	수1킬러	수1킬러 29제
	00
		프로젝트	2023.01.03

[출처]	2004 모의_공공 교육청 고3 03월 18

수1킬러		프로젝트
		수1킬러 29제
00

	프로젝트		수1킬러
	수1킬러 29제		00

[eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 99]까지의 홀수 중 서로 다른 [eqn: rm 10]개를 택하여 그들의 합을 [eqn: S]라 하자. 이러한 [eqn: S]의 값 중 서로 다른 것을 작은 수부터 차례로 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: cdots]이라 할 때, [eqn: a_{100}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: S] 중 가장 작은 수는 [eqn: 1+3+ cdots+19=100]

[eqn: S] 중 가장 큰 수는 [eqn: 81+83+ cdots+99=900]

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]은 첫째항이 [eqn: rm 100], 마지막항이 [eqn: rm 900]이고, 공차가 [eqn: rm 2]인 등차수열을 이룬다.

따라서 구하는 값은

[eqn: a_{100}=100+99 times 2=298]

① [eqn: rm 268]	② [eqn: rm 278]	③ [eqn: rm 288]

④ [eqn: rm 298]	⑤ [eqn: rm 308]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 11월 30

좌표평면에서 [eqn: a>1`]인 자연수 [eqn: a`]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=4^x], [eqn: y=a^{-x+4}`]과 직선 [eqn: y=1`]로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 정수인 점의 개수가 [eqn: 20] 이상 [eqn: 40] 이하가 되도록 하는 [eqn: a`]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 15]

[해설]

두 지수함수 [eqn: y = 4^x], [eqn: y=a^-x+4]의 교점을 [eqn: \P it(alpha, ```4^alpha )]이라 하면

[eqn: 4^ alpha = a^-alpha+4], [eqn: alpha = {4 ``log ``a} over {log ``4a}] 교점의 위치에 따라 다음과 같은 경우로 나누어 생각하면

ⅰ) [eqn: 1 le alpha < 2]일 때

[eqn: 1 le {4 ``log `` a } over { log `` 4a} <2]를 풀면 [eqn: root {3} of {4} le a < 4] …… ㉠

영역내 [eqn: x]좌표가 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]인 점의 개수의 합은

[eqn: 1 + 4 + a^2 + a+ 1]이므로 [eqn: 20 le a^2 + a+ 6 le 40] …… ㉡

㉠, ㉡을 모두 만족하는 자연수 [eqn: a]는 없다.

ⅱ) [eqn: 2 le alpha < 3]일 때

[eqn: 2 le {4 `` log `` a } over {log `` 4a} < 3]을 풀면 [eqn: 4 le a < 64] …… ㉢

영역내 [eqn: x]좌표가 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]인 점의 개수의 합은

[eqn: 1 + 4 + 16 + a+ 1]이므로 [eqn: 20 le a + 22 le 40]  …… ㉣

㉢, ㉣을 모두 만족하는 [eqn: a]의 범위는 [eqn: 4 le a le 18]이므로 자연수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 15]개이다.

ⅲ) [eqn: 3 le alpha < 4]일 때

영역내 [eqn: x]좌표가 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]인 점의 개수의 합이

[eqn: 1 + 4 + 16+64]이므로 조건을 만족하지 않는다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)으로부터 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 15]개이다.

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 09월

다음 조건을 만족시키는 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`` b RIGHT )`]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 196]

[해설]

[eqn: (x-a)^2 + (y - b)^2 =1 = 2^0] …… ㉠

[eqn: (x-a)^2 + (y - b)^2 =4 = 2^2] …… ㉡

곡선 [eqn: y= 2^x]이 원 과 만나지 않는다. (다) 곡선 [eqn: y= 2^x]이 원 ㉠과는 만나지 않고 원 ㉡과 적어도 한 점에서 만나므로

[eqn: a=1]일 때, [eqn: 2^2 < b le 2 ^3]

[eqn: a=2]일 때, [eqn: 2^0 < b le 2 ^1] 또는 [eqn: 2^3 < b le 2 ^4]

[eqn: a=3]일 때, [eqn: 2^1 < b le 2 ^2] 또는 [eqn: 2^4 < b le 2 ^5]

[eqn: a=4]일 때, [eqn: 2^2 < b le 2 ^3] 또는 [eqn: 2^5 < b le 2 ^6]

[eqn: a=5]일 때, [eqn: 2^3 < b le 2 ^4] 또는 [eqn: 2^6 < b le 100]

[eqn: a=6]일 때, [eqn: 2^4 le b < 2 ^5]

[eqn: a=2]일 때, [eqn: 2^5 le b < 2 ^6]

[eqn: a=2]일 때, [eqn: 2^6 le b < 100]

이어야 한다.

따라서 구하는 순서쌍 [eqn: (a,~ b)]의 개수는

[eqn: 2 ^2 +( 2^0 + 2^3 ) +( 2^1 + 2^4 ) + (2^2 + 2^5 ) +(2^3 + 36) + 2 ^4 + 2^5 + 37]

[eqn: = ( 2 ^0 + 2^1 + 2^2 + cdots + 2^5 ) + 37 + (2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 )+36]

[eqn: = {1 ( 2^6 -1 )} over 2-1 + {2^2 (2^4 -1 )} over 2-1 +73][eqn: = 63 + 60+ 73 = 196]

(가) [eqn: 1 le a le 10], [eqn: 1 le b le 100`]

(나) 곡선 [eqn: y= 2^x `]이 원 [eqn: LEFT (x-a RIGHT )^2 + LEFT (y - b RIGHT )^2 =1`]과 만나지 않는다.

(다) 곡선 [eqn: y= 2^x `]이 원□[eqn: LEFT (x-a RIGHT )^2 + LEFT (y - b RIGHT )^2 =4`]와 적어도 한 점에서 만난다.

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 20
[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 18

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: {rm{B}} it _{n}]이 직선 [eqn: x=a_{n}]과 [eqn: y=b_{n} x]의 교점이므로

[eqn: overline{{rm{A}} it _{n} {rm{B}} it _{n}}=a_{n} b_{n}]이고

[eqn: {bar{rm OB it rm _{n} it}} = sqrt {{bar{rm OA it rm _{n} it}} ^{2} + {bar{rm A it rm _{n} rm B it rm _{n} it}} ^{2}} = sqrt {LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( a _{n} b _{n} RIGHT ) ^{2}} =a _{n} sqrt {{BOX{1}} +b _{n}^{2}}]

[eqn: therefore~(]가[eqn: )=p=1]

원 [eqn: T_{n}]이 [eqn: x]축에 접하므로 [eqn: overline{{rm{A}} it _{n} {rm{C}} it _{n}}=r_{n}]이다.

[eqn: overline{{rm{OD}} it _{n}}][eqn: = overline{{rm{OB}} it _{n}}+ overline{{rm{B}} it _{n} {rm{D}} it _{n}}]
[eqn: = overline{{rm{OB}} it _{n}}+ overline{{rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n}}]
[eqn: = overline{{rm{OB}} it _{n}}+ left( overline{{rm{A}} it _{n} {rm{B}} it _{n}}- overline{{rm{A}} it _{n} {rm{C}} it _{n}} right)]
[eqn: =a _{n} sqrt {box1`+b _{n}^{2}} +a _{n} b _{n} -r _{n}]

[eqn: overline{{rm{OE}} it _{n}}=a_{n}+r_{n}]

[eqn: overline{{rm{OD}} it _{n}}= overline{{rm{OE}} it _{n}}]이므로

[eqn: a_{n} sqrt{1+b_{n}^{2}}+a_{n} b_{n}-r_{n}=a_{n}+r_{n}]

[eqn: therefore~r_{n}={a_{n} left(b_{n}-1+ sqrt{1+b_{n}^{2}} right)} over {2}]

[eqn: therefore~a_{n+1}][eqn: =a_{n}+2 r_{n}]
[eqn: = left(b_{n}+ sqrt{1+b_{n}^{2}} right) times a_{n}]

그런데 [eqn: b_{n}={1} over {2} left(n+1-{1} over {n+1} right)]이므로

[eqn: sqrt{1+b_{n}^{2}}={1} over {2} left(n+1+{1} over {n+1} right)]

[eqn: therefore~b_{n}+ sqrt{1+b_{n}^{2}}=n+1]

[eqn: therefore~a_{n+1}= left(b_{n}+ sqrt{1+b_{n}^{2}} right) times a_{n}]

[eqn: =( {BOX{~n+1~}} TIMES a _{n} (n GEQ 1)]

[eqn: therefore~](나) [eqn: =f(n)=n]

이때 [eqn: a_{1}=2]이고

[eqn: a _{n} = {BOX{~~~n~~~}} TIMES a _{n-1}]

[eqn: = {BOX{~~n(n-1)~~}} TIMES a _{n-2}]

[eqn: vdots]

[eqn: = {BOX{~n(n-1)(n-2) TIMES CDOTS TIMES 2~}} TIMES a _{1}]

이므로

[eqn: a _{n} = {BOX{~2n!~}}]

[eqn: therefore~](다) [eqn: =g(n)=2 n !]

[eqn: therefore~p+f(4)+g(4)=1+5+48=54]

(Ⅰ) [eqn: a_{1}=2]이고 [eqn: a_{n}<a_{n+1}(n geq 1)]이다.

(Ⅱ) [eqn: b_{n}={1} over {2} left(n+1-{1} over {n+1} right) ~ (n geq 1)]이라 할 때, 좌표평면에서 네 직선 [eqn: x=a_{n}], [eqn: x=a_{n+1}], [eqn: y=0], [eqn: y=b_{n} x]에 동시에 접하는 원 [eqn: T_{n}]이 존재한다.

다음은 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 일반항을 구하는 과정이다.

원점을 [eqn: {rm{O}} it]라 하고, 원 [eqn: T_{n}]의 반지름의 길이를 [eqn: r_{n}]이라 하자. 직선 [eqn: x=a_{n}]과 두 직선 [eqn: y=0], [eqn: y=b_{n} x]의 교점을 각각 [eqn: {rm{A}} it _{n}], [eqn: {rm{B}} it _{n}]이라 하고, 원 [eqn: T_{n}]과 세 직선 [eqn: x=a_{n}], [eqn: y=b_{n} x], [eqn: y=0]의 접점을 각각 [eqn: {rm{C}} it _{n}], [eqn: {rm{D}} it _{n}], [eqn: {rm{E}} it _{n}]이라 하면 [eqn: overline{{rm{A}} it _{n} {rm{B}} it _{n}}=a_{n} b_{n}]이고 [eqn: {bar{rm OB it rm _{n} it}} =a _{n} sqrt {{BOX{(가)}} +b _{n} `` ^{2}}]이다.

[eqn: overline{{rm{OD}} it _{n}}][eqn: = overline{{rm{OB}} it _{n}}+ overline{{rm{B}} it _{n} {rm{D}} it _{n}}= overline{{rm{OB}} it _{n}}+ overline{{rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n}}]
[eqn: =a _{n} sqrt {{BOX{(가)}} +b _{n} `` ^{2}}][eqn: +a _{n} b _{n} -r _{n}]

[eqn: overline{{rm{OE}} it _{n}}][eqn: =a_{n}+r_{n}]

[eqn: overline{{rm{OD}} it _{n}}= overline{{rm{OE}} it _{n}}]이므로

[eqn: r _{n} = {a _{n} LEFT ( b _{n} -1+ sqrt {LEFT ( {BOX{(가)}} RIGHT . ~+b _{n}^{````2}} RIGHT )} over {2}]

[eqn: THEREFORE ~a _{n+1} =a _{n} +2r _{n} =]( [eqn: box{`` (나) ``}][eqn: ) times a_{n} ~ (n geq 1) right.]

이때 [eqn: a_{1}=2]이고

[eqn: a _{n} = {BOX{~~~~~}} TIMES a _{n-1} = {BOX{~~~~~}} TIMES a _{n-2} = CDOTS = {BOX{~~~~~}} TIMES a _{1}]

이므로

[eqn: a_{n}=][eqn: {BOX{``(다)``}}]

위의 과정에서 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: p+f(4)+g(4)]의 값은?

① [eqn: rm 54]	② [eqn: rm 55]	③ [eqn: rm 56]

④ [eqn: rm 57]	⑤ [eqn: rm 58]

[출처]	2015 모의_공공 경찰대 고3 07월 19

[eqn: rm triangleABC`]에서 [eqn: {rm barAB}=x], [eqn: {rmbarBC}=x+1], [eqn: {rm barAC}=x+2`]이고
[eqn: rm angleB=2theta], [eqn: rm angleC=theta`]일 때, [eqn: cos` theta`]의 값은?

[정답] ③

[해설]

각 [eqn: B]를 이등분하는 선을 그어 선분[eqn: AC]와 만나는 점을 [eqn: D]라 하면, 삼각형의 각의 이등분선의 성질에 의하여

선분 [eqn: AD=][eqn: {x(x+2)} over {2x+1}] 선분 [eqn: CD= {(x+1)(x+2)} over {2x+1}]이다.

이 때 삼각형 ABD와 삼각형 ACB가 [eqn: AA]닮음 이므로

[eqn: x+2:x=2x+1:x+2]이 성립하며

이를 풀면 [eqn: x=4]이다.

그러므로 삼각형 [eqn: ABC]에 대하여 코사인 제이법칙을 사용하면, [eqn: cos theta = {3} over {4}]이다.

[다른 풀이]

사인법칙과 삼각함수의 덧셈정리를 사용하여 푸는것도 가능하다.

사인법칙에 의하여 [eqn: {x} over {sin theta } = {x+2} over {sin2 theta } = {x+1} over {sin3 theta }]이며,

[eqn: {x} over {sin theta } = {x+2} over {sin2 theta }]을 정리하면 [eqn: cos theta = {x+2} over {2x}]인 것을 알 수 있고,

[eqn: {x} over {sin theta } = {x+1} over {sin3 theta }]을 정리하면 [eqn: 4cos ^{2} theta = {2x+1} over {x}]인 것을 알 수 있다.

이 때 두식을 연립하면 [eqn: x=4]이고 따라서 [eqn: cos theta = {3} over {4}]이다.

① [eqn: 2over3]	② [eqn: 3over5]	③ [eqn: 3over4]

④ [eqn: 4over5]	⑤ [eqn: 5over6]

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 06월 30

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n `]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b `]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT (a,`` b RIGHT ) `]의 개수가 [eqn: 300] 이상이 되도록 하는 가장 작은 자연수 [eqn: k `]의 값을 [eqn: f LEFT (n RIGHT ) `]이라 할 때, [eqn: f LEFT (2 RIGHT ) TIMESf LEFT (3 RIGHT ) TIMESf LEFT (4 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 120]

[해설]

자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: g_n (x) = log _n `x],

[eqn: h_n (x) =it -(x- n^k )^2 +k^2] ([eqn: k`]는 상수)

이라 하자.

[eqn: g_n (n^k ) = log _n `n^k = k,][eqn: h_n (n^k ) =k^2]이므로

[eqn: x< n^ k `]에서 [eqn: y= g_ n (x)]의 그래프와

[eqn: x ge n^k `]에서 [eqn: y= h_n (x)]의 그래프는 그림과 같다.

