	준킬러수1	[준킬러][수학1] 1지수로그
	01
		프로젝트	2023.01.06

03 수1	01 지수
01 거듭제곱근
04 거듭제곱근4 (성질과 계산)

준킬러수1		프로젝트
		[준킬러][수학1] 1지수로그
01

	프로젝트		준킬러수1
	[준킬러][수학1] 1지수로그		01

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 13

실수 [eqn: {r}{{from^2021^7^경찰대^중}}][eqn: = {3} over {root {3} of {4} - root {3} of {2} +1}]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: root {3} of {2} =t]로 치환하면

[eqn: r][eqn: = {3} over {t ^{2} -t+1}]
[eqn: = {3 LEFT ( t+1 RIGHT )} over {LEFT ( t+1 RIGHT ) LEFT ( t ^{2} -t+1 RIGHT )}]
[eqn: = { 3 LEFT ( t+1RIGHT ) } over {t^3 +1 }][eqn: = { 3 LEFT ( t+1 RIGHT ) } over {2+1 }]
[eqn: =t+1]
[eqn: = root {3} of {2}+1] ([eqn: because][eqn: root {3} of {2} =t])

즉, [eqn: r-1= root {3} of {2}]이므로 [eqn: r-1=x]라 하면

[eqn: x ^{2} = root {3} of {4}], [eqn: x^3 =2]

[eqn: r=x+1]이므로 구하고자 하는 식에 대입하면

[eqn: r+r^2 + r^3][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT )+ LEFT ( x+1 RIGHT )^2 + LEFT ( x+1 RIGHT )^3]
[eqn: =x^3 +4x^2 +6x +3]
[eqn: =2+4 root {3} of {4} +6 root {3} of {2} +3]
[eqn: =4 root {3} of {4} +6 root {4} of {3} +5]

따라서 [eqn: a=4 ,````b=6 ,````c=5]이므로

[eqn: a+b+c = 4+6+5 =15]

[eqn: r+r ^{2} +r ^{3}][eqn: =a root {3} of {4} +b root {3} of {2} +c]

일 때, [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: a ,```` b ,```` c]는 유리수이다.)

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

03 수1	01 지수
02 지수의 확장과 지수법칙
01 지수법칙1 (정수지수)

[출처]	2013 모의_공공 경찰대 고3 07월 8

이차방정식 [eqn: x^{2}-x-1=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alpha^{11}+ beta^{11}]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: alpha]가 방정식의 근이므로

[eqn: alpha^{2}][eqn: = alpha+1]
[eqn: alpha^{3} = alpha^{2}+ alpha=2 alpha+1]
[eqn: alpha^{4} =2 alpha^{2}+ alpha=3 alpha+2]
[eqn: alpha^{5} =3 alpha^{2}+2 alpha=5 alpha+3]
[eqn: alpha^{6} =5 alpha^{2}+3 alpha=8 alpha+5]

[eqn: VDOTS]

[eqn: therefore~ alpha^{11}= alpha^{5} cdot alpha^{6}=40 alpha^{2}+49 alpha+15=89 alpha+55]

마찬가지 방법으로

[eqn: beta^{11}=89 alpha+55]

근과 계수와의 관계에서 [eqn: alpha+ beta=1]이므로

[eqn: alpha^{11}+ beta^{11}=89( alpha+ beta)+110=199]

[다른 풀이]

이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: alpha+ beta=1], [eqn: alpha beta=it-1]

[eqn: a_{n}= alpha^{n}+ beta^{n}]이라 하면

[eqn: a_{n+2}=( alpha+ beta) left( alpha^{n+1}+ beta^{n+1} right)- alpha beta left( alpha^{n}+ beta^{n} right)=a_{n+1}+a_{n}]

이 성립한다.

[eqn: rpile{a _{1} = alpha + beta =1,``a _{2} =( alpha + beta ) ^{2} -2 alpha =3]이므로

[eqn: a _{3} =1+3=4 &]	[eqn: a _{4} =3+4=7]

[eqn: a _{5} =4+7=11]	[eqn: a _{6} =7+11=18]

[eqn: a _{7} =11+18=29]	[eqn: a _{8} =18+29=47]

[eqn: a _{9} =29+47=76]	[eqn: a _{10} =47+76=123]

[eqn: a _{11} =76+123=199]	[eqn: CDOTS]

[eqn: THEREFORE ~ alpha ^{11} + beta ^{11} =199]

① [eqn: rm 123]	② [eqn: rm 144]	③ [eqn: rm 150]

④ [eqn: rm 175]	⑤ [eqn: rm 199]

03 수1	01 지수
02 지수의 확장과 지수법칙
02 지수법칙2 (유리수지수)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 06월 17

두 집합 [eqn: A` = LEFT { 3,`` 4 RIGHT }], [eqn: B` = LEFT { -9,`` -3,`` 3,`` 9 RIGHT } `]에 대하여 집합 [eqn: X ``]를

[정답] ⑤

[해설]

집합 [eqn: X`]의 원소는 [eqn: b`]의 [eqn: a`]제곱근 중에서 실수인 것들이다.

[eqn: a=3]일 때, [eqn: root {3} of {-9} ,`` root {3} of {-3} ,` root {3} of {3} `,` root {3} of {9} `]이고

[eqn: a=4]일 때, [eqn: ± root {4} of {3} `,`± root {4} of {9} `]이므로

집합 [eqn: X]를 구하면

[eqn: X= LEFT { root {3} of {-9} ,`` root {3} of {-3} ,` root {3} of {3} `,` root {3} of {9} ,`- sqrt {3} ,`- root {4} of {3} ,` root {4} of {3} ,` sqrt {3} RIGHT } `]

이다.

ㄱ. [eqn: root {3} of {-9} ` IN `X`] (참)

ㄴ. 집합 [eqn: X]의 원소의 개수는 [eqn: 8`]이다. (참)

ㄷ. 집합 [eqn: X``]의 원소 중 양수인 것은 [eqn: root {3} of {3} ,` root {3} of {9} ,` root {4} of {3} ,` sqrt {3} `]이므로 모든 원소의 곱의 값은 [eqn: 3 ^{{1} over {3} + {2} over {3} + {1} over {4} + {1} over {2}} =3 ^{{7} over {4}} = root {4} of {3 ^{7}} `]이다. (참)

[eqn: X`=LEFT { x` LEFT | ` x^{a}=b RIGHT . RIGHT .], [eqn: a in A`], [eqn: b in B`], [eqn: x`]는 실수[eqn: LEFT. ` RIGHT }`]

라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: root {3} of {-9} IN X`] ㄴ. 집합 [eqn: X ``]의 원소의 개수는 [eqn: 8 `]이다. ㄷ. 집합 [eqn: X ``]의 원소 중 양수인 모든 원소의 곱은 [eqn: root {4} of {3 ^{7}} `]이다.

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 11

함수 [eqn: f(x)=-(x-2)^{2}+k]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 개수가 [eqn: rm 2]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: sqrt{3}`^{f(n)}>0]이므로 [eqn: sqrt{3}`^{f(n)}]의 네제곱근 중 실수인 것은 [eqn: sqrt {4} of { sqrt{3}`^{f(n)}}=3^{{f(n)} over {8}}], [eqn: - sqrt {4} of { sqrt{3}`^{f(n)}}=3^{{f(n)} over {8}}]이다.

조건에 의하면 실수인 것의 곱이 [eqn: -9]이므로 [eqn: 3^{{f(n)} over {8}} times left(-3^{{f(n)} over {8}} right)=-9], 즉 [eqn: -3^{{f(n)} over {4}}=-9]이다.

따라서 [eqn: f(n)=8]이다.

함수 [eqn: f(x)=-(x-2)^{2}+k]에 대하여 [eqn: f(n)=8]을 만족하는

자연수 [eqn: n]의 개수가 [eqn: rm 2]개라 하였는데 함수 [eqn: f(x)]의 대칭축이

[eqn: x=2]이므로 만족하는 자연수 [eqn: n]은 [eqn: rm 1], [eqn: rm 3]이다.

즉, [eqn: f(1)=8], [eqn: f(3)=8]이므로 [eqn: -1+k=8]이다.

[eqn: therefore~ ~ k=9]

[eqn: sqrt{3}`^f(n)]의 네제곱근 중 실수인 것을 모두 곱한 값이 [eqn: -9]이다.

① [eqn: rm 8]	② [eqn: rm 9]	③ [eqn: rm 10]

④ [eqn: rm 11]	⑤ [eqn: rm 12]

03 수1	01 지수
02 지수의 확장과 지수법칙
05 식의 계산1 (대입)

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고2 09월 4

[eqn: 3^{a}=2], [eqn: 3^{b}=5], [eqn: 3^{c}=50]일 때, [eqn: 3^{3 a+2 b-c}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: 3^{3 a+2 b-c}={3^{3 a 3^{2 b}}} over {3^{c}}={ left(3^{a} right)^{3} left(3^{b} right)^{2}} over {3^{c}}={8 times 25} over {50}=4]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2010 모의_공공 교육청 고2 09월 28

함수 [eqn: f(x)={1} over {2} x^{2}(x geq 0)]의 그래프가 두 점 [eqn: {rm{A}} it left(a,`` 2^{b} right)], [eqn: {rm{B}} it left(c,`` 4^{d} right)]을 지나고 [eqn: b+2 d=12]일 때, [eqn: a c]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 128]

[해설]

[eqn: {1} over {2} a^{2}=2^{b}], [eqn: {1} over {2} c^{2}=4^{d}]이므로

[eqn: {1} over {4}(a c)^{2}=2^{b+2 d}=2^{12}]

[eqn: therefore~a c=2^{7}=128]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 04월 16

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 2 ^{a} =3], [eqn: 6 ^{b} =5]일 때, [eqn: 2 ^{ab+a+b}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: 2 ^{ab+a+b}][eqn: = LEFT ( 2 ^{a} RIGHT ) ^{b} TIMES 2 ^{a} TIMES 2 ^{b}]
[eqn: =3 ^{b} TIMES 3 TIMES 2 ^{b}]
[eqn: = LEFT ( 3times2 RIGHT ) ^{b} TIMES 3]
[eqn: =5 TIMES 3=15]

[다른 풀이]

[eqn: 6 ^{b} = LEFT ( 2 TIMES 3 RIGHT ) ^{b} = LEFT ( 2 TIMES 2 ^{a} RIGHT ) ^{b} =2 ^{ab+b}]

[eqn: 2 ^{ab+a+b}][eqn: =2 ^{ab+b} TIMES 2 ^{a}]
[eqn: =6 ^{b} TIMES 2 ^{a}]
[eqn: =5times3][eqn: =15]

① [eqn: 15]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 27]

03 수1	01 지수
02 지수의 확장과 지수법칙
06 식의 계산2 (밑의 통일)

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고2 09월 18

[eqn: a b c d neq 0]인 네 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: 2^{a}=3^{b}=6^{c}=12^{d}=k]로 놓으면

[eqn: k^{{1} over {a}}=2 ~][eqn: CDOTSCDOTS] ㉠

[eqn: k^{{1} over {b}}=3 ~][eqn: CDOTSCDOTS] ㉡

[eqn: k^{{1} over {c}}=6 ~][eqn: CDOTSCDOTS] ㉢

[eqn: k^{{1} over {d}}=12 ~][eqn: CDOTSCDOTS]㉣

㉡, ㉢에서 [eqn: k^{{1} over {c}-{1} over {b}}=2]이므로 [eqn: k^{{1} over {4}}=2 ~ therefore~k=16]

㉠에 [eqn: k=16]을 대입하면 [eqn: a=4]

㉢, ㉣에서 [eqn: k^{{1} over {d}-{1} over {c}}=2]이므로 [eqn: {1} over {d}-{1} over {c}={1} over {4}]

점 [eqn: (4,``0)]과 직선 [eqn: y=x+2]사이의 거리는

[eqn: {|4+2|} over { sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=3 sqrt{2}]

[eqn: 2^{a}=3^{b}=6^{c}=12^{d}], [eqn: {1} over {c}-{1} over {b}={1} over {4}]

일 때, 좌표평면 위의 점 [eqn: (a,`` 0)]과 직선 [eqn: y=x+8 left({1} over {d}-{1} over {c} right)] 사이의 거리는?

① [eqn: 3 sqrt{2}]	② [eqn: 4 sqrt{2}]	③ [eqn: 5 sqrt{2}]

④ [eqn: 6 sqrt{2}]	⑤ [eqn: 7 sqrt{2}]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 09월 15

두 양수 [eqn: a], [eqn: b `]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: 2 ^{a} =3 ^{b} =k``][eqn: left(`][eqn: k>1][eqn: `right)`]이라 놓으면

[eqn: 2=k ^{{1} over {a}} `], [eqn: 3=k ^{{1} over {b}} `]

[eqn: (a-2)(b-2)=4`]에서

[eqn: {a+b}over{ab}={1}over{2}]

[eqn: k ^{{1} over {a}} TIMES k ^{{1} over {b}} =k ^{{a+b} over {ab}} =k ^{{1over2}} =6`]

따라서

[eqn: 4 ^{a} TIMES 3 ^{-b} = {LEFT ( 2 ^{a} RIGHT ) ^{2}} over {3 ^{b}} = {k ^{2}} over {k} =k=36`]

[다른 풀이]

[eqn: 2 ^{a} =3 ^{b} =k`][eqn: left(`][eqn: k>1][eqn: `right)`]이라 놓으면

[eqn: a=log` _{2} `k`], [eqn: b=log` _{3} `k]

[eqn: (a-2)(b-2)=(log` _{2} `k-2)(log` _{3} `k-2)]

[eqn: =log _{`2} `k times`log _{`3} `k-2log _{`2} `k-2log` _{3} `k+4=4]

[eqn: log _{`2} `k times`log` _{3} `k-2(log` _{2} `k+log` _{3} `k)=0]

[eqn: {log` _{2} `k+log` _{3} `k} over {log` _{2} `k times`log _{`3} `k} = {1} over {2}]

[eqn: {1} over {log` _{2} `k} + {1} over {log` _{3} `k} = {1} over {2}]

[eqn: log _{`k} `2+log _{`k} `3=log _{`k} `6= {1} over {2}`],

즉

[eqn: k ^{{1} over {2}} =6]

따라서

[eqn: 4 ^{a} TIMES 3 ^{-b} = {LEFT ( 2 ^{a} RIGHT ) ^{2}} over {3 ^{b}} = {k ^{2}} over {k} =k=36`]

