	미적킬러	미적킬러 81제
	00
		프로젝트	2023.01.03

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 11월 25

미적킬러		프로젝트
		미적킬러 81제
00

	프로젝트		미적킬러
	미적킬러 81제		00

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형 [eqn: rm A`]와 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: rm B`]는 변이 서로 평행하고, [eqn: rm A`]의 두 대각선의 교점과 [eqn: rmB`]의 두 대각선의 교점이 일치하도록 놓여있다. [eqn: rm A`]와 [eqn: rm A`]의 내부에서 [eqn: rm B`]의 내부를 제외한 영역을 [eqn: rm R`]라 하자. [eqn: 2`]이상인 자연수 [eqn: n`]에 대하여 한 변의 길이가 [eqn: {1} over {n} `]인 작은 정사각형을 다음 규칙에 따라 [eqn: rm R`]에 그린다.

[정답] [eqn: 50]

[해설]

[그림1]과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1 over 2n]인 작은 정사각형을 어두운 부분에 넣는 경우 가로 방향과 세로 방향에 각각 최대 [eqn: 4n](개)의 정사각형이 들어가므로

[eqn: a_2n = (4n)^2 - (2n)^2 = 12n^2]

[그림2]와 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1 over 2n+1]인 작은 정사각형을 어두운 부분에 넣는 경우 가로 방향과 세로 방향에 각각 최대 ([eqn: 4n+2])(개)의 정사각형이 들어가므로

[eqn: a_2n+1 = n times (4n+2) times 2 + (2n+2 ) times n times 2]

[eqn: = 2n(4n+2 + 2n +2 )]

[eqn: = 2n(6n+4)= 4n( 3n+2)]

따라서 [eqn: a_2n+1 - a_2n = 4n(3n+2)- 12n^2 = 8n]이고

[eqn: a_2n - a_2n-1 = 12n^2 - 4(n-1)left{3(n-1)+2 right}]

[eqn: =12n^2 - 4(n-1)(3n-1)]

[eqn: = 12n^2 -4(3n^2 -4n +1) = 16n -4]

∴ [eqn: lim from n->inf {a_2n+1 -a_2n} over{a_2n - a_2n-1} = lim from n->inf 8n over 16n-4 = 1 over 2 =c]

따라서 [eqn: 100c = 100 times 1 over 2 =50]

[다른 풀이]

[eqn: a_2n+1 =(4n+2) ^2 - (2n+2 )^2]

[eqn: = (16n^2 + 16n + 4) -(4n^2 + 8n + 4)][eqn: = 12n^2 + 8n]이므로

[eqn: a_2n+1 - a_2n =(12n^2 + 8n )- 12n^2 = 8n]이고,

[eqn: a_2n - a_2n-1 = 12n^2 - 12(n-1)^2 -8(n-1)]

[eqn: =12n^2 -(12n^2 -24n+12)-(8n-8)][eqn: = 16n -4]

(가) 작은 정사각형의 한 변은 [eqn: rm A`]의 한 변에 평행하다.

(나) 작은 정사각형들의 내부는 서로 겹치지 않도록 한다.

이와 같은 규칙에 따라 [eqn: rm R`]에 그릴 수 있는 한 변의 길이가 [eqn: {1} over {n} `]인 작은 정사각형의 최대 개수를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. 예를 들어 [eqn: a _{2} =12], [eqn: a _{3} =20`]이다. [eqn: lim _{n `-> ` INF } {{a _{2n+1} -a _{2n}} over {a _{2n} -a _{2n-1}}} =c`]라 할 때, [eqn: 100c`]의 값을 구하시오.

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 11월 25
[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 11월 공통범위 25

자연수 [eqn: m`]에 대하여 크기가 같은 정육면체 모양의 블록이 [eqn: 1`]열에 [eqn: 1`]개, [eqn: 2`]열에 [eqn: 2`]개, [eqn: 3`]열에 [eqn: 3`]개,[eqn: `CDOTS `], [eqn: m`]열에 [eqn: m`]개 쌓여있다. 블록의 개수가 짝수인 열이 남아 있지 않을 때까지 다음 시행을 반복한다.

[정답] [eqn: 19]

[해설]

[eqn: m=2]일 때, [eqn: f(2) = 1+1=2]

[eqn: m=4]일 때, [eqn: f(4) = f(2) +3+1 =6]

[eqn: m=8]일 때, [eqn: f(8) = f(4) + 5+ 3+7+1 = 22]

[eqn: m=16]일 때,

[eqn: f(16)][eqn: = f(8) + 9+5+11+3+13+7+15+1][eqn: =86]

[eqn: vdots]

즉, 수열 [eqn: left{ f(2^n ) right}]을 나열해 보면 다음과 같다.

[eqn: 2], [eqn: 6], [eqn: 22], [eqn: 86], [eqn: cdots]

[eqn: 4][eqn: 16][eqn: 64][eqn: cdots]

따라서 수열 [eqn: left{ f(2^n ) right}]은 첫째항이 [eqn: 2]이고, 계차수열의 일반항이 [eqn: 4^n]인 수열이므로 [eqn: f(2^n )][eqn: =2 + sum _{ k=1} ^{ n-1} 4^k]
[eqn: = 2 + { 4 (4^n-1 -1)} over { 4-1} = { 4^n +2} over { 3}]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n->inf} { { f(2^n+1 ) - f(2^n )} over { f(2^n+2 )} }]
[eqn: = lim _{ n->inf} { { { 4^n+1 +2} over {3 } - { 4^n +2} over { 3} } over { { 4^n+2 +2} over { 3} } }][eqn: = lim _{ n->inf} { { 3 cdot 4^n} over { 16 cdot 4^n +2} }]
[eqn: = lim _{ n->inf} { { 3} over {16 + { 2} over {4^n } } }][eqn: = { 3} over { 16} = { q} over { p}]

[eqn: therefore```][eqn: p+q = 16+3=19]

블록의 개수가 짝수인 각 열에 대하여 그 열에 있는 블록의 개수의 [eqn: {1} over {2} `]만큼의 블록을 그 열에서 들어낸다.

블록을 들어내는 시행을 모두 마쳤을 때, [eqn: 1`]열부터 [eqn: m`]열까지 남아 있는 블록의 개수의 합을 [eqn: f LEFT (m RIGHT )`]이라 하자. 예를 들어, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =5], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =6`]이다. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{f LEFT ( 2 ^{n+1} RIGHT ) -f LEFT ( 2 ^{n} RIGHT )} over {f LEFT ( 2 ^{n+2} RIGHT )} = {q} over {p}} `]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 11월 21

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = kx ^{2} e ^{-x}][eqn: LEFT ( k > 0 RIGHT )`]과 실수 [eqn: t`]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( t,`` f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )`]에서 [eqn: x`]축까지의 거리와 [eqn: y`]축 까지의 거리 중 크지 않은 값을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )`]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )`]가 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 [eqn: k`]의 최댓값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =kx ^{2} e ^{-x} ,~f prime LEFT ( x RIGHT ) =kx LEFT ( 2-x RIGHT ) e ^{-x}]에서

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 0]	[eqn: NEARROW]	[eqn: {4k} over {e ^{2}}]	[eqn: SEARROW]

또한 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

곡선 [eqn: y=][eqn: f LEFT ( x RIGHT )] 위의 임의의 점 [eqn: LEFT ( t,~f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: x]축까지의 거리와 [eqn: y]축까지의 거리 중 크지 않은 값이므로 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = cases{LEFT | t RIGHT |&`` LEFT ( LEFT | t RIGHT | LEQ f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )#kt ^{2} e ^{-t}&`` LEFT ( LEFT | t RIGHT | >f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )}]

이다. 즉, 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: LEFT | x RIGHT | =kx ^{2} e ^{-x}]인 점 즉, [eqn: x=kx ^{2} e ^{-x} ,~-x=kx ^{2} e ^{-x}]인 두 점에서 불연속이다. 그런데 한 점에서만 미분가능하지 않아야 하므로 [eqn: x>0]에서 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=x]가 만나지 않거나 접해야 한다. 그런데 [eqn: k]의 값이 커짐에 따라 극댓값 [eqn: {4k} over {e ^{2}}]가 커지므로 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=x]가 접할 때 [eqn: k]의 값이 최대가 된다. 이때의 접점의 좌표를 [eqn: LEFT ( t,~f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]라 하면

[eqn: t=kt ^{2} e ^{-t} ,~1=kte ^{-t}]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

접점 [eqn: LEFT ( t,~f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 1]이므로

[eqn: f prime LEFT ( t RIGHT ) =kt LEFT ( 2-t RIGHT ) e ^{-t} =1]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: t=1,~k=e]

따라서 구하는 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: e]이다.

① [eqn: {1} over {e}]	② [eqn: {1} over {sqrt {e}}]	③ [eqn: {e} over {2}]

④ [eqn: sqrt {e}]	⑤ [eqn: e]

[출처]	2013 모의_공공 경찰대 고3 07월 17

두 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}], [eqn: left{ b_{n} it right}]의 일반항이 각각 [eqn: a_{n}= left({1} over {2} right) ^n-1]과

[정답] ①

[해설]

[eqn: a_{k} b_{n-k+1}][eqn: = left({1} over {2} right)^{k-1} cdot 2 left({1} over {3} right)^{n-k}]
[eqn: =2 left({1} over {2} right)^{k-1} left({1} over {3} right)^{n-1} left({1} over {3} right)^{-k+1}]
[eqn: =2 left({1} over {3} right)^{n-1} left({3} over {2} right)^{k-1}]

[eqn: THEREFORE ~ sum _{k=1} ^{n} a _{k} b _{n-k+1}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} 2 LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1} LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{k-1}]
[eqn: =2 left({1} over {3} right)^{n-1} cdot sum_{k=1}^{n} left({3} over {2} right)^{k-1}][eqn: =2 left({1} over {3} right)^{n-1} cdot { left({3} over {2} right)^{n}-1} over {{3} over {2}-1}]
[eqn: =4 left({1} over {3} right)^{n-1} left{ left({3} over {2} right)^{n}-1 it right}]
[eqn: =6 left({1} over {2} right)^{n-1}-4 left({1} over {3} right)^{n-1}]

[eqn: therefore~ sum_{n=1}^{ inf } left( sum_{k=1}^{n} a_{k} b_{n-k+1} right)][eqn: = sum_{n=1}^{ inf } left{ 6 left({1} over {2} right)^{n-1}-4 left({1} over {3} right)^{n-1} it right}][eqn: ={6} over {1-{1} over {2}}-{4} over {1-{1} over {3}}]
[eqn: =6]

[eqn: b_{n}=2 left({1} over {3} right)^{n-1}]일 때, [eqn: sum_{n=1}^{ inf } left( sum_{k=1}^{n} a_{k} b_{n-k+1} right)]의 값은?

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 8]	③ [eqn: rm 9]

④ [eqn: rm 10]	⑤ [eqn: rm 12]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 11월 30

이차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )=f LEFT (x RIGHT )e ^{-x}`]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 72]

[해설]

[eqn: g(x)=f(x)e ^{-x} ,`````g`'(x)={f`'(x)-f(x)}e ^{-x}]

[eqn: g`''(x)={f`''(x)-2f`'(x)+f(x)}e ^{-x}]

[eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c````(a != 0)]로 놓으면

[eqn: g`''(x)={ax ^{2} +(b-4a)x+2a-2b+c}e ^{-x}]

조건 (가)에서 방정식 [eqn: g`''(x)=0]의 두 근이 [eqn: x=1,````x=4]를 두 근으로 갖는다. 근과 계수의 관계에서

[eqn: {4a-b} over {a} =5,``` {2a-2b+c} over {a} =4]이므로 [eqn: b=-a,````c=0]

즉, [eqn: f(x)=ax ^{2} -ax]이고 [eqn: g(x)=(ax ^{2} -ax)e ^{-x}]

한편, 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: T(t,``g(t))]에서 그은 접선의 방정식은 [eqn: y-g(t)=g`'(t)(x-t)] 이 접선이 점 [eqn: (0,``k)]를 지나므로

[eqn: k-g(t)=g`'(t)(0-t)]에서 [eqn: k=a(t ^{3} -2t ^{2} )e ^{-t}]

[eqn: h(t)=a(t ^{3} -2t ^{2} )e ^{-t}]로 놓으면 조건 (나)에 의하여 함수 [eqn: y=h(t)]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위가 [eqn: -1 PREC k PREC0]이어야 한다. [eqn: a PREC 0]인 경우 함수 [eqn: y=h(t)]의 그래프의 개형은 다음과 같고, 문제의 조건을 만족시키지 않는다.

[eqn: a SUCC 0]인 경우 함수 [eqn: y=h(t)]의 그래프의 개형은 다음과 같고,

[eqn: h(1)=-1]이어야 한다.

[eqn: h(1)=-ae ^{-1} =-1]에서 [eqn: a=e]

[eqn: THEREFORE g(-2) TIMES g(4)=f(-2)e ^{2} TIMES f(4)e ^{-4} =72a ^{2} e ^{-2} =72e ^{2} e ^{-2} =72]

(가) 점 [eqn: LEFT (1,`` g LEFT (1 RIGHT ) RIGHT ) `]과 점 [eqn: LEFT (4,`` g LEFT (4 RIGHT ) RIGHT ) `]는 곡선 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT ) `]의 변곡점이다.

(나) 점 [eqn: LEFT (0,`` k RIGHT )`]에서 곡선 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT ) `]에 그은 접선의 개수가 [eqn: 3`]인 [eqn: k`]의 값의 범위는 [eqn: -1<k<0 `]이다.

[eqn: g LEFT (-2 RIGHT ) TIMES g LEFT (4 RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 03월 30

좌표평면 위에 직선 [eqn: y= sqrt {3} x`]가 있다. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: x`]축 위의 점 중에서 [eqn: x`]좌표가 [eqn: n`]인 점을 [eqn: rm P _{it n rm}], 직선 [eqn: y= sqrt {3} x] 위의 점 중에서 [eqn: x`]좌표가 [eqn: {1} over {n} `]인 점을 [eqn: rm Q _{it n} `]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm OP _{it n}rm Q _{it n} `]의 내접원의 중심에서 [eqn: x`]축까지의 거리를 [eqn: a _{n}], 삼각형 [eqn: rm OP _{it n}rm Q _{it n} `]의 외접원의 중심에서 [eqn: x`]축까지의 거리를 [eqn: b _{n} `]이라 할 때 [eqn: lim _{n `-> ` INF } {a _{n} b _{n} } =L``]이다. [eqn: 100L``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.)

[정답] [eqn: 25]

[해설]

점 [eqn: rm Q _{it n}]은 직선 [eqn: y= sqrt { 3}x`] 위의 점이므로 [eqn: rm Q _{it n}][eqn: LEFT ( {1} over {n} ,`` {sqrt {3}} over {n} RIGHT )]이다.

[eqn: rm {bar{OP _{it n}}}][eqn: =p _{n}], [eqn: rm {bar{OQ _{it n}}}][eqn: =q _{n}], [eqn: rm {bar{P _{it n} rm Q _{it n}}}][eqn: =r _{n}]이라 하면 [eqn: p _{n}][eqn: =n]

[eqn: q _{n}][eqn: = sqrt {LEFT ( {1} over {n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {sqrt {3}} over {n} RIGHT ) ^{2}} = {{2} over {n}}]

[eqn: r _{n}][eqn: = sqrt {LEFT ( n- {1} over {n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 0- {sqrt {3}} over {n} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = {sqrt {n ^{4} -2n ^{2} +4}} over {n}]

삼각형 [eqn: rm OP _{it n}rm Q _{it n}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 하면

[eqn: S _{n}][eqn: = {1} over {2} ` TIMES `n` TIMES ` {sqrt {3}} over {n} `][eqn: = {sqrt {3}} over {2}]

삼각형 [eqn: rm OP _{it n}rm Q _{it n}]의 내접원의 중심에서 [eqn: x`]축까지의 거리 [eqn: a _{n}]은 내접원의 반지름의 길이와 같다.

[eqn: S _{n} = {1} over {2} LEFT ( p _{n} +q _{n} +r _{n} RIGHT ) ` TIMES it a _{n}]에서

[eqn: a _{n}][eqn: = {2S _{n}} over {p _{n} +q _{n} +r _{n}}][eqn: = {2`times` {sqrt {3}} over {2}} over {n+ {2} over {n} + {root {{} ^{}} of {n ^{4} -2n ^{2} +4}} over {n}}]
[eqn: = {sqrt {3} n} over {n ^{2} +2+ sqrt {n ^{4} -2n ^{2} +4}}] … ㉠

삼각형 [eqn: rm OP _{it n}rm Q _{it n}]의 외접원의 중심을 [eqn: rm C _{it`n}][eqn: LEFT ( x _{n} ,``y _{n} RIGHT )]이라 하면 점 [eqn: rm C _{it`n}]은 선분 [eqn: rm OP _{it n}]의 수직이등분선 위에 있으므로 [eqn: x _{n} = {n} over {2}]이다.

[eqn: rm {bar{OC _{it n}}} = {bar{rm Q _{it n} rm C _{it n}}}]에서 [eqn: rm {bar{OC _{it n rm}}} ` ^{2} = {bar{rm Q _{it n rm} rm C _{it n rm}}} ` ^{2}]이므로

[eqn: LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) ^{2} +y _{n} ` ^{2} = LEFT ( {n} over {2} - {1} over {n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y _{n} - {sqrt {3}} over {n} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: {n ^{2}} over {4} +y _{n} ` ^{2} = {n ^{2}} over {4} -1+ {1} over {n ^{2}} +y _{n} ` ^{2} - {2 sqrt {3}} over {n} y _{n} + {3} over {n ^{2}}] ∴ [eqn: y _{n} = {4-n ^{2}} over {2 sqrt {3} n}]

[eqn: b _{n} = LEFT | y _{n} RIGHT |]이므로 [eqn: n` GEQ `2`]일 때 [eqn: b _{n} = {n ^{2} -4} over {2 sqrt {3} n}] … ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: L][eqn: = lim _{n -> INF } {`a _{n} b _{n}}][eqn: = lim _{n -> INF } {` LEFT ( {sqrt {3} n} over {n ^{2} +2+ sqrt {n ^{4} -2n ^{2} +4}} ` TIMES {n ^{2} -4} over {2 sqrt {3} n} RIGHT )}]
[eqn: =` lim _{n -> INF } {` {n ^{2} -4} over {2 LEFT ( n ^{2} +2+ sqrt {n ^{4} -2n ^{2} +4} RIGHT )}}]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {` {1- {4} over {n ^{2}}} over {2 LEFT ( 1+ {2} over {n ^{2}} + sqrt {1- {2} over {n ^{2}} + {4} over {n ^{4}}} RIGHT )}}][eqn: = {1} over {4}]

∴ [eqn: 100L=100`times {1} over {4} =25]

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 11월 30

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x+1} -1`]과 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]를

[정답] [eqn: bold39]

[해설]

[eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | = {cases{-e ^{x+1} +1&LEFT ( x{<}-1 RIGHT )#e ^{x+1} -1&LEFT ( x{ge}-1 RIGHT )}}]이므로

[eqn: {d} over {dx} LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | = {cases{-e ^{x+1}&LEFT ( x{<}-1 RIGHT )#e ^{x+1}&LEFT ( x GEQ -1 RIGHT )}}]

이다.

따라서 [eqn: p LEFT ( x RIGHT ) =100 LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]라 하면 함수 [eqn: p LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=-1]에서 미분가능하지 않고.

[eqn: lim _{x-> -1-0} {} p' LEFT ( x RIGHT ) =-100,]

[eqn: lim _{x -> -1+0} {} p prime LEFT ( x RIGHT ) =100]이다.

한편, [eqn: k=2m-1] ([eqn: m]은 자연수)일 때,

[eqn: f LEFT ( x ^{k} RIGHT ) =e ^{x ^{2m-1} +1} -1]이므로

[eqn: f LEFT ( x ^{k} RIGHT ) =e ^{x ^{2m-1} +1} -1=0]에서

[eqn: x=-1]

[eqn: LEFT | f LEFT ( x ^{2m-1} RIGHT ) RIGHT | = {cases{-e ^{x ^{2m-1} +1} +1&LEFT ( x PREC -1 RIGHT )#e ^{x ^{2m-1} +1} -1&LEFT ( x GEQ -1 RIGHT )}}]

[eqn: THEREFORE {d} over {dx} LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | = {cases{- LEFT ( 2m-1 RIGHT ) x ^{2m-2} e ^{x ^{2m-1} +1}&LEFT ( x PREC -1 RIGHT )#LEFT ( 2m-1 RIGHT ) x ^{2m-2} e ^{x ^{2m-1} +1}&LEFT ( x SUCC -1 RIGHT )}}]

따라서 [eqn: q LEFT ( x ^{2m-1} RIGHT ) = LEFT | f LEFT ( x ^{2m-1} RIGHT ) RIGHT |]이라 하면 함수 [eqn: q LEFT ( x ^{2m-1} RIGHT )]는 [eqn: x=-1]에서 미분가능하지 않고,

[eqn: lim _{x -> -1-0} {} q prime LEFT ( x ^{2m-1} RIGHT ) =- LEFT ( 2m-1 RIGHT ) ,]

[eqn: lim _{x -> -1+0} {} q prime LEFT ( x ^{2m-1} RIGHT ) =2m-1]이다.

또 [eqn: f=2m] ([eqn: m]은 자연수)일 때,

[eqn: f(x ^{k} )=e ^{x ^{2m} +1} -1]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x ^{k} RIGHT ) >0]이다.

따라서

[eqn: |f(x ^{k} )|=e ^{x ^{2m} +1} -1]

이므로

[eqn: {d} over {dx} |f(x ^{k} )|=2mx ^{2m-1} e ^{x ^{2m} +1}]

따라서 [eqn: r LEFT ( x ^{2m} RIGHT ) = LEFT | f LEFT ( x ^{2m} RIGHT ) RIGHT |]이라 하면 함수 [eqn: r LEFT ( x ^{2m} RIGHT )]은 실수 전체 집합에서 미분가능하다.

이제 [eqn: n=2m-1`]또는 [eqn: n=2m]일 때,

함수 [eqn: 100` LEFT | `f(x)` RIGHT | - sum _{k=1} ^{m} LEFT | `f(x ^{2k-1} )` RIGHT |]를 [eqn: s LEFT ( x RIGHT )]라 하자. 즉

[eqn: s LEFT ( x RIGHT ) =p LEFT ( x RIGHT ) - sum _{k=1} ^{m} q LEFT ( x ^{2k-1} RIGHT )]

이때 함수 [eqn: s LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=-1]에서 미분가능하면 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 실수전체의 집합에서 미분가능하다.

[eqn: x!=-1]일 때,

[eqn: s' LEFT ( x RIGHT ) =p' LEFT ( x RIGHT ) - sum _{k=1} ^{m} q' LEFT ( x ^{2k-1} RIGHT )]

이므로

[eqn: lim _{x -> -1-0} {} s prime LEFT ( x RIGHT ) =-100+ sum _{k=1} ^{m} LEFT ( 2k-1 RIGHT )]

[eqn: lim _{x -> -1+0} {} s prime LEFT ( x RIGHT ) =100- sum _{k=1} ^{m} LEFT ( 2k-1 RIGHT )]

이때 함수 [eqn: s LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=-1]에서 미분가능하려면

[eqn: lim _{x-> -1-0} {s' LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x-> -1+0} {s' LEFT ( x RIGHT )}}]

즉,

[eqn: -100+ sum _{k=1} ^{m} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) =100- sum _{k=1} ^{m} LEFT ( 2k-1 RIGHT )]

이어야 한다.

[eqn: sum _{k=1} ^{m} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) =m ^{2} =100]에서

[eqn: m=10]

따라서 [eqn: n=2m-1]또는 [eqn: n=2m]이므로

[eqn: n=19]또는 [eqn: n=20]

이다.

따라서 구하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은

[eqn: 19+20=39]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =100 LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | - sum _{k=1} ^{n} LEFT | f LEFT ( x ^{k} ) RIGHT | ` RIGHT .]

이라 하자. [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합을 구하시오.

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 03월 30

실수 [eqn: t`]에 대하여 좌표평면에서 원점을 지나고 기울기가 [eqn: tan` LEFT ( sin`t RIGHT ) `]인 직선과 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =e ^{2t} `]이 만나는 점 중에서 [eqn: x`]좌표가 양수인 점을 [eqn: rm P `]라 하고, 점 [eqn: rm P`]가 나타내는 곡선을 [eqn: C``]라 하자. [eqn: t=pi`]일 때, 곡선 [eqn: C`] 위의 점 [eqn: rm P`]에서의 접선과 [eqn: x`]축 및 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: a TIMES e ^{b pi } `]이다. [eqn: 10 LEFT ( a+b RIGHT ) `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 유리수이다.)

[정답] [eqn: 25]

[해설]

원점을 지나고 기울기가 [eqn: tan(sint)`]인 직선의 방정식은

[eqn: y=tan(sint)`x`][eqn: cdots] ㉠ 점 [eqn: rmP`]는 원과 직선의 교점이므로

원의 방정식 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =e ^{2t} `]과 연립하면 [eqn: x ^{2} + LEFT { tan(sint)x right}^2 =e^2t `]

[eqn: LRARROW][eqn: LEFT { 1+tan ^{2} (sint) RIGHT } x ^{2} =e ^{2t} `][eqn: LRARROW][eqn: ` {x ^{2}} over { cos ^{2} (sint)} = e ^{2t}]

[eqn: LRARROW][eqn: x ^{2} =`e ^{2t} cos ^{2} (sint)][eqn: LRARROW][eqn: x=e ^{t} `cos(sint)] (∵ [eqn: x>0`])

이를 ㉠에 대입하면 [eqn: y=e ^{t} `sin(sint)]

그러므로 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (x,~y)`]라 하면

[eqn: x=e ^{t} `cos(sint)`], [eqn: y=e ^{t} `sin(sint)`]

[eqn: {dx} over {dt} =e ^{t} `cos(sint)- LEFT { e ^{t} `sin(sint) RIGHT } cost`]

[eqn: =e ^{t} ` LEFT { cos(sint)-`sin(sint) timescost RIGHT } `]

[eqn: {dy} over {dt} =e ^{t} `sin(sint)+ LEFT { e ^{t} `cos(sint) RIGHT } cost`]

[eqn: =e ^{t} ` LEFT { sin(sint)+cos(sint) times cost` RIGHT } `]

[eqn: t=pi`]일 때, 점 [eqn: rmP`]의 좌표는

[eqn: LEFT ( e ^{pi } `cos(sin pi )`,``e ^{pi } `sin(sin pi ) RIGHT ) `]이므로 [eqn: rm P( it e ^{ pi } `,~0)`]

[eqn: t=pi`]일 때, 곡선 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 접선의 기울기는

[eqn: {dy} over {dx} = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {e ^{pi } LEFT { sin(sin` pi )+cos(sin pi )times`cos pi ` RIGHT }} over {e ^{pi } LEFT { cos(sin pi )-sin(sin pi )times`cos pi ` RIGHT }}][eqn: = {-e ^{pi }} over {e ^{pi }} `][eqn: =`-1`]

그러므로 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=`- LEFT ( x-e ^{ pi } RIGHT )]

이때 접선의 [eqn: x`]절편은 [eqn: e ^{ pi } `], [eqn: y`]절편은 [eqn: e ^{ pi } `]이므로 접선과 [eqn: x`]축 및 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES e ^{pi} TIMES e ^{pi} = 1 over 2 { e ^{2pi} `]

따라서 [eqn: a= 1 over 2 `], [eqn: b= 2`]이므로

[eqn: 10(a+b)=10 LEFT ( 1 over2 +2 RIGHT ) =25`]

<참고>

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =(e ^{t} ) ^{2} `]은 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: e ^{t} `]인 원이고, 점 [eqn: rmP`]가 원 위의 점이므로 [eqn: bar{rm OP}=e^t `]이다.

직선 [eqn: rmOP`]의 기울기가 [eqn: tan(sint)`]이므로 직선 [eqn: rmOP`]와 [eqn: x`]축의 양의 방향이 이루는 각의 크기는 [eqn: sint`]이다.

따라서 점 [eqn: rmP`]의 좌표는 [eqn: rm P left (ite ^{t} `cos(sint)`,~e ^{t} `sin(sint) RIGHT )]이다.

[출처]	2014 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=`-x e^2-x`]과 상수 [eqn: a`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 9]

[해설]

조건을 만족시키려면 점 [eqn: (a, ``f(a))]가 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점
이어야 한다.

[eqn: f(x)= -x e^2-x]에서
[eqn: f`'(x)][eqn: = e^2-x (x-1)]
[eqn: f`'' (x) = e^2-x (2-x)]
함수 [eqn: f(x)]의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	⋯	[eqn: 1]	⋯	[eqn: 2]	⋯
[eqn: f`'(x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f`''(x)]	[eqn: +]			[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	□	극소	□	변곡	□

따라서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: f``'' (2)=0]이므로 [eqn: a=2]이고
[eqn: f`' (2) =1], [eqn: f(2) =-2]이므로 [eqn: g(x) = x-4]이다.
따라서 구하는 넓이는
[eqn: int_0^2 left{ -x e^2-x - (x-4) right}dx]
[eqn: = left[x e^{2-x} + e^2-x - 1 over2 x^2 +4 x right]_0^2]
[eqn: =9-e^2]
∴ [eqn: k=9]

곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT (a,`` f LEFT (a RIGHT ) RIGHT )`]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )`]라 할 때,
[eqn: x<a `]이면 [eqn: f LEFT (x RIGHT )>g LEFT (x RIGHT )`]이고, [eqn: x>a`]이면

[eqn: f LEFT (x RIGHT )<g LEFT (x RIGHT )`]이다.

곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )`]와 접선 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )] 및 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: k-e^2`]이다. [eqn: k`]의 값을 구하시오.

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 10월 29

좌표평면에 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {3} `ln`x`]의 그래프와 직선 [eqn: l `:` y=`- {sqrt {3}} over {2} x+ {sqrt {3}} over {2} `]이 있다. 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rm A LEFT ( alpha ,~ it f( alpha ) RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( beta ,~ it f( beta ) RIGHT ) `]에서의 접선을 각각 [eqn: m], [eqn: n`]이라 하자. 세 직선 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n`]으로 둘러싸인 삼각형이 정삼각형일 때, [eqn: 6 LEFT ( alpha + beta RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold{ 32]

[해설]

직선 [eqn: l`]의 기울기가 [eqn: - {sqrt {3}} over {2} `]이고, 세 직선 [eqn: l,``m,``n`]으로 둘러싸인 삼각형이 정삼각형이므로 두 접선 [eqn: m,``n`]과 직선 [eqn: l`]이 이루는 예각의 크기는 [eqn: 60°`]이다.

직선 [eqn: l`]과 이루는 예각의 크기가 [eqn: 60°`]인 직선의 기울기를 [eqn: k`]라 하면 삼각함수의 덧셈정리에 의하여

[eqn: LEFT | {- {sqrt {3}} over {2} -k} over {1- {sqrt {3}} over {2} k} RIGHT | = sqrt {3}], [eqn: `k= {sqrt {3}} over {5}] 또는 [eqn: k=3sqrt3]

[eqn: f(x)=sqrt3`lnx`]에서 [eqn: f` prime (x)= {sqrt3} over {x}]이므로

[eqn: {sqrt3} over {alpha } = {sqrt {3}} over {5}], [eqn: {sqrt3} over {beta} =3 sqrt {3}]

[eqn: alpha =5], [eqn: beta= {1} over {3}`]이므로 [eqn: `6( alpha + beta )=32]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 04월 21

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ ``LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} e ^{x} +k &~ LEFT ( x GEQ 0 RIGHT ) #~~~~ -x ^{2} &~ LEFT ( x<0 RIGHT ) }}`]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -f LEFT ( x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족하도록 하는 정수 [eqn: k`]의 개수는?

[정답] ①

[해설]

[eqn: x GEQ 0]일 때

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x-2 RIGHT ) e ^{x}][eqn: LEFT ( x>0 RIGHT )]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=2]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =4+k]

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: 4+k]	[eqn: SEARROW]	[eqn: k]	[eqn: NEARROW]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~`~~0 _{{} _{}}&LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0 RIGHT ) _{{} _{}}#`-2f LEFT ( x RIGHT ) ^{{} ^{}}&LEFT ( `f LEFT ( x RIGHT ) <0 RIGHT ) ^{{} ^{}}}}]이므로

[eqn: k]의 값의 범위에 따라 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프를 그리면

다음과 같다.

ⅰ) [eqn: k GEQ 0]일 때

[eqn: x=0]에서 연속이고,

[eqn: lim _{x`-> `-0} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x-0} = lim _{x`-> `-0} {{2x ^{2}} over {x} =0}}]

[eqn: lim _{x` -> `+0} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x-0} = lim _{x` -> `+0} {{0} over {x} =0}}]이므로

[eqn: x=0]에서 미분가능하다.

[eqn: THEREFORE]미분가능하지 않은 점의 개수는 [eqn: 0]

ⅱ) [eqn: -4<k<0]일 때

[eqn: THEREFORE]미분가능하지 않은 점의 개수는 [eqn: 2]

ⅲ) [eqn: k=-4]일 때

[eqn: x=0]에서 연속이고

[eqn: lim _{x` -> `-0} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x-0} = lim _{x` -> `+0} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x-0}}} =0]

이므로 [eqn: x=0]에서 미분가능하다.

[eqn: THEREFORE]미분가능하지 않은 점의 개수는 [eqn: 1]

ⅳ) [eqn: k<`-4]일 때

[eqn: THEREFORE][eqn: x=0]에서는 불연속이고,

연속이면서 미분가능하지 않은 점의 개수는 [eqn: 1]

ⅰ)～ⅳ)에 의하여 [eqn: -4<k<0]이고

정수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 3]

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 모든 실수에서 연속이다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 미분가능하지 않은 점이 [eqn: 2`]개다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 06월 30

정의역이 [eqn: LEFT { x` LEFT | `0 LEQ x LEQ 8` RIGHT . RIGHT }`]이고 다음 조건을 만족시키는 모든 연속함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: int _0 ^8 f LEFT (x RIGHT ) dx`]의 최댓값은 [eqn: p+ q overln2 `]이다. [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q `]는 자연수이고, [eqn: ln2 `]는 무리수이다.)

[정답] [eqn: 128]

[해설]

[eqn: 0le k le 7``]인 각각의 정수 [eqn: k``]에 대하여

① [eqn: f(k+t)`=`f(k) ~(0<t le1)``]인 경우

[eqn: k<x le k+1``]에서 [eqn: f(x)`=`f(k)] : 상수함수

② [eqn: f(k+t)`=`2^t timesf(k) ~(0<t le1)``]인 경우

[eqn: k<x le k+1``]에서 [eqn: f(x)`=`f(k) times 2^x-k] : 지수함수

주어진 조건에서 함수 [eqn: f(x)``]는 미분가능하지 않은 점이 [eqn: 2]개

이므로 ① ⇨ ② ⇨ ① 또는 ② ⇨ ① ⇨ ②처럼 변화되는

지점이 2번 있어야 한다. 또한 ②가 7번이상 나오면 [eqn: f(8)>100]

이 되므로 조건을 만족하지 않는다.

가능한 경우 중에 ②가 그려지는 구간이 많이 들어가 있을수록

[eqn: int_0 ^8 f(x)dx``]의 값이 커지므로 8개의 소구간이 ①②②②②②②①

의 순서로 이어지는 연속함수일 때, [eqn: int_0 ^8 f(x)dx``]가 최대가 된다.

따라서, 주어진 조건을 만족하는 함수 중 [eqn: int_0 ^8 f(x)dx``]가 최대가 될 때, 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x)`=`cases{f(0)=1 ~~~~~~~~``~~(0 le x le 1) # f(1)times2^x-1 `=`2^x-1 ````(1 le x le 7) # f(7)`=`64 ~~~~~~``` `````~( 7 le x le 8 )] 이다.

따라서 [eqn: int_0 ^8 f(x)dx``]의 최댓값은

[eqn: int_0 ^8 f(x)dx]

[eqn: `=`int_0 ^1 1`dx +int_1^7 2^x-1 dx + int_7^8 64`dx]

[eqn: =` LEFT [`x` RIGHT ]_0^1 + LEFT [`2^x-1 overln2 `RIGHT ]_1^7 + left[`64x` right]_7^8]

[eqn: =`65 + 63overln2]

[eqn: therefore``p+q`=`65+63`=`128]

(가) [eqn: f LEFT (0 RIGHT ) = 1 `]이고 [eqn: f LEFT (8 RIGHT )le 100 `]이다.

(나) [eqn: 0 le k le 7 `]인 각각의 정수 [eqn: k `]에 대하여
[eqn: f LEFT (k+t RIGHT ) = f LEFT (k RIGHT )][eqn: LEFT (0<t le 1 RIGHT ) `]
또는
[eqn: f LEFT (k+t RIGHT ) = 2^t times f LEFT (k RIGHT )][eqn: LEFT (0<t le1 RIGHT ) `]
이다.

(다) 열린 구간 [eqn: LEFT (0 ,`` 8 RIGHT ) `]에서 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 미분가능하지 않은 점의 개수는 [eqn: 2 `]이다.

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 10월 21

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=sin` pi x `]와 이차함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )=x LEFT (x+1 RIGHT ) `]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT ) `]를

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: f(x)`]는 주기가 [eqn: 2`]이고, 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 실수 [eqn: t`]와 정수 [eqn: k`]에 대하여

[eqn: int _{t} ^{t+2k} {f(x)dx=0}], [eqn: int _{-t} ^{t+2k} {f(x)dx=0}`]

따라서 구간 [eqn: [-1,``1]`]에서 방정식 [eqn: h(x)=0`]

즉 [eqn: int _{g(x)} ^{g(x+1)} {f(t)`dt`} =0`]을 만족시키려면

[eqn: g(x+1)-g(x)=2n`]([eqn: n`]은 정수)

또는 [eqn: g(x+1)+g(x)=2m`]([eqn: m`]은 정수)이어야 한다.

[eqn: g(x)=x(x+1)`]이므로 [eqn: g(x+1)-g(x)=2(x+1)]

[eqn: g(x+1)+g(x)=2(x+1) ^{2}]

구간 [eqn: [`-1,``1]`]에서 두 함수 [eqn: y=2(x+1)],

[eqn: y=2(x+1) ^{2}`]의 그래프는 그림과 같으므로

[eqn: 2(x+1)=2n]([eqn: n`]은 정수)를 만족시키는 [eqn: x`]의 값은 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1`]이고, [eqn: 2(x+1) ^{2} =2m]([eqn: m`]은 정수)를 만족시키는 [eqn: x`]의 값은 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: sqrt {2} -1], [eqn: sqrt {3} -1], [eqn: 1`]이다.

따라서 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 5`]

[eqn: h LEFT (x RIGHT )= int _{g LEFT (x RIGHT )} ^{g LEFT (x+1 RIGHT )} {f LEFT (t RIGHT ) dt }`]

라 할 때, 닫힌 구간 [eqn: LEFT [-1,`` 1 RIGHT ] `]에서 방정식 [eqn: h LEFT (x RIGHT )=0 `]의 서로 다른 실근의 개수는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 09월 30

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]와 함수

[정답] [eqn: bold48]

[해설]

[eqn: g(x)= {cases{LEFT | 2sin3x+1 RIGHT |&````````(x GEQ 0)#LEFT | -2sinx+1 RIGHT |&````````(x<0)}}] 이므로

함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이고, [eqn: x=0]과

[eqn: g(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값에서 미분가능하지 않다.

또, [eqn: lim _{x -> 0+} {g prime (x)=6,~ lim _{x -> 0-} {g prime (x)=`-2} ~}]이다.

(ⅰ) 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하려면

[eqn: lim _{x-> 0+} {h prime (x)= lim _{x-> 0-} {h prime (x)}}]가 성립해야한다.

[eqn: lim _{x -> 0+} {h prime (x)}][eqn: = lim _{x -> 0+} {f prime (g(x))`g prime (x)}]
[eqn: = lim _{x-> 0+} {f prime (g(x)) TIMES lim _{x-> 0+} {g prime (x)}}]
[eqn: =f prime (1) TIMES 6]

[eqn: lim _{x -> 0-} {h prime (x)}][eqn: = lim _{x -> 0-} {f prime (g(x))`g prime (x)}]
[eqn: = lim _{x -> 0-} {f prime (g(x)) TIMES lim _{x -> 0-} {g prime (x)}}]
[eqn: =f prime (1) TIMES (-2)]

즉 [eqn: 6f prime (1)=`-2f prime (1)] 에서

[eqn: f prime (1)=0] ……㉠

(ⅱ) [eqn: g(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값을 [eqn: alpha]라 하자.

함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: x= alpha]에서 미분가능하려면

[eqn: lim _{x -> alpha +} {h prime (x)= lim _{x -> alpha -} {h prime (x)}}]가 성립해야 한다.

[eqn: lim _{x -> alpha +} {h prime (x)}][eqn: = lim _{x -> alpha +} {f prime (g(x))`g prime (x)}]
[eqn: = lim _{x -> alpha +} {f prime (g(x)) TIMES lim _{x -> alpha +} {g prime (x)}}]
[eqn: =f prime (0) TIMES k] (단, [eqn: k]는 양의 상수)

[eqn: lim _{x -> alpha -} {h prime (x)}][eqn: = lim _{x -> alpha -} {f prime (g(x))`g prime (x)}]
[eqn: = lim _{x -> alpha -} {f prime (g(x)) TIMES lim _{x -> alpha -} {g prime (x)}}]
[eqn: =f prime (0) TIMES (-k)]

즉 [eqn: kf prime (x)=`-kf prime (0)]에서

[eqn: f prime (0)=0] ……㉡

(ⅲ) 함수 [eqn: h prime (x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하려면

[eqn: lim _{x -> 0+} {h prime prime (x)= lim _{x -> 0-} {h prime prime (x)}}]가 성립해야 한다.

[eqn: lim _{x -> 0+} {h prime prime (x)}][eqn: = lim _{x-> 0+} {LEFT [ f prime prime (g(x)) LEFT { g prime (x) RIGHT } ^{2} +f prime (g(x))g prime prime (x) RIGHT ]}]
[eqn: = lim _{x-> 0+} {f prime prime (g(x)) LEFT { g prime (x) RIGHT } ^{2} + lim _{x-> 0+} {f prime (g(x))g prime prime (x)}}]
[eqn: = lim _{x-> 0+} {f prime prime (g(x)) TIMES lim _{x-> 0+} {LEFT { g prime (x) RIGHT } ^{2} +0}}]
[eqn: =f prime prime (1) TIMES 6 ^{2}]

[eqn: lim _{x -> 0-} {h prime prime (x)}][eqn: = lim _{x -> 0-} {LEFT [ f prime prime (g(x)) LEFT { g prime (x) RIGHT } ^{2} +f prime (g(x))g prime prime (x) RIGHT ]}]
[eqn: = lim _{x -> 0-} {f prime prime (g(x)) LEFT { g prime (x) RIGHT } ^{2} + lim _{x -> 0-} {f prime (g(x))g prime prime (x)}}]
[eqn: = lim _{x -> 0-} {f prime prime (g(x)) TIMES lim _{x -> 0-} {LEFT { g prime (x) RIGHT } ^{2} +0}}]
[eqn: =f prime prime (1) TIMES (-2) ^{2}]

즉 [eqn: 36f prime prime (1)=4f prime prime (1)]에서

[eqn: f prime prime (1)=0]  ……㉢

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

함수 [eqn: f prime (x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 4]인 삼차함수이고,

㉠, ㉡에서 [eqn: f prime (1)=0,~f prime (0)=0]이므로

[eqn: f prime (x)=4x(x-1)(x-a)]  ([eqn: a]는 상수)로 놓을 수 있다.