(ⅰ) 조건 (가)를 만족시키는 자연수 [eqn: a,~b`]의 순서쌍 [eqn: (a,~b)]의 개수는 부등식
[eqn: 1 le x < n^k ,~ y le g_n (x)]
를 만족시키는 자연수 [eqn: x,~y`]의 순서쌍 [eqn: (x,~y)]의 개수와 같다.
[eqn: 1 le x <n`]일 때, [eqn: 0](개)
[eqn: n le x <n^2]일 때,
[eqn: 1 times (n^2 -n) =n^2 -n](개)
[eqn: n^2 le x < n^3 `]일 때,
[eqn: 2 times (n^3 -n^2 ) =2n^3 -2n^2](개)
[eqn: n^3 le x <n^4]일 때,
[eqn: 3 times (n^4 - n^3 ) = 3n^4 -3n^3](개)
[eqn: CDOTS CDOTS]
[eqn: n^k-1 le x < n^k `]일 때,
[eqn: (k-1)(n^k - n^k-1 )][eqn: = (k-1)n^k - (k-1)n^k-1](개)
이므로 개수의 총합은
[eqn: (k-1)n^k - (n+n^2 + n^3 +it cdots it + n^k-1 )]
[eqn: =(k-1) n^k - { n(n^k-1 -1)} over {n-1 }]
[eqn: = (k-1) n^k - { n^k -n} over {n-1 }](개)

(ⅱ) 조건 (나)를 만족시키는 자연수 [eqn: a,~b`]의 순서쌍 [eqn: (a,~b)]의 개수는 부등식
[eqn: n^k le x < n^k +k,~ y le h_n (x)]
를 만족시키는 자연수 [eqn: x,~y `]의 순서쌍 [eqn: (x,~y)`]의 개수와 같다.
[eqn: x= n^k]일 때, [eqn: k^2](개)
[eqn: x= n^k +1]일 때, [eqn: k^2 -1^2](개)
[eqn: x= n^k +2]일 때, [eqn: k^2 -2^2](개)
[eqn: cdots CDOTS]
[eqn: x= n^k +k-1]일 때, [eqn: k^2 -(k-1)^2](개)
이므로 개수의 총합은
[eqn: k times k^2 - LEFT { 1^2 +2^2 +3^2 + it cdots it + (k-1)^2 RIGHT }]
[eqn: = k^3 - { (k-1)k(2k-1)} over {6 }]
[eqn: ={ k(k+1)(4k-1)} over {6 }](개)

두 조건 (가), (나)를 만족시키는 자연수 [eqn: a,~b`]의 순서쌍 [eqn: (a,~b)]의 개수를 [eqn: A(n)]이라 하면 (ⅰ), (ⅱ)에 의해

[eqn: A(n) = (k-1)n^k - { n^k -n} over { n-1}+ { k(k+1)(4k-1)} over { 6}]

이므로 [eqn: f(2),~f(3),~f(4)]의 값은 각각 다음과 같다.

① [eqn: n=2]일 때,

[eqn: A(2)][eqn: =(k-1)2^k -(2^k -2) + { k(k+1)(4k-1)} over {6 }]
[eqn: =(k-2)2^k +2 +{ k(k+1)(4k-1)} over {6 }]

[eqn: k=5]이면

[eqn: A(2) =96+2+95=193<300]

[eqn: k=6]이면

[eqn: A(2) =256+2+16`1 =419>300]

이므로 [eqn: A(2) >300]을 만족시키는 자연수 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: 6`]이다.

[eqn: THEREFORE~f(2) =6]

② [eqn: n=3]일 때,

[eqn: A(3)][eqn: =(k-1)3^k - { 3^k -3} over {2 } + { k(k+1)(4k-1)} over {6 }]

[eqn: k=4]이면

[eqn: A(3) =243-39 +50 =254<300]

[eqn: k=5]이면

[eqn: A(3) = 972-120 +95 =947>300]

이므로 [eqn: A(3) >300]을 만족시키는 자연수 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: 5]이다.

[eqn: THEREFORE~f(3) =5]

③ [eqn: n=4]일 때,

[eqn: A(4)][eqn: =(k-1)4^k - { 4^k -4} over {3 } + { k(k+1)(4k-1)} over {6 }]

[eqn: k=3]이면

[eqn: A(4) = 128-20+22=130<300]

[eqn: k=4]이면

[eqn: A(4) =768 -84 +50 =734>300]

이므로 [eqn: A(4) >300]을 만족시키는 자연수 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: 4]이다.

[eqn: THEREFORE~f(4) =4]

[eqn: THEREFORE~ f(2) times f(3) times f(4) = 6 times 5 times 4=120]

(가) [eqn: a<n^k `]이면 [eqn: b LEQ log` _{n} `a`]이다.

(나) [eqn: a GEQn^k `]이면 [eqn: b LEQ - LEFT (a-n^k RIGHT )^2 +k^2 `]이다.

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 03월 30

두 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}], [eqn: left{ b_{n} it right}]과 실수 전체의 집합의 두 부분집합 [eqn: A= left{ a_{k} `|` 1 leq a_{k} leq 60], [eqn: a_{k} right.]는 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 항 [eqn: it right}]
[eqn: B= left{ b_{k} `|` 1 leq b_{k} leq 60], [eqn: b_{k} right.]는 수열 [eqn: left{ b_{n} it right}]의 항 [eqn: it right}]

[정답] [eqn: 435]

[해설]

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 공차를 [eqn: d_{1}]이라 하자.

[eqn: a_{10}=a_{1}+9 d_{1}]이므로 조건 (가)에서

[eqn: 55=1+9 d_{1}]

[eqn: d_{1}=6]

따라서

[eqn: a_{n}=1+(n-1) 6]

[eqn: ~ =6 n-5]

[eqn: A= left{ 1,``7,``13,``19,``25,``31,``37,``43,``49,``55 it right}]이므로

[eqn: n(A)=10]

조건 [eqn: (]나)에서

[eqn: n(A cap B)=n left(A cap B^{C} right)]이고,

[eqn: n(A)=n(A cap B)+n left(A cap B^{C} right)]

이므로

[eqn: n(A cap B)=5]

만약 집합 [eqn: A]의 원소를 작은 것부터 크기순으로 나열했을 때, 인접한 두 수가 [eqn: A cap B]의 원소이면 수열 [eqn: left{ b_{n} it right}]은 등차수열이므로 집합 [eqn: A]의 모든 원소는 집합 [eqn: B]의 원소가 된다.

따라서 [eqn: n(A cap B)=10]이므로 [eqn: n(A cap B)=5]에 모순이다.

인접하지 않은 항으로 [eqn: rm 5]개의 원소를 선택하는 경우는 다음 두 가지 경우이다.

( i ) [eqn: A cap B= left{ 7,``19,``31,``43,``55 it right}]인 경우 모든 원소의 합은 [eqn: {5(7+55)} over {2}=155]이므로 조건 (다)에 모순이다.

(ii) [eqn: A cap B= left{ 1,``13,``25,``37,``49 it right}]인 경우 모든 원소의 합은 [eqn: {5(1+49)} over {2}=125]이므로 조건 (다)를 만족시킨다.

따라서 [eqn: A cap B= left{ 1,``13,``25,``37,``49 it right}]이다.

한편, [eqn: n(A cap B)={1} over {2} times n left(A^{C} cap B right)=5]이므로 [eqn: n left(A^{C} cap B right)=10]

따라서

[eqn: n(B)][eqn: =n(A cap B)+n left(A^{C} cap B right)]
[eqn: =5+10]
[eqn: =15]

공차가 [eqn: rm 6]인 등차수열의 항을 원소로 갖는 집합 [eqn: A]의 원소의 개수가 [eqn: rm 10]이므로 수열 [eqn: left{ b_{n} it right}]의 공차가 [eqn: rm 6]이상이면 집합 [eqn: B]의 원소의 개수는 [eqn: rm 10] 이하이다.

따라서 수열 [eqn: left{ b_{n} it right}]의 공차는 [eqn: rm 6]보다 작다.

이때 [eqn: n(A cap B)=5], [eqn: n left(A^{C} cap B right)=10]이고,

수열 [eqn: left{ b_{n} it right}]은 등차수열이므로 집합 [eqn: B]의 원소를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을

[eqn: 1], [eqn: c_{1}], [eqn: c_{2}], [eqn: 13], [eqn: c_{3}], [eqn: c_{4}], [eqn: 25], [eqn: c_{5}], [eqn: c_{6}], [eqn: 37], [eqn: c_{7}], [eqn: c_{8}], [eqn: 49], [eqn: c_{9}], [eqn: ~ c_{10}]

이라 할 수 있다.

등차수열 [eqn: left{ b_{n} it right}]의 공차를 [eqn: d_{2}]라 하면

[eqn: 13-1=12]

[eqn: =3 d_{2}]이므로

[eqn: d_{2}=4]

[eqn: B= left{ 1,``5,``9,``13,`` cdots,`` 53,``57 it right}]

따라서 집합 [eqn: B]의 모든 원소의 합은 첫째항이 [eqn: rm 1]이고

공차가 [eqn: rm 4]인 등차수열의 제 [eqn: rm 1]항부터 제 [eqn: rm 15]항까지의 합과 같으므로

[eqn: {15(1+57)} over {2}=435]

이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a_{1}=1], [eqn: a_{10}=55]

(나) [eqn: n(A cap B)=n left(A cap B^{C} right)={1} over {2} times n left(A^{C} cap B right)]

(다) 집합 [eqn: A cap B]의 모든 원소의 합은 [eqn: rm 125]이다.

집합 [eqn: B]의 모든 원소의 합을 구하시오.

(단, 수열 [eqn: left{ b_{n} it right}]의 항은 유한개가 아니다.)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 06월 29

일반항이 [eqn: a_{n}=2 n+1]인 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여

[정답] [eqn: 26]

[해설]

주어진 조건을 만족하는 집합 [eqn: A_{k}]를 구하여 차례대로 나열해보면

[eqn: A_{1}][eqn: = left{ 3,``5,``7,``9,``11 it right}]
[eqn: A_{2} = left{ 9,``11,``13,`` cdots,`` 21 it right}]
[eqn: A_{3} = left{ 15,``17,``19,`` cdots,`` 31 it right}]
[eqn: A_{4} = left{ 21,``23,``25,`` cdots,`` 41 it right}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: A_{k}= left{ 6 k-3,``6 k-1,``6 k+1,`` cdots,`` 10 k+1 it right}] 이다.

따라서 [eqn: A_{15}= left{ 87,``89,``91,`` cdots,`` 151 it right}]이다.

[eqn: p>15]에서 [eqn: A_{15} cap A_{p}= EMPTYSET]을 만족하려면 집합 [eqn: A_{p}]의

가장 작은 원소 [eqn: (6 p-3)]이 집합 [eqn: A_{15}]의 가장 큰 원소 보다 커야 하므로 [eqn: 6 p-3>151]이어야 한다.

[eqn: p>{154} over {6}=25.6 cdots]이므로 자연수 [eqn: p]의 최솟값은 [eqn: rm 26]이다.

집합 [eqn: A_{k}(k=1,``2,``3,`` cdots)]는 [eqn: A_{1}= left{ 3,``5,``7,``9,``11 it right}]이고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 집합 [eqn: A_{k}]는 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 항들 중 [eqn: (2 k+3)]개의 연속한 항들을 원소로 하는 집합이다.

(나) 집합 [eqn: A_{k+1}]의 가장 작은 원소는 집합 [eqn: A_{k}]의 가장 작은 원소보다 크다.

(다) [eqn: n left(A_{k}-A_{k+1} right)=3]

예를 들어 [eqn: A_{2}= left{ 9,``11,``13,`` cdots,`` 21 it right}]이다. [eqn: A_{15} cap A_{p}= EMPTYSET]을

만족하는 [eqn: rm 15]보다 큰 자연수 [eqn: p]의 최솟값을 구하시오.

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 03월 30

[eqn: n `]이 자연수일 때, 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= {x+2n} over {2x-p}`]이

[정답] [eqn: 320]

[해설]

[eqn: f(x)= {x+2n} over {2x-p}][eqn: = {{1} over {2} LEFT ( 2x-p RIGHT ) + {p} over {2} +2n} over {2x-p}][eqn: = {1} over {2} + {{p} over {2} +2n} over {2x-p}]

이고 [eqn: {p} over {2} +2n>0`]이므로

[eqn: f(1)<f(5)<f(3)] …… ㉠

이 성립하려면 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 다음과 같아야 한다.

[eqn: 1< {p} over {2} <3`]이어야 하므로 [eqn: 2<p<6`]에서

자연수 [eqn: p`]의 최솟값 [eqn: m`]은 [eqn: 3`]

함수 [eqn: g(x)= {2x+n} over {x+q}][eqn: = {2 LEFT ( x+q RIGHT ) +n-2q} over {x+q}][eqn: =2+ {n-2q} over {x+q}]

이므로 곡선 [eqn: y=g(x)`]의 두 점근선의 방정식은

[eqn: x= it -q], [eqn: y=2`]

[eqn: p=3`]일 때 [eqn: f(x)= {x+2n} over {2x-3} `]에 대하여

[eqn: x _{1} =f(1)=it-2n-1]

[eqn: x _{2} =f(5)= {2n+5} over {7}]

[eqn: x _{3} =f(3)= {2n+3} over {3}]

이라 하면 ㉠으로부터 [eqn: x _{1} <x _{2} <x _{3} `]

이때 문제의 조건에서
[eqn: g(x _{2} )<g(x _{3} )<g(x _{1} )`]이 성립해야 하므로

함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프는 다음과

같아야 한다.

그러므로 [eqn: x _{1} < it -q<x _{2} `]이고

[eqn: n-2q<0`]이어야 한다.

즉 [eqn: -2n-1< it -q< {2n+5} over {7} `]이고

[eqn: q> {n} over {2} `]이어야 하므로

[eqn: {n} over {2} <q<2n+1`]

(ⅰ) [eqn: n=2`l-1] ([eqn: l`]은 자연수)일 때
[eqn: {2`l-1} over {2} <q<2(2`l-1)+1`]에서
[eqn: l- {1} over {2} <q<4`l-1`]이므로 [eqn: q=l], [eqn: l+1], [eqn: cdots], [eqn: 4`l-2]
그러므로 정수 [eqn: q`]의 개수는 [eqn: 3`l-1`]

(ⅱ) [eqn: n=2`l] ([eqn: l`]은 자연수)일 때
[eqn: {2`l} over {2} <q<2times2`l+1`]에서
[eqn: l<q<4`l+1`]이므로
[eqn: q=l+1], [eqn: l+2], [eqn: cdots], [eqn: 4`l]
그러므로 정수 [eqn: q`]의 개수는 [eqn: 3`l]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: a _{2l-1} =3`l-1], [eqn: a _{2l} =3`l`]
따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k} `][eqn: = sum _{l=1} ^{10} LEFT ( a _{2l-1} +a _{2l} RIGHT )]
[eqn: = sum _{l=1} ^{10} LEFT ( 3`l-1+3`l RIGHT )]
[eqn: = sum _{l=1} ^{10} LEFT ( 6`l-1 RIGHT )]
[eqn: =6 sum _{l=1} ^{10} `l- sum _{l=1} ^{10} 1]
[eqn: =6times {10times11} over {2} -10]
[eqn: =330-10][eqn: =320]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) <f LEFT ( 5 RIGHT ) <f LEFT ( 3 RIGHT )`]

을 만족시키도록 하는 자연수 [eqn: p `]의 최솟값을 [eqn: m `]이라 하자. 자연수 [eqn: n `]에 대하여 [eqn: p=m `]일 때의 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]와 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )= {2x+n} over {x+q} `]이

[eqn: g LEFT ( f LEFT (5 RIGHT ) RIGHT )<g LEFT ( f LEFT (3 RIGHT ) RIGHT )<g LEFT ( f LEFT (1 RIGHT ) RIGHT )`]

을 만족시키도록 하는 자연수 [eqn: q `]의 개수를 [eqn: a _{ n} `]이라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{ k} `]의 값을 구하시오.

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 06월 21

구간 [eqn: LEFT ( 0,`` INF RIGHT ) `]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를

[정답] ④

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {LEFT ( k+1 RIGHT ) x+3k+6} over {3 LEFT ( x+1 RIGHT )}][eqn: = {LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) +2k+5} over {3 LEFT ( x+1 RIGHT )}]
[eqn: = {2k+5} over {3 LEFT ( x+1 RIGHT )} + {k+1} over {3} `]이므로

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역은

[eqn: LEFT { `y` LEFT | ` {k+1} over {3} <y<k+2` RIGHT } RIGHT .]