[eqn: 2 ^{ a} =3 ^{ b}], [eqn: LEFT (a-2 RIGHT ) LEFT (b-2 RIGHT )=4 `]

일 때, [eqn: 4 ^{a } TIMES 3 ^{-b} `]의 값은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 72]

03 수1	01 지수
02 지수의 확장과 지수법칙
10 식의 계산6 (연립의 기술)

[출처]	2016 모의_공공 경찰대 고3 07월 21

[eqn: 60^a =5], [eqn: 60^b = 6 `]일 때, [eqn: 12^{2a+b over 1-a} `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold150`]

[해설]

[eqn: 12 ^{{2a+b} over {1-a}} `][eqn: = LEFT ( {60} over {5} RIGHT ) ^{{2a+b} over {1-a}} =60 ^{{2a+b} over {1-a}} 5 ^{{2a+b} over {a-1}} =(150) ^{{1} over {1-a}} 60 ^{{a(2a+b)} over {a-1}}]
[eqn: =(150) ^{{1} over {1-a}} (150) ^{{a} over {a-1}} =(150) ^{{a-1} over {a-1}} =150]

03 수1	01 지수
02 지수의 확장과 지수법칙
11 해석과 추론

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 03월 21

자연수 [eqn: m `]에 대하여 집합 [eqn: A`_{ m} `]을

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: A _{`4} `]는 [eqn: 2^{`a} `][eqn: = 4 over b `]에서 [eqn: 4 `][eqn: = 2^{`a} times b `]인
자연수의 순서쌍을 원소로 갖는 집합이므로
[eqn: 4`][eqn: = 2^{`1} times 2], [eqn: 4`][eqn: =2^{`2} times 1]
[eqn: A _{`4}][eqn: = LEFT { (1,``2),``(2,``1) RIGHT }] (참)

ㄴ. [eqn: m= 2^{`k}`]일 때, [eqn: A _{`m} `][eqn: =A _{`2^{`k}} `]
[eqn: A_m`]은 [eqn: 2^{`a} `][eqn: = 2^{`k} over b `]에서
[eqn: 2^{`k}`][eqn: = 2^{`a} times b `]인
자연수의 순서쌍을 원소로 갖는 집합이므로
[eqn: A _{`m} `][eqn: = LEFT { (1,`` 2^{` k-1}), `` (2,`` 2^{` k-2}), `` (3,`` 2^{` k-3}), `` cdots``, (k,``2^{`0} ) right} `]
이다.
따라서 [eqn: n ( A_{`m} )=k`] (참)

ㄷ. [eqn: A _{`m} `]은 [eqn: 2^{`a} `][eqn: = m over b `]에서
[eqn: m`][eqn: = 2^{`a} times b `]인 자연수의 순서쌍을 원소로 갖는 집합이다.
[eqn: n left( A _{`m} right)`][eqn: =1`]이 되기 위해서는
[eqn: b= {m} over {2 ^{`k}} `]이 자연수가 되도록 하는 자연수 [eqn: k`]가
오직 하나만 존재하므로
[eqn: k=1`]이어야 한다.
따라서 [eqn: m `][eqn: = 2^{`1} times (홀수 )`]이어야 한다.
두 자리 자연수 중에서 [eqn: 2^{`1} times (홀수 )`]인 자연수는
[eqn: 2 times 5], [eqn: 2 times 7], [eqn: 2 times 9], [eqn: cdots] , [eqn: 2 times 49]
이다.
따라서 [eqn: n left( A _{`m} right)`][eqn: =1`]이 되도록 하는 두 자리 자연수 [eqn: m`]의 개수는 [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 9], [eqn: cdots] , [eqn: 49`]의 개수와 같다.
[eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 9], [eqn: cdots] , [eqn: 49`]는 첫째항이 [eqn: 5`]이고 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: 23`]항을 나타낸 것이므로 조건을 만족시키는 두 자리 자연수 [eqn: m`]의 개수는 [eqn: 23`]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: A`_{m}=LEFT { pile{`#`} LEFT ( a,``b RIGHT ) ` LEFT | pile{`#`} `2^{a} = { m} over {b } RIGHT . RIGHT .], [eqn: a], [eqn: b`]는 자연수[eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT }`]

라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: A`_{ 4} = left{ LEFT (1,`` 2 RIGHT ),`` LEFT (2,`` 1 RIGHT ) right}] ㄴ. 자연수 [eqn: k `]에 대하여 [eqn: m=2^{ k} `]이면 [eqn: n LEFT ( A`_{ m} RIGHT ) = k `]이다. ㄷ.[eqn: n LEFT ( A`_{ m} RIGHT )=1 `]이 되도록 하는 두 자리 자연수 [eqn: m `]의 개수는 [eqn: 23 `]이다.

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

03 수1	01 지수
03 지수법칙의 활용
01 활용1 (대소 비교)

[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 06월 8

세 함수

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f`(10)=g(10)]에서

[eqn: (1+r_1 )^10 =left(1+ r_2 over 2 right)^20]

[eqn: 1+r_1 =left(1+ r_2 over 2 right)^2 =1+r_2 + left(r_2 over 2 right)^2]

[eqn: r_1 =r_2 +left(r_2 over 2 right)^2]

∴ [eqn: r_1 ＞r_2]	…… ㉠

[eqn: g(10)=h(10)]에서

[eqn: left(1+ r_2 over 2 right)^20 =left(1+ r_3 over 4 right)^40]

[eqn: 1+ r_2 over 2 = left(1+ r_3 over 4 right)^2 = 1+ r_3 over 2 + left(r_3 over 4 right)^2]

[eqn: r_2 =r_3 +2․left(r_3 over 4 right)^2]

∴ [eqn: r_2 ＞r_3]	…… ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: r_3 ＜r_2 ＜r_1]

[eqn: f LEFT (x RIGHT ) = LEFT (1+r _{1} RIGHT ) ^{x}], [eqn: g LEFT (x RIGHT ) = LEFT ( 1+ {r _{2}} over {2} RIGHT ) ^{2x}], [eqn: h LEFT (x RIGHT ) = LEFT ( 1+ {r _{3}} over {4} RIGHT ) ^{4x}`]

에 대하여 [eqn: f LEFT (10 RIGHT ) = g LEFT (10 RIGHT ) = h LEFT (10 RIGHT )`]일 때, [eqn: r _{1}], [eqn: r _{2}], [eqn: r _{3}`]의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은?
(단, [eqn: r _{1}], [eqn: r _{2}], [eqn: r _{3}`]는 양의 실수이다.)

① [eqn: r _{1} ＜ r _{2} ＜ r _{3}]	② [eqn: r _{1} ＜ r _{3} ＜ r _{2}]	③ [eqn: r _{2} ＜ r _{1} ＜ r _{3}]

④ [eqn: r _{2} ＜ r _{3} ＜ r _{1}]	⑤ [eqn: r _{3} ＜ r _{2} ＜ r _{1}]

[출처]	2006 모의_공공 교육청 고3 10월 28

[eqn: 0< a < b < c <1 `]을 만족하는 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c `]에 대하여

[정답] ①

[해설]

(1) [eqn: {A} over {B} = it {a ^{a} b ^{b} c ^{c} ``} over {a ^{a} b ^{c} c ^{b} ``} = {b ^{b-c}} over {c ^{b-c}} = LEFT ( {b} over {c} RIGHT ) ^{b-c}]에서

[eqn: 0< {b} over {c} <1`,```b-c<0`]이므로 [eqn: ` {A} over {B} `>1`] ∴ [eqn: B<A`]

(2) [eqn: {B} over {C} = it {a ^{a} b ^{c} c ^{b} ``} over {`a ^{b} b ^{c} c ^{a} `} = {a ^{a-b}} over {c ^{a-b}} = LEFT ( {a} over {c} RIGHT ) ^{a-b}]에서

[eqn: 0< {a} over {c} <1`,```a-b<0`]이므로 [eqn: ` {B} over {C} `>1`] ∴ [eqn: C<B`]

(1), (2)에서 [eqn: C<B<A`]

[eqn: A`= it a ^{a} b ^{b} c ^{c}], [eqn: B`= it a ^{a} b ^{c} c ^{b}], [eqn: C`= it a ^{b} b ^{c} c ^{a} `]

이라고 하자. 이때, [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C``]의 대소 관계로 옳은 것은?

①	[eqn: C`<B`<A`]	②	[eqn: B`<C`<A`]	③	[eqn: C`<A`<B`]
④	[eqn: A`<C`<B`]	⑤	[eqn: B`<A`<C`]

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고2 11월 18
[출처]	2007 모의_공공 교육청 고2 11월 18

다음은 [eqn: 11^{15}<55^{9}<11^{17}<33^{13}<11^{19}]임을 이용하여 세 수 [eqn: A=3^{273}], [eqn: B=5^{189}], [eqn: C=11^{126}]의 크기를 비교하는 과정이다.

[정답] ②

[해설]

(가)[eqn: ~ {BOX{~~21~~}}]

(나) [eqn: box {~~<~~ }]

(다) [eqn: box{~A<C<B~~]

먼저 [eqn: A]와 [eqn: B]의 크기를 비교해 보자.

[eqn: rm 189]와 [eqn: rm 273]의 최대공약수는 [eqn: {BOX{~(가)~}}] 이므로

[eqn: {A} over {B}={3^{273}} over {5^{189}}= left({3^{13}} over {5^{9}} right)^{21}]이다.

[eqn: 11^{15}<55^{9}<11^{17}<33^{13}<11^{19}]을 이용하면

[eqn: 3^{13}~][eqn: {BOX{~(나)~}}][eqn: 5^{9}]이므로

[eqn: {A} over {B}][eqn: {BOX{~(나)~}}][eqn: rm 1]이다.

[eqn: therefore~A][eqn: ~{BOX{~(나)~}}][eqn: B]

같은 방법으로 [eqn: A]와 [eqn: C], [eqn: B]와 [eqn: C]의 크기를 비교할 수 있다.

따라서 [eqn: A,B,C] 의 대소관계는 [eqn: {BOX{~(다)~}}] 이다

이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 21]	[eqn: >]	[eqn: B<A<C]
②	[eqn: 21]	[eqn: <]	[eqn: A<C<B]
③	[eqn: 21]	[eqn: <]	[eqn: C<A<B]
④	[eqn: 57]	[eqn: >]	[eqn: B<C<A]
⑤	[eqn: 57]	[eqn: <]	[eqn: C<A<B]

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 06월 27

부등식 [eqn: 1＜m ^{n-5} ＜n ^{m-8}`]을 만족시키는 자연수 [eqn: m], [eqn: n`]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: m,``n]이 자연수이므로

[eqn: 1<m ^{n-5}]에서 [eqn: n-5>0],	…… ㉠

[eqn: 1<n ^{m-8}]에서 [eqn: m-8>0]	…… ㉡

또, [eqn: m ^{n-5} <`n ^{m-8}]에서 [eqn: {n ^{m-8}} over {m ^{n-5}} >1]	…… ㉢

[eqn: {A} over {B} = {m ^{{1} over {m-8}} CDOT n ^{{1} over {n-5}}} over {m ^{- {1} over {m-8}} CDOT n ^{{1} over {n-5}}} =m ^{{2} over {m-8}} >1] ([eqn: BECAUSE] ㉡)

[eqn: THEREFORE][eqn: A>B]

[eqn: {A} over {C} = {m ^{{1} over {m-8}} CDOT n ^{{1} over {n-5}}} over {m ^{{1} over {m-8}} CDOT n ^{- {1} over {n-5}}} =n ^{{2} over {n-5}} >1] ([eqn: BECAUSE] ㉠)

[eqn: THEREFORE][eqn: A>C]

[eqn: {B} over {C} = {m ^{- {1} over {m-8}} CDOT n ^{{1} over {n-5}}} over {m ^{{1} over {m-8}} CDOT n ^{- {1} over {n-5}}}][eqn: =m ^{- {2} over {m-8}} CDOT n ^{{2} over {n-5}}]
[eqn: = LEFT ( m ^{-(n-5)} CDOT n ^{m-8} RIGHT ) ^{{2} over {(m-8)(n-5)}}]
[eqn: = LEFT ( {n ^{m-8}} over {m ^{n-5}} RIGHT ) ^{{2} over {(m-8)(n-5)}}][eqn: >1]

([eqn: BECAUSE] ㉢)  [eqn: THEREFORE][eqn: B>C]

따라서 [eqn: A>B>C]

[eqn: A` =m ^{{1 } over {m-8}} TIMES n ^{{1 } over {n-5}}],
[eqn: B`=m ^{- {1 } over {m-8}} times n ^{{1 } over {n-5}}],
[eqn: C` =m ^{{1 } over {m-8}} times n ^{- {1 } over {n-5}} `]

이라고 할 때, [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C ``]의 대소 관계로 옳은 것은?

① [eqn: A` ＞B` ＞C`]	② [eqn: A` ＞C` ＞B`]

③ [eqn: B` ＞A` ＞C`]	④ [eqn: B` ＞C` ＞A`]

⑤ [eqn: C` ＞A` ＞B`]

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 8

[eqn: 2 ^{A` it} =3], [eqn: 3 ^{B`} =5], [eqn: 7 ^{C`} =27`]일 때, 세 수 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C ``]의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: 8 ^{A} =27], [eqn: 9 ^{B} =25], [eqn: 7 ^{C}=27]

ⅰ) [eqn: 8 ^{A} >9 ^{B} >8 ^{B}][eqn: THEREFORE][eqn: A>B]

ⅱ) [eqn: 7 ^{C} >9 ^{B} >7 ^{B}][eqn: THEREFORE][eqn: C>B]

ⅲ) [eqn: 7 ^{C} =8 ^{A} >7 ^{A}][eqn: THEREFORE][eqn: C>A]

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 [eqn: B<A<C]이다.

