정답 ③

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(x)=0]의 근 중 하나가 [eqn: 0]이다.

[eqn: f(x)=0]의 근을 [eqn: alpha, beta, 0]이라 하자.

함수 [eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {`vert `f` prime (x)`vert } - int _{0} ^{x} {f` prime (x)}]에서, 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: g(x)= {cases{상수`&(f`'(x)>0)#+- 2f(x)&(f`'(x) LEQ 0)}}]의 꼴로 나타난

연속함수이다.

그럼 이 셋의 대소관계를 정의하면서 개형을 정리하자.

[eqn: 1.] [eqn: 0]만이 [eqn: f(x)=0]의 유일한 근인 경우

다음 그림처럼 오직 한 점에서만 만나게 되어 조건을 만족시키지 않음

[eqn: 2.`0<alpha<beta]인 경우

다음 그림처럼  [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 만나는 점이 [eqn: 3]개가 되어 조건을 만족시키지 않음

[eqn: 3.] [eqn: alpha<0<beta]인 경우

다음 그림처럼 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 만나는 점이 [eqn: 3]개가 되어 조건을 만족시키지 않음

[eqn: 4.] [eqn: 0<alpha<beta~]인 경우

마찬가지로 다음 그림처럼 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 만나는 점이 [eqn: 3]개가 되어 조건을 만족시키지 않음

[eqn: 5.`` alpha <beta=0]인 경우

이때는 [eqn: x=0]에서 [eqn: f(x)]가 중근을 가진다.

이때, 다음 그림처럼 함수 [eqn: f(x)]와 함수 [eqn: g(x)]는 두 점에서 만난다.

이는 [eqn: 0=alpha<beta]인 경우에도 [eqn: x=0]에서 중근이 발생하므로 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 두 점에서 만난다.

(단, [eqn: x=0]이 아닌 점에서 중근을 가지는 경우, 교점은 여전히 [eqn: 3]개가 된다.)

=> 즉. [eqn: f(x)]는 [eqn: f(x)=kx ^{2} (x-a)]꼴의 함수이다.

이때 [eqn: g(x)= {cases{0`````````````````````````````(x<0)&#eqalign{-2kf(x)`(0 LEQ x LEQ {2a} over {3} )# -2kf( {2a} over {3} )`(x> {2a} over {3} )}&}}][eqn: (a>0)], [eqn: g(x)= {cases{-2f( {2a} over {3} )`````(x< {2a} over {3} )&#eqalign{-2f(x)````````````( {2a} over {3} LEQ x LEQ 0)# 0```````````````````````````````````(x>0)}&}}][eqn: (a<0)]이 된다.

이제 문제 보기로 돌아와 보자.

<ㄱ> 참

[eqn: a]의 부호에 상관없이 모든 경우에 [eqn: f`'(0)=0]에서 [eqn: g'(0)=0]이다.

<ㄴ> 거짓

[eqn: g'(-2)]=0인 경우는 [eqn: a<0]인 경우, [eqn: f`'(0)=0]인 지점 [eqn: x= {2a} over {3}]에서 일어난다.

따라서 [eqn: {2a} over {3} =-2], [eqn: a=-3]이다. 이때, [eqn: f(x)=kx ^{2} (x+3)]이고, [eqn: {f(3)} over {f(1)} = {18k} over {4k} = {9} over {2}]이다.

<ㄷ> 참

함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]의 교점이 구간 [eqn: (-3,`-2)] 내에 있도록 하는 [eqn: f(x)=x ^{2} (x-a)]를 보자.

우선, 두 그래프의 개형을 보면 [eqn: a]가 음수인 것을 바로 알 수 있다.

이때, 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a]보다 작다.(왜냐하면, 이때 [eqn: g(x)]는 상수함수인 부분이고, [eqn: 0]보다 작기 때문이다.)

구간 [eqn: (-3,`-2)] 내에 교점이 있도록 하는 [eqn: a]의 값은 [eqn: -3]보다 크고 [eqn: 0]보단 작아야 하는데, 이를 만족하는

정수 [eqn: a]의 값은 오직 [eqn: -1,`-2] 뿐이다.

그러나, [eqn: a]의 값이 [eqn: -1]이 되면 교점의 [eqn: x]좌표는 구간 [eqn: (-1,`-2)] 내에 있게 되고, 따라서 함수 [eqn: f(x)]와

[eqn: g(x)]의 교점이 구간 [eqn: (-3,`-2)] 내에 있도록 하는 정수 [eqn: a]의 값은 [eqn: -2] 하나 뿐이다.

([eqn: a=-1]일 때 함수 [eqn: f(x)-g(x)]의 [eqn: x=-1]에서의 함숫값과 [eqn: x=-2]에서의 함숫값에 부호 변동이 있고,

[eqn: a=-2]일 때 함수 [eqn: f(x)-g(x)]의 [eqn: x=-2]에서의 함숫값과 [eqn: x=-3]에서의 함숫값에 부호 변동이 있어서)