이다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수는 [eqn: 4n`]이므로 [eqn: {k+1} over {3} `]보다 크고 [eqn: k+2`]보다 작은 정수의 개수가 [eqn: 4n`]이면 된다.

위의 그림에서

[eqn: LEFT ( k+2-4n RIGHT ) -1 LEQ {k+1} over {3} <k+2-4n]

이므로

[eqn: 6n- {5} over {2} <k LEQ 6n-1]

이고, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수가 [eqn: 4n`]이 되도록

하는 자연수 [eqn: k`]는 [eqn: 6n-1], [eqn: 6n-2`]이다.

그러므로 모든 자연수 [eqn: k`]의 값의 합은
[eqn: LEFT ( 6n-1 RIGHT ) + LEFT ( 6n-2 RIGHT ) =12n-3`]이므로 [eqn: a _{n} =12n-3`]이다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( 12n-3 RIGHT ) =630`]이다.

[다른 풀이]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {LEFT ( k+1 RIGHT ) x+3k+6} over {3 LEFT ( x+1 RIGHT )}][eqn: = {LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) +2k+5} over {3 LEFT ( x+1 RIGHT )}]

[eqn: = {2k+5} over {3 LEFT ( x+1 RIGHT )} + {k+1} over {3} `]이므로

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역은

[eqn: LEFT { `y` LEFT | ` {k+1} over {3} <y<k+2` RIGHT } RIGHT .]

이다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수는 [eqn: 4n`]이므로 [eqn: {k+1} over {3} `]

보다 크고 [eqn: k+2`]보다 작은 정수의 개수가 [eqn: 4n`]이면 된다.

(ⅰ) [eqn: k=3m-1]([eqn: m`]은 자연수)

[eqn: {k+1} over {3} `]보다 큰 가장 작은 정수는 [eqn: {k+1} over {3} +1= {k+4} over {3} `]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수는

[eqn: k+2- LEFT ( {k+4} over {3} RIGHT ) =4n]

이다. [eqn: {3k+6-k-4} over {3} =4n`]에서 [eqn: {2k+2} over {3} =4n`]이므로
[eqn: k=6n-1`]이다.

그러므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수가 [eqn: 4n`]이 되도록 하는 자연수 [eqn: k`]는 [eqn: 6n-1`]이다.

(ⅱ) [eqn: k=3m-2]([eqn: m`]은 자연수)

[eqn: {k+1} over {3}`]보다 큰 가장 작은 정수는 [eqn: {k+1} over {3} + {1} over {3} = {k+2} over {3} `]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수는

[eqn: k+2- LEFT ( {k+2} over {3} RIGHT ) =4n]

이다. [eqn: {3k+6-k-2} over {3} =4n`]에서 [eqn: {2k+4} over {3} =4n`]이므로
[eqn: k=6n-2`]이다.

그러므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수가 [eqn: 4n`]이 되도록 하는 자연수 [eqn: k`]는 [eqn: 6n-2`]이다.

(ⅲ) [eqn: k=3m]([eqn: m`]은 자연수)

[eqn: {k+1} over {3}`]보다 큰 가장 작은 정수는 [eqn: {k+1} over {3} + {2} over {3} = {k+3} over {3} `]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수는

[eqn: k+2- LEFT ( {k+3} over {3} RIGHT ) =4n]

이다. [eqn: {3k+6-k-3} over {3} =4n`]에서 [eqn: {2k+3} over {3} =4n`]이므로
[eqn: k= {12n-3} over {2} =6n- {3} over {2} `]이다.

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수가 [eqn: 4n`]이 되도록 하는 자연수 [eqn: k`]는 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수가 [eqn: 4n`]이 되도록 하는 자연수 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: 12n-3`]이므로 [eqn: a _{n} =12n-3`]이다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( 12n-3 RIGHT ) =630`]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = { LEFT ( k+1 RIGHT ) x+3k+6} over {3 LEFT ( x+1 RIGHT )}`]

이라 할 때, 자연수 [eqn: n `]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: k `]의 값의 합을 [eqn: a _{n} `]이라 하자.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수는 [eqn: 4n `]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} `]의 값은?

① [eqn: 600]	② [eqn: 610]	③ [eqn: 620]

④ [eqn: 630]	⑤ [eqn: 640]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 29

첫째항이 자연수이고 공차가 음의 정수인 등차수열 [eqn: left{ a_n right}`]과 첫째항이 자연수이고 공비가 음의 정수인 등비수열 [eqn: left{ b_n right}`]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a_7 +b_7`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 117]

[해설]

조건 (가)와 조건 (나)에서
[eqn: sum_n=1^5 LEFT ( a_n + left |b_n right | RIGHT ) - sum_n=1^5 LEFT ( a_n + b_n RIGHT ) = 67-27]이므로

[eqn: sum_ n=1^5 LEFT ( left | b_n right | - b_n RIGHT ) = 40]	[eqn: cdotscdots] ㉠

한편, 등비수열 [eqn: left { b_n right }]의 공비를 [eqn: r] ([eqn: r]는 음의 정수)라 하면

[eqn: b_1 > 0], [eqn: b_2 <0], [eqn: b _3 >0], [eqn: b_4 <0], [eqn: b_5 >0]이므로 ㉠에서

[eqn: -2 LEFT ( b_2 + b_4 RIGHT ) = 40]

즉, [eqn: b_1 r + b_1 r^3 = it -20]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: b_1 r LEFT ( 1 + r^2 RIGHT ) = it -20]

이다. 이때 [eqn: b_1 r]는 음의 정수이고, [eqn: 1 +r^2]은 자연수이므로
[eqn: 1 +r^2]은 [eqn: 20]의 양의 약수이어야 한다.

[eqn: 20]의 양의 약수는 [eqn: 1,~2,~4,~5,~10,~20]이고, [eqn: r]가 음의 정수이므로

[eqn: r = it-1] 또는 [eqn: r = it -2] 또는 [eqn: r = it -3]

이다. ㉡에서

[eqn: r =it -1]일 때, [eqn: b_1 =10]

[eqn: r = it -2]일 때, [eqn: b_1 =2]

[eqn: r = it -3]일 때, [eqn: b_1 = 2 over 3]

이때, [eqn: b_1]은 자연수이므로

[eqn: b_1 =10], [eqn: r = it -1] 또는 [eqn: b_1 =2], [eqn: r =it -2]

(ⅰ) [eqn: b_1 =10], [eqn: r = it -1]일 때,
[eqn: sum_n=1^5 b_n =10]이므로
조건 (가)에서
[eqn: sum_n=1^5 LEFT ( a_n + b_n RIGHT )=27] 이므로
[eqn: sum_n=1^5 a_n + sum_n=1^5 b_n = 27]
[eqn: sum_n=1^5 a_n +10 =27]
[eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n} =17]
이때, [eqn: sum _{n=1 }^5 a_n = 5 a_3 =17]에서
[eqn: a_3`=`17 over 5]
한편, 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항이 자연수이고 공차가 음의 정수이므로 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 모든 항의 정수이다.
따라서 [eqn: b_ 1 =10], [eqn: r = it -1]은 주어진 조건을 만족시키지 못한다.

(ⅱ) [eqn: b_1 =2], [eqn: r = it -2]일 때
[eqn: sum_n=1^5 b_n][eqn: = {2 left {1 - LEFT ( -2 RIGHT )^5 right} } over {1 - LEFT ( -2 RIGHT )} =22]
조건(가)에서
[eqn: sum_ n=1^5 LEFT ( a_n + b_n RIGHT ) =27]
이므로
[eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n} +22 =27]
[eqn: sum_{n =1 }^5 a_n =5]
이때, [eqn: sum_ n=1 ^5 a_n = 5 a_3 =5]에서
[eqn: a_3 =1]
또, [eqn: sum_n=1^5 left |b_n right | = { 2 left {1 - left | -2 right |^5 right} }over {1 - left |-2 right |}=62]
조건 (다)에서 [eqn: sum_ n=1^5 LEFT ( left |a_n right | + left| b_n right | RIGHT )=81]
이므로
[eqn: sum_n=1^5 left |a_n right | + sum_n=1^5 left |b_n right| = 81]
[eqn: sum_n=1^5 left |a_n right | + 62 = 81]
[eqn: sum_n=1^5 left |a_n right | = 19]	[eqn: cdotscdots] ㉢
한편, 등차수열 [eqn: left {a_n right }]의 공차를 [eqn: d]([eqn: d]는 음의 정수)라 하면
[eqn: a_3 =1]
이므로 [eqn: a _1 >a_2 > a_3 >0ge a_4 > a_5]
이다. 이때,
[eqn: a_1 = 1- 2d]
[eqn: a_2 = 1 -d]
[eqn: a_4 = 1+d]
[eqn: a_5 =1+2d]
이므로 ㉢에서
[eqn: LEFT ( 1 -2d RIGHT ) + LEFT ( 1-d RIGHT ) +1 - LEFT ( 1 +d RIGHT ) - LEFT ( 1 +2d RIGHT ) =19]
[eqn: 1 -6d = 19]
[eqn: d =it -3]
따라서 [eqn: a_1 = 1 -2 times LEFT ( -3 RIGHT ) = 7]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: a_1 =7], [eqn: d=it-3], [eqn: b_1 =2], [eqn: r=it-2]

등차수열 [eqn: left{` a_n ` right}]의 일반항[eqn: a_n]

[eqn: a_n =7+(n-1)times(-3) = it -3n+10]

등비수열 [eqn: left {b_n right }]의 일반항 [eqn: b_n]은

[eqn: b_n = 2 times LEFT ( -2 RIGHT )^n-1]

따라서

[eqn: a_7 + b_7 = it -11 + 128 = 117]

(가) [eqn: sum_n=1^5 LEFT (a_n +b_n RIGHT )=27]

(나) [eqn: sum_n=1^5 LEFT (a_n + LEFT | b_n RIGHT | RIGHT )=67]

(다) [eqn: sum _{n=1} ^{5} LEFT ( LEFT | a _{n} RIGHT | + LEFT | b _{n} RIGHT | RIGHT ) =81]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 06월 30

[eqn: {2 LEQ k<500}{{from^2019^06^부산교육청고2가^중}}]인 자연수 [eqn: k]에 대하여 네 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 359 }]

[해설]

(ⅰ) [eqn: a=c]일 때,

① [eqn: k <24]일 때, 조건을 만족시키는 순서쌍은 존재하지 않는다.

② [eqn: 24 le k <500]일 때,
[eqn: a ^{{1} over {b}} TIMES c ^{{1} over {d}} = 24^{1overb} TIMES 24 ^{{1} over {d}} = 24^{ 1overb + 1overd} = 24^ {1over5}]
따라서 [eqn: {1} over {b} + {1} over {d} = {b+d} over {bd} = {1} over {5}]이므로 [eqn: bd=5 LEFT ( b+d RIGHT )]이고
[eqn: bd - 5b-5d = 0]이 되어 [eqn: LEFT ( b-5 RIGHT ) LEFT ( d-5 RIGHT )=25]이다.

[eqn: b-5]	[eqn: 1]	[eqn: 5]	[eqn: 25]
[eqn: d-5]	[eqn: 25]	[eqn: 5]	[eqn: 1]

[eqn: LEFT ( b ,```` d RIGHT )= LEFT ( 6 ,```` 30 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 10 ,```` 10 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 30 ,```` 6 RIGHT )]이다.
[eqn: 24 le k <30]이면 조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]는 [eqn: LEFT ( 24 ,```` 10 ,```` 24 ,```` 10 RIGHT )]이므로 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의 개수는 [eqn: 1]이다.
[eqn: 30 LEQ k<500]이면 조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]는 [eqn: LEFT ( 24 ,```` 6 ,```` 24 ,```` 30 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 24 ,```` 10 ,```` 24 ,```` 10 RIGHT )],  [eqn: LEFT ( 24 ,```` 30 ,```` 24 ,```` 6 RIGHT )]이므로 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의  개수는 [eqn: 3]이다.

(ⅱ) [eqn: a != c]일 때,

[eqn: 24^{1over5}][eqn: = LEFT ( 2 TIMES 12 RIGHT ) ^{{1} over {5}} = 2 ^{{1} over {5}} TIMES 12 ^{{1} over {5}}]
[eqn: = LEFT ( 2 ^{p} RIGHT ) ^{{1} over {5p}} TIMES LEFT ( 12 ^{q} RIGHT ) ^{{1} over {5q}}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: 24^{1over5}][eqn: = LEFT ( 3 TIMES 8 RIGHT ) ^{{1} over {5}} = 3 ^{{1} over {5}} TIMES 8 ^{{1} over {5}}]
[eqn: = LEFT ( 3 ^{p} RIGHT ) ^{{1} over {5p}} TIMES LEFT ( 8 ^{q} RIGHT ) ^{{1} over {5q}}]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: 24^{1over5}][eqn: = LEFT ( 4 TIMES 6 RIGHT ) ^{{1} over {5}} = 4 ^{{1} over {5}} TIMES 6 ^{{1} over {5}}]
[eqn: = LEFT ( 4 ^{p} RIGHT ) ^{{1} over {5p}} TIMES LEFT ( 6 ^{q} RIGHT ) ^{{1} over {5q}}]	[eqn: cdotscdots] ㉢

의 세 가지 경우가 있다.
한편, 두 자연수 [eqn: p], [eqn: q]의 값이 커지면 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의 개수도 증가한다.
[eqn: 2 ^{p}], [eqn: 3 ^{p}], [eqn: 4 ^{p}], [eqn: 6 ^{q}], [eqn: 8 ^{q}], [eqn: 12 ^{q}]의 값은 각각 [eqn: 2]이상 [eqn: k]이하이므로 ㉠, ㉡, ㉢에서
[eqn: 3 ^4 =81], [eqn: 2 ^7 =128], [eqn: 12 ^{2} = 144], [eqn: 6^3 = 216],
[eqn: 3 ^5 =243], [eqn: cdots]
을 이용하여 조건을 만족하는 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의 개수가 [eqn: 59]인 경우를 찾아보자.

① [eqn: 81 le k < 128]일 때,
㉠에서 [eqn: p= 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: q=1],
즉, [eqn: 5p=5], [eqn: 10], [eqn: 15], [eqn: 20], [eqn: 25], [eqn: 30], [eqn: 5q=5]이다.
그런데 [eqn: a=2 ^p], [eqn: c=12 ^q]인 경우와 [eqn: a=12 ^q], [eqn: c=2 ^p]인 경우가 있고 각각의 경우 순서쌍의 개수는 같으므로 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의 개수는 [eqn: 6 times 1 TIMES 2=12]이다.
㉡에서 [eqn: p= 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: q=1], [eqn: 2],
즉, [eqn: 5p=5], [eqn: 10], [eqn: 15], [eqn: 20], [eqn: 5q=5], [eqn: 10]이다.
그런데 [eqn: a=3 ^p], [eqn: c=8 ^q]인 경우와 [eqn: a=8 ^q], [eqn: c=3 ^p]인 경우가 있고 각각의 경우 순서쌍의 개수는 같으므로 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의 개수는 [eqn: 4 times 2 TIMES 2=16]이다.
㉢에서 [eqn: p= 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: q=1], [eqn: 2],
즉, [eqn: 5p=5], [eqn: 10], [eqn: 15], [eqn: 5q=5], [eqn: 10]이다.
그런데 [eqn: a=4 ^p], [eqn: c=6 ^q]인 경우와 [eqn: a=6 ^q], [eqn: c=4 ^p]인 경우가 있고 각각의 경우 순서쌍의 개수는 같으므로 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의 개수는 [eqn: 3 times 2 TIMES 2=12]이다.
따라서 (ⅰ)과 (ⅱ)의 ①에서 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의 개수는 [eqn: 3+12 +16+12=43]이므로 조건에 맞지 않다.