① [eqn: A`<B`<C`]	② [eqn: A`<C`<B`]

③ [eqn: B`<A`<C`]	④ [eqn: B`<C`<A`]

⑤ [eqn: C`<B`<A`]

03 수1	01 지수
03 지수법칙의 활용
02 활용2 (정수론)

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 09월 27

[eqn: -2 LEQ m LEQ 2], [eqn: 1 LEQ n LEQ 16 `]인 두 정수 [eqn: m], [eqn: n `]에 대하여 [eqn: root {4} of {n ^{m}} `]이 유리수가 되도록 하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( m,`` n RIGHT ) `]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold28]

[해설]

[eqn: root {4} of {n ^{m}} =n ^{{m} over {4}}]에서

(ⅰ) [eqn: m=0`]일 때
[eqn: n`]의 값에 관계없이 유리수가 되므로
[eqn: n=1,``2,``3,` CDOTS ,``16]

(ⅱ) [eqn: m=`-1`] 또는 [eqn: m=1`]일 때
[eqn: n`]이 어떤 자연수의 네제곱인 수가 되어야 하므로 [eqn: n=1, ``16]

(ⅲ) [eqn: m=`-2`] 또는 [eqn: m=`2``]일 때
[eqn: n`]이 어떤 자연수의 제곱인 수가 되어야 하므로 [eqn: n`=`1,``4,``9,``16]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여
모든 순서쌍 [eqn: (m,~n)`]의 개수는
[eqn: 16+ (2 times2)+(2 times4)=28]

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

[eqn: rm 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n^{ {4} over {k}}]의 값이 자연수가 되도록 하는 자연수 [eqn: k]의 개수를 [eqn: f(n)]이라 하자. 예를 들어 [eqn: f(6)=3]이다. [eqn: f(n)=8]을 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

[정답] [eqn: rm 64]

[해설]

[eqn: n^{{4} over {k}}]의 값이 자연수인 경우의 예로 [eqn: n=6]이라고 하면

[eqn: 6^{{4} over {k}}]에서 [eqn: k=1], [eqn: 2], [eqn: 4]인 [eqn: rm 3]가지이므로 [eqn: f(6)]이다.

이것으로부터 생각하기를 [eqn: n]이 거듭제곱 수인 경우를 관찰해보자.

[eqn: n]이 소수 [eqn: m]의 완전제곱수이면 [eqn: left(m^{2} right)^{{4} over {k}}=m^{{8} over {k}}]에서

[eqn: k]는 [eqn: rm 8]의 양의 약수인 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8]일 때이고 [eqn: f(n)=4]이다. 이것을 차례로 적용해 보면

[eqn: n]이 [eqn: 3]제곱수이면 [eqn: 4 times 3=12=2^{2} times 3]의 양의 약수의 개수 [eqn: rm 6]

[eqn: n]이 [eqn: 4]제곱수이면 [eqn: 4 times 4=16=2^{4}]의 양의 약수의 개수 [eqn: rm 5]

[eqn: n]이 [eqn: 5]제곱수이면 [eqn: 4 times 5=20=2^{2} times 5]의 양의 약수의 개수 [eqn: rm 6]

[eqn: n]이 [eqn: 6]제곱수이면 [eqn: 4 times 6=24=2^{3} times 3]의 양의 약수의 개수 [eqn: rm 8]

따라서 [eqn: f(n)=8]을 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 2^{6}=64]이다.

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 04월 17

두 자연수 [eqn: a], [eqn: b `]에 대하여

[정답] ①

[해설]

(ⅰ) [eqn: sqrt {{2 ^{a} TIMES 5 ^{b}} over {2}} `=2 ^{{a-1} over {2}} times 5 ^{{b} over {2}} `]이 자연수이므로
[eqn: a-1=2m], [eqn: a=2m+1]([eqn: m]은 음이 아닌 정수)
[eqn: a=1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: cdots]
[eqn: b=2n]([eqn: n]은 자연수)
[eqn: b=2], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: cdots]

(ⅱ) [eqn: root {3} of {{3 ^{b}} over {2 ^{a+1}}} = {3 ^{{b} over {3}}} over {2 ^{{a+1} over {3}}}]이 유리수이므로
[eqn: a+1=3k], [eqn: a=3k-1]([eqn: k]는 자연수)
[eqn: a=][eqn: 2], [eqn: 5], [eqn: 8], [eqn: cdots]
[eqn: b=3l]([eqn: l]은 자연수)
[eqn: b=][eqn: 3], [eqn: 6], [eqn: 9], [eqn: cdots]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 5], [eqn: b]의 최솟값은 [eqn: 6]

따라서 [eqn: a+b`]의 최솟값은 [eqn: 11]

[eqn: sqrt {{2 ^{a} TIMES 5 ^{ b}} over {2}}`]이 자연수, [eqn: root {3} of {{3 ^{ b}} over {2 ^{ a+1}}}`]이 유리수

일 때, [eqn: a+b `]의 최솟값은?

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 06월 21

자연수 [eqn: {n}{{from^2019^06^부산교육청고2가^중}}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이 다음과 같다.

[정답] ⑤

[해설]

(ⅰ) [eqn: p], [eqn: q]가 모두 홀수일 때,

[eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES f LEFT ( q RIGHT )][eqn: = root {4} of {9 TIMES 2 ^{p+1}} TIMES root {4} of {9 TIMES 2 ^{q+1}}]
[eqn: =3 times root {4} of {2^p+q+2}]

에서 [eqn: p+q+2]가 [eqn: 4]의 배수일 때, [eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES f LEFT ( q RIGHT )]는 자연수이다.
두 자연수 [eqn: p], [eqn: q]가 각각 [eqn: 10] 이하이므로 조건에 맞는 순서쌍 [eqn: LEFT ( p ,```` q RIGHT )]는
① [eqn: p+q+2=4]일 때, [eqn: LEFT ( 1 ,```` 1 RIGHT )]
② [eqn: p+q+2 =8]일 때, [eqn: left(1 ,```` 5{right)], [eqn: LEFT ( 3 ,```` 3 RIGHT )], [eqn: left(5 ,```` 1{right)]
③ [eqn: p+q+2 =12]일 때, [eqn: left(1 ,```` 9{right)], [eqn: left(3 ,```` 7{right)], [eqn: left(5 ,```` 5{right)],
[eqn: left(7 ,```` 3{right)], [eqn: left(9 ,```` 1{right)]
④ [eqn: p+q+2 =16]일 때, [eqn: left(5 ,```` 9{right)], [eqn: left(7 ,```` 7{right)], [eqn: left(9 ,```` 5{right)]
⑤ [eqn: p+q+2 =20]일 때, [eqn: {left(9 ,```` 9{right)]
이므로 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( p ,```` q RIGHT )]의 개수는 [eqn: 13]이다.

(ⅱ) [eqn: p]는 홀수, [eqn: q]는 짝수일 때,

[eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES f LEFT ( q RIGHT )][eqn: = root {4} of {9 TIMES 2 ^{p+1}} TIMES root {4} of {4 TIMES 3 ^{q}}]
[eqn: = root {4} of {2 ^{p+3} TIMES 3 ^{q+2}}]

에서 [eqn: p+3]과 [eqn: q+2]가 각각 [eqn: 4]의 배수일 때, [eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES f LEFT ( q RIGHT )]는 자연수이다.
두 자연수 [eqn: p], [eqn: q]가 각각 [eqn: 10]이하이므로
[eqn: p+3 =4], [eqn: 8], [eqn: 12], [eqn: q+2 =4], [eqn: 8], [eqn: 12]
이고, 조건에 맞는 순서쌍 [eqn: LEFT ( p ,```` q RIGHT )]는
[eqn: left(1 ,```` 2{right)], [eqn: left(1 ,```` 6{right)], [eqn: left(1 ,```` 10{right)], [eqn: left(5 ,```` 2{right)], [eqn: left(5 ,```` 6{right)],
[eqn: left(5 ,```` 10{right)], [eqn: left(9 ,```` 2{right)], [eqn: left(9 ,```` 6{right)], [eqn: left(9 ,```` 10{right)]
이므로 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( p ,```` q RIGHT )]의 개수는 [eqn: 9]이다.

(ⅲ) [eqn: p]는 짝수, [eqn: q]는 홀수일 때,

[eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES f LEFT ( q RIGHT )][eqn: = root {4} of {4 TIMES 3 ^{p}} TIMES root {4} of {9 TIMES 2 ^{q+1}}]
[eqn: = root {4} of {2 ^{q+3} TIMES 3 ^{p+2}}]

에서 [eqn: q+3]과 [eqn: p+2]가 각각 [eqn: 4]의 배수일 때, [eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES f LEFT ( q RIGHT )]는 자연수이다.
두 자연수 [eqn: p], [eqn: q]가 각각 [eqn: 10]이하이므로
[eqn: p+2 =4], [eqn: 8], [eqn: 12], [eqn: q+3 =4], [eqn: 8], [eqn: 12]
이고, 조건에 맞는 순서쌍 [eqn: LEFT ( p ,```` q RIGHT )]는
[eqn: left(2 ,```` 1{right)], [eqn: left(2 ,```` 5{right)], [eqn: left(2 ,```` 9right)], [eqn: left(6 ,```` 1{right)], [eqn: left(6 ,```` 5{right)], [eqn: left(6 ,```` 9{right)],
[eqn: left(10 ,```` 1{right)], [eqn: left(10 ,```` 5{right)], [eqn: left(10 ,```` 9{right)]
이므로 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( p ,```` q RIGHT )]의 개수는 [eqn: 9]이다.

(ⅳ) [eqn: p], [eqn: q]가 모두 짝수일 때,

[eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES f LEFT ( q RIGHT )][eqn: = root {4} of {4 TIMES 3 ^{p}} TIMES root {4} of {4 TIMES 3 ^{q}}]
[eqn: =2 TIMES root {4} of {3 ^{p+q}}]

에서 [eqn: p+q]가 [eqn: 4]의 배수일 때, [eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES f LEFT ( q RIGHT )]는 자연수이다.
두 자연수 [eqn: p], [eqn: q]가 각각 [eqn: 10] 이하이므로 조건에 맞는 순서쌍 [eqn: LEFT ( p ,```` q RIGHT )]는
① [eqn: p+q=4]일 때, [eqn: left(2 ,```` 2right)]
② [eqn: p+q=8]일 때, [eqn: left(2 ,```` 6right)], [eqn: left(4 ,```` 4right)], [eqn: left(6 ,```` 2right)]
③ [eqn: p+q=12]일 때, [eqn: left(2 ,```` 10right)], [eqn: left(4 ,```` 8right)], [eqn: left(6 ,```` 6{right)], [eqn: left(8 ,```` 4right)],
[eqn: left(10 ,```` 2{right)]
④ [eqn: p+q=16]일 때, [eqn: left(6 ,```` 10{right)], [eqn: left(8 ,```` 8{right)], [eqn: left(10 ,```` 6{right)]
⑤ [eqn: p+q=20]일 때, [eqn: left(10 ,```` 10{right)]
이므로 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( p ,```` q RIGHT )]의 개수는 [eqn: 13]이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의해 구하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( p ,```` q RIGHT )]의 개수는 [eqn: 44]이다.

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = cases{ root {4 _{ }} of {9 TIMES 2 ^{ n+1}} &&& LEFT ( n 이 ```` 홀수 RIGHT ) # ````` root {4 _{ }} of {4 TIMES 3 ^{n}} &&& LEFT ( n 이 ```` 짝수 RIGHT )}}]

[eqn: 10]이하의 두 자연수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES f LEFT ( q RIGHT )]가 자연수가 되도록 하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( p ,```` q RIGHT )]의 개수는?

① [eqn: 36]	② [eqn: 38]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 44]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 21

다음 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 존재하도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 24 }]

[해설]

(가)조건에서 [eqn: (x ^{n}-64) f(x)=0]의 서로 다른 실근은 모두 중근이므로 [eqn: n]은 짝수이어야 한다.

(가)조건을 만족시키는 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x)=(x-alpha)(x+alpha)]라 하면 (나)조건에서 [eqn: f(x)]의 최솟값이 음의 정수라 했으므로 [eqn: f(x)]의 최솟값 [eqn: f(0)= -alpha ^2]에서 [eqn: alpha^2]은 정수이다.	[eqn: cdotscdots] ㉠

또한, (가)에서 [eqn: x^n -64 =0]이 [eqn: x=alpha,````-alpha]를 가져야 하므로

[eqn: alpha^n = 64 = 2^6], 즉 [eqn: alpha= 2^{6 overn}]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: alpha^2 = 2 ^{12 overn]을 만족하는 정수이어야 하므로 [eqn: n]은 [eqn: 12]의 약수 중 짝수가 되어야 한다.

즉, [eqn: 12]의 약수인 짝수는 [eqn: 2 ,```` 4 ,```` 6 ,```` 12]이므로 만족하는 [eqn: n]의 값은 [eqn: 2 ,```` 4 ,```` 6 ,```` 12]이다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 24]

(가) [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: LEFT ( x ^{n} -64 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) =0]은 서로 다른 두 실근을 갖고, 각각의 실근은 중근이다.

(나) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 음의 정수이다.

03 수1	01 지수
03 지수법칙의 활용
03 활용3 (도형조건과 함수조건)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 03월 15

그림과 같이 좌표평면에 두 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = x^{ 2}], [eqn: g LEFT (x RIGHT )=x^{ 3} `]의 그래프가 있다. 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )] 위의 한 점 [eqn: rmP_{ 1} it LEFT (a,`` f LEFT (a RIGHT ) RIGHT )][eqn: LEFT ( a>1 RIGHT )`]에서 [eqn: x `]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ_{ 1}`]이라 하자. 선분 [eqn: rmOQ_{ 1} `]을 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rmOQ_{ 1} AB `]의 한 변 [eqn: rm AB `]가 곡선 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT ) `]와 만나는 점을 [eqn: rmP_{ 2}], 점 [eqn: rmP_{ 2} `]에서 [eqn: x `]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ_{ 2} `]라 하자. 선분 [eqn: rmOQ_{ 2} `]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rmOQ_{ 2} CD `]의 한 변 [eqn: rm CD `]가 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT ) `]와 만나는 점을 [eqn: rmP_{ 3}], 점 [eqn: rmP_{ 3} `]에서 [eqn: x `]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ_{ 3} `]이라 하자. 두 점 [eqn: rmQ_{ 2}], [eqn: rmQ_{ 3} `]의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: b], [eqn: c `]라 할 때, [eqn: bc=2 `]가 되도록 하는 점 [eqn: rmP_{ 1} `]의 [eqn: y `]좌표의 값은?
(단, [eqn: rm O `]는 원점이고, 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm C `]는 제 [eqn: 1 `]사분면에 있다.)

