(1+2)+(3+4)-(5+6)+(7+8)]

[eqn: ~ vdots]

정수 [eqn: m]에 대하여

[eqn: - left{ (4 m-3)+(4 m-2) it right} + left{ (4 m-1)+4 m it right} =4]이다.

[eqn: therefore~x_{4 k}=1+4 k]

[eqn: y_{1}=y_{2}=1]

[eqn: y_{3}=y_{4}=1-(2+3)]

[eqn: y_{5}=y_{6}=1-(2+3)+(4+5)]

[eqn: y_{7}=y_{8}=1-(2+3)+(4+5)-(6+7)]

[eqn: ~ vdots]

정수 [eqn: m]에 대하여

[eqn: LEFT { (4m-4)+(4m-3) RIGHT } - LEFT { (4m-2)+(4m-1) RIGHT } =-4]이다.

[eqn: THEREFORE y _{4k} =-4k~( BECAUSE ~1=0+1)]

[eqn: therefore left(x_{4 k},`` y_{4 k} right)=(1+4 k,``-4 k)]

원 [eqn: C_{40}]는 중심이 [eqn: (41,``-40)]이고 반지름이 40 인 원이므로 원의 내부는 모두 제4사분면에 포함된다.

따라서 원 [eqn: C_{n}]의 중심이 원 [eqn: C_{40}]의 내부에 있으려면 원 [eqn: C_{n}]의 중심은 제[eqn: rm 4]사분면에 있어야 한다.

즉, [eqn: n=4 k] ([eqn: k]는 자연수)이어야 한다.

이때, 원 [eqn: C_{n}]의 중심과 원 [eqn: C_{40}]의 중심과의 거리는 원 [eqn: C_{40}]의 반지름 [eqn: rm 40]보다 작다.

따라서 구하는 원의 개수는

점 [eqn: (1+4 k,``-4 k)]과 점 [eqn: (41,``-40)]의 거리가 [eqn: rm 40]보다 작도록 하는 자연수 [eqn: k]의 개수이다.

[eqn: sqrt{(4 k-40)^{2}+(-4 k+40)^{2}}<40]에서

[eqn: (k-10)^{2}<50]

[eqn: 10- sqrt{50}<k<10+ sqrt{50}]

[eqn: 7< sqrt{50}<8]이므로

위 부등식을 만족시키는 [eqn: k]는 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: cdots], [eqn: 17]이다.

따라서 구하는 원의 개수는 [eqn: rm 15]개다.

(가) 원 [eqn: C_{1}]의 방정식은 [eqn: (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1]이다.

(나) 원 [eqn: C_{n}]의 반지름의 길이는 [eqn: n]이다.

(다) 원 [eqn: C_{n+1}]은 원 [eqn: C_{n}]과 외접하고, 두 원 [eqn: C_{n}], [eqn: C_{n+1}]의 중심을 지나는 직선은 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축과 평행하다.

(라) [eqn: n=4 k+p] ([eqn: k]는 음이 아닌 정수, [eqn: p=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]) 일 때, 원 [eqn: C_{n}]의 중심은 제[eqn: p]사분면에 있다.

예를 들어 원 [eqn: C_{4}]의 중심의 좌표는 [eqn: (5,``-4)]이고 반지름의 길이는 [eqn: rm 4]이다. 원 [eqn: C_n]중에서 그 중심이 원 [eqn: C_{40}]의 내부에 있는 원의 개수는?

① [eqn: rm 13]	② [eqn: rm 15]	③ [eqn: rm 17]

④ [eqn: rm 19]	⑤ [eqn: rm 21]

[출처]	2015 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log` x`]의 정수부분과 소수부분을 각각 [eqn: f LEFT (x RIGHT )], [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]라 하자. [eqn: 1 <x<10^5`]인 [eqn: x`]에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x`]의 값의 곱을 [eqn: A``]라 할 때, [eqn: log` A``]의 값은? (단, [eqn: log` 3 =0.4771`]로 계산한다.)

[정답] ⑤

[해설]

모든 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: g(x^k )][eqn: = k times g(x) -a_k]

을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a_k]가 존재한다.

조건 (가)에서

[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )= 5 g(x) + sum_k=1^5 a_k]

[eqn: g(x^10 )+2 = 10 g(x)+a_10 +2]

[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )=g(x^10 )+2]

[eqn: 5 g(x) = a_10 - sum_k=1^5 a_k +2]

위 등식의 우변이 정수이므로 [eqn: 5g(x)]도 정수이어야 한다.

∴ [eqn: g(x)=0], [eqn: 1 over5], [eqn: 2 over5], [eqn: 3 over5], [eqn: 4 over5] (∵ [eqn: 0 le g(x) <1]) ⋯⋯ ㉠

모든 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: f(kx) ge f(x)]

이다. 조건 (나)에서

[eqn: sum_k=1^3 f(kx)=3f(x)]

이므로 [eqn: f(3x) = f(x)]이어야 한다.

[eqn: log `3x = f(x)+ g(x)+log`3]

이므로

[eqn: f(3x)= f(x)]이려면 [eqn: g(x)+log`3 <1]이어야 한다.

∴ [eqn: g(x)< 1- log``3 =0.5229]	⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: g(x)=0], [eqn: 1 over5], [eqn: 2 over5]

(ⅰ) [eqn: g(x)=0]이면
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )=0]이고 [eqn: g(x^10 )+2=2]이므로
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )!=g(x^10 )+2]

(ⅱ) [eqn: g(x)= 1 over5]이면
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )= 1 over5 + 2 over5 + 3 over5 + 4 over5 +0 = 2]이고
[eqn: g(x^10 )+2=2]이므로
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )=g(x^10 )+2]

(ⅲ) [eqn: g(x)= 2 over5]이면
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )= 2 over5 + 4 over5 + 1 over5 + 3 over5 +0 = 2]
[eqn: g(x^10 )+2=2]이므로
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )=g(x^10 )+2]

(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)에서 [eqn: g(x)= 1 over5] 또는 [eqn: g(x)= 2 over5]

[eqn: 1 <x<10^5]이므로 [eqn: 0 le f(x)<5]이다.

따라서 [eqn: x]가 조건을 만족시킬 때,
[eqn: log`x = f(x)+g(x)]

이다. (단, [eqn: f(x)=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이고 [eqn: g(x) = 1 over5], [eqn: 2 over5])

∴ [eqn: log`A][eqn: =sum_k=1^5 LEFT {(k-1)+ 1 over5 RIGHT } +sum_k=1^5 LEFT {(k-1)+ 2 over5 RIGHT }]
[eqn: = 11+12]
[eqn: =23]

(가) [eqn: sum_k=1^5 g LEFT (x^k RIGHT )=g LEFT (x^10 RIGHT )+2]

(나) [eqn: sum_k=1^3 f LEFT (kx RIGHT )=3f LEFT (x RIGHT )]

① [eqn: 19]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 23]

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 09월 30

양수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: log` x `]의 정수부분과 소수부분을 각각 [eqn: f LEFT (x RIGHT )], [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]라 하고, [eqn: h LEFT (x RIGHT ) = x + 5 f LEFT (x RIGHT ) `]라 하자. 두 조건

[정답] [eqn: 65]

[해설]

[eqn: log `` x `]의 정수부분과 소수부분을 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x) `]라 할 때,

[eqn: f(m) LE f(x)], [eqn: g (m + 5 f(m)) Le g(x) `]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 개수를 [eqn: p(x) `]라 하면 [eqn: Sum from {k=1} to 10 ` p(2k) `=` p(2) +p(4) + ` cdots ` + p(20 )`]으로부터 [eqn: f (m) `]은 [eqn: log `` 20 `]의 정수부분 보다 작거나 같아야 하므로 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1 `]이 됨을 알 수 있다.

