	기하킬러	수2킬러 80제
	00
		프로젝트	2023.01.03

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 11월 30
[출처]	2020 일반_시중교재 희망에듀 임정선 마플시너지

기하킬러		프로젝트
		수2킬러 80제
00

	프로젝트		기하킬러
	수2킬러 80제		00

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]와 실수 [eqn: t`]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]와 직선 [eqn: y=t`]가 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )`]라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 [eqn: x=0], [eqn: x=6`]에서 불연속이다.

(나) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )`]는 모든 실수에서 연속이다.

(다) [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) f LEFT ( 7 RIGHT ) <0`]

[eqn: f LEFT ( -4 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 09월 30

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]이고 [eqn: f(0)=][eqn: -20`]인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 있다. 실수 [eqn: t `]에 대하여 직선 [eqn: y=t`]와 함수 [eqn: y= f LEFT (x RIGHT ) `]의 그래프가 만나는 점의 개수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]는

[정답] [eqn: 196]

[해설]

주어진 조건에 의하여 함수 [eqn: f(`x)`]의

극댓값은 [eqn: 0], 극솟값은 [eqn: -4`]

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 점의

[eqn: x`]좌표를 [eqn: a`,```b`]라 하면

[eqn: f(`x)=(x-a) ^{2} (x-b)]

[eqn: f` prime (`x) & =2(x-a)(x-b)+(x-a) ^{2} `]

[eqn: =(x-a)(3x-a-2b)]

[eqn: f LEFT ( {a+2b} over {3} RIGHT ) = {4} over {27} LEFT ( a-b RIGHT ) ^{3} =-4`]

이므로 [eqn: b=a+3]

[eqn: f(`0)=-a ^{2} b=-a ^{2} (a+3)=-20],

[eqn: a=2], [eqn: b=5]

[eqn: f(x)= LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-5 RIGHT )]

따라서 [eqn: f(9)=196`]

[다른풀이]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)`]가

[eqn: x=a]에서 극댓값 [eqn: 0]을 갖는다고 하고 함수 [eqn: f(x)`]를 [eqn: x`]축의 음의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동하여 얻은 함수를 [eqn: h(x)=f(x+a)]라 하고 함수 [eqn: y=h(x)`]의 그래프와 [eqn: x`]축의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha`][eqn: (alpha!=0)]라 하자.

[eqn: h(x)=x ^{2} (x- alpha )`]

[eqn: h` prime (x)=2x(x- alpha )+x ^{2} `=x(3x-2alpha)=0`]

함수 [eqn: y=h(x)`]는 [eqn: x= {2 alpha } over {3}]에서 극솟값 [eqn: -4`]를

가지므로

[eqn: LEFT ( {2 alpha } over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2 alpha } over {3} `-` alpha RIGHT ) =- {4 alpha ^{3}} over {27} =-4`]

[eqn: alpha =`3`]이고 [eqn: f(x+a)=x ^{2} LEFT ( x-3 RIGHT )]

[eqn: f(x)=(x-a) ^{2} LEFT ( x-a-3 RIGHT )]

[eqn: f(0)=-20`]이므로

[eqn: a ^{2} (a+3)=20`=2 ^{2} times5]

[eqn: a=2`]이므로

[eqn: f(x)= LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-5 RIGHT )]

따라서 [eqn: f(9)=196`]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = cases{ ``1& ~ LEFT ( t {<} -4``또는``t>0 RIGHT ) #``2 & ~ LEFT ( t=`-4``또는``t=0 RIGHT ) #``3 &~ LEFT ( -4 < t < 0 RIGHT ) }`]

이다. [eqn: f LEFT ( 9 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 11월 30

실수 전체의 집합에서 연속인 함수

[정답] [eqn: bold20]

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x` -> `1-} {LEFT ( 3x ^{2} +ax+b RIGHT )} = lim _{x` -> `1+} {2x}]

[eqn: a+b=`-1]

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) +g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( 3x ^{2} +ax+b RIGHT )} dx+ int _{1} ^{2} {2xdx}]
[eqn: = LEFT [ x ^{3} + {1} over {2} ax ^{2} +bx RIGHT ] _{0} ^{1} + LEFT [ x ^{2} RIGHT ] _{1} ^{2} `]
[eqn: =` {1} over {2} a+b+4= {7} over {2}]

[eqn: THEREFORE `````a=`-1], [eqn: b=0]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = int _{t} ^{t+1} {f LEFT ( x RIGHT )} dx]에서

(ⅰ) [eqn: t<0]일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{t} ^{t+1} {LEFT ( 3x ^{2} -x RIGHT )} dx= LEFT [ x ^{3} - {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{t} ^{t+1}]
[eqn: =3t ^{2} +2t+ {1} over {2}]

(ⅱ) [eqn: 0 LEQ t<1]일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{t} ^{1} {LEFT ( 3x ^{2} -x RIGHT )} dx+ int _{1} ^{t+1} {2x} dx]
[eqn: = LEFT [ x ^{3} - {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{t} ^{1} + LEFT [ x ^{2} RIGHT ] _{1} ^{t+1}]
[eqn: =`-t ^{3} + {3} over {2} t ^{2} +2t+ {1} over {2}]

(ⅲ) [eqn: t GEQ 1]일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = int _{t} ^{t+1} {2x} dx= LEFT [ x ^{2} RIGHT ] _{t} ^{t+1} =2t+1]

[eqn: therefore][eqn: `g LEFT ( t RIGHT ) = {cases{```````````````3t ^{2} +2t+ {1} over {2 _{{} _{}}} `````````````````&LEFT ( t<0 RIGHT ) _{{} _{}}#-t ^{3} + {3} over {2} t ^{2} +2t+ {1} over {2 _{{} _{}}} ``````&LEFT ( 0 LEQ t<1 RIGHT ) _{{} _{}}#``````````````````````````2t+1```````` ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}} `` _{{} _{}} ``````````````````&LEFT ( t GEQ 1 RIGHT ) _{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}]
[eqn: g` prime LEFT ( t RIGHT ) = {cases{`````````````````6t+2 _{{} _{{} _{}}} ``````````````````&LEFT ( t<0 RIGHT ) _{{} _{{} _{}}}#`-3t ^{2} +3t+2``` ^{{} ^{}} ` _{{} _{{} _{}}} ```&LEFT ( 0<t<1 RIGHT ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{}}#`````````````````````````2 ^{{} ^{{} ^{}}} ` _{{} _{{} _{}}} ````````````````````````&LEFT ( t>1 RIGHT ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}}}}]

[eqn: g` prime LEFT ( t RIGHT ) =0]인 [eqn: t]의 값은 [eqn: - {1} over {3}]이다.

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: CDOTS]	[eqn: - {1} over {3}]	[eqn: CDOTS]
[eqn: g` prime LEFT ( t RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=`- {1} over {3}]에서 최솟값을 가지므로

따라서 [eqn: g LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) = {1} over {6}]이고 [eqn: 120k=20]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ ``3x ^{2} +ax+b &~ LEFT ( x< 1 RIGHT ) # ~~~~2x &~ LEFT ( x GEQ 1 RIGHT ) }}`]

에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )`]를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = int _{t} ^{t+1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}`]라 하자. [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) +g LEFT ( 1 RIGHT ) = {7} over {2}`]일 때, 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )`]의 최솟값은 [eqn: k`]이다. [eqn: 120k`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.)

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 11월

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold35]

[해설]

(나)에 주어진 등식에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]	[eqn: ······] ㉠

(나)에 주어진 등식의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(x)= sqrt {4-2f LEFT ( x RIGHT )}]

[eqn: THEREFORE ~ LEFT { f`'(x) RIGHT } ^{2} =4-2f LEFT ( x RIGHT )](단, [eqn: f`'(x) GEQ 0,~f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 2])[eqn: ······] ㉡

[eqn: x LEQ b`]일 때

[eqn: f`'(x)=2a LEFT ( x-b RIGHT )]이므로 ㉡에서

[eqn: 4a ^{2} LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2} =4-2 LEFT { a LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2} +c RIGHT }]	[eqn: ······] ㉢

㉢이 [eqn: x LEQ b`]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 성립하므로 [eqn: 4a ^{2} = it -2a`]이고 [eqn: 4-2c=0]이다.

[eqn: THEREFORE ~a= it - {1} over {2} ,~c=2]

따라서 [eqn: x LEQ b`]일 때

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = it - {1} over {2} LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2} +2]

이때 [eqn: b<0]이면 [eqn: f LEFT ( b RIGHT ) =2]이고 ㉠에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`'(x) GEQ 0]이라는 ㉡의 조건에 모순이다.

[eqn: THEREFORE ~b GEQ 0]

㉠에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = it - {1} over {2} b ^{2} +2=0]

[eqn: THEREFORE ~b ^{2} =4]

[eqn: THEREFORE ~b=2` LEFT ( BECAUSE ~b GEQ 0 RIGHT )]

이때 ㉡에서 [eqn: f`'(x) GEQ 0]이고 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 2]이므로

[eqn: x>b`]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2]이다.

따라서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{it - {1} over {2} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +2&LEFT ( x LEQ 2 RIGHT )#~~~~~~2&LEFT ( x>2 RIGHT )}}]

이므로

[eqn: int _{0} ^{6} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = int _{0} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{2} ^{4} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx]
[eqn: = int _{0} ^{2} {} LEFT { - {1} over {2} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +2 RIGHT } dx+ int _{2} ^{6} {} 2dx]
[eqn: = LEFT [ - {1} over {6} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{3} +2x RIGHT ] _{0} ^{2} + LEFT [ 2x pile{it#it} RIGHT ] _{2} ^{6}]
[eqn: = LEFT ( 4- {8} over {6} RIGHT ) + LEFT ( 12-4 RIGHT )]
[eqn: =12- {4} over {3} = {32} over {3}]

[eqn: THEREFORE ~p+q=3+32=35]

(가) [eqn: x le b`]일 때, [eqn: f LEFT (x RIGHT )=a LEFT (x-b RIGHT )^2 +c `]이다.
(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c `]는 상수이다.)

(나) 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=int_0^x {root{4-2f LEFT (t RIGHT )} dt`]이다.

[eqn: int_0^6 {f LEFT (x RIGHT )}dx = q overp `]일 때, [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 09월 21

다음 조건을 만족시키며 최고차항의 계수가 음수인 모든 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )`]의 최댓값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: h LEFT (x RIGHT ) = x LEFT (x-2 RIGHT ) LEFT (x-3 RIGHT )]이라 하면

[eqn: h prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) +x LEFT ( x-3 RIGHT ) +x LEFT ( x-2 RIGHT )]

이므로 [eqn: h ' LEFT ( 0 RIGHT ) =6,`` h ' LEFT ( 2 RIGHT ) =`-2], [eqn: h ' LEFT (3 RIGHT )=3]

[eqn: f ' LEFT (0 RIGHT )>6] 또는 [eqn: f ' LEFT (2 RIGHT )< -2] 또는 [eqn: f ' LEFT (2 RIGHT ) >2] 또는 [eqn: f ' LEFT (3 RIGHT ) < -3]이면 [eqn: h LEFT (x RIGHT )]와 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]의 그래프가 교점이 생기게 되어 교점 좌우에서 대소관계가 뒤바뀌며 [eqn: g LEFT (x RIGHT )]가 미분가능하다는 조건을 만족시키지 못한다.

[eqn: therefore] [eqn: f ' LEFT (0 RIGHT ) le 6], [eqn: -2 le f ' LEFT (2 RIGHT ) le 2], [eqn: f ' LEFT (3 RIGHT ) ge -3]

따라서 위 조건을 만족하는 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]의 개형은 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-3 RIGHT )]에서

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT (4x^3 -21x^2 +32x -12 RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: f ' LEFT (0 RIGHT ) =`-12a le 6]

[eqn: therefore] [eqn: a ge - 1over 2]

[eqn: f ' LEFT (3 RIGHT ) =3a ge -3]

[eqn: therefore] [eqn: - 1over 2 le a <0]

[eqn: therefore] [eqn: 0< f LEFT (1 RIGHT ) =`-2a le 1]

[eqn: therefore] (최댓값)[eqn: =1]

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]에서

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT (4x^3 -24x^2 +42x -18 RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: f ' LEFT (0 RIGHT ) =`-18a le 6]

[eqn: therefore] [eqn: a ge - 1over 3]

[eqn: f ' LEFT (2 RIGHT ) =2a ge -2], [eqn: a ge -1]

[eqn: therefore] [eqn: - 1over 3 le a <0]

[eqn: therefore] [eqn: 0< f LEFT (1 RIGHT ) =`-4a le 4 over 3]

[eqn: therefore] (최댓값)[eqn: = 4 over 3]

(ⅲ) [eqn: f(1)]은 음수이므로 최댓값이 아니다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)을 비교하면 최댓값은 [eqn: 4 over 3]이다.

(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0 `]의 실근은 [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 3 `]뿐이다.

(나) 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]와 [eqn: LEFT | x LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) RIGHT |] 중 크지 않은 값을 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]라 할 때, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 11월 30

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]와 이차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} -x-4`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold{130]

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x]좌표가 [eqn: 2]인 점에서 [eqn: x]축에 접하므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT ) =0], [eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) -g` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =0]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}]을 인수로 갖는다. [eqn: CDOTS CDOTS `(✽)]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT )]라 하자.

조건 (나)에서 [eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]는 실수 전체의

집합에서 미분가능하므로 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} GEQ 0]이므로
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} +ax+b GEQ 0]

판별식 [eqn: D=a ^{2} -4b LEQ 0]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) + LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( 2x+a RIGHT ) +g` prime LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) =4x-1]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =`-4b+4a-1=2]

[eqn: b=a- {3} over {4} `]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: a ^{2} -4a+3 LEQ 0]

[eqn: therefore][eqn: 1 LEQ a LEQ 3]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = LEFT ( 1+a+b RIGHT ) +g LEFT ( 1 RIGHT ) =a+b-2=2a- {11} over {4}]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]은 [eqn: a=3]일 때 최댓값 [eqn: {13} over {4}]을 갖는다.

따라서 [eqn: alpha= {13} over {4}]이고 [eqn: 40alpha=130]

[참고]

[eqn: LEFT ( ✽ RIGHT )]에서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x-2]를 인수로 갖는다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) -g prime LEFT ( x RIGHT ) =Q` LEFT ( x RIGHT ) + LEFT ( x-2 RIGHT ) Q` prime LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) -g prime LEFT ( 2 RIGHT ) =Q` LEFT ( 2 RIGHT ) =0]

[eqn: therefore][eqn: Q` LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x-2]를 인수로 갖는다.

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}]을 인수로 갖는다.

(가) 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )`]는 [eqn: x`]좌표가 [eqn: 2`]인 점에서 [eqn: x`]축에 접한다.

(나) 함수 [eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |`]는 실수 전체의 집합에서
미분가능하다.

[eqn: f `' LEFT ( 0 RIGHT ) =2`]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )`]의 최댓값은 [eqn: alpha`]이다. [eqn: 40alpha`]의 값을 구하시오.

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 09월 30

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold20]

[해설]

[eqn: 1<x<2]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f``'(x)<0]이고 [eqn: f` prime ` LEFT ( x-1 RIGHT ) f` prime ` LEFT ( x+1 RIGHT ) <0]이므로

두 함수 [eqn: y=f` prime ` LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y=f`` LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음의 두 가지 경우이다.

함수 [eqn: g(x)`= {cases{``f LEFT ( -x RIGHT ) ``````(x<0)#``f(x)~````````(x GEQ 0)}}]라 하자.

함수 [eqn: g(x)`]는 모든 실수 [eqn: x]에서 미분가능하므로

[eqn: g` prime (0)]가 존재해야 한다.

[eqn: lim _{h -> 0-} {{g(0+h)-g(0)} over {h}}][eqn: = lim _{h -> 0-} {{f(-h)-f(0)} over {h}}]
[eqn: =`-f` prime (0)]

[eqn: lim _{h -> 0+} {{g(0+h)-g(0)} over {h}}][eqn: = lim_h->0+ {{f(h) - f(0)} overh]
[eqn: = f` '(0)]

[eqn: -f` prime (0)=f` prime (0)]이므로 [eqn: f`'(0) = 0]

위의 그래프의 개형 중 (ii)에 해당되므로

[eqn: f `'(x) = 3 `x(x-2)]

[eqn: f(x) = x^3 - 3 x^2 +C `] (단, [eqn: C`]는 적분상수이다.)

[eqn: f(0) - f(-2) = `20]

(가) [eqn: 1<x<2 `]인 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f `' LEFT ( x RIGHT ) <0 `]이고 [eqn: f `' LEFT ( x-1 RIGHT ) f `' LEFT ( x+1 RIGHT ) <0 `]이다.

(나) 함수 [eqn: f LEFT ( LEFT | x RIGHT | RIGHT ) `]는 모든 실수 [eqn: x`]에서 미분가능하다.

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) -f LEFT ( -2 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 11월 30

좌표평면에서 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]와 원점을 지나는 직선 [eqn: y= g LEFT ( x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold23]

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = 27], [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =0]

함수 [eqn: h` LEFT ( x RIGHT ) = f LEFT ( x RIGHT ) - g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때,
조건 (나), (다)에서
함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( -3,``0 RIGHT )]을 지나고
[eqn: x=a]([eqn: a ne `-3])에서 [eqn: x]축과 접한다.
따라서

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )^2]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =27], [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 0 RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )]

[eqn: 3a ^{2} =27], [eqn: a=3] ([eqn: because][eqn: a ne `-3])

[eqn: THEREFORE][eqn: h LEFT ( x RIGHT )= f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = x^3 -3x^2 -9x +27]

[eqn: h`' LEFT ( x RIGHT )= f`' LEFT ( x RIGHT ) -g`' LEFT ( x RIGHT ) = 3x ^{2} -6x-9]

[eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) -g`' LEFT ( 0 RIGHT ) =`-9]

[eqn: THEREFORE][eqn: g`' LEFT ( 0 RIGHT ) =9]

[eqn: y = g LEFT ( x RIGHT )]는 원점을 지나는 직선이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =9x]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) - g LEFT ( x RIGHT ) = x^3 -3x^2 -9x +27]에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = x^3 - 3x^2 +27]

[eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) = 3x^2 - 6x = 3x LEFT ( x-2 RIGHT )]
[eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) = 0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 27]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 23]	[eqn: NEARROW]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=2]에서 극솟값 [eqn: 23]을 갖는다.

[참고]

(가) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]는 [eqn: x=0`]에서 극댓값 [eqn: 27`]을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |`]는 [eqn: x=`-3`]에서만 미분가능하지 않다.

(다) 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]와 직선 [eqn: y= g LEFT ( x RIGHT )`]는 서로 다른 두 점에서 만난다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]의 극솟값을 구하시오.

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 30

실수 [eqn: k `]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = x^3 - 3x^2 +6x + k `]의 역함수를 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]라 하자. 방정식

[정답] [eqn: bold65]

[해설]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = 3x^2 - 6x +6`]이므로

[eqn: 4 LEFT ( 3x^2 - 6x +6 RIGHT ) +12x - 18 =f`' LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]

[eqn: 12x^2 - 12x +6 = 3 LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }^2 - 6 g LEFT ( x RIGHT ) +6]

[eqn: LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }^2 -2g LEFT ( x RIGHT ) =4x^2 -4x]

[eqn: LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }^2 - 4x^2 - 2 g LEFT ( x RIGHT ) +4x =0]

[eqn: LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) -2x RIGHT ) LEFT ( g LEFT ( x RIGHT )+2x RIGHT ) -2 LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) -2x RIGHT )=0]

[eqn: LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) -2x RIGHT )LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) +2x -2RIGHT ) =0]

따라서,

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) -2x =0] 또는 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) +2x -2 =0]

(ⅰ) [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) -2x= 0]일 때,
즉 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x`]이면 [eqn: f LEFT ( 2x RIGHT ) =x`]이므로
[eqn: 8x^3 - 12x^2 +12x+k =x]
[eqn: k =it -8x^3 +12x^2 -11x]	[eqn: cdotscdots] ㉠
따라서, [eqn: h_1 LEFT ( x RIGHT ) = it -8x^3 +12x^2 -11x`]라 하면
[eqn: h_1`' LEFT ( x RIGHT ) = it -24x^2 +24x -11 <0]
이므로 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,~1 RIGHT ]`]에서 [eqn: -7 le h_1 LEFT ( x RIGHT ) le 0]
즉, 방정식 ㉠이 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,~1 RIGHT ]`]에서 실근이 존재하기

위해서는 [eqn: -7 le k le 0]

(ⅱ) [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) +2x -2 =0`]일 때,
즉 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = it -2x+2`]이면 [eqn: f LEFT ( -2x+2 RIGHT ) = x`]이므로
[eqn: LEFT ( -2x +2 RIGHT )^3 -3 LEFT ( -2x+2 RIGHT )^2 +6 LEFT ( -2x+2 RIGHT ) + k=x]
[eqn: -8x^3 +12x^2 -13x +8 + k=0]
[eqn: k = 8x^3 -12x^2 +13x -8]	[eqn: cdotscdots] ㉡
따라서 [eqn: h_2 LEFT ( x RIGHT ) =8x^3 -12x^2 +13x -8`]라 하면
[eqn: h_2 `' LEFT ( x RIGHT ) = 24x^2 -24x +13 >0]
이므로 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,~1 RIGHT ]`]에서
[eqn: -8 le h_2 LEFT ( x RIGHT ) le 1]
즉, 방정식 ㉡이 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,~1 RIGHT ]`]에서 실근이 존재하기

위해서는 [eqn: -8 le k le1]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: -8 le k le1`]이므로 [eqn: m = it -8], [eqn: M=1]

따라서 [eqn: m^2 +M^2 = LEFT ( -8 RIGHT )^2 + 1^2 = 65]

[eqn: 4 f `' LEFT (x RIGHT ) +12x - 18 = LEFT (f `' circ g RIGHT ) LEFT (x RIGHT ) `]

가 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,`` 1 RIGHT ] `]에서 실근을 갖기 위한 [eqn: k `]의 최솟값을 [eqn: m], 최댓값을 [eqn: M ``]이라 할 때, [eqn: m^2 + M`^2 `]의 값을 구하시오.

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 07월 30

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`] 가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold137]

[해설]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``` _{`} f(x+1)-1&LEFT . (`-1 LEQ x<0 RIGHT )#``` _{`} f LEFT ( x RIGHT ) ^{`}&LEFT ( `0 LEQ x<1` RIGHT )#``` _{`} f LEFT ( x-1 RIGHT ) +1 ^{`} `````&LEFT ( `1 LEQ x<2` RIGHT )#````````````````` _{`}VDOTS& #``` _{`} f LEFT ( x-4 RIGHT ) +4 ^{`} `````&LEFT ( `4 LEQ x<5` RIGHT )}}]

이다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=1`]에서 연속이므로

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =lim _{x` -> 1-} {g LEFT ( x RIGHT )}]

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 0 RIGHT ) +1`]이고
[eqn: lim _{x` -> 1-} {g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> 1-} { f LEFT ( x RIGHT )} =f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이므로
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) +1`=1]에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]	…… ㉠

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=1`]에서 미분가능하므로

[eqn: lim _{x -> 1+} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}} =lim _{x -> 1-} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}}]이다.
[eqn: lim _{x -> 1+} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}} = lim _{x -> 1+} {{f LEFT ( x-1 RIGHT ) +1-g LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}}]

[eqn: = lim _{x -> 1+} {{f LEFT ( x-1 RIGHT )} over {x-1}} = lim _{x -> 0+} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x}} =f` prime LEFT ( 0 RIGHT )]

이고
[eqn: lim _{x -> 1-} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}} = lim _{x -> 1-} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}} =f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =1]

이므로

[eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =1]	…… ㉡
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 사차함수이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d`]라 하자.

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: c=1`,~d=0`]

조건 (나)에 의하여

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1+a+b+1=`1`]	…… ㉢

[eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =4+3a+2b+1=1`]	…… ㉣

㉢, ㉣에 의하여

[eqn: a= `-2], [eqn: b=1`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -2x ^{3} +x ^{2} +x]

[eqn: int _{0} ^{4} {g LEFT ( x RIGHT ) dx} `=` int _{0} ^{1} {g LEFT ( x RIGHT ) dx} `+ int _{1} ^{2} {g LEFT ( x RIGHT ) dx} `]

[eqn: + int _{2} ^{3} {g LEFT ( x RIGHT ) dx} `+ int _{3} ^{4} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: = {8} over {15} + LEFT ( {8} over {15} +1 RIGHT ) + LEFT ( {8} over {15} +2 RIGHT ) + LEFT ( {8} over {15} +3 RIGHT )]
[eqn: = {122} over {15} `]

그러므로 [eqn: p=15], [eqn: q=122]

따라서 [eqn: p+q=137]

(가) [eqn: lim _{x `->` INF } {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{4}}} =1`]

(나) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f `' LEFT ( 1 RIGHT ) =1`]

[eqn: -1 leq n leq4`]인 정수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x-n RIGHT ) +n][eqn: LEFT ( n LEQ x<n+1 RIGHT )`]

이라 하자. 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가 열린구간 [eqn: LEFT ( -1,`` 5 RIGHT )`]에서 미분가능할 때, [eqn: int _{0} ^{4} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}= { q} over { p}`]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 21

실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]와 두 함수

[정답] ②

[해설]

합성함수 [eqn: g circ f]가 실수 전체의 집합에서 정의된 역함수를 가지려면

[eqn: g(-3) =1,~ g(3)=-1]

이므로

[eqn: f(-1) =1], [eqn: lim_x->1- f(x) =-1]

[eqn: lim_x->-1- ` f(x) =-3,~ f(1)=3]

이어야 한다.

[eqn: f(-1) =-b=1]에서 [eqn: b=-1]

[eqn: lim_x->1- ` f(x) = lim_x->1- bx =b =-1]

[eqn: lim _{x -> -1-} {} `f(x)= lim _{x -> -1-} {} `(x+a)=-1+a=-3]에서

[eqn: f(1) =1+c =3]에서

[eqn: a=-2], [eqn: c=2]

따라서

[eqn: a+b+2c =-2 +(-1) + 2 times 2 =1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``x+a&~ LEFT ( x < -1 RIGHT )#~``bx&~ LEFT ( -1 LEQ x<1 RIGHT )#``x+c&~ LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}],
[eqn: g LEFT (x RIGHT )= LEFT | x+1 RIGHT | - LEFT | x-1 RIGHT | -x`]

에 대하여, 합성함수 [eqn: g CIRC f`]는 실수전체의 집합에서 정의된 역함수를 갖는다. [eqn: a+b+2c`]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -2]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 09월 30

세 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c `]에 대하여 이차함수

[정답] [eqn: bold{60]

[해설]

함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프에서 [eqn: x GEQ 0`]인 부분에서의 그래프를 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동시킨 그래프이므로 다음과 같은 [eqn: 6`]가지 경우의 그래프의 개형을 갖는다.

①		②		③
④		⑤		⑥

함수 [eqn: h(t)`]가 조건 (가)의 [eqn: h(2)<h(-1)<h(0)`]을 만족시키는 경우는 다음의 [eqn: 4`]가지이다.

[eqn: h(2)]	[eqn: h(-1)]	[eqn: h(0)]
[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
[eqn: 0]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 4]
[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 3]

즉, 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프의 개형은 ④의 경우가 유일하다.

[eqn: h(t)=3`]을 만족시키는 [eqn: t`]를 [eqn: alpha`], [eqn: h(t)=2`]를 만족시키는 [eqn: t`]를 [eqn: beta`]([eqn: alpha< beta])라 하면, 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프와 함수 [eqn: y=h(t)`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

(단, [eqn: -1 LEQ alpha LEQ0, ````0< beta LEQ2])

조건 (나)에서 함수 [eqn: (t ^{2} -t)h(t)]가 모든 실수 [eqn: t`]에서 연속이려면 [eqn: t= alpha `], [eqn: t=beta`]에서 연속이어야 한다.

[eqn: t= alpha `]에서 연속이어야 하므로

[eqn: lim _{t` -> ` alpha +} {(t ^{2} -t)h(t)} = lim _{t` -> ` alpha -} {(t ^{2} -t)h(t)}]
[eqn: =( alpha ^{2} - alpha )h( alpha )]

에서 [eqn: alpha^2 - alpha=0], 즉 [eqn: alpha=0, ```1]

또, [eqn: t= beta]에서 연속이어야 하므로

[eqn: lim _{t` -> ` beta +} {(t ^{2} -t)h(t)} = lim _{t` -> ` beta -} {(t ^{2} -t)h(t)}]
[eqn: =(beta ^{2} -beta)h(beta)]

에서 [eqn: beta ^2 - beta =0], 즉 [eqn: beta =0, ```1]

[eqn: alpha=0, ``` beta=1]이므로 함수 [eqn: h(t)]는 다음과 같다.

[eqn: h(t)``=`` {cases{``0`````(t>1)#``2``````(t=1)#``4`````(0<t<1)#``3`````(t=0)#``2`````(t<0)}}]

이를 만족시키는 이차함수 [eqn: f(x)`]는 원점을 지나고 제[eqn: 1]사분면에서 최댓값이 [eqn: 1]인 위로 볼록한 함수이다.

즉 [eqn: f(x)=a(x-b) ^{2`} +1`][eqn: (a<0,```b>0)]

[eqn: f(0)=0`]이므로 [eqn: ab ^{2} =`-1]

[eqn: a=- {1} over {b ^{2}} `]이고 [eqn: a`]는 정수이므로 [eqn: b ^{2} =1]

즉 [eqn: b=1`]이므로 [eqn: a=`-1`]

[eqn: f(x)=`-(x-1) ^{2`} +1=`-x ^{2} +2x`]

따라서 [eqn: 80f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =80 TIMES {3} over {4} =60`]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )=a LEFT (x-b RIGHT ) ^{2} +c]

라 하고, 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]를

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= {cases{ ~``f LEFT (x RIGHT ) &~LEFT (x GEQ 0 RIGHT )#`` f LEFT (-x RIGHT )&~ LEFT (x<0 RIGHT )}}`]

이라 하자. 실수 [eqn: t `]에 대하여 직선 [eqn: y=t `]가 곡선 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT ) `]와 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: h LEFT (t RIGHT ) `]라 할 때, 함수 [eqn: h LEFT (t RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: h LEFT (2 RIGHT ) < h LEFT (-1 RIGHT ) < h LEFT (0 RIGHT )]

(나) 함수 [eqn: LEFT (t ^{2} -t RIGHT )h LEFT (t RIGHT ) `]는 모든 실수 [eqn: t `]에서 연속이다.

[eqn: 80 f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 06월 30

두 함수

[정답] [eqn: 480]

[해설]

[eqn: x< -2]일 때 모든 양의 실수 [eqn: a]에 대하여 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]의 근을 구하면 [eqn: -3x-4=-x+a]에서 [eqn: x= {-a-4} over {2}]이다.

[eqn: x GEQ -2]일 때 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]의 근은 아래와 같이 세 가지의 경우로 나누어서 구할 수 있다.

(ⅰ) [eqn: k>0]일 때

[eqn: x GEQ -2]에서 곡선 [eqn: y=kx^2 +2kx+2]의 그래프와 직선 [eqn: y=-x+a]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 다음과 같이 구할 수 있다.
[eqn: kx^2 +2kx +2 = -x +a]
[eqn: kx^2 +(2k+1)x +2-a=0]
[eqn: x= {-(2k+1)+ sqrt{(2k+1)^2 -4k(2-a)}}over{2k}]
[eqn: x= {-(2k+1)+ sqrt {(2k-1) ^{2} +4ak}} over {2k}]
따라서 모든 양수 [eqn: a]에 대하여
[eqn: h(a)= {-a-4} over {2} + {-(2k+1)+ sqrt {4ka+(2k-1) ^{2}}} over {2k}]
이고 두 연속함수의 합은 연속이므로 함수 [eqn: h(a)]는 연속이다.

(ⅱ) [eqn: k=0]일 때

[eqn: x GEQ -2]에서 직선 [eqn: y=2]의 그래프와 직선 [eqn: y=-x+a]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -x+a=2]에서 [eqn: x=a-2]이다.
따라서 모든 양의 실수 [eqn: a]에 대하여
[eqn: h(a)= {-a-4} over {2} +(a-2)= {a} over {2} -4]
이고 함수 [eqn: h(a)]는 연속이다.

(ⅲ) [eqn: k<0]일 때
그림과 같이 [eqn: x>-2]인 부분에서 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=-x+a]가 접할 때 판별식을 이용하여 [eqn: a]의 값을 [eqn: k]에 관하여 나타내면 다음과 같다.

[eqn: kx ^{2} +2kx+2=-x+a]
[eqn: kx ^{2} + LEFT ( 2k+1 RIGHT ) x+2-a=0]	[eqn: cdotscdots][eqn: (ast)]
[eqn: D= LEFT ( 2k+1 RIGHT ) ^{2} -4k LEFT ( 2-a RIGHT ) =0]에서
[eqn: a=2- {LEFT ( 2k+1 RIGHT ) ^{2}} over {4k} =1-k- {1} over {4k}]
따라서 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=-x+a]의 위치 관계는 다음 그림과 같다.
① [eqn: 0<a LEQ 1-k- {1} over {4k}]일 때

[eqn: x GEQ -2]에서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]는 실근을 갖고 [eqn: (ast)]에서 두 실근의 합은 [eqn: - {2k+1}over{k}]이다.
② [eqn: a>1-k- {1} over {4k}]일 때

[eqn: x GEQ -2]에서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]는 실근을 갖지 않는다.
①, ②에 의해 양의 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: h LEFT ( a `RIGHT )]는 다음과 같다.
[eqn: h LEFT ( a RIGHT ) = {cases{{-a-4} over {2} - {2k+1} over {k}&````````` LEFT ( 0<a LEQ 1-k- {1} over {4k} RIGHT ) `#{-a-4} over {2}&`````````` LEFT ( a>1-k- {1} over {4k} RIGHT )}}]
[eqn: h LEFT ( a `RIGHT )]가 모든 양의 실수 [eqn: a]에 대하여 연속이기 위해서는 함숫값과 극한값이 같아야 하므로 [eqn: {2k+1} over {k} =0]에서
[eqn: k`=`- {1} over {2}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 모든 양의 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: h LEFT ( a RIGHT )]가 항상 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: k]의 값의 범위는

[eqn: k`=`- {1} over {2}] 또는 [eqn: k GEQ 0]

이다. 따라서 최솟값은 [eqn: k`=`- {1} over {2}]이므로 [eqn: p ^{2`} = {1} over {4}]이다.

그러므로 [eqn: 120 TIMES {1} over {p ^{2}} `=120 TIMES 4=480]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= {cases{`kx ^{2} +2kx+2 &````&LEFT ( x GEQ `-2 RIGHT )#```````-3x-4&````````&LEFT ( x<``-2 RIGHT )}}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=`-x+a]

가 있다. 양의 실수 [eqn: a]에 대하여 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]의 모든 실근의 합을 [eqn: h LEFT ( a RIGHT )]라 할 때, 함수 [eqn: h LEFT ( a RIGHT )]가 항상 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: k]의 최솟값을 [eqn: p]라 하자. [eqn: 120 TIMES {1} over {p ^{2}}]의 값을 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 06월 30

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]와 최고차항의 계수가 [eqn: 2`]인 이차함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 243]

[해설]

조건 (가)에 의하여 삼차함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )]의 그래프와 이차함수 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: x= alpha `]인 점에서 만나고 그 점에서 접선의 기울기가 같으므로

방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )-g LEFT (x RIGHT )=0]은 [eqn: x= alpha]를 중근으로 갖는다.

따라서 또 다른 한 근을 [eqn: gamma]라 하면

[eqn: f LEFT (x RIGHT )-g LEFT (x RIGHT )= LEFT (x- alpha RIGHT ) ^{2} LEFT (x- gamma RIGHT )]	[eqn: cdots cdots] ㉠

㉠의 양변을 미분하면

[eqn: f `prime LEFT (x RIGHT )-g `prime LEFT (x RIGHT )=2 LEFT (x- alpha RIGHT ) LEFT (x- gamma RIGHT )+ LEFT (x- alpha RIGHT ) ^{2}]

따라서 조건 (나)에 의하여

[eqn: f `prime LEFT ( beta RIGHT )-g `prime LEFT ( beta RIGHT )=2 LEFT ( beta - alpha RIGHT ) LEFT ( beta - gamma RIGHT )+ LEFT ( beta - alpha RIGHT ) ^{2} =0]

[eqn: alpha ne beta]이므로

[eqn: 2 LEFT ( beta - gamma RIGHT )+ beta - alpha =0]

[eqn: gamma = {3 beta - alpha } over {2}]

즉, ㉠에 대입하면

[eqn: f LEFT (x RIGHT )-g LEFT (x RIGHT )= LEFT (x- alpha RIGHT ) ^{2} LEFT ( x- {3 beta - alpha } over {2} RIGHT )]	[eqn: cdots cdots] ㉡

또한, 이차함수 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )]의 그래프의 대칭축은 [eqn: g `prime LEFT ( alpha RIGHT )=`-16], [eqn: g `prime LEFT ( beta RIGHT )=16]에서 [eqn: x= {alpha + beta } over {2}]이므로

[eqn: g LEFT (x RIGHT )=2 LEFT ( x- {alpha + beta } over {2} RIGHT ) ^{2} +k] ([eqn: k`]는 상수)

라 놓으면

[eqn: g `prime LEFT (x RIGHT )=4 LEFT ( x- {alpha + beta } over {2} RIGHT )]

따라서

[eqn: g `prime LEFT ( alpha RIGHT )=4 LEFT ( alpha - {alpha + beta } over {2} RIGHT ) =4 LEFT ( {alpha - beta } over {2} RIGHT ) =2 LEFT ( alpha - beta RIGHT )=`-16]

에서 [eqn: alpha - beta =`-8]이다.