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rmP_2`]의 [eqn: y`]좌표는 정사각형 [eqn: rmOQ_1 AB`]의 한 변의 길이가 [eqn: a`]이므로

[eqn: b`][eqn: = root {3} of {a}`]

점 [eqn: rmP_3`]의 [eqn: y`]좌표는 정사각형 [eqn: rmOQ_2 CD`]의 한 변의 길이가 [eqn: b`]이므로

[eqn: c`][eqn: =root{b}`][eqn: = root {6} of {a}`]

[eqn: b`c`][eqn: = root {3} of {a} root {6} of {a} `]
[eqn: = a ^{{1} over {3}} a ^{{1} over {6}} `]
[eqn: =a ^{ {1} over {3} + {1} over {6}} `]
[eqn: =a^{1over2}`][eqn: =2`]

[eqn: a`][eqn: =4`]

따라서 점 [eqn: rmP_1]의 [eqn: y`]좌표의 값은 [eqn: 16`]이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

03 수1	01 지수
03 지수법칙의 활용
04 활용4 (실생활)

[출처]	2004 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 16
[출처]	2004 모의_공공 평가원 고3 예비 16

한 은행은 고객으로부터 [eqn: rm 100]만원을 연이율 [eqn: 5 %]의 [eqn: rm 5]년 만기 정기예금으로 받으면, 그 중에서 [eqn: rm 90]만원을 연이율 [eqn: r %]로 [eqn: rm 5]년 동안 대출하고 나머지 [eqn: rm 10]만원은 예비비로 보관한다. [eqn: rm 5]년 후 은행은 대출금을 이자와 함께 회수하고 고객에게 정기예금을 이자와 함께 지불하여 [eqn: rm 20]만원의 수익을 얻으려고 한다. 이때, 대출 이율 [eqn: r]를 구하는 식은? (단, 모든 이자는 [eqn: rm 1]년마다의 복리로 계산한다.)

[정답] ④

[해설]

연이율 [eqn: 5 %]의 [eqn: 5]년 만기 정기예금 [eqn: 100]만원에 대한 [eqn: 5]년 후의 원리합계는 [eqn: 10 ^{6} ․ LEFT ( 1 + {5} over {100} RIGHT ) ^{5}]

대출 이율이 [eqn: r %]인 대출금 [eqn: 90]만 원에 대한 [eqn: 5]년 후의 원리합계는 [eqn: 9 TIMES 10 ^{5} LEFT ( 1 + {r} over {100} RIGHT ) ^{5}]

이 은행은 [eqn: 100]만 원의 정기예금에서 [eqn: 90]만 원을 대출해 주고 [eqn: 10]만 원의 예비비를 보관하고 있으므로 [eqn: 5]년 후 [eqn: 20]만 원의 수익을 얻으려면 정기예금의 원리합계와 대출금의 원리합계의 차가 [eqn: 10]만 원이면 된다.

[eqn: therefore][eqn: 9 TIMES 10 ^{5} LEFT ( 1 + {r} over {100} RIGHT ) ^{5} - 10 ^{6} LEFT ( 1 + {5} over {100} RIGHT ) ^{5} = 10 ^{5}]

① [eqn: 10^{6} left(1+{5} over {100} right)^{5}-9 times 10^{5} left(1+{r} over {100} right)^{5}=10^{5}]

② [eqn: 10^{6} left(1+{5} over {100} right)^{5}-9 times 10^{5} left(1+{r} over {100} right)^{5}=2 times 10^{5}]

③ [eqn: 10^{6} left(1+{5} over {100} right)^{5}-9 times 10^{5} left(1+{r} over {100} right)^{5}=3 times 10^{5}]

④ [eqn: 9 times 10^{5} left(1+{r} over {100} right)^{5}-10^{6} left(1+{5} over {100} right)^{5}=10^{5}]

⑤ [eqn: 9 times 10^{5} left(1+{r} over {100} right)^{5}-10^{6} left(1+{5} over {100} right)^{5}=2 times 10^{5}]

[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 20
[출처]	2009 모의_공공 교육청 고3 04월 20

과거 [eqn: n`]년 동안 매출액이 [eqn: a`]원에서 [eqn: b`]원으로 변했을 때 연평균 성장률은

[정답] [eqn: bold207]

[해설]

[eqn: k= {4 ^{{1} over {10}} -1} over {2 ^{{1} over {10}} -1} =2 ^{{1} over {10}} +1]

그런데 [eqn: 2^{11over10}= 2·2^{ 1over 10} =2.14]이므로 [eqn: 2^ {1over10} =1.07]이다.

[eqn: k=2 ^{{1} over {10}} +1=2.07]

[eqn: THEREFORE][eqn: 100k=207]

(연평균 성장률)[eqn: = it LEFT ( {b} over {a} RIGHT ) ^{{1} over {n}} -1`]

로 나타내어진다. 다음은 두 회사 [eqn: rm A], [eqn: rm B`]의 매출액을 나타낸 표이다.

(단위 : 억 원)
회사명	[eqn: 1998`]년 말	[eqn: 2008`]년 말
[eqn: rm A]	[eqn: 100]	[eqn: 200]
[eqn: rm B]	[eqn: 121]	[eqn: 484]

이때, [eqn: 1998`]년 말부터 [eqn: 2008`]년 말까지 [eqn: 10`]년 동안 [eqn: rm B] 회사의 연평균 성장률은 [eqn: rm A _{{} _{{} _{}}} _{{} _{{} _{}}} _{{} _{{} _{}}}] 회사의 [eqn: k _{{} _{{} _{} _{{} _{{} _{}}}} _{{} _{{} _{{} _{}}}}} _{{} _{{} _{{} _{}}}}`]배이다. [eqn: 100k _{{} _{{} _{}} _{{} _{{} _{}}}} _{{} _{{} _{}}}`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: 2 ^{{11} over {10}} =2.14`]로 계산한다.)

03 수1	02 로그
01 로그의 정의
01 로그의 정의1 (정의)

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 23

[eqn: {log _{a} b= {3} over {2}}{{^2020^08^경찰대^중}}], [eqn: log _{c} d= {3} over {4}]을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여 [eqn: a-c=19]일 때, [eqn: b-d]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold973]

[해설]

[eqn: b=a ^{{3} over {2}}], [eqn: d=c ^{{3} over {4}}] 즉 [eqn: a=b ^{{2} over {3}}], [eqn: c=d ^{{4} over {3}}]이고 자연수이므로 [eqn: a =x^2]꼴, [eqn: c = y^4]꼴이다.

따라서 [eqn: b=x^3], [eqn: d=y^3]꼴이다.

[eqn: a-c=19]에서 [eqn: x^2 -y^4 =19]이므로 [eqn: (x+y^2 )(x-y^2 ) =19]

즉 만족하는 경우는 다음 [eqn: 4]가지의 경우이다.

(ⅰ) [eqn: x+y^2 =1, ````x-y^2 =19]
이 경우 만족하는 자연수 [eqn: x,````y]가 없다.

(ⅱ) [eqn: x+y^2 =-1, ````x-y^2 =-19]
이 경우 만족하는 자연수 [eqn: x,````y]가 없다.

(ⅲ) [eqn: x+y^2 =-19, ````x-y^2 =-1]
이 경우 만족하는 자연수 [eqn: x,````y]가 없다.

(ⅳ) [eqn: x+y^2 =19, ````x-y^2 =1]
따라서 [eqn: x=10,`````y=3]

(ⅰ)∼(ⅳ)에서 [eqn: a=100], [eqn: b=1000], [eqn: c=81], [eqn: d=27]

[eqn: THEREFORE ```` b-d=973]

03 수1	02 로그
02 로그의 성질
06 로그의 성질6 (식의 값 구하기)

[출처]	2005 모의_공공 사관학교 고3 07월 18

[eqn: 1 `]보다 큰 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c `]에 대하여 두 등식

[정답] ④

[해설]

[eqn: a^2 b^3 =64] 의 양변에 밑이 [eqn: 2]인 로그를 취하면

[eqn: 2 log_2 a + 3 log_2 b = 6``cdotscdots``(1)]

또한, 주어진 식을 정리하면

[eqn: (3log_a c - 2 log_b c )(log_a c + log_b c ) =0]

여기서 [eqn: a,{}b,{}c] 는 모두 [eqn: 1]보다 큰 실수이므로

[eqn: log_a c + log_b c >0]

따라서,

[eqn: 3log_a c = 2 log_b c]

[eqn: 3 ``{ log_2 ``c} over {log_2 ``a}=2``{log_2``c} over {log_2 ``b}]

[eqn: 2``log_2 ``a=3``log_2 ``b``cdotscdots``(2)]

식 (1)과 (2)로부터 [eqn: log_2 ``b =1 ,`` log_2 ``a = 3 over 2``]이다. 따라서,

[eqn: log_2 ab = log_2 a + log_2 b = 5 over 2]

[eqn: {cases{``a ^{2} b ^{3} =64 #``3 LEFT ( log` _{a} `c RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( log` _{b} `c RIGHT ) ^{2} =`- LEFT ( log` _{a} `c RIGHT ) LEFT ( log` _{b}` c RIGHT )}}`]

이 성립하도록 하는 두 수 [eqn: a `]와 [eqn: b `]에 대하여 [eqn: log` _{2} `ab`]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 04월 19

[eqn: 2] 이상의 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

(가)에서 [eqn: root {3} of {a}]는 [eqn: ab]의 네제곱근이므로

[eqn: a ^{{4} over {3}} =ab], [eqn: b=a ^{{1} over {3}}]

(나)에서

[eqn: log _{`a} `bc+log _{`b} `ac`][eqn: =log _{`a} `a ^{{1} over {3}} c+log _{`a ^{{1} over {3}}} `ac]
[eqn: = {1} over {3} `log _{`a} `a+log _{`a} `c+3 LEFT ( log _{`a} `a+log _{`a} `c RIGHT )]
[eqn: = {10} over {3} +4log _{`a} `c=4]

[eqn: log _{`a} `c= {1} over {6}], [eqn: c=a ^{{1} over {6}}]

따라서 [eqn: a= LEFT ( {b} over {c} RIGHT ) ^{k} = LEFT ( {a ^{{1} over {3}}} over {a ^{{1} over {6}}} RIGHT ) ^{k} = LEFT ( a ^{{1} over {3} - {1} over {6}} RIGHT ) ^{k} =a ^{{k} over {6}}]이므로
[eqn: k=6]

(가) [eqn: root {3} of {a}`]는 [eqn: ab`]의 네제곱근이다.

(나) [eqn: log` _{ a} `bc+log` _{ b} `ac=4`]

[eqn: a= LEFT ( {b} over {c} RIGHT ) ^{k}`]이 되도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: {13} over {2}]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: {15} over {2}]	⑤ [eqn: 8]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 28

네 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: k]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: k^{2}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold{75]

[해설]

[eqn: 3^a =5^b =k^c =X]라고 하면 [eqn: 3=X^{ {1 } over {a } },5=X^{ {1 } over {b } },k=X^{ {1 } over {c } }]이다. 한편 주어진 조건에서 [eqn: { 1} over { c} = { 1} over { 2a} + { 1} over { b}]이므로 [eqn: X^{{1} over {c}} =X^{ {1} over {2a} + {1} over {b}} =X^{ {1} over {2a} }X^{ {1} over {b}}]이다. 즉, [eqn: k= sqrt { 3} times 5]이다. 따라서 [eqn: k^2 =75]이다.

(가) [eqn: 3^{a}=5^{b}=k^{c}]

(나) [eqn: log``c = log (2ab) - log (2a+ b)]

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 15

두 양수 [eqn: a], [eqn: b][eqn: LEFT ( a > b RIGHT )`]에 대하여 [eqn: 9^{a }= 2^{{1}over{b}}], [eqn: (a+ b)^{2 }= log _{ 3 } 64]일 때, [eqn: {a- b }over{a + b}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: 9^a = 2^{ 1overb}]에서 [eqn: 3^2ab = 2],

[eqn: (a+b)^2 = log_3 64]에서 [eqn: 3^{(a+b)^2} = 64 = 2^6], 즉 [eqn: 3^{(a+b)^2 over6} = 2]

[eqn: 2ab = (a+b)^2 over6], [eqn: a^2 - 10ab + b^2 = 0],

[eqn: t = a overb]라 하면 [eqn: a > b][eqn: >0]에서 [eqn: t > 1]이고

[eqn: left( a overb right)^2 - 10 left( a overb right) + 1 = 0], [eqn: t^2 - 10t +1 = 0], [eqn: t = 5 + 2 sqrt6]

[eqn: a-b overa+b = t-1 overt+1][eqn: = {4 + 2 sqrt6} over{ 6 + 2sqrt 6}]
[eqn: = { 2 + sqrt6} over{ 3 + sqrt6}]
[eqn: = {(2+ sqrt6 )( 3 - sqrt6 )} over{(3 + sqrt6 ) ( 3 - sqrt6 )]
[eqn: = sqrt6 over3]

① [eqn: { sqrt 6 }over{6}]	② [eqn: { sqrt 3 }over{3}]	③ [eqn: { sqrt 2 }over{2}]

④ [eqn: { sqrt 6 }over{3}]	⑤ [eqn: { sqrt 30}over{6}]

[출처]	2019 모의_공공 경찰대 고3 07월 19

두 실수 [eqn: x], [eqn: y]가 [eqn: log_{``2} (x+ sqrt {2} y)+log_{``2} (x- sqrt {2} y)=2]를 만족할 때, [eqn: LEFT |` x `RIGHT | - LEFT |` y `RIGHT |]의 최솟값은?

[정답] ⑤

[해설]

주어진 로그 등식에서

[eqn: x+sqrt2 y >0], [eqn: x- sqrt2 y >0], [eqn: x^2 - 2 y^2 = 4]

이므로 [eqn: |x| > |y|]이다. [eqn: |x| = X], [eqn: |y| = Y`]라 하면

[eqn: X^2 - 2Y^2 = 4], [eqn: X-Y = k]

에서 [eqn: X^2 - 2(X-k)^2 = 4], [eqn: X^2 - 4kX + 2k^2 +4 = 0]

[eqn: D/4 = 4k^2 - 2k^2 - 4 = 2k^2 -4 ge 0], [eqn: k ge sqrt2]

[eqn: k = sqrt2]일 때 [eqn: X= 2sqrt2], [eqn: Y= sqrt2]이다.

따라서 구하는 최솟값은 [eqn: sqrt2]이다.