1) [eqn: f(m) `=` 0 `]일 때,

[eqn: 0 LE f(x)], [eqn: g (m) Le g(x) `]을 만족하는 한 자리 자연수 [eqn: m`]은

[eqn: x `=` 2]일 때, [eqn: m `=` 1], [eqn: 2]

[eqn: x `=` 4]일 때, [eqn: m `=` 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]

[eqn: x `=` 6]일 때, [eqn: m `=` 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]

[eqn: x `=` 8]일 때, [eqn: m `=` 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8]

[eqn: x `=` 10]일 때, [eqn: m `=` 1]

[eqn: x `=` 12]일 때, [eqn: m `=` 1]

[eqn: x `=` 14]일 때, [eqn: m `=` 1]

[eqn: x `=` 16]일 때, [eqn: m `=` 1]

[eqn: x `=` 18]일 때, [eqn: m `=` 1]

[eqn: x `=` 2 0]일 때, [eqn: m `=` 1], [eqn: 2]

2) [eqn: f(m) `=` 1 `]일 때,

[eqn: 1 LE f(x)], [eqn: g (m +5) Le g(x) `]을 만족하는 두 자리 자연수 [eqn: m`]은

[eqn: x `=` 10]일 때, [eqn: m `=`95]

[eqn: x `=` 12]일 때, [eqn: m `=` 95], [eqn: 96], [eqn: 97], [eqn: 98], [eqn: 99]

[eqn: x `=` 14]일 때, [eqn: m `=` 95], [eqn: 96], [eqn: 97], [eqn: 98], [eqn: 99]

[eqn: x `=` 16]일 때, [eqn: m `=` 10], [eqn: 11], [eqn: 95], [eqn: 96], [eqn: 97], [eqn: 98], [eqn: 99]

[eqn: x `=` 18]일 때, [eqn: m `=` 10], [eqn: 11], [eqn: 12], [eqn: 13], [eqn: 95], [eqn: 96], [eqn: 97], [eqn: 98], [eqn: 99]

[eqn: x `=` 2 0]일 때, [eqn: m `=` 10], [eqn: 11], [eqn: 12], [eqn: 13], [eqn: 14], [eqn: 15], [eqn: 95], [eqn: 96], [eqn: 97],

[eqn: 98], [eqn: 99]

1), 2)로부터

[eqn: Sum from {k=1} to 10 ` p(2k) `=`2+4+6+8+1+1+1+1+2+1]

[eqn: +5+5+7+9+11`=` 65]

[eqn: f LEFT (m RIGHT ) Le f LEFT (x RIGHT )], [eqn: g LEFT (h LEFT (m RIGHT ) RIGHT ) Le g LEFT (x RIGHT ) `]

를 만족시키는 자연수 [eqn: m `]의 개수를 [eqn: p LEFT (x RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: Sum from { k=1} to 10 p LEFT (2k RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[출처]	2015 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log x]의 정수부분과 소수부분을 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]라 하자. [eqn: 1<x<10^{5}]인 [eqn: x]에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x]의 값의 곱을 [eqn: A]라 할 때, [eqn: log A]의 값을 구하시오. (단, [eqn: log 3=0.4771]로 계산한다.)

[정답] [eqn: 23]

[해설]

모든 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: g(x^k )][eqn: = k times g(x) -a_k]

을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a_k]가 존재한다.

조건 (가)에서

[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )= 5 g(x) + sum_k=1^5 a_k]이고

[eqn: g(x^10 )+2 = 10 g(x)+a_10 +2]이므로

[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )=g(x^10 )+2]에서

[eqn: 5 g(x) = a_10 - sum_k=1^5 a_k +2]

위 등식의 우변이 정수이므로 [eqn: 5g(x)]도 정수이어야 한다.

[eqn: THEREFORE ~g(x)=0], [eqn: 1 over5], [eqn: 2 over5], [eqn: 3 over5], [eqn: 4 over5][eqn: LEFT ( BECAUSE ~0 LEQ g(x)<1 RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

모든 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: f(kx) ge f(x)]

이다. 조건 (나)에서

[eqn: sum_k=1^3 f(kx)=3f(x)]

이므로 [eqn: f(3x) = f(x)]이어야 한다.

[eqn: log `3x = f(x)+ g(x)+log`3]이므로

[eqn: f(3x)= f(x)]이려면 [eqn: g(x)+log`3 <1]이어야 한다.

[eqn: THEREFORE ~g(x)<1-log``3=0.5229]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: g(x)=0], [eqn: 1 over5], [eqn: 2 over5]

(ⅰ) [eqn: g(x)=0]이면
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )=0]이고 [eqn: g(x^10 )+2=2]이므로
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )!=g(x^10 )+2]

(ⅱ) [eqn: g(x)= 1 over5]이면
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )= 1 over5 + 2 over5 + 3 over5 + 4 over5 +0 = 2]이고
[eqn: g(x^10 )+2=2]이므로
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )=g(x^10 )+2]

(ⅲ) [eqn: g(x)= 2 over5]이면
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )= 2 over5 + 4 over5 + 1 over5 + 3 over5 +0 = 2]
[eqn: g(x^10 )+2=2]이므로
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )=g(x^10 )+2]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: g(x)= 1 over5] 또는 [eqn: g(x)= 2 over5]

[eqn: 1 <x<10^5]이므로 [eqn: 0 le f(x)<5]이다.

따라서 [eqn: x]가 조건을 만족시킬 때,

[eqn: log`x = f(x)+g(x)]

이다. [eqn: LEFT ( pile{ `#` }]단, [eqn: f(x)=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이고 [eqn: g(x) = 1 over5], [eqn: 2 over5][eqn: pile{ `#` } RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~log`A][eqn: =sum_k=1^5 LEFT {(k-1)+ 1 over5 RIGHT } +sum_k=1^5 LEFT {(k-1)+ 2 over5 RIGHT }]
[eqn: = 11+12]
[eqn: =23]

(가) [eqn: sum_{k=1}^5 g left(x^k right)`=g left(x^{10} right)+2]

(나) [eqn: sum_{k=1}^3 f(k x)`=3 f(x)]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 03월 30

집합 [eqn: U=` LEFT { ``x`|`x`는~ 30 ~이하의~자연수` RIGHT }`]의 부분집합 [eqn: A= left{a_1 ,~a_2 ,~a_3 ,~cdots~,~a_15 right}]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 184]

[해설]

조건 (가)에서 두 원소의 합이 31이 아니므로 집합 [eqn: A`]에 속하지 않는 원소는 [eqn: 31-a _{i} `]([eqn: 1 le i le 15])이다.

그러므로 [eqn: sum _{i=1} ^{15} a _{i} ^{`2}`]과 [eqn: sum _{i=1} ^{15} LEFT ( 31-a _{`i} RIGHT ) ^{2} `]의 합은 집합 [eqn: U`]의 모든 원소의 제곱의 합과 같다.

[eqn: sum _{i=1} ^{15} a _{i} ^{`2} + sum_i=1 ^15 left( 31- a_{`i} right)^2 `][eqn: = sum _{i=1} ^{30} `i^{`2}]

[eqn: sum _{i=1} ^{15} a _{i} ^{`2} + sum_i=1 ^15 31^2 - 62 sum_i=1 ^15 a_i + sum_i=1 ^15 a_{`i} ^2 `][eqn: = {30 times31times61}over6]

조건 (나)에 의해

[eqn: 2sum _{i=1} ^{15} a _{i} ^{`2} + 15 times 31^2 - 62 times264 `][eqn: = {5 times31times61}`]

[eqn: sum _{i=1} ^{15} a _{i} ^{`2} `][eqn: = 1over2 LEFT( {5 times31times61}-15 times 31^2 + 62 times264 RIGHT)]

[eqn: = 31 over2 LEFT( {5 times61}-15 times 31 + 2 times264 RIGHT)]

[eqn: = 31 over2 LEFT(- {5 times32}+ 2 times264 RIGHT)]

[eqn: =31 times184]

따라서 [eqn: 1over31 sum _{i=1} ^{15} a _{i} ^{`2} `][eqn: =184`]

[참고]

두 원소의 합이 [eqn: 31`]이 되는 쌍은 [eqn: (1,~30)`], [eqn: (2,~29)`], [eqn: cdots] , [eqn: (15,~16)`]이므로 집합 [eqn: A`]는 각 순서쌍에서  원소를 하나씩 택하여 얻을 수 있다. 이와 같은 방법으로 찾은 집합 [eqn: A`]의 여러 예 중 하나는 다음과 같다.

[eqn: LEFT{5,``7,``9,``10,``11,``12,``14,``16,``18,``23,``25,``27,``28,``29,``30 RIGHT }`]

(가) 집합 [eqn: A `]의 임의의 두 원소 [eqn: a_{`i}], [eqn: a_{`j}]([eqn: i ne j])에 대하여
[eqn: a_{`i} +a_{`j} !=31]

(나) [eqn: sum _{i=1} ^{15} a _{`i} =264]

[eqn: 1 over {31}sum _{i=1} ^{15} {`a _{`i} ^{``2}}]의 값을 구하시오.

[출처]	2016 모의_공공 경찰대 고3 07월 25

정수 [eqn: d]는 다음 조건을 만족시키는 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 공차이다.

[정답] [eqn: 120]

[해설]

[eqn: sum_{k=n}^{2 n} a_{k}=0]이므로 [eqn: a_{n}+a_{2 n}=0]이다.

따라서 [eqn: 4032=(3 n-2) d]이다.