㉡에 [eqn: beta +1]을 대입하면

[eqn: f LEFT ( beta +1 RIGHT )-g LEFT ( beta +1 RIGHT )][eqn: = LEFT ( beta +1- alpha RIGHT ) ^{2} LEFT ( beta +1- {3 beta - alpha } over {2} RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( alpha - beta -1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( {alpha - beta +2} over {2} RIGHT )]
[eqn: = LEFT (-8-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( {-8+2} over {2} RIGHT )]
[eqn: =81 TIMES LEFT (-3 RIGHT )=`-243]

따라서 [eqn: g LEFT ( beta +1 RIGHT )-f LEFT ( beta +1 RIGHT )=243]이다.

(가) [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )=g LEFT ( alpha RIGHT )`]이고 [eqn: f `' LEFT ( alpha RIGHT )=g `' LEFT ( alpha RIGHT )=`-16`]인 실수 [eqn: alpha `]가 존재한다.

(나) [eqn: f`' LEFT ( beta RIGHT )=g`' LEFT ( beta RIGHT )=16`]인 실수 [eqn: beta `]가 존재한다.

[eqn: g LEFT ( beta +1 RIGHT )-f LEFT ( beta +1 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 10월 30

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | 3x-9 RIGHT | `]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]는

[정답] [eqn: bold64]

[해설]

함수 [eqn: g(x)`]가 [eqn: x=0`]에서 연속이면

[eqn: lim _{x` -> `0+} {g(x)=9}], [eqn: lim _{x` -> `0-} {g(x)= {3} over {2} LEFT | 3k-9 RIGHT |} `]이므로

[eqn: 9= {3} over {2} LEFT | 3k-9 RIGHT | `][eqn: LEFT | k-3 RIGHT | =2][eqn: k=1] 또는 [eqn: k=5]

(ⅰ) [eqn: k=1`]인 경우

함수 [eqn: g(x)h(x)`]가 [eqn: x=3``]에서 미분가능하므로
[eqn: lim _{x` -> `3+} {{g(x)h(x)-g(3)h(3)} over {x-3}}][eqn: = lim _{x` -> `3+} {{(3x-9)h(x)} over {x-3}}]
[eqn: = lim _{x` -> `3+} {3h(x)} `=3h(3)]
[eqn: lim _{x` -> `3-} {{g(x)h(x)-g(3)h(3)} over {x-3}}][eqn: = lim _{x` -> `3-} {{(9-3x)h(x)} over {x-3}}]
[eqn: = lim _{x` -> `3-} {LEFT. LEFT { -3h(x) RIGHT . RIGHT } `=it-3h(3)}]

[eqn: 3h(3)=it-3h(3)`]이므로  [eqn: h(3)=0]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠
함수 [eqn: g(x)h(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하므로
[eqn: lim _{x` -> `0+} {{g(x)h(x)-g(0)h(0)} over {x-0}}][eqn: = lim _{x` -> `0+} {{LEFT ( 9-3x RIGHT ) h(x)-9h(0)} over {x}}]
[eqn: =9h` prime (0)-3h(0)`]
[eqn: lim _{x` -> `0-} {{g(x)h(x)-g(0)h(0)} over {x-0}}][eqn: = lim _{x` -> `0-} {{{3} over {2} (6-3x)h(x)-9h(0)} over {x}}]
[eqn: =9h` prime (0)- {9} over {2} h(0)]
[eqn: 9h` prime (0)-3h(0)`=9h` prime (0)- {9} over {2} h(0)], [eqn: h(0)=0][eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡
㉠, ㉡에 의하여 [eqn: h(x)=x(x-3)(x+ alpha )]
(단, [eqn: alpha `]는 상수)이고, 조건 (나)에 의해
[eqn: h`` prime (3)=27+6 LEFT ( alpha -3 RIGHT ) -3 alpha =15],
[eqn: 3 alpha =6],
[eqn: alpha = it 2]
[eqn: h(x)=x(x-3)(x+2)`=x ^{3} -x ^{2} -6x]
그러므로 [eqn: k=1`]일 때 [eqn: h(1)= it -6`]

(ⅱ) [eqn: k=5`]인 경우

(ⅰ)과 같은 방법으로
[eqn: h(3)=h(0)=h LEFT ( -2 RIGHT ) =0`]이고
[eqn: h(x)=x ^{3} -x ^{2} -6x]
그러므로 [eqn: k=5`]일 때 [eqn: h(5)=70`]

(ⅲ) [eqn: k != 1], [eqn: k != 5`]인 경우
함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 연속이 아니고
함수 [eqn: g(x)h(x)`]가 [eqn: x=0`]에서 연속이므로
[eqn: lim _{x` -> `0-} {g(x)h(x)} =g(0)h(0)]
[eqn: {3} over {2} LEFT | 3k-9 RIGHT | TIMES h(0)=9h(0)][eqn: h(0)=0]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢
함수 [eqn: g(x)h(x)`]가 [eqn: x=0`]에서 미분가능하므로
[eqn: lim _{x` -> `0-} {{g(x)h(x)-g(0)h(0)} over {x-0}} = {3} over {2} LEFT | 3k-9 RIGHT | TIMES h` prime (0)]
[eqn: lim _{x` -> `0+} {{g(x)h(x)-g(0)h(0)} over {x-0}} =9h`'(0)]
[eqn: {3} over {2} LEFT | 3k-9 RIGHT | TIMES h` prime (0)=9h` prime (0)]이므로 [eqn: h prime (0)=0`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉣
함수 [eqn: g(x)h(x)`]가 [eqn: x=3`]에서 미분가능하므로
㉠과 같은 방법으로 [eqn: h(3)=0]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉤
㉢, ㉣, ㉤에 의하여 [eqn: h(x)`]는 [eqn: x ^{2} `]과 [eqn: x-3`]을 인수로
가지므로 [eqn: h(x)=x` ^{2} (x-3)`], [eqn: h` prime (3)=9]
조건 (나)를 만족시키지 않으므로 [eqn: h(x)`]는 존재하지 않는다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 모든 [eqn: h(k)`]의 값의

합은 [eqn: (-6)+70=64]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ ``{3} over {2} f LEFT ( x+k RIGHT ) &~ LEFT ( x<0 RIGHT ) # ~~~ f LEFT ( x RIGHT ) &~ LEFT ( x GEQ 0 RIGHT ) }}`]

이다. 최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 삼차함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킬 때, 모든 [eqn: h LEFT ( k RIGHT ) `]의 값의 합을 구하시오. (단, [eqn: k>0`])

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) h LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(나) [eqn: h `' LEFT ( 3 RIGHT ) =15`]

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

[eqn: a leq 35]인 자연수 [eqn: a]와 함수 [eqn: f(x)=-3 x^{4}+4 x^{3}+12 x^{2}+4]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] [eqn: 36]

[해설]

[eqn: f(x)=-3 x^{4}+4 x^{3}+12 x+4]에서

[eqn: f `prime (x)=-12 x^{3}+12 x^{2}+12=-12 x(x+1)(x-2)]

도함수의 부호와 함수의 증감으로부터 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

이제 [eqn: g(x)=|`f(x)-a`|], [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: y=a]에서 접어 올린다음 [eqn: y=a]를 [eqn: x]축으로 본 그래프와 같다.

이때 [eqn: y=a]와 [eqn: y=f(x)]의 교점이 [eqn: y=f(x)]의 극점이 아니면 접힌 점은 모두 꺾이게 되어 미분가능하지 않다.

마찬가지로, [eqn: y=g(x)]에서 [eqn: y=b]에서 접어 올린다음 [eqn: y=b]를 [eqn: x]축으로 본 그래프가 [eqn: y=|`g(x)-b`|]인데, 것은 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: y=a], [eqn: y=a+b], [eqn: y=a-b]라는 [eqn: rm 3]곳에서 접은 것과 같다. 따라서 (가)에서 [eqn: y=a+b], [eqn: y=a-b]와 [eqn: y=f(x)]는 교점이 [eqn: rm 4]개이고, (나)에서 [eqn: y=a], [eqn: y=a+b], [eqn: y=a-b]와 [eqn: y=f(x)]의 교점 중 [eqn: rm 4]곳만 꺾어져서 미분가능하지 않은 점이라야 하고, 다른 점은 [eqn: y=f(x)]의 극점이다.

위의 결과를 다 만족하는 경우는 다음과 같은 두 가지이다.

ㄱ.		ㄴ.
	[eqn: a + b = 36], [eqn: a-b = 9] [eqn: a = {45} over {2}] ([eqn: neq]자연수) [eqn: b = {27} over {2}] [eqn: THEREFORE~]성립안함		[eqn: a + b = 36], [eqn: a-b = 4] [eqn: a = 20] (자연수) [eqn: b = 16] [eqn: THEREFORE~]성립함

ㄴ에서 [eqn: a+b=36]

[eqn: g(x)=|`f(x)-a`|]

라 할 때, [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=b(b>0)]이 서로 다른 [eqn: rm 4]개의 점에서 만난다.

(나) 함수 [eqn: |`g(x)-b`|]가 미분가능하지 않은 실수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: rm 4]이다.

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x)=x^{2}+{1} over {n}]이라 하고 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] ②

[해설]

ㄱ. [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1-} {g(x)} over {x-1}= lim _{x ``rarrow`` 1-}(x-1) f(x)=0]

ㄴ. [eqn: n=1]이면 [eqn: f(x)=x^{2}+1]이므로
[eqn: g(x)=cases{(x-1) left(x^{2}+1 right) && (x geq 1) #(x-1)^{2} left(x^{2}+1 right) && (x<1)}]
인데, [eqn: g(x) geq 0=g(1)]이므로 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ. [eqn: x>1]에서는 [eqn: g(x)=(x-1) left(x^{2}+{1} over {n} right)]은 증가함수이므로 극점은 없다.
[eqn: x<1]일 때는 [eqn: g(x)=(x-1)^{2} left(x^{2}+{1} over {n} right)]에서

[eqn: g `prime (x)][eqn: =2(x-1) left(x^{2}+{1} over {n} right)+2 x(x-1)^{2}]
[eqn: =2(x-1) left(2 x^{2}-x+{1} over {n} right)]

[eqn: x<1]인 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 2 x^{2}-x+{1} over {n} geq 0]이면 극점은 없다.
[eqn: 2 x^{2}-x+{1} over {n}=2 left(x-{1} over {4} right)^{2}+{1} over {n}-{1} over {8} geq 0]

따라서 [eqn: n leq 8]이므로, 함수 [eqn: g(x)]의 극점이 [eqn: x=1]일 때 한 개뿐인 경우 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: rm 8]이다.

[eqn: g(x)=cases{(x-1) f(x) && (x geq 1) #(x-1)^{2} f(x) && (x<1)}]

이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1-} {g(x)} over {x-1}=0] ㄴ. [eqn: n=1]일 때, 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 극솟값을 갖는다. ㄷ. 함수 [eqn: g(x)]가 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의 개수가 [eqn: rm 1]인 [eqn: n]의 개수는 [eqn: rm 5]이다

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 11월 30

최고차항의 계수가 양수인 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]에서 [eqn: x`]의 값이 [eqn: 1`]에서 [eqn: t][eqn: LEFT ( t>1 RIGHT )`]까지 변할 때의 평균변화율을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )`]라 정의할 때, 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )`]는 [eqn: t=2`]에서 극댓값 [eqn: 0`]을 갖는다.
함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )`]의 최솟값이 존재할 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT )`]의 서로 다른 실근의 합의 최솟값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[해설]

[eqn: f left( x right)]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: t][eqn: left( t>1 right)]까지 변할 때의 평균변화율 [eqn: g left(t right)]는 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = {f LEFT ( t RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {t-1}]

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t=2]에서 극댓값 [eqn: 0]을 가지므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT )]이고, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=2]에서 극댓값을 갖는다.

그러므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x- alpha RIGHT ) +f LEFT ( 1 RIGHT )] (단, [eqn: k>0], [eqn: alpha>2])

이고, 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =k LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( t- alpha RIGHT )]이다.

또한, 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 최솟값이 존재하기 위해서는 [eqn: lim _{t ``->`` 1+} {g LEFT ( t RIGHT )} GEQ g LEFT ( p RIGHT )]를 만족시키는 [eqn: p] ([eqn: p>2])가 존재해야 한다.

따라서 [eqn: lim _{t ``->`` 1+} {g LEFT ( t RIGHT )} =g LEFT ( p RIGHT )]를 만족시키는 [eqn: p]를 [eqn: a]라 하면 [eqn: p=a]일 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT )]의 실근의 합은 최소가 된다. [eqn: cdots cdots] ㉠

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: g left( t right)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =k LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( t- alpha RIGHT )]에 대하여

[eqn: g prime LEFT ( t RIGHT )][eqn: =2k LEFT ( t-2 RIGHT ) LEFT ( t- alpha RIGHT ) +k LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = k LEFT ( t-2 RIGHT ) LEFT { 3t- LEFT ( 2alpha+2 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: g ' LEFT ( t RIGHT )=0]에서 [eqn: t=2], [eqn: { 2alpha+2} over {3 }]

따라서 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t = { 2 alpha +2} over {3 }]에서 극소이며 [eqn: a= {2 alpha +2} over {3}]

㉠에 의하여

[eqn: lim _{t ``->`` 1+} {g LEFT ( t RIGHT )} =g LEFT ( {2 alpha +2} over {3} RIGHT )]
[eqn: k LEFT ( 1- alpha RIGHT ) = k LEFT ( {2 alpha +2} over {3} -2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2 alpha +2} over {3} - alpha RIGHT )],

[eqn: 27 LEFT ( 1- alpha RIGHT ) = it -4 LEFT ( alpha-2 RIGHT ) ^{3}]

[eqn: 4 alpha ^{3} -24 alpha ^{2} +21 alpha -5=0],

[eqn: LEFT ( alpha -5 RIGHT ) LEFT ( 4 alpha ^{2} -4 alpha +1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE][eqn: alpha =5] ([eqn: because][eqn: alpha >2])

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = f LEFT ( 1 RIGHT )]의 서로 다른 실근의 합이 최소일 때,

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-5 RIGHT ) +f LEFT ( 1 RIGHT )]

따라서 서로 다른 실근의 합의 최솟값은

[eqn: 1+2+5=8]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 09월 21

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0 `]인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]의 도함수 [eqn: y=f `' LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(0)=0`]이고 [eqn: f` prime ` LEFT ( x RIGHT ) `=` {1} over {3} LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= {1} over {9} x LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: x LEQ k`]에서 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 기울기가 [eqn: 1`]인 직선의 일부이다.

그러므로 곡선 [eqn: y=f(x)`] 위의 점 [eqn: (k,`f(k))]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 1]이 되는 [eqn: k]의 값을 찾으면

[eqn: f` prime LEFT ( k RIGHT ) = {1} over {3} LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-3 RIGHT ) =1]

[eqn: k LEFT ( k-4 RIGHT ) =0]

[eqn: k=0] 또는 [eqn: k=4]

(ⅰ) [eqn: k=0`]일 때
[eqn: f` LEFT ( 0 RIGHT ) =0``]이므로 [eqn: x LEQ 0`]에서 함수
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x+f LEFT ( 0 RIGHT ) =x`]이고 [eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =1`]이므로
[eqn: x=0]에서 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]에 직선 [eqn: y=x]가 접한다.
[eqn: {1} over {9} x LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} =x`], [eqn: x LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} =9x]
[eqn: x=0`] 또는 [eqn: x=6`]	[eqn: cdotscdots] ㉠
그러므로 [eqn: x LEQ 0`]에서
두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가
만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: h(0)=1`]이다.

(ⅱ) [eqn: k=4`]일 때
[eqn: x LEQ 4`]에서 함수 [eqn: g(x)= LEFT ( x-4 RIGHT ) +f LEFT ( 4 RIGHT )]이고, [eqn: f` prime LEFT ( 4 RIGHT ) =1`]이므로 [eqn: x=4`]에서 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]에 직선 [eqn: y= LEFT ( x-4 RIGHT ) +f LEFT ( 4 RIGHT )]가 접한다. 그러므로 [eqn: x LEQ 4`]에서 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: h(4)=2`]이다.

(ⅲ) [eqn: k=6`]일 때
㉠에서 [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) =6`]이므로 [eqn: x LEQ 6`]에서
함수 [eqn: g(x)= LEFT ( x-6 RIGHT ) +f LEFT ( 6 RIGHT ) `=x`]이다.
그러므로 [eqn: x LEQ 6`]에서 두 함수 [eqn: y=f(x)`], [eqn: y=g` LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: h(6)=2`]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여

[eqn: 0<k LEQ 4`]일 때, [eqn: h(k)=2]

[eqn: 4<k<6`]일 때, [eqn: h(k)=3]

[eqn: k=6`]일 때, [eqn: h(k)=2]

[eqn: k>6`]일 때, [eqn: h(k)=1]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{7} h(k)`=14]

실수 [eqn: k `]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = cases{ `` LEFT ( x-k RIGHT ) + f LEFT ( k RIGHT ) &~ LEFT ( x LEQ k RIGHT ) # ~~~~f LEFT ( x RIGHT ) &~ LEFT ( x > k RIGHT ) }`]

라 하자. [eqn: x LEQ k `]에서 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: h LEFT (k RIGHT )`]라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{7} h LEFT (k RIGHT )`]의 값은? (단, [eqn: f `' LEFT ( 0 RIGHT ) =1], [eqn: f `' LEFT ( 1 RIGHT ) =f `' LEFT ( 3 RIGHT ) =0`])

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 09월 30

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]와 양수 [eqn: k `]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를

[정답] [eqn: 9]

[해설]

(ⅰ) [eqn: f(x)<k`]일 때, 함수 [eqn: g(x)= {k} over {2}]

(ⅱ) [eqn: f(x) GEQ k`]일 때,
함수 [eqn: g(x)=f(x)- {k} over {2} `]이므로 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: - {k} over {2} `]만큼 평행이동시킨 그래프이다.

(가), (나)에 의하여

두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)`]의 그래프와 두 직선 [eqn: y=k`], [eqn: y= {k} over {2} `]의 개형은 다음과 같다.

[eqn: int _{0} ^{2} {LEFT . LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT | `dx= int _{0} ^{2} {{k} over {2} dx} RIGHT . =8}]

이므로 [eqn: k=8]

그러므로 세 상수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+c`]라 하면

[eqn: f prime (x)=3x ^{2} +2ax+b`]이다.

[eqn: f(0)=8`], [eqn: f(2)=8`], [eqn: f prime (2)=0`]이므로

[eqn: c=8`], [eqn: 4a+2b+c=0`], [eqn: 12+4a+b=0`]이고

[eqn: a=`-4], [eqn: b=4]

함수 [eqn: f`(x)=x ^{3} -4x ^{2} +4x+8`]이므로

함수 [eqn: g`(x)`=` {cases{````````````````````````````````4&(x`<0)#``x ^{3} -4x ^{2} +4x+4````&(x GEQ 0)}}]

따라서 [eqn: g` LEFT ( 1 RIGHT ) +g` LEFT ( -1 RIGHT ) =5+4=9]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {f LEFT ( x RIGHT ) + LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -k RIGHT |} over {2} `]

라 하자. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]와 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]는 [eqn: x=0 `]에서만 미분가능하지 않다.

(나) [eqn: g LEFT (0 RIGHT )=g LEFT (2 RIGHT )`]

(다) [eqn: int _{0} ^{2} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx=8`}]

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) +g LEFT ( -1 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 30

두 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]와 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가

[정답] [eqn: bold{200]

[해설]

[eqn: f(x-a) = cases { ~~~0 &~~~ ( x le a ) # ~x-a & ~~~ (x >a )]

[eqn: f(x-b)= cases{ ~~~0~~~&(x le b ) #~x-b &(x >b) }]

[eqn: f(x-2) = cases{ ~~~0~~~& (x le 2 ) #~x-2 &(x >2 ) }]

이므로 [eqn: 0 le x le 2]에서

[eqn: h(x) = cases{~~kx ~~ & (0 le x le a ) #~~ ak ~~ &(a< x le b ) #k(-x + a +b )~~ &( b < x le 2 )}]

따라서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: 0 le h(x) le g(x)]이고

[eqn: int _0 ^2 left { g(x) - h(x) right } dx]의 값이 최소가 되기 위해서는 두 함수 [eqn: y = g(x)], [eqn: y =h(x)]의 그래프가 그림과 같아야 한다.

따라서, [eqn: rm R ( it t,~ t(2-t) )~](단, [eqn: `0`<`t`<`1])이라 하면

[eqn: rm Q ( it 2-t ,~t(2-t))]이고

사다리꼴 [eqn: rm OPQR]의 넓이 [eqn: S(t)]가 최대가 되어야 하므로

[eqn: S(t)][eqn: = 1over 2 times left { 2 + (2-2t ) right } times t (2-t)]
[eqn: = t^3 -4t^2 +4t]

[eqn: S`'(t) = 3t^2 -8t +4 =(3t-2) (t-2)]

따라서 [eqn: S(t)]는 [eqn: t = 2 over 3]에서 극대이면서 최댓값을 가지고 그때

[eqn: int_0 ^2 left { g(x) - h(x) right } dx]의 값은 최솟값을 가지므로

[eqn: k = { 2 over 3 times 4 over 3 } over { 2 over 3 } = 4 over 3], [eqn: a= 2 over 3], [eqn: b= 4over 3]

따라서

[eqn: 60 ( k +a +b) = 60 times 10 over 3 =200]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{`` 0 &~ LEFT (x LEQ 0 RIGHT )# ``x &~ LEFT (x>0 RIGHT )}}], [eqn: g LEFT (x RIGHT )= {cases{ ``x LEFT (2-x RIGHT ) &~ LEFT ( LEFT | x-1 RIGHT | LEQ 1 RIGHT )#~~~ 0 &~ LEFT ( LEFT | x-1 RIGHT | >1 RIGHT )}}`]

이다. 양의 실수 [eqn: k], [eqn: a], [eqn: b][eqn: LEFT (a<b<2 RIGHT )`]에 대하여, 함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT )`]를

[eqn: h LEFT (x RIGHT )=k LEFT { f LEFT (x RIGHT )-f LEFT (x-a RIGHT )-f LEFT (x-b RIGHT )+f LEFT (x-2 RIGHT ) RIGHT }`]

라 정의하자. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: 0 LEQ h LEFT (x RIGHT ) LEQ g LEFT (x RIGHT )`]일 때, [eqn: int _{0} ^{2} { LEFT { g LEFT (x RIGHT )-h LEFT (x RIGHT ) RIGHT } dx}`]의 값이 최소가 되게 하는 [eqn: k], [eqn: a], [eqn: b`]에  대하여 [eqn: 60 LEFT (k+a+b RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 06월 30

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} + {1} over {2} x `]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 73]

[해설]

조건 (나)에 의해 [eqn: n- {1} over {2} LEQ x<n+ {1} over {2} `]일 때,

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: {n} over {2} `]만큼 평행이동한 것이다.

또한 조건 (다)에 의해 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이다.

따라서 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 다음과 같다.

함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의 그래프는 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | `]의 그래프를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -t`]만큼 평행이동한 것이다.

실수 [eqn: t`]가 변함에 따라 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의 그래프의 교점의 개수는 다음과 같다.

① [eqn: t<0`]일 때
함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의 그래프가 만나는 점의 개수는 [eqn: 0]이므로 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =0`]이다.

② [eqn: t=0`]일 때
함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의 그래프가 만나는 점의 개수는 [eqn: 3`]이므로 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =3`]이다.

③ [eqn: 0<t< {1} over {16} `]일 때
함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의 그래프가 만나는 점의 개수는 [eqn: 6]이므로 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =6`]이다.

④ [eqn: t= {1} over {16} `]일 때
함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의 그래프가 접하는 가장 작은 [eqn: t`]의 값은 방정식 [eqn: x ^{2} + {1} over {2} x=x-t`]가 중근을 가질 때의 [eqn: t`]의 값이다.
따라서 [eqn: t= {1} over {16} `]이다.
이때 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의 그래프가 만나는 점의 개수는 [eqn: 4]이므로 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =4`]이다.

⑤ [eqn: {1} over {16} <t< {1} over {2} `]일 때
함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의 그래프가 만나는 점의 개수는 [eqn: 2]이므로 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =2`]이다.

⑥ [eqn: t= {1} over {2} `]일 때
함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의 그래프가 만나는 점의 개수는 [eqn: 4]이므로 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =4`]이다.

따라서 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]가 [eqn: t=0], [eqn: {1} over {16}]에서 불연속이므로

[eqn: alpha _{1} =0], [eqn: alpha _{2} = {1} over {16}]

이다. 이때 [eqn: x GEQ 0`]에서 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t]의 방정식은 각각

[eqn: y=x], [eqn: y=x`- {1} over {16}]

이고, [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: {n} over {2} `]만큼 평행이동 하면 방정식은 각각 다음과 같다.

[eqn: y= LEFT ( x-n RIGHT ) + {n} over {2} =x`- {1} over {2} n`],

[eqn: y= LEFT ( x-n RIGHT ) `- {1} over {16} + {n} over {2} =x`- LEFT ( {1} over {16} + {1} over {2} n RIGHT )]

그러므로 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]가 [eqn: t= alpha `]에서 불연속인 [eqn: alpha `]의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 다음과 같다.

[eqn: 0,`` {1} over {16} ,`` {1} over {2} ,`` LEFT ( {1} over {16} + {1} over {2} RIGHT ) ,``` LEFT ( {1} over {2} + {1} over {2} RIGHT ) ,` CDOTS `]

따라서 [eqn: alpha _{2n} = {1} over {16} + {1} over {2} LEFT ( n-1 RIGHT )]

이므로 [eqn: 16 alpha _{20} =16 LEFT ( {1} over {16} + {1} over {2} TIMES 9 RIGHT ) =73`]이다.

[참고]

함수 [eqn: y=h LEFT ( t RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

(가) [eqn: 0 LEQ x< {1} over {2} `]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) `]이다.

(나) [eqn: n- {1} over {2} LEQ x<n+ {1} over {2} `]일 때,
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x-n RIGHT ) + {n} over {2} `]이다. (단, [eqn: n `]은 자연수이다.)

(다) 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: g LEFT ( -x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) `]이다.

실수 [eqn: t `]에 대하여 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t `]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]라 하자. 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]가 [eqn: t= alpha `]에서 불연속인 [eqn: alpha `]의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 [eqn: alpha _{1}], [eqn: alpha _{2}], [eqn: alpha _{3}],[eqn: `CDOTS`]라 할 때, [eqn: 16 alpha _{20} `]의 값을 구하시오.

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 06월 30

양의 실수 [eqn: k `]와 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax LEFT ( x-b RIGHT )] ([eqn: a], [eqn: b `]는 자연수)에 대하여 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]를

[정답] [eqn: 219]

[해설]

(ⅰ) [eqn: k=1`]일 때
방정식 [eqn: LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | =b`]의 서로 다른 실근의 개수는
[eqn: 2,`4,`6]이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k>1`]일 때
방정식 [eqn: LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | =b`]의 서로 다른 실근의 개수는 직선 [eqn: y=b`]가 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | `(x<b)`]의 그래프에 접할 때 [eqn: 5]이다.

[eqn: LEFT | g LEFT ( {b} over {2} RIGHT ) RIGHT | =b`]이므로 [eqn: -f LEFT ( {b} over {2} RIGHT ) =b`]에서 [eqn: ab=4`]이다.
[eqn: a`], [eqn: b`]는 자연수이므로 가능한 순서쌍 [eqn: (a,``b)`]는
[eqn: (1,``4),``(2,``2),`(4,``1)`]이고 [eqn: b LEQ 4`]이다.
조건 (가)에서
[eqn: g LEFT ( 6 RIGHT ) =kf LEFT ( 6-b RIGHT ) =ka(6-b)(6-2b)=`-8]
[eqn: ka(6-b)(3-b)=`-4`` CDOTS CDOTS ㉠]
[eqn: 3-b<0`]이므로 만족시키는 자연수 [eqn: b`]는 [eqn: 4]이다.
그러므로 [eqn: a=1`]이고 [eqn: ㉠]에서 [eqn: k=2`]이다.
따라서
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`x(x-4) _{{}_{{}_{{}_{{}_{}}}}}&`(x<4) _{{}_{{}_{{}_{{}_{}}}}}#`2(x-4)(x-8)&`(x GEQ 4)}} `]
이다.

(ⅲ) [eqn: k<1`]일 때
방정식 [eqn: LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | =b`]의 서로 다른 실근의 개수는
직선 [eqn: y=b`]가 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |][eqn: (x GEQ b)`]의 그래프에 접할 때 [eqn: 5]이다.

[eqn: LEFT | g LEFT ( {3} over {2} b RIGHT ) RIGHT | =b`]이므로
[eqn: -kf LEFT ( {3b} over {2} -b RIGHT ) =b`], [eqn: kab=`4`]
이다. 조건 (가)에서

① [eqn: b>6`]일 때
[eqn: g LEFT ( 6 RIGHT ) =f LEFT ( 6 RIGHT ) =6a(6-b)`=`-8], [eqn: 3a(b-6)=4]
이다. 이 식의 좌변은 [eqn: 3]의 배수이지만 우변은 [eqn: 3]의 배수가 아니다. 따라서 만족하는 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]는 존재하지 않는다.

② [eqn: b LEQ 6`]일 때
[eqn: g LEFT ( 6 RIGHT ) =kf LEFT ( 6-b RIGHT ) =ka(6-b)(6-2b)=`-8`],
[eqn: ka(6-b)(3-b)=`-4`` CDOTS CDOTS ㉡]
이다. 이 식의 좌변에서 [eqn: k>0`], [eqn: a>0`], [eqn: 6-b GEQ 0`]이므로 [eqn: 3-b<0`]이어야 한다.
가능한 자연수 [eqn: b`]는 [eqn: 4] 또는 [eqn: 5]이다.
[eqn: b=4], [eqn: 5]를 [eqn: ㉡]에 각각 대입하면 [eqn: ka=2`]이다.
그런데 [eqn: kab=4`]이므로 [eqn: b=2`]이다. 이는 모순이다.
따라서 주어진 조건을 만족하는 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]는 존재하지 않는다.

(ⅰ)∼(ⅲ)으로부터

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`x(x-4) _{{}_{{}_{{}_{{}_{}}}}}&`(x<4) _{{}_{{}_{{}_{{}_{}}}}}#`2(x-4)(x-8)&`(x GEQ 4)}} `]

이다.

직선 [eqn: y=mx-1`]이 [eqn: (4,``0)`]을 지날 때 [eqn: m`]의 값을 [eqn: m _{1} `]이라고 하자.

[eqn: m _{1} `]은 직선 [eqn: y=mx-1`]이 점 [eqn: (4,``0)`]을 지날 때의 기울기이므로 [eqn: m _{1} = {1} over {4} `]이다.

이차함수 [eqn: y=`-2(x-4)(x-8)`]의 그래프에 접할 때 [eqn: m`]의 값을 [eqn: m _{2} `]라 하자.

[eqn: m _{2} `]는 직선 [eqn: y=mx-1`]이 함수

[eqn: y=`-2(x-4)(x-8)`]의 그래프에 접할 때이므로
이차방정식 [eqn: -2(x-4)(x-8)`=mx-1`]의
판별식[eqn: LEFT ( D=0 RIGHT ) `]을 이용하여 구하면 [eqn: m _{2} =24-6 sqrt {14} `]이다.

위 그림에서[eqn: lim _{m -> t-} {h LEFT ( m RIGHT )} + lim _{m -> t+} {h LEFT ( m RIGHT )} =6`]을 만족시키는
모든 실수 [eqn: t`]의 값은 [eqn: {1} over {4}], [eqn: 24-6 sqrt {14}]이므로

[eqn: {1} over {4} + LEFT ( 24-6 sqrt {14} RIGHT ) `= {97} over {4} -6 sqrt {14} `]에서
[eqn: p= {97} over {4}], [eqn: q=`-6`]이다.

따라서 [eqn: 12(p+q)=12 LEFT ( {97} over {4} -6 RIGHT ) `=219`]이다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ ~~``f LEFT ( x RIGHT ) &~ LEFT (x<b RIGHT )#`` k f LEFT ( x-b RIGHT ) &~ LEFT (x GEQ b RIGHT ) }}`]

라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: g LEFT ( 6 RIGHT ) =`-8]

(나) 방정식 [eqn: LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | =b`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 5 `]이다.

실수 [eqn: m `]에 대하여 직선 [eqn: y=mx-1 `]이 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프와 만나는 점의 개수를 [eqn: h LEFT ( m RIGHT ) `]이라 하자.
함수 [eqn: h LEFT ( m RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: lim _{m ``->`` t-} {h LEFT ( m RIGHT )} + lim _{m ``->`` t+} {h LEFT ( m RIGHT )} =6 `]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: t `]의 값의 합은 [eqn: p+q sqrt {14} `]이다. [eqn: 12 LEFT ( p+q RIGHT ) `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q `]는 유리수이다.)

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 04월 30

두 실수 [eqn: a], [eqn: b `]에 대하여 정의역이 [eqn: LEFT { x` LEFT | `x GEQ 0 ` RIGHT . RIGHT }`]인 함수

[정답] [eqn: 19]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {-ax-b+1} over {ax+b} = {1} over {ax+b} -1]

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) <k]일 때 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하고 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2k]만큼 평행이동한 그래프이고, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ k]일 때 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 같다.

[eqn: g` LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`2k-f LEFT ( x RIGHT ) _{{}_{`}} ```````&LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) <k RIGHT ) _{{}_{`}}#``f LEFT ( x RIGHT ) ^{`} ```````&LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) GEQ k RIGHT ) ^{{}^{`}}}}]이므로

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |}] 또는 [eqn: lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | 2k-f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |}]

이다.

(가)에서 [eqn: lim _{x` -> ` INF } {LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = {1} over {2}]이므로 [eqn: lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = {1} over {2}]이라 하면 [eqn: lim _{x` -> ` INF } {LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | {1} over {ax+b} -1 RIGHT |} = it 1 != {1} over {2}]이므로 조건에 맞지 않는다.

한편 [eqn: lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | 2k-f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |}]라 하면

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | 2k- {1} over {ax+b} +1 RIGHT |} = LEFT | 2k+1 RIGHT | = {1} over {2}]

이므로 [eqn: k=it- {1} over {4}] 또는 [eqn: k= it - {3} over {4}]이다.

(나)에서 [eqn: LEFT | g LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT | =1]이고, 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 한 점근선 [eqn: x= it - {b} over {a}]는 [eqn: ab>0]이므로 [eqn: - {b} over {a} <0]이다.

(ⅰ) [eqn: k= it - {1} over {4}], [eqn: a<0]일 때
함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: y=it-k]는 만나지 않으므로 조건 (다)에 맞지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k=it- {1} over {4}], [eqn: a>0] 일 때
함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: y=it-k]는 서로 다른 세 점에서 만나므로 조건 (다)에 맞지 않는다.

(ⅲ) [eqn: k=it- {3} over {4}], [eqn: a<0] 일 때
함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: y=it-k]는 한 점에서 만나므로 조건 (다)에 맞지 않는다.

(ⅳ) [eqn: k=it- {3} over {4}], [eqn: a>0] 일 때
함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: y=it-k]는 서로 다른 두 점에서만 만나므로 조건 (다)를 만족시킨다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여 [eqn: k=it- {3} over {4}], [eqn: a>0]

이때 [eqn: LEFT | g LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT | =f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]이므로 [eqn: b= {1} over {2}]이고

[eqn: LEFT | g LEFT ( {1} over {28} RIGHT ) RIGHT | =f LEFT ( {1} over {28} RIGHT ) =it-k= {3} over {4}]에서 [eqn: a=2]이다.

두 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |], [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 [eqn: x]절편이 같으므로

[eqn: 0= {1} over {2x+ {1} over {2}} -1]에서 [eqn: x= {1} over {4}]이다.

또한 [eqn: LEFT | g LEFT ( alpha RIGHT ) RIGHT | = {3} over {4}]에서 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) = it - {3} over {4}]이고 [eqn: alpha= {7} over {4}]

직선 [eqn: y=m LEFT ( x-4alpha RIGHT ) + {3} over {4}]이 지나는 점 [eqn: LEFT ( `4alpha,`` {3} over {4} RIGHT )]
즉, [eqn: LEFT ( `7,`` {3} over {4} RIGHT )]을 점 [eqn: RMA]라 하고 [eqn: RMB LEFT ( `0,``1 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( ` {1} over {4} ,``0 RIGHT )]이라 하면 두 직선 [eqn: rmAB], [eqn: RMAC]와 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프는 그림과 같다.

두 직선 [eqn: rm AB], [eqn: rm AC]의 기울기는 각각 [eqn: - {1} over {28}], [eqn: {1} over {9}]이고 함수 [eqn: h LEFT ( m RIGHT )]은 다음과 같다.

[eqn: h LEFT ( m RIGHT ) = {cases{``1&~ LEFT ( m< it - {1} over {28} RIGHT )#``2&~ LEFT ( - {1} over {28} LEQ m LEQ 0 RIGHT )#``3&~ LEFT ( 0<m< {1} over {9} RIGHT )#``2&~ LEFT ( m= {1} over {9} RIGHT )#``1&~ LEFT ( m> {1} over {9} RIGHT )}}]

함수 [eqn: h LEFT ( m RIGHT )]이 불연속이 되는 실수 [eqn: m]의 값은

[eqn: m=it- {1} over {28}], [eqn: m=0], [eqn: m= {1} over {9}]이므로

모든 실수 [eqn: m]의 값의 합

[eqn: M`=it- {1} over {28} +0+ {1} over {9} = {19} over {252}]이다.