[eqn: f prime (x)=(4x ^{2} -4x)(x-a)]에서

[eqn: f prime prime (x)=(8x-4)(x-a)+(4x ^{2} -4x)]

㉢에서 [eqn: f prime prime (1)=0]이므로

[eqn: 4(1-a)+0=0]에서 [eqn: a=1]

따라서 [eqn: f prime (x)=4x(x-1) ^{2}]이므로

[eqn: f prime (3)=4 TIMES 3 TIMES 2 ^{2} =48]

[참고]

함수 [eqn: h prime (x)]가 [eqn: x= alpha]에서 미분가능한지 확인해보자

[eqn: lim _{x -> alpha +} {h prime prime (x)}][eqn: = lim _{x -> alpha +} {LEFT [ f prime prime (g(x)) LEFT { g prime (x) RIGHT } ^{2} +f prime (g(x))g prime prime (x) RIGHT ]}]
[eqn: = lim _{x -> alpha +} {f prime prime (g(x)) LEFT { g prime (x) RIGHT } ^{2} + lim _{x -> alpha +} {f prime (g(x))g prime prime (x)}}]
[eqn: = lim _{x -> alpha +} {f prime prime (g(x)) TIMES lim _{x -> alpha +} {LEFT { g prime (x) RIGHT } ^{2} +0}}]
[eqn: =f prime prime (0) TIMES k ^{2}]

[eqn: lim _{x -> alpha -} {h prime prime (x)}][eqn: = lim _{x -> alpha -} {LEFT [ f prime prime (g(x)) LEFT { g prime (x) RIGHT } ^{2} +f prime (g(x))g prime prime (x) RIGHT ]}]
[eqn: = lim _{x -> alpha -} {f prime prime (g(x)) LEFT { g prime (x) RIGHT } ^{2} + lim _{x -> alpha -} {f prime (g(x))g prime prime (x)}}]
[eqn: = lim _{x -> alpha -} {f prime prime (g(x)) TIMES lim _{x -> alpha -} {LEFT { g prime (x) RIGHT } ^{2} +0}}]
[eqn: =f prime prime (0) TIMES (-k) ^{2}]

즉 [eqn: lim _{x -> alpha +} {h prime prime (x)=} lim _{x -> alpha -} {h prime prime (x)} `] 이므로

함수 [eqn: h prime (x)]가 [eqn: x= alpha `]에서 미분가능하다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | 2sin` LEFT ( x+2 LEFT | x RIGHT | RIGHT ) +1 RIGHT | `]

에 대하여 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) `]는 실수 전체의 집합에서 이계도함수 [eqn: h '' LEFT ( x RIGHT ) `]를 갖고, [eqn: h '' LEFT ( x RIGHT ) `]는 실수 전체의 집합에서 연속이다. [eqn: f` prime LEFT ( 3 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 06월 21
[출처]	2017 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능완성 03 미분법 유형9 필수유형
[출처]	2020 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능완성 05 미분법 유형12 필수유형
[출처]	2021 일반_시중교재 메가스터디 장영진 BTK Inside KICE

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

ㄱ. 조건 [eqn: (]가[eqn: )]에서 [eqn: f(x) neq 1]이고
조건 (나)에서 [eqn: f(x)=it-f(-x)]이므로
[eqn: -f(-x) neq 1], [eqn: f(-x) neqit-1]
즉, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) neqit-1](참)

ㄴ. 조건 (가)와 거에 의해 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: -1<f(x)<1]이거나 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(x)>1]또는 [eqn: f(x) < it - 1]이다.
이때 조건 (나)에서 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: f(0)+f(0)=0]에서 [eqn: f(0)=0]
따라서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: -1<f(x)<1]이고
조건 (다)에서
[eqn: f `prime (x)= left{ 1+f(x) it right} left{ 1+f(-x) it right} = left{ 1+f(x) it right} left{ 1-f(x) it right}]
이므로 [eqn: f `prime (x)>0]
즉, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는 증가한다. (거짓)

ㄷ. [eqn: f `prime (x)= left{ 1+f(x) it right} left{ 1-f(x) it right} =1- left{ f(x) it right} ^{2}]
이고 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: f `prime prime (x)=it-2 f(x) f `prime (x)]
ㄴ에서 [eqn: f `prime (x)>0]이므로 [eqn: f `prime prime (x)=0]에서 [eqn: f(x)=0]
이때 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: f `prime (x)>0]이므로 실수 전체의 집합에서 증가한다.
따라서 [eqn: f(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값은 [eqn: x=0]뿐이므로 곡선 [eqn: y=f(x)]는 세 개의 변곡점을 갖지 않는다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ이다.

(가) [eqn: f LEFT (x RIGHT ) !=1]

(나) [eqn: f LEFT (x RIGHT ) + f LEFT ( -x RIGHT ) = 0]

(다) [eqn: f `' LEFT (x RIGHT ) = left{ 1 + f LEFT (x RIGHT ) right} left{ 1 + f LEFT (-x RIGHT ) right}]

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) !=`-1 `]이다. ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]는 어떤 열린 구간에서 감소한다. ㄷ. 곡선 [eqn: y = f LEFT (x RIGHT ) `]는 세 개의 변곡점을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 30

[eqn: x >a `]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]와 최고차항의 계수가 [eqn: -1 `]인 사차함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.
(단, [eqn: a `]는 상수이다.)

[정답] [eqn: 216]

[해설]

[eqn: f(x) = g(x) over x-a ` (x>a )]에서

[eqn: f(alpha ) = g(alpha) over alpha-a = M]

[eqn: f(beta ) = g(beta) over beta-a =M]

[eqn: f'(x) = { g'(x) (x-a) - g(x) } over {(x-a )^2]에서

[eqn: f'(alpha ) =0] 이므로

[eqn: g'(alpha ) (alpha - a ) - g(alpha )=0]

[eqn: g'(alpha ) = g(alpha) over alpha-a]

[eqn: f'(beta ) = { g(beta ) } over beta-alpha]

이때, [eqn: g'(alpha )]는 [eqn: x=alpha]에서 곡선 [eqn: y =g(x)]의 접선의 기울기이고,

[eqn: g'(beta )]는 [eqn: x=beta]에서 곡선 [eqn: y =g(x)]의 접선의 기울기이다.

따라서 곡선 [eqn: y =g(x)]의 그래프는 다음 두 가지의 경우로

나누어 생각할 수 있다.

(ⅰ)

함수 [eqn: y = g(x)]의 그래프가 위의 그림과 같을 때, 함수

[eqn: y =g(x)]가 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 3]개다.
이때 함수 [eqn: y =f(x)]의 그래프도 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의

값은 [eqn: 3]개이므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다.

(ⅱ)

함수 [eqn: y =g(x)]의 그래프가 위의 그림과 같을 때, 함수

[eqn: y =g(x)]가 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 1]개다.
이때, 함수 [eqn: y =f(x)]의 그래프는 극대 또는 극소가 되는

[eqn: x]의 값은 [eqn: 3]개이므로 조건 (다)를 만족시킨다.

(ⅰ), (ⅱ)에서

함수 [eqn: y =g(x)]는 극값을 [eqn: 1]개 갖는다.

[eqn: g(x) - kx = - (x- alpha )^2 (x-beta )^2]으로 놓으면

[eqn: g(x) =-(x-alpha )^2 (x-beta )^2 + kx]

이므로

[eqn: g'(x) = - 4 (x-alpha ) (x-beta ) left ( x - alpha+beta over 2 right ) + k]

이때, [eqn: g'(x) =0]

즉 [eqn: 4 (x -alpha )(x-beta ) left ( x- alpha+beta over 2 right ) =k]

의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]이어야 한다.

이때, [eqn: h(x) = 4 (x-alpha )(x-beta ) left ( x - alpha+beta over 2 right )]라 하면 곡선 [eqn: y = h(x)]

와 직선 [eqn: y =k]는 한점에서 만나거나 두 점에서 만나야 한다.

함수 [eqn: h(x)]의 극값은 [eqn: beta = alpha + 6 sqrt 3]이므로

[eqn: alpha+beta over 2 =0]으로 놓은 후

함수 [eqn: y = 4x(x+3sqrt 3 ) (x-3sqrt 3 )]의 극값을 구해도 된다.

이때, [eqn: y '= -12(x+3) (x-3)]이므로

[eqn: y'=0]에서

[eqn: x=-3] 또는 [eqn: x=3]

함수 [eqn: y =4x (x+3sqrt 3 ) (x-3sqrt 3 )]의 그래프는 다음 그림과

같다.

따라서 [eqn: k]의 범위는

[eqn: k le -216] 또는 [eqn: k ge 216]

이때, [eqn: k>0]이므로 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 216]다.

따라서 [eqn: M]의 최솟값도 [eqn: 216]이다.

(가) [eqn: x >a `]인 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: LEFT (x-a RIGHT ) f LEFT (x RIGHT ) = g LEFT (x RIGHT )`]이다.

(나) 서로 다른 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta `]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]는 [eqn: x = alpha `]와 [eqn: x = beta `]에서 동일한 극댓값 [eqn: M ``]을 갖는다. (단, [eqn: M` >0])

(다) 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x `]의 개수는 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]가 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x `]의 개수보다 많다.

[eqn: beta - alpha = 6 sqrt { 3} `]일 때, [eqn: M ``]의 최솟값을 구하시오.

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 03월 30

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=x ^{2} e ^{ax}][eqn: LEFT (a<0 RIGHT ) `]에 대하여 부등식
[eqn: f LEFT (x RIGHT ) GEQ t][eqn: LEFT (t>0 RIGHT )`]을 만족시키는 [eqn: x `]의 최댓값을 [eqn: g LEFT (t RIGHT ) `]라 정의하자. 함수 [eqn: g LEFT (t RIGHT ) `]가 [eqn: t= {16} over {e ^{2}}`]에서 불연속일 때, [eqn: 100a ^{2}`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: lim _{x `->` INF } {} f LEFT (x RIGHT )=0 `])

[정답] [eqn: 25]

[해설]

함수 [eqn: f(x) = x^2 e^ax`(a<0)`]에서

[eqn: f`'(x) = (x^2 )' e^ax``+ x^2 (e^ax )'][eqn: = 2x e^ax +ax^2 e^ax = (ax^2 + 2x ) e^ax =a x left( x+ 2 overa right)e^ax]

[eqn: f(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x`]	…	[eqn: 0]	…	[eqn: `- 2 over a`]	…
[eqn: f`'(x)]	[eqn: -`]	[eqn: 0`]	[eqn: +]	[eqn: 0`]	[eqn: -]
[eqn: f(x)`]	↘	[eqn: 0`]	↗	[eqn: 4 over {a^2 ` e^2}`]	↘

따라서 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 극솟값 [eqn: 0`]를 갖고 [eqn: x=`- {2} over {a} ``]에서 극댓값 [eqn: 4 over {a^2 e^2}`]를 갖는다.

또 [eqn: lim _{ x->-inf} { f(x)} = inf`]이고, [eqn: lim _{x -> INF } {f(x)} =0`]이므로

함수 [eqn: f(x) = x^2 e^ax`(a<0)`]의 그래프는 그림과 같다.

부등식 [eqn: f(x) GEQ t`][eqn: (t>0)]을 만족시키는 [eqn: x`]의 최댓값 [eqn: g(t)`]에 대하여 [eqn: k = 4 over{a^2 e^2}`]라 하면, [eqn: g(t)`]는 [eqn: 0< t <k`] 또는 [eqn: t=k`] 또는 [eqn: t> k]로 나누어 생각할 수 있다.

ⅰ) [eqn: 0 <t < k`]일 때

방정식 [eqn: f(x)=t`]의 서로 다른 세 실근을 [eqn: alpha_1], [eqn: alpha_2], [eqn: alpha_3`]라 하면 부등식 [eqn: f(x) ge t`]의 해는 그림에서 [eqn: x le alpha_1`] 또는 [eqn: alpha_2 `le x le alpha_3`]이므로 부등식을 만족시키는 [eqn: x`]의 최댓값은 [eqn: alpha_3`]이다.

따라서 [eqn: g(t)=alpha_3`]이다.

ⅱ) [eqn: t = k`]일 때

방정식 [eqn: f(x)=t`]의 음의 실근을 [eqn: beta`]라 하면 부등식 [eqn: f(x) ge t`]의 해는 [eqn: x le beta] 또는 [eqn: x=`- {2} over {a} `]이므로 [eqn: g(t)=`- {2} over {a}]이다.

ⅲ) [eqn: t> k`]일 때

방정식 [eqn: f(x)=t`]의 실근을 [eqn: gamma`]라 하면 부등식 [eqn: f(x) ge t`]의 해는 [eqn: x le gamma]이므로 [eqn: g(t) = gamma`]이다.

정의역이 [eqn: left{ x`|`x<beta,``x ge- 2 overa `right}`]인 함수 [eqn: h(x)`]를

[eqn: h(x)= cases{ h_1 (x) =f(x)~&(x<beta)#h_2 (x)=f(x)~&left(x ge - 2 overa right)]

라 정의하면, 두 함수 [eqn: y=h_1 (x)]와 [eqn: y=h_2 (x)`]는 각각의 정의역에서 일대일 대응이므로 역함수를 갖는다. 또한, [eqn: y=h_1 (x)]의 치역은 [eqn: left{ y`|`y>k` right}]이고, [eqn: y=h_2 (x)`]의 치역은 [eqn: left{ y`|`0<y le k` right}]이므로 함수 [eqn: h(x)`]의 역함수의 정의역은 [eqn: LEFT { x`|`x>0` RIGHT }]이다. 이때, [eqn: h(x)=t]를 만족하는 [eqn: x`]의 값은 방정식 [eqn: f(x) =t`]의 해 중에서 최댓값이므로 [eqn: h(x)`]의 역함수가 [eqn: g(t)`]이다. [eqn: g(t)`]는 [eqn: 0<t< k`], [eqn: t>k`]인 모든 점에서 연속함수이므로 [eqn: t=k`]에서의 연속성을 조사하면 된다.

[eqn: lim _{ t-> k -} { g(t) } = - 2 over a]에서 [eqn: a<0`]이므로 [eqn: - 2overa >0]

[eqn: lim _{t -> k +} {g(t)} = beta`]에서 [eqn: beta<0`]이므로

[eqn: lim _{ t-> k -} { g(t) } != lim _{t -> k +} {g(t)}]이다.

따라서 함수 [eqn: g(t)`]는 [eqn: t=k]에서만 불연속이다.

[eqn: k = 4 over{a^2 e^2} = 16 over e^2`], [eqn: 4 over a^2 = 16], [eqn: a^2 = 1 over4]

따라서 [eqn: 100 a^2 = 100 times 1 over4 = 25`]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 09월 21

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]와 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]가 모든 양의 실수 [eqn: x `]에 대하여 다음 조건을 만족한다.

[정답] ③

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: LEFT ( {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT ) ` prime =x ^{2} e ^{-x ^{2}}]이고

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = {1} over {e}]이므로 조건 (나)에서

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {4} over {e ^{4}} int _{1} ^{x} {e ^{t ^{2}} f LEFT ( t RIGHT ) dt}]

[eqn: = {2} over {e ^{4}} int _{1} ^{x} {LEFT ( 2te ^{t ^{2}} {times} {f LEFT ( t RIGHT )} over {t} RIGHT ) dt}]

[eqn: = {4} over {e ^{4}} int _{1} ^{x} {LEFT { LEFT ( e ^{t ^{2}} RIGHT ) ` prime TIMES {f LEFT ( t RIGHT )} over {t} RIGHT } dt}]

[eqn: = {2} over {e ^{4}} LEFT { LEFT [ pile{`#`} e ^{t ^{2}} TIMES {f LEFT ( t RIGHT )} over {t} RIGHT ] _{1} ^{x} - int _{1} ^{x} {e ^{t ^{2}} TIMES LEFT ( {f LEFT ( t RIGHT )} over {t} RIGHT ) ` prime dt} RIGHT }]

[eqn: = {2} over {e ^{4}} LEFT { e ^{x ^{2}} TIMES {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} -ef LEFT ( 1 RIGHT ) - int _{1} ^{x} {e ^{t ^{2}} TIMES LEFT ( t ^{2} e ^{-t ^{2}} RIGHT ) dt} RIGHT }]

[eqn: = {2} over {e ^{4}} LEFT { e ^{x ^{2}} TIMES {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} -1- int _{1} ^{x} {t ^{2} dt} RIGHT }]

[eqn: = {2} over {e ^{4}} LEFT { e ^{x ^{2}} TIMES {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} -1- LEFT [ {1} over {3} t ^{3} RIGHT ] _{1} ^{x} RIGHT }]

[eqn: = {2} over {e ^{4}} LEFT { e ^{x ^{2}} TIMES {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} -1- {1} over {3} LEFT ( x ^{3} -1 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) = {2} over {e ^{4}} LEFT ( e ^{4} TIMES {f LEFT ( 2 RIGHT )} over {2} -1- {7} over {3} RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) - {20} over {3e ^{4}}]

따라서,

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT ) = {20} over {3e ^{4}}]

(가) [eqn: LEFT ( {f LEFT (x RIGHT )} over {x} RIGHT ) ^{`' } =x ^{2} e ^{-x ^{2}}]

(나) [eqn: g LEFT (x RIGHT ) = 4 over e^4 int_1 ^x e^t^2 f LEFT (t RIGHT ) dt `]

[eqn: f LEFT (1 RIGHT ) = 1 overe `]일 때, [eqn: f LEFT (2 RIGHT ) - g LEFT (2 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 16 over 3e^4]	② [eqn: 6 over e^4]	③ [eqn: 20 over 3e^4]

④ [eqn: 22 over 3e^4]	⑤ [eqn: 8 over e^4]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 07월 30

[eqn: LEFT . 0 LEQ theta LEQ {pi } over {2} `]인 [eqn: theta `]에 대하여 좌표평면 위의 두 직선 [eqn: l], [eqn: m `]은 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 25]

[해설]

곡선 [eqn: y= sqrt {2-x ^{2}} LEFT ( -1leq`x`leq`1 RIGHT )] 위의 양 끝점 [eqn: (-1,~1),~(1,~1)`]을 각각 [eqn: rm `P,~Q`]라 하고, 직선 [eqn: l`]의 [eqn: y`]절편이 직선 [eqn: m`]의 [eqn: y`]절편보다 크다고 하자.

점 [eqn: rmP`]를 지나고 곡선 [eqn: y= sqrt {2-x ^{2}} `]에 접하는 접선이 [eqn: x`]축과 양의 방향으로 이루는 각의 크기가 [eqn: {pi}over4}`]이므로

(ⅰ) [eqn: 0 LEQ theta < {pi } over {4}]일 때

[eqn: f(theta)`]는 직선 [eqn: l`]이 곡선과 접하고, 직선 [eqn: m`]이 점 [eqn: rm`Q]를 지날 때 점 [eqn: rm`Q`]와 직선 [eqn: l`] 사이의 거리이다.

곡선은 중심이 [eqn: (0,`~0)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {2} `]인 원의 일부이므로 곡선과 접하는 직선 [eqn: l`]의 방정식은

[eqn: y=tan theta `x+ sqrt {2} `sec` theta `]이므로

[eqn: f(theta)= {LEFT | tantheta-1+ sqrt {2} `sec`theta RIGHT |} over {sqrt {tan ^{2} theta+1}} `]

[eqn: =sin theta -cos theta + sqrt {2} `]([eqn: sin theta -cos theta ` GEQ `-1])

(ⅱ) [eqn: {pi } over {4} LEQ theta LEQ {pi } over {2}]일 때

[eqn: f(theta)`]는 직선 [eqn: l`]이 점 [eqn: rm `P]를 지나고 직선 [eqn: m`]이

점 [eqn: rm`Q]를 지날 때 점 [eqn: rmP`]와 직선 [eqn: m`] 사이의 거리와 같다. 즉, 점 [eqn: rm P`]에서 직선 [eqn: m`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하면 [eqn: f(theta)`]는 선분 [eqn: rmPH`]의 길이와 같다.
[eqn: ANGLE rmPQH=theta`]이므로

[eqn: f( theta )=2sin theta `]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: f( theta )= {cases{`sin` theta `-`cos` theta `+ sqrt {2} ```````` LEFT ( 0 LEQ theta < {pi } over {4} RIGHT ) ``````&``#`2sin` theta ```````````````````````````````````````````````````````` LEFT ( {pi } over {4} LEQ theta LEQ {pi } over {2} RIGHT )&`}}]

함수 [eqn: f(theta)`]는 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,~ {pi} over {2} RIGHT ] `]에서 연속이므로

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {f( theta )d theta } `]

[eqn: =` int _{0} ^{{pi } over {4}} {(sin` theta `-`cos` theta `+ sqrt {2} )`d theta `+ int _{{pi } over {4}} ^{{pi } over {2}} {2`sin theta `d theta }} `]

[eqn: = LEFT [ -cos theta -sin theta + sqrt {2} theta RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {4}} `+ LEFT [ -2cos theta RIGHT ] _{{pi } over {4}} ^{{pi } over {2}} `]

[eqn: =`1+ {sqrt {2}} over {4} pi `]

[eqn: a=1`], [eqn: b= {1} over {4} `]

따라서 [eqn: 20(a+b)=25]

(가) 두 직선 [eqn: l], [eqn: m `]은 서로 평행하고 [eqn: x `]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 각각 [eqn: theta `]이다.

(나) 두 직선 [eqn: l], [eqn: m `]은 곡선 [eqn: y= sqrt {2-x ^{2}}][eqn: LEFT ( -1leq x leq 1 RIGHT ) `]과 각각 만난다.

두 직선 [eqn: l `]과 [eqn: m] 사이의 거리의 최댓값을 [eqn: f LEFT (theta RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {f LEFT ( theta RIGHT ) d theta =a+b sqrt {2} pi `]이다. [eqn: 20 LEFT (a+b RIGHT ) `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a `]와 [eqn: b `]는 유리수이다.)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 06월 30

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 상수 [eqn: a][eqn: LEFT (0 < a < 2pi RIGHT ) `]와 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 83]

[해설]

조건 (나)

[eqn: int _{x} ^{x+a} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =sin LEFT ( x+ {pi } over {3} RIGHT )] 에서 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f LEFT ( x+a RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT ) =cos LEFT ( x+ {pi } over {3} RIGHT )]	[eqn: cdotscdots`]㉠

이 식의 양변에 [eqn: x=- {a} over {2}]를 대입하면

[eqn: f LEFT ( {a} over {2} RIGHT ) -f LEFT ( - {a} over {2} RIGHT ) =cos` LEFT ( - {a} over {2} + {pi } over {3} RIGHT )]

조건 (가)에서 의해

[eqn: f LEFT ( {a} over {2} RIGHT ) =f LEFT ( - {a} over {2} RIGHT )]이므로 [eqn: cos LEFT ( - {a} over {2} + {pi } over {3} RIGHT ) =0]

[eqn: 0<a<2 pi] 에서 [eqn: - {2} over {3} pi LEQ - {a} over {2} + {pi } over {3} LEQ {pi } over {3}]이므로

[eqn: - {a} over {2} + {pi } over {3} =- {pi } over {2}] 따라서 [eqn: a= {5 pi } over {3}]

㉠에서 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f prime LEFT ( x+a RIGHT ) -f prime LEFT ( x RIGHT ) =-sin LEFT ( x+ {pi } over {3} RIGHT )]

이 식에 [eqn: x=- {a} over {2}]를 대입하면

[eqn: f prime LEFT ( {a} over {2} RIGHT ) -f prime LEFT ( - {a} over {2} RIGHT ) =-sin LEFT ( - {a} over {2} + {pi } over {3} RIGHT )]

이때, 조건 (가) [eqn: f(x) = f( -x )]에서 [eqn: f` prime (x) `=`- `f` prime (x)`]이므로

[eqn: 2`f`prime left( a over2 right)`=` - sin left(- a over2 + pi over3 right)`]

[eqn: a= {5} over {3} pi]이므로  [eqn: 2`f` prime LEFT ( {5} over {6} pi RIGHT ) =-sin LEFT ( - {5 pi } over {6} + {pi } over {3} RIGHT ) =-sin LEFT ( - {pi } over {2} RIGHT ) =1]

[eqn: `f` prime LEFT ( {5} over {6} pi RIGHT ) = {1} over {2}]	[eqn: cdotscdots`]㉡

[eqn: f(x)=b`cos(3x)+c`cos(5x)]에서

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =-3b`sin(3x)-5c`sin(5x)]

[eqn: `f` prime LEFT ( {5} over {6} pi RIGHT ) =-3b`sin LEFT ( {5 pi } over {2} RIGHT ) -5c`sin LEFT ( {25 pi } over {6} RIGHT ) =-3b- {5c} over {2} = {1} over {2}]

[eqn: -6b-5c=1]	[eqn: cdotscdots`]㉢

한편 [eqn: int _{x} ^{x+a} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =sin LEFT ( x+ {pi } over {3} RIGHT )]의 양변에 [eqn: x=- {a} over {2}]를 대입하면

[eqn: int _{- {a} over {2}} ^{```` {a} over {2}} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =sin LEFT ( {pi } over {3} - {a} over {2} RIGHT )] 조건 (가)에서 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이므로 [eqn: 2 int _{0} ^{{a} over {2}} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =sin LEFT ( {pi } over {3} - {a} over {2} RIGHT )]

[eqn: 2 int _{0} ^{{a} over {2}} {LEFT { b`cos(3t)+c`cos(5t) RIGHT } dt}][eqn: =2 LEFT [ {b} over {3} `sin(3t)+ {c} over {5} `sin(5t) RIGHT ] _{0} ^{{a} over {2}}]

[eqn: =2 LEFT { {b} over {3} `sin LEFT ( {3a} over {2} RIGHT ) + {c} over {5} `sin LEFT ( {5a} over {2} RIGHT ) RIGHT }][eqn: =sin LEFT ( - {a} over {2} + {pi } over {3} RIGHT )]

양변에 [eqn: a= {5 pi } over {3}]을 대입하면

[eqn: 2 LEFT { {b} over {3} `sin left({5} over {2} pi right) + {c} over {5} `sin left({25} over {6} pi right) RIGHT } =sin` LEFT ( - {5 pi } over {6} + {pi } over {3} RIGHT )]

[eqn: 2 LEFT ( {b} over {3} + {c} over {5} TIMES {1} over {2} RIGHT ) =`sin` LEFT ( - {pi } over {2} RIGHT ) =-1]

[eqn: {2b} over {3} + {c} over {5} =-1]

[eqn: 10b+3c=-15]	[eqn: cdotscdots`]㉣

㉢, ㉣에서 [eqn: b=- {9} over {4} ``,~c= {5} over {2}]

따라서 [eqn: abc= {5} over {3} pi `・ LEFT ( - {9} over {4} RIGHT ) ・ {5} over {2} =- {75} over {8} pi]

[eqn: p=8`,`q=75]이므로

∴ [eqn: p+q=83]

(가) [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = f LEFT ( -x RIGHT )]

(나) [eqn: int_x ^x+a f LEFT (t RIGHT ) dt = sin` LEFT ( x + pi over 3 RIGHT )]

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0 ,`` a over 2 RIGHT ] `]에서 두 실수 [eqn: b], [eqn: c `]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = b cos` LEFT (3x RIGHT ) + c cos` LEFT (5 x RIGHT ) `]일 때 [eqn: a b c =`- q over p pi `]이다.
[eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 06월 29
[출처]	2017 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능완성 09 평면벡터 유형10 필수유형
[출처]	2018 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능완성 09 평면벡터 유형10 필수유형
[출처]	2019 일반_시중교재 EBS한국교육방송공사 EBS교육방송 편집부 수능완성 09 평면벡터 유형10 필수유형
[출처]	2022 일반_시중교재 좋은책신사고 홍범준,김의석,김형정,김형균,신사고수학콘텐츠연구회 쎈

양의 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f(t)]에 대하여 좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t ````( t ge 1)]에서의 위치 [eqn: LEFT (x ,`` y RIGHT ) `]가

[정답] [eqn: bold{15}]

[해설]

[eqn: t = { s + sqrt{s^2 + 4 }} over 2]에서 [eqn: 2t-s=sqrt {s^2 + t } ,```` 4t^2 - 4ts=4]이므로

[eqn: s = t - 1 over t]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: x=2 ln t ,```` y=f(t)]에서 [eqn: dx over dt = 2 over t ,```` dy over dt = f'(t)]이므로 시각 [eqn: t]에서의 속도는 [eqn: left( 2 over t ,```` f'(t) right)]이고, 가속도는 [eqn: left( - 2 over t^2 ,```` f''(t) right)]이다.

[eqn: t=2]일 때, 점 [eqn: P]의 속도가 [eqn: left( 1 ,```` 3 over 4 right)]이므로

[eqn: f'(2) = 3 over 4]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: s][eqn: = int_1 ^t sqrt{ left( dx over dk right)^2 + left( dy over dk right) ^2 } dk]
[eqn: = int_1 ^t sqrt{left( 2 over k right)^2 + left{ f'(k) right} ^2 } dk]
[eqn: = t - 1 over t] ([eqn: because] ㉠에 의해)

양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: sqrt{ left( 2 over t right)^2 + left{ f'(t) right}^2 } = 1 + 1 over t^2 ,````][eqn: left( 2 over t right)^2 + left{ f'(t) right}^2 = left( 1 + 1 over t^2 right)^2]

[eqn: left{ f'(t) right} ^2 = left( 1 - 1 over t^2 right)^2]

[eqn: f``'(t) = 1 - 1 over t^2] ([eqn: because] ㉡에 의해)

[eqn: f''(t) = 2 over t^3]이므로 [eqn: a = f''(2) = 1 over 4]

따라서 [eqn: 60a][eqn: = 60 times 1 over 4][eqn: = 15]

[eqn: x = 2 ln` t], [eqn: y = f LEFT (t RIGHT ) `]

이다. 점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: LEFT (0 ,`` f LEFT (1 RIGHT ) RIGHT ) `]로부터 움직인 거리가 [eqn: s]가 될 때 시각 [eqn: t]는 [eqn: t = { s + sqrt{s^2 + 4 }} over 2 `]이고, [eqn: t=2]일 때 점 [eqn: rm P]의 속도는 [eqn: LEFT ( 1 ,`` 3 over 4 RIGHT )`]이다. 시각 [eqn: t=2 `]일 때 점 [eqn: rm P]의 가속도를 [eqn: LEFT ( - 1 over 2 ,`` a RIGHT )`]라 할 때, [eqn: 60a]의 값을 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 30

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {3x-x ^{2}} over {2} `]에 대하여 구간 [eqn: LEFT [0,`` INF RIGHT )`]에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 9]

[해설]

직선 [eqn: y=x]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=n]으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 [eqn: {n ^{2}} over {2}]이다.

[eqn: 2 lim _{n-> inf} {` LEFT ( a _{n} - {n ^{2}} over {2} RIGHT )} = {241} over {768}]이므로

[eqn: F`` LEFT ( x RIGHT )][eqn: =h LEFT ( x RIGHT ) -x]
[eqn: = {cases{`g LEFT ( x RIGHT ) -x~&LEFT ( 0 LEQ x<5,~x`GEQk RIGHT )#`x-g LEFT ( x RIGHT ) ~&LEFT ( 5` LEQ x<k RIGHT )}}]

로 놓으면

[eqn: 2` lim _{n-> INF } {`} int _{0} ^{n} {`F`` LEFT ( x RIGHT ) `dx} = {241} over {768}]이다.

[eqn: n`LEQx<n+1]일 때

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) -x][eqn: = {1} over {2 ^{n}} LEFT { f LEFT ( x-n RIGHT ) - LEFT ( x-n RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {1} over {2 ^{n}} LEFT { {3} over {2} LEFT ( x-n RIGHT ) - {1} over {2} LEFT ( x-n RIGHT ) ^{2} - LEFT ( x-n RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {1} over {2 ^{n}} LEFT { {1} over {2} LEFT ( x-n RIGHT ) - {1} over {2} LEFT ( x-n RIGHT ) ^{2} RIGHT }]
[eqn: = {1} over {2 ^{n} +1} LEFT ( x-n RIGHT ) LEFT ( 1+n-x RIGHT )]
[eqn: =- {1} over {2 ^{n+1}} LEFT ( x-n RIGHT ) LEFT ( x- LEFT ( n+1 RIGHT ) RIGHT )]

이므로

[eqn: int _{n} ^{n+1} {` LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) -x RIGHT } `dx}]
[eqn: = int _{n} ^{n+1} {` LEFT { - {1} over {2 ^{n+1}} LEFT ( x-n RIGHT ) LEFT ( x- LEFT ( n+1 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT } `dx}]
[eqn: = int _{0} ^{1} {` LEFT { - {1} over {2 ^{n+1}} x LEFT ( x-1 RIGHT ) RIGHT } `dx}]
[eqn: =- {1} over {2 ^{n+1}} ` int _{0} ^{1} {`x LEFT ( x-1 RIGHT ) `dx}]
[eqn: = {1} over {2 ^{n+1}} times {1} over {6}]	[eqn: cdotscdots]㉠

한편,

[eqn: int _{0} ^{n} {`F`` LEFT ( x RIGHT ) `dx}]
[eqn: = int _{0} ^{1} {` LEFT ( x-g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) `dx} +cdots+ int _{4} ^{5} {` LEFT ( x-g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) `dx}]
[eqn: + int _{5} ^{6} {` LEFT ( x-g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) `dx} +cdots+` int _{k-1} ^{k} {` LEFT ( x-g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) `dx}]
[eqn: + int _{k} ^{k+1} {` LEFT ( x-g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) `dx} + CDOTS + int _{n-1} ^{n} {` LEFT ( x-g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) `dx}]

이때, ㉠은 [eqn: n=0]일 때도 성립하므로 ㉠에서

[eqn: 2` int _{0} ^{n} {`F`` LEFT ( x RIGHT ) `dx}]
[eqn: = {1} over {3} TIMES LEFT { {1} over {2} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + CDOTS + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} RIGHT }]
[eqn: - {1} over {3} TIMES LEFT { LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} + CDOTS + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} RIGHT }]
[eqn: + {1} over {3} TIMES LEFT { LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k+1} + CDOTS + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }]
[eqn: = {1} over {3} times LEFT { {1} over {2} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} +cdots+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }]
[eqn: - {2} over {3} times LEFT { LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} +cdots+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} RIGHT }]
[eqn: = {1} over {3} times {{1} over {2} times LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} over {1- {1} over {2}}]
[eqn: - {2} over {3} times {LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} times LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k-5} RIGHT }} over {1- {1} over {2}}]
[eqn: = {1} over {3} times LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT } - {2} over {3} times LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} times LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k-5} RIGHT }]
[eqn: = {1} over {3} times LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT } - {1} over {48} times LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k-5} RIGHT }]

따라서 [eqn: lim _{n-> INF } {` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}} =0]이므로

[eqn: 2` lim _{n-> INF } {`} int _{0} ^{n} {`F`` LEFT ( x RIGHT ) `dx}][eqn: = {1} over {3} - {1} over {48} times LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k-5} RIGHT }]
[eqn: = {15} over {48} + {1} over {48} times LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k-5}]

즉, [eqn: {15} over {48} + {1} over {48} TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k-5} = {241} over {768}]에서

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k-5} = {1} over {16}]이므로

[eqn: k-5=4]에서

[eqn: k=9]

(가) [eqn: 0 LEQ x<1`]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) `]이다.

(나) [eqn: n LEQ x<n+1`]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2 ^{n}} LEFT { f LEFT ( x-n RIGHT ) - LEFT ( x-n RIGHT ) RIGHT } +x`]이다.
(단, [eqn: n`]은 자연수이다.)

어떤 자연수 [eqn: k][eqn: LEFT ( k ge6 RIGHT )`]에 대하여 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]는

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``g LEFT ( x RIGHT )&LEFT ( 0 LEQ x<5```또는```x GEQ k RIGHT )#``2x-g LEFT ( x RIGHT ) ~&LEFT ( 5 LEQ x<k RIGHT )}}]

이다. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]을 [eqn: a _{n} = int _{0} ^{n} {h LEFT ( x RIGHT ) dx} `]라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 2a _{n} -n ^{2} RIGHT )} = {241} over {768} `]이다. [eqn: k`]의 값을 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 06월 30

실수 [eqn: t`]에 대하여 정의역이 [eqn: LEFT { x LEFT | 8 LEQ x LEQ 10 RIGHT . RIGHT } `]인 함수

[정답] [eqn: bold27]

[해설]

(ⅰ) [eqn: t<8`]일 때,
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) &=x ^{2} -18x+2 LEFT ( x-t RIGHT ) +80 =x ^{2} -16x-2t+80]
[eqn: = LEFT ( x-8 RIGHT ) ^{2} -2t+16]
이므로 [eqn: 8 LEQ x LEQ 10`]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=8`]에서
최솟값 [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) =`-2t+16`]을 갖는다.
따라서 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =`-2t+16`]이다.

(ⅱ) [eqn: 8 LEQ t<10`]일 때,
(ㄱ) [eqn: x<t`]인 경우
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -18x-2 LEFT ( x-t RIGHT ) +80][eqn: =x ^{2} -20x+2t+80]
[eqn: = LEFT ( x-10 RIGHT ) ^{2} +2t-20]
(ㄴ) [eqn: x GEQ t`]인 경우
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -18x+2 LEFT ( x-t RIGHT ) +80][eqn: =x ^{2} -16x-2t+80]
[eqn: = LEFT ( x-8 RIGHT ) ^{2} -2t+16]
(ㄱ), (ㄴ)에 의해
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT ( x-10 RIGHT ) ^{2} +2t-20&`` LEFT ( 8 LEQ x<t RIGHT )#LEFT ( x-8 RIGHT ) ^{2} -2t+16&`` LEFT ( t LEQ x LEQ 10 RIGHT )}}]
이다. 이때 [eqn: 8 LEQ x LEQ 10`]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는
다음과 같다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=t`]에서 최솟값 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = LEFT ( t-9 RIGHT ) ^{2} -1`]을
갖는다.
따라서 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = LEFT ( t-9 RIGHT ) ^{2} -1`]이다.

(ⅲ) [eqn: t GEQ 10`]일 때,
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -18x-2 LEFT ( x-t RIGHT ) +80]
[eqn: =x ^{2} -20x+2t+80]
[eqn: = LEFT ( x-10 RIGHT ) ^{2} +2t-20]
이므로 [eqn: 8 LEQ x LEQ 10`]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=10`]에서
최솟값 [eqn: f LEFT ( 10 RIGHT ) =2t-20`]을 갖는다.
따라서 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =2t-20``]이다.

(ⅰ)~(ⅲ)에서 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]는

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =` {cases{pile{-2t+16#LEFT ( t-9 RIGHT ) ^{2} -1}&pile{LEFT ( t<8 RIGHT )#``` LEFT ( 8LEQ t<10 RIGHT )}#``````````2t-20&````````` LEFT ( t GEQ 10 RIGHT )}}]

이고 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]의 그래프는 다음과 같다.

① [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =`-1`]([eqn: t=9`])일 때,
[eqn: lim _{n`-> ` INF } {LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2n} =1``}]이므로
[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {1+ LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2n}} = {1} over {1+1} = {1} over {2} `}]이다.

② [eqn: -1<g LEFT ( t RIGHT ) <1`]([eqn: {15} over {2} <t<9`]또는 [eqn: 9<t< {21} over {2} `])일 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2n} =0`}]이므로
[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {1+ LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2n}} = {1} over {1+0} =1} `]이다.

③ [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =1`]([eqn: t= {15} over {2} `] 또는 [eqn: t= {21} over {2} `])일 때,
[eqn: lim _{n`-> ` INF } {LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2n} =1``}]이므로
[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {1+ LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2n}} = {1} over {1+1} = {1} over {2} `}]이다.

④ [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) >1`]([eqn: t<` {15} over {2} `] 또는 [eqn: t> {21} over {2} `])일 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2n} = INF `}]이므로
[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {1+ LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2n}} =0`} `]이다.

그러므로 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]는 [eqn: t= {15} over {2} `,``9`,` {21} over {2}]에서 불연속이므로 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 9+ {15} over {2} + {21} over {2} =27`]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -18x+2 LEFT | x-t RIGHT | +80`]

의 최솟값을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]라 하자. 함수

[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {1+ LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2n}}} `]

이라 할 때, 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]가 [eqn: t=a`]에서 불연속이 되는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합을 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 21

양수 [eqn: t`]에 대하여 구간 [eqn: [left1,~INF right )`]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]가

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

이때 일차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 주어진 조건을 만족시키려면

[eqn: 1LEQx<e]일 때 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) LEQf LEFT ( x RIGHT )]이고,

[eqn: x`GEQ1]일 때 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) GEQf LEFT ( x RIGHT )]이어야 한다.

따라서 일차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 기울기의 최솟값 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]는 다음과 같다.

(ⅰ) 점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=-t+ln`x`` LEFT ( x GEQ e RIGHT )]에 그은 접선이 존재하지 않을 때

두 점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( e,~f LEFT ( e RIGHT ) RIGHT )]를 지나는 직선의 기울기가 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]이다.
즉, [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = {-t+ln`e} over {e-1} = {-t+1} over {e-1}]이다.
이때, [eqn: h`' LEFT ( t RIGHT ) = {-1} over {e-1}]이므로
[eqn: h`' LEFT ( {1} over {2e} RIGHT ) = {-1} over {e-1}]

(ⅱ) 점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=-t+ln`x`` LEFT ( x GEQ e RIGHT )]에 그은 접선이 존재할 때

그 접선의 기울기가 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]이다.
이때 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {x} `` LEFT ( x!=e RIGHT )]이므로 접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha]라 하면
[eqn: h` LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {alpha}]
이다.
한편, 접점 [eqn: LEFT ( alpha,~-t+ln`alpha RIGHT )]에서의 접선의 방정식은
[eqn: y- LEFT ( -t+ln`alpha RIGHT ) = {1} over {alpha} LEFT ( x-alpha RIGHT )]
이다.
이 접선이 점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )]을 지나므로
[eqn: t-ln`alpha= {1} over {alpha} -1]
[eqn: ln`alpha+ {1} over {alpha} =t+1]
이때 [eqn: h LEFT ( `t RIGHT ) = {1} over {alpha}]이므로
[eqn: ln` {1} over {h LEFT ( t RIGHT )} +h LEFT ( t RIGHT ) =t+1]
즉, [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) -ln`h LEFT ( t RIGHT ) =t+1]이다.
위 등식의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면
[eqn: h`' LEFT ( t RIGHT ) - {h`' LEFT ( t RIGHT )} over {h LEFT ( t RIGHT )} =1]
이므로 [eqn: h`' LEFT ( t RIGHT ) = {h LEFT ( t RIGHT )} over {h LEFT ( t RIGHT ) -1}]이다.
한편, 두 점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( e,~f LEFT ( e RIGHT ) RIGHT )], 즉 두 점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( e,~-t+1 RIGHT )]을 지나는 지선의 기울기는
[eqn: {-t+1} over {e-1}]
이고, 점 [eqn: lim _{x-> e+} {`f`' LEFT ( x RIGHT )} = {1} over {e}]이므로
[eqn: {-t+1} over {e-1} > {1} over {e}]
즉, [eqn: t< {1} over {e}]이면
[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = {-t+1} over {e-1}]이므로
[eqn: h`' LEFT ( t RIGHT ) = {-1} over {e-1}]이고,
[eqn: {-t+1} over {e-1} LEQ {1} over {2}]
즉, [eqn: t`GEQ {1} over {e}]이면
[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) -ln`h LEFT ( t RIGHT ) =t+1]
이므로
[eqn: h`' LEFT ( t RIGHT ) = {h LEFT ( t RIGHT )} over {h LEFT ( t RIGHT ) -1}]
이다.
[eqn: {1} over {2e} < {1} over {e}]이므로
[eqn: h`' LEFT ( {1} over {2e} RIGHT ) = {-1} over {e-1}]
한편, [eqn: t`LEQ {1} over {e}]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = {-t+1} over {e-1}]의 최솟값은
[eqn: h LEFT ( {1} over {e} RIGHT ) = {- {1} over {e} +1} over {e-1} = {1} over {e}]
이다.
한편, 양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: h LEFT ( a RIGHT ) = {1} over {e+2}]일 때
[eqn: h LEFT ( a RIGHT ) = {1} over {e+2} < {1} over {e} =h LEFT ( {1} over {e} RIGHT )]
이므로 [eqn: a> {1} over {e}]이다.
따라서
[eqn: h`' LEFT ( a RIGHT ) = {h LEFT ( a RIGHT )} over {h LEFT ( a RIGHT ) -1}]
[eqn: = {{1} over {e+2}} over {{1} over {e+2} -1} = {-1} over {e+1}]

따라서

[eqn: h`' LEFT ( {1} over {2e} RIGHT ) timesh`' LEFT ( a RIGHT )][eqn: = {-1} over {e-1} times {-1} over {e+1}]
[eqn: = {1} over {LEFT ( e-1 RIGHT ) LEFT ( e+1 RIGHT )}]

이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``ln`x~&LEFT ( 1 LEQ x<e RIGHT )#``-t+ln`x~~&LEFT ( x GEQ e RIGHT )}}]

일 때, 다음 조건을 만족시키는 일차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`] 중에서 직선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 기울기의 최솟값을 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]라 하자.