[eqn: 4032=2^{7} times 3^{2} times 7]에서

[eqn: (3 n-2)]는 [eqn: 1], [eqn: 2^{2}], [eqn: 2^{4}], [eqn: 2^{6}]과 [eqn: rm 7] 그리고 그들의 곱으로 만들어지므로 [eqn: (3 n-2,`` d)]의 가능한 순서쌍은

[eqn: (1,``4032)], [eqn: (4,``1008)], [eqn: (7,``576)], [eqn: (16,``252)], [eqn: (28,``144)], [eqn: (64,``63)], [eqn: (112,``36)], [eqn: (448,``9)]

이고, 이때 모든 [eqn: d]의 합은 [eqn: 6120]

[eqn: therefore~6120]을 [eqn: 1000]으로 나눈 나머지 [eqn: =120]

(가) [eqn: a_{1}=-2016]

(나) [eqn: sum_{k=n}^{2 n} a_{k}=0]인 자연수 [eqn: n]이 존재한다.

모든 [eqn: d]의 합을 [eqn: k]라 할 때, [eqn: k]를 [eqn: rm 1000]으로 나눈 나머지를 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 03월 20

자연수 [eqn: m `]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT (m RIGHT ) `]을 다음과 같이 정의한다.

[정답] ②

[해설]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: m != 2 ^{n-1} `]일 때

[eqn: log `_{2} `m], [eqn: log `_{4} `m]

의 값은 유리수가 아니다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0`]이고, [eqn: m=2 ^{n-1} `][eqn: LEFT ( n{ge2 RIGHT ) `]일 때,

[eqn: f LEFT ( m RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 2 ^{n-1} RIGHT )][eqn: =log `_{4}` 2 ^{n-1}][eqn: = {n-1} over {2}]

은 유리수이다.

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 일반항 [eqn: a _{n} `]은

[eqn: a _{1} =0], [eqn: a _{n} = {n-1} over {2} `][eqn: LEFT ( n{ge2 RIGHT ) `]

즉 [eqn: a _{n} = {n-1} over {2} `][eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT ) `]이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} {k-1} over {2}][eqn: = {1} over {2} TIMES {n LEFT ( n-1 RIGHT )} over {2}]
[eqn: = {n LEFT ( n-1 RIGHT )} over {4}]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} >50`]에서

[eqn: {n LEFT ( n-1 RIGHT )} over {4} >50]

[eqn: n left(n-1right)>200]

[eqn: n=14`]일 때,

[eqn: n LEFT ( n-1 RIGHT ) =14 TIMES 13=182]

[eqn: n=15`]일 때,

[eqn: n LEFT ( n-1 RIGHT ) =15 TIMES 14=210]

이므로 [eqn: n GEQ 15`]일 때 부등식이 성립한다.

따라서 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 15`]이다.

[참고]

자연수 [eqn: m`]은 [eqn: m!=2 ^{n-1}`]([eqn: n`]은 자연수)일 때

음이 아닌 정수 [eqn: k `]와 [eqn: 1 `]이 아닌 홀수 [eqn: p`]에 대하여

[eqn: m=2 ^{k} TIMES p]

로 나타내어진다.

만약 [eqn: log `_{2} `m`]의 값이 유리수라 가정하면

[eqn: log` _{2} `m][eqn: =log `_{2}` LEFT ( 2 ^{k} TIMES p RIGHT ) `]
[eqn: =k+log `_{2} `p]

즉 [eqn: log `_{2} `p`]의 값이 유리수이어야 한다.

이때 [eqn: log `_{2} `p= {b} over {a}] ([eqn: a`]와 [eqn: b`]는 서로소인 자연수) 라 하면

[eqn: log` _{2} `p= {b} over {a} `]에서 [eqn: 2 ^{{b} over {a}} =p]

[eqn: 2 ^{b} =p ^{a}]	…… ㉠

이때 ㉠의 좌변은 짝수이고, 우변은 홀수이므로 모순이다.

따라서 [eqn: log` _{2} `p`]의 값이 유리수가 아니므로 [eqn: log` _{2} `m`]의 값도 유리수가 아니다.

[eqn: f LEFT ( m RIGHT ) = {cases{`` log` _{2} `m &~ LEFT ( m `은 ``홀수 RIGHT )# ``log` _{4}` m &~ LEFT ( m `은`` 짝수 RIGHT )}}`]

[eqn: f LEFT (m RIGHT ) `]의 값이 유리수인 것을 작은 수부터 크기순으로 나열하여 만든 수열을 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이라 하자. 예를 들어 [eqn: a _{1} =0], [eqn: a _{2} = {1} over {2} `]이다. [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} >50 `]을 만족시키는 자연수 [eqn: n `]의 최솟값은?

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 06월 20

첫째항이 [eqn: -36`]이고 공차가 [eqn: d `]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 있다. 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: d `]의 값의 합은?

[정답] ②

[해설]

조건 (가)에 의해 [eqn: a _{n} =`-36+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d != 0`]이므로
[eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) d != 36`]이다. [eqn: d`]는 자연수이므로, [eqn: d`]는 [eqn: 36]의 양의 약수가

아니다. 또한 조건 (나)에 의해

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} = {m LEFT { -72+ LEFT ( m-1 RIGHT ) d RIGHT }} over {2} =0`]에서 [eqn: -72+ LEFT ( m-1 RIGHT ) d=0`]이므로

[eqn: LEFT ( m-1 RIGHT ) d=72`]이다.

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} =0`]인 [eqn: m`]이 존재하기 위해서 [eqn: d`]가 [eqn: 72]의 양의 약수이어야 한다.

그러므로 [eqn: d`]는 [eqn: 36]의 양의 약수가 아닌 [eqn: 72]의 양의 약수이므로 모든 [eqn: d`]의 값의 합은 [eqn: 8+24+72=104`]이다.

(가) 모든 자연수 [eqn: n `]에 대하여 [eqn: a _{n} != 0 `]이다.

(나) [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} =0 `]인 [eqn: m `]이 존재한다.

① [eqn: 100]	② [eqn: 104]	③ [eqn: 108]

④ [eqn: 112]	⑤ [eqn: 116]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 03월 21

집합 [eqn: X`= LEFT { 1,`` 2,`` 3,`` 4,`` 5,`` 6,`` 7,`` 8,`` 9 RIGHT }`]에 대하여 두 함수 [eqn: f `:` X` `->` X`], [eqn: g `:` X` `->` X` `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: f`:`X``` -> ``X```]가 일대일 대응이 아니라고 가정하면

합성함수 [eqn: g CIRC f`:`X```->``X``]는 일대일 대응이 아니게 되므로 항등함수도 아니다.

이런 경우 조건 (나)를 만족시키지 않게 되므로 함수 [eqn: f`]는 일대일 대응이어야 한다.

마찬가지 이유로 함수 [eqn: g`]도 일대일 대응이다.

두 일대일 대응 [eqn: f], [eqn: g`]에 대하여

[eqn: sum _{n=1} ^{9} f(n)=1+2+it CDOTS it+9=45],

[eqn: sum _{n=1} ^{9} g(n)=1+2+ it CDOTS it +9=45`]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{9} left{f(n)+g(n)right}][eqn: = sum _{n=1} ^{9} f(n)+ sum _{n=1} ^{9} g(n)]
[eqn: =45+45][eqn: =90`]

조건 (다)에서 [eqn: f(x)+g(x)`]의 값은 일정하므로

[eqn: f(x)+g(x)`][eqn: =k] ([eqn: k`]는 상수)라 하자.

[eqn: sum _{n=1} ^{9} left{f(n)+g(n)right}][eqn: = sum _{n=1} ^{9} k][eqn: =9k`]이므로

[eqn: 9k=90`]에서 [eqn: k=10`]

모든 [eqn: x IN X``]에 대하여

[eqn: f(x)+g(x)=10] …… ㉠

조건 (가)에서

[eqn: f(1)=8`]이므로 조건 (나)에 의하여 [eqn: g(8)=1`]

[eqn: g(8)=1`]이므로 ㉠에 의하여 [eqn: f(8)=9`]

[eqn: f(8)=9`]이므로 조건 (나)에 의하여 [eqn: g(9)=8]

[eqn: g(9)=8`]이므로 ㉠에 의하여 [eqn: f(9)=2`]

[eqn: f(9)=2`]이므로 조건 (나)에 의하여 [eqn: g(2)=9`]

[eqn: g(2)=9`]이므로 ㉠에 의하여 [eqn: f(2)=1`]

[eqn: f(2)=1`]이므로 조건 (나)에 의하여 [eqn: g(1)=2`]

[eqn: f(5)=a]라 하면

조건 (나)에 의하여 [eqn: g(a)=5]

[eqn: g(a)=5`]이면 ㉠에 의하여 [eqn: f(a)=5`]

[eqn: f(a)=5`]이면 조건 (나)에 의하여 [eqn: g(5)=a]

이때 [eqn: 10=f(5)+g(5)][eqn: =a+a][eqn: =2a`]이므로 [eqn: a=5``]

즉 [eqn: f(5)=5`]이고 ㉠에 의하여 [eqn: g(5)=5`]

이상의 대응을 그림으로 표현하면 다음과 같다.