따라서 [eqn: 252M=19]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {-ax-b+1} over {ax+b}][eqn: LEFT ( ab>0 RIGHT )]

이 있다. 실수 [eqn: k`]에 대하여 정의역이 [eqn: LEFT { x` LEFT | `x GEQ 0 ` RIGHT . RIGHT }`]인 함수

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`` 2k-f LEFT ( x RIGHT ) &~ LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) <k RIGHT ) #~~ f LEFT ( x RIGHT ) &~ LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) GEQ k RIGHT ) }}`]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{x`` -> `` INF } {LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = {1} over {2}]

(나) [eqn: LEFT | g LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT | =1]

(다) 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |`]의 그래프와 직선 [eqn: y=`-k]는 두 점 [eqn: LEFT ( {1} over {28} ,`` -k RIGHT )], [eqn: LEFT ( alpha,`` -k RIGHT )]에서만 만난다.
(단, [eqn: alpha> {1} over {28}])

직선 [eqn: y=m LEFT ( x-4 alpha RIGHT ) + {3} over {4} `]이 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |`]의 그래프와 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: h LEFT ( m RIGHT ) `]이라 할 때, 함수 [eqn: h LEFT ( m RIGHT ) `]이 불연속이 되는 모든 실수 [eqn: m `]의 값의 합은 [eqn: M` `]이다. [eqn: 252M` ```]의 값을 구하시오.

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 09월 30

양수 [eqn: a `]와 실수 [eqn: b `]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는

[정답] [eqn: 40]

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 곡선 [eqn: y=ax ^{2} +bx`]에 따라 다음과
같이 [eqn: 6`]가지의 그래프의 개형을 갖는다.

①	②
③	④
⑤	⑥

조건 (가)를 만족시키는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 개형은 ⑤가 유일하다.

(i) 곡선 [eqn: y=ax ^{2} +bx`]의 꼭짓점의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: -4`]이므로
[eqn: y=ax ^{2} +bx`=a LEFT ( x+ {b} over {2a} RIGHT ) ^{2} - {b ^{2}} over {4a} `]에서
[eqn: - {b ^{2}} over {4a} `=`-4]	[eqn: CDOTS]㉠

(ii) 조건 (나)에 의하여
곡선 [eqn: y=ax ^{2} +bx`]는 점 [eqn: LEFT ( { 2} over { 3} ,````-3 RIGHT ) `]을 지나고,
꼭짓점의 [eqn: x`]좌표 [eqn: - {b} over {2a}]는 [eqn: { 2} over {3 } `]보다 크다.
[eqn: 4a+6b=`-27]	[eqn: CDOTS]㉡
[eqn: - {b} over {2a}> { 2} over { 3} `]	[eqn: CDOTS]㉢

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: b ^{2} +24b+108= LEFT ( b+6 RIGHT ) LEFT ( b+18 RIGHT ) =0]

[eqn: {cases{`a= { 9} over {4 } #`b=`-6`}}] 또는 [eqn: {cases{`a= { 81} over {4 } #`b=`-18`}}]

㉢에 의하여 [eqn: a= { 9} over { 4}], [eqn: b=`-6]이고 [eqn: - {b} over {2a} = {4} over {3}]

따라서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = cases{ ``-3x LEFT ( x+2 RIGHT ) &~ LEFT ( x<0 RIGHT ) #`` LEFT | { 9} over {4 } x ^{2} -6x RIGHT | & ~ LEFT ( x GEQ 0 RIGHT ) }]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )=4`]인 [eqn: x_1 `]은 [eqn: 4 over3`]이므로 [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT )= 4 over3 `]

[eqn: 30 TIMES g(4)=30 TIMES {4} over {3} =40`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``-3x LEFT ( x+2 RIGHT )&~ LEFT ( x<0 RIGHT )#~ LEFT | ax ^{2} +bx RIGHT |&~ LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}} `]

이다. 실수 [eqn: t `]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =t `]인 모든 [eqn: x `]를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을

[eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}], [eqn: x _{3}],[eqn: `CDOTS`], [eqn: x _{m}] ([eqn: m `]은 자연수)

라 할 때, 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =x _{1} `]이라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]는 [eqn: t=3], [eqn: t=4 ``]에서만 불연속이다.

(나) [eqn: lim _{t ``->`` 3+} {g LEFT ( t RIGHT ) = { 2} over { 3} }]

[eqn: 30 timesg LEFT ( 4 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 30

사차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족한다.

[정답] [eqn: 65]

[해설]

조건 (가)에 의해

[eqn: f(1)+` CDOTS `+f(n-1)+f(n)=f(n)f(n+1)~~~~ CDOTS` ①]

[eqn: f(1)+` CDOTS `+f(n-1)=f(n-1)f(n)~~~~~~~~~`` CDOTS `②]

[eqn: ①-②]를 하면

[eqn: f(n)=f(n)left{f(n+1)-f(n-1)right}]이다.

따라서 [eqn: f(n)=0] 또는 [eqn: f(n+1)-f(n-1)=1][eqn: ~ CDOTS ( AST )]이어야 한다.

조건 (나)에 의해

[eqn: n=3]일 때 [eqn: {f(5)-f(3)}}over{5-3}le0]에서 [eqn: f(5)lef(3)]

[eqn: n=4]일 때 [eqn: {f(6)-f(4)} over {6-4} LEQ 0]에서 [eqn: f(6)leq f(4)]

이므로 [eqn: (ast)]에 의해 [eqn: f(4)=0,~f(5)=0]이 된다.

조건 (가)에 [eqn: n=1,~2,~3]을 각각 대입하여 정리하면

[eqn: n=1]일 때 [eqn: f(1)=f(1)f(2)]

[eqn: n=2]일 때 [eqn: f(1)+f(2)=f(2)f(3)]

[eqn: n=3]일 때 [eqn: f(1)+f(2)+f(3)=0~(because~f(4)=0)]

(ⅰ) [eqn: f(3)=0]인 경우

[eqn: f(1)+f(2)=0]에서 [eqn: f(1)=it-left{f(1)right}^{2}]이므로

[eqn: f(1)=0] 또는 [eqn: f(1)=it-1]이다.

[eqn: f(1)=0]이면 [eqn: f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0]이 되어

사차함수라는 조건에 위배된다.

따라서 [eqn: f(1)=it-1,~f(2)=1,~f(3)=f(4)=f(5)=0][eqn: cdots`③]

이 성립한다.

그래프를 그려보면 사잇값 정리에 의해 [eqn: (1,~2)]에서 근을 갖고 [eqn: f(6)-f(4)le0]을 만족한다.

(ⅱ) [eqn: f(3)!=0]인 경우

[eqn: f(1)+f(2)=it-f(2)left{f(1)+f(2)right}]에서 [eqn: f(2)=it-1]이므로

[eqn: f(1)=0]이 된다.

따라서 [eqn: f(1)=0,~f(2)=it-1,~f(3)=1,~f(4)=f(5)=0]이 성립한다.

그래프를 그려보면 [eqn: f(6)-f(4)le0]을 만족하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: f(x)=(ax+b)(x-3)(x-4)(x-5)]이 된다.

③을 대입하면

[eqn: f(1)=it-24(a+b)=it-1,~f(2)=it-6(2a+b)=1]에서

[eqn: a=it-{5}over{24},~b={6}over{24}]을 얻는다.

[eqn: therefore~f(x)=it-{1}over{24}(5x-6)(x-3)(x-4)(x-5)]

[eqn: 128 TIMES f` LEFT ( {5} over {2} RIGHT )=2^{7}timesleft(-{1}over{24}right)left(-{1}over{2}right)left(-{3}over{2}right)left(-{5}over{2}right)left({25}over{2}-6right)=65]

(가) [eqn: 5] 이하의 모든 자연수 [eqn: n `]에 대하여 [eqn: sum_k=1 ^n f LEFT (k RIGHT ) = f LEFT (n RIGHT ) f LEFT (n+1 RIGHT ) `]이다.

(나) [eqn: n= 3], [eqn: 4`]일 때, [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에서 [eqn: x `]의 값이 [eqn: n `]에서 [eqn: n+2 `]까지 변할 때의 평균변화율은 양수가 아니다.

[eqn: 128 times f LEFT ( 5 over 2 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 10월 30

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]와 실수 [eqn: t `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 39]

[해설]

등식 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) +1=f``'(a) LEFT ( a-t RIGHT )] …… ㉠

에서 [eqn: -1=f`' LEFT ( a RIGHT ) LEFT ( t-a RIGHT ) +f LEFT ( a RIGHT ) `]이다.

이는 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( a,```f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT ) `]에서의 접선

[eqn: y=f`' LEFT ( a RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT ) +f LEFT ( a RIGHT ) `]가 점 [eqn: rmP][eqn: LEFT ( t,```-1 RIGHT )]을 지남을 뜻한다.

즉 [eqn: rmP][eqn: LEFT ( t,```-1 RIGHT ) `]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]에 그은 접선의 접점이 [eqn: LEFT ( a,```f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT ) `]이다.

조건에서 등식 ㉠을 만족시키는 실수 [eqn: a`]의 값이 [eqn: 6] 하나뿐이므로

[eqn: f(6)+1=f` prime (6)(6-t)] …… ㉡

[eqn: -2<t<k`]인 모든 실수 [eqn: t`]에 대하여 ㉡이 성립하므로

[eqn: f`` prime (6)=0], [eqn: f(6)=it-1]

즉 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 점 [eqn: rmA LEFT ( 6,```-1 RIGHT ) `]에서 직선 [eqn: y= it -1`]에

접하므로

[eqn: f(x)= LEFT ( x-6 RIGHT ) ^{2} (x-m)-1]([eqn: m`]은 상수) …… ㉢

따라서 두 점 [eqn: rm P it LEFT ( t,```-1 RIGHT )], [eqn: rm A it LEFT ( 6,```-1 RIGHT ) `]에 대하여 ㉢을 만족시키는

삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같이 [eqn: 3]가지이다.

[그림1] [eqn: m=6]일 때             [그림2] [eqn: m>6]일 때

[그림3] [eqn: m<6]일 때

[그림1], [그림2]에서는 [eqn: 6`]보다 작은 모든 실수 [eqn: t`]에 대하여 등식 ㉠

을 만족시키는 [eqn: 6`]이 아닌 실수 [eqn: a`]가 존재하므로 조건을 만족시키지

않는다.

[그림3]에서 [eqn: k> it -2`]인 상수 [eqn: k`]에 대하여 등식 ㉠을 만족시키는

실수 [eqn: a]의 값이 [eqn: 6] 하나뿐이기 위한 필요충분조건이 [eqn: -2<t<k`]

이려면 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( -2,```-1 RIGHT ) `]을 지나야 한다.

즉, [eqn: m= it -2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-6 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+2 RIGHT ) -1`]이므로

[eqn: f(8)= LEFT ( 8-6 RIGHT ) ^{2} LEFT ( 8+2 RIGHT ) -1][eqn: =39]

[참고]

[eqn: f(x)=`(x-6) ^{2} (x-m)-1`]에서

[eqn: f` prime (x)=2(x-6)(x-m)+(x-6) ^{2}][eqn: =(x-6)(3x-2m-6)]

이므로 등식 [eqn: f(a)+1=f` prime (a)(a-t)`]에서

[eqn: (a-6) ^{2} (a-m)=(a-6)(3a-2m-6)(a-t)]

[eqn: (a-6) LEFT { `2a ^{2} -(3t+m)a+2mt+6t-6m` RIGHT } =0]

[eqn: a=6] 또는 [eqn: 2a ^{2} -(3t+m)a+2mt+6t-6m=0] …… ㉠

이 등식을 만족시키는 실수 [eqn: a`]의 값이 [eqn: 6] 하나뿐이려면 [eqn: a`]에 대한

이차방정식 ㉠이 중근 [eqn: 6`]을 가지거나 실근을 갖지 않아야 한다.

(ⅰ) ㉠이 중근 [eqn: 6`]을 가지는 경우
[eqn: 2a ^{2} -(3t+m)a+2mt+6t-6m=2 LEFT ( a-6 RIGHT ) ^{2}]
에서 [eqn: t=6], [eqn: m=6]
따라서 조건을 만족시키는 실수 [eqn: t]는 [eqn: 6] 하나뿐이므로 [eqn: -2<t<k`]

라는 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) ㉠이 실근을 갖지 않는 경우
㉠의 판별식을 [eqn: D``]라 하면

[eqn: D`][eqn: =(3t+m) ^{2} -8(2mt+6t-6m)]
[eqn: =(t-m)(9t-m-48)<0] …… ㉡

① [eqn: m< {m+48} over {9}], 즉 [eqn: m<6`]이면 부등식 ㉡의 해는

[eqn: m<t< {m+48} over {9}]
이때 실수 [eqn: t]의 범위가 [eqn: -2 < t<k]이어야 하므로
[eqn: m= it -2], [eqn: k= 46 over 9]
② [eqn: m> {m+48} over {9}], 즉 [eqn: m>6`]이면 부등식 ㉡의 해는

[eqn: {m+48} over {9} <t<m]
이때 [eqn: {m+48} over {9} >6`]이므로 조건을 만족시키지 않는다.

위의 (ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: m= it -2], [eqn: k= {46} over {9} `]이므로

[eqn: f(x)=`(x-6 )^2 (x+2)-1]

등식 [eqn: f LEFT ( a RIGHT )][eqn: +1=f `' LEFT ( a RIGHT ) LEFT ( a-t RIGHT ) `]를 만족시키는 실수 [eqn: a `]의 값이 [eqn: 6] 하나뿐이기 위한 필요충분조건은 [eqn: -2<t<k `]이다.

[eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k `]는 [eqn: -2 `]보다 큰 상수이다.)

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 11월 30

[eqn: 3 `]보다 큰 자연수 [eqn: n `]에 대하여 원 [eqn: C` `:` x ^{2} +y ^{2} =n `]이 있다. 삼차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=`-1 `]에서 극대, [eqn: x=1 `]에서 극소이고, 두 점 [eqn: LEFT ( -1,`` f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,`` f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) `]이 모두 원 [eqn: C`] 위에 있을 때, 그림과 같이 원 [eqn: C ``]의 내부는 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]에 의해 [eqn: 4 `]개의 영역 [eqn: S` _{1}], [eqn: S` _{2}], [eqn: S` _{3}], [eqn: S` _{4} `]로 나누어진다. 각 영역 [eqn: S` _{k}][eqn: LEFT ( k=1,`` 2,`` 3,`` 4 RIGHT ) `]의 내부의 점들 중 [eqn: x `]좌표와 [eqn: y `]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: g _{k} LEFT ( n RIGHT ) `]이라 할 때, [eqn: g _{1} LEFT ( n RIGHT ) >g _{3} LEFT ( n RIGHT ) `]을 만족시키는 [eqn: n `]의 최솟값은 [eqn: a `]이다. [eqn: a+ LEFT { g _{1} LEFT ( a RIGHT ) TIMES g _{3} LEFT ( a RIGHT ) RIGHT } `]의 값을 구하시오. (단, 각 영역은 경계선을 포함하지 않는다.)

[정답] [eqn: {bold{134}]

[해설]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) =k LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) ``][eqn: LEFT ( k>0 RIGHT ) `]라 하면
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {k} over {3} x ^{3} -kx+C _{0} ``](단, [eqn: C _{0} ``]은 적분상수)

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극대인 점 [eqn: LEFT ( -1,``f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT )]과 극소인 점 [eqn: LEFT ( `1,``f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )]이
원 [eqn: C] 위에 있으므로 두 점은 원점에 대하여 대칭이다.

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =-f LEFT ( 1 RIGHT ) ,][eqn: C _{0} =0]

따라서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

점 [eqn: LEFT ( -1,``f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT )]이 원 [eqn: C] 위에 있으므로
[eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =n,][eqn: y= sqrt {n-1}]

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) = {k} over {3} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{3} -k TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) = {2} over {3} k= sqrt {n-1}]
이므로 [eqn: k= {3} over {2} sqrt {n-1}]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} sqrt {n-1} LEFT ( x ^{3} -3x RIGHT )]

원 [eqn: C`]와 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 영역 [eqn: S _{2}]와 영역 [eqn: S _{3}] 내부에 있는 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수는 같다.

따라서 [eqn: g _{2} LEFT ( n RIGHT ) =g _{3} LEFT ( n RIGHT )]

[eqn: 3`]보다 큰 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: x=-2`]에서 원 [eqn: C`]는
점 [eqn: LEFT ( -2,` sqrt {n-4} RIGHT )]와 점 [eqn: LEFT ( -2,`- sqrt {n-4} RIGHT )]를 지나고 [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) = {1} over {2} sqrt {n-1} LEFT ( -8+6 RIGHT ) = it - sqrt {n-1}]이므로

[eqn: - sqrt {n-4} > it - sqrt {n-1}]

그러므로 점 [eqn: LEFT ( -2,``f(-2) RIGHT )]는 원 [eqn: C] 외부의 점이다.

(ⅰ) [eqn: n=4]일 때
영역 [eqn: S _{1}]에는 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점은 존재하지 않고, 영역 [eqn: S _{2}]에는 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점은 [eqn: x=it-1]과 [eqn: x=0] 위에 존재한다.
[eqn: g _{1} LEFT ( 4 RIGHT ) =0], [eqn: g _{2} LEFT ( 4 RIGHT ) =3+1=4]

(ⅱ) [eqn: 5 LEQ n LEQ 9]일 때
영역 [eqn: S _{1}]에는 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점은 [eqn: x= it -2] 위에 존재하고, 영역 [eqn: S _{2}]에는 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점은 [eqn: x=it-1]과 [eqn: x=0] 위에 존재한다.
[eqn: g _{1} LEFT ( 5 RIGHT ) =1,][eqn: g _{2} LEFT ( 5 RIGHT ) =3+2=5]
[eqn: n=6,````7,````8`]에서 [eqn: g _{1} LEFT ( n RIGHT ) =3,][eqn: g _{2} LEFT ( n RIGHT ) =5+2=7]
[eqn: g _{1} LEFT ( 9 RIGHT ) =5,][eqn: g _{2} LEFT ( 9 RIGHT ) =5+2=7]

(ⅲ) [eqn: 10 LEQ n LEQ 16`]일 때
영역 [eqn: S_1]에는 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점은 [eqn: x=-3`]과 [eqn: x= it -2] 위에 존재하고, 영역 [eqn: S _{2}]에는 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점은 [eqn: x=-1`]과 [eqn: x=0] 위에 존재한다.
[eqn: g _{1} LEFT ( 10 RIGHT ) =1+5=6], [eqn: g _{2} LEFT ( 10 RIGHT ) =5+3=8]
[eqn: n=11,````12,````13`]에서
[eqn: g _{1} LEFT ( n RIGHT ) =3+5=8,][eqn: g _{2} LEFT ( n RIGHT ) =7+3=10]
[eqn: n=14,````15,````16`]에서

[eqn: g _{1} LEFT ( n RIGHT ) =5+7=12,][eqn: g _{2} LEFT ( n RIGHT ) =7+3=10]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 [eqn: g _{1} LEFT ( n RIGHT ) >g _{3} LEFT ( n RIGHT ) `]을 만족하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 14]

따라서
[eqn: a+ LEFT { g _{1} LEFT ( a RIGHT ) timesg _{3} LEFT ( a RIGHT ) RIGHT } =14+ LEFT { g _{1} LEFT ( 14 RIGHT ) timesg _{3} LEFT ( 14 RIGHT ) RIGHT } =134]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 07월 30

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x ^{3} -12x `]와 실수 [eqn: t `]에 대하여 점 [eqn: LEFT (a,`` f LEFT (a RIGHT ) RIGHT ) `]를 지나고 기울기가 [eqn: t `]인 직선이 함수 [eqn: y= LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | `]의 그래프와 만나는 점의 개수를 [eqn: g LEFT (t RIGHT ) `]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT (t RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold82]

[해설]

함수 [eqn: y=|`f(x)`|`]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

함수 [eqn: g(t)`]가 [eqn: t=0`]에서 불연속이 되는 경우는

[eqn: f(a)=0`] 또는 [eqn: f(a)=16`]인 경우뿐이다.

(ⅰ) [eqn: f(a)=0`]인 경우
[eqn: a=rm-2 sqrt {3}], [eqn: a=2 sqrt {3} `]

① [eqn: a=rm-2 sqrt {3}]인 경우
[eqn: x < -2 sqrt {3} `]인 범위에서
[eqn: |`f(x)`|`= rm - it f(x)`]이므로
[eqn: -f'(-2 sqrt { 3})=rm-24`]
따라서 그림과 같이 [eqn: t=rm-24`]일 때

함수 [eqn: g(t)`]가 불연속이므로 [eqn: k`]의 값 중

가장 작은 값은 [eqn: 0`]이 아니다.

② [eqn: a=2 sqrt {3}]인 경우
그림과 같이 점 [eqn: (2 sqrt {3} ,0)`]을 지나는 직선이
[eqn: -2<x<0`]인 범위에서 곡선 [eqn: y=|`f(x)`|]와
접할 때의 기울기 [eqn: t`]의 값 [eqn: t=k`]에 대하여
함수 [eqn: g(t)`]가 불연속이므로 [eqn: k`]의 값 중 가장
작은 값은 [eqn: 0`]이 아니다.

(ⅱ) [eqn: f(a)=16`]인 경우
[eqn: a=rm-2`], [eqn: a=4`]
[eqn: a=rm-2`]일 때, 그림과 같이
두 점 [eqn: (-2,`16)`], [eqn: (2 sqrt {3} ,`0)`]을 지나는 직선
의 기울기 [eqn: t`]의 값 [eqn: t=k`]에 대하여 함수
[eqn: g(t)`]가 불연속이므로 [eqn: k`]의 값 중 가장 작은
값은 [eqn: 0`]이 아니다.

따라서 주어진 조건을 만족하는 [eqn: a`]의 값은 [eqn: 4`]

그러므로 점 [eqn: (4,`16)`]을 지나고, 기울기가 [eqn: t`]인

직선과 함수 [eqn: y=|`f(x)`|`]의 그래프의 개형은 그림
과 같다.

직선 [eqn: y=t(x-4)+16]의 [eqn: x]절편이 [eqn: 4- {16} over {t}][eqn: (t!=0)]
이고, 곡선 [eqn: y=x^3 -12x] 위의 점 [eqn: (4,~16)`]에서의
접선의 기울기가 [eqn: 36`]이므로

[eqn: t=1`], [eqn: 2`]일 때, [eqn: g(t)=6`]

[eqn: t=3`]일 때, [eqn: g(t)=4`]

[eqn: t=4`]일 때, [eqn: g(t)=3`]

[eqn: t=5`], [eqn: 6`], [eqn: cdots`], [eqn: 35`]일 때, [eqn: g(t)=2`]

[eqn: t=36`]일 때, [eqn: g(t)=1`]

[eqn: sum _{n=1} ^{36} g(n)`=6 TIMES 2+4+3+2 TIMES 31+1=82]

(참고)

[eqn: a=4`]일 때, 함수 [eqn: y=g(t)`]의 그래프는 그림과
같다.

함수 [eqn: g LEFT (t RIGHT ) `]가 [eqn: t=k ``]에서 불연속이 되는 [eqn: k `]의 값 중에서

가장 작은 값은 [eqn: 0 `]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{36} g LEFT (n RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 21

상수 [eqn: a], [eqn: b `]에 대하여 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = x^3 + ax^2 + b x `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

(가) 조건에 의해

[eqn: f(`-1)=-1+a-b>=1]

[eqn: therefore~a>b]	…… ㉠

(나) 조건에 의해

[eqn: f(1)-f(-1)=1+a+b-(-1+a-b)]

[eqn: =2+2b>8]

[eqn: therefore~b>3]	…… ㉡

ㄱ. [eqn: f`'(x)=3x^{2}+2ax+b]

㉠, ㉡에 의해

[eqn: a>b ~⇒~a^{2}>ab>3b] ([eqn: because~a>b>3])

따라서

[eqn: D/4=a^{2}-3b>0] (참)

ㄴ. [eqn: f`'(-1)=3-2a+b=3-a+b-a]이고

[eqn: 3-a<0], [eqn: b-a<0]이므로

[eqn: therefore~f`'(-1)<0]

[eqn: f`'(1)=3+2a+b>0]

사잇값 정리에 의해 [eqn: f`'(x)]는 [eqn: (-1,~0)]에서 근을 가진다.

[eqn: f`'(alpha)=0]이라 하면

[eqn: x]가 [eqn: (-1,~alpha)]에서 [eqn: f`'(alpha)<0]이다 (거짓)

ㄷ. [eqn: f(x)=f`'(k)x]라 하면

[eqn: f`'(k)x]는 [eqn: (0,~0)]을 지나는 직선이다.

삼차함수 [eqn: f(x)]와 직선이 [eqn: 2]개의 교점을 가지려면 직선은 [eqn: f(x)]의 접선이어야한다.

ㄱ에 의해 [eqn: f`'(x)]는 두 근을 갖고

따라서

[eqn: (0,~0)]에서 [eqn: f(x)]에 그은 접선은 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}] 두 개다.

ⅰ) [eqn: l_{1}]인 경우

[eqn: f`'(k)=f`'(0)]이므로

위 그림에서

[eqn: k=0, ~k_{1}]

ⅱ) [eqn: l_{2}]인 경우

[eqn: (0,~0)]에서 [eqn: f(x)]에 그은 접선의 접점을 [eqn: k_{2}]라 할 때

[eqn: f` prime (k)=f` prime (k_{2})]이므로

[eqn: k=k_{2},~k_{3}]

따라서 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 4]개다.

(가) [eqn: f LEFT (-1 RIGHT ) > -1]

(나) [eqn: f LEFT (1 RIGHT ) - f LEFT (-1 RIGHT ) > 8]

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 방정식 [eqn: f `' LEFT (x RIGHT ) = 0 `]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄴ. [eqn: -1 < x < 1 `]일 때, [eqn: f `' LEFT (x RIGHT ) ge 0 `]이다. ㄷ. 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) - f `' LEFT (k RIGHT ) x = 0 `]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2 `]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: k `]의 개수는 [eqn: 4 `]이다.

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 09월 30

최고차항의 계수의 부호가 서로 다른 두 삼차다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가

[정답] [eqn: bold11]

[해설]

두 다항식 [eqn: P _{1} LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: P _{2} LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: P _{1} LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) -4x-26`],

[eqn: P _{2} LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) +2x ^{3} -14x ^{2} +12x+6`]이라 하면
[eqn: P _{1} (x)=`-P _{2} (x)] 즉, [eqn: P _{1} LEFT ( x RIGHT ) +P _{2} LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]

따라서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =`-x ^{3} +7x ^{2} -4x+10],

[eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | = {cases{- LEFT ( x ^{3} -7x ^{2} +8x+16 RIGHT )&` LEFT ( x` LEQ `a RIGHT )#x ^{3} -7x ^{2} +8x+16&` LEFT ( x`>`a RIGHT )}}]

[eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 음수이므로

[eqn: f(x)=x ^{3} -7x ^{2} +8x+16=(x+1)(x-4) ^{2}]이고

[eqn: a=`-1]이다.

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2}]라 하면 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]의 극값이 존재해야 하므로 방정식 [eqn: h prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x ^{2} -16x+ LEFT ( 8+2k RIGHT ) =0`]에서
판별식을 [eqn: D`]라 하면 [eqn: D/4=64-3 LEFT ( 8+2k RIGHT ) >0]

[eqn: k< {20} over {3}] 이므로 [eqn: k`]는 [eqn: 6]이하의 자연수이다.

ⅰ) [eqn: k=][eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5]일 때

[eqn: h(-1)=`-(k+1) ^{2} <0]

[eqn: h(1)=18-(1-k) ^{2} >0]

[eqn: h(4)=`-(4-k) ^{2} <0]

[eqn: h(6)=28-(6-k) ^{2} >0]

사이값 정리에 의하여 삼차방정식 [eqn: h(x)=0]의 실근이 열린 구간 [eqn: (-1,```1)], [eqn: (1,```4)], [eqn: (4,```6)]에 각각 하나씩 존재한다.

ⅱ) [eqn: k=4]일 때,

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} =x LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2}]
이므로 함수 [eqn: h(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만난다.

ⅲ) [eqn: k=6]일 때,

극댓값 [eqn: h LEFT ( 2 RIGHT ) =`-4<0]이므로 함수 [eqn: h(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 한 점에서 만난다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 함수 [eqn: h(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 자연수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 1,```2,```3,```5]이다.

따라서 구하는 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 11]

[eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | = cases{ ~~~~~~g LEFT ( x RIGHT ) -4x-26 &~ LEFT ( x LEQ a RIGHT ) #``g LEFT ( x RIGHT ) + 2x^{3}-14x^{2}+12x+6 & ~ LEFT ( x > a RIGHT ) }`]

를 만족시킬 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +a LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2} =0`]이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 자연수 [eqn: k `]의 값의 합을 구하시오. [eqn: (`]단, [eqn: a `]는 상수이다.[eqn: `)]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 30

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]에 대하여 방정식

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[해설]

[eqn: (f CIRCf)(x)=x]을 만족하기 위해서는

(ⅰ) 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=x]일 때
[eqn: f(1)=1 ,```` f(2)=2]가 되면 [eqn: f(x)]는 증가함수가 되어 [eqn: f prime (1)<0], [eqn: f prime (2)<0]인 조건에 만족하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: f(p)= q ,```` f(q)=p]일 때,

실근이 [eqn: 0 ,```` 1 ,```` a ,```` 2 ,```` b]이고 [eqn: f ' (1) < 0 ,```` f '(2) < 0]이므로
위의 그래프와 같이 [eqn: 1,````2]가 [eqn: y=x] 대칭이어야 한다.
따라서 [eqn: f(1)=2 ,```` f(2)=1]
또, [eqn: f(0)=0], [eqn: f prime (0) -f prime (1)= 6]이므로
[eqn: f(x)=px^{3}+qx^{2}+rx+s]라 하면 [eqn: f '(x)=3px^{2}+2qx^{2}+r]이고

[eqn: f(1)=p+q+r+s=2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: f(2)=8p+4q+2 r+s=1]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: f(0)=s=0]	[eqn: cdotscdots] ㉢

[eqn: f '(0)-f '(1)=r-3p-2q-r=6]	[eqn: cdotscdots] ㉣

㉠, ㉡, ㉢, ㉣를 연립하면 [eqn: p=1 ,```` q=it-{9}over{2} ,```` r={11}over{2} , ````s=0]

[eqn: therefore][eqn: f(x) = x^3 - 9over2 x^2 + 11over2 x]

[eqn: therefore][eqn: f(5)=40]

[eqn: LEFT ( f circ f RIGHT ) LEFT (x RIGHT ) = x`]

의 모든 실근이 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: a], [eqn: 2], [eqn: b `]이다.

[eqn: f `' LEFT (1 RIGHT ) < 0], [eqn: f `' LEFT (2 RIGHT ) < 0], [eqn: f `' LEFT (0 RIGHT ) - f `' LEFT (1 RIGHT ) = 6`]

일 때, [eqn: f LEFT (5 RIGHT )`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 1< a< 2< b`])

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 30

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]와 최고차항의 계수가 [eqn: -1`]인 이차함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold5`]

[해설]

조건 (가)에서

곡선 [eqn: y= g LEFT ( x RIGHT )]위의점 [eqn: LEFT ( 2 ,~0 RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: x]축이고 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: -1]인 이치함수이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )=it - LEFT ( x-2 RIGHT )^2]

이다.

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로 [eqn: x <0]인 범위에서 두 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y = g LEFT ( x RIGHT )]는 반드시 한 점에서 만난다.

조건 (다)에서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = g LEFT ( x RIGHT )]는 오직 하나의 실근을 가지므로 두 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y = g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x <0]에서 만나는 점을 제외한 점에서는 만나지 않아야 한다.

또, 조건 (가)에서

곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]위의 점 [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: x]축이므로 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x]축과 접해야 한다.

그러므로 함수 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]가 극값을 갖는 경우와 극값을 갖지 않는 경우로 나눈 후 함수 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형을 그려 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]에 그은 접선의 개수를 조사하면 다음과 같다.

(ⅰ)함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 극값을 갖는 경우

함수 [eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x =0]에서 극솟값을 가질 때, 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]에 그은 접선의 개수는 다음 그림과 같이 [eqn: x]축을 포함하여 [eqn: 3]개다.

한편, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x =0]에서 극댓값을 가질 때 다음과 같이 세 가지로 나누어 생각할 수 있다.

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )>0]이면 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]에 그은 접선의 개수는 다음 그림과 같이 [eqn: x]축을 포함하여 [eqn: 3]개다.

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]이면 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]에 그은 접선의 개수는 다음 그림과 같이 [eqn: x]축 포함하여 [eqn: 2]개다. 하지만 이때는 두 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y = g LEFT ( x RIGHT )]는 서로 다른 세 점에서 만난다.

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) <0]이면 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]에 그은 접선은 [eqn: x]축 뿐이다. 즉, 접선의 개수는 다음 그림과 같이 [eqn: 1]개다.

(ⅱ)함수 [eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]가 극값을 갖지 않는 경우

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )=x^3]이고 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]에 그은 접선의 개수는 그림과 같이 [eqn: x]축 포함하여 [eqn: 2]개다.

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x^3]

이다. 한편 [eqn: x >0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) le kx -2 le f LEFT ( x RIGHT )]

이므로 곡선 [eqn: y = g LEFT ( x RIGHT )]는 직선 [eqn: y = kx -2]가 만나거나 아래쪽에 있어야 하고 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]는 직선 [eqn: y = kx -2]와 만나거나 위쪽에 있어야 한다.

한편, 직선 [eqn: y = kx -2]는 점 [eqn: LEFT ( 0,~-2 RIGHT )]를 지나는 직선이고 [eqn: k]는 이 직선의 기울기이므로 [eqn: k]가 최소가 되는 직선과 최대가 되는 직선은 다음 그림과 같이 접선이다.

점 [eqn: LEFT ( 0,~-2 RIGHT )]를 지나고 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]와의 접점을 [eqn: LEFT ( p,~p^3 RIGHT )]이라 하면 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) = 3x^2]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y = 3p^2 LEFT ( x -p RIGHT ) + p^3]

이다. 이 접선이 [eqn: LEFT ( 0,~-2 RIGHT )]를 지나므로 대입하면 [eqn: -2 = 3p^2 LEFT ( -p RIGHT ) + p^3]

[eqn: p =1]

그러므로 [eqn: alpha =3]

또, 점 [eqn: LEFT ( 0,~-2 RIGHT )]를 지나고 곡선 [eqn: y = g LEFT ( x RIGHT )]의 접점을 [eqn: left ( q ,~ - LEFT ( q -2 RIGHT ) ^2 right )]이라 하면 [eqn: g ' LEFT ( x RIGHT ) = it -2 LEFT ( x-2 RIGHT )]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y = it - 2 LEFT ( q-2 RIGHT ) LEFT ( x-q RIGHT )- LEFT ( q-2 RIGHT )^2]

이다. 이 접선이 [eqn: LEFT ( 0,~-2 RIGHT )]를 지나므로 대입하면

[eqn: -2= it -2 LEFT ( q-2 RIGHT ) LEFT ( -q RIGHT ) - LEFT ( q-2 RIGHT )^2]

[eqn: -2=it - 2q^2 - 4q - q^2 + 4q-4]

[eqn: q^2 =2]

[eqn: q >0]이므로

[eqn: q = sqrt { 2}]

그러므로

[eqn: beta = it -2 LEFT ( sqrt { 2}-2 RIGHT ) =4 - 2 sqrt { 2}]

이다. 이떄,

[eqn: alpha - beta][eqn: = 3 - LEFT ( 4-2 sqrt { 2} RIGHT )]
[eqn: = it -1 + 2 sqrt { 2}]

따라서 [eqn: a = it -1], [eqn: b =2]이므로

[eqn: a^2 + b^2 = LEFT ( -1 RIGHT )^2 +2^2 =5]

(가) 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT (0,`` 0 RIGHT )`]에서의 접선과 곡선 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT (2,`` 0 RIGHT )`]에서의 접선은 모두 [eqn: x `]축이다.

(나) 점 [eqn: LEFT (2,`` 0 RIGHT )`]에서 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]에 그은 접선의 개수는 [eqn: 2`]이다.

(다) 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=g LEFT (x RIGHT )`]는 오직 하나의 실근을 가진다.

[eqn: x>0`]인 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여

[eqn: g LEFT (x RIGHT ) le kx -2 le f LEFT (x RIGHT )`]

를 만족시키는 실수 [eqn: k `]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta `]라 할 때. [eqn: alpha -beta= a+b root2`]이다. [eqn: a^2 +b^2 `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a], [eqn: b `]는 유리수이다.)

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 [eqn: f `prime (0)=0]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 있다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g(t)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 21]

[해설]

주어진 조건으로부터 [eqn: y=f(x)]는 그림과 같이 [eqn: x=-2], [eqn: x=1]일 때 각각 극솟값 [eqn: f(-2)=k], [eqn: f(1)=30]을 갖는다. 또한 [eqn: f `prime (0)=0]이다.

따라서 [eqn: f `prime (x)=4 x(x+2)(x-1)=4 x^{3}+4 x^{2}-8 x]

[eqn: f(x)=x^{4}+{4} over {3} x^{3}-4 x^{2}+C]

[eqn: f(1)=1+{4} over {3}-4+C=30], [eqn: ~ C={95} over {3}]

[eqn: therefore~ ~ f(x)=x^{4}+{4} over {3} x^{3}-4 x^{2}+{95} over {3}]

[eqn: k=f(-2)=16-{32} over {3}-16+{95} over {3}=21]

(가) 방정식 [eqn: f(x)=t]의 실근이 존재하지 않을 때, [eqn: g(t)=0]이다.