마찬가지의 방법으로 구하면

② [eqn: 128 le k < 144]일 때,
㉠에서 [eqn: p= 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: q=1],
즉, [eqn: 5p=5], [eqn: 10], [eqn: 15], [eqn: 20], [eqn: 25], [eqn: 30], [eqn: 35], [eqn: 5q=5]이다.
그러므로 조건에 맞는 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의 개수는 [eqn: 7 times 1 TIMES 2=14]이다.
㉡에서 [eqn: p= 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: q=1], [eqn: 2],
즉, [eqn: 5p=5], [eqn: 10], [eqn: 15], [eqn: 20], [eqn: 5q=5], [eqn: 10]이다.
그러므로 조건에 맞는 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의 개수는 [eqn: 4 times 2 TIMES 2=16]이다.
㉢에서 [eqn: p= 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: q=1], [eqn: 2],
즉, [eqn: 5p=5], [eqn: 10], [eqn: 15], [eqn: 5q=5], [eqn: 10]이다.
그러므로 조건에 맞는 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의 개수는 [eqn: 3 times 2 times2=12]이다.
따라서 (ⅰ)과 (ⅱ)의 ②에서 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의
개수는 [eqn: 3+14+16+12=45]이므로 조건에 맞지 않다.

③ [eqn: 144 le k < 216]일 때,
㉠에서 [eqn: p= 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: q=1], [eqn: 2],
즉, [eqn: 5p=5], [eqn: 10], [eqn: 15], [eqn: 20], [eqn: 25], [eqn: 30], [eqn: 35],
[eqn: 5q=5], [eqn: 10]이다.
그러므로 조건에 맞는 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의 개수는 [eqn: 7 times 2 TIMES 2=28]이다.
㉡에서 [eqn: p= 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: q=1], [eqn: 2],
즉, [eqn: 5p=5], [eqn: 10], [eqn: 15], [eqn: 20], [eqn: 5q=5], [eqn: 10]이다.
그러므로 조건에 맞는 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의 개수는 [eqn: 4 times 2 TIMES 2=16]이다.
㉢에서 [eqn: p= 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: q=1], [eqn: 2],
즉, [eqn: 5p=5], [eqn: 10], [eqn: 15], [eqn: 5q=5], [eqn: 10]이다.
그러므로 조건에 맞는 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의 개수는 [eqn: 3 times 2times2=12]이다.
따라서 (ⅰ)과 (ⅱ)의 ③에서 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의 개수는 [eqn: 3+28+16+12=59]이다.
그러므로 [eqn: k]의 최솟값 [eqn: m]은 [eqn: 144]이다.

④ [eqn: 216 le k < 243]일 때,
㉠에서 [eqn: p= 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: q=1], [eqn: 2],

즉, [eqn: 5p=5], [eqn: 10], [eqn: 15], [eqn: 20], [eqn: 25], [eqn: 30], [eqn: 35],

[eqn: 5q=5], [eqn: 10]이다.

그러므로 조건에 맞는 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의   개수는 [eqn: 7 times 2 TIMES 2=28]이다.

㉡에서 [eqn: p= 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: q=1], [eqn: 2],

즉, [eqn: 5p=5], [eqn: 10], [eqn: 15], [eqn: 20], [eqn: 5q=5], [eqn: 10]이다.

그러므로 조건에 맞는 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의   개수는 [eqn: 4 times 2 TIMES 2=16]이다.

㉢에서 [eqn: p= 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: q=1], [eqn: 2], [eqn: 3],

즉, [eqn: 5p=5], [eqn: 10], [eqn: 15], [eqn: 5q=5], [eqn: 10], [eqn: 15]이다.

그러므로 조건에 맞는 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의   개수는 [eqn: 3 times 3times2=18]이다.

따라서 (ⅰ)과 (ⅱ)의 ④에서 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,```` b ,```` c ,```` d{right)]의  개수는 [eqn: 3+28+16+18=65]이므로 조건에 맞지 않다.

그러므로 [eqn: k]의 최댓값 [eqn: M]은 [eqn: 215]이다.

따라서 [eqn: M+m= 215+144= 359]이다.

(가) [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]는 [eqn: 2]이상 [eqn: k]이하이다.

(나) [eqn: a ^{{1} over {b}} TIMES c ^{{1} over {d}} =24 ^{{1} over {5}}]

모든 순서쌍 [eqn: LEFT (a ,`` b ,`` c ,`` d RIGHT ) `]의 개수가 [eqn: 59]가 되도록 하는 [eqn: k]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 06월 30

두 양수 [eqn: {a}{{from^2019^06^부산교육청고2나^중}}], [eqn: k] ([eqn: k neq 1])에 대하여 함수

[정답] [eqn: bold { 75 }]

[해설]

(ⅰ) [eqn: k>1]일 때,
[eqn: 0< {1} over {k} <1]이고 [eqn: 0<2 ^{-a} <1<k]이므로 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]의 해는 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]의 세 교점의 [eqn: x]좌표이다. 그림에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( k ,```` 2 ^{-a} RIGHT )]을 지나며 [eqn: 1<k<t]이므로 [eqn: 0<t<1]을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: 0<k<1]일 때
[eqn: {1} over {k} >1]이고 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]의 해가 [eqn: - {3} over {4}], [eqn: t], [eqn: {5} over {4}]이므로 [eqn: f LEFT ( - {3} over {4} RIGHT ) = {5} over {4}], [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =t], [eqn: f LEFT ( {5} over {4} RIGHT ) =it- {3} over {4}]이다.
두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: 2log _{ {1} over {k}} LEFT ( {7} over {4} +k RIGHT ) +2 ^{-a} = {5} over {4}]	[eqn: cdotscdots] ㉠
[eqn: 2log _{ k} LEFT ( {9} over {4} -k RIGHT ) +2 ^{-a} =it- {3} over {4}]	[eqn: cdotscdots] ㉡
㉡[eqn: -]㉠에서 [eqn: 2log _{ k} LEFT ( {9} over {4} -k RIGHT ) LEFT ( {7} over {4} +k RIGHT ) =it-2]

[eqn: LEFT ( {9} over {4} -k RIGHT ) LEFT ( {7} over {4} +k RIGHT ) = {1} over {k}], [eqn: 16k ^{3} -8k ^{2} -63k+16=0]

[eqn: 16k ^{3} -8k ^{2} -63k+16]
[eqn: =16k ^{3} -8k ^{2} +k-64k+16]
[eqn: = LEFT ( 16k ^{3} -8k ^{2} +k RIGHT ) - LEFT ( 64k-16 RIGHT )]
[eqn: =k LEFT ( 4k-1 RIGHT ) ^{2} -16 LEFT ( 4k-1 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 4k-1 RIGHT ) LEFT ( 4k ^{2} -k-16 RIGHT )]
[eqn: = 0]

[eqn: therefore][eqn: k= {1} over {4}], [eqn: {1+- sqrt {257}} over {8}]

[eqn: 0<k<1]이므로 [eqn: k= {1} over {4}]이고
[eqn: f LEFT ( {5} over {4} RIGHT ) =2log _{ {1} over {4}} LEFT ( {5} over {4} - {1} over {4} +1 RIGHT ) +2 ^{-a} =it- {3} over {4}]
[eqn: 2 ^{-a} = {1} over {4}]이므로 [eqn: a=2]이다.

따라서 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = cases{2log _{ {1} over {4}} LEFT ( x+ {3} over {4} RIGHT ) + {1} over {4}&& & LEFT ( x GEQ {1} over {4} RIGHT )# 2log _{ 4} LEFT ( -x+ {5} over {4} RIGHT ) + {1} over {4}&&& LEFT ( x< {1} over {4} RIGHT )}}]

이다. [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: LEFT ( {1} over {4} ,```` {1} over {4} RIGHT )]을 지나므로 [eqn: t= {1} over {4}]이다.

그러므로 [eqn: 30 LEFT ( a+k+t RIGHT )][eqn: =30times LEFT ( 2+ {1} over {4} + {1} over {4} RIGHT ) =75]이다.

[참고]

[eqn: 16k ^{3} -8k ^{2} -63k+16]

[eqn: =16k ^{3} -4k ^{2} -4k ^{2} -63k+16]

[eqn: =4k ^{2} LEFT ( 4k-1 RIGHT ) - LEFT ( 4k ^{2} +63k-16 RIGHT )]

[eqn: =4k ^{2} LEFT ( 4k-1 RIGHT ) - LEFT ( 4k-1 RIGHT ) (k+16)]

[eqn: = LEFT ( 4k-1 RIGHT ) LEFT ( 4k ^{2} -k-16 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`` 2 log _{ k} LEFT ( x-k+1 RIGHT ) +2 ^{ -a} && & LEFT ( x GEQ k RIGHT )# 2 log _{ {1} over {k}} LEFT ( -x+k+1 RIGHT ) + 2 ^{ -a}& && LEFT ( x<k RIGHT )}}]

가 있다. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]의 해는 [eqn: - {3} over {4}], [eqn: t], [eqn: {5} over {4}]이다. [eqn: 30 LEFT ( a+k+t RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<t<1])

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 09월 29

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 6`]인 원 [eqn: O_1`]이 있다. 원 [eqn: O _{1} ` _{`}] 위에 서로 다른 두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]를 [eqn: {bar{rm AB it}} =6 sqrt {2} `]가 되도록 잡고, 원 [eqn: O _{1} `]의 내부에 점 [eqn: rmC`]를 삼각형 [eqn: rm ACB`]가 정삼각형이 되도록 잡는다. 정삼각형 [eqn: rm ACB`]의 외접원을 [eqn: O _{2} `]라 할 때, 원 [eqn: O _{1} `]과 원 [eqn: O _{2} `]의 공통부분의 넓이는 [eqn: p+q` sqrt {3} `+r` pi `]이다. [eqn: p+q+r`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`], [eqn: q`], [eqn: r`]는 유리수이다.)

[정답] [eqn: bold{ 13]

[해설]

원 [eqn: O_1]의 중심을 [eqn: rm O _{1} `], 원 [eqn: O_2]의 중심을 [eqn: rm O _{2} `], 직선 [eqn: rm O _{1} O _{2} `]가 선분 [eqn: rmAB`]와 만나는 점을 [eqn: rmM`]이라 하고, 직선 [eqn: rm O _{1} O _{2} `]가 원 [eqn: O _{1}]과 만나는 두 점 중에서

점 [eqn: rmM`]에 가까운 점을 [eqn: rmN`]이라 하자.

[eqn: {bar{rm O _{1} A it}} `=6`], [eqn: {bar{rm AM it}} `=3 sqrt {2} `]

[eqn: {bar{rm O _{1} A it}} `:` {bar{rm AM it}} `= sqrt {2} `:`1`]이므로    [eqn: ANGLE rm MO _{1} A= {pi } over {4} `]

원 [eqn: O_1]에서 점 [eqn: rmB`]를 포함하지 않는 부채꼴 [eqn: rm O _{1} NA``]의 넓이는      [eqn: {1} over {2} TIMES 6 ^{2} TIMES {pi } over {4} `= {9} over {2} pi `][eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: ANGLE rm MO _{2} A= {pi } over {3} `]이므로 [eqn: {bar{rm O _{2} A it `}} `=2 sqrt {6} `]

원 [eqn: O_2]에서 점 [eqn: rmB`]를 포함하지 않는 부채꼴 [eqn: rm O _{2} AC`]의 넓이는      [eqn: { 1} over { 2}times LEFT ( 2 sqrt { 6} RIGHT )^2 times { 2} over { 3}pi=8pi`][eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: {bar{rm O _{1} O _{2} it}} `= {bar{rm O _{1} M it}} `- {bar{rm O _{2} M it}} `=3 sqrt {2} `- sqrt {6} `]이므로

삼각형 [eqn: rm AO _{1} O _{2} `]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 6 TIMES LEFT ( 3 sqrt {2} `- sqrt {6} RIGHT ) TIMES sin {pi } over {4} `][eqn: =9-3 sqrt {3} `][eqn: CDOTS CDOTS ㉢]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡], [eqn: ㉢]에 의하여

[eqn: p+q sqrt {3} `+r` pi][eqn: =` LEFT. 2 TIMES LEFT { ` {9} over {2} pi +8 pi - LEFT ( `9-3 sqrt {3} ` RIGHT ) RIGHT } ` RIGHT]
[eqn: =`-18+6 sqrt {3} +25 pi ``]

따라서 [eqn: p+q+r=13`]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 03월 29

자연수 [eqn: m]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합을 [eqn: A LEFT ( m RIGHT )]이라 하자.

[정답] [eqn: bold { 477 }]

[해설]

[eqn: A(200)]은 조건의 등비수열에서 제[eqn: k]항이 [eqn: 3 TIMES 2^200]이 되는 모든 [eqn: k]의 값의 합이다.

공비를 [eqn: 2^{ p}]이라 하면 [eqn: 2 ^{ 200} = LEFT ( 2 ^{ p} RIGHT ) ^{ {200} over {p}}]이고 [eqn: 200 over p]은 자연수이어야 하므로 [eqn: p]는 [eqn: 200]의 양의 약수이다.

그러므로 [eqn: 3times2^{ 200}][eqn: =3 times LEFT ( 2 ^{ p} RIGHT ) ^{ {200} over {p}}]은 첫째항이 [eqn: 3]이고 공비가 [eqn: 2^{ p}]인 등비수열의 제[eqn: left({ 200} over { p}+1 right)]항이다.

[eqn: 200=2^{ 3} times5^{ 2}]이므로 [eqn: 200]의 모든 양의 약수는

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2 ^{ 2}], [eqn: 2 ^{ 3}], [eqn: 5], [eqn: 2times 5], [eqn: 2 ^{ 2}times 5], [eqn: 2 ^{ 3}times 5], [eqn: 5 ^{ 2}],

[eqn: 2times 5 ^{ 2}], [eqn: 2 ^{ 2} times 5 ^{ 2}], [eqn: 2 ^{ 3}times 5 ^{ 2}]

따라서

[eqn: A(200)]

[eqn: =LEFT ( 2^3 times 5^2 +1 RIGHT )+ LEFT ( 2^2 times 5^2 +1 RIGHT )+ CDOTS +LEFT ( 2 +1 RIGHT ) + LEFT ( 1 +1 RIGHT )]
[eqn: = LEFT (2^3 times 5^2 +2^2 times 5^2 + cdots + 2 + 1 RIGHT ) + 12]

[eqn: =465+12]

[eqn: =477]

[eqn: 3 TIMES 2 ^{ m}]은 첫째항이 [eqn: 3]이고 공비가 [eqn: 2] 이상의 자연수인 등비수열의 제[eqn: k]항이다.