조건 (가)에 의하여 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) !=6`]이므로

(ⅰ) [eqn: f(3)=3`]이면 조건 (나)에 의하여 [eqn: g(3)=3`]
㉠에 의하여 [eqn: g(3)=7`]이므로 이 경우는 불가능하다.

(ⅱ) [eqn: f(3)=7`]이면 조건 (나)에 의하여 [eqn: g(7)=3`]
[eqn: g(7)=3`]이면 ㉠에 의하여 [eqn: f(7)=7``]
함수 [eqn: f`]가 일대일 대응이 아니게 되므로 이 경우는 불가능하다.

(ⅲ) [eqn: f(3)=4`]이면 조건 (나)에 의하여 [eqn: g(4)=3`]
[eqn: g(4)=3`]이면 ㉠에 의하여 [eqn: f(4)=7``]
[eqn: f(4)=7`]이면 조건 (나)에 의하여 [eqn: g(7)=4]
[eqn: g(7)=4`]이면 ㉠에 의하여 [eqn: f(7)=6`]
[eqn: f(7)=6`]이면 조건 (나)에 의하여 [eqn: g(6)=7]
[eqn: g(6)=7`]이면 ㉠에 의하여 [eqn: f(6)=3``]
[eqn: f(6)=3``]이면 조건 (나)에 의하여 [eqn: g(3)=6`]

(ⅲ)의 대응을 그림으로 표현하면 다음과 같다.

따라서

[eqn: (f CIRC f CIRC f)(7)][eqn: =f`(f(6))]
[eqn: =f(3)]
[eqn: =4]

[참고] 함수 [eqn: f``]와 [eqn: g`]는 다음과 같다.

(가) [eqn: f LEFT (1 RIGHT )=8], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) !=6]

(나) 함수 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) `]는 항등함수이다.

(다) 집합 [eqn: X ``]의 모든 원소 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT )+g LEFT (x RIGHT ) `]의 값은 일정하다.

[eqn: LEFT ( f CIRC f CIRC f RIGHT ) LEFT (7 RIGHT )`]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 29
[출처]	2020 일반_기타개인 구분
[출처]	2020 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능특강 대표 기출 문제

좌표평면에서 그림과 같이 길이가 [eqn: 1`]인 선분이 수직으로 만나도록 연결된 경로가 있다. 이 경로를 따라 원점에서 멀어지도록 움직이는 점 [eqn: rmP`]의 위치를 나타내는 점 [eqn: {rmA}_n `]을 다음과 같은 규칙으로 정한다.

[정답] [eqn: bold8]

[해설]

점 [eqn: rmA_0``]에서 점 [eqn: {rmA}_n``]까지 점 [eqn: rmP`]가 경로를 따라 이동한 거리는

[eqn: sum_k=1 ^n `{2k-1} over 25``][eqn: = 1 over 25 left{ 2 times {n(n+1)} over 2 -n right}``]
[eqn: = n^2 over 25 `][eqn: = left( n over 5 right)^2`]

점 [eqn: {rmA}_n``]이 직선 [eqn: y=x`] 위에 있기 위해서는 점 [eqn: rmA_0`]에서 점 [eqn: {rmA}_n``]까지 점 [eqn: rmP`]가 경로를 따라 이동한 거리가 짝수이어야 한다.

[eqn: left( n over 5 right)^2`]이 짝수이면 [eqn: n over 5`]도 짝수이므로

[eqn: n over 5 = 2m`] ([eqn: m`]은 자연수)

에서 [eqn: n=10m``]

따라서 점 [eqn: {rmA}_n``] 중 직선 [eqn: y=x``] 위에 있는 두 번째 점은 [eqn: m=2`],

즉 [eqn: n=20`]일 때이므로 점 [eqn: rmA_20`]이다.

경로를 따라 이동한 거리가 [eqn: 2k`] ([eqn: k`]는 자연수)일 때 점 [eqn: rmP`]의 [eqn: x``]좌표는 [eqn: k``]이고, 점 [eqn: rmA_0`]에서 점 [eqn: {rmA}_n``]까지 점 [eqn: rmP`]가 경로를 따라 이동한 거리가 [eqn: left( 20 over 5 right)^2 =4^2 =16`]이므로 점 [eqn: rmA_20`]의 [eqn: x``]좌표는 [eqn: 8`]이다. 즉, [eqn: a=8`]

(ⅰ) [eqn: rmA_0 `]은 원점이다.

(ⅱ) [eqn: n `]이 자연수일 때, [eqn: {rmA}_n `]은 점 [eqn: {rmA}_n-1 `]에서 점 [eqn: rmP `]가 경로를 따라 [eqn: 2n-1 over 25 `]만큼 이동한 위치에 있는 점이다.

예를 들어, 점 [eqn: rmA_2 `]와 [eqn: rmA_6 `]의 좌표는 각각 [eqn: LEFT ( 4 over 25 ,`` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT (1,`` 11 over 25 RIGHT ) `]이다. 자연수 [eqn: n `]에 대하여 점 [eqn: {rmA}_n] 중 직선 [eqn: y=x] 위에 있는 점을 원점에서 가까운 순서대로 나열할 때, 두 번째 점의 [eqn: x `]좌표를 [eqn: a `]라 하자. [eqn: a `]의 값을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 경찰대 고3 07월 18

[eqn: 1]부터 [eqn: 12]까지의 모든 자연수를 임의로 나열하여 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: cdots], [eqn: a_{12}]라 할 때,

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: |a_1 - a_2 | + |a_2 - a_3 | + cdots + |a_11 - a_12 |]

[eqn: =](11개의 [eqn: a_i]의 합)[eqn: -](11개의 [eqn: a_j]의 합)

인데, 1, 2, 3, [eqn: cdots], 11, 12 가 각각 최대 2번씩 22개의 수들이다.

그 중 (11개의 [eqn: a_i]의 합)이 최대인 경우는

[eqn: 12 + 12 + 11+11+10+10+ 9+9+8+8+7 = 107]

(11개의 [eqn: a_i]의 합)이 최소인 경우는

[eqn: 1 +1+2+2+3+3+4+4+5+5+6 = 36]

이다. 따라서 구하는 최댓값은 [eqn: 107 - 36 = 71]이다.

[eqn: LEFT |` a _{1} -a _{2} `RIGHT | + LEFT |` a _{2} -a _{3} `RIGHT | + LEFT |` a _{3} -a _{4} `RIGHT | + CDOTS + LEFT |` a _{11} -a _{12} `RIGHT |]

의 최댓값은?

① [eqn: 67]	② [eqn: 68]	③ [eqn: 69]

④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 71]

[출처]	2019 모의_공공 경찰대 고3 07월 24

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S_{n }= sum _{k = 1}^{n}{1}over{sqrt{ 2k+1}}]이라 할 때, [eqn: S_{180}]의 정수 부분을 구하시오.

[정답] [eqn: 17]

[해설]

[eqn: sqrt2k+1 - sqrt2k-1 = 2 over { sqrt2k+1 + sqrt2k-1][eqn: > 1 over sqrt2k+1]

[eqn: sqrt2k+3 - sqrt2k+1 = 2 over { sqrt2k+3 + sqrt2k+1][eqn: < 1 oversqrt2k+1]

[eqn: 17 =19-2 <][eqn: sqrt361 - sqrt3 < S_179 < S_180 < sqrt361 - sqrt1][eqn: = 19-1 = 18]

[eqn: 17 < S_180 < 18]이므로 구하는 정수부분은 17이다.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 17

등차수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT } }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]에 대하여 [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}], [eqn: T _{n} = sum _{k=1} ^{n} LEFT |`` a _{k} `` RIGHT |``]라 할 때, [eqn: S _{n}], [eqn: T _{n}]은 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

조건 (가), (나)에 의하여

[eqn: S_{7}=T_{7}]이고 [eqn: S_{7}+T_{7}=84]이므로 [eqn: S_{7}=42][eqn: S_{7}=T_{7}]이므로 [eqn: 7]이하의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n} ge0]	[eqn: cdotscdots]㉠

조건 (나)에 의하여

[eqn: 6]이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: (S_{n+1}+T_{n+1})-(S_{n}+T_{n})=0]

[eqn: a_{n+1}+left |`` a_{n+1} ``right | =0]

[eqn: a_{n+1} le0]	[eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: 0le a_{7}le0]이므로 [eqn: a_{7}=0] 수열 [eqn: left{` a_{n} `right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하자.