(나) 방정식 [eqn: f(x)=t]의 실근이 존재할 때, [eqn: g(t)]는 [eqn: f(x)=t]의 실근의 최댓값이다.

함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=k], [eqn: t=30]에서 불연속이고

[eqn: lim _{t ``rarrow`` k+} g(t)=-2], [eqn: ~ lim _{t ``rarrow`` 30+} g(t)=1]

일 때, 실수 [eqn: k]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k<30])

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 21

사차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = x^4 + ax^2 + b `]에 대하여 [eqn: x ge 0 `]에서 정의된 함수

[정답] ④

[해설]

사차함수 [eqn: f(x)=x^{4}+ax^{2}+b]의 그래프는 [eqn: y]축에 대칭이다.

[eqn: b]의 값에 따라 나누어보면

(ⅰ) [eqn: b le0]일 때

[eqn: 0<x<1]에서 [eqn: g(x)]는 감소함수이므로 조건 (가)를 만족하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: b>0]일 때

① [eqn: 0<x<1]에서 [eqn: g(x)]가 상수함수이므로
[eqn: f(x)-left|``f(x)``right|=0]에서 [eqn: alpha ge2]

② [eqn: 1<x<5]에서 [eqn: g(x)]가 감소하므로 [eqn: f(x)-left|``f(x)``right|<0]에서 [eqn: alpha le2]이고 [eqn: -beta le-5]
즉, [eqn: beta ge5]

③ [eqn: x>5]에서 [eqn: g(x)]가 상수함수이므로 [eqn: -beta ge-5]
즉, [eqn: beta le5]

①, ②, ③에 의해 [eqn: alpha=2 ,```` beta=5]

[eqn: therefore][eqn: f(x)=(x^{2}-4)(x^{2}-25)]

따라서 [eqn: f(root{2})=(-2)times(-23)=46]이다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{-x} ^{2x} {} LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) - LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | RIGHT } dt`]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 0< x< 1 `]에서 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) = c_1] ([eqn: c_1 `]은 상수[eqn: )]

(나) [eqn: 1< x< 5 `]에서 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]는 감소한다.

(다) [eqn: x> 5 `]에서 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) = c_2] ([eqn: c_2 `]는 상수[eqn: )]

[eqn: f LEFT ( root 2 RIGHT )`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b `]는 상수이다.)

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 48]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 11월 30

좌표평면에서 실수 [eqn: m`]에 대하여 함수

[정답] [eqn: bold { 48 }]

[해설]

정의역이 [eqn: LEFT { x left |`` x GEQ m RIGHT } RIGHT .]인 함수 [eqn: y= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]의 그래프가 직선 [eqn: y=mx]와 만나는 점의 개수를 [eqn: h _{1} LEFT ( m RIGHT )]이라 하고 정의역이 [eqn: LEFT { x left |`` x<m RIGHT } RIGHT .]인 함수 [eqn: y=x ^{2} +ax+b]의 그래프가 직선 [eqn: y=mx]와 만나는 점의 개수를 [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT )]이라 하면 [eqn: g LEFT ( m RIGHT ) =h _{1} LEFT ( m RIGHT ) +h _{2} LEFT ( m RIGHT )]이다.

함수 [eqn: g LEFT ( m RIGHT )]이 [eqn: m=0]에서 연속이므로 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = lim _{m ``->`` 0+} {g LEFT ( m RIGHT )}][eqn: = lim _{m ``->`` 0-} {g LEFT ( m RIGHT )}]이고 함수 [eqn: y= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]의 그래프는 [eqn: x=3]에서 [eqn: x]축에 접하므로

[eqn: lim _{m ``->`` 0+} {h _{1} LEFT ( m RIGHT )} =2], [eqn: lim _{m ``->`` 0-} {h _{1} LEFT ( m RIGHT )} =0], [eqn: h _{1} LEFT ( 0 RIGHT ) =1]

[eqn: lim _{m ``->`` 0+} {g LEFT ( m RIGHT )}][eqn: = lim _{m ``->`` 0+} {LEFT { h _{1} LEFT ( m RIGHT ) +h _{2} LEFT ( m RIGHT ) RIGHT }}]
[eqn: =2+ lim _{m ``->`` 0+} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )}]

[eqn: lim _{m ``->`` 0-} {g LEFT ( m RIGHT )}][eqn: = lim _{m ``->`` 0-} {LEFT { h _{1} LEFT ( m RIGHT ) +h _{2} LEFT ( m RIGHT ) RIGHT }}]
[eqn: =0+ lim _{m ``->`` 0-} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )}]

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =h _{1} LEFT ( 0 RIGHT ) +h _{2} LEFT ( 0 RIGHT ) =1+h _{2} LEFT ( 0 RIGHT )]

따라서 [eqn: 2+ lim _{m ``->`` 0+} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )}][eqn: =0+ lim _{m ``->`` 0-} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )}][eqn: =1+h _{2} LEFT ( 0 RIGHT )]

이때, [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT ) =0] 또는 [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT ) =1] 또는 [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT ) =2]이므로

[eqn: h _{2} LEFT ( 0 RIGHT ) =0]일 때

[eqn: 2+ lim _{m ``->`` 0+} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )}][eqn: =1+h _{2} LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1], [eqn: lim _{m ``->`` 0+} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )} = it -1]

이므로 성립하지 않는다.

[eqn: h _{2} LEFT ( 0 RIGHT ) =2]일 때

[eqn: 0+ lim _{m ``->`` 0-} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )}][eqn: =1+h _{2} LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =3], [eqn: lim _{m ``->`` 0-} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )} = 3]

이므로 성립하지 않는다.

따라서 [eqn: h _{2} LEFT ( 0 RIGHT ) =1]

[eqn: lim _{m ``->`` 0-} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )} =2], [eqn: lim _{m ``->`` 0+} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )} =0]

이므로 [eqn: y=x ^{2} +ax+b]의 그래프는 [eqn: x<0]에서 [eqn: x]축에 접한다.

따라서 [eqn: a>0], [eqn: b= {a ^{2}} over {4}], [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =2]

(ⅰ) 직선 [eqn: y=mx]와 곡선 [eqn: y= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]의 위치관계를 확인하면
[eqn: mx= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: x ^{2} - LEFT ( 4m+6 RIGHT ) x+9=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면
[eqn: D= LEFT ( 4m+6 RIGHT ) ^{2} -4 TIMES 9=16m LEFT ( m+3 RIGHT )]
함수 [eqn: y= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]의 그래프와 직선 [eqn: y=mx]는 [eqn: -3<m<0]에서 만나지 않고 [eqn: m=0], [eqn: m= it -3]에서 한 점에서 만나고 [eqn: m< it -3] 또는 [eqn: m>0]에서 두 점에서 만난다.
[eqn: x=m]일 때 직선 [eqn: y=mx]와 곡선 [eqn: y= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]의 [eqn: y]좌표의 대소관계를 확인하면 [eqn: {1} over {4} LEFT ( m-3 RIGHT ) ^{2} -m ^{2}][eqn: = it - {3} over {4} LEFT ( m+3 RIGHT ) LEFT ( m-1 RIGHT )]이므로
[eqn: m<0]에서 [eqn: -3<m<0]일 때 [eqn: y= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]의 [eqn: y]좌표가 더 크고 [eqn: m< -3]일 때 [eqn: y=mx]의 [eqn: y]좌표가 더 크다.
직선 [eqn: y=mx]와 함수 [eqn: y= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]의 그래프의 교점의 개수는 다음과 같다.

① [eqn: m<it-3]일 때
[eqn: x GEQ m]에서 교점의 개수 [eqn: h _{1} LEFT ( m RIGHT ) =1]

② [eqn: m=it-3]일 때
[eqn: x GEQ m]에서 교점의 개수 [eqn: h _{1} LEFT ( m RIGHT ) =1]

③ [eqn: -3<m<0]일 때
[eqn: x GEQ m]에서 교점의 개수 [eqn: h _{1} LEFT ( m RIGHT ) =0]

[eqn: g LEFT ( m RIGHT )]은 [eqn: m LEQ 0]에서 연속이고 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =2]이므로
[eqn: m<it-3]일 때 [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT ) =1]
[eqn: m=it-3]일 때 [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT ) =1]
[eqn: -3<m<0]일 때 [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT ) =2]

(ⅱ) 직선 [eqn: y=mx]와 곡선 [eqn: y=x ^{2} +ax+ {a ^{2}} over {4}]의 위치관계를 확인하면
[eqn: x=m]일 때 [eqn: m ^{2} +am+ {a ^{2}} over {4} -m TIMES m=a LEFT ( m+ {a} over {4} RIGHT )]이므로
[eqn: m=it- {a} over {4}]일 때 함수 [eqn: y=x ^{2} +ax+ {a ^{2}} over {4}]의 그래프와 직선 [eqn: y=mx]는 [eqn: x=m]에서 만난다.

① [eqn: m< - {a} over {4}]일 때
[eqn: x<m]에서 교점의 개수 [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT ) =1]

② [eqn: m= it - {a} over {4}]일 때
[eqn: x<m]에서 교점의 개수 [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT ) =1]

③ [eqn: - {a} over {4} <m<0]일 때
[eqn: x<m]에서 교점의 개수 [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT ) =2]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT )]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]
(ⅰ)	[eqn: m< -3]	[eqn: m=it-3]	[eqn: -3<m<0]
(ⅱ)	[eqn: m< -{a over4]	[eqn: m= it - {a} over {4}]	[eqn: - {a} over {4} <m<0]

[eqn: m LEQ 0]에서 함수 [eqn: g LEFT ( m RIGHT )]이 연속이 되려면

[eqn: - {a} over {4} =it-3], [eqn: a=12]

[eqn: b= {a ^{2}} over {4}]이므로 [eqn: b=36]

따라서 [eqn: a+b=48]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``x ^{2} +ax+b&~LEFT ( x<m RIGHT )#~{1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT )&~LEFT ( x GEQ m RIGHT )}}]

의 그래프가 직선 [eqn: y=mx`]와 만나는 점의 개수를 [eqn: g LEFT ( m RIGHT )`]이라 하자. [eqn: m LEQ 0`]에서 함수 [eqn: g LEFT ( m RIGHT )`]이 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 11월 29

상수 [eqn: a]와 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 이차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )]를 [eqn: g LEFT (x RIGHT )= LEFT ( x ^{2} -x+a RIGHT ) f LEFT (x RIGHT )]라 할 때, 두 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )], [eqn: g LEFT (x RIGHT )]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 61]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +bx+c] ([eqn: b], [eqn: c]는 상수)라 하자.

조건 (가)에서

[eqn: lim _{x ``->`` 1} {{g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}}]

[eqn: = lim _{x ``->`` 1} {{LEFT ( x ^{2} -x+a RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}}]
[eqn: = lim _{x ``->`` 1} {{LEFT ( x ^{2} -x+a-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}} =0]

[eqn: lim _{x ``->`` 1} {LEFT ( x-1 RIGHT )} =0]이므로

[eqn: lim _{x ``->`` 1} {LEFT ( x ^{2} -x+a-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )} = LEFT ( a-1 RIGHT ) f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]

따라서 [eqn: a=1] 또는 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]

[eqn: a != 1]이라 하면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]이어야 하므로
[eqn: c=it-b-1], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+b+1 RIGHT )]

[eqn: lim _{x ``->`` 1} {{g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}}]
[eqn: = lim _{x ``->`` 1} {{LEFT ( x ^{2} -x+a-1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+b+1 RIGHT )} over {x-1}}]
[eqn: = LEFT ( a-1 RIGHT ) LEFT ( b+2 RIGHT ) =0]

이므로 [eqn: b=it-2], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2x-1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( x ^{2} -x+a RIGHT ) LEFT ( 2x-2 RIGHT )]에서 [eqn: g prime LEFT ( 1 RIGHT ) =0]이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) != 0]이라 하면 [eqn: a=1]이고

[eqn: lim _{x ``->`` 1} {{g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}}][eqn: = lim _{x ``->`` 1} {{x LEFT ( x-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}}][eqn: =f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]

이므로 모순이다.

따라서 [eqn: a=1]이고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]이며 [eqn: b != it-2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+b+1 RIGHT )]에서 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =2x+b]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )]에서

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2x-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) + LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) f prime LEFT ( x RIGHT )]

조건 (다)에서 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =f prime LEFT ( alpha RIGHT )]이므로

[eqn: LEFT ( alpha -1 RIGHT ) LEFT ( alpha +b+1 RIGHT ) =2 alpha +b]	[eqn: CDOTS cdots] ㉠

[eqn: g prime LEFT ( alpha RIGHT ) = LEFT ( 2 alpha -1 RIGHT ) f LEFT ( alpha RIGHT ) + LEFT ( alpha ^{2} - alpha +1 RIGHT ) f prime LEFT ( alpha RIGHT ) =2f prime LEFT ( alpha RIGHT )]

[eqn: LEFT ( 2 alpha -1 RIGHT ) f ' LEFT ( alpha RIGHT ) + LEFT ( alpha ^{2} - alpha +1 RIGHT ) f ' LEFT ( alpha RIGHT ) =2f ' LEFT ( alpha RIGHT )]

[eqn: LEFT ( alpha ^{2} + alpha -2 RIGHT ) f ' LEFT ( alpha RIGHT ) =0], [eqn: LEFT ( alpha +2 RIGHT ) LEFT ( alpha -1 RIGHT ) LEFT ( 2 alpha +b RIGHT ) =0]

따라서 [eqn: alpha = it -2] 또는 [eqn: alpha=1] 또는 [eqn: alpha =it- {b} over {2}]

[eqn: alpha=1] 또는 [eqn: alpha =it- {b} over {2}]일 때 ㉠에서 [eqn: b=it-2]이므로 [eqn: b != it-2]인 것에 모순이다.

[eqn: alpha = it -2]이므로 ㉠에서 [eqn: b= {7} over {4}]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+ {11} over {4} RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( alpha +4 RIGHT ) =g LEFT ( 2 RIGHT ) =3 TIMES 1 TIMES {19} over {4} = {57} over {4}]

따라서 [eqn: p=4], [eqn: q=57]이므로 [eqn: p+q=61]

(가) [eqn: lim _{x `->` 1} {} {g LEFT (x RIGHT )-f LEFT (x RIGHT )} over {x-1} =0]

(나) [eqn: g prime LEFT (1 RIGHT ) != 0]

(다) [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )=f prime LEFT ( alpha RIGHT )]이고 [eqn: g prime LEFT ( alpha RIGHT )=2f prime LEFT ( alpha RIGHT )]인 실수 [eqn: alpha]가 존재한다.

[eqn: g LEFT ( alpha +4 RIGHT )= {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 30

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여 네 개의 수 [eqn: f LEFT (- 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT (0 RIGHT )], [eqn: f LEFT (1 RIGHT )], [eqn: f LEFT (2 RIGHT ) `]가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 곡선 [eqn: y = f LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT (- 1,`` f LEFT (- 1 RIGHT ) RIGHT ) `]에서의 접선과 점 [eqn: LEFT (2,`` f LEFT (2 RIGHT ) RIGHT ) `]에서의 접선이 점 [eqn: LEFT (k,`` 0 RIGHT ) `]에서 만난다. [eqn: f LEFT (2k RIGHT )= 20 `]일 때, [eqn: f LEFT (4k RIGHT ) `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: k `]는 상수이다.)

[정답] [eqn: 42]

[해설]

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]가 등차수열이므로 네 점을 연결하는 직선을 [eqn: y=mx+n]이라고 하자.

그러면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( mx+n RIGHT ) =x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]라고 할 수 있다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) +mx+n]이라고 하면

[eqn: f` prime LEFT ( -1 RIGHT ) =m-6], [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT ) =m+6], [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =`-m+n], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2m+n]이다.

[eqn: -1]에서의 접선은 [eqn: y= LEFT ( m-6 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) -m+n]

[eqn: 2]에서의 접선은 [eqn: y= LEFT ( m+6 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) +2m+n]

[eqn: LEFT ( k`,0` RIGHT )]에서 두 접선이 만나므로

[eqn: 0= LEFT ( m-6 RIGHT ) LEFT ( k+1 RIGHT ) -m+n],

[eqn: 0= LEFT ( m+6 RIGHT ) LEFT ( k-2 RIGHT ) +2m+n]

두 식을 [eqn: k]에 관하여 정리하면

[eqn: k= {m-n} over {m-6} -1],

[eqn: k=- {2m+n} over {m+6} +2]

연립하면 [eqn: m+2n=18]

[eqn: m=-2n+18]을 [eqn: k= {m-n} over {m-6} -1]에 대입하면 [eqn: k= {1} over {2}]가 나온다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 2k RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) =m+n=10]이므로 [eqn: m=22], [eqn: n=-2]가 된다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) +22x-2]

[eqn: f LEFT ( 4k RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =42]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 07월 21

좌표평면 위의 점 [eqn: {(0 ,```` t)}{{from^2019^07^인천교육청고3나^중}}]를 지나고 곡선

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: LEFT ( 0 ,```` t RIGHT )]를 지나는 직선이 곡선 [eqn: y=x ^{3} -ax ^{2} +3x-5]와 접할 때의 접점을 [eqn: LEFT ( k ,```` k ^{3} -ak ^{2} +3k-5 RIGHT )]라 하자.

[eqn: y '=3x ^{2} -2ax+3]이므로 접선의 방정식은
[eqn: y= LEFT ( 3k ^{2} -2ak+3 RIGHT ) LEFT ( x-k RIGHT ) +k ^{3} -ak ^{2} +3k-5]

이고, 이 접선이 점 [eqn: LEFT ( 0 ,```` t RIGHT )]를 지나므로

[eqn: t= -2k ^{3} +ak ^{2} -5]
[eqn: f(t)]는 곡선 [eqn: y= -2k ^{3} +ak ^{2} -5]와 직선 [eqn: y= t]의 교점의 개수이다.
[eqn: h(k)= -2k ^{3} +ak ^{2} -5]라 하면

[eqn: h prime LEFT ( k RIGHT ) = -6k ^{2} +2ak][eqn: = -2k(3k-a)]

[eqn: h prime (0) =h prime LEFT ( {a} over {3} RIGHT ) = 0]

[eqn: h(0)= -5], [eqn: h LEFT ( {a} over {3} RIGHT ) = {a ^{3}} over {27} -5]

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {cases{eqalign{ # # # pile{pile{pile{pile{#}#}#}#}# # }& # & }}]	[eqn: 1]		[eqn: LEFT ( t< -5 RIGHT )]
	[eqn: 2]		[eqn: LEFT ( t= -5 RIGHT )]
	[eqn: 3]		[eqn: LEFT ( -5<t< {a ^{3}} over {27} -5 RIGHT )]
	[eqn: 2]		[eqn: LEFT ( t= {a ^{3}} over {27} -5 RIGHT )]
	[eqn: 1]		[eqn: LEFT ( t> {a ^{3}} over {27} -5 RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT ) = {cases{eqalign{ # # # pile{pile{pile{pile{#}#}#}#}# # }& # & }}]	[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]		[eqn: LEFT ( t< -5 RIGHT )]
	[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]		[eqn: LEFT ( t= -5 RIGHT )]
	[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]		[eqn: LEFT ( -5<t< {a ^{3}} over {27} -5 RIGHT )]
	[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]		[eqn: LEFT ( t= {a ^{3}} over {27} -5 RIGHT )]
	[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]		[eqn: LEFT ( t> {a ^{3}} over {27} -5 RIGHT )]

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]에서

(ⅰ) [eqn: {a ^{3}} over {27} -5<3]인 경우
[eqn: -5<t< {a ^{3}} over {27} -5]일 때, [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( 3 RIGHT ) =1]이므로 조건(가)를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: {a ^{3}} over {27} -5=3]인 경우
[eqn: t< -5], [eqn: t> {a ^{3}} over {27} -5]일 때, [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) =3]
[eqn: t= -5], [eqn: {a ^{3}} over {27} -5]일 때, [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =3]
[eqn: -5<t< {a ^{3}} over {27} -5]일 때, [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( 3 RIGHT ) =2]
함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 치역의 원소의 개수가 [eqn: 2]이므로 조건(나)를 만족시키지 않는다.

(ⅲ) [eqn: {a ^{3}} over {27} -5>3]인 경우
실수 전체의 집합에서 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) LEQ 3< {a ^{3}} over {27} -5]이므로 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =3]이다.
이는 조건(가), (나)를 모두 만족시킨다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 주어진 조건을 만족시키는 [eqn: a]의 범위는	[eqn: a ^{3} >8 TIMES 27=6 ^{3}]

자연수 [eqn: a]의 최솟값 [eqn: m=7], [eqn: g LEFT ( m RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( 7 RIGHT ) RIGHT ) =3]

따라서 [eqn: m+g LEFT ( m RIGHT ) =7+3=10]

[eqn: y=x ^{3} -ax ^{2} +3x-5] ([eqn: a]는 자연수)

에 접하는 서로 다른 모든 직선의 개수를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]에 대하여 합성함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 다음 조건을 만족시키는 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: m+g LEFT ( m RIGHT )]의 값은?

(가) 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) >1]이다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 1]이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 06월 30
[출처]	2020 일반_시중교재 희망에듀 임정선 마플시너지
[출처]	2022 모의_사설 이투스 고3 ASAP10모의고사시즌2워크북

최고차항의 계수가 [eqn: {1}{{from^2019^06^평가원고3나^중}}]이고 [eqn: f(2)=3]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[eqn: g(x) = {cases{{ax-9} over {x-1} &&&(x<1)# ````` f(x)&&&(x GEQ 1)}}]

이 다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=t]가 서로 다른 두 점에서만 만나도록 하는 모든 실수 [eqn: t]의 값의 집합은 [eqn: LEFT { t ``|`` t=-1 RIGHT .] 또는 [eqn: LEFT. t GEQ 3 RIGHT }]이다.

[eqn: (g CIRC g)(-1)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 10월 30

양수 [eqn: a]에 대하여 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f left(x right)]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: g left( x right)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 340 }]

[해설]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f left( x right)]는 조건 (나)에서 [eqn: f left( 0 right) =0], [eqn: f prime left( 0 right) =0]이므로 [eqn: f left( x right) = x^2]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: g left( x right)]는 조건 (가), (나)에서 [eqn: g left( 0 right) =0], [eqn: g left ( a right) = 0], [eqn: g prime left( a right) =0]이므로 [eqn: g left( x right) = x left( x -a right)^2]

[eqn: int_0 ^a left{` g left( x right) - f left( x right) `right} dx]

[eqn: =int_0 ^a left{` x^3 - left(2a+1)x^2 +a^2 x `right} dx]
[eqn: = left[ pile{ ` # ` } 1 over4 x^4 - 2a+1 over 3 x^3 + a^2 over2 x^2 right ] _0 ^a]
[eqn: = {1} over {12} a ^{4} - {1} over {3} a ^{3}][eqn: =36]

그러므로 [eqn: left (a-6 right ) left (a^3 +2a^2 +12a+72 right)][eqn: =0]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=6]

두 곡선 [eqn: y= f left ( x right)], [eqn: y= g left ( x right)]의 교점을 구하면

[eqn: left(0 ,```` 0 right)], [eqn: left(4 ,```` 16 right)], [eqn: left( 9 ,```` 81 right)]

[eqn: int_0 ^6 left |`` f left( x right) - g left( x right) ``right | dx]

[eqn: = int_0 ^4 left{` g left( x right) - f left( x right) `right} dx + int_4 ^6 left{` f left( x right) - g left( x right) `right} dx]

[eqn: = LEFT [ pile{ ` #` } {1} over {4} x ^{4} - {13} over {3} x ^{3} +18x ^{2} RIGHT ] _{0}^{4} + LEFT [ pile{ ` #` } - {1} over {4} x ^{4} + {13} over {3} x ^{3} -18x ^{2} RIGHT ] _{4}^{6}]

[eqn: = 340 over 3]

따라서 [eqn: 3int_0 ^a left |`` f left( x right) - g left( x right) ``right | dx][eqn: =340]

(가) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =g LEFT ( 0 RIGHT )]

(나) [eqn: lim _{x ``->`` 0} { {f(x)} over {x}}][eqn: =0], [eqn: lim _{x ``->`` a} { {g(x)} over {x-a}}][eqn: =0]

(다) [eqn: int _{0} ^{a} {LEFT { g(x)-f(x) RIGHT } dx}][eqn: =36]

[eqn: 3 int _{0} ^{a} {left |`` f(x)-g(x) ``right |][eqn: dx}]의 값을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

두 이차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: 0 ≤ x < 4]에서

[정답] [eqn: 21]

[해설]

그림과 같은 모양이어야 한다.

[eqn: f(x) = a left( x - 5 over2 right)^2 + b] 라 하면

[eqn: f`'(x)= 2a left( x - 5 over2 right)]

[eqn: f`'(2) = 2a left( 2 - 5 over2 right) = - a = 1]

[eqn: f(2) = a left( 2 - 5 over2 right)^2 + b = 2], [eqn: b = 9 over4]

즉 [eqn: f(x) = - left( x - 5 over2 right)^2 +][eqn: 9 over4], [eqn: g(x)= left( x - 7 over2 right)^2 + 7 over4]

그리고 [eqn: k = 2]이다.

[eqn: h left( 13 over2 right) = h left( 5 over2 right) + 2 = f left( 5 over2 right) + 2 = 9 over4 + 2 = 17 over4], [eqn: THEREFORE][eqn: 4 +17 = 21]

[eqn: h(x) =cases{`` {it}^{it}^{it}x{it}_{it}_{it} &{it}^{it}^{it}(0 ≤ x < 2){it}_{it}_{it}#`` {it}^{it}^{it}f(x){it}_{it}_{it}&{it}^{it}^{it}(2 ≤ x < 3){it}_{it}_{it}#`` {it}^{it}^{it}g(x){it}_{it}_{it}&{it}^{it}^{it}(3 ≤ x < 4){it}_{it}_{it}}]

이고, 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: h(x) = h(x - 4)+ k] ([eqn: k]는 상수)이다.

(나) 함수 [eqn: h(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(다) [eqn: int _{0}^{4}h(x)`dx = 6]

[eqn: h left ({13 }over{2}right )`= {q }over{p}]일 때, [eqn: p + q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 07월 30

[eqn: {x= -3}{{from^2019^07^인천교육청고3나^중}}]과 [eqn: x=a][eqn: LEFT ( a> -3 RIGHT )]에서 극값을 갖는 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[정답] [eqn: bold { 80 }]

[해설]

모든 실수 [eqn: t]에 대해서 [eqn: left |`` f prime LEFT ( t RIGHT ) ``right | GEQ 0]이고, [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) = int _{0} ^{a} {left |`` f prime LEFT ( t RIGHT ) ``right | dt}][eqn: = -8<0]이므로 [eqn: a<0]

[eqn: x GEQ -3]에서 [eqn: left |`` f prime LEFT ( x RIGHT ) ``right | GEQ 0]이므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {left |`` f prime LEFT ( t RIGHT ) ``right | dt}]는 증가한다.

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=][eqn: -3]과 [eqn: x=a][eqn: LEFT ( a>-3 RIGHT )]에서 극값을 가지므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항의 계수가 양수이면 [eqn: x< -3]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 증가한다.

이때, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 증가하므로 극솟값을 갖지 않는다.

따라서 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항의 계수는 음수이다.

(ⅰ) [eqn: x< -3]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]

(ⅱ) [eqn: -3 LEQ x<a]일 때,

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =][eqn: int _{0} ^{a} {LEFT { -f prime LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } dt} + int _{a} ^{x} {f prime LEFT ( t RIGHT )} dt]
[eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( 0 RIGHT ) -2f LEFT ( a RIGHT )]

(ⅲ) [eqn: x GEQ a]일 때,

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =][eqn: int _{0} ^{x} {LEFT { -f prime LEFT ( t RIGHT ) RIGHT }} dt= -f LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( 0 RIGHT )]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x= -3]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x ``->`` -3-} {g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x ``->`` -3-} {f LEFT ( x RIGHT )} =f LEFT ( -3 RIGHT )]

[eqn: lim _{x ``->`` -3+} {g LEFT ( x RIGHT )}][eqn: = lim _{x ``->`` -3+} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( 0 RIGHT ) -2f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT }}]
[eqn: =f LEFT ( -3 RIGHT ) +f LEFT ( 0 RIGHT ) -2f LEFT ( a RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( -3 RIGHT ) =f LEFT ( -3 RIGHT ) +f LEFT ( 0 RIGHT ) -2f LEFT ( a RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =2f LEFT ( a RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: g LEFT ( a RIGHT ) = -f LEFT ( a RIGHT ) +f LEFT ( 0 RIGHT ) = -8]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = -16], [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) = -8]

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =k LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )]
[eqn: =k LEFT { x ^{2} + LEFT ( 3-a RIGHT ) x-3a RIGHT }][eqn: LEFT ( k<0 RIGHT )]

이라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( {1} over {3} x ^{3} + {3-a} over {2} x ^{2} -3ax RIGHT ) -16]

[eqn: g LEFT ( -3 RIGHT ) =f LEFT ( -3 RIGHT ) = {9} over {2} k LEFT ( a+1 RIGHT ) -16= -16]

[eqn: k != 0]이므로 [eqn: a= -1]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{eqalign{ # # }& # & }}]	[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: LEFT ( x< -1 RIGHT )]
	[eqn: -f LEFT ( x RIGHT ) -16]	[eqn: LEFT ( x GEQ -1 RIGHT )]

[eqn: int _{a} ^{4} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx}]

[eqn: = int _{-1} ^{4} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) + LEFT ( -f LEFT ( x RIGHT ) -16 RIGHT ) RIGHT } dx}]

[eqn: = int _{-1} ^{4} {LEFT ( -16 RIGHT ) dx} = -16 TIMES 5= -80]
따라서 [eqn: left |`` int _{a} ^{4} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx} ``right | =80]

[참고]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = -2x ^{3} -12x ^{2} -18x-16]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ ```````````````f LEFT ( x RIGHT )& & & LEFT ( x< -3 RIGHT )# int _{0} ^{x} {LEFT |`` f ` prime LEFT ( t RIGHT )`` RIGHT | dt} && & LEFT ( x GEQ -3 RIGHT )}}}]

이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: g LEFT ( -3 RIGHT ) = -16], [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) = -8]

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(다) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 극솟값을 갖는다.

[eqn: left |`` int _{a} ^{4} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx} ``right |]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 30

이차함수 [eqn: f(x)=x^{2}+2 x+2]와 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]는

[정답] [eqn: 141]

[해설]

(ⅰ) 함수 [eqn: y=f(x)][eqn: (x<0)]의 그래프와 직선 [eqn: y={t}over{3}]가 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: r(t)]라 하면

[eqn: r(t)=cases{0 && &(t<3)#1 &&&(t=3)#2 &&&(3<t<6)#1 &&&(t ge6)]

(ⅱ) 함수 [eqn: y= left |`` f(-x)-t ``right |][eqn: (x ge0)]의 그래프와 직선 [eqn: y={t}over{3}]가 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: s(t)]라 하자.

[eqn: f(-x)-t][eqn: =x^{2}-2x+2-t]
[eqn: =(x-1)^{2}+1-t]

함수 [eqn: y=f(-x)-t]의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 [eqn: (1 ,```` 1-t)], [eqn: y]축과 만나는 점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 2-t]

(1) [eqn: 1-t>{t}over{3}][eqn: left( t <{3}over{4}right)]일 때, [eqn: s(t)=0]

(2) [eqn: 1-t={t}over{3}][eqn: left(t={3}over{4} right)]일 때, [eqn: s(t)=1]

(3) [eqn: left |`` 1-t ``right | <{t}over{3}<2-t][eqn: left({3}over{4} <t<{3}over{2} right)]일 때, [eqn: s(t)=2]

(4) [eqn: t-1={t}over{3}=2-t][eqn: left(t={3}over{2} right)]일 때, [eqn: s(t)=3]

(5) [eqn: t-2<{t}over{3}<t-1][eqn: left({3}over{2}<t<3 right)]일 때, [eqn: s(t)=3]

(6) [eqn: {t}over{3}=t-2][eqn: left(t=3right)]일 때, [eqn: s(t)=3]

(7) [eqn: {t}over{3}<t-2][eqn: (t>3)]일 때, [eqn: s(t)=2]

[eqn: s(t)= {cases{0&&&LEFT ( t< {3} over {4} RIGHT )#1&&&LEFT ( t= {3} over {4} RIGHT )#2&&&LEFT ( {3} over {4} <t< {3} over {2} RIGHT )#3&&&LEFT ( {3} over {2} LEQ t LEQ 3 RIGHT )#2&&&LEFT ( t>3 RIGHT )}}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y={t}over{3}]가 만나는 서로 다른 점의 개수 [eqn: h(t)=r(t)+s(t)]

[eqn: h(t)= {cases{0 &&&LEFT ( t< {3} over {4} RIGHT )#1 &&&LEFT ( t= {3} over {4} RIGHT )#2 &&&LEFT ( {3} over {4} <t< {3} over {2} RIGHT )#3& &&LEFT ( {3} over {2} LEQ t < 3 RIGHT )#4 &&&LEFT ( 3 LEQ t<6 RIGHT )#3 &&&(t GEQ 6)}}]

[eqn: lim _{ t ``->`` alpha-} {h(t) }!= lim _{ t ``->`` alpha+} {h(t) }]인 [eqn: alpha]를 작은 수부터 크기순으로 나열하면

[eqn: alpha_{1}={3}over{4}], [eqn: alpha_{2}={3}over{2}], [eqn: alpha_{3}=3], [eqn: alpha_{4}=6]이고

[eqn: h(alpha_{1})=1], [eqn: h(alpha_{2})=3], [eqn: h(alpha_{3})=4], [eqn: h(alpha_{4})=3]

따라서

[eqn: sum _{ k=1} ^{m } left{` 4alpha_{k}timesh(alpha_{k}) `right}]

[eqn: =4times left({3}over{4}times1+{3}over{2}times3+3times4+6times3 right)]

[eqn: =141]

[eqn: g(x)=cases{f(x) && (x<0) #|f(-x)-t| && (x geq 0)}]

이다. 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y={t} over {3}]가 만나는 서로 다른 모든 점의 개수를 [eqn: h(t)]라 하자.

[eqn: lim _{t ``rarrow`` alpha-} h(t) neq lim _{t ``rarrow`` alpha+} h(t)]

인 모든 실수 [eqn: alpha]를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 [eqn: alpha_{1},`` alpha_{2},`` cdots,`` alpha_{m}(m]은 자연수[eqn: )]라 할 때, [eqn: sum_{k=1}^{m} left{ 4 alpha_{k} times h left( alpha_{k} right) it right}]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 21

좌표평면에 세 점 [eqn: {rm{O}} it (0,``0)], [eqn: {rm{A}} it ( sqrt{2},`` 0)], [eqn: {rm{B}} it (0,`` sqrt{2})]가 있다.

[정답] ⑤

[해설]

두 점 [eqn: {rm{A}} it ( sqrt{2},`` 0)], [eqn: {rm{B}} it (0,`` sqrt{2})]를 지나는 직선을 [eqn: l]이라 할 때, 직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: x+y- sqrt{2}=0]이고

원의 중심 [eqn: {rm{O}} it]와 직선 [eqn: l]사이의 거리는 [eqn: rm 1]이다.

[eqn: overline{{rm{AB}} it }=2]이므로 원 위의 한 점 [eqn: {rm{P}} it]와 직선 [eqn: l]사이의

거리를 [eqn: h]라 하면 삼각형 [eqn: {rm{ABP}} it]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times 2 times h=h]

따라서 삼각형 [eqn: {rm{ABP}} it]의 넓이가 자연수가 되도록

하는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 개수는 [eqn: h]가 자연수가 되도록 하는

점 [eqn: {rm{P}} it]의 개수와 같다.

