	기하킬러	기하킬러 24제
	00
		프로젝트	2023.01.03

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 예비 30

기하킬러		프로젝트
		기하킬러 24제
00

	프로젝트		기하킬러
	기하킬러 24제		00

반지름의 길이가 [eqn: rm 2]인 구의 중심 [eqn: {rm{O}} it]를 지나는 평면을 [eqn: alpha]라 하고, 평면 [eqn: alpha]와 이루는 각이 [eqn: 45 DEG]인 평면을 [eqn: beta]라 하자. 평면 [eqn: alpha]와 구가 만나서 생기는 원을 [eqn: C_{1}], 평면 [eqn: beta]와 구가 만나서 생기는 원을 [eqn: C_{2}]라 하자. 원 [eqn: C_{2}]의 중심 [eqn: {rm{A}} it]와 평면 [eqn: alpha] 사이의 거리가 [eqn: { sqrt{6}} over {2}]일 때, 그림과 같이 다음 조건을 만족하도록 원 [eqn: C_{1}] 위에 점 [eqn: {rm{P}} it], 원 [eqn: C_{2}] 위에 두 점 [eqn: {rm{Q}} it], [eqn: {rm{R}} it]를 잡는다.

[정답] [eqn: 10]

[해설]

그림에서 [eqn: rm bar OA ⊥ bar AB], [eqn: rm ∠CAB=45˚]이므로

[eqn: rm ∠OAC=∠AOC=45˚]

∴ [eqn: rm bar OC = root6 over 2]

∴ [eqn: rm bar OA = root{bar OC`^2 + bar AC`^2}= root{ 6 over 4 + 6 over 4 }=root3]

또한, [eqn: rm bar OR =2], [eqn: rm bar OA =root3]이므로 [eqn: rm △OAR]에서

[eqn: rm bar AR =1]

∴ [eqn: rm bar AQ =1], [eqn: rm bar RQ = root2]

[eqn: rm bar OP]와 [eqn: rm bar{AQ}]는 평행하고 [eqn: rm bar OP =2]이므로 아래 그림에서 [eqn: □rm AQPO]는 사다리꼴이다.

∴ [eqn: rm bar PQ =2]

이때, [eqn: rm △AOP]에서

[eqn: rm bar PA = root{bar OP`^2 +bar OA`^2} = root4+3 =root7]

또한, [eqn: rm △APR]에서

[eqn: rm bar PR = root{bar AR`^2 +bar AP`^2 } =root1+7 =root 8]

평면 [eqn: rm PQR]를 평면 [eqn: rm AQPO]에 정사영 시키면 삼각형 [eqn: rm APQ]가 되므로

[eqn: rm △ APQ = 1 over 2 ․1․root3 = root3 over 2]

[eqn: rm △PQR]에서 [eqn: rm ANGLE PQR= alpha]라 하면

[eqn: cos alpha = 4+2-8 over {2․2․root2} = - root2 over 4]

∴ [eqn: sin alpha = root{1- 2 over 16} = root14 over 4]

∴ [eqn: rm △PQR= {1} over {2} `․`2`․` sqrt {2} `․` {sqrt {14}} over {4} = {sqrt {7}} over {2}]

이때, [eqn: rm △PQR CDOT cos theta =△rmAPQ]이므로

[eqn: cos theta = {root3 over 2} over {root7 over 2 }= root3 over root7]

∴ [eqn: cos^2 theta = 3 over 7]

∴ [eqn: p+q=10]

(가) [eqn: angle {rm{QAR}} it =90]

(나) 직선 [eqn: {rm{OP}} it]와 직선 [eqn: {rm{AQ}} it]는 서로 평행하다.

평면 [eqn: {rm{PQR}} it]와 평면 [eqn: {rm{AQPO}} it]가 이루는 각을 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos ^{2} theta={q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 07월 30

그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 위에 [eqn: rm ANGLE A= {pi } over {2}], [eqn: {bar{rm AB it}} = {bar{rm AC it}} =2 sqrt {3} `]인
삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 중심이 점 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인  구가 평면 [eqn: alpha]와 점 [eqn: rmA]에서 접한다. 세 직선 [eqn: rm OA], [eqn: rm OB], [eqn: rmOC]와 구의 교점 중 평면 [eqn: alpha]까지의 거리가 [eqn: 2]보다 큰 점을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rm E], [eqn: rm F]라 하자. 삼각형 [eqn: rmDEF]의 평면 [eqn: rmOBC] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S`]라 할 때, [eqn: 100{S}^{`2}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold15`]

[해설]

[eqn: tan LEFT ( ANGLE rm AOB RIGHT ) = tan LEFT ( ANGLE rm AOC RIGHT ) = sqrt {3}]

[eqn: rm ANGLE AOB= ANGLE AOC= {pi } over {3}]

맞꼭지각의 성질에 의하여

[eqn: rm ANGLE DOE= ANGLE DOF= {pi } over {3}]

[eqn: {bar{rm OD it}} = {bar{rm OE it}} = {bar{rm OF it}} `=2]이므로    [eqn: {bar{rm DE it}} = {bar{rm DF it}} =2]

[eqn: rm {bar{OB}} = {bar{OC}} =4]이므로 삼각형 [eqn: rmOBC`]와 삼각형 [eqn: rmOEF]의 닮음비가 [eqn: 2:1`]이고

[eqn: {bar{rm EF it}} = sqrt {6}]

선분 [eqn: rmEF`]의 중점을 [eqn: rmH]라 하자.

[eqn: rm {bar{DH}} `= {bar{OH}} = {sqrt {10}} over {2}]

그러므로 삼각형 [eqn: rmDEF`]의 넓이 [eqn: S``']은

[eqn: S``'= {1} over {2} TIMES rm {bar{DH}} TIMES {bar{EF}}]

[eqn: = {1} over {2} TIMES {sqrt {10}} over {2} TIMES sqrt {6} `= {sqrt {15}} over {2}]

평면 [eqn: rm OBC]와 평면 [eqn: rmOEF`]는 같은 평면이므로

두 평면 [eqn: rmDEF`]와 [eqn: rmOBC`]가 이루는 예각의 크기는

두 평면 [eqn: rmDEF`]와 [eqn: rmOEF`]가 이루는 예각의 크기와 같다.

두 평면 [eqn: rmDEF`]와 [eqn: rmOEF`]가 이루는 예각의 크기 [eqn: theta]는 두 직선 [eqn: rmDH], [eqn: rmOH]가 이루는 예각의 크기와 같다.

[eqn: rm cos theta = {{bar{DH}} ^{2} `+` {bar{OH}} ^{2} `-` {bar{OD}} ^{2}} over {2 TIMES {bar{DH}} TIMES {bar{OH}}} = {1} over {5}]

삼각형 [eqn: rmDEF`]의 평면 [eqn: rmOBC`]위로의 정사영의 넓이

[eqn: S=S`` prime TIMES `cos` theta = {sqrt {15}} over {10}]

따라서     [eqn: 100S ^{2} =15]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 07월 29

평면 위에 반지름의 길이가 [eqn: 13`]인 원 [eqn: C`]가 있다. 원 [eqn: C] 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]에 대하여 [eqn: rm {bar{AB}} `=24`]이고, 이 평면 위의 점 [eqn: rmP]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold{128]

[해설]

그림과 같이 좌표평면 위의 점 [eqn: rmA`]를 [eqn: rm A` LEFT ( 0,~0RIGHT )],

점 [eqn: rm B`]를 [eqn: rm B` LEFT ( 24,~0RIGHT )], 원 [eqn: C`]의 중심을 [eqn: rm R LEFT ( 12,~5 RIGHT ) `]라 하자.

[eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm AQ it} `][eqn: = vec{rm AP it} BULLET LEFT ( vec{rm AR it} + vec{rm RQ it} RIGHT )]
[eqn: = vec{rm AP it} BULLET vec{rm AR it} + vec{rm AP it} BULLET vec{rm RQ it}]

[eqn: LEFT | rm vec{AP} RIGHT | =5`], [eqn: LEFT | rm vec { AR} RIGHT |=13`], [eqn: LEFT | rm vec{RQ} RIGHT | =13`]이다.

[eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm AR it} `]가 최대인 경우를 구하면

(ⅰ) [eqn: cos` theta =1`]일 때,

점 [eqn: rm P`]가 선분 [eqn: rm AB`]위에 있으므로

[eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm AR it} `][eqn: =LEFT | rm vec{AP} RIGHT |times LEFT | rm vec{AR} RIGHT |times cos rm{ LEFT ( anglePAR RIGHT ) }]
[eqn: =5 TIMES 13 TIMES {12} over {13} =60]

(ⅱ) [eqn: 0<cos` theta <1`]일 때,

[eqn: rm angle P_1 AB = angle P_2 AB= theta`]인 제[eqn: 1`]사분면 위의 점을 [eqn: rmP_1`], 제[eqn: 4`]사분면 위의 점을 [eqn: rm P_2`]라 하자.
[eqn: rm angle P_1 AR < angle P_2 AR]이므로
[eqn: vec{rm AP_1 it} BULLET vec{rm AR it} `][eqn: >vec{rm AP_2 it} BULLET vec{rm AR it} `]
그러므로 제[eqn: 1`]사분면 위의 점 [eqn: rm P`]만 고려하면 된다.
[eqn: angle rm{RAP} = alpha`], [eqn: angle rm{RAB}=beta`]라 하면 [eqn: cos` beta = {12} over {13} `]이고, [eqn: 5`cos` theta `]가 자연수이므로    [eqn: cos` beta >cos` theta `]
따라서 [eqn: beta < theta `]이고 [eqn: cos` theta `]의 값이 [eqn: 4 over 5`]일 때, [eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm AR it} `]가 최댓값을 갖는다. [eqn: alpha = theta - beta`]이므로

[eqn: cos` alpha][eqn: =cos LEFT ( theta - beta RIGHT )]
[eqn: =cos` theta `cos` beta +sin theta `sin beta]
[eqn: = 4over 5 times 12 over13 + 3 over 5 times 5 over13]
[eqn: = 63 over65]

[eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm AR it} `][eqn: = LEFT | rm {vec{AP}} RIGHT | TIMES LEFT | rm {vec{AR}} RIGHT | TIMES cos rm ` alpha]
[eqn: =5 TIMES 13 TIMES {63} over {65} =63]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm AR it} `]가 최대가 되는 [eqn: {vec{rm AP it}} `]에 대하여 [eqn: vec{rm AP it}`]와 [eqn: vec{rm RQ it}`]가 같은 방향일 때, [eqn: {vec{rm AP it}} BULLET {vec{rm RQ it}} `]의 값이 최대이므로 [eqn: {vec{rm AP it}} BULLET {vec{rm RQ it}} `]의 최댓값은 [eqn: 65`]이다. 그러므로

[eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm AQ it} `][eqn: = vec{rm AP it} BULLET vec{rm AR it} + vec{rm AP it} BULLET vec{rm RQ it}]
[eqn: le 63+65 = 128`]

따라서 [eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm AQ it} `]의 최댓값은 [eqn: 128]

(가) [eqn: LEFT | {vec{rm AP it}} RIGHT | =5`]

(나) [eqn: vec{rm AB it}`]와 [eqn: vec{rm AP it} `]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라 할 때, [eqn: 5cos`theta`]는 자연수이다.

원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: {vec{rm AP it}} cdot {vec{rm AQ it}} `]의 최댓값을 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 06월 29

좌표평면에서 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1`]인 원 위의 한 점을 [eqn: rm A,~]중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 3`]인 원 위의 한 점을 [eqn: rm B]라 할 때, 점 [eqn: rm P]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 7]

[해설]

[eqn: rm vec{OB} CDOT vec{OP} =][eqn: rm 3` vec{OA} CDOT vec{OP}]에서

[eqn: rm ( vec{OB} -3 vec{OA} ) CDOT vec{OP} =0]

[eqn: rm 3` vec{OA} = vec{OA prime }`]이 되도록 점 [eqn: rm A prime]을 잡으면 [eqn: rm ( vec{OB} - vec{OA prime } ) CDOT vec{OP} =0]

즉, [eqn: rm vec{A` prime B} ` CDOT vec{OP} =0]

또한 [eqn: rm vec{OA` prime } = vec{OB} =3]이므로 점 [eqn: rm P]는 선분 [eqn: rm A prime B]의 중점을 지나고 선분 [eqn: rm A prime B]에 수직인 직선 위의 점이다.

[eqn: rm LEFT | ` vec{BA} ` RIGHT | ^{2} =][eqn: rm LEFT | ` vec{PA} `- vec{PB} RIGHT | ^{2} =][eqn: rm LEFT | ` vec{PA} ` RIGHT | ^{2} +][eqn: rm LEFT | ` vec{PB} ` RIGHT | ^{2} -][eqn: rm 2` vec{PA`} ` CDOT vec{PB}]에서

[eqn: rm vec{PA`} ` CDOT vec{PB} = {1} over {2}][eqn: rm ( LEFT | ` vec{PA} ` RIGHT | ^{2} +][eqn: rm LEFT | ` vec{PB} ` RIGHT | ^{2} -][eqn: rm LEFT | ` vec{BA} ` RIGHT | ^{2} )=][eqn: rm {1} over {2} (20- LEFT | ` vec{BA} ` RIGHT | ^{2} )]

한편, 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원 위의 한 점 [eqn: rm A]와 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 3]인 원 위의 한 점 [eqn: rm B]에 대하여 [eqn: rm LEFT | ` vec{BA} ` RIGHT |]의 최댓값은 [eqn: 4]이므로 [eqn: rm ` vec{PA`} ` CDOT vec{PB}]의 최솟값은 [eqn: m=2]이다.