[eqn: S_{7}={7(2a+6d)}over{2}=42], [eqn: a_{7}=a+6d=0]에서

[eqn: a=12], [eqn: d=-2]

[eqn: therefore][eqn: a_{n}=14-2n]

[eqn: S_{15}={15times(24-28)}over{2}=-30]

[eqn: therefore][eqn: S_{15}+T_{15}=84]

따라서 [eqn: T_{15}=84-S_{15}=114]

(가) [eqn: S _{7} =T _{7}]

(나) [eqn: 6] 이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S _{n} + T _{n} = 84]이다.

[eqn: T _{15}]의 값은?

① [eqn: 96]	② [eqn: 102]	③ [eqn: 108]

④ [eqn: 114]	⑤ [eqn: 120]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 17

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여

[정답] ④

[해설]

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하자.

등차중항의 성질에 의하여 [eqn: a_{6}+a_{8}=2 a_{7}]

조건(가)에 의하여 [eqn: a_{7}=2 a_{7}], [eqn: a_{7}=0]

(i) [eqn: d>0]인 경우
[eqn: n geq 7]인 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: S_{n}+T_{n}<S_{n+1}+T_{n+1}]이 되어 조건(나)를 만족시키지 않는다.

(ii) [eqn: d=0]인 경우
모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n}=0]이므로
[eqn: S_{n}+T_{n}=0]이 되어 조건(나)를 만족시키지
않는다.

(i), (ii)에 의하여 [eqn: d<0]이고,

[eqn: a_{7}=a+6 d=0], [eqn: a=-6 d>0]이므로

[eqn: rm 7] 이하의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n} geq 0], [eqn: S_{7}=T_{7}]

조건(나)에 의하여 [eqn: S_{7}=T_{7}=42]

[eqn: S_{7}={7(2 a+6 d)} over {2}=-21 d=42]

[eqn: a=12], [eqn: d=-2]

[eqn: S_{15}={15 times(24-28)} over {2}=-30]

[eqn: S_{15}+T_{15}=84]

따라서 [eqn: T_{15}=84-(-30)=114]

[eqn: S_{n}= sum_{k=1}^{n} a_{k}], [eqn: ~ T_{n}= sum_{k=1}^{n} left|a_{k} right|]

라 할 때, 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a_{7}=a_{6}+a_{8}]

(나) [eqn: rm 6] 이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S_{n}+T_{n}=84]이다.

[eqn: T_{15}]의 값은?

① [eqn: rm 96]	② [eqn: rm 102]	③ [eqn: rm 108]

④ [eqn: rm 114]	⑤ [eqn: rm 120]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 13

첫째항이 [eqn: {-45}{{from^2021^09^평가원^중}}]이고 공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 자연수 [eqn: d]의 값의 합은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: a _{1} =it-45<0]이고 [eqn: d>0]이므로 조건 (가)를 만족시키기 위해서는

[eqn: a _{m} <0], [eqn: a _{m+3} >0]

즉, [eqn: -a _{m} =a _{m+3}]에서 [eqn: a _{m} +a _{m+3} =0]

따라서

[eqn: LEFT { -45+ LEFT ( m-1 RIGHT ) d RIGHT } + LEFT { -45+ LEFT ( m+2 RIGHT ) d RIGHT } =0]

[eqn: -90+ LEFT ( 2m+1 RIGHT ) =0]

[eqn: LEFT ( 2m+1 RIGHT ) d=90]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이고 [eqn: 2m+1]은 [eqn: 1]보다 큰 홀수이므로 [eqn: d]는 짝수이다.

그런데, [eqn: 90=2times3 ^{2} times5]이므로 ㉠을 만족시키는 [eqn: 90]의 약수 중에서 짝수인 것은 [eqn: 2], [eqn: 6], [eqn: 10], [eqn: 18], [eqn: 30] 이다.

또한, 조건 (나)에서

[eqn: sum _{k = 1} ^{n} a _{k} = {n LEFT { 2times LEFT ( -45 RIGHT ) + LEFT ( n-1 RIGHT ) d RIGHT }} over {2} >it-100]

[eqn: n LEFT { -90+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d RIGHT } >it-200]	[eqn: cdotscdots] ㉡

따라서 [eqn: 2], [eqn: 6], [eqn: 10], [eqn: 18], [eqn: 30] 중에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉡을 만족시키는 경우는 [eqn: 18], [eqn: 30] 이므로 구하는 모든 자연수 [eqn: d]의 값의 합은 [eqn: 18+30=48]

(가) [eqn: left |`` a _{m} ``right | = left |`` a _{m+3} ``right |]인 자연수 [eqn: m]이 존재한다.

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum _{k = 1} ^{n} a _{k} >it-100]이다.

① [eqn: 44]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 52]

④ [eqn: 56]	⑤ [eqn: 60]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 21

첫째항이 [eqn: {b}{{from^2021^9 고2인천^중}}] ([eqn: b]는 자연수)이고 공차가 [eqn: -4]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 있다. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT | sum _{k=1} ^{n} a _{k} RIGHT | GEQ 14]를 만족시키는 모든 [eqn: b]의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: m]번째 수를 [eqn: b _{m}]이라 하자. [eqn: sum _{m=1} ^{10} b _{m}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자.

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT |`` S _{n}`` RIGHT | = LEFT |`` b`` RIGHT | GEQ 14]

[eqn: b]가 자연수이므로 [eqn: b GEQ 14]

[eqn: S _{n}][eqn: = {n LEFT { 2b+ LEFT ( n-1 RIGHT ) TIMES LEFT ( -4 RIGHT ) RIGHT }} over {2}]
[eqn: =`-n LEFT ( 2n-b-2 RIGHT )]
[eqn: =`-2n LEFT ( n- {b+2} over {2} RIGHT )]

(ⅰ) [eqn: b]가 짝수인 경우
[eqn: S _{{b+2} over {2}} =0]이 되어 조건 [eqn: LEFT | S _{n} RIGHT | GEQ 14]를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: b]가 홀수인 경우
함수 [eqn: y=`-2x LEFT ( x- {b+2} over {2} RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: LEFT | S _{n} RIGHT | GEQ 14]이므로 [eqn: S _{{b+1} over {2}} GEQ 14], [eqn: S _{{b+3} over {2}} LEQ -14]를 동시에 만족시켜야 한다.
[eqn: S _{{b+1} over {2}} =-2 TIMES {b+1} over {2} TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) GEQ 14]
[eqn: b GEQ 27]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠
[eqn: S _{{b+3} over {2}} =`-2 TIMES {b+3} over {2} TIMES {1} over {2} LEQ -14]
[eqn: b GEQ 25]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡
㉠, ㉡에서 [eqn: b GEQ 27]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: b _{1} =27], [eqn: b _{2} =29], [eqn: b _{3} =31], [eqn: CDOTS]이므로

[eqn: b _{m} =2m+25] ([eqn: m]은 자연수)

따라서

[eqn: sum _{m=1} ^{10} b _{m}][eqn: = sum _{m=1} ^{10} LEFT ( 2m+25 RIGHT )]
[eqn: =2 TIMES {10 TIMES 11} over {2} +250]
[eqn: =360]

① [eqn: 345]	② [eqn: 350]	③ [eqn: 355]

④ [eqn: 360]	⑤ [eqn: 365]

03 수1	10 수열의합
04 항등식과 수열, 활용
09 활용6 (격자점)

[출처]	2011 모의_공공 사관학교 고3 07월 17
[출처]	2011 모의_공공 사관학교 고3 07월 17

자연수 [eqn: n]에 대하여 집합 [eqn: A_{n}], [eqn: B_{n}]을

[정답] ①

[해설]

[eqn: n^{2}+n leq {1} over {2} n+5]에서

[eqn: 2 n^{2}+n-10=(2 n+5)(n-2) leq 0]

따라서 [eqn: n leq 2]일 때, [eqn: n^{2}+n leq {1} over {2} n+5]가 성립한다.

따라서 [eqn: A_{n} subset B_{n}(n=1,``2)]이고 [eqn: B_{n} subset A_{n}(n=3,``4,`` cdots)]이다.

따라서 [eqn: A_{n}-B_{n}= EMPTYSET (n=1,``2)]이므로 [eqn: a_{n}=0]이고

[eqn: n geq 3]일 때, [eqn: a_{n}=n left(A_{n} right)-n left(B_{n} right)=n^{2}+n- left[{1} over {2} n+5 right]]이다.