[eqn: 1] 이상의 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: LEFT ( x-e RIGHT ) LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } GEQ 0`]이다.

미분가능한 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )`]에 대하여 양수 [eqn: a`]가 [eqn: h LEFT ( a RIGHT ) = {1} over {e+2} `]을 만족시킨다. [eqn: h prime LEFT ( {1} over {2e} RIGHT ) TIMES h prime LEFT ( a RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: {1} over {LEFT ( e+1 RIGHT ) ^{2}}]	② [eqn: {1} over {e LEFT ( e+1 RIGHT )}]	③ [eqn: {1} over {e ^{2}}]

④ [eqn: {1} over {LEFT ( e-1 RIGHT ) LEFT ( e+1 RIGHT )}]	⑤ [eqn: {1} over {e LEFT ( e-1 RIGHT )}]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 03월 30

그림과 같이 제 [eqn: 1`]사분면에 있는 점 [eqn: {rm P} LEFT ( a,~2a RIGHT ) `]에서 곡선 [eqn: y=`- {2} over {x} `]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]라 할 때, [eqn: bar{rm PA it }^2 + bar{rm PB it ^{2}} + bar{rm AB it ^{2}} `]의 최솟값을 구하시오.

[정답] [eqn: 90]

[해설]

[eqn: rm A LEFT ( it alpha ,``- {2} over {alpha } RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( it beta ,``- {2} over {beta } RIGHT ) `]라 하자.

[eqn: y=it- {2} over {x} `]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면 [eqn: {dy} over {dx} = {2} over {x ^{`2}} `]

점 [eqn: rmA`]를 지나는 접선의 방정식은 [eqn: y= {2} over {alpha ^{`2}} LEFT ( x-alpha RIGHT ) - {`2} over {alpha} `]

즉, [eqn: y= {2} over {alpha ^{`2}} x- {4} over {alpha} `][eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉠

같은 방법으로 점 [eqn: rmB`]를 지나는 접선의 방정식은

[eqn: y= {2} over {beta ^{`2}} x- {4} over {beta } `][eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉡

㉠, ㉡이 모두 [eqn: rmP LEFT ( ita,``2a RIGHT ) `]를 지나므로

[eqn: 2a= {2a} over {alpha ^{`2}} - {4} over {alpha } `], [eqn: 2a= {2a} over {beta ^{`2}} - {4} over {beta } `]

즉, [eqn: a`alpha ^{`2} +2alpha-a=0`], [eqn: a beta ^{`2} +2beta-a=0`]이므로

[eqn: alpha `], [eqn: beta`]는 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +2x-a=0`]의 근이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해서

[eqn: alpha + beta =it- {2} over {a} `], [eqn: alpha ` beta =it-1`]

[eqn: rm {bar{PA}} ^{`2} + rm {bar{PB}} ^{`2}]

[eqn: = LEFT ( a- alpha RIGHT ) ^{`2} + LEFT ( 2a+ {`2} over {alpha } RIGHT ) ^{`2} + LEFT ( a-beta RIGHT ) ^{`2} + LEFT ( 2a+ {2} over {beta} RIGHT ) ^{`2}]
[eqn: =10`a ^{`2} -2a LEFT ( alpha + beta RIGHT ) + LEFT ( alpha ^{`2} + beta ^{`2} RIGHT ) +8a LEFT ( {1} over {alpha } + {1} over {beta } RIGHT ) +4 LEFT ( {1} over {alpha ^{`2}} + {1} over {beta ^{`2}} RIGHT )]
[eqn: =10`a ^{`2} +4+ LEFT { LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta RIGHT }]
[eqn: +8a TIMES {alpha + beta } over {alpha beta } +4times {LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta } over {LEFT ( alpha beta RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: =10a ^{`2} + {20} over {a ^{`2}} +30`],

[eqn: rm {bar{AB}} ^{`2}][eqn: = LEFT ( alpha - beta RIGHT ) ^{`2} + LEFT ( - {2} over {alpha } + {2} over {beta } RIGHT ) ^{`2}]
[eqn: =5 LEFT ( alpha-beta RIGHT ) ^{`2}]
[eqn: =5 LEFT { LEFT ( alpha+beta RIGHT ) ^{`2} -4`alpha`beta RIGHT }]
[eqn: =5 LEFT ( {4} over {a ^{`2}} +4 RIGHT )]
[eqn: = {20} over {a ^{`2}} +20]

그러므로 [eqn: rm {bar{PA}} ^{`2} + rm {bar{PB}} ^{`2}+ rm {bar{AB}} ^{`2}][eqn: =10a ^{`2} + {40} over {a ^{`2}} +50]

[eqn: a ^{`2} =t` LEFT ( t>0 RIGHT ) `]으로 놓고 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =10`t+ {40} over {t} +50`]이라 하면

[eqn: f`` prime LEFT ( t RIGHT ) =10- {40} over {t ^{`2}}][eqn: = {10 LEFT ( t ^{`2} -4 RIGHT )} over {t ^{`2}} `]

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]의 증가와 감소를 나타낸 표는 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f``prime LEFT ( t RIGHT )]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( t RIGHT )]		[eqn: SEARROW]	[eqn: 90`]	[eqn: NEARROW]

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]는 [eqn: t=2`]에서 최솟값 [eqn: 90`]을 갖는다.

[eqn: a^{`2}=2`]이므로 [eqn: a= root2`]에서 점 [eqn: \P`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( it sqrt {2} ,``2 sqrt {2} RIGHT ) `]이다.

따라서 [eqn: rm {bar{PA}} ^{2} +rm{bar{PB}} ^{2}][eqn: + rm {bar{AB}} ^{2}]의 최솟값은 [eqn: 90`]이다.

[다른 풀이]

절대부등식을 이용하면

[eqn: rm {bar{PA}} ^{`2} + rm {bar{PB}} ^{`2} + rm {bar{AB}} ^{`2}][eqn: =10a ^{`2} + {40} over {a ^{`2}} +50]
[eqn: GEQ 2 sqrt {10`a ^{`2} TIMES {40} over {a ^{`2}}} +50]
[eqn: =2 TIMES 20+50]
[eqn: =90`]

(단, 등호는 [eqn: 10`a ^{`2} = {40} over {a ^{`2}} `] 즉, [eqn: a=root2`]일 때 성립한다.)

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 04월 30

최고차항의 계수가 [eqn: 1 `]인 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]와 함수

[정답] [eqn: bold{ 50]

[해설]

(가)에서 [eqn: f(x)=x ^{m} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{n}] (단, [eqn: m], [eqn: n]은 자연수)

(나)에서 [eqn: lim _{x` -> `2} {{LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{3}} over {x ^{m} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{n}} = {cases{``````````0 _{`}^{`}&`````(n=1,``2) _{`}^{`}#````` {1} over {2 ^{m} _{`}^{`}}&`````(n=3) _{`}^{`}#```발산 _{`}^{`}&`````(n GEQ 4) _{`}^{`}}}}]

[eqn: therefore][eqn: n]은 [eqn: 3] 이하의 자연수

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =x ^{m-1} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{n-1} LEFT { LEFT ( m+n RIGHT ) x-2m RIGHT }]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x- {x ^{m} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{n}} over {x ^{m-1} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{n-1} LEFT { LEFT ( m+n RIGHT ) x-2m RIGHT }}]

(ⅰ) [eqn: m GEQ2], [eqn: n GEQ2]일 때
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x!=0], [eqn: x!=2], [eqn: x != {2m} over {m+n}]인 모든 실수에서 정의된다.
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {x LEFT { LEFT ( m+n-1 RIGHT ) x-2 LEFT ( m-1 RIGHT ) RIGHT }} over {LEFT ( m+n RIGHT ) x-2m}]
[eqn: {g LEFT ( x RIGHT )} over {x}][eqn: = {LEFT ( m+n-1 RIGHT ) x-2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {LEFT ( m+n RIGHT ) x-2m}]
[eqn: = {{2n} over {LEFT ( m+n RIGHT ) ^{2}}} over {x- {2m} over {m+n}} + {m+n-1} over {m+n}]
이고 점근선의 방정식은
[eqn: x= {2m} over {m+n}], [eqn: y= {m+n-1} over {m+n}]

[eqn: {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} =0]에서 [eqn: x= {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {m+n-1}]
함수 [eqn: LEFT | {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT |]는 [eqn: x= {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {m+n-1}]일 때 연속이고
미분가능하지 않다.
(다)에서
[eqn: {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {m+n-1} = {5} over {4}]
[eqn: m= {5n+3} over {3}]
[eqn: m]은 자연수이고 [eqn: n le3]인 자연수이므로
[eqn: m=6], [eqn: n=3]

(ⅱ) [eqn: m!=1], [eqn: n=1]일 때
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x!=0], [eqn: x != {2m} over {m+1}]인
모든 실수에서 정의된다.
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {x LEFT { mx-2 LEFT ( m-1 RIGHT ) RIGHT }} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) x-2m}]
함수 [eqn: LEFT | {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT |]는 [eqn: x= {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {m}]일 때 연속이고
미분가능하지 않다.
[eqn: {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {m} = {5} over {4}]
[eqn: therefore] 자연수 [eqn: m]이 존재하지 않는다.

(ⅲ) [eqn: m = 1], [eqn: n!=1]일 때
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x!=2], [eqn: x != {2} over {n+1}]인 모든 실수에서
정의된다.
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {nx ^{2}} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) x-2}]
함수 [eqn: LEFT | {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT |]는 [eqn: x= {5} over {4}]에서 미분가능하므로
조건 (다)를 만족시키지 않는다.

(ⅳ) [eqn: m=n=1]일 때
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x!=1]인 모든 실수에서 정의된다.
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {x ^{2}} over {2x-2}]
함수 [eqn: LEFT | {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT |]는 [eqn: x= {5} over {4}]에서 미분가능하므로
조건 (다)를 만족시키지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여 [eqn: m=6], [eqn: n=3]

[eqn: therefore][eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {2x LEFT ( 4x-5 RIGHT )} over {3 LEFT ( 3x-4 RIGHT )}]
[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = {8 LEFT ( 3x ^{2} -8x+5 RIGHT )} over {3 LEFT ( 3x-4 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x= 5 over3]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: LEFT ( {4} over {3} RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 5over 3]	[eqn: CDOTS]
[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	↗	[eqn: 2over3]	↘		↘	[eqn: 50 over27]	↗

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값 [eqn: k]는 [eqn: {50} over {27}]

따라서 [eqn: 27k=50]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x- {f LEFT ( x RIGHT )} over {f `' LEFT ( x RIGHT )}`]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0 `]의 실근은 [eqn: 0 `]과 [eqn: 2 `]뿐이고 허근은 존재하지 않는다.

(나) [eqn: lim _{x `->` 2} {{ LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{3}} over {f LEFT ( x RIGHT )}} `]이 존재한다.

(다) 함수 [eqn: LEFT | {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT |`]는 [eqn: x= {5} over {4} `]에서 연속이고 미분가능하지 않다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]의 극솟값을 [eqn: k `]라 할 때, [eqn: 27 k `]의 값을 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 07월 30

상수항을 포함한 모든 항의 계수가 유리수인 이차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가 있다. 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]가

[정답] [eqn: bold{71]

[해설]

[eqn: f(x)=a(x-m) ^{2} +n`]이라 하자.

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )=2a LEFT ( x-m RIGHT )`]이고 [eqn: f`'' LEFT ( x RIGHT )=2a`]이다.

두 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: y= LEFT | f` prime (x) RIGHT |`]는 각각

직선 [eqn: x=m`]에 대하여 대칭이므로

함수 [eqn: g(x)= LEFT | f` prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | e ^{f(x)}]의 그래프도

직선 [eqn: x=m`]에 대하여 대칭이다.

(ⅰ) [eqn: x>m`]인 경우
[eqn: a>0`]이면 함수 [eqn: y=f` prime left (x right )e ^{f(x)}`]는
실수 전체에서 증가하므로 함수 [eqn: g(x)`]의 최댓값이 존재하지 않는다.
그러므로 조건 (나)에 의하여 [eqn: a<0`]이다.
[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) `][eqn: =it- LEFT ( f` prime LEFT ( x RIGHT ) e ^{f(x)} RIGHT ) prime `]	[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) `][eqn: =it- LEFT [ f` '' LEFT ( x RIGHT ) + LEFT { f` prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} RIGHT ] `e ^{f(x)}]
[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) `][eqn: = LEFT { -4a ^{2} (x-m) ^{2} -2a RIGHT } `e ^{f(x)}]
방정식 [eqn: g `prime LEFT ( x RIGHT )=0`]을 만족하는 [eqn: x`]는 한 개이고
그 값을 [eqn: p`][eqn: LEFT ( p>m RIGHT )`]이라 하자.
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 [eqn: x=p`]에서 극댓값을 갖고,
그 값이 최댓값이다.

(ⅱ) [eqn: x<m`]인 경우
함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프는
직선 [eqn: x=m`]에 대하여 대칭이므로
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 [eqn: x=2m-p`]에서 극댓값을 갖고,
그 값이 최댓값이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g(m)`=0`]이고, 함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=2`]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: m=2`]이다.

함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=p`]에서 최댓값이 [eqn: 4 sqrt {e}`]이므로

[eqn: g(p)= LEFT | f` prime LEFT ( p RIGHT ) RIGHT | e ^{f(p)} =4 sqrt {e} `]이다.

상수항을 포함한 모든 항의 계수가 유리수이므로

[eqn: f` prime LEFT ( p RIGHT )` =2a(p-2)=-4]	…… ㉠

[eqn: f(p)=a LEFT ( p-2 RIGHT ) ^{2} +n= {1} over {2}]	…… ㉡

또한 함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=p`]에서 극댓값을 가지므로

[eqn: g` prime LEFT ( p RIGHT ) =0]에서 [eqn: 2a(p-2) ^{2} +1=0]	…… ㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의하여 [eqn: n=1`], [eqn: p= 9 over4`]이므로

[eqn: a=it-8]

[eqn: f(x)=a(x-m) ^{2} +n=`-8(x-2) ^{2} +1]

따라서 [eqn: LEFT | f(-1) RIGHT | =71]

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= LEFT | f `' LEFT (x RIGHT ) RIGHT | e ^{f LEFT (x RIGHT )} `]

일 때, 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]는 [eqn: x=2 `]에서 극솟값을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]의 최댓값은 [eqn: 4 sqrt {e} `]이다.

(다) 방정식 [eqn: g LEFT (x RIGHT )=4 sqrt {e} `]의 근은 모두 유리수이다.

[eqn: LEFT | f LEFT (-1 RIGHT ) RIGHT | `]의 값을 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 30

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= ln LEFT (e^x +1 RIGHT ) +2e^x `]에 대하여 이차함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )`]와 실수 [eqn: k `]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold{6]

[해설]

함수 [eqn: h(x)]의 최솟값이 [eqn: g(k)]이므로 [eqn: LEFT | `g(k) - f(0)`RIGHT |=g(k)]에서

[eqn: g(k)-f(0)=`g(k)] 또는 [eqn: g(k) - f(0)`=it-g(k)]

그런데 [eqn: f(0) = ln`2`+`2 != 0] 이므로 [eqn: g(k) - f(0) `=it -g(k)]

즉 [eqn: g(k) = 1over2 f(0) = ln`root2 `+`1]

한편, 함수 [eqn: y= g(x) - f(x-k)]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나면 함수 [eqn: h(x)`]의 최솟값은 [eqn: 0]이다.

[eqn: f(x)>0]이고, [eqn: f`'(x)`=`e^x over {e^x + 1} + 2e^x`>`0]이므로 함수 [eqn: y=g(x) - f(x-k)`]의 그래프는 제[eqn: 3]사분면과 제[eqn: 4]사분면에 그려진다.

즉 [eqn: h(x) = f(x-k) -g(x)]

[eqn: h`'(x)`=`f`'(x-k) - g`'(x)`]이므로

[eqn: h`'(k) `=`f`'(0)-g`'(k)`=`0]에서

[eqn: g`'(k) = f`'(0)`=` 1over2 +2`=`5over2]

[eqn: g(x) `=` ax^2 +bx +c~(a!= 0)]으로 놓으면

[eqn: g`'(x)`=`2ax +b]

[eqn: g(k) = ak^2 +bk +c`=`ln`root2 +1~~cdotscdots] ㉠

[eqn: g`'(k)`=`2ak +b`=` 5over2 ~cdotscdots] ㉡

이때, [eqn: h(k-1)`<`h(k+1)`]이므로

닫힌 구간 [eqn: [k-1`,~k+1`]]에서 함수 [eqn: h(x)]의 최댓값은 [eqn: h(k+1)]이다.

[eqn: h(k+1)][eqn: = f(1) - g(k+1)]
[eqn: =`ln`(1+e) +2e - a(k+1)^2 -b(k+1) -c]
[eqn: =` ln `(1+e)`+2e`-(ak^2 +bk+c) -(2ak+b) -a]

㉠, ㉡에서

[eqn: h(k+1) =`ln`(1+e) +2e - (ln`root2 +1 ) - 5 over 2 - a]

함수 [eqn: h(x)]의 최댓값이 [eqn: 2e + ln`left( 1+e over root2 right)`]이므로

[eqn: ln`(1+e) + 2e - (ln`root2 `+1 ) - 5over2 -a][eqn: `=`2e + ln`left ( 1+e over root2 right)] 에서 [eqn: a`=`it - 7over2]

따라서

[eqn: g`'left(k - 1over2 right)`=`2a left(k - 1over2 right) +b][eqn: `=`(2ak +b ) -a][eqn: `=` 5over2 - left( - 7 over 2 right)`=`6]

함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT ) = LEFT | g LEFT (x RIGHT ) - f LEFT (x-k RIGHT ) RIGHT |`]는 [eqn: x=k `]에서 최솟값 [eqn: g LEFT (k RIGHT ) `]를 갖고, 닫힌 구간 [eqn: LEFT [k-1 ,`` k+1 RIGHT ] `]에서 최댓값 [eqn: 2e + ln LEFT ({1+e}overroot2 RIGHT ) `]를 갖는다.

[eqn: g `' LEFT ( k - 1over2 RIGHT ) `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 5over2 < e<3`]이다.)

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

함수 [eqn: f(x)= left(x^{3}-a right) e^{x}]과 실수 [eqn: t]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=t]의 실근의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 불연속인 점의 개수가 [eqn: rm 2]가 되도록 하는 [eqn: rm 10] 이하의 모든 자연수 [eqn: a]의 값의 합을 구하시오. (단, [eqn: lim _{x `->` - INF } {} f LEFT (x RIGHT )=0])

[정답] [eqn: 49]

[해설]

[eqn: f(x)= left(x^{3}-a right) e^{x}]에서 [eqn: f `prime (x)= left(x^{3}+3 x^{2}-a right) e^{x}]이므로

가능한 극점의 개수는 [eqn: rm 1]개 또는 [eqn: rm 3]개 인데,

[eqn: lim _{x ``rarrow``- inf } f(x)=0], [eqn: lim _{x ``rarrow`` inf } f(x)= inf]이므로 그래프의 개형은 극점에 개수에 따라 다음과 같다.

극점이 [eqn: rm 3]개인 경우는 [eqn: g(t)]가 불연속인 점이 [eqn: rm 3]곳이고

극점이 [eqn: rm 1]개인 경우는 [eqn: g(t)]가 불연속인 점이 [eqn: rm 2]곳이다.

따라서 주어진 조건을 만족하려면 극점이 [eqn: rm 1]개일 때이다.

[eqn: f `prime (x)]에서 [eqn: h(x)=x^{3}+3 x^{2}-a]의 값의 부호의 변화가 [eqn: rm 1]번만 생길 때이다. [eqn: h(x)]에 대하여 살펴보면

[eqn: h prime LEFT (x RIGHT )=3x ^{2} +6x=3x LEFT (x+2 RIGHT )]

이므로 위의 조건을 만족하려면 [eqn: h LEFT (0 RIGHT )h LEFT (-2 RIGHT ) GEQ 0]이다.

[eqn: h LEFT (0 RIGHT )h LEFT (-2 RIGHT )=a LEFT (a-4 RIGHT ) GEQ 0], [eqn: a leq 0] 또는 [eqn: a geq 4]

그러므로 [eqn: rm 10] 이하의 자연수 [eqn: a]의 값의 합은

[eqn: 4+5+6+7+8+9+10=49]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 03월 21

구간 [eqn: LEFT [ 0,`` 1 RIGHT ] `]에서 정의된 연속함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여 함수

[정답] ④

[해설]

ㄱ. (가)의 [eqn: F`(x) = f(x) -x`]를 (나)의 [eqn: F`(x)`]에 대입하면

[eqn: int_0 ^1 F`(x)` dx][eqn: = int_0 ^1 left{ f(x)-x right}` dx]
[eqn: = int_0 ^1 f(x)` dx- int_0 ^1 x` dx]
[eqn: =int _0 ^1 f(x)`dx - 1 over 2`]
[eqn: =F`(1) - 1 over 2`]

이므로 [eqn: F`(1) = e- 5 over 2 + 1 over 2][eqn: = e-2`] (거짓)

ㄴ. (가)의 [eqn: F`(x) = f(x) -x`]를 [eqn: int_0 ^1 xF`(x) dx]의 [eqn: F`(x)`]에 대입하면

[eqn: int_0 ^1 xF`(x) dx][eqn: =int_0 ^1 x left { f(x) -x right}` dx]
[eqn: =int _0 ^1 left { xf(x) - x^2 right} `dx`]
[eqn: =int _0 ^1 xf(x)`dx -int _0 ^1 x^2 `dx`]
[eqn: = left[ pile {`#`} xF`(x) right ] _0^1 - int _0 ^1 F`(x)` dx - 1 over 3]
[eqn: =F`(1) - left ( e - 5 over 2 right) - 1 over 3]
[eqn: = e-2 -e + 5 over 2 - 1 over 3][eqn: = 1 over 6] (참)

ㄷ. [eqn: F` LEFT ( 0 RIGHT ) = int _{0} ^{0} {f LEFT ( t RIGHT )} `dt`][eqn: =0`]이고, [eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT )} `dt`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면 [eqn: F ``` prime LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) `]

(가)에 의해서

[eqn: int _0 ^1 left{F`(x)right}^2` dx][eqn: =int _0 ^1 F`(x) left { f(x) - x right} ` dx]
[eqn: =int _0 ^1 F`(x) f(x)`dx - int _0 ^1 x F`(x) ` dx][eqn: =int _0 ^1 F`(x) F``'(x)`dx - int _0 ^1 x F`(x) ` dx]
[eqn: =][eqn: left[ 1 over 2 left{F`(x) right}^{`2} right] _0 ^1 - 1 over 6]
[eqn: = 1 over 2 left{F`(1) right} ^{`2}- 1 over 2 left{F`(0) right} ^{`2} - 1 over 6]
[eqn: = 1 over 2 (e-2)^{`2} - 1 over 6]
[eqn: = 1 over 2 e^{`2} - 2e + 11 over 6] (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[다른 풀이]

[eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT )} `dt`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: F ``` prime LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) `]

조건 (가)의 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) -x`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 두 번 미분하면 [eqn: f``'(x) = f``''(x)`]

[eqn: {f``''(x) }over {f``'(x)} =1]이므로 양변을 [eqn: x`]에 대하여 적분하면

[eqn: ln|` f``'(x)`| = x +C_{`1} `](단, [eqn: C_{`1}`]는 적분상수)

[eqn: ` f``'(x) = C_{`2}` e^{`x}](단, [eqn: C_{`2}`]는 상수)이므로 양변을 [eqn: x`]에 대하여 적분하면 [eqn: f(x) = C_{`2} e^{`x} + C_{`3}](단, [eqn: C_{`3}`]은 적분상수)

[eqn: 0=F`(0) = f(0) -0], [eqn: f(0)=0]

[eqn: f`(x) = f``'(x)-1]이므로 [eqn: f``'(0) =1`]

[eqn: ` f``'(x) = C_{`2}` e^{`x}], [eqn: f(x) = C_{`2} e^{`x} + C_{`3}]에 [eqn: x=0`]을 대입하면

[eqn: ` f``'(0) = C_{`2}=1], [eqn: f(0) = C_{`2} + C_{`3} =0], [eqn: C_{`3}= it -1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{`x} -1]

이를 조건 (가)에 대입하면

[eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) =e ^{`x} -x-1`]

[eqn: int _{0} ^{1} {F` LEFT ( x RIGHT )} `dx][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( e ^{`x} -x-1 RIGHT )} `dx]
[eqn: = LEFT [ e ^{`x} - {1} over {2} x ^{`2} -x RIGHT ] _{0}^{1}]
[eqn: = LEFT ( e-1 RIGHT ) - {`1} over {2} -1]
[eqn: =e- {5} over {2}`]

이므로 함수 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) =e ^{`x} -x-1`]은 조건 (나)를 만족시킨다.

ㄱ. [eqn: F` LEFT ( 1 RIGHT ) =e ^{`1} -1-1=e-2`] (거짓)

ㄴ. [eqn: int _{0} ^{1} {x`F` LEFT ( x RIGHT )} `dx][eqn: = int _{0} ^{1} {x` LEFT ( e ^{`x} -x-1 RIGHT )} `dx`]
[eqn: = int _{0} ^{1} {x`e ^{`x}} `dx- int _{0} ^{1} {x ^{`2}} `dx- int _{0} ^{1} {x} `dx]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} x`e ^{`x} RIGHT ] _{0}^{1} - int _{0} ^{1} {e ^{`x}} `dx- LEFT [ {1} over {3} x ^{`3} RIGHT ] _{0}^{1} - LEFT [ {1} over {2} x ^{`2} RIGHT ] _{0}^{1}]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} x`e ^{`x} RIGHT ] _{0}^{1} - LEFT [ pile{`#`} e ^{`x} RIGHT ] _{0}^{1} - LEFT [ {1} over {3} x ^{`3} RIGHT ] _{0}^{1} - LEFT [ {1} over {2} x ^{`2} RIGHT ] _{0}^{1}]
[eqn: =e- LEFT ( e-1 RIGHT ) - {1} over {3} - {1} over {2}][eqn: = {1} over {6}] (참)

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { F` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} `dx][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( e ^{`x} -x-1 RIGHT ) ^{2}} `dx]
[eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT { e ^{`2x} +x ^{`2} +1-2x`e ^{`x} +2x-2e ^{`x} RIGHT }} `dx][eqn: = int _{0} ^{1} {e ^{`2x}} `dx+ int _{0} ^{1} {x ^{`2}} `dx+ int _{0} ^{1} {1} `dx]	[eqn: -2 int _{0} ^{1} {x`e ^{`x}} `dx+ int _{0} ^{1} {2x} `dx-2 int _{0} ^{1} {e ^{`x}} `dx][eqn: = LEFT [ {e ^{`2x}} over {2} RIGHT ] _{0}^{1} + LEFT [ {1} over {3} x ^{`3} RIGHT ] _{0}^{1} + LEFT [ pile{`#`} x RIGHT ] _{0}^{1}][eqn: -2 LEFT [ pile{`#`} x`e ^{`x} RIGHT ] _{0}^{1} +2 LEFT [ pile{`#`} e ^{`x} RIGHT ] _{0}^{1} + LEFT [ pile{`#`} x ^{`2} RIGHT ] _{0}^{1} -2 LEFT [ pile{`#`} e ^{`x} RIGHT ] _{0}^{1} `][eqn: = {1} over {2} LEFT ( e ^{2} -1 RIGHT ) + {1} over {3} +1-2 TIMES 1+1-2 LEFT ( e-1 RIGHT )][eqn: = {1} over {2} e ^{2} -2e+ {11} over {6}] (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: F` LEFT (x RIGHT )=int _0 ^{ x} f LEFT (t RIGHT ) dt][eqn: LEFT ( 0 le x le 1 RIGHT )]

은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: F` LEFT (x RIGHT ) = f LEFT (x RIGHT ) -x]

(나) [eqn: int_0 ^1 F` LEFT (x RIGHT ) dx = e - 5 over 2]

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: F` LEFT (1 RIGHT ) = e] ㄴ. [eqn: int_0 ^1 xF` LEFT (x RIGHT ) dx = 1 over 6] ㄷ. [eqn: int _0 ^1 left{F` LEFT (x RIGHT )right}^{ 2} dx = 1 over 2 e^{ 2} -2 e + 11 over 6]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 10월 30

그림과 같이 길이가 [eqn: 2 `]인 선분 [eqn: \AB] 위의 점 [eqn: \P `]를 지나고 선분 [eqn: \AB `]에 수직인 직선이 선분 [eqn: \AB `]를 지름으로 하는 반원과 만나는 점을 [eqn: \Q `]라 하자. [eqn: {bar\AP}=x `]라 할 때, [eqn: S` LEFT (x RIGHT ) `]를 다음과 같이 정의한다. [eqn: 0<x<2 `]일 때 [eqn: S` LEFT (x RIGHT ) `]는 두 선분 [eqn: \AP], [eqn: \PQ `]와 호 [eqn: \AQ `]로 둘러싸인 도형의 넓이이고, [eqn: x=2``]일 때 [eqn: S` LEFT (x RIGHT ) `]는 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원의 넓이이다.

[정답] [eqn: 80]

[해설]

[eqn: S` LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {sqrt {1- LEFT ( t-1 RIGHT ) ^{2}}} `dt`]이므로

[eqn: S`prime LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {1- LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}} `]

[eqn: f( theta )=S` LEFT ( 1+sin` theta RIGHT ) -S` LEFT ( 1+cos` theta RIGHT ) `]라 하면

[eqn: LEFT . f` prime ( theta RIGHT )][eqn: =S` prime LEFT ( 1+sin theta RIGHT ) `cos` theta +S` prime LEFT ( 1+cos` theta RIGHT ) `sin theta `]
[eqn: = sqrt {1-sin ^{2} theta } `cos` theta + sqrt {1-cos ^{2} ` theta } `cos` theta][eqn: = LEFT | cos` theta RIGHT | cos` theta + LEFT | sin` theta RIGHT | `sin` theta `]

(ⅰ) [eqn: 0 LEQ theta < {pi } over {2}]일 때,
[eqn: f` prime LEFT ( theta RIGHT ) =cos ^{2} theta +sin ^{2} ` theta][eqn: =1]이므로 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = theta +C _{1}]
([eqn: C _{1`}]은 적분상수)
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =S` LEFT ( 1 RIGHT ) -S` LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =it- {pi} over {4} `]이므로 [eqn: C _{1} =it- {pi } over {4}]
따라서 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = theta - {pi } over {4}]

(ⅱ) [eqn: {pi } over {2} LEQ theta < pi `]일 때,
[eqn: f` prime LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = it -cos` ^{2} theta +sin ^{2} theta `][eqn: = it -cos`2` theta `]이므로
[eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = it - {1} over {2} `sin2 theta +C _{2} `] ([eqn: C _{2`}]는 적분상수)
[eqn: f LEFT ( {pi} over {2} RIGHT ) =S` LEFT ( 2 RIGHT ) -S` LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = {{pi } over {4} `}]이므로 [eqn: C _{2} = { pi } over {4} `]
따라서 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = it - {1} over {2} `sin2 theta + {pi } over {4} `]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: y=f(theta)`]의 구간 [eqn: left[ pi over 4 ,`` 3 over 4 pi right]]에서의 그래프는 그림의 실선 부분이다.

[eqn: int _{{pi } over {4}} ^{{3} over {4} pi } {f LEFT ( theta RIGHT )} `d theta][eqn: = int _{{pi } over {4}} ^{{pi } over {2}} {LEFT ( theta - {pi } over {4} RIGHT )} `d theta + int _{{pi } over {2}} ^{{3} over {4} pi } {LEFT ( - {1} over {2} `sin2 theta + {pi } over {4} RIGHT )} `d theta]
[eqn: = LEFT [ {1} over {2} theta ^{2} - {pi } over {4} theta RIGHT ] _{{pi } over {4}}^{{pi } over {2}} + LEFT [ {1} over {4} `cos2 theta + {pi } over {4} theta RIGHT ] _{{pi } over {2}}^{{3} over {4} pi } `]
[eqn: = {1} over {4} + {3} over {32} pi ^{2} `]

따라서 [eqn: p = 1 over 4], [eqn: q = 3 over 32`]이므로 [eqn: 30p over q][eqn: = 80]

[eqn: int _ {piover 4 } ^ { 3 over 4 pi } left{ S` LEFT (1+sin` theta RIGHT ) - S` LEFT (1+cos` theta RIGHT ) right} d theta=p+q pi ^{2} `]

일 때, [eqn: 30p over q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 유리수이다.)

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 30

실수 [eqn: t `]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]를

[정답] [eqn: 21]

[해설]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

한편, 함수 [eqn: y=cos` LEFT ( pix RIGHT )]의 주기는 [eqn: {2pi} over {pi} =2]이므로 홀수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: y=cos` LEFT ( pix RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

한편, [eqn: x<t-1] 또는 [eqn: x>t+1]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]이므로 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ a,~b RIGHT ]]가 [eqn: (-inf,~t-1]]에 포함되거나 [eqn: [t+1,~inf)]에 포함되면

[eqn: int _{a} ^{b} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx} =0]

이다.

따라서 [eqn: t]의 값을 증가시키면서 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]를 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: t+1LEQk]일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{k} ^{k+8} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: = int _{k} ^{k+8} {`0times`cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx} =0]

(ⅱ) [eqn: t-1LEQk`LEQt+1]일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{k} ^{k+8} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: = int _{k} ^{t+1} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pi x RIGHT ) `dx}]

(ⅲ) [eqn: k`LEQt-1<t+1LEQk+8]일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{k} ^{k+8} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: = int _{t-1} ^{t+1} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]

(ⅳ) [eqn: t-1LEQk+8LEQt+1]일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{k} ^{k+8} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: = int _{t-1} ^{k+8} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]

(ⅴ) [eqn: t-1GEQk+8]일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{k} ^{k+8} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: = int _{k} ^{k+8} {`=timescos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx} =0]

한편, 다음 그래프에서 함수 [eqn: int _{t-1} ^{t+1} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]는 [eqn: t]가 홀수일 때 극소이자 최소아고, [eqn: t]가 짝수일 때 극대이자 최대임을 알 수 있다.

[[eqn: t]가 홀수일 때]

[[eqn: t]가 짝수일 때]

그런데,

[eqn: int _{0} ^{1} {` LEFT ( 1-x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {pi} LEFT ( 1-x RIGHT ) `sin` LEFT ( pix RIGHT ) RIGHT ] _{0} ^{1} + {1} over {pi} int _{0} ^{1} {`sin` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]

[eqn: =0+ {1} over {pi} LEFT [ - {1} over {pi} `cos` LEFT ( pix RIGHT ) RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: = {2} over {pi ^{2}}]

이므로 [eqn: t]가 [eqn: k`LEQt-1<t+1LEQk+8]인 홀수일 때

[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{k} ^{k+8} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: = int _{t-1} ^{t+1} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: = int _{-1} ^{1} {`f LEFT ( x+t RIGHT ) `cos` LEFT { pi LEFT ( x+t RIGHT ) RIGHT } `dx}]
[eqn: =- int _{-1} ^{1} {` LEFT ( 1- LEFT | x RIGHT | RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: =-2 int _{0} ^{1} {` LEFT ( 1-x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: =- {4} over {pi ^{2}}]

이고, [eqn: t]가 [eqn: k`LEQt-1<t+1LEQk+8]인 짝수일 때

[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{k} ^{k+8} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: = int _{t-1} ^{t+1} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: = int _{-1} ^{1} {`f LEFT ( x+t RIGHT ) `cos` LEFT { pi LEFT ( x+t RIGHT ) RIGHT } `dx}]
[eqn: = int _{-1} ^{1} {` LEFT ( 1- LEFT { x RIGHT } RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: =2 int _{0} ^{1} {` LEFT ( 1-x RIGHT ) `cos` LEFT ( pi x RIGHT ) `dx}]
[eqn: = {4} over {pi ^{2}}]

이다.

그런데 [eqn: k]는 홀수이므로 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 다음과 같이 극솟값을 갖는다.

(1) [eqn: t=k]에서 극솟값
[eqn: int _{k} ^{k+8} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: = int _{k} ^{k+1} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: =- int _{0} ^{1} {` LEFT ( 1-x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: =- {2} over {pi ^{2}}]
을 갖는다.

(2) [eqn: t=k+8]에서 극솟값
[eqn: int _{k} ^{k+8} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: = int _{k+7} ^{k+8} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: =- int _{-1} ^{0} {` LEFT ( 1+x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: =- int _{0} ^{1} {` LEFT ( 1-x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: =- {2} over {pi ^{2}}]
를 갖는다.

(3) [eqn: t=k+2]에서 극솟값
[eqn: int _{k} ^{k+8} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: = int _{k+1} ^{k+3} {`f LEFT ( x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: =- int _{-1} ^{1} {` LEFT ( 1+x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: =-2 int _{0} ^{1} {` LEFT ( 1-x RIGHT ) `cos` LEFT ( pix RIGHT ) `dx}]
[eqn: =- {4} over {pi ^{2}}]
를 갖는다.

(4) [eqn: t=k+4], [eqn: +6]에서도 (3)과 마찬가지로 극솟값
[eqn: - {4} over {pi ^{2}}]
를 갖는다.

이상에서

[eqn: alpha _{1} =k], [eqn: alpha _{2} =k+2], [eqn: alpha _{3} =k+4], [eqn: a _{4} =k+6], [eqn: alpha _{5} =k+8]

이고,

[eqn: g LEFT ( alpha _{1} RIGHT ) =g LEFT ( alpha _{8} RIGHT ) =- {2} over {pi ^{2}}]

[eqn: g` LEFT ( alpha _{2} RIGHT ) =g LEFT ( alpha _{3} RIGHT ) =g LEFT ( alpha _{4} RIGHT ) =- {4} over {pi ^{2}}]

이다.

이때 [eqn: sum _{i=1} ^{m} alpha _{`i} =5k+20=45]이므로

[eqn: k=5]

또,

[eqn: sum _{i=1} ^{m} `g LEFT ( alpha _{i} RIGHT )][eqn: = sum _{i=1} ^{5} `g LEFT ( alpha _{i} RIGHT )]
[eqn: =- {1} over {pi ^{2}} LEFT ( 2+4+4+4+2 RIGHT )]
[eqn: =- {16} over {pi ^{2}}]

따라서

[eqn: k-pi ^{2} ` sum _{i=1} ^{m} `g LEFT ( alpha _{i} RIGHT )][eqn: =5-pi ^{2} times LEFT ( - {16} over {pi ^{2}} RIGHT )]
[eqn: =5+16=21]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`` 1- LEFT | x-t RIGHT | &~ LEFT ( LEFT | x-t RIGHT | LEQ 1 RIGHT )# ~~~~0 &~ LEFT ( LEFT | x-t RIGHT | >1 RIGHT )}}`]

이라 할 때, 어떤 홀수 [eqn: k `]에 대하여 함수

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = int _{k} ^{k+8} { f LEFT ( x RIGHT ) cos` LEFT ( pi x RIGHT ) dx}`]

가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )`]가 [eqn: t=alpha`]에서 극소이고 [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT ) <0`]인 모든 [eqn: alpha`]를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 [eqn: alpha _{ 1}], [eqn: alpha _{ 2}],[eqn: `CDOTS`], [eqn: alpha _{ m}] ([eqn: m`]은 자연수)라 할 때, [eqn: sum _{i=1} ^{m} alpha _{ i} =45`]이다.

[eqn: k-pi ^{ 2} sum _{i=1} ^{m} g LEFT ( alpha _{ i} RIGHT )`]의 값을 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 06월 30

실수 [eqn: a `]와 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=ln LEFT (x ^{4} +1 RIGHT )-c] ([eqn: c>0]인 상수)에 대하여 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]를

[정답] [eqn: bold{16]

[해설]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{a} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT )} dt`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]

조건 (가)에서 [eqn: g`' LEFT ( 1 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =ln2-c=0]에서 [eqn: c=ln2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln LEFT ( x ^{4} +1 RIGHT ) -ln2]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = {4x ^{3}} over {x ^{4} +1}]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=0]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 극솟값 [eqn: -ln2]를 갖고, 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]이므로 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

조건 (가)에서 그림과 같이 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: x`]축 및 직선 [eqn: x= alpha _{1} ` LEFT ( `alpha _{1} <`-1` RIGHT )]로 둘러싸인 부분의 넓이가 같아지도록 [eqn: alpha _{1}]을 정할 수 있다.

이때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{a} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =0]을 만족시키는 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 [eqn: a`]의 값은

[eqn: alpha _{1} ,~ alpha _{2} = it -1,~ alpha _{3} =1,~ alpha _{4} = it - alpha _{1}]

이므로 [eqn: m=4]이다.