이때 [eqn: rm ANGLE A prime OP= ANGLE AOP= ANGLE BOP= {pi } over {2}] 이므로

직각삼각형 [eqn: rm AOP]에서

[eqn: {bar{rm AO}} ^{2} + {bar{rm OP}} ^{2} ={ bar{rm PA} } ^{2}`]	[eqn: cdotscdots`]㉠

직각삼각형 [eqn: rm BOP]에서

[eqn: {bar{rm BO}} ^{2}} + {bar{rm OP}} ^{2} = {bar{rm PB}} ^{2}`]	[eqn: cdotscdots`]㉡

㉠[eqn: rm +]㉡을 하면

[eqn: {bar{rmAO} ^{2} + {bar{rm OP}} ^{2} +2 `{bar{rm OP}} ^{2} = {bar{rm PA}} ^{2} + {bar{rm PB}} ^{2}`]

[eqn: 10+2 {bar{rm OP}} ^{2} =20,~ {bar{rm OP}} ^{2} =5`]

따라서 [eqn: k ^{2} = LEFT | ` vec{rm OP} ` RIGHT | ^{2} = {bar{rm OP}} ^{2} =5`]

[eqn: m+k ^{2} =2+5=7]

(가) [eqn: rm vec{OB} CDOT vec{OP} =][eqn: rm 3 vec{OA} CDOT vec{OP}]

(나) [eqn: rm LEFT | vec{PA} RIGHT | ^{2} +][eqn: rm LEFT | vec{PB} RIGHT | ^{2} =20`]

[eqn: rm vec{PA} CDOT vec{PB}`]의 최솟값은 [eqn: m `]이고 이때 [eqn: rm LEFT | vec{OP} RIGHT | = it k`]이다. [eqn: m+k ^{2}`]의 값을 구하시오.

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: rm 2]인 정삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]와 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]이고 선분 [eqn: {rm{AB}} it]와 직선 [eqn: {rm{BC}} it]에 동시에 접하는 원 [eqn: O]가 있다. 원 [eqn: O] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]와 선분 [eqn: {rm{BC}} it] 위의 점 [eqn: {rm{Q}} it]에 대하여 [eqn: {vec{{rm{AP}} it }} BULLET {vec{{rm{AQ}} it }}]의 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: a+b sqrt{3}]이다. [eqn: a^{2}+b^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이고, 원 [eqn: O]의 중심은 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 외부에 있다.)

[정답] [eqn: 40]

[해설]

원의 중심을 [eqn: {rm{O}} it]라 하면

[eqn: {vec{{rm{AP}} it }}={vec{{rm{AO}} it }}+{vec{{rm{OP}} it }}]이므로

[eqn: {vec{{rm{AP}} it }} BULLET {vec{{rm{AQ}} it }}=({vec{{rm{AO}} it }}+{vec{{rm{OP}} it }}) BULLET {vec{{rm{AQ}} it }}={vec{{rm{AO}} it }} BULLET {vec{{rm{AQ}} it }}+{vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{AQ}} it }}]

여기서 [eqn: {vec{{rm{AO}} it }} BULLET {vec{{rm{AC}} it }} leq {vec{{rm{AO}} it }} BULLET {vec{{rm{AQ}} it }} leq {vec{{rm{AO}} it }} BULLET {vec{{rm{AB}} it }}]

그림에서 [eqn: overline{{rm{BM}} it }={1} over { sqrt{3}}], [eqn: overline{{rm{OD}} it }={ sqrt{3}+1} over { sqrt{3}}],

[eqn: {vec{{rm{AD}} it }}= sqrt{3}-1]이므로

[eqn: {vec{{rm{AO}} it }}= left(-{ sqrt{3}+1} over { sqrt{3}},`` 1- sqrt{3} right)]

[eqn: {vec{{rm{AB}} it }}=(-1,``- sqrt{3})], [eqn: {vec{{rm{AC}} it }}=(1,``- sqrt{3})]

[eqn: {vec{{rm{AO}} it }} BULLET {vec{{rm{AC}} it }}=2-{4} over {3} sqrt{3}], [eqn: {vec{{rm{AO}} it }} BULLET {vec{{rm{AB}} it }}=4-{2} over {3} sqrt{3}]

또, [eqn: {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{AQ}} it }}=|{vec{{rm{AQ}} it }}| cos theta]이므로 [eqn: -2 leq {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{AQ}} it }} leq 2]

따라서 최댓값은 [eqn: left(4-{2} over {3} sqrt{3} right)+2=6-{2} over {3} sqrt{3}]

최솟값은 [eqn: left(2-{4} over {3} sqrt{3} right)-2=-{4} over {3} sqrt{3}]

이므로 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: a+b sqrt{3}=6-2 sqrt{3}]

[eqn: therefore~a^{2}+b^{2}=36+4=40]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 29

좌표평면에서 넓이가 [eqn: 9]인 삼각형 [eqn: rmABC]의 세 변 [eqn: rmAB], [eqn: rmBC], [eqn: rmCA] 위를 움직이는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]라 할 때,

[정답] [eqn: 53`]

[해설]

두 선분 [eqn: rmAB`,~AC`]의 중점을 각각 [eqn: rmM`,~N`]이라 하고, 두 선분 [eqn: rmAM`,~AN`,~MN`]의 중점을 각각 [eqn: rmD`,~E,~F`]라 하자. 또, 두 선분 [eqn: rmMB`,~NC`]의 중점을 각각 [eqn: rmG`,~L`]이라 하자.

이때 [eqn: rmvecAS`=` { 1} over { 4}`vecAP`+` { 1} over {4 }`vecAR`]라 하면 점 [eqn: rmS`]는 위 그림의 평행사변형 [eqn: rmADFE`]의 내부(경계선 포함)에 있다.

또, 점 [eqn: rmQ`]가 점 [eqn: rmB`]에 있으면 [eqn: rmvecAX`=vecAS`+`vecAM`]이므로

점 [eqn: rmX`]는 위 그림의 평행사변형 [eqn: rmMGHI`]의 내부(경계선 포함)에 있다.

마찬가지로 점 [eqn: rmQ`]가 점 [eqn: rmC`]에 있으면

[eqn: rmvecAX`=vecAS`+`vecAN`]이므로 점 [eqn: rmX`]는 위 그림의 평행사변형 [eqn: rmNJKL`]의 내부(경계선 포함)에 있다.

한편, [eqn: rmvecAT`= { 1} over {2 }`vecAQ`]라 하면 점 [eqn: rmT`]는 선분 [eqn: rmMN`]위를 움직이므로 점 [eqn: rmX`]가 나타내는 영역은 위 그림의 육각형 [eqn: rmMGHKLN`]의 내부(경계선 포함)에 있다.

이때 삼각형 [eqn: rmAMN`]의 넓이는 [eqn: { 9} over { 4}`]이고, 두 삼각형 [eqn: rmGBH`,~LKC`]의 넓이는 각각 [eqn: { 9} over {16 }]이므로 구하는 넓이는

[eqn: 9- {9} over {4} -2 TIMES ` {9} over {16} `=` {45} over {8}]

따라서 [eqn: p=8`,~q=45`]이므로 [eqn: p+q=`53`]

[다른 풀이]

세 변 [eqn: rmAB`,~BC,~CA`]의 중점을 각각 [eqn: rmM`,~K`,~N`]이라 하자.

또한,

[eqn: rmvecAD`=` { 1} over {2 } LEFT ( `vecAP`+`vecAR` RIGHT )`=` { 1} over { 2}`vecAP`+` { 1} over {2 }`vecAR`][eqn: cdotscdots㉠]

라 하면 [eqn: rmvecAD`]는 선분 [eqn: rmAM`,~AN`]위의 두 점을 [eqn: rmP`'`,``~R`'`]이라 할 때,

[eqn: rmvecAD`=`vecAP`'`+`vecAR'`]

이므로 ㉠이 나타내는 점 [eqn: rmD`]는 그림과 같이 빗금친 평행사변형의 내부(경계선 포함)에 있다.

[eqn: rmvecAX`= { 1} over { 4}` LEFT ( `vecAP`+`vecAR` RIGHT )`+` { 1} over { 2}`vecAQ]

[eqn: =rm{ 1} over { 2}` LEFT { {1 } over {2 }` LEFT ( `vecAP`+`vecAR` RIGHT ) RIGHT }`+` { 1} over { 2}`vecAQ`]

[eqn: ={ 1} over {2 }rmvecAD`+` { 1} over {2 }`vecAQ`]

[eqn: =rm { vecAD`+`vecAQ} over { 2}]
따라서 점 [eqn: rmX`]는 선분 [eqn: rmDQ`]의 중점이다.

이때 점 [eqn: rmQ`]가 [eqn: rmB`]에 있을 경우 세 선분 [eqn: rmBM`,~BK,~MK`]의 중점을 각각 [eqn: rmI`,~J`,~L`]이라 하면 점 [eqn: rmX`]가 존재하는 영역은 그림과 같다.

따라서 점 [eqn: rmQ`]가 변 [eqn: rmBC`]위를 움직이므로 두 변 [eqn: rmCN`,~CL`]의 중점을

각각 [eqn: rmE`,~F`]라 하면 위의 빗금친 영역 [eqn: rmIJLM`]이 움직이는 영역이 점 [eqn: rmX`]가 존재하는 영역으로 다음 그림과 같다.

이때, 삼각형 [eqn: rm MKN`]의 넓이는

[eqn: 9` TIMES` { 1} over {4 }`=` { 9} over { 4}]

사각형 [eqn: rmIJLM`]의 넓이는

[eqn: { 9} over {4 }- { 9} over {4 } TIMES { 1} over { 4}`=` { 27} over {16 }]

사각형 [eqn: rmLFEN`]의 넓이도 [eqn: { 27} over {16 }]이므로 구하고자 하는 점 [eqn: rmX`]가 나타내는 영역의 넓이는

[eqn: { 9} over { 4}+`2` TIMES` { 27} over {16 }`=` { 45} over { 8}]

즉, [eqn: p=8,~q=45`]이므로 [eqn: p+q=`53`]

[eqn: rm vecAX = 1over 4 LEFT ( vecAP + vecAR RIGHT ) + 1 over 2 vecAQ]

를 만족시키는 점 [eqn: rmX]가 나타내는 영역의 넓이가 [eqn: q over p]이다.

[eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 29

좌표평면 위에 [eqn: rm bar AB = 5 `]인 두 점 [eqn: RM A, ~ B`]를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 5`]인 두 원을 각각 [eqn: O_1 ,~ O_2`]라 하자. 원 [eqn: O_1 `] 위의 점 [eqn: \C`]와 원 [eqn: O_2 `] 위의 점 [eqn: \D`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold{ 31]

[해설]

그림과 같이 점 [eqn: rmA]를 원점으로 하는 좌표평면을 생각하자.

조건 (가)에 의해 점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: {rmC}(3,~4)]가 된다.

두 점 [eqn: rmC,~D]에서 [eqn: x]에 내린 수선을 발을 각각 [eqn: rmC prime,~D prime]이라 하면

조건 (나)에 의해 선분 [eqn: rmC prime`D prime]의 길이는 [eqn: 6]이 된다.

또한, [eqn: left|vec{rmCD}right|<9]이므로 점 [eqn: rmD]의 [eqn: y]좌표는 양수가 되어야 하므로 점 [eqn: rmD]의 좌표는 [eqn: {rmD}(9,~3)]이 된다.

선분 [eqn: rmCD]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면 점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: rmM left(6,~{7}over{2}right)]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: {root{37}}over{2}]인 원 위의 점이므로 점 [eqn: rmP]좌표는 [eqn: {rmP}left(6+{root{37}}over{2}`cos`theta,~{7}over{2}+{root{37}}over{2}`sintheta right)]와 같이 잡을 수 있다.

[eqn: {rmA}(0,~0),~{rmB}(5,~0)]이므로

[eqn: {vec{rm PA it}} cdot {vec{rm PB it}}]

[eqn: = {vec{rm AP it}} cdot {vec{rm BP it}}]

[eqn: = LEFT ( 6+ {sqrt {37}} over {2} `cos` theta ,~ {7} over {2} + {sqrt {37}} over {2} `sin theta RIGHT )cdot LEFT ( 1+ {sqrt {37}} over {2} `cos` theta ,~ {7} over {2} + {sqrt {37}} over {2} `sin theta RIGHT )]

[eqn: =LEFT ( 6+ {sqrt {37}} over {2} `cos` theta right)LEFT ( 1+ {sqrt {37}} over {2} `cos` theta right)+left( {7} over {2} + {sqrt {37}} over {2} `sin theta RIGHT )^{2}]

[eqn: ={55}over{2}+{7root{37}}over{2}left(cos`theta+sintheta)]

[eqn: = {55} over {2} + {7 sqrt {74}} over {2} `sin left(theta+{pi}over{4}right )]

[eqn: le {55} over {2} + {7 sqrt {74}} over {2}]

따라서 [eqn: a={55}over{2},~b={7}over{2}]이고 구하는 값은 [eqn: a+b={55}over{2}+{7}over{2}=31]이다.

(가) [eqn: cos left( angle rmCAB right) = 3 over 5]

(나) [eqn: rm{ vecAB cdot vec CD = 30 `]이고 [eqn: rm |vec CD | < 9 `]이다.

선분 [eqn: rm CD `]를 지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: \P`]에 대하여 [eqn: rm vec PA cdot vec PB`]의 최댓값이 [eqn: a+ b root 74 `]이다. [eqn: a+ b `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,~ b `]는 유리수이다.)