예를 들어, [eqn: 3times2 ^{ 2}]은 첫째항이 [eqn: 3]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열의 제 [eqn: 3]항, 첫째항이 [eqn: 3]이고 공비가 [eqn: 4]인 등비수열의 제 [eqn: 2]항이 되므로 [eqn: A LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =3+2][eqn: =5]이다. [eqn: A LEFT ( 200 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 09월 30

자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는

[정답] [eqn: bold{ 125]

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=x ^{2} +n`]의 그래프와 직선 [eqn: y=mx`]가 만나기 위해서는

이차방정식 [eqn: x ^{2} -mx+n=0`]의 판별식

[eqn: D=m ^{2} -4n GEQ 0`]에서 [eqn: m ^{2} GEQ 4n]

[eqn: n=1`]이면 [eqn: m ^{2} GEQ 4]이므로 [eqn: a _{1} =2]

[eqn: n=2`]이면 [eqn: m ^{2} GEQ 8]이므로 [eqn: a _{2} =3]

[eqn: n=3`]이면 [eqn: m ^{2} GEQ 12]이므로 [eqn: a _{3} =4]

[eqn: n=4`]이면 [eqn: m ^{2} GEQ 16]이므로 [eqn: a _{4} =4]

이를 바탕으로 추론하면

[eqn: 4` TIMES `5`<5 ^{2} `<`4` TIMES `7]이므로

[eqn: a _{n} =5`]를 만족시키는 [eqn: n`]은 [eqn: 5`,````6]

[eqn: 4` TIMES 7`<`6 ^{2} ` LEQ `4` TIMES `9]이므로

[eqn: a _{n} =6`]을 만족시키는 [eqn: n`]은 [eqn: 7`,````8`,````9]

[eqn: VDOTS]

[eqn: 4` TIMES 26`<`11 ^{2} `<`4` TIMES `31]이므로 [eqn: a _{n} =11`]을 만족시키는

[eqn: n`]은 [eqn: 26`,````27`,````28`,````29`,````30`]

[eqn: 4` TIMES `31`<`12 ^{2} `LEQ``4` TIMES `36]이므로 [eqn: a _{n} =12`]를 만족시키는

[eqn: n`]은 [eqn: 31`,~32`,~33`,~34,~35,~36]

[eqn: a _{n`} <a _{n+1} `]을 만족시키는 [eqn: 33`] 이하의 모든 [eqn: n`]의 값은

[eqn: 1`,````2`,````4`,````6`,````9`,````12`,````16`,````20`,````25`,````30]

따라서 모든 [eqn: n`]의 값의 합은 [eqn: 125]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=x ^{2} +n]

이다. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y=mx`]가 만나도록 하는 자연수 [eqn: m`]의 최솟값을 [eqn: a _{n} `]이라 하자. [eqn: a _{n} <a _{n+1} `]을 만족시키는 [eqn: 33] 이하의 모든 [eqn: n`]의 값의 합을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고2 11월 30

두 정수 [eqn: l], [eqn: m]에 대하여 두 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 일반항이

[정답] [eqn: bold { 7 }]

[해설]

[eqn: a _{n} +b _{n} =2+ LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( l+m RIGHT )]이므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} +b _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 2]이고 공차가 정수 [eqn: l+m]인 등차수열이다.

[eqn: l+m GEQ 0]이라 하면 수열 [eqn: LEFT { left |`` a _{n} +b _{n} ``right | RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 2]이고 공차가 [eqn: l+m]인 등차수열이다.

공차 [eqn: l+m]이 정수이므로 [eqn: sum _{k=1} ^{10} left |`` a _{k} +b _{k} ``right | = {10 LEFT { 2 TIMES 2+9 LEFT ( l+m RIGHT ) RIGHT }} over {2} =31]에서 [eqn: l+m= {11} over {45}]을 만족시키는 두 정수 [eqn: l], [eqn: m]은 존재하지 않는다.

[eqn: l+m LEQ it -2]라 하면 수열 [eqn: LEFT { left |`` a _{n} +b _{n} ``right | RIGHT }]은 첫째항과 제[eqn: 2]항이 각각 [eqn: 2], [eqn: left |`` a _{2} +b _{2} ``right |]이고, 제 [eqn: 2]항부터 공차가 [eqn: left |`` l+m ``right |]인 등차수열이다.

공차 [eqn: left |`` l+m ``right |]이 정수이므로 [eqn: sum _{k=1} ^{10} left |`` a _{k} +b _{k} ``right | =2+ {9 LEFT ( 2 left |`` a _{2} +b _{2} ``right | +8 left |`` l+m ``right | RIGHT )} over {2} =31]에서 [eqn: left |`` a _{2} +b _{2} ``right | +4 left |`` l+m ``right | = {29} over {9}]를 만족시키는 두 정수 [eqn: l], [eqn: m]은 존재하지 않는다.

[eqn: l+m=it-1]이라 하면 수열 [eqn: LEFT { left |`` a _{n} +b _{n} ``right | RIGHT }]은 첫째항, 제 [eqn: 2]항, 제 [eqn: 3]항이 각각 [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 0]이고, 제 [eqn: 3]항부터 공차가 [eqn: 1]인 등차수열이다.

이때 [eqn: sum _{k=1} ^{10} left |`` a _{k} +b _{k} ``right | =2+1+ {8 TIMES LEFT ( 2 TIMES 0+7 TIMES 1 RIGHT )} over {2} =31]

따라서 [eqn: l+m= it -1]

[eqn: m=it-l-1]에서 [eqn: b _{n} =it-10+ LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( -l-1 RIGHT )]

[eqn: left |`` a _{3} ``right | = left |`` 12+2l ``right |], [eqn: left |`` b _{3} ``right | = left |`` -12-2l ``right |]이므로 두 정수 [eqn: l], [eqn: m]에 관계없이 [eqn: left |`` a _{3} ``right | = left |`` b _{3} ``right |]이 성립한다.

(ⅰ) [eqn: l GEQ 0]일 때
[eqn: m<0]이고 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a _{k} >0], [eqn: b _{k} <0]이다.
[eqn: left |`` a _{k} ``right | - left |`` b _{k} ``right | =a _{k} +b _{k}][eqn: =3-k]이므로
[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( left |`` a _{k} ``right | - left |`` b _{k} ``right | RIGHT ) = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 3-k RIGHT ) = it -25]

(ⅱ) [eqn: -4 LEQ l LEQ it -1]일 때

① [eqn: l=it-1]인 경우
[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( left |`` a _{k} ``right | - left |`` b _{k} ``right | RIGHT )]
[eqn: =2+1 + + LEFT ( -1 RIGHT ) + LEFT ( -2 RIGHT ) + LEFT ( -3 RIGHT ) + LEFT ( -4 RIGHT )]
[eqn: + LEFT ( -5 RIGHT ) + LEFT ( -6 RIGHT ) + LEFT ( -7 RIGHT )]
[eqn: = it -25]

② [eqn: l= it -2]인 경우
[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( left |`` a _{k} ``right | - left |`` b _{k} ``right | RIGHT )]
[eqn: =2+1 + + LEFT ( -1 RIGHT ) + LEFT ( -2 RIGHT ) + LEFT ( -3 RIGHT ) + LEFT ( -4 RIGHT )]
[eqn: + LEFT ( -1 RIGHT ) +2+5]
[eqn: = it -1]

③ [eqn: l= it -3]인 경우
[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( left |`` a _{k} ``right | - left |`` b _{k} ``right | RIGHT )]
[eqn: =2+1 + + LEFT ( -1 RIGHT ) + LEFT ( -2 RIGHT ) +3+4+5+6+7]
[eqn: =25]

④ [eqn: l= it -4]인 경우
[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( left |`` a _{k} ``right | - left |`` b _{k} ``right | RIGHT )]

[eqn: =2+1 + + LEFT ( -1 RIGHT ) +2+3+4+5+6+7]
[eqn: =29]

(ⅲ) [eqn: -11 LEQ l LEQ it -5]일 때
[eqn: left |`` a _{1} ``right | - left |`` b _{1} ``right | =2], [eqn: left |`` a _{2} ``right | - left |`` b _{2} ``right | = LEFT ( 12+l RIGHT ) - LEFT ( 11+l RIGHT ) =1]
이고, [eqn: k GEQ 3]인 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: left |`` a _{k} ``right | - left |`` b _{k} ``right |]
[eqn: = it LEFT { -12- LEFT ( k-1 RIGHT ) l RIGHT } + LEFT { 10+ LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( l+1 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =k-3][eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( left |`` a _{k} ``right | - left |`` b _{k} ``right | RIGHT )]

[eqn: =2+1+ sum _{k=3} ^{10} LEFT ( k-3 RIGHT ) =31]

(ⅳ) [eqn: l LEQ it-12]일 때
[eqn: left |`` a _{1} ``right | - left |`` b _{1} ``right | =2], [eqn: left |`` a _{2} ``right | - left |`` b _{2} ``right | = LEFT ( it -12-l RIGHT ) - LEFT ( -11-l RIGHT ) = it -1]
이고, [eqn: k GEQ 3]인 자연수 [eqn: k]에 대하여
[eqn: left |`` a _{k} ``right | - left |`` b _{k} ``right |]

[eqn: = it LEFT { -12- LEFT ( k-1 RIGHT ) l RIGHT } - LEFT { -10- LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( l+1 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =k-3]

이므로
[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( left |`` a _{k} ``right | - left |`` b _{k} ``right | RIGHT ) =2+ LEFT ( -1 RIGHT ) + sum _{k=3} ^{10} LEFT ( k-3 RIGHT )][eqn: = it 29]

(ⅰ) ~ (ⅳ)에서 구하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( l ,```` m RIGHT )]은

[eqn: LEFT ( -11 ,```` 10 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -10 ,```` 9 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -9 ,```` 8 RIGHT )], [eqn: cdots], [eqn: LEFT ( -5 ,```` 4 RIGHT )]

이므로 개수는 [eqn: 7]이다.

[eqn: a _{n} =12+ LEFT ( n-1 RIGHT ) l], [eqn: b _{n} =it-10+ LEFT ( n-1 RIGHT ) m]

일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} left |`` a _{k} +b _{k} ``right | = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( left |`` a _{k} ``right | - left |`` b _{k} ``right | RIGHT ) =31]을 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( l ,```` m RIGHT )]의 개수를 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 30

두 실수 [eqn: {a}{{from^2020^11^서울고2공통^5}}][eqn: LEFT ( a != 0 RIGHT )], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: bold { 49 }]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]의 주기는 [eqn: {2 pi } over {LEFT |`` {pi } over {6}`` RIGHT | } =12]이고, [eqn: f(0)=- {1} over {2} a+b=8]에서

[eqn: a=2b-16]

[eqn: g(t)]의 값은 [eqn: 0<x<t]에서 함수 [eqn: y= LEFT |`` f(x) ``RIGHT |]의 그래프가 직선 [eqn: y=4]와 만나는 점의 개수이므로 [eqn: g(t)]의 값은 [eqn: 0<x<t]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=4]와 만나는 점의 개수와 [eqn: 0<x<t]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=-4]와 만나는 점의 개수의 합과 같다.

(ⅰ) [eqn: a>0]일 때
[eqn: b>8]이므로 [eqn: f(18)=2b-8>8]이고, 함수 [eqn: f(x)]의 주기는 [eqn: 12]이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

그러므로 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값인 [eqn: -b+16]이 [eqn: -4]보다 작을 때 [eqn: g(18)]의 값은 최대이고 그 값은 [eqn: 4]이다.
따라서 [eqn: a>0]일 때 [eqn: g(18)=5]를 만족시키는 두 실수 [eqn: a ,```` b]가 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a<0]일 때
[eqn: b<8]이고, 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값인 [eqn: 3b-16]의 범위에 따른 [eqn: g(18)]의 값은 다음과 같다.
(a) [eqn: 4<3b-16<8]일 때 [eqn: g(18)=0]

(b) [eqn: 3b-16=4]일 때 [eqn: g(18)=2]

(c) [eqn: 2<3b-16<4]일 때 [eqn: f(18)>4]이므로 [eqn: g(18)=4]

(d) [eqn: -4<3b-16 LEQ 2]일 때 [eqn: 0<f(18) LEQ 4]이므로 [eqn: g(18)=3]

(e) [eqn: 3b-16=-4]일 때 [eqn: f(18)=0]이므로 [eqn: g(18)=5]

(f) [eqn: -19<3b-16<][eqn: -4]일 때 [eqn: -4<f(18)<0]이므로
[eqn: g(18)=7]

(g) [eqn: 3b-16 LEQ -10]일 때 [eqn: f(18) LEQ -4]이므로 [eqn: g(18)=6]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: 3b-16=-4 ,````]즉 [eqn: a=-8 ,````][eqn: b=4]일 때 [eqn: g(18)=5]이다.

그러므로 [eqn: f(x)=-8sin {pi } over {6} (x-1)+4]이고, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: f(1)=f(7)=f(13)=4]이고 [eqn: f(4)=-4]이므로 [eqn: 7<p LEQ 13]인 실수 [eqn: p]에 대하여 [eqn: 0<x<p]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 두 직선 [eqn: y=4 ,````][eqn: y=-4]와 만나는 점의 개수는 각각 [eqn: 2 ,```` 1]이다.

그러므로 [eqn: g( alpha )= LEFT |`` a-b ``RIGHT | =12 ,] 즉 [eqn: 0<x< alpha]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=4]와 만나는 점의 개수와 [eqn: 0<x< alpha]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=-4]와 만나는 점의 개수의 합이 [eqn: 12]가 되도록 하는 양수 [eqn: alpha]의 값의 범위는

[eqn: 7+12 TIMES 3< alpha LEQ 13+12 TIMES 3]

[eqn: 43< alpha LEQ 49]

따라서 양수 [eqn: alpha]의 최댓값은 [eqn: 49]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =a sin {pi} over {6} LEFT ( x-1 RIGHT ) +b]

라 하고, 양수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: 0<x<t]에서 함수 [eqn: y][eqn: = LEFT |`` f LEFT ( x RIGHT ) `` RIGHT |]의 그래프가 직선 [eqn: y=4]와 만나는 점의 개수를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자.

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =8], [eqn: g LEFT ( 18 RIGHT )][eqn: =5]일 때, [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: = LEFT |`` a- b `` RIGHT |]를 만족시키는 양수 [eqn: alpha]의 최댓값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 30

두 실수 [eqn: a(0<a<2 pi)]와 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 0 leq x leq 2 pi]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]는

[정답] [eqn: 110]

[해설]

[eqn: pi<a<2 pi]라 하면 함수 [eqn: y= sin x-{1} over {2}]의 그래프에서 [eqn: pi<x<a]일 때 [eqn: sin x-{1} over {2} < it - {1} over {2}]이므로 [eqn: left| sin x-{1} over {2} right|>{1} over {2}]이다. 따라서 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

따라서 [eqn: 0<a leq pi]이다. [eqn: cdots cdots]㉠

(i) [eqn: k>0]인 경우

[eqn: a leq x leq 2 pi]에서 함수 [eqn: y=k sin x-{1} over {2}]은 [eqn: x={3} over {2} pi]일

때 최솟값 [eqn: k sin {3} over {2} pi-{1} over {2}=-k-{1} over {2}]을 갖는다.

따라서 함수 [eqn: |f(x)|]의 최댓값은 [eqn: k+{1} over {2}]이고, [eqn: k+{1} over {2}>{1} over {2}]이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

(ii) [eqn: k=0]인 경우

함수 [eqn: f(x)=cases{ sin x-{1} over {2} && (0 leq x<a) # -{1} over {2} && (a leq x leq 2 pi)}]이고

방정식 [eqn: f(x)=0]의 실근의 개수는 [eqn: rm 2] 이하이므로

조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(iii) [eqn: k<0]인 경우

[eqn: 0<a< pi]이면 [eqn: sin a>0]이므로

[eqn: f(a)=k sin a-{1} over {2} < it - {1} over {2}]이다.

따라서 [eqn: vert `f(a)` vert > {1} over {2}]이고 조건 (가)를 만족시키지 않

으므로 ㉠에 의해 [eqn: a= pi]이다.

조건 (나)에 의해 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근

의 개수가 [eqn: rm 3]이므로 [eqn: f LEFT ( {3} over {2} pi RIGHT ) =0]이다.

즉 [eqn: k times(-1)-{1} over {2}=0]이므로 [eqn: k=-{1} over {2}]이다. 따라서 구하는 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x)=cases{ sin x-{1} over {2} && (0 leq x< pi) #-{1} over {2} sin x-{1} over {2} && ( pi leq x leq 2 pi)}]

이다.

함수 [eqn: y=|f(x)|]의 그래프와 직선 [eqn: y={1} over {4}]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 작은 수부터 크기순으로 [eqn: alpha_{1}], [eqn: alpha_{2}], [eqn: alpha_{3}], [eqn: alpha_{4}], [eqn: alpha_{5}], [eqn: alpha_{6}]이라고 하자.

[eqn: { alpha_{1}+ alpha_{4}} over {2}={ pi} over {2}], [eqn: { alpha_{2}+ alpha_{3}} over {2}={ pi} over {2}], [eqn: { alpha_{5}+ alpha_{6}} over {2}={3 pi} over {2}]이므로

[eqn: S= alpha_{1}+ alpha_{2}+ alpha_{3}+ alpha_{4}+ alpha_{5}+ alpha_{6}= pi+ pi+3 pi=5 pi]

이다. 따라서

[eqn: 20 left({a+S} over { pi}+k right)=20 left({ pi+5 pi} over { pi}-{1} over {2} right)=20 times {11} over {2}=110]

이다.