따라서 조건을 만족시키는 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

한편,

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx}][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT { -f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} dx]
[eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT { -g' LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} dx]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} -g LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ] _{0} ^{1}]
[eqn: = it -g LEFT ( 1 RIGHT ) +g LEFT ( 0 RIGHT )]
[eqn: =g LEFT ( 0 RIGHT )]

즉, [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) = int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} dx]

[eqn: int _{alpha _{1}} ^{alpha _{4}} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값은 위의 그림에서 직사각형의 넓이와 같으므로

[eqn: int _{alpha _{1}} ^{alpha _{4}} {g LEFT ( x RIGHT )} dx][eqn: = LEFT ( 0- alpha _{1} RIGHT ) TIMES 2g LEFT ( 0 RIGHT )]
[eqn: = it -2 alpha _{1} TIMES int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx}]
[eqn: =2 alpha _{4} TIMES int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} dx]

이므로 조건 (나)에서 [eqn: k=2]

따라서 [eqn: c=ln2,~m=4,~k=2]이므로

[eqn: mk TIMES e ^{c}][eqn: =4 TIMES 2 TIMES e ^{ln2}]
[eqn: =4 TIMES 2 TIMES 2=16]

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= int _{a} ^{x} {} f LEFT (t RIGHT )dt `]

라 하자. 함수 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT ) `]의 그래프가 [eqn: x `]축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 [eqn: 2 `]가 되도록 하는 모든 [eqn: a `]의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면

[eqn: alpha_1], [eqn: alpha_2],[eqn: `CDOTS`], [eqn: alpha_m] ([eqn: m`]은 자연수[eqn: )`]

이다. [eqn: a=alpha_1 `]일 때, 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]와 상수 [eqn: k `]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]는 [eqn: x=1 `]에서 극솟값을 갖는다.

(나) [eqn: int _{alpha _{1}} ^{alpha _{m}} {g LEFT (x RIGHT )dx} =k alpha _{m} int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT |} dx `]

[eqn: mk TIMES e ^{c }`]의 값을 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 09월 21

수열 [eqn: left{a_n right} `]이

[정답] ②

[해설]

방정식 [eqn: int _{ alpha} ^{t } {f(x)`dx }=0`]에서 [eqn: int _{ alpha} ^{0} { f(x)`dx + int _{ 0} ^{t } {f(x) `dx} } =0`]

[eqn: int _{ 0} ^{t } {f(x)`dx } = it- int _{ alpha} ^{ 0} { f(x)`dx}`]

이 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 함수 [eqn: y = int _{ 0} ^{t } {f(x)`dx` }]의 그래프와 직선 [eqn: y = it- int _{ alpha} ^{0 } {f(x)`dx` }]의 교점의 개수이다.

한편, [eqn: f(x)= sin`(2^n pix)~(a_n leq x leq a_n+1 )`]

이므로 함수 [eqn: y = f(x)`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g(t)= int _{ 0} ^t{ f(x)`dx` }]라 하면 [eqn: g`'(t)= f(t)`]이므로 함수 [eqn: y = g(t)`]의 그래프는 그림과 같다.

이때, 함수 [eqn: y = g(t)`]의 그래프와 직선 [eqn: y = it- int _{ alpha} ^{0 } {f(x)`dx` }]의 교점의 개수가 [eqn: 103`]이기 위해서는 곡선 [eqn: y = g(t)`]와 직선 [eqn: y = it- int _{ alpha} ^{0 } { f(x)`dx`}]가 구간 [eqn: (a_52 ,~a_53`)`]에서 접해야 한다.

한편 수직선 위에서 두 점 [eqn: 0,~a_2 `]의 중점을 [eqn: b_1`]이라 하고, [eqn: n geq 2]일 때, 두 점 [eqn: a_n`], [eqn: a_n+1`]의 중점을 [eqn: b_n`]이라 하면

[eqn: int _{ 0} ^{b_1 } {f(x) `dx `][eqn: = int _{ 0} ^{b_1 } {sin`(2pix)`dx` } }]
[eqn: = left[ - 1 over 2pi \cos`piitx right]_0^{1 over 2}`]
[eqn: = it- 1 over 2pi left{ (-1)-1 right} = 1 over pi`]

[eqn: int _{ 0} ^{b_2 } {f(x)`dx `}][eqn: = int _{ 0} ^{a_2 } {f(x)`dx + int _{ a_2} ^{b_2 } {f(x)`dx` } }]
[eqn: =int _{ a_2} ^{b_2 } {f(x) }`dx`]
[eqn: = int _{ 0} ^{1over4 } {sin`(2^2 pix) `dx`}]
[eqn: = left[ - 1 over{2^2 pi} \cos`(2^2 piitx)right]_0^{1 over 4}`]
[eqn: = it- 1 over{2^2 pi} left{ (-1)-1 right}`]
[eqn: = 1 over 2pi]

이와 같은 방법으로 하면

[eqn: int _{ 0} ^{b_52 } {f(x)`dx = 1 over {2^51 pi} }`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

한편,

[eqn: - int _{ alpha} ^{0 } {sin`(2pix)`dx` }]

[eqn: = it- left[ - 1 over 2pi \cos`(2pi itx) right]_alpha^0`]

[eqn: = 1 over 2pi left{ 1 - cos2pialpha right}`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉠과 ㉡의 값이 같아야 하므로

[eqn: 1 over 2pi left{ 1 - cos`(2pialpha)right} = 1 over {2^51 pi}`]

[eqn: 1 - cos`(2pi alpha) = 1 over 2^50`]

따라서 [eqn: log`_2 (1 - cos`(2pialpha))= log`_2 1 over 2^50`][eqn: = log`_2 2^-50 = it-50`]

[eqn: a_1 =`-1], [eqn: a_n = 2 - 1 over {2^n-2}][eqn: LEFT (n geq 2 RIGHT ) `]

이다. 구간 [eqn: LEFT [-1,`` 2 RIGHT ) `]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 모든 자연수 [eqn: n `]에 대하여

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= sin` LEFT (2^n pix RIGHT )][eqn: LEFT (a_n leq x leq a_n+1 RIGHT ) `]

이다. [eqn: -1 < alpha <0 `]인 실수 [eqn: alpha `]에 대하여 [eqn: int _{ alpha} ^{t } {f LEFT (x RIGHT ) dx } =0 `]을 만족시키는 [eqn: t][eqn: LEFT (0 <t<2 RIGHT ) `]의 값의 개수가 [eqn: 103 `]일 때, [eqn: log` _{2} ` LEFT ( 1-cos` LEFT ( 2 pi alpha RIGHT ) RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: -48`]	② [eqn: -50`]	③ [eqn: -52`]

④ [eqn: -54`]	⑤ [eqn: -56`]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 11월 30

그림은 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 일부이다.

[정답] [eqn: {bold{253}}]

[해설]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2n+1} -1} over {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2n} +1}}]에서

(ⅰ) [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | >1`]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]

(ⅱ) [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | <1`]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =it-1]

(ⅲ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =1`]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =0]

(ⅳ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = it -1`]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =it-1]

그러므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 그림과 같다.

방정식 [eqn: mg LEFT ( x RIGHT ) =x+m`]의 실근의 개수는 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1`]이 만나는 점의 개수와 같다.

(ⅰ) [eqn: m=2k-1] ([eqn: k`]는 자연수)인 경우
(a) [eqn: x GEQ 0`]일 때,

직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1`]이 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프 위에 있지

않은 점 [eqn: LEFT ( `4k-2,````3 RIGHT ) `]을 지난다.

[eqn: k=1`]일 때, 만나는 점의 개수는 [eqn: 1]

[eqn: k GEQ 2`]일 때, 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선

[eqn: y= {1} over {m} x+1]이 만나는 점의 개수는 구간 [eqn: LEFT (` 0,``1 RIGHT )]에서 [eqn: 1],

구간 [eqn: LEFT ( `4l-5,``4l-3 RIGHT )] ([eqn: l=2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS], [eqn: k])에서 각각

[eqn: 2`]이다. 그러므로 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선

[eqn: y= {1} over {m} x+1`]이 만나는 점의 개수는 [eqn: 1+2 LEFT ( k-1 RIGHT ) =2k-1]
(b) [eqn: x<0`]일 때,

직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1`]이 점 [eqn: LEFT ( -2k+1,````0 RIGHT ) `]과

[eqn: LEFT ( -4k+2,````-1 RIGHT ) `]을 지나므로 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와

직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1`]이 만나는 점의 개수는 [eqn: 2`]이다.
(a), (b)에 의하여 [eqn: a _{2k-1} = LEFT ( 2k-1 RIGHT ) +2=2k+1]

(ⅱ) [eqn: m=2k] ([eqn: k`]는 자연수)인 경우
(a) [eqn: x GEQ 0`]일 때,

직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1`]이 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프 위의 점

[eqn: LEFT ( `4k,````3 RIGHT ) `]을 지난다.

[eqn: k=1`]일 때, 만나는 점의 개수는 [eqn: 2]

[eqn: k GEQ 2`]일 때, 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선

[eqn: y= {1} over {m} x+1`]이 만나는 점의 개수는 구간 [eqn: LEFT ( `0,````1 RIGHT ) `]에서 [eqn: 1,]

구간 [eqn: LEFT ( `4l` prime -5,``4l` prime -3 RIGHT )] ([eqn: l`prime=2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS], [eqn: k])에서 각각

[eqn: 2`]이다. 그러므로 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선

[eqn: y= {1} over {m} x+1`]이 만나는 점의 개수는 [eqn: 1+2 LEFT ( k-1 RIGHT ) +1=2k]
(b) [eqn: x<0`]일 때,

직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1`]이 점 [eqn: LEFT ( -2k,````0 RIGHT ) `]과 [eqn: LEFT ( -4k,````-1 RIGHT ) `]을

지나므로 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선

[eqn: y= {1} over {m} x+1`]은 만나지 않는다. 그러므로 함수

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {m} x+1`]이 만나는 점의

개수는 [eqn: 0`]이다.
(a), (b)에 의하여 [eqn: a _{2k} =2k+0=2k]

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여

[eqn: a _{2k-1} =2k+1,][eqn: a _{2k} =2k``]([eqn: k`]는 자연수)이며

[eqn: a _{2k-1} +a _{2k} =b _{k} `]라 하면 [eqn: b _{k} =4k+1]

따라서

[eqn: sum _{m=1} ^{21} a _{m}][eqn: = sum _{m=1} ^{20} a _{m} +a _{21}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{10} b _{k} +a _{21}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 4k+1 RIGHT ) +23]
[eqn: =4 TIMES {10 TIMES 11} over {2} +10+23]
[eqn: =253]

(가) [eqn: 0 LEQ x<4`]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT | x-2 RIGHT | -1`]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+4 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) `]이다.

함수

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2n+1} -1} over {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2n} +1}} `]

이라 할 때, 자연수 [eqn: m`]에 대하여 방정식 [eqn: mg LEFT (x RIGHT )=x+m`]의 실근의 개수를 [eqn: a _{m} `]이라 하자. [eqn: sum _{m=1} ^{21} a _{m} `]의 값을 구하시오.

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 06월 21

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {x-1} over {2x-6} `]과 [eqn: 3] 이상의 자연수 [eqn: k`]에 대하여

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {x-1} over {2x-6}`]에 대하여

[eqn: LEFT | f LEFT ( 3-a RIGHT ) RIGHT | = LEFT | {LEFT ( 3-a RIGHT ) -1} over {2 LEFT ( 3-a RIGHT ) -6} RIGHT | = LEFT | {2-a} over {-2a} RIGHT | = LEFT | {a-2} over {2a} RIGHT |]

[eqn: LEFT | 1-f LEFT ( 3+a RIGHT ) RIGHT | = LEFT | 1- {LEFT ( 3+a RIGHT ) -1} over {2 LEFT ( 3+a RIGHT ) -6} RIGHT | = LEFT | {a-2} over {2a} RIGHT |]

이다. [eqn: h LEFT ( a RIGHT ) = {a-2} over {2a}][eqn: LEFT ( a != 0 RIGHT ) `]라 하면

[eqn: lim _{n -> INF } {` {LEFT | f LEFT ( 3-a RIGHT ) RIGHT | ^{n+1}} over {`2 ^{n} + LEFT | 1-f LEFT ( 3+a RIGHT ) RIGHT | ^{n} ``}} = lim _{n -> INF } {{LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | ^{n+1}} over {2 ^{n} + LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | ^{n}}}]

이다.

(ⅰ) [eqn: LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | <2`]일 때,

[eqn: LEFT | {h LEFT ( a RIGHT )} over {2} RIGHT | <1`]이고 [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT | {h LEFT ( a RIGHT )} over {2} RIGHT |} ^{n} =0`]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | ^{n+1}} over {2 ^{n} + LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | ^{n}}} = lim _{n -> INF } {{2 LEFT | {h LEFT ( a RIGHT )} over {2} RIGHT | ^{n+1}} over {1+ LEFT | {h LEFT ( a RIGHT )} over {2} RIGHT | ^{n}} =0}]

이 되어 [eqn: k=0`]이다.

(ⅱ) [eqn: LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | =2`]일 때,

[eqn: lim _{n -> INF } {{LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | ^{n+1}} over {2 ^{n} + LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | ^{n}}} = lim _{n -> INF } {{2 ^{n+1}} over {2 ^{n} +2 ^{n}} =1}]

이 되어 [eqn: k=1`]이다.

(ⅲ) [eqn: LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | >2`]일 때,

[eqn: LEFT | {2`} over {h LEFT ( a RIGHT )} RIGHT | <1`]이고 [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT | {2} over {h LEFT ( a RIGHT )} RIGHT |} ^{n} =0`]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | ^{n+1}} over {2 ^{n} + LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | ^{n}}} = lim _{n -> INF } {{LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT |} over {LEFT | {2} over {h LEFT ( a RIGHT )} RIGHT | ^{n} +1} = LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT |}]

이다.

[eqn: LEFT | h LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | = LEFT | {a-2} over {2a} RIGHT | = LEFT | {1} over {a} - {1} over {2} RIGHT | =k`]([eqn: k{geq}3]인 자연수)를 만족시키는

[eqn: a`]를 구하면

[eqn: {1} over {a} - {1} over {2} =k`]일 때, [eqn: a= {2} over {2k+1}]

[eqn: {1} over {a} - {1} over {2} =`-k`]일 때, [eqn: a=`- {2} over {2k-1}]

이다. 따라서 [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) =`-2 LEFT ( {1} over {2k-1} - {1} over {2k+1} RIGHT ) `]이다.

[eqn: sum _{k=3} ^{17} g LEFT ( k RIGHT ) =`-2 sum _{k=3} ^{17} LEFT ( {1} over {2k-1} - {1} over {2k+1} RIGHT )]

[eqn: =`-2 LEFT ( {1} over {5} - {1} over {7} + {1} over {7} - {1} over {9} + CDOTS + {1} over {33} - {1} over {35} RIGHT )]

[eqn: =`-2 LEFT ( {1} over {5} - {1} over {35} RIGHT ) =`- {12} over {35}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{LEFT | f LEFT ( 3-a RIGHT ) RIGHT | ^{n+ 1}} over {2 ^{n} + LEFT | 1-f LEFT ( 3+a RIGHT ) RIGHT | ^{n}}} =k]

를 만족시키는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합을 [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) `]라 하자.

[eqn: sum _{k=3} ^{17} g LEFT ( k RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: - {2} over {7}]	② [eqn: - {12} over {35}]	③ [eqn: - {2} over {5}]

④ [eqn: - {16} over {35}]	⑤ [eqn: - {18} over {35}]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 10월 21
[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 10월 21

정수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( a ,```` 0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=(x-n)e ^{x}]에 그은 접선의 개수를 [eqn: f(n)]이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: (a ,```` 0)]에서 그은 접선이 곡선 [eqn: y=(x-n)e^x]과 만나는 점의 좌표를 [eqn: (t ,```` (t-n)e ^{t} )]라 하자.

[eqn: y prime =e ^{x} +(x-n)e ^{x}][eqn: = LEFT ( x-n+1 RIGHT ) e ^{x}]이므로 점 [eqn: (t ,```` (t-n)e ^{t} )]에서 이 곡선에 그은 접선의 방정식은

[eqn: y=(t-n+1)e ^{t} (x-t)+(t-n)e ^{t}]

이 직선이 점 [eqn: (a ,```` 0)]을 지나므로

[eqn: 0=(t-n+1)e ^{t} (a-t)+(t-n)e ^{t}]

[eqn: t ^{2 }-(n+a)t+ an+n-a =0]

이 방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D][eqn: =(n+a) ^{2} -4(an+n-a)]
[eqn: =(n-a)(n-a-4)]

ㄱ. [eqn: a=0]일 때 [eqn: n=4]이면 [eqn: D=0]이므로 점 [eqn: (0 ,```` 0)]에서
곡선 [eqn: y=(x-4)e ^{x}]에 그은 접선의 개수는 [eqn: 1]이다.
따라서 [eqn: f(4)=1]	(참)

ㄴ. [eqn: D=(n-a)(n-a-4)=0]에서
[eqn: n=a] 또는 [eqn: n=a+4]이므로 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =1]인 정수 [eqn: n]의 개수는 항상 [eqn: 2]이다.	(거짓)

ㄷ. 정수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: f(n)]은
[eqn: f(n)= {cases{0 (a<n<a+4)#1 (n=a 또는 n=a+4) ^{ }#2 (n<a 또는 n>a+4) ^{ }}}]
이므로 [eqn: f(n)]이 가질 수 있는 값은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]뿐이다.
이때 [eqn: sum _{n=1} ^{5} f(n)=5]이므로 가능한 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: f(1)=0], [eqn: f(2)=0], [eqn: f(3)=1], [eqn: f(4)=2],
[eqn: f(5)=2] 인 경우는 [eqn: 3=a+4], [eqn: a=it-1]

(ⅱ) [eqn: f(1)=2], [eqn: f(2)=2], [eqn: f(3)=1], [eqn: f(4)=0],
[eqn: f(5)=0] 인 경우는 [eqn: 3=a], [eqn: a=3]

따라서 [eqn: a=it-1] 또는 [eqn: a=3]	(참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a=0]일 때, [eqn: f(4)=1]이다. ㄴ. [eqn: f(n)=1]인 정수 [eqn: n]의 개수가 [eqn: 1]인 정수 [eqn: a]가 존재한다. ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{5} f(n)=5]를 만족시키는 정수 [eqn: a]의 값은 [eqn: -1] 또는 [eqn: 3]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 30

최고차항의 계수가 [eqn: 6pi `]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = 1 over {2+ sin` LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )}`]이 [eqn: x=alpha `]에서 극대 또는 극소이고 [eqn: alpha ge 0 `]인 모든 [eqn: alpha `]를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 [eqn: alpha_1], [eqn: alpha_2], [eqn: alpha_3], [eqn: alpha_4], [eqn: alpha_5],[eqn: `CDOTS`]라 할 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 27]

[해설]

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) = {-cos LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) ) TIMES f prime (x RIGHT )} over {LEFT { 2+sin LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) RIGHT } ^{2}}]이므로

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서
[eqn: cos LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =0] 또는 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =0]

이때, [eqn: cos LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =0]에서
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =± {pi } over {2}] 또는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =± {3} over {2} pi] 또는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =± {5} over {2} pi][eqn: CDOTS]

그런데 조건 (가)에서 [eqn: {1} over {g LEFT ( alpha _{1} RIGHT )} = {1} over {g LEFT ( 0 RIGHT )} =2+sin LEFT ( f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT ) = {5} over {2}] 이므로 [eqn: sin LEFT ( f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT ) = {1} over {2}]

이때 [eqn: 0<f LEFT ( 0 RIGHT ) < {pi } over {2}] 이므로
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = {pi } over {6}]	……㉠

따라서 [eqn: cos LEFT ( f LEFT ( alpha _{1} RIGHT ) RIGHT ) =cos LEFT ( f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT ) != 0]이므로
[eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0]	……㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =6 pi x ^{3} +px ^{2} + {pi } over {6}] ([eqn: p]는 상수)로 놓으면 조건 (나)에서
[eqn: {1} over {g LEFT ( alpha _{5} RIGHT )} - {1} over {g LEFT ( alpha _{2} RIGHT )}][eqn: =sin LEFT ( f LEFT ( alpha _{5} RIGHT ) RIGHT ) -sin LEFT ( f LEFT ( alpha _{2} RIGHT ) RIGHT ) = {1} over {2}] ……㉢

이때, [eqn: cos LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =0]이면
[eqn: sin LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =-1] 또는 [eqn: sin LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =1] 이므로
㉢을 만족시키기 위해서는
[eqn: f prime LEFT ( alpha _{2} RIGHT ) =0], [eqn: f prime LEFT ( alpha _{5} RIGHT ) != 0] 또는 [eqn: f prime LEFT ( alpha _{2} RIGHT ) != 0], [eqn: f prime LEFT ( alpha _{5} RIGHT ) =0]

(ⅰ) [eqn: f prime LEFT ( alpha _{2} RIGHT ) =0], [eqn: f prime LEFT ( alpha _{5} RIGHT ) != 0]인 경우

[eqn: x GEQ 0]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: f LEFT ( alpha _{5} RIGHT ) = {5} over {2} pi]이므로
[eqn: sin LEFT ( f LEFT ( alpha _{5} RIGHT ) RIGHT ) -sin LEFT ( f LEFT ( alpha _{2} RIGHT ) RIGHT )][eqn: =1-sin LEFT ( f LEFT ( alpha _{2} RIGHT ) RIGHT ) = {1} over {2}]

[eqn: sin LEFT ( f LEFT ( alpha _{2} RIGHT ) RIGHT ) = {1} over {2}] ……㉣

그런데, [eqn: - {pi } over {2} <f LEFT ( alpha _{2} RIGHT ) < {pi } over {6}]이므로
㉣을 만족시키는 [eqn: alpha _{2}]는 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: f prime LEFT ( alpha _{2} RIGHT ) != 0], [eqn: f prime LEFT ( alpha _{5} RIGHT ) =0]인 경우 [eqn: x GEQ 0]에서

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

이때

[eqn: sin` LEFT ( `f(` alpha_{2}`)` RIGHT )=`sin` LEFT ( - { pi} over { 2} RIGHT )=it-1`]

이므로 [eqn: sin` LEFT ( f` LEFT ( alpha_{5}` RIGHT ) RIGHT )=`it- { 1} over {2 }`]이어야 한다.

따라서, [eqn: cos` LEFT ( f`( alpha_{5}`) RIGHT )` !=0`]이므로 [eqn: f`'` ( alpha_{5}` RIGHT )`=`0]

이고 위의 그림에서

[eqn: -{ 7} over {2 }pi`<` f`( alpha_{5}`) <`- { 5} over { 2}pi]
이므로 [eqn: f`( alpha_{5}`)=it-3pi+` { pi} over {6 }]

즉 [eqn: f`'(x)=18pi`x^{2}`+2px`=2x(9pi`x+p)=0]에서

[eqn: alpha_{5}=it- { p} over {9pi }`]이므로

[eqn: f`( alpha_{5}`)`=f` LEFT ( - { p} over {9pi } RIGHT )`]

[eqn: =6` pi ` TIMES ` LEFT ( - {p} over {9pi} RIGHT )^{3}+`p` LEFT ( - { p} over { 9pi} RIGHT )^{2}+` { pi} over { 6}]

[eqn: =it-3pi+` { pi} over { 6}]

[eqn: { -2p^{3}} over {3^{5}`pi^{2} }`+` { p^{3}} over {3^{4}`pi^{2} }`=it-3pi`,~```p^{3}`3^{5}`pi^{2}`=it-3pi`]

[eqn: p^{3}`=it-3^{6}`pi^{3}`]

따라서 [eqn: p=it-3^{2}`pi`=it-9pi`]이므로

[eqn: f(x)=6`pi`x^{3}`-9pi`x^{2}`+` { pi} over { 6}`]

[eqn: f`'(x)`=18pi`x^{2}`-18`pi`x`]

따라서

[eqn: f`' LEFT ( - { 1} over {2 } RIGHT )`=` { 9} over { 2}`pi`+`9pi`=` { 27} over {2 }`pi`]

[eqn: f` LEFT ( - { 1} over {2 } RIGHT )`=it- { 3} over {4 }pi`- { 9} over {4 }`pi`+` { pi} over {6 }=it-3pi+` { pi} over { 6}]

[eqn: sin` LEFT ( f` LEFT ( - { 1} over {2 } RIGHT ) RIGHT )`=sin` LEFT ( -3pi+` { pi} over { 6} RIGHT )=it- { 1} over {2 }]

[eqn: cos` LEFT ( f` LEFT ( - { 1} over {2 } RIGHT ) RIGHT )=cos` LEFT ( -3pi+` { pi} over {6 } RIGHT )=it- { sqrt { 3} } over {2 }]

[eqn: g`' LEFT ( - { 1} over { 2} RIGHT )=` { -cos` LEFT ( f` LEFT ( - { 1} over {2 } RIGHT ) RIGHT )` TIMES`f`'` LEFT ( - { 1} over { 2} RIGHT ) } over { LEFT { 2+sin` LEFT ( f` LEFT ( - { 1} over {2 } RIGHT ) RIGHT )` RIGHT }^{2} }]

[eqn: ={ - LEFT ( - { sqrt { 3} } over {2 } RIGHT ) TIMES` { 27} over {2 }`pi } over { LEFT ( 2- { 1} over { 2} RIGHT )^{2} }]

[eqn: ={ 27 sqrt { 3} } over {4 }`pi` TIMES` { 4} over { 9}`=3 sqrt { 3}`pi`]

따라서

[eqn: alpha^{2}`= LEFT ( 3 sqrt { 3} `RIGHT )^{2}`=27`]

(가) [eqn: alpha_1 =0`]이고 [eqn: g LEFT ( alpha_1 RIGHT ) = 2 over 5`]이다.

(나) [eqn: 1 over {g LEFT ( alpha_5 RIGHT )} = 1over {g LEFT ( alpha_2 RIGHT )} + 1 over 2`]

[eqn: g `' LEFT ( - 1 over 2 RIGHT )= a pi `]라 할 때, [eqn: a^2 `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: 0<f LEFT ( 0 RIGHT ) < pi over 2 `])

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 30

최고차항의 계수가 [eqn: 1 over 2 `]이고 최솟값이 [eqn: 0`]인 사차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]와 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) = 2 x^4 e^-x `]에 대하여 합성함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT ) = LEFT ( f circ g RIGHT ) LEFT (x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족한다.

[정답] [eqn: bold { 30 }]

[해설]

[eqn: g(x) = 2 x^4 e^-x]을 미분하면 [eqn: g`'(x) = -2x^3 (x-4) e^-x`]이므로

[eqn: g(x)`]의 극솟값은 [eqn: g(0) = 0`]이고 극댓값은 [eqn: g(4)= {512} over {e ^{4}} `]이다.

따라서 [eqn: y=g(x)`]의 개형은 그림과 같다.

[그림[eqn: 1]]

[eqn: h(x) = ( f circ g ) (x)]에서 [eqn: h``'(x) = f``'(g(x) ) g``'(x)]

(나)를 만족하기 위해서는 [eqn: h``'(0) = 0]이고 [eqn: x=0]의 좌우에서 부호가 바뀌어야 한다.

그런데 [eqn: h``'(0) = f``'( g(0)) g``'(0)], 즉 [eqn: h``'(0) = f``'(0) g``'(0)]

따라서 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: x=0]에서 극소이므로 함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=0`]에서 극솟값을 갖는다.

함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=0,````alpha]에서 극솟값을 갖는다고 하자.

① [eqn: 0= f(0) < f(alpha)]이면 [eqn: h(x) = 0`]에서 [eqn: g(x) =0`]이므로 실근은 [eqn: x=0]뿐이다.

② [eqn: 0 = f(alpha) < f(0)]이면 [eqn: h(x) =0`]에서 [eqn: g(x) = alpha`]이므로 [그림[eqn: 1]]에서 실근의 개수는 [eqn: 3]이하이다.

①, ②에서 (가)조건에 모순되므로 [eqn: f(0) = f(alpha)]

이때, [eqn: h(x) = 0]에서 [eqn: g(x) = 0 ,```` alpha]이므로 [eqn: 0 < alpha < 32 over e^4]일 때 [eqn: h(x) = 0]의 실근의 개수는 [eqn: 1 + 3 = 4]이다.

또 그래프의 대칭성에 의하여 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x= alpha over 2]에서 극댓값을 갖는다.

(ⅰ) [eqn: f left( alpha over 2 right) > 8]일 때,
방정식 [eqn: f(x) = 8]은 서로 다른 네 실근 [eqn: alpha_1 ,```` alpha_2 ,```` alpha_3 ,```` alpha_4 ```` (alpha_1 < alpha_2 < alpha_3 < alpha_4 )]를 갖는데 방정식 [eqn: g(x) = alpha_1 ,```` g(x) = alpha_2 ,```` g(x) = alpha_3 ,```` g(x) = alpha_4]의 실근의 개수가 각각 [eqn: 0 ,```` 3 ,```` 3 ,```` 1]이상이므로 방정식 [eqn: h(x) = 8]의 실근의 개수는 [eqn: 7]이상이다.
따라서 (다)조건에 부합하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: f left( alpha over 2 right) < 8]이면 방정식 [eqn: h(x) = 8]의 실근의 개수는 [eqn: 3]이하이다.
따라서 이 범위에도 (다)조건에 부합하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: f left( alpha over 2 right) = 8]

따라서 [eqn: f(x) = 1over2 x^2 ( x- alpha)^2]이므로 [eqn: f left( alpha over 2 right) = alpha^4 over 32 = 8]

[eqn: therefore][eqn: alpha = 4]

[eqn: THEREFORE][eqn: f(x) = 1over2 x^2 ( x- 4)^2]

따라서 양변을 미분하면 [eqn: f '( x) = x ( x-4)^2 + x^2 (x-4)]

[eqn: therefore][eqn: f``'(x) = 2x(x-4) (x-2)]

[eqn: therefore][eqn: f ``'(5) = 2 cdot 5 cdot 1 cdot 3 = 30]

(가) 방정식 [eqn: h LEFT (x RIGHT ) = 0 `]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4 `]이다.

(나) 함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT ) `]는 [eqn: x= 0`]에서 극소이다.

(다) 방정식 [eqn: h LEFT (x RIGHT ) = 8 `]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 6 `]이다.

[eqn: f `' LEFT (5 RIGHT ) `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: lim _{x `->` INF } {} g LEFT (x RIGHT )=0`])

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

함수 [eqn: f(x)= left|x^{2}-x right| e^{4-x}]이 있다. 양수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] ②

[해설]

[eqn: y= left(x^{2}-x right) e^{4-x}=x(x-1) e^{4-x}]

[eqn: y `prime =(2 x-1) e^{4-x}- left(x^{2}-x right) e^{4-x}= left(-x^{2}+3 x-1 right) e^{4-x}]

[eqn: lim left(x^{2}-x right) e^{4-x}=0]이다. 이것으로 부터 [eqn: y= left(x^{2}-x right) e^{4-x}], [eqn: f(x)= left|x^{2}-x right| e^{4-x}]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이제 [eqn: y=k x(k>0)]와 [eqn: y=f(x)]에서 [eqn: g(x)]를 살펴보면 아래 그림과 같이 [eqn: y=k x]가 [eqn: y=f(x)]의 접선인 경우를 기준으로 동그라미에서 미분가능하지 않은 경우가 생긴다.

ㄱ. [eqn: k=2]이면 [eqn: f(2)=2 e^{2}>4]이므로 [eqn: g(2)=4]

ㄴ. [eqn: y=k x]가 [eqn: x=2]에서 [eqn: y=f(x)]의 접선보다 아래쪽이면 [eqn: h(k)]는 최댓값 [eqn: rm 4]를 갖는다.

ㄷ. 원점에서 접선을 구하여 보면 접점의 좌표를 [eqn: (t,`` f(t))]라 두면 [eqn: y= left(-t^{2}+3 t-1 right) e^{4-t}(x-t)+ left(t^{2}-t right) e^{4-t}][eqn: 0= left(t^{3}-3 t^{2}+t right) e^{4-t}+ left(t^{2}-t right) e^{4-t}]
[eqn: t^{3}-2 t^{2}=0], [eqn: t=0] 또는 [eqn: t=2]
[eqn: t=2]에서 접선의 기울기는 [eqn: k=e^{2}]
[eqn: t=0]에서는 [eqn: y=-f(x)]의 접선의 기울기는 [eqn: k=e^{4}]
따라서 [eqn: e^{2} leq k<e^{4}], [eqn: k>e^{4}]일 때 [eqn: h(k)=2]이다.

[eqn: g(x)=cases{f(x) && (f(x) leq k x) #k x && (f(x)>k x)}]

라 하자. 구간 [eqn: (- inf ,`` inf )]에서 함수 [eqn: g(x)]가 미분가능하지 않은 [eqn: x]의 개수를 [eqn: h(k)]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: k=2]일 때, [eqn: g(2)=4]이다. ㄴ. 함수 [eqn: h(k)]의 최댓값은 [eqn: rm 4]이다. ㄷ. [eqn: h(k)=2]를 만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: e^{2} leq k<e^{4}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 04월 21

[eqn: {3} over {5} <x<4`]에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]가 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2`]이고

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수가 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =x]
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2]이므로 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =1]

주어진 식에서

[eqn: f` prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )][eqn: = {1- LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} LEFT { f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) RIGHT } ^{3}} over {LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} LEFT { f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) RIGHT } ^{2}}][eqn: = {1-x ^{3} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {x ^{2} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3}} = {1} over {g prime LEFT ( x RIGHT )}]이므로

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) = {x ^{2} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3}} over {1-x ^{3} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}}][eqn: CDOTS] (＊)
ㄱ. 식 (＊)에 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: g prime LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: = {2 ^{2} TIMES LEFT { g LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT } ^{3}} over {1-2 ^{3} TIMES LEFT { g LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT } ^{2}}]
[eqn: = {2 ^{2} } over {1-2 ^{3}} =it- {4} over {7}][eqn: therefore](참)

ㄴ. 식 (＊)을 정리하면
[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} g prime LEFT ( x RIGHT ) +x ^{2} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3}]
[eqn: =x ^{2} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} LEFT { xg prime LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }]
양변을 [eqn: x]에 대하여 적분하면
[eqn: xg` prime LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT { xg LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } prime]이므로
[eqn: int _{} ^{} {g prime LEFT ( x RIGHT ) dx} `= int _{} ^{} {LEFT { xg LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} LEFT { xg LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } prime } dx]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} x ^{3} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} +C] (단, [eqn: C`]는 적분상수)
[eqn: x=2]를 대입하면 [eqn: 1= {8} over {3} +C`]이므로 [eqn: C= it - {5} over {3}]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} x ^{3} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} - {5} over {3}][eqn: CDOTS] (**) [eqn: therefore](참)

ㄷ. 식 (**)에 [eqn: x=1]을 대입하여 정리하면
[eqn: LEFT { g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT } ^{3} -3g LEFT ( 1 RIGHT ) -5=0]
함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =t ^{3} -3t-5], [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) = alpha]라 하면
[eqn: h prime LEFT ( t RIGHT ) =3 LEFT ( t+1 RIGHT ) LEFT ( t-1 RIGHT )]
[eqn: t=it-1] 에서 극댓값 [eqn: -3], [eqn: t=1]에서 극솟값 [eqn: -7]을 가지므로 방정식 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =0]은 하나의 실근 [eqn: alpha]를 갖는다.
[eqn: h LEFT ( 2 RIGHT ) =8-6-5=it-3<0],
[eqn: h LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) = {125} over {8} - {15} over {2} -5= {25} over {8} >0]이므로
사이값 정리에 의해 [eqn: 2< alpha < {5} over {2}]
[eqn: 2<g LEFT ( 1 RIGHT ) < {5} over {2}][eqn: therefore](참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: f `' LEFT ( x RIGHT ) = {1-x ^{2} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3}} over {x ^{3} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}}`]

을 만족시킨다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]의 역함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]가 존재하고 미분가능 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g `' LEFT ( 2 RIGHT ) =`- {4} over {7}] ㄴ. [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} x ^{3} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} - {5} over {3}] ㄷ. [eqn: 2<g LEFT ( 1 RIGHT ) < {5} over {2}]

① ㄱ	② ㄱ,	ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 30

실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]에 대하여 곡선 [eqn: y = f LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( t,`` f LEFT (t RIGHT ) RIGHT ) `]에서의 접선의 [eqn: y `]절편을 [eqn: g LEFT (t RIGHT ) `]라 하자. 모든 실수 [eqn: t `]에 대하여

[정답] [eqn: 16]

[해설]

[eqn: g(t)]는 접선의 [eqn: y]절편이므로

[eqn: y=f(t)]의 [eqn: (t,~f(t))]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=f`'(t)(x-t)+f(t)]이므로  [eqn: g(t)=-tf`'(t)+f(t)]

주어진 조건에서

[eqn: g(t+1)-g(t)={2t}over{1+t^{2}}]

양변을 적분하면

(좌변[eqn: )][eqn: =][eqn: int _{0} ^{x} { LEFT (g LEFT (t+1 RIGHT )-g LEFT (t RIGHT ) RIGHT )} dt]

[eqn: = int _{0} ^{x} {} g LEFT (t+1 RIGHT )dt- int _{0} ^{x} {} g LEFT (t RIGHT )dt]

[eqn: = int _{1} ^{x+1} {} g(t)dt- int _{0} ^{x} {} g(t)dt]

[eqn: = int _{0} ^{x+1} {} g(t)dt- int _{0} ^{x} {} g(t)dt- int _{0} ^{1} {} g(t)dt]

[eqn: =int _{x} ^{x+1}g(t)dt -int _{0} ^{1}g(t)dt]

(우변)[eqn: =int _{0} ^{x}{2t}over{1+t^{2}}dt = left[ ln(1+t^{2}) right]_{0}^{x}=ln(1+x^{2})]

[eqn: h LEFT (x RIGHT )=int _{x} ^{x+1}g LEFT (t RIGHT )dt = {rm ln` } it LEFT (1+x^{2} RIGHT ) +int _{0} ^{1}g LEFT (t RIGHT )dt]	… ㉠   이라 하자.

[eqn: int _{0} ^{1} {} g LEFT (t RIGHT )dt][eqn: = int _{0} ^{1} {} LEFT (-tf prime LEFT (t RIGHT )+f LEFT (t RIGHT ) RIGHT )dt]

[eqn: = int _{0} ^{1} {} LEFT (-tf prime LEFT (t RIGHT ) RIGHT )dt+ int _{0} ^{1} {} f LEFT (t RIGHT )dt]

[eqn: =left[ -tf`(t) right]_{0}^{1} + 2int _{0} ^{1}f(t)dt]

[eqn: =-f`(1) + 2int _{0} ^{1}f(t)dt = -4-{ln17}over{8}-{ln10}over{2}]

[eqn: int _{-4} ^{4} {} g LEFT (t RIGHT )dt][eqn: = int _{-4} ^{4} {} LEFT (-tf prime LEFT (t RIGHT )+f LEFT (t RIGHT ) RIGHT )dt]

[eqn: = int _{-4} ^{4} {} LEFT (-tf prime LEFT (t RIGHT ) RIGHT )dt+ int _{-4} ^{4} {} f LEFT (t RIGHT )dt]

[eqn: = LEFT [ -tf LEFT (t RIGHT ) RIGHT ]_{-4}^{4} + 2int _{-4} ^{4}f LEFT (t RIGHT )dt]

[eqn: =`-4f LEFT (4 RIGHT ) -4f LEFT (-4 RIGHT ) + 2int _{-4} ^{4}f LEFT (t RIGHT )dt]

[eqn: =`-2 LEFT (2 left{f LEFT (4 RIGHT ) +f LEFT (-4 RIGHT ) right} -int _{-4} ^{4}f LEFT (t RIGHT )dt RIGHT )]      … ㉡

한편 ㉠ 에서

[eqn: int _{-4} ^{4}g LEFT (t RIGHT )dt]

[eqn: = h LEFT (-4 RIGHT ) + h LEFT (-3 RIGHT ) + h LEFT (-2 RIGHT ) + h LEFT (-1 RIGHT ) + h LEFT (0 RIGHT ) + h LEFT (1 RIGHT ) + h LEFT (2 RIGHT ) + h LEFT (3 RIGHT )]

[eqn: = {rm {rm ln` } it } it 17+ {rm {rm ln` } it } it 10+ {rm {rm ln` } it } it 5+ {rm {rm ln` } it } it 2+0+ {rm {rm ln` } it } it 2+ {rm {rm ln` } it } it 5+10+8int _{0} ^{1}g LEFT (t RIGHT )dt]

[eqn: = {rm {rm ln` } it } it 17+4 {rm {rm ln` } it } it 10-32- {rm {rm ln` } it } it 17-4 {rm {rm ln` } it } it 10=`-32]      … ㉢

따라서 ㉡=㉢에서

[eqn: -2 LEFT ( 2 LEFT { f LEFT (4 RIGHT )+f LEFT (-4 RIGHT ) RIGHT } - int _{-4} ^{4} {} f LEFT (t RIGHT )dt RIGHT ) =`-32]

[eqn: THEREFORE][eqn: LEFT (2 left{f LEFT (4 RIGHT ) +f LEFT (-4 RIGHT ) right} -int _{-4} ^{4}f LEFT (t RIGHT )dt RIGHT )=16]

[eqn: LEFT (1 + t^2 RIGHT ) left{ it g LEFT ( t+1 RIGHT ) - g LEFT (t RIGHT ) right} = 2t `]

이고, [eqn: int_0 ^1 f LEFT (x RIGHT ) dx =`- { ln 10 } over 4], [eqn: f LEFT (1 RIGHT ) = 4 + ln17 over 8 `]일 때, [eqn: 2left{ f LEFT (4 RIGHT ) + f LEFT (-4 RIGHT ) right} - int_-4 ^4 f LEFT (x RIGHT ) dx `]의 값을 구하시오.

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 04월 30

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} LEFT ( ax ^{3} +bx ^{2} RIGHT ) `]과 양의 실수 [eqn: t`]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ -t,`` t RIGHT ]`]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]의 최댓값을 [eqn: M` LEFT ( t RIGHT )], 최솟값을 [eqn: m LEFT ( t RIGHT )`]라 할 때, 두 함수 [eqn: M` LEFT ( t RIGHT )], [eqn: m LEFT ( t RIGHT )`]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 49]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} LEFT ( ax ^{3} +bx ^{2} RIGHT ) =x ^{2} e ^{x} LEFT ( ax+b RIGHT )]

[eqn: f` prime (x)=xe ^{x} LEFT { ax ^{2} +(3a+b)x+2b RIGHT }]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는
[eqn: x=0]에서 [eqn: x]축에 접하고,

조건 (가)에서 [eqn: M` LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( t RIGHT )]에 의하여

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x>0]에서 증가하므로 [eqn: a>0]

또한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 [eqn: x>0]에서 [eqn: x]축과 만나지 않고

[eqn: f LEFT ( - {b} over {a} RIGHT ) =0]이므로 [eqn: - {b} over {a} <0]

[eqn: therefore][eqn: b>0]

[eqn: f` prime (x)=xe ^{x} LEFT { ax ^{2} +(3a+b)x+2b RIGHT }]에서

이차방정식 [eqn: ax ^{2} +(3a+b)x+2b=0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D=(3a+b) ^{2} -8ab=(a-b) ^{2} +8a ^{2} >0]이므로
이차방정식은 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta]([eqn: alpha < beta])를 갖는다.

[eqn: alpha + beta = it - {3a+b} over {a} <0], [eqn: alpha beta = {2b} over {a} >0]이므로
[eqn: alpha < beta <0]이다.

[eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=alpha], [eqn: x=beta], [eqn: x=0]
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: alpha]	[eqn: CDOTS]	[eqn: beta]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	[eqn: 0]	[eqn: NEARROW]

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {f(x)} = INF], [eqn: lim _{x` -> `- INF } {f(x)} =0]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 [eqn: m LEFT ( t RIGHT ) = {cases{``0&``` LEFT ( 0<t< {b} over {a} RIGHT )#`f LEFT ( -t RIGHT )&``` LEFT ( {b} over {a} LEQ t LEQ it - alpha RIGHT )#`f LEFT ( alpha RIGHT )&```(t> it - alpha )}}]

조건 (나)에서 양수 [eqn: k]에 대하여

닫힌 구간 [eqn: [`k,``k+2]]에 있는 임의의 실수 [eqn: t]에

대해서만 [eqn: m LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( -t RIGHT )]가 성립하므로

[eqn: {b} over {a} =k], [eqn: - alpha =k+2]

[eqn: f`' LEFT ( alpha RIGHT ) =f` prime LEFT ( -k-2 RIGHT ) =0]

[eqn: {-k-2} over {e ^{k+2}} LEFT { a LEFT ( -k-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 3a+ak RIGHT ) LEFT ( -k-2 RIGHT ) +2ak RIGHT } =0]

[eqn: {-k-2} over {e ^{k+2}} != 0]이므로

[eqn: a LEFT ( -k-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 3a+ak RIGHT ) LEFT ( -k-2 RIGHT ) +2ak=0]

[eqn: a LEFT ( k-2 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE][eqn: k=2], [eqn: alpha=it-4]
따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ae ^{x} LEFT ( x ^{3} +2x ^{2} RIGHT )]이고,

[eqn: m LEFT ( t RIGHT ) = {cases{````0&``` LEFT ( 0<t<2 RIGHT )#`ae ^{-t} LEFT ( -t ^{3} +2t ^{2} RIGHT )&``` LEFT ( 2 LEQ t LEQ it 4 RIGHT )#`- {32a} over {e ^{4}}&```(t> it 4)}}]

조건 (다)에 의하여

[eqn: int _{1} ^{5} {LEFT { e ^{t} TIMES m LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } dt}][eqn: = int _{2} ^{4} {LEFT ( -at ^{3} +2at ^{2} RIGHT ) dt} + int _{4} ^{5} {LEFT ( - {32a} over {e ^{4}} e ^{t} RIGHT ) dt}]
[eqn: = LEFT [ - {a} over {4} t ^{4} + {2a} over {3} t ^{3} RIGHT ] _{2}^{4} + LEFT [ - {32a} over {e ^{4}} e ^{t} RIGHT ] _{4}^{5}]

[eqn: = {28a} over {3} -32ae= {7} over {3} -8e]

[eqn: THEREFORE][eqn: a= {1} over {4}]

따라서 [eqn: f LEFT ( k+1 RIGHT ) =f LEFT ( 3 RIGHT ) = {45} over {4} e ^{3}]이고, [eqn: p+q=49]

(가) 모든 양의 실수 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: M` LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( t RIGHT ) `]이다.

(나) 양수 [eqn: k`]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ k,`` k+2 RIGHT ]`]에 있는
임의의 실수 [eqn: t`]에 대해서만 [eqn: m LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( -t RIGHT )`]가 성립한다.

(다) [eqn: int _{1} ^{5} {LEFT { e ^{t} TIMES m LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } dt} = {7} over {3} -8e`]

[eqn: f LEFT ( k+1 RIGHT ) = {q} over {p} e ^{k+1}`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 [eqn: 0`]이 아닌 상수, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이고, [eqn: lim _{x `->` INF } {{x ^{3}} over {e ^{x}}} =0`]이다.)

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 21

[eqn: 0`]이 아닌 세 정수 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n`]이 [eqn: LEFT | l RIGHT | + LEFT | m RIGHT | +LEFT | n RIGHT | le 10 `]을 만족시킨다. [eqn: 0 le x le 3 over 2 pi `]에서 정의된 연속함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]가 [eqn: f LEFT (0 RIGHT ) = 0], [eqn: f LEFT ( 3 over 2 pi RIGHT ) = 1`]이고

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: int_{0}^{{pi}over{2}}f '(x) dx=f left({pi}over{2}right)-f(0)=int_{0}^{{pi}over{2}}l cosx dx=l]

[eqn: int_{{pi}over{2}}^{pi}f '(x) dx=f left(piright)-f left({pi}over{2}right)=int_{{pi}over{2}}^{pi}m cosx dx=it-m]

[eqn: int_{pi}^{{3}over{2}pi}f '(x) dx=f left({3}over{2}piright)-f(0)=int_{0}^{{pi}over{2}}n cosx dx=it-n]

이고 [eqn: f(0)=0 , ```` f left({3}over{2}pi right)=1]이므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: int_0 ^ { 3 over 2 pi } f(x) dx]가 최대가 되도록 유추해보면 다음과 같다.

[eqn: f left({3}over{2}pi right)=1]에서 [eqn: l-m-n=1```` (l , ```` m , ```` n ge0)]이므로 [eqn: l+m+n le10]에서 [eqn: 2l le11]이다.

따라서 정수 [eqn: l]의 최댓값은 [eqn: 5]이고 [eqn: m+n=4]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: int_{0}^{{3}over{2}pi}f(x) dx]

[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {} l sinx dx+ int _{{pi } over {2}} ^{pi } {} (m sinx+l-m) dx]

[eqn: + int _{{pi } over {2}} ^{{3} over {2} pi } {} (n sinx+l-m-n) dx]

[eqn: =l+ LEFT{(-m)+{pi}over{2}(l-m)right|+left{(-n)+{pi}over{2}(l-m-n)right}]

[eqn: =(l-m-n)left(1+{pi}over{2}right)+(l-m){pi}over{2}]

[eqn: =left(1+{pi}over{2}right)+(l-m){pi}over{2}] ([eqn: because][eqn: l-m-n=1])

따라서 [eqn: int_{0}^{{3}over{2}pi}f(x) dx]가 최대가 되려면 [eqn: l-m]이 최대가 되어야 하므로 [eqn: m=1]

㉠에 대입하면 [eqn: n=3]

[eqn: therefore][eqn: l+2m+3n=5+2+9=16]

[eqn: f `' LEFT (x RIGHT ) = cases{ ```l cos` x &~ LEFT ( 0 < x < pi over 2 RIGHT ) #`` m cos` x &~ LEFT ( pi over 2 < x < pi RIGHT ) # ```n cos` x &~ LEFT ( pi < x < 3 over 2 pi RIGHT ) `]

를 만족시킬 때, [eqn: int_0 ^ { 3 over 2 pi } f LEFT (x RIGHT ) dx `]의 값이 최대가 되도록 하는 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n`]에 대하여 [eqn: l + 2 m + 3n `]의 값은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 10월 30
[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 10월 30

실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 26 }]

[해설]

(나)에서 [eqn: x=0]일 때 [eqn: g(1)=0]

[eqn: g(x+1)= it int _{0} ^{x} {LEFT { f(t+1)e ^{t} -f(t)e ^{t} +g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT }} dt]

의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하여 정리하면

[eqn: "f"(x+1)-f(x)= LEFT { g prime LEFT ( x+1 RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } e ^{-x}]

임의의 실수 [eqn: t]에 대하여

[eqn: int _{0} ^{t} {LEFT { f LEFT ( x+1 RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} dx]

[eqn: = int _{0} ^{t} {LEFT { g prime LEFT ( x+1 RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } e ^{-x} dx}]

(좌변)[eqn: = int _{0} ^{t} {f(x+1)dx} - int _{0} ^{t} {f(x)dx}]
[eqn: = int _{1} ^{t+1} {f(x)dx} - int _{0} ^{t} {f(x)dx}]
[eqn: = int _{t} ^{t+1} {f(x)dx} - int _{0} ^{1} {f(x)dx}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

(우변)[eqn: = int _{0} ^{t} {LEFT { g prime (x+1)-g(x) RIGHT } e ^{-x}} dx]
[eqn: = int _{0} ^{t} {g prime (x+1)e ^{-x}} dx- int _{0} ^{t} {g(x)e ^{-x}} dx]

[eqn: int _{0} ^{t} {g prime (x+1)e ^{-x} dx}]에서
[eqn: int _{0} ^{t} {g prime (x+1)e ^{-x} dx}]

[eqn: = LEFT [ pile{ # } g LEFT ( x+1 RIGHT ) e ^{-x} RIGHT ] _{0}^{t} + int _{0} ^{t} {g(x+1)e ^{-x} dx}]

(우변)[eqn: = LEFT [ pile{ `# ` } g LEFT ( x+1 RIGHT ) e ^{-x} RIGHT ] _{0}^{t} + int _{0} ^{t} {LEFT { g(x+1)-g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } e ^{-x} dx}]
[eqn: =g LEFT ( t+1 RIGHT ) e ^{-t} -g LEFT ( 1 RIGHT ) - int _{0} ^{t} {pi LEFT ( e+1 RIGHT ) sin LEFT ( pi x RIGHT ) dx}]
[eqn: =g LEFT ( t+1 RIGHT ) e ^{-t} + LEFT [ pile{ `# ` } LEFT ( e+1 RIGHT ) cos LEFT ( pi x RIGHT ) RIGHT ] _{0}^{t}]
[eqn: =g LEFT ( t+1 RIGHT ) e ^{-t} + LEFT ( e+1 RIGHT ) cos LEFT ( pi t RIGHT ) - LEFT ( e+1 RIGHT )]

[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: int _{t} ^{t+1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: = int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT )} dx+g LEFT ( t+1 RIGHT ) e ^{-t} + LEFT ( e+1 RIGHT ) cos LEFT ( pi t RIGHT ) - LEFT ( e+1 RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( x+1 RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) -pi LEFT ( e+1 RIGHT ) sin LEFT ( pi x RIGHT ) e ^{x}]에서

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =g LEFT ( 1 RIGHT ) =g LEFT ( 2 RIGHT ) = CDOTS =g LEFT ( 9 RIGHT ) =0]

[eqn: int _{1} ^{10} {f LEFT ( x RIGHT )} dx]

[eqn: = sum _{n=1} ^{9} int _{n} ^{n+1} {f LEFT ( x RIGHT )} dx]

[eqn: = sum _{n=1} ^{9} LEFT { int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT )} dx+g LEFT ( n+1 RIGHT ) e ^{-n}]

[eqn: + LEFT ( e+1 RIGHT ) cos LEFT ( pi n RIGHT ) - LEFT ( e+1 RIGHT ) pile{ `#` } RIGHT }]

[eqn: =9 int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT )} dx + + LEFT ( e+1 RIGHT ) sum _{n=1} ^{9} LEFT { cos LEFT ( pi n RIGHT ) -1 RIGHT }]

[eqn: =9 LEFT ( {10} over {9} e+4 RIGHT ) + LEFT ( e+1 RIGHT ) TIMES LEFT ( -10 RIGHT )]

[eqn: =26]

(가) [eqn: g LEFT ( x+1 RIGHT ) -g(x)= it - pi LEFT ( e+1 RIGHT ) e ^{x} sin LEFT ( pi x RIGHT )]

(나) [eqn: g(x+1)= int _{0} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t+1 RIGHT ) e ^{t} -f (t)e ^{t} +g(t) RIGHT }} dt]

[eqn: int _{0} ^{1} {f(x)} dx= {10} over {9} e+4]일 때, [eqn: int _{1} ^{10} {f(x)} dx]의 값을 구하시오.

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 03월 30

함수

[정답] [eqn: 36]

[해설]

(ⅰ) [eqn: 0`<`x`le1]일 때,

그림에서 [eqn: 0<t LEQ x]일 때, [eqn: f(x) GEQ f(t)]이므로

[eqn: g(x)][eqn: = int _{0} ^{x} {LEFT | f(x)-f(t) RIGHT | dt}]
[eqn: = int _{0} ^{x} {left{f(x)-f(t)`right}dt}]
[eqn: = int _{0} ^{x} {LEFT ( e ^{x} -e ^{t} RIGHT ) dt}]
[eqn: = LEFT [ ``te ^{x} -e ^{t`} pile{`#`} RIGHT ] _{0}^{x}]
[eqn: =xe ^{x} -e ^{x} +1]
[eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) e ^{x} +1]

(ⅱ) [eqn: 1<`x<2]일 때,

그림에서
[eqn: 0<`t`<2-x]일 때, [eqn: f(x)gef(t)]
[eqn: 2-x LEQ `t`<x]일 때, [eqn: f(x)lef(t)]이므로

[eqn: g(x)][eqn: = int _{0} ^{x} {left|f(x)-f(t) right|dt}]
[eqn: = int _{0} ^{2-x} {LEFT { f(x)-f(t) RIGHT } dt}][eqn: + int _{2-x} ^{x} {LEFT { f(t)-f(x) RIGHT } dt}]

위의 (ⅰ)에 의하여

[eqn: int _{0} ^{2-x} {LEFT { f(x)-f(t) RIGHT } dt}][eqn: = LEFT ( 2-x-1 RIGHT ) e ^{2-x} +1]
[eqn: = LEFT ( 1-x RIGHT ) e ^{2-x} +1]

한편, 함수 [eqn: y=e ^{2-x}]의 그래프는 함수 [eqn: y=e ^{x}]의 그래프와 직선 [eqn: x=1]에 대하여 대칭이므로

[eqn: int _{2-x} ^{x} {LEFT { f(t)-f(x) RIGHT } dt}][eqn: =2 int _{1} ^{x} {LEFT { f(t)-f(x) RIGHT } dt}]
[eqn: =2 int _{1} ^{x} {LEFT ( e ^{2-t} -e ^{2-x} RIGHT ) dt}]
[eqn: =2 LEFT [ ``-e ^{2-t} -te ^{2-x`} pile{`#`} RIGHT ] _{1}^{x}]
[eqn: =2 LEFT { LEFT ( -e ^{2-x} -xe ^{2-x} RIGHT ) - LEFT ( -e-e ^{2-x} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =2e-2x`e ^{2-x}]

따라서

[eqn: g(x)][eqn: = LEFT ( 1-x RIGHT ) e ^{2-x} +1][eqn: +2e-2x`e ^{2-x}]
[eqn: = LEFT ( 1-3x RIGHT ) e ^{2-x} +2e+1]

위의 (ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{` LEFT ( x-1 RIGHT ) e ^{x} +1 _{{}_{`}}^{{}^{`}}&&{}_{{}_{`}}^{{}^{`}} LEFT ( 0<x LEQ 1 RIGHT )#` LEFT ( 1-3x RIGHT ) e ^{2-x} +2e+1 _{{}_{`}}^{{}^{{}_{`}}}&&{}_{{}_{`}}^{{}^{`}} LEFT ( 1<x<2 RIGHT )}}]이므로

[eqn: g` prime (x)= {cases{``xe ^{x} ` _{{}_{`}}^{{}^{`}}&&{}_{{}_{`}}^{{}^{`}} LEFT ( 0<x<1 RIGHT )#` LEFT ( 3x-4 RIGHT ) e ^{2-x} ` _{{}_{`}}^{{}^{`}}&&{}_{{}_{`}}^{{}^{`}} LEFT ( 1<x<2 RIGHT )}}]

함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 나타내는 표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: (0)]	…	[eqn: 1]	…	[eqn: {4} over {3}]	…	[eqn: (2)]
[eqn: g`'(x)]		[eqn: +]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]		↗	극대	↘	극소	↗

(극댓값)[eqn: =g(1)]
[eqn: = LEFT ( 1-1 RIGHT ) e+1]
[eqn: =1]

(극솟값)[eqn: =g LEFT ( {4} over {3} RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 1-4 RIGHT ) e ^{{2} over {3}} +2e+1]
[eqn: =2e-3e ^{{2} over {3}} +1]

함수 [eqn: g(x)]의 극댓값과 극솟값의 차는

[eqn: 1- LEFT ( 2e-3e ^{{2} over {3}} +1 RIGHT )][eqn: = it -2e+3e ^{{2} over {3}}]
[eqn: =it-2e+3 root {3} of {e ^{2}}]

[eqn: a=it-2], [eqn: b=3]이므로

[eqn: LEFT ( ab RIGHT ) ^{2}][eqn: =36]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{ ~~e^{x} &~ LEFT ( 0 LEQ x< 1 RIGHT )# ``e ^{2-x } &~ LEFT ( 1 LEQ x LEQ 2 RIGHT )}}`]

에 대하여 열린구간 [eqn: LEFT (0,`` 2 RIGHT ) `]에서 정의된 함수

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= int _{0} ^{x} {} LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | dt`]

의 극댓값과 극솟값의 차는 [eqn: ae+b root {3} of {e ^{2}}`]이다. [eqn: LEFT ( ab RIGHT ) ^{2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b `]는 유리수이다.)

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 07월 30

[eqn: ab<0 `]인 상수 [eqn: a], [eqn: b `]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]는 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= LEFT (ax+b RIGHT )e^{- { x} over {2 }} `]이고 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT ) `]는 [eqn: g LEFT (x RIGHT )=int_{0}^{x}{f LEFT (t RIGHT )dt} `]이다. 실수 [eqn: k][eqn: LEFT (k>0 RIGHT ) `]에 대하여 부등식

[정답] [eqn: 125]

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: a>0]	(ⅱ) [eqn: a<0]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}`]에서 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =0`], [eqn: g`' LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )`]

조건 (가)에 의하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 [eqn: x=- {b} over {a} `]에서 극댓값 [eqn: alpha `]를 가지므로 [eqn: a<0`]이고 [eqn: b>0`]이다.
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) -k GEQ xf LEFT ( x RIGHT )`]에서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) -xf LEFT ( x RIGHT ) GEQ k`]이므로

[eqn: p LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) -xf LEFT ( x RIGHT )`]라 하면

[eqn: p` prime LEFT ( x RIGHT ) =g` prime LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT ) -xf` prime LEFT ( x RIGHT ) =-xf` prime LEFT ( x RIGHT )`]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =- {1} over {2} a LEFT ( x-2+ {b} over {a} RIGHT ) e ^{- {x} over {2}} `]

[eqn: p` prime LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} ax LEFT ( x-2+ {b} over {a} RIGHT ) e ^{- {x} over {2}} `]

조건 (가), (나)를 만족시키는 함수 [eqn: p LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g LEFT ( - {b} over {a} RIGHT ) =alpha`], [eqn: f left(- { b} over {a } right)=0`]에 의하여 [eqn: p LEFT ( - {b} over {a} RIGHT ) =g LEFT ( - {b} over {a} RIGHT ) - LEFT ( - {b} over {a} RIGHT )f left(- { b} over { a}right) = alpha]

[eqn: 2=- {b} over {a}]

[eqn: p LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) -xf LEFT ( x RIGHT ) GEQ k`]에서 양수 [eqn: x`]의 범위에서 함수 [eqn: p LEFT ( x RIGHT )`]의 최댓값은 [eqn: h LEFT ( k RIGHT )`]의 값이 존재하는 [eqn: k`]의 최댓값이므로 [eqn: p LEFT ( 4 RIGHT ) =8e ^{-2}`]

[eqn: g LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{4} {a LEFT ( t-2 RIGHT ) e ^{- {t} over {2}} dt}][eqn: = LEFT [ a LEFT ( t-2 RIGHT ) LEFT ( -2e _{{matrix{&#&}}}^{- {t} over {2}} RIGHT ) RIGHT ] _{0}^{4} - int _{0} ^{4} {LEFT ( -2ae _{{matrix{&#&}}}^{- {t} over {2}} RIGHT ) dt}][eqn: =-4ae ^{-2} -4a- LEFT [ 4ae _{{matrix{&#&}}}^{- {t} over {2}} RIGHT ] _{0}^{4}][eqn: =-4ae ^{-2} -4a-4ae ^{-2} +4a]
[eqn: =-8ae ^{-2}]

[eqn: p LEFT ( 4 RIGHT )`][eqn: =g LEFT ( 4 RIGHT ) -4f LEFT ( 4 RIGHT )]
[eqn: =-8ae ^{-2} -4 TIMES 2ae ^{-2}]
[eqn: =-16ae ^{-2}]

[eqn: -16ae ^{-2} =8e ^{-2}] 이므로 [eqn: a=- {1} over {2}`], [eqn: b=1`]

따라서 [eqn: 100 LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) =125`]

[eqn: g LEFT (x RIGHT )-k geqxf LEFT ( x RIGHT )`]

를 만족시키는 양의 실수 [eqn: x `]가 존재할 때, 이 [eqn: x `]의 값 중 최솟값을 [eqn: h LEFT (k RIGHT ) `]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) ``]와 [eqn: h LEFT ( k RIGHT ) `]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 극댓값 [eqn: alpha `]를 갖고 [eqn: h LEFT ( alpha RIGHT ) =2 `]이다.

(나) [eqn: h LEFT ( k RIGHT ) `]의 값이 존재하는 [eqn: k `]의 최댓값은 [eqn: 8e ^{-2} `]이다.

[eqn: 100 LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: lim _{x `->` INF } {f LEFT ( x RIGHT )} =0 `])

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

함수 [eqn: f(x)={x} over {e^{x}}]에 대하여 구간 [eqn: left[{12} over {e^{12}},`` inf right)]에서 정의된 함수

[정답] [eqn: 18]

[해설]

[eqn: g(t)]는 그림과 같이 색칠한 영역의 넓이이다.

[eqn: f(x)={x} over {e^{x}}=x e^{-x}], [eqn: f `prime (x)=(1-x) e^{-x}]이므로

극댓값(최댓값)은 [eqn: f(1)={1} over {e}<1]이므로

(ⅰ) [eqn: t>{1} over {e}]이면
[eqn: g(t)= int_{0}^{12}(t-f(x)) d x=12 t- int_{0}^{12} f(x) d x]이므로
[eqn: g `prime (1)=12]

(ⅱ) [eqn: {12} over {e^{12}} leq t leq {1} over {e}]일 때
[eqn: f(x)=t]는 두 실근 [eqn: a], [eqn: b(a<b)]를 갖는다.

[eqn: g(t)][eqn: = int_{0}^{a}(t-f(x)) d x+ int_{a}^{b}(f(x)-t) d x+ int_{b}^{12}(t-f(x)) d x][eqn: = int_{0}^{12}(t-f(x)) d x+2 int_{a}^{b}(f(x)-t) d x][eqn: =t int_{0}^{12} d x- int_{0}^{12} f(x) d x+2 int_{a}^{b} f(x) d x-2 t int_{a}^{b} d x]

[eqn: g `prime (t)][eqn: =12-0+2 left(f(b(t)) times b `prime (t)-f(a(t)) times a `prime (t) right)]
[eqn: -2(b(t)-a(t))-2 t left(b `prime (t)-a `prime (t) right)]
[eqn: =12-2(b-a)]

[eqn: g `prime (k)=12-2(b-a)=0]

[eqn: therefore~b-a=6], [eqn: b=a+6]

따라서 [eqn: f(a)=f(a+6)]이므로

[eqn: {a} over {e^{a}}={a+6} over {e^{a+6}}], 즉 [eqn: {a+6} over {a}=e^{6}]

즉 [eqn: ln left({6} over {a}+1 right)= ln e^{6}=6]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: therefore~g `prime (1)+ ln left({6} over {a}+1 right)=12+6=18]

[eqn: g(t)= int_{0}^{12}|f(x)-t| d x]

가 [eqn: t=k]에서 극솟값을 갖는다. 방정식 [eqn: f(x)=k]의 실근의 최솟값을 [eqn: a]라 할 때, [eqn: g `prime (1)+ ln left({6} over {a}+1 right)]의 값을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 04월 21

함수

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: LEFT |`` {x-1} over {k} `` RIGHT | <1]일 때, [eqn: lim _{n ``->`` INF } {LEFT ( {x-1} over {k} RIGHT ) ^{2n} }=0]이므로 [eqn: 1-k<x<1+k]에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n ``->`` INF } {{LEFT ( {x-1} over {k} RIGHT ) ^{2n} -1} over {LEFT ( {x-1} over {k} RIGHT ) ^{2n} +1}} = {0-1} over {0+1} = it -1]

[eqn: LEFT |`` {x-1} over {k} `` RIGHT | >1]일 때, [eqn: lim _{n ``->`` INF } {LEFT ( {x-1} over {k} RIGHT ) ^{2n} }=inf], [eqn: lim _{n ``->`` INF } {{1} over {LEFT ( {x-1} over {k} RIGHT ) ^{2n}} }= lim _{n ``->`` INF } {LEFT ( {k} over {x-1} RIGHT ) ^{2n}} =0]이므로

[eqn: x<1-k] 또는 [eqn: x>1+k]에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{n ``->`` INF } {{LEFT ( {x-1} over {k} RIGHT ) ^{2n} -1} over {LEFT ( {x-1} over {k} RIGHT ) ^{2n} +1}}]
[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {{1- LEFT ( {k} over {x-1} RIGHT ) ^{2n}} over {1+ LEFT ( {k} over {x-1} RIGHT ) ^{2n}}}]
[eqn: = {1-0} over {1+0}][eqn: =1]

[eqn: LEFT |`` {x-1} over {k} `` RIGHT | =1]일 때, [eqn: lim _{n ``->`` INF } {LEFT ( {x-1} over {k} RIGHT ) ^{2n} }=1]이므로
[eqn: x=1-k] 또는 [eqn: x=1+k]에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n ``->`` INF } {{LEFT ( {x-1} over {k} RIGHT ) ^{2n} -1} over {LEFT ( {x-1} over {k} RIGHT ) ^{2n} +1}} = {1-1} over {1+1} =0]

따라서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ `` ````` 1& && LEFT ( x<1-k ```` 또는 ```` x>1+k RIGHT )# ``````` 0&&& LEFT ( x=1-k ```` 또는 ````x=1+k RIGHT ) #-1 &&& LEFT ( 1-k<x<1+k RIGHT ) }]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같고 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: lim _{x ``->`` k} {g LEFT ( x RIGHT ) }= g LEFT ( k RIGHT )]가 성립한다.

[eqn: lim _{x ``->`` k} {g LEFT ( x RIGHT ) }= lim _{x ``->`` k} {LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2}} =0], [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) = LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( k RIGHT )]이므로

[eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( k RIGHT ) =0]

[eqn: f LEFT ( 1-k RIGHT ) =f LEFT ( 1+k RIGHT ) =0]이므로

[eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =1-k] 또는 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =1+k]

[eqn: k>0], [eqn: 1+k>1]이고, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 치역은 [eqn: LEFT { -1 ,```` 0 ,```` 1 RIGHT }]이므로

[eqn: 1+k]는 치역에 속하지 않는다.

[eqn: THEREFORE ````][eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =1-k]

(ⅰ) [eqn: 1-k=1]인 경우
[eqn: k=0]이므로 조건에 맞지 않는다.

(ⅱ) [eqn: 1-k=0]인 경우
[eqn: k=1]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ ``````` 1 & && LEFT ( x<0 ````또는 ```` x>2 RIGHT ) # ```````0 & && LEFT ( x=0 ````또는 ```` x=2 RIGHT )#-1 & && LEFT ( 0<x<2 RIGHT ) }]
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( -1 RIGHT ) =1 != 0]이므로 조건에 맞지 않는다.

(ⅲ) [eqn: 1-k= it -1]인 경우
[eqn: k=2]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ ``````` 1 & && LEFT ( x< -1 ````또는 ```` x> 3 RIGHT ) # ```````0 & && LEFT ( x=-1 ````또는 ```` x=3 RIGHT )#-1 & && LEFT ( -1<x<3 RIGHT ) }]
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( -1 RIGHT ) =0]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 [eqn: k=2]

[eqn: (g CIRC f) LEFT ( k RIGHT )][eqn: =g LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =g LEFT ( -1 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( -1-2 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =9]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n ``->`` INF } {{LEFT ( {x-1} over {k} RIGHT ) ^{2n} -1} over {LEFT ( {x-1} over {k} RIGHT ) ^{2n} +1}}] ([eqn: k>0])

에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = cases{`` LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) & ~ LEFT ( x=k RIGHT ) #~~ LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2} & ~ LEFT ( x != k RIGHT ) }`]가 실수 전체의 집합에서 연속이다. 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( k RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 07월 21

[eqn: {0<t<1}{{from^2019^07^인천교육청고3가^중}}`]인 실수 [eqn: t`]에 대하여 직선 [eqn: y=t`]와 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin` x][eqn: LEFT ( 0<x< {pi } over {2} RIGHT ) `]의 그래프가 만나는 점을 [eqn: rmP`]라 할 때, 곡선 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )] 위의 점 [eqn: rmP]에서 그은 접선의 [eqn: x`]절편을 [eqn: g LEFT (t RIGHT )`]라 하자. [eqn: g prime LEFT ( {2 sqrt {2}} over {3} RIGHT ) `]의 값은?

[정답] ②

[해설]

점 [eqn: rm P]를 [eqn: rm P it LEFT ( alpha ,```` t RIGHT )]라 하면 [eqn: sin alpha =t], [eqn: cos alpha = sqrt {1-sin ^{2} alpha } = sqrt {1-t ^{2}}]이다.

접선의 방정식은 [eqn: y-f LEFT ( alpha RIGHT ) =f prime LEFT ( alpha RIGHT ) LEFT ( x- alpha RIGHT )]이고, [eqn: y-sin alpha =cos alpha LEFT ( x- alpha RIGHT )]에서

[eqn: -sin alpha =cos alpha LEFT ( g LEFT ( t RIGHT ) - alpha RIGHT )], [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = alpha -tan alpha]

이다.

[eqn: sin alpha =t]의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면 [eqn: cos alpha {d alpha } over {dt} =1]이므로

[eqn: {d alpha } over {dt} = {1} over {cos alpha }]

[eqn: g prime LEFT ( t RIGHT )][eqn: = {d alpha } over {dt} -sec ^{2} alpha {d alpha } over {dt}]
[eqn: = {1} over {cos alpha } - {1} over {cos ^{3} alpha }]
[eqn: = {cos ^{2} alpha -1} over {cos ^{3} alpha }]
[eqn: = {-t ^{2}} over {LEFT ( 1-t ^{2} RIGHT ) ^{{3} over {2}}}]

따라서 [eqn: g ``prime LEFT ( {2 sqrt {2}} over {3} RIGHT )=-24]

① [eqn: -28]	② [eqn: -24]	③ [eqn: -20]

④ [eqn: -16]	⑤ [eqn: -12]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 04월 21

자연수 [eqn: n]에 대하여 열린구간 [eqn: LEFT ( 3n-3 ,```` 3n RIGHT )]에서 함수

[정답] ①

[해설]

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2sin2x+2 LEFT ( 2x-3n RIGHT ) cos2x- LEFT ( 4x-6n RIGHT ) cos2x]
[eqn: +2 LEFT ( 2x ^{2} -6nx+4n ^{2} -1 RIGHT ) sin2x]
[eqn: = LEFT ( 4x ^{2} -12nx+8n ^{2} RIGHT ) sin2x]
[eqn: =4 LEFT ( x-n RIGHT ) LEFT ( x-2n RIGHT ) sin2x]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때
열린구간 [eqn: LEFT ( 0 ,```` 3 RIGHT )]에서의 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =0]인 [eqn: x]의 값은
[eqn: x=1], [eqn: x= {pi} over {2}], [eqn: x=2]

[eqn: x]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {pi} over {2}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]	[eqn: LEFT ( 3 RIGHT )]
[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]

[eqn: a _{1} =3+ {pi} over {2}], [eqn: cos a _{1} !=0]

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때
열린구간 [eqn: LEFT ( 3 ,```` 6 RIGHT )]에서의 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =0]인 [eqn: x]의 값은
[eqn: x=pi], [eqn: x=4], [eqn: x= {3} over {2} pi]

[eqn: x]	[eqn: LEFT ( 3 RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: pi]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 4]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {3} over {2} pi]	[eqn: CDOTS]	[eqn: LEFT ( 6 RIGHT )]
[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]

[eqn: a _{2} =4+ {5} over {2} pi], [eqn: cos a _{2} != 0]

(ⅲ) [eqn: n=3]일 때
열린구간 [eqn: LEFT ( 6 ,```` 9 RIGHT )]에서의 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =0]인 [eqn: x]의 값은
[eqn: x=2 pi], [eqn: x= {5} over {2} pi]

[eqn: x]	[eqn: LEFT ( 6 RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2pi]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {5} over {2} pi]	[eqn: CDOTS]	[eqn: LEFT ( 9 RIGHT )]
[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]

[eqn: a _{3} = {9} over {2} pi], [eqn: cos a _{3} =0]이므로 [eqn: l=3]

(ⅳ) [eqn: n=4]일 때
열린구간 [eqn: LEFT ( 9 ,```` 12 RIGHT )]에서의 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =0]인 [eqn: x]의 값은
[eqn: x=3 pi], [eqn: x= {7} over {2} pi]

[eqn: x]	[eqn: LEFT ( 9 RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 3 pi]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {7} over {2} pi]	[eqn: CDOTS]	[eqn: LEFT ( 12 RIGHT )]
[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]

[eqn: a _{4} = {13} over {2} pi]

(ⅴ) [eqn: n=5]일 때
열린구간 [eqn: LEFT ( 12 ,```` 15 RIGHT )]에서의 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =0]인 [eqn: x]의 값은
[eqn: x=4 pi], [eqn: x= {9} over {2} pi]

[eqn: x]	[eqn: LEFT ( 12 RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 4 pi]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {9} over {2} pi]	[eqn: CDOTS]	[eqn: LEFT ( 15 RIGHT )]
[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]

[eqn: a _{5} = {17} over {2} pi]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{l+2} a _{k} = sum _{k=1} ^{5} a _{k} =7+ {45} over {2} pi]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2x-3n RIGHT ) sin` 2x- LEFT ( 2x ^{2} -6nx+4n ^{2} -1 RIGHT ) cos` 2x`]

가 [eqn: x=alpha]에서 극대 또는 극소가 되는 모든 [eqn: alpha]의 값의 합을 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: cos a _{m} =0]이 되도록 하는 자연수 [eqn: m]의 최솟값을 [eqn: l]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{l +2} a _{k}]의 값은?

① [eqn: 7+ {45} over {2} pi]	② [eqn: 8+ {45} over {2} pi]	③ [eqn: 7+ {47} over {2} pi]

④ [eqn: 8+ {47} over {2} pi]	⑤ [eqn: 7+ {49} over {2} pi]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 03월 30

다음 조건을 만족시키며 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 모든 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(0)]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. [eqn: pile{ `#` }right(]단, [eqn: lim _{x ``->`` INF } {} {x} over {e ^{x}} =0 right)]

[정답] [eqn: bold { 77 }]

[해설]

자연수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: LEFT |`` (f CIRC g)(x) `` RIGHT |]의 미분가능성을 조사하므로 [eqn: k GEQ 1]에서만 생각한다.
두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 함수 [eqn: (f CIRC g)(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

함수 [eqn: LEFT |`` (f CIRC g)(x) `` RIGHT |]의 미분가능성은 함수 [eqn: (f CIRC g)(x)]의 부호가 바뀌는 [eqn: x]의 값에 대해서만 판단하면 된다.

[eqn: g(x)= {3x} over {e ^{x-1}} +k =3xe ^{1-x} +k]에서

[eqn: g prime (x)][eqn: =3e ^{1-x} -3xe ^{1-x}][eqn: =3(1-x)e ^{1-x}]

함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]
[eqn: g '(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g(x)]	[eqn: NEARROW]	[eqn: k+3]	[eqn: SEARROW]

이고, [eqn: lim _{x ``->`` - INF } {g(x)=it- INF }], [eqn: lim_{ x ``->`` inf } { g(x)} = k]이므로 곡선 [eqn: y=g(x)]의 개형은 [그림[eqn: 1]]과 같다.

함수 [eqn: f(x)]는 조건 (가)에서

[eqn: f(x)=(x-1) ^{2} (x ^{2} +ax+b)] ([eqn: a], [eqn: b]는 실수)

방정식 [eqn: f(x)=0]이 허근을 가지면 방정식 [eqn: x^2 +ax +b =0]이 허근을 가지므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 +ax +b >0]이다.

즉 [eqn: f(x) ge 0]이므로 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: (f circ g )(x) ge 0]이다.

모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: LEFT |`` (f CIRC g)(x) `` RIGHT |]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: 4]인 방정식 [eqn: f(x)=0]은 허근을 갖지 않는다.
두 자연수 [eqn: alpha], [eqn: beta][eqn: (1 le alpha le beta le 10)]에 대하여

[eqn: f(x) = (x-1)^2 (x- alpha ) (x- beta )]

(ⅰ) [eqn: alpha = beta]인 경우
[eqn: f(x)=(x-1) ^{2} (x- alpha ) ^{2}]이고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (x- alpha ) ^{2} GEQ 0]이므로 [eqn: f(x) ge 0]
따라서 [eqn: (f circ g )(x) ge 0]이므로 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: LEFT |`` (f CIRC g)(x) `` RIGHT |]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(ⅱ) [eqn: 1< alpha < beta]인 경우
곡선 [eqn: y=f(x)]의 개형은 [그림[eqn: 2]]와 같다.

(1) [eqn: k+3 > alpha]인 경우
[그림[eqn: 3]]에서 방정식 [eqn: g(x)= alpha]를 만족시키는 [eqn: x<1]인 실수 [eqn: x]를 [eqn: p]라 하자.

[eqn: lim _{x ``->`` p} {{ ``|`` (f CIRC g)(x) ``|`` - ``|`` (f CIRC g)(p) ``|`` } over {x-p}}]
[eqn: = lim _{x ``->`` p} {LEFT { { LEFT |`` f(g(x)) `` RIGHT | - LEFT |`` f(g(p)) `` RIGHT | } over {g(x)-g(p)} TIMES {g(x)-g(p)} over {x-p} RIGHT }}]
이때 [eqn: f(g(p))=0]이고, [eqn: x ``->`` p-]이면 [그림[eqn: 3]]에서 [eqn: g(x) ``->`` alpha -]이므로 [그림[eqn: 2]]에서 [eqn: (f CIRC g)(x) ``->`` 0+]
[eqn: lim _{x ``->`` p-} {LEFT { { LEFT |`` f(g(x)) `` RIGHT | - LEFT |`` f(g(p)) `` RIGHT | } over {g(x)-g(p)} TIMES {g(x)-g(p)} over {x-p} RIGHT }}]
[eqn: = lim _{x ``->`` p-} {LEFT { {f(g(x))-f(g(p))} over {g(x)-g(p)} TIMES {g(x)-g(p)} over {x-p} RIGHT }}]
[eqn: =f prime (g(p))g prime (p)]
[eqn: =f prime ( alpha )g prime (p)]
한편, [eqn: f(g(p))=0]이고, [eqn: x ``->`` p+]이면
[그림[eqn: 3]]에서 [eqn: g(x) ``->`` alpha +]이므로 [그림[eqn: 2]]에서
[eqn: (f CIRC g)(x) ``->`` 0-]
[eqn: lim _{x ``->`` p+} {LEFT { { LEFT |`` f(g(x)) `` RIGHT | - LEFT |`` f(g(p)) `` RIGHT | } over {g(x)-g(p)} TIMES {g(x)-g(p)} over {x-p} RIGHT }}]
[eqn: = lim _{x ``->`` p+} {LEFT { - {f(g(x))-f(g(p))} over {g(x)-g(p)} TIMES {g(x)-g(p)} over {x-p} RIGHT }}]
[eqn: = it -f prime (g(p))g prime (p)]
[eqn: = it -f prime ( alpha )g prime (p)]
이때 [그림[eqn: 2]], [그림[eqn: 3]]에서 [eqn: f '(alpha ) <0], [eqn: g prime (p)>0]이므로
[eqn: f prime ( alpha )g prime (p) <0]
[eqn: f prime ( alpha )g prime (p) != it -f prime ( alpha )g prime (p)]
이므로 함수 [eqn: LEFT |`` (f CIRC g)(x) `` RIGHT |]는 [eqn: x=p]에서 미분가능하지 않다.

(2) [eqn: k+3 le alpha]인 경우
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x) le k+3 le alpha]이므로 [그림[eqn: 2]]에서 [eqn: (f circ g )(x) ge 0]이다.
함수 [eqn: LEFT |`` (f CIRC g)(x) `` RIGHT |]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 자연수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: 4]이려면
[eqn: 4 le alpha -3 < 5], [eqn: 7 le alpha < 8]
그런데, [eqn: alpha]는 자연수이므로 [eqn: alpha =7]
[eqn: alpha < beta LEQ 10]이므로 조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (alpha ,```` beta )]는 [eqn: (7 ,```` 8)], [eqn: (7 ,```` 9)], [eqn: (7 ,```` 10 )]이다.

(ⅲ) [eqn: 1 = alpha < beta]인 경우
곡선 [eqn: y=f(x)]의 개형은 [그림[eqn: 4]]와 같다.

(1) [eqn: k+3 > beta]인 경우
[그림[eqn: 5]]에서 방정식 [eqn: g(x)= beta]를 만족시키는 [eqn: x<1]인 실수 [eqn: x]를 [eqn: q]라 하자.

[eqn: lim _{x ``->`` q} {{ ``|`` (f CIRC g)(x) ``|`` - ``|`` (f CIRC g)(q) ``|`` } over {x-q}}]
[eqn: = lim _{x ``->`` q} {LEFT { { LEFT |`` f(g(x)) `` RIGHT | - LEFT |`` f(g(q)) `` RIGHT | } over {g(x)-g(q)} TIMES {g(x)-g(q)} over {x-q} RIGHT }}]
이때 [eqn: f(g(q))=0]이고, [eqn: x ``->`` q-]이면 [그림[eqn: 5]]에서 [eqn: g(x) ``->`` beta -]이므로 [그림[eqn: 4]]에서 [eqn: (f CIRC g)(x) ``->`` 0-]
[eqn: lim _{x ``->`` q-} {LEFT { { LEFT |`` f(g(x)) `` RIGHT | - LEFT |`` f(g(q)) `` RIGHT | } over {g(x)-g(q)} TIMES {g(x)-g(q)} over {x-q} RIGHT }}]
[eqn: = lim _{x ``->`` q-} {LEFT { - {f(g(x))-f(g(q))} over {g(x)-g(q)} TIMES {g(x)-g(q)} over {x-q} RIGHT }}]
[eqn: =it-f prime (g(q))g prime (q)]
[eqn: =it-f prime ( beta )g prime (q)]
한편, [eqn: f(g(q))=0]이고, [eqn: x ``->`` q+]이면 [그림[eqn: 5]]에서 [eqn: g(x) ``->`` beta +]이므로 [그림[eqn: 4]]에서 [eqn: (f CIRC g)(x) ``->`` 0+]
[eqn: lim _{x ``->`` q+} {LEFT { { LEFT |`` f(g(x)) `` RIGHT | - LEFT |`` f(g(q)) `` RIGHT | } over {g(x)-g(q)} TIMES {g(x)-g(q)} over {x-q} RIGHT }}]
[eqn: = lim _{x ``->`` q+} {LEFT { {f(g(x))-f(g(q))} over {g(x)-g(q)} TIMES {g(x)-g(q)} over {x-q} RIGHT }}]
[eqn: =f prime (g(q))g prime (q)]
[eqn: = it f prime ( beta )g prime (q)]
이때 [그림[eqn: 4]], [그림[eqn: 5]]에서 [eqn: f '(beta ) >0], [eqn: g prime (q)>0]이므로
[eqn: f prime ( beta )g '(q)>0]
[eqn: - it f prime ( beta )g prime (q)!= it f prime ( beta )g prime (q)]
이므로 함수 [eqn: LEFT |`` (f CIRC g)(x) `` RIGHT |]는 [eqn: x=q]에서 미분가능하지 않다.