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 07월 29

그림과 같이 평면 위에 [eqn: {bar{rm OA it}} =2 sqrt {11}`]을 만족하는 두 점 [eqn: rmO`], [eqn: rmA`]와 점 [eqn: rmO`]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 [eqn: sqrt {5}`], [eqn: sqrt {14}`]인 두 원 [eqn: C_{`1}`], [eqn: C_{`2}`]가 있다. 원 [eqn: C_{`1}] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]와 원 [eqn: C_{`2}] 위의 점 [eqn: rmR`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 486]

[해설]

조건 (가)에 의하여 세 점 [eqn: rmP`,~Q`,~R`]는 한 직선 위에 있고, 조건 (나)에 의하여 직선 [eqn: rm AR`]와 직선 [eqn: RM PQ`]는 수직이므로 [eqn: {bar{rm AR it}} BOT {bar{rm PR it}} `]이다. 점 [eqn: rm O`]에서 선분 [eqn: rm PQ`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하자.

[eqn: {bar{rm OH it}} =a`], [eqn: {bar{rm HP it}} = {bar{rm HQ it}} =b`], [eqn: {bar{rm QR it}} =c`]라 하면

[eqn: {bar{rm AR it}} = sqrt {6} b`]

삼각형 [eqn: rm OHQ`]는 직각삼각형이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =5`]	[eqn: CDOTS CDOTS㉠]

삼각형 [eqn: rm OHR`]는 직각삼각형이므로

[eqn: a ^{2} + LEFT ( b+c RIGHT ) ^{2} =14`]	[eqn: CDOTS CDOTS㉡`]

점 [eqn: rm O`]에서 선분 [eqn: rm AR`]의 연장선에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I`]라 하면

[eqn: {bar{rm OI it}} = {bar{rm HR it}} =b+c`], [eqn: {bar{rm IA it}} =a+ sqrt {6} b`]이므로

삼각형 [eqn: rm AIO`]에서

[eqn: LEFT ( a+ sqrt {6} b RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b+c RIGHT ) ^{2} =44`]	[eqn: CDOTS CDOTS㉢]

㉡과 ㉢에서

[eqn: 2 sqrt {6} ab+6b ^{2} =30`]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉣]

㉠과 ㉣에서

[eqn: 6a ^{2} -2 sqrt {6} ab=0]

[eqn: a=0] 또는 [eqn: a= {sqrt {6}} over {3} b`]

세 점 [eqn: rmO`], [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]가 한 직선 위에 있지 않으므로 [eqn: a != 0`]이고 [eqn: a= {sqrt {6}} over {3} b`]

[eqn: a= sqrt {2}`], [eqn: b= sqrt {3}`]

[eqn: {bar{rm PQ it}} =2 sqrt {3}`], [eqn: {bar{rm AR it}} =3 sqrt {2}`]이고 원 [eqn: C_{`1}] 위의 점 [eqn: rm S`]에 대하여

[eqn: {vec{rm AR it}} BULLET {vec{rm AS it}][eqn: =` {vec{rm AR it}} BULLET LEFT ( {vec{rm AO it}} + {vec{rm OS it}} RIGHT )][eqn: = {vec{rm AR it}} BULLET {vec{rm AO it}} + {vec{rm AR it}} BULLET {vec{rm OS it}}]

[eqn: {vec{rm AR it}} BULLET {vec{rm AO it}} = LEFT | {vec{rm AR it}} RIGHT | LEFT | {vec{rm AI it}} RIGHT | =3 sqrt {2} TIMES 4 sqrt {2} =24`]

[eqn: {vec{rm AR it}} `]와 [eqn: {vec{rm OS it}} `]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta `]라 하자.

[eqn: {vec{rm AR it}} BULLET {vec{rm OS it}} ``][eqn: = LEFT | {vec{rm AR it}} RIGHT | LEFT | {vec{rm OS it}} RIGHT | cos theta `]
[eqn: =3 sqrt {2} ` TIMES sqrt {5} TIMES cos` theta`]이므로

[eqn: {vec{rm AR it}} BULLET {vec{rm OS it}} `]는 [eqn: cos theta =1`]일 때 최댓값을 갖고 [eqn: cos theta =-1`]일 때 최솟값을 가지므로

[eqn: -3 sqrt {10} LEQ {vec{rm AR it}} BULLET {vec{rm OS it}} LEQ 3 sqrt {10}`]

[eqn: 24-3 sqrt {10} ` LEQ {vec{rm AR it}} BULLET {vec{rm AS it}} ` LEQ `24+3 sqrt {10}]

[eqn: M=24+3 sqrt {10} `], [eqn: m=24-3 sqrt {10} `]

[eqn: Mm= LEFT ( 24+3 sqrt {10} RIGHT ) TIMES LEFT ( 24-3 sqrt {10} RIGHT ) =486]

(가) 양수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: {vec{rmPQ}} = it k` {vec{rm QR it}}]

(나) [eqn: {vec{rm PQ it}} BULLET{vec{rm AR it}} =0`]이고 [eqn: rm {bar{rm PQ}} : {bar{rm AR}} =2: sqrt {6}]

원 [eqn: C_{`1}] 위의 점 [eqn: rmS`]에 대하여 [eqn: vec{rmAR}bulletvec{rmAS}`]의 최댓값을 [eqn: M`], 최솟값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: {M`m}`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: pi over 2 < anglerm ORA < pi `])

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 06월 29

좌표평면에서 곡선

[정답] [eqn: bold { 24 }]

[해설]

[eqn: y=sqrt8-x^2][eqn: (2 le x le 2sqrt2 )]의 그래프는 원점을 중심으로 하고 반지름이 [eqn: 2sqrt2]인 원의 일부이다.

[eqn: {rm vec OX }= t {rm vec OP} ,```` {rmvec OY} = s {rmvec OQ}][eqn: (0 le s le 1 ,```` 0 le t le 1)]라고 하면

[eqn: {rmvec OZ} = {rm vec OP} + {rm vec OX} + {rm vec OY} = (1+t) {rm vec OP} + s {rm vec OQ]

이때, [eqn: rm vec OP ,```` vec OQ]의 [eqn: x]성분이 음이 아닌 실수이므로 점 [eqn: rmZ]에서 [eqn: y]축까지의 거리가 최소가 되려면 [eqn: t=s=0]이 되어야 한다.

또한 [eqn: rm vec OZ = vec OP]에서 [eqn: rmP(2 ,```` 2)]일 때 [eqn: rm vec OZ]의 [eqn: x]좌표가 최소가 되므로	[eqn: therefore][eqn: rm R(2 ,```` 2)]

따라서 [eqn: {rmvec OR} BULLET{rmvec OZ}]의 값을 구하면

[eqn: {rmvec OR} BULLET{rmvec OZ}][eqn: = {rmvec OR} BULLETleft( (1+t) {rm vec OP} + s {rm vec OQ} right)]
[eqn: = (1+t) {rm vec OR} BULLET {rm vec OP} +s {rm vec OR } BULLET {rm vec OQ}]

이고 [eqn: rm vec OR BULLET vec OP ge 0 ,```` rm vec OR BULLET vec OQ ge 0]이므로 [eqn: s=t=1]일 때 [eqn: {rmvec OR} BULLET{rmvec OZ}]의 값이 최대, [eqn: s=t=0]일 때, [eqn: {rmvec OR} BULLET{rmvec OZ}]의 값이 최소가 된다.

따라서 [eqn: rm vec OP]가 [eqn: x]축 양의 방향과 이루는 각을 [eqn: theta]라 하면

[eqn: rm vec OP = (2sqrt2 cos theta ,```` 2sqrt2 sin theta )][eqn: left(0 le theta le { pi} over { 4} right)]

[eqn: rm vec OQ][eqn: = left(2 cos left(theta- { pi} over {4 } right) ,```` 2sin left( theta - { pi} over { 4} right)right)]
[eqn: = (sqrt2 ` costheta + sqrt2 ` sin theta ,```` sqrt2 `sintheta - sqrt2 ` cos theta )]

(ⅰ) [eqn: {rmvec OR} BULLET{rmvec OZ}]이 최댓값을 갖는 경우

[eqn: rm {vec{OR}} it bullet LEFT ( 2 rm {vec{OP}} it + rm {vec{OQ}} it RIGHT )]

[eqn: = 12 sqrt {2} `sin theta +8 sqrt {2} ` cos theta]

[eqn: =4sqrt2 (3sintheta + 2cos theta)]

[eqn: = 4sqrt26 ` sin(theta + alpha)][eqn: left(0 le theta le { pi} over { 4} right)]

[eqn: pile{ `#` }right(]단, [eqn: alpha]는 [eqn: cos alpha = { 3} over { sqrt13} ,```` 0<alpha < { pi} over { 4} right)]

즉, [eqn: {rmvec OR} BULLET{rmvec OZ}]가 최대가 되려면 [eqn: theta= { pi} over { 4}]일 때이므로

[eqn: {rmvec OR} BULLET{rmvec OZ}][eqn: =4sqrt2 left (3sin pi over 4 + 2cos pi over 4 right)]
[eqn: =4root2 cdot {5root2 } over 2]
[eqn: =][eqn: 20]

따라서 (최댓값)[eqn: =20]

(ⅱ) [eqn: {rmvec OR} BULLET{rmvec OZ}]이 최솟값을 갖는 경우
마찬가지로 내적값이 최소가 될 때의 식은

[eqn: rm {vec{OR}} bullet {vec{OP}}][eqn: =4 sqrt {2} ` cos theta +4 sqrt {2} ` sin theta]
[eqn: =8cos LEFT ( theta - {pi } over {4} RIGHT )][eqn: LEFT ( 0 LEQ theta LEQ {pi } over {4} RIGHT )]

[eqn: {rmvec OR} BULLET{rmvec OZ}]이 최소가 되려면 [eqn: theta = 0]일 때이므로

[eqn: {rmvec OR} BULLET{rmvec OZ}][eqn: =8cos LEFT ( - {pi } over {4} RIGHT )]
[eqn: = 8 cdot root2 over 2]
[eqn: =][eqn: 4sqrt2]

따라서 (최솟값)[eqn: =4sqrt2]

(ⅰ), (ⅱ)에서 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 20+4 sqrt2]

[eqn: therefore][eqn: a=20 ,````b=4]

[eqn: THEREFORE ```` a+b= 20+4 =24]

[eqn: {C ``:`` y= sqrt {8-x ^{2}}}{{from^2019^06^평가원고3가^중}}] ([eqn: 2 le x le 2 sqrt { 2}])

위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmbarOQ =2], [eqn: rmanglePOQ= { pi} over { 4}]를 만족시키고 직선 [eqn: rmOP]의 아랫부분에 있는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 곡선 [eqn: C]위를 움직일 때, 선분 [eqn: rmOP]위를 움직이는 점 [eqn: rmX]와 선분 [eqn: rmOQ]위를 움직이는 점 [eqn: rmY]에 대하여

[eqn: rmvecOZ =vecOP +vecOX +vecOY]

를 만족시키는 점 [eqn: rmZ]가 나타내는 영역을 [eqn: D]라 하자. 영역 [eqn: D]에 속하는 점 중에서 [eqn: y]축과의 거리가 최소인 점을 [eqn: rmR]라 할 때, 영역 [eqn: D]에 속하는 점 [eqn: rmZ]에 대하여 [eqn: rmvecOR bullet vecOZ]의 최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: a+b sqrt { 2}]이다. [eqn: a+b]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: a]와 [eqn: b]는 유리수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 30

좌표평면 위의 두 점 [eqn: {rmA(6 ,```` 0)}{{from^2021^7월 사관학교^중}}], [eqn: rmB(6 ,```` 5)]와 음이 아는 실수 [eqn: k]에 대하여 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold37]

[해설]

(가) [eqn: vec{rmOP} = it k ( vec{ rmOA} + vec{ rmOB} ) = it k (12,````5)]이므로 [eqn: vec {rmOP}]는 [eqn: (12, ````5)]와 평행한 벡터이다. [eqn: vec { rmOP} bullet vec{ rmOA} leq 21]에서 내적의 정의에서 시점을 일치시키고 다른 벡터에 정사영한 선분의 길이의 곱을 의미하는 것이므로 [eqn: vec{ rmOA}]의 크기가 [eqn: 6]이므로 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 7over 2]를 넘을 수 없다.

(나) [eqn: left |``vec{ rmAQ}`` right| = left| ``vec{ rmAB}`` right| = 5] 즉, 점 [eqn: rmQ]는 중심을 [eqn: rmA]로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 원 위의 점이다. [eqn: vec { rmOQ} bullet vec{ rmOA} leq 21]에서 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 7over 2]를 넘을 수 없다.

[eqn: rm vec{ OX} = vec{ rmOP} + vec {rmOQ}]에서 변수는 [eqn: x]좌표만 움직일 수 있으므로 넓이는 평행이동하여 잘라 붙이면 직사각형 모양으로 된다.

이때 [eqn: rmQ]의 [eqn: y]좌표의 폭이 높이가 될 수 있으며, [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표의 변화는 [eqn: 0]에서 [eqn: 7 over 2]이므로 가로의 길이는 [eqn: 7 over 2]이다.

중심이 [eqn: (6,```0)]이고 반지름이 [eqn: 5]인 원에서 [eqn: y]값의 변화가 가장 큰 값은 [eqn: x= 7 over 2]일 때이므로

[eqn: left( 7 over 2 -6 right)^{2} +y^{2} = 25], [eqn: y^{2} = 25 - 25 over 4]

[eqn: y^{2} = 75 over 4 ,````y= +- {5 root3} over 2]

그러므로 세로의 길이는 [eqn: 5root3]이다.