[eqn: f(x)=cases{ sin x-{1} over {2} && (0 leq x<a) #k sin x-{1} over {2} && (a leq x leq 2 pi)}]

이고, 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: |f(x)|]의 최댓값은 [eqn: {1} over {2}]이다.

(나) 방정식 [eqn: f(x)=0]의 실근의 개수는 [eqn: rm 3]이다.

방정식 [eqn: |f(x)|={1} over {4}]의 모든 실근의 합을 [eqn: S]라 할 때, [eqn: 20 left({a+S} over { pi}+k right)]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 30

두 수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT } ,```` LEFT { b _{n} RIGHT }}{{from^2020^04^서울고3가^}}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 79 }]

[해설]

두 조건 (가)와 (나)로부터 [eqn: a _{2n} +a _{2n+1}][eqn: =2b _{n} +1]

두 조건 (다)와 (라)로부터 [eqn: b _{2n} +b _{2n+1}][eqn: =2a _{n} +1]

[eqn: sum _{n=1} ^{63} a _{n} - sum _{n=1} ^{31} b _{n}]

[eqn: =a _{1} + sum _{n=1} ^{31} LEFT ( a _{2n} +a _{2n+1} RIGHT ) - sum _{n=1} ^{31} b _{n}]

[eqn: =a _{1} + sum _{n=1} ^{31} LEFT ( 2b _{n} +1 RIGHT ) - sum _{n=1} ^{31} b _{n}]

[eqn: =a _{1} + sum _{n=1} ^{31} b _{n} +31]

[eqn: =a _{1} +b _{1} + sum _{n=1} ^{15} LEFT ( b _{2n} +b _{2n+1} RIGHT ) +31]

[eqn: =a _{1} +b _{1} + sum _{n=1} ^{15} LEFT ( 2a _{n} +1 RIGHT ) +31]

[eqn: =a _{1} +b _{1} +2 sum _{n=1} ^{15} a _{n} +15+31]

[eqn: =a _{1} +b _{1} +2a _{1} +2 sum _{n=1} ^{7} LEFT ( 2b _{n} +1 RIGHT ) +46]

[eqn: =a _{1} +b _{1} +2a _{1} +4 sum _{n=1} ^{7} b _{n} +14+46]

[eqn: =a _{1} +b _{1} +2a _{1} +4b _{1} +4 sum _{n=1} ^{3} LEFT ( 2a _{n} +1 RIGHT ) +60]

[eqn: =a _{1} +b _{1} +2a _{1} +4b _{1} +8 sum _{n=1} ^{3} a _{n} +12+60]

[eqn: =a _{1} +b _{1} +2a _{1} +4b _{1} +8a _{1} +8 LEFT ( 2b _{1} +1 RIGHT ) +72]

[eqn: =a _{1} +b _{1} +2a _{1} +4b _{1} +8a _{1} +16b _{1} +8+72]

[eqn: =11a _{1} +21b _{1} +80][eqn: =155]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

조건 (가)와 (다)에서

[eqn: a _{4n}][eqn: =b _{2n} +2][eqn: = LEFT ( 3a _{n} -2 RIGHT ) +2][eqn: =3a _{n}],

[eqn: b _{4n}][eqn: =3a _{2n} -2][eqn: =3 LEFT ( b _{n} +2 RIGHT ) -2][eqn: =3b _{n} +4]

이므로

[eqn: a _{48}][eqn: =3a _{12}][eqn: =9a _{3}][eqn: =9 LEFT ( b _{1} -1 RIGHT )][eqn: =9], [eqn: b _{1} =2]

㉠에 의하여 [eqn: a _{1}][eqn: =3]

따라서 [eqn: b _{32}][eqn: =3b _{8} +4][eqn: =9b _{2} +16][eqn: =9 LEFT ( 3a _{1} -2 RIGHT ) +16][eqn: =79]

(가) [eqn: a _{2n} =b _{n} +2]

(나) [eqn: a _{2n+1} =b _{n} -1]

(다) [eqn: b _{2n} =3a _{n} -2]

(라) [eqn: b _{2n+1} = it -a _{n} +3]

[eqn: a _{48} =9]이고 [eqn: sum _{n=1} ^{63} a _{n} - sum _{n=1} ^{31} b _{n} =155]일 때, [eqn: b _{32}]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 21

상수 [eqn: k]에 대하여 정의역과 공역이 각각 실수 전체의 집합인 함수

[정답] ①

[해설]

두 곡선 [eqn: y=-log _{2} LEFT ( x+2 RIGHT ) -2]와 [eqn: y=2 ^{-x-2} -2]는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

정의역과 공역이 각각 실수 전체의 집합인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 일대일대응이므로 상수 [eqn: k]의 값은 두 곡선의 교점의 [eqn: x]좌표이다.

곡선 [eqn: y=-log _{2} LEFT ( x+2 RIGHT ) -2]와 [eqn: x]축의 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: - {7} over {4}]이므로 [eqn: k>- {7} over {4}]이다.

[eqn: k{ge}-1]이라 가정하면 [eqn: k=-log _{2} LEFT ( k+2 RIGHT ) -2]이므로

[eqn: k=-log _{2} LEFT ( k+2 RIGHT ) -2le-log _{2} LEFT { LEFT ( -1 RIGHT ) +2 RIGHT } -2=-2]

가 되어 모순이므로 [eqn: k<{-1}]이다.

따라서 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: - {7} over {4} <k<{-1}]이다.

두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

(ⅰ) [eqn: -2le{x}<k]일 때,
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{-x-2} -2], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =log _{2} LEFT ( 2-x RIGHT ) +2]이고
[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =-1], [eqn: g LEFT ( -2 RIGHT ) =4]이므로
[eqn: LEFT ( -2 ,```` -1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -2 ,```` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -2 ,```` 1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -2 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -2 ,```` 3 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( -2 ,```` 4 RIGHT )] : [eqn: 6]개

(ⅱ) [eqn: k LEQ x<{-k}]일 때,
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-log _{2} LEFT ( x+2 RIGHT ) -2], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =log _{2} LEFT ( 2-x RIGHT ) +2]이고

① [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =-2], [eqn: 3<g LEFT ( -1 RIGHT ) <4]이므로
[eqn: LEFT ( -1 ,```` -2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -1 ,```` -1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -1 ,```` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -1 ,```` 1 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( -1 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -1 ,```` 3 RIGHT )] : [eqn: 6]개

② [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-3], [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =3]이므로
[eqn: LEFT ( 0 ,```` -3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0 ,```` -2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0 ,```` -1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0 ,```` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0 ,```` 1 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( 0 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0 ,```` 3 RIGHT )] : [eqn: 7]개

③ [eqn: -4<f LEFT ( 1 RIGHT ) <{-3}], [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =2]이므로
[eqn: LEFT ( 1 ,```` -3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1 ,```` -2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1 ,```` -1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1 ,```` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1 ,```` 1 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( 1 ,```` 2 RIGHT )] : [eqn: 6]개

(ⅲ) [eqn: -k{le}x{le}2]일 때,
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-log _{2} LEFT ( x+2 RIGHT ) -2], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =-2 ^{x-2} +2]이고
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =-4], [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =1]이므로
[eqn: LEFT ( 2 ,```` -4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2 ,```` -3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2 ,```` -2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2 ,```` -1 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( 2 ,```` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2 ,```` 1 RIGHT )] : [eqn: 6]개

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: 6+6+7+6+6=31]

따라서 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) {le}b{le}g LEFT ( a RIGHT )]를 만족시키는 정수 [eqn: a ,```` b]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b RIGHT )]의 개수는 [eqn: 31]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{```````````````````2 ^{-x-2}&&& LEFT ( x<k RIGHT )#-log _{2} LEFT ( x+2 RIGHT ) -2&&& LEFT ( x{ge}k RIGHT )}}]

가 일대일대응이다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{log _{2} LEFT ( 2-x RIGHT ) +2&&& LEFT ( x<{-}k RIGHT )#-2 ^{x-2} +2&&& LEFT ( x{ge}-k RIGHT )}}]

라 할 때, [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) {le}b{le}g LEFT ( a RIGHT )]를 만족시키는 정수 [eqn: a], [eqn: b]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b RIGHT )]의 개수는? [eqn: (]단, [eqn: -2 LEQ a LEQ 2)]

① [eqn: 31]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 35]

④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 39]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 30

두 자연수 [eqn: a], [eqn: b `]에 대하여 세 함수

[정답] [eqn: bold { 686 }]

[해설]

[eqn: LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cos LEFT ( a{pi}x+b{pi} RIGHT )]
[eqn: = {cases{```````cosa{pi}x&&& LEFT ( b는 ```` 짝수 RIGHT )#-cosa{pi}x&&& LEFT ( b는 ```` 홀수 RIGHT )}}]

이고 [eqn: LEFT ( h{CIRC}g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) =a{sin{pi}x}+b]이다.

두 자연수 [eqn: a ,```` b]에 대하여

[eqn: LEFT ( h{CIRC}g RIGHT ) LEFT ( {3} over {2} RIGHT )][eqn: ={a}sin {3} over {2} pi+b][eqn: =-a+b]

는 정수이므로 조건 (가)의 방정식의 실근이 존재하기 위한 [eqn: -a+b]의 값은 [eqn: -1] 또는 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1]이다.

함수 [eqn: LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) = {cases{```````cosa{pi}x&&& LEFT ( b는 ```` 짝수 RIGHT )#-cosa{pi}x&&& LEFT ( b는 ```` 홀수 RIGHT )}}]의 그래프는 주기가 [eqn: {2} over {a}]이므로

(ⅰ) [eqn: b]가 짝수인 경우

① [eqn: -a+b=1]일 때
두 함수 [eqn: y= LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cosa{pi}x]와 [eqn: y=-a+b]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 2a+1]

② [eqn: -a+b=0]일 때
두 함수 [eqn: y= LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cosa{pi}x]와 [eqn: y=-a+b]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 4a]

③ [eqn: -a+b=-1]일 때
두 함수 [eqn: y= LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cosa{pi}x]와 [eqn: y=-a+b]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 2a]

따라서 두 함수 [eqn: y= LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cosa{pi}x]와 [eqn: y=-a+b]의 그래프의 교점의 개수가 홀수이려면 [eqn: -a+b=1]이다.
[eqn: b=a+1]이므로 [eqn: a]는 홀수이다.

(ⅱ) [eqn: b]가 홀수인 경우

① [eqn: -a+b=1]일 때
두 함수 [eqn: y= LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cosa{pi}x]와 [eqn: y=-a+b]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 2a]

② [eqn: -a+b=0]일 때
두 함수 [eqn: y= LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cosa{pi}x]와 [eqn: y=-a+b]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 4a]

③ [eqn: -a+b=-1]일 때
두 함수 [eqn: y= LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cosa{pi}x]와 [eqn: y=-a+b]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 2a+1]

따라서 두 함수 [eqn: y= LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cosa{pi}x]와 [eqn: y=-a+b]의 그래프의 교점의 개수가 홀수이려면 [eqn: -a+b=-1]이다.

[eqn: b=a-1]이므로 [eqn: a]는 짝수이다.

조건 (나)에서 방정식 [eqn: LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( h{CIRC}g RIGHT ) LEFT ( t RIGHT )]의 해는

(ⅰ) [eqn: a]가 홀수, [eqn: b]가 짝수인 경우
[eqn: b=a+1]이므로 (나)의 방정식은
[eqn: cosa{pi}x][eqn: =a{sin{pi}t}+ LEFT ( a+1 RIGHT )][eqn: =a LEFT ( sinpi{t}+1 RIGHT ) +1]
이고 [eqn: a LEFT ( sin{pi}t+1 RIGHT ) +1ge1]이므로 [eqn: cosa{pi}t=1]이다.
[eqn: 0{le}x{le}4]일 때, 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2a+1]이고 함수 [eqn: y=cosa{pi}x]의 그래프는 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이다.
따라서 [eqn: 0{le}x{le}4]일 때, 서로 다른 모든 실근의 합은 [eqn: LEFT ( 2a+1 RIGHT ) times2=4a+2=56]이 되어 자연수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a]가 짝수, [eqn: b]가 홀수인 경우

[eqn: b=a-1]이므로 (나)의 방정식은

[eqn: -cosa{pi}x][eqn: ={a}sin{pi}t+ LEFT ( a-1 RIGHT )][eqn: =a LEFT ( sin{pi}t+1 RIGHT ) -1]

이고 [eqn: a LEFT ( sin{pi}t+1 RIGHT ) -1ge-1]이므로 서로 다른 실근의 개수에

따라 다음과 같이 세 가지 경우로 나눌 수 잇다.

① [eqn: {a}sin{pi}t+ LEFT ( a-1 RIGHT ) =-1]인 경우
[eqn: 0{le}x{le}4]일 때, [eqn: -cosa{pi}x=-1]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2a+1]이고 함수 [eqn: y=-cosa{pi}x]의 그래프는 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이다.
따라서 [eqn: 0{le}x{le}4]일 때, 서로 다른 모든 실근의 합은 [eqn: LEFT ( 2a+1 RIGHT ) times2=4a+2=56]이 되어 자연수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

② [eqn: -1<{a}sin{pi}t+ LEFT ( a-1 RIGHT ) <1]인 경우
[eqn: 0{le}x{le}4]일 때, [eqn: -cosa{pi}x={a}sin{pi}t+ LEFT ( a-1 RIGHT )]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4a]이고 함수 [eqn: y=-cosa{pi}x]의 그래프는 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이다.
따라서 [eqn: 0{le}x{le}4]일 때, 서로 다른 모든 실근의 합은 [eqn: 4a{times}2=8a=56]이 되어 짝수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

③ [eqn: {a}sin{pi}t+ LEFT ( a-1 RIGHT ) =1]인 경우
[eqn: 0{le}x{le}4]일 때, [eqn: -cosa{pi}x=1]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2a]이고 함수 [eqn: y=-cosa{pi}x]의 그래프는 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이다.
따라서 [eqn: 0{le}x{le}4]일 때, 서로 다른 모든 실근의 합은 [eqn: 2a TIMES 2=4a=56]이다.
그러므로 [eqn: a=14], [eqn: b=13]이다.

[eqn: LEFT ( h{CIRC}g RIGHT ) LEFT ( t RIGHT )][eqn: ={a}sin{pi}t+b][eqn: =14sin{pi}t+13][eqn: =1]에서 방정식 [eqn: LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( h{CIRC}g RIGHT ) LEFT ( t RIGHT )]의 서로 다른 모든 실근의 합이 [eqn: 56]이 되도록 하는 실수 [eqn: t]는 [eqn: sin{pi}t=- {6} over {7}]을 만족시키므로 [eqn: cos ^{2} {pi}t= {13} over {49}]이다.

따라서 [eqn: {a{times}b} over {cos ^{2} {pi}t}][eqn: = {14times13} over {{13} over {49}}][eqn: =686]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ={rm cos } it {pi}x], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) ={rm sin } it {pi}x], [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =ax+b`]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 0{le}x{le}4`]일 때, 방정식 [eqn: LEFT ( f CIRC h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( h{CIRC}g RIGHT ) LEFT ( {3} over {2} RIGHT )`]의 서로 다른 실근의 개수는 홀수이다.

(나) [eqn: 0{le}x{le}4`]일 때, 방정식 [eqn: LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( h{CIRC}g RIGHT ) LEFT ( t RIGHT )`]의 서로 다른 모든 실근의 합이 [eqn: 56`]이 되도록 하는 실수 [eqn: t`]가 존재한다.