ㄱ. [eqn: t={1} over {2}]일 때,
중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {2}]인 원 위의 점 중 [eqn: h]가 자연수가 되는 경우는 [eqn: h=1]인 경우뿐이다. [eqn: h=1]이 되는 원 위의 점의 개수는 [eqn: rm 2]이므로
[eqn: f left({1} over {2} right)=2](참)

ㄴ. [eqn: t=1]일 때,
중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원 위의 점 중 [eqn: h]가 자연수가 되는 경우는 [eqn: h=1]인 경우와 [eqn: h=2]인 경우이다.
[eqn: h=1]이 되는 원 위의 점의 개수는 [eqn: rm 2]이고
[eqn: h=2]가 되는 원 위의 점의 개수는 [eqn: rm 1]이므로 [eqn: f(1)=3]

[eqn: 1<t<2]일 때,
중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: t]인 원 위의 점 중 [eqn: h]가 자연수가 되는 경우는 [eqn: h=1]인 경우와 [eqn: h=2]인 경우이다.
[eqn: h=1]이 되는 원 위의 점의 개수는 [eqn: rm 2]이고
[eqn: h=2]가 되는 원 위의 점의 개수는 [eqn: rm 2]이므로
[eqn: lim _{t ``rarrow`` 1+} f(t)=4]
[eqn: lim _{t ``rarrow`` 1+} f(t) neq f(1)](참)

ㄷ. ㄴ과 같은 방법으로 구간 [eqn: (0,``4)]에서 함수 [eqn: f(t)]를 구하면
[eqn: f(t)= {cases{2&&(0<t<1)#3&&(t = 1)#4&&(1<t<2)#6&&(t=2)#8&&(2<t<3)#10&&(t=3)#12&&(3<t<4)}}]
함수 [eqn: f(t)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: 0<a<4]인 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(t)]가 [eqn: t=a]에서 불연속인 [eqn: a]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이므로 [eqn: a]의 개수는 [eqn: rm 3]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

점 [eqn: {rm{O}} it]를 중심으로 하는 원 [eqn: C]의 반지름의 길이가 [eqn: t]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{ABP}} it]의 넓이가 자연수인 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]의 개수를 함수 [eqn: f(t)]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른  것은? (단, 점 [eqn: {rm{P}} it]는 직선 [eqn: {rm{AB}} it] 위에 있지 않다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f left({1} over {2} right)=2] ㄴ. [eqn: lim _{t ``rarrow`` 1+} f(t) neq f(1)] ㄷ. [eqn: 0<a<4]인 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(t)]가 [eqn: t=a]에서 불연속인 [eqn: a]의 개수는 [eqn: rm 3]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 30

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2020^11^대수능고3나^5}}]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수이고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 일차함수이다. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: bold { 39 }]

[해설]

[eqn: y= left |`` f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) ``right |]가 조건에서

[eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) = left |`` f LEFT ( 0 RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT ) ``right | =0]

[eqn: therefore][eqn: f(0)=g(0)]	[eqn: cdotscdots] ㉠

또, [eqn: x=0]에서 미분가능해야 하므로

[eqn: f' LEFT ( 0 RIGHT ) -g' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =g' LEFT ( 0 RIGHT ) -f' LEFT ( 0 RIGHT )]

즉, [eqn: f' LEFT ( 0 RIGHT ) =g' LEFT ( 0 RIGHT )]이므로 [eqn: h``'(0)=0]	[eqn: cdotscdots] ㉡

그런데, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수이고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 일차함수이고 [eqn: x=0]에서 중근을 가져야 하므로

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} LEFT ( x-beta RIGHT )]

로 놓을 수 있다.

또한 [eqn: x<1]인 모든 구간에서도 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = left |`` f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) ``right |]가 미분가능해야 하므로 아래 그림과 같이 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) LEQ 0]이어야 한다.

즉, [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{-f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )&&&LEFT ( x<1 RIGHT )#````````f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )&&&LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]

[eqn: x=1]에서 미분가능하므로 연속이어야 한다.

즉, [eqn: -f LEFT ( 1 RIGHT ) +g LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) +g LEFT ( 1 RIGHT )]

또 미분가능하므로 [eqn: -f' LEFT ( 1 RIGHT ) +g' LEFT ( 1 RIGHT ) =f' LEFT ( 1 RIGHT ) +g' LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0 ,```` f``' LEFT ( 1 RIGHT ) =0]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-alpha RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]	[eqn: cdotscdots] ㉢

로 놓을 수 있다.

㉠에서 [eqn: g(0) =f(0)]이고, ㉢에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-alpha]이므로

[eqn: g(0)= -alpha]

㉢을 미분하면 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]	[eqn: cdotscdots] ㉣

㉡에서 [eqn: g' LEFT ( 0 RIGHT ) =f' LEFT ( 0 RIGHT )]이고, ㉣에서 [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =1+2 alpha]이므로

[eqn: g' LEFT ( 0 RIGHT ) = 1+ 2alpha]

따라서 [eqn: g(x)]는 [eqn: (0,````-alpha)]를 지나고 기울기가 [eqn: 1+2alpha]인 일차함수이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 1+2 alpha RIGHT ) x- alpha]	[eqn: cdotscdots] ㉤

조건에서 [eqn: h LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =5]이고, ㉢에서 [eqn: f(2) = 2- alpha], ㉤에서 [eqn: g(2) = 3alpha +2]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +g LEFT ( 2 RIGHT ) = LEFT ( 2- alpha RIGHT ) +2+4 alpha - alpha =5]

[eqn: therefore][eqn: alpha = {1} over {2}]

[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x- {1} over {2}]

[eqn: therefore][eqn: h LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 4 RIGHT ) +g LEFT ( 4 RIGHT )]
[eqn: = {7} over {2} TIMES 3 ^{2} + {15} over {2}]
[eqn: = {78} over {2}][eqn: =39]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT |`` f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) ``RIGHT | &&& LEFT ( x<1 RIGHT )# `````f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )&&& LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}}]

이라 하자. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0], [eqn: h LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =5]일 때, [eqn: h LEFT ( 4 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 30

삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 105]

[해설]

삼차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 개수를 [eqn: p(≠0)]라 하면

조건 (가)에서

[eqn: f(x) = p(x-1) (x-3) (x-q) (p, q]는 상수[eqn: )]

로 놓을 수 있고,

조건 (나)에서 [eqn: q<1]이다. 이때

[eqn: f(a-x)][eqn: = p(a-x-1) (a-x-3) (a-x-q)]
[eqn: = -p (x-a+1) (x-a+3) (x-a+q)]

이므로

[eqn: f(x) f(a-x)][eqn: = -p^2 (x-1) (x-3) (x-q)]
[eqn: times (x-a+1) (x-a+3) (x-a+q)]

따라서

[eqn: g(x)][eqn: =vert f(x)f(a-x)vert]
[eqn: = p^2 |(x-1) (x-3) (x-q)]
[eqn: times (x-a+1)(x-a+3) (x-a+q)|]

이고 [eqn: p<1<3]이고 [eqn: a-3 < a-1 <a-q]이므로

함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면

[eqn: g(x) = p^2 | (x-alpha )^2 (x-beta )^2 (x-gamma)^2 |] 꼴이어야 한다.

따라서

[eqn: a-3 = q,][eqn: a-1=1], [eqn: a-q=3] 이어야 한다.

따라서 [eqn: a=2], [eqn: q=-1]이므로

[eqn: f(x) = p(x+1) (x-1) (x-3)]

[eqn: f(a-x) = -p (x+1) (x-1) (x-3) = -f(x)]이다.

따라서

[eqn: g(x) = |f(x)f(a-x)|=f(x)^2] 이므로

[eqn: {g(4a)} over {f(0) times f(4a)][eqn: = {f(8)^2} over {f(0) times f(8)]
[eqn: = {f(8)} over {f(0)]
[eqn: = {p times 9 times 7 times 5} over {p times 1 times (-1) times (-3)]
[eqn: =105]

(가) [eqn: f(1)=f(3)=0]

(나) 집합 [eqn: left{ x `|` x geq 1 right.]이고 [eqn: left.f `prime (x)=0 it right}]의 원소의 개수는 [eqn: rm 1]이다.

상수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: g(x)=|f(x) f(a-x)|]가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: {g(4 a)} over {f(0) times f(4 a)}]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 30

양의 실수 [eqn: t]와 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[정답] [eqn: 35]

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: g(k)=0]인 양수 [eqn: k]가 존재한다.

[eqn: g(k)={f(k)-f(0)} over {k}=0]

[eqn: f(k)=f(0)]

조건 (가)에 의하여 함수 [eqn: f(x)]의

그래프는 점 [eqn: (k,`` f(k))]에서 직선 [eqn: y=f(0)]과 접한다.

[eqn: f(x)=x(x-k)^{2}+f(0)]

[eqn: f `prime (x)=(x-k)^{2}+2 x(x-k)]

[eqn: =(3 x-k)(x-k) cdots cdots] ㉠

[eqn: g(t)={f(t)-f(0)} over {t}={t(t-k)^{2}} over {t}=(t-k)^{2}]

조건 (나)에서 [eqn: f `prime (a)=g(a)]

[eqn: (3 a-k)(a-k)=(a-k)^{2}]

[eqn: 2 a(a-k)=0]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=k]

㉠에서 [eqn: f `prime (k)=0]이므로

[eqn: g(a)=0 ~ cdots cdots] ㉡

조건 (나)에서 [eqn: f `prime left({5} over {3} right)=g(a)]이고

㉡에서 [eqn: g(a)=0]이므로 [eqn: f `prime left({5} over {3} right)=0]

㉠에서 [eqn: f `prime (x)=0]에서

[eqn: x={k} over {3}] 또는 [eqn: x=k]이므로

[eqn: {k} over {3}={5} over {3}] 또는 [eqn: k={5} over {3}]

따라서 [eqn: k=5]

[eqn: f `prime (x)=(3 x-5)(x-5)]

[eqn: g(t)=(t-5)^{2}]

이차방정식 [eqn: f `prime (x)=g(m)]에서

[eqn: 3 x^{2}-20 x-m^{2}+10 m=0]

이차방정식 [eqn: f `prime (x)-g(m)=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D=(-20)^{2}-4 times 3 times left(-m^{2}+10 m right)]

[eqn: =12(m-5)^{2}+100>0]

이므로 이차방정식 [eqn: f `prime (x)-g(m)=0]은 [eqn: m]의 값에 관계없이 서로 다른 두 실근을 갖는다.

서로 다른 두 실근을 [eqn: c_{1}], [eqn: c_{2} left(c_{1}<c_{2} right)]라 하자.

[eqn: n left(A_{m} right)=2]이려면

[eqn: 0<c_{1}<c_{2} leq m]이어야 한다.

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 [eqn: c_{1} c_{2}={-m^{2}+10 m} over {3}>0]

[eqn: 0<m<10]

두 함수 [eqn: y=f `prime (x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: g(m)=(m-5)^{2} geq 0]이므로

[eqn: f `prime (x)=g(m)]에서

[eqn: f `prime (x)=(3 x-5)(x-5) geq 0]

[eqn: x leq {5} over {3}] 또는 [eqn: x geq 5]

(i) [eqn: 0<m<5]인 경우

[eqn: 0<c_{1}<m<5<c_{2}]이므로
[eqn: A_{m}= left{ c_{1} it right}]
[eqn: n left(A_{m} right) neq 2]

(ii) [eqn: m=5]인 경우
[eqn: g(5)=0]이므로
[eqn: f `prime (x)=g(5)=0]
[eqn: (3 x-5)(x-5)=0]
[eqn: x={5} over {3}] 또는 [eqn: x=5]
[eqn: A_{5}= left{ {5} over {3}], [eqn: 5 it right}]
[eqn: n left(A_{5} right)=2]

(iii) [eqn: 5<m<10]인 경우

[eqn: 0<c_{1}<c_{2}<m]이므로
[eqn: A_{m}= left{ c_{1}], [eqn: c_{2} it right}]
[eqn: n left(A_{m} right)=2]

(i), (ii), (iii)에 의해 [eqn: n left(A_{m} right)=2]를 만족시키는

자연수 [eqn: m]은 [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9]

따라서 [eqn: 5+6+7+8+9=35]

[eqn: g(t)={f(t)-f(0)} over {t}]

이라 하자. 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(t)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(t)]의 최솟값은 [eqn: rm 0]이다.

(나) [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f `prime (x)=g(a)]를 만족시키는 [eqn: x]의 값은 [eqn: a]와 [eqn: {5} over {3}]이다. (단, [eqn: a>{5} over {3}]인 상수이다.)

자연수 [eqn: m]에 대하여 집합 [eqn: A_{m}]을

[eqn: A_{m}= left{ x `|` f `prime (x)=g(m)], [eqn: 0<x leq m it right}]

이라 할 때, [eqn: n left(A_{m} right)=2]를 만족시키는 모든 자연수 [eqn: m]의 값의 합을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 30

이차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극대이고,

[정답] [eqn: 38]

[해설]

이차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=-1]에서 극대이므로

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=-1]에서 대칭이다. 그러므로

[eqn: f(-2)=f(0)=h(0)]

이때 [eqn: h(0)=k]라 하면 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x)][eqn: =a x(x+2)+k]
[eqn: =a x^{2}+2 a x+k ~ (a<0)]

로 놓을 수 있다.

한편, [eqn: g(x)]가 삼차함수이므로 [eqn: h(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 [eqn: x=0]에서의 곡선 [eqn: y=g(x)]에 접하는 접선의 기울기는 음수이어야 한다.

또, 방정식 [eqn: h(x)=h(0)]의 모든 실근이 합이 [eqn: 1]이어야 하므로 다음 두 가지로 나눌 수 있다.

(i) [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 양수인 경우

[eqn: g(x)][eqn: =p x(x-3)(x-q)+k]
[eqn: =p left{ x^{3}-(q+3) x^{2}+3 q x it right} +k]

한편, [eqn: g(x)]의 이차항의 계수가 [eqn: rm 0]이므로 [eqn: q=-3]이고

[eqn: g(x)=p left(x^{3}-9 x right)+k]

이때, [eqn: g `prime (x)=p left(3 x^{2}-9 right)]이므로 [eqn: g `prime (x)=0]에서

[eqn: x= sqrt{3}] 또는 [eqn: x=- sqrt{3}]

그러므로 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x= sqrt{3}]에서 극소이다.

한편, [eqn: x=0]에서의 곡선 [eqn: y=f(x)]의 접선의 기울기와 [eqn: x=0]에서의 곡선 [eqn: y=g(x)]의 접선의 기울기가 같아야 하고 [eqn: f `prime (x)=2 a x+2 a], [eqn: ~ g `prime (x)=p left(3 x^{2}-9 right)]이므로

[eqn: 2 a=-9 p]	[eqn: cdotscdots]㉠

또, 구간 [eqn: [-2,``3]]에서 [eqn: h(x)]의 최댓값은 [eqn: f(-1)],

최솟값은 [eqn: g( sqrt{3})]이므로 ㉠을 이용하면

[eqn: f(-1)-g( sqrt{3})][eqn: =(-a+k)-(-6 sqrt{3} p+k)]
[eqn: =-a+6 sqrt{3} p]
[eqn: ={9} over {2} p+6 sqrt{3} p]
[eqn: ={9+12 sqrt{3}} over {2} p]
[eqn: =3+4 sqrt{3}]

그러므로

[eqn: p={2} over {3}]이고

[eqn: a=-{9} over {2} p=-3]

따라서

[eqn: f `prime (x)=-6 x-6], [eqn: g `prime (x)=2 x^{2}-6]

이므로

[eqn: h `prime (-3)+h `prime (4)][eqn: =f `prime (-3)+g `prime (4)]
[eqn: =12+26=38]

(ii) [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 음수인 경우

[eqn: g(x)=p x(x- alpha)(x- beta)+k( alpha+ beta=3)]

로 놓으면

[eqn: g(x)][eqn: =p left{ x^{3}-( alpha+ beta) x^{2}+ alpha beta x it right} +k]
[eqn: =p left{ x^{3}-3 x^{2}+ alpha beta x it right} +k]

이므로 이차항의 계수가 [eqn: rm 0]이 아니다.

그러므로 이러한 경우는 없다.

따라서 (i)에서 구하는 값은 [eqn: rm 38]이다.

삼차함수 [eqn: g(x)]는 이차항의 계수가 [eqn: rm 0]이다. 함수

[eqn: h(x)=cases{f(x) && (x leq 0) #g(x) && (x>0)}]

이 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: h `prime (-3)+h `prime (4)]의 값을 구하시오.

(가) 방정식 [eqn: h(x)=h(0)]의 모든 실근의 합은 [eqn: rm 1]이다.

(나) 닫힌구간 [eqn: [-2,``3]]에서 함수 [eqn: h(x)]의 최댓값과 최솟값의 차는 [eqn: 3+4 sqrt{3}]이다.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 30

최고차항의 계수가 [eqn: rm 4]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] [eqn: 432]

[해설]

[eqn: f(x)]가 최고차항의 계수가 [eqn: rm 4]인 삼차함수이므로 [eqn: g(x)= int_{t}^{x} f(s) d s]는 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인

사차함수이고 실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: g(x)-g(a)]는 미분가능하다.

[eqn: g(x) geq g(a)]일 때, [eqn: |g(x)-g(a)|=g(x)-g(a)][eqn: g(x)<g(a)]일 때, [eqn: |g(x)-g(a)|=- left{ g(x)-g(a) it right}]

이므로 함수 [eqn: |g(x)-g(a)|]은 [eqn: g(x)-g(a) neq 0]인

모든 [eqn: x]에서 미분가능하다.

[eqn: g(x)-g(a)=0]를 만족시키는 [eqn: x]의 값을 [eqn: k]라 하면, [eqn: g(k)=g(a)]이므로

[eqn: {|g(x)-g(a)|-|g(k)-g(a)|} over {x-k}={|g(x)-g(k)|} over {x-k}]

(i) [eqn: x=k]의 좌우에서 [eqn: g(x)-g(a)]의 부호가 같을 때

[eqn: lim _{x`` rarrow ``k-} {} {vert g(x)-g(k)vert } over {x-k} = lim _{x`` rarrow ``k+} {} {vert g(x)-g(k)vert } over {x-k}]

이므로 함수 [eqn: |g(x)-g(a)|]는 [eqn: x=k]에서 미분가능하다.

(ii) [eqn: x=k]의 좌우에서 [eqn: g(x)-g(a)]의 부호가 다르다고 [eqn: f(k)=0]일 때

[eqn: lim _{x ``rarrow`` k-} {|g(x)-g(k)|} over {x-k}= lim _{x ``rarrow`` k+} {|g(x)-g(k)|} over {x-k}]

이므로 함수 [eqn: |g(x)-g(a)|]는 [eqn: x=k]에서 미분가능하다.

(iii) [eqn: x=k]의 좌우에서 [eqn: g(x)-g(a)]의 부호가 다르고. [eqn: f(k) neq 0]일 때,

[eqn: lim _{x`` rarrow ``k-} {} {vert g(x)-g(a)vert } over {x-k} != lim _{x`` rarrow ``k+} {} {vert g(x)-g(a)vert } over {x-k}]

이므로 함수 [eqn: |g(x)-g(a)|]는 [eqn: x=k]에서 미분가능하지 않다.

(나)에서 함수 [eqn: |g(x)-g(a)|]가 미분가능하지 않은 [eqn: x]의 개수가 [eqn: rm 1]이므로 [eqn: g(x)-g(a)=0], [eqn: g `prime (x)=f(x) neq 0]

인 [eqn: x]가 단 하나 존재한다는 것을 알 수 있다.

그러므로 사차함수 [eqn: y=g(x)]는 단 하나의 극솟값을 갖고 함수 [eqn: g(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=g(a)]는 서로 다른 두 점에서 만난다.

[eqn: g `prime (x)=0]인 방정식 [eqn: g(x)-g(a)=0]의 근을 [eqn: alpha],

함수 [eqn: g(x)]가 극솟값을 가질 때의 [eqn: x]의 값을 [eqn: beta]라

하면 [eqn: alpha], [eqn: beta]의 대소관계에 따라 다음과 같이 두 경우

로 나눌 수 있다.

(i) [eqn: alpha< beta]인 경우 [eqn: (]단, [eqn: g( gamma)=g( alpha),`` beta< gamma)]

함수 [eqn: y=g(x)]의 도함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 그려 보면

[eqn: g( alpha)=g( gamma)=g(a)]이므로 [eqn: alpha=a] 또는 [eqn: gamma=a]

(가)에서 [eqn: f `prime (a)=0]이므로 [eqn: alpha=a]이다.

따라서 [eqn: f(x)=4(x-a)^{2}(x- beta)]이다.

[eqn: h(t)=g(a)= int_{t}^{a} f(s) d s=- int_{a}^{t} f(s) d s]에서

[eqn: h `prime (t)=-f(t)]

함수 [eqn: h(t)]가 [eqn: t=2]에서 최댓값, 즉 극댓값을 가지

므로 [eqn: h `prime (2)=-f(2)=0]

따라서 [eqn: a=2] 또는 [eqn: beta=2]이다.

[eqn: a=2]이면 [eqn: h(2)= int_{2}^{2} f(t) d t=0 neq 27]

이므로 [eqn: a neq 2]

[eqn: beta=2]이면

[eqn: h(3)= int_{3}^{a} f(s) d s=0]이고,

[eqn: h(2)= int_{2}^{a} f(s) d s=27]이므로

[eqn: h(2)-h(3)= int_{2}^{3} f(s) d s=27]이다.

[eqn: int_{2}^{3} f(s) d s]

[eqn: = int_{2}^{3} 4(s-a)^{2}(s-2) d s]

[eqn: = int_{2}^{3} 4 left{ s^{3}-2(a+1) s^{2}+ left(a^{2}+4 a right) s-2 a^{2} it right} d s]

[eqn: = left[ pile{it #it} s^{4}-{8} over {3}(a+1) s^{3}+2 left(a^{2}+4 a right) s^{2}-8 a^{2} s right]_{2}^{3}]

[eqn: =65-{152} over {3}(a+1)+10 left(a^{2}+4 a right)-8 a^{2}]

[eqn: =2 a^{2}-{32} over {3} a+{43} over {3}=27] 이므로

[eqn: 3 a^{2}-16 a-19=0]

[eqn: (a+1)(3 a-19)=0]

[eqn: a=-1] 또는 [eqn: a={19} over {3}]

[eqn: a<2]이므로 [eqn: a=-1]이다.

[eqn: f(x)=4(x+1)^{2}(x-2)]라 하면 함수 [eqn: f(x)]는 주어진 조건을 만족시킨다.

(ii) [eqn: alpha> beta]인 경우 [eqn: (]단, [eqn: g( gamma)=g( alpha),`` gamma< beta)]

함수 [eqn: y=g(x)]의 도함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 그려 보면

(가)에서 [eqn: f `prime (a)=0]이므로 [eqn: alpha=a]이다.

따라서 [eqn: f(x)=4(x-a)^{2}(x- beta)]이다.

[eqn: alpha< beta]인 경우와 마찬가지로 [eqn: beta=2]이다.

[eqn: f(x)=4(x-a)^{2}(x-2)]

[eqn: a neq 3]이면 [eqn: h(3)= int_{3}^{a} f(s) d s neq 0]이므로 [eqn: a=3]

따라서 [eqn: f(x)=4(x-3)^{2}(x-2)]이고

[eqn: h(2)= int_{2}^{a} f(s) d s= int_{2}^{3} 4(s-3)^{2}(s-2) d s={1} over {3}]

[eqn: h(2) neq 27]이므로 주어진 조건을 만족시키는 함수[eqn: f(x)]가 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: f(x)=4(x+1)^{2}(x-2)]이다.

[eqn: f(5)=4 times 36 times 3=432]

[eqn: g(x)= int_{t}^{x} f(s) d s]

라 하자. 상수 [eqn: a]에 대하여 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f `prime (a)=0]

(나) 함수 [eqn: |g(x)-g(a)|]가 미분가능하지 않은 [eqn: x]의 개수는 [eqn: rm 1]이다.

실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g(a)]의 값을 [eqn: h(t)]라 할 때, [eqn: h(3)=0]이고 함수 [eqn: h(t)]는 [eqn: t=2]에서 최댓값 [eqn: rm 27]을 가진다.

[eqn: f(5)]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 30

함수 [eqn: {f(x)}{{from^2020^10^서울고3나^5}}][eqn: = {cases{```-3x ^{2}&&& LEFT ( x<1 RIGHT )#2 LEFT ( x-3 RIGHT )&&& LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] [eqn: bold { 80 }]

[해설]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {} LEFT ( t-1 RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{`-3x ^{3} +3x ^{2}& && LEFT ( x<1 RIGHT )#2x ^{2} -8x+6& && LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]

위의 식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 적분하면

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{``````- {3} over {4} x ^{4} +x ^{3} +C _{1}& LEFT ( x<1 RIGHT )#{2} over {3} x ^{3} -4x ^{2} +6x+C _{2}& LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]

(단, [eqn: C _{1}], [eqn: C _{2}]는 적분상수)

[eqn: g' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]이므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =1]에서 연속이다.

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: C _{1}][eqn: =0]이고 [eqn: - {3} over {4} +1][eqn: = {2} over {3} -4+6+C _{2}]에서

[eqn: C _{2}][eqn: =- {29} over {12}]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{``````````````````- {3} over {4} x ^{4} +x ^{3}& & & LEFT ( x<1 RIGHT )#{2} over {3} x ^{3} -4x ^{2} +6x- {29} over {12}& & & LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]

함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

위의 그래프를 이용하여 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]를 구하면

[eqn: h LEFT ( t RIGHT )][eqn: = {cases{1& && LEFT ( t< it - {29} over {12} ```` 또는 ```` t> {1} over {4} RIGHT )#2 &&& LEFT ( t= it - {29} over {12} ```` 또는 ```` t= {1} over {4} RIGHT )# 3&&&LEFT ( - {29} over {12} <t< {1} over {4} RIGHT )}}}]

이므로 [eqn: left |`` lim _{t ``->`` a+} {h(t)} - lim _{t ``->`` a-} {h(t)} ``right | =2]를 만족시키는 실수 [eqn: a]의 값은 [eqn: {1} over {4}]과 [eqn: - {29} over {12}]뿐이다.

그러므로 [eqn: S][eqn: = left |`` {1} over {4} ``right | + left |`` - {29} over {12} ``right |][eqn: = {8} over {3}]

따라서 [eqn: 30S][eqn: =30 TIMES {8} over {3}][eqn: =80]

[참고]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {} LEFT ( t-1 RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt]는 다음과 같이 구할 수도 있다.

(ⅰ) [eqn: x<1]일 때,
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {} LEFT ( t-1 RIGHT ) LEFT ( -3t ^{2} RIGHT ) dt][eqn: =- {3} over {4} x ^{4} +x ^{3}]

(ⅱ) [eqn: x GEQ 1]일 때,

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{1} {} LEFT ( t-1 RIGHT ) LEFT ( -3t ^{2} RIGHT ) dt+ int _{1} ^{x} {} 2 LEFT ( t-1 RIGHT ) LEFT ( t-3 RIGHT ) dt]
[eqn: = {2} over {3} x ^{3} -4x ^{2} +6x- {29} over {12}]

[eqn: g(x)][eqn: = int _{0} ^{x} {LEFT ( t-1 RIGHT ) f(t)} dt]

라 할 때, 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=t]와 곡선 [eqn: y=g(x)]가 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: h(t)]라 하자.

[eqn: left |`` lim _{t ``->`` a+} {h(t)} - lim _{t ``->`` a-} {h(t)} ``right | =2]

를 만족시키는 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: left |`` a ``right |]의 값의 합을 [eqn: S]라 할 때, [eqn: 30S]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 30

[eqn: t geq 6-3 sqrt{2}]인 실수 [eqn: t]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가

[정답] [eqn: 37]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이고,

[eqn: x<0]일 때, [eqn: f `prime (x)=6 x+t],

[eqn: x>0]일 때, [eqn: f `prime (x)=-6 x+t]이므로 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: x=-{t} over {6}]에서 극소, [eqn: x={t} over {6}]에서 극대이다.

[eqn: f(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값은

[eqn: x=-{t} over {3}] 또는 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x={t} over {3}]

[eqn: f_{1}(x)=3 x^{2}+t x], [eqn: f_{2}(x)=-3 x^{2}+t x]라 하자.

(i) [eqn: {t} over {3} geq 1]인 경우 (즉, [eqn: t geq 3])

조건(가)에서 닫힌구간 [eqn: [k-1,`` k]]의 길이는 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 [eqn: rm 1]로 일정하다.
함수 [eqn: f_{1}(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=-{t} over {6}]에 대하여 대칭이므로 방정식 [eqn: f_{1}(k-1)=f_{1}(k)]를
만족시키는 [eqn: k]의 값은 [eqn: k=-{t} over {6}+{1} over {2}]
함수 [eqn: f_{2}(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x={t} over {6}]에 대하여
대칭이므로 방정식 [eqn: f_{2}(k-1)=f_{2}(k)]를
만족시키는 [eqn: k]의 값은 [eqn: k={t} over {6}+{1} over {2}]
함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x={t} over {6}]에서 극대이므로 조건(가)를 만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위는
[eqn: -{t} over {6}+{1} over {2} leq k leq {t} over {6} ~ cdots cdots] ㉠
조건(나)에서 닫힌구간 [eqn: [k,`` k+1]]의 길이는
[eqn: k]의 값에 관계없이 항상 [eqn: rm 1]로 일정하고
함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-{t} over {6}]에서 극소이므로
조건(나)를 만족시키는 [eqn: k+1]의 값의 범위는
[eqn: k+1 leq-{t} over {6} ~] 또는 [eqn: k+1 geq {t} over {6}+{1} over {2}]
즉, [eqn: k leq-{t} over {6}-1] 또는 [eqn: k geq {t} over {6}-{1} over {2} cdots cdots] ㉡
㉠, ㉡에 의하여 [eqn: t geq 3]에서 조건(가), (나)를 만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위는
[eqn: {t} over {6}-{1} over {2} leq k leq {t} over {6}]이므로 [eqn: g(t)={t} over {6}-{1} over {2}={t-3} over {6}]

(ii) [eqn: {t} over {3}<1]인 경우 [eqn: (]즉, [eqn: 6-3 sqrt{2} leq t<3)]

[eqn: f_{1} left(-{t} over {6} right)=3 times left(-{t} over {6} right)^{2}+t left(-{t} over {6} right)=-{t^{2}} over {12}]이므로 [eqn: f_{2}(x)=-{t^{2}} over {12}]을 만족시키는 양수 [eqn: x]의 값은
[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: -3 x^{2}+t x=-{t^{2}} over {12}]의
양의 실근인 [eqn: x={(1+ sqrt{2}) t} over {6}]
[eqn: t geq 6-3 sqrt{2}]이므로 [eqn: {(1+ sqrt{2}) t} over {6}- left(-{t} over {6} right)][eqn: ={(2+ sqrt{2}) t} over {6} geq {(2+ sqrt{2})(6-3 sqrt{2})} over {6}=1]
조건(가)에서 닫힌구간 [eqn: [k-1,`` k]]의 길이는
[eqn: k]의 값에 관계없이 항상 [eqn: rm 1]로 일정하다. [eqn: 6-3 sqrt{2} leq t<3]에서
방정식 [eqn: f_{1}(k-1)=f_{2}(k)]를 만족시키는 [eqn: k]의 값은 [eqn: k]에 대한 방정식
[eqn: 3(k-1)^{2}+t(k-1)=-3 k^{2}+t k]의 실근인
[eqn: k={3- sqrt{6 t-9}} over {6}] 또는 [eqn: k={3+ sqrt{6 t-9}} over {6}]
함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x={t} over {6}]에서 극대이므로
조건(가)를 만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: {3- sqrt{6 t-9}} over {6} leq k leq {t} over {6} cdots cdots] ㉢
조건(나)에서 닫힌구간 [eqn: [k,`` k+1]]의 길이는 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 [eqn: rm 1]로 일정하고
함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-{t} over {6}]에서 극소이므로
조건(나)를 만족시키는 [eqn: k+1]의 값의 범위는
[eqn: k+1 leq-{t} over {6}] 또는 [eqn: k+1 geq {3+ sqrt{6 t-9}} over {6}]
즉, [eqn: k leq-{t} over {6}-1] 또는 [eqn: k geq {-3+ sqrt{6 t-9}} over {6} cdotscdots] ㉣
㉢, ㉣ 에 의하여
[eqn: 6-3 sqrt{2} leq t<3]에서 조건(가), (나)를
만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위는
[eqn: {3- sqrt{6 t-9}} over {6} leq k leq {t} over {6}]이므로
[eqn: g(t)={3- sqrt{6 t-9}} over {6}]

(i), (ii)에 의하여

[eqn: g(t)=cases{{3- sqrt{6 t-9}} over {6} && (6-3 sqrt{2} leq t<3) #{t-3} over {6} && (t geq 3)}]

따라서

[eqn: 3 int_{2}^{4} left{ 6 g(t)-3 it right} ^{2} d t]

[eqn: =3 int_{2}^{3} left(6 times {3- sqrt{6 t-9}} over {6}-3 right)^{2} d t]

[eqn: ~ +3 int_{3}^{4} left{ 6 times left({t-3} over {6} right)-3 it right} ^{2} d t]

[eqn: =3 int_{2}^{3}(6 t-9) d t+3 int_{3}^{4}(t-6)^{2} d t]

[eqn: =18+19]

[eqn: =37]

[eqn: f(x)=cases{3 x^{2}+t x && (x<0) #-3 x^{2}+t x && (x geq 0)}]

일 때, 다음 조건을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 최솟값을 [eqn: g(t)]라 하자.

(가) 닫힌구간 [eqn: [k-1,`` k]]에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=k]에서 최댓값을 갖는다.

(나) 닫힌구간 [eqn: [k,`` k+1]]에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=k+1]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: 3 int_{2}^{4} left{ 6 g(t)-3 it right} ^{2} d t]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 18

두 함수 [eqn: f(x)=x^{4}(x-a)], [eqn: g(x)=k(x-1)(x-b)]의 그래프가 직선 [eqn: y=x-1]에 접한다. 함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 함수 [eqn: g(x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같을 때, 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: k]에 대하여 [eqn: a b k]의 값은? (단, [eqn: b>1])

[정답] ②

[해설]

[eqn: f(x)]와 [eqn: y=x-1]의 접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하면 [eqn: f `prime (t)=5 t^{4}-4 a t^{3}=1]

[eqn: t^{5}-a t^{4}=t-1]

정리하면

[eqn: a={5 t^{4}-1} over {4 t^{3}}={t^{5}-t+1} over {t^{4}}]

[eqn: t^{5}+3 t-4=0], [eqn: (t-1) left(t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+4 right)=0]

[eqn: therefore~t=1], [eqn: a=1], [eqn: f(x)=x^{4}(x-1)]

한편 [eqn: g(x)]와 [eqn: y=x-1]의 접점은 [eqn: (1,``0)]이므로

[eqn: g `prime (1)=k(1-b)=1]

이제 두 영역의 넓이에서

[eqn: int_{0}^{1} left(x^{4}-x^{5} right) d x= int_{1}^{b} k(x-1)(x-b) d x]

[eqn: {1} over {30}={-k(b-1)^{3}} over {6}], [eqn: k(b-1)^{3}=it-{1} over {5}]

[eqn: k={1} over {1-b}=it-{1} over {5(b-1)^{3}}]

[eqn: (b-1)^{2}={1} over {5}]

[eqn: therefore~b=1+{1} over { sqrt{5}}], [eqn: k=it- sqrt{5}]

따라서 [eqn: a b k=it-1- sqrt{5}]

① [eqn: -2- sqrt{5}]	② [eqn: -1- sqrt{5}]	③ [eqn: - sqrt{5}]

④ [eqn: 1- sqrt{5}]	⑤ [eqn: 2- sqrt{5}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 30

닫힌구간 [eqn: [-1,``1]]에서 정의된 연속함수 [eqn: f(x)]는 정의역에서 증가하고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]가 성립할 때, 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 41]

[해설]

문제에서 [eqn: int_{0}^{1} f(x) d x=1]이고, 함수 [eqn: y=f(x)]의

그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

그러므로 그림에서 색칠된 영역의 넓이는 [eqn: 3-1=2]

닫힌구간 [eqn: [3,``6]]에서 [eqn: int_{3}^{6} g(x) d x= int_{3}^{6}|g(x)| d x]는

곡선 [eqn: y=g(x)]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=3], [eqn: x=6]으로 둘러싸인 도형의 넓이이므로 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 구하는 영역을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

닫힌구간 [eqn: [3,``5]]에서 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 함 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: rm 4]만큼 평행이동하고 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: rm 12]만큼 평행이동한 그래프이므로 [eqn: int_{3}^{5} g(x) d x=2 times 12=24]

닫힌구간 [eqn: [5,``7]]에서 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: rm 6]만큼 평행이동하고 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: rm 18]만큼 평행이동한 그래프이므로 [eqn: int_{5}^{6} g(x) d x=15 times 1+2=17]

따라서 [eqn: int_{3}^{6} g(x) d x= int_{3}^{5} g(x) d x+ int_{5}^{6} g(x) d x=41]

(가) 닫힌구간 [eqn: [-1,``1]]에서 [eqn: g(x)=f(x)]이다.

(나) 닫힌구간 [eqn: [2 n-1,``2 n+1]]에서 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2 n]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 6 n]만큼 평행이동한 그래프이다. (단, [eqn: n]은 자연수이다.)

[eqn: f(1)=3]이고 [eqn: int_{0}^{1} f(x) d x=1]일 때, [eqn: int_{3}^{6} g(x) d x]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 30

세 실수 [eqn: {a` LEFT ( a != 0 RIGHT )}{{from^2021^9 고2인천^중}}], [eqn: b,````k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를

[정답] [eqn: bold { 28 }]

[해설]

[eqn: f _{1} LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} + LEFT ( 2b-3 RIGHT ) x+a ^{2} -3],

[eqn: f _{2} LEFT ( x RIGHT ) =`- {1} over {3} ax ^{2} + LEFT ( b+5 RIGHT ) x+a ^{2} -1]

이라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f _{1} LEFT ( x RIGHT ) ````````````````&LEFT ( x<k RIGHT )#f _{2} LEFT ( x RIGHT )&LEFT ( x GEQ k RIGHT )}}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >0]이면 [eqn: {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( x RIGHT )} =1],

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) <0]이면 [eqn: {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( x RIGHT )} =-1]

임의의 실수 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: lim _{x-> alpha } {f LEFT ( x RIGHT )}]가 존재하므로

(ⅰ) [eqn: x _{1} <x<x _{2}]인 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]일 때
[eqn: x _{1} < alpha <x _{2}]인 임의의 [eqn: alpha]에 대하여
[eqn: lim _{t-> alpha +} {{LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( t RIGHT )}} = lim _{t-> alpha -} {{LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( t RIGHT )}} =1], [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT ) =0]

(ⅱ) [eqn: x _{3} <x<x _{4}]인 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 0]일 때
[eqn: x _{3} < alpha <x _{4}]인 임의의 [eqn: alpha]에 대하여
[eqn: lim _{t -> alpha +} {{LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( t RIGHT )}} = lim _{t -> alpha -} {{LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( t RIGHT )}} =`-1], [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT ) =0]

(ⅲ) [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =0]이고 [eqn: x= alpha]의 좌우에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 함숫값의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 변하는 경우

[eqn: lim _{t -> alpha +} {{LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( t RIGHT )}} =1], [eqn: lim _{t -> alpha -} {{LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( t RIGHT )}} =`-1]이므로 [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT ) =2]

(ⅳ) [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =0]이고 [eqn: x= alpha]의 좌우에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 함숫값의 부호가 양([eqn: +])에서 음([eqn: -])으로 변하는 경우

[eqn: lim _{t -> alpha +} {{LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( t RIGHT )}} =`-1], [eqn: lim _{t -> alpha -} {{LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( t RIGHT )}} =`1]이므로 [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT ) =-2]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 함숫값이 될 수 있는 것은 [eqn: -2,````0,````2]

함수 [eqn: y=-4 LEFT |`` log _{2} {x} over {2}`` RIGHT | +2]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 함수 [eqn: y=`-4 LEFT | ``log _{2} {x} over {2} ``RIGHT | +2]의 그래프의 교점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: -2,````0,````2]만 가능하다.