따라서 도형의 넓이는 [eqn: 5root3 times 7 over 2 = 35 over 2 root3]

즉, [eqn: p=2 ,````q=35]이므로 [eqn: p+q = 35+2 =37]

(가) [eqn: vec{rmOP} = k(vec{rmOA}+vec{rmOB})]이고 [eqn: vec{rmOP}BULLET vec{rmOA} le 21]이다.

(나) [eqn: left |`` vec{rmAQ}``right | = left |`` vec{rmAB}``right |]이고 [eqn: vec{rmOQ}BULLET vec{rmOA} le 21]

[eqn: vec{rmOX} =vec{rmOP} + vec{rmOQ}]를 만족시키는 점 [eqn: rmX]가 나타내는 도형의 넓이는 [eqn: q overp sqrt3]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 30

좌표평면 위의 네 점 [eqn: rmA LEFT ( 2 ,```` 0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 0 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: rm LEFT ( -2 ,```` 0 RIGHT )], [eqn: rmD LEFT ( 0 ,```` -2 RIGHT )]를 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rmABCD]의 네 변 위의 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 48 }]

[해설]

(가)에서 [eqn: LEFT ( rm vec{PQ} bullet vec{AB} RIGHT ) LEFT ( rm vec{PQ} bullet vec{AD} RIGHT ) =0]이므로

[eqn: rm vec{PQ} bullet vec{AB} =0] 또는 [eqn: rm vec{PQ} bullet vec{AD} =0]

즉, [eqn: rm vec{PQ} BOT vecAB] 또는 [eqn: rm vec{PQ} BOT vec{AD}]

(ⅰ) [eqn: rm vec{PQ} BOT vecAB]일 때,

(나)조건에서 [eqn: rm vec{OB} bullet vec{OP} GEQ 0]이므로 그림과 같이 점 [eqn: rm P]는 선분 [eqn: rm bar AB]위에 있고 점 [eqn: rm Q]는 선분 [eqn: rm barCD] 위에 있어야 한다.
또, [eqn: rm vec{OA}]와 [eqn: rm vecOP]가 이루는 각이 예각이므로
[eqn: rm vec{OA} bullet vec{OP} GEQ 0] (조건에 적합)
따라서 점 [eqn: rmQ]가 선분 [eqn: rmbarCD]위에 있으므로 점 [eqn: rmQ]를 [eqn: rm vec{OQ}= LEFT ( it t ,```` -t-2 RIGHT )] (단, [eqn: -2 le t le 0])로 두면

[eqn: rm vec{OA} bullet vec{OQ}][eqn: = LEFT ( 2 ,```` 0 RIGHT ) bullet LEFT ( t ,```` -t-2 RIGHT )]
[eqn: =2t ge -2]

즉. [eqn: t ge-1]이므로 [eqn: -1 le t le 0]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이 때, (다)조건에서 [eqn: rm vec{OB} bullet vec{OQ} le0]이고, 점 [eqn: rmP ,```` Q]는 [eqn: y=-x]에 대칭이므로 [eqn: rm vec{OQ}= LEFT ( it t ,```` -t-2 RIGHT )]에서
[eqn: rm vec{OP} =it LEFT ( t+2 ,```` -t RIGHT )]
따라서 [eqn: vec{rmRP}=it LEFT ( t-2 ,```` -t-4 RIGHT )], [eqn: vec{rm RQ it} = it LEFT ( t-4 ,```` -t-6 RIGHT )]이다.

[eqn: vec{rm RP } bullet rm vecRQ][eqn: = LEFT ( t-2 ,```` -t-4 RIGHT ) bullet LEFT ( t-4 ,```` -t-6 RIGHT )]
[eqn: =2t^2 +4t+32]
[eqn: =2 LEFT ( t+1 RIGHT )^2 +30]

㉠에서 [eqn: -1 le t le 0]이므로 [eqn: t=0]일 때, 즉 점 [eqn: rmP (2 ,```` 0) ,```` Q LEFT ( 0 ,```` -2 RIGHT )]일 때, 최댓값 [eqn: M= 32]을 가지고,
[eqn: t=-1]일 때, 즉 점 [eqn: rm P(1 ,```` 1) ,```` Q LEFT ( -1 ,```` -1 RIGHT )]일 때, 최솟값 [eqn: m=30]을 가진다.

(ⅱ) [eqn: rm vec{PQ} BOT vec{AD}]일 때,

(ⅰ)과 동일한 방법으로 하면 [eqn: rm vec{OB} bullet vec{OP} GEQ 0]이므로 점 [eqn: rm P]는 선분 [eqn: rm bar{BC}]위에 있고 점 [eqn: rm Q]는 선분 [eqn: rm bar{AD}] 위에 있어야 한다.
또, [eqn: rm vec{OB}]와 [eqn: rm vecOP]가 이루는 각이 예각이므로
[eqn: rm vec{OB} bullet vec{OP} GEQ 0] (조건에 적합)
점 [eqn: rm P]가 선분 [eqn: rm bar{BC}] 위에 있으므로 점 [eqn: rm P]는 [eqn: rm vec{OP} = LEFT ( it t ,```` t+2 RIGHT )] (단, [eqn: -2 le t le 0])로 두면

[eqn: rm vec{OA} bullet vec{OQ}][eqn: = LEFT ( 2 ,```` 0 RIGHT ) bullet LEFT ( t ,```` t+2 RIGHT )]
[eqn: =2t GEQ -2]

즉, [eqn: t ge-1]이므로 [eqn: -1 le t le 0]	[eqn: cdotscdots] ㉡
이 때, [eqn: rm vec{OA} bullet vec{OQ} ge0]이고, 점 [eqn: rmP ,```` Q]는 [eqn: y=x]에 대칭이므로
[eqn: rm vec{OP} = LEFT ( it t ,```` t+2 RIGHT )]에서 [eqn: rm vec{OQ} = it LEFT ( t ,```` t+2 RIGHT )]
따라서 [eqn: vec{rm RP it} = it LEFT ( t-4 ,```` t-2 RIGHT )], [eqn: vec{rm RQ it} = it LEFT ( t-2 ,```` t-4 RIGHT )]이다.

[eqn: vec{rm RP } bullet rm vecRQ][eqn: = LEFT ( t-4 ,```` t-2 RIGHT ) bullet LEFT ( t-2 ,```` t-4 RIGHT )]
[eqn: =2(t-3) ^{2} -2]

그런데, ㉡에서 [eqn: -1 le t le 0]이므로 [eqn: t=0]일 때, 즉 점 [eqn: rm P(0 ,```` 2) ,```` Q LEFT ( 2 ,```` 0 RIGHT )]일 때, 최솟값 [eqn: m=16]을 가지고,
[eqn: t=-1]일 때, 즉 점 [eqn: rm P(-1 ,```` 1) ,```` Q LEFT ( 1 ,```` -1 RIGHT )]일 때, 최댓값 [eqn: M=32]을 가진다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 최댓값 [eqn: M=32], 최솟값 [eqn: m=16]이므로

[eqn: THEREFORE ```` M+m=48]

(가) [eqn: LEFT ( {vec{rmPQ}} BULLET {vec{rmAB}} RIGHT ) LEFT ( {vec{rmPQ}} BULLET {vec{rmAD}} RIGHT ) =0]

(나) [eqn: {vec{rm OA}} BULLET {vec{rm OP}} GEQ it-2]이고 [eqn: {vec{rmOB}} BULLET {vec{rmOP}} GEQ 0]이다.

(다) [eqn: {vec{rmOA}} BULLET {vec{rmOQ}} GEQ it-2]이고 [eqn: {vec{rmOB}} BULLET {vec{rmOQ}} LEQ 0]이다.

점 [eqn: rmR LEFT ( 4 ,```` 4 RIGHT )]에 대하여 [eqn: {vec{rmRP}} BULLET {vec{rm RQ}}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 30

좌표평면에서 세 점 [eqn: {rm A LEFT ( -3 ,```` 1 RIGHT ) ,```` rm B LEFT ( 0 ,```` 2 RIGHT ) ,```` rm C LEFT ( 1 ,```` 0 RIGHT )}{{from^2021^09^평가원^중}}]에 대하여 두 점 [eqn: RMP ,```` Q]가

[정답] [eqn: bold { 45 }]

[해설]

[eqn: left |`` {vec{rm AP}} ``right | =1]이므로 점 [eqn: RMP]는 중심이 [eqn: rm A LEFT ( -3 ,```` 1 RIGHT )]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의 점이다.

또, [eqn: left |`` {vec{rm BQ}} ``right | =2]이므로 점 [eqn: RMQ]는 중심이 [eqn: rm B LEFT ( 0 ,```` 2 RIGHT )]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 위의 점이다.

[eqn: {vec{rm AP}} BULLET {vec{rm OC}} GEQ {sqrt {2}} over {2}]에서 두 벡터 [eqn: {vec{rm AP}} ,```` {vec{rm OC}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: left |`` {vec{rm AP}} ``right | left |`` {vec{rm OC}} ``right | cos theta GEQ {sqrt {2}} over {2}]

즉, [eqn: cos theta GEQ {sqrt {2}} over {2}]이므로 [eqn: - {pi } over {4} LEQ theta LEQ {pi } over {4}]

그러므로 점 [eqn: rmP]를 나타내면 그림과 같다.

또, 두 벡터 [eqn: {vec{rm AP}} ,```` {vec{rm AQ}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta ']이라 하면

[eqn: {vec{rm AP}} BULLET {vec{rm AQ}}][eqn: = left |`` {vec{rm AP}} ``right | left |`` {vec{rm AQ}} ``right | cos theta ']
[eqn: = left |`` {vec{rm AQ}} ``right | cos theta ']

그러므로 이 값이 최소이기 위해서는 점 [eqn: RMP]는 [eqn: RMA]를 지나고 직선의 기울기가 [eqn: -1]인 직선 위의 점이어야 하고, 점 [eqn: RMQ]는 이 직선과 수직이면서 원 [eqn: x ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} =4]에 접하는 점 중 제 [eqn: 2]사분면의 점이어야 한다.

한편,□[eqn: {vec{rm BX}} BULLET {vec{rm BQ _{0}}} GEQ 1]에서 두 벡터 [eqn: {vec{rm BX}} ,```` {vec{rm BQ _{0}}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta '']이라 하면 [eqn: left |`` {vec{rm BX}} ``right | left |`` {vec{rm BQ _{0}}} ``right | cos theta '' GEQ 1]

즉, [eqn: 2 left |`` {vec{rm BX}} ``right | cos theta '' GEQ 1]이므로 [eqn: left |`` {vec{rm BX}} ``right | cos theta '' GEQ {1} over {2}]

그러므로 선분 [eqn: RMBQ _{0}]위의 점 [eqn: RMD]를 [eqn: {bar{rm BD}} = {1} over {2}]이 되도록 잡은 후, 점 [eqn: RMD]에서 점 [eqn: RMA]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선에 내린 수선의 발을 [eqn: RMD']이라 하면 점 [eqn: RMX]는 선분 [eqn: RMAD'] 위의 점이다.

따라서 [eqn: left |`` {vec{rm Q _{0} X}} ``right |]의 최댓값은 [eqn: RMX]가 [eqn: RMD']일 때 가지므로 [eqn: left |`` {vec{rm Q _{0} X}} ``right | ^{2}]의 최댓값은

[eqn: {bar{rm Q _{0} D'}} ^{ 2}][eqn: = {bar{rm Q _{0} D}} ^{ 2} + {bar{rm DD'}} ^{ 2}]
[eqn: = LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = {9} over {4} +8][eqn: = {41} over {4}]

따라서 [eqn: p =4 ,````q=41]이므로 [eqn: p+q=4+41=45]

[eqn: left |`` {vec{rm AP}} ``right | =1 ,```` left |`` {vec{rm BQ}} ``right | =2 ,```` {vec{rm AP}} BULLET {vec{rm OC}} GEQ {sqrt {2}} over {2}]

를 만족시킬 때, [eqn: {vec{rm AP}} BULLET {vec{rm AQ}}]의 값이 최소가 되도록 하는 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]를 각각 [eqn: RMP _{0} ,```` Q _{0}]이라 하자.

선분 [eqn: RMAP _{0}] 위의 점 [eqn: RMX]에 대하여 [eqn: {vec{rm BX}} BULLET {vec{rm BQ _{0}}} GEQ 1]일 때, [eqn: left |`` {vec{rm Q _{0} X}} ``right | ^{2}]의 최댓값은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 30

평면 위에

[정답] [eqn: bold { 108 }]

[해설]

선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원의 중심을 [eqn: rmE]라 하자.

[eqn: {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm OP}}][eqn: = {vec{rm OC}} BULLET LEFT ( {vec{rm OE}} + {vec{rm EP}} RIGHT )]
[eqn: = {vec{rm OC it}} BULLET {vec{rm OE it}} + {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm EP}}]

[eqn: {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm OE}}]의 값은 일정하므로 [eqn: {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm EP}}]의 값이 최대일 때, [eqn: {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm OP}}]의 값이 최대이다.

두 벡터 [eqn: {vec{rm OC}}], [eqn: {vec{rm EP}}]의 방향이 같을 때, [eqn: {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm EP}}]의 값이 최대이다.

두 벡터 [eqn: {vec{rm OC}}], [eqn: {vec{rm EP}}]의 방향이 같을 때의 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rmQ]이다.

선분 [eqn: rmQE]가 선분 [eqn: rmOA]와 만나는 점을 [eqn: rmF]라 하자.