(2) [eqn: 1= alpha < k+3 le beta]인 경우
[그림[eqn: 6]]에서 방정식 [eqn: g(x)=1]을 만족시키는 실수 [eqn: x]가 오직 하나 존재하며 [eqn: x<1]이다. 이 실수를 [eqn: r]라 하자.

(ㄱ) [eqn: x<r]인 경우
[그림[eqn: 6]]에서 [eqn: x<r]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x)<1]이므로 [그림[eqn: 4]]에서 [eqn: ( f CIRC g )(x)>0]이다. 따라서 [eqn: x<r]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: LEFT |`` (f CIRC g)(x) `` RIGHT |]는 미분가능하다.

(ㄴ) [eqn: x>r]인 경우
[그림[eqn: 6]]에서 [eqn: x>r]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 1<g(x) LEQ beta]이므로 [그림[eqn: 4]]에서 [eqn: ( f CIRC g )(x) LEQ 0]이다.
따라서 [eqn: x>r]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: LEFT |`` (f CIRC g)(x) `` RIGHT |]는 미분가능하다.

(ㄷ) [eqn: x=r]인 경우
[eqn: lim _{x ``->`` r} {{ ``|`` (f CIRC g)(x) ``|`` - ``|`` (f CIRC g)(r) ``|`` } over {x-r}}]
[eqn: = lim _{x ``->`` r} {LEFT { { LEFT |`` f(g(x)) `` RIGHT | - LEFT |`` f(g(r)) `` RIGHT | } over {g(x)-g(r)} TIMES {g(x)-g(r)} over {x-r} RIGHT }}]
이때 [eqn: f(g(r))=0]이고, [eqn: x ``->`` r-]이면 [그림[eqn: 6]]에서 [eqn: g(x) ``->`` 1-]이므로 [그림[eqn: 4]]에서 [eqn: (f CIRC g)(x) ``->`` 0+]
[eqn: lim _{x ``->`` r-} {LEFT { { LEFT |`` f(g(x)) `` RIGHT | - LEFT |`` f(g(r)) `` RIGHT | } over {g(x)-g(r)} TIMES {g(x)-g(r)} over {x-r} RIGHT }}]
[eqn: = lim _{x ``->`` r-} {LEFT { {f(g(x))-f(g(r))} over {g(x)-g(r)} TIMES {g(x)-g(r)} over {x-r} RIGHT }}]
[eqn: =f prime (g(r))g prime (r)][eqn: =f prime (1)g prime (r)][eqn: =0]
한편, [eqn: f(g(r))=0]이고, [eqn: x ``->`` r+]이면 [그림[eqn: 6]]에서 [eqn: g(x) ``->`` 1+]이므로 [그림[eqn: 4]]에서 [eqn: (f CIRC g)(x) ``->`` 0-]
[eqn: lim _{x ``->`` r+} {LEFT { { LEFT |`` f(g(x)) `` RIGHT | - LEFT |`` f(g(r)) `` RIGHT | } over {g(x)-g(r)} TIMES {g(x)-g(r)} over {x-r} RIGHT }}]
[eqn: = lim _{x ``->`` r+} {LEFT { - {f(g(x))-f(g(r))} over {g(x)-g(r)} TIMES {g(x)-g(r)} over {x-r} RIGHT }}]
[eqn: =it-f prime (g(r))g prime (r)]
[eqn: =it-f prime (1)g prime (r)][eqn: =0]
따라서
[eqn: lim _{ x ``->`` r- } { { ``|`` ( f circ g ) (x) ``|`` - ``|`` ( f circ g ) ( r ) ``|`` } over { x-r }]
[eqn: =lim _{ x ``->`` r+ } { { ``|`` ( f circ g ) (x) ``|`` - ``|`` ( f circ g ) ( r ) ``|`` } over { x-r }]
이므로 함수 [eqn: LEFT |`` (f CIRC g)(x) `` RIGHT |]는 [eqn: x=r]에서 미분가능하다. 즉, [eqn: 1= alpha < k+3 le beta]일 때 실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: LEFT |`` (f CIRC g)(x) `` RIGHT |]가 미분가능하도록 하는 자연수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: 4]이려면
[eqn: 4 le beta -3 < 5], [eqn: 7 le beta < 8]
이고, [eqn: beta]는 자연수이므로 [eqn: beta =7]이다.
[eqn: alpha =1]이므로 순서쌍 [eqn: (alpha ,```` beta )]는 [eqn: (1 ,```` 7)]이다.

(3) [eqn: k+3 LEQ 1= alpha]인 경우
조건을 만족시키는 자연수 [eqn: k]가 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 자연수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: 4]가 되도록 하는 순서쌍 [eqn: (alpha ,```` beta )]는 [eqn: (7 ,```` 8)], [eqn: (7 ,```` 9)], [eqn: (7 ,```` 10 )], [eqn: (1 ,```` 7)]이다.

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f (0)= alpha beta]이므로 [eqn: f(0)]은 순서쌍 [eqn: ( alpha ,```` beta )]가 [eqn: (7 ,```` 10)]일 때 최댓값 [eqn: 70], [eqn: (1 ,```` 7)]일 때 최솟값 [eqn: 7]을 갖는다.

따라서 [eqn: f(0)]의 최댓값과 최솟값의 합은

[eqn: 70+7=77]

(가) [eqn: f(1)=0], [eqn: f ``'(1)=0]

(나) 방정식 [eqn: f(x)=0]의 모든 실근은 [eqn: 10] 이하의 자연수이다.

(다) 함수 [eqn: g(x)= {3x} over {e ^{x-1}} +k]에 대하여 함수 [eqn: LEFT | LEFT (f CIRC g RIGHT ) LEFT (x RIGHT ) RIGHT | `]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 4]이다.

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 04월 30

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx]([eqn: a], [eqn: b]는 정수)에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =e ^{f LEFT ( x RIGHT )} -f LEFT ( x RIGHT )]는

[정답] [eqn: bold { 9 }]

[해설]

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) =f prime LEFT ( x RIGHT ) LEFT { e ^{f LEFT ( x RIGHT )} -1 RIGHT }]이므로 [eqn: g ' LEFT ( x RIGHT ) =0]이려면 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =0] 또는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]이어야 한다.

(ⅰ) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]이 서로 다른 세 실근을 갖는 경우
방정식 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =0]의 서로 다른 두 실근은 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 세 실근과 모두 다르므로 [eqn: g ' LEFT ( x RIGHT ) =0]을 만족시키는 서로 다른 실수 [eqn: x]의 값의 개수는 [eqn: 5]이다.
[eqn: g ' LEFT ( x RIGHT ) =0]을 만족시키는 서로 다른 [eqn: 5]개의 실수 [eqn: x]의 값의 좌우에서 [eqn: g ' LEFT ( x RIGHT )]의 부호가 바뀌므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 서로 다른 [eqn: 5]개의 극값을 갖는다.

(ⅱ) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]이 서로 다른 두 실근을 갖는 경우
(a) 방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 실근 중 하나가 [eqn: x=0]인 경우
[eqn: b=0]이므로 방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 [eqn: 0]이 아닌 실근은
[eqn: x=it-a]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2}]이므로 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=0], [eqn: x=it- {2} over {3} a]
[eqn: g ' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x= it -a], [eqn: x=it- {2} over {3} a], [eqn: x=0]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=it-1]에서 극값을 가지므로 [eqn: a>0]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -a]	[eqn: CDOTS]	[eqn: - {2} over {3} a]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

[eqn: - {2} over {3} a=it-1]이므로 [eqn: a= {3} over {2}]
[eqn: a]가 정수인 조건을 만족하지 않는다.
(b) 방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]이 [eqn: 0]이 아닌 중근을 갖는 경우
방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면
[eqn: D=a ^{2} -4b=0]에서 [eqn: b= {a ^{2}} over {4}]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} + {a ^{2}} over {4} x=x LEFT ( x+ {a} over {2} RIGHT ) ^{2}]이므로 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서	[eqn: x=it- {a} over {2}], [eqn: x=it- {a} over {6}]
[eqn: g ' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x= it - {a} over {2}], [eqn: x=it- {a} over {6}], [eqn: x=0]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=it-1]에서 극값을 가지므로 [eqn: a>0]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: - {a} over {2}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: - {a} over {6}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]		[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: -]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

[eqn: - {a} over {6} =it-1]이므로 [eqn: a=6], [eqn: b=9]
[eqn: alpha = it - {a} over {2} =it-3], [eqn: beta=0]
이때, [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT ) =g LEFT ( 0 RIGHT ) =1]이므로 그림과 같이 함수
[eqn: y= LEFT |`` g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( alpha RIGHT ) ``RIGHT |]는 실수 전체의 집합에서
미분가능하다.

(ⅲ) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]이 오직 하나의 실근을 갖는 경우

(a) 방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]이 [eqn: x=0]을 중근으로 갖는 경우
[eqn: a=b=0]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3}]이므로 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=0],
[eqn: g ' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=0]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=it-1]에서 극값을 갖지 않는다.

(b) 방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]이 두 허근을 갖는 경우
방정식 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =0]의 실근 중 하나가 [eqn: x=it-1]이므로
[eqn: 3-2a+b=0], [eqn: b=2a-3]
방정식 [eqn: x ^{2} +ax+2a-3=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면
[eqn: D=a ^{2} -8a+12<0]에서 [eqn: 2<a<6]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +ax ^{2} + LEFT ( 2a-3 RIGHT ) x]
[eqn: =x LEFT ( x ^{2} +ax+2a-3 RIGHT )]

이므로 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x= {3-2a} over {3}], [eqn: x=it-1]
[eqn: g ' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x= {3-2a} over {3}], [eqn: x=it-1], [eqn: x=0]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=alpha], [eqn: x=it-1], [eqn: x=beta]에서만 극값을 가지므로 [eqn: {3-2a} over {3} <it-1]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {3-2a} over {3}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]		[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]		[eqn: -]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

[eqn: 2<a<6], [eqn: {3-2a} over {3} <it-1]을 만족하는 정수 [eqn: a]는 [eqn: 4], [eqn: 5]이다.
[eqn: a=4]이면 [eqn: b=5]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=it- {5} over {3}], [eqn: x=it-1], [eqn: x=0]에서 극값을 갖고 [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT ) =g LEFT ( - {5} over {3} RIGHT ) = it e ^{- {50} over {27}} + {50} over {27} >1], [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =1]이므로
함수 [eqn: y= LEFT |`` g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( alpha RIGHT ) ``RIGHT |]의 미분가능하지 않은 점의 개수는 [eqn: 2]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: LEFT { f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} = LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} =4]
[eqn: a=5]이면 [eqn: b=7]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=it- {7} over {3}], [eqn: x=it-1], [eqn: x=0]에서 극값을 갖고, [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT ) =g LEFT ( - {7} over {3} RIGHT ) = it e ^{- {49} over {27}} + {49} over {27} >1], [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =1]이므로
함수 [eqn: y= LEFT |`` g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( alpha RIGHT ) ``RIGHT |]의 미분가능하지 않은 점의 개수는 [eqn: 2]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: LEFT { f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} = LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2} =9]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 [eqn: LEFT { f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT } ^{2}]의 최댓값은 [eqn: 9]이다.

[eqn: x= alpha], [eqn: x=it-1], [eqn: x=beta][eqn: LEFT ( alpha < it -1< beta RIGHT )`]

에서만 극값을 갖는다. 함수 [eqn: y= LEFT |`` g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( alpha RIGHT )`` RIGHT |]가 미분가능하지 않은 점의 개수가 [eqn: 2]일 때, [eqn: LEFT { f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT } ^{2}]의 최댓값을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 07월 30

[eqn: {x=a {{from^2019^07^인천교육청고3가^중}}][eqn: left(a>0 right)}]에서 극댓값을 갖는 사차함수 [eqn: f left(x right)]에 대하여 함수 [eqn: g left(x right)]가

[정답] [eqn: bold { 95 }]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) != 0]일 때

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) = {pi LEFT ( sin pi x RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( 1-cos pi x RIGHT ) f prime LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}}]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) != 0]이면 [eqn: g prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이 되어 조건 (가)에 모순이므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이고 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) = {7} over {128} pi ^{2}]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x ``->`` 0} { g LEFT ( x RIGHT )} = {7} over {128} pi ^{2}]	[eqn: CDOTSCDOTS] ㉠

[eqn: lim _{x ``->`` 0} { {1-cos pi x} over {f LEFT ( x RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{x ``->`` 0} { {sin ^{2} pi x} over {f LEFT ( x RIGHT ) LEFT ( 1+cos pi x RIGHT )}}]

[eqn: =lim _{x ``->`` 0} {LEFT { LEFT ( {sin pi x} over {pi x} RIGHT ) ^{2} TIMES {LEFT ( pi x RIGHT ) ^{2}} over {f LEFT ( x RIGHT )} TIMES {1} over {1+cos pi x} RIGHT }}]

[eqn: = {7} over {128} pi ^{2}]

이므로 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]에 대하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =kx ^{2} h LEFT ( x RIGHT )] ([eqn: k]는 [eqn: k != 0]인 상수, [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) != 0])

[eqn: CDOTSCDOTS] ㉡

이라 하자.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a]에서 극댓값을 가지므로 [eqn: f prime LEFT ( a RIGHT ) =0]이다.

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =0]이라 가정하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =kx ^{2} LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2}]이고, [eqn: k>0]일 때 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a]에서 극솟값을 가지므로 모순이고, [eqn: k<0]일 때 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) LEQ 0]이므로 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) = {2} over {7}]라는 조건에 모순이다.

그러므로 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) != 0]이다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a]에서 극값을 가지므로

[eqn: g prime LEFT ( a RIGHT ) = {pi LEFT ( sin a pi RIGHT ) f LEFT ( a RIGHT )} over {LEFT { f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT } ^{2}} =0]

[eqn: sin a pi =0]이고

[eqn: sin 2a pi =0], [eqn: cos 2a pi =1]	[eqn: CDOTSCDOTS] ㉢

[eqn: f LEFT ( 2a RIGHT ) != 0]이면 [eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) = {pi LEFT ( sin pi x RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( 1-cos pi x RIGHT ) f prime LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}}]에서 [eqn: g prime LEFT ( 2a RIGHT ) =0]이 되어 조건 (가)에 모순이므로 [eqn: f LEFT ( 2a RIGHT ) =0]이다.

㉡에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =kx ^{2} LEFT ( x-2a RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT )]라 하면 [eqn: f prime LEFT ( a RIGHT ) =ka ^{2} LEFT ( b-2a RIGHT ) =0]이므로 [eqn: b=2a]이고

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =kx ^{2} LEFT ( x-2a RIGHT ) ^{2}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=a]에서 극대이므로 [eqn: k>0]

㉠에서 [eqn: lim _{x ``->`` 0} {{1-cos pi x} over {kx ^{2} LEFT ( x-2a RIGHT ) ^{2}} = {7} over {128} pi ^{2}}]

[eqn: ka ^{2} = {16} over {7}]	[eqn: CDOTSCDOTS] ㉣

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) = {2} over {7}]에서 [eqn: k LEFT ( 1-2a RIGHT ) ^{2} =7]	[eqn: CDOTSCDOTS] ㉤

㉣, ㉤에서 [eqn: {7a ^{2}} over {16} = {LEFT ( 1-2a RIGHT ) ^{2}} over {7}]이므로

[eqn: a= {4} over {15}] 또는 [eqn: a=4]

㉢에 의하여 [eqn: a=4]이고 [eqn: k= {1} over {7}]이다.

[eqn: g(x)= {cases{{7 LEFT ( 1-cos pi x RIGHT )} over {x ^{2} LEFT ( x-8 RIGHT ) ^{2}} &&& (x != 0 ```` 이고 ```` x != 8)# `````````` {7} over {128} pi ^{2} &&& (x=0 ```` 또는 ```` x=8)}}]

[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) = {14} over {81}]

따라서 [eqn: p+q=95]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{{1-cos pi x} over {f LEFT ( x RIGHT )}& && LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) != 0 RIGHT )# ````````` {7} over {128} pi ^{2}&&& LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) =0 RIGHT )}}]

일 때, 함수 [eqn: g left(x right)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: g prime LEFT ( 0 RIGHT ) TIMES g prime LEFT ( 2a RIGHT ) != 0]

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=a]에서 극값을 갖는다.

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) = {2} over {7}]일 때, [eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

두 함수

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: g(x) = | 2`cos`x +1|]와

[eqn: h_1 (x) = 4`sin`left(`pi over6 g(x) right)]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: x = 2over3 pi], [eqn: x = 4 over3 pi]에서

[eqn: h_1 (x)]는 미분가능하지 않다.

ㄴ. [eqn: g(x)= | 2`cos(2x) + 1|]와

[eqn: h_2 (x) = 4`sin`left(`pi over6 g(x) right)]의 그래프에서

[eqn: h_2 (x)= 2]의 실근은 [eqn: g(x) = 1]

즉, [eqn: cos(2x) = 0] 또는 [eqn: cos(2x) = it -1]
[eqn: x = pi over4], [eqn: 3 over4 pi], [eqn: 5 over4 pi], [eqn: 7 over4 pi] 또는 [eqn: pi over2], [eqn: 3 over2 pi] --- 6개이다.

ㄷ. [eqn: y =][eqn: |h_1 (x) - 1 |]에서 [eqn: a_1 = 6]

[eqn: h_2 (x)= h_1 (2x)]이므로 [eqn: a_2 = 8]

[eqn: h_3 (x) = h_1 ( 3x)]이므로 [eqn: a_3 = 12]

[eqn: h_4 (x)= h_1 (4x)]이므로 [eqn: a_4 = 8]

[eqn: THEREFORE][eqn: sum_k=1^4 a_k =][eqn: 6 +8 + 12+ 8= 34]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )=4 sin`{pi}over{6}x], [eqn: g LEFT (x RIGHT ) = LEFT | 2 cos` kx + 1 LEFT |]

이 있다 [eqn: 0 < x < 2 pi `]에서 정의된 함수

[eqn: h LEFT (x RIGHT ) = LEFT ( f circ g RIGHT ) LEFT (x RIGHT )]

에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: k]는 자연수이다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: k = 1 `]일 때, 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x = {2}over{3}pi`]에서 미분가능하지 않다. ㄴ. [eqn: k = 2 `]일 때, 방정식 [eqn: h LEFT (x RIGHT ) = 2 `]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 6 `]이다. ㄷ. 함수 [eqn: LEFT |` h(x)- k LEFT |`]가 [eqn: x = alpha][eqn: LEFT (0 < alpha < 2 pi RIGHT )`]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: alpha]의 개수를 [eqn: a_{k}]라 할 때, [eqn: sum _{k = 1}^{4}a_{k}= 34]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 11월 30

양의 실수 [eqn: t`]에 대하여 곡선 [eqn: y=t ^{3} `ln` LEFT ( x-t RIGHT ) `]가 곡선 [eqn: y=2e ^{x-a} `]와 오직 한 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값을 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]라 하자. [eqn: LEFT { f`' LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) RIGHT } ^{2} `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold{64]

[해설]

곡선 [eqn: y=t ^{3} `ln` LEFT ( x-t RIGHT ) `]와 곡선 [eqn: y=2`e ^{x-a} `]이 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: alpha~ LEFT ( alpha>t RIGHT ) `]라 하면

[eqn: t ^{3} `ln` LEFT ( alpha-t RIGHT ) =2`e ^{alpha-a}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

곡선 [eqn: y=t ^{3} `ln` LEFT ( x-t RIGHT ) `]와 곡선 [eqn: y=2`e ^{x-a} `]이 한 점에서 만나려면 두 곡선이 만나는 점에서의 미분계수가 같아야 한다.

곡선 [eqn: y=t ^{3} `ln` LEFT ( x-t RIGHT ) `]에서	[eqn: y`'=t ^{3} TIMES {1} over {x-t}]

곡선 [eqn: y=2`e ^{x-a} `]에서	[eqn: y`'=2`e ^{x-a}]

이때,

[eqn: t ^{3} TIMES {1} over {alpha-t} =2`e ^{alpha-a}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠의 양변을 [eqn: t`]에 대하여 미분하면

[eqn: 3t ^{2} `ln` LEFT ( alpha-t RIGHT ) +t ^{3} TIMES LEFT ( - {1} over {alpha-t} RIGHT ) =2e ^{alpha-a} TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES {da} over {dt}]

[eqn: t ^{3} `ln` LEFT ( alpha -t RIGHT ) TIMES {3} over {t} - {t ^{3}} over {alpha -t} =2e ^{alpha -a} TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES {da} over {dt}]

㉠, ㉡에 의해

[eqn: 2e ^{alpha-a} TIMES {3} over {t} -2e ^{alpha-a} =2e ^{alpha -a} TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES {da} over {dt}]

[eqn: {3} over {t} -1= LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES {da} over {dt}]

[eqn: {da} over {dt} =- {3} over {t} +1]

[eqn: t= {1} over {3} `]일 때 [eqn: {da} over {dt} =-8`]이므로	[eqn: f`' LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) =8]

따라서 [eqn: LEFT { f`' LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) RIGHT } ^{2} = LEFT ( -8 RIGHT ) ^{2} =64]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 30

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] [eqn: bold{93]

[해설]

[eqn: a= f LEFT ( 1 RIGHT )`,``b= f LEFT ( 3 RIGHT )`]이라 하자.

[eqn: f`'` LEFT ( x^2 +x+1 RIGHT )= pi a sin pix + b x +5x^2 ``]의 양변에 [eqn: 2x+1]을 곱하면

[eqn: LEFT ( 2x+1 RIGHT )f`'` LEFT ( x^2 +x+1 RIGHT )= a pi LEFT ( 2x +1 RIGHT )sin pi x + bx+ LEFT ( 2b+5 RIGHT )x^2 +10 x^3] 이다.

위 식의 양변을 부정적분 하면

[eqn: f LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT )# ~~~~=-a LEFT ( 2x+1 RIGHT ) cos pi x+ {2a} over {pi } `sin pi x+ {b} over {2} x ^{2} + {2b+5} over {3} x ^{3} + {5} over {2} x ^{4} +C]

이다. (단, [eqn: C``]는 상수)

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = x^2 +x+1]이라 하자.

[eqn: a=f LEFT ( g LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT ) =-a+C]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: a=f LEFT ( g LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT ) =-a+ {b} over {2} - {2b+5} over {3} + {5} over {2} +C]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

[eqn: b= f LEFT ( g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =3a+ { b} over { 2} + { 2b+5} over { 3} + { 5} over { 2} +C]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

이때,

[eqn: ㉡+㉢~~ RARROW~~][eqn: a+b = 2a +b+2C`+5] 이고

[eqn: ㉠~~RARROW~~][eqn: C`=2a] 이다.

따라서 [eqn: a=-1`,``b= 5`,``C=-2``]이고

[eqn: f LEFT ( x^2 +x+1 RIGHT ) = LEFT ( 2x+1 RIGHT )cos pix -{2 } over {pi }`sin pi x+ { 5} over { 2}x^2 +5x^3 + { 5} over { 2}x^4 -2]
이다.

[eqn: f LEFT ( x^2 +x+1 RIGHT )]에 [eqn: x=2]를 대입하면 [eqn: f LEFT ( 7 RIGHT ) = 93] 이다.

[eqn: f`prime (x^{2 }+ x+ 1) = pi f(1)`sin` pix+ f(3)x+ 5x^{2}]

을 만족시킬 때, [eqn: f(7)]의 값을 구하시오.

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 06월 30

상수 [eqn: {a}{{from^2019^06^평가원고3가^중}}], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=a sin^3 x+b sinx]가

[정답] [eqn: bold { 12 }]

[해설]

[eqn: f LEFT ( pi over 4 RIGHT ) = root2 over 4 a + root 2 over 2 b = 3 root2]에서

[eqn: a+2b =12]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: f LEFT ( pi over 3 RIGHT )= { 3 root3 } over 8 a + root3 over 2 b = 5 root3]에서

[eqn: 3a +4b = 40]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: a= 16], [eqn: b =-2].

[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( x RIGHT )= 2 sin x LEFT ( 8 sin ^2 x - 1 RIGHT )]

양변을 미분하면 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )= 2 cos x LEFT ( 24 sin ^2 x - 1 RIGHT )]

[eqn: f``'(x) =0]을 만족하는 값은 [eqn: sinx = +- 1 over {2root6}], [eqn: cosx =0]인 [eqn: x]의 값이므로 함수 [eqn: f(x)]의 증감표를 그리면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha]	[eqn: cdots]	[eqn: pi over 2]	[eqn: cdots]	[eqn: beta]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]		↘		↗		↘		↗

[eqn: gamma]	[eqn: cdots]	[eqn: 3 over 2 pi]	[eqn: cdots]	[eqn: delta]	[eqn: cdots]	[eqn: 2pi]
	[eqn: -]		[eqn: +]		[eqn: -]
	↘		↗		↘

그런데, [eqn: f LEFT ( pi over 2 RIGHT ) = 14], [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )= 16 sin ^3 alpha - 2 sin alpha = root6 over 9 < 1]

(∵ [eqn: sin alpha = - 1 over { 2 root6 }])

이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =t][eqn: (1<t<14)]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

위의 그래프를 보면

[eqn: x_1,````x_3,````x_5,````cdots]가 공차가 [eqn: 2pi]인 등차수열이므로

[eqn: x_2n-1 = x_1 + (n-1)cdot 2pi]

또, [eqn: f(x_1 ) = f(x_3 ) = f(x_5 ) = cdots= f(x_2n-1 )]이고,

[eqn: f``'(x_1 ) = f``'(x_3 ) = f``'(x_5 ) = cdots=f``'(x_2n-1 )]	[eqn: cdotscdots] ㉠

마찬가지로 [eqn: x_2,````x_4,````x_6,````cdots]도 공차가 [eqn: 2pi]인 등차수열이므로

[eqn: x_2n = x_2 + (n-1)cdot 2pi]

또, [eqn: f(x_2 ) = f(x_4 ) = f(x_6 ) = cdots= f(x_2n )]이고,

[eqn: f``'(x_2 ) = f``'(x_4 ) = f``'(x_6 ) = cdots=f``'(x_2n )]	[eqn: cdotscdots] ㉡

따라서 [eqn: c_n =int_{3 sqrt { 2}}^{5 sqrt { 3}} { t} over {f '(x_n ) } dt]에 적용시킬 때, 홀수항과 짝수항을 구분하여 적용하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: c_2n-1][eqn: =int_{3 sqrt { 2}}^{5 sqrt { 3}} { t} over {f '(x_2n-1 ) } dt]
[eqn: =int_{3 sqrt { 2}}^{5 sqrt { 3}} { t} over {f '(x_1 ) } dt] ([eqn: because] ㉠)	[eqn: cdotscdots] ㉢

위의 그래프에서 [eqn: f(x_1 ) =t]이고, 조건에서 [eqn: f left( { pi} over { 4}right)=3 sqrt { 2}], [eqn: f left( { pi} over { 3}right)=5 sqrt { 3}]이므로 [eqn: f``'(x_1 ) dx_1 = dt]을 ㉢에 대입하면

[eqn: c_2n-1][eqn: = int _{ pi over 4 } ^{ pi over 3 } { f(x_1 ) `dx_1 }]
[eqn: =int _{ pi over 4 } ^{ pi over 3 } { (16sin^3 x_1 -2sinx_1 ) dx_1}]
[eqn: =int _{ pi over 4 } ^{ pi over 3 } { sinx_1 (16sin^2 x_1 -2 ) dx_1}]
[eqn: =int _{ pi over 4 } ^{ pi over 3 } { sinx_1 left{16(1-cos ^2 x_1 ) -2 right} dx_1}]
[eqn: =int _{ pi over 4 } ^{ pi over 3 } left{ sinx_1 (14-16cos^2 x_1 ) right} dx_1}]	[eqn: cdotscdots] ㉣

㉣에서 치환적분을 하면 [eqn: cosx_1 = t]라 하면 [eqn: -sinx_1 dx_1 = dt]이고 [eqn: cos pi over4 = root2 over 2 ,````cos pi over 3 = 1over 2]이므로

[eqn: c_2n-1][eqn: = - int _{ root2 over 2 } ^{ 1 over 2 } (14- 16t^2 ) dt]
[eqn: =-left[ 14 t - 16 over 3 t^3 right]_ {root2 over 2}^{ 1over 2}]
[eqn: ={ 17root2 } over 3 - 19 over 3]	[eqn: cdotscdots] ㉤

(ⅱ) [eqn: c_2n][eqn: =int_{3 sqrt { 2}}^{5 sqrt { 3}} { t} over {f '(x_2n ) } dt]
[eqn: =int_{3 sqrt { 2}}^{5 sqrt { 3}} { t} over {f '(x_2 ) } dt] ([eqn: because] ㉡)	[eqn: cdotscdots] ㉥

위의 그래프에서 [eqn: f(x_2 ) =t]이고, 조건에서 [eqn: f left( {3 pi} over { 4}right)=3 sqrt { 2}], [eqn: f left( { 2pi} over { 3}right)=5 sqrt { 3}]이므로 [eqn: f``'(x_2 ) dx_2 = dt]을 ㉢에 대입하면

[eqn: c_2n][eqn: = int _{ 3pi over 4 } ^{2pi over 3 } { f(x_2 ) `dx_2 }]
[eqn: =int _{ 3pi over 4 } ^{ 2pi over 3 } { (16sin^3 x_2 -2sinx_2 ) dx_2}]
[eqn: =int _{ 3pi over 4 } ^{ 2pi over 3 } { sinx_2 (16sin^2 x_2 -2 ) dx_2}]
[eqn: =int _{ 3pi over 4 } ^{ 2pi over 3 } { sinx_2 left{16(1-cos ^2 x_2 ) -2 right} dx_2}]
[eqn: =int _{ 3pi over 4 } ^{ 2pi over 3 } left{ sinx_2 (14-16cos^2 x_2 ) right} dx_2}]	[eqn: cdotscdots] ㉦

㉦에서 치환적분을 하면 [eqn: cosx_2 = t]라 하면 [eqn: -sinx_2 dx_2 = dt]이고 [eqn: cos 3pi over4 = -root2 over 2 ,````cos 2pi over 3 = - 1over 2]이므로

[eqn: c_2n][eqn: = - int _{ -root2 over 2 } ^{ - 1 over 2 } (14- 16t^2 ) dt]
[eqn: = -left[ 14 t - 16 over 3 t^3 right]_ { - root2 over 2}^{ - 1over 2}]
[eqn: =-{ 17root2 } over 3 + 19 over 3]	[eqn: cdotscdots] ㉧

㉤, ㉧에서 [eqn: c_2n + c_2n-1 = 0]

즉, [eqn: c_1 + c_2 =0], [eqn: c_3 + c_4 =0], [eqn: cdots], [eqn: c_99 + c_100 =0]이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{101 } c_n][eqn: = (c_1 + c_2 ) + (c_3 + c_4 ) + cdots +(c_99 +c_100 ) + c_101]
[eqn: =c_101][eqn: =c_1]
[eqn: ={ 17root2 } over 3 - 19 over 3] ([eqn: because] ㉤)

따라서 [eqn: p = - 19 over 3], [eqn: q= 17 over 3]이므로 [eqn: q- p = 17 over 3 - LEFT ( - 19 over 3 RIGHT ) = 12]

[eqn: f left( { pi} over { 4}right)=3 sqrt { 2}], [eqn: f left( { pi} over { 3}right)=5 sqrt { 3}]

을 만족시킨다. 실수 [eqn: t] ([eqn: 1<t<14])에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표 중 양수인 것을 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, [eqn: n]번째 수를 [eqn: x_n]이라 하고

[eqn: c_n =int_{3 sqrt { 2}}^{5 sqrt { 3}} { t} over {f '(x_n ) } dt]

라 하자. [eqn: sum_n=1 ^101 c_n =p+q sqrt { 2}]일 때, [eqn: q-p]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 유리수이다.)

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 03월 21

함수 [eqn: f(x)]의 도함수가 [eqn: f prime (x)=xe ^{-x ^{2}}]이다. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ②

[해설]

ㄱ. 조건 (가)에서
[eqn: g(x)][eqn: =(x+1) int _{1} ^{x} {f prime (t)dt- int _{1} ^{x} {tf prime (t)dt}}]
양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g prime (x)][eqn: = int _{1} ^{x} {f prime (t)dt+(x+1)f prime (x)-xf prime (x)}]
[eqn: = int _{1} ^{x} {f prime (t)dt+f prime (x)}]

따라서 [eqn: g prime (1)=f '(1)= {1} over {e}]	(참)

ㄴ. 조건 (가)에서 [eqn: g(x)= int _{1} ^{x} {f prime (t)(x+1-t)dt}]의
양변에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: g(1)=0]
조건 (나)에서

[eqn: f(x)][eqn: =g '(x)-f '(x)][eqn: = int _{1} ^{x} {f '(t)dt}]
이므로 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f(1)=0]
따라서 [eqn: g(1)=f(1)]	(참)

ㄷ. [eqn: h(x)=g(x)-f(x)]라 하면 ㄴ에 의하여
[eqn: h(1)][eqn: =g(1)-f(1)][eqn: =0]
[eqn: h '(x)=g '(x)-f '(x)][eqn: =f(x)]
[eqn: h prime (1)=f(1)=0]
[eqn: h '' (x)=f prime (x)=xe ^{-x ^{2}}]
[eqn: x>0]에서 [eqn: h '' (x)>0]이므로 [eqn: 0<x<1]에서 [eqn: h '(x)<0]이고,
[eqn: x>1]에서 [eqn: h '(x)>0]
[eqn: x>0]에서 함수 [eqn: h(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: (0)]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: h '(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h(x)]		[eqn: SEARROW]	[eqn: 0]	[eqn: NEARROW]

[eqn: x>0]에서 함수 [eqn: h(x)]의 최솟값이 [eqn: 0]이므로 모든 양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: h(x)][eqn: =g(x)-f(x)][eqn: GEQ 0]이므로 [eqn: g(x)<f(x)]인 양수 [eqn: x]가 존재하지 않는다.	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

(가) [eqn: g(x)= int _{1} ^{x} {f '(t)(x+1-t)dt}]

(나) [eqn: f(x)=g ` prime (x)-f ` prime (x)]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g ``prime (1)= {1} over {e}] ㄴ. [eqn: f(1)=g(1)] ㄷ. 어떤 양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x)<f(x)]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[정답] [eqn: 16]

[해설]

[eqn: g(x)= int_0^x f(t) over{ |t| +1} `dt], [eqn: g '(x) = f(x) over{ |x| +1], [eqn: g(0) = 0]

(가)에서 [eqn: g '(2)= 0]이므로 [eqn: f(2) = 0]

(나)에서 [eqn: f(0) = 0] 이어야한다. 따라서 [eqn: f(x)= x(x-2)(x-c)]이고

[eqn: g '(-1)= f(-1) over2]가 최대가 되도록 하려면

[eqn: 0 < c< 2]이고 [eqn: g(2) ge0] 인 최소의 [eqn: c]일 때이다.

[eqn: f(x) overx+1 = { x(x-2)(x-c)} overx+1][eqn: = x^2 - (3+c)x + 3(c+1) - 3(c+1) overx+1]

[eqn: g(2) = int_0^2 left( x^2 - (3+c)x + 3(c+1) - 3(c+1) overx+1 right)`dx]

[eqn: = left[ 1 over3 x^3 - x^2 - 1 over2 (c+1) x^2 + 3(c+1)x - 3(c+1) ln (x+1) right]_0^2]

[eqn: = it - 4 over3 + 4(c+1) - 3 (c+1) ln`3][eqn: ge 0]

[eqn: 3(c+1) ge 4 over{ 4 - 3`ln`3], [eqn: f(-1) = it -3(c+1)][eqn: le -4 over{ 4 - 3`ln`3]

[eqn: THEREFORE][eqn: n = it -4], [eqn: m = 4], [eqn: | m Timesn |`= 16]

[eqn: g(x) = int _{0}^{x} {f(t)}over{LEFT |` t` RIGHT |` + 1}}`dt]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: g′(2) = 0]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x) ≥ 0]이다.

[eqn: g′(-1)]의 값이 최대가 되도록 하는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(- 1)= {n}over{m - 3`ln`3}]일 때, [eqn: LEFT |` m TIMES n `RIGHT |]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: m], [eqn: n]은 정수이고, [eqn: ln`3]은 [eqn: 1<ln`3<1.1]인 무리수이다.)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 30

실수전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: {f(x)}{{from^2020^06^평가원고3가^}}]는 [eqn: 0 le x <3]일 때 [eqn: f(x)=left | x-1 right | +left | x-2 right |]이고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+3)=f(x)]를 만족시킨다. 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] [eqn: bold { 331 }]

[해설]

[eqn: g(x)][eqn: = lim _{h ``->`` 0+} {LEFT |`` {f(2 ^{x+h} )-f(2 ^{x} )} over {h} ``RIGHT | }]에서 [eqn: f(2^x ) =h(x)]라 하면

[eqn: g(x)][eqn: = lim _{h ``->`` 0+} { LEFT |`` { h(x+h )- h(x )} over {h} ``RIGHT | }]
[eqn: = left |``lim _{h ``->`` 0+} { h(x+h )- h(x )} over {h} ``RIGHT | }]	[eqn: cdotscdots] ㉠

또, [eqn: f(2^x ) =h(x)]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: h``'(x) = f``'(2^x ) cdot 2^x ln2]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: lim _{h ``->`` 0+} { h(x+h )- h(x )} over {h}]가 의미하는 것은 [eqn: x]좌표에서의 우미분계수를 의미한다.

[eqn: 0 le x <3]에서 [eqn: f(x)=left |`` x-1``right | +left |`` x-2 ``right |]이고, [eqn: f(x+3)=f(x)]를 만족하므로 함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 식은 다음과 같다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ -2x +3 &&& LEFT ( 0 le x<1 RIGHT )# ```````````````` 1&&& LEFT ( 1 le x<2 RIGHT )# ``````` 2x-3& && LEFT ( 2 le x<3 RIGHT ) #`````````````` vdots &&&`````````````````vdots]

각각의 식을 미분하면

[eqn: f `` ' LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ -2& && LEFT ( 0 le x<1 RIGHT )# ``````` 0& && LEFT ( 1 le x<2 RIGHT )# ``````` 2& && LEFT ( 2le x<3 RIGHT )# ````` vdots &&&`````````````````vdots```]

[eqn: therefore][eqn: f ' LEFT ( 2^ x RIGHT ) = {cases{ -2& && LEFT ( 0 le 2^ x <1 RIGHT )# ``````` 0& && LEFT ( 1 le 2^ x <2 RIGHT )# ``````` 2& && LEFT ( 2le 2^ x <3 RIGHT )# ````` vdots &&&`````````````````vdots```]

㉡에 대입하면

[eqn: h``'(x)][eqn: = {cases{ -2 ln2 cdot 2^x& && LEFT ( 0 le 2^ x <1 RIGHT )# ``````` `````````````` 0& && LEFT ( 1 le 2^ x <2 RIGHT )# ``````` 2 ln2 cdot 2^x& && LEFT ( 2le 2^ x <3 RIGHT )# ````` vdots &&&`````````````````vdots```]

열린구간 [eqn: (-5 ,```` 5)], 즉 [eqn: -5 <x<5]의 범위이므로 [eqn: 2^-5 < 2^x < 2^5]에서 [eqn: g(x)]의 불연속점을 구하면 된다.

(ⅰ) [eqn: 2^-5 < 2^ x < 1]일 때, 즉 [eqn: -5< x< 0] 에서

[eqn: g(x) = 2 ln2 cdot 2^x]

(ⅱ) [eqn: 1 le 2^ x < 2]일 때, 즉, [eqn: 0 le x < 1]에서
[eqn: g(x) =0]

(ⅲ) [eqn: 2 le 2^ x < 3]일 때, 즉, [eqn: 1 le x < log_2 3]에서
[eqn: g(x) =2ln2 cdot 2^x]

(ⅳ) [eqn: 3 le 2^ x < 4]일 때, 즉, [eqn: log_2 3 le x < 2]에서
[eqn: g(x) =2ln2 cdot 2^x]

(ⅴ) [eqn: 4 le 2^ x < 5]일 때, 즉, [eqn: 2 le x < log_2 5]에서
[eqn: g(x) =0]

(ⅵ) [eqn: 5 le 2^ x < 6]일 때, 즉, [eqn: log_2 5 le x < log_2 6]에서
[eqn: g(x) =2ln2 cdot 2^x]

[eqn: vdots]

([eqn: ast]) [eqn: 31 le 2^ x < 32]일 때, 즉, [eqn: log_2 31 le x < 5]에서
[eqn: g(x) =0]

따라서 [eqn: 2 ^{x} =1 ,```` 2 ,```` 3,```` 4 ,```` 5 ,```` CDOTS ,```` 29 ,```` 31]에서의 연속성을 조사해보면 다음과 같다.

따라서 불연속점은 [eqn: x =][eqn: log _{2} 1], [eqn: log _{2} 2], [eqn: log _{2} 4], [eqn: log _{2} 5], [eqn: CDOTS], [eqn: log _{2 } 28], [eqn: log _{2} 29], [eqn: log _{2} 31] ([eqn: because][eqn: x]가 [eqn: 3]의 배수인 점들은 연속이다.)

또, 불연속점의 개수는 [eqn: 31-10 =21](개)이다.

그런데, [eqn: log _{2} 1], [eqn: log _{2} 4], [eqn: log _{2} 7], [eqn: cdots]인 점에서는 [eqn: g(a_m ) =0]이고,

[eqn: x= log_2 2 ,````log_2 5 ,````log_2 8,````cdots , ````log_2 29]인 점에서는 [eqn: g(a_m ) = 2ln2 cdot 2^x]이므로

[eqn: g(a_m )][eqn: =2 ln2 cdot2^ {log_2 2 },````2 ln2 cdot2^ {log_2 5 } , ````2 ln2 cdot2^ {log_2 8 }, ````cdots]

으로 봐도 무방하다.

즉, [eqn: g(a_m )]의 개수는 [eqn: 10]개이고

[eqn: g(a_m ) = 4ln2 ,````10 ln2 ,````16 ln2,````cdots]

따라서 수열 [eqn: left{ g(a_m )right}]의 일반항은

[eqn: g(a_m )][eqn: =4 ln2 + (m-1) 6ln2]
[eqn: =(6m -2)ln2]

로 볼 수 있다.

[eqn: THEREFORE ```` n+ sum _{k=1} ^{n} {g LEFT ( a _{k} RIGHT )} over {ln2}][eqn: =21+ sum _{m=1} ^{10} {g LEFT ( a _{m} RIGHT )} over {ln2}]
[eqn: =21+ sum _{m=1} ^{10} {(6m-2 )ln2} over {ln2}]
[eqn: =21+ sum _{m=1} ^{10} (6m-2)]
[eqn: =21+ 6 cdot {10times 11} over 2 -2 cdot10]
[eqn: =21+ 330 -20]
[eqn: =331]

[eqn: g(x)= lim _{h ``->`` 0+} {LEFT | {f(2 ^{x+h} )-f(2 ^{x} )} over {h} RIGHT | }]

이라 하자. 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=a]에서 불연속인 [eqn: a]의 값 중에서 열린구간 [eqn: (-5 ,```` 5)]에 속하는 모든 값을 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: cdots] , [eqn: a_{n}] ([eqn: n]은 자연수)라 할 때, [eqn: n+sum_{k=1}^{n}{{g(a_{k})}over{ln2}}]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 30

최고차항의 계수가 [eqn: {1}{{from^2020^11^대수능고3가^5}}]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( sin ^{2} `pi`x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 29 }]

[해설]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( sin ^{2} `pi`x RIGHT )]에서 [eqn: h(x) =sin^2 pi x]라 하면

[eqn: h``'(x) = 2 sin pix cdot cos pi x cdot pi]이므로 [eqn: h``'(x) =0]인 값은

[eqn: sin pi x =0] 또는 [eqn: cos pi x =0]

따라서 [eqn: x = 0 ,````1over 2 ,````1,````3 over 2 ,````2 ,````cdots], 즉, [eqn: x = 0 ,````1over 2 ,````1,````3 over 2 ,````2 ,````cdots]에서 극점이므로 그래프를 그리면 다음과 같다.