그런데

[eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: left[{1} over {2} n+5 right]={1} over {2} n+5]

[eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: left[{1} over {2} n+5 right]={1} over {2} n+5-{1} over {2}]

이므로

[eqn: sum_{n=1}^{20} a_{n}][eqn: = sum_{n=3}^{20} left(n^{2}+n- left[{1} over {2} n+5 right] right)]
[eqn: = sum_{n=3}^{20} left(n^{2}+n right)- sum_{n=3}^{20} left( left[{1} over {2} n+5 right] right)]

이때, [eqn: sum_{k=1}^{n} left(k^{2}+k right)={1} over {3} n(n+1)(n+2)]이므로

[eqn: sum_{n=3}^{20} left(n^{2}+n right)][eqn: = left{ sum_{n=1}^{20} left(n^{2}+n right)- sum_{n=1}^{2} left(n^{2}+n right) it right}]
[eqn: = {1} over {3} LEFT (20 CDOT 21 CDOT 22-2 CDOT 3 CDOT 4 RIGHT )]
[eqn: ={1} over {3}(9240-24)=3072]

이고

[eqn: sum_{n=3}^{20} left( left[{1} over {2} n+5 right] right)][eqn: = sum_{n=3}^{20} left({1} over {2} n+5 right)-9 cdot {1} over {2}]
([eqn: BECAUSE~ 3 SIM 20]까지 자연수 중 홀수는 [eqn: rm 9]개)
[eqn: = left( sum_{n=1}^{20} {1} over {2} n- sum_{n=1}^{2} {1} over {2} n right)+18 times 5-9 cdot {1} over {2}]
[eqn: = left(105-{3} over {2} right)+90-{9} over {2}=189]

이므로 [eqn: sum_{n=1}^{20} a_{n}=3072-189=2883]

[eqn: A`_{ it n }= LEFT { LEFT (n,`` k RIGHT ) `LEFT | it RIGHT .` k LEQ n ^{2} +n RIGHT .], [eqn: k]는 자연수[eqn: it right}]

[eqn: B`_{ it n }= LEFT { LEFT (n,`` k RIGHT ) `LEFT | ` k LEQ {1} over {2} n+5 RIGHT . RIGHT .], [eqn: k]는 자연수[eqn: LEFT . pile{ it#it } RIGHT }]

라 하자. 집합 [eqn: A_{n}-B_{n}]의 원소의 개수를 [eqn: a_{n}]이라 할 때, [eqn: sum_{n=1}^{20} a_{n}]의 값은?

① [eqn: rm 2883]	② [eqn: rm 2886]	③ [eqn: rm 2889]

④ [eqn: rm 2892]	⑤ [eqn: rm 2895]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 04월 27

자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y={6^{n}} over {x}] 위의 점 중에서 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 자연수인 점의 개수를 [eqn: a_{n}]이라 하자. [eqn: sum_{n=1}^{10} a_{n}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 505]

[해설]

곡선 [eqn: y={6^{n}} over {x}] 위의 점 중에서 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 자연수인 점의 개수는 [eqn: 6^{n}]의 양의 약수의 개수와 같다.

[eqn: 6^{n}=2^{n} times 3^{n}]이므로 [eqn: a_{n}=(n+1)^{2}]

따라서 [eqn: sum_{n=1}^{10} a_{n}][eqn: = sum_{n=1}^{10}(n+1)^{2}]
[eqn: = sum_{n=1}^{10} left(n^{2}+2 n+1 right)]
[eqn: ={10 times 11 times 21} over {6}+2 times {10 times 11} over {2}+10]
[eqn: =505]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 03월 30

함수 [eqn: f(x)]가 닫힌 구간 [eqn: [0,``2]]에서 [eqn: f(x)=|x-1|]이고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(x+2)]를 만족시킬 때, 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] [eqn: 427]

[해설]

닫힌 구간 [eqn: [0,``2]]에서 함수 [eqn: g(x)=x+f(x)]는

[eqn: g(x)=cases{1 && (0 leq x<1) # 2 x-1 && (1 leq x leq 2)}]

이고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g(x+2)][eqn: =(x+2)+f(x+2)]
[eqn: =x+2+f(x)]
[eqn: =g(x)+2]

이므로 제 [eqn: rm 1]사분면에서 함수 [eqn: g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

이때 [eqn: a], [eqn: b]는 자연수이므로 순서쌍 [eqn: (a,`` b)]는 그림에서 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 자연수인 점으로 나타내어진다. 또, [eqn: a=n]일 때 주어진 조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a,`` b)]의 개수는 [eqn: g(n)]과 같다. 따라서

[eqn: a_{1}=g(1)+g(2)+g(3)=1+3+3=7], [eqn: a_{2}=g(2)+g(3)+g(4)=3+3+5=11], [eqn: a_{3}=g(3)+g(4)+g(5)=3+5+5=13], [eqn: a_{4}=g(4)+g(5)+g(6)=5+5+7=17], [eqn: a_{5}=g(5)+g(6)+g(7)=5+7+7=19], [eqn: a_{6}=g(6)+g(7)+g(8)=7+7+9=23], [eqn: a_{7}=g(7)+g(8)+g(9)=7+9+9=25], [eqn: a_{8}=g(8)+g(9)+g(10)=9+9+11=29]

[eqn: vdots]

여기서

[eqn: a_{3}-a_{1}=a_{5}-a_{3}=a_{7}-a_{5}= cdots=6],

[eqn: a_{4}-a_{2}=a_{6}-a_{4}=a_{8}-a_{6}= cdots=6]

이므로

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{2 n-1}]과 [eqn: a_{2 n}]을 추론하면

[eqn: a_{2 n-1}=a_{1}+6(n-1)=7+6(n-1)=6 n+1]

[eqn: a_{2 n}=a_{2}+6(n-1)=11+6(n-1)=6 n+5]

따라서

[eqn: sum_{n=1}^{15} a_{n}][eqn: = sum_{n=1}^{8} a_{2 n-1}+ sum_{n=1}^{7} a_{2 n}]
[eqn: = sum _{n=1} ^{8} LEFT (6n+1 RIGHT )+ sum _{n=1} ^{7} LEFT (6n+5 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 6 TIMES {8 TIMES 9} over {2} +1 TIMES 8 RIGHT ) + LEFT ( 6 TIMES {7 TIMES 8} over {2} +5 TIMES 7 RIGHT )]
[eqn: =427]

[eqn: g(x)=x+f(x)]

라 하자. 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: (a,`` b)]의 개수를 [eqn: a_{n}]이라 할 때, [eqn: sum_{n=1}^{15} a_{n}]의 값을 구하시오.

(가) [eqn: n leq a leq n+2]

(나) [eqn: 0<b leq g(a)]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 11월 29

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 곡선 [eqn: y= sqrt{x+n^{2}}], [eqn: y=- sqrt{x}+n]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: a_{n}]이라 하자. [eqn: sum_{n=1}^{5} a_{n}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 300]

[해설]

함수 [eqn: y= sqrt{x+n^{2}}]의 그래프는 함수 [eqn: y= sqrt{x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -n^{2}]만큼 평행이동한 것이고, 함수 [eqn: y=- sqrt{x}+n]의 그래프는 함수 [eqn: y=- sqrt{x}]의 그래프를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동한 것이므로 두 함수의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계는 <그림 [eqn: 1>]과 같다.

<그림 1>

<그림 2>

이때, 함수 [eqn: y=- sqrt{x}+n]의 그래프는 함수 [eqn: y= sqrt{x+n^{2}}]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 후 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: n^{2}]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동한 것이므로 <그림[eqn: rm 2]>와 같이 함수 [eqn: y= sqrt{x+n^{2}}]의 그래프와 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 영역 ㉠의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수는 함수 [eqn: y=- sqrt{x}+n]의 그래프와 두 직선 [eqn: x=n^{2}], [eqn: y=n]으로 둘러싸인 영역 ㉢의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수와 같다.

그러므로 영역 ㉠과 영역 ㉡의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수는 영역 ㉡ 영역 ㉢의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수와 같다.

[eqn: x]축 위의 정수인 점은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: cdots], [eqn: n^{2}]이므로 [eqn: left(n^{2}+1 right)]개

[eqn: y]축 위의 정수인 점은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: cdots], [eqn: n]이므로 [eqn: (n+1)]개 [eqn: therefore~ ~ a_{n}= left(n^{2}+1 right)(n+1)=n^{3}+n^{2}+n+1]

따라서

[eqn: sum_{n=1}^{5} a_{n}][eqn: = sum_{n=1}^{5} left(n^{3}+n^{2}+n+1 right)]
[eqn: = left({5 times 6} over {2} right)^{2}+ left({5 times 6 times 11} over {6} right)+ left({5 times 6} over {2} right)+5]
[eqn: =300]

[다른 풀이]

<그림[eqn: rm 1]>에서 [eqn: y]의 값에 대한 점의 개수는 아래의 표와 같다.