① [eqn: { sqrt 2 }over{4}]	② [eqn: {1 }over{2}]	③ [eqn: { sqrt 2 }over{2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: sqrt 2]

03 수1	02 로그
02 로그의 성질
09 로그의 성질 활용2 (해석)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 13

두 상수 [eqn: a,~b~ LEFT ( 1<a<b RIGHT )]에 대하여 좌표평면 위의 두 점 [eqn: LEFT ( a,~log` _{2} `a RIGHT ) ,~ LEFT ( b,~log` _{2} `b RIGHT )]를 지나는 직선의 [eqn: y]절편과 두 점 [eqn: LEFT ( a,~log` _{4} `a RIGHT ) ,~ LEFT ( b,~log` _{4} `b RIGHT )]를 지나는 직선의 [eqn: y]절편이 같다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a ^{bx} +b ^{ax}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =40]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

[정답] ②

[해설]

두 점 [eqn: LEFT ( a,~log` _{2} `a RIGHT ) ,~ LEFT ( b,~log` _{2} `b RIGHT )]를 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y= {log` _{2} `b-log` _{2} `a} over {b-a} LEFT ( x-a RIGHT ) +log` _{2} `a]

그러므로 이 직선의 [eqn: y]절편은

[eqn: - {a LEFT ( log` _{2} `b-log` _{2} `a` RIGHT )} over {b-a} +log` _{2} `a]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

두 점 [eqn: LEFT ( a,~log` _{4} `a RIGHT ) ,~ LEFT ( b,~log` _{4} `b RIGHT )]를 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y= {log` _{4} `b-log` _{4} `a} over {b-a} LEFT ( x-a RIGHT ) +log` _{4} `a]

그러므로 이 직선의 [eqn: y]절편은

[eqn: - {a LEFT ( log` _{4} `b-log` _{4} `a` RIGHT )} over {b-a} +log` _{4} `a]

[eqn: =it- {1} over {2} TIMES {a LEFT ( log` _{2} `b-log` _{2} `a` RIGHT )} over {b-a} + {1} over {2} `log` _{2} `a]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠과 ㉡이 같으므로

[eqn: - {a LEFT ( log` _{2} `b-log` _{2} `a` RIGHT )} over {b-a} +log` _{2} `a]

[eqn: =it- {1} over {2} TIMES {a LEFT ( log` _{2} `b-log` _{2} `a` RIGHT )} over {b-a} + {1} over {2} `log` _{2} `a]

이 식을 정리하면

[eqn: {1} over {2} TIMES log` _{2} `a= {1} over {2} TIMES {a LEFT ( log` _{2} `b-log` _{2} `a RIGHT )} over {b-a}]

[eqn: log` _{2} `a= {a LEFT ( log` _{2} `b-log` _{2} `a RIGHT )} over {b-a}]

[eqn: LEFT ( b-a RIGHT ) `log` _{2} `a=a`log` _{2} ` {b} over {a}]

[eqn: log` _{2} `a ^{b-a} =log` _{2} ` LEFT ( {b} over {a} RIGHT ) ^{a}]

[eqn: a ^{b-a} = {b ^{a}} over {a ^{a}}]

[eqn: a ^{b} =b ^{a}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

한편, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a ^{bx} +b ^{ax}]이고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =40]이므로

[eqn: a ^{b} +b ^{a} =40]

㉢을 대입하면

[eqn: a ^{b} +a ^{b} =40]

[eqn: a ^{b} =20]

따라서 [eqn: b ^{a} =20]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =a ^{2b} +b ^{2a}]
[eqn: = LEFT ( a ^{b} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b ^{a} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =20 ^{2} +20 ^{2}]
[eqn: =800]

① [eqn: 760]	② [eqn: 800]	③ [eqn: 840]

④ [eqn: 880]	⑤ [eqn: 920]

03 수1	02 로그
02 로그의 성질
11 로그의 성질 활용4 (Mm)

[출처]	2007 모의_공공 사관학교 고3 07월 9

원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위의 점 [eqn: {\P} LEFT ( x ,`` y RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: log` _{{1} over {2}}` LEFT ( y+1 RIGHT ) -log` _{{1} over {2}} `LEFT ( x+3 RIGHT ) `]의 최솟값을 [eqn: m `]이라 할 때, [eqn: 2^{ m} `]의 값은? (단, [eqn: y !=`-1 `]이다.)

[정답] ④

[해설]

주어진 식은 결국 [eqn: log_{1 over 2 }left(y+1 over x+3 right)]의 최솟값을 구하라는 것과 같다. 그런데, 밑[eqn: 0< 1 over2 <1]이므로 [eqn: y+1 over x+3]이 최대일 때 주어진 식은 최솟값을 갖는다.

여기서, [eqn: y+1 over x+3]의 의미를 살펴보면 [eqn: y-(-1) over x-(-3)], 즉 원 위의 점 [eqn: {rmP}(`x, `y`)]와 [eqn: (-3`,`-1)]을 이은 직선의 기울기의 최댓값을 구하라는 것으로 해석할 수 있다.

이 때, 기울기의 최솟값은 [eqn: (-3`,`-1)]을 지나면서 기울기가 [eqn: k]인 직선이 원과 접할 때의 [eqn: k]값이다.

[eqn: THEREFORE y+1=k(x+3),``kx-y+3k-1=0]

결국 원의 중심으로부터 직선까지의 거리가 1이 되는 그러한 [eqn: m]값을 찾아주면 된다.

[eqn: THEREFORE {vert 3k-1 vert } over {sqrt {k ^{2} +1}} =1][eqn: Rarrow][eqn: 4k ^{2} -3k=0], [eqn: therefore k= 3 over4]([eqn: because y!=-1])

[eqn: therefore log_{1 over2} left(y+1 over x+3 right) ge log_{1 over2} 3 over 4 = m][eqn: therefore 2^m = 4 over 3]

① [eqn: 3]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

03 수1	02 로그
02 로그의 성질
13 로그의 성질 활용6 (정수론)

[출처]	2007 모의_공공 교육청 고3 10월 25

다음 두 조건을 동시에 만족시키는 자연수 [eqn: x `]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ] `]는 [eqn: x `]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[정답] [eqn: bold43`]

[해설]

[eqn: 200le x le300``]이므로 [eqn: 7<log`_2` x < 9]

(ⅰ) [eqn: 7<log_2 x < 8] 즉, [eqn: 200le x<256`]일 때
[eqn: [log_2 x ] = 7], [eqn: [log_4 x ] = [{ 1over2 } rmlog _ 2 itx ]=3``]이므로 [eqn: [log_3 x] = 4]
[eqn: THEREFORE][eqn: 4le log_3 x <5], [eqn: 200le x < 243]

(ⅱ) [eqn: 8le log_2 x < 9] 즉, [eqn: 256le x le300`]일 때
[eqn: [log_2 x ] = 8], [eqn: [log _{4} x]=4], [eqn: [log_3 x] = 5``]이므로 조건 (나)를 만족하는 자연수는 없다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 43]개이다.

(가) [eqn: 200 LEQ x LEQ 300]

(나) [eqn: [ log` _{2} `x ]=[ log` _{3} `x ]+[ log` _{4}` x ]]

[출처]	2011 모의_공공 평가원 고3 06월 30
[출처]	2011 모의_공공 평가원 고3 06월 30

[eqn: 100] 이하의 자연수 전체의 집합을 [eqn: S ``]라 할 때, [eqn: n IN S ``]에 대하여 집합

[정답] [eqn: 25]

[해설]

[eqn: 1LEQ k LEQ 100], [eqn: n IN S] 인 자연수에서

[eqn: S = left{ k`|`k IN S `이고 ``log_2 `n`- log_2 `k```는 ``정수 right }]의 원소의 개수를 [eqn: f(n)]이므로 [eqn: f(n)=1] 은 [eqn: log_2 `n`- log_2 `k = m `(m은``정수 )]인 집합 [eqn: S]의 원소([eqn: k])가 1개인 [eqn: n]의 값을 구하는 문제이다.

[eqn: log_2 `n`- log_2 `k = log_2 ` { n} over {k } =m]에서 [eqn: { n} over { k} = 2^m][eqn: ( 1 LEQ k,`n LEQ 100]인 자연수[eqn: )] 이때, [eqn: log_2 {n OVER k}]이 정수여야 한다.

[eqn: k=n]이면 [eqn: log_2 {n OVER n}=1](정수)이므로 항상 [eqn: f(n)≥1]을 만족하게 된다. 그런데, [eqn: f(n)≥2]인 경우는 주어진 식의 값이 정수가 되는 [eqn: k]가 2개 이상 존재한다.

(1) [eqn: k=2n]인 경우 [eqn: log_2 {n OVER 2n}=-1]으로 정수가 된다.

∴ [eqn: n∈S] 이고, [eqn: 2n∈S]을 만족

따라서 [eqn: 0≺2n≤100], [eqn: 0≺n≤50]

(2) [eqn: k={ n over 2}]인 경우 [eqn: log_2 {n OVER { n over 2}=1]으로 정수가 된다.

∴ [eqn: n∈S] 이고, [eqn: {n over 2}∈S]을 만족

[eqn: {n over 2}]이 정수가 되므로 [eqn: n]은 짝수

따라서 [eqn: n]이 짝수 또는 50이하의 정수이면, [eqn: f(n)≥2]가 된다.

그러므로, [eqn: f(n)=1]을 만족하도록 하는 자연수 [eqn: n]은 50 이상의 홀수여야 한다. ∴ [eqn: 25]개

[eqn: LEFT { k` LEFT | `k in S`` RIGHT . RIGHT .]이고 [eqn: log` _{2}` n-log` _{2}` k`]는 정수[eqn: LEFT. ` RIGHT }`]

의 원소의 개수를 [eqn: f LEFT (n RIGHT )`]이라 하자. 예를 들어, [eqn: f LEFT (10 RIGHT )=5`]이고 [eqn: f LEFT (99 RIGHT )=1`]이다. 이때, [eqn: f LEFT (n RIGHT )=1 `]인 [eqn: n`]의 개수를 구하시오.

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고2 09월 18

[eqn: rm 2] 이상의 자연수 [eqn: k]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: A_{2}= left{ x `|` log _{2} x right.]가 유리수, [eqn: 2 leq x leq 100]인 자연수[eqn: it right}]
[eqn: = left{ 2], [eqn: 2^{2}], [eqn: 2^{3}], [eqn: 2^{4}], [eqn: 2^{5}], [eqn: 2^{6} it right}]

이므로 [eqn: n left(A_{2} right)=6 ~](참)

ㄴ. [eqn: n left(A_{3} right)=n left(A_{9} right)=n left(A_{27} right)=n left(A_{81} right)=4]이므로 [eqn: n left(A_{3} right)+n left(A_{9} right)+n left(A_{27} right)+n left(A_{81} right)=16](참)

ㄷ. [eqn: x in A_{m} cap A_{n}]에 대하여
[eqn: x=m^{p}=n^{q}(p,`` q]는 양의 유리수[eqn: )]

[eqn: y in A_{m}]이면 [eqn: ~y=m ^{r} =x ^{{r} over {p}} =n ^{{qr} over {p}}]는 ([eqn: r]는 양의

유리수) 이므로 [eqn: y in A_{n}]이다. 즉, [eqn: A_{m} subset A_{n}]

같은 방법으로 [eqn: A_{n} subset A_{m}]이므로 [eqn: A_{m}=A_{n}] (참)

[eqn: therefore] ㄱ, ㄴ, ㄷ

집합 [eqn: A_{k}= left{ x `|` log _{k} x right.]가 유리수, [eqn: 2 leq x leq 100]인 자연수[eqn: it right}]라 할 때, [eqn: <]보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: n(A)]는 집합 [eqn: A]의 원소의 개수이다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: n left(A_{2} right)=6] ㄴ. [eqn: n left(A_{3} right)+n left(A_{9} right)+n left(A_{27} right)+n left(A_{81} right)=16] ㄷ. [eqn: A_{m} cap A_{n} neq phi]이면 [eqn: A_{m}=A_{n}]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 03월 20

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: n `]의 개수는?
(단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ] `]는 [eqn: x `]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[정답] ④

[해설]

[eqn: LEFT [ `log` _{3} `n` RIGHT ] =3`]에서 [eqn: 3 ^{3} ` LEQ `n`<3 ^{4} `]이므로

[eqn: LEFT [ log`2n RIGHT ] =1`] 또는 [eqn: LEFT [ `log`2n RIGHT ] =2`]이다.

(ⅰ) [eqn: LEFT [ log`2n RIGHT ] =1`]일 때 즉, [eqn: 27` LEQ `n`<50`]일 때

(나)에서 [eqn: LEFT [ `2`log`n RIGHT ] =3]이므로

[eqn: 3` LEQ `2`log`n<4], [eqn: {3} over {2} ` LEQ `log`n<2]

∴ [eqn: log`10 sqrt {10} ` LEQ `log`n`<log`100], [eqn: 10 sqrt {10} LEQ n<100]

따라서 주어진 조건을 만족시키는 [eqn: n`]은

[eqn: 32` LEQ `n<50`]이므로 자연수 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 18`]이다.

(ⅱ) [eqn: LEFT [ `log`2n RIGHT ] =2`]일 때 즉, [eqn: 50` LEQ`n`<81`]일 때

(나)에서 [eqn: LEFT [ `2`log`n RIGHT ] =4`]이므로

[eqn: 4` LEQ `2`log`n<5`], [eqn: 2` LEQ `log``n< {5} over {2}]

[eqn: THEREFORE][eqn: log`100` LEQ `log`n`<log`100 sqrt {10} `], [eqn: 100 LEQ n<100 sqrt {10}]

따라서 만족시키는 [eqn: n`]의 값은 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 자연수 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 18`]이다.

(가) [eqn: LEFT [ log` _{3} `n RIGHT ] =3]

(나) [eqn: LEFT [ log` n ^{2} RIGHT ] = LEFT [ log` 2n RIGHT ] +2]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 06월

[eqn: 2] 이상 [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: n `]에 대하여 집합

[정답] [eqn: bold193]

[해설]

[eqn: log _{`n} `k]가 유리수라 하면 [eqn: log _{`n} `k= {q} over {p} `]([eqn: p,``q]는 정수, [eqn: p != 0])이고

[eqn: log _{`n} `k= {q} over {p} TIMES 1= {q} over {p} `log _{`m} `m=log` _{m ^{p}} ``m ^{q}]([eqn: m]은 [eqn: 2]이상의 자연수)

이므로 [eqn: n=m ^{p} `]일 때 [eqn: k=m ^{q}]이다.

즉, [eqn: n=2 ^{p} `]일 때 [eqn: log _{`n} `k]가 유리수가 되기 위해서는 [eqn: k=1,``2,``2 ^{2} , CDOTS ,`2 ^{p-1} ,`2 ^{p}]이므로 [eqn: f LEFT ( 2 ^{p} RIGHT ) =p+1`]이다. 그러므로 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) GEQ 5]를 만족하는 자연수 [eqn: n`]은 [eqn: 2 ^{4} ,``2 ^{5} ,``2 ^{6} `]이다.