[그림[eqn: 1]]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( sin ^{2} `pi`x RIGHT )]에서

[eqn: g``'(x)= f ``'(sin ^2 pi x ) cdot 2pi sin pi x cos pi x]

따라서 [eqn: 0<x<1]에서 [eqn: g``'(x)= 0]이 되는 값은

[eqn: f ``'(sin ^2 pi x ) =0] 또는 [eqn: cos pi x=0]

(가)조건에서 [eqn: 0<x<1]에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 극대가 되는 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 3]이므로 극소가 최소 [eqn: 2]개가 있어야 한다.

즉, [eqn: g``'(x) = 0]인 값이 최소 [eqn: 5]개 이상이어야 하므로 삼차하수 [eqn: f(x)]도 극점이 존재해야 한다.

극점을 [eqn: alpha, ````beta]라고 하면 [eqn: f``'(alpha)=0,````f``'(beta)=0]이므로 아래 그림과 같이 유추할 수 있다.

[그림[eqn: 2]]

따라서 [eqn: f ``'(sin ^2 pi x ) =0]을 만족하는 값은 [eqn: sin^2 pi x = alpha,````beta]을 만족하는 [eqn: x]의 값이므로 아래 그림과 같다.

[그림[eqn: 3]]

즉, [eqn: g``'(x)= 0]인 값은 [eqn: x= x_1 ,````x_2 ,```` 1over 2 ,````x_3 ,````x_4]이다.

[eqn: g(x)]의 그래프를 조건에 맞게 유추해보면 다음 그림과 같다.

따라서 위의 그래프에서 [eqn: g(0)= g(1)=0]에서

[eqn: f(0)=0]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: g(x_1 )= g(x_4 ) = 1over 2]이므로 [그림[eqn: 3]]에서 [eqn: f(alpha) = 1over2]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[그림[eqn: 2]]에서 [eqn: f``'(alpha) =0]	[eqn: cdotscdots] ㉢

[eqn: g left( 1over 2 right)= 1over 2]이므로 [eqn: f(1) = 1 over 2]	[eqn: cdotscdots] ㉣

㉡, ㉢, ㉣에서  최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x) - 1over 2 = (x-alpha)^2 (x-1)]

㉠을 대입하면 [eqn: - 1over 2 = - alpha^2]	[eqn: therefore][eqn: a= root2 over 2]

[eqn: therefore][eqn: f(x)][eqn: = left( x - root 2 over 2 right)^2 left( pile{ `#` } x-1 right) + 1over 2]

[eqn: therefore][eqn: f(2) = left(2- root2 over 2 right)^2 + 1over 2][eqn: =5- 2root2]

따라서 [eqn: a=5,````b=-2]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2}][eqn: =29]

(가) [eqn: 0<x<1]에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 극대가 되는 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 3]이고, 이때 극댓값이 모두 동일하다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: {1} over {2}]이고 최솟값은 [eqn: 0]이다.

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =a+b sqrt {2}]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a]와 [eqn: b`]는 유리수이다.)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

두 함수

[정답] [eqn: bold6]

[해설]

[eqn: g(x)]는 극솟값 [eqn: g(0)=0], 극댓값 [eqn: g(4)= 16 overe^2]을 갖고, [eqn: lim _{x ``->`` INF } {g(x)=0}], [eqn: lim _{x ``->`` -INF } {g(x)=inf]가 된다.

(가) [eqn: h(0)=f(0)=b], [eqn: h(4)= f LEFT ( 16 overe^2 RIGHT ) = LEFT ( 16 overe^2 RIGHT )^2 -a LEFT ( 16 overe^2 RIGHT )+b]이고
[eqn: h(0)<h(4)]이므로 [eqn: b][eqn: < LEFT ( 16 overe^2 RIGHT )^2 -a LEFT ( 16 overe^2 RIGHT )+b]
[eqn: 0<a< 16 overe^2][eqn: LEFT ( pile{ it#it }][eqn: because```` a>0 pile{ `#` }right)]	[eqn: cdotscdots] ㉠

(나)를 만족시키려면 [eqn: h(x)= f(g(x))]의 그래프는 다음과 같아야 한다.

또, [eqn: f'(x)= 2x-a], [eqn: g'(x)= {1} over {2} x(4-x)e]이므로

[eqn: h'(x)][eqn: = g'(x)f'(g(x))]
[eqn: = {1} over {2} x(4-x)e ^{- {x} over {2}} LEFT { 2g(x)-a RIGHT }]

[eqn: g(x)= a over2], 즉 [eqn: alpha = a over 2][eqn: LEFT ( pile{ it#it }]㉠에서 [eqn: 0< a over2 < 8 over e^2][eqn: pile{ it#it } RIGHT )]에서 [eqn: h(x)]는 극솟값이 된다.

따라서 [eqn: -k=f LEFT ( {a} over {2} RIGHT )]이어야 하므로

[eqn: f(x)= LEFT ( x- {a} over {2} RIGHT ) ^{2} +b- {a ^{2}} over {4}]에서 [eqn: b- {a ^{2}} over {4} =-k]

그런데 [eqn: f(0)= k][eqn: =b]이므로 [eqn: a^2 over4 = 2b], 즉 [eqn: b= a^2 over8]	[eqn: cdotscdots] ㉡

한편 [eqn: f(1)= 1-a+b][eqn: =1-a + a^2 over8][eqn: =it - 7 over32]이므로

[eqn: 4a^2 -32a+39=0], [eqn: (2a-13)(2a-3)=0]

㉠에서 [eqn: 0<a< 16 overe^2]이므로 [eqn: a= 3over2]	[eqn: cdotscdots] ㉢

㉡에 대입하면 [eqn: b= 9 over32]

따라서 ㉡, ㉢에서 [eqn: a+ 16b][eqn: = 3over2 + 9over2 -= 6]

[eqn: {f(x)= x^2 -ax+b}{{from^2020^08^사관고3가^중}}] ([eqn: a>0]), [eqn: g(x)=x^2 e^{- x over2 }]

에 대하여 상수 [eqn: k]와 함수 [eqn: h(x)=(f CIRCg)(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: h(0)<h(4)]

(나) 방정식 [eqn: left |`` h(x)``right | =k]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 7]이고, 그 중 가장 큰 실근을 [eqn: alpha]라 할 때 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=alpha]에서 극소이다.

[eqn: f(1)=it- 7 over32]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+16b]의 값을 구하시오. [eqn: LEFT ( pile{ it#it }]단, [eqn: 5over2 <e<3]이고, [eqn: lim _{x ``->`` INF } {g(x)}=0]이다.[eqn: pile{ it#it } RIGHT )]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 30

다음 조건을 만족시키는 실수 [eqn: {a}{{from^2020^평가원가^3}}], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자.

[정답] [eqn: bold { 43 }]

[해설]

[eqn: y=e ^{x-2}]와 [eqn: y=it-e ^{-x+1}]의 그래프는 다음과 같다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[eqn: -e ^{-x+1} LEQ ax+b LEQ e ^{x-2}]

이 성립하려면 직선 [eqn: y=ax+b]가 두 그래프의 사이에 있으면 된다.

즉, [eqn: a GEQ 0]

그래프 [eqn: y=e^x-2] 위의 점 [eqn: (t ,```` e^t-2 )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=e^t-2 (x-t)+e^t-2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

그래프 [eqn: y=-e^-x+1]위의 점 [eqn: (s ,```` -e^-s+1 )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=e^-s+1 (x-s)-e^-s+1]	[eqn: cdotscdots] ㉡

이때, 그래프 [eqn: y=e^x-2]와 그래프 [eqn: y=-e^-x+1]에 동시에 접하는 접선의 방정식을 구하면 ㉠, ㉡이 일치할 때이다.

즉, [eqn: e^t-2 (x-t)+e^t-2 =e^-s+1 (x-s)-e^-s+1]

[eqn: t-2=-s+1]	[eqn: cdotscdots] ㉢

[eqn: (-t+1)e^t-2 =(-s-1)e^-s+1]	[eqn: cdotscdots] ㉣

㉢, ㉣을 연립하면 [eqn: t= 5over2], [eqn: s= 1over2]

위의 그래프에서 조건을 만족하려면

[eqn: t le 5over2], [eqn: s ge 1over2]	[eqn: cdotscdots] ㉤

(ⅰ) 그래프 [eqn: y=e^x-2]위의 점 [eqn: (t ,```` e^t-2 )]에서의 접선의 방정식 [eqn: y=e^t-2 (x-t)+e^t-2]에서
[eqn: a=e^t-2], [eqn: b=(-t+1)e^t-2]
따라서 [eqn: ab=f(t)=e^2t-4 (-t+1)]
그런데 ㉤에서 [eqn: t le 5over2]을 만족하므로
[eqn: f(t)=e^2t-4 (-t+1)][eqn: pile{ `#` } right(]단, [eqn: t le 5over2 right)]
[eqn: f '(t)=e^2t-4 (-2t+1)]이고 [eqn: f``'(t)=0]에서 [eqn: t = 1 over 2]이므로 그래프 개형을 그리면 다음과 같다.

이때 [eqn: ab]의 최댓값은 [eqn: t= 1 over2]일 때, [eqn: f left({1}over{2} right)= 1over2 e^-3]

(ⅱ) 그래프 [eqn: y=-e^-x+1]위의 점 [eqn: (s ,```` -e^-s+1 )]에서의 접선의 방정식 [eqn: y=e^-s+1 (x-s)-e^-s+1]에서
[eqn: a=e^-s+1], [eqn: b=e^-s+1 (-s-1)]
따라서 [eqn: ab=g(s)=e^-2s+2 (-s-1)]
그런데 ㉤에서 [eqn: s ge 1over2]을 만족하므로
[eqn: g(s)=e^-2s+2 (-s-1)][eqn: pile{ `#` } right(]단, [eqn: s ge 1over2 right)]
[eqn: g'(s)=e^-2s+2 (2s+1)]이고 [eqn: g``'(s) =0]에서 [eqn: s = - 1 over 2]이므로 그래프 개형을 그리면 다음과 같다.

이때, [eqn: ab]의 최솟값은 [eqn: s= 1over2]일 때, [eqn: g LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =- {3} over {2} e]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: M= 1over2 e^-3], [eqn: m=- {3} over {2} e]이므로

[eqn: │M TIMES m^3 │= {27} over {16}]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[eqn: -e ^{-x+1} LEQ ax+b LEQ e ^{x-2}]

이 성립한다.

[eqn: left |`` M{times}m ^{3} ``right | = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 30

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) =sin {pi } over {2} x }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]와 [eqn: 0]이 아닌 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: 48]

[해설]

[eqn: g '(x) =f '(x) left{` ae^{af(x) } + b `right}]이고 [eqn: g '(x) =0]에서

[eqn: f '(x) =0] 또는 [eqn: ae^{af(x) } + b =0]

(ⅰ) [eqn: f '(x) =0]인 경우
[eqn: f '(x)][eqn: = piover 2 cos pi over 2 x =0]
[eqn: x= 1 ,```` 3 ,```` 5 ,```` 7 ,```` 9 ,```` 11]

(ⅱ) [eqn: ae^{af(x) } + b =0]인 경우
[eqn: e^{af(x) } = - b over a]를 만족시키는 [eqn: x]의 값이 존재해야 하므로
[eqn: b over a <0]
조건 (나)와 (ⅰ)에 의하여 [eqn: x]이 짝수일 때 [eqn: alpha _n]은 방정식 [eqn: ae^{af(x) } + b =0]의 실근이다.

[eqn: ae^{af(alpha_n ) } + b =0]	[eqn: cdotscdots] ㉠
조건 (나)에 의하여 [eqn: n]이 짝수일 때
[eqn: e^{af(alpha_n ) } + bf(alpha_n ) =0]	[eqn: cdotscdots] ㉡
㉠, ㉡에서 [eqn: a bf(alpha_n ) -b =0]이고, [eqn: f(alpha_n ) = 1over a]
[eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: f(alpha_n ) = 1over a]을 만족시키려면 [eqn: -1 < 1 over a <0]
그러므로 [eqn: a< -1 ,```` b>0]

열린구간 [eqn: (0 ,```` 4)]에서 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x= alpha]에서 극소인 서로 다른 [eqn: alpha]의 개수는 [eqn: 2]이다.

함수 [eqn: g(x)]의 열린구간 [eqn: (0 ,```` 4)]에서의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha_1]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha_2]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha_3]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha_4]	[eqn: cdots]	[eqn: 4]
[eqn: g '(x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]		[eqn: ↗]	[eqn: e^a +b]	[eqn: ↘]	[eqn: 0]	[eqn: ↗]	[eqn: e^-a -b]	[eqn: ↘]		[eqn: ↗]

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]과 [eqn: x=4]에서 극값을 갖지 않고 열린구간 [eqn: (0 ,```` 12)]에서 [eqn: g(x+4) =g(x)]를 만족한다.

열린구간 [eqn: (0 ,```` 12)]에서 함수 [eqn: g(x)]가 극댓값을 갖도록 하는 서로 다른 [eqn: x]의 개수와 극솟값을 갖도록 하는 서로 다른 [eqn: x]의 개수는 각각 [eqn: 6]이므로 [eqn: m=12]

함수 [eqn: g(x)]는 열린구간 [eqn: (0 ,```` 4)]에서 [eqn: x= alpha_1]과 [eqn: x= alpha_3]일 때 각각 극댓값 [eqn: e^a +b], [eqn: e^-a -b]를 갖는다.

함수 [eqn: g(x)]의 서로 다른 두 극댓값의 합이 [eqn: e^3 +e^-3]이므로

[eqn: (e^a +b) + (e^-a -b)][eqn: = e^a + e^ -a][eqn: =e^3 +e^-3]

[eqn: a]는 음수이므로 [eqn: a=-3]

[eqn: f( alpha_2 ) = f(alpha _4 ) = - 1over 3]이고 ㉡에 대입하면

[eqn: g(alpha_2 )][eqn: =e^{-3f(alpha_2 ) } + bf(alpha_2 )][eqn: =e - 1over 3 b =0]

에서 [eqn: b= 3e]

[eqn: m pi int _{alpha _{3}} ^{alpha _{4}} { g LEFT ( x RIGHT ) cos {pi } over {2} x dx}]

[eqn: =12 pi int _{ alpha_3 } ^{ alpha_4} left{` e^{-3 sin pi over 2 x }+ }3e sin pi over 2 x right } cos pi over 2 x dx]

[eqn: sin pi over 2 x =t]로 치환하면 [eqn: pi over 2 cos pi over 2 x = dt over dx]이고

[eqn: sin pi over 2 alpha_3 = sin 3 over 2 pi =-1], [eqn: sin pi over 2 alpha_4 =- 1 over 3]이다.

[eqn: =12 pi int _{ alpha_3 } ^{ alpha_4} left{` e^{-3 sin pi over 2 x }+ }3e sin pi over 2 x right } cos pi over 2 x dx]

[eqn: =24 int _{ -1} ^{- 1over 3 } {(e^-3t + 3 et ) dt }]

[eqn: =24 left[ - 1over 3 e^-3t + 3over 2 et^2 right]_-1 ^ {- 1over 3}]

[eqn: = 8e^3 -40e]

따라서 [eqn: p=8 ,```` q=-40]이므로 [eqn: p-q =48]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =e ^{af LEFT ( x RIGHT )} +bf LEFT ( x RIGHT )][eqn: (0<x<12)]

라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x= alpha]에서 극대 또는 극소인 모든 [eqn: alpha]를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 [eqn: alpha _{1}], [eqn: alpha _{2}], [eqn: alpha _{3}], [eqn: CDOTS], [eqn: alpha _{m}] ([eqn: m]은 자연수)라 할 때, [eqn: m] 이하의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: alpha _{n}]은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: alpha _{n} =n]이다.

(나) [eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: g LEFT ( alpha _{n} RIGHT ) =0]이다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 서로 다른 두 개의 극댓값을 갖고 그 합이 [eqn: e ^{3} +e ^{-3}]일 때, [eqn: m pi int _{alpha _{3}} ^{alpha _{4}} { g LEFT ( x RIGHT ) cos {pi } over {2} x dx} =pe ^{3} +qe]이다. [eqn: p-q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 정수이다.)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 30

최고차항의 계수가 [eqn: {k}{{from^2020^10^서울고3가^5}}] ([eqn: k>0])인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( -2 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) != 0]이다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( ax+b RIGHT ) e ^{f LEFT ( x RIGHT )}]([eqn: a<0])이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 25 }]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =kx ^{2} +px+q] ([eqn: p ,```` q]는 상수)라 하면

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( -2 RIGHT )]이므로 [eqn: q=4k-2p+q], [eqn: p=2k]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: != 0]이므로 [eqn: q != 0]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =kx ^{2} +2kx+q] ([eqn: k>0], [eqn: q != 0])

조건 (가)에서 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) -mx-m RIGHT } LEQ 0]

[eqn: x GEQ -1]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) LEQ mx+m]

[eqn: x< it -1]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) GEQ mx+m]이고, [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 연속함수이므로

[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) =0]

[eqn: LEFT ( -a+b RIGHT ) e ^{f LEFT ( -1 RIGHT )}][eqn: =0]에서 [eqn: b=a]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( ax+a RIGHT ) e ^{kx ^{2} +2kx+q}]에서

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =a LEFT { 1+2k LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} RIGHT } e ^{kx ^{2} +2kx+q}]

[eqn: g'' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2ak LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT { 3+2k LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} RIGHT } e ^{kx ^{2} +2kx+q}]

[eqn: a<0], [eqn: k>0]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) <0]이고, [eqn: x< it -1]이면 [eqn: g'' LEFT ( x RIGHT ) >0], [eqn: x>-1]이면 [eqn: g'' LEFT ( x RIGHT ) <0]이다.

조건 (가)에서 [eqn: m]의 최솟값이 [eqn: -2]이므로 [eqn: g' LEFT ( -1 RIGHT ) = it -2]

[eqn: ae ^{-k+q}][eqn: = it -2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

조건 (나)의 [eqn: int _{0} ^{1} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx= {e-e ^{4}} over {k}]에서 [eqn: kx ^{2} +2kx+q][eqn: =t]라 하면

[eqn: int _{0} ^{1} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = int _{q} ^{3k+q} {} {a} over {2k} e ^{t} dt]
[eqn: = LEFT [ {a} over {2k} e ^{t} RIGHT ] _{q}^{3k+q}]
[eqn: = {a} over {2k} LEFT ( e ^{3k+q} -e ^{q} RIGHT )]

㉠을 대입하면 [eqn: {-2e ^{k}} over {2k} LEFT ( e ^{3k} -1 RIGHT )][eqn: = {e-e ^{4}} over {k}], [eqn: -e ^{4k} +e ^{k}][eqn: =e-e ^{4}]

[eqn: e ^{4k} -e ^{4} -e ^{k} +e=0]

[eqn: LEFT ( e ^{k} -e RIGHT ) LEFT { LEFT ( e ^{2k} +e ^{2} RIGHT ) LEFT ( e ^{k} +e RIGHT ) -1 RIGHT }][eqn: =0]

[eqn: LEFT ( e ^{2k} +e ^{2} RIGHT ) LEFT ( e ^{k} +e RIGHT ) -1>0]이므로 [eqn: e ^{k} -e][eqn: =0], 즉 [eqn: k=1]

조건 (나)에서

[eqn: int _{-2f LEFT ( 0 RIGHT )} ^{1} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx- int _{0} ^{1} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx]

[eqn: = int _{-2f LEFT ( 0 RIGHT )} ^{0} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx]

[eqn: =0]

[eqn: k=1]이므로 [eqn: x ^{2} +2x+q][eqn: =t]라 하면

[eqn: int _{-2f LEFT ( 0 RIGHT )} ^{0} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = it int _{4q ^{2} -3q} ^{q} {} {a} over {2} e ^{t} dt]
[eqn: = LEFT [ {a} over {2} e ^{t} RIGHT ] _{4q ^{2} -3q}^{q}]
[eqn: = {a} over {2} LEFT ( e ^{q} -e ^{4q ^{2} -3q} RIGHT )]
[eqn: =0]

[eqn: a != 0]에서 [eqn: q= it 4q ^{2} -3q]이고 [eqn: q != 0]이므로 [eqn: q=1]

㉠에 대입하면 [eqn: ae ^{-1+1} = it -2], [eqn: a= it -2]

따라서 [eqn: a= it -2], [eqn: b= it -2], [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} +2x+1]이므로

[eqn: f LEFT ( ab RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =16+8+1][eqn: =25]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) -mx-m RIGHT } LEQ 0]을 만족시키는 실수 [eqn: m]의 최솟값은 [eqn: -2]이다.

(나) [eqn: int _{0} ^{1} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx= int _{-2f LEFT ( 0 RIGHT )} ^{1} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx= {e-e ^{4}} over {k}]

[eqn: f LEFT ( ab RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 30

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: 13]

[해설]

[eqn: LEFT | `x` RIGHT | >1]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {1} over {x ^{2n}}][eqn: =0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{n -> INF } {} {a+ {b} over {x} + {1} over {x ^{2n-1}}} over {1+ {2} over {x ^{2n}}}][eqn: =a+ {b} over {x}]

[eqn: x=1]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = {a+b+1} over {3}]

[eqn: x= it -1]일 때, [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: = {a-b-1} over {3}]

[eqn: LEFT | `x` RIGHT | <1]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} x ^{2n}][eqn: =0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{n -> INF } {} {ax ^{2n} +bx ^{2n-1} +x} over {x ^{2n} +2}][eqn: = {0+0+x} over {0+2}][eqn: = {x} over {2}]

따라서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )= {cases{eqalign{a+ {b} over {x}# # {a+b+1} over {3}# }&eqalign{~~~ LEFT ( LEFT | `x` RIGHT | >1 RIGHT )# # # ~~~ LEFT ( x=1 RIGHT )# }#eqalign{{a-b-1} over {3}# # {x} over {2}# }&eqalign{~~~ LEFT ( x=-1 RIGHT )# # # ~~~ LEFT ( LEFT | `x` RIGHT | <1 RIGHT )# }}}]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) +m]이라 하면

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) +m]의 실근의 개수는

두 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점의 개수와 같다.

[eqn: x< it -1]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 감소하고 [eqn: x>1]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 감소하므로

[eqn: LEFT | `x` RIGHT | >1]에서 두 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점의 개수의 최댓값은 [eqn: 2]이고,

[eqn: LEFT | `x` RIGHT | <1]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: {1} over {2}]인

일차함수이므로 두 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점의 개수의 최댓값은 [eqn: 1]이다.

그러므로 [eqn: c _{k}][eqn: =5]인 자연수 [eqn: k]가 존재하려면

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =g LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: =g LEFT ( -1 RIGHT )]이어야 하고,

두 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 그림과 같아야 한다.

즉, 직선 [eqn: y][eqn: =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) +k]는

두 점 [eqn: LEFT ( 1,~ {a+b+1} over {3} RIGHT )], [eqn: LEFT ( -1,~ {a-b-1} over {3} RIGHT )]을 지나므로

[eqn: {a+b+1} over {3}][eqn: =k], [eqn: {a-b-1} over {3}][eqn: =k-4]에서

[eqn: b=5]

[eqn: k][eqn: = {a} over {3} +2]가 자연수이므로 [eqn: a]는 [eqn: 3]의 배수이다.	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: lim _{x -> -1-} {} f LEFT ( x RIGHT ) <f LEFT ( -1 RIGHT ) < lim _{x -> -1+} {} f LEFT ( x RIGHT )]이어야 하므로

[eqn: a-5< {a} over {3} -2< it - {1} over {2}]에서 [eqn: a< {9} over {2}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

[eqn: a>0]이므로 [eqn: {1} over {2} < {a} over {3} +2<a+5]가 성립하며

[eqn: lim _{x -> 1-} {} f LEFT ( x RIGHT ) <f LEFT ( 1 RIGHT ) < lim _{x -> 1+} {} f LEFT ( x RIGHT )]를 만족시킨다.

㉠, ㉡에 의해 [eqn: 0<a< {9} over {2}]이므로 [eqn: a=3], [eqn: k=3]

(ⅰ) [eqn: m=1]일 때
[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: = it -3], [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1]이므로 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: -1<x<1], [eqn: x>1]에서 각각 [eqn: 1]개씩 교점을 갖는다.
그러므로 [eqn: c _{1}][eqn: =2]

(ⅱ) [eqn: m=2]일 때
[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: = it -2], [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2]이므로 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: x][eqn: =0], [eqn: x>1]에서 각각 [eqn: 1]개씩 교점을 갖는다.
그러므로 [eqn: c _{2}][eqn: =2]

(ⅲ) [eqn: m=3]일 때
[eqn: m][eqn: =k][eqn: =3]이므로 [eqn: c _{3}][eqn: =5]

(ⅳ) [eqn: 4 LEQ m LEQ 7]일 때
[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) > lim _{x -> -1+} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it - {1} over {2}],
[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) < lim _{x -> 1+} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =8]이므로
[eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: x< it -1], [eqn: x>1]에서 각각 [eqn: 1]개씩 교점을 갖는다.
그러므로 [eqn: c _{m}][eqn: =2]

(ⅴ) [eqn: m GEQ 8]일 때
[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) > lim _{x -> -1+} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it - {1} over {2}],
[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: GEQ lim _{x -> 1+} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =8]이므로
[eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: x< it -1]에서 [eqn: 1]개의 교점을 갖는다.
그러므로 [eqn: c _{m}][eqn: =1]

(ⅰ)~(ⅴ)에 의해

[eqn: k+ sum _{m=1} ^{INF } LEFT ( c _{m} -1 RIGHT )][eqn: =3+1+1+4+1 TIMES 4][eqn: =13]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{n -> INF } {} {ax ^{2n} +bx ^{2n-1} +x} over {x ^{2n} +2}] ([eqn: a,~b]는 양의 상수)

라 하자. 자연수 [eqn: m]에 대하여 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) +m]의 실근의 개수를 [eqn: c _{m}]이라 할 때, [eqn: c _{k}][eqn: =5]인 자연수 [eqn: k]가 존재한다. [eqn: k+ sum _{m=1} ^{INF } LEFT ( c _{m} -1 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 30

[eqn: t> 1over2 rmln2] 인 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y= ln (1+e^2x -e^-2t )]과 직선 [eqn: y=x+t]가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를 [eqn: f(t)]라 할 때, [eqn: f'(ln2)= q overp root2]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 11 }]

[해설]

곡선 [eqn: y= ln (1+e^2x -e^-2t )]과 직선 [eqn: y=x+t]가 만나는 서로 다른 두 점을 [eqn: (alpha, ````alpha +t ) ,````(beta,````beta+t)] (단, [eqn: alpha< beta])라 하면

[eqn: f(t)][eqn: = root{ (beta- alpha)^2 + (beta- alpha)^2]
[eqn: = root2 (beta- alpha)]	[eqn: cdotscdots] ㉠

곡선 [eqn: y=ln LEFT ( 1+e ^{2x} -e ^{-2t} RIGHT )]와 직선 [eqn: y=x+t]를 연립하면

[eqn: ln LEFT ( 1+e ^{2x} -e ^{-2t} RIGHT )][eqn: =x+t]，

[eqn: 1+e ^{2x} -e ^{-2t} =e ^{x+t}]，

[eqn: e ^{2x} -e ^{t} times e ^{x} +1-e ^{-2t} =0]，

[eqn: LEFT ( e ^{x} +e ^{-t} RIGHT ) LEFT ( e ^{x} -e ^{-t} RIGHT ) -e ^{t} LEFT ( e ^{x} -e ^{-t} RIGHT ) =0]，

[eqn: LEFT ( e ^{x} -e ^{-t} RIGHT ) LEFT ( e ^{x} +e ^{-t} -e ^{t} RIGHT ) =0]

[eqn: therefore][eqn: e ^{x} =e ^{-t}] 또는 [eqn: e ^{x} =e ^{t} -e ^{-t}]

[eqn: therefore][eqn: x= it -t] 또는 [eqn: x= ln (e^t -e^-t )]

그런데, [eqn: t> {1} over {2} `ln2]이므로 [eqn: e ^{t} -e ^{-t} >e ^{-t}]

즉, [eqn: alpha = -t ,```` beta =ln( e^t -e^-t )]

㉠에 대입하면 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = sqrt {2} LEFT { ln LEFT ( e ^{t} -e ^{-t} RIGHT ) +t RIGHT } = sqrt {2} `ln LEFT ( e ^{2t} -1 RIGHT )]

양변을 미분하면 [eqn: f`` ' LEFT ( t RIGHT ) = {2 sqrt {2} e ^{2t}} over {e ^{2t} -1}]이므로

[eqn: f ' LEFT ( ln2 RIGHT ) = {2 sqrt {2} times4} over {4-1} = {8} over {3} sqrt {2}]

따라서 [eqn: p=3,````q=8]이므로 [eqn: p+q=3+8=11]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 30

서로 다른 두 양수 [eqn: a,~b]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: 10]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =it- {ax^3 +bx}over{x^2 +1}]에서

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )=it- { LEFT ( 3ax^2 +b RIGHT ) LEFT ( x^2 +1 RIGHT )- LEFT ( ax^3 +bx RIGHT ) LEFT ( 2x RIGHT )}over {LEFT ( x^2 +1 RIGHT )^2 }]이므로

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = it- {ax^4 + LEFT ( 3a-b RIGHT )x^2 +b}over{ LEFT ( x^2 +1 RIGHT )^2 }]	[eqn: cdotscdots] ㉠

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 +1 !=0]이므로 함수 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) !=0]이고 [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT )=it-b<0]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )<0]이다.

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )= g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )=f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )-x]이므로

[eqn: h LEFT ( 0 RIGHT )=f LEFT ( f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT )-0=f LEFT ( 0 RIGHT )=0]이다.

조건 (가)에서 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT )=f LEFT ( 2 RIGHT )-f^{`-1} LEFT ( 2 RIGHT ) =h LEFT ( 0 RIGHT )=0]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )=f^{`-1} LEFT ( 2 RIGHT )=t] ([eqn: t]는 상수)라 하면 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )=2]이다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT )=it- f LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT )=it-f LEFT ( 2 RIGHT )=it-t]이다.

즉 두 점 [eqn: LEFT ( t,~2 RIGHT ),~ LEFT ( -2,~-t RIGHT )]는 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위에 있다.

[eqn: t!=it-2]일 때, 두 점 [eqn: LEFT ( t,~2 RIGHT ),~ LEFT ( -2,~-t RIGHT )]를 지나는 직선의 기울기는 [eqn: {2- LEFT ( -t RIGHT )}over{t- LEFT ( -2 RIGHT )}=1]이므로 평균값 정리에 의하여 [eqn: f`' LEFT ( c RIGHT )=1]인 상수 [eqn: c]가 존재한다. 그러나 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )<0]이므로 모순이다. 즉 [eqn: t=it-2]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )=it-2]에서 [eqn: - {8a+2b}over5 =it-2]

그러므로 [eqn: 4a+b=5]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: f^{`-1} LEFT ( 2 RIGHT )=it-2]이므로 역함수의 미분법에 의하여

[eqn: g`' LEFT ( 2 RIGHT )=f`' LEFT ( 2 RIGHT )- LEFT ( f^{`-1} RIGHT )' LEFT ( 2 RIGHT ) =f`' LEFT ( 2 RIGHT )- 1over{f`' LEFT ( -2 RIGHT ) }]

㉠에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( -x RIGHT ) =f`' LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: f`' LEFT ( -2 RIGHT )=f`' LEFT ( 2 RIGHT )]이다.

즉 [eqn: g`' LEFT ( 2 RIGHT )=f`' LEFT ( 2 RIGHT )- 1over{f`' LEFT ( 2 RIGHT )}]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )=f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )-x]에서 [eqn: h`' LEFT ( x RIGHT )=f`' LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )f`' LEFT ( x RIGHT )-1]이므로

[eqn: h`' LEFT ( 2 RIGHT )=f`' LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT )f`' LEFT ( 2 RIGHT )-1=f`' LEFT ( -2 RIGHT )f`' LEFT ( 2 RIGHT )-1=left{f`' LEFT ( 2 RIGHT )right}^2 -1]

조건 (나)에서 [eqn: g`' LEFT ( 2 RIGHT )=it-5 h`' LEFT ( 2 RIGHT )]이므로

[eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )- 1over{f`' LEFT ( 2 RIGHT )} =it-5left{f`' LEFT ( 2 RIGHT )right}^2 +5]

[eqn: 5left{f`' LEFT ( 2 RIGHT )right}^3 +left{f`' LEFT ( 2 RIGHT )right}^2 -5f`' LEFT ( 2 RIGHT )-1=0]

[eqn: left{5f`' LEFT ( 2 RIGHT )+1right}left{f`' LEFT ( 2 RIGHT )+1right}left{f`' LEFT ( 2 RIGHT )-1right}=0]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )<0]이므로 [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )=it- 1over5] 또는 [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )=it-1]이다.

㉠에서 [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )= it- {16a+4 LEFT ( 3a-b RIGHT )+b}over{ LEFT ( 4+1 RIGHT )^2} = it- {28a-3b}over25]

(ⅰ) [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )=it- 1over5]일 때, [eqn: - {28a-3b}over25 = it- 1over5]이므로
[eqn: 28a-3b=5]	[eqn: cdotscdots] ㉢
㉡, ㉢을 연립하면 [eqn: a= 1over2 ,~ b=3]이다.

(ⅱ) [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )=it-1]일 때, [eqn: - {28a-3b}over25 = it- 1]이므로
[eqn: 28a-3b=25]	[eqn: cdotscdots] ㉣
㉡, ㉣을 연립하면 [eqn: a=1,~b=1]이므로 모순이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: 4LEFT ( b-a RIGHT )= 4times LEFT ( 3- 1over2 RIGHT ) =10]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it - {ax ^{3} +bx} over {x ^{2} +1}]

라 하자. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: != 0]이고, 두 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) -f ^{-1} LEFT ( x RIGHT )], [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =h LEFT ( 0 RIGHT )]

(나) [eqn: g' LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: = it -5h' LEFT ( 2 RIGHT )]

[eqn: 4 LEFT ( b-a RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 30

최고차항의 계수가 [eqn: {1}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[정답] [eqn: bold64]

[해설]

조건(가)에서 [eqn: g(x)]는 실수 전체에서 연속이므로 [eqn: x=0], [eqn: x=2]에서 극한값과 함숫값이 같아야 되고 [eqn: g(0)!=0]이면 [eqn: f(0)!=0]이어야 된다.

[eqn: x=0]일 때 [eqn: lim _{ x->0+} {g(x) }=-f(0)]이고 [eqn: g(0)=f(0)]이므로

[eqn: -f(0)=f(0)]

[eqn: THEREFORE][eqn: f(0)=0]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: x=2]일 때 [eqn: lim _{ x->2-} {g(x) }=f(2)]이고 [eqn: g(2)=f(2)]이므로

[eqn: f(2)=f(2)]

[eqn: x=2]에서 항상 연속이다.

[eqn: g(x)= cases{f(x)&&&(0 le x le 2)#f(x) overx-1 &&&(x <0 ```` 또는 ```` x>2)}]

[eqn: g`'(x)= cases{```````````````````````````f`'(x)``&&&(0 le x le 2)#{f`'(x)(x-1)-f(x)}over{(x-1)^{2}}&&&(x<0````또는 ````x>2)]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: lim _{ x->0+} { g`'(x)}=f'(0)]이고,

[eqn: lim _{ x->0-} { g'`(x)}=-f`'(0)-f(0)=-f`'(0)][eqn: (because````f(0)!=0)]

[eqn: x=2]일 때 [eqn: lim _{ x->2+} {g`'(x) }=f`'(2)-f(2)]이고

[eqn: lim _{ x->2-} { g`'(x)}=f`'(2)]

[eqn: f``'(2)-f(2)!=f`'(2)][eqn: (because````f(2)!=0)]

따라서 [eqn: x=2]에서 미분불가능하다.

조건(나)에서 [eqn: x=a]에 미분불가능한 [eqn: x]값이 [eqn: 1]개이므로 [eqn: x=0]에서 미분불가능해야 된다.

[eqn: THEREFORE][eqn: f`'(0)=-f`'(0)]

[eqn: THEREFORE][eqn: f`'(0)=0]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에 의해 [eqn: f(x)=x^{2}(x-alpha)][eqn: (alpha!=0)]

조건 (다)에 따라 [eqn: g(k)=0]이면 [eqn: f(k)=0]이다.

이때 [eqn: k=0] 또는 [eqn: k=alpha]인데 [eqn: g`'(0)=0]이므로 [eqn: k=alpha]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: 0le alpha le 2]일 때, [eqn: f`'(alpha)={16over{3}], [eqn: alpha^{2}={16}over{3}],
[eqn: THEREFORE][eqn: alpha={4root{3}}over{3}]
[eqn: alpha>2]이므로 모순

(ⅱ) [eqn: alpha<0], [eqn: 2 <alpha]일 때
[eqn: {(alpha-1)f`'(alpha)}over{(alpha-1)^{2}}={alpha^{2}}over{(alpha-1)^{2}}={16}over{3}]
[eqn: THEREFORE][eqn: 3alpha^{2}-16alpha+16=0]
[eqn: THEREFORE][eqn: alpha=4]

[eqn: THEREFORE][eqn: f(x)=x^{2}(x-4)]

[eqn: lim _{ x->2-} {g'(x) }<0], [eqn: lim _{ x->2+} {g`'(x) }>0]이므로 [eqn: x=2]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: THEREFORE][eqn: g(2)=-8], [eqn: p=-8]

[eqn: THEREFORE][eqn: p^{2}=64]

[eqn: g(x)= cases{``f(x)&&&(0 le x le 2)#f(x) overx-1 &&&(x <0 ```` 또는 ```` x>2)}]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이고, [eqn: g(2)!=0]이다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 1]이다.

(다) [eqn: g(k)=0], [eqn: g prime(k)= 16 over3]인 실수 [eqn: k]가 존재한다.

함수 [eqn: g(x)]의 극솟값이 [eqn: p]일 때, [eqn: p^2]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 미적분 30

두 양수 [eqn: a], [eqn: b][eqn: LEFT ( b <1 RIGHT ) `]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]를

[정답] [eqn: 5`]

[해설]

그림과 같이 [eqn: y = alphax]가 원점에서 [eqn: y = - x^2 + ax]에 접하고

점 [eqn: (b,`` f(b))]에서 [eqn: y = ln(x+b) overx]에 졉할 때,

[eqn: lim_{m -> alpha-} g(m) = 3], [eqn: lim_{m-> alpha+} g(m) = 2]이므로

주어진 조건을 만족한다.

[eqn: y = - x^2 + ax]에서 [eqn: y``' = - 2x + a]

[eqn: y = ln(x+b) overx]에서 [eqn: y``' = { x - (x+b) ln (x+b)} over{ x^2 (x+b)]

[eqn: a][eqn: = ln(2b) overb^2 = { { b - 2b ln(2b)} over{ 2b^3]

이것을 풀면 [eqn: ln(2b) = 1 over4]이므로 [eqn: ab^2 = 1 over4],

[eqn: THEREFORE][eqn: p+q = 4+1 = 5]

[eqn: f(x) = cases{`-x^2 +ax~~& LEFT ( x le 0 RIGHT )#`{ln`(x+b)}over x ~~~~& LEFT ( x >0 RIGHT )}`]

이라 하자. 양수 [eqn: m `]에 대하여 직선 [eqn: y = mx `]와 함수 [eqn: y =f LEFT (x RIGHT ) `]의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: g LEFT (m RIGHT ) `]이라 할 때, 함수 [eqn: g LEFT (m RIGHT ) `]은 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: lim_{m`->`alpha-} g LEFT (m RIGHT ) - lim_{m`->`alpha+} g LEFT (m RIGHT ) = 1 `]을 만족시키는 양수 [eqn: alpha `]가 오직 하나 존재하고, 이 [eqn: alpha `]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( b,`` f LEFT (b RIGHT ) RIGHT ) `]는 직선 [eqn: y = alpha x `]와 곡선 [eqn: y =f LEFT (x RIGHT ) `]의 교점이다.

[eqn: ab^2 = q over p `]일 때, [eqn: p +q `]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이고, [eqn: lim_{{x `->` inf }} f LEFT (x RIGHT ) = 0 `]이다.)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 30

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 143]

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이므로 조건 (나)에 의하여

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =2f LEFT ( 1 RIGHT ) =2]

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2]이므로

[eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) =2f LEFT ( 2 RIGHT ) =4]

따라서 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =4]이므로

[eqn: g LEFT ( 8 RIGHT ) =2f LEFT ( 4 RIGHT ) =8]

따라서 [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) =8]이다.

부분적분법에 의하여

[eqn: int _{1} ^{8} {} xf`' LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: = LEFT [ pile{`#`} xf LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ] _{1}^{8} - int _{1} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: =8f LEFT ( 8 RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) - int _{1} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: =8 TIMES 8-1- int _{1} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: =63- int _{1} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

이때

[eqn: int _{1} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: = int _{1} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx+ int _{2} ^{4} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx+ int _{4} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

이고,

[eqn: int _{1} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx= {5} over {4}][eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

이다.