[eqn: n]	[eqn: y=0]	[eqn: y=1]	[eqn: y=2]	[eqn: y=3]	[eqn: y=4]	[eqn: y=5]	합
[eqn: rm 1]	[eqn: rm 3]	[eqn: rm 1]					[eqn: rm 4]
[eqn: rm 2]	[eqn: rm 9]	[eqn: rm 5]	[eqn: rm 1]				[eqn: rm 15]
[eqn: rm 3]	[eqn: rm 19]	[eqn: rm 13]	[eqn: rm 7]	[eqn: rm 1]			[eqn: rm 40]
[eqn: rm 4]	[eqn: rm 33]	[eqn: rm 25]	[eqn: rm 17]	[eqn: rm 9]	[eqn: rm 1]		[eqn: rm 85]
[eqn: rm 5]	[eqn: rm 51]	[eqn: rm 41]	[eqn: rm 31]	[eqn: rm 21]	[eqn: rm 11]	[eqn: rm 1]	[eqn: rm 156]

[eqn: sum_{n=1}^{5} a_{n}=4+15+40+85+156=300]

[출처]	2015 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

좌표평면에서 자연수 [eqn: n `]에 대하여 세 직선 [eqn: y=x+1],
[eqn: y=`-x+2n+1], [eqn: y= {x} over {n+1} `]로 둘러싸인 삼각형의 내부 (경계선 제외)에 있는 점 [eqn: LEFT (x,`` y RIGHT )] 중에서 [eqn: x], [eqn: y `]가 모두 자연수인 점의 개수를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. [eqn: a _{n} =133 `]인 [eqn: n `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold{12]

[해설]

방정식 [eqn: x+1 =`-x+2n+1 `]에서    [eqn: x = n]

따라서 직선 [eqn: y=x+1`]과 직선 [eqn: y=`-x+2n+1`]의 교점은 [eqn: LEFT (n ,`` n+1 RIGHT ) `]이다.

또, 직선 [eqn: y=`-x+2n+1 `]의 [eqn: x `]절편은 [eqn: 2n+1 `]이고

직선 [eqn: y= x overn+1 `]는 두 점 [eqn: LEFT (n+1 ,`` 1 RIGHT ) `]과 [eqn: LEFT (2n+2 ,`` 2 RIGHT ) `]를 지난다.

(ⅰ) [eqn: n=1], [eqn: 2`]일 때

위의 그림에서
[eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =3`]

(ⅱ) [eqn: n ge3`]일 때

위의 그림과 같이 직선 [eqn: y=`-x+2n+1`]과 [eqn: y=`-x+2n+1`]는 [eqn: 2n-1 <x<2n`]에서 만난다.
[eqn: therefore][eqn: a_n][eqn: = LEFT (1+2+ `cdots` +n RIGHT )+left{ LEFT (n-2 RIGHT )+ LEFT (n-3 RIGHT )+ `cdots` +1 right}]
[eqn: = { n LEFT (n+1 RIGHT )} over { 2} + { LEFT (n-2 RIGHT ) LEFT (n-1 RIGHT )} over { 2}]
[eqn: = n^2 -n+1]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a_n = n^2 -n+1][eqn: LEFT ( n ge1 RIGHT )`]이므로 [eqn: a_{n}=133`]에서

[eqn: n^{2}-n+1=133],    [eqn: n LEFT ( n-1 RIGHT ) = 132 = 12·11]

[eqn: therefore][eqn: n = 12]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 04월 29

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 기울기가 [eqn: rm 1]이고 [eqn: y]절편이 양수인 직선이 원 [eqn: x^{2}+y^{2}={n^{2}} over {2}]에 접할 때, 이 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{A}} it _{n}], [eqn: {rm{B}} it _{n}]이라 하자. 점 [eqn: {rm{A}} it _{n}]을 지나고 기울기가 [eqn: -2]인 직선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: {rm{C}} it _{n}]이라 할 때, 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{n} {rm{C}} it _{n} {rm{B}} it _{n}]과 그 내부의 점들 중 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: a_{n}]이라 하자. [eqn: sum_{n=1}^{10} a_{n}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 725]

[해설]

기울기가 [eqn: rm 1]이고 [eqn: y]절편이 양수인 원 [eqn: x^{2}+y^{2}={n^{2}} over {2}]의 접선의 방정식은 [eqn: y=x+{n} over { sqrt{2}} sqrt{1+1^{2}}]

[eqn: therefore~ ~ y=x+n]

직선 [eqn: y=x+n]이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점은 각각 [eqn: {rm{A}} it _{n}(-n,`` 0)], [eqn: {rm{B}} it _{n}(0,`` n)]이고, 점 [eqn: {rm{A}} it _{n}]을 지나고 기울기가 [eqn: -2]인 직선의 방정식은 [eqn: y=-2 x-2 n]이므로 [eqn: {rm{C}} it _{n}(0,``-2 n)] 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{n} {rm{C}} it _{n} {rm{B}} it _{n}]과 그 내부의 점들 중 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수 [eqn: a_{n}]은

[eqn: n=1]일 때, [eqn: x]좌표가 [eqn: rm 0]인 점의 개수는 [eqn: rm 4], [eqn: x]좌표가 [eqn: -1]인 점의 개수는 [eqn: rm 1]이므로 [eqn: a_{1}=1+4=5]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: x]좌표가 [eqn: rm 0]인 점의 개수는 [eqn: rm 7],

[eqn: x]좌표가 [eqn: -1]인 점의 개수는 [eqn: rm 4],

[eqn: x]좌표가 [eqn: -2]인 점의 개수는 [eqn: rm 1]이므로 [eqn: a_{2}=1+4+7=12]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: x]좌표가 [eqn: rm 0]인 점의 개수는 [eqn: rm 10], [eqn: x]좌표가 [eqn: -1]인 점의 개수는 [eqn: rm 7],

[eqn: x]좌표가 [eqn: -2]인 점의 개수는 [eqn: rm 4],

[eqn: x]좌표가 [eqn: -3]인 점의 개수는 [eqn: rm 1]이므로 [eqn: a_{3}=1+4+7+10=22]

[eqn: vdots]

[eqn: therefore~a_{n}][eqn: =1+ LEFT { 4+7+10+ `CDOTS` + LEFT (3n+1 RIGHT ) it RIGHT }]
[eqn: =1+ sum_{k=1}^{n}(3 k+1)={3} over {2} n^{2}+{5} over {2} n+1]

따라서

[eqn: sum_{n=1}^{10} a_{n}][eqn: = sum_{n=1}^{10} left({3} over {2} n^{2}+{5} over {2} n+1 right)]
[eqn: ={3} over {2} times {10 times 11 times 21} over {6}+{5} over {2} times {10 times 11} over {2}+1 times 10]
[eqn: =725]

[eqn: LEFT ( n=1 RIGHT )]	[eqn: LEFT ( n=2 RIGHT )]	[eqn: LEFT ( n=3 RIGHT )]
[eqn: 1+4]	[eqn: 1+4+7]	[eqn: 1+4+7+10]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 21

좌표평면에서 함수

[정답] ④

[해설]

각 경우로 나누면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: n le 7]일 때,
대칭성을 이용하여 조사하면 원 [eqn: O_n]의 내부에 있고 곡선  [eqn: y =f LEFT ( x RIGHT )]의 아랫부분에 있는 점의 개수와 원 [eqn: O_n]의 내부에 있고 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 윗부분에 있는 점의 개수가 같으므로 [eqn: A_n -B_n =0]

(ⅱ) [eqn: n=8]일 때, 아래 그림에서 대칭성을 이용하여 조사하면	[eqn: A_8 -B_8 =0]

(ⅲ) [eqn: n=9]일 때, 아래 그림에서	[eqn: A_9 -B_9 =12 -8 =4]

(ⅳ) [eqn: n=10]일 때, 아래 그림에서 [eqn: A_10 - B_10 = 17 -4 =13]

(ⅴ) [eqn: n=11]일 때, 아래 그림에서 [eqn: A_11 - B_11 = 15 -7 =8]

(ⅵ) [eqn: 12 le n le 20]일 때, 대칭성을 이용하여 조사하면 원 [eqn: O_n]의 내부에 있고 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 아랫부분에 있는 점의 개수와 원 [eqn: O_n]의 내부에 있고 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 윗부분에 있는 점의 개수와 같으므로 [eqn: A_n -B_n =0]

따라서 구하는 값은 [eqn: sum _{ n=1} ^{20 } LEFT ( A_n -B_n RIGHT ) = 4 +13 +8 =25]

[eqn: f(x)=cases{-x+10 && (x<10) #(x-10)^{2} && (x geq 10)}]

과 자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: (n,`` f(n))]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: rm 3]인 원 [eqn: O_{n}]이 있다. [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점 중에서 원 [eqn: O_{n}]의 내부에 있고 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 아랫부분에 있는 모든 점의 개수를 [eqn: A_{n}], 원 [eqn: O_{n}]의 내부에 있고 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 윗부분에 있는 모든 점의 개수를 [eqn: B_{n}]이라 하자. [eqn: sum_{n=1}^{20} left(A_{n}-B_{n} right)]의 값은?