[eqn: n=3 ^{p} `]일 때 [eqn: log _{`n} `k]가 유리수가 되기 위해서는 [eqn: k=1,``3,``3 ^{2} , CDOTS ,`3 ^{p-1} ,`3 ^{p}]이므로 [eqn: f LEFT ( 3 ^{p} RIGHT ) =p+1`]이다. 그러므로 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) GEQ 5]를 만족하는 자연수 [eqn: n`]은 [eqn: 3 ^{4}]이다.

[eqn: m GEQ 4]일 때 [eqn: LEFT . f(n RIGHT ) GEQ 5`]가 되는 [eqn: 100`]이하의 자연수 [eqn: n`]은 존재하지 않는다. 따라서 [eqn: LEFT . f(n RIGHT ) GEQ 5`]가 되는 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합은 [eqn: 2 ^{4} +3 ^{4} +`2 ^{5} +`2 ^{6} =193`]이다.

[eqn: LEFT { log_{`n}`k` LEFT | `k` RIGHT . RIGHT .]는 자연수, [eqn: 1 LEQ k LEQ n][eqn: LEFT. ` RIGHT }`]

의 원소 중 유리수의 개수를 [eqn: LEFT . f LEFT (n RIGHT ) `]이라 하자. 예를 들어 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =2], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =3 `]이다. [eqn: LEFT . f LEFT (n RIGHT ) GEQ 5 `]가 되는 모든 자연수 [eqn: n `]의 값의 합을 구하시오.

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 03월 29

[eqn: log` _{2}` LEFT ( -x ^{2} +ax+4 RIGHT ) `]의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 [eqn: x `]의 개수가 [eqn: 6 `]일 때, 모든 자연수 [eqn: a `]의 값의 곱을 구하시오.

[정답] [eqn: bold30`]

[해설]

[eqn: f(x)`][eqn: =`-x ^{2} +ax +4`]라 하면

로그의 진수 조건에 의해 [eqn: f(x) > 0 `]

[eqn: f(x)`][eqn: =`-x ^{2} +ax+4`]
[eqn: =`- LEFT ( x^2 -ax+ {a ^{2}} over {4} - {a ^{2}} over {4} RIGHT ) +4 `]
[eqn: =`- LEFT ( x- {a} over {2} RIGHT ) ^{2} + {a ^{2}} over {4} + 4`]

[eqn: log _{`2} `` LEFT ( -x ^{2} +ax +4 RIGHT ) `]의 값이 자연수가 되는 실수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 6`]이므로 [eqn: y`][eqn: =f(x)`]의 그래프는 아래 그림과 같이 [eqn: y`][eqn: =2 ^{1} `], [eqn: y`][eqn: =2 ^{2} `], [eqn: y`][eqn: =2 ^{3} `]과 각각 [eqn: 2]개의 점에서 만나고 [eqn: y`][eqn: =2 ^{n}] ([eqn: n GEQ 4])와는 만나지 않는다.

즉,

[eqn: 2 ^{3} < {a ^{2} } over {4} +4 <2 ^{4} `]

[eqn: 16<a ^{2} <48 `]이고, [eqn: a]가 자연수이므로 [eqn: a`][eqn: =5`], [eqn: 6`]

따라서 [eqn: 5 times 6 `][eqn: =30`]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 06월 30

다음 조건을 만족시키는 [eqn: 20] 이하의 모든 자연수 [eqn: n `]의 값의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: bold78]

[해설]

진수의 조건에서

[eqn: na-a ^{ 2}>0,~nb-b ^{ 2}>0`]이므로

[eqn: 0<a<n,~0<b<n]

또 [eqn: log _{2} LEFT ( na-a ^{2} RIGHT ) =log _{2} LEFT ( nb-b ^{2} RIGHT ) `]에서

[eqn: na-a ^{2} =nb-b ^{2}]

[eqn: LEFT ( b-a RIGHT ) LEFT ( b+a-n RIGHT ) =0]

[eqn: b-a>0`]이므로 [eqn: b+a=n]

[eqn: na-a ^{2} = LEFT ( b+a RIGHT ) a-a ^{2} =ab`]이므로

[eqn: ab=2 ^{k} ~ LEFT ( k=1,~2,~3,~ CDOTS RIGHT ) `]꼴이어야 한다.

한편, [eqn: 0<b-a LEQ {n} over {2} `]에서

[eqn: 0< LEFT ( n-a RIGHT ) -a LEQ {n} over {2} ,~0<b- LEFT ( n-b RIGHT ) LEQ {n} over {2}]

[eqn: {n} over {4} LEQ a< {n} over {2} ,~ {n} over {2} <b LEQ {3n} over {4}]

즉 그림과 같이 좌표평면에서 직선 [eqn: b+a=n`]과 곡선 [eqn: ab=2 ^{k} `]

가 [eqn: {n} over {4} LEQ a< {n} over {2} `]인 범위에서 만나는 점이 존재해야 한다.

[eqn: {2 ^{k}} over {{n} over {4}} GEQ {3n} over {4} ,~ {2 ^{k}} over {{n} over {2}} < {n} over {2} `]이 성립해야 하므로

[eqn: {3n ^{2}} over {16} LEQ 2 ^{k} < {n ^{2}} over {4} `]

[eqn: 3n ^{2} LEQ 2 ^{k+4} <4n ^{2} ~ LEFT ( k=1,~2,~3,~ CDOTS RIGHT )]

[eqn: k=1`]일 때, [eqn: 3n ^{ 2} LEQ32<4n ^{ 2}] 을 만족시키는 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 3`]

[eqn: k=3`]일 때, [eqn: 3n ^{2} LEQ 128<4n ^{2}] 을 만족시키는 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 6`]

[eqn: k=4`]일 때, [eqn: 3n ^{2} LEQ 256<4n ^{2}] 을 만족시키는 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 9`]

[eqn: k=5`]일 때, [eqn: 3n ^{2} LEQ 512<4n ^{2}] 을 만족시키는 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 12,~13]

[eqn: k=6`]일 때, [eqn: 3n ^{2} LEQ 1024<4n ^{2}] 을 만족시키는 [eqn: n`]의 값은
[eqn: 17,~18]

따라서 조건을 만족시키는 [eqn: 20`]이하의 자연수 [eqn: n`]의 값은

[eqn: 3,~6,~9,~12,~13,~17,~18`]이고, 그 합은

[eqn: 3+6+9+12+13+17+18=78`]이다.

[eqn: log` _{2} `LEFT ( na-a ^{2} RIGHT ) `]과 [eqn: log` _{2}` LEFT ( nb-b ^{2} RIGHT ) `]은 같은 자연수이고

[eqn: 0 < b-a le n over 2 `]인 두 실수 [eqn: a], [eqn: b `]가 존재한다.

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 03월 29

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: x `]에 대하여

[정답] [eqn: bold7]

[해설]

[eqn: log_{`x}{`n}`]이 자연수가 되려면 [eqn: n`]은 [eqn: x`]의 거듭제곱이어야 하므로

[eqn: A(x)`]의 값은 [eqn: 1`]부터 [eqn: 300`] 사이의 자연수 중

[eqn: x`]의 거듭제곱으로 나타내어지는 수의 개수이다.

[eqn: 2^{`8} < 300 < 2^{`9} `]이므로

[eqn: A(2)`][eqn: =8`]

이와 같은 방법으로 [eqn: 2`] 이상의 자연수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: A(x) `]의 값을 구하면

[eqn: A(2)`][eqn: =8`], [eqn: A(3)`][eqn: =5`], [eqn: A(4)`][eqn: =4`], [eqn: A(5)`][eqn: =3`], [eqn: A(6)`][eqn: =3`],

[eqn: A(7)`][eqn: =2`], [eqn: A(8)`][eqn: =2], [eqn: cdots `]

이므로 전체집합 [eqn: P`]의 공집합이 아닌 부분집합 [eqn: X`]에 대하여

집합 [eqn: X`]에서 집합 [eqn: X`]로의 대응 [eqn: f`]가 일대일 대응이 되려면 집합 [eqn: X `]는 집합 [eqn: left{2,``3,``4,``5,``8 right}`]의 부분집합이어야 한다.

함수 [eqn: f`]가 일대일 대응이므로

임의의 [eqn: a inX`]에 대하여

[eqn: f(a) in X`], [eqn: f( f(a)) =a`]를 만족시키는 집합 [eqn: X`]는

[eqn: left{4 right], [eqn: LEFT { 2,``8 RIGHT }], [eqn: left{3,``5 right}], [eqn: LEFT { 2,``4,``8 RIGHT }], [eqn: LEFT { 3,``4,``5 RIGHT }],

[eqn: LEFT { 2,``3,``5,``8 RIGHT }], [eqn: LEFT { 2,``3,``4,``5,``8 RIGHT }`]

이다. 따라서 함수 [eqn: f:X`` -> X`]가 일대일 대응이 되도록 하는 집합 [eqn: X`]의 개수는 [eqn: 7`]이다.

[eqn: log`_{ x} `n] ([eqn: n `]은 [eqn: 1 le n le 300 `]인 자연수)

가 자연수인 [eqn: n `]의 개수를 [eqn: A` LEFT (x RIGHT ) `]라 하자. 예를 들어, [eqn: A` LEFT (2 RIGHT )=8], [eqn: A` LEFT (3 RIGHT )=5 `]이다. 집합 [eqn: P` = LEFT { 2,`` 3,`` 4,`` 5,`` 6,`` 7,`` 8 RIGHT } `]의 공집합이 아닌 부분집합 [eqn: X ``]에 대하여 집합 [eqn: X ``]에서 집합 [eqn: X ``]로의 대응 [eqn: f `]를

[eqn: f LEFT (x RIGHT )=A` LEFT (x RIGHT )][eqn: LEFT ( x in X` RIGHT )]

로 정의하면 어떤 대응 [eqn: f `]는 함수가 된다. 함수 [eqn: f `]가 일대일 대응이 되도록 하는 집합 [eqn: X ``]의 개수를 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 11월 30

자연수 [eqn: m`]에 대하여 집합 [eqn: A` _{m}]

[정답] [eqn: bold { 127 }]

[해설]

집합 [eqn: A _{m}]에서 [eqn: log _{ 2} a+log _{ 4} b=log _{ 4} a ^{2} b]가 [eqn: 100]이하의 자연수이므로

[eqn: log _{ 4} a ^{2} b=alpha]([eqn: 1 LEQ alpha LEQ 100], [eqn: alpha]는 자연수)라 하면 [eqn: a ^{2} b=4 ^{alpha}]이다.

따라서 [eqn: a ^{2} b=4 ^{1}], [eqn: 4 ^{2}], [eqn: 4 ^{3}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{100}]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: a=1]일 때, [eqn: b=4 ^{1}], [eqn: 4 ^{2}], [eqn: 4 ^{3}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{100}]이므로
[eqn: b=2 ^{k}] ([eqn: k]는 정수)를 만족시킨다.
[eqn: ab=4 ^{1}], [eqn: 4 ^{2}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{100}]
따라서 [eqn: m=1]일 때 [eqn: a=1]이므로

[eqn: ab=4 ^{1}], [eqn: 4^2], [eqn: 4^3], [eqn: cdots], [eqn: 4^100]

[eqn: THEREFORE][eqn: A _{1} = LEFT { 4 ^{1} ,```` 4 ^{2} ,```` 4 ^{3} ,```` CDOTS ,```` 4 ^{100} RIGHT }]

[eqn: THEREFORE][eqn: n LEFT ( A _{1} RIGHT ) =100]

(ⅱ) [eqn: a=2]일 때, [eqn: b=4 ^{0}], [eqn: 4 ^{1}], [eqn: 4 ^{2}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{99}]이므로
[eqn: b=2 ^{k}] ([eqn: k]는 정수)를 만족시킨다.
[eqn: ab=2times4 ^{0}], [eqn: 2times4 ^{1}], [eqn: cdots], [eqn: 2 TIMES 4 ^{99}]
따라서 [eqn: m=2]일 때 [eqn: a=1], [eqn: a=2]이므로

[eqn: ab=][eqn: 4 ^{1}], [eqn: 4^2], [eqn: cdots], [eqn: 4^100],
[eqn: 2 TIMES 4 ^{0}], [eqn: 2times4 ^{1}], [eqn: cdots], [eqn: 2 TIMES 4 ^{99}]

[eqn: THEREFORE][eqn: A _{2} = LEFT { 4 ^{1} ,```` 4 ^{2} ,```` CDOTS ,```` 4 ^{100} ,```` 2 TIMES 4 ^{0} ,```` CDOTS ,```` 2 TIMES 4 ^{99} RIGHT }]

[eqn: THEREFORE][eqn: n LEFT ( A _{2} RIGHT ) =200]

(ⅲ) [eqn: a=3]일 때, [eqn: b= {4 ^{1}} over {9}], [eqn: {4 ^{2}} over {9}], [eqn: {4 ^{3}} over {9}], [eqn: cdots], [eqn: {4 ^{100}} over {9}]이므로
[eqn: b = 2 ^{k}] ([eqn: k]는 정수)를 만족시키지 못한다.
따라서 [eqn: a=3]일 때 조건을 만족하는 [eqn: ab]는 존재하지 않는다.
따라서 [eqn: m=3]일 때 [eqn: a=1], [eqn: a=2], [eqn: a=3]이므로 집합 [eqn: A_3]의 원소의 개수는 집합 [eqn: A _{2}]의 원소의 개수와 같다.

[eqn: THEREFORE][eqn: n LEFT ( A _{3} RIGHT ) =200]

(ⅳ) [eqn: a=4]일 때, [eqn: b=4 ^{-1}], [eqn: 4 ^{0}], [eqn: 4 ^{1}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{98}]이므로
[eqn: b=2 ^{k}] ([eqn: k]는 정수)를 만족시킨다.
[eqn: ab=][eqn: 4 ^{0}], [eqn: 4 ^{1}], [eqn: 4 ^{2}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{99}]
따라서 [eqn: m=4]일 때, [eqn: a=1], [eqn: a=2], [eqn: a=3], [eqn: a=4]이므로

[eqn: ab=][eqn: 4 ^{0}], [eqn: 4 ^{1}], [eqn: 4^2], [eqn: cdots], [eqn: 4^100], [eqn: 2 TIMES 4 ^{0}], [eqn: 2times4 ^{1}],

[eqn: cdots], [eqn: 2 TIMES 4 ^{99}],

[eqn: THEREFORE][eqn: A _{4} = LEFT { 4 ^{0} ,```` 4 ^{1} ,```` CDOTS ,```` 4 ^{100} ,```` 2 TIMES 4 ^{0} ,```` CDOTS ,```` 2 TIMES 4 ^{99} RIGHT }]

[eqn: THEREFORE][eqn: n LEFT ( A _{4} RIGHT ) =201]

(ⅴ) [eqn: a=5], [eqn: a=6], [eqn: a=7]일 때, [eqn: b=2 ^{k}] ([eqn: k]는 정수)를 만족시키지 못한다.
이와 같이 [eqn: a!=2 ^{beta }] ([eqn: beta]는 자연수)일 때, [eqn: b=2 ^{k}] ([eqn: k]는 정수)를 만족시키지 못한다.
따라서 [eqn: a=5], [eqn: a=6], [eqn: a=7]일 때 조건을 만족하는 [eqn: ab]는 존재하지 않으므로 [eqn: m=5], [eqn: m=6], [eqn: m=7]일 때의 집합 [eqn: A _{m}]의 원소의 개수는 집합 [eqn: A _{4}]의 원소의 개수와 같다.