[eqn: ANGLE rm EFA][eqn: = {pi} over {3}], [eqn: {bar{rm AE}}][eqn: =2]이므로

[eqn: {bar{rm FE}}][eqn: = {4 sqrt {3}} over {3}], [eqn: {bar{rm FA}}][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: {bar{rm OF}}][eqn: = {bar{rm OA it}} - {bar{rm FA it}}][eqn: =2+ {4 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: {bar{rm FQ}}][eqn: = {bar{rm FE}} + {bar{rm EQ}}][eqn: =2+ {4 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: {bar{rm OF}}][eqn: = {bar{rm FQ}}]이므로 [eqn: ANGLE rm OQF][eqn: = {pi} over {6}]

그러므로 [eqn: {bar{rm DQ}}][eqn: =2 sqrt {3}]

[eqn: {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm AR}}][eqn: = {vec{rm DQ}} BULLET LEFT ( {vec{rm AE}} + {vec{rm ER}} RIGHT )]
[eqn: = {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm AE}} + {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm ER}}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

두 벡터 [eqn: {vec{rm DQ}}], [eqn: {vec{rm AE}}]가 이루는 각의 크기는 [eqn: {pi} over {3}]

[eqn: {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm AE}}][eqn: =2 sqrt {3} TIMES 2 TIMES cos {pi} over {3}][eqn: =2 sqrt {3}]

두 벡터 [eqn: {vec{rm DQ}}], [eqn: {vec{rm ER}}]의 방향이 같을 때, [eqn: {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm ER}}]의 값이 최대이므로

[eqn: {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm ER}}][eqn: LEQ 2 sqrt {3} TIMES 2][eqn: =4 sqrt {3}]

㉠에 의하여

[eqn: {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm AR}}][eqn: = {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm AE}} + {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm ER}}]
[eqn: LEQ 2 sqrt {3} +4 sqrt {3}]
[eqn: =6 sqrt {3}]

따라서 [eqn: M][eqn: =6 sqrt {3}]이므로 [eqn: M ^{2}][eqn: =108]

[eqn: {{bar{rm OA}}}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}][eqn: =2+2 sqrt {3}], [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =4],
[eqn: ANGLE rm COA][eqn: = {pi} over {3}], [eqn: ANGLE rm A][eqn: = ANGLE rm B][eqn: = {pi} over {2}]

를 만족시키는 사다리꼴 [eqn: rmOABC]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm OP}}]의 값이 최대가 되도록 하는 점 [eqn: rmP]를 [eqn: rmQ]라 할 때, 직선 [eqn: rmOQ]가 원과 만나는 점 중 [eqn: rmQ]가 아닌 점을 [eqn: rmD]라 하자. 원 위의 점 [eqn: rmR]에 대하여 [eqn: {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm AR}}]의 최댓값을 [eqn: M]이라 할 때, [eqn: M ^{2}]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 30

한 변의 길이가 [eqn: 4]이 정삼각형 [eqn: rmABC]를 한 면으로 하는 사면체 [eqn: rmABCD]의 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 평면 [eqn: rmBCD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때, 점 [eqn: rmH]는 삼각형 [eqn: rmBCD]의 내부에 놓여 있다. 직선 [eqn: rmDH]가 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmE]라 할 때, 점 [eqn: rmE]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 7]

[해설]

조건 (나)에서 [eqn: rm { angle`CED`=90DEG }]이므로 두 직선 [eqn: rm`BC], [eqn: `rm`DE]는 서로 수직이다.

삼수선의 정리에 의하여

[eqn: rm { bar{AH}`bot` }](평면 [eqn: rmBCD]), [eqn: rm { bar{HE}`bot`bar{BC} }]이므로 [eqn: rm { bar{AE}`bot`bar{BC} }]

즉 직선 [eqn: rmBC]와 평면 [eqn: rmAED]는 서로 수직이므로

두 직선 [eqn: rmBC], [eqn: rm`AD]도 서로 수직이다.	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

조건 (가)에서 두 삼각형 [eqn: rm`AEH], [eqn: rm`DAH]는 닮음이므로

[eqn: rm`angle`DAE`=angle`EAH+angle`HAD`=90DEG]

그러므로 두 직선 [eqn: rmAD], [eqn: rmAE]는 서로 수직이다.	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서 직선 [eqn: rmAD]는 평면 [eqn: rm`ABC]와 서로 수직이다.

정삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: `rmbar{AE}`bot`bar{BC}]이므로 점 [eqn: rmE]는 선분 [eqn: rmBC]의 중점이다.

즉, [eqn: bar{{rmA}it{rmE}it}=2 sqrt {3}]

직각삼각형 [eqn: rmAED]에서

[eqn: {bar{{rmA}it{rmD}it}} = sqrt {{bar{{rmD}it{rmE}it}} ^{2} - {bar{{rmA}it{rmE}it}} ^{2}} = sqrt {4 ^{2} - left ( 2 sqrt {3} right ) ^{2}} =2]

직각삼각형 [eqn: rmAED]에서 [eqn: bar{{rmA}it{rmE}it}times`bar{{rmA}it{rmD}it}`=bar{{rmA}it{rmH}it}`times`bar{{rmD}it{rmE}it}]이므로

[eqn: 2 sqrt {3} times`2=bar{{rmA}it{rmH}it}times`4], [eqn: bar{{rmA}it{rmH}it}= sqrt {3}]

직각삼각형 [eqn: rm`AHD]에서

[eqn: {bar{{rmD}it{rmH}it}} = sqrt {{bar{{rmA}it{rmD}it}} ^{2} - {bar{{rmA}it{rmH}it}} ^{2}}][eqn: = sqrt {2 ^{2} - LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2}} =1]

두 평면 [eqn: rmABD], [eqn: rm`AHD]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: rm { theta`=angle`BAE`=30DEG }]이므로 구하는 정사영의 넓이는

[eqn: {sqrt {3}} over {2} times`cos`30°][eqn: = {3} over {4}]

따라서 [eqn: p=4], [eqn: q=3]이므로 [eqn: p+q=4+3=7]

(가) [eqn: ANGLE rm AEH][eqn: = ANGLE rm DAH]

(나) 점 [eqn: rmE]는 선분 [eqn: rmCD]를 지름으로 하는 원 위의 점이고
[eqn: {bar{rm DE}}][eqn: =4]이다.

삼각형 [eqn: rmAHD]의 평면 [eqn: rmABD] 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 30

좌표공간에 중심이 [eqn: rmC LEFT ( 2,~ sqrt {5} ,~5 RIGHT )]이고 점 [eqn: rmP LEFT ( 0,~0,~1 RIGHT )]을 지나는 구

[정답] [eqn: 23]

[해설]

점 [eqn: rmC]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC`prime]이라 하면 [eqn: rm {bar{CC`prime}} =5]이므로 구 [eqn: S`]는 점 [eqn: rmC`prime]에서 [eqn: xy]평면에 접한다.

평면 [eqn: rmOPC]는 점 [eqn: rmC`prime]을 지나므로 점 [eqn: rmQ _{1}]은 직선 [eqn: rmOC`prime] 위에 있다. 이때 선분 [eqn: rmOQ _{1}]의 길이가 최대가 되려면 점 [eqn: rmQ]가 점 [eqn: rmC]를 지나고 직선 [eqn: rmOC`prime]와 평행한 직선이 구 [eqn: S`]와 만나는 점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점이어야 한다.

이때

[eqn: rm {bar{OQ _{1}}} = {bar{OC`prime}} +5=3+5=8]

한편, 삼각형 [eqn: rmOQ _{1} R _{1}]의 넓이가 최대가 되려면 점 [eqn: rmR]가 점 [eqn: rmC]를 지나고 직선 [eqn: rmCQ]에 수직인 직선이 구 [eqn: S`]와 만나는 점이어야 한다.

이때 [eqn: rm {bar{R _{1} C`prime}} BOT {bar{OC`prime}}]이고, [eqn: rm {bar{R _{1} C`prime}} =5]이므로 삼각형 [eqn: rmOQ _{1} R _{1}]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times8times5=20]

이제 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이를 구해 보자.

점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: rmQQ _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

[eqn: rm {bar{PH}} = {bar{OQ _{1}}} =8],

[eqn: rm {bar{QH}} = {bar{QQ _{1}}} -1=4]이므로

[eqn: rm {bar{PQ}} = sqrt {64+16} =4 sqrt {5}]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

직각삼각형 [eqn: rmCQR]에서

[eqn: {rm {bar{QR}}} = sqrt {{rm {bar{CQ}} } ^{2} +{rm {bar{CR}} } ^{2}} = sqrt {25+25} =5 sqrt {2}]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

직각삼각형 [eqn: rmOC`primeR _{1}]에서

[eqn: {rm {bar{OR _{1} }}} = sqrt {{rm {bar{OC`prime}} } ^{2} +{rm {bar{R _{1} C`prime}} } ^{2}} = sqrt {9+25} = sqrt {34}]

이므로 점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: rmRR _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmG]라 하면

[eqn: rm {bar{PG}} = {bar{OR _{1}}} = sqrt {34}]

[eqn: rm {bar{RG}} = {bar{RR _{1}}} -1=4]

직각삼각형 [eqn: rmRPG]에서

[eqn: {rm {bar{PR}} }= sqrt {{rm {bar{PG}} } ^{2} +{rm {bar{RG}} } ^{2}} = sqrt {34+16} =5 sqrt {2}]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의하여 삼각형 [eqn: rmPQR]는 [eqn: rm {bar{PR}} = {bar{QR}}]인 이등변삼각형이다.

위 그림과 같이 선분 [eqn: rmPQ]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면

[eqn: rm {bar{{R}{M}}}][eqn: = sqrt {{rm {bar{PR}} } ^{2} -{rm {bar{PM}} } ^{2}}]
[eqn: = sqrt {50-20}]
[eqn: = sqrt {30}]

이므로 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 4 sqrt {5} TIMES sqrt {30} =10 sqrt {6}]

이때 삼각형 [eqn: rmPQR]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영이 삼각형 [eqn: rmOQ _{1} R _{1}]이므로 두 평면 [eqn: rmPQR]와 [eqn: rmOQ _{1} R _{1}]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: cos`theta= {20} over {10 sqrt {6}} = {sqrt {6}} over {3}]

따라서 삼각형 [eqn: rmOQ _{1} R _{1}]의 평면 [eqn: rmPQR] 위로의 정사영의 넓이는

[eqn: 20times {sqrt {6}} over {3} = {20} over {3} sqrt {6}]이므로

[eqn: p+q=3+20=23]

[eqn: S`:` LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y- sqrt {5} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-5 RIGHT ) ^{2} =25]

가 있다. 구 [eqn: S``]가 평면 [eqn: rmOPC]와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ], 구 [eqn: S] 위를 움직이는 점 [eqn: rmR]에 대하여 두 점 [eqn: rmQ,~R]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영을 각각 [eqn: rmQ _{1} ,~R _{1}]이라 하자.

삼각형 [eqn: rmOQ _{1} R _{1}]의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 [eqn: rmQ,~R]에 대하여 삼각형 [eqn: rmOQ _{1} R _{1}]의 평면 [eqn: rmPQR] 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: {q} over {p} sqrt {6}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이고 세 점 [eqn: rmO,~Q _{1} ,~R _{1}]은 한 직선 위에 있지 않으며, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 30

그림과 같이 꼭짓점이 [eqn: {rm{A}} it _{1}]이고 초점이 [eqn: {rm{F}} it _{1}]인 포물선 [eqn: P_{1}]과 꼭짓점이 [eqn: {rm{A}} it _{2}]이고 초점이 [eqn: {rm{F}} it _{2}]인 포물선 [eqn: P_{2}]가 있다. 두 포물선의 준선은 모두 직선 [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{F}} it _{2}]와 평행하고, 두 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{A}} it _{2}], [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{F}} it _{2}]의 중점은 서로 일치한다.

[정답] [eqn: 384]

[해설]

좌표평면에서 점 [eqn: {rm{F}} it _{1}]을 원점, 직선 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{F}} it _{1}]을 [eqn: x]축, 직선 [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{F}} it _{2}]를 [eqn: y]축이라 하자.

포물선 [eqn: P_{1}]의 방정식을 [eqn: y^{2}=4 p(x+p)(p>0)]이라 하면 [eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{F}} it _{1}}=p], [eqn: overline{{rm{F}} it _{1} {rm{C}} it }=2 p]에서 [eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{C}} it }= sqrt{p^{2}+(2 p)^{2}}=p sqrt{5}]

조건 (가)에서 [eqn: p sqrt{5}=5 sqrt{5}]이므로 [eqn: p=5]

두 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{A}} it _{2}], [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{F}} it _{2}]의 중점은 서로 일치하므로 사각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{F}} it _{1} {rm{A}} it _{2} {rm{F}} it _{2}]는 평행사변형이다.

포물선 [eqn: P_{1}]의 준선 [eqn: l_{1}]의 방정식은 [eqn: x=-10]이고 포물선 [eqn: P_{2}]의 준선 [eqn: l_{2}]의 방정식은 [eqn: x=10]이다.