방정식 [eqn: `-4 LEFT | log _{2} {x} over {2} RIGHT | +2=-2]의 해는

[eqn: x=1] 또는 [eqn: x=4]

방정식 [eqn: `-4 LEFT | log _{2} {x} over {2} RIGHT | +2=0]의 해는

[eqn: x= sqrt {2}] 또는 [eqn: x=2 sqrt {2}]

방정식 [eqn: `-4 LEFT | log _{2} {x} over {2} RIGHT | +2=2]의 해는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 함수 [eqn: y=`-4 LEFT | log _{2} {x} over {2} RIGHT | +2]의 그래프의 교점의 개수가 [eqn: 5]이므로 교점은

[eqn: LEFT ( 1,````-2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( sqrt {2} ,````0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,````2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2 sqrt {2} ,````0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,````-2 RIGHT )]

이고 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =g LEFT ( 4 RIGHT ) =`-2], [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =2], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =0]

[eqn: k LEQ 1]이면 [eqn: x GEQ k]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f _{2} LEFT ( x RIGHT ) =`- {1} over {3} ax ^{2} + LEFT ( b+5 RIGHT ) x+a ^{2} -1]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =0]이 성립하지 않는다.

[eqn: k>4]이면 [eqn: x<k]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f _{1} LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} + LEFT ( 2b-3 RIGHT ) x+a ^{2} -3]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =0]이 성립하지 않는다.

그러므로 [eqn: 1<k LEQ 4]이고

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f _{1} LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =f _{2} LEFT ( 4 RIGHT )]	[eqn: CDOTS cdots] ㉠

[eqn: a<0]이면 함수 [eqn: f _{1} LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 위로 볼록, 함수 [eqn: f _{2} LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 아래로 볼록이고 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =g LEFT ( 4 RIGHT ) =`-2], [eqn: f _{1} LEFT ( 1 RIGHT ) =f _{2} LEFT ( 4 RIGHT ) =0]을 만족시키는 두 곡선 [eqn: y=f _{1} LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=f _{2} LEFT ( x RIGHT )]의 개형은 다음과 같다.

이때, [eqn: f _{1} LEFT ( 2 RIGHT ) != 0]이고 [eqn: f _{2} LEFT ( 2 RIGHT ) != 0]이므로 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]이 성립하지 않는다.

그러므로 [eqn: a>0]

㉠에 의하여

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f _{1} LEFT ( 1 RIGHT ) =a+ LEFT ( 2b-3 RIGHT ) +a ^{2} -3=0]

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =f _{2} LEFT ( 4 RIGHT ) =`- {16} over {3} a+ LEFT ( 4b+20 RIGHT ) +a ^{2} -1=0]

에서 [eqn: a=`- {31} over {3}] 또는 [eqn: a=3]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=3], [eqn: b=`-3]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{3x ^{2} -9x+6````````````````&LEFT ( x<k RIGHT )#-x ^{2} +2x+8&LEFT ( x GEQ k RIGHT )}}]

조건 (가)에 의하여

[eqn: lim _{x -> k-} {f LEFT ( x RIGHT ) `=` lim _{x -> k+} {f LEFT ( x RIGHT )}}]

[eqn: lim _{x -> k-} {LEFT ( 3x ^{2} -9x+6 RIGHT ) `=` lim _{x -> k+} {LEFT ( -x ^{2} +2x+8 RIGHT )}}]

[eqn: 4k ^{2} -11k-2=0], [eqn: k= {11±3 sqrt {17}} over {8}]

[eqn: 1<k LEQ 4]이므로 [eqn: k= {11+3 sqrt {17}} over {8}]

따라서 [eqn: p= {11} over {8}], [eqn: q= {3} over {8}]이므로 [eqn: 16 LEFT ( p+q RIGHT ) =16 TIMES {14} over {8} =28]

[참고]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: f(x)`= {cases{ax ^{2} + LEFT ( 2b-3 RIGHT ) x+a ^{2} -3``````````````````&LEFT ( x<k RIGHT )#- {1} over {3} ax ^{2} + LEFT ( b+5 RIGHT ) x+a ^{2} -1&LEFT ( x GEQ k RIGHT )}}]

라 하자. 함수

[eqn: g(x)= lim _{t-> x+} {{LEFT | f(t) RIGHT |} over {f(t)}} - lim _{t-> x-} {{LEFT | f(t) RIGHT |} over {f(t)}}]

에 대하여 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 임의의 실수 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: lim _{x-> alpha } {f(x)}]가 존재한다.

(나) 두 함수 [eqn: y=g(x)]와 [eqn: y=`-4 LEFT |`` log _{2} {x} over {2} ``RIGHT | +2]의 그래프의 서로 다른 교점의 개수는 [eqn: 5]이다.

[eqn: k=p+q sqrt {17}]일 때, [eqn: 16 LEFT ( p+q RIGHT )]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p,````q]는 유리수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 30

두 자연수 [eqn: a,~b]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2ax+b]라 할 때, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: 44]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a ^{2} +b]이므로 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 [eqn: LEFT ( a,~-a ^{2} +b RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x+a RIGHT ) =x ^{2} -a ^{2} +b]이므로 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x+a RIGHT )]의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~-a ^{2} +b RIGHT )]이고

[eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =f LEFT ( 2a RIGHT ) =b]

(ⅰ) [eqn: a ^{2} -b LEQ 0]일 때

[eqn: -a ^{2} +b GEQ 0]이므로

두 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) ,~y=h LEFT ( t RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: t>b]일 때 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) -2=0]이고

[eqn: t<it-a ^{2} +b+k]일 때 [eqn: h LEFT ( t-k RIGHT ) =0]이다.

(a) [eqn: k>a ^{2}]일 때
모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) =0]이므로 함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(b) [eqn: k=a ^{2}]일 때
[eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) = {cases{0&~ LEFT ( t!=b RIGHT )#1&~ LEFT ( t=b RIGHT )}}]이므로
함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 [eqn: t=b]에서 불연속이다.

(c) [eqn: k<a ^{2}]일 때
[eqn: lim _{t`-> `b+} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } =0}]이고
[eqn: lim _{t`-> `b+} {`h LEFT ( t-k RIGHT ) =alpha _{1} ~ LEFT ( alpha _{1} =2,~3 RIGHT )}]이므로
[eqn: lim _{t`-> `b+} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) =0}]
한편 [eqn: lim _{t`-> `b-} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } =1}]이고
[eqn: lim _{t` -> `b-} {`h LEFT ( t-k RIGHT ) =beta _{1} ~ LEFT ( beta _{1} =2,~3 RIGHT )}]이므로
[eqn: lim _{t` -> `b-} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) !=0}]
그러므로 함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 [eqn: t=b]에서 불연속이다.

(a), (b), (c)에 의해 [eqn: k>a ^{2}]인 임의의 실수 [eqn: k]에 대해서만 함수

[eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(ⅱ) [eqn: 0<a ^{2} -b<b]인 경우

두 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) ,~y=h LEFT ( t RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: t>b]일 때 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) -2=0]이고

[eqn: t<it-a ^{2} +b+k]일 때 [eqn: h LEFT ( t-k RIGHT ) =0]이다.

(a) [eqn: k>a ^{2}]일 때
모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) =0]이므로 함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(b) [eqn: k=a ^{2}]일 때
[eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) = {cases{0&~ LEFT ( t!=b RIGHT )#1&~ LEFT ( t=b RIGHT )}}]이므로
함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 [eqn: t=b]에서 불연속이다.

(c) [eqn: k<a ^{2}]
[eqn: lim _{t`-> `b+} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } =0}]이고
[eqn: lim _{t` -> `b+} {`h LEFT ( t-k RIGHT ) = alpha _{2} ~ LEFT ( alpha _{2} =2,~3,~4 RIGHT )}]이므로
[eqn: lim _{t`-> `b+} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) =0}]
한편 [eqn: lim _{t`-> `b-} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } =1}]이고
[eqn: lim _{t` -> `b-} {`h LEFT ( t-k RIGHT ) = beta _{2} ~ LEFT ( beta _{2} =2,~3,~4 RIGHT )}]이므로
[eqn: lim _{t` -> `b-} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) !=0}]
그러므로 함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 [eqn: t=b]에서 불연속이다.

(a), (b), (c)에 의해 [eqn: k>a ^{2}]인 임의의 실수 [eqn: k]에 대해서만 함수

[eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(ⅲ) [eqn: a ^{2} -b=b]인 경우

두 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) ,~y=h LEFT ( t RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: t>b]일 때 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) -2=0]이고

[eqn: t<it-b+k]일 때 [eqn: h LEFT ( t-k RIGHT ) =0]이다.

(a) [eqn: k>2b]일 때
모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) =0]이므로 함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(b) [eqn: k=2b]일 때
[eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) = {cases{0&~ LEFT ( t!=b RIGHT )#1&~ LEFT ( t=b RIGHT )}}]이므로
함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 [eqn: t=b]에서 불연속이다.

(c) [eqn: k<2b]일 때
[eqn: lim _{t`-> `b+} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } =0}]이고
[eqn: lim _{t` -> `b+} {`h LEFT ( t-k RIGHT ) = alpha _{3} ~ LEFT ( alpha _{3} =2,~4 RIGHT )}]이므로
[eqn: lim _{t` -> `b+} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) =0}]이다.
한편 [eqn: lim _{t` -> `b-} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } =2}]이고
[eqn: lim _{t` -> `b-} {`h LEFT ( t-k RIGHT ) = beta _{3} ~ LEFT ( beta _{3} =2,~4 RIGHT )}]이므로
[eqn: lim _{t` -> `b-} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) !=0}]이다.
그러므로 함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 [eqn: t=b]에서 불연속이다.

(a), (b), (c)에 의해 [eqn: k>2b]인 임의의 실수 [eqn: k]에 대해서만 함수

[eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(ⅳ) [eqn: a ^{2} -b>b]인 경우

두 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) ,~y=h LEFT ( t RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: t GEQ a ^{2} -b]일 때 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) -2=0]이고

[eqn: t<it-a ^{2} +b+k]일 때 [eqn: h LEFT ( t-k RIGHT ) =0]이다.

(a) [eqn: k GEQ 2 LEFT ( a ^{2} -b RIGHT )]일 때
모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) =0]이므로 함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(b) [eqn: k<2 LEFT ( a ^{2} -b RIGHT )]일 때
[eqn: lim _{t` -> ` LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) +} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } =0}]이고
[eqn: lim _{t` -> ` LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) +} {`h LEFT ( t-k RIGHT ) = alpha _{4} ~ LEFT ( alpha _{4} =2,~3,~4 RIGHT )}]이므로
[eqn: lim _{t` -> ` LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) +} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) =0}]이다.
한편 [eqn: lim _{t` -> ` LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) -} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } =1}]이고
[eqn: lim _{t` -> ` LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) -} {`h LEFT ( t-k RIGHT ) = beta _{4} ~ LEFT ( beta _{4} =2,~3,~4 RIGHT )}]이므로
[eqn: lim _{t` -> ` LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) -} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) != 0}]이다.
그러므로 함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 [eqn: t=a ^{2} -b]에서 불연속이다.

(a), (b)에 의해 [eqn: k GEQ 2 LEFT ( a ^{2} -b RIGHT )]인 임의의 실수 [eqn: k]에 대해서만 함수

[eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(ⅰ)[eqn: SIM](ⅳ)에서 조건을 만족시키는 경우는 (ⅳ)이므로

[eqn: 2 LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) =24]

[eqn: a ^{2} -b=12]에서

[eqn: b=a ^{2} -12>0]이므로 [eqn: a ^{2} >12]

[eqn: a ^{2} -b>b]에서 [eqn: a ^{2} -2b][eqn: =a ^{2} -2 LEFT ( a ^{2} -12 RIGHT )]
[eqn: =24-a ^{2} >0]

이므로 [eqn: a ^{2} <24]

그러므로 [eqn: 12<a ^{2} <24]

[eqn: a]는 자연수이므로 [eqn: a=4,~b=4]

따라서 [eqn: 10a+b=44]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f LEFT ( x+a RIGHT )&~ LEFT ( x LEQ a RIGHT )#LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |&~ LEFT ( x>a RIGHT )}}]

라 하자. 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=t]와 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: k GEQ 24]인 임의의 실수 [eqn: k]에 대해서만 함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이다.

[eqn: 10a+b]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 22

양수 [eqn: a]에 대하여 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 108]

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: x != 0,`x != 2`]일 때,

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {x LEFT ( x-3 RIGHT )} over {LEFT | x LEFT ( x-2 RIGHT ) RIGHT |} LEFT ( LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -a RIGHT )]

[eqn: x<0] 또는 [eqn: x>2]일 때, [eqn: x LEFT ( x-2 RIGHT ) >0]이고

[eqn: 0<x<2]일 때, [eqn: x LEFT ( x-2 RIGHT ) <0]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -a&~~~ LEFT ( x<0`~또는~`x>0 RIGHT )#eqalign{# a- LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |}&eqalign{# ~~~ LEFT ( 0<x<2 RIGHT )}}}]

조건 (나)에 의해 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0,`x=2]에서 미분 가능하므로  [eqn: x=0,`x=2]에서 연속이다.

즉, [eqn: lim _{x rarrow 0-} {g LEFT ( x RIGHT )} `=` lim _{x rarrow 0+} {g LEFT ( x RIGHT )}]에서 [eqn: LEFT | f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT | -a=a- LEFT | f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT |]

그러므로 [eqn: LEFT | f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT | =a]에서 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =` lim _{x rarrow 0+} {g LEFT ( x RIGHT )} =0]

같은 방법으로 [eqn: LEFT | f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT | =a]에서 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =0]

그러므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -a&LEFT ( x<0`또는`x>0 RIGHT )#a- LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |&LEFT ( 0 LEQ x LEQ 2 RIGHT )}}]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=0] 에서 미분가능하므로

[eqn: lim _{x rarrow 0-} {` {g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x}} `=` lim _{x rarrow 0+} {` {g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x}}]□

즉, [eqn: lim _{x rarrow 0-} {` {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -a} over {x}} `=` lim _{x rarrow 0+} {` {a- LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {x}}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠□

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =a] 인 경우
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 연속이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) >0]이므로
[eqn: lim _{x rarrow 0} {f LEFT ( x RIGHT )} >0]이다. 그러므로
[eqn: lim _{x rarrow 0-} {` {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -a} over {x}} `=` lim _{x rarrow 0-} {` {f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT )} over {x}} =f prime LEFT ( 0 RIGHT ) ,][eqn: lim _{x rarrow 0+} {` {a- LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {x}} `=` lim _{x rarrow 0+} {` {f LEFT ( 0 RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {x}} =-f prime LEFT ( 0 RIGHT )]
㉠에서 [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =-f prime LEFT ( 0 RIGHT ) ,`f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0] □ □

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-a] 인 경우
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 연속이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) <0]이므로
[eqn: lim _{x rarrow 0} {f LEFT ( x RIGHT )} <0]이다. 그러므로
[eqn: lim _{x rarrow 0-} {` {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -a} over {x}} `=` lim _{x rarrow 0-} {` {-f LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( 0 RIGHT )} over {x}} =-f prime LEFT ( 0 RIGHT ) ,]
[eqn: lim _{x rarrow 0+} {` {a- LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {x}} `=` lim _{x rarrow 0+} {` {-f LEFT ( 0 RIGHT ) +f LEFT ( x RIGHT )} over {x}} =f prime LEFT ( 0 RIGHT )]
㉠에서 [eqn: -f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =f prime LEFT ( 0 RIGHT ) ,`f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0] □

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=2] 에서도 미분가능하므로 같은 방법으로 [eqn: f prime LEFT ( 2 RIGHT ) =0] 이다.

그러므로 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]과 [eqn: x=2]에서 극값을 갖고 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로 [eqn: x=0]에서 극댓값 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =a], [eqn: x=2]에서 극솟값 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =-a]를 갖는다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +px ^{2} +qx+a] ([eqn: p,~q]는 상수)라 하면

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2px+q] 이고 [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =f prime LEFT ( 2 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: p=-3,`q=0]이다. 즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -3x ^{2} +a]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2 ^{3} -3 TIMES 2 ^{2} +a=-a]이므로 [eqn: a=2]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -3x ^{2} +2]이므로

[eqn: g LEFT ( 3a RIGHT ) =g LEFT ( 6 RIGHT ) = LEFT | f LEFT ( 6 RIGHT ) RIGHT | -2= LEFT | 6 ^{3} -3 TIMES 6 ^{2} +2 RIGHT | -2=108]

[참고]

[1] [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =a] 또는 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =-a]인 경우 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 극댓값과 극솟값이 서로 같을 수 없으므로 모순이다.

[2] [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-a,`f LEFT ( 2 RIGHT ) =a]인 경우 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로 모순이다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: LEFT | `x LEFT ( x-2 RIGHT ) ` RIGHT | g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT | -a RIGHT )]
이다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =0]과 [eqn: x][eqn: =2]에서 미분가능하다.

[eqn: g LEFT ( 3a RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 22

최고차항의 계수가 [eqn: {1}{{from^2021^09^평가원^중}}]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[정답] [eqn: bold { 108 }]

[해설]

[eqn: i(x) = left |`` f(x) ``right |]로 놓으면 함수 [eqn: f(x)]는 다항함수이므로 모든 [eqn: x]의 값에 대하여

[eqn: lim _{ h ``->`` 0+} { { i (x+h) -i(x)} over { h} } ,```` lim _{ h ``->`` 0-} { { i (x+h) -i(x)} over { h} }]

의 값이 항상 존재한다.

따라서

[eqn: lim _{ h ``->`` 0+} { { left |`` f(x+h) ``right | - left |`` f(x-h) ``right | } over { h} }]

[eqn: = lim _{ h ``->`` 0+} { { left |`` f(x+h) ``right | - left |`` f(x) ``right | - left |`` f(x-h) ``right | + left |`` f(x) ``right | } over { h} }]

[eqn: = lim _{ h ``->`` 0+} { { i(x+h) -i(x)} over { h} } + lim _{ h ``->`` 0+} { { i(x-h)-i(x)} over { -h} }]

(ⅰ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하지 않고 [eqn: f(alpha) =0 ,```` f '(alpha) ne 0]인 경우

[eqn: g(x)][eqn: = f(x-3) times lim _{ h ``->`` 0+} { { left |`` f(x+h) ``right | - left |`` f(x-h) ``right | } over { h} }]
[eqn: = f(x-3)]
[eqn: TIMES LEFT { lim _{h ``->`` 0+} { {i(x+h)-i(x)} over {h} + lim _{h ``->`` 0+} { {i(x-h)-i(x)} over {-h}}} RIGHT }]
[eqn: = cases{ f(x-3) times left{` - 2 f '(x) `right} &&&(x <alpha) # ``````````````````````````````````` 0 &&&(x = alpha) # f(x-3) times left{` 2 f '(x) `right} &&&(x >alpha) }]

이때 조건 (가)를 만족시키기 위해서는 [eqn: lim _{ x ``->`` alpha- } { g(x)} =lim _{ x ``->`` alpha+ } { g(x)} =g(alpha)]이어야 하므로
[eqn: f(alpha-3) times left{` -2 f '(alpha) `right} = f(alpha-3) times left{` 2 f '(alpha) `right} =0]
그런데 [eqn: f '(alpha) ne 0], [eqn: f(alpha-3) ne 0]이므로 모순이다.

(ⅱ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하지 않고 [eqn: f(alpha) =0 ,```` f '(alpha)=0]인 경우

[eqn: g(x)][eqn: = f(x-3) times lim _{ h ``->`` 0+} { { left |`` f(x+h) ``right | - left |`` f(x-h) ``right | } over { h} }]
[eqn: = f(x-3)]
[eqn: TIMES LEFT { lim _{h ``->`` 0+} { {i(x+h)-i(x)} over {h} + lim _{h ``->`` 0+} { {i(x-h)-i(x)} over {-h}}} RIGHT }]
[eqn: = cases{ f(x-3) times left{` - 2 f '(x) `right} &&&(x <alpha) # ```````````````````````````````` 0 &&&(x = alpha) # f(x-3) times left{` 2 f '(x) `right} &&&(x >alpha) }]

이때 조건 (가)를 만족시키기 위해서는
[eqn: lim _{ x ``->`` alpha- } { g(x)} =lim _{ x ``->`` alpha+ } { g(x)} =g(alpha)]이어야 하고 [eqn: f '(alpha) =0]이므로
[eqn: f(alpha-3) times left{` - 2 f '(alpha) right][eqn: = f(alpha-3) times left{` 2 f '(alpha) `right} =0]
이 성립한다.
그런데, 방정식 [eqn: g(x)=0]을 만족시키는 실근은
[eqn: x= alpha] 또는 [eqn: x= alpha+3]
으로 [eqn: 2]개 뿐이므로 조건 (나)를 만족시키지 못한다.

(ⅲ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하고 [eqn: f(alpha) ne 0], [eqn: f( beta) ne 0], [eqn: f '(alpha) = f '(beta) =0]인 경우
(ⅰ)의 경우와 같이 [eqn: f(k) =0]을 만족시키는 [eqn: x=k]에서 함수 [eqn: g(x)]는 연속이 아니므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

(ⅳ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하고 [eqn: f(k) =0], [eqn: f(alpha) ne 0], [eqn: f(beta) =0], [eqn: f '( alpha )=f '( beta )=0][eqn: (k< alpha < beta )]인 경우

(ⅰ)의 경우와 같이 [eqn: f(k) =0]을 만족시키는 [eqn: x=k]에서 함수 [eqn: g(x)]는 연속이 아니므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

(ⅴ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하고 [eqn: f(k)=0], [eqn: f(l) =0], [eqn: f(m) =0], [eqn: f '(alpha) = f '(beta) =0 ( k <alpha<l<beta<m)]인 경우
(ⅰ)의 경우와 같이 [eqn: f(k)=0]을 만족시키는 [eqn: x=k]에서 함수 [eqn: g(x)]는 연속이 아니므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

(ⅵ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하고 [eqn: f(k) =0], [eqn: f(alpha) =0], [eqn: f(beta) ne 0], [eqn: f '(alpha) =f '(beta) =0 (alpha< beta<k)]인 경우

[eqn: g(x)][eqn: = f(x-3) times lim _{ h ``->`` 0+} { { left |`` f(x+h) ``right | - left |`` f(x-h) ``right | } over { h} }]
[eqn: = f(x-3)]
[eqn: TIMES LEFT { lim _{h ``->`` 0+} { {i(x+h)-i(x)} over {h} + lim _{h ``->`` 0+} { {i(x-h)-i(x)} over {-h}}} RIGHT }]
[eqn: = {cases{ f(x-3) TIMES LEFT { -2f prime (x) RIGHT }&&&(x<k)# ```````````````````````````````` 0&&&(x=k)# f(x-3) TIMES LEFT { 2f prime (x) RIGHT }&&&(x>k)}}]

이때 조건 (가)를 만족시키기 위해서는
[eqn: lim _{x ``->`` k-} { g(x)} = lim _{x ``->`` k+} { g(x)} =g(k)]이어야 하므로
[eqn: f(k-3) times left{` -2 f '(k) `right} = f(k-3) times left{` 2 f '(k) `right} =0]
그런데 [eqn: f '(k ) ne0]이므로 [eqn: f(k-3)=0]이고
[eqn: k-3 =alpha]	[eqn: cdotscdots] ㉠
즉, [eqn: k= alpha+3]이면 조건 (가)를 만족시킨다.

또한, 방정식 [eqn: g(x)=0]의 서로 다른 실근은
[eqn: x<k]일 때 [eqn: x= alpha] 또는 [eqn: x= beta]
[eqn: x =k]일 때 [eqn: x=k]
[eqn: x >k]일 때 [eqn: x= k+3]이고 조건 (나)에서 서로 다른 네 실근의 합이 [eqn: 4]이므로
[eqn: alpha+ beta +k+k+3 =7]
[eqn: alpha+ beta+ 2k =4]	[eqn: cdotscdots] ㉡
또한, [eqn: f(x)= (x-alpha)^2 (x-k)]이고 [eqn: f '(x) = (x-alpha) (3x-2k-alpha)]이므로 [eqn: f '(x) =0]에서

[eqn: beta = { alpha+2k} over { 3}]

㉡에 대입하여 정리하면 [eqn: alpha+ 2k =3]

㉠, ㉡에서 [eqn: alpha= it -1], [eqn: k=2]이므로 [eqn: f(x)= (x+1)^2 (x-2)]

따라서 [eqn: f(5)= (5+1)^2 (5-2) =36 times3 =108]

[eqn: g(x)= f(x-3) times lim _{ h ``->`` 0+} { { left |`` f(x+h) ``right | - left |`` f(x-h) ``right | } over { h} }]

가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(5)]의 값을 구하시오.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(나) 방정식 [eqn: g(x) =0]은 서로 다른 네 실근 [eqn: alpha_1], [eqn: alpha_2], [eqn: alpha_3], [eqn: alpha_4]를 갖고 [eqn: alpha_1 +alpha_2 + alpha_3 +alpha_4 =7]이다.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 22

함수

[정답] [eqn: 14`]

[해설]

(가)를 만족하려면 그림과 같이

[eqn: `f(x)=0]은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

[eqn: f`` prime (x) = 3x^2 - 6p x = 3x(x-2p)]

[eqn: f(0) = q > 0], [eqn: f(2p) = -4p^3 +q < 0]

즉 [eqn: q < 4p^3]

(나)를 만족하려면 각 구간에서 최댓값은 [eqn: f(0)= q]일 때이다.

한편 [eqn: f(-1) = -1-3p + q],  [eqn: f(1) = 1- 3p + q]

[eqn: f(2) = 8 - 12p + q],  [eqn: f(-2) = - 8 - 12p + q]

[eqn: -q le f(-1) le q], [eqn: -q le f(1) le q]

[eqn: -q le f(-2) le q], [eqn: -2 le f(2) le q]

인데, [eqn: f(-2) ge -q]이면 충분하다.

[eqn: -8 - 12p + q ge -q], 즉 [eqn: 4+ 6p le q]

두 조건으로부터 [eqn: 4+6p le q < 4p^3]을 만족하는

[eqn: 25] 이하의 자연수는

[eqn: p = 2]일 때 [eqn: 16 le q le 25][eqn: --][eqn: 10]개

[eqn: p = 3]일 때 [eqn: 22 le q le 25][eqn: --][eqn: 4]개

[eqn: THEREFORE][eqn: 14`]개

[eqn: f(x)=x^{3}-3 p x^{2}+q]

가 다음 조건을 만족시키도록 하는 [eqn: rm 25] 이하의 두 자연수 [eqn: p], [eqn: q]의 모든 순서쌍 [eqn: (p,`` q)]의 개수를 구하시오.

(가) 함수 [eqn: |f(x)|]가 [eqn: x=a]에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: rm 5]이다.

(나) 단힌구간 [eqn: [-1,``1]]에서 함수 [eqn: |f(x)|]의 최댓값과 닫힌구간 [eqn: [-2,``2]]에서 함수 [eqn: |f(x)|]의 최댓값은 같다.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 22

삼차함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3} x LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )]에 대하여 [eqn: x GEQ -3]에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는

[정답] [eqn: bold { 64 }]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3} x LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )]에서 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 sqrt {3} LEFT ( x- sqrt {3} RIGHT ) LEFT ( x+ sqrt {3} RIGHT )]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: - sqrt {3}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: sqrt {3}]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: {f prime (x)}]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 12] (극대)	[eqn: SEARROW]	[eqn: -12] (극소)	[eqn: NEARROW]

함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 6k-3 LEQ x<6k+3]일 때

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {k+1} f LEFT ( x-6k RIGHT )]

[eqn: k+1]이 [eqn: 12]의 양의 약수가 될 때, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값이 자연수이므로 [eqn: k][eqn: =1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 5 ,```` 11]일 때

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값은 각각 [eqn: 6 ,```` 4 ,```` 3 ,```` 2 ,```` 1]이다.

[eqn: a _{1}][eqn: =2 TIMES 11+1][eqn: =23]

[eqn: a _{2}][eqn: =2 TIMES 5+1][eqn: =11]

[eqn: a _{3}][eqn: =2 TIMES 3+1][eqn: =7]

[eqn: a _{4}][eqn: =2 TIMES 2+1][eqn: =5]

[eqn: a _{5}][eqn: =2 TIMES 2][eqn: =4]

[eqn: a _{6}][eqn: =2 TIMES 1+1][eqn: =3]

[eqn: 7 LEQ n LEQ 11]일 때, [eqn: a _{n}][eqn: =2 TIMES 1][eqn: =2]이므로

[eqn: a _{12}][eqn: =1]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{12} a _{n}][eqn: =23+11+7+5+4+3+2 TIMES 5+1][eqn: =64]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`````````````````````f LEFT ( x RIGHT )&&& LEFT ( -3 LEQ x LEQ 3 RIGHT )# {1} over {k+1} f LEFT ( x-6k RIGHT )&&& LEFT ( 6k-3 LEQ x<6k+3 RIGHT )}}}]

(단, [eqn: k]는 모든 자연수)

이다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y][eqn: =n]과 함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{12} a _{n}]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 22

삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 61 }]

[해설]

(가)조건을 만족하는 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같이 [eqn: 4]가지 경우가 있다.

[그림[eqn: 1]]	[그림[eqn: 2]]

[그림[eqn: 3]]	[그림[eqn: 4]]

그런데, (나)조건 [eqn: f LEFT ( x-f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =0]에서

[eqn: x-f LEFT ( x RIGHT ) = alpha] 또는 [eqn: x-f LEFT ( x RIGHT ) = beta]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x-alpha] 또는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x-beta]이므로 직선 [eqn: y=x-alpha,````y=x-beta]를 그렸을 때 교점이 [eqn: 3]개인 경우는 [그림[eqn: 3]], [그림[eqn: 4]]이다.

그런데, [eqn: f(1)=4], [eqn: f``'(1) = 1]를 만족해야 하므로 [그림[eqn: 4]]는 모순이다.

[그림[eqn: 3]]

즉 [그림[eqn: 3]]에서 [eqn: (1,````4)]에서 접하므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( x-alpha RIGHT ) =a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-alpha RIGHT )]라 놓을 수 있다.

그리고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =4]이므로 [eqn: 1-alpha=4], [eqn: alpha=-3]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( x+3 RIGHT ) =a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+3 RIGHT )]

또, [eqn: alpha =-3]에서 [eqn: f(x)]가 접하므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: (x+3)^2]의 인수를 가져야 한다.

㉠을 정리하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT { a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +1 RIGHT }]

그런데, [eqn: a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +1]이 [eqn: x+3]의 인수를 가져야 하므로

[eqn: a LEFT ( -3-1 RIGHT ) ^{2} +1=0]

[eqn: therefore][eqn: 16a+1=0], [eqn: a=- {1} over {16}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT { - {1} over {16} LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +1 RIGHT }]
[eqn: = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT { - {1} over {16} LEFT ( x ^{2} -2x+1 RIGHT ) +1 RIGHT }]
[eqn: = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT { - {1} over {16} LEFT ( x ^{2} -2x+1-16 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =][eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{2} LEFT { - {1} over {16} LEFT ( x-5 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =9times {5} over {16} = {45} over {16}]

따라서 [eqn: p=16 ,```` q=45]이므로 [eqn: p+q=16+45=61]

(가) 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

(나) 방정식 [eqn: f(x-f(x))=0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 3]이다.

[eqn: f(1)=4], [eqn: f``'(1) = 1], [eqn: f``'(0)>1]일 때, [eqn: f(0)= q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 22

최고차항의 계수가 [eqn: {1} over {2}]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 실수 [eqn: t]에 대하여 방정식 [eqn: f`prime LEFT ( x RIGHT ) =0]이 닫힌구간 [eqn: LEFT [ `t,~t+2` RIGHT ]]에서 갖는 실근의 개수를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 9]

[해설]

이차방정식 [eqn: f`' (x) = 0]이 근을 갖지 않는 경우에는

[eqn: g(t) = 0]

이는 조건 (나)에서

[eqn: g(t)]가 함숫값 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]를 갖는 것에 모순이다.

이차방정식 [eqn: f`' (x) = 0]이 중근 [eqn: alpha]를 갖는 경우에는 [eqn: y= g(x)]는 그림과 같다.

이는 조건 (나)에서

[eqn: g(t)]가 함숫값 [eqn: 2]를 갖는 것에 모순이다.

그러므로 이차방정식 [eqn: f`'(x) = 0]는 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta`` ( alpha < beta )]를 갖는다.

(ⅰ) [eqn: beta = alpha + 2]일 때,
함수 [eqn: y= g(t)]의 그래프는 다음과 같다.

이는 조건 (가)를 만족한다.

(ⅱ) [eqn: beta > alpha + 2]일 때,
함수 [eqn: y=g(t)]의 그래프는 다음과 같다.

이는 조건 (나)에서
[eqn: g(t)]가 함숫값 [eqn: 2]를 갖는 것에 모순이다.

(ⅲ) [eqn: beta < alpha + 2]일 때,
함수 [eqn: y=g(t)]의 그래프는 다음과 같다.

이때, [eqn: beta - 2 le a le alpha]인 [eqn: a]에 대하여 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

따라서 위에서 조건을 만족시키는 것은 (ⅰ)의 경우이다.

한편, 함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1 over 2]이므로 함수 [eqn: f`' (x)]의 최고차항의 계수는 [eqn: 3 over 2]이다.

그러므로

[eqn: f`' (x)][eqn: = 3 over 2 ( x- alpha) left { x - ( alpha + 2 ) right }]
[eqn: = 3 over 2 left { x^2 - ( 2 alpha + 2 ) x + alpha^2 +2 alpha right }]

로 놓을 수 있다. 이때,

[eqn: f(x) = 1 over 2 x^3 - 3 over 2 ( alpha + 1 ) x^2 + 3 over 2 ( alpha^2 +2 alpha )x + C] (단, [eqn: C`]는 적분상수)	[eqn: cdots cdots] ㉠

한편, 조건 (나)에서

[eqn: g ( f(1) ) = g ( f(4) ) = 2]

이고 [eqn: g(t)]의 함숫값이 [eqn: 2]인 [eqn: t]의 값의 개수는 [eqn: 1]이므로

[eqn: f(1) = f(4)]

㉠에서

[eqn: 1 over 2 - 3 over 2 ( alpha + 1) + 3 over 2 ( alpha^2 +2 alpha ) + C]

[eqn: =32-24( alpha+1)+6( alpha ^{2} +2 alpha)+C]
따라서

[eqn: {1} over {2} - {3} over {2} ( alpha+1)+ {3} over {2} ( alpha^2 +2 alpha)][eqn: = 32 - 24 ( alpha +1 ) +6 ( alpha^2 + 2 alpha )]

양변에 [eqn: 2]를 곱하면

[eqn: 1 - 3 ( alpha + 1 ) +3 ( alpha^2 + 2 alpha )][eqn: = 64 - 48 ( alpha + 1 ) + 12 ( alpha^2 + 2 alpha )]

이 식을 정리하면

[eqn: 3 alpha^2 + 3 alpha - 2 = 12 alpha^2 - 24 alpha + 16]

[eqn: 9 alpha^2 - 27 alpha + 18 = 0]

[eqn: alpha^2 - 3 alpha + 2 =0]

[eqn: ( alpha - 1 ) ( alpha - 2 ) = 0]

[eqn: alpha = 1] 또는 [eqn: alpha = 2]

((ⅰ)-①) [eqn: alpha = 1]일 때,
[eqn: f(x) = 1 over 2 x^3 - 3 x^2 + 9 over 2 x +C]
이때, [eqn: f(1) =alpha]에서 [eqn: f(1) = 1]이어야 하므로
[eqn: 1 over 2 - 3 + 9 over 2 + C = 1]
[eqn: 2 + C = 1]
[eqn: C = it - 1]
이때, [eqn: f(0) = it - 1]이므로
[eqn: g(f(0) ) = g(-1) = 1]
그러므로 조건을 만족시킨다.

((ⅰ)-②) [eqn: alpha=2]일 때,
[eqn: f(x)= {1} over {2} x ^{3} - 9 over 2 x ^{2} + 12 x+C]
이때, [eqn: f(1) =alpha]에서 [eqn: f(1)=2]이어야 하므로
[eqn: {1} over {2} - {9} over {2} + 12 +C=2]
[eqn: 8+C=2]
[eqn: C= it -6]
이때, [eqn: f(0)= it -6]이므로
[eqn: g(f(0)) = g(-6)=0]
그러므로 조건을 만족시키지 못한다.