이때 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 대칭성에 의하여

[eqn: int _{2} ^{4} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: =4 TIMES 4-2 TIMES 2- int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy]
[eqn: =12- int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy][eqn: CDOTS CDOTS] ㉣

이때 [eqn: y=2t]로 놓으면 치환적분법에 의하여

[eqn: int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy=2 int _{1} ^{2} {} g LEFT ( 2t RIGHT ) `dt]

이므로 조건 (나)에서

[eqn: int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy][eqn: =2 int _{1} ^{2} {} g LEFT ( 2t RIGHT ) `dt]
[eqn: =2 int _{1} ^{2} {} 2f LEFT ( t RIGHT ) `dt]
[eqn: =4 int _{1} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: =4 TIMES {5} over {4} =5]

㉣에서

[eqn: int _{2} ^{4} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: =12- int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy]
[eqn: =12-5=7][eqn: CDOTS CDOTS] ㉤

또, 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 대칭성에 의하여

[eqn: int _{4} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: =8 TIMES 8-4 TIMES 4- int _{4} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy]
[eqn: =48- int _{4} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy][eqn: CDOTS CDOTS] ㉥

이때 [eqn: y=2t]로 놓으면 치환적분법에 의하여

[eqn: int _{4} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) dy=2 int _{2} ^{4} {} g LEFT ( 2t RIGHT ) `dt]

이므로 조건 (나)에서

[eqn: int _{4} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy][eqn: =2 int _{2} ^{4} {} g LEFT ( 2t RIGHT ) `dt]
[eqn: =2 int _{2} ^{4} {} 2f LEFT ( t RIGHT ) `dt]
[eqn: =4 int _{2} ^{4} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: =4 TIMES 7=28]

㉥에서

[eqn: int _{4} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: =48- int _{4} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy]
[eqn: =48-28=20][eqn: CDOTS CDOTS] ㉦

㉡, ㉢, ㉤, ㉦에서

[eqn: int _{1} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: = int _{1} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx+ int _{2} ^{4} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx+ int _{4} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: = {5} over {4} +7+20= {113} over {4}]

이므로 ㉠에서

[eqn: int _{1} ^{8} {} xf`' LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: =63- int _{1} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: =63- {113} over {4} = {139} over {4}]

따라서

[eqn: p+q=4+139=143]

[다른 풀이]

[eqn: int _{1} ^{8} {} xf`' LEFT ( x RIGHT ) `dx]에서 [eqn: x=g LEFT ( y RIGHT )]라 하면

[eqn: x=1]일 때 [eqn: y=1], [eqn: x=8]일 때 [eqn: y=8]이고,

[eqn: {dx} over {dy} =g`' LEFT ( y RIGHT ) = {1} over {f`' LEFT ( x RIGHT )}]

이므로

[eqn: int _{1} ^{8} {} xf`' LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: = int _{1} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy]
[eqn: = int _{1} ^{2} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy+ int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy+ int _{4} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy]

이때

[eqn: int _{1} ^{2} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy][eqn: =2 TIMES 2-1 TIMES 1- int _{1} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: =3- {5} over {4} = {7} over {4}]

한편, [eqn: int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy= int _{2} ^{4} {} 2f LEFT ( {y} over {2} RIGHT ) `dy]에서

[eqn: {y} over {2} =t]라 하면 [eqn: y=2]일 때 [eqn: t=1], [eqn: y=4]일 때 [eqn: t=2]이고, [eqn: {1} over {2} = {dt} over {dy}]이므로

[eqn: int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy][eqn: = int _{2} ^{4} {} 2f LEFT ( {y} over {2} RIGHT ) `dy]
[eqn: = int _{1} ^{2} {} 4f LEFT ( t RIGHT ) `dt=4 int _{1} ^{2} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt]
[eqn: =4 TIMES {5} over {4} =5],

또, [eqn: int _{4} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy= int _{4} ^{8} {} 2f LEFT ( {y} over {2} RIGHT ) `dy]에서

[eqn: {y} over {2} =t]라 하면 [eqn: y=4]일 때 [eqn: t=2], [eqn: y=8]일 때 [eqn: t=4]이고, [eqn: {1} over {2} = {dt} over {dy}]이므로

[eqn: int _{4} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy][eqn: = int _{4} ^{8} {} 2f LEFT ( {y} over {2} RIGHT ) `dy]
[eqn: = int _{2} ^{4} {} 4f LEFT ( t RIGHT ) `dt=4 int _{2} ^{4} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt]
[eqn: =4 TIMES LEFT { 4 TIMES 4-2 TIMES 2- int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy RIGHT }]
[eqn: =4 LEFT ( 12-5 RIGHT ) =28]

따라서

[eqn: int _{1} ^{8} {} xf`' LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: = int _{1} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy]
[eqn: = int _{1} ^{2} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy+ int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy+ int _{4} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy]
[eqn: = {7} over {4} +5+28= {139} over {4}]

이므로

[eqn: p+q=4+139=143]

(가) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1,~ int _{1} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx= {5} over {4}}]

(나) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때,
[eqn: x GEQ 1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g LEFT ( 2x RIGHT ) =2f LEFT ( x RIGHT )]이다.

[eqn: int _{1} ^{8} {xf`prime LEFT ( x RIGHT ) `dx= {q} over {p}}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 30

최고차항의 계수가 [eqn: {9}{{from^2021^09^평가원^중}}]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 115 }]

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: x ``->`` 0]일 때 (분모)[eqn: ``->`` 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ``->`` 0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim_{x ``->`` 0} `sin (pi times f(x))= sin (pi times f(0))=0]에서

[eqn: f(0)=n] ([eqn: n]은 정수)

이다.

한편, 삼차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 9]이므로 [eqn: f(x)=9x^3 +ax^2 +bx+n] ([eqn: a ,```` b]는 상수)로 놓을 수 있다.

이때, [eqn: h(x)= sin (pi times f(x))]라 하면 [eqn: h(0)=0]이므로

[eqn: lim_{x ``->`` 0} {sin (pi times f(x))}overx][eqn: =lim_{x ``->`` 0} {h(x)-h(0)}overx]
[eqn: =h '(0)]

이다. 즉, [eqn: h '(0)=0]이다.

이때, [eqn: h '(x)=pi f '(x)times cos (pi times f(x))]이므로

[eqn: h '(0)=pi f '(0)times cos (n pi)=0]에서 [eqn: f '(0)=0]

[eqn: f '(x)=27x^2 +2ax+b]에서 [eqn: f '(0)=b=0]	[eqn: cdotscdots] ㉠

한편, 함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim_{x ``->`` 1-} g(x)=lim_{x ``->`` 1+} g(x)]이어야 한다.

이때, 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: 0 le x <1]일 때 [eqn: g(x)=f(x)]이고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x+1)=g(x)]이므로 [eqn: lim_{x ``->`` 1+} g(x)=lim_{x ``->`` 0+} g(x)]이다.

[eqn: lim_{x ``->`` 1-} g(x)=lim_{x ``->`` 1-} f(x)=9+a+n],

[eqn: lim_{x ``->`` 0+} g(x)=lim_{x ``->`` 0+} f(x)=n]

이므로 [eqn: 9+a+n=n]

[eqn: a=it-9]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: f '(x)=27x^2 -18x=9x(3x-2)]이므로 [eqn: f '(x)=0]에서

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x= 2 over3]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극대이고 [eqn: x= 2 over3]에서 극소이다.

조건 (나)에 의해 [eqn: f(0)times f left( 2 over3 right)=5]이므로

[eqn: n times left( n- 4 over3 right)=5], [eqn: (3n+5)(n-3)=0]

[eqn: n]이 정수이므로 [eqn: n=3]	[eqn: cdotscdots] ㉢

㉠∼㉢에 의해 [eqn: f(x)=9x^3 -9x^2 +3]

따라서

[eqn: int_0^5 xg(x) dx]

[eqn: =][eqn: int_0^1 xg(x) dx+int_1^2 xg(x) dx+int_2^3 xg(x) dx]
[eqn: +int_3^4 xg(x) dx+int_4^5 xg(x) dx]

[eqn: =][eqn: int_0^1 xf(x) dx+int_0^1 (x+1)g(x+1) dx]
[eqn: +int_0^1 (x+2)g(x+2) dx]
[eqn: +int_0^1 (x+3)g(x+3) dx]
[eqn: +int_0^1 (x+4)g(x+4) dx]

[eqn: =][eqn: int_0^1 xf(x) dx+int_0^1 (x+1)f(x) dx]
[eqn: +int_0^1 (x+2)f(x) dx+int_0^1 (x+3)f(x) dx]
[eqn: +int_0^1 (x+4)f(x) dx]

[eqn: =5int_0^1 xf(x) dx+10int_0^1 f(x) dx]

[eqn: =5int_0^1 left(9x^4 -9x^3 +3x right) dx][eqn: +10int_0^1 left(9x^3 -9x^2 +3 right) dx]

[eqn: =5left[ 9 over5 x^5 - 9 over4 x^4 + 3 over2 x^2 right]_0^1][eqn: +10left[ 9 over4 x^4 -3x^3 +3x right]_0^1]

[eqn: = 21 over4 + 45 over2][eqn: = {111} over {4}]

따라서 [eqn: p=4 ,```` q=111]이므로

[eqn: p+q=4+111=115]

(가) [eqn: lim_{x ``->`` 0} {sin (pi times f(x))}overx =0]

(나) [eqn: f(x)]의 극댓값과 극솟값의 곱은 [eqn: 5]이다.

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: 0 le x <1]일 때 [eqn: g(x)=f(x)]이고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x+1)=g(x)]이다. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: int_0^5 xg(x) dx= q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 30

두 자연수 [eqn: {a ,```` b}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]에 대하여 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ax ^{2} +b]가 있다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: bold { 586 }]

[해설]

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {f prime LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )} - {1} over {10} f ' LEFT ( x RIGHT )]
[eqn: = {f ' LEFT ( x RIGHT )} over {10f LEFT ( x RIGHT )} LEFT { 10-f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]이 되려면 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0] 또는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =10]

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2ax]이므로 [eqn: x=0]일 때에만 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]

(ⅰ) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -10][eqn: =0]이 실근을 갖지 않을 때,
[eqn: f ' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >10]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 0]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

(ⅱ) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -10][eqn: =0]이 중근을 가질 때,
[eqn: f ' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0], [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =10], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 10]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 0]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

(ⅰ), (ⅱ)의 경우에는 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x][eqn: =0]에서 극댓값을 갖는다.

그러므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

(ⅲ) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -10][eqn: =0]이 서로 다른 두 실근을 가질 때,
방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -10][eqn: =0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha ,```` beta][eqn: LEFT ( alpha < beta RIGHT )]라 하면 [eqn: alpha][eqn: = it - beta]
[eqn: f LEFT ( -x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: g LEFT ( -x RIGHT )][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]
함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: y]축 대칭이므로 [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =g LEFT ( beta RIGHT )]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: alpha]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 0]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: beta]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

(ⅲ)의 경우에는 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=0]에서 극솟값을 가지므로 조건 (가)를 만족시킨다.
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =b][eqn: <f LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: = it 10]이므로 [eqn: 1 LEQ b<10]

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =ln f LEFT ( 0 RIGHT ) - {1} over {10} LEFT ( f LEFT ( 0 RIGHT ) -1 RIGHT )]
[eqn: =ln b- {1} over {10} LEFT ( b-1 RIGHT )]

[eqn: p LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ln x- {1} over {10} LEFT ( x-1 RIGHT )]이라 하면

[eqn: p' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {x} - {1} over {10}][eqn: = {10-x} over {10x}]

[eqn: 1 LEQ x<10]일 때 [eqn: p' LEFT ( x RIGHT ) >0]이므로 [eqn: p LEFT ( x RIGHT )]는 증가함수이다.

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: GEQ p LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]

함수 [eqn: left |`` g LEFT ( x RIGHT ) ``right |]의 그래프의 개형은 다음 [eqn: 2]가지 경우와 같다.

(1) [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]일 때

함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t][eqn: =k]에서 불연속인 [eqn: k]의 값의 개수는 [eqn: 7]이므로 조건 (나)를 만족시킨다.

(2) [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) >0]일 때

함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t][eqn: =k]에서 불연속인 [eqn: k]의 값의 개수는 [eqn: 11]이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.
그러므로 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]
[eqn: 0][eqn: =g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =p LEFT ( b RIGHT )][eqn: GEQ p LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]이므로 [eqn: p LEFT ( b RIGHT )][eqn: =p LEFT ( 1 RIGHT )]
함수 [eqn: p LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: 1 LEQ x<10]에서
증가함수이므로 [eqn: b][eqn: =1], [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ax ^{2} +1]

[eqn: int _{0} ^{a} {} ex f LEFT ( x RIGHT ) dx]

[eqn: = int _{0} ^{a} {} LEFT ( ax ^{2} +1 RIGHT ) e ^{x} dx]

[eqn: = LEFT [ LEFT ( ax ^{2} +1 RIGHT ) e ^{x} pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{a} - int _{0} ^{a} {} 2ax e ^{x} dx]

[eqn: = LEFT ( a ^{3} +1 RIGHT ) e ^{a} -1- LEFT [ 2ax e ^{x} pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{a} + int _{0} ^{a} {} 2a e ^{x} dx]

[eqn: = LEFT ( a ^{3} +1 RIGHT ) e ^{a} -1-2a ^{2} e ^{a} + LEFT [ 2a e ^{x} pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{a}]

[eqn: = LEFT ( a ^{3} -2a ^{2} +2a+1 RIGHT ) e ^{a} -2a-1]

[eqn: me ^{a} -19][eqn: = LEFT ( a ^{3} -2a ^{2} +2a+1 RIGHT ) e ^{a} -2a-1]

따라서 [eqn: a][eqn: =9]이므로

[eqn: m][eqn: =a ^{3} -2a ^{2} +2a+1][eqn: =586]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ln f LEFT ( x RIGHT ) - {1} over {10} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -1 RIGHT }]

이라 하자. 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y][eqn: = left |`` g LEFT ( t RIGHT ) ``right |]와 함수 [eqn: y][eqn: = left |`` g LEFT ( x RIGHT ) ``right |]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 두 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )], [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 극솟값을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t][eqn: =k]에서 불연속인 [eqn: k]의 값의 개수는 [eqn: 7]이다.

[eqn: int _{0} ^{a} {} e ^{x} f LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: =me ^{a} -19]일 때, 자연수 [eqn: m]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 30

함수 [eqn: f(x)=a cos x+x sin x+b]와 [eqn: - pi< alpha<0< beta< pi]인 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 135]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =a cos x+x sin x+b]에서

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( 1-a RIGHT ) sin x+x cos x]

[eqn: cos x][eqn: =0]이면 [eqn: sin x][eqn: != 0]이고 [eqn: a<1]이므로 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: != 0]

그러므로 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]이면 [eqn: cos x][eqn: != 0]이고

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]에서

[eqn: x cos x][eqn: = LEFT ( a-1 RIGHT ) sin x]

[eqn: tan x][eqn: = {x} over {a-1}][eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

함수 [eqn: y= tan x]의 그래프와 직선 [eqn: y={x} over {a-1}]는 모두

원점에 대하여 대칭이고

[eqn: a<1]에서 직선 [eqn: y={x} over {a-1}]의 기울기가 음수이므로 [eqn: - pi<x< pi]에서 함수 [eqn: y= tan x]의 그래프와

직선 [eqn: y={x} over {a-1}]는 원점을 포함한 서로 다른

세 점에서 만난다.

조건 (가)에서 원점을 제외한 두 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: alpha], [eqn: beta]이고 원점을 제외한 두 점은 원점에 대하여 대칭이므로 [eqn: alpha=- beta]이다.

조건 (나)에서

[eqn: {1} over { beta}=-{ tan beta- tan (- beta)} over { beta-(- beta)}=-{ tan beta} over { beta}]

[eqn: tan beta=-1]

[eqn: 0< beta< pi]이므로 [eqn: beta={3} over {4} pi], [eqn: alpha=-{3} over {4} pi]

㉠에 [eqn: x={3} over {4} pi]를 대입하면

[eqn: tan {3} over {4} pi={3} over {4(a-1)} pi], [eqn: -4(a-1)=3 pi]

[eqn: a=1-{3} over {4} pi][eqn: cdotscdots]㉡

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)} over {x^{2}}=c]에서 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} x^{2}=0]이므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} f(x)= lim _{x ``rarrow`` 0}(a cos x+x sin x+b)=a+b=0]

[eqn: b=-a]이고

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)} over {x^{2}}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0} {a( cos x-1)+x sin x} over {x^{2}}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0} left{ {a( cos x-1)} over {x^{2}}+{ sin x} over {x} it right}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0} left{ {a( cos x-1)( cos x+1)} over {x^{2}( cos x+1)}+{ sin x} over {x} it right}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0} left{ -{a sin ^{2} x} over {x^{2}( cos x+1)}+{ sin x} over {x} it right}]
[eqn: =-{a} over {2}+1=c]

㉡에서 [eqn: c=-{a} over {2}+1=-{1} over {2} times left(1-{3} over {4} pi right)+1={1} over {2}+{3} over {8} pi]

따라서

[eqn: f left({ beta- alpha} over {3} right)+c][eqn: =f left({ pi} over {2} right)+{1} over {2}+{3} over {8} pi]
[eqn: ={ pi} over {2}- left(1-{3} over {4} pi right)+{1} over {2}+{3} over {8} pi]
[eqn: =-{1} over {2}+{13} over {8} pi=p+q pi]

에서 [eqn: p=-{1} over {2}], [eqn: q={13} over {8}]이므로 [eqn: 120 times(p+q)=135]

(가) [eqn: f `prime ( alpha)=f `prime ( beta)=0]

(나) [eqn: { tan beta- tan alpha} over { beta- alpha}+{1} over { beta}=0]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)} over {x^{2}}=c]일 때, [eqn: f left({ beta- alpha} over {3} right)+c=p+q pi]이다.

두 유리수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: 120 times(p+q)]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이고, [eqn: a<1]이다.)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 30

최고차항의 계수가 [eqn: rm 3]보다 크고 실수 전체의 집합에서 최솟값이 양수인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]가

[정답] [eqn: 129]

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: =a x^{2}+b x+c(a,`` b,`` c]는 상수[eqn: )]라 하면
[eqn: g `prime (x) =e^{x} left{ f(x)+f `prime (x) it right}]
[eqn: =e^{x} left{ a x^{2}+(2 a+b) x+b+c it right}]

함수 [eqn: g(x)]가 극값을 갖지 않으면 조건 (가)를

만족시키지 않으므로 함수 [eqn: g(x)]는 극값을 갖는다.

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x= alpha]에서 극댓값, [eqn: x= beta]에서 극솟값을 갖는다고 하면 [eqn: g `prime (x)=e^{x} left{ a(x- alpha)(x- beta) it right}]

함수 [eqn: h(k)]는 [eqn: k=t(t neq g( alpha),`` t neq g( beta))]에서 [eqn: lim _{k`` rarrow ``t-} {} h(k)= lim _{k`` rarrow ``t+} {} h(k)=h(t)]

그러므로 함수 [eqn: h(k)]는

[eqn: k=t(t neq g( alpha),`` t neq g( beta))]에서 연속이다.

조건 (가)에 의하여 함수 [eqn: h(k)]가 [eqn: k=t]에서 불연속인 [eqn: t]의 개수가 [eqn: rm 1]이므로 함수 [eqn: h(k)]는 [eqn: k=g( alpha)]에서 연속이고 [eqn: k=g( beta)]에서 불연속 또는 [eqn: k=g( alpha)]에서 불연속이고 [eqn: k=g( beta)]에서 연속이다.

( i ) 함수 [eqn: h(k)]가 [eqn: k=g( alpha)]에서 연속이고 [eqn: k=g( beta)]에서 불연속인 경우 [eqn: lim _{k ``rarrow`` g( alpha)-} h(k)=2 alpha+ alpha_{1}][eqn: lim _{k ``rarrow`` g( alpha)+} h(k)= alpha_{1}][eqn: h(g( alpha))= alpha+ alpha_{1}]이므로 [eqn: lim _{k ``rarrow`` g( alpha)-} h(k)= lim _{k ``rarrow`` g( alpha)+} h(k)=h(g( alpha))]에서 [eqn: 2 alpha+ alpha_{1}= alpha_{1}= alpha+ alpha_{1}] 그러므로 [eqn: alpha=0]
함수 [eqn: h(k)]는 [eqn: k=g( beta)]에서 불연속이므로 [eqn: lim _{k ``rarrow`` g( beta)+} h(k)- lim _{k ``rarrow`` g( beta)-} h(k)=2 beta neq 0]
조건 (나)에 의하여 [eqn: beta=1], [eqn: g( beta)=3 e]
[eqn: g `prime (0)=0], [eqn: g `prime (1)=0]이므로 [eqn: g `prime (x)=e^{x} left{ a x(x-1) it right}]
[eqn: g(x)=e^{x} left{ a left(x^{2}-3 x+3 right) it right}]
[eqn: g(1)=3 e]이므로 [eqn: a=3]
최고차항의 계수가 [eqn: rm 3]이므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

(ii) 함수 [eqn: h(k)]가 [eqn: k=g( alpha)]에서 불연속이고 [eqn: k=g( beta)]에서 연속인 경우 [eqn: lim _{k ``rarrow`` g( beta)_{-}} h(k)= beta_{1}]
[eqn: lim _{k ``rarrow`` g( beta)_{+}} h(k)=2 beta+ beta_{1}]
[eqn: h(g( beta))= beta+ beta_{1}]이므로 [eqn: lim _{k ``rarrow`` g( beta)-} h(k)= lim _{k ``rarrow`` g( beta)+} h(k)=h(g( beta))]에서 [eqn: beta_{1}=2 beta+ beta_{1}= beta+ beta_{1}]
그러므로 [eqn: beta=0]
함수 [eqn: h(k)]는 [eqn: k=g( alpha)]에서 불연속이므로
[eqn: lim _{k ``rarrow`` g( alpha)+} h(k)- lim _{k ``rarrow`` g( alpha)-} h(k)=-2 alpha neq 0]
조건 (나)에 의하여 [eqn: alpha=-1], [eqn: g( alpha)=3 e]
[eqn: g `prime (0)=0], [eqn: g `prime (-1)=0]이므로 [eqn: g `prime (x)=e^{x} left{ a x(x+1) it right}]
[eqn: g(x)=e^{x} left{ a left(x^{2}-x+1 right) it right}]
[eqn: g(-1)=3 e]이므로 [eqn: a=e^{2}]
[eqn: g(x)=e^{x+2} left(x^{2}-x+1 right)]

따라서 [eqn: g(-6) times g(2)=43 e^{-4} times 3 e^{4}=129]

[eqn: g(x)=e^{x} f(x)]

이다. 양수 [eqn: k]에 대하여 집합 [eqn: left{ x `|` g(x)=k,`` x]는 실수[eqn: it right}]의 모든 원소의 합을 [eqn: h(k)]라 할 때, 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: h(k)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: h(k)]가 [eqn: k=t]에서 불연속인 [eqn: t]의 개수는 [eqn: rm 1]이다.

(나) [eqn: lim _{k ``rarrow`` 3 e+} h(k)- lim _{k ``rarrow`` 3 e-} h(k)=2]

[eqn: g(-6) times g(2)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: lim _{x ``rarrow``- inf } x^{2} e^{x}=0])

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 미적분 30

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]와 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )=e ^{sin` pi x} -1]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT )=g LEFT (f LEFT (x RIGHT ) RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 31]

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: h(0)=g(f(0))=e^{ sin pi f left(0right)}-1=0]

[eqn: sin pi f left(0right)=0]

이므로 [eqn: f left(0right)`]은 정수이다.

또한, [eqn: g `prime (x)=e^{ sin pi x} times pi cos pi x], [eqn: h `prime (x)=g `prime (f(x)) times f `prime (x)]이므로

[eqn: h `prime (0)][eqn: =g `prime (f(0)) times f `prime (0)][eqn: =0]

에서    [eqn: g`prime left( f left(0right)right)=0] 또는 [eqn: f`prime left(0right)=0]

[eqn: g`prime left(f left(0right)right)=e^{sin`pi f left(0right)}times pi cos`pi f left(0right)=0`]에서 [eqn: f left(0right)`]이 정수이므로

[eqn: cos`pi f left(0right)ne0`]

따라서 [eqn: g`prime left( f left(0right)right)ne0]이므로    [eqn: f`prime left(0right)=0]

[eqn: f`prime left(0right)=f`prime left(3right)=0`]에서

[eqn: f`prime left(x right)=ax left(x-3right)`](단, [eqn: a`]는 양수)	[eqn: cdotscdots] ㉠

로 놓을 수 있다.

[eqn: h `prime (x)][eqn: =g `prime (f(x)) times f `prime (x)]
[eqn: =e^{ sin pi f left(x right)} times pi cos pi f left(x right) times f`prime left(x right)]

에서 함수 [eqn: h left(x right)`]가 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 가지기 위해서는 함수 [eqn: f`prime left(x right)`]가 [eqn: x=0`]의 좌우에서 부호가 양수에서 음수로 바뀌므로 [eqn: cos`pi f left(0right)>0`]을 만족해야 한다.

따라서 [eqn: f left(0right)`]의 값은 짝수이다.

㉠에서    [eqn: f left(x right)= a over3 x^3 - 3over2 ax^2 +c] (단, [eqn: c`]는 짝수)

조건 (나)에서

[eqn: e^{sin`pi f left(x right)}-1=1`], [eqn: e^{sin`pi f left(x right)}=2]

따라서 열린구간 [eqn: left(0,``3right)`]에서 방정식 [eqn: sin`pi f left(x right)=ln`2]을 만족하는 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 7`]이어야 한다.

열린구간 [eqn: left(0,``3right)`]에서 함수 [eqn: f left(x right)`]는 [eqn: 1over2 <f left(x right)<c`]를 만족하면서 감소하므로 방정식 [eqn: sin`pi f left(x right)=ln`2]의 실근의 개수가 [eqn: 7`]이 되는 [eqn: c`]의 값은 [eqn: 7] 또는 [eqn: 8`]이 가능하지만, [eqn: c`]는 짝수이므로

[eqn: c=8]

[eqn: f left(x right)= a over3 x^3 - 3over2 ax^2 +8`]에서 [eqn: f left(3right)= 1over2 `]이므로

[eqn: f left(3right)=9a- 27over2 a+8= 1over2],    [eqn: a= 5over3]

따라서 [eqn: f left(x right)= 5over9 x^3 - 5over2 x^2 +8`]이므로

[eqn: f left(2right)= 22over9]

[eqn: p=9], [eqn: q=22`]이므로    [eqn: p+q=31]

(가) 함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 극댓값 [eqn: rm 0]을 갖는다.

(나) 열린구간 [eqn: LEFT (0,`` 3 RIGHT )]에서 방정식 [eqn: h LEFT (x RIGHT )=1]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 7]이다.

[eqn: f LEFT (3 RIGHT )= {1} over {2}], [eqn: f `prime LEFT (3 RIGHT )=0]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 30

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는

[정답] [eqn: 16]

[해설]

[eqn: f(x)={x^{2}-a x} over {e^{x}}= left(x^{2}-a x right) e^{-x}]

이므로

[eqn: f `prime (x)=(2 x-a) e^{-x}+ left(x^{2}-a x right) e^{-x} times(-1)]

[eqn: ~ =e^{-x} left{ -x^{2}+(a+2) x-a it right}]

[eqn: ~ =-e^{-x} left{ x^{2}-(a+2) x+a it right}]

이때, [eqn: f ' LEFT (x RIGHT )=0]에서

[eqn: x^2 - LEFT ( a+2 RIGHT )x+a=0][eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D][eqn: =LEFT ( a+2 RIGHT )^2 -4a][eqn: =a^2 +4 >0]

또, ㉠의 서로 다른 두 근은

[eqn: x= {(a+2) +- sqrt {a ^{2} +4}} over {2} CDOTS CDOTS]㉡

이때, [eqn: a>0]이므로

[eqn: a+2= sqrt{(a+2)^{2}}> sqrt{a^{2}+4}]

그러므로 두 양의 실근을 갖는다.

㉡의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta(0< alpha< beta)]라 하면

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 나타내는 표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha]	[eqn: cdots]	[eqn: beta]	[eqn: cdots]
[eqn: f `prime (x)]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: searrow]		[eqn: nearrow]		[eqn: searrow]

이때,

[eqn: f(0)=0], [eqn: f(a)=0]

이고

[eqn: lim _{x ``rarrow`` inf } f(x)= lim _{x ``rarrow`` inf } {x^{2}-a x} over {e^{x}}=0]

이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은

다음과 같다.

또,

[eqn: f `prime prime (x)=e^{-x} left{ x^{2}-(a+2) x+a it right}][eqn: ~ -e^{-x} left{ 2 x-(a+2) it right}]

[eqn: =e^{-x} left{ x^{2}-(a+4) x+2 a+2 it right}]

이때, [eqn: f `prime prime (x)=0]에서

[eqn: x^{2}-(a+4) x+2 a+2=0][eqn: CDOTS CDOTS]㉡

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D][eqn: =(a+4)^{2}-4 times 1 times(2 a+2)]
[eqn: =a^{2}+8>0]

그러므로 함수 [eqn: f(x)]가 변곡점을 갖는 [eqn: x]

의 값의 개수는 [eqn: rm 2]이다.

한편, 방정식

[eqn: f(x)=f `prime (t)(x-t)+f(t)]

의 서로 다른 실근의 개수는 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=f `prime (t)(x-t)+f(t)]

의 그래프의 교점의 개수이다.

이때, 직선 [eqn: y=f `prime (t)(x-t)+f(t)]는 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,`` f(t))]에서의 접선이다

한편, 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=a]에서 연속이면 [eqn: g(a)= lim _{t rarrow a} {} g(t)]이므로

[eqn: g(a)+ {lim _{t rarrow 5} {}} g(t)]의 값은 짝수이어야 한다.

그런데

[eqn: g(5)+ lim _{t ``rarrow`` 5} g(t)=5 ~ cdots CDOTS]㉢

이므로 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=5]에서 불연속이다.

함수 [eqn: g(t)]가 불연속이 되는 [eqn: t]의 값은 함수 [eqn: f(x)]가 극값을 갖는 [eqn: x]의 값이거나 변곡점을 갖는 [eqn: x]의 값이다.

한편, 함수 [eqn: f(x)]가 극값을 갖는 [eqn: x]의 값을 [eqn: m]이라 하면 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=m]에서 극한값을 갖지 않는다.

또, 함수 [eqn: f(x)]가 변곡점을 갖는 [eqn: x]의 값을 [eqn: n]이라 하면 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=n]에서 극한값을 갖는다.

그러므로 ㉢을 만족시키는 [eqn: t]의 값은 함수 [eqn: f(x)]가 변곡점을 갖는 [eqn: x]의 값 중 큰 값이다.

즉, 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=5]에서 변곡점을 갖고 이때

[eqn: lim _{t ``rarrow`` 5} g(t)=3], [eqn: g(5)=2]

이므로 조건을 만족시킨다.

따라서, [eqn: x=5]가 방정식 ㉡의 근이므로

대입하면

[eqn: 5^{2}-(a+4) times 5+2 a+2=0]

[eqn: -3 a+7=0]

[eqn: a= {7} over {3} CDOTS CDOTS]㉢

한편,

[eqn: lim _{t ``rarrow`` k-} g(t) neq lim _{t ``rarrow`` k+} g(t)]

를 만족시키는 [eqn: k]의 값은 함수 [eqn: f(x)]가 극

값을 갖는 [eqn: x]의 값이다.

㉠에 ㉢을 대입하면

[eqn: x^{2}- left({7} over {3}+2 right) x+{7} over {3}=0]

[eqn: x^{2}-{13} over {3} x+{7} over {3}=0]

따라서, 구하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 근과 계수의 관계를 이용하면 [eqn: {13} over {3}]이므로

[eqn: p+q=3+13=16]

[eqn: f(x)={x^{2}-a x} over {e^{x}}]

이다. 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식

[eqn: f(x)=f `prime (t)(x-t)+f(t)]

의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자.

[eqn: g(5)+ lim _{t ``rarrow`` 5} g(t)=5]일 때, [eqn: lim _{t ``rarrow`` k-} g(t) neq lim _{t ``rarrow`` k+} g(t)]를 만족시키는

모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 30

최고차항의 계수가 [eqn: -2`]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]와 두 실수 [eqn: a `` LEFT ( a >0 RIGHT )], [eqn: b`]에 대하여 함수

[정답] [eqn: 4]

[해설]

조건 (가)의 [eqn: lim _{ x`->`0-} { g LEFT ( x RIGHT ) } =2`]에서

[eqn: lim_{x`->`0-}{f left(x+1right)}overx =2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: lim_{x`->`0-}f left(x+1right)=0]에서 [eqn: f left(1right)=0]

[eqn: f left(x right)=it-2left(x-1right)left(x-alpha right)]라 하면 ㉠에서

[eqn: lim_{x`->`0-}{-2x left(x+1-alpha right)}overx =it-2left(1-alpha)=2], [eqn: alpha=2]

[eqn: therefore][eqn: f left(x right)=it-2left(x-1right)left(x-2right)], [eqn: f`prime left(x right)=it-4x+6]

[eqn: x>0]일 때, [eqn: g `prime left(x right)=f`prime left(x right)e^{x-a}+f left(x right)e^x-a]이므로

[eqn: g`prime left(a right)=f`prime left(a right)+f left(a right)]

조건 (가)에서 [eqn: g`prime left( a right)=it-2]이므로

[eqn: f`prime left(a right)+f left(a right)=it-2a^2 +2a+2=it-2]

[eqn: a^2 -a-2=0], [eqn: left(a+1right)left(a-2right)=0]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=2]

[eqn: therefore][eqn: g left(x right)=cases{-2x+2&left(x<0right)#-2left(x-1right)left(x-2right)e^x-2 +b~&left(x ge0right)]

[eqn: h left(x right)=it-2left(x-1right)left(x-2right)e^x-2]이라 하면

[eqn: h`prime left(x right)][eqn: =it-2left(2x-3right)e^x-2 -2left(x-1right)left(x-2right)e^x-2]
[eqn: =it-2left(x^2 -x-1right)e^x-2]

함수 [eqn: h left(x right)]는 [eqn: 2]개의 극값을 가지므로 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 [eqn: x ge0]에서 함수 [eqn: g left(x right)]의 그래프는 함수 [eqn: h left(x right)]의 그래프를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 그래프이다.

조건 (나)에서 [eqn: g left(t right)-g left(s right)}overt-s]는 두 점 [eqn: left(s,``g left(s right)right)], [eqn: left(t,``g left(t right)right)]을 지나는 직선의 기울기를 의미한다.

[eqn: x<0]일 때 함수 [eqn: g left(x right)=it-2x-2]이므로 조건 (나)의 부등식을 만족하기 위해서는 다음 그림과 같이 [eqn: x ge0]에서 함수 [eqn: g left(x right)]가 [eqn: y=it-2x-2]와 접하거나 아래쪽에 존재해야 한다.

따라서 [eqn: b]가 최대일 때는 [eqn: x ge0]에서 함수 [eqn: g left(x right)]가 [eqn: y=it-2x-2]와 접할 때이다. 이때, 접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: beta``left(beta>0right)]라 하면

[eqn: g left(beta right)=it-2beta+2], [eqn: g`prime left(beta right)=it-2]

[eqn: x >0]에서 [eqn: g`prime left(x right)=it-2left(x^2 -x-1right)e^x-2]이므로 [eqn: g`prime left(beta right)=it-2]에서

[eqn: -2left(beta^2 -beta-1right)e^{beta-2}=it-2], [eqn: left(beta^2 -beta-1right)e^{beta-2}=1]

[eqn: therefore][eqn: beta=2] ([eqn: because][eqn: left(beta^2 -beta-1right)e^{beta-2}=1]에서 [eqn: beta^2 -beta-1=e^{2-beta}]이고, 두 함수 [eqn: y=x^2 -x-1]과 [eqn: y=e^2-x]의 그래프는 [eqn: x>0]에서 한 점에서만 만나므로 [eqn: beta=2]가 유일한 해임을 알 수 있다.)

[eqn: g left(beta right)=it-2beta+2]에서 [eqn: g left(2right)=it-2]이므로

[eqn: g left(2right)=b=it-2]

따라서 [eqn: x ge0]에서 함수 [eqn: g left(x right)]가 [eqn: y=it-2x-2]와 접할 때의 [eqn: b]의 값은 [eqn: -2]이다.

이상에서 [eqn: a=2], [eqn: b]의 최댓값은 [eqn: -2]이므로 [eqn: a-b]의 최댓값은 [eqn: 4]이다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =cases{`` {f LEFT ( x +1 RIGHT )} over x ~& LEFT ( x <0 RIGHT )# `` f LEFT ( x RIGHT ) e^{x-a} +b ~& LEFT ( x ge 0 RIGHT )}]

이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{ x`->`0-} { g LEFT ( x RIGHT ) } =2`]이고 [eqn: g`' LEFT ( a RIGHT ) =it -2`]이다.

(나) [eqn: s< 0 le t`]이면 [eqn: {g LEFT ( t RIGHT ) -g LEFT ( s RIGHT )} over {t-s} le -2`]이다.

[eqn: a-b`]의 최솟값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 30

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]와 구간 [eqn: (0,`` inf )]에서 [eqn: g(x) geq 0]인 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: rm 283]

[해설]

(나) 조건에서 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: g(3) times 0=f `prime (0)]에서 [eqn: f `prime (0)=0]이다.

그런데 [eqn: g(x+3)]는 [eqn: x=0]에서 부호가 바뀌지 않으므로 [eqn: f `prime (x)]도 [eqn: x=0]에서 부호가 바뀌지 않음을 알 수 있다. [eqn: g(x+3)]이 [eqn: x>-3]에서 부호가 한 번도 바뀌지 않기 때문에
[eqn: f `prime (x)=4 x^{2}(x- alpha) ~ ( alpha leq-3)]이다.
그런데 [eqn: f `prime (x)=4 x^{2}(x- alpha) ~ ( alpha < it - 3)]이면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x= alpha]에서 극솟값을 갖고, 그렇다면 [eqn: x leq-3]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq f(-3)]이라는 (가) 조건에 모순이다.
따라서 [eqn: f `prime (x)=4 x^{2}(x+3)=4 x^{3}+12 x^{2}]이고

[eqn: f(x)=x^{4}+4 x^{3}+C] (단, [eqn: C]는 적분상수[eqn: )]이다.

이제 [eqn: g(x+3)={f `prime (x)} over { left{ f(x)-f(0) it right} ^{2}}]라 할 수 있고,

[eqn: int_{4}^{5} g(x) d x][eqn: = int_{1}^{2} g(x+3) d x]
[eqn: = int_{1}^{2} {f `prime (x)} over { left{ f(x)-f(0) it right} ^{2}} d x]

[eqn: f(x)-f(0)=t]라 하면

[eqn: f `prime (x) d x=d t]이고 [eqn: f(1)-f(0)=5], [eqn: f(2)-f(0)=48]이므로

[eqn: int_{5}^{48} {1} over {t^{2}} d t= left[ pile{it #it} -{1} over {t} right]_{5}^{48}=-{1} over {48}+{1} over {5}={43} over {240}]

이므로 [eqn: p+q=240+43=283]

(가) [eqn: x leq-3]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq f(-3)]이다.

(나) [eqn: x>-3]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x+3) left{ f(x)-f(0) it right} ^{2}=f `prime (x)]이다.

[eqn: int_{4}^{5} g(x) d x={q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 30

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[정답] [eqn: 12]

[해설]

함수 [eqn: g(x)]의 한 부정적분을 [eqn: G(x)]라 하자.

조건 (가)에서

[eqn: int_{2 a}^{3 a+x} g(t) d t= int_{3 a-x}^{2 a+2} g(t) d t]

[eqn: G(3 a+x)-G(2 a)=G(2 a+2)-G(3 a-x)]

위 등식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g(3 a+x)=g(3 a-x)]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 ㉠이 성립하므로

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=3 a]에 대하여 대칭이다.

[eqn: int_{2 a}^{3 a+x} g(t) d t][eqn: = int_{3 a-x}^{2 a+2} g(t) d t][eqn: = int_{3 a-x}^{4 a} g(t) d t+ int_{4 a}^{2 a+2} g(t) d t]

[eqn: int_{2 a}^{3 a+x} g(t) d t = int_{3 a-x}^{4 a} g(t) d t]에서 [eqn: int_{4 a}^{2 a+2} g(t) d t=0]

조건 (가)에서 [eqn: g(x)>0]이므로 [eqn: 2 a+2=4 a], [eqn: a=1]

[eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 이차함수이므로

[eqn: h(x)=f(x)+f `prime (x)+1=x^{2}+p x+q(p,`` q]는 상수[eqn: )]

라 하자.

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=3]에 대하여 대칭이므로 [eqn: g(4)=g(2)], 즉 [eqn: h(4)=h(2)]

[eqn: 16+4 p+q=4+2 p+q]에서 [eqn: p=-6]

조건 (나)에서 [eqn: h(4)=5]이므로

[eqn: 16-24+q=5]에서 [eqn: q=13]

[eqn: h(x)=x^{2}-6 x+13]에서

[eqn: h `prime (x)=f `prime (x)+f `prime prime (x)=f `prime (x)+2]

[eqn: int_{3}^{5} left{ f `prime (x)+2 a it right} g(x) d x]

[eqn: = int_{3}^{5} left{ f `prime (x)+2 it right} g(x) d x= int_{3}^{5} h `prime (x) ln h(x) d x]

[eqn: =[h(x) ln h(x)]_{3}^{5}- int_{3}^{5} left{ h(x) times {h `prime (x)} over {h(x)} it right} d x]

[eqn: =h(5) ln h(5)-h(3) ln h(3)- left{ h(5)-h(3) it right}]

[eqn: =8 ln 8-4 ln 4-(8-4)=-4+16 ln 2]

따라서 [eqn: m=-4], [eqn: n=16]이므로 [eqn: m+n=12]

[eqn: g(x)= ln left{ f(x)+f `prime (x)+1 it right}]

이 있다. 상수 [eqn: a]와 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x)>0]이고
[eqn: int_{2 a}^{3 a+x} g(t) d t= int_{3 a-x}^{2 a+2} g(t) d t]
이다.

(나) [eqn: g(4)= ln 5]

[eqn: int_{3}^{5} left{ f `prime (x)+2 a it right} g(x) d x=m+n ln 2]일 때, [eqn: m+n]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m], [eqn: n]은 정수이고, [eqn: ln 2]는 무리수이다.)

미적킬러 81제(빠른 정답)
프로젝트	2023.01.03

[정답] [eqn: 50]

[정답] [eqn: 19]

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] [eqn: 72]

[정답] [eqn: 25]

[정답] [eqn: bold39]

[정답] [eqn: 25]

[정답] [eqn: 9]

[정답] [eqn: bold{ 32]

[정답] ①

[정답] [eqn: 128]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold48]

[정답] ①

[정답] [eqn: 216]

[정답] [eqn: 25]

[정답] ③

[정답] [eqn: 25]

[정답] [eqn: 83]

[정답] [eqn: bold{15}]

[정답] [eqn: 9]

[정답] [eqn: bold27]

[정답] ④

[정답] [eqn: 90]

[정답] [eqn: bold{ 50]

[정답] [eqn: bold{71]

[정답] [eqn: bold{6]

[정답] [eqn: 49]

[정답] ④

[정답] [eqn: 80]

[정답] [eqn: 21]

[정답] [eqn: bold{16]

[정답] ②

[정답] [eqn: {bold{253}}]

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: 27]

[정답] [eqn: bold { 30 }]

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 16]

[정답] [eqn: 49]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 26 }]

[정답] [eqn: 36]

[정답] [eqn: 125]

[정답] [eqn: 18]

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 77 }]

[정답] [eqn: bold { 9 }]

[정답] [eqn: bold { 95 }]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold{64]

[정답] [eqn: bold{93]

[정답] [eqn: bold { 12 }]

[정답] ②

[정답] [eqn: 16]

[정답] [eqn: bold { 331 }]

[정답] [eqn: bold { 29 }]

[정답] [eqn: bold6]

[정답] [eqn: bold { 43 }]

[정답] [eqn: 48]

[정답] [eqn: bold { 25 }]

[정답] [eqn: 13]

[정답] [eqn: bold { 11 }]

[정답] [eqn: 10]

[정답] [eqn: bold64]

[정답] [eqn: 5`]

[정답] [eqn: 143]

[정답] [eqn: bold { 115 }]

[정답] [eqn: bold { 586 }]

[정답] [eqn: 135]

[정답] [eqn: 129]

[정답] [eqn: 31]

[정답] [eqn: 16]

[정답] [eqn: 4]

[정답] [eqn: rm 283]

[정답] [eqn: 12]

미적킬러 81제(해설)
프로젝트	2023.01.03