점 [eqn: {rm{B}} it]에서 두 직선 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm{H}} it _{1}], [eqn: {rm{H}} it _{2}]라 하면

[eqn: overline{{rm{BH}} it _{1}}+ overline{{rm{BH}} it _{2}}=20 ~ cdots cdots] ㉠

점 [eqn: {rm{B}} it]는 두 포물선이 만나는 점이므로 포물선의 정의

에 의해 [eqn: overline{{rm{F}} it _{1} {rm{B}} it }= overline{{rm{BH}} it _{1}}], [eqn: overline{{rm{F}} it _{2} {rm{B}} it }= overline{{rm{BH}} it _{2}}]

조건 (나)에서

[eqn: overline{{rm{BH}} it _{1}}- overline{{rm{BH}} it _{2}}={48} over {5} cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: overline{{rm{BH}} it _{1}}={74} over {5}], [eqn: overline{{rm{BH}} it _{2}}={26} over {5}]

점 [eqn: {rm{B}} it]에서 직선 [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{F}} it _{2}]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면 [eqn: overline{{rm{BH}} it }=10- overline{{rm{BH}} it _{2}}={24} over {5}]

직각삼각형 [eqn: {rm{BF}} it _{2} {rm{H}} it]에서

[eqn: { overline{{rm{F}} it _{2} {rm{H}} it }}^{2}][eqn: ={ overline{{rm{F}} it _{2} {rm{B}} it }}^{2}- overline{{rm{BH}} it }`^{2}]
[eqn: = left( overline{{rm{F}} it _{2} {rm{B}} it }- overline{{rm{BH}} it } right) left( overline{{rm{F}} it _{2} {rm{B}} it }+ overline{{rm{BH}} it } right)]
[eqn: = left({26} over {5}-{24} over {5} right) times left({26} over {5}+{24} over {5} right)]
[eqn: =4]

이므로 [eqn: overline{{rm{F}} it _{2} {rm{H}} it }=2]

직각삼각형 [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{BH}} it]에서

[eqn: { overline{{rm{F}} it _{1} {rm{H}} it }}^{2}][eqn: ={ overline{{rm{F}} it _{1} {rm{B}} it }}^{2}- overline{{rm{BH}} it }`^{2}]

[eqn: = left( overline{{rm{F}} it _{1} {rm{B}} it }- overline{{rm{BH}} it } right) left( overline{{rm{F}} it _{1} {rm{B}} it }+ overline{{rm{BH}} it } right)]

[eqn: = left({74} over {5}-{24} over {5} right) times left({74} over {5}+{24} over {5} right)]

[eqn: =196]

이므로 [eqn: overline{{rm{F}} it _{1} {rm{H}} it }=14]

[eqn: overline{{rm{F}} it _{1} {rm{F}} it _{2}}= overline{{rm{F}} it _{1} {rm{H}} it }+ overline{{rm{F}} it _{2} {rm{H}} it }=14+2=16]

그러므로 삼각형 [eqn: {rm{BF}} it _{2} {rm{F}} it _{1}]의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S={1} over {2} times overline{{rm{F}} it _{1} {rm{F}} it _{2}} times overline{{rm{BH}} it }={1} over {2} times 16 times {24} over {5}={192} over {5}]

따라서

[eqn: 10 S=10 times {192} over {5}=384]

두 포물선 [eqn: P_{1}], [eqn: P_{2}]가 서로 다른 두 점에서 만날 때 두 점 중에서 점 [eqn: {rm{A}} it _{2}]에 가까운 점을 [eqn: {rm{B}} it]라 하자. 포물선 [eqn: P_{1}]이 선분 [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{F}} it _{2}]와 만나는 점을 [eqn: {rm{C}} it]라 할 때, 두 점 [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{C}} it }=5 sqrt{5}]

(나) [eqn: overline{{rm{F}} it _{1} {rm{B}} it }- overline{{rm{F}} it _{2} {rm{B}} it }={48} over {5}]

삼각형 [eqn: {rm{BF}} it _{2} {rm{F}} it _{1}]의 넓이가 [eqn: S]일 때, [eqn: 10 S]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: angle {rm{F}} it _{1} {rm{F}} it _{2} {rm{B}} it <90 DEG])

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 30

좌표평면에서 한 변의 길이가 [eqn: rm 4]인 정육각형 [eqn: {rm{ABCDEF}} it]의 변 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]가 있고, 점 [eqn: {rm{C}} it]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{Q}} it]가 있다. 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]와 실수 [eqn: k]에 대하여 점 [eqn: {rm{X}} it]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: |{vec{{rm{CX}} it }}|]의 값이 최소가 되도록 하는 [eqn: k]의 값을 [eqn: alpha], [eqn: |{vec{{rm{CX}} it }}|]의 값이 최대가 되도록 하는 [eqn: k]의 값을 [eqn: beta]라 하자.

[정답] [eqn: 8]

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: {vec{{rm{CX}} it }}={1} over {2} {vec{{rm{CP}} it }}+{vec{{rm{CQ}} it }}]이므로

선분 [eqn: {rm{CA}} it], [eqn: {rm{CB}} it], [eqn: {rm{CD}} it], [eqn: {rm{CE}} it], [eqn: {rm{CF}} it]의 중점을 각각 [eqn: {rm{A}} it `prime], [eqn: {rm{B}} it `prime], [eqn: {rm{D}} it `prime], [eqn: {rm{E}} it `prime], [eqn: {rm{F}} it `prime]이라 하면

점 [eqn: {rm{X}} it]는 정육각형 [eqn: {rm{A}} it `prime {rm{B}} it `prime {rm{CD}} it `prime {rm{E}} it `prime {rm{F}} it `prime] 위의 점

을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인

원 위를 움직인다.

조건 (나)에서

[eqn: {vec{{rm{XA}} it }}+{vec{{rm{XC}} it }}+2 {vec{{rm{XD}} it }}=k {vec{{rm{CD}} it }}]이므로

[eqn: ({vec{{rm{CA}} it }}-{vec{{rm{CX}} it }})-{vec{{rm{CX}} it }}+2({vec{{rm{CD}} it }}-{vec{{rm{CX}} it }})=k {vec{{rm{CD}} it }}]

[eqn: {vec{{rm{CX}} it }}={1} over {4} {vec{{rm{CA}} it }}+{2-k} over {4} {vec{{rm{CD}} it }}]

[eqn: {1} over {4} {vec{{rm{CA}} it }}={vec{{rm{CG}} it }}]라 하면

점 [eqn: {rm{X}} it]는 점 [eqn: {rm{G}} it]를 지나고 직선 [eqn: {rm{CD}} it]에 평행한 직선 위를 움직인다.

직선 [eqn: rm G{E} prime] 위의 점 [eqn: {rm{H}} it]가

[eqn: overline{{rm{E}} it `prime {rm{H}} it }=1], [eqn: overline{{rm{GH}} it }> overline{{rm{G{E}} it `prime }]

를 만족시키도록 점 [eqn: {rm{H}} it]를 잡는다.

[eqn: {rm{X}} it]가 점 [eqn: {rm{G}} it]일 때, [eqn: |{vec{{rm{CX}} it }}|]의 값은 최소이다.

[eqn: {vec{{rm{CG}} it }}={vec{{rm{CG}} it }}+{2-k} over {4} {vec{{rm{CD}} it }}]에서

[eqn: {2-k} over {4}=0]

[eqn: k=2]

즉 , [eqn: alpha=2]

점 [eqn: {rm{X}} it]가 점 [eqn: {rm{H}} it]일 때, [eqn: |{vec{{rm{CX}} it }}|]의 값은 최대이다.

[eqn: |{vec{{rm{GH}} it }}|=4]에서

[eqn: left|{2-k} over {4} {vec{{rm{CD}} it }} right|=4]

즉 [eqn: {2-k} over {4}|{vec{{rm{CD}} it }}|=4]이므로

[eqn: {2-k} over {4} times 4=4]

[eqn: k=-2]

즉, [eqn: beta=-2]

따라서 [eqn: alpha^{2}+ beta^{2}=2^{2}+(-2)^{2}=8]

(가) [eqn: {vec{{rm{CX}} it }}={1} over {2} {vec{{rm{CP}} it }}+{vec{{rm{CQ}} it }}]

(나) [eqn: {vec{{rm{XA}} it }}+{vec{{rm{XC}} it }}+2 {vec{{rm{XD}} it }}=k {vec{{rm{CD}} it }}]

[eqn: alpha^{2}+ beta^{2}]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 30

좌표평면 위에 두 점 [eqn: {rm{A}} it (-2,``2)], [eqn: {rm{B}} it (2,``2)]가 있다.

[정답] [eqn: rm 17]

[해설]

[eqn: (|{vec{{rm{AX}} it }}|-2)(|{vec{{rm{BX}} it }}|-2)=0]에서 [eqn: |{vec{{rm{AX}} it }}|=2] 또는 [eqn: |{vec{{rm{BX}} it }}|=2]이므로

[eqn: {rm{X}} it]는 중심이 [eqn: {rm{A}} it]이고 반지름이 [eqn: rm 2]인 원 또는 중심이 [eqn: {rm{B}} it]이고

반지름이 [eqn: rm 2]인 원 위의 점이다. 그런데, [eqn: |{vec{{rm{OX}} it }}| geq 2]를

만족해야 하므로 만족하는 도형은 [그림1]과 같다.

[그림1]

또한 [eqn: ({vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{u}})({vec{{rm{OQ}} it }} BULLET {vec{u}}) geq 0]를 만족하므로 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]의 [eqn: x]좌표가 모두 같은 방향이어야 한다.

즉, [그림1]에서 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]가 제 [eqn: rm 1]사분면 도형에 있는 경우와

제 [eqn: rm 2]사분면 도형에 있는 경우 [eqn: rm 2]가지가 있다.

(i) 제 [eqn: rm 1]사분면에 있는 경우
선분 [eqn: {rm{PQ}} it]의 중점을 [eqn: {rm{M}} it]이라고 하면
[eqn: {vec{{rm{OY}} it }}][eqn: ={vec{{rm{OP}} it }}+{vec{{rm{OQ}} it }}=2 left({1} over {2} {vec{{rm{OP}} it }}+{1} over {2} {vec{{rm{OQ}} it }} right)=2 {vec{{rm{OM}} it }}]
즉, [eqn: {vec{{rm{OY}} it }} =2({vec{{rm{OB}} it }}+{vec{{rm{BM}} it }})]
그런데, 조건 (나)에서 [eqn: |{vec{{rm{PQ}} it }}|=2]이므로 [eqn: |{vec{{rm{PM}} it }}|=1]
따라서 [eqn: |{vec{{rm{BM}} it }}|= sqrt{|{vec{{rm{BP}} it }}|^{2}-|{vec{{rm{PM}} it }}|^{2}}]에서 [eqn: |{vec{{rm{BM}} it }}|= sqrt{3}]

따라서 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]가 조건을 만족하며 움직일 때의 [eqn: {rm{M}} it]의 자취는 중심이 [eqn: {rm{B}} it]이고 반지름이 [eqn: sqrt{3}]이며 중심각이 [eqn: {7} over {6} pi]인 부채꼴의 호가 된다.
이때 [eqn: {vec{{rm{OY}} it }}=2 {vec{{rm{OM}} it }}]이므로 점 [eqn: {rm{Y}} it]의 자취는 중심이 [eqn: (4,``4)]이고 반지름이 [eqn: 2 sqrt{3}]이며 중심각이 [eqn: {7} over {6} pi]인 부채꼴의 호이다.
따라서 구하는 자취의 길이는
[eqn: 2 sqrt{3} times {7} over {6} pi={7} over {3} sqrt{3} pi]

(ii) 제[eqn: rm 2]사분면에 있는 경우
(i)과 마찬가지이므로 자취의 길이는
[eqn: 2 sqrt{3} times {7} over {6} pi={7} over {3} sqrt{3} pi]
(i), (ii)에서 점 [eqn: {rm{Y}} it]의 집합이 나타내는 도형의 길이는
[eqn: {14} over {3} sqrt{3} pi]이므로 [eqn: p=3], [eqn: q=14]
[eqn: therefore~p+q=3+14=17]

[다른 풀이]

주어진 등식과 부등식

[eqn: (|{vec{{rm{AX}} it }}|-2)(|{vec{{rm{BX}} it }}|-2)=0], [eqn: |{vec{{rm{OX}} it }}| geq 2]

에서 점 [eqn: {rm{X}} it]는 두 점 [eqn: {rm{A}} it] 또는 [eqn: {rm{B}} it]로부터의 거리가 [eqn: rm 2]이고, 원점

[eqn: {rm{O}} it]로부터의 거리가 [eqn: rm 2] 이상이므로 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]를 중심으로 하고

반지름의 길이가 [eqn: rm 2]인 두 원 [eqn: C_{1}] 또는 [eqn: C_{2}]의 둘레 중 아래

그림과 같이 실선 부분이다.

또, 조건 (가)는 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]의 [eqn: x]좌표가 같은 부호임을

뜻하므로 원 [eqn: C_{1}] 또는 [eqn: C_{2}] 중 어느 한쪽에 존재해야 하고, [eqn: overline{{rm{PQ}} it }=2]이다.

한편, [eqn: {1} over {2} {vec{{rm{OY}} it }}={{rm{OP}} it +{rm{OQ}} it } over {2}={vec{{rm{OM}} it }}]으로 놓자.

[eqn: y]축 대칭성으로 인해 원 [eqn: C_{1}]에서만 고려하면, 삼각형 [eqn: {rm{AP}} it _{1} {rm{Q}} it _{1}]은 정삼각형이므로 [eqn: angle {rm{M}} it _{1} {rm{AQ}} it _{1}={ pi} over {6}]이고, [eqn: overline{{rm{AM}} it _{1}}= sqrt{3}]

그러므로 점 [eqn: {rm{M}} it]은 점 [eqn: {rm{A}} it]를 중심, 반지름의 길이가 [eqn: sqrt{3}]이고

중심각의 크기가 [eqn: {7} over {6} pi]인 호에 해당하고 그 길이는

[eqn: sqrt{3} times {7} over {6} pi={7} over {6} sqrt{3} pi]

[eqn: {vec{{rm{OY}} it }}=2 {vec{{rm{OM}} it }}]이므로 점 [eqn: {rm{Y}} it]의 자취의 길이는

[eqn: {7} over {6} sqrt{3} pi times 2={7} over {3} sqrt{3} pi]

원 [eqn: C_{2}]에서도 마찬가지이므로 구하는 길이는

[eqn: {7} over {3} sqrt{3} pi times 2={14} over {3} sqrt{3} pi]

따라서, [eqn: p=3], [eqn: q=14]이므로 [eqn: p+q=17]이다.