따라서, ((ⅰ)-①)에서

[eqn: f(x) = 1 over 2 x^3 - 3x^2 + 9 over 2 x - 1]

이므로

[eqn: f(5)][eqn: = 1 over 2 times 5^3 - 3 times 25 + 9 over 2 times 5 - 1]
[eqn: = 125 over 2 - 75 + 45 over 2 - 1]
[eqn: = 9]

(가) 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: lim _{t`-> `a+} {`g LEFT ( t RIGHT )} + lim _{t`-> `a-} {`g LEFT ( t RIGHT )} LEQ 2]이다.

(나) [eqn: g LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( f LEFT ( 4 RIGHT ) RIGHT ) =2,~g LEFT ( f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT ) =1]

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 22

양수 [eqn: a`]와 일차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[정답] [eqn: 16]

[해설]

[eqn: g ` prime(x)][eqn: =left(x^2 -4 right) left{ left| f(x) right| -a right} `]에서 [eqn: x][eqn: =it -2], [eqn: x][eqn: =2`]가 방정식 [eqn: g ` prime(x)][eqn: =0`]의 근이지만 조건 (가)에서 함수 [eqn: g(x)`]가 극값을 갖지 않아야 하므로 [eqn: x][eqn: =it -2]와 [eqn: x][eqn: =2`]의 좌우에서 [eqn: g`prime(x)`]의 부호가 변하지 않아야 하고,

[eqn: lim _ {x ` rarrow ` inf } left{ left | f(x) right| -a right][eqn: =lim _ {x ` rarrow ` -inf } left{ left | f(x) right| -a right][eqn: =inf`]이므로 [eqn: g`prime(x)], [eqn: x^2 -4], [eqn: left| f(x) right| -a`]의 부호를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -2]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: g`prime(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: x^2 -4]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: left| f(x) right| -a]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]

함수 [eqn: left| f(x) right| -a`]는 연속함수이므로 사잇값의 정리에 의해 [eqn: left| f(-2) right| -a][eqn: =0`], [eqn: left| f(2) right|-a][eqn: =0]

두 실수 [eqn: m], [eqn: n`]에 대하여 일차함수 [eqn: f(x)][eqn: =mx+n`]이라 하면 [eqn: m!=0`]이고, [eqn: left| 2m+n right|][eqn: = left| -2m+n right|][eqn: =a`]가 성립한다.

(ⅰ) [eqn: 2m+n][eqn: = it -2m+n`]인 경우
[eqn: m=0`]이 되어 모순이다.

(ⅱ) [eqn: 2m+n][eqn: = it-( -2m+n)`]인 경우
[eqn: n=0`]이고 [eqn: left|m right| = a over2 `]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: left| f(x) right|][eqn: = left| mx right|][eqn: = a over 2 left|x right|]

[eqn: g(2)][eqn: =int _0 ^2 left( t^2 -4 right) left{ left| f(t) right| -a right}dt]
[eqn: = int _0 ^2 left( t^2 -4 right) left( a over2 left |t right| -a right) dt]

닫힌구간 [eqn: left[ 0,``2 right]]에서 [eqn: left | t right|][eqn: =t`]이므로

[eqn: g(2)][eqn: = a over2 int_0 ^2 left( t^2 -4 right) (t-2) dt]
[eqn: = a over2 int _0 ^2 (t^3 -2t^2 -4t+8) dt]
[eqn: = a over 2 left[ pile{`#`}1over4 t^4 - 2 over3 t^3 -2t^2 +8t right] _0 ^2]
[eqn: = a over 2 times left( 4 - 16 over3 -8+16 right)][eqn: = 10 over3 a]

조건 (나)에서 [eqn: g(2)][eqn: =5`]이므로 [eqn: 10 over3 a][eqn: =5], [eqn: a][eqn: = 3 over2]

[eqn: g(0)][eqn: = int_ 0^0 left( t^2 -4 right) left( 3 over4 left |t right| - 3over2 right) dt][eqn: =0`]이고

닫힌구간 [eqn: left[ -4, ``0 right]`]에서 [eqn: left| t right|][eqn: = it - t`]이므로

[eqn: g(-4)][eqn: = int_ 0^-4left( t^2 -4 right) left( 3 over4 left |t right| - 3over2 right) dt]
[eqn: = 3over4 int_0 ^-4 left( t^2 -4 right) left(-t -2 right) dt]
[eqn: = 3over4 int_0 ^-4 left(-t^3 -2t^2 +4t+8 right) dt]
[eqn: = it -16]

따라서 [eqn: g(0)-g(-4)][eqn: =0-(-16)][eqn: =16]

[eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {LEFT ( t ^{2} -4 RIGHT ) LEFT { LEFT | f ( t ) RIGHT | -a RIGHT }} `dt`]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)`]는 극값을 갖지 않는다.

(나) [eqn: g(2)=5]

[eqn: g(0)-g ( -4 )`]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 22

일차함수 [eqn: {f(x)}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] [eqn: bold56]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]는 일차함수이므로 함수 [eqn: g(x)=int_{0}^{x}(x-2)f(s)ds]는 삼차함수이다.

[eqn: g(x)=(x-2)int_{0}^{x}{f(s)ds =0]에서 [eqn: g(2)= g(0)=0]이므로 [eqn: g(x)=0]의 세 근을 [eqn: x=0 , ```` 2 , ```` alpha]라 하자.

이때 [eqn: y= tx]는 [eqn: (0, ````0)]을 지나는 직선이므로 함수 [eqn: h(t)]가 [eqn: t=0]에서 불연속이기 위해서는 [eqn: y= g(x)]는 [eqn: x]축에 접해야 한다.

따라서 [eqn: alpha = 0] 또는 [eqn: alpha=2]이다.

(ⅰ) [eqn: g(x) = mx^2 (x-2)]일 때
[eqn: m]이 양수일 때와 음수일 때를 나누어 [eqn: y= g(x)]와 [eqn: y= tx]를 그려보면 다음과 같다.
[eqn: m>0]일 때

이때의 [eqn: t]의 값은 [eqn: -2]가 되어야 하고 [eqn: y= g(x)]와 [eqn: y= tx]의 교점은 [eqn: ( 1, ````-2)]이다.
[eqn: THEREFORE][eqn: g(x)= 2 x^2 (x-2)], [eqn: g(4) = 64]
[eqn: m<0]일 때

[eqn: g(x)]가 [eqn: x=0]에서 [eqn: x]축에 접하므로 [eqn: t=it-2]일 때 불연속이 될 수 없다.

(ⅱ) [eqn: y= m x(x-2)^2]일 때
[eqn: m>0]일 때

[eqn: g(x)]가 [eqn: x=2]에서 [eqn: x]축에 접하므로 [eqn: t=it-2]일 때 불연속이 될 수 없다.
[eqn: m<0]일 때

마찬가지로 이때의 [eqn: t]의 값은 [eqn: -2]이므로
[eqn: g` prime (x)=m(x-2) ^{2} +2mx(x-2)]
[eqn: g'(0) = 4m =it -2], [eqn: m = it - {1} over {2}]이므로
[eqn: g(4) = it -8]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: g(4)]의 값의 합은 [eqn: 64-8=56]

[eqn: g(x)=int_{0}^{x}(x-2)f(s)ds]

라 하자. 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=tx]와 곡선 [eqn: y=g(x)]가 만나는 점의 개수를 [eqn: h(t)]라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: g(4)]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: g(k)=0]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: h(t)]는 [eqn: t=-k]에서 불연속이다.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 22

실수 [eqn: a]에 대하여 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: 251]

[해설]

[eqn: f(x)=3x+a]이므로

[eqn: g(x)][eqn: = int _{2} ^{x} {} (t+a)(3t+a)dt]
[eqn: = int _{2} ^{x} {(3t ^{2} +4at+a ^{2} )dt }]
[eqn: = LEFT [ pile{it#it} t ^{3} +2at ^{2} +a ^{2} t RIGHT ] _{2}^{x}]
[eqn: =x ^{3} +2ax ^{2} +a ^{2} x-(2a ^{2} +8a+8)]

[eqn: g(2)=0]이므로

[eqn: g(x)=(x-2) LEFT { x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2} RIGHT }]

[eqn: h(x)=(x-2)(3x+a) LEFT { x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2} RIGHT }]

조건 (가)에 의해 곡선 [eqn: y=h(x)]위의 어떤 점에서의 접선이 [eqn: x]축이므로 [eqn: h(k)=h prime (k)=0]을 만족시키는 실수 [eqn: k]가 존재한다.

그러므로 다항식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2}]을 인수로 갖는다.

(ⅰ) [eqn: k=2]인 경우
다항식 [eqn: h(x)]가 [eqn: (x-2) ^{2}]을 인수로 가지므로
다항식 [eqn: 3x+a]가 [eqn: 3(x-2)]이거나
다항식 [eqn: x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2}]이 [eqn: x-2]를
인수로 가진다.

([eqn: a]) [eqn: 3x+a=3(x-2)]인 경우
[eqn: a=-6]이므로

[eqn: h(x)][eqn: =(x-2)(3x-6)(x ^{2} -10x+16)]
[eqn: =3(x-2) ^{3} (x-8)]

곡선 [eqn: y= LEFT | h(x) RIGHT |]는 그림과 같으므로

함수 [eqn: h(x)]는 조건 (나)를 만족시킨다.

이 경우 [eqn: h(-1)=729]이다.

([eqn: b]) 다항식 [eqn: x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2}]이
[eqn: x-2]를 인수로 갖는 경우
[eqn: 4+4(a+1)+(a+2) ^{2}]
[eqn: =a ^{2} +8a+12]
[eqn: =(a+2)(a+6)=0]
에서 [eqn: a=-2] 또는 [eqn: a=-6]
[eqn: a=-6]이면 ([eqn: a])와 같다.
[eqn: a=-2]이면

[eqn: h(x)][eqn: =(x-2)(3x-2)(x ^{2} -2x)]
[eqn: =x(3x-2)(x-2) ^{2}]

곡선 [eqn: y= LEFT | h(x) RIGHT |]는 그림과 같으므로

함수 [eqn: h(x)]는 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k=- {a} over {3} (a != -6)]인 경우
다항식 [eqn: h(x)]가 [eqn: LEFT ( x+ {a} over {3} RIGHT ) ^{2}]을 인수로 가지므로
다항식 [eqn: x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2}]이 [eqn: x+ {a} over {3}]를
인수로 가진다.
[eqn: {1} over {9} a ^{2} - {2} over {3} a(a+1)+(a+2) ^{2}]
[eqn: = {4} over {9} a ^{2} + {10} over {3} a+4]
[eqn: = {2} over {9} (2a+3)(a+6)][eqn: =0]
에서 [eqn: a=- {3} over {2}]이므로

[eqn: h(x)][eqn: =(x-2) LEFT ( 3x- {3} over {2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+ {1} over {4} RIGHT )]
[eqn: =3 LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) ^{3} (x-2)]

곡선 [eqn: y= LEFT | h(x) RIGHT |]는 그림과 같으므로

함수 [eqn: h(x)]는 조건 (나)를 만족시킨다.

이 경우 [eqn: h(-1)= {243} over {8}]

(ⅲ) [eqn: x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2} =(x-k) ^{2}]인 경우
[eqn: x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2} =x ^{2} -2kx+k ^{2}]
[eqn: a+1=-k ,~ (a+2) ^{2} =k ^{2}]
[eqn: (a+1) ^{2} =(-a-1) ^{2}]에서 [eqn: a=- {3} over {2}]
[eqn: a=- {3} over {2}]이면 (ⅱ)와 같다.

따라서 [eqn: h(-1)]의 최솟값은 [eqn: {243} over {8}]이므로

[eqn: p=8 ,~ q=243]에서 [eqn: p+q=251]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x+a], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{2} ^{x} {} LEFT ( t+a RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt]

라 하자. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: h LEFT ( -1 RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) 곡선 [eqn: y][eqn: =h LEFT ( x RIGHT )] 위의 어떤 점에서의 접선이 [eqn: x]축이다.

(나) 곡선 [eqn: y][eqn: = LEFT | h LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]가 [eqn: x]축과 평행한 직선과 만나는 서로 다른 점의 개수의 최댓값은 [eqn: 4]이다.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 15

최고차항의 계수가 [eqn: 4]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =f`' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]을 만족시키는 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] ⑤

[해설]

최고차항의 계수가 [eqn: 4]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +ax ^{2} +bx` LEFT ( a,`b`는`상수 RIGHT )]라 하면

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =12x ^{2} +2ax+b]에서 [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: b=0]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +ax ^{2}]에서 [eqn: int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt`=`x ^{4} + {a} over {3} x ^{3}}]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{x ^{4} + {a} over {3} x ^{3} +5&LEFT ( x<c RIGHT )#LEFT | x ^{4} + {a} over {3} x ^{3} - {13} over {3} RIGHT |&LEFT ( x GEQ c RIGHT )}}]

곡선 [eqn: y=x ^{4} + {a} over {3} x ^{3} - {13} over {3}]은 곡선 [eqn: y=x ^{4} + {a} over {3} x ^{3} +5]를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: - {28} over {3}]만큼 평행이동한 것이다.

다음은 [eqn: a]의 값에 따른 곡선 [eqn: y=x ^{4} + {a} over {3} x ^{3} +5]와 곡선

[eqn: y= LEFT | x ^{4} + {a} over {3} x ^{3} - {13} over {3} RIGHT |]의 개형 중 [eqn: c]의 개수가 [eqn: 0,`1,`2]인 경우이다.

[[eqn: c]의 개수가 [eqn: 0]]    [[eqn: c]의 개수가[eqn: 1]]    [[eqn: c]의 개수가[eqn: 2]]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 연속이 되도록 하는 실수 [eqn: c]의 개수가 [eqn: 1]이기 위해서는 함수 [eqn: y=x ^{4} + {a} over {3} x ^{3} +5][eqn: LEFT ( ` rarrow ``㉠` RIGHT )]의 극솟값과 같은 함수 [eqn: y=- LEFT ( x ^{4} + {a} over {3} x ^{3} - {13} over {3} RIGHT )][eqn: LEFT ( ` rarrow ``㉡` RIGHT )]의 극댓값이 서로 같이야 한다.

㉠, ㉡의 함수는 각각 [eqn: x=- {a} over {4}]에서 극값을 갖고 [eqn: c=- {a} over {4}]이다.

[eqn: LEFT ( - {a} over {4} RIGHT ) ^{4} + {a} over {3} LEFT ( - {a} over {4} RIGHT ) ^{3} +5`=`- LEFT { LEFT ( - {a} over {4} RIGHT ) ^{4} + {a} over {3} LEFT ( - {a} over {4} RIGHT ) ^{3} - {13} over {3} RIGHT }]

이를 정리하여 풀면 [eqn: {cases{a=4&#c=-1&}}]또는 [eqn: {cases{a=-4&#c=1&}}]

그러므로 [eqn: a=4]일 때, [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) = LEFT | 1+ {4} over {3} - {13} over {3} RIGHT | =2,]

[eqn: a=-4]일 때, [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) = LEFT | 1- {4} over {3} - {13} over {3} RIGHT | = {14} over {3}]

따라서 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: {14} over {3}]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ int _{0} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt+5&~~~ LEFT ( x<c RIGHT )#eqalign{# LEFT | ` int _{0} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt- {13} over {3} ` RIGHT |}&eqalign{# ~~~ LEFT ( x GEQ c RIGHT )}}}]

라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 [eqn: c]의 개수가 [eqn: 1]일 때, [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )]의 최댓값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: {8} over {3}]	③ [eqn: {10} over {3}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {14} over {3}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 29

양수 [eqn: m]과 [eqn: rm 0]이 아닌 실수 [eqn: a]에 대하여 두 함수

[정답] [eqn: 4]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2 m]을 제외한 모든 실수에서 극한값을 가지므로

[eqn: lim _{x`` rarrow ``2m-} {} f(x) != lim _{x`` rarrow ``2m+} {} f(x) CDOTS CDOTS]㉠

조건 (가)에서 [eqn: alpha=2 m]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2 m} g(x)]의 값이 존재한다고 가정하면

조건 (나)에 의하여

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2 m} f(x)][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 2 m} left{ {f(x)} over {g(x)} times g(x) it right}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 2 m} {f(x)} over {g(x)} times lim _{x ``rarrow`` 2 m} g(x)]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2 m} f(x)]의 값이 존재하므로

㉠을 만족시키지 않는다.

따라서 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2 m} g(x)]의 값은 존재하지 않는다.

조건 (가)에 의하여 [eqn: beta=2 m]

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=m+1]을 제외한 모든 실수에서

극한값을 가지므로 [eqn: 2 m=m+1], [eqn: m=1]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} g(x)= lim _{x ``rarrow`` 1}(a x-a)=0]이고 조건 (나)에서

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {f(x)} over {g(x)}]의 값이 존재하므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} f(x)= lim _{x ``rarrow`` 1} left{ x^{2}+(a-1) x-a^{2}+2 it right}]

[eqn: =-a^{2}+a+2=-(a+1)(a-2)=0]

[eqn: a=-1] 또는 [eqn: a=2]

(i) [eqn: a=-1]인 경우

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-} {f(x)} over {g(x)}= lim _{x ``rarrow`` 2-} {x^{2}-2 x+1} over {-x+1}=-1]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2+} {f(x)} over {g(x)}= lim _{x ``rarrow`` 2+} {-3 x-4} over {x+2}=-{5} over {2}]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-} {f(x)} over {g(x)} neq lim _{x ``rarrow`` 2+} {f(x)} over {g(x)}]이므로

조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ii) [eqn: a=2]인 경우

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-} {f(x)} over {g(x)}= lim _{x ``rarrow`` 2-} {x^{2}+x-2} over {2 x-2}=2]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2+} {f(x)} over {g(x)}= lim _{x ``rarrow`` 2+} {-3 x+8} over {x-1}=2]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-} {f(x)} over {g(x)}= lim _{x ``rarrow`` 2+} {f(x)} over {g(x)}]이므로

조건 (나)를 만족시킨다.

(i), (ii) 에 의하여 [eqn: a=2], [eqn: m=2-1=1]

[eqn: f(x)=cases{x^{2}+x-2 && (x leq 2) # -3 x+8 && (x>2)}]

[eqn: g(x)=cases{2 x-2 && (x leq 2) # x-1 && (x>2)}]

따라서 [eqn: m+g left(a^{2} right)=1+g(4)=1+3=4]

[eqn: f(x)=cases{x^{2}+(a-1) x-a^{2}+2 && (x leq 2 m) #-3 x+4 a && (x>2 m)}]

[eqn: g(x)=cases{a x-a && (x leq m+1) #x-a+1 && (x>m+1)}]

이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{x ``rarrow`` alpha-} f(x) neq lim _{x ``rarrow`` alpha+} f(x)], [eqn: lim _{x ``rarrow`` beta-} g(x) neq lim _{x ``rarrow`` beta+} g(x)]인 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 존재한다.

(나) 모든 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: lim _{x ``rarrow`` k} {f(x)} over {g(x)}]의 값이 존재한다.

[eqn: m+g left(a^{2} right)]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 22

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT (4 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 13]

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: f(x)=f(1)+(x-1) f `prime (g(x))]

이므로 [eqn: x neq 1]일 때,

[eqn: f `prime (g(x))={f(x)-f(1)} over {x-1}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이때, 두 점 [eqn: (1,`` f(1))], [eqn: (x,`` f(x))]를 지나는 직선의 기울기가 [eqn: f `prime (g(x))]이고, 조건 (나)에서 [eqn: g(x) geq {5} over {2}]이므로 두 점 [eqn: (1,`` f(1))], [eqn: left({5} over {2},`` f left({5} over {2} right) right)]를 지나는 직선은 점 [eqn: left({5} over {2},`` f left({5} over {2} right) right)]에서 접하는 직선이다.

두 점 [eqn: (1,`` f(1))], [eqn: left({5} over {2},`` f left({5} over {2} right) right)]를 지나는 직선의 방정식을 [eqn: y=mx+n`]이라 하면

[eqn: f left(x right)=left(x-1right)left(x- 5over2 right)^2 +mx+n]	[eqn: cdotscdots] ㉡

조건 (다)에서 [eqn: f left(0right)=`-3`]이므로

[eqn: f left(0right)=`- 25over4 +n=`-3],    [eqn: n= 13over4]

㉠에서

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} f `prime (g(x))= lim _{x ``rarrow`` 1} {f(x)-f(1)} over {x-1}]

[eqn: f`prime left(g left(1right)right)=f`prime left(1right)]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

㉡의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f`prime left(x right)][eqn: =left(x- 5over2 right)^2 +2left(x-1right)left(x- 5over2 right)+m]
[eqn: =3x^2 -12x+m + 45over4]

㉢에서 [eqn: g left(1right)ge 5over2 `]이므로    [eqn: g left(1right )ne1]

따라서 함수 [eqn: y=f` prime LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 대칭축이 [eqn: x=2`]이므로

[eqn: {g left(1right)+1}over2 = 2]에서    [eqn: g left(1right)=3]

조건 (다)에서 [eqn: f left(3right)=6`]이므로 ㉡에 대입하면

[eqn: f left(3right)= 1over2 +3m+ 13over4 =6],    [eqn: m= 3over4]

따라서 [eqn: f left(x right)=left(x-1right)left(x- 5over2 right)^2 + 3over4 x+ 13over4 `]이므로

[eqn: f left(4right)=13]

[다른 풀이]

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 [eqn: f(0)=`-3`]이므로

[eqn: f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x-3]

이라 하면    [eqn: f `prime (x)=3 x^{2}+2 a x+b]

조건 (가)에서

[eqn: f(x)=f(1)+(x-1) f `prime (g(x))]

이므로 [eqn: x neq 1]일 때,

[eqn: f `prime (g(x))={f(x)-f(1)} over {x-1}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이때, 두 점 [eqn: (1,`` f(1))], [eqn: (x,`` f(x))]를 지나는 직선의 기울기가 [eqn: f `prime (g(x))]이고, 조건 (나)에서 [eqn: g(x) geq {5} over {2}]이므로 두 점 [eqn: (1,`` f(1))], [eqn: ~ left({5} over {2},`` f left({5} over {2} right) right)]를 지나는 직선은 점 [eqn: left({5} over {2},`` f left({5} over {2} right) right)]에서 접하는 직선이다.

그러므로 직선 [eqn: y-f left({5} over {2} right)=f `prime left({5} over {2} right) left(x-{5} over {2} right)]는 점 [eqn: (1,`` f(1))]을 지난다. 즉,

[eqn: 1+a+b-3- left{ left({5} over {2} right)^{3}+a left({5} over {2} right)^{2}+b left({5} over {2} right)-3 it right}]

[eqn: = left{ 3 times left({5} over {2} right)^{2}+5 a+b it right} left(1-{5} over {2} right)]

이 식을 정리하면

[eqn: -{117} over {8}-{21} over {4} a-{3} over {2} b= left({75} over {4}+5 a+b right) left(-{3} over {2} right)]

[eqn: {9} over {4} a=`- {108} over {8}]

[eqn: a=`-6]

따라서 [eqn: f(x)=x^{3}-6 x^{2}+b x-3]이고, [eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-12 x+b]이다.

한편, ㉠에서

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} f `prime (g(x))= lim _{x ``rarrow`` 1} {f(x)-f(1)} over {x-1}]

이때, [eqn: g(x)]는 연속함수이므로 [eqn: g(1)=k]라 하면 좌변은

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} f `prime (g(x))][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1} left{ 3 left{ g(x) it right} ^{2}-12 g(x)+b it right}]
[eqn: =3 k^{2}-12 k+b]	[eqn: cdotscdots] ㉡

또, 우변은

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {f(x)-f(1)} over {x-1}][eqn: =f `prime (1)][eqn: =3-12+b][eqn: =b-9]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

㉡, ㉢에서

[eqn: 3 k^{2}-12 k+b=b-9]

[eqn: k^{2}-4 k+3=0],    [eqn: (k-1)(k-3)=0]

[eqn: k=1] 또는 [eqn: k=3]

[eqn: g(1)=1] 또는 [eqn: g(1)=3]

이때, 조건 (나)에서 [eqn: g(x)]의 최솟값이 [eqn: {5} over {2}]이므로

[eqn: g(1)=3]

따라서 조건 (다)에서 [eqn: f left(g left(1right)right)=f left(3right)=6`]이므로

[eqn: 27-54+3 b-3=6],    [eqn: b=12]

따라서 [eqn: f(x)=x^{3}-6 x^{2}+12 x-3]이므로

[eqn: f(4)=4^{3}-6 times 4^{2}+12 times 4-3=13]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=f LEFT (1 RIGHT )+ LEFT (x-1 RIGHT )f `prime LEFT (g LEFT (x RIGHT ) RIGHT )]이다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: {5} over {2}]이다.

(다) [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=`-3], [eqn: f LEFT (g LEFT (1 RIGHT ) RIGHT )=6]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 22

두 양수 [eqn: a], [eqn: b(b>3)]과 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[정답] [eqn: 19]

[해설]

[eqn: g(x)=cases{(x+3) f(x) && (x<0) # (x+a) f(x-b) && (x geq 0)}]

이 실수 전체의 집합에서 연속이려면 [eqn: x=0]에서 연속이어야 한다.

따라서

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} g(x)= lim _{x ``rarrow`` 0+} g(x)=g(0)]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이 성립한다.

이때

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} g(x)= lim _{x ``rarrow`` 0-}(x+3) f(x)=3 f(0)]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} g(x)= lim _{x ``rarrow`` 0+}(x+a) f(x-b)=a f(-b)]

[eqn: g(0)=a f(-b)]

이므로 ㉠에서

[eqn: 3 f(0)=a f(-b)]	[eqn: cdotscdots] ㉡

한편,

[eqn: lim _{x`` rarrow ``-3} {} {sqrt { LEFT | g LEFT (x RIGHT ) RIGHT | + LEFT { g LEFT (t RIGHT ) it RIGHT } ^{2}} - LEFT | g LEFT (t RIGHT ) RIGHT | } over { LEFT (x+3 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: = lim _{x`` rarrow ``-3} {} { LEFT | g LEFT (x RIGHT ) RIGHT | } over { LEFT (x+3 RIGHT ) ^{2} LEFT ( sqrt { LEFT | g LEFT (x RIGHT ) RIGHT | + LEFT { g LEFT (t RIGHT ) it RIGHT } ^{2}} + LEFT | g LEFT (t RIGHT ) RIGHT | RIGHT )}]

[eqn: = lim _{x`` rarrow ``-3} {} { LEFT | LEFT (x+3 RIGHT )f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | } over { LEFT (x+3 RIGHT ) ^{2} LEFT ( sqrt {0+ LEFT { g LEFT (t RIGHT ) it RIGHT } ^{2}} + LEFT | g LEFT (t RIGHT ) RIGHT | RIGHT )}]

[eqn: = lim _{x`` rarrow ``-3} {} { LEFT | LEFT (x+3 RIGHT )f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | } over { LEFT (x+3 RIGHT ) ^{2} TIMES 2 LEFT | g LEFT (t RIGHT ) RIGHT | }]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

이때 [eqn: t neq-3]이고 [eqn: t neq 6]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 ㉢의 값이 존재하므로

[eqn: f(x)=(x+3)(x+k)]([eqn: k]는 상수[eqn: )]

의 꼴이어야 하고, ㉢에서

[eqn: lim _{x`` rarrow ``-3} {} { LEFT | LEFT (x+3 RIGHT )f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | } over { LEFT (x+3 RIGHT ) ^{2} TIMES 2 LEFT | g LEFT (t RIGHT ) RIGHT | }]

[eqn: = lim _{x`` rarrow ``-3} {} { LEFT | LEFT (x+3 RIGHT ) ^{2} LEFT (x+k RIGHT ) RIGHT |} over { LEFT (x+3 RIGHT ) ^{2} TIMES 2 LEFT | g LEFT (t RIGHT ) RIGHT | }]

[eqn: = lim _{x`` rarrow ``-3} {} { LEFT | x+k RIGHT | } over {2 LEFT | g LEFT (t RIGHT ) RIGHT | }]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉣

이때 [eqn: t=`-3]과 [eqn: t=6]에서만 ㉣의 값이 존재하지 않으므로 방정식 [eqn: g(x)=0]이 모든 실근은 [eqn: x=`-3]과 [eqn: x=6]뿐이다.

주어진 식에서 [eqn: g(-3)=0]이므로

[eqn: g(6)=0], 즉 [eqn: (6+a) f(6-b)=0]

이어야 한다.

이때 [eqn: a>0]이므로 [eqn: f(6-b)=0]에서

[eqn: 6-b=`-3] 또는 [eqn: 6-b=`-k]

따라서 [eqn: b=9] 또는 [eqn: k-b=`-6]

(ⅰ) [eqn: b=9]인 경우
[eqn: x<0]에서
[eqn: g(x)=(x+3) f(x)=(x+3)^{2}(x+k)]
이때 [eqn: x<0]에서 [eqn: g(x)=0]의 해는 [eqn: -3]뿐이므로
[eqn: -k geq 0] 또는 [eqn: k=3]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉤
[eqn: x geq 0]에서
[eqn: g(x)=(x+a) f(x-9)][eqn: =(x+a)(x-6)(x-9+k)]
이때 [eqn: x geq 0]에서 [eqn: g(x)=0]의 해는 [eqn: rm 6]뿐이므로
[eqn: 9-k<0] 또는 [eqn: 9-k=6]	[eqn: cdotscdots] ㉥
㉤, ㉥에서    [eqn: k=3]
따라서 [eqn: f(x)= (x+3)^2]이므로 ㉡에서
[eqn: 3times3^2 =af(-9)],    [eqn: 27 =36a]
[eqn: a= 3over4]
따라서

[eqn: g(4)][eqn: = (4+a)f(4-b)]
[eqn: = left(4+{3} over {4} right) f(-5)]
[eqn: ={19} over {4} times(-2)^{2}=19]

(ⅱ) [eqn: k-b=`-6]인 경우
[eqn: x<0]에서
[eqn: g(x)=(x+3) f(x)=(x+3)^{2}(x+k)]
이때 [eqn: x<0]에서 [eqn: g(x)=0]의 해는 [eqn: -3]뿐이므로
[eqn: -k geq 0] 또는 [eqn: k=3]
[eqn: x geq 0]에서

[eqn: g(x)][eqn: =(x+a) f(x-b)]
[eqn: =(x+a)(x-b+3)(x-b+k)]
[eqn: =(x+a)(x-b+3)(x-6)]

이때 [eqn: x geq 0]에서 [eqn: g(x)=0]의 해는 [eqn: rm 6]뿐이고, [eqn: b>3]이므로
[eqn: b-3=6]에서    [eqn: b=9]
[eqn: k-b=`-6]에서    [eqn: k=3]
따라서 ( i )과 같은 결과이므로 [eqn: g(4)=19]이다.

[eqn: g(x)=cases{(x+3) f(x) && (x<0) #(x+a) f(x-b) && (x geq 0)}]

이 실수 전체의 집합에서 연속이고 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: g(4)]의 값을 구하시오.

[eqn: lim _{x ``rarrow``-3} { sqrt{|g(x)|+ left{ g(t) it right} ^{2}}-|g(t)|} over {(x+3)^{2}}]의 값이 존재하지 않는 실수 [eqn: t]의 값은 [eqn: -3]과 [eqn: rm 6]뿐이다.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 14

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를 다음과 같이 정의한다.

[정답] ①

[해설]

[eqn: g(x)=cases{x && (x < it - 1~ 또는~ x>1) #f(x) && (-1 leq x leq 1)}]에서

[eqn: h(x)][eqn: = lim _{t ``rarrow`` 0+} g(x+t) times lim _{t ``rarrow`` 2+} g(x+t)]
[eqn: =cases{x left(x+2right)&left(x ge1right)#left(x+2right)f left(x right)~&left(-1le x<1right)#xf left(x+2right)&left(-3le x< -1right)#x left(x+2right)&left(x< -3right)]

ㄱ. [eqn: h left(1right)=1times3=3]	(참)

ㄴ. [eqn: lim_{x`->`1-}h left(x right)=lim_{x`->`1-}left(x+2right)f left(x right)=3f left(1right)`]
[eqn: lim_{x`->`1+}h left(x right)=h left(1right)=3`]
이므로 [eqn: f left(1right)ne1`]이면 함수 [eqn: h left(x right)`]는 [eqn: x=1`]에서 불연속이다.
따라서 함수 [eqn: h left(x right)`]는 실수 전체의 집합에서 연속이라 할 수 없다.	(참)

ㄷ. [eqn: g left(-1right)=f left(-1right)=`-2`]이고, 함수 [eqn: g left(x right)`]가 닫힌구간 [eqn: left[`-1,``1`right]`]에서 감소하므로    [eqn: f left(1right)<`-2]
[eqn: -3le x < -1`]에서 [eqn: h left(x right)=x f left(x+2right)`]이고,
[eqn: x<0`], [eqn: f left(x+2right)<0`]이므로    [eqn: h left(x right)>0`]
[eqn: -1<x<1]에서 [eqn: h left(x right)=left(x+2right)f left(x right)]이므로
[eqn: h `prime left(x right)=f left(x right)+left(x+2right)f `prime left(x right)]
[eqn: f `prime (x)<0], [eqn: x+2>0], [eqn: f(x)<0]이므로    [eqn: h `prime (x)<0]
따라서 [eqn: -1<x<1]에서 함수 [eqn: h(x)]는 감소하므로
[eqn: lim_{x`->`1-}h left(x right)=lim_{x`->`1-}left(x+2right)f left(x right)=3f left(1right)< -6]
한편, ㄱ에서 [eqn: h left(1right)=3`]이므로 함수 [eqn: h left(x right)`]는 최솟값을 갖지 않는다.	(거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ 뿐이다.

[다른 풀이]

ㄷ. [반례] [eqn: f(x)=`-x-3]이라 하자.
[eqn: x < it - 3]일 때,    [eqn: h(x)=x(x+2)]
[eqn: -3le x < it - 1]일 때,    [eqn: h(x)=`-x(x+5)]
[eqn: -1le ~x<1]일 때,    [eqn: h(x)=`-(x+3)(x+2)]
[eqn: x ge1]일 때,    [eqn: h(x)=x(x+2)]
이때, [eqn: lim_{x`->`1-} h left(x right)=`-12], [eqn: h(1)=3]이므로 함수 [eqn: h(x)]의 최솟값은 없다.	(거짓)

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{x&& LEFT ( x< it -1 ~ 또는 ~ x>1 RIGHT )#f LEFT ( x RIGHT )&& LEFT ( -1 LEQ x LEQ 1 RIGHT )}}]

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = lim _{t ``->`` 0+} {} g LEFT ( x+t RIGHT ) TIMES lim _{t ``->`` 2+} {} g LEFT ( x+t RIGHT )]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: h LEFT (1 RIGHT )=3] ㄴ. 함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ㄷ. 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )]가 닫힌구간 [eqn: LEFT [-1,`` 1 RIGHT ]]에서 감소하고 [eqn: g LEFT (-1 RIGHT )=`-2]이면 함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 최솟값을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 20

곡선 [eqn: {y= x^3 -x^2 }] 위의 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmA]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 8]이다. 점 [eqn: (0 ,`` 2)]를 중심으로 하는 원 [eqn: S]가 있다. 두 점 [eqn: rmB(0 ,`` 4)]와 원 [eqn: S] 위의 점 [eqn: rmX]에 대하여 두 직선 [eqn: rmOA]와 [eqn: rmBX]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: bar {RmBX} `sintheta]의 최댓값이 [eqn: {6 sqrt5} over 5]가 되도록 하는 원 [eqn: S]의 반지름의 길이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[정답] ②

[해설]

[eqn: y= x^3 -x^2] 위의 점을 [eqn: rm A ( it t, ````t^3 -t^2 )]라 하면 [eqn: y``'= 3x^2 -2x]에서 점 [eqn: rmA]에서의 기울기는 [eqn: 3t^2 -2t]이므로

[eqn: 3t^2 -2t][eqn: =8], [eqn: (t-2)(3t +4) =0]

[eqn: therefore][eqn: t=2][eqn: (because````t>0)]

따라서 점 [eqn: rmA(2,````4)]이다.

두 직선 [eqn: rmOA]와 [eqn: rmBX]가 이루는 예각의 크기가 [eqn: theta]이고, 직선 [eqn: rmOA]의 기울기가 [eqn: 2]이므로 [eqn: theta]는 직선 [eqn: rmBX]와 점 [eqn: rmX]를 지나고 기울기가 [eqn: 2]인 직선이 이루는 예각과 같다.

위의 그림에서 [eqn: bar {RmBX} `sintheta][eqn: rm = bar BH]이므로 [eqn: bar {RmBX} `sintheta]의 최대는 [eqn: rm bar BH]가 최대일 때이다.

[eqn: bar {RmBX} `sintheta], 즉 [eqn: rm bar BH]의 최댓값이 [eqn: {6 sqrt5} over 5]이므로 두 점 [eqn: rmX], [eqn: rmH]를 지나는 직선의 방정식을 [eqn: y=2x +k]라 하면 점 [eqn: rmB left( 0,``4right)]에서 직선 [eqn: 2x-y+k=0]까지의 거리가 [eqn: {6 sqrt5} over 5]이다.