[eqn: {a{times}b} over {{rm cos } it ^{2} pit}`]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 25

두 집합 [eqn: {X ,```` Y}{{from^2021^7^경찰대^중}}]를

[정답] [eqn: bold { 217 }]

[해설]

[eqn: log a _{n} +log a _{n+1} =2n]에서 [eqn: a_n a_n+1 = 10^2n]

[eqn: a_1 a_2 =10^2], [eqn: a_2 a_3 =10^4], [eqn: a_3 a_4 =10^6]에서

[eqn: a_2 = 10^2 times 1overa_1], [eqn: a_3 = 10^2 timesa_1], [eqn: a_4 = 10^4 times 1overa_1]

조건에서 [eqn: left{` a_n `right}]는 모든 항이 자연수이므로 [eqn: a_2]가 자연수가 되려면 [eqn: a_1]은 [eqn: 100= 2^2 times5^2]의 약수이므로 가능한 [eqn: a_1]은 총 [eqn: 9]가지다.

(ⅰ) [eqn: a_1 =1]일 때 [eqn: a_4 = 10^4 times1 =10000]

(ⅱ) [eqn: a_1 =2]일 때 [eqn: a_4 = 10^4 times 1over2 =5000]

(ⅲ) [eqn: a_1 =2^2]일 때 [eqn: a_4 = 10^4 times 1over2^2 =2500]

(ⅳ) [eqn: a_1 =5]일 때 [eqn: a_4 =10^4 times 1over5 =2000]

(ⅴ) [eqn: a_1 =2times5]일 때 [eqn: a_4 =10^4 times 1over10 =1000]

(ⅵ) [eqn: a_1 =2^2 times5]일 때 [eqn: a_4 = 10^4 times 1over20 =500]

(ⅶ) [eqn: a_1 = 5^2]일 때 [eqn: a_4 = 10^4 times 1over25 =400]

(ⅷ) [eqn: a_1 = 2times5^2]일 때 [eqn: a_4 =10^4 times 1over50 =200]

(ⅸ) [eqn: a_1 =2^2 times5^2]일 때 [eqn: a_4 = 10^4 times 1over100 =100]

(ⅰ)∼(ⅸ)에서 만족하는 값을 모두 더하면 [eqn: 21700]

즉, [eqn: p TIMES 100][eqn: =][eqn: 217times100]에서 [eqn: p=217]

[eqn: X][eqn: = LEFT { LEFT { a _{n} RIGHT } ``|`` LEFT { a _{n} RIGHT }]은 모든 항이 자연수인 수열이고,

[eqn: log a _{n} +log a _{n+1}][eqn: LEFT. =2n RIGHT }],

[eqn: Y][eqn: = LEFT { a _{4} `` left |`` LEFT { a _{n} RIGHT } IN X RIGHT }]

라 하자. 집합 [eqn: Y]의 모든 원소의 합이 [eqn: p TIMES 100]일 때, [eqn: p]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 21

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

조건 (가), (나)에 의해

[eqn: a_2 =1-a_1]

[eqn: a_3 = { 1} over { a_2}= { 1} over { 1-a_1}]

[eqn: a _{4} =1-a _{3}= it - {a _{1}} over {1-a _{1}}]

[eqn: a_5 = { 1} over { a_4}=1- { 1} over { a_1}]

[eqn: a_6 =1-a_5 = { 1} over { a_1}]

[eqn: a_7 = { 1} over { a_6}=a_1]

[eqn: a_8 =1-a_7 =1-a_1 =a_2]

[eqn: VDOTS]

그러므로 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+6 =a_n]을 만족시킨다.

[eqn: LEFT | `a_n`RIGHT |-a_n = cases{ ``0&&&(a_n ge 0) #``-2a_n &&&(a_n <0) }]이므로

[eqn: sum _{ n`=`1} ^{ 14} LEFT ( LEFT | `a_n`RIGHT |-a_n RIGHT )=10]이 되기 위해서는

[eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: CDOTS], [eqn: a_14]중에서 음수인 모든 항의 합이 [eqn: -5]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: 0<a_1 <1]일 때
[eqn: a_2 >0], [eqn: a_3 > 0], [eqn: a_4 <0], [eqn: a_5 <0], [eqn: a_6 >0]
이므로
[eqn: a_4 +a_5 +a_10 +a_11 = it-5]
[eqn: a_4 =s]라 하면

[eqn: a_4 + a_5 + a_10 + a_11][eqn: =s+ { 1} over { s}+s+ { 1} over { s}]
[eqn: =2s+ { 2} over { s}=it-5]

[eqn: 2s^2 +5s+2=0], [eqn: LEFT ( 2s+1 RIGHT ) LEFT ( s+2 RIGHT )=0]에서
[eqn: s=it- { 1} over { 2}] 또는 [eqn: s=it-2]
[eqn: s=it- { a_1} over { 1-a_1}]이므로 [eqn: a_1 = { 1} over { 3}] 또는 [eqn: a_1 = { 2} over { 3}]

(ⅱ) [eqn: a_1 > 1]일 때
[eqn: a_2 <0], [eqn: a_3 <0], [eqn: a_4 >0], [eqn: a_5 >0], [eqn: a_6 >0]
이므로
[eqn: a_2 + a_3 + a_8 + a_9 +a_14 =it-5]
[eqn: a_2 =t]라 하면

[eqn: a_2 + a_3 + a_8 + a_9 + a_14][eqn: =t+ {1} over {t} +t+ {1} over {t}+t]
[eqn: =3t+ { 2} over { t}=it-5]

[eqn: 3t^2 +5t+2=0], [eqn: LEFT ( 3t+2 RIGHT ) LEFT ( t+1 RIGHT )=0]에서
[eqn: t=it- { 2} over { 3}] 또는 [eqn: t=it-1]
[eqn: t=1-a_1] 이므로 [eqn: a_1 = { 5} over { 3}] 또는 [eqn: a_1 =2]

따라서 모든 [eqn: a_1]의 값의 합은 [eqn: { 1} over { 3}+ { 2} over { 3}+ { 5} over { 3}+2= { 14} over { 3}]

(가) [eqn: a_1]은 [eqn: 1]이 아닌 양수이다.

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_2n-1 +a_2n =1]이고 [eqn: a_2n TIMESa_2n+1 =1]이다.

[eqn: sum _{n`=`1} ^{14} ` LEFT ( LEFT | `a _{n} ` RIGHT | -a _{n} RIGHT ) =10]이 되도록 하는 모든 [eqn: a_1]의 값의 합은?

① [eqn: { 10} over { 3}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: { 14} over { 3}]

④ [eqn: { 16} over { 3}]	⑤ [eqn: 6]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 15

수열 [eqn: {LEFT { a_n RIGHT }}{{from^2021^09^평가원^중}}]은 [eqn: left |`` a _{1} ``right | LEQ 1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ①

[해설]

먼저 [eqn: a_5]의 값을 구해보자.

(ⅰ) [eqn: -1 le a_5 < - 1over2]일 때, [eqn: a_6 = it -2a_5 -2]이므로 [eqn: a_5 +a_6 =0]에서 [eqn: -a_5 -2 =0]
즉, [eqn: a_5 =it -2]이고 이것은 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: - 1over2 le a_5 le 1over2]일 때, [eqn: a_6 = 2a_5]이므로 [eqn: a_5 +a_6 =0]에서
[eqn: 3a_5 = 0] 즉, [eqn: a_5 = 0]

(ⅲ) [eqn: 1over2 < a_5 le 1]일 때, [eqn: a_6 = it -2a_5 +2]이므로 [eqn: a_5 +a_6 =0]에서
[eqn: -a_5 +2 =0] 즉, [eqn: a_5 = 2]이고 이것은 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: a_5 =0]

이때 [eqn: a_4 =it -1] 또는 [eqn: a_4 =0] 또는 [eqn: a_4 =1]이다.

한편 [eqn: 0 le a_n+1 le 1]일 때,

[eqn: a_n = 1over2 a_n+1] 또는 [eqn: a_n = 1- 1over2 a_n+1]

(ⅰ) [eqn: a_4 =it -1]인 경우
[eqn: a_3 <0], [eqn: a_2 <0], [eqn: a_1 <0]이므로 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a_4 = 0]인 경우

㉠ [eqn: a_3 =it -1]인 경우
[eqn: a_2 <0], [eqn: a_1 <0]이므로 조건을 만족시키지 않는다.

㉡ [eqn: a_3 =0]인 경우
[eqn: a_2 = 0] 또는 [eqn: a_2 =1]이고,
[eqn: a_2 =0]일 때 [eqn: a_1 =1]이면 조건을 만족시키고,
[eqn: a_2 =1]일 때, [eqn: a_1 = 1over2]이고 이 경우도 조건을 만족시킨다.

㉢ [eqn: a _{3} =1]인 경우
[eqn: a _{2} = {1} over {2}]이고 이때 [eqn: a _{1} = {1} over {4}] 또는 [eqn: a _{1} = {3} over {4}]이며,
이것은 조건을 만족시킨다.

(ⅲ) [eqn: a_4 =1]인 경우
[eqn: a_3 = 1over2]이고 이때 [eqn: a_2 = 1over4] 또는 [eqn: a_2 = 3over4]

㉠ [eqn: a _{2} = 1over4]인 경우
[eqn: a _1 = 1over8] 또는 [eqn: a _{1} = 7 over8]이고 이것은 조건을 만족시킨다.

㉡ [eqn: a _{2} = 3over4]인 경우
[eqn: a _{1} = 3over8] 또는 [eqn: a _{1} = 5over8]이고 이것은 조건을 만족시킨다.

따라서 조건을 만족시키는 모든 [eqn: a_1]의 값의 합은

[eqn: 1+ 1over2 + 1over4 + 3over4 + 1over8 + 7 over8 + 3over8 + 5over8 = 9 over2]

[eqn: a _{n+1} = {cases{ -2a _{n} -2&&&LEFT ( -1 LEQ a _{n} <it- {1} over {2} RIGHT )# ``````````````2a _{n}&&&LEFT ( - {1} over {2} LEQ a _{n} LEQ {1} over {2} RIGHT )# -2a _{n} +2&&&LEFT ( {1} over {2} <a _{n} LEQ 1 RIGHT )}}]

을 만족시킨다. [eqn: a_5 +a_6 =0]이고 [eqn: sum _{k = 1} ^{5} a _{k}>0]이 되도록 하는 모든 [eqn: a_1]의 값의 합은?

① [eqn: 9over2]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 11over2]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 13over2]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 15

함수

[정답] ⑤

[해설]

(ⅰ) [eqn: left(a-2right)left(b-2right)=0]일 때,
함수 [eqn: f left(x right)=left|`2a cos`b over2 x`right|]의 주기는 [eqn: pi over{b over2}= {2pi}overb]이므로 조건 (가)에서
[eqn: {2pi}overb =pi]	[eqn: therefore][eqn: b=2]
[eqn: left|`2a cos`x `right|=2a-1]에서
[eqn: 2a cos`x=2a-1] 또는 [eqn: 2a cos`x=it-2a+1]
이므로
[eqn: cos`x=1- 1over2a] 또는 [eqn: cos`x=it-1+ 1over2a]

자연수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: 0<1- 1over2a <1], [eqn: -1< -1+ 1over2a <0]이므로 [eqn: 0le x le 2pi]에서 [eqn: cos`x=1- 1over2a]와 [eqn: cos`x=it-1+ 1over2a]은 각각 [eqn: 2]개의 근을 가지므로 [eqn: 10] 이하의 자연수 [eqn: a]에 대하여 항상 [eqn: 4]개의 실근을 갖는다.
따라서 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는 [eqn: 10]이다.

(ⅱ) [eqn: left(a-2right)left(b-2right)ne0]일 때,
함수 [eqn: f left(x right)=left|`2a cos`b over2 x-left(a-2right)left(b-2right)`right|]의 주기는 [eqn: {2pi}over{b over2}=pi]에서 [eqn: b=4]
[eqn: f left(x right)=left|`2a cos2x-2left(a-2right)`right|]이므로
[eqn: left|`2a cos`2x-2left(a-2right)`right|=2a-1]에서
[eqn: 2a cos`2x-2a+4=it-2a+1] 또는 [eqn: 2a cos`2x-2a+4=2a-1]
[eqn: therefore][eqn: 2a cos`2x=it-3] 또는 [eqn: 2a cos`2x=4a-5]	[eqn: cdotscdots] ㉠
㉠에서

(1) [eqn: a=1]일 때,
[eqn: cos`2x=it- 3over2] 또는 [eqn: cos`2x=it- 1over2]

[eqn: cos`2x= it- 3over2]을 만족하는 [eqn: x]의 값은 존재하지 않고, [eqn: cos`2x=it- 1over2]을 만족하는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 4]개 존재하므로 조건을 만족한다.

(2) [eqn: a ge3]일 때,
[eqn: cos`2x=it- 3over2a] 또는 [eqn: cos`2x={4a-5}over2a]

[eqn: 4a-5>2a]에서 [eqn: {4a-5}over2a >1]이므로 [eqn: cos`2x= {4a-5}over2a]를 만족하는 [eqn: x]의 값은 존재하지 않는다.
[eqn: 2a>3]에서 [eqn: -1< - 3over2a <0]이므로 [eqn: cos`2x=it- 3over2a]를 만족하는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 4]개 존재한다.
모두 [eqn: 4]개의 실근을 가지므로 조건을 만족한다.

따라서 [eqn: b=4]이고 [eqn: a=1], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: cdots], [eqn: 10]이므로 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는 [eqn: 9]개다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 자연수 [eqn: a], [eqn: b]의 모든 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는 [eqn: 10+9=19]개다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | 2a`cos` {b} over {2} x- LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( b-2 RIGHT ) RIGHT |]

가 다음 조건을 만족시키도록 하는 [eqn: 10] 이하의 자연수 [eqn: a,~b`]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,``b RIGHT )`]의 개수는?

(가) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]는 주기가 [eqn: pi`]인 주기함수이다.

(나) [eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi`]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 직선 [eqn: y=2a-1`]의 교점의 개수는 [eqn: 4`]이다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 30

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]와 두 함수

[정답] [eqn: 59]

[해설]

[eqn: f(x)= sin x]이고 [eqn: g(x)=a cos x+b]이다.

함수 [eqn: h(x)]는
[eqn: h(x)=cases{g(x) && (f(x) leq g(x)) # f(x) && (f(x)>g(x))}]이다.

조건 (나)에서 [eqn: 0<c<{ pi} over {2}]인 어떤 실수 [eqn: c]에 대하여

[eqn: h(c)=h(c+ pi)={1} over {2}]이므로

[eqn: f(c)={1} over {2}] 또는 [eqn: g(c)={1} over {2}]이고

[eqn: f(c+ pi)={1} over {2}] 또는 [eqn: g(c+ pi)={1} over {2}]이다.

한편, [eqn: 0<c<{ pi} over {2}]이면

[eqn: f(c+ pi)= sin (c+ pi)=- sin c<0]이므로

[eqn: f(c+ pi) neq {1} over {2}]이다.

따라서 [eqn: g(c+ pi)={1} over {2}]이다. [eqn: cdots cdots]㉠

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x= pi]에 대하여

대칭이므로 [eqn: g( pi-c)={1} over {2}]이다. [eqn: cdots cdots]㉡

[eqn: 0 leq x leq 2 pi]에서 방정식 [eqn: g(x)={1} over {2}]의 실근의 개수는

최대 [eqn: rm 2]이므로 ㉠, ㉡에 의하여 [eqn: g(c) neq {1} over {2}]이다.

따라서 [eqn: f(c)={1} over {2}]이고 [eqn: sin c={1} over {2}]에서 [eqn: c={ pi} over {6}]이다.

㉠에 의하여 [eqn: g left({7} over {6} pi right)={1} over {2}]이다. [eqn: cdots cdots]㉢

(i) [eqn: a>0]인 경우

함수 [eqn: h(x)]의 최솟값이 [eqn: -{ sqrt{3}} over {2}]이 되기 위하여 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 점 [eqn: left({4} over {3} pi,``-{ sqrt{3}} over {2} right)]을 지나야 한다.