[eqn: LEFT(|{vec{{rm{AX}} it }}|-2RIGHT) (|{vec{{rm{BX}} it }}|-2RIGHT)=0], [eqn: ~ |{vec{{rm{OX}} it }}| geq 2]

를 만족시키는 점 [eqn: {rm{X}} it]가 나타내는 도형 위를 움직이는 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: {vec{u}}=(1,``0)]에 대하여 [eqn: ({vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{u}})({vec{{rm{OQ}} it }} BULLET {vec{u}}) geq 0]이다.

(나) [eqn: |{vec{{rm{PQ}} it }}|=2]

[eqn: {vec{{rm{OY}} it }}={vec{{rm{OP}} it }}+{vec{{rm{OQ}} it }}]를 만족시키는 점 [eqn: {rm{Y}} it]의 집합이 나타내는 도형의 길이가 [eqn: {q} over {p} sqrt{3} pi]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: {rm{O}} it]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 30

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A LEFT ( 6,``0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 2,``6 RIGHT )], [eqn: rmC LEFT ( it k,``-2k RIGHT )][eqn: LEFT ( k>0 RIGHT ) `]과 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 내부 또는 변 위의 점 [eqn: rm P`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 7]

[해설]

점 [eqn: rmP left(itx,``y right)]라 하면 조건 (가)에서

[eqn: 5left(4,``-6right)bullet left(x,``y right)-left(2,``6right)bullet left(x-6,``y right)=left(6,``0right)bullet left(2,``6right)]

[eqn: 20x-30y-2x+12-6y=12]

[eqn: therefore][eqn: y= 1over2 x]

위의 그림과 같이 직선 [eqn: rmAB]와 [eqn: y= 1over2 x]의 교점을 [eqn: rmD]라 하자.

직선 [eqn: rmAB]의 방정식은 [eqn: y=it- 3over2 left(x-6right)= it- 3over2 x+9]

직선 [eqn: y= 1over2 x]와 연립하면 [eqn: x= 9over2], [eqn: y= 9over4]이므로 [eqn: rmD left(9over2 ,``9over4 right)]이다.

직선 [eqn: rmBC]와 직선 [eqn: y= 1over2 x]의 교점을 [eqn: rmE]라 하면 점 [eqn: rmP]의 자취는 선분 [eqn: rmDE]와 같다.

점 [eqn: rmP]의 자취의 길이가 [eqn: root5]이므로 [eqn: rmbarDE =root5]이고, 두 점 [eqn: rmD], [eqn: rmE]를 지나는 직선의 기울기가 [eqn: 1over2]이므로 [eqn: rmE left(5over2 ,``5over4 right)]이다.

세 점 [eqn: rmB], [eqn: rmE], [eqn: rmC]가 일직선 위에 있으므로

[eqn: {-2k-6}overk-2 ={- 19over4}over{1over2}], [eqn: k= 10over3]

[eqn: therefore][eqn: rmC left(10over3 ,``- 20over3 right)]

점 [eqn: rm P LEFT ( it a,``a over2 RIGHT )]라 하면 [eqn: 5over2 le a le 9over2]이고

[eqn: rmvecOA bullet vecCP][eqn: =left(6,``0right)bullet left(a- 10over3 ,``a over2 + 20over3 right)]
[eqn: =6a-20]

따라서 [eqn: a= 9over2]일 때, [eqn: 6a-20]의 최댓값은 [eqn: 7]이므로 [eqn: rmvecOA bullet vecCP]의 최댓값은 [eqn: 7]이다.

(가) [eqn: 5 rm vec{BA} BULLET vec{OP} - vec{OB} BULLET vec{AP} = vec{OA} BULLET vec{OB}]

(나) 점 [eqn: rm P`]가 나타내는 도형의 길이는 [eqn: sqrt {5} `]이다.

[eqn: rm vec{OA} BULLET vec{CP} `]의 최댓값을 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 30

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: rm 4]인 정삼각형을 밑면으로 하고 높이가 [eqn: 4+2 sqrt{3}]인 정삼각기둥 [eqn: {rm{ABC}} it -{rm{DEF}} it]와 [eqn: overline{{rm{DG}} it }=4]인 선분 [eqn: {rm{AD}} it] 위의 점 [eqn: {rm{G}} it]가 있다. 점 [eqn: {rm{H}} it]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 48]

[해설]

그림은 정삼각기둥 [eqn: {rm{ABC}} it -{rm{DEF}} it]를 좌표공간에 나타낸 것이다.

두 점 [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{H}} it]의 평면 [eqn: {rm{ADEB}} it]위로의 정사영을 각각

[eqn: {rm{C}} it _{1}], [eqn: {rm{H}} it _{1}]이라 하자.

[eqn: overline{{rm{AC}} it _{1}}=2], [eqn: overline{{rm{AG}} it }=2 sqrt{3}]이므로

[eqn: overline{{rm{GC}} it _{1}}= sqrt{2^{2}+(2 sqrt{3})^{2}}=4], [eqn: angle {rm{AGC}} it _{1}=30 DEG]

조건 (가)에서 삼각형 [eqn: {rm{GH}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]은 정삼각형이므로

[eqn: angle {rm{C}} it _{1} {rm{GH}} it _{1}=60 DEG], [eqn: overline{{rm{GH}} it _{1}}=4]

조건 (나)를 만족시키려면 점 [eqn: {rm{H}} it _{1}]은 점 [eqn: {rm{G}} it]에서 선분 [eqn: {rm{BE}} it]에 내린 수선의 발과 일치해야 한다.

점 [eqn: {rm{H}} it]의 평면 [eqn: {rm{DEF}} it]위로의 정사영을 [eqn: {rm{H}} it _{2}]라 하자.

조건 (나)에서 삼각형 [eqn: {rm{CGH}} it]의 평면 [eqn: {rm{DEF}} it]위로의 정사영인 삼각형 [eqn: {rm{FDH}} it _{2}]의 내부와 삼각형 [eqn: {rm{DEF}} it]의 내부의 공통부분의 넓이가 삼각형 [eqn: {rm{DEF}} it]의 넓이의 [eqn: {1} over {2}]인 [eqn: 2 sqrt{3}]이므로 직선 [eqn: {rm{DH}} it _{2}]는 선분 [eqn: {rm{EF}} it]의 중점을 지난다.

그러므로 두 삼각형 [eqn: {rm{DEH}} it _{2}], [eqn: {rm{DFH}} it _{2}]가 합동이고

[eqn: angle {rm{DEH}} it _{2}=90 DEG]이므로 [eqn: angle {rm{DFH}} it _{2}=90 DEG]이다.

점 [eqn: {rm{H}} it]의 평면 [eqn: {rm{ADFC}} it]위로의 정사영을 [eqn: {rm{H}} it _{3}]이라 하면

점 [eqn: {rm{H}} it _{3}]은 점 [eqn: {rm{G}} it]에서 선분 [eqn: {rm{CF}} it]에 내린 수선의 발과 일치한다.

그러므로 삼각형 [eqn: {rm{CGH}} it]의 평면 [eqn: {rm{ADFC}} it]위로의 정사영인 삼각형 [eqn: {rm{CGH}} it _{3}]의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S={1} over {2} times 4 times 2 sqrt{3}=4 sqrt{3}]

따라서 [eqn: S^{2}=48]

(가) 삼각형 [eqn: {rm{CGH}} it]의 평면 [eqn: {rm{ADEB}} it]위로의 정사영은 정삼각형이다.

(나) 삼각형 [eqn: {rm{CGH}} it]의 평면 [eqn: {rm{DEF}} it]위로의 정사영의 내부와 삼각형 [eqn: {rm{DEF}} it]의 내부의 공통부분의 넓이는 [eqn: 2 sqrt{3}]이다.

삼각형 [eqn: rm CGH]의 평면 [eqn: {rm{ADFC}} it]위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: S^{2}]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 기하 30

좌표공간에 정사면체 [eqn: {rm{ABCD}} it]가 있다. 정삼각형 [eqn: {rm{BCD}} it]의 외심을 중심으로 하고 점 [eqn: {rm{B}} it]를 지나는 구를 [eqn: S`]라 하자.

[정답] [eqn: 24]

[해설]

구 [eqn: S]의 중심, 즉 삼각형 [eqn: {rm{BCD}} it]의 외심을 [eqn: {rm{O}} it]라 하면 직각삼각형 [eqn: {rm{ABO}} it]에서

[eqn: overline{{rm{AB}} it }=6 sqrt{3}], [eqn: overline{{rm{BO}} it }=6], [eqn: overline{{rm{AO}} it }=6 sqrt{2}]

이다.

이때 점 [eqn: {rm{P}} it]가 구 [eqn: S] 위에 있으므로    [eqn: overline{{rm{OP}} it }=6]

즉, 삼각형 [eqn: {rm{OBP}} it]가 이등변삼각형이므로 점 [eqn: {rm{O}} it]에서 선분 [eqn: {rm{AB}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면 점 [eqn: {rm{H}} it]는 선분 [eqn: {rm{BP}} it]의 중점이다.

한편, [eqn: triangle {rm{ABO}}]□[eqn: triangle {rm{OBH}} it]이므로

[eqn: 6: 6 sqrt{3}= overline{{rm{BH}} it }: 6]

에서    [eqn: overline{{rm{BH}} it }=2 sqrt{3}]

[eqn: therefore] [eqn: overline{{rm{AP}} it }][eqn: = overline{{rm{AB}} it }- overline{{rm{BP}} it }]
[eqn: =6 sqrt{3}-4 sqrt{3}]
[eqn: =2 sqrt{3}]

한편, 다음 그림과 같이 평면 [eqn: alpha]와 평면 [eqn: {rm{PQR}} it]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: angle {rm{AOP}} it = theta]이다.

점 [eqn: rmP`]에서 선분 [eqn: rmAO`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ`]라 하면

[eqn: triangle rmAPQ]□[eqn: triangle rmABO]

이므로

[eqn: rmbarAP`:`barAB =barAQ`:`barAO]

[eqn: 2root3`:`6root3 =rmbarAQ`:`6root2]

[eqn: rmbarAQ =2root2]

[eqn: rmbarOQ =barOA -barAQ =4root2 `]이므로

[eqn: cos`theta ={rmbarOQ}over{bar{rmOP}}={4root2}over6 = 2over3 root2]

삼각형 [eqn: {rm{PQR}} it]는 한 변의 길이가 [eqn: 2 sqrt{3}]인 정삼각형이므로 삼각형 [eqn: {rm{PQR}} it]의 넓이는

[eqn: { sqrt{3}} over {4} times(2 sqrt{3})^{2}=3 sqrt{3}]

따라서 구하는 정사영의 넓이는

[eqn: k][eqn: =3 sqrt{3} times cos theta]
[eqn: =3 sqrt{3} times {2 sqrt{2}} over {3}]
[eqn: =2 sqrt{6}]

[eqn: therefore] [eqn: k^{2}=(2 sqrt{6})^{2}=24]

구 [eqn: S`]와 선분 [eqn: {rm{AB}} it]가 만나는 점 중 [eqn: {rm{B}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{P}} it],

구 [eqn: S`]와 선분 [eqn: {rm{AC}} it]가 만나는 점 중 [eqn: {rm{C}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{Q}} it],

구 [eqn: S`]와 선분 [eqn: {rm{AD}} it]가 만나는 점 중 [eqn: {rm{D}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하고,

점 [eqn: {rm{P}} it]에서 구 [eqn: S`]에 접하는 평면을 [eqn: alpha]라 하자.

구 [eqn: S`]의 반지름의 길이가 [eqn: rm 6]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{PQR}} it]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: k]이다. [eqn: k^{2}]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 30

공간에서 중심이 [eqn: {rm{O}} it]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 4]인 구와 점 [eqn: {rm{O}} it]를 지나는 평면 [eqn: alpha]가 있다. 평면 [eqn: alpha]와 구가 만나서 생기는 원 위의 서로 다른 세 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]에 대하여 두 직선 [eqn: {rm{OA}} it], [eqn: {rm{BC}} it]가 서로 수직일 때, 구 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 50]

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it], 점 [eqn: {rm{A}} it]에서 선분 [eqn: {rm{BC}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 하자.

[eqn: angle {rm{PAO}} it ={ pi} over {3}]이고 [eqn: overline{{rm{OA}} it }= overline{{rm{OP}} it }]이므로 삼각형 [eqn: {rm{PAO}} it]는 정삼각형이다.