[eqn: {left|`k-4`right|} over {root{2^2 + (-1)^2 } }= {6root5} over5], [eqn: left|`k-4`right| =6]

[eqn: therefore][eqn: k= it-2] 또는 [eqn: k=10]

그런데 [eqn: theta]가 예각이므로 [eqn: k=it-2]

즉, [eqn: y=2x-2]

따라서 원 [eqn: S]의 반지름을 [eqn: r]이라 하면 중심 [eqn: (0,````2)]에서 직선 [eqn: 2x-y-2=0]과의 거리가 [eqn: r]이므로

[eqn: r={left|`-4`right|} over {root{2^2 + (-1)^2 } }= {4root5} over5 from 넘버41]

① [eqn: {3 sqrt5 } over 4]	② [eqn: {4 sqrt5} over 5]	③ [eqn: {17 sqrt5} over 20]

④ [eqn: { 9 sqrt5 } over 10]	⑤ [eqn: {19 sqrt5} over 20]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 22

삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의

[정답] [eqn: 121]

[해설]

[eqn: f(0)=0]이므로

[eqn: f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x(a,`` b,`` c]는 상수 [eqn: )]라 하면

[eqn: f `prime (0)=c], [eqn: g(x)=c x]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (0,``0)]에서의

접선의 기울기 [eqn: c]에 대하여

(i ) [eqn: c=0]이면 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

(ii) [eqn: c>0]이면 [eqn: h(12)>0]이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(iii) [eqn: c<0], [eqn: a>0]이면 두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 다음과 같으므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

(iv) [eqn: c<0], [eqn: a<0]이면 두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 다음과 같은 경우에는 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

그러므로 두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 다음과 같은 경우에만 조건 (가), (나)를 만족시킨다.

조건 (가)에 의하여

[eqn: f(x)+g(x)=ax(x-k) ^{2}]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉠

조건 (나)에 의하여

[eqn: -f(x)+g(x)=-ax ^{2} (x-12)]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉡

두 식 ㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: 2 g(x)=2 a(6-k) x^{2}+a k^{2} x]

[eqn: 6-k=0], [eqn: k=6]

[eqn: g(x)=18 a x]

[eqn: f(x)=a x(x-6)^{2}-18 a x]

[eqn: ~ =a x left(x^{2}-12 x+18 right)]

방정식 [eqn: x^{2}-12 x+18=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta( alpha< beta)]라 하면 [eqn: alpha=6-3 sqrt{2}], [eqn: beta=6+3 sqrt{2}]

함수 [eqn: h(x)]는 다음과 같다.

[eqn: h(x)=cases{a x(x-6)^{2} && (x<0 또는~ alpha leq x< beta) #-a x^{2}(x-12) && (0 leq x< alpha 또는~ x geq beta)}]

[eqn: alpha<3< beta]이므로

[eqn: h(3)=a times 3 times(3-6)^{2}=27 a=-{9} over {2}]

[eqn: a=-{1} over {6}], [eqn: c=-3]

[eqn: h(x)= {cases{- {1} over {6} x(x-6) ^{2} ~(x<0또는~ alpha LEQ x< beta )#{1} over {6} x ^{2} (x-12)~(0 LEQ x< alpha 또는~x GEQ beta )}]
[eqn: alpha =6-3 sqrt {2}], [eqn: beta=6+3 sqrt {2}]이므로

[eqn: alpha<6<beta<11]

[eqn: h LEFT ( 6 RIGHT ) =0], [eqn: h LEFT ( 11 RIGHT ) = {1} over {6} times11 ^{2} times LEFT ( -1 RIGHT ) =- {121} over {6}]

따라서

[eqn: k`times LEFT { h LEFT ( 6 RIGHT ) -h LEFT ( 11 RIGHT ) RIGHT } =6 TIMES LEFT { 0- LEFT ( - {121} over {6} RIGHT ) RIGHT } =121]

점 [eqn: (0,``0)]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y=g(x)]라 할 때, 함수 [eqn: h(x)]를

[eqn: h(x)=|f(x)|+g(x)]

라 하자. 함수 [eqn: h(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 곡선 [eqn: y=h(x)] 위의 점 [eqn: (k,`` 0)(k neq 0)]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=0]이다.

(나) 방정식 [eqn: h(x)=0]의 실근 중에서 가장 큰 값은 [eqn: rm 12]이다.

[eqn: h(3)=-{9} over {2}]일 때, [eqn: k times left{ h(6)-h(11) it right}]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: k]는 상수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 22

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]와 실수 [eqn: t]에 대하여 구간 [eqn: (- inf ,`` t]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값을 [eqn: m_{1}]이라 하고, 구간 [eqn: [t,`` inf )]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값을 [eqn: m_{2}]라 할 때,

[정답] [eqn: 82]

[해설]

사차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x= alpha]에서만 극솟값을 갖는다고 하면 함수 [eqn: g(t)]는

[eqn: g(t)=cases{f(t)-f( alpha)(t< alpha) #f( alpha)-f(t)(t geq alpha)}]

구간 [eqn: (- inf ,`` alpha)]에서 함수 [eqn: f(t)]가 감소하므로 함수 [eqn: g(t)]도 감소하고, 구간 [eqn: [ alpha,`` inf )]에서 함수 [eqn: f(t)]가 증가하므로 함수 [eqn: g(t)]는 감소한다. 실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: g(t)]가 감소하므로 조건을 만족시키는 양수 [eqn: k]가 존재하지 않는다.

그러므로 함수 [eqn: f(x)]는 극댓값을 가져야 한다.

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x= alpha], [eqn: x= beta( alpha< beta)]에서 극솟값을 가지고, [eqn: f( alpha)=a], [eqn: f( beta)=b]라 하자.

(ⅰ) [eqn: f( alpha)=f( beta)]인 경우

함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: a]이므로
[eqn: g(t)= {cases{f(t)-a&&(t< alpha )#```````````0&&( alpha LEQ t LEQ beta )#a-f(t)&&(t> beta )}}]
따라서 조건을 만족시키는 양수 [eqn: k]가 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: f( alpha)<f( beta)]인 경우

[eqn: alpha<x< beta]일 때, [eqn: f(x)=f( beta)]의 해를 [eqn: gamma]라 하면
[eqn: g(t)=cases{f(t)-a && (t< alpha) #a-f(t) && ( alpha leq t< gamma) #a-b && ( gamma leq t leq beta) #a-f(t) && (t> beta)}]
[eqn: a-b<0]이므로 조건을 만족시키는 양수 [eqn: k]가
존재하지 않는다.

(iii) [eqn: f( alpha)>f( beta)]인 경우

[eqn: alpha<x< beta]일 때, [eqn: f(x)=f( alpha)]의 해를 [eqn: gamma]라 하면
[eqn: g(t)=cases{f(t)-b && (t< alpha) #a-b && ( alpha leq t leq gamma) #f(t)-b && ( gamma<t< beta) #b-f(t) && (t geq beta)}]
[eqn: a-b>0]이므로 [eqn: k=a-b], [eqn: alpha=0], [eqn: gamma=2]이면
[eqn: k]는 주어진 조건을 만족시킨다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

[eqn: f `prime (0)=0], [eqn: f(0)=f(2)]

이다. 또 [eqn: g(4)=0]이므로 [eqn: beta=4]이고 [eqn: f `prime (4)=0]이다. [eqn: f(x)-f(0)=x^{2}(x-2)(x-p)(p]는 상수[eqn: )]라 하자. [eqn: f `prime (x)=2 x(x-2)(x-p)+x^{2}(2 x-p-2)]이므로

[eqn: f `prime (4)=0]에서 [eqn: 16(4-p)+16(6-p)=0]

[eqn: 10-2 p=0], [eqn: p=5]

그러므로

[eqn: f(x)=x^{2}(x-2)(x-5)+f(0)]

[eqn: k][eqn: =f( alpha)-f( beta)=f(0)-f(4)]
[eqn: =f(0)- left{ -32+f(0) it right} =32]

[eqn: g(-1)][eqn: =f(-1)-f(4)]
[eqn: = left{ 18+f(0) it right} - left{ -32+f(0) it right} =50]

따라서 [eqn: k+g(-1)=82]

[eqn: g(t)=m_{1}-m_{2}]

라 하자. [eqn: k>0]인 상수 [eqn: k]와 함수 [eqn: g(t)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: g(t)=k]를 만족시키는 모든 실수 [eqn: t]의 값의 집합은

[eqn: left{ t `|` 0 leq t leq 2 it right}]이다.

[eqn: g(4)=0]일 때, [eqn: k+g(-1)]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 20

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]를 만족시킨다. 양수 [eqn: t]에 대하여 좌표평면 위의 네 점 [eqn: (t,`` 0)], [eqn: (0,``2 t)], [eqn: (-t,`` 0)], [eqn: (0,``-2 t)]를 꼭짓점으로 하는 마름모가 곡선 [eqn: y=f(x)]와 만나는 점의 개수를 [eqn: g(t)]라 할 때, 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t= alpha], [eqn: t=8]에서 불연속이다. [eqn: alpha^{2} times f(4)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 240]

[해설]

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]이므로

곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축이 만나는 점의 개수는 [eqn: rm 1] 또는 [eqn: rm 3]이다.

( i ) 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축이 만나는 점의 개수가 [eqn: rm 1]인 경우
모든 양수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g(t)=2]이므로 함수 [eqn: g(t)]는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(ii) 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축이 만나는 점의 개수가 [eqn: rm 3]인 경우
[eqn: f(x)=x(x-a)(x+a)(a>0)]이라 하자.
두 점 [eqn: (t,`` 0)], [eqn: (0,``-2 t)]를 지나는 직선의 기울기는 [eqn: t]의 값에 관계없이 [eqn: rm 2]이므로 [eqn: f `prime (a)]의 값에 따라 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=k]에서 불연속이 되는 [eqn: k]의 개수가 달라진다.

(a) [eqn: f `prime (a) leq 2]일 때
모든 양수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g(t)=2]이므로
함수 [eqn: g(t)]는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(b) [eqn: f `prime (a)>2]일 때
곡선 [eqn: y=f(x)]의 기울기가 [eqn: rm 2]인 두 접선의 [eqn: x]절편을 각각 [eqn: beta], [eqn: - beta( beta>a)]라 하면
[eqn: g(t)=cases{2 && (0<t<a ``또는`` t> beta) #4 && (t=a `` 또는`` t= beta) #6 && (a<t< beta)}]
함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=a], [eqn: t= beta]에서 불연속이므로 [eqn: a= alpha], [eqn: beta=8]

함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=8]에서 불연속이므로
두 직선 [eqn: y=2 x+16]과 [eqn: y=2 x-16]은
곡선 [eqn: y=f(x)]에 접한다.
직선 [eqn: y=2 x-16]이 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접하는
점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: p(0<p< alpha)]라 하면
[eqn: p^{3}- alpha^{2} p=2 p-16][eqn: cdotscdots]㉠
[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}- alpha^{2}]이므로 [eqn: f `prime (p)=3 p^{2}- alpha^{2}=2]
에서 [eqn: alpha^{2}=3 p^{2}-2][eqn: cdotscdots]㉡
㉠, ㉡에 의하여
[eqn: p^{3}- left(3 p^{2}-2 right) p=2 p-16], [eqn: -2 p^{3}=-16]
에서 [eqn: p=2], [eqn: alpha^{2}=10]이므로 [eqn: f(x)=x^{3}-10 x]

따라서 [eqn: alpha^{2} times f(4)=10 times left(4^{3}-10 times 4 right)=240]

(단, [eqn: alpha]는 [eqn: 0< alpha<8]인 상수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 22

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 [eqn: x=3]에서 극댓값 [eqn: rm 8]을 갖는 삼차함수 [eqn: f(x)]가 있다. 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] [eqn: 58]

[해설]

[eqn: g(x)=cases{f(x) && (x geq t) #-f(x)+2 f(t) && (x<t)}]에서

[eqn: lim _{x ``rarrow`` t-} g(x)= lim _{x ``rarrow`` t+} g(x)=g(t)=f(t)]

이므로 함수 [eqn: g(t)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=k]에서 극솟값을 갖는다고 하자.

이때 함수 [eqn: y=-f(x)+2 f(t)]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 후, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2 f(t)]만큼 평행이동한 것이다.

방정식 [eqn: g(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수는 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 [eqn: x]축과의 교점의 개수와 같으므로 [eqn: f(k)]의 값에 따라 나누어 생각할 수 있다.

우선 [eqn: f(k)<0]인 경우를 생각해보면 함수 [eqn: y=g(x)]가 불연속일 때의 그래프는 다음과 같다.

따라서 함수 [eqn: h(t)]는     [eqn: t=t_{i} ~ (i=1,``2,``3,``4,``5)]

에서 불연속이므로 주어진 조건에 위배된다.

위와 같은 방법으로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에 따라 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프를 그려보면 함수 [eqn: h(t)]가 [eqn: t=a]에서 불연속인 [eqn: a]의 값이 두 개인 경우는 다음과 같이 [eqn: t=k]일 때 [eqn: g(3)=0]이 되는 경우뿐이다.

[교점 [eqn: 2]개]	[교점 [eqn: 1]개]

[교점 [eqn: 0]개]	[교점 [eqn: 1]개]

[교점 [eqn: 0]개]

[eqn: t=k]일 때

[eqn: g(x)=cases{f(x) && (x geq k) # -f(x)+2 f(k) && (x<k)}]

이고 이때 [eqn: g(3)=0]에서

[eqn: -f(3)+2 f(k)=0]

즉 [eqn: -8+2 f(k)=0]에서    [eqn: f(k)=4]

한편, 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=3]에서 극댓값을 가지므로 [eqn: x=k]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: k>3]이고

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3(x-3)(x-k)]
[eqn: =3x ^{2} -3(3+k)x+9k]

[eqn: f(x)=x ^{3} - {3} over {2} (3+k)x ^{2} +9kx+C]  ([eqn: C`]는 적분상수[eqn: )]

이고 [eqn: f(3)=8]이므로

[eqn: 27-{27} over {2}(3+k)+27 k+C=8]

[eqn: C={43} over {2}-{27} over {2} k]

따라서

[eqn: f(x)=x^{3}-{3} over {2}(3+k) x^{2}+9 k x+{43} over {2}-{27} over {2} k]

이때 [eqn: f(k)=4]이므로

[eqn: k^{3}-{3} over {2}(3+k) k^{2}+9 k^{2}+{43} over {2}-{27} over {2} k=4],

[eqn: -{k^{3}} over {2}+{9} over {2} k^{2}-{27} over {2} k+{35} over {2}=0],

[eqn: k^{3}-9 k^{2}+27 k-35=0],

[eqn: (k-5) left(k^{2}-4 k+7 right)=0]

모든 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: k^{2}-4 k+7>0]이므로

[eqn: k=5]

따라서

[eqn: f(x)=x^{3}-12 x^{2}+45 x-46]

이므로

[eqn: f(8)=512-768+360-46=58]

[eqn: g(x)=cases{f(x) && (x geq t) #-f(x)+2 f(t) && (x<t)}]

라 할 때, 방정식 [eqn: g(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: h(t)]라 하자. 함수 [eqn: h(t)]가 [eqn: t=a]에서 불연속인 [eqn: a]의 값이 두 개일 때, [eqn: f(8)]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 22

최고차항의 계수가 정수인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1], [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =0]이다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]를

[정답] [eqn: 11]

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: y=f left(x right)]와 [eqn: y=g left( x right)]의 교점을 구하면

[eqn: f left(x right)=f left(x right)+left|`f left(x right)-1`right|]

[eqn: therefore][eqn: f left(x right)=1]	[eqn: cdotscdots] ㉠

따라서 ㉠을 만족하는 서로 다른 실근의 합이 [eqn: 3]이다.

문제에서 [eqn: f left(1 right)=1], [eqn: f`prime left(1right)=0]이므로 ㉠은 [eqn: x=1]을 중근으로 가지므로 다른 한 근은 [eqn: 2]이다.

[eqn: therefore][eqn: f left(x right)=a left(x-1right)^2 left(x-2right)+1]

조건 (나)에서

[eqn: 0<int_0^n g left( x right)`dx-n<16], 즉

[eqn: 0<int_0^n left{g left(x right)-1right}`dx<16]	[eqn: cdotscdots] ㉠

을 만족해야 한다.

[eqn: g left(x right)=cases{2f left(x right)-1````&left(f left(x right)ge1right)#~~1&left(f left(x right)<1right)]에서

[eqn: g left(x right)-1][eqn: =cases{2f left(x right)-2~&left(f left(x right)ge1right)#~~0&left(f left(x right)<1right)]
[eqn: =cases{2a left(x-1right)^2 left(x-2right)~&left(f left(x right)ge1right)#~~1&left(f left(x right)<1right)]

함수 [eqn: g left(x right)-1]의 그래프의 개형은 [eqn: f left(x right)]의 최고차항의 계수의 부호에 따라 다음 두 가지가 가능하다.

(ⅰ) [eqn: a>0]일 때

[eqn: y=f left(x right)]	[eqn: y=g left(x right)-1]

(ⅱ) [eqn: a<0]일 때

[eqn: y=f left(x right)]	[eqn: y=g left(x right)-1]

(ⅰ)의 경우는 [eqn: n=1]일 때, [eqn: int_0^n left{g left(x right)-1right}`dx=0]이므로 ㉠을 만족하지 않는다.

(ⅱ)에서 ㉠을 만족하기 위해서는 [eqn: n=2]일 때만 만족하면 되므로

[eqn: int_0^2 left{g left(x right)-1right}`dx][eqn: =int_0^2 2a left(x-1right)^2 left(x-2right)`dx]
[eqn: =2a int_0^2 left{left(x-1right)^3 -left(x-1right)^2 right}`dx]
[eqn: =2a left[ 1over4 left(x-1right)^4 - 1over3 left(x-1right)^3 right]_0^2]
[eqn: =it- 4over3 a]

따라서 ㉠에서 [eqn: 0< - 4over3 a<16], [eqn: -12<a<0]이므로 정수 [eqn: a]는 [eqn: 11]개이고, 함수 [eqn: f left(x right)]의 개수도 [eqn: 11]개다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) + LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -1 RIGHT |]

이라 할 때, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시키도록 하는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]의 개수를 구하시오.

(가) 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 모든 교점의 [eqn: x`]좌표의 합은 [eqn: 3]이다.

(나) 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n< int _{0} ^{n} {g LEFT ( x RIGHT ) dx} <n+16`]이다.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 22

양수 [eqn: a]와 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[정답] [eqn: 30]

[해설]

[eqn: g(x)= int_{0}^{x} left{ f `prime (t+a) times f `prime (t-a) it right} d t]의 양변을

[eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: g `prime (x)=f `prime (x+a) times f `prime (x-a)]

[eqn: f `prime (x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: rm 3]인 이차함수이므로

방정식 [eqn: f `prime (x)=0]의 서로 다른 실근의 개수는

[eqn: rm 0] 또는 [eqn: rm 1] 또는 [eqn: rm 2]이다.

( i ) 방정식 [eqn: f `prime (x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가
[eqn: rm 0] 또는 [eqn: rm 1]인 경우
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f `prime (x) geq 0]이므로 [eqn: g `prime (x)=f `prime (x+a) times f `prime (x-a) geq 0]
함수 [eqn: g(x)]는 극값을 갖지 않으므로 조건을 만족시키지 않는다.

(ii) 방정식 [eqn: f `prime (x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 2]인 경우
[eqn: f `prime (x)=3(x- alpha)(x- beta)( alpha< beta)]라 하자.
(a) [eqn: alpha+a< beta-a]일 때
두 함수 [eqn: y=f `prime (x+a)], [eqn: y=f `prime (x-a)]의 그래프의          개형은 그림과 같다.

함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha-a]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha+a]	[eqn: cdots]	[eqn: beta-a]	[eqn: cdots]	[eqn: beta+a]	[eqn: cdots]
[eqn: f `prime (x+a)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: f `prime (x-a)]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: g `prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]	[eqn: nearrow]	극대	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]	극대	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]

함수 [eqn: g(x)]는
[eqn: x= alpha-a], [eqn: x= alpha+a], [eqn: x= beta-a], [eqn: x= beta+a]에서
극값을 가지므로 조건을 만족시키지 않는다.

(b) [eqn: alpha+a= beta-a]일 때
두 함수 [eqn: y=f `prime (x+a)], [eqn: y=f `prime (x-a)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha-a]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha+a][eqn: (= beta-a)]	[eqn: cdots]	[eqn: beta+a]	[eqn: cdots]
[eqn: f `prime (x+a)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: f `prime (x-a)]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: g `prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]	[eqn: nearrow]	극대	[eqn: searrow]		[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x= alpha-a], [eqn: x= beta+a]에서만 극값을 가지므로 조건에 의하여
[eqn: ( beta+a)-( alpha-a)={13} over {2}-{1} over {2}=6]
[eqn: beta- alpha=2 a]이므로
[eqn: ( beta+a)-( alpha-a)=( beta- alpha)+2 a=4 a]
[eqn: 4 a=6]에서 [eqn: a={3} over {2}]
그러므로 [eqn: alpha-{3} over {2}={1} over {2}]에서 [eqn: alpha=2]이고,
[eqn: beta+{3} over {2}={13} over {2}]에서 [eqn: beta=5]이다.

(c) [eqn: beta-a< alpha+a]일 때
두 함수 [eqn: y=f `prime (x+a)], [eqn: y=f `prime (x-a)] 그래프의 개형은 그림과 같다.

함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha-a]	[eqn: cdots]	[eqn: beta-a]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha+a]	[eqn: cdots]	[eqn: beta+a]	[eqn: cdots]
[eqn: f `prime (x+a)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: f `prime (x-a)]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: g `prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]	[eqn: nearrow]	극대	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]	극대	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x= alpha-a], [eqn: x= beta-a], [eqn: x= alpha+a], [eqn: x= beta+a]에서 극값을 가지므로 조건을 만족시키지 않는다.

그러므로 [eqn: f `prime (x)=3(x-2)(x-5)]

[eqn: f(x)][eqn: = int left(3 x^{2}-21 x+30 right) d x]
[eqn: =x^{3}-{21} over {2} x^{2}+30 x+C(C]는 적분상수 [eqn: )]

[eqn: f(0)=-{1} over {2}]이므로 [eqn: f(x)=x^{3}-{21} over {2} x^{2}+30 x-{1} over {2}]

따라서 [eqn: a times f(1)={3} over {2} times left(1-{21} over {2}+30-{1} over {2} right)=30]

[eqn: g(x)= int_{0}^{x} left{ f `prime (t+a) times f `prime (t-a) it right} d t]

가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x={1} over {2}]과 [eqn: x={13} over {2}]에서만 극값을 갖는다

[eqn: f(0)=-{1} over {2}]일 때, [eqn: a times f(1)]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 15

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하므로 [eqn: x=0]에서 연속이다.

[eqn: g(0)=0]이므로 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} g(x)=f(2)=0]

[eqn: f(x)=(x-2)(x-p)(p]는 상수[eqn: )]라 하면

[eqn: f(x+2)=x(x+2-p)]

[eqn: lim _{h ``rarrow`` 0-} {g(0+h)-g(0)} over {h}=2-p]

함수 [eqn: x f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F(x)]라 하면 [eqn: lim _{h`` rarrow ``0+} {} {g(0+h)-g(0)} over {h}][eqn: = lim _{h ``rarrow`` 0+} {F(h)-F(0)} over {h}]
[eqn: =F `prime (0)=0]

[eqn: g `prime (0)=2-p=0], [eqn: ~ p=2]

[eqn: f(x)=(x-2)^{2}]

그러므로

[eqn: g(x)=cases{x^{2} && (x<0) # int_{0}^{x} t(t-2)^{2} d t && (x geq 0)}][eqn: g `prime (x)=cases{2 x && (x<0) # 0 && (x=0) # x(x-2)^{2} && (x>0)}]

함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 0]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 2]	[eqn: cdots]
[eqn: g `prime (x)]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]		[eqn: nearrow]

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

(i) [eqn: g(a)=0]인 경우
[eqn: h(x)=g(x)]이므로 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: x=k]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: rm 0]

(ii) [eqn: 0<g(a)<g(2)] 또는 [eqn: g(2)<g(a)]인 경우 방정식 [eqn: h(x)=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 [eqn: lim _{x ``rarrow`` alpha-} {h(x)-h( alpha)} over {x- alpha} neq lim _{x ``rarrow`` alpha+} {h(x)-h( alpha)} over {x- alpha}][eqn: lim _{x ``rarrow`` beta-} {h(x)-h( beta)} over {x- beta} neq lim _{x ``rarrow`` beta+} {h(x)-h( beta)} over {x- beta}]

함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x= alpha], [eqn: x= beta]에서 미분가능하지 않다.

함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: x=k]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: k]의
개수는 [eqn: rm 2]

(iii) [eqn: g(a)=g(2)]인 경우
방정식 [eqn: h(x)=0]의 두 근을 [eqn: gamma( gamma<0)], [eqn: 2]라 하면
[eqn: lim _{x ``rarrow`` gamma-} {h(x)-h( gamma)} over {x- gamma} neq lim _{x ``rarrow`` gamma+} {h(x)-h( gamma)} over {x- gamma}]
함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x= gamma]에서 미분가능하지 않다.
[eqn: 0<x<2]일 때, [eqn: h(x)=g(2)-g(x)]이므로 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-} {h(x)-h(2)} over {x-2}=-g `prime (2)=0][eqn: x>2]일 때, [eqn: h(x)=g(x)-g(2)]이므로 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2+} {h(x)-h(2)} over {x-2}=g `prime (2)=0]
함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=2]에서 미분가능하다. 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: x=k]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: rm 1]

[eqn: g(2)= int_{0}^{2} t(t-2)^{2} d t={4} over {3}]이므로

[eqn: g( gamma)= gamma^{2}={4} over {3}], [eqn: gamma=-{2 sqrt{3}} over {3}]

따라서 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: x=k]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: rm 1]이 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 곱은	[eqn: 2 times left(-{2 sqrt{3}} over {3} right)=-{4 sqrt{3}} over {3}]

[eqn: g(x)=cases{f(x+2) && (x<0) # int_{0}^{x} t f(t) d t && (x geq 0)}]

이 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: h(x)]를

[eqn: h(x)=|g(x)-g(a)|]

라 할 때, 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: x=k]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: rm 1]이 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 곱은?

① [eqn: -{4 sqrt{3}} over {3}]	② [eqn: -{7 sqrt{3}} over {6}]	③ [eqn: - sqrt{3}]

④ [eqn: -{5 sqrt{3}} over {6}]	⑤ [eqn: -{2 sqrt{3}} over {3}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 22

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 상수항이 [eqn: rm 0]인 삼차함수 [eqn: g(x)]가 있다. 양의 상수 [eqn: a]에 대하여 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

삼차함수 [eqn: g(x)]의 상수항이 [eqn: rm 0]이므로 [eqn: g(x)]는 [eqn: x]를 인수로 갖는다. [eqn: cdots cdots] ㉠

조건 (가)의 [eqn: x|g(x)|= int_{2 a}^{x}(a-t) f(t) d t]에 [eqn: x=2 a]를 대입하면 [eqn: 2 a|g(2 a)|=0]

[eqn: a]가 양수이므로 [eqn: g(2 a)=0]이고 [eqn: g(x)]는 [eqn: (x-2 a)]를 인수로 갖는다. [eqn: CDOTSCDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: g(x)=x(x-2 a)(x-b) ~ (]단, [eqn: b]는 실수)

함수 [eqn: (a-x) f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

함수 [eqn: int_{2 a}^{x}(a-t) f(t) d t]는 실수 전체의 집합에서 미분

가능하고, [eqn: {d} over {d x} int_{2 a}^{x}(a-t) f(t) d t=(a-x) f(x)]이다.

즉, 함수 [eqn: x|g(x)|]는 [eqn: x=2 a]에서 미분가능하다.

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2 a+} {x|g(x)|-2 a|g(2 a)|} over {x-2 a}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 2 a+} {x|x(x-2 a)(x-b)|} over {x-2 a}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 2 a+} x^{2}|x-b|]
[eqn: =4 a^{2}|2 a-b|]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2 a-} {x|g(x)|-2 a|g(2 a)|} over {x-2 a}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 2 a-} {x|x(x-2 a)(x-b)|} over {x-2 a}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 2 a-} left(-x^{2}|x-b| right)]
[eqn: =-4 a^{2}|2 a-b|]

이므로 [eqn: 4 a^{2}|2 a-b|=-4 a^{2}|2 a-b|]에서 [eqn: b=2 a]이다.

따라서 [eqn: g(x)=x(x-2 a)^{2}]

[eqn: int_{2 a}^{x}(a-t) f(t) d t=cases{-x^{2}(x-2 a)^{2} && (x<0) #x^{2}(x-2 a)^{2} && (x geq 0)}]

이고 함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: (a-x) f(x)=cases { -4 x(x-a)(x-2 a)~~~~(x<0)#```````LEFT. 4x(x-a)(x-2a)~~~~(x GEQ 0)]

[eqn: f(x)=cases{````````4 x(x-2 a) &&~~ (x<0) #-4 x(x-2 a) && ~~(x geq 0)}]

방정식 [eqn: g(f(x))=0]에서

[eqn: f(x)=0] 또는 [eqn: f(x)=2 a]

방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 두 실근 [eqn: 0], [eqn: 2 a]를 가지므로 조건 (나)에 의해 방정식 [eqn: f(x)=2 a]는 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=2 a]의 교점의 개수가 [eqn: rm 2]이어야 하므로

[eqn: f(a)=-4 a(a-2 a)]

[eqn: =4 a^{2}=2 a]

[eqn: a={1} over {2}]

[eqn: int_{-2 a}^{2 a} f(x) d x][eqn: = int_{-1}^{1} f(x) d x]
[eqn: = int_{-1}^{0} left(4 x^{2}-4 x right) d x+ int_{0}^{1} left(-4 x^{2}+4 x right) d x]
[eqn: = left[ pile{it #it} {4} over {3} x^{3}-2 x^{2} right]_{-1}^{0}+ left[ pile{it #it} -{4} over {3} x^{3}+2 x^{2} right]_{0}^{1}]
[eqn: =4]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x|g(x)|= int_{2 a}^{x}(a-t) f(t) d t]이다.

(나) 방정식 [eqn: g(f(x))=0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 4]이다.

[eqn: int_{-2 a}^{2 a} f(x) d x]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 25

세 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]는

[정답] [eqn: 34]

[해설]

(ⅰ) 집합 [eqn: A= LEFT { LEFT ( 2+2 cos theta ,``2+2 sin theta RIGHT ) `left|` - { pi} over { 3} LEQtheta LEQ { pi} over { 3} RIGHT }]에서
[eqn: x= 2 +2 cos theta], [eqn: y= 2 +2 sintheta]라 하면
[eqn: x-2=2cos`theta]에서 [eqn: left(x-2right)^2 =4cos`^2 theta]	[eqn: cdotscdots] ㉠
[eqn: y-2=2sin`theta]에서 [eqn: left(y-2right)^2 =4sin`^2 theta]	[eqn: cdotscdots] ㉡
㉠[eqn: +]㉡을 하면
[eqn: left(x-2right)^2 +left(y-2right)^2 =4][eqn: left( - { pi} over { 3} LEQtheta LEQ { pi} over { 3}right)]

(ⅱ) 집합 [eqn: B= LEFT { LEFT ( -2+2 cos theta ,``2+2 sin theta RIGHT ) `left|` {2pi} over {3} LEQ theta LEQ {4pi} over {3} RIGHT }]에서
[eqn: x= it-2 +2 cos theta], [eqn: y= 2 +2 sintheta]라 하면
[eqn: x+2=2cos`theta]에서 [eqn: left(x+2right)^2 =4cos`^2 theta]	[eqn: cdotscdots] ㉢
[eqn: y-2=2sin`theta]에서 [eqn: left(y-2right)^2 =4sin`^2 theta]	[eqn: cdotscdots] ㉣
㉢[eqn: +]㉣을 하면
[eqn: left(x+2right)^2 +left(y-2right)^2 =4][eqn: left( { 2pi} over { 3} LEQtheta LEQ {4 pi} over { 3}right)]

(ⅲ) 집합 [eqn: C= LEFT { LEFT ( a ,`` b RIGHT ) `left|` -3 LEQa LEQ3 ,```` b=2 +- sqrt { 3} RIGHT }]은
[eqn: -3 LEQx LEQ3]에서 직선 [eqn: y= 2+root3], [eqn: y=2-root3] 위의 점의 자취를 의미한다.

이상에서 나타내는 집합을 나타내면 다음 그림과 같다.

따라서 집합 [eqn: A CUPB CUPC]의 모든 원소가 나타내는 도형 [eqn: X]로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: alpha]는

[eqn: alpha][eqn: =][eqn: 2 times](활꼴 [eqn: rmAB]의 넓이)[eqn: +](사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이)
[eqn: =2 times left ( 1 over 2 cdot 2^2 cdot 2pi over 3 - 1over 2 cdot 2cdot2 cdot sin `2over3 pi right)]
[eqn: + 6 times left{ 2+root3 -(2-root3 ) right}]
[eqn: = 8pi over 3 -2root3 +12root3]
[eqn: = 8piover 3 +10root3]

도형 [eqn: X]와 곡선 [eqn: y=it- sqrt { 3}x ^{ 2}+2]가 만나는 점의 [eqn: y]좌표를 [eqn: c]라 하면 [eqn: c=2-root3]

[eqn: -root3 x^2 +2=2-root3]에서

[eqn: x^2 =1]	[eqn: therefore][eqn: x=it-1]또는[eqn: x=1]

따라서 곡선 [eqn: y=- sqrt { 3}x ^{ 2}+2]와 직선 [eqn: y=2-root3]으로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: beta]는 다음 그림과 같다.

넓이 [eqn: beta =][eqn: int _{ -1} ^{1 } left{ (-root3 x^2 +2 )-(2-root3 ) right }dx]이므로

[eqn: beta][eqn: = it-root3 int _{ -1} ^{1 } {(x^2 -1) dx }]
[eqn: =it-2root3 int_0^1 left(x^2 -1right)`dx]
[eqn: =it-2root3 left[ 1over3 x^3 -x right]_0^1]
[eqn: =it-2root3 times left(1over3 -1right)]
[eqn: = 4 over 3 root3]

[eqn: alpha - beta][eqn: = 8piover 3 +10root3][eqn: - 4 over 3 root3]
[eqn: = 8piover 3 + 26 over 3 root3]

따라서 [eqn: p=8,````q=26]이므로

[eqn: p+q =8+26=34 from 넘버41]

[eqn: A= LEFT { LEFT ( 2+2 cos ` theta ,`` 2+2 sin ` theta RIGHT ) ` left|` - { pi} over { 3} LEQtheta LEQ { pi} over { 3} RIGHT }],
[eqn: B= LEFT { LEFT ( -2+2 cos ` theta ,``2+2 sin ` theta RIGHT ) ` left|` {2pi} over {3} LEQ theta LEQ {4pi} over {3} RIGHT }],
[eqn: C= LEFT { LEFT ( a ,`` b RIGHT ) `left|` -3 LEQa LEQ3 ,`` b=2 +- sqrt { 3} RIGHT }]

이다. 좌표평면에서 집합 [eqn: A CUPB CUPC]의 모든 원소가 나타내는 도형을 [eqn: X]라 하고, 도형 [eqn: X]와 곡선 [eqn: y=- sqrt { 3}x ^{ 2}+2]가 만나는 점의 [eqn: y]좌표를 [eqn: c]라 하자. 집합 [eqn: X]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: alpha], 곡선 [eqn: y=- sqrt { 3}x ^{ 2}+2]와 직선 [eqn: y=c]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: beta]라 하자. [eqn: alpha- beta = { p pi+q sqrt { 3} } over { 3}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 정수이다.)

수2킬러 80제(빠른 정답)
프로젝트	2023.01.03

[정답] [eqn: 196]

[정답] [eqn: bold20]

[정답] [eqn: bold35]

[정답] ②

[정답] [eqn: bold{130]

[정답] [eqn: bold20]

[정답] [eqn: bold23]

[정답] [eqn: bold65]

[정답] [eqn: bold137]

[정답] ②

[정답] [eqn: bold{60]

[정답] [eqn: 480]

[정답] [eqn: 243]

[정답] [eqn: bold64]

[정답] [eqn: 36]

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 9]

[정답] [eqn: bold{200]

[정답] [eqn: 73]

[정답] [eqn: 219]

[정답] [eqn: 19]

[정답] [eqn: 40]

[정답] [eqn: 65]

[정답] [eqn: 39]

[정답] [eqn: {bold{134}]

[정답] [eqn: bold82]

[정답] ③

[정답] [eqn: bold11]

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[정답] [eqn: bold5`]

[정답] [eqn: 21]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 48 }]

[정답] [eqn: 61]

[정답] [eqn: 42]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 340 }]

[정답] [eqn: 21]

[정답] [eqn: bold { 80 }]

[정답] [eqn: 141]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 39 }]

[정답] [eqn: 105]

[정답] [eqn: 35]

[정답] [eqn: 38]

[정답] [eqn: 432]

[정답] [eqn: bold { 80 }]

[정답] [eqn: 37]

[정답] ②

[정답] [eqn: 41]

[정답] [eqn: bold { 28 }]

[정답] [eqn: 44]

[정답] [eqn: 108]

[정답] [eqn: bold { 108 }]

[정답] [eqn: 14`]

[정답] [eqn: bold { 64 }]

[정답] [eqn: bold { 61 }]

[정답] [eqn: 9]

[정답] [eqn: 16]

[정답] [eqn: bold56]

[정답] [eqn: 251]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 4]

[정답] [eqn: 13]

[정답] [eqn: 19]

[정답] ①

[정답] ②

[정답] [eqn: 121]

[정답] [eqn: 82]

[정답] [eqn: 240]

[정답] [eqn: 58]

[정답] [eqn: 11]

[정답] [eqn: 30]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] [eqn: 34]

수2킬러 80제(해설)
프로젝트	2023.01.03