① [eqn: rm 19]	② [eqn: rm 21]	③ [eqn: rm 23]

④ [eqn: rm 25]	⑤ [eqn: rm 27]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 29

자연수 [eqn: {n}{{from^2020^03^경기고3가^}}]에 대하여 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( 0 ,```` n+5 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( n+4 ,```` 0 RIGHT )]과 원점 [eqn: rmO]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmAOB]가 있다. 삼각형 [eqn: rmAOB]의 내부에 포함된 정사각형 중 한 변의 길이가 [eqn: 1]이고 꼭짓점의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 자연수인 정사각형의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{8} a _{n}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 164 }]

[해설]

직선 [eqn: rmAB]의 방정식은

[eqn: y][eqn: = it - {n+5} over {n+4} x+n+5]

자연수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: x=a]일 때

[eqn: y][eqn: = it - {n+5} over {n+4} a+n+5]
[eqn: =m+5- LEFT ( 1+ {1} over {n+4} RIGHT ) a]
[eqn: =n+5-a- {a} over {n+4}]

[eqn: 0<a<n+}4]일 때, [eqn: 0< {a} over {n+4} <1]이므로 [eqn: x=a]일 때, [eqn: y]좌표가 자연수인 점의 개수는 [eqn: n+4-a]이다.

두 자연수 [eqn: a ,```` b]에 대하여 삼각형 [eqn: rmOAB]의 내부에 포함되는 한 변의 길이가 [eqn: 1]이고 각 꼭짓점의 좌표가 자연수인 정사각형의 네 꼭짓점의 좌표를 각각 [eqn: LEFT ( a ,```` b RIGHT )], [eqn: LEFT ( a+1 ,```` b RIGHT )], [eqn: LEFT ( a+1 ,```` b+1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( a ,```` b+1 RIGHT )]이라 하면

[eqn: a=1]일 때, [eqn: 1 LEQ b LEQ n+1]이므로 정사각형의 개수는 [eqn: LEFT ( n+1 RIGHT )]이다.

[eqn: a=2]일 때, [eqn: 1 LEQ b LEQ n]이므로 정사각형의 개수는 [eqn: n]이다.

[eqn: a=3]일 때, [eqn: 1 LEQ b LEQ n-1]이므로 정사각형의 개수는 [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT )]이다.

[eqn: VDOTS]

[eqn: a=n+1]일 때, [eqn: b=1]이므로 정사각형의 개수는 [eqn: 1]이다.

따라서

[eqn: a _{n}][eqn: = LEFT ( n+1 RIGHT ) +n+ LEFT ( n-1 RIGHT ) + CDOTS +1]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( n ^{2} +3n+2 RIGHT )]

[eqn: sum _{k=1} ^{8} a _{n}][eqn: = {1} over {2} sum _{k=1} ^{8} LEFT ( n ^{2} +3n+2 RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( {8 TIMES 9 TIMES 17} over {6} +3 TIMES {8 TIMES 9} over {2} +2 TIMES 8 RIGHT )]
[eqn: =164]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 14

[eqn: 4] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [eqn: n] 이하의 네 자연수 [eqn: a,~b,~c,~d]가 있다.

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rmA(ita,~b)]에 대하여 점 [eqn: rmB(itc,~d)]가

[eqn: rm { {bar{OA }} BOT {bar{AB }} }], [eqn: {bar{rm OA}} = {bar{rm AB}}]를 만족시키려면

[eqn: c=a-b ,~ d=a+b]이어야 한다.

이때, [eqn: a>b]이고 [eqn: d]가 [eqn: n]이하의 자연수이므로

[eqn: b< {n} over {2}]이다.

[eqn: {n} over {2}] 미만의 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: b=k]일 때, [eqn: a+b LEQ n]을 만족시키는 자연수

[eqn: a]의 개수는 [eqn: n-2k]이다.

[eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: m]에 대하여

(ⅰ) [eqn: n=2m]인 경우
[eqn: b]가 될 수 있는 자연수는
[eqn: 1]부터 [eqn: {BOX{~m-1~}}]까지이므로

[eqn: T _{2m}][eqn: = sum _{k=1} ^{{BOX{~m-1~}}} (2m-2k)]
[eqn: =2m(m-1)-m(m-1)]
[eqn: = {BOX{~m ^{2} -m~}}]

(ⅱ) [eqn: n=2m+1]인 경우
[eqn: b]가 될 수 있는 자연수는 [eqn: 1]부터 [eqn: m]까지이므로

[eqn: T _{2m+1}][eqn: = sum _{k=1} ^{m} (2m+1-2k)]
[eqn: =m(2m+1)-m(m+1)]
[eqn: = {BOX{~m ^{2} ~}}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: sum _{n=4} ^{20} T _{m} =614]

따라서 [eqn: f(m)=m-1,~ g(m)=m ^{2} -m ,~ h(m)=m ^{2}]

이므로 [eqn: f(5)+g(6)+h(7)][eqn: =4+30+49][eqn: =83]

∘ [eqn: a>b]

∘ 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( a,~b RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( c,~d RIGHT )]와 원점 [eqn: rmO]에 대하여 삼각형 [eqn: rmOAB]는 [eqn: ANGLE rm A][eqn: = {pi} over {2}]인 직각이등변삼각형이다.

다음은 [eqn: a,~b,~c,~d]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b,~c,~d RIGHT )]의 개수를 [eqn: T _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=4} ^{20} T _{n}]의 값을 구하는 과정이다.

점 [eqn: rm A it LEFT ( a,~b RIGHT )]에 대하여

점 [eqn: rm B it LEFT ( c,~d RIGHT )]가 [eqn: {bar{rm OA}} BOT {bar{rm AB}}], [eqn: {bar{rm OA}}][eqn: = {bar{rm AB}}]를 만족시키려면

[eqn: c][eqn: =a-b], [eqn: d][eqn: =a+b]이어야 한다.

이때, [eqn: a>b]이고 [eqn: d]가 [eqn: n] 이하의 자연수이므로 [eqn: b< {n} over {2}]이다.

[eqn: {n} over {2}] 미만의 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: b][eqn: =k]일 때, [eqn: a+b LEQ n]을 만족시키는 자연수 [eqn: a]의 개수는

[eqn: n-2k]이다.

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: m]에 대하여

(ⅰ) [eqn: n=2m]인 경우
[eqn: b]가 될 수 있는 자연수는 [eqn: 1]부터 [eqn: {BOX{~~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~~}}]까지이므로
[eqn: T _{2m}][eqn: = sum _{k=1} ^{{BOX{~~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~~}}} LEFT ( 2m-2k RIGHT )][eqn: = {BOX{~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~}}]

(ⅱ) [eqn: n][eqn: =2m+1]인 경우
[eqn: T _{2m+1}][eqn: = {BOX{~~ LEFT ( 다 RIGHT ) ~~}}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: sum _{n=4} ^{20} T _{n}][eqn: =614]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( m RIGHT ) ,~g LEFT ( m RIGHT ) ,~h LEFT ( m RIGHT )]이라 할 때, [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) +g LEFT ( 6 RIGHT ) +h LEFT ( 7 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 71]	② [eqn: 74]	③ [eqn: 77]

④ [eqn: 80]	⑤ [eqn: 83]

[준킬러][수학1] 6수열2(빠른 정답)
프로젝트	2023.01.06

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] [eqn: 11]

[정답] [eqn: 11]

[정답] [eqn: rm 75]

[정답] ④

[정답] [eqn: 330]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ①

[정답] [eqn: 202]

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 525 }]

[정답] [eqn: bold { 49 }]

[정답] [eqn: 3]

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ①

[정답] [eqn: 840]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] [eqn: 214]

[정답] [eqn: 120]

[정답] [eqn: 392]

[정답] [eqn: 392]

[정답] [eqn: 86]

[정답] [eqn: rm 48]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] [eqn: 553]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] [eqn: 195]

[정답] [eqn: 16]

[정답] [eqn: rm 191]

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ①

[정답] [eqn: bold169]

[정답] ②

[정답] ①

[정답] [eqn: bold395]

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ④

[정답] [eqn: 34]

[정답] [eqn: 142]

[정답] ②

[정답] ①

[정답] [eqn: 171]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 675]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ①

[정답] [eqn: bold65`]

[정답] [eqn: bold67`]

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 282 }]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 245]

[정답] [eqn: 48]

[정답] [eqn: 650]

[정답] [eqn: bold100]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 69]

[정답] [eqn: 20]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 65]

[정답] [eqn: 23]

[정답] [eqn: 184]

[정답] [eqn: 120]

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: bold8]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 17]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ①

[정답] [eqn: 505]

[정답] [eqn: 427]

[정답] [eqn: 300]

[정답] [eqn: bold{12]

[정답] [eqn: 725]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 164 }]

[정답] ⑤

[준킬러][수학1] 6수열2(해설)
프로젝트	2023.01.06