[eqn: g left({4} over {3} pi right)=-{ sqrt{3}} over {2}]이고 [eqn: a>0]일 때 [eqn: g left({4} over {3} pi right)>g left({7} over {6} pi right)]이므로 [eqn: g left({7} over {6} pi right) < it - { sqrt{3}} over {2}]이다. 이는 ㉢과 모순이다.

(ii) [eqn: a=0]인 경우 [eqn: (g(x)=b)]

함수 [eqn: h(x)]의 최솟값이 [eqn: -{ sqrt{3}} over {2}]이 되기 위하여 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 점 [eqn: left({4} over {3} pi,``-{ sqrt{3}} over {2} right)]을 지나야 하므로 [eqn: g(x)=-{ sqrt{3}} over {2}]이다. 함수 [eqn: g(x)]가 상수함수이므로 [eqn: g left({7} over {6} pi right)=-{ sqrt{3}} over {2}]이다. 이는 ㉢과 모순이다.

(iii) [eqn: a<0]인 경우

함수 [eqn: h(x)]의 최솟값이 [eqn: -{ sqrt{3}} over {2}]이 되기 위하여 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 점 [eqn: left({5} over {3} pi,``-{ sqrt{3}} over {2} right)]을 지나야 한다. 즉 [eqn: g left({5} over {3} pi right)=-{ sqrt{3}} over {2}]이다. [eqn: cdots cdots]㉣

㉢, ㉣에 의하여 연립방정식

[eqn: cases{a cos left({7 pi} over {6} right)+b={1} over {2} #a cos left({5 pi} over {3} right)+b=-{ sqrt{3}} over {2}}]

을 풀면 [eqn: a=-1], [eqn: b={1- sqrt{3}} over {2}]이다.

따라서 [eqn: g(x)=- cos x+{1- sqrt{3}} over {2}]이다.

(i), (ii), (iii)에 의하여

방정식 [eqn: h(x)=k left(k>{1} over {2} right)]가 서로 다른 세 실근을 가지는 경우는 그림과 같이 직선 [eqn: y=k]가 점 [eqn: ( pi,`` g( pi))]를 지날 때이다.

[eqn: g( pi)=- cos pi+{1- sqrt{3}} over {2}={3- sqrt{3}} over {2}]

즉 [eqn: k={3- sqrt{3}} over {2}]이다. 따라서

[eqn: {k} over {b}={{3- sqrt{3}} over {2}} over {{1- sqrt{3}} over {2}}={2 sqrt{3}} over {-2}=- sqrt{3}]

이므로 [eqn: a+20 left({k} over {b} right)^{2}=-1+20 times 3=59]

[eqn: f(x)= sin x], [eqn: g(x)=a cos x+b]

에 대하여 [eqn: 0 leq x leq 2 pi]에서 정의된 함수

[eqn: h(x)={|f(x)-g(x)|+f(x)+g(x)} over {2}]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: h(x)]의 최솟값은 [eqn: -{ sqrt{3}} over {2}]이다.

(나) [eqn: 0<c<{ pi} over {2}]인 어떤 실수 [eqn: c]에 대하여 [eqn: h(c)=h(c+ pi)={1} over {2}]이다.

상수 [eqn: k left(k>{1} over {2} right)]에 대하여 방정식 [eqn: h(x)=k]가 서로 다른 세 실근을 가질 때, [eqn: a+20 left({k} over {b} right)^{2}]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 30

[eqn: {12} over {5}<k leq 4]인 상수 [eqn: k]와 자연수 [eqn: n]에 대하여 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 53]

[해설]

[eqn: y][eqn: =2 sin left(n pi x+{ pi} over {2} right)+ left|k sin ^{2}(n pi x)-(k-1) right|]
[eqn: =2 cos (n pi x)+ left|k left{ 1- cos ^{2}(n pi x) it right} -(k-1) right|]
[eqn: =2 cos (n pi x)+ left|1-k cos ^{2}(n pi x) right|]

[eqn: 0 leq x leq 2]에서 [eqn: t= cos (n pi x)]라 할 때,

함수 [eqn: f(t)=2 t+ left|1-k t^{2} right|(-1 leq t leq 1)]이라 하자.

[eqn: 1-k t^{2}=0], [eqn: t=-{1} over { sqrt{k}}] 또는 [eqn: t={1} over { sqrt{k}}]

[eqn: f(t)][eqn: = {cases{-kt ^{2} +2t+1&&LEFT ( - {1} over {sqrt {k}} LEQ t LEQ {1} over {sqrt {k}} RIGHT )#kt ^{2} +2t-1&&LEFT ( -1 LEQ t< it - {1} over {sqrt {k}} `또는~{1} over {sqrt {k}} <t LEQ 1 RIGHT )}}]

[eqn: = {cases{-k LEFT ( t- {1} over {k} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 1+ {1} over {k} RIGHT ) ~ LEFT ( - {1} over {sqrt {k}} LEQ t LEQ {1} over {sqrt {k}} RIGHT ) `#k LEFT ( t+ {1} over {k} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 1+ {1} over {k} RIGHT ) ` LEFT ( -1 LEQ t< it - {1} over {sqrt {k}} `또는 {1} over {sqrt {k}} <t LEQ 1`~ RIGHT )}}]

[eqn: f(-1)=k-3], [eqn: f left(-{1} over { sqrt{k}} right)=-{2} over { sqrt{k}}],

[eqn: f left({1} over { sqrt{k}} right)={2} over { sqrt{k}}], [eqn: f(1)=k+1]

[eqn: k leq 4]이므로 [eqn: 1 leq {2} over { sqrt{k}}]

함수 [eqn: y=f(t)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

조건 (가)에 의하여 [eqn: a_{2}]는

[eqn: f left(t_{0} right)=-{k} over {4}]인 실수 [eqn: t_{0} left(-1 leq t_{0} leq 1 right)]에 대하여

곡선 [eqn: t= cos 2 pi x]와 직선 [eqn: t=t_{0}]이 만나는 서로 다른 점의 개수와 같다.

[eqn: {12} over {5}<k leq 4]에서 [eqn: -{2} over { sqrt{k}} leq-{k} over {4}<k-3]

(I) [eqn: -{2} over { sqrt{k}} < it - {k} over {4}]인 경우

[eqn: f(t)=-{k} over {4}]인 실수 [eqn: t]를

[eqn: t_{1}], [eqn: t_{2} left(-1<t_{1}<t_{2}<0 right)]이라 하면

[eqn: 0 leq x leq 2]에서

주기가 [eqn: rm 1]인 곡선 [eqn: t= cos 2 pi x]와 두 직선 [eqn: t=t_{1}], [eqn: t=t_{2}]가 만나는 서로 다른 점의 개수 [eqn: a_{2}=(2+2) times 2=8]

[eqn: 0<a_{2}<6]을 만족시키지 않는다.

(Ⅱ) [eqn: -{2} over { sqrt{k}}=-{k} over {4}]인 경우

[eqn: f(t)=-{k} over {4}]인 실수 [eqn: t]를

[eqn: t_{3}=-{1} over { sqrt{k}} left(-1<t_{3}<0 right)]이라 하면

[eqn: 0 leq x leq 2]에서

주기가 [eqn: rm 1]인 곡선 [eqn: t= cos 2 pi x]와 직선 [eqn: t=t_{3}]이 만나는 서로 다른 점의 개수 [eqn: a_{2}=2 times 2=4 cdots CDOTS]㉠

(Ⅰ), (Ⅱ)에 의하여

[eqn: 0<a_{2}<6]을 만족시키는 [eqn: k]의 값은

[eqn: -{2} over { sqrt{k}}=-{k} over {4}], [eqn: k=4]

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: 0 leq x leq 2]에서 [eqn: t= cos (n pi x)(-1 leq t leq 1)]일 때,

[eqn: f(t)=cases{-4 left(t-{1} over {4} right)^{2}+{5} over {4} && left(-{1} over {2} leq t leq {1} over {2} right) #4 left(t+{1} over {4} right)^{2}-{5} over {4} && left(-1 leq t < it - {1} over {2},`` {1} over {2}<t leq 1 right)}]

함수 [eqn: y=f(t)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

(i) [eqn: n=1]인 경우

조건 (나)에 의하여 [eqn: f(t)=5]인 실수 [eqn: t]는 [eqn: rm 1]

[eqn: 0 leq x leq 2]에서

주기가 [eqn: rm 2]인 곡선 [eqn: t= cos pi x]와

직선 [eqn: t=1]이 만나는 서로 다른 점의 개수 [eqn: a_{1}=2]

(ii) [eqn: n=2]인 경우

㉠에 의하여 [eqn: a_{2}=4]

(iii) [eqn: n=3]인 경운

조건 (나)에 의하여 [eqn: f(t)={5} over {3}]인 실수 [eqn: t]를 [eqn: t_{4} left(0<t_{4}<1 right)]이라 하면

[eqn: 0 leq x leq 2]에서

주기가 [eqn: {2} over {3}]인 곡선 [eqn: t= cos 3 pi x]와

직선 [eqn: t=t_{4}]가 만나는 서로 다른 점의 개수 [eqn: a_{3}=2 times 3=6]

(iv) [eqn: n=4]인 경우

조건 (가)에 의하여 [eqn: f(t)=-{1} over {2}]인 실수 [eqn: t]를
[eqn: t_{5}], [eqn: t _{6}][eqn: LEFT ( -1<t _{5} <t _{6} <0 RIGHT )]이라 하면

[eqn: 0 leq x leq 2]에서

주기가 [eqn: {1} over {2}]인 곡선 [eqn: t= cos 4 pi x]와

두 직선 [eqn: t=t_{5}], [eqn: t=t_{6}]이 만나는

서로 다른 점의 개수 [eqn: a_{4}=(2 times 4) times 2=16]

(ⅴ) [eqn: n=5]인 경우

조건 (나)에 의하여

[eqn: f(t)=1]인 실수 [eqn: t]는 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: {1} over {2}]

[eqn: 0 leq x leq 2]에서

주기가 [eqn: {2} over {5}]인 곡선 [eqn: t= cos 5 pi x]와

세 직선 [eqn: t=-1], [eqn: t=0], [eqn: t={1} over {2}]이 만나는

서로 다른 점의 개수 [eqn: a_{5}=5+(2 times 5) times 2=25]

(i)～(v)에 의하여

[eqn: sum_{n=1}^{5} a_{n}=2+4+6+16+25=53]

(가) [eqn: n]이 짝수이면
[eqn: a_{n}]은 [eqn: 0 leq x leq 2]에서 직선 [eqn: y=-{k} over {2 n}]와
곡선 [eqn: y=2 sin left(n pi x+{ pi} over {2} right)+ left|k sin ^{2}(n pi x)-(k-1) right|]이 만나는 서로 다른 점의 개수와 같다.

(나) [eqn: n]이 홀수이면
[eqn: a_{n}]은 [eqn: 0 leq x leq 2]에서 직선 [eqn: y={k+1} over {n}]과
곡선 [eqn: y=2 sin left(n pi x+{ pi} over {2} right)+ left|k sin ^{2}(n pi x)-(k-1) right|]이 만나는 서로 다른 점의 개수와 같다.

[eqn: 0<a_{2}<6]일 때, [eqn: sum_{n=1}^{5} a_{n}]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 21

양수 [eqn: a]와 [eqn: rm 0]이 아닌 실수 [eqn: d]에 대하여 첫째항이 모두 [eqn: a]이고, 공차가 각각 [eqn: d], [eqn: -2 d]인 두 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]과 [eqn: left{ b_{n} it right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: a_{n}=a+(n-1) d], [eqn: b_{n}=a+(n-1)(-2 d)]

조건 (가)에서 [eqn: |a|=|a-12 d|]

[eqn: a=a-12 d] 또는 [eqn: a=-a+12 d]

[eqn: d neq 0]이므로 [eqn: a=-a+12 d], [eqn: a=6 d]

[eqn: a_{n}=6 d+(n-1) d=(n+5) d]

[eqn: b_{n}=6 d-2(n-1) d=(-2 n+8) d]

[eqn: a]는 양수이므로 [eqn: d>0]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n}>0]

[eqn: 1 leq n leq 3]일 때, [eqn: b_{n}>0]

[eqn: n geq 4]일 때, [eqn: b_{n} leq 0]이므로

수열 [eqn: left{ c_{n} it right}]을 [eqn: c_{n}= left|a_{n} right|- left|b_{n} right|]이라 하면

[eqn: c _{n} = {cases{(n+5)d-(-2n+8)d&&(1 LEQ n LEQ 3)#(n+5)d-(2n-8)d~&&(n GEQ 4)}}]

[eqn: c_{n}=cases{3(n-1) d ~ (1 leq n leq 3) # (13-n) d ~ (n geq 4)}]

[eqn: 1 leq n leq 13]일 때 [eqn: c_{n} geq 0]이고 [eqn: c_{13}=0]

[eqn: n geq 14]일 때 [eqn: c_{n}<0]이므로

[eqn: S_{n}= sum_{k=1}^{n} left( left|a_{k} right|- left|b_{k} right| right)= sum_{k=1}^{n} c_{k}]의 값이 최대가 되는
[eqn: n=12] 또는 [eqn: n=13]

[eqn: S_{12}=S_{13}= sum_{n=1}^{13} c_{n}]

[eqn: ~ = sum_{n=1}^{3} 3(n-1) d+ sum_{n=4}^{13}(13-n) d]

수열 [eqn: left{ c_{n} it right}]은

[eqn: c _{n} = {cases{6(n-1)&&(1 LEQ n LEQ 3)#2(13-n)~&&(n GEQ 4)z}}]

[eqn: c_{1}=0], [eqn: c_{2}=6], [eqn: c_{3}=12]

[eqn: c_{4}=-c_{22}], [eqn: c_{5}=-c_{21}], [eqn: c_{6}=-c_{20}], [eqn: cdots],

[eqn: c_{12}=-c_{14}], [eqn: c_{13}=0],

[eqn: c_{23}=-20],

[eqn: n geq 24]에서 [eqn: c_{n}<0]이므로

[eqn: S_{22}= left(c_{1}+c_{2}+c_{3} right)+ left(c_{4}+c_{5}+c_{6}+ cdots+c_{22} right)]

[eqn: ~ =(0+6+12)+0=18]

[eqn: S_{23}=S_{22}+c_{23}=18+(-20)=-2]

[eqn: n geq 23]일 때 [eqn: S_{n}<0]

따라서 [eqn: S_{n} geq 0]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의

최댓값 [eqn: m=22]이고 [eqn: a_{22}=(22+5) times 2=54]

(가) [eqn: LEFT | a _{1} RIGHT | = LEFT | b _{`7} RIGHT |]

(나) [eqn: S_n= sum_{k=1}^n left( left|a_k right|- left|b_k right| right)]라 할 때, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S_n leq 108]이고, [eqn: S_p`=108]인 자연수 [eqn: p]가 존재한다.

[eqn: S_{n} geq 0]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최댓값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: a_{m}]의 값은?

① [eqn: rm 46]	② [eqn: rm 50]	③ [eqn: rm 54]

④ [eqn: rm 58]	⑤ [eqn: rm 62]

수1킬러 29제(빠른 정답)
프로젝트	2023.01.03

[정답] ④

[정답] [eqn: 15]

[정답] [eqn: 196]

[정답] ①

[정답] ③

[정답] [eqn: 120]

[정답] [eqn: 435]

[정답] [eqn: 26]

[정답] [eqn: 320]

[정답] ④

[정답] [eqn: 117]

[정답] [eqn: bold { 359 }]

[정답] [eqn: bold { 75 }]

[정답] [eqn: bold{ 13]

[정답] [eqn: bold { 477 }]

[정답] [eqn: bold{ 125]

[정답] [eqn: bold { 7 }]

[정답] [eqn: bold { 49 }]

[정답] [eqn: 110]

[정답] [eqn: bold { 79 }]

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 686 }]

[정답] [eqn: bold { 217 }]

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 59]

[정답] [eqn: 53]

[정답] ③

수1킬러 29제(해설)
프로젝트	2023.01.03