[eqn: THEREFORE][eqn: n LEFT ( A _{m} RIGHT ) =201]([eqn: m=5], [eqn: 6], [eqn: 7])

(ⅵ) [eqn: a=8]일 때, [eqn: b=4 ^{-2}], [eqn: 4 ^{-1}], [eqn: 4 ^{0}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{97}]이므로
[eqn: b=2 ^{k}] ([eqn: k]는 정수)를 만족시킨다.
[eqn: ab=2times4 ^{-1}], [eqn: 2times4 ^{0}], [eqn: cdots], [eqn: 2times4 ^{98}]
따라서 [eqn: m=8]일 때 [eqn: a=1], [eqn: a=2], [eqn: cdots], [eqn: a=8]이므로
[eqn: ab=][eqn: 4 ^{1}], [eqn: 4^2], [eqn: cdots], [eqn: 4^100], [eqn: 2 TIMES 4 ^{0}], [eqn: 2times4 ^{1}],
[eqn: cdots], [eqn: 2 TIMES 4 ^{99}], [eqn: 4 ^{0}], [eqn: 2times4 ^{-1}]

[eqn: THEREFORE][eqn: A _{8} = LEFT { 4 ^{0} ,```` CDOTS ,```` 4 ^{100} ,```` 2 TIMES 4 ^{-1} ,```` 2 TIMES 4 ^{0} ,```` CDOTS ,```` 2 TIMES 4 ^{99} RIGHT }]

[eqn: THEREFORE][eqn: n LEFT ( A _{8} RIGHT ) =202]

[eqn: vdots]

(ⅶ) [eqn: a=64]일 때, [eqn: b=4 ^{-5}], [eqn: 4 ^{-4}], [eqn: 4 ^{-3}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{94}]이므로 [eqn: b=2 ^{k}] ([eqn: k]는 정수)를 만족시킨다.
[eqn: ab=4 ^{-2}], [eqn: 4 ^{-1}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{97}]
따라서 [eqn: m=64]일 때 [eqn: a=1], [eqn: a=2], [eqn: cdots], [eqn: a=64]이므로
[eqn: ab=][eqn: 4 ^{1}], [eqn: 4^2], [eqn: cdots], [eqn: 4^100], [eqn: 2 TIMES 4 ^{0}], [eqn: 2times4 ^{1}], [eqn: cdots], [eqn: 2 TIMES 4 ^{99}],
[eqn: 4 ^{0}], [eqn: 2times4 ^{-1}], [eqn: 4 ^{-1}], [eqn: 2times4 ^{-2}], [eqn: 4 ^{-2}]

[eqn: THEREFORE][eqn: A _{64} = LEFT { 4 ^{-2} ,```` 4 ^{-1} ,```` CDOTS ,```` 4 ^{100} ,```` 2 TIMES 4 ^{-2} ,]
[eqn: 2 TIMES 4 ^{-1} ,```` CDOTS ,```` 2 TIMES 4 ^{99} RIGHT }]

[eqn: THEREFORE][eqn: n LEFT ( A _{64} RIGHT ) =205]

[eqn: vdots]

(ⅷ) [eqn: a=128]일 때
[eqn: b=4 ^{-6}], [eqn: 4 ^{-5}], [eqn: 4 ^{-4}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{93}]이므로 [eqn: b=2 ^{k}] ([eqn: k]는 정수)
를 만족시킨다.
[eqn: ab=2 TIMES 4 ^{-3}], [eqn: 2 TIMES 4 ^{-2}], [eqn: cdots], [eqn: 2 TIMES 4 ^{96}]
따라서 [eqn: m=128]일 때 [eqn: a=1], [eqn: a=2], [eqn: cdots], [eqn: a=128]
이므로

[eqn: ab=][eqn: 4 ^{1}], [eqn: 4^2], [eqn: cdots], [eqn: 4^100], [eqn: 2 TIMES 4 ^{0}], [eqn: 2times4 ^{1}], [eqn: cdots], [eqn: 2 TIMES 4 ^{99}],

[eqn: 4 ^{0}], [eqn: 2times4 ^{-1}], [eqn: 4 ^{-1}], [eqn: 2times4 ^{-2}], [eqn: 4 ^{-2}], [eqn: 2 TIMES 4 ^{-3}]

[eqn: THEREFORE][eqn: A _{128} = LEFT { 4 ^{-2} ,```` CDOTS ,```` 4 ^{100} ,```` 2 TIMES 4 ^{-3} ,]

[eqn: 2 TIMES 4 ^{-2} ,```` CDOTS ,```` 2 TIMES 4 ^{99} RIGHT }]

[eqn: THEREFORE][eqn: n LEFT ( A _{128} RIGHT ) =206]

[eqn: vdots]

이와 같이 임의의 두 자연수 [eqn: p], [eqn: q] ([eqn: p<q])에 대하여 [eqn: n LEFT ( A _{p} RIGHT ) LEQ n LEFT ( A _{q} RIGHT )]가 성립한다.

따라서 [eqn: n LEFT ( A _{m} RIGHT ) =205]가 되도록 하는

자연수 [eqn: m]의 최댓값은 [eqn: 127]

[eqn: A`_{m}=LEFT { ab` LEFT | `log_{`2}`a+log_{`4}`b` RIGHT . RIGHT .]는 [eqn: 100] 이하의 자연수,
[eqn: a][eqn: LEFT ( 1 LEQ a LEQ m RIGHT )`]은 자연수, [eqn: b=2^{k}] ([eqn: k`]는 자연수)[eqn: LEFT. ` RIGHT }`]

라 하자. [eqn: n LEFT ( A` _{m} RIGHT ) =205`]가 되도록 하는 [eqn: m`]의 최댓값을 구하시오.

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 06월 29

자연수 [eqn: k `]에 대하여 집합 [eqn: A` _{k} `]를

[정답] [eqn: 12]

[해설]

[eqn: `log _{`a`} b`=` {k} over {2} ``][eqn: LRARROW][eqn: b=a`` ^{{k} over {2}} `][eqn: LRARROW][eqn: b ^{2} =a` ^{k} `]이므로

[eqn: LEFT . A _{k} = LEFT { ` {b} over {a} RIGHT | `b ^{2} =a ^{k} RIGHT .], [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 [eqn: 2]이상 [eqn: 100]이하의 자연수[eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT }]이다.

([eqn: ⅰ)][eqn: k=3`]일 때

[eqn: b ^{2} =a ^{3} `]을 만족하는 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]의 순서쌍은

[eqn: LEFT ( 2 ^{2} ,`2 ^{3} RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 3 ^{2} ,`3 ^{3} RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 4 ^{2} ,`4 ^{3} RIGHT ) `]이므로 [eqn: A _{3} = LEFT { 2,`3,`4 RIGHT } `]이다. 따라서 [eqn: n LEFT ( A _{3} RIGHT ) =3`]이다.

([eqn: ⅱ)][eqn: k=4`]일 때

[eqn: b ^{2} =a ^{4} `]을 만족하는 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]의 순서쌍은

[eqn: LEFT ( 2,`2 ^{2} RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,`3 ^{2} RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,`4 ^{2} RIGHT )], [eqn: cdots], [eqn: LEFT ( 9, 9^2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 10,10 ^{2} RIGHT)]

이므로 [eqn: A _{4} = LEFT { 2,`3,`4,` CDOTS ,`10 RIGHT } `]이다.

따라서 [eqn: n LEFT ( A _{4} RIGHT ) =9`]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: n LEFT ( A _{3} RIGHT ) +n LEFT ( A _{4} RIGHT ) =3+9=12`]이다.

[eqn: A`_{k}=LEFT { pile{`#`} { b} over {a } ` LEFT | pile{`#`} `log_{`a}`b= { k} over {2 } RIGHT . RIGHT .], [eqn: a`]와 [eqn: b`]는
[eqn: 2] 이상 [eqn: 100] 이하의 자연수[eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT }`]

라 할 때, [eqn: n LEFT ( A` _{3} RIGHT ) +n LEFT ( A` _{4} RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 06월 19

자연수 [eqn: {n}{{from^2019^06^부산교육청고2나^중}}]에 대하여 [eqn: 2 ^{{1} over {n}} =a], [eqn: 2 ^{{1} over {n+1}}=b]라 하자. [eqn: LEFT { {3 ^{log _{ 2} ab}} over {3 ^{LEFT ( log _{ 2} a RIGHT ) LEFT ( log _{ 2} b RIGHT )}} RIGHT } ^{5}]이 자연수가 되도록 하는 모든 [eqn: n]의 값의 합은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: log _{ 2} ab &][eqn: =log _{ 2} LEFT ( 2 ^{{1} over {n}} TIMES 2 ^{{1} over {n+1}} RIGHT )]
[eqn: =log _{ 2} 2 ^{{1} over {n} + {1} over {n+1}}]
[eqn: = {1} over {n} + {1} over {n+1}],

[eqn: LEFT ( log _{ 2} a RIGHT ) LEFT ( log _{ 2} b RIGHT ) &][eqn: = LEFT ( log _{ 2} 2 ^{{1} over {n}} RIGHT ) LEFT ( log _{ 2} 2 ^{{1} over {n+1}} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {n} TIMES {1} over {n+1}]

지수법칙에 의하여

[eqn: LEFT { {3 ^{log _{ 2} ab}} over {3 ^{(log _{ 2} a)(log _{ 2} b)}} RIGHT } ^{5} &][eqn: = LEFT { {3 ^{LEFT ( {1} over {n} + {1} over {n+1} RIGHT )}} over {3 ^{LEFT ( {1} over {n} TIMES {1} over {n+1} RIGHT )}} RIGHT } ^{5}]
[eqn: = LEFT { 3 ^{{1} over {n} + {1} over {n+1} - {1} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )}} RIGHT } ^{5}]
[eqn: =3 ^{{10} over {n+1}}]

[eqn: 3 ^{{10} over {n+1} }]이 자연수가 되도록 하려면 [eqn: n+1]은 [eqn: 10]의 약수가 되어야 한다. 그러므로 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 9]이고 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 14]이다.

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 11월 21

[eqn: 4<a<b<200]인 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 집합

[정답] ①

[해설]

[eqn: log _{ a } b= {q} over {p}] ([eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수)라 하면 서로 다른 유리수 [eqn: {q} over {p}]의 개수는 서로 다른 순서쌍 [eqn: LEFT ( p ,```` q RIGHT )]의 개수와 같다.

[eqn: log _{ a } b= {q} over {p}]이므로 [eqn: b=a ^{{q} over {p}}], [eqn: a ^{ q} =b ^{ p}]

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: p], [eqn: q]가 모두 자연수이므로, 어떤 자연수 [eqn: c]에 대하여 [eqn: a=c ^{ p}], [eqn: b=c ^{ q}]이다.

[eqn: 4<a<b<200]이므로 [eqn: 4<c ^{ p} <c ^{ q} <200]이다.

(ⅰ) [eqn: c=2]일 때
[eqn: 4<2 ^{ p} <2 ^{ q} <200]이고 이를 만족시키는 [eqn: p], [eqn: q]의 순서쌍을 구하면 [eqn: LEFT ( p ,```` q RIGHT )]는
[eqn: LEFT ( 3 ,```` 4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3 ,```` 5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3 ,```` 7 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4 ,```` 5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4 ,```` 7 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5 ,```` 6 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( 5 ,```` 7 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 6 ,```` 7 RIGHT )]
이므로 [eqn: 8]개

(ⅱ) [eqn: c=3]일 때
[eqn: 4<3 ^{ p} <3 ^{ q} <200]이고 이를 만족시키는 [eqn: p], [eqn: q]의 순서쌍을 구하면 [eqn: LEFT ( p ,```` q RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( 2 ,```` 3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3 ,```` 4 RIGHT )]이므로 [eqn: 2]개

(ⅲ) [eqn: c=4]일 때
[eqn: 4<4 ^{ p} <4 ^{ q} <200]이고 이를 만족시키는 [eqn: p], [eqn: q]의 순서쌍을 구하면 [eqn: LEFT ( p ,```` q RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( 2 ,```` 3 RIGHT )]이므로 [eqn: 1]개

(ⅳ) [eqn: c=5]일 때
[eqn: 4<5^p <5^q <200]이고 이를 만족시키는 [eqn: p], [eqn: q]의 순서쌍을 구하면 [eqn: LEFT ( p ,```` q RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( 1 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1 ,```` 3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2 ,```` 3 RIGHT )]이므로 [eqn: 3]개

(ⅴ) [eqn: 6 LEQ c LEQ 14]일 때
[eqn: 4<c ^{ p} <c ^{ q} <200]이고 이를 만족시키는 [eqn: p], [eqn: q]의 순서쌍을 구하면 [eqn: LEFT ( p ,```` q RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( 1 ,```` 2 RIGHT )]뿐이므로 모두 (ⅳ)의 경우에 포함된다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서 [eqn: LEFT ( 2 ,```` 3 RIGHT )]이 세 번, [eqn: LEFT ( 3 ,```` 4 RIGHT )]가 두 번 중복되었으므로 서로 다른 순서쌍 [eqn: LEFT ( p ,```` q RIGHT )]의 개수는

[eqn: LEFT ( 8+2+1+3 RIGHT ) -2-1=11]

따라서 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =11]

[다른 풀이]

[eqn: log _{ a } b= {q} over {p}] ([eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수)라 하면 [eqn: b=a ^{{q} over {p}}]이고 [eqn: n LEFT ( A RIGHT )]는 서로 다른 [eqn: {q} over {p}]의 개수와 같다.