[eqn: overline{{rm{PA}} it }=4], [eqn: overline{{rm{PH}} it }=2 sqrt{3}], [eqn: overline{{rm{AH}} it }= overline{{rm{OH}} it }=2][eqn: overline{{rm{OI}} it }=a(a>0)]이라 하면 직각삼각형 [eqn: {rm{OIB}} it]에서 [eqn: overline{{rm{IB}} it }= sqrt{ overline{{rm{OB}} it }^{2}- overline{{rm{OI}} it }^{2}}= sqrt{16-a^{2}}] 직각삼각형 [eqn: {rm{AIB}} it]에서 [eqn: overline{{rm{AB}} it }= sqrt{ overline{{rm{AI}} it }^{2}+ overline{{rm{IB}} it }^{2}}]

[eqn: = sqrt{(a+4)^{2}+16-a^{2}}]

[eqn: = sqrt{8 a+32}]

직각삼각형 [eqn: rm {P}HI]에서

[eqn: {bar{rm {P{I it}} = sqrt {{bar{rm PH it rm ^{2} it}} + {bar{rm HI it rm ^{2} it}}}]

[eqn: = sqrt{(2 sqrt{3})^{2}+(a+2)^{2}}]

[eqn: = sqrt{a^{2}+4 a+16}]

[eqn: overline{{rm{PH}} it } BOT alpha], [eqn: overline{{rm{HI}} it } BOT overline{{rm{BC}} it }]이므로

삼수선의 정리에 의하여 [eqn: {bar{rm {P}I it}} BOT {bar{rm BC it}}]이다.

직각삼각형 [eqn: {rm{{P}IB}} it]에서

[eqn: overline{{rm{PB}} it }= sqrt{ overline{{rm{{P}I}} it }^{2}+ overline{{rm{IB}} it }^{2}}]

[eqn: = sqrt{ left(a^{2}+4 a+16 right)+ left(16-a^{2} right)}]

[eqn: = sqrt{4 a+32}]

삼각형 [eqn: {rm{PAB}} it]에서

[eqn: cos ( angle {rm{PAB}} it )={ overline{{rm{AP}} it }^{2}+ overline{{rm{AB}} it }^{2}- overline{{rm{PB}} it }^{2}} over {2 times overline{{rm{AP}} it } times overline{{rm{AB}} it }}]

[eqn: ~ ={16+(8 a+32)-(4 a+32)} over {2 times 4 times sqrt{8 a+32}}]

[eqn: ={a+4} over {4 sqrt{2 a+8}}]

그러므로 [eqn: { sqrt{10}} over {8}={a+4} over {4 sqrt{2 a+8}}]

[eqn: (a+4)^{2}=5(a+4)]

[eqn: a^{2}+3 a-4=(a+4)(a-1)=0]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=1]

점 [eqn: {rm{B}} it]에서 선분 [eqn: {rm{PA}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{J}} it]라 하자.

[eqn: sin ( angle {rm{PAB}} it )={ overline{{rm{BJ}} it }} over { overline{{rm{AB}} it }}={ overline{{rm{BJ}} it }} over {2 sqrt{10}}]

[eqn: sin ( angle {rm{PAB}} it )= sqrt{1- left({ sqrt{10}} over {8} right)^{2}}={3 sqrt{6}} over {8}]이므로 [eqn: overline{{rm{BJ}} it }={3 sqrt{15}} over {2}] 삼각형 [eqn: {rm{PAB}} it]의 넓이를 [eqn: S `prime]이라 하자.

[eqn: S `prime ={1} over {2} times overline{{rm{PA}} it } times overline{{rm{BJ}} it }={1} over {2} times 4 times {3 sqrt{15}} over {2}=3 sqrt{15}]
[eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{AC}} it }], [eqn: overline{{rm{PB}} it }= overline{{rm{PC}} it }]이므로 두 삼각형 [eqn: {rm{PAB}} it], [eqn: {rm{PAC}} it]는 서로 합동이다.

[eqn: overline{{rm{BJ}} it } BOT overline{{rm{AP}} it }]이므로 [eqn: overline{{rm{CJ}} it } BOT overline{{rm{AP}} it }]이고 [eqn: overline{{rm{BJ}} it }= overline{{rm{CJ}} it }]

두 평면 [eqn: {rm{PAB}} it]와 [eqn: {rm{PAC}} it]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: overline{{rm{BJ}} it } BOT overline{{rm{AP}} it }], [eqn: overline{{rm{CJ}} it } BOT overline{{rm{AP}} it }]이므로 [eqn: theta= angle {rm{BJC}} it]

[eqn: overline{{rm{JB}} it }= overline{{rm{JC}} it }={3 sqrt{15}} over {2}], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=2 sqrt{15}]

[eqn: cos theta={ overline{{rm{JB}} it }^{2}+ overline{{rm{JC}} it }^{2}- overline{{rm{BC}} it }^{2}} over {2 times overline{{rm{JB}} it } times overline{{rm{JC}} it }}]

[eqn: ={2 times left({3 sqrt{15}} over {2} right)^{2}-60} over {2 times left({3 sqrt{15}} over {2} right)^{2}}]

[eqn: ={1} over {9}]

[eqn: S=S `prime times cos theta=3 sqrt{15} times {1} over {9}={ sqrt{15}} over {3}]

따라서 [eqn: 30 times S^{2}=30 times {15} over {9}=50]

(가) [eqn: angle {rm{PAO}} it ={ pi} over {3}]

(나) 점 [eqn: {rm{P}} it]의 평면 [eqn: alpha]위로의 정사영은 선분 [eqn: {rm{OA}} it] 위에 있다.

[eqn: cos ( angle {rm{PAB}} it )={ sqrt{10}} over {8}]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{PAB}} it]의 평면 [eqn: {rm{PAC}} it]위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S]라 하자. [eqn: 30 times S^{2}]의 값을 구하시오. [eqn: left( right.]단, [eqn: left.0< angle {rm{BAC}} it <{ pi} over {2} right)]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 29

좌표공간에 두 개의 구

[정답] [eqn: 127]

[해설]

두 구 [eqn: S_{1}], [eqn: S_{2}]의 중심을 각각 [eqn: {rm{O}} it _{1}], [eqn: {rm{O}} it _{2}]라 하면

[eqn: {rm{O}} it _{1}(0,``0,``2)], [eqn: {rm{O}} it _{2}(0,``0,``-7)]

이고, 두 구 [eqn: S_{1}], [eqn: S_{2}]의 반지름의 길이는 각각 [eqn: rm 2], [eqn: rm 7]이다.

두 점 [eqn: {rm{O}} it _{1}], [eqn: {rm{O}} it _{2}]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm{H}} it _{1}], [eqn: {rm{H}} it _{2}]라 하고, 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: z]축이 만나는 점을 [eqn: {rm{C}} it]라 하자.

직각삼각형 [eqn: {rm{O}} it _{1} {rm{CH}} it _{1}]에서 [eqn: overline{{rm{O}} it _{1} {rm{C}} it }=k(k>0)]이라 하면

[eqn: overline{{rm{CH}} it _{1}}= sqrt{{ overline{{rm{O}} it _{1} {rm{C}} it ^{2}}- overline{{rm{O}} it _{1} {rm{H}} it _{1}}}^{2}}= sqrt{k^{2}-2^{2}}= sqrt{k^{2}-4}]

원점을 [eqn: {rm{O}} it]라 하면 [eqn: triangle {rm{O}} it _{1} {rm{CH}} it _{1}]와 [eqn: triangle {rm{ACO}} it]는 서로 닮음이고,

[eqn: overline{{rm{OC}} it }=2+k]

이므로 [eqn: (k+2): sqrt{k^{2}-4}= sqrt{5}: 2] 에서

[eqn: k^{2}-16 k-36=0]

[eqn: (k-18)(k+2)=0]

[eqn: k>0] 이므로    [eqn: k=18]

[eqn: triangle {rm{O}} it _{1} {rm{CH}} it _{1}]과 [eqn: triangle {rm{O}} it _{2} {rm{CH}} it _{2}]도 서로 닮음이고,

[eqn: overline{{rm{O}} it _{1} {rm{C}} it }=18], [eqn: overline{{rm{O}} it _{2} {rm{C}} it }=27]이므로 [eqn: 18: 2=27: overline{{rm{O}} it _{2} {rm{H}} it _{2}}]에서

[eqn: overline{{rm{O}} it _{2} {rm{H}} it _{2}}=3]

평면 [eqn: alpha]와 구 [eqn: S_{2}]가 만나서 생기는 원 [eqn: {rm{C}} it]의 중심은 [eqn: {rm{H}} it _{2}]이고 반지름의 길이는 [eqn: overline{{rm{BH}} it _{2}}]이다. 이때,

[eqn: overline{{rm{BH}} it _{2}}= sqrt{ overline{{rm{O}} it _{2} {rm{B}} it ^{2}}- overline{{rm{O}} it _{2} {rm{H}} it _{2}}}= sqrt{7^{2}-3^{2}}=2 sqrt{10}]

이므로 원 [eqn: C]의 넓이는

[eqn: pi times(2 sqrt{10})^{2}=40 pi]

한편, 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: theta= angle {rm{BO}} it _{2} {rm{H}} it _{2}]이므로

[eqn: cos theta={3} over {7}]

원 [eqn: C]의 평면 [eqn: beta]위로의 정사영의 넓이는

[eqn: 40 pi times {3} over {7}={120} over {7} pi]

따라서 [eqn: p=7], [eqn: q=120]이므로 [eqn: p+q=7+120=127]

[eqn: S_{1}: x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=4], [eqn: ~ S_{2}: x^{2}+y^{2}+(z+7)^{2}=49]

가 있다. 점 [eqn: {rm{A}} it ( sqrt{5},`` 0,``0)]을 지나고 [eqn: z x]평면에 수직이며, 구 [eqn: S_{1}]과 [eqn: z]좌표가 양수인 한 점에서 접하는 평면을 [eqn: alpha]라 하자.  구 [eqn: S_{2}]가 평면 [eqn: alpha]와 만나서 생기는 원을 [eqn: C]라 할 때, 원 [eqn: C] 위의 점 중 [eqn: z]좌표가 최소인 점을 [eqn: {rm{B}} it]라 하고 구 [eqn: S_{2}]와 점 [eqn: {rm{B}} it]에서 접하는 평면을 [eqn: beta]라 하자. 원 [eqn: C]의 평면 [eqn: beta]위로의 정사영의 넓이가 [eqn: {q} over {p} pi]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 29

좌표공간에 점 [eqn: LEFT ( 4,``3,``2 RIGHT )]를 중심으로 하고 원점을 지나는 구

[정답] [eqn: 261]

[해설]

점 [eqn: rmP left(ita,``b,``7right)]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP`prime]이라 하면 [eqn: rmP prime left(ita,``b,``0right)]

구의 중심 [eqn: left(4,``3,``2right)]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC`prime]이라 하면 [eqn: rmC prime left(4,``3,``0right)]

[eqn: a^2 +b^2 <25]이므로 [eqn: rmP`prime]인 [eqn: rmC`prime]보다 원점에서 더 가깝다.

원점과 두 점 [eqn: rmP`prime], [eqn: rmC`prime]을 지나는 직선을 가로축으로 하고, [eqn: z]축을 세로축으로 하여 그림을 그리면 다음과 같다.

점 [eqn: rmP]는 구 위의 점이므로

[eqn: left(a-4right)^2 +left(b-3right)^2 +25=29], [eqn: left(a-4right)^2 +left(b-3right)^2 =4]

[eqn: therefore][eqn: rmbar{P`prime C`prime}=it root{left(a-3right)^2 +left(b-4right)^2}=2]

[eqn: rmbar{PP`prime}=7]이고, [eqn: rmbar{OC`prime}=5]에서 [eqn: rmbar{OP`prime}=3]이므로

[eqn: rmbarOP =root{7^2 +3^2}=root58]

선분 [eqn: rmOP]는 원 [eqn: C]의 지름이므로 원 [eqn: C]의 반지름은 [eqn: {root58}over2]이고, 원 [eqn: C]와 [eqn: xy]평면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: cos`theta= 3over{root58}]이다.

따라서 원 [eqn: C]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영의 넓이는

[eqn: pi left(root58 over2 right)^2 times 3overroot58 = 3over4 root58 pi]

따라서 [eqn: k= 3over4 root58]이므로 [eqn: 8k^2 =261]이다.

[eqn: S``:`` LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-2 RIGHT ) ^{2} =29]

가 있다. 구 [eqn: S`]위의 점 [eqn: rm P LEFT ( it a,``b,``7 RIGHT )]에 대하여 직선 [eqn: rm OP`]를 포함하는 평면 [eqn: alpha `]가 구 [eqn: S`]와 만나서 생기는 원을 [eqn: C`]라 하자. 평면 [eqn: alpha `]와 원 [eqn: C`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 직선 [eqn: rm OP`]와 [eqn: xy`]평면이 이루는 각의 크기와 평면 [eqn: alpha `]와 [eqn: xy`]평면이 이루는 각의 크기는 같다.

(나) 선분 [eqn: rm OP`]는 원 [eqn: C`]의 지름이다.

[eqn: a ^{2} +b ^{2} <25`]일 때, 원 [eqn: C`]의 [eqn: xy`]평면 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: k pi `]이다. [eqn: 8k ^{2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

기하킬러 24제 (빠른 정답)
프로젝트	2023.01.03

[정답] [eqn: 10]

[정답] [eqn: bold15`]

[정답] [eqn: bold{128]

[정답] [eqn: 7]

[정답] [eqn: 40]

[정답] [eqn: 53`]

[정답] [eqn: bold{ 31]

[정답] [eqn: 486]

[정답] [eqn: bold { 24 }]

[정답] [eqn: bold37]

[정답] [eqn: bold { 48 }]

[정답] [eqn: bold { 45 }]

[정답] [eqn: bold { 108 }]

[정답] [eqn: 7]

[정답] [eqn: 23]

[정답] [eqn: 384]

[정답] [eqn: 8]

[정답] [eqn: rm 17]

[정답] [eqn: 7]

[정답] [eqn: 48]

[정답] [eqn: 24]

[정답] [eqn: 50]

[정답] [eqn: 127]

[정답] [eqn: 261]

기하킬러 24제 (해설)
프로젝트	2023.01.03