6. 일반적인 직선과의 위치관계

이전까지 우리는 극댓점, 극솟점의 좌표와 [eqn: x]축과 평행한 직선과의 위치관계가 제시되었을 때 식을 구하는 방법에 대하여 알아보았다. 하지만 수능에는 이런 특별한 점과 직선과의 위치관계 뿐만 아니라 일반적인 직선과의 위치관계 또한 제시된다. 이런 경우 어떻게 식을 작성해야 할지 살펴보자.

7. 차의 함수와 인수정리

일반적인 직선과의 위치관계는 “차의 함수”로 다룬다.

즉 삼차함수 [eqn: f(x)]와 일차함수 [eqn: g(x)]의 위치관계가 제시되어있다면 [eqn: h(x)=f(x)-g(x)]를 다루는 것이다. 아래의 그림을 보자.

위 그림에서 삼차함수를 [eqn: f(x)], 일차함수를 [eqn: g(x)]라 놓으면 [eqn: f(x)-g(x)=ax(x+2)(x-2)]가 됨을 전편에서 배웠던 인수정리를 통해 어렵지 않게 알 수 있다.

그럼 그림에서 [eqn: g(x)= {1} over {2} x]이므로 [eqn: f(x)=ax(x-2)(x+2)+ {1} over {2} x]이다.

다음과 같이 기억하자.

[eqn: f(x)=g(x)]가 [eqn: x=a]에서 [eqn: n]중근을 가지면 [eqn: f(x)-g(x)]는 [eqn: (x-a) ^{n}]을 인수로 가진다.

8. 일반적인 직선과의 위치관계에서 비율관계

일반적인 직선과의 관계가 제시되어도 비율관계는 여전히 성립한다. 다만 점의 위치는 좀 달라진다. 아래의 그림을 보자.

위 5개의 점의 [eqn: x]좌표는 등차수열을 이룬다. 이는 차의 함수의 그래프를 그리는 것으로 쉽게 확인할 수 있다.

9. [eqn: b= {a ^{3}} over {2}]의 활용에서의 주의점

이전에 우리는 극댓점과 극솟점의 [eqn: x]좌표 차를 [eqn: a]라 놓고, 극댓점과 극솟점의 [eqn: y]좌표 차를 [eqn: b]라 놓으면 최고차항의 계수가 1인 삼차함수에서 [eqn: b= {a ^{3}} over {2}]임을 배웠다.

이 공식은 일반적인 직선과의 위치관계에서도 동일하게 적용할 수 있는데 이 경우 조금 주의해야 할 것이 있다.

예를 들어 가끔씩 아래와 같은 실수를 하는 경우가 있다.

잠시 생각해보자. 무엇이 잘못되었는지 알겠는가?

올바르게 적용한 모양은 이와 같다. 역시 차의 함수를 통해 보일 수 있다.

이때 [eqn: b]값이 두 직선의 [eqn: y]절편 차가 된다는 것도 기억하자.

생긴것만 보고 대충 공식을 적용하면 큰일날 수 있으니 조심.

10. 예제

배운 것을 적용하는 데에는 문제만큼 좋은 것이 없다.

예제를 풀어보며 적용해보자.

(단, [eqn: f prime (-1)=1])

[eqn: y=x]는 [eqn: (-1,1)]을 지난다. 따라서 [eqn: a=2,`b=8]이므로 최고차항의 계수는 2이다.

[eqn: y=x]와 [eqn: f(x)]의 나머지 한 근은 비율관계에 의해 [eqn: (-2,`-2)]이므로

[eqn: f(x)=2(x-1) ^{2} (x+2)+x]

2편이니만큼 조금 난이도를 올려 수능 스타일의 문제를 풀어보자.

삼차함수 [eqn: f(x)]와 직선 [eqn: g(x)= {1} over {2} x+1]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(2)=4f prime (2)=2]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대해 [eqn: f(1-x)+f(1+x)=k]

(다) [eqn: f(x)=g(x+8)]의 서로 다른 실근의 개수는 2이다.

[eqn: k+f(4)]의 값을 구하시오. [4점]

[정답] 30

[풀이] (가) 조건에서 [eqn: f(x)]가 [eqn: g(x)]와 점 [eqn: (2,`2)]에서 접함을 알 수 있다.

(나) 조건에서 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 변곡점을 가짐을 알 수 있다.

(다) 조건에서 [eqn: f(x)]가 [eqn: g(x+8)= {1} over {2} x+5]와 접함을 알 수 있다.

이 세가지를 종합하여 그래프를 그려보면 다음과 같다.

따라서 [eqn: a=2,`b=4]이므로 최고차항의 계수는 1이고 [eqn: f(x)=g(x)]의 나머지 한 근은 [eqn: -1]이므로 [eqn: f(x)=(x+1)(x-2) ^{2} + {1} over {2} x+1]이다. (나) 조건의 식에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: k=7]

[eqn: f(4)=23]이므로 [eqn: f(4)+k=30]