(ⅰ) [eqn: p=1]일 때
[eqn: a]는 [eqn: 4<a<200]을 만족하는 자연수이고, [eqn: 4]보다 큰 자연수 중 가장 작은 수는 [eqn: 5]이므로 [eqn: 4<a<a ^{q} <200]을 만족하는 모든 자연수 [eqn: q]는 [eqn: 4<5<5 ^{q} <200]을 만족한다.
따라서 [eqn: {q} over {p}]는 [eqn: 2], [eqn: 3]이다.

(ⅱ) [eqn: p GEQ 2]일 때
[eqn: a ^{{q} over {p}}]이 자연수이므로 [eqn: a ^{{1} over {p}}]은 자연수이다.
따라서 [eqn: a]가 될 수 있는 가장 작은 자연수는 [eqn: 2 ^{ p}]

(단, [eqn: p=2]일 때 [eqn: 4<a]에서 [eqn: a=3 ^{2}])

따라서 [eqn: 4<a<200]이고 [eqn: a ^{{1} over {p}}]이 자연수인 모든 자연수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: 4<a<a ^{{q} over {p}} <200]을 만족하는 모든 자연수 [eqn: q]는 [eqn: 4<2 ^{p} < LEFT ( 2 ^{p} RIGHT ) ^{{q} over {p}} <200]을 만족한다.
따라서 서로 다른 유리수 [eqn: {q} over {p}]의 개수는 [eqn: 4<2 ^{p} <2 ^{q} <200]을 만족시키는 [eqn: {q} over {p}]의 개수와 같다.

① [eqn: p=2]일 때
[eqn: 4<3 ^{ 2} <3 ^{ q} <200]을 만족하는 [eqn: p]와 서로소인 자연수 [eqn: q]는 [eqn: 3]이다.
따라서 [eqn: {q} over {p}]는 [eqn: {3} over {2}]이다.

② [eqn: p=3]일 때
[eqn: 4<2 ^{ 3} <2 ^{ q} <200]을 만족하는 [eqn: p]와 서로소인 자연수 [eqn: q]는 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 7]이다.
따라서 [eqn: {q} over {p}]는 [eqn: {4} over {3}], [eqn: {5} over {3}], [eqn: {7} over {3}]이다.

③ [eqn: p=4]일 때
[eqn: 4<2 ^{ 4} <2 ^{ q} <200]을 만족하는 [eqn: p]와 서로소인 자연수 [eqn: q]는 [eqn: 5], [eqn: 7]이다.
따라서 [eqn: {q} over {p}]는 [eqn: {5} over {4}], [eqn: {7} over {4}]이다.

④ [eqn: p=5]일 때
[eqn: 4<2 ^{ 5} <2 ^{ q} <200]을 만족하는
[eqn: p]와 서로소인 자연수 [eqn: q]는 [eqn: 6], [eqn: 7]이다.
따라서 [eqn: {q} over {p}]는 [eqn: {6} over {5}], [eqn: {7} over {5}]이다.

⑤ [eqn: p=6]일 때
[eqn: 4<2 ^{ 6} <2 ^{ q} <200]을 만족하는 [eqn: p]와 서로소인 자연수 [eqn: q]는 [eqn: 7]이다.
따라서 [eqn: {q} over {p}]는 [eqn: {7} over {6}]이다.

[eqn: 4<2 ^{ 7} <200<2 ^{ 8}]이므로 [eqn: p GEQ 7]일 때 조건을 만족하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: {q} over {p}]의 개수는 [eqn: 11]이다.

따라서 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =11]

[eqn: A= LEFT { k ``right | `` k=log _{ a } b], [eqn: k]는 유리수[eqn: ` RIGHT }]

라 하자. [eqn: n LEFT ( A RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 27
[출처]	2022 일반_시중교재 시대인재 FLOW

[eqn: {log` _{4} `2n ^{2} - {1} over {2} `log` _{2} ` sqrt {n}}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}]의 값이 [eqn: 40]이하의 자연수가 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 13]

[해설]

풀이 [eqn: log _{4} 2 n^{2}-{1} over {2} log _{2} sqrt{n}= log _{4} 2 n^{2}- log _{4} sqrt{n}]

[eqn: = log _{4} {2 n^{2}} over { sqrt{n}}]

[eqn: = log _{4} left(2 n^{{3} over {2}} right)]

이 값이 [eqn: rm 40] 이하의 자연수가 되려면

[eqn: 2 n^{{3} over {2}}=4^{k}(k=1,``2,``3,`` cdots,`` 40)]

이어야 한다.

이때 [eqn: n=4^{{2 k-1} over {3}}]이므로 [eqn: {2 k-1} over {3}]이 자연수가 되어야 한다.

따라서

[eqn: k=2], [eqn: 5], [eqn: 8], [eqn: cdots], [eqn: 38]이므로 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: rm 13]이다.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 28

자연수 [eqn: {k}{{from^2020^06^부산고2^}}]에 대하여 두 집합

[정답] [eqn: bold { 45 }]

[해설]

집합 [eqn: A]의 자연수인 원소는 다음과 같다.

[eqn: a]	[eqn: 1]	[eqn: 4]	[eqn: 9]	[eqn: 16]	[eqn: 25]	[eqn: 36]	[eqn: 49]	[eqn: 64]	[eqn: CDOTS]
[eqn: sqrt {a}]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: CDOTS]

그리고 집합 [eqn: B]의 자연수인 원소는 다음과 같다.

[eqn: b]	[eqn: 3]	[eqn: 9]	[eqn: 27]	[eqn: 81]	[eqn: CDOTS]
[eqn: log _{sqrt {3}} b]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	[eqn: 8]	[eqn: CDOTS]

따라서 [eqn: n LEFT ( C RIGHT )][eqn: =3]이므로 [eqn: C= LEFT { 2 ,```` 4 ,```` 6 RIGHT }]이다.

[eqn: 8 NOTIN C]이므로 자연수 [eqn: k]의 범위는 [eqn: 36 LEQ k<81]

따라서 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 81-36=45]

[eqn: A= LEFT { sqrt {a} `` LEFT |`` a RIGHT . RIGHT .]는 자연수, [eqn: 1 LEQ a LEQ k][eqn: pile{` right }],
[eqn: B= LEFT { log _{sqrt {3}} b ``LEFT |`` b RIGHT . RIGHT .]는 자연수, [eqn: 1 LEQ b LEQ k][eqn: pile{` right }]

가 있다. 집합 [eqn: C]를

[eqn: C= LEFT { x `` LEFT |`` x RIGHT . RIGHT . IN A SMALLINTER B], [eqn: x]는 자연수[eqn: pile{ `right }]

라 할 때, [eqn: n LEFT ( C RIGHT ) =3]이 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: k]의 개수를 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 21

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 4 log _{64} left({3} over {4 n+16} right)]의 값이 정수가 되도록 하는 [eqn: rm 1000] 이하의 모든 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: 426]

[해설]

[eqn: 4 log _{64} left({3} over {4 n+16} right)= log _{8} left({3} over {4 n+16} right)^{2}]

이므로 이 값이 정수가 되려면

[eqn: left({3} over {4 n+16} right)^{2}=8^{m} ~ (m]은 정수[eqn: ) ~ cdots cdots]㉠

의 꼴이 되어야 한다.

그러려면 우선 [eqn: 4 n+16]이 [eqn: rm 3]의 배수가 되어야 하므로

[eqn: n=3 k-1 ~ (k]는 [eqn: 1 leq k leq 333]인 자연수 [eqn: )]

이어야 한다. 이때 ㉠에서

[eqn: left({1} over {4 k+4} right)^{2}=2^{3 m}]

[eqn: 16(k+1)^{2}=2^{-3 m}]

[eqn: (k+1)^{2}=2^{-3 m-4}]

이어야 하므로

[eqn: (k+1)^{2}=2^{2}], [eqn: 2^{8}], [eqn: 2^{14}]

[eqn: k+1=2], [eqn: 2^{4}], [eqn: 2^{7}]

[eqn: k=1] 또는 [eqn: k=15] 또는 [eqn: k=127]

즉, [eqn: n=2] 또는 [eqn: n=44] 또는 [eqn: n=380]이므

로 조건을 만족시키는 모든 [eqn: n]의 값의 합은

[eqn: 2+44+380=426]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 29

자연수 [eqn: m(m geq 2)]에 대하여 집합 [eqn: A_{m}]을

[정답] [eqn: 72]

[해설]

[eqn: A_{4}= left{ log _{4} x `|` x right.]는 [eqn: rm 100] 이하의 자연수 [eqn: it right}]이고

[eqn: rm 10] 이하의 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: b=2^{k}]이므로

[eqn: A_{b}= left{ log _{2^{k}} y `|` y right.]는 [eqn: rm 100] 이하의 자연수 [eqn: it right}]이다.

집합 [eqn: A_{4} cap A_{b}]의 원소의 개수는 [eqn: log _{4} x= log _{2^{k}} y]가

성립하는 순서쌍 [eqn: (x,`` y)]의 개수와 같다.

[eqn: log _{4} x= log _{2^{k}} y]이면 [eqn: {1} over {2} log _{2} x={1} over {k} log _{2} y],

[eqn: log _{2} x^{k}= log _{2} y^{2}]이므로 [eqn: x^{k}=y^{2}]이 성립한다.

따라서 [eqn: 1 leq x leq 100], [eqn: 1 leq y leq 100]에서 [eqn: x^{k}=y^{2}]이

성립하는 순서쌍 [eqn: (x,`` y)]의 개수를 구하면 된다.

① [eqn: k=1]이면 [eqn: x=y^{2}]이므로

[eqn: (x,`` y)= left(1^{2},`` 1 right)], [eqn: left(2^{2},`` 2 right)], [eqn: left(3^{2},`` 3 right)], [eqn: cdots], [eqn: left(10^{2},`` 10 right)]

이고 [eqn: n left(A_{4} cap A_{2^{1}} right)=10]

② [eqn: k=2]이면 [eqn: x^{2}=y^{2}]이므로

[eqn: (x,`` y)=(1,``1)], [eqn: (2,``2)], [eqn: (3,``3)], [eqn: cdots], [eqn: (100,``100)]

이고 [eqn: n left(A_{4} cap A_{2^{2}} right)=100]

③ [eqn: k=3]이면 [eqn: x^{3}=y^{2}]이므로

[eqn: (x,`` y)= left(1^{2},`` 1^{3} right)], [eqn: left(2^{2},`` 2^{3} right)], [eqn: left(3^{2},`` 3^{3} right)], [eqn: left(4^{2},`` 4^{3} right)]이고

[eqn: n left(A_{4} cap A_{2^{3}} right)=4]

④ [eqn: k=4]이면 [eqn: x^{4}=y^{2}], 즉 [eqn: x^{2}=y]이므로

[eqn: (x,`` y)= left(1,``1^{2} right)], [eqn: left(2,``2^{2} right)], [eqn: left(3,``3^{2} right)], [eqn: cdots], [eqn: left(10,``10^{2} right)]

이고 [eqn: n left(A_{4} cap A_{2^{4}} right)=10]

⑤ [eqn: k=5]이면 [eqn: x^{5}=y^{2}]이므로

[eqn: (x,`` y)= left(1^{2},`` 1^{5} right)], [eqn: left(2^{2},`` 2^{5} right)]이고 [eqn: n left(A_{4} cap A_{2^{5}} right)=2]

⑥ [eqn: k=6]이면 [eqn: x^{6}=y^{2}], 즉 [eqn: x^{3}=y]이므로

[eqn: (x,`` y)= left(1,``1^{3} right)], [eqn: left(2,``2^{3} right)], [eqn: left(3,``3^{3} right)], [eqn: left(4,``4^{3} right)]이고

[eqn: n left(A_{4} cap A_{2^{6}} right)=4]

⑦ [eqn: k=7]이면 [eqn: x^{7}=y^{2}]이므로 [eqn: (x,`` y)= left(1^{2},`` 1^{7} right)]이고 [eqn: n left(A_{4} cap A_{2^{7}} right)=1]

⑧ [eqn: k=8]이면 [eqn: x^{8}=y^{2}], 즉 [eqn: x^{4}=y]이므로

[eqn: (x,`` y)= left(1,``1^{4} right)], [eqn: left(2,``2^{4} right)], [eqn: left(3,``3^{4} right)]이고 [eqn: n left(A_{4} cap A_{2^{8}} right)=3]

⑨ [eqn: k=9]이면 [eqn: x^{9}=y^{2}]이므로 [eqn: (x,`` y)= left(1^{2},`` 1^{9} right)]이고 [eqn: n left(A_{4} cap A_{2^{9}} right)=1]

⑩ [eqn: k=10]이면 [eqn: x^{10}=y^{2}], 즉 [eqn: x^{5}=y]이므로

[eqn: (x,`` y)= left(1,``1^{5} right)], [eqn: left(2,``2^{5} right)]이고 [eqn: n left(A_{4} cap A_{2^{10}} right)=2]

그러므로 만족하는 집합 [eqn: B]의 원소는 [eqn: 2^{3}], [eqn: 2^{6}]이므로

모든 [eqn: b]의 값의 합은 [eqn: 8+64=72]

[eqn: A_{m}= left{ log _{m} x `|` x right.]는 [eqn: rm 100] 이하의 자연수 [eqn: it right}]

라 하고, 집합 [eqn: B]를

[eqn: B= left{ 2^{k} `|` k right.]는 [eqn: rm 10] 이하의 자연수 [eqn: it right}]

라 하자. 집합 [eqn: B]의 원소 [eqn: b]에 대하여 [eqn: n left(A_{4} cap A_{b} right)=4]가 되도록 하는 모든 [eqn: b]의 값의 합을 구하시오.

[준킬러][수학1] 1지수로그(빠른 정답)
프로젝트	2023.01.06

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: 128]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ③

[정답] [eqn: bold150`]

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ③

[정답] [eqn: bold28]

[정답] [eqn: rm 64]

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 24 }]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: bold207]

[정답] [eqn: bold973]

[정답] ④

[정답] ①

[정답] [eqn: bold{75]

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: bold43`]

[정답] [eqn: 25]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: bold193]

[정답] [eqn: bold30`]

[정답] [eqn: bold78]

[정답] [eqn: bold7]

[정답] [eqn: bold { 127 }]

[정답] [eqn: 12]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] [eqn: 13]

[정답] [eqn: bold { 45 }]

[정답] [eqn: 426]

[정답] [eqn: 72]

[준킬러][수학1] 1지수로그(해설)
프로젝트	